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Álgebra Linear Izaias Cordeiro Néri 26 de Dezembro de 2015
Conteúdo 1 Vetores 1.1
3
Soma de Vetores 1.1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Vetor Oposto
1.3
Produto por um escalar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Vetores em um sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vetores em
R2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7
Norma de um Vetor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9
Produto Escalar
8
1.4.2
Operações em
1.4.3
Vetores em
1.4.4
R
R3
Operações em
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Produto Escalar em termos de Componentes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.11 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.12 Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.14 Produto Vetorial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.15 Vetores Unitários Canônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.16 Produto Vetorial na forma de Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.17 Área de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.18 Produto Misto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.19 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2 Matrizes
17
2.1
Notação e formação de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Matrizes Especiais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1
Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2
Matriz Identidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.3
Matriz Transposta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
1
CONTEÚDO
2.4
Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.1
Igualdade de Matrizes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.2
Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.3
Produto de uma matriz por um escalar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6
Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.7
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3 Determinantes
27 2×2
3.1
Determinante de matriz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
Regra de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3
Exercícios - Regra de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Teorema de Laplace
30
3.5
Exercícios - Teorema de Laplace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Sistemas Lineares
31
32
4.1
Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2
Exercícios - Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3
Problemas - Sistemas Lineares
34
Professor Izaias Cordeiro Néri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPÍTULO
1 VETORES
Vetores são representados geometricamente como segmentos orientados de reta ou como echas nos espaços bi e tridimensionais. Se o ponto inicial de um vetor
~v
é A e o ponto nal é B, então escrevemos:
−−→ ~v = AB
B
A
1.1 Soma de Vetores 1.1.1
Regra do Paralelogramo
Sejam
~v
e
w ~
dois vetores quaisquer. A soma
~v + w ~
é representada na gura a seguir.
~v ~v + w ~ w ~
Figura 1.1: Soma de vetores usando a Regra do Paralegramo
3
Capítulo 1. Vetores
1.2 Vetor Oposto ~v
Se
é um vetor não nulo, então chamamos de oposto de
~v
o vetor
−~v .
Esse vetor tem a propriedade:
~v + (−~v ) = 0
~u ~u − ~v
~u − ~v
−~v
~v
Figura 1.2: Subtração de vetores
1.3 Produto por um escalar Dado um vetor
p~ = k.~v ,
~v 6= 0
e um número real
k 6= 0,
chama-se produto do número real
k
pelo vetor
~v ,
o vetor
tal que:
•
Módulo :
|~ p| = |k~v | = |k|.|~v |
•
Direção: a mesma de
•
Sentido: (a) o mesmo de
~v ~v
, se
k>0
(b) contrário de
~v
se
k<0
1.4 Vetores em um sistema de coordenadas 1.4.1
Vetores em
O conjunto
R2
R2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R}.
representado por
As coordenadas de um vetor
~v
são
(v1 , v2 ),
e o vetor será
~v = (v1 , v2 ). y v = (v1 , v2 ) ~v x
Figura 1.3: Vetores em
1.4.2
Operações em
R2
no plano cartesiano
R2
Adição Considere dois vetores
~u = (u1 , u2 )
e
~v = (v1 , v2 ),
a soma desses vetores é dada por:
~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 )
Professor Izaias Cordeiro Néri
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Capítulo 1. Vetores
Exemplo 1.4.1 Considere os vetores
Resolução:
~u = (2, 3)
e
~v = (−5, 1).
Determine a soma de
~u + ~v .
~u + ~v = (2 + (−5), 3 + 1) = (−3, 4)
Produto por um escalar Seja
~v
um vetor
~v = (x, y)
e
k
um escalar, representamos o vetor
k.~v
por:
k.~v = k(x, y) = (kx, ky)
Exemplo 1.4.2 Considere
~u = (2, 3)
Resolução: 1.4.3
e
O vetor
Vetores em
O conjunto
k = 3. k~u
Determine o vetor
será dado por
k~u = 3.(2, 3) = (6, 9) → k~u = (6, 9)
R3
R3 = R × R × R = {(x, y, z)}.
representadao por
k.~u.
As coordenadas de um vetor
~v
são
(v1 , v2 , v3 )
e o vetor será
~v = (v1 , v2 , v3 ). z
y
x Figura 1.4: Vetor no
1.4.4
Operações em
R3
R3
Adição Considere dois vetores
~u = (u1 , u2 , u3 )
e
~v = (v1 , v2 , v3 ),
a soma desses vetores é dada por:
~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 )
Exemplo 1.4.3 Considere os vetores
Resolução:
~u = (2, 3, −1)
A soma é dada por
Professor Izaias Cordeiro Néri
e
~v = (−5, 1, 2)
~u + ~v = (2 + (−5), 3 + 1, −1 + 2) = (−3, 4, 1)
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Capítulo 1. Vetores
Produto por um escalar Seja
~v
um vetor
~v = (x, y, z)
e
k
um escalar, representamos o vetor
k.~v
por:
k.~v = k(x, y, z) = (kx, ky, kz)
Exemplo 1.4.4 Considere
~u = (2, 3, −1)
Resolução:
O vetor
e
k~u
k = 3.
Determine o vetor
será dado por
k.~u
k~u = 3.(2, 3, −1) = (6, 9, −3) → k~u = (2, 9, −3)
1.5 Componentes de um vetor Ás vezes um vetor (R
•
Em
R2
2
ou R3 )
com o ponto inicial
não está posicionado com seu ponto inicial na origem do sistema cartesiano.
P1 = (x1 , y1 )
e o ponto nal em
P2 = (x2 , y2 )
temos:
−−−→ ~v = P1 .P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 ) •
Em
R3
com o ponto inicial
P1 = (x1 , y1 , z1 )
e o ponto nal em
P2 = (x2 , y2 , z2 )
temos:
−−−→ ~v = P1 .P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
1.6 Exercícios 1. Considere os seguintes vetores e
m ~ = (3, 0, −2).
~u = (9, 3), w ~ = (−1, 3, 4), ~v = (2, −5), p~ = (3, −2, −1), ~q = (2, 0), ~t = (3, 4)
Calcule:
(a)
~v +~u
(d)
~u − ~t
(b)
w ~
(e)
3.(~q + ~u) − 2(~v + ~t)
(c)
4.~t+3.~q
(f )
m ~ + p~
-
p~
2. Em um sistema de coordenadas cartesianas, esboce os vetores
R2
do exercício 1.
