7. Nguyen Ham, Tich Phan.doc

ŀ

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Chuyên đề IV

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG


Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F'( x ) = f ( x ) ∀x ∈ K . 2. Các tính chất Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F ( x ) + C, C ∈
. Do vậy F ( x ) + C gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu f ,g là hai hàm liên tục trên K thì: a) ∫ f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

b) ∫ k.f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với mọi số thực k ≠ 0 .

Định lí 4. Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì

∫ f ( u ( x ) ) .u'( x ) dx = ∫ f ( u ( x ) ) .d ( u ( x ) ) = F ( u ( x ) ) + C . 3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm các hàm hợp

(u = u( x ))

* ∫ xdx = x + C * ∫ x αdx =

x α+1 + C (α ≠ −1) α +1

dx = ln| x | +C x * ∫ ex dx = ex + C

*

∫

ax +C lna * ∫ sin xdx = − cosx + C

* ∫ a x dx =

* ∫ cosxdx = sinx + C

* ∫ udu = u + C * ∫ uαdu = *

du

∫u

uα+1 +C α +1

= ln | u| +C

* ∫ eudu = eu + C

au +C lna * ∫ sinu.du = − cosu + C

* ∫ a udu =

* ∫ cosudu = sinu + C

309

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Các hàm sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm các hàm hợp

(u = u( x )) dx

*

∫ cos2 x = tan x + C

*

∫ sin2 x = − cot x + C

dx

dx =2 x +C x Nếu u = ax + b thì ta có: dx 1 * ∫ = ln |ax + b| +C ax + b a 1 * ∫ eax +bdx = eax +b + C a cos ( ax + b ) * ∫ sin ( ax + b) dx = − +C a sin ( ax + b) * ∫ cos ( ax + b ) dx = +C a dx 1 *∫ = tan ( ax + b ) + C 2 cos ( ax + b ) a *

*∫ *∫

∫

du

*

∫ cos2 u = tanu + C

*

∫ sin2 u = − cot u + C

*

∫

du

dx =2 u +C u

dx

1 = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) 2

dx 2 = ax + b + C ax + b a

4. Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ∫ f ( x ) dx , ta phân tích f ( x ) = k1 .f1 ( x ) + k 2 .f2 ( x ) + ... + k n .fn ( x ) Trong đó: f1 ( x ) , f2 ( x ) ,...,fn ( x ) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm Khi đó:

∫ f ( x ) dx = k1 ∫ f1 ( x ) dx + k2 ∫ f2 ( x ) dx + ... + k n ∫ fn ( x ) dx . Phương pháp từng phần: Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b] .

310

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Khi đó: ∫ udv = uv − ∫ vdu (1 )

Để tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: B1: Chọn u,v sao cho f ( x ) dx = udv (chú ý: dv = v’ ( x ) dx ). Tính v = ∫ dv và du = u'.dx . B2: Thay vào công thức (1) và tính ∫ vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

∫ vdu

dễ tính hơn ∫ udv . Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1: I = ∫ ( x ) .sin xdx hoaëc ∫ (x).cosxdx , trong đó P ( x ) là đa thức Với dạng này, ta đặt u = P ( x ) , dv = sin xdx. hoaëc dv = cosxdx. .

Dạng 2: I = ∫ P ( x ) eax +bdx u = P ( x ) Với dạng này, ta đặt  , trong đó P ( x ) là đa thức ax + b dx dv = e

Dạng 3: I = ∫ P ( x ) ln ( mx + n ) dx u = ln ( mx + n ) Với dạng này, ta đặt  . dv = P ( x ) dx

Dạng 4: I = ∫ sin xexdx hoaëc I = ∫ cosxex dx  sin x  u =   Với dạng này, ta đặt  cosx  để tính ∫ vdu ta đặt  x dv = e dx

 sin x  u =   cosx  .   x dv = e dx

Phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u'( x ) dx thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u ( x ) ⇒ dt = u'( x ) dx . Khi đó: I = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) + C = G ( u ( x ) ) + C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x ) 311

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 3

1  Ví dụ 1. Tính họ nguyên hàm: I = ∫  x −  dx x 

Lời giải 3

1 3 1  Ta có :  x −  = x3 − 3x + − 3 nên suy ra : x x x  3 1  x 4 3x2 1  I = ∫  x3 − 3x + − 3  dx = − + 3ln x + 2 + C . x x  4 2  2x

(

Ví dụ 2. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ ex + 2e− x

) dx 2

Lời giải

(

Ta có: ex + 2e− x

)

2

= e2x + 4 + 4.e−2x

(

)

1 Suy ra: I = ∫ e2x + 4 + 4e−2x dx = e2x + 4x − 2e−2x + C 2 x +2 Ví dụ 3. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ 2 dx 2x − 5x + 2

Lời giải Ta có: 2x2 − 5x + 2 = ( 2x − 1)( x − 2) và x + 2 =

4 5 (2x − 1) − ( x − 2) 3 3

5 1  4 5 4 1 − dx = ln x − 2 − ln 2x − 1 + C . Suy ra: I = ∫   3 6  3 x − 2 3 2x − 1 

(

)

Ví dụ 4. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ cos3x.cos4x + sin3 2x dx Lời giải Ta có : cos3x.cos4x =

1 3 1 [cos7x + cosx ] , sin3 2x = 4 sin2x − 4 sin6x 2

1 3 1 1  Nên suy ra: I = ∫  cos7x + cosx + sin2x − sin6x dx 2 4 4 2  =

1 1 3 1 sin7x + sinx − cos2x + cos6x + C . 14 2 8 24

Ví dụ 5. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ cos4 2xdx Lời giải 312

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Ta có: cos4 2x =

(

1 1 (1 + cos4x )2 = 1 + 2cos4x + cos2 4x 4 4

)

1 1 + cos8x  1 =  1 + 2cos4x +  = (3 + 4cos4x + cos8x ) 4 2  8 ⇒I=

1 1 1 (3 + 4cos4x + cos8x ) dx =  3x + sin4x + sin8x  + C 5) Ta có: ∫ 8 8 8 

dx 1  1  I = ∫ + cos2 x − 2  dx = tan x − 2x + ∫ + ∫ cos2xd ( 2x ) 2 2 4  cos x  3 1 = tan x − x + sin2x + C . 2 4

Ví dụ 6. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

x3 + 2x + 1 x2 + 2x + 1

dx

Lời giải Ta có: x3 + 2x + 1 = ( x + 1 ) − 3( x + 1) + 5( x + 1 ) − 2 3

2

 5 2  x2 2 Suy ra I = ∫  x − 2 + − dx = − 2x + 5ln x + 1 + +C . 2  x + 1 ( x + 1)  2 x +1  

Ví dụ 7. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

2x2 + x + 6 x3 + 5x2 + 6x

dx

Lời giải Vì x3 + 5x2 + 6x = x ( x + 2)( x + 3) nên ta phân tích: 2x2 + x + 6 = ax ( x + 2) + b ( x + 2)( x + 3) + cx ( x + 3) (1)

Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số (1) ⇔ 2x2 + x + 6 = ( a + b + c ) x2 + ( 2a + 5b + 3c ) x + 6b a + b + c = 2  ⇔ 2a + 5b + 3c = 1 ⇔ a = 7,b = 1,c = −6 6b = 6 

313

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Do đó,

2x2 + x + 6

 7

6 

1

∫ x3 + 5x + 6 dx = ∫  x + 3 + x − x + 2  dx

Suy ra: I = 7ln x + 3 + ln x − 6ln x + 2 + C . Cách 2: Thay lần lượt x = 0,x = −2,x = −3 vào (1) ta có được a = 7,b = 1,c = −6 và ta có kết quả như trên.

Ví dụ 8. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

sin2xdx 1 + 4sinx

Lời giải Ta có: I = 2∫

sin xcosxdx 1 + 4sinx

Đặt t = 1 + 4sin x ⇒ sinx =

t −1 1 ⇒ cosxdx = dt 4 4

t −1 1 dt 1  1 1 Suy ra: I = 2∫ 4 4 = ∫  1 −  dt = ( t − ln t ) + C . t 8  t 8 =

1 (1 + 4sin x − ln 1 + 4sin x ) + C . 8

Ví dụ 9. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

sin2x + 3cosx dx 1 + 3 1 + 2sinx

Lời giải Ta có: I = ∫

(2sin x + 3) cosxdx 1 + 3 1 + 2sin x

Đặt t = 1 + 3 1 + 2sin x ⇒ sin x =

( t − 1)3 − 1 ⇒ cosxdx = 3 2

(

2

)(

( t − 1)2 dt

)

2 2  3 2 2 ( t − 1 ) + 2 2 ( t − 1 ) dt 3 t − 2t + 3 t − 2t + 1 dt  ⇒I=∫ = ∫ t 2 t

=

 3  3 3 3  t 4 4t 3 2 t − 4t + 8t − 8 + dt = + 4t 2 − 8t + 3ln t  + C  −   ∫ 2  t 2  4 3 

với t = 1 + 3 1 + 2sinx .

314

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] x −1 dx x +2

Ví dụ 10. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ Lời giải x −1 2t 2 + 1 ⇒x= ⇒ dx = x +2 1 − t2

Đặt t =

⇒I=∫

Mà:

6t

(

t2 − 1

  1 1 dt = 6∫  2 + 2 2 2 t −1 t −1 t −1  6t 2

(

)

1

=

2

t −1

1

( t − 1)

2

2

(

)

2

dt

  dt 2  

)

1 ( t + 1 ) − ( t − 1) 1  1 1  =  −  2 ( t − 1 )( t + 1 ) 2  t − 1 t + 1 

2 1 ( t + 1) − ( t − 1)  1 1 1 1 1   = =  + + − 2 2 2 2 4  ( t − 1 ) ( t + 1) t + 1 t − 1  4 ( t − 1) ( t + 1)  

dt

1

t −1

∫ t 2 − 1 = 2 ln t + 1 ;

Suy ra:

dt

∫

( t − 1)

2

2

1  t −1 1 1  = −  ln + + . 4 t +1 t −1 t +1 

3 t −1 3t x −1 Vậy: I = ln − 2 + C với t = . 2 t +1 t −1 x +2

Ví dụ 11. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

ex + 4 4ex + 1

dx

Lời giải Đặt t =

⇒ dx =

ex + 4 x

4e + 1

(t

⇒ ex = −

30t 2

)(

− 4 4t 2 − 1

Suy ra I = 30∫

(

)

t2 − 4 2

4t − 1

⇒ exdx = −

30t

( 4t − 1) 2

2

dt

dt

t 2dt

4   1 = 2∫  2 − 2  dt  t − 4 4t − 1  t − 4 4t − 1 2

)(

2

)

315

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

1 t −2 2t − 1 ex + 4 = ln − ln + C với t = . 2 t +2 2t + 1 4ex + 1

Ví dụ 12. Tính họ nguyên hàm: I = ∫

(

lnx.dx

x 1 + 3ln x + 2

)

