3. Aplicaciones De La Ley De Fourier

Aplicación de la ley de Fourier PAULINA ECHEVERRÍA S E PTIEMBR E 2 0 1 8 – F E BR E RO 2 0 1 9

Contenido 1. Aplicaciones de la ley de Fourier a la pared plana 2. Aplicaciones de la ley de Fourier al cilindro hueco

Objetivos de aprendizaje • Resolver problemas de conducción de calor unidimensional en estado estacionario • Aplicar el concepto de resistencia térmica en la resolución de problemas.

•Conocer las aplicaciones de la Ley de Fourier

• Aplicar la ley de Fourier a paredes planas y cilindros huecos •Analizar la transferencia de calor en superficies extendidas.

1. Ley de Fourier en paredes planas Considerando principalmente la transferencia unidimensional (superficies isotérmicas), estacionaria y sin generación en una pared plana. La razón de transferencia de calor a través de la pared debe ser constante.

T

La ley de Fourier de la conducción de calor para la pared plana se puede expresar 𝑑𝑇 como: 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = −𝑘𝐴 𝑑𝑥

Por lo tanto dT/dx es constante. La T varía linealmente con x.

Área de Transferencia

T1

𝐿

𝑇2

𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑑𝑥 = − 𝑥=0

𝑄 T2

L

k: conductividad térmica del material

x Espesor de la pared plana

𝑘𝐴 𝑑𝑇 𝑇=𝑇1

𝑇1 − 𝑇2 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝑘𝐴 𝐿

2. Resistencia térmica • Resistencia térmica a la conducción

𝑇1 − 𝑇2 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑

• Resistencia térmica a la convección

𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣

Si h → ∞ no hay resistencia a la convección La superficie no debe ser plana • Resistencia térmica a la radiación

𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑 𝑄𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑅𝑟𝑎𝑑

𝑅𝑟𝑎𝑑 =

𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑

𝐿 = 𝑘𝐴

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣

1 = ℎ𝐴

1 ℎ𝑟𝑎𝑑 𝐴

2 ℎ𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎 𝑇𝑠2 + 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑 𝑇𝑠 + 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑

Es común tener los mecanismos combinados, y las resistencias se suman pero pueden encontrarse en serie o en paralelo

2. Resistencia térmica L

Fenómenos combinados

Fluido 1

• Conducción – Convección

T∞1 > T∞2 Fluido 2

T∞1

T∞2 Qcond

𝑇∞1 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇∞2 𝑄= = = 1/ℎ1 𝐴 𝐿/𝑘𝑆ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝐴 1/ℎ2 𝐴

Qconv

Qconv Sólido

𝑇∞1 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇∞2 𝑄= = = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 1 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 2

𝑅𝑇 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 1 + 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 2

𝑇∞1 − 𝑇∞2 𝑄= 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

L

• Conducción - Radiación T1

Qcond

T1 > T2

𝑄=

𝑇1 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒 = 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑅𝑟𝑎𝑑

𝑄=

𝑇1 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

T2 Talre

Qrad Sólido

1 𝐿 1 = + + ℎ1 𝐴 𝑘𝑆ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝐴 ℎ2 𝐴

Vacío

𝑅𝑇 =

𝐿 𝑘𝑆ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝐴

+

1 ℎr 𝐴

2. Resistencia térmica • Convección y Radiación

T1 > T2 Fluido

𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑄= + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑅𝑟𝑎𝑑

T2

T1

Qconv

𝑅𝑇 =

Qrad

1 𝐴(ℎconv + ℎ𝑟 )

𝑄=

=

𝑇1 − 𝑇2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1

𝐴(ℎcombinado )

La rapidez de la transferencia de calor estacionaria entre dos superficies es igual a la diferencia de T dividida para la resistencia térmica total entre las superficies. La razón de calor también podría expresarse de forma análoga a la Ley de enfriamiento de Newton, como Q = UAΔT, donde U es el coeficiente global de transferencia de calor. UA =

1 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2. Resistencia térmica Ejemplos:

Considere una ventana de vidrio de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho, con un espesor de 8mm y una conductividad térmica de 0.78 W/m°C. Determine la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto la temperatura del exterior es de -10°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor de las superficies interior y exterior de la ventana como 10 W/m2°C y 40 W/m2°C, los cuales excluyen los efectos de la radiación. 𝑄=