3. Em um sistema de coordenadas cartesianas, esboce os vetores
R3
do exercício 1.
4. Encontre os componentes do vetor de ponto inicial em
(a)
u1 = (4, 8)
(b)
u1 = (3, −5)
e
(c)
u1 = (0, 0)
u2 = (−3, 1)
e
e
u2 = (3, 7) u2 = (−4, −7)
Professor Izaias Cordeiro Néri
u1
e ponto nal em
(d)
u1 = (4, 8, 2)
(e)
u1 = (3, −7, 2)
e
u2 .
u2 = (3, 7, −1) e
u2 = (−2, 5, −1)
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Capítulo 1. Vetores
Respostas Exercícios
1.
(a) (11,-2)
(c) (18, 16)
(e) (23, 11)
(b) (-4,5,5)
(d) (6, -1)
(f ) (6, -2,-3)
2. Desenho Pessoal
4.
3. Desenho Pessoal
(a) (-1,-1)
(d) (-1,-1,-3)
(b) (-7,-2)
(e) (-5,12,-3)
(c) (-3,1)
1.7 Norma de um Vetor O comprimento de um vetor
~ (u)
é também chamado de norma de u e é denotado por
||u||
Em R2 y
A norma é dada por
||u|| =
p
||u|| =
p
(u1 )2 + (u2 )2
u = (u1 , u2 ) ~u x
Em R3 z
A norma é dada por
(u1 )2 + (u2 )2 + (u3 )2
y
x
Exemplo 1.7.1 Calcule a norma dos vetores nos seguintes casos:
p
a.
~v = (2, −3) → ||~v || =
b.
~u = (−3, 5, 2) → ||~u|| =
(2)2 + (−3)2 = p
√
4+9=
(−3)2 + (5)2 + (2)2 =
Professor Izaias Cordeiro Néri
√
√
13
9 + 25 + 4 =
√
38
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Capítulo 1. Vetores
1.8 Exercícios 1. Encontre a norma de
~v
.
(a)
~v = (4, −3)
(d)
~v = (2, 2, 2)
(b)
~v = (2, 3)
(e)
~v = (−7, 2, −1)
(c)
~v = (−5, 0)
(f )
~v = (0, 6, 0)
2. Sejam
~u = (2, −2, 3), ~v = (1, −3, 4)
(a)
||~u + ~v ||
(b)
||~u|| + ||~v ||
(c)
|| − 2~u|| + 2||~u||
3. Seja
w ~ = (3, 6, −4).
Calcule o que está sendo pedido:
||3~u − 5~v + w|| ~
(d)
w ~
1 .w ~ ||w|| ~
1
.w ~
||w|| ~
(e)
~v = (−1, 2, 5).
4. Mostre que se
e
(f )
Encontre todos os escalares
k,
é qualquer vetor não nulo, então
tais que
1 .w ~ ||w|| ~
||k.~v || = 4.
é um vetor unitário.
Obs.:Vetor unitário é todo vetor que possui norma igual a 1 Respostas Exercícios
1.
(c) 5
(a) 5
√ (b)
√ 2.
(a)
√ (b)
3.
13
(d)
83
(c)
17 +
√
26
(d)
(e)
√ 2 3
√ 3 6
(f ) 6
√ 4 17 √ 466
(e)
3 6 −4 √ ,√ ,√ 61 61 61
(f ) 1
√ 4 2 30 k = ±√ = ± 15 30
4. Fazer demonstração
1.9 Produto Escalar Sejam
~u
e
~v
dois vetores não nulos nos espaços bi e tridimensionais e suponha esses vetores de tal modo
que seus pontos iniciais coincidam. Esses vetores formam um ângulo Se
~u
e
~v
são vetores em
R2
ou
R3
e
θ
θ
entre si, tal que
0 ≤ θ ≤ π.
Denição:
o ângulo entre eles, então o produto escalar (também chamado produto
interno), será denido por:
||~u||.||~v ||.cos(θ) u·v = 0
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se
~u 6= 0
se
~u = 0 ou ~v = 0
e
~v 6= 0
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Capítulo 1. Vetores
Exemplo 1.9.1 Sejam os vetores
~u = (0, 0, 1)
e
~v = (0, 2, 2).
Calcule o produto interno dele sendo considerado
θ = 45◦
o
ângulo entre eles.
Resolução: p p ~u · ~v = ( 02 + 02 + 12 )( 02 + 22 + 22 ). cos(45◦ ) = 2
Obs.:
O produto escalar entre vetores SEMPRE gera como resultado um número!!!
1.10 Produto Escalar em termos de Componentes O produto escalar pode ser denotado por
•
Em
R2 : ~u = (x1 , y1 )
•
Em
R3 : ~u = (x1 , y1 , z1 )
e
u·v
ou
< u, v >.
Consideremos os vetores:
~v = (x2 , y2 ) → < u, v >= x1 .x2 + y1 .y2 e
~v = (x2 , y2 , z2 ) → < u, v >= x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2
Exemplo 1.10.1 Sejam
a)
~u = (3, −1), ~v = (2, 2)
e
w ~ = (9, −3)
< u, v >
b)
calcule:
< (u + v), w >
c)
< v, w >
Resolução: a)
< u, v >= 3.2 + (−1).2 = 6 − 2 = 4
b)
< (u + v), w >=< (5, 1), (9, −3) >= 5.9 + 1.(−3) = 45 − 3 = 42
c)
< v, w >= 2.9 + 2.(−3) = 18 − 6 = 12
Exemplo 1.10.2 Considere
~u = (−1, 2, 3)
Resolução:
e
~v = (2, 2, 2).
Calcule o produto escalar entre eles.
< u, v >= −1.2 + 2.2 + 3.2 = −2 + 4 + 6 = 8
Exemplo 1.10.3 Sejam
~v = (a, b) e w ~ = (p, q),
Resolução:
calcule o produto interno entre eles.
< v, w >= a.p + b.q
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Capítulo 1. Vetores
1.11 Ângulo entre vetores Considere dois vetores como sendo
~u
e
~v ,
em
u · v = ||~u||.||~v ||. cos(θ),
R2
ou
R3
ambos.
cos(theta)
então podemos isolar o
cos(θ) =
Obs.:
Como podemos escrever o produto escalar entre eles cando com:
u·v ||~u||.||~v ||
Para encontrar o ângulo devemos usar a função arccosseno.
