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TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS DE
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL Y COMO RESOLVERLOS
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TEORÍA APLICACIONES PROBLEMAS PROPUESTOS EXÁMENES DE UMSA 2018 A 2007 SOLUCIONARIO DE EXÁMENES EXÁMENES UNI
CODEX 2019
TOMO I J&J PAYE Hnos.
ALGEBRA LINEAL
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4118-17 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN FEBRERO , 2019 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL SIN FINES DE LUCRO
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL VOL.I”, En su primera
edición contiene básicamente los temas:
MATRICES DETERMINATES Y SISTEMAS LINEALES, son temas que se desarrollan en el segundo parcial en el Curso de Algebra Lineal en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA
“A NUESTRA FACULTAD DE INGENIERÍA, A TODOS LOS UMSISTAS DE CORAZÓN QUE AMAMOS NUESTRA PRESTIGIOSA CASA DE ESTUDIO”
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
POEMA: ECUACIÓN
DEL AMOR
AUTOR: JOSE PAYE CHIPANA PARA: BELEN ALEJANDRA REAS QUISPE SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MÍ AMOR POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONITA QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARA MÍ ES LA SOLUCIÓN PERFECTA AL VERTE PIENSO QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE ACARICIE TU DOMINIO REAL A TI MUSA QUE VALORAS LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERIA LA MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI INTERVALO DE CONFIANZA TU AMOR ETERNO QUE ES UN PUNTO EN ESTE MUNDO DE INFINITAS VARIABLES
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
‘ BANCO DE PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA EXAMEN: I-2019 PROBLEMA 1 Resolver el sistema AX=B
a −b + c + d =1 2a + b − 2c + d = 5 −a − 2b + 3c = −4 a) Mostrar la solución de la forma X p + X h (solución particular más solución homogénea). b) Sugiera un cambio en el sistema de manera que el sistema sea consistente y determinado. PROBLEMA 2 Calcular el determinante y la inversa por medio de operaciones elementales para la matriz A, incluir todo el procedimiento y las operaciones elementales.
2 3 −1 2 1 −1 1 −1 A= 3 2 1 1 2 −2 3 2
PROBLEMA 3 Dado el sistema de ecuaciones lineales hallar los valores de y , tal que: (i) (ii) (iii)
El sistema tenga solución única. El sistema tenga infinitas soluciones. El sistema no tenga solución.
x + y + z = 2
x + y + z = x + y + z =
EXAMEN:II-2018 PROBLEMA 1 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden dado:
2 −3 1 B = k k + 1 −8 6 3 −4
i) f1 f2 ; ii) 2 f1 + f 2 → f 2 ; iii) f1 + f3 → f3
Obteniéndose la matriz B: a) Hallar el valor de k tal que cumpla que Det(A)= -20 b) Con el valor de k, hallar la inversa de A. Solución: 1
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PROBLEMA 2 Halle el valor de “x” tal que el valor del siguiente determinante sea x 2
10 7 5
11
13
9
6
x − 3 10
7
4
5
3
5
x+2 x+2 x
x
7 4 2x
x+2 2 x
x
Solución: PROBLEMA 3 Dada el sistema de ecuaciones lineales de la forma: BT − xT A = 0 Analizar los valores de a y b para que el sistema sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente, Siendo las matrices:
0 1 0 1 1 1 0 b − 3 A= 0 1 1 1 1 1 b − 1 b − 2
BT = 1 2 1 a
Solución: : PROBLEMA 4 Hallar una matriz P que sea triangular inferior y una matriz Q que sea triangular superior de tal forma que se cumpla A=PBQ siendo:
2 2 4 1 A = −2 −3 −1 2 2 2 3 0
2 0 0 0 B = 0 −1 0 0 0 0 −1 0
Solución:
EXAMEN:I-2018 PROBLEMA 1
1 1 Dada la matriz A = 1 1
a a a b a a Halle las condiciones que deben cumplir a y b para que A no b b a b b 1
sea inversible. Solución: PROBLEMA 2 Utilizando propiedades de los determinantes, compruebe la siguiente igualdad:
Solución: INGENIERÍA CIVIL
−2
3
4
−4
1
m +1
−2 m + 9 = ( m + 5 )( 2m + 5 ) 1 2
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PROBLEMA 3 Dada la matriz A, utilizando operaciones elementales escríbala en la forma: A = LDLT .La matriz
−1 1 4 L es triangular inferior y D una matriz diagonal cuya traza es igual a 5. A = −1 17 / 4 11/ 4 1 11/ 4 7 / 2 Solución: : PROBLEMA 4 Encuentre los valores de “ a ” de manera que el sistema de ecuaciones dado tenga i) única
x + ay + a 2 z = a solución ii) infinitas soluciones iii) No presenta solución ax + a 2 y − a 3 z = 0 a 2 x + ay + z = 1 Solución: EXAMEN:II-2017 PROBLEMA 1 Hallar una matriz “P” que sea Triangular Inferior y una matriz “Q” que sea Triangular Superior
1 2 4 1 con tr ( Q ) = 5 , tal que A = PBQ A = −1 −3 −1 2 1 2 3 0 1 0 0 Solución: P = −1 1 0 1 0 1
1 0 Q= 0 0
1 0 0 0 B = 0 −1 0 0 0 0 −1 0
1 1 −3 −3 0 1 1 0 0 2 2
4
PROBLEMA 2 Sean X, Y, Z, W K 4 x 4 Si Z = 2 y W = 4 X es igual a la matriz Y, pero la fila 3 esta multiplicada por 2 Calcular: G = X T Z −1Y −1 ( 2W )
−1
2 1 2 −1 1 2 −1 2 Y = 2 1 2 −1 1 −2 1 2 Solución: G =
1 64
PROBLEMA 3
3
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Discutir la consistencia o inconsistencia del sistema AX = B ,dependiendo de y . Luego
1 2 1 0 para = −2 y = 7 hallar la solución del sistema A = 3 2 4
3 1 2 1 ; B= 1 2
2 Solución: : X = −1 / 2 0 PROBLEMA 4 En una matriz “A” se realizaron las siguientes operaciones elementales en el orden en que aparecen: 1) f1 f 2 ; 2) − 2 f1 + f 2 → f 2 ; 3) − 3 f1 + f3 → f3 obteniéndose la matriz B:
2 3 1 B = 1 K − 4 2 0 1 2 (a) Hallar el valor de “K” tal que cumpla tr ( A) = 11 (a) Con el valor de “K” hallar la matriz inversa de A, usando matrices elementales Solución:
1 −1 1 (a) K = 5 (b) A = −1 −2 9 1 1 −6 −1
EXAMEN: I-2017 PROBLEMA 1 Dada la matriz “A” y “B” encontrar las matrices “P” y “Q” de modo que PAQ = B
0 2 3 4 A = 2 3 5 4 4 8 13 12
1 0 0 0 B = 0 2 3 4 0 0 0 0
3 2 0 Solución: P = 1 0 0 −1 −2 1
1/ 4 0 Q= 0 0
0 −1/ 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
PROBLEMA 2
Calcular: F
x x x x +1 x x+2 x x F = x x x+3 x x x x + 4 x
Solución: F = 50 x + 24
4
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PROBLEMA 3
x + y + z = a x + y + v = b Resolver el sistema de ecuaciones: x+ z+v =c y + z + v = d Solución: : x =
a + b + c − 2d 3
y=
a + b − 2c + d a − 2b + c + d z= 3 3
v=
−2a + b + c + d 3
PROBLEMA 4
Calcular la inversa de la matriz “G”
3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 G = 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3
−10 −1 −3 10 9 −15 5 0 0 10 1 Solución: G −1 = 5 −3 1 0 −3 5 −4 −2 5 6 0 25 3 4 15 −27 EXAMEN: II-2016 PROBLEMA 1 En una matriz “A” se realizaron las siguientes operaciones elementales en el orden en que aparecen: −2 f1 + f 2 → f 2 ; 3 f1 + f 3 → f 3 ;
17 f 2 + f3 → f3 5
se obtuvo la matriz
−6 2 4 U = 0 −5 17 0 0 204 / 5 Se pide: (b) Hallar la matriz A (c) Hallar la inversa de “A” utilizando la matriz “U” y las operaciones elementales dadas
2 4 −6 11 17 −19 1 −1 Solución: (a) A = 4 3 5 (b) A = 204 17 17 17 −6 5 1 −19 17 5 PROBLEMA 2 Hallar el valor de “ a ” de tal modo que la matriz “F” sea no singular, si estas cumplen con la
1 3 3 2 4 −3 1 −2 , ecuación: FG = A donde: G = 2 −1 2 3 −1 2 −2 4
4 −5 1 a + 1 3 2 2 a −1 A= 1 −1 −2 2a − 1 −2 3 2 2a + 1
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Solución: a −
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PROBLEMA 3
1 −1 2 u 2 1 z z 2 Dadas las matrices: A = 3 4 5 B = 3 u 5 C = 3 1 z donde “X” y “U” son x 1 −1 7 −6 u z −2 4 iguales al determinante de una matriz singular, encuentre “D” de la expresión A + B + C + D es nula y el Det ( C ) = −12 −1 −1 −5 Solución: D = −9 −5 −10 −7 7 −3 PROBLEMA 4
ax + y + z = 1 En el sistema: x + ay + z = b encuentre los valores de a y b de manera que: (a) Los planos x + y + az = 1 intersecten en un punto (b) se intersecten en muchos puntos (c) Los planos sean paralelos Solución: : (a) Los planos intersecten en un punto a −2 b, a −1 b (b) se intersecten en muchos puntos a = −2 b = −2, a = 1 b = 1 (c) Los planos sean paralelos
a = −2 b −2, a = 1 b 1 EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 Dadas la matriz:
A3*3
5 −6 2 = 5 3 − 4 − 6 − 4 k + 2
Se pide: (d) Descomponer la matriz A en la forma A = LDLt siendo L triangular inferior (e) Hallar el valor de “k”
0 0 2 0 0 1 5 / 2 − 3 2 Solución: (a) A = 5 − 2 0 0 − 2 0 0 1 − 1 (b) k = 15 − 6 2 k − 5 0 0 k − 5 0 0 1 PROBLEMA 2 Hallar los valores de la constante “a” tal que el determinante de la AdjAdj( Adj( F )) sea nulo: Solución: a = 0; a = 1 PROBLEMA 3
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Discutir los valores de a y b que determinen la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones:
(5a + 1)x + 2aby + (4a + 1)z = 1 + a (4a − 1)x + (a − 1)by + (4a − 1)z = −b − 1 (6a + 2)x + 2aby + (5a + 2)z = 2 − a
Solución: mismo tipo del examen 2015 EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1
1. Dadas las matrices A3 x 3
i j k −1 , si i = = aij = i, si i j 0, si i j
i j k , si i = j y B3 x 3 = bij = i, si i j 0, si i j
j se
pide (a) descomponer la matriz AB en la forma AB=L U siendo L “Triangular inferior”, U “triangular Superior”, utilizando el valor |de k N , (b) Utilizando la anterior factorización halle la inversa AB Solución:
(
62 k +1 + 2 32 k +1 + 12 − 9 2k +1 + 3 22 k +1 − 32 k +1 − 6 + 3 2k +1 2k 2 − 2k +1 ( AB )−1 = 21k +1 − 3 22 k +1 − 12 + 3 2k +1 32 k +1 + 6 − 2k +1 6 2k 6 − 3 2k − 3 2k +1 22 k +1
(
)
)
PROBLEMA 2 Hallar el determinante de adjadj(adj(F )) siendo F la matriz indicada:
a + 1 3a b + 2a b + 1 2b b + 1 2 − b 1 F = a + 2 0 1 a + 3 1 a + 2 a + b b −1
Solución: adjadj(adj(F )) = 0
PROBLEMA 3 Discutir los valores de "a" y "b" que determina la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones
(a − 3)x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2bx4 = 5 2 x1 + (a − 3)x2 + 2 x3 + 2bx4 = 10 − a 2 x1 + 2 x2 + (a − 3)x3 + 2bx4 = a 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + b(a − 3)x4 = a + b
Solución: CONSISTENTE DETERMINADO: b 0 a −3 a 5 CONSISTENTE INDETERMINADO: a = 5 b = 0
a = −3 b = −12 b = 0 a = −6 a = 5 7
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INCONSISTENTE: a = 5 b = 0
a = −3 b 12
PROBLEMA 4
k + 2 − 5 − 5 Si se conoce la matriz adj(B ) = − k − 4 1 10 y además se conoce que − k − 3 3 0 Det(adj(cofact(3B ))) = 316 5 4 se pide: (a) Hallar el valor de “k” (b) Hallar la matriz B (c) Hallar B −1
− 2 − 1 − 3 5 − 5 − 5 1 −1 B = − 4 − 2 − 1 B = − 7 1 10 15 − 1 1 − 2 − 6 3 0
Solución: k = 3
EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1 Calcular el determinante F :
0 1 F = 1 : 1
1 0 1 ....... 1 1 0 ........ .1 : : : : 1 1 ........ 0 1 1
......
