2. Engranajes.pptx

Formando Ingenieros para Perú y el Mundo

1.0 INTRODUCCIÓN

Calculo de Elementos de Maquinas II 2018-2

Agosto de 2018

Dr. Ing° Fortunato Alva Dávila

APAGUE Y GUARDE SU TELÉFONO MÓVIL

.

¿Qué es un engranaje? Engranaje es una rueda dentada, empleado para transmitir un . movimiento giratorio o alternativo desde una máquina a otra. La transmisión está formada por dos ruedas dentadas, de las cuales a la mayor se le denomina corona o simplemente engranaje y la rueda menor piñón.

¿Qué es un engranaje?

. .

La principal ventaja que tienen las transmisiones por engranaje respecto a las transmisiones por poleas es que no patinan como las poleas, con lo se obtiene la relación de transmisión exacta e invariable.

Historia de los engranajes Nadie sabe a ciencia cierta dónde ni cuándo se inventaron los engranajes. La literatura de la antigua China, Grecia, Turquía y Damasco, mencionan engranajes pero no aportan muchos detalles. El mecanismo de engranajes más antiguo de cuyos restos se dispone es el mecanismo de ANTICITERA. Se trata de una calculadora astronómica que data de entre el 150 y el 100 años a.C. y compuesta por lo menos de

30 engranajes de bronce con dientes triangulares

Historia de los engranajes Leonardo Da Vinci, muerto en Francia en 1519, dejó numerosos dibujos y esquemas de algunos de los mecanismos utilizados hoy diariamente, incluido varios tipos de engranajes de tipo helicoidal

Historia de los engranajes Olaf Roemer(1644-1710), los primeros datos que existen sobre la transmisión de rotación con velocidad angular uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, cuando el famoso astrónomo danés Olaf propuso la forma o perfil del diente en epicicloide. Robert Willis(1800-1875), considerado uno de los primeros ingenieros mecánicos, fue el que obtuvo la primera aplicación práctica de la epicicloide al emplearla en la construcción de una serie de engranajes intercambiables.

Historia de los engranajes .William Gleason (1874), inventó la primera fresadora de engranajes cónicos y gracias a la acción de sus hijos, especialmente su hija Kate Gleason (1865-1933), convirtió a su empresa Gleason Works, en una de los fabricantes de máquinas herramientas más importantes del mundo.

Robert Hermann Pfauter (1885-1914), alemán, inventó y patentó (1897) una máquina universal de dentar engranajes rectos y helicoidales por fresa madre. A raíz de este invento y otros muchos inventos y aplicaciones que realizó sobre el mecanizado de engranajes.

Historia de los engranajes .Edwin R. Fellows (1846-1945) inventor y fundador de la empresa Fellows Gear Shaper Company, inventó un método revolucionario para mecanizar tornillos sin fin glóbicos tales como los que se montaban en las cajas de dirección de los vehículos antes de que fuesen hidráulicas. M. Chambon (1905) Francés, fue el creador de la máquina para el dentado de engranajes cónicos por procedimiento de fresa madre. André Citroën (1905) inventó los engranajes helicoidales dobles.

Tipos de engranajes La principal clasificación de los engranajes se realiza según la disposición de sus ejes de rotación y según los tipos de dentado. Según estos criterios existen los siguientes tipos de engranajes:

Ejes paralelos  Cilíndricos de dientes rectos  Cilíndricos de dientes helicoidales  Cilíndricos bi-helicoidales

Tipos de engranajes Ejes perpendiculares  Cónicos de dientes rectos  Cónicos de dientes helicoidales  Cónicos hipoides  Cónicos zerol  Helicoidales cruzados  De rueda y tornillo sin fin

Tipos de engranajes Por aplicaciones especiales  Planetarios- Cajas de cambio automáticas  Interiores- Bombas de engranajes  De cremallera

Engranajes cilíndricos de dientes rectos Los engranajes cilíndricos de dientes rectos son el tipo de engranaje más simple y corriente que existe. Los dientes son tallados, siguiendo la generatriz de un cilindro. Se utilizan generalmente para velocidades pequeñas y medianas; a grandes velocidades; producen ruido cuyo nivel depende de la velocidad de rotación que tengan.

