Algebra Linear Lipschutz

SEYMOUR LIPSCHUTZ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TEMPLE UNIVERSITY

,

Algebra Linear Resumo da teoria 600 Problemas resolvidos 524 Problemas propostos

Tradução

de ROBERTO RIBEIRO BALDINO Prof. Titular do Instituto de Matemática Universidade P''ederal do Rio Grande do Sul

EDITORA McGRAW-HfLL DO BRASIL, LTDA. SÃO PAULO- RIO DE JANEIRO- BELO HORIZONTE DVSSELDORF, JOHANNESBURG, KUALA LUMPUR, LONDON, MEXICO, MONTREAL, NEW DELHI, NEW YORK, PANAMA, St. LOUIS, SAN FRANCISCO, SINGAPORE, SYDNEY, TORONTO.

Do original

Schaum's Outline of Theory and Problems of LINEAR ALGEBRA

publicado nos E.U.A. por Schaum Publishing Co. Copyright

©

1968 by McGraw-Hill, .Jnc.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema "retrleval" ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro melo, seja este eletrônico, mecânico, de fotocópia,· de gravação, ou outros, sem prévia autorização por escrito da Editora.

1973 Todos os diYtitos para a> Unr;tw. portuguesu reservtUlotÍ pela EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL, LTDA. Rua Tabapuã, 1105

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ITAIM-BIBI, SÃo PAULO

RIO DE JANEIRO

BELO HORIZONTE MINAS GEJIAIS

SÃo

PAuLo

GUANABARA

Impresso no Brasil · Printed in Brazi!

, PREFACIO Álgebra Linear tem-se tornado, recentemente, uma parte essencial da base matemática de que necessitam matemáticos, engP.nheiros, físicos e outros cientistas. Êste requisito reflete a importância e grande aplicação da matétia. Esta obra foi projetada para uso como livro-texto em um curso formal de Álgebra Linear ou como um suplemento para todos os tExtos padrões. Seu propósito é apresentar uma introdução à Álgebra Linear que sirva de ajuda a todos os leitores, independentemente de seus campos de especialização. Nêle se incluiu mais material do que _aquêle que pode ser visto na maioria dos cursos JlllClaiS. Isto foi feito para tornar o livro mais flexível, útil de referências e para estimular maior interêsse pelo assunto. Cada capí tu! o começa com asserções claras de definições. pertinentes, princípios e teoremas, juntamente com material ilustrativo e descritivo. Isto é seguido por gradações de problemas resolvidos e problemas propost<;>s. Os problemas resolvidos servem para ilustrar e ampliar a teoria, trazendo clareza aos pontos sutis, sem os quais o estudante sE. sente, continuamente, em terreno inseguro, e promovem a repetição dos princípios básicos tão vitais ao aprendizado efetivo. Numerosas provas de teoremas estão incluídas entre os problemas resolvidos. Os problemas propostos servem como revisão completa do material de cada capítulo. Os três primeiros capítulos tratam de vetores no espaço euclidiano, equações lineares e matrize~. Estas produzem a motivação e as ferramentas básicas computacionais para o tratamento abstrato de espaços vetoriais e transformações lineares, que vem. a seguir. Um capítulo sôbre autovalores e autovetores, precedido por determinantes,. dá condições para representar um operador linear por uma matriz diagonal.· Isto, naturalmente, conduz ao estudo de várias formas canônicas, espécificamente a triangular, a de Jordan e a forma canêínica racional. No último capítulo, sôbte espaços com produto interno, o teorema espectral parr1 operadores simétricos é obtido e aplicado à diagonali~ação de formas qu(ldrátiças reais. Para completar, os apêndices incluem seçõ€5 sôbre conjuntos e relações, estruturas algéhricas e polinômios sôbre um corpo. Desejo agradecer a muitos amigos e colegas, especialmente ao Dr. Martin Silverstein e Dr. H wa Tsang, por valorosas sugestões e revisão crític~ do manuscrito. Também quero expressar minha gratidão a Daniel Schaum e Nicola Monti por suas preciosas colaborações. SEYMOUR LIPSCHUTZ Temple ~niversity

Prefácio da Edição Brasileira

A Álgebra Linear constitui hoje parte indispensável da formação básica, não s6 de matemáticos, mas de quantos necessitem apÍicar Matemática, mesmo em suas formas mais rudimentares. Na Matemática, sua importância dificilmente pode ser subestimada, quando se compreende que é impossível atacar qu
,

SUMARIO Capítulo

1

VETORES NO R" E C" . ....................... . Introdução. Vetores no Rn. Adição de vetores e multiplicação por escalar. Produto interno. Norma e distância no Rn. Números complexos. Vetores em cn.

Capítulo

2

EQUAÇÕES LINEARES . ........ .

21

Introdução. Equação linear. Sistema de equações lineares. Solução de um sistema de equações lineares. Solução de um sistema homogêneo de eq~ações lineares.

Capítulo

3

MATRIZES .......................... .

40

Introdução. Matrizes. Soma de matrizes e multiplicação por escalar. l\ilultiplicação de matrizes. Transposição. Matrizes escalonadas. Equivalência por linhas e operações elementares com linhas. Matrizes quadradas. Álgebra das matrizes quadradas. Matrizes inversíveis. Matrizes de blocos.

Capítulo

4

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS ........ .

74

Introdução. Exemplos de espaços vetona1s. Subespaços. Combinações lineares, subespaços gerados. Espaço linha de uma matriz. Somas e somas diretas. ~

Capítulo

5

BASES E DIMENSÃO ....... .

102

Introdução. Dependência linear. Bases e dimensão. Dimen-. são e subespaços. Pôsto de uma matriz. Aplicações a equações lineares. Coordenada>.

Capítulo

6

TRANSFORMAÇÕES LINEARES................

145

Aplicições. Transformações lineares. Núcleo e imagem de uma transformação linear._. Tra~sformações singulares e não singulares. Transformações lineares e sistemas de equações lineares. Operações com transformações lineares. Álgebra dos operadores lineares. Operadores inversíveis.

Capítulo

7

MATRIZES E OPERADORES -LINEARES.: ..... ,

182

Introdução. Representação matricial de um operador linear. Mudança de base. Semelhança. Matrizes e transformações lineares.

Capítulo

8

DETERMINANTES............................. Introdução. Permut!ações. Determinante. Propriedades dos determina;..tes. Menores e co-fatôres. Adjunta clássica: Aplicações às equações lineares. Determinante de um operador linear. Multilinearidade e determinantes.

208

Capítulo

9

AUTOVALORES E AUTOVETORES.............

239

Introdução. Polinômios de matrizes e operadores lineares. Autovalores e autovetores. Diagonalização e autovetores. Polinômio característico, teorema de Cayley-Hamilton. Polinômio mínimo. Polinômios característico e mínimo de operadores lineares.

Capítulo

10

FORMAS CANÔNICAS

269

Introdução. F o r ma triangular. Invariância. Decomposição em somas diretas invariantes. Decomposição em primos. Operadores nulpotentes. Forma canônica de Jordan. Subespaços cíclicos. Forma canônica racional. Espaços quocientes.

Capítulo

11

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL..

302

Introdução. Funcionais lineares e o espaço dual. Base dual. Espaço segundo dual. Anuladores. Transp:Jsta de uma transformação linear.

Capítulo

12

FORMAS BILINEARES, QUADR.~TICAS E HERMITIAN AS ..

316

Formas bilineares. Formas bilineares e nntrizes. Formas bilineares alternadas. Formas bilineares simétricas, formas quadráticas. Formas bilineares simétricas reais. Lei de inércia. Formas hermitianas.

Capítulo

13

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO.

337

Introdução. Espaços com produto interno. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ortogonalidade. Conjuntos ortonormais. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Funcionais lineares e operadores adjuntos. Analogia entre A(V) e C, operadores especiais. Operadores ortogonais e unitários. Matrizes ortogonais e unitárias. Mudança de bases ortonormais. Operadores positivos. Diagonalização e formas canônicas nos espaços euclidianos. Diagonalização e formas canônicas nos espaços unitários. Teorema espectral.

Apêndice A

379

CONJUNTOS E RELAÇÕES .. Conjuntos, elementos. Operações com conjuntos. Conjuntos produtos. Relações. Relações de equivalência.

Apêndice B

ESTRUTURAS ALGÉBRICAS .................. .

385

Introdução. Grup:Js. Anéis, domínios de integridade e corpos. Módulos.

Apêndice C

POLINÔMIOS SÔBRE UM CORPO ............ . Introdução. Anel de polinômios. Fatorização.

Kotação.

394

Divisibilidade.

lndice Remissivo ......................................... . 399

·Capítulo l Vetores no Rn e

cn

INTRODUÇÃO Em várias aplicações físicas aparecem certas qúantidades, tais como temperatura e rapidez, que possuem sõmente "magnitude". Estas põdem ser representadas por números reais e são chamadas escalares. Por outro lado, também há quantidades, como fôrça e velocidade, que possuem ambas "magnitude" e "direção". Essas quantidades podem ser representadas por flechas (tendo comprimento e direção apropriados e emànando de um dado ponto de referência O) e são chamadas vetores: Neste capítulo, nós estudamos as propriedades de tais vetores com· algum detalhe. Começamos por considerar as seguintes operações com vetores:

+

(i) Adição. A resultante u v de dois vetores é obtida pela chamada lei do para"Jelogramo, isto é, u v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v, como se mostra à direita;

+

(ii) Multiplicação por escalar. O produto ku, o de um número real k por um vetor u, é obtido multiplicando a magnitude de u por k e mantendo a mesma direção se k 2: O ou a direção oposta, se k < O, c9mo se mostra à direita. Agora,.supomos que o leitor esteja familiarizado co:n a representação de pontos no plano por pares ordenados de números reais. Se a origem dos eixos é escolhida no ponto de referência O acima, então cada vetor é determinado, de maneira única, pelas coordenadas da sua extremidade. As relações entre as operações acima e extremidades são as seguintes: (i) Adição. Se (a, b) e (c, d) são as extremidades dos vetores u e v, então (a c,b + d) será a extremidade deu v, como mostra a figura (a) abaixo.

+

+

(a+ c, b + d)

(ka, kb)

· Fig .. (a)~

[CAP. i

VETORES NO R" E C"

2

(ii) Multiplicação por escalar. Se (a, b) é a extremidade do vetor u, então (ka, kb) será a extremidade do vetor ku, como mostra.a figura (b), acima . .Matemàticamente, nós identificamos um vetor com sua extremidade; isto é, chamqmos o par ordenado (a, b), de números reais, um vetor. Na realidade, generalizaremos esta noção e chamaremos uma n-u'p!a (a 1 , a 2 , . • . , an) de números reais um vetor. Generalizaremos novamente e permitiremos que as coordenadas da n-upla sejam números complexos e não apenas números reais. Além disso, no capítulo 4, abstrairemos as propriedades dessas n-uplas e formalmente definiremos o sistema matemático chamado espaço vetorial. Supomos que o leitor está familiarizado com as propriedades elementares do corpo dos números reais, que representamos por R.

VETORES NO Rn O conjunto de tôdas as n-uplas de números reais, anotado Rn, é chamado n-espaço. Uma particular n-upla no Rn, digamos

é chamada um ponto ou vetor; os números rf'aÍs u, são chamados componentes (ou coordenadas) do vetor u. Além disso, quando discutindo o espaço Rn, usamos o têrmo escalar para os elementos de R, isto é, para os números reais. Exemplo 1.1. Considere os seguintes vetores: (0,1),

(1,-3),

(1,2,v},4),

I'

(-S.t~O,,..)!

Os dois primeiros vetores têm duas componentes e, portánti:Çsão pontos do R 2 ; os dois últimos têm quatro componentes e, portanto, são pontos do R 4 .

Dois vetores v e u são iguais, escrevendo-se u = v, se êles têm o mesmo número de componentes, isto é, pertencem ao mesmo espaço, e se as componentes correspondentes são iguais. Os vetores (1, 2, 3) e (2, 3-, 1) _rião são iguais, porque os elementos corresponden~es não são iguais. Exemplo 1.2. Suponha (x- y, x igualdade de vetores,

+ y, X-

z- 1) = (4, 2, 3). y

=

Então, por defÍ!lÍção de

-!

x+y=2 z- 1 = 3 Resolvendo o sistema de equações acima, temos x =

3,

y ·= -1, e z

=

4.

ADIÇÃO DE VETORES E MULTIPLICAÇÃO POR. ESCALAR Sejam u e v vetores no Rn:

VETORES NO R" E C"

CAP. 1]

+

3

A soma de u e v, escrita u v, é o vetor obtido pela adição das compon~n­ tes correspondentes u +v = (u 1 v1 , u 2 + v2 , ••• , U 11 + vn). O produto de um número real k pelo vetor u, escrito ku, é o vetor obtido multiplicando cada componente de u por k: ku = (ku 1 , ku 2 , .•• , kun). Observe que u +v e ku são também vetores do R". Definimos, igualmente, - u = - lu e u- v = u + (-v)

+

A soma dos vetores com número diferente de componentes não é definida . .-;xemplo 1.3. Seja u = (1, -3, 2, 4) e v

=

(3, 5, -1, -2).

Então,

+

(1 3, -3 + 5, 2- I, 4- 2) = (4, 2, I, 2) 5u = (5 . 1, 5 . (-3), 5 . 2, 5 . 4) = (5, -15, 10, 20) 2u- 3v = (2, -6, 4, 8) (-9, -15, 3, 6) = (-7, -21, 7, 14)

u +v

=

+

Exemplo 1.4. O vetor (0, O, . , O) no R", ·anotado O, é chamado vetor i(ro. ê:le é semelhante aO escalar 0 sob O aspecto de que, para qualquer vetor U = (ut, 2t2, . . . , u,), u

+0

= (ut

+ 0, U2 + 0,

. '.,

Un

+ O)"=

(ut,

112, . . . u~)

=

u

Propriedades básicas dos vetores do R' em operações de adição de vetores e multiplicação por escalar são descritas no seguinte teorema.

Teorema 1.1. k, k' E R,

tU+

(i) (ii) (iii) (iv)

u

Para quaisquer vetores u, v)

+ w = u. + (v + w)

+o=

u u +, (--u) = o u +v = v+u

v; w

E R' e quaisquer escalares

k(u +v)= ·ku +kv (vi) (k + k')u = ku k'u (vii) (kk')u = k(k'u) (viii) lu = u ·

(v)

+

·Observação. Suponha que u e v sejam vetore~ do R" eu = kv para algum .escalar não-nulo k E R. Então, diz-se que u está na mesma direção de v, se k > O, e na direção oposta se k < O. . PRODUTO INTERNO Sejam u e v vetores do R":

= (u 1 , U 2 , .. . , Un) e V= (VIl V2 , .. . , Vn) O produto escalar ou produto interno deu e v, anotado u •V, é o escalar obtido multiplicando as componentes correspondentes e somando os produtos obtidos: U

:oi.

U .t'

= U 1V 1 + U 2V2 + ... + U,.V

11

Diz-se que os. vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto interno é zero: u . v = O. Exemplo 1.5. Sejam u = (1, -2, 3, -4),

u. v

= 1.6 u. w = 1 . 5

v= (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Então.

+ (-2) . 7 + 3 . 1 + (-4) . (-2) = + (-2). (-4) + 3. 5 + (-4). 7 =

Assim, u e w são ortogonais.

6 - 14 + 3 + 8 ,· 3 5 + 8 + 15-28 = o

VETORES NO R" E C"

4

[CAP.

As propriedades básicas do produto interno no Rn são as seguintes.

Teorema 1.2. Para quaisquer vetores u, v, w E R' e qualquer escalar k E R: (1) (i i) (iii) (i v)

+

+

(u v) . w = u . w (ku) . v = k(u . v)

v· w

u.v=v.11

u . u '). O, e u . u

=

O se, e somente se, u = O

Observação. O espaço R' com as operações acima de soma de vetores, multiplicação por escalar e produto interno é, usualmente, chamado n-espaço euclidiano. NORMA E DISTÂNCIA NO R" Sejam. ·u e v vetores do R'': u = (tt 1, tta, . , t.t,) e v = (vto v2 , ... , Vn). A distância entre os pontos u e v, escrita d(u, v), é definida por

+ (un- Vn)" A norma (ou comprimento) do vetor u, escrita // u //, é definida como sendo a raiz f'JUadrada, não negativa, deu. u:

I !uI ! Pelo teorema 1.2, u . u

vu7

+ ... +

v~~ = + u~ u~ O; logo, a raiz quadrada existe. Observe que

=

2:

d(u,v) = //u-v!/ Exemplo 1.6. Sejam u = (1, -2, 4, I)

e

v

= (3, 1, -5, 0).

Então,

d(u, v) = V(l- 3) + (- 2 -1) + (4 + 5) + (1- 0) 2

llvll =

2

2

V3'+1'+(-5)'+0'

Agora, se considerarmos dois pontos, digamus

I IPI I= Va'+b'

e

p=

d(p,q)

=

2

=

V95

= vTs

_(a, b) e q

=

(c, d) no plano R 2 , então

V(a-c)'+(b-d) 2

Isto é, I Ip I I corresponde ao comprimento euclidiano usual da flecha da origem ao ponto p, e d(p, q) corresponde à distância euclidiana usual entre o~ pontos p e q, como se mostra abaixo. p = (a,b) I

I

I I ; I

I I

/a/

Um resultado semelhante 'Vaie para os pontos na reta R e no espaço

n 3

•

VETORES NO R• E

CAP. 1]

c•

5

Observação. Um vetor e é chamado um vetor unitário se sua nom1a é 1 : li e li = 1. Observe que, para qua1quer ;•etor não- nulo, u E R", o vetor e,. = u/11 u li é um vetor unitário na mesma: direção :de u. Agora, estabelecemos lima relação fundamental conhecida por desi-. gualdade· dé Cauchy-Schwarz.

Teorema 1.3 (Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores U.• v E R", !u.vl :$ lluil llvll. Usando a desigualdade acima, podemos agora definir o ângulo fJ entre dois _vetoreS-não nulos quaisquer, u, v E R", porcos (} -~ · . u · v ·

·

·

· llull llvll

Note que, se u . v = O, então O = 90ó (ou O =· "Ir/2). corda com nossa definição prévia de ortogonalidade.

Isto, então, con-

NÚMEROS COMPLEXOS O conjunto dos números complexos é anotado C. Formalmente, um número complexo é um par ordenado (a, b) de números reais; igualdade, adição e multiplicação dos números complexos são definidas a seguir: (a, b) =.(c, d) se, e sómt'ntt' se, a

(a, b)

+ (c, d)

+ d) = (ac- bd, ad + bc)

(a, b)(c, d)

=

=

c e b

=

d

(a +·c, b

Identificamos o número real a com o niímero complexo (a, O) :a <-> (a, 0). Isto é possível desde que as operações de adição e multiplicação de números reais sejam preservadas sob a corres-pondência

(a, O)

+ (b, O)

=

(a

+ b, O).

e

(a, O)(b, O)

=

(ab. G)

Assim, vemos R como um subconjunto de C e substituímos (a, O) por a, sempre que fôr conveniente e possível. O número complexo (0, 1), notado i, tem a importante propriedade

i2

=

ii

=

(0, 1)(0, 1) = (-1, O) = -1

ou

i

=

V=1

Além di8so, usando o lato (a, b)

=

(a, O)

+ (0, b)

e

(0, b) = (b, 0)(0, 1),

temos (a, b) = (a, O)+ (b, 0)(0, 1) =

a+ bi

+

A notação a bi é mais conveniente do que (a, b). Por exemplo, a soma e o produto de números complexos podem ser obti~o~ usando simplesmente· as leis de comutatividade e distributividade e i_2 "=,-'l:

(a+ Oi)+ (c

(a

+ bi)(c + di)

(a+ c) 'f:,(~ d)i = (ac - bd) + @c.-~ ad)-i

+di) =a+ c+ bi +di = =:'

ac

+

bci

+ adi + bdi

2

[ÇAP. 1

VETORES NO R" E C"

6

+

O conjugado do número complexo z = (a, b) = a bi é notado e definido = a- bi. (Note que = a 2 b2 .) Se, entretanto, z # O, então o inverso z- 1 de z e a divisão por z são dados por_

+

zz

z

e

onde w E C.

Também definimos -z = -lz

w- z = ·w

e

+ (-z)

+ 3i e w = 5- 2i. Erttão, z + w .= (2 + 3J) + (5 - 2i) = 2 + 5 + 3i- 2i = 7 + i zw = (2 + 3z)(S-2z) = 10 + 1Si-4i-6i 2 = 16 + lli ; = 2 + 3i = 2- 3i e Ui = S- 2i = S + 2i ~ = s - 2j '= (S - 2i)(2 - 3i) = 4- 19i = _2__ - ~i z 2 + 3i (2 + 31)(~ - 3i) 13 13 ~ 13

Eil:emplo 1.7; Suponha z = 2

Assim como os números reais podem ser representados por pontos numa reta, os números complexos podem ser representados por_ pontos num plano. Especificamente, ~eixamos o ponto (a, b) b do plano representar o número complexo z = a + ·bi, isto é, tendo á parte real ·a e a parte. imaginária b. O válor absoluto -~-1<"=-----____,:-__L_ _~. de z, escrito 1z 1, é definido como distâncía a dez à origem /z/ == +b2. Note que /z/ é igual à norma do vetor (a, b). Também /z/

a

va2

Exemplo 1.8._ Suponha z = 2

lzl =

v'4 +9

vzz.

+ 3i

e

w

=

12- Si.

Então,

= ví3 e lwl = v't44 +2S

=

13

Observação. No apêndice B definimos a estrutura algébrica chamada corPo. Enfatizamos que o conjunto C de números complexos com as operaçõt-s acima de adição e multiplicação é um corpo. VETORES EM

cn cn, cn

o conjunto de tôdas a n-uplas de números complexos, notàdo é chamado n-espaço complexo. Assim como no caso real, os elémentos de são chamados pontos ou vetores, os elementos de C são chamados escalare;, e adição de vetores em C" e multiplicação por escalar em C" são da~os por (zh Z2, ..• , Zn)

+ (w11 w2,

... , Wn)

= (Z1 + W 11 Z2 + W2,

Z(Z,lt.•~•-- ..•. , z,.)

oit(\e

Z11 W 11

=. (zzu

.•. , Zn

+ w,.)

ZZ2, ..• , ZZn)

z E C.

Êi~plo 1.9. (2

+ 3i, 4 - i, 3) + (3 - 2i, Si, 4 - 6i) = (S + i, 4 + 4i, 7 + 3i, 4- i, 3) = (-6 + 4i, 2 + 8i, 6i) .

2i(2

6J)

VETORES NO R" E C•

CAP. 1]

7

Agõra, i>ejarn u e v vetores a.rbitririos em C"

U: = (zJ,

Zz; ... , z.),

O produto cartesiano ou interno deu e v é definido como segue:

u .v =

ZtWt

+

+ ... + z,.w,.

Z2W2

Note que essa definição reduz-se à anterior no caso real, desde que w, quando Wf é real. A norma deu é definida por

li u li = v'u. u = v'Ztil +

z2z2 + ... +

Observe que u. u e, portanto, e O quando u = O. Exemplo 1.10. Sejam u = (2

I lu li

+

ZnZn

= v' IZll 2 +I z21 2 +

= w1

... +I Zn! 2

são reais e positivos quando u ;=!O;

3i, 4- i. 2i) e v = (3- 2i, 5, 4- 6i). Então, u , v = (2 + 3i)(3 - ú) (4 - i)(s) (2i)(4 - 6i) = (2 3i)(3 + 2i) + (4 - i)(S) (2i)(4 + 6i) = 13i 20 - Si - 12 8i = 8 16i

u . u= (2

+

+ + + + + 3i)(2 + 3i) + (4- i)(4 - i) + (2i)(2i) (2 + 3i)(2- 3i) + (4 - i)(4 + ~~ + (2i)(-2i) + +

= =13+17+4=34

cn

o espaço com as operações acima de adição de vetore3, multiplicação por escalar e produt<;> interno, é chamado n-espaço euclidiano complexo. Observação. Se u . v fôsse definido por u . v = z1 w 1 + ... + z,.w,., então é possível para u . u = O, mesmo que u ;=! O, por exemplo, seu = (1, i, 0). Na reali~ade, u . u pode mesmo nem ser real.

Problemas Resolvidos VETORES NO R" 1.1.

Calcule: (i)(3, -4, 5)+(1, 1, -2); (ii) (1, 2, -3)+(4, -5); (iii) -3(4,-5,-6); (i v) ~(-6, 7, -8). ~)

Some as componentes correspondentes (3, -4, 5)

(ii)

+ (1, l, -2)

= (3

+ l, -4 + l, 5-2)

= (4, -3, 3).

A soma não é definida, porque os vetores têm número diferente de componentes.

(iii) Multiplique cadà componente pelo. escàlar -3(~. -5, -6) = (-12, 15, 18). (i v) Multiplique cada componente pór -I: -(-6, 7, -8) = (6, -7, 8) ..

VETORES NO R" E C"

1.2.

Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, O, 4), w = (0, 5, -8). Encontre (i) 3u - 4v, (ii) 2u 3u - Sw. Primeiro, efetue a multiplicação pela escalar e, depois, a adição dos vetores:

+

(i)

3u - 4v = 3(2, -7, 1)- 4(-3, O, 4) = (6, -21, 3)+(12, O, -16) = (18, -21, -13)

.(ii)

2u

+ 3v- 5w =

2(2, -7, 1)+ 3(-3, O, 4)- 5(0, 5, -8) (-9, o, 12) (0, -25, 40) (4- 9 +o, -14 +o- 25, 2 + 12 + 40)

= (4, -14, 2)

= 1.3.

[CAP.

+

+

= (2, x

Encontre x e y, se (x, 3)

= (-5, -39, 54)

+ y).

Como os dois veto~es são iguais, a~ componentes correspondentes são iguais entre si: X =f 2, 3 = X- + y Substitua x = 2- na segunda equação, para obter y = 1. Assim, x = 2 e y = 1.

1.4.

Encontre x e y, se t4, y)

=

x(2, 3).

Multiplique pelo escalar x, para obter (4, y) = x(2, 3) = (2x, 3x) .. Iguale as componentes correspondentes: 4 = 2x, y = 3x. Resolva as equações lineares para x e y : x = 2 e y = 6.

1.5.

Encontre x, y e z, se (2, -3, 4)

=

x(l, 1, 1) + y(l, 1, O)+ z(l, O, O).

Primeiro, multiplique pelos escalares x, y e z e, depois, some

+ y(1; 1, O) + z(1, O, O) + +

= x(1, l, 1)

(2, -3, 4)

'= (x, x, x) (y, y, O) (z, O, O) = (x + y + z, x + y, x)

Agora, iguale as componentes correspondentes X

+ y +

Z

= 2,

X

+ y = - 3,

X

= 4

Para resolver o sistema de equações, substitua x = 4 na segunda equação para obter 4 y = -3 ou y = -,7. Em seguida, substitua na primeira equação para achar z = '5. Assim, x .= 4, y = -7, z = 5. ·

+

1.6~ . Demonstre o teorema 1.1. ·Para quaisqu~r vetores u, v, w E Rn e .quaisquer escalar.es k, k' E R.

(i)· (i i) (iii) (iv)

Sejam u;; v; e .

(i)

(v) k(u+v) = ku+ kv {vi) (k+ k')u = ku+k'u (vii) (kk')u = k(k'u) · (viii) lu = u.

(u+v)+w::,u+(v+w) u+O=u ·· u+(-u) =0 · u.+v = v+u

wi aid-ésimas com~nentes de . '

+

u, v e w, re5pectivamente. .

+

Por definição, u; v;~é a i-ési.ma .:;.omponente de u +v; logo, (u;.+ v;) w; é a i-ésima componente de (u + + w. Pot outro lado, v; + w; é a i-ésima componente de 11 + w; logo; .u;, (v; w;) é a i-ésima component~ ·de u (v 'Ui). Mas u;, v; e.-w; são números reais para ós quais· vale a lei da a'stiOCiatividade, ·isto é,

v)

+

+ +

'(u; +v;) + w;

==

+

u; + (v; + w;) para i =,l, ... , n

. Do rriesmo rnodç>, (u +v) + w = u + (v + w), pbis suas componentes corresJ)onderites são ig:uais.

VETORES NO R" E c•

CAP. 1] {ti)

Aqui, O U +O

9

= (O, O, ... ,0); portanto,

= (ul,

=

U2, ... , Un) +(O, O, ... , O)

(ul +O, U2 +O, ... , Un +O)

=

(ul, u2, ; .. , Un)

=

u

(iii) Como -u = -l(u1, u2, .. . , Un) = (-u1, -u2, ... , -un), u

+ (-u)

= =

(ttl, u2, ... , Un)

+ (-ul,- u2,

(ul-Ul,U2-u2, ... ,-u;.-un)

... , -un)

=

(0,0, ... ,0)

=o.

(iv) Por definição, u; +Vi é a i-ésima componente de .u +v e Vi+ u; é a i-ésima componente de v u. M<.~s u; e Vi são números reais para os quais vale ·a lei da comutatividade, isto é,

+

i= 1, ... , n

.u; +v; = v;+ u;, Portanto, (v)

(vi)

tl

+v

= v

+ u,

pois suas componentes correspondentes são iguais.

Como u; + v; é a i-ésima componente de u + v, .k(u; + v;) é a i-ésima cot~l­ ponente de k(u v). Como ku; e kv; são as i-ésimas componentes de ku -e kv, respectivamente, ku; + kv é a i-ésima componente de ku + kv. Mas· k, Ui e Vi são números reais; portanto,

·+

k(ui

+ v;)

Assim, k(u +v)

= ku

i= 1, ...., n = kui + kv;, + kv, pois as coniponentes correspondentes são.iguais. Observe que o primeiro sinal + refere-se à adição de dois escalares k e k', enquanto o segundo + (mais) se refere à· soma vetorial de dois ve.tçires · ku e. k'u.

Por definição, (k + k')u; é a i-ésima componente do vetor (k + k')tt. Como ku; e k'ui são as i-ésimas componentes de ku e k'u, respectivamente. ku; + k'u; é a i-ésima componente de ku + k'u. Mas k, k' e u; são núneros reais; portanto, (k -S\ssim, (k iguais.

+ k')u

=

+ k') u; = lw; + k'ui i=1, ... ,n ku + k'u, pois as componentes correspondentes

são

(vii) Como k'u; é a i-ésima componente de k'u, k(k'u;) é a i-ésima componente de k(k'u). Mas (kk')u; é a ~-ésiina componente de (kk')u e, como k,k' e u; são números reais, (kk')u; = k(k'u;)

= k(k'u); pois as componentes correspoüdentes são iguais. (viii) 1 . U = 1(ul, t12, . . . , Un) = (lul, U2, .... , lun) = (U!, U2,.;., Un) =· U

~

1.7.

Portanto, (kk')u

Mostre que Ou = O para qualquer vetor u, onde, evidentemente, o primeiro O é uni escalar e o segundo .um vetor. Método I.· Ou

=

O(u1,. u 2

, : , •,

Un)

=

(Ou1, 0~ 2 • . . :, 0Un)

=

(O, O, ... , O)

Método 2. Pelo teorema 1.1, Ou = (O+ O)u = Ou+ Ou Somando -ou aos dois lados, teremos o resultado deséjado.

=

O

VETORFS NO R" E

10

c•

[CAP. I

PRODUTO INTERNO 1.8.

Cálcule u . v, onde (ii} u = (1, -8, o, 5), v = (4, 1, -2, 5).

(i) u = (2, -3, 6), v = (8, 2, -3); v = (3, 6, 4); (iii) u = (3, -5, 2, 1),

(i)

Multiplique as componentes c-:>rrespondentes e some

(ii)

O produto interno não é def\nido entre vetores com número distinto de componentes. >;

u .v

= 2 .8

+ (-3) . 2 + 6 . (- 3) = -8.

(iii) Multiplique as componentes~correspondentes e sÇ>me

u. v

1.9.

=

3 .4

+ (-5). I + 2. (-2) +

I . 5 ·;, 8

Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais, onde, u = (1, k -3) e v = (2, -5, 4) (ii) u = (2, 3k, -4, I, 5) e v= (6, -1, 3, 7, 2k) (i)

(i)

(ii)

Em cada caso, calcule u . v, iguale a zero e resolva para k. u.v=1.2+k.(-5)+(-3).4=2-5k-12=0, -Sk-10=0, k=-2 u. v= 2. 6+3k. (-1)+(-4) ~ 3+1. 7+5. 2k = 12-3k-12+7+10k =O, k = -1

1.10. Demonstre o teorema 1.2. qualquer esca:Iar k E R, (i) (u +v). w=u. w+v. w (i i) (ku) . v= k(u . v)

Pa1 a quaisquer vetóres u, v, w E Rn e (ÍÍÍ) tt. V=V. U

(i v) u . u ;::: O, e u . u =O se, e somente se, 'u = o

Sejam u = (u 1, uz., . .. ,un) v = (vt, v:i , . . ,v,.) w = (wJ, w 2, .. . , w,.). (i)

Como u+v = (ut +vt, u2 +v 2, . .. , u,. +v,.), (u+v).w = (ut+vt)wt+(u2+v2)w2+· . . +(un+vn)Wn = UtWt+VJWJ+u 2w 2+v 2w2 + ... +u,.w,.+vnWn' = (u1w1+u2w2+ ... +unwn)+(vtwi+V2W2+ ... ;+vnwn) = .u ·w+v. w

(i i)

Como ku = (kut,ku2, . .. , kun), }ku). v=ku1v1 +ku 2v 2+ . .. +kunvn = k(u1v 1+u 2v2+ . .. +u;.vn) = k.~u.v)

(iii) u. v=utvt+u2v2+· .. +.unvn=VtUt+v2u2+ ... +v;.un=V. u

(iv) .Como u 2 é não-negativo para cada i e como a soma de números. reais não-negativos é não-negativa,

u . u = u~ + u~ + ... + ui ~ O Além disso, u . u = O se, e sàmente se, u; mente se, u = O.

= O para cada i, isto é, se, e sà-

DISTÂNCIA E NORMA NO R" J.lk Encontre adistância d(u, v) entre os vetores u e v, onde (i) u== (1, 7), v=(6, -5); (ii) u=(3, -5, 4), v=(6,2,-1); (iii) u=(S,3,-2;-4,-1), . v= (2, -1; O, -7, 2) . ·

VETORES

CAP. l]

NO

R" E

c•

11

Em cada caso, use a fórmula d(u, v) = ~- v1)' (i)

d(u, v)

(i i)

d(u, v)

(iii) d(u, v)

+ ... + (un- 11n)2.

= v' o- w + (7 + s)• = V'2s + 144 = vi69 = 13 = V(3-6)' + (-5-2) 2 +(4 + 1) 2 = V9 + 49=125 = V8J = V(S- 2) 2 + (3 + 1)2 + (-2 + o)• + (-4 + 7) 2 + (-1- 2)• = V47

1.12. Encontrektalqued(u,v) = 6,ondeu=(2, k, 1,-4)ev=(3,-1,6,-3).

I J 1

I

II

v)) 2 =(2- 3) 2 +(k+1-) 2 +(1- 6) 2 +(-4+3) 2 = resolva k 2 +2k+28 = 6 2 para obter k=2, -4

(d(u,

Agora,

1.13. Encontre a norma llu/1 do vetm u, se (i) u (ii) u = (3, -12, -4). Em cada caso, use a fórmula

(ii)

!

Jlull

-1.14. Determine k tal que

llull2

(2, -7),

.. +u~.

=

Pelo teorema Como llull =

1.2,

u.

=

V39,

onde u = (1, k, -2, 5).

12+k2+(-2)2+52 = k2+30

=

1.15. Mostre que l!ull 2,0 e

I

u~+-

=

llull = v2 11 + <-7)• = v4 + 49 = vs3 llull = v3• + <-12)' +H>' = v-=--9""'+,---,-14-:-:4,--+---:---,1~6 = v169 = 13

Agora, resolva k 2 +30

I

llull= Vui +

k 2 +2k+28

39 e obtenha k = 3, -3.

/lu/1=

O se, e somente se,

>O eu. u = Ose, e somente se, u = o -;.esult~do segu.e. .

11

y;-:-;,

u=

O.

O.

1.16. Demonstre o teorema 1.3 (Cauchy-Schwarz). Para quaisquer vetores u=(u~o--·•u.) e v=(v~o···•v.) no Rn, lu.t•l~llullllvl!· Demonstraremos a seguinte assertiva mais forte:

ju.vj~ i-1 Êlu;v; lsllullllvll. Seu= o ou v= o, então a· desigualdade se reduz a o~ o.$ o e, por isso,•é verdadeira. Precisamos, portanto, somente- considerar o caso em que u r! O e v r! O, isto é, onde llull r! O e llvll r! O. Além disso, lu. v I= lutvt+ ... +Unv,.l.$ lutVt I+ ... + lu,.v,.j =l: lu,-v•l Assim, precisamos demonstrar sômente a segunda desigualdade. ,; Agora, para quaisquer números reais x, y E R, O :S (x- y) 2 = x 2 - 2xy + y 2

(l}

ou, equivalentemente, Substitua x =

ju;!Jiul

ey

= lv;l/lvl

em (1) para obter, para qualquer i, (2)

mas, por definição da norma de um vetor,

llull=

l:u~

"= l:lud 2 e llvll= l:~=l:lv.-1 2 •

VETORES NO R• E C"

12

[CAP. I

Iu;v; I = IUi I IVi I,

Assim, somando (2) em relação á i e usando

temos 2,

isto é,

Multiplicando ambos os. lados por

llull llv/1,

obtemos a desigualdade procurada·.

1.17. Demonstre a desigualdade de Minkowski. Para quaisquer vetores u = (ui! ... , un) e V= (vu ... , vn) no Rn, llu + vll~l/u!/+1/vJI. Se llu+vll = O, a desigualdade é claramente válida. derar somente o caso llu + vil ;o
/u; +v;/

Iui/

~

+ /v;l

Assim, precisamos consi·

para quaisquer números reais

11;, Vi

E

R.

Portanto, = ~

/u; +v;/ /u; +v;/ ~ ~ /u; + v;l (Ju; I+ lv;/) + v;J Jud + l: I u; + v;J /v; I

=X /u;

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (veja problema anterior),

lu.: .f- v;/ ju;l Se llu +vil lluil e~ ju; + vd /v;/ .::; llu + r11i llvll llu + vll 2 ,:;; !lu +vil llull +!lu +vil llvll = IIU +vil (liull + li vil) Dividindo JK>r llu +vil, obtemos a desigualdade procurada. 2;

Entào,

1.18. Demonstre que a norma no Rn satisfaz as seguintl::s leis: [N1] :Para qualquer vetor u, 11 u 11 se, u = O.

2': 6; e 11 u 11

= O se, e somente

[N2] :.Para qualquer vetor u e qualquer escalar k,ll ku 11 = I k I 11 u 11.

[Na] :Para quaisquer' vetores u e v, 11 u +v !I ~ 11 u !I+ I! v !i. [NI] foi demonstradó no problema 1.15 e [Na] n:> pmblema 1.17. precisamos somente demonstrar que [N2] é válida. Suponha u =.(ui, u2, ... , un)i .Jogo, ku = (ku1, ku2, . .. , kun). /lkull 2 = (ku1) 2 (.llu 2) 2 + ... + (kun) 2 = k 2u~ + k 2 u~

+

Então,

= k (u~ 2

+

u~

+ ... + u!)

= k

2

Portanto,

+ ... + k 2 u!

llulj2

A r~iz quadrada de ambos os lados da igualdade nos dá o resultad:> procurado.

NÚ.MEROS COMPLEXOS 1.19. Simplifique: (i) (5 . ) 2 - 7i lV - · - - - · (... ,. S+ 3i'

(V )

+ 3i)(2- 7i);

1 (ii) (4- 3i) 2 ; (iii) -·- -_; 3- 4t

(vi) (1

+

2i)3,

1 (vii) ( - .- . ) . 2- 3l

2

VETORES NO R• E C"

CAP. 1l

(ii) (4(

=

(5 + 3i)(2- 7t)

(i)

=

3i) 2

16- 24i + 9i 2

=

+

i i i)

(2 - 7i)(S - 3i) = .:___ _ __:,:___:_

-11 - 41i

..

(

=

1 + 6i + 12i 2

2

1 ) 2- 3i

1 -S- t2i

=

1.20. Sejam z = 2- 3i e w (i)

z+

li)

z

e zw;

u1

+

w

= i2

-

z

=

4

+ 5i.

=

la+bil =

v16 +2s

(4

+ 5t)(4

z=

=

z + w,

Suponha z

= =

a+ bi e w

z

+w

~

=

lzl

ç

=

(a- bi)

= a+ bi

+ (c- di)

+ bc)i

z w,

~iii)

z = z.

= = =

(a+ c)+ (b + d)i a + c- bi- di

·z + w

(ac- bd) + (ad + bc)i

=

= (a -

bi) (c - di)

= ~ = a- (-b)i = a

+ bi

= zw =z

Para quaisquer números complexos

Suponha z = a

+ bi e

w

lzl 2 =a 2 +b 2, Assim,

lzw 1

_

t

+ 3i; w = 4 +Si = 4- Si. = v'4+9 = v'D; lwl ~ 14-f-iSil'""

lzl lw!.

2

lwl.

c+ di, onde a, b, c, dE R.

(a+ bi} +(c+ di) (a + c)- (b + d)i

1.22. Demonstre. ~=

(iv)

lzl = 12- 3il

=

= (ac- bd)- (ad (iii)

+ 12i 5 12 . 169 = - 169 + 169 t.

-7 - zzi 1 n = - - - = - - - -41 41 41

- Si)

(ii) zw =

zw = (a + bi) (c +di)

(i i)

(-i) =-i

v41-

+w

(i)

-5 =

•

Para quaisquer números complexos z, w E C,

1.21. Demonstre. (i) z

i 3 = 17

l0i=TS'i 2 ·= 23-2i

2- 3i = 2

V a'+ b 2 :

=

1-

(i4)1 .

Procure

\

c2 - 3i)(4 ..:-si)

=

1; i 3 1 =

(-S + 12i). + 12i)

=

34

+6i -12- Si= -11- 2i

1

z/w; (jii)'_'z e 'li),' 2 :c: 3i + 4 + Si F 6' + 2i

(iii) Use a+ bi =·a- bi: (iv) Use

=

i2

C::s -12t)(-5

=

.

11. 41 =-----i

(ii)

2 - 3i = --.4 + Si

w

.

.4

2s t

+

34

+ 8í3 =

zw = (2-3i)(4+ Si)= 8-l2i (ii)

3

34

i4

i= (-l)i =-i;

.

(vÍ) (1 + 2t) 3

(vu)

+ 4i

3

= -~ = 25

(5 + 3i)(5 - 3i)

i3 = i2

(v)

31- 29i

7- 24i

(3 4i) (3 - 4t)(3 + 4i)

3 - 4i

2 - 7i (iv) - 5 + 3i

=

10 + 6i- 35i- 21i 2

13

= c + di,

onde a, b, c, d E R.

lwl 2 =c 2 +d 2 ,

+

+

e

z, w

E C,

lzwl

Então,

zw=(ac-bd)+(ad+bc)i

2 = (ac- bd) (ad bc) 2 22 = a c - 2abcd b2 d 2 a 2d 2 2abcd b 2c 2 = a2(c2 d2) + b2 (c2 + d2) = (n2 + b2)(c2 +d2) = lzl21wl2

+

+

+

+

+

A raiz qt'l.idrada de ambos os lados dá-nos o resultado desejado.

c·

VETORES NO R" E

14

1.23. Demonstre.

Para quaisquer números complexos.

z, w

E C,

lz+wl~lzl+lwl.

+

+

Suponha z = a l!i e w = c di, onde a, b, c, d E R. u = (a, b) e v = (c, d) no R 2• Note que

Considere os vetores

va•

izl = +b· =llull, lwl =v~= llvll e lz+wi = i(a+c)+(b+d)il = V(a + c)• + (b + d) 2 = il(a+c,b+d)/l=llu+vll Pela desigualdade de M inkowski (problema 1.17),

/lu +vil ::5 /lull+!lvll; logo, iz + wl =/lu+ vil=:; /lu/1 + llvll

=

lzl + lwl

VETORES EM C" 1.24. Sejam u = (3- 2i, 4i, 1 + 6i) e v = (5 + i, 2- 3i, 5). Encontre (i) u +v, (ii) 4iu, (iii) (1 + i)v, (iv)(l- 2i)u + (3 + i)v.

u + t•

(i) · Some as componentes correspondentes

=

(8 -.i, 2

+i,

6

+ 6i).

Multiplique cada componente ·de u pelo escalar 4i,

(ii)

4iu = (8 +.12i, -16, -24

+ 4i).

(iii) Multiplique cada componente de v pela escalar. 1 +i,·

(1+i)v

= (5+6i+í 2, 2._i-3i~, 5+5i)

= (4+ói,

5-i, 5+5i)

(iv) Primeiro, efetue a· multiplicação por escalar e, depois, a adição de vetores (l-2i)u+(3+i)u = (-l-8i, 8+4i, 13+4i)+(14+8i, 9-7i,l5+5i) =

(13, 17, ~3i, 28+9i)

1.25. Encontre u.v e v.u, onde: (i) u=(l-2í,'3+i), v=(4+2í, 5-6i); (ii) u=(3-2i, 4i, 1+6i), v= (S+i, 2-3i, 7+2i). Lembre que os conjugados do segundo vet0r aparecem no produt0 interno

(zr, ... , (i) .

11

•v

· v·u

(ü} u·v

Zn).

(WJ, ... , Wn)

=

ZIWI

(I - 2z)(4 + 2i) + (3 + i)(5 - 6i) (1 - 2z)(4 :.. 2z} + (3 + z)(5 + 6i)

+

---

+

+ ... + = -!Oi

ZnWn

+9

+ 23i = 9 + 13i

---

(4 2i)(1 - 2i) (5 - 6í)(3 +i) (4 + 2z)(1 + 2i) + (5- 6i)(3- i) = !Oi + 9 ~ 23i

c:--

= 9 - 13i

+

(3 - 2i)(5 + 1} + (4i)(2 - 3i) + (1 + 6i)('l 2i) (3 - 2•)(5 - i) + (4•}(2 + 3o) + (I + 6i)(7 - :2i) = 20 (5 (5

+ •)(3 ~ 2o) + (2 - 3i)(4i) + (7 + 2i)(l + 6•) . + i)(3 + 2•) + (2 - 3o)(=4t) + (7 + 2i)(l- 6i) =

+35i

20- 35i

Em ambos os exemplos v . u = U.V lssó é, em geral, verdadeiro, como será visto n<> problema 1.27.

1.26. Encontre /iull onde (i) u=(3+4i, 5-2i, 1-'-Ji); (ii) u=(4-i, 2i, 3+2i, 1-Si) ..

CAP. I]

VETORES NO R• E

Lembre que 2:Z '= a 2

+ b2

quando z = a

c•

+ bi.

15

Use

2

llull = u. u = ZJZl + z2Z2 + ... + Znzn·, onde z = (z~oz 2 ,. _ ., Zn) (i) llull 2 = (3)2+(4) 2+(5)2+(-2) 2 +(1) 2 +(-3) 2 =64, ou llull =8 (ii) llull 2 = 4 2+(-1) 2 +2 2 +3 2 +2 2 +1 2 +<-W = 60 ou llull=v6o = 2yts

1.27. Demonstre: Para quaisquer vetores u, v E C" e qualquer escalar z E C, (i) v . u = ~ (ii) (zu) . v = z(u . v), (iii) u . (z . v) = = z(u . v) (compare- com o teorema 1.2). Suponha u = (z1z2 •.. _, Zn) e v = (w 1w 2 , _ _, w,.). (i)

Usando as propriedades -do conjugado, _estabelecidas no problema 1.21,

V:U =

WtZt +w~ 2

+ -. -+wnzn

= UítZt +w2z2+- - -+wnzn

= WJZI +w2Z2 +. -.+wnzn = z-tWl +z2ü12+. _. +znwn = u. v

(ii) Como zu ='(zzhzz,2, _ .,zzn). (zu)- v=zztwt +zz2w2+- - . +zznwn+z(ztwt+z2w2+ . .. +znwn) =z(u. v) (iii) Método I.

Como zv = (zw 1zw2, _ - -, zw)n.

u- (zt•) = Ztzwt +z!--u.'2+ _ _+z..zu•,. =ztzwt +z2zw 2+ _.. +z,.:Zwn = z(ZJWI +z2ü12+ ... +znwn) = z(tt. v) Método 2. Usando (i) e (ü), 1t.(zv) = (zv).u = z(v.u)

=

z(v·u)

=

z(u.v)

PROBLEMAS DIVERSOS

1.28. Sejam u = (3, -2, 1, 4). e v= (7, 1, -3, 6). Encontre (i) u + v; (ii) 4u; (iii) 2u- 3v; (iv) u . v; (v) 1/ull e l/vil; (vi); d(u, v). (i)

u +v= (3 + 7,-2 +

(ii) 4u

1~1-

3, 4 + 6)

=

(10, -1, -2, 10)

= (4 . 3, 4 . (-2), 4 . 1, 4 _ 4) = (12, -8, 4, 16) = (6, -4, 2, 8) + (-21, -3, 9, -18) = (-15, -7, 11, -10)

(iii) 2u- 3v

-(iv) u . v = 21 - 2- 3 + 24 = 40 (v)

lu I

= y9 +4 + 1 + 16 = v30, llvll

(vi) d(u, v) = y(3- 7) 2

+ H-

1)2

=

y49 + 1 + 9 + 36

+ (1 + 3) 2 + (3- ó)'

= -v'45

= V95

= 3 yS

1.29. Sejam u = (7- 2i, 2 + Si) e v = (l+i, -3-6i). Encontre (i) u v; (ii) 2iu; (iii) (3 .:_ i)v; (iv) u . v; (v) llul! e llvll.

+

+

i, 2 + Si- 3 - 6•) = 8 - i, - 1 - i) (i i) 2iu = (14i- 4i2, 4i + 10j,2) = (4 + 14i, -10 + 4i) (iii) (3- i)v = (3 + 3i ~i- i2, -9- 18i + 3i + 6i 2 ) = (4 + 2i, -15- 15i) (i) u + v = (7 - 2i + 1

=

(v)

llull

=

+

+ i) (2 + Si)(-3- Ó$) (7- 2i)(1 - i)+(2 +5i)(-3+6i) = s- 9i- 36- 3i

(iv'f u . v = (7- 2i)(l

y7 2 + (-2) 2 + 2 2 + s• = V82,

=

-31- 12i

!I vil= yl"+P+(-3) 2 +(-6)•= V47

1.30. Qualquer par de pontos P = (a 1) e Q = (b1) no R" define o segmento orientado de reta de P para Q, escrito PQ. Identificamos PQ com o vetor v

= Q- P:

VETORES NO R' E C'

16

[CAP. 1

PQ= v Encontre o vetor v identificado com PQ, onde (i) p = (2, 5), Q = (-3, 4) (ii) P

= (1, -2, 4), Q = (6, O, -3)

+ Q- p

=

(-3- 2, 4- 5) = (-5, -1)

Q-P

=

C6-t,0+2.-3,-4)=(5,2,-7)

(i)

t•

Cii)

v=

1.31. O conjunto H de elementos do R• que são ~oluções de uma equação linear de n incógnitas, Xu . . . , x., da forma C1X1

+ CzXz + .. + Cn;>.:n

= b

(*)

com u = (c., ... , c.) .,: O no R", é chamado um hiperplano do Rn, e* é chamada uma equação de H. (Freqiiente~ente, identificamos H com (*).)

