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Tema 22

Educación Secundaria MATEMÁTICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN

1. Introducción 1.1. Localización 1.2. Objetivos y contenidos 1.3. Indicaciones 2. La función logaritmo 2.1. Definición de la función logaritmo 2.2. Continuidad y derivabilidad de la función logaritmo 2.3. Propiedades algebraicas elementales de la operación logaritmo 2.4. Estudio y representación gráfica de la función logaritmo 2.5. Desarrollo de Taylor de la función logaritmo 2.6. El número e 2.7. Logaritmos de base real positiva a 3. La función exponencial 3.1. Definición de la función exponencial 3.2. Continuidad y derivabilidad de la función exponencial 3.3. Propiedades algebraicas elementales de la operación exponencial 3.4. Estudio y representación gráfica de la función exponencial 3.5. Desarrollo de Taylor de la función exponencial 3.6. El número e es irracional 3.7. La función exponencial con base real “a” 4. Aplicaciones de las funciones logarítmica y exponencial 4.1. Aplicaciones científicas y matemáticas 4.2. Aplicaciones a la economía y ciencias sociales Bibliografía Esquema-resumen. Cuestiones ©MELC S.A.

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INTRODUCCIÓN 1.1.

Localización

Este tema pertenece al bloque de análisis matemático del temario que comprende los temas del 21 al 33. Dentro del bloque está situado en la parte dedicada a la definición y construcción de funciones reales de variable real que abarca los temas 21, 22, 23 y 24. Desde el punto de vista de un programa realista no es muy sensato dedicar tanto espacio a la introducción de las funciones y tan poco a temas tan fundamentales como la derivación o la integración. Además dada la posición de estos temas del programa al inicio de la parte de análisis matemático no podríamos hacer uso de las herramientas básicas que se introducen en temas posteriores. De esta forma, para plantear el tema dándole algo más de posibilidades es necesario omitir su posición estricta en el programa y considerarlo como un tema de aplicación de un programa en que habiéndose visto los temas abstractos sobre derivación e integración, y habiéndose introducido de forma elemental las funciones elementales, quisiéramos ahora definir de forma rigurosa algunas de las funciones más importantes. 1.2.

Objetivos y contenidos

Los objetivos globales del tema son: • • •

Utilizar la teoría abstracta del análisis matemático para definir de forma rigurosa las funciones logaritmo y exponencial. Analizar sus propiedades. Señalar algunas de sus aplicaciones más relevantes.

El tema comienza con una definición de la función logaritmo a través de la integral de la función 1/x sobre un intervalo con extremo variable. Mediante las propiedades elementales de la operación de integración determinamos el dominio de existencia del logaritmo y caracterizamos su valor a través del área bajo la gráfica de 1/x. A continuación, y empleando el teorema fundamental del cálculo integral, determinamos la función derivada del logaritmo. En este momento disponemos ya de toda la información esencial que necesitamos para estudiar la función mediante las técnicas del cálculo diferencial. De esta forma caracterizamos completamente el comportamiento local y global de la función logaritmo. Tras el estudio del comportamiento del logaritmo como función nos ocupamos de sus propiedades algebraicas. De nuevo vemos como el conocimiento de su derivada y de algunas propiedades del análisis diferencial nos permite deducir las importantes identidades que verifica esta función. Para finalizar este estudio definimos el número e, proporcionamos el desarrollo de Taylor de log(1+x) e introducimos los logaritmos con base general. En una exposición del tema es conveniente indicar en este punto las ventajas que posee la opción que hemos elegido para desarrollar el tema. Podemos decir rápidamente que demuestra 2 www.magister.es

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de forma palpable la utilidad práctica de los resultados abstractos del análisis matemático y que sirve de ilustración para ellos. Antes de estudiar esta sección conviene repasar la teoría de los temas de análisis indicados anteriormente. La sección tercera se ocupa de la función exponencial ex. A partir de la propiedad de biyectividad de la función logaritmo definimos la exponencial como la correspondiente función inversa. Utilizando el teorema de derivabilidad de funciones inversas y a partir de la derivada del logaritmo calculamos la función derivada de la exponencial. De forma similar a la sección anterior procedemos a caracterizar el comportamiento de la función, así como a caracterizar sus principales propiedades algebraicas. También incluimos el importante desarrollo de Taylor de la función exponencial así como la definición de las funciones exponenciales con base general. La sección cuarta está dedicada a la aplicaciones de las funciones logaritmo y exponencial. Es por supuesto inútil pretender hacer una enumeración completa de las aplicaciones de funciones tan importantes, así que hemos elegido algunas ilustraciones de los problemas en que aparecen. 1.3.

Indicaciones para una prueba escrita u oral

La estructura global del tema es en resumen la siguiente: • • •

Análisis de la función logaritmo. Análisis de la función exponencial. Descripción de algunas aplicaciones.

No hacemos ninguna demostración extensa, aunque se incluyen bastantes demostraciones cortas de las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial. Los requisitos para abordar el estudio del tema son fundamentalmente los temas de análisis del temario entre el tema 26 y el tema 30. Para una exposición de dos horas de duración podría seguirse la siguiente estrategia: 1. Situar el tema dentro del temario e indicar sus relaciones con otros temas y sus objetivos globales. 2. Definir la función logaritmo, determinar su derivada y caracterizar su gráfica. 3. Demostrar las propiedades algebraicas del logaritmo y su comportamiento en x = 0 y x→ ∞. Introducir el número e. Proporcionar el desarrollo de Taylor de log(1+x) y definir los logaritmos de base general.

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4. Introducir la función exponencial como función inversa del logaritmo. Calcular su derivada y estudiar su gráfica siguiendo el mismo esquema que el usado con el logaritmo. 5. Desarrollar las aplicaciones indicadas en la sección 4. Para la realización de una prueba escrita podrá elaborarse un esquema similar al anterior. Sin embargo dado que en general no ser posible desarrollar los contenidos con igual amplitud son aconsejables las siguientes modificaciones: •

Escribir el título del tema destacado del resto al comienzo de la primera hoja del ejercicio.

•

Dividir el ejercicio en secciones en una forma similar a la que empleamos en el texto.

•

A continuación del título comenzar con la sección de introducción. En esa sección comenzar describiendo con brevedad la situación del tema dentro del temario.

•

Dejar un espacio libre a continuación para completar la introducción al final del resto del ejercicio. En ese espacio comentaremos finalmente, también con brevedad, los contenidos que incluimos del tema.

•

Desarrollar el tema diferenciando claramente definiciones, listas de propiedades, teoremas y comentarios generales.

•

Si no se recuerda con exactitud una demostración (que se considere importante para el desarrollo del tema) deberían incluirse algunos comentarios sobre el enunciado, y uno o dos ejemplos ilustrativos.

•

Como norma general podría ser útil a la hora de realizar el examen escrito empezar cada sección en una nueva hoja. De esta forma si hemos eliminado partes del desarrollo del tema será posible, si disponemos de tiempo, completar algunos aspectos antes de entregar el ejercicio.

•

Otro aspecto muy importante en el ejercicio escrito es la presentación. Sería recomendable numerar los gráficos y las tablas que se realicen (para poder referirnos a ellos en el texto) y situarlos siempre al mismo lado de la hoja. Dentro de las posibilidades de cada cual, sería también recomendable cuidar la escritura (letra clara, líneas de escritura más o menos paralelas, . . . ,etc.)

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2.

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LA FUNCIÓN LOGARITMO

2.1.

Definición de la función logaritmo.

Dada la función f: ♣ – {0} ÷ ♣, dada por la expresión algebraica f(t) = 1/ t definimos la función logaritmo como

∫

log( x ) =

1

x

1 dt t

Figura 1: Representación gráfica de la función f(x) = 1/x. Observaciones 1. La función está bien definida ya que la función f(x) = 1/x es continua en R+ y por tanto la integral determinada está unívocamente determinada a partir de cada valor x de dicho intervalo: •

•

Si x > 0, la función 1 / t es continua en el intervalo comprendido entre 1 y x. Como consecuencia será integrable, lo cual garantiza la existencia y unicidad de la imagen log(x). Para x < 0 la función 1/ t tiene una singularidad en el intervalo [x,1] dada por t = 0 que la hace no integrable. Así, la definición anterior no puede extenderse a valores x < 0.

