Actividad 2

ACTIVIDAD 1 ESTADISTICA II LUISA MARIA JARAMILLO BECERRA CÓDIGO: 8392200101 [Dirección de la compañía]

Guía De Actividad 2 Estadística II: Distribución de probabilidad Normal. I.

Conceptos teóricos.

1. ¿Qué es una distribución de probabilidad Continua? Una distribución continua describe las probabilidades de los posibles valores de una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua es una variable aleatoria con un conjunto de valores posibles (conocido como el rango) que es infinito y no se puede contar. Las probabilidades de las variables aleatorias continuas (X) se definen como el área por debajo de la curva de su PDF. Por lo tanto, solo los rangos de valores pueden tener una probabilidad diferente de cero. La probabilidad de que una variable aleatoria continua equivalga a algún valor siempre es cero. 2. ¿Cuáles son las características de la distribución Normal? 

Es simetrica respecto a su media.

 

La media, la mediana y la moda son todas iguales. EI area total bajo la curva sobre el de las x es una unidad de area. Esta caracterfstica se deduce del hecho de que la distribuci6n normal es una distribuci6n de probabilidad. Debido a la simetria mencionada anteriormente, 50% del area esta a la derecha de la perpendicular levantada sobre Ia media, y el otro 50% dellado izquierdo. Si se levantan perpendiculares a una distancia de una desviacion estándar desde la media hacia ambos lados, el area de1imitada por esas perpendiculares, eI eje de las x y la curva sera de 68 % del area total, aproximadamente. Si los limites laterales se extienden a dos desviaciones estandar en ambos lados de la media, estara induido aproximadamente 95 % del area, y extendiendolos a una distancia



de tres desviaciones estandar, aproximadamente 99.7 del area total estara englobada.

3. ¿Qué es la distribución normal estándar? Como existe infinitas curvas normales, determinadas cada una de ellas por N(µ,σ), se creó una distribución normal estándar de referencia y que represente a todas y cada una de las infinitas curvas normales, donde por convención mu es igual a cero y sigma igual a uno, N(0,1). Para “transformar” un valor de una variable X proveniente de una curva normal a su correspondiente valor Z (calificación Z) de una curva normal estándar, se utiliza la siguiente ecuación:

donde x, es el valor de la distribución normal a ser transformada en una calificación Z (normal estándar) y los parámetros mu y sigma son la media y desviación estándar de la distribución normal de donde procede el valor x. Al transformar cualquier valor x de una variable a su correspondiente calificación Z,

entonces podemos referir esta calificación con relación a la única curva normal estándar N(0,1) 4. ¿Cuál es la importancia de la distribución Normal?

   II.

Muchos fenómenos que podemos medir tanto en las ciencias exactas como las sociales de asemejan en su frecuencia a esta distribución. La distribución normal tiene ciertas propiedades matemáticas que nos permiten predecir qué proporción de la población (estadística) caerá dentro de cierto rango si la variable tiene distribución normal. Varios tests de significanza de diferencia entre conjuntos de datos presumen que los datos del conjunto tiene una distribución normal. Componentes Prácticos

A. Resolver los siguientes ejercicios de Probabilidad bajo la curva de la distribución Normal.

1. 1(𝑧 ≤ 0,95) 2. (𝑧 ≥ −1,23) 3. (𝑧 ≤ −1,36) 4. (1,5 ≤ 𝑧 ≤ 1,69) 5. (𝑧 ≤ 0,89) 6. (𝑧 ≥ 2,78) 7. (−2,69 ≤ 𝑧 ≤ −0,95) 8. (𝑧 ≥ −2,8)

1 2 3 4

1P(z<=0,95) P(z>=-1,23) P(z<=-1,36) P(1,5
P(Z<=1,69) P(Z<=1,5) TOTAL

5 P(z<=0,89) 6 P(z>=2,78) 7 P(-2,69
0,828943874 0,109348552 0,086914962 0,954486023 0,933192799 0,021293224 0,813267057 0,997282055 0,003572601 0,171056126 -

8 P(z>=-2,8)

0,167483525 0,00255513

Graficas

B. Realice las siguientes aplicaciones. 1.

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 27°C y desviación típica 4,6°C. Calcular la Probabilidad de que el en mes presenten temperaturas a)

