13 Zbirka Zadataka Iz Matematike Vii I Viii

Mr Miroslav Kuka Vesna M. Mijailovi}

ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za VII I VIII razred sa teorijskim osnovama i re{enjima

MMI

PREDGOVOR

Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou VII i VIII razreda. Posebno smo obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost, svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enik imati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava. Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje. Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani Milovanov, ing. informatike Veri Stojanovi}, Zlatku Leki}u i Ljiljani Milojevi} na podr{ci, sugestijama i tehni~koj realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.

Autori

SADR@AJ VII RAZRED 1. REALNI BROJEVI 1.1.

KVADRAT RACIONALNOG BROJA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

1.2.

RE[ENJE JEDNA^INE x2=a, (a ≥ 0). KVADRATNI KOREN. IRACIONALNI BROJ Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

1.3.

REALNI BROJEVI. BROJEVNA PRAVA. JEDNAKOST

1.4.

PRIBLI@NA VREDNOST REALNOG BROJA

7 8 9

a2 = a

Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja ............................................................................................. 1.5.

3 4 5

12 14 15

OSNOVNA SVOJSTVA OPERACIJA SA REALNIM BROJEVIMA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja ............................................................................................. Skup realnih brojeva (dodatak)....................................................... Re{enja .............................................................................................

16 17 18 18 19

2. PITAGORINA TEOREMA I NJENA PRIMENA 2.1. 2.2.

PITAGORINA TEOREMA PRIMENA PITAGORINE TEOREME Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

2.2.1 2.2.2.

21 23 24

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGAONIK Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

29 30 31

2.2.3.

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I JEDNAKOSTRANI^NI TROUGAO Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

2.2.4. 2.2.5.

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KRUG Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

2.2.6. 2.2.7.

33 35 36

39 40 40

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI I PRAVOUGLI TRAPEZ PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KOCKU I KVADAR Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

42 43 44

3. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZ 3.1. 3.2.

STEPEN ^IJI JE IZLO@ILAC PRIRODNI BROJ ALGEBARSKI IZRAZ. BROJNA VREDNOST IZRAZA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

3.3. 3.4.

MONOM. KOEFICIJENT POJAM POLINOMA. SVO\ENJE POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

3.5. 3.6.

53 54 54

SABIRANJE MONOMA I POLINOMA ODUZIMANJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

3.7. 3.8.

48 50 51

55 56 57

MNO@ENJE MONOMA I POLINOMA DELJENJE MONOMA I POLINOMA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

59 61 62

3.9. 3.10.

KVADRAT BINOMA I RAZLIKA KVADRATA RASTAVLJANJE POLINOMA NA ^INIOCE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

64 66 68

4. MNOGOUGAO 4.1. 4.2.

POJAM MNOGOUGLA I BROJ DIJAGONALA MNOGOUGLA UGLOVI MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

71 72 73

KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLOVA OBIM MNOGOUGLA POVR[INA MNOGOUGLA POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

75 80 81

5. KRUG 5.1.

CENTRALNI I PERIFERNI UGAO KRUGA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

5.2. 5.3.

OBIM KRUGA DU@INA KRU@NOG LUKA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

5.4.

90 92 93

POVR[INA KRUGA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

5.5. 5.6.

87 87 88

96 96 98

KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

100 101 102

Krug - razni zadaci ........................................................................... Re{enja .............................................................................................

103 104

6. NEKE OSNOVNE FUKCIJE 6.1.

PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI. KOORDINATNE TA^KE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

6.2.

6.3.

6.4.

107 109 110

FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI. TABLI^NO, ANALITI^KO I GRAFI^KO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJE DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

113 116 118

k x Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

120 121 122

OBRNUTA PROPORCIONALNOST, FUNKCIJA y=

PROPORCIJA I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

125 125 126

7. SLI^NOST 7.1. 7.2.

MERENJE DU@I, SMERLJIVE I NESMERLJIVE DU@I RAZMERA DU@I. PROPORCIONALNE DU@I Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

7.3.

TALESOVA TEOREMA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

7.4.