𝑇∞1 − 𝑇∞2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑄=

𝑇∞1 − 𝑇1 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 1

T1 = −2.2°C

3. Paredes planas de capas múltiples Es común encontrar paredes planas que constan de varias capas de diferentes materiales. Q

T 2

T 1

𝑄

𝑻∞𝟏 𝑻𝑷𝟏

𝐴

𝑻𝒙 1

2

3

𝑻𝑷𝟐

Fluido 𝒉𝒄𝟏

𝑳𝟏 𝒌𝟏

𝒙

𝑳𝟐 𝒌𝟐

𝑳𝟑 𝒌𝟑

Fluido 𝒉𝒄𝟐 𝑻∞𝟐

R1

R2

Convección

Conducción

R3

R4

Conducción Conducción

R5 Convección

𝑅𝑇 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 2 1 𝐿1 𝐿2 𝐿3 1 = + + + + ℎ1 𝐴 𝑘1 𝐴 𝑘2 𝐴 𝑘3 𝐴 ℎ2 𝐴 𝑄=

𝑇∞1 − 𝑇∞2 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Si se conoce Q se puede determinar la T en cualquiera de las superficies a partir de: 𝑇𝑖 − 𝑇𝑗 Donde Tj es la T desconocida, T i es la T conocida en el lugar i y R es la 𝑄= 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖−𝑗 resistencia térmica entre los lugares i y j.

3. Paredes planas de capas múltiples Ejemplo:

Considere una ventana de hoja doble de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho que consta de dos capas de vidrio de 4mm de espesor (k = 0.78 W/m°C) separadas por un espacio de aire estancado de 10 mm de ancho (k = 0.026 W/m°C). Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de la ventana de hoja doble y la T en la superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la T del exterior es -10°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior como h1 = 10 W/m2°C y h2 = 40 W/m2°C, respectivamente, los cuales incluyen los efectos de la radiación. 𝑄 = 69.2 W

T = 14.2 °C

4. Resistencia térmica por contacto Resistencia térmica por contacto, debida a la rugosidad en la interfase de dos capas.

Microscópicamente, al unir las dos superficies se forman picos que proveen un buen contacto entre los materiales pero también se crean vacíos con aire que provocan una caída de T en la interfase. Esta resistencia a la transferencia de calor por unidad de área se denota como Rc.

La transferencia de calor a través de la interfase: 𝑄 = 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 + 𝑄𝑏𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 O se expresa como la Ley de enfriamiento de Newton: 𝑄 = ℎ𝑐 𝐴∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 La conductancia térmica por contacto:

ℎ𝑐 =

Siendo la resistencia térmica por contacto:

𝑄/𝐴 ∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒

𝑊 [ 2 ] 𝑚 °𝐶

∆𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 1 𝑅𝑐 = = ℎ𝑐 𝑄/𝐴

𝑚2 °𝐶 [ ] 𝑊

4. Resistencia térmica por contacto La resistencia térmica por contacto disminuye cuando disminuye la aspereza superficial.

El rango de resistencia térmica cae entre 0.000005 y 0.0005 m2°C/W El rango de conductancia térmica cae entre 2000 y 200000 W/m2°C. Al comparar la resistencia térmica por contacto con la resistencia térmica de las capas del material se puede conocer si es significativa o no. Los valores de conductancia se pueden encontrar en bibliografía. Ejemplo: se mide la conductancia térmica por contacto en la interfase de dos placas de aluminio de 1 cm de espesor y resulta ser de 11000 W/m2°C. Determine el espesor de la placa de aluminio cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las placas. Conductividad térmica del aluminio 237 W/m°C. Rc = 9.091 x 10-5 m2°C/W

