Algebra Linear

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Álgebra Linear Izaias Cordeiro Néri 26 de Dezembro de 2015

Conteúdo 1 Vetores 1.1

3

Soma de Vetores 1.1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Vetor Oposto

1.3

Produto por um escalar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Vetores em um sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vetores em

R2

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.7

Norma de um Vetor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.8

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.9

Produto Escalar

8

1.4.2

Operações em

1.4.3

Vetores em

1.4.4

R

R3

Operações em

R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Produto Escalar em termos de Componentes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.11 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.12 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.14 Produto Vetorial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.15 Vetores Unitários Canônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.16 Produto Vetorial na forma de Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.17 Área de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.18 Produto Misto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.19 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Matrizes

17

2.1

Notação e formação de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Matrizes Especiais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.1

Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.2

Matriz Identidade

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.3

Matriz Transposta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

1

CONTEÚDO

2.4

Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1

Igualdade de Matrizes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.2

Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4.3

Produto de uma matriz por um escalar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.6

Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.7

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Determinantes

27 2×2

3.1

Determinante de matriz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Regra de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Exercícios - Regra de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4

Teorema de Laplace

30

3.5

Exercícios - Teorema de Laplace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Sistemas Lineares

31

32

4.1

Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2

Exercícios - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3

Problemas - Sistemas Lineares

34

Professor Izaias Cordeiro Néri

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Página 2 de 35

CAPÍTULO

1 VETORES

Vetores são representados geometricamente como segmentos orientados de reta ou como echas nos espaços bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor

~v

é A e o ponto nal é B, então escrevemos:

−−→ ~v = AB

B

A

1.1 Soma de Vetores 1.1.1

Regra do Paralelogramo

Sejam

~v

e

w ~

dois vetores quaisquer. A soma

~v + w ~

é representada na gura a seguir.

~v ~v + w ~ w ~

Figura 1.1: Soma de vetores usando a Regra do Paralegramo

3

Capítulo 1. Vetores

1.2 Vetor Oposto ~v

Se

é um vetor não nulo, então chamamos de oposto de

~v

o vetor

−~v .

Esse vetor tem a propriedade:

~v + (−~v ) = 0

~u ~u − ~v

~u − ~v

−~v

~v

Figura 1.2: Subtração de vetores

1.3 Produto por um escalar Dado um vetor

p~ = k.~v ,

~v 6= 0

e um número real

k 6= 0,

chama-se produto do número real

k

pelo vetor

~v ,

o vetor

tal que:



Módulo :

|~ p| = |k~v | = |k|.|~v |



Direção: a mesma de



Sentido: (a) o mesmo de

~v ~v

, se

k>0

(b) contrário de

~v

se

k<0

1.4 Vetores em um sistema de coordenadas 1.4.1

Vetores em

O conjunto

R2

R2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R}.

representado por

As coordenadas de um vetor

~v

são

(v1 , v2 ),

e o vetor será

~v = (v1 , v2 ). y v = (v1 , v2 ) ~v x

Figura 1.3: Vetores em

1.4.2

Operações em

R2

no plano cartesiano

R2

Adição Considere dois vetores

~u = (u1 , u2 )

e

~v = (v1 , v2 ),

a soma desses vetores é dada por:

~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 )

Professor Izaias Cordeiro Néri

Página 4 de 35

Capítulo 1. Vetores

Exemplo 1.4.1 Considere os vetores

Resolução:

~u = (2, 3)

e

~v = (−5, 1).

Determine a soma de

~u + ~v .

~u + ~v = (2 + (−5), 3 + 1) = (−3, 4)

Produto por um escalar Seja

~v

um vetor

~v = (x, y)

e

k

um escalar, representamos o vetor

k.~v

por:

k.~v = k(x, y) = (kx, ky)

Exemplo 1.4.2 Considere

~u = (2, 3)

Resolução: 1.4.3

e

O vetor

Vetores em

O conjunto

k = 3. k~u

Determine o vetor

será dado por

k~u = 3.(2, 3) = (6, 9) → k~u = (6, 9)

R3

R3 = R × R × R = {(x, y, z)}.

representadao por

k.~u.

As coordenadas de um vetor

~v

são

(v1 , v2 , v3 )

e o vetor será

~v = (v1 , v2 , v3 ). z

y

x Figura 1.4: Vetor no

1.4.4

Operações em

R3

R3

Adição Considere dois vetores

~u = (u1 , u2 , u3 )

e

~v = (v1 , v2 , v3 ),

a soma desses vetores é dada por:

~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 )

Exemplo 1.4.3 Considere os vetores

Resolução:

~u = (2, 3, −1)

A soma é dada por

Professor Izaias Cordeiro Néri

e

~v = (−5, 1, 2)

~u + ~v = (2 + (−5), 3 + 1, −1 + 2) = (−3, 4, 1)

Página 5 de 35

Capítulo 1. Vetores

Produto por um escalar Seja

~v

um vetor

~v = (x, y, z)

e

k

um escalar, representamos o vetor

k.~v

por:

k.~v = k(x, y, z) = (kx, ky, kz)

Exemplo 1.4.4 Considere

~u = (2, 3, −1)

Resolução:

O vetor

e

k~u

k = 3.

Determine o vetor

será dado por

k.~u

k~u = 3.(2, 3, −1) = (6, 9, −3) → k~u = (2, 9, −3)

1.5 Componentes de um vetor Ás vezes um vetor (R



Em

R2

2

ou R3 )

com o ponto inicial

não está posicionado com seu ponto inicial na origem do sistema cartesiano.

P1 = (x1 , y1 )

e o ponto nal em

P2 = (x2 , y2 )

temos:

−−−→ ~v = P1 .P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 ) •

Em

R3

com o ponto inicial

P1 = (x1 , y1 , z1 )

e o ponto nal em

P2 = (x2 , y2 , z2 )

temos:

−−−→ ~v = P1 .P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )

1.6 Exercícios 1. Considere os seguintes vetores e

m ~ = (3, 0, −2).

~u = (9, 3), w ~ = (−1, 3, 4), ~v = (2, −5), p~ = (3, −2, −1), ~q = (2, 0), ~t = (3, 4)

Calcule:

(a)

~v +~u

(d)

~u − ~t

(b)

w ~

(e)

3.(~q + ~u) − 2(~v + ~t)

(c)

4.~t+3.~q

(f )

m ~ + p~

-

p~

2. Em um sistema de coordenadas cartesianas, esboce os vetores

R2

do exercício 1.

