6to Seminario De Aritmetica Pre.doc

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

ARITMÉTICA 1.

2.

3.

He recorrido 1200 km desde Lima hasta Piura permutando regularmente las 5 llantas (incluyendo la de repuesto) para que todas tengan igual desgaste. ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta en km? A) 240 B) 480 C) 960 D) 1040 E) 1080 El kilometraje de mi auto marca 100 000 km después de 4 años de uso; si lo compré nuevo y lo hice descansar 1 día después de usarlo 4 días seguidos ¿Cuál es el recorrido diario promedio de los días manejados considerando años de 365 días? A) 31 B) 47 C) 85,62 D) 92,31 E) 101,3 Juan se inscribió en el semestre 2005-II en cuatro cursos obteniéndose los resultados siguientes:

Curso Física III Computación Matemática III Estadística

Créditos Nota Final 7 12,4 4 15,3 5 13,5 5 14,1

Su promedio ponderado de este ciclo es: A) 12,6 B) 12,9 C) 13 D) 13,6 E) 13,4 4.

Se tiene 5 números a, b, c, d, e tales que a, b, c, d y e son mayores o iguales que 18 X G(a, b, c, d, e) = 36; “e” es el máximo posible. Hallar la X H(a, b, c, d, e) 912 924 936 A) B) C) 43 43 43 948 960 D) E) 43 43

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SEMINARIO Nº 06

5.

Se tiene 4 números. Al añadir la media aritmética de tres de ellos al número restante se obtienen los números 17, 21, 23, y 29. Si se excluye al mayor de estos números la media aritmética de los restantes es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 10,5 E) 12,5

6.

De 400 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 1,65 m; 150 son mujeres y su estatura promedio es 1,60 m. La estatura promedio de los varones es: A) 1,64 B) 1,65 C) 1,66 D) 1,67 E) 1,68

7.

La media geométrica de los números 3, 9, 27, …, es 729. Hallar el exponente del último término de la serie dada. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

8.

Hallar y – x(y > x) si la X y la Me de 2, 4, x, y, 11 y 30 es 10 y 6,5. A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) No existe solución E) Infinitas soluciones

9.

Hallar la mediana de x e y si la desviación estándar de 2, 2, 3, 6, x, y ) es 8,6 y la media de los 6 números es 5. A) 7,4 B) 7,5 C) 8,0 D) 8,5 E) 9,0

10.

Calcula la media, mediana y moda de las edades de 25 jóvenes: 12; 13; 14; 11; 12; 11; 14; 12; 14; 12 11; 14; 11; 11, 12; 14; 14; 12; 13; 14; 13; 13; 14, 11; 12 A) 12,56; 14 y 12 C) 12,54, 12 y 14 E) 13; 12 y 15

B) 12,56; 12 y 14 D) 13; 12 y 14

ARITMÉTICA

1

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11.

12.

Las notas de un examen de 6 alumnos es 6, 5, 9, 19, 3 y 18 un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que la m.a y que la mediana. ¿Qué porcentaje de los alumnos aprobaron el examen? ) A) 16, 6 B) 33, 3 C) 50,0 ) ) D) 66, 6 E) 83, 3

1 conserje : S/. 300 ¿Cuál es la medida más representativa de tendencia central? A) La mediana B) La moda C) La media D) La Me o Mo E) Cualesquiera 16.

En una reunión hay 50 varones con una edad media de 20,5 años y 25 1 mujeres las que en promedio son 10 más jóvenes que los varones. Hallar el número entero más próximo a la edad media de las personas de dicha reunión. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

17.

La media aritmética de 81 números pares positivos es 96. Hallar la suma de las cifras del menor de dos números pares consecutivos que se deben eliminar para que la media aritmética de los números restantes sea 90. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

18.

Las exportaciones de mango piurano en los últimos 10 años, en millones de unidades por año han ocurrido de la siguiente manera: Año: 1° 2° 3° 4° … Exportación: 1 3 5 7 … Si se mantiene esta tendencia. ¿Cuál será la exportación promedio en los próximos 5 años, en millones de unidades por año? A) 32 B) 31 C) 25 D) 24 E) 18

19.

Si cada uno de los 28 millones de peruanos como en promedio 12 Kg de pescado al año, entre conservas enlatadas y pescado fresco, siendo este rubro 4 veces el de conservas. ¿Cuántas toneladas de pescado

Si se tienen los números: 11...11, 1 2 3 22...22, 14 2 43 33...33, 14 2 43 …, 99...99 14 2 43 n cifras

n cifras

n cifras

n cifras

Luego la suma de cifras de la media aritmética de la serie es: A) 4n–1 B) 4n C) 5n D) 5n+1 E) 5n+2 13.

La media de 53 números es 600, si se eliminan tres números consecutivos se observa que la nueva media aumentó en 5%. La media de las cifras del mayor de dichos números consecutivos es: 1 2 3 A) B) C) 3 3 2 4 5 D) E) 3 4

14.

El promedio de notas de 60 alumnos es 11,4, pero el 30% de los alumnos aumentaron su calificación en tres puntos por la sustentación de un trabajo de investigación. Si en el sistema de calificación la nota final tiene un factor de 1,10. ¿Cuál es el promedio real? A) 13,48 B) 13,50 C) 13,52 D) 13,53 E) 13,54

15.

Los sueldos en cierta microempresa son los siguientes: Gerente : S/. 10 000 Secretaria : S/. 650 3 empleados : S/. 500 (cada uno) 2 ayudantes : S/. 400 (cada uno)

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fresco se consumen, en promedio, por año? A) 537 600 B) 26 880 C) 268 800 D) 134 400 E) 107 520 20.

La aproximación de cierta balanza electrónica es 25 gramos, de modo que al vender 200 gramos de embutidos, el peso promedio real está entre 187,5 y 212,5 gramos. Si en la venta de 40 porciones de 100 gramos han ocurrido 30 errores máximos por exceso y 8 errores máximos por defecto. ¿Cuántos gramos de embutidos se han “regalado”, si el resto fueron 201 y 199 g? A) 320 B) 275 C) 260 D) 250 E) 230

21.

El señor RECMAC dice que su vicio de fumar empezó con 1 cigarrillo en la primera semana, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta y así sucesivamente; hasta fumar casi 2 cajetillas diarias de 20 cigarrillos cada una, en promedio. ¿A cuántas semanas de haber empezado ocurrió esto? ¿cuántos cigarrillos diarios en promedio fumó hasta la primera semana que llegó al máximo consumo promedio? A) 17a; 6,8 B) 10a; 11,2 ) ) C) 8a; 8, 1 D) 9a; 8, 1 E) 9a; 22,1

22.

Dadas las siguientes proposiciones: I. La media geométrica de un conjunto de números es media proporcional de la media aritmética y la media armónica de dichos números. II. La media divide al tamaño de la muestra en dos partes iguales. III. Dados lo números 4, 5, 8 y 8; la suma de la moda y la mediana es mayor que la media aumentada en nueve.

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Los respectivos valores de verdad son: A) FFF B) VFV C) FVF D) FVV E) VVF 23.

Indicar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. El Histograma es una gráfica de barras rectangulares verticales juntas donde la base es proporcional a la amplitud del intervalo, y la altura es proporcional a su frecuencia (absoluta, o relativa, o porcentaje). II. La mediana es un número que separa a una serie de datos ordenados en forma creciente(o decreciente) en dos partes de igual número de datos. III. La moda no siempre existe y si existe, no siempre es única. IV. Una muestra es una parte de la población, seleccionada con el fin de obtener una información de la población de la cual proviene. A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFFF E) FFFF

24.

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La media es una estadística que utiliza toda la información muestral. II. La media se ve afectada por los valores extremos. III. La mediana se ve afectada por los valores extremos. IV. La mediana es el valor de X que ocupa la posición central de la distribución de frecuencias. A) VVVV B) VFVV C) VVFV D) FVFV E) FFVV

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3

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25.

26.

27.

28.

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de las frecuencias absolutas es igual a 1. II. La población es siempre mayor que la muestra. III. La rentabilidad de un activo financiero es una variable de naturaleza discreta. IV. Un diagrama de sectores es útil para representar gráficamente una variable continua. A) FFFF B) VVVV C) FFVF D) FFFV E) VFVF Indique verdadero (V), falso (F) en las siguientes afirmaciones (Considere x : media, Me: mediana, Mo: moda) I. Si la distribución de frecuencias es simétrica entonces x = Me = Mo. II. Si la distribución es asimétrica de cola a la derecha, entonces: Mo < Me < x . III. Si la distribución es asimétrica de cola a la izquierda entonces: x < Me < Mo. A) FFF B) VFF C) VFV D) VVF E) VVV Considerando los datos: 8; 5; 3; 5; 6; 4; 6; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 3; 5; 6; 6; 6; 7; 4. Responda verdadero (V) o falso (F) I. El recorrido o rango es 5 II. La mediana es 7 III. La moda y la mediana suman más de 15. A) VFF B) VFV C) VVV D) VVF E) FVV En los resultados de un examen se observó lo siguiente:  72% de los evaluados tienen a lo más nota 15.

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

47% de los evaluados tienen una nota menor que 11.  La nota mínima aprobatoria es 11. ¿Qué porcentaje de los aprobados tiene a lo más el 75% de la nota máxima, siendo ésta igual a 20? A) 48 B) 47,17 C) 46 D) 42 E) 41,3 29.

Se conocen los datos de los pesos de 750 estudiantes distribuidos en 5 intervalos de base con un ancho constante e igual a 10, si la marca de clase del tercer intervalo, x3 = 45 kg; f1 = 150, h2 = 0,40. Hallar la mediana. A) 37,5 B) 38,5 C) 39 D) 40,5 E) 41

30.

Se tiene una distribución de frecuencias con cinco intervalos de clase, cuyas frecuencias relativas son: 3 - k 2k + 2 k + 1 +1 - 3k k + 2 ; ; ; ; , 5 5 5 5 5 respectivamente. Determinar los valores de k que hagan cierto el enunciado anterior. 1 A) k   B) k  < 0; 3 > 1 2 C) k  < –1; 3 > D) k  < 0; 3 > 1 1 E) k  < – 2 ; 3 >

31.

Se tiene una distribución de frecuencias con 5 intervalos de clase cuyas frecuencias relativas son: 2 - k 2k k 2 - 3k k + 1 ; ; ; ; 5 5 5 5 5 respectivamente. Determine los valores de k que hagan cierto el enunciado anterior. A) k  R+ B) k  R 2 C) k  R – x / x � 0; 3

{ D) k  R – {

}

x / x � -1;

}

2� 3� �

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4

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� � 2 � ; E) k  R – �x / x �-�ȥ; 0 ] � � 3 � � 32. Dada una tabla de distribución de frecuencias se sabe que H 7 = 1, x3 = 18, f5 = 30, f1 = 3f2, h3 = 3h6, H1 = 0,18. Calcular la suma de la media y mediana, si la distribución es simétrica y x6 = 39. A) 25 B) 30 C) 32 D) 50 E) 60

33.

Se tiene una distribución simétrica de 5 intervalos de clase (ancho de clase común), donde el límite inferior del segundo intervalo es 36. La moda 7 es los del ancho de clase. 2 Encuentre la media más la mediana. A) 124 B) 125 C) 126 D) 127 E) 128

34.

De los datos de una tabla de distribución de frecuencias simétrica, con 5 intervalos de ancho de clase común se observó: Me = 24; x1 = 16, x3=24, f3=2f1, f5 = 2f2. ¿Qué porcentaje del total son menores de 30? A) 65 B) 70 C) 75 D) 80 E) 90

35.

De un cuadro de distribución de frecuencias, con cuatro intervalos de clase y ancho de clase común, la mediana excede a la media en 0,4; la ) f moda es 12, 6 , se sabe que: f2=2f1= 3 2 f +f y f4 = 2 3 . Hallar la mediana. 2 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

36.

La distribución de pesos de n artículos se han ordenado en una tabla de frecuencias de siete intervalos de igual ancho de clase, donde: Valor mínimo = 50 g;

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valor máximo = 120 g � h1 = h7; h3 = h5 ; h5 + h6 + h7 = 0, 36 f1 + f2 + f3 + f4 = 560; f1 = 64 ¿Cuántos de estos artículos tendrán un peso mayor o igual que 60 y menor que 110 gramos? A) 745 B) 746 C) 748 D) 750 E) 752 37.

Al clasificar las notas de 0 a 100 en un examen, se obtuvo una distribución simétrica, con 5 intervalos de clase de igual ancho. Si el 10% de alumnos desaprobó con menos de 20, mientras 4 que los del total obtuvieron notas 10 comprendidas entre 40 y 60. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron una nota menor de 60? A) 68 B) 70 C) 72 D) 75 E) 80

38.

Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de clase de igual amplitud resultando ingreso mínimo $125, marca de clase del cuarto intervalo de clase: $300. Si el 8% de los ingresos son menores que $165 y el 70% de los ingresos son menores que $275. El porcentaje de ingresos que son superiores a $285 es: A) 0,22 B) 0,24 C) 0,26 D) 0,28 E) 0,32

39.

Un conjunto de n artículos cuyos valores de venta serían $5 en el 30% de los casos, $7 en el 45% de los casos y $10 en los casos restantes, tienen un costo de producción fijo de $k. Si se quiere hacer una inversión mínima, se supone que la inversión es igual a la suma de todos los cuadrados de todas las utilidades, el valor de k es: ARITMÉTICA

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A) 5,75 D) 7,15 40.

B) 6,75 E) 7,25

C) 6,85

La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron: 36 19 29 37 33 27 27 24 26 31 15 41 30 18 39 46 26 12 23 18 33 25 28 23 28 22 29 31 21 35 27 17 31 10 28 20 4 25 34 24 Elabore una distribución de frecuencias con 7 intervalos de clase. El porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares es: A) 8,5% B) 11,5% C) 12,5% D) 15% E) 17,5%

Calcula la mediana de estas temperaturas. T(°C) 20,5 20 19,5 19 18,5 18 17,5 N(días) 2 4 3 13 3 4 2 A) 18,75 B) 19,00 C) 19,5 D) 19,6 E) 19,75

El valor de a + b + c es: A) 10,25 B) 12,00 D) 14,75 E) 18,25 44.

43.

Programa s A B C D CEPRE-UNI

fi

hi

a 0,1 10 b … 0,3 c ….

n° de obreros 14 17 25 10 14

[27; 27 [27; 32 [32; 37 [37; 42 [42; 47

Encontrar el porcentaje de obreros cuyas edades están comprendidas entre 35 y 40 años. A) 20 B) 24 C) 30 D) 32 E) 36 45.

Calcular la mediana de los siguientes datos: Intervalo fi 10 – 20 2 20 – 30 3 30 – 40 5 40 – 50 8 50 – 60 12 A) 43,00 B) 44,50 C) 45,72 D) 46,25 E) 47,20 La siguiente tabla muestra las preferencias de 40 alumnos encuestados sobre sus programas de televisión favoritos

C) 12,50

Se tiene la siguiente tabla acerca de las edades de los obreros de una cierta empresa Edades

41.

42.

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Calcular la diferencia entre la moda y la mediana, sabiendo que la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo. Intervalo 16 – 32 32 – 48 48 – 64 64 – 80 80 – 96 A) 1 D) 4

46.

B) 2 E) 5

fi 6 n 8 3n 3 C) 3

Se muestra las notas de 1000 alumnos correspondientes a un examen Ii [0; 4 [4; 8 [8; 12 [12; 16 [16; 20

fi 150 300 200 250 100

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¿Qué porcentaje de los alumnos tuvieron una nota comprendida entre la media y la mediana. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 47. La siguiente tabla muestra la distribución de las notas en un examen. ¿Qué porcentaje tuvieron una nota comprendida entre 08 y 17? Nota 0–5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 A) 40,0 D) 62,4 48.

49.

50.

A) 4,00 D) 6,15 C) 52,4

51.

Se tiene una cafetera que tiene tres filtros en la cual las masas de café que quedan en los filtros se muestran en la tabla Filtros m(g) f1 7 f2 8 f3 10 f4 20 Entonces el porcentaje de café que pasó el tercer filtro es: A) 33,3 B) 41,3 C) 44,4 D) 55,5 E) 56,6 En la siguiente tabla se muestran los puntajes obtenidos en una prueba calificada. ¿Qué porcentaje obtuvieron notas entre 10 y 15? Intervalos 0; 4] 4; 8] 8; 12] 12; 16] 16; 20] A) 29,8 D) 31,3

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Cantidad 120 350 460 320 250

B) 30,1 E) 32,2

En la tabla se indican los tiempos de espera en las ventanillas de un Banco. Calcule la media del tiempo de espera, si en total se disponía de 160 datos. Tiempo (min) 0–3 3–6 6–9 9 – 12 12 – 13

Alumnos 7 18 15 10

B) 45,0 E) 65,0

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C) 30,4

hi 0,3 0,05 0,1

B) 5,50 E) 6,75

C) 6,00

Respecto a la tabla, indique verdadero (V) o falso (F): I. 78 alumnos demoran de 5 a 15 min II. La frecuencia absoluta de 20–25 es 34 III. La frecuencia relativa de 25–30 es 0,18 IV. Tiempo que demoran 200 alumnos en llegar a su C.E. Tiempo (min) 5 – 10 min 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 A) VFF D) FFF

52.

fi 32

fi

36

B) FFV E) VVV

hi 0,24 0,15 … 0,17 … C) VFV

Completar y hallar la media, sabiendo que f1 = f4 Intervalo – 24 – –

f

h 0,4

8

H 0,8 � 3

– 42 A) 27,6 D) 30,6

B) 28,6 E) 31,6

C) 29,6

ARITMÉTICA

7

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53.

Las notas del examen final de Aritmética dieron la siguiente distribución de frecuencias. Marca de clase

Ii [ ; [6 ; [ ; [ ; [ ;

    ]

54.

A) 70 B) 72 D) 76 E) 78 56. Sea la tabla

13,5

Calcular la mediana A) 30 B) 40 D) 60 E) 70

0,10

Reconstruir la siguiente distribución simétrica y determine la suma de la media, la mediana y el número de datos. Intervalos Xi [10; 12 [12; 14

fi

Fi

57.

Número de establecimiento s

0,24

55.

58. B) 80 E) 140

C) 100

Ingreso [640; 680 [680; 720 [720; 760 [760; 800 [800; 840 CEPRE-UNI

fi

Fi

48

60

Hi

0,125 0,075

16 3

C) 50

0100

100150

150200

200300

300400

400600

26

47

73

30

14

10

Dada la distribución de los ingresos familiares en miles de u.m.:

Ingresos Familias

La tabla muestra la distribución del ingreso familiar mensual de 80 familias. Se pide determinar el número de familias que ganan menos de 800 soles mensuales.

2 4

Las ventas medias por establecimiento es: A) 156,85 B) 168,54 C) 168,93 D) 186,75 E) 198,25

7 26 5

A) 60 D) 120

fi 1

Una red comercial dispone de 200 establecimientos. Se han observado las ventas mensuales, en miles de u. m. de cada uno de ellos y se ha obtenido la siguiente tabla:

Ventas

Hi

[18; 20]

C) 75

Ii xi [ (2q - 3)(4q) ;  [ ;  38 [ ; (2q)q  [ ; 50 [ ; (2q + 1)(4q) >

Frec Fre Rel Relativa Acumul 0,15 0,45 0,70

El porcentaje de las notas que se encuentran aproximadamente en el intervalo [8; 14> es: A) 38,4 B) 39,3 C) 42,4 D) 46,8 E) 48,3

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0-10 10-20 10 30

20-30 30-40 40 15

40-50 5

Se puede decir que: A) El 50% de las familias tienen una renta máxima de 18 000 u.m. B) Más de la mitad de las familias superan los 30 000 um C) Solamente un 40% de las familias no superan las 20 000 u.m. D) El número de familias con ingresos superiores a 30 000 u.m. es 15 E) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. ARITMÉTICA

8

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59.

La tabla muestra la distribución de sueldos de 210 trabajadores de una empresa. Sueldo 700 – 800 800 – 900 900 – 1000 1000 – 1100 1100 – 1200

Trabajadores 100 20 60 20 10

Debido al aumento de la productividad los sueldos tuvieron un incremento del 10% y adicionalmente un aumento de S/.50. Hallar el nuevo sueldo promedio. A) 800,71 B) 900,71 C) 1000,71 D) 1100,71 E) 1200,71 60.

kw 10

4 2 0

62.

El siguiente gráfico muestra el consumo de energía durante un día en una cierta fábrica. ¿Qué porcentaje del consumo diario se consume desde los 19 hasta las 24 h?

19

24

B) 40,27 E) 52,52

C) 44,64

Dado el siguiente histograma de frecuencias relativas. ¿Cuántas observaciones hay en el rango [c, f] si la población es de 400? 8x 4x 2x x

rango a

b

A) 215 D) 255 63.

c

d

e

B) 225 E) 275

f

C) 235

En el histograma se tiene que la ) moda es 7, 3 , luego f2 + f3 es: fi 8 f3 f2 3 2 2

A) 10 D) 13

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12

Hora del día

hi

N° de em- Ingreso anuales (y) pleados (x) 50–100 100–250 250–1000 10 – 30 6 2 0 30 – 50 1 1 0 50 – 100 0 0 10

61.

7

A) 34,50 D) 48,15

En una muestra de 20 empresas del sector metalúrgico se obtuvieron los siguientes datos sobre el número de empleados (x) y sus ingresos anuales en millones de u.m.

La suma del número que representa los ingresos medios anuales y el que representa el número de empleados medio es: A) 414,5 B) 485,5 C) 487,5 D) 492,5 E) 493,5

SEMINARIO Nº 06

4

6

B) 11 E) 14

8

10

12

x

C) 12

ARITMÉTICA

9

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

64.

SEMINARIO Nº 06

datos 300 y la tercera marca de clase 35.

Calcule la suma de la mediana y la moda a partir del siguiente histograma de frecuencias.

6x

fi 38 5x 4x 3x 2x

34 26 24

a

18 8

12

A) 36,425 D) 37,345 65.

16

20

24

B) 37,145 E) 37,365

28

A) 32,00 D) 44,33

x

C) 37,235

b

67.

Un grupo de automovilistas tiene las siguientes velocidades que se reflejan en la gráfica; si se toma como promedio de velocidades, la medida que depende de los datos ordenados y no de sus respectivos valores, luego en 5 horas, recorrerán un valor medio los km de:

c

d

B) 38,46 E) 50,00

e

f

C) 43,57

Dado el siguiente histograma de frecuencias, si el área encerrada por el polígono de frecuencias es 800 u2, la media aritmética vale 37,5 hallar la suma de las cifras de número de datos que hay en el intervalo [40, 61. fi 20 b

fi 8

c Ii

5 4 2

66.

140

B) 418,75 E) 530,2

Velocidades (km/h)

C) 501,60

Dado el siguiente histograma de frecuencias relativas. Halle la media aritmética de los datos comprendidos en la distribución [c, f, sabiendo que todos los intervalos son de igual ancho e igual a 10, siendo el total de

CEPRE-UNI

20

A) 6 D) 9

2

20

A) 411,5 D) 525,5

10

4

68.

30

40

B) 7 E) 10

50

60

C) 8

La distribución de los tiempos, en minutos, que utilizaron 65 personas para realizar una prueba de aptitud aparece representada en el siguiente histograma: f

15 13 10 5 2

8

9

10

t ARITMÉTICA 10 11 12 13 14

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

71. El porcentaje aproximado de las personas que emplearon entre 10 y 12,5 minutos es: A) 46,8% B) 48,6% C) 52,4% D) 54,8% E) 56,8% 69.

SEMINARIO Nº 06

Dada la ojiva correspondiente a las notas de los alumnos de un determinado salón. Hallar la moda.

100% 70% 60%

En el siguiente histograma, la marca de clase del primer intervalo de clase es 3,8. ¿Cuál es el ancho de clase, sabiendo que la mediana es 6,2?

50% 5%

xi

fi

4

106

55

72.

20

) C) 8,2 6

f 100%

20 Ii

70.

16

Para la ojiva que se muestra

35

A) 0,1 D) 0,4

12

) B) 8,2 3 ) E) 8, 3 2

) A) 8, 1 ) D) 8, 3

70

8

B) 0,2 E) 0,5

55%

C) 0,3

70% 15%

En la siguiente ojiva se muestran los sueldos de los trabajadores de un organismo estatal. Hallar la diferencia entre la media y la mediana.

0

100

73.

48 30

2

Hallar la mediana. ) A) 2,1 B) 2,2� ) ) D) 2, 4 E) 2, 6

Fi

95 70

1

3

4

x

) C) 2, 3

¿Qué porcentaje de alumnos tiene edades comprendidas entre 10 y 15 años? 100

xi 300 600 900 1200 1500 1800

� A) 2, 47 � D) 6, 27

� B) 3, 27 � E) 9, 27

� C) 4, 72

55 45 25 10

CEPRE-UNI

7 12

edades 17 22 30 ARITMÉTICA 11

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) 10% D) 21% 74.

B) 14% E) 23%

SEMINARIO Nº 06

C) 18%

Una muestra mineral contiene plata, azufre y oxigeno, se examinó y se expresó mediante la gráfica:

Distribución de proteínas Otros

piel

Ag 144° S

huesos

162° O

músculos:

Si la cantidad de plata en la muestra es 20 gramos, luego la masa de dicha muestra es: A) 131,2 B) 133,3 C) 135,6 D) 137,8 E) 140,0 75.

