325689223-dinamica-de-estructuras-rayw-clough-traducido.docx

Dinámica de las estructuras {0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Dinámica de las estructuras

Ray W. Clough Profesor de Ingeniería Civil Universidad de California, Berkeley

Joseph Penzien Ingeniería Civil Internacional Consultants, Inc.

{0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Computadoras y Estructuras, Inc. 1995 University Ave. Berkeley, CA 94710

EE.UU.

Dinámica de las estructuras Derechos de autor (c) 2003 por Computers & Structures, Inc. Todos los derechos reservados. Impreso en los EEUU A excepción de lo permitido por la Ley de Derechos de Autor de Estados Unidos de 1976, ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o distribuida en cualquier forma o por cualquier medio, o almacenado en un sistema de base de datos o recuperación de información, sin el consentimiento previo por escrito del editor.

Datos de la obra en el catálogo de la Librería del Congreso Clough, Ray W., (fecha). Dinámica de las estructuras / Ray W. Clough, Joseph Penzien. pag. cm. Incluye índice. 1 . dinámica estructural. I. Penzien, José II. Título. AVC

CONTENIDO

1 1-1 {0}12{/0} {1} {/1} 1-3 1-4

1-5

1)

Prólogo

XV

Lista de símbolos

xvi

Visión general de Dinámica Estructural Objetivo fundamental de Análisis Dinámica Estructural

Tipos de Cargas prescritas Características esenciales de un problema dinámico Los métodos de discretización Lumped-Masa Procedimiento Los desplazamientos generalizados El concepto de elementos finitos Formulación de las ecuaciones de movimiento El equilibrado directa utilizando dŠAlembertŠs Principio Principio de desplazamientos virtuales Enfoque variacional Organización del texto

1 1 ......... .2 3 4 4 5 7 [9] [9] 10 10 [11

SISTEMAS DE PARTE I solo grado de libertad ....... . . .2 2-1 1) 2-3 2-4 2-5 2-6

Problemas.

Análisis de vibraciones libres Los componentes del sistema básico dinámico La ecuación de movimiento del sistema básico dinámico En influencia de fuerzas gravitacionales En uencia de Soporte de excitación Análisis de vibraciones libres no amortiguadas Amortiguada libre de vibraciones Críticamente amortiguado Sistemas Undercritically con amortiguación de Sistemas Overcritically con amortiguación de Sistemas

15 15 [16] [17] [18] 20 25 [26] 27] [32] [32] contr

vi

ÍNDICE

3 3-1

3-2 1) 3-4 A determinar 1)

3-7 Problemas.

4 4

4-2 4-3 Problemas.

Respuesta a la carga de armónicos Sistema amortiguado solución complementaria Solución particular Solución general Sistema con amortiguamiento viscoso Respuesta de resonancia Acelerómetros y medidores de desplazamiento

El aislamiento de vibraciones 46 Evaluación de amortiguamiento viscoso-Ratio ............................................52 Sin vibraciones Método Decay ............................................52 Método de resonancia de amplificación [53] De media potencia (Ancho de Banda) Método [54] La pérdida de energía de resonancia según Método de Ciclo [56] Complejo-rigidez del amortiguador 58 [61]

Respuesta a la Periódica Loading Expresiones de Fourier de la serie de Periódica Cargando Forma trigonométrica Forma exponencial Respuesta a la carga de la serie de Fourier Análisis preliminar del dominio de la frecuencia

5 Respuesta a la impulsiva Cargando 5-1 La naturaleza general de impulsivo Cargando 5.2 Sine-impulso de onda 5-3 Impulso rectangular 5-4 Impulso triangular 5-5 Shock o Espectros de Respuesta 5-6 Análisis aproximado de respuesta impulsiva-Load Problemas.

6 6-1

6-2.

[33] [33] [33] [33] [34] [36] 42 [45]

Respuesta a la dinámica general Carga: Métodos de Superposición Análisis Mediante el dominio del tiempo Formulación de Respuesta Integral La evaluación numérica de Respuesta Integral 89 Análisis a través del dominio de la frecuencia Respuesta integral de Fourier Transformadas de Fourier discretas (DVF)

sesenta y cinco sesenta y cinco sesenta y cinco [66] 6 69 [71] 73 73 [74] 77 78 79 [82] 84

[87] [87] [87] 7 [98] [100]

CONTENIDO

6-3

Las transformaciones rápidas de Fourier (FFT) Evaluación de la respuesta dinámica Relación entre el tiempo y dominio de la frecuencia Funciones de transferencia

[102] 106

Respuesta al general la carga dinámica: Paso a paso Métodos Conceptos generales A trozos método exacto Procedimientos de aproximación numérica Comentarios generales En segundo lugar Formulación diferencia central Métodos de integración Procedimiento Euler-Gauss Métodos Beta Newmark La conversión a una formulación explícita Formulación incremental para el análisis no lineal Resumen del Procedimiento de aceleración lineal

[111] [111] [112] 116 117 12 12 121 123 12 [127] [132]

Problemas. 7 11080 1) 7-3 77-5

7-5 7-7 Problemas.

VII.

8 Sistemas de libertad solo grado de generalizado 8-1 Comentarios generales sobre los sistemas de un grado de libertad 8-2 Propiedades generalizadas: Ensamblajes de cuerpos rígidos 25) Propiedades generalizadas: Flexibilidad Distribuido 25) Expresiones de las propiedades Sistema Generalizado 8-5 Análisis de vibraciones por RayleighŠs Método 4 Selección de la Forma de Rayleigh de la vibración 25) Método de Rayleigh mejorado Problemas.

109 109

1 1 134 ......140 75 149 152 156 16

SISTEMAS II de varios grados de libertad PARTE [9] 25) 9 -2 9-3

Formulación de las ecuaciones de movimiento MDOF La selección de los grados de libertad El equilibrio dinámico-Estado Efectos axial-Force

169 169 171 173

10 25)

Evaluación de matrices estructurales en la propiedad Propiedades elásticas Flexibilidad Rigidez Conceptos básicos estructurales La rigidez de elementos finitos

175 175 175 176 177 .

VIII.Horario de finalización CONTENIDO 25)

Propiedades de masa

184

Lumped-masa de matriz Matriz consistente por Massachusetts 1000100 25)

Propiedades de amortiguación

1)

Cargando externa Resultantes estáticas Las cargas nodales consistentes La rigidez geométrica Aproximación lineal La rigidez geométrica consistente Elección de la Propiedad Formulación

[11

No amortiguada libre de vibraciones

1)

Problemas.

11080 25) 25) 11080

25)

Problemas. 12 25) 25) 25) 25)

25)

1)

Análisis de vibración Frecuencias Análisis de modo de vibración Formas La flexibilidad de formulación de Análisis de Vibraciones En influencia de las fuerzas axiales Vibraciones libres carga de pandeo Pandeo con excitación armónica Condiciones de ortogonalidad Condiciones básicas Las relaciones adicionales La normalización

184 18 Pájaros, peces y estrecho Pájaros, peces y estrecho 190 190 191 191 194 196 1 24.01.2011 BORRAR 24.01.2011 BORRAR 204 208 208 208 209 1) 211 211 212 214 extensión 215

Análisis de dinámica mediante superposición 219 Coordenadas normales 219 Las ecuaciones desacopladas de movimiento no amortiguado: 221 Las ecuaciones de movimiento: desacoplados de amortiguamiento viscoso 1) Análisis de la respuesta por la modalidad de desplazamiento de superposición REVISION amortiguamiento viscoso REVISION Complejo-rigidez del amortiguador 230 Construcción de Matrices proporcionales amortiguamiento viscoso 234-235). amortiguación de Rayleigh 234-235). Amortiguación extendida Rayleigh 25) Formulación alternativa 1) Construcción de matrices no proporcionales amortiguación 1) Análisis de la respuesta utilizando las ecuaciones acopladas de Movimiento 245 Dominio del tiempo 245

CONTENIDO

25)

4 4 Problemas. [13] 25) 25) 25) 4

25) 25) 25) 1)

Dominio de la frecuencia Relación entre tiempo y frecuencia de dominio Funciones de transferencia Procedimiento práctico para la resolución de ecuaciones acopladas de Movimiento Procedimiento de interpolación para la generación de funciones de transferencia

Análisis de vibraciones por Matrix iteración Comentarios preliminares Análisis modo fundamental Prueba de Convergencia Análisis de modos superiores Análisis de segunda Modo Análisis de tercera y superior Modos Análisis de Modo de Alta Análisis de pandeo por Matrix iteración La iteración inversa el procedimiento preferido La iteración inversa con los cambios Temas especiales eigenproblema expansión Eigenproperty Forma simétrica de Matrix dinámico Análisis de estructuras sin restricciones

Problemas. 14Exterior 25)

25) 1) 11080 1) 25) 1)

25)

Selección de los grados de libertad dinámicos De elementos finitos grados de libertad Elementos unidimensional Dos y elementos tridimensionales Las restricciones cinemáticas La condensación estática Método de Rayleigh en discretos Coordenadas Rayleigh-Ritz Método subespacio iteración Reducción de errores de truncamiento modales Comentarios generales sobre la Reducción de coordenadas modales Aportes Procedimiento de corrección estática Modo método de aceleración Los vectores derivados de Ritz Comentarios preliminares derivación detalles

Contenidos X

ix 246 24 25 254 2 25 25 25) 229 231 231 235 236 2 1) 1) 1) 1) 11080 290 1)

1) 1) 1) 1) 1) 1) 1,119,298 299 1) 1) 1) 1) 311 1) 314 314 1)

Tridiagonales Ecuaciones de movimiento La pérdida de ortogonalidad Requerido número de vectores Problemas. 25) 25) 1) 4 1) 1)

[16] 1) 11080 11080 25) 25) Problemas.

Análisis de MDOF Respuesta Dinámica: Paso a paso Métodos Comentarios preliminares Las ecuaciones del movimiento incrementales Paso a Paso Integración: Constante Método Promedio Aceleración Paso a Paso Integración: Lineal Método de aceleración Estrategias para el Análisis de Sistemas Acoplados MDOF No linealidad localizada Efectos acoplados tratados como pseudo-Forces Variacional Formulación de las ecuaciones de movimiento Coordenadas generalizadas Principio HamiltonŠs LagrangeŠs Ecuaciones de movimiento Derivación de las ecuaciones generales del movimiento para sistemas lineales Limitaciones y multiplicadores de Lagrange

1) 25) 1) 25) 325 325 1) 1) 25) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 17/1/

PARTE III SISTEMAS DE-parámetros distribuidos Las 24 horas, 7 días a la semana, 365 días al año.

[17]

Ecuaciones diferenciales parciales de Movimiento OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Conocer la función e importancia del establecimiento de planes de acción en caso de emergencia. Aprender a comprender y elaborar un PAE (Plan de Acción de Emergencia) - Profundizar en los pasos de respuesta a la emergencia: entrenamiento previo, evacuación,traslado, conteo y contacto con familiares. - Analizar importancia de la relación que existe entre la organización y las autoridades así como con los Las 24 medios de comunicación. - Entender la importancia del horas, 7 entrenamiento y la actualización al momento de crear y seguir un días a la PAE. Palabras clave: plan de acción de emergencia (PAE), OSHA, semana, desastre, emergencia, Planificación, evacuación, rutas de escape, de 365 días 25) planta, Comunicación, Sistema de notificación al año. 11080 Brazo de flexión: Caso Primaria 1) 25) Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial-Force 1) 25) Brazo de flexión: La inclusión de amortiguamiento viscoso 1) 25) Brazo de flexión: Generalizada excitaciones de soporte 1) 25) Las deformaciones axiales: no amortiguado 25) Problemas. 25) [18]

Análisis de vibraciones libres no amortiguadas

377

1) Brazo de flexión: Caso Primaria 25) Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial-Force 1) Brazo de flexión: con soporte elástico Distribuido 1) Brazo de flexión: La ortogonalidad de modo de vibración Formas 1) Las vibraciones libres en la deformación axial 4 Ortogonalidad de los modos de vibración axial Problemas.

377 1) 11080 1) 1) 392 1)

CONTENIDO

[19] 4 1) 1) 1) 25)

Análisis de Respuesta Dinámica Coordenadas normales Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento no amortiguado: Caso Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento amortiguado: Caso Las ecuaciones desacopladas axiales de movimiento no amortiguado: Caso Análisis de la propagación de ondas Básico Escuadra-Wave-Propagación Ecuación El examen de las condiciones de frontera Discontinuidad en Propiedades de la barra

Problemas.

xi 25) 1) 400 1) 1) 411 411 1) 1) 1)

PARTE IV AZAR VIBRACIONES 20 1) 11080 11080 25) 11080 1) 11080 25) 25) 1) Problemas. [21] 25) 1) 1) 25) 11080 11080

Teoría de probabilidad Variable aleatoria individual Promedios importantes de una variable aleatoria individual Unidimensional paseo aleatorio Dos variables aleatorias Promedios importantes de dos variables aleatorias Diagrama de dispersión y correlación de dos variables aleatorias Los ejes principales de la función de probabilidad conjunta Densidad Rayleigh función de densidad de probabilidad m variables aleatorias Transformaciones lineales de variables aleatorias distribuidas normalmente

Los procesos aleatorios Definición 2. Procesos estacionarios y ergódica Función de autocorrelación para procesos estacionarios Densidad espectral de potencia Función de procesos estacionarios Relación entre la densidad espectral de potencia y Autocorrelación Funciones Densidad Espectral de Potencia y autocorrelación Funciones para Derivados de Procesos

1) 1) 1) 25) 442 451 1) 1) 461 463 465-466). 466 471 471 1) 478 484 1)

488

11080 1) 1)

Superposición de procesos estacionarios Los procesos estacionarios gaussianos: una variable independiente Estacionaria White Noise

25) 1) 11080 1)

Distribución de probabilidad para Maxima Distribución de probabilidad para los valores extremos Los procesos no estacionarios gaussianos Plataforma de Gauss: Dos o más variables independientes

ÍNDICE

490 1) 1) Entre 501 y 1.000 empleados 1) 51 1)

xii

Problemas. [ 11080 25) 25) 25) 11080 1) Problemas.

Respuesta estocástica de un grado de libertad lineales Sistemas Funciones de transferencia Relación entre la entrada y salida de funciones de autocorrelación Relación entre la entrada y la salida espectral de potencia funciones de densidad de Características de respuesta de los sistemas de banda estrecha Respuesta no estacionario Mean Square Como resultado de cero inicial Condiciones Las predicciones de fatiga para los sistemas de banda estrecha

1) 517 / 2010 517 / 2010 25) 25) 1)

25) 1) 1)

[23]

Respuesta estocástica de sistemas lineales MDOF 1) Respuesta dominio del tiempo para sistemas lineales usando los 11080 modos normales 1) Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales usando los modos 25) normales 541 25) Modo normal función de forzamiento debido al discretos Cargas 5 25) Modo normal función de forzamiento debido a cargas distribuidas 54 Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales que tienen 25) FrecuenciaParámetros dependientes y / o Normal Los modos acoplados 5 Problemas. 1) PARTE V Ingeniería Sísmica 24. 25) 25) 11080 11080 11080 1) 1)

Antecedentes Sismológico Nota introductoria sismicidad Fallas sísmicas y Ondas Estructura de la Tierra Placas tectónicas Teoría elástica-Rebote de los Temblores Medidas del terremoto Tamaño

555 555 1) 1) 1) 1) 567 1)

25 25) 25) 11080

De campo libre de movimientos del terreno en superficie Fourier y Espectros de Respuesta Factores en uir en Espectros de Respuesta Diseño de los espectros de respuesta Estrategia dual de diseño sísmico Aceleraciones pico Formas de respuesta del espectro Uniforme-Peligro sitio especí-c Espectros de Respuesta Dos componentes horizontales del movimiento

1) 1) 1) 1) 1) 1) 11080 1) 597

CONTENIDO

11080

diseño acelerogramas Espectro de Respuesta Acelerogramas compatibles Los ejes principales de Movimiento Las mociones espacialmente correlacionadas

11080 1) 25)

XIII 597 LUNES 27 598 1) 25)

Determinista terremoto Respuesta: Sistemas de rígido Foundations613 Tipos de excitación del terremoto 1) Respuesta a excitaciones rígido-Suelo 11080 Lumped un grado de libertad elástica Systems, traslacional Excitación 1) Generalizado-Coordinar un grado de libertad elástica Systems, traslacional Excitación 1) Lumped MDOF elástico Systems, traslacional Excitación 1) La comparación con ATC-3 Disposiciones del Código recomendados 63 Distribuido-Parámetro elástico Systems, traslacional Excitación 640 Lumped MDOF elástico Systems, excitación rotacional 25) Lumped MDOF elástico Systems, excitación múltiple 1) Lumped un grado de libertad Sistemas elástico-plástico, traslacional de Excitación 1) 25) La combinación de respuestas máximas modales 650 Respuesta media cuadrada de un modo individual 650 Covarianza de respuesta producida por Dos modos 1) SRSS y Combinación de respuestas modales CQC 1) La combinación de las respuestas de dos componentes de excitación 1) Problemas. 1) Determinista respuesta al terremoto: La inclusión de suelo27] estructura Interacción social 1) 1) La interacción suelo-estructura mediante el análisis directo 1) La interacción cinemática de Conversión de excitación; el efecto Tau $ 670 La inclusión directa de una capa de suelo acotada 1)

25)

1)

[28] 11080

xiv

Análisis de la Respuesta Subestructura SSI Sistemas de parámetros concentrados en un grado de libertad Fundación rígido Mat Sistema General de MDOF con excitación Apoyo Múltiple Generación de impedancias de frontera Respuesta de estructuras subterráneas Sin tierra del campo mociones debido a ondas que se propagan Plane Las deformaciones trasiego de las secciones de la Cruz En general axial y de flexión Deformaciones En uencia de Juntas Transversales de deformaciones axiales

1)

Respuesta estructural estocástico Modelización de movimientos intensos

711 711

1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1)

CONTENIDO

25)

25)

11080 11080

Respuesta estocástica de sistemas lineales Sistemas de un grado de libertad Sistemas MDOF Respuesta de extrema valor de los sistemas no lineales Sistemas de un grado de libertad Sistemas MDOF Consideraciones en el diseño Permisible demanda de ductilidad Versus La ductilidad de la capacidad Índice

711 711 +39) 0543 712 659 1) 1) 1) 25) 1) 1)

PRÓLOGO

Desde la edición de este primer libro se publicó en 1975, los principales avances se han hecho en el tema "dinámica de las estructuras." Aunque sería imposible dar un tratamiento integral de todos esos cambios en esta segunda edición, los que se consideran de significación más práctica están incluidos. La organización general del material de texto se mantiene sin cambios desde la primera edición. Se progresa lógicamente de un tratamiento de sistemas de un solo grado de libertad a la multi-grados de libertad sistemas discretos de parámetros y luego a los sistemas de ntinuous co nita grados de libertad.El concepto de equilibrio de

fuerzas, que forma la base del análisis estático de estructuras, se retiene de forma que el ingeniero con experiencia puede fácilmente hacer la transición a la realización de un análisis dinámico. Es esencial, por tanto, que la abolladura de Stu dinámica estructural tiene una sólida formación en las teorías de la estática de las estructuras, incluyendo los métodos de la matriz, y se supone que los lectores de este texto tienen tal preparación. El tratamiento teórico de las Partes I, II y III es ic determinista en la naturaleza, ya que hace uso de las cargas dinámicas que se integran totalmente prescriben apesar de que pueden ser muy irregular y transitorio con respecto al tiempo.El tratamiento de las vibraciones aleatorias en la Parte IV es sin embargo estocástico (al azar) en forma de carga desde los Ings considerados pueden caracterizarse únicamente de manera estadística.Por lo tanto, una comprensión de la teoría básica de probabilidad es un requisito esencial para el estudio de este tema. Antes de continuar con este estudio, se recomienda que el estudiante tome un curso completo en la teoría de la probabilidad; Sin embargo, si esto no se ha hecho, el tratamiento breve de los conceptos de probabilidad dada en el Capítulo 20 puede servir como una preparación mínima. La solución de un problema típico de la dinámica estructural es considerablemente más ed complicat que su contraparte estática debido a la adición de la inercia y de amortiguación de las fuerzas elásticas de resistencia y debido a la dependencia del tiempo de todas las cantidades de fuerza.Para situaciones más prácticas, la solución por lo general sólo es posible mediante el uso de un ordenador digital hig h velocidades, que se ha convertido en la herramienta estándar de la dinamicista estructural.Sin embargo, la mayor parte de los problemas en el texto, que están destinados para enseñar los fundamentos de la dinámica, son bastante simple en su forma de permitir que sus soluciones para obtener usando una calculadora de mano.Sin embargo, el estudiante de la dinámica de la estruc-turas debería haber estudiado previamente las técnicas de codificación informática y los procedimientos analíticos asociados. Dicho fondo permitirá una pronta transición de la dinámica solv-ing proble ms por una calculadora de mano para resolverlos en un ordenador PC con programas especialmente desarrollados para este propósito.El programa CAL-91, desarrollado por el profesor EL Wilson, de la Universidad de California, Berkeley, es un programa de este tipo que se ha utilizado muy efectuar vamente en la enseñanza incluso el primer curso en la dinámica de las estructuras.Se anima a los instructores que utilicen este libro para implementar este tipo de soluciones informáticas PC en sus cursos para que los problemas más realistas pueden ser consideradas.