(equivalente à
cos−1
de sua calculadora
cientíca)
Exemplo 1.11.1 Considere os vetores
Resolução:
~u = (2, −1, 1)
cos(θ) =
~v = (1, 1, 2).
e
Determine o ângulo entre esses vetores.
u·v 2.1 + (−1).1 + 1.2 1 √ √ = = , ||~u||.||~v || 2 6. 6
e portanto,
cos−1
1 = 60◦ 2
Teorema 1.11.1 Sejam
a.
~u
e
~v
vetores em
R2 ou R3
:
v.v = ~v
b. Se os vetores são não nulos e
θ
o ângulo entre eles, então:
• θ
é agudo se, e somente se
• θ
é obtuso se, e somente se
• θ
é reto se, e somente se
u·v >0 u·v <0
u·v =0
Exemplo 1.11.2 Se
~u = (1, −2, 3), ~v = (−3, 4, 2)
a)
< u, v >
e
w ~ = (3, 6, 3).
b)
Calcule:
< v, w >
c)
< u, w >
Resolução: a)
< u, v >= 1.(−3) + (−2).4 + 3.2 = −3 − 8 + 6 = −5,
b)
< v, w >= −3.3 + 4.6 + 2.3 = −9 + 24 + 6 = 21
c)
< u, w >= 1.3 + (−2).6 + 3.3 = 3 − 12 + 9 = 0
então
, então
, então
θ
θ
θ
é obtuso.
é agudo
◦
é 90 .Portanto
~u
e
w ~
são perpendiculares.
Exemplo 1.11.3 Sabe-se que os vetores
~u = (1, −2, −1)
e
w ~ = (k, −2k, 7)
são ortogonais. Determine o valor de k.
Resolução: < u, v >= 1.k + (−2).(−2k) + (−1).7 = k + 4k = 0 → 5k = 7 ∴ k = 7/5
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Capítulo 1. Vetores
1.12 Projeção Ortogonal Se
~u
~u e ~a são vetores posicionados com seus iniciais coincidindo com um ponto Q, podemos decompor o vetor
baixando uma perpendicular da ponta de
~u
para a reta ao longo de
desta perpendicular. Em seguida tomamos a diferença
~a
e construímos o vetor
w~1
de
Q
ao pé
w~2 = ~u − w~1 .
w2 ~u
~a
Q
w~1
Figura 1.5: Projeção Ortogonal do vetor
O vetor
w~1
é chamado projeção ortogonal de
~u
sobre
~a
~u
em
e é denotado por:
~a proja ~u
Teorema 1.12.1 Se
~u
e
~a
são vetores em
R2
ou
R3
w~1 = proja ~u =
e se
a 6= 0,
u·a .~a ||a||2
w2 = u − proja u = u −
então:
(Componente vetorial de u ao longo de a).
u·a .~a ||a||2
(Componente vetorial de u ortogonal de a).
Exemplo 1.12.1 Sejam
~u = (2, −1, 3)
e
~a = (4, −1, 2).
Encontre
w~1
e
w~2 .
Resolução: u·a 2.4 + (−1)(−1) + 3.2 15 .(4, −1, 2) = w~1 = proja ~u = (4, −1, 2) ∴ w~1 = .~a = 2 2 2 2 ||a|| 4 + (−1) + 2 21 w~2 = (2, −1, 3) −
Obs.:
20 −5 10 , , 7 7 7
20 −5 10 , , 7 7 7
6 2 11 6 2 11 = − ,− , ∴ w~2 = − , − , 7 7 7 7 7 7
Fazendo o produto escalar entre esses vetores obtemos
< w1 , w2 >= 0,
pois
w~1 ⊥ w~2
1.13 Exercícios 1. Encontre
< u, v >
(a)
~u = (2, 3) e ~v = (5, −7)
(c)
~u = (1, −5, 4) e ~v = (3, 3, 3)
(b)
~u = (−6, −2) e ~v = (4, 0)
(d)
~u = (−2, 2, 3) e ~v = (1, 7, −4)
Professor Izaias Cordeiro Néri
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Capítulo 1. Vetores
2. Em cada item do exercício anterior encontre o cosseno do ângulo
3. Determine se os vetores
~u
e
~v
θ
entre os vetores.
fazem entre si um ângulo agudo, obtuso ou são ortogonais.
(a)
~u = (6, 1, 4), ~v = (2, 0, −3)
(c)
~u = (−6, 0, 4), ~v = (3, 1, 6)
(b)
~u = (0, 0, −1), ~v = (1, 1, 1)
(d)
~u = (2, 4, −8), ~v = (5, 3, 7)
4. Encontre a projeção ortogonal de
~u
em
~a.
(a)
~u = (6, 2), ~v = (3, −9)
(c)
~u = (3, 1, −7), ~v = (1, 0, 5)
(b)
~u = (−1, −2), ~v = (−2, 3)
(d)
~u = (1, 0, 0), ~v = (4, 3, 8)
5. Em cada item do exercício anterior encontre o componente vetorial
6. Mostre que
~u = (a, b)
e
~v = (−b, a)
~u
ortogonal a
~a, Ou
seja,
(w~2 )
são vetores ortogonais.
Respostas Exercícios
1. (a)
−11
2. (a)
11 −√ 962
(b)
−24 (b)
3. (a) Ortogonais
5. (a)
(0, 0) (6, 2)
(b)
(b)
0
3 −√ 10
12 8 ,− 13 13
(d)
0
(c) 0
(b) Obtuso
4. (a)
(c)
21 14 − ,− 13 13
(d) 0
(c) Agudo
(d) Obtuso
80 16 (c) − , 0, − 13 13 55 11 (c) , 1, − 13 13
(d)
(d)
16 12 32 , , 89 89 89 73 12 32 ,− ,− 89 89 89
6. Demonstração
1.14 Produto Vetorial O produto vetorial é aplicado apenas em vetores do
R3
e cujo resultado é um vetor.