Solución: F = (n − 1)(− 1)
n −1
PROBLEMA 2
x + y + z = a x + y + v = b Resolver el sistema de ecuaciones: x+ z +v = c y + z + v = d − 2d + a + b + c − 2c + a + b + d y= Solución: x = 3 3
z=
− 2b + a + c + d 3
v=
− 2a + b + c + d 3
PROBLEMA 3 Para las matrices A y B calcular tr ( X ) si (5 AB ) + X T
T
(
=2 B+ A
)
T T
1 2 1 −1 A = 4 0 5 y − 3 1 − 2
− 1 / 2 0 0 B = 3 1 / 5 0 0 0 1 Solución: tr ( X ) =
− 241 10
PROBLEMA 4 8
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Calcular la inversa de la matriz G
Solución: G −1
3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 G = 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3
9/5 − 2 − 1 / 5 − 3 / 5 2 − 3 1 0 0 2 = 1 − 3 / 5 1/ 5 0 − 3/ 5 6/5 0 − 4/5 − 2/5 1 5 3/ 5 4 / 5 − 3 − 27 / 5
PROBLEMA 5
(
T −1 Siendo una matriz de orden 5 talque A = 5 y M = 5 A−1 AT y N = A A 5 A
)
T
Calcular M N
Solución: M N = 535 EXAMEN: I-2014 PROBLEMA 1
2 0 Dadas las matrices A = 2 − 2
2 1 0 1 0 1 0 y B= 0 1 0 2 1 0 0 − 1 − 1 0 0 2
0
0 0 0 1 1 0 0 0 encontrar las 1 0 0 0 0 1 0 0
matrices P y Q de modo que PAQ=B Solución:
1 / 2 0 P= 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 Q = 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 − 1 0 1 0 − 1 − 1 2 0
0
PROBLEMA 2
Calcular el valor de la determinante C :
0 0 C = 0 0 5
0 0 0 1 0 0 2 3 0 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9 Solución: C = 120
PROBLEMA 3 9
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4 2 D= 0 0
Calcular la inversa de la matriz D
2 5 1 2 0 3 0 5 1 0 0 5 1 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2 3 / 10 − 1 / 2 1 1/ 2 − 3 / 5 −1 Solución: D = 0 0 1 / 5 − 1 / 25 0 0 1/ 5 0
PROBLEMA 4 Discutir el valor de la constante para el sistema de ecuaciones y obtener su solución:
x + y + 2z = 2 2 x − y + (k − 2 )z = 2 5x − y + 8z = 6 Solución: UNICA SOLUCIÓN: k 5 INFINITAS SOLUCIONES: k = 5 PROBLEMA 5
( ) + tr(E ) − tr(adj(2E ))
Para la matriz E calcular S = tr E
T
−1
1 0 0 E = − 1 2 0 1 2 3 Solución: S =
23 6
EXAMEN: II-2013 PROBLEMA 1 Hallar las condiciones que debe cumplir a y b talque la matriz A se puede expresar en la forma A=LDU donde L es una matriz triangular inferior, U es una matriz triangular Superior utilice solo operaciones elementales considere las matrices
1 2 2 A = − 3 − 1 4 4 − 2 6
0 a − 2 0 A= 0 4 0 0 0 b + 4
Solución: Para que se factorice en A=LDU de cumplir como única condición
a2 b4
PROBLEMA 2
a 2 Hallar el determinante de la adj(adj(F )) : F = b 2 c 2
(a + 1)2 (a + 2)2 (b + 1)2 (b + 2)2 (c + 1)2 (c + 2)2
Solución: adj(adj(F )) = (4(b − a )(c − a )(b − c ))
4
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PROBLEMA 3 Hallar el valor de a y la solución completa en el sistema de ecuaciones si se sabe que Z=3
ax − y + 2 z = 6 3x + y − z = 2 4 x + 2 y + z = 11 Solución: a = 2
x =1 y = 2
z =3
PROBLEMA 4
4 −8 4 Si se conoce la matriz adj( A) = − 7 9 − 5 y además se conoce que Det(adj(2 A)) = 64 6 10 k Se pide: (a) Hallar el valor de k (b) hallar la matriz A (c) Hallar A −1 −1 − 2 1 4 −8 4 1 0 − 2 (c) A −1 = − 7 9 − 5 Solución: (a) k = −6 (b) A = 3 4 − 4 2 6 10 6 5 EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 Dadas las matrices A y B encuentre las matrices P y Q. provenientes de realizar operaciones elementales de modo que:
0 2 3 4 A = 2 3 5 4 4 8 13 12
Solución:
0 0 0 0 A = 0 2 3 4 0 0 0 0
1 / 2 − 3 / 2 − 5 / 2 − 2 1 0 0 0 1 0 0 L=1 0 0 Q = 0 0 1 0 − 1 − 2 1 0 0 1 0
PROBLEMA 2
Calcular el determinante de C:
x 0
−1
1 0
1
−1
1 0
x
C =1 0
x −1 0 0
0 1
−1
x 1
0 1
−1
0
x
Solución: A = ( x 2 + 1 − x)(1 − x + x 3 ) PROBLEMA 3
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Si DX = D
T
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T
calculara: 2 X :
1 2 3 D = 1 3 4 1 4 3
− 2 2 0 Solución: 2 X = − 7 3 1 − 14 2 4 T
PROBLEMA 4
2x + 3 y − z + u = a ¿Para que los valores de a y b el sistema es consistente?:
x + 5 y − z − 2u = v − x + 2 y + 2 z − 3u = 0 3x + y − 3z + 4u = 3
Solución: a = 5 b PROBLEMA 5 Sea el F calcular el valor numérico de E = (adj(adj( F −1 )))
1
Solución: E = 9 48 EXAMEN: I-2012 PROBLEMA 1 Reducir la matriz A, a su forma y hallar las matrices P y Q, tales que PAQ=Nn
1 2 3 − 2 A = 2 − 2 1 3 3 0 4 1 Solución:
0 0 1 P = − 2 1 0 − 1 − 1 1
1 1 / 3 − 4 / 3 − 1 / 3 0 − 1 / 6 − 5 / 6 7 / 6 Q= 0 0 1 0 0 0 1 0
PROBLEMA 2
Calcular la inversa de la matriz B:
1 a B= 0 0
a 0 0 0 0 0 0 1 a 0 a 0
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1/ a 0 0 0 1 / a − 1 / a 2 0 0 Solución: B −1 = 0 0 0 1/ a 0 1/ a − 1/ a 2 0
PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución:
x + y + w =1 y + z + (a + 1)w = 2 x + z + (a − 2)w = 1 (a − 3) y + z + w = b Solución: única solución a = 3 ; infinitas soluciones a = 3 b 1 ; inconsistente b 1 ; PROBLEMA 4
x− y−z =2 y el plano Pl : 4 x + y − z = 3 2 x − y + z = 1
Determinar la posición relativa de la recta y el plano: l :
Solución: El sistema es incompatible por tanto la recta y los planos son paralelos EXAMEN: II-2010 PROBLEMA 1 Sea la matriz, se pide expresarla en la forma: A=LDU, Donde L es una matriz triangular inferior,
5 − 10 5 3 0 0 A = 4 2 − 1 U es una triangular superior y D = 0 5 0 − 3 − 6 5 0 0 7 Solución:
0 0 3 0 0 5 / 3 − 10 / 3 5 / 3 1 0 0 1 5 / 3 − 10 / 3 5 / 3 1 0 0 5 0 0 2 − 1 L = 4 / 5 1 0 U = 0 2 − 1 A = LDU = 4 / 5 − 3 / 5 − 6 / 5 1 0 0 7 0 − 3 / 5 − 6 / 5 1 0 0 2 / 7 0 2 / 7 PROBLEMA 2
0 1 0 Demostrar que la matriz B = ( I − A)(I + A) es ortogonal si: A: A = − 1 0 − 2 0 2 0 −1
Solución: B
−1
1 / 3 − 2 / 3 2/3 = − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 2 / 3 2 / 3 − 1 / 3
PROBLEMA 3
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x − y − z − u y x −u z Se pide calcular el valor del siguiente determinante: z u x − y x u − z y Solución: A = ( x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ) 2 PROBLEMA 4
5 − 10 15 7 k De una matriz F, se conoce: adj( F ) = 29 − 2 4 7 (a) Encontrar el valor de k, sabiendo que: detadj(3F ) = 36 652 (b) Con el valor de k del anterior inciso, hallar la matriz F Solución: (a) Para cualquier valor de K.
1 2 − 1 (b) La solución es la siguiente: F = − 3 1 7 2 0 5
EXAMEN: II-2009 PROBLEMA 1
1 0 0 0 0 2 3 4 B = 0 2 3 4 Calcular P y Q si B=PAQ A = 2 3 5 4 0 0 0 0 4 8 13 12 Solución:
1 / 2 − 3 / 2 − 5 / 2 − 2 0 1 0 0 Q= 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 P=1 0 0 − 1 − 2 1 PROBLEMA 2 Calcular la Determinante:
x 0
−1
1 0
1
−1
1 0
x
C =1 0
(
)(
)
x −1 0 0
0 1
−1
x 1
0 1
−1
0
x
Solución: C = x 2 − x + 1 x 3 − x + 1 INGENIERÍA CIVIL
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PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución:
2x + 3y − z + w = a x + 5 y − z − 2w = b − x + 2 y + 2 z − 3w = 0 2 x − 1y − 3z + 4w = 3 Solución: El sistema es consistente con a = 3 PROBLEMA 4
( ( ))
Calcular E = adj adj F −1
1 2 F = 3 4
2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3
Solución: E = 48−9
EXAMEN: I-2009 PROBLEMA 1
3 − 1 4 2 se pide hallar por medio de operaciones elementales dos Dada la matriz A = 6 3 9 1 − 5 matrices, una triangular inferior “L” y otra triangulas superior “U”, tal que se cumpla:
A = L.U
4 3 − 1 1 0 0 − 6 Solución: L = 2 1 0 U = 0 5 0 0 − 61/ 5 3 4 / 5 1 PROBLEMA 2
1 − 1 1 2 y sabiendo que: det(A)=2. Hallar el Valor de “k” y la Dada la matriz adj( A) = − 10 k 7 − 3 − 1 matriz A. Solución: k = 4
1 2 3 A = 2 3 4 1 5 7 15
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PROBLEMA 3
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Sabemos que la matriz X = xij , satisface la ecuación: A.X= B en donde :
1 − 2 6 A = 2 B − I = 2 1 4 2 − 2 1 Hallar la matriz X
7 15 5 1 Solución: X = − 3 25 − 4 39 3 1 17 PROBLEMA 4 Hallar el valor de “X” que hacen que F sea singular :
1 x x 1 + x x 2+ x x x F= x x 3+ x x x x 4 + x x Solución: x = −
12 25
EXAMEN: I-2008 PROBLEMA 1
2
Calcular X 2 − Y 2 siendo X + Y = 1
Solución:
1 0 1 ; 3 X − Y = − 2 1 0
− 2 0 X 2 −Y 2 = 0 − 2
PROBLEMA 2 Hallar las matrices elementales P y Q tal que: P.A.Q=D donde :
3 − 4 2 A = 4 5 − 1 2 − 1 7
2 3 0 − 23 1 Solución: P = 0 − 23 46 23 − 14 11 − 1
0 1 0 D = 0 − 7 0 0 0 − 2
1 − 5 − 40 / 7 Q = 0 1 15 / 7 0 0 1
PROBLEMA 3 Hallar el valor de “a” de tal modo que la matriz F sea no singular, si este cumple con la ecuación CF=A, donde: 16
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4 −5 3 2 − 1 1 −1 8 G = 3 − 4 − 2 A = 2 a + 1 a − 1 2a + 7 1 − 2 4 Solución: a −
16 29
PROBLEMA 4 Hallar los valores de “p” y “q” tal que el sistema de ecuaciones AX + 3 pX = −4 X + B T sea consistente, consistente indeterminado e inconsistente.
2 p − 3 − 3 A = − 3 2 p − 3 ; B = 2 p + 2 − 2q + 4 − 3 − 3 2 p
Solución:
7 5 (b) Consistente determinado rango(C ) n : p q
(a) Consistente Determinado C 0 : q , p − , p
(c) Inconsistente Rango(C : D) Rango(C ) : p =
2 5
7 2 p = , q 5 5
EXAMEN: II-2007 PROBLEMA 1 Hallar la inversa de la matriz D si: D= A*B donde las matrices A y B están generados por: −5 si i * j A3 x 3 = si, 0
Solución:
i 5 * j si i j B = 3 x3 i j si, 0
i j i j
36 − 18 0 1 D = − 18 18 − 6 36 0 − 6 3 −1
PROBLEMA 2
2 − 3 1 1 0 0 B = y 0 1 0 encuentre las matrices C y D provenientes 3 1 − 4
Dada las matrices: A =
de realizar de operaciones elementales de modo que: CAD=B
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1 / 11 3 / 11 Solución: C = − 3 / 11 2 / 11
1 0 1 C = 0 1 1 0 0 1
PROBLEMA 3
x 5 Hallar los valores de “X” que hacen la matriz F sea singular: F = 0 0 Solución:
x=
1 0 0 x 3 0 3 x 5 0 1 x
3 + 29 3 − 29 − 3 + 29 − 3 − 29 ;x = ;x = ;x = 2 2 2 2
PROBLEMA 4 Discutir en el sistema de ecuaciones los valores de “a” sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente
4 x + (2a − 2) y + 4 z = a + 3 4 x + 4 y + (2a − 2) z = 4 (2a − 2) x + 4 y + 4 z = 4
Solución: (a) Consistente Determinado a 3 a −3 (b) Consistente indeterminado a / (c) Inconsistente a = 3 a = −3
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CAPITULO I
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MATRICES
MATRIZ: Es un arreglo en forma rectangular de números ó letras u objetos (llamados elementos) encerrado entre paréntesis o corchetes.
NOTACION DE LEIBNITZ A a mxn ij
mxn
Amxn
a11 a12 a13.......... a1n a 21 a22 a23.......... a2 n a31 a32 a33.......... a3n . . . . FILAS DE LA MATRIZ . . . . . . . . . . . . am1 am 2 am3 .......... amn COLUMNAS DE LA MATRIZ
a ij = Elemento de la matriz Amxn
mxn = Orden o tamaño de la matriz Amxn i = El numero de fila a la que corresponde de la matriz Amxn j = El numero de columna a la que corresponde de la matriz Amxn
m = El numero de filas de la matriz Amxn n = El numero de columnas de la matriz Amxn 2 2 3 1 4 3 2 5 A2 x 2 A 4 x3 EJEMPLO 1 (a) 5 5 9 ,4 filas y 3 columnas (b) 1 7 ,2 filas y 2 columnas 4 5 5 i j aij (2i j ) (c) Escribir la matriz A3x 2 si los elementos a ij cumplen la siguiente condición aij i j aij i j a11 a12 Desarrollando en la notación Leibnitz A3 x 2 aij 3 x 2 A3 x 2 a21 a22 aplicando la condición a cada elemento a31 a32 2 0 i j aij (2i j ) de la matriz aij se tiene A3x 2 3 4 i j a i j ij 5 4
MATRIZ FILA: Una matriz de orden 1Xn se denomina matriz Fila
EJEMPLO A1x 4 1 2 6 5 MATRIZ COLUMNA (VECTOR): Una matriz de orden nX1 se denomina matriz Columna (es la forma de escribir un vector en forma matricial) EJEMPLO A3x1
3 4 si quisiéramos expresar como vector seria de R3 entonces: A 3,4,7 7 1
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MATRIZ CUADRADA: Es aquella donde el numero de filas es igual al número de columnas Amxn An si
Anxn aij
n
a11 a 21 a31 . An . . . a n1
a12 a 22 a32 . . . . an 2
a1n a 23 .......... a 2 n a33 .......... a3n . . . . . . . . a n 3 .......... a nn a13 ..........
c11 c12 b11 b12 (b) B2 (c) C3 c21 c22 b b 21 22 c31 c32 Diagonal Principal
EJEMPLO (a) A1 a11
mn
c13 c23 c33 Diagonal Principal
En toda matriz cuadrada de orden “n” la diagonal principal esta formada por: a11, a22 , a33 ,.........., ann estos mismos elementos en otra notación abreviada aii ; i 1; n MATRIZ NULA “ ”: Es aquella de orden ” mxn “ donde sus elementos son todos iguales a cero
0 0 0 (c) C3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 EJEMPLO (a) B2 b) A2 x 3 0 0 0 0 0
IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son igual A y B si son de mismo orden “ mxn ” es decir:
Anxm aij y Bnxm bij ;
i 1,2,3,....., m j 1,2,3,....., n
Las matrices A y B son iguales si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales A=B si solo si aij bij EJEMPLO
1
Sea A2 x 3
0 5 a b y B2 x 3 7 8 5 e
1 a
0b
c matrices iguales A=B si solo si aij bij entonces f
5c
5 7e 8 f OPERACIONES CON MATRICES (*)ADICIÓN DE MATRICES: Si A y B son del mismo orde “mxn” Amxn Bmxn Cmxn (*)MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR:
Sea la matriz Anxm aij y un escalar k(k=0) kAmxn kaij o Amxn k aij k
2
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PROPIEDADES i
k ( Amxn Bmxn ) kAmxn kBmxn
ii
Amxn (1) Amxn
iii
Amxn Bmxn Amxn ( Bmxn )
iv
(k q) Amxn kAmxn qAmxn
k , q (escalares )
(*)MULTIPLICACIÓN DE MATRICES : Sean 2 matrices: A1xp a11
a12
a13...... a1 p
B px1
b11 b 21 b31 . . . b p1
Entonces el producto de multiplicar las matrices A y B (AB en ese orden) Es otra matriz C de orden “1x1” talque :
C1x1 A1xp B px1 a11 a12
a13...... a1 p
b11 b 21 b31 . REGLA DEL PRODUCTO . . bp1
p C1x1 A1xp Bpx1 a11b11 a12b21 a13b31 ......... a1 pbp1 1x1 es decir: C1x1 a1k b1k (un solo k 1 1x1
elemento de la matriz)
1 EJEMPLO Sea A1x 3 1 1 2 y B3x1 2 hallar C=AxB entonces, que resulta un solo elemento de la 3 1 matriz, A1x1 A B 1 1 2 2 (1)( 1) (1)( 2) (2)(3) 1 2 6 3 3
DEFINICIÓN: Sean dos matrices Amxp aij de orden “mxp” y B pxn bij
de orden “pxn”, entonces el producto de
multiplicar las matrices Amxp y B pxn es otra matriz Cmxn entonces Cmxn Amxp B pxn y no de otra manera de orden “mxn” talque la única condición en el producto de multiplicar matrices (AB en ese orden) es (EL NÚMERO DE 3
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COLUMNAS DE LA MATRIZ “A” ES IGUAL AL NUMERO DE FILAS DE LA MATRIZ “B”) :
p i 1; m Cmxn cij aik bkj j 1; n k 1 a11 a12 b11 b12 EJEMPLO Si A3 x 2 a21 a22 y B2 x 2 calcular (a) AxB (b) BxA b21 b22 a31 a32
(a) AxB condcion única (columna de “A” es “2” y la fila de “B” es ”2”) cumple entonces se puede realizar el producto:
A3 x 2 B2 x 2
a11 a12 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 b11 b12 a21 a22 a21b11 a22b21 a21b12 a22b22 b b a31 a32 21 22 a31b11 a32b21 a31b12 a32b22 3 x 2
(a) BxA condición única (columna de “B” es “2” y la fila de “B” es ”3”) no es igual por tanto NO cumple entonces no se puede realizar el producto. PROPIEDADES Siendo las matrices A,B y C conformes respecto a las operaciones indicadas
viii
A( B C ) AB AC ( A B)C AC BC ABC A( BC ) ( AB)C AB no es nesariamente igual a BA Si AB BA entonces se dice que A y B son CONMUTABLES ó PERMUTABLES Si AB 0 no necesariamente implica que A=0 V B=0 AB AC no necesariamente implica que B C Si A B entonces AC BC CA CB
ix
Para un matriz cuadrada An ; A A A ; A A A A A ; A A
x
Para una matriz cuadrada An ; A A A A , p, q Z
i ii iii Iv v vi vii
2
p
q
2
q
p
2
3
n 1
An 1 A An
TRAZA DE UNA MATRIZ: Es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadra A se lo denomina traza y se denota por:
Anxn aij
n
a11 a 21 a31 . An . . . an1
a12 a22 a32 . . . . an 2
a1n a23.......... a2 n a33.......... a3n n . . Traza ( An ) a11 a22 a33 .... ann aii . . i 1 . . . . an 3 .......... ann a13..........