L = 2.15 cm

4. Resistencia térmica por contacto

4. Resistencia térmica por contacto Ejemplo: Cuatro transistores idénticos de potencia con caja de aluminio están sujetos a uno de los lados de una placa cuadrada de cobre de 20 cm x 20 cm y 1 cm de espesor (k = 386 W/m°C) por medio de tornillos que ejercen una presión promedio de 6 Mpa. El área de la base de cada transistor es de 8 cm2 y cada uno de ellos está colocado en el centro de una sección de 10 cm x 10 cm que constituye la cuarta parte de la placa. Se estima que la aspereza de la interfase es alrededor de 1.5 µm. Todos los transistores están cubiertos de una capa gruesa de plexiglás, que es un mal hc por tabla 42000 conductor de calor y, por tanto, todo el calor generado en la unión del transistor W/m2°C debe ser disipado hacia el ambiente que está a 20°C, a través de la superficie Q = 12.4 W posterior de la placa de cobre. El coeficiente combinado de transferencia por convección/radiación en la superficie posterior puede tomarse como 25 W/m2°C. ΔT interfase = 0.37 °C Si la T de la caja del transistor no debe superar los 70°C, determine la potencia máxima que cada transistor debe disipar y el salto de T en la interfase caja-placa

4. Redes en paralelo Redes de resistencias térmicas en paralelo 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 =

𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 1 1 + = (𝑇1 − 𝑇2 )( + ) 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2

𝑇1 − 𝑇2 𝑄= 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

1 1 = + 𝑅1 𝑅2

→ 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑅1 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑅2

3. Paredes planas de capas múltiples Ejemplo:

Uno de los principales fabricantes de electrodomésticos propone un diseño de horno con autolimpieza que implica el uso de una ventana compuesta que separa la cavidad del horno del aire ambiental. El compuesto consistirá en dos plásticos de alta T (A y B) de espesor LA = 2 LB y conductividades térmicas de A = 0.15 W/mK y B 0.08 W/mK. Durante el proceso de autolimpieza, las T de la pared y del aire del horno son 400 °C, mientras la T del aire del cuarto es 25°C. Si los coeficientes de transferencia de calor internos por radiación y convección, así como el de convección externa son, cada uno aproximadamente 25 W/m2K. ¿Cuál es el espesor mínimo de la ventana L = LA + LB, necesario para asegurar una T de 50°C en la superficie externa de la ventana? L = 62.7 mm

4. Redes en paralelo Ejemplo:

Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta de ladrillos de 16 x 22 cm de sección transversal horizontal (k = 0.72 W/m°C) separados por capas de mortero (k = 0.22 W/m°C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mortero de 2cm de espesor sobre cada ladrillo y una espuma rígida (k = 0.026 W/m°C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared. Las T dentro y fuera son de 20°C y -10°C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h1 = 10 W/m2°C y h2 = 25 W/m2°C, respectivamente. Si se supone transferencia de calor unidimensional y se descarta la radiación, determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared.

5. Ley de Fourier cilindros huecos La transferencia de calor a través del tubo debe ser constante.

Para una conducción de calor unidimensional en estado estacionario a través de una capa cilíndrica. La ley de Fourier se puede expresar como: 𝑑𝑇 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = −𝑘𝐴

𝑑𝑟

Si se considera el área de transferencia = 2πrL 𝑟2

𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑𝑟 = − 𝐴 𝑟=𝑟1

𝑇2

𝑘 𝑑𝑇 𝑇=𝑇1

𝑇1 − 𝑇2 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜, 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 2𝜋𝐿𝑘 ln 𝑟2/𝑟1

6. Resistencia térmica Si el flujo de calor es constante 𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 =

𝑇1 − 𝑇2 𝑅𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

Entonces la resistencia a la transferencia: 𝑅𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 =

𝑟2 𝑟1

ln( ) 2𝜋𝐿𝑘

Los mismos conceptos de resistencias térmicas combinadas estudiados en la pared plana aplican para las capas cilíndricas.

7. Cilindros con capas múltiples Se puede aplicar el mismo análisis del caso de las paredes planas de capas múltiples.

Es decir se suma una resistencia adicional en serie por cada capa adicional. 𝑟4 𝒌𝑪

𝐿𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 2𝜋𝑟

𝐿 Área Transversal del Cilindro 𝐴 𝑇 = 2𝜋𝑟𝐿

𝑄=

𝑇𝑖 − 𝑇𝑗 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖−𝑗

𝑻∞𝟏 𝒉𝒄𝟏

𝑟2 𝑟1

q T∞2

T∞1

𝑟3 𝑇𝐶

𝐿

𝑻∞𝟐 𝒉𝒄𝟐

𝑇𝑓

𝒌𝑩

R1

R2

Convección

Conducción

R3

R4

Conducción Conducción

R5 Convección

𝒌𝑨

𝑅𝑇 =

1 2𝜋𝐿 𝑟1 ℎ𝑐1

r 𝑟 𝑟 ln 𝑟4 ln 𝑟2 ln r3 1 3 1 2 + + + + 2𝜋𝑘𝐴 𝐿 2πk B L 2𝜋𝑘𝐶 𝐿 2𝜋𝐿 𝑟4 ℎ𝑐2

Donde Tj es la T desconocida, T i es la T conocida en el lugar i y R es la resistencia térmica entre los lugares i y j.