Denição 1.14.1 Se
~u = (u1 , u2 , u3 )
~u ∧ ~v )
e
~v = (v1 , v2 , v3 )
são vetores em
R3 ,
então o produto vetorial
~u × ~v
(ou então
é o vetor denido por:
u2 ~u × ~v = v2
Professor Izaias Cordeiro Néri
u u3 ,− 1 v1 v3
u3 u1 , v3 v1
u2 v2
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Capítulo 1. Vetores
Exemplo 1.14.1 Encontre
~u × ~v
sendo
~u = (1, 2, −2)
~v = (3, 0, 1).
e
Resolução: 2 ~u × ~v = 0
Obs:
1 −2 ,− 3 1
2 0
−2 1 , 1 3
~u × ~v = (2, −7, −6)
O produto escalar é um número (escalar) e o produto vetorial é um vetor!!
1.15 Vetores Unitários Canônicos Considere os vetores
~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).
a 1 e estão sobre os eixos coordenados.
~u = (u1 , u2 , u3 )
Estes vetores tem, cada um, norma igual
Eles são vetores canônicos do espalo tridimensional.
pode ser expresso em termos de ~ i, ~j
Cada vetor
e~k
~u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 (1, 0, 0) + u2 (0, 1, 0) + u3 (0, 0, 1) = u1 .~i + u2 .~j + u3 .~k z
~k
~i
y
~j
x Figura 1.6: Vetores Canônicos
Por exemplo, o vetor
~v = (3, −2, 4)
pode ser escrito como
~v = 3~i − 2~j + 4~k
1.16 Produto Vetorial na forma de Determinante O produto vetorial entre dois vetores por um determinante
3×3
~u = (u1 , u2 , u3 )
e
~v = (v1 , v2 , v3 ),
será representado simbolicamente
na forma:
i ~u × ~v = u1 v1
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j u2 v2
k u3 v3
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Capítulo 1. Vetores
Exemplo 1.16.1 Encontre
~u × ~v
sendo
~u = (1, 2, −2)
e
~v = (3, 0, 1).
Resolução: i ~u × ~v = 1 3
j 2 0
k −2 = 2i − 7j − 6k 1
em coordenadas cartesianas
~u × ~v = (2, −7, −6)
1.17 Área de um paralelogramo Se
~u
e
~v
são vetores em
R3 ,
então
||~u × ~v ||
é igual a área do paralelogramo determinado por
~u
e
~v .
Figura 1.7: Paralelogramo formado pelos vetores
Exemplo 1.17.1 Encontre a área do paralelogramo entre os vetores
~u = (1, 2, −2)
e
~v = (3, 0, 1).
Resolução: ~u × ~v = (2, −7, −6).
A área será dada por
||~u × ~v || =
p √ (2)2 + (−7)2 + (−6)2 = 89 ≈ 9, 434 u.a
1.18 Produto Misto Se
~u, ~v e w ~
são vetores no espaço tridimensional então chamamos de produto misto entre esses vetores:
~u · (~v × w) ~ O produto misto de
~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 )
determinante:
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e
u1 ~u · (~v × w) ~ = v1 w1
w ~ = (w1 , w2 , w3 ) u2 v2 w2
pode ser calculado por meio do
u3 v3 w3
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Capítulo 1. Vetores
Exemplo 1.18.1 Calcule o produto misto
Resolução: Obs.:
~u · (~v × w) ~
3 ~u · (~v × w) ~ = 1 0
dos vetores
−2 4 3
~u = 3i − 2j − 5k, ~v = i + 4j − 4k e w ~ = 3j + 2k
−5 −4 = 49 2
Com o produto misto encontramos o volume do paralelepípedo formado geometricamente pelos vetores
tridimensionais.
1.19 Exercícios 01. Sejam
~u = (3, 2, −1), ~v = (0, 2, −3) e w ~ = (2, 6, 7).
Calcule:
(a)
~v × w ~
(c)
(~u × ~v ) × w ~
(e)
~u × (~v − 2w) ~
(b)
~u × (~v × w) ~
(d)
(~u × ~v ) × (~v × w) ~
(f )
(~u × ~v ) − 2w ~
02. Encontre um vetor que é ortogonal a ambos
(a)
~u e ~v
~u = (−6, 4, 2) , ~v = (3, 1, 5)
(b)
03. Encontre a área do paralelogramo determinado por
(a)
~u = (1, −1, 2) , ~v = (0, 3, 1)
(b)
~u = (2, 3, 0) , ~v = (−1, 2, −2)
04. Encontre o produto misto
e
~v .
(c)
~u = (3, −1, 4) , ~v = (6, −2, 8)
~u · (~v × w) ~ .
(a)
~u = (−1, 2, 4), ~v = (3, 4, −2) e w ~ = (−1, 2, 5)
(b)
~u = (3, −1, 6), ~v = (2, 4, 3) e w ~ = (5, −1, 2)
05. Obtenha o volume do paralelepípedo de lados
~u, ~v
(a)
~u = (2, −6, 2), ~v = (0, 4, −2) e w ~ = (2, 2, −4)
(b)
~u = (3, 1, 2), ~v = (4, 5, 1) e w ~ = (1, 2, 4)
Professor Izaias Cordeiro Néri
~u
~u = (−2, 1, 5) , ~v = (3, 0, −3)
e
w ~.
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Capítulo 1. Vetores
Respostas Exercícios
01.
02.
(a)
(32, −6, −4)
(b)
(−14, −20, −82)
(c)
(27, 40, −42)
(d)
(0, 176, −264)
(e)
(−44, 55, −22)
(f )
(−8, −3, −8)
(a)
(18, 36, −18)
(b)
(−3, 9, −3)
√ 03.
(a) A =
√ (b) A = (c) A =
04.
05.
0
59 101
.Os vetores são multiplos
(a)
~u · (~v × w) ~ = −10
(b)
~u · (~v × w) ~ = −110
(a)
~u · (~v × w) ~ =
16
(b)
~u · (~v × w) ~ =
45
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~v = 2~u
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CAPÍTULO
2 MATRIZES
Podemos denir matrizes como sendo uma tabela de números dispostos em linhas e colunas colocados entre parênteses ou colchetes.
−2 1
Todas com
3 4
4 √ − 2 1
2×2
0
π 1
3×2
m linhas e n colunas são denominadas matrizes m × n sendo m e n ∈ N∗
2.1 Notação e formação de uma matriz As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linha e a coluna, respectivamente, de cada elemento. Um formato geral para matriz
m×n
é:
Abreviando a matriz A teríamos:
a11
a12
···
a1n
a21 A= .. . am1
a22
···
. . .