3. Em um sistema de coordenadas cartesianas, esboce os vetores

R3

do exercício 1.

4. Encontre os componentes do vetor de ponto inicial em

(a)

u1 = (4, 8)

(b)

u1 = (3, −5)

e

(c)

u1 = (0, 0)

u2 = (−3, 1)

e

e

u2 = (3, 7) u2 = (−4, −7)

Professor Izaias Cordeiro Néri

u1

e ponto nal em

(d)

u1 = (4, 8, 2)

(e)

u1 = (3, −7, 2)

e

u2 .

u2 = (3, 7, −1) e

u2 = (−2, 5, −1)

Página 6 de 35

Capítulo 1. Vetores

Respostas Exercícios

1.

(a) (11,-2)

(c) (18, 16)

(e) (23, 11)

(b) (-4,5,5)

(d) (6, -1)

(f ) (6, -2,-3)

2. Desenho Pessoal

4.

3. Desenho Pessoal

(a) (-1,-1)

(d) (-1,-1,-3)

(b) (-7,-2)

(e) (-5,12,-3)

(c) (-3,1)

1.7 Norma de um Vetor O comprimento de um vetor

~ (u)

é também chamado de norma de u e é denotado por

||u||

Em R2 y

A norma é dada por

||u|| =

p

||u|| =

p

(u1 )2 + (u2 )2

u = (u1 , u2 ) ~u x

Em R3 z

A norma é dada por

(u1 )2 + (u2 )2 + (u3 )2

y

x

Exemplo 1.7.1 Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos:

p

a.

~v = (2, −3) → ||~v || =

b.

~u = (−3, 5, 2) → ||~u|| =

(2)2 + (−3)2 = p



4+9=

(−3)2 + (5)2 + (2)2 =

Professor Izaias Cordeiro Néri





13

9 + 25 + 4 =



38

Página 7 de 35

Capítulo 1. Vetores

1.8 Exercícios 1. Encontre a norma de

~v

.

(a)

~v = (4, −3)

(d)

~v = (2, 2, 2)

(b)

~v = (2, 3)

(e)

~v = (−7, 2, −1)

(c)

~v = (−5, 0)

(f )

~v = (0, 6, 0)

2. Sejam

~u = (2, −2, 3), ~v = (1, −3, 4)

(a)

||~u + ~v ||

(b)

||~u|| + ||~v ||

(c)

|| − 2~u|| + 2||~u||

3. Seja

w ~ = (3, 6, −4).

Calcule o que está sendo pedido:

||3~u − 5~v + w|| ~

(d)

w ~

1 .w ~ ||w|| ~

1

.w ~

||w|| ~

(e)

~v = (−1, 2, 5).

4. Mostre que se

e

(f )

Encontre todos os escalares

k,

é qualquer vetor não nulo, então

tais que

1 .w ~ ||w|| ~

||k.~v || = 4.

é um vetor unitário.

Obs.:Vetor unitário é todo vetor que possui norma igual a 1 Respostas Exercícios

1.

(c) 5

(a) 5

√ (b)

√ 2.

(a)

√ (b)

3.

13

(d)

83

(c)

17 +



26

(d)

(e)

√ 2 3

√ 3 6

(f ) 6

√ 4 17 √ 466

 (e)

3 6 −4 √ ,√ ,√ 61 61 61



(f ) 1

√ 4 2 30 k = ±√ = ± 15 30

4. Fazer demonstração

1.9 Produto Escalar Sejam

~u

e

~v

dois vetores não nulos nos espaços bi e tridimensionais e suponha esses vetores de tal modo

que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam um ângulo Se

~u

e

~v

são vetores em

R2

ou

R3

e

θ

θ

entre si, tal que

0 ≤ θ ≤ π.

Denição:

o ângulo entre eles, então o produto escalar (também chamado produto

interno), será denido por:

  ||~u||.||~v ||.cos(θ) u·v =  0

Professor Izaias Cordeiro Néri

se

~u 6= 0

se

~u = 0 ou ~v = 0

e

~v 6= 0

Página 8 de 35

Capítulo 1. Vetores

Exemplo 1.9.1 Sejam os vetores

~u = (0, 0, 1)

e

~v = (0, 2, 2).

Calcule o produto interno dele sendo considerado

θ = 45◦

o

ângulo entre eles.

Resolução: p p ~u · ~v = ( 02 + 02 + 12 )( 02 + 22 + 22 ). cos(45◦ ) = 2

Obs.:

O produto escalar entre vetores SEMPRE gera como resultado um número!!!

1.10 Produto Escalar em termos de Componentes O produto escalar pode ser denotado por



Em

R2 : ~u = (x1 , y1 )



Em

R3 : ~u = (x1 , y1 , z1 )

e

u·v

ou

< u, v >.

Consideremos os vetores:

~v = (x2 , y2 ) → < u, v >= x1 .x2 + y1 .y2 e

~v = (x2 , y2 , z2 ) → < u, v >= x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2

Exemplo 1.10.1 Sejam

a)

~u = (3, −1), ~v = (2, 2)

e

w ~ = (9, −3)

< u, v >

b)

calcule:

< (u + v), w >

c)

< v, w >

Resolução: a)

< u, v >= 3.2 + (−1).2 = 6 − 2 = 4

b)

< (u + v), w >=< (5, 1), (9, −3) >= 5.9 + 1.(−3) = 45 − 3 = 42

c)

< v, w >= 2.9 + 2.(−3) = 18 − 6 = 12

Exemplo 1.10.2 Considere

~u = (−1, 2, 3)

Resolução:

e

~v = (2, 2, 2).

Calcule o produto escalar entre eles.

< u, v >= −1.2 + 2.2 + 3.2 = −2 + 4 + 6 = 8

Exemplo 1.10.3 Sejam

~v = (a, b) e w ~ = (p, q),

Resolução:

calcule o produto interno entre eles.

< v, w >= a.p + b.q

Professor Izaias Cordeiro Néri

Página 9 de 35

Capítulo 1. Vetores

1.11 Ângulo entre vetores Considere dois vetores como sendo

~u

e

~v ,

em

u · v = ||~u||.||~v ||. cos(θ),

R2

ou

R3

ambos.

cos(theta)

então podemos isolar o

cos(θ) =

Obs.:

Como podemos escrever o produto escalar entre eles cando com:

u·v ||~u||.||~v ||

Para encontrar o ângulo devemos usar a função arccosseno.