7. Cilindros con capas múltiples Ejemplo:

En un tubo de hierro fundido (k = 80 W/m°C), cuyos diámetros interior y exterior son 5 cm y 5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a 320°C. El tubo está cubierto con un aislamiento de fibra de vidrio de 3cm de espesor, con k = 0.05 W/m°C. Se pierde calor a los alrededores que están a 5°C por convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de 18 W/m2°C. Si el coeficiente de transferencia de calor dentro del tubo es 60 W/m2°C, determine la razón de pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Asimismo, determine la caída de temperatura a través de la pared de este y a través de la capa de aislamiento. 𝑅 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2.61 °𝐶/𝑊 𝑄 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 120.69 𝑊 ∆𝑇𝑡𝑢𝑏𝑜 = 0.023 °𝐶 ∆𝑇𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 283.62 °𝐶

8. Radio crítico de aislamiento Mientras mayor sea el espesor del aislamiento más baja es la razón de transferencia de calor (incrementa la resistencia térmica). En un cilindro el aislamiento adicional incrementa la resistencia a la conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la capa externa. La transferencia de calor puede aumentar o disminuir dependiendo del efecto q dominante.𝑻 ∞

𝑻𝑺𝒖𝒑

TSat

𝒉𝒄𝒐𝒏𝒗

R1

𝑻𝑺𝒂𝒕

𝒓𝒊 𝒓𝒆 𝒓𝟐

𝑄=

𝒓𝟏 𝒌𝒂 L

TSup

∼TSat

T∞

R2

R3

Conducción

Conducción

Convección

Tubería

Aislante

𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑎𝑡 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3

𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑎𝑡 𝑄= 𝑟 𝒓2 ln 𝑒 ln 𝑟𝑖 𝑟1 1 + + 2𝜋𝑘𝑡𝑢𝑏 𝐿 2𝜋𝑘𝑎 𝐿 2𝜋𝒓2 𝐿 ∙ ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣

8. Radio crítico de aislamiento Radio crítico es el radio de aislante para el cual se tiene la máxima transferencia de calor. Radio mínimo es el espesor para el cual la transferencia de calor es la misma que cuando la tubería está sin aislante.

El calor se incrementa debido al aumento del área de transferencia

El calor disminuye por la influencia de la resistencia, no del área

𝑄𝑚𝑎𝑥

Bajo el radio crítico la transferencia de calor aumenta con el aumento del espesor del aislante. No son recomendables los espesores de aislante menores o iguales al radio crítico. 𝑄

𝑆𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑠𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒

Sobre el radio crítico, la pérdida de calor disminuye con el aumento del espesor del aislante.

𝑟2 𝑟2 < 𝑟𝐶

𝑟𝐶

𝑟2 > 𝑟𝐶

𝑟𝑚𝑖𝑛

8. Radio crítico de aislamiento Radio crítico de aislamiento, es el valor del radio al cual se alcanza la máxima transferencia 𝑘 de calor. Para un cuerpo cilindro es igual a 𝑟𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 = ℎ

Donde k es la conductividad térmica del material aislante y h es el coeficiente externo de la transferencia de calor por convección. El radio crítico alcanzará un máximo cuando k sea grande y h sea pequeño. En la práctica para aislamiento de tuberías de agua caliente o vapor el valor más grande del radio crítico que probablemente podría encontrarse es 1cm. Para una esfera: 𝑟𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 =