En una encuesta de opinión acerca de las preferencias de una marca de bebida gaseosa por sus colores: negro(N), blanco(B), rojo(R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas: N, B, B, N, R, B, B, N, N, B, N, B, B, R, N, B, N, R, N, B con lo cual se puede construir su gráfica de sectores circulares. Se puede afirmar que (x + y – z) es: y%

¿Qué porcentaje del peso total del cuerpo humano(75 kg), corresponden al peso total de la piel.? A) 2,5% B) 5,0% C) 7% D) 9% E) 10% 77.

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dados n valores xi se transforman en yi = axi + b, i; a y b ctes. Si X es la media de los datos originales, la media de los datos transformados es aX + b . II. La suma algebraica de las desviaciones de n datos xi con respecto a su media X , es igual a cero. III. La suma de los cuadrados de las desviaciones de n datos con respecto a su media es mínima. A) FFF B) VFF C) FVF D) VVF E) VVV

78.

Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 2 = x2 - x2 , x representa a la variable datos. II. Un conjunto de números puede no tener moda.

R x%

A) 10 D) 25 76.

N

z% B

B) 15 E) 27

C) 20

Se tiene la siguiente información acerca del cuerpo humano: Distribución de materiales en el cuerpo Otros materiales 20% Proteínas 20%

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Agua: 60%

ARITMÉTICA

12

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III. Si a todos los datos se les suma una misma cantidad positiva entonces la desviación estándar cambia de valor. A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) VFF 79. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La marca de clase es el número que representa a todos los datos contenidos en el intervalo de clase. II. La fórmula de la moda se aplica solo en distribuciones con una sola frecuencia máxima. 2 1n 1n 2 2 III. S2 = �fi(xi - x) = �fixi - x n i =1 n i =1 A) VVF B) VVV C) VFF D) FVF E) VFV 80.

Fi 10 30 60 80

Calcular la desviación estándar. A) 2,15 B) 2,36 C) 3,25 D) 4,62 E) 5,61 81.

82.

que una bola seleccionada al azar de una urna que contenga cuatro bolas con los posibles colores del coche: blanco, rojo, azul, y negro. ¿Cuál es la probabilidad de elegir coche rojo o azul? 1 2 3 A) B) C) 4 4 4 3 4 D) E) 5 5 83.

Los precios de los pasajes de seis líneas de transporte son 15; 20; 50; 100; 300 y 400 soles. Si una persona tiene 80 soles, luego la probabilidad de que elija una de las líneas de transporte es: 1 1 5 A) B) C) 2 6 6 1 2 D) E) 3 3

84.

Al lanzar 2 monedas, la probabilidad de obtener 2 caras es: 1 3 1 A) B) C) 2 4 4 1 1 D) E) 8 3

85.

Al lanzar 3 veces una ¿Cuál es la probabilidad salgan 2 caras? 2 3 A) B) C) 7 8 1 1 D) E) 2 4

De la tabla xi 2 4 7 9

Se tiene 3 tarjetas con las letras N, I y U. Si se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es la posibilidad de que se obtenga la palabra UNI? 1 1 1 A) B) C) 9 6 3 2 2 D) E) 9 3 Un centro comercial sorteó un coche entre los clientes que habían acudido en el último mes. La familia ganadora no consigue ponerse de acuerdo con el color del coche, por lo que el director del centro comercial les propone elegir uno del mismo color

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SEMINARIO Nº 06

86.

moneda. de que 3 4

Al tirar 3 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los 3 números obtenidos sea menor que 216? 1 2 5 A) B) C) 3 3 6 125 215 D) E) 216 216

ARITMÉTICA

13

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

87.

Calcule la probabilidad que al lanzar cinco dados, se obtenga en cada uno, un valor impar. 1 1 3 A) B) C) 8 16 16 3 1 D) E) 8 32

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo o un número impar? 1 2 3 A) B) C) 6 6 6 4 5 D) E) 6 6 89. La probabilidad que el agua pase por cada ducto del circuito es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad que el agua no llegue al punto B?

1 3 1 D) 2

88.

Tubo 2

B) 0,60% E) 0,84%

C)

1 4

El cardinal del espacio muestral es M, sean los eventos independientes A y B si se sabe que: 2 P(A) + P(B) = P y P(AB) = P . Hallar el 4 cardinal de A. M 2 MP A) 2 B) 2 P + P + 1 M 2 D) 2 P - 1 - P C) MP MP E) 4

)

(

)

94.

Dos personas A y B son distribuidas al azar en tres oficinas numeradas con 1, 2 y 3 respectivamente, pudiendo estar ambas en una misma oficina. ¿Cuál es la probabilidad que la oficina 2 se quede vacía? 2 3 4 A) B) C) 9 9 9 5 6 D) E) 9 9

B

Tubo 3

A) 0,40% D) 0,82%

B)

(

Tubo 1 A

2 5 3 E) 4

A)

93.

SEMINARIO Nº 06

C) 0,80%

90.

En una caja hay 20 fotografías en la cual hay 6 mal tomadas. Luego la probabilidad de tomar 2 fotografías, las cuales 2 sean defectuosas, es: 3 5 2 A) B) C) 25 28 33 3 5 D) E) 38 41

95.

Diez libros se colocan en un estante en forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad que tres libros determinados, sean colocados juntos? 7 6 3 A) B) C) 15 15 15 2 1 D) E) 15 15

91.

Calcule la probabilidad de obtener una suma que sea número primo con el lanzamiento de dos dados. 1 2 5 A) B) C) 6 9 12 1 7 D) E) 18 36

96.

92.

Se ubican cinco personas (dos de ellas son A y B) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay que A y B no se ubiquen juntos.

En una oficina trabajan 6 hombres y 4 mujeres. Se debe elegir dos representantes. ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean hombres? 1 1 1 A) B) C) 2 3 4 2 2 D) E) 3 5

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ARITMÉTICA

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SEMINARIO Nº 06

97.

Se ubican 10 monedas probabilidad de que al sacar una observándose 4 caras y 6 sellos. Se bolilla el número que tiene esté separan 6 monedas al azar. ¿Cuál es comprendido entre 1 y 5, luego de la probabilidad que resulten 3 caras y reponerla se saque una bolilla cuyo 3 sellos? número esté comprendido entre 6 y 9? A) 0,09 B) 0,08 C) 0,08 8 1 1 A) B) C) D) 0,06 E) 0,05 21 3 7 10 11 D) E) 21 21 98. Se toman cinco cartas del mazo de 103. Dos estudiantes están matriculados 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de en un curso. El estudiante A asiste a que exactamente dos de las cartas clase el 80% de los días y B el 60%, y sean ases? sus ausencias son independientes. La Nota.- El juego de naipes contiene en probabilidad de que, al menos, uno de total 4 ases. los dos esté en clase un día A) 0,0399 B) 0,0525 C) 0,0787 cualquiera es: D) 0,0859 E) 0,0992 A) 0,08 B) 0,92 C) 1,40 D) 0,48 E) 0,64 99. Una urna contiene 5 fichas rojas y 6 fichas negras. ¿Cuál es la 104. Al llegar a su casa después de probabilidad que al extraer tres fichas, vacaciones una chica recoge del dos sean rojas y una sea negra? buzón 11 cartas. De éstas, 6 son del � � � Banco, 3 de familiares y 2 de A) 0, 24 B) 0, 25 C) 0,27 publicidad. La chica elige al azar 2 � � D) 0, 32 E) 0,36 cartas para leerlas. La probabilidad que sean del mismo tipo es: 100. En una urna hay 16 bolas, de las A) 0,2749 B) 0,34545 C) 0,5 cuales 11 son de color rojo y el resto D) 0,65465 E) 0,67545 son de color blancos. Se extraen dos bolas, una por una. Halle la 105. En una urna hay 24 bolas de 3 probabilidad de que sean ambas sin colores diferentes. Si al sacar una reposición de color blanco. bola cualquiera las probabilidades de 1 1 1 que salgan: una roja es 0,5, una verde A) B) C) 10 12 14 es 0,375 y una azul es 0,125, ¿En 1 1 cuánto excede el número de bolas D) E) 15 16 rojas al de azules? A) 3 B) 4 C) 6 101. En una caja hay 8 bolas blancas y 8 D) 8 E) 9 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una primera bola ésta 106. Para ganar la Tinka, los seis sea blanca y sin reponerla, se saca números que elija una persona entre una segunda bola y ésta también sea el 1 y el 45 deben ser los mismo que blanca? los seis que seleccione al azar de la A) 0,206… B) 0,212… C) 0,233… lotería. En cada boleto de lotería que D) 0,246… E) 0,25 se compra hay dos elecciones distintas de los 6 números. ¿Cuál es 102. Se colocan 10 bolillas numeradas del 1 al 10 en una caja. ¿Cuál es la CEPRE-UNI

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SEMINARIO Nº 06

la probabilidad de ganar la Tinka con A) 32,1% B) 32,2% C) 32,3% un billete de esa lotería? D) 32,4% E) 32,5% A) 0,000000128 B) 0,000000205 111. Sean A y B dos eventos C) 0,000000245 D) 0,000000275 independientes tales que la E) 0,000000308 probabilidad de que ocurran simultáneamente es 1/6 y la 107. Una caja contiene 8 dulces de probabilidad de que ninguno ocurra es limón, 6 de fresa y 4 de naranja. La 1/3. Encontrar la probabilidad de que cantidad de elementos que tiene el ocurra A más la probabilidad de que espacio muestral que resulta de ocurra B. extraer al azar un dulce de cada sabor 2 1 5 es: A) B) C) 3 3 6 A) 48 B) 64 C) 80 4 1 D) 105 E) 192 D) E) 5 2 108. Una fábrica de focos pone en una caja 20 focos de los cuales 6 están 112. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio malogrados, al pasar por el control de es 2/5 y la de ganar el segundo calidad el supervisor saca 4 focos al premio es 3/8. Si la probabilidad de azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ganar al menos uno de los 2 premios al menos una de ellas esté fallada? es 3/4, calcular la probabilidad de A) 0,4; 0,5 B) 0,5; 0,6 ganar solo uno de los dos premios. C) 0,6; 0,7 D) 0,7; 0,8 1 7 11 E) 0,8; 0,9 A) B) C) 8 40 40 17 29 109. En la UNI el 30% de los estudiantes D) E) 40 40 son costeños, el 10% estudian Ingeniería Mecánica, el 1% son costeños y estudian Ingeniería Mecánica. Si se selecciona al azar un estudiante de la UNI. ¿Cuál es la probabilidad que sea costeño o pertenezca a Ingeniería Mecánica? A) 0,30 B) 0,39 C) 0,50 D) 0,60 E) 0,70 110.

En cierta ciudad, el porcentaje de personas que leen los periódicos A, B y C y sus combinaciones es como sigue: A: 9,8% B: 22,9% C: 12,1% A, B y C : 2,4%

A y B: 51% A y C : 3,7% B y C : 6%

¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos? CEPRE-UNI

ARITMÉTICA

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SEMINARIO Nº 06

CEPRE-UNI

ARITMÉTICA

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ÁLGEBRA 1. Resolver el problema de programación lineal Maximizar z(x,y) = 3x + 2y Sujeto a las restricciones x+y1 x  0, y  0 A) -2 D) 3

B) 0 E) 4

C) 2

2. Maximice f (x,y) = 4x + 6y, sujeta a : x + 3y  6 3x + y  8 x  0, y  0 A) 9,8 D) 16,5

B) 10,7 E) 18

C) 12

3. Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 3y sujeta a las restricciones: 30x + 20y  1800 ; x + y  80; x  0; y0 A) 220 D) 260

B) 240 E) 280

C) 250

x 2

x  20; y  40 , x, y  Z+ A) 120 D) 150

B) 130 E) 160

C) 140

5. Minimizar : C(x,y) = 6x + 8y, sujeta a las restricciones 40x + 10y > 2400 10x + 15y > 2100 5x + 15y > 1500 x > 0, y > 0 A) 1100 CEPRE-UNI

B) 1140

D) 1800 E) 1920 6. Un sastre tiene a su disposición 16 m2 de algodón, 11m2 de seda y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo siguiente: 2m2 de algodón, 1m2 de seda, 1 m2 de lana. Una túnica requiere lo 2 2 siguiente:1m de algodón, 2m de seda, 3m2 de lana. Si el traje se vende por $30 y una túnica por $50, ¿cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero? A) 8 trajes B) 4 trajes C) 7 trajes 0 túnicas 3 túnicas 2 túnicas D) 3 trajes 4 túnicas

E) 5 túnicas 0 trajes

7. Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjunta: Maíz Utilidad : $ 40 por hectárea Trabajo : 2 hectáreas por hora Trigo Utilidad : $ 30 por hectárea Trabajo : 1 hectáreas por hora ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?

4. Maximizar f(x, y) = x + y si x + y  150 y

SEMINARIO Nº 06

C) 1200

A) 12560 D) 18210

B) 14500 E) 20200

C) 17600

8. En una urbanización del distrito de Surco, se van a construir casas de dos tipos: económicas y super económicas. La empresa constructora dispone de $ 1800 000, siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $20 000 respectivamente. La municipalidad exige que el número total de casas no debe ser superior a ÁLGEBRA

17

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

80. sabiendo que el beneficio por la venta de una casa económica es de $4000 y por la super económica $3000. ¿cuántas casas super económicas deben construirse para obtener el máximo beneficio? A) 20 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 9. Una compañía produce dos tipos de artículos, mecánicos y eléctricos mensualmente. Cada uno requiere para su fabricación del uso tres máquinas A, B y C. En la tabla adjunta se muestra la información relacionada con la fabricación de estos dos tipos de artículos. Mecánico Eléctrico Max. de horas disponibles

A

B

C

Utilidad/unidad

2h 1h

1h 2h

1h 1h

$4 $6

180h 160h 100h

Se sabe que la compañía vende todos los artículos que produce. Determine la utilidad máxima mensual (en dólares). A) $ 360 B) $ 400 C) $ 440 D) $ 480 E) $ 520 10. Un pequeño negocio se especializa en vender dos tipos de artículos A y B. Si “x” representa la cantidad de artículos producidos del tipo A “y” represente la cantidad de artículos producidos del tipo B, sujetos a: 2x + y  8 2x + 3y  12 Determine la utilidad máxima P, si está dada por: P(x, y) = (3x + y).1000 dólares. A) $4000 D) $11 000

CEPRE-UNI

B) $8000 C) $10 000 E) $12 000

SEMINARIO Nº 06

11. Determine

el

término

20

en

la

� 9 64 625 � ; ; ; ...� � 4 27 256

2; sucesión �

21

A) 2

20

B) 21 20

�21 � C) � � �20 �

20

20

�21 � D) � � �20 �

�20 � E) � � �21 �

12. Determine el n-ésimo término de la sucesión: � 3 7 13 21 � 1; ; ; ; ;.....� � � 5 11 19 29 2n - 1 4n - 3 n2 + n - 1 C) 2 n -n+2 n2 - n - 3 E) 2 n +n-5

2n - 3 2n2 - 3 n2 - n + 1 D) 2 n + n -1

A)

B)

13. ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión? { 13; 16; 21; 28; 37; ….. ; 796 } A) 26 D) 29

B) 27 E) 31

C) 28

14. Determine el término n-ésimo de la �5 9 � ......� � 9 27

1, , sucesión � 1n + 2n A) 3n 4n - 3n D) 3n

15. Si Sn =

2n + 3n B) 3n 4n + 3n E) 3n

2n - 3n C) 3n

n-3 es la suma de los “n” 3n + 2

primeros términos de una sucesión. Halle el término an+1. A)

9n ( 3n + 5 ) ( 3n + 2 )

ÁLGEBRA

18

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

20. Determine cuántas proposiciones son verdaderas: I. Si {an} es creciente, {bn} es creciente cuando bn = an + 2n. II. Si {an} es creciente, {–an} es decreciente. III. Si {an + bn} es creciente, entonces {an} y {bn} son crecientes.

n

B)

( 3n + 5 ) ( 3n + 2 )

C)

11 ( 3n + 5 ) ( 3n + 2 )

D)

3n - 5 ( 3n + 5 ) ( 3n + 2 )

E)

3n - 2 ( 3n + 5 ) ( 3n + 2 )

{ } n�Z0+

16. Si an

ao=49,

A) solo I D) I y II

es una sucesión tal que 1

a1=7,

an= 7 n(n-1)

 n  2, entonces la suma de las cifras del producto de todos los términos de la sucesión {an}, cuando n crece ilimitadamente es. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 17. Dada la sucesión {a1, a2, …., an}; si a1 = 2 y an+1 = 2an , n  1, determine el exponente de 2 en el término an A) 2–n B) 1 – 2n C) 1 + 2–n D) 1 – 2–n E) 2n–1 18. Sea la sucesión {an} cuyos cuatro primeros términos

5 9 13 17 , , , ,…. 5 10 15 20

Determine a partir de que lugar los términos de la sucesión son menores que 0,81. A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 19. Indique la sucesión o sucesiones que cumplen: an < an+1  n  1 I. {2n + 1} A) solo I D) I y III

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SEMINARIO Nº 06

�n � �2

II) � n � B) solo II E) I y II

�3n - 1� � �4n + 1

III. �

C) solo III

21. Dada an =

B) solo II E) II y III la

1 n +1

+

C) solo III

sucesión 1 n+2

+ ....

{an} 1 n+n

con

, indique

cuál(es) de los enunciados son correctos: I. La sucesión {an} es convergente II. La sucesión {an} es divergente III. La sucesión {an} es acotada A) solo I D) I y III

B) solo II E) II y III

C) solo III

22. Dadas las sucesiones: {n2–n}, n � � 1 �� � � 1 + ��, � � � n �� �

�n � �2 �, �n + 1

{n2},

� n 1� ( -1) � � n �

¿Cuántas de ellas son acotadas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 23. De los siguientes enunciados I. Toda sucesión creciente es acotada. II. Toda sucesión creciente y acotada es convergente. III. Toda sucesión acotada es convergente. Son verdaderos: A) I, II y III B) solo II C) I y II D) I y III E) III 24. Determine el valor de convergencia de la siguiente sucesión: �2 5 10 17 � ,....� �, , , �5 11 21 35 ÁLGEBRA

19

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I 13 � � �2 1 D) 2

A) � �

25. Sea

{ an} n�N

B) 7 E)

C) 6

1 8

an =

n

2 +3

n+1

3n + 2n+1

converge

B) 2 E) 5

1 3

B)

D) 6

2 3

C)

5 3

E) 8

n3 + 1 n2 + 1

+ an + b

B) -1 E) 2

28. Si

para que la

� � �n �

C) 0

la an+

converge a –

sucesión:

� � a3 n - n � � n� 1 1 . Determine el valor de 2

“a”. 1 A) 4

1 B) 2

D) 2

E) 4

B) 0 E) 3

E = lim

C) 1

2n + 10 - 2n + 1

n��

1 2 2 2 D) 3

n + 10 - n + 1 2 2 2 E) 4

A)

B)

C)

3 2

31. Determine el valor de convergencia de la sucesión {an}nN definida por : n+1

sucesión converge hacia cero De cómo respuesta la suma de estos valores. A)- 2 D) 1

A) – 5 D) 2

a

27. Halle los valores de a y b para que la sucesión {an} definida por: an = -

2n+1 � + 2n � �5 � la sucesión: � n � ; n N � 1 - 25 � n� 1

C) 3

26. Sea {an}nN una sucesión tal que an 0 y 15(an+1)2 = 2 + 7an; determine el valor de convergencia de la sucesión {an}. A)

29. Determine el valor de convergencia de

30. Determine el valor de :

a: A) 1 D) 4

SEMINARIO Nº 06

= 4an - an2 ; a1  0; 2

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

32. Sea la sucesión {an} definida por : n2 n+ 3 3�

� an = � 1- � � n�

y los enunciados:

I. {an} es acotada II. {an} es convergente III. {an} es divergente. Son verdaderos. A) I y II D) solo I 33. La sucesión

B) solo III E) II y III

C) solo II

4 5 6 � � 5� �3 � �4 � � � � , , ,.... � � �6 � �7 � � � 8� ����� � �

es convergente a: C) 1

A) 1 D) e–3

B) e–1 E) e–4

C) 2e–2 n

�n - 3 � 34. Determine el valor de: E = nlim � ��� �n + 2 � CEPRE-UNI

ÁLGEBRA

20

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

39. Determine el valor de n al resolver la –1

–2

A) e D) e–4

n

–3

B) e E) e–5

C) e

ecuación

� k = 4(n + 1) .

k =1

A) 3 D) 10 35. Determine el valor de

100

1 � � � � 2 � 25k + 5k - 6 � k =1� 20 B) 303 53 E) 303

20

� 9(2n + 1)2 - 4(3n - 1)2 � � � � n=1

B) 10505 E) 13705

37. Halle una fórmula sumatoria

C) 11615

1

1

-

m

1 m

1+ 1 �1+ 2 � i=1 i=1

A)

� 2 k =1 2k + 6k + 4

10300 10201 10400 E) 10401

B)

1 4

B)

D) 0

n

n C) n + 1 n ( )

1 D) n - 1 n ( )

E)

n 3 ( n + 2)

38. Si

an =

suma de los términos de la fracción

A) 40 D) 31 CEPRE-UNI

B) 60 E) 51

+2

m

1

� j =1 ( j + 1) ( j + 2 ) j

1 3

C)

1 2

42. Determine : n

A) (n – 1) 2n B) 1 + (n – 1) C) 2 + (n – 1) D) 4 + (n – 1) E) 3 + (n – 1)

1 , n �5 . Determine la n-4

resultante al efectuar

10200 10201

k.2k ) - � ( k.2k -1 ) ( � k =1 k =1

n

B) 4 n + 2 ( )

C)

E) 1

n

A) 2 n + 1 ( )

2n + 1

� 2 2 n=1 (n + n)

41. Calcule: S=

para la siguiente

n

19900 20101 10300 D) 10301

A)

37 C) 303

36. Halle el valor de la siguiente suma:

A) 10605 D) 12700

C) 8

40. Determine el valor de :

60

10 A) 303 41 D) 303

B) 6 E) 12

� ( an-1 - an ) . 20

n=6

C) 20

2n 2n+1 2n 2n

43. Calcule el valor de 50

30

A = ��( 3i + 2j ) i=1 j=2

A) 157 325 D) 157 328

B) 157 326 C) 157 327 E) 157 329

44. Calcule: ÁLGEBRA

21

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I n +2

n

� � i2 / 3 + i1/ 3 + 1 i1/ 3 + 1/ 3 + 1� � i -1 � 1- i �

� � J=1 i=2

A) 2n(n +1)

B) 2n(n + 2)

C)

D) 2n2

n(n + 1) 2

9 4 9 E) 5

B)

3 4

C)

4 3 8 D) 3

9 4 5 E) 3

B)

C)

7 3

S=

� (2n - 1)2

D) 2p2

48. Dada la serie

p2 8 7 p2 E) 2

B)

C)

n2 +n

1 4 1 E) 7 �

� �2 �

�

�

C)

1 5

2

� n n= 2 5

D)

B) 2

1 5

E)

C)

1 10

2 5

52. Determine el valor de convergencia de la serie: �

�

k =1

n2 .sen � � � � �; de �n � n=1

3 4

2-3n

B)

A) 1

E=

siguientes enunciados: I. La serie converge a 3/2 II. La serie converge a 1/3 III. La serie es divergente IV. La serie es acotada Cuáles son correctas. CEPRE-UNI

p 8

��

C)

51. Determine el valor de la serie:

1

p2 2

�( -1) n=1

1 2 1 D) 6

n=1

A)

�

A)

p2 47. Si � 2 = , determine el valor de: 6 n=1 n � 1 �

k +2 � �1 � � S=�� ( 8k + 1) � � � �2 � � k =1 � � � 3 1 A) B) 8 4 15 17 D) E) 4 4

E=

3 7 15 + + + ..... 4 16 64

A)

C) solo III

50. Determine el valor de:

46. Determine la suma de la serie S = 1+

B) solo II E) II y IV

�

2 3 �1 � �1 � �1 � S = 1 + 2 � �+3 � � + 4 � � + …….. �3 � �3 � �3 �

1 2 1 D) 8

A) solo I D) solo IV

49. Determine el valor de convergencia de la serie:

E) 2n2 + 2n + 1 45. Calcule:

A)

SEMINARIO Nº 06

los

A)

k -1 �� 1� � �k � � � �� 5� � � �

25 16

B) 2

D) 6

E)

C) 4

121 16

+�

53. Calcular

4n ( -1) 2-n � n=3

ÁLGEBRA

22

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

1 12 1 D) 24

A) -

1 12 1 E) 8

B)

�

54. Determine:

�

n= 0

1 A) 4

1 B) 3

D) 1

E) 2

C)-

1 24

� n3 � 1 (2)-n � ( ) � � �

B) 6 E) 12

2 C) 3

C) 8

56. El primer término de una progresión aritmética es – 3 y la suma de los 5 primeros términos es 105. ¿Qué lugar ocupa el término de valor 33? A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

57. Se tiene tres términos consecutivos en una progresión aritmética tal que el producto de estos es igual a la suma de los mismos al cuadrado; determine el menor de éstos. A) 6 D) 24

B) 12 E) 25

B) 9 E) 20

C) 12

Sn =

( 7n + 1) n , halle el t . 21

A) 72 D) 252

2

B) 144 E) 620

C) 148

60. Si los números x1, x2, ….., x11 están en P.A creciente tal que: x1 + x2 + ….. + x11 = 11 x12 + x22 +…. + x112 = 121 determine : x1. A) – 4 D) 6

B) – 2 E) 7

C) 1

61. Determine el menor número de términos que se debe interpolar entre 1 1 y 3 2

para que la razón de la

progresión aritmética sea menor que una milésima A) 160 D) 166

B) 162 E) 167

C) 163

62. El tercer término de una P.G es 144 y el sexto es 486. Determine la suma de los cinco primeros términos de la P.G. A) 144 D) 840

B) 288 E) 844

C) 448

C) 18

58. Una progresión aritmética tiene la propiedad de que el producto de los cuatro primeros términos es –15; la relación del segundo al tercero es 3. ¿Cuántos términos es preciso considerar para que la suma sea cero? CEPRE-UNI

A) 6 D) 18

59. Si la suma de los n primeros elementos de una progresión aritmética esta dada por:

55. Si en una progresión aritmética se conoce el término de lugar 4 que vale 10 y el término de lugar 10 que vale 22. ¿Cuál es el valor del término de lugar uno? A) 4 D) 10

SEMINARIO Nº 06

63. En una progresión geométrica se conoce el término de lugar 3 cuyo valor es 2 y el término de lugar 7 cuyo valor es 32. ¿Cuál es el valor del término de lugar 10? A) 32 D) 256

B) 64 E) 512

C) 128

ÁLGEBRA

23

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

D) 4 64. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces y el producto de ellas están en P.G. creciente, además el producto de sus raíces, la suma de ellos y la mayor de las raíces están en P.A. A) x2 + 6x – 8 = 0 B) x2 – 6x – 8 = 0 C) x2 + 6x + 8 = 0 D) x2 – 6x + 8 = 0 E) x2 + 6x + 10 = 0 65. Una progresión geométrica consta de un número par de términos, la suma de todos ellos es igual al triple de la suma de los términos impares, halle la razón de la P.G. A) 2 D) 8

B) 3 E) 16

C) 4

B) 729 E) 2916

C) 1456

B) 40 E) 80

69. Si

B) a11 E) a13

( n + 2) !

