3ra Unidad Ecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

Trabajo: Crecimiento Poblacional

Catedrático: Lic. Maynor Baide

Estudiante: Astrid Larissa Paz

# De Cuenta: 20152001251

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

Fecha de Entrega: 9 de octubre del 2017

San Pedro Sula, Cortés

Introducción En el presente informe definiremos el crecimiento y el decaimiento y como poder calcularlos. Mencionaremos algunos aspectos sobre las aplicaciones diferenciales de primer orden, también veremos lo que es la deducción del modelo matemático y aprenderemos su resolución. Aprenderemos a resolver ejercicios usando lo aprendido sobre el tema y terminaremos dando nuestras conclusiones.

Aspecto histórico Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo la inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de EE.UU. desde 1790 hasta 1860. La E.D aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante ciertos intervalos.

El problema del valor inicial

Donde k es constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde interviene crecimiento o decrecimiento.

Definición y Terminología En esta parte de la matemática estudiamos ecuaciones diferenciales de primer orden que rigen el crecimiento de varias especies. A primera vista parece imposible describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial con respecto al tiempo. Sin embargo si el tamaño de una población es grande y se incrementa en uno entonces el cambio es muy pequeño comparado con el tamaño de la población. Así, pues se toma la aproximación de que poblaciones grandes cambian continuamente e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo.

Deducción Del Modelo Matemático Modelos de crecimiento y decrecimiento En muchas aplicaciones, el ritmo o velocidad de cambio de una variable y es proporcional al valor de y. Si y es una función del tiempo t, la proporción se puede escribir como se muestra.

La solución general de esta ecuación diferencial se proporciona en el siguiente teorema:

Modelo de Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

Si y es una función derivable de t tal que y > 0 y y’ = ky, para alguna constante k, entonces: y = Cekt

C es el valor inicial de y, y k es la constante de proporcionalidad. El crecimiento exponencial se produce cuando k > 0, y el decrecimiento cuando k < 0. Demostración:

Así, todas las soluciones de y’= ky son de la forma y = Cekt.

Ejercicios 1. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 g del material y después de dos años se observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado, hallar:

a) Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t. b) El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento. Datos M (0)= 300 g M (2)= 258 g

𝑑𝑀 𝑑𝑀 𝑑𝑀 =𝐾∙𝑀 → = 𝐾 ∙ 𝑑𝑡 → ∫ = 𝐾 ∫ 𝑑𝑡 → ln|𝑀| = 𝐾 ∙ 𝑡 + 𝐶 → 𝑑𝑡 𝑀 𝑀

𝑀 = 𝑒 𝐾∙𝑡 +𝐶 → 𝑀 = 𝑒 𝐾∙𝑡 ∙ 𝑒 𝐶 → 𝑀(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒 𝐾∙𝑡

Además sabemos que cuando t = 0 tenemos M (0)= 300: 300 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝐾∙0 → 300 = 𝐶 ∙ 𝑒 0 → 300 = 𝐶 ∙ 1 → 𝐶 = 300

Además sabemos que cuando t = 2 (Dos años) tenemos M (2)= 258: 258 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝐾∙𝑡 → 258 = 300 ∙ 𝑒 𝐾∙2 → 𝑙𝑛 (

258 43 = 𝑒 2𝐾 → = 𝑒 2𝐾 → 300 50

43 43 43 43 ) = ln 𝑒 2𝐾 → 𝑙𝑛 ( ) = 2K ∙ ln 𝑒 → 𝑙𝑛 ( ) = 2K ∙ 1 → 𝑙𝑛 ( ) = 2𝐾 → 50 50 50 50

43 𝑙𝑛 ( ) 50 ) 𝐾=( 2 a) Ecuación:

[

𝑀 = 300 ∙ 𝑒

43 𝑙𝑛( ) 50 ] ∙ 𝑡 2

b) Tiempo de desintegración

M (t)=210

[

𝑀 = 300 ∙ 𝑒

43 𝑙𝑛( ) 50 ] ∙ 𝑡 2

1

1 43 𝑀 𝑀 43 2 ∙ 𝑡 [𝑙𝑛( )] ∙ 𝑡 2 50 → = 𝑒 → = ( ) → 300 300 50

1

𝑀 43 2 ∙𝑡 𝑀 1 43 𝐿𝑜𝑔 ( ) = 𝐿𝑜𝑔 ( ) → 𝐿𝑜𝑔 ( ) = ∙ 𝑡 ∙ 𝐿𝑜𝑔 ( ) → 300 50 300 2 50

2

𝑀 𝐿𝑜𝑔 (300) 𝐿𝑜𝑔 (

43 ) 50

=𝑡

Sabemos que M (t) = 210 entonces:

2

210 𝐿𝑜𝑔 (300) 𝐿𝑜𝑔 (

43 ) 50

=𝑡

4.729 años = t

2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años, la población se ha triplicado después de 8 años es de 45000 habitantes, hallar el número de ciudadanos que habían inicialmente.

Datos Dice que en 5 años se ha triplicado entonces tenemos que H (5)=ℎ1 𝑒 (𝑘5) = 3 luego aplicamos función de logaritmo ambos lados 𝑘5 = ln 3 𝑘=

ln 3 5

= 0.22

Luego notemos que H (8)=ℎ1 = ℎ1 𝑒 (𝑘8) = 45000 luego sustituyendo el valor de (k) obtenido tenemos que H (8)=ℎ1 𝑒 (0.22∗8) = 45000 𝑙𝑛𝑒 (1.76) = 𝑙𝑛

45000 ℎ1

𝑙𝑛𝑒 (1.76) = ln 45000 − 𝑙𝑛ℎ1 1.76 = 𝑙𝑛45000 − 𝑙𝑛ℎ1 1.76 = 10.71 − 𝑙𝑛ℎ1 𝑙𝑛ℎ1 = −1.76 + 10.71 𝑙𝑛ℎ1 = 8.9566 ℎ1 = 7760.21

3. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10g y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa original, hallar: a)

La ecuación que represente la cantidad restante en cualquier tiempo.

b)

La cantidad de uranio después de 5 horas.

Variables: y= Masa total.

a)

t= Tiempo.

Variación con respecto al tiempo:

𝑑𝑦 = −ky 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −𝑘 𝑑𝑡 𝑦 ∫

𝑑𝑦 = ∫ −𝑘 𝑑𝑡 𝑦

ln 𝑦 = −𝑘𝑡 + 𝑐 ln 𝑦 − ln 𝑐 = −𝑘𝑡 ln

𝑦 = −𝑘𝑡 𝑐 𝑦

𝑒 𝑙𝑛 𝑐 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑦 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑐 Despejamos para ‘’y’’ 𝑦 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∙ 𝑐 Cuando t (0)=10 𝑦 = 𝑒 −𝑘(0) ∙ 𝑐 10 = 𝑐 Sustituimos c=10 en la ecuación: 𝑦 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∙ 𝑐 𝑦 = 10 𝑒 −𝑘𝑡 Cuando t (2)= 9.5

k=Constante proporcional.

9.5 = 𝑒 −𝑘2 10 𝑙𝑛

9.5 = 𝑒 −𝑘2 10

9.5 ln 10 2

= −𝑘

−0.026 = −𝑘 Sustituimos k en la ecuación 𝑦 = 10𝑒 −0.026∙𝑡 𝑦 = 10𝑒 −0.026∙𝑡 b) Datos: 𝑘 = −0.026 𝑡 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.

Sustituimos t en la ecuación resultante en el inciso anterior para poder encontrar ‘’y’’ . 𝑦 = 10𝑒 −0.026∙𝑡 𝑦 = 10𝑒 −0.026(5) 𝑦 = 8.781 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠.

Conclusiones 1. El modelo matemático de Crecimiento Poblacional, no nos datos exactos ya que esto puede sufrir cambios de crecimiento o decrecimiento de un cierto tiempo a otro. 2. El crecimiento es el aumento de la cantidad y el decaimiento es la pérdida progresiva de cualidades a un hecho. La tasa de decaimiento es un indicador de velocidad con que se reduce su número.

3. Algo tan simple como una ecuación separable se vuelve la base para todo tipo de problemas, como saber el crecimiento de una población o saber en cuanto tiempo se desintegrara un material radioactivo.