39579443 Handout Kimia Kuantum

KIMIA KUANTUM D1B233 YATI B. YULIATI, Dra., M.S.

IMAN RAHAYU, S.Si.,M.Si

Prasyarat : D1A102 Matematika II D1B232 Kimia Fisik II

Bahasan • • • •

Teori atom dan lahirnya kuantum Dasar-dasar Teori Kuantum Konsep operator Sistem mekanika gelombang dengan energi potensial konstan • Sistem mekanika gelombang dengan energi tidak konstan • Interaksi materi dan energi • Struktur molekul

Pustaka • Chandra, Introductory Quantum Chemistry • Atkins, Physical Chemistry

Hubungan dengan kuliah ini • Kuliah ini mendasari: – Kuliah lanjut kimia (kimia inti dan radiokimia)

• Sangat penting untuk memahami: – Struktur molekul – Spektroskopi molekul

Mekanika klasik • Perilaku atom/molekul dikaitkan dengan objek sehari-hari dan planetplanet • Gagal menjelaskan partikel-partikel sangat kecil

Persamaan fisika klasik • Lintasan dalam hubungannya dengan energi

Energi Total Ek = Energi kinetik V = Energi potensial

E = Ek + V 1 E  mv2  V 2 dx  2(E - V)    dt  m 

1 2

Persamaan ini untuk energi total menunjukan posisi partikel sebagai fungsi waktu (lintasan partikel)

Hukum Kedua Newton = tentang gerakan partikel

dp  F dt dx p  m. dt Gerakan Partikel Lainnya Gerakan Rotasi

J = I

Momentum sudut J sebuah partikel

Osilator Harmonis Gerakan osilator = vibrasi atom pada sebuah ikatan

F = -kx

Kegagalan Fisika Klasik • •

Menerangkan transfer energi pada kuantitas yang sangat kecil Pemerian mengenai gerakan partikel karena massa yang kecil dan momen inersia yang kecil

Apa yang salah dengan M. Klasik ? I. Gagal menjelaskan radiasi benda hitam • Semua benda panas mengeluarkan radiasi • Semakin tinggi suhu, puncak bergeser ke  rendah • Secara empiris ada:

• Hk. Stefan boltzman M=k.T4, M=energi radiasi/satuan luas permukaan • Hk. Pergeseran Wien T. max = konstan

Radiasi benda hitam • Representasi masalah radiasi ini adalah benda hitam (benda ideal yang dapat mengabsorpsi dan memancarkan radiasi di semua rentang spektrum dengan uniform)

Penjelasan Klasik • Rayliegh dan Jeans yang melakukan • Berdasarkan prinsip ekuipartisi, energi terserap sebagai kontinum • Menghasilkan formula:

pd = 8kT-4d  • Skandal UV

Hipotesa Planck (Kuantum) • Berdasarkan asumsi, energi terserap tidak sebagai kontinum, tapi paket. • Menghasilkan ungkapan:

pd = 8kT-5(ehc/kT-1)-1 II. Gagal menjelaskan Efek Fotolistrik Hasil Percobaan • Tak ada elektron keluar, walau sebesar apapun intensitas, bila frekuensi ambang tak dilewati • EK elektron yang dilepas naik dengan naiknya frekuensi, tetapi tak bergantung pada intensitas • Pada intensitas serendah apapun, elektron tetap dilepaskan sepanjang frekuensi ambang dilewati.

Mekanika Klasik gagal • Mekanika klasik meramalkan dengan naiknya intensitas energi elektron yang dilepas akan naik pula • Secara klasik tak ada alasan mengapa EK harus bergantung pada frekuensi

• Sukar menjelaskan bagaimana energi dapat terkonsentrasi dalam ruang yang kecil.