C) 50

n!

C) a9

� ( n + 12 ) ! � =5+� � halle ( n + 11) ! � �

valor de n, n  N. A) 1 CEPRE-UNI

B) 2

C) 3

n tér minos

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

71. Determine el valor de: E=

1313!+1.[ 12!]

14!

(13!)13!.(12!)13(13!)

A) 13 D) 12(13!)

B) 12! E) 13(13!)

C) 13!

72. Calcule el valor de n al resolver la

A) 1 D) 5

( n + 3 ) !(n + 5)!

(n + 3)!+ (n + 4)!

B) 3 E) 6

= 120

C) 4

73. Determine el valor de “x” en: (ax)! (ax + 1)! (ax + n - 1)! + + ... + (ax + n + 1)! (ax + 2)! (ax + 3)! (ax + n + 1)!

68. ¿Cuál es el primer término negativo de la progresión aritmética?  60, 53, 46, …. A) a10 D) a7

0! 1! 2! 3! � � 36� + + + + ...�= n2 + n 2! 3! 4! 5! � 1 4 4 44 2 4 4 4 43

( ax + n) !

67. Se interpolan siete medios geométricos entre 1280 y 5. Determine el término central de la progresión geométrica formada. A) 30 D) 60

70. Determine el valor de n en :

ecuación

66. Si se interpola 5 medios geométricos entre 8 y 5832 el quinto término de la progresión total es: A) 648 D) 1944

E) 5

=

n -1 a n-2 D) a

A)

C)

n+5 a

74. ¿De cuántas maneras podemos colocar en línea 10 libros, 5 de ciencias, 2 de razonamiento y 3 de letras, si los libros de una misma materia deben estar juntos? A) 2140 D) 7642

el

n+3 a n-3 E) a

B)

B) 4320 E) 8640

C) 5424

75. Con relación a la palabra “TEORIA” ¿cuántos palabras con las mismas 6 letras comienzan por T y terminan con A? ÁLGEBRA

24

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) 12 D) 120

B) 24 E) 720

C) 28

76. En una exposición en el museo de arte de París, se van a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de Rembrandt y 2 cuadros de Van Gogh. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse los cuadros, de modo que los de Rembrandt se encuentren siempre juntos? A) 288 D) 17280

B) 1728 E) 36288

B) 24 E) 64

C) 36

78. Queremos abrir un candado de combinación de 4 anillos, cada uno marcado con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5; pero no sabemos cuál es la combinación correcta ¿Cuál es el número máximo de intentos incorrectos que podemos realizar antes de encontrar la correcta? A) 520 D) 880

B) 624 E) 1200

C) 720

79. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 4 hombres y 3 mujeres de forma que estas ocupan los lugares pares? A) 12 D) 120

B) 24 E) 144

C) 1020

81. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de álgebra, 5 de aritmética y 2 de geometría, de forma que los de cada materia siempre estén juntos ¿De cuántas maneras se puede hacer? A) 1036200 C) 1036600 E) 1038900

B) 1036300 D) 1036800

82. Cinco alumnos forman cola en la ventanilla de la secretaria de cierta facultad ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer cola si el más alto y el más bajo no deben estar juntos? A) 36 D) 95

B) 72 E) 120

C) 81

83. Con todas las letras de la palabra “SELENE” determine en ese orden: i) el número de palabras distintas que puede formarse. ii) en cuántos de ellos tienen las 3 letras E juntas. A) 60; 36 B) 120; 24 C) 75; 48 D) 100; 36 E) 120; 12 84. En el siguiente gráfico, calcule el número de caminos que existen para ir de “A” a “B” siguiendo un recorrido mínimo. B

C) 72

80. De cuántas maneras diferentes 2 peruanos; 4 argentinos y 3 panameños pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos. CEPRE-UNI

B) 720 E) 1728

C) 2880

77. Con los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 ¿cuántos números de 3 cifras diferentes mayores que 300, se pueden formar? A) 20 D) 48

A) 360 D) 1725

SEMINARIO Nº 06

A

A) 56 D) 126

B) 70 E) 152

C) 86

ÁLGEBRA

25

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

85. Si el número de maneras posibles que se sienten en una mesa circular n personas, donde hay 2 amigos que siempre se sientan juntos es 240 ¿cuántas personas hay en la mesa circular? A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15 86. En una mesa redonda se sientan a degustar un cebiche, 8 personas. ¿De cuántas maneras podrán sentarse, si tres de ellos siempre deben estar juntos? A) 260 B) 540 C) 620 D) 720 E) 1024 87. ¿Cuántas pulseras se pueden hacer ensartado en un hilo 5 cuentas de colores diferentes? A) 12 D) 120

B) 24 E) 240

C) 60

88. Determine el valor de la suma de números combinatorios: 9 �10 � �11� �5 � �5 � �6 � �7 � �8 � �� E = � �+ � �+ � �+ � �+ � �+ ��+ � �+ � � 2 �2 � �2 � �2 � �3 � �4 � �5 � �2 � �� 11� �

A) � � 8

� � 12 � � D) � � �9 �

11� �

B) � � 9

� � 12 � � E) � � �7 �

12 � �

C) � � 8 � �

89. Determine el valor de la suma de números combinatorios 10 � � 10 � � 10 � � 10 � � 10 � � 10 � � E = � �+ � �+ � �+ � �+ � �+ � � 10 � �0 � �2 � �4 � �6 � �8 � �

A) 360 D) 512

CEPRE-UNI

B) 430 E) 518

C) 482

SEMINARIO Nº 06

90. Determine el valor de “x” en la ecuación: A) 3 D) 6

C x .C x -2 4 x -1 C 3

2

=

x 4

B) 4 E) 7

C) 5

91. Determine el valor de n en la siguiente ecuación: n n� n� n� �� � � � ��+ 14 � �+ 36 � �+ 24 � �= 256 1 2� 3� 4� �� � � �

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

92. Determine la suma:

( ) +(C ) +(C )

S = Cn

0

2

n 1

2

n 2

n A) Cn / 2

n+1 B) Cn

3n D) Cn

4n E) C2n

2

( )

+ ..... + Cnn

2

2n C) Cn

93. Determine el valor de “n” en la siguiente igualdad: n� � n - 1� � 5 � �= n � � 5� �3 � �

A) 4 D) 9

B) 6 E) 10

C) 8

94. ¿De cuántas maneras se pueden elegir dos o más corbatas de entre una colección de 5 corbatas? A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) 28 95. ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden tomar con 6 matemáticas y 5 físicos de manera que en cada uno se encuentran 4 matemáticos? A) 120 B) 140 C) 150 D) 180 E) 240

ÁLGEBRA

26

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

96. ¿Cuántas manos de poker contienen 102. En una reunión hay 10 hombres y 5 exactamente un full (3 de una mujeres; se van a formar grupos de 5 denominación y dos de otra)? personas, ¿cuántos grupos diferentes A) 3744 B) 3850 C) 4550 se formarán si siempre debe haber 2 D) 4884 E) 5772 mujeres en el grupo? A) 1600 B) 1200 C) 720 97. Seis hombres y seis mujeres compiten D) 450 E) 100 realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son ocupados por 103. Para elaborar un examen de 6 cuatro hombres y dos mujeres preguntas se dispone de un banco de determine el número de casos: 05 preguntas fáciles, 4 preguntas A) 160 000 B) 161 000 C) 162 000 regulares y 3 preguntas difíciles. ¿De D) 163 000 E) 164 000 cuántas formas diferentes puede elaborarse dicho examen si el número 98. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos de preguntas fáciles debe ser de 2 elementos cada uno ¿cuántos estrictamente mayor a las regulares y subconjuntos tendrá un total? el número de estas a su vez mayor o A) 7 B) 16 C) 32 igual que las difíciles? D) 64 E) 81 A) 30 B) 60 C) 120 D) 180 E) 274 99. Se tiene un examen que consta de 10 preguntas, de las cuales hay que 104. Nueve personas abordan un tren que elegir 7, si las dos primeras son tiene 3 vagones, cada pasajero obligatorias, determine de cuántas escoge aleatoriamente el vagón. ¿De maneras puede escoger sus cuántas maneras 2 pasajeros van en preguntas. un vagón, 3 en el otro vagón y 4 en el A) 24 B) 36 C) 42 vagón restante? D) 48 E) 56 A) 1260 B) 3780 C) 5040 D) 6300 E) 7560 100. De 7 hombres y 6 mujeres se debe escoger un comité de 5 personas. ¿De 105. Con 4 futbolistas y 8 nadadores cuántas maneras se podrá hacer esto; ¿Cuántos grupos pueden formarse de si en el comité deben haber, 2 6 integrantes cada uno, de tal manera mujeres? que en cada grupo se tenga por lo A) 250 B) 300 C) 360 menos un futbolista? D) 450 E) 525 A) 224 B) 600 C) 696 D) 805 E) 896 101. Un profesor tiene una caja de tizas de 4 colores: 6 blancas, 4 rojas, 106. Al desarrollar el binomio n 5 amarillas y 3 verdes. ¿De cuántas � xm yn+ 20 � + formas puede tomar 3 tizas de colores � �, se obtiene un solo �yn-10 x � � � diferentes, si el siempre usa una tiza término central cuya parte literal blanca? es x60 y600, determine el valor de A) 141 B) 282 C) 383 E = m + n. D) 424 E) 564 A) 25 D) 49 CEPRE-UNI

B) 38 E) 60

C) 44

ÁLGEBRA

27

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

111. ¿Cuántos 107. Determine la relación entre r y n para que los coeficientes de los términos de lugares 3r y r + 2 del binomio (1 + x)2n sean iguales. A) n = r B) n + r = 0 C) n = 2r D) r = 2n E) n = 3r 108. Si

en

el

desarrollo

del

binomio

21

�3 1 � �x + x � el término de lugar (r – 2) � �

términos

n

�n

�

�

�

presenta

el

desarrollo de: � x + y �si los términos 8 de lugares 7mo y 8vo tienen igual coeficiente? A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50 112. Determine el valor de “n”; si el término de lugar 25, en la expansión de n

�2 1 � 12 �x + 3 �contiene a x . x � �

contados a partir del último término A) 30 B) 40 C) 66 tiene por grado relativo a x, 7 ¿Cuál es D) 70 E) 78 el grado relativo a x del término que ocupa el lugar (r – 2) contados a partir 113. Si en el desarrollo de del primer término? (2x–3 – 3x2)n, el mayor exponente de x A) 27 B) 31 C) 35 es 24, determine el coeficiente del D) 39 E) 43 término que contiene a x4, para un valor mínimo de n. 109. Cuál(es) de los siguientes enunciados A) (495)(3)8 B) 495(2)2(–3)8 son correctos: C) 585(3)(–2)8 D) 590(2)2(–3)8 28 8 � 3 1� E) 595(3)(–2) 2x + I. Al desarrollar , el � �

x� �

término independiente ocupa el 114. Determine el valor de lugar 21. término del desarrollo de II. El número de términos racionales 32

1� � al desarrollar: �5 x + � es 7. x� �

III. El

término

de �

5

grado

al

40

252x15 y–25 A) xy2 D) x3y2

B) xy E) x2y3

M si el 6to 10

�x � + M � � �y 6 � es � �

C) x2y

1�

desarrollar: �x3 x + � ocupa el 115. ¿Qué lugar ocupa el término central x� � del desarrollo de la potencia del lugar 10 contado desde el final. 5n+ 2 �xn+1 an � A) solo I B) solo II C) II y III binomio: � � �a D) solo III E) I, II y III x � � � 110. La suma de los coeficientes de los términos 1º, 2º y 3º del desarrollo de: n

1 � � 3 � x + 4 � es 29. Obtener el término x� �

independiente del desarrollo. n  N. A) 7 B) 14 C) 35 D) 42 E) 56 CEPRE-UNI

Si se sabe que en su expansión hay 13 términos? A) 5º B) 6º C) 8º D) 9º E) 10º 116. Determine el número de términos que son fraccionarios en el desarrollo de: 50

1 � �6 2 �x - 2x + 2 � x � �

ÁLGEBRA

28

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) 22 D) 25

CEPRE-UNI

B) 23 E) 26

SEMINARIO Nº 06

C) 24

ÁLGEBRA

29

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

GEOMETRÍA 1. En la base de un cilindro recto de revolución se inscribe una región rectangular de área S. Halle el volumen del mayor cilindro recto en donde la generatriz es igual al doble del diámetro de la base. 3p S S C) 4p S 5 A) p S 2S B) D) p S 3S

2 pS 5 E) 2

4 p 5 D) p

2 p 1 E) p

B)

C)

3 p

3. Un octoedro regular de volumen V esta inscrito en un cilindro de revolución de modo que 2 vértices opuestos se encuentran en los centros de las bases. Halle el volumen del cilindro. pV 2pV 3pV A) B) C) 3

D) pV

3

E) 2pV

2

4. Halle el volumen del cilindro de revolución inscrito en un octaedro regular de arista a, de modo que las bases del cilindro se encuentran contenidas en dos caras opuestas del octaedro. a3p a3p a3 3p A) B) C) D)

2 a3 3p 6 6

CEPRE-UNI

3

E) a3p 2

9 2p a3 2 D) 9

6 3p a3 3 E) 8

6

6. En un prisma regular de área lateral A 1 se inscribe un cilindro de área lateral

2. Halle la relación entre los volúmenes de un hexaedro regular y un cilindro de revolución inscrito de tal manera que ambas bases están inscritas en caras opuestas del hexaedro. A)

5. De todos los cilindros circulares rectos 2 de área total igual a 2p a , halle el volumen del cilindro de máximo volumen. 2p a3 3 p a3 3 p a3 2 A) B) C)

2

A2. Halle 6 3 p 2 6 D) p

A)

A1 A2 3 3 p 3 2 E) p

B)

C)

4 3 p

7. En un hexaedro regular ABCD–EFGH, AB=a, halle el volumen del cilindro cuyas bases están inscritas en las secciones EBD y FHC. p a3 3 p a3 3 p a3 3 A) B) C) 12 p a3 2 D) 12

9

E)

pa

2

8

3

9

8. En un cilindro de revolución se traza la recta L que intercepta al punto medio B de una generatriz y a un punto A de la circunferencia de su base de manera que AB sea máxima, la mediatriz de AB intercepta a la base en un punto C de manera que la m�ACB = 90 , si AB=10. Halle el volumen máximo del cilindro. A) 2 7 D)

5 6 3

B) 3 7 E)

C)

5 7 4

3 2

GEOMETRÍA

29

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

9. Un cilindro circular tiene a sus bases inscritas en dos caras opuestas de un cubo de arista a. Un plano diagonal del cubo intercepta al cilindro determinando una sección transversal cuya área se pide calcular. p a2 2 p a2 2 2p a 2 2 A) B) C) 2 3 D) p a 2 2 2

3 E) p a 2 2 4

3

10. En un tronco de cilindro recto de base circular, AD y BC son las generatrices mínima y máxima respectivamente, (A y B en la base tronco). Si P es un punto de la circunferencia de la base, además AD=3u, BC=5u y 2 2 2 PC +PD =50u , entonces el volumen de dicho tronco es (en u3): A) 12 p B) 15 p C)16 p D) 18 p E) 21 p 11.

Si AA ' // BB ' y paralelos a las generatrices. Halle la intersección entre la recta AB y el tronco de cilindro. A

B B’ A’

SEMINARIO Nº 06

II)

El eje de cualquier tronco de cilindro de revolución es igual a la semisuma de dos generatrices diametralmente opuestas. III) Dado un cilindro de revolución de eje AB entonces cualquier plano secante que pase por el punto medio de AB e intercepta a todas las generatrices determinado dos troncos de cilindro equivalentes. A) FVV B) VVV C) VVF D) FFF E) FFV 13. Dado un tronco de cilindro de revolución cuyo radio de base mide R, con generatriz mayor y menor de 3R y R respectivamente; se inscribe un cono de revolución donde su vértice es el centro de la base de radio R del tronco de cilindro. Halle el volumen del cono. p R3 2p R 3 2p R 3 A) B) C) 3 p R3 D) 4

5 2p R 3 E) 7

3

14. Se muestra un tronco de cilindro de revolución, en el cual la base superior y la base inferior forman un ángulo diedro de medida 30°. Si el radio de la base mide 2. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular regular inscrito en el tronco del cilindro, sabiendo que una de las aristas laterales coincide con la generatriz mayor AB. B

12. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) En un tronco de cilindro de revolución cualquier sección plana es una región elíptica o un círculo.

CEPRE-UNI

C

A) 4 D) 5 2

A

B) 5 E) 6 3

C) 6

GEOMETRÍA

30

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

15. Un tetraedro regular de arista a se inscribe en un tronco de cilindro recto de base circular tal que su vértice coincide con el centro de la cara superior. Calcule el volumen del tronco de cilindro. p a3 6 p a3 6 p a3 6 A) B) C) 6 p a3 2 D) 3

6 p a3 6 E) 8

F

9

C

B M

16. Si el cilindro mostrado, está inscrito en un cubo de arista a, entonces su área lateral es: A

H 2 3 7 D) 4

A)

A) 2.5 p a 2 D) p a 2

B) 1.5 p a 2 p a2 E)

C)2 p a 2

2

17. Una cuña cilíndrica está definida por un ángulo diedro de 60°, el radio de su base r y generatriz g. Halle el área total. rg [ p + 6] 3 rg C) [ p + 7] 3

A)

rg [ p + 5] 3 rg D) [ p + 4] 3

B)

18. En la figura ABCD es un paralelogramo AB= 6u, AD=10u. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que se obtienen al girar los rectángulos DMFC y BHEC alrededor de respectivamente. CEPRE-UNI

FM y HE

E

D

B) E)

5 3

C)

7 3

9 4

19. Un cilindro circular recto de altura 15 cm. y radio igual 3 cm es cortado por 2 planos paralelos que forman un ángulo de 30° con el eje del cilindro; cada uno de los planos intercepta a sólo una de las bases en un único punto. El área lateral de la parte del cilindro comprendida entre estos dos planos es (en cm2): A) p 3 B) 3p 3 C) 6p 3 D) 12p 3 E) 18p 3 20. En un cono de revolución se corta una cuña cónica de ángulo central 30°. El área de la base del cono es Bu 2 y el área de la sección que determina un plano axial es Au2. Calcule el volumen del sólido que queda. 11 2 p A B 36 11 pA B C) 36

A)

11 pB A 36 11 B pA D) 36

B)

GEOMETRÍA

31

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

E)

11 A pB 36

21. Se tiene un hexaedro regular ABCD– EFGH de arista L. Halle el volumen de cono que se encuentra en el interior del hexaedro, con vértice en el punto A y base circular inscrita en el triángulo GHC. p L3 ( p L3 ( 3 - 2 2) 3 - 2 2) A) B) 6 p L3 ( 3 - 6 2) C) 6 p L3 ( 6 - 3) E) 2

3 p L3 ( 6 -2 3) D) 2

22. Si 1 y 2 pertenecen al plano de la base y la recta AB está incluida en el plano (123). Halle la intersección de la recta AB con el cono truncado. 3 B

A +

+ 2

1

23. En un cono de revolución de vértice O, se traza la altura OH y luego HJ perpendicular a una generatriz OA, siendo AJ=a y JC=b. Halle el volumen del cono. 3 p 3 p 1 A) ( a + b ) B) ab 2 ( a + b ) 2 3 p 2 C) ( a + b ) ( a - b ) 3 p a2 ( b + a) E) 3

CEPRE-UNI

3 p 1 2 D) a 2 b ( a + b ) 3

SEMINARIO Nº 06

24. Al desarrollar la superficie cono de revolución, se semicírculo. Halle la ángulo que forman dos diametralmente opuestas. A) 30 B) 45 D) 90 E) 120

lateral de un obtiene un medida del generatrices C) 60

25. Dos rectángulos congruentes de lados a y 3a tienen un lado común que mide a y forman un diedro de 30°. En uno de los rectángulos reposa la base de un cono circular, la cual es tangente a los lados mayores. Calcule el volumen de este cono, si su vértice se encuentra en el lado menor del otro rectángulo. 2p a3 p a3 p a3 A) B) B) 15 p a3 D) 4

9 p a3 E) 2

8

26. En un cono de revolución, la cuerda AB de la base y la distancia del vértice del cono a AB mide 10 2 . Si AB=8u y el área lateral es 48 6 p , Entonces el volumen del sólido limitado por el cono es. 128p 38 125p 38 A) B) 3 116p 34 C) 9 E) 40p 38

3 116p 34 E) 3

27. En un cono de revolución de vértice V, por el centro O en su base se traza el diámetro AB y se ubica un punto P �B en la circunferencia de la base, halle los valores enteros del ángulo OPB para que la m �VPB sea mínima. A) 79° y 36° B) 26° y 45° C) 25 y 89° D) 59° y 61° E) 1° y 89°

GEOMETRÍA

32

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

28. Un cono de revolución de área de su base SB y área SA de la región triangular comprendida entre dos generatrices diametralmente opuestas, es cortada para retirarse una cuña cónica de ángulo central 30° entonces el volumen del sólido que queda es: 11 2 p SASB A) 36 11 p SA SB C) 36 13 SB p SA E) 36

11 SB p SA B) 36 11 SA p SB D) 36

29. En un tronco de cono de revolución se traza un plano por el centro de la base menor y paralelo a una generatriz determinando una sección trapezoidal cuyas bases miden 2 y 2 3 . Si la altura del tronco de cono mide 10 y el radio de la base mayor mide 2. Halle el área de la sección aproximada. A) 25,6 B) 26,3 C) 27, 4 D) 28,5 30. Halle el volumen del sólido limitado por un cono recto de revolución de dos hojas cuyos radios de las bases miden R y r, las bases distan H. pH ( 2 2 R + r - 2Rr ) A) B) C) D) E)

6 pH ( 2 2 R - r + Rr ) 3 pH ( 2 R + 2r 2 ) 3 pH ( 2 2 R + r - Rr ) 3 pH ( 2 2 R + r - Rr ) 6

31. En un cono oblicuo su altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule la relación entre el volumen del sólido comprendido entre los planos paralelos y del sólido comprendido entre la base y el inmediato plano paralelo. CEPRE-UNI

5 19 9 D) 19

A)

SEMINARIO Nº 06 1 3 1 E) 2

B)

C)

7 19

32. Los radios de las bases de un tronco de cono miden a y b (a>b). ¿Cuánto mide el radio de la sección paralela a las bases que determina dos sólidos equivalentes?. A)

3

a3 + b 3 3

B)

3

a3 + b3 6

C)

3

a3 + b3 2

D)

3

a 3 - b3

E)

3

a3 - b 3 2

33. El radio de la base de un cono de revolución es R y su altura es H, se inscribe un cilindro recto de área lateral máxima. Calcule la altura y el radio del cilindro. H R , 2 3 2H 2R , D) 3 3

A)

H R , 3 2 H R E) , 2 2

B)

C)

H R , 4 4

34. Un tronco de cono de revolución de área total A, esta circunscrita a una esfera de radio R. Halle el volumen del tronco. p AR p 2 A) B) R A C)RA 3 AR D) 3

3 AR E) 6

35. La generatriz (g) de un tronco de cono recto de revolución forma un ángulo de 60° con la base inferior, y es perpendicular a la recta que une su extremo superior con el extremo inferior de la generatriz opuesta. Halle el área lateral del tronco de cono.