2. Se tiene que log(1) = 0 ya que

∫

log( 1 ) =

1

1

1 dt = 0 t

3. Si 1 < x entonces, la integrabilidad de f(t) = 1 / t nos lleva a que:

log( x ) =

∫

1

5

x

1 dt > 0 t

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4. Si 0 < x < 1 entonces, la integrabilidad de f(t) = 1 / t nos lleva a que:

log( x ) =

∫

x

1

1 1 1 dt = − ∫ dt < 0 x t t

5. Geométricamente, log(x) representa el área bajo la gráfica de 1/t (figura 1) en el intervalo entre 1 y x si x > 1. Para x < 1 el valor log(x) es menos el área de tal gráfica en el intervalo [x,1]. 2.2.

Continuidad y derivabilidad de la función logaritmo.

El siguiente resultado es uno de los más sobresalientes para el comportamiento de la función log(x) y se deriva directamente, mediante su definición, del teorema del cálculo integral. Proposición: Log(x) es una función continua, derivable y C∞. Demostración. El teorema fundamental del cálculo integral dice: Dada una función f: [a,b] ÷ ♣, acotada e integrable en el compacto [a,b], y sea

F ( x) = ∫ f (t )dt ∀x ∈ (a, b] y x

a

F (a) = 0

Se verifica que F(x) es continua en [a,b] y si f es continua en algún x0 5 [a,b] entonces F es derivable en x = x0 y F´(x0) = f(x0). Aplicando dicho teorema a la función F(x) = log(x) con f(t) = 1/ t en cualquier intervalo positivo [a, b], tendremos que log(x) es continua para todo x positivo y es derivable en él. Por tanto, es continua y derivable en todo su dominio. Por último, al ser

[log(x)]´= 1 x

y ser 1/x una función C∞ en (0, + ∞), tendremos que log(x) es C∞. 2.3.

Propiedades algebraicas elementales de la operación logaritmo.

Proposición: Para cualesquiera x, y 5 (0,+ ∞), se verifican las siguientes igualdades: 1. log(x·y)=log(x) + log(y).

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Demostración. Fijado y 5 (0,+ ∞) y derivando sobre x tendremos que:

∂ [log( x ⋅ y)] = y = 1 = ∂ [log( x)] ∂x x ⋅ y x ∂x Como log(x·y) y log(x) poseen la misma derivada en (0,+ ∞), sólo diferirán en una constante, luego: log(xy) = log(x) + c Para calcular dicha constante, tomamos x = 1 en esta igualdad: log(1·y) = log(y) = log(1) + c = c ÷ log((y) = c Por lo que obtenemos que log(x·y) = log(x) + log(y) 2. log(1/x) = – log x. Demostración. Puesto que log(1) = 0, y supuesto conocido el resultado anterior, entonces, sea x 5 (0,+ ∞). Tendremos que:

 1 1 1 0 = log(1) = log x ⋅  = log( x) + log  ⇔ log  = − log( x)  x  x  x 3. log(x/y) = log x – log y. Demostración. Supuesto conocidos los dos resultados anteriores, entonces, sean x, y 5 (0, + ∞). Tendremos que:

 x  1 1 log  = log x ⋅  = log( x) + log  = log( x) − log( y )  y  y  y 4. log xⁿ = n·log x, ∀n 5 ♣. Demostración. Lo probamos para n natural, entero, racional y por último irracional. •

Si n 5 N, probamos por inducción el resultado: o Si n = 1, entonces log(x1) = log(x) cosa evidente. o Si n = 2, entonces log(x2) = log(x·x) = log(x) + log(x) = 2·log(x)

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o Suponemos cierto para n = k y probamos n = k + 1. Operando resulta que: log xk+1 = log(xk·x)=log(xk) + log(x) = k·log(x) + log(x) = (k+1)·log(x) Por tanto, se cumple para todo natural n 5 N, log(xn) = n·log(x). •

Si n 5 Z–, entonces – n 5 N y así

( )

( )

 1  log x n = log −n  = log(1) − log x −n = 0 − (−n) ⋅ log( x) = n ⋅ log( x) x  •

Si n=(p/q) 5 Q, con p, q 5 Z entonces p = n·q 5 Z. En ese caso:

( )

( )

([ ] ) = q ⋅ log( x )

p ⋅ log( x) = log x p = log x n⋅q = log x n

q

n

y despejando obtenemos que

( )

p ⋅ log(x ) = n ⋅ log(x ) q

log x n = •

Si n 5 I, entonces tendremos que, dado n irracional, podemos determinar una sucesión de racionales {xk} ∠ Q tal que

lim xk = n

k →+∞

y como log(x) y xn con x fijo, son continuas (la continuidad de la segunda función viene determinada en el último punto), entonces

( )

( )

log x n = lim log x xk k →+∞

En ese caso, tendremos que:

( )

log x xk = xk ⋅ log( x ) ∀k ∈ N y tomando límites:

( )

( )

log x n = lim log x xk = lim xk ⋅ log(x ) = log( x) ⋅ lim xk = n ⋅ log( x) k →+∞

k →+∞

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k →+∞

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2.4.

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Estudio y representación gráfica de la función logaritmo.

Debido a la definición de log(x) como la integral de la función f(t) = 1 / t entre 1 y x, la función log(x) verifica las propiedades siguientes: 1. Dom (log(x)) = ♣+. Demostración. Por lo visto en las observaciones del punto anterior, f(t) = 1/ t presenta una singularidad en t = 0 por lo que sólo es integrable cuando tomamos x > 0. Por tanto, Dom(log(x)) = R+. 2. Log(x) es estrictamente creciente. Demostración. Nuevamente, por el teorema fundamental del cálculo integral, tendremos que para cualquier valor x0 > 0, la derivada de la función log(x) en ese valor será:

[log( x0 ) ]´ =

1 >0 x0

Al ser log(x) continua con derivada positiva para cualquier valor de dominio, se concluye que log(x) es estrictamente creciente. 3. Im (Log(x))= ♣. Demostración. Vemos que

lim log( x) = +∞

x→+∞

,

lim log( x) = −∞

x→0+

y como hemos probado antes que log(x) es una función estrictamente creciente, entonces Im(log(x)) = ♣.

a)

lim log( x) = +∞

x→+∞

Veamos que el límite cuando hacemos tender a x a + ∞ es superior a cualquier valor real positivo N que fijemos. Puesto que

( )

lim log 2 n = lim n log 2 = +∞

n→+∞

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n→+∞

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(observar que log 2 > 0) entonces sea un número real N > 0. Existirá un natural n0 5 N tal que Log(2n0) > N luego, ∀x > 2n0, como la función logaritmo es creciente, entonces log x > log2n0 > N En ese caso, al ser log(x), log2n0 y N funciones continuas (las dos últimas por ser constantes) tendremos que, dado el valor real N,

lim log( x) ≥ lim log 2 n0 ≥ lim N = N

x→+∞

x→+∞

x→+∞

Por tanto,

lim log( x) = +∞

x→+∞

b)

lim log( x) = −∞

x →0 +

Esto no es más que probar que log(x) tiene una asíntota vertical en x = 0. Haciendo el cambio de variable x = 1/y y teniendo en cuenta que log(x) es continua y derivable, tendremos:

( )

1 lim+ log( x) = lim log  = lim log y −1 = − lim log( y ) = −∞ y →+∞ y →+∞ x→0  y  y→+∞ Por tanto,

lim log( x) = −∞

x→0+

4. Log(x) es negativa para x < 1 y positiva para x > 1. Demostración. Teniendo en cuenta que log(x) es continua, estrictamente creciente, Im(log(x)) = ♣ y que log(1) = 0, se desprende inmediatamente dicho resultado. 5. Log(x) es una función convexa. Demostración. Teniendo en cuenta que log(x) es continua, derivable y que

[log( x)] ´= 1 x

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Para todo valor x de dominio, entonces tendremos que:

[log(x)] ´´= − 12 x

<0

Con lo que para todo valor de dominio, la segunda derivada es negativa de lo que se sigue que log(x) es convexa. En vista de las propiedades anteriores es claro que la gráfica de la función log x es de la forma indicada en la figura 2.

Figura 2: Representación gráfica de log(x) 2.5.

Desarrollo de Taylor de la función logaritmo.