-

Mostre que o segmento orientado de reta PQ de qual_quer par de pUfitosP, Q E H é ortogonal ao vetor dos coeficientes .u; diz-se que o vetor u é normal ao hiperplano H. Suponha P = (at •... , a.) e Q equação dada: Ctat

=

+ cza2 + ... +cna,

Sejam

v

-

= PQ

=

(bt, ... , bn}.

b,

ctbt

Então, a; e b; são as soluções d4

+ czb2 + .. +c,bn

=

b

=

b·:..b =O

= Q- P = (bt- a1, bz- az , ...., bn- an)

Então,

+ ... + c.(b.-an) + Czbz- c2a2 +. . +cnbn - Cnan

u.v = Ct(bt-at)+c 2 (bz-az)

=

Ctbt- Cta 1

= (ctbt+czbz+ ... +c.b.)-(ctal+c2a 2 +

.. +c,a,)

Portanto, v, isto é, PQ, é ortogonal a u.

1.32. Encontre uma equação do hiperplano H no R4 se: (i) H passa por P = (3, -2, 1, -4) e é normal a u = (2, 5, -6, -2}; · (ii) H passa por P = (1, -2, 3, 5) e é paralela ao hiperplano H' determinado por 4x - Sy + 2z + w 11.

=

(i)

Uma equação de H é da forma 2x+5y- 6z- 2w = k, pois H é normal a u, Substitua P nessa equação para obter k = -2. Assim, uma equação Je H ~ 2x+5y :- 6z- 2w = -2.

(ii)

H e H' ~>ão paralelos se, e somente se, os vetores normais corre3pondentes estiverem na mesma ou em direções opostas. Pprtanto, uma... equaçâo de, H é da forma 4x- 5y + 2z + w = k. Substituindo P nessa equação, achamos k = 25. Assim, uma equação de H é 4x- 5y + 2z + '1!1 = 25;

VETORES NO R" E

CAP. 1)

c·

17

1.33. A reta l no R" passando pelo ponto P~'(a,) e na direção deu= (u,) ;;6. O consiste nos pontos X =· P + tu, t E R, isto é, consiste nos pontos X = (x,) obtidos de -

fx1=a 1 +u1t

(*)

~x2

= a2

+ u~t

lXn

=a,+ u,t

I ........... .

onde t assume todos os valôres reais. A variável t é chamada parâmetro e (*) é cham(lda representação paramétrica de l. (i) Encontre a representação parac métrica da ret<). l, passando pot P e na direção de u, onde (a) P (b) P = (4, -2, 3, 1) eu = (2, 5, -7, 11).

(2,5)

=

e

u = (-3, 4);

(ii) Encontre a representação paramétrica da reta que passa pelos pontosP e Q, onde (a) P = {7, -2) e Q = (9, 3); (b) P = (5, 4, -3) e Q = (1, -3, 2). (i)

Em cada caso, use a fórmula (*)

(a)

{

X

=

y

=

2 - 3t 5 4t

+

(b)

fx

4

)y

-2

2t

+ J5l 3- 'fi 1 + ltt

)z

lw

+

=

(No R 2 u~ualmente eliminamos t das duas equações e representamos a reta por uma só equação: 4x + 3y = 23.) (ii)

-

Primeiro, calcule u = PQ = Q- P. (a) · u

= Q- P = (2, 5) X=

{

7

+ 2t

y = -2 +St

Então, use a fórmula (*)

=

(b) u = Q-P

f

X=

{y =

[z =

(-4,-7, 5)

5 ~ 41

4 - 1t St

-3

+

-

(Note que, em cada caso, poderíamos também escrever u = QP

= P- Q.)

Problemas Propostos VETORES NO R" 1.34,

5ejam u = (1, -2, $), v = (3, 1, -2). ErlêOIHre (i) u +v; (ii) -óu; (iii) 2u- Sv: (iv) 1 v; (v) llull e /lvll; (vi) d(u, v).

1.35.

Sejam u = (2, -1, O. -3), v= (1, -1, -1, 3), w = (1, 3, -2, 2). t!netmtre {i) 2u -Jv· (ii) 5u-3v-4w; (ii;; -·.•- + 2v- '·:v; (iv) u. v," w e v -w; \•J·!'l.fu'n ~-dlv, !Dl

u.

VETORES NO R" E C"

18 1.36. 1.37.

v ~ (S, -3, -1, 2, 7). (v) d(u, v).

Sejam u = (2, 1, -3, O, 4), (iii) u • v; (iv) llull e llvll;

[CAP.

Enemtre (i) u +v;

Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogom.is. (i) u = (3, k, -2), v= (6, -4, -3), (ii) u = (5, k, -4, 2), (iii) u = (1, 7. k 2, -2), v = (3, k, -3, k).

+ y)

1.38.

Determine x e y, se (i) (x, x

1.39.

Determine x e y, se (i) x(3, 2) = 2(y, -I); Dete~mine

= (y-

=

,,

+

1.40.

(ii) 3u -211;

(1. -3, 2. 2k).

(ii) x(1, 2) = -l (y, 3).

2, 6);

(i i) x(l, y) = y(l, -2).

x, y e z, se

(i) (3, -1, 2) ·= x(1, 1, 1) + y(l, -1, O)+ z(l, O, O). (ii) (-1, 3,3) = x(l, 1, 0) y(O, O, -1) z(O, 1, 1).

+

1.41.

+

\

Sejam e1 = (1, O, 0), e2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, O, 1). = (a, b, c) deRa,

Mostre que, para qualquer vetor

. u

, (i) u = ae1 1.42.

+b~

~ a. u .

+ce 3;(ii) u . e1

e2

=

b, u . ea = c.

Generalize o resultado do problema anterior como segue. Seja e, com 1 na i-ésima coordenada e O em tôdas as outras; e1 = (l, O, 0, ... , O, 0), e2

=

Mostre que, para qualquer vetor u (i) u = atei +

a2e2

+ ... + a,en.

(0, I, O,

=

E

Rn o vetor

, 0), ... , en = (0, O, ... , O, I)

(a 1 , a 2 , . . . , an),

(ii) u . e; = a; para i = 1, ... , n.

1.43.

Suponha que u E Rn tem a propriedade u . v = O, para todo v Mostre que u =o O.

E Rn.

1.44;

Usàndo d(u, v)= llu-vll e as propriedades· da norma [N1J. (N2] e (N3] no pro· h lema 1.18, mostre que a função distância satisfaz 'as seguintes propriedades para· quaisquer vetores u,"v, w E Rn: (i) d(tt, v) >O, e d(u, v)'= O se, e sàmente se, u = v; (ii) d(u, v) ;;;; d(v, u); (iii) d(u, w) ~ d(u, v) + d(v, w).

NÚMEROS COMPLEXOS 1.45.

Simplifique (i)· (4 - h)(9

1.46.

s·ltnp . IT I IQUe

1.47.

Sejam {iv) 3,

(")

1 . U;

C) 2 li

7

z =· 2- Si e w = 7 (v) izl. lwl.

w;

1.48. Seja_m z ~ 2 , 1.49.

I

+ 2i);

+i

(i i) (3 - Si) 2 ; (iii)

+ 3i.

e w = ó - Si.

Encontre

(i)

•

Encontre (i) z/w;

Mostre que (i) zz- = I; (ii) z = :Z; (lvh• parte imaginária de z = (z-8)/2i. ,;;;

_

i; (i v)

9

+_.:_ Si; 2i

7

3

+ w;

(ii) zw;

(v) (1 -

.3 1) .

+_ 3i Jé

1

1.50. Mostr~ qu~ zw

1

4

O implica z ~ O ou w

(iii) a

(i i)

jj,

parte real·

(iii) tjw;

w; . (iii) Iz I Iw 1de z = 1/2 (z + z); I

= O.

VETORES EM C" UH.

Sejam u = (1. + 7i, 2 - 6J) e v = (5"" 2i, 3- 4i): Encontre (i) u (iii) 2iu (4- 7i)v; (iv) u . v e v .. u; (v) iiull e llvll.

+

+ v;

(ii) (3

+ i)u

VETORES NO R• E C•

CAP. l]

+

1.52.

Sejam u = (3- 7i, 2i, -1 t) e v == (4 -i, 11 (ii) (3 t)v; (iii) u . v e v . u; (iv) llull e llvll.

1.53.

Demonstre.

+

+ 2i,

Encontre (i) u :-v;

8- 3i).

Para quaisquer vetores u, v, w E C":

+

(i) (u v) . w = u . w +v . w; o teorema 1.2.)

1.54.

19

(ii) w . (u +v)= w . u

+w

. v.

(Compare com

Demonstre que a norma em C" satisfaz as seguintes leis:

lluii::O::

[NlJ:

Para qualquer vetor u,

[N 2}!

Para qualquer vetor

[Ns]:

Para quaisquer vetores u e v,

u

llull

O; e

=O se, e somente- se, u =O.

e qualquer número complexo

llu

z, llzull = lzlllull.

:s; llull + llvll.

+vil

(Compare com o problema 1.18.)

PROBLEMAS DIVERSOS 1.55.

Encontre uma equação para o hiperplano <Jo R 3 que (i) passa por (2, -7, 1) e é normal a. (3, 1, ...:11); (ii)

contém (.1, -2, 2), (0, 1, 3) e (0, 2, -1);

(iii)

contém (1, -5, 2) e é paralelo a 3x -7y

+

4z = S.

+

+

D~termine

1.56.

o valor de k tal que 2x -ky 4z- Sw = 11 é perpendicular a 7x = 8. (Dois hiperplanos são perpendiculares se, e somente se," os vetores norn,tais correspondentes são ortogonais.)

1.57.

Encontre uma representação paramétrica da reta que

+ 2y- z + 2w

passa por (7, -1, 8) na direção de (1, 3, -5)

(i)

. (ii) passa por (1, 9, -4, 5) e (2, -3, O, 4) (iii) passa por (4, -1, 9) e é perpendicular ao plano 3x -2y 1.58.

~jam_.P,

+z

=

18.

Q e R.-PQP._ffis da. retª çleterminada pv_r

~L."":-:-a:t·+ iHt,

-+ U2t,

x.2 = a2

... ,

Xn

=

an

+ 1tnl

qüe correspondem, respeCtivamente, aos valôres t1, t 2 e t 3 para t. Mostre que, se 11

< 12 < 13 ,

então d(P, Q)

+ d(Q, R)

=

d(P. R).

RESPOSTA'' DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 1.34.

(i) u +v = (4, -1,3); (iv) u . fi = -9; (v)

(ii) -óu = (-6, 12, -30);

llull

~

vTo. lli>ll

=

(iii) 2u- Sv

{vi) d~u. v)

v14;

=

= (-13, -9, 20;)

= y62.

+

1.35.

(i) 2u- 3v = (1, 1, 3, -15); (ii) Su- 3v- 4w (3, -14; 11, -32); (iii) ---u 2v- 2w= =(-2, -7, 2, 5); (iv) u . v = -6, u . w = -7, v . w 6; (v) d(u, v) = y38, d(v, JJ = 3 Vf.

1.36.

(i) u +v= (7, -2, -4, 2, 11); (ii) 3u-2vp (--4, 9, -7, --4, -2); (iv) llull = V30, llvll=,2v'22; (v) d(u, v)= V4~·

1.37.

(i) k = 6;

(ii) k = 3;

(iii) k = 3/2.

··~ :~..

.

}.38.

(i)

X

= 2, )' = 4;

1.39.

(i)

X ..,

-1,

(ii)

y = -3/2;

=

.

X

= -6,

y = 3/2.

(ii) x ~ 0, y

=

0;

ou

X

=

-2, y ,;. --4.

(iii) u. v= 38;

20 1.40. . 1.43.

VETORES NO R" E C" (i)

2, J = 3,

X=

Z

= -2; (ii)

= -1,

X

)' = 1,

[CAP. 1

= 4.

Z

Temos que u . u = O, que implica u = O.

1.45~

(i) 50- 55i;

1.46.

(i) -{-i;

1.47.

(i) z

w=

(ii) -16

(ii) (5

+w

7

30i;

+ 27i)/58;

= 9- 2i;

(ii) zw

7- 3i; (v) lzl =

+ 16t)/61;

(iii) (4

(iii) -i, i, -I;

=

V29,

(iv) (I

z=

(i) z/w = (7

1.50.

Se m=O, então lzwl = lzllwl ou w =O.

1.51.

(i)

2- i, fv = 6

+ 31)/2;

(v) -2- 2i.

+ 3i)/50.

(iv) (4

29- 29i; (iii) z/w lwl = V 58.

1.48.

(i i)

+ 7i)/65;

=

+ Si;

(-1 -- 41i)/58;

(i i i). lzl =

(iv)

Vs.

z=

2

lw I =

+ 5i, v'6í.

IOI=O. Portitnto,z=Oouw=O;logo,z=O

u +v = (6 +Si, 5- !Oi);

(iv) u . v = 21

1.55.

+ i)u = (-4 + 22i, 12- 16i); + (4- 7i).v = (-8- 4li, -4 ~ 33i); (i) u-v = (-1 ~6i,-ll,.,-9 + 4i); (ii) (3 + i)v = (13 + i, 31 + 17i, 27- i); (i) 3x + y- llz = -12; (i i) 13x + 4y + z

1.56.

k

1.57.

(i)

(ii) (3

(v)

llull

=

+ 27i, v . u = 21- 27i;

3Vfõ,

llvll =

3y6.

(iii) 2iu 1.52,

(iii) u. v= 12

+ 2i,v.

u = 12-2i;

(iv) llull. = 8, l!vB = V215. =

7;

(iii) 3x- 7y

+ 4z

=

46.

=o. (c\'= 7 +I {y = -1 + 3t

lz

=

8- St

(i i)

(x=i+l

jy )z

[w

= 9 ~ 121 = -4 + 4t = 5-/

(iii)

(x=4-+Jt { y = -1- 2t [z ~ 9 +t.

Capítulo 2 Equações lineares INTRODUÇÃO A teoria das equações lineares desempenha papel" importante e motivador no campo da Álgebra Linear. Na verdade, muitos problemas na Álgebra Linear são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares, por exemplo, a procura· do núcleo de uma transformação linear e a caracterização do subespaço gerado por um conjunto de vetores. Assim, as técnicas introduzidas neste capítulo serão aplicâveis ao tratamento mais abstrato dado mais tàrde. Por outro lado, alguns dos resultados do tratamento abstrato dar-nos-ão novas visões de estrutura de sistemas concretos de equações lineares. Por simplicidade, supomos que tôdas as_equações neste càpítuio são' sôbre o corpo real R. Realçamos que os resultados e técnicas também valem para equações sôbre o corpo complexo C ou sôbre qualquer corpo arbitrário K; · ·

EQUAÇÃO LINEAR Por uma equação linear sôbre o corpo real R, entendem03 uma eJI:pressão da forma (1)

onde ait b E R e os x, são indeterminadas (ou incógnitas ou variáveis). Os escalares a, são chamados coeficientes de x, respectivamente, e b é chamado têrmo constante ou simplesmente constante da equação. Um conjunto de valôres para as incógilitas, d.igamos X;

é solução de (1) ~~

aj

= fu_._ X2 .==. ~~ ... , X 11 = kn

!afirmação! 'obtida substituindo k, por x,. I ! a1k 1

+ a k + ... + a,."k-;.-=·b 2

2

é verdadeira. Diz-se, então, que êsse conjunto de valôres satisfaz a equação. Se não hâ am.bigüidade sôbre a posição das incógnitas na equação, entã
u Exemplo 2.1; A 4-upla

11

=

(klt k2, ...• k,.)

Considere a equação x

+ 2y- 4z + w

= (3, 2, 1, O) é solução da equação, pois 3

+ 2 -2 -

4 -1

+o= 3 .21

ou 3

=3

= 3.

EQUAÇõES LINEARES

22

[CAP. 2

é uma sentença verdadeira. Entretanto, a 4-upla v = (1, 2, 4, 5) não é uma solução da equação, pois

+ 2 .2 -

+5

4 .4

= 3

:~

ou -6 =

não é uma sentença verdadeira.

Soluções da equação H á três casos.

(1) podem ser fàcilmente descritas e obtidas- ·

Caso (i). Um dos coeficientes em (1) é não-nulo, digamos, a 1 Então, podemos reescrever a equação como segue ai XI = b- ~X2-

•.. - anXn OU X1

=

aJ.

1

1

b- aJ. ~Xz- ... -

;é

O.

1 aJ. anXn

Atribuindo valôres arbitràriamente às incógnitas x2 , . . . , xn, obtemos um valor para x 1 ; êsses valôres formam uma solução da equação. Além disso, cada solução da equação pode ser obtida dessa maneira. Note, em particular, que a equação linear a uma incógnita, ax ;é b, com a ;é O tem a ónica solução x = a· 1b. · Exemplo 2.2.

Consideremos a equação 2x - 4y

+z

=

8.

Reescrevemos a equação como

2x = 8

+ 4y- z

ou x = 4

+ 2y- 1/2 z

Qualquer valoí para y e z produzirá um valor para x e os três valôres serão uma solução da equação. Por exemplo; sejam y = 3 e z = 2; então, x = 4 2.3- 1/2.2 = 9. Em outras palavras, a 3-upla u = (9, 3, 2) é soÍução da equação.

+

Caso (ii). Todos os coeficientes em (1) são zero, mas a constante ·não é zero. Isto é, a equação é da forma Ox1

+ Ox + ... + Oxn 2

b, com b ~ O

Então, n equação não tem solução. Caso (iü). Todos os coeficientes em (1) são zero e a constante· é também z~ro. Isto é, a equação é da forma Ox 1

+ Ox + ... + Oxn 2

=O

~ntão, tôda n-upla de escalares em R é uma solução da equação.

SISTEMA DE EQUAÇÕES UNEARES Consideremos, agora, um s1stema de m equações lineares nas n incógnitas x 1 , • . . , Xn a 11 xr . a21X2

+ a 12 Xz + + azzXz + (*)

+·

+ ··· +

am1X1 amzXz amnXn = b,n; onde os a 11 , bt pertencem ao corpo real R. Diz-se que o si~tema é homo- · g2neo se as constantes b11 . . . , bm são tôdas zero. Uma n-upla u = (k 1 , • •• ,kn)

EQUAÇõES LINEARES

CAP. 2]

23

de números reais é uma solução (ou uma solução Particular) se satisfaz cada uma das equações; o conjunto de tôdas essas soluções é denominado conjunto solução ou solução geral. O sistema de equações lineares

+ al2x2 +

o

a21X1

+ a2~2 +

o

am1X1

+ am2X2 + · · · + amnXn

auxl

<**) =

0

é chamado sistema homogêneo assocmdo a (*). O sistema acima sempre tem splução, a saber: a n-upla zero O = (0, O, ... , O) chamada solução zero ov. trivial. Qualquer outra solução, se existir, é chamada solução não-nula ou não-trivial. A relação fundamel)tal entre os sistemas (*) e (**) segue.

Teorema 2.1. Suponha que u é uma S:Olução particular do sistema não homogêneo (*) e. suponha que W é a solução geral do sistema homogêneo associado (**).

Então,

'u+W= {u+w:wE Wl é a solução geral do sistema não homogêneo (*). Salientamos que o teorema é de interêsse teórico e não nos ajuda a obter soluções explícitas do sistema (*). Isso é feito pelo método usual de eliminação, descrito na próxima seção.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema (*) acima de equações lineares. . a um si~tema mais simples como segue.

Nós o reduzimos

Passo 1. Transponha equações, de modo que a primeira

~ncógnita

x 1

tenha coeficiente não-nulo na primeira equação, isto é, de modo que ali rf O.

Passo 2. Para cada i

>

1, aplique a operação

L;

---7

-a
+ ali L;

Isto é, substitua a i-ésima equação linear L; .Pela equação obtida multi·plicando a primeira equação L 1 por -a;~> multipiicando a i-ésima equação Lt pol""a11 e, então, somando. Obtemos, assim, o seguinte sistema "que (problema 2.13) é equivalente a (*). isto é, tem .o mesmo conjunto solução de (*) a11x1

+ a; 2x 2 + a~3X3 + ... + a;nxn a;hxi + . . . . . . + a;,.xn 2

= b~ =

b~

EQUAÇõES LINEARES

24

[CAP. 2

onde a 11 ~ O. Aqui Xp denota a primeira incógnita com um coeficiente nãocnulo numa equação que não a primeira; por passo 2, xi 2 ~ x 1 • :t:sse processo que elimina uma incógnita de equações sucessivas é conhecido como eliminação (de Gauss). Exemplo· 2.3.

Considere o seguinte sistema de equações lineares

+ 4y - z + 2v + 2w = 1 + 6y + z - v + 4w = -7 4x + 8y + z + Sv - w = 3 2x

3x

Eliminamos a incógnita x das segunda ·e terceira equações, aplicando as seguintes operações Calculamos

-JL1:

--~Lt

+ 3z

-6x - 12y

2L 2 :

+ 12y + 2z

6x

+ 2L 2 :

Sz-

-2Lt:

e

- 6v - 6w =

-4x -

La:

4x

+

8y

+ 2<~

8y

+

-3

+ 8w = -14 8v + 2w = -17

- 2v

- 4v - 4w =

+ Sv 3z + vz

w =

.'?w

-2 3

=

Assim, o sistema original foi reduzido ao seguilite sistema equivalente 2x

+ 4y

- z

+ 2v + 2w =

Sz - 8v 3z

+

+ 2w

1

= -17

v- Sw = 1

Observe que y também foi eliminado das segunda e terceira equações. Aqui, a incógnita z faz o papel da incógnita x12 acima.

Notamos que as equações acima, excluindo a primeira, formam um subsistema que tem menos equações e menos incógnitas do que o sistema original (*). Também notamos que

+. + Ox, = b, b ;>'! O, então o sistema é inconsistente e não tem solução; (ii) Sé ocórre uma equação Ox1 Ox, = O, então a equação pode Set: suprimida, sem . .que afete a solução. Continuando o processo acima com cada nôvo subsistema "menor"; obtemos, por indução, que o sistema (*) é inconsistente ou é redutível a um sistema equivalente na seguinte forma (i) sé ocorre uma equação Ox1

+ ... +

GnX1

+

a 12 X 2

+ a 13Xa + ...... , ........ +

a2j2 Xj~

+

a2J2 + 1Xj2 +t

+ ...... +

a 11,x,. =

bt

a 2,x, =

b~

(***)

EQUAÇOES LINEARES

CAP. 2]

onde 1

< j 2 < ... < j,

25

e onde os coeficientes iniciais não são zero

a 11 ;F O, a 2 .

J2

;F O, .. . ,a,.;& O Jr

(Para conveniência de notação, usamos os mesmos símbolos a;;., bk no sistema(***), como usamos no sistema("'), mas êles podem, é claro, denotar escalares diferentes.

Definição. Diz-se que o sistema (***) acima está na forma escalonada; as incógnitas x; que não aparecem no comêço de nenhuma equação (i ;& 1, j 2 , . . • . ,j,) são chamadas variáveis livres. Surge o seguinte teorema. Teorema 2.2. A solução do . sistema (***) na forma escalonada é a sequinte.

Existem dois casos:

(i) r =; n. Isto ê, há tantas equações quanto incógnitas. sistema tem solução única.

Então, o

(ii) r < n. Isto é, há menos equações do que incógnitas. Então, po· demos, arbitràriamente, atribuir valôres às n- r variáveis livres e obter uma solução do sistema. Note, em particular, que o teorema acima implica que o sistema (***) e qualquer sistema equivalente. são consistentes. Assim, se o sistema (*) é consistente e se reduz ao caso (ii) acima, podemos então atribuir vârios va: lôres diferentes às variáveis livres e, assim, obter várias soluções do sistema. O seguinte diagrama ilustra essa situaçao. Sistema de equações lineares

I

I

I

I Sem solução

I

Consistente

I Mais de uma solução

Solução única

Em vista do teorema 2.1, a solução ónica acima pode ocorrer sõmente quand.9 o sistema homogêneo associado tiver só a solução zero. Exemplo 2.4; Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operações L 2.--+ -3L 1 em seguida, a operação La --+ -3L2 + La:

+ 2L2 e La ...... -3L1 + 2La e, 2x + y - 2z + 3w = 1 3x 3x

+ 2y - z + 2w = 4 + 3y + 3z - 3w = 5

2x

+

+

+

y - 2z 3w y + 4z - 5w 3y + 12z - 15w

A eQ.uação O = -8, isto é, Ox Oy + Oz + Ow inconsistente e, portanto, não tem solução.

= = =

1 5 7

2x

+y y

- 2z

+ 4z

+ 3w

=

+

1

- Sw = 5 O = -8

= -8 mosh' que o sistema original é

EQUAÇÕES LINEARES

26

[CAP. 2

+

Exemplo 2.5. Reduzimos o seguinte sistema, aplicando as operações L2 --> -L1 e L 3 ..... -2Lt + La e L4 ..... -2Lt + L4 e, em seguida, as operações La --> L2- L 3 e L4 ..... -ZL2 L4 x + 2y- 3z = 4. x ';.y- 3z = 4 x + 2y- 3z = 4 y 4z = 7 y+4z=7 X+ 3y Z = 11 2z = 2 y + 2z = 5 2x + Sy - 4z = 13 2y 8z = 14 0=0 2x + by + 2z = 22

+ L 2,

+

+

+

x

+ +

+ 2yy

3z =

+ 4z 2z

4 7

= =

2

Observe, primeiro, que o sistema é consistente, pois não há equação da forma O = b, com b ~ O. Além disso, como na forma escalonada h~ três equações nas três inc6gnita~, o sistema tem solução única. Pela terceira equação, z = 1. Substituindo z = 1 na segunda equação, obtemos y = 3. Substituindo y = 3 e z = 1 na primeira equação, encontramos x = 1. Assim, x = 1, y = 3 e z = 1 ou, em outras palavras, a 3-upla (1, 3, 1) é a solução única do sistema. Exemplo 2·.6. Reduzimos o seguinte sistema, aplicanqo as operações L2--> -2Lt e L 3 --+ -SLt + L 3 e, depois, a operação La --> -ZL2 +La;

+ L2

x + 2y- 2z + 3w = 2 2x + 4y - 3z + 4w = 5 Sx + 10y- 8z + llw = 12

x

x

+ 2y- 2z + 3w

=2 z - 2w = 1 2z - 4w = 2

+ 2y -

+ 3w z - 2w

2z

+

x + 2y- 2z + 3w = 2 z - 2w = 1 O= O

=· 2 =

1

O sistema é consistente e, como. há mais incógnitas do que equações na forma escalonada, o ~istema tem uma infinidade de soluções. De fato, há duas variáveis livres, y e w, e,portanto;uma solução particular pode ser.obtida dando a y e w quaisquer valflreR. Por exemplo, sejam w = 1 e y = -2. Substituindo w = 1 na segunda equação, obtemos z = 3. Pondo w = 1, z = 3 e y = -2 na primeira equação, encontramos x = 9. Assim, x = 9, y = -2, z = 3 e w = 1 ou, em outras palavras, a 4-upla (9, -2, 3, 1) é uma solução particular do sistema. Observa~ão. Encontramos a solução geral do sistema no exemplo acima, como segue. Atribuam-se valôres arbitrários às variáveis livres; digamos, y = a e w = b. Substituindo w = b na segunda equação, obtemos z = 1 2 b: Pondo y = a, z = 1 2b e w = b na primeira equação, encontramos x = 4- 2a + b. Assim, a solução geral do sistema é ·

+

+

x

=

4- 2a

+ b,

y = a,

z

=

1

+ 2b,

w

=

b

+

ou, em outras palavras, (4- 2a + b, a, 1 2b, b), onde a e b são números arbitrários. Freqüentemente, a solução geral é deixada em têrmos das variáveis livres y e w (em vez de a e b) como segue x = -4- 2y + w, z = 1 + 2w ou (4- 2y + w, y, 1 + 2w, w) Investigaremos mais a representação da solução geral de um sistema de equações lineares num capítulo posterior. Exemplo 2.7.

Considere duas equações ém duas incógnitas a1X

a2X

+ bty

= Ct

+ b2x =

c2

CAP. 2]

EQUAÇÕES LINEARES

27

Oe acôrdo com nossa ·teoria, exatamente um dos três casos seg~1intes deve ocorrer (i)

O sistema é inconsistente.

(ii) O sistema é equivalente a duas equações na forma escalonada. (iii) O sistema é equivalente a uma equação na form:1 escalonada. Quando equações lineares em duas incógnitas com coeficientes reais podem ser represe,;Úâas_ como retas no plano R 2 , os casos acima podem ser interpretados geometricamente como segue (i)

As duas retas são paralelas.

(ii) As duas retas se interceptam num únic-o pontó. (iii) As cluas retas são coincidentes.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA HOMOG~NEO DE EQUAÇÕES. LINEARES Se partirmos de um sistema homogêneo de equações lineares, então êle é claramente consistente, pois, por exemplo, êle tem a soluÇão zero O = (0, O, . , 0). Assim, êle pode sempre ser reduzido a um sistema homogêneo equivalente na forma escalonada n. 11 X 1

+

+ a., + .. a2j2Xi2 + a~.J2+1Xi2+1 +

a 12 X 2

o o

1X:1

a,1,x1,

+ a,_1,+ 1x1,+ 1 + ... + a,n:Cn

= O

Portimto, temos duas possibilidades: (i)

r

(ii) r

<

n.

Então, o sistema tem sàmente a solução zero.

n.

Então, o sistema tem uma solução não-nula.

Se partirmos de menos equações do que incógnitas, então, na forma escalonada, r < n e, portanto, o sistema tem uma solução não-nula. Ist·o é, Teorema 2.3. Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que equações tem uma solução não-nula. Exemplo 2.8.

O sistema homogêneo x

+ 2y

x -

2x

tem

lll~a

+

3y

- 3z

+

y -

+

z -

3z

+

w = O 2w = O Sw = O

solução não-nula, pois há quatro incógnitas mas somente três equações.

Exemplo 2.9.

Reduzimos o seguinte sistema à forma escalonada

x+ y- z=O 2x- 3y + z =O x- 4y 2z =O

+

x+y-:-Sy -Sy

z=O

+ 3z =O + 3z =O

·x+y-Sy

z=O

+ 3z

=O

O sistema tem uma solução não•nula, pois ·obtivemos somente duas equações em três incógnitas na forma escalonada.· Por exemplo, seja z = 5; então, y = 3 e x = 2. Em outras palavras, a 3-upla (2, 3, 5) é uma solução particular não-nula.

[CAP. 2

EQUAÇÕES LINEARES

28 Exemplo 2.10.

Reduzimos o seguinte sistema à forma escalonada

x+ y2?;' 3x

_x+y- z=O

z=O z =o

+ 4y-

+ 2y + 2z

2y -y

=O

x+y~z=O

+ z =o + Sz =O

2y

+ z =o llz =O

Como, na forma escalonada, há três equações em três incógnitas, o sistema tem mente a solução zero (0, O, 0).

se-

Problemas Resolvidos SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES LINEARES

2.1.

+ 6z + 2v y- 4z + v

Resolva o sistema

2x - 3y

3

Sw

1.

v-3w

2

O sistema está na forma escalonada. Como as .equações começam com as incógnitas x, y e v, respectivamente, as outras incógnitas, z e w, são as váriáveis livres. Para achar a solução geral, sejam,· digamos, z - a e w = b. Substituindo

na terceira equação, v - 3b = 2 ou v Substituindo na segunda equação, y - 4a

+ 2 + 3b

~

=

+ 3b.

2

1

ou

y = 4a - 3b - 1

Substituindo na primeira equação,

2x- 3(4a- 3b- 1)

+ 6a + 2(2 + 3b)- 5b

= 3

ou

x

=

3a- 5b- 2

Assim, a solução geral do sistema é

x =

3a·~

5/l -- 2, y ,:,· 4a- 3b- 1,. z =a, v

=

2

+ 3b,

w = b

+

<;>u (3a- 5b- 2, 4a- 3b- 1, a, 2 3b, b), onde a e b são números reais arbitrários. Alguns textos deixam a solução geral em têrmos das variáveis livres z e w, em vez de a e b, como segue

x = 3z- 5w- 2 y = 4z- 3w-

v= 2

ou

(3z- 5w- 2, 4z- 3w- 1, z, 2

+ 3w,

w)

+ 3w

DePQis de encontrar a solução geral, podemos encontrar uma solução particular por substituição na solução geral. Por exemplo, sejam a = 2 e b = 1; então, X

=

-1, y

='

4,

Z

= 2,

V

= 5,

W

= 1

é uma solução particular do sistema dado.

2.2.

Resolva o sistema

+ 2y- 3z = 3x - y + 2z Sx + 3y - 4z x

-1

7. 2

OU

(-1, 4, 2, 5, 1)

EQUAÇÕES LINEARES

CAP.2]

29

Reduza à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equações pelas operações L2 --+ -3Lt + L2 e La --+ -SLt +La

-3Lt: L2:

-3x - 6y +

+

y

3x -

-7y

3

9z =

2z

=

+ llz

-5Lt:

7

La:

= 10

-Sx - 10y + 15z Sx

+

3y -

4z

=

5

=

2

-7y+11z=7

-5Lt +La:

Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente

+ 2y

x

3z = -1

-

-7y+11z=10 -7y + 11z =

7

As seg;mda e terceira equações mostram que o sistema é inconsistente,. porque, se subtrairmos, obtemos Ox Oy Oz = 3 ou O = 3.

+

2.3.

+

+ y - 2z 3x + 2y + 2z Sx + 4y +·3Z

Resolva o sistema

2x

= 10 1.

4

Reduza à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equações pelas operações L 2 --+ -3Lt + 2L 2 e La --+ -SLt + 2L~

-3Lt: 2L 2 :

+

--6x - 3y

6x + 4y + y

6z = -30 4z

+ 10z

-SLt:

2

2L 3 :

= -28

-SLt + 2Ls:

=

-10x - Sy + lOz = -50 10x + 8y +

6z ,;,

8

3y + 16z -.. _:-42

Assim, obtemos o seguinte sistema, do qual eliminamos y da terceira equação pela operação La --+ -3L2 + La ·

2x

+y

2z = 10

-

+ 10z = 3y + 16z = y

2x

-28

+y

para

y

-42

-

2z

+ 10z

10

=

= -28

-14z ,;,

42

Na forma escalonada, há três equações em três incógnitas; .portanto, o sistema tem solução única. Pela terceira equação, z = -3. Substituindo na segunda equação, encontramos y = 2. Substituindo na primeira equação, obtemos x = 1. Assim, x = 1, y=2 e z=-3, isto é, a 3-upla (1, 2, -3) é a única solução do sistema.

2.4.

+

Resolva o sistema

x 2y- 3z 2x - y 4z

4x

= 6

+

+ 3y

2. 14

- 2z

Reduza o sistema à forma esi::alonada. Elimine x das segunda e tei"Ceira equações pelas operações L2 --t -2Lt + L2 e La --+ -4Lt +La

-2L 1 :

-2x-

4y

+. 6z

=

-12

:-4L 1: L 3:

-Sy ou

+ !Oz

y -

2z

-4x - 8y + 12z 4x + 3y -

= -10 =

2

-Sy + 10z ou

y -

=

-24

2z =

14

=

2z

-10 =

2

EQUAÇÕES LINEARES

30

[CAP. 2

Assim, o sistema é equivalente a x

+ 2y- 3z y-:- 2z

= 6 = 2

y- 2z

= 2

+ 2y- 3z

x simplesmente,

011,

y- 2z

= 6 = 2

(Como as segunda e terceira equações são idênticas, podemos ignorar uma delas.) Na forma escalonada, há somente duas equações em três incógnitas; portanto, o sistema tem uma infinidade de soluções e, em particular, 3 - 2 = 1 variável livre que é z. Para obter a solução geral, seja, digamos, z = a. Substitua na segunda equação para obter y = 2 2a. Substitua na primeira equação para obter x

+ + 2(2 + 2a) -

3a = 6 ou x = 2 - a.

Assim, a solução geral é x = 2 - a, y

=

2

+ 2a,

z = a

011

(2 - a, 2

+ 2a,

a),

onde a é qualquer número real. O valor, digamos, a = 1, conduz à solução particular x = 1, y = 4, z

~

l ou

(1, 4, 1).

2.5.

Resolva o sistema

x - 3y

+ 4z

- 2w

+

+

2y Sz · y- 3z

s 2.

w

4.

=

O sistema não está na forma escalonada, pois, por exemplo, y aparece como a primeira incógnita em ambas as segunda e terceira equações. Entretanto, se reescrevermos o sistema de modo que w seja a segunda incógnita, então obtemos · o seguinte sistema, que está na forma escalonada x - 2w - 3y + 4z = 5 w+2y+Sz=2 y - 3z = 4

Agora, se a 4-upla (a, b, c, d) é dada como uma solução, não é claro se b deveria ser substituído por w ou por y; portanto, por razões teóricas, consideramos os dois sistemas como distintos. Claro que isso não nos proíbe de usar o nôvo sistema para obter a solução do sistema original. Seja z = a. Substituindo na terceira equação, encontramos y = 4 + 3a. Substituindo na segunda equação, obtemos w + 2(4 3a) Sa = 2 ou w = = -6 - 11a. Substih.1indo na primeira equação,

+

x- 2(-6- 11a) - 3(4

+ 3a) + 4a

Assim, a solução geral do sistema original

x = 5 - 17a,

y

=

4

+ 3a,

"" 5 tJU

x=

+

5 - 17 a

é i "= a,

w=

-6 - 11 a,

onde a é qualquer número real.

2.6.

Determine os valôres de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha (i) nenhuma soluçã~, (ii) mais de uma solução, (iii) uma única solução X+

y

Z =

+ 3y + az ·' + ay + 3z

2x

1 3 2

EQUAÇõES LINEARES

CAP. 2]

31

Reduza o sistema à forma escalonada. Elimine x das segunda e terceira equai;ões pelas operações L2 --> -2L1 + L2 e La - -Lt + L3 -2Lt: L2:

+ + 3y +

-2x - 2y

2x

2z = -2

-L1:

-x -

3

La:

x

az =

y +(a+ 2)z =

y

+ z + 3z

+

ay

(a - l)y

+ 4z

=

=

-1

=

2

1

Assim, o sistema equivalente é

x+

z=

y-

y +(a+ 2)z = 1 (a- l)y

+

4z

= 1

Agora, elimine y da terceira equação pela operação La

+ (2 -

-(a- l)y

-(a- l)L2:

La:

-7-

(a- l)L 2 +La

a - a 2)z = 1 - a

4z=1

(a-1)y+

2

(6 - a - a )z = 2 - a

ou

(3

+ a)

(2 - a)z = 2 - a

para obter o sistema equivalente

z

x+y-

Y+

=

1

(a+ 2)z = 1 (3

+ a) (2

- a)z :"" 2 - a

que tem solução única se o coeficiente de z na terceira equação não é zero, isto é, $C a ;;:: 2 a ~ -3. No caso de a = 2, a terceira equação é 0 = 0 e o sistema tem mais de uma solução. N~ ca$0 de a ·- -3, a terceira equação é O = S e o sistema não tem solução.

e

Resumindo, temos (i) a = -3, (ii) a = 2, (iii) a 'i"' 2 e a 'i"' -3.

2.7.

Que condições devem ser impostas a a, b e c para que o sistema seguinte nas incógnitas x, y e z tenha -solução?

+ 2y

3z =a

2x + 6y x - 2y

llz = b 7z =c

x

+

Reduza à forma escalonada. Eliminando x das segunda e terceira equa~s pelas operações L2 :..._.- -2Lt + L2 e La -->-LI +La, obtemos o .sistema equi· valente

x

+ 2y2y 4y

3z =a

Sz - b- 2a

+ 10z =c- a

Eliminando y da terceira equação pela operação L 3 - 7 2L 2 obtemos o sistema equivalente

x

+ 2y- 3z

=a

2y- Sz = b- 2a

O=

c+ 2b- Sa

+ L 3, '.finalmente

32

EQUAÇÕES LINEARES

[CAP. 2

O sistema não terá solução se a·terceira equação fôr da forma O = k, com k ;;é O; isto é, se · c

+ 2b -

Sa ;;é O.

Assim, o sistema terá, ao menos, uma solução se c

+ 2b -

= O ou

Sa

=

Sa

+c

2b

Note, nesse caw, que o sistema terá mais de uma solução. Em outras palavras,. o sistema não pode ter solução única.

SISTEMAS HOMOGÊNEOS DE EQUAÇÕES LINEARES

2.8.

Determine se cada ·sistema tem solução não-nula X+ X

2y

+ 3z

- 2w =O

+ 4w =.O 4x + 3y + Sz + 2w = O 3x

7y - 2z

+ 2y - 3z 2x + Sy + 2z

=O

3x -

= O

x

y - 4z

(i)

= O

2y

Z

= 0

+ Sy + 2z =O x + 4y + 7z =O x + 3y + 3z =lO 2x

(ii)

(i ii)

(i)

O sistema deve ter solução não-nula, porque há mais incógnitas do que equações.

(ii)

Reduza à fótma escalonada

x+ 2y2x

3z =O

x

+ Sy + 2z '""O

3x -

y

~

para

4z =O

+ 2y- 3z y + 8z -7y + Sz

=O =

x

+ 2y-

O para

3z =O

y+8z.=0

=O

61z =O

Na forma esc~lonada, há exatamente três equações em três ,incógnitas; assim, .o sistema tem solução única, a solução zero. (iii) Reduza à forma escalonada

X+ 2x

x x

2y.-

z

=

0

+ Sy + 2z =O + 4y + 7z =O + 3y + 3z =O

X+

2y -

Z

'"'0

+ 4z =O 2y + 8z =O y + 4z =O y

X+

2yy

2 =

+ 4z

0

=O

Na forma escalonada, há somente duas equações em três incógnitas; assim, o sistema tem uma solução não-nula.

2.9.

Diz-se que os vetores uit ... , um em, digamos, Rn são linearmente dependentes, ou, simplesmente, dependentes, se existem' escalares ~ 11 ••• , km nem todos zero, tais que k 1u 1 + ... + kmu;,. = O. Caso contrário, diz-se que êles são independentes. Determine se os vetores u, v e W' são ·dependentes ou independentes, onde

u= (1, 1, .::.1), v= (2, -3, 1) w = (8, -7, 1) (ii) 1t = (1, -2, -3), v= (2, 3, -1), w = (3; 2, 1) (iii) ·u = (a 1 , a 2 ), v = ~bltb2 ), w = (c1 , c2 ) (i)

CAP .. 2]

EQUAÇÕES LINEARES

33

Em cada caso (a) seja xu

+ yv + zw

= O, onde x, y e z são incógnitas escalares;

(b)

encontre o sistema de equações homogêneo equivalente;

(c)

determine se o sistema tem solução não-nula. Se o sistema tem, então os vetores são dependentes; se o sistema não tem. então êles são independentes.

(i)

Seja xu

+ yv + zw. =

O

+ y(2, -3, I)+ z(8, -7, 1) (x, ~-. -x) + (2y, -3y, y) + (8z, -7z, z) (x + 2y + 8z, x- 3y- 7z, -x + y + z) x(l, 1, -1)

ou ou

=

(O, O, 0)

=

(0, O, O)

= (O, O, O)

Faça as componentes correspondentes iguais entre si e reduza o sistema à forma escalonada X

+ 2y + 8z

= 0

x- 3y - 7z =O -X+

y

+

Z =

0

X

+ 2y +

8z

= 0

-Sy - !Sz =O

3y

+

9z =O

X

+ 2y + 8z = 0 y + 3z =O y + 3z =O

X

+ 2y + 8z = 0 y+3z=O

:\la forma escalonada, há duas equações em ti-ês incógnitas; assim, o sistema tem solução não-nula. De arôrdo com isso, os vetores ·são dependentes. Observação. Não necessitamos resolver o sistema para determinar dependência ou independência; sàmente precisamos saber se existe solução não-nula (i i)

+ y(2, 3, -1) + z(3, 2, 1) = (0, O, O) + (2y, 3y, -y) + (3z, 2z, ·z) = (O, O, O) (>: + 2y + 3z, -2.\· + 3y + 2z, -3x - y + z) == (0, O, O) x + 2y + 3z =O ". + 2y + 3z =O ". + 2y + 3z = O • -h+ 3y + 2z =O 7y + 8z =O 7y + 8z =O -3x- ·y + z =O 30z = O Sy + 10z =O x(l, -2, -3)

(.,., -2.-.;, -3x)

Na forma escalonada, há exatamente três equações em três incógnitas; assim, o- sistema tem sàmente a solução zero. De acôrdo com isso, os vetores são independentes

a1X

+ b1Y + CtZ

= 0

O sistema tem solução não-nula pelo teorema 2.3, isto é, porque há mais iúcógnitas do que equações; portanto, .os vetores são dependentes. Em outras palavras, nós provamos que quaisquer três vetores no R 2 são dependentes.

2.10. Suponha. que, num sistema homogêneo de equações lineares, os coeficientes _de uma das incógnitas são todos zero. Mostre que o sistema tein solução não-nula.

[CAP. 2

EQUAÇÕES LINEARES

34

Suponha que XI, ..• , x, são as incógnitas do sistema e Xj é ~ incógnita cujos coeficientes são todos zero. Então, cada equação do sistema é da forma atX!

+ ... + aj-!Xj-1 + Oxi + ai+!Xi+t + ... + a,x,

=O

Então, por exemplo, (0, ... , O, 1, O, ... , 0), onde l é a j-ésima componente, é uma solução não-nula de cada equação e, portanto, do sistema.

PROBLEMAS DIVERSOS

2.11. Demonstre o teorema 2.1. Suponha que u é uma solução particular do sistema homogêneo (*) e suponha que W é a solução geral do sistema homogêneo associado (**). Então,

u

+W

= Iu

+ w :w

E W}

é a solução geral do sistema não homogêneo (*). Anote por V a solução geral do sistema não homogêneo (*). Suponha que u E V e que u = (ut, ... , u,). Como u .é uma solução de (*), temos para i= 1,. _., m,

Agora, suponha que· w e., W e que w = (wt, ... , w,). Como w é uma solução do sistema homogêneo (**), temos para i= 1, ... , m; a;tWt

+ a;2w2 +

Por isso, para i= 1, ... , m, a;t(UJ

+ Wt) + adu2 + w2) + ... + a;,(u, + w,) ~ = a;tU! + a;JW! + a; 2 u 2 + a; 2w 2 + + a;,u, + a;.,w,. ~ (ai!U! + a; 2u + ... + a;,u,.) + (a;tW! + a;2w2 + ... + a;,w,) 2

= b; +o= Isto é. u

+w

b;

é uma solução de (*). Assim, u

u+ wc

+wE

V e, portanto,

V

Agora, suponha que v ~ (v 1 , . . . , v,) é um elemento arbitrário de solução de ( *). Então, para i = 1, ... , m,

·v,

isto é,

aiJVJ + a; 2v2 + . . . + a;nVn = b; + (v- u). Dizemos que v- u 7 W. Para i ~ 1, ... , m, ãi!Ú't- ut) + a;2(v~- u~) + + n;11 11 - u,) ~ (ai!VJ + a;2v2 + ... + a;,v,)- (ai!Ut + a;2u2 + ... + a;,u,)

Observe que v = u

(!1

= b;- b; =o Assim, v- u é solução do sistema homogêneo (*), isto é, v- u <= W. Então, v E u W e, portanto, V c u W. Ambas as relações de inclusão nos dão V ~ u vV; isto é, u TF é a soJ'à,ção geral do sistema não homogêneo (**).

+

+

+

+

2.12. Considere o sistema (*) de equações lineares (página 22). Multiplica\Ildo a i-ésima equação por ct, e somando.~ obtemos a equação , (i{lall

+ ... + Cmaml)Xl + ... + (ela!, + ... + Cmam,) X, = C1b1 + ... + Cmbm

=

(1)

EQUAÇõES LINEARES

CAP. 2]

35

Umaltal equação é chamada combinação linear das equações .em (*). Mostre que qualquer solução de (*) é também uma solução da combina~ão linear (1). ,.>

Suponha que u = (kt, ... , kn) é uma solução de (*).

+ a;nkn

Então,

= b;, i = t-, ... , m

(2)

Para mostrar que u é uma solução de (1), precisamos verificar a equação

(c1au + ... + C,.a,.1)k1 + ... + (c1a1n + ... + Cmamn)kn = qb1 + ... + Cmbm Mas isso pode ser. redistribuído assim: C!(aukl + ... +(a~nkn) + ... + c,.(a,.! + .. - + amnkn)

ou, por (2) _

!c1b1+.:.

=

Ctbl + ...

+ Cmbm

+ cmb,;;+-ci:l11-=t-~.. ~-+ c,.b;;.,

o que é, evidentemente, uma assertiva verdadeira.

2.13. No sistema (*) de equações lineares, suponha a 11 ~ O. Seja (#) o sistema obtido de (*) pela operação L 1 ~ ~a11 L 1 +a 11L., i~ L Mostre que (*)e(#) são sistemas equivalentes, isto é, têm o mesmo conjunto solução. Em vista da operação acima em (*), cada equação em (#) é uma combinação linear de equações- .em (*); portanto, pelo problema anterior, qualquer solução de (*) é também s 1/au(-anLl +L;) à (#), obte· mos o sistema original_(*). Isto é, cada equação em (*) é uma combinação linear de equações em (#); portanto, cada solução de (#) é também solt.tção de ('"). Ambas as condições mostram que (*) e (#) têm o mesmo conjunto solução.

2.14. Demonstre o teorema 2.2. lonada a11X1

+

Considere um sistema na forma esca-

+ aiaXa + · · · · · · · · ·· ·. · · · + alnxn = bt 11. hxh + a 12 + xh + ·t +. + a 2 ,.x,. = bz a12X2

2,

2

1

onde 1 < j 2 < , . . < jr e onde a 11 ~ O, solução é a seguinte. Há dois casos (i)

r= n.

az,2

~

O, ... , arJr

~

O.

A

Então, o sistema tem solução única.

(ii) r < n. Então, pod~mos atribuir valôres arbitrários às n- r variáveis livres e obter uma solução do sistema. A demonstração é por indução no número r de equações do sistema. r = 1, temos a equação linear única

a1X1 +

a2x2

+

aaX3

+ ... +

GnXn =

b, onde a1 ~ O.

Se

EQUAÇõES LINEARES

36

[CAP. 2

As variáveis livres são x 2 , . . . , x,. Vamos atribuir valôres arbitrários às variáveis livres; digamos, x2 = k 2, xa = k 3, ... , . . Xn = kn. Substituindo na equação e resolvendo para Xt,

f:sses valôres constituem uma solução da equação; porque, substituindo, obtemos

que é uma assertiva verdadeira. Além disso, se r = n = 1, então temos ax = b, onde a~ O. Note que x = b/a é solução, pois a (b/a) = b é verdadeira. Além do mais, se x = k é solução, isto é, ak = b, então k = b/a. Assim, a equação tem solução única, como foi dito. Agora, suponha· que r > 1 e que o teorema é verdadeiro para um sistema de r - 1 equações. Vemos as r - 1 equações

como um sistema nas incógnitas Xj 2 , ... , Xn. Note que o sistema está na forma escalonada: Por indução, podemos atribuir arbitràriamente valôres às (n- h+1)- (r- 1) variáveis livres no sistema reduzido, para obter uma solução. (digamos, Xj 2 = kj 2, .•. , Xn = k,.). Como no caso r 1, êsses valôres e valôres arbitrários para as j2- 2 variáveis livres adicionais (digamos, X2 = k2, ... , Xj 2 - l= kj 2 - 1), produzem uma solução da primeira equação com

=:

+

(Note que há (n- jz + 1)- (r- 1) (j2- 2) = n- r varmveis livres.) Além disso, êsses valôres para x 1 , . . . , x, também sàtisfazem as outras equações, pois, nessas equações, os coeficientes de Xt, ... , x; 2-1 são· zero. Agora, se r = n, então h = 2. Assim, por indução, obtemos uma solução .única do subsistema e, então; uma solução única do sistema todo. De acôrdo com isso, o teorema está provado.