2𝑘 ℎ

8. Radio crítico de aislamiento Ejemplo:

Un alambre eléctrico de 3 mm de diámetro y 5 m de largo está firmemente envuelto con una cubierta gruesa de plástico de 2mm cuya conductividad térmica es k = 0.15 W/m°C. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre para una corriente de 10 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo de este. Si el alambre aislado se expone a un medio que está a 30°C, con un coeficiente de transferencia por convección igual a 12 W/m2°C, determine la T en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. Asimismo, determine si la duplicación del espesor de la cubierta de plástico aumentará o disminuirá esta temperatura en la interfase. R aislante = 0.180 °C/W, R convección = 0.76 °C/W, Tinterfase = 105.2°C y Rc=12.5 mm

8. Radio crítico de aislamiento Ejemplo:

Un tubo de 1 in de diámetro externo de material desconocido se recubre con un asbesto de k = 0.12 Btu/h ft °F y un coeficiente de calor h = 1 Btu/h ft2 °F. Calcule el radio crítico de la tubería y la relación que tiene con el radio externo.

8. Radio crítico de aislamiento Ejemplo:

Por una tubería de 10 m de longitud no aislada con diámetro interior y exterior de 5 y 5,5 cm, respectivamente, circula agua a 90oC y el coeficiente de transferencia es 85 w/ m2 oC. La temperatura en los alrededores es de 25 oC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 10 w/ m2 oC. El material de la tubería es acero inoxidable. A) Calcule las pérdidas de calor a través de la tubería. B) Se requiere aislar la tubería y se cuenta con los siguientes materiales. Determine cuál es el más factible de utilizar y realice los cálculos correspondientes. Aislante de espuma. K= 0,03 w/ m oC corcho. K= 0,043 w/ m oC asbesto K= 0,17 w/ m oC C) Cuál sería el espesor del recubrimiento.

Deber • Considere una ventada de hoja doble de 1.2 m de alto y 2 m de ancho que consta de dos capas de vidrio (k = 0.78 W/m°C) de 3 mm de espesor separadas por un espacio de aire estancado (k = 0.026 W/m°C) de 12 mm de ancho. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 24°C en tanto que la temperatura del exterior es de -5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como 10 y 25 W/m2°C, respectivamente. Descarte cualquier transferencia de calor por radiación.

Deber • Dos barras de aluminio (k = 176 W/m°C) de 5 cm de lado y 15 cm de largo, con las superficies esmeriladas, se comprimen una contra la otra con una presión de 20 atm. Las barras tienen aislamiento en las superficies laterales por lo que la transferencia en ese sentido es despreciable. Si las superficies superior e inferior del sistema se mantienen a las temperaturas de 150°C y 120°C, respectivamente, determine: La razón de la transferencia de calor a lo largo de los cilindros en condiciones estacionarias y la caída de temperatura en la interfase.

Deber • Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección transversal representativa se da en la figura. Las conductividades térmicas de los diversos materiales usados, en W/m°C, son kA = kF = 2, kB = 8, kC = 20, kD = 15 y kE = 35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, respectivamente. Si la transferencia de calor a través de la pared es unidimensional, determine la razón de la transferencia de calor a través de ella, la temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y la caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualquier resistencia por contacto entre las interfaces.

Deber • Considere un calentador eléctrico para agua de 2m de alto que tiene un diámetro de 40 cm y mantiene el agua a 55°C. El tanque está ubicado en un pequeño cuarto cuya temperatura promedio es de 27°C y los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior del calentador son 50 y 12 W/m2°C, respectivamente. El tanque está colocado en el interior de otro tanque de lámina metálica de 46 cm de diámetro y espesor despreciable, y el espacio entre los dos tanques está lleno con aislamiento de espuma (k = 0.03 W/m°C). Las resistencias térmicas de tanque de agua y del cásco exterior de hoja metálica delgada son muy pequeñas y se pueden despreciar. El precio de la electricidad es de 0.08 $/kWh y el propietario de la casa paga 280 $ al año para calentar agua. Determine la fracción del costo de la energía para el agua caliente de esta casa que se puede atribuir a la pérdida de calor del tanque.

Deber • Un alambre eléctrico de 2.2 mm de diámetro y 10 m de largo está firmemente envuelto con una cubierta de plástico de 1mm de espesor cuya conductividad térmica es 0.15 W/m°C. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 13 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo del mismo. Si el alambre asilado está expuesto a un medio a 30°C con un coeficiente de transferencia de calor de 24 W/m2°C, determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. Determine también si al duplicar el espesor de la cubierta se incrementará o decrecerá esta temperatura en la interfase.