La función log(x) no está definida en x = 0 y como consecuencia no puede ser desarrollada en serie de potencias de x. Sin embargo, si consideramos la función log(1 + x), ésta tiene como dominio de regularidad la región 1 + x > 0. Es decir, log(1 + x) es indefinidamente derivable en (-1,+ ∞), que contiene a x = 0. Además, n−1 ( − 1) ⋅ (n − 1) ! [log(1 + x)] = − , (1 + x )n n)

n ≥1

Demostración. Lo probamos por inducción:

•

n = 1, [log(1 + x)] ´=

1 (− 1) ⋅ (1 − 1) ! = (1 + x ) (1 + x)1 1−1

(− 1) ⋅ (2 − 1) ! 1 = • n = 2, [log(1 + x)] ´´= − 2 (1 + x) 2 (1 + x ) 2−1

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•

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Si para n = k es cierto entonces n = k + 1 es cierto:

[log(1 + x)]

k +1)

 (− 1)k −1 ⋅ (k − 1)!  (− 1)k −1 ⋅ (k − 1) !⋅(− 1) ⋅ (k ) (− 1)k ⋅ k !  = = =  k  (1 + x) k +1 (1 + x) k +1 (1 + x )   ´

Una vez probada la inducción, y sustituyendo la fórmula de recurrencia x = 0. n−1 ( − 1) ⋅ (n − 1) ! n−1 [log(1 + 0)] = = (− 1) ⋅ (n − 1) !, n (1 + 0) n)

n ≥1

Luego, desarrollando en x = 0, se obtiene que la serie de Taylor de log(1+x) en un entorno de x = 0, es: ∞ ∞ log n ) (0) ( (− 1) − 1) ⋅ (n − 1) ! n n ( x − 0) = f (0) + ∑ Tlog( x ) ( x) = ∑ ⋅x = 0+∑ n! n! n k =0 n=1 n =1 n−1

∞

n−1

⋅ xn

Vemos ahora donde converge dicha serie y para ello, calculamos su radio de convergencia:

1 an+1 (− 1) (n + 1) n = = = →1 n −1 r an n +1 (− 1) n n

Luego el radio de convergencia de la serie es r = 1 y por lo tanto la serie es convergente en (1,1). Analicemos qué sucede en los extremos. •

Para x = – 1 obtenemos la serie numérica ∞

Tlog( x ) (−1) = ∑ n =1

(− 1)n−1 ⋅ (− 1)n = n

∞

∑

(− 1)2 n−1 = − ∞ (− 1)2 n

n=1

∑

n

n=1

n

∞

1 n =1 n

= −∑

que, al ser la serie armónica, es divergente. •

Para x = 1 la serie numérica obtenida es ∞

Tlog( x ) (+1) = ∑ n =1

(− 1)n−1 ⋅ (+ 1)n = n

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∞

∑ n=1

(− 1)n−1 = − ∞ (− 1)n n

∑ n=1

n

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que es convergente ya que las series alternadas

∑ (− 1)

n

⋅ an son convergentes si su término

general |an| tiende a cero. Por tanto, la serie de Taylor determinada converge en el intervalo (– 1, 1]. De ese modo y utilizando otros puntos para el desarrollo de Taylor podemos ver que la convergencia es en (– 1, + ∞). Finalmente veamos que la serie encontrada converge precisamente a la función log(1+x). En ese caso, habremos probado que log(1 + x ) es analítica en (– 1, + ∞) y por tanto, log(x) es analítica en (0, + ∞). Lo probaremos utilizando el teorema del resto de Lagrange que dice: Teorema del resto de Lagrange: Si f admite las n + 1 primeras derivadas f´(x) , . . . , fn+1)(x), En algún entorno I alrededor de un valor x0, entonces para todo x 5 I existe un valor c intermedio entre x y x0 tal que n

f ( x) = ∑ m=0

f m ) ( x0 ) f n+1) (c) m (x − x0 )n+1 ⋅ ( x − x0 ) + m! (n + 1)!

En nuestro caso, puesto que la función f(x) = log(1+x) admite las n + 1 primeras derivadas en un entorno de x = 0, entonces existirá un valor x = c intermedio entre 0 y x tal que: n

log(1 + x) = ∑ m=1

(− 1)m−1 ⋅ x m + m

(− 1)n x n+1 n +1 (n + 1)(1 + c )

Veamos que, cuando n tiende a infinito, el segundo sumando tiende a cero con lo que habremos probado la convergencia del desarrollo de Taylor a la función. Lo probaremos para x 5 [0,1] y el otro caso es similar. Puesto que:

0≤

(− 1)m x n+1 n+1 (n + 1)(1 + c )

≤

1 n +1 (n + 1)(1 + c )

Con x 5 [0,1] y c intermedio entre 0 y x, entonces tanto (n+1) como (1+c)n+1 tenderán a infinito. En ese caso, dicho límite tenderá a cero y así f(x) coincide con su serie de Taylor para dichos valores. Por tanto f(x) es analítica en [0,1] y log(x) en [1, 2]. De modo similar se prueba para x 5 (– 1,0). 13

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Utilizando nuevamente desarrollos en serie de Taylor centrados en otros puntos se puede demostrar que log(1 + x) es analítica en (-1, + ∞) y por lo tanto log(x) es analítica en (0,+ ∞). 2.6.

El número e.

Como la función log(x) es monótona creciente en (0,+ ∞) con Im(log(x)) = ♣, entonces es biyectiva entre ♣+ y ♣ por lo que existirá un único valor e >0 con log(e) = 1. Más adelante, veremos que este valor, llamado base del logaritmo, es irracional. 2.7.

Logaritmos de base real positiva a.

Sea a > 0 y a ≠ 1. La función loga(x) se define como

log a ( x ) =

log( x ) log( a )

Al valor a > 0 lo llamaremos base del logaritmo. Obsérvese que loga(x) es una función proporcional a log(x), luego satisface las mismas propiedades que esta última con las modificaciones pertinentes. Por tanto, es continua, derivable, C∞, su dominio es ♣+, su recorrido ♣ y posee una asíntota vertical en x = 0. Además, tenemos que destacar que: 1. La función loga(x) es creciente si a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1. Demostración. La función loga (x) es continua y derivable al ser producto de una constante por una función continua y derivable (log(x)). Al mismo tiempo, su derivada será: ´

 log( x )  1 1   = ⋅ log( a ) x  log( a )  Por lo tanto: •

Si 0 < a < 1 entonces log(a) < 0. En ese caso la derivada en cualquier valor de dominio x es negativa y la función y, en conclusión, es decreciente.

•

Si 1 < a entonces log(a) > 0 y por lo tanto, la derivada en cualquier valor de dominio es positiva. La función será creciente.

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2. La función loga(x) es concava si 0 < a < 1 y convexa cuando 1 < a. Demostración. La función loga (x) es continua y C∞ al ser producto de una constante por una función continua y C∞ (log(x)). Al mismo tiempo, su segunda derivada será: ´´

 log( x )  1 1   = − ⋅ 2 log( a ) x  log( a )  Por lo tanto: • •

Si 0 < a < 1 entonces log(a) < 0. En ese caso la derivada segunda en cualquier valor de dominio x es positiva y la función y, en conclusión, es concava. Si 1 < a entonces log(a) > 0 y por lo tanto, la segunda derivada en cualquier valor de dominio es negativa. La función será convexa.

Representación gráfica de loga(x) Representación gráfica de loga(x) con 0 < a < 1 con 1 < a Es de advertir también que log(x) = loge(x). Una de las notaciones más comunes renombra al log(x) como ln(x) y lo denomina logaritmo neperiano (base e), considerando al logaritmo decimal (base 10) con la notación que en este tema se ha expuesto. 3. 3.1.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Definición de la función exponencial.

Dada la función logarítmica estudiada anteriormente log: ♣+ ÷ ♣, x ÷ log(x), definimos la función exponencial como la función inversa de la función log, es decir, exp = (log)– 1 : ♣ ÷ ♣+ / exp(x) = y si y sólo si log(y) = x

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Observaciones 1. Al ser la función log(x) biyectiva, tenemos la garantía de la existencia de la función inversa, exp(x). 2. Dado log(e) = 1, entonces exp(1) = e. 3. Al ser exp(x) la función inversa de log(x), su dominio es ♣, su imagen ♣+ y es biyectiva. 3.2.