Lời giải Đặt t = 3ln x + 2 ⇒ ln x =

t 2 − 2 dx 2 ⇒ = tdt 3 x 3

t2 − 2 2 . tdt 2  1  = ∫  t2 − t − 1 + Suy ra I = ∫ 3 3  dt 1+ t 9  t +1  2  t3 t 2 =  − − t + ln ( t + 1 )  + C , với t = 3ln x + 2 .  9  3 2 

Ví dụ 13. Tính họ nguyên hàm: I = ∫ sin2x.e3x dx Lời giải Cách 1 :

( ) ( ) ) (

1 2 Ta có : sin2x.e3x = sin2x e3x '+ ( sin2x ) '.e3x  − cos2xe3x  3 3 1 2 4 = sin2x.e3x '− cos2x. e3x '+ ( cos2x ) 'e3x  − sin2x.e3x  9 3 9 13 1 2 ⇒ sin2x.e3x = sin2x.e3x '− cos2x.e3x ' 9 3 9 2 1  =  sin2x.e3x − cos2xe3x  ' 9 3  2  3  Suy ra : sin2xe3x dx =  sin2xe3x − cos2xe3x  ' 13 13   1 3x I = e (3sin2x − 2cos2x ) + C . 13 Cách 2 : Ta giả sử : ∫ sin2x.e3x dx = a.sin2x.e3x + b.cos2x.e3x + C

(

)

(

Lấy đạo hàm hai vế ta có :

(

)

) (

sin2x.e3x = a 2cos2xe3x + 3sin2x.e3x + b 3cos2x.e3x − 2sin2x.e3x 3a − 2b = 1 3 2 ⇔ ⇔ a = ,b = − 13 13 2a + 3b = 0  316

)

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Vậy I =

1 3x e (3sin2x − 2cos2x ) + C . 13

Bài tập tự luyện 1. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

2x + 1 3

x − 3x + 2

dx

Hướng dẫn giải: 2x + 1 2x + 1 a b c = = + + 3 2 2 x −1 x +2 x − 3x + 2 ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) a ( x + 2) + b ( x − 1 )( x + 2) + c ( x − 1 )

2

=

( x − 1)2 ( x + 2) ⇔ 2x + 1 = a ( x + 2) + b ( x − 1)( x + 2) + c ( x − 1 ) (1) 2

1 1 Ở (1) ta cho x = 1;x = −2;x = 0 ta có tìm được: a = 1;b = ;c = − 3 3  1 1 1 1 1  ⇒ I = ∫ + − dx  ( x − 1)2 3 x − 1 3 x + 2    =−

1 1 1 1 1 x −1 + ln x − 1 − ln x + 2 + C = − + ln +C x −1 3 3 x −1 3 x + 2

Chú ý:

ax + b

∫ ( cx − α )( dx − β )dx

 1   1  • Tách phân thức trong tích phân trở thành: p    + q  cx − α   dx − β  ax + b ta được p dx − β ax + b • Lấy nghiệm của dx − β thay vào ta được q cx − α 5x + 1 2. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ 3 dx x − 3x + 2 Hướng dẫn giải: Vì x3 + 5x2 + 6x = x ( x + 2)( x + 3) nên ta phân tích: • Lấy nghiệm của cx − α thay vào

2x2 + x + 6 = ax ( x + 2) + b ( x + 2)( x + 3) + cx ( x + 3)

(1)

Để xác định các hệ số a,b,c ta co các cách sau Cách 1: Đồng nhất các hệ số

(1)

⇔ 2x2 + x + 6 = ( a + b + c ) x2 + ( 2a + 5b + 3c ) x + 6b 317

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

a + b + c = 2  ⇔ 2a + 5b + 3c = 1 ⇔ a = 7,b = 1,c = −6 6b = 6 

Do đó,

2x2 + x + 6

 7

6 

1

∫ x3 + 5x + 6 dx = ∫  x + 3 + x − x + 2  dx

Suy ra: I = 7ln x + 3 + ln x − 6ln x + 2 + C . Cách 2: Thay lần lượt x = 0,x = −2,x = −3 vào (1) ta có được a = 7,b = 1,c = −6 và ta có kết quả như trên.

xdx x + 3 + 5x + 3

3. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ Hướng dẫn giải: Ta có: I = ∫

x

(

)

5x + 3 − x + 3 dx 5x + 3 − x − 3

11 =  65

=

1 4∫

(

)

5x + 3 − x + 3 dx

(5x + 3)3 − ( x + 3)3  + C . 

4. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ 3

xdx 2x + 2

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 2x + 2 ⇒ x =

t3 − 2 3 ⇒ dx = t 2dt 2 2

t3 − 2 3 2 t dt  3 3  t5 Suy ra I = ∫ 2 2 = ∫ t 4 − 2t dt =  − t 2  + C  t 4 4  5 

(

)

5 3  3 ( 2x + 2) 3 2 =  − ( 2x + 2)  + C .  4  5   

5. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

( x + 3)2009 dx (2x − 1)2013

Hướng dẫn giải: 2009

 x +3  Đặt I = ∫    2x − 1  318

1

(2x − 1)2

dx

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Đặt t =

x +3 x +3 2 1 ⇒ t2 = ⇒ − tdt = dx 2x − 1 2x − 1 7 (2x − 1)2 2011

Suy ra I = −

2 2010 2 2011 2  x +3  t dt = − t =−   ∫ 7 1407 1407  2x − 1 

+C

6. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ ( x + 1) 3 3 − 2xdx Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 3 − 2x ⇒ x = ⇒I=−

3 − t3 3 ⇒ dx = − t 2dt 2 2

 3  3 − t3 3 + 1  t.t 2dt = − ∫ 5t 3 − t 6 dt  ∫  2  2 4 

(

)

7 4 3 53 (3 − 2x ) 3  5t 4 t 7  3 (3 − 2x ) =−  − +C =  − 4  4 7  4  7 4 

7. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

 +C .   

2x + 1 dx 2+ x −1

Hướng dẫn giải: Đặt t = 2 + x − 1 ⇒ x = ( t − 2) + 1 = t 2 − 4t + 5 2

⇒ dx = ( 2t − 4 ) dt .

Suy ra: I = ∫

(2t

2

)

− 8t + 11 ( 2t − 4 ) dt t

 2t 3 = 2 − 6t 2 + 27t − 22ln t  3 

8. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

22   = 2∫  2t 2 − 12t + 27 −  dt t  

  + C với t = 2 + x − 1 . 

x2 x2 + 1

Hướng dẫn giải:  1  Ta có: I = ∫  x2 + 1 −  dx   x2 + 1   1 =  x x2 + 1 + ln x + x2 + 1 2

 − ln x + x2 + 1 + C   319

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

1 =  x x2 + 1 − ln x + x2 + 1 2

+C  

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách đổi biến x = tant hoặc dùng phương pháp từng phần. 9. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

x +1 x2 + 2

dx

Hướng dẫn giải: Đặt t − x = x2 + 2 ⇒ x =

Và

x2 + 2 = t −

t2 − 2 1 t2 + 2 ⇒ dx = dt 2t 2 t2

t2 − 2 t2 + 2 = . 2t 2t

 t2 − 2  1 t2 + 2 + 1 . 2   2 2t   2 t dt = 1 t + 2t − 2 dt Suy ra: I = ∫ 2∫ t2 + 2 t2 2t =

1  2 2 1 2 1 + − 2  dt =  t + 2ln t +  + C =  x2 + 2 + 2ln x + x2 + 2  + C .  ∫ 2  t t  2 t  

10. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ x2 + 1dx Hướng dẫn giải: Đặt t = x + x2 + 1 ⇒ ( t − x ) = x2 + 1 ⇒ x = 2

⇒ dx =

t2 + 1 2t 2

dt ,

x2 + 1 =

(

)

t2 − 1 2t

t2 + 1 2t

2

2 1 t +1 1  2 1 1  t2 1  Suy ra I = ∫ dt = t + + dt = + 2ln t −  +C   4 4 ∫ t t3  4  2 t3 2t 2 

1 =  x x2 + 1 + ln x + x2 + 1 2

11. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ Hướng dẫn giải:

320

+C .  

ln2 x + 1 dx x

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Đặt t = lnx ⇒ dt =

dx x

 t3   ln3 x  Suy ra I = ∫ t 2 + 1 dt =  + t  + C =  + ln x  + C . 3   3     

(

)

12. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

3

ln x 2 + ln2 x dx x

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 ln2 x + 2 ⇒ ln2 x = t 3 − 2 ⇒ Suy ra I =

ln xdx 3 2 = t dt x 2

3 3 3 3 4 t dt = t 4 + C = .3 (3ln x + 2) + C 2∫ 8 8

13. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

ln2 ( ln x ) dx x ln x

Hướng dẫn giải: Đặt t = ln ( ln x ) ⇒ dt =

dx x ln x

1 1 Suy ra I = ∫ t 2dt = t3 + C = ln3 ( ln x ) + C . 3 3

14. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

5x + 1 3

x − 3x + 2

dx

Hướng dẫn giải: Ta có: x3 − 3x − 2 = ( x − 1) ( x + 2) 2

Ta phân tích: 5x + 1 = a ( x − 1) + b ( x − 1 )( x + 2) + c ( x + 2) 2

Cho x = 0,x = 1,x = −2 ta tìm được: a = −1,b = 1,c = 2  −1 1 2  2 Suy ra I = ∫  + + dx = − ln x + 2 + ln x − 1 − +C . 2  x + 2 x − 1 ( x − 1)  x −1  

15. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

2x2 + 1

( x + 1)5

dx

Hướng dẫn giải: Ta phân tích 2x2 + 1 = 2( x + 1) − 4 ( x + 1) + 3 2

321

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

 2 4 3  Suy ra: I = ∫  − + dx  ( x + 1)3 ( x + 1 )4 ( x + 1 )5    =−

1

+

( x + 1)

2

4 3( x + 1 )

3

−

3 4 ( x + 1)

16. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

4

+C . dx

e + 2e− x − 3 x

Hướng dẫn giải: Ta có: I = ∫

ex dx e2x − 3ex + 2

Đặt t = ex ⇒ dt = ex dx Suy ra: I = ∫

dt t 2 − 3t + 2

=∫

ex − 2 dt t −2 +C . = ln + C = ln x t −1 ( t − 1)( t − 2) e −1

17. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

e2x 1 + ex + 2

dx

Hướng dẫn giải: Đặt t = ex + 2 ⇒ ex = t 2 − 2 ⇒ ex dx = 2tdt

( t − 2)2tdt = 2  t 2

I=∫

  = 2  

∫ 

1+ t

( e + 2) x

3

3

2

− t −1 +

 t3 t 2  1  dt = 2  − − t + ln t + 1  + C  t +1  3 2 

  ex + 2 − − ex + 2 + ln ex + 2 + 1  + C . 2  

18. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

x3 + 3x − 2 x 4 + x3 − x2 − x

dx

Hướng dẫn giải: Ta có: x 4 + x3 − x2 − x = x ( x − 1 )( x + 1 )

2

Ta phân tích: x3 + 3x − 2 = ax ( x − 1 )( x + 1 ) + bx ( x + 1 )