Penjelasan Kuantum (Einstein) • Melangkah lebih lanjut dari Planck: tidak hanya dalam proses penyerapan, dalam proses transportnya energi juga terkuantisasi • Paket energi besarnya berbanding dengan frekuensi

Apa Yang Salah dengan M.Klasik ? III. Gagal menjelaskan Spektrum Atom • Sejak abad 1 telah diamati, bila gas diberi nyala akan diamati beragam warna • Segera dikenali dengan prisma, spektrumnya bukan kontinu • Beberapa unsur ditemukan dengan mengenali spektrumnya

Spektrum Atom H • 1885 Balmer menemukan ada hubungan matematik antar garis di spektrum H:  = b{n2/(n2-22)} • Balmer memprediksi ada deret lain, dengan mengganti 2 dengan 1, 3, 4

Spektrum Atom H • Ternyata memang diamati daerah lain • Total ada daerah: • Lyman(uv)

• Balmer (tampak) • Ritz (IR) • Brackett (IR)

Mekanika Klasik Gagal • Menurut Klasik, energi kontinum, sehingga spektrum garis dengan frekuensi tertentu tidak dapat dijelaskan

Penjelasan Kuantum (Bohr) • Energi elektron tertentu, tercermin dengan momentum sudut yang tertentu. • Didapat ungkapan: • En = -13.6/n2

Dasar – Dasar Teori Kuantum Radiasi cahaya memiliki sifat dualisme: 1. Berupa arus partikel / foton 2. Gerak gelombang

Sifat dualisme cahaya diterapkan oleh de Broglie (1923) terhadap elektron yang bergerak mengelilingi inti. Menurut teori relativitas Einstein, energi suatu partikel adalah

E = mc2 Sedangkan E = h , maka didapat:

c mc  hν  h λ 2

Sehingga untuk foton:

h h λ  mc p

c = kecepatan cahaya p = momentum

Demikian juga hal tersebut berlaku untuk elektron

h h λ  m p

 = kecepatan elektron

Hal ini menunjukkan sifat gelombang dari materi. Dengan adanya teori gelombang dari elektron, maka kedudukan elektron sekeliling inti tak tertentu. Prinsip ketidaktentuan Heisenberg : Nilai sepanjang pengamatan khas tak dapat ditentukan secara simultan dengan ketelitian tinggi. Contohnya: pasangan momentum dan kedudukan, pasangan energi dan waktu. Batas ketelitian pengukuran fisik dinyatakan oleh hubungan:

q . p  ћ/2 E . t  ћ/2

h  2

Hal ini tidak berarti untuk benda besar tetapi sangat berarti untuk elektron, atom dari molekul. Kedudukan dan momentum dari elektron memberikan informasi mengenai kebolehjadian menemukan elektron di sekeliling inti Persamaan Schrodinger = mekanika kuantum/mekanika gelombang yang menggambarkan prilaku elektron Persamaan Schrodinger: 1. Menggambarkan energi elektron 2. Kedudukan elektron digambarkan sebagai kebolehjadian Untuk elektron yang berbentuk dalam satu dimensi Persamaan gelombang:

d 2 4 2  2 2 dx 

…………………………………. (1)

 Sebagai f(x),  panjang gelombang

Untuk 3 dimensi persamaan menjadi:

d 2 d 2 d 2 4 2  2  2  2  0 2 dx dy dz 

…………………………………. (2)

=  (x,y,z) = koordinat Cartes Dapat juga dituliskan:

  2

4 2



2

 0

…………………………………. (3)

2 2 2 d  d  d   2    dx 2 dy 2 dz 2

 = del

…………………………………. (4)

Dengan persamaan



 p

dimana

h  dan p  m 2 Hubungan tersebut disubstitusikan ke persamaan (3) maka dihasilkan: 2 2 2 4  m 2   0 2 h

…………………………………. (5)

Persamaan gelombang ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat energi atom hidrogen dengan energi kinetik = ½ mv2 = E-V

  e2  V   4 r   Substitusi hubungan V 2  2 ( E  V ) ke dalam persamaan (5) memberikan: m

