Algebra Lineal

Módulo 16: Valores y vectores característicos

16.1 Valores y vectores característicos Definición 1 Sea A una matriz de n n con componentes reales. El vector x

0, x en

n

tal que

x,

Ax

se llama vector característico de A, y al escalar (real o complejo) se le llama valor característico de A correspondiente al vector característico x. n

Nota: los vectores característicos se toman en n-tuplas ordenadas de números complejos, ya que éstos pueden tener componentes imaginarios, cuando es un número complejo. En la definición se dice que el valor característico corresponde al vector característico x. También se puede expresar al contrario: el vector característico x corresponde al valor característico . . A los valores y vectores característicos también se les llama valores y vectores propios o autovalores y autovectores.

16.2

El problema de los valores y vectores característicos

Dada una matriz A de n n con componentes reales, hallar todos los escalares todos los vectores x, x

0, en

n

tales que Ax

y

x.

Ejemplo 1 3 2

Sea A

3 4

.

Entonces A

1

3 2

1

1

1

3 4

1

1

.

1 es un valor característico de A correspondiente al vector característico

Así, 1

1

.

Similarmente, A

2

3 2

2

12

3

3 4

3

18

6

2 3

. Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 209

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

6 es un valor característico de A correspondiente al vector caracte-

Entonces 2

rístico

3

.

3 2

La matriz A 2

T:

1

2

y

1

es la representación matricial de la transformación lineal

3 4

x y

definida por T

2

x y

3 2 3 4

3x 2 y . 3x 4 y

son vectores característicos de A correspondientes a los valores

3

característicos

1y

1

6.

2

Estos vectores son LI, luego forman una base B1 de transformación referida a esta base.

1 1

T

T

2 3

1 1

1

12 18

1 1 1 1

0

0

6

2 , 3 2 , 3

1 1

T

T

2

2 3

. Encontremos la matriz de la

B1

B1

1 0 0 6 . 1 0

Luego BT, matriz de la transformación referida a la base B1, es BT

0 6

, la cual

es una matriz diagonal.

Geométricamente, podemos describir la situación así:

1 2 y determinan un 1 3

sistema coordenado. Referida a este sistema la transformación T tiene el efecto de dejar invariantes los vectores a lo largo de la dirección definida por

1 , y aumentar con un factor de 6 los vectores a lo largo del eje definido por

1

2 3

.

Si x es un vector cualquiera de T (x)

210

1 1 , ya que

1 0

0 6

a b

2

, el cual referido a esta base es

a 6b (figura 16.1).

a , entonces b

Módulo 16: Valores y vectores característicos Ejemplo 2 Sea A = I; entonces, Iv

v para todo v

n

, luego todo v

0 es un vector

1.

característico de I con valor característico

Figura 16.1

Ejemplo 3 Sea A

4

2

1

1

.

Determinemos los valores característicos de A y sus correspondientes vectores asociados. Debemos encontrar los escalares

y los vectores no nulos x

x y

tales que: 4

2

1

1

x y

x , y

luego

4x 2 y x y

x y

o

(4

)x 2 y

0

x

(1

)y

0

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 211

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Resolvemos el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas. Este sistema tiene solución no trivial x 0, si y sólo si el determinante de su matriz de coeficientes es cero; esto es: 4

2 1

0.

1

Entonces, (4 2

)(1 5

) 2 6

0

0, (

3)(

2).

Luego los valores característicos de A son

1

3 y

2.

2

Para encontrar los vectores característicos asociados a los valores de 2

3 y

1

2 resolvemos

Ax 3x 4 1

Ax 2x

y x y

2 1

4x 2 y x y

3

x y

4 1

3x 3y

x y

2 1

4x 2 y x y

o

2

2x 2y

o

(4 3) x 2 y

0

(4 2) x 2 y

0

x

0

x

0

(1 3) y

(1 2) y

o

o

x 2y

0

2x 2 y

0

x 2y

0

x

0

cuyas soluciones están dadas por:

x

2

,

0

y

las soluciones al sistema están dadas por: x

2y

x1

x y

x2

y ,

0 .

x1 y x2 están expresando, cada uno, un subespacio compuesto por todos los vectores múltiplos de

212

2 1 y , respectivamente. O dicho de otra forma, los vectores carac1 1

Módulo 16: Valores y vectores característicos terísticos asociados con

1

3 son todos los múltiplos escalares del vector

similarmente, los vectores característicos correspondientes a múltiplos escalares del vector

2

2 ; 1

2 son todos los

1 . 1

Teorema 1 Sea A una matriz n n .

es un valor característico de A si y sólo si det ( A

I)

0.

Demostración Si

es un valor característico de A existe x

Ax

x

Ix ,

(A

I)x

0.

El sistema homogéneo ( A

I )x

es no invertible, o sea det ( A Recíprocamente, si det ( A no triviales y

0 tiene solución para x I)

I)

0 tal que

I)

0.

0, el sistema ( A

I )x

es un valor característico de A. Si det ( A

única solución del sistema es x

0 cuando ( A

0 y, por tanto,

0 tiene soluciones I)

0, entonces la

no es un valor característico de A.

16.2.1 El polinomio característico de A n xn Definición 2 Sea A una matriz n n . El determinante de la matriz ( A denomina polinomio característico de A. P( )

det ( A

La ecuación P( ) P( )

I ), denotado P ( ), se

I ).

0 es la ecuación característica de A.

det ( A

I)

0.

P ( ) es un polinomio de grado n en .

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 213

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

A

a11

a12

a1n

a21

a22

a2 n

a31

a32

ann

n

P( )

bn

1

n 1

a11 det ( A

,

a12

a21

I)

a31 ... b1

b0

a1n

a 22

a2 n

a32

ann

0.

Esta ecuación tiene n raíces, varias de las cuales pueden repetirse. Si son las raíces diferentes de la ecuación con multiplicidades

1

,

2

,...,

1 m

,

2

,...,

m

, entonces

P ( ) puede factorizarse como:

P( ) Los números característicos

( 1

1

, 1

2

,

) 1(

,..., 2

,...,

2

m m

) 2 ...(

m

)

0.

m

se llaman multiplicidades algebraicas de los valores , respectivamente.

O sea que si contamos multiplicidades, cada matriz n n tiene exactamente n valores característicos.

16.2.2 Proceso para encontrar los valores y vectores característicos en una matriz An x n i.

Halle P( )

det ( A

ii.

Halle las raíces de P( )

iii.

Resuelva el sistema homogéneo ( A valor característico

I) .

i

0

( 1,

2

,...,

m i

).

I)x

0 correspondiente a cada

.

