03_prueba De Hipotesis

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UN PARAMETRO 1. INTRODUCCION El objetivo de este tema es exponer los métodos estadístico básicos que se aplican para tomar decisiones sobre la conjetura que se hace acerca del valor numérico del parámetro de una población en estudio y que es sometida a comprobación experimental con el propósito de determinar si los resultados de una muestra aleatoria extraída de esa población contradicen o no en forma significativa tal afirmación. 2. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Se denomina hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de la distribución de una o mas poblaciones La afirmación o conjetura se puede referirse bien a la forma o tipo de distribución de probabilidad de la población o bien referirse al valor o valores de uno o mas parámetro de la distribución conocida su forma. La hipótesis estadística consiste en suponer que los parámetros, que define a la población, toma determinado valores numéricos. 3. HIPÓTESIS NULA Se denomina hipótesis nula y se representa por Ho a la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación experimental. Toda hipótesis nula va acompañada de una hipótesis alterna que es lo contrario de la hipótesis nula 4. PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS ESTADISTICA La prueba de una hipótesis estadística es un proceso que nos conduce a tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, en contraposición a la alterna y en base a los resultados de una muestra aleatoria seleccionada de la población en estudio. 5. TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alterna, se denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alterna es unilateral. Si la alterna es bilateral, la prueba se denomina prueba de dos colas. 6. REGION RECHAZO Es la región, del rango de la estimación que de acuerdo con una prueba prescrita, conduce al rechazo de la hipótesis nula. La región de rechazo se construye valiéndose de la hipótesis alterna 7. DECISIÓN Si el valor del estadígrafo cae dentro de la región de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula 8. FORMA GENERAL HIPÓTESIS 1. H0 :  = 0 2. H0 :  = 0 3. H0 :  = 0

H 1 :   0 H 1 :  > 0 H 1 :  < 0

SIGNIFICANCIA  = VALOR DEL SIGNIFICANTE ESTADIGRAFO D = VALOR DEL ESTADIGRAFO

REGION CRÍTICA

16

1.

R.C = < - , - D / 2 > U < D / 2 ,  >

2.

R.C = < D ,  >

3.

R.C = < - , - D >

DECISION Si D pertenece a la región critica entonces se rechaza la hipótesis nula . 9.

HIPOTESIS PARA LA PROPORCION ____

Z

pp

Z N(0,1)

pq n

Ejemplo 1 Un fabricante de cigarrillos asegura que el 10% de los fumadores de cigarrillos prefieren A, para probar esta aseveración toma una muestra aleatoria de 30 fumadores de cigarrillos y se les pregunta por la marca que prefieren. Si de los 30 solo 12 prefieren la marca A, ¿qué concluye? 10. HIPOTESIS PARA LA MEDIA VARIANZA DESCONOCIDAD

n  30

t  X U s n

t  t (n - 1)

Ejemplo 2 El gerente industrial está pensando en un nuevo método para armar un carrito, con el método actual se necesita en promedio 42.3 minutos para armar un carrito. El tiempo medio empleando el nuevo método fue de 40.6 minutos, en una muestra de 24 carritos. La desviación estándar muestral fue de 2.7 minutos. Usando un nivel de significancia del 5% .¿ se puede concluir que el nuevo método de ensamble es más rápido? VARIANZA DESCONOCIDAD

n  30

Z  X U s n

Z  N (0, 1)

Ejemplo 3 Una muestra de 35 estudiantes de primer año tuvo una calificación media de 77 en una prueba efectuada para medir su actitud . La desviación estándar de la muestra fue de 10. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para indicar, a un nivel de significación 0.05 que la media de la población es menor que 80?