Continuidad y derivabilidad de la función exponencial.

El siguiente resultado es uno de los más sobresalientes para el comportamiento de la función exp(x) y se deriva directamente, mediante su definición, de ser inversa de la función log(x). Proposición: exp(x) es una función continua, derivable y C∞. Demostración. El teorema de continuidad para funciones inversas dice: Dada una función f: [a,b] ÷ ♣, biyectiva, continua y derivable, entonces existe f -- 1(x) y es biyectiva, continua y derivable en ♣. Aplicando dicho teorema a la función f(x) = log(x) en cualquier intervalo positivo [a, b], tendremos que exp(x) es continua para todo x real y es derivable en él. Por tanto, es continua y derivable en todo su dominio. Por último, al ser la derivada de la función exp(x), ella misma: −1

−1

−1

−1

[exp(x)]´= ∂y =  ∂x  =  ∂ log( y)  =  1  =  1  = exp(x) ∂x  ∂y   ∂y   y  exp( x)  se tendrá que es una función C∞ en ♣. 3.3.

Propiedades algebraicas elementales de la operación exponencial.

Proposición: Para cualesquiera x, y 5 ♣, se verifican las siguientes igualdades: 1. exp(x+y) = exp(x) · exp(y). Demostración. Por ser exp(x) inversa de la función log(x) entonces: x + y = log(exp(x)) + log(exp(y)) = log(exp(x)·exp(y)) En ese caso: exp(x + y) = exp(x)·exp(y)

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2. exp(0) = 1. Demostración. Como log(1) = 0 entonces, al ser exp(x) inversa de log(x) tendremos que exp(0) = 1. 3. exp(– x) = 1/ exp(x). Demostración. De las dos propiedades anteriores deducimos que, dado x 5 ♣,

1 = exp(0) = exp( x − x) = exp( x) ⋅ exp(− x) ⇔ exp(− x) =

1 exp( x)

4. exp(x) = ex, ∀x 5 ♣. Demostración. Lo demostramos en los naturales, enteros, racionales e irracionales: •

Si x 5 N, entonces x=1+1+...+1 Un número finito x de unos. Además, existirá un valor y tal que exp(x) = y. En ese caso: log(y) = x = 1 + 1 + . . . + 1 Puesto que log(e)= 1, entonces: log(y) = log(e) + log(e) + . . . + log(e) = x·log(e) = log(ex) Puesto que log(x) es una función estrictamente creciente, tendremos que: y = ex Por lo tanto, exp(x) = ex si x es natural.

•

Si x 5 Z– , entonces x = (– n) con n 5 N. En se caso, sea y 5 R+ tal que log(x) = y. Tendremos que exp(x) = exp(– n) = y  log(y) = – n   – log(y) = n  log(y– 1) = n  exp(n) = y– 1

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Como exp(n) = en,

en =

1 1 = y exp( x)

⇔

exp( x) =

1 = e −n = e x n e

Por lo tanto, exp(x) = ex si x es entero. •

Si x 5 Q, entonces x = p/q con p, q 5 Z. En se caso, sea y 5 R+ tal que exp(x) = y. Tendremos que

log( y) = x =

p q

( )

⇔ q ⋅ log( y ) = p ⇔ log y q = p ⇔ exp( p) = y q

Como exp(p) = ep, y exp(x) = y entonces:

e p = [exp( x ) ]

⇔

q

e p / q = exp( x )

⇔

exp( x ) = e x

Por lo tanto, exp(x) = ex si x es racional. •

Si x 5 I, entonces sea x irracional. En se caso, sea {xk} ∠ Q una sucesión de racionales tales que.

lim xk = x

k →+∞

como exp(x) , es continua, entonces

exp(x ) = lim exp(xk )

(1)

k →+∞

En ese caso, tendremos que:

exp( xk ) = e xk

∀k ∈ N

Y tomando logaritmo, que es una función continua, en la expresión (1):

(

)

( )

log (exp ( x )) = log lim e x k = lim log e x k = k → +∞

k → +∞

= lim x k log( e ) = x log( e ) = log( e x ) k → +∞

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concluimos que:

3.4.

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exp( x ) = e x

Estudio y representación gráfica de la función exp(x).

Debido a la definición de exp(x) como función inversa de log(x) verifica las propiedades siguientes: 1. Dom (exp(x)) = ♣. Demostración. Por lo visto anteriormente, exp(x) es la función inversa de log(x) y por tanto: Dom(exp(x)) = Im(log(x)) = ♣ 2. Im(exp(x)) = ♣+ (exp(x) es positiva). Demostración. Por lo visto anteriormente, exp(x) es la función inversa de log(x) y por tanto: Im(exp(x)) = Dom(log(x)) = ♣+ 3. exp(x) es estrictamente creciente. Demostración. Puesto que exp(x) es continua y derivable y la derivada de exp(x) coincide con la propia función, si tenemos en cuenta que la imagen de cualquier valor de exp(x) es positiva (punto anterior), tendremos que la función exp(x) es estrictamente creciente. 4. exp(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a – ∞, y tiende a + ∞ cuando x tiende a + ∞. Demostración. Vemos que

lim exp( x) = 0

,

x→−∞

lim exp( x) = +∞

x→+∞

Como sabemos que exp(x) es la función inversa de log(x) y a esta le ocurre que:

lim log( x) = −∞

x→0+

lim log( x) = +∞

x→+∞

,

entonces tenemos el resultado para la función exp(x).

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5. exp(x) es una función concava. Demostración. Nuevamente, teniendo en cuenta que log(x) es continua, C∞ y que

[exp(x)]n) = exp( x),

n∈ N

Al ser Im(exp(x)) = ♣+, tendremos que la segunda derivada de exp(x) es positiva para cualquier valor de dominio lo que la hace directamente cóncava en todo ♣. En vista de las propiedades anteriores es claro que la gráfica de la función exp(x) es de la forma indicada en la figura 3.

Figura 3: Representación gráfica de exp(x) 3.5.

Desarrollo de Taylor de la función expoencial.

La función exp(x) tiene por dominio ♣ y es C∞. Eso nos permitirá construir el desarrollo de Taylor en x = 0. Puesto que

[exp(x)]n) = exp( x),

n∈ N

Y exp(0) = 1 entonces tendremos que el desarrollo de Taylor centrado en x = 0 será: ∞

∞ expn ) (0) 1 n Texp( x ) ( x) = ∑ ( x − 0) = ∑ ⋅ x n n! k =0 n =1 n !

Calculamos ahora el radio de convergencia de la serie obtenida:

1 an+1 1 (n + 1)! 1 = = = →0 r an 1/ n ! n +1 Luego el radio de convergencia de la serie es r = + ∞ y por lo tanto la serie es convergente en ♣.

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Finalmente veamos que dicha serie converge a la función exp(x). Lo probaremos utilizando nuevamente el teorema del resto de Lagrange. En ese caso, puesto que la función f(x) admite las n + 1 primeras derivadas en un entorno de x = 0, entonces existirá un valor x = c intermedio entre 0 y x tal que: n

1 m exp(c) n+1 x ⋅x + (n + 1) ! m =0 m !

f ( x) = ∑

Veamos que, cuando n tiende a infinito, el segundo sumando tiende a cero con lo que habremos probado la convergencia del desarrollo de Taylor a la función. Lo probamos para x > 0. Consideramos la sucesión an = xn+1/ (n+1)!. Observamos por el criterio del cociente que:

a n +1 an

x n+2 (n + 2 )! = x = x n +1 n+2 ( n + 1)!

Este valor es menor que 1 cuando n > E[x] – 1 por lo que a partir de n = E(x) – 1, la sucesión an es decreciente ya que

a n +1 x = <1 an n+2

⇔

a n +1 < a n

Como es una sucesión de términos positivos (y por tanto acotada inferiormente), entonces es convergente. Además, a partir del valor n= 2·E(x)+1, la diferencia entre un término y el siguiente es menor la mitad del primero:

∀ n ≥ 2 ⋅ E ( x ),

a n +1 x x 1 x 1 = < = ⋅ < an n + 2 2 ⋅ E ( x) + 2 2 E ( x) + 1 2 ⇔

∀ n ≥ 2 ⋅ E ( x ),

a n +1 <

⇔

an 2

Por lo tanto, se tendrá:

∀n > 2 ⋅ E ( x) an <

a2 ⋅ E ( x ) 2 n − 2⋅ E ( x )

Luego, al tomar límite en n:

lim an ≤ lim

n → +∞

n → +∞

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a2 ⋅ E ( x ) 2 n − 2⋅ E ( x )

=0

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De modo similar se comprueba para x < 0 con lo que concluimos que el desarrollo de Taylor converge en cada valor de dominio a la función exp(x). 3.6.