130 131 132

134 135 136

SLI^NOST TROUGLOVA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

138 140 142

VIII RAZRED 1. TA^KA, PRAVA I RAVAN 1.1. 1.2.

ODNOS TA^KE I PRAVE, TA^KE I RAVNI, ODRE\ENJA PRAVE I ODRE\ENOST RAVNI ODNOS RAVNI I PRAVE, ODNOS PRAVIH Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

1.3. 1.4.

151 154 155

ORTOGONALNA PROJEKCIJA DIEDAR I ROGALJ Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

157 160 161

2. LINEARNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM 2.1. 2.2.

LINEARNE JEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALENTNE JEDNA^INE RE[AVANJE LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM I NJENA PRIMENA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

2.3. 2.4.

164 167 169

LINEARNE NEJEDNA^INE (OP[TI POJMOVI). EKVIVALNETNE NEJEDNA^INE RE[AVANJA LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

176 177 179

3. PRIZMA 3.1.

OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

3.2.

186 187 187

POVR[INA I ZAPREMINA PRIZME Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

189 189 192

4. PIRAMIDA 4.1.

OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

4.2.

202 203 203

POVR[INA I ZAPREMINA PIRAMIDE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

207 207 209

5. LINEARNA FUNKCIJA 5.1.

FUNKCIJA y=kx + n Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

5.2.

GRAFIK LINEARNE I NULA FUNKCIJE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

5.3.

217 217 218

220 222 225

GRAFI^KO PRIKAZIVANJE STATISTI^KIH PODATAKA, SREDNJE VREDNOSTI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

234 235 236

6. SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE 6.1.

RE[ENJE I EKVIVALENTNOST SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

6.2.

GRAFI^KI NA^IN RE[AVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

6.3.

238 240 241

243 244 245

METODE RE[AVANJA SISTEMA DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ........................................................

247

Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja ............................................................................................. 6.4.

248 249

PRIMENA SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

252 252 253

7. VALJAK 7.1.

OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

7.2.

258 258 259

POVR[INA I ZAPREMINA VALJKA Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

262 262 264

8. KUPA 8.1.

OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

8.2.

271 271 272

POVR[INA I ZAPREMINA KUPE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

274 275 276

9. LOPTA 9.1.

OP[TI POJMOVI Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

282 282 282

9.2. POVR[INA I ZAPREMINA LOPTE Teorijske osnove sa primerima ........................................................ Zadaci za samostalan rad................................................................ Re{enja .............................................................................................

283 283 284

ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE? Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ili reprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se na osnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlika izme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorije koja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti), mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanje koje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da se koriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd. Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja, uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu i ma{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problema sadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veoma va`nu komponentu procesa obrazovanja. Ali, vratimo se postavljenom pitanju: kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike?  ^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da se zadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bi se shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultat pravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi, {ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti.  Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojne vrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datim veli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izraza koji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka, izra~unava kona~an rezultat.  Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da se mnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje.  Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakom konkretnom primeru. Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka iz matematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad. Unapred se radujemo njihovom uspehu.

96

5. 4.

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

POVR[INA KRUGA

Povr{ina pravilnog mnogougla data je obrascem P=

1 O ⋅ r, 2

gde je O obim pravilnog mnogougla, a r polupre~nik upisane kru`nice. U datom krugu (sl.6), polupre~nika r, upisan je najpre jednakostrani~an trougao ABC (sa polupre~nikom upisanog kruga r1). Po{to se, dalje, broj stranica udvoji, dobije se pravilan {estougao (polupre~nik upisanog kruga r2), a zatim, posle ponovnog udvajanja broja stranica, pravilan dvanaestougao (polupre~nik upisanog kurga r3) i tako dalje. Iz te slike zapa`a se slede}e: kad se broj stranica pravilnog mnogougla upisanog u krugu polupre~nika r stalno udvaja (pove}ava), onda se njegova povr{ina sve manje razlikuje od povr{ine datog kruga, a polupre~nik kruga upisanog u mnogouglu (r1, r2, r3 . . .) od polupre~nika r.