..
am2
···
a2n . . . amn
A = [aij ]m×n .
Onde
.
iej
que o elemento ocupa. Vejamos um exemplo de uma matriz três colunas.
17
m×n
representam, respectivamente, a linha e a coluna
2 × 3,
isso indica que a matriz possui duas linhas e
Capítulo 2. Matrizes
Considerando uma matriz A (2 x 3) qualquer.
A=
2 1
−3 0
4
onde
5
2×3
As matrizes obedecem uma
a11 = 2 a12 = −3
a13 = 4
a21 = 1
a23 = 5
a22 = 0
Lei de formação
Exemplo 2.1.1 Determinar a matriz
A = [aij ]2×3 = 2i + j
Resolução: a11 A= a21
a12
a13
a22
a23
2×3
a11 = 2.1 + 1 = 3 a12 = 2.1 + 2 = 4 = a21 = 2.2 + 1 = 5 a22 = 2.2 + 2 = 6 3 A= 5
4
5
6
7
a13 = 2.1 + 3 = 5 a23 = 2.2 + 3 = 7
2×3
2.2 Matrizes Especiais 2.2.1
Matriz Quadrada
Quando o número de linhas e o número de colunas de uma matriz são numericamente iguais chamamos de matriz quadrada. O exemplo a seguir é de uma matriz quadrada de ordem 3:
1
A = −4 2
2.2.2
−3 0 1
2
−3 4
3×3
Matriz Identidade
É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0.
1, In = [aij ], aij = 0,
se
i=j
se
i 6= j
Exemplos
1 I2 = 0
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0 1
1
I3 = 0 0
0 1 0
0 0 1
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Capítulo 2. Matrizes
2.2.3
Matriz Transposta
Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir da matriz A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notação:
Exemplo: Se
1 A= 4
−3 6
2 5
então
1 A = 2 −3 T
AT 4 5 6
2.3 Exercícios
1. Determinar a matriz
B = [bij ]3x3 , tal
que
bij =
1,
i2 − j 2 ,
se
i=j
se
i 6= j
2. Determine as seguintes matrizes:
(a)
A = (aij )2x2 = (i + j)2
(b)
B = (bij )3x3 = (i − j)3 2, C = (cij )2x3 = i+j
(c)
3. Dada a matriz
A = (aij )3x3 ,
se
i=j
se
i 6= j
tal que
aij = i2 + 2j − 5,
calcule
a12 + a31
Respostas Exercícios
1.
1 B = 3 8
2.
3.
(a)
−3 1 5
4 A= 9
−8 −5 1
3×3
9 16
(b)
2×2
a12 = 12 + 2.2 − 5 = 0
0 B = 1 8
a31 = 32 + 2.1 − 5 = 6
−1 0 1
−8 −1 0
(c)
2 C= 3
3
4
2
5
2×3
3×3
∴ a12 + a31 =
6
2.4 Operações com Matrizes 2.4.1
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B de mesma ordem
m × n,
são iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam
a mesma posição são idênticos. Notação A = B.
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Capítulo 2. Matrizes
Exemplo 2.4.1 Dadas as matrizes
2
A= a
Resolução:
1
3
e
x B= b
x = A = BT → a 3 3 1
2
b
3 , 3
determinar a, b e x para que
A = BT .
. 3
Então
x = 1, b = 2 e a = 3
Exemplo 2.4.2
Qual deve ser o valor de
m
para que ocorra
1 − m2 −2
1
0
= 1−m −2
1 0
Resolução: 1 − m2 1−m 2.4.2
=
0 →
m = −1
=
0 →
m=1
ou
m=1
Como devem ser satisfeitas simultaneamente, então
m = 1.
Adição e Subtração
A = (aij )m×n
Dada duas matrizes
e
B = (bij )m×n ,
a matriz soma A + B é a matriz
C = (cij )m×n ,
tal que
cij = aij + bij
Exemplo 2.4.3 Determine a soma de
1
A= −3
2 4
e
0 B= 1
3
−5
Resolução:
2 0 + −3 4 1 1
3
1+0
= −5 −3 + 1
2+3 4 + (−5)
1
= −2
5 −1
∴
1
A+B = −2
5
−1
A subtração entre as matrizes A e B pode ser vista como a soma de A com a matriz oposta de B, ou seja
A − B = A + (−B).
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Capítulo 2. Matrizes
Exemplo 2.4.4 Determine a matriz X na equação matricial
Resolução: Fazendo
a X= c
o que ca
b
, d
temos
b
2
− d −3
X − −3
b − (−1)
c − (−3)
b+1 d−4
=
2
∴
= −2
1/2 −2 3/2 + −5 −4 3
−1 1 1/2 −2 3/2 = + 4 3 −5 −4 3
1 − 2 1/2 + 3/2 a−2 = ⇒ d−4 3−4 −5 + 3 c+3
a−2
a − 2 = −1 c + 3 = −1 2.4.3
a c
−1 1 = 4 3
2
−1 = d−4 −1 b+1
2 −2
1 2
1
X= −4
Produto de uma matriz por um escalar
A = (aij )m×n
Seja a matriz matriz B, tal que
B = k.A,
e um número real
onde
k,
com
k 6= 0.
O produto de
k
pela matriz A é dado por uma
bij = k.aij .
Exemplo 2.4.5 Considere
k=3
e
0
A = −2 0
2
1
−5. 1 4
3
Determine a matriz B = kA.
Resolução:
0
B = 3. −2 0
2
1
3.0
−5 = 3.(−2) 1 4 3.0
3
3.2 3.3 3.1
3.1
0
3.(−5) = −6 3.4 0
6
3
−15 3 12
9
∴
0
B = −6 0
6
3
−15 3 12
9
2.5 Exercícios
1. Determine
2. Determine
3. Determine
−1 5/6 a 5b = . os valores de a, b, c e d para que se tenha c/3 −d 2 10 1 −2 x 1 −2 3/4 = . x, y e z que satisfaçam 3y 5 z − 1 −6 5 0 p+q −2 6 −2 = . p e q, tais que 0 2p − q 0 3
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Capítulo 2. Matrizes
4.