El número e es irracional.

Para iniciar la demostración, recordamos que log(e) = 1 por lo que exp(1) = e. Tomando el desarrollo de Taylor centrado en x = 0 en el valor de abcisa, tendremos que

e = exp( 1) =

∞

∑

n=0

1 n ⋅1 = n!

∞

∑

n=0

k 1 1 = lim ∑ n ! k → +∞ n = 0 n !

Proposición. el número “e” es irracional. Demostración. Sea la sucesión

ak =

k

∑

n=0

1 n!

que, como hemos visto antes, tiende al número e. Dicha sucesión es creciente ya que, para todo n natural, k +1

k 1 1 1 an +1 − an = ∑ − ∑ = >0 ( ) n ! n ! k + 1 ! n =0 n=0

Sea la sucesión:

bk = a k +

1 k!

que es decreciente ya que:

bk +1 − bk = ak +1 +

=

 1 1 k ! − (k + 1) ! −  ak +  = ak +1 − ak + = (k + 1) !  k ! k !(k + 1) !

1 k ! − (k + 1) ! 2k ! − (k + 1)k ! 2 − k − 1 1 − k + = = = <0 (k + 1) ! k !(k + 1) ! k !(k + 1) ! (k + 1) ! (k + 1) !

y evidentemente ak < bk para todo k natural y lim bk = e. Supongamos que e fuera racional. Entonces existirían un par de naturales p y q tal que e = p / q con m.c.d.(p, q) = 1. En tal caso:

p aq < < bq q

⇔

q

q 1 p 1 1 < < + ∑ ∑ q n=0 n ! q ! n =0 n !

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Multiplicando la desigualdad por q! tendremos:

q !⋅aq < p(q − 1) !< q !⋅bq

⇔

⇔

q

q 1 1 q! < p(q − 1) !< q !⋅∑ + q! n =0 n ! n =0 n !

q !⋅∑

q

q 1 1 < p(q − 1) !< q !⋅∑ + 1 n =0 n ! n =0 n !

q !⋅∑

Si observamos detenidamente el valor q

q !⋅ ∑

n=0

1 n!

es natural ya que todos los n! entre 0 y q, son divisores de q!. Pero en tal caso se llega a contradicción ya que p·(q – 1)! es un natural que está entre dos naturales consecutivos. De aquí se extrae que e no es racional. 3.7.

La función exponencial con base real “a”.

Dado a > 0 distinto de la unidad se define

exp a ( x ) = exp( x ⋅ log( a )) Por las propiedades del logaritmo y exponencial:

expa ( x) = exp(x ⋅ log(a)) = exp(log(a x ) = a x Y por tanto, lo único que estamos definiendo es:

a x = e x ⋅log( a ) Es fácil generalizar las propiedades anteriores de ex a estas funciones. Observaciones. 1. La función expa(x) está bien definida al ser la composición de funciones bien definidas. 2. La función expa(x) es biyectiva, continua y C∞, al ser composición de funciones con estas características. 3. La función expa(x) es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1

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Demostración. La función expa(x), es derivable y continua y su derivada es, mediante la regla de la cadena:

exp a ( x ) = exp( x ⋅ log( a )) ⋅ [log( a ) ]

•

Si 0 < a < 1 entonces dicha derivada es negativa para todo valor de dominio ya que log(a) < 0 mientras que exp(x·log(a)) > 0 por ser Im(exp(f(x))  R+.

•

Si 1 < a entonces dicha derivada es positiva para todo valor de dominio ya que log(a) > 0 mientras que exp(x·log(a)) > 0 por ser Im(exp(f(x))  R+.

4. La función expa(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a + ∞ si 0 < a < 1y cuando x tiende a – ∞ si a > 1. Demostración. •

Si 0 < a < 1 entonces log(a) < 0. En ese caso:

lim exp a ( x ) = lim exp( x ⋅ log( a )) = 0

x → +∞

•

x → +∞

Si 1 < a entonces log(a) > 0. Entonces:

lim exp a ( x ) = lim exp( x ⋅ log( a )) = 0

x → −∞

x → −∞

5. La función expa(x) tiende a + ∞ cuando x tiende a + ∞ si a > 1 e igualmente cuando x tiende a – ∞ si 0 < a < 1 Demostración. •

Si 0 < a < 1 entonces log(a) < 0. En ese caso x·log(a) es positivo y cada vez mayor cuando tendemos a – ∞:

lim exp a ( x ) = lim exp( x ⋅ log( a )) = +∞

x → −∞

•

x → −∞

Si 1 < a entonces log(a) > 0. En ese caso x·log(a) es positivo y cada vez mayor cuando tendemos a + ∞:

lim exp a ( x ) = lim exp( x ⋅ log( a )) = +∞

x → +∞

x → +∞

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Representación gráfica expa(x) Con 0 < a < 1

Representación gráfica expa(x) Con 1 < a

6. La función ax es la función inversa de loga(x). Demostración. Veamos que si las componemos dan como resultado la función identidad:

log a (exp a ( x ) ) =

log(exp( x ⋅ log( a ))) x ⋅ log( a ) = =x log( a ) log( a )

Por otra parte,

 log( x )  exp a (log a ( x ) ) = exp  ⋅ log( a )  = exp(log( x )) = x  log( a )  7. log(ax ) = x log(a) con a > 0. Demostración. La demostración es trivial ya que

log (exp a ( x ) ) = log (exp( x ⋅ log( a ) ) = x ⋅ log( a ) 4.

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL.

4.1. Aplicaciones científicas y matemáticas. Históricamente los logaritmos fueron introducidos para evaluar potencias y raíces con exponentes complicados. Es también típico el uso de escalas logarítmicas para manejar magnitudes físicas con dominios de existencia muy grandes. Por ejemplo si 1<x<10¹², entonces 0 < log(x) < 12. En particular:

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1. La intensidad sonora. Es una magnitud I que se mide en vatios/m², para su descripción se usa la escala logarítmica:

D = 10 ⋅ log 10

I I0

que se expresa en decibelios. En esta expresión I0 es una intensidad de referencia (intensidad umbral). 2. La magnitud de los terremotos. Se mide mediante la amplitud vertical A de la onda sísmica y en escala logarítmica se expresa como

M = log 10 A Desde el punto de vista de las aplicaciones en muchas áreas es la función inversa del logaritmo, la exponencial, la que posee una importancia fundamental. 3. El interés compuesto, se basa en la teoría de que cada cierto tiempo n en que se divide un año, un capital de una unidad habrá aumentado una cantidad r. En tal caso •

Al final del primer periodo año se tendrá la cantidad 1 + r/n.

•

Al final del segundo periodo se tendrá la cantidad:

r  r  r  1 +  1 +  =  1 +  n  n  n  •

2

Y así sucesivamente, al final del año se tendrá:

r  1 +  n 

n

que es el capital que tendremos después de un año, tras invertir un capital de 1 unidad. Si suponemos que la cantidad r = 1, es observable que, cuantos más periodos de pago de intereses tenga el año, el capital acumulado a lo largo del año tenderá más al valor e. 4. En el análisis complejo, se tiene que, dado el polinomio de Taylor para la función exponencial entonces:

e = it

∞

(it )n

n=0

n!

∑

=

∞

(− 1)n ⋅ t 2 n

n=0

(2n ) !

∑

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∞

+ i⋅∑

n=0

(− 1)n ⋅ t 2 n +1 ( 2 n + 1) !

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e

− it

=

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∞

(− it )n

n=0

n!

∑

=

∞

(− 1)n ⋅ t 2 n

n=0

(2n) !

∑

∞

− i⋅∑

n=0

(− 1)n ⋅ t 2 n +1 ( 2 n + 1) !