Sl. 6

Ako se, dakle, zamisli da se ovo udvajanje (pove}avanje) broja stranica neograni~eno nastavlja, onda se povr{ina upisanog mnogougla postepeno poklapa sa povr{inom datog kruga, a obim upisanog mnogougla sa obimom datog kruga. Drugim re~ima, povr{ina kruga dobije se iz navedenog obrasca za povr{inu pravilnog mnogougla kad se uvrsti: O=2rπ. Na taj na~in se dobije: P=

1 ⋅ 2 rπ ⋅ r , 2

ili kad se skrati sa 2 i izvr{i nazna~eno mno`enje: P=r2π. Povr{ina kruga se dobije kad se polupre~nik digne na kvadrat i dobijeni broj pomno`i se sa π. Primer 4: Izra~unati povr{inu kruga ~iji je polupre~nik r=4 dm. P=42 ñ 3,14=16 ñ 3,14=50,24 dm2.

ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1. Obim kruga je: a) 18π cm b) 62,8 dm c) 11π m. Izra~unaj povr{inu kruga. 2.* Odredi povr{inu kruga ~iji su merni brojevi O i P jednaki.

Krug

3. 4. 5. 6.

7.* 8.*

9.* 10.

97

Stranice pravougaonika su 4 cm i 3 cm. Odredi povr{inu kruga opisanog oko tog pravougaonika. Od komada drveta treba ise}i najve}u kru`nu plo~u. Dimenzije plo~e drveta su 120 cm i 80 cm. Koliko procenata materijala je otpalo. Povr{ina kruga upisanog u kvadrat je 12,56 cm2. Kolika je povr{ina kvadrata? Katete pravouglog trougla su 5 cm i 12 cm. Izra~unaj: a) Povr{inu opisanog kruga oko kvadrata; b) Povr{inu kruga upisanog u kvadrat. Izra~unaj obim kruga u funkciji njegove povr{ine. a = 4 dm a) Izra~unaj razliku povr{ine {estougla i upisanog b = 3 dm kruga u {estougao. b) Izra~unaj razliku povr{ina opisanog kruga oko {estougla i povr{ine {estougla. Izra~unaj povr{inu osen~ene figure sl.1 Izra~unaj povr{ine osen~enih figura:

Sl. 2

Sl. 3

Sl. 4

Sl. 5

AB = 8 cm

DM = MC BN = CN a = 4 cm

AB = 4r AO = OC = CO1 = O1B

11. Izra~unaj povr{ine osen~enih figura u zavisnosti od stranice kvadrata.

Sl. 6

Sl. 7

Sl. 8

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

98

12. Izra~unaj povr{inu osen~ene figure u zavisnosti od stranice jednakostrani~nog trougla.

Sl. 9

Sl.10

Sl. 11

Sl. 12

RE[ENJA 1.

a) 18π = 2rπ r = 9 cm P = r2π P = 81π cm2

b) 62,8 = 3,14 ñ 2r 62,8 = 6,28 r r = 10 dm P = 100π dm2

3.

(sl. 13) d = a 2 + b 2

d = 2,5 cm 2 P = 2,52π P = 6,25π cm2

r=

d = 16 + 9 d = 5 cm 4.

PK = r 2 π 2r = 80 PK = 1600π PK = 5024 cm2

PPL = a ñ b PPL = 120 ñ 80 PPL = 9600 cm2

9600 Ù 100% 5024 Ù x ⇒ x = 52,33% 100% Ù 52,33% = 47,57% 5.

r2π = 12,56 r2 ñ 3,14 = 12,56 r2 = 4 ru = 2 cm a = 2ru = 4 cm P£ = 16 cm2

c) 11π = 2rπ 2.* 2rπ = r2π r = 5,5 m 2=r P = 5,52π ⇒r=2 P = 30,25π m2

6.

c = a2 + b2 c = 13 cm c = 6,5 cm 2 Po = r 2 π ro =

Po = 42,25π cm2 Pu = 4π a+b−c ru = 2

Ù otpadak materijala 7.* P = r2π P r2 = π P r= π O(P) = 2r 2 P O(P)= ⋅π π O(P)= 2 Pπ

Sl. 13

Krug

99

8.* a) P6 Ù Puk =

9.