GEOMETRÍA

33

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I 2 2 pg 3 1 2 E) p g 2

A) p g 2 D)

B)

5 2 pg 2

C)

3 2 pg 2

SEMINARIO Nº 06

la superficie lateral y la esfera determina dos casquetes esféricos. Halle : Area del menor casquete esférico Area del mayor casquete esférico 1 1 1 A) B) C) 2 3 4 1 2 D) E) 5 3

E=

36. Halle la altura del tronco de cono cuyos radios básicos son R y r, si la suma de las áreas de las bases es igual al área lateral del tronco. 2Rr R+r Rr D) R+r

A)

2Rr 5( R + r ) Rr E) ( 2 R+r)

B)

C)

3Rr 5( R + r )

37. Se tiene una esfera de radio R y de centro O. Se traza un plano secante que contiene al punto O. Halle la relación entre los volúmenes de la esfera de centro O y aquella esfera tangente interior a la primera y al plano secante. A) 64 D)

32 5

64 3 32 E) 7

B)

C)

32 3

38. ¿En que porcentaje aumenta el volumen de una esfera, si el área de 1 su superficie esférica aumenta en 4

%? A) 0,275% D) 0,475%

B) 0,375% C)0,45% E) 0,50%

39. El área de la superficie total de un cono es igual a 25 veces el área de la superficie esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175u3. Calcule el volumen de la esfera (en u3). A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 15 40. En un cono equilátero se encuentra inscrita una esfera. El plano que contiene a los puntos de tangencia de CEPRE-UNI

41. En un tetraedro O–MNP, trirectángulo en O, si las aristas OM, ON y OP miden 16, 8 y 16 respectivamente, entonces el área de la superficie esférica circunscrita es: A) 597 p B) 507 p C) 547 p D) 567 p E) 576 p 42. El área de la superficie total de un cono recto circunscrito a una esfera es 25 veces el área de la superficie de dicha esfera. Si el volumen del cono es V, entonces el volumen de la esfera es: V 24 V D) 25

A)

V 27 V E) 26

B)

C)

V 28

43. Con centro en los vértices de un tetraedro regular de arista a, se trazan esferas de radios

a ; sea una esfera 2

de radio R que contiene a las 4 esferas y es tangente con cada una, a R A) 2 6 - 4 D) 3 - 1

halle:

B) 2 - 2 E) 2 - 1

C) 3 - 3

44. Una esfera sólida de metal de radio R, es utilizada para construir una pirámide triangular sólida cuyas caras laterales son regiones triangulares equiláteras. Halle la altura de la pirámide. GEOMETRÍA

34

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I 4 3 pR 3 4 3 3 D) R p 3

A)

4R 3 4 3p Rp C) 3 3 2R 3 3 E) 4p 3

B)

3

45. Halle el radio de la esfera inscrita en el tetraedro trirectángulo S–ABC de aristas: SA=12, SB=24. y SC=36. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 46. Halle el volumen de una semiesfera inscrita en un tronco de cilindro si la generatriz máxima y mínima tiene por longitud 6 y 4 respectivamente. A) 24p 6 B) 32p 6 C) 24p 3 D) 36p 6 E) 24p 6 47. Esferas de radio r tienen sus centros ubicados en los vértices de un tetraedro de arista 2r. Una esfera de radio R contiene a las 4 esferas y es tangente a cada una de ellas, calcule R r .

A)

2 -1

B)

D)

3 -1

E)

6 -2 2 6 +2 2

C) 2 3 - 1

48. Una esfera sólida de latón y radio r, es fundida para construir una pirámide triangular sólida cuyos ángulos poliedros son congruentes, calcule la altura de la pirámide. 43 3p 3 4 3R 3 p C) 3 4 3Rp E) 3

A)

4 3 R p 3 2 3 3 4p R D) 3

B)

49. En que relación se encuentran los volúmenes de las esferas inscrita y

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

tangente a las aristas en un tetraedro regular. 3 18 3 D) 72

3 3 74 3 3 E) 75

A)

B)

C)

3 3 25

50. Halle el radio de la menor esfera que en su interior puede contener cuatro esferas congruentes de radio a. a ( 3 + 2 6) 3 a C) ( 3 + 6 ) 3 a E) ( 3 + 3 ) 3

A)

a (3 - 6) 3 a D) ( 3 - 3 ) 3

B)

51. El centro de una esfera pertenece al de la base de un tetraedro regular y es tangente a las aristas de la base de longitud 6. Determine la altura del segmento esférico exterior a las caras laterales del tetraedro. 3 ( 3 - 2 2) 3 3 ( 5 - 2 3) C) 3 3 ( 4 - 3) E) 3

A)

3 ( 4 -2 3) 3 3 ( 5 - 3) D) 3

B)

52. Una superficie esférica es tangente a las aristas AB, AD y AE y a la cara EFGH del hexaedro regular ABCD– EFGH de arista ( 2 + 1) de longitud. Halle la longitud del radio de la superficie esférica. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 2,5 53. Una superficie esférica de radio 10u está inscrita en un cono de revolución. Un plano tangente a la superficie esférica es perpendicular a la generatriz del cono, cuyo vértice dista de dicho plano 9u. Halle el diámetro

GEOMETRÍA

35

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

menor de la sección que determina el plano (en u). 5 1127 29 5 1131 C) 29

5 1129 29 5 1132 D) 29

A)

B)

54. Si la generatriz de un cono de revolución y el diámetro de su base son congruentes entre si ¿Cuántas veces mayor es el área lateral del cono respecto a la superficie de la esfera inscrita en el cono? 1 2 7 D) 2

A)

3 2 9 E) 2

B)

C)

5 2

55. Un cono de revolución esta inscrito en una esfera de radio 3u. Halle el volumen máximo del cono (en u3). 25 p 3 32 p D) 3

A)

28 p 3 34 p E) 3

B)

C)

31 p 3

56. Si en una esfera se inscribe un cilindro equilátero y un cono equilátero. Demostrar que volumen del cilindro es media proporcional entre los volúmenes de la esfera y el cono. 57. Una esfera es tangente a las aristas de un octaedro regular. Halle el área de todas las zonas esféricas que se determinan en cada cara del octaedro, la arista mide a. 4 2 p a2 ( 6 - 6) A) B) p a ( 6 - 6 ) 6 p a2 ( 6 - 6) C) 3 p a2 ( 2 - 3) E) 3

CEPRE-UNI

3 2 pa ( D) 6 - 3) 4

SEMINARIO Nº 06

58. En un cono de revolución, se inscribe una esfera de radio “R”. Halle el volumen mínimo del cono. 59. Una superficie esférica esta inscrita en un huso esférico y dos semicírculos máximos de una esfera, si el área del huso esférico es 24u2 y su radio es 6u entonces el área de la superficie esférica máxima inscrita es (en u2): A) 12 p B) 14 p C) 16 p D) 18 p E) 20 p 60. En un octaedro regular cuya arista miden a. Se ubica una esfera tangente a las aristas. Calcule el área de uno de los casquetes que se determinan sobre una las caras del octaedro. p a2 p a2 ( 3 - 2) A) B) 2 p a2 ( 2- 3) C) 6 p a2 ( 5 - 2) E) 4

7 p a2 ( 3 - 6) D) 6

61. Se tiene una cuña esférica cuyo ángulo mide 60° y con radio R. Se traza un plano perpendicular al diámetro AB por su punto medio O. Interceptando a los semicírculos máximos que limitan la cuña en los segmentos OM y ON . Halle la razón entre el área del huso esférico que limita a la cuña descrita y el área total del poliedro ABMN. 4p 2p 4p A) B) C) D)

12 + 3 7 4p

12 + 7 3

7+3 2 4 E) p 3

7+3 2

62. Se traza un plano secante a una superficie esférica determinando dos casquetes esféricos de áreas A1 y A2 (A1
36

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A)

A1A2 A1 + A2

A1A2 D) 2 A1 + 3 A2

B)

A1 + A2 A2 - A1

C)

2A1A2 A1 + A2

A12 + A1A2 + A22 E) A1 + A2

63. Una esfera esta inscrita en un cono recto de revolución de altura 12u y radio 5u. Calcule el radio de la sección circular determinada por un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono. 10 3 20 D) 9

A)

20 3 14 E) 3

B)

C)

10 9

64. Un hexaedro regular de arista a se encuentra inscrito en una semi esfera. Calcule el volumen de la semiesfera. 6 3 pa 2 10 3 D) pa 3

A)

2 3 pa 2 2 3 3 E) pa 3

B)

C)

5 3 pa 2

65. Un tronco de cono cuya generatriz y radio de su base mayor son de igual medida, está inscrito en una semiesfera. Halle el volumen de esta semiesfera, si el área lateral del tronco es 6 p . 11 p 3 16 p D) 3

A)

13 p 3 17 p E) 3

B)

C)

14 p 3

66. Se tiene una superficie esférica de radio R= 1cm. Se trazan dos planos secantes paralelos entre si y equidistantes del centro. Halle la distancia entre los planos, si el área de la zona esférica es igual a la suma de las áreas de las regiones limitados por esas secciones (en cm). CEPRE-UNI

A) ( 2 - 1) C) 3 ( 2 - 1) E) 5 ( 2 - 1)

SEMINARIO Nº 06

B) 2 ( 2 - 1) D) 4 ( 2 - 1)

67. En una semicircunferencia cuyo radio mide 2m, se prolonga el diámetro AB hasta F tal que BF=2m. Por F se traza la tangente FM . Calcule el área de la superficie engendrada por la línea mixta AMF al girar una vuelta completa alrededor de AF (en m2). A) 2 p B) 4 p C) 8 p D) 12 p E) 18 p 68. Dos planos paralelos determinan en una esfera dos círculos de 16 p y 25 p u2 de área. Si la distancia entre ellos es de 4u y se encuentran a un mismo lado del centro de la esfera. Halle el volumen del segmento esférico de dos bases (en u2). 280p 279p 278p A) B) C) 3 278p D) 3

2 275p E) 2

5

69. Dos planos paralelos determinan en una esfera dos círculos de 16 p u2 y 25 p u2 de área. Si la distancia entre ellos es 1u y están a un mismo lado del centro. Calcule el volumen de la esfera (u3) A) 50 41 p C) 420 p E) 525 p

164 41 p 3 D) 500 p

B)

70. En un segmento esférico cuya altura mide h u se traza un plano equidistante de las bases determinando una sección cuya radio mide r u. Halle el volumen del segmento esférico (en u3). GEOMETRÍA

37

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

ph ( 2 5r - h 2 ) 3 ph ( 2 2r - h 2 ) C) 5 ph ( 12r 2 - h 2 ) E) 12

ph ( 2 2r - h 2 ) 5 ph ( 2 9r - h 2 ) D) 12

A)

B)

71. En una esfera se trazan dos círculos menores paralelos y distantes 2 m. entre sí. Si sus áreas son de 9 p m y 25 p m2, calcule el área de la superficie esférica (en m2). A) 132 p B) 136 p C) 140 p D) 116 p E) 128 p 72. En la figura F pertenece al semicírculo de diámetro BC (BC=2R) y AEF es un � =150°, halle el cuadrante. Si m FC volumen el sólido generado cuando la superficie sombreada rota alrededor del eje AC.

SEMINARIO Nº 06

p 3 C) l ( 3 - 2 ) 2 p 3 E) l ( 2 - 1) 2

pl 3 ( 2 - 2) D) 3

74. Una región triangular de área 60u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10u, 11u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u3). A) 1250 p B) 2520 p C) 2780 p D) 3250 p p E) 4270 75. Halle el volumen del sólido generado por la región cuadrada ABCD al girar alrededor del eje XY ( p =3.1416) C

D

5u

Y 30°

F

A

B B E

A

3p R 3 ( 2+ 3) 8 3p R 3 ( 4 - 3) C) 8 3p R 3 ( 2 + 3) E) 4

A)

C

O

3p R 3 2 5 3 D) p R 3

B)

73. En un cuadrado ABCD de lado l se traza el cuadrante ADC y la diagonal � BD , BD I AC = { N} , halle el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar 1 vuelta la región mixtilínea � y BN . limitada por AB , AN p 3 p 3 A) l 7 B) l 6 2

CEPRE-UNI

3

X

76. Un conjunto de pilas plata zinc utilizado en un satélite están confinadas en un recipiente cuya forma es generada tal como se muestra la figura. Calcule el volumen del recipiente.

b

l a GEOMETRÍA

38

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

2 p abR+ p a2b p abR+2 p a2b p abR + p a2b p abR + p b2a p abR – p b2a

A) B) C) D) E)

77. El lado de un cuadrado ABCD, mide 10 cm. Halle el volumen del sólido engendrado al girar el cuadrado, una vuelta, alrededor de un eje coplanar que pasa por el punto D, haciendo un ángulo de 8° con CD exteriormente al cuadrilátero ( en cm3). A) 800 2 p B) 700 2 p C) 800 3 p D) 500 3 p E) 600 2 p 78. Se tiene un círculo de centro O de

SEMINARIO Nº 06

80. Los lados de un triángulo miden 11, 13 y 20. La región triangular gira alrededor de uno de sus lados obteniéndose un sólido de máximo volumen. Halle dicho volumen. A) 528 B) 582 C) 825 D) 852 E) 285 81. Halle la relación de los volúmenes generados al rotar las siguientes regiones sombreadas alrededor de los ejes indicados.

O2 OO 22

10 p

cm2 de área y un eje L coplanar a una distancia de 10 cm. de sus centro. Calcule el volumen del sólido generado por la región circular cuando gira 180° alrededor de L (en cm3). A) 100p 2 B) 100p C) 100 D) 200 2 E) 200p 79. En el gráfico, halle el área de la superficie generada por el cuadrado ABCD de 6 cm. de lado, cuando gira alrededor de la recta L (en cm2). B C

O3

O1

R

O2

O1

O3

R 5 3 3 D) 2

A)

B)

3 5

C)

3 4

E) 3

82. Halle la relación de volúmenes de los sólidos generados a girar las regiones MBN y AMNC, alrededor del eje MN , si AM=MB y BN=NC B

A 15°

A) 324 p C) 108 p E) 162 p

CEPRE-UNI

D

M

L

N

B) 216 p D) 270 p A

C GEOMETRÍA

39

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I 1 2 1 D) 5

1 3 1 E) 6

A)

B)

C)

1 4

83. Usando el teorema de Pappus – Guldin, deducir la posición del centro de gravedad, de: A) Una semicírculo de radio r B) Una semicircunferencia de radio r C) Un cuarto de circunferencia de radio r D) Un cuarto de círculo de radio r 84. El reactor de ensayo de fusión Tokamak es un gran toroide que produce un campo magnético para confinar partículas cargadas. Se muestra la región que lo genera y el eje de giro, calcule el volumen. 4 2 3 A) a ( p R ) + p R

B)

A) p R 2 ( 8 - 2cos a - 4sena ) B) p R 2 ( 8 - 2cos a + 4sena ) C) p R 2 ( 4 - cos a - 2sena ) D) p R 2 ( 16 - cos a - sena ) E) p R 2 ( 8 - 2cos a - 2sena ) 86. En la figura mostrada, calcule el área de la región que genera la línea ABC cuando se hace girar una vuelta alrededor de AC .

R

B

A) p R 2 + p 2R 2 - 2R 2 C) p R 2 - R 2 E) R 2 + 2p R 2

3

4 a p R + p R3 3 4 ap R 2 + p R 3 3 p aR 2 - 4p R 3 p a 2R + 4p R 3

SEMINARIO Nº 06

2

a

R

B) p R 2 D) p R 2 + R 2

87. En un triángulo ABC de área S se traza la mediana AM y la ceviana BN D) manera que C NC=2AN, si A de E) AM I AB = { D} , calcule el volumen que genera la región CABDM al girar una 85. Calcule el área que genera la línea vuelta completa alrededor de CB , si el L OAB cuando se hace girar una vuelta volumen que genera la región ABC al alrededor de L. girar una vuelta completa alrededor de A BC es V. R C)

R

O

7 V 8 6 D) V 7

A)

a� a�

2R CEPRE-UNI

2 V 5 7 E) V 3

B)

C)

3 V 5

88. Un sector circular de radio R y ángulo y ángulo central que mide 60°, se B hace girar una vuelta alrededor de un eje coplanar distanciado de su vértice GEOMETRÍA

40

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

en un valor de a y cuyo ángulo formado por la prolongación del segmento que une el vértice y su centro de gravedad con el eje de giro mide q , si a rel="nofollow">R calcule su volumen. A) p R 3senq B) p R 2a C) p Ra 2 3 E) p R 2asenq D) p R cos q 89. En la figura mostrada, calcule el volumen que genera la región sombreada al girar una vuelta alrededor de AC Datos: AB=a AC=b

D)

SEMINARIO Nº 06

9 3 pa 5

E)

7 3 pa 2

92. Un rectángulo descansa sobre la recta L, se inclina el rectángulo con un ángulo que mide 60. si la diagonal determina con el lado mayor un ángulo que mide 30 y además el mayor lado mide a. Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor de L.

60°

B

A

2p 3 a 3 2 3 D) p a 5

A)

4a ( 2 p a ( b - a) � 1 b - a2 ) � 2 2 ( b + a) 3 b �b -a 2

A)

2

2

2

B) p a 2b C) p b 2a + p b 2 - a 2 a 1 2 2 D) p ( b - a ) a +

B)

3p 3 L a 4

C)

p 3 a 3

E) p a3

93. Calcule el peso del volante de fundición que se genera al gira la 4 � C sección mostrada alrededor del eje L. 3p b � � Dato: Densidad de la fundición es 7, 2. L

a2b2 b 2 - a2

p

20

E) p b 2a 90. Si el volumen de un neumático de automóvil mide Vu3 y su área total Au2 y el radio de la sección transversal en r, tal que Ar=60u3. Calcule V (en u3). A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

80

40

100

40

20

En mm.

91. Un hexágono regular cuyo lado mide a, gira alrededor de uno de sus lados. Halle el volumen del sólido generado (en u3). A)

9 3 pa 2

CEPRE-UNI

B)

9 3 pa 4

C)

1 3 pa 2

GEOMETRÍA

41

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

GEOMETRÍA

42

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

TRIGONOMETRÍA

elipse si uno de sus vértices está sobre la recta L. x – y – 8 = 0 A)

1.

2.

Halle la ecuación de la recta directriz de la parábola y2 + 8x – 4y – 28 = 0 A) x = – 6 B) x = 4 C) x = – 8 D) x = 8 E) x = 6 Halle la ordenada del punto de tangencia de la recta x – 2y + 6 = 0 y la parábola y2 = 4px. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SEMINARIO Nº 06

B) C) D) E) 6.

(x + 1)2 (y - 3)2 + =1 25 16 (x + 1)2 (y - 2)2 + =1 16 25 (x + 1)2 (y + 2)2 + =1 25 16 (x - 4)2 (y - 2)2 + =1 25 16 (x + 1)2 (y - 2)2 + =1 25 16

Sea la ecuación de la elipse x + 4y2 = 20 y la recta L: 2x – 2y – 13 = 0. Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse y perpendiculares a la recta L. A) x + y + 5 = 0 B) x + y + 7 = 0 x+y–5=0 x+y–7=0 2

3.

4.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 + 4x +12y – 8=0 que es la paralela a la recta 3x + 9y – 11 = 0. A) x – 3y + 2 = 0 B) x + 3y + 2 = 0 C) x + 3y – 2 = 0 D) x + 2y – 3 = 0 E) x – 2y + 3 = 0 Los focos de una elipse F1(4; – 2) y F2(–2; – 2). Halle la ecuación de la elipse si uno de sus vértices esta sobre la recta L1 x – y – 8 = 0. A)

( x - 1)

2

+

25

x - 2) B) (

2

x - 2) C) (

2

+

25

+

36

x - 1) D) (

2

( x - 2)

2

+

16

E) 5.

( y + 2)

25

+

8.

Dada la circunferencia C : x2 + y2 – 14y + 40 = 0, halle la ecuación del lugar geométrico formado por los centros de las circunferencias tangentes exteriores a toC y tangentes al eje de abscisas.

=1 2

=1

18

( y + 2)

2

=1

25

( y + 2)

2

=1

Los focos de un elipse son F1(4; – 2) y F2(–2; –2), halle la ecuación de la

CEPRE-UNI

La ecuación de una elipse, con centro (h; k), es E: 6x2 + 9y2 – 24x – 54y + 51 = 0; entonces, el valor de F = 3h – 2k es: A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

2

( y + 2)

18

7.

=1

16

D) x – y + 7 = 0 x–y–7=0

E) x + y + 9 = 0 x+y–9=0

2

16

( y + 1)

C) x – y + 5 = 0 x–y–5=0

A) x2 = 15y C) x2 = 20(y – 2) E) x2 = 4(y – 2)

B) y2 = 20(x + 2) D) y2 = 10(x – 2)

TRIGONOMETRÍA

42

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

9.

10.

x2 y2 =1 A) y y

Halle la excentricidad de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de la parábola cuyas ecuaciones son: y2 + 8x – 80 = 0, y2 – 8x – 80 = 0 A) 0,4 D) 0,8

B) 0,5 E) 0,9

C) 0,7

x2 y2 =1 8 8 x2 y2 E) =1 4 3

C)

14.

Utilizando el discriminante determine la naturaleza de la cónica cuya ecuación es: 9x2 + 4xy + 6y2 = 5

Determine el área del rectángulo inscrito en una elipse de semi-ejes de 13 y 10 unidades, si el ancho del rectángulo mide 10 unidades.

A) 100 3 u2 B) 110 3 u2 C) 120 3 u2 D) 130 3 u2 E) 140 3 u2 12. Los focos de una hipérbola son (–3; 0) y (3; 0) siendo sus vértices (–2; 0) y (2; 0), halle la ecuación de su asíntota si su pendiente es positiva. 5 x 3 2 x C) y = 5 3 E) y = x 2

A) y =

13.

5 x 2 2 D) y = x 3

B) y =

Las asíntotas de una hipérbola son las rectas x + y = 0 y x – y = 0 y sus focos los puntos F1(4, 0) y F2(– 4, 0), entonces la ecuación de la hipérbola es:

CEPRE-UNI

x2 y2 =1 6 6 x 2 y2 D) =1 8 4

B)

Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (6; 2) tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje x, y una de sus asíntotas es la recta 2x – 5y = 0 A) 2x2 – 25y2 = 44 B) 25x2 – 4y2 = 44 C) 4x2 – 25y2 = 44 D) 2x2 – 25y2 = 64 E) 4x2 – 25y2 = 64

A) parábola B) elipse C) hipérbola D) un par de rectas E) un punto 11.

SEMINARIO Nº 06

15.

Halle la ecuación de una hipérbola 5 3

cuyas asíntotas son y = � x

y pasa

por el punto (2; – 5) 3y 2 4x 2 =1 5 7 5y 2 x 2 C) =1 9 125 9y 2 x 2 E) =1 125 5

A)

16.

9y 2 x 2 =1 125 4 9y 2 5y 2 D) =1 125 144

B)

Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A(3; –2) y B(7; –6), tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el ejes x. x 2 5y 2 =1 4 16 x 2 3y 2 C) =1 4 16 x2 y2 E) =1 4 16

A)

x 2 16y2 =1 4 5 x 2 2y 2 D) =1 25 144

B)

TRIGONOMETRÍA

43

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

17.

Sea la hipérbola cuya ecuación es: x

2

a

2

-

y

2

determine el producto de las distancias de P1 a las asíntotas de H.

= 1. Halle la distancia del foco

b2

A) a2b2

de la hipérbola a una de sus rectas asíntotas. A) a D) 18.

B) b

bc a

E)

0,

C)

C) c

E)

ab c

Halle el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las distancias a las rectas 3x – 4y – 11 = 3x + 4y + 5 = 0 es

22.

144 25

. A) recta C) elipse E) hipérbola 19.

Las 2

B) circunferencia D) parábola

asíntotas

de

la

23.

hipérbola

x y = 1 y la recta 9x + 2y – 24 = 0, 4 9

A) 10 D) 24 20.

B) 12 E) 32

a2b2 a2 - b2 a2b2

C) 18

Sea H una hipérbola de ecuación: x y2 = 1, encontrar la ecuación de 16 9

D)

a2 + b2 a2b2

Simplificar la ecuación mediante una traslación de ejes: x3 + 6x2 + y2 + 12x + 2y + 7 = 0 Indique el punto de traslación adecuado. B) (– 1; –2) E) (2; – 1)

C) (1; 2)

Mediante una traslación de ejes, la ecuación: 4x2 – y2 – 8x – 10y – 25 = 0, se transforma en A(x’)2 + B(y’)2 = 1. Hallar (A – 4B). A) 5 D) 2

24.

B) a2 + b2

a2 + b2

A) (– 2; –1) D) (2; 1)

2

determinan un triángulo. Calcule el área de la región triangular en u2.

SEMINARIO Nº 06

B) 4 E) 1

C) 3

¿Qué punto debe seleccionarse como nuevo origen para transformar la ecuación 9x2 – 4y2 + 18x + 16y + 29 = 0, en una nueva ecuación sin términos lineales?