Definiciones fundamentales Diente de un engranaje (Z) Es el que realiza el esfuerzo de empuje y transmiten la potencia desde los ejes motrices a los ejes conducidos.

El perfil del diente, o sea la forma de sus flancos, está constituido por dos curvas evolventes de círculo, simétricas respecto al eje que pasa por el centro del mismo.

Módulo (m): Es una característica de magnitud que se define como la relación entre la medida del diámetro de paso expresado en milímetros y el número de dientes. El valor del módulo se fija mediante cálculo de resistencia de materiales en virtud de la potencia a transmitir y en función de la relación de transmisión que se establezca.

El tamaño de los dientes está normalizado. El módulo está indicado por números. Dos engranajes que engranen tienen que tener el mismo módulo. Es el índice del tamaño de los dientes: m = D/Z

Se define como la relación:

Circunferencia de paso: es la circunferencia a lo largo de la cual engranan los dientes. Con relación a la circunferencia de paso se determinan todas las características que definen los diferentes elementos de los dientes de los engranajes. Paso circular (PC): Se define como la distancia de un punto sobre la circunferencia de paso de un diente al correspondiente punto sobre el diente adyacente medido a lo largo de la circunferencia de paso, tal como: P  ZD c

Se tiene la siguiente relación:

Pc 

D Z



 Pd

;

Pc   m

Espesor del diente: Es el grosor del diente en la zona de contacto, o sea, del diámetro de paso. Diámetro exterior: Es el diámetro de la circunferencia que limita la parte exterior del engranaje. Cabeza del diente (a): También se conoce con el nombre de adendum. Es la parte del diente comprendida entre el diámetro exterior y el diámetro de paso.

Pie del diente (b): También se conoce con el nombre de dedendum. Es la parte del diente comprendida entre la circunferencia interior y la circunferencia de paso.

Flanco del diente: Es la cara interior del diente, es su zona de rozamiento.

Número de dientes (Z): Es el número de dientes que tiene el engranaje. Es fundamental para calcular la relación de transmisión. El número de dientes de un engranaje no debe estar por debajo de 18 dientes cuando el ángulo de presión es 20º ni por debajo de 12 dientes cuando el ángulo de presión es de 25º.

Altura total del diente (ht):

Es la suma de la altura de la cabeza (adendum) más la altura del pie (dedendum): ht = a + b

Altura de Trabajo (hk): Es la distancia radial desde la circunferencia exterior a la circunferencia de altura de trabajo que marca la distancia que

el diente conjugado proyecta en el espacio entre dientes. Es la hk  2 a suma de los addendums de las ruedas conjugadas.

Ancho del flanco del diente (F): Es la longitud de los dientes en dirección axial. Normalmente se le conoce como longitud del diente. Según AGMA:

Distancia entre centros(C): es la distancia que hay entre los centros de las circunferencias de los engranajes. ;

C 

D p D g 2



Z p  Zg 2Pd

C



m Z p  Zg 2



Relación de transmisión (mg): Es la relación de giro que existe entre el piñón conductor y la rueda conducida. La relación de transmisión puede ser reductora o multiplicadora de velocidad. La relación de transmisión recomendada tanto en caso de reducción como de multiplicación depende de la velocidad que tenga la transmisión con los datos orientativos que se indican: Dg Z g n p mg    D p Z p ng Diámetro del círculo de base: Db = D. COS  Paso circular base:

Pb = Pc . COS 

Angulo de presión:



Es el ángulo formado por la tangente en el punto de contacto de las ruedas y la línea de acción. Esta línea es tangente a ambos círculos de base, pasa por el punto de paso y es normal a los dientes que están en contacto. El

ángulo de 20º y 25º están normalizados

Longitud de contacto (LC): Es la longitud del segmento de la línea de acción comprendido entre los

puntos inicial y final de contacto, es decir el segmento BD de la figura.