Por lo tanto, sumando o restando ambas igualdades:

e it + e − it = 2

∞

(− 1)n ⋅ t 2 n

n=0

(2n) !

∑

= cos( t )

∞ ( e it − e − it − 1) ⋅ t 2 n +1 = i⋅∑ = i ⋅ sen ( t ) 2 ( 2 n + 1) ! n=0 n

Luego, al sumar tendremos:

e it = cos( t ) + i ⋅ sen ( t ) que nos determina la expresión de cualquier complejo de la circunferencia unidad como una expresión exponencial con exponente un imaginario puro. Esta es la llamada identidad de Euler. Otra famosa identidad en los complejos utiliza la función exponencial para asociar a los cinco números quizá más famosos de las matemáticas, y a la vista de lo anterior es fácil de demostrar:

e πi + 1 = 0 5. La ecuación exponencial aparece en fenómenos muy comunes que siguen la siguiente ecuación diferencial y′ = c·y, cuya solución es de la forma y(x)= y(0)·ecx. Esta ecuación lo que describe es una magnitud y que depende de una variable x, que puede designar el tiempo, y tal que la variación de y es directamente proporcional a su valor en cada instante x. Hay multitud de fenómenos que obedecen a esta ley; por ejemplo, los que se describen a continuación. •

Desintegración radiactiva: El número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos presentes. Por lo tanto, el número y(x) de núcleos presentes satisface la anterior ecuación diferencial con una constante c < 0 (c = – k), ya que y(x) es monótona decreciente. Así y(x)= y(0)·e– kx

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El tiempo que tarda la muestra radiactiva en reducirse a la mitad es lo que se denomina vida media T de la sustancia en cuestión. Obviamente

y (0) = y (0) ⋅ e − kT 2 luego T = log(2) / k. •

Ley de enfriamiento de Newton: Una placa metálica a temperatura uniforme es sumergida en un ambiente de baja temperatura. Según la ley de Newton la variación de temperatura del cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura con el ambiente. Si x es el tiempo, t0 la temperatura ambiente, t(x) la temperatura del cuerpo en el tiempo x e y(x)=t(x)-t0, entonces y′ = – k·y (la solución es como en el caso anterior).

•

Cultivos bacterianos: Sea y(x) la cantidad de bacterias presentes en un cultivo en un instante x. Es razonable pensar que el crecimiento de la población será proporcional a la cantidad presente en cada instante. De nuevo se obtiene la anterior ecuación diferencial.

•

Función logística: En el estudio de crecimiento de poblaciones en estados de estancamiento, así como en la estimación de venta de productos en un mercado en evolución, suele aparecer la llamada función logística para describir la magnitud en cuestión:

y ( x) =

a 1 + b ⋅ e −cx

siendo a, b, c números positivos. Es fácil ver que esta función es estrictamente creciente y verifica

lim y ( x ) = 0 , lim y ( x ) = a

x→−∞

x→+∞

Lo cual indica que describe un proceso de crecimiento que parte de la población cero y evoluciona de forma monótona tendiendo asintóticamente al valor de saturación a. 4.2. Aplicaciones a la economía y ciencias sociales. Hay dos métodos de la matemática aplicada especialmente relevantes: 1. Los modelos económicos. 2. Los modelos estadísticos. 28 www.magister.es

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En ambos casos se estudian sistemas que provienen de las sociedades humanas y de su entorno natural, como por ejemplo: 1. Sectores de producción. 2. Poblaciones humanas, animales, etc. 3. Sistemas económicos. Como denominador común del análisis matemático de estos sistemas podemos enunciar: 1. La definición de parámetros numéricos medibles que caracterizan los estados de esos sistemas (las formas en que se nos presentan). Tales parámetros se denominan variables observables del sistema. 2. La investigación de las diferentes relaciones entre las variables observables del sistema. 3. La investigación de la evolución de tales variables. 4. La formulación de modelos matemáticos para describir y predecir los fenómenos asociados con tales sistemas. Los modelos matemáticos que resultan están basados con gran frecuencia en el estudio de funciones de una o varias variables reales sometidas a una serie de condiciones. Normalmente esas condiciones dan lugar a problemas de ecuaciones diferenciales. Es decir, las funciones características del modelo y sus derivadas satisfacen ciertas ecuaciones. Uno de los típicos ejemplos es el modelo básico de poblaciones. Modelo básico de poblaciones: Consideremos un sistema de individuos biológicos o inanimados cuya población (número de individuos) P = P(t) depende del tiempo. La derivada de la función población

∂ P (t ) ∂t describe la tasa de variación de la población por unidad de tiempo en cada instante t. Como sabemos de las propiedades elementales de la derivada, si esta derivada es positiva (negativa) ello significa que en ese instante la población esta creciendo (decreciendo). Podemos imponer diferentes condiciones a esta función derivada y encontrar diferentes soluciones a la evolución de la población. Hay infinidad de modelos de este tipo. De entre ellos, hay dos tipos muy elementales de modelos de poblaciones: •

El modelo Malthusiano. En este modelo la tasa de variación es proporcional a la población presente en cada instante:

P´(t ) = M ⋅ P, M > 0

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La interpretación de esta hipótesis es que el aumento del número de individuos por reproducción está favorecido por el número de individuos presentes. La solución de la ecuación anterior es:

P (t ) = P (0) ⋅ e M ⋅t Por lo tanto, el crecimiento de la población es exponencial. Obsérvese que en el cociente de las poblaciones tras una unidad de tiempo transcurrida es:

P (t + 1) = eM P (t ) Es decir, la evolución de las poblaciones en instantes de tiempo separados por múltiplos de la unidad de tiempo forma una sucesión geométrica. Se suele describir este comportamiento de la población como un crecimiento incontrolado. Este modelo se ajusta bien incluso en sociedades humanas, como la evolución de la población de Suecia desde 1780 a 1920. •

Modelo logístico: La aportación de los modelos logísticos es la presencia de efectos de control de la tasa de variación de una población. Por ejemplo, si pretendemos estudiar un modelo en que la población posee una capacidad óptima C, tal que para poblaciones más grandes que C la tasa de variación es negativa, podemos tomar como condición:

 P (t )  P´(t ) = r ⋅ 1 − , r > 0 C   Obsérvese que si P < C la derivada es positiva, mientras que si P > C es negativa. La solución de esa condición es:

P (t ) = C + ( P ( 0 ) − C ) ⋅ e

−

r ⋅t C

La forma de esta función depende del valor de la población inicial P(0). o P(0) < C. La población tiende asintóticamente con el tiempo al valor C de forma monótona creciente. o P(0) > 0. La población disminuye monótonamente y tiende asintóticamente al valor C. o P(0) = C. La población permanece constante con un valor igual a C. Éste modelo se ajusta bien, por ejemplo, a la evolución de la población en USA durante el periodo 1790-1950.

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Otro tipo de modelo logístico es el basado en la ecuación diferencial:

 C  , r > 0 P´(t ) = r ⋅ 1 −  P (t )  Suele aplicarse a la descripción de la difusión de un cierto producto en el mercado. La solución es de la forma:

P (t ) =

C 1 + R ⋅ e − rt

siendo R una constante arbitraria que depende de la población inicial:

R=

C − P (0) P ( 0)

A grandes tiempos es claro que la solución se aproxima a la capacidad C.

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Bibliografía [1] E. W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman Hall, 1999. [2] R. Courant y F. John: Introducción al cálculo y al análisis matemático. Vol.I. Editorial Limusa, 1987. [3] J. Dixmier: Cours de Mathmatiques du premier cycle, Vol.1 y 2. Gauthier-Villars, 1976. [4] J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo: Análisis Matemático, Volumen I. Editorial Kapelusz, 1969. [5] M. Guzman y B. Rubio: Análisis Matemático, Volumenes 1, 2, y 3. Ediciones Pirámide, 1990. [6] Matemáticas I-II Bachillerato LOGSE, McGraw-Hill, 1995 [7] T.M. Apostol: Calculus, Vol.1. Editorial Reverté, 1972. [8] J.W. Kitchen: Cálculo. McGraw-Hill, 1986. [9] Este tema fue actualizado el 09/05/06 por David Martínez Sanz.

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ESQUEMA-RESUMEN 2.

LA FUNCIÓN LOGARITMO

2.1.

Definición de la función logaritmo.

