7

MODULUL 7 INTEGRALA DUBLĂ 6.1 BREVIAR TEORETIC 2 Fie D o mulţime compactă din astfel încât D ⊂ [ a, b ] × [ c, d ] . Frontiera domeniului D este o curbă închisă alcătuită dintr-o reuniune finită de imagini de curbe netede. Să considerăm diviziunile:

δ = ( a = x0 < x1 < K < xn = b ) ,

δ = ( c = y0 < y1 < K < ym = d )

ale intervalului

[ a, b ] ,

[ c, d ] .

respectiv

Paralelele la axa Oy prin punctele

diviziunii δ şi paralelele la axa Ox prin punctele diviziunii δ împart dreptunghiul [ a, b ] × [ c, d ] în n × m dreptunghiuri de forma I ij = [ xi −1, xi ] × ⎡⎣ yi −1, y j ⎤⎦ , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m .

Să notăm cu Λ mulţimea dreptunghiurilor conţinute în D sau care au puncte comune cu D. Definiţia 6.1. Vom numi diviziune a domeniului D mulţimea dreptunghiurilor δ1, δ2 ,K, δ p din Λ şi vom nota

(

Δ = δ1 , δ 2 ,K , δ p

),

ordinea de numerotare a dreptunghiurilor fiind arbitrară. Norma diviziunii Δ este egală cu

{

}

{

}

Δ = max xi − xi −1, y j − y j −1 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m = max δ , δ . Să considerăm diviziunile δ şi δ′ ale intervalului

[ c, d ]

[ a, b ]

şi, respectiv,

mai fine decât δ; adică δ′ ⊃ δ, δ′ ⊃ δ . Acestor diviziuni le corespunde o diviziune Δ′ a domeniului D care este mai fină decât Δ şi Δ ′ ≤ Δ , deoarece δ′ ≤ δ , δ′ ≤ δ .

Fie f : D ⊂

2

→

o funcţie mărginită. Notăm cu

{

}

mk = inf f ( x, y ) ( x, y ) ∈ δk , 1 ≤ k ≤ p, 296

{

}

M k = sup f ( x, y ) ( x, y ) ∈ δk , 1 ≤ k ≤ p şi definim sΔ ( f ) =

p

p

k =1

k =1

∑ mk ⋅ aria δk , SΔ ( f ) = ∑ M k ⋅ aria δk

suma Darboux inferioară, respectiv suma Darboux superioară asociată funcţiei f şi diviziunii Δ . Sumele Darboux sΔ ( f ) şi SΔ ( f ) aproximează prin lipsă, respectiv prin

adaos volumul corpului mărginit de suprafaţa z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , planul xOy şi cilindrul cu generatoarele paralele cu axa Oz şi a cărui curbă directoare în planul xOy este frontiera lui D. Pentru f pozitivă suprafaţa este situată deasupra planului xOy şi are ca proiecţie pe acest plan pe D. Fie ( ξk , ηk ) ∈ δk , 1 ≤ k ≤ p , un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ a domeniului D. Numărul real σ Δ ( f , ξ k , ηk ) =

p

∑ f ( ξk , ηk ) ⋅ aria δk k =1

se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f, diviziunii Δ şi sistemului de puncte intermediare ( ξk , ηk ) ∈ δk , 1 ≤ k ≤ p . Propoziţia 6.2 1. Dacă Δ′ este o diviziune mai fina decât Δ , atunci

sΔ ( f ) ≤ sΔ ′ ( f ) ≤ SΔ ′ ( f ) ≤ SΔ ( f ) . 2. Pentru orice diviziuni Δ şi Δ′ ale lui D avem: sΔ ( f ) ≤ SΔ ′ ( f ) . 3. Pentru orice sumă Riemann σΔ ( f , ξk , ηk ) , avem sΔ ( f ) ≤ σΔ ( f , ξk , ηk ) ≤ SΔ ( f ) . Definiţia 6.3. Spunem că funcţia f este integrabilă Riemann pe D dacă există I ∈ cu proprietatea că oricare ar fi ε > 0 există δε > 0 , astfel încât pentru orice diviziune Δ a lui cu Δ < δ∈ şi pentru orice alegere a punctelor

intermediare ( ξk , ηk ) ∈ δk , 1 ≤ k ≤ p , rezultă că

σΔ ( f , ξk , ηk ) − I < ε .

297

Numărul I cu această proprietate se notează: I=

∫∫ f ( x, y ) dxdy D

şi se numeşte integrala dublă a lui f pe D. Domeniul D se numeşte domeniul de integrare, iar dxdy se numeşte elementul de arie. Teorema 6.4 (Criteriul lui Darboux)

Funcţia mărginită f : D ⊂ 2 → este integrabilă Riemann pe D dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0 există δ∈ > 0 , astfel încât pentru orice diviziune Δ a lui D cu Δ < δ∈ să avem: S Δ ( f ) − sΔ ( f ) < ε . Din definiţia integralei duble rezultă următoarele proprietăţi (presupunem că integralele există): a) aria domeniului D este aria D =

∫∫ dxdy ; D

b) liniaritatea integralei duble este dată de formulele:

∫∫ ⎡⎣ f1 ( x, y ) + f2 ( x, y )⎤⎦ dxdy = ∫∫ f1 ( x, y ) dxdy + ∫∫ f2 ( x, y ) dxdy, D

D

D

∫∫ αf ( x, y ) dxdy = α ∫∫ f ( x, y ) dxdy, α ∈ D

;

D

c) dacă D este împărţit în două subdomenii D1 şi D2 printr-o curbă, atunci

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y ) dxdy ; D

D1

D2

d) dacă f este pozitivă pe D, adică

f ( x, y ) ≥ 0, ( ∀ ) ( x, y ) ∈ D , atunci

∫∫ f ( x, z ) dxdz ≥ 0 ; D

e) dacă f este integrabilă pe D, atunci f este integrabilă pe D şi are loc inegalitatea:

∫∫ f ( x, y ) dxdy ≤ ∫∫ f ( x, y ) dxdy . D

298

D

Teorema 6.5 Orice funcţie continuă f : D ⊂ 2 → este integrabilă Riemann pe D. Mulţimea funcţiilor integrabile pe D este mai bogată decât mulţimea funcţiilor continue, după cum va rezulta din următoarea teoremă. Definiţia 6.6. O mulţime A ⊂ 2 se numeşte mulţime neglijabilă dacă pentru orice ε > 0 există un şir de dreptunghiuri deschise ( I n )n ≥1 ⊂ 2 , astfel

încât: ∞

∞

n =1

n =1

∑ aria ( I n ) < ε, U I n ⊃ A . Propoziţia 6.7

A=

a) Orice mulţime cel mult numărabilă

{( x , y ) n ∈ } n

n

∗

este

neglijabilă. b) Dacă A ⊂ B şi B este neglijabilă, atunci A este neglijabilă. c) Orice reuniune numărabilă de mulţimi neglijabile este o mulţime neglijabilă. Fie f : D ⊂ 2 → . Notăm: A f :=

{( x, y ) ∈ D ( x, y ) este punct de discontinuitate pentru f } .

Definiţia 6.8. Funcţia f : D ⊂ 2 → se numeşte continuă aproape peste tot (prescurtat a.p.t.) dacă A f este o mulţime neglijabilă. Teorema 6.9 (Criteriul de integrabilitate al lui Lebesgue) O funcţie f : D ⊂ 2 → este integrabilă Riemann dacă şi numai dacă este mărginită şi continuă aproape peste tot. Teorema 6.10. Fie f : D = [ a, b] × [ c, d ] ⊂

2

→ o funcţie mărginită şi integrabilă pe D, astfel încât pentru orice x ∈ [ a, b ] există integrala d

∫c

Atunci funcţia F : [ a, b ] →

∫∫ D

f ( x, y ) dy := F ( x ) .

este integrabilă pe [ a, b ] şi are loc formula

f ( x, y ) dxdy =

b⎛

d

∫ ∫c ⎜ a⎝

⎞ f ( x, y ) dy ⎟ dx . ⎠

299

În mod analog, avem şi formula

∫∫

f ( x, y ) dxdy =

D

d⎛ b

⎞

∫c ⎜⎝ ∫a f ( x, y ) dx ⎟⎠ dy .

De obicei, se notează: b⎛

d

∫ ∫c ⎜ a⎝ d⎛ ⎜ c ⎝

b

∫ ∫a

⎞ f ( x, y ) dy ⎟ dx = ⎠ ⎞ f ( x, y ) dx ⎟ dy = ⎠

⎛ dx ⎜ a ⎝ d ⎛ dy ⎜ c ⎝

∫

b

∫

⎞ f ( x , y ) dy ⎟ , ⎠ b ⎞ f ( x , y ) dx ⎟ . a ⎠ d

∫c ∫

În acest fel,

∫∫

f ( x, y ) dxdy =

D

Definiţia 6.11. D ⊂

dacă D=

⎛ dx ⎜ a ⎝

∫

b

2

{( x, y ) ∈

⎞ f ( x, y ) dy ⎟ = ⎠

d

∫c

d

∫c

⎛ dy ⎜ ⎝

b

∫a

⎞ f ( x, y ) dx ⎟ . ⎠

se numeşte domeniul simplu în raport cu axa Oy 2

}

a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ2 ( x ) ,

unde funcţiile ϕ1, ϕ2 : [ a, b ] → , ϕ1 ≤ ϕ2 , sunt continue. D⊂

2

se numeşte domeniul simplu în raport cu axa Ox dacă D=

{( x, y ) ∈

2

}

c ≤ y ≤ d , ψ1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) ,

unde funcţiile ψ1, ψ 2 : [ c, d ] → , ψ1 ≤ ψ 2 , sunt continue. Teorema 6.12. Fie D ⊂ 2 un domeniu simplu în raport cu axa Oy şi f : D → o funcţie mărginită şi integrabilă, astfel încât pentru orice x ∈ [ a, b ] există integrala

F ( x) = Atunci funcţia F : [ a, b ] →

∫∫

ϕ2 ( x )

∫ϕ ( x)

este integrabilă şi are loc formula

f ( x, y ) dxdy =

D

f ( x, y ) dy .