2

la circunferencia que tiene como diámetro, el segmento que une los focos de la hipérbola. A) x2 + y2 = 16 B) x2 + y2 = 4 C) x2 + y2 = 25D) x2 + y2 = 9 E) x2 + y2 = 12 21.

Dada la hipérbola H, cuya ecuación es:

x2 a2

-

y2 b2

= 1 y sea el punto P1(x; y1),

A) (1, – 2) D) (–1, 2) 25.

B) (– 2, 1) E) (–2, 2)

C) (1, 2)

Hallar

la nueva ecuación de: y = 3x + 3 , después de haber rotado los ejes en 60º. 3 x' 2 1 C) y ' = x ' 2

A) y ' =

3 2 1 D) y ' = 2

B) y ' =

E) y’ = x’

tal que P1  H. Se le pide que CEPRE-UNI

TRIGONOMETRÍA

44

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

26.

27.

28.

29.

Sean las rectas L1: y = 3x y L2 que pasa por el origen de coordenadas. Si L1 y L2 forman un ángulo de 15º y la pendiente de L 2 es mayor que de L1, calcule la ecuación de la recta L2 en el sistema X”Y” que se origina después de trasladar al sistema XY al punto (–1; 1) y rotarlos en 30º A) y” = x” + 2 3 B) y” = x” – 2 3 C) y” = x” + 3 D) y” = x” – 3 E) y” = 3 x” – 1 Mediante una rotación de 45º se obtuvo la ecuación y’2 – 3x’2 = 3, luego la ecuación en coordenadas originales es: A) x2 + 4xy + y2 – 3 = 0 B) x2 + 4xy + y2 + 3 = 0 C) x2 + 4xy + y2 + 6 = 0 D) x2 + 4xy + y2 – 6 = 0 E) x2 + 2xy + y2 + 3 = 0 Si al efectuar una rotación según un ángulo agudo q, la pendiente de la recta L: 3 x + y – 8 = 0, en el nuevo sistema, no está definida, halle la medida del ángulo q y la ecuación en el nuevo sistema. A) q = 30º, x’ = – 4 B) q = 30º , x’ = 4 C) q = 30’, x’ = 3 D) q = 60º , x’ – 4 E) q = 60º ,x’ = 4 Halle el ángulo de rotación requerida para que no aparezca el término y’2 después de transformar la ecuación: x2 – 4xy + y2 = 2 A) 30º D) 210º

30.

Al

B) 150º E) 330º transformar 2

A) 4 B) 2 C) 1 5 D) 16 E) 16 31. Al transformar la ecuación x2 – xy + y2 = 4, se obtiene x '2 y '2 + = 1. Determine : H = A + B A B 29 3 34 D) 3

31 3 35 E) 3

A)

32.

B)

la

C)

32 3

Bosqueje la gráfica de la cónica que corresponde a la ecuación: 4x2 – 4xy + y2 – 8 5 x – 16 5 y = 0 Y’

Y’

X’

X’ B)

A) Y’

Y’

X’

X’

C)

D) Y’

C) 165º

ecuación 16x + 24xy + 9y – 15x + 20y – 25 = 0, se obtiene Ax”2 = y”. Determine: 2

SEMINARIO Nº 06

X’

E)

H = A +3 16 CEPRE-UNI

TRIGONOMETRÍA

45

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

33.

Mediante una transformación de coordenadas la ecuación xy + x + y =

37.

3 2

recta L en el nuevo sistema X“Y” es

A)

A) (x’’)2 + (y’’)2 = 5 B) (x’’)2 – (y’’)2 = 5 C) (x’’)2 – (y’’)2 = 10 D) (x’’)2 – (y’’)2 = 15 E) (x’’)2 + (y’’)2 = 10

36.

15º 2

B) – �1 �

�1 �

� � �1 � E) arctg � � 15 � �

� �

En la figura adjunta, el eje mayor de la elipse (VV’) esta contenida en el eje X’ AA’ es el eje menor y las coordenadas de dichos puntos en X’ Y’ son: V’ (0; 0), V(8; 0) A’(4; – 2) y A(4; 2). Se pide determinar la ecuación de la elipse en Y XY. X’

Y’

V A

)

B) – 2 E) 3

C) 0

Determine las nuevas coordenadas del punto (a, b) si es que los ejes coordenados han sido rotables en 45º y luego trasladados al nuevo origen (b, a). A) ((b + a) 2 , 0) C) (0, (b – a) 2 ) E) (0, 4(b – a))

CEPRE-UNI

B) (0, (b + a) 2 ) D) (0, 2(b + a))

15º 2

C) arctg � � D) – arctg � � 21 21

38.

Un punto P(a, b) es expresado en el sistema de coordenadas XY, luego se traslada el origen de coordenadas al punto (2; 1) y se efectúa una rotación de 135º, resultando las coordenadas del punto P en el nuevo sistema: 2; 0 . Halle a + b. A) – 3 D) 2

1 4

. Determine el ángulo de giro de los ejes.

Si hacemos una rotación y una traslación de ejes al sistema XY la ecuación XY + X + Y = 1,5 se transforma en:

(

1 x - 1 . Luego 5

de una traslación de ejes y una rotación de ejes, la pendiente de la

A) (x’’)2 – (y’’)2 = 5 B) (x’’)2 – (y’’)2 = 3 C) (x’’)2 – 2(y’’)2 = 3 D) 2(x’’)2 – (y’’)2 = 3 E) (x’’)2 – 2(y’’)2 = 5

35.

En el sistema de coordenadas xy, se tiene la recta L: y =

se transforma en:

34.

SEMINARIO Nº 06

V’

A’

X 60º

A) 13x2 – 8 3.xy + 13y 2 - 8 3.x - 8y = 0 B) 13x2 – 16 3.xy + 7y 2 - 16 3.x - 16y = 0 C) 7x2 – 6 3.xy + 13y 2 - 16 3.x - 16y = 0 D) 7x2 – 6 3.xy + 7y 2 - 16 3.x - 16 3.y = 0 E) 7x2 – 16 3.xy + 13y 2 - 16 3.x - 16y = 0 TRIGONOMETRÍA

46

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

39.

En un triángulo ABC, AD = BC. Halle “q”.

43. En un triángulo ABC al simplificar la expresión

B V=

q

q

30º

C

D

A) 10º D) 40º

A

B) 20º E) 50º

C) 30º

40. En un triángulo ABC se cumple: tgA - tgB c - b = tgA + tgB c Determine W = cos 2A 1 1 3 A) B) C) 2 2 2 D)

3 3

E)

3 2

41. En un triángulo ABC, dos ángulos consecutivos miden 60º y 45º y el lado adyacente a ambos ángulos mide 20 cm. Halle la medida, en cm, del lado opuesto al ángulo de 60º. A) 30 - 9 6 B) 30 2 - 10 6 C) 15 2 - 5 6 D) 15 - 3 6 E) 10 2 - 4 6

a2sen ( B - C) b2sen ( C - A ) c 2sen ( A - B) + + senB + senC senC + senA senA + senB

se obtiene: A) senA + senB B) senA + senC C) senA + senB + senC D) cos A + cosB E) 0 44. En la figura, calcule tgq q

45º

CEPRE-UNI

30º

2 2+ 3 5 2 3- 2 C) 5 2 3 -1 E) 5 A)

2 2- 3 5 3- 2 D) 5 B)

45. A partir del gráfico, y si AB = DC , calcule el valor de a B a

C

42. En un triángulo ABC, m�ACB = q , m�BAC = 2q b = 2a , determine el valor de cosq. 2 2 3 A) B) C) 3 2 2 1+ 2 1+ 3 D) E) 2 2

SEMINARIO Nº 06

A) 5º D) 18º

8a

2a D

B) 10º E) 20º

A

C) 15º

46. En un triángulo ABC se tiene BC = a , AC = b y AB = c . Simplifique:

TRIGONOMETRÍA

47

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

b cosB + c cos C a cos A + b cosB + cos ( B - C) cos ( A - B) A) a – c B) b – c C) b – a D) a + c E) b + c 47. En un triángulo ABC, acutángulo, simplificar:

SEMINARIO Nº 06

H=

H=

bc 1+ cos 2A + ac 1+ cos 2B + ab 1+ cos 2C sen2 A + sen2B + sen2C 2 2 2 2 A) 4 2R2 B) C) R R 4 2 D) 2 2R2 E) 6 2R2

48. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo forma con las tres aristas concurrentes a un mismo vértice ángulo a, , q. El valor de sen2a + sen2 + sen2q es: 3 5 A) B) 2 C) 2 2 D) 3 E) 4 49. Calcular: M = 2cos  + cot2 a , donde a y  son los ángulos de un triángulo rectángulo si se sabe además que: t g + t ga =8 sec a - sen A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

10 10 10 D) 4

A)

E=

B) p

D) p2

E)

p2 C) 2 2p2

51. El sólido mostrado es un cubo, halle cosq

CEPRE-UNI x x

10

10 2

C)

triángulo ABC: AB = 4m , m�BAC = 2m�ACB y cosC = 3 / 4 , calcule los demás lados del triángulo (en m). A) 6 y 7 B) 6 y 8 C) 6 y 5 D) 6 y 4 E) 5 y 7

53. En un triángulo ABC, se cumple: BC = a , AC = b , AB = c , y además: a4 + b4 + c 4 = 2 ( a2 ) ( b2 + c2 ) . Determinar la medida del ángulo A. A) 30º B) 60 C) 90º D) 120º E) 135º 54. En la figura mostrada AD = x, EC = y , AB = BC . Entonces sen ( a - q) toma el valor 2 cos a cos q - sen ( a + q) de: B E q

C

2

p es el semiperímetro. p A) 2

E)

D

bc cos ( A / 2) + ac cos ( B / 2) + abcos ( C / 2 ) ( b + c ) cos A + ( a + c ) cosB + ( a + b) cosC 2

10 5

52. En un

50. En un triángulo ABC reducir: 2

B)

q

a A x A) x+y y-x D) x+y

y x+y 2x E) x-y

B)

C)

x-y x+y

55. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple: BC = a , AC = b , AB = c ; simplifique: TRIGONOMETRÍA

48

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I M = bc �1+ cos 2A + ac �1+ cos 2B + ab �1+ cos 2C

2 ( 2 2 2) A) a +b +c 4 2 ( 2 2 2) B) a +b +c 2 C) 2 ( a2 + b2 + c2 ) D) 2 ( a2 + b2 + c 2 ) E) 4 ( a2 + b2 + c 2 )

56. En un triángulo ABC, sus lados miden: BC = a , AC = b , AB = c , si, cos A cosB cos C c + + = . Halle a b c ab cos A + cosB + cos C A) 2senA B) � p� A + � D) C) 2sen � � 4� E) tgA

2 cos A � p� 2 cos � A+ � � 4�

57. En un triángulo ABC si: 2 2 2 a = b + c + bc entonces, la medida del ángulo A es: p p p A) B) C) 6 4 3 p 2p D) E) 2 3 58. En la figura mostrada el triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de radio R. Si se cumple que c 2 - a2 = 2R2 y la medida del ángulo B es 30º, los valores de los ángulos A y C son respectivamente: B

R A CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

A) 45º y 105º C) 60º y 90º E) 25º y 125º

B) 35º y 115º D) 30º y 120º

59. En un triángulo ABC se cumple: � 5 - 1� c 2 = a2 + b2 - � ab � � 2 � � 5 + 1� b2 = a2 + c 2 - � ac � � 2 � Calcule la medida del ángulo A. p 2p 3p A) B) C) 5 5 5 9p 4p D) E) 10 5 60. En un triángulo ABC, si mS c = 60º , �A - B � a = 3b . Calcule: sec 2 � � �2 � 4 4 7 A) B) C) 7 5 3 7 7 D) E) 2 4 61. En un triángulo ABC, la altura CE corta a la altura AD en su punto medio, luego el valor de la expresión: � t gA K= $ + t gC � es: t gB A) 5 D) 2

B) 4 E) 1

C) 3

62. En un triángulo ABC, con lados a, b y �A � c respectivamente, se tiene tg � �= 1 �2 � B� 3 a+b � y tg � �= . Determine a -b �2 � 4 A) 9 B) 16 C) 25 D) 49 E) 50

C TRIGONOMETRÍA

49

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

63. En un triángulo ABC, mS BCA = 60º ; y los lados BC y AC miden 5 3 + 2 y 5 3 - 2 respectivamente; entonces la medida del ángulo A será: p p �2 � �3 � A) + arc tg � � B) + arctg � � 3 3 �5 � �5 � p p �4 � �2 � + arctg � � D) + arctg � � C) 3 6 �5 � �5 � p �3 � + arctg � � E) 6 5� � 64. En un triángulo ABC, se sabe que m�C = 90º y a = 5b . Halle csc2(A – B) 4 27 33 A) B) C) 3 20 24 169 17 D) E) 120 12 65. Los elementos de un triángulo ABC verifican la relación: B - C = 2A , luego la expresión: b-c � 2 A � K =� csc � b+c � 2 � A) 2senA B) 2cos A C) 2tgA D) 2ctgA E) 2 sec A 66. En un triángulo ABC se cumple: A 3c B� � b cos2 = - a cos2 � � 2 2 �2 � a+b Calcule: E = c 1 1 A) B) C) 1 4 2 D) 2 E) 4 67. En un triángulo cualquiera ABC, se C� � cos A + cosB = 4sen2 � �. cumple: �2 � Halle a + b en términos del lado c. 5C A) 2C B) 2 C) 3C CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

7C D) 2 E) 4C 68. Desde los puntos A y B situados a ambos lados de un edificio y en un mismo plano vertical se observan: desde A la parte más alta y más baja de un pararrayos que se encuentra sobre el edificio, con ángulos de elevación de 60º y 53º, respectivamente, y desde B se observa la parte alta del pararrayos con una elevación de 30º. Si AB = 60 m , calcule la altura del pararrayos. A) ( 10 3 - 20 ) m B) ( 15 3 - 20) m C) ( 15 3 - 18) m E) 40 m

D) 30 m

69. Un hombre está descendiendo por una colina inclinada con respecto al plano horizontal, un ángulo q, y observa sobre dicho plano un objeto con un ángulo de depresión a. A la mitad del descenso observa el mismo objeto con un ángulo de depresión . Halle N = ( 2ctga - ctg) tgq . A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3 70. Desde un helicóptero que se encuentra volando a una altura “2h” se observa en la tierra un objeto con un ángulo de depresión de 30º luego de 3’ y haber pasado por encima del objetivo, se observa a éste con un ángulo de depresión de 60º si la velocidad del helicóptero es de 200 km/h. Encuentre 2 h sabiendo que la trayectoria del helicóptero es horizontal. 5 3 5 3 A) 5 3 B) C) 2 3 5 3 5 3 D) E) 4 5 TRIGONOMETRÍA

50

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

71. Dos trenes parten al mismo tiempo de una estación siguiendo vías diferentes que forman un ángulo de 60º, las velocidades que llevan son de v 0 y 2v 0 km/hr. Calcule la distancia en km que los separará después de 3 horas. A) 2,5 v0 km B) 2,75 v0 km C)3v0 km D) 2 3 v0 km E) 3,5 v0 km 72. Desde la parte superior de una torre de 8 m de altura se observan el primer y segundo piso de un supermercado de 2 pisos y de 10m de altura con ángulos de visual que son complementarios. Hallar cotangente del ángulo de depresión de la base de la torre vista del techo del supermercado. A) 0,3 B) 0,4 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,8 73. Desde un faro se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 37º; luego esta se acerca al faro recorriendo 2,8 km y es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si desde esta última posición tarda 6 minutos en llegar al faro. ¿Cuál es la velocidad constante de la embarcación en m/s? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 74. El punto más alto de un edificio en New York fue visto desde dos puntos A y B, ubicados del mismo lado y colineales con el pie de dicho edificio, con ángulos de elevación tales que el segundo ángulo es el doble del primero. Si la distancia entre los puntos A y B es 210 metros, y el seno del menor ángulo de elevación es 0,4; calcule (en metros) la altura aproximada de dicho edificio. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

A) 150 B) 154 C) 160 D) 166 E) 172 75. Se tiene una pista circular infantil para niños con triciclos que son supervisados por una persona ubicada en una torre de H mt situada al borde de la pista. En un momento dado el supervisor observa dos niños en la pista, en posiciones diametralmente opuestas con ángulos de depresión que son complementarios. Se le pide que determine la longitud de la pista, si la distancia entre esos niños es mínima. p p 2 A) B) H C) p 2H H 2 2 D) pH E) 2 2pH 76. Un móvil recorre 50 3 km con rumbo S 75º O y luego cambia su dirección al rumbo S 60º E hasta un punto situado al sur de su punto de partida. Halle la distancia, en km desde su punto de partida hasta su punto de llegada. A) 60 B) 65 C) 70 D) 50 2 E) 50 3 77. Un móvil parte desde un punto A hasta un punto B que está al norte de A, luego se dirige un rumbo S 60º E hasta un punto C que está a 10 m de B, luego se dirige con rumbo S 75º E hasta el punto D situado al este de A y a una distancia de ( 2 + 6 3 ) m. Calcule la distancia entre A y B. A) 6 m B) 7,5 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m 78. Héctor sale de su casa en la dirección 120 m. A su N ( 90º -a ) E y avanza vez Tito que vive al Este de Héctor sale en la dirección O ( 45º -a ) N , recorriendo 20 2 m y alcanza a su amigo. Calcule: tg ( 16º +a ) TRIGONOMETRÍA

51

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

13 16 37 D) 61 A)

73 161 53 E) 217 B)

C)

27 91

79. Alejandro le dice a Daniel: el CepreUni está en la dirección NNE de mi casa y en la dirección ONO de la tuya. Si las distancias entre el Cepre-Uni y nuestras casas en la misma. ¿En qué dirección está tu casa de la mía? A) OSO B) ESE C) ONO D) ENE E) NNO 80. Desde una estación de control A se observa a otra estación B en la dirección NqE a una distancia L, desde la estación “B” se observa una tercera estación “C” en la dirección N2qºE. A una distancia también igual “L”. ¿En que dirección se encuentra la estación “A” respecto de la estación “C”? q 3q A) S O B) SqO C) S O 2 2 5q D) S2qO E) S O 2 81. Dos embarcaciones A y B salen de un punto “P” la primera en dirección N60ºO, la segunda en dirección NE con velocidades iguales ambas a 10 km/h, luego de 2 horas “A” se desplaza con dirección este, hasta quedar exactamente al norte de “P” y “B” en dirección Oeste para quedar también al norte de “P”. Hallar la distancia que los separa en km. A) 10 ( 2 + 1) B) 10 2 C) 10 ( 2 - 1) E) 7 2

D) 5 2

82. Un estudiante Cepre-Uni sale de su casa con rumbo ENE y recorre 120 metros, luego se dirige al SSE y CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

recorre 50 metros, ¿a qué distancia en metros se halla de su casa? A) 50 B) 70 C) 90 D) 120 E) 130 83. Dos torres están situadas de tal manera que la de menor altura se encuentra al Oeste de la otra, siendo “A” y “B” sus puntos más altos respectivamente. Además desde “A” se observa a “B” con un ángulo de elevación a. Si desde un punto situado al SE de la menor y al Sur de la mayor se observa los puntos “A” y “B” con ángulos de elevación q y  respectivamente. Halle tgq, sabiendo que tga = 5 y tg = 9. 2 2 A) B) C) 2 4 2 D) 2 2 E) 4 2 84. Un avión que se encuentra en pleno vuelo a 120 m de altura observa un punto con un ángulo de depresión de 53º en la dirección Este. Si el avión se desplaza 45 2 m en la dirección NE observa el mismo punto con un ángulo de depresión q. Calcular tg q. 2 2 2 3 3 A) B) C) 3 3 4 4 2 5 2 D) E) 3 3 85. Una persona ubicada 8 m al sur de una torre observa la parte más alta, de la torre, con un ángulo de elevación de 45º, luego de caminar 8 m hacia el Este y 12 2 m en dirección NO, observa el mismo punto con un ángulo de elevación q. Calcular tg q. 1 2 3 A) B) C) 2 2 2 D) 2 E) 3 TRIGONOMETRÍA

52

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

86. Desde los extremos de un diámetro AB de una pista semicircular parten dos atletas que van hacia el encuentro, el cual se realiza en un punto W que está al NqºE de A y al NaºO de un punto V que se localiza en la prolongación de AB y al Este de A. Si B equidista de A y V. Determine: tg(aº) A) 2tgq + ctgq B) 3tgq + ctgq C) tgq + ctgq D) tgq + 3ctgq E) tgq + 2ctgq 87. Manuela y Alejandra viven al Sur y NE (respectivamente) de una torre de telefonía celular, si ambas salen de sus casas y Manuela sigue la ruta 50 m al Oeste y luego 100 m al Norte hasta llegar a un kiosco de periódicos, Alejandra al salir de su casa observa al mismo kiosco en la dirección S75ºO. Si desde el kiosco de periódicos se puede observar la torre de telefonía celular en la dirección SE. Se le pide que determine la distancia entre las casas de Manuela y Alejandra (en m). A) 50 7 + 2 3 B) 50 1 + 3 100 3 3 100 1+ 2 3 E) 7 C)

D)

50 3 3

88. Calcule aproximadamente el área de una región triangular ABC, sabiendo que: b = 2 , c = 2 + 2 y A = 22º 30 ' A) 1,0 B) 0,8 C) 0,6 D) 0,5 E) 0,4 89. Exprese: a2sen ( 2B) + b2sen ( 2A ) en términos de S (S: es el área de la región triangular ABC). A) 2S B) 3S C) 4S D) 5S E) 6S CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

90. Si el área de la región triangular ABC es 5 sec 2 A , calcular el área de la región sombreada en la figura mostrada. (en u2) B

M

A

C

N

A) 1 D) 7

B) 2 E) 8

C) 5

un triángulo ABC: AB = 2 u , BC = 3 u , m�BCA = x , m�BAC = 3x . Halle el área de la región triangular ABC en u2. 3 15 A) 1,5 B) C) 1,75 8 D) 2 E) 2,5

91. En

92. Si el área de un triángulo es 160 m2 y el radio de la circunferencia que lo circunscribe mide 10 m, entonces: E = sen A sen B sen C vale: A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,5 E) 0,8 C , donde S es el área 2 del triángulo, entonces la m�C es: A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º

93. Si ab = 4S tg

94. Dado un triángulo ABC, simplifique la expresión: 1 1 1 E= + + y dar su csenA asenB bsenC respuesta en función del área S de la región triangular ABC y de su semiperímetro (p) TRIGONOMETRÍA

53

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) Sp D)

2p S

S p 2S E) p B)

C)

p S

95. En la figura mostrada: BC = ( 5 + 1) u DC = 2u , m�BAC = 90º , m�ABD = q y m�CBD = 2q . Halle el área de la región triangular BCD en u2 B

SEMINARIO Nº 06

98. Los lados de un triángulo ABC son tres números enteros y consecutivos ( A > B > C) calcular: senA + senB + senC K= senB A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 99. En un triángulo ABC. Exprese V en función de S (área de la región triangular) donde 2 ( a2 - b2 ) csc A csc Bsen ( A - B) A) 2S B) 4S D) 8S E) 10S

V=

A

C

D

A)

5- 5 2

B)

5- 5 2

C)

5+ 5 2

D)

5+ 5 2

E)

5+ 5

C) 6S

100. En un triángulo ABC, de lados a, b, c y semi-perímetro P se cumple: 4S = ( P - b) ( P - c ) + P ( P - a) S: Área de la región triangular ABC Hallar la medida del ángulo A (en grados sexagesimales). A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

101. En un triángulo ABC: ha, hb y hc son las longitudes de las alturas. Calcule: h h +h h +h h E= a b a c b c absenC en función del semiperímetro “p” y el circunradio “R”. P P P A) B) C) 8R 4R 2R P 2P 97. Calcule el área de una región D) E) R R triangular donde el producto de su 2 inradio y circunradio es 20 u y además la suma de los senos de los 102. En un triángulo ABC se cumple: rc ( rb - ra ) ( rc - ra ) = 2rb � ángulos internos de dicho triángulo es 2 donde ra, rb y rc son las longitudes de igual a . los radios de las circunferencias 3 ex – inscritas, determine que tipo de 10 2 20 2 40 2 u u u A) B) C) triángulo es: 3 3 3 A) Acutángulo B) Rectángulo 50 2 2 u D) E) 40 u C) Equilátero D) Isósceles 3 E) Escaleno 96. En un triángulo ABC se cumple: 3 ctgA + ctgB = 1 , cos C = . El 5 circunradio R = 10 m. Determine el área de la región triangular ABC. A) 100 m2 B) 108 m2 C) 118 m2 D) 128 m2 E) 130 m2

CEPRE-UNI

TRIGONOMETRÍA

54

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

103. Se muestra el triángulo ABC 106. En un triángulo ABC la expresión a circunscrito a una circunferencia de B C 2B 2 A a cos + b cos ptg tg es igual radio r. P, Q y R son puntos de 2 2 2 2 tangencia, tal que AR = a y RC = b . a: Se le pide determinar el área de la Nota: p semiperímetro región triangular ABC en función de a, a 3a A) B) a C) b y el ángulo B. 2 2 B D) 2a E) 3a

P

A

Q

C

R

A) ab csc B B C) ab ctg 2 B E) ab cos 2

B) ab sen B B D) ab tg 2

104. En un triángulo ABC se cumple: Si rc = 3 y c = 6 , halle el valor de: r - r rb - r M= a + a b 1 A) 1 B) 2 C) 2 1 1 D) E) 3 4

107. En un triángulo isósceles, el lado desigual, tiene una longitud igual a la mediana relativa a dicho lado, determine el cociente de la suma de los lados del triángulo entre la suma de sus tres medianas. 1 1 A) B) C) 1 3 2 2 5 2 5 +2 D) E) 13 13 + 2 108. Dos autos parten simultáneamente desde un punto P en direcciones que forman un ángulo q uno a 5 km/hora y el otro a 12 km/hora. Calcule cosq si al cabo de 1 hora la distancia desde el punto P al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. 3 9 7 A) B) C) 80 40 16 13 5 D) E) 25 8

109. Calcule el coseno del menor ángulo de un paralelogramo, si su perímetro 105. En un triángulo ABC, calcule: es de 14 u y sus diagonales miden p ( p - a) ( p - b ) ( p - c ) 4 u y 6 u. E= A B C 10 12 14 ctg � ctg � ctg A) B) C) 2 2 2 23 23 23 si el semiperimétro es “p” y el inradio 16 18 es “r” D) E) 23 23 A) 8pr3 B) 4pr3 C) 2p2r2 D) pr3 E) 2p3r 110. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles miden 3 u. La base mayor y su diagonal miden 9u, calcule el área de la región trapezoidal. CEPRE-UNI

TRIGONOMETRÍA

55

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) 3 35 17 35 C) 4 21 35 E) 4

115. En un cuadrilátero inscriptible ABCD ( AB = a, BC = b, CD = c , AD = d) si,

B) 4 35 D) 5 35

bc ad

a + d = b + c y m�A = 53º . Halle:

111. Los lados de un cuadrilátero circunscriptible son tales que su producto es 289 cm4. Si la suma de dos ángulos opuestos de dicho g

�400 � cuadrilátero es � �; calcule �3 � aproximadamente (en cm2) el valor del área del cuadrilátero. A) 14.1 B) 14.3 C) 14.5 D) 14.7 E) 14.9 112. Los lados de un cuadrilátero bicéntrico se encuentran en progresión aritmética de razón 2 cm; si el mayor lado mide 16 cm; halle el área de dicho cuadrilátero en cm2. A) 8 105 B) 10 105 C) 16 105 D) 24 105 E) 36 105 113. Un cuadrilátero bicéntrico tiene un área de 20 cm2. Si una diagonal del cuadrilátero tiene longitud 10 m y pasa por el centro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero. Calcule la suma de sus lados, en metros. A) 2 15 B) 3 15 C) 4 15 D) 15 E) 4 35 114. Si las diagonales de un rectángulo miden 13 cm y el seno del ángulo que forman las diagonales es 12/13. Entonces, se le pide determine el perímetro del rectángulo (en cm). A) 78 B) 10 13 C) 32 D) 5 13 E) 13 2

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 2

116. Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible, de lados a, b, c, d y S el área de su región cuadrangular. S W= Simplifique: �A �( sen � � �ad + bc ) �2 � �C � �A � A) cos � � B) tg � � �2 � �2 � �C � �A � C) c tg � � D) cos � � �2 � �2 � �C � E) sen � � �2 � 117. Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden AB = 2 u , BC = 4 u , CD = 3 u y AD = 5 u . Halle cosq, si q es el ángulo que forma las diagonales. 5 13 9 D) 13 A)

6 13 11 E) 13 B)

C)

7 13

118. Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico de lados a, b, c y a. Determine: �C � W = ad � ctg2 � � �2 � A) ab B) bc C) ad 2 ad D) bd E) b

TRIGONOMETRÍA

56

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06 z

FÍSICA 1.