11. HIPOTESIS PARA LA VARIANZA

X2 

(n  1) s 2  02

x 2 (n  1)

17

Ejemplo 4 Un fabricante remplazaría su sistema actual de producción que tiene una media de 4.5 segundos y una varianza de 0.06 segundos, solo si el nuevo sistema resulta mas estable en variabilidad que el actual. Para tomar la decisión escogió una muestra al azar de los 10 tiempos del nuevo sistema de producción y obtuvo las siguientes mediciones en segundo: 4.1

5.3

6.1

2.1

3.2

3.6

4.5

3.2

5.2

5.9

PRACTICA DIRIGIDA

1)

Un productor de capsula de uña de gato afirma que la demanda promedio de su producto en el mercado es de 1000 capsula diarias. Sin embargo un estudio de la demanda de su producto en 36 días aleatorios da una media y desviación estándar de 850 y 360 capsula diarias respectivamente. ¿son estos resultados suficiente evidencia para contradecir la afirmación de este productor? Utilice el nivel de significación del 5%

2)

La duración de cierta marca de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Se estima que su duración media es de 500 horas y que el 95% del total duran entre 480.4 y 519.6 horas, si una muestra aleatoria de 9 de tales baterías se encuentra que la duración promedio es de 495 horas, ¿es esto evidencia para concluir al nivel de significan cía del 5% que la duración media de todas esas batería es diferente de 500 horas?

3)

Un analista cuantitativo afirma que cierta prueba de ingreso universitario tiene distribución normal con una media de 200 puntos. Aceptando la forma de la distribución se trata de comprobar el valor de la media aplicando una muestra donde, el tamaño de la muestra es de 16, la media muestral es de 145 y la desviación estándar muestral es de 50, se puede afirmar que se mantiene el mismo valor de la media con una significancia del 5%

4)

Un fabricante afirma que la vida útil promedio de su producto es de 68 días, para comprobar la afirmación del fabricante se observó la vida útil de 64 unidades del producto, resultando una media de 68.9 días y una desviación estándar de 3.6 días; se puede comprobar la afirmación del productor con una significancia del 5%

5)

El gerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores vende semanalmente en promedio a lo más 1500 dólares. Sin embargo, el presidente de los vendedores afirman que el promedio de las ventas semanales es mayor, en la sustenta con una muestra de ventas de una semana de 36 vendedores que dieron una muestra de 1510 y una varianza de 900 dólares, al nivel de significación del 5% ¿Cuál de los dos tiene razón?

6)

Se debería inferir que el porcentaje de todas las piezas defectuosa de un fabricantes es más de 5% al nivel de significación del 5% si una muestra de 40 piezas de la producción ha dado 4 defectuosas

7)

Un investigador social afirma que más del 70% de los estudiantes universitario no tiene la aptitud necesaria para la carrera elegida. Justifica su afirmación con un estudio realizado a una muestra de 80 donde 60 de ellos no aprobaron el Tés. Vocacional ¿está usted de acuerdo con la afirmación del investigador?

8)

Un informe de la policía de tránsito señala que el 20% de las infracciones es por no llevar puesto el cinturón de seguridad. De una muestra de 200 se observó que 50 no llevaban cinturón con estos resultados se puede respaldar el informe del policía con una significancia del 5%

9)

Una muestra aleatoria de los diámetros de 16 tornillos de cierto tipo ha dado una desviación estándar de 0.6 milímetros. Al nivel de significación del 5% ¿es válido inferir que la varianza de los diámetros de toda la producción de tales tornillos es mayor que 0.25?

10) La variabilidad de los pesos en un determinado proceso de producción está controlado si la desviación estándar de los pesos de los contenidos de los envases es 0.25 onzas pero, una muestra al azar de pesos de los contenidos de 20 envases ha dado una desviación estándar de 0.30 onzas. Al nivel de significancia del 5% ¿proporciona estos datos indicio suficiente que indique un aumento significativo de tal variabilidad?