Sea la función f: ♣ – {0} ÷ ♣, dada por la expresión f(t) = 1/ t se define la función logaritmo como

log( x ) =

∫

1

x

1 dt t

Observaciones 1. La función está bien definida ya que la función f(x) = 1/x es continua en R+ y por tanto la integral determinada está unívocamente determinada a partir de cada valor x de dicho intervalo: •

•

Si x > 0, la función 1 / t es continua en el intervalo comprendido entre 1 y x. Como consecuencia será integrable, lo cual garantiza la existencia y unicidad de la imagen log(x). Para x < 0 la función 1/ t tiene una singularidad en el intervalo [x, 1] dada por t = 0 que la hace no integrable. La definición anterior no puede extenderse a valores x < 0.

2. Se tiene que log(1) = 0 ya que log( 1 ) = 3. Si

1

<

x

que: log( x ) =

entonces,

∫

1

x

la

∫

1

1

integrabilidad

1 dt = 0 t de

f(t)

=

1

/

t

nos

lleva

a

1 dt > 0 t

4. Si 0 < x < 1 entonces, la integrabilidad de f(t) = 1 / t nos lleva a que:

log( x ) =

∫

1

x

1 1 1 dt = − ∫ dt < 0 x t t

5. Geométricamente, log(x) representa el área bajo la gráfica de 1/t (figura 1) en el intervalo entre 1 y x si x > 1. Para x < 1 el valor log(x) es menos el área de tal gráfica en el intervalo [x,1]. 2.2.

Continuidad y derivabilidad de la función logaritmo.

Log(x) es una función continua, derivable y C∞, este resultado se deriva directamente, mediante su definición, del teorema del cálculo integral.

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2.3.

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Propiedades algebraicas elementales de la operación logaritmo.

Para cualesquiera x, y 5 (0,+ ∞), se verifican las siguientes igualdades: 1. log(x·y)=log(x) + log(y). 2. log(1/x) = – log x. 3. log(x/y) = log x – log y. 4. log xⁿ = n·log x, ∀n 5 ♣. 2.4.

Estudio y representación gráfica de la función logaritmo.

La función log(x) verifica las propiedades siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Dom (log(x)) = ♣+. Log(x) es estrictamente creciente. Im (Log(x))= ♣. Log(x) es negativa para x < 1 y positiva para x > 1. Log(x) es una función convexa.

2.5.

Desarrollo de Taylor de la función logaritmo.

La función log(x) no está definida en x = 0 y como consecuencia no puede ser desarrollada en serie de potencias de x. Si consideramos la función log(1 + x) con dominio 1 + x > 0 e indefinidamente derivable en (-1,+ ∞), podremos calcular su desarrollo de Taylor: ∞

Tlog( x ) ( x) = ∑ n=1

(− 1)n−1 ⋅ x n n

Utilizando varios entornos, se demuestra que este la serie es convergente a la función log(x). 2.6. El número e. Como la función log(x) es monótona creciente en (0,+ ∞) con Im(log(x)) = ♣, entonces es biyectiva entre ♣+ y ♣ por lo que existirá un único valor e >0 con log(e) = 1. 2.7.

Logaritmos de base real positiva a.

Sea a > 0 y a ≠ 1. La función loga(x) se define como log a ( x ) =

log( x ) . Al valor a > 0 lo log( a )

llamaremos base del logaritmo. Obsérvese que loga(x) es una función proporcional a log(x), luego satisface las mismas propiedades que esta última con las modificaciones pertinentes. Por tanto, es continua, derivable, C∞, su dominio es ♣+, su recorrido ♣ y posee una asíntota vertical en x = 0.

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Además, tenemos que destacar que: 1. La función loga(x) es creciente si a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1. 2. La función loga(x) es concava si 0 < a < 1 y convexa cuando 1 < a. Observar que log(x) = loge(x). 3. 3.1.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Definición de la función exponencial.

Dada la función logarítmica estudiada anteriormente log: ♣+ ÷ ♣, x ÷ log(x), definimos la función exponencial como la función inversa de la función log, es decir, exp = (log)– 1 : ♣ ÷ ♣+ / exp(x) = y si y sólo si log(y) = x Observaciones 1. Al ser la función log(x) biyectiva, tenemos la garantía de la existencia de la función inversa, exp(x). 2. Dado log(e) = 1, entonces exp(1) = e. 3. Al ser exp(x) la función inversa de log(x), su dominio es ♣, su imagen ♣+ y es biyectiva. 3.2.

Continuidad y derivabilidad de la función exponencial.

Se verifica que la función exp(x) es continua, derivable y C∞, y se deriva directamente, mediante su definición, de ser inversa de la función log(x). 3.3.

Propiedades algebraicas elementales de la operación exponencial.

Proposición: Para cualesquiera x, y 5 ♣, se verifican las siguientes igualdades: 1. exp(x+y) = exp(x) · exp(y). 2. exp(0) = 1. 3. exp(– x) = 1/ exp(x). 4. exp(x) = ex, ∀x 5 ♣. 3.4.

Estudio y representación gráfica de la función exp(x).

La definición de exp(x) como función inversa de log(x) verifica las propiedades siguientes:

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Dom (exp(x)) = ♣. Im(exp(x)) = ♣+ (exp(x) es positiva). exp(x) es estrictamente creciente. exp(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a – ∞, y tiende a + ∞ cuando x tiende a + ∞. 5. exp(x) es una función concava.

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1. 2. 3. 4.

3.5.

Figura 3: Representación gráfica de exp(x)

Desarrollo de Taylor de la función expoencial.

La función exp(x) tiene por dominio ♣ y es C∞. Eso nos permitirá construir el desarrollo de Taylor en x = 0, que será: ∞

1 n ⋅x n ! n=1

Texp( x ) ( x) = ∑

Puesto que su radio de convergencia es r = + ∞, la serie es convergente en ♣. Finalmente se puede demostrar que dicha serie converge a la función exp(x). 3.6.

El número e es irracional.

Recordamos que log(e) = 1 por lo que exp(1) = e. Tomando el desarrollo de Taylor centrado en x = 0 en el valor de abcisa, tendremos que

e = exp( 1) =

∞

∑

n=0

1 n ⋅1 = n!

∞

∑

n=0

k 1 1 = lim ∑ n ! k → +∞ n = 0 n !

Utilizando el desarrollo anterior se puede demostrar que el número “e” es irracional. 3.7.

La función exponencial con base real “a”.

Dado a > 0 distinto de la unidad se define

exp a ( x ) = exp( x ⋅ log( a )) Por las propiedades del logaritmo y exponencial, exp a ( x ) = exp( x ⋅ log( a )) = exp(log( a x ) = a x . Y por tanto, lo único que estamos definiendo es ax = exlog(a). Es fácil generalizar las propiedades anteriores de ex a estas funciones. Observaciones. 1. La función expa(x) está bien definida al ser la composición de funciones bien definidas. 2. La función expa(x) es biyectiva, continua y C∞, al ser composición de funciones con estas características. 36 www.magister.es

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3. La función expa(x) es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1 4. La función expa(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a + ∞ si 0 < a < 1 y cuando x tiende a – ∞ si 1 < a 5. La función expa(x) tiende a + ∞ cuando x tiende a + ∞ si a > 1 e igualmente cuando x tiende a – ∞ si 0 < a < 1 6. La función ax es la función inversa de loga(x). 7. log(ax ) = x log(a) con a > 0. 4. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL. 4.1. Aplicaciones científicas y matemáticas. Históricamente los logaritmos fueron introducidos para evaluar potencias y raíces con exponentes complicados. Es también típico el uso de escalas logarítmicas para manejar magnitudes físicas con dominios de existencia muy grandes. Por ejemplo si 1<x<10¹², entonces 0 < log(x) < 12. En particular: 1. La intensidad sonora. Es una magnitud I que se mide en vatios/m², para su descripción se usa la escala logarítmica:

D = 10 ⋅ log 10

I I0

que se expresa en decibelios. En esta expresión I0 es una intensidad de referencia (intensidad umbral). 2. La magnitud de los terremotos. Se mide mediante la amplitud vertical A de la onda sísmica y en escala logarítmica se expresa como

M = log 10 A Desde el punto de vista de las aplicaciones en muchas áreas es la función inversa del logaritmo, la exponencial, la que posee una importancia fundamental. 3. El interés compuesto, se basa en la teoría de que cada cierto tiempo n en que se divide un año, un capital de una unidad habrá aumentado una cantidad r. En tal caso, al final del primer periodo año se tendrá la cantidad 1 + r/n. Reiterando el proceso se llega a que al final del del año se tendrá:

r  1 +  n 

n

que es el capital que tendremos después de un año, tras invertir un capital de 1 unidad.