XV

PREFACIO

xvi

Un gran número de ejemplos de problemas se han resuelto en el texto para ayudar al lector en la comprensión de la materia sujeto. Para dominar completamente las técnicas de análisis, es esencial que el estudiante a resolver muchos de los problemas de la tarea que se presentan en la s final de los capítulos.Ellos deben ser asignados sin embargo con moderación ya que los análisis de respuesta dinámica son notoriamente tiempo. Los autores han encontrado que de uno a cuatro problemas pueden constituir una asignación semanal adecuada, dependiendo de la materia un tipo nd de solución requerida.Sobre esta base, el libro incluye muchos más problemas de los que se le pueda asignar una secuencia de un año de cursos sobre dinámica estructural. El objeto de este texto puede servir como la base de una serie de posgrado es cours.El curso primero podría cubrir el material en la parte I y parte de que, en la segunda parte. El alcance total de esta cobertura dependerá, por supuesto, de si el curso es del trimestre o semestre de duración. Si la duración del trimestre, la cobertura de material en las artes P I y II es ciente para proporcionar la base de una secuencia de dos cursos de trimestre y un poco de material de la Parte III también podría incluirse en el segundo curso.

En general, ahora se espera que casi todos los estudiantes Masters grados en ingeniería estructural deberían haber tenido al menos el primer curso básico en la dinámica de las estructuras y se recomienda que el avanzado (de cuarto año de nivel) estudiante de grado se proporciona en oportunidad de tomar un curso similar, Aun cuando su cobertura material puede reducirse algo.

El material en la Parte IV puede servir como la materia de un curso básico de vibración aleatoria que se necesita en una cabal comprensión de las aplicaciones prácticas de los métodos estocásticos en diversos campos tales como la ingeniería sísmica, ingeniería eólica, y la ingeniería oceánica.Muchas de esas aplicaciones se presentan en la Parte V, que trata el tema general de la ingeniería sísmica. Sin embargo, un curso separado es necesaria para cubrir completamente el material en la Parte V. Los estudiantes de tomar cualquiera de estos dos últimos cursos SH Ould tener una buena formación en análisis dinámico de estructuras determinista y una madurez razonable en matemáticas. Este libro ha sido escrito para servir no sólo como un libro de texto para estudiantes de colegios y universidades, sino para servir como un libro de referencia para los ingenieros ticing cas también.Las formulaciones y técnicas presentadas pueden servir efectivamente como base para el desarrollo continuo de nuevos programas informáticos de análisis para ser utilizados por el ingeniero de diseño y análisis de estructuras que funcionan en entornos dinámicos. Para concluir, los autores desean expresar su sincero agradecimiento a las muchas personas (estudiantes, miembros de la facultad, y los ingenieros en ejercicio) que tienen tanto directa como indirectamente contribuyeron con el contenido de este libro. El nu mbre de tales contribuyentes es demasiado grande sin embargo al intentar enumerarlos por su nombre. Una persona más merecedora de un reconocimiento especial es la Sra Huey-Shu Ni que escribe el texto completo y, con la ayuda de su personal en Dibujo y Servicios de edición, Ltd. en Taipei, Taiwán, preparado todas las figuras.Su forma paciente y amable, que siempre estuvo presente durante los muchos años de preparación del libro, es para ser admirado. Los autores expresan a ella su profundo reconocimiento y agradecimiento por un trabajo hecho magníficamente.

Ray W. Clough Joseph Penzien

LISTA DE SÍMBOLOS

A distancia. Fourier coe ciente, la frecuencia

"Un adimensional

/tutor legal cientes de Fourier cientes, constantes zona, constante constantes

UN A 1, A 2

segundo b 0, b n

distancia, número entero Coe cientes de Fourier constantes

segundo

constante

coeficiente de amortiguación

do

generalizada coeficiente de amortiguación Copia: amortiguamiento crítico coeficiente c ij amortiguamiento en los coeficientes uir modo normal generalizada de amortiguación Cneo coeficientes CQC combinación cuadrática completa C

factor de la dinámica de cationes Magni

re

re dinámica de matriz = k 1 m DFT transformada de Fourier discreta DRV deriva del vector Ritz e desplazamiento axial El módulo, la liberación de energía de E Young E matriz dinámico D 1

e.

Ed) Ed) E:-< i'

valor esperado, media de conjunto amortiguamiento pérdida de energía / ciclo distancia epicentral la rigidez a la flexión F

la frecuencia cíclica naturales xvi

xviii LISTA DE SÍMBOLOS 1) f

ij

f I, f D, F S FD %.1f ft g

flexibilidad en los coeficientes uir inercial, amortiguación, y la primavera fuerzas, respectivamente profundidad focal la transformada rápida de Fourier aceleración de la gravedad

función de impedancia límite condición geológica altura, espesor de la chapa, intervalo de tiempo h ij (t), h (t)

500Hz yo l l ) (Es decir: 2040, 2045) Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" I ij (i!

GI,GR G

funciones de respuesta de impulso unitario funciones de respuesta de frecuencia compleja Hertz (frecuencia en ciclos / segundo) Entero impulso, sección transversal momento de inercia matriz de identidad función de impedancia la eficacia de aislamiento

imaginario // - 1.5.8 constantes constantes reales longitud del vector

g:i a GC h H ij (i!), ¡Hola!)

g/l G

funciones de onda de estrés módulo de corte, constante compleja

gg. {0}J. {/0}{1}{/1} k, k i

k k ^ k

25) k c, d k

k

ij

jj

k

Kg Kg

número entero, momento de inercia constantes de resorte constante de elasticidad generalizada rigidez generalizada combinado la rigidez compleja rigideces eficaces rigidez en los coeficientes uir rigidez combinada de coeficientes uir la rigidez geométrica la rigidez geométrica generalizada

k

G ij

0,25 kn (€ 0,03)

la rigidez geométrica en coeficientes uir rigidez generalizada de n-ésimo modo normal

^

0,25 kn (€ 0,03) ¡A ¡A me

rigidez complejo de n-ésimo modo normal longitud factor de terremotos de excitación masa, número entero

LISTA DE SÍMBOLOS

My m

ij

MISA en masa en los coeficientes uir

me

de masa generalizada

me

masa uniforme / unidad de longitud la magnitud de Richter, número entero matriz de masa para los modos normales de masa generalizada de n-ésimo modo normal

L L

M4N M (t), M (x; t) MDOF £M (/0}£F MM "n"

momento interno varios grados de libertad factor de cationes Magni modi escala de Mercalli número entero, constante

número de incrementos de tiempo, el número de grados de libertad,

norte Entero

carga axial

norte

carga axial crítica fuerza axial interna (invariante en N (x) el tiempo) fuerza axial interna (variable en el N (x, t) tiempo) N

cr

P2P/ De usuario a usuario cargar pag

p

ef

carga uniforme / unidad de longitud carga efectiva

xix

Pt.C/O Tinnitus bilateral

carga aplicada

Pt.C/O Tinnitus bilateral vector de carga en el dominio del tiempo Pt.C/O Tinnitus bilateral 128px p (x; y) p (XJY) p (x 1; x 2;:::; x m) PAG Pi ) 128px

P/N P n (t) PAG

) PGA RR-PP P (X), P (X; Y) n

(i!

q o, q i

carga generalizada la función de densidad de probabilidad función de densidad de probabilidad conjunta función de densidad de probabilidad condicional función de densidad de probabilidad multivariada alimentacion vector de carga en el dominio de frecuencia función de distribución de probabilidad amplitud compleja coe ciente carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio del tiempo carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio de frecuencia valor máximo de aceleración Probabilidad funciones de densidad de probabilidad constantes, las coordenadas generalizadas

xx LISTA DE SÍMBOLOS q (x; t) Q i (t) r R R (t)

Receta: R xy () ..porque todo va a cambiar. tan pronto como ella

Sáb. S/D

carga axial aplicada i ª función de fuerza generalizada Radio de giro real relación de respuesta función de autocorrelación función de correlación cruzada

Mantener la respuesta de aceleración espectral absoluta respuesta de desplazamiento relativa espectral

S ii (i! S ij (¡yo!

funciones de densidad de potencia espectral

)

Spa

funciones de densidad espectral cruzada respuesta espectral pseudo-aceleración

S pv ( ; !)

pseudo-velocidad de respuesta espectral

S v ( ; !)

respuesta de velocidad relativa espectral de primer modo de matriz de barrido condiciones del suelo solo grado de libertad intensidad espectro de Housner mecanismo de la fuente raíz cuadrada de la suma de cuadrados

)

#% SC un grado de libertad ¡Yes! SM SRSS t, t i

T06 J J

8 th TP TR u2713 S contr

(i!)

desplazamiento dinámico desplazamiento total desplazamiento en el dominio del tiempo desplazamiento del terreno aceleración del terreno en el dominio del tiempo aceleración del terreno en el dominio de la frecuencia

st

desplazamiento estático

contr

VT VT vg,V0

g

v • g (t) • V

g

v

hora duración del impulso período de vibración, la energía cinética matriz de vectores propios ortonormales período de n-ésimo modo normal período de movimiento transmisibilidad desplazamiento en dirección x x energía de deformación y desplazamiento en dirección x

LISTA DE SÍMBOLOS

V

VI.

) V (x, t)

12V / 1,5A C V, V p, s V

V ff Vn

Energía potencial desplazamiento en dominio de la frecuencia fuerza cortante interna velocidad de la onda aparente velocidades de las ondas de libre velocidad de la onda de campo constante compleja

xxi

￦233,259,995,000

el trabajo, el peso

W

W

nc

Wn`'

z desplazamiento en dirección x

el trabajo de las fuerzas no conservativas el trabajo de carga axial N x

espacio de coordenadas, variable aleatoria

x

valor de x significa

incógnit x (t) incógnit y y (t)

Y

valor cuadrático medio de x proceso aleatorio espacio de coordenadas, variable aleatoria espacio de coordenadas proceso aleatorio

variable aleatoria, espacio de coordenadas

Y n (t) generalizarse desplazamiento de n-ésimo modo normal en el dominio del tiempo Y n (i!)desplazamiento generalizado de n-ésimo modo normal en la frecuencia dominio z

espacio de coordenadas

z (t) generaliza coordinar la respuesta en el dominio Z de tiempo, Z n, Z 0 coordenadas generalizadas Z (i!)

coordinar la respuesta generalizada de dominio de la frecuencia , Relación de frecuencia parámetro constante de tiempo adimensional

enteros, masa / unidad de área, unidad de peso ij (i!)funciones de coherencia decremento, variación, residual e, v, desplazamientos virtuales log z

WI 1203 Nosotros somos

trabajo virtual interno trabajo virtual externo

Avanzar

st? desplazamiento estático Valor mínimo de la carga

PD - efectiva

2000 M

{

xxii

intervalo de tiempo

LISTA DE SÍMBOLOS

11080intervalo de frecuencia cepa normales función de tiempo, con histéresis coef amortiguación longitud de onda ciente factor de carga axial multiplicador de Lagrange

G

yo

n º valor propio

"n"

ángulo de fase, pendiente, factor de rotación de la ductilidad 1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

No

(X 0; Y 0).

xff

covarianzas el coeficiente de Poisson amortiguamiento relaciones la amplitud del vector, la masa de volumen / unidad ciente de correlación coef estrés normal Desviacion Estandar(±)

incógnit Varianza hora ángulo de fase 1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el

desplazamiento modal

Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

n, n (x)

No "n"

1)"n" ¡2D dn ¡ (x)

n º forma del modo matriz de forma modal funciones de desplazamiento generalizadas generalizada vector de desplazamiento matriz de formas hechas asumidos sin amortiguar las frecuencias naturales circulares amortiguadas frecuencias circulares naturales frecuencia circular de función de fuerza armónica distribución de la carga

capitulo

1 ASPECTOS GENERALES DE Estructural {0/}{1/} {2}DINÁMICA{/2}

1-1 objetivo fundamental de la dinámica estructural ANÁLISIS El propósito principal de este libro es presentar métodos para el análisis de las tensiones y de reflexiones desarrolladas en cualquier tipo dado de la estructura cuando se somete a una carga dinámica arbitraria. En un sentido, este objetivo puede ser considerado como un extensio n de métodos estándar de análisis estructural, que en general tienen que ver con solamente la carga estática, para permitir la consideración de la carga dinámica también.En este contexto, la condición de carga estática puede ser considerada simplemente como una forma especial de l oading dinámico.Sin embargo, en el análisis de una estructura lineal, es conveniente distinguir entre la estática y los componentes dinámicos de la carga aplicada, para evaluar la respuesta a cada tipo de carga por separado, y luego superponer los dos componentes de respuesta para obtener su efecto total .Cuando se tratan thusly, los métodos estáticos y dinámicos de análisis son fundamentalmente diferentes en carácter.

A los efectos de esta presentación, la dinámica término puede ser de nida simplemente como variable en el tiempo; por lo tanto una carga dinámica es cualquier carga de que su magnitud, dirección, y / o la posición varía con el tiempo.Del mismo modo, la respuesta estructural a una carga dinámica, es decir, las tensiones resultantes y DE reflexiones, es también de tiempo varían Ing, o dinámica.

1

2

Dinámica de las estructuras

Dos enfoques básicamente diferentes están disponibles para la evaluación estructural de re-respuesta a las cargas dinámicas: deterministas y no deterministas. La elección del método a utilizar en cada caso depende de cómo se de ne la carga.Si la variación de momento de la carga se conoce por completo, a pesar de que puede ser altamente oscilatoria o ir-regular en carácter, se denomina en este documento como una carga dinámica prescrito; y el análisis e ª de la respuesta de cualquier sistema estructural especificado a una carga dinámica prescrita se de ne como un análisis determinista.Por otro lado, si la variación en el tiempo no se conoce completamente, pero puede ser de ne en un sentido estadístico, la carga se te rmó una carga dinámica al azar; y su correspondiente análisis de la respuesta se de ne como un análisis no determinista.El énfasis principal en este texto se coloca en el desarrollo de métodos de análisis dinámico determinista; Sin embargo, la cuarta parte está dedicada a preparar una introducción a los métodos de análisis no determinista y la Quinta Parte contiene un capítulo que trata de la aplicación de métodos de análisis no determinista en el campo de la ingeniería sísmica. En general, la respuesta estructural a cualquier carga dinámica se expresa, básicamente, en términos de los desplazamientos de la estructura. Por lo tanto, un análisis determinista conduce directamente al desplazamiento tiempohistoria que corresponden a la historia de carga prescrita; cantidades respuesta relacionada r Othe, tales como tensiones, deformaciones, fuerzas internas, etc., se obtienen generalmente como una fase secundaria del análisis.Por otra parte, un análisis no determinista proporciona sólo información estadística sobre el ng desplazamientos resultadoi de la carga estadísticamente de Ned; la información correspondiente sobre las cantidades de respuesta relacionados a continuación, se genera utilizando los procedimientos de análisis no determinista independientes.

1-2 TIPOS DE CARGAS PRESCRITAS Casi cualquier tipo de sistema estructural puede ser sometido a una u otra forma de carga dinámica durante su vida útil.Desde un punto de vista analítico, es conveniente dividir las cargas prescritas o deterministas en dos

categorías básicas, periódicas y no periódicas. Algunas formas típicas de cargas y ejemplos de situaciones en las que se podrían desarrollar este tipo de cargas prescritas se muestran en la Fig. 1-1. Como se indica en esta figura, una carga periódica exhibe la misma variación de tiempo sucesivamente para un gran número de ciclos. El más simple de carga h periódica como la variación sinusoidal se muestra en la Fig. 1-1 una, que se denomina armónico simple; cargas de este tipo son características de efectos desequilibrada-masa en maquinaria rotativa.Otras formas de carga periódica, por ejemplo, las causadas por las presiones hidrodinámico géneros ted por una hélice en la popa de un buque o por los efectos de inercia en movimiento alternativo maquinaria, con frecuencia son más complejas.Sin embargo, por medio de un análisis de Fourier cualquier carga periódica se puede representar como la suma de una serie de componentes armónicos simples, por lo que, en principio, el análisis de respuesta a cualquier carga periódica sigue el mismo procedimiento general.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

3

Periódicas rotación desequilibrada

"Un

máquina en la construcción

Rotación de la hélice en popa del buque

N

No PERIODICO

C

Bomba de presión de la explosión de contruyéndo

2D

Terremoto del agua Tanque

Cargando historias

ejemplos típicos

Figura 26. Características y fuentes de cargas dinámicas típicas: (a) armónico simple; (B) compleja; (C) impulsiva; (D) de larga duración.

Cargas no periódicas pueden ser tanto las cargas impulsivas de corta duración o formas generales de larga duración de las cargas.Una explosión o explosión es una fuente típica de una carga impulsiva; para este tipo de carga de corta duración, formas especiales simplificados de análisis pueden ser em pleados-. Por otro lado, una, a largo duración de la carga general, como podría ser el resultado de un terremoto puede ser tratada únicamente por procedimientos completamente generales de análisis dinámico.