2.15. Um sistema (*) de equações lineares é definido como sendo consistente se nenhuma combinação linear de suas equações é a equação Ox 1

+ Ox2 + , .. + Oxn =

b.

onde

b

~

O

(1)

Mostre que o sistema (*) é consistente se, e sõmente se, êle é redudvel à forma escalonada. Suponha que (*) é redutível à forma escalonada. Então, êle tem uma solução que, pelo problema 2.12, é uma solução de cada combinação linear de suas equações. Como (1) não tem solução, não pode ser uma combinação linear das equações. em (*). Isto é, (*) é consist~nte.

CAP. 2] ·

EQUAÇõES LINEARES

37

Por outro lado, suponha que (*) não é redutível à forma e5calonada. Então, no processo de redução, deve aparecer uma equação da forma (1). Isto é, (1) é uma combinação linear das equações em (*). De acôrdo com isso, (*) não é consistente, isto é, (*) é inconsistente.

Problemas Propostos

·S

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LINEARES 2.16.

(0)

Resolva

+ 3y =·1 5~. + 7y = 3

'2.17.

+

·-

+

• 5x - 31' -

z

Resolva

16

+

kx

('W)

X

·--- ·

x

+

(iii)

x 2x 3x

+ 2y + 3z = 3 + 3y + 8z =; 4 + 2y + 17z = 1

+ 2y - 3z + 2w = 2 + Sy - 8z + 6w = 5 + 4y- Sz + Zw = 4

+ + +

i

;

,: (iii) ! 2x • 3x

+

Q (ii)

'-

x

-r---.

x 5y 3x - y ! 2x 2y 1 I

+

+ 2y - z + 3w = 3 + 4y + 4z + 3w = 9 + 6y - z + Sw = 10

+ 4z - 13w = 3 + 2z + 5w = 2 + 3z -. 4w = 1

+y+z

1 1

=

+ ky + Z = + y + kz =

x

+

2y

+

2x

+

ky

+ 8z

kz = 1

(b)

1

= 3

Determine os valôres de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha (i) solução única, (ii) nenhuma solução, (iii) mais do que uma solução.

x+

(a)

-~

·

4x _ 2y = 5 -óx 3y = 1

Determine os valôres de k tais que o sistema nas· incógnitas x, y e z tenha: (i) solução única, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.

i

2.22.

(iii)

15

=

=

+ +

5

+

,.

I

+ 6y

~

~ 2x + 3y - 2z = 5 :. (ii) \ x - 2y 3z 2 ~_} 4x - y 4z = 1

5

x 2y 2z = 2 3x - 2y - z = 5 2x - 5y 3z = --4 x 4y 6z = O

r (i)) ',_

2.21.

= = =

2x + 3y = 3 / ' \ x x - Zy = 5 \~ii)) 2x 3x + 2y = 7 ·- · 3x

.. ~

2.20.

3x

10

Resolva (i)

2.19.

(i i)

Resolva

r---.. 2x y - 3z ! (i)/ 3x - 2y 2z 2.18.

+ 4y =

2x

2x

\ (i)

y+kz=2

+ 4y + 2z = 2x + 3y- z =

3x

k 1

-3z = -3 z = -2 kz = 1

x

·f(t;)l 2x + ky l~J x + 2y +

Determine a condição em a, b e c para que o sistema de incógnitas x, y e z tenha solução

+

(i)

+

x- Sy

+ Bz

+ 4z =a + 3y - z = b + y + 2z =c

x- 2y

x 2y- 3z =a 3x - y 2z = b

(ii)

=c

2x 3x

SISTEMAS HOMOGÊNEOS 2.23.

Determine se cada sistema tem solução não-nula (i)

x + 3y- 2z =O x - 8y + 8z = O 3x- 2y

+ 4z

=O

+

x 3y- 2z =O (ii) 2x - 3y z = O 3x- 2y 2z =O

+ +

+

+ +

x 2y - 5z· 4w = O (iii) 2x - 3y 2z 3w = O 4x - 7y z - 6w =

+ +

9

38 2.24.

Determine se cada sistema tem solução não-nula (i)

2.25.

[CAP. 2

EQUAÇõES LINEARES

+

x- 2y 2z 2x y 2z 3x 4y- 6z 3x - lly 12z

+ +

+

=O O =O = O

(ii)

=

+ +

+

2x - 4y 7z 4v ·9x 3y 2z - 1v 5x 2y - 3z v+ 6x - Sy 4z - 3v -

+

+

+

+

+

Sw = O w = O 3w =o· 2w = O

Determine se os vetores u, v e w são dep!!ndentes ou independentes {veja problema 2.9), onde (i)" u = (I, 3, -1), v = (2, O, 1), w = {1, -1, 1) (ii) u = {1, 1, -1), v= (2, 1, 0), w = (-1, 1, 2) (iii) u = (1, -2, 3, 1), v = (3, 2, 1, -2),. w =; (1, 6, -5, -4)

PROBLEMAS DIVERSOS 2.26.

Considere duas equações lineares gerais em duas incógnitâs x e y sôbre o corpo real R:-

ax+by=e ex+ dy =f Mostre que (i)

a

se ---;; -;;t

b

d ,

de- bf ad- bc

X=-----,

isto é, se ad - bc -;;t O, então o sistema tem a solução única af- ce ad- bc '

y=----

a b, e (ii) se - = - 7' -

(iii)

2.21.

c

d

f '

a·

b

e

se--;=d=f,

então o sistema não tem solução;

então o sistema tem mais de uma solução.

ax + by = 1 ex+ dy =O

Considere o sistema Mostre qu·e, se ad- bc -;;t x

=

~;

então o sistema tem a solução única

d/(ad- bc), y

=

-cf(ad- bc).

Mostre também que, se ad - bc = O, c -;;t O, então o sistema não tem solução. 2.28.

Mostre que uma equação da forma Ox1 + Ox 2 + ... + Ox,. = O pode-ser acresCá'ntada ou removida de um sistema, sem afetar o conjunto solução.

2.29.

Considere um sistema de equações lineares com o ·mesmo número de equações e incógnitas aux1 ·a21x1

an1X1

(i)

+ a12x2 + + a22x2 +

+ atnXn + a2nXn

=

b1

= b2

. (1)

+ lln2X2 + ... + annXn .= bn

Suponha que o sistema homogêneo associado tem somente a solução zero . . Mostre que (1) tem solução únka para cada escolha de constantes b;.

EQUAÇõES LINEARES

CAP. 2]

39

(ii) Suponha que o sistema homogêneo associado tem solução não-nula. Mostre que há constantes b; para as quais (1) não tem solução. Mostre também que, se (1) tem uma solução, então tem mais de uma.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

= 2,_ y = -I;

2.16.

(i)

x

Z.17.

(i)

(1, -3, -2);

(i i) x = 5- 2a, y

(ii) sem solução;

=

(iii) sem solução

a;

(iii) (-1 - 7a, 2

+ 2a, a)

x = -1 - 7z ou

\ y 2.18.

{i)

X

2

+ 2z

= 3, y = -1

(ii) (-a

+ 2b, 1 + 2a- 2b,

(iii) (7/2- Sb/2- 2a, a, 1/2

r X= -z + 2w l y = I+ 2z- 2w

a, b) ou {

+ b/2, b)

(l x

=

7/2 - Sw/2 - 2y

=

1/2

ou {

z

+ w/2

2.19.

(i)

(2, 1' -1);

2.20.

(a)

(i) k ~I e k ~ -2; (i i) k = -2; (i ii) k = 1 (i) nunca tem uma única solução; (i i) k = 4;

2.21.

(a)

(b)

=

~

(ii) sem solução

(b) 2.22.

(i)

2a - b

2.23.

(i) sim;

(ii) não;

2.24.

(i) sim;

(ii) sim, pelo teorema 2.3.

2.25.

(i) dependente;

~

(iii)

k~4

(i i) sempre tem uma solução; (iii)- k=3 2 e k ~ -5; (ii) k = -5; (iii) k = 2

(i) k (i) k

3;

+c

=

O.

(ii) Quaisque• valôres pàra a, b, c produzem uma solução (iii) sim, pelo teorema 2.3.

(ii) independente:

(iii) dependente_

Capítulo 3 Matrizes INTRODUÇÃO Trabalhando com um sistema de equações lineares, sõmente os coeficientes e suas respectivas posições são importantes. Também, reduzindo o sistema à forma escalonada, é essencial manter as equações cuidadosamente alinhadas. Assim, êsses coeficientes· pcidem ser dicientemente arrumados numa disposição retangular chamada "matriz". Além do mais, certos objetos abstratos introduzidos em capítulos posteriores, tais como "mudança de bases", "operador linear" e "forma bilinear", podem também ser representados por essas disposições retangulares, isto é, matrizes. Neste capítulo, estudaremos essas matrizes e certas operações algébricas nelas definidas. O material introduzido aqui é principalmente com~ putacional. Entretanto, com equações lineares o tratamento abstrato apresentado mais tarde nos dará nova perspectiva da estrutura dessas matrizes. A menos que seja declarado, todos os "elementos" em nossas matrizes virão de algum corpo K, arbitrário mas fixo. (Veja apêndice R.) ~sses elementos de K são chamados escalares. Nada essencial é perdido se o leitor supõe que K é o corp'o real R ou o corpo éOiiiplexo C. Por últim~. chamamos a aten'ção qui" Os elementos de Rn ou cn são convenientemente representados por "vetores linha" ou "vetores coluna", que são casos especiais de-matrizes.

MATRIZES Seja K um corpo arbitrário.

Uma disposição retangular da forma

onde os a 11 são escalares em K, é chamada matriz sôbre K, ou simplesmente matriz •. se K é implícito. A matriz acima é também notada. por (a;1 ), i= 1, ... , m, j = 1, ... , n, ou simplesmente por (a 11 ). As m n-uplas horizontais

40

MATRIZES

CAP. 3]

a~

são as linhas da matr;z, e

au) (.. a21

41

n m-uplas verticais

(a12) .. al2

'

aml

(a1,.) .. a2,.

'

'

am2

am ..

são suas colunas. Note que o elemento a 11 , chamado elémento-ij ou componente-ij, aparece na i-ésima linha ej-ésima coluna. A matriz com m linhas e n colunas é chamada uma matriz m por n; o par de números (m, n) é chamado seu tamanho ou forma. Exemplo 3.1. A seguinte matriz é uma 2 X 3

(ol -35 -24)

Sua' linhas são (1, -3, 4) e (O, 5, -2); suas colunas são ( 1 )

o

I

,

(- 3 ) , 5,

e.

4 ) \ 2I

(_

As matrizes serão usualmente anotadas por letras maiúsculas A, B, . .. , e os elementos do corpo K por letras minúsculas a, b,.. . Duas matrizes A e B são iguais, escrito A ~ B, se elas têm a mesma forma e se os elementos correspondentes são iguais. Assim, a igual'dade de duas matrizes m X n é equivalente a um sistema de mn igualdades, uma para cada par de elementos. Exemplo 3.2. A assertiva

(xx+- yY 2zz -+ww)·

3 5 é equivalente 4

a0

seguinte

sistenia de equações x+y=3 X

-

y

+w

=

1

~

5 z- w = 4

2z

A solução do sistema é x = 2, y = I, z = 3, w = -L

Observação. Uma matriz com uma linha é também anotada como um vetor linha, e com uma coluna como um vetor coluna. Em particular, um elemento no corpo K pode ser considerado como uma matriz 1 X 1.

ADIÇÃp DE MATRIZES E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Sejam A e B duas matrizes com o mesmo tamanho,. 'isto é, o mesmo número de linhas e colunas, digamos, matrizes m X n

A

MATRIZES

42

+ B, é a matriz obtida adicionando os têrmos

A soma de A e B, escrita A correspondentes au

A+B (

+ bu

a1~

+ b12

~~~. ~ .b~~ . -~2~ -~- ~~2 aml

[CAP. 3

+ b,.l

am2

+ b1n

a1n •••· _· _· ••

+ bm2

)

~~~ ~ .b.2~. amn

+ bmn

O produto de um escalar k pela matriz A, escrito k .A ou simplesmente k A, é a matriz obtida multiplicando cada eleme~to de A por k

Observe queA

kA = ( ::::

::::

. :::: )

kaml

kam2

: .

ka,.n

+ B e kA são também matrizes m X n. -A = -1 . A

Também definimos

A -B =A+ (-B)

e

I\ soma d mutrizes com tamanho5 dift>rente5 não é defiüida, Exemplo 3.3. Sejam A =

(! -; _!)

e B-

o

(_~

Então,

A

+

3A

B ~

(1 + 3 -2 +O 4 - 7

3 . 1 ( 3. 4

5

3 . (-2) 3. s

+1

3 + 2)

-6

+8

=

(

4 -2 5)

-3

6

2

~ -1~)

. 3. 3 ) J . (-6)

2A- 3B

Exemplo 3.4. A matriz m X n cujos elementos são todos zero

é chamada matriz nula e será anotada O. É semelhante ao escalar O no que tange a que, para qualquer matriz m X n A

~

(aij), A +O = (a;; +O)

=

(a;;)

= A.

Propriedades básicas das matrizes sob operações de adição e multiplicação por escalar seguem.

MATRIZES

CAP. 3]

43

Teorema 3.1. Seja V o conjunto de tôdas as matrizes m X n sôbre um corpo K. Então, para quaisquer matrizes A, B, C E V e quaisquer escalares k~o k 2 , E K

+

+ C = A + (B + C)

(ii)

tA B) A +O=

(iii)

A +(-A) = O

(i)

(iv) A

+B

(v)

A

= B

(vi)

+ B)

kt(A (kt

= ktA

+ k2)A =

ktA

+ k 1B. +kA 2

(vii) (k1k2)A = k 1 (k2A)

+A

= A e OA = O

(viii) 1 ·A

Usando (vi) e (viii) acima, também temos que A A+ A+ A= 3A, ... .

+A

= 2A,

Observação. Suponha que os vetores no Rn são representados P.Or vetores linha (ou por vetores coluna); digamos, u

=

(ali a2, ... ' an)

e

v = (bl, b2, ... ' bn)

Então, ~lhados como matrizes, a soma u +v e o produto por escalar .ku · são, como segue,

+

+

+

u v = (al b1, a2 b2, ... ' an ku = (ka~o ka 2 , . • • , kan)

+ bn)

e

Mas isso corresponde precisamente à soma e produto por escalar, como definimos no capítulo 1. Em outras palavras, as operações 'com matrizes acima podem ser consideradas uma generalização das operações correspondentes, definidas no capítulo 1.

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES O produto de matrizes A e 13, escrito AB, é algo mais complicado. Por essa razão, incluímos as seguintes observações introdutórias.

(i) Sejam A = (ai) e B = (b 1) pertencentes á Rn, A representado por um vetor linha e B por um vetor coluna. Então, seu produto interno A . B pode ser encontrado combinando as matrizes como segue

. ,.;

De acôrdo com.-isso, defínimos a matriz produto de um vetor linha A por um vetor coluna B como acima. (ii)

Considere as equações bux1 b21x 1

+ b1~2 + b13Xa = + b22X2 + b23Xa =

Y1

Y2

(1)

MATRIZES

44

[CAP. 3

Êsse sistema é equivalente à equação matricial bu (

ou simplesmente BX = Y,

b~l

. ·onde B = (b 11 ), X (x;) e Y = (y 1), se combinamos a matriz E e o vetor coluna X como segue

onde ~E 1 e Ez são as linhas de. E. Note que o produto de uma matriz por: um vetor coluna produz outro vetor cojuna.

-

.

(iii) Agora, considere as equações

+ a12Y2 = a21Y1 + a22Y2 = a11Y1

z1

(2)

Zz

que podemos representar, como acima, pela equação matricial (:::

:::)

(~:)

(::)ou simplesmente A Y

onde A = (a 1) , Y = (y;) como acima, e Z = (z;). de y 1 e Y2 de (1) nas equações de (2), obtemos au(bux2 a21(buX1

=

Z,

Substituindo os valôres

+ bnxz + b1aXa) + a12(bnx1 + bnX'i + b23x3) + b12X2 + bl3xa) + a22(bnX1 + b2zX2 + b2aXa)

= Z1 = Z2

ou, reagiu pandq. os têrmos,

+ a12b21)x1 + (anb!2 + a 12 b22)xz + (aubl3 + al2bza)Xa = (a21f?n + a22b21)x1 + (anbl2 + a22b22)x2 + (anbl3 + a22b2a)xa = (aub 11

Z1

(3)

Z2

Por ~utro lado, usando a equação matricial BX = Y e substituindo Y em A Y = Z, obtemos a expressão A.BX = Z

Isso representará o sistema (3) se definimos o produto de A e B como segue AE

(ilu · an

=

'

~

a12) (bu b12 b 1a) b21 b22 b2a aubu a 12b 21 a 11b 12 a 12b 22 a21bu a22bn anb12 a22b22 1 2 A1. B A1. B A 1 . E 3) A 2 • E 1 A 2 • E 2 A 2 . E 3, a22

+ +

+ +

onde A 1 e A 2 são as linhas de A e B 1 , B 2 e E 3 são as colunas de E. Acentuamos que se ·êsses cálculos 'são feitos em geral, então o principal requié que o númerç> de y, em (1) e (2) deva ser o mesmo. Isso, então,

sito

MATRIZES

CAP. 3]

45

corresponderá ao fato de que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Com a introdução acima, agora definimos formalmente multiplicação de matrizes.

Definição. Suponha que .l = (p.tJ) e B = (bu) são matrizes tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; digamos, A é uma matriz m X p e B é uma matriz p X n. Então, o produto A B é a matriz m X n cujo elemento ij é obtido multiplicando a i-ésima linha Aí de A pela j-ésima coluna B 1 de B A1

AB

=

(

.

B1

A1

.

B

-:l·z· .. ~~... -.·l·z· .. ~ A,. . B 1

2

A1

2

•

Bn )

~ ~ -~~

.•• ::: ....

.1, . B 2

..

A, . Bn

•

Isto é,

onde C;; =

anb 11

+ a; b + ... + a vbvj 2 21

1

p

=

L

a,-,b kJ·

k~l

·Acentuamos que o produto AB não é definido se A é uma matriz m X p e B é uma matriz q X n, onde P ~ q. a 3) b3

Exemplo 3.5.

(

ra1

ta1

+ ,,b1 + uh

ra 2

laz

+ sbz + ubz

raa + sba

)

la3 + ub3

1 . 1 + 2 . o l. 1 + 2 . 2) = ( 1 5) ( 3.1+4.0 3.1+4.2 311

Exemplo 3.6.

.

=

1 1 1 ( O 2) ( 3

2 4)

"'

( 1 . 1

+1 .3

1 .2

O. I

. 3

O. 2

+2

+ 1 . 4'

+2

.

4)

(4 =

6

6) 8

O exemplo acima mostra que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, os produtos de matrizes AB e BA não são necessàriamente · iguais. A multiplicação de matrizes, entretanto, satisfaz as seguintes propriedades~

Teorema 3.2. (i) (AB)C = A(BC), (lei associativa) (ii) A (B C) = A B A C, (lei distributiva à esquerda) (iii) (B C)A = BA CA, (lei distributiva à direita) (iv) k(AB) = (kA)B ~ A(kB), onde k é um escalar ·

+ +

+ +

MATRIZES

46

LCAP. 3

Supomos que as wmas e os produtos no teorema anterior são definidos; Observamos que OA = O e BO = O, ond~O é a matriz nula.

TRANSPOSTA A transposta de uma matriz A, escrita A 1, é a matriz obtida escrevendo as linhas de A, ordenadamente, como colunas