2.

B

Una espira conductora plana se localiza en un campo magnético uniforme dirigido a lo largo del eje x. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) a las proposiciones siguientes: I. Si el plano de la espira es paralelo al plano x - z , el flujo a través del mismo es cero. II. Si el plano de la espira es paralelo al plano x - y, el flujo a través del mismo es cero. III. Si el plano de la espira es paralelo al plano y - z , el flujo a través del mismo es máximo. A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFF

4.

La figura muestra una espira triangular de lados l , si en dicha región existe un campo B0 k$ . Calcule el flujo magnético a través de dicha espira. ur z B

l

l

y

3 2 A) 4 B0l B0l 2 C) 4 B0l 2 E) 2

2 2 B) 2 B0l B0l 2 D) 3

CEPRE-UNI

A

C

)

y

D

x

Cierto campo magnético que varía con el tiempo según la figura, está orientado normalmente a una espira circular de radio r. Al respecto señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. En cierto instante entre 0 y t1 la eind es cero. II. En el instante t1 la eind es cero. III. Entre 0 y t1 la eind cambia de sentido. A) B) C) D) E)

VVF FVV FVF VFV FFF

0

t1

t

La figura muestra una espira circular de radio 1 m, en un campo uniforme B = 2 T , la cual se mueve sin rotación con una rapidez de 2 m/s en el sentido mostrado. Determine la f.e.m. (en V) inducida, considerando que la región con campo es suficientemente grande comparada con el radio.

r

Determine el flujo magnético (en Wb) que atraviesa la cara ABCD del cubo de 2 m de arista, sabiendo que existe un campo magnético homogéneo ur B = -1,5i$- 2j$ T .

(

– 16 –8 –4 4 8

B

5.

l

x

3.

A) B) C) D) E)

A) 8 D) 0

B) 0,5 E) 2 FÍSICA

r v

C) 4

57

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

6.

Un solenoide de 100 espiras y área transversal de 1000 cm2 se encuentra dentro de un campo magnético uniforme de 150 mT como muestra la figura. Calcular la f.e.m. inducida media (en volt) en el sistema si el solenoide se aparta del campo en 0,25 s.

SEMINARIO Nº 06

$ n 37º

B (T) 0,8 0,2 20

30

A) 0,03 D) 0,12 9. A) D) 4 7.

B) 6 E) 0,2

C) 2

La figura muestra el comportamiento del flujo magnético m en función del tiempo. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Entre o y t1 la fem inducida es constante igual a cero. II. Entre t1 y t2 la fem inducida es constante. III. Entre t1 y t3 la fem inducida es constante.

m

0

A) VVF D) FVV 8.

t1

t2

B) VVV E) FVF

t

C) VFF

Una bobina rectangular de 2000 vueltas y 25 cm2 de sección transversal se encuentra en el interior de un campo magnético B que varía con el tiempo tal como se indica. Halle la fem (en V) inducida en los extremos de la bobina.

CEPRE-UNI

t (s)

40

B) 0,06 E) 0,18

C) 0,08

Una varilla conductora de 0,5 m de longitud se desliza sobra rieles paralelos con una rapidez de 10 m/s en el interior de un campo magnético uniforme perpendicular al plano de movimiento cuyo módulo es 0,4 T . Determine la potencia disipada (en W) en la resistencia R = 2 W .

R

A) 4 D) 10

t3

B

































v

B) 8 E) 12

v

C) 2

10. Respecto al observador de la figura, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el imán se acerca a la espira, la corriente inducida, tiene sentido horario. II. Cuando el imán se acerca a la espira, la corriente inducida tiene sentido antihorario. III. Cuando el imán se aleja de la espira, la corriente inducida tiene sentido horario. IV. Cuando el imán se aleja de la espira, la corriente inducida tiene sentido antihorario.

FÍSICA

58

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

A) VVFF D) FVVF

12. Una espira circular de 0,10 m de radio rota en un campo magnético B = 0,5 T con una frecuencia de 50 revoluciones por segundo. Calcule en volt la máxima amplitud de la fem inducida. OBS. C) FVFV A) 0,39 B) 1,56 C) 3,2 S N D) 4,9 E) 5,2

B) VFVF E) FFVV

IMÁN

11. La figura (I) muestra 2 espiras conductoras en movimiento y una bobina fija conectada a una fuente de corriente continua. Si usted observa a las espiras tal como se muestra en la siguiente figura, entonces señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La corriente en la espira (1) es antihoraria. II. La corriente en la espira (2) es horaria. III. No hay corrientes en las espiras. Fig. (I)

z'

z ''

z

v

13. Respecto a los valores eficaces del ESPIRA voltaje y la corriente, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Los valores eficaces son valores promedio en un periodo. II. Vef es mayor que Vmáx III. El producto VefIef = Pmáx A) VVF B) VFF C) FFF D) VFV E) FVV 14. En el siguiente circuito, hallar la corriente (en A) eficaz y la frecuencia (en Hz).

e = 200 2sen ( 110pt )



v

y'

x'

SEMINARIO Nº 06

y

A) 20, 50 D) 30, 55

x '' (2)

(1) x

Fig. (II)

z'

z '' x ''

x' (1)

A) VVV D) FFV

CEPRE-UNI

B) FVV E) FFF

C) VVF

C) 30, 50

15. Halle la potencia media (en W) consumida en la resistencia R = 500 W .

v(t) = 100 2sen ( 120pt )



A) 15 D) 22 (2)

B) 20, 55 E) 30, 60

W

B) 18 E) 25

R

C) 20

16. Un generador de corriente alterna consta de 10 vueltas de alambre de cobre cada una de área A = 0,1 m2 y la resistencia total del alambre es de FÍSICA

59

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

8 W . Las espiras giran en un campo magnético de 0,3T a una frecuencia constante de 60 Hz, determine, aproximadamente, el valor eficaz de la corriente inducida (en A). A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 17. Respecto a los transformadores ideales, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: Vmax1 N1 = I. Se cumple: . Vmax2 N2 I = V2I2 II. Se cumple V11 III. El flujo magnético en todo momento cumple la condición 1 = 2 ( 1 = flujo en el primario, 2 = flujo en el secundario). A) VVF B) VFF C) FFF D) VVV E) VFV 18. La figura muestra un transformador con dos circuitos secundarios, donde Np Np I = 100 , = 50 . Halle 1 , donde NS1 NS2 I2 I, e I2 son corrientes eficaces.

Vp = 100 V 

NP

NS1

NS2

R =1 W

I2 2R

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

19. Un transformador ideal tiene 350 espiras en el primario y 2000 en el secundario. Si el voltaje de entrada es 170 cos ( 2p�60 �t ) (en V), determine el valor eficaz (en A) de la corriente CEPRE-UNI

en el secundario cuando la carga en el mismo es de 69 W. A) 5 B) 7 C) 10 D) 15 E) 20 20. Un transformador de potencia de 2 kW y 80% de eficiencia se conecta al primario una diferencia de potencial de 220 V. Determine la potencia máxima disipada (en W) y la corriente que circula (en A) por una resistencia R = 100 W conectado al primario. A) 2000 ; 6 B) 1800 ; 4 C) 1600 ; 6 D) 1600 ; 4 E) 2000 ; 4 21. El transformador ideal de la figura tiene 250 espiras en el primario y 1000 espiras en el secundario, y está provisto de un fusible de protección para 100 mA. La máxima corriente (en mA) que puede proporcionar el secundario es:

200 V FUSIBLE

A) 5 D) 75

I1

SEMINARIO Nº 06

B) 25 E) 100

C) 50

22. Indique las proposiciones correctas respecto a las ondas electromagnéticas. I. Si E = 750 cos ( 0.838x - 8p�107 t ) V/m la longitud de onda es 7,5 m. II. Las OEM es el resultado de la superposición de dos ondas una eléctrica y otra magnética. III. Las ondas electromagnéticas viajan siempre a la velocidad de 3 �108 m/s en cualquier medio. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

FÍSICA

60

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

SEMINARIO Nº 06

23. De las siguientes proposiciones: I. Una carga en movimiento rectilíneo uniforme no emite energía electromagnética. II. Una carga acelerada emite energía electromagnética. III. Cuando una carga es desacelerada no emite energía electromagnética. A) Solo I es verdadera B) Solo II es verdadera C) Solo III es verdadera D) I y II son verdaderas. E) Todas son verdaderas.

26. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, referentes a las ondas electromagnéticas: I. Son producidas por cargas aceleradas. II. Son ur urondas transversales. III. E �B nos da la dirección en que se propagan. IV. La frecuencia está determinada por la fuente que los genera. A) VVVV B) VVFF C) VFVF D) FVFV E) FFFF

24. Respecto a las ondas electromagnéticas, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Las OEM u se con los r propagan ur vectores E y B en fase, perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. II. La magnitud de los campos eléctricos y magnéticos están relacionados por la ecuación E k = . B w III. La frecuencia de una OEM con longitud de onda l = 150 m que viaja en el vacío es 0,2 �106 Hz . A) VFF B) VVV C) FFF D) VVF E) FVF

27. Un receptor de radio detecta una señal de una estación de radio con una intensidad de 625 �10-7 W/m2. Determine la distancia (en km) del receptor a la antena trasmisora si se avanza 10 km hacia la antena se encuentra que la intensidad es 25 �10-5 W/m2. A) 50 B) 40 C) 25 D) 20 E) 15

25. Con relación a las siguientes proposiciones sobre las ondas electromagnéticas indique verdadero (V) o falso (F): I. En el vacío se propagan con una velocidad de 300000 km/s. II. La dirección de propagación es perpendicular al campo eléctrico y magnético a la vez. III. La velocidad de propagación disminuye si atraviesan en medio transparente. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF

y

CEPRE-UNI

28. La figura muestra el vector campo eléctrico de amplitud E0 de una OEM que se propaga en el vacío en el sentido – z . Si la longitud de onda es de 150 nm. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a un campo magnético de dicha onda?

u r E

30º x E0 � 3 $ 1 $� �p � sen � �109 Z + 4 p �1015 t � � i + j� c �2 2 � � 75 � E �3 1 � p 9 15 � B) 0 � $i + $j �sen � � �10 Z - 4 p �10 t � c �2 2 � � 75 � �3 1 � p 9 15 � C) E0 � $i + $j �sen � � �10 Z - 4p �10 t � 2 � � 75 �2 �

A)

FÍSICA

61

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I E0 � 3 $ 1 $� �p � sen � �109 Z + 4 p �1015 t � � i - j� c �2 2 � �75 � E � 3 1 � p 9 15 � E) 0 �- $i + $j �sen � � �10 Z - 4p �10 t � c � 2 2 � � 75 �

D)

29. El campo eléctrico de una onda electromagnética tiene una amplitud de 3 �10-2 V/m: a) Halle la amplitud (en T) del campo magnético. b) La energía por unidad de volumen en J/m3 de la onda. A) B) C) D) E)

10–10 y 100 10–10 y 39,8 10–16 10–8 y 79,6 10–8 10–8 y 79,6 10–10 20 y 80

30. Respecto a las proposiciones: I. La energía que transporta una OEM depende de la frecuencia de la misma. II. Las ondas infrarrojas son de mayor longitud de onda que las ultravioletas. III. Al pasar una OEM a través de un medio y salir de él nuevamente, su frecuencia permanece constante pero su velocidad cambia. IV. La intensidad de la luz roja es menor que la de la luz verde V. En una OEM, el campo eléctrico siempre es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Son verdaderas: A) I y II B) II y III C) III y IV D) I, III y IV E) Todas 31. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes, respecto de la radiación visible: I. El color rojo tiene mayor frecuencia que el verde. II. El ojo humano es más sensible, al color de mayor longitud de onda. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

III. La radiación visible, se propaga con mayor rapidez que las ondas de radio, en un determinado medio. A) VVV B) FFF C) VFF D) VVF E) FFV 32. Con relación a las siguientes proposiciones sobre el espectro electromagnético indique verdadero (V) o falso (F). I. El espectro visible se encuentra en el rango de longitud de onda o o � � 3500 A ; 7500 A �. � II. Los rayos  tienen mayor frecuencia que los rayos X. III. La longitud de onda de las microondas son del orden de los centímetros. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF 33. Respecto a las ondas electromagnéticas, indique el enunciado correcto: A) En el rango infrarrojo tienen mayor longitud de onda que las que están en el rango ultravioleta. B) En el vacío su velocidad de propagación depende de la frecuencia de la onda. C) No portan energía. D) No se pueden propagar en el vacío. E) Su intensidad es proporcional a su frecuencia. 34. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. Cuando una onda luminosa se refracta, necesariamente cambia su longitud de onda. II. Cuando una onda luminosa se refracta, en general también se refleja.

FÍSICA

62

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

III. Cuando la radiación luminosa se refracta y se refleja, sus longitudes de onda, de la onda refractada y la onda reflejada, están asociadas por el respectivo índice de refracción. A) VVV B) FFF C) VVF D) FFV E) VFF 35. Dos espejos M1 y M2 se colocan como se muestra en la figura. Si q = 45º y a = 120º , determine el ángulo de reflexión desde M2. A) B) C) D) E)

55º 60º 65º 70º 75º

M1 q

120º M2

36. La figura muestra la refracción que experimenta un rayo de luz al pasar de un medio 1 a otro medio 2. Señale verdadero (V) o falso (F) según crea conveniente. I. El seno del ángulo de incidencia es mayor que el seno del ángulo de refracción. II. n1 < n2 III. La rapidez de propagación de la luz en el medio 1 es mayor que en el medio 2. n1 n2

A) FFF D) VVF

B) FVF E) VVV

C) VFV

37. Un rayo de luz incide sobre una superficie de agua cuyo índice de refracción n = 4 / 3 . Determine la desviación del rayo refractado.

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06 R.I. 53°

aire agua

A) 8º D) 48º

B) 16º E) 53º

C) 32º

38. Se desea que un rayo de luz que pasa por el punto A ( - 3 , 1) en el medio I de índice de refracción n1 = 1 pase por el punto B ( 1 , - 3 ) del medio II. ¿Qué valor debe tener el índice de refracción del medio II? y

n1 = 1 A I

II

A) 1 D) 2

o

x B

n2

B) E)

2 6

C)

3

39. Una persona ubicada en la orilla de un estanque no observa el rayo de luz proveniente de una fuente que está a 12 3 m de profundidad debido a un disco de madera ubicado sobre la superficie. Calcule el mínimo radio (en m) del disco si el índice de refracción del líquido en el estanque es 2. A) B) C) D) E)

8 10 12 14 16

nc = 2 h = 12 3 n

FÍSICA

63

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

40. Un disco opaco de plástico flota directamente sobre un foco de luz que está en el fondo de una piscina de 1,5 m de profanidad. Si el índice de refracción del agua es 1,33, ¿cuál será el radio mínimo, en m, que debe tener el disco para que un observador fuera de la piscina no pueda ver el foco, cualquiera que sea su posición?

SEMINARIO Nº 06

e índice de refracción n2. Determine la medida de QR si PR es prolongación de la dirección del rayo incidente.

n1

C) 1,4

41. ¿A que distancia x (en m) aproximadamente se desplazará un rayo luminoso que pasa a través de una placa paralela cuyo índice de refracción es n = 4 /3 y espesor d = 20 cm ? aire

aire

A) 7 D) 13

B) 10 E) 15

� tgq A) d � � � ctgq + B) d � � � tgq + C) d � � � tgq D) d � � � ctgq E) d � �

n1senq

� � n12 - n22sen2q � n1 cos q � � n22 - n12sen2q � n1senq � � n22 - n12 cos2 q � n1senq � � n22 - n12sen2q � n1cosq � � n22 + n12sen2q �

líquido

x

C) 12

42. Como se indica en la figura, un rayo de luz que se propaga en un medio de índice de refracción n1 incide con un ángulo q, en una de las caras de una lámina transparente de espesor d CEPRE-UNI

R

43. En un recipiente semiesférico volumétrico el rayo de luz se refleja totalmente para q �37º cuando se coloca un líquido en la superficie el rayo se refleja totalmente para q �53º , calcule el índice de refracción del líquido y recipiente.

53°

d

d Q

1,50

B) 1,5 E) 2,0

P

n2

R

A) 1,7 D) 1,3

q

3 5 A) y 4 3 3 3 C) y 4 5 4 5 E) y 3 3

q

5 4 y 3 5 4 5 D) y 5 3 B)

FÍSICA

64

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

44. En la figura se muestra un rayo que incide sobre un prisma óptico, siguiendo la trayectoria mostrada. Determine el índice de refracción del prisma.

R.I. aire n

q

A) sen q D) cotg q

B) cos q E) sec q

C) tg q

45. La figura muestra un foco luminoso sumergido en un líquido cuyo índice de refracción n = 5 / 3 . Indique las afirmaciones correctas para que se produzca reflexión total interna. I. El ángulo q debe ser mayor que 37º. II. El ángulo q debe ser menor que 30º. III. El ángulo q debe ser igual a 90º.

q

A) Solo I D) Solo I y II

B) Solo II C) Solo III E) Solo II y III

46. Se desea obtener un círculo luminoso de 1 m de diámetro en la superficie del agua de una piscina ornamental. ¿A qué profundidad (en m) se debe colocar la fuente luminosa? nH2O = 4/3 A) 0.44 B) 0.54 C) 0.64 D) 0.75 E) 1.20

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

47. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Para que dos ondas sean coherentes, es necesario que tengan igual frecuencia. II. Los patrones de interferencia y difracción son idénticos. III. La difracción es un fenómeno que sólo se presenta en las ondas electromagnéticas. A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFV 48. Analizar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La polarización es una característica de todas las ondas transversales. II. La dirección de polarización de una onda electromagnética está dada por la dirección del campo magnético. III. La luz proveniente de fuentes ordinarias bombillas, fluorescentes está polarizada. IV. Para obtener luz polarizada se utiliza un filtro polarizador. A) FFFV B) FVFV C) VFFV D) FVVF E) VFVF 49. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La imagen de un objeto frente a un espejo plano es siempre virtual. II. El mínimo tamaño de un espejo para que un objeto pueda verse completamente es la mitad del tamaño del objeto. III. Solo en los espejos planos se cumple: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FVV

FÍSICA

65

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

50. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? A) Una característica de la luz es la polarización. B) La dirección de polarización de una onda electromagnética es la dirección del campo eléctrico oscilante. C) La luz solar consiste de una enorme cantidad de ondas electromagnéticas cada una de las cuales está polarizada en una dirección al azar en un plano normal a la dirección de propagación de la luz. D) Un polarizador perfecto transmite la luz polarizada de la luz. E) Un rayo de luz viaja en la dirección del eje Z e incide sobre un polarizador cuyo eje de polarización es perpendicular al eje Z. Si al rotar el polarizador alrededor del eje Z se observa que el rayo de luz siempre es transmitido, entonces el rayo de luz está polarizado. 51. En la figura se muestran dos espejos idénticos situados paralelamente uno frente al otro. Entre ellos se coloca un objeto. Determine la distancia (en m) entre las cuartas imágenes formadas detrás de los espejos.

200 mm

A) 4,2 D) 4,8

400 mm

B) 4,4 E) 9,6

C) 4,6

52. Determine (en m) la distancia del suelo a la que se encuentra el extremo superior del espejo que el CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

muchacho debe utilizar, para observar la imagen del insecto P. P

E S P E J O

0,5 m

1,5 m

2m

A) 1,65 D) 1,90

B) 1,68 E) 1,95

1m

C) 1,87

53. Determine la altura H (en cm) de espejo vertical mínimo para que un observador situado en “o” pueda ver la imagen completa del objeto AB de 6 m de altura. A 20 cm H OBS.

o B 2,8 m

A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

C) 30

54. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Un objeto está a 7 cm frente a un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 16 cm. La imagen formada es real, invertida y de mayor tamaño. II. Un espejo retrovisor es un espejo convexo, las imágenes formadas son siempre virtuales. III. En un espejo cóncavo las imágenes formadas son siempre reales. A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF FÍSICA

66

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

55. Una vela de 40 cm de altura se ubica frente a un espejo cóncavo de 80 cm de radio de curvatura. Determine la altura de la imagen (en cm) si la imagen que se produce es real y se ubica a 60 cm del espejo. A) 10 B) 20 C) 30 D) 35 E) 40 56. Un objeto se encuentra frente a un espejo cóncavo de distancia focal igual a 3 cm. Si la distancia objeto es de 2 cm, halle la magnificación. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 57. Un objeto de 12 cm de altura colocado frente a un espejo esférico, genera una imagen real de 4 cm de altura A 60 cm de él. Determine el radio de curvatura (en cm) del espejo. A) 30 B) 45 C) 50 D) 60 E) 90 58. Un objeto es colocado frente a un espejo de modo que el tamaño de la imagen virtual es la mitad del tamaño del objeto. Luego se aleja el objeto 30 cm y se observa que ahora la imagen es 1/5 del tamaño del objeto. ¿Cuál es la distancia focal de dicho espejo (en cm)? A) – 40 B) – 20 C) – 10 D) 10 E) 20 59. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones respecto a las lentes. I. En una lente divergente, no importa cual sea la posición del objeto, la imagen siempre será derecha. II. Si el objeto se encuentra entre el foco y la lente, la imagen será virtual, no importa el tipo de lente. III. Si la distancia objeto-lente es mayor que la distancia focal las CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

lentes biconvexas imágenes reales. A) VVF B) VVV D) VFV E) FVF

producirán C) VFF

60. Con respecto a la potencia de las lentes delgadas se puede afirmar que: I. Puede ser (+) y (–) II. Se mide en unidades llamadas decibeles. III. La dimensión de la potencia es L–1 A) VVV B) VFV C) VVF D) FVF E) FFF 61. Halle la potencia (en dioptrías) que debe tener una lente para que produzca una imagen real y de tamaño doble del objeto, cuando éste se coloca a 3 cm de la lente. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 62. Un objeto de 9 cm de alto, está a 27 cm frente a una lente divergente de distancia focal 18 cm. Determine la posición y altura de su imagen (en cm); respectivamente. Se recomienda primeramente resolver por construcción geométrica. A) 10,8 y 3,6 B) – 10,8 y 3,6 C) – 54 y 4,5 D) – 27 y 3,6 E) – 27 y 4,5 63. Una lente convergente de vidrio ( n1 = 1,8) tiene una distancia focal de 10 cm en el aire. Determine la distancia focal (en cm) cuando se sumerge en aceite ( nac = 1,2) . A) 8 B) 16 C) 6 D) 40 E) 12 64. ¿A qué distancia máxima de una pantalla una lente convergente de 4,2 cm de distancia focal, formará la

FÍSICA

67

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

imagen nítida de un objeto luminoso situado a 20 cm de la pantalla? A) 10 B) 11 C) 14 D) 16 E) 17 65. La lente mostrada en la figura tiene una potencia de 5 dioptrías en el aire siendo los radios r1 y r2 de 30 cm y 60 cm respectivamente. Determine el índice de refracción de la lente. r1 01

A) 1 D) 3

r2 02

B) 2 E) 3,5

C) 2,5

66. La imagen de un objeto producida por una lente convergente es virtual y derecha, y su altura es el doble de la del objeto. La distancia focal de la lente es de 15 cm. Hallar la distancia (en cm) de la imagen a la lente considerando la convención de signos. A) 15 B) – 15 C) 7,5 D) – 7,5 E) 5 67. La potencia de una lente delgada es igual a –10 dioptría. Halle la magnificación de un objeto que se encuentra a 10 cm de la lente. A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7 D) 0,8 E) 0,9 68. ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto? A) La radiación electromagnética sólo tiene naturaleza corpuscular. B) Las ondas ultravioletas son menos energéticas que las infrarrojas. C) En el vacío la velocidad de la luz infrarroja es menor que la de la luz ultravioleta.