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PARAMETRO 1. HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

18

VARIANZA DESCONOCIDAS n1 + n2 < 30

T

 x x U U   n  1 s  n  1 s  1  1  1

1

1

2

2 1

2

2 2

2

n1n2 2

n1

n2

T  t ( n 1 + n2 - 2 )

Ejemplo 1 Una empresa fabrica y ensambla cortadora de césped, que se envía a comerciantes de un país, se han propuesto dos procedimiento para instalar el motor en el armazón de una cortadora. La pregunta es ¿existe alguna diferencia en el tiempo medio para montar los motores en los armazones de las cortadoras? El primer método fue desarrollado por un empleado de la compañía y el otro lo desarrollo el sub director de ingeniería. Para evaluar los dos métodos propuestos se decidió efectuar un estudio en los tiempos y movimientos. Se consideró una muestra de cinco empleados que utilizaron el método 1 y otra de seis que aplicaron el método dos. Los resultados se muestran a continuación. ¿Existe diferencia en los tiempos medios de montaje? Procedimiento 1: Procedimiento 2:

2 3

4 7

VARIANZA DESCONOCIDAS

Z

x

1

9 5

3 8

2 4

2

n1 + n2 > 30

x 2 U 1  U 2  s12 s12 n1  n2

Z  N (0,1)

Ejemplo 2 El agente de compras de una empresa quiere decidir la adquisición de una de dos marcas de máquina para procesar cierto producto. Por cuestiones de precio él está pensando de comprar la marca A, a no ser que haya evidencia de que la maquina B es más veloz. Se le permitió operar los dos tipo de maquina durante un periodo de prueba observando los tiempos por unidad producida, luego escogió al azar una muestra de 40 tiempo por máquina y se obtuvo como media de la maquina A 55 y desviación estándar 2,1 y de la maquina B se obtuvo como media 52 y desviación estándar 3,2. ¿Cree usted que el agente debería elegir la maquina B? 2. PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Z

p

p2  P1  P2  P1Q1 P2Q2 n1  n2

1 

Z  N (0,1)

Ejemplo 3 Con el fin de conocer el nivel de aceptación de un producto un analista cuantitativo realizo un estudio de opinión en dos ciudades del interior del país. En Chiclayo 120 consumidores de una muestra al azar de 300 opinaron aceptando el producto, mientras que en Arequipa 120 consumidores de una muestra al azar de 400 opinaron estar de acuerdo con el producto. ¿puede considerarse significativamente la diferencia de las dos proporciones muéstrales con un nivel de significancia del 5%?

3. PARA LA RAZON DE VARIANZA

S12 F 2 S2

F (n1  1, n 2  1) 19

Ejemplo 4 Una compañía diseña un nuevo proceso de moldeo con el fin de reducir la variabilidad en el diámetro que actualmente tiene las piezas producidas. Para comprobar la variabilidad de los dos procesos se escogió una muestra al azar de 8 piezas del proceso actual y otra de 6 piezas del proceso nuevo resultando los siguiente diámetro en milímetros Actual: 17 Nuevo: 13

23 16

21 14

18 12

22 15

20 14

21

19

¿Confirman estos datos que es menor la variabilidad de los diámetros de las piezas con el nuevo proceso?

PRACTICA DIRIGIDA 1) Un inversionista está por decidir entre dos localidades A y B para abrir un centro comercial. Escogió una muestra aleatoria de cada lugar y obtuvo las siguientes estadísticas de la variable ingreso mensuales en dólares: MUESTRA TAMAÑO MEDIA VARIANZA

