03- Funciones Vectoriales De Una Variables Real (apuntes-ejercicios)

Funciones Vectoriales de una variable real

§1. Generalidades Una f unci´ on vectorial de una variable real , es una función cuyo dominio es un subconjunto de números reales y cuyo recorrido es un conjunto de vectores de Rn , definida por f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) donde f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t) son funciones reales de una variable real, llamadas f unciones componentes . En particular, si para I ⊂ R , se tienen las funciones fk : I → R, k = 1, 2, . . . , n reales de una variable real, entonces para todo t ∈ I existe un vector definido por f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) De este modo, la función f : I → Rn tal que

f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t))

es una función vectorial de una variable real , donde f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t) , son las funciones componentes.

2. Operaciones Algebraicas Si f , g son funciones vectoriales y ϕ es una función real se definen las siguientes operaciones:
 • f + g (t) = f (t) + g (t) , t ∈ Dom f ∩ Dom g 1

• • • •




 ϕf (t) = ϕ (t) f (t) , t ∈ Dom ϕ ∩ Dom f




  f × g (t) = f (t) × g (t) , t ∈ Dom f ∩ Dom g y Re c f, Re c g ⊂ R3







 f • g (t) = f (t) • g (t) , t ∈ Dom f ∩ Dom g

  f ◦ ϕ (t) = f (ϕ (t)) , siempre que Dom f = Re c ϕ

2

3.Límites y Continuidad de una Función Vectorial de variable real. Sea f una función vectorial y to un punto de acumulación del Dom f entonces lim f(t) = l t→to

si para todo número real ε > 0 existe un número δ > 0 tal que     f (t) − l < ε siempre que 0 < | t − to | < δ . Una consecuencia importante es que si f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) , entonces    = lim f1 (t) , lim f2 (t) , . . . , lim fn (t) lim f(t) t→to

t→to

t→to

t→to

siempre que los límites de las funciones componentes existan. Esto es, el límite de una función vectorial se define como el límite de sus funciones componentes. • Propiedades del límite de Funciones Vectoriales Si f(t) y g (t) son funciones vectoriales de una variable real y to un punto de acumulación de Dom f ∩ Dom g tal que lim f(t) y t→to

lim g (t) existen, entonces

t→to


 lim λf (t) = λ lim f(t) siendo λ ∈ R constante t→to t→to
 • lim f ± g (t) = lim f(t) ± lim g (t) t→to t→to t→to
 • lim f • g (t) = lim f(t) • lim g (t) t→to t→to t→to
 • lim f × g (t) = lim f(t) × lim g (t) •

t→to

t→to

t→to

lim f(t) = f(to ) . La función f es contínua en to ∈ Dom f si t→t o Si to es un punto de acumulación del Dom f entonces la definición de continuidad es equivalente a decir que la función f es contínua en to si 3

C1: f(to ) existe. Esto es to ∈ Dom f C2: C3:

lim f(t) existe

t→to

lim f(t) = f(to )

t→to

Como consecuencia del límite de funciones vectoriales, se tiene que si f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) es contínua en to , entonces cada función componente fk (t) , k = 1, 2, . . . , n es contínua en to . • Propiedades de la continuidad  Si f(t) y g (t) son funciones vectoriales de una variable real, contínuas en to ∈ Dom f ∩ Dom g entonces;
 λf (t) es contínua en to , ∀λ ∈ R
 — f ± g (t) es contínua en to
 — f • g (t) es contínua en to
 — f × g (t) es contínua en to —

Finalmente, la función vectorial f(t) es contínua en I ⊂ R si en contínua en cada uno de los puntos de I.