De la figura, tenemos la longitud de la línea de contacto: Siendo: LC  BD  BC  CD  ( BE  CE)  ( AD  AC) BE  ( Rg  a g ) 2  R 2 bg ) 

( Rg  a g ) 2  ( Rg cos  ) 2

AD  ( R p  a p ) 2  R 2 bp )  ( R p  a p ) 2  ( R p cos  ) 2

y

CE  R g sen

y

AC  R p sen

Finalmente resulta: LC 

R

 a p   R p cos    2

p

2

R

 a g   Rg cos    R p  Rg sen  2

g

2

Relación de contacto (mc) Durante la operación los dientes de los dos engranajes permanecen en contacto entre sí durante el intervalo en que los puntos de los dos círculos del adendo cruzan la línea de acción. Este es el intervalo BD en la figura.

La razón de la longitud de esta línea de contacto al paso base Pb se conoce como la relación de contacto. Para una operación suave y continua, la relación de contacto se puede

establecer aproximadamente de 1,20 a 1,4 para obtener las mejores condiciones de funcionamiento. L LC Se escribe como: mc  C  Pb Pc cos 

Ley de engrane y acción de los dientes La ley de engrane expresa que para un par de dientes que van a transmitir una relación de velocidad constante, las curvas de los dientes deben ser tales que la normal común a los perfiles en el punto de contacto debe pasar siempre por el punto de paso. La ley de engrane se refiere a las variaciones durante el engrane de un par de dientes. Estas variaciones instantáneas en la relación de velocidad originan aceleraciones y desaceleraciones que manifiestan por vibración y ruido.

Interferencia El contacto se inicia cuando la punta del diente impulsado hace contacto con el flanco del diente impulsor. En otras palabras, el contacto ocurre debajo del círculo base del engranaje impulsor, en la parte no involuta del flanco. Por lo tanto, existe interferencia, dando como resultado una acción no conjugada.

Número mínimo de dientes del piñón: Zp

Estableceremos una expresión para determinar el número mínimo de dientes del piñón para que no se produzca la interferencia.

De la figura, la interferencia se producirá cuando: BC > AC Para la condición límite: BC = AC ó BE - CE = AC

Reemplazando las relaciones:

( Rg  a g ) 2  ( Rg cos ) 2  Rg Sen  R p Sen

( Rg  ag ) 2  ( Rg cos ) 2  ( R p  Rg ) 2 sen 2 ( Rg  a g ) 2  R 2 p .sen 2  2R p Rg sen 2  R 2 g sen 2  R 2 g cos 2 

R 2 g  2Rg a g  a 2 g  R 2 p .sen 2  2R p Rg sen 2  R 2 g

2Rg a g  a 2 g  R 2 p .sen 2  2R p Rg sen 2

2Rg a g  a 2 g  ( R p .  2Rg ) R p sen 2

Haciendo: a p  a g  a   .m

Rg 

mZ g 2

y

Rp 

mZ p 2

Reemplazando en la ecuación anterior:  .m 2 Z g   2 m 2 

( Z p  2Z g )m 2 Z p Sen 2 4

4 (Z g   )  (Z p  2Z g )Z p sen 2

; haciendo: Z g  m g Z p

Reemplazando en la ecuación anterior: 4 (mg Z p   )  (1  2mg )Z p .sen 2 2

Ordenando la ecuación: (1  2mg ) sen 2.Z p  4 .mg Z p  4 2  0 2

Número mínimo de dientes del piñón para evitar la interferencia: Se calcula con la siguiente expresión: Zp 



2 2 2   m  m  1  2 m sen  g g g 2 1  2mg sen 



Procedimientos de fabricación Tenemos una gran variedad de procedimientos para formar los dientes de los engranajes, como fundición en arena, fundición en molde permanente, fundición en matriz y fundición centrífuga. Los dientes también se forman mediante el proceso de metalurgia de polvos, ó por extrusión. Los dientes de engranajes se maquinan por fresado, cepillado o con fresa madre. Los engranajes hechos a partir de termoplásticos como el nylon, policarbonato, acetal, se fabrican fácilmente mediante moldeo por inyección.

