2.2 Taller Interferencia Y Ondas Estacionarias (1)

1. Dos ondas sinusoidales en una cuerda se definen mediante las funciones: 𝑦1 = (2.00 𝑐𝑚)𝑆𝑒𝑛(20.0𝑥 − 32.0𝑡) 𝑦2 = (2.00 𝑐𝑚)𝑆𝑒𝑛(25.0𝑥 − 40.0𝑡) donde 𝑦1 , 𝑦2 y x están en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es la diferencia de fase entre estas dos ondas en el punto x = 5.00 cm en t = 2.00 s? b) ¿Cuál es el valor x positivo más cercano al origen para el que las dos fases difieren por ±𝜋 en t = 2.00 s? (Esta es una posición donde las dos ondas suman cero.) 2. Dos bocinas idénticas se colocan en una pared separadas 2.00 m. Un escucha está de pie a 3.00 m de la pared, directamente enfrente de una de las bocinas. Un solo oscilador activa las bocinas a una frecuencia de 300 Hz. a) ¿Cuál es la diferencia de fase entre las dos ondas cuando llegan al observador? b) ¿Qué pasaría si? ¿ Cuál es la frecuencia más cercana a 300 Hz a la cual el oscilador se ajusta de tal modo que el observador escuche sonido mínimo? 3. Dos ondas sinusoidales que viajan en direcciones opuestas interfieren para producir una onda estacionaria con la función de onda: 𝑦 = (1.50 𝑚)𝑆𝑒𝑛(0.400𝑥)𝐶𝑜𝑠(200.0𝑡) 4. donde x está en metros y t en segundos. Determine la longitud de onda, frecuencia y rapidez de las ondas que interfieren. 5. Verifique por sustitución directa que la función de onda para una onda estacionaria dada en la ecuación 𝑦 = 2𝐴𝑆𝑒𝑛(k𝑥)𝐶𝑜𝑠(ω𝑡) es una solución de la ecuación de onda lineal general 𝜕 2𝑦 1 𝜕 2𝑦 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 6. Dos ondas sinusoidales que se combinan en un medio se describen mediante las funciones de onda 𝑦1 = (3.00 𝑐𝑚)𝑆𝑒𝑛(π(𝑥 + 0.6𝑡)) 𝑦2 = (3.00 𝑐𝑚)𝑆𝑒𝑛(π(𝑥 − 0.6𝑡)) 7. donde x está en centímetros y t en segundos. Determine la máxima posición transversal de un elemento del medio en a) x = 0.250 cm, b) x = 0.500 cm y c) x = 1.50 cm. d) Encuentre los tres valores más pequeños de x que correspondan a antinodos. 8. Dos ondas que se presentan simultáneamente en una cuerda larga se conocen por las funciones de onda 𝑦1 = A𝑆𝑒𝑛(k𝑥 − ω𝑡 + ∅) y 𝑦2 = (3.00 𝑐𝑚)𝑆𝑒𝑛(k𝑥 + ω𝑡). a) ¿Las dos ondas viajeras se suman para dar una onda estacionaria? Explique. b) ¿Todavía es cierto que los nodos están separados una media longitud de onda? Argumente su respuesta. c) ¿Los nodos son diferentes en cualquier forma de la manera en que serían si ∅ fuese cero? Explique. 9. Encuentre la frecuencia fundamental y las siguientes tres frecuencias que podrían causar patrones de onda estacionaria en una cuerda que tiene 30.0 m de largo, masa por unidad de longitud de 9.00x10-3kg/m y se estira a una tensión de 20.0 N.

10. En el aire, donde la rapidez del sonido es de 344 m/s, dos bocinas idénticas, separadas 10.0 m, se activan mediante el mismo oscilador con una frecuencia f = 21.5 Hz. a) Explique por qué un receptor en el punto A registra un mínimo en intensidad del sonido de las dos bocinas. b) Si el receptor se mueve en el plano de las bocinas, ¿Qué trayectoria debe tomar de modo que la intensidad permanezca en un mínimo? Es decir: determine la relación entre x y y (las coordenadas del receptor) que hacen que el receptor registre un mínimo en intensidad del sonido. c) ¿El receptor puede permanecer en un mínimo y alejarse de las dos fuentes? Si es así, determine la forma limitante de la trayectoria que debe tomar. Si no, explique a que distancia puede ir.

11. Una cuerda con una masa de 8.00 g y 5.00 m de longitud tiene un extremo unido a una pared; el otro extremo pasa sobre una pequeña polea fija y se amarra a un objeto colgante con una masa de 4.00 kg. Si la cuerda se pulsa, ¿cuál es la frecuencia fundamental de su vibración? 12. En el arreglo que se muestra en la figura, un objeto se puede colgar de una cuerda (con densidad de masa lineal 𝜇 = 0.002 00 kg/m) que pasa sobre una polea ligera. La cuerda se conecta a un vibrador (de frecuencia constante f) y la longitud de la cuerda entre el punto P y la polea es L=2.00 m. Cuando la masa m del objeto es 16.0 kg o 25.0 kg, se observan ondas estacionarias; sin embargo, no se observan ondas estacionarias con alguna masa entre estos valores. a) ¿Cuál es la frecuencia del vibrador? Nota: Mientras mayor es la tensión en la cuerda, menor es el número de nodos en la onda estacionaria. b) ¿Cuál es la masa de objeto más grande para la que se podrían observar ondas estacionarias?