La solución del sistema homogéneo ( A i I )x 0 no es única, ya que x 0 . El sistema tiene infinitas soluciones, luego al determinar los vectores x que satisfacen el sistema, se sacan los vectores que formen una base para el subespacio generado; es claro que todas las combinaciones lineales, diferentes de cero, que se realicen con estos vectores también son vectores característicos correspondientes al mismo valor . Teorema 2 Sea A una matriz n n y sea E de

214

n

.

x : Ax

x . Entonces E es un subespacio

Módulo 16: Valores y vectores característicos Demostración

x , entonces ( A

Si Ax

I )x

0.

Luego E es el núcleo de ( A

I ), y por tanto E es un subespacio de

n

.

16.2.3 Espacio característico de A Definición 3 Sea

un valor característico de A. El subespacio E se llama espacio caracterís-

tico de A, correspondiente al valor característico . Ejemplo 4

Sea A

1

2

1 4

0 4

1 1 . Encontremos para A los valores y vectores característicos. 5

Vamos a seguir los pasos dados en el proceso.

1 det ( A

I)

2

1 1

1 4

4 5 3

(

0

6

1)(

2

11

2)(

6

0

3)

0.

Entonces los valores característicos de A son

1

Para determinar E1, formamos el sistema ( A I )x

1 1 1 4

2

1

1 1 4 5 1

1,

2,

2

0

0

2

y z

0 0

1 4

1 4

2 1

1 1

4

4

4

3.

1

x

0

y z

0 0

0.

x

0 1

3

operaciones elementales

1 4

1 0 0 1 0 0

1

2

1

2

.

0

La solución al sistema está dada por:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 215

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

z

1 z 2 1 z 2 1z

gen

1 1 ;

1 1

2

2

x y

E1

es un vector característico asociado con

1.

Determinemos E2. ( A 2 I )x

0.

1 1 4

2 2 4

1 1 3

operaciones elementales

1 0 0 1 0 0

1

2

1

4

.

0

La solución es:

x y z

1 z 2 1 z 4 1z 2

E2

gen

2

1 4

;

1 4

es un vector característico asociado con

Similarmente, encontremos E3 . ( A 3I )x

2 1 4 La solución es:

x y z

216

1 z 4 1 z 4 1z

0

2 3 4

1 1 2

operaciones elementales

1 0 0 1 0 0

1

4

1

4

0

.

2.

Módulo 16: Valores y vectores característicos 1 E3

gen

1

1 4

;

3.

es un vector característico asociado con

1 4

Ejemplo 5

1 1 0

Sea A

1 2 1

0 1 . Determinemos los valores y vectores característicos de A. 1 1

det ( A

I)

1 1 0

0 1

2 1

1

3

4 2 3 0 ( 1)( 3) 0. Los valores característicos de A son

1

0,

2

1,

3

3.

Ahora encontremos los espacios característicos correspondientes a cada valor de E0 ,

( A 0 I )x

.

0.

1 1

1 2

0 1

1 0 0 1

1 1 , entonces

0

1

1

0 0

0

x

1z

y z

1z 1z

1 E0

E1 ,

gen

( A I )x

1 1

.

0.

0 1

1 1

0 1

1 0 1 0 1 0 , entonces

0

1

0

0 0 0

x y z

1z 0z 1z

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 217

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 1 E1

gen

0 1

( A 3I ) x

E3 ,

2 1 0

0.

1 1 1

E3

.

0 1 2

1 0 0 1 0 0

1 2

gen

1 , entonces x 2 y 0 z

1z 2z 1z

.

1 Ejemplo 6

Sea A

0

1

0 1

0 1 , entonces 3 3

0

1 det( A

I)

0 1

0 1 3

2

3

(

0

3 3

1)

3

3

1 0,

0.

1 es el único valor característico de A con multiplicidad algebraica de 3.

Luego

Ahora veamos cuál es el espacio característico de

E1 :

1 0

1 0 1 1

1 0 0 1

1 1 , entonces

1

3 2

0 0

0

1 E1

218

1 . Resolvemos ( A I )x

gen

1 1

.

x

z

y

z

z

z

0.

Módulo 16: Valores y vectores característicos Ejemplo 7

3 2 4 Sea A

2 0 2 ; entonces, 4 2 3 3 det ( A

I)

det ( A

Luego

1

2 2 4

2

3

I)

4 2

2

6

0

3 15

8

1) 2 (

(

1 con multiplicidad algebraica de 2 y

8)

0.

8.

2

Determinemos ahora los espacios característicos. E 1 : ( A I )x

0.

4 2 4

1

1

2 1 2 4 2 4

0 0

0 0

x y z

1

2

y 1 0

z

-1

E 1 : gen

2

1 0 , entonces 0

x y

y

z

z

1 y z 2

1 0 . 1 1

1 , 0 0 1

E8 : ( A 8I )x

2

.

0.

5 2

2 8

4 2

1 0 0 1

4

2

5

0 0

1 1

2

0

, entonces

x y z

1z 1 z 2 1z

1 E8 : gen

1

2

.

1 Observación: la factorización del polinomio característico de A, en general, no es obvia. El álgebra nos brinda dos resultados que pueden ser útiles a este respecto:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 219

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas (1).

El producto de todas las raíces del polinomio n

P( )

(2).

bn

n 1

1

... b1

b0

n

0 es ( 1) b0.

Si bn 1 ,..., b1 , b0 son enteros, entonces P ( ) no puede tener una raíz racional que no sea un entero. Luego las posibles raíces racionales de P( ) serán factores enteros de b 0. Por supuesto, P( ) podría tener raíces irracionales. Además, P ( ) también podrá tener raíces complejas; si esto sucede, éstas ocurren en pares conjugados.

Ejemplo 8 2 5

Sea A

1 . Determinemos los valores y vectores característicos de A. 2

det ( A

De donde,

2

I)

1 5

2

1 y

2

0, entonces

2

i,

1, o sea

1

1 0.

i y

i.

2

Veamos los espacios característicos. Ei : ( A iI ) x 2 i 5

0. x y

1 2 i

Entonces, si x = 1, y

Por tanto, x1

Ahora, E

i

2 i.

1

es un vector característico correspondiente a

2 i 1

Ei : gen

0 , luego (2 i ) x y 0 0 (2 i ) x y

2 i

.

resulta de resolver ( A iI )x

2 i 5

1 2 i

Ahora, si x = 1, y

x y

0.

0 , lo cual lleva a (2 i ) x 0

(2 i), y entonces x 2

Observación: note que

i y

2

1 2 i

y

0.

.

i es el conjugado complejo de

1

i , y además los

componentes de x 2 son conjugados complejos de los componentes de x1. Este

220

Módulo 16: Valores y vectores característicos hecho no es casual y se puede demostrar que los valores característicos de una matriz real ocurren en pares conjugados complejos y los vectores característicos correspondientes son conjugados complejos entre sí.

16.3 Propiedades Teorema 3 Sea A una matriz n n y sean

1

,

2

,...,

m

valores característicos diferentes de A

con sus correspondientes vectores característicos x1 , x 2 ,..., x m . Entonces x1 , x 2 ,..., x m son LI. Demostración Razonamos por inducción sobre m. 1.

m = 2. Suponga que C1x1 C2 x2

0.