c

an

("" a.,

. . . "'")'

~~~ •• ~~~ •• ·• ·• ·•••~2~ aml

am2

· · ·

Umn

=

a12

a22

"··)

aln

a2n

amn

am2

Observe que, se A é uma matriz mx n, então A' é uma matriz n X m. Exemplo 3.7.

A operação transposição de matrizes satisfaz as seguintes propriedades.

Teorema 3.3.

+

(i) (A B)' = A'+ B' (ii) (A')' = A (iií) (kA)' = kA', para h um escalar

(iv) (ABY

=

B'A'

MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

o

seguinte sistema de equações lineares auX1 a21x1

+ aux2 + .... + a 1 = bi + a22X2 + ... + a2nXn + b2

(: ; :~~ :J (: )

nxn

(1)

é equivalente à equação matricial

(:J

au

ffimpl~enteAX ~

B,

(2)

onde A = (aiJ), X = (x1) e B = (b1). Isto é, cada solução do sistema (1) é uma· solução da equação matricial (2) e vice-versa. Observe que o sistema homogêneo associado a (1) é então equivalente à equação matricial AX =O.

47

MATRIZES

CAP. 3]

A matriz A é chamada a matriz dos coeficientes do sistema (1), e a matriz

é chamada matriz aumentada de (1). Observe que o sistema (1) é completan'iente determinado por sua matriz aumentadâ. Exemplo 3.8. A matriz dos coeficientes e a matriz aumentada do sistema 2x

+ 3y- 4z

= 7

x - 2y- Sz = 3 são as seguintes matrizes, respectivamente,

(21 -23 -4) -5

e

(21

3 -4

2 -5

Observe que o sistema é equivalente à equação matricial

2 3 ~4.) ( 1 -2 -5

G)

G)

=

Ao estudar equações lineares é, em geral, mais simples usar a linguagem e teoria de matrizes, como indicado pelos seguintes _teoremas.

Teorema 3.4. Suponha que u 11 u 2 , .. _, un são soluções de um sistema homogê~eo de equações lineares AX = O. Então, cada combinação linear dos ut da forma k 1u 1 + k 2u 2 + ... + knun, onde os k 1 são escalares, é também uma solução AX = O. Assim, em particular, cada múltiplo ku de qualquer solução u de AX = O é também solução de AX = O. Demonstração.

Temos que Au 1 = O, Au 2 = O, _.. Au,. = O.

Portanto,

+ + knA·ttn + . , . + k,.O ~ O

+

k 1 Au. 1 h~Aü,~ k20 k 10

+

_De acôrdo com 1sso, k1u 1 + AX =O.

+ knun

é solução do sistema homogêneo

Teorema 3.5. Suponha que o corpo K é infinito (por exemplo, se K é o corpo r>'ll R ou o corpo complexo C). Então, o sistema AX = B não tem solução ou, se tiver, tem solução única ou uma infinidade de soíuções. Demonstração. É suficiente mostrar que se AX = B tem mais do que uma solução, então tem uma infinidade. Suponha que u e v são soluções distintas de AX = B; isto é, Au = B e Av= B. Então, para qualquer

k E K, A(u

+ k(u-v))

=

Au

+ k(Au-Av)

=

B

+ k(B -E)=

B

48

MATRIZES

[CAP. 3

+

Em outras palavras, para cada k E K, u k.(u.- v) é solução de AX = B. Como tôdas essas soluções são distintas (problema 3.31), AX = B tem uma infinidade de soluções como foi assegurado.

MATRIZES ESCALONADAS Uma matriz A = (aii) é uma matriz escalonada, ou diz-se que está na forma escalonada, se o número de zeros precedendo o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta linha por linha até que sobrem somente linhas nulas, isto é, se existem elementos não-nulos

com a propriedade a 11

= O para

i :::;; r,

j

< j 1 , e para i >

r

Chamamos a 1h, ... , a,17 os elementos distinguidos da matriz· escalonada A. Exemplo 3.9. As seguintes são matrizes escalonadas onde os elementos distinguidos foram circundados 4 -3 2

(

l)

Em particular, uma matriz escalonada é chamada matriz escalonada redÚzida por linhas se os elementos distinguidos ·são· (i)

os únicos elementos não-nulos nas suas respectivas colunas.

(ii) iguais a 1. A tercei.ra matriz apresentada é um exemplo de matriz escalonada. reduzida por linhas, as outras duas não são. Note que a matriz zero, O, para qualquer número de linhas ou. de colunas, é também uma matriz escalonada reduzida por linhas. EQUIVAL~NCIA POR LINHAS E OPERAÇÕES ELEMENTARES COM

LINHAS Diz-se que uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz B se B pode ser obtida de A por uma seqüência finita das seguintes operações chamadas operações elementares com linhas; [E 1] [E 2]

:

:

Troca das i-ésima e j-ésima linhas entre si: R 1 <-> RJ Multiplicação da i-ésima linha por um escalar k não--nulo R;

-7

kRI, k

~

o

[,ea] : Substituição da i-ésima 1linha por k vêzes a j-ésima linha mais a icésima linha R 1 .--+ kRJ R1

+

MATRIZES

CAP. 3]

49

Na prática aplicamos [E2J e depois [E 3 ] ao mesmo tempo, isto é, a operação [E] : Substituição da i-ésima linha por k' vêzes a j-ésima linha mais k (não-nulo) vêzes a i-ésima linha R 1 --+ k'~ + kR 11 k ~O. O leitor, sem dúvida, reconhece a semelhança das operações acima e aquelas usadas para resolver os problemas de equações lineares. Na verdade, dois sistemas com matrizes aumentadas equivalentes por linhas têm o mesmo conjunto solução (problema 3. 71). O seguinte algoritmo é também semelhante ao usado com equações lineares (página 23).

Algoritmo que. ' .

reduz por linhas uma matriz à forma escalonada.

Passo 1. Suponha que a coluna j 1 é a primeira coluna com um el~mento não-nulo. Troque as linhas entre si de tal modo que êsse elemento nãonulo apareça na primeira linha, isto é, tal que a 1h ~ O. Passo 2. Pa.ra cada i

>

1, aplique a operação

Repita os passos 1 e 2 com a submatriz formada por t8das as linhas,excluindo a primeira. Continue o processo até que a matriz esteja na forma escalonada. Observação. O têrmo reduzir Por linhas significará transformar por operaçqes elementares com linhas. Exemplo 3.10. A seguinte matriz A é reduzida por linhas à forma escalonada aplicando as operações R2 ---+ -2RI + R 2 e R 3 ---> -JR1 R 3 , e depois a operação R3 -+ --+ -SRt + 4Ra

+

2 -3 4

2 -3 4 5

o o

-2

6 -4

Agora, supon.ha que A elementos distinguidos a 1h,

2 -3 4

o

o

o

(a 11 ) é uma matriz na forma escalonada com.

. , a,i,·

Aplique as operações

para i = 2, depois i = 3, .· .. , i = r. Assim, A é substituída por uma matriz escalonada cujos elementos distinguidos são os únicos elementos não-nulos nas suas respecti~as colunas. A seguir, multiplique R 1 por a~:. i ~ r. Assim, além do ~~is,os elementos distinguidos são iguais a L Em outras palavras, o processo acima reduz por linhas uma matriz escalonada a uma na ·forma esc~Ionada reduzida por linhas.

50

MATRIZES

[CAP. 3

Exemplo 3.11. Na seguinte matriz escalonada A, aplique a operação Rt---+ -4R 2 R 2 ---+ -5R 3 + 2R2

+ 3Rt e depois as operações Rt ---+ Ra + Rt e 3 .I- (:

o o

-t 3

5

o

o

2

6) ~

para

('

~

9

o

7

o o

3

2

o

o

A seguir, multiplique R1 por 1/6, Rz por 1/6 e

-~) :>

2

para

(:

9

o o

o

7

6

-l

o o

+

~ )· 2

R a por 1/2 para obter a matriz escalo-

nada reduzida por linhas

(:

o 7/6 o I 2/3 o o o

3/2

;)

As observações anteriores mostram que qualquer matriz arbitrária A é equivalente por linhas a ao menos uma matriz escalonada reduzida por linhas. No próximo capítulo provaremos, teorema 4.8, que A é equivalente, por linhas, a somente uma matriz dêsse tipo; chamamo-la a forma can6nica por linhas de A.

MATRIZES QUADRADAS Uma matriz com o mesmo número de linhas que de colunas é chamada matriz quadrada. Diz-se que nma matriz quadrada com n linhas e n colunas é de ordem n, e é chamada matriz quadrada n X n. A diagonal (ou diagonal principal) da matriz quadrada, n X n, A = (a;1) consiste nos elementos ·a 11 , a22• ... , ann· Exemplo 3.12. À seguinte matriz quadrada é 3 X 3 Seus elementos diagonais são 1, 5, 9.

Uma matriz triangular superior ou simplesmente uma matriz triangular é uma matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos

( ~ll ~:: .

o

o

.. ·. ·. ·. . .

::~)

ou

( au

. . . ann

Semelhantemente, uma matriz triangular inferior é uma matriz quAdrada cujos elementos acima da diagonal principal são todos nulos. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos não diagonais são todos nulos

J

MATRIZES

CAP. 3]

51

Em particular, a matriz quadrada n X n com l's na diagonal e O's no restante anotada I,., ou simplesmente I, é chamada matriz unidade ou matriz identidq_d,e; por exemplo,

o 1

o Essa matriz I é semelhante ao escalar 1 no que tange a que, para qualquer matriz quadrada, n X n, A,

AI= IA =A A matriz ki, para um escalar k E K; e chamada matriz escalar; é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são iguais a k.

ÁLGEBRA DAS MATRIZES QUADRADAS Lembre que não são duas quaisquer matrizes que podem ser somadas ou multiplicadas. Entretanto, se considerarmos sómente matrizes quadrada~ de certa ordem n dada, então êsse inconveniente desaparece. Especificamente as operações de adição, multiplicação, multiplicação por escalar e transposição podem ser efetuadas em quaisquer matrizes n X n e o resultado é ainda uma matriz n X n. · Em particular, se A é qualquer matriz quadrada ~ X n, podemos formar potências de A

A 2 =AA, A 3 =A 2 A·, ... , e A 0 =1 Podemos também formar polinômios na matriz A: para qualquer polinômio f(x) = ao + a1x + a 2x 2 + a,.xn,

+ ...

onde os a; são escalares, definimosf(A) como sendo a matriz

No caso em que f(A) é a matriz nula, então A é chamada um zero ou raiz do poliní3mio .f(x).

,.

Exemplo 3.13. Seja A

=

A2= Se j(x)

=

2x 2 /(A)

-

(

c

2

3 -4 )

3x

+ 5,

então,

= 2

(_~

-6) 22

1 2 ) · então 3 -4 ' '

-3

c~)

(_~ ;~).

G_!) + Gn 5

(

16 -18) -27 61

MATRIZES

52 Se g(x) = x 2

+ 3x- 10,

fCAP. 3

então,

Assim, A é um zero do polinômio g(x).

MATRIZES INVERSÍVEIS Diz-se que uma matriz quadrada A é inversível se existe uma matriz B com a propriedade

AB = BA =I, Tal matriz B é única; porque

onde I é a matriz identidade.

AB 1 = B 1A = I e AB 2 = B 2A = I implica B 1 = B 1 I =

= B 1(AB 2)

=

(B 1A)B2 = IB2 = B 2

Chamamos tal matriz B a inversa de A e anotamos A-1• Observe que a relação acima é simétrica; isto é, se B é a inversa de A, então A é a inversa de B. Exemplo 3.14.

( 21

35)

(_: -n

(_: -n (~ n Assim, (:

~)

e

( _:

-~)

6- 5 -10 ( 3-3 -5

6 - 5 ( -2 + 2

+ 10) +6

15 - 15) -5 6

+

(1

=

o

01, )

= ( 1 ,: 01 )

o

são inversíveis e são inversas uma da outra.

Mostramos (problema 3.37) que, para matrizes quadradas, AB = I se, e sàmente se, BA = I; portanto, é necessário testar somente um produto para determinar se duas matrizes dadas são inversas, como no seguinte exemplo. Exemplo 3.15.

(

1 o 2) 2 -1 3 4 1 8

(11

2 2 )' -4 O 1 6 -1 -1

+ + 12 2 + o - 2 2 + o - 2 ) + 18 4 +O- 3 4 - I - 3 + 48 8 +o- 8 8 + 1 - 8

( -11 o -22 + 4 -44 - 4

=

Assim, as duas matrizes são inversíveis

e são

inversas .uma da outra.

Calculamos, agora, a inversa de uma matriz genérica, 2 X 2,

A=(; !} Procuramos escalares x, y, z, .w tais que (

a

c

b) (X_·z y) = (1 ~) d

w

O

+

ax bz ou ( ex+ dz

ay

+ bw)

cy +dw

'= ( 1

O

MATRIZES

CAP. 3j

53

o que se reduz a resolver os dois sistemas seguintes d(> equações lineares em duas incógnitas

+

f ay + bw =O l cy + dw = 1

ax bz = 1 { cx+dz=O

Se fazemos IA I = ad- bc, então, pelo problema 2.27, página 38, os seguintes sis'temas têm soluções se, e somente se, IA I ;é O; tais soluções são únicase são as seguintes

d ad- bc

X=

d

---

IAI

De acôrdo com

ISSO,

'

y

-b -b -c ---- -- z ---ad- bc ad- bc IAI'

w

a ad- bc

A-i

a

IAI

(_;::~:

-b/IA I) a/IA i reconhece ! A !

=

-c

--IAI

-:)

(_~

1

i .ci i

Observação. Sem dúvida, o leitor = ad- bc como o determinante da matriz A; assim, vemos que uma matriz 2 X 2 tem uma inversa se, e somente se, seu determinante não é nulo. Essa relação, que em geral é verdadeira, será investigada mais ·a fundo no capítulo 9, em determinantes.

MATRIZES DE BLOCOS Usando um sistema de linhas horizontais e verticais, podemos partir uma matriz A em matrizes menores chamadas blocos (ou células) de A. A matriz A é então. chamada uma matriz de blocos. É claro quo;: uma matriz dada pode ser dividida em blocos de diferentes maneiras; por exemplo,

(

1

~2

2

3

3

1

1:._z

o

1 3)

4

5,1)

1

~- ~ -~)

(_ 2_

~- 5_}_ ~2-

4

\3

1

5

______ L_

9

A conveniência da partição em blocos é que o resultado de operações com matrizes de blocos pode ser obtido efetuando o cálculo com os blocos. como se ~les fôssem simplesmente elementos verdadeiros das matrizes. Isso é ilustrado abaixo. Suponha que A é partida em blocos; digamos,

A

(

~_:: ~-:~ ..

Amt

Am2

.. : : : .. •••

~.:~

.)

Amn

54

MATRIZES

[CAP. 3

Multiplicando cada bloco por um .escalar. k, multiplica-se cada elemento de A por k; assim,

Agora suponha que uma matriz B é partida no mesmo número de blocos que A; digamos,

Além disso, suponha que os blocos correspondentes de A e B têm o mesmo tamanho. Adicionar êsses blocos corresponder.tes,. adiciona os elementos correspondentes de A e B. De acôrdo com isso,

O caso de multiplicação de matrizes é menos óbvio, mas ainda ver-· dadeirq. Isto é, suponha que as matrizes U e V são partidas em blocos, como segue,

tais que o número de colunas de cada bloco Un é igual ao número de linhas de cada bloco V.tt· ·Então, .

onde A demonstração da fórmula acima para UV é direta, mais detalhada e extensa. É deixada como problema suplementar (problema 3.68).

CAP.. 3]

MATRIZES

55

Problemas Resolvidos ADIÇÃO DE MATRIZES E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 3.1.

Calcule (i)

1 2 -3 4) ( o -5 1 -1'

(i i)

(o1-42-3)1

(i)

(32 -5o -26-1) -3

+

+

3 5 ( 1 -2.)

-3 ( 1 2 -3) 4 -5 6

(iii)

Some os elementos correspondentes

(o1 -52 -;-13 -14) 1

+

+3

(32 -5o -26 -3-1) = 2 - 5

= ( o + 2 -5

-3

+o .1

+6

4 - 1) -,1 -3

- 2

=

4 -3 ( 2 -5

3

-1

-43)

(ii) A soma não é definida, pois as matrizes têm formas diferentes. (iii) Multiplique cada elemento da matriz pelo escalar -3 1 2 - 3 ( 4 --5

3.2.

Sejam

A=

Encontre 3A

(23 -5o -4;1)

9) -3 -6 ( -12 15 -18

-36) =

t

+ 4B- 2C.

Primeiro, efetue a multiplicação por escalar e, depois, a adição de matrizes :>A

3.3.

+ 4 B- 2 C =

6 -15 3) 4-8 -12)+ o -2 4)(9 O -12 + O -4 20 -2 2 2 -

10-25- 5) 7- 2

10

Encontre x, y, z e w se 3

(xz

6)+( z +4w x+y) 3

(x-1

y)~

w

2w

Primeiro, escreva cada lado como uma só matriz 3x ( 3z

Jy )

3w

=

(

X

z

+4

+w-

X

1

+y +6) 2w + 3

Faça os elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema de quatro equações .Ir

3x = x

+4

+

3y =X+ y 6 3z = z + w - 1 ou J1v = 2w

+3

2x 2y

= 4 = 6 +X

2z = w - 1 w = 3

A solução é x = 2, y = 4. z = 1, w = 3.

3.4.

Demonstre o teorema 3.1 (v). Sejam A e B matrizes m X n e k um escalar. Então, k(A B) = kA kB.

+

+

56

MATRIZES

[CAP. 3

+

Suponha A = (a;j) e B = (b;;). Então, a;i b;i é o elemento ij de A +B; logo, k(a;; b;;) é o elemento ij de k(A + B). Por outro lado, ka;; e kbi; são os elementos ij de kA e kB respectivamente; logo, ka;; kb;; é o elemento. ~i de · kA kB. Mas k, a;; e b;j são eEcalares num corpo; portanto,

+

+

+

+ b;;) = ka;i + kb;j, para todo i,j kA + kB, pois os elementos corresponder.tes

k(a;j Assim, k(A

+ B)

=

são iguais.

Observação. Veja a seme-lhança dessa demonstração e a do teorema 1.1 (v) no problema 1.6, página 8. De fato, tôdas as outras seções no teorema acima ' são demonstradas da mesma maneira que as seções ç:orrespondentes do teorema 1.1.

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

3.5.

Anote por (r X s) uma matriz com forma r X s.· dos seguintes produtos, se o produto é definido

Encontre a forma

(2 X 3)(3 X 4)

(iii) (1 X 2)(3 X 1)

(v) (3 X 4)(3 X 4)

(ii) (4 X 1)(1 X 2)

(iv) (5 X 2)(2 X 3)

(vi) (2 X 2)(2 X 4)

(i)

so-

Ll'mbre que uma matriz m X p e uma matriz q X n são multiplicáveis mente quando p = q, e então o produto é uma matriz m X n. Assim, cada um dos produtos acima é definido se os números "internos"' são iguais e então oJ>roduto terá a forma dos números "externos" na ordem dada (i)

O produto é uma matriz 2 X 4.

(i i) O ,produto é u1na matriz 4 X 2. (i i i)

o

produto não é definido, pois os números internos 2 e 3 não são iguais.

(iv) O produto é uma matriz 5 X 3. (v) O produto não é definido apesar. de as matrizes terem a mesmíi forma. (vi) O produto é uma matriz 2 X 4.

I~~

Sejam A Encontre

G-D

(i) AB,

e

B

(ií) BA.

(i) ·Como A é 2 X2 e B é 2 X.l, o produto AB é definido e é uma matriz 2 XJ. Para obter os elementos da primeira linha de AB, multiplique à primeira linha

(_~) e 2 +3 . 3

c.

(1,3) de A pelas colunas (;)

,

(""!) l .

de B, respectivamente

o+ 3

(2 + 9 o- 6 -4 + 1~)

. (-2) 1 . (--4)

=

+3

.

6)

(u -6 t4)

Para obter os . eleml':ntos da segunda Jínha de AB, multiplique a linha (?, -1) de A pelas colunas de B, respeetiv{\mente . '

s~unda

11 -6 14 ) ( 2.2 + (-1).3 2.0 +H).(-2) 2.(-4)+(-1).6

Assim,

AB

=

11 ( 1

-6 2

14) -14

MATRIZES

CAP. 3]

57

(ii) Note que É é 2 X 3 e A é 2 X 2. Como os números internos 3 e 2 não são iguais, o produto BA não é definido. •

?_.

~~

1 -2. 0\ ( 4 5 -3)

Oados A = {2, 1) e B (i)

encontre (i) AB, (ii) BA.

Como A é 1 X 2 e B é 2 x· 3, o produto AB é definido e é uma matriz 1 X J, isto é, um vetor linha com três componentes. Para obter as com-. ponentes de AB, multiplique a linha de .A por cada coluna de B

AB

=-

(I 111)

(2 .1

=

+ 14,

2 .(-2) + 1.5, 2 .O+ i .(-3))

= .(6, 1, -3)

(ii) Note que B é 2 X 3 e A é 1 X 2. Como os números internos 3 e 1 não são iguais, o produto BA não é definido

3.8.

Dadod (ij

~ ~n), - (13 -24 B-

~).encontre

(i)AB, (ii)BA.

uma

Como A é 3 X 2 e B é 2 X 3, o produto AB é definido e é matriz 3 X 3 .. Para obter a primeira linha de AB, multiplique a primeira linha de A põT eada coluna de B, respectivamente

(:f~)

(111) (2-3 -4-4 -10+0) =

=(~t

-8 -10)

Para obter a segunda linha de AB, multiplique a segunda linha de A p,or cada coluna de B,· respectivamente

2

(

-1~

1!-

-3

4

. ~_SI (Iii!'íi R~ td)

-1

-10 ) =

1

-8 1 + o -2 + o -5 + o

( =

(

-8

1 :...2

-10) -5

Para obter a terceira linha de AB, multiplique a terceira linha de -A por cada coluna de B, respectivamente

~ -~\ (1"1: ~li\ (~ J'ji) Assi.m,

= (

=~

-!

-~~

) ( -1 -8 -10) =

1 ~2 9 22

-3 + 12 6 + 12 15 +o

AB

(-!

=

9

-5

t5

=~ -~~) 22

15

(ii) Como B é 2 X 3 e A é 3 X 2, o produto BA é definido e é uma matriz 2 X 2. Para obter a primeira linha de BA, multiplique a primeira linha de B por cada coluna de A, respectivamente

Para obter a segunda linlla de BA,. multiplique a segvnda linha de B por tada coluna de A, respectivamente

I) (. =

15 6 + 4 +O

-21 ) -3 +O +O

. ( 15 lO

=

~21) '-3

MATRIZES

58

BA

Assim,

(

[CAP. 3

15

-21)

10

-3

Observação. Veja que, nesse caso, AB e BA são definidos, iguais; na verdade, nem mesmo têm a mesma forma .

3.9.

o)

2 -1 ( 1 o -3

Sejam A

e

mas não são

(~=~ ~-!) 4 o -2 o

. B=

(i) Determine a forma de AB. (ii) Anote por C;; o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto matricial AB, isto é, AB = (c;i). Encontre

C2a.

c14 e

C21·

Como A é 2 X 3 e B é 3 X 4, o produto AB é uma matriz 2 X 4.

(i)

(ii) Agora, Cij é definido como o produto da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de B. Portanto, C23

Ci1

= (!, O, -3) (203) \_

=

~ (2,-1,0) (-~)

.. 2

Cll =

(1, 0, -3)

o + o . 3 + (-3)

1 .

. (-2)

1 + (-1). (-1) +O.

(4

12)

. 1

+ 0. 2 + (-3). 4

+o +

o

=

6 ~ 6

o= 2 + ~

1

1 +O= 3

+ 0- 12

=

-11

3.10. Calcule (i)

(_~ ~)

(i i)

(_; ~) (-~)

(i)

(; -~)

(iii) ( 1 ) ( 1 -6 ' -3 (iv)

(

!)

6) 5 .

(v) (2, -1) (

-!)

(3, 2)

O primeiro fator é 2 X 2 e o segundo é 2 X 2; logo, o produto é definido e é uma matriz 2 X 2

ç~ ~}G -~) = C-~)\++\ 2z (-~)Oo++ S. (~~~)) =c~=~) 6

(i i)

O primeiro fator é 2 X 2 e o segundo é 2 X 1; logo, o produto é definido e é uma matriz 2 X 1

(-~ ~) (-~) c~3)\++\(~~~)) =

=

(iii) Agora, s primeiro fator é 2 X 1 e o segundo é 2 X 2. internos 1 e 2 são diferentes, o produto não é definido.

Como os números

(iv) Aqui o primeiro fator é 2 X 1 e o segundo é 1 X 2; logo, o produto é definido e é uma matriz 2 X 2

(1) 6

(J, Z) =

(1.3 1.2) (3 2) 6 . 3

6 . 2 . =

18

12

MATRIZES

CAP. 3]

59

(v) O primeiro fator é 1 X 2 e o segundo é 2 X 1; logo, o produto é definido e é uma matriz 1 X I, que freqüentemente escrevemos ClUIIO um escalar· (2, -1)

-ó

=

(2 . 1

+ (-1)

=

. (-6))

(8)

=

8

3.11. Demonstre o teorema 3.2 (i), (AB)C = A(BC). Sejam A = (a;;), B = (b;k) e C e BC = T = (1; 1 ). Então,

=

(ckl). Além disso, sejam AB = S

+ a;mbmk ljl =

b;JCJI

=

=

(BiT,)

m ~ a;;b;k

j=!

n ~ b;kCkl

+ bjzC2l + ... + bjnCnl =

k=l

Agora, multiplicando S por C, isto é, (AB) por C, o elemento na i-ésima linha e 1-ésima coluna da matriz (AB)C é n

n

+ SinCnl

m

~ SikCkl ~

=

k=l

~ (a;;b;k)ckl

k=! j = !

Por outro lado, multiplicando A por T, isto é, A por BC, o elemento na i-ésima linha e 1-ésima coluna da matriz A (BC) é ai!lll + a;2IZ1 + ... + aimlml

=

m ~ a;JI1 1 J=l

m

= ~

n ~ a;J(bj/iCkl)

J=l k=l

Como as somas acima são iguais, o teorema está demonstrado.

3.12. Demonstre o teorema 3.2 (ii),

A (B

+ C)

+ AC.

= AB

Sejam A = (a;;), B = (b;k) e C = (Cjk). Além disso, sejam D (d;k), E = AB ;__ (e;k) e F = A C = (j;k)- Então, djk =

bJk

+ C.==

== B

+ Cjk

+ aimbmk

=

~ a;jbjk j=l

+ a;mCmk

m

=

~ a;;c;k j=!

Portanto, o elemento na i-ésima linha e k-ésima coluna de AB e;k

+ f;k

m =

~ a;;b;k j=l

+

m

m

~ a;;c;k = j=l

~ a;;(b;k j=!

+ AC

é

+ Cjk)

Por outro lado, o elemento na i-ésima linha e k-ésima coluna da matriz AD =A (B +C) é .~

aild!k

+ a;2d2k + ... + a;mdmk

m

=

~ a;;d;k j=l

=

~ a;;(bjk

+ Cjk).

j=!

Assim, A(B +C)= AB + AC, pois os elementos correspondentes são iguais.

TRANSPOSTA

o 3.13. Encontre a transposta A 1 da matiiz A

3 4

1 4

4

MATRIZES

60

[CAP. 3

Reescrev
(

3.14. Seja A uma matriz arbitrária. é definido?

O~'

.-s)43

4!4 )

Sob quais condições o produto AA'

Suponha que A é uma matriz m X n; então. A' é n X 111. Assim,·o produto AA 1 é sempre definido. Observe que A 1A é também definido. Aqui AA' é uma matriz m X m, enquanto A'A é uma matriz tt X 11.

3.15. Seja A

~)

1 2 ( 3 -1

=

Encontre (i) AA',

(ii)"A'A.

Para obter A', reescreva as linhas de A como colunas A'= (

~ -~)

.o

4

Então,

AA'

=

I

2

I \3 1 (

A'A

o ) ('2 4 o 1 + 2 1 + (-1)

-1

3 .

( o~

(<

-:)(I 4

3

4

3+2.(-l)+O 3 . 3

+ (-1)

(-1)

+4

4) i(S I) 4 ·=i 1 26

2 -l

1 + 3 . 3 1 + (-1) . 3 1+4

-1-')

3

I 2 + 3 (-I) 2.2 + (-1) . (-1)

1. o+ 3 2.0 + (-1)

o.

o

2 + 4 . (-1)

3.16. Demonstre o teorema 3.3 (iv), (AB)' Sejam A (a;j) e B = (b;k). coluna da matriz AB é

0+4

B'A'.

e ") -1

:·)

5 -4

12 -4 16

Então, o elemento na i-ésima linha e .i-ésima (1)

Assim, (1) é o elemento que aparece na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz transposta (ABt Por outro lado, a j-ésima linha de B' consiste nos elementos ria j-ésima coluna de B

(2) 1

Além disso, a i-ésima coluna de A consiste nos elementos da i-ésima linha de A

(3)

Conseqüentemente, o elemento que aparece na ;-esuna linha e i-ésima coluna 1 1 da matriz B 1A 1 é o produto de(2) por (3) que nos dá (1). Assim, (AB) 1 = B A •

.

MATRIZES

CAP. 3)

61

MATRIZES ESCALONADAS E OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LINHAS 3.17. Circunde os elementos distinguidos em cada uma das seguintes matrizes escalonadas. Quais são matrizes escalonadas reduzidas por linhas?

o

2 -3

o 5 o o

G

-~)

2 7

o

!) (~

7 -5

1

o o o o o o

o

5

1

2

o o

o o

D

Os elementos distinguidos são os primeiros elementos não-nulos nas linhas; cntã(),

(~

I) (~

2

-)

o

(~)

b2

-4

()

()

(j)

3


7

-5

()

()

o

o

~) (~

o

CD O·

5 2

o o

o CD

n

Uma matriz escalonada é reduzida por linhas se seus elementos distinguidos são iguais a I e são os úi1icos não-nulos em suas respectivas colunas. Assim, as segunda e terceira matrizes são reduzidas por linhas, mas a primeira não é.

3.18. Dado A

3-1)

1 -2 2 -1 ( 3 1

2

(i) Reduza A

2

à forma escalonada.

2 3

(ii) Reduza A à forma canônica por linhas, isto é, à forma escalonada reduzida por linhas. (i)

Aplique as operações R 2 ---> -2Rt + R2 e R3 __,-3Rt + R3, e depois a operação R 3 __, -7 R 2 + 3Rs para reduzir A à forma escalonada

A para

(~

o

-;

-~

7 -7

-!)

para

(~ -~ -! o o + 3Rt.

6

-!)

7 -10

(ii) Método I. Aplique a operação Rl __, 2R2 e depois as operações Rt --> -R 3 7R 1 e R 2 __.. 4R 3 7 R 2 à última matriz em (i) para continuar a reduzir A

+

para

+

(i

o

I

3

-4 7

o

')

-I~

n

o

para

21

o

o o

")

-12

7 -10

Finalmente, multiplique Rt por 1/21, R 2 por 1/21 e Ra por 1/7 para obter ·a forma canônica por linhas de. A ,;

o

o o

o o

15!7) .

-4/7 -10/7

.

Método 2. Na última matriz em (i), multiplique R 2 por 1/3 e R 3 por 1/7 para obter uma matriz escalonada, onde os elementos distinguidos são iguais a 1 3 -1 ) -4/3 4/3 1 -10/7

62

[CAP. 3

MATRIZES

Agora, aplique a operação Rt-> 2R 2 +Rt, e depois as operações R2--> (4/3)R 3 +R 2 e R 1 --> (-1/3)R 3 + Rt para obter a forma canônica por linhas de A.

Observação. Veja que uma vantagem do primeiro método é que não aparecem frações até o último passo.

I 3-2)

G

3.19. Determine a forma canônica por linhas de A

A para

(~ 2

1

-43

3

2

para

3.20.

:::u::e :

(~

-23) para -1

G

1

3

o

o

te~ceira(-~atT 1

para

=!)estáà

(~

3 -23) para 6 -4

-4

1 2

-D (i

o -7

1 -4 3 3 2 -1

o 1

-7/2 3

o

o

n;o:::ae:::,l::::~

-4

1

3

o

o

-~)

s!D

e, depois, à forma

2 -5

escalonada reduzida por linhas, isto é, a sua forma canônica por linhas. Os cálculos são, em geral, mais simples se o elemento "pivotal" é I. Portanto, primeiro troque as primeira e terceira linhas entre si, A para

~~ 1 ~)

para 2

o

para

-5 ) -~6/9

Note que a terceira matriz já está 3.21.

G-~ -if) (g ll
para

( 1 ~

o

~ _;~)

7/9 )

1

-26/9

o

o

forma escalonada.

Mostre que cada uma das seguintes operações ~Iementares com linhas tem uma operação inversa do mesmo tipo. Troque entre si as i-ésima e j-ésima linhas R; <-> Ri. I

Multiplique a i-ésima linha por um escalar k, não-nulo,

R; [E 3]

:

kR; ; k

~

O.

Substitua a i-ésima linha por k vêzes a j-ésima linha mais a

i-ésima linha R; (i)

--'>

kRi

+ R;

Trocando as mesmas linhas duas vêzes, obtemos a matriz original; isto é, essa operação é sua própria inversa. (ii) Multiplicando a i-ésima linha por k e depois por k- 1 , ou por k- 1 e depois por k, obtemos a matriz original. Em outras palavras, as operações R;--> kR; e R; --> k- 1R; são inversas. (iii) Aplicando a operação R; --> kRj + R; e depois a operação R; -> -kRj + R;, ou aplicando a operação R;--> -kRi +R; e depois a operação R;--> kRi+R;,

MATRIZES

CAP. 3)

63

MATRIZES QUADRADAS

(!

3.22. Seja A =

f(x) = 2x 8 - 4x (i)

A

2

= AA =

-~)

Encontre: (i) A 2 ,

Aa

(iii) f( A), onde

+ 5.

-D

(! -~) (!

(-89 -4) 17

+ 2 . (-3) \ + (-3). (-3)}

1.1+2.4 ( 4. 1 + (-3). 4 (ii)

(ii) A 3 ,

1.2 4.2

I -32) (-89 -4) 17

= AA 2 = (

4

+ 2 . (-8) + (-3) . (-8)

I .9 (4 .9

+ 2. 17 ) + (-3) . 17

I. (-4) 4 . (-4)

_

(-7 60

-

30) -67

(iii) Para encontrar j(A ), primeiro substituà A por x e 51 pela constante 5 no polinômio dado j(x) = 2x 3 - 4x + 5,

j(A)

= 2A a_

4A +51

=

2 (

~~ -~n

-4 (!

-~) + 5 ( ~

n

Depois multiplique cada matriz por seu respectivo escalar

-14 ( 120

=

60 ) -134

( -4 -16

+

-8) 12

o)

( 5

+ o

5

Finalmente, some os elementos correspondentes nas matrizes =

-14- 4 ( 120- 16

+5 +o

60 - 8 +o ) -134 + 12 + 5

(-13 104

=

52 ) -117

3.23. Com referência ao problema 3.22, mostre que A é um zero do polinômio ~(x) = x 2 2x- 11.

+

A é um zero de g(x) se a matriz g(A) é a matriz nula. Calcule g(A) como foi feito para j(A ), isto é, primeiro substitua A por x e 111 pela constante 11 em g(x) = x 2 + 2x - 11, g(A)=A2+2A-11I= (

9 -4) +2 (14 -32) -11 (1o OI) 17

-8

Depois, multiplique cada matriz pelo escalar que a precede,

(-89 -4) 17 + ( 82 -64)

g(A) =

+

(-11O -11o)

Finalmente, some os elementos correspondentes nas matrizes

g(A) =

(

2-

9 + -8 8

11

+ + o

-4 + 4 + 17 - 6 -

11}O)=

Í

O

O)

\o o

Como g(A) =O, A é um zero do polinômio g(x).

a.24. Dado A =

G-n .

Encontre um vetor coluna não -nulo

MATRIZES

64 u

(yx)

[CAP. 3

tal que Au = 3u.

Primeiro, estabeleça a equação matricial Au = 3u

Escreva cada lado como uma só matriz (vetor coluna)

( 4xX+-

3y) 3y

Faça os elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema de equações (e reduza à forma escalonada) x

+ 3y =

3x

2x - 3y

=O

ou 4x - 3y = 3y

2x - 3y = O

ou

ou 2x - 3y

4x - 6y = O

=

O

O= O

6

sistema se reduz a uma equação homogênea em duas incógnitas; logo, tem uma infinidade de soluções. Para obter uma solução não-nula faça, digamos, y = 2; então, x = 3. Isto é, x = 3, y = 2 é uma solução do sistema. Assim, o

vetor u

= (~)

é não-nulo e tem a propriedade.Au

3.25. Encontre a mversa de (

= 3u.

!)

~

Procuramos escalares x, y, z e w, para os quais

Método 1.

G (; ~) 5 3

ou que satisfazem

l

(~ ~) 3x

+ Sz

ou

=

e 2x

+ 3z

=O

(3x ++ 2x

5z 3z

3y 2y

3y

+ 5w =O

2y

+ 3w =

{

+

Sw)

+ 3w

1

A solução do primeiro sistema é x = --'3, z = 2 e do segundo sistema é y = S, ~v =

Método 2. A =

(-3 5)

-3. Assim, a inversa da matriz dada é

(;

2 -3

Deduzimos a fórmula geral da

inversa

A- 1 da

!) : A-1

Assim, se A

1

= --

( 32

IAI 53)

( d -b) ·-c

, então

a

, onde

IA I

= ad -

IA· I = 9-10 = -1

e

bc

matriz

2 X 2

CAP. 3]

MATRIZES

65

PROBLEMAS DIVERSOS 3.26. Calcule AB usando multiplicação de blocos, onde

1 2 1) . (-~-~~oo 1

A

0

Aqui, A

::·~";:R O

(

B

2

1

F) e B

E O G

ES + FT)

e

=

(K s)·

onde E,D,G,R,S e

Tsão blocos dados.

O· T.

=

(l~ ~~ ~;) n) +( ~)) (1~ ~~ ~~ ~)

(

=

GT

( O

O

O)

( 2)

O

O

O

2

3.27. Suponha B = (R 1 , R 2 , . . . , Rn), isto é, que R, é a i-ésima linha de B. Suponha que BA é definido. Mostre que BA = (R 1A, R 2A, . .. , RnA), isto é, que R;A é a i-ésima linha de BA. Anote por A I, A 2 , . . . , A m as colunas de A. Por definição de multilpicação de matrizes, a i-ésima linha de BA é

(R;. A 1 , R;. A2, .. . , R;. Am). Mas, pela multiplicação- de matrizes, R;A = (R; . AI, R;. A 2 , Assim, a i-ésirna linha de BA é R;A.

3;28.

Seja e; = (0, ... , 1, ... , O) o vetor linha com 1 na i-ésima pos1çao e O nas outras. Mostre que e;A = R; é a i-ésima linha de A. Observe que e; é a i-ésima linha da matriz identidade I e, pelo problema precedente, a i-ésirna linha de IA é e;A mas IA =A. De acôrdo c'om issa_e;A = R; ,; a i-,;~im" linha de A.

3.29. Mostre (i) "Se' A tem uma fila nula, eutão A]3 tem uma fila nula. (ii) Se B tem uma coluna nula, então AB tem uma coluna nula. (iii) Qualquer matriz com uma linha ou uma coluna nula não é inversível. (i) Seja R; a linha nula de A, e B 1, li't!ha de AB é (R;. Bl, R;. B 2 ,

••• ,

R;. Bn)

... ,

(i i) Seja C; a coluna nula de B, e A 1, coluna de AB é

.

1

AJ.C A2 C; (

Bn as colunas de B. Então, a i-ésima

Am . C;

)

.,

=

(0, O, ... , O)

Am as linhas de A. Então, a j-ésirna

(O) O

O

MATRIZES

66

[CAP. 3

(iii) Uma matriz A ser inversível significa que existe uma matriz A- 1 tal que AA- 1 =A- 1A =1. Mas a matriz identidade I não tem coluna nula ou linha nula; portanto, por (i) e (ii) A não pode ter uma linha ou uma coluna nula. Em oútras palavras, uma matriz com uma linh~ nula ou uma coluna. nula não pode ser inversível.

3.30. Sejam A e B matrizes inversíveis (da mesma ordem). Mostre que o produto AB é também inversível e (ABf 1 = B- 1.-1- 1 • Assim, por indução, (A 1A 2 . . . Anf 1 = A~ . . . A; A~\ onde os Ai são· inversíveis 1

1

(4B) (B-IA- 1) = A(BB- 1)A- 1 = AIA"1 = AA- 1 =I

(B-IA- 1 )(AB)

e

=

B- 1(A- 1 A)B

=

W 1 IB

=

B- 1 B

=

I

3.31. Sejam u e v vetores distintos. Mostre que, para cada escalar k E 1\, os vetores u + k(u- v) são ·distintos. 1:~ suficiente mostrar que, se u

+ k 1(u- !')

+ k 2(u- r),

= u

então kt = k 2 • Suponha que (1) seja verdadeira.

(I)

Então,

k1(u- v) = k 2 (u- v) ou (kt- kz) (u- 1•) = O

Como " e v são distintos, u- v,.< O. Portanto, kt- kz =O e kt = k 2•

MATRIZES ELEMENTARES E APLICAÇÕES* 3.32. Uma matriz obtidá ·.da matriz identidade por uma só operação elementar com linhas é chamada matriz elementar. Determine a matriz elementar quadrada 3 X 3 corrEspondente às operações R 1 <-> R2, R3 ~ -7R3 e R2 --> -3R 1 + R2. Aplique as operaçõe.s à matriz identidade para obter

Et

= (

~

()

()

o

ls

o o) ( 1· ~). ~ , E2 ~ o -7 =

= (

o

g

I

o

D

o (-~ o

E:l =

~)

3.33. Demonstre. Seja e uma operação elementar com linhas e E a correspondente matriz elementar quadrada m X m, isto é, E = e(Jm). Então, para qualquer matriz A, m X n, e( A) = EA. Isto é, o resultado e(A), da aplicação da operação e na matriz A, pode ser obtido multiplicando A pela matriz elementar cortespondente E. Seja R; a i-ésima linha de A; anotamos isso escrevendo A = (Rt, ... , Rm)~ Pelo problema 3.27, se B é uma matriz para a qual AB está definido, então AB = (RtB, .. , RmB). Seja, também,

e;= (0,

.. ,0, 1,0, ... ,0).

=

1

* Essa seção é bastante detalhada e pode ser omitida numa primeira leitura. Não é necessária, exceto para certos resultados no capítulo 9, sôbre determinantes.

CAP. 3]

67

MATRIZES

Aqui, = i quer dizer que 1 é a i-ésima componente. Pelo problema 3.28, e;A = R;. Também observamos que I = (e 1 , . . . , em) é a matriz identidade. (i)

Seja e" operação elementar com linhas R;<-> Rj. Então, para

= j,

e

= (eJ, . . . ~ ..• ~ ... ,em)

E= e(!) e

= 1.

e(A) = (Rt,

. ,

R;, ... ,~.... , Rm)

Assin1, ~

e,A, ... , e..A) =(RI,

(i i) Agora, seja e a operação elementar com linhas R; para ..: i, /"..

E= e(!)= (et •... , ke,, .. . , em) e e(A) = (RJ, Assitn,

/"..

EA = Ce1A, .. . , ke;A,

~

/"..

, Rj, ... , R;, ... , Rm)

kR;, k

--+

,

/".. ~R;,

/"..

kR;,

.. , emA)= (RI,

Usando (kei

... ,

------------kej +e,, ... , em)

+~;)A =

k(ejA)

+ e,A

=

e . e(A)

.. , Rm) = e(A)

+ R;.

Então.

(RI, ....~ kRj R;, ... , Rm)

+

kRj +R;, temos

+ e;)A, .. . , emA)= (RI, ------------...

EA = (etA •.. . , (ke;

=

Então.

... , Rm)

(iii) Finalmente, seja e a operação elementar com linhas R; ____, kRi para =i,

E = e( I) = (e I,

~·O.

= e(A)

------------

., kRi +R;, ... , Rm) = e(A)

Assim, demonstramos o teorema.

3.34. Mostre que A é equivalente por linhas a B se, e somente se, existem matrizes elementares E ~o . , E, tais que E, . : . E 2 E 1A = B. Por definição, A é equivalente por linhas a B se existem operações elemen tares com lit1has e1, ... , e, para as quais e,( . . (e 2(ei(.4))) .. ) = B. Mas, pelo p~oblema anterior, o acima é verdadeiro se, e somente se, E, ... E 2 E1A = B, onde E; é a matriz elementar correspondente a e;.

3.35. Mostre que as matrizes elementares são inversíveis e que suas versas também são matrizes elementares.

In-

Seja E a matriz elementar correspondente à operação elementar com linhas e: e(!) = E. Seja e' a operação inversa de e (veja problema 3.21) e E' sua matriz elementar correspondente. Então, pelo problema 3.33,

I = e'(e(I)) = e'E = E'E e I = e(e'(I)) = eE' = EE' Por isso, E' é a inversa de E.

3.36. Demonstre que as seguintes são equivalentes (i)

A é inversível.

(iif A é equivalente por linhas à matriz identidade I. (iii) A é um produto de matrizes elementares. Suponha que A é inversível e suponha que A é equivalente por linhas à matriz escalonada reduzida por linhas B. Então existem matrizes elementares E1, E 2 , .•. , E. tais que E, E 2 E 1 A = B. Como A é inversível e cada matriz elementar E; é inversível, o produto é inversível. Mas se B ~ I, então B tem uma linha nula (problema 3.47); portanto, B não é i~versível (problema 3.29). Assim, B = I. Em outras palavras, (i) implica (ii)_

MATRIZES

68

[CAP. 3

Agora, se (ii) é verdadeiro, então existem matrizes elementares E 1 , E 2 , tais que E, ... E2E1A = I; logo,

Pelo problema anterior, as E~ 1 são também matrizes elementares.

... ,

E,

Assim, (ii)

implica (iii). Agora, se (iii) é verdadeiro (A = E 1E 2 . . . E,), então deve seguir (i), pois o produto de matrizes inversíveis é inversíveL 1

3.37. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Mostre que, se AB = I, então B = A- 1 • Assim, AB = I se, e somente se, BA =I. Suponha que A não é inversíveL Então A não é equivalente por linhas à matriz identidade I; logo, A é equivalente por linhas a uma matriz com uma linha nula. Em outras palavras, existem matrizes elementares E1, ... , E, tais que E, ... E2E1A tem uma linha nula. Portanto, E, ... EzEtAB tem uma linha nula. De acôrdo com isso, AB é equivalente por linhas a uma matriz com uma linha nula; logo, não é equi,·alente por linhas a I. ~las isso contradiz o fato de que AB = I. Assim, A é inversíveL Conseqüentemente,

3.38. Suponha que A é inversível e, digamos, é equivalente por linhas à matriz identidade I pela seqüência de operações elementares el, ... , en.

(i)

Mostre que essa seqüência de operações elementares com linhas, aplicada a I, produz A- 1•

(ii) Use êsse resultado para obter a inversa de

o -1 1 (i)

Seja E,_ a matriz elementar correspondente à operação e,. Então, por hipó· tese e problema 3.34, En E 2 E1A = I. Assim, (En ... E 2E 1 l)A = I e, portanto, A- 1 = En ... E2E1I. Em outras palavras, A- 1 pode ser obtida de I pela aplicação das operações elementares. com linhas e 1 , . . . , e,.

(ii) Forme a matriz de blocos (A, I) e reduza por linhas à forma canônica por linhas (A, I)""

para (

~

G

o

-1

o -1

o

3 8

2 I 1 -1 I -2 -1 -6 para (

o o o o

o

~) ~}

para

g

o 1

o

o o

(~

para

I -11

-4 6

o ~I

1

o o

(~

o

-I

o 2

o -1

-1

_!)

2

o

I

-2

~J

o

1

o

-4

-:--11 4 -6

2

o

D

-D

CAP. 3)

69

MATRIZES

Observe que a última matriz de bloco está na forma (/, B). Portanto, A é inversível e B é sua inversa

À- 1

Observação.

=

-11 2 2) ( o -4 6

1 -1

-1

No cam, a última matriz de blocos não é da forma (I, B); então, a matriz dada não é equivalente por linhas a I; logo, não é inversível.

Problemas Propostos OPERAÇÕES COM MATRIZES Nos problemas 3.39-3.41, sejam

.A

= (

~ -~- ~)

'

( 4 o -3)

B =

+ B,

-1 -2

3

+ C,

(ii) A

(

c=

.

2-3 o 1) 5-1 -4

-1

o o

2

'

D =

3

3.39.

Encontre

(i) A

3.40.

Encontre

(i) AB, (ii) A C, (iii) AD, (iv) BC, (v) BD, (vi) CD.

3.41.

Encontre

(i) A 1,

3.42.

Sejam. q = (1, O, O), e 2 = (0, 1, O) e e 3 = (0, O, 1). Dado

(-!)

(iii) 3A - 4B.

(ii) A 1C, (iii) D 1A 1, (iv) B 1A, (v) D 1D, (vi) DD 1•

A

=

(

at

a2

b,

b2

q

c2

encontre (i) e1A, (i i) e2A, (iii) eaA. 3.43.

Seja e; = (O, . . , O, 1, O, ... , 0), onde 1 é a i-ésima componente. seguinte: (i)

Be~ ~

Cj, a j-ésima coluna de B, (pelo problema 3.28, e;A

=

Mostre o

R;.)

(ii) Se e;A = e;B para cada i, então A = B. (iíi) Se

Ae:

=

Be: para cada i, então A

=

B.

MATRIZES ESCALONADAS E OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LINHAS 3.44.

Reduza A à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas, onde (i)

A=

G

2 4 6

-1 2 1 -2 2 -6

l)

3

(2

, (íí) A =

3

5

3 -1

4 -5

-2

2

5 O

6 -5

~)

,J

3.45.

Reduza A à forma escalonada e depois à sua forma canônicà por linhas, onde

.

(I)

3.46.

A

=

(

1

3

-1

o 2

11 -5

-5 3

4

1

1

2) 3

~

.. ,

(u)

A

=

(oo 1o 3-2) ~

4

-1 2

3 1

5

-3

4

Descreva tôdas as possíveis matrizes 2 X 2, que estão na forma escalonada reduzida por linhas.

MATRIZES

70 3.47. 3.48.

[CAP. 3

Suponha que A é uma matriz quadrada escalonada reduzida por linhas. Mostre que se A ~ I, a matriz identidade, então A tem uma linha nula. Mostre que tôda matriz quadrada escalonada é triangular superior, mas não vice-versa.

3.49.

Mostre que a equivalência por linhas é uma relação de equivalência (i)

A é equivalente por linhas a A;

(i i) A equivalente por linhas a B implica B equivalente por linhas a A; (iii) A equivalente por linhas a B e B equivalente por linhas a C implica A equivalente por linhas a C.

MATRIZES QUADRADAS 3.50.

Seja A

.

= (

2

2

3 -1

) . (i) Encontre A 2 e A

contre j(A). (iii) Se g(x) = x 3.51.

Se1·a 8 = =

3.52.

(

1

-

3

5 3 ) . (i) Se -f(x) . .

(i i) Se j(x)

z

~

3.53.

Seja A = (

~ ~).

3.54.

Sejam A =

G~)

Encontre (i) A nômio j(x). Sejam D

.

+ B;

2x 2 - 4x

=

+ 3..

en-

encontre JIB). lii) Se g(x)

que sejam comutativas com

1 ( 0

=

(

'=

~:) )

Encontre tôdas

11)

Encontre A n.

e B =

G~) 1

(i i) AB, (iii) A 2 e A 3,

=(~ ~).A=(~:~::::-~:).

(iv) A n,

(v) j(A) para um poli-

B=(:: ~:).Encontre <·n

DA eBD.

dn

Suponha que a matriz quadrada, 2 X 2, B comuta com tôda matriz quadrada, 2 X 2, A, isto é, AB = BA. Mostre que B isto é, B é uma matriz escalar.

3.57.

+4

x- 8, encontre g(A).

Diz-se flUe as matrizes A e B são comutativas se AB = BA.

. (x v)

3.56.

= x 3 - 3x 2 - 2x

x 2 - 4x- 12, encontre g(B). (i i i) Encontre um vetor coluna não-nulo u tal que Bu = 6u.

as matnzes

3.55.

2

3•

(~ ~)para

algum escalar k,

Seja Dk a matriz quadrada escalar, m X m, com elementos diagonais k. Mo'
3.58.

Mostre que a soma, produto e múltiplo escalar de (i)

matrizes triangulare'< superiores é triangular superior;

(ii) matrizes triangulares inferiores é triangular inferior;

(iii) matrizes diagonais é diagonal; (iv) matrizes escalares é escalar.

MATRIZES

CAP. 3)

MATRIZES INVERSÍVEIS 3.59.

Encontre a inversa de cada matriz (i)

3.60.

Encontre a inversa de cada matriz (i)

3.61.

Encontre a inversa de (

~

-1 3.62.

~&3.

71

c c-!) ~)

c~

• (ii)

2 ( 2 1 -3) ~ • (ii) ~ -2

2 2

-!) -3

~)

3 -1

5

Mostre que as operações de inversão e transposição comutam.., isto é, (A 1)-1 = 1 = (A- 1) • Assim, em particular, A é inversível se, c somente se, A 1 é inversível.

o

Quoodo é uma m•t•l• dlogoMI

A-(:. :•

inversível, e qual é sua

inversa?: 3.64.

Mostre que A é equivalente por linhas a B se, e somente se, existe uma matriz inversível P tal que B = PA.

3.65.

Mostre que A é inversível se, e somente se, o sistema AX =0 tem sàmente a solução nula.

PROBLEMAS DIVERSOS

+

+

3.66.

Demonstre o teorema 3.2 (iii) (B C)A = BA CA;. (iv) k(AB) = (ka)B = = (A kB), onde k é um escalar. (As partes (i) e (i i) forari1 demonstradas nos problemas 3.11 e 3.12.)

:!.67.

Demonstre o teorema 3.3 (i) (A+ B) 1 = A 1 B 1; (ii) (A 1) 1 =A; (iii) (kA) 1 1 = kA , sendo k um escalar. (A parte (i v) foi provada no problema 3.16.)

3.&8.

Suponha que A = (A;k) c B ~ (Bkj) são matrizes de blocos para as quLitS AB está definido e o número de coluiia5 de cada bloco A;k é igual ao número de linhas de cada bloco BkJ· Mostre que AB = (Co). onde ·

+

Cij

= 1: A;kBki. k

3.69.

As seguintes operações são chamadas operações elementares com colunas. [Etl: Troca das i-ésima e j-ésima colunas entre si. [E2]: Multiplicação da i-ésima coluna por um escalar k não-nulo. [E 3]: Substituição da í-ésima coluna por k vêzes a j-ésima coluna mais a i-ésima coluna.

·"'Mostre· que cada 3.70.

uma das operações tem uma operação inversa do mesmo tipo.

Diz-se que uma matriz A é equivalente a uma matriz B se B pode ser obtida de A por uma seqüência finita de operações, cada uma sendo uma operação elementar com linhas ou com colunas. Mostre que a equivalênp;a de matrizes é uma relação de equivalência.

3.71.

Mostre que dois sistemas consistentes de equações lineares têm o mesmo conjunto solução se, e sàmente se, suas matrizes Ímmentadàs são equivalentes por

MATRIZES

72

[CAP. 3

linhas (supomos que linhas nulas são incluídas para que ambas as matrizes aumentadas tenham o mesmo número de linhas).

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 3.39.

(i)

3.40.

(i)

3.41.

(_~

3.44.

-2 -3

(iii)

(-5 11

In

(i)

(-1 J)

(:)

(

(at. az, aa, a4)

(i i) (b1, bz, ba, b4)

(i)

(g

2

-1

2

o o

3

-6

o -113 o o

(i)

o

D

o o

-6

5 10 -15

-2

o

o

-1

-5

o o 1

(~ ~) I (~ ~)I (~

3.48.

(

3.50.

(i)

A

2

=

(i)j(B)

-5) (vi) Não definido. 4

(j

(iv)

-7 -6 12

~!)

(v) 14

ú

o

1

o

4/11 -10/11

o

·n

5/11 15/11

o

13/11) -5/11

o

o

4/11 13/11) 3/11 o o

o

o

o o

ou (

4/3)

-S6

o o

n

~ ~)

, onde k é qualquer escalar.

é triangular superior, mas não é uma matriz escalonada.

e~ ~

(iii) g(A) = (

o o

e

3.46.

! !1)

o o o

1 -5/11.

c

o o

o

2

DG

o

3

~

8

e

o -13 11 o o 3~ o o

o o

o

5

(iii) (q, c,z ca, q)

(g

e

u -2)D o q (~ 3 11

1~)

-g)

( 4 -2 -2 1 6 -3

( 2

-12

(iii) (9, 9)

(i)

(i;)

3.51.

11 -15

Não definido.

(i i)

17

(-~)

(v)

(iv)

-3

( -1!

(iii)

(ii) Não definido.

4 -12

(i i)

(i i)

3.45.

1

Não definido.

(vi) 3.4.2.

-~)

-1

),

Ai

=

(26 18) . 27

-1

;

(u) f(A) =

(-4 8) 12 -ló

;

~ . ~)

=G~ ~~}

(ii) g(B)

=(~ ~}

(iii) u

=C) C:). ou

k

~o.

MATRIZES

CAP. 3)

3.52.

Somente matrizes da forma

3.53.

A"=

3.54.

(i)

(~

(i)

~

comutam com (

(~ ~~)

DA= cal

A= (4o)A3=C 9 • o 2~) 2

(iii)

= c4o .33o) 3bl

ú

(iv) A"=

Ja2

3an) 3bn

3b2

=

( 2"

o

JA

o) 3"

(v) j(A) =

c"')

(ii) BD=

~~2...3.~2

3c,.

3.59.

(i)

3.60.

(i)

(_~ -~)

c5

10

!)

2 1

A+ B =

(i i) AB

3.55.

n)

!)

(~

73

(i i)

4 -~)

( 1/3 -1/9 (i i)

-7

(

8 -6

('~) =

f~>)

3B

3d,.

1/3) 2/9 8 -5 10

-1 1 -1

~~)

-4

-17/2 -11) -5/2 -3 4 5

3.61.

31/2 ( 9/2 -7

3.62.

Dados AA- 1 = I. Então I= I'= (AA- 1)' = (A- 1)'A'. Isto é, (A- 1)' = (A')- 1•

3.63.

A é inversível se, e somente se, cada a; r" O. Então,

A-'=(~~~ ~21 O

O

~. )·

a:

1

Capítulo 4 ·Espaços Vetoriais e Subespaços INTRODUÇÃO

cn

No capítulo 1, estudamos as estruturas concretas Rn e e vanas propriedades derivadas. Agora, algumas dessas propriedades farão o papel de axiomas enquanto definimos "espaços vetoriais" abstratos ou, como são algumas vêzes chamados, "espaços lineares". Em particular, as conclusões de (i) até (viii) do teorema 1.1, página 3, tornam-se os axiomas [A 1] - [A 4], [M1] - [M,1] abaixo. Veremos que, de certa maneira, não temos nada nôvo. De fato, provamos no capítulo 5 que todo espaço vetorial sôbre R que tem "dimensão finita" (lá definida) pode ser identificado com Rn para algum n. A definição de um espaço vetorial envolve um corpo arbitrário (veja apêndice B) cujos elementos são chamados escalares. Adotamos a seguinte notação (a menos que se diga ou implique o contrário) K, a, b, c, ou k,

v, u, v, w,

o corpo dos escalares; os elementos de K; o espaço vetorial dado; os elementos de v.