1-3 características esenciales de un problema dinámico Un problema estructural dinámica se diferencia de su contraparte de carga estática en dos aspectos importantes. La diferencia en primer lugar a tener en cuenta, por de nición, es la naturaleza variable en el tiempo del problema dinámico. Debido a que tanto la carga y la respuesta varían con el tiempo, es evidente que un problema dinámico no tiene una solución única, como un problema estático

4

Dinámica de las estructuras

hace; En cambio, el analista debe establecer una serie de soluciones que corresponden a todas las épocas de interés en la historia de respuesta. Así, un análisis dinámico es claramente más compleja y requiere mucho tiempo de un análisis estático. La segunda y más fundamental d istinction entre Prob-blemas estáticas y dinámicas se ilustra en la Fig. 1-2.Si una viga simple es sometida a una carga estática p, como se muestra en la Fig. 1-2 a, sus momentos internos y cizallas y la forma des reflejada dependen sólo esta carga y pueden ser calculados por los principios establecidos de equilibrio de fuerzas.Por otra parte, si se aplica dinámicamente la carga p (t), como se muestra en la Fig. B 1-2, los cementos Visualizaciones Las resultantes de la viga depende no sólo de esta carga, sino también de las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones que los producen.Así, la corresponden-ing momentos internos y cizallas en el haz debe equilibrar no sólo la fuerza aplicada externamente p (t), sino también las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones de la viga. Las fuerzas de inercia que se resisten a las aceleraciones de la estructura de esta forma son la característica distintiva más importante de un problema de dinámica estructural. En general, si las fuerzas de Al Inerti representan una porción significativa de la carga total, equilibrada por las fuerzas elásticas internas de la estructura, entonces el carácter dinámico del problema debe tenerse en cuenta en su solución.Por otro lado, si los movimientos son tan lento que las fuerzas de inercia son insignificantemente pequeño, el análisis de la respuesta para cualquier instante de tiempo deseado puede ser hecho por procedimientos de análisis estructural estáticas a pesar de que la carga y la respuesta puede ser variable en el tiempo.

1-4 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN Lumped-Masa Procedimiento

Un análisis del sistema dinámico en la Fig. 1-2 b se hace obviamente complica por el hecho de que las fuerzas de inercia son el resultado de desplazamientos variables en el tiempo estructurales que a su vez están en influido por las magnitudes de las fuerzas de inercia.Thi s ciclo cerrado de causa y efecto puede ser atacado directamente sólo mediante la formulación del problema en términos de ecuaciones diferenciales.Además, debido a que la masa de la viga se distribuye

Pt.C/O Tinnitus bilateral

p

Las fuerzas de inercia

"Un

N

Figura 26. Diferencia básica entre las cargas estáticas y dinámicas: (a) la carga estática; (B) la carga dinámica.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

5

continuamente a lo largo de su longitud, los desplazamientos y aceleraciones deben ser de nidas para cada punto a lo largo del eje si las fuerzas de inercia son desconectar completamente definido. En este c aso, el análisis debe ser formulada en términos de ecuaciones diferenciales parciales porque la posición a lo largo del lapso de tiempo, así como deben ser tomadas como variables independientes.

Sin embargo, si se supone la masa de la viga que se concentra en puntos discretos, como se muestra en la Fig. 1-3, el problema se convierte en analítica ed enormemente simplificado debido a las fuerzas de inercia se desarrollan sólo en estos puntos masivos. En este caso, es necesario de nir los desplazamientos y aceleraciones solamente en estos lugares discretos. El número de componentes de desplazamiento que debe ser considerado con el fin de representar los efectos de todas las fuerzas de inercia significativa de una estructura que puede denominarse el número de grados de libertad dinámicos de la estructura.Por ejemplo, si las tres masas en el sistema de la fig. 1-3 son totalmente concentrado y se ven limitados por lo que los puntos de masa correspondientes traducen sólo en una dirección vertical, esto se llama un sistema de tres grados de libertad (DOF 3).Por otro lado, si estas masas no están totalmente concentrados para que dispongan de inercia de rotación infinita, los desplazamientos giratorios de los tres puntos serán también tienen que ser considerados, en cuyo caso el sistema cuenta con 6 GDL. Si orciones natu dist axiales de la viga son significativo, los desplazamientos de traducción paralelo con el eje del haz también resultará dando al sistema 9 DOF. Más generalmente, si la estructura se puede deformar en el espacio de tres dimensiones, cada masa tendrá 6 DOF; a continuación, el sistema tendrá 18 DOF. Sin embargo, si las masas están totalmente concentrados para que no inercia de rotación está presente, el sistema de tres dimensiones tendrá entonces 9 DOF. Sobre la base de estas consideraciones, es evidente que un sistema con distribuye de forma continua en masa, como en la Fig. 1-2 b, tiene una noche en el número de grados de libertad. Los desplazamientos generalizados

La idealización agrupado-masa se ha descrito anteriormente proporciona un medio simple de limitar el número de grados de libertad que deben ser considerados en la realización de un análisis dinámico de un sistema estructural arbitraria.El procedimiento de formación de grumos es más eficaz en el tratamiento de sistemas en los que una gran proporción de la masa total de hecho se concentra en unos pocos puntos discretos.A continuación, la masa de la estructura que soporta estas concentraciones puede ser incluido en los grumos, lo que permite la estructura en sí para ser considerado peso. Sin embargo, en casos en los que la masa del sistema está bastante uniformemente distribuida

Pt.C/O Tinnitus bilateral (C) 3M 2016.

(C) 3M 2016.

(C) 3M 2016.

Figura 26. idealización de masas concentradas de un simple

Ej:

6

Ej:

Ej:

viga

Dinámica de las estructuras

a lo largo de, un enfoque alternativo para limitar el número de grados de libertad puede ser preferible. Este procedimiento se basa en el supuesto de que la forma reflejada de de la estructura se puede expresar como la suma de una serie de patrones de desplazamiento ed específicos; estos patrones se convierten entonces en el desplazamiento coordenadas de la estructura.Un simple ejemplo de este enfoque es la representación de la serie trigonométrica de la de reflexión de un haz simple. En este caso, la reflexión de forma puede ser expresado como la suma de las contribuciones de onda senoidal ependent ind, como se muestra en la Fig. 1-4, o en forma matemática, 1

nx

v (x) = b n pecado ¡A

1)

incógn it

No

En general, cualquier forma arbitraria compatible con las condiciones de apoyo prescritos de la viga simple puede ser representado por este en serie infinita de componentes de onda sinusoidal. Las amplitudes de las formas de onda senoidal pueden ser considerados como los TES desplazamiento coordina La del sistema, y el número infinito de grados de libertad del haz real están representados por la noche en número de términos incluidos en la serie.La ventaja de este enfoque es que una buena aproximación a la forma real de la viga se puede lograr ya b truncado serie de componentes de onda sinusoidal; por tanto, una aproximación de 3 DOF contendría sólo tres términos de la serie, etc.

Vx-1

incógnit L' b sen

x

11080 ¡A



2xb

2

pecado 

¡A



3  x b3 pecado 

¡A

  Figura 26. representación-serie de senos de una simple desviación del rayo.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

7

Este concepto se puede generalizar más al reconocer que las formas de onda senoidal usados como los patrones de desplazamiento asumidos eran una elección arbitraria en este ejemplo. En general, cualquier forma n (x), que son compatibles con las condiciones geométricas de apoyo reglamentarias y que mantengan la necesaria continuidad de los desplazamientos internos puede ser asumido.Por lo tanto una expresión generalizada para los desplazamientos de cualquier estructura unidimensional podría ser writt en incógnit v (x) = "n"

Z n n (x)

(1-2)

Para cualquier conjunto asumido las funciones de desplazamiento (x), la forma resultante de la estructura depende de los términos de amplitud Z n, que se hará referencia a las coordenadas generalizadas como.El número de patrones de forma asumidos repre senta el número de grados de libertad considerados en esta forma de idealización.En general, una mayor precisión se puede lograr en un análisis dinámico para un número dado de GEIESE d de libertad usando el método de la función de forma de idealización en lugar del enfoque agrupadomasa.Sin embargo, también debe reconocerse que se requiere un mayor esfuerzo de cálculo para cada grado de libertad cuando se emplean

tales coordenadas generalizadas.

El concepto de elementos finitos Un tercer método o f expresar los desplazamientos de cualquier estructura dada en términos de un número finito de desplazamiento discreto coordenadas, que combina ciertas características tanto de la masa concentrada y los procedimientos generalizado coordenada, ahora se ha convertido en popular.Este enfoque, que es la base del método Nite-elemento de análisis de continua estructural, proporciona una idealización conveniente y fiable del sistema y es particularmente eficaz en los análisis digital ordenador. El tipo de elemento finito-de idealización es aplicable a estructuras de todo tipo: estructuras enmarcadas, que comprenden los conjuntos de los miembros de una dimensión (vigas, columnas, etc.); avión de estrés, estructuras Plate y de tipo concha, que se componen de componentes bidimensionales; y las identificaciones de sol tridimensionales generales.Para simplificar, sólo el tipo unidimensional de componentes estructurales será considerado en la presente discusión, pero la extensión del concepto de dos y tres dimensiones elementos estructurales es sencillo. La etapa primera de la noche-eleme nt idealización de cualquier estructura, por ejemplo, la viga de la figura. 15, consiste en dividir en un número apropiado de segmentos o elementos, como se muestra.Sus tamaños son arbitrarias; es decir, pueden ser todos del mismo tamaño o todas diferentes. Los extremos de los padres segm, en las que están interconectados, son llamados puntos nodales.Los desplazamientos de estos puntos nodales se convierten entonces en la generalizarse coordenadas de la estructura.

8

Dinámica de las estructuras

un 1

.... .... . .2

|

C 3

N , V.

d (ej enero: 01) 4

 C

{ 5

f 6

7

, V. N 11080



3

, V. C 25)

  = (d   dx v) = 3 1

Figura 26. Típica del haz de elementos finitos coordina.

La forma de reflexión de la estructura completa ahora se puede expresar en términos de estos es coordinat generalizadas por medio de un conjunto apropiado de funciones dis-colocación asumidos, utilizando una expresión similar a la ecuación.1) En este caso, sin embargo, las funciones de desplazamiento se denominan funciones de interpolación, ya que de nen las formas producidas por especificado dis nodales colocaciones.Por ejemplo, la Fig. 1-5 se muestran las funciones de interpolación asociados con dos grados de libertad de punto nodal 3, que producen desplazamientos transversales en el plano de la figura. En principio, cada función Interpo-mento podría ser cualquier curva whic h es continua internamente, y que satisface la condición de desplazamiento it geométrica impuesta por el desplazamiento nodal.Para los elementos de una dimensión que es cómodo de usar las formas que se producen por estos mismos desplazamientos nodales en un bea uniforme m.Se muestra más adelante en el capítulo 10 de que estas funciones de interpolación son polinomios hermitianos cúbicos.

Debido a que las cciones diversión de interpolación utilizados en este procedimiento satisfacen las requerirmentos indicados en el apartado anterior, debe ser evidente que las coordenadas utilizado en el método finito de elementos son sólo formas especiales de coordenadas generalizadas.Las ventajas de este procedimiento especial son los siguientes: (1) El número deseado de coordenadas generalizadas se puede introducir simplemente dividiendo la estructura en un número apropiado de segmentos. (2) Dado que las funciones de interpolación elegidos para cada segmento pueden ser idénticos, los cálculos se simplificado. (3) Las ecuaciones que son desarrollados por este enfoque son en gran parte no acoplada porque cada desplazamiento nodal sólo afecta a los elementos vecinos; por lo tanto el proceso de solución es ed enormemente simplificado.

En general, el enfoque infinito de elementos proporciona el procedimiento ciente para expresar la mayoría de los desplazamientos arbitrarios con guraciones estructurales por medio de un conjunto discreto de coordenadas.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

1-5 Formulación de las ecuaciones de movimiento

9

Como se mencionó anteriormente, el objetivo principal de un análisis estructural-dinámica determinista es la evaluación del desplazamiento de tiempo historias de una estructura dada sub-proyectada a una carga variable en el tiempo dado. En la mayoría de los casos, un análisis aproximado en volvi-ng sólo un número limitado de grados de libertad proporcionen exactitud ciente; Por lo tanto, el problema puede ser reducido a la determinación de los tiempos de historias de estos componentes de desplazamiento se-leccionado.Las expresiones matemáticas de nir los ele- displac dinámicos se llaman las ecuaciones de movimiento de la estructura, y la solución de estas ecuaciones de movimiento de desplazamiento proporciona los tiempo-historia requeridos.

La formulación de las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico es posiblemente la fase más importante, ya veces el más difíciles, de todo el procedimiento de análisis.En este texto, se emplearán tres métodos diferentes para la formulación de estas ecuaciones, cada uno con ventajas en el estudio de las clases especiales de problemas. El s concepto fundamental asociado con cada uno de estos métodos se describen en los párrafos siguientes. El equilibrado directa usando el principio de D'Alembert Las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema dinámico representan expresiones de la segunda ley de Nueva toneladas de movimiento, lo que indica que la tasa de cambio del momento de cualquier partícula de masa m es igual a la fuerza que actúa sobre él.Esta relación se puede expresar matemáticamente por la ecuación diferencial d (ej

Pt.C/O enero: DV Tinnitus 01) bilateral dt medt

1)

donde p (t) es el vector de la fuerza aplicada y v (t) es el vector de posición de la masa de partículas m.Para la mayoría de los problemas de la dinámica estructural se puede suponer que la masa no lo hace variar con el tiempo, en cuyo caso la ecuación. (1-3) se puede escribir

DV p (t) = metro

dt 2

m • v (t)

"Un

donde los puntos representan la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación (1-3a), indicat-ción que la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleración, también puede escribirse en la forma p (t)

m • v (t) = 0

N

en cuyo caso, el segundo término m • v (t) se llama la fuerza de inercia resistiendo la ACELER-ación de la masa. El concepto de que una masa se desarrolla una fuerza inercial proporcional a su aceleración y oponiéndose a que se conoce como el principio de D'Alembert.Es un dispositivo muy conveniente en problemas de dinámica estructural, ya que permite que las ecuaciones de movimiento para ser

10

dinámica de las estructuras

expresado como ecuaciones de equilibrio dinámico. La fuerza p (t) se puede considerar para incluir muchos tipos de fuerzas que actúan sobre la masa: fijaciones elásticas que se oponen a los desplazamientos, las fuerzas viscosas que resisten velocidades y cargas de forma independiente de los ex-terno nidas.Así, si se introduce una fuerza de inercia que se resiste a la aceleración, la ecuación de movimiento es simplemente una expresión de equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre la masa.En muchos problemas sencillos, la forma más directa y conveniente de formular las ecuaciones de movimiento es por medio de tales equilibraciones directos. Principio de desplazamientos virtuales Sin embargo, si el sistema estructural es bastante complejo que implica una serie de puntos de masa interconectadas o cuerpos de tamaño finito, el equilibrado directa de todas las fuerzas que actúan en el sistema puede ser culto dif. Con frecuencia, L a diversas fuerzas involucradas pueden fácilmente ser expresada en términos de los grados de libertad de desplazamiento, pero sus relaciones de equilibrio puede ser oscuro.En este caso, el principio de desplazamientos virtuales se puede utilizar para formular las ecuaciones de movimiento sustituto sa para las relaciones de equilibrio directos. El principio de desplazamientos virtuales puede expresarse de la siguiente manera. Si un sistema que está en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas aplicadas externamente se somete a un desplazamiento virtual, es decir, un patrón de desplazamiento compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el conjunto de fuerzas será cero.Con este principio, es evidente que la desaparición del trabajo realizado durante un desplazamiento virtual es equivalente a una declaración d e equilibrio.Por lo tanto, las ecuaciones de respuesta de un sistema dinámico se pueden establecer por primera identificación de todas las fuerzas que actúan sobre las masas del sistema, incluidas las fuerzas de inercia de nidos de acuerdo con el principio de D'Alembert. Entonces, las ecuaciones de la moti sobre se obtienen mediante la introducción de un patrón separado desplazamiento virtual correspondiente a cada grado de libertad e igualando el trabajo realizado a cero.Una ventaja importante de este enfoque es que las contribuciones del trabajo virtual son cantidades escalares y se pueden añadir algebraicamente, mientras que las fuerzas que actúan sobre la estructura son vectorial y sólo pueden superponerse vectorialmente.

Enfoque variacional Otra forma de evitar los problemas de establecer las ecuaciones vectoriales de brium equili es hacer uso de cantidades escalares en una forma variacional conocido como el principio de Hamilton.Las fuerzas de inercia y elásticos no están implicados de forma explícita en este principio; En su lugar, se utilizan las variaciones de los términos de energía cinética y potencial. Este formulati sobre tiene la ventaja de tratar solamente con las cantidades de energía puramente escalares, mientras que las fuerzas y desplazamientos utilizados para representar los efectos correspondientes en el procedimiento del trabajo virtual son todos vectorial en carácter, a pesar de que los términos de trabajo en sí son escalares. Es de interés señalar que el principio de Hamilton también se puede aplicar a la estática

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

11

de problemas. En este caso, se reduce con el principio bien conocido de la energía potencial mínima tan amplio utilizado Ly en los análisis estáticos. Se ha demostrado que la ecuación de movimiento de un sistema dinámico puede ser formulado por cualquiera de tres procedimientos distintos. El enfoque más sencillo es establecer directamente el equilibrio dinámico de todas las

fuerzas de la actina G en el sistema, teniendo en cuenta los efectos de la inercia mediante el principio de D'Alembert.En los sistemas más complejos, sin embargo, especialmente los que implican la masa y elasticidad distribuida sobre regiones finitos, una equilibración vectorial directa puede ser culto DIF, y wo rk o formulaciones de energía que implican sólo cantidades escalares puede ser más conveniente.La más directa de estos procedimientos se basa en el principio de desplazamientos virtuales, en las que se evalúan de forma explícita las fuerzas que actúan sobre el sistema, pero los ns equatio de movimiento se derivan de la consideración del trabajo realizado durante los desplazamientos virtuales correspondientes.Por otra parte, la formulación de energía alternativa, que se basa en el principio de Hamilton, no hace uso directo de las fuerzas de inercia o conservadores un nexión en el sistema; los efectos de estas fuerzas están representadas no por variaciones de las energías cinética y potencial del sistema.Se debe reconocer que los tres procedimientos son completamente equivalentes y conducen a ecuaciones idénticas de movimiento. El método para ser utilizado en cualquier caso dado es en gran parte una cuestión de conveniencia y preferencia personal; la elección generalmente dependerá de la naturaleza del sistema dinámico en consideración.