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Si suponemos que la cantidad r = 1, es observable que, cuantos más periodos de pago de intereses tenga el año, el capital acumulado a lo largo del año tenderá más al valor e. 4. En el análisis complejo, se tiene que, dado el polinomio de Taylor para la función exponencial entonces:

e

it

e

= − it

∞

(it )n

n=0

n!

∑ =

=

∑

(− 1)n

∞ ( ⋅ t 2n − 1) ⋅ t 2 n + 1 + i⋅∑ (2n) ! ( 2 n + 1) ! n=0

n=0

∞

(− it )n

n=0

n!

∑

∞

=

∞

(− 1)n ⋅ t 2 n

n=0

(2n) !

∑

n

∞

− i⋅∑

n=0

t 2 n +1 ( 2 n + 1) !

Por lo tanto, sumando o restando ambas igualdades y dividiendo entre dos obtenemos:

e it = cos( t ) + i ⋅ sen ( t ) que nos determina la expresión de cualquier complejo de la circunferencia unidad como una expresión exponencial con exponente un imaginario puro. Esta es la llamada identidad de Euler. Otra famosa identidad en los complejos utiliza la función exponencial para asociar a los cinco números quizá más famosos de las matemáticas, y a la vista de lo anterior es fácil de demostrar, eπi + 1 = 0. 5. La ecuación exponencial aparece en fenómenos muy comunes que siguen la ecuación diferencial y′ = c·y, y cuya solución es de la forma y(x)= y(0)·ecx Esta ecuación lo que describe es una magnitud y que depende de una variable x, que puede designar el tiempo, y tal que la variación de y es directamente proporcional a su valor en cada instante x. Hay multitud de fenómenos que obedecen a esta ley como por ejemplo: •

Desintegración radiactiva: El número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos presentes. Por lo tanto, el número y(x) de núcleos presentes satisface la anterior ecuación diferencial con una constante c < 0 (c = – k), ya que y(x) es monótona decreciente. Así, y)x)= y(0)·e– kx.. El tiempo que tarda la muestra radiactiva en reducirse a la mitad es lo que se denomina vida media T de la sustancia en cuestión. Obviamente

y (0) = y (0) ⋅ e −kT 2 luego T = log(2) / k. •

Ley de enfriamiento de Newton: Una placa metálica a temperatura uniforme es sumergida en un ambiente de baja temperatura. Según la ley de Newton la variación de temperatura del cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura con el ambiente. 38

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Si x es el tiempo, t0 la temperatura ambiente, t(x) la temperatura del cuerpo en el tiempo x e y(x)=t(x)-t0, entonces y′ = – k·y, y la solución es como en el caso anterior. •

Cultivos bacterianos: Sea y(x) la cantidad de bacterias presentes en un cultivo en un instante x. Es razonable pensar que el crecimiento de la población será proporcional a la cantidad presente en cada instante. De nuevo se obtiene la anterior ecuación diferencial.

•

Función logística: En el estudio de crecimiento de poblaciones en estados de estancamiento, así como en la estimación de venta de productos en un mercado en evolución, suele aparecer la función logística para describir la magnitud en cuestión: a y ( x) = 1 + b ⋅ e −cx siendo a, b, c números positivos. Es fácil ver que esta función es estrictamente creciente l que indica que describe un proceso de crecimiento que parte de la población cero y evoluciona de forma monótona tendiendo asintóticamente al valor de saturación a.

4.2.Aplicaciones a la economía y ciencias sociales. Hay dos métodos de la matemática aplicada especialmente relevantes: 1. Los modelos económicos. 2. Los modelos estadísticos. Los modelos matemáticos que resultan están basados con gran frecuencia en el estudio de funciones de una o varias variables reales sometidas a una serie de condiciones. Normalmente esas condiciones dan lugar a problemas de ecuaciones diferenciales. Es decir, las funciones características del modelo y sus derivadas satisfacen ciertas ecuaciones. Algunos ejemplos son: Modelo básico de poblaciones: Consideremos un sistema de individuos biológicos o inanimados cuya población (número de individuos) P = P(t) depende del tiempo. La derivada de la función población respecto del tiempo describe la tasa de variación de la población por unidad de tiempo en cada instante t. Si esta derivada es positiva (negativa) ello significa que en ese instante la población esta creciendo (decreciendo). Podemos imponer diferentes condiciones a esta función derivada y encontrar diferentes soluciones a la evolución de la población. Hay infinidad de modelos de este tipo. De entre ellos, hay dos tipos muy elementales de modelos de poblaciones: •

El modelo Malthusiano. En este modelo la tasa de variación es proporcional a la población presente en cada instante P´(t) = M·P, M > 0. La interpretación de esta hipótesis es que el aumento del número de individuos por reproducción está favorecido por el número de individuos presentes. La solución de la ecuación anterior es P (t ) = P (0) ⋅ e M ⋅t . 39

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Se suele describir este comportamiento de la población como un crecimiento incontrolado. Este modelo se ajusta bien incluso en sociedades humanas, como la evolución de la población de Suecia desde 1780 a 1920. •

Modelo logístico: La aportación de los modelos logísticos es la presencia de efectos de control de la tasa de variación de una población. Por ejemplo, si pretendemos estudiar un modelo en que la población posee una capacidad óptima C, tal que para poblaciones más grandes que C la tasa de variación es negativa, podemos tomar como condición:

 P (t )  P´(t ) = r ⋅ 1 − , r > 0 C   La solución de esa condición es: P (t ) = C + (P (0) − C ) ⋅ e

−

r ⋅t C

La forma de esta función depende del valor de la población inicial P(0). Éste modelo se ajusta bien, por ejemplo, a la evolución de la población en USA durante el periodo 1790-1950. Otro tipo de modelo logístico es el basado en la ecuación diferencial:

 C  , r > 0 P´(t ) = r ⋅ 1 −  P (t )  Se aplica a la descripción de la difusión de un cierto producto en el mercado. La solución es:

P (t ) =

C 1 + R ⋅ e − rt

siendo R una constante arbitraria que depende de la población inicial. A grandes tiempos es claro que la solución se aproxima a la capacidad C.

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CUESTIONES. 1. Probar que para h>0 se verifica log(1+h) ≤ h. Solución. Por la definición de logaritmo:

log( x) = ∫

x

1

1 dt , t

x>0

se obtiene 1+ h

log(1 + h) = ∫

1

1 dt t

Como 1 / t ≤ 1 para t ≥ 1 y teniendo en cuenta que al crecer un integrando crece la integral, se deduce que 1+ h

log(1 + h) = ∫

1

1+ h 1 dt ≤ ∫ 1dt = 1 + h − 1 = h 1 t

2. Demostrar que

log(1 + hx) = x , ∀x ∈ R h→0 h

lim Solución.

Es un límite indeterminado del tipo 0/0. Aplicando L´Hôpital obtenemos que

log(1 + hx ) x /(1 + hx ) x = lim = lim =x h→0 h→0 h→0 1 + hx h 1

lim 3. Probar que

lim (1 + hx )h = e x 1

h→ 0

Solución. Sabemos que 1 log(1 + hx ) = lim log (1 + hx )h = x h→0 h→0 h

lim

Luego, por el resultado de la cuestión anterior y la continuidad de la función exponencial, se sigue inmediatamente la identidad requerida.

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4. Probar que n

 1 lim 1 +  = e n→+∞  n Solución Basta utilizar el resultado de la cuestión 3 con los datos x = 1, hn = 1/n 5. Calcular el límite de la sucesión (1,1)10;

(1,01)100;

Solución. El límite en cuestión es el número e ya que 10

1  = 1 +   10 

(1´1)

10

100

(1´01)

100

(1´001)

1   = 1 +   100 

1000

1000

1   = 1 +   1000 

y así sucesivamente. Aquí x = 1, hn = 1/10n.

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(1,001)1000; . . .