02_estimacion De Parametro

ESTIMACION DE UN PARAMETRO 1. INTRODUCCION Al realizar una investigación estadística a menudo se sabe o se supone que la población definida por una variable aleatoria x, de la cual se selecciona una muestra aleatoria, tiene una forma funcional especifica cuyo parámetro se intenta determinar. Los método de inferencia estadística, básicamente consiste en seleccionar una muestra aleatoria de la población en estudio y con la información que se obtenga de esta llegar a estimar el o los valores del parámetro desconocido. El método de estimación de parámetro puede ser puntual o por intervalos, en el primer caso, la estimación del parámetro es un numero. Mientras que en el segundo caso la estimación del parámetro es un intervalo de los posible valores que puede tener con un nivel de confianza. 2. ESTIMACION PUNTUAL La estimación puntual es el valor numérico de un estimador, un buen estimador es aquel que se acerca al verdadero valor del parámetro. 3. INTERVALO DE CONFIANZA La estimación por intervalo es la estimación del parámetro Ф dentro de un intervalo de extremo cerrado [a, b], donde los números a y b se obtiene a partir de la distribución de la estadística que estima puntualmente el parámetro y a partir de los valores de la muestra. Sea X1, X2…..Xn una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población f(x, Ф), cuyo valores experimentales respectivos son x 1, x2…..xn , sea además, la expresión __

  H(X

1,

X 2 ,... X n )

es una estadística para estimar el parámetro Ф cuya distribución de __

probabilidad sea conocida y sea



el valor del parámetro, dado el numero 1   , y si a partir

de la distribución de probabilidad del estimador se puede encontrar el estimador A y B tales que: P A    B   1   se dice entonces que el intervalo  A, B  es el intervalo del estimador de parámetro Ф con el grado de confianza de 1   *100%, o que tal intervalo contiene al parámetro Ф con probabilidad 1 . 4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA VARIANZA CONOCIDA ____

____

LI X  E LS X  E E =

=

z = n

Ejemplo 1 Una muestra aleatoria de 150 hogares de una ciudad, revela que el promedio de los ingresos mensuales es de 550 dólares. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la media de la población de los ingresos de todos los hogares de esa ciudad. Asuma que la desviación estándar poblacional es 155. VARIANZA DESCONOCIDA n < 30 ____

LI X =

E

LS

=

____

X

E

E

=

t (n1, / 2) s n

Ejemplo 2 Para confirmar el peso neto promedio de los frascos de conserva de palmito de la empresa agroindustrial “LA PALMA “ de Iquitos, cuya especificación es de 150 gramos, un estudiante de

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estadística aplicada selecciono una muestra de tamaño 10 de tales frascos y observo los siguiente peso netos en gramos: 150 151 149 148 156 152 148 156 156 154 Construya un intervalo de confianza del 95% VARIANZA DESCONOCIDA n >30 ____

LI X =

E

____

LS X  E E =

zS

= n

Ejemplo 3 Una muestra de 80 niñas de diez años de edad proporciono un peso medio de 50 Kg. y una desviación estándar de 3 Kg., respectivamente. Suponiendo que no existe normalidad, encuentre los intervalos de confianza del 95% para la media poblacional 5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION

LI

=

pE

LS = p  E E

=

z

pq n

Ejemplo 4 En instituto de opinión publica utilizo una muestra aleatoria de 800 lectores que acaban de emitir su voto, para realizar un proyección estadística de los resultados. Si el sondeo indica que 340 electores votaron a favor del candidato A, obtenga el intervalo de estimación del porcentaje de electores a favor A en toda la población con el nivel de confianza del 95%. 6. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA

(n  1) s 2

LI

=

2  1 ; n 1 2

x

(n  1) s 2

LS

=

x

2  ; n 1 2

Ejemplo 5 Para estimar la variabilidad de los contenidos de un producto que una empresa comercializa en bolsa de 150 gramos. Un analista de métodos cuantitativos escogió una muestra aleatoria de 10 unidades del producto resultando los siguiente pesos en gramos: 150,5 150.7 148.1 150.4 149.3 151.2 150.9 149.2 150.3 149.3 Obtenga el intervalo de confianza del 95% para la varianza de los contenidos de todas las unidades del producto en mención. Supóngase que la población de estos contenidos se distribuye según el modelo de la probabilidad normal.

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PRACTICA DIRIGIDA 1)

El ingreso mensual de cada una de los microempresario de servicio constituye una población asimétrica cuya media se quiere determinar. Si una muestra piloto de 50 microempresario se obtuvo un ingreso mensual promedio de 1000 dólares con una desviación estándar de 80 dólares, obtenga un intervalo de confianza del 95%.