4

4. Derivadas La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones de variable y valor real. Así, f es derivable si f(t + h) − f(t) h→0 h lim

existe. Entonces, si f es derivable df f(t + h) − f(t) = f (t) lim h→0 dt h es la derivada de f . Esto verifica que



f (t) = (f1 (t), ..., fn (t))

Si f y g son funciones vectoriales derivables λ un escalar y ϕ una función real, la derivación de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades:  d 

f(t) + g (t) = f (t) + g (t) dt d   
• λf(t) = λf (t) dt  d  • ϕ (t) f(t) = f (t)ϕ(t) + f(t)ϕ (t) dt  d   · g  (t) • f(t) · g (t) = f (t) · g (t) + f(t) dt  d  • f(t) × g (t) = f (t) × g (t) + f(t) × g  (t) donde Re c f, Re c g ⊂ R3 dt  d  • (Regla de la Cadena) f(ϕ(t)) = ϕ(t)f (ϕ(t)) dt

•

5

6. Integrales La integral definida de una función vectorial contínua f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) es definida como b  b  b b f(t)dt =  f1 (t)dt, f2 (t)dt, . . . , fn (t)dt a

a

a

a

Esto establece que se puede evaluar una integral de una función vectorial integrando cada función componente. Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos los Teoremas Fundamentales del Cálculo:

• Primer Teorema Fundamental del Cálculo : Sean f : [a, b] → Rn una función vectorial contínua y to ∈ [a, b] . Entonces la función F (t) =

t

f (ξ) dξ

to

cumple que F  (t) = f(t) . • Segundo Teorema Fundamental del Cálculo : Sean f : [a, b] → Rn una función vectorial tal que f (t) es continua en (a, b). Entonces para cada to , t ∈ (a, b) se tiene que  = f(t  o) + f(t)

t

to

6

f (ξ)dξ.

GUIA DE EJERCICIOS Generalidades 1. ¿Qué es una función vectorial de una variable real ?.Describa que entiende por una función real de una variable real y señale sus elementos principales. 2. ¿Qué entiende por imágen de un elemento bajo una función f ?. Establezca claramente la diferencia entre la función y la imágen de la función.     √ 2 1

√  1 3. Si f (t) = t, t , , determine f (5) , f , f 7 , f (b) y f (3b) t 5

4. ¿ Qué es el Dominio de una función vectorial de una variable real ?.Como Ud. sabe, una función vectorial f , de una variable real se puede escribir en términos de una n−tupla ordenada de funciones reales fj , j = 1, 2, . . . , n . ¿ Qué relación existe entre Domf y Domfj ?. 5. De acuerdo a lo anterior, determine el Dominio de cada una de las siguientes funciones,   √ 2 1 

√ a) f (t) = t, t , b) f (t) = ln t, 1 − t t   √ t c) f (t) = t − 1, 2

d) f (t) =



1+t t , ln 1−t t−1



6. ¿ Qué es el Recorrido de una función vectorial de una variable real ?.Geométricamente, ¿ qué representa este Recorrido ?. Si f : I ⊂ R → Rn es una función vectorial de una variable real tal que f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)) , ∀t ∈ ¿ Qué relación existe entre Re c f y Re c fj , j = 1, 2, . . . , n ?. 7. Determine el Recorrido de cada una de las siguientes funciones

7

a) f (t) =



1−t 2t , 2 1 + t 1 + t2



  √ t c) f (t) = t − 1, 2

b) f (t) =



d) f (t) =



√ ln (t − 1) , t,

1 t−1

t 1+t , ln 1−t t−1





8. Si f (t) = (a cos t, asent) , con a > 0 y t ∈ [0, 2π] . Muestre que Re c f representa una circunferencia en R2 . 9. Si f (t) = a cos t i + b sent j , donde a, b > 0 y Domf = [0, 2π] . Muestre que Re c f representa una elipse en R2 . Dibuje esta elipse para a = 2 y b = 4 10. Muestre que Re c f , para f (t) = (t2 , t) representa una parábola en R2 . 11. Describa el gráfico del Recorrido de las funciones   t      a) f (t) = t i + t j + sen t k b) f (t) = t cos t, t sen t, 2π 12. Muestre que las relaciones cartesianas y que los Recorridos de las correspondientes funciones vectoriales representan el mismo gráfico a) 2x − 3y + 4 = 0 y f (t) = (3t + 4, 2t + 4) b) y = ex

y f (t) = ln t i + t j

c) y 2 = x3

y f (t) = (t2 , t3 )

Operaciones Algebraicas 1. El Algebra de funciones permite obtener nuevas funciones a partir de funciones dadas. Al respecto, señale con el detalle correspondiente, que significa a) Que dos funciones f y g sean iguales.