(equivalente à

cos−1

de sua calculadora

cientíca)

Exemplo 1.11.1 Considere os vetores

Resolução:

~u = (2, −1, 1)

cos(θ) =

~v = (1, 1, 2).

e

Determine o ângulo entre esses vetores.

u·v 2.1 + (−1).1 + 1.2 1 √ √ = = , ||~u||.||~v || 2 6. 6

e portanto,

cos−1

  1 = 60◦ 2

Teorema 1.11.1 Sejam

a.

~u

e

~v

vetores em

R2 ou R3

:

v.v = ~v

b. Se os vetores são não nulos e

θ

o ângulo entre eles, então:

• θ

é agudo se, e somente se

• θ

é obtuso se, e somente se

• θ

é reto se, e somente se

u·v >0 u·v <0

u·v =0

Exemplo 1.11.2 Se

~u = (1, −2, 3), ~v = (−3, 4, 2)

a)

< u, v >

e

w ~ = (3, 6, 3).

b)

Calcule:

< v, w >

c)

< u, w >

Resolução: a)

< u, v >= 1.(−3) + (−2).4 + 3.2 = −3 − 8 + 6 = −5,

b)

< v, w >= −3.3 + 4.6 + 2.3 = −9 + 24 + 6 = 21

c)

< u, w >= 1.3 + (−2).6 + 3.3 = 3 − 12 + 9 = 0

então

, então

, então

θ

θ

θ

é obtuso.

é agudo



é 90 .Portanto

~u

e

w ~

são perpendiculares.

Exemplo 1.11.3 Sabe-se que os vetores

~u = (1, −2, −1)

e

w ~ = (k, −2k, 7)

são ortogonais. Determine o valor de k.

Resolução: < u, v >= 1.k + (−2).(−2k) + (−1).7 = k + 4k = 0 → 5k = 7 ∴ k = 7/5

Professor Izaias Cordeiro Néri

Página 10 de 35

Capítulo 1. Vetores

1.12 Projeção Ortogonal Se

~u

~u e ~a são vetores posicionados com seus iniciais coincidindo com um ponto Q, podemos decompor o vetor

baixando uma perpendicular da ponta de

~u

para a reta ao longo de

desta perpendicular. Em seguida tomamos a diferença

~a

e construímos o vetor

w~1

de

Q

ao pé

w~2 = ~u − w~1 .

w2 ~u

~a

Q

w~1

Figura 1.5: Projeção Ortogonal do vetor

O vetor

w~1

é chamado projeção ortogonal de

~u

sobre

~a

~u

em

e é denotado por:

~a proja ~u

Teorema 1.12.1 Se

~u

e

~a

são vetores em

R2

ou

R3

w~1 = proja ~u =

e se

a 6= 0,

u·a .~a ||a||2

w2 = u − proja u = u −

então:

(Componente vetorial de u ao longo de a).

u·a .~a ||a||2

(Componente vetorial de u ortogonal de a).

Exemplo 1.12.1 Sejam

~u = (2, −1, 3)

e

~a = (4, −1, 2).

Encontre

w~1

e

w~2 .

Resolução: u·a 2.4 + (−1)(−1) + 3.2 15 .(4, −1, 2) = w~1 = proja ~u = (4, −1, 2) ∴ w~1 = .~a = 2 2 2 2 ||a|| 4 + (−1) + 2 21  w~2 = (2, −1, 3) −

Obs.:

20 −5 10 , , 7 7 7





20 −5 10 , , 7 7 7



    6 2 11 6 2 11 = − ,− , ∴ w~2 = − , − , 7 7 7 7 7 7

Fazendo o produto escalar entre esses vetores obtemos

< w1 , w2 >= 0,

pois

w~1 ⊥ w~2

1.13 Exercícios 1. Encontre

< u, v >

(a)

~u = (2, 3) e ~v = (5, −7)

(c)

~u = (1, −5, 4) e ~v = (3, 3, 3)

(b)

~u = (−6, −2) e ~v = (4, 0)

(d)

~u = (−2, 2, 3) e ~v = (1, 7, −4)

Professor Izaias Cordeiro Néri

Página 11 de 35

Capítulo 1. Vetores

2. Em cada item do exercício anterior encontre o cosseno do ângulo

3. Determine se os vetores

~u

e

~v

θ

entre os vetores.

fazem entre si um ângulo agudo, obtuso ou são ortogonais.

(a)

~u = (6, 1, 4), ~v = (2, 0, −3)

(c)

~u = (−6, 0, 4), ~v = (3, 1, 6)

(b)

~u = (0, 0, −1), ~v = (1, 1, 1)

(d)

~u = (2, 4, −8), ~v = (5, 3, 7)

4. Encontre a projeção ortogonal de

~u

em

~a.

(a)

~u = (6, 2), ~v = (3, −9)

(c)

~u = (3, 1, −7), ~v = (1, 0, 5)

(b)

~u = (−1, −2), ~v = (−2, 3)

(d)

~u = (1, 0, 0), ~v = (4, 3, 8)

5. Em cada item do exercício anterior encontre o componente vetorial

6. Mostre que

~u = (a, b)

e

~v = (−b, a)

~u

ortogonal a

~a, Ou

seja,

(w~2 )

são vetores ortogonais.

Respostas Exercícios

1. (a)

−11

2. (a)

11 −√ 962

(b)

−24 (b)

3. (a) Ortogonais

5. (a)

(0, 0) (6, 2)

(b)

(b)

0

3 −√ 10

12 8 ,− 13 13

(d)

0

(c) 0

(b) Obtuso

 4. (a)

(c)



  21 14 − ,− 13 13

(d) 0

(c) Agudo

(d) Obtuso



 80 16 (c) − , 0, − 13 13   55 11 (c) , 1, − 13 13

 (d)

(d)

 16 12 32 , , 89 89 89   73 12 32 ,− ,− 89 89 89

6. Demonstração

1.14 Produto Vetorial O produto vetorial é aplicado apenas em vetores do

R3

e cujo resultado é um vetor.