2

+c ( x − 1 )( x + 1 ) + dx ( x − 1 ) (1 ) 2

Thay x = 0,x = −1,x = 1,x = 2 vào (1 ) ta tìm được: a = −9,b = 1,c = 2,d = −3 322

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]  −9 1 2 3  Do đó: I = ∫  + + − dx  x + 1 x − 1 x ( x + 1 )2    = −9ln x + 1 + ln x − 1 + ln x +

3 +C . x +1

19. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ tan4 xdx Hướng dẫn giải:

(

)

(

)(

)

Ta có : I = ∫ tan4 x − 1 + 1 dx = ∫ tan2 x − 1 tan2 x + 1 dx + ∫ dx

(

)

= ∫ tan2 x − 1 d ( tanx ) + x =

tan3 x − tan x + x + C . 3

20. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

cosxdx

( sin x + 2cosx )3

Hướng dẫn giải: I=∫

cosxdx cos x ( tan x + 2)

3

3

=∫

dx cos x ( tan x + 2)

3

2

21. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

=∫

d ( tan x )

( tan x + 2)

3

=−

1 1 +C . 2 ( tanx + 2)2

tan4 x dx cos2x

Hướng dẫn giải: Đặt t = tanx ⇒ dx = ⇒I=∫

dt 1+ t

, cos2x = 2

1 − t2 1 + t2

 2  1 = − t − 1 +   dt ∫ (1 − t )(1 + t )  1 − t2  t 4dt

 t3 1 1+ t 1 1 1  = ∫  −t 2 − 1 +  +   dt = − 3 − t + 2 ln 1 − t + C 2  1 − t 1 + t   =−

tan3 x 1 1 + tanx − tanx + ln +C . 3 2 1 − tanx

22. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

3

sin3 x − sinx sin3 x

cot x.dx

Hướng dẫn giải: Ta có: I = ∫ 3 1 −

1 2

sin x

.cot x.

1 2

sin x

3

dx = ∫ cot 2 x.cot x.

1 sin2 x

dx 323

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Đặt t = cot x ⇒ dt = −

dx sin2 x 5

8

3 3 Ta được: ⇒ I = − ∫ 3 t 2 .tdt = − ∫ t 3 dt = − t 3 + C = − cot 2 x.3 cot 2 x + C . 8 8

23. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

4sin2 3x + sin4x dx tan x + cot2x

Hướng dẫn giải: Ta có:

4sin2 3x + sin4x 2(1 − cos6x ) + sin4x = sin x cos2x tan x + cot 2x + cosx sin2x

= ( sin4x − 2cos6x + 2) sin2x = sin6xsin2x − 2cos6x.sin2x + 2sin2x 1 1 = cos4x − cos8x − sin8x + sin4x + 2sin2x 2 2 1 1 1 1 Do đó: I = sin4x − sin8x + cos8x − cos4x − cos2x + C . 8 16 8 4

24. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

sin4 2x.cos3 x dx π π   tan  x +  tan  x −  4 4  

Hướng dẫn giải: π π  tan x − 1 tanx + 1   Ta có: tan  x −  .tan  x +  = . = −1 4 4  1 + tanx 1 − tan x  

Suy ra: I = −16∫ sin4 x.cos6 xcosxdx Đặt t = sin x ⇒ dt = sinxdx nên ta có:

(

)

(

3

)

I = −16∫ t 4 1 − t 2 dt = 16∫ t 4 t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1 dt  t 11 t 9 3t 7 t5   sin11 x sin9 x 3sin7 x sin5 x  = 16  − + −  + C = 16  − + − +C .  11 3  11 7 5  3 7 5   

25. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ sin3 x.cos5 xdx Hướng dẫn giải: Đặt t = cosx ⇒ dt = − sinxdx

(

)

(

)

Ta có: I = ∫ 1 − cos2 x cos5 xsin xdx = − ∫ 1 − t 2 t 5dt 324

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]

(

)

= ∫ t 7 − t 5 dt =

t8 t6 sin8 x sin6 x − +C = − +C . 8 6 8 6

Cách khác: Để giải bài toán trên ta có thể đặt t = sinx hoặc biến đổi như sau: 1 1 sin3 x.cos5 x = sin3 2x.cos2 x = (3sin2x − sin6x )(1 + cos2x ) 8 64 =

1 3 1 1  3sin2x + sin4x − sin6x − sin8x − sin4x  64  2 2 2 

=

1 1  3sin2x + sin4x − sin6x − sin8x   64  2 

Suy ra: I =

1 3 1 1 1  − cos2x − cos4x + cos6x + cos8x  + C .  64  2 4 6 16 

26. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx

( x − 1)

2

2

Hướng dẫn giải: Ta có:

2

1

( x − 1) 2

2

1 ( x + 1) − ( x − 1)  =  4 ( x − 1)( x + 1) 2  

1 1 2 1   =  − + 4  ( x − 1)2 ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2    1 1 1 1 1   =  − + + 4  ( x − 1)2 x − 1 x + 1 ( x + 1)2    1 1 x +1 1  Suy ra I =  − + ln − +C . 4  x −1 x − 1 x + 1 

27. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx

( x − 1)

x2 + 3x + 2

Hướng dẫn giải: Đặt t = x + x2 + 3x + 2 ⇒ ( t − x ) = x2 + 3x + 2 2

325

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

dx dt  =  2 2t +3 t − 2  x + 3x + 2 ⇒x= ⇒ 2t + 3  t 2 − 2t − 5 x − 1 =  2t + 3 2

Suy ra I = ∫

=

dt 2

t − 2t − 5

=

1 t −1− 6 ln +C 2 6 t −1+ 6

1 x − 1 − 6 + x2 + 3x + 2 ln +C . 2 6 x − 1 + 6 + x2 + 3x + 2

28. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

2x2 + 3x + 2 x3 + x2 − 2

dx

Hướng dẫn giải:

( ) + 3x + 2 = a ( x + 2x + 2) + ( x − 1 )( bx + c )

Ta có: x3 + x2 − 2 = ( x − 1 ) x2 + 2x + 2 2x2

2

⇔ 2x2 + 3x + 2 = ( a + b ) x2 + ( 2a + c − b ) x + 2a − c a + b = 2 7 3 4  ⇔ 2a − b + c = 3 ⇔ a = ,b = ,c = . 5 5 5 2a − c = 2 

Do đó:

2x2 + 3x + 2 7 1 1 3x + 4 = . + . 2 3 2 x + x − 2 5 x − 1 5 x + 2x + 2 7 1 3 2x + 2 1 1 = . + . 2 + 2 5 x − 1 10 x + 2x + 2 5 x + 2x + 2

(

)

7 3 1 dx Suy ra: I = ln x − 1 + ln x2 + 2x + 2 + ∫ 5 10 5 ( x + 1 )2 + 1

Đặt t = x + 1 ⇒ ∫

(1 + tan t )dt = t 2

dx

( x + 1)2 + 1

(

=∫

1 + tan2 t

)

7 3 Vậy I = ln x − 1 + ln x2 + 2x + 2 + t + C, với t là hàm thỏa tan t = x + 1 (hay 5 10 t = arctan ( x + 1 ) ). 326

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 29. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx 4

x + x2 + 1

Hướng dẫn giải:

(

)

(

2

)(

Ta có: x 4 + x2 + 1 = x2 + 1 − x2 = x2 + x + 1 x2 − x + 1

(

)

(

Mặt khác: 1 = ( ax + b ) x2 + x + 1 + ( mx + n ) x2 − x + 1

)

)

⇔ 1 = ( a + m ) x3 + ( a + b − m + n ) x 2 + ( a + b + m − n ) x + b + n a + m = 0 a + b − m + n = 0 1 1 1 1  ⇔ ⇔ a = − ,b = ,m = .n = a + b + m − n = 0 2 2 2 2  b + n = 1

Suy ra: I = =

1 x +1 1 x −1 dx − ∫ 2 dx ∫ 2 2 x + x +1 2 x − x +1

1 2x + 1 1 dx 1 2x − 1 1 dx − dx + ∫ 2 dx + ∫ 2 4 ∫ x2 + x + 1 4 x + x + 1 4 ∫ x2 − x + 1 4 x − x +1

1 x2 + x + 1 1 x2 + 1 dx = ln 2 + ∫ 4 2 4 x − x +1 2 x + x +1 1 1   Đặt t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx x  x 

Nên

x2 + 1

1+

1

x2 dx = dt ∫ t2 + 3 2 1 x −  +3 x 

∫ x4 + x2 + 1 dx = ∫ 

1 t 1 = arctan +C = arctan 3 3 3

1 x +C 3

x−

1 x2 + x + 1 1 1   x Vậy I = ln 2 + arctan  − +C . 4 x − x +1 2 3  3 x 3

30. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx

(

x (1 + x ) 1 + x + x2

)

Hướng dẫn giải: 327

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Ta phân tích:

(

)

(

)

1 = a ( x + 1 ) x2 + x + 1 + bx x2 + x + 1 + x ( x + 1 )( cx + d ) ⇔ 1 = ( a + b + c ) x3 + ( 2a + b + c + d ) x2 + ( 2a + b + d ) x + a a + b + c = 0 2a + b + c + d = 0  ⇔ ⇔ a = 1,b = −1,c = 0,d = −1 2a + b + d = 0 a = 1

Do vậy: I = ∫

dx dx dx x 2 2x + 1 − − = ln − arctan +C . 2 x + 1 x ∫ x +1 ∫  3 3 1 3 x + 2 + 4  

31. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx 2

2sin x − 3sin2x + 2

Hướng dẫn giải: Ta có: I =

1 dx 2 ∫ 2sin2 x − 3sinxcosx + cos2 x

=

1 dx . ∫ 2 cos2 x 2tan2 x − 3tan x + 1

(

Đặt t = tan x ⇒ dx = Ta được: I = =

)

dt 1 + t2

1 dt 1 ( 2t − 1 ) − 2( t − 1 ) dt = ∫ ∫ 2 2 2t − 3t + 1 2 ( 2t − 1 )( t − 1 )

1  1 2  1 t −1 1 tan x − 1 − dt = ln + C = ln +C . 2 ∫  t − 1 2t − 1  2 2t − 1 2 2tan x − 1

32. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx π  sinx.sin  x +  3 

Hướng dẫn giải:  π π  π π   Ta có: sin = sin  x +  − x  = sin  x +  cosx − sin x.cos  x +  3 3  3 3   

328

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]  π  cos  x +    1 2 cosx 3   Suy ra: = − π π   3  sin x sin  x +   sin xsin  x +     3 3     

Do đó: I =

2 3 π    ln sinx − ln sin  x +   + C . 3  3  

Cách khác: Ta có: I = 2∫ = −2∫

d ( cot x ) 1 + 3cot x

=−

dx

(

sin x sin x + 3cosx

)

= 2∫

2

(

dx

sin x 1 + 3cot x

)