8

b) λf (x) , donde λ ∈ R es una constante y f una función vectorial. c) La función suma, producto escalar y producto vectorial de dos funciones f y g , dadas. ¿ Cuáles son sus respectivos Dominios?. 2. Para cada caso, determine f + g , f − g y f • g , con sus respectivos dominios, si a) f (t) = (t2 , 6t) ; g (t) = (3t, −8) 

√  2  b) f (t) = t − 7, t, t ; g (t) = 3t,

 1 , −t t2 − 1

3. Describa, señalando todos los aspectos, la composición de una función vectorial de una variable real f y una función real de una variable real ϕ . 4. Dadas una función vectorial de una variable real f y una función real de una variable real ϕ , de modo que f ◦ ϕ existe, ¿ es cierto que, en este caso
   Dom f ◦ ϕ = t ∈ Domϕ / ϕ (t) ∈ Dom f ?. ¿ Por qué ?.Haga un diagrama detallado para la composición f ◦ ϕ .

5. Para cada uno de los casos, determine las función f ◦ ϕ y sus respectivo dominio, si √ a) f (t) = (t2 , 1 − t) ; ϕ (t) = t   5 t  b) f (t) = 3t − 4, ; ϕ (x) = t 5 √ c) f (t) = t − 8i + 4t j ; ϕ (t) = t3 √ 1 t i + j − t k ; ϕ (t) = 5t t  e) f (t) = (ln (t + 1) , t, t − 1) ; ϕ (t) = et − 1

d) f (t) =

9

Límites y Continuidad de Funciones Vectoriales de una variable real  donde f es una función vectorial de lim f (t) = L 1. ¿Qué significa que t→t o una variable real ?. Demuestre que si f (t) = (f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t))  si y sólo si lim fj (t) = Lj  = (L , L , . . . , L ) entonces lim f (t) = L y L 1

n

2

t→to

t→to

para cada j = 1, 2, . . . , n .  , en lim f (t) = L 2. ¿Qué significado geométrico le puede atribuir a t→t o

R2 ?,¿ en R2 ? 3. Si f (t) = (t, t2 ) , calcule y marque la posición de f (0.9) , f (0.99) , f (1.1) , f (1.01) y f Use la definición dada para verificar que lim f (t) = (1, 1) t→1

lim f (t) cuando, 4. Determine, si existe, t→t o

√ 2  t, t , sent y to = 2   √ 2t 2  b) f (t) = ln t, 1 + t , y to = 2 4 − t2   t 1 + 2t c) f (t) = , , 3t2 y to = 3 1 + t2 t2 a) f (t) =

lim f (t) existe, entonces es único 5. Demuestre que si t→t o

 2 entonces  1 y lim g (t) = L lim f (t) = L 6. Pruebe que si t→t t→t o

o


 1 + L 2 a) lim f + g (t) = L t→to
  1 • L 2 f •  g (t) = L lim b) t→to
  1 × L  2 sólo en R3 c) lim f × g (t) = L t→to

10

8. Si A ⊆ R , ϕ : A → R una función real de una variable real y f : A → Rn lim ϕ (t) = λ y una función vectorial de una variable real tal que t→t o
     lim f (t) = L , demuestre que lim ϕf (t) = λL t→to

t→to

9. Determine cuando una función vectorial de una variable real f (t) es contínua en t = to . ¿ Qué condiciones expresa el hecho que una función f (t) sea contínua en t = to ?.De acuerdo a esto, cuándo una función no es contínua en un punto? 10. Demuestre que la continuidad de funciones vectoriales de una variable real puede probarse, probando la continuidad de las funciones componentes. 11. Determine si las funciones dadas son contínuas en el punto indicado,   t  a) f (t) = √ , t en to = 0 t   2  t −1   ,1 si t = 1  t−1  en to = 1 b) f (t) =    (0, 0) si t = 1 c) f (t) = ln (t + 1) i + t j + (t − 1) k en to = 9   2 t − 1 d) f (t) = |t| , en to = −1 t+1