2 8  m 2  ( E  V )  0 2 h

…………………………………. (6)

Persamaan Schrodinger dapat diubah menjadi:

 h2  2   2   V  E  8 m 

…………………………………. (7)

OPERATOR CONCEPT IN

QUANTUM CHEMISTRY

An operator is a symbol for a certain mathematical procedure which transforms one function into another. For example, the operator of evaluating the derivative with respect to x is represented by the symbol d/dx. When this operator is applied to the function xn we obtain a new function as

d n ( x )  nx n1 dx A list of typical examples of different mathematical operations along with the results of the operations on the function, x3 is given in

Operator

Result of operation on x3

( )2

x6

Talking the square root



X3/2

Multiplication by a constant

k

Kx3

Differentiation with respect to x

d/dx

3x2

Integration with respect to x

( ) dx

X4/4 + c

Operation Talking the square

(Operator) . (function) = (Another function) Additional and Subtraction of Operators If A and B are two different operators, then new operators A + B and A – B can be defined as (A + B) = Â  + B  (A - B) = Â  - B  Where  is an operand it is also true that

A + B

=B + Â

A - B

= -B + Â

Multiplication of Operators

B1 = 1

Then 1 operated on by  to obtain the final function 11 as Â1 = 11 So that

 B = 11

   = Â2 

Linear Operator

Commutator

Vector Operator

Were i, j, k are unit vectors along the x, y and z axes. Operating on a scalar function , this operator generates a vector called the gradient of .

Laplacian

Eigenfunctions and Eigenvalues

 = Eigenfunction  = Eigenvalues

POSTULATE OF QUANTUM MECHANICS Postulat I • Setiap keadaan dari sistem dinamik H partikel digambarkan oleh fungsi  (q1,,q2,…q3n, t) • Besaran *    sebanyak dengan kebolehjadian menentukan q1 antara q1 +  q1 + q2 antara q2 + dq2,… Postulat II Untuk setiap sifat dari sistem yang teramati, ada operator Hermit. Operator Hermit didefinisikan dari hubungan: seluruh ruang *



αˆ j d = seluruh ruang i αˆ * *j d 

Postulat III Nilai yang dapat diukur dari besaran A diamati secara fisik adalah nilai eigen ai :

ˆ ψ aψ A i i i Aˆ = operator sesuai dengan yang diamati

χˆ  E n n

Substitusi persamaan (3,7) ke dalam persamaan (1.64), didapat: 2

h 2     v  E 2m atau

h2 2    ( E  V )  0 2m

Postulat IV Nilai rata-rata dari yang teramati yang berhubungan dengan A dinyatakan sebagai:

 a      * Aˆ dr  = fungsi gelombang ternormalisasi untuk suatu keadaan.

Postulat V Fungsi gelombang suatu sistem berubah dengan waktu menurut persamaan:

 (r , t ) ˆ (r , t )  ih t  = operator Hamilton untuk sistem

1. SYARAT – SYARAT FUNGSI GELOMBANG ψ 1. Mempunyai nilai tunggal 2. Tidak mempunyai nilai tak terhingga

3. Fungsi gelombang dan turunannya harus kontinu 4. Fungsi normal yaitu memenuhi syarat :

 | ψ | dτ  1 2

2. Pembentukan Operator • Berdasarkan sifat partikel dan gelombang • Fungsi gelombang bebas pada sumbu x ψ  A sin

Atau ψCe

2π



 2πi

A  tetapan

x

x



C  tetapan 2i

Turunan Pertama:

dψ 2i    Ce dx  2i  ψ



h  px

dψ 2i  px ψ dx h

h d pˆ x   2i dx

x

3. Persamaan Operator Momentum Linier

h d pˆ x   2i dx 4. Operator Energi Operator Energi Total Ĥ H

1 2 mv  V 2

(Hamiltonian)