ORGANIZACIÓN 1-6 DEL TEXTO Este libro, "Dinámica de Estructuras," se ha escrito en cinco partes.Primera Parte presenta un amplio tratamiento del sistema de un solo grado de libertad (un grado de libertad) que tiene coordenadas sólo un desplazamiento independiente. Este sistema es estudiado en gran detalle por dos razones: (1) t él comportamiento dinámico de muchas estructuras prácticas se pueden expresar en términos de una sola coordenada, de modo que este tratamiento SDOF se aplica directamente en esos casos, y (2) la respuesta de estructuras lineales complejas se pueden expresar como la suma de las respuestas o serie fa de los sistemas de un grado de libertad de manera que este mismo tratamiento una vez más se aplica a cada sistema en la serie.Por lo tanto, las técnicas de análisis SDOF proporcionan la base para el tratamiento de la gran mayoría de los problemas estructurales dinámicos. Sistemas de la segunda parte se trata de parámetros discretos de varios grados de libertad (MDOF), es decir, sistemas para los cuales sus respuestas dinámicas pueden expresarse en términos de un número limitado de coordenadas de desplazamiento.Para el análisis de los sistemas linealmente elásticas, se presentan los procedimientos para la evaluación de sus ropiedades p en un estado libre de vibraciones, es decir, para evaluar formas de los modos normales y las frecuencias correspondientes.Entonces, dos métodos generales para el cálculo de las respuestas dinámicas de estos sistemas para arbitrariamente se dan cargas especificada: (1) haciendo uso de superposición mode- en el que la respuesta total se expresa como la suma de las respuestas individuales en los diversos modos normales de vibración, cada uno de los cuales se puede determinar mediante procedimientos de análisis del sistema de SDOF, y

12

dinámica de las estructuras

(2) resolver directamente las ecuaciones de movimiento MDOF en su forma original, acoplada. Por último, la formulación variacional del problema estructural dinámico se presenta y paso a paso las técnicas de integración numérica se formulan para resolver urgentemente ctly tanto un grado de libertad y las ecuaciones de movimiento que representan MDOF ya sea sistemas lineales o no lineales. Linealmente sistemas dinámicos que tienen propiedades elásticas distribuidos de forma continua se consideran en la tercera parte.Tales sistemas tienen un número finito de grados de libertad que requieren que sus ecuaciones de movimiento escribirse en forma de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, se sh propietario que el procedimiento de modo de superposición es todavía aplicable a estos sistemas y que las soluciones prácticas se puede obtener teniendo en cuenta sólo un número limitado de los modos más bajos de la vibración.

Cuarta parte cubre el tema general de las vibraciones aleatorias de Li cerca de los sistemas de un grado de libertad y MDOF.Dado que las cargas consideradas pueden caracterizarse sólo en un sentido estadístico, las respuestas correspondientes se caracterizan de manera similar. Para proporcionar una base para el tratamiento de estos sistemas, se dan introducciones a la teoría de la probabilidad y procesos estocásticos. ingeniería sísmica, con un enfoque especial en la respuesta estructural y perfor-mance, es el tema de la quinta parte. Se da una muy breve reseña de sismología sobre las causas y características de los terremotos, junto con un análisis de los movimientos del suelo que producen.Los métodos se dan a continuación, para evaluar la respuesta de las estructuras de estos movimientos utilizando procedimientos tanto deterministas y no deterministas.

PARTE

l SISTEMAS solo grado de libertad

capitulo

....... . . .2 Analysis DE LIBRE VIBRACIONES

2-1 COMPONENTES DEL SISTEMA dinámica básica Las propiedades físicas esenciales de cualquier sistema hanical estructural o mec elástico lineal sometido a una fuente externa de excitación o la carga dinámica son su masa, las propiedades elásticas (exibilidad o rigidez), y el mecanismo de pérdida de energía o de amortiguación.En el modelo más simple de un sistema de SDOF, cada una de estas propiedades se supone a concentrarse en un único elemento físico.Un bosquejo de un sistema de este tipo se muestra en la Fig. 2-1 a. Toda la masa m de este sistema está incluido en el bloque rígido que es con-tensado por los rodillos de modo que puede moverse sólo en la traducción sencilla; por lo tanto, la única de coordenadas de desplazamiento v (t) por completo de ne su posición.La resistencia elástica al desplazamiento es proporcionada por el resorte pesar tless de rigidez k, mientras que el mecanismo de pérdida de energía está representado por el amortiguador c.La carga dinámica externa producción de la respuesta de este sistema es la fuerza p variable en el tiempo (t).

VT

VT

C f D (t)

me

k

Pt.C/O Tinnitus bilateral f S (T)

estirar Pt.C/O Tinnitus bilateral

"Un

N

Figura 26. Sistema de un grado de libertad idealizada: (a) los componentes básicos; (B) las fuerzas en equilibrio.

15

16

dinámica de las estructuras

2-2 ecuación de movimiento del sistema básico DINÁMICO La ecuación de movimiento para el sencillo sistema de la Fig. 2-1 a es más fácilmente para-formularse expresando directamente el equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre la masa usando el principio de D'Alembert.Como se muestra en la Fig. 2-1 b, las fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad se la carga p (t) y las tres fuerzas de resistencia que resultan de la moción, es decir, la fuerza de inercia f I (t), la fuerza de amortiguación F aplicada D (t), y la fuerza de resorte f S (t).La ecuación de movimiento es simplemente una expresión del equilibrio de estas fuerzas como dado por 25)

f I (t) + f D (t) + f S (t) = p (t)

Cada una de las fuerzas representadas en el lado izquierdo de esta ecuación es una función del desplazamiento v (t) o uno de sus derivados de tiempo.El sentido positivo de estas fuerzas ha sido elegido deliberadamente para que se corresponda con el sentido negativo de desplazamiento de manera que se oponen a una carga aplicada positivo. De conformidad con el principio de D'Alembert, la fuerza de inercia es el producto de la masa y la aceleración f I (t) = • mv (t)

"Un

Suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguación es el producto de la amortiguación c constante y la velocidad f D (t) = CV (t)

N

Por último, la fuerza elástica es el producto de la rigidez del resorte y el desplazamiento f S (t) = kv (t)

C

Cuando las ecuaciones. (2-2) se introducen en la ecuación. (2-1), la ecuación de movimiento para este sistema de un grado de libertad se encuentra para ser mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

25)

Establecer un procedimiento de formulación alternativa, es instructivo para desarrollar esta misma ecuación de movimiento por un enfoque de trabajo virtual. Si se da la masa un desplazamiento virtual v compatible con las

limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el sistema de equilibrio de fuerzas en la Fig. 2-1 b debe ser igual a cero, como se muestra por 11080

f I (t) v f D (t) v f S (t) v + p (t) v = 0

en la que los signos negativos resultan del hecho de que las fuerzas asociadas actúan opuesto al sentido del desplazamiento virtual. Sustituyendo las Ecs. (2-2) en la Ec. (2-4) y factorizar v conduce a

25)

• mv (t) cv (t) kv (t) + p (t) v = 0

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

17

Desde v es distinto de cero, la cantidad soporte en esta ecuación debe ser igual a cero, dando así a la misma ecuación de movimiento como se muestra por la ecuación.11080 Mientras que una formulación del trabajo virtual no tiene ninguna ventaja de este sistema simple, será encontrado muy útil para los tipos más generales de los sistemas de un grado de libertad tratados posteriormente. 2-3 Influencia de las fuerzas gravitacionales Consideremos ahora el sistema mostrado en la Fig. 2-2 a, que es el sistema de la fig. 2-1 una gira a través de 90 de modo que la fuerza de la gravedad actúa en la dirección del desplazamiento.En este caso, el sistema de fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad es ese conjunto se muestra en la Fig. 2-2 b.Usando las ecuaciones. (2-2), el equilibrio de estas fuerzas está dada por 25)

mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) + W donde W es el peso del bloque rígido.

Sin embargo, si el desplazamiento total v (t) se expresa como la suma del desplazamiento estático 4 st causada por el peso W más la dinámica de desplazamiento v adicional (t) como se muestra en la Fig. 2-2 c, es decir,

v (t) = 4 + st contr (t)

25)

a continuación, la fuerza del resorte está dada por f S (t) = kv (t) = k + 4 st k

contr (t)

25)

La introducción de la ecuación. (2-8) (2-6) en los rendimientos • mv (t) + cv (t) + k + 4 st k

contr

(T) = p (t) + W

1)

k

C

me

￦233,259,995,000

VT Pt.C/O Tinnitus bilateral "Un

f

S

(T) f

D

(t)

estirar ￦233,259,995,000 VT Pt.C/O Tinnitus bilateral N

f

S

(T) f

D

(t)

estirar ￦233,259,995,000



Estático st

=

desplazamiento 

Pt.C/O Tinnitus bilateral C

VT

Figura 26. Influencia de la gravedad en el equilibrio del grado de libertad.

18

dinámica de las estructuras

y observando que k 4 st = Conduce a W mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

11080

Ahora diferenciando la Ec. (2-7) y observando que 4 st no varía con el tiempo, es • Parte evidente que v • (t) = v (t) y v (t) = v (t) de modo que la ecuación. (2-10) puede escribirse • Parte 11080 mv (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

La comparación de las ecuaciones. (2-11) y (2-3) demuestra que la ecuación de movimiento ex-presiona con referencia a la posición de equilibrio estático del sistema dinámico no se ve afectada por las fuerzas de gravedad. Por esta razón, los desplazamientos en todos los futuros discus-siones Wil l ser referenciados desde la posición de equilibrio estático y se denotarán v (t) (es decir, sin la barra superior); los desplazamientos que se determinan

representarán respuesta dinámica.Por lo tanto, el total de reflexiones, las tensiones, etc. se obtienen sumando las cantidades corres encharcamiento estáticas a los resultados del análisis dinámico.

2-4 INFLUENCIA DE SOPORTE DE EXCITACIÓN Esfuerzos dinámicos y de reflexiones pueden ser inducidas en una estructura no sólo por una carga aplicada variable en el tiempo, como se indica en las Figs. 2-1 y 2-2, pero también por los movimientos de sus puntos de apoyo.Ejemplos importantes de tales excitación son los movimientos de los cimientos de un edificio causado por un terremoto o movimientos del soporte de base de una pieza del equipo debido a las vibraciones del edificio en el que se aloja. Un modelo

e d simplificado del problema terremoto-excitación se muestra en la Fig. 2-3, en el que el

movimiento horizontal del suelo causada por el evento está indicada por el desplazamiento v g (t) de la base de la estructura con respecto al eje de referencia fijo. La viga horizontal en este marco se supone que es rígida y que incluya toda la masa en movimiento de la estructura. Las columnas verticales se supone que son sin peso y inextensible en la dirección vertical (axial), y la resistencia al desplazamiento de la viga proporcionada por cada columna está representada por su constante de resorte k = 2.Así pues, la masa tiene un solo grado de libertad, v (t), que se asocia con exure columna; el amortiguador c proporciona una resistencia a la velocidad proporcional al movimiento en esta coordenada.

Como se muestra en la Fig. 2-3 b, el equilibrio de fuerzas para este sistema se puede escribir como f I (t) + f D (t) + f S (t) = 0

1)

en el que la amortiguación y las fuerzas elásticas pueden expresarse como en las ecuaciones. 25) Sin embargo, la fuerza de inercia en este caso se da por f (t) = mv • T (t) l

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

19

v t (t)

VT Eje

me

Fixedreference

k

k





. . . . . . . . . .2

.. .. .. .. . .2

C

25)

v g (t)

"Un

estirar

f S (T)

f S f D (T)

(T)





.... .... . .2

..... .... .2

N

Figura 26. Influencia de la excitación de apoyo en el equilibrio del grado de libertad: (a) el movimiento del sistema; (B) fuerzas de equilibrio.

donde v t (t) representa el desplazamiento total de la masa del eje de referencia fijo.Sustituyendo la inercia, de amortiguación, y las fuerzas elásticas en la ecuación. (2-12) los rendimientos mv • T (t) + cv (t) + kv (t) = 0

11080

Antes de esta ecuación se puede resolver, todas las fuerzas se expresan en términos de una sola variable, que se puede lograr haciendo notar que el movimiento total de la masa se puede expresar como la suma del movimiento del suelo y que debido a la distorsión de columna, es decir, , v t (t) = v (t) + v g (t)

1)

Expresando la fuerza de inercia en términos de los dos componentes de aceleración obtenidos por doble diferenciación de la ecuación. (2-15) y sustituyendo el resultado en la ecuación. (2-14) los rendimientos

• mv (t) + mv • g (t) + cv (t) + kv (t) = 0

25)

o, ya que la aceleración del suelo representa la entrada dinámica especificado a la estructura, la misma ecuación de movimiento puede más convenientemente ser escrito

• mv (t) + cv (t) + kv (t) = mv • g (t) p eff (t)

11080

En esta ecuación, p eff (t) denota la carga efectiva de apoyo de excitación; en otras palabras, las deformaciones estructurales causados por aceleración del suelo v • g (t) son exactamente los mismos que los que sería producida por una carga externa p (t) igual a mv • g (t).El signo negativo en este efectiva carga de definición indica que la fuerza efectiva se opone al sentido de la aceleración del suelo. En la práctica, esto tiene poca significación en la medida en

20

dinámica de las estructuras

como el ingeniero es por lo general sólo está interesado en el valor absoluto máximo de v (t); en este caso, el signo menos puede ser retirado de la expresión de carga eficaz. Una forma alternativa de la ecuación de movimiento se puede obtener mediante el uso de la ecuación. (2-15) y la expresión de la ecuación. (2-14) en términos de v t (t) y sus derivados, en lugar de en términos de v (t) y sus derivados, dando mv • T (t) + cv t (t) + kv t (t) = CV g (t) + kv g (t)

25)

En esta formulación, la carga efectiva que se muestra en el lado derecho de la ecuación depende de la velocidad y el desplazamiento del movimiento sísmico, y la respuesta obtenida mediante la resolución de la ecuación es el desplazamiento total de la masa de un NCE refere fijo en lugar de desplazamiento relativo a la base móvil.Soluciones rara vez se obtienen de esta manera, sin embargo, porque el movimiento terremoto generalmente se mide en términos de las aceleraciones y el registro sísmico tendría que ser integrada una vez y dos veces para evaluar las contribuciones efectivas de carga debido a la velocidad y el desplazamiento de la tierra.

2-5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES no amortiguado GRATIS Se ha demostrado en las secciones anteriores que la ecuación de movimiento de un sistema simple de masa y resorte con amortiguación se puede expresar como mv • (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

1)

en la que v (t) representa la respuesta dinámica (es decir, el desplazamiento desde la posición de equilibrio estático) y p (t) representa la carga efectiva que actúa sobre el sistema, ya sea aplicados directamente o como resultado de movimientos de apoyo. La solución de la ecuación. (2-19) se obtiene considerando rst forma homogénea con el lado derecho igual a cero, es decir,

25)

• mv (t) + cv (t) + kv (t) = 0

Movimientos que tienen lugar sin la fuerza aplicada se denominan vibraciones libres, y es la respuesta libre de la vibración del sistema que ahora se examina. La respuesta libre de vibraciones que se obtiene como la solución de la ecuación. (2-20) se puede expresar de la siguiente forma: 11080

v (t) = G exp (st)

donde G es una constante compleja arbitraria y exp (st) e st denota la función exponencial.En las discusiones posteriores a menudo será conveniente utilizar números complejos

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

21

en la expresión de las cargas dinámicas y respuestas; por lo tanto es útil ahora que brie y revisar el concepto de número complejo. Teniendo en cuenta RST constante compleja G, esto puede representarse como un vector representa gráficamente en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 2-4.Este sketc h demuestra que el vector se puede expresar en términos de sus componentes cartesianos real e imaginaria: "Un

G=GR+iGI

o, alternativamente, que puede ser expresada en coordenadas polares utilizando su valor G absoluta (la longitud del vector) y su ángulo, medido en sentido contrario de lo real eje: N

G = G exp (i)

Además, a partir de las relaciones trigonométricas que se muestran en el dibujo, está claro que la ecuación. (2-22a) también puede escribirse C

G = G + i cos G pecado El uso de esta expresión y observando que cos = 25) sen

y el pecado + = cos

por i

tiene el efecto de girar

.. .. .. .. . .2

es fácil demostrar que la multiplicación de un vector en sentido antihorario en el plano complejo a través de un ángulo de .... .... . .2

radianes o 90 grados.

Del mismo modo se puede ver que la multiplicación por i gira el vector 90 en sentido horario.Ahora igualando la ecuación. (2-22c) a la ecuación. (2-22b), y también señalar que un componente imaginario negativo estaría asociado con un ángulo de vector negativo, conduce a la par de ecuaciones que sirven para transformar de trigonométrica a las funciones exponenciales de Euler:

) exp (i) = cos + i pecado

exp (i) = cos

"Un es en

Además, las Ecs. (2-23a) puede resolverse simultáneamente para obtener la forma inversa de ecuaciones de Euler:

G=G R+iG I o 

G = G exp (i

)

N

.yo exp (i) + exp (i) pecado pecar

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

exp (i)

Exposición

yo

)

... ... ... .2



G 

G  

i G i I = g sen  R

G R = G cos 

Figura 26. representación constante compleja en el plano complejo.

22

dinámica de las estructuras

Para deducir una expresión respuesta sin vibraciones, la Ec. (2-21) se sustituye en la ecuación. (2-20), que conduce a

(ms 2 + cs + k) G exp (st) = 0 y después de dividir por mG exp (st) y la introducción de la notación ¡. . ...

k

... . .2

me

25)

#% me #%25)

1)

esta expresión se convierte C

Los dos valores de s que satisfacen esta expresión cuadrática dependen del valor de c con respecto a los valores de k y m; Así, el tipo de movimiento dado por la ecuación. (2-21) depende de la cantidad de amortiguación en el sistema. Considerando ahora el sistema no amortiguado para los que c = 0, es evidente que los dos valores de s dado por la solución de la Ec. (2-25) son

1)

¡Yes!

Por lo tanto la respuesta total incluye dos términos de la forma de la ecuación. (2-21), como sigue: 1)

v (t) = G 1 exp (i!t) + G 2 exp (i!t)

en el que los dos términos exponenciales son el resultado de los dos valores de s, y los complejos constantes G 1 y G 2 representan el (todavía) amplitudes arbitrarias de los términos de vibración correspondientes. Ahora establecemos la relación entre estas constantes mediante la expresión de cada uno de ellos en términos de sus componentes real e imaginaria: G=G11R+iG1I

;

G=G22R+iG2I

y mediante la transformación de los términos exponenciales al formulario utilizando las ecuaciones trigonométricas. (2-23a), de modo que la ecuación. (2-27) se convierte

v (t) = G 1 R + i G 1 I

cos!t + i sen!t + G 2 R + i G 2 I

cos!t i sen!M

o después de simplificar v (t) = (G 1 R + G 2 R) cos!t (G 1 G 2 I I) el pecado!M

h

I + (G 1 I + G 2 I) cos!t + (G 1 G R 2 R) pecado!Tiberio

25)

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

23

Sin embargo, esta respuesta sin vibraciones debe ser real, por lo que el término imaginario (que se muestra entre corchetes) debe ser cero para todos los valores de t, y esta condición requiere que

G1G=I2I

GI

G1R=G2RGR

A partir de este se ve que G 1 y G 2 son un par conjugado complejo: G1G=R+iGI

G2G=RiGI

y con estos Eq. (2-27) se convierte finalmente

v (t) = (G R + i G I) exp (i!t) + exp (G R I G I) (i!t)

11080

La respuesta dada por el término de la primera ecuación. (2-29), se representa en la Fig. 2-5 como un vector que representa el complejo G constante 1 que gira en la dirección hacia la izquierda con la velocidad angular!; También se muestran sus constantes reales e imaginarios. Será sin ted que el vector de respuesta resultante (G R + i G I ) Exp (i!t) conduce vector G R exp (i!t) por el ángulo de fase; Por otra parte, es evidente que la respuesta también se puede expresar en términos de valor absoluto, G, y el ángulo combinado (!T06El examen del segundo término de la ecuación. (2-29) muestra que la respuesta asociada a ella es completamente equivalente a la que se muestra en la Fig. 2-5 excepto que el vector resultante G exp [ yo(!t +)] está girando en la dirección de las agujas del reloj y el ángulo de fase por la que se conduce la exp componente G R (i!t) también está en la dirección hacia la derecha. Los dos vectores de contra-rotación de G i exp [(!t +)] Y G exp [ yo(!t +)] Que representan la respuesta total sin vibraciones dada por la ecuación. (2-29) se muestran en la Fig. 2-6;

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

(G R + i G I) exp (i  t) 

G = exp [i   t +)] 

donde G =

G.....! G.....! E

T06 T06 i G I exp (i  t) Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

G R exp (i  t)  = ángulo de fase R

Exp (G R + i G I) (i  t) 

G = exp [i   t +)] 

l



T06 T06 

G R exp (i  t)

2 cos (G  t

) R

G R exp (i   t)

(G R  i G I) exp  yo  t) 

G = exp  i   t +)]

Figura 26. Representación de la primer término de la ecuación. 25)

Figura 26. respuesta total sin vibraciones.