EJEMPLO 4
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c11 c12 C3 c21 c22 c31 c32
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c13 c23 Traza (C3 ) c11 c22 c33 c33
PROPIEDADES i
Traza ( A B) Traza ( A) Traza ( B)
ii
Traza (kA) k Traza ( A)
iii
Traza ( AB) Traza ( BA)
MATRICES ESPECIALES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
k escalar
Es aquella matriz cuadrada An aij cuyos elementos que están por debajo la diagonal principal son todos nulos, es
aij 0 i j decir: En general:
Anxn aij
n
a11 0 0 . An . . . 0
a12 a22 0 . . . . 0
a1n a23.......... a2 n a33.......... a3n . . . . . . . . 0.......... ann a13..........
Diagonal Principal EJEMPLO
5 2 5 b11 b12 (a) C3 0 5 7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (b) B2 x 2 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 0 b22 0 0 2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Es aquella matriz cuadrada An aij cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos, es decir: En general:
aij 0 i j
5
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Anxn aij
n
a11 a 21 a31 . An . . . an1
0 a22 a32 . . . . an 2
0 0.......... 0 a33.......... 0 . . . . . . . . an 3 .......... ann
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0..........
Diagonal Principal
EJEMPLO
5 0 0 b11 0 (a) C3 5 5 0 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (b) B2 x 2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR b21 b22 9 2 2
MATRIZ DIAGONAL
Es aquella matriz cuadrada An aij que es triangular superior e inferior a la vez; es decir: aij 0 i j i j En general:
Anxn aij
n
a11 0 0 . An . . . 0
0 a22 0 . . . . 0
0 0.......... 0 a33.......... 0 . . . . . . . . 0.......... ann 0..........
MATRIZ ESCALAR Es aquella matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a un escalar es k
k 0 decir:
a11 a22 a33 ...... ann k En general:
6
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k 0 0 . An . . . 0
1 0 0 . I n . . . 0
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0 0.......... 0 k 0.......... 0 0 k .......... 0 . . . Anxn aij n . . . . . . . . . 0 0.......... k Diagonal Principal MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD I n : Es aquella matriz escalar donde k=1 a11 a22 a33 ...... ann 1 En general:
I nxn aij
n
0 0.......... 0 1 0.......... 0 0 1.......... 0 . . . . . . . . . . . . 0 0.......... 1
PROPIEDADES I
Sea Amxn Amxn I n I m Amxn I m Amxn I n Amxn
Ii
I I I ....(cveces) cI
iii
I n I ; n N Sea A una matriz cuadrada: A I I A A
iv
Diagonal Principal
CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS MATRIZ PERIÓDICA Si An I n ; k Z An es una matriz PERIÓDICA k es el menor numero entero positivo que satisface la condición anterior, entonces “A” tiene periodo “k”. MATRIZ IDEMPOTENTE k
Si An An ; An es una matriz IDEMPOTENTE MATRIZ NILPOTENTE 2
Si An 0n ; p Z An es una matriz NILPONTENTE MATRIZ INVOLUTA p
Si An I n ; An es una matriz INVOLUTA 2
MATRIZ TRANSPUESTA
T Sea Anxm aij una matriz de orden “nxm”, la matriz TRANSPUESTA de “A” se denota por A , se obtiene
T
colocando las filas (o culmnas) de “A” como columnas (o filas) en “A ” es decir:
A aij AT bij Donde bij a ji
i 1; n j 1; m 7
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PROPIEDADES
A
I
T T
A
Ii
kAT
iii
( A B ) A BT
iv
AB T
kAT
k Escalar
T
T
BT AT
MATRIZ SIMÉTRICA
i, j 1; n Una matriz cuadrada An aij es simétrica si solo si: A A aij a ji Nota (también se puede observar que los elementos respecto a la diagonal principal son elementos simétricos) T
MATRIZ HEMISIMETRICA (ANTISIMETRICA)
T Una matriz cuadrada An aij es hemisimétrica si solo si: A A aij a ji
i, j 1; n
PROPIEDADES I
Si “A” es simétrica, entonces “kA” también es simétrica; para todo “k” escalar k 0
Ii
Si “A” es hemisimétrica, entonces “kA” también es hemisimétrica; para todo “k” escalar k 0
iii
Si A una matriz cuadrada entonces: A A es una matriz simétrica T
A AT es una matriz hemisimétrica iv
Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la adición de una matriz simétrica con otra hemisimetrica a si:
A AT A AT A B C ,donde B yC 2 2
MATRIZ CONJUGADA
Sea Amxp aij de orden “mxp” entonces Amxp aij también del mismo orden PROPIEDADES I Ii iii iv v
A A KA K A
K escalar
A B A B AB A B A A T
MATRIZ HERMíTICA
T
T Una matriz cuadrada An aij es hermítica si solo si: A A MATRIZ HEMIHERMíTICA
i, j 1; n
T Una matriz cuadrada An aij es hemihermítica si solo si: A A
i, j 1; n
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PROPIEDADES I
Si “A” es HERMíTICA, entonces “kA” también es HERMíTICA; para todo “k” escalar k 0
Ii
Si “A” es HEMIHERMITICA, entonces “kA” también es HEMIHERMITICA; para todo “k” escalar k 0
iii
Si A una matriz cuadrada entonces: A A es una matriz HERMíTICA
T
T
A A es una matriz HEMIHERMíTICA iv
Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la adición de una matriz HERMíTICA con otra HEMIHERMíTICA a si:
A B C ,donde B
A AT A AT C y 2 2
OPERACIONES ELEMENTALES (TRANSFORMACIONES) Se denominan operaciones elementales a procesos que se realizan a una matriz “A” de orden “mxn” para transformarla en otra matriz “B” de orden “mxn” las operaciones elementales son tres: INTERCAMBIAR DOS FILAS O DOS COLUMNAS DE UNA MATRIZ SUSTITUIR UNA FILA O UNA COLUMNA DE LA MATRIZ POR EL MÚLTIPLO ESCALAR DE DICHA FILA O COLUMNA EN LA MATRIZ SUSTITUIR UNA FILA O UNA COLUMNA DE LA MATRIZ POR LA SUMA DE DICHA FILA O COLUMNA CON UN MÚLTIPLO ESCALAR DE OTRA FILA O COLUMNA EN LA MATRIZ MATRIZ ELEMENTALES Se llama MATRIZ ELEMENTAL a aquella matriz que resultan de aplicarle alguna de las operaciones elementales a ma matriz identidad, se denota por “E” para filas y “C” para columnas son MATRICES CUADRADAS Las operaciones elementales clasificaremos en dos grupos: Operaciones elementales de fila Operaciones elementales de columna EJEMPLO MATRIZ EQUIVALENTE O SEMEJANTE
Sea la matriz Amxn aij
mxn
se puede llevar a otra transformada Bmxn bij
Mediante la siguiente relación de semejanza:
mxn
mediante operaciones elementales
PAQ B
P PRODUCTO DE MATRICES ELEMENTALES EN FILA Q PRODUCTO DE MATRICES ELEMENTALES EN COLUMNAS P En En 1En 2 ......... E3 E2 E1 Q C1C2C3....Cn
E y C SON APLICADAS A LA MATRIZ IDENTIDAD MATRIZ ESCALONADA Una matriz es escalonada si cumple: i) Las filas nulas de la matriz siempre se encuentran en la parte inferior (MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR) ii) El primer elemento no nulo de una fila no nula siempre es la unidad iii) Los ceros que preceden a una fila no nula de la matriz aumentan de forma aritmética de fila a fila. 9
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Amxn aij Amxn
1 0 0 . . . . 0
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z 1 k .......... r 0 1.......... h . . . . . . . . . . . . 0 0.......... 0 a
b..........
EJEMPLO
1 0 5 B2 x 3 0 1 1
B5 x 7
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 5 1 0 0
2 2 2 1 0
3 5 8 9 0
ESCALONADA REDUCIDA (SI ES CUADRADA ES MATRIZ IDENTIDAD) EJEMPLO
1 0 B2 x 2 0 1
1 0 B5 x 3 0 0 0
1 0 0 B2 x 3 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
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MATRIZ INVERSA
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RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas se las puede obtener luego de realizar un numero finito de operaciones elementales al escalonar la matriz
entonces el rango de la matriz es:
Si Amxn aij
( Amxn ) rango de “A”
( Amxn ) es el numero de filas NO NULAS (PARA HALLAR EL RANGO SIEMPRE ES CALONAR)
DETERMINANTE: La determinantes es un numero se obtiene solo de una MATRIZ CUADRADA.
entonces
Sea Amxn aij
An ó Det ( An )
An # ó Det ( An ) # PROPIEDADES
An
I
I n 1
Vi
Ii
n 0
Vii
An Bn An Bn
Iii
An An
Viii
adj An An
Iv
An An
ix
An 0 “A matriz singular”
V
kAn k n An
Viii
An 0 “A matriz NO singular”
T
m
m
An
1
1
1 An
n 1
CONDICIONES DE UNA MATRIZ PARA EL CALCULO DE LA DETERMINANTE
Si una fila o columna de una matriz está compuesta por todos sus elementos ceros, el determinante es cero. Si una fila y columna de una matriz es múltiplo escalar de otra fila o columna entonces el determinante es cero. Si se intercambian dos filas o dos columnas en un determinante, entonces el determinante cambia de signo. Si se multiplica una fila o una columna del determínate por un escalar, el determinante queda multiplicado por el inverso del escalar. Si se suma a una fila o columna con el múltiplo escalar de la otra fila u otra columna entonces el determinante no cambia de signo. El determinante de de una matriz triangular (tanto superior o inferior) es igual al producto de su diagonal principal.
CALCULO DE LA DETERMINATE DE UNA MATRIZ METODO 1: COFACTORES FORMULA DE LAPLACE: An
N
a 1 i 1 j 1
i j
ij
M ij
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REGLA DE SIGNOS( REGLA DEL AJEDREZ)
. . .
................. ................. ................. . . . . . . . . .
CÁLCULO DE LA DETERMINANTE DE MATRICES CON CARACTERÍSTICAS ESPECIALES MATRIZ SIMÉTRICA
i, j 1; n Una matriz cuadrada An aij es simétrica si solo si: A A aij a ji Nota (también se puede observar que los elementos respecto a la diagonal principal son elementos simétricos) En general: T
Anxn aij
n
h a b . An . . . z
a i e . . . . g
z e.......... p j.......... t . . . . . . . . Diagonal Principal r.......... k b..........
APLICAR LA REGLA DE CHIO REDUCIENDO DE ESTA MANERA LA DETERMINARTE TENDREMOS LOS SIGUIENTES CASOS: MATRIZ WANDERMONDE Es aquella matriz cuadrada cuyos elementos son las potencias: 0,1,2,3,….,(n-1); de “n” números diferentes: x,y,z,…..,w; es decir:
x0 1 x 2 An aij x . . x n 1
y0 y1 y2 . . y n 1
z0 z1 z2 . . z n 1
w0 1 1 .... w1 x 2 .... w2 x . . . . . . n 1 .... wn 1 x ....
1
1
1
1
y y2 . . y n 1
z z2 . . z n 1
1 .... w1 .... w2 . . . . .... wn 1 ....
TEOREMA: EL DETERMINANTE de una matriz wandermondiana es igual al producto que se obtiene al multiplicar todas las diferencias de los elementos que sirven de base a las potencias dadas: x,y,z,….,w
An y xz y z x....w z w y w x
13
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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Ejemplo
1 1 1 Calcular el determinante de la siguiente matriz: A3 2 3 4 4 9 16 Solución
1 Podemos apreciar que los elementos de matriz tienen por bases a : 2,3,4 Es decir: A3 2 2 2 Por tanto la matriz es wandermondiana y su determinante será:
1 3 32
1 4 4 2
A3 3 24 34 2 (1)(1)(2) A3 2
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15
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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16
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MATRIZ ADJUNTA:
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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Dada una matriz cuadrada: An aij y C n cij Aij 1 M ij Matriz de cofactores de “A”, entonces se denomina Adjunta de “A”, a la transpuesta de la matriz de confactores.
Adj An C n
T
i j
a11 a 21 a31 . cij . . . a n1
a12 a 22 a32 . . . . an 2
a13 .......... a1n a 23 .......... a 2 n a33 .......... a3n . . . . . . . . a n 3 .......... a nn
17
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
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PROPIEDADES: Donde, An A n : orden de la matriz, k : un escalar 0
I
AdjI n I n
Ii
Adj A k Adj A
iii iv
v
Adj A Adj A
k
T
T
Adj AB AdjBAdj A AdjkA k
n 1
Adj A
Vi
AdjA A
Vii
Adj A1
A A
An Adj An An I n
Viii
Adj Adj An An
ix
x
n 1
Adj Adj A n
A n
n2
An
n 1
2
18
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PAYE
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1
EXAMEN: I-2019 PROBLEMA 1 Resolver el sistema AX=B
a −b + c + d =1 2a + b − 2c + d = 5 −a − 2b + 3c = −4 a) Mostrar la solución de la forma X p + X h (solución particular más solución homogénea). b) Sugiera un cambio en el sistema de manera que el sistema sea consistente y determinado. Solución: a) Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial.
a 1 −1 1 1 1 b 2a + b − 2c + d = 5 2 1 −2 1 = 5 c −1 −2 3 0 −4 −a − 2b + 3c = −4 d Paso 2: Escribimos la matriz ampliada. A X = B A B a −b + c + d =1
(1)
−1
1
2
1
−2 1 5
−1 −2
3
0 −4
(1)
−1
1
1 1
2
1
−2 1 5
−1 −2
3
Escogemos el pivote en la primera columna ( ).
1 1
1 −1 −2 f1 + f 2 ' 0
0 −4
1
−1
1
0
( 3)
−4 −1 3
0
−3
4
f1 + f3 '
1 −3
f 2 + f3 '
0 −3
2/3 2
2 1 c − d a 3 3 b = 4 1 c d 3 3
1 −3
4
0 −1/ 3
2/3 2
1 −4 / 3 −1/ 3 1
0 0
1 2 c − d 1 03 3 0 1 −4 / 3 −1/ 3 1 0 14 1 c d 0 0 0 0 0 3 3
1 0 −1/ 3
Eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida
1 1
−4 −1 3
3
(1/ 3) f 2 + f1 ' 1 (1/ 3) f 2 ' 0
1 1
1
0
2 1
1 2 2 − 3 a 2 3 = c+ d + b 4 1 1 1 3 3
0
0
Escogemos un pivote ( ) en la segunda columna ubicados al lado de los ceros, sin embargo tenemos filas múltiples que eliminan una fila. El sistema es del tipo consistente indeterminado, por tanto, se procederá a parametrizar. Nota: Para que el sistema sea cuadrado el numero de filas debe ser igual al número de columnas. Escribimos el vector solución.
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JOSUE PAYE CHIPANA
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2
Mostramos la solución de la forma X p + X h (solución
1 2 3 − 3 2 X p + Xh = c + d + 1 4 1 3 3 Xp
particular más solución homogénea).
Xh
b) Se sugiere que el cambio en el sistema sea: c=0 y d=0 para generar un sistema consistente y determinado.
2 Xp = 1 PROBLEMA 2 Calcular el determinante y la inversa por medio de operaciones elementales para la matriz A, incluir todo el procedimiento y las operaciones elementales.
2 3 −1 2 1 −1 1 −1 A= 3 2 1 1 2 −2 3 2 Solución: Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
A=
A=
2
3
−1
2
(1)
−1
1
−1
3
2
1
1
2
−2
3
2
2
3
−1
2
(1)
−1
1
−1
3
2
1
1
−3 f 2 + f3 '
2
−2
3
2
−2 f 2 + f 4 '
−3
4
1 −1
1
−1
0
5
−2
4
0
0
1
4
0 A=
PASOS A SEGUIR Elegimos un pivote ( ) en cualquier fila o columna.
A =−
5
−2 f 2 + f1 ' A=
f1 f 2 A =−
1
−1
1
−1
0
( 5)
−3
4
0
5
−2
4
0
0
1
4
− f 2 + f3 '
−3
4
1 −1
1
−1
0
5
−2
4
0
0
1
4
0
5
1 −1
1
−1
0
5
−3
4
0
5
−2
4
0
0
1
4
A =−
Con el pivote eliminamos los elementos de la fila o columna.
Ordenando para obtener una matriz triangular. Nota: Al cambiar dos filas se debe compensar con un signo negativo al determinante.
1 −1
1
−1
Escogemos el pivote ( )
0
5
−3
4
0
0
1
0
eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él.