2 ln 3cot x + 1 + C 3

33. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

5sinx + 10cosx + 4 dx 2cosx − sinx + 1

Hướng dẫn giải: 5sin x + 10cosx + 4 = a ( 2cosx − sin x + 1) + b ( −2sinx − cosx ) + c = ( −a − 2b ) sin x + ( 2a − b ) cosx + a + c  −a − 2b = 5  ⇔ 2a − b = 10 ⇔ a = 3,b = −4,c = 1 . a + c = 4  −2sin x − cosx 1   ⇒ I = ∫3− 4 + dx 2cosx − sin x + 1 2cosx − sin x + 1   = 3x − 4ln 2cosx − sin x + 1 + J

Tìm J = ∫

dx ? 2cosx − sin x + 1

x 2dt 2t 1 − t2 Đặt t = tan ⇒ dx = và sinx = ,cosx = 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2

Suy ra : 2cosx − sin x + 1 = Do đó: J = −2∫

dt 2

t + 2t − 3

− t 2 − 2t + 3

=−

1 + t2 1 ( t + 3) − ( t − 1 ) dt 2 ∫ ( t − 1 )( t + 3)

329

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

x tan + 3 1 t +3 1 2 = ln + C = ln +C . 2 t −1 2 tan x − 1 2 x tan + 3 1 2 Vậy I = 3x − 4ln 2cosx − sinx + 1 + ln +C . 2 tan x − 1 2

34. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

dx cos3 x

Hướng dẫn giải: Ta có: I = ∫

cosxdx

(1 − sin x ) 2

2

Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx và ta có được I=∫

=

dt

(1 − t )

2

2

2 1 (1 + t ) + (1 − t )  1  1 2 1    dt = ∫ dt = − + ∫ 4  ( t − 1 )2 ( t + 1 )( t − 1) ( t + 1 )2  4 (1 − t )2 (1 + t )2  

1  1 1 1 1    dt − + + ∫ 4  ( t − 1 )2 t − 1 t + 1 ( t + 1 )2   

1 t +1 2t  1  x π  t anx  =  ln − 2 +C .  + C =  ln tan  +  + 4  t −1 t −1  2  2 4  cosx 

35. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ ( 2x + 1) ln ( x + 2) dx Hướng dẫn giải: dx  u = ln ( x + 1 ) du = x +1 Đặt  ⇒ dv = ( 2x + 1) dx v = x2 + x 

(

)

I2 = x2 + x ln ( x + 1 ) − ∫

x2 + x 1 dx = x2 + x ln ( x + 1) − x2 + C x +1 2

36. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ xsin2xdx Hướng dẫn giải: du = dx u = x  Đặt  ⇒ 1 dv = sin2xdx   v = − 2 cos2x

330

(

)

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 1 1 1 1 ⇒ I = − xsin2x + ∫ cos2xdx = − xsin2x + sin2x + C . 2 2 2 4

37. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ ( 2x + 1 ) e− x dx Hướng dẫn giải: u = 2x + 1 du = 2dx ⇒ . Đặt   −x −x dv = e dx  v = −e ⇒ I = − ( 2x + 1 ) e− x + 2∫ e− x dx = − ( 2x + 3) e− x + C .

38. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ cos2x.e3x dx Hướng dẫn giải: du = −2sin2xdx u = cos2x  ⇒ Đặt   1 3x 3x dv = e dx  v = 3 e 1 2 ⇒ I = e3x cos2x + ∫ sin2x.e3x dx . 3 3 du = 2cos2x u1 = sin2x  1 Đặt  ⇒ 1 3x 3x dv1 = e dx v1 = 3 e 1 2 1 2 ⇒ ∫ sin2x.e3x dx = e3x .sin2x − ∫ cos2x.e3x dx = e3x .sin2x − I 3 3 3 3 1 2 4 ⇒ I = e3x cos2x + e3x .sin2x − I 3 9 9 ⇒I=

e3x (3cos2x + 2sin2x ) + C . 13

39. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ ( 2x + 1 ) ln2 xdx Hướng dẫn giải: ln x  u = ln2 x dx du = 2 x Đặt  ⇒ dv = ( 2x + 1 ) dx v = x2 + x 

(

)

⇒ I = x2 + x ln2 x − 2∫ ( x + 1 ) ln xdx dx  du1 = x u1 = ln x Đặt :  ⇒ dv1 = ( x + 1 ) dx  v = 1 x2 + x  1 2

331

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

⇒ ∫ ( x + 1 ) ln xdx = =

(

)

1 2 1 x + 2x ln x − ∫ ( x + 2) dx 2 2

1 2 x2 x + 2x ln x − − x 2 4

(

)

(

)

(

)

⇒ I = x2 + x ln2 x − x2 + 2x ln x +

x2 + 2x + C . 2

(

)

40. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ x2 + x + 1 ex dx Hướng dẫn giải: u = x2 + x + 1 du = ( 2x + 1 ) dx Đặt  ⇒ x x v = e dv = e dx

(

)

Suy ra I = x2 + x + 1 ex − ∫ ( 2x + 1 ) ex dx u1 = 2x + 1 du1 = 2dx Đặt  ⇒ x x dv1 = e dx v1 = e

Suy ra ∫ ( 2x + 1 ) ex dx = ( 2x + 1) ex − 2∫ ex dx = ( 2x − 1) ex

(

)

(

)

⇒ I = x2 + x + 1 ex − ( 2x − 1 ) ex + C = x2 − x + 2 ex + C .

(

)

41. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ ln x + x2 + 1 dx Hướng dẫn giải:

(

)

dx   2 u = ln x + x + 1 du = 2 Đặt  ⇒ x +1 dv = dx v = x  xdx ⇒ I = x ln x + x2 + 1 − ∫ = x ln x + x2 + 1 − x2 + 1 + C . 2 x +1

(

)

42. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫

(

)

x dx 1 − cos2x

Hướng dẫn giải: x 1 x Ta có : I = ∫ dx = ∫ 2 dx 2 2 sin x 2sin x u = x du = dx  Đặt  dx ⇒   v = − cot x dv = sin2 x  1 1 1 1 d ( sin x ) ⇒ I = − xcot x + ∫ cot xdx = − xcot x − ∫ 2 2 2 2 sinx 1 1 = − xcot x − ln sin x + C . 2 2

332

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 43. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ sin x.ln ( cosx ) dx Hướng dẫn giải: u = ln ( cosx ) ta chọn Đặt  dv = sin xdx

− sinx  dx du = cosx   v = − cosx

Suy ra I = − cosx ln ( cosx ) + ∫ sin xdx = − cosx ln ( cosx ) − cosx + C . 44. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ x ln

x −1 dx x +1

Hướng dẫn giải: 2  dx x − 1 du =  2 u = ln  x + 1) ( Đặt  x +1 ⇒  1 2 dv = xdx   v = 2 x 1 x −1 x2 Suy ra I = x2 ln +∫ dx 2 x +1 ( x + 1)2 1 x −1  2 1   dx = x2 ln + ∫ 1 − + 2 x + 1  x + 1 ( x + 1 )2    1 2 x −1 1 = x ln + x − 2ln x + 1 − +C . 2 x +1 x +1

45. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ xsin xdx Hướng dẫn giải: Đặt t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt Suy ra I = 2∫ t3 sintdt u = t 3 du = 3t 2dt Đặt  ⇒ dv = sin t  v = − cost

Suy ra I = −2t 3 cost + 6 ∫ t 2 costdt Tiếp tục sử dụng phương pháp từng phần ta tìm được I = −2t 3 cost + 6t 2 sin t + 12t cost − 12sint + C Vậy I = −2x x cos x + 6xsin x + 12 x cos x − 12sin x + C . 46. Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ x2 x2 + 1dx Hướng dẫn giải: du = dx u = x  Đặt  ⇒ 2 2 2 dv = x x + 1 v = 3 x + 1

(

)

x2 + 1 333

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

2 Suy ra I = x 3

( x + 1)

3

2

(

2 2 − I − ∫ x2 + 1dx 3 3

)

3 2 2 ⇒ I = x x2 + 1 − ∫ x2 + 1 5 5 Mà theo ví dụ 9.12 ta có : 1  2 2 2 ∫ x + 1dx = 2  x x + 1 + ln x + x + 1  + C

2 Nên I = x 5

( x + 1)

3

2

1 −  x x2 + 1 + ln x + x2 + 1  + C . 5 


Chủ đề 2: TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì thuộc K , F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K . Hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi là tích phân của của f ( x ) từ a đến b và được kí hiệu: b

∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b) − F ( a ) . b

a

2. Các tính chất của tích phân: a

1) ∫ f ( x ) dx = 0 a a

b

b

a

2) ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b

b

a

a

3) ∫ k.f ( x ) dx = k.∫ f ( x ) dx b

b

b

a

a

4) ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a b

c

b

a

a

c

5) ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx . 6) Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [a;b] thì

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .

3. Các phương pháp tính tích phân b

Phương pháp phân tích: Để tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta phân tích a

334

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] f ( x ) = k1f1 ( x ) + ... + k mfm ( x ) . Trong đó các hàm fi ( x )

( i = 1,2,3,...,m ) có trong bảng nguyên hàm.

Phương pháp đổi biến số loại 1 b

Giả sử cần tính I = ∫ f ( x ) dx ta thực hiện các bước sau a

B1: Đặt x = u ( t ) (với u ( t ) là hàm có đạo hàm liên tục trên [ α ;β] , f ( u ( t ) ) xác định trên [ α ;β] và u ( α ) = a, u ( β ) = b ) và xác định α , β .

B2: Thay vào ta có: β

β

α

α

I = ∫ f ( u ( t ) ) .u'( t ) dt = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) βα = G ( β ) − G ( α ) . Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a x = sin t b

a2 − b2x2 ta thường đặt

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a x= bsint

b2x2 − a2 ta thường đặt

a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a2 + b2x2 ta thường đặt x = tgt b * Hàm số dưới dấu tích phân chứa

x ( a − bx ) ta thường đặt

a x = sin2 t b Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. b

Để tính tích phân I = ∫ f(x)dx , nếu f ( x ) = g u ( x )  .u'( x ) , ta có thể thực hiện a

phép đổi biến như sau Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u'( x ) dx . Đổi cận x = a ⇒ t = u ( a ) , x = b ⇒ t = u ( b ) u( b )

Bước 2: Thay vào ta có I =

b ∫ g ( t ) dt = G ( t ) a .

u( a )

4. Phương pháp từng phần 335

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó : b

b

a

a

b ∫ udv = uv a − ∫ vdu

4

x2dx

Ví dụ 1. Tính tích phân : I = ∫

3x

2

− 3x + 2

Lời giải x2

3 2x − 3 5 1 + 2 2 2 x − 3x + 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 3 2x − 3 5 1 1  =1+ 2 +  −  2 x − 3x + 2 2  x − 2 x − 1 

Ta có:

=1+

2

 3 5 x −2  Suy ra I =  x + ln x2 − 3x + 2 + ln  2 2 x −1   2 3

Ví dụ 2. Tính tích phân : I =

∫ 5

4 3

3 5 4 = 1 + ln3 + ln . 2 2 3

dx x x2 + 4

Lời giải 2 3

I=

2 3

dx

∫

=

2

x x +4

5

∫ 5

xdx x

2

x2 + 4

Đặt t = x2 + 4 ⇒ x2 = t 2 − 4 ⇒ xdx = tdt Đổi cận: x = 5 ⇒ t = 3; x = 2 3 ⇒ t = 4 4

⇒I=∫ 3

(t

tdt 2

4

)

−4 t

1 t −2 = ln 2 4 t +2 3 t −4

=∫

dt

2 2

Ví dụ 3. Tính tích phân : I =

∫ 3

4 3

1 + x2 dx x

Lời giải 2 2

Ta có I =

∫ 3

x2 + 1.xdx x2

.

Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t 2 − 1 ⇒ xdx = tdt Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3 336

1 5 = ln 4 3

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected]    1 t −1  1 I=∫ 2 = ∫1 +  dt =  t + ln  ( t − 1)( t + 1)   2 t + 1  2 t −1 2 1 1 1 1 1 3 = 3 + ln − 2 − ln = 1 + ln . 2 2 2 3 2 2 3

3

t.tdt

3 2

π 3

dx π  0 cosx.cos  − x  3  

Ví dụ 4. Tính tích phân : I = ∫

Lời giải π 3

Ta có: I = 2 ∫

dx

0 cosx

(cosx +

Đặt t = tan x ⇒ dt =

3

0

3sin x

)

= 2∫

2

0 cos

(

dx

x 1 + 3 tan x

)

dx cos2 x

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒I=2 ∫

π 3

π ⇒t= 3 3

dt 2 3 = ln 1 + 3t 3 1 + 3t

3 0

π 2

Ví dụ 5. Tính tích phân : I = ∫ 0

=

4 3 ln2 . 3

sinxdx

(

3sinx + cosx

)

3

Lời giải π π π π π  −  dx 2 2 cos  x +  dx 3 dx 1 6 6 6   = − ∫ ∫ π π π 16 16      0 sin2  x +  0 sin3  x +  8sin3  x +  6 6 6   

π  2 sin  x +

Ta có: I = ∫ 0

=−

3 π  cot  x +  16 6  

π 2

π 2

+

0

π 2

Ví dụ 6. Tính tích phân : I = ∫ 0

1 32

1 π  sin2  x +  6 

sin2x + sinx 1 + 3cosx

=

1 . 6

0

dx

Lời giải 337

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

 t2 − 1 cosx =  3 Đặt t = 1 + 3cosx ⇒  dt = − 3sin x dx  2 1 + 3cosx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2,x =

π ⇒ t =1. 2

1

2  t2 − 1  2  2 2  2t 3 + 1   −  dt = ∫ 2t 2 + 1 dt =  +t I = ∫2    3 91 9  3  3   2

(

e

Ví dụ 7. Tính tích phân : I = ∫ 1

)

2

= 1

34 27

1 + 3lnx .ln x dx x

Lời giải t 2 − 1 dx 2 ⇒ = tdt 3 x 3 Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2

Đặt t = 1 + 3ln x ⇒ ln x =

2 2 2 2 2  t5 t3  ⇒ I = ∫ t t 2 − 1 tdt = ∫ t 4 − t 2 .dt =  −  91 91 9  5 3 

(

)

(

)

2

= 1

116 . 135

π 2

Ví dụ 8. Tính tích phân : I = ∫ sinx.ln (1 + sinx ) dx 0

Lời giải cosx  dx u = ln (1 + sinx ) du = ⇒ Đặt  1 + sin x . dv = sin xdx v = − cosx I = − cosx.ln (1 + sin x ) = ( x + cosx )

π 2 0

=

π 2 0

π 2

2

π 2

cos x dx = ∫ (1 − sinx ) dx 1 + sin x 0 0

+∫

π −1 . 2 2

Ví dụ 9. Tính tích phân : I = ∫ ( x − 2) e2x +1dx 0

Lời giải 338

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] du = dx u = x − 2  Đặt  ⇒  1 2x +1 2x +1  v = 2 e dv = e 2

⇒I=

2

2

1 1 1 5e − e3 . ( x − 2) e2x +1 − ∫ e2x +1dx = e − e2x +1 = 2 4 4 0 20 0 π 6

tan4 x dx cos2x 0

Ví dụ 10. Tính tích phân : I = ∫ Lời giải Đặt t = tan x ⇒

dt 1 + t2

= dx . Khi đó: cos2x =

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =

⇒I=

1 3

t 4 1 + t 2 dt

0

(1 + t )(1 − t )

∫

(

)

2

 1 1 + t t3  =  ln − −t  2 1− t 3   

2

1 3 0

1 + t2

π 1 ⇒t= . 6 3 1 3

=

1 − t2

4

t dt

1 3



1

∫ 1 − t 2 = ∫  1 − t 2 − t

0

0

2

 − 1  dt 

1 3 + 1 10 3 = ln − . 2 27 3 −1 π 6

sinx dx π  0 sin  x +  3 

Ví dụ 11. Tính tích phân : I = ∫

Lời giải π π  π   x = 6 ⇒ t = 2 π x = t − . Đặt t = x + ⇒  3 , đổi cận:  3  π  x =0⇒ t = dx = dt  3 π1 π π π 3 cost  dt 2 sin t − 2 2 1 3 costdt  3 = 2 2 dt = ∫ dt − ∫ ∫ sint sint 2π 2 π sint π

π  2 sin  t −

I= ∫

π 3

3

1 π π  3 I=  − − ln sin t 2 2 3  2

3

π 2 π 3

=

3

π 3 3 + ln . 12 2 2 339

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh π  6 sin  x +

π 6

π  π − 3  3   dx π  sin  x +  3 

sinx dx = ∫ π  0 sin  x +  0 3 

Chú ý: I = ∫

π  6 sin  x +



I= ∫ 0

π π π π  cos − sin cos  x +   3 3 3 3  dx π  sin  x +  3 

π  π   π π  6 d sin  x +   3  π π 1 3 3    I = cos ∫ dx − sin ∫ dx = x 06 − π π 30 30 2 2 0∫   sin  x +  sin  x +  3 3   π  6 cos  x +

π 6

π 3 π  I= − ln sin  x +  12 2 3 

π 6

=

0

π 3 3 ln + 12 2 2

  π    π  π  Chú ý: d sin  x +   = sin  x +   'dx = cos  x +  dx 3 3 3         π π  6 sin  x −  4   dx Ví dụ 12. Tính tích phân : I = ∫ sinx + 3cosx 0

Lời giải π π  sin  x −  6 1 cosx − sinx 4  I= ∫ dx = − dx ∫ 2 0 sinx + 3cosx 0 sinx + 3cosx π 6

I=−

π 6

1

∫ 2

( cosx −

I=−

π 6

∫ 2 sin x + 1

π 6

3cosx

dx +

cosx − 3sinx

∫ 2 sin x + 0

340

dx π

cosx − 3sinx

0

J1 = −

)

3 − 1 sin x

sin x + 3cosx

0

1

) (

3sin x +

3cosx

1− 3 6

dx = −

sin x

∫ sin x +

2

0

1

3cosx

dx = J1 + J2

π 6d

(sinx +

0

sinx + 3cosx

∫ 2

3cosx

)

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 1 ln sinx + 3cosx 2

J1 = −

1− 3

J2 =

2

π 6

π 6 0

sin x

∫ sin x +

0

3cosx

1 2 3 ln 3 2

=−

dx =

1− 3

π 6

sin x 1− 3 dx = .I3 π   2 2 0 sin x + 2 2   3 

∫

Chú ý:

(

) (

)

(

)

d sinx + 3cosx = sin x + 3cosx 'dx = cosx − 3sin x dx I=−

1 2

ln

2 3 1− 3 π 3 3 ln +  +  3 2  2 2  12 2

Chú ý: π π  π π  π π   sin  x −   6 sin  x −  6 sin  x −  − 6 4 4  12     I= ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx π π   0 sinx + 3cosx 0 2cos  x −  0 2cos  x −  6 6   π 6

π 3

Ví dụ 13. Tính tích phân : I = ∫

xsin x

2 0 cos x

dx

Lời giải u = x du = dx   Đặt  ⇒ sin x 1 dx v = dv = 2 cosx  cos x  ⇒I=

x cosx π 3

Mà : J = ∫

π 3 |0

π 3

dx 2π = −J cosx 3 0

−∫

cosxdx

0 1 − sin π 3

2

x

π 3

d ( sin x ) (1 − sin x )(1 + sin x ) 0

=∫

1  1 1 1 1 + sin x  = ∫ +  d ( sin x ) = ln 2 0  1 − sinx 1 + sin x  2 1 − sin x ⇒I=

π 3

(

= ln 2 + 3

)

0

2π − ln 2 + 3 . 3

(

)

Bài tập tự luyện 341

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 2

1. Tính tích phân : I = ∫

2x2 x + x 3 x − 3x + 1 x2

1

dx

Hướng dẫn giải: 2 1 2  − 3 Ta có: I = ∫  2x 2 + x 3 − + x −2  dx   x 1  2

1 4 3 1 8 2 3 23 =  x 2 + 3x 3 − 3ln x −  = + 3 2 − 3ln2 − . x 3 10 3  1 1

2. Tính tích phân : I = ∫ 0

xdx 3x + 1 + 2x + 1

Hướng dẫn giải: Ta có: x = (3x + 1 ) − ( 2x + 1 ) = 1

Nên I = ∫

(

(

3x + 1 − 2x + 1

)

2 3x + 1 − 2x + 1 dx =  9

0

)(

(3x + 1)3 −

1 3

3x + 1 + 2x + 1

(2x + 1)3 

1

0

=

)

17 − 9 3 9

2

3. Tính tích phân : I =

∫x

2

− 1 dx

−2

Hướng dẫn giải: −1

2

Ta có: I =

∫

x2 − 1 dx =

−2

∫(

−2 1

−1

)

1

x2 − 1 dx +

∫(

−1 2

)

2

(

)

1 − x2 dx + ∫ x2 − 1 dx 1

 x3   x3   x3  I =  −x − −x + −x = 4 .  3        −2  3  −1  3 1 π 4

4. Tính tích phân : I = ∫ cos4 2xdx 0

Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có: cos4 2x = 1 + 2cos4x + cos2 4x = (3 + 4cos4x + cos8x ) 2 4

(

)

π 4

π

1 1 1 3π 4 Nên I = ∫ (3 + 4cos4x + cos8x ) dx =  3x + sin4x + sin8x  ⇒ I = . 40 4 8 16 0 4

5. Tính tích phân : I = ∫

0

Hướng dẫn giải: 342

4x − 1 dx 2x + 1 + 2

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Đặt t = 2x + 1 + 2 ⇒ ( t − 2) dt = dx 5

I=∫

(2t

2

)