1

b⎛

⎞ f ( x, y ) dy ⎟ dx . ϕ1 ( x ) ⎠

∫ ∫ ⎜ a⎝

ϕ2 ( x )

Analog se scrie formula de calcul în cazul domeniilor simple în raport cu axa Ox. Într-adevăr, dacă D= 300

{( x, y ) ∈

2

}

c ≤ y ≤ d , ψ1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y )

este un domeniu simplu în raport cu axa Ox, atunci are loc formula

∫∫

f ( x, y ) dxdy =

D

d⎛

ψ2 ( x )

∫c ⎜⎝ ∫ψ ( x ) 1

⎞ f ( x, y ) dx ⎟ dy . ⎠

Pentru calculul integralelor duble pe domenii mai complicate, împărţim aceste domenii cu ajutorul unor segmente paralele cu axele de coordonate, în subdomenii care sunt simple în raport cu axa Ox sau Oy, apoi folosim formulele anterioare şi proprietatea de aditivitate a integralei duble. Fie D′ ⊂ 2 un domeniu compact, raportat la sistemul de referinţă cartezian uOv , având frontiera Γ′ , care este urma unei curbe închise netede. Să considerăm transformarea regulată

⎧⎪ x = ϕ ( u, v ) ; ϕ, ψ ∈ C1 ( D1 ) ; T :⎨ ⎪⎩ y = ψ ( u, v ) ,

D ( ϕ, ψ ) ≠ 0 pe D1 ⊂ D ( u, v )

2

,

unde D1 este o mulţime deschisă ce conţine compactul D′ ⊂ 2 . Atunci când ( u, v ) parcurge pe D′, ( x, y ) prin transformarea regulată T parcurge compactul D ⊂ 2 raportat la sistemul de referinţă cartezian xOy. În acest caz spunem că domeniul D ⊂ 2 este imaginea domeniului D ′ ⊂ 2 prin transformarea regulată T şi se scrie D = T ( D′ ) , iar frontiera Γ a domeniului este imaginea frontierei Γ′ prin transformarea regulată T, adică Γ = T ( Γ′ ) . Dacă

ϕ, ψ ∈ C2 ( D1 ) , are loc formula schimbării de variabilă în integrala dublă. Teorema 6.13 (Formula schimbării de variabilă în integrala dublă) Fie f : D ⊂ 2 → o funcţie continuă pe D. Atunci

∫∫ D

f ( x, y ) dxdy =

∫∫′ D

f ( ϕ ( u, v ) , ψ ( u, v ) )

D ( ϕ, ψ ) dudv . D ( u, v )

Să considerăm trecerea de la coordonatele carteziene coordonatele polare ( ρ, θ ) prin transformarea regulată.

( x, y )

la

⎧ x = ρ cos θ T :⎨ ; ρ∈ [ 0, R ] , θ∈ [ 0,2π] , ⎩ y = ρ sin θ

unde

D ( x, y ) = ρ ≠ 0. D ( ρ, θ ) În acest caz, formula de schimbare de variabilă în integrala dublă devine

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫′ f ( ρ cos θ, ρ sin θ) ρdρdθ, D = T ( D′) . D

D

301

De asemenea, se foloseşte transformarea regulată care permite trecerea de la coordonatele carteziene ( x, y ) la coordonatele polare generalizate ( ρ, θ ) : ⎧ x = aρ cos θ; T :⎨ ρ∈ [ 0,1], θ∈ [ 0, 2π] , y b sin , = ρ θ ⎩

D ( x, y )

= abρ ≠ 0 . În acest caz, formula de schimbare de variabilă în D ( ρ, θ ) integrala dublă devine unde

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ab∫∫′ f ( aρ cos θ, bρ sin θ) ρdρdθ, D = T ( D′) . D

D

Principalele aplicaţii ale integralelor duble sunt: a) Fie D ⊂ 2 → un domeniu compact a cărui frontieră este urma unei curbe închise netede (sau netedă pe porţiuni). Aria domeniului D este dată de formula aria D =

∫∫ dxdy . D

2

b) Fie funcţia f : D ⊂ subgraficul lui f, Γf =

{( x, y, z ) ∈

continuă şi pozitivă. Notăm cu Γ f

→ 3

( x, y ) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f ( x, y )} .

Volumul lui Γ f este volum Γ f =

∫∫ f ( x, y ) dxdy D

c) Să considerăm o placă materială plană neomogenă, de grosime neglijabilă, care are forma dată de domeniul compact D ⊂ 2 . Dacă ρ : D ⊂ 2 → + este densitatea plăcii materiale şi ρ este presupusă continuă, atunci masa M a plăcii este

M=

∫∫ ρ ( x, y ) dxdy . D

Coordonatele formulele: xG =

302

( xG , yG ) 1 M

ale centrului de greutate al plăcii sunt de

∫∫ xρ ( x, y ) dx dy; D

yG =

1 M

∫∫ yρ ( x, y ) dxdy . D

Dacă ρ = const. (placa este omogenă), atunci xG =

1 aria D

∫∫ xdxdy;

yG =

D

1 aria D

∫∫ ydxdy . D

d) Fie o placă materială plană neomogenă de grosime neglijabilă, care are forma dată de domeniul compact D ⊂ 2 şi ρ : D ⊂ 2 → + densitatea plăcii materiale. Momentul de inerţie faţă de originea axelor de coordonate este dat de formula

IO =

∫∫ ( x

2

)

+ y 2 ρ ( x, y ) dxdy .

D

Momentele de inerţie I Ox şi I Oy ale plăcii faţă de axele de coordonate Ox şi Oy au expresiile: I Ox =

∫∫

y 2 ρ ( x , y ) d x d y ; I Oy =

D

∫∫

x 2ρ ( x, y ) dxdy

D

şi se observă că I O = I Ox + I Oy . 6.2 PROBLEME REZOLVATE 1 Să se arate că funcţia f : [ 0,1] × [ 2,3] → , f ( x, y ) = x 2 + y 3 este integrabilă. Rezolvare. Funcţia f este continuă pe domeniul de definiţie, deci integrabilă. 2 Funcţia f : [ −1,1] × [ −1,1] → ,

⎧ 2 xy , dacă ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪1, dacă ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ este integrabilă? Rezolvare. Observăm că funcţia f este mărginită, deoarece f ( x, y ) ≤ 1 ,

( ∀ ) x, y ∈ [ −1,1] . Pe de altă parte, f are un singur punct ( 0,0 ) . Conform criteriului lui Lebesgue f este integrabilă.

de discontinuitate,

303

2

Să se calculeze ariile următoarelor domenii din 3 D=

{( x, y ) x

2

≤ y ≤ 4 − x2

}

.

Rezolvare.

aria ( D ) =

⎛ ⎜ 2 ⎝

4− x2

2

∫− ∫x

2

⎞ dy ⎟ dx = ⎠

16 2 2 2 ∫− 2 ( 4 − x − x ) dx = 3 . 2

2 2 2⎫ ⎧⎪ ⎪ 4 D = ⎨( x, y ) x 3 + y 3 ≤ a 3 ⎬ . ⎪⎩ ⎪⎭ Rezolvare. ⎛ ⎛ 2 2 ⎞ 32 ⎞ ⎜ ⎜a3 −x3 ⎟ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎝ a⎛ 2 2 ⎞2 ⎠ ⎜ ⎟ 1 3πa 2 3 3 aria ( D ) = ⎜ dy ⎟ d x = ⎜ a − x ⎟ d x = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 8 0⎝ 0 0⎝ ⎠ ⎠

∫

∫

∫

Să se calculeze următoarele integrale duble: 1⎛1 ⎞ 2 5 I = ⎜ e y dy ⎟ d x . ⎜ ⎟ 0⎝ x ⎠ Rezolvare. Se observă că:

∫∫

{( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} = {( x, y ) 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ x ≤ y} . 1⎛ y

∫∫

Atunci: I = ⎜ e ⎜ 0⎝ 0 6

I=

− y2

∫∫ xyd xdy ,

1 ⎞ 2 1⎛ 1⎞ d x ⎟ dy = y e− y dy = ⎜1 − ⎟ . ⎟ 2⎝ e ⎠ 0 ⎠

∫

unde D este domeniul mărginit de axa Ox şi

D

semicercul superior ( x − 2 ) + y 2 = 1 . 2

{

Rezolvare. D = ( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1 − ( x − 2 ) 3 ⎛ 1− ( x − 2 )

⎜ I= ⎜ 1⎜ ⎝

∫

304

∫ 0

2

⎞ 3 ⎟ y2 xy dy ⎟ dx = x 2 ⎟ 1 ⎠

∫

y = 1− ( x − 2 )

y =0

2

3

2

∫ (

}

,

)

1 4 dx = x 4 x − x2 − 3 d x = . 2 3 1

Cu ajutorul unor schimbări de variabilă adecvate, să se calculeze integralele duble: 7

∫∫

e

(

− x2 + y 2

) d xdy , unde

D

D=

{( x, y ) x

2

}

+ y 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, a > 0 .

Rezolvare. Vom trece la coordonate polare:

⎡ π⎤ x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ρ∈ [ 0, a ] , θ∈ ⎢0, ⎥ . ⎣ 2⎦ Rezultă că integrala este egală cu a⎛

π 2 2 e −ρ 0

∫∫ ⎜ ⎜ 0⎝

8

∞⎛ ∞

∫ ⎜⎜ ∫ e

2 a ⎞ π −ρ2 π e−ρ e ⋅ ρ dρ = ⋅ ⋅ ρdθ ⎟ dρ = ⎟ 2 2 −2 ⎠ 0

a

∫

(

− x2 + y2

= 0

∫∫

= lim

(

− x2 + y2

) dx ⎞⎟ dy = lim ⎟ ⎠

(

π 1 − e−a

2

4

a →∞

).

∫

⎟ ⎠ Rezolvare. Folosind problema precedentă avem I= ⎜ e ⎜ 0⎝ 0

4

2

) dx ⎟⎞ dy ; să se deducă valoarea integralei ∞ e− x2 dx .

0⎝ 0

∞⎛ ∞

(

π 1 − e− a

a →∞

) = π.

∫∫

e

0

(

− x2 + y 2

) d x dy =

x2 + y 2 ≤ a2 x ≥ 0, y ≥ 0

4

Pe de altă parte, ∞

∫

2

∞

∫

I = e− x d x ⋅ e− y 0

0

2

2

⎛∞ 2 ⎞ dy = ⎜ e − x d x ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

∫

Rezultă că ∞

∫ 0

2

e− x d x = I =

π . 2

305

9 Să se calculeze integrala dublă improprie

∫∫

I=

⎛ x2 y 2 ⎞ −⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜a b ⎟ ⎠ d x dy , e ⎝

D

x2

y2

+ −1= 0 . a 2 b2 Rezolvare. Facem schimbarea de variabile

unde D este exteriorul elipsei

x = aρ cos θ, y = bρ sin θ, J = abρ , observând că θ∈ [ 0,2π] , iar ρ∈ [1,∞ ) . Rezultă: 2π

∞

0

1

2

∫ ∫

I = ab dθ e−ρ ρdρ =

πab . e

10 Să se calculeze integrala dublă

I=

∫∫ x d xdy , 2

D

unde D este domeniul definit prin intersecţia parabolelor:

y 2 = px, y 2 = qx, x 2 = ay, x 2 = by

( 0 < p < q,

0 < a < b) .

Rezolvare. Vom face schimbarea de variabilă y 2 = ux; x 2 = vy , unde u ∈ [ p, q ] , iar v ∈ [ a, b ] . Prin această schimbare de variabilă patrulaterul curbiliniu delimitat de parabolele din enunţ se transformă într-un patrulater determinat de intersecţia dreptelor:

1 u = p; u = q şi v = a; v = b; J = − . 3 Deci,

(

)(

)

q b b3 − a 3 q 2 − p 2 1 2 . I = udu v d v = 3 18

∫ ∫ p

a

11 Să se afle volumul corpului mărginit de planul xOy, cilindrul x 2 + y 2 = 1 şi planul x + y + z = 3 .

306

Rezolvare.