0
0
1
4
a22 que
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
A =−
A =−
JOSE PAYE CHIPANA
3
1 −1
1
−1
0
5
−3
4
0
0
(1)
0
0
0
1
4
1 −1
1
−1
0
5
−3
4
0
0
1
0
0
0
0
4
A =− − f3 + f 4 '
1 −1
1
−1
Escogemos el pivote ( )
0
5
−3
4
0
0
1
0
eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él.
0
0
0
4
a33 que
Observamos que la matriz es triangular.
A = − (1)( 5)(1)( 4 ) A = −20
Nota: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Para el cálculo de la matriz inversa emplearemos el método de Gauss Jordan que aplica operaciones elementales.
2 3 1 −1 A= 3 2 2 −2 2 3 −1
−1
2 2 3 −1 2 1 0 −1 1 −1 1 −1 0 1 1 3 2 1 1 0 0 2 2 −2 3 2 0 0 1 0 0 0
1 1 3 2
(1)
−1
1
−1 0 1 0 0
3
2
1
1 0 0 1 0
2
−2
3
2 0 0 0 1
2
3
−1
2 1 0 0 0
(1)
−1
1
−1 0 1 0 0
3
2
1
1 0 0 1 0
−3 f 2 + f3 '
2
−2
3
2 0 0 0 1
−2 f 2 + f 4 '
−3
4 1 −2 0 0
f1 f 2
1 −1
1
−1 0
0
5
−2
4 0 −3 1 0
0
0
1
4 0 −2 0 1
1
−1
1
−1 0
0
( 5)
−3
4 1 −2 0 0
0
5
−2
4 0 −3 1 0
0
0
1
4 0 −2 0 1
0
5
1
1
0 0
0 0
− f 2 + f3 '
−3
4
1
−2
0 0
0 0
(1)
0
0 0
1
4
−1
−1
1 0
0
−2
0 1
0 0
aumentada A I y se escalona por operaciones elementales. Elegimos un pivote () en cualquier fila.
0 0 1 0 0 1
−3
4 1 −2 0 0
1 −1
1
−1 0
0
5
−2
4 0 −3 1 0
0
0
1
4 0 −2 0 1
0
(1 / 5) f 2 + f1 '
1 0 2 / 5 −1/ 5 1/ 5 3 / 5 0 0 0 5
−2 f 2 + f1 '
PASOS A SEGUIR Se forma la matriz
5
1
0 0
1 −1
1
−1 0
0
5
−3
4 1 −2 0 0
0
5
−2
4 0 −3 1 0
0
0
1
4 0 −2 0 1
1
Con el pivote eliminamos los elementos de la fila o columna.
Ordenando
0 0
1 0 2 / 5 −1 / 5 1 / 5 3 / 5 0 0
0 5
−3
4
1
−2
0 0
pivote ()
0 0
1
0
−1
−1
1 0
0 0
1
4
0
−2
0 1
eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo y arriba de él. Escogemos el
− ( 2 / 5 ) f 3 + f1 ' 3 f3 + f 2 ' − f3 + f 4 '
Escogemos el
1 0 0 −1/ 5 3 / 5
1
0 5 0
4
−2
−5
0 0 1
0
−1
−1
0 0 0
4
1
−1
−2 / 5 0
a22 que
a33 que
0
pivote ()
1
0
−1
1
eliminara a todos los elementos que se encuentran por
3
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
1 0 0 −1/ 5 3 / 5
1
−2 / 5 0
0 5 0
4
−2
−5
3
0
0 0 1
0
−1
1
0
0 0 0
( 4)
−1 1
−1
−1
1
(1/ 20 ) f3 + f1 ' − f4 + f2 '
(1/ 4 ) f 4 '
1 0 0 0 13 / 20 19 / 20 −9 / 20 1/ 20
debajo y arriba de él. Escogemos el
0 5 0 0 −3
−4
4
−1
pivote ()
−1
−1
1
0
−1/ 4
−1/ 4
1/ 4
eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo y arriba de él .
0 0 1 0
0 0 0 1 1/ 4
1 0 0 0 13 / 20 19 / 20 −9 / 20 1/ 20 0 5 0 0
−3
−4
4
−1
0 0 1 0
−1
−1
1
0
−1/ 4
−1/ 4
1/ 4
0 0 0 1 1/ 4
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4
(1/ 5 ) f 2 '
a44 que
la matriz 1 0 0 0 13 / 20 19 / 20 −9 / 40 Extraemos 1/ 20 inversa. 0 1 0 0 −3 / 5 −4 / 5 4 / 5 −1/ 5
0 0 1 0
−1
0 0 0 1 1/ 4
−1
1
0
−1/ 4
−1/ 4
1/ 4
13 / 20 19 / 20 −9 / 40 1/ 20 −3 / 5 − 4 / 5 4 / 5 −1/ 5 A−1 = −1 −1 1 0 −1/ 4 −1/ 4 1/ 4 1/ 4
PROBLEMA 3 Dado el sistema de ecuaciones lineales hallar los valores de y , tal que: (i) El sistema tenga solución única. (ii) El sistema tenga infinitas soluciones. (iii) El sistema no tenga solución.
x + y + z = 2
x + y + z = x + y + z = Solución: Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial. A X = B
x + y + z = 2
1 x 2 x + y + z = 1 y = x + y + z = 1 z
Paso 2: Hallamos el determinante de A .
1 A=
1
1
Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
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1 A=
1 + 2
c3 + c1 '
1
c2 + c1 ' A = 1 + 2
1 + 2
Como es una matriz simétrica sumamos la columna 2 y 3 a la 1.
1
1 + 2
1
A = 1 + 2
JOSE PAYE CHIPANA
5
1
1
Factorizamos
1 A = (1 + 2 ) 1 1
la columna 1.
1 + 2
1
1
(1)
A = (1 + 2 ) 1
1
1
− f1 + f3 '
A = (1 + 2 ) 0 − + 1 1
0
0
0
Escogemos el pivote ()
0
que eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él Observamos que la matriz es triangular.
− + 1
A = (1 + 2 )(1)( − + 1)( − + 1)
− + 1
0
A = (1 + 2 )(1 − )
1
0
de
1
− f1 + f 2 ' A = (1 + 2 ) 0 − + 1
1
(1 + 2 )
a11
Nota: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
2
Paso 3: Análisis cuando el sistema tenga solución única. El determinante tiene que ser distinto de cero A 0 .
(1 + 2 )(1 − )
2
1 1 ; R (i) solución única 0 − 2
Paso 4: Para el análisis de los incisos (ii) y (iii) utilizaremos el método del rango. Escribimos el sistema con los valores hallados en el Paso 3.
x + y + z = 2
1 x 2 x + y + z = 1 y = x + y + z = 1 z Para a = 1 :
1 1 1 x 2 1 1 1 y = 1 1 1 z Escribimos la matriz ampliada. A X = B A B
1 1 1 x 2 (1) 1 1 2 1 1 1 y = 1 1 1 1 1 1 z 1 1 1
Escogemos el pivote en la primera columna ( ).
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(1)
1 12
1
1 1
− f1 + f 2 ' 0 0 0 −2 +
1
1 1
− f1 + f3 '
1 1 1
JOSE PAYE CHIPANA
6
1 1 1
Eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida.
2
0 0 0 −2 +
2
( A) = ( A B ) = r 1 3 0 0 0 −2 + r n ( A) = ( A B ) = 1 0 0 0 −2 +
−2 + = 0 = 2 Para
Como se eliminaron las filas de la matriz aumentada aplicamos el análisis del rango.
A X = B A B
Infinitas soluciones
( A) = ( A B ) = r
= 1 y = 2 existen infinitas soluciones
rn Donde: n =numero de incognitas r =rango
1 1 1
Para que el sistema no tenga solución:
2
0 0 0 −2 + ( A ) ( A B ) −2 + 0 2
A X = B A B ( A) ( A B )
0 0 0 −2 + Para
= 1 y 2 no existen soluciones
= −1/ 2 :
Para
−1/ 2 −1/ 2 x 2 1 −1/ 2 1 −1/ 2 y = −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2 z Escribimos la matriz ampliada. A X = B A B
−1/ 2 −1/ 2 x 2 (1) −1/ 2 −1/ 2 2 1 −1/ 2 1 −1/ 2 y = −1/ 2 1 −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2 1 z −1/ 2 −1/ 2 1
(1)
−1/ 2 −1/ 2 2
−1/ 2
−1/ 2
1
−1/ 2 −1/ 2
1
1
−1/ 2
−1/ 2
0
(3 / 4)
−3 / 4 1 +
0
−3 / 4
3 / 4 1+
1 −1/ 2 −1/ 2 0
3/ 4
0
0
1 −1/ 2 −1/ 2
(1/ 2 ) f1 + f 2 ' 0 (1/ 2 ) f1 + f3 ' 0
2
0 f 2 + f3 '
0
3/ 4 0
2
3/ 4
−3 / 4 1 +
−3 / 4
3 / 4 1+
1 −1/ 2 −1/ 2
2
Escogemos el pivote en la primera columna ( ).
2
−3 / 4 1 + 0
2 + 2
( A) = ( A B ) = r 2 3 −3 / 4 1 + r n ( A) = ( A B ) = 2 0 2 + 2
Eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida.
Escogemos el pivote en la segunda fila ( ) y eñiminamos los demás elemnros de la columna escogida. Como se eliminaron las filas de la matriz aumentada aplicamos el
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7
2 + 2 = 0 = −1 Para
análisis del rango.
A X = B A B
= −1/ 2 y = −1 existen infinitas soluciones
Infinitas soluciones
( A) = ( A B ) = r
rn Donde: n =numero de incognitas r =rango
1 −1/ 2 −1/ 2
2
−3 / 4 1 + ( A ) ( A B ) 2 + 2 0 −1
0
3/ 4
0
0
Para
= 1 y −1 no existen soluciones
0
2 + 2
Para que el sistema no tenga solución:
A X = B A B ( A) ( A B )
EXAMEN:II-2018 PROBLEMA 1 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden dado:
i) f1 f2 ; ii) 2 f1 + f 2 → f 2 ; iii) f1 + f3 → f3
2 −3 1 B = k k + 1 −8 6 3 −4
Obteniéndose la matriz B: a) Hallar el valor de k tal que cumpla que Det(A)= -20 b) Con el valor de k, hallar la inversa de A. Solución: a) Como nos dan operaciones elementales en fila aplicaremos la RELACION DE SEMEJANZA que explica la equivalencia la equivalencia entre la matriz A y B. RELACION DE SEMEJANZA: PAQ = B P = producto de matrices elementales en filas. Q =producto de matrices elementales en columnas. Como tenemos solo operaciones en filas en el problema entonces la RELACION DE SEMEJANZA será: PA = B Procederemos a resolver el problema. Paso 1: Hallamos la matriz P de la relación de semejanza PA = B P = producto de matrices elementales en filas : P = En En −1 En −2 .....E3 E2 E1
E =Matriz elemental (aplicada a la matriz identidad) Calculo de E1 : i ) f1 f 2
1 0 0 0 1 0 E = 0 1 0 f1 f 2 E1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 Calculo de E2 : ii) 2 f1 + f 2 → f 2 ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
JOSE PAYE CHIPANA
8
1 0 0 1 0 0 E = 0 1 0 2 f1 + f 2 → f 2 E2 = 2 1 0 0 0 1 0 0 1 Calculo de E3 : iii) f1 + f3 → f3
1 0 0 1 0 0 E = 0 1 0 f1 + f 3 → f 3 E3 = 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 P = E3 E2 E1 P = 0 1 0 2 1 0 1 0 0 P = 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 Paso 2: Calculamos el determinate de la relación de equivalencia PA = B PA = B PA = B P A = B Calculamos los determinantes de cada matriz. Calculo del determinanate de P : Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
0 1 0
f 2 f1
Intercambiamos filas
1 2 0
P =1 2 0
P =−0 1 0
0 1 1
0 1 1
1 2 0
1 2 0
P =−0 1 0
P =−0 1 0
0 1 1
− f 2 + f3 '
Realizando operaciones en fila obtenemos una matriz triangular. Nota: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
0 0 1
1 2 0 P = − 0 1 0 P = − (1)(1)(1) P = −1 0 0 1
Calculo del determinanate de B : Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
(1) B = k
2
1
3c1 + c3 B = k
−4
6
3
1
0
6
−2c1 + c2
k + 1 −8
6 B =k
−3
0
−k + 1 3k − 8 B = (1) −9
14
0
−k + 1 3k − 8 −9
−k + 1 3k − 8 −9
0
14
Escogemos un pivote ( ) y eliminamos elementos en las demás columnas.
14 +0+0
Aplicamos cofactores a la primera fila (Formula de LaPlace).
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
B =
−k + 1 3k − 8 −9
JOSE PAYE CHIPANA
9
14
El determinante de una matriz de 2X2 la hallamos por definición.
B = ( − k + 1)(14 ) − ( −9 )( 3k − 8 ) B = 13k − 58
Calculo del determinanate de A : Es dato A = −20 Ahora reemplazamos en: P A = B ( −1)( −20 ) = (13k − 58) Paso 3: Calculamos k: ( −1)( −20 ) = (13k − 58) k = 6 b)
1 2 −3 Reemplazamos k = 6 en la matriz B : B = 6 7 −8 6 3 −4 Usando la RELACION DE SEMEJANZA PA = B calcularemos A−1 PA = B // premultiplicamos P −1
P −1 PA = P −1 B A = P −1B // aplicamos inversa
( A)
( )
−1
= ( P −1 B ) A−1 = B −1 P , como vemos para calcular A−1 necesitamos B −1 y P . −1
−1
Calculo de B −1 : Para hallar la inversa optaremos por el método de Gauss Jordan. PASOS A SEGUIR Se forma la matriz
1 2 −3 1 2 −3 1 0 0 B = 6 7 −8 6 7 −8 0 1 0 6 3 −4 6 3 −4 0 0 1
(1)
2 −3 1 0 0
1
−3 1
0
0
6
7 −8 0 1 0
−6 f1 + f 2 ' 0 −5 10 −6
1
0
6
3 −4 0 0 1
− f 2 + f3 '
−1 1
2
0 −4
−3 1
0
0
1
0 −5 10 −6
1
0
− f3 + f 2 ' 0
0 −4
−1 1
0
1
2
4 0
1
2
−3 1
0
0
0
( −1)
2 f 2 + f1 '
6 −6
2
−1
− f2 '
0
−4
4 0
−1
1
−4 f 2 + f3 '
1 0
9 −11
4
−2
0 1
−6
6
−2
1
0 0 −20 24
−9
5
4 0 2
−3 1
0
0
( −1)
6 −6
2
−1
−4
4 0
−1
1
9 −11
4
−2
−6
6
−2
1
0 0 −20 24
−9
5
1 0 0 1
1 0
9 −11
0 1 −6
( −1/ 20 ) f3 '
aumentada B I y se escalona por operaciones elementales. Elegimos un pivote () en cualquier fila. Con el pivote eliminamos los elementos de la fila o columna. Generamos un pivote () en la segunda fila.
0 0
6
Escogemos el pivote ()
4
−2
−2
1
1 −6 / 5 9 / 20 −1/ 4
a22 que
eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo y arriba de él. Escogemos el pivote ()
a33 ,
previamente hacemos que el pivote sea 1, este eliminara a todos
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
9 −11
1 0
0 1 −6
6
4
−2
−9 f 3 + f1 '
−2
1
6 f 3 + f 2 ' 0 1 0 −6 / 5
7 / 10
−1 / 2
0 0 1 −6 / 5
9 / 20
1/ 4
1 −6 / 5 9 / 20 −1 / 4
0 0
JOSE PAYE CHIPANA
10 1 0 0 −1 / 5 −1 / 20
los elementos que se encuentran por debajo y arriba de él.
1/ 4
−1/ 5 −1/ 20 1/ 4 −1 B = −6 / 5 7 /10 −1/ 2 −6 / 5 9 / 20 1/ 4
Extraemos la matriz inversa.