24

dinámica de las estructuras

es evidente aquí que los componentes imaginarios de los dos vectores se anulan entre sí dejando sólo el movimiento vibratorio de bienes v (t) = 2 cos G (!T06

11080

Una alternativa para esta expresión movimiento real puede derivarse mediante la aplicación de la ecuación de Euler transformación. (2-23a) a la ecuación. (2-29), con el resultado de 25)

v (t) = A cos!sen B t +!M

en la que A = 2G R y B = 2G I.Los valores de estos dos constantes se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales, es decir, el desplazamiento v (0) y la velocidad v (0) en el tiempo t = 0 cuando la

vibración libre se puso en marcha.Sustituyendo estos en Eq. (2-31) y su derivada en el tiempo primero, respectivamente, es fácil demostrar que , V. ¡ = B = I 2G

v (0) = A = 2G R

25)

Por lo tanto la ecuación. (2-31) se convierte v (t) = v (0) cos!T06 , V. pecado pecarM ¡

11080

Esta solución representa un movimiento armónico simple (MAS) y es Retrato del yed gráficamente en la Fig. 27.La cantidad!, Que hemos identificado previamente como la velocidad angular (medido en radianes por unidad de tiempo) de los vectores de rotación en el plano complejo, también se conoce como la frecuencia circular.La frecuencia cíclica, usua refiere LLY a medida que la frecuencia de movimiento, se da por 3.075.000 ¡ ...... . . . .2

11080

su recíproco

1 = f

.... .... . .2 T06 ¡

1)

VT ...... . . . .2

T06

.

, V. , V.

M

T06 25)

Figura 26. respuesta de vibración libre no amortiguada.

¡ , V.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

25

Es el tiempo necesario para completar un ciclo y que se llama el periodo del movimiento. Por lo general, para los sistemas estructurales y mecánicas del período T se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo, comúnmente conocida como Hertz (Hz). El movimiento representado por la ecuación. (2-33) y se representa en la figura. 2-7 puede ser también interpretado en términos de un par de vectores,

v (0)

y

girando en sentido antihorario en

el plano complejo con velocidad angular!, como se muestra en la Fig. 2-8.El uso de las relaciones indicadas anteriormente entre las constantes de libre de vibraciones y las condiciones iniciales, se puede observar que la Fig. 2-8 es equivalente a la Fig. 2-5, pero con el doble tud ampli y con un ángulo de fase negativa que se correspondan con las condiciones iniciales positivos.En consecuencia, la amplitud = 2G, y como se muestra por la ecuación. (230) la vibración libre puede ser expresado como

v (t) = cos (!T06 en el que la amplitud es dada por

(0)

.. .. .. .. . .2

contr

;'+rv*

Humira ¡ yo

y el ángulo de fase por

Canela

, V. ¡ , V.

2-6 AMORTIGUADO GRATIS VIBRACIONES

25)

25)

1)

Si la amortiguación está presente en el sistema, la solución de la ecuación. (2-25), que de ne la

respuesta es

C (C) 3M 2016.

#%

C

r

.. .. .. .. . .2

(C) ..... 3M ¡ . . . . .2 2016.

11080

Tres tipos de movimiento están representados por esta expresión, en función de si la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada es positiva, negativa o cero. Es conveniente analizar primero el caso en que el término radical se desvanece, que se llama el crítico-d condición amplificado.

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

, V.  

T06 T06 R

T06 , V. 



Figura 26. Rotación de representación vectorial de la vibración libre no amortiguada.

26

dinámica de las estructuras

Críticamente amortiguado Sistemas Si el término radical en la ecuación. (2-39) se fija igual a cero, es evidente que c = 2m = !; Por lo tanto, el valor crítico de la coeficiente de amortiguación, c c, es

{0/} C33/C33M - 13{/2

1)

A continuación, los dos valores de s dado por la Ec. (2-39) son los mismos, es decir,

%1$s, %2$s

Copia: (C) 3M 2016. 25)

25)

La solución de la ecuación. (2-20) en este caso especial debe ahora ser de la forma

v (t) = exp (G 1 + G 2 t) (!t)

11080

en la que el segundo término debe contener t desde las dos raíces de la ecuación. (2-25) son idénticos.Debido a que el término exponencial exp ( !t) es una función real, las constantes G 1 y G 2 también debe ser real. Usando las condiciones v inicial (0) y v (0), estas constantes pueden ser evaluados

Lo que le acredita a: 25) VT , V.t) + v (0) t Caduc.: %@;t) la cual es presentada gráficamente en la Fig. 2-9 para valores positivos de v (0) y v (0).Tenga en cuenta que esta respuesta libre de un sistema críticamente amortiguado no incluye oscilación alrededor de la posición cero-de reflexión; En su lugar, simplemente vuelve a cero asintóticamente de acuerdo con el término exponencial de la ecuación. 1) Sin embargo, un solo cero-disp lacement cruce se produciría si las señales de la velocidad inicial y el desplazamiento eran diferentes uno del otro.A muy útil de definición de la condición de amortiguamiento crítico descrito anteriormente es que representa la cantidad más pequeña de amortiguación para los que no se produce la oscilación en la respuesta libre de vibraciones.

VT

.

, V.

, V. T06 Figura 26. respuesta libre de vibraciones, con amortiguamiento crítico.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

27

Undercritically con amortiguación de Sistemas Si la amortiguación es menor que crítico, es decir, si c
C (C) 3M =2016.

Copia:

1)

La introducción de la ecuación. (2-44) en la Ec. (2-39) conduce a 25)

#%yoD. donde ¡2D

p

25)

11080

es la frecuencia de la vibración libre del sistema amortiguado. Haciendo uso de la ecuación. (2-21) y los dos valores de s dado por la ecuación. (2-45), la respuesta sin vibraciones se convierte

v (t) = G 1 exp (i!D t) + G 2 exp (i!D t) exp (!t) 1) en el que las constantes de G 1 y G 2 deben ser pares conjugados complejos para la respuesta v (t) a ser real, es decir, G = G 1 R + i G I y G 2 G = R i G I similar a la no amortiguada caso que se muestra por la ecuación.11080 La respuesta dada por la ecuación. (2-47) pueden ser representados por vectores en el plano complejo similares a los mostrados en la Fig. 2-6 para el caso no amortiguado; la única diferencia es que la frecuencia circular amortiguado! D debe ser sustituida por la frecuencia circular no amortiguada! y las magnitudes de los vectores deben ser forzados a decaer exponencialmente con el tiempo de acuerdo con el exterior plazo de los soportes, exp ( !T06

Siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para llegar a la ecuación. (2-31), la Ec. (2-47) también puede expresarse en la forma trigonométrica equi valente

25) v (t) = A cos!D sen B t +!D t exp (!t) donde A = 2G R y B = 2G I.Usando las condiciones iniciales v (0) y v (0), las constantes A y B se pueden evaluar conduce a , V. v (t) = v (0) cos!Fecha:

, V.

31/ 05/2013. ¡D. pecado pecarD t exp (!t) Alternativamente, esta respuesta se puede escribir en la forma

25)

v (t) = cos (!D + t) exp (!t)

28

25)

dinámica de las estructuras

en el cual

, V.

... ... ... .2

11080

, V.

, V.

¡D.

11080

contr, V.

Canela

¡DV

1)

Tenga en cuenta que para valores bajos de amortiguación que son típicas de la mayoría de las estructuras prácticas, <20%, la proporción de frecuencia!2D según lo dado por la Ec. (2-46) es casi igual a la unidad. La relación entre la relación de coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia se puede representar gráficamente como un círculo de radio unidad como se muestra en la Fig. 2-10.

Un gráfico de la respuesta de un sistema amortiguado undercritically-sometido a un desplazamiento inicial v (0) pero a partir de zer o la velocidad se muestra en la Fig. 2-11.Es de interés señalar que el sistema subamortiguado oscila alrededor de la posición neutra, con una frecuencia circular constante!2D La representación de rotaciónvector de la ecuación. (2-47) es equivalente a la Fig. 2-6 excepto que! se sustituye por!D y las longitudes de los vectores disminuyen exponencialmente a medida que la respuesta amortigua.

D.

 1 Círculo

0

Figura 26. Relación entre la relación de frecuencia y factor de amortiguamiento.

1

VT e.

.

M

, V.

, V. D.

, V. , V.

 D.

3

, V.



, V.

D.

..... .... .2  D.

Figura 26. respuesta libre de vibraciones del sistema de amortiguación undercritically.

4  D.

M

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

29

Las verdaderas características de amortiguación de los sistemas estructurales típicos son muy complejas y dif culto de nir. Sin embargo, es práctica común para expresar la amortiguación de tales sistemas reales en términos de relaciones de amortiguación viscosos equivalentes que muestran las tasas de descomposición similares bajo condiciones de libre vibración.Por lo tanto, ahora vamos a relacionar con más detalle la relación de amortiguamiento viscoso para la respuesta sin vibraciones se muestra en la Fig. 2-11.

Considere dos picos positivos sucesivos, tales como v n y v n 1 que se producen a veces n

... ... ... .2

y (n + 1)

¡D. Los valores viene dada por

... ... ... .2

y respectivamente. Utilizando la ecuación. (2-50), la relación de estos dos

¡D.

sucesivo 11080

v = n +1 = exp v n (2!%2D

Tomando el logaritmo natural (ln) de ambos lados de esta ecuación y sustituyendo!

PD - 2000

¡ 1 2, se obtiene el llamado decremento logarítmico de amortiguación, de Ned por ..... .... .2

vn vn+

1) En =p 11080 1 Para valores bajos de amortiguamiento, la ecuación. (2-54), se puede aproximar por : 1)

25) : = Representa "aproximadamente igual", por donde el símbolo lo tanto, vn vn

+1

11080

: = Exp () = exp (2) = 1 + 2 +

1) +

25)

ciente exactitud se obtiene mediante la retención de sólo los dos primeros términos en desarrollo en serie de Taylor en el lado derecho, en cuyo caso v vn+ :n 1 = 2 v n +1

25)

Para ilustrar la exactitud de la ecuación. (2-57), la relación entre el valor exacto de como dado por la ecuación. (254) para el valor aproximado dado por la Ec. (2-57) se representa en función del valor aproximado en la Fig. 2-12. Este gráfico permite a uno para corregir el factor de amortiguamiento obta ined por el método aproximado.

Exacto 25)

aproximadamente 11080 0.75

0,50 0

15) ---

Figura 26. factor de corrección de relación de amortiguación que debe aplicarse a

Aproximadamente

Resultado obtenido de la ecuación. 25)

30.

Por amplitud reducepeak cyclesto No Dinámica de las estructuras

6 5 4 3 [2 1

11080

0,05

0.10 0.15 factor de amortiguamiento

0.20

Figura 26. Coeficiente de amortiguamiento en función del número de ciclos necesarios para reducir la amplitud de pico de 50 por ciento.

Para los sistemas ligeramente amortiguadas, una mayor precisión en la evaluación del factor de amortiguamiento se puede obtener considerando los picos de respuesta que son varios ciclos de diferencia, dicen los ciclos m; entonces (C) 3M vn 2016. vn+ 11080 En m =p 1) que puede ser simplificado para la baja amortiguación a una relación aproximada equivalente a la ecuación. 1) vn+ :v n m 11080 = 2mvn+ m

Cuando se observan vibraciones libres amortiguadas experimentalmente, un método conveniente para estimar el coeficiente de amortiguamiento es contar el número de ciclos necesarios para dar una reducción de 50 por ciento en la amplitud. La relación para ser utilizado en este caso se presenta el gráfico camente en la Fig. 2-13.Como regla rápida, es conveniente recordar que para porcentajes de amortiguamiento crítico igual a 10, 5 y 2,5, las amplitudes correspondientes se reducen en un 50 por ciento aproximadamente en uno, dos y cuatro ciclos, respectivamente.

Ejemplo E2-1. Un edificio de un piso es idealizado como una viga rígida sup-portado por columnas sin peso, como se muestra en la Fig. E2-1. Con el fin de evaluar las propiedades dinámicas de esta estructura, se realiza una prueba libre de vibración, en el que el sistema de techo (rígido girde r) se desplaza lateralmente por un gato hidráulico y luego se libera de repente.Durante la operación de elevación, se observa que una fuerza de 20 kips [9; 072 kg] se requiere para desplazar la viga doce y veinte en [0: 508 cm].Después la liberación instantánea de este desplazamiento inicial, la máxima desplazar-ment en el columpio primera vuelta es solamente doce y dieciséis en [0: 406 cm] y el período de este ciclo de desplazamiento es T = 01:40 sec. A partir de estos datos, las siguientes propiedades de comportamiento dinámico se disuadir-minadas:

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

Peso W = mg

31

contr p = fuerza de hinca

k

C



k 

... ... ... .2

. . . . . . . . . .2

Figura E2-1 Prueba de vibración de un edificio sencillo.

(1) A partir del peso de la viga: ... ... ... .2 T06 ¡

￦233,259,995,000

#%

GK

60secg

Por lo tanto

11080 ..... .... ￦233,259,995,000 .2

.. .. .. .. . .2

GK = 0: 0496

20

3 1) 386 = 1; 920 kips [870: 9 10 kg]

donde la aceleración de la gravedad se toma como g = 386 en = 2 seg (2) la frecuencia de la vibración no amortiguada de: 3.075.000

1 1 = J 11080

500Hz

¡ = F = 2 rad = 4:48 seg propiedades de (3 amortiguación: decremento logarítmico:

= ln

0:20 11080 11080

: ... ... ... = .2

Coeficiente de amortiguamiento: Coeficiente de amortiguación:

11080

{0/} 13{/225)

C

C33/C33M -

= 1: 584 kips en sec =

25)

1) 1) [282: 9 kg seg = cm] :

la frecuencia amortiguada:

¡2D P (4 ) Amplitud después de seis ciclos:

, V.

32

, V. , V.

= 0,000125)

4

6

, V.

6

5

13/16 pulg.

14 cm

dinámica de las estructuras

Overcritically con amortiguación de Sistemas A pesar de que es muy inusual en condiciones normales cuenten con sistemas estructurales amortiguadas overcritically-, que a veces ocurren como sistemas mecánicos; por lo tanto, es útil para llevar a cabo el análisis de la respuesta de un sistema amortiguado overcritically-para hacer esta presentación completa.En este caso tiene c = c c > 1, es conveniente para escribir la ecuación. (2-39) en la forma

p #% en el cual

1)

25)^

1)

p ¡25)11080

1)

La sustitución de los dos valores de s dado por la ecuación. (2-60) en la Ec. (2-21) y la simplificación de los cables, finalmente, a 25)

v (t) = [A senh!t ^ + B cosh!t ^] exp (!t)

en la que el constantes reales A y B se pueden evaluar usando las condiciones v inicial (0) y v (0).Se muestra fácilmente de la forma de la ecuación. (2-62) que la respuesta de una sistema amortiguado overcritically-es similar al movimiento de un sistema críticamente amortiguado como se muestra en la Fig. 2-9; sin embargo, el rendimiento asintótico a la posición cero de desplazamiento es más lento dependiendo de la cantidad de amortiguación. PROBLEMAS 11080 El peso W del edificio de la Fig. E2-1 es 200 kips y el edificio se pone en sin vibraciones mediante la liberación de ella (en el tiempo t = 0) a partir de un desplazamiento de 1:20 en.Si el desplazamiento máximo en el columpio de retorno es 0:86 en en el tiempo t = 0:64 seg, determinar: (A) la rigidez del resorte k lateral (b) el coeficiente de amortiguamiento (C) la amortiguación coe ciente C 1) Suponga que la masa y la rigidez de la estructura de la fig. 2-1 una son como sigue: m = 2 seg kips 2 = en, k = 40 kips = en.Si el sistema se pone en vibración libre con las condiciones inicial v (0) = 0: 7 y v (0) = 5: 6 en = sec, determinar el desplazamiento y la velocidad en t = 1: 0 seg, suponiendo: (A) c = 0 (sistema no amortiguado) (b) c = 2: 8 sec = kips en 1) Suponga que la masa y la rigidez del sistema de la Fig. 2-1 una son metro = 5 kips sec 2 = en y k = 20 kips = en, y que está no amortiguada.Si el desplazamiento inicial es v (0) = 1: 8 en, y el desplazamiento en t = 1: 2 seg es también 1: 8 en, determinar:

(A) el desplazamiento en t = 2: 4 sec (b) la amplitud de la vibración libre

capitulo

3

DE LA DIRECCIÓN A armónica CARGANDO

3-1 SISTEMA no amortiguado solución complementaria Suponga que el sistema de la Fig. 2-1 se somete a una p armónicamente carga variable (t) de la forma de onda sinusoidal que tiene una p o amplitud y la frecuencia circular! como se muestra por la ecuación de movimiento • mv (t) + cv (t) + kv (t) = f o pecado

¡M

11080

Antes de considerar este caso viscoso amortiguado, es instructivo examinar el comportamiento de un sistema no amortiguado controlado por • mv (t) + kv (t) = f o pecado ¡M que tiene una solución complementaria de la forma libre de la vibración de la ecuación. 25) c v (t) = A cos!sen B t +!M

1)

1)

Solución particular La solución general debe incluir también la solución particular que depende de la forma de la carga dinámica. En este caso de la carga de armónicos, es razonable suponer que el movimiento correspondiente es armónico y en fase con la carga; Por lo tanto, la solución de p articular es v p (t) = C pecado

[33]

¡M

11080

34

dinámica de las estructuras

en el que la amplitud C se va a evaluar. Sustituyendo la Ec. (3-4) en la Ec. (3-2) da 2

C

¡t + k C pecado!t = p o 11080

me ¡pecadopecado!M

Dividiendo por el pecado !t (que es distinto de cero en general) y por k y observando que k = m =!2, se obtiene después de algún reordenamiento p

1

0

C

25)

k h11080 yo

en el que se de ne como la relación de la frecuencia de la carga aplicada a la frecuencia de la vibración libre natural, es decir,

¡

11080

1)

Solución general La solución general de la ecuación. (3-2) se obtiene de forma mediante la combinación de las soluciones comple-mentarios y particulares y haciendo uso de la ecuación. (3-6); por lo tanto, se obtiene p

1

0

Código ISIN:

v (t) = v c (t) + v p (t) = A cos!sen B t +!T06 k h

25) [●]

T06

En esta ecuación, los valores de A y B dependen de las condiciones con las que se inició la respuesta.Para el sistema partiendo del reposo, es decir, v (0) = v (0) = 0, es fácil demostrar que p 1 0

"Un

k h

N

25) yo

11080

en cuyo caso la respuesta de la ecuación. (3-8) se convierte p 0

VT

k h

1

Código ISIN: 25) [●]

tsin!t)

25)

donde p o = k = v st es el desplazamiento que se produce por la carga p o aplicada estáticamente y 1 = (1 2) es el factor de cationes Magni (MF) que representa el efecto de amplificación de la carga aplicada armónicamente.En esta ecuación, el pecado !t representa el componente de respuesta a la frecuencia de la carga aplicada; se llama la respuesta de estado estacionario y es dir cesados directamente relacionado con la carga.también pecado !t es la componente de respuesta a la frecuencia de vibración natural y es el efecto de libre vibración controlada por las condiciones iniciales.Ya

se denomina la respuesta transitoria.Para que este sistema no amortiguado hipotética, sin embargo, este término no amortiguar pero continuará infinitamente inde. que en un caso práctico, la amortiguación hará que el último término a desaparecer con el tiempo,

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

35

Ratio de respuesta - Una medida conveniente de la en influencia de la carga dinámica se proporciona por la relación de la respuesta de desplazamiento dinámico para el desplazamiento producido por aplicación estática de carga p o, es decir, VT

v

R (t)

VT

fo st = = k

25)

De la ecuación. (3-10), es evidente que la relación de respuesta resultante de la carga de onda sinusoidal de un sistema no amortiguado partiendo del reposo se 1

Código ISIN:

R (t) =

h

1) [●]

tsin!t)

11080 Es informativo para examinar este comportamiento de respuesta con más detalle por referencia a la Fig. 31.Figura 3-1 a representa el componente de estado estacionario de la respuesta mientras que la Fig. 3-1 b representa la denominada respuesta transitoria.En este ejemplo, se supone que = 2 = 3, es decir, la frecuencia de carga aplicado es de dos tercios de la libre de vibraciones frecuencia.La respuesta total R (t), es decir, la suma de los dos tipos de respuesta, se muestra en la Fig. 3-1 c.Dos puntos son de interés: (1) la tendencia de los dos componentes

R p (T)

£M (/0}£F

"Un

M

TP



R s (T)

£M (/0}£F N

M

. . . . . . . . . .2

T06 

R (t)

C

M

proporción de frecuencia

=

.... .... . .2 

3

Figura 26. Relación de respuesta producida por la excitación de onda sinusoidal a partir de las condiciones iniciales de reposo: (a) el estado de equilibrio; (B) transitoria; (C) total en I (t).