Vol =

∫∫ (3 − x − y ) dxdy ,

unde D este proiecţia pe planul xOy a

D

intersecţiei dintre planul

D=

{( x, y ) x

2

}

z =3− x − y

şi cilindrul

x 2 + y 2 = 1 , adică

+ y 2 ≤ 1 . Atunci: 1

∫

Vol = ρdρ 0

2π

∫0

1

1

0

0

ρ2 = 3π . ( 3 − ρ cos θ − ρ sin θ ) dθ = 6π ρdρ = 6π 2

∫

Să se determine coordonatele centrului de greutate pentru un sector π circular cu raza R şi α = . 4 Rezolvare. Să notăm cu D domeniul din enunţ. Avem 12

π 4 dθ = 0

R

I1 =

∫∫ d xdy = ∫ ρdρ∫ 0

D

I2 = I3 =

R π 4 cos θd θ ρ 2dρ = 0 0

R3 2 , 6

R π 4 sin θd θ ρ2dρ = 0 0

R3 2 − 2

∫∫ xdxdy =∫ D

∫∫

y d x dy =

D

πR 2 , 8

∫

∫

∫

(

6

).

Rezultă coordonatele centrului de greutate: xG =

I2 4R 2 = ; I1 3

yG =

I3 4R 2 − 2 = . I1 3

(

)

13 Să se calculeze momentul de inerţie faţă de axa Oy al plăcii plane materiale delimitată de y 2 = 1 − x, x = 0 , având densitatea ρ ( x, y ) = xy . Rezolvare. 1− x

1

I0 y =

∫∫ xyx d xdy = ∫ x dx ∫ 2

D

3

0

0

x3 (1 − x ) 1 y dy = dx = . 2 40 1

∫ 0

307

14 Să se calculeze momentul de inerţie faţă de originea axelor al plăcii plane materiale omogene de densitate constantă ρ0 , delimitată de x 2 + y 2 = R 2 . Rezolvare. Fie D =

I0 =

∫∫ ( x

2

{( x, y ) x 2

}

2

+ y2 ≤ R2 . 2π

)

D

0

D=

2

ρ4 dθ ρ ρdρ = 2 π ⋅ 4

∫ ∫

+ y dx dy =

15 Fie funcţia f : D ⊂

R

R

2

0

0

πR 4 = . 2

→ , f ( x, y ) = ⎡⎣ x 2 + y 2 ⎤⎦ , unde

{( x, y )∈

2

}

x2 + y 2 < 4 .

Dacă τ∈D ( D ) este o diviziune de forma τ = {d 0 , d1 , d 2 , d 3 } cu

dk =

{( x, y ) ∈ D k ≤ x

2

}

+ y 2 < k + 1 , k = 0,3 ,

a) să se calculeze sumele Darboux superioară şi inferioară corespunzătoare fiecărei diviziunii τ şi funcţiei f ; b) să se precizeze dacă f este Darboux integrabilă pe D şi în caz

afirmativ să se calculeze

∫∫ f . D

Rezolvare. Notăm cu:

{

}

{

}

M k = max f ( x, y ) ( x, y ) ∈ d k ; mk = min f ( x, y ) ( x, y ) ∈ d k , k = 0,3, şi constatăm că M k = mk , ∀ k = 0,3 . Prin urmare, S ( f , τ ) = s ( f , τ ) şi f este Darboux integrabilă pe D. Mai mult: S ( f , τ) =

3

∑ M k ⋅ aria dk = 0 ⋅ π ⋅1 + 1 ⋅ π ⋅1 + 2 ⋅ π ⋅1 + 3 ⋅ π ⋅1 = 6π. k =0

y

d3

d1

Fig. 6.1 308

d2

x

În concluzie, f este Darboux integrabilă pe D şi

∫∫ f = 6π . D

16 Fie funcţia f : D ⊂ D=

2

→ , f ( x, y ) = { x + y } , unde

{( x, y )∈

2

}

x, y ∈ [ −2, 2] ,

iar acoladele desemnează funcţia parte fracţionară. Dacă τ∈D ( D ) este o diviziune de forma τ = {d0 , d1 ,K, d9 } , unde:

{( x, y ) ∈ D k ≤ x + y < k + 1}, k = 0,1 d 2 = {( x, y ) ∈ D 2 ≤ x + y < 3, x < 0, y > 0} d 4 = {( x, y ) ∈ D 2 ≤ x + y < 3, x > 0, y > 0} d6 = {( x, y ) ∈ D 2 ≤ x + y < 3, y < 0, x > 0} d8 = {( x, y ) ∈ D 2 ≤ x + y < 3, x < 0, y < 0} d3 = {( x, y ) ∈ D 3 ≤ x + y < 4, x < 0, y > 0} d5 = {( x, y ) ∈ D 3 ≤ x + y < 4, x > 0, y > 0} d7 = {( x, y ) ∈ D 3 ≤ x + y < 4, x > 0, y < 0} d9 = {( x, y ) ∈ D 3 ≤ x + y < 4, x < 0, y < 0}. dk =

Să se calculeze sumele Darboux superioară şi inferioară corespunzătoare diviziunii τ şi funcţiei f. Să se precizeze dacă f este Darboux integrabilă pe D şi în caz afirmativ să se calculeze

∫∫ f . D

Rezolvare. Fie

{

}

{

}

M k = max f ( x, y ) ( x, y ) ∈ d k ; mk = min f ( x, y ) ( x, y ) ∈ d k , k = 0,9, şi constatăm că M k = mk , ∀ k = 0,9 . Prin urmare, S ( f , τ ) = s ( f , τ ) şi f este Darboux integrabilă pe D. Mai mult:

S ( f , τ) =

9

∑Mk aria dk = 0 ⋅ aria d0 + 1⋅ aria d1 + 2 ⋅ ( aria d2 + aria d4 + aria d6 + aria d8 ) + k =0

3 1 + 3 ⋅ ( aria d3 + aria d5 + aria d7 + aria d9 ) = 16 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = 24 2 2 309

şi

∫∫ f = 24 . D

y

d3

d5 d4

d2 d1

d0 x

d8

d6

d9

d7

Fig. 6.2

17 Fie funcţia f : [ 0.1] → , f ( x, y ) = xy şi 2

k n −1 ⎫ ⎧ 1 2 d n = ⎨0, , ,K, ,K, ,1⎬ ∈ D ([ 0,1]) , n ∈ n n ⎭ ⎩ 2 n

(

∗

)

şi P n = ( d n , d n ) ∈ D [ 0,1] . 2

Să se calculeze sumele Darboux superioare şi inferioare corespunzătoare diviziunii P n . Să se stabilească dacă f este Darboux integrabilă pe [ 0,1]

2

calculeze

∫∫

f.

[0,1]2

Rezolvare.

i j −1 j⎫ 2 i −1 ⎧ Fie dij = ⎨( x, y )∈ [ 0,1] ≤x< , ≤ y < ⎬ , i, j = 1, n . n n n n⎭ ⎩ Atunci:

{

}

{

}

mij = min f ( x, y ) ( x, y ) ∈ dij =

( i − 1)( j − 1) ;

M ij = max f ( x, y ) ( x, y ) ∈ dij =

310

n2

ij . n2

şi să se

Prin urmare:

1 s ( f ,P n ) = 2 n deoarece aria dij =

1 n

2

n

n

2

n

∑∑ ∑∑

( i − 1)( j − 1) = ( n − 1)2 , n2

i =1 j =1

4n 2

.

∫∫

Cum

i =1

ij ( n + 1) ; = 2 2 n 4 n j =1

n

1 S ( f ,P n ) = 2 n

f = inf S ( f ,P n ) n

[0,1]

2

2 n + 1) ( = lim

=

4n 2

n

1 4

şi

∫∫

f = sup s ( f ,P n ) = n

[0,1]

2

2 n − 1) ( lim

4n

n

deducem că f este Darboux integrabilă pe [ 0,1] şi 2

2

∫∫

1 = , 4

[ 0,1]2

1 f = . 4

18 Fie f : [ 0,1] → 2

⎧⎪ x + y, ( x, y ) ∈ Q 2 I [ 0,1]2 f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + y − 1, ( x, y ) ∈ [ 0,1] − Q Să se arate că

∫∫

f =1 şi

[0,1]2

∫∫

f = 0.

[0,1]2 Rezolvare. Consider o diviziune

k n −1 ⎫ ⎧ 1 2 d n = ⎨0, , ,K, ,K, ,1⎬ ∈ D ([ 0,1]) , n ∈ n n ⎭ ⎩ n n

(

∗

şi

)

P n = ( d n , d n ) ∈ D [ 0,1] . 2

Vom nota i 2 i −1 ⎧ dij = ⎨( x, y )∈ [ 0,1] ≤x< , n n ⎩

j −1 j⎫ ≤ j < ⎬ , i, j = 1, n şi n n⎭

311

i j + , n n i −1 j −1 = + − 1. n n

{

}

{

}

M ij = max f ( x, y ) ( x, y ) ∈ dij = mij = min f ( x, y ) ( x, y ) ∈ dij

Prin urmare: S ( f ,P n ) =

n

n

n

i =1

∑∑ ⎛⎜⎝ n + n ⎞⎟⎠ =

n

n

n

∑∑

1 mij aria dij = 2 n j =1

∑∑

s ( f ,P n ) =

n

1 M ij aria dij = 2 n j =1

i =1

i

n +1 , n

j

i =1 j =1 n

∑∑ ⎛⎜⎝ i =1 j =1

i −1 j −1 ⎞ 1 + − 1⎟ = − , n n n ⎠

iar

∫∫

f = inf S ( f ,P n ) = lim n

[0,1]2

∫∫

n

f = sup s ( f ,P n ) = lim n

n

[0,1]

2

n +1 = 1, n

−1 = 0. n

În concluzie, f nu este Darboux integrabilă pe [ 0,1] . 2

19 Să se arate că f : [ 0,2] → 2

⎧ xy, ( x, y ) ∈ [ 0,1]2 ⎪ ⎪⎪ x − y, ( x, y ) ∈ [ 0,1] × (1,2] f ( x, y ) = ⎨ ⎪ x + y, ( x, y ) ∈ (1,2] × [ 0,1] ⎪ 2 2 2 ⎪⎩ x + y , ( x, y ) ∈ (1, 2]

este Darboux integrabilă pe [ 0,1] şi să se calculeze 2

∫∫

f.