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SEMINARIO Nº 06

D) Un cuerpo con alta temperatura irradia energía continuamente E) En equilibrio térmico una esfera metálica a alta temperatura irradia más energía de la que absorbe. 69. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Planck propuso explicar la curva: densidad de energía emitida por un cuerpo negro en función de la longitud de onda a una temperatura T. II. Un agujero en una cavidad se comporta como un cuerpo negro. III. Todos los cuerpos negros que se encuentran a la misma temperatura emiten radiación térmica con el mismo espectro. A) VVV B) VFF C) FVV D) FFV E) FFF 70. Respecto al modelo de Planck de la radiación electromagnética identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Los cuerpos calientes emiten energía radiante en paquetes discretos. II. Una sustancia gaseosa como el neón emite energía radiante de cualquier valor. III. La energía de cada paquete es proporcional a la longitud de onda de la radiación. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF 71. En circunstancias favorables el ojo humano puede detectar hasta 10–15 J de energía electromagnética, en ese caso, señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El ojo humano puede detectar más fotones de radiación verde que de radiación amarilla.

FÍSICA

68

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

II. El ojo humano puede detectar menos fotones de radiación violeta que de radiación azul. III. El número de fotones de radiación o

de l = 6000 A que el ojo humano puede detectar es aproximadamente 3018. A) VVV B) VFV C) FFV D) FVF E) FVV 72. Con respecto al modelo de Planck se puede decir: I. Afirma que la materia no puede emitir radiación. II. Que los paquetes de energía emitida, llamados “cuantos”, son todos del mismo tamaño. III. Que el tamaño de un cuanto es igual a 6,63 �10-34 , constante conocida con el nombre de “constante de Planck”. A) VVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FFF 73. Un transmisor de radio de 10 kW emite señales de 1,5 MHz. ¿Cuál es la cantidad de fotones emitidos por segundo? A) 1027 B) 1029 C) 1031 33 35 D) 10 E) 10 74. Cuando un electrón pasa de una órbita a otra contigua, el átomo emite un fotón de 1004 Hz de frecuencia. ¿Cuál es, aproximadamente, la diferencia de energía (en eV) entre estas órbitas? h = 6,63 �10-34 J.s ; 1eV = 1,6 �10-19 J )

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A) 0,10 D) 0,40

SEMINARIO Nº 06

B) 0,20 E) 0,50

C) 0,30

75. Una superficie de sodio se ilumina con luz de 300 nm de longitud de onda. La función trabajo para el sodio es 2,46 eV. Indique verdadero (V) o falso (F) para las siguientes proposiciones: I. La energía de la luz incidente es suficiente para arrancar electrones. II. La energía cinética máxima de los electrones emitidos es 1,68 eV. III. La longitud de corte para el sodio es 405 nm. A) FFV B) VVF C) VVV D) FFF E) FVF 76. Señale la o las proposiciones correctas: I. En el efecto fotoeléctrico una mayor intensidad de la radiación incidente sobre un metal aumentará la energía cinética de los electrones extraídos del material. II. Los rayos X está formados por electrones que se mueven a gran velocidad. III. Según el modelo de Planck, la energía de la radiación electromagnética es un múltiplo entero de hf donde h es la constante de Planck y f es la frecuencia de la radiación. A) I B) II C) III D) I, II E) I, III 77. Indique las afirmaciones correctas respecto del efecto fotoeléctrico y el modelo de Einstein. I. La energía cinética de los fotoelectrones emitidos depende de la intensidad de la radiación incidente.

FÍSICA

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II. La función trabajo del metal depende de la intensidad de la radiación incidente. III. Para que existan fotoelectrones emitidos la frecuencia de la radiación incidente debe ser mayor que la frecuencia de corte. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 78. En el efecto fotoeléctrico la luz como un haz de fotones de energía hu incide sobre un metal de función trabajo  . ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? I. Si hu <  , un electrón del metal puede salir. II. Si hu > 2 , un fotón puede extraer 2 electrones del metal. III. Si hu >  entonces ( hu - ) es la máxima energía cinética que puede alcanzar el electrón expulsado. IV. Si se aumenta la intensidad de la luz manteniendo la misma frecuencia, el electrón extraído lo hará con mayor energía cinética. A) Todas B) Tres C) Dos D) Una E) Ninguna 79. Respecto al efecto fotoeléctrico indique la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes: I. En la emisión fotoeléctrica se tiene una transformación total de la energía de un fotón en la energía cinética de un electrón. II. El potencial de frenado depende de la intensidad de luz y de su frecuencia u . III. Si u0 es la frecuencia umbral de un metal puro, entonces para cada radiación de frecuencia u < u0 no hay emisión de electrones. A) VVV B) VVF C) VFV CEPRE-UNI

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D) FFV

E) FFF

80. Cuando se hace incidir luz de frecuencia 8 �1014 s-1 en una placa metálica, ésta emite electrones cuya máxima rapidez es 58,4 �105 m/s por el efecto fotoeléctrico. Si la frecuencia de la luz incidente fuera 6 �1014 s-1 , la rapidez máxima al cuadrado, en m2/s2 sería: Considere: Cons tan te de Planck h = = 7,3 �10-4 m2/s Masa del electrón m A) 28,2 C) 29,2 �1010 E) 42,2 �1010

B) 31,2 D) 35,2 �1010

81. Sobre una superficie metálica cuya función trabajo es de 1,8 eV incide radiación cuyos cuantos son de 2,7 eV. Determine la energía cinética máxima de los fotoelectrones arrancados al metal en eV. A) 0,48 B) 0,52 C) 0,65 D) 0,75 E) 0,9 82. Para detener los fotoelectrones emitidos por la plata cuando se o ilumina con luz ultravioleta de 2536 A es necesario un voltaje de frenado de 0,11 V. Halle la función trabajo de la plata. A) 4,79 eV B) 3,78 C) 1,45 D) 6,07 E) 5,17 83. Sobre una placa de cepresita cuya función trabajo es de  = 1,1 eV se hace incidir radiación de 400 nm. ¿Cuál es la máxima energía cinética (en eV) de los fotoelectrones emitidos? FÍSICA

70

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( hc = 1,24 �10-6 eV.m ) A) 1,0 B) 1,5 D) 2,5 E) 3,0

C) 2,0

84. Se realizan experiencias del efecto fotoeléctrico, primero con luz roja, luego con luz verde y finalmente con luz azul. Las longitudes de onda de estas radiaciones son 650 nm, 500 nm y 450 nm, respectivamente ( (1 nm = 10-9 m) . Si las energías cinéticas de los fotoelectrones arrancados por estas radiaciones son ER, EV y EA, respectivamente, diga cuál de las siguientes alternativas es la correcta: A) ER > EV > EA B) EA > ER > EV C) EV > EA > ER D) EA > EV > ER E) ER > EA > EV 85. Al incidir luz de longitud de onda l sobre una superficie de función trabajo , esta emite electrones cuya energía cinética máxima Tm cumple la relación: hc Tm = - l donde h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz. Si la intensidad de la luz incidente se duplica, diga cuál de las siguientes proposiciones es correcta: A) Tm se duplica y  queda igual. B) Tanto Tm como  se duplican. C) Tm queda igual y  se duplica. D) Ni Tm ni  son modificados. E) Tm y  se reducen a la mitad. 86. Respecto del espectro de emisión continua de rayos X se puede afirmar que: I. Es evidencia de la naturaleza corpuscular de los rayos X. II. Existe una relación lineal entre la máxima frecuencia de los rayos X CEPRE-UNI

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emitidos y el voltaje acelerador aplicado a los electrones. III. La longitud de onda de corte es tanto mayor cuando mayor es la energía de los electrones desacelerados por el “blanco”. A) VVF B) FVV C) VFV D) VFF E) VVV 87. Respecto a los rayos X indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. En la producción de rayos X los electrones acelerados son frenados violentamente al chocar contra un material denominado ánodo (blanco). II. En la producción de rayos X consiste en la emisión de fotoelectrones del “blanco”. III. La emisión de los rayos X es un proceso idéntico al del efecto fotoeléctrico. A) VVV B) FVV C) VFF D) VVF E) FFF 88. ¿Cuál es aproximadamente la mínima diferencia de potencial (en V) entre el filamento y el anticátodo de un tubo de rayos X para que se produzcan o rayos X de 0,5 A de longitud de onda? A) 5000 B) 15740 C) 24860 D) 36200 E) 40920 89. En un tubo de rayos X los electrones se aceleran con un voltaje de 50 kV antes de impactar con el blanco metálico. ¿Cuál de las siguientes o longitudes de onda (en A ) de radiación x puede salir del metal? A) 0,100 B) 0,148 C) 0,200 D) 0,228 E) 0,300

FÍSICA

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90. ¿Cuál es el potencial acelerado mínimo (en kV) para generar rayos X de una frecuencia de 3 �1018 Hz ? A) 21,3 B) 19,5 C) 17,8 D) 15,2

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E) 12,4

FÍSICA

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QUÍMICA 1.

4.

Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) según correspondan: I. La fuerza electromotriz (fem) de una celda múltiple es la suma de la fem de cada una de las celdas simples que la conforman. II. La batería de los autos es un ejemplo de celdas múltiples. III. Se usa una celda múltiple para obtener un dispositivo de mayor fem. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV

5.

Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) según correspondan: I. En las celdas en serie los ánodos se unen con los cátodos mediante alambre conductor. II. La intensidad de corriente eléctrica es la misma en las celdas en serie. III. En las celdas en serie, los números de equivalentes depositados o liberados son iguales. A) VFF B) VVF C) VVV D) VFV E) FFV

6.

Indique que proposición(es) es(son) correcta(s): I. El hidrógeno podría ser un combustible importante en nuestra economía, porque es gaseoso y se puede transportar fácilmente por tuberías; arde sin producir contaminantes. Se puede producir H2 por electrólisis del ácido sulfúrico diluido. II. Si hacemos que un metal u otro conductor eléctrico sea el cátodo en una celda electrolítica, se le podrá recubrir con otro metal para protegerlo contra la corrosión,

Utilizando los valores de los potenciales de reducción estándar: Eo ( Cu2+ / Cu) = 0,34 V , Eo ( Mg2+ / Mg) = -2,37 V y Eo ( Ni2+ / Ni) = -0,25 V

Indique cuál o cuáles de las siguientes reacciones se producirán de forma espontánea. I. Mg2+ + Cu � Mg + Cu2+ II. Ni + Cu2+ � Ni2+ + Cu III. Mg + Cu � Mg2+ + Cu2+ IV. Ni2+ + Mg � Ni + Mg2+ A) I y II B) II y IV D) I y III E) II y III 2.

C) Solo I

De acuerdo con los valores de los potenciales estándar de reducción de los semisistemas: Cu2+ / Cu; Ni2+ / Ni; 2+ Cd2+ / Cd y Fe / Fe; indique cuál de las celdas que se puede construir tendrá la fem máxima. Datos: Eo red 0,34 V Cu2+ + 2e- � Cu – 0,44 V Fe2+ + 2e- � Fe 2+ – 0,25 V Ni + 2e � Ni – 0,40 V Cd2+ + 2e- � Cd

A) B) C) D) E) 3.

Cu2+ / Cu y Fe2+ / Fe Cd2+ / Cd y Fe2+ / Fe Cu2+ / Cu y Cd2+ / Cd Ni2+ / Ni y Cu2+ / Cu Fe2+ / Fe y Ni2+ / Ni

Calcule la pureza de una muestra de fósforo, sabiendo que se necesitaron 43 mL de HNO3 1,5 M para oxidar a 1,5 g de dicha muestra, según la reacción: P + HNO3 + H2O � H3PO4 + NO A) 30 B) 50 C) 70 D) 80 E) 85

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SEMINARIO Nº 06

QUÍMICA

72

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

para decorado o para purificar el metal depositado. III. La protección catódica se logra obligando al metal a convertirse en cátodo en lugar del ánodo. Por lo regular, esto se logra adhiriendo un metal más fácil de oxidar al metal que se trata de proteger (hierro galvanizado). A) VFV B) VVF C) FFV D) FVV E) VVV 7.

Prediga el resultado de pasar una corriente eléctrica continua por una solución acuosa, diluida, de NaOH. Los potenciales de cada posible reacción, se dan a continuación: + + e- � Na(g) ; 1. Na(ac) Eº red = –2,71 V 2. 2H2O( l ) + 2e � H2(g) + 2OH(ac) ; Eº red = –0,83 V 3. 4OH(ac) � O2(g) + 2H2O( l ) + 4e ; Eº oxid = –0,40 V + 4. 6H2O( l ) � O2(g) + 4H3O(ac) + 4e ; Eº oxid = –1,229 V Se produce H2O Se produce H2 y Na(s) + Se produce O2 y H3O(ac) Se produce H2 y O2, a partir de H2 O E) Se produce Na( s) y OH(ac)

en el cátodo; pero los signos de los electrodos en las voltaicas (ánodo (–); cátodo (+)) cambian en las electrolíticas por (ánodo (+); cátodo (–)). III. En la electrólisis de KI(ac ) diluido; en el ánodo se produce I2, y en el cátodo se produce H2, según la reacción: 2H2O( l ) + 2e- � H2(g) + 2OH(ac) A) VVV D) VFV 9.

Indique que proposición(es) es (son) correcta(s) o falsa(s): I. Si se introducen por la fuerza electrones en un sistema químico desde una fuente de corriente eléctrica, como una batería, es posible que se generen productos, a partir de los reactivos. II. En las celdas voltaicas y electrolíticas la oxidación siempre ocurre en el ánodo, y la reducción

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B) VVF E) FVF

C) VFF

Indique que proposición(es) son verdaderas (V) o falsas (F): I. La celda: 2+ + Zn(s) / Zn(ac) (1M) // H3O(ac) (1M) / H2 (1atm) / Pt

º = +0,76V es un con un Eoxidante proceso espontáneo. II. La batería de automóviles es un buen ejemplo de celda galvánica. III. El proceso de “carga” de una batería es un ejemplo de celda voltaica. IV. En una batería, funcionando como la celda galvánica, se realiza la electrólisis del solvente. A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFFV E) VFFF

A) B) C) D)

8.

SEMINARIO Nº 06

10.

Indique que proposición(es) es(son) incorrecta(s): I. Toda reacción redox puede verse como la suma de dos semirreacciones, cada una con un voltaje propio, siendo el potencial neto de la celda: º º º Eneto = Eox + Ered II. Para poder medir los potenciales de las semirreacciones, se escoge como semirreacción estándar al “electrodo normal o estándar de hidrógeno” (ENH)”: + 2H3O(ac) + 2e- � H2(g) + 2H2O( l ) QUÍMICA

73

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14.

Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) según correspondan: I. El agua pura H2O, se electroliza produciendo H2 y O2 con facilidad. II. La electrólisis de agua ligeramente acidificada produce O2(g) en el cátodo. III. La electrólisis del agua ligeramente acidificada produce H2(g) en el cátodo. A) VVV B) VVF C) VFV D) FFF E) FFV

15.

Respecto a la electrólisis de las soluciones acuosas de sales haloideas concentradas, indique como verdadera (V) o falsa (F) a las proposiciones siguientes: I. En el cátodo se produce H2(g) cuando se electroliza NaCl (ac) .

III. El ENH consta de hidrógeno gaseoso a una presión menor a 1 atm, y se burbujea sobre un electrodo de platino sumergido en ácido acuoso 1,1 M a 25 ºC. A) I B) II C) III D) II y III E) I y II 11.

12.

13.

Respecto a las siguientes alternativas, indique cuáles corresponden a aplicaciones de la electroquímica. I. Fabricación de celdas voltaicas: pilas secas y baterías. II. Refinación electrolítica del cobre metálico. III. Electrodeposición de un metal. IV. Producción industrial del NaOH. A) I, II B) II, III y IV C) I, II, III y IV D) I, II y III E) III y IV ¿Cuántos litros de Cl 2(g) (medidos a TPN) se generan en la electrólisis del NaCl acuoso por una corriente de 5,5 A, durante un periodo de 100 minutos? ¿Cuántas moles de NaOH(ac) se han formado en la solución durante ese periodo? A) 1,27 ; 0,342 B) 3,83 ; 0,171 C) 3,83 ; 0,342 D) 7,66 ; 0,171 E) 7,66 ; 0,342 ¿Qué carga eléctrica (C) circuló a través de una celda electrolítica en la que se depositó 0,635 g de cobre? Ar : Cu = 63,5 Reacción en el cátodo: 2+ Cu(ac) + 2e- � Cu(s) A) 0,0193 C) 1,93 E) 1930

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B) 0,193 D) 19,30

SEMINARIO Nº 06

II. La electrólisis del KI genera HI(ac) . III. La reacción neta en la electrólisis del NaCl (ac) es: 2NaCl (ac) + 2H2O( l ) � 2NaOH(ac) + Cl 2(g) + H2(g)

A) VFV D) FVF 16.

B) VVF E) VFF

C) VVV

Indique cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta: A) Mediante la electrólisis de sales haloideas fundidas se obtiene el halógeno respectivo. B) Uno de los métodos de obtención de los metales alcalinos es mediante la electrólisis de su respectiva sal haloidea fundida. C) En la electrólisis de sales haloideas fundidas el metal se obtiene en el cátodo. D) El ánodo de una celda electrolítica es el electrodo negativo.

QUÍMICA

74

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

E) En el ánodo de una celda electrolítica se obtiene el halógeno respectivo de la sal haloidea. 17.

Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) con respecto a la electrólisis de una solución concentrada de NaCl : I. En el ánodo se obtiene Cl 2(g) . II. En el cátodo se lleva a cabo la siguiente reacción: + Na(ac) + e- � Na(s) III. Alrededor del cátodo la solución es básica. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV

18.

Indique como verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. La electrólisis del NaCl ( l ) produce sodio en el cátodo y Cl 2 en el ánodo. II. La electrólisis del NaCl ( l ) es un proceso espontáneo. III. La electrólisis del NaCl (ac) diluido genera O2(g) en el ánodo y H2(g) en el cátodo. A) VVF B) VVV D) VFV E) FFF

19.

C) FFV

Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) incorrectas con respecto a la electrólisis del agua. I. En el ánodo se lleva a cabo la siguiente reacción: + H2O(ac) � O2(g) + 2H(ac ) + 2e II. La reacción del cátodo es: 2H2O + 2e- � H2(g) + 2OH(ac) III. El proceso se realiza por el paso de la corriente eléctrica a una masa de agua pura. A) Solo I B) Solo II C) Solo III

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D) I y III

20.

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E) Ninguno

Calcule la masa de aluminio, en gramos, que se produce en una hora por electrólisis de Al Cl 3 fundido, si la corriente eléctrica es de 10,0 A. Dato: A r : Al = 27

A) 2,16 D) 5,13 21.

B) 3,36 E) 6,22

C) 4,12

Respecto a la fórmula condensada dada del hidrocarburo, indique el número de hidrógenos primarios, secundarios y terciarios respectivamente.

CH3 CH(CH3 )C(CH2CH3 )(CH3 )CH2 (CH2 )2 CH(CH3 )2

A) 10, 8, 2 C) 15, 2, 8 E) 18, 8, 2 22.

B) 16, 6, 2 D) 15, 8, 2

Respecto a las propiedades del átomo de carbono, indique las proposiciones correctas: I. La tetravalencia es la capacidad que tiene el átomo de carbono de formar 4 enlaces covalentes con átomos iguales o diferentes. II. Si un átomo de carbono forma 4 enlaces sigma (), los 4 pares de electrones ocuparán orbitales híbridos sp3. III. La autosaturación es la capacidad del carbono de unirse con otros átomos de carbono para formar cadenas carbonadas muy estables. A) I y II B) II y III C) I y III D) I, II y III E) Solo II

QUÍMICA

75

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

23.

Respecto a tipos de fórmula de los compuestos orgánicos, señale la correlación correcta: I. C2H5OH

26.

CH3

III. CH2C ( CH3 ) 2 CH ( C2H5 ) CH ( CH3 ) 2

24.

I – a , II – c , III – b I – c , II – b , III – a I – a , II – b , III – c I – c , II – a , III – b I – b , II – a , III – c

27.

Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. La tetravalencia establece que el carbono en todos sus compuestos orgánicos tiene un estado de oxidación igual a cuatro. II. El carbono manifiesta su propiedad de tetravalencia únicamente cuando forma cuatro enlaces simples (no múltiples). III. El carbono manifiesta su propiedad de autosaturación cuando forma cuatro enlaces con cualquier elemento. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF

CH3

CH3 CH3 - CH2 - CH - CH - CH - CH3  

CH2



CH3

CH3

A) 5 ; 2 ; 3 C) 15 ; 3 ; 2 E) 15 ; 4 ; 3

B) 2 ; 2 ; 3 D) 15 ; 2 ; 3

28.

Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. Una fórmula semidesarrollada no indica la ramificación en el compuesto orgánico. II. Para obtener la masa molar de un compuesto orgánico es suficiente conocer la fórmula global. III. Una fórmula desarrollada establece claramente la forma tridimensional de una molécula. A) VVV B) FFF C) VFV D) FVV E) FVF

29.

Indique el nombre del compuesto: CH3 CH3 CH

CH3 CH2 CH

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CH

En la siguiente estructura de un alcano, señale el número de hidrógenos primarios, secundarios y terciarios, respectivamente.

CH3 - CH2 - C ( C2H5 ) ( CH3 ) - ( CH2 ) 2 - CH ( CH3 ) - CH ( CH3 ) 2

25.

CH2



Dada la fórmula semidesarrollada del hidrocarburo:

Indique el número de carbonos primarios, secundarios, terciarios y cuaternarios respectivamente. A) 5, 4, 3, 1 B) 5, 5, 2, 1 C) 6, 3, 3, 1 D) 6, 3, 2, 2 E) 6, 4, 2, 1

C

CH3

CH3 Indique el número de carbonos e hidrógenos secundarios respectivamente. A) 1 ; 2 B) 2 ; 4 C) 3 ; 6 D) 3 ; 9 E) 4 ; 12

CH3

A) B) C) D) E)

El comúnmente mal llamado isooctano tiene la fórmula siguiente: CH3

II. CH2 CH C CH2 CH3

a) condensada b) semidesarrollada c) global

SEMINARIO Nº 06

CH3

CH3

CH2

CH CH2 CH2 CH2 CH CH2 CH2 CH3

QUÍMICA

76

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A) B) C) D) E) 30.

3-isopropil-7-isobutildecano 7-secbutil-3-isopropildecano 3-etil-2,8-dimetil-7-propildecano 8-etil-3,9-dimetil-4-propildecano 3-propil-7-butildecano

CH3

CH3

CH CH(CH3)2 CH3

A) 4,4-diisopropil-2,3,5-trimetilhexano. B) 4,4-diisopropil-3-etil-2,3,5-trimetil hexano. C) 4,4-diisopropil-2,3,5,6-tetrametil heptano. D) 4,4-dipropil-2,3,5,6-tetrametil heptano. E) 4,4-dipropil-6-etil-2,3,5-trimetil hexano. 31.

32.

33.