5.
m2 − 9 2 = Verique se existe m, m ∈ R, para que se tenha m−3 m+3 0 4 − m2 1 0 1 = . Determine m, m ∈ R,se existir, tal que −2 3 m 3
6. Seja
A = (aij )2×3 ,
em que
aij = i + j .
2
Determine m, n e p em
0 0
.
m+n B = n−1
3 m − 2p
4 , 5
tal que
A = B.
7. Sejam as matrizes
(a)
A+B
(b)
A−B
8. Sejam
2 A= 4
A = (aij )3×2 ,
−1 3
em que
aij = i + 2j
−1 1 eC= 2 −1
3
,B = −2
B = (bij )3×2 ,
e
−3 0
em que
bij = 1 + i + j .
Determine:
.
Determine
A + B + C.
9. Resolva as seguintes equações matriciais:
(a)
3
em que
(b)
em que
aij = 2i − j ,
e
3 4 = 1 0
B = (bij )7×9 ,
(b)
1 A= 8
−11 5
3
em que
−1 3
bij = i + j.
Seja
C = A + B,
, −2
obtenha as matrizes:
(b)
3 A = 1 4
−2 −5 −3
e
0
B = −3 1
2A + B
1 2. 5
2
A = −1 0
Professor Izaias Cordeiro Néri
1
0
A − 2B
2 5 −4
2
1 A 2
Determine as seguintes matrizes:
(b)
c63
3.A
13. Sejam as matrizes
2 X − 4
Determine os elementos:
c21
12. Sejam as matrizes
(a)
A = (aij )7×9 ,
cij = aij + bij .
11. Dada a matriz
(a)
11
X + −1 = 3 5 −2
10. Sejam as matrizes
(a)
e
B = (bij )3×3 ,
em que
bij = i − j .
Determine a matriz
1 A + 4B 2
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Capítulo 2. Matrizes
14. Sendo
(a)
1 A= −3
2 4
e
0
B= 4 −2
1 3, 5
determine:
2(A + AT )
BT
(b)
Respostas Exercícios
1.
a = −1, b =
1 , c = 6, d = −10 6
9.
2.
3 x = , y = −2, z = 1 4
3.
p = 3, q = 3
10.
4. Não existe valor de
m
11.
que satisfaça
5.
m = −2
6.
m = −2, n = 4, p = −3
12.
6
7.
a.
8.
6 A+B+C = 1
A+B = 8 10
9
11 13
b.
0 A−B = 0 0
1 1 1
−5 5
13.
14.
8
a. 4 −7
b.
6 4
2 4
a.
c21 = 6 b. c63 = 18 3 −33 9 1/2 −11/2 a. b. 24 15 −6 4 5/2 6 −3 3 −4 a. b. −1 −8 7 −9 9 −1 2 −13 1 −7/2 −8 1 A + 4B = 7/2 1 −3 2 8 13/2 −2 4 −2 0 4 −2 a. b. −2 16 1 3 5
3/2 −1
2.6 Multiplicação de Matrizes A existência do produto AB só será válida se, e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
An×m · Bm×p = Cn×p
Exemplo 2.6.1
Considere as matrizes
1 A = 5 3
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2 −1 2
3 2 1
3×3
e
2 B = 4 2
−1 0 3
. Determine o produto AB.
3×2
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Capítulo 2. Matrizes
Resolução: 1 5 3
2 −1 2
Obs.:
2 3 2 . 4 2 1
−1
16 1 ∴ AB = 10 16 0
16 5.(−1) + (−1).0 + 2.3 = 10 16 3.(−1) + 2.0 + 1.3
1.2 + 2.4 + 3.2
1.(−1) + 2.0 + 3.3
0 = 5.2 + (−1).4 + 2.2 3.2 + 2.4 + 1.2 3
8
Lembrar que o produto de matrizes, em geral, não é comutativo, ou seja,
8 1 0
AB 6= BA
Exemplo 2.6.2
Encontre a matriz X em AX = B, sendo
2 A= 3
−4 1
e
5
B= −3
Resolução: Temos que
2 3
2 3
−4 1
.X2×1 =
2×2
5
. Observamos que a matriz X é igual a
−3
2×1
a X= b
2×1
2a − 4b = a 5 2a − 4b 5 . = ⇒ = ⇒ 3a + b = 1 b −3 3a + b −3
−4
5
donde
a=−
−3
1 2
e
b=−
3 2
−1/2 ∴ X= −3/2
Exemplo 2.6.3 Sejam as matrizes
A = [aij ]6×3 = i + j
e
B = [bjk ]3×8 = 2j − k .
Determine o elemento
c35 ,
sendo que C
= AB.
Resolução: Vejamos que não é necessário montar as duas matrizes por completo. Para adquirir o elemento
c35 ,
basta
usar a terceira linha de A com a quinta coluna de B.
···
A = a31 ···
Assim
··· a32 ···
··· a33 = 4 ··· ··· ···
··· 5 ···
···
6 ···
;
··· B = · · · ···
b15 b25 b35
··· · · · = · · · ··· ··· ···
−3 −1 1
···
· · ·. ···
c35 = a31 .b15 + a32 .b25 + a33 .b35 = 4.(−3) + 5.(−1) + 6.1 = −11 ∴ c35 = −11
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Capítulo 2. Matrizes
2.7 Exercícios 1. Determine os produtos das matrizes.
(a)
2 4
−1 −1 . 3 0
2. Sejam as matrizes
−2
4
3
1
1 −3
3 A = 0 1
(b)
−1 0 2 ,B = 1 4
1
(c) A.C
(b) B.A
(d)
3. Sejam as matrizes
elementos
4. Calcule
x
c12 e
y
e
c41 .
em
2
y
5. Sejam as matrizes
x
4
4
Determine, caso existir:
(e)
5
−1 2
B.AT
B T .C
3 −2 0 1 3 2 5 −3 0 8 −1
−3 1 . 5 0
e C = . −3 −1
(a) A.B
4 0 A= 4 1
4 2
e
1
−6
10
−3 . 4 8
5 B = −2 1
Considere que A . B = C, determine os
. = −3 −5 −3
A = (aij )6×3 ,
em que
aij = i + j ,
e
B = (bij )3×4 ,
em que
bij = 3i − 2j ,
sendo C a
C52 2 0 3 x e se comutem. Determine x e y a m de que as matrizes −3 4 y 1 2 −3 0 3 = Resolva a equação matricial X. 1 4 −1 5 0 1 1 2 eB= Sendo A = 4 3, resolva a equação AT .X = B T . −3 4 −2 5 −1 0 1 0 , B = e C = Resolva a equação A.X + B = C, na qual A = 1 3 5 −3 cos(x) sen(x) . Calcule A(x).A(x) Considere as matrizes reais do tipo A(x) = sen(x) cos(x) matriz produto AB, determine o valor do elemento
6.