2

π⎞ 3a 2 3 3a 2 3 ⎛ a 3 ⎞ 3a 2 3 3a 2 π 3a 2 ⎛ − = − ru2 π = −⎜ ⎟ π= ⎜ 3− ⎟ 2 2 2 4 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ a 3 ru = 2 ⎛ 3a 2 3 3a 2 3 3 3⎞ Pok Ù P6 = r2π Ù b) ro = a = a2π − = a 2 ⎜π − ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝ 2 a ⋅ b hc π 4 ⋅ 3 2, 4 ⋅ 2, 4 ⋅ π PF = P Δ Ù P o = − = − = 6 − 1, 2 2 π ≈ 1, 48 cm2 2 4 2 4 2P 2⋅ P 2 ⋅ 6 12 r = hc = = = = = 2, 4 c 5 5 a2 + b2

10. a) sl.2

b) sl. 2 a 1 r = 2 cm = PF = Pvelikog kruga 2 2 P£ 3 1 PF = + Po PF = AB 2 π 2 4 2 16 3 1 2 PF = + ⋅ 4π PF = ( 4r ) π 2 4 2 PF = 8 r 2 π PF = (8 + 3π) cm c) sl. 4 d) sl. 5 P£ 1 1 PF = PF = ⋅ 64π − ⋅ 16π 2 4 2 a2 PF = 16π Ù 8π, PF = 8π cm2 PF = 2 π 1 a2π 11. a) PF = P£ − PO = a 2 − = a 2 ⎛⎜1 − ⎞⎟ ⎝ 4 4⎠ 4 b) Figura se sastoji od 8 odse~aka, izra~una}emo povr{inu jednog odse~ka. 2 1 a a a 1 1 a2 a2 1 π− POD = PO − PΔ = ⎛⎜ ⎞⎟ π − ⋅ ⋅ = ⋅ 4 ⎝ 2⎠ 2 2 2 4 4 8 4 2 2 a a a2 ⎛ π ⎞ π− POD = = ⎜ − 1⎟ ⎠ 16 8 8 ⎝2 2 a ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ PF = 8 ⋅ ⎜ − 1⎟ = a 2 ⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝2 ⎠ 8 ⎝2 2

Uz zad. 11b

π a c) PF = P£ + PO = a 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ π = a 2 ⎛⎜1 + ⎞⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ 4⎠ 2 2 1 a 3 1 ⎛ a⎞ a2 3 1 a2 a2 ⎛ π⎞ 12. a) PF = PΔ − PΟ = π= − ⎜ ⎟ π= − ⋅ ⎜ 3− ⎟ 3 4 3 ⎝ 2⎠ 4 3 4 4 ⎝ 3⎠ b) 2 ⎛ a2 3 ⎛ a 3⎞ 2 ⎞ 1 a2 1 ⎛ a⎞ a 2 3 3a 2 π+ − π PF = P> + ( PΔ − PO ) = ⎜ ⎟ π + ⎜ −⎜ ⎟ π⎟ = ⎜ 4 2 ⎝ 2⎠ 4 36 ⎝ 6 ⎠ ⎟⎠ 2 4 ⎝

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

100

a 2 π a 2 3 a 2 π 3a 2 π + 6a 2 3 − 2a 2 π a 2 π + 6a 2 3 a 2 + π +6 3 − = = = 8 4 12 24 24 24 2 2 ⎛ a 3 ⎞ ⎞⎟ 2 ⎛ 3a 2 2 2 ⎛⎛ a 3 ⎞ 3a 2 ⎞ c) PF = (Pok Ù Puk) = ⎜ ⎜ π − π− π⎟ ⎟ ⎜ ⎟ π = ⎜ 3 3 ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ 36 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎟⎠ 3 ⎝ 9

(

PF =

)

a 3 a 3 ru = 3 6 2 ⎛ a 2 π a 2 π ⎞ 2 4a 2 π − a 2 π 2 3a 2 π a 2 π PF = ⎜ = ⋅ = − ⎟= ⋅ 3⎝ 3 12 ⎠ 3 12 3 12 6 ⎞ ⎛ 1 1 2 3 a2 3 π d) PF = PO − PΔ = a π − = a2 ⎜ − ⎟ 6 6 4 4 ⎠ ⎝6 (kod PO je r = a) ro =

5. 5.