[0,2]2

Rezolvare. Notăm prin:

D( f ) =

{( x, y )∈[0,2]

2

}

f este discontinuă în punctul ( x, y ) . Este clar că

mulţimea punctelor de discontinuitate a funcţiei este D ( f ) = AB U CD , unde AB =

312

{( x, y ) ∈[0,2]

2

}

x ∈ [ 0,2] , y = 1 şi CD =

{( x, y ) ∈[0, 2]

2

}

x = 1, y ∈ [ 0,2] .

y

D

2

x− y

x2 + y2

A1

B

x+ y

xy 0

1 C

2

x

Fig. 6.3

Prin criteriul de integrabilitate Lebesgue f este Darboux integrabilă pe [ 0, 2] dacă şi numai dacă este mărginită şi D ( f ) este o mulţime neglijabilă Lebesgue. Fie 2

2k , n ∈ ∗ , 0 ≤ k ≤ n; yk = 1; n ε ε⎤ ⎡ Dk = [ xk , xk +1 ] × ⎢ yk − , yk + ⎥ , k = 0, n − 1, ε > 0. 8 8⎦ ⎣ Ak = ( xk , jk ) , k ∈

∗

şi xk =

Constatăm că: n −1

ε ε aria Dk = ( xk +1 − xk ) ⋅ ⇒ aria Dk = < ε , 4 k =0 2 iar

∑

(6.1)

U Dk .

(6.2)

n −1

AB ⊂

k =0

Din (6.1) şi (6.2) deducem că AB este neglijabilă Lebesgue. Similar se arată că şi CD este neglijabilă Lebesgue. În concluzie, D ( f ) = AB U CD este neglijabilă Lebesgue şi cum este mărginită, f este Darboux integrabilă pe [ 0,2]2 .

∫∫

f =

∫∫

( x ⋅ y ) d x dy +

[0,1]×[0,1]

[0,2]2

+

( x − y ) d x dy +

[0,1]×[1,2]

2 2 ∫∫ ( x + y ) d xdy + ∫∫

[1,2]×[1,2]

=

∫∫

( x + y ) d x dy =

[1,2]×[ 0,1]

1 14 71 −1+ 2 + = . 4 3 12 313

20 Fie funcţia: f : [ −1,1] → 2

⎧0, ( x, y ) = ( 0,0 ) ; ⎪⎪ xy 2 f ( x, y ) = ⎨ , ( x, y ) ∈ [ −1,1] − {( 0,0 )}. 2 ⎪ x2 + y 2 ⎪⎩

(

)

Să se arate că f nu este integrabilă Riemann pe integralele iterate: I1 =

⎛ ⎜ −1 ⎝ 1

1

∫ ∫1

⎞ f ( x, y ) dx ⎟ dy, I 2 = ⎠

⎛ ⎜ −1 ⎝ 1

[ −1,1]2 ,

dar există

⎞

1

∫ ∫−1 f ( x, y ) d y ⎟⎠ dx

şi sunt egale. 2 Rezolvare. Vom arăta că f nu este mărginită pe [ −1,1] . Fie α > 0, yn = αxn , n ∈ şi ∃ lim xn = 0 . Atunci: n

lim f ( xn , yn ) = lim n

n

α

(1 + α )

2 2

⋅

1 xn2

= +∞ .

Cum f nu este mărginită pe [ −1,1] ⇒ f nu este Riemann integrabilă pe 2

[ −1,1]2 . +1 ⎞ ⎛ 2 2 −2 +1 ⎟ 1 ⎛ 1 1 ⎜x x + y ⎞ I1 = ⎜ f ( x , y ) d x ⎟ dy = ⎜ ⎟ dx = 0 . −1 ⎝ −1 −1 2 2 1 − + ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ⎝ ⎠

∫ ∫

∫

(

)

Similar I 2 = 0 . 21 Fie funcţia f : [ 0,1] → 2

⎧ x2 − y 2 2 , x , y ∈ 0,1 , xy ≠ 0; ( ) [ ] ⎪ ⎪ x2 + y 2 2 f ( x, y ) = ⎨ ⎪ 2 ⎪⎩0, ( x, y ) ∈ [ 0,1] , xy = 0.

(

)

Să se arate că f nu este integrabilă Riemann pe [ 0,1] , integralele iterate există, dar sunt diferite. 2

314

Rezolvare. Vom arăta că f nu este mărginită pe [ 0,1] . Fie α ∈ , α < 1, yn = αxm şi lim xn = 0 . Atunci: 2

n

lim f ( xn , yn ) = lim n

n

1 − α2

(1 + α )

2 2

⋅

1 xn2

= +∞ .

Cum f nu este mărginită pe [ 0,1] ⇒ f nu este Riemann integrabilă pe 2

[ 0,1]2 1⎛1

⎜ I1 = ⎜ 0⎜ 0 ⎝

∫∫

(

⎡ arctg 1 ⎤ ⎞ y 1 ⎢ 2 2 2 x −y tg α − 1 1 ⎥ ⎟ dx ⎟ dy = ⎢ ⋅ dα ⎥ dy = 2 2 2 2 y ⎥ tg 1 α + ⎢ ⎟ x +y 0 0 ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫ ∫

)

1

1

⎛ 1 1⎞ dy π . = − sin ⎜ 2arctg ⎟ dy = = 2 2y ⎝ 4 y⎠ 1 y + 0 0

∫

∫

π Similar I 2 = − . 4 22 Să se arate că mulţimea: E=

{( x, y )∈

2

}

y 2 ≥ 2 px, x 2 + y 2 ≤ 8 p 2 , p > 0 ,

este măsurabilă Jordan şi să se calculeze aria sa. Rezolvare. Cum ∂E este o curbă cu tangentă continuă pe porţiuni deducem că este neglijabilă Jordan ⇒ E este măsurabilă Jordan. Există mai multe modalităţi de a calcula aria mulţimii E. (i) Folosind aditivitatea de domeniu şi teorema Fubini: ⎡⎛ 2 p aria E = 2 d x dy = 2 ⎢ ⎜ ⎢⎜⎜ ( OAC ) ⎢⎣⎝ 0

∫∫

2 px

∫ ∫ 0

2 2p⎛ ⎞ ⎜ dy ⎟ d x + ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 p ⎠ ⎝

∫

8 p2 − x2

∫ 0

⎞ ⎟ dy ⎟ d x = ⎟ ⎠

2p 2 2p ⎤ ⎛ ⎞ x3 / 2 ⎞ 1⎛ x ⎥= = 2 ⎜⎜ 2 p ⋅ + x 8 p2 − x2 ⎟ ⎟⎟ + ⎜ arcsin ⎥ 3/ 2 ⎠ 2⎝ 2 2p ⎠ 2p ⎥ ⎝ 0 ⎦

4 p2 π = + . 3 4 315

y

A ( 2 p, 2 p )

E

(

C 2 2 p ,0

) x

O

x2 + y 2 = 8 p2

B ( 2 p, −2 p )

y 2 = 2 px

Fig. 6.4

(ii) Folosind faptul că domeniul E este simplu în raport cu axa Oy:

⎛ ⎜ ⎜ aria E = ⎜ −2 p ⎜ ⎜ ⎝ 2p

∫

8 p2 − x2

∫

y2 2p

⎞ 2p ⎟ ⎛ y2 4 p2 π 2 2⎞ ⎟ + . + 8 p − x ⎟⎟ dy = dx d y = ⎜⎜ − ⎟ 4 2 p 3 ⎠ −2 p ⎝ ⎟⎟ ⎠

∫

23 Folosind o schimbare de variabilă adecvată să se arate că: 2

∫∫ D

unde D=

b ⎤ ⎛ y2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1⎡ f ⎜⎜ ⎟⎟ f ⎜⎜ ⎟⎟ d xdy = ⎢ f ( u ) du ⎥ , 3⎢ ⎥⎦ ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎣a

{( x, y )∈

∫

2

}

ax ≤ y 2 ≤ bx, ay ≤ x 2 ≤ by , 0 < a < b ,

iar f : [ a, b ] → este Riemann integrabilă pe [ a, b ] . Spre deosebire de integrala Riemann a funcţiilor de variabilă reală, unde schimbarea de variabilă avea drept scop „simplificarea” funcţiei integrant în integrala dublă (triplă), schimbarea de variabilă are două scopuri. • simplificarea domeniului de integrare; • simplificarea funcţiei integrant. În general nu pot fi atinse ambele scopuri simultan şi de aceea se preferă, de regulă, numai simplificarea domeniului de integrare. Cea mai convenabilă schimbare de variabilă este cea care transformă domeniul D într-un dreptunghi. 316

y

x 2 = ay

x 2 = by y 2 = bx D y 2 = ax

x

O

Fig. 6.5

Metoda propusă este de a determina acele curbe de coordonate ale domeniului D. Aceste curbe, de regulă, se aleg din aceeaşi familie de curbe cu frontiera domeniului D. 2 În cazul de faţă: T : D → [ a, b ] ⎧⎪ y 2 = ux T :⎨ 2 ⎪⎩ x = vy

( familii de parabole ) ; u, v ∈ [ a, b] .

⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞ Jacobianul transformării ⎜ ∃ , , , continue ⎟ este: ⎝ ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠

D ( x, y ) 1 1 1 = = = − ≠ 0, D ( u, v ) D ( u, v ) ∂u ∂v ∂u ∂v 3 ⋅ − ⋅ D ( x, y ) ∂x ∂y ∂y ∂x deci T este transformare regulată

∫∫ D

⎛ y2 ⎞ ⎛ x ⎞ D ( x, y ) f ⎜⎜ ⎟⎟ f ⎜ 2 ⎟ d xdy = f (u ) ⋅ f ( v ) ⋅ dudv = x D u , v ( ) y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [ a ,b]2

∫∫

1 = 3

b⎛ b

∫a ⎝⎜ ∫a

1⎡ ⎞ f ( u ) f ( v ) du ⎟ d v = ⎢ 3⎣ ⎠

b

∫a

2

⎤ f ( u ) du ⎥ . ⎦

317

24 (i) Să se arate că transformarea ⎧⎪u = x − y T =⎨ , ( x, y ) ∈ 2 ⎪⎩v = y − x

aplică domeniul D =

{( x, y ) ∈

2

⎧ Δ = ⎨( u , v ) ∈ ⎩

2

}

, x 2 ≤ y ≤ x pe domeniul 2

1 1 ⎫ 0 ≤ u ≤ , 0 ≤ v ≤ − u⎬. 4 4 ⎭

(ii) Să se arate că:

∫∫

du dv =

Δ

1 ≠ 32

∫∫ D

D ( u, v ) 1 d x dy = . D ( x, y ) 16

Explicaţi de ce nu este aplicabilă teorema de schimbare de variabilă. Rezolvare. v

y

1 3

O

1

3

4

4

1

x

4

16

O

3

16

Fig. 6.6

(i) Este clar că:

{ } Im T = {( u , v ) ∈ Δ v = 0} , ( x, y )∈D , x = y Im T

( x, y )∈D , x = y

= ( u, v ) ∈ Δ u = 0 ,

2

1⎫ ⎧ = ⎨( u , v ) ∈ Δ u + v = ⎬ , 1 ⎩ 4⎭ ( x, y )∈D , x = Im T

2

o

(

)

o

∀ ( x, y ) ∈ D ⇒ ( u , v ) = x − y , y − x 2 ∈ Δ . (ii)

∫∫ Δ

318

du dv = aria Δ =

1 32

1

4

u

D ( u, v ) dx dy = D ( x, y )

∫∫ D

1

⎛ = ⎜ ⎝ 0

∂u ∂v

D

D

1

∫(

)

⎞ 1 − 2 x dy ⎟ dx = x − x 2 1 − 2 x dx = 2 x ⎠ 0

∫∫

x

1/ 2

=

∂u ∂v

∫∫ ∂x ⋅ ∂y − ∂y ⋅ ∂x d xdy = ∫∫ 1 − 2 x dxdy =

1

1 1 2 d 2 1 d . x − x − x x + x − x x − x = ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ 16 2

2

0

1/ 2

Teorema de schimbare de variabilă nu este aplicabilă, deoarece transformarea T nu este biunivocă. Într-adevăr, dacă prin absurd T ar fi biunivocă ⎛3 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎡ 3⎤ ⎜ , − α ⎟ = T ⎜ α, − α ⎟ = ⎜ , − α ⎟ , ∀ α ∈ ⎢0, ⎥ . ⎝4 4 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎣ 16 ⎦ Contradicţie! 25 Fie funcţia f : D → ; D =

{( x, y ) x

2

+ y 2 ≤ π2

}

⎧ x + y; − π ≤ x ≤ π, sin x ≤ y ≤ π2 − x 2 ; ⎪ f ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩ x − y; − π ≤ x ≤ π, π2 − x 2 ≤ y < sin x.