Denição 1.14.1 Se

~u = (u1 , u2 , u3 )

~u ∧ ~v )

e

~v = (v1 , v2 , v3 )

são vetores em

R3 ,

então o produto vetorial

~u × ~v

(ou então

é o vetor denido por:

 u2  ~u × ~v = v2

Professor Izaias Cordeiro Néri

u u3 ,− 1 v1 v3

u3 u1 , v3 v1

 u2  v2

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Capítulo 1. Vetores

Exemplo 1.14.1 Encontre

~u × ~v

sendo

~u = (1, 2, −2)

~v = (3, 0, 1).

e

Resolução:  2 ~u × ~v =  0

Obs:

1 −2 ,− 3 1

 2  0

−2 1 , 1 3

~u × ~v = (2, −7, −6)

O produto escalar é um número (escalar) e o produto vetorial é um vetor!!

1.15 Vetores Unitários Canônicos Considere os vetores

~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).

a 1 e estão sobre os eixos coordenados.

~u = (u1 , u2 , u3 )

Estes vetores tem, cada um, norma igual

Eles são vetores canônicos do espalo tridimensional.

pode ser expresso em termos de ~ i, ~j

Cada vetor

e~k

~u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 (1, 0, 0) + u2 (0, 1, 0) + u3 (0, 0, 1) = u1 .~i + u2 .~j + u3 .~k z

~k

~i

y

~j

x Figura 1.6: Vetores Canônicos

Por exemplo, o vetor

~v = (3, −2, 4)

pode ser escrito como

~v = 3~i − 2~j + 4~k

1.16 Produto Vetorial na forma de Determinante O produto vetorial entre dois vetores por um determinante

3×3

~u = (u1 , u2 , u3 )

e

~v = (v1 , v2 , v3 ),

será representado simbolicamente

na forma:

i ~u × ~v = u1 v1

Professor Izaias Cordeiro Néri

j u2 v2

k u3 v3

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Capítulo 1. Vetores

Exemplo 1.16.1 Encontre

~u × ~v

sendo

~u = (1, 2, −2)

e

~v = (3, 0, 1).

Resolução: i ~u × ~v = 1 3

j 2 0

k −2 = 2i − 7j − 6k 1

em coordenadas cartesianas

~u × ~v = (2, −7, −6)

1.17 Área de um paralelogramo Se

~u

e

~v

são vetores em

R3 ,

então

||~u × ~v ||

é igual a área do paralelogramo determinado por

~u

e

~v .

Figura 1.7: Paralelogramo formado pelos vetores

Exemplo 1.17.1 Encontre a área do paralelogramo entre os vetores

~u = (1, 2, −2)

e

~v = (3, 0, 1).

Resolução: ~u × ~v = (2, −7, −6).

A área será dada por

||~u × ~v || =

p √ (2)2 + (−7)2 + (−6)2 = 89 ≈ 9, 434 u.a

1.18 Produto Misto Se

~u, ~v e w ~

são vetores no espaço tridimensional então chamamos de produto misto entre esses vetores:

~u · (~v × w) ~ O produto misto de

~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 )

determinante:

Professor Izaias Cordeiro Néri

e

u1 ~u · (~v × w) ~ = v1 w1

w ~ = (w1 , w2 , w3 ) u2 v2 w2

pode ser calculado por meio do

u3 v3 w3

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Capítulo 1. Vetores

Exemplo 1.18.1 Calcule o produto misto

Resolução: Obs.:

~u · (~v × w) ~

3 ~u · (~v × w) ~ = 1 0

dos vetores

−2 4 3

~u = 3i − 2j − 5k, ~v = i + 4j − 4k e w ~ = 3j + 2k

−5 −4 = 49 2

Com o produto misto encontramos o volume do paralelepípedo formado geometricamente pelos vetores

tridimensionais.

1.19 Exercícios 01. Sejam

~u = (3, 2, −1), ~v = (0, 2, −3) e w ~ = (2, 6, 7).

Calcule:

(a)

~v × w ~

(c)

(~u × ~v ) × w ~

(e)

~u × (~v − 2w) ~

(b)

~u × (~v × w) ~

(d)

(~u × ~v ) × (~v × w) ~

(f )

(~u × ~v ) − 2w ~

02. Encontre um vetor que é ortogonal a ambos

(a)

~u e ~v

~u = (−6, 4, 2) , ~v = (3, 1, 5)

(b)

03. Encontre a área do paralelogramo determinado por

(a)

~u = (1, −1, 2) , ~v = (0, 3, 1)

(b)

~u = (2, 3, 0) , ~v = (−1, 2, −2)

04. Encontre o produto misto

e

~v .

(c)

~u = (3, −1, 4) , ~v = (6, −2, 8)

~u · (~v × w) ~ .

(a)

~u = (−1, 2, 4), ~v = (3, 4, −2) e w ~ = (−1, 2, 5)

(b)

~u = (3, −1, 6), ~v = (2, 4, 3) e w ~ = (5, −1, 2)

05. Obtenha o volume do paralelepípedo de lados

~u, ~v

(a)

~u = (2, −6, 2), ~v = (0, 4, −2) e w ~ = (2, 2, −4)

(b)

~u = (3, 1, 2), ~v = (4, 5, 1) e w ~ = (1, 2, 4)

Professor Izaias Cordeiro Néri

~u

~u = (−2, 1, 5) , ~v = (3, 0, −3)

e

w ~.

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Capítulo 1. Vetores

Respostas Exercícios

01.

02.

(a)

(32, −6, −4)

(b)

(−14, −20, −82)

(c)

(27, 40, −42)

(d)

(0, 176, −264)

(e)

(−44, 55, −22)

(f )

(−8, −3, −8)

(a)

(18, 36, −18)

(b)

(−3, 9, −3)

√ 03.

(a) A =

√ (b) A = (c) A =

04.

05.

0

59 101

.Os vetores são multiplos

(a)

~u · (~v × w) ~ = −10

(b)

~u · (~v × w) ~ = −110

(a)

~u · (~v × w) ~ =

16

(b)

~u · (~v × w) ~ =

45

Professor Izaias Cordeiro Néri

~v = 2~u

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CAPÍTULO

2 MATRIZES

Podemos denir matrizes como sendo uma tabela de números dispostos em linhas e colunas colocados entre parênteses ou colchetes.

 −2  1

Todas com

 3  4



4  √  − 2  1

2×2

0



  π  1

3×2

m linhas e n colunas são denominadas matrizes m × n sendo m e n ∈ N∗

2.1 Notação e formação de uma matriz As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linha e a coluna, respectivamente, de cada elemento. Um formato geral para matriz

m×n

é:



Abreviando a matriz A teríamos:



a11

a12

···

a1n

   a21 A=  ..  .  am1

a22

···

. . .

..

am2

···

  a2n   .  .  .  amn

A = [aij ]m×n .