36

dinámica de las estructuras

para entrar en fase y luego fuera de fase de nuevo, causando un efecto de "latido" en la respuesta total; y (2) la pendiente cero de la respuesta total en el momento t = 0, lo que demuestra que la velocidad inicial de la respuesta transitoria es sólo ciente para cancelar la velocidad inicial de la respuesta de estado estacionario; por lo tanto, se satisface la it especificado condición inicial v (0) = 0. 3-2 SISTEMA CON amortiguamiento viscoso

Volviendo a la ecuación de movimiento de división por m, y observando que c = m = 2 ! incluyendo amortiguamiento viscoso, Eq. (3-1), conduce a

Casi pecado

VT VTVT

1)

me pecar ¡M

La solución complementaria de esta ecuación es la respuesta amortiguada sin vibraciones dada por la ecuación. (248), es decir, c v (t) = A cos!D sen B t

+!Fecha: 31/ 05/2013. La solución particular a la ecuación. (3-13) es de la forma

4

Caduc.: %@; t)

v p (t) = G 1 11080

¡t + G 2 sen!M

cos

en el que se requiere el término coseno, así como el término sine porque, en general, la respuesta de un sistema amortiguado no está en fase con la carga. Sustituyendo la Ec. (3-15) en la Ec. (3-13) y la separación de los múltiplos de cos !t desde los múltiplos de pecado !t conduce a

G.....!G.....!25) G.....!.M .. .. .. .. . .2

.. .. .. .. . .2

HG6024 G.....! ¡ 25) G.....!

¡

Código Casi me

ISIN: [●]T06

11080

Con el fin de satisfacer esta ecuación para todos los valores de t, es necesario que cada una de las dos cantidades soporte de cuadrados igual a cero; por lo tanto, se obtiene

gg. 1)

Casi

. . . . . . . . . .2

G.....! G.....! 25)

k

en la que es la relación de frecuencia dada por la ecuación. 25) Resolviendo estas dos ecuaciones simultáneamente rendimientos

Casi =

G 1

k p

......... .2

25) 1)

0

G.....! k

1)

25)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

37

La introducción de estas expresiones en la ecuación. (3-15) y la combinación de los resultados con la solución complementario de la ecuación. (3-14), se obtiene la respuesta total en la forma v (t) = A cos

Caduc.: sen B! M %@; ¡t)

p!Fecha: 31/ 05/2013.

1

.... .... . .2

D.

0

pecado pecart 2cos!M

Humira

25)

+k

yo

11080

El término primera en el lado derecho de esta ecuación representa la respuesta transitoria, que amortigua a cabo de acuerdo con exp ( !t), mientras que el segundo término representa la respuesta armónica de estado estacionario, que continuará infinitamente inde.Las constantes A y B se pueden evaluar por cualquier condiciones iniciales dadas, v (0) y v (0).Sin embargo, ya que la respuesta transitoria amortigua rápidamente, por lo general es de poco interés; Por lo tanto, la evaluación de las constantes A y B no se llevará a cabo aquí. En estado estable armónica Respuesta - De gran interés, sin embargo, es la respuesta armónica de estado estacionario propuesta por el segundo término de la ecuación.25) p

1 ... ... ... .2

0

pecado pecart

Humira 2cos!M

25)

v p (t) = k

yo

25)

Este comportamiento de desplazamiento en estado estacionario se puede interpretar fácilmente por el trazado de dos correspondientes vectores en rotación en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 3-2, donde sus componentes a lo largo del eje real son idénticos a los dos términos de la ecuación. 25) El verdadero mponent co del vector resultante, i i exp [(!t )], Da la respuesta en estado estacionario en forma v p (t) = sin (

11080

¡t)

que tiene una amplitud

Casi =

.. .. .. .. . .2

2

k h11080 ) 11080

.. .. .. .. . .2

yo

11080 11080

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

R



Casi 

k

T0 6

11080  exp (i  t)]



.. .. .. .. . . . . . . . . . . .2 .2

Cas i





... ... ... .2

11080 25) )

. . . . . . . . . .2

1)







T06

k

25)

)



 i exp (i  t)]

1)

i exp [i (  t)]

1) Figura 26. El estado estacionario respuesta de desplazamiento.

38 dinámica de las estructuras y un ángulo de fase, por el que la respuesta está por detrás de la carga aplicada ..... .... .2

Canela

1)

1)

Se debe entender que este ángulo de fase está limitada al rango de 0 << 180. La relación de la amplitud de la respuesta armónica resultante al desplazamiento estática que sería producida por la fuerza de p o se llamará el catión Magni dinámico

el factor D; así

D = (1 2) 2 + (2) 2 1 = 2 (3-24) p o = k Se ve que tanto la dinámica Magni factor de catión D y el ángulo de fase varían con la relación de frecuencia y el factor de amortiguamiento.Parcelas de D vs. y vs. se muestra en las Figs. 3-3 y 3-4, respectivamente, para valores discretos de coeficiente de amortiguamiento,.

En este punto es instructivo para resolver la respuesta armónica de estado estacionario una vez más el uso de una forma exponencial de la solución.Considere el caso general de armónicos

4

3

2D 1

1)

180.8

ANG ULO Fase

$ 270,000.90

1)

incógnit  

1) 

25) 

25)

11080

Figura 26.

1

2 

Variación del factor de ampliación 3 dinámico con amortiguación y la frecuencia.

incógnit 

11080 

11080  1)

1

2 Relación de frecuencias, 

3

Figura 26. Variación del ángulo de fase con amortiguamiento y la frecuencia.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

39

la carga expresada en forma exponencial: VT VTVT

Casi i exp me

[(

¡T06

25)

donde es un ángulo de fase arbitraria en la función de carga de armónicos. Al tratar con cargas armónicas general Y COMPLETEL, especialmente para el caso de carga periódica, donde la excitación se expresa como una serie de términos armónicos, es esencial de nir el ángulo de fase de entrada para cada armónico; sin embargo, esto por lo general se lleva a cabo más convenientemente mediante la expresión de la entrada en forma de número complejo en lugar de por el ángulo de amplitud y fase.En este capítulo sólo se considerará un único término de carga armónica; por lo tanto, su ángulo de fase se toma arbitrariamente como cero por simplicidad, por lo que no tiene que ser yo ncluded en la expresión de carga.

La solución particular de la ecuación. (3-25) y sus derivados primeros y segundos de tiempo son

v p (t) = G exp (i!t) v p (t) = i

1)

¡ G exp (i!t)

v • p (t) = ¡2 G exp (i!t)

donde G es una constante compleja.Para evaluar G, sustituir las ecuaciones. (3-26) en la Ec. (3-25), en modo alguno la cantidad de exp (i!t) común a cada término, k = sustituto!2 para my para!=!, Y resolver para G produciendo G.....!Casi

=Casi

1

yo

25)

11080 yo k Sustituyendo este valor complejo de G en la primera de las ecuaciones. (3-26) y el trazado de los dos vectores resultantes en el plano complejo, se obtiene la representación se muestra en la Fig. 3-5.Tenga en cuenta que estos dos vectores y su resultante, junto con el ángulo de fase k

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" p 0



k

1)





exp (i  t)

25)



T06 

 exp [i  t

R )]



T06 Casi

11080



k



11080



 i exp i  t]

Figura 26. respuesta en estado estacionario mediante amortiguamiento viscoso.

40

dinámica de las estructuras

son idénticas a las cantidades correspondientes en la Fig. 3-2, excepto que ahora el conjunto de vectores se ha girado en sentido antihorario a través de 90 grados. Esta diferencia en las figuras corresponde a la diferencia de ángulo de fase entre las excitaciones armónicas i (p o = m) exp (i!t) y P o = m) exp ((i!t) la producción de los resultados de las Figs. 3-2 y 3-5, respectivamente.Tenga en cuenta que (p = O m) sen !t es la parte real de i (p = O m) exp (i!T06 Es de interés tener en cuenta el equilibrio de fuerzas que actúan sobre la masa bajo el estado de equilibrio por encima de la condición de armónicos por el que la respuesta total, como se muestra en la Fig. 3-5, es v p (t) = exp [i ( ¡T06

11080

que tiene una amplitud dada por la ec. 4 equilibrio de fuerzas requiere que la suma de la inercia, de amortiguación, y fuerzas de resorte es igual a la carga aplicada

p (t) = f o exp (i!t)

11080

Utilizando la ecuación. (3-28), estas fuerzas son f I p (t) = mv • p (t) = m ¡ 2 exp [i ( ¡T06 f D p (t) = cv p (t) = ic ¡ i exp [( ¡T06

25)

f S p (t) = kv p (t) = k exp [i ( ¡T06

que junto con la carga aplicada se muestran como vectores en el plano complejo de la Fig. 3-6. También se muestra el polígono cerrado de fuerzas necesarias para el equilibrio de acuerdo con la Ec. 25) Tenga en cuenta que aunque los, amortiguamiento y las fuerzas inerciales de primavera como en GIV en las ecuaciones. (3-30) están en fase con la aceleración, velocidad y desplazamiento

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" 25)

11080

f Dp = Wr ic exp i (w t [- q )] 25)

p (t) = f o exp (i w t) 1)

o 25)

f Ip = Mw

PesoWT2000 R

1)

2

r exp [ yo (W t - Q)] 1)

f Sp K = r exp i (w t [- q )]

"Un

Figura 26.

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer"

f f

Sp

Dp

Pt.C/O Tinnitus bilateral 1)

f

o

Ip

PesoWT2000 R

f Ip F + Dp + F Sp - P (t) = 0

N

fuerzas armónicas en estado estacionario utilizando amortiguamiento viscoso: (a) Representación plano complejo; (B) obligar a cerrar la representación poligonal.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

41

movimientos, respectivamente, que en realidad se oponen a sus movimientos correspondientes de acuerdo con la Convención de signos de la Fig. B 2-1 que fue aprobado en la ecuación.25)

Ejemplo E3-1. Una máquina de armónicos de carga portátil proporciona un medio efectivo para la evaluación de las propiedades dinámicas de las estructuras sobre el terreno.Al operar la máquina en dos frecuencias diferentes y midiendo la relación de amplitud y fase de respuesta estructural resultante en cada caso, es posible determinar la masa, de amortiguación, y la rigidez de una estructura SDOF.En una prueba de este tipo en un edificio de una sola planta, el agitador se hizo funcionar a fre-cuencias de!1 = 16 rad = s, y!2 = 25 rad =

seg, con una amplitud de fuerza de 500 lb [226: 8 kg] en cada caso.La resp Onse amplitudes y las relaciones de fase medido en los dos casos eran

1

13/16 pulg.

14 cm

. pecado pecar

1 11080

25) 25)

.. .. .. .. . .2

13/16 pulg.

14 cm

.

11080

.. .. .. ..

pecado pecar

. .2 25)

1)

Para evaluar las propiedades dinámicas de estos datos, es conveniente volver a escribir la ecuación. (322) como p

1

1) p .

1

0

=

0

(k)

11080

"Un

= (k)

donde la función trigonométrica se ha derivado de la ecuación. 1) Con más de cationes simplificación algebraica esto se convierte

Kk2 metro = p o cos A continuación, la introducción de los dos conjuntos de datos de prueba conduce a la ecuación matricial .. .. .. .. . .2

1 [16]

k

#" "

metro "

#

=

11080 1) 1)

1) 500 lb

3

1) que puede ser resuelto para dar

#

k = 100 10 = 3 lb en m = 128: 5 lb seg =

KG, CM 2

[22:95 kg seg = 2 cm]

en

Y en consecuencia. W = mg = 49: 6 10 3 libras [22: 5 10 3 kg]

42

dinámica de las estructuras

La frecuencia natural está dada por k

r1 = 27: 9 rad = )× me sec ¡-

Para determinar el coeficiente de amortiguación, dos expresiones para cos se pueden derivar de las ecuaciones. (a) y (3-23).La equiparación de éstos y despejando el amortiguamiento relación conduce a

=P=p

o pecado o el pecado 2 kc c!

Así, con los datos de la primera prueba 25)

Cc

25)

10

= 1; 125 lb sec = en [200: 9 kg sec =

1) cm]

y el mismo resultado (dentro de la precisión de ingeniería) viene dada por los datos de la segunda prueba. Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento es C =

(k)

1) =

11080

25)

3-3 respuesta resonante De la ecuación. (3-12), es evidente que la amplitud de la respuesta de estado estacionario de un sistema no amortiguado tiende hacia en nidad como la relación de frecuencia aproxima a la unidad; esta tendencia se puede ver en la Fig. 3-3 para el caso de = 0.Para valores bajos de amortiguación, se observa en esta misma figura que la amplitud máxima respuesta de estado estacionario se produce a una relación de frecuencia ligeramente menor que la unidad. Aun así, la condición que resulta cuando la relación de frecuencia es igual a la unidad, es decir, cuando el frequenc y de la carga aplicada es igual a la frecuencia de vibración

natural no amortiguada, se llama resonancia.De la ecuación. (3-24) se ve que el factor de cationes Magni dinámico bajo esta condición (= 1) es 1 .. .. .. .. . .2

2D

1)

Para hallar el valor máximo o pico del factor de cationes Magni dinámico, uno debe ser diferente-renciar la ecuación. (3-24) con respecto a y resolver la expresión resultante para la obtención de p

Top (que da valores reales positivos para la amortiguación de las proporciones < 1 = de la relación de frecuencias de nuevo en la ecuación. (3-24) dando 1

p

2), y luego sustituir este valor

11080

%1$1d P = MAX! 0,00011)

11080

= 1)D.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

43

Para valores típicos de amortiguamiento estructural, por ejemplo < Doce y diez, la diferencia entre la Ec. (3-33) y la más simple ecuación. (3-31) es pequeño, siendo la diferencia de la mitad de 1 por ciento para = 0:10 y 2 por ciento para = doce y veinte. Para una comprensión más completa de la naturaleza de la respuesta de resonancia de una estructura para ADing lo armónico, es necesario tener en cuenta la ecuación de respuesta general. (3-19), que incluye el término transitorio, así como el término de estado estacionario.En la frecuencia de excitación resonante (= 1), esta ecuación se convierte p

.M 0

... ... ... 11080 v (t) = (A cos!D sen B t +!D t) exp (!t) k .2 Suponiendo que el sistema parte del reposo [v (0) = v (0) = 0], las constantes son p

1

p

0

"Un (k)

¡

0

N

k 1)D.

p

1

0

.. .. = k . .p

25)

11080

.. . .2 Por lo tanto la ecuación. (3-34) se convierte 1

p 0

VT

. . . . . . . . . .2

25)

k

pecado pecarCos t + D!D

1)

t exp (!t) cos!M

p

Para las cantidades de amortiguación que se espera en los sistemas estructurales, el término

p

1 2 es casi igual a

la unidad; en este caso, esta ecuación se puede escribir en la forma aproximada VT

1

fo R (t) = = k

.. .. .. .. . = .2

n

exp (!T06

.t + exp (!t) sen!A

11080

Para la amortiguación de cero, esta ecuación aproximada es indeterminado; pero cuando se aplica la regla de L'hospital, la relación de respuesta para el sistema no amortiguado se encuentra para ser :1 .. .. .. .. . R (t) =.2 pecado pecarT06t cos!t)

11080

Los gráficos de estas ecuaciones se muestran en la Fig. 3-7. Tenga en cuenta que el pecado porque los términos que contiene!T contribuyen poco a la respuesta, los valores máximos en esta Gure acumulan linealmente para el caso no amortiguado, el cambio en una cantidad en cada ciclo; Sin embargo, se acumulan de acuerdo con (1 = 2) [exp ( !t) 1] para el caso amortiguado.Esta función envolvente de este último se representa frente a la frecuencia en la Fig. 3-8 para los valores discretos de amortiguación. Se ve que la tasa de acumulación hacia el nivel de estado estacionario 1 = 2 aumenta con la amortiguación y que la acumulación de casi el estado estable nivel se produce en un número relativamente pequeño de ciclos de valores de amortiguación en el intervalo práctico de interés; por ejemplo, 14 ciclos trae la respuesta muy cerca del nivel de estado estacionario para un caso que tiene de 5 por ciento de amortiguación crítica.

[44

Responseratio, R (t) Dinámica de las estructuras

R (t)

25) t

R (t) 1



1)

sistema no amortiguado

t

sistema amortiguado

Figura 26. Respuesta a la carga de resonancia  = 1 para las condiciones iniciales de reposo.

Responseratioenvelope 1 

1)

11080

25) 11080

1



11080

Número de ciclos, Hz .... .... . .2 0

1)

4

6

1)

1) Duración de la carga,

8

1)

10

12

1)

1)

1)



T06

Figura 26. Tasa de acumulación de respuesta resonante desde el reposo.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

45

3-4 acelerómetros y medidores de desplazamiento En este punto es conveniente analizar los principios fundamentales en que se basa el funcionamiento de una importante clase de dispositivos de medición dinámica. Estos son instrumentos sísmicos, que consisten esencialmente de un oscilador amortiguado viscoso tal como se muestra en la Fig. 3-9.El sistema está montado en un alojamiento que puede estar unido a la superficie donde el movimiento se va a medir. La respuesta se mide en términos del movimiento v (t) de la masa con respecto a la carcasa. La ecuación de movimiento para este sistema ya se ha mostrado en la ecuación. (2-17) a

ser • mv (t) + cv (t) + kv (t) = mv • g (t) p eff (t) donde v • g (t) es la aceleración vertical del soporte de la vivienda.Teniendo en cuenta un armónico soporte para la aceleración de la forma v • g (t) = v • g 0 pecado !t, de modo que p eff (t) = • mv 0 g pecado !t, la dinámica amplitud de la respuesta de estado estacionario de movimiento v (t) viene dada por la ec.1)

(Es decir: 2040, 2045) • mv =

0g

k

D.