A : C1 Ax1 C2 Ax 2

Hagamos (1)

(1) 0.

Como x1 y x 2 son vectores característicos correspondientes a valores característicos

1

y

Luego C1 1x1 C2

2

2

x2

Multiplicamos (1) por

2

1

2

) x1 C2

C1 (

1

2

) x1

1

obtiene C2 x 2

2

i

xi , i

1, 2.

0.

C1 (

En esta igualdad x1 porque

, entonces Axi

(2)

y se resta de (2). 0 2

2

x2

0,

0. 0 ya que es un vector característico; (

, entonces C1

1

2

)

0

0. Sustituimos este valor en (1) y se

0 ; por tanto, C2

0 y concluimos que x1 y x 2 son LI.

2.

Supongamos que para m = k se cumple que x1 , x 2 ,..., x k son LI y veamos para m = k +1.

3.

Sea C1x1 C2 x 2 ... Ck x k Hagamos (3)

Ck 1 x k

1

0.

(3)

A:

C1 Ax1 C2 Ax 2 ... Ck Ax k

C k 1 Ax k

1

0,

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 221

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas y aplicando el hecho de que Axi C1 1x1 C2 2 x 2 ... Ck Multiplicamos (3) por C1 ( Ck C1 (

1

k 1

k 1

) x1

1

k 1

k 1

C2 ( k 1

) x1

1,..., k 1, tenemos:

k

xk

Ck

x

0.

1 k 1 k 1

(4)

y lo restamos de (4).

0 1

x, i

i i

xk

C2 (

k 1

2

) x2

... Ck (

k

k 1

)xk

) x2

... Ck (

k

k 1

)xk

0.

1

k 1

2

0.

Como según la hipótesis de inducción x1 , x 2 ,..., x k son LI, entonces C1 (

1

k 1

)

Como los valores de C1

C2

...

C2 (

k 1

2

)

...

Ck (

k

k 1

)

0.

, i

1,..., k 1 son diferentes, entonces

Ck

0.

i

Llevamos estos valores a (3) y obtenemos Ck 1x k Concluimos entonces que x1 , x 2 ,..., x m , x m para todo m.

1

1

0, de donde Ck+1 = 0.

son LI, completando la prueba

El teorema anterior establece que vectores característicos correspondientes a valores característicos diferentes son linealmente independientes. El resultado del teorema puede verificarse en los ejemplos desarrollados. Además se observa que en algunos casos se encuentran tantos vectores característicos linealmente independientes como la multiplicidad algebraica del valor (ejemplos

1 tiene una multiplicidad algebraica 2 y se 4, 5 y 7). En el ejemplo 7 el valor determinan dos vectores en la base del espacio característico correspondiente, esto es, dos vectores característicos LI. Sin embargo, esto no siempre es así; en el ejem1 tiene una multiplicidad algebraica 3 y un solo vector plo 6 el valor caraterístico característico LI asociado con él. Definición 4 Sea un valor característico de A. Entonces la multiplicidad geométrica de es la dimensión del espacio característico correspondiente a (nulidad de la matriz ). A I Para cada valor característico debe haber asociado al menos un vector característico. Si la multiplicidad algebraica de es mayor que 1, por ejemplo si A es una matriz 3

3 con dos valores característicos

2, respectivamente, entonces para

222

1 1

y

2

con multiplicidades algebraicas 1 y

habrá asociado un vector característico y

Módulo 16: Valores y vectores característicos para 2 podrá haber uno o dos vectores característicos LI. Es claro que no podrán ser más de dos ya que en el caso de que fueran tres vectores, se completarían cuatro vectores LI en un espacio vectorial de dimensión 3, lo cual es absurdo. Estas consideraciones quedan expresadas en el siguiente teorema. Teorema 4 Sea

un valor característico de A. Entonces, multiplicidad geométrica de

multiplicidad algebraica de .

Teorema 5 Sea A una matriz n n. A tiene n vectores característicos LI si y sólo si la multiplicidad geométrica de todo valor característico es igual a la multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n vectores característicos LI si todos sus valores característicos son diferentes. La deducción del teorema resulta evidente de los resultados establecidos en los teoremas 3 y 4. Teorema 6 Los valores característicos de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz. La demostración del teorema se deja como ejercicio. En el ejemplo 5 la matriz A tenía un valor característico igual a 0, o sea que det ( A 0 I )

0, luego det A 0, lo cual significa que A no es invertible.

Teorema 7 A es invertible si y sólo si

0 no es un valor característico de A.

La demostración del teorema se deja como ejercicio. Finalizamos esta sección destacando algunas relaciones entre los valores característicos de A y los valores característicos de matrices relacionadas con A. Teorema 8 Sea An

n

una matriz que tiene valores característicos

a.

Los valores característicos de AT son

b.

Los valores característicos de

c.

Los valores característicos de Am son

d.

Si A

1

1

,

A son 1

2 1

m

,

1

,...,

,

2 2

,

m

existe, los valores característicos de A

k

,...,

k

; entonces:

.

,...,

,..., 1

2

m

son

k k

.

para m = 1, 2, 3... 1 1

,

1 2

,...,

1

.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Valores y vectores característicos»

k

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 223

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Demostración a.

Si

i

es valor característico de A, det( A

Ahora, det ( A

Luego c.

i

I)

i

det ( A

i

i

I)

0.

I )T

det ( AT

i

IT )

det ( AT

i

I ).

, i 1,..., k, es un valor característico de AT.

Razonemos por inducción. Para m = 2. Si Av

es un valor característico de A,

i

i

v.

(1)

Multiplicando (1) por A, A Av

A i v,

A2 v

i

Av.

Aplicando (1), tenemos: A2 v

i

i

v

i

2

v.

Esta última ecuación significa que

i

2

es un valor característico de A2.

Supongamos que para m = k se cumple que Ak v

i

k

v.

(2)

Veamos para m = k + 1. Multiplicando (2) por A, A Ak v k 1

A v

A i

k

i

k

v,

(3)

Av.

Aplicando (1) en (3), Ak 1 v

i

k

i

v

i

k 1

v.

Luego i k 1 es un valor característico de A Los literales b y d se dejan como ejercicio.

224

k 1

y esto completa la prueba.

Módulo 16 1.

2 2

Sea A

2 2

. Determine cuáles de los siguientes vectores de

2

son vectores característicos de A; en caso de

serlo, determine el valor característico asociado. a. b. c.

(2, 1) (2, 2) (3, 3)

d. e. f.

(4, 4) ( 6, 6) ( 1, 2)

En los ejercicios 2 a 12 encuentre los valores y vectores característicos de la matriz dada. 2.

5.

8.

11.

13.

0 1 1 0

1 0 0

3 2 1

3.

1 0 1 1 0 2

7 4 2

6.