Să se arate că f este integrabilă Riemann pe D şi să se calculeze

∫∫ f . D

Rezolvare. Cum funcţia f este discontinuă pe mulţimea

D ( f ) :=

{( x, y ) − π ≤ x ≤ π, y = sin x} ,

care este neglijabilă Jordan (fiind cu tangenta continuă) rezultă că f este Riemann integrabilă pe D (fiind mărginită pe domeniul D).

∫∫ D

π

⎛ f = ⎜ ⎜ −π ⎝

π2 − x 2

∫ ∫sin x π

=

⎡ ⎢⎣ x −π

∫ π

+

( (

π ⎞ ( x + y ) dy ⎟⎟ dx + ⎛⎜ ⎝ ⎠ −π

sin x

∫ ∫−

)

π2 − x 2 − sin x +

)

(

2

π −x

2

( x − y ) dy ⎞⎟ dx =

1 2 π − x 2 − sin 2 x 2

⎠

)⎤⎥⎦ dx +

1 4π3 ⎡ 2 2 2 2 2 ⎤ + π − − − π + = − π. x x x x x x sin sin d ⎢⎣ ⎥⎦ 2 3 −π

∫

(

)

319

y

−π

π

x

Fig. 6.7

26 Să se calculeze integrala x

∫∫

I=

(

2

[0,1]2 1 + x + y

2

)

3

dx dy . 2

Rezolvare. Funcţia integrant este continuă pe [ 0,1] . Dacă din punct de vedere al teoremei Fubini domeniul de integrare fiind simplu în raport cu ambele axe, succesiunea de integrare este indiferentă, din punct de vedere al calculului succesiunea integralelor iterate nu este indiferentă. De pildă, în cazul de faţă nu este indicat a considera următoarea succesiune: 2

1⎛1

x dy I= ⎜ ⎜ 2 2 0 ⎜ 0 1+ x + y ⎝

∫∫

(

)

3

2

⎞ ⎟ dx , ⎟⎟ ⎠

deoarece pentru calculul integralei interioare este necesară schimbarea de variabilă a + b ⋅ y s = t q de la integrala binomă. O relaxare a calculelor este dată de următoarea succesiune: 1⎛1

∫∫

xdx

I= ⎜ ⎜ 2 2 0 ⎜ 0 1+ x + y ⎝ = ln

320

(

y + 1+ y

2

y + 2 + y2

)

3

2

1 ⎞ 1 1 ⎟ dy = ⎜⎛ − 2 ⎜ ⎟⎟ 1 + y2 0⎝ 2+ y ⎠

1

= ln 0

∫

1+ 2 . 1+ 3

⎞ ⎟⎟ dy = ⎠

27 Să se calculeze integrala

∫∫

I=

[0, π]×[ a ,b ]

dx dy , 1< a < b , y − cos x

şi apoi să se deducă valoarea integralei cu parametrii π

∫

J = ln 0

b − cos x dx . a − cos x

Rezolvare. Funcţia integrant este continuă pe domeniul de integrare. Mai mult, deoarece domeniul este simplu în raport cu ambele axe, putem folosi teorema lui Fubini în două moduri diferite: b⎛π

b dx ⎞ ⎟ dy = I= ⎜ ⎜ y − cos x ⎟ a⎝0 a ⎠

∫∫

∫

π 2

y −1

dy = π ln

b + b2 − 1 2

a + a −1

.

Pe de altă parte, π⎛ b

π

dy ⎞ b − cos x ⎟ dx = ln dx = J . I= ⎜ ⎜ y − cos x ⎟ a − cos x 0⎝a 0 ⎠

∫∫

∫

Am determinat astfel valoarea integralei J ca fiind: π

∫

J = ln 0

b − cos x b + b2 − 1 . dx = π ln 2 a − cos x a + a −1

28 Să se calculeze integrala

I=

∫∫ π

⎡0, ⎤×[ 0, a ] 2⎦ ⎣

dxdy , 0 < a < 1, 1 + y ⋅ cos x

şi apoi să se deducă valoarea integralei cu parametru π

J=

2

∫ 0

ln (1 + a ⋅ cos x ) dx . cos x

Rezolvare. Funcţia integrant este continuă pe domeniul de integrare. Mai mult, deoarece domeniul este simplu în raport cu ambele axe, putem folosi teorema lui Fubini în două moduri diferite:

321

π a⎛ 2

⎞ a dx 2 1− y ⎜ ⎟ d arctg dy . I= ⎜ y = ⎟ 2 1 cos 1 y x y + ⋅ + ⎟ 0⎜ 0 0 1− y ⎝ ⎠ Folosind schimbarea de variabliă y = cos ( 2 ⋅ u ) obţinem:

∫ ∫

∫

π2 1 2 I= − ⋅ ( arccos a ) . 8 2 Pe de altă parte, π

I=

2⎛ a

⎞ dy ⎜ ⎟ dx = ⎜ 1 + y ⋅ cos x ⎟ ⎝0 ⎠

∫ ∫ 0

π

2

∫ 0

ln (1 + a ⋅ cos x ) dx = J . cos x

Am determinat astfel valoarea integralei J ca fiind π

J=

2

∫ 0

ln (1 + a ⋅ cos x ) π2 1 2 dx = − ⋅ ( arccos a ) . cos x 8 2

Observăm că în integralal J funcţia integrant poate fi prelungită prin continuitate. Într-adevăr: ln (1 + a ⋅ cos x ) = a. lim cos x x→π 2 29 Să se calculeze valoarea integralei

I=

∫∫

x2 + y2 −

x 2 + y 2 ≤1

x+ y dxdy . 2

x+ y = 0 reprezintă ecuaţia cercului cu 2 ⎛ 2 2⎞ 1 , centrul în punctul P ⎜ ⎟ şi raza . Fie D1 discul corespunzător şi 2 ⎝ 4 4 ⎠

Rezolvare. Ecuaţia x 2 + y 2 −

D2 = D − D1 , unde D =

{( x, y ) ∈

2

}

x2 + y2 ≤ 1 .

x+ y este negativă pe domeniul D1 şi 2 pozitivă în restul planului. Folosind aditivitatea de domeniu deducem:

Funcţia

I=

∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y ) dxdy = −∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y ) dxdy . D1

322

f ( x, y ) = x 2 + y 2 −

D2

D1

D2

y

P −1

1

O

x

Fig. 6.8

Însă

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy − ∫∫ f ( x, y ) dxdy D2

D

D1

şi astfel I=

∫∫ f ( x, y ) dxdy − 2 ⋅ ∫∫ f ( x, y ) dxdy . D

(6.3)

D1

Pentru calculul primei integrale facem schimbarea în coordonate polare: ⎧ x = r cos θ, r > 0; ⎨ ⎩ y = r sin θ, θ∈ [ 0, 2π ) .

Folosind teorema de schimbare de variabilă şi teorema Fubini obţinem:

∫∫

f ( x, y ) dxdy =

D

π ⎡ 2 r ⎤ θ = cos sin d d r − θ + θ r r . ( ) ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ( 0,1]×[0,2 π )

∫∫

(6.4)

Pentru a doua integrală din (6.3) facem schimbarea în coordonate polare translatate: ⎧ 2 , r > 0; ⎪⎪ x = r cos θ + 4 ⎨ ⎪ y = r sin θ + 2 , θ∈ [ 0,2π ) . ⎪⎩ 4 Folosind teorema de schimbare de variabilă şi teorema lui Fubini obţinem

∫∫ D

f ( x, y ) dxdy =

∫∫ 1

⎛ ⎤ ⎜ 0, ⎥×[ 0,2 π ) ⎝ 2⎦

π ⎛ 2 1⎞ = − r r r − d d θ . ⎜ ⎟ 4⎠ 32 ⎝

(6.5)

323

Înlocuind (6.4) şi (6.5) în (6.3) deducem valoarea integralei I =

9π . 16

30 Să se calculeze integrala

∫∫ ( x

2

)

+ y 2 d xdy ,

D

unde D este paralelogramul cu laturile y = x; y = x + a; y = a şi y = 3a ( a > 0 ) . Rezolvare. y

y = x+a

3a

y=x

a a

x

2a 3a

Fig. 6.9

∫∫ ( x

2

2

x+a

a

)

∫ ∫ (x

+ y dxdy = dx 0

D

+ +

2

)

+ y 2 dy +

a

∫2a dx ∫x ( x 3a

3a

2

)

+ y dy =

2 a 6 x 2 a + 3 xa 2

∫a

2

2 2 ∫a ∫x ( x + y ) dy + 2a

3

+ a3

x+a

dx

a 4 x3

∫0

dx +

+ 3 x 2 a + 3 xa 2 dx + 3

3a 9 x 2 a − 4 x 3

∫2a

+ 27 a 3

3

31 Să se calculeze integrala

∫∫ ydxdy, unde D = {( x, y ) y ≤ x , x 2

2

}

+ y2 ≤ 2 .

D

Rezolvare. y + y 2 = 2 ⇔ y 2 + y − 2 = 0 ⇔ y = 1 şi y = −2 .

Dar y ≥ 0 ⇒ y = 1 soluţie acceptabilă y = x 2 ⇒ x = ±1 .