2)

Para estimar la vida útil de un producto se escogió una muestra aleatoria de 9 unidades del producto resultando las siguientes vidas: 775 780 800 795 790 785 795 780 810 Estime la media de la población utilizando un intervalo de confianza del 95%

3)

Un auditor escoge una muestra aleatoria de 10 cuentas por cobrar de una compañía las cuales fueron: 730 759 725 740 754 745 750 756 780 810 Estime la media de la población utilizando un intervalo de confianza del 95%

4)

En un estudio socioeconómico se tomó una muestra aleatoria de 200 comerciantes informales y se encontró entre otros datos que solo el 30% de ellos tienen ingresos superiores a 800 dólares por mes, obtenga el intervalo de confianza de la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a 800 dólares al 95% de nivel de confianza.

5)

Un productor afirma que es el 5% el porcentaje de unidades defectuosa que resulta del total de su producción,. Si una muestra aleatoria de 150 unidades de la producción se encontraron 10 unidades defectuosas. Es aceptable la afirmación del productor con un 95% de nivel de confianza.

6)

Una empresa cambiara su proceso actual de producción, cuya desviación estándar de los tiempos empleados para procesar cada pieza es de 9 segundo, si solo hay prueba que el nuevo proceso es más estable en cuanto a variabilidad. Si una muestra aleatoria de los tiempos empleados para producir 13 piezas con el nuevo proceso ha dado una desviación estándar de 6 segundos, con un nivel de confianza del 95% ¿debería la empresa cambiarse al nuevo proceso de producción?

7)

Se tiene en archivo diez pagos que se realizaron durante el mes los cuales son: 452, 325, 256, 785, 456, 523, 458, 563, 258, 563. Determinar un intervalo de confianza para estimar la desviación con respecto a los pagos que se realizó.

8)

El tiempo en minuto que utiliza los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal con una desviación estándar de 3 minuto. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes del banco resultando una media igual a 9 minuto, ¿Cuánto es el nivel de confianza si la media poblacional se estima de 7 a 11?

9)

Un grupo de inversionista quiere determinar la media del rendimiento anual medida en porcentajes de ciertos valores. Para esto se seleccionó una muestra aleatoria de 49 de tales valores observando una media de 8.71 y una desviación estándar de 2.1. estime la media del rendimiento anual de tales valores mediante un intervalo de confianza del 95%.

10)

Una empresa eléctrica tiene por información de años anteriores que la variación de los sueldo de sus trabajadores es de 5.6, determinar un intervalo de confianza para el sueldo promedio de los trabajadores si se toma una muestra de tamaño 150 de la cual se estima un sueldo promedio de 1520.

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ESTIMACION DE LA DIFERENCIA DE PARAMETRO 1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZON DE VARIANZA

LI 

s12 s 22

f 2

, r1 , r2

LS 

s12 s 22

f

 1 , r1 , r2 2

Ejemplo 1 Un fabricante va instalar una nueva máquina N solo si hay prueba de que es menos variante en los tiempos de producción que la actual maquina A. con este fin ha escogido una muestra aleatoria de tamaño 8 y 6 respectivamente, de los tiempos en segundo que emplearon para producir cada unidad en un experimento de prueba los resultados fueron: Muestra A: 2.17 2.23 2.21 2.18 2.22 2.20 2.21 2.19 Muestra N: 2.13 2.16 2.14 2.12 2.15 2.14 Elaborar un intervalo de confianza para la razón de varianza. 2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA DE MUESTRA INDEPENDIENTE

LI   X 1  X 2   E

LS   X 1  X 2   E

CASO 1: VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

2 2 E  Z  n1  n2  2   1 Ejemplo 2 El ingreso promedio familiar de una muestra de 75 empleados admitidos a una empresa A fue de 6800 dólares, mientras que el promedio basado en una muestra de 80 empleados de una empresa B se encontró como 4450. Si las desviaciones estándar de la población son 1= 600 y 2= 500, encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias de ambas poblaciones. CASO 2: VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

 S 2  n  1  S22  n2  1 1 1  E  t  n1  n 2  2; / 2  1 1 n1  n2  n1 n2 2  





Ejemplo 3 Veinticuatro animales de laboratorio con deficiencia de vitamina D se dividieron en dos grupos iguales. El grupo 1 recibió un tratamiento consistente en dietas que proporcionaba la vitamina D. El segundo grupo no fue tratado. Al término del periodo experimental, se hicieron las determinaciones del calcio en suero, obteniéndose los siguientes resultados: Grupo tratados : media = 10.1 s1 = 1.1 Grupo no tratado : media = 8.8 s2 = 2.5 Suponiendo poblaciones con distribuciones normales y con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias. CASO 3: VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

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 s2 s2  E  Z  n1  n2  2  1 Ejemplo 4 Un ingeniero industrial a cargo de la producción en cierta planta quiere comparar el número de unidades producidas diariamente en los turnos: matutino y vespertino. Para esto, escogió dos muestras aleatoria independiente de 55 y 65 obreros del turno matutino y vespertino respectivamente de un día cualquiera y observo 435 y 400 unidades promedio de producción respectivamente. Además la varianza de cada turno es de 44 y 65 construir un intervalo de confianza del 95%. 3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