5 3 2

a b 0 0 0 a c 0 0 0 a 0 0 0 0 a

9.

; bc

0

12.

1 0 1 1

0

4.

1

1

4

3 2

2 1

1 1

7.

a 0 0 0 0 a 0 0

0 0

0 0 a d 0 0 0 a

; bcd

0

0 1

0

0

1 0 0 0

0 1

0 1

0 0

2 4

a b 0 0 0 a 0 0 ; b 0 0 0 a 0 0 0 0 a

10.

0 0 a 0 0 0 0 a

a b 0 0 a c

1

1

0

Sea A una matriz diagonal de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son polinomio característico de A y sus valores característicos.

1

,

2

,...,

n

. Determine el

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

225

14.

Sea A una matriz triangular de orden n. Determine el polinomio característico de A así como sus valores característicos.

15.

Suponga que 1 es un valor característico de la matriz A, y valor característico de A + B?

16.

Realice una demostración del teorema 7.

17.

Demuestre las partes b y d del teorema 8.

18.

Sea A una matriz real de n v1, entonces

1

n. Demuestre que si

1

es un valor carcterístico de la matriz B. ¿Es

1

2

un

es un valor característico complejo de A con vector característico

es un valor característico de A con vector característico v1 .

Ejercicios del módulo 16

226

2

17

El problema de la diagonalización Contenidos del módulo 17.1 Diagonalización 17.2 Condición necesaria y suficiente para que una matriz An

n

sea diagonalizable El problema de la diagonalización consiste en encontrar una matriz D tal que D = P-1AP.

Objetivos del módulo 1. Establecer una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable. 2. Utilizar las propiedades de las matrices semejantes para trabajar algebraicamente con A a través de su matriz diagonal equivalente.

Preguntas básicas 1. ¿Cuándo una matriz An n es diagonalizable? 2. Si A y B son matrices semejantes, ¿cómo son sus polinomios característicos y sus valores característicos?

Introducción El problema de la diagonalización puede enunciarse de la siguiente forma: «Dada una matriz A de n n encontrar, si es posible, una matriz D diagonal, similar o semejante a la matriz A». Este problema está íntimamente relacionado con el problema de la determinación de los valores y vectores característicos de A, como veremos en el desarrollo siguiente.

Vea el módulo 17 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 227

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

17.1 Diagonalización Definición 1 Decimos que la matriz An n es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal D. Es decir, si existe una matriz invertible P tal que P 1 AP.

D

Ejemplo 1 La matriz A

3 2 dada en el ejemplo 1 del módulo 16 es diagonalizable ya que A 3 4 1 0 . Ambas matrices son representaciones de la transforma0 6

es similar a BT

definida por T

2

ción lineal T :

x

3x 2 y

y

3x 4 y

. La matriz A está referida

a la base estándar y la matriz BT está referida a la base formada por los vectores 1 1

característicos LI

y

2 . Estos vectores forman las dos columnas de la 3

matriz P. Podemos verificar que: 1 0

1

0 6

2

1

1 3

3 2 3 4

1

2

1 3

.

Teorema 1 Si A y B son matrices similares de n n, entonces A y B tienen la misma ecuación característica y por consiguiente los mismos valores característicos. Demostración Si A y B son similares entonces existe una matriz P tal que B det ( B

I)

det ( P 1 AP

det P 1 det ( A

det ( A

228

I ).

I ) det P

I)

det ( P 1 AP P

det ( P 1 P) det ( A

1

I)

IP )

P 1 AP, y por tanto

det ( P 1 ( A

det I det ( A

I ) P) I)

Módulo 17: El problema de la diagonalización

17.2 Condición necesaria y suficiente para que una matriz A n n sea diagonalizable Teorema 2

Una matriz A de n n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores característicos 1 LI. En este caso, A es similar a una matriz diagonal D, con P AP D, cuyos elementos en la diagonal son los valores característicos de A. P es una matriz cuyas columnas son respectivamente los n vectores característicos LI de A.

Demostración

Supongamos que A es similar a D, con D

1

0

0

0

2

0

0 D

P 1 AP, de modo que PD P AP

; entonces

n

AP. Sea P la matriz cuyas columnas son x1, x2,..., xn

x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n , Ax1 , Ax 2 ,..., Ax j ,..., Ax n .

Ahora,

PD

x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n

1

0

0

2

0 0

0 x,

1 1

2

x 2 ,...,

j

x j ,...,

,

n

n

xn .

Luego Ax1 , Ax 2 ,..., Ax j ,..., Ax n Ax j

j

xj

x,

1 1

2

x 2 ,...,

j

x j ,...,

n

x n , de donde

j 1,..., n.

Como P es invertible, sus columnas son LI y x j

0 para j 1,..., n. Por tanto,

j

es

un valor característicos de A y x j un vector característico correspondiente. Entonces A tiene n vectores característicos LI. Recíprocamente, supongamos que A tiene n vectores característicos LI x1, x2,..., xn con valores característicos correspondientes 1, 2 ,..., n . Sea P [x1 , x 2 ,..., x n ] la matriz cuyas columanas son los n vectores característicos LI; entonces P es invertible.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 229

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Como Ax j

j

x j para j 1,..., n,

[ Ax1 , Ax 2 ,..., Ax n ] [ 1 x1 ,

AP

2

x 2 ,...,

n

x n ],

PD .

Multiplicando a ambos lados por P 1 , tenemos: P 1 AP

D,

lo cual significa que A es diagonalizable. Corolario Si nAn tiene n valores característicos distintos, entonces A es diagonalizable. Observación El teorema 5 del módulo 16 establece la siguiente equivalencia: A tiene n vectores característicos LI

1.

multiplicidad geométrica de

igual a la multiplicidad algebraica de dice que: A es diagonalizable

2.

i

,i

i

es

1,..., m , y el teorema anterior

A tiene n vectores característicos LI.

De 1 y 2 tenemos que: A es diagonalizable algebraica de

multiplicidad geométrica de

i

es igual a la multiplicidad

, i 1,..., m, siendo m el número de raíces diferentes del polinomio

i

P( ). Ejemplo 2

En el ejemplo 7 del módulo16 determinamos para A

3 2 4 2 0 2 sus valores y 4 2 3

vectores característicos así: det ( A

8)

1

racterísticos

2

1 0

8.

230

I)

(

1 y 0 correspondientes a 1

1) 2 (

0 con vectores ca-

1 1 y

1

2

1

correspondiente a

Módulo 17: El problema de la diagonalización Luego A tiene tres vectores característicos LI y por tanto A es diagonalizable, siendo

1 0 0

D

0 0 1 0 . 0 8

La matriz P que diagonaliza la matriz A es: 1

P

1 1 0 12 . 1 1

2

1 0

Entonces, P 1 AP

D.

1

P ( P AP ) P

1

PDP 1 ,

( PP 1 ) A( PP 1 )

A

PDP 1 .