324

dx = 14a 4 .

y

A

B

x

O

Fig. 6.10

Deci A ( −1,1) şi B (1,1) −1

⎛ ⎜ 2⎜ ⎝

∫∫ ydxdy = ∫− ∫− D

+

2⎛

2− x2 2− x2

∫1 ⎜⎜⎝ ∫−

1⎛ ⎞ y dy ⎟ dx + ⎜ ⎜ ⎟ ⎠ −1 ⎜ ⎝−

2− x2 2− x2

∫

x2

∫

2− x2

⎞ y dy ⎟ dx + ⎟⎟ ⎠

1 ⎞ 1 7 y dy ⎟ dx = x 4 + x 2 − 2 dx = − . ⎟ 2 15 ⎠ −1

∫(

)

Folosind aditivitatea de domeniu se putea calcula astfel:

∫∫ D

⎛ y dxdy = ⎜ −1 ⎜ ⎝ 1

∫ ∫−

2− x2 2− x2

⎞ y dy ⎟ dx − ⎟ ⎠ −

⎛ ⎜ ⎜ 2⎜ ⎝

2

∫

2− x2

∫

x2

⎞ 7 y dy ⎟ dx = − . ⎟ 15 ⎟ ⎠

Să se schimbe ordinea de integrare în următoarele integrale iterate: π 2

32

⎛ cos x ⎞ ⎜ f ( x , y ) dy ⎟ dx . ⎜ ⎟ π ⎠ − ⎝ − cos x

∫ ∫ 2

Rezolvare. Domeniul D este determinat de inegalităţile

π π⎫ ⎧ D = ⎨( x, y ) − cos x ≤ y ≤ cos x, − ≤ x ≤ ⎬ . 2 2⎭ ⎩ 325

y

1 π − 2

y = cos x π 2

O

x

y = − cos x

−1

Fig. 6.11

În aceste condiţii:

∫∫ D

1 ⎛ arccos y ⎛ π− arccos y ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ f ( x, y ) dxdy dy = f ( x, y ) dx dy + f ( x, y ) dy ⎟ dx. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎝ arccos y −π 0 ⎝ − arccos y ⎠ ⎠ 0

∫

33

2⎛

∫

∫

⎞ f ( x, y ) dy ⎟ dx . ⎟ ⎠

2 x − x2

∫1 ∫2− x ⎜ ⎜ ⎝

∫

Rezolvare. Domeniul de integrare este determinat de inegalităţile: D=

În aceste condiţii

{( x, y ) y ≥ 2 − x, y

∫∫ D

2

1

⎛ f ( x, y ) dxdy = ⎜ ⎜ 0⎝

2

1+ 1− y 2

∫ ∫2− y

⎞ f ( x, y ) dx ⎟ dy . ⎟ ⎠

y

1

2 O

1

Fig. 6.12

326

}

+ ( x − 1) ≤ 1 .

x

34

1 ⎛ 2x

∫ ⎜⎜ ∫ 0⎝ 0

2 ⎛ 1+ ⎞ f ( x , y ) dy ⎟ dx + ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ 1− ⎠ ⎝

∫

2 x − x2

∫

2 x − x2

⎞ f ( x , y ) dy ⎟ dx . ⎟ ⎟ ⎠

Rezolvare. y 2

1

O

1

x

2

Fig. 6.13

Domeniul de integrare este determinat de reuniunea domeniilor

D1 =

{( x, y ) x ∈[0,1], 0 ≤ y ≤ 2 x}

D2 =

{( x, y ) x ∈[1,2], ( x − 1)

2

şi

}

+ ( y − 1) ≤ 1 . 2

În aceste condiţii:

⎛

∫∫

D = D1 U D2

2 2 ⎜ 1+ 2 y − y

∫

f ( x, y ) d x d y = ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

∫y 2

⎞ ⎟ f ( x, y ) dx ⎟ dy . ⎟ ⎟ ⎠

35 Să se calculeze integrala 1 ⎛ arcsin y

∫ ⎜⎜⎜ ∫

0 ⎝ arcsin y

⎞ xy dx ⎟ dy . sin x ⎟⎟ ⎠

Rezolvare.

x nu admite o primitivă exprimabilă cu ajutorul unei sin x combinaţii finite de funcţii elementare, integrala se va calcula prin schimbarea ordinii de integrare Deoarece funcţia

327

⎧ ⎫ ⎡ π⎤ D = ⎨( x, y ) x ∈ ⎢0, ⎥ sin 2 x ≤ y ≤ sin x ⎬ , ⎣ 2⎦ ⎩ ⎭

∫∫ D

π 2

xy x y2 ⋅ dxdy = sin x sin x 2

∫

0 π 2

=

sin x

dx = sin 2 x

∫ (

)

x 1 ⎡ 7⎤ 1 sin x − sin 3 x dx = ⎢1 − ⎥ = . 2 2 ⎣ 9⎦ 9

0

y 1

y = sin x y = sin 2 x

O

π 2

x

Fig. 6.14

36 Să se calculeze integrala

⎛ 3 − y2 ⎞ 2 ⎜ ⎟ x y e d x ⎜ ⎟ dy . ⎟ −1 ⎜ − y 2 ⎝ ⎠ 0

∫ ∫

Rezolvare. 2

Deoarece funcţia e x nu admite o primitivă exprimabilă prin funcţii elementare, vom calcula integrala schimbând ordinea de integrare. Integrala considerată se transformă în

∫∫

2

y e x dxdy , unde domeniul D este definit de

D

inegalităţile

D=

{( x, y ) x ∈[−1,0] şi −

simplu în raport cu ambele axe, vom obţine egalitatea:

328

}

− x3 ≤ y ≤ − − x . Domeniul fiind

∫∫D

2

y e x dx d y =

0

∫−1

ex

1 2

0

=

∫−1

− −x

y2 2

2

dx = − −x

3

2

x 3 e x dx −

1 2

1 2

0

∫−1

∫−1 ( 0

)

2

e x − x + x 3 dx =

2

x e x dx =

e 1 − . 4 2

y

−1

x

O

y = − −x y = − − x3 −1

Fig. 6.15

37 Să se calculeze integrala

∫∫D unde

D=

x 2 + y 2 dx dy ,

{( x, y ) ax ≤ x

2

}

+ y 2 ≤ 2ax, y ≥ 0, a > 0 .

Rezolvare.

Utilizând transformarea în coordonate polare

⎪⎧ x = ρ cos θ, ρ∈ [ 0, ∞ ) ; ⎨ ⎪⎩ y = ρ sin θ, θ∈ [ −π, π] , domeniul D devine

⎧ ⎫ ⎡ π⎤ Δ = ⎨( ρ, θ ) θ∈ ⎢0, ⎥ , ρ∈ [ a cos θ,2a cos θ]⎬ . ⎣ 2⎦ ⎩ ⎭ Jacobianul transformării fiind egal cu ρ rezultă că:

∫∫D =

2

2

x + y dx dy =

∫∫ ρ ⋅ ρdρdθ = ∫ ∫

Δ π 3 3 3 3 2 8a cos θ − a cos θ dθ = 0 3

∫

π 2 a cos θ ⎞ 2⎛ ρ 2 dρ ⎟ d θ = ⎜ 0 ⎝ a cos θ ⎠

7 3

π 2 cos3 dθ = 0

∫

7 3

π 2 0

14 2 ∫ (1 − sin θ) cos θdθ = 9 . 329

y

a

a 2

x

Fig. 6.16

38 Să se calculeze integrala

y arctg dxdy , unde D x

∫∫

x ⎧ ⎫ , y ≤ x 3⎬. D = ⎨( x, y ) x 2 + y 2 ≥ 1, x 2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 3 ⎩ ⎭ Rezolvare. Utilizând transformarea în coordonate polare

⎧⎪ x = ρ cos θ, ρ∈ [ 0, ∞ ) ; ⎨ ⎪⎩ y = ρ sin θ, θ∈ [ 0,2π ) , domeniul D devine

⎧ ⎡ π π ⎤⎫ Δ = ⎨( ρ, θ ) ρ∈ [1,3] , θ∈ ⎢ , ⎥ ⎬ . ⎣ 6 3 ⎦⎭ ⎩ y

O

1

Fig. 6.17

330

3

x

În aceste condiţii:

∫∫ D

π 3⎛ 3

⎞ y sin θ arctg dxdy = ⎜ arctg ρ ⋅ dρ ⎟ dθ = ⎜ ⎟ x cos θ π⎝ 1 ⎠

∫∫ 6 π 3

π 2 3 θ

1 = θ ⋅ ( 9 − 1) dθ = 4 2 2 π

∫ 6

π 6

π2 = . 6

Determinaţi coordonatele centrului de greutate al unei plăci ⎛ ⎛ π ⎞⎞ omogene limitată de curba y = sin x şi dreapta OA ⎜ O = ( 0,0 ) şi A = ⎜ ,1⎟ ⎟ . ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ 39

Rezolvare. y A

1

O

π 2

x

Fig. 6.18

Coordonatele centrului de greutate se calculează cu formulele:

xG =

∫∫D x ⋅ ρdxdy ; ∫∫D ρdxdy

yG =

π ⎛ sin x ⎞ 2⎜ dy ⎟ d x 2 ⎟ 0 ⎜ x ⎝ π ⎠

∫∫D dxdy = ∫ ∫ =

π − cos x 2 0

1 − x π

=

π 2 2 0

∫∫D y ⋅ ρdxdy ∫∫D ρdxdy

π 2 ⎛ sin x − ⎜ 0 ⎝

∫

=1−

2 ⎞ x ⎟ dx = π ⎠

π 4−π . = 4 4

331

π ⎛ sin x ⎞ 2⎜ d dx x y ⎟ 2 ⎟ 0 ⎜ x ⎝ π ⎠

∫∫D xdydx = ∫ ∫ ∫∫D

y dx d y =

π ⎛ sin x 2⎜ 2 0 ⎜ x ⎝ π

∫ ∫

⎞ ydy ⎟ dx = ⎟ ⎠

=

π 2 ⎛ x sin x − ⎜ 0 ⎝

∫

π ⎛ 2 2 sin ⎜ 0 ⎜ 2

∫

x

⎝

−

2 2⎞ 12 − π2 . x ⎟ dx = π ⎠ 12

2 x2 ⎞ π π π = d x . = − ⎟ 8 12 24 π2 ⎟⎠

Rezultă deci xG =

12 − π2 4 12 − π2 ; ⋅ = 4 − π 3( 4 − π ) 12

yG =

4 π π ⋅ = . 24 4 − π 6 ( 4 − π ) 6

40 Fie lemniscata ρ2 = 2a 2 cos 2θ . Să se calculeze aria porţiunii dintr-o buclă a lemniscatei situată în exteriorul discului ρ = a, a ∈ ∗+ . Rezolvare. y

A O

x a

a 2

Fig. 6.19

Calculăm coordonatele punctului de intersecţie a 2 = 2a 2 cos 2 θ ⇒ cos 2θ =

332

1 π ⇒θ= . 2 6

Aria cerută se va calcula cu formula A=

π π a 2 cos 2θ ⎛ ⎞ 6 ρdρ ⎟ dθ = 6 ⎜ 0 ⎝ a 0 ⎠

2 2 ∫ ( 2a cos 2θ − a ) dθ =

∫∫D dxdy = 2∫ ∫ π 6

⎛ 3 π⎞ πa 2 sin 2θ 2π 2 3 = 2a −a =a − = a2 ⎜ − ⎟. 2 0 6 2 6 2 6⎠ ⎝ 2

41 Să se calculeze integrala

∫∫D

{

}

x 2 + y 2 dxdy, unde D = ax ≤ x 2 + y 2 ≤ 2ax; 0 ≤ y ≤ x, a > 0 .