−1/ 5 −1/ 20 1/ 4 0 1 0 Reemplazando en: A−1 = B −1 P A−1 = −6 / 5 7 /10 −1/ 2 1 2 0 −6 / 5 9 / 20 1/ 4 0 1 1 Multiplicando:
−1/ 20 −1/ 20 1/ 4 A = 7 /10 −3 /10 −1/ 2 9 / 20 −11/ 20 −1/ 4 −1
PROBLEMA 2 Halle el valor de “x” tal que el valor del siguiente determinante sea x 2
10 7 5
11
13
9
6
x − 3 10
7
4
5
3
5
x+2 x+2 x
x
7 4 2x
x+2 2 x
x
Solución:
10 7 Asignamos A al determinante A =
5
11
13
9
6
x − 3 10
7
4
5
3
5
x+2 x+2 x
x
7 4 2x
x+2 2 x
x
Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
10 7 A=
5
11
13
9
6
x − 3 10
7
4
5
3
5
7
x+2 x+2
4
( x)
2x
x
PASOS A SEGUIR Elegimos un pivote ( ) en cualquier fila o columna.
x+2 2 x
x
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
13
9
6
−c1 + c2 '
10
1
−7
−1 −4
x − 3 10
7
4
−2c1 + c3 '
7
x − 10
−4
0
−3
5
3
−c1 + c4 ' A =
5
0
−3
0
−2
x+2
0
−2 x
0
−x
x
0
0
0
0
10
11
7 A=
A=
5
5
7
x+2 x+2
4
( x)
2x
x
x+2 2 x
−c1 + c5 '
x
10
1
−7
−1 −4
7
x − 10
−4
0
−3
5
0
−3
0
−2 A = + ( x )
x+2
0
−2 x
0
−x
x
0
0
0
0
A = ( x)
A = −x
JOSE PAYE CHIPANA
11
1
−7
−1 −4
x − 10
−4
0
−3
0
−3
0
−2
0
−2 x
0
−x
x − 10
−4
−3
0
−3
−2 A = − x ( x − 10 )
0
−2 x − x
A = − x ( x − 10 )
−3
−2
−2 x − x
1
−7
−1 −4
x − 10
−4
0
−3
0
−3
0
−2
0
−2 x
0
−x
x − 10
−4
−3
0
−3
−2
0
−2 x − x
A = ( x )( −1)
−3
Con el pivote eliminamos los elementos de fila o columna.
Aplicando cofactores a la fila 5.
Aplicando cofactores a la columna 3.
Aplicando cofactores a la columna 1.
−2
−2 x − x
A = − x ( x − 10 )( 3x − 4 x ) A = x 2 ( x − 10 )
El determinante de una matriz de 2X2 la hallamos por definición.
Se conoce que: A = x 2 entonces tendremos
x2 ( x − 10 ) = x 2 x 2 ( x − 10 ) − 1 = 0 x2 x − 11 = 0
x=0 x = 11
PROBLEMA 3 Dada el sistema de ecuaciones lineales de la forma: BT − xT A = 0 Analizar los valores de a y b para que el sistema sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente, Siendo las matrices:
0 1 0 1 1 1 0 b − 3 A= 0 1 1 1 1 1 b − 1 b − 2
BT = 1 2 1 a
Solución: Antes de resolver llevamos BT − xT A = 0 a la forma genral de un sistema lineal.
BT − xT A = 0 BT = xT A / / (
)
T
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
( B ) = ( x A) T T
T
T
JOSE PAYE CHIPANA
12
B = AT x AT x = B
T La forma general será: A x = B
0 1 0 1 1 1 0 b − 3 A= / /( 0 1 1 1 1 1 b − 1 b − 2 BT = 1 2 1 a / / (
)
T
)
T
1 1 0 1 AT = 1 0 0 b − 3
1 1 b − 1 1 b − 2 1 1 0
1 2 B= 1 a
Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial. A X = B Reemplazando:
1 1 0 1 AT x = B A X = B 1 0 0 b − 3
1 x 1 1 b − 1 y 2 = 1 b − 2 z 1 1 1 u a Paso 2: Hallamos el determinante de A .
A=
1
1
0
0
1
1 b −1
1
0
1 b−2
0
1
0 b−3 1
1
Para el cálculo del determinante emplearemos el método de la regla de Chio que aplica operaciones elementales.
A=
(1)
1
0
1
0
1
1
b −1
1
0
1 b−2
b−3 1
0
A=
1
0
0
1
1 b −1
0
−1
1 b−3
1
0 b−3 1 A = −1 b−3
1
0
0
1
1 b −1
0
−1
1 b−3
0 b−3 1
1
1
1
− f1 + f3 '
A=
1
1 A = (1) −1
a11
que eliminará a todos los elementos que se encuentran por debajo de él.
1 b−3 1
(1)
b −1
1
1
b −1
1
b−3
− f1 + f 2 ' A = −2
0
−2
1
1
− f1 + f 3 '
1
Escogemos el pivote ()
Aplicando cofactores a la columna 1.
1 b −1
b−3 1
1
1
b − 4 0 −b + 2
Escogemos el pivote ()
a12
que eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él. ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
1
1
b −1
A = −2
0
−2
A = − (1)
b − 4 0 −b + 2
A =−
−2
JOSE PAYE CHIPANA
13
−2
b − 4 −b + 2
−2
−2
Aplicando cofactores a la columna 2.
b − 4 −b + 2
A = − ( ( −2 )( −b + 2 ) − ( −2 )( b − 4 ) )
A = −2 ( 2b − 6 )
El determinante de una matriz de 2X2 la hallamos por definición.
Paso 3: Análisis cuando el sistema tenga solución única (consistente determinado). El determinante tiene que ser distinto de cero A 0 .
−2 ( 2b − 6 ) 0 b 3; a R Paso 4: Para el análisis de los incisos (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente, usaremos el método del rango. Escribimos el sistema con los valores hallados en el Paso 3.
1 1 0 1 A X = B 1 0 0 b − 3
1 x 1 1 b − 1 y 2 = 1 b − 2 z 1 1 1 u a 0
Para b = 3 :
1 1 0 1 x 1 0 1 1 2 y 2 = 1 0 1 1 z 1 0 0 1 1 u a Escribimos la matriz ampliada. A X = B A B
1 0 1 0
(1) 0 1 0
1 0 1 x 1 (1) 1 1 2 y 2 0 = 0 1 1 z 1 1 0 1 1 u a 0 1 0 11 1 1 22 0 1 11 0 1 1a
1
1
0 11
0
(1)
1 22
0 −1 1 0 0 0
0
1 1a
− f1 + f3 '
1 0 11 1 1 22 0 1 11 0 1 1a 1
1
0 11
0
1
1 22
0
1 1a
1 1 0 11 f 2 + f3 '
Eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida.
0 −1 1 0 0 0
Escogemos el pivote en la primera columna ( ).
0 1 1 22 0 0 2 22 0 0 1 1a
Escogemos el pivote en la segunda columna ( ) y eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida. ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSUE PAYE CHIPANA
1 1
0
11
0 1
1
22
0 0
( 2)
22
0 0
1
1a
1 1 0 1
1
0 1 1 2
2
0 0 2 2
2
0 0 0 0 −1 + a
JOSE PAYE CHIPANA
14
− (1/ 2 ) f3 + f 4 '
1 1 0 1
1
0 1 1 2
2
0 0 2 2
2
0 0 0 0 −1 + a
( A) = ( A B ) = r 3 4 r n ( A) = ( A B ) = 3
−1 + a = 0 a = 1 Para a = 1 y b = 3 existen infinitas soluciones.
1 1 0 1
1
0 1 1 2
2
0 0 2 2
2
Escogemos el pivote en la tercera columna ( ) y eliminamos con el pivote los demás elementos de la columna escogida.
( A) ( A B ) −1 + a 0 a 1
0 0 0 0 −1 + a
Como se eliminaron la ultima fila de la matriz aumentada aplicamos el análisis del rango.
A X = B A B
Infinitas soluciones
( A) = ( A B ) = r
rn Donde: n =número de incógnitas r =rango Para que el sistema no tenga solución:
A X = B A B ( A) ( A B )
Para a 1 y b = 3 no existen soluciones.
ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL - CODEX
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
EXÁMENES RESUELTOS EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1
i j , si i = j i j k −1 , si i = j 1. Dadas las matrices A3 x 3 = aij = i, si i j y B3 x 3 = bij = i, si i j 0, si i j 0, si i j se pide (a) descomponer la matriz AB en la forma AB=L U siendo L “Triangular inferior”, U “triangular Superior”, utilizando el valor |de k N , (b) Utilizando la anterior factorización halle la inversa AB Solución: k
(a) Nos piden descomponer la matriz AB, primero generaremos las matrices con las condiciones dadas:
A3 x 3
B3 x 3
a11 = a21 a31
b11 = b21 b31
1 1k −1 j entonces A3 x 3 = 2 3 0 0 2k 0 3 3k
i j k −1 , si i = a13 a23 aplicando aij = i, si i j 0, si i j a33
a12 a 22 a32
1k A3 x 3 = 2 3 1 1k i j k , si i = j b13 b23 aplicando bij = i, si i j entonces B3 x 3 = 0 0, si i j 0 b33 1k +1 1 1 B3 x 3 = 0 2 k +1 2 0 0 3k +1
b12 b22 b32
0 2 2 k −1 3
1 22 0
k
0 0 3 3k −1
1 2 3 3k
Ya tenemos las matrices A y B generadas remplazamos en la condición dada que el producto de AB debe ser igual a LU entonces AB=LU
1k Remplazando: 2 3
0 2k 3
0 1k +1 1 1 0 0 2 k +1 2 = LU 3k 0 0 3k +1
Pero nos damos cuenta que: La matriz A es una matriz Triangular inferior “L” ya que los ceros están por encima de la diagonal principal:
A3 x 3
1k = 2 3
0 2
k
3
0 0=L 3k 1
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
La matriz B es una matriz Triangular superior “U” ya que los ceros están por abajo de la diagonal principal:
B3 x 3
1k +1 = 0 0
1 2 =U 3k +1
1 2
k +1
0
De esta manera ya se encuentran factorizada el producto
1k 0 AB = 2 2 k 3 3
0 1k +1 1 1 0 0 2 k +1 2 = LU 3k 0 0 3k +1
(b) Utilizando la anterior factorización halle la inversa
( )−1
( AB)−1
Por propiedades de la inversa sabemos que: AB = B A Entonces calcularemos la inversa de manera independiente A y B
A3 x 3
1k = 2 3
−1
0 0 3k
0 2
−1
k
3
Matriz Inversa por el método de la adjunta: A−1 =
1 adj ( A) A
Calculo de la determinante como la matriz es triangular la determinante es el producto de la diagonal principal entonces:
1k
0
0
A= 2
2k
0 = 1k 2 k 3k
3
3
3k
A = 6k
Calculo de la adjunta PASO1: MATRIZ DE COFACTORES
2k 0 + k 3 3 0 0 Cofactores = − k 3 3 0 0 + k 2 0
2
− +
0
3 3k 1k
−
0
3 3k 1k 0 2
0
2 2k 3 3 1k 0 − 3 3 1k 0 + 2 2 k +
PASO 2: COFACTORES TRANSPUESTO
(Cofactores( A))T
( ) − (2 3 ) + (6 − 3 2 ) + (3 ) − (1 3) − (0) + (1 2 )
+ 6 k = − (0) + (0)
k
k
k
T
(Cofactores( A)) = adj( A) T
k
k
k
2
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
( )
+ 6k adj( A) = − 2 3k 6 − 3 2k
(
(
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
0 1k 2 k
0
) + (3 ) ) − (1 3) ( k
k
0
)
( )
+ 6k 1 A −1 = k − 2 3k 6 6 − 3 2k
1 adj( A) REMPLAZANDO EN: A = A −1
(
(
0
0 1k 2 k
) + (3 ) ) − (1 3) ( k
k
0
)
De la misma manera calculamos la inversa de B:
B3 x 3
1k +1 = 0 0
1 2 3k +1
1 2 k +1 0
Matriz Inversa por el método de la adjunta: B
−1
=
1 adj(B ) B
Calculo de la determinante como la matriz es triangular la determinante es el producto de la diagonal principal entonces:
1k +1 B= 0 0
2
1
1
k +1
2 = 1k +12 k +13k +1
0
B = 6 k +1
3k +1
Calculo de la adjunta PASO1: MATRIZ DE COFACTORES
2 k +1 3k +1 Cofactores(B ) = − 3k +1 2 − 2 k +1
0 3
k +1
−2
0 0 2 k +1
PASO 2: COFACTORES TRANSPUESTO
(Cofactores(B))T = adj(B) 2 k +1 3k +1 adj(B ) = 0 0
2 − 2 k +1 −2 2 k +1
− 3k +1 3k +1 0
REMPLAZANDO EN: B
−1
=
6k +1 − 3k +1 2 − 2k +1 1 B −1 = k +1 0 3k +1 −2 6 0 0 2k +1
1 adj(B ) B
Ahora calculemos el producto inverso remplazando las inversas calculadas:
( AB )−1 = B −1 A−1
3
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
6k +1 ( AB )−1 = 1k +1 0 6 0
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
( )
2 − 2k +1 + 6k 0 0 1 k +1 k k 3 − 2 k − 23 + 3 0 6 0 2k +1 6 − 3 2k − 1k 3 1k 2k 62 k +1 + 2 32 k +1 + 12 − 9 2k +1 + 3 22 k +1 − 32 k +1 − 6 + 3 2k +1 ( AB )−1 = 21k +1 − 3 22 k +1 − 12 + 3 2k +1 32 k +1 + 6 6 2k (6 − 3 2k ) − 3 2k +1 − 3k +1
(
(
)
) (
( )
) (
)
(
)
2k 2 − 2k +1 − 2k +1 22 k +1
PROBLEMA 2 Hallar el determinante de adjadj(adj(F )) siendo
F la matriz indicada:
a + 1 3a b + 2a b + 1 2b b + 1 2 − b 1 F= a + 2 0 1 a + 3 1 a + 2 a + b b −1 Solución: Primero utilizando propiedades simplificaremos la expresión adjadj(adj(F ))
adjadj(adj....... adj(Fn )) = Fn
donde n : es el tamaño de la matriz p : es el número de adjuntas
( n −1) p
p
en nuestro caso n = 4 y p = 3 entonces adjadj(adj(F )) = F
( 4 −1)3
→ adjadj(adj(F )) = F
27
Ahora calcularemos la determinante:
F =
a +1
3a
b + 2a
b +1
2b
b +1
2−b
1
a+2
0
1
a+3
b −1
1
a+2
a+b
Paso 1: aplicamos operaciones elementales para reducir una fila o una columna nosotros escogeremos la columna 2 para reducirla
F =
a +1
3a
b + 2a
b +1
2b
b +1
2−b
1
a+2
0
1
a+3
b −1
1
a+2
a+b
− (3a ) f 4 + f1
'
− (b + 1) f 4 + f 3
'
4
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
− (3a )(b − 1) + a + 1 0 F =
− (3a )(a + b ) + b + 1
− (b + 1)(b − 1) + 2b 0 − (b + 1)(a + 2) + 2 − b
− (b + 1)(a + b ) + 1
a+2
0
1
a+3
b −1
1
a+2
a+b
− (3a )(a + 2) + b + 2a
− (3a )(a + b ) + b + 1
− (3a )(b − 1) + a + 1 0 F =
− (3a )(a + 2) + b + 2a
− (b + 1)(b − 1) + 2b 0 − (b + 1)(a + 2) + 2 − b 0
1
a+3
b −1
1
a+2
a+b
F = − (b + 1)(b − 1) + 2b − (b + 1)(a + 2) + 2 − b a+2 F = +(a + 2 ) + (a + 3)
− (b + 1)(a + b ) + 1
a+2
− (3a )(b − 1) + a + 1 − (3a )(a + 2) + b + 2a
− (3a )(a + b ) + b + 1 − (b + 1)(a + b ) + 1 a+3
1
− (3a )(a + 2 ) + b + 2a
− (b + 1)(a + 2 ) + 2 − b
− (3a )(a + b ) + b + 1 − (b + 1)(a + b ) + 1
− (1)
− (3a )(b − 1) + a + 1 − (3a )(a + b ) + b + 1 − (b + 1)(b − 1) + 2b
− (b + 1)(a + b ) + 1
− (3a )(b − 1) + a + 1 − (3a )(a + 2 ) + b + 2a
− (b + 1)(b − 1) + 2b − (b + 1)(a + 2 ) + 2 − b Simplificando tenemos:
F =0 Entonces: adjadj(adj(F )) = F
27
F =0
→
4PROBLEMA 3 Discutir los valores de "a" y "b" que determina la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones
(a − 3)x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2bx4 = 5 2 x1 + (a − 3)x2 + 2 x3 + 2bx4 = 10 − a 2 x1 + 2 x2 + (a − 3)x3 + 2bx4 = a 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + b(a − 3)x4 = a + b
Solución: Primero escribimos en forma matricial:
2 2 2b x1 5 (a − 3)x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2bx4 = 5 a − 3 2 x + (a − 3)x + 2 x + 2bx = 10 − a 2 a −3 2 2b x2 10 − a 1 2 3 4 → = 2 2 a −3 2b x3 a 2 x1 + 2 x2 + (a − 3)x3 + 2bx4 = a 2 2 b(a − 3) x4 a + b 2 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + b(a − 3)x4 = a + b
AX = B
5
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
+
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
PASO 1: CALCULAMOS LA DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES
A=
a −3
2
2
2b
2
a −3
2
2b
2
2
a −3
2b
2
2
2
2
2
2
2
a −3
2
2
2
2
a −3
2
2
2
2
a −3
A = (b )
la columna 4 factorizado “b”
b(a − 3)
a −3
2
2
2
c4 + c1 '
2
a −3
2
2
c3 + c1 '
2
2
a −3
2
c2 + c1 '
2
2
2
a −3
A = (b )
a −3
como la matriz es simétrica sumamos todo a la primera fila
a −3+ 2+ 2+ 2 2+ a −3+ 2+ 2 2+ 2+ a −3+ 2 2+ 2+ 2+ a −3 A = (b )
2
a −3
2
2
2
2
a −3
2
2
2
2
a −3
a+3 a+3 a+3 a+3 A = (b )
2
a −3
2
2
2
2
a −3
2
2
2
2
a −3
1 A = (b )(a + 3)
1
2 a −3 2
2
la fila 1 factorizamos “ a + 3 ” de la primera fila
1
1
− c1 + c2 '
2
2
− c1 + c3 '
a −3
2
− c1 + c4 '
1 → A = (b )(a + 3)
0
2 a −5 2
0
0
0
0
0
a −5
0
2 2 2 a −3 2 0 0 a −5 Como la matriz determinante es triangular entonces la determinante será el producto de la diagonal principal
A = (b )(a + 3)(1)(a − 5)(a − 5)(a − 5) → A = (b )(a + 3)(a − 5)
3
Nota: Si la determinante de la matriz es distinta de cero entonces será la solución será consistente determinado A 0
(b )(a + 3)(a − 5) 0 → b 0
a −3 a 5
CONSISTENTE DETERMINADO: b 0 a −3 a 5 PASO 2: CON LOS VALORES DE LA DETERMINANTE IGUALADA A CERO CALCULAMOS SI ES CONSISTENTE E INCONSISTENTE
6
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JOSE PAYE CHIPANA
Con
a =5
2 2 2b x1 5 a − 3 2 2 2 a −3 2 2b x2 10 − a = → 2 2 2 a −3 2b x3 a 2 2 b(a − 3) x4 a + b 2 2 2 2 2 2
CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
2 2 2b x1 5 2 2 2b x2 5 = 2 2 2b x3 5 2 2 2b x4 5 + b
2 2 2b x1 5 2 2 2b x2 5 A X = B = 2 2 2b x3 5 2 2 2b x4 5 + b
RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL Es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X = B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H = A B .