En el teorema 6 del módulo 13 demostramos que si A es similar a B, A n es similar a Bn . Para nuestro ejemplo, A n es similar a Dn , o sea:

An

PD n P 1 , 1

2

1 0

1 1 0 1

1

2

1

( 1) n 0 0

0 ( 1) 0

0 n

0 (8)

n

1 9

2

8

2

4

2

5 .

4

2

4

20 En particular, si se desea obtener A , bastaría hacer el producto indicado con n en lugar de multiplicar 20 veces por la matriz A.

20,

Ejemplo 3 Las matrices de los ejemplos 1, 3, 4, 5, 7 y 8 del módulo 16 son diagonalizables ya que para cada una de ellas se determinaron n vectores característicos LI. En el ejemplo 2, módulo 16, se planteó la matriz identidad que ya es diagonal, y en el ejemplo 6 del mismo módulo se obtuvo un valor característico de multiplicidad algebraica 3, al cual sólo iba asociado un vector característico LI, luego la matriz propuesta en el ejemplo 6 no es diagonalizable. Cuando estudiamos las propiedades de las matrices similares (teorema 6, módulo 13) vimos que si A y B son matrices similares entonces det A

det B.

Ahora, si A es similar a una matriz diagonal D, det A det D.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Diagonalización de matrices»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 231

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas La matriz diagonal similar a A tiene sobre la diagonal los valores característicos de A; entonces, det A

1

2

,...,

n

.

También establecimos que las distintas representaciones de una misma transformación lineal son matrices similares (teorema 5, módulo 13), luego con cualquier representación matricial que trabajemos obtendremos los mismos valores y vectores característicos.

232

Módulo 17 En los ejercicios 1 a 6 determine si la matriz dada A es diagonalizable; en caso de serlo, determine las matrices P, D y P

1

tales

que A = P D P . 1

1.

4.

7.

0 1 0 1 0 0 0 0 2

2.

1 2 2 2

5.

Diagonalice A

1

1

0

1

2 2

2 3

4 2

3

2

5

0 i i 0

1 3.

6.

1 0 0

2 4 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 i 1 0 i

y emplee la diagonalización hallada para calcular A12.

2

8.

Si A es invertible y diagonalizable, ¿es A

9.

Si A y B son diagonalizables con A = P 1 D1P y B = Q 1 D2Q, ¿es A B una matriz diagonalizable, con D1 D2 su matriz diagonal equivalente? ¿Es A + B diagonalizable, con D1 + D2 su matriz diagonal equivalente?

1

diagonalizable?

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

233

234

18

Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Contenidos del módulo Una de las aplicaciones más interesantes de los valores característicos es poder determinar el comportamiento de un sistema que pasa por varios estados, donde el estado siguiente sólo depende de su estado anterior en una etapa avanzada del proceso. El método para hacerlo se debe al matemático y lingüista ruso Andrei Andreyevich Markov (1856-1922) y se conoce como cadenas de Markov.

18.1 Ecuaciones en diferencias 18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacional 18.2 Procesos de Markov 18.2.1 Modelo de funcionamiento de una máquina

Objetivos del módulo 1. Mostrar aplicaciones a la ingeniería de la teoría de valores y vectores característicos. 2. Estudiar sistemas dinámicos en crecimientos poblacionales y procesos de Markov.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se conforma la matriz de transición de un proceso en un sistema dinámico? 2. Analizando los valores característicos de la matriz de transición A en el estudio de una población, ¿cómo se sabe si la población crece o decrece? 3. ¿Qué es un proceso de Markov? 4. ¿Qué es una matriz de probabilidad? 5. ¿Cuándo un proceso de Markov alcanza su estado estacionario?

Introducción En esta sección presentaremos algunas de las aplicaciones más importantes de la teoría de valores y vectores característicos. Éstas son: ecuaciones en diferencias y procesos de Markov.

Vea el módulo 18 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 235

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

18.1 Ecuaciones en diferencias Un proceso que va pasando a través de diferentes estados cada cierto intervalo de tiempo, esto es, un proceso discreto en el tiempo, se describe usualmente como un sistema de ecuaciones en diferencias.

18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacional Estudiaremos un modelo de crecimiento poblacional para una especie de venados donde se han determinado las siguientes condiciones: 1.

El número de hembras es igual al número de machos.

2.

La población se considera dividida en dos grupos de edad que son: Pj , n 1 : población juvenil (inmadura) de hembras en el año n – 1. Pa , n 1 : población adulta de hembras en el año n – 1.

La población juvenil es aquella entre 0 y 1 año, y la población adulta es la que tiene más de un año de edad. El crecimiento de esta población se estudia a través de las hembras, y haciendo uso de la primera condición podemos saber cómo va la población en cualquier periodo. 3.

Hay una tasa de supervivencia de los venados jóvenes que sobrevivirán para ser adultos en el año siguiente. Para los adultos también hay una tasa de supervivencia sobrevivientes para el periodo siguiente.

4.

de los adultos

Cada hembra adulta produce, en promedio, k hembras jóvenes para el periodo siguiente.

Haciendo uso de la información suministrada podemos expresar las poblaciones de hembras jóvenes y adultas en el periodo n, así: Pj , n

kPa , n 1 .

Pa , n

Pj , n

o Pn

1

Pa, n 1 .

APn 1 , donde Pn

Pj , n Pa , n

,A

0

k

, Pn

1

Pj , n

1

Pa , n

1

.

Entonces, si P0 es la población inicial de hembras jóvenes y adultas, podemos expresar las poblaciones en los periodos siguientes así: P1

AP0 , P2

AP1

A( AP0 )

A2 P0 , P3

Luego la población en el periodo n está dada por:

236

AP2

A( A2 P0 )

A3 P0 .

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Pn

An P0 .

Determinemos para A sus valores y vectores característicos: det ( A

k

I)

2

0.

0, entonces

k

2

4 k

2 2 1

2

, con

4 k

y

2

k

0, de donde

y k cantidades positivas.

,

2 2

4 k

2

.

Analizando estas expresiones podemos afirmar que: 1

0,

0 y

2

1

2

.

va asociado un vector característico. Si v1 y v2 son los vectores

A cada valor de

característicos correspondientes a son LI.

1

y

2

, respectivamente, entonces v1 y v2

La población inicial P0 se puede expresar como combinación lineal de v1 y v2 así: P0

a1v1 a2 v2 .

Como Pn

An P0 , entonces

Pn

An (a1 v1 a2 v2 ) a1

n 1

v1 a2

2

n

a1 An v1 a2 An v2

v 2 , ya que An v1

n 1 1

v y An v 2

v 2 (teorema 8, parte c, módulo 16)

2

n

n 1

n

a1 v1

a2

2

v2 .

1 n

Como

1

2

,

2 1

Pn

tiende a cero cuando n es grande, entonces (1)

n 1 1 1

av.