Observamos que nada essencial é perdido se o leitor supõe que K é o corpo real R ou o corpo complexo C. Finalmente, mencionamos que o "produto interno", e noções correlatas tais como ortogonalidade, não é considerado como parte da estrutura fundamental dos espaços vetoriais, mas como uma estrutura adicional que pode ser ou não introduzida. Tais espaços serão investigados na parte posterior do texto. Definição. Seja K um corpo dado e seja V um conjunto não-vazio com regras de adição e multiplicação por escalar que determina para qualquer u, v E V uma soma u + v E V e para qualquer u E V, k E K um produ.to ku E V. Então, V é chamado esPaffo vetorial sábre K (e os elementos de V são chamados vetores) se os seguintes axiomas são verdadeiros: [A 1]: Para quaisquer vetores u, v, w E V, (u

+ v) + w

=

u

+ (v +

w).

[A,]: I-lá um vetor em V, anotado O e chamado vetor nulo, para o qual u O = 1t para· qualquer vetor u E V.

+

[A 3]: Para cada vetor u E V há um vetor em V, anotado -u, para o qual u (-u) =O.

+

74

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4]

75

[A 4]: Para quaisquer vetores u, v E V, u +v= v+ u.

[Af1]: Para qualquer escalar k E K e quaisquer vetores u, v E V, k(u

+ v)

=

ku

+ kv.

[M2 ): Para quaisquer escalares a, b E K e qualquer vetor u E V,

(a

+ b)u

= au

+ bu.

[j\1 3 ]: Para quaisquer escalares a, b E K e qualquer vetor u E V,

(ab)u = a(bu). [M 4]: Para a unidade escalar 1 E K, lu= u, para qualquer vetor u E V. Os axiomas acima são, naturalmente, divididos em dois conjuntos. Os quatro primeiros são concernentes só à estrutura aditiva de V e podem ser resumidos dizendo-se que V é um grupo comutativo ~veja apêndice B) sob adição. Segue que qualquer soma de vetores da forma v1 +v 2 + ... +vm não requer parênteses e não depende da ordem das parcelas, o vetor zero, O, é único, o negativo -u de u é único e vale a lei de cancelamento u

+w

= v

+ w implica u

para quaisquer vetores u, v, w E V.

u- v = u

= v

Também a subtração é definida por

+ (--v)

Por outro lado, os quatro axiomas restantes são concernentes à ação do corpo K em V. Observe que a numeração dos axiomas reflete essa divisão. Usando êsses axiomas adicionais provamos (problema 4.1) as seguintes propriedades simples de um espaço vetorial.

Teorema 4.1. Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K (i)

Para qualquer escalar k E K e O E V, kO = O.

(ii)

Para O E K e qualquer vetor u E V, Ou

=

O

(iii) Se .ku = O, onde k E K e u E V, então k

=

O ou u = O.

(iv) Para qualquer escalar k E K e qualquer vetor u E V, (-k)u = k(-u) = -ku.

EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS Enumeramos, agora, importantes exemplos de espaços vetoriais. primelio exemplo é uma generalização do espaço Rn.

O

Exemplo 4.1. Seja K um corpo arbitrário. O conjunto de tôdas as n-uplas de elemento.s de K, com adição de vetores e multiplicação por escalar definidos por (at, a2, ... , an) (bt b2, ... , bn) = (ai bt. a2 b2, ... , an bn) e k(at, a2, ... , an) = = (kat, ka2, ... , kan), onde a;, b;, k E K é um espaço vetorial sôbre K, anotamos êsse · espaço Kn. O vetor nulo em Kn é a n-upla de zero~, O = (0, O, ... , O). ·A demonstração de que Kn é um espaço vetorial é idêntica à demonstração do teorema Ll, que podemos agora lembrar dizendo que Rn com a_s operações lá definidas é um espaço vetorial ~ôbre R.

+

+

+

+

:.ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

76

[ÇAP. 4

--=!J!illiD..tU.·. ·Seja V o conjunto de tôdas as matrizes m X n com elementos de um V é um espaço vetorial sôbre K com relação às operações de adiç~.~;e multiplicação por escalar, pelo teorema 3.1. corpo~nãii~·g;. Então,

limn.~:>:$eja V o conjunto de todos os polinômios

ao+ a1t +

a2t 2

+ ... +

antn

com C!llllli:: :~ .u~:num corpo K. Então V é um espaço vetorial sôbre K em relação às ope~ ~:·~·'a,dição de polinômios e multiplicação por uma constante. JiR:lr,pi~.:··:Seja

quer j.~t,''-~

K um corpo arbitrário e seja X qualquer conjunto não-vazio. em K. A soma de duas funções quais-

,v; de tôdas as funções de X f.'".~..á·:f.~üção f+ g E V definida por

Cons~ •Y~tlto

(j e o pn"'

,..,,~1u-m·.e&:alar

k

E

+ g)(x)

= j(x)

+ g(x)

K e de uma função f e V é a função kf

E

V definida por

(kj)(x) = kf(x) ~~~·s.~peiações

acima, é um espaço vetorial sôbre K (problema 4.5). O vetor .~uqÇãudrula O que transforma cada x e X em O e K: 0(%) = O "J)9.T!l '1:"a~ X EX. ~issç;.para qualquer função f e V, -f é a função em V para a qual (-f)(x) = = -f(s. .-..aa1Ja <±.E:. X.

Entãa; zero e!:

·~v· · ..,..'~ a~~·Suponha que E é um corpo que contém um subespaço K. Então, E pOd~ · ~i\letado como um espaço vetorial sôbre K, tomando a adição usual em E como a :~..<~~
~~.~~~. àubconjunto

de um espaço

ve~orial

sôbre um corpo K .

. W é d!J;<~:::.subespaço de V se W é um espaço vetorial sôbre K em relação~ '~s;ôes de adição de vetores e multiplicação por escalar de V. Um at.i
(i) (ii)

é um subespaço de V se,

e somente se,

tf'~~và.zio,

v,

IFE~do

sob adição de vetores: w E W implica v+ w E W. (iii) JV~do sob multiplicação por escalar : "' 11 E W implica kv E W para cada k E K. Coro~

l W é um subespaço de V se, e sómente se, (i) O E W (ou W F ~-·w, w E W implica av + bw E W para todo a, b E K. ~.:;:Seja

somente6;;~51!flfi
V qualquer espaço vetorial. Então o conjunto (O} constituído e também o espaço todo v são subespaços de v.

~--~

(i)

&.~arr.·o~~ço

ttilia

vetorial R 3 • Então, o conjunto W constituído dos vetores cuja é ~
~ponente

CAP. 4]

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

77

(ii)

Seja V o espaço d~ tôclas as matrizes quadradas n X n (veja exemplo 4.2). Então, o conjunto W constituído das matrizes A = (a;j) para as quais a;j = aj;, chamadas matrizes simétricçs, é um subespaço de V.

(iii)

Seja V o espaço dos polinômios (veja exemplo 4.3). Então o conjunto Ir constituído por polinômios de grau ::::; n, para um n fixo, é um subespaço de V. ·

(iv)

Seja V o espaço de tôdas as funções de um conjunto X, não-vazio, no corpo real R. Então, o conjunto W constituído por tôdas as funçoes limitadas em V é um subespaço de V. (Uma função f E V é limitada se existe ltf E R tal que lf(x) ::::; M para todo x E X.)

Exemplo 4.8. Considere qualquer sistema homogêneo de equações lineares em n incógnitas com, digamos, coeficientes reais. allXI a21x1

+ a12X2 + + a22X2 +

+ alnXn + d2nXu

o o

Lembre que qualquer solução particular do sistenia pode ser encarada como um ponto no R". O conjunto H.- de tôdas as soluç."ies do sistema homogêneo é um subespaço de Rn (problema 4.16) chamado espaço das soluções. Comentamos que o conjunto das soluções de um sistema não homogêneo de equações lineares em n incógnitas não é um subespaço de Rn. Exemplo 4.9. Sejam U e Ir subespaços de um espaço vetorial V. Mostramos que a interseção U () W é também Ulll subespaço de V. É claro que, 0 E lJ e 0 E Jr, pois U e W são subespaços; donde O e U () W. Agora suponha 11, v e U () W. Emiin, 11, v E U e u, t• E W e, como U e W são subespa!;oti, áU

+ I>V EU

para quaisquer escalares a, b E K. •ube~paço de V.

(ill

+ bv E

W

De acônlo com isso, au

+ bt• li!

C () HF; logo, U () vV

é um

O resultado do exemplo anterior generaliza-se como segue.

Teorema 4.4. A interseção de um número qualquer de subespaços de um espaço vetorial V é um subespaço de V.

COMBINAÇÕES LINEARES, SUBESPAÇOS GERADOS Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K e sejam v 1 , Qualquer vetor em V da forma

onde os a; E K, é chamado uma combinação h'near de v1 , guinte teorema aparece.

... ,

.• t'm

t'm·

E V.

O se-

Teorema 4.5. Seja S um subconjunto não-vazio de V. O conjunto de. tôdas as combinações lineares de vetores em S, anotado L(S), é um subespaço de V contendo S. Além disso, se W é qualquer outro subespaço de V contendo S, então L(S) c:: W.

[CAP. 4

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

78

Em outras palavras, L(S) é menor subespaço de V contendo S; portanto, é chamado o subespaço gerado por S. Por conveniência, definimos LUZf) = IOI. ....

Seja V 'o espaço vetorial R 3 . O ,;ube>paço gerado por qualquer vetor u, não-nulo, consiste em todos os múltiplos es<.:alares de u; geometricamente, é a linha que passa pela origem e pelo ponto u. O espaço gerado por quaisquer dos vetores u e t• que não são· múltiplos um do outro é o plano que passa pela origem e pelos ponto~ 1t e 1'.

Exemplo 4.10.

Exemplo 4.11.

paço vetorial aa. especificamente,

Os vetores ct = (I, O, 0), e2 Pois qualquer vetor (a, b, c)

= E

(O, I, 0) e e 3 (0, O, I) geram o esR 3 é uma combinação linear dos e;;

(a, b, c) = a(I, O, O) + b(O, I, O)+ c(O, O, 1) =

ae1

+ be2

Os polinômios I, /, t

Exemplo 4.12.

t cea 2

,

\!:cnun o esp,tço ,·etoria I V de todos

t",

'" polinômios (em l) '

V

/.(1, 11 t 2 ,

• . ),

poin qualquPr polintuniot'• um.• nnul•i'n;,ç;lo linPar de I" potíl111 i.lh

tl1•

t.

111na ,.Uillbinação linear do,; K'<emplo 4.13. lll'IPrmine u \Plur '' ~ (3, 'l, 4, Yelun:s 111 = (1, -2, O, J), 111 ~ (Z, J, O, -I) e~~~= (2, l, 2, 1) ou nao, ·isto
Iguale v a uma combinação

(3, 'l,

4,

=

2) =

line:.~r

1\

dos "; usando incógnitas .\', y e z; ista é,· faça

.v(t, -2, ·o, 3) + y(2, 3, O, -1) + z(2, I, (:c+ 2y + 2z,-2x + 3y-z, 2z, .h-y + z)

2, I)

Forme o sistema equivalente de equações fazendo as componentes correspondentes iguais entre si e depois reduza à forma escalonada x

-2x

+ 2y + 2z = + 3y - z ~

3 9

2z = -4

3.-.: -

y

+

z

=

x

+ 2y + 2z =

J

~

15

7y ou

+- 3z

2z =

-7y - Sz

-2 ou

=

.-.: + 2y +à= 7y + 3z =

-4

-11 3

15 2:-: = -4

.\' + 2y + 2z = 7y + 3z = ou

3

15 2z = --4

-2z

=

4

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4]

79

Note que o sistema acima é consistente; logo, tem solução; portanto, v é uma combinação linear dos ui. Resolvendo em relação às incógnitas, obtemos x = 1, y = 3, z = -2. Assim, v= ui+ 3u2- 2ua. Note que se o sistema de equações lineares não fôsse consistente, i~to é, não tivesse solução, então o vetor v não seria combinação linear dos ui.

ESPAÇO LINHA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz m X n arbitrária sôbre um corpo K

A

As linhas de A,

R1 = (a 11 ,a 21 , ... , ain), .. -, Rm = (ami•am2• .. -, amn), encaradas como vetores em Kn, geram um subespaço de Kn chamado o espaço das linhas de A. Isto é, espaço das linhas de .A = L(RI, R2, ... , Rm) Anàlogamente, as colunas de A, como vetores em Km, geram um subespaço de Km chamado o espaço das colunas de A. Agora, suponha que aplicamos uma operação elementar com linhas em A

(i) R 1 <-> R;. (ii) R 1 --> kR~o k cF O ou (iii) R, -

kRi

+ R,

e obtemos uma matriz B. Então, cada linha de B é claramente urna linha" de A ou uma combinação linear de linhas de A. Portanto, o espaço linha de B está contido no espaço linha de A. Por outro lado, podemos aplicar a inversa da operação elementar com linhas em B e obter A; portanto, o espaço linha de A est-i contido no espaço linha de B. De acôrdo com isso, A e B têm o mesmo espaço de linhas. Isso nos leva ao seguinte teorema.

Teorema 4.6. Matrizes equivalentes por linhas têm o mesmo espaço de linhas. Provaremos (problema 4.31), em particular, o seguinte resultado fundamental envolvendo matrizes escalonadas reduzidas por linhas. Teorema 4.7. Matrizes escalonadas reduzidas por linhas têm o mesmo espaço de linhas se, e somente se, elas têm as mesmas linhas nãOnulas. Assin1, tôda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalon<;.da reduzida por linhas chamada sua forma canônica por linhas. Aplicamos o resultado acima no seguinte exemplo. Exemplo 4.14. UI

=

Mostre que o espaço U gerado pelos vetores (1, 2, -1, 3), u 2 = (2, 4, 1, -2) e u 3

=

(3, 6, 3, -7)

e o espaço V gerado pelos vetores VI

são iguais; isto é, U

= (1, 2, -4, 11)

= V.

e

v~

=

(2, 4; -5, 14)

I

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

80

[CÁP. 4

Método 1. Mostre que cada u; é uma combinação linear de Vt e v2, e que cada v; é uma combinação linear de u1, u 2 e ua. Observe que temos de mostrar que seis sistemas de equações lineares são consistentes. Método 2. Forme a matriz A, cujas linhas são os u;, e reduza por linhas A à forma c.anônica reduzida por linhas

1 2 3

A

2 4

-1

6

3

3 -2

para

-7

1

2

-1

o o

o o

3

1

2 o o 1 o o

o o

para

3 -8

2

-1

3

o o 3 -8 o o o o

para

6 -16 1/3 -8/3

o

Agora, forme a matriz B, cujas linhas são v 1 e v2 , c reduza por linhas B à forma canônica reduzida por linhas B =

2 4

2

11 14

-4 -5

2 -4

1

para

o o

3

11 -8

2

para

o

o

o

1/3 -8/3

Como as linhas não nulas das matrizes reduzidas são idênticas, os espaços linhas de A e B são iguais; logo, U = V.

SOMAS E SOMAS DIRETAS Sejam ·tJ e W subespaços de um espaço vetorial V. A soma dt: U e W, escrita U + W, consiste em tôdas as somas u + w, onde uEUewEW

+W

U

=

{u

+ w: u

E U, w E W}

Note que O= O+ OE U + W, pois OE U, Ot W. Além disso, suponha que u + w eu'+ w' pertencem a U + W, com u, u' E U e w, w' E W. Então,

(u

+

+

w)

(u'

+

w') = (u

e, para qualquer escalar k, provamos o seguinte teorema.

Teorema 4.8. A soma U

k(u

+W

+ u') + (w + w') E U + W + w) = ku + kw E U + W.

Assim,

dos subespaços U e W de V é também

um subespaço de V. Exemplo 4.15. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R. Seja U constituído pelas matrizes em V, cujas segundas linhas são nulas, e seja W constituído pelas matrizes em V, cujas segundas colunas são nulas U =

~

t

b

a

o o

: a, b

'Agora, U e W são subespaços de V. U.+ W =

~

a

c

ob

E

R

f,

w=

~

a

O

c

o

:a,

Temos

:a, h, c

e

R~

e

unw=~

6

o

o

o

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4]

81

+

Isto é, U W consiste nas matrizes cujo elemento inferior direito é zero, O, e U consiste nas matrizes cujas segundas linhas e segundas colunas são nulas.

n IV

Def"mição. Diz-se que o espaço vetorial V é a soma direta de seus subespaços U e W e anota-se V=UGJW

se todo vetor v E V pode ser escrito de uma e sõmente uma maneira, como v = 1!- + w onde u E U e w E W. Surge o seguinte teorema.

Teorema 4.9. O espaço vetorial V é a soma direta de seus subespaços . U e W se, e somente se, (i) V

= U

+ W e (ii)

U n W

= {a}.

Exemplo 4.16. No espaço vetorial R 3 , seja U o plano xy c seja W o plano yz: U = {(a, b, O) : a, b

E

e

R}

W,;. {(O, b, c): b, c E R}

Então, R 3 = U

+ W pois todo vetor em R 3 é a soma de um vetor em

U e um vetor em }V.

Entretanto, R3 não é a soma direta de U e W pois essas somas não são únicas; por exemplo (3, 5, 7) = (3, 1, O) + (O, 4, 7) e também (3, 5, 7) = (3, -4, O) (0, 9, 7)

+

Exemplo 4.17. No R

3,

seja U o plano xy e W o eixo dos z:

U

= {(a,

W

=

b, O): a, b E R} {(O, O, c): c E R}

e

Agora, qualquer vetor (a, b, c) E R 3 pode ser escrito como a soma de um vetor em U e um vetor em V
+ (O,

O, c)

De acôrdo com isso, R3 é a ?Orna direta de U e IV, isto é, R 3 = U ffi IV.

Problemas Resolvidos ESPAÇOS VETORIAIS 4.1.

Prove o teorema 4.1. Seja V um espaço vetorial s8bre um corpo K. ~)

Pam qualquer escalar k E K e O E V, kO ~ O.

=

O.

O, onde k E K e u E V, então, k

=

(ii) Para O E K e qualquer vetor u E V, Ou (iii) $e ku

=

O ou u

(iv) Para qualquer k E K e qualquer u E V, (-k)u (i)

+

=

k(-u)

O.

-ku.

Pelo axioma [A 2] com u = O, temos O O = O. Portanto, pelo axioma [M 1], kO = k(O +O) = kO + kO. Somando -kO a ambos os lados tem-se o resultado desejado.

82 .

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

[CAP. 4

(ii)

Por uma propriedade de K, O +O = 6'. Portanto, pelo axioma [.Mil, Ou = (O + O)u = Ou +Ou. Somando -Ou a ambos os lados produz-~e o resultado pmcurado.

(iii)

Suponha ku portanto,

=Oe

k .,tO. Então, existe um escalar k- 1 tal que k- 1 k

=

t;'

= lu = (k- 1 k)u = k- 1(ku) = k- 1o = O (iv) Usando u + (-u) = O, obtemos O = kO = k(u + (-u)) = ku + k(-u). Somando -ku a ambos os lados temos -ku = k(-u). Usando k + (-k) = O, obtemos O = Ou = (k + (-k))u := ku + (-k)u. u

Somando -ku a ambos os lados produz-se -ku

= (-k)u.

Assim, (-k)u = k(-u) = -ku.

4.2.

Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u -v) = ku- kv. Usando a definição de subtração {u- v = u + (-v)) e o resultado do teorema 4.1. (iv) (k(-v) = -kv) k(u- v)

-!.3.

=

k(u

+ (--t•))

=

ku

+ k(-v)

Na assertiva do axioma [M 2], (a cada sinal mais representa?

= ku

+ b)u

=

+ (-kv) = au

ku -kv

+ bu,

que operação

O +em (a + b)u denota a adição de dois escalares a e b; portanto, representa a operação adição no corpo K. Por outro lado, o + em au + bu denota a adição de dois vetores au e bu; portanto, representa a operação de adição de vetores. Assim, cada + representa uma operação diferente.

4.4.

Na assertiva do axioma [M3], (ab)u produto representa?

=

a(bu), que operação cada

Em (ab)u o produto ab de escalares a e b denota multiplicação no corpo K; logo, o produto do escalar ab e do vetor u denota multiplicação por escalar. Em a(bu) o produto bu do escalar b e do vetor u denota multiplicação por escalar; também o produto do escalar a pelo vetor bu denota multiplicação por escalar.

4.5.

Seja V o conjunto de tôdas as funções de um conjunto não-vazio X num corpo K. Para quaisquer funções f, g E V e· qualquer escalar k E K, sejam f+ g e kf as funções em V definidas como segue

(f+ g)(x) = f(x)

+ g(x)

e

(kf)(x)

= kf(x),

(O símbolo Y significa "para qualquer".) espaço vetorial sôbre K.

Vx E X

Demonstre que V é um

Como X é não-vazio, V é também não-vazio. Agora, precisamos mostrar que todos os axiomas de espaço vetorial são válidos. [AJ: Sejam f, g, h E V. Para mostrar que (f+ g) +h= f+ (g +h), é necessário mostrar que as funções (f + g) + h e f + (g + h) conferem ambas o mesmo vãlór a cada x E X . . Agora,

((f+ g) + h)(x) =(f+ g)(x) + h(x) = (j(x) (f+ (g + h))(x) + j(x) + (g + h)(x) = j(x)

+ g(x)) + h(x),Vx'E X + g(x) + h(x)), Vx E X

CAP. 4]

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

83

Mas J(x), g(x) e h(x) são escalares no corpo K onde a adição de escalares é associativa; portanto,

+ g(x)) + h(x)

(j(x)

De acôrdo com isso, (f

+ (g(x) + h(x)) + h =f + {g + h).

+ g)

= f(x)

[A 2]: Seja O a função nula O(x) =O, V x E X. Então, para qualquer função f E V, {f + 0) (x) = f(x) + O(x) = f(x) +O = f(x), V x E X

f+ O =f, e O é o vetor nulo em V. [Aal: Para qualquer função f E V, seja -f a função definida por

Então,

=

-j(x).

(j

+ (-j))(x)

Portanto,

[A 4]

:

(-f)(x) =

EntãÓ,

+ (-j)(x)

= f(x)

= f(x)- f(x) = O = O(x),

Vx E X

f+(-/) = O.

Sejam f, g

(f+ g)(x}

V.

E

Então,

+ g(x)

= f(x)

= g(x)

+ f(x)

+

= (g

+ j)(x),

Vx

E

X

+

Portanto f g = g +f. (Note que j(x) g(x) = g(x) + f(x) segue do fato que f(x) e g(x) são escalares no c-orpo K,onde a adição é comutatiYa.)

[Mil: Sejamf, g (k(j

E

+ g)) (x)

V e. k

E

K.

Então,

+ g)(x)) = k(f(x) + g(x)) = kf(x) + kg(x) + (kg)(x) = (kf + kg)(x), V x E X .. = kf + kg. (Note que k(f(x) + g(x)) = kj(x) + kg(x) =

k((j

=

(kf)(x)

Portanto, k(f +g) segue do fato que k, f(x) e g(x) são escalares no corpo K onde a multiplicação é distributiva sôbre adição).

[M :J

:

Seja f E V e a, b E K.

+ b)f)(x)

((a

=

Portanto, (a [.M 3]

:

+ b)f =

a/

= (af)(x)

+ bj(x).

+ bf.

Sejaf E V e a, b ((ab)f(x)

Então,

+ b)f(x) = af(x) + bf(x) (af + bf)(x), Vx E X

= (a

= (ab)f(x)

E

K.

Então,

= a(bf(x}) = a(bf)(x} = (a(b/))(x), 'tlx E X

Portanto, (ah)f = a(bf).

;1vf 4]

: Seja =

Como todos os

4.6.

f

E

V.

f(x), Vx

Então, para a unidade 1 E K, (lj)(x) = 1/(x) = E

a~iomas

X.

Portanto, 1/

=f.

estão satisfeitos, V é um espaço vetorial sôbre K.

Seja V o t:onjunto de pares ordenados d~ números reais V = f (a, b) · :a, b .E Rj. Mostre que V não é espaço vetorial sôbr~ R em relaçãb a cada uma. das seguintes operações de adição em V e multiplicação por escalar em V:

+ (r.:., d)

=

(a+ c, b

(ii) (a, b) +(c, d)

=

(a, b) ~ k(a, b) = (ka, kb);

+ (c, d)

=

(a

(i)

(a, b)

(iií) (a, b)

+ d)

+ c, b + d)

e k(a, b)

e k(a, b)

=

(ka, b);

~ (k 2 a, k 2 b).

Em cada caso mostre que um dos axiomas de espaço vetorial não vale.

84

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS (i)

Sejam r = I, s

= 2,

+ sv

rv Como (r (ii)

(iii)

4).

+ sv,

Sejam

r = 1., s

= 2,

v

(9, 4) (3, 4)

+ (6,4)

= (9, 8)

o axioma [M 2] não vale. Então,

(1' 2)

=

Então,

= 3(3, 4) = + 2(3, 4) =

2), w = (3, 4).

= (1,

+w

rv

= (3,

+ (3, 4) = w +v = (3, 4) + (1, 2) = v + w ~ w + v, o axioma v

Como

= I (3, 4)

+ s)v ~

v

Sejam

v

+ s)v

(r

[CAP. 4

= (3,

(1, 2) (3, 4)

[A 4] não vale.

4).

Então,

(r+ s)v = 3(3, 4) = (27, 36) rv

+

sv

=

I (3, 4)

Assim, (r+ s)v r! rv

+ 2(3, 4) =

+ sv;

(3, 4)

+ (12, 16)

= (15, 20)

logo, o axioma [M2) não vale.

SUBESPAÇOS 4.7.

Demonstre o teorema 4.2. W é um subespaço de V se, e sõmente se, (i) W é não-vazio, (ii) v, w E W implica v w E W, e (iii) v E W implica kv E W para todo escalar k E K.

+

Suponha que W satisfaz (i), (ii), (iii). Por (i), W é não-vazio; e por (ii) e (iii), as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar são bem definidas em W. Além disso, os axiomas [A 1), [A4], [Mtl. [M21. [M3] e [M4] valem em W pois os vetores de W pertencem a V. Portanto, precisamos somente mostrar que [A 2l e [A3] também valem em W. Por (i), W é não-vazio, digamos 11 E W. Então por (iii), Ou = O E W e v O = v para todo v E W. Portanto, W satisfaz [A 2]. Finalmente, se v E W, então (-l)v =--v E W e v+ (-v) = O; portanto, W satisfaz [A 3]. Assim, W é um subespaço de V.

+

Jnversament~.

4.8.

se W é subespaço de V, então claramente valem (i), (ii) e (iii).

Demonstre. o corolário 4.3. W é subespaço de V se, e sõmente se, li) O E W e (ii) v. w E W implica av + bw E W para todos os esca- · lares a, b E K. Suponha que W satisfa" (i) e (ii). Então, por (i), W não é vazio. A!ém disso, se v, w e: W; e se v E W e h E: K, então, por (ii), kv ~ kv Ov e IV. Assim,

+

~lo

teorema 4.2, W é um subespaço de V. Inversamente,

~

W é subespaço de V, então claramente (i) e (ii) valem

em W.

4.9.

Seja V= R 3 • (i)

Mostre que W é subespaço de V, onde

= {(a, b, O): a, b E R}, isto é, W é o plano xy, .constituído por aquêles vetores cuja terceira componente é O;

W

(i i) W = {(q, b, c) :a + b + c = O},. isto é, W consiste naqueles vetôt'es cada um dos quais com a propriedade de que a soma de suas componentes é zero.

ESPAÇOS-VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4] (i)

O = (O, O, O) E l.V, pois a terceira componente de O é O. Para quaisquer vetores v = (a, b, O), w = (c, d, O) em lV, ~ quaisquer escalares (números reais) k e k',

kv

+ k'w

= k(a, b, O)

+ k' (c, d, O) + (k'c, k'd, O)

,;, (ka, kb, O) Assim, kv (ii)

85

O

+

= (ka

+ k'c,

kb

+ k'd, 0)

k'w E W; logo, IF é subespaço de V.

= (0, O, O) E H'

p<·is O + O +

O = O.

w = (a', b', c') pertencem a Ir," isto é, a

Suponha

+ b +c

=

que

O e a'

=

(a, b, c),

+ b'

+c' = O.

v

Assim, para quaisquer escalares k e k', ~t•

+ k'w

+ k'(a', b', c') + (k'a', k'b', k'c') + k'a', kb + k'b', kc + k'c') ·

=

k(a, b, c)

=

(ka, kb, kc)

=

(ka

e, além disso,

(ka

+ k'a')

+ (kb

+ k'b')

= k(a + b + Assim, kv

4.10. Seja V (i)

=

R3 .

+

k'w

E

+ (kc + k'c') =

c) + k'(a' +-b' + c')

= kO + k'O = O

TI'; logo, IV é subespaço de V.

Mostre que W não é subespaço de V, onde

W = {(a, b, c): a 2: 0}, isto é, W consiste nos vetores cuja primeira componente é não-negativa;

+ +

(ii) W = I (a, b, c) : a 2 b2 c2 ~ 1, isto é, W consiste nos vetores cujo comprimento não excede 1;

(iii) W = {(a, b, c): a, b, c E Q}, isto é, W consiste nos vetores cujas componentes são números racionais. Em cada ca~o. mostr" qu" uma das propriedades do, digamos, teorerna 4.2, não vale_

(i)

v= (1, 2, .3) E W e k = -5 E R. Mas kv = -5(1, 2, 3) = (-5, -10, -15) não pertence a W, pois -5 é negativo. Portanto, l•V não é subespaço de V.

(ii)

v = (1, 0, O) E W e w = (O, 1, O) E W. Mas v+ w = (1, O, O)+ (0, 1, O)= (1, 1, O) não pertence a W, pois 1 2 + t2 + 0 2 = = 2 > 1. Portanto, W não é subespaço de V. ·

(iii)

v = (1, 2, 3) E W e k = 2 E R. Mas ku = Vl(l, 2, 3) = (Vl, 2Vl, 3'\12) não pertence a W, pois suas comiJonentes não são números racionais, Portanto, W não é subespaço de V.

4.11. Seja V o espaço vetorial de 'tôdas as matrizes quadradas n X n sôbre um corpo K. Mostre que W é subespaço de V, onde (i)

W consiste nas matrizes simétricas, isto é, tôdas as matrizes A = (a;;) para as quais a;; = a;i;

(ii) W consiste em tôdas as matrizes que comutam com uma matriz T dada, isto é, W = IA E V: AT = IA). (i)

O E W, pois todos os elementos de O são O e, portanto, iguais entre si. Agora, suponha que A = (a;j) e B = (bü) pertenç:1m a Til', isto é, ai; = aü e

86

'ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

[CAP. 4

+

· bji = bij. Para quaisquer escalares a, b E K, aA bB é a matriz cujo elemento ij é aa;i bbij· Mas aOji bbji = aa;i = bb;j. :\ssim, aA bB é também simétrica; logo, W é subespaço de V.

+

(ii)

+

O E W, pois OT =O = TO.

=

,\gora, suponha A, 13

AT

=

(aA

+ bB)T =

(aA)T

+ (bB)T =

=

T(aA)

+

TA c BT

Assim, aA pap de V.

TB.

E

W; isto,:,

Para quaisquer escalares"· b

+ bB comuta

F

K,

+ b(BT) =a( TA)+

a(A T)

T(hB) = T(aA

+

b(Tl3)

+ bB)

com T, isto é, pertence a W; portanto, W é >'ubes-

4.12. Seja V o espaço vetorial de tôdas as matrizes 2 X. 2 sôbre o corpo real R.

Mostre que W não é subespaço de V, onde

(i)

W consiste em tôdas as matrizes com determinante nulo;

(ii)

W consiste em tôdas as matrizes A para as quais A 2

(i)

(ca db)

· fLembre que det

B --

A

(ou ol)

+B

= (

ad - bt-.)

=

:\s matrizes A

=

(t ()) =\p 0

pertencem a W, pois det (A) = O e dct (B) = O.:

~ ~)

não pertencem a IV, pois det (A

+ B)

=

A. e

!VIas

1.

Portant0, 11' não é subespaço de V. (i i)

. umda . de I = A matn:~:

]2

=

(

~ ~)

Mas 2/ =

2 ( 0

(t·o o)

G~) o) 2

1

=

.

(

perltmce a W, pois

~ ~)

não pertel).;cm

,~

=

I

W, poi,

G~)

~

2I

Portanto, W não é subespaço de V.

4.13. Seja V o espaço vetorial de tôdas as funções do corpo real R em R. Mostre que W é subespaço de V, ondt> (i)

W = IJ :f(3) = O}, isto é, W consiste nas funções que transformam 3 em O;

(ii) W = {f :f(7) = f(l)}, isto é, W consiste nas funçõe~ que conferem o mesmo valor a 7 e a 1 ; (iii) W consiste nas funções ímpares, isto é, nas funções f para as quais f(-x) = -f(x). ·Aqui O signifiCa a função nula O(x) = O, para todo x E R.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4] (i)

=

O E 1-V, pois 0(3)

f,

Suponha

O.

87

g E W, isto é, /(3)

=

O e g(3)

=

O.

Então, para quaisquer números reais a e b,

+ bg)(3) = af(3) + bg(3) = aO + bO = af + bg E W; logo, W é subespaço de V.

(af

Portanto, lii)

O.

O E H', pois 0(7) =O = 0(1). Suponha/, g E W, isto é, /(7) = /(1) e g(7) = = g(l). Então, para quaisquer números reais a e b,

(af

+ bg)(7) = a/(7) + bg(7) = aj(l) + bg(1) = + bg E lÍ'; logo, n· é subespaço de V.

+ bg)(l)

(af

Portanto, af (iii)

= O=

O E H', pois 0(-x) = -J(x) e g(-x)

(af

=

-g(x).

+ bg)(-x)

= aj(-x) =

Portanto, af

+ bg E

-0 = -D(x).

Suponha /, g

E

JJ', isto é, j(-x) =

Então, para quaisquer números reais a e b. -(af(x)

+ bg(-x) = -aj(x)- bg(x) + bg(x)) = -(a/ + bg)(x)

Ir; logo, Tr é subespaço de V.

4.14. Seja V o espaço vetorial em tôdas as funções do corpo real R :\iostre que W não é subespaço de V, onde

em

R.

(i) w = {f :f(7) = 2 + f(l)}; (ii) W consiste em tôdas as funções não negativas, isto é, tôdas as funções f para as quais f(x) ~ O, V x E R. (i) Suponha f, g e !F; isto, é, /(7) = 2 + j(l) e g(7) = 2 + g(l). Então,

(/ + g)(7)

=

j(7)

= 4

(ii)

+ g(7)

=

2

+ j(l) + g(l)

+ f(l) + 2 + g(1) 4 + (j + g)(l) ~ 2 + (j + g)(l)

=

Portanto, f + g 'I= H'; logo, H' não é subespaço de V. Sejam k = -2 e f e V definidas por. f(x) = x 2 . Então, f e W, pois j(x)

~

x2

:;.

O, Vx E R.

(kf)(S) = kf(S)

Portanto, kf

tf

Mas, =

(-2)(5 2) = -50

>

O.

H'; logo, H' não é subespaço d~ V.

4.15. Seja V o espaço vetorial dos polinômios a 0 + a 1t + a 2t2 + + ant" com coeficientes reais, isto é, a; E R. Determine se W é ou não é subespaço de V, onde (i) (ii) (iii) ,..

W consiste em todos os polinômios com coeficientes inteiros; ~ 3; 2 W consiste em todos os polinômios b0 b 1t b.j} b,.t 2 n isto é, polinômios somente com potências pares de t.

(i)

Não, pois escalares múltiplos de vetores em W nem sempre pertencem a lV.

W consiste em todos os polinômios com grau

+

+

+

+ ... + +

Por exemplo, v = 3 + St + 7t 2 E ll' mas 1/2 v = 3/2 5/2 t 7/2 t 2 'F H'. (Observe que TV é ''fechado" sob adição de vetores, isto é, somas de elementos em W pertencem a H'.) · (ii)

e (iii). Sim, pois, em cada caso, lY é não-vazio, a soma dos elementos em IV perterice a H', e os múltiplos escalares de qualquer elemento de H' pertencem a H'.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

88

[CAP. 4

4.16. Considere um sistema homogêneo de equações lineares em n incógnitas xlt ... ,x, sôbre um corpo K

a21X1

+a +

a,, 1x 1

+

a 11x 1

12X2

a22X2

+ +

a,u2X2

+ al..->.:n =o + a x,. O 2..

+

Mostre que o conjunto solução lV é subespaço do espaço vetorial Kn. O = (0, O, ... , O) E JY; pois, claramente,

+ a;20 + ... + a;.. O =

a;10

Suponha que u = (ut, u 2 , . i= I, .. , m

..•

+ bv

I, ... , m

t•,) pertencem a 11·. isto é, para

+
Sejam a e b escalares em K. au

=

.,

+ a;zu2 +

ao~u1 UiJt'J

e, para i

O, para i

u,) e v= Ú'J, v 2 ,

"= (au1

Então,

+ bv1 auz + /n·z,

--t- bt·,J

, au,

1, ... , nz,

=

+ a;, (au, + bv,)

+ a;2u2 +

= a(a;rul

=aO+ bO =O.

+

Portanto, au bv ê uma solução do sistema, isto é, pertence a W. com isso, l·V é subespaço de K~.

De acôrdo

COMBINAÇÕES LINEARES 4.17, Escreva o vetor v e1

=

(1, 1, 1), e 2

(1, -2, 5) como combinação linear dos vetores

=

=

(1, 2, 3) e e 3 ~ (2, -1, 1).

Queremo» expre~5ar t• como v a determinar. Assim, impomos (1,

2, 5)

=

xe1

+ y~2 + z~3.

onde ~·. y e z são esçalares

2, 3) + n(2, -1, I) + (y, 2y, 3y) + (2z, -z, ::;) (x + y + 2z, x + 2y- z, x + 3y + ;;)

=

x(l, I, I)+ y(l,

= (>.·, x, x) =

Forme o sistema equivalente de equações fazendo as componentes correspondentes iguais entre si e depois reduza à forma escalonada

x+ y+2z= X+

2y -

X+

3y

+

I

Z =

-2

=

5

Z

x

+ y + 2z

= I y - 3z =·-3

ou

2y -

g

=

x ou

+ y + 2z y - 3z

4

Note que o sistema acima é consistente; logo, tem solução. às inc6gnitas para obter x = -6, y = 3, z = 2. Portanto,

v = -6n

5z

=

1 -3

=

10

=

Resolva em relação

+ Je2 + Ze3.

4.18. Escreva o vetor v= (2, -5, 3) em R3 como combinação linear dos vetores e1 = (1, -3, 2), e 2 = (2, -4, -1) e e3 = (1, ~5, 7).

CAP. 4]

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS Escreva

11

89

como combinação linear dos e; usando as incógnitas

x, y e z: 11 = xe1 + ye2 + Zll'J. = x(1, -3, 2) + y(2, -4, -1) + z(1, -5, 7}

(2, -5, 3)

(x

=

+ 2y + z,

-3x -4y -5z, 2x -y

+ 7z}

Forme o sistema equivalente de equações e reduza à forma escalonada

;+

+

X+

2y z = 2 -3:c - 4y - 5z = -5 "" y 7z = 3

+ +

X+

2y Z = 2 2y - 2z = 1 -Sy Sz = -1

ou

+

ou

+

2y Z= 2 2y - 2z = 1

o=

O sistema é inconsistente; logo, não tem solução .. De acôrdo com isso, ser escrito como combinação linear dos vetores e1, e2 e e 3•

11

3

não pode

4.19. Para qual valor de k será o vetor u = (1, -2, k) em R3 uma combinação linear dos vetores v = (3, O, -2) e w = (2, -1, -5)?. Façau = xv

+ yw

+ y(2, -1, -5}

(1. -2, k}- x(3, O, -2}

+ 2y, -y, -2x -5y)

"" (3x

Forme o sistema equivalente de equações

3x

+ 2y

1,

=

-2x -5y = k

-y = -2,

Pelas duas primeiras equações, x

= -1,

y = 2.

Substitua na última equação para obter k .= -8.

4.20. Escreva o polinômio v dos_ polinômios e1 = t 2 Escreva

v= xn

11

~ t2

2t

-

+ 4t -3 sôbre R como combinação + 5, e = 2t 3t e e = t f 3. 2 -

2

lim·ar

3

como combinação linear dos e; usando as incógnitas x, y e z:

+ ye2·+·zes 12

=

+ 5} + y(2t 2 - 3t) + z(t + 3) + Sx + 2yl 2 - 3yl + zl + 3z + 2y)t 2 + (-2x- 3y + z)t + (Sx + _3z)

x(t 2 - 21 xt 2 - 2xt

41-3

(x

Faça os coeficientes das mesmas potências de t iguais entre si e reduza o sistema

à forma escalonada

X+ 2y -2x - 3y Sx

=

+

+

X+

1

z. = 4 3z = -3

2y y -10y

ou

X+

1 6

=

+ z= + 3z =

ou

2y )'

= 1 = 6 13z = 52

+z

-8

Note_ que o sistema é consistente; logo, tem solução. Resolva em relação às incógnitas para obter x = -3, y = 2, z = 4. Assim, v = -3et Ze2 4ea.

4.21. Escreva a matriz E

=

(~

-D

+

+

como combinação linear das matrizes

Escreva E como combinação linear de A, B, C usando as incógnitas

x, y e z:

U-D

E = xA

=~

+ yB + zC.

G~)

G ~)

+

(: ~)

+ (~

y

+ :z{~

~) + ( ~

-D

=:)

X

=

(

x+y

x

+2z)

y-z

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

90

[CAP. 4

Forme o sistema equivalente de equações fazendo os elementos correspondentes iguais entre si

X= Substitua x

X+

3,

y

= 1, X+ 2z = 1,

y-

Z

= -1

3 nas segunda e terceira equações para obter y

=

= -2

= -1.

e z

Como êsses valôres 'satisfazem· à última equação, êles formam uma solução do sistema. Portanto,. E = 3A - 2B - C.

4.22. Suponha que u é uma combinação linear dos vetores vH ... , vm e suponha que cada v1 é combinação linear dos vetores w1, . •• , wn U =

a1V1

+ a2V2 + ... + amVm

e

Vt =

bilWl

+ bt2W2 + .... +b;nWn

Mostre que u também é combinação linear dos S c L(T), então L(S) c L(T) . u

Assim, se

Wt.

= a1111 + azv2 + ... + a.nvm = a1(buw1+ ... +blnWn)+a2(b21WJ +. . +b2nWn)+ . . '+a,(bmtWI + .. +bmnWn) = (a1bu+a2b21+- .. +ambmVWI+ ... +(a1b1n+a2b2n+ ... +ambmnlWn

ou, simplesmente, u

= Zm a;v; = mZ i=l

a; (

i=l

Zn

b;;Wj)

=

j; (

}=1

J=l

i

a;b;j)

Wj

t=!

SUBESPAÇOS GERADOS, GERADORES

4.23. Mostre que os vetores u = {1, 2, 3), v geram R 3 •

=

{0, 1, 2) e w = (O, O, 1)

Precisamos mostrar que um vetor arbitrário (a, b, c) E &3 é combinação linear de u, v e w. Ponha (a, b, c) (a, b, c)

=

+

xu

yv

+ zw

= x(l, 2, 3) + y(O, 1, 2) + z(O, O, 1) (x, .2x + y, 3x + 2y + z)

Em seguida, forme o sistema de equações

x 2x

=a

+y = b 3x + 2y + z =c

z

ou

+ 2y + 3x

=c

= b x=a

y +2x

O sistema acima está na forma escalonada ,e é consistente; de fato, x y = b - 2a, z = c- 2b a é uma solução. Então, u, v, w geram R 3•

+

= a,

4.24. Encontre condições em a, b e c de modo que. (a, b, c) E R 3 pertença ao espaço gerado por u == (2, 1, O), v = (1, -1, 2) e w = (0, 3, -4). Escreva (a, b, c) como combinação linear de u, v e w usando incógnitas x, y e z, (a, b, c)

= xu + yv + zw (a,b, c) = x(2, = (2x

1, O) + y(1, -1, 2) + z(O, 3, -4) + y, x - y + 3z, 2y - 4z)

Forme o sistema e\:juivalente de equaçõe~ lineares e red1,.1Za à forma escalonada

2x

+y

x ~ y

=a b 4z =c

+ 3z =

2y·~

2x ou

+y

=·a 3y- 6z =a- 2b 2y~4z

=c

2x ou

+y

=a

3y - 6z =

a~

O= 2a

2b · ~

4b

~

3c

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4]

91

o vetor

(a, b, c) pertence ao espaço gerado por u, fJ e w se, e somente se, o 9Ístema acima é consistente, e êle é cànsistente se, e somente se, 2a- 4b- 3c = O. Note, em particular, que u, v e w não geram o espaço tod.o R 3.

4.25. Mostre que o plano xy W = l (a, b, O)} em R~. é geradô por ti e v, onde (i) u = (1, 2, O) e v = (0, 1, O); (ii) u = (2, -1, O) e v= (1, 3, O). Em cada caso, mostre que um vetor arbitrário (a, b, O) E W é combinação linear .de u e v. (i)

+

Faça (a, b, O) = xu yv: (a, b, O) = x(l, 2, O) +:Y(O, 1, O)= (x, 2x

+ y,

O)

Em seguida, forme o sistema de equações

x 2x

+y

=a

+ 2x

y

= b

= b

x=a

ou

0=0

O sistema é çqpsistente; de fato,- x = a,

y = b - 2a é uma solução.

Portanto, u e v geram W. (ii)

Faça (a, b, O) = xu

=

(a, b, O)

+ yv:

x(2, -1, O)

+ y(l, 3, O)

=

(2x

+ y, -x + 3y, O)

Forme o seguinte sistema e reduza à forma escalonada,

2x -x

+

y =a b

2x

+ 3y =

+

y =a

7y =a+ 2b

ou

0=0 O sistema é consistente; logo, tem solução. Portanto, W é gerado por u e ti. (Observe que não precisamos resolver em relação a x e y; é .apenas necessário saber que uma solução existe.)

4.26. Mostre que o espaço vetorial V dos polinômios sôbre qualquer corpo K não pode ser gerado por um número finito de vetores. Qualquer conjunto finito S de polinômios coritém um grau máximo, digamos m. Então, o espaço L(S) gerado por S não pode conter polinômios de grau maior que m. De acôrdo com isso, V ;;é L(S), para qualquer conjunto finito S.

4.27. Demonstre o teorema 4.5. Seja S um subconjunto não-vazio de V. Então, L(S), o conjunto de tôdas as combinações lineares de vetores de S, é um subespaço de V contendo S. Além disso, se W é qualquer outro subespaço de V contendo S, então L(S) c W. Se t1 E S, então lv =v E L(S); portanto, Sé subconjunto, de L(S). Também L(S) é não-vazio,poi5 Sé não-vazio. Agora. suponha ti, w e L(S); digamos, .!'

v

= a1V1

+ ... + a,.v.,.

onde Vi. w~ ;S,e 171, bf são escalares. '·

+w

=

e~alar

k,

v

e, pllrll Q\Hilquer

a1v1

kv = k(aiVt

+

w = ·b1w1

e

+- . +

b,.w,.,

E'ntão,

+ amVm + b1w1 + -. - + b.,wn

+ . '- + amvm)

=

ka1v1

+ ,:· +

ka~Vm

pertencem a L(S), pois cada um é combinação linear de vetores em S. De acôrdo .-com isso, L(S) é subespaço_ de V.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

92

[CAP. 4

Agora, suponha que W é subespaço de V contendo S e suponha que W. Então, todos os múltiplos a1v1o ... , amvm E T'V, onde a; E K, e, portanto, a soma a1v1 amVmE lV VJ, . . . , Vm E S c

+ .... +

Isto é, W contém tôdas as combinações lineares de elementos de S. temente, L(S) c W como afirmado.

Conseqüen-

ESPAÇO DAS LINHAS DE UMA MATRIZ 4.28. Determine se as seguintes matrjzes têm o mesmo espaço de linhas 1 3

A

-1

-2

-2) -3

·c-

o =~ =o

Reduza por linhas cada matriz à forma canônica por linhas

A

B

c

G

1D -1 -2) -2 -3 3

c -1 -1)

G

-3

-1

-1

3

para

(~·

para

(~

para

para

-1

c ~

D G oo D (~ 1 -~) D para

-1 -1) 2 ! para

l

c1 c ~

-1 -1) ~ para o

~

o o

Dc

Como as linhas não.nulas da forma reduzida de A e da forma reduzida de são as mesmas, A e C têm o mesmo_espaço de linhas. Por outro lado, as linhas não.nulas da forma reduzida de B não são as mesmas que as das outras; logo, B tem diferente espaço de linhas ..

4.29. Co~sidere

uma matriz arbitrária A = (a;;). Suponha que u = (b~o ... , bn) ê combinação linear das linhas R 1, ... ,Rm de A; digamos u = k 1R 1 k,Rm. Mostre que, para cada i, b1 = = k1ali + ktJZ, + ...kmam., onde a 11 , • • • , amt são os elementos da i-ésima coluna de A.

+ ... + + +

+

Temos u = k1R1 kmRm; portanto, (h, ... , On) ~ k1 (au, ... , aln) + ... + km (am1 1 -

(klilll

+ ... + k,.ilmi.

... , k1am1

••• ,

amn)

+ ... + kmamn)

Fazendo as componentes correspondentes iguais entre si, obtemos o resultado desejado.

4.30. Demonstre. Seja A = (a 1;) uma matriz escalonada com elementos distinguidos au1 , a 2; 2 , ••. , a,;, e seja B = (b;;) uma matriz escalonada com elementos distinguidos blk 1 , b2k2 , •.• , b•"•

****** A

B

CAP. 4]

ESPAÇOS VETORIA1S E SUBESPAÇOS

93

.Suponha que A e B têm o mesmo espaço de linhas. Então, os elementos distinguidos de A e B estão na mesma posição j 1 = k 11 j 2 = k~, ... , j, = k, e r = s. É claro que A = O se, e somente se, B = O; logo, só precisamos provar o teorema quando r 2_ 1 e s 2_ 1. Primeiro mostramos que h = k1. Suponha h< k 1• Então, a j-ésima coluna de B é nula. Como a primeira linha de A está no espaço das linhas de B, temos, pelo problema anterior, ali 1 = qO c
+

Portanto, i12. kt e, semelhantemente, kt2.it-

Assim,

h=

+ ... +

k 1.

Agora, seja A' a submatriz de A obtida por remoção da primeira linha de A, e seja B' a submatriz de B obtida pela remoção da primeira linha de B. Provaremos que A' e' B' têm o mesmo espaço de linhas. O teorema, então, seguirá por indução, pois A' e B' são também matrizes escalonadas. Seja R= (at, a2, .. , an) qualquer linha de A' e sejam R1, . .. , Rm as linhas de B. Como R está no espaço das linhas de B, existem e~alares dt, ... , dm, tais que R = d 1 R 1 d 2R 2 dmRm- Como A está na. forma escalonada e R não é a primeira linha de A, o h -ésimo elemento de R é zero; a1 = O para i =h = kt. Além disso, como B está na forma escalonada, todos os elementos .na kt·ésima coluna de B são O, exceto o primeiro, blk 1 ~0. mas b 2 k 1 =0, .. . ,bmk 1 =0.

+

+ ... +

Assitn,

Agora, btk 1 r' O, logo dt = O. Assim, R é combinação linear de R 2 ,. . , Rm; logo, está no espaço das linhas de B'. Como R era uma linha arbitrária de A 1, o espaço das linhas de A' está emitido no espaço das linhas de B'. Semelhantemente, o espa-ço das linhas de B' está contido no espaço das linhas de A'. Assim, A' e B' tl'm ~ mesmo espaço de linhas; logo, o teorema está provado.

4.31. Demonstre o teorema 4. 7. Sejam A = (a;;) e B. = (b;;) matrizes escalonadas reduzidas por linhas. Então, A e B têm o mesmo espaço de _linhas se, e sàmerite se, têm as mesmas linhas não-nulas. Õbviamente, se A e B têm as mesmas linhas não-nulas, então têm o mesmo espaço de linhas. Assim, somente precisamos ·provar a recíproca. Suponha que A e B têm o mesmo espaço de linhas e que R i-ésima linha de A. Então, existem escalares c 1 , . . . , Cs tais que

~

O é a (1)

onde os Rt são as linhas não-nulas de B. O teorema estará provado se mostrarmos que R = R;, isto é, c; = 1 mas Ck = O para k ~ i. _..Seja aii; o elemento distinguido em R, isto é, o primeiro elemento não-nulo de R. Por. (1) e problema 4.29, (2)

Mas, pelo problema anterior, bti; é um elemento distinguido de B e, como B é reduzida por linhas, é o único elemento não-nulo na j;-ésima coluna de B. Assim, de (2) obtemos a;;i = c;b;;,. Entretanto, a;i; = 1 e bii; = 1, pois A e B são reduzidas p~r.lin.has; portanto, c; '= 1.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

94

Agora, suponha k blema 4.29,

~i,

[CAP. 4

e b&iJc é o elemento distinguido em R1. Por (1) e pro(3)

Como B ·é reduzida por linhas, btik é o único elemento não-nulo na i~<-ésima coluna de B; portanto, por (3), a;Ík = nbkik· Além disso, pelo problema anterior, akh é um elemento. distinguido de A e, como A é reduzida por linhas, a;ik =O. Assim, = O e, como bk;k = 1, Ck está provado.

ckbkh

= O. De acôrdo com isso, R

R; e o teorema

=

4.32. Determine se as seguintes matrizes têm 'o mesmo espaço de colunas 3 2 4 , B = -3 -4 A= 1 12 17

~)

o

3)

(-l

Observe que A e B têm o mesmo espaço de colunas se, e somente se, as transpostas A 1 e B 1 têm o mesmo espaço de linhas. Assim, reduza A 1 e B 1 à forma escalonada reduzida por linhas

A'

=

(~

u

1 4 3

D

para

~~)

-2

B'

=

-3

- .3

para (

17

-4

(g ~

o

1 2

-2 -2 1

2

-D

para (

g

--~) para ( o~ -4

1

o -2 1

o

o

-i) para(~

-l)

para (

")

-2

g

o o o o

-~)

Como A e Bl têm o mesmo espaço de linhas, A e B têm o mesmo espaço de colunas. 1

4.33. Seja R um vetor linha e B uma matriz para a qual RB está definido. Mostre que .R13 é uma combinação linear das linhas de .B. Além disso, se A é uma matriz pará a qua-l AB está definído, mostre que o espaço das linhas"de AB está contido no espaço das linhas de B. Suponha R = (ai. a2 •... , am) e B = (b;j). B e Bl, . . , B" suas colunas. Então, RB

Sejam B 1,

(R . B 1, R . B 2 , •. . , R . Bn) ~ (a1b11 + a2b21 +-- . + ambmi. a1b12 + a2b22 , ,a2b2n +ambmn) . = aiCl)u, b12,.' .. .-bin) + Úi(b21, b22, ... ,b2n) +~ a1B1 a2B2 +a.,.B ...

.. _,

B,. as línhas de

=

+ ...

+

+ ...

+ ... + Gmbm2, . .. , .. + a,.(bml.

bm2.-

athn

+

., bmn)

Assim, RB é uma combinação linear das linhas de B, como foi dito. Pelo problema 3.27, as linhas de AB são R;B, onde R; é a i-ésima linha de A. Portanto, pelo resultado acima, cada linha de AB está no espaço das línhas de B. Assim, o espaço das linhas de AB está contido no espaço das linhas de lJ. .

SOMAS E SOMAS DIRETAS 4.34. Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. (i)

U e W estão contidos em U

(ii) U U

+W +W

Mostre que

+ W;

é o menor subespaço de V contendo U e W, isto é, é o espaço gerado por U e W: U W = L( U, W)

+

CAP. 4] (i)

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

95

Seja u E U. Por hip6tese, W ·é subespaço de V; Jogo, O E W. Portanto, u = u + O E U + W. De acôrdo com isso, U está contido em U + W. Semelhantemente, W está contido em U + W.

+

(ii) Como U W é um subespaço de V (teorema 4.8) contendo ambos U e W, deve também conter o subespaço gerado por U e W: L( U, W) c U W.

+

+

+

+

Por outro lado, se v E U W, então, v= u w = lu lw, onde u E U e w E ~f/; então, v é uma combinação linear de elementos em U U lV; logo, pertence a L(U, W). Assim, U W c L(U, W).

+

As duas relações de inclusão nos dão o resultado procurado.

4.35. Suponha que U e W são subespaços de um espaço vetoriàl V e que {u;) gera U e {w;) gera W. Mostre que {u;, w;). isto é, {u;} U {w;) gera U W.

+

Seja vEU+W. Então, v=zt+w, onde uWUe.wEW. Como{u;) gera U, ué combinação linear dos u; ; e como l'll!;l gera W, w é combinação linear dos w;

+ a2u; 2 + . . + anu;n, a; E K + b2w;2 + ... + bmWim• b;E K + w = iqu; 1 + a2u;2 + ... + GnUin + hw; 1 + b2wi2 + ... + bmwim; gera U + W. u = a1u; 1

W

Assim, v = u Ioga, {u;, w;}

=

b1wh

4.36. Demonstre o teorema 4.9. O espaço·vetorial V é a soma direta' de seus subespaços U e W se, e sàri1ente se, (i) V = U W e (ii) u n W = {O}.

+

Suponha que V = U ffi W. Éntão, qualquer v E V pode ser escrito de maneira única na forma v = u + w, onde u E U e w E l
v = v

(2)

v

=

O

+ O, + v,

onde v

E

U, O E lF; e

onde O E U, _v

E

W.

Como tal soma pilTa v deve ser única, v

:

= O.

De acôrdo com isso, U

+

Por outro lado, suponha V = U W e U n W = {O}. V = U W, existem u E U e w E W tais que v= u w. que 'tal soma é única. Suponha, também, que v = u' w' E lV. Então,

+

u

+w

= 1t'

+ w';

+

logo, u- u'

n lV =

{0).

Seja v E V. Como Precisamos mostrar w' onde u' E U e

+

= tv'- w

Mas u - u' E U e w' - w E 11'; portanto, por U () W logo u = u' w = w' i'ssim, tal soma para v E V é única e V = U'$ W.