11080

en la que D dada por la ec. (3-24) se presenta gráficamente en la Fig. 3-3.El examen de esta figura muestra que, para un coeficiente de amortiguamiento = 0: 7, el valor de D es casi constante sobre el rango de frecuencia 0 << 0: 6.Así, es claro a partir de la ecuación. (3-39) que la respuesta indicada por este instrumento es casi directamente proporcional

a la amplitud de soporte-aceleración para las frecuencias aplicadas de hasta aproximadamente seis décimas p la frecuencia natural del instrumento (! %.2f km;Por lo tanto, este tipo de instrumento cuando está debidamente amortiguado servirá eficazmente como un acelerómetro para frecuencias relativamente bajas; su gama de aplicabilidad se ampliará mediante el aumento de su frecuencia natural en relación con la frecuencia de excitación, es decir, mediante el aumento de la rigidez del muelle y / o la disminución de la masa.Calibración de un acelerómetro se lleva a cabo fácilmente colocando primero el instrumento con su eje de sensibilidad verticalmente y luego

vt (T)

k Salida proporcional a desplazamiento relativa v (t)

me

C

v t (T) = v (t)  v (t) g

v ¨

g

(T) = v

¨

g 0

pecado



t (Movimiento de entrada de la base)

Figura 26. Diagrama esquemático de un sismómetro típico.

46

dinámica de las estructuras

D.

3 .

.

.

.

.

.

.

.

. 110 80

. 2

25)

1

25)

  amplitud

..... .... .2

6 1

1) .. .. .. .. . .2

1

 D.

1)

4

....... . . .2

Respuesta

1

1)

0

1

2

3

Relación de frecuencias,  Figura 26. Respuesta de sismómetro al desplazamiento de base armónica.

girando el instrumento al revés y registrando el cambio resultante de la respuesta que corresponde a una aceleración el doble que la de la gravedad. Consideremos ahora la respuesta del instrumento se ha descrito anteriormente se somete a un soporte de desplazamiento v g Har-mónico (t) = v 0 g pecado !T06En este caso, v • g (t) = ! 2 v 0 g pecado !M

y la carga efectiva es p ef = m!v 0 g pecado !T06De acuerdo con la Ec. (3-22), la amplitud de la respuesta-desplazamiento relativo es

=

me ¡VG D=v0g k

2

D

25)

Una gráfica de la función de respuesta 2 D se presenta en la Fig. 3-10.En este caso, es evidente que 2 D es esencialmente constante en relaciones de frecuencia> 1 para un coeficiente de amortiguamiento = 0: 5.Por lo tanto, la respuesta de un instrumento adecuadamente amortiguada es esencialmente proporcional a la amplitud de base de desplazamiento para los movimientos de soporte de alta frecuencia; es decir, que servirá como un medidor de desplazamiento en la medición de dichos movimientos. Su gama de aplicabilidad para TH es el propósito se ampliará mediante la reducción de la frecuencia natural, es decir, mediante la reducción de la rigidez del resorte y / o el aumento de la masa.

AISLAMIENTO 3-5 VIBRACIONES Aunque el tema de aislamiento de vibración es demasiado amplia para ser discutido thor-a fondo aquí, los principios básicos involucrados se presentarán en que se refieren a dos tipos de problemas: (1) prevención de vibraciones perjudiciales en estructuras de soporte debido a las fuerzas oscilatorias producidas por operativo equipo y (2) la prevención de vibraciones perjudiciales en instrumentos sensibles debido a las vibraciones de sus estructuras de soporte.

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

47



p (t) = f o pecado t me

k 

VT C

k 

... ... ... .2

...... . . . .2

f=fSF D

Figura 26. sistema de vibración-aislamiento de un grado de libertad (carga aplicada).

La situación RST se ilustra en la Fig. 3-11, donde una máquina rotativa produce una fuerza vertical oscilatorio p o pecado !t debido al desbalance en sus piezas giratorias.Si la máquina está montada sobre un sistema de soporte de muelle-amortiguador SDOF como se muestra, su estado de equilibrio de respuesta relativa de desplazamiento está dado por

Casi v p (t) = k 25) D sen (!t) donde D es de nida por la Ec.1) Este resultado supone, por supuesto, que el movimiento de la ayuda inducida por el total de la fuerza de reacción F (t) es insignificante en comparación con el movimiento del sistema con respecto al soporte. Utilizando la ecuación. (3-41) y su derivada en el tiempo primero, las fuerzas de reacción del resorte de amortiguación y se vuelven f S (t) = kv (t) = f o D sin (!T06 1) cp D o!

f D (t) = CV (t) =

k

.t) = 2p o D cos (!t)

Puesto que estas dos fuerzas son 90 fuera de fase entre sí, es evidente que la amplitud de la fuerza de reacción de base total está dada por

f max (t) = [f

S, máx (t) 2 + f D, max (t) 2] = 1 = 2 m o D + 1

h

i (2) 2 = 1 2

(3-43)

Por lo tanto, la relación de la fuerza de base máxima a la amplitud de la fuerza aplicada, que se conoce como la transmisibilidad (TR) del sistema de soporte, se convierte f max (t)

(re)

{2}[10 Casi p.]{/2}11080 TR 11080 El segundo tipo de situación en la que el aislamiento de vibraciones es importante es ilus trado en Fig. 3-12, en el que el soporte armónico movimiento v g (t) obliga a una respuesta relativa de desplazamiento en estado estacionario 2

v p (t) = v 0 g sen (

48

D 1)

¡t)

dinámica de las estructuras

t

v (T) t

v (T) = v (t)  v (t)

me

g k

C

 ........ . .2

Figura 26.



k

v g (T) = v g 0 pecado  t

 .... .... . .2

Un grado de libertad del sistema de vibración-aislamiento (apoyo excitación).

3

1)

1



1) 5 1

f

max

... ... ... .2



4

1) Casi TR

v

t

1)

1

11080 3

max

1) VG

1 0



0

1

1) . . . . . . . . . .2 Relación de frecuencias,

3



Figura 26. relación de las vibraciones de transmisibilidad (aplicado carga o soporte de excitación).

de acuerdo con las Ecs. (3-21) y (3-40). La adición de este movimiento vectorialmente al soporte de movimiento v g (t) = v 0 g pecado !t, la respuesta total de estado estacionario de la masa m está dado por P = 0,0001

v t (t) = v 0 g + 1 (2) 2 D sen (!T06 en el que el ángulo de fase es de ningún interés particular en la presente discusión. Por lo tanto, si la transmisibilidad en esta situación se de ne como la relación de la amplitud de movimiento total de la masa a la corresp onding amplitud de base de movimiento, se ve que esta expresión para transmisibilidad es idéntica a la dada por la ecuación. (3-44), es decir,

Nota v • t max

vt

max TR que esta transmisibilidad v•g

máx

porque v • t

VG (re)

[10 p.]

relación también se aplica a la 2

v t max y v • g

max = ¡ máx =

¡VG

11080 relación de aceleración

Puesto que las relaciones de transmisibilidad dadas por las ecuaciones. (3-44) y (3-47) son idénticos, la relación común expresa la transmisibilidad de los sistemas de vibración-aislamiento para ambas situaciones descritas anteriormente. Esta relación se representa como una función de la frecuencia r atio

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

49

en la Fig. 3-13 para valores discretos de amortiguación. Tenga en cuenta que todas las curvas pasan por el mismo punto en una relación de frecuencia de = amortiguación cuando amortiguación cuando>

p < p

p

2.Es evidente que debido a esta característica, el aumento de la

2 aumenta la eficacia del sistema de vibración-aislamiento, al tiempo que aumenta la 2 disminuye la eficacia.Dado que los valores de transmisibilidad de> P2 son

p

generalmente mucho más bajos que los de < 2, uno debe tomar ventaja de operar en el rango de frecuencia más alta cuando es práctico hacerlo.Esto no siempre es posible, sin embargo, porque en muchos casos el sistema debe

p

operar por debajo = 2 para algunos intervalos de tiempo, y en algunos casos incluso operar cerca de la condición resonante = 1.El siguiente ejemplo ilustra esta condición:

Ejemplo E3-2. De exiones a veces desarrollan en vigas de puentes de hormigón debido a la fluencia, y si el puente se compone de una larga serie de tramos idénticos, estas deformaciones serán causar una excitación armónica en un vehículo que viaja por el puente a velocidad constante.Por supuesto, los muelles y amortiguadores de los coches están destinados t o proporcionar un sistema de vibración-aislamiento que limitará los movimientos verticales transmitidas desde el camino de los ocupantes. Figura E3-1 muestra un modelo altamente idealizada de este tipo de sistema, en la que el peso del vehículo es 4; 000 lb [1; 814 kg] y su rigidez del resorte es de nida por una prueba que demostró que la adición de 100 lb [45:36 kg] causó una de reflejo de 0:08 en [0: 203 cm].El puente pro le está representado por una curva sinusoidal que tiene una longitud de onda (SPAN viga) de 40 pie [12: 2 m] y una amplitud (individual) de 1: 2 en [03:05 cm].A partir de estos datos que se desea para predecir el estado de equilibrio vertical de movimientos en el coche cuando se viaja a una velocidad de 45 mph [72: 4 km = hr], suponiendo que la amortiguación es 40 por ciento de crítico. La transmisibilidad para este caso se da por la ecuación. (3-47); de ahí el ampli-tud de movimiento vertical es

11080

vt

max

VG

11080

11080

vt (T)

W = 4,000 lb

Velocidad = 45 mph k

k

C



.. .. .. .. . .2

.... .... . .2

superficie del puente

13/16 pulg.

I-F1 Figura E3-1 idealizada vehículo que viaja a través de una cubierta del puente desigual.

50

dinámica de las estructuras

Cuando el coche está viajando a 45 mph = 66 ft = sec, el período de excitación es m2 T

p

=

66 ft = s

= 0: 606 seg

mientras que el periodo natural del vehículo es .. .. .. .. . .2 T06 ¡

￦233,259,995,000

#%

Kg

60secg

Por lo tanto = T = Tp = 0: 572 = 0: 606 = 0: 944, y con = 0: 4 es la amplitud de la respuesta v t max = 1: 2 (1: 642) = 1:97 en [05:00 cm] También es de interés observar que si no hubiera amortiguación en el vehículo (= 0), la amplitud sería vt

1

1)

max VG

25) =

0: 2 1/2 pulg./6.35 cm.

Esto está más allá del rango de resorte, por supuesto, y por lo tanto tiene poco significado, pero demuestra la importante función de los amortiguadores en la limitación de los movimientos resultantes de la ondulación de la superficie de la carretera.

Al diseñar un sistema de vibración-aislamiento que operará en frecuencias por encima del valor crítico

p

representados por = 2, es conveniente expresar el comportamiento del sistema SDOF en términos de eficacia de aislamiento (IE) en lugar de transmisibilidad.Esta cantidad se de ne por 11080

IE [1 TR]

en el que IE = 1 representa el aislamiento completo accesible sólo como!1 y el IE = 0 representa la ausencia de

p

aislamiento que tiene lugar en = 2.Para los valores de a continuación este valor crítico, de amplificación del movimiento de la masa se lleva a cabo; Por lo tanto, el aislamiento de vibración real sólo puede tener lugar cuando

p

el sistema funciona a valores de mayor que 2.En este caso el sistema de aislamiento debe tener tan poco como sea posible de amortiguación. Para la pequeña amortiguación, la transmisibilidad dada por la ecuación. (3-44) o la ec. (3-47), después de la sustitución de la ecuación. (3-24), se puede expresar por la relación aproximada : 25)

TR. en cuyo caso la eficacia de aislamiento se convierte

25)

(Es decir: 2040, 2045) 1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

51

La solución de esta relación para 2, se obtiene su forma inversa

2 Tomando nota de que 2 = !

= (2 IE) (1 IE)

1)

1)1)2: 1-11; Marcos2

(W = kg) = !2 (4 st = g), donde g es la aceleración de la gravedad y 4 st es la estática de reflexión producida por el peso muerto

W en su montaje primavera, la Ec. (3-51) se puede expresar en la forma

¡ 3.075.000

. . . . . . . . . .2

..porque todo va a cambiar. tan 1 pronto g como ella = 2

st?

4 h

.. .. .. .. . .2 1

(Es decir: 2040, 2045) 0
(Es decir: 2040, 2045)

yo

25)

Frecuencia f mide en hercios (ciclos = seg), como se deriva de esta expresión, se representa frente a la estática de reflexión 4 st en la Fig. 3-14 para valores discretos de aislamiento La eficiencia IE. Conociendo la frecuencia de impresionado de excitación f, se puede determinar directamente a partir de las curvas en esta figura el apoyo-pad de reflexión 4 st requiere para alcanzar cualquier nivel deseado de vibración aislamiento La eficiencia (IE), suponiendo, por supuesto, que el sistema de aislamiento tiene poca amortiguación.Es evidente que cualquier sistema de aislamiento debe ser ve ry flexible para ser eficaz. Deflexión estática  st cm

2. 1.

1)

1)

25)

1)

1)

1)

(Es decir: 2040, 2045)

40

0.98

500Hz

35

.

3. 0 7 5. 0 0 0

96

30.

Frecuenc Entra ia da

.

[94]

25

.

20

.

. .

90

85 80 75 pag 511

15

0,65

10

0

.

[50]

5

1)

0,05 0.10 0.15 0.20 0.25 0,30

0.35 0.40 0.45 0,50 11080 0,60

Deflexión estática  st, en

Figura 26. Vibración-aislamiento tabla de diseño.

Ejemplo es

e. el

Una máquina de movimiento alternativo de pesaje 20; 000 lb [9; 072 kg] una fuerza armónica orientado verticalmente de la

conocida desarrollarla.

52

amplitud

dinámica de las estructuras

500 lb [226: 8 kg] en su velocidad de funcionamiento de 40 Hz. Con el fin de limitar las vi-braciones excitados en el edificio en el que esta máquina se va a instalar, que debe ser apoyado por un resorte en cada esquina de su base rectangular.El de-firmante quiere saber lo que la rigidez de soporte se requiere de eac h primavera para limitar la fuerza armónica total transmitida desde la máquina hasta que el edificio

1 lb (0.4 kg) La transmisibilidad en este caso es TR = 80 = 500 = doce y dieciséis, que corre-ponde a una La eficiencia aislamiento de IE = 1 TR = 0:84.De la Fig. 3-14 para f = 40 Hz y el IE = 0:84, uno de NDS que 4 st es aproximadamente 0: 045 en [0: 114 cm]; Por lo tanto, la rigidez k requerida de cada muelle es ￦233,259,995,000 (k)

st?

20 =

= 111 kips = en [19; 823 kg = 25) cm]

3-6 EVALUACIÓN DE LA RELACIÓN viscoso de amortiguación En la discusión anterior de la respuesta dinámica de los sistemas de un grado de libertad, se ha supuesto que las propiedades físicas consistentes en masa, rigidez y amortiguamiento viscoso son conocidos. Mientras que en la mayoría de los casos, la masa y la rigidez pueden ser evaluados con bastante facilidad U SO simples consideraciones físicas o expresiones generalizadas como se discutió en el Capítulo 8, normalmente no es factible determinar el coeficiente de amortiguación por medios similares debido a que los mecanismos básicos de la pérdida de energía en la mayoría de los sistemas prácticos rara vez son plenamente enten- ONU.De hecho, es probable que los mecanismos reales de pérdida de energía son mucho más complicada que la fuerza de amortiguación viscosa sencilla (velocidad proporcional) que se ha asumido en la formulación de la ecuación de un grado de libertad de movimiento. Pero generalmente es posible determinar una propiedad de amortiguación viscoso equivalente apropiado por métodos experimentales.Un breve tratamiento de los métodos comúnmente usados para este propósito se presenta en las siguientes secciones: Sin vibraciones Método Decay Este es el método más simple y más fre utilizado consiguiente de Nding la relación viscoso de amortiguación a través de mediciones experimentales.Cuando el sistema ha sido puesto en vibración libre por cualquier medio, el coeficiente de amortiguamiento puede determinarse a partir de la relación de dos desplazamientos de pico medidos en m ciclos consecutiv e.Como se muestra en el capítulo 2, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada utilizando

me

=

(C) 3M 2016. %2D

: me (C) 3M = 2016.