13. La cuerda La en un chelo vibra en su primer modo normal con una frecuencia de 220 Hz. El segmento oscilante tiene 70.0 cm de largo y una masa de 1.20 g. a) Encuentre la tensión en la cuerda. b) Determine la frecuencia de vibración cuando la cuerda oscila en tres segmentos. 14. Una cuerda de violín tiene una longitud de 0.350 m y se afina en Sol concierto, con fG = 392 Hz. ¿Dónde debe colocar su dedo el violinista para tocar La concierto, con fA = 440 Hz? Si esta posición permanece correcta

a un medio del ancho de un dedo (es decir, dentro de 0.600 cm), ¿cuál es el máximo cambio porcentual permisible en la tensión de la cuerda? 15. Una esfera de masa M se sostiene mediante una cuerda que pasa sobre una barra horizontal ligera de longitud L. Se conoce que el ángulo es 𝜃 y que f representa la frecuencia fundamental de ondas estacionarias en la porción de la cuerda sobre la barra, determine la masa de esta porción de la cuerda.

16. Se observa un patrón de onda estacionaria en un alambre delgado con una longitud de 3.00 m. La función de onda es 𝑦 = (0.002 𝑚)𝑆𝑒𝑛(π𝑥)𝐶𝑜𝑠(π𝑡) donde x está en metros y t en segundos. a) ¿Cuantos bucles muestra este patrón? b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de vibración del alambre? c) Si la frecuencia original se mantiene constante y la tensión en el alambre aumenta en un factor de 9, ¿cuantos bucles se presentan en el nuevo patrón? 17. Una cuerda fija en ambos extremos y que tiene una masa de 4.80 g, una longitud de 2.00 m y una tensión de 48.0 N, vibra en su segundo modo normal (n=2). ¿Cuál es la longitud de onda en el aire del sonido emitido por esta cuerda oscilante? 18. Dos alambres se sueldan juntos por los extremos. Los alambres están hechos del mismo material, pero el diámetro de uno tiene el doble del otro. Ambos están sujetos a una tensión de 4.60 N. El alambre delgado tiene una longitud de 40.0 cm y una densidad de masa lineal de 2.00 g/m. La combinación esta fija en ambos extremos y vibra en tal forma que los dos antinodos están presentes, con el nodo entre ellos precisamente en la soldadura. a) ¿Cuál es la frecuencia de vibración? b) ¿Cuál es la longitud del alambre grueso? 19. Se establece una onda estacionaria en una cuerda de longitud y tensión variables por medio de un vibrador de frecuencia variable. Ambos extremos de la cuerda están fijos. Cuando el vibrador tiene una frecuencia f, en una cuerda de longitud L y bajo tensión T, se establecen n antinodos en la cuerda. a) Si la longitud de la cuerda se duplica, ¿en qué factor cambiara la frecuencia de modo que se produzca el mismo número de antinodos? b) Si la frecuencia y longitud se mantienen constantes, ¿que tensión producirá n + 1 antinodos? c) Si la frecuencia se triplica y la longitud de la cuerda se acorta a la mitad, ¿en qué factor cambiara la tensión de modo que se produzca el doble de antinodos? 20. Para el arreglo que se muestra en la figura, 𝜃 = 30.0°, el plano inclinado y la pequena polea no tienen fricción, la cuerda soporta el objeto de masa M en el fondo del plano y la cuerda tiene masa m que es pequeña comparada con M. El sistema está en equilibrio y la parte vertical de la cuerda tiene una longitud h. En la sección vertical de la cuerda se establecen ondas estacionarias. a) Encuentre la tensión en la cuerda. b) Modele la forma de la cuerda como un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Encuentre la longitud total de la cuerda. c) Localice la masa por unidad de longitud de la cuerda. d) Encuentre la rapidez

de las ondas en la cuerda. e) Halle la frecuencia más baja para una onda estacionaria. f) Encuentre el periodo de la onda estacionaria que tiene tres nodos. g) Ubique la longitud de onda de la onda estacionaria que tiene tres nodos. h) Encuentre la frecuencia de los batimientos resultantes de la interferencia de la onda sonora de frecuencia más baja, generada por la cuerda, con otra onda sonora que tenga una frecuencia que es 2.00% mayor.

21. Un objeto de 12.0 kg cuelga en equilibrio de una cuerda con una longitud total de L = 5.00 m y una densidad de masa lineal 0.001 00 kg/m. La cuerda se enrolla alrededor de dos poleas ligeras sin fricción separadas una distancia d = 2.00 m (figura a). a) Determine la tensión en la cuerda. b) ¿A qué frecuencia debe vibrar la cuerda entre las poleas para formar el patrón de onda estacionaria que se muestra en la figura b?

22. Determinar la serie de Fourier que represente aproximadamente cada una de las funciones que se presentan a continuación:

f (t) 2

-1

1 -2

3

5

7

5. t

f (t) 2

-1

1

5

7

9

t

-2

23.

Determine la serie de Fourier para las siguientes funciones. d. 𝑓(𝑡) = {

a. 𝑓(𝑡) = |sen(𝜋𝑡)| b. 𝑓(𝑡) = {

𝑆𝑒𝑛(2𝜋𝑡) 0 ≤ 𝑡 < 1/2 0 1/2 ≤ 𝑡 < 1

c. 𝑓(𝑡) = {

0 𝑆𝑒𝑛(2𝜋𝑡)

0 ≤ 𝑡 < 1/2 1/2 ≤ 𝑡 < 1

−𝑡 𝑡 2

0≤𝑡<1 1≤𝑡<2

−𝑡 𝑡2

−2≤𝑡 <0 0≤𝑡<2

e. 𝑓(𝑡) = { 𝑡 0

f. 𝑓(𝑡) = {

−2≤𝑡 <0 0≤𝑡<2