= {O}, u - u' = O, w'- w

= O,

4.37. Sejam U e W os subespaços de R 3 definidos por

U= {(a,b,c):a=b=c) (Note que W é o plano yz.)

W= {(O,b,c))

Mostre que R3 = U

u n w = {0}, = O, que implica a = O, b =

Note primeiro que a ,.. b = c e a

e

para v

= (a,

e

E u () w = (0, O, 0).

b, c)

O, c = O, isto é, v

W. implka.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

96 v

[CAP. 4

+

Também afirmamos que R 3 = U W. Pois, se v = {a, b, c) E R 3 , então {0, b- a, c- a), onde (a, a, a) E U e (0, b- a, c- a) E W.

= {a, a, a)

+

As condições U

nW

= {O} e R 3 = U

+W

implicam R 3 = U (}) W.

4.38. Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas n X n sôbre o corpo R. Sejam U e W os subespaços das matrizes simétricas e anti-~imétricas, respectivamente. Mostre que V= U ffi W. (A matriz M é simétrica se, e sõmente se, M = M', e anti-simétrica se, e sõmente se, M' = -M.) Primeiro, mostraremos que V= U Note que

+ W.

Seja A uma matriz quadrada

n X n, arbitrária.

A = 1/2(A Afirmamos que 1/Z(A

+

A 1)

+ A + 1/2(A -A 1 )

E U e que 1/2(A-

(1/2(A +A'))'= 1/2(A +A')'= 1/2(A 1

isto é, 1/2(A

+ A 1)

é simétrica.

(l/2{A -A 1)) 1

isto é, 1/2(A -A

1 )

=

=

nW

{0}.

U

~

1 )

E W.

+ A 11)

=

Pois

1/2(A +A'),

Além disso,

1/2{A- A 1) 1

=

1/2(A 1 - A) = - 1/2(A -A 1),

é anti-simétrica.

Em seguida, mostraremos que U Então, M

A 1)

nW

= {0}.

.Suponha que ME U

M' e M' = ·-M o que implica M = -M ou M =O.

n W.

Portanto,

De acôrdo com isso, V= U (}) W.

Problemas Propostos .,:SPAÇOS VETORIAIS 4.39.

Seja V o conjunto das seqüências infinitas (at, a 2 , .• . ) num corpo K com adição em V e multiplicação por escalar em V, definidos por (at, a 2 , .) (bt, b2, ... ) = {at bt, a2 b2, ... )

+

+

+

k(at, a2, , .. ) = (kat, ka2, ... ), onde a;, b;, k 4.40.

E

K.

Mostre que V é espaço vetorial sôbre K. -

Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais com adição em V e multiplicação em V definidos por (a, b)

+ (c, d)

= (a

+ c, b + d)

e

k(a, b) = (ka, O) Mostre que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial exceto [M4] : lu Portanto, [M4] não é conseqüência dos outros axiomas.

4.41.

= u.

Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais. Mostre que V não é espaço vetorial sôbre R com adição em V e multiplicação por e8calar em V definidas por (i) (ti) (Hi)

(iv)

(a, b) + (c, d)

"" (a

+ d, b +c) e k(a, b) =

(ka, kb);

+ (c, d) ... (ii + c, b + d) e k(a, b) = (a, b); (a, b) + (c, d) = (O, O) e k(a, b) ~ (ka, kb); (a, b) + (c,d) = (a.c, bd) e k(a, b) = (ka, kb). (a, b)

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4] 4.42.

97

Seja V o conjunto dos pares ordenados (zt, z 2) de números complexos. .Mostre que V é espaço vetorial sôbre o corpo real R com adição em V e multiplicação por escalar em V definidas· por (zt, z2)

+ (wt, w2)

= (zt

onde z 1 , z 2 , w 1 , w 2 E C e k

E

+ Wt, z2 + w2)

e k(zt, z2) = (kzt, kz 2),

R.

4.43.

Seja V um espaço vetorial sôbre K, seja F um subcorpo de K. ·Mostre que V é também espaço vetorial sôbre F onde a adição de vetores em relação a F é a mesma que em relação a K, e onde a multiplicação por escaJa·r por um lemento k E F é a mesma que a multiplicação por k como elemento de K.

4.44.

Mostre que [A torial.

4.45.

Sejam U e W espaçàs vetoriais sôbre um corpo K. Seja V o conjunto de pares ordenados (u, w) onde u pertence a U e w a W: V= {(u, w): u E U, w E W}. Mostre que V é espaço vetorial sôbre K, com adição em V e multiplicação por escalar em V definidos por

página 75, pode ser deduzida dos outros axiomas de espaço ve-

4],

(u, w)

+ (u', w')

=

(u

+ u', w + ·w')

onde u, u' E U, w, w' E W e k E K. rior de U e W.)

e k(u, w) = (ku, kw),

({;:sse espaço V é chamado soma direta exte-

SUBESPAÇOS 4.46.

4.47.

Considere o espaço vetorial V no problema 4.39, de seqüências infinitas (at, a 2, . num corpo K. Mostre que W é subespaço de V se

.. )

(i)

W consiste em tôdas as seqüências com zero como primeiro elemento;

(ii)

W consiste em tôdas as seqüências, com somente um número finito em com· ponentes não-nulas.

Determine se W é subespaço de R 3 ou não, onde W consiste nos vetores (a, b, c) E R 3 para os quais (i) a ·= 2b; (ii) .a ~ b ~ c; (iii) ab = O; (iv) a = b = c; (v) a ,; b 2 ; (vi) kta k 2b k 3c = 01 onde k; E R.

+

+

4.48.

Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas n X n sôbre um corp~ K. Mostre que W é subespaço de V se W consiste em tôdas. as matrizes que são (i) anti-simétricas (A 1 = -A), (ii) ti:iangulares superiormente, (iii) diagonais. (iv) escaiares.

4.49.

Seja AX = B um sistema homogên!!O de equações lineares em n incógnitas.sôbre um corpo K. MostrP que o conjunto solução do sistema não é subespaço de K".

4.50.

Seja V o espaço de tôdas as funções do corpo real R em R. subespaço de V em cada um dos seguintes casos (i) J'

W consiste em tôdas as funções limitadas. (Aqui, existe ME R tal que 1/(x) I:5 M, Vx E R.)

f:

Mostre que W é

R--> R é limitada se

(i i)

W consiste em tôdas as funções pares. (Aqui, .f: R--> R é par se f(-x)= ,; f(x), Vx E R.)

(iii)

lV ê01isiste em tôdas as funções contínuas.

(iv)

l·V consiste em tôdas as funções diferençáveis.

(v)·

W

consist~

em tôdas as funções integráveis, digamos, no intervalo O~x~l.

(Os últimos três casos requerem algum conhecimento de análise.)

98

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

[CAP. 4

4.51.

Discuta se R 2 é ou não subespaço de R 3 •

4.52.

Demonstre o teorema 4.4. A interseção de um número qualquer de subespaços de um espaço vetorial V é subespaço de V.

4.53.

Suponha que U e W são espaços de V para os quais U U W é também subespaço. Mostre que ou U <= W ou W <= U.

COMBINAÇÕES LINEARES 4.54.

Considere os vetores u

=

(1, -3, 2) e v

=

(2, -1, 1) em R 3•

(i)

Escrevà (1, 7, -4) como combinação linear de u e v.

(ii)

Escreva (2, -5, 4) como combinação linear de u e

(iii)

Para que valor .de k é (1, k, 5) uma combinação linear de u e v?

(iv)

Procure uma condição para a, b, c de modo que (a, b, ~) seja combinação linear de u e v.

4.55.

Escreva u como combinação linear dos polinômios v = 2t 2 onde (i) u = 3t 2 St- 5, (ii) u = 4t 2 - 61- 1.

4.56.

Escreva E como combinação linear de A

+

C

=

(~ -~)

,

onde

(i)

E

t'.

+ 3t- 4 e w

1 (0

=G =D

(ii)

Bjl

\-1

E

=

(

= t 2 - 2t- 3,

~)

e

2 1)

-1

-2

SUBESPAÇOS GERADOS, GERADORES 4.57.

Mostre que (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, Í, -1) geram R 3, isto é, que qualquer vetor (a, ó, c)

é uma combinação linear dos vetores dados. 4.58.

Mostre que o plano yz W = ((O, ó, c)} em R 3 é ge~do por (i) (0, 1, 1) e (0, 2, -1);

(ii) (O, 1, 2), (O, 2, 3) e (O, 3, 1).

+

4..59.

MosÚe que os números complexos w = 2 3i e z = 1 - 2i geram o corpo com· plexo C como espaço vetorial sôbre o corpo R.

4.60.

Mostre que os polinômios (1 - t) 3 , (l- 1) 2, 1 ...: t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ~ 3. · ·

4.61.

Encontre um vetor em R 3 que gere a interseÇão de V e W onde U é o plano xy: = {(a,.ó, 0)}, e w é o espaço gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1, -1, 1).

4.62.

Demonstre. L(S) é a interseção de todos os subespaços de V contendo S.

4.63.

Mostre que L(S) = L(S U {O}). Isto é, acrescentando ou removendo o vetor nulo de um conjunto, não mudamos o espaço gerado pelo conjunto.

4.64.

Mostre que se S <= T, então L(S) <= L(T).

4.65.

Mostre que L(L(S))

u

=

L(S).

ESPAÇO DAS LINHAS ,Q~ U)\IA MATRIZ 4.66.

Determine quais das seguintes matrizes têm o mesmo espa!
A= ( 1 -2 -1). 3 -4 5 • B

(12 -13 -12)

'

c ... (~

3

=!

-S

~~) 1

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

CAP. 4] 4.67.

Sejam

UI VI

= =

= (2, 3, = (3, -2,

u2

(1, 1, -1), (1, -1, -3),

v2

-1), -8),

99

ua = (3, 1, -5) va = (2, 1, -3)

Mostre que o subespaço de R 3 gerado pelos u; é o mesmo subespaço gerado pelos v;. 4.68.

Mostre que se qualquer linha de uma matriz escalonada (escalonada; reduzida por linhas) é removida, então a matriz resultante ainda está na forma e~calonada (escalonada reduzida por linhas).

4.69.

Demonstre a recíproca do teorema 4.6: Matrizes com o mesmo espaço de linhas (e o mesmo tamanho) são equivalentes por linha~.

4.70.

Mostre que A e B têm o mesmo espaço de colunas se, e sàmente se, A' e B 1 têm o mesmo espaço de linhas.

4.71.

Sejam A e B matrizes para as quais AB é definido. Mostre que o espaço. das colunas de AB está contido no espaço das colunas de A.

SOMAS E SOMAS DIRETAS 4.72.

4.73.

Estendemos a noção de soma a subconjuntos não-vazios arbitrários (não necessàriamente subespaços) S e T de um espaço vetorial V, definindo S + T = {s + t; sE S, tE T}. Mostre que essa operação satisfaz

+

(i)

a lei comutativa S

(ii)

a lei associativa (St

(iii)

S

+

(iv)

S

+V

{O}

=

=

{O} +S

T

T

=

+ S;

+ S2) + Sa

=

+ (S2 + Sa);

= SI

S;

V+ S = V.

Mostre que par'a qualquer subespaço W de um espaço vetorial V, W+ W= W.

4.74.

Dê um exemplo de um subconjunto S de um espaço vetorial V que não é subespaço de V mas para o qual (i) S + S = S, (ii) S + S c S (pràpriamente contido).

4.75.

Estendemos a noção de soma de subespaços a mais de duas parcelas, como segue. Se WI, W2, .. . , Wn são subespaços de V, então, W~ = W2

+ ... + W,.

{wl

=

+ w2 + ... +

Wn :

'liJ; E

W;}

Mostre que

4.76.

(i)

L(WI, W2, ... , Wn)

(ii)

se S; gera TV;, i= 1,.

WI

=

+ W2 + ... + Wn;

, n, então S1US 2 U .. . USn gera W1+W2+ ... +W,..

Suponha que U, V e W são subespaços de um espaço vetorial. ..;

(U

n

V)+ (U

n W)

c

U

n (V+

Demonstre que

W)

Encontre subespaços de R 2 para os quais igualdade não vale. 4.77.

Sejam U, V e W os seguintes subespaços de R 3 : U= {(a, b, c):a

+

b +c= 0}, W

. Mostre que (i) R3 = U é direta a soma ?

=

+

V= {(a, b, c):a

c}.

{(O, O, c): c E R)}

V,

(ii) R 3 = U

+ W,

(iii) .Ra = V+ W.

Quando

[CAP.

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

100

4

4.78.

Seja V o espaço vetorial de tôdas as funções do corpo real R em R. Seja U o subespaço das funções pares e W o subespaço das funções ímpares. Mostre que V = U E9 W. [Lembre que f é par se, e somente se, f(-x) = f(x), e f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x).]

4.79.

Sejam J1! 1. W 2.. . subespaços de um espaço vetorial V para os quais IY 1 c TY2 c ... Seja W = IV1UW2 U. Mostre que JY é subespaço de V.

4.80.

No problema anterior, suponha que S; gera IV;, i = 1, 2, .. gera w.

Mostre que

s = SI u s2u 4.81.

Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas n X n. sôbre um corpo K. Seja o subespaço de matrizes triangulares superiores e Jr o s:.~bcspaço de matrizes triangulares inferiores. Encontre (i) U + W, (ii) U n IV.

4.82.

Seja V a soma direta externa dos espaços vetoriais U e TV sôbre um corpo K. (Veja problema 4.45.)

u

Seja fi= l(u,O):uE Mostre que (i)

fJ

e

UI. W=

I(O,w):wE W}.

W são subespaços de

fJ

V, (ii) V =

E9

W.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 4.47.

(i)

Sim.

(i i)

Não; por exemplo, (1, 2, 3)

(iii)

Não, por exemplo, (!,O, O), (0, 1, O) E W, tnas não sua

(i v) (v) (vi)

4.50.

E

Wmas-2(1, 2, 3)

í

W. soma~

Sim. .Não; por exemplo, (9, 3, O) E H! mas 2(9, 3, O) !f; JV. Sim.

(i) Sejam f, g E W com M1 e Mu cotas para para quaisquer escalares a, b ER,

f

e g, respectivamente.

Então,

laf(x)+bg(x) I~ iaf(x) I+ lbg(x) I= lall.f(x) I+ lbllg(x) I S: la. IM!+ Ih IMu

laf+bg)(x) I= =

Isto é, ia!Mt (i i)

+

lb!Mu é uma cota para a função af

+ bg.

(af +bg)(-x) =aj(-x)+bg(-x) = af(x)+bg(x) = (af+bg)(x)

4.51.

Não. Entretanto, pode-se "identificar" o vetor ·(a, b) E R 2 com, digamos, (a, b, O) no plano xy em R 3 , êles são elementos distintos pertencendo a conjuntos distintos, disjuntos. ·

4.54.

(i) (iv)

-3u 2v. (ii) ImpossíveL a- 3b- Se = O.

4.55.

(i)

u = 2v- w.

4.56.

(i)

E = 2A - B

+

4.61.

(2, -5, 0).

6.66.

A e C.

(iii) k = -8.

(i i) Impossível.

+ 2C.

(ii) Impossível.

CAP. 4]

ESPAÇOS VETORIAIS E SUBESPAÇOS

101

4.67.

Forme a matriz A cujas linhas são os u; e a matriz B cujas linhas são os v;, depois mostre que A e B têm a mesma forma canônica pqr linhas.

4.74.

(i)

Em R 2 ; seja S

=

{(0, O), (0, 1), (0, 2), (0, 3), ... }.

(i i)

Em R 2 , seja S

=

{(O, 5), (0, 6), (0, 7), ... }.

4.77.

A soma direta em (ii) e (iii).

4.78.

Pista. f(x) = 1/2(/(x)

+ J(-x)) + 1/2(/(x)- f(~x)),

onde

+ j(-x)) ~ par e 1/2(/(x)- f(-x)) é ímpar. v = u + w. (ii) u n w é o espaço das matrizes

1/2(/(x)

4.81.

(i)

diagollais.

Capítulo. 5 Bases e Dimensão INTRODUÇÃO Alguns dos resultados funâamentais demonstrados neste capítulo são: (i)

A "dimensão" de um espaço vetorial é bem definida (teorema 5.3).

(ii) Se V tem dimensão n sôbre K, então, V é "isomorfo" a 1\.." (teorema 5.12). (iii) Um sistema de equações lineares tem solução se, e somente se, a matriz dos coeficientes e a matriz aume.ntada tê1Ú o mesmo pôsto (teorema 5.10). Êsses conceitos e resultados são não triviais e respondeni certas perguntas levantadas e investigadas por matemáticas de ontem. Começaremos o capí!:ulo com a definição de dependência e independência lineares. Êsse conceito desempenha um papel essencial na teoria: da Álgebra Linear e na Matemática em geral. DEPEND~NCIA LINEAR

Definição. Seja V um espaço vetorial soore um corpo K. Diz-se que os vetores V~o . . . , v"' E V são linearmente dependentes sôbre K, ou simplesmente dependentes, se existem escalares a 1 , • • • ,a 111 E K, nem todos nulos, tais que

+

lLmVm =

("')

O

Do contrârio, diz·se que os vetores são linearmenl<~ independentes sôbre K, ou '!implesmente independentes. · Observe que a relação ('") será sempre válida se os a s são todos O, se essa relação é válida somente neste caso, isto é,

então, os vetores são linearmente independentes. Por qutro lado, se a relação (*) também é válida quando um dos as não é O, então os vetores são linearmente dependentes. Observe que se O é um dos vetores v 1 , os vetoresdevem ser dependentes; pois

••• ,

v 111 , digamos, v 1 = O, então

+ Ov = 1.0 + O + . . . + O = 111

102

O

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

103

e o coeficiente de v 1 não é O. Por outro iado, qualquer vetor não-nulo v é,. por si só, independente; pois h = O, v

~

O implica k

=

O.

Seguem outros exemplos de vetores dependentes e independentes. Exemplo 5.1. Os vetores u = (1, -1, 0), v = (1, 3; -1) e w = (5, 3, -2) são dependentes, pois, parn 3tt + 2v- w =O, 3(1, -1, O) + 2(1, 3, -1) -(5, 3, -2) = (0, O, O). Exemplo 5.2. Mostraremos que os vetores u =· (6, 2, 3, 4), v = (0, 5, -3, 1) e w = (0, o; 7, -2) são independentes. De fato, suponha que xu + yv + zw = O onde x, y e z são incógnitas escalares. Então,

+ y(O, 5, -3, 1) + z(O, O, 7, -2) + 5y, 3x- 3y + 7z, 4x + y- 2z);

(0, O, O, O) "" x(6, 2, 3, 4) = (6x, 2x

. logo, pela igualdade das componentes correspondentes, 6x 2x

=O

+ 5y

3x - 3y 4x

A primeira equação conduz a x a terceira equação com x = O, y xu

=

=

+ yv + zw

+·

=O

+ 7z

=O

y - 2z =O

O; a segunda equação com x O conduz a z = O. Assim,

== O implica x

=

=

O conduz a y = O"; e

O, y = O, z = O

De acôrdo com isso, u, v e w são 'independentes. Observe que os vetores no exemplo anterior formam uma matriz na forma escalonada

2

3

5 -3

'o

~·)

7 -2'

Assim, mostramos que as linhas (não..nulas) da matriz escalonada acima são independentes. ~sse re.sultado é válido em geral; nós o anunciaremos formalmente como um teorema, pois êle será freqüentemente usado.

Teorema 5.1. As linhas não-.nulas de uma matriz na forma escalonada são linearmente independentes. Par-à mais de um vetor, o conceito de dependência pode ser definido. eqUivalentemente como segue. Os vetores v 11 ••• , Vm são linearmente dependentes se, e :sõmente se, um dêles ·é combinação linear dos outros. De· fato, suponha que, digamos, v; é uma combinação linear dos outros:

BASES E DIMENSÃO

104

[CAP, 5

Então, somando -v; a ambos os lados, obtemos

onde o coeficiente de t'; não é O; portanto, os vetoreS são linearmente dependentes. Reciprocamente, suponha que os vetores são linearmente dependentes, digamos,

+ Então, vi= -bj 1b1v1

-

... -

b,vm = O onde

bj 1b1_ 1v1- I - bj 1bH 1vJ+I-

.. -

br.C O

b-/bmvm;

Jogo, vi é combinação linear dos outros vetores. Agora faremos uma assertiva levemente mai-s forte que a acima; êsse resultado tem muitas conseqüência-s importantes.

Lema 5.2. Os vetores não nulos, vi, ... , v,. são linearmente dependentes se, e sàmente se, um dêles, digan1os V;, é combinação linear dos vetores precedentes

Observação I. O conjunto {v 11 ••• , vml é chamado dependente ou independente se os vetores vi> ... , vm são dependentes ou independentes. Tamb~m definimos que o conjunto vazio

=

v2 ,

e o coeficiente de vi não é O.

Observação 3. Dois vetores vi e v 2 são dependentes se, e somente se, um dêles é múltiplo do outro.

Observação 4. Um conjunto que contém um subconjunto dependente é tam-bém dependente. Portanto, qualquer subconjunto independente é indePendente. Observação 5. Se o conjunto {vi, reordenação dos vetores {v; 1 , v;2 ,

__

__ , Vm·l :é independente, então qualquer v;ml ét também independente.

Observação 6. No espaço real R 3 a· depenpência de vetores pode ser descrita geometricamente como segue: dois ~etores quaisquer u e v sã~ dependentes se, e sõmente se, estão na mestna reta passando pela ongem; três vetores quaisquer u, v e w são depend~ntes se, e sõmente se, estão no mesmo plano passando pela origem.

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

u e v são depe'ndentes

u,

1•

105

e w são dependentes

BASES E DIMENSÃO Começamos com uma definição.

Definição. Diz-se que um espaço vetori
Teorema 5.3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. base de V tem o mesmo número de elementos.

Ecytão, tôda

Define-se a dimensão do espaço vetorial {O} como. sendo O. (De certa maneira,isso está de acôrdo com a definição acima, pois, por definição, 0 é independente e gera {0}.) Quando um espaço vetorial não é de dimensão finita, diz-se que êle é de dimensão infinita. Exemplo 5.3. Seja K um corpo qualquer. Considere o espaço vetorial K" que consiste de n-uplas de elementos de K. Os vetores

= (l, O, O, ... , O, O) e 2 = (0, 1,0, ... ,0,0)

e1

en =

(O, O, O, _ _, O, 1)

formam uma base, chamada a base usual, de K". Assim K" tem dimensão n. K.

Exemplo 5.4. Seja U o espaço vetoria I de tôdas as ma trizes 2 X 3 sôbre o corpo Então, as matrizes

(~ ~ ~) (~ ~ ~) (~ ~ ~) e~~)·(~

o

~).(6 ~ ~)

formam uma base de U. Assim,dim U = 6. Mais geralme. te, seja V o espaço vetorial de tôdas as matrizes m X n sôbre K e seja E;j E V a matri;z; cujo elemento-ij é 1 e O

BASES E DIMENSÃO

106

[CAP. 5

nas demais pos1çoes. Então, o conjunto IEül é base, chamada base usual, de V (pmblema 5.32); conseqüentemente,dim V= mn. Exemplo 5.5. Seja W o espaço vetorial de polinômios (em t) de grau ~ n. O con.· junto {1, t, t 2 , .•. , tnl é linearmente independente e gera lV. Assim êle é uma base de W, logo dim lV = n 1.

+

Comentamos que o espaço vet::>rial V de todos os polinômios não é de dimensão finita, pois (problema 4.26) nenhum conjunto finito de polifiômios gera V.

O teorema fundamental acima, sôbre dimensões, é conseqüência do importante "lema da substituição" seguinte.

Lema 5.4. Suponha que o conjunto {v 1 , v2 , ••• , vnl gera um espaço vetorial V. Se {wi, ... , wm} é linearmente independente, então m ~ n e V é gerado por um conjunto da forma

Assim, em particular, quaisquer n mente dependentes.

+ 1 ou

mais vetores em V são linear-

Observe, no lema. acima, que substituímos m dos vetores no conjunto gerador por m vetores independentes e ainda ficamos com um conjunto gerador. Agora, suponha que Sé subconjunto de um espaço vetorial V. mamos {vi, ... , vmJ de subconjunto independente maximal de S se (i)

Cha-

êle é um subconjunto independente de S; e

(ii) {v 1 , . . . , seguinte teorema.

V 111 ,

w} é dependente para qualquer w E S.

Segue o

Teorema 5.5. Suponha que S gera V e lv 11 ••• , vml é conjunto independente maximal de S. Então {vi, ... , vm} é base de V. A ·principal relação entre a dimensão de um espaço vetorial e seus subconjuntos independentes está contida no próximo teorema. Teorema 5.6. Seja V de dimensão finita (i) Qua.lquer conjunto de n dependente.

+1

~-

Então,

ou mais vetores é linearmente

(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.

(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é

base. &emplo 5.6. Os quatro vetores em K 4

(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (O, O, 1, 1), (0, O, O, 1) são linearmente independentes, pois formam uma matriz na forma escalonada. disso··; como dim K 4 = 4, êles formam uma base de K 4 .

Além

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5)

107

Exemplo 5.7. Os quatro vetores em R 3, (257, -132, 58). (43,

o. -17).

(521, -317, 94), (328, -512, -731),

devem ser linearmente dependentes, ppis vêm de um espaço vetorial de dimensão 3.

DIMENSÃO E SUBESPAÇOS Os teoremas seguintes dão relações básicas entre a dimensão de um espaço vetorial e a dimensão de um subespaço. Teorema 5.7. Seja W subespaço de um espaço vetorial n-dimensional V. Então dim W ~ n. Em particular, se dim W = n, então W = V. Exemplo 5.8. Seja W um 3ubespaço do espaço vetorial R 3. Agora, dim R 3 = 3; portanto, pelo teorema precedente, a dimensão de J.V só pode ser O, 1, 2 ou 3. Surgem os seguintes casos (i)

dim W

= O, então W = [0}. um ponto;

(ii) dim W = 1, então W é uma reta passando pela origem; (iii) dim W = 2, então W é um plano passando pela origem; (iv) dim W

= }, então W é o espaço todo R 3•

Teorema 5.8. Sejam U e W subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial V. Então, U W tem dimensão finita e

+ dím ( U + V)

= dim

U

+ dim W- dim ( U n W)

Note que, se V é a s·oma direta de U e W, isto é, V= U Efl W, então dim V = dirn ·u dim W (problema. 5.48).

+

Exemplo 5.9. ·suponha que U e W ~ão os planos xy e yz, re~pectivamente, em R": U = l(a, b, O)l, W = {(0, b, c)). Como R 3 = U + W, dim (U W) = 3. Também dim U ~ 2 e dim W = 2. Pelo teorema acima,

+

3

=

2

+ 2- dim (U ()

W) ou dim (U

Observe que isso concorda com o fato que U. logo, tem dimensão 1.

n

W é o eixo

n W)

= 1

y, isto é,

U f1 W

= [(O,

b, O)),

z

PÕS'I'O DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz arbitrária m X n sôbre um corpo K. Lembre que o espaço das linhas de A é o subespaço de K" gerado por suas linhas,

BASES E DIMENSÃO

108

[CAP. 5

e o espaço das colunas de A é o subespaço de k"' gerado por suas colunas. As dimensões do espaço das linhas deA e do espaço das colunas de A são c~amadas, respectivamente, pôs to das linhas e pôs to das colunas de A.

Teorema 5.9. O pôsto das linhas e o pôsto das colunas de uma matriz A são iguais. Definição. O posto da matriz A, escrito pôsto (A), é o valor comum de seu pôsto das linhas e seu pôsto das colunas. Assim, o pôsto de uma matriz dá o número máximo de linhas independentes e também o número máximo de colunas independentes. Podemos obter o pôsto de uma matriz como segue. Suponha que A

o

=

calonada usando as operações A para

o

2 2 4

2 6 10

-1 -2

-1) -3

.

Reduzimos A à forma es-

-5

element~res

-1)

o -3 -6

o -3 -6

com linhas

o

para

o

2 2

-3

o

o

-l)

-1 .

o

Lembre que matrizes equivalentes por linhas têm o mesmo espaço das linhas. Assim, as linhas não-nulas .da matriz escalonada, que são independentes pelo. teorema 5.1, formam uma base do espaço das linhas de A. Portanto, êsse pôsto de A é 2.

APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES LINEARES x;I,

Considere um sistema de m equações lineares em n incógnitas . , x,, sôbre·um corpo K aux1

+ a12X2 +

a21X1

+·a22X2 +

ou a equação matricial equivalente

AX

=

B,

onde A = (a;i) é a matriz dos coeficientes, e X = (x;) e B = (b;) são os . vetores coluna das mc6gnitas e das constantes, respectivamente. Lembre que a matriz aumentada do sistema é definida corno sendo a matriz

(A, B) =

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

109

Observação' 1. Diz-se que as equações lineares acima são dependentes ou independentes de segundo, sejam os vetores correspondentes, isto é, as linhas da matriz aumentada, dependentes ou independentes. Observação 2. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, as matrizes aumentadas correspondentes são equivalentes por linhas, isto é, têm o mesmo espaço das linhas. Observação 3. Podemos sempre substituir um si~tema de equações por um sistema de equações independentes, tal ·como um· sistema na forma escalonada. O número de equações independentes será sempre igual ao pôsto da matriz aumentada. Observe que o sistema acima é também equivalente à equação vetorial

Assim, o sistema AX = B tem solução se, e somente se, o vetor coluna B é uma combinação linear das colunas da matriz A, isto é, pertence ao espaço das colunas de A. Isso nos dá o seguinte. teorema básico de existência. Teorema 5.10. O sistema de equações lineares. AX = B tem solução se, e somente se, a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada (A, B) têm o mesmo p6sto. Lembre (teorema 2.1) que se o sistema AX = B tem uma solução, digamos v, então sua solução geral é da forma v + W = {v+ w : w E W} onde H-7 é a solução geral do sistema homogêneo associado AX = O. Agora, W é subespaço de K"; logo, t~m uma certa dimensão. Surge o próximo teorema, cuja demonstração é deixada para o próximo capítulo. Teorema 5.11. A dimensão do espaço soluçao W do sistema homogêneo de equações lineares AX = O, é n- r, onde n é o pôsto da matriz A dos coeficientes. No caso do sistema AX = O estar na forma escalonada, então êle tem P.{ecisamente n - r variáveis livres, digamos, X;t, X;2r ..• , X;n-r· Seja vi a solução obtida fazendo x;r 1, e tôdas as outras variáveis livres =.0. Então, as soluções v1 , . . • , v,_, são linearmente independentés (problema 5.43); logo, forir~am uma base do espaço das soluções. Exemplo 5.10. Encontre a dimensão e uma base do espaço das soluções W do sis· tema de equações lineares x x 2x

+ 2y + 2y + 4y

- 4z - 2z -2z

+ 3r - s = O + 2r + s = O + 3r + 4s = O

. BASES E DIMENSÃO

110

[CAP. 5

Reduza o sistema à forma escalonada

+ 2y

x

- 4z

+ 3r

6z - 3r e, então,

+ 2y

x

- 4z

s = O

-

r+

2z -

+ 3r

2s =O

+ 6s

=O

s ..;. O

-

r+ 2s =O

2z -

Há cinco incógnitas e duas equações não-nulas na f.:>rmn escalornda; portanto, dim Ir .... = 5-2 = .3. Note que as variáveis livres são y, r e s. Faça (i) y

= 1, r =

O, s

=

O, (i i) y

=

O, r

=

= O,

1, s

(iii) y

=

O, r

=

O, s

=

1

para obter as seguin •es s::>luções respectivas VI=

O conjunto {vi,

v2 =H. O, 1/2, 1, O), v 3 = (-3, O, -1, O, I)

(-2, 1, O, O, 0),

112,

v3 } é uma base do espaço das s:>luções Tr.

COORDENADAS Seja {el> ... , en} uma base de uni espaço vetorial n-dimensional V sôbre um corpo K e seja v um vetor qualquer em V. Como {e;} gera V, v é uma combinação linear dos e; v = aie 1

+ a2e~ + ... + anen,

a; E K

Como os e, são independentes, tal representação é única (problema S. 7), isto é, os n escalares ar. . .. , an são completamente determinados pelo vetor v e a base {e1 }. Chamamos êsses escalares as coordenadas de v em (e;}. chamamos a n-upla (alo ... , an) vetor coordenada de v em relação a {e;} e a anotamos [v]. ou simplesmente [v]

[v]. = (ai, a2, ... ' an) Exemplo 5.11. Seja V o espaço vetorial dos polinômios com grau ::; 2 V= {at 2

+ bt +c: a, b, E

RI

Os polinômios ti =

I, e 2 = t - 1 e e 3

formam uma base para V. Seja v relativo à base le1. e 2 , e 3}.

21

t' =

2

-

5t

= (t -

+ 6.

I )2

= 12 -

2t

+1

Encontre [vJe, o vetor coordenada de

Escr.:!va v c:Jmo combinação linear dos e;, usando as incbgnitas x, y e z: v

+ ye2 + zeu.

2t 2

-

5t

+6=

+ y(t- 1) + n(t2- 2t + 1) + yl - y + l!t 2- 2zt + z zt2 + (:y ~ 2z)t + (:;~; - y + :~;) x{l)

= x ~

I)epois faça

05

coeficiente" de mesma potência de t iguais mitre. si I

:~:-y+ll~fi

y- 2z = -5

z = 2

=

xet

+

CAP. 5] A solução do sistema acima é

x

= 3,

=

y

-1, z

+ 2ea.

v = 3el- e2

v

111

BASES E DIMENSÃO

= 2. Assim,

logo [v). = (3, -1, 2)

Exemplo 5.12. Considere o espaço real R 3• Encontre o vetor coordenada de 1), h = (O, 1, 1), fa = (O, O, 1)

= (3, 1, -4) relativo à base h = (1, 1,

Escreva v como combinação linear dos f; usando as incógnitas x, y e z: v = xfl

+ yf2 + zfa

+

= x(1, 1, 1) + y(O, 1, 1) + z(O, O, 1) =(x, x, x) + (0, y, y) + (0, O, z)

(3, 1, -4)

= (x, x + y, x + y

+"z)

Depois, faça as componentes correspondentes iguais entre si, para obter o sistema equivalente de equações X

X+

y

=

3

=

1

x+y+z=-4 tendo solução x

=

3, y

= -2, z

=

-5. Assim, [vr/ = (3, -2, -5).

Observamos que, relativo à base usual e1 = (I, O, O), e 2 = (O, 1, 0), e 3 o vetor coordenada de v é idêntico ao próprio v: [v]c = (3, 1, -4) = v.

=

(O, O, 1),

Mostramos acima que para cada vetor v E V corresponde, relativa a uma base dada {e~o ... , e.. }, uma n-upla [v]. em K". Por outro lado, se (a 1 , . • . , a,.) E K", entã.o existe um vetor em V de forma a 1e1 + ... + a..e... Assim a base {e;} determina uma correspondência biunívoca entre os vetores em V e as n-uplas em K". Observe também que se v=a 1e1 +a,.e,. · corresponde a (a~> ... , a .. ) e w = b1 e1 + ... + b"e" corresponde a (b 11 • • • b,.) então v + w = (a1 + b1)e 1 + ... + (a,. + b,.)e,. cotresponde a (a~> ... , a,.)+ + (b 11 ••• , b.. ) e, para qualquer escalar k E K,

+ ...

kv = (ka 1)e 1

+ ... + (ka.. )e.. corresponde a k(a

11 . . . ,

an)-

Isto é, [v+ w]. = [v].+ [w],

e

[kv]. = K[v]..

Assim, a correspondência biunívoca acima entre V e K" preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, dos espaços vetoriais; então, dizemos que V e K" são isomorfas, escrevemos V,....., K". Enunciamos formalmente êsse resultado.

Teorema 5.12. Seja V um espaço vrtorial n-dimensional sôbre um corpo K. EnLio, V e Kn são isomorfas. O exemplo seguinte dá uma aplicação prática do resultado acima. Exemplo 5.13. Determine se as seguintes matrizes são dependentes ou independentes A=

G o -3) 2

1

'B

=

G

3 5

-:) . c=

C!

8 10

,;l~)

Os vetores coordenados das matrizes acima relativos à base do exemplo 5.4 são [A]= (1, 2, -3, 4, O, 1), [B] =(I, 3, -4, 6, 5, 4) [C]= (3, 8, -11, 16 .,.. 9)

BASES E DIMENSÃO

112

[CAP. 5

Forme a matriz M cujas linhas são os vetores coordenadas acima

-3 3 -4 8 -11

2

M=G G

o

4 6 16

D

5 10

Reduza Af por linhas à forma escalonada

M para

.

para (

~

2 1 2

4

-1

2

5

-2

4

10

-3 -1

2 1

o o

o

-3

o

4 2

D

l)

5

o o o

Como a matriz escalonada tem somente duas linhas não-nuÍas, os vetores coordenadas [A], [B] e [C] geram um espaço de dimensão 2; logo, s_ão dependentes. De acôrdo com isso, as matrizes originais A, B e C são dPpendentes.

Problemas Resolvidos DEPEND~NCIA LINEAR

5.1.

Determine seu e v são linearmente dependentes ou não,se

u

(iii) (i v)

= (3, 4), v = (1, -3) u= (2, -3), v = (6, -9) U= (4, 3, -2), v = (2, -6, 7) u= (-4, 6, -2), v = (2, -3, 1)

(v)

u=

Go

(vi)

u=

(~

(vi i)

u= 2- St

(i)

(i i)

(viii)

-2

u= 1 -

2

-5

-~).

v

=

-3)4'

v

=. (~ -5

+ 6t:J.- t3 3t + 2t 3t 2

-

3

(~

·4

o 2

I

v=

'

v

=

-D -D

3+ 2t - 4t -3

+

9t- 6!

2 2

+ 5t3 + 9r

3

Dois vetores u e v são dependentes se, e somente se, um é n1últiplo do outro. (i) Não. (ii) Sim, pois v = 3u. (iii) Não. (iv) Sim, pois u pois v = 2u. {vi) Não. (vii) Não. (viii) Sim, pois v = -3u.

5;2.

=

-2v. (v) Sim,

Determine se os seguintes vetores em R 3 são linearmente -dependentes ou não (i)

(1, -2, 1), (2, 1, -1), (7, -4, 1)

(ii)

(1, -3, 7) (2, O, -6), (3, -1, -1,. (2, 4, -5)

(iii)

(1, 2, -3), (1, -3, 2), (2, -1, 5)

(iv)

(2, -3, 7), (0, O, 0), (3, -1, -4)

BASES E DIMENSÃO

CAP. S]

113

{i) MHodo 1. Faça uma combinação linear dos vetores igual ao vetor nulo, usando incógnitas escalares x, y e z. x(l, -2, 1) Então.

(x, -2x, x (x

011

+ y(2, 1, -1) + z(7, -4, 1) =

)+ (2y, y, -y) +

+ 2y + 7z,

+ y- 4z,

-2x

(Ú, O, O)

(7z, -4z, z) = (O, O, O) x- y

+ z)

(O, O, O)

=

Faça as componentes correspondentes iguais entre si para obter o sistema ho~o­ gêneo equivalente e reduza à forma escalonada

+ +

+

x 2y 7z =O -2x y - 4z = O ou x - y+ z=O

x

+ 2y + 7z =O Sy + 10z =O -3y -

x

+ 2y + 7z

=O

+ 2z

=O

ou

6z ~O

y

O sistema, na forma escalonada, tem só duas equações não-nulas nas três incógnitas: portanto, o sistema tem solução não nula. Assim, os vetores iniciais são· linearmente dependentes. Método 2. Forme a matriz cujas linhas são os vetores dados e reduza à forma escalonada, usando as operações elementares com linhas

-2 1 -4

1)

-1 1

-2 1)

( 1 -2 .. 1 )' ( 1 O 5 -3 para O o 10 6 o

para

5 -3

o o

Como a matriz escalonada tem uma linha nula, os vetores são dependentes. (Os três vetores dados geran~ um espaço de diniensao 2.) (ii) Sim, pois qualquer quatro (ou mais) vetores em R 3 são dependentes. (iii) Forme a matriz, cujas linhas são os vetores dados, e reduza a matriz por linhas à forma escalonada

-~ -~) -1

para (

~

o

5

_; -5

-~)

para

(.~

_;

o

11

-;) 6

o

Como a matriz escalonada não tem linhas nulas, os vetores são iooependentes. (Os três vetores dados geram um espaço de dimensão 3.) (iv) Como O

5.3.

=

(0, O, O) é um dos vetores, os vetores são dependentes.

Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R. se as matrizes A, B, C E V são dependentes onde (i)

A=

. (ii)

A=

""

(i)

c

B =

(~

(~ ~)

c=

(!

Determine

c= (

1 -5) o

-4

Faça uma combinação linear das matrizes A, B e C igual a matriz nula, usando incógnitas escalares x, y e z, isto é, faça xA yB zC =O. Assim, X

ou

c D+

+

y

+

(~ ~) + z (~ ~) ~ (~ ~)

G ~) + U ~) + (~

~)

=

(

g g)

BASES E DIMENSÃO

114

[CAP. 5

ou Faça os elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema homogêneo de equações equivalentes

x+y+z=O x+ z=O

=0 =0

X

x+y

Resolvendo o sistema acima obtemos sàmente a solução nula, x = O, y = O, z = O. Mostramos que xA + yB + zC jmplica x '= O, y = O, z = O; por: tanto as matrizes A, B e· C são linearmente independentes. (i i) Faça uma combinação "linear das matrizes A, B e C igual ao vetor nulo usando incógnitas escalares x, y e z, isto é, faça xA + yB + zC =o O. Assim,

+ (3y -y) + ( z -5z) (OO O) (3xx 2x) x 2y 2y -4z O . O ( 3xx++ 3y2y +- 4zz 2xx -+y2y- 5z) ~ ( OO OO )· =

ou

ou

Faça os elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema homogêneo equivalente de .equações lineares e reduza à forma escalonada X+

2x -

Jy

+ 2y X+ 2y

3x

ou, finalmente,

+

Z

= Ü

X+

- 4z =O =

X+

0

Jy

+Z

Jy

+

Z =

0

- 7y - 7z = O - 7y - 7z = O -y - z =o

y - Sz = O ou

=

0

y+z=O .O sistema na forma escalonada tem uma variável livre e, portanto, tem solução não- nula, por exemplo, x = 2, y = -1, z = 1. Mostramos que xA yB zC = O não implica x = O, y = O, z = O; portanto, as matrizes são linearmente dependentes.

+

5.4.

+

Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau ~ 3 sôbre R. Determine se u, v, w E V são independentes ou dependentes, onde (i)

u = t3- 3t 2 +5t+ 1, v= tJ-:- t2+8t+2, w= 2t3

(ii)

u=t +4t -2t+3, v=t3+6t 2 -t+4, w=3t 3 +8t 2 -8t+7

(i)

3

-

4t 2 +9t+S

2

Faça uma combinação lineár dos polinôn1ios u, "e w igual ao polinômio nulo usando inc6gnitas escalares x, y e z, ioto é, faça xu + yv + zw = O. Assim: x(t 3 -3t 2 +5t+l) + y(t 3 -t2+Bt+2) + z(2ta_4t 2 +9t+5) =O ou

xt 3 -3xt 2 +5xt+x+yt3-yt 2 +8yt+2y+2nt3-4zt 2 +9zt+Sz =O

ou

(x+y+2z)t 3 + (-3x-y-4z)t 2 + (Sx+By+9z)t + (x+2y+Sz) =O

CAP. 5]

BASES E DIMENSÃO

115

Os coeficientes das potências de t d~vem ser iguais a O

+ }' + 2z

x -3x -

+ + 2y + Sz

Sx x

=O

-y - 4z = O 8y + 9z =O =O

Resolvendo o sistema homogêneo acima, obtemos somente a solução nula x = O, y = O, z = O; portanto u," e w são independentes. (ii) Faça uma combinação linear dos polinômios u, to e w igual ao polinômio nulo, usando incógnitas escalares x, y e z; ;,to é, faça xu + yv + zw = O. Assim,

+ 41 2 -

+ 3) + y(i3- + 6t 2 - t + 4) + z(3t 3 + 8t 2 - 8t + 7) =-0 xt + 4xt - 2xt + 3x + yt 3 + 6yt 2 - yt + 4y + 3zt 3 + 8zt 2 - Szt + 1z = O (x + y + 3z)t 3 + (4x + 6y + 8zt)t 2 + (-2x- y- Sz)t + (3x + 4y + 7z) =O x(t3

3

2t

2

Faça os coeficientes das potências de t iguais a O e reduza o sistema à forma escalonada x

4x ~2x

3x

+ y + 3z + 6y + Sz

=O = O ou

-

= O

y - Sz

+ 4y + 7z

ou, finalmente,

x

x

+

=O

+

y 3z =O 2y - 4z =O y - 2z =O y - 2z =O

+ y + 3z

=O y - 2z =O

O sistema na forma escalonada tem uma variável livre e portanto tem so· lução não nula. Mostramos que· xu yv zw = O não implica x = O, y = O, z = O; portanto os polinômios são linearmente dependentes.

+

5.5.

+

Seja V o espaço vetoriafdas funções de R em R. Mostre que f, g, h E V são independentes, onde (i) f(t) = e 21 , g(t) = t 2 , h(t) = t; (ii) f(t) = = sen t, g(t) = cos t, h(t) = t. Em cada caso, faça uma combinação linear das funções igual à função nula O usando incógnitas escalares x, y e z: xf yg zh = O; e, então, mostre que x = O, y = O, z = O. Realçamos que xf + yg zh = O quer dizet que, para cada valor de t, xj(t) yg(t) + zh(t) = O.

+

+

(i)

+

:'-ia equação xe 21

+ yt 2 + zt

Resolva o sistem·a

~ ~e 2 + l

xe 4

+

.;....'O, substitua

t = O para obter xe 0 t = I ·para obter xe 2 1 = 2 para obter xe 4

'"*'

+ +

y

+ yO + zO +

+

+

ou

x ,.. O

z =

o.

+

z :

+ 4y + 2z

para obter somente ·a solução nula

= O

y +" = O 4y 2z = O

g

= O

X

= O,

y ""'

o,

Portanto, f, g e h são independentes. (ii) Método 1.

Na equação x sen t

+ y cos t + zt = O, substitua + + z . O ou y = O + + z-rr/2 = O ou x + 1f'Z/2 + z . = O ou -y +

para obter x . O y . 1 t = -rr/2 para obter x . 1 y . O t = 1r para obter x . O + y(-1)

t

=

O

1r

1rZ

=

O

= O

E DIMENSÃO

BASES

116

r y =o + -,rz/2

Resolva o sistema ' x

[CAP. 5

= O

l-y+,-z=O

para obter somente a solução nula: Portanto,

f,

= O,

X

y

= O, z = O.

g e h são independent~s.

derivadas de x sen t

Método 2. Tome as primeira, segunda e terceira + y cos t + zt = O em relação a t para ter

+z=

+

O

(I )

-x sen t- y cos t = O -x cos t + y sen t = O

(2)

x cos t - y sen t

Some (1) e (3) para obter z =O. e depois some

(3)

Multiplique (2) por sen t e (3) por cos t

sen t X (2): -x sen 2 t - y sen t c::>s t = O cos t X (3): -x cos 2 t -x(sen 2 t

+ y sen t cos t + cos 2 I)

= O

ou

=O

x = O

Finalmente, multiplique (2) por-cos te (3) por sen t; e depois some para obter

+ sen 2 I)

y(cos 2 t Como

x

sen t

+

+

y cos t

zt =

= O

ou y = O

O, implica x

= O,

y

=

O, z

=D

j, g e h são independentes.

5.6.

Sejam u, v e w vetores independentes. Mostre que u +v, u2v w são também independentes.

tt-

+

Suponha x(u lares. Então, xu

+

11)

+

y(u- 11)

+

z(u - 211

w)

=

O onde x, y e z são esca-

+ xv + yu - yv + zu - Zzv + Z'IIJ = O ou (x' + y + ~)u + (x- y- 2::)v + ~w = O

Nlas u, 11 e w são linearmente acima são iguais a O

.independente~:

x

+y+

A única solução do sistema acima é x u- 211 + w são independentes.

= O,

JXlrtanto, os coeficientes na rdaçiío

z.= O

x - y - 2z z

5.7.

+

ve

=O =o

y = O, z

= O. Portanto,

u

+ v,

u-' ti,

Sejam v1 , v2 , . , vm vetores independentes, e suponha que n é uma combinação linear dos v., digamos u = alvl a2v2 amvm, onde os a 1 são escalares. Mostre que a represt>ntação de u acima é única.

+

Suponha u = bl'lll

+

+

+ bzvz +

O = u- u =

+ bmvm, onde os b; são escalares. Subtmindo, Ca1- bt)'lll + (az- bz)vz + + (am- bm)Vm

Mas· os Vi são linearmente independentes; portanto, os coeficientes na relação acima são iguais a O. a1-b1 =O, a2-b2 =O, ... , am-bm =O Portanto a1 = b 1, a 2 = b 2 , ••• , an, combinação linear dos v;, é única.

=

bm; logo, a representação de u acima, como

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

5.8.

117

Mostre que os vetores v = (1 +i, 2i) e w = (1, 1 +i) em C2 são linearmente dependentes sôbre o corpo complexo C, mas são linearmente independentes sôbre o corpo real R. Lembre que dois vetores são dependentes se, e somente se, um é múltiplo do outro. Como a primeira coordenada de w é 1, v pode ser múltiplo de w se, e somente se, v = (1 t)w. Mas, 1 i i R; portanto, v e w são independentes sôbre R. Como ·

+

+

(1 + ,:)w ~ (1 +i) (1, 1 + i) e 1

5.9.

+i

E

= (1 + i, 2i) = v

C, êles são dependentes sôbre C.

Suponha: S = {v 1 , . . . , v"'} contém um subconjunto dependente, digamos {v 1 , . . . , vrl· Mostre que S é também dependente. Portanto, cada subconjunto de um conjunto independente é independente. Como !v1, ... , vr} é dependente, existem escalares a1, ... , ar. nem todos nulos. tais que

Portanto, existem escalares a 1, a1v1+

... ,

a,, O, ... , O, nem todos nulos, tais que

.. +arvr+Ovr+1+- .. +0v.,=O

De acôrdo com issC>, S é dependente.

5.10. Suponha que {v 1 ,

. . . , v .. } é independente, mas {v 1 , . . . , v.. , w} Mostre que w é uma combi·n<;tção linear dos v,.

dependente.

é

Método 1. Como {vt. ... , v.... w] é dependente, existem escalares a 1 , .. ·~ a,., b, nem todos nulos, tais que a1v1 + . . amvm + bw = O. Se b = O, então um dos a; não é zero e a1v 1 + ... a.,vm = O. Mas isso contradiz a hipótese de , vm} é independente. De acôrdo com isso, b .,.
+

+

W

=

b- 1 (-

a1v1- .'

. -

amvmf = -b-l

a1111- ... -

b- 1amVm

loto é, w é uma combinação linear dos v;.

+

+

Mêtodo 2. Se w ~ O, então w = Ov 1 Ov,. Po• outro lado, se w .,.< O, então pelo lema 5.2, um dos vetooes em {v1, ... , "'"'' w] é uma combinação linear dos vct?res p-recedente... Ésse vetor nap pode ser um dos "• poi" [v 1 , , v,.] é independente. Portanto, w é uma combi11ação linear do,. Vi.

PROVAS DE TEOREMAS 5.11. Demonstre o lema 5.2. Os vetores não-nulos v1r ... , .v.. são linearmente dependentes se, e sàmente se, um dêles, digamos V;, é uma combinação linear dos vetores precedentes: v,.= a1v1 + ... +a,_ 1v,- 1• Suponha v; =

a1111

+ ... + a;-lVi-1·

Então,

a1v1 + ... + a;-lVi-1- Vi+ Ovi+l

e o coeficiente de v; não é nulo.

+ .. .'

+ Ovm =O

Portanto, os v; são linearmente dependentes.

BASES E DIMENSÃÓ

118

[CAP. 5

Reciprocamente, suponha que os Vi são linearmente dependentes. Então, existem escalares ar, ... , am, nem todos O, tais que arvr + ... + GmVm = O. Seja k o maior inteiro, tal que ak ~ O. Então, ar v r + ... + akVk + Ovk +r + ... + Ovm Suponha k = 1; então atvr = O, ar nulos; portanto, k > 1 e vk

~

= O ou

ar v r + . .

+ GkVk

=O

O; logo, v r = O. Mas os Vi são vetores não-

1

= -a~ arvr- ... -· a]/ak-lvk-l

Isto é, Vk é uma combinação linear dos vetores precedentes.

5.12. Demonstre o teorema 5.1. As linhas não-nulas Rr. ... , R,, de uma matriz na forma escalonada são linearmente independentes. Suponha que IRn, Rn-1, ... , Rd é dependente. Então, uma das linhas, digamos Rm, é combinação linear das linhas precedentes (*)

·Agora, suponha que a k-ésima componente de Rm é seu primeiro elemento nãonulo. Então, como a matriz está na forma escalonada, as k-ésimas componentes Rm+I. .. . ,Rn são tôdas O; logo, a k-ésima componente de(*) é Gm+r·O+am+2·0+ + ... + an · O = O. Mas isso contradiz a hipótese de que a k-ésima componente de Rm não é O. Logo R r, ... , Rn são independentes.

5.13. Suponha que {v 1, . . . , vml gera um espaço vetorial V. Demonstre (i) Se w E V, então {w, v1 , . . . , vm} é linearmente dependente e gera V. (ii) Se v, é uma combinação linear dos vetores precedentes, então {Vlt · · · t V;-I• V{+ h · · . , Vml gera V • (i)

Se w E V, então w é uma combinação linear dos v;, pois !v;l gera V. De acôrdo com isso lw, VI, . . . , vm) é. linearmen"te dependente. É claro que w com os v; geram. V, pois os Vi sozinhos geram V. Isto é, lw, VI, . . . 'Vm) gera V.

+ ... +

(ii) Suponha Vi = ktvl ki-IVi-1· Seja u E V. combinação linear dos v;, digamos, u = atvr + por v;, obtemos

Como

lvd gera

... + amVm·

V, u é Substituindo

u = arvt+ ... +a;-rv;-I+a;(k,vr+ ... +ki-IVi-t)+a;+rVi+r+ ... +amvm = (ar +a;kr)vr +(ai-t+a;k;-r)u;-t+ai-rVi+ r+ ... +amvm

+ ...

Assim Iv r, ... , Vi- I. Vi+ r, ... , vm) gera V. Em outras palavras, podemos remover Vi· do conjunto gerador e ainda ficar com um conjunto gerador.

5.14. Demonstre o lema 5.4. Suponha que !v~t ... , vnl gera um espaço vetorial V. Se {wlt ... , wml é linearmente independente, então m ~ n e V é gerado por um conjunto da forma {w11 • . . , wm, vilt . . .

t

vin-m}.

Assim, em particular, qualquer n linearmente dependentes.

+1

ou mais vetores em V são

É suficiente provar o teorema no caso que os v; não são todos O. · (Demonstre!) Como: os v; geram V, temos, pelo problema anterior, que

lwr,

VI, .•• ,

Vn)

(I)

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

119

é linearmente dependente e também gera V. Pelo lema 5.2, um dos vetores em {l) é combinação linear dos vetores precedentes. ~sse vetor não pode ser w 1, logo, deve ser um dos v , digamos Vj. Assim, pelo P.roblema anterior, podemos remover Vj do conjunto gerador (1) e obter o conjunto gerador {Wlt Vt, · · ·, Vj-t, Vi+ lr

·-·r

t'n

l

(2)

Agora, repetimos o argumento com o vetor w2. Isto é, como (2) gera V, o conjunto (3)

é linearmente dependente e também gera V. Novamente, pelo lema 5.2, um dos vetores em (3) é combinação linear dos vetores precedentes. Realçamos que êsse vetor não pode ser w1 e w2, pois {w1, ... , w,.} é independente; portanto, deve ser um dos v , digamos Vk. Assim, pelo problema anterior, podemos suprimi.r !lk do conjunto gerador (3) e obter o conjunto gerador {Wt, W2 1 VI, . . .

r

Vj-lr Vj+ Ir .

--r

t'.k-lr t'k+ 1, ---, t'n J

Repetimos o argumento com v3 e assim por diante. A cada passo podemos adicionar um dos w e retirar um ·dos. t• do conjunto gerador. Se m :::; n, então, finalmente, obtemos um conjunto gerador da forma requerida:

Finalmente, mostramos que m > n não é possível. Se assmt fôsse, depois de n dos passos acima, obteríamos o conjunto gerador !w1. ... , wnl· Isso implica que Wn+ 1 é combinação linear de w 1 , .. , Wn o que contradiz a hipótese de que (w;} é linearmente independente.

5.15. Demonstre o teorema 5.3. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita.

Então, tôdas as bases de V têm o mesmo número de vetores.

Suponha que {e.J. e2, •.. , enl é uma base de V. Como (e;} gera V, a base vetores, ou então ela é dependente pelo a base {ft,/2, ... } contém menos do que dente pelo problema anterior . .Assim, a n vetores; logo, o teorema é verdadeiro.

base de V e que (/1, f~, ... } é outra (/1./2, ... } deve conter n ou ~ problema anterior. Por outro lado, se n vetores, então (ei. ... , enl é depenbase Ih. j 2 , .} contém exatamente

Súponha que {v 11 . . • , v,.J é um subconjunto maximal independente de um conjunto S que gera um espaço vetorial V. Então, {vlt ... , vml é base de V.

5.16. Demonstre o teorema 5.5.

Suponha que w E S. Então, como (v;} é um subconjunto maximal dente de S, {vt, ... , Vm, wl é linearmente dependente. Pelo problema uma combinação linear dos v;, isto é, ·w E L(v;). Portanto, se L(v;). ti V = L(S) c L(v;) c V. De acôrdo com isso, {vi} gera V e, como é dente, é base de V. .

indepen5.10, w é Isso leva indepen-

5.17. Suponha que V é gerado por um conjunto finito S. Mostre que V é de dimensão finita e, em particular, um subconjunto de S é base de V. Mt\todo 1. De todos os subconjuntos independentes de S, e existe um número .finito dêles, pois S é finito, um dêles é maximal. Pelo problema precedente 'êsse subconjunto de S é base de V.

BASES E DIMENSÃO

120

[CAP. 5

Método 2. Se Sé independente,é base de V. Se Sé dependente, um dos ve. tores é combinação linear dos vetores precedentes. Podemos suprimir êsse vetor e ainda conservar um conjunto gerador. Continuamos êsse processo até obtermos t!m subconjunto que é independente e gera V, isto é, é base de V.

5.18. Demonstre o teorema 5.6. Seja V de dimensão finita n. (i). Qualquer conjunto de dependente. (\~)

n+ 1

Então,

ou mais vetores é linearmente

Qualquer conjunto linearmente independente é parte d.e uma base.

(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é urria base. Suponha que {e I,

... ,

en I é base de V.

n+ I

ou mais vetores são dependentes

(;i) Suponha que {t'I. , t•,l é independente. um conjunto da forma

Pelo lema 5.4, V é gerado por

(i)

Como le1, ... , en I gera V, quaisquer pelo lema 5.4.

Pelo problema precedente, um subconjunto de S é base. Mas S contém n elementos e tôda base de V contém n elementos. Assim, S é base de V e contém {vi~ ... , v, I como subconjunto. (iii) Por (ii), um conjunto independente T com n elementos é -parte de uma bnse. Mas tôda base de V contém n elementos. Assim, T é base.

5.19.

Prove o teorema 5.7. Seja W um subespaço de um espaço vetorial Então,dim W:::; n. Em particular, se dim W= n, então W = V.

V n-d1mensional.

+

Como V é de dimensão n, quaisquer n l ou mais vetores são linearmente dependentes. Além disso, como uma base de W consiste em vetores linearmente· independentes, não pode conter mais que n elementos. De acôrdo com isso, dim W :S n. Em particular, se {WJ. ... , wnl é base de W, então como é um .conjunto independente com n elementos é também base de V. Assim, W = V quando dim lV = n.

5.20. Demonstre: teorema -dim(UnW).

5.8. o dim (U

+

W)

dim U

+ dim

W-

Observe que U n W é subespaço de ambos U e w. Suponha que dim U = m, dim w = n e dim (U n W) = r. Suponha (Vt. ... , Vrl é base de u n w. Pelo teorema 5.6 (ii), podemos estender {v;} a uma base de U e a uma base de W; digamos, {VIr ... , Vr, Ut,

.. , Um-r}

e {Vt, ... , Vr, Wt, · · .,

são bases de U e W; respectivamente. Seja

Wn-r}

cAP.

sr

BASES E DIMENSÃO

121

+

Note que B tem exatamente m n- r elementos. Assim, o teorema estará provado se pudermos mostrar que B é base de U + W. Como {v;, u;} gera· U e !t•;, Wkl gera W, a ·união B = {t•;, u;, Wkl gera U W. Assim, é suficiente mostrar que ·B é independente.

+

Suponha (1)

onde a;, b;,

Ck

são escalares. Seja

(2) Por (1), também temos que v= -crw1-

(3)

Como {v;, u;l c U, t• E U por (2); e como {wkl c W, v E W por (3). De acôrdo com isso, v E U n Ir. Agora {v;} é base de U n W; logo, existem escalares d1, ... , d, para os quais v = d1V1 drvr. Assim, por (3) temos

+

d1t'1

+

+

Mas {v;, wkl é base de H'; logo, é independente. Portanto, a equação acima força = O, ... , r n-r = O. Substituindo isso em (I), obtemos

q

Mas {v;, u;l é base de U; logo, é independente. Portanto, a equação acima forçaO, ... , a, = O, b1 = O, .• bm-r = O.

ai =

Como a equação (1) implica que a;, bj e independente e o teorema está provado.

5.21.

Ck

são todvs O, B = {v;, u;, Wk} é

Prove o teorema 5.9. O pôsto das linhas e o pôsto das colunas dl:" qualquer matriz são iguais. Seja A uma matriz arbitrária m X n

A-( aml Um2

Anote R1, R 2 , RI

... ,

=

Rm suas linhas

(an, a]2, ... ' aln).

.·.' Rm =. (aml. 1Ím2·

.. , amn)

Suponha que o pôsto das linhas é r e que os seguintes r vetores formam uma tfase do espaço das linhas SI

=1 (õu,

b!2, ... 'bln). s2

=

(b21• b22• ...• b2n), ...• Sr = (bri, br2•

Então, cada um dos vetores linhas é combinação linear dos S; R1 R2

= =

kuS1 k21S1

+ k12S2 + + k22S2 +

122

BASES E DIMENSÃO

[CAP. 5

onde os k;j são escalares. Fazendo as i-ésimas componentes de cada uma das equações vetoriais dadas iguais entre si, obtemos o seguinte sistema de equações, cada um válido para i= 1, ... , n

Assim, para i UI\ a2i

ali = knbti a2i = k21b1i

+ kub2i + ... + k1rbri + k22b2i + ... + k2rbri

Um(= kmlbli

+ km2b2i + ·. · + kmrbri

= 1,

n,

ku

= b};

kl2

+ b2i

k21

+ ... + b,;

k1r k2r kmr

km2

kml

ami

k22

Em outras palavras, cada uma das colunas de A é combinação linear dm r vetores ku k21.

kl2 k22

k2r

kml

km2

kmr

k1r .

Assim, o espaço das colunas dá matriz A tem dimensão no máximo r, isto e, pôsto das colunas S r. Portanto, pôsto das colunas S pôsto das linhas. Semelhantemente (ou considerando a matriz transposta A 1) obtemos pôsto das linhas S pôsto das colunas. Assim,o pôsto das colunas e o pôsto das linhas são iguais.

BASES E DIMENSÃO 5.22. Determine se os seguintes formam base do espaço vetorial R 3 (i) (1, 1, 1) e (1, -1, 5) (i i) (1, 2, 3), (1, o, -1), (3, -1, O) e (2, 1, -2) (iii) (1' 1, 1), (1, 2, 3) e (2, -1, 1) (iv) (1, 1, 2), (1, 2, 5) e (5, 3, 4) (i) e (ii). Não, porque uma base do R 3 deve conter exatamente 3 elementos, pois R 3 é de dimensão 3. (iii) Os vetores formam uma base se, e somente se, são independentes. Assim, forme a matriz cujas linhas' são os vetores dados e reduza por linhas à forma escalonada

1 (

!).

1

1 2 2 -1

1

para

(~

o

! ~)

-3

-1

(o 1

para

0

A matriz escalonada não tem linhas nulas. Portanto, os três vetores são inde·pendentes; logo, formam base do R 3• (iv) Forme a matriz cujas linhas são os vetores dados e reduza por linhas à forma escalonada 2

3

Dpara(~ -~ j) para(~

1

o

BASES E DIMENSÃO

123

A matriz escalonada tem uma linha nula, isto é, somente duas linhas não nulas; portanto, os três vetores s:lo dependentes, e não formam base do R 3.

5.23. Seja W o subespaço do Rt gerado pelos vetores (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) e (3, 8, -3, -5). (i) Encontre uma base e a dimensão de W. (i i) Estenda a base de W a uma base do espaço todo R 1. (i)

Forme a matriz cujas linhas são os vetores dados e reduza por linhas à forma escalonada

( 3~

·

-~ ~ =~) 8 -3

para

3)

(~ -~

_;

2

1~

-18

~

o

,5

para

(1-2 5-3) O

7 .-9

2

o

o

o

o

As linhas não nulas (I, -2, 5, -3) c (O, 7, -9, 2) da matriz escalonada formam base do espaço das linhas, isto é, de W. Assim, em particular, dih1 W = 2. lii) Procuramos quatro vetores independentes que incluam os dois vetores acima. Os vetores (1, -2, 5, -3), (0, 7, -9, 2), (O, O, 1, O) e (O, O, O, 1) são independentes (pois êles formam uma matriz escalonada) c logo formam base do R 4 que é umJ. extensão da base de 11")

5.24. Seja W o espaço gerado pelos polinômios l

3

21 2

-

2! 3

-

+ 4t + + 9t -

3t 2

3

+ 6t- 5 - St2 + 71 +

1

/

1

21 3

5

Encontre uma 'base e a dimensão de W. Os vetores coordenadas dos p::Jlinômios dados em relação a base {1 3 , 12 , I, s'io resperti,·amente

11

[v3] = (I, O, 6, -5) = (2, -5, 7' 5)

(!'Il (1, -2, 4, I) [1•zl = (2, -3, 9, -I)

[t··l

Forme a matriz cujas linhas são os vetores coordenadas acima e reduza por linhas à forma escalonada

O

~6

-5

2 -5

7

5

1

-2

. 2 -3 ( I

_:)

par.1

(

~

-2

;

2

-6

o

-1

-1

3

O

2

-~)

para

(

~ -~O

O

o

o

As linhas não nulas (1, -2, 4, 1) e (0, I, 1, -3) da matriz escalonada formam uma base do espaço gerado pelos vetores coordenadas, logo os polinômios correspondente"

formam base de W. Assim, dim W= 2.

5.25. Encontre a dimensão e uma base do espaço das soluções W do sistema x x 3x

+ 2y + 2z + 2y + + 6y +

3z 8z

- s + 3t + s + ·t + s + 5t

O O O

BASES E DIMENSÃO

124

[CAP. 5

Reduza o sistema à forma escalonada

+ 2y + 2 z-

x

z 2z ou

s

+ 3t =O

+ 2s-

+ 4s-

21 =O 41 =O

+ 2y + 2z - s + 31 :: + 2s- 21

x

"' O

""'O

O sistema na forma escalonada tem duas equações (não-nulas) em 5 incógnitas; portanto, a dimensão do espaço das soluções W é 5 - 2 "" 3. As variáveis livres são y, s e I. Faça · (i) y = I, s =O, I =O, , (ii) y =O, s = 1, I =O,

(i1i) y "'O, s =O, 1 = 1

para obter as soluções respectivas vr

= (-2, J, O, O, 0), v2 = (5, O, -2, I, O), va = (-7, O, 2, O, I)

O conjunto {vr. v 2, val é base do espaço das soluções W.

(5~ncontre

um sistema homogêneo cujo conjunto das soluções W é , 'gerado por

"------·

(1,-2,0,3),

(1,-1,-1, 4), (1,0,-2,5)

Método I. Seja v ""' (x, y, z, w). Form~e a matriz M cujas primeiras linha" são os vetores dados e cuja última linha é v; e depois reduza por linhas à. forma escalonada

~(

\ - ·c

!)

- I

8

'l."-•'f

i;

1\ '('

3

-

M =

-2

1 1 .

,_,·~>.i li\:

~1

o y

X

o -I

-2 z -2 1

o

o

o

As t~s primeiras linhas originais mostram que W tem dimensão 2., Assim, v E fV se, -e somente se, a linha adicional não aumenta a dimensão do espaço das linhas. Portanto, fazemos os dois últimos elementos na terceira linha à direita iguais a zero para obter o sistema homogêneo procurado 2x 5x

+ y +z

+y

Método 2. Sabemos que v =. (x, y, z, w) linear dos geradores de W: (x, y, z, w) = r(l, ~?·O, 3)

=O -

w =O

E

W se, e somente se, v é combinação

+ s(l, -1; -1, 4) + t(l, O, -2, 5)

A equação vetorial acima nas incógnitas r, s e I é equivalente ao seguinte sistema i, ·,• t;·

+

-2-r -

-

3r

s s

+

. \_.;, I = X.

s - 2t

= =

+ 4s + 5t =

Y

z ou w·

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

125

Assim v E W se, e somente se, o sistema acima tem solução, isto é, se

+y + z + y- w

2x Sx

O

=

=O

O sistema homogêneo acima é o procurado. Observação. Observe que a matriz aumentada do sistema (I) é a transposta da matriz Jf usada no prim~iro método.

5.27. Sejam U e W os seguintes subespaços do R4 {(a, b, c, d): b +c+ d = 0}, {(a, b, c, d): a+ b = O, c ~ 2d}

U W

Encontre a dimensão e uma base de

~i)

U, (ii) W, (iii) U n W.

Procuramos uma base do conjunto das soluções (a, b, c, d) da equação

(i)

b

+c+d

+b +c +d

= O ou O . a

= O

As variáveis livres são a, c e d. Faça

(1) a = 1, c= O, d =O, (2) a =O, c= 1, d =O, (3) a= O, c =O, d = I para obter as soluções respectivas Vl

= (1, 0, 0, 0), v 2 =(O, -I, I, 0),

t•3

= (0, -1, O, I)

O conjunto {v1, v 2, v 3} é ba$e de U e dim U = 3. (ii)

Procuramos uma base do conjunto das soluções (a, b, c, d) do sistema

a+b=O

a+b=O

c = 2d ou c - 2d =

o

As variáveis livres são b e d_- Faça

(I) b = 1, d =O,

(2) b

~O,

d = 1

para obter as soluções respectivas

n = (-I, 1, O, O),

V2

=

(0, 0, 2, 1)

O conjunto· {v1, v2} é base de W, e dim W = 2. (iii) U () W consiste naqueles vetores (a, b, c, d) que satisfazem às condições que definem U e às condições que definem W, isto "é, às três equações

b+c+d=O a+ b =O

!i

c

iif .I

lvl

é base de U

a+ b =O b+c+ d=O

c - 2d c=

= 2d

A variável livre é d. Faça d Assim,

ou

n W,

=

1 para obter a solução v = (3, -3, 2, 1).

e dim (U () W)

=

1.

5.28. Encontre a dimensão e o espaço vetorial gerado por

(i)

(1, -2, 3, -1) e (1, 1, -2, 3)

(ii)

(3, -6, 3, -9) e (-2, 4, -2, 6)

(iii)

+ 2t + 3t + 1 e 2t + 4t + 6t + 2 3 t - 2t + 5 e t + 3t- 4

(1

J)

2

t3

2

3

2

o

2

BASES E DIMENSÃO

126

;)

(v)

(~

(vi)

(_! _!)

(vii)

3 e -3

[CAP. 5

(~ ~)

e

(-~ -~)

e

Dois vetores nãO-nulos geram um espaço W de dimensão 2 se êles são independentes e de dimensão 1 se êles são dependentes. Lembre que dois vetores são dependentes se, e sômente se, um é múltiplo do outro. Portanto, (i) 2, (ii) 1, (iii) 1, (iv) 2, (v) 2, (vi) 1, (vii) 1.

5.29. Seja V o espaço vetorial das matrizes simétricas 2 X 2 sôbre K. Mostre que dim V = 3. [Lembre que A = (a 1i) é simétrica se, e sômente se, A = A' ou, equivalentemente, a,; = aii·l Uma matriz simétrica 2 X 2 arbitrária é da forma

onde a, b, c E K. (Note que há três "variáveis".) Fazendo (i) a= 1, b =O, c =O, (ii) a =O, b = 1, c =O, (iii) a =O, b =O, c= 1, obtemos as matrizes respectivas

E1

= (

~ ~) ,

E2

c ~) ,

=

Ea

= (

~ ~)

Mostramos que IE 1 , E 2, E 3 l é base de V, isto é, que (1) gera V e (2) é independente. (l)

Para a matriz arbitrária A acima em V, temos

A__ (ab b) r:

= aE1

+ bE2 + cEa

Assim, lEI, E2, Eal gera V. (2) suponha xE1

+ yE2 + zE 3

Isto é, suponha X

Gg) +

y (

~ ~)

+z (g

=

O, onde x, y. z são incógnitas escalares.

n =

(

~ ~)

ou

c~) g n =

(

Fazendo os elementos correspondentes iguais eHtre si, obtemos x z = o, Ein outras palavras,

+

+

xEt yE 2 zE 3 = O implica x =' Ô, y De acôrdo com isso, IEt, E 2 , Eal é independenn•,

= O,

=

O; y

= O,

z = O

Assim, IEt. E2, E 3 l é base de V; logo, a tiin1ensão de V é 3.

5.30. Seja V o espaço dos polinelTiÍtJs em t de grau ~ n. cada um dos seguintes é bal!e di'! V: (i) {1, t, t 2 , ••• , tn-1, tn}, (ii) {1, 1- l, (1- 1) 2 , Assim, dim V = n

+

••• ,

1.

(1- tt- 1 , (1- t)n}

Mostre que

CAP.

BASES E DIMENSÃO

.SJ

127

Claramente, cada polinômio em V é çombinação linear de I, I, t"- 1 e t". Além disso, I, t, ... , e"-t e I" são independentes, pois nenhum é combinação linear dos polinômios precedente.;. Assim, li, I, ... , tnl é base de V. (ii) (Note que por (i), dim V= n + 1; e logo quaisquer n + 1 polinômios indepen-

(i)

dentes formam base de V.) Agora, cada polinômio na seqüência 1, I -I, (1 - t)" é de grau maior do que os precedentes, logo não é l·ombinação linear dos precedentes. Assim, os n + 1 polinômios I, 1 -I, . , (I -I)" são independentes; logo, formam base de V.

5.31. Seja V o espaço vetorial dos pares ordenados de números complexos sôbre o corpo real R (veja problema 4.42}. Mostr~ que V é de dimensão 4. Afirmamos que o seguinte é base de V B = {(1, O), (i, O), (0, I), (0, i)l

Suponha v E V. Então, v = (z, w) onde z, w são números complexos; logo, " = (a + bi, c + di), onde a, b, c, d são números reais. Então, v = a(1, O) b(i; O) + c(O, I) + d(O, i) Assim, B gera V.

+

A prova estará completa se mostrarmos que B é independente. Suponha .q(l, O)

onde

XJ,

x 2, x 3,

X4 E

(xt

+ ;~zi,

De acôrdo com isso,

+ x 2 (i, O) + x 3 (0, 1) + .\· 4(0, i)

= O,

R. Então,

Xt

xa

+ x1i)

=O, x

2

=

r Xt + XzÍ

(0, O) logo, j

= O, x 3 = O,

l

X4

Xa

= ()

+ .= X4l-

0

= O; logo, B é independente.

5.32. Seja V o espaço vetorial das matrizes m X n sôbre um corpo K. Seja E;i E V a matriz com elemento-ij igual a 1 e os demais iguais a O. Mostre que {E;i} é base de V. Assim, dim V= mn. Precisamos mostrar que {E;;} gera V e é independente. Seja A_= (aij) qualquer mq.triz em V. Então, A= "í:.a;jEif· Portanto, {Eij} gera V. i,j

Agora, suponha que "2:, x.;;Ei;

= O, onde os

Xif são escalares. O elemento-ij

i,j

de 2: X;jEij é

Xij,

e o elemento-1j de O é O. Assim,

i.J X i; =

O, -i = 1, ... , m., j = 1, ... , n.

De acôrdo com isso as matrizes E;; são independentes. Assim, {E;;} é base de V .

.; Observação. Encarando um vetor em Kn como uma matriz 1 X n, mostramos pelo resultado acima que a base usual definida no exemplo 5.3 é base de K" e que dim

K."

= n.

SOMAS E INTERSEÇÕES 5.33. Suponha que V e W são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de v n w.

BASES E DIMENSÃO

12_8

[CAP. 5

Como U e W são distintos, U + W contém propriamente U e W; portanto, dim (U + T-V) > 4. Mas dim (U + W) não pode ser maior do q·ue 6, porque dim V~ 6. Portanto, temos duas possibilidades: (i) dim (U+ W) = 5, ou (ii) dim (U +TV)= 6. Usando o teorema 5.8, que dim (U + W) ~ dim U ++ dim W- dim (U n W), obtemos (i)

5

= 4 +4-dim(Un H') ou dim(Un

(ii) 6 = 4 + 4- dim (U

n W) n H'

Isto é, a dimensão de U

ou dim (U

W) = 3

n W)

= 2

deve ser 2 ou 3.

5.34. Sejam U e W os subespaços do R4 gerados por {(1, 1, O, -1), (1, 2, 3, O) (2, 3, 3, -1))

e

{(1, 2, 2, -2), (2,3, 2,-3), (1, 3, 4, -3)), respectivamente. Encontre (i) dim ( U (i)

+ W),

(i i) dim ( U

n

W).

U + T-V é o espaço· gerado por todos os seis vetores. Portanto, forme a matriz cujas linhas são os seis vetores dados, e depois reduza por linhas à forma escalonada

(i

~rn (~

1

o

2 3 2 3

3 3

')

o -1 _ 2 -3 -3

3

2 2 4

1

o

1 1

3 2

1 -1

o o o o o o

~

para

o o

1

o

1 1

0

1

3 3 2 2 4

( o o

1

2

-1) (I para

-:) -1

-1

-2

1 o o 1 3 o o -1 -2 ~ o o o o o o o o o

-:)

Como a matriz escalonada tem três linhas não-nulas, dim (U + W)

= 3.

(ii) Primeiro encontre dim U e dim W. Forme as duas matrizes cujas linhas são os geradores de U e de W respectivamente e depois reduza pcir linhas à forma escalonada

e

o

(i

3

(~

3 3

3 3

2

2 2 4

2

-1)

para

-2)

para

O -1

-3 -3

c 11 O

c1 o

o 3 3

1

2 -2) 1 2 -1

2

O -1

.

o

-1) !

-2

cg 1 -l) c -1) 1

para

3

o o

2

para

o

O -1

2

-2

o o

o

Como cada uma das matrizes escalonadas tem duas linhas não-nulas, dim U = 2 e dim W = 2. Usando o teorema 5.8, que dim (U + W) = dim U + + dim W- dim (U n W), temos 3

= 2

+ 2- dim (U n W)

ou dim (U

n W) =

5.35. Seja U o subespaço do R5 gerado por {(1,3,-2,2,3), (1,4,-3,4,2), (2,3,-1,-2,9)}

1

f BASES E DIME~SÃO

CAP. 5]

129

e seja W o subespaço gerado por l(l, 3,

o,

2, 1)

(1, 5, -6, 6, 3)

1

1

(2, 5, 3, 2, l)l

+ W,

Encontre uma base e a dimt>nsão de (i) U (i)

(ii) U () W.

+

U W é o espaço gerado por todos os seis Yetores. Portanto, forme a matriz cujas linhas são os seis vetores e depois reduza por linhas à forma escalonada

(i

3

-2

2

4

-3 -1

4

3 3 5

~,. (~

5

-6 3

3

-2

1

-1

o o o o

1) ~rn

-2

o

2 6

2 2 2

o o o o

o 2 -2 6

')

~ (' (

o

-1

-~

para_

3

-2

1

-3

-1 3

-6

o

2

o

2

-4

4

o

7 -2

-5

-1

3 1

2 2

-:) -2

")

-2

2 -1

-1

o 2 o -2 ~ o o o o o o o o o o o o o

-6

O conjunto das linhas não-nulas da matriz escalonada

1(1. 3, -2, é base de U

+ W;

2, 3), (0, 1, -1, 2, -I), (0, O, 2, O, -2)}

assim, dim (U

+ W)

3.

=

(ii) Primeiro, encontre sistemas homogêneos cujos conjunto!! das soluções são U e W, respectivamente. Forme a matriz cujas primeirasr linhas são os geradores de U e cuja última linha é (x, y, z, s, t) e depois teduza p<;>r linhas à

forma escalonada

(1 para

3

-2 -3 -1

y

z

3 4

o

2 4 -2 s

-2 -1

3 1

o o

o~" (j

-x

+ y +z

1

-3

-3x 2 2

4x- 2y

o

-2 -1 3

3

o

+y

2x

2 2 -6 -2x s

+z

-13 3

+

-3x

)

+t

-13 ) -6x6y+t

+s

Faça os elementos da terceira linha iguais a O para obter o sistema homogêneo cujo conjunto solução é U

-x cuj~

+y +z

= O, 4x - 2y

+s

= O, -6x

+y +t

= O

Agora forme a matriz cujas primeiras linhas são os geradores de W e última linha é (x, y, z, s, t) e depois reduza por linhas à forma escalonada 1 5 3 -o 2 3 1) (1o 32 - 6 o 1 66 42 2 5 3 2 1 para O -1 3 -2 ( x y z s t O -3x+y z-2x+s 1

o (

O

3

o

1 -3 O -9x + 3y

o o

o

2

+z

2 4x - 2y + s

o

1

1 2x - y

o

)

+t

21 ) -1

-x+t

BASES E DIMENSÃO

130

[CAP. 5

Faça os elementos da terceira linha iguais a O para obter o sistema homo· gêneo, cujo conjunto solução é IV -9..-

+ 3y + z

=

+s

4x - 2y

O,

+I

2x - y

= O,

= O

Combinando os dois sistemas obtemos o sistema homogêneo <"Ujo conjunto soluçao é U n W:

+z

-X+

=o =o +t=O + z =o =0 +s +I= 0

y 2y J -6.r + y I -9x + 3y I 4x - 2y I 2x y

l

(-x Í

+y+ z 2y + 4z +

{

8z

J

4z

l

-x

+ y+

+ s., + + 3s

21 = O = O s - 21 = o

Existe uma variável livre, que é

I= 2, obtemos a soluçao

ou

=O =O

s

t;

= l,

.r

z

2y + 4z -Sy - 6z -6y - Bz 2y + 4z y + 2z

+s

4x -

Í -x +_v+ z 2y + 4z; + J 8z + I

ou

l

portanto, dim ( U = 4, :t = -3, s

y

+

s

= o =0 +I= O =O

+s

=0

+t =o = () =0 Ss + 21 =O s - 21 5

=o

n W) = I. Faz~ndu = 4, I= 2. Assim,

un w.

((1,4,-3,4,2)j é base de

VETORES DAS COORDENADAS 5.36. Encontre o vetot coordenada de v em ;elação à base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, O, O)} do R 3 , onde

(i) v = (4, -3, 2),

(ii) v

(a, b, c).

=

Em cada caso, faça v uma combinação linear dos vetores da base usando incógnitas escalares x, y e z:

v= x(l, 1, 1) + y(l, 1, O)+ z(l, o, O) (A solução é única, pois

e, então, resolva em relação ao vetor solução (x, y, z). ·os vetores da base são linearmente independentes.) (i)

(4, -3, 2) = x(l, 1, 1) + y(l, I, O)+ z(l, O, O) (x, x, x)

= (x

+ (y, y, O) + (z, O, O)

+ y +

2,

+ y,

x

x)

Faça as componentes correspondentes iguais entre si para obter o sistema

.\' +

y

+

Z =

4, .\' +

y =

-3,

X =

2

Substitua x = 2 na segunda ·equação para obter y = -5; então, ponha x = 2, y = -5 na primeira equação para obter z = 7. Assim, x = 2, y = -5, .:: = 7 é a única solução do sistema; logo, o vetor coordenada de t• em relação à base · dada é [v) = (2, -5, 7). (ii)

(a, b, c)= x(l, I, Então, donde

I)+ X

x = (,

y(l, 1, O)+ z(l, O, O)= (x + y

+ )' +

y = b- c,

[(a, b, c)] = (c, b- c, a- b).

Z

= a,

X

z = a- b.

+

+

z, .\·

+

y, x)

y = b, X = C

Assim,

[v]

= (c, b- c, a- b), isto é,

--r

131

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

5.37. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R.

Encontre

o vetor coordenada da matriz A E V em relação à base

{G D· onde

A

=

( o1

-1)o ' G-~).

(~

-n

(~

g) }·

Faça A uma rombinação linear das matrizes na base, IIEando incógnitas escalares x, y, z, w: A =

(24 -73)

·=

.r

(I 1)1 I

(

+Y

,.

_,.) +

X

X

(ol -t) 0 +

(o -y) 0

+ (

W

X-

(~ -~) +

30 -3) +

( w 0

Ü

)'

X+ ~ + ( .\" + )'

z

w

~)

(~

o) 0

3)

y~-

Faça ns elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema X

+Z +W

2,

=

X-)'- Z

=

3,

X

+ )'

=

4,

X

=

-7

donde x = -7, y = 11, z = -21, w = 30. Assim, [A]= (-7, 11, -21, 30). que o vetor coordenada de A deve ser um vetor do R 4, pois dim V = 4.)

(:'>lote

5.38. Seja W o espaço vetorial das matrizes simétricas 2 X 2 sôbre R. (Veja problema 5.29.)

4 ( -11

Encontre o vetor coordenada da matriz A

-11) _7

em re-

!ação à base

{(_; -o . (~

~).. (-~ =D1·

Faça A combinação linear das matrizes na base usando incógnitas escalares x, y e z A

_.

=

(

4 -11) -7

-11

=X

x + 2y + 4z ( -2x + y - z

(-21 -2)1

+ )' (21

1) 3

+ z ( -14 -1) -5

-2x + y - z) x + 3y - Sz

Faça os elementos correspondentes iguais entre si para obter o sistema de equações lineares equivalente e reduza à forma escalonada x + 2y + 4z = 4 -2x + y - z = -11 -2:x+ y- z=-11 x + 3y - Sz = -7

x

ou

+ 2y + 4z Sy + 7z y - 9z

=

4

= -3 ou = -11

x

+ 2y + 4z = 4 Sy + 7z = -3 52z

=

52

BASES E DIMENSÃO

132

[CAP. 5

Obtemos z = 1 da terceira equação, então y = -2 da segunda equação, e depois = 4 da primeira equação. Assim, a solução do sistema é x = 4, y = -2, z = 1; portar>to, [A] = (4, -2, 1). (Como dim W = 3 pelo problema 5.29, o vetor coordenada de A deve ser um vetor do R 3 .) x

5.39. Sejam {e 1 , e 2 , e3 } e são 3).

lf~>

ft.fsl bases do espaço vetorial V (de dimen-

Suponha

e"

=

e2

ea

+ a.J" + aafa bd1 + baf2 + bafa cd1 + cd2 + csfa ad1

(1)

Seja P a matriz cujas linhas são os vetores coordenadas de e1 , e 2 e e 3 , respectivamente, em relação à base {f;}

Mostre que, para qualquer vetor v E V, [v].,P = [v]1 . Isto é, multiplicando o vetor coordenada de v em relação à base {e;} pela matriz P, obtemos o vetor coordenada de v em relação à base {f;}. (A matriz P é freqüentemente chamada matriz de mudança de base.)

+ se + te então, [v]e = (r, s, t). Usando (1 ), temos v = r(adl + ad2 + aafa) + s(h/I + b2f2 + bafa) + l(qfi + c2f2 + cafa) = (ra1 + sbr + tq)fi + (ra2 + sb2 + tc2)!2 + (raa + sb3 + lca)fa Suponha v

=

rq

3;

2

Portanto, [v]J = .(ral

+ sb1 + tc1,

ra2

+ sb2 + tc2,

raa

+ sba + tca)

Por outro lado,

[v]e P = (r, s, t)

(=: CJ

::

: : ) = (ra1

c2

ca

De acôrdo com isso, [v]. P

+ sb1 + lq, ra2 + sb2 + lc2,

r~a +

sba

+ lca)

= [v]J.

Observação. No capítulo 8 escreveremos ·os vetores coordenadas como vetores coluna, em ·vez , de vetores linha. Então, pelo acima,

Q[v]. =

al (

a2

b1 b2

CJ) (r)s c2

aa

ba

ca

t

=

(ra1 ++

tc1)

+ + tc2 raa + sba + tca ra2

sbt sb-z

= [v]J,

onde Q é a matriz cujas colunas são os vetores coordenadas de e1, t2 e ea, respectivamente, em relação à base tf;}. Note que Q é a transposta d€1 P e que Q apa~ rece à esquerda do vetor coluna [v]. enquanto P aparece à direita do vetor linha [v] •.

CAP. 5]

BASES E DIMENSÃO

133

.J,>ÔSTO DE UMA MATRIZ 5.40. Encontre o pôsto da matriz A, onde (i)

o

A

(-~

(ii) A

-1

(i)

1 3 -4 1

3 4 3 8

-3)

-2 -1 -·7

-4 -3 -8

-7

-~)

2 1 -1 4 -2

(iii)

(~ _;l

A

5

-1

-2

3

Reduza por linhas à. forma escalonada

(j

3 4

-2 3

3 -4 R 1

-1

-3) -4

para

-7 -3 -7 -8

~"o

3 1

2

3 1 -3

-6

-1

-2

o-3)

1

-2

2

-i) -1

-3 -1

3

11

-2 1 -1

o o o o o o o o

Como a matriz escalonada tem duas linhas não-nulas, pôsto (A) = 2. (ii) Como o pôsto das linhas é igual ao pôsto das colunas, é mais fácil formar a transposta de A e depois reduzir por linhas à forma escalonada

(j

l =! ~D

Assim, pôsto (A)

para (

~

-! ~~ ~D (i -l -~ -~) para

= 3.

(iii) As duas colunas são linearmente independentes, pois uma não é múltipla da outra. Portanto, pôsto (A) = 2.

5.41. SEjam A e B matrizes arbitrárias para as quais o produto AB está dt>finido. . Mostre que pôsto (AB) :S: pôsto (B) e pôsto (AB)

:S: pôsto (A).

Pelo problema 4.33, página 94, o espaço das lin.hi\s de AB está contido no espaço das linhas de B; portanto pôsto (AB) 5c pôsto (B). Além disso, pelo problema 4.71, o espaço das colunas de AB está contido no espaço das colunas de A; portanto, pôsto (AB) 5c pôsto (A).

5.42. $eja A qualquer matriz quadrada n X n. sível se, e somente se, pôsto (A) = n.

Mostre que A é mver-

Note que as linhas da matriz identidade, quadrada, n X n, In, são linearmente independentes pois In está na forma escalonada; portanto, pôsto Un) = n. Agora, se A é inversível, então, pelo problema 3.36, A é equivalente por linhas a In: portanto, pôsto (A) = n. Mas, se A não é inversível, então A é equivalente por linhas a uma matriz éom uma linhá nula; portanto, pôsto (A)
BASES E DIMENSÃO

134

[CAP. 5

5.43. Sejam xi 1 , x;2 ,

. . . , X;t as variáveis livres de um sistema homogêneo de equações lineares com n incógnitas. Seja vi a solução para a X;.J = 1, e tôdas as outras variáveis livres iguais a O. Mostre q ual: . que as soluções v1 , v2, ... , vk são linearmente independentes.

Seja A a matriz cujas linhas são os v; respectivamente. Transpomos as colunas I e i 1 , depois colunas 2 e iz, . , e depois colunas k e ik; e obtemos a matriz k X n

B = (I, C) = (

~

O

r}" o

o

o

o o

o

o

Ck,k+ I

A matriz B acima está na forma escalonada, logo; suas linhas são independentes; çortanto, pôsto (B) = k. Como A e B são equivalentes por colunas, elas têm o mesmo pôs to, isto é, pôs to (A) = k. Mas A tem k linhas; portanto, essas linhas, isto é, os v;, são linearmente indep~ndentes como afirmamos.

Problemas Diversos 5.44. O conceito de dependência linear é estendido a todo o conjunto de vetores, finito ou infmito,. como segue: o conjunto dos vetores = {v;} é linearmente dependente se, e somente se, existem vetores v,1 , . . . , V;n E A e escalares al> . , an E K, nem todos zero tais que A

Caso contrário, diz-~e que A é linearmente independente. Suponha que A 1 , A 2 , . • • são conjuntos linearmente independentes de vetores e que A 1 c A 2 c .... · Mostre que a união A = A 1 U A 2 U ... é também linearmente independente. Vn

E

Suponha que A é linearmente dependente. Então, existem vetores v 1 , A e escalares a1, .. , an E K, nem todos O tais que (1)

Como A

U A; e os v;

E

A, existem conjuntos A; 1,

, A;n tais que

Seja k o índice máximo dos conjuntos A;,-= k = max(i 1 ,

.. ,

in). S.egue então,

como A1cA2c .. , que cada A;i está contido em Ak. Portanto, v1, v 2 , ••• v,. E A k, logo, por (1 ), A k é linearmente dependente, o que contradiz nossa hipótese. Assim, A é linearmente independente.

Considere uma seqüência finita de vetores S = {v 1 , v 2 , ••. , vn}. ç;eja T a seqüência de vetores obtida de S por uma das seguintes "oAOerações elementares" (i) transposição de dois vetores, (ii) mui-

135

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

tiplicação de um vetor por um escalar não-nulo, (iii) adição de um múltiplo de um vetor a outro. Mostre que S e Jl' geram o mesmo espaço W. Também mostre que T é independente se, e somente se, S é independente. Observe que, para cada operação, os vetores em T são combinações lineares de vetores em S. Por outro lado, cada operação tem uma inversa do mesmo tipo (Demonstre'); portanto, os vetores em S são combinações lineares dos vetores em T. Assim Se T geram o mesmo espaço W. Também, T é independente se, e somente se, dim W = n, e isso é verdadeiro se, e sõ.uente se, S é também independente.

5.46. Sejam A = (a;;) e B = (b,-;) matrizes linhas sôbre um corpo K, e sejam Vv espaço vetorial V sôbre K. Sejam Ut = U2

=

auvt a21V1

m X n equivalentes por quaisquer vetores num

.• Vn

+ a12v2 +

+ a22V2 + buVt

+ b12V2 +

+ b22V2 + bmlvl + bm2b2 + ... +

b21V1

wm

=

bm,vn

Mostre que {u;) e {w;) geram o mesmo espaço. Aplicar uma "operação elementar" do problema precedente a {u;] é equivalente a aplicar uma operação elementar por linhas à matriz A. Como A e B são equivalentes por linhas, B pode ser obtido de A por uma seqüência de operações elementares por linhas; portanto {w;] pode ser obtido de {ui] pela seseqüência correspondente de operações. De acôrdo com isso, {u;} e {w;} geram o mesmo espaço.

5.47. Sejam v1 ,

. . . , vn

pertencentes a um espaço vetorial V sôbre K.

Sejam auVt a21Vi

+

auv2

+

+ a22V2 +

onde a;; E K. Seja P a matriz quadrada n X n dos coeficientes, isto é, P = {a;;). (i)

Suponha que P é inversível. Mostre que {w;} e {v;} geram o mesmo espaço; portanto {w;} é independente se, e somente se, {v;} é independente.

(ti) Suponha que P não é inversível. dente.

Mostre que {w;) é depen-

BASES E DIMÇNSÃO

[CAP. 5

(iii) Suponha que {w;} é indept>ndente. sível.

Mostre que P é mver-

136

(i)

Como P é inversível, é equivalente por linhas à matriz identidade I. Portanto, pelo problema precedente fw;} e fvd geram o mesmo espaço. Assim, um é independente se, e somente se, o outro é.

(ii) Como P não é inversível, é equi\·alente por linhas a \.)ma matriz com uma linha nula. Isto quer dizer que fwd gera um espaço que tem um conjunto gerador com menos que n elementos. Assim, {wi} é dependente. (iii) Esta é a contra-redproca da proposição (ii); logo, segue de (ii).

5.48. Suponha que V é soma direta de seus subespaços U e W, isto é, V= U EB W. Mostre que (i) se {u 1 , . . . , um} cU e {w 1 , . . . , wnl c W são independentes, então {u, wJ é também independente; (ii) dim V = dim U dim W.

+

(i)

+ . . + amUm + btWI +

Suponha atUI calares. Então

+ bnwn

=

O, onde a;, bj são es-

+ amUm) + (bfU't + ... + bnwnl= O+ O + ... + amUm E U e O, b1w1 + ... + b,.wn E IV.

onde O, UtUJ soma para O é única, isto conduz a a1111

+ ... + amUm

=O, btw1

+ ... + bnWn

Como esta

=O

A independência dos u; implica que os a; são todos O, e a independência dos implica que os bisão todos O. Conseqüentemente, {u;, wil é independente.

Wj

(ii) Método I. Como V = U $ 11', Assim, pelo teorema 5.8, dim V = dim U

temos

+ dim !F- çlim ( U () + dim lf"- O =

V

=

U

Ir) = diln U dim U

+ dim

+ rr

e

U

n

ll'

= fOI.

+ W

Método 2. Suponha que fut, . , url e fw,, ... , wsl são bases de U e Ir respectivamente. Como elas geram U e W, respectivàmente, {u;, w 1 1 gera V""' l,J H'. Por outro lado, por (i). {u;, wil é independente. Assim, {u;, wil é base de V; portanto, <;lim V= dim U + dim H'.

+

5.49. Seja U um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita. Mostre que existe um subespaço W de V tal que V= U EB W. Seja {ut, ... , url base de U. Como {ud é linearmente independente, pode ser estendido a uma base de V, digamos fut, ... , Ur, WI, .. . , w,j. Seja I.V o espaço gerado por {w 1 , .. , w9 1. Como {u;, w;l gera V, V = U + Ir. Por outro lado, U n vV = {Oj (Problema 5.62). De acôrdo com isso, V = U ffi 11'.

5.50. Lembre (página 76) que se K é um subcorpo de um corpo E (ou: E uma extensão de K), então E pode ser encarado como um espaço vetorial sôbre K. (i) Mostre que o corpo complexo C é um espaço vetorial de dimensão 2 sôbre o corpo real R. (ii) :\1ostre que o corpo real R é um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo racional Q. (i)

{1, ij é base de C sôbre R. Porque se v E C, então v=a+bi=a.I+b.i onde a, bER; isto é, {l,il geraCsôbreR.

Afirmamos que

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5]

137

+

Além disso, se x 1 + y . i = O ou x yi = O, onde x, y E R, então x = O e y = O; isto é, I 1, i} é linearmente independente sôbte R. Assim, {1, i} é base de C sôbre R; logo, C é de dimensão 2 sôbre R. (ii) Afirmamos que, par~ qualquer n, {1, ""• dente sôbre Q. Porque suponha ao1

1r

2, ... , 1rnl é linearmente indepen-

+ a11r + a21r 2 + ... + a,.1rn

= O,

onde os a; E Q, e nem todos os a; são O. Então ,. é uma raiz dos seguintes polinômios não-nulos sôbre Q: a 0 a1x a 2x 2 + a ..x". Mas pode ser m.ostrado que .,. é um número transcendental, isto é, que .,. não é raiz de nen.hum polinômio não-nulo sôbre Q . .De acôrdo com isso, os n 1 números reais 1, ,.., ..- 2, .. , ..r" são linearmente independentes sôbre Q. Assim para qualquer n finito, R não pode ser de dimensão n sôb~e Q, isto é, R é · de dimensão infinita sôbre Q. .

+

+

+

+

5.51. Seja K um subcorpo de um corpo L e L um subcorpo de um corpo E : K c L c E. (Portanto, K é um subcorpo de E). Suponha que é de dimensão n sôbre L e L é de dimensão m sôbre K. Mostre que E é de dimensão mn sôbre K. Suponha que {Vt, ... , Vn} é base de E sôbre L e I a 1, ... , am I é base de L sôbre K. Afirmamos que {a;vi: i= 1,

m, j = 1, .• .. , nl

é base de E sôbre K. Note que la;vil contém #In elementos. Seja w qualquer elemento arbitrário em E. Como {v 1, , v,.} gera E sôbre L, w é combinação linear dos v; com coeficientes em L (1)

Como {at, .. , aml gera L coeficientes e'rri K

~ôbre

K, cada b; E L é combinação linear dos ai com

bt = kuat

+ k12a2 +

bz = k21a1

+

bn = kntal

+ k,.2a2 + ... + knmam

k22a2

+

onde k;i E K, substituindo em (1), obtemos

+ ... + ktmam)ilt + (k21a1 + ... + k2mam)v2 + + + (kntal + ... + k,. ... am)v,. = kua1111 + ... + ktmamvl + k21a1v2 + + ... + k2mamv2 + . . + kntiliVn + ... + k,.,..amVn = l:i,J k;j(a;Vj)

w = (knat

onde kii E K. Assim w é combinação linear dos a;Vj com coeficientes em K; porJ la;vil gera E sôbre K.

""'t<J.r:~

A demonstração estará completa se mostrarmos que {a;vil é linearmente independente sôbre K. Suponha, para escalares Xji E K, l: Xii (a;vj) = O; isto é, i.J

+ Xt2a2v1 + ... + .X!"'amvl) + ... + (x .. tatvn + Xn2a2Vn + ... + XnmamVn) = 0 (xuatVt

ou (xuai

+ Xt~2 + ... + Xtmam)Vt +

BASES E DIMENSÃO

138

[CAP. 5

Como {v1, .. , vnl é linearmente independente sôbre L e como os coeficientes acima dos v; pertencem a L, cada coeficiente deve ser O:

xual

+ Xlz
Mas {a 1, X]J

=O,

=O, -- .,

Xnlal

+ Xnz
a,.) é linearmente independente sôbre K; portanto, ·como os

... ,

=O, ... ,

X12

!a;''il

De acôrdo com isso, provado.

X!m

=O,

' Xnl

= O,

x,l2 =

O,

Xnm

Xji E

K,

= o

é linearmente independente sôbre K e o teorema está

Problemas Propostos DEPENDÊNCIA LINEAR 5.52.

Determine se u e v são linearmente dependentes onde (i)

u

(i i) u (v) (vi i)

= =

5.53.

(-1, 6, -12), v

u= u

(viii) u

= (4. 3,

(1, 2, 3, 4), v

= =

(~ -t 3 13

+ 1/21

+

3t

(-2

16, v

-

+ 4,

v

(i v) u

o 1/~)

-2) , v= -1 2

(iii) u

2, 1)

= (1/2, -3, 6)

=

= =

(0, 1), v ~1,

(vi) u=

= 1/21 - 1/41 + 8 + 41 + 3

=

O, O), v /1

(o

(O, -3)

=

(0, O, -3)

n.

v=

(-~

~l)

2

3

t3

Dt-'~rmine se os seguintes vetores em

R 4 são linearmente dependentes ou inde-

pendentes

5.54.

(i)

(1, 3, -1, 4), (3, 8, -5, 7), (2. 9, 4, 23);

(ii)

(1, -2, 4, 1). (2, t,

G

A=

-2 4

3)

-1

B

=

Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau <;: ~ sôbre R. Determine se u, v, w E V são .linearmente dependentes ou independentes onde

u = t 3 - 41 2 (ií) u = t 3 - 5t 2 (i)

5.56.

(3, -6, 1, 4).

Seja V o espaço vet.:.rial das matrizes 2 X 3 sôbre R. Determine se as matrizes A, B, C E V são linearmente depe11dentes ou independentes onde

(i)

5.55.

o. -3),

+ 2t + 3, -

21

+

v = t 3 + 2t 2 + 4t- 1, w = 21 3 - t 2 - 3t 3, v = 13- 41 2 - 3t 4, w = 2t3- 71 2 - 7t

+

Seja V o espaço vetorial das funções de R em R. Mostre que linearmente independentes onde

+5 +9

f,

g, h E V são

f{t) = e', g(l) = sen t, h(t) = 12 ; (ii) f(l) = e', g(t) = e 21, h(t) = t; (iii) j(t) = e', g(t) = sen t, h(t) = cos 1.

(i)

5.5t.

Mostre que (i)

+

os vetores (1, -i, i) e (2, -1 t) em C 2 são linearmente dependentes sôbre o corpo complexo C mas são linearmente independentes sôbre o corpo real R;

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5)

+

+

139

+

(ii) os vetores (3 Vf. 1 VZ) e (7, 1 2Vf) em R 2 são ll11earmente dependentes sôbre o corpo real R mas são linearmente independe~tes Sôbre o corpo racional Q.

5.58.

Suponha que u, v e w são vetores linearmente independentes. Mostre que (i)

u

(ii) u

+v+v-

2w, u -

11-

w e u

+ 311- w

3w, u

e

+ w são linearmente independentes; + w são linearmente dependentes.

11

5.59.

Demonstre ou mostre um contra-exemplo: Se os vetores não-nulos u, v são linearmente dependentes, então w é combinação linear de u e v.

5.60.

Suponha que o seguinte

111, 11 2 , . . . ,

(i)

{a1v1. a2t·2· ... ,

(ii)

{vi, ... ,

w,

Vi- I,

w

tD

v,. são vetores linearmente indepe~dentes. Demonstre

anvnl Vi+

e

é linearmente independente onde cada a; ~O. Vn l é linearmente independente onde

1. ... ,

= biVI

+ ... + b;v; + ... + IT,.v,. 2

e b;

jlt!

O.

wl é

5.61.

Sejam v = (a, b) e w = (c, d) pertencentes a K dependente se, e somente se, ad- bc = O.

5.62.

Suponha que {ui, ... , u" WI, . . . ,·w.) é um subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V. Mostre que L(u;) () L(wj) = {0}. (Lembre que· L(u;) é o subespaço gerado pelos u;.)

5.63.

Suponha que (au, ... , a In), ... , (ami, ... , amn) são vetores linearmente· independentes em K", e suponha que 111, •.. , Vn são vetores linearmente independentes num espaço vetorial V sôbre K. Mostre que os vetores

+ 0Inlln,

•

Mostre que {v,

. . . , Wm = Um IVI

linearmente

+ ... + Omnlln

são também linearmente independentes.

BASES E DIMENSÕES 5.64.

Determine se cada um dos seguintes forma base de R 2 (i)

(iii) (0, 1) e (0, -3)

(1, I) e (3, l)

(iv) (2, l) e (-3, 87)

(ii) (2, 1}, (1, -1) e (0, 2)

5.65.

Determine se cada um dos seguintes forma base de R 3 (i)

(1, 2, -1) e (0, 3, 1)

(ii) (2, 4, -3), (0, I, 1) e (0, I, -1) (iii) (1, 5, -6), (2, I, 8), (3, -1, 4) e (2, I, I) (iv) (1, 3, -4), (1, 4, -3) e (2, 3, -11) 5.66.

F;J~contre uma base e a dimensão do subespaço W de R 4 gerado por

(i)

(1, 4, -I, 3) (2, 1, -3, -1) e (0, 2, 1, -5)

(i i) (1, -4, -2, I) (1, -3, -I, 2) e (3, -8, -2, 7)

5.67.

Seja V o espaço das matrizes 2 X 2 sôbre R e seja W o subespaço gerado por

(-11 (-41 -5) 2 • Encontre uma base e a dimensão de W.

. (-51 -7) (-52 -4) 7 1

BASES E DIMENSÃO

140 5.68.

Seja 11' o espaço gerado pelos polinômios u = 13 + 21 2 - 21 + 1, r• = / 3 + 3/ 2

[CAP. 5

I + ~ e u• = 21 3 + 12

-

-

71- 7

Encontre uma hase e a dimensãü de 11".

5.69.

Encontre uma base e a dimensão do espaço das soluções 11" de cada sistema homogêneo

.r - 2v

.r+ 3y + 2z =O .r+ Sy + 3.\

z =O

+ Sy + 8z

2x

+ 3y

2.r -

= O

y

= O

x

- 2z =O

+

z

2x

+ ~y + 2z + y + Sz

=O =O

=o

(i i)

(i{ 5.70.

+ 7z

(iii)

Encontre uma base e a dimensão do espaço da·s soluções W de cada sistema homogêneo

.r .r

+ 2y + 2y

2x +

~Y

- 2z - 2s -

-

z

+ 3s

- 7z +

t

=

O

- 21 = O

s +

I =O

x + 2y z + 3s - 4t 2.r + 4y - 2z - s + St

2.r + 4y - 2z +

(i)

-

~:s

= =

O O

2t = O

(i i)

5.71.

Encontre um sistema homogêneo cuJo conjunto das soluções seja gerado por

5.72.

Sejam V e W os seguintes subespaços do R·4 :

1(1, -2, O, 3, -1), (2, -3, 2, 5, -3), (1, -2, I, 2, -2)1

V= l(a,h,r,d):b-2r+d=OI, W= l(a,b,c,d):a=d, b=2cl

Encontre uma base e a dimensão de (i) V, (ii) W, (iii) V 5.73.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios em ôos seguintes é base de V

n

de grau .::; n. ., I

W.

Determine se cada

+ t"-l + t"J

+t +t 2 +

SOMAS E INTERSEÇÕES 5.74.

Suponha que U e W são subespaços de dimensão 2 do R 3. Mostre que U n W ;;é 101.

5.75.

Suponha que U e W são subespaços de V e que dim U dim V= 7. Encontre as possíveis dimensões de U n W.

5.76.

Sejam U e ·w subespaços do R 3 para os quais dim U =I, dim W = 2 e U
5.77.

Seja U o subespaço do R" gerado por 1(1, 3, -3, -1, -4). (1, 4, -1, -2, -2)' (2, 9,

·=

4, dim W

=

5 e

o, -5, -2)1

e seja 11" .o subespaço gerado por 1(1, 6, 2, -2, 3). (2, 8, -1, -6, -5)' (1, 3, -1, -5, -6)1

Encontre (i) dim 5.78.

(C

+

Ir), (i i) dim ( U n W).

Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre R. Sejam U e W os subespaços gerados por

CAP. 5]

,--- .

BASES E DIMENSÃO

141

e {1 3

+ 41 2 + 6,

resper.tivamente. Encontre (i)

t

+ 2t 2 - t + 5, 21 3 + 2t 2 - 31 + 9} dim ( U + W), (ii) dim ( U n W). 3

Seja U o subespaço do R 5 gerado por

5.79.

{(1, -1, -1, -2, O), (1, -2, -2, O, -3), (1, -1, -2, -2, 1)1 e seja W o subespaço gerado por {(1, -2, -3, O, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)} (i)

Encontre dois sistemas homogêneos cujos espaços das soluções são U. e W, respectivamente.

(ii) Encontre uma base e a dimensão de U

n 11'.

VETORES COORDENADAS 5.80.

Considere a seguinte base do R 2 : {(2, 1), (1, -1)}. Encontre o vetor coordenada de v E R 2 em relação à base acima onde (i)

5.81.

v = (2, 3); (ii) v = (4, -1); (iii) (3, -3); (iv) v = (a, b).

::=; 3, considere a seguinte

No espaço vetorial V dos polinômios em I de grau base: {1, 1- t, (1 -1) 2, (1- t)3j.

Encontre o vetor coordenada de v. e V em relação à base acima se

(i)

v

=

2 - 31

+ t 2 + 213;

(ii) v = 3 - 21 - t 2 ; (iii) v = a

5.82.

+ bt + ct 2 + dta.

No espaço vetorial 1-V das matrizes simétricas 2 X 2 sôbre R, considere a seguinte base

f(1 l -1

-1) (~ I -5) 2

'

Encontre o vetor coordenada da matriz A E 11' em relação à base acima se (i)

5.83.

A

=

(

-5

Considere as duas bases seguintes do {ti

= (1, 1, l),

(ii) A= (

5

~

~)

R3

e2

= (0, 2, 3),

!2

=

es

= (0, 2, -1)}

e

Ih= (i) .P

(1, 1, O),

(1, -1, O),

h=

(O,

o, 1)1

Encontre o vetor coordenada de v = (3, 5, -2) em relação a cada base: [v]. e [v]f .

(ii) Encontre a ma:triz P cujas linhas são respectivamente os vetores coordenadas dos "i em relação à base lh,f2,fal. (iii) Verifique que [v]. P = [v] f· 5.84.

Suponha que (e1, .. . ,e,.} e (fi, ... ,j,.} são bases de um espaço vetorial V (de dimensão n). Seja P a matriz cujas linhas são respectivamente os vetores coordenadas dos e em relação à base (f;}. Demqnstre que para qualquer vetpr v e V, [v]. P = [v] f· (~sse resultado está demon$trado no pn")blema 5.39 partt o caso de n = 3.)

BASES E DIMENSÃO

142 5.85.

[CAP. 5

Mostre que o vetor coordenada de O E V em relação a qualquer base de V é sempre a n-upla nula (0, O, ... , 0).

PÔSTO D~ UMA MATRIZ 5.86.

Encontre o pôsto de cada matriz

3 -2 4 1 4 2 7 -3

5 3 4

6

j)

(i)

2 -3 3 -2 8 -7 -9

-2

-3)

o -4 -2 -11 -10 -3

(i i)

(iii)

(iv)

5.87.

Sejam A e B matrizes arbitrárias m X n. Mostre que pôsto (A $ pôsto (A) pôsto (B).

5.88.

Dê exemplos de matrizes 2 X 2, A e B, tais que

+

(i)

pôsto (A

+ B) < pôsto (A),

$

pôsto (B)

(ii) pôsto (A

+ B) =

pôsto (A) = pôsto (B)

(iii) pôsto (A

+ B)

pôsto (A), pôsto (B)

>

+ B)

Problemas Diversos 5.89.

Seja W o espaço vetorial das matrizes simétricas 3 X 3 sôbre K. Mostre que dim W = 6 por exibindo uma base de W. (Lembre que A = (a;j) é simétrica se, e sõmente se, a;; = Uj;).

5.9~.

Seja W o espaço vetorial das matdzes anti-simétricas 3 X 3 sôbre K. Mostre que dim W = 3 por exibindo uma base de W. (Lembre que A = (a;j) é antisimétrica se, e sõmente se, a;i =·-ai;).

5.91.

Suponha dim V = n. Mostre que um conjunto gerador com n elementos é base. (Compare com teorema 5.6 (iii).)

5.92.

Sejam 11 , t 2 , ..• , tn símbolos e seja k qualquer corpo. Seja V o conjunto das expressões a1t 1 a 2t 2 antn onde a; E K. Defina adição em V por

+

+ ... + (a1t1 + a2/2 + ... + antn) + (b1t1 + bzt2 + ... + bntn) = = (ai + b1)t1 + (a2 + b2)t2 + + (an + bn)tn

Defina multiplicação por escalar em V por

Mostre que V é espaço vetorial sôbre K com as operações acima. Mostre, também, que ft1, ., tnl é base de V onde, para i= 1, ... , n, I;= Ot1

+

+ Ot;-1 + 1t; + Oti+1 + ... + Otn

BASES E DIMENSÃO

CAP. 5oj 5.93.

143

· Seja V o espaço ,·etorial de dimensão n sôbre um corpo K, e seja K um espaço , ,·.etorial de dimensão m sôbre um subcorpo F. (Portan.to, V também pode ser " e'ncarado como um espaço vetorial sôbre o subcorpo F .. ) Demonstre que a di.·· ftú~Ilsão de V sôbre F é mn.