− 8t + 5 ( t − 2) t

3

5

10  34 3  dt = ∫  2t 2 − 12t + 21 −  dt = + 10ln . t 3 5  3

2

x

6. Tính tích phân : I = ∫

11+

x −1

dx

Hướng dẫn giải: Đặt: t = x − 1 ⇔ t 2 = x − 1 ⇔ x = t 2 + 1 ⇒ dx = 2tdt 1 2

1

1

t +1 t3 + t 2   2tdt = 2∫ dt = 2∫  t 2 − t + 2 −  dt 1+ t t +1 t +1  0 0 0

I=∫

1

 t3 t 2  = 2  − + 2t − 2ln t + 1   3 2 

1 1  11 = 2 − + 2 − 2ln2  = − 4ln2 . 3 2   3 0

2

7. Tính tích phân: I = ∫ x2 − 3x + 2 dx 0

Hướng dẫn giải: Cách 1: Bảng xét dấu 0

x +

2

x − 3x + 2 1

(

2

)

1 −

0

(

0

2 +

)

I = ∫ x2 − 3x + 2 dx − ∫ x2 − 3x + 2 dx 0

1 1

2

 x3 3x2   x3 3x2  5  1 = − + x2  −  − + x2  = −  −  = 1 .  3    2 2  0  3 1 6  6

Cách 2:  x = 1 ∈ [0;2] x2 − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 1

2

0

1

I = ∫ x2 − 3x + 2 dx + ∫ x2 − 3x + 2 dx 1

=

∫(x

0

2

)

− 3x + 2 dx +

2

∫(x

2

)

− 3x + 2 dx

1

343

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 1

2

 x3 3x2   x3 3x2 2  5 1 = − + x2  +  − −x  = + − =1 .  3   3  2 2 6 6  0  1 2

I=

8. Tính tích phân :

∫ ( x − x − 1 ) dx

−1

Hướng dẫn giải: Cách 1. 2

I=

2

∫ ( x − x − 1 ) dx = ∫

−1

2

x dx −

−1

0

2

1

−1

0

−1

= − ∫ xdx + ∫ xdx + x2 I=− 2

0

∫

x − 1 dx

−1 2

∫ ( x − 1) dx − ∫ ( x − 1) dx 1 1

2

2

 x2   x2  x2 + + −x − − x =0 .  2    2  −1  2 1 −1 0 

Cách 2. Bảng xét dấu như bài trên 0

I=

1

2

0

1

∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx

−1

(

0

= − x −1 + x2 − x

)

1 0

2

+x1 =0 2

{

}

9. Tính tích phân : I = ∫ min 3x , 4 − x dx 0

Hướng dẫn giải: Đặt h ( x ) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 . Bảng xét dấu 0

x h(x)

1 −

2

1

 3x x2  2 5 I = ∫ 3 dx + ∫ ( 4 − x ) dx = +  4x −  = + .   ln3 2  ln3 2  0 1 0 1 1

2

x

3

10. Tính tích phân : I = ∫

2x + 3 3

2x

− 3x + 2

Hướng dẫn giải: Ta có: x3 − 3x + 2 = ( x − 1 ) ( x + 2) 2

344

dx

0

2 +

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 2x + 3 = a ( x − 1 ) + b ( x + 2)( x − 1 ) + c ( x + 2) 2

⇔ 2x + 3 = ( a + b ) x2 + ( c − 2a + b ) x + a − 2b + 2c a + b = 0 1 1 5  ⇔ −2a + b + c = 2 ⇔ a = − ,b = ,c = . 9 9 3 a − 2b + 2c = 3  3 1 1 1 1 5 1   dx Suy ra I = ∫  − + + 2 9 x + 2 9 x − 1 3   x − 1 ( ) 2 

 1 x −1 5  =  ln −  9 x + 2 3( x − 1 )    π 2

3

2

1 8 5 = ln + . 9 5 6

sin2x

11. Tính tích phân : I = ∫

2

cos x + 4sin2 x

0

dx

Hướng dẫn giải: Đặt: t = cos2 x + 4sin2 x ⇔ t 2 = 1 + 3sin2 x ⇒ 2tdt = 6sin xcosxdx = 3sin2xdx ⇔ sin2xdx = 2tdt 2 2 2 I = ∫ 3 = ∫ dt = t t 3 3 1 1

2

2

= 1 3

I=

12. Tính tích phân :

2tdt 3

4 2 2 − = . 3 3 3

xdx

∫ 3 2x + 2

−

1 2

Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 2x + 2 ⇔ t 3 = 2x + 2 ⇔ x =

t3 − 2 3 ⇒ dx = t 2dt 2 2

1 Đổi cận : x = − ⇒ t = 1 ; x = 3 ⇒ t = 2 . 2 2

I=∫ 1

( t − 2) . 3 t dt = 3

2

2t

2

2

2

3 4 3   3 5 3 2  24   3 3  12 ∫  4 t − 2 t  dt =  20 t − 4 t  =  5 − 3  −  20 − 4  = 5 . 1 1 2

13. Tính tích phân :

x dx 1 + x −1 1

I=∫

Hướng dẫn giải: Đặt t = 1 + x − 1 ⇒ x = 1 + ( t − 1 ) ⇒ dx = 2( t − 1 ) dt 2

345

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 2

(t ⇒I=2 2

2

∫

)

− 2t + 2 ( t − 1 ) t

1

2

2  dt = 2∫  t 2 − 3t + 4 −  dt t 1

 t 3 3t 2  = 2 − + 4t − 2ln t  3  2  

2

= 1

11 − 4ln2 . 3

π 2

I = ∫ sin5 xdx

14. Tính tích phân :

0

Hướng dẫn giải: π 2

(

)

2

Ta có: I = ∫ 1 − cos2 x sinxdx . Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 0

Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = 1

(

)

2

1

π ⇒ t =1 2

(

)

⇒ I = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 − 2t 2 + t 4 dt = 0

0 π 2

15. Tính tích phân :

I= ∫

8 . 15

sin2x + sinx

0 1+

1 + 3cosx

dx

Hướng dẫn giải:  t2 − 1 cosx = 3 Đặt t = 1 + 3cosx ⇒   − 2 tdt = sin xdx  3 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2,x = ⇒ t = 1 . 2 12

I=∫

2

t2 − 1 2 2 +1 2 2t3 + t 2  2 3   2  3 dt = ∫  2t − 2t + 3 −  − t  dt = ∫  dt 1+ t  3  91 t +1 9 1 t +1

 2  2t 3 2 =  − t + 3t − 3ln t + 1    9 3  π 2

16. Tính tích phân :

I= ∫ 0

346

2

= 1

28 2 3 − ln . 27 3 2

sin2x 4sin2 x + cos2 x

dx

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Hướng dẫn giải: Đặt t = 4sin2 x + cos2 x ⇒ dt = ⇒

3sin2x 4sin2 x + cos2 x

dx

sin2x

1 dx = dt . 3 asin x + bcos x 2

2

2

1 1 π ⇒ t = 2 ⇒ I = ∫ dt = . 31 3 2

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x =

π 6

tan4 x dx cos2x 0

I= ∫

17. Tính tích phân :

Hướng dẫn giải: dt 1 − t2 Đặt t = tan x ⇒ = dx . Khi đó: cos2x = 1 + t2 1 + t2 π 1 Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = . 6 3 1 3

⇒I=

∫

0

4

(

2

)

1 3

t 1 + t dt

(1 + t )(1 − t ) 2

2

t 4dt

 dt

∫ 1 − t 2 = ∫  1 − t 2 − t

=

0

0

1 3

 1 1 − t t3  =  ln − −t 2 1+ t 3   

0

e2

18. Tính tích phân :

1 3

2

 − 1  dt 

1 3 − 1 10 3 = ln − . 2 27 3 +1 ln x

∫ x ( ln x + 1) dx

I=

e

Hướng dẫn giải: dx = dt Đặt ln x + 1 = t ⇒ x 3

3 t −1 3 dt = ( t − ln t ) = 1 − ln . 2 t 2 2

Ta có: I = ∫

e

19. Tính tích phân :

I=∫ 1

1 + 3ln x .ln x dx x

Hướng dẫn giải: Đặt t = 1 + 3lnx ⇒ ln x =

(

)

1 2 dx 2 t −1 ⇒ = tdt 3 x 3

347

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 2

2 2 2  t5 t3  116 Khi đó: I = ∫ t 2 t 2 − 1 dt =  −  = . 91 9  5 3  135

(

)

1

ln5

I=

20. Tính tích phân :

dx

∫

ln3 e

+ 2e− x − 3

x

Hướng dẫn giải: ln5

Ta có I =

ex dx

∫

ln3 e x

x

− 3ex + 2

Đặt t = e ⇒ dt = ex dx 5

Ta có: I = ∫

dt

3t

3

− 3t + 2

= ln

ln5

22. Tính tích phân :

I=

5

t −2 t −1

3 = ln . 2 3

e2x dx

∫

ex − 1

ln2

Hướng dẫn giải: Ta có: I =

ln5 x

e .ex dx

∫

ex − 1

ln2

Đặt t = ex − 1 ⇒ ex = t 2 + 1 ⇒ ex dx = 2t.dt Đổi cận: x = ln2 ⇒ t = 1; x = ln5 ⇒ t = 2

(t ⇒I=2 2

∫

1

2

)

+ 1 tdt t

 t3  = 2∫ t + 1 dt = 2 + t  3    1 2

(

2

23. Tính tích phân :

)

2

I=∫

( x + 1)dx

1x

2

4

− 6x2 + 1

Hướng dẫn giải: 1 1 1+ 2 2 1+ 2 2 x x Ta có: I = ∫ dx = ∫ dx 2 1 2 1 1x + 1 − 6 x − x  −4 x2   1 1   Đặt t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx x  x 

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0,x = 2 ⇒ t =

348

3 2

2

= 1

20 . 3

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 3 2

3 2

1  1 1  1 t −2 Suy ra I = ∫ 2 = ∫ −  dt = ln 4 0 t −2 t +2 4 t +2 0 t −4 dt

3 2

1 = − ln7 . 4

0

π 2

cosx dx sinx + 2cosx 0

I= ∫

24. Tính tích phân : Hướng dẫn giải: π 2

cosx dx sinx + 2cosx 0

I= ∫

Ta xác định a,b sao cho: 2 1 cosx = a ( sin x + 2cosx ) + b( cosx − 2sin x ) ⇒ a = ,b = 5 5 π 2

π

1  2 1 cosx − 2sin x  2  2 π − ln2 ⇒ I = ∫ + dx =  x + ln sinx + 2cosx  = .  5 5 sin x + 2cosx 5 5 5     0 0 π 3

25. Tính tích phân : I = ∫

1 + xsin x cos2 x

0

dx

Hướng dẫn giải: π 3

I= ∫

π 3

dx 2

0 cos

x

+∫ 0

xsin xdx 2

cos x

π 3 = tan x 0

π 3

+∫ 0

xsin xdx 2

cos x

π 3

= 3+∫

xsin xdx

0

cos2 x

.

u = x du = dx   Đặt  ⇒ sin x  1 dx v = dv = 2 cosx  cos x  π 3

Khi đó I = 3 + ∫

xsinxdx

0

= 3+

2

cos x

2π 1 1 − sin x I= 3+ − ln 3 2 1 + sin x

26. Tính tích phân : I =

π 2

π 3 0

π 3

π 3

π 3

x dx 2π cosxdx − = 3+ − cosx 0 0∫ cosx 3 0∫ 1 − sin2 x

= 3+

2π + ln 2 − 3 3

(

)

( x + cosx ) dx

∫ 4cos2 x + 3sin2 x

−

π 2

Hướng dẫn giải: 349

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh π 2

.+ I=

( x + cosx ) dx =

∫

2

4 − sin x

π − 2

π 2 −

0

π 2

xdx

cosxdx

∫ 4 − sin2 x + ∫ 4 − sin2 x = I1

π − 2

+ I2

π − 2

0

xdx

xdx

π 2

xdx

∫ 4 − sin2 x = ∫ 4 − sin2 x + ∫ 4 − sin2 x

I1 =

+ Tính

Trong

π 2

π 2

−

π 2

0

0

xdx

xdx

π 2

−

π 2

−

π 2

0

Suy ra I1 = 0 + Tính

I2 =

π 2

cosxdx

∫ 4 − sin2 x . Đặt t = sinx .