LI   p1  p2   E

Ls   p1  p2   E

EZ

 pnq  pnq  1 1 1

2 2 2

Ejemplo 5 Un supervisor de calidad va comparar las cantidades de artículos defectuoso que procesan dos líneas de producción A y B. el escogió dos muestras aleatorias independiente, una de 50 de A y la otra de 60 de B, observando 8 y 6 artículos defectuoso respectivamente. Desarrolle un intervalo de confianza de los 95% para la diferencia de proporciones de artículos defectuosos producidos en las dos líneas PRACTICA DIRIGIDA

1. El director de presupuesto de una compañía quiere comparar el gasto de transportaciones diarias entre personal de ventas y de verificación contable. Para eso recopilo una muestra de 200 ventas y otra de 250 verificaciones contable, resultando las medias 13 y 15 y las desviaciones estándar 3 y 4 soles respectivamente. Con esta información construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias. 2. Un alto dirigente del emporio comercial Gamarra afirma que el salario promedio por semana de los hombres superan al salario de las mujeres. Para comprobar la afirmación un grupo de trabajo escogió una muestra aleatoria de 20 hombres y 25 mujeres encontrando los promedios de 110 y 100 respectivamente. Aplicando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias, ¿es consistente la afirmación del dirigente? El grupo supone que los salarios en cada caso sigue el modelo de probabilidad normal con varianza 100 y 64 dólares respectivamente. 3.

El jefe de personal de una empresa de confecciones quiere comparar las medias de los tiempos en minutos que operario hombre y mujeres utilizan para confeccionar una camisa. Estudios anteriores revelan que las dos poblaciones de tiempos tienen distribución normal con varianza homogénea. La siguiente tabla resume la estadística de las dos muestra escogida de tales poblaciones: MUESTRA MEDIA DESVIACION

HOMBRE 10 38 6

MUJERES 16 35 4

Utilizando un intervalo de estimación para la diferencia de dos medias al nivel de confianza del 95% ¿se puede concluir que en promedio los hombres y las mujeres utilizan el mismo tiempo? 4. Un inversionista debe decidir en cuál de las dos ciudades Trujillo o Piura abrir un centro comercial. Un estudio estadístico de los ingresos mensuales realizado con tal fin indica que: en Trujillo se tomó una muestra de 21 hogares encontrándose una media de 400 y una desviación estándar de 120, en Piura se tomó otra muestra de 16 hogares encontrándose una media de 380 y una

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desviación estándar de 60, además los ingreso mensuales en ambos caso siguen el modelo de probabilidad normal con varianza homogénea ¿Cuál de las dos ciudades debería abrir la sucursal. Aplique un intervalo de confianza del 95%? 5. Un fabricante debe elegir entre dos maquina A y B para la producción de un bien, la variable de Interés es el tiempo en minuto empleado para producir el bien que se sabe es normal en cada marca. Para la toma de decisión se realizó una prueba de producción de las dos marcas y luego se escogieron al azar los siguiente tiempos de muestra. A: B:

4.08 3.94

4.10 3.95

4.12 3.80

3.89 3.96

3.95 4.02

4.15 3.85

1.05 3.85

4.01 3.70

Construir un intervalo de confianza para la diferencia de media. 6. Una cadena de hipermercado está estudiando la venta diaria de pollos a la brasa en dos de sus locales: Independencia y Rímac. Para esto, el encargado del estudio, escogió dos muestras aleatoria de las ventas de 10 días observándose lo siguiente números de pollos vendidos: Independencia:

12 17 14 18 09 10 20 15 12 16 Rímac : 11 14 13 11 12 15 14 15 11 13 La muestra revelaron además que las dos poblaciones de ventas son normales y varianza homogéneas. Aplicando un intervalos de confianza del 95% para la diferencia de medias ¿es válido inferir que los dos locales tiene igual promedio de venta de producto? 7. Una firma distribuye dos marcas de cerveza. Si una reciente encuesta de consumidores se encontró que 60 de 120 prefieren la marca A y de 50 de 80 prefieren la marca B ¿cree usted que la marca B es la más preferida por los consumidores ¿aplique un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones. 8. En octubre 160 personas de una muestra aleatoria de tamaño 400 aprobaron la gestión de un líder político. Dos meses más tarde, en diciembre, la mitad de otra muestra aleatoria de tamaño 500, independiente de la anterior, rechazaba tal gestión. Aplicando un intervalo de confianza del 95%, ¿es válido concluir que el líder político aumento su porcentaje de aceptación? 9. Una muestra aleatoria de 250 mujeres y otra de 200 hombre indicaron que 75 mujeres y 80 hombres consumen un nuevo producto que acaba de salir al mercado. Desarrolle un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de la verdadera proporción. 10. Una manera de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial es a través de la varianza de sus salarios. Se afirma que los sueldos son más homogéneos en la fábrica A que en la fábrica B. para comprobar la afirmación, se escogieron una muestra aleatoria de 10 salario A y otra de 13 salario B, obteniéndose las dispersiones 50 para A y 30 para B, por otro lado, registro histórico indica que los salario de A y de B tiene distribuciones normales. ¿está usted de acuerdo con la afirmación? Aplique el método del intervalo de confianza del 95% de dos varianzas.

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