7.
8.
9.
10.
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Capítulo 2. Matrizes
Respostas Exercícios
1.
(a)
(b)
2.
−2 7 5 −1 −4 19 15 −17 4 −10 2 8
(a) A.B =
−1 2 4
6
(d)
−6 −11
(e) (b) B.A = Não se aplica
(c) A.C =
c12 = 23
4.
x=
5.
C52 = 48
6.
x=0
7.
1 −3 . X= 11 −9
8.
1 3 X= 10 1
9.
X=
−11
c41 = 3 y=−
9 2
y=3
1
6 7 25
−5
7 9
−3
10.
4
−2 0
3.
7 5
13
−1 B T .C = 7 −1 2 B.AT = 6 −6
A(x) ∗ A(x) =
1
sin(2x)
sin(x)
1
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CAPÍTULO
3 DETERMINANTES
Denição 3.0.1 Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. As aplicações dos determinantes em matemática estão associadas a: - Cálculo da matriz inversa; - Resolução de alguns tipos de sistemas lineares; - Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.
3.1 Determinante de matriz
Dada a matriz
a11 A = a21
a12 a22
2×2
,
por denição temos que o determinante é dado por
det(A) = a11 .a22 −
a21 .a12 .
Exemplo 3.1.1
Calcule o determinante da matriz
2 D= 4
−3 . 5
Resolução:
det(D) = 2.5 − 4.(−3) = 10 + 12 = 22
Conclusão:
O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
27
Capítulo 3. Determinantes
Exemplo 3.1.2
Calcular o valor de
Resolução:
x, x ∈ R,
na igualdade.
3x 4
3 x+3
=0
3x.(x + 3) − 4.3 = 0 → 3x2 + 9x − 12 = 0,
donde tiramos que
x = −4 1 x =1 2
3.2 Regra de Sarrus Para determinantes de 3
a
ordem usaremos um dispositivo prático conhecido como regra de Sarrus (lê-se
Sarrí).
Exemplo 3.2.1
Calcular o determinante da matriz
2 1 3
3 −1 4
5 2. 3
Resolução:
Exemplo 3.2.2
Resolva, em
R,
a seguinte equação:
1 2 −1 x 3 2
x x + 1 = 6. x
Resolução: 1
2
x
1
2
−1
x
x+1
−1
x
3
2
x
3
2
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→ x2 + 6(x + 1) − 2x − 3x2 − 2(x + 1) + 2x = 6 → x2 − 2x + 1 = 0 ∴ x = 1 | {z } (x−1)2
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Capítulo 3. Determinantes
3.3 Exercícios - Regra de Sarrus
1.
2.
3.
2 5 Calcule os seguintes determinantes: a) 3 8 11 7 4 −5 . + Calcule o valor de y = 3 2 2 −3 x x + 2 =x Resolva, em R, a equação 4 3
4. Resolva, em
5. Sejam
as
R,
matrizes
−1, bij = 1,
6. Resolva, em
7. Determine
a equação
i≥j
se
i<j
−2 −1
em
que
. Qual o valor de
a seguinte equação:
x 2x 3
1, se i ≥ j = 2, se i < j
aij
0 x 2x
R,
a seguinte equação:
x x − 1 1
e
B = (bij )3×3 ,
em
que
det(A) + det(B)? 1 2 = 0. x
k, para qual o determinante da matriz A é nulo.
8. Resolva, em
c)
3 −1
4 2
3 = 2. x − 1
A = (aij )3×3 ,
se
R,
x x + 1
b)
−3 −5
4 x x+1
1 A = 2 1
−2 x 1 = 2 3
1 3 0
1
k . k
3 1
9. Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo.
1 A = 4 6
2 9 x
1
4 . x−7
Respostas Exercícios - Regra de Sarrus
b) − 7
c) − 10
1.
a)1
2.
y = −1
3.
S = {−4}
4.
S = {−1, 5}
5.
det(A) + det(B) = −3
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6.
√ √ S = {− 3, 0, 3}
7.
k=
8.
S = {2}
9.
x = 13
3 2
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Capítulo 3. Determinantes
3.4 Teorema de Laplace
Denição 3.4.1 O determinante de uma matriz de ordem n
(n ≥ 2)
pode ser obtido pela soma dos produtos dos
elementos de uma la qualquer ( linha ou coluna ) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, xando um
j ∈ N,
tal que
1 ≤ j ≤ m:
det M =
m X
aij .Aij
i=1
Exemplo 3.4.1
Calcule o determinante da matriz
Resolução: 0.A34 .
A31
Vamos escolher a 3
a
3 5 D= 7 1
1
−2
2
2
4
−5
−1
11
1 3 0 2
linha da matriz, então deveremos ter
det(D) = 7.A31 + 4.A32 + (−5).A33 +
Agora, calculando cada cofator.
1 4 = (−1) . 2 −1
−2 2 11
1 3 = 9, 2
Não calculamos o cofator
A34 ,
A32
3 5 = (−1) 5 1
−2 2 11
1 3 = 20 e 2
A33
3 6 = (−1) . 5 1
1 2 −1
1 3 = 7 2
pois não há necessidade uma vez que ele será multiplicado por zero.
det(D) = 7.9 + 4.20 + (−5).7 = 108
Exemplo 3.4.2
Calcule o determinante de
Resolução:
1 3 D = 5 −9
0
10
−2
1
0
−3
0
4
0 −1 −2 7
Vamos escolher a segunda coluna, pois ela apresenta um grande número de elementos com valor
zero e isso facilitará nossos cálculos.