A largo plazo la distribución de edades se estabiliza y es proporcional a v1. Cada grupo de edad cambiará por un factor

1

cada año.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 237

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Es importante notar toda la información que podemos obtener del cálculo de los valores y vectores característicos: Una pregunta importante de resolver es: ¿la población crecerá o decrecerá? Aumenta si

1, y esta condición se verifica cuando

1

2

4 k

2

2

1,

4 k

2

.

Elevando al cuadrado, 2

4 k

4 k

k

2

4 4

,

4 4 ,

1

.

Supongamos ahora que en esta población de venados se tienen: k

1,

0.8 y P0

0.6,

100 . 200

Entonces, 0

A

1

0.6 0.8

,

luego det ( A

1

I)

0.8

2

0.6 0.8

(0.8)2 2

4 0.6

,

1

0.8

1.27,

0.6

2

0,

0.47.

Sabemos que a la larga la población se estabiliza y se calcula de acuerdo con la ecuación (1). En consecuencia, la población crecerá por un factor aproximado de 1.27. Los granjeros y otras personas del área no quieren que la población crezca. Pueden controlar la población «cosechándola» (permitiendo la caza de venados adultos); si h es la proporción de población cosechada en cada periodo, entonces la proporción de supervivencia de la población adulta se disminuye en h y la matriz A para el modelo será: A

238

0

1

0.6 0.8 h

.

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Veamos qué pasa si h = 0.6. En este caso 0

A

1

0.6 0.2

0.2

y

,

det ( A

0.04 4 0.6 2

1

1

I)

2

0.6 0.2

0.2

0.6

0

0.88.

Así que 1 1 y la población decrecerá, luego h = 0.6 es una cosecha demasiado grande que terminará por extinguir la especie. Si queremos que la población permanezca estable, esto es, que no crezca ni desaparezca, el valor característico mayor ( 1 ) debe ser igual a 1. Entonces 2 1

4 K

1,

2 (0.8 h) 2 2

(0.8 h)

4 0.6

1,

h = 0.4. Así que una proporción de caza igual a 0.4 mantendrá estable la población. Ejemplo 1 Una especie animal está clasificada en dos etapas de vida: juvenil (hasta un año de edad) y adulta. Suponga que las hembras adultas paren una vez al año un promedio de 1.6 hembras juveniles. Cada año sobrevive 30% de los juveniles para transformarse en adultos y sobrevive 80% de los adultos. Veamos cómo estaría dada la población de esta especie en un periodo cualquiera k.

Pk

Pj , k

Pj , k

1.6 Pa , k

1

Pa , k

Pa , k

0.3 Pj , k

1

0.8 Pa , k

1

de donde Pj , k Pa , k Pk

1.6

Pj , k

1

0.3 0.8

Pa , k

1

0

,

APk 1.

Veamos cómo se comporta este sistema, analizando sus valores y vectores característicos. det ( A

I)

1.6 0.3 0.8

2

0.8

0.48

0,

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Aplicaciones valores y vectores propios»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 239

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

0.8 Luego

0.64 4 0.48 2

1.2 y

1

2

0.8 1.6 . 2

0.4.

La población crece porque el mayor valor característico de A es 1.2 cuya magnitud es mayor que 1. Determinemos los vectores característicos asociados a Para

1.6

0.3

0.4

0.4,

2

0.4 1.6 0.3 1.2 4, y

0.3 x 0.4 y 3x 4 y

, entonces

2

0.4.

0

4 . 3

Si x 4 e y 3, entonces x1

Si x

1.2 y

1.2, resolvemos (A – 1.2I) x = 0.

1

1.2

Para

1

(A + 0.4 I) x = 0.

0.4 x 1.6 y 0 4x 16 y o x

, entonces

1 y x2

4 1

4y

.

Si la población inicial P0 la expresamos en términos de x1 y x2, entonces P0

a1x1 a2 x2 ,

Pn

An P0

An ( a1x1 a2 x2 ),

a1 An x1 a2 An x 2 2

a1

n 1 1

x

a2

0.4 1. Cuando n es grande,

2

n

2

x2 . n

0 y Pn

La población crece con un factor constante igual a

a1

n 1 1

x.

.

1

La tasa de crecimiento final es de 1.2, que es un 20% anual. El vector característico x1

4 3

muestra que habrá cuatro juveniles por cada tres adultos.

En los modelos estudiados se describe un proceso que está determinado por medio de la matriz A. El vector P0 se llama estado inicial del proceso y el vector Pn para n

240

se llama n-ésimo estado del proceso.

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos A la matriz A se le conoce como la matriz de transición del proceso y a la ecuación A n Pn

Pn

1

se le llama ecuación matricial en diferencias o sistema dinámico.

Teorema 1 Sea A una matriz diagonalizable n n con vectores característicos linealmente independientes v1, v2,..., vn y sus correspondientes valores característicos ,

1

,...,

2

Xk

n

. La solución del sistema dinámico X k c1

k 1

v1 c2

2

k

v 2 ... cn

n

k

AX k

se expresa así:

1

vn ,

donde los coeficientes c1 , c2 ,..., cn son tales que: Xo

c1 v1 c2 v2 ... cn vn .

Demostración Los vectores v1, v2 ,..., vn forman una base del espacio V ( puede expresar en esta base como Xo Como X k

n

o

n

), luego X 0 se

c1 v1 c2 v 2 ... cn v n .

AX k 1 , entonces AX1 , X 2

A2 X 0 ,..., X k

X1

AX 0 , X 2

Xk

Ak (c1 v1 c2 v 2 ... cn v n )

Ak X 0 .

Luego c1 Ak v1 c2 Ak v 2 ... cn Ak v n .

Aplicando el teorema 8, módulo 16, donde se establece que si característico de A, Xk

c1

k 1

n i

v1 c2

i

es un valor

es un valor característico de An, tenemos:

2

k

v 2 ... cn

n

k

vn .

18.2 Procesos de Markov Sean S1, S2 ,..., Sn los estados posibles de un sistema S. Supongamos que S se observa en los tiempos dados T1,T2 ,..., Tn . Una cadena de Markov es un proceso en el cual la probabilidad empírica de que S se halle en un estado particular al tiempo Tk depende solamente del estado en que se halle S en el tiempo Tk 1 . La matriz de transición en un proceso de Markov es una matriz de probabilidad.

Escuche la biografía de Andrei Andreyevich Markov en su multimedia de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 241

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Definición 1 Sea A una matriz n n. A es una matriz de probabilidad si se cumple que: i. ii.

aij 0 para toda i y j. La suma de las componentes en cada columna es 1.

Antes de plantear modelos de procesos de Markov veremos una propiedad importante de las matrices de probabilidad. Teorema 2 Sea An n una matriz de probabilidad; entonces,

1 es un valor característico de A.