KRUG, KRU@NI ISE^AK, KRU@NI ODSE^AK, KRU@NI PRSTEN

Deo ravne povr{ine koji je ograni~en kru`nicom naziva se krug. Kru`ni ise~ak je deo kruga ome|en sa dva polupre~nika i odgovaraju}im kru`nim lukom. Taj luk (AB, sl.7) naziva se luk kru`nog ise~ka. Kru`ni odse~ak je deo kruga ograni~en jednom tetivom (AB, sl. 8) i odgovaraju}im kru`nim lukom (AB).

Sl. 7

Sl. 8

Sl. 9

Dve kru`nice su koncentri~ne ako imaju zajedni~ko sredi{te (kao na sl.9). Dve kru`nice sa razli~itim sredi{tima su ekscentri~ne. Deo kruga izme|u dve koncentri~ne kru`nice naziva se kru`ni prsten (sl.9).

5. 6. POVR[INA KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA a) Povr{ina kru`nog ise~ka (sl. 5, str. 92) izra~unava se na ovaj na~in: Povr{ina (P1) kru`nog ise~ka u kome je sredi{ni ugao 10 iznosi 360Ùti deo povr{ine r 2π kruga, dakle P = . 360

Krug

101

Povr{ina kru`nog ise~ka ~iji sredi{ni ugao iznosi α stepeni ve}i je α puta od P1: P=

r 2 πα . 360

Primer 5: Izra~unati povr{inu kru`nog ise~ka ~iji je polupre~nik r=2 dm, a sredi{ni ugao α = 80‰ P=

4 ⋅ 3,14 ⋅ 80 = 2, 78 dm2. 360

Kru`ni prsten je deo ravni ograni~en sa dve koncentri~ne kru`nice, to jest sa dve kru`nice koje imaju zajedni~ko sredi{te (sl.10). Ako je polupre~nik manje kru`nice r, a ve}e R, onda je povr{ina kru`nog prstena, jednaka razlici povr{ina datih krugova: P=R2π Ù r2π, {to se obi~no pi{e u obliku: P=π ñ (R2Ùr2).

Sl. 10

Primer 6: Izra~unati povr{inu kru`nog prstena ako je 1 r=1 dm, R=2 dm. 2 P=3,14(2,52Ù12)=3,14 ñ 5,25=16,4856 dm2. ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD 1.

Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako je: a) r = 3 cm α = 60‰ b) r = 1 dm α = 72‰

2.

Izra~unaj povr{inu i obim kru`nog ise~ka kome odgovara centralni ugao od 120‰, a r = 16 cm.

3.

Izra~unaj centralni ugao ako je: a) povr{ina ise~ka π a r = 4 cm. b) povr{ina ise~ka je π, α = 90‰, izra~unaj r.

4.

Oko kvadrata stranice a = 4 cm opisan je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu dobijenog prstena.

5.

Oko jednakostrani~nog trougla stranice a = 6 cm opisan je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu prstena.

6.* Oko pravilnog {estougla stranice a opisan je i upisan krug. Izra~unaj povr{inu dobijenog prstena u funkciji stranice a. 7.* Izrazi povr{inu osen~ene figure (sl. 1) u funkciji stranice a.

Sl. 1

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

102

8.

Izra~unaj povr{inu osen~enog dela kru`nog prstena (sl. 2). α = 60‰ OA = 5 cm OC = 2 cm 9. Izra~unaj povr{inu i obim odse~ka (sl. 3), ako je AO = 4 cm. ∠AOB = 60‰ 10.*Ako je stranica kvadrata ABCD, 10 cm, odredi povr{inu osen~enog dela figure (sl. 4).

Sl. 2

Sl.3

Sl. 4

RE[ENJA 1. 2.