− 1

π 2

1

 1 2+ t  1 I2 = ∫ = ln  = ln3 2 4 2 − t  −1 2  −1 4 − t dt

1 + Vậy: I = ln3 2 π 4

27. Tính tích phân :

xsin x + ( x + 1 ) cosx dx xsin x + cosx 0

I= ∫

Hướng dẫn giải: π 4

π 4

π 4

xsin x + ( x + 1 ) cosx xcosx dx = ∫ dx + ∫ dx = I1 + I2 xsin x + cosx xsin x + cosx 0 0 0

I= ∫

π 4

π

Trong đó : I1 = ∫ dx = x 04 = 0

π 4

π 4

xcosx dx xsin x + cosx 0

I2 = ∫

Đặt t = xsin x + cosx ⇒ dt = xcosxdx .

350

xdx

∫ 4 − sin2 x , Đặt x = −t . Dễ thấy ∫ 4 − sin2 x = − ∫ 4 − sin2 x

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] π  1  +1  4  2

Khi đó I2 =

∫

1

dt = ln t t

π  1  +1  4  2 1

π  1 = ln  + 1  4  2

π π  1 Vậy I = + ln  + 1  . 4 4  2 π 4

28. Tính tích phân :

I = ∫ ln (1 + tanx ) dx 0

Hướng dẫn giải: π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt . 4 π π Đổi cận x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0 . 4 4 π 4

0

 1 − tant   π   I = − ∫ ln 1 + tan  − t   dt = ∫ ln  1 +  dt 4 1 + tan t     π  0 4 π 4

π 4

0

0

= ∫ ln2 − ln (1 + tan t )  dt = ln2. ∫ dt − I ⇒ 2I = ⇒I=

π ln2 4

π.ln2 . 8 π

29. Tính tích phân :

I=∫

xsinx

0 4 + sin

2

dx x

Hướng dẫn giải: Đặt x = π − t ta có π

I=∫ 0

( π − t ) sin t 4 + sin2 t

π

sin t

π

t sint dt − ∫ dt 2 4 + sin2 t 0 4 + sin t 0 

dt = π ∫

I π π π sin x π d ( cosx ) π 5 + cosx I= ∫ dx = = ln ∫ 2 2 2 0 4 + sin x 2 0 5 − cos x 4 5 5 − cosx

=

π

0

π  5 −1 5 + 1 π 5 5 −1 − ln ln . ln = 5 2 4 5  5 +1 5 − 1 

351

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

30. Tính tích phân : I =

1+ 6 + 11+2 6 2

∫

( x + 1)( x 2

2

6

+ 2x − 1 3

x + 14x − 1

1+ 5 2

) dx

Hướng dẫn giải: Đặt a =

1 + 6 + 11 + 2 6 . Ta có : 2

1  1  1  1    a  x − x + 2 1 + 2   x − x + 2 1 + 2     x  dx = x  I= ∫  dx ∫ 2 1   3 1 1    x − 3 + 14 1+ 5 1+ 5   x −   x −  + 3 + 14 x 2 2  x   x   a

1 1   Đặt t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx x  x 

Đổi cận : x = 6

⇒I=

1+ 5 ⇒ t = 1; x = a ⇒ t = 1 + 6 . 2

t +2

∫ t3 + 3t + 14

6

dt =

1

∫ ( t + 2)

1

(

6

t +2

(t

2

− 2t + 7

)

)

dt =

dt

∫ t 2 − 2t + 7 .

1

Đặt t − 1 = 6 tanu ⇒ dt = 6 1 + tan2 u du Đổi cận : t = 1 ⇒ u = 0; t = 1 + 6 ⇒ u = π 4

⇒I= ∫

0

( ) 6 (1 + tan u )

6 1 + tan2 u du 2

=

π 4

π 6 . 4

π 2

31. Tính tích phân : I = ∫ xsin2xdx 0

Hướng dẫn giải: du = dx u = x  Đặt  ⇒ 1 dv = sin2xdx   v = − 2 cos2x π 1 ⇒ I = − x.cos2x 02 2

352

π 2

1 π 1 + ∫ cos2xdx = + sin2x 20 4 4

π 2 0

=

π . 4

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 2

32. Tính tích phân : I = ∫ ( x − 2) e2x +1dx 0

Hướng dẫn giải: du = dx u = x − 2  Đặt  ⇒ 1 2x +1 2x +1 dv = e  v = 2 e 2

⇒I=

2

2 5e − e3 1 1 1 . ( x − 2) e2x+1 − ∫ e2x +1dx = e − e2x +1 0 = 2 4 4 0 20 0

33. Tính tích phân : I =

∫ (2x

2

)

+ x + 1 ln ( x + 2) dx

−1

Hướng dẫn giải: 1  du = dx u = ln ( x + 2)    x +2 Đặt  ⇒  2 1 dv = 2x2 + x + 1 dx  v = x3 + x 2 + x   3 2

(

)

0

1 1 4x3 + 3x2 + 6x 2  dx ⇒ I =  x3 + x2 + x  ln ( x + 2) 0−1 − ∫ 2 6 −1 x +2 3  0

=−

1  2 32   4x − 5x + 16 −  dx 6 −∫1  x +2 0

1 4 5 16 119  = −  x3 − x2 + 16x − 32ln ( x + 2)  = ln2 − . 396 6 3 2  −1 3 π 2

34. Tính tích phân : I = ∫ sin x.ln (1 + sin x ) dx 0

Hướng dẫn giải: cosx  dx u = ln (1 + sinx ) du = Đặt  ⇒ 1 + sin x . dv = sin xdx v = − cosx I = − cosx.ln (1 + sin x )

π 2 0

π 2

2

π 2

cos x π dx = ∫ (1 − sinx ) dx = − 1 . 1 + sin x 2 0 0

+∫


Chủ đề 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Tính diện tích hình phẳng Định lí 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, không âm trên [a;b] .

353

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục b

hoành và hai đường thẳng: x = a,x = b là: S = ∫ f ( x ) dx . a

y

y =f (x)

a x 0 b Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [a;b] . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = f ( x ) ; trục Ox : ( y = 0 ) và hai đường b

thẳng x = a;x = b là: S = ∫ f ( x ) dx . a

Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( C1 ) : y = f ( x ) ,

(C2 ) : y = g ( x )

và hai đường đường thẳng x = a,x = b . Được xác định bởi công

b

thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx .

y

y =f (x)

a

Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: f ( x ) = g ( x ) tìm nghiệm

0

a

y = g(x ) b

x1 ,x2 ,...,x n ∈ ( a;b )

( x1 < x2 < ... < x n ) . Tính: x1 a

S=∫ =

x2 x1

f ( x ) − g ( x ) dx + ∫

f ( x ) − g ( x ) dx +... + ∫

b

xn

f ( x ) − g ( x ) dx

1 ∫a ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ... + ∫xn ( f ( x ) − g ( x ) ) dx . x

b

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) . Khi đó, ta có công thức tính như sau: S=

xn

∫ f ( x ) − g ( x ) dx .

x1

354

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Trong đó: x1 ,x n tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình:

f (x) = g(x) .

2. Tính thể tích khối tròn xoay a. Tính thể tích của vật thể Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a,x = b ( a < b ) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b ) cắt C theo một thiết diện có diện tích S ( x ) . Giả sử S ( x ) là hàm liên tục trên [a;b] . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo b

công thức: V = ∫ S ( x ) dx . a

b. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) ;y = 0;x = a;x = b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ y bằng x là một hình tròn có bán kính R =| f ( x ) | y =f (x) nên diện tích thiết diện bằng 2 2 S ( x ) = πR = πf ( x ) . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: b

b

V = ∫ S ( x ) dx = π∫ f a

2

( x ) dx .

0

a

x

x

b

a

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) ,y = g ( x ) , x = a, x = b (Với f ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a;b] ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: b

V = π∫ f 2 ( x ) − g2 ( x ) dx . a

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x = g ( y ) , y = a, y = b, Oy quanh trục Oy được tính theo công thức: b

V = π∫ g2 ( y ) dy . a

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau y = 4 − y=

x2 , 4

x2 4 2

355

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Lời giải Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị y = 4 − 4−

x2 x2 và y = : 4 4 2

x2 x2 x2 x 4 = ⇔ 4− = ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2 2 . 4 4 2 4 32

Trên  −2 2;2 2  , ta có:

4−

x2 x2 ≥ nên diện tích cần tính là: 4 4 2

2 2 2 2 2 2   1 2 2  4 − x − x  dx = 16 − x dx − ∫  ∫ ∫ x dx 4 4 2 2 2 0 0 −2 2   2 2

SD =

2 2

Ta có:

∫ 0

x3 x dx = 3

2 2

2

= 0

16 2 3

Đặt x = 4sin t ⇒ dx = 4costdt . Khi đó: 2 2

π 4

π 4

0

0

16 − x2 dx = 16 ∫ cos2 tdt = 8 ∫ (1 + cos2x ) dx = 2π + 4

∫

0

4 Vậy: SD = 2π + . 3

Ví dụ 2. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): y = x2 và phía trên bởi đường thẳng đi qua A (1;4 ) có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải Đường thẳng ∆ đi qua A , hệ số góc k có phương trình : y = k ( x − 1 ) + 4 = kx − k + 4 . Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và ∆ : x2 = kx − k + 4 ⇔ x2 − kx + k − 4 = 0 (1) Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm x1 < x2 . Khi đó, diện tích (H) là: S=

x2

∫(

x1

(

k x3  kx − k + 4 − x dx =  x2 + ( 4 − k ) x −  2 3   2

)

)

(

)

x2

x1

k 2 2 1 x2 − x1 + ( 4 − k )( x2 − x1 ) − x32 − x31 2 3 x −x 2 = 2 1 3k ( x1 + x2 ) + 6 ( 4 − k ) − 2( x1 + x2 ) + 2x1x2   6  =

356

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] =

(

)

x2 − x1 2 k − 4k + 16 . 6

Ta có: ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − 4x1x2 = ( k − 2) + 12 ≥ 12 2

2

2

2 3 .12 = 4 3 . Đẳng thức xảy ra ⇔ k = 2 . 6 Vậy k = 2 là giá trị cần tìm. ⇒S≥

Bài tập tự luyện 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = −x2 + 4x − 3, x = 0, x = 3 và Ox . Hướng dẫn giải: 1

(

3

)

(

)

S = − ∫ −x2 + 4x − 3 dx + ∫ −x2 + 4x − 3 dx 0

1 1

3

 x3   x3  8 = −  − + 2x2 − 3x  +  − + 2x2 − 3x  = .  3     0  3 1 3

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 + 11x − 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2 .