Rg(A)=Rg(H).
Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
Gauss Jordán Matriz Aumentada 2 2 2 2
H = AB
2 2 2b x1 5 2 2 2b x2 5 = 2 2 2b x3 5 2 2 2b x4 5 + b
2 2 2 2b 5 H=
2 2 2 2b 5 2 2 2 2b 5 2 2 2 2b 5 + b
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número “1” en este caso tenemos a “2” en la fila 1 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
7
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
2 2 2 2b 5
2 2 2 2b 5
2 2 2 2b 5
− f1 + f 2 '
2 2 2 2b 5
− f1 + f 3 '
→
2 2 2 2b 5 + b − f1 + f 4 '
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 b
2 2 2 2b 5 H=
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 b
→ H = AB
PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE INDETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER IGUALES
H = A B entonces Rango( A) = Rango(A B ) Rango( A) = 1 Rango(A B ) = 2 forzamos a
( )
que Rango A B = 1 entonces b = 0 CONSISTENTE INDETERMINADO: a = 5 b = 0 INCONSISTENTE: a = 5 b 0 Con
a = −3
2 2 2b x1 5 − 6 2 2 2b x1 5 a − 3 2 a −3 2 2b x2 10 − a 2 − 6 2 2b x2 13 = → = 2 2 a −3 2b x3 a 2 2 − 6 2b x3 − 3 2 2 b(a − 3) x4 a + b 2 2 2 − 6b x4 b − 3 2 2 2b x1 5 − 6 2 2 −6 2 2b x2 13 A X = B = 2 2 − 6 2b x3 − 3 2 2 − 6b x4 b − 3 2
RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL Es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X = B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H = A B .
Rg(A)=Rg(H).
Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
H = AB
Gauss Jordán Matriz Aumentada
2 2b x1 5 − 6 2 2 −6 2 2b x2 13 = 2 2 − 6 2b x3 − 3 2 2 − 6b x4 b − 3 2
−6
2
2
2b
2
−6
2
2b 13
2
2
−6
2b − 3
2
2
2
− 6b b − 3
H=
5
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número “1” en este caso tenemos a “2” en la fila 1 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente
0
8
2
2
2b
2
−6
2
2b 13 − f 4 + f 2 '
2
2
−6
2b − 3 − f 4 + f 3 '
2
2
2
5
− 6b b − 3
0
0
0
−8
2
2
2
3 f 4 + f1 '
0 →
8
0 −8
8
− 16b 3b − 4
0
8b 16 − b
0
0
−8
2
2
2
1 0 1 1 − 2b 3b − 4 0 f1 ' 8 8 8b 16 − b f + f ' 0 0 8 − 8b 12 + 2b 0 1 2 → → 8b − b 0 0 − 8 8b − b 0 − 6b b − 3 2 2 2 − 6b b − 3 − 2 f1 + f 4 ' 2
− 16b 3b − 4
8
0 −8
−6
8b
−b
− 6b b − 3
3b − 4 8 0 8 − 8b 12 + 2b 0 − 8 8b − b 0 0 − 2b b − 8 4
1
1
− 2b
3b − 4 3b − 4 0 1 1 − 2b 8 8 0 0 8 − 8b 12 + 2b f 3 + f 2 ' 0 0 0 0 12 + b → 0 0 − 8 8b − b 0 0 − 8 8b − b b − 8 2 0 0 − 2b 2 0 0 − 2b b − 8 4 4 PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE INDETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER 0 1
1
IGUALES
− 2b
H = A B entonces Rango( A) = Rango(A B ) Rango( A) = 3 Rango(A B ) = 4 forzamos a
( )
que Rango A B = 3 entonces 12 + b = 0 → b = −12 CONSISTENTE INDETERMINADO: a = −3 b = −12 INCONSISTENTE: a = −3 b 12 Con b = 0
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
2 2 2b x1 5 a − 3 2 2 a − 3 2 a −3 2 2b x2 10 − a 2 a −3 2 = → 2 2 a −3 2b x3 a 2 2 a −3 2 2 b(a − 3) x4 a + b 2 2 2 2 2 2 a − 3 2 a −3 2 2 2 a −3 2 2 2
0 x1 5 0 x2 10 − a = 0 x3 a 0 x 4 a
0 x1 5 0 x2 10 − a A X = B = 0 x3 a 0 x4 a
RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL Es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X = B de m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H = A B .
Rg(A)=Rg(H).
Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces: Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
H = AB
Gauss Jordán Matriz Aumentada 2 2 a − 3 2 a −3 2 2 2 a −3 2 2 2
0 x1 5 0 x2 10 − a = 0 x3 a 0 x 4 a
H=
a −3
2
2
0
2
a −3
2
0 10 − a
2
2
2
2
a −3 0 2
0
5 a a
Paso (1) nos concentramos en la primera columna de la matriz buscamos un pivote generalmente es el número “1” en este caso tenemos a “2” en la fila 1 nos serviría Este pivote anulara a todos los elementos de la columna ahora aplicamos las operaciones elementales en fila todo lo detallado anteriormente a−3
2
2
0
2
a−3
2
0 10 − a f 3 + f1 '
2
2
2
2
a−3 0 2
0
5 a a
f 4 + f1 ' f 2 + f1 '
a + 3 a + 3 a + 3 0 15 + a
→
2
a −3
2
2
2
2
2
0 10 − a
a −3 0 2
0
1 f1 ' a+3
a a
10
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
0 15 + a a+3 2 a−3 2 0 10 − a → 2 2 a−3 0 a 1
→
1
1
2
2
2
0
1
1
1
0
2
0
2 a −3 2
2
0
0
a
1 → − 2 f1 + f 4 '
1
2 a−3 2
2
0
0
1
0
2
0
15 + a a+3 10 − a
a−3 0 0
a 15 + a 0 − 2 +a a+3
15 + a a+3 10 − a
a −3 0
a
0 (a + 6)(a − 5)
0
a+3 PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE INDETERMINADO LOS RANGOS DEBEN SER
IGUALES
H = A B entonces Rango( A) = Rango(A B ) Rango( A) = 3 Rango(A B ) = 4 forzamos a
(a + 6)(a − 5) = 0 que Rango A B = 3 entonces
( )
a+3
CONSISTENTE INDETERMINADO: b = 0 a = −6 a = 5 INCONSISTENTE: b = 0 a −6 a 5 PROBLEMA 4
k + 2 − 5 − 5 Si se conoce la matriz adj(B ) = − k − 4 1 10 y además se conoce que − k − 3 3 0
Det(adj(cofact(3B ))) = 316 54
se pide: (a) Hallar el valor de “k” (b) Hallar la matriz
Solución: Aplicamos propiedades para simplificar:
Det (adj(cofact(3B ))) = 316 54
cofact( An )T = adj( An ) adj(AT n ) = adj( An )T adjadj( A ) = A adj (kAn ) = k n−1adj ( An ) adj( An Bn ) = adj(Bn )adj( An ) adj( A ) = A n
1 adj( An ) An
T
T
T
n −1
n
( (
cofact(3B) = adj(3B) entonces: Det adj adj(3B) T
( (
))
Det(adj(adj(3B ))) = Det adj (3) adj(B ) 2
An
kAn = k n An
cofact(3B) = adj(3B)
(9 )adj(adj(B ))
n −2
n
n
A−1 =
B (c) Hallar B −1
2
( )
= 316 5 4 → 9 2
3
T
(( )
T
)) = 3
16
54
)
→ Det 9 2 adj(adj(B )) = 316 5 4
adj(adj(B ))
T
= 316 5 4 →
T
(9 )
2 3
adj(adj(B )) = 316 5 4 T
11
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(9 )adj(B) 6
T
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= 316 5 4 → adj(adj(B )) = T
adj(adj(B )) = adj(B )
(3−1)
316 5 4 316 5 4 ( ( ) ) → adj adj B = → adj(adj(B )) = 34 5 4 12 12 3 3
= 34 54 → adj(B) = 34 54 → adj(B ) = 32 52 2
Con esta condición podemos hallar “k” adj(B ) = 3 5 2
k +2
adj(B ) = − k − 4 −k −3 k
adj(B ) = − k
k
−5 −5 1 3
10 calculamos la determinante reduciendo por el Método de Chío: 0
−5 −5
−k
1
10
3
0
−5 −5
adj(B ) = 0 − 4
2
5
0 −2 −5
−5 −5
2 f1 + f 2 ' + − 4
1
10
f1 + f 3 '
−3
3
0
2
−3 −5
+ − 4 − 3 10 −3
0
c1 + c2 '
= +(k )
0
−4
5
−2 −5
+ (− 3)
−3 −5 − 3 10
adj(B ) = +(k )(20 + 10) + (− 3)(− 30 − 15) → adj(B ) = 30k + 135 adj(B ) = 30k + 135 = 15 (2k + 9) → adj(B ) = 15 (2k + 9)
adj(B ) = 15 (2k + 9) = 15 (2k + 9) adj(B ) = 15 (2k + 9) = 32 52 → 2k + 9 = 15
k =3
− 2 − 1 − 3 B = − 4 − 2 − 1 − 1 1 − 2 5 − 5 − 5 1 1 − 7 1 10 B −1 = adj(B ) → B −1 = B 15 − 6 3 0
12
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EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1
Calcular el determinante F :
0 1 F = 1 : 1
1 0 1 ....... 1 1 0 ........ .1 : : : : 1 1 ........ 0 1 1
......
Solución:
F = (n − 1)(− 1)
n −1
13
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMA 2
x + y + z = a x + y + v = b Resolver el sistema de ecuaciones: x+ z +v = c y + z + v = d Solución:
x=
− 2d + a + b + c 3
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y=
− 2c + a + b + d 3
z=
− 2b + a + c + d 3 14
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v=
− 2a + b + c + d 3 INGENIERÍA PETROLERA
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CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMA 3 Para las matrices A y B calcular tr ( X ) si (5 AB ) + X T
T
(
=2 B+ A
)
T T
1 2 1 −1 A = 4 0 5 y − 3 1 − 2
− 1 / 2 0 0 B = 3 1 / 5 0 0 0 1 Solución:
tr ( X ) =
− 241 10 15
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PROBLEMA 4
Calcular la inversa de la matriz G
3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 G = 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3
Solución:
16
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G −1
9/5 − 2 − 1 / 5 − 3 / 5 2 − 3 1 0 0 2 = 1 − 3 / 5 1/ 5 0 − 3/ 5 6/5 0 − 4/5 − 2/5 1 5 3/ 5 4 / 5 − 3 − 27 / 5
17
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PROBLEMA 5
(
T −1 Siendo una matriz de orden 5 talque A = 5 y M = 5 A−1 AT y N = A A 5 A
)
T
Calcular M N
Solución:
M N = 535
18
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EXAMEN: I-2014 PROBLEMA 1
2 0 Dadas las matrices A = 2 − 2
2 1 0 1 0 1 0 y B= 0 1 0 2 1 0 0 − 1 − 1 0 0 2
0
0 0 0 1 1 0 0 0 encontrar las 1 0 0 0 0 1 0 0
matrices P y Q de modo que PAQ=B Solución:
19
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1 / 2 0 P= 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 Q = 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 − 1 0 1 0 − 1 − 1 2 0
0
PROBLEMA 2
0 0 Calcular el valor de la determinante C : C = 0 0 5
0 0 0 1 0 0 2 3 0 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9
Solución:
C = 120 20
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PROBLEMA 3
Calcular la inversa de la matriz D
4 2 D= 0 0
2 5 1 2 0 3 0 5 1 0 0 5
Solución:
1 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2 3 / 10 − 1 / 2 1 1/ 2 − 3 / 5 D −1 = 0 0 1 / 5 − 1 / 25 0 0 1/ 5 0 21
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PROBLEMA 4 Discutir el valor de la constante para el sistema de ecuaciones y obtener su solución:
x + y + 2z = 2 2 x − y + (k − 2 )z = 2 5x − y + 8z = 6 Solución:
UNICA SOLUCIÓN: k 5
INFINITAS SOLUCIONES: k = 5
22
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PROBLEMA 5
( ) ( )
Para la matriz E calcular S = tr E T + tr E −1 − tr (adj(2 E ))
1 0 0 E = − 1 2 0 1 2 3
Solución:
S=
23 6
23
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EXAMEN: II-2013 PROBLEMA 1 Hallar las condiciones que debe cumplir a y b talque la matriz A se puede expresar en la forma A=LDU donde L es una matriz triangular inferior, U es una matriz triangular Superior utilice solo operaciones elementales considere las matrices
1 2 2 A = − 3 − 1 4 4 − 2 6
0 a − 2 0 A= 0 4 0 0 0 b + 4
Solución:
24
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Para que se factorice en A=LDU de cumplir como unica condición
a2 b4
25
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PROBLEMA 2
a 2 Hallar el determinante de la adj(adj(F )) : F = b 2 c 2
(a + 1)2 (a + 2)2 (b + 1)2 (b + 2)2 (c + 1)2 (c + 2)2
Solución:
adj(adj(F )) = (4(b − a )(c − a )(b − c ))
4
26
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PROBLEMA 3 Hallar el valor de a y la solución completa en el sistema de ecuaciones si se sabe que Z=3
ax − y + 2 z = 6 3x + y − z = 2 4 x + 2 y + z = 11 Solución:
a=2
x =1 y = 2
z =3
27
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PROBLEMA 4
4 −8 4 Si se conoce la matriz adj( A) = − 7 9 − 5 y además se conoce que Det(adj(2 A)) = 64 6 10 k Se pide: (a) Hallar el valor de k (b) hallar la matriz A (c) Hallar A −1 Solución:
−1 − 2 1 4 −8 4 1 −1 0 − 2 (c) A = − 7 9 − 5 (a) k = −6 (b) A = 3 4 − 4 2 6 10 6 5
28
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EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 Dadas las matrices A y B encuentre las matrices P y Q. provenientes de realizar operaciones elementales de modo que:
0 2 3 4 A = 2 3 5 4 4 8 13 12
0 0 0 0 A = 0 2 3 4 0 0 0 0
Solución:
29
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1 / 2 − 3 / 2 − 5 / 2 − 2 1 0 0 0 1 0 0 L=1 0 0 Q = 0 0 1 0 − 1 − 2 1 0 0 1 0 PROBLEMA 2
Calcular el determinante de C:
x 0
−1
1 0
1
−1
1 0
x
C =1 0
x −1 0 0
0 1
−1
x 1
0 1
−1
0
x
Solución:
30
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A = ( X 2 + 1 − X )(1 − X + X 2 )
31
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PROBLEMA 3 Si DX = D T
1 2 3 calculara: 2 X T : D = 1 3 4 1 4 3
− 2 2 0 2 X = − 7 3 1 − 14 2 4 T
32
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PROBLEMA 4
2x + 3 y − z + u = a ¿Para que los valores de a y b el sistema es consistente?:
x + 5 y − z − 2u = v − x + 2 y + 2 z − 3u = 0 3x + y − 3z + 4u = 3
Solución:
a = 5 b
33
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PROBLEMA 5 Sea el F calcular el valor numérico de E = (adj(adj( F −1 ))) Solución:
1 E= 9 48
34
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EXAMEN: I-2012 PROBLEMA 1 Reducir la matriz A, a su forma y hallar las matrices P y Q, tales que PAQ=Nn
1 2 3 − 2 A = 2 − 2 1 3 3 0 4 1 Solución:
35
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PROBLEMA 2 Calcular la inversa de la matriz B:
1 a B= 0 0
a 0 0 0 0 0 0 1 a 0 a 0
Solución:
36
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1/ a 0 0 0 1 / a − 1 / a 2 0 0 −1 B = 0 0 0 1/ a 0 1/ a − 1/ a 2 0 PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución:
x + y + w =1 y + z + (a + 1)w = 2 x + z + (a − 2)w = 1 (a − 3) y + z + w = b Solución:
38
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PROBLEMA 4
x− y−z =2 y el plano Pl : 4 x + y − z = 3 2 x − y + z = 1
Determinar la posición relativa de la recta y el plano: l :
Solución: El sistema es incompatible por tanto la recta y los planos son paralelos
40
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EXAMEN: II-2010 PROBLEMA 1 Sea la matriz, se pide expresarla en la forma: A=LDU, Donde L es una matriz triangular inferior,
5 − 10 5 3 0 0 2 − 1 U es una triangular superior y D = 0 5 0 A = 4 − 3 − 6 5 0 0 7 Solución:
41
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0 0 1 5 / 3 − 10 / 3 5 / 3 L = 4/5 1 0 U = 0 2 − 1 − 3 / 5 − 6 / 5 1 0 0 2 / 7 0 0 3 0 0 5 / 3 − 10 / 3 5 / 3 1 A = LDU = 4 / 5 1 0 0 5 0 0 2 − 1 − 3 / 5 − 6 / 5 1 0 0 7 0 0 2 / 7 42
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PROBLEMA 2 −1
Demostrar que la matriz B = ( I − A)(I + A) es ortogonal si: A:
0 1 0 A = − 1 0 − 2 0 2 0 Solución:
43
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B
−1
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1 / 3 − 2 / 3 2/3 = − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 2 / 3 2 / 3 − 1 / 3 44
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PROBLEMA 3 Se pide calcular el valor del siguiente determinante:
x − y − z − u y x −u z z u x − y x u − z y Solución:
A = (x2 + y 2 + z 2 + u 2 )2
45
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PROBLEMA 4
5 − 10 15 7 k De una matriz F, se conoce: adj( F ) = 29 − 2 4 7 6 2 (a) Encontrar el valor de k, sabiendo que: detadj(3F ) = 3 65 (b) Con el valor de k del anterior inciso, hallar la matriz F Solución:
46
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(a) Para cualquier valor de K.