12. Encuentre los puntos, si los hay, donde las siguientes funciones no son contínuas y trace el recorrido de cada una de ellas ; a) f (t) = (et , t) si Domf = [0, 2]    sent   si t ∈ (0, 2]  t, t  b) f (t) =    (0, 1) si t = 0

c) f (t) = t i + t j + [t] k si t ∈ [0, 4]

11

12. Dada la función vectorial f (t) definida por  

 √ 1 2 √ 1 − cos t − t √ f (t) = 1 − t2 ,

 4 , 1 2 1 − e2 t t− 4 a) Determine el Dominio de f (t) . b) Hallar lim f (t) , si existe. t→0

c) Determinar los puntos de discontinuidad. d) ¿ Es posible redefinir f (t) de modo que sea contínua en el intervalo (0, 1) ? 13. Si f (t) y g (t) son contínuas en t = to . Demuestre que f + g , f • g y f × g son contínuas en t = to . Demuestre además, que si ϕ (t) es
una función real de una variable real, contínua en t = to entonces ϕf (t) es contínua en t = to .

Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales de una variable real. 1. ¿Qué significa que una función vectorial de una variable real f sea derivable en t = to ?. ¿ De que depende fundamentalmente el hecho que f sea derivable en t = to ?. Discuta su respuesta. 2. ¿Qué significa que f : [a, b] → Rn , sea derivable en [a, b] ? 3. Calcular la derivada de la función vectorial f (t) en to = 0 , si    1 t  3  si t = 0  t sen , t 1 + e 1t  a) f (t) =    (0, 0) si t = 0    1   si t = 0  t2 sen , 1 + t2 t  b) f (t) =    (1, 0) si t = 0 12

   1  2t 2  si t = 0  e , t sen t  c) f (t) =    (1, 0) si t = 0

4. Demuestre que si f : [a, b] → Rn es derivable en [a, b] entonces f es contínua en [a, b] . ¿ El recíproco es verdadero ?. Dé un ejemplo que confirme su respuesta. 5. Encuentre f (1) si,



1 + t2 2 1 , t − 1, 1+t t



a) f (t) = (ln t, t)

b) f (t) =

c) f (t) = (cos2 t, sen2 t)

d) f (t) = (cosh t, senh (1 − t2 ))

6. Si f (t) = (sen2πt, cos 2πt, 2t − t2 ) determine f (t) y f (0) . 7. Determine las derivadas f (t) si, a) f (t) = (cos t, sen2 t, sent, tgt) 1  k 1 + t2 c) f (x) = (xex , ln 3x, 0) y x (t) = ln t   √ −1 √ d) f (x) = cos x, arctgx, y x (t) = t2 + 2t + 1 1+ x

b) f (t) = ln (1 + t2 ) i + arctgt j +

8. Considere las funciones f (t) = (2t, 3, 0) , g (t) = (1, t, t2 ) y ϕ (t) = 13 t3


 . Determine ; f (t) , g  (t) , ϕ (t) , f + g (t) , ϕf (t) , f • g (t) ,


 f × g (t) , g × f (t) y f ◦ ϕ (t) 9. Dada f (t) = u cos (t + v sen(t , donde u y v son vectores constantes, demostrar que  a) f (t) × df = ( (u × v) dt

2 b) d f + (2 f = 0 . dt2

13

 2t 1 − t2 , , 1 , demuestre que 1 + t2 1 + t2 el ángulo formado por f (t) y f (t) es constante, es decir, no depende de t .

10. Dada la función vectorial f (t) =



11. Demuestre que si f (t) = cos t i + sent j entonces f (t) • f (t) = 0 12. Sea f (t) = f1 (t) i + f2 (t) j + f3 (t) k , con las funciones f1 (t) , f2 (t)
     y f3 (t) dos veces derivables. Demuestre que f × f = f × f .

14

13. Calcule las siguientes integrales de funciones vectoriales ; a)

1 0

√ t t, t, e dt

b)

1  0

14. Determine u • v si u = (2, −4, 1) y v =

 et  1  i+ j dt 1 + et 1 + et

1

(tet , t senh 2t, 2te−2t ) dt

0

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CALCULO III . . ./ . 2011