H = energi total

m = massa partikel v = kecepatan V = energi potensial Ĥ = Operator Hamiltonian (Operator Energi)

p2 H V 2m

p = momentum linier

Operator energi (satu dimensi)

2 2 h d Hˆ   V 2 2 8m dx

Operator energi tiga dimensi 2 2 2 2   h d d d ˆ  2  2  2   V H  2  8m  dx dy dz 

Atau 2 h 2 Hˆ    V 2 8m

 2  Laplacian

5. Persamaan Operator Variabel

x Momentum linier

Energi Total (satu dimensi) Energi Total (tiga dimensi) Momentum Sudut

Energi Total (fungsi waktu)

Operator

Pers. Operator

Mekanika Kuantum

Mekanika Kuantum

xˆ

xˆ

pˆ x



h d 2i dx

pˆ y



h d 2i dy

pˆ z



h d 2i dz

Eˆ atau Ηˆ

h2 d 2  V 2 2 8m dx

Eˆ atau Ηˆ

h2  2  V 2 8m

Lˆ x Lˆ

h  d d   y  z 2i  dz dy 

y

h  d d  x z  2i  dx dz 

Lˆ z

h  d d   x  y 2i  dy dx 

Hˆ

ih  2 

6. Sistem Kuantum Sederhana I.

Sistem Energi Potensial Tetap - Kotak satu dimensi - Kotak tiga dimensi - Partikel dalam lingkaran - Bidang perintang potensial - Rotator kaku

II. Sistem Energi Potensial Berubah

- Osilator Harmonik - Atom hidrogen dan atom-atom yang menyerupainya

7. Kotak Satu Dimensi Sebuah elektron bermassa m bergerak dalam arah sumbu x dari x=0 sampai x=a V

I & III = energi potensial tak terhingga V = ~

II I

e

III



II

= energi potensial nol V=0

x=0

x=a

Permasalahan 1. Fungsi gelombang 2. Energi elektron

8. Solusi Sumbu x satu dimensi Persamaan gelombang Ĥ = Operator Hamiltonian

Hˆ ψ  Eψ

E = Energi

ψ = Fungsi gelombang h2  2ψ   Vψ  Eψ 2 2 8m x  2 ψ 8m 2  ( E  V )ψ  0 2 2 x h

Daerah I & III  2 ψ 8m 2  2 ( E  ) ψ  0 2 x h

 2ψ 0ψ0 2 x

Daerah II  2 ψ 8m 2  Eψ  0 2 2 x h 8m 2 2 E  k h2

 2ψ 2  k ψ0 2 x

Y = C cos kx + D sin kx

9. Pada x = 0

ψ I = ψ II

0 = C cos 0 + D sin 0 jadi C=0 Pada x = a ψ II = ψ III C cos k a + D sin k a = 0 C=0

Jadi fungsi gelombang n ψ n  D sin x a D  tetapan n  1,2,3.... (bilangan kuantum utama)

} D sin k a = 0 Sin k a = 0

n k = a

10. Normalisasi Fungsi Gelombang n ψ n  D sin x a

batas x  0 sampai x  a

a

 | ψn | dx  1 2

0 a

2 2  D sin 0

n dx  1 a

1 sin θ  (1  cos 2θ) 2 2

Maka:

a 1 a  1 2n D   dx   cos xdx  1 20 a 2 0  2

a  D 2   0  1 2  D

2 a

Jadi fungsi gelombang normal untuk elektron dalam kotak satu dimensi 2 n ψn 

a

sin

a

x

11. Fungsi gelombang normal pada bilangan kuantum yang berbeda (nnl) a

ψ ψ n

n'