3.

4.

5.

r 2 πα 9π ⋅ 60‰ 3 r 2 πα 1 ⋅ π ⋅ 72‰ π b) P = = = π cm2 = = cm2 360‰ 360‰ 2 360‰ 360‰ 5 r 2 πα 256π ⋅ 120‰ 256π 2 cm = = Pis = 360‰ 360‰ 3 16 ⋅ π ⋅ 120 π O = 2r + l = 2 ñ 16 + = 32⎛⎜1 + ⎞⎟ cm ⎝ 180 3⎠ 16πα r 2 π ⋅ 90 a) π = b) π = 360 360 r2 360 = 16α 1= 4 90‰ 2 r =4 α= 4 α = 22‰ 30' r = 2 cm d 4 2 ro = = = 2 2 cm 2 2 a ru = = 2 cm Sl. 5 2 2 ⎛ ⎞ Ppr = 4π Ppr = ro2 − ru2 π = ⎜ 2 2 − 2 2 ⎟ π ⎝ ⎠ a 3 6 3 ro = = = 2 3 cm 3 3 a 3 6 3 ru = = = 3 cm 6 6 Ppr = ro2 − ru2 π = ( 4 ⋅ 3 − 3)π = 9π a) Pis =

(

)

(

)

( )

Sl. 6

Krug

6.

103

ru = h = ro = a

a 3 cm 2

3 1 a2π Ppr = ro2 − ru2 π = ⎛⎜ a 2 − a 2 ⎞⎟ π = a 2 π = ⎝ 4 ⎠ 4 4 a 2 3 a 2 π ⋅ 60‰ 7. sl. 1 PF = P.Ù Pis = − 2 360‰ Sl. 7 3a 2 3 a 2 π a 2 PF = − = 3 3−π 6 6 6 * Romb ~iji je jedan ugao 60‰ sastoji se od 2 jednakostrani~na trougla pa je 2a 2 3 a 2 3 P.= = 4 2 1 1 1 21 7 8. sl. 2 PF = Ppr = OA 2 − OC 2 π = ( 25 − 4)π = π= π 6 6 6 6 2 16π ⋅ 60 16 3 8π 9. sl. 3 POD = Pis Ù PΔ = − = −4 3 360 4 3 4π ⋅ 60‰ 2π OOD = AB + l = 4 + POD = 4⎛⎜ − 3 ⎞⎟ cm2 ⎝ 3 ⎠ 180‰ 4π π AB = OA = OB OOD =4 + = 4⎛⎜1 + ⎞⎟ cm ⎝ 3 3⎠ r 2 π ⋅ α r 2 π ⋅ α 100 ⋅ π ⋅ 45‰ 10.*sl. 4 PF = 2Pis = 2 ⋅ = = = 25π cm2 360‰ 180‰ 180‰ α = 45‰ r = 10 cm

(

)

(

(

)

)

KRUG Ù razni zadaci 1.* Izra~unaj povr{inu osen~ene figure (sl. 1) u funkciji stranice kvadrata (a). 2.* Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figure (sl. 2) u funkciji stranica pravougaonika a i b, a = 2b. 3. Kvadrat na slici 3 izdeljen je na 3 dela. Izrazi u procentima povr{ine svakog dela u odnosu na povr{inu kvadrata.

Sl. 1

Sl. 2

Sl.3

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

104

4.

Izra~unaj povr{inu i obim igrali{ta prikazanog na sl. 4. AB = 100 m BC = 50 m

5.

Izra~unaj povr{inu i obim osen~ene figure sa slike 5. α = 22‰ 30' OA = 1 cm

Sl. 4

Sl. 5

6.* Tri podudarna kruga dodiruju se spolja. Izra~unati povr{inu dela izme|u krugova u funkciji r. 7. Izra~unaj povr{inu i obim figure (slika 6.) 8.* Doka`i da je: PS1 + PS2 = PΔ ACB (sl.7) ("Hipokritovi mese~i}i")

Sl. 6

Sl. 7

RE[ENJA 1.