Onde

.

iej

que o elemento ocupa. Vejamos um exemplo de uma matriz três colunas.

17

m×n

representam, respectivamente, a linha e a coluna

2 × 3,

isso indica que a matriz possui duas linhas e

Capítulo 2. Matrizes

Considerando uma matriz A (2 x 3) qualquer.

 A=

2 1

−3 0

4

 onde

 5

2×3

As matrizes obedecem uma

a11 = 2 a12 = −3

a13 = 4

a21 = 1

a23 = 5

a22 = 0

Lei de formação

Exemplo 2.1.1 Determinar a matriz

A = [aij ]2×3 = 2i + j

Resolução:  a11 A= a21

a12

a13

a22

a23

  2×3

 a11 = 2.1 + 1 = 3 a12 = 2.1 + 2 = 4 = a21 = 2.2 + 1 = 5 a22 = 2.2 + 2 = 6  3 A= 5

4

5

6

7

 a13 = 2.1 + 3 = 5  a23 = 2.2 + 3 = 7

  2×3

2.2 Matrizes Especiais 2.2.1

Matriz Quadrada

Quando o número de linhas e o número de colunas de uma matriz são numericamente iguais chamamos de matriz quadrada. O exemplo a seguir é de uma matriz quadrada de ordem 3:



1

  A = −4  2

2.2.2

−3 0 1

2



  −3  4

3×3

Matriz Identidade

É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0.

  1, In = [aij ], aij =  0,

se

i=j

se

i 6= j

Exemplos

 1 I2 =  0

Professor Izaias Cordeiro Néri

0 1

 



1

  I3 = 0  0

0 1 0

 0   0  1

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Capítulo 2. Matrizes

2.2.3

Matriz Transposta

Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir da matriz A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notação:



Exemplo: Se

 1 A= 4

 −3  6

2 5

então

1   A = 2  −3 T

AT  4   5  6

2.3 Exercícios

1. Determinar a matriz

B = [bij ]3x3 , tal

que

bij =

 

1,

 i2 − j 2 ,

se

i=j

se

i 6= j

2. Determine as seguintes matrizes:

(a)

A = (aij )2x2 = (i + j)2

(b)

B = (bij )3x3 = (i − j)3   2, C = (cij )2x3 =  i+j

(c)

3. Dada a matriz

A = (aij )3x3 ,

se

i=j

se

i 6= j

tal que

aij = i2 + 2j − 5,

calcule

a12 + a31

Respostas Exercícios

1.

 1   B = 3  8

2.

3.

(a)

−3 1 5

 4 A= 9

 −8   −5  1

3×3

9 16

 

(b)

2×2

a12 = 12 + 2.2 − 5 = 0

 0   B = 1  8

a31 = 32 + 2.1 − 5 = 6

−1 0 1

 −8   −1  0

(c)

 2 C= 3

3

4

2

5

  2×3

3×3

∴ a12 + a31 =

6

2.4 Operações com Matrizes 2.4.1

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem

m × n,

são iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam

a mesma posição são idênticos. Notação A = B.

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 2. Matrizes

Exemplo 2.4.1  Dadas as matrizes

2

A= a 

Resolução:

1



 3

e

 x B= b

 x = A = BT →  a 3 3 1

2



b

 3 , 3

determinar a, b e x para que

A = BT .



. 3

Então

x = 1, b = 2 e a = 3

Exemplo 2.4.2

Qual deve ser o valor de

m

para que ocorra

 1 − m2  −2



1



0

= 1−m −2

 1  0

Resolução:   1 − m2  1−m 2.4.2

=

0 →

m = −1

=

0 →

m=1

ou

m=1

Como devem ser satisfeitas simultaneamente, então

m = 1.

Adição e Subtração

A = (aij )m×n

Dada duas matrizes

e

B = (bij )m×n ,

a matriz soma A + B é a matriz

C = (cij )m×n ,

tal que

cij = aij + bij

Exemplo 2.4.3  Determine a soma de

1

A= −3

 2  4

e

 0 B= 1

3



 −5

Resolução: 

  2 0  + −3 4 1 1

3





1+0

= −5 −3 + 1

2+3 4 + (−5)





1

= −2

5 −1

 

 ∴

1

A+B = −2

5



 −1

A subtração entre as matrizes A e B pode ser vista como a soma de A com a matriz oposta de B, ou seja

A − B = A + (−B).

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 2. Matrizes

Exemplo 2.4.4  Determine a matriz X na equação matricial

Resolução:  Fazendo

a X= c 

o que ca

b



, d

temos

b





2

− d −3

X − −3

b − (−1)

 c − (−3)



  b+1  d−4

=



2



= −2

   1/2 −2 3/2 +  −5 −4 3

     −1 1 1/2 −2 3/2 = +  4 3 −5 −4 3

   1 − 2 1/2 + 3/2 a−2 = ⇒ d−4 3−4 −5 + 3 c+3

a−2

  a − 2 = −1  c + 3 = −1 2.4.3

 a  c

  −1 1 = 4 3

2

 −1 = d−4 −1 b+1





2 −2



 1  2

1

X= −4

Produto de uma matriz por um escalar

A = (aij )m×n

Seja a matriz matriz B, tal que

B = k.A,

e um número real

onde

k,

com

k 6= 0.

O produto de

k

pela matriz A é dado por uma

bij = k.aij .

Exemplo 2.4.5  Considere

k=3

e

0

  A = −2  0

2

1



  −5.  1 4

3

Determine a matriz B = kA.

Resolução: 

0

  B = 3. −2  0

2

1





3.0

    −5 = 3.(−2)   1 4 3.0

3

3.2 3.3 3.1

3.1





0

    3.(−5) = −6   3.4 0

6

3



  −15  3 12

9

 ∴

0

  B = −6  0

6

3



  −15  3 12

9

2.5 Exercícios

1. Determine

2. Determine

3. Determine

    −1 5/6 a 5b = . os valores de a, b, c e d para que se tenha  c/3 −d 2 10     1 −2 x 1 −2 3/4 = . x, y e z que satisfaçam  3y 5 z − 1 −6 5 0     p+q −2 6 −2 = . p e q, tais que  0 2p − q 0 3

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 2. Matrizes



4.

5.

  m2 − 9 2 = Verique se existe m, m ∈ R, para que se tenha  m−3 m+3 0     4 − m2 1 0 1 = . Determine m, m ∈ R,se existir, tal que  −2 3 m 3

6. Seja

A = (aij )2×3 ,

em que

aij = i + j .