dx  0

0

Fungsi gelombang pada n dan nl bersifat ortogonal Transisi elektron

ψ nI

ψn

( n' ) 2  n 2 2 E  h 2 8ma

Frekuensi transisi diperoleh melalui hubungan E  h ( n' ) 2  n 2  h 2 8ma

Panjang gelombang 8ma 2C  {( n' ) 2  n 2 }.h

12. Tingkat-tingkat Energi Elektron 8m 2 2 E  k h2

n k a

Jadi

h2 untuk n  1  E  8ma 2 4h 2 n2  E 8ma 2 9h 2 n 3  E 8ma 2 16h 2 n4  E 8ma 2

dst

En ~ n2

n2h2 E 8ma 2

n=4

E4

n=3

E3

n=2

E2

n=1

E1

E0

Jarak antara tingkat energi, semakin besar • Energi terkecil dari elektron adalah

h2 El  8ma 2

h2 • Karena energi potensial = 0 El  8ma 2

merupakan energi

kinetik • Elektron selalu bergerak

13. Karakteristik Fungsi Gelombang ψ4 ψ3 ψ2 ψ1

Fungsi gelombang ψ bergantian simetrik dan antisimetrik

ψ1

: Simetrik

ψ2

: Antisimetrik

ψ3

: Simetrik

ψ4

: Antisimetrik dst

|ψ|2

= ψ*ψ adalah kebolehjadian |Peluang| mendapatkan elektron

KOTAK TIGA DIMENSI Elektron dalam kubus sisi kubus a, energi potensial V dalam kubus = 0 dan energi potensial V luar kubus =  Kedudukan Elektron :

(x,y,z) = f(x) f(y) f(z)

n yπ 8 nxπ nzπ ψ(x, y, z)  sin x sin y sin z 3 a a a a

(nx  n y  nz )h 2

E  Ex  E y  Ez 

2

8ma 2

2

2

h2   2 2 2   2  2  2   V Operator energi Ĥ =  2  8m  x y z  nx = 1,2,3,… ny = 1,2,3,… nz = 1,2,3,…

}

Bilangan kuantum utama arah x,y dan z

Ada tiga keadaaan elektron dengan energi yang sama yaitu pada: nx, ny, nz (2, 1, 1) (1, 2, 1) (1, 1, 2)

}

6h 2 E 8ma 2

Jika dimensi kotak tidak sama (a, b dan c) Fungsi Gelombang

n yπ nx π 8 nzπ ψ(x, y, z)  sin x sin y sin z abc a b c Energi 2 2 2  n h  nx nz  y E  2  2 2 8m  a b c  2

Elektron dalam Lingkaran (x=0) e-

• Gerakan elektron dibatasi sepanjang bidang yang berbentuk lingkaran • x adalah titik yang berubah-ubah pada lingkaran (x=0 samapai x=c, dimana c adalah panjang dari lingkaran • Fungsi gelombang harus mempunyai nilai tunggal, sehingga

(x) = (x+c)

Persamaan Gelombang

 2 ψ 8π 2 m  2 (E  V) ψ  0 2 x h 2 8  m 2 Karena V=0 dan E  k h2

Maka

ψ  A sin kx  B cos kx

Pada x=0

(0)

=

(c)

A sin k.o + B cos k.o = A sin k.c + B cos k.c B = A sin k.c + B cos k.c

ψ  Ak cos k x - B k sin k x x  ψ   ψ        x  x 0  x  x c Ak = Ak Cos k c – B k sin k c B = A sin k c + B cos k c

8π 2 m 2 dari E  k h2

}

2nπ k c 2

2

n h E 2 2mc C = panjang lingkaran

Jadi fungsi gelombang

2nπ 2nπ ψ  A sin x  B cos x C C Normalisasi 

2n 2n  2  o  A sin c x  B cos c x  dx  1 c

2n 2n 2 2 2n 2 2 2n A  sin xdx  B  cos xdx  2 AB sin x cos xdx  1 c c c c 0 0 0 c