1 2 − 1 (b) La solución es la siguiente para un K=4: F = − 3 1 7 2 0 5
48
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EXAMEN: II-2009 PROBLEMA 1
1 0 0 0 0 2 3 4 B = 0 2 3 4 Calcular P y Q si B=PAQ A = 2 3 5 4 0 0 0 0 4 8 13 12 Solución:
1 0 0 P=1 0 0 − 1 − 2 1
1 / 2 − 3 / 2 − 5 / 2 − 2 0 1 0 0 Q= 0 0 1 0 0 0 1 0
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PROBLEMA 2
Calcular la Determinante:
x 0
−1
1 0
1
−1
1 0
x
C =1 0
x −1 0 0
0 1
−1
x 1
0 1
−1
0
x
Solución:
(
)(
)
C = x 2 − x + 1 x3 − x + 1
50
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PROBLEMA 3 Discutir el valor de la constante para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución:
2x + 3y − z + w = a x + 5 y − z − 2w = b − x + 2 y + 2 z − 3w = 0 2 x − 1y − 3z + 4w = 3 Solución:
El sistema es consistente con a = 3 51
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PROBLEMA 4
( ( ))
Calcular E = adj adj F −1
1 2 F = 3 4
2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3
Solución:
E = 48−9
52
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EXAMEN: I-2008 PROBLEMA 1
2
Calcular X 2 − Y 2 siendo X + Y = 1
1 0 1 ; 3 X − Y = − 2 1 0
Solución:
− 2 0 X 2 −Y 2 = 0 − 2
53
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PROBLEMA 2 Hallar las matrices elementales P y Q tal que: P.A.Q=D donde :
3 − 4 2 A = 4 5 − 1 2 − 1 7
0 1 0 D = 0 − 7 0 0 0 − 2
Solución:
2 3 0 − 23 1 P= 0 − 23 46 23 − 14 11 − 1
1 − 5 − 40 / 7 Q = 0 1 15 / 7 0 0 1 54
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PROBLEMA 3 Hallar el valor de “a” de tal modo que la matriz F sea no singular, si este cumple con la ecuación CF=A, donde:
4 −5 3 2 − 1 1 −1 8 G = 3 − 4 − 2 A = 2 a + 1 a − 1 2a + 7 1 − 2 4 Solución:
a−
16 29
55
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PROBLEMA 4 Hallar los valores de “p” y “q” tal que el sistema de ecuaciones AX + 3 pX = −4 X + B sea consistente, consistente indeterminado e inconsistente. T
2 p − 3 − 3 A = − 3 2 p − 3 ; B = 2 p + 2 − 2q + 4 − 3 − 3 2 p Solución:
56
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7 5 (b) Consistente determinado rango(C ) n : p q
(a) Consistente Determinado C 0 : q , p − , p
(c) Inconsistente Rango(C : D) Rango(C ) : p =
2 5
7 2 p = , q # 5 5
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EXAMEN: II-2007 PROBLEMA 1 Hallar la inversa de la matriz D si: D= A*B donde las matrices A y B están generados por:
A3 x 3
−5 si i * j = si, 0
5 i j i * j si B3 x 3 = i j si, 0
i j i j
Solución:
58
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36 − 18 0 1 D = − 18 18 − 6 36 0 − 6 3 −1
59
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PROBLEMA 2
2 − 3 1 1 0 0 y A= encuentre las matrices C y D provenientes 3 1 − 4 0 1 0
Dada las matrices: A =
de realizar de operaciones elementales de modo que: CAD=B Solución:
60
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1 0 0 CAD = B 0 1 0
61
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PROBLEMA 3
x 5 Hallar los valores de “X” que hacen la matriz F sea singular: F = 0 0
1 0 0 x 3 0 3 x 5 0 1 x
Solución:
x=
3 + 29 3 − 29 − 3 + 29 − 3 − 29 ;x = ;x = ;x = 2 2 2 2 62
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PROBLEMA 4 Discutir en el sistema de ecuaciones los valores de “a” sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente
4 x + (2a − 2) y + 4 z = a + 3 4 x + 4 y + (2a − 2) z = 4
(2a − 2) x + 4 y + 4 z = 4 Solución:
(a) Consistente Determinado a 3 a −3 (b) Consistente indeterminado a / (c) Inconsistente a = 3 a = −3 63
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111 L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG
CICLO
: 2011 - II
FECHA
: 20.10.11
EXAMEN PARCIAL 1.- Mediante propiedades calcule K si:
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4 7b1 c1
7b2 c2
7b3 c3
7b4 c4
7c1 d1
7c2 d2
7c3 d3
7c4 d4
7d1 a1
7d2 a2
7d3 a3
7d4 a4
a1 b1 c1 d1 =K
a2 b2 c2 d1 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4
4 5 x 2.- Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 donde A x 1 x x 2 , x , x 5 2 x 3
11 a 4 adj (3 A1 ) 9 A . Si se sabe que B es simétrica y adj (2 B)3 64 6 3 b , c 2 1
B 0 . Calcular,
BA1 .
a b b b b b 2a a 0 0 3.- Dada la matriz A b a 2a 0 0 b 0 0 2 a a b 0 0 a 2a i) Para qué valores de a y b el rango de A tomará su máximo valor ii) Si b
3 . Para qué valores de “ a ” el 0 r ( A) 5 2
4.- Resolver el sistema ( A C ) X B si se sabe que
1 A1 F2 F23 1 F31 2 F12 ( ) F13 (2) , z 0
el elemento que se
encuentra en la segunda fila y segunda columna de la matriz de cofactores de A es 3
x m 1 3m 1 3m 9 m 3 X y , B m 1 , C 2m 4m 2 2m 2 z 0 4m 2 5m 10 2m 2 Victoria
y
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: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2011– I
L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG
FECHA
: 19.05.11
EXAMEN PARCIAL 1.- Se tienen las matrices cuadradas A, B y C de orden 25 donde:
A (a i j ) (i j )
B (b i j ) min i, j
C (c i j ) (i j ) D ( BC )T A ( ABC )T (di j ) a) Calcular el término general de la matriz D
b) Hallar los elementos d10,20
y d20,10
de la matriz D.
2.- Calcular el determinante de la siguiente matriz
a ax A ax 2 n ax
1 a
0 1
0 0
ax
a
1
ax n 1 ax n 2
ax n 3
0 0 0 a
3.- Sea A una matriz cuadrada, no singular de orden 4 donde:
A 1 F14 (1) F13 (1) F12 (1) F24 (1) F34 (1) F2 ( y x ) F3 ( y x ) F4 ( y x ) F4 ( 2) F42 (1) F43 (1) F1 ( x ) F21 (1) F31 (1) F41 (1)
y
x y 0 . Calcular 4 AT A1 . 4.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3y kzk4 2(k 1) x (4k 1) x (k 1) y (2k 1) z 2k 2 (5k 4) x (k 1) y (3k 4) z k 1 Para qué valores de k, el sistema tendrá a) Solución única?. Calcular b) Infinitas soluciones que dependen de un parámetro c) Infinitas soluciones que dependen de dos parámetros d) Inconsistencia Victoria
adj adj ( A1 ) 169 ,
x 0,
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:
ALGEBRA LINEAL
CODIGO DOCENTE
: :
CB-111 ALEJANDRO HUAMAN , GELACIO TAFUR
CICLO
: 2010 – III
FECHA
: 04.02.11
EXAMEN PARCIAL
1.- Calcular el siguiente determinante
3 x1 x2 x1 x2 0 0
5 x2 x3 x2 x3 0
7 0 x3 x4 x3 0
2n 1 0 0 0 xn xn 1
n 0 0 0 xn
2.- Si existen x, y, z no todos nulos a la vez tales que:
x - by - cz 0 - ax y - cz 0 - ax - by z 0 a b c 1 . ? Justifique su respuesta ¿Es posible demostrar que: a 1 b 1 c 1
1 2 1 0 3.- a) Sea A 1 0 3 5 1 2 1 1 Halle una matriz escalonada reducida por fila R que sea equivalente a la matriz A y una matriz no singular P de orden 3 tal que R PA
1 0 b) Sea A 0 0
4 4 1 exprese A como un producto de matrices elementales. 4 4 1 1 4.-Dada la matriz A F12 F32 (1) F2 F21 ( 2) F13 ( ) y adj ( A) 2 2 2 0 0
3 3 3 0
3 0 2k 2 x k 2 2 2 2 Resolver el sistema A M y 2k k / M k 1 k k 1 k k 1 z 0 4k 3k 1 2 3k Victoria
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
:
2010-II
A. HUAMAN, R. CHUNG
FECHA
:
22.10.2010
EXAMEN PARCIAL 1.- Dada la matriz
M A1 I
1
1 I A1 I A I A
con AAt I At A
¿Es una matriz antisimétrica?. Justifique su respuesta. 2.- Dadas las matrices
0 5 1 A (aij )33 matriz triangular inferior con aij , B 5 0 2 y 1 2 0 t M Adj (C ) Adj (C ) matrices no singulares y cumple MB BM 0 ,
MA B / A B 30 7 exprese A B como un producto de matrices elementales. 3.- Hallar el determinante
1 1 1 ( x1 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) A 2 ( x1 ) n 1 ( x1 ) n 1 ( x2 )
1 1 1 ( xn 1 ) 1 ( xn ) 2 ( xn 1 ) 2 ( xn ) n 1 ( xn 1 ) n 1 ( xn )
donde k ( x) x k a1k x k 1 ak 1k x akk 4.- Dado el sistema An X BAn 2Y t
t
An Y B X , n t
3 2 0 1 y B 3 2 1 0 Determine las matrices X , Y Si A
Victoria
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: : :
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CICLO
:
2010-I
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FECHA
:
21.05.2010
EXAMEN PARCIAL
1. Si
x
x
x2
x4
x4
x2
x
x 2
4x x
x
2x
3x
4 x4
3x 2
2x
4
x2 1
.
Calcule:
2. a) Si Frs es una matriz elemental fila de orden n demuestre que: r ( I Frs ) r ( I Frs ) n Sugerencia: Si B, C son matrices de orden n, entonces
r ( B C ) r ( B) r (C ) ,
b) Dada la matriz
a bcd b acd A c abd d bdc
ab
ac
ab
bd
cd
ac
cd
bd
r ( BC ) r ( B ) r (C ) n
ad bc bc ad
para qué valor de a, b, c, d la matriz A tiene rango 4. 3. Dada la matriz E de orden 3. Si : E I A
1
1
1
A2 I A A1 I A A
2 4 5 Exprese E como un producto de matrices elementales, sabiendo que: A 2 2 1 3 5 2 x 1 sabiendo que: 4. Resolver el siguiente sistema: M y b z 1 4 a 13 b 4 M 4Q 47 ab 16 15 , donde Q se obtiene a través de las condiciones: 52 b 20 a 21 1 1 1 1 1 2 C AB y B QA / B I , además C 2 y adj (C ) 10 x 2 7 3 1 Victoria
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
ALGEBRA LINEAL CB-111 VICTOR MONCADA CAJAVILCA
: : :
CICLO
:
2010 -II
FECHA
: 2010.10.05
EXAMENES PARCIALES CICLO 2010-I
1. Si
x
x
x2
x4
x4
x2
x
x
x
2x
3x 2
4 x4
4 x4
3x 2
2x
x
x2 1
.
Calcule:
2. a) Si Frs es una matriz elemental fila de orden n demuestre que: r ( I Frs ) r ( I Frs ) n Sugerencia: Si B, C son matrices de orden n, entonces
r ( B C ) r ( B) r (C ) ,
b) Dada la matriz
a bcd b acd A c abd d bdc
ab
ac
ab
bd
cd
ac
cd
bd
r ( BC ) r ( B ) r (C ) n
ad bc bc ad
para qué valor de a, b, c, d la matriz A tiene rango 4. 3. Dada la matriz E de orden 3. Si : E I A
1
1
1
A2 I A A1 I A A
2 4 5 Exprese E como un producto de matrices elementales, sabiendo que: A 2 2 1 3 5 2 x 1 sabiendo que: 4. Resolver el siguiente sistema: M y b z 1 4 a 13 b 4 M 4Q 47 ab 16 15 , donde Q se obtiene a través de las condiciones: 52 b 20 a 21
C AB y B QA / B 2 I , además C 1
1 1 1 2 y adj (C 1 ) 10 x 2 7 3 1
CLO 2009-II 1.- Calcule los siguientes determinantes
1 2 3 4 n x 1 2 3 n 1 x x 1 2 n2 x x x x 1
a)
1 x2
x
0
0
0
x
1 x2
x
0
0
0
x
1 x2
0
0
0
0
0
1 x2
0
0
0
b)
x 1 x2
x
2.- Hallar la matriz inversa de A
1 a A a2 n a
0 0 a 1 0 a n 1 a n 2 1 0 1
0 0
3.- Demuestre sin desarrollar
y 1 y 2 z 1 z 2
1 x 1 x2 1 1
x3 y
3
z3
1 x2
= 1 y
2
1 z2
1 xy xz
yz
xz 1 xy yz
xz
1 xz yz
xy
yz
xy
2 4 1 5 1 1 x 4.- Sea C 4 2 2 4 2 , B 1 , X y 6 2 2 2 5 1 2 z 1 y A1 F31 ( ) F21 (1) F12 ( ) F1 donde el cofactor del elemento a12 de la matriz 2 A es -1. Para qué valores de , el sistema de ecuaciones A C X B tendrá: a) Solución única. Calcular , b) Infinitas soluciones. Calcular c) Inconsistente
CICLO 2009-I
1.- Si
1 x
x3 xyz y 2 z yz 2
1 y
y 3 xyz x 2 z xz 2 k ,
1 z
z 3 xyz x 2 y xy 2
calcular
2.- a) Hallar el determinante de la siguiente matriz
x2 k
xy
y2
y2
x2 k
xy
xy
y2
x2 k
cos( x a1 )
cos( x a2 )
cos( x a3 )
A sen( x a1 )
sen( x a2 )
sen( x a3 )
sen(a2 a3 ) sen(a3 a1 ) sen(a1 a2 ) b) Determine la relación que existe entre a1, a2 y a3 para que el r ( A) sea menor que 3. 3.- A y C son matrices cuadradas de orden 3 donde AC = I 1 1 A F31 (b) F32 (1) F21 F2 (2) F12 (1) F1 , 2 2
C F31 (a ) F32 (c) F21 1 F12 (1) D adj (adj (adj ( A))) (dij ) donde d13 7 . Resolver ( A C ) X B ,
si B a, b, c
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales x3 x4 0 x1 1 x1 x2 x3 x3 x4 0 x1 bx x x4 1 1 2 x2 bx3 x4 a Para qué valores de a y b el sistema tendrá : a) Solución única?. Calcular b) Infinitas soluciones que dependen de 1 parámetro, 2 parámetros c) Inconsistencia.