1)

donde m ln (v v = n n + m) representa el decremento logarítmico sobre ciclos y m!%@, las frecuencias circulares no amortiguado y amortiguadas, respectivamente.para baja

%@ y %@ re son

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

53

Los valores de amortiguación, la relación aproximada de la ecuación. (3-53) se puede utilizar, que es sólo un 2 por ciento en el error cuando = 0: 2.Una ventaja importante de este método libre de vibración es que el equipo de instrumentación y requisitos son mínimos; las vibraciones se pueden iniciar por cualquier método conveniente y sólo las amplitudes relativas de desplazamiento necesitan ser medidos. Si la amortiguación i es realmente de la forma viscosa lineal como se suponía anteriormente, cualquier conjunto de m ciclos consecutivos producirá el mismo coeficiente de amortiguamiento a través del uso de la ecuación.11080 Desafortunadamente, sin embargo, el coeficiente de amortiguamiento así obtenido a menudo se encuentra que es de amplitud dependiente, es decir, m ciclos consecutivos en la parte anterior de la respuesta de alta amplitud sin vibraciones rendirán un coeficiente de amortiguamiento diferente de m ciclos consecutivos en una etapa posterior de respuesta mucho menor.Por lo general, se encuentra en tales casos que la amortiguación ses relación decrea con amplitud decreciente de la respuesta libre de vibraciones.Se debe tener precaución en el uso de estas relaciones de amortiguación dependiente de la amplitud para predecir la respuesta dinámica. Método de resonancia de amplificación Este método de determinación de la relación viscoso de amortiguación se basa en la medición de las amplitudes de estado estacionario de respuesta de desplazamiento relativo producido por cargas armónicas separadas de amplitud p o en valores discretos de frecuencia de excitación! en un amplio rango i ncluding la frecuencia natural.Trazado de estas amplitudes medidas de la frecuencia proporciona una curva de respuesta en frecuencia del tipo mostrado en la Fig. 3-15. Desde el pico de la curva de respuesta en frecuencia de una estructura típica amortiguado baja es bastante estrecha, i es generalmente necesario acortar los intervalos de las frecuencias discretas

1)  amplitud,

1) respuest a Armónico

1)

0

1) Maxma

11080 Maxma 



25)

25)

... ... ... .2

1)

Figura 26. curva de respuesta en frecuencia de forma moderada

Relación de frecuencias, 

54

sistema amortiguado.

dinámica de las estructuras

en la zona del pico con el fin de obtener una buena resolución de su forma. Como se muestra por las ecuaciones. (332) y (3-33), el factor de cationes real dinámica máxima Magni D max max = 0 se produce a la frecuencia de excitación

¡11080

11080

y se le da

... ... ...

por D

máximo

25)

1

.2

; sin embargo, para la amortiguación de valores en el intervalo práctico de :

interés, se puede utilizar la relación aproximada D p

máximo

p

2D El

factor de amortiguamiento puede ser determinada a partir de los datos experimentales usando :

Maxma

1)

Este método de determinación de la relación de amortiguación sólo requiere instrumentación simple de medir las amplitudes de respuesta dinámica en valores discretos de frecuencia y equipo de carga dinámica bastante simple; Sin embargo, obtener el desplazamiento estático 0 puede prese nt un problema porque el sistema típico de carga armónica no puede producir una carga en la frecuencia cero.Como se ha señalado anteriormente, el coeficiente de amortiguamiento para los sistemas prácticos es a menudo amplitud dependiente. En este caso, el valor de obtenerse a través de la ecuación. (3-54) depende de la amplitud d e p o de la carga aplicada armónica.Esta dependencia debe ser tomado en consideración cuando se especifica un valor apropiado para los propósitos de análisis dinámico. De media potencia (Ancho de Banda) Método Es evidente a partir de la ecuación. (3-22), en el que (p o = k) 0, de que la función de la curva de respuesta en frecuencia se muestra en la Fig. 3-15 tiene una forma que es controlado por la cantidad de amortiguación en el sistema; Por lo tanto, es posible derivar el factor de amortiguamiento de muchas propiedades diferentes de la curva.Uno de los más conveniente de éstas es el método de media potencia o anchura de banda por el que el coeficiente de amortiguamiento se determina a partir de las frecuencias a las que la amplitud de la respuesta se reduce al nivel 1 = pico

p

2 veces su valor de

Maxma La relación de frecuencia de control se obtiene por ajuste de la amplitud de la respuesta en la ecuación. (3-22) igual a 1=

P

2 veces su valor máximo dado por la ecuación. (3-33), es decir, mediante el establecimiento de

P2P/ De usuario a usuario Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación y resolviendo la ecuación cuadrática resultante para 2 da

p

25) que, para valores pequeños de amortiguación en el intervalo práctico de interés, se obtiene la relaciones de frecuencia :

25)

P = 0,0001 Restando 1 de 2, se obtiene :

P = 0,0001

11080

1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

55

mientras que la adición de 1 y 2 da . . . . . . . . . .2

25) 25) Combinando las ecuaciones. (3-58) y (359) los rendimientos =

... ... ... .2 1

: 25)

3.075.000 3.075.000

=

11080

1)

.. .. .. .. . .2 25)

3.075.000 3.075.000

p

donde f 1 y f 2 son las frecuencias a las que las amplitudes de respuesta igual 1 = 2 veces la amplitud máxima.El uso de cualquiera de la ecuación. (3-58) o la ec. (3-60) en la evaluación del factor de

P

amortiguamiento se ilustra en la Fig. 3-15, donde una línea horizontal se ha elaborado a través de la curva en 1 = 2 veces su valor máximo.Es evidente que este método de obt aining el coeficiente de amortiguamiento evita la necesidad de obtener el desplazamiento estático 0; Sin embargo, sí requiere que se obtiene la curva de respuesta en frecuencia con precisión en su apogeo y en el nivel máximo = 2 p. Para aclarar por qué el método anterior se denomina comúnmente como el método de media potencia, considere la entrada de potencia promediado en el tiempo proporcionada por la carga aplicada, que debe ser igual a

la tasa media correspondiente de la disipación de energía causada por la fuerza de amortiguación F D (t) = CV (t).Bajo la condición de armónicos en estado estacionario a frecuencia! donde la amplitud de respuesta de desplazamiento es, la tasa media de disipación de energía es

11080

11080

C

¡

.. .. .. .. . P avg = .2 Z

0

VT dt = c

.. .. .. .. . ¡.2

2 Z0

v (t) dt = 2 m!

¡25)

lo que demuestra que la potencia de entrada media correspondiente es proporcional a 2 2; por lo tanto, desde el 1 de = 2 = pico =

p

2, las entradas de potencia media en relaciones de frecuencia 1 y 2 son

1

P= 0,0001

Top

.. .. .. .. . .2

P

.. .. .. .. . .2

..... ....

pico

.2

... ... ... .2

P= 0,0001

P pico

... ... ... .2

Top

25)

donde el pico viene dada por la Ec.11080 Mientras que la entrada de energía promedio en 1 es algo menor que la mitad de la entrada de potencia pico y la potencia de entrada media en 2 es algo

mayor, el valor medio de estas dos entradas promediados está muy cerca de la mitad de la entrada de potencia de pico media. Ejemplo E3-4. Los datos de un ensayo de respuesta en frecuencia de un sistema de SDOF se han trazado en la Fig. E3-2.Se muestran los datos pertinentes para la evaluación del factor de amortiguamiento. La secuencia de pasos en el análisis después de la curva se representó fueron los siguientes: (1) Determinar la respuesta del pico = 5:67 10 2 en

56

[14: 4 10 2 cm].

dinámica de las estructuras

6

13/16 Respuesta de pico = 5,67  10 pulg.

1) 1)

5

25)

Posición

4 11080

4

amplitu en d,

3.075.000 3

en



f

f

ff.

0,87

... ... ... .2

1

Respuesta

... ... ... .2

1)

 3.075.000 f



11080

ff.

1)

11080

... ... ...  f.2

25)

2

1

0

11080

25)

res

1)

[16]

17

18

19

20

21

22

23

24.

25

Emocionante frecuencia f, Hz

Figura E3-2 experimento de respuesta en frecuencia para determinar coeficiente de amortiguamiento.

(2)

Construir una línea horizontal a 1

p

= 2 veces el nivel de pico.

(3) Determine las dos frecuencias a las que esta línea horizontal corta la curva de re-respuesta; f 1 = 19:55, f2 = 20:42 Hz. (4)

El coeficiente de amortiguamiento es dada por =

F

2

f

1 = 0: 022 f2 + f1

mostrando 2,2 por ciento de amortiguación crítica en el sistema.

La pérdida de energía de resonancia según Método de Ciclo Si instrumentación está disponible para medir la relación de fase entre la fuerza de entrada y la respuesta de desplazamiento resultante, el coeficiente de amortiguamiento puede ser evaluada a partir de una prueba de armónicos en

11080Este procedimiento implica el establecimiento de la resonancia mediante el ajuste de la frecuencia de entrada hasta que la respuesta de desplazamiento es 90 fuera de fase con la carga aplicada.Como se muestra en la Fig. 3-6 para estado estacionario realizado solamente en la resonancia: = !

= 90, la carga aplicada es equilibrar exactamente la fuerza de amortiguación de manera tha t si la relación entre la carga aplicada y el desplazamiento resultante se representa durante un ciclo de carga como se muestra en la Fig. 3-16, el

resultado se puede interpretar como la fuerza de amortiguación vs. diagrama de desplazamientos.Si el sistema verdaderamente posee visco lineal nos amortiguación, este diagrama será una elipse como se muestra por la línea de trazos en esta figura.En

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

57

f D (= P en la resonancia) Elipse (amortiguamiento viscoso) (Área equivalente = Zona

2D

Casi

D.

contr

Velocidad máxima:

Figura 26. amortiguamiento real y equivalente de energía por ciclo.

este caso, TH E ratio de amortiguación se puede dete rmined directamente de la fuerza de amortiguación máxima y la velocidad ma ximo utilizando la re lación V & Ll 0

= Cv max = 2 m!v max = 2 m!. . . . . . . . . .2

1)

%1$1d MAX!

o

Casi (C) 3M 2016. . . . . . . . . . .2

25)

Si la amortiguación no es de la forma viscoso lineal previamente asumido pero es de una forma viscosa no lineal, la forma de el diagrama de fuerza aplicada / desplazamiento obtenido por el procedimiento anterior no será elíptica; más bien, será de una forma diferente como ilus trado por la línea continua en la Fig. 3-16.En este caso, la respuesta de v (t) será un armónico distorsionada, a pesar de que la carga aplicada se mantiene un armónico puro.Sin embargo, la entrada de energía por ciclo, que es igual a la pérdida de energía por ciclo de amortiguación E D, puede b e obtenida como el área bajo la / diagrama de fuerza aplicada desplazamiento.Esto permite que uno para

evaluar una relación de amortiguamiento viscoso equivalente para la correspondiente amplitud de desplazamiento, que cuando se utiliza en la forma viscosa lineal se disipará la misma cantidad de energía por ciclo como en el caso experimental real.Este factor de amortiguamiento equivalente se asocia con un diagrama de fuerza aplicada /

desplazamiento elíptica tiene la misma área E D como el diagrama nonelliptical medido.Haciendo uso de la ecuación. (3-61), esta equiv alence

la energía que requiere 11080

Ed)P avg = (2 =!)( eq m!25) o eq = E D = (2

m! 2 2) = E D = (2

k 2)

25)

Esta última forma de la ecuación. (3-66) es más conveniente aquí porque la rigidez de la estructura se puede medir por la misma instrumentación usada para obtener la pérdida de energía por ciclo, simplemente haciendo funcionar el sistema muy lentamente en condiciones esencialmente estáticos. El diagrama de fuerza-desplazamiento estática obtenida de esta manera será de la forma mostrada en la Fig. 3-17, si la estructura es linealmente elástico. La rigidez se obtiene como la pendiente de la curva de línea recta.

58

dinámica de las estructuras

FS10 1 k

k

Zona

=f

S máx

..porque todo va a cambiar. tan pronto como ella

Velocidad máxima:

Figura 26. rigidez elástica y energía de deformación.

contr

3-7 COMPL EX-RIGIDEZ DAM PING La amortiguación de la forma viscosa lineal descrito anteriormente se usa comúnmente, ya que conduce a una forma conveniente de la ecuación de movimiento. Tiene una grave deficiencia de, sin embargo; como se ve desde la Ec. (3-61), la pérdida de energía por ciclo

Ed)

) P avg = 2m!

¡ . . . . . . . . . .2

25)

a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de excitación (o respuesta)!.Esta dependencia está en desacuerdo con una gran cantidad de evidencia que indica que la prueba t que la pérdida de energía por ciclo es esencialmente independiente de la frecuencia.Por tanto, es deseable para modelar la fuerza de amortiguación con el fin de eliminar esta dependencia de la frecuencia. Esto se puede lograr mediante el uso de la forma llamada "histéresis" de amortiguación en lugar de visco nos amortiguación.amortiguamiento de histéresis puede ser de ne como una fuerza de amortiguación proporcional a la amplitud de desplazamiento pero en fase con la velocidad, y para el caso de movimiento armónico puede ser expresado como f D (t) = i kV (t)

25)

donde es el factor de amortiguamiento de histéresis que de ne la fuerza de amortiguación en función de la fuerza de rigidez elástica, y la constante imaginaria i pone la fuerza en fase con la velocidad.Es conveniente combinar la resistencia elástica y la amortiguación en el

^

complejo rigidez de ne como k

^ k = k (1 + i)

1)

que conduce a la siguiente ecuación vibración forzada armónico de movimiento: ^ • mv (t) + kv (t) = f o

exp (i!t)

1)

La solución particular (o estado de equilibrio) de la ecuación. (3-70) es v p (t) = G exp (i!t)

1)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

en la que G es una constante compleja, y la aceleración correspondiente está dada por

v • p (t) = ¡ 2 G exp (i!t) La sustitución de estas expresiones en la ecuación. (370) se obtiene

59

2

^

k + G exp (i!¿T.L.O.? exp (i!t) me ¡ de que el valor de G se encuentra para ser p

p 0

G.....!

me

k

k ¡yo k o en una forma más conveniente complejo

GRAMO p = o yo 11080 1) k

"

1

0

=

h

(1 2) + yo yo

#

25)

1)

Sustituyendo esto en la ecuación. (3-71) finalmente da la siguiente expresión para la respuesta de estado estacionario con amortiguación de histéresis

contrT06 p

Casi k

1) "

1)

yo 25)

exp (i!t) #

1)

Esta respuesta se representa gráficamente por sus dos vectores ortogonales representados gráficamente en el plano complejo de la fig. 3-18. La resultante de estos dos vectores da la respuesta en términos de un vector de una sola amplitud, es decir,

v p (t) =

Exp yoM

11080

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" p

110801)

0





k

1) 25)

 exp (i  t)

25)



T06

R









 exp [i  t



]

1)

T06

Cas i

Figura 26. 





k

60



11080 1)

 i exp (i  t)]

11080

El estado estacionario respuesta de desplazamiento utilizando amortiguación rigidez complejo.

dinámica de las estructuras

en el cual

Casi = k y el ángulo de fase de respuesta es

Canela

.. .. .. .. . .2 2

.. .. .. .. . .2

25) 11080

25) ) +

" 1)

1) #

1)

La comparación de estas tres ecuaciones con las ecuaciones. (3-28), (3-22), y (3-23), respectivamente, es evidente que la respuesta de estado estacionario proporcionada por amortiguamiento de histéresis es idéntica a la de amortiguación si el factor de amortiguamiento de histéresis tiene el valor viscoso

1)

25)

En este caso, la pérdida de energía por ciclo a una amplitud fija es dependiente de la frecuencia de excitación! exactamente como en el caso de amortiguamiento viscoso. Como se verá posteriormente, esta dependencia de la frecuencia se puede quitar haciendo que la frecuencia de factor de presa de ping histéresis independiente.De este modo, es conveniente utilizar la ecuación. (3-78) y la adopción de un factor determinado en la resonancia para los que = 1; por lo tanto el factor de amortiguamiento de histéresis recomendada es = 2, y el complejo de rigidez coef ciente dada por la ecuación. (3-69) se convierte

1) 1)

k = k [1 + i 2]

A continuación, como se muestra por las ecuaciones. (3-76) y (3-77), el ángulo de amplitud de la respuesta y la fase, respectivamente, son

P= 0,0001 1)

k

1) 1)

11080 1)

Canela

1)

25)

Esta respuesta con amortiguamiento de histéresis es idéntica a la respuesta de amortiguamiento viscoso si el sistema es excitado a la resonancia (= 1).Sin embargo, cuando = 6 1, las dos amplitudes difieren de acuerdo con las Ecs. (3-22) y (3-80) y los ángulos de fase correspondientes difieren de acuerdo con las Ecs. (3-23) y (3-81). Cuando el complejo de la rigidez se de ne, de acuerdo con la Ec. (3-69) y cuando = 2, se da la componente de la fuerza de amortiguación bajo excitación armónica de estado estacionario

por

h

f D (t) = 2 i k exp (i!Tiberio 11080 y la pérdida de energía por ciclo de amortiguación, E D, se puede obtener mediante la integración de la pérdida de potencia instan-táneo

P (t) = f D (t) v p (t) = 2 k

¡

2

h

exp (i!M

yo

25)

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

61

más de un ciclo, con el resultado final (C) 3M 2016. . . . . . DD.

. . . . .2

.. .. .. .. . .2

1)

Es evidente que esta pérdida de energía por ciclo en amplitud fija es independiente de la frecuencia de excitación, por lo que es consistente con el comportamiento independiente de la frecuencia deseada!; por esta razón, se recomienda que esta forma de histéresis de amortiguación (amortiguación rigidez complejo) ser utilizado en la mayoría de los casos para los propósitos generales de análisis de respuesta de armónicos.

PROBLEMAS 3.1 Considere la estructura básica de la fig. 2-1 una con cero amortiguación y sometidos a excitación armónica en la relación de frecuencia = 0: 8.Incluyendo tanto en estado estacionario y los efectos transitorios, representar gráficamente la relación de respuesta R (t).Evaluar la respuesta a incrementos!4t = 80 y continuar el análisis de 10 incrementos. 3.2 Considere el sistema básico de la figura. 2-1 una con las siguientes propiedades: metro = 2 kips seg = 2

25)a partir de "en reposo" condiciones, determinar el valor de la relación de respuesta R (t) después de y k = 20 kips = en.Si este sistema se somete a resonantes carga armónica (! cuatro ciclos (!t = 8), suponiendo: (A) c = 0 [Ec uso.1) (B) c = 0: 5 sec = kips en [utilizar la Ec. (3-37)] (c) c = 2: 0 sec = kips en [utilizar la Ec.25) 3.3 Considere la misma estructura del vehículo y el puente del Ejemplo E3-2, excepto con los tramos de viga reducido a L = 36 pieDeterminar: (A) la velocidad del vehículo requerida para inducir resonancia en el sistema de resorte vehículo. (B) la amplitud total de movimiento vertical, v max t en la resonancia. (C) la amplitud total de movimiento vertical v max t a la velocidad de 45 mph. 3.4 Una consola de control que contiene delicada instrumentación es que se encuentra en la suelo de un laboratorio de prueba donde se ha determinado que la losa de suelo está vibrando verticalmente con una amplitud de 0:03 en al 20 Hz. Si el peso de la consola es 800 lb, determinar la rigidez del sistema de aislamiento de vibración necesaria para reducir la amplitud vertical de movimiento de la consola a 0: 005 en. 1) Una máquina de tamizado pesa 6; 500 lb, y cuando se opera a plena capacidad, que ejerce una fuerza armónica en sus soportes de 700 lb amplitud a las 12 Hz. Después de montar la máquina en los aisladores de vibración de tipo resorte, se encontró que la fuerza armónica ejercida sobre los soportes se había reducido a un 50 lb amplitud.Determinar la rigidez del resorte k del sistema de aislamiento.

62

dinámica de las estructuras

25) La estructura de la fig. P3-1 una puede ser idealizada por el sistema equivalente de la figura. B P3-1.Con el fin de determinar los valores de c y k para este modelo matemático, la columna de hormigón se sometió a una prueba de carga de armónicos, como se muestra en la Fig. C P3-1.Cuando se opera a una frecuencia de prueba de! = 10 rad = s, la reflexión (histéresis) la curva de la fuerza de la Fig. Se obtuvo P3-1 d.De estos datos: (A) determinar la constante k. (B) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, determinar la aparente razón de amortiguamiento viscoso y amortiguación coe ciente c. (C) suponiendo un mecanismo de amortiguamiento de histéresis, determinar la hys- aparente Rígida masa m C 1 puntal

k

me

Concreta Columna

N Pt.C/O Tinnitus bilateral

"Un

E D = 26 lb en 

13/16 pulg.

VT

70.16 lbs.



p (t) = p 0 pecado  t

contr E S = 29 lb en 

Concreta Columna

C

13/16 pulg.

2D

FIGURA P3-1

factor de amortiguación teretic. 1) Supongamos que la prueba del problema. 3-6 se repitieron, utilizando una frecuencia de prueba ! = 20 rads = seg, y que se encontró la curva de reflexión de-force (Fig. P3-1 d) estar sin alterar.En este caso (A) determinar los valores de amortiguación y c aparente viscoso. (B) determinar la aparente factor de amortiguamiento de histéresis. (C) Sobre la base de estas dos pruebas (! %@, %@ y %@ = 20 rad = seg), el tipo de amortiguación mecanismo parece más razonable - viscoso o de histéresis?

RESPUESTA A LA CARGA ARMÓNICA

63

1) Si el amortiguamiento del sistema del problema. 3-6 realidad fueron proporcionados por una viscosa amortiguador como se indica en la figura. P3-1 b, ¿cuál sería el valor de E D obtenida en un ensayo realizado en! = 20 rad = seg?