2

Determine m, n e p em

0 0

 .

 m+n B =  n−1

3 m − 2p

 4 , 5

tal que

A = B.

7. Sejam as matrizes

(a)

A+B

(b)

A−B

8. Sejam

 2 A= 4

A = (aij )3×2 ,

−1 3





em que

aij = i + 2j

  −1 1  eC= 2 −1

3

,B =  −2

B = (bij )3×2 ,

e

−3 0

em que

bij = 1 + i + j .

Determine:

 .

Determine

A + B + C.

9. Resolva as seguintes equações matriciais:

 (a)

3



em que

(b)

em que

aij = 2i − j ,

e

  3 4 = 1 0

B = (bij )7×9 ,

(b)

 1 A= 8

−11 5

3

em que

 −1  3

bij = i + j.

Seja

C = A + B,

, −2

obtenha as matrizes:

(b)

 3   A = 1  4

 −2   −5  −3

 e

0

  B = −3  1

2A + B

 1   2.  5

2

  A = −1  0

Professor Izaias Cordeiro Néri

1

0

A − 2B



  2  5 −4

2

1 A 2

Determine as seguintes matrizes:

(b)



c63



3.A

13. Sejam as matrizes

 2 X − 4

Determine os elementos:

c21

12. Sejam as matrizes

(a)



A = (aij )7×9 ,

cij = aij + bij .

11. Dada a matriz

(a)

11

        X + −1 =  3      5 −2

10. Sejam as matrizes

(a)



e

B = (bij )3×3 ,

em que

bij = i − j .

Determine a matriz

1 A + 4B 2

Página 22 de 35

Capítulo 2. Matrizes

 

14. Sendo

(a)

1 A= −3

 2  4

e

0

  B= 4  −2

 1   3,  5

determine:

2(A + AT )

BT

(b)

Respostas Exercícios

1.

a = −1, b =

1 , c = 6, d = −10 6

 9.

2.

3 x = , y = −2, z = 1 4

3.

p = 3, q = 3

10.

4. Não existe valor de

m

11.

que satisfaça

5.

m = −2

6.

m = −2, n = 4, p = −3

12.



6

7.

a.

8.

 6 A+B+C = 1

  A+B =  8  10

9



  11  13

b.

 0   A−B = 0  0

 1   1  1

 −5  5

13.

14.

8



   a. 4   −7

b.

 6  4

2 4

 

a.

c21 = 6 b. c63 = 18    3 −33 9 1/2 −11/2  a.  b.  24 15 −6 4 5/2     6 −3 3 −4       a.  b.  −1 −8 7 −9      9 −1 2 −13   1 −7/2 −8   1   A + 4B = 7/2 1 −3 2   8 13/2 −2     4 −2 0 4 −2   a.  b.  −2 16 1 3 5

3/2 −1

 

2.6 Multiplicação de Matrizes A existência do produto AB só será válida se, e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

An×m · Bm×p = Cn×p

Exemplo 2.6.1

Considere as matrizes

 1   A = 5  3

Professor Izaias Cordeiro Néri

2 −1 2

 3   2  1

3×3

e

 2   B = 4  2

 −1   0  3

. Determine o produto AB.

3×2

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Capítulo 2. Matrizes

Resolução:  1   5  3

2 −1 2

Obs.:

  2 3     2 . 4   2 1

−1





 16     1 ∴ AB = 10   16 0

 16     5.(−1) + (−1).0 + 2.3 = 10   16 3.(−1) + 2.0 + 1.3

1.2 + 2.4 + 3.2



1.(−1) + 2.0 + 3.3

    0  = 5.2 + (−1).4 + 2.2   3.2 + 2.4 + 1.2 3

8

Lembrar que o produto de matrizes, em geral, não é comutativo, ou seja,



 8   1  0

AB 6= BA

Exemplo 2.6.2

Encontre a matriz X em AX = B, sendo

 2 A= 3

 −4  1

 e

5



B=  −3

Resolução: Temos que

 2  3

 2  3

 −4  1

 .X2×1 =

2×2

5

 . Observamos que a matriz X é igual a

  −3

2×1

  a X=  b

2×1

           2a − 4b = a 5 2a − 4b 5 .  =   ⇒  = ⇒  3a + b = 1 b −3 3a + b −3

−4

5

donde

a=−

−3

1 2

e

b=−

3 2

  −1/2  ∴ X= −3/2

Exemplo 2.6.3 Sejam as matrizes

A = [aij ]6×3 = i + j

e

B = [bjk ]3×8 = 2j − k .

Determine o elemento

c35 ,

sendo que C

= AB.

Resolução: Vejamos que não é necessário montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o elemento

c35 ,

basta

usar a terceira linha de A com a quinta coluna de B.



···

  A = a31  ···

Assim

··· a32 ···

 ···     a33  =  4   ··· ··· ···



··· 5 ···

···



  6  ···

;

 ···   B = · · ·  ···

b15 b25 b35

 ···     · · · = · · ·   ··· ··· ···



−3 −1 1

···



  · · ·.  ···

c35 = a31 .b15 + a32 .b25 + a33 .b35 = 4.(−3) + 5.(−1) + 6.1 = −11 ∴ c35 = −11

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 2. Matrizes

2.7 Exercícios 1. Determine os produtos das matrizes.

(a)

 2  4

  −1 −1 . 3 0

2. Sejam as matrizes

−2

4

3

1

1 −3

 3   A = 0  1

 (b)



  −1  0  2 ,B =   1 4

1

(c) A.C

(b) B.A

(d)

3. Sejam as matrizes

elementos

4. Calcule

x

c12 e

y

e

c41 . 

em

2

 y

5. Sejam as matrizes

x

 

4



4

Determine, caso existir:

(e)



5





 −1  2

B.AT

B T .C

 3   −2 0 1   3 2 5  −3 0 8 −1

  −3 1 . 5 0

 e C =  . −3 −1

(a) A.B

 4   0 A=  4  1



 4  2



e

1

−6

10



  −3 .  4  8

  5 B =  −2  1

Considere que A . B = C, determine os



.  =   −3 −5 −3

A = (aij )6×3 ,

em que

aij = i + j ,

e

B = (bij )3×4 ,

em que

bij = 3i − 2j ,

sendo C a

C52    2 0 3 x e  se comutem. Determine x e y a m de que as matrizes  −3 4 y 1     2 −3 0 3 =  Resolva a equação matricial X.  1 4 −1 5     0 1   1 2  eB= Sendo A =   4 3, resolva a equação AT .X = B T .   −3 4 −2 5       −1 0 1 0 , B =   e C =   Resolva a equação A.X + B = C, na qual A =  1 3 5 −3   cos(x) sen(x) . Calcule A(x).A(x) Considere as matrizes reais do tipo A(x) =  sen(x) cos(x) matriz produto AB, determine o valor do elemento



6.