Hướng dẫn giải:

(

)

Đặt h ( x ) = x3 + 11x − 6 − 6x2 = x3 − 6x2 + 11x − 6 h ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 (loại). 1

(

)

2

(

)

S = − ∫ x3 − 6x2 + 11x − 6 dx + ∫ x3 − 6x2 + 11x − 6 dx 0

1 1

2

 x4   x4  11x2 11x2 5 = −  − 2x3 + − 6x  +  − 2x3 + − 6x  = .  4   4  2 2  0  1 2

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 − 4 x + 3 và trục hoành.

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0, t = x ≥ 0  t = 1  x = 1  x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔  t = 3  x = 3  x = ±3 3

⇒S=

∫

−3

3

x2 − 4 x + 3 dx = 2∫ x2 − 4x + 3 dx 0

357

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh 3 1  = 2  ∫ x2 − 4x + 3 dx + ∫ x2 − 4x + 3 dx   0  1 1 3  3 x   x3   16 2 2  = 2  − 2x + 3x  +  − 2x + 3x  = .  3   3   3     0 1  

(

)

(

)

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 − 4x + 3 và y = x + 3 .

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x + 3 ≥ 0  x = 0 x2 − 4x + 3 = x + 3 ⇔   x2 − 4x + 3 = x + 3 ⇔  . x = 5  2   x − 4x + 3 = −x − 3 1

⇒S=

∫(

3

)

(

)

5

(

)

x2 − 5x dx + ∫ − x2 + 3x − 6 dx + ∫ x2 − 5x dx

0

1

3

1

3

5

 x3 5x2   − x3 3x2   x3 5x2  109 . = − + + − 6x  +  −   =  3   3   3 2 2 2 6  0  1  3

5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x ln x,x = e và Ox

Hướng dẫn giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành: x = 0 x = 0 ⇔ x lnx = 0 ⇔  ln x = 0  x = 1

Nhận xét: x lnx ≥ 0 ,∀x ∈ [1;e]

e

e

1

1

Gọi S là diện tích cần tìm: S = ∫ x ln x dx = ∫ x ln xdx dx  du =  u = ln x x  Đặt:  ⇒ 2 dv = xdx  v = x  2 e

e

S = ∫ x ln xdx = 1

1

e

=

e

x2 1 ln x − ∫ xdx 2 21 e

x2 1 e2 + 1 ln x − x2 = (®vdt) 2 4 1 4 1

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 − 3x + 2 và y = x − 1 358

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] Hướng dẫn giải: . Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: x = 1 x2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔  x = 3 Gọi S là diện tích cần tìm: 3

(

3

)

S = ∫ x2 − 3x + 2 − ( x − 1 ) dx = ∫ x2 − 4x + 3dx 1

1

Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ) x2 − 3x + 2 ≤ x − 1 ⇔ x2 − 4x + 3 ≤ 0, ∀x ∈ [1;3] 3

S=∫ 1

(

3

 x4  4 − x + 4x − 3 dx =  − + 2x2 − 3x  = (đvdt)  4   1 3 2

)

Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị ) 3

S = ∫ x3 − 4x + 3 dx = 1

3

∫(x

3

)

− 4x + 3 dx

1 3

 x4  4 4 =  − 2x2 + 3x  = − = (đvdt)  4  3 3  1

7. Tìm m để đồ thị ( C ) : y = x4 − 2mx2 + m + 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( C ) và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( C ) và Ox .

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và Ox : x 4 − 2mx2 + m + 2 = 0 (1) Đặt t = x2 , t ≥ 0 , ta có phương trình: t 2 − 2mt + m + 2 = 0 ( 2) . Yêu cầu bài toán ⇔ ( 2) có hai nghiệm t > 0 phân biệt ∆ ' = m2 − m − 2 > 0  ⇔ S = 2m > 0 ⇔ m >2. P = m + 2 > 0  Gọi t 1 ,t 2 (0 < t 1 < t 2 ) là hai nghiệm của ( 2) . Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: x1 = − t 2 ;x2 = − t 1 ;x3 = t 1 ;x 4 = t 2 . Do tính đối xứng của ( C ) nên yêu cầu bài toán 359

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

⇔

x3

∫(

)

x 4 − 2mx2 + m + 2 dx =

0

⇔−

x4

∫ ( −x

4

)

+ 2mx2 − m − 2 dx

x3

x54 2mx34 + − ( m + 2) x 4 = 0 ⇔ 3x 44 − 10mx24 + 15( m + 2) = 0 5 3

 x 44 − 2mx24 + m + 2 = 0 ⇒ x 4 là nghiệm của hệ:  4 2 3x 4 − 10mx 4 + 15( m + 2) = 0 ⇒ 4mx24 − 12( m + 2) = 0 ⇒ x24 = 9

( m + 2)2 − 6 m2

3( m + 2) thay vào hệ ta có được m

( m + 2) + m + 2 = 0 ⇔ 9( m + 2) − 5m2 = 0 (do m > 2 )

⇔ 5m2 − 9m − 18 = 0 ⇔ m = 3 ⇒ x 4 = 5 .  x = ±1 . Với m = 3 ⇒ (1) ⇔ x 4 − 6x2 + 5 = 0 ⇔  x = ± 5 Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

8. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = − 4 − x2 , x2 + 3y = 0 quay quanh Ox

Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm − 4 − x2 = − 3

⇒V=π

∫

− 3

2π = 9 Vậy V =

(

)

4 − x2 − 3

∫( 0

x2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3 3

x4 dx 9

5 2π  3 x  36 − 9x − x dx =  36x − 3x −  9  5 2

4

3

)

. 0

28π 3 (đvtt). 5

9. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = − y 2 + 5 , x = 3 − y quay quanh Oy . Hướng dẫn giải:  y = −1 Tung độ giao điểm: − y 2 + 5 = 3 − y ⇔  . y = 2

360

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] 2

(

)

2

⇒ V = π ∫ −y 2 + 5 − (3 − y ) dy −1

2

2

=π

∫ (y

4

)

− 11y 2 + 6y + 16 dy

−1

2

 y5 11y 3  153π . =π − + 3y 2 + 16y  =  5  3 5   −1

10. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = xex ,y = 0,x = 0,x = 2 và quay quanh trục Ox .

Hướng dẫn giải: 2

2

( ) dx = π∫ x e

Gọi V là thể tích cần tìm: V = π∫ xe

x

2

0

2 2x

dx

0

du = 2xdx u = x2  Đặt:  ⇒ 1 2x 2x dv = e dx v = 2 e 2

2

2

πx2e2x V= − π∫ xe2xdx = 2πe4 − π ∫ xe2xdx 2 0 0 0

du = dx u = x  ⇒ Đặt:  1 2x 2x dv = e dx v = e  2 2   2 πxe2x π 2x   V = 2πe − π ∫ xe dx = 2πe − − ∫ e dx  2  20 0 0   2

4

2x

4

 4 π 2x 2  π π = 2πe −  πe − e  = 2πe4 − πe4 + e4 − 1 = 5e4 − 1 (đvtt). 4 4 4  0  11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 − 4,y = 2x − 4,x = 0,x = 2 và quay quanh trục Ox .

(

4

) (

)

Hướng dẫn giải: Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 − 4,y = 2x − 4,x = 0,x = 2 quay quanh trục Ox 2

 4x3  32π V1 = π∫ ( 2x − 4 ) dx = π∫ 4x − 16x + 16 dx = π  − 8x2 + 16x  =  3  3  0 0 0 2

2

2

(

2

)

361

Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề - Nguyễn Phú Khánh

Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 − 4,y = 2x − 4,x = 0,x = 2 quay quanh trục Ox 2

 x5 8x3  256π V2 = π ∫ x − 4 dx = π ∫ x − 8x + 16 dx = π  − + 16x  =  5  3 15  0 0 0 2

(

)

2

2

2

(

4

2

)

256π 32π 32π − = (đvtt) 15 3 5 12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với π D là hình giới hạn bởi các đường: y = xcosx + sin2 x , y = 0,x = 0,x = 2 Gọi V là thể tích cần tìm: V = V2 − V1 =

Hướng dẫn giải: Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là: π 2

π 2

0

0

(

)

π 2

π 2

0

0

V = π ∫ y 2dx = π ∫ xcosx + sin2 x dx = π ∫ xcosxdx + π ∫ sin2 xdx π 2

π 2

1 1 1  Ta có: ∫ sin2 xdx = ∫ (1 − cos2x ) dx =  x − sin2x  20 2 2  0

π 2

0

=

π . 4

u = x du = dx Đặt  ⇒ dv = cosxdx v = sin x π 2

⇒ ∫ xcosxdx = xsin x 0

π 2 0

π 2

− ∫ sin xdx = 0

π −1 2

π π (3π − 4 ) π  Vậy V = π  − 1  + π = ( đvtt ) 2 4 4   13. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: y = xex ,y = 0,x = 0,x = 1

Hướng dẫn giải: 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là: V = ∫ x2e2x dx 0

du = 2x u = x2  Đặt  ⇒ 1 2x 2x dv = e dx v = 2 e 1 1  πe2 1 1 ⇒ V = π  x2e2x − ∫ xe2xdx  = − π∫ xe2xdx 2  0 0 0   2

362

Nguyễn Phú Khánh – Email: [email protected] du = dx u = x  Đặt  ⇒  1 2x 2x dv = e dx v = 2 e dx 1

1 ⇒ ∫ xe dx = xe2x 2 0 2x

1

1 e2 e2x − ∫ e2xdx = − 0 2 2 4 0

1

1

= 0

e2 + 1 4

 e e +1  e −1 ⇒ V = π − ( đvtt ) =π 2 4  4 14. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với 2

2

2

(

)

D là hình giới hạn bởi các đường: y = x ln 1 + x2 ,y = 0,x = 1

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

(

(

)

)

y = x ln 1 + x2 và y = 0 : x ln 1 + x2 = 0 ⇔ x = 0 . 1

(

)

Thể tích cần tính: V = π∫ x2 ln 1 + x2 dx . 0

2x  dx u = ln 1 + x2 du =   1 + x2 Đặt  ⇒ 3 dv = x2dx v = x  3

(

1

)

x3 ⇒ ∫ x ln 1 + x dx = ln 1 + x2 3 0 2

(

2

)

(

)

1

1

− 0

2 x4 dx 3 0∫ 1 + x2 1

1 1  ln2 2  2 1  ln2 2  x3 2 dx = − ∫ x −1 + dx = − − x −     3 3 0 3 3  3 3 0∫ 1 + x2 1 + x2   0

=

ln2 4 2 π 12ln2 + 16 − 6π + − . = (đvtt). 3 9 3 4 36

363