Rezolvare. y

O

x= y

a

a 2

2a

x

Fig. 6.20

Trecând la coordonate polare ⎧ x = ρ cos θ; ⎨ ⎩ y = ρ sin θ,

ρ∈ [ 0, ∞ ) ; θ∈ [ 0,2π ) ,

vom obţine relaţiile x 2 + y 2 ≥ ax ⇔ ρ ≥ a cos θ ⎡ π⎤ x 2 + y 2 ≤ 2ax ⇔ ρ ≤ 2a cos θ; y ∈ [ 0, x ] ⇔ θ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 4⎦ şi integrala va deveni π π 2 a cos θ ⎞ 4⎛ ρ ⋅ ρdρ ⎟ dθ = 4 ⎜ 0 ⎝ a cos θ 0 ⎠

∫ ∫

∫ (

)

1 8a3 cos3 θ − a3 cos3 θ dθ = 3

7 a3 = 3

π 4 cos3 θdθ = 0

∫

35 2a 3 . 36 333

42 Să se calculeze aria domeniului

D=

{( x, y )

}

x 2 + y 2 ≤ ax, x 2 + y 2 ≤ ay, a > 0 .

Rezolvare. Trecând la coordonatele polare ⎧ x = ρ cos θ; ρ∈ [ 0, ∞ ) ; θ∈ [ −π, π] , ⎨ ⎩ y = ρ sin θ,

vom obţine relaţiile ρ ≤ a cos θ, ρ ≤ a sin θ . y

A

x

O

Fig. 6.21

a . 2 În aceste condiţii aria domeniului D va fi dată de formula

Punctul de intersecţie A va avea coordonatele x = y =

A( D ) = =

334

π π a sin θ ⎛ ⎞ ⎛ a cos θ ⎞ dxdy = 4 ⎜ ρdρ ⎟ dθ + π2 ⎜ ρdρ ⎟ dθ = D 0 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 4 π 2 π 2 2 2 2 a2 π − 2 4 a sin θ dθ + 2 a cos θ dθ = a ⎛ π − 1 ⎞ = ⎜ ⎟ π 0 2 2 2 ⎝ 4 2⎠ 8 4

∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

(

).

43 Să se calculeze

∫∫ D

1 x2 y2 3 5− − a 2 b2

dxdy , dacă

x2 y2 ⎪⎧ ⎪⎫ D = ⎨( x, y ) 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4; a, b > 0 ⎬ . a b ⎩⎪ ⎭⎪ Rezolvare. y 2b

−2a

b O

−a

x a

2a

−b −2b

Fig. 6.22

Trecând la coordonate polare generalizate ⎧ x = aρ cos θ; ρ∈ [1, 2]; θ∈ [ 0, 2π] ⎨ = ρ θ y b sin , ⎩

(Jacobianul transformării este abρ ), integrala devine: 2π 2

∫0 ∫1 44

(

⎛ −3 ⎞ abρdρdθ = ab ( 2π ) ⋅ ⎜ ⎟ 5 − ρ2 3 ⎝ 4 ⎠ 5 − ρ2 1

Să se calculeze

∫∫D

)

2/3 2

=

1

3πab 2

(

3

)

16 − 1 .

2

⎛ x2 + y2 ⎞ a − ⎜⎜ ⎟⎟ dxdy , dacă D este interiorul ⎝ 2x ⎠ 2

cercului x 2 + y 2 − 2ax = 0 , a > 0 . Rezolvare. Trecând la coordonate polare ⎧ x = ρ cos θ; ρ∈ [ 0, ∞ ) ; θ∈ [ −π, π ) , ⎨ ⎩ y = ρ sin θ,

domeniul D devine

⎧ ⎡ π π ⎤⎫ Δ = ⎨( ρ, θ ) ρ∈ [ 0,2a cos θ] , θ∈ ⎢ − , ⎥ ⎬ ⎣ 2 2 ⎦⎭ ⎩ 335

y

a

O

x

Fig. 6.23

∫∫D

2

⎛ x2 + y2 ⎞ a − ⎜⎜ ⎟⎟ dxdy = x 2 ⎝ ⎠ 2

2

⎛ ρ ⎞ a −⎜ ⎟ ⋅ ρdρdθ = ⎝ 2cos θ ⎠

∫∫

2

Δ

π 2 a cos θ 1 ⎞ 2 ⎛ 4a 2 cos 2 θ − ρ2 ρdρ ⎟ dθ = ⎜ π 2cos θ − ⎝ 0 ⎠ 2 π 2 a cos θ 1 ⎛ −1 ⎞ 2 2 2 3/ 2 2 dθ = ⎜ ⎟ 4a cos θ − ρ π − 2cos θ ⎝ 3 ⎠ 0 2 π π 1 4a 3 2 2 a 3π 3 3 2 2 8a cos θdθ = cos dθ = . π 3 −π 3 − 6cos θ 2 2

=

∫ ∫

=

∫

=

∫

(

)

∫

6.3 TEMĂ DE CONTROL 1. Funcţia f : [ 0,1] × [ 0,1] →

,

⎧ x2 y , dacă ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x 4 + y 2 ⎪0, dacă ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ este integrabilă? Răspuns. Integrabilă (are un singur punct de discontinuitate). 2. Să se arate că f : [ −1,1] × [ −1,1] →

⎧ 2 xy ⎪⎪ 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ ⎪⎩0,

(

336

)

2

,

, dacă

( x, y ) ≠ ( 0,0 )

dacă

( x, y ) = ( 0, 0 )

nu este integrabilă. Răspuns. Nu este mărginită. 3. Să se calculeze ariile domeniilor plane:

x 2 y 2 ⎪⎫ ⎪⎧ D = ⎨( x, y ) 2 + 2 ≤ 1⎬ . a b ⎩⎪ ⎭⎪ Răspuns. πab . 4. D =

{( x, y ) 1 ≤ x

Răspuns.

2

}

+ y 2 ≤ 9, x ≤ y ≤ 3x .

4π . 3

Să se calculeze următoarele integrale duble: 5.

∫∫ x sin ( xy ) dxdy , unde D = [0,1] × [0, π] . D

Răspuns. 1. 6.

∫∫ D

x2 dxdy , unde y2

1 ⎧ ⎫ D = ⎨( x, y ) x ∈ [1, 2] , ≤ y ≤ x ⎬ . x ⎩ ⎭ Răspuns. 7.

∫∫ ( x

2

9 . 4

)

+ y 2 − 4 x − 4 y + 10 dxdy , unde

D

D= Răspuns. 8.

∫∫

{( x, y ) x

2

}

+ 4 y 2 − 2 x − 16 y + 13 ≤ 0 .

17 π . 2

1 − x 2 − x 2 dxdy , unde D =

{( x, y ) x

2

}

+ y2 ≤ x .

D

Răspuns.

2⎛ π 2⎞ ⎜ − ⎟. 3⎝ 2 3⎠ 337

9.

∫∫ D

x2 y 2 1 − 2 − 2 dxdy , unde a b

1 x2 y 2 ⎪⎧ ⎪⎫ D = ⎨( x, y ) ≤ 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, a, b > 0 ⎬ . 4 a b ⎩⎪ ⎭⎪ Răspuns.

πab 3 . 4

10. Să se calculeze integrala dublă

I=

∫∫ ( x

2

)

+ y 2 dx d y ,

D

unde D domeniul delimitat de dreptele y = x, y = x + a, y = a, y = 3a ( a > 0 ) . Răspuns. 14a 4 . 11. Să se calculeze volumul corpului mărginit de suprafeţele: z = 0, x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 3 .

Răspuns. 3π . 12. Să se calculeze volumul corpului mărginit de suprafeţele: z = xy 2 , x 2 + y 2 = R 2 , y = 0, x = 0 ,

aflat în primul cadran. R5 Răspuns. . 15 13. Să se calculeze masa unei plăci plane de grosime neglijabilă dacă x2 ⎪⎧ ⎪⎫ densitatea ρ ( x, y ) = x 2 + y 2 , iar D = ⎨( x, y ) 1 ≤ + y 2 ≤ 4⎬ . 4 ⎩⎪ ⎭⎪ 75π Răspuns. . 2

338

14. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei plăci plane de grosime neglijabilă cu densitatea ρ ( x, y ) = y şi care are forma dată de domeniul

D= Răspuns. xG = −

{( x, y ) x + y ≤ 2, y ≥ x } . 2

25 235 , yG = . 32 112

15. Să se afle momentul de inerţie în raport cu axa Ox a triunghiului delimitat de dreptele x = 2, y = 2, x + y − 2 = 0 . Răspuns. 4. 16. Dacă u : [ a1 , b1 ] →

şi v : [ a2 , b2 ] → + sunt integrabile, atunci: (i) f : [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] → f ( x, y ) = u ( x ) + v ( y ) este Darboux integrabilă pe D şi

∫∫

+

f = ( b2 − a2 )

D

b1

∫a

1

(ii) g = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] → , integrabilă pe D şi

∫∫ D

⎛ g =⎜ ⎝

u + ( b1 − a1 )

∫

∫a

v;

2

g ( x, y ) = u ( x ) v ( y )

⎞ ⎛ u⎟⋅⎜ a1 ⎠ ⎝ b1

b2

b2

∫a

2

este

Darboux

⎞ v⎟. ⎠

17. (i) Fie f : [ 0,1] × [ 0,1] →

⎧1, x ∈ [ 0,1] I ( − ) U {0} sau y ∈ ( − ) I [ 0,1]; ⎪ f ( x, y ) = ⎨ 1 p 1 , x , y 0,1 , x , p, q ∈ ∗ , ( p, q ) = 1. I − ∈ = [ ] ⎪ q q ⎩ Să se arate că f este Darboux integrabilă pe [ 0,1] . 2

x x (ii) Dacă f ( ) : [ 0,1] → , f ( ) ( y ) = f ( x, y ) , ∀ x ∈ [ 0,1] , y ∈ [ 0,1] să

x se arate că f ( ) nu este integrabilă pe [ 0,1] , ∀ x ∈

{

18. Fie mulţimea

G = ( x, y ) ∈ [ 0,1] I 2

2

x=

I [ 0,1] .

}

m m′ , y = , m, m′, n ∈ , n ≠ 0 şi ( m, n ) = 1 = ( m′, n ) n n

339

şi funcţia g : [ 0,1] → 2

⎧⎪1, ( x, y ) ∈ G; g ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪⎩0, ( x, y ) ∈ [ 0,1] − G.

(i) Să se arate că g nu este integrabila Darboux pe [ 0,1] . m (ii) Dacă y ∈ [ 0,1] I , y = ; m, n ∈ , n ≠ 0, ( m, n ) = 1 , n 2

iar k ⎧ = x 1, , ( k , n ) = 1, k ≤ n; ⎪⎪ n g y ( x) = ⎨ ⎪0, x ∈ [ 0,1] − ⎧⎨ x = k ( k , n ) = 1, k ≤ n ⎫⎬ , n ⎩ ⎭ ⎩⎪ 1

să se arate că g y este integrabilă pe [ 0,1] şi g y = 0 .