7.

8.

9.

10.

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 2. Matrizes

Respostas Exercícios

1.

(a)

(b)

2.

  −2 7 5 −1   −4 19 15 −17   4 −10   2 8

(a) A.B =

 −1   2  4

6

 (d)

  −6   −11

(e) (b) B.A = Não se aplica

 (c) A.C =

c12 = 23

4.

x=

5.

C52 = 48

6.

x=0

7.

 1 −3 . X= 11 −9

8.

 1 3 X= 10 1 

9.

X=



 −11



c41 = 3 y=−

9 2

y=3

1

 6  7 25

−5

 7  9



 −3 

10.

4

    −2   0

3.

7 5

13

  −1 B T .C =   7  −1 2 B.AT =  6 −6

A(x) ∗ A(x) = 

1

sin(2x)

sin(x)

1

Professor Izaias Cordeiro Néri

 

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CAPÍTULO

3 DETERMINANTES

Denição 3.0.1 Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. As aplicações dos determinantes em matemática estão associadas a: - Cálculo da matriz inversa; - Resolução de alguns tipos de sistemas lineares; - Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.

3.1 Determinante de matriz

Dada a matriz

 a11 A =  a21

a12 a22

2×2

 ,

por denição temos que o determinante é dado por

det(A) = a11 .a22 −

a21 .a12 .

Exemplo 3.1.1

Calcule o determinante da matriz

 2 D= 4

 −3 . 5

Resolução:

det(D) = 2.5 − 4.(−3) = 10 + 12 = 22

Conclusão:

O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos

da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

27

Capítulo 3. Determinantes

Exemplo 3.1.2

Calcular o valor de

Resolução:

x, x ∈ R,

na igualdade.

 3x  4

3 x+3

 =0

3x.(x + 3) − 4.3 = 0 → 3x2 + 9x − 12 = 0,

donde tiramos que

  x = −4 1  x =1 2

3.2 Regra de Sarrus Para determinantes de 3

a

ordem usaremos um dispositivo prático conhecido como regra de Sarrus (lê-se

Sarrí).

Exemplo 3.2.1

Calcular o determinante da matriz

 2   1  3

3 −1 4

 5   2.  3

Resolução:

Exemplo 3.2.2

Resolva, em

R,

a seguinte equação:

1 2 −1 x 3 2

x x + 1 = 6. x

Resolução: 1

2

x

1

2

−1

x

x+1

−1

x

3

2

x

3

2

Professor Izaias Cordeiro Néri

→ x2 + 6(x + 1) − 2x − 3x2 − 2(x + 1) + 2x = 6 → x2 − 2x + 1 = 0 ∴ x = 1 | {z } (x−1)2

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Capítulo 3. Determinantes

3.3 Exercícios - Regra de Sarrus

1.

2.

3.

2 5 Calcule os seguintes determinantes: a) 3 8 11 7 4 −5 . + Calcule o valor de y = 3 2 2 −3 x x + 2 =x Resolva, em R, a equação 4 3

4. Resolva, em

5. Sejam

as

R,

matrizes

  −1, bij =  1,

6. Resolva, em

7. Determine

a equação

i≥j

se

i<j

−2 −1

em

que

. Qual o valor de

a seguinte equação:

x 2x 3

  1, se i ≥ j =  2, se i < j

aij

0 x 2x

R,

a seguinte equação:

x x − 1 1

e

B = (bij )3×3 ,

em

que

det(A) + det(B)? 1 2 = 0. x

k, para qual o determinante da matriz A é nulo.

8. Resolva, em

c)

3 −1

4 2

3 = 2. x − 1

A = (aij )3×3 ,

se

R,

x x + 1

b)

−3 −5

4 x x+1

 1   A = 2  1

−2 x 1 = 2 3

1 3 0

1



  k .  k

3 1

9. Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo.

 1   A = 4  6

2 9 x

1



  4 .  x−7

Respostas Exercícios - Regra de Sarrus

b) − 7

c) − 10

1.

a)1

2.

y = −1

3.

S = {−4}

4.

S = {−1, 5}

5.

det(A) + det(B) = −3

Professor Izaias Cordeiro Néri

6.

√ √ S = {− 3, 0, 3}

7.

k=

8.

S = {2}

9.

x = 13

3 2

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Capítulo 3. Determinantes

3.4 Teorema de Laplace

Denição 3.4.1 O determinante de uma matriz de ordem n

(n ≥ 2)

pode ser obtido pela soma dos produtos dos

elementos de uma la qualquer ( linha ou coluna ) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, xando um

j ∈ N,

tal que

1 ≤ j ≤ m:

det M =

m X

aij .Aij

i=1

Exemplo 3.4.1

Calcule o determinante da matriz

Resolução: 0.A34 .

A31

Vamos escolher a 3

a

 3   5 D=  7  1

1

−2

2

2

4

−5

−1

11

 1   3   0  2

linha da matriz, então deveremos ter

det(D) = 7.A31 + 4.A32 + (−5).A33 +

Agora, calculando cada cofator.

1 4 = (−1) . 2 −1

−2 2 11

1 3 = 9, 2

Não calculamos o cofator

A34 ,

A32

3 5 = (−1) 5 1

−2 2 11

1 3 = 20 e 2

A33

3 6 = (−1) . 5 1

1 2 −1

1 3 = 7 2

pois não há necessidade uma vez que ele será multiplicado por zero.

det(D) = 7.9 + 4.20 + (−5).7 = 108

Exemplo 3.4.2

Calcule o determinante de

Resolução:

1 3 D = 5 −9

0

10

−2

1

0

−3

0

4

0 −1 −2 7

Vamos escolher a segunda coluna, pois ela apresenta um grande número de elementos com valor

zero e isso facilitará nossos cálculos.