PF = Podse~ka (ograni~enim tetivom DB i lukom DB, jer je polovina figure P1 jednaka odse~ku DR DR). 1 1 a2 PF = PΟ Ù PΔDAB = a 2 π − 4 4 2 a 2 π 2a 2 a 2 PF = − = ( π − 2) 4 4 4 Sl. 1

Krug

105 2

2.

3.

4.

2

1 1 a b 1 PF = PO+ Po + (P£ Ù 2 ñ Pods) = ⎛⎜ ⎞⎟ π + ⎛⎜ ⎞⎟ π + ⎛⎜ ab − b 2 π⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 2b b 1 (a = 2b) PF = ⎛⎜ ⎞⎟ π + π + 2b ⋅ b − b 2 π 2⎝ 2⎠ 4 2 1 b2 b2 PF = π+ + 2b 2 − b 2 π 2 4 2 π ⎛ ⎞ 2 PF = b ⎜ + 2⎟ ⎝4 ⎠ a2 2 a 2 = 1 = 50% P £ = a2 sl. 3 P1 = 50% povr{ine kvadrata jer je P1 = , 2 a2 2 1 a2 ( π − 2) π − 2 P2 a2 a2 a2 P2 = = 4 2 = = 28, 5% π− = ( π − 2) P 4 4 2 4 a 1 2 π a ⎞ ⎛ 100% Ù (50% + 28,5%) = 21,5% P3 = a 2 − π = a 2 ⎜1 − ⎟ ⎝ 4 4⎠ 2 2 AB⎞ ⎛ BC ⎞ π P = P£ + PO+Po = AB ñ BC +⎛⎜ ⎟ π+⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

sl. 2

P = 100 ñ 50 + 50 2π + 252π = 5000 + 2500π + 625π = 5000 + 3125π P = 25 ñ (200 + 125π) = 125 ñ (40 + 25π) = 625 ñ (8 + 5π) m2 OF = OO + Oo = 2r1 + 2r2π = 2 ñ 50π +2 ñ 25π = 100π +50π =150π m 5.

r = OA = 1 cm α = 22‰ 30' π ⋅ 22‰30' π 15π r 2 πα PF = PO + Pis =r 2 π − cm2 =π− =π− = 360‰ 360 16 16

6.

Δ O1O2O3 je jednakostrani~an a = 2r 1 a2 3 1 2 4r 2 3 r 2 π PF = P Δ Ù PΟ = − r π= − 2 4 2 4 2 π⎞ ⎛ 2 2 PF = r ⎜ 3 − ⎟ cm ⎝ 2⎠ AB = 2; MN = NP = PQ = QM = 2 ~etvorougao MNPQ je kvadrat PF = P£MNPQ Ù povr{ina kruga upisanog u 2 kvadrat MNPQ = 4 ise~ka r = 2 2 2 ⎛ 2⎞ π 2 PF = 2 − ⎜ ⎟ π = 2 − π = 2 − 4 2 ⎝ 2 ⎠

7.

( )

Sl. 8

106

M. Kuka, V. Mijailovi} Ù Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima

8.* Ako "mese~i}e" dopunimo odse~cima 1 i 2 dobi}emo dva polukruga konstruisana nad katetama a i b i imamo polukrug nad hipotenuzom. Iz toga sledi: 2 2 2 ⎤ b c ab 1⎡ a = PΔ PS 1 + PS 1 = ⎢⎛⎜ ⎞⎟ π + ⎛⎜ ⎞⎟ π − ⎛⎜ ⎞⎟ π⎥ + ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎥ 2 2 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ b2 c 2 ⎤ ab π ⎡a 2 = PΔ + − π π π⎥ + ⎢ 2 ⎣4 4 4 ⎦ 2 2 c 2 ⎤ ab π ⎡a2 + b = PΔ = ⎢ − ⎥+ 2⎢ 4 4 ⎥ 2 ⎣ ⎦ π ⎡ c 2 c 2 ⎤ ab = ⋅⎢ − ⎥ + = PΔ 2 ⎣4 4 ⎦ 2 ab = PΔ 0+ 2 ab = PΔ T 2 =