D = 0.A12 + (−2).A22 0.A32 + 0.A42 = −2.A22 . Assim basta calcular apenas este último termo. 1 10 0 A22 = (−1)2+2 . 5 −3 −2 = −183 −→ segue queD = (−2).(−183) = 366 ∴ det(D) = 366 −9 4 7
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Capítulo 3. Determinantes
3.5 Exercícios - Teorema de Laplace 1. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
3 5 0 −1
4
1 −2 0 3
2
0 −1 0
4
0
3
(b)
−2 0 3 1
3
1
−1
2
−4
5
0
−2
7 0 1 −1
(c)
1 0 0 0
−1 3 0 0
1 2 1 7 −1 0 4
5
2. Calcule os determinantes:
(a)
0 11 0 4
5
−3
−1
2
0
0
−3
2
4 7 0 −1
(b)
3. Resolva, em R (reais), a equação:
4. Resolva, em R (reais), a equação:
5. Calcule
2 0 0 0 0
2
3 −4
1
0
0
4
0
2
−5
5
1
1
0 −1
x −1 0 0 x 2 1 0 −3
0 0 a 1
b 1 0 0 0 b a 0
a 1 a b
0
0
x
0
−1
x
0
−1
0
1
2
1
0
−1
−1
2
(c)
−x −y 0 1
y
1
0
−1
0
0
−1
x
0 x 2 y
3 0 = 3. 1 −2 2 −3 = −79 1 0
2 0 1 4 2
Respostas Exercícios - Teorema de Laplace 1.
a) − 208
2.
b)a2 + b2 ( ) 1 S = 0, 2
3.
a)0
4.
S = {5}
5.
−50
b) − 3
c) 84 c) − 2x.(1 + y 2 )
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CAPÍTULO
4 SISTEMAS LINEARES
4.1 Regra de Cramer Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas. Teremos então uma matriz quadrada A e seja D = det(A).
Teorema 4.1.1 Seja S um sistema linear com o número de equações igual ao de incógnitas. sistema será possível e terá solução única
αi =
(α1 , α2 , α3 , · · · , αn )
Se D
, tal que:
Di , ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., n} D
Exemplo 4.1.1
Determine os valores de
Temos
1 D= 1 2
1 Dy = 1 2
6 −4 1
1 −1 −1
x, y
e
z
para o sistema
1 −1 = −4 1
1 −1 = −12 1
x + x − 2x −
Depois para cada um:
1 Dz = 1 2
1 −1 −1 32
y
+
z
=
y
−
z
= −4
y
+
z
=
6 Dx = −4 1
6 −4 = −8 1
6
1
1 −1 −1
1 −1 = −4 1
6= 0
, então o
Capítulo 4. Sistemas Lineares
x=
Dx −4 = =1 D −4
y=
Dy −12 = =3 D −4
z=
Dz −8 = =2 D −4
∴ (x, y, z) = (1, 3, 2)
4.2 Exercícios - Regra de Cramer
1.
2.
3.
2x + y − z Resolva o sistema x − y + z 3x − y + 2z x + y Determine x, y e z para 2x + y x − 2y 3x − y + Considere o sistema 2x + y + x + 2y − (a)
x + z = −1
(b)
z − y = −4
(c)
y + z = −2
(d)
x+y =0
4. Sabendo que
a + b = 1200, b + c = 1100
=
0
=
3
=
6
+
z
=
7
−
z
=
0
+
2z
=
2
4z
= −5
z
=
0
3z
=
9
e
Podemos armar que:
a + c = 1500,
então
a+b+c
vale?
5. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam R$ 105,00, a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?
6. No sistema
(a)
−1
2x 3x (b)
+
3y
+ z
=
1
− 3y
+ z
=
8
2y
+ z
=
0
−3
(c) 3
o valor de
z − xy
é:
(d) 0
Respostas - Regra de Cramer
1.
x = 1, y = −1
2.
x = 0, 4; y = 2, 9; z = 3, 7
e
z=1
3. (a)
Professor Izaias Cordeiro Néri
4. a + b + c = 1900
5. R$25,00
6. (c)
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Capítulo 4. Sistemas Lineares
4.3 Problemas - Sistemas Lineares 1. Em um estacionamento há motos e carros, num total de 79 veículos e 248 rodas. Qual é o número de motos e carros no estacionamento?
2. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00.
Sabendo que o
número de mulheres que foram à danceteria excede de 5 o número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, qual o número de homens no local?
3. Em restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas, outras por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas?
4. Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu:
"Quando passaram 2 carros de passeio
e 3 ônibus, arrecadou-se a quantia de R$ 26,00; Quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões arrecadou-se a quantia de R$ 52,00".
Qual foi o valor do pedágio para cada veículo citado?
5. Em uma loja, para vender um televisor, um DVD player e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: O televisor e o DVD player custam juntos o valor de R$ 1200,00; o DVD player e o aparelho de som custam juntos R$ 1100,00; O televisor e o aparelho de som juntos custam R$ 1500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados?
6. Na França, três turistas trocaram por Francos Franceses (F), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e marcos, da seguinte forma: . . .
1 2 3
o o o
Turista: 50 dólares, 20 libras e 10 marcos por 502,90 F Turista: 40 dólares, 30 libras e 10 marcos por 533,40 F Turista: 30 dólares, 20 libras e 30 marcos por 450,70 F
Calcule o valor de 1 libra, em Francos Franceses no dia em que os turistas efetuaram a transição.
7. Uma loja vende 1 faca, 2 colheres e 3 garfos por R$ 23,50; 2 facas, 5 colheres e 6 garfos por R$ 50,00 e 2 facas, 3 colheres e 4 garfos por R$ 36,00. Qual valor individual de cada talher?
8. Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube:
cada vez quem ele convertesse um
arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. da uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00.
Ao nal
Pode-se armar que o número de
arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi:
(a) 0
(b) 5
Professor Izaias Cordeiro Néri
(c) 10
(d) 15
(e) 20
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Capítulo 4. Sistemas Lineares
Respostas Problemas 1. 34 motos e 45 carros
2. 25 mulheres e 20 homens
3. 7 mesas (4 pessoas) e 5 mesas (2 pessoas)
4. R$ 4,00 Carro; R$ 6,00 Ônibus; R$ 7,00 Caminhão
5. R$ 800,00 TV; R$ 400,00 DVD; R$ 700,00 Som
6. 1 Libra = 8,9 Francos
7. R$ 5,50 Faca; R$ 3,00 Colher; R$ 4,00 Garfo
8. C
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