CICLO 2008-III
1.- Dada la matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 ( ) F23 (3) F2 F13 F12 una matriz de orden 3 y 2
A
1
resolver el siguiente sistema A C X B 1
2m 1 m m 1 donde C m 2 m 2 m 1 2m 1 m 1 m 3
x X y z
m 1 y B m m
T
3.- Hallar el valor del determinante de A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 n
CICLO 2008-2 1. Dada la matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
Exprese I A 1 I A 1 A2
1
como un
producto de matrices elementales 1 1 2. Si A F21 ( ) F23 (3) F2 F13 F12 una matriz de orden 3 y A resolver 2 1 2m 1 m m 1 x m 1 el siguiente sistema A C X B donde C m 2 m 2 m 1 X y y B m 2m 1 m 1 m 3 z m 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. Hallar el valor del determinante de A A 1 1 1 1 1 1 1 1 a DX B b C FX 4.- Sea el sistema de ecuaciones lineales 1 1 Donde: D 0 1
0 0 0 0
1 2 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0 , F 0 0 0 0
1 2 1 1
1 2 2 1
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Tiene solución única. La solución depende de 1 parámetro La solución depende de 2 parámetros. La solución depende de 3 parámetros. La solución depende de 4 parámetros. La solución depende de 5 parámetros.
1 2 2 2
1 1 1 1 1 n
x1 0 2 1 x2 0 3 2 , B , C , X x3 2 1 0 x4 0 3 1 x 5
CICLO 2008-1 1.- Calcular el siguiente determinante:
1
2
3
n
1
23
33
n3
1 22n 1 32n 1 n 2n 1 x 2 3 a b b c 2 2.- A es una matriz antisimétrica y adj ( A) ad c 1 d
donde adj (2 A)T 218
a) Encontrar A-1 . b) Expresar la adj ( A) como un producto de matrices elementales fila
3.-Sean los vectores a , b , c , d y e de V3 tal que c d a,
a b a b ,
b c b c .
a b c d e e 0 , c. a 0 , b. e 0 ,
c d
a b . d . 4.- Si
A
es una matriz cuadrada de orden
demostrar que
adj ( I A) adj ( I A1 )
n
2 d 2
5 2 2 d c 8. 2
,
Hallar
y AAT AT A I , (I matriz identidad)
es una matriz antisimétrica .
( I AT )
CICLO 2007-2 1.- Calcular el siguiente determinante de orden n x2 x 1
x3 x 2
0
0
0
1
x2 x 1
x3 x 2
0
0
0
1
x2 x 1
0
0
0
0
0
x2 x 1
0
0
0
2.- Si AAt At A I ,
( I A)
y
1
x3 x 2 x2 x 1
B son matrices no singulares
Demostrar que: M = A1 B 1 A A B 1 B( I A)( I A)1
es antisimétrica
3.- A es una matriz antisimétrica de orden 4 con determinante positivo, donde a x b 1 adj ( A) 4 3 2 1 1 4.- Sean A 0 1 3 1
Si AC 1B
T
3 3 ,x< c 2 d 1 0 2 , B 1 2 0
9
0
1 1 adj adj A . 3 9
y
0 1 2 0 1 1
y
C
Calcular 2 A AT
matrices cuadradas de orden 3
AB , expresar C como un producto de matrices elementales fila.
.
CICLO 2007-1 2 3 1 2 a 1 1 1.- Dada la siguiente matriz A a 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 A, si es que existe.
4 3 2 , determine la matriz inversa de 1
2.- Sea A K 4 (matriz triangular superior) donde los elementos de la diagonal principal están dados por aii i , la matriz B bij tal que bij b ji 0 , además
BX XB B XA
con X matriz no singular y simétrica. 0 a3 Determine el rango de la matriz M = A + D , donde D 1 4a 3
a3 2 a 2 a 1 2 3 2a 3a 3 4a 3a 2 2a 3 a2
a
4 2 1 3.- Sean A, B, y C 8 5 4 matrices no singulares tales que ACB = |A| B , donde 12 4 3
|A| >0 a) Hallar A y A1 b) Expresar A y A1 como un producto de matrices elementales fila 1 3 1 4
1 | A | 2
1 2 1 3
1 n
1 n 1
1 n2
1 2n 1
1 4.- Calcular el siguiente determinante
1 n 1 n 1
CICLO 2006-1 0 1.- Sea la matriz A c a
A 0,
A A
T
a 0 b
0.
1 a 21 2.- Sea la matriz A a31 a n1 1 2
c a b
b a c 0 son números enteros tales que
a13 a 23 3 a n3
a1n a 2n a 3n n
adj A A
a12 2 a32 an2
4 8
T
diagonal tal que I ( I D) A 1 , calcular
2
y
2 adj (2 A)
. Calcular A ( A AT )
D (d i j )
i j 1
1
.
es una matriz
1 ab 3.- Sea la matriz A ab 2d
cd 1 f ed
ab g 1 e f
f g d , d g 3 1
(C no singular) tales que BC = CB ,
B y C son matrices simétricas
AC = B
Para qué valores de los elementos de A, el rango de A es 4, 3, 2, 1?. 4.- Sea a , b , c , d Vn no nulos, donde a b c d , a b c d 0 ,
a c d a c b , Hallar a d a c .
a b c d b c
, a c c b 0 .
CICLO 2005-2 1 2n 1 2n 3 3
1.- Calcular el siguiente determinante
1 1 2.- Sea la matriz A b 1
a 1 1 1
1 1 a a
3 1 2n 1 5
5 3 1 7
7 5 3 9
2n 1 2n 3 2n 5 1
a 1 , donde a 0 , b Z . 1 b
En la matriz de cofactores de A, el elemento A34= 1, |adj(b A)| = - 85. Expresar la matriz adj ( A ) como un producto de matrices elementales fila. 3.- Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n, donde AAT = I, BBT = I y AB = BA.
B
Si
T
AT
B 1
T
AT C T B A( B A) 1 ,
4.- Sea el sistema de ecuaciones lineales:
hallar C
x ay a 2 z 1 x ay abz a
bx a 2 y a 2 bz a 2 b
Para qué valores de a y b, el sistema tendrá: a) Solución única?. Calcular b) Infinitas soluciones. Calcular
c) Inconsistencia
CICLO 2005-1 1.- Calcular el valor del siguiente determinante de orden n , si x x x x 1 2 0 0 1 2 0 0 1 . . . . . . . . . 0 0 0
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. x . 0 . 0 . 0 . . . . . . . 1
x 0 0 0 . . . 2
1 2 1 n
2.- Sea la matriz no singular
2x 1 x 1 2x A 2x 2x 1 x 1 2 x 1 3x 1 2 x 3
tal que 10 | 4 A| = | adj(2 A) |
Expresar la adj(A) como un producto de matrices elementales fila 3.- AX = B es un sistema de ecuaciones lineales que únicamente su solución depende de dos parámetros cuando t 1, k k 0 , donde: Adj(AdjAT) = |A|2 (F1(a-1)F2(k + a) F21(1) C) 1 0 C 0 0
0 0 1 1 a a 2b 0 2a b 1 t
0 1 ab a b 1 t
,
B = (a, a, a + b, a + b)T.
si k k 0 , para qué valores de a, b y t el sistema dado: a) Tiene solución única, calcular b) Depende de un parámetro inconsistente
c) Es
a b 4.- Sean b , c y a tres vectores de V3 tal que a b c 0, t (b c ) (a c ) , t0 2
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar a b
a)
4
a b c 2
1 2
b) proyb c b (a b ) (b c ) 0
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2009-III
A. HUAMAN, R. VASQUEZ
FECHA
: 05 .02.2010
EXAMEN PARCIAL 1.- Sean las matrices cuadradas de orden 50, A, B, C y D donde:
50 ij
A BDC , B C T , C ci j
,
50 i 2 j 2
D di j
a) Hallar el elemento genérico de la fila i columna j de la matriz A. b) Hallar el elemento genérico de la fila 20 columna 10 de la matriz A
2.- Hallar el siguiente determinante
a1 x1 a2 a3 a4 x1 x2 0 0 0 x2 x3 0 0 0 0 0
an 0 0 xn
3.- Dado el siguiente sistema
A25 X 2Y t BA24
xt At
30
,
y Bt ,
3 2 Si A 3 2
0 1 y B 1 0
Hallar X e Y K 22 4.-Demuestre que
2 i) a b . b c c a m c . a b con m a b c b c a c a b
b c ii) Si a a. b c
Victoria
c a , b a. b c
y
a b c a. b c
entonces
b c a a. b c
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2009 – II
A. HUAMAN, C. MENDOZA
FECHA
: 23.10.09
EXAMEN PARCIAL 1.- Calcule los siguientes determinantes
1 2 3 4 n x 1 2 3 n 1 x x 1 2 n2 x x x x 1
a)
1 x2
x
0
0
0
x
1 x2
x
0
0
0
x
1 x2
0
0
0
0
0
1 x2
0
0
0
b)
x
x 1 x2
2.- Hallar la matriz inversa de A
1 a A a2 n a
0 0 a 1 0 a n 1 a n 2 1 0 1
0 0
3.- Demuestre sin desarrollar
y 1 y 2 z 1 z 2
1 x 1 x2 1 1
x3 y
3
z3
1 x2
= 1 y
2
1 z2
1 xy xz
yz
xz 1 xy yz
xz
1 xz yz
xy
yz
xy
2 4 1 5 1 1 x 4.- Sea C 4 2 2 4 2 , B 1 , X y 6 2 2 2 5 1 2 z 1 y A1 F31 ( ) F21 (1) F12 ( ) F1 donde el cofactor del elemento a12 de la matriz 2 A es -1. Para qué valores de , el sistema de ecuaciones A C X B tendrá: a) Solución única. Calcular , b) Infinitas soluciones. Calcular c) Inconsistente
Victoria
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2009 – I
A. HUAMAN, L. KALA
FECHA
: 22.05.09
EXAMEN PARCIAL
1.- Si
1 x
x3 xyz y 2 z yz 2
1 y
y 3 xyz x 2 z xz 2 k ,
1 z
z 3 xyz x 2 y xy 2
x2 k
xy
y2
y2
x2 k
xy
xy
y2
x2 k
calcular
2.- a) Hallar el determinante de la siguiente matriz
cos( x a1 )
cos( x a2 )
cos( x a3 )
A sen( x a1 )
sen( x a2 )
sen( x a3 )
sen(a2 a3 ) sen(a3 a1 ) sen(a1 a2 ) b) Determine la relación que existe entre a1, a2 y a3 para que el r ( A) sea menor que 3. 3.- A y C son matrices cuadradas de orden 3 donde AC = I 1 1 A F31 (b) F32 (1) F21 F2 (2) F12 (1) F1 , 2 2
C F31 (a ) F32 (c) F21 1 F12 (1) D adj (adj (adj ( A))) (dij ) donde d13 7 . Resolver ( A C ) X B , B a, b, c
T
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales x3 x4 0 x1 1 x1 x2 x3 x3 x4 0 x1 bx x x4 1 1 2 x2 bx3 x4 a Para qué valores de a y b el sistema tendrá : a) Solución única?. Calcular b) Infinitas soluciones que dependen de 1 parámetro, 2 parámetros c) Inconsistencia.
si
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB 111
CICLO
: 2008 – III
RIQUELME VASQUEZ , A HUAMAN
FECHA
:03- 02- 09
EXAMEN PARCIAL
1.- Dada la matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 ( ) F23 (3) F2 F13 F12 una matriz de orden 3 y 2 1 A resolver el siguiente sistema A C X B 1 2m 1 m m 1 x m 1 X y y B m donde C m 2 m 2 m 1 2m 1 m 1 m 3 z m
3.- Hallar el valor del determinante de A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 n
4.- Sea el sistema de ecuaciones lineales
a DX B b C FX Donde:
1 1 D 0 1
0 0 0 0
1 2 2 1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 2 , F 0 1 0 0 0 1
1 2 2 1
1 2 2 2
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Victoria
Tiene solución única. La solución depende de 1 parámetro La solución depende de 2 parámetros. La solución depende de 3 parámetros. La solución depende de 4 parámetros. La solución depende de 5 parámetros.
x1 0 2 1 x2 0 3 2 , B ,C , X x3 2 1 0 x4 0 3 1 x 5
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2008 – II
R. VASQUEZ, A. HUAMAN
FECHA
: 17.10.08
EXAMEN PARCIAL 1.- Calcular el determinante
1 x 2 3 4 n x 1 2 3 n 1 x x 1 2 n2 x x x x 1 2.- Dada la matriz A
1 x x2 1 2x 3x 2 A 1 4x 9 x2 (2 x) 2 1 2 x 2 1 2(2 x) 3(2 x)
3 4 4x 5x 16 x3 25 x 4 (2 x)3 (2 x) 4 4(2 x)3 5(2 x) 4 x3
x4
Para qué valor ó valores de x la matriz A tiene rango 5, 4, 3, 2 3.- Sean A, B, C, D matrices no singulares de orden n Determinar el valor de k en la expresión: 1 A BDC 1 A A BDC 1 2 K I C 1D 1B 1 A I A BDC 1
4.- Resolver el sistema ax ay bz bw 0 ay bw 0 ax ay bz bw a b bx az a b by aw 2ab
Victoria
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB 111
CICLO
: 2008 – III
RIQUELME VASQUEZ , A HUAMAN
FECHA
:03- 02- 09
EXAMEN PARCIAL
1.- Dada la matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 ( ) F23 (3) F2 F13 F12 una matriz de orden 3 y 2 1 A resolver el siguiente sistema A C X B 1 2m 1 m m 1 x m 1 X y y B m donde C m 2 m 2 m 1 2m 1 m 1 m 3 z m
3.- Hallar el valor del determinante de A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 n
4.- Sea el sistema de ecuaciones lineales
a DX B b C FX Donde:
1 1 D 0 1
0 0 0 0
1 2 2 1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 2 , F 0 1 0 0 0 1
1 2 2 1
1 2 2 2
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Victoria
Tiene solución única. La solución depende de 1 parámetro La solución depende de 2 parámetros. La solución depende de 3 parámetros. La solución depende de 4 parámetros. La solución depende de 5 parámetros.
x1 0 2 1 x2 0 3 2 , B ,C , X x3 2 1 0 x4 0 3 1 x 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2008 – I
L. KALA, A. HUAMAN , R. VASQUEZ
FECHA
: 30.05.08
EXAMEN PARCIAL 1.- Calcular el siguiente determinante
1
2
3
n
1
23
33
n3
1 22n 1 32n 1 n 2n 1 x 2 3 a b b c 2 2.- A es una matriz antisimétrica y adj ( A) donde adj (2 A)T 218 ad c 1 d a) Encontrar A-1 . b) Expresar la adj ( A) como un producto de matrices elementales fila 3.-Sean los vectores a , b , c , d y e de b.e 0 ,
c d a,
V3
tal que
a b a b
,
a b c d e e 0 ,
b c b c
.
c d
c. a 0 ,
2 d 2
,
5 2 2 d c 8 . Hallar a b . d . 2
4.- Si
A
es una matriz cuadrada de orden
demostrar que
Victoria
adj ( I A) adj ( I A1 ) ( I AT )
n
y AAT AT A I , (I matriz identidad)
es una matriz antisimétrica .