Dientes generados Fresado Los engranajes cilíndricos pueden fabricarse de una pieza en bruto que remueve el material entre los dientes en una máquina fresadora, la cual usa la fresa perfilada. Se logra engranajes de mayor exactitud.

Cortadora Fellow

Este es un proceso generador que usa un cortador que parece un engranaje endurecido con bordes apropiadamente relevados. El cortador y el material se montan sobre ejes paralelos y son girados lentamente, al cortador se le da un movimiento alternativo adicional sobre su eje. Al principio, el cortador es alimentado radialmente en el material una distancia igual a la profundidad del diente. El cortador fellow debe usarse para cortar engranajes internos. Los cortadores fellow están hechos para cortar engranajes de todos los sistemas.

Cortadora de Cremallera A la herramienta se le da un movimiento alternativo paralelo al eje del engranaje. Al mismo tiempo el material a ser generado es lentamente girado, y a la cremallera se le da un movimiento lateral igual a la velocidad de la línea de paso del engranaje. El material entre los dientes del engranaje es recortado y se generan dientes de involuta.

Fresado Los dientes de los engranajes se pueden cortar con una fresadora de forma, para adaptarse al espacio del diente. En teoría cuando se emplea este método se necesita utilizar una fresa diferente para cada engranaje, porque uno con 25 dientes, por ejemplo, tendrá un espacio del diente con forma diferente a uno que cuente, digamos, con 24. En realidad, el cambio en espacio no es tan grande y se ha determinado que se pueden utilizar solamente ocho fresas para cortar con precisión razonable cualquier engranaje, en el rango de 12 dientes hasta la cremallera. Por supuesto, se requiere un juego separado de fresas para cada paso.

Métodos de acabado en engranajes Para altas velocidades y cargas pesadas puede requerirse una operación de acabado posterior al corte para darle al perfil del diente un grado suficiente de exactitud y acabado superficial. Se usan los siguientes métodos: Rectificado. Con esta operación se mejora la lisura de la superficie del diente, después de un tratamiento térmico. Se obtiene dientes exactos. Esmirilado. Se usa para dar la forma final a los dientes después del tratamiento térmico. Los errores que resultan de la distorsión durante el endurecimiento pueden ser corregidos. Al cortar, debe dejarse suficiente materia prima sobre la superficie del diente

Pulido. Aquí, el engranaje endurecido es recorrido con una herramienta impregnada de plástico abrasivo y en forma de engranaje helicoidal que hará correcciones menores a la forma del diente y mejorará la lisura de la superficie. Lapidado. El engranaje es recorrido con una herramienta lapidante en forma de engranaje en un medio rico en abrasivos. A veces, dos engranajes casantes son igualmente recorridos. Un movimiento relativo en la dirección axial es requerido para dientes cilíndricos y helicoidales. Bruñido. Este es un proceso plástico de frotamiento, que consiste en tallar a presión para aplanar y dispersar pequeñas irregularidades superficiales. Se usa para ello una herramienta bruñidora especialmente endurecida

Materiales para engranajes Los engranajes se hacen de una gran variedad de materiales, tales como: •Aceros al carbono ( 0,2 a 0,6%C) •Aceros aleados al Mn, Ni, Cr, Mo, Va

•Fierro fundido •Bronce •Aleación de aluminio, Zinc, Cu, Magnesio Materiales plásticos (termoplásticos: nylon, fenólicos, poliamidas, policarbonatos, acetales).

Esfuerzos en los dientes La falla por flexión ocurrirá cuando el esfuerzo significativo del diente es igual o excede a la fluencia o al límite de resistencia a la fatiga por flexión. Una falla superficial ocurre cuando el esfuerzo significativo de contacto es igual o excede al límite de resistencia a la fatiga de la superficie. La Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA) ha sido durante muchos años la autoridad responsable de la difusión del conocimiento sobre el diseño y análisis de engranajes. En vista

de ello, resulta importante se presente la metodología AGMA.