I. Presentan la misma composición centesimal. II. Presentan la misma fórmula empírica. III. Tienen que presentar el mismo grupo funcional. IV. Presentan las mismas propiedades químicas. V. Presentan las mismas propiedades físicas. A) I y III B) I, II y III C) I y II D) I, II y IV E) II, III y IV

Indique el nombre del compuesto CH(CH3)2 CH(CH ) 3 2 CH3 C CH CH

En química orgánica se conoce como isómeros a los compuestos que tienen ….. y diferentes ….. por ende, sus propiedades y características son diferentes. A) Igual fórmula global; proporción de átomos. B) Igual unión atómica; distribución espacial. C) Los mismos átomos; proporción de átomos. D) Igual fórmula global; estructuras. E) Fórmula global; estructura. ¿Cuántos isómeros de posición corresponden a la fórmula global C3H8O ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son características de los isómeros?

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34.

¿Cuál es la fórmula condensada para el 2,2,4-trimetilpentano? CH3 CH3

C

CH3 CH2

CH

CH3

CH3 A) C8H18 B) CH3 ( CH2 ) 6 CH3

C) CH3C ( CH3 ) 2 CH2CH ( CH3 ) CH3 D) C ( CH3 ) 3 C4H10

E) CH3 ( CH2 ) 3 ( CH2 ) 3 CH3 35.

Para el CH3CH2CH2CH2OH indique cuál es el isómero de cadena (C), de posición (P) y de función (F): I. CH3 CH2 O CH2 CH3 II. CH3

CH

CH2

OH

CH2

CH3

CH3 III. CH3 A) I – F II – C III – P C) III – F II – C I–P

CH OH

B) II – F I–C III – P D) I – C II – F III – P

E) I – P II – C QUÍMICA

77

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III – F 36.

De nombre al alcano siguiente:

CH3

CH2 CH2 CH3

CH3 CH C

CH2

CH3

A) B) C) D) E) 37.

38.

CH2

CH CH2

A) Son solubles en solventes orgánicos y en el agua. B) Son menos reactivos que los alcanos. C) Son hidrocarburos no inflamables. D) Sus puntos de ebullición permanece constantes con el incremento del peso molecular. E) Son volátiles, y sus reacciones típicas son las adiciones electrofílicas.

CH3 CH2 CH3

2,3-dietil-3-metil-7-propilheptano 5.6-dietil-5-metil-2-propilheptano 4-etil-3,4,7-trimetildecano 4,7,8-trimetil-7-etildecano 3,5,6-trimetil-6-propilnonano

40.

Indique la proposición incorrecta respecto a las propiedades de los alcanos. A) El n-heptano es líquido a temperatura ambiente. B) El n-butano es un gas a temperatura ambiente. C) La serie homóloga de alcanos presentan el mismo estado de agregación. D) Se les denomina parafinas debido a su baja reactividad. E) Son solubles en solventes orgánicos.

¿Qué pares de compuestos presentan isomería cis-trans? CH3 A)

CH3 CH

CEPRE-UNI

CH CH3

CH3

CH3

B)

H

C OH

; HO

I

CH3 ;

CH3 CH2 OCH3

OH

41.

H

;

D) CH3 CH

E)

C I

C)

CH3 C

Respecto a los alquenos, marque la proposición verdadera:

CH CH3 ;

CH3 CH3

I. La estructura del isobutilo es CH3

39.

CH3 CH CH3

Señale como verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes:

CH3 II. El nombre común del 2-metilpentano es isopentano. III. El nombre común del 2-metilpropano es isobutano. A) FFV B) FFF C) VFV D) VVF E) VVV

SEMINARIO Nº 06

;

Indique si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): I. En un alqueno hay por lo menos un enlace p, además de por lo menos un carbono con hibridación sp2. II. Los alquenos presentan reacciones de adición al doble enlace. QUÍMICA

78

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

III. En la nomenclatura el doble enlace tiene prioridad sobre el triple enlace al momento de establecer la numeración de la cadena carbonada. A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF 42.

45.

Indique el nombre de cada uno de los siguientes compuestos: Cl H

I.

CH3 CH2 CH2 CH 2 CH 3 CH

4,5-dimetil-1-hepteno

B)

3-etil-1,3-octadieno

CH

C

CH2 CH

CH3

C)

3-vinilciclopenteno CH=CH2

Tricloroetino;6-butil-2-metil-4etil-4-hepteno. 1,2,2-tricloroetino;6-butil-4-etil-2-metil-4-hepteno.

D) HC C

Tricloroeteno;4-etil-2,6-dimetil-4-deceno. Dicloroeteno;4-etil-2,6-dimetil-3-deceno. Tricloroetano;2-metil-4-etil-6-butil-hepteno.

C 2H 5

E)

CH CH3

2-propil-4-etil-2,3-pentadieno 7-vinil-4,6-dimetil-2-heptano 4,6-dimetil-2,7-octadieno 4-metil-2-vinil-2-heptano 3,5-dimetil-1,6-octadieno

Indique la proposición incorrecta en relación a los alquenos. A) Son hidrocarburos insaturados. B) Pueden presentar isomería de posición y geométrica. C) Sus reacciones típicas son de adición. D) Son más reactivos que los alcanos. E) Son de carácter más ácido que los alquinos.

CEPRE-UNI

CH CH2

3,5-dietil-4,6-heptadien-1-ino

CH CH CH3 A) B) C) D) E)

CH CH C C2H5

Indique a que compuesto (hidrocarburo) corresponde la cadena carbonada siguiente: CH CH2 CH3 CH CH2

44.

A)

CH2 CH3 CH3

43.

Indique que fórmula no está correctamente acompañada con su nombre:

Cl C C Cl

II.

A) B) C) D) E)

SEMINARIO Nº 06

2(sec-butil)-1,4-pentadieno 46.

Indique verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. Al hidrogenar el eteno se obtiene el etano. II. El acetileno se puede obtener al hacer reaccionar el carburo de calcio y el agua. III. El eteno se puede obtener por deshidratación del etanol. A) FVF B) FFV C) VVF D) VFF E) VVV

47.

Relacione correctamente el nombre de cada sustancia. I. HC �C - CH2 - CH2Cl . II. CH3 - CH = CH - C �C - C �CH QUÍMICA

79

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

relación a las propiedades de los cicloalcanos: I. Son moléculas planas. II. Son hidrocarburos aromáticos. III. Son solubles en agua.

CH3

III. HC �C - CH CH3 a) 3-metil-1-butino b) 4-cloro-1-butino c) 5-hepten-1,3-diino A) B) C) D) E) 48.

49.

A) VVV D) FVV

I-c ; II-a ; III-b I-a ; II-c ; III-b I-b ; II-c ; III-a I-b ; II-a ; III-c I-c ; II-b ; III-a

51.

B) VFV E) VFF

I.

: ciclobutano Cl

II.

: 1,3-diclorociclopentano Cl

III. A) VVV D) FVV 50.

Cl

: 1-cloro-2-ciclobuteno B) VVF E) FVF

CEPRE-UNI

Indique la relación correcta entre la fórmula y nombre: :

ciclohexano

II.

:

metilpropano

III.

:

3-metilciclopenteno

CH3 A) Solo I D) I, II y III 52.

B) I y III E) Solo III

C) Solo II

De las siguientes estructuras de los hidrocarburos alicíclicos, marque aquella que no está acompañada de su nombre correcto.

A)

ciclopropano

B)

ciclobutano

C)

1,3-ciclopentadieno

D)

ciclohexadieno o benceno

C) VFV

Indique verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones que están en

C) FFF

CH3

C) FVV

Indique verdadero (V) o falso (F) en relación a la fórmula y el nombre respectivo:

B) FVF E) VVF

I.

Indique verdadero (V) o falso (F) en cada una de las siguientes proposiciones: I. El 2-buteno ( CH3 - CH = CH - CH3 ) presenta isomería geométrica cis y trans. II. El compuesto de fórmula CH3 - C �C - CH2 - CH3 es el 3-pentino. III. Solo algunos alquenos y alquinos son no combustibles. A) VVF D) FFV

SEMINARIO Nº 06

CH3

E) 53.

metilciclopropano

Indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda: QUÍMICA

80

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

I. En el benceno C6H6 todos los enlaces carbono-carbono tienen longitudes iguales. II. La molécula del benceno es plana. III. El nombre del radical es el bencil.

55.

Indique verdadero (V) o falso (F) en relación a la fórmula y el nombre respectivo: Cl I.

A) FVV D) VFF

: fenol

: benzaldehído B) VVV E) FFV

C) VVF

Cl

CEPRE-UNI

D) Estireno

E) Cl 1,5-diclorobenceno

57.

Relacione: Compuesto – nombre CH3 Cl CH(CH3)2 (I)

(II) CH2-CH3

i. ii. iii. iv.

Señale cuál de los siguientes compuestos tiene el nombre incorrecto. A)

CH=CH2

OH

CH3 (III)

CHO

III.

Nitrobenceno

Tolueno Cl

Cl

OH

II.

CH3

C)

: o-diclorobenceno Cl

56.

Clorobenceno

:

A) FVF B) VFV C) VVF D) VVV E) FFV 54. Indique verdadero (V) o falso (F) en relación a una molécula del benceno. I. El átomo de carbono presenta hibridación sp2. II. Tiene 6 enlaces sigma () y 3 enlaces pi (p). III. No todas las longitudes de enlace carbono-carbono son iguales. A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FFV

SEMINARIO Nº 06

(IV)

3-cloro-5-etil-tolueno o-clorotolueno isopropilbenceno fenol

A) I – iii II – i III – iv IV – ii

B) I – i II – ii III – iii IV – iv

D) I – iii II – ii III – i IV – iv

E) I – ii II – iii III – i IV – iv

C) I – ii II – iv III – i IV – iii

B) NO 2

QUÍMICA

81

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

58.

¿Cuál o cuáles de las siguientes reacciones son características del benceno? cat + Br2 ��� � D

I.

+

II.

cat HNO3 ��� � D

cat + CH3CH2Br ��� � D

III.

A) Solo I D) Solo II

B) I y II E) I, II y III

+ HBr

NO2

+ H2O CH2CH3

+ HBr

60.

Señale el nombre correcto de los siguientes compuestos: CH3 CH3

Cl

A) B) C) D) E) 61.

Cl

62.

Indique como verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El índice de octano, es una medida de la calidad de las gasolinas como combustibles. II. La potencia de un motor consiste en darle una mayor compresión con gasolinas que soportan altas temperaturas sin detonar. III. La escala de octanaje utiliza al isooctano como calidad 0 y al n-heptano como calidad 100. A) VVV B) VFV C) FVF D) VVF E) VFF

63.

Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones, respecto al petróleo y la gasolina: I.Los crudos de petróleo se clasifican de acuerdo a su composición en: parafínicos, nafténicos y aromáticos. II. El cracking del petróleo permite la ruptura de moléculas de cadena grande para formar moléculas de menor tamaño por efecto térmico y uso de catalizadores. III. El índice de octano es una medida de la densidad de las gasolinas como combustible. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF

64.

Indique el tipo de alcohol que corresponde, según el orden en que se presentan:

C) I y III

¿Cuántos isómeros se tienen del C6H4Cl 2 compuesto (diclorobenceno)? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

II.

III. El cracking del petróleo consiste en la pirólisis o ruptura, por efecto de una elevada temperatura y presión que reduce la longitud de la cadena. A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV

Br

59.

I.

CH3 CH3

Diclorotolueno; trimetilbenceno. 3,3-diclorotolueno; trimetilbenceno. 3,5-diclorotolueno; 1,2,4-trimetilbenceno.

3,5-diclorotolueno; 4,6-dimetiltolueno.

Tolueno; 1,3,6-trimetilbenceno.

Respecto al Petróleo, indique como verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. El Petróleo crudo es una mezcla compleja formada por hidrocarburos líquidos, sólidos y gaseosos con apariencia viscosa. II. Los crudos de petróleo nafténicos son los que contienen en gran cantidad los alcanos o parafinas.

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

QUÍMICA

82

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

R R

C

H OH ; R

C

R OH ; R

C

66.

68.

Identifique la alternativa contiene un alcohol secundario: A) 2-metil-1-butanol B) 3-metil-1-pentanol C) 2-metil-2-propanol D) 3-metil-2-pentanol E) Alcohol isobutílico

69.

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Los alcoholes primarios por oxidación dan respectivamente: aldehídos y cetonas. II. Los alcoholes secundarios se oxidan a cetonas. III. Los alcoholes terciarios no sufren oxidación fácilmente. A) FFV B) FVV C) VVV D) FVF E) VVF

70.

¿Cuál de los compuestos está mal nombrado? O

OH

R H H A) Terciario, primario, secundario B) Secundario, primario, terciario C) Primario, secundario, terciario D) Secundario, terciario, primario E) Terciario, secundario, primario 65. Identifique el alcohol que da prueba instantánea de Lucas (esta reacción se logra con alcoholes terciarios) A) alcohol 1-propílico B) alcohol isopropílico C) 2-metil-1-pentanol D) 2,3-dimetil-3-hexanol E) 1-octanol Señale cuál o cuáles de las siguientes proposiciones es o son correctas: I. El 2-propanol es un alcohol secundario. II. El C ( CH3 ) 3 OH es un alcohol terciario. III. EL nombre correcto del compuesto CH3 - CH ( OH) - C ( CH3 ) - CH2 - CH3

SEMINARIO Nº 06

I. CH3CH2 II. CH3

C

CH3 : Butanona

O C CH2

CH2 CH3 : Etilpropilcetona

2

es 3,3-dimetil-4-pentanol. A) VFV B) FFV C) FVF D) VVV E) VVF 67.

¿Cuáles de las nomenclaturas no corresponden a los compuestos dados? I. CH3CH2OH : Etanol II. CH3CH2CH ( CH3 ) CH ( OH) CH3 : Alcohol isopentanol III. CH3 CH CH2 CH CH2 :

CEPRE-UNI

B) Solo II E) II y III

A) Solo I D) I y II

O C CH3

: Propanona

B) Solo II E) II y III

C) Solo III

71.

Indique si las proposiciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F), según corresponda: I. Los aldehídos y cetonas presentan en su estructura al grupo carbonilo, 

OH 4-penten-2-ol A) Solo I D) I y II

III. CH3

que

-C = O

C) Solo III

II. Un

aldehído

CH3CH2CHO ,

es el compuesto llamado etanal o

acetaldehído. QUÍMICA

83

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

III. Un ejemplo de cetonas, es la propanona CH3COCH3 . A) VVV B) VVF C) FVV D) VFV E) FVF

SEMINARIO Nº 06

75.

¿Cuáles de los éteres está mal nombrados? I. CH3 - O - CH2 - CH2 : etoximetano II. CH3 - CH2 - O - CH2 - CH3 : éterdietílico. 72. Indique la relación correcta entre la III. CH3 - CH2 - CH2 - O - CH2 - CH2 - CH3 fórmula y nombre: propoxipropano I. CH3 - CO - CH2 - CH3 : Etilmetilcetona A) Solo I B) Solo II C) Solo III CH CH CH CHO II. : Butanal D) II y III E) I y III 3 2 2 76. Identifique el éter que resulta ser III. CH3COCH2CH2CH3 : 2-pentanona isómero de función con 1-butanol A) Solo I B) Solo II C) Solo III A) éter etílico D) I y II E) I, II y III B) éter n-butílico C) éter etilmetílico 73. Con respecto a las propiedades D) éter etil-n-propílico físicas de aldehídos y cetonas, E) éter metílico señale lo incorrecto: A) La solubilidad de aldehídos en 77. Indique con verdadero (V) o falso agua disminuye al aumentar el (F) a las proposiciones siguientes: número de carbonos. I. Los ácidos orgánicos se B) Las cetonas son más solubles en caracterizan por la presencia en la agua que los aldehídos con el molécula del grupo carbonilo: mismo número de carbonos. O C) Una solución acuosa que contiene C 40% en masa del metanal, se OH denomina formol. II. Se trata del ácido etanoico: D) El punto de ebullición de un CH3 - COOH aldehído es mayor que el de una III. Los puntos de fusión y de cetona con el mismo número de ebullición de los ácidos carbonos. carboxílicos son más elevados E) La acetona CH3COCH3 es un que los de otros compuestos de gran disolvente de pinturas y análoga masa molecular. barnices. A) VVV B) VFF C) FVV D) FFV E) VFV 74. Indique la relación incorrecta para la estructura y nombre de los aldehídos 78. ¿Cuál de las siguientes estructuras, y cetonas. no lleva su nombre correcto? A) CH3 - CH2 - CHO : Propanal A) CH3 - ( CH2 ) 3 - COOH : B) CH3 - CO - CH2 - CH2 - CH3 : Ácido pentanoico 2-pentanona C) CHO - CHO : Etanodial B) H - COOH : Ácido metanoico D) CH3 - CO - CH2 - CO - CH3 : 2,4-pentanona C) CH3 - CH2 - COOH : E) CH3 - CO - CO - CH3 : Butanodiona Ácido propanoico COOH CEPRE-UNI

QUÍMICA

84

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

D)

:

II. Es una molécula anfipática que posee una parte polar y una parte no-polar. III. La molécula del jabón es una sal derivada de un ácido carboxílico de 12 a 18 carbonos, con un catión de Na+ o K + . A) VVF B) FFV C) VFV D) FFF E) VVV

Ácido fénico

COOH E)

:

Ácido ftalico

COOH 79. Indique con verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. Los esteres por su analogía con las sales, se nombran cambiando la terminación –ico del ácido por –ato y poniendo a continuación el nombre del radical acabado en –ilo. II. Se trata del etanoato de etilo: CH3 - COOCH3 . III. Los ésteres volátiles tienen olores característicos, siendo responsables del aroma y la fragancia de muchos frutos, flores y perfumes artificiales. A) VVF B) VFV C) FFV D) VVV E) FVV 80.

El producto de la reacción siguiente es: COOH

82.

81.

A) VVV D) FFV 83.

CEPRE-UNI

B) VVF E) VFV

Indique el corresponde

A) B) C) D) E) 84.

C) FVV

nombre

CH3

Salicilato de metilo Benzoato de metilo Benzoato de etilo Salicilato de etilo Salicitato de fenilo

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda, acerca de los jabones: I. Se obtienen por reacción de una grasa y un álcali.

Indique con verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. Existen tres tipos de aminas denominadas primarias, secundarias y terciarias. II. Las amidas podemos considerarlas como derivados funcionales de los ácidos carboxílicos que obtenemos al sustituir el grupo –OH del ácido por el grupo –NH2. III. Se trata de la fenilamina (anilina): NH2

+ CH3CH2OH � ....... + H2O A) B) C) D) E)

SEMINARIO Nº 06

que

le

NH2

o-metilanilina m-metilanilina p-metilanilina Trimetilamina Fenilmetilamina

¿Qué nombre le corresponde?

QUÍMICA

85

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

III. El ozono es un fuerte agente oxidante. A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FFF

CONH2

A) Acetamida C) Benzamida E) Etanamida 85.

B) Fenilamina D) Urea

88.

Indique verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. El ozono O3, es un gas inestable a temperatura ambiente. II. El ozono estratosférico juega un papel vital en la protección de la vida en la tierra. III. Actualmente, la prueba más convincente de que la disminución del ozono estratosférico está ocurriendo realmente procede de los estudios en la Antártida. A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FVV

89.

Señale lo incorrecto en las siguientes proposiciones: I. Los principales agentes que destruyen la capa de ozono son los clorofluorocarbonos, llamados comercialmente FREONES. II. El ozono absorbe la radiación IR, impidiendo que este tipo de radiación llegue de manera significativa a la superficie terrestre. III. El ozono al nivel del mar se convierte en un contaminante. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) I, II y III

Acerca de las estructuras y nomenclatura de amidas, no se puede afirmar que: A) CH3 - CH2 - CO - NH2 es propanamida CO-NH2 B)

es benzamida

C) NH2 - CO - NH2 es etanodiamida D) CH3 - CO - NH2 es acetamida E) H - CO - NH2 es formiamida. 86.

87.

Indique lo incorrecto: A) La ecología es la ciencia que estudia las relaciones que existen entre los seres vivos y el medio en el que se desarrollan. B) La palabra ecología deriva de oikos = casa y logo = estudio. C) Un ecosistema es un sistema ecológico. D) En todo ecosistema interactúan los elementos bióticos y los elementos abióticos. E) Los elementos abióticos son los elementos vivos. Indique con verdadero (V) o falso (F) a las proposiciones siguientes: I. Los clorofluorocarbonos (CFC) pueden agotar la capa de ozono que protege la superficie de la tierra. II. En la troposfera hay una alta concentración de ozono.

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

90.

Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F), según corresponda: I. El agotamiento de la capa de ozono, que protege la superficie de la Tierra, se debe fundamentalmente al uso excesivo de los clorofluorocarbonos. II. La presencia del SO2 en la atmósfera y el ácido sulfúrico que QUÍMICA

86

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

esta sustancia produce, contribuye al fenómeno de la lluvia ácida. III. El efecto invernadero es un fenómeno atmosférico natural que evita que la totalidad de la energía emitida por la superficie terrestre escape al espacio y se pierda. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFV

91.

¿Cuál de los siguientes gases atmosféricos no contribuye al efecto invernadero? A) CO2 B) Vapor de H2O C) CH4 D) O3 E) I2

92.

Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. El ácido clorhídrico es uno de los componentes de la lluvia ácida. II. En una zona urbana debe generarse más lluvia ácida que en una zona rural. III. Un combustible con alto contenido de azufre es un promotor de la lluvia ácida. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

93.

Señale las proposiciones verdaderas (V) falsas (F) según correspondan: I. Los óxidos de nitrógeno en la atmósfera son los que producen el smog en ciudades con ambientes urbanos de aire estancado. II. Uno de los óxidos de nitrógeno (NO) se forman en pequeñas cantidades en los cilindros de los motores de combustión interna. III. La fotodisociación del NO2 inicia las reacciones que se asocian con el smog fotoquímico.

CEPRE-UNI

A) VFV D) VVF

SEMINARIO Nº 06

B) FVF E) VVV

C) FFV

94.

Identifique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) según correspondan: I. La combustión incompleta de los hidrocarburos produce sustancias tóxicas como el CO. II. El CO en la sangre, al ser más de 200 veces más activo con la hemoglobina que el oxígeno se convierte en un veneno. III. Los combustibles, como la gasolina liberan alrededor de 80 millones de toneladas de CO2. A) FVF B) VFV C) VVV D) VVF E) FFV

95.

Respecto al efecto invernadero, señale lo incorrecto. I. Es el fenómeno mediante el cual se evita que la totalidad de la energía emitida por la superficie terrestre, escape al espacio. II. Los gases del efecto invernadero son el CO2, CH4, CCl 2F2 entre los principales. III. El gas que contribuye principalmente al efecto invernadero es el CO2. A) VVV B) VFV C) VVF D) FVF E) FFV

96.

Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) según corresponda: I. Los óxidos SOx y NOx son aquellos que generan la lluvia ácida, al diluirse en la humedad atmosférica y precipitar. II. La lluvia ácida incrementa el pH de los lagos. III. Los óxidos SOx y NOx en general se producen en los procesos de combustión. A) VVV B) VFV C) FVV QUÍMICA

87

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

D) FVF 97.

98.

E) FFF

De las siguientes proposiciones, indique lo incorrecto: I. El SO2 es uno de los gases contaminantes más desagradables que se produce al quemar combustible que contienen azufre. II. El NO y SO2 se transforman en HNO3 y H2SO4 respectivamente, generando la lluvia ácida. III. El monóxido de nitrógeno (NO) y el dióxido de nitrógeno (NO2) no son reactivos. A) Solo I B) I y III C) Solo II D) I y II E) Solo III Respecto a las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Los contaminantes primarios son aquellos que permanecen en la atmósfera tal y como fueron emitidos por la fuente. II. Son contaminantes primarios el SO2, CO, NOx, etc. III. Se considera como contaminante primario al ozono. A) FVV B) VVV C) VVF D) FFF E) FFV

99.

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La lluvia ácida es provocada por los óxidos de azufre y nitrógeno. II. Los óxidos de azufre tienen como fuente de origen las chimeneas de fundiciones y minería. III. La lluvia ácida causa el deterioro de muros, paredes, y estatuas de mármol en las ciudades. A) FFF B) FFV C) FVF D) VVF E) VVV

100.

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 06

I. Los agentes que provocan la eutrofización son los fosfatos. II. Los fosfatos son los causantes de provocar la eutrofización. Estos fosfatos son provenientes de los detergentes. III. La eutroficación es el proceso del crecimiento excesivo de plantas. A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF 101. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) I. El smog se produce por acción de la luz sobre los gases de escape de los automóviles. II. La acción de la luz sobre el NO formado en los cilindros de los motores de combustión interna genera el NO2. III. El ozono es un componente del smog fotoquímico. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV 102. Señale las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) según correspondan: I. Los detergentes con tensoactivos de cadena lineal son biodegradables, no produciendo contaminación. II. Un detergente al ser una mezcla que incluye fosfatos, produce el fenómeno de eutrofización. III. Los insecticidas como el DDT son sustancias contaminantes de ríos y lagos, que puede tener años de actividad ante de degradarse. A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFF 103. ¿Cuáles de los siguientes son posibles contaminantes del mar? I. Relaves mineros. QUÍMICA

88

CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I

II. Derrames de petróleo. III. Desechos radiactivos. A) I, II y III B) I y II D) Solo II E) Ninguno

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SEMINARIO Nº 06

C) II y III

QUÍMICA

89