c

c

C (A  B ) 1 2 2

2

2 A Cos C

2 A B  C 2

2

2 A Sin  C

Fungsi Gelombang

ψ

2 2nπ 2 2nπ cosα sin x sinα cos x c c c c

2  2nπ  ψ sin x  α c  c 

SISTEM DENGAN BIDANG POTENSIAL BERUBAH V=VO

I V=0

E

Elektron (masa =m) bergerak II dalam arah sumbu x positif dalam suatu bidang potensial V=0

untuk x<0

X=0 X

V=Vo untuk x>0

Persamaan Schrodinger

 2ψ I 8π 2 m I.  2 Eψ I  0 2 x h  2ψ II 8π 2 m II.  2 (E - V0 )ψ II  0 2 x h

Jika 0<E
ψ I  A ik1x  B ik1x A, B  konstanta

 2ψ II 8π 2 m II.  2 (E - V0 )ψ II  0 2 x h

 2ψ II 8π 2 m  2 (V0 - E)ψ II  0 2 x h

ψ II  C

 k2 x

 D

 k2 x

ψ Syarat: ψ dan kontinu, berarti: x ψ I ψ II ψ I  ψ II dan  , pada x  0 x x

A ik1x  B  ik 1x  C  k 2 x 1. x0

2.

}

A + B =C

ik, A ik1x  ik , B  ik1x  k 2C  k2 x x0

}

ik,A - ik,B = -k2C Ck 2 A-B = ik1

c(1  k 2 / ikl ) A 2 c(1  k 2 / ikl ) B 2

}

1  k 2 / ikl B  A 1  k 2 / ikl

ikl  k 2  ikl  k 2 k 2  ikl   (k 2  ikl )

k 2  ikl  k 2  ikl | B |2 (k 2  ik l )  2 2 2 | A| k2  k1

Intensitas elektron yang dipantulkan

Kemungkinan adanya partikel-partikel elektron yang ditransmisikan dalam daerah II dinyatakan dengan koefisien transmisi

C A

2

dalam

mekanika klasik koefisien transmisi ini tidak dapat diramalkan

dianggap =0 C A

2

2ik l 2ik l 4k   2 l ikl  k 2 ikl  k 2 k 2  kl

2 2 8π m 8π m 2 2 k l  2 E dan k 2  2 (Vo - E) h h

Substitusi:

Maka:

2

C A

2

4E    0 , Koef. transmisi Vo

Tidak nol kecuali energi potensial dari rintangan tidak terbatas. Besarnya koef. transmisi tergantung pada energi potensial dari rintangan dan masa partikel jadi elektron/partikel jika dalam gerakannya dihalangi suatu perintang yang mempunyai energi potensial tertentu ia dapat meneruskan gerakannya. Hal ini ditemukan dalam desintegrasi radioaktif dari inti atom oleh partikel alfa.

ROTATOR KAKU Misal rotasi molekul diatonik dalam ruang dimana panjang rantai tidak berubah selama perputaran. Molekul diatonik dengan masa masing-masing m1 dan m2 dan jaraknya R. Jika

O: pusat gaya berat dan O- m1 = r1 O- m2 = r2

}

m2 R r1  m1  m2

m1r1

= m2r2

r1 + r2 = R

&

m1 R r2  m1  m2

Energi kinetik perputaran atom:

1 1 2 2 Ek  m1v1  m2v2 2 2 Dimana V1= kecepatan linear m1 V2= kecepatan linear m2 Jika w = kecepatan sudut maka:

1 1 2 2 2 Ek  m1ω r1  m2ω2 r2 2 2 I adalah kelembaman I momen inersial momen sudut total dari rotasi , maka energi kimia dapat ditulis:

1 2 L2 Ek  ω I  2 2I

m1m 2 I (r1  r2 ) 2 dan L  ωI m1  m 2 Jika energi potensial rotator V=0 dan perator Hamiltonian 2 L adalah: Hˆ  2I

L2 dinyatakan dalam koordinat bola dimana:

L = iLx + jLy +kLz

& L = L.L = Lx2 + Ly2 + Lz2 Operator momentum sudut ditransformasikan ke koordinat bola sbb:

z

x = r sin  cos  y = r sin  sin 

r z



x



z = r cos 

y y

z2 + y2 + x2

= r2 cos2  + r2 sin2  sin2  + r2 sin2  cos2  = r2 (cos2  + sin2  sin2  + sin2  cos2 )

= r2 (cos2  + sin2  (sin2  cos2 )) = r2 (cos2  + sin2 ) z2 + y2 + z 2 = r 2

Fungsi gelombang dalam koordinat bola

 = f ( r, ,  )

     dr  d  d r  

  r        x r x  x  x   r        y r y  y  y r2 = x2 + y2 + z2

r = ( x2 + y2 + z2 )1/2 r 1 2  ( x  y 2  z 2 ) 1/ 2 .2 x x 2 x x  2   sin  cos  2 2 1/2 (x  y  z ) r

r y   sin  sin  y r r z   cos z r

h    ˆ  y  z  Lx  2i  z y  h    ˆ Ly  z  x  2i  x z 

h    ˆ  x  y  Lz  2i  y x  Momentum-momentum sudut dinyatakan dalam koordinator bola

h     ˆ Lx   sin   cotgcos  2i     h     ˆ Ly  cos  cotgsin  2i     h  Lˆ z  2i  2 h Lˆ   4 2 2

 1     1 2   sin    2 2  sin      sin      

Persamaan Schrodinger untuk rotator kaku: Ĥ=E dimana 2 L Hˆ  2I

maka :

h2  8 2 I

 1     1  2   E  sin   2  2   sin     sin   

1     1  2 8 2 I  2 E  0  sin   2 2 sin      sin   h

Persamaan ini terdiri dari 2 variable sudut  dan . Hal ini dapat diselesaikan dengan metoda pemisahan variable  = ()()

Metoda ini menghasilkan suatu bentuk fungsi gelombang total dari rotator kaku, dinyatakan oleh:

ψ (θ, )  θ ,  m(θ )  m( )  r ,  m(θ , )

dimana:

1 im   m( )   (m  0,1,2,3, ,...) 2 2  1( | m |)!  ( )  ,m( )  P | m | (cos ) 2( | m |)! Sehingga fungsi gelombang rotator kaku dapat dinyatakan dengan: 1  ,m ( ,  )  2

2  1( | m |)! |m| P (cos ) im 2( | m |)!

Polinom Legendre

dimana:





 1 d 2 P ( x)   x 1  2 ! dx

P ( x )  (1  x 2 ) m



|m| 2

1 |m| P ( x)   1  x 2 2 !

dm P ( x ) m dx



|m| 2

d  |m| 2 x 1   |m| dx





 dan m = bilangan kuantum rotasi   1,   = 0,1,2,… dan m = - ,   1, …0, … |m|

Beberapa fungsi polimer Legendre p ( x) untuk beberapa nilai  dan m P00 ( x)  P0 ( x)  1 1 0 P1 ( x)  P1 ( x)  (2 x)   x 2

P11 ( x)  (1  x 2 )1/ 2

1 P20 ( x)  (3x 2  1) 2 1 P2 ( x)  (1  x 2 )1/ 2 3x

P22 ( x)  3(1  x) 2

P32 ( x)  15 x(1  x 2 )

Contoh: Fungsi gelombang   , m untuk  =1 dan m= ± 1

1  1,1( ,  )  2

1  i 2 1  2 2  (1  cos  )  2.2  

3  sin   i  2 2 3  sin  i 2 2 Besarnya energi kinetik rotasi:

(  1)h 2 E 8 2 I

Dimana I=momen kelembaman/mersia. Energi suatu rotator kaku tidak tergantung pada bilangan kuantum m dan keadaan paling dasar berlaku pada  =0 dan m=0