Ecuación de flexión de LEWIS Wilfred Lewis, fue el primero en presentar la fórmula para calcular el esfuerzo por flexión en el diente de los engranajes, en la que interviene la forma de los mismos. La ecuación sigue siendo la base de la mayoría de los diseños de engranajes.

Para deducir la ecuación, se presenta un voladizo con dimensiones de su sección transversal F y t, longitud l y una carga Wt uniformemente distribuida:

Ecuación de flexión de LEWIS En el diente de un engranaje El módulo de sección es: I/c = Ft2 /6 El esfuerzo de flexión es: 

6Wt .l M  I / c F .t 2

(1)

Por semejanza de triángulos, se escribe: t/2 l t2   x x t/2 4l

(2)

Reordenando la ecuación (1): 

6Wt .l Wt 1 1  F t 2 / 4l 4 / 6 F .t 2

(3)

Introduciendo el valor de x de la ecuación (2) en (3) y multiplicando el numerador y el denominador por Pc, se tiene: Wt .Pc ,  F (2 / 3) xPc

haciendo:

y

2x 3Pc

;

resulta



Wt F .Pc y

Donde: y = factor de forma de Lewis Y = factor de forma de Lewis modificado Pero se presenta mejor así: Pd .Pc  

y que

Y   .y

Finalmente, la ecuación de Lewis es:  t  Wt .Pd F .Y

Es la ecuación base para el cálculo de los engranajes, ahora sirve para realizar cálculos preliminares.

Las fórmulas de esfuerzo de la AGMA Las fallas de los engranajes se pueden clasificar en dos categorías: Falla por fatiga a la flexión. Ocurre con la rotura de los dientes debido a la repetición de tensiones de flexión. Falla por desgaste superficial. Ocurre por desgaste superficial, debido a las numerosas aplicaciones de tensiones de contacto.

Cálculo por resistencia a la fatiga por flexión La ecuación de la AGMA, para la tensión de flexión, es

una modificación de la ecuación original de Lewis, con los factores de corrección, con lo que compensan algunas de las suposiciones erróneas establecidas en la obtención

de la misma, así como también algunos factores que no se consideraron inicialmente. Esfuerzo de flexión:

Wt . K o . K s . K m .K B t  K v . m. F . J

Wt . K o . K s . K m .K B t  K v . m. F . J

Wt .Pd t  F .Y

Siendo:

 t = Esfuerzo calculado en la raíz del cliente, Kgf/mm2 Wt Ko Kv m F Ks Km KB J

= = = = = = = = =

Carga tangencial a transmitir en el diámetro de paso, Kgf. Factor de sobrecarga Factor dinámico Módulo en el plano transversal, mm/diente Ancho del diente, mm Factor de tamaño Factor de distribución de carga Factor de espesor de aro Factor geométrico

Resistencia de los dientes a la flexión

Se tiene la información necesaria para calcular el esfuerzo real de flexión a partir de la fórmula de la AGMA. La ecuación de la AGMA para calcular el esfuerzo admisible Sat . K L máximo es:  adm  KT . K R

Siendo:

 adm = Esfuerzo admisible del material, Kgf/mm2 KL = Factor de vida KT = Factor de Temperatura KR = Factor de Seguridad

Finalmente se debe cumplir:

 t   adm En caso que se desee calcular la potencia máxima que podrá transmitir los dientes de los engranajes, por la expresión:

P  6,98 x10 7 (

D p . n p . S at . m . F . J . K L . K v K s . K m . K T . K R . K  .K B

)

(CV)

Cálculo por resistencia a la fatiga superficial La segunda causa para la falla del diente, es la destrucción de la superficie, a la que generalmente se le llama desgaste, así tenemos:

Desgaste abrasivo: Por la presencia del material extraño. Desgaste corrosivo: Por la reacción química Picadura: Por la repetición de ciclos de esfuerzo

Rayado: Por el contacto directo metal-metal, mala lubricación

Calculo de esfuerzo de contacto Para obtener una expresión para el esfuerzo de contacto en la superficie, se empleará la teoría de HERTZ. El esfuerzo de contacto entre dos cilindros puede calcularse por la 2F fórmula: p máx  bl

b

2 F  (1  1 ) / E1  (1   2 ) / E2    .l  (1 / d1 )  (1 / d 2 ) 

Donde: pmáx = Esfuerzo de compresión F = Fuerza de compresión l = Longitud de los cilindros b = Se obtiene de la siguiente ecuación