. Demostración 1 es un valor característico de A si det ( A 1I ) 0,

A I

a11 1 a12 a21 a22 1 an1

a1n a2 n

an 2

.

ann 1

Como A es una matriz de probabilidad, n i 1

aij

1, para j 1,..., n (la suma sobre cada columna es 1). n

En la matriz A I , la suma sobre cada columna será a11 1 a12 a21 a22 1 an1 n i 1

ai1 1

a1n a2 n

an 2

i 1

aij 1 0.

R1 ( R2 ... Rn )

ann 1 n

i 1

ai 2 1

n i 1

ain 1

a21

a22 1

a2n

an1

an 2

ann 1

0

0

a21 a22 1 an1

an 2

0 a2 n

0.

ann 1

18.2.1 Modelo de funcionamiento de una máquina Suponga que una máquina está siempre en alguno de estos tres estados: (1) parada sin reparación (P), (2) en necesidad de ajustes (N), (3) trabajando bien (T).

242

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Sea:

A

P N

T

1

1

1

0 0

1 1

4

8

2

9

4

18 18 18

P N T

con aij : probabilidad de que una máquina que se encuentre en el estado j pase al estado i en el periodo siguiente. Asumimos que la probabilidad de estar en uno cualquiera de los estados al final de un periodo depende sólo del estado en que se encontraba la máquina al principio del periodo, o sea, el final del periodo anterior. X1,t X 2,t , donde X i ,t es la probabilidad de que la máquina esté en el estado X 3,t

Sea Xt

i al principio del periodo t. Entonces AX t -1

Xt .

Si X 0 es la distribución de probabilidad inicial, AX 0 Xn

X1 , AX1

A 2 X 0 ...

X 2 , AAX 0

A n X 0 , n 1.

Por ejemplo, si la máquina está trabajando bien al principio del periodo, entonces

X0

0 0 , X1 1

1 0 0

1 1 1

0 0 1

1 18

4

8

2

9

4

18 18

9 8 9

18 18

.

18

Si consideramos una factoría donde cada máquina se comporta con una distribución de probabilidad como muestra X1 , podemos esperar que 1/18 de las máquinas estén paradas, 4/9 necesiten ajustes y 1/2 estén trabajando bien. El comportamiento de la máquina está dado por la matriz A. La secuencia de vectores X1 , X2 ,..., Xn se llama cadena de Markov. Veamos, si A es diagonalizable, cómo calcular An como el producto PD n P 1 .

1 det ( A

I)

1

0 0

1

1 18

4

8

2 1

4

9

18

0,

18

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 243

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

(1

)

(1

)

(1

)

2

1 2

8 1 18 4 5 36

2

1 6

0,

0, 5 6

0,

1,

1

1 , 6

2

5 . 6

3

1 0, de donde v1

1, resolvemos ( A I ) v

Para

1 4 .

1/ 6, se determina v2

Para

0. 0

3 7 4 (verifíquelo). 3

5 / 6, se encuentra v 3

Para Luego

1 0 0

P

1 4 3

7 4 , P 3

1 0 0

1

1

1

1

1

1

8

1

8

, D

6 6

1 0 0

0 1

0 0 .

6

0

5

6

Si se quiere saber el estado del proceso después de cinco periodos, habiendo comenzado con las máquinas trabajando bien, entonces

X5

5

A

0 A 0 , 1

5

5

A X0

5

PD P

1

1

1

7

1

0

0 0

4 3

4 3

0 ( 6) 0 0 1

5

0

1

1

1

0 ( 6 )5

0 0

1

1

1 0.648 0.531 0 0.201 0.268 , 0 0.151 0.201

y X5

244

1 0.648 0.531 0

0.531

0 0.201 0.268 0

0.268 .

0 0.151 0.201 1

0.201

5

1

8

8

1

6 6

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Después de cinco periodos la probabilidad de que las máquinas estén trabajando bien es de aproximadamente 0.2, esto es, aproximadamente 20%; poco menos del 27% necesita ajuste y aproximadamento 53% están paradas. Se quiere saber si existe alguna distribución que se mantenga de un periodo a otro, esto es, si Xt

X t , Xt

1

AX t

1

Xt .

Vemos que el vector de probabilidad correspondiente a ción.

1 verifica esta condi-

Cuando el proceso se comporta de acuerdo con esta distribución, se dice que ha

1 0

alcanzado su estado estacionario. Este vector es

0

; esto es, cuando todas las

máquinas están en el estado (1), o sea, paradas sin reparación, ya no ocurre ningún cambio de estado de un periodo a otro. A esta situación se llega cuando han transcurrido n periodos con n grande. El objetivo del análisis de Markov es calcular la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un tiempo futuro y determinar el comportamiento del sistema a largo plazo. Teorema 2 Sea un proceso de Markov dado por la matriz A y la cadena X1, X2 ,..., Xk ,... . Si A es diagonalizable y todo valor característico de A distinto de 1 posee módulo menor que, 1 entonces: a.

La sucesión X1, X2 ,..., Xk ... cuando k tiende a infinito converge al lim X k

b.

X es un vector del espacio característico de A asociado con

k

X . 1, es

X .

decir, AX

Demostración a.

Como A es diagonalizable, la solución X k de la ecuación en diferencias o sistema dinámico X k Xk

C1

k 1

v1 C2

k 2

AX k 1 está dada por

v 2 ... Cr

k r

vr

Cr

Supongamos que el valor característico r, y que Xk

r 1

,

r 2

...

n

vr

1

k n

... Cn

v n (teorema 1).

1 tiene multiplicidad algebraica

son menores que 1; entonces:

C1 v1 C2 v 2 ... Cr v r

Ahora, para cada i

k 1 r 1

Cr

k 1 r 1

vr

1

... Cn

k n

vn .

r 1,..., n tenemos que:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 245

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas lim k

k i

0 ya que

1.

i

Luego lim Xk

C1 v1 C2 v 2 ... Cr v r ... X .

k

b.

Los vectores v1, v2 ,..., vr son vectores característicos asociados con Por tanto, X es un vector del espacio característico de A asociado con

1. 1.

X se conoce como el estado estacionario del sistema. Ejemplo 2 Cada año 5% de la población de la ciudad se muda a los suburbios y 3% de la población de los suburbios se muda a la ciudad. Suponga que inicialmente 60% de la población vive en la ciudad y 40% en los suburbios (figura 18.1). Veamos cuál es la distribución de la población después un año.

Figura 18.1

Sean Pc , n y Ps , n las poblaciones de la ciudad y los suburbios en el año n.

P0 P1

0.6

Pc ,0

0.4

Ps ,0

P1

0.95 0.03 0.6

0.582

0.05 0.97

0.418

0.4

Pc ,1

Pc ,1

0.95 Pc ,0

0.03Ps ,0

Ps ,1

Ps ,1

0.05 Pc ,0

0.97 Ps ,0

.

Después de un año, aproximadamente, 58% de la población vive en la ciudad y 42% en los suburbios. Se quiere conocer la distribución de población que permanezca a través del tiempo. Pk

1

Pk

APk .