D = 0.A12 + (−2).A22 0.A32 + 0.A42 = −2.A22 . Assim basta calcular apenas este último termo. 1 10 0 A22 = (−1)2+2 . 5 −3 −2 = −183 −→ segue queD = (−2).(−183) = 366 ∴ det(D) = 366 −9 4 7

Professor Izaias Cordeiro Néri

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Capítulo 3. Determinantes

3.5 Exercícios - Teorema de Laplace 1. Calcule os seguintes determinantes:

(a)

3 5 0 −1

4

1 −2 0 3

2

0 −1 0

4

0

3

(b)

−2 0 3 1

3

1

−1

2

−4

5

0

−2

7 0 1 −1

(c)

1 0 0 0

−1 3 0 0

1 2 1 7 −1 0 4

5

2. Calcule os determinantes:

(a)

0 11 0 4

5

−3

−1

2

0

0

−3

2

4 7 0 −1

(b)

3. Resolva, em R (reais), a equação:

4. Resolva, em R (reais), a equação:

5. Calcule

2 0 0 0 0

2

3 −4

1

0

0

4

0

2

−5

5

1

1

0 −1

x −1 0 0 x 2 1 0 −3

0 0 a 1

b 1 0 0 0 b a 0

a 1 a b

0

0

x

0

−1

x

0

−1

0

1

2

1

0

−1

−1

2

(c)

−x −y 0 1

y

1

0

−1

0

0

−1

x

0 x 2 y

3 0 = 3. 1 −2 2 −3 = −79 1 0

2 0 1 4 2

Respostas Exercícios - Teorema de Laplace 1.

a) − 208

2.

b)a2 + b2 ( ) 1 S = 0, 2

3.

a)0

4.

S = {5}

5.

−50

b) − 3

c) 84 c) − 2x.(1 + y 2 )

Professor Izaias Cordeiro Néri

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CAPÍTULO

4 SISTEMAS LINEARES

4.1 Regra de Cramer Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A).

Teorema 4.1.1 Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. sistema será possível e terá solução única

αi =

(α1 , α2 , α3 , · · · , αn )

Se D

, tal que:

Di , ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n} D

Exemplo 4.1.1

Determine os valores de

Temos

1 D= 1 2

1 Dy = 1 2

6 −4 1

1 −1 −1

x, y

e

z

para o sistema

1 −1 = −4 1

1 −1 = −12 1

   x +   x −     2x −

Depois para cada um:

1 Dz = 1 2

1 −1 −1 32

y

+

z

=

y



z

= −4

y

+

z

=

6 Dx = −4 1

6 −4 = −8 1

6

1

1 −1 −1

1 −1 = −4 1

6= 0

, então o

Capítulo 4. Sistemas Lineares

x=

Dx −4 = =1 D −4

y=

Dy −12 = =3 D −4

z=

Dz −8 = =2 D −4

∴ (x, y, z) = (1, 3, 2)

4.2 Exercícios - Regra de Cramer

1.

2.

3.

   2x + y − z   Resolva o sistema x − y + z     3x − y + 2z    x + y   Determine x, y e z para 2x + y     x − 2y    3x − y +   Considere o sistema 2x + y +     x + 2y − (a)

x + z = −1

(b)

z − y = −4

(c)

y + z = −2

(d)

x+y =0

4. Sabendo que

a + b = 1200, b + c = 1100

=

0

=

3

=

6

+

z

=

7



z

=

0

+

2z

=

2

4z

= −5

z

=

0

3z

=

9

e

Podemos armar que:

a + c = 1500,

então

a+b+c

vale?

5. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam R$ 105,00, a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?

6. No sistema

(a)

−1

   2x   3x     (b)

+

3y

+ z

=

1

− 3y

+ z

=

8

2y

+ z

=

0

−3

(c) 3

o valor de

z − xy

é:

(d) 0

Respostas - Regra de Cramer

1.

x = 1, y = −1

2.

x = 0, 4; y = 2, 9; z = 3, 7

e

z=1

3. (a)

Professor Izaias Cordeiro Néri

4. a + b + c = 1900

5. R$25,00

6. (c)

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Capítulo 4. Sistemas Lineares

4.3 Problemas - Sistemas Lineares 1. Em um estacionamento há motos e carros, num total de 79 veículos e 248 rodas. Qual é o número de motos e carros no estacionamento?

2. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00.

Sabendo que o

número de mulheres que foram à danceteria excede de 5 o número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, qual o número de homens no local?

3. Em restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas, outras por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas?

4. Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu:

"Quando passaram 2 carros de passeio

e 3 ônibus, arrecadou-se a quantia de R$ 26,00; Quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões arrecadou-se a quantia de R$ 52,00".

Qual foi o valor do pedágio para cada veículo citado?

5. Em uma loja, para vender um televisor, um DVD player e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: O televisor e o DVD player custam juntos o valor de R$ 1200,00; o DVD player e o aparelho de som custam juntos R$ 1100,00; O televisor e o aparelho de som juntos custam R$ 1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados?

6. Na França, três turistas trocaram por Francos Franceses (F), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e marcos, da seguinte forma: . . .

1 2 3

o o o

Turista: 50 dólares, 20 libras e 10 marcos por 502,90 F Turista: 40 dólares, 30 libras e 10 marcos por 533,40 F Turista: 30 dólares, 20 libras e 30 marcos por 450,70 F

Calcule o valor de 1 libra, em Francos Franceses no dia em que os turistas efetuaram a transição.

7. Uma loja vende 1 faca, 2 colheres e 3 garfos por R$ 23,50; 2 facas, 5 colheres e 6 garfos por R$ 50,00 e 2 facas, 3 colheres e 4 garfos por R$ 36,00. Qual valor individual de cada talher?

8. Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube:

cada vez quem ele convertesse um

arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. da uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00.

Ao nal

Pode-se armar que o número de

arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi:

(a) 0

(b) 5

Professor Izaias Cordeiro Néri

(c) 10

(d) 15

(e) 20

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Capítulo 4. Sistemas Lineares

Respostas Problemas 1. 34 motos e 45 carros

2. 25 mulheres e 20 homens

3. 7 mesas (4 pessoas) e 5 mesas (2 pessoas)

4. R$ 4,00 Carro; R$ 6,00 Ônibus; R$ 7,00 Caminhão

5. R$ 800,00 TV; R$ 400,00 DVD; R$ 700,00 Som

6. 1 Libra = 8,9 Francos

7. R$ 5,50 Faca; R$ 3,00 Colher; R$ 4,00 Garfo

8. C

Professor Izaias Cordeiro Néri

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