A 300 400 8100

B 400 420 14400

Si para tomar la decisión realiza una prueba de hipótesis de la igualdad de los ingreso promedios mensuales de los hogares de las dos provincias con un nivel de significación del 5%. ¿Puede el inversionista concluir que le es indiferente construir en cualquier de las dos poblaciones? 2) Un ingeniero realizo un estudio comparativo de la durabilidad, en meses de 30 días, de una componente que se encuentra en el mercado con las marcas A y B,. el estudio se basó en dos muestra aleatoria independiente de 32 y 36 unidades de la componente de cada marcas que duraron en promedio 36 y 34 con varianza de 16 y 9 respectivamente. Si el estudio concluye afirmando que las duraciones medias reales de los productos A y B no difieren entre si al nivel de significancia del 5%. 3) El gerente de compras de una empresa se vio confrontado para su adquisición, con las marcas 1 y 2 de cierto tipo de máquinas para producir un bien. Si los tiempos de producción en segundo de 50 unidades del bien con cada una de las maquinas ha dado las medias 55 y 50 y las desviación estándar de 10 y 12 respectivamente, se puede decir ¿Qué excede el tiempo promedio de la marca 1 al de la maca 2 en al menos 9 segundos? 4) Un analista financiero está interesado en comparar los niveles de rendimiento, en puntos porcentuales de dos empresas de sectores diferentes. Para esto selecciono al azar 16 acciones de cada una de las empresa y observo que las tasas de rendimiento dieron las medias 45 y 38 y la varianza 124 y 64 respectivamente para la empresa1 y 2. en el nivel de significancia del 5% y asumiendo que la tasa de rendimiento de cada sector sigue una distribución normal, ¿es la tasa de rendimiento promedio de la empresa 1 es mayor que la de la empresa 2? 5) Un analista financiero está interesado en comparar los niveles de rendimiento, en puntos porcentuales de dos empresas de sectores diferentes. Para esto selecciono al azar 16 acciones de cada una de las empresa y observo que las tasas de rendimiento dieron las medias 45 y 38 y la varianza 124 y 64 respectivamente para la empresa1 y 2. en el nivel de significancia del 5% y asumiendo que la tasa de rendimiento de cada sector sigue una distribución normal, ¿es la tasa de rendimiento promedio de la empresa 1 es mayor que la de la empresa 2? 6) En la industria de las confecciones se quiere saber si una reducción del 5% en el precio de un producto específico es suficiente para aumentar las ventas. Para resolver este problema el fabricante selecciono en forma aleatoria 10 sucursales que vendió el producto la semana pasada a precio normal y otra 10 sucursales que vendió a precio de oferta. El número de unidades vendidas resultante fueron:

20

Oferta: 56 54 57 58 53 54 56 60 62 70 Normal: 50 45 49 50 38 58 53 47 48 55 En el nivel de significancia de 5% ¿está usted de acuerdo con que la reducción del precio aumenta las ventas? 7) Los salarios en dólares del personal de la compañía A y B se distribuyen según el modelo de probabilidad normal con igual media. Para determinar cuál de las dos compañía tiene salario más homogéneos, se escogió una muestra aleatoria de 10 salario de A y otra de 9 de salario de B resultando varianza 100 y 225 respectivamente ¿Hay razón suficiente para decidir que en la compañía A los salarios son más homogéneos? 8) El jefe de logística de una compañía quiere decidir la adquisición entre dos marcas A y B de máquinas para su planta de producción. Se le permitió probar ambas maquinas durante un periodo de prueba para luego escoger 10 tiempos al azar para cada una de ellas, resultando los siguientes tiempos en segundos: A: 40 49 47 42 48 38 44 49 50 37 B: 41 41 39 40 38 42 43 37 38 41 ¿Se podría concluir que la variabilidad de producción es iguales? 9) Un inversionista quiere decidir entre dos localidades A y B para abrir un centro de comercial aplicando el criterio del mayor porcentaje de ingreso que superan los 1000 dólares. Para tomar la decisión escogió dos muestra independiente de 400 hogares de cada localidad encontrando que 20% y 30% de ellos respectivamente tenían ingresos superiores a los 1000 dólares. ¿En cuál de las dos localidades debería abrir el centro comercial? 10) Un industrial afirma que la proporción de unidades defectuosa en las dos líneas de producción no difieren entre sí, aplicando una prueba bilateral al 5% si dos muestra independiente de 50 y 80 unidades de la línea 1 y 2 revelaron 5 y 6 unidades defectuosa respectivamente ¿está en lo cierto el industrial?

LENGUAJE DE PROGRAMACION R I.

IMPLEMENTANDO Rcmdr  Hacer clic en Packages  Hacer clic en Usa (1)  Hacer clic en Rcmdr  Escribir library (Rcmdr)  Seleccionar el archivo de dato  Seleccionar estadístico  Seleccionar la prueba (Media – Proporciones – Varianza)

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