Pk es un vector característico correspondiente a

Si x

246

0.95 1

0.03

0.05

0.03

0.05

0.97 1

0.05

0.03

3, y

5 , entonces v

3 . 5

, entonces

1.

0.05 x 0.03 y 5x 3 y

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Se debe determinar dentro de los vectores de E1 un vector de probabilidad (la suma de sus componentes debe ser 1). v1

3/ 8 5 / 8 es un vector de estado estacionario.

Se quiere conocer la población después de k años. Averigüemos los valores característicos de A. 0.95 0.05 2

0.03 0.97

1.92

(0.95

0.92

0,

)(0.97

(

1)(

) 0.0015

0.92)

0,

Determinemos un vector característico correspondiente a 0.95 0.92 0.03 0.05 0.97 0.92

0,

1

2

0.03 0.03 , 0.05 0.05 entonces

1,

2

0.92.

0.92.

0.03x x

0.03 y y

Luego v2

P0 3 5 Pk

1

.

1

0.4

1 0.6 1 0.4 a1 1k v1 a2

1 3 8 5 Cuando k

0.6

a1v1 a2 v2 ,

,

a1

3 5

a2

1 1

,

1 0 1/ 8 . 0 1 9 / 40 k 2

v2 ,

1 9 (0.92)k . 1 40 (0.92) k

0 y Pk

3/ 8 . 5/ 8

A largo plazo la población alcanza el estado estacionario que es el vector de probabilidad correspondiente a 1. La población se estabiliza cuando 3/8 de ella vive en la ciudad y 5/8 en los suburbios.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 247

Módulo 18 1.

La población de una cierta variedad de peces aumenta de manera que el crecimiento en cualquier año es el doble del crecimiento en el año anterior. Si inicialmente se tenían 50 peces y después del primer año se contabilizaron 70 peces: a. b. c.

2.

Suponga que hay tres centros principales de camiones «múdese usted mismo». Cada mes, la mitad de los que están en Boston y en Los Ángeles van a Chicago, la otra mitad permanece donde está y los camiones de Chicago se dividen igualmente entre Boston y Los Ángeles. Si inicialmente la compañía tenía x0, y0, z0 camiones en Boston, Chicago y Los Ángeles, respectivamente, a. b.

3.

d.

Encuentre, para el k-ésimo año, el tamaño de la población que vive fuera (dentro) de California. ¿Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la probabilidad de que un individuo de Estados Unidos, elegido al azar, viva fuera (dentro) de California en el k-ésimo año. Encuentre la distribución de la población americana a largo plazo.

Suponga que hay una epidemia en la que cada mes se enferma la mitad de los que están sanos y muere la cuarta parte de los que están enfermos. Suponga que inicialmente había s0 y e0 individuos sanos y enfermos, respectivamente, y ningún individuo había muerto. a. b. c.

5.

Encuentre la distribución de camiones de la compañía en las tres ciudades, para cada mes. Determine cuál será a largo plazo la distribución de camiones de la compañía.

Cada año 1/10 de la gente de Estados Unidos que vive fuera de California se muda dentro y 2/10 de la gente que vive dentro de California se muda fuera. Si inicialmente y0 y z0 eran los tamaños de las poblaciones fuera y dentro de California: a. b. c.

4.

Encuentre el tamaño de la población de peces en cualquier año. Encuentre el tamaño de la población después del quinto año. Encuentre el año en que la población de peces alcanza 2800 individuos.

Encuentre la distribución de la población para el k-ésimo mes y diga cuál es la probabilidad en ese mes, para cada uno de los siguientes eventos: estar sano, estar enfermo, estar muerto. ¿Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la distribución de la población a largo plazo.

Un curso de Química se imparte en dos secciones. Si cada semana dejan el curso 1/ 4 de los que están en la sección A y 1/ 3 de los que están en la sección B, y 1/6 de cada sección se transfiere a la otra:/ a. b.

A largo plazo, ¿cuál será la distribución de alumnos? ¿Puede modelar el problema como un proceso de Markov?

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 248

Para resolver a y b suponga que inicialmente tenían x0 e y0 estudiantes en las secciones A y B y ningún estudiante fuera del curso. 6.

El crecimiento de un cultivo de bacterias en un medio nutritivo se observa cada dos horas y cada vez se encuentra que la población ha crecido 30% con respecto a la vez anterior. a. b.

7.

Denote por Pn la población de bacterias después de 2n horas y describa este proceso de crecimiento por medio de una ecuación. Dado que la población inicial es 1000 bacterias, determine P2 y P4.

En un estudio de enfermedades infecciosas se mantiene un registro de brotes de sarampión en un colegio particular. Se estima que la población Pn infectada en la n-ésima semana está dada por la ecuación Pn P0 = 0 y P1 = 1000: a. b. c.

8.

2

Pn

1

1/ 5 Pn . Si

Encuentre la población de infectados en la n-ésima semana. ¿Se puede modelar el problema como un proceso de Markov? ¿Cuántos infectados se tendrán después de transcurridas seis semanas?

Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características: La mitad de los conejos sobrevive el primer año. De éstos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración de la máxima vida es tres años. Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es seis durante el segundo año y ocho durante el tercer año. Clase de primera edad Clase de segunda edad Clase de tercera edad

0 < edad < 1 1 < edad < 2 2 < edad < 3

Si actualmente la población consta de 24 conejos en la clase de la primera edad, 24 en la clase de la segunda edad y 20 en la tercera edad, ¿cuál será la distribución de conejos cuando hayan transcurrido diez años? 9.

Una compañía de robótica quiere fabricar un brazo que deberá recoger partes de una banda transportadora para colocarlas en otra banda. Ocasionalmente el brazo falla, pero el robot está diseñado para que en caso de falla se activen circuitos secundarios. En las observaciones se descubre que si el brazo falla en una ocasión, tendrá éxito la siguiente vez 97% de las veces. Si el brazo tiene éxito en cierto intento, los circuitos secundarios se desactivarán y el brazo fallará la siguiente vez apenas 2% de las veces. ¿Cumplirá el brazo con el requerimiento del cliente de que trabaje exitosamente 98% de las veces?

10.

En un día dado, un estudiante está sano o bien está enfermo. De los estudiantes que están sanos hoy, 95% estará sano mañana. De los estudiantes que están enfermos hoy, 55% estará enfermo mañana. a. b. c. d.

¿Cuál será la matriz para esta situación? Suponga que el lunes 20% de los estudiantes está enfermo. ¿Qué fracción o porcentaje de los estudiantes es probable que esté enfermo el miércoles? Si un estudiante está bien hoy, ¿cuál será la probabilidad de estar bien dentro de dos días? ¿Cuál es la probabilidad de que después de muchos días una persona dada esté enferma?

Ejer ciciosÁlgebradel 18249 Linealmódulo Elemental y Aplicaciones Ejercicios