Menores o iguales a 26.5ºC

p (26,7-27) 4,6

=

(-0,3) 4,6

= p (Z =-0,06) = 0,47

p( X ≤ 26,7) = p (Z =-0,06) = 0,47*30 =

b)

14,1

Entre 25,5ºC y 27,5ºC

= 27°C = 4,6°C n = 30 X1= 25,5°C X2=27,5°C P(X1≤ x ≤ X2)

p(25,5≤ x ≤ 27,5) = p (25,5-27) ≤ Z ≤ (27,5-27) = 4,6 4,6 p ( -1,5 ) ≤ Z ≤ ( 0,5 ) = 4,6 4,6 p (-0,32 ≤ Z ≤ 0,10) = p(Z ≤ 0,10) - p( Z ≤ -0,32) = p( Z ≤ 0,10) - [ 1 - p( Z ≤ -0,32) ] (0,5398 )- [ 1 - (0,3744) ] = 0,16*30 = 4,8

c)

Mayores o iguales a 25,8ºC

P (X= 25,8) p= (z= 25,8-27) 4,6

= p (Z > -0,26)

P(x>25,8) = p= (z > 25,8-27)

= p (Z > -0,26) = 0,39* 30 =

4,6

11,7

2.

En una institución Educativa la media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 72 kg y la desviación típica 5,5 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar la probabilidad de que al seleccionar un estudiante al azar este pese:

a)

Entre 69 kg y 74 kg.

= 72 Kg = 5,5 Kg n = 500 X1= 69

X2=74

P(X1≤ x ≤ X2) p(69≤ x ≤ 74) = p (69-72) ≤ Z ≤ (74-72) = 5,5 5,5 p ( -3 ) ≤ Z ≤ ( 2 ) = 5,5 5,5 p (-0,54 ≤ Z ≤ 0,36) = p(Z ≤ 0,36) - p( Z ≤ -0,54) = p( Z ≤ 0,36) - [ 1 - p( Z ≤ -0,54) ] (0,6405 )- [ 1 - (0,2965) ] = 0,344 * 500 = 172 b)

Igual ó Más de 73 kg.

P (X= 73) p= (z= 73-72)

= p (Z > 0,18) = 0,57* 500 =

5,5 P(x>73) = p= (z > 73-72) 5,5

= p (Z > 0,18) =

285

= 1 – p (z ≤ 0,18) = 1- 0,57 = 0,43 * 500 = 215

c)

Igual ó Menos de 71 kg. p (71-72) = p (Z =-0,18) = 0,42 5,5 p( X ≤ 71) = p (Z =-0,18) = 0,42*500 =

3.

210

La duración media de un televisor es de 6,8 años y su desviación típica es de 0,7 años sabiendo que la vida útil se distribuye normalmente encontrar la probabilidad de adquirir un televisor que dure menos o igual a 5 años.

= 6,8 = 0,7 p( X ≤ 5) p (5-6,8) = p (Z =-2,57) = 0,99

= 99%

0,7 4.

Las pruebas psicotécnicas y de cultura general de la empresa “Selectic” que selecciona y capacita personal, ha encontrado que en promedio 54 personas aprueban la valoración, con una desviación estándar de 11 personas. La empresa requiere realizar pruebas a nuevo personal, y quiere saber las probabilidades de que: a)

45 personas o menos aprueben el examen p( X ≤ 45) = p (45-54) = p (Z =-0,81) = 0,79 11

= 79%

b)

50 personas o mas aprueben el examen.

p( X > 50) = p (50-54) = p (Z =-0,36) = 0,35

= 35%

11

c)

Lo aprueben entre 51 y 54 personas.

= 54 = 11 X1= 51

X2=54

P(X1≤ x ≤ X2) p(51≤ x ≤ 54) = p (51-54) ≤ Z ≤ (54-54) = 11 11 p ( -3 ) ≤ Z ≤ ( 0 ) = 11 11 p (-0,27 ≤ Z ≤ 0) = p (Z ≤ -0,27) - p( Z ≤ 0) = p( Z ≤ -0,27) - [ 1 - p( Z ≤ 0) ] (0,39 )- [ 1 - (0,5) ] = 0,10 = 10%