∫ 0

19. Fie f : D → , D =

{( x, y ) ∈

f ( x, y ) =

2

2

x 2 + y 2 ≤ 2 y, y + x 2 ≤ 2

xy 2

1+ x + y

2

.

2

1.5

sin( u) + 1 1

2

2− u

0.5

0

0

1 −1

0.5

0 cos( u) , u

Fig. 6.24

340

0.5

1 1

}

Să se arate că f este integrabilă pe D şi

5

∫∫ f = 1 − 8 ln 3 . D

20. Fie f : [ 0,1] → 2

⎧ ⎛ ⎡ 1⎤⎞ ⎛ ⎪1, dacă ( x, y ) ∈ ⎜ ( I [ 0,1]) × ⎢0, ⎥ ⎟ U ⎜ ( ( − ⎣ 2⎦⎠ ⎝ ⎪ ⎝ f ( x, y ) = ⎨ ⎪0, dacă ( x, y ) ∈ ⎛ I [ 0,1] × ⎡ 1 ,1⎤ ⎞ U ⎛ ( − ) ⎢2 ⎥ ⎟ ⎜( ⎜( ⎪⎩ ⎣ ⎦⎠ ⎝ ⎝

1 ⎤⎞ ,1 ⎟ ; ⎣ 2 ⎦⎥ ⎠

) I [0,1]) × ⎡⎢

1⎤⎞ ⎟. ⎣ 2 ⎦⎥ ⎠

) I [0,1]) × ⎡⎢0,

Să se demonstreze că f nu este integrabilă Riemann pe [ 0,1] , există 2

1⎛1

⎞ ⎜ f ( x, y ) dy ⎟ dx , dar nu există ⎜ ⎟ 0⎝ 0 ⎠

1⎛1

⎞ ⎜ f ( x, y ) dx ⎟ dy . ⎜ ⎟ 0⎝ 0 ⎠

∫∫

∫∫

21. Să se arate că mulţimea

{

E = ( x, y )∈

2

(

x2 + y 2

)

2

)}

(

≤ a2 x2 − y 2 , a ≠ 0

are arie şi să se determine aria sa. 0.354

cos( 2⋅ u) ⋅ sin( u)

0.5

0

− 0.354 0.5

1

0.5

−1

0

0.5

cos( 2⋅ u) ⋅ cos( u)

1 1

Fig. 6.25

Răspuns. aria E = a 2 . 22. Să se arate că transformarea ⎧u = x + y T =⎨ , v = xy ⎩

( x, y ) ∈

2

341

aplică domeniul D =

{( x, y ) ∈

}

2

xy ≥ 1, x + y ≤ 4, y ≥ 0 pe domeniul

⎪⎧ Δ = ⎨( u , v )∈ ⎩⎪

2

2 ≤ u ≤ 4, 1 ≤ v ≤

u 2 ⎪⎫ ⎬. 4 ⎭⎪

Să se arate că:

∫∫

dudv ≠

Δ

∫∫ D

D ( u, v ) dxdy D ( x, y )

şi să se explice de ce nu este aplicabilă teorema de schimbare de variabilă. Răspuns. T nu este biunivocă. 23. Să se calculeze, trecând la coordonate polare generalizate, integrala

dublă: I=

∫∫ xy dxdy , D

unde: ⎧ ⎪ D = ⎨( x, y )∈ ⎪⎩

Răspuns.

2

2 ⎫ ⎛ x2 y2 ⎞ x2 y 2 ⎪ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ≤ 2 − 2 , x ≥ 0 ⎬ ; a, b ∈ b ⎠ a b ⎝a ⎪⎭

∗ +.

a 2b 2 . 24

24. Fie funcţia continuă f : [1,2] →

⎧ D = ⎨( x, y ) ∈ ⎩

2

şi domeniul

x y ≤ x 2 + y 2 ≤ x, ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 2

⎫ y⎬ . ⎭

Folosind o schimbare de variabile adecvată să se arate că transformarea este regulată şi că:

∫∫ D

342

(

⎛ x ⎞ f ⎜ ⎟f 2 2 2 ⎝ x2 + y 2 ⎠ x +y 1

)

⎛ y ⎞ ⎛ dxdy = ⎜ ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎝x +y ⎠

2

∫1

2

⎞ f ( x ) dx ⎟ . ⎠

s

1

0.8

1 2 1 4 1 4 1 2

0.6 ⋅ sin( u) 0.4

⋅ sin( u)

⋅ sin( u) +

⋅ sin( u) +

1 0.2 4 1 2

0

0.2

−1

0.4

2

0.4

0.2

−1

1

2

2

0 ⋅ cos( u) +

0.2

0.4

0.6

1 1 1 1 1 , ⋅ cos( u) + , ⋅ cos( u) , ⋅ cos( u) 2 4 4 4 2

0.8

1 s

Fig. 6.27

25. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate, momentele statice şi momentele de inerţie ale plăcii omogene D=

{( x, y ) ∈

2

}

x 2 + y 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≥ ax, y ≥ 0 , a > 0 .

343

2

2

1

2 sin( u) sin( u)

0

1

−2

2

2 −2

1

0

1

2

2⋅ cos( u) , cos( u) + 1

2

Fig. 6.27

Răspuns. a 15 ⎧ x = − J = πa 4 ; ; x G ⎪ 6 128 ⎪ ⎪ J = 14 a; J = 11 πa 4 ; y ⎪ G 9π 128 ⎨ ⎪ S = 7 a3 ; J = − 1 a 4 ; xy ⎪ x 12 24 ⎪ π ⎪ S y = − a3. 16 ⎩

(

)

2⎫ ⎧ 26. Fie funcţia f : D → ; D = ⎨( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 3 π 2 ⎭⎬ ⎩ 2 ⎧ π π π + − ≤ ≤ ≤ ≤ − x2 ; x y ; 3 x 3 , cos x y 3 ⎪⎪ 2 2 2 f ( x, y ) = ⎨ ⎪ x − y; − 3 π ≤ x ≤ 3 π , 3 π 2 − x 2 ≤ y < cos x. ⎪⎩ 2 2 2

(

(

)

)

Să se arate că f este integrabilă Riemann pe D şi să se calculeze

∫∫ f . D

344

s

s⋅ sin( u) 0

cos( u)

−s 4

2

−s

0

2

4

s⋅ cos( u) , u

s

Fig. 6.28

Răspuns.

(

)

3 ⋅ π ⋅ 3π2 − 1 . 2

Să se calculeze următoarele integrale: 27.

∫∫D (1 − y ) dxdy dacă D=

Răspuns. 1

28.

⎛ ⎜ 0⎝

{( x, y ) x

2

}

+ ( y − 1) ≤ 1, y ≤ x 2 , x ≥ 0 . 2

1 . 15 arcsin y

∫ ∫arcsin y

⎞ x dx ⎟ dy . sin x ⎠

Răspuns. Se va schimba ordinea de integrare, I =

29.

x2 + y 2 arcsin dxdy dacă D 2π

π2 − 1. 8

∫∫

D=

{( x, y ) π

2

≤ x 2 + y 2 ≤ ( 2π )

2

}.

⎛7 3⎞ Răspuns. π3 ⎜ π − ⎟. 6 2 ⎝ ⎠ 345

30.

y2 dxdy dacă D x2

∫∫

D=

Răspuns. π −

31.

∫∫D

{( x, y ) 1 ≤ x

2

}

+ y2 ≤ 2x .

3 3 . 2

arccos

x 2

x +y

2

dxdy dacă

1 ⎧ ⎫ D = ⎨( x, y ) x 2 + y 2 ≥ 1, x ≥ , x + y ≤ 2, x − y ≤ 2 ⎬ . 2 ⎩ ⎭ 1 π2 . Răspuns. ln 2 − 2 32 32.

∫∫D xy dxdy dacă ⎧ ⎪ D = ⎨( x , y ) ∈ ⎪⎩

2

2 ⎫ ⎛ x2 y 2 ⎞ x2 y 2 ⎪ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ≤ 2 − 2 , x ≥ 0 ⎬ , a, b ∈ b ⎠ a b ⎝a ⎪⎭

a 2b 2 Răspuns. . 24 33.

R⎛

∫0 ∫0 ⎜ ⎜ ⎝

Răspuns.

R2 − x2

(

⎞ ln 1 + x 2 + y 2 dy ⎟ dx , dacă R > 0 . ⎟ ⎠

(

)

) (

)

π⎡ 1 + R 2 ln 1 + R 2 − R 2 ⎤ . ⎦ 4⎣

34. Să se calculeze aria domeniului plan limitat de curba

(x

Răspuns.

2

+ y2

)

2

= 2ax3 .

5 2 πa . 8

35. Să se calculeze aria figurii limitate de curbele x 2 + y 2 = 2 x; x 2 + y 2 = 4 x; y = x şi y = 0 . 346

∗ +.

⎛π 1⎞ Răspuns. Se trece la coordonate polare, A = 3 ⎜ + ⎟ . ⎝ 4 2⎠ 36. Să se calculeze integrala

∫∫S e

x y

dxdy , dacă S este un triunghi

curbiliniu mărginit de parabola y 2 = x şi dreptele x = 0, y = 1. 1 Răspuns. . 2 37. Să se calculeze integrala

∫∫D

1−

x2 y 2 − dxdy , a 2 b2

dacă domeniul D este limitat de elipsa, x2 y 2 + = 1, a, b ∈ a 2 b2 2 Răspuns. πab . 3

∗ +.

38. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unui sector circular omogen de rază a şi unghi la vârf 2α . s

2

1

y ( u)

0

1

−s

2

0 0

0.5

1 x( u)

1.5

2 s

Fig. 6.29

347

2a sin α ⎧ ; ⎪ xG = Răspuns. ⎨ 3α ⎪⎩ yG = 0. 39. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene limitată de curbele x 2 = ay, x + y = 2a, a > 0 . a ⎧ x = − ; G ⎪⎪ 2 Răspuns. ⎨ ⎪ y = 8 a. ⎪⎩ G 5 40. Să se calculeze aria domeniului plan limitat de curbele 5 xy = a 2 ; x + y = a, a > 0 . 2 15 − 2ln 2 . Răspuns. 8

348

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATĂ PENTRU MODULUL 7 1. I. Colojoară, Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983 2. M. Craiu, V. V. Tănase, Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980 3. M. Craiu, M. Roşculeţ, Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976 4. N. Donciu, D. Flondor, Algebră şi analiză matematică. Culegere de probleme, vol. I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978 5. I. P. Elianu, Principii de analiză matematică. Calcul diferenţial, Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1976 6. P. Flondor, O. Stănăşilă, Lecţii de analiză matematică, Editura ALL, 1993 7. M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Manual de Analiză matematică, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1966 8. M. Roşculeţ, Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1968 9. I. Sprinţu, Elemente de analiză matematică, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 2001 10. O. Stănăşilă, Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981 11. Sprinţu, I.; Gârban, V. – Analiză matematică, vol I. Calcul diferenţial şi integral, Editura A.T.M., Bucureşti, 2003

349