:

Para adaptar estas relaciones a la notación usada en los engranajes se sustituye: F  W t / cos  ;

d  2r

l  F;

p max   C

El esfuerzo de compresión en la superficie, se determina por la ecuación: Wt C  F cos 

donde:

  (1 / r1 )  (1 / r2 )   2 2 ( 1   ) / E  ( 1   ) / E 1 1 2 2  

;

r1, r2 son los valores instantáneos de los radios de curvatura en los perfiles del piñón y engranaje en el punto de contacto. Los valores r1, r2, en el punto de paso son: r2 

Dg cos  2

r1 

1 1 2 1 1   (  ), r1 r2 sen D p Dg 1 1 2 mg  1   ( ) r1 r2 sen m g D p

D p cos  2

si :

mg 

Dg Dp

Reemplazando:

C 

    Wt  1 1  FD p  1   p 2 1   g 2 cos  .sen m g   (   ) 2 m  1   Ep Eg g  

Coeficiente elástico:

1

Cp 

 (

Factor geométrico:

I

1  Ep

2 p



1   g2 Eg

)

cos  .sen m g 2 mg  1

La ecuación de la AGMA para el desgaste es C  Cp

Wt . Co . C s . C m . C f Cv . D p .F . I

C

Donde:

 C = Esfuerzo de contacto calculado, Kgf / mm2 Cp Wt Co Cv Cs Dp F Cm Cf I

= = = = = = = = = =

Coeficiente que depende de las propiedades elásticas del material. Carga tangencial transmitida, aplicado en el diámetro de paso, Kgf. Factor de sobrecarga Factor dinámico

Factor de tamaño Diámetro de paso del piñón, mm Ancho del diente, mm Factor de distribución de carga Factor de condición superficial Factor geométrico

Factor de acabado superficial Cf Se aplica para tomar en consideración acabados superficiales anormalmente ásperos en los dientes del engranaje. La AGMA

todavía no ha establecido normas para factores de acabado superficial y recomienda: Para engranajes cilíndricos rectos, helicoidales, bi-helicoidales y cónicos. Use Cf = 1,0; para engranajes con buen grado de acabado superficial. Use Cf = 1,25; para engranajes con acabado deficiente o cuando

existe posibilidad

de esfuerzos residuales.

Use Cf = 1,50; para engranajes con acabado rugoso esfuerzo residual.

y con

Esfuerzo de contacto admisible,

Esfuerzo de contacto admisible,  C ,adm El esfuerzo de contacto admisible depende de la composición química del material, de las propiedades mecánicas, del número de ciclos de trabajo, de la temperatura, del tamaño de los dientes, de los esfuerzos

residuales, y del tipo de tratamiento térmico superficial. Se puede escribir como:

Donde: Sac = CR = CL = CH = CT =

 c, adm  Sac (

CL . CH ) CT .CR

Esfuerzo admisible de contacto, Kgf / mm2 Factor de seguridad o confiabilidad Factor de vida Factor de relación de dureza Factor de Temperatura

Se debe cumplir:

 c   c ,adm También, se puede calcular la potencia máxima que se podrá

transmitir, por la expresión:

P  6,98 x10

7

(

n p . F . Cv . I C . C s . C m . C f

) (

S ac . D p . C L . C H CT . C R . C p

)2

(CV)

Fórmulas empíricas para la estimación del diámetro del piñón Se tiene las fórmulas empíricas para estimar el diámetro del piñón, proporcionadas por la AGMA. a.- Por resistencia a la fatiga por flexión Dp 

K mg

0 , 013

np

(

0,3

P.K 0 0,37 ) , S atp

K = 500 – 900

b.- Por resistencia a la fatiga superficial Dp 

K1 mg

0 , 06

np

0,3

(

P.C 0 0,37 ) S 2 ac