5.94:' 'Sejam V e W espaços vetoriais sôbre o mesmo corpo K, e seja V a soma direta ~terior de V e W (veja problema 4.45). Sejam f) e os subespaços de V defiilidos por f) = {(u, O): u E l.:} e 11· = {(0, w): w E Wj .

W

. .. '

-~~it_ ·Mostre que V é isomórfico a

n· : fli)

é isomórfico a

fi'-

U sob a correspondência u <-> (u, 0), e que sob a correspondência w <-> (0, w).

+ dim

Mostre que dim V = dim U

1-F. ·

5.95. ·:· Su.PGnha que V = U $ W. Seja V o produto direto exterior de U e W. Mostre •. • que J! é isomórfico a V sob a correspondência v = u w <-> (u, w).

+

RESNJST'AS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 5.62. • (i) não, 5.~

(ii) sim,

· ~ifdependente,

5.54.

(iv) não,

(v) sim,

(vi) não,

(vii) sim,

(viii) não.

(i) dependente, (ii) independente.

5.55.

(i) independente,

5.57. .

~i)

(ii) dependente.

(2, -1 +i) = (I +i) (t -i, i);

• (ii) (7, 1 5~59.

(iii) sim,

(ii) independente.

+ 2 V2l

=

(3-

vzl

(3

+ V2.

1

+ v2J.

A asserti,·a é falsa. Contra-exemplo: u = (1, O), v= (2, Ó) e w = (1, 1) no R 2• 5.2 requer que um dos vetores não-nulos u, v, w seja combinação linear cloe preredentes. Nesse caso, v = 2u.

'I..;'Vna 5.64.

(>) sim, (ii) não,

5.65.

(i) não, (ii) sim, (iii) não, (iv) não.

S.sli. . {i) dim JF

=

(iii) não, (iv) sim.

3, (ii) dim W = 2.

5.67.

dim H" = 2.

5:68.

dim JF

5.69.

(i)· base, {(7,-1,-2)}; dim W = 1; (ii) dim TY =O;

=

2.

pii) base, {(18,-1,-7)}; dim W = 1. 570.

(i)· base, {(2, -1, O, O, O), (4, O, 1, -1, 0), (3, O, 1, O, 1)} dim W = 3; (ii) base, {(2, -1, O, O, 0), (1, O, 1, O, O)j; dim W = 2.

I Sx + y -

z- s = O

5.71.

l''x + y- z - t

5.72,

(i)

=

O

base, l(l, O, O, O), (0, 2, 1, O), (0, -1, O, 1)};d:m V= 3.

'(ii) base, {(1, O, O, 1), (O, 2, 1, O)}; dim W = 2. (i li) base, I (0, 2, 1, O) l; dim (v n W) = 1. as três condições em a, b, c, d. 5.73.

(i)

s1m, (ii) não. Pois dim V= n elementos.

+ 1,

Pista.

v n

w

deve satisfazer tôdas

mas o conjunto contém somente n

BASES E DIMENSÃO

144 5.75. 5.77. 5.78. 5.79.

[CAP. 5

n I•V) = 2, 3 ou 4. + W) = 3, dim (U n W) = 2. dim (U + W) = 3, dim (U n W) = 1. 3x + 4y - :: - t = O { 4x + 2y dim (U

dim (U

(i)

I

(ii)

1(1, -2, -5, O, 0), (0, O, 1, O, -1)}. dim (U

l 4x + 2y

+s

=

O

'

9x

+ 2y + z + t n W) = 2.

5.80.

(i) [v] = (5/3, -4/3), (i i) [v] = (1, 2), (iii) [v] = (O, 3), (iv) [v] = ((a b)/3, (a- 2b)/3).

5.81.

(i)

[v] = (2, -5, 7, -2), (i i) [v]

=

+ b + c + d,

=

(2, -1, 1), (ii) [A]

=

(3, 1, -2).

+ 3d,

(i)

[A]

5.83.

(i)

[v]e = (3, -:-1, 2), [v]J = (4, -1, -2); (ii) P = .

5.86.

(i)

3, (ii) 2, (iii) 3, (iv) 2.

5.88.

(i)

A=

(~ ~)

, B

=

c~

(i i) A=

( ~ ~)

, B

=

(~ ~)

5.93.

O

(O, 4, -1, 0),

-b- 2c- 3d, c

5.82.

5.90.

=

+

(iii) [v] = (a

5.89.

=O

- s

-~)

-d).

. (1 (iii) A

1 1

o

-1 -1

= (

~

1)

3 -1

o) o '

B

= (o

o

~)

((100) (001) (00 000' (010) 100' 000' 01 o o o o o, 'o o

i l. o o o

1

1

1)

·o o) (o o (o o o))· o o o ' o o 1 ~ {( -1 o o ' o o o -1 o o o -1 o J Pista. A prova é idêntica à dada no problema 5.48 para um caso especial (quando V ,r ::.ma extensão do corpo K).

Capítulo 6 Transformações lineares TRANSFORMAÇÕES Sejam A e B conjuntos arbitrários. Suponha que, para cada a E A, é associado um ónico elemento de B; a coleção, f, de tais associações é chamada função ou transformação (ou aplicação) de A em B e escrita

f :A ~ B

A __!_. B

ou

Escrevemosf(a), leia "f de a", para o elemento de B que f associa a a E A; é chamado o valor de f em a ou a imagem de a sob f. Se A' é qualquer subconjunto de A, então f(A ')denota o conjunto das imagens dos elementos de A'; e, se B' é qualquer subconjunto de B, então f- 1 (B') denota o conjunto de elementos de A, cu]as imagensestão e~ B' f(A') = lf(a) :a E A'}

f- 1 (B')

e

={a E A :f(a) E B'}

r

Chamamos f(A ') a imagem de A' e 1 (B') a imagem inversa ou pré-imagem de B'. Em particular, o conjunto de tl'\das as imagens, isto é, f(A), é chamado imagem de f. Além disso, A é chamado domínio da transformação f : A ~ B, e B é chamado seu co-domínio. A cada transformação f : A ~ B corresponde o subconjunto de A X B dado por {(a,J(a)) :a E A}. Chamamos êsse conjunto gráfico de f. Diz-se que duas trahsformações f :A - 4 B e g :A ~ B são iguais e escreve-se f= g, sef(a) = g(a) para todo a E A, isto é, se elas têm o mesmo gráfico. Assim, não distinguimos entre uma função e seu gráfico. A negação de f = g é escrita f ~ g e é a assertiva; existe .um a E A para o qual f (a) ~ g(a).

dl

Exemplo 6.1. Sejam A = {a, b, c, {;<", y. z. w}. O seguinte diagrama define uma transformação f de A em B

e B

=

=

Aqui, j(a)

=

y, j(b)

=

x, f(c)

Também f({a, b, d})

=

{f(a),f(b),j(d)}

= .{x,yj

=

=

z e f(d)

=

y.

{y, x, y) =

,..

.

A imagem de f é o conjunto {x, y, z} ;f(A)

=

{x, y, z}.

Exemplo 6.2. Seja f ; R --->R a transformação que associa a cada número real x seu quadrado x 2 ou

145

j(x) = x 2

TRANSFORMAÇõES LINEARES

146

.: ICÀP. 6

Aqui a imagem de -3 é 9; logo, podemos escrever f(-3) = 9.

Usamos a seta --'; para indicar a imagem de um elemento arpitrário x E A sob a transformação f: A ~ B, escrevendo x

~

·-··

-~··

.. .:

f(x),

o

.

•

como ilustra o exemplo precedente. Exemplo 6.3. Considere a matriz 2 X 3 A

=

(~

-3 4

't

._. ~

2

Se escrevermos os vetores no R 3 e R como vetores coluna, então A deterÕlina. a transformação T; R 3 __. R 2 definida por v__. Av, Assim, se·t•

isto é,

T(v) = Av,

= (_]),então, T(v) =Av=

C

v E R3

(-10) 12 .

-3 4

Observação. Cada matriz m X n, A, sôbre um corpo K, determina a tranSformação T ; Kn __. Km definida por t'--.

Av,

onde os vetores em Kn e Km são escritos como vetores coluna. Por conveni~ias wsualmente <;~notaremos a transformação acima por A, o mesmo símbolo usado para"_~ ~atriz.

,corPo

Exemplo 6.4. Seja V o espaço vetorial dos polinômios na variável t sôbÇe .0 real R. Então, a derivada. define uma transformação D ; V~ V, onde, pa~ .. qua.lquer polinômio f E V, fazemos D(j) = dffdt. Por exemplo, D(3t 2 - St 2) = f>t -'"S/ . ·.

+

~,

Exemplo 6.5. Seja V o espaço vetorial dos polinômios em t sôbre R . (~ . ~ro exemplo precedente). Então, a integral, digamos, de O a, 1 define uma traniforlliação f

; V__. R, onde, para qualquer polinômio

exemplo, J(3t 2

-

St

+ 2)

=i'

f

V, fazemos f (f)

E

=i'[{;)-~~~;-

;or

·'o (3t 2

-

St

+ 2)dt

=

1/2

Note que essa é uma aplicação do espaço vetorial V no corpo escalar R, enquantô a apl,icação no exemplo precedente é de V nêle mesmo.

Exemplo 6.6. Considere duas transformações f : A __, B e g : B

-t

C il.ns.tradas

abaixo ·;,.

[email protected]) ,_

~

Seja a E A; então, f(a) E B, domínio de g. Port<>tltO, podemos obter a imagem de f(a) sob a tr<>~uformaçao g, isto é, g(f(a)). Essa aplicação a-> g(f(ll)) de A em C é-chamada composição ou produto de f c g e é anotada por g o f. Em outras palavras, (gof):A--C

é a transformação definida por (g o f)( a)

=

g{f(a))

TRANSFORMAÇõES LINEARES

CAP. 6]

147

Nosso primeiro teorema nos diz que a composição de transformações &< tisfaz a lei associativa.

Teorema 6.1. Sejam f:

A~

B, g: B

Demonstraremos o teorema, agora. (h

o

((h

~C

e h:

C~

JJ.

Então,

Se a E A, então

(g o f))(a) = h((g o f)(a)) = h(g(f(a))) g) o f)(a) = (h o g)(f(a)) = h(g(f(a)))

e

o

Assim, (h o (g o f))(a) = ((h = (h o g) o f.

o

g)

o

f)(a) para todo a E ,J; logo, h

o

(g

o

f)

~ B. Alguns textos escrevem aF em lugar de F(a) para a imagem de a E .·1 sob F. Com essa notação, a c0mposição de funções F: A ~ B e G: B ~C é anotada por F o G e não por G o F, como usado neste texto.

Observação. Seja F :A

A seguir, introduzimos alguns tipos especiais de transformações.

Definição. Diz-se que uma transformação f: A ---+ B é injetiva, (biunívoca ou um a um) se elementos distintos de A têm imagens distintas, isto é, se a

,r=

a'

implica

f(a)

,r=

f(a')

ou, equivalentemente, se f(a) = f(a')

implica a = a'

Definição. Diz-se que uma transformação f : A ---+ B é sobrejetora ou sôbre (ou aplica fl sôbre B) se cada b E B é imagem àe, ao menos,a E A. Uma transformação que é ambas as coisas, injetora e sobrejetora, é chamada bijetora. Exemplo 6.7. Sejam f: R --> R, g: R--> R e h: R--> R definidas por f(x) = zx, g(x) = x 3 - x c h(x) = x 2 • Os gráficos dessas transformaçoes seguem

f(x) = 2z

g(x) = x 3 - x

h(x) = .\· 2

A transformação f é i11jctora; geometricamente, isso significa que cada !in h" horizontal n~o contém mais do que um ponto de f. A transfom1ação g é sobrejetora; geometrica-

TRANSFORMAÇõES LINEARES

148

[CAP. 6

mente, isso significa que cada linha horizontal contém, ao menos, um ponto de g. A transformação lt não é nem injetora, nem sobrejetora; por exemplo, 2 e ~2 têm a mesma imagem 4, e -16 não é imagem de nenhum elemento de R.

Exemplo 6.8. Seja A qualquer conj"unto. A transformação f : A --->A definida por f(a) = a, isto é, que associa a cada elemento em A a si mesmo, é chamada transjor· mação identidade em A e é anotada lA ou 1 ou I. Exemplo 6.9. Seja f: A

--->

B. Chamamos g: B---> A inversa de f e escrevemos f-I, se

f

o

g

=

1B

e

g oj

=

lA

Enfatizamos que f tem uma inversa se, e somente se, f é ambas as coisas, injetora e sobrejetora (problema 6.9). Também se b E B, então j- 1 (b) = a, onde a é o único elemento de A para o qual j(a) = b. .

TRANSFORMAÇÕES LINEARES Sejam V e U espaços vetoriais sôbre o mesmo corpo K. Uma transformação F: V ----4 U é chamada transformação linear (ou aplicação linear ou homomorfismo de espaços utoriais) se satisfaz as duas condições !õeguintes: (1) (2)

Para qualquer v, w E V, F(v + w) = F(v) + F(w). Para qualquer k E K e qualquer v E V, F(kv) = kF(v).

Em outras palavras, F: V ----4 U é linear se "preserva" as duas operações básicas de um espaço vetorial, i~to é, adição de ''etores e multiplicação por escalar. Substituindo k = O em (2) obtemos F(O) = O. formação leva o vetor zero no vetor zero.

Isto é, tôda trans-

Agora, para quaisquer escalares a, b E K e quaisquer vetores v, w E V obtemos, aplicando as duas condições de linearidade, F(av

+ bw)

=

F(av)

+

+ bF(w)

F(bw) = aF(v)

Mais geralmente, para quaisquer escalares a; E K e quaisquer vetores E V obtemos a propriedade básica de transformações lineares

V;

F(a1v1

+ azVz + ... + anvn) =

a1F(v1)

+

azF(vz)

+ ... + anFCvn)

Observamos que a ·condição F(av + bw) = aF(v) + bF(w) caracteriza completamente as transformações lineares e é usada, algumas v~zes, como definiÇão. Exemplo 6.10. Seja A qualquer matriz m X n sôbre um corpo K. Como observado anteriormente, A. determina uma transformação T : Kn ---> Km pela associação v---> Av. (Aqui, os vetores em Kn e Km são escritos como colunas.) Afirmamos que T é linear. Pois, por propriedade de matrizes, T(v

+ w)

=

A(v

+ w)

=~v+ Aw

=

T(v)

T(kv) = A(kv) = kAv = kT(v), onde v, w E Kn e k E K.

+ T(w)

TRANSFORMAÇÕES LINEARES ·

CAP. 6]

149

Observamos que a transformação linear precedente ocorrerá repetidamente. De fato, no próximo capítulo, mostr... remos que tôda transformação linear de um espaço vetmial de dimensão finita noutro pode ser representada como uma transformação linear do tipo ant~rior. F: R 3

Exemplo 6.11. Seja xy : F(x, y, z) = (x, y, 0).

-->

Mostraremos que F é linear. F(v

+ w)

R3

Seja v

a

transformação

= (a, b,

"projeção"

= la', b',

c) e w

c').

no

plano

Então,

F(a + a', b + b', c + c') (a

+ a', b + b',

(a, b, O)

O)

+ (a', b', O)

=

F(v)

+ F(w)

e, para qualquer k E R, F(kv)

= F(ka, kb, kc)

= (ka, kb, O)

= k(a, b, 0)= kF(v)

Isto é, F é linear. Exemplo 6.12. Seja F: R 2 --> R 2 a transformação "translação" definida por F(x, y) = (x + 1, y + 2). Observe que F(O) = F"(O; O)= (1, 2) ~O. Isto é, o vetor zero não é transformado no vetor zero. Portanto, F não é linear. Exemplo 6.13. Seja F: V--> U a transformação que associa O E U a todo v Então, para qualquer v, w E V e qualquer k E K, temos F(v + w) ·= O = O +O = F(v) + F(w)

Assim, F é linear.

F(kv)

e

E

V.

= O = kO = kF(v)

Chamamos F a transformação· zero e, usualmente, a anotaremos O.

Exemplo 6.14. Considere a transformação identidade I : V--> V que transforma cada v E V nêle mesmo. Então, para qualquer v, w E V e qualquer a, b E K, temos I(av + bw) = av + bw

= ai(v) + bl(w)

Assim, I é linear. Exemplo 6.15. Seja V o espaço vetorial dos polinômios na variável t sôbre o corpo real R. Então, a transformação derivada e a transformação integral D : V --> V

e

J ; V -->

R,

,·espectivamente, definidas nos exemplos 6.4 e 6.5, são lineares. em cálculo que, para qualquer u, v E V e k E R, d(ku)

Porque é provado

du

--=k-

dt

isto é, D(u

+ v)

=

D(u)

+ D(v) e D(ku)

!

1

(u(l)

0

e isto é, J(u +v)

~

J(u)

+

i

kD(u); e também

=

+ v(t)) dt

=

i

1

ku(t)dt

dt '

= k

1

u(t) dt

i

+

i

1

v(t) dt

1

u(t) dt,

§(11) e §(ku) = k .j"(u).

Exemplo 6.16. Seja F: V--> U uma transformação linear que é ambas injetora e sobrejetora. Então, uma transformação inversa p-l : U --> V existe. Mostraremos (probl.ema 6.17) que essa transformação inversa é também linear.

150

TRANSFORMAÇõES LINEARES

[CAP. 6

Quando investigamos as coordenadas de um vetor, em relação a uma base, também introduzimos a noção de dois espaços serem isomorfos. Damos, agora, uma definição formal. Definição. Diz-se que uma transformação linear F : V ----t U é isomorfismo se é injetora. Diz-se que os espaços vetoriais V, U são isomorfos se existe isomorfismo de V sôbre U. Exemplo 6.17. Seja V um espaço vetorial sôbre K de dimensão n e seja {et, ... , enl uma base de V. Então, como observado anteriormente, a transformação v --> [v] 8 , isto é, que transforma cada v E V no seu vetor coordenada em relação 'a bqse {e;), é um isomorfismo de V sôbre Kn.

Nosso próximo teorema nos dá abundantes exemplos de transformações lineares; em particular, nos diz que uma transformação linear é completamente determinada por seus valôres nos elementos de uma base. Teorema. 6.2. Sejam V e U espaços vetoriais sôbre um corpo K. Seja {v 1 , v2 , . . . , vn} base de V e sejam U~o u 2 , . , un quaisquer vetores em U. Então, existe uma única transformàção linear F : V ----t U tal qu.e F(vt) = ul, F(v2) = U2, ... , F(vn) = Un. Salientamos que os vetores Ut. . . . , Un no teorema precedente são completamente arbitrários; êles podem ser linearmente dependentes ou podem mesmo. ser iguais uns aos outros.

NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Começamos definindo dois conceitos. Definição. Seja F: V ----t U uma transformação linear. escrita ImF, é o conjunto dos pontos imagem em U

A imagem de F,

lmF = { u E U : F(v) = u para algum v E V} O núcleo de F, anotado Nuc F, é o conjunto dos elementos em V, que são transformados ein O E U Nuc F= {v E V: "F(v) = O}

O seguinte teorema é fàcilmente demonstrado (problema 6.22). Teorema 6.3. Seja F: V ----t U uma transformação linear. Então, a imagem de F é um subespaço de U e o núcleo de F é um subespaço de V. Exemplo 6.18. Seja F : Ra --> Ra a transformação projeção sôbre o plano xy : F (x, y, z) = (x, y, O). Claramente, a imagem de F é o plano xy todo

z

lm F= {(a, b, O): a, b E R) Note que núcleo de F é o eixo dos z Nuc F= {(0, O, c): c E R) como êsses- pontos, e somente êsses pontos, são transformados no vetor zero O = (0, O, 0).

y

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

CAP. 6]

151

Agora, suponha que os vetores. v1, . . . , v,. geram V e que F :. V~ tJ é linear. Mostraremos que os vetores F(vJ, ... , F(v,.) E U geram Im P. De fato, suponha u E lm F; então, F(v) = u para algum vetor v E V. Como os v, geram V e·, como v E V, existem escalares a 1 , . . . , a,. para os quais v = a1v 1 + a2v2 + ... + a,.v,.. De acôrdo com isso, u= F(v)= F(a1v 1 +a2v2

+ ... + a,.v,.)=a F(v )+a 2F(v 2) + ... + a,.F(v,.) 1

e, portanto, os vetores F(v 1),

••• ,

1

F(v,.) geram Im F.

Exemplo ·6.19. Considere uma matriz 4 X 3 a·rbitrária sôbre um corpo K a1

bt

A = (

Ct

dt

que nós encaramos como uma t(ansformação linear A : K 3 -> K 4 • Agora, a base usual let. e2, eal de K 3 gera K 3 ; logo, seus valôres A.e1, .Ae 2 , Ae 3 , sob A geram a imagem de A. Mas os vetores Ae1, Ae 2 e Ae 3 são as colunas de A

~:) (~) (~~)

da

dt

Assim, a imagem de A é, precisamente, o espaço das colunas de A.

Acentuamos que, se A é qualquer matriz m X n sôbre K encarada como uina transformação linear A : lÇ" ~ Km, então a imagem de A é, precisamente, o espaço das colunas de A. Até aqui nós não relaCionamos a noção de dimensão à de transforma.ção linear F: V~ U. No caso em que V é de dimensão finita, temo!' a seguinte relação fundamental. Teorema 6.4. Seja V de dimensão finita e seja F: V-;. U uma transformação linear. Então, J. dim V

=

dim

~N uc

F)

+ dim (Im F)

Isto é, a soma das dimensões da imagem e do núcleo de uma transformação linear é igual à dimensão. do seu domínio. ' 7 ê-se, f~:cilmente, que essa fórmula vale para as transformações projeç._.~., F no exemplo 6.18; Lá, a imagem (plano xy) e o núcleo (eixo dos z) de F têm dimensões 2 e 1, ~espectivamente, enquanto o domínio R 3 de F tem dimensão 3.

152

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

[CAP. 6

Observação. Seja F : V~ U uma transformação Jinear. Então, define-se o pôsto de F como a dimensão da sua imagem e define-se nulidade de F como a dimensão do seu núcleo pôsto (F)

dim (Im F)

=

nulidade (F)

=

dim (Nuc F)

Assim, o teorema precedente produz a seguinte fórmula para F quando V tem dimensão finita pôsto (F)+ nulidade (F)

=

dim V

Lembre-se que o pôsto de uma matriz A foi, originalmente, definido como a dimensão do seu espaço das colunas e de seu espaço das linhas. Observe que, se encararmos A como uma transformação linear, então as duas definições se ~orrespondem, pois a imagem de A é, precisamente, seu espaço das colupas.

TRANSFORMAÇÕES SINGULARES E NÃO-SINGULARES Diz-se que uma transformação linear F : V--+ U é singulqr se a imagem de alguns vetores não-nulos sob F é O, isto é, se existe v E V para o qual v >= O mas F(v) = O. Assim, F: V--+ U é não-singular .se sômerrte O pertencente a V é transformado em O pertencente a U ou, equivalentemente, se seu núcieo consiste sümente no vetor zero. Nuc F= {0}. Exemplo 6.20. ·Seja F: R3-+ R 3 a transformação linear que gira um vetor de um ângulo O em redor do eixo dos z: F(x, y, z) = (x cos 9- y sen 9, x sen 9,

+ y cos O, ~)

Observe que somente o vetor zero é transformado no vetor zero; portanto, F é não-singular.

y

.,

Agora, se a transfórmação linear F: V - U é injetora, então sômente O E V pode ser transformado em O E U e, pois, F é não-singular. A recíproca também é verdadeira. 'Suponha,~e que F é nãO-singular e F(v) = F(w); então, F(v- w) = F(v)- F(w) = O e, portanto, v- w = O ou v = w. Assim, F(v) = F(w) implica v = w, isto é, F é injetora: Por definição (página 150), uma transformação linear injetora é chamada um isomorfismo. Assim, demonstramos Teorema 6.5. Uma transformação linear e sOmente se, ela é não-singular.

F: V--> U é isomorfismo se,

Observamos oque transformações não-singulares podem também ser caracterizadas como transformações que levam conjuntos independentes em conjuntos independentes (problema 6.26).

TRANSFORMAÇõES LINEARES

CAP. 6]

153

TRANSFOJtMAÇÕES LINEARES E SISTEMAS DE EQUAÇÕE$ LINEARES Considere um sistema de m equações lineares em n incógnitas sôbre um corpo K aux1 a1~2 + abox,. = b1 a21x1 + a22X2 + ... a!,.x,. = b2

+

a,. 1x 1

+

+ ...

a,.2x2

+ + ... + a,.,.x,. =

b,.,

que é equivalente à equação matricial

Ax = b, onde A = (a,,) é a matriz dos coeficientes, ex = (x,) e b = (b;) são vetores colunas das incógnitas e das constantes, respectivamente. Agora, a matriz A pode também ser encarada: como a transformação linear

A

:K"~K"'

Assim, a solução da equação Ax = b pode ser encarada como a pré-imagem qe b E K"' sob a transformação linear A : K" ~ K"'. Além disso, a solução da equação homogênea associada Ax = O pode ser encarada como o núcleo da transformação linear A : K" ~ K"'. Pelo teorema 6.4, dim (Nuc

-:4)

=

dim K"- dim (Im A) = n- pôsto A

Mas n é exatamente o número de incógnitas no sistema homogêneo Ax = O. Assim, temos o seguinte teorema sôbre equações lineares que apareceu no capítulo S.

Teorema-5.11. A dimens~o do espaço das soluções W do sistema homogêneo de equações lineares AX = O é n-: r, onde n é o número de incógnitas e r é o pôsto da matriz dos coeficientes A. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES UNEARES Estamos· capacitados a combinar transformações lineares de várias maneiras para obter novas transformações lineares. Essas operações são muito importantes e serão usadas no texto todo. Supopha que F: V~ U e G: V~ U são transformações lineares de espaços vetoriais sôbre um corpo K. Definimos a soma F+ G como sendo a transformação de V em U, qua associa F(v) + G(v) a v E V: (F

+ G)(v)

= F(v)

+ G(v)

Além disso, para qualquer escalar k E K, definimos ó produto kF como sendo a transformação de V em U, que associa kF(v) a v E V.: (kF)(v)

=

kF(v)

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

154

[CAP. 6

Mostramos que, se F e G são lineares, então F+ G e kF são também lineares. Temoi, para quaisquer vetores v, w E V e quaisquer escalares a, b E K, (F+ G)(av

+ bw)

=

+ bw) + G(av + bw) aF(v) + bF(w) + aG(v) + bG(w) a(F(v) + G(v)) + b(F(w) + G(w))

=

a(F

= =

F(av

+ G)(v) + b(F + G)(w)

e (kF)(av

+ bw)

= kF(av

=

+ bw)

'akF(v)

= k(aF(v)

+ bkF(w)

=

+ bF(w)) + b(kF)(w)

a(kF)(v)

Assim, F+ G e kF são lineares. Surgem os seguintes teoremas.

Te orem• 6.6. Sejam V e U espaços vetoriais sôbre um corpo K. Então, a coleção de tôdas as transformações lineares de V em U com as operações · acima de adição e multiplicação por escalar formam um espaço vetorial sÇbre K. O espaço no teorema acima é usualmente anotado Hom (V, U) Aqui, Hom vem da palavra homeomorfismo. de dimensão finita, temos o seguinte teorema.

No caso de V e U serem

Teorema 6.7. Suponha dim V= m e dim U = n. = mn.

Então, dim Hom

(V, U)

Agora, suponha que V, U e W são espaços vetoriais sôbre o mesmo corpo K e que· F: V~ U e G: U ~ W. São transformações lineates

Lembre que a função composta G o F é a transformação de V em W, definida por (G o F)(v) = G(F(v)). Mostraremos que G o F é linear, enquanto F e G são lineares. Temos para quaisquer vetores v, w E V e quaisquer escalares a, b E K, (G õ F)(av

+ bw) = G(F(av + bw)) = G(aF(v) + bF(w)) = aG(F(v)) + bG(F(w)) = a(G o F)(v) + b(G o F)(w))

Isto é, G o F é linear A composição está relacionada com adição e multiplicação por escalar de transformações lineares, como segue.

CAP. 6]

TRANSFORMAÇõES LINEARES

155

Teorema 6.8. Sejam V, U e W espaços vetoriais sôbre K. Sejam F, F' as transformações lineares de V em U e G, G' as transformações de U em W, e seja k E K. Então, (i)

G o (F

+ F') =

Go F

+ G o F'

+ G') o F

= G o F+ G' o F (iii) k(G o F) = (kG) o F = G o (kF). (ii)

(G

ÁLGEBRA DE OPERADORES LINEARE~ . Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Agora, consideraremos o caso especial de transformações linares T : V-+ V, isto é, de V nêle mesmo. Elas são também chamadas operadores lineares ou transformações lineares em V. Escreveremos A (V) em lugar de Hom( V, V) para o espaço de tôdas essas transformações. Pelo teorema 6.6, A(V) é um espaço vetorial sôbre K; êle tem dimensão n 2 se V tem dimensão n. Agora, se T, SE A(V), então a composta S o T existe e é também uma transformação linear de V nêle mesmo, isto é, S o T E A (V). Assim, temos uma "multiplicação" definida em A(V). (Escreveremos ST em vez de So T no espaço A(V).) Observamos que uma álgebra A sôbre um corpo K é um espaço vetorial sôbre K, no qual uma operação de multiplicação é definida, satiSfazendo para quaisquer F, G, H E A e qualquer k E K, (ii)

+ H) = FG + FH (G + H)F =CF+ HF

(iii)

k(GF)

(i)

F(G

=

(kG)F

= G(kF).

Se a lei associativa também vale para a multiplicação, isto é, se, para quaisquer F, G, H E A, (iv) (FG)H = F(GH), então diz-se que a álgebra A é associativa. Assim, pelos teoremas 6.8 e 6.1, A( V) é uma álgebra associativa sôbre K em relação à composição de funções. Portanto, é freqüentemente chamada álgebra dos operadores lineares em V. Observe que a transformação identidade I: V-+ V pertence a A( V). Também para qualquer T E A( V), temos TI = IT = T. Notamos que nós também podemos formar potências de T; usamos a notação

-·

T2

= To T, P = To To T, ...

Além disso, para qualquer polinômio

p(x)

= a0

+ a x + a~ + ... + anxn, 1

2

a; E K,

podemos formar o operador p(T) definido"por

I

p(T)

+ a0I + a 1T + a

2

P

+ ... + anT"

TRANSFORMAÇõES LINEARES

156

[CAP. 6

(Para um escalar k E K, o operador kl é, freqüentemente, anotado apenas por k.) Em particular, se p(T) = O, a transformação zero, então diz-se que T é uma raiz do polinômio p(x). Exemplo 6.21. Sejil r: R 3 ---> R 3 definida por r(x, y, z) (a,.b, c) é qualquer elemento do R 3 , então

(r+ I)(a, b, c) =

(O, a, b)

= (a, a

= (0, x, y).

Agora,

se

+ (a, b, c)

+ b, b + c)

e r

3

(a, b, c)

= r 2 (0, a, b) = r(O, O,

a) = (0, O, O).

Assim, vemos que r O, a transformação zero de V nêle mesmo. r é um zero do polinômio p(x) = x 3. 3 =

Em outras palavras,

OPERADORES INVERSÍVEIS Diz-se que um operador linear T : V~ V é inversível se tem inverso, isto é, se existe r-I E A(V) tal que T1 1 = 1 1 T = I. Agora, T é inversível se, e somente se, é injetora e sobrejetora. Assim, em particular. se T é inversível, então somente O E V pode ser transformado em si mesmo, isto é, T é não-singular. Por outro lado, suponha que T é não-singular, isto é, Nuc T = {0}. Lembre (página 153) que T é também injetora. Além do mais, supondo que V tem dimensão finita, temos, pelo problema 6.4, dim V

= dim (lm T) + dim dim (Im T) + O =

=

(Nuc T) = dim (Im T) dim (Im T)

+ dim ({O})

Então, Im T= ~. isto é, a imagem de T é V; assim, T é sobrejetora. Portanto, T é ambas, injetora e sobrejetora; logo, é inversível. Demonstramos o Teorema 6.9. Um operador linear T : V~ V num espaço vetorial de dimensão finita é inversível se, e somente se, é não-singular. Exemplo 6.22. Seja

r

o operador em R 2 definido por

r(x, y) = (y, 2x- y) O núdeo de T é {(Ô, O) l; portanto, T é não-singular e, pelo teorema anterior, inversível. Encontraremos, agora, uma fórmula para r- 1. Suponha que (s, t) é a imagem de (x, y) sob T; portanto, (x, y) é a imagem de (s, t) sob r-I: T(x, y) = (s, t) e T-I (s, t) = (x, y).

Temos

T(x, y) = (y, 2x- y)

= (s,

t);

logo,

y

Resolvendo para x e y em relação a s e t, ob.temos x = é dado pela fórmula r-I

= s, 2x- y =

f s +f t,

(s, t) =
y

t

= s. Assim, 1

1

CAP. 6]

TRANSFORMAÇõES LINEARES

157

No teorema pr:.::er~nte, é necessário que V tenha dimensão finita, como se vê no ex~mplo seguinte. Exemplo 6.23. Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre K e seja To operádor em V definido po~

isto é, T aumenta de 1 o expoente de t em cada têrmo. Agora, T é uma transformação linear e é não-singular. Entretanto, T não é sobrejetora; logo, não é inverslvel.

Agora, damos uma àplicação importante· do teorema acima a sistemas de equações lineares sôbre K. Considere um sistema com o mesmo número de equações e de incógnitas, digamos, n. Podemos representar êsse sistema pela equação matricial

Ax

=

b,

(*)

onde A é uma matriz quadrada n X n sôbre K que encaramos como um operador linear em K". Suponha que a matriz A é não-singular, isto é, a equação matricial Ax = O tem sàmente a solução nula. Então, pelo teorema 6.9, a transformação linear A é injetora e sobrejetora. Isto quer dizer que o sistema ("') tem solução única para qualquer b E K". Por outro lado, suponha que a matriz A é singular, isto é, a equação matricial Ax = O tem uma solução não nula. Então, a transformação linear A não é sobrejetora. Isso significa que existe b E K" para o qual ('") não tem. solução. Além disso, se uma solução existe, ela não é única. Assim, provamos o seguinte resultado fundamental.

Teorema 6.10. Considere. o seguinte sistema de equações lineares a 11x 1 a 21 x 1

+ a 12X2·+ + + a22X2

(i) Se o sistema homogêneo correspondente tem sàmente a solução nula então o sistema acima tem uma única sol~ção para quaisquer valôres dos b; . ..!'

(ii) Se o sistema homogêneo correspondente tem uma solução não nula, então, (i)

existem valôres para os b;, para os quais o sistema acima não tem solução;

(ii) sempre que existir uma solução do sistema acima, ela não será única.

. 158

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

[CAt'. 6

Problemas Resolvidos TRANSFORMAÇÕES 6.1.

Diga se cada diagrama define uma transformação de A em B = {x, y, z}.

(i i)

{a, b, c}

(iii)

(i) Não. Não existe nada associado ao elemento b E A. (ii) Não. Dois elementos, x e z, são associados a c E A. (iii) Sim.

6.2.

Use uma fórmula para definir cada uma das seguintes funções de

R em R. (i) Para cada número, faça f associar seu cubo. (ii) Para cada número, faça g associar o número S. (ííi) Para. cada número positivo, faça h associar seu quadrado e, para cada número não-positivo, Jaça h associar o número 6. Também encontre o valor de cada função em 4, -2 e O. Como f associa a qualquer número x seu cubo x 3, podemos definir f por

(i)

j(x) = x 3•

Também /(4) = 4 3 = 64, J(-2) = (-2)3 = -8, j(O) =

(ii)

x(4)

(iii)

= S, g(-2)

=

o

=

=

5.

S, g(O) = S

Duas regras diferentes são usadas para definir h como segue h(x) =

Como 4 > O, h(4) h(O) = 6.

6.3.

os

Como g associa S'·a qualquer número x, podemos definir g por g(x) Assim, o valor de g em cada número 4, -2 e O é S

=

4 2 = 16.

J x2

se

x

l6

se

x ~ 6.

>O

Por outro Íado, -2, O ~ O; logo, h(-2) = 6,

Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5} e seja f: A -'--+A a transformação definida pelo diagrama à direita. (i) Encontre a imagem de f. (ii) Encontre o gráfico de f. (i) A imagem j(A) da transformação f consiste em todos os pontos associados· a elementos de A. Agora, .somente 2, 3 e S aparecem como imagem de quaisquer elementos de A; portanto, j(A) = {2, 3, 5}.

TRANSFORMAÇõES LINEARES

CA:P.. 6] (ii)

O gráfico de f é constituldo dos pares ordenados (a, f(a)), onde a E A. Agora, j(l} = 3, /(2) = 5, /(3) = 5, /(4) = 2, · /(5) = 3; portanto, o gráfico de

f 6.4.

159

=

1(1, 3),

Esboce o gráfico de (i)

(2, S), (3, 5), (4, 2),

f(x)

=

(5,3)).

+ x- 6,

x2

(ii) g(x) = x 3 - 3x 2

-

x

+ 3.

Note que essas são funções polinômicas. Em cada caso, construa uma tabela de valôres de -X e, então, encontre os valôres correspondentes de f(x). Localize os pontos_ num diagrama coordenado e,· depois; desenhe uma curva regular contínua pelos pontos. (i) (ii) X-

f(x)

-4 -3

X

g(x)

6

-2

-15

o

-1

o

-2

-4

o

3

-1

-6

1

o

o

-6

2

-3

j

1

-4

3

o

i

2

o

4

15

3

6

I

I •

6.5.

Sejam as transformações diagrama

f :A

----4

-4

B e g :B -

C definidas pelo

(i)

Encontre a transformação composta (g s/) :A -C.

~ii)

Encontre a imagem de- cada transformação: f, g e g 0 f.

(i)

Usamos a definição de transformação comJKlsta para calcular (g o j)(a)

= g(f(a)) = g{y) =

(g o j)(b)

= g(j(b)) = g(x) = s = g(j(c)). = g{y) = t

(g o f)(c)

t

Observe que chega~;emos à mesma resposta se "seguirmos as flechas" no diagrama a -> y -+ t, b -> x -> s, c -+ y -+ t

TRANSFORMAÇõES LINEARES

f60 (ii)

[CAP. 6

Pelo diagrama, os valôres imagem pela transformação f são x e )', e os valôres imagem por g são r, s e t; portanto, imagem de f = {x, y}

e imagem de g = {r, s, 1}.

Por (i) os valôres ·imagem pela transformação composta são t e s; portanto, imagem gof = {s, 1}. Note que as imagens de g ego f são diferentes.

6.6.

Sejam as transformações

f(x)

+1

2x

=

f e g definidas por g(x)

e

(i) Encontre ~g o f)(4) e (f o g)(4). (ii) Encontre fórmulas definindo as

Jô g. 2 . 4 + 1 =

=

x2

-

2.

transformações compostas

go f e (i)

f(4) =

g(4) = 4 ~2 2

(ii)

14.

=

Portanto, (g o f)(4) = g(j(4)) = g(9) = 9 2 - 2 = 79.

9.

Portanto, (/og)(4) =f(g(4))=f(14)=2 .14

+1=

29.

Calcule a fórmula para g o f como segue

(g o j)(x)

=

g(j(x)) = g(2x

+ I )2 -

2 = 4x 2

+ 4x- 1.

Observe que a mesma resposta pode ser encontrada escrevendo y = j(x) = 2x + 1 e z = g(y) = y 2 - 2 e, então, eliminando y; z = y 2 - 2 1) 2 - 2 = 4x 2 4x- L = (2x

+

+

(f o g)(x) Observe que

6.7.

f

=

f

j(x 2 - 2)

+ 1 + 2x 2 -

3.

~

B, g: B

~C

C~

o g r! g o f.

Sejam as transformações f: A pelo diagrama A

=

f(g(x))

=

B

g

c

e h:

h

D definidas D

Determine se cada tr~nformação (i) é injetora, (ii) é sobrejetora, (iii) tem inversa. {i)

I\. transformação f: A

(ii)

A transformação f :A --> B não é sobrejetora, pois z E B não é imagem de nenhum elemento de A. A transformação g: B--> C é sobrejetora, pois cada elemento de C é imagem de algum elemento de B. A transformação h : C ---> D é também sobrejetora.

(iii)

Uma transformação tem inversa se, e somente se, é ambas injetora:e sobrejetora. Portanto, somente h tem inversa.

--+ B é injetora, pois cada elemento de A tem uma imagem distinta. A transformação g : B --+ C não é injetora, pois x e z são transformados no mesmo elemento 4. A transformação h : C-+ D é injetora.

CAP. 6]

6.8.

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

161

Suponha f: A~ B e g: B ~C; portanto, a transformação composta (g o f): A~ C existe. Demonstre o seguinte. ti) (ii)

f Se f

Se

e g são injetoras, então g o f é injetora. e g são sobrejetoras, então g o f é sobrejetora.

(iii) Se g o f é injetora, então

f

é injetora.

(iv) Se g o f é sobrejetora, então g é sobrejetora. (i)

Suponha (g o f)(x) = (g o f)(y). Então, g(j(x)) = g(f(y)). Como g é injetora, j(x) = f(y). Como f é injetora, x ~ y. Provamos que ·(g o j)(x) = = (g o f)(y) implica x = y; portanto, g o f é injetora.

(ii)

Suponha c E C. Como g é sobrejetora, existe b E B para o qual g(b) = c. Como f é. sobrejetora, existe a E A para o qual J(a) = b. Assim, (g o j)(a) = = g(f(a)) = g(b) = c; portanto, g o f é sobrejetora.

(iii)

Suponha que f não é injetora. Então, existem elementos distintos x, y E A par·a os quais J(x) = f(y). Assim, (g o f)(x) = g(j(x)) = g(j(y)) = (g o j)(y); portanto, g o f não é injetora. De acôrdo com isso, se g o f é injetora, então f deve ser injetora .•

(iv)

Se a E A, então (I!<> J)(a) = g(j(a)) E g(B); portanto, (g o /)(A) c g{E) Suponha que g não é sob,ejetora. Então, g(B) está propriamente contido em C; logo, (g o f)(A) está propriamente contido em C; assim, g o f não é sobrejetora. De acôrdo com isso, se g o f é sobrejetora, então g deve ser sobrejetora.

'

I I i

6.9.

Demonstre que uma transformação sõmente se, é injetora e sobrejetora.

f: A

~

B tem inversa se, e

Suponha que f tem inversa, isto é, existe uma função f- 1 : B-+ A para a qual /- 1 o f = lA e f 0 f-I = lB. Como lA é injetora, f é injetora pelo problema 6.8 (iii); e, como lB é sobrejetora, f é sobrejetora pelo problema 6.8 (iv). Isto é, f é injetora e sobrejetora. Agora, suponha que f é ambas :injetora e sobrejetora. Então, cada b E B é imagem de um único elemento em A, digamos íJ. Assim, se f(a) = b, então. n "" b; portanto, j(b) = b. Agora, seja g a transformação linear dé B em A definida por b-> b. Temos (i)

(ii)

= g(f(a)) = g(b) (j o g)(b) = f(g(b)) = j(b) (g o f)( a)

=

b

=

b, para todo b E B; portanto,

De acôrdo com isso, f tem inversa.

= a,

para todo a E A; portanto, g o f

= 1.'1·

f o g = 1B-

Sua inversa é a transformação g.

6.10. Seja f : R ~ R definida por f(x) = 2x- 3. Agora, f é injetora e sóbrejetora; portanto, f tem transformação inversa ] 1 • Encontre uma fórmula para f- 1 . Seja y a imagem de x sob a transformação f: y = f(x) = 2x- 3. Conseqüentemente, x será a imagem de y sob a transformação inversa f- 1 • Assim, resolva x em têrmos de y na equação acima: x = (y 3)/2. Então, a fórmula definindo a função inversa é f- 1 (y) = (y 3)/2.

+

+

TRANSFORMAÇõES LINEARES

162

[CAP. 6

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

C§ ~ostre

segui~t.es transformações F

que as

são lineares:

R deftmda por F(x, y) = (x + y, x). (ii) F : R -+ R definida por F(x, y, z) = 2x- 3y + 4z.

· (1)

F :R

2

2

.-+

3

(i)

Seja v = (a, b) e w = (a', b'); portanto,

v

+w =

Temos F(v)

= (a +a', b

(a

+ b, a)

+ b')

e j(w)

=

e kv = (ka, kb), k E R.

+ b', a').

(a'

Assim,

+ w) = F(a +a', b +

F(v

=

b') = (a +a' + b + b', a +a') (a + b, a) + (a' + b', a') = F(v) + F(w)

= F(ka, kb)

F(kv)

=

(ka

+ kb, ka)

+ b, a)

= k(a

= kF(v).

Como v, w· e k eram arbitrários, F é linear. (ii)

Seja o

=

(a, b, c) e w

+w

v

Temos F(v) Assim,

=

(a', b', c'); portanto,

+ b', c +c') = 2a- 3b + 4c e F(w) =

= (a +a', b

F(v + w)

kv

e

= (ka, kb, kc), k

E

R.

+ 4c'.

2a'- 3b'

= F(a + a', b + b', c + c') . = 2(a +a')- 3(b + b') + 4(c +c') = (2a- 3b + 4c) + (2a'- 3b' + 4c') = F(v)

+ F(w)

e F(kv) = F(ka, kb, kc)

=

2ka- 3kb

+ 4kc

k(2a- 3b

=

+ 4c)

=

kF(v).

De acôrdo com isso, F é linear.

@Mostre que as seguintes transformações F não são lineares: .

(i)· F: R 2 ·-+ R definida por F(x, y) (ii). F: R

2

-+

R definida· por F(x, y)

3

3

= =

xy. (x

+ 1, 2y, x + y)

2

(iii) F:R -+R definida por F(x,y,z) = (jxj,O). (i)

Sejam v= (1, 2) e w = (3,4); então, v+ w = (4, 6). Temos F(v) = 1 . 2 = 2 e F(w) = 3 . 4 = 12.

F(v

+ w) =

Portanto,

F(4, 6) = 4 . 6 = 24 ,... F(v)

+ .F(w)

De acôrdo com isso, F não é linear.

= (1, O, O) ,... (0, O, 0),

F n~o pode ser linear.

(ii)

Como F(O, O)

(iii)

= {-3, -6, -9). Temos F(v) = (1, O); logo, kF(v) = -3(1, O) = (-3, O). Sejam v = (1, 2, 3) e k = -3; portanto, kv

Então, F(kv) "" F(-3, -{i, -9) "" (3, O) ,t kF (v) e, portanto, F não é linear

6.13. Seja V o espáço vetoria~ das matrizes quadradas n X n s6bre K. Seja M uma matriz arbittã:ri~{'e'rn V. ·Seja T: V-+ V definida por T(A) = AM +MA, onde A E V. Mostre que T é linear.

TRANSFORMAÇõES LINEARES

CAP. 6}

-163

Para quaisquer A, B E V e qualquer k E K, temos

T(A

+

B) =(A +B)M+ M(A+B) =AM+BM+ MA+ MB = (AM + MA)+ (BM + MB) = T(A) + T(B)

e

T(kA)

= =

(kA)M+M(kA)= k(AM)+k(MA) kT(A).

=

k(AM+MA)

=

De acôrdo com isso, T é linear. 6.14. Demonstre o teorema 6.2. Sejam V e U espaços vetoriais sObre um corpo K. Seja lv 1, .•. , v,.} base de V e sejam u 1, . . . , u,. quaisquer vetores arbitrários em U. Então, existe uma única transformação linear F : V - t U tal que F(vJ = u 11 F(v 2) = u 2, .•• F(v,.)= u,.. Há três passos na demonstração do teorema. (1) Defina uma transformação F: V-+ U tal que F( v;) = u;, i = 1, ... , n. (2) Mostre que F é linear. (3) Mostre que F é única. Passo I. Seja v E V. Como fvt, ... , v,.} é uma base de V; existem escalares umcos a1, . _ . , a,. E K para os quais v = atVI a2v2 anv,.. Definimos F: V-----+ .U por F(v) = a1u1 a2u2 a,.u,.. (Como os a; são únicos, a transformação F está bem definida.) Agora, para i = 1, ___ , n,

+

v; = Ovt

+ ... +

+

+ ... +

+ . . . + 1 v; + .. . + Ov,.

Portanto, F(v;) = Out

+ ... + lu; + ...

+Ou,. = u;.

Assim, o primeiro passo da,demonstração está completo.

Passo 2. Suponha v= atvt

+ a2v2 + ... + a,.v,.

e w = btvl

+ b2v 2 + ... + b,.v,..

Então,

e, para qualquer k E K, kv = kaw1 transformação F, F(v) = atut

Portanto,

e

+ ka2t12 + ... + ka,.v,.,

Por definição da.

+ a2u2 + ... + a,.v,. e F(w) == b1u1 + b2u2 + ... + b,.u,.. + w) = (at + bt)Ut + (a2 + b2)u2 + ... +(a,. + b,.)u,. = (atUl + a2u2 + ... + anu,.) + + (btut + b2u2 + _. + b,.u,.) = F(v) + F(w) f(kv) = k(atUl + a2u2 + ... + a,.u,.) = kF(v)

F(r•

Assim, F é linear .

....

Passo 3. Agora, suponha que G : V-+ U é linear e G(v;) = u;, i Se v ,.. a1V1 + a2112 + ... + a,.v,., então G(v) = G(attll

Como G(v) = F(v) para provado.

+ a2t12 + ... + a,.v,.)

= 1,

... , n.

-

= a1G(v1) + a~Cv2) + ... + anG(v,.) = a1u1 + a2u2 + ... + anu,. = F(v). todo v e V, G = F. Assim, F é única

e o teorema está

TRANSFORMAÇOE~

'164

. 6.15. Seja' T: R2

~

LINEARES

[ÇAP. fi

R a transformação linear para a qual T(1, 1) = 3

e

T(O, 1) = -2.

(1)

(Como {(1, 1), (0, 1) I é base do R 2 , tal transformação linear existe e é única, pelo teorema 6.2.) Encontre T(a, b). Primeiro escrevemos (a, b) como combinação linear de (1, 1) e (0, 1), usando incógnitas escalares x e y: (a, b) = x(l, 1)

+ y(O,

!).

(2)

Então, (a, b) = (x, x)

+

(0, y) = (x, x

+ y);

logo,

x = a, x

+y

= b.

Resolvendo para x e y em relação a a e b, obtemos x =a

e

y = b -a.

(3)

Agora, usando (1) e (2), temos T(a, b) = T(x(l,

I)+ y(O,

I)+ yT(O,

1)) = xT(I,

I)= 3x-2y.

Finalmente, usando (3), temos T(a, b) = 3x- 2y = 3(a)- 2(b- a) = Sa- 2b.

6.16. Seja T; V~ U linear e suponha v1 , . . . , Vn E V com propriedade de que suas imagens T(v 1), • , . , T(vn) são linearmente independentes. Mostre que os vetores v1o ... , vn também são linearmente independentes.

+ a2v2 + . . + anvn = + a2v2 + ... + anv,;) = + a2TCv2) + , , , + anT(vn) ..

Suponha que para escalares a1, , .. , an, a1v1

O.

Então,

O = T(O) = T(a1v1

= atT(vi)

Como os T(v;) são linearmente independentes, todos os a; são linearmente independentes.

=

0;

Assim, os vetores

VJ, ••• , Vn

V~ Ué injetora e sobrejetora. Mostre que a transformação inversa r 1 : U ~ V é também linear.

6.17. Suponha que a transformação linear F:

v, v'

~

Suponha u, u' e U. Como F é injetora e sobrejetora, existem vetores únicos V ~ra os quais F(v) = u e F(v') = u'. Cor:no F é linear, também temos

E

+ v') =

F(v

F(v)

+

F(v')

= u + u' e F(kv) = kF(v) = ku.

Por definição de transformação inversa, F- 1(u) v v' e F- 1(ku) = kv. Então,

+

p-l(u

+

u')

= v + v'

= rl(u)

+

F- 1(u')

e

= v, F- 1(u') = v', F- 1(u F- 1(ku)

= kv = kF- 1(u)

e, assim, F- 1 é linear.

IMAGEM E NÚCLEO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

@

Seja F : R4

~ R3

F(x, y, s, t)

=

a transformação linear definida por

(x..:. y

+ u')

+ s + t, x + 2s- t, x + y + 3s- 3t}

=

CAP. 6]

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

'Encontre uma base e a dimensão de (i) imagem U de F, (i}

(ii) núcleo W de F.

As imagens dos seguintes geradores do R 4 geram a imagem U de F F(l, O, O, O)= (1, I, I)

F(O, I, O, O)= (-1, O, I) F(O, O, 1, O) = (1, 2, 3) F(O, O, O, 1) = (1, -1, -3)

Forme a matriz cujas linhas são os geradores de U e, depois, reduza por linhas à forma escalonada

JJl ~,.o _, Jl ~,.r~ ~ n

(-1

I ~

•

Assim, 1(1, I, 1), (0, 1, 2)} é base de U; portanto, dim U (ii) Procuramos o conjunto de (x, y, s, t) tal que F(x, y, s, t)

I

+ + t,

F(x, y, s, f) = (x- y s = (0, o. 0).

~

'

' I I [email protected]

x

+ 2s- t,

x

=

2.

= (0, O, O),

isto é,

+ y + 3s- 31)

Faça as componentes correspondentes iguais entre si, para formar o seguinte

sistema homogêneo cujo espaço das soluções é o núcleo H' de F x-y+ s+ 1=0 + 2s- t =O x y 3s - 3t = O

x

ou

+ +

X OU

x-y+ s+ 1=0 y + s- 21 =o 2y + 2s - 41 =O

y+s+ 1=0 + s - 21 =o.

y

As ,·ariáveis livres são s e t; portanto, dim 11·

I

(a)

s=:-1,1=0

b)

s

=o,

t

1

=

=

2.

Faça

para obter a solução (2, I, -1, 0). para obter a solução (1, 2, O, 1).

Assim, !(2,. I, -1, 0), (1, 2, O, 1)} é base de H'. (Observe que dim U

+ dim

H" = 2

+2

= 4,

que é a dimensão do domínio

R' de F.)

~R

I f

Seja T : R3

I

En'contre uma base e a dimensão de

3

a transformação linear definida por

T(x, y, z) = (x

(i)

+ 2y- z, y + z, x + y- 2z).

imagem U de T,

(ii) núcleo W de T. (i)

As imagens dos geradores de R 3 geram a imagem U de T

T(t, O, O)= (1, O, 1), T(O, 1, O)= (2, 1, 1) T(O, O, 1) = H. 1, -2).

TRANSFORMAÇõES LINEARES

166

[CAP. 6

Forme a matriz cujas linhas são os geradores de U e reduza por linhas à forma escalonada

(~

!)para(~o

0

-1

(i i)

-!)par.l(~o ~o

0

-2

-1

-!)o

Assim, ((1, O, 1), (0, 1, -1)1 é base deU; logo, dim U = 2. Procuramos o conjunto de (x, y, z) para o qual T(x, y, z) = (O, O, O), isto é, T(x, y, z) = (x

+ 2y- z, y + z, x + y- 2z)

(O, O, O)

=

Faça as componentes correspondentes iguais entre si para formar o sistema homogêneo cujo espaço das soluções é o núcleo IF de T

X+

2y y

x

+

+

X+

Z= 0 z =o

Z

=

0

y+z=O -y-z=O

y - 2z =O

X+

ou

2y -

ou

2y -

Z=

}' + z

0

=O.

A única Yariável livre é z; portanto, dim Ir = 1. Faça z = 1; então, y = -1 ex= 3. Assim, 1(3, -1, 1)} é base de W. (Observe que dim U dim 11' ~ 2 + 1 = 3, que é a dimensão do domínio R 3 de T.)

+

6 20. Encontre uma transformação linear F: R 3 gerada por (1, 2, O, -4) e (2, O, -1, -3).

---7

R4, cuja imagem é

Método 1. Considere a base usual do R 3 : e 1 = (1, O, 0), c 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, O, 1). Faça F(eJ) = (1, 2, O, -4), F(e 2 ) = (2, O, -1, -3) e F(e 3) =(O, O, O, O). Pelo teorema 6.2, tal transformação linear existe e é única. Além disso, a imagem de F é gerada pelos F(e;); portanto, F tem a propriedade requerida. Encontraremos uma fórmula geral para F(x, y, z) F(x, y, z) = F(xe1

=

(x

= xF(eJ) + yF(e 2 ) = zF(e 3 ) = + y(2, O, -1, -3) + z(O, O, O, O)=

+ ye2 + ze3)

= x(J, 2, O, -4)

+ 2y, h·, -y, - h - 3y)

Método 2. Forme uma matriz A, 4 X 3, cujas colunas são somente os vetores dados; digamos,

A

(~ -~ -~) 4

-3

-3

Lembre que A determina uma transformação linear A : R 3 -+ R4 cuja imagem é gerada pelas colunas de A. Assim, A satisfaz à condição requerida.

6.21. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R e seja 1

2

Seja F : V ---7 V a transformação linear definida 3 por F(A) = .1M- MA. Encontre uma base e a dimensão do núcleo W de F.

o

tt \I

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

CAP. 6]

Procuramos o conjunto

F(:

(;

n

tal que

n c n+(~ (:

(-2s -2s

2x 2s

n

FG

3y) _

+ 2i 2x + 2y

+ 2s -~S

2/)

-

2s

(~ ~)

DG n c +

;) - ( ~

s

167

=

2t)

y

3t

(~

~)

Assim,

+ 2y-

2x

21 = O 2s = O

ou

As variáveis livres são y e /; portanto, dim H'= 2. Para obter uma base de W, faça

t =O para obter a solução x = 1, y = -1, s =O, t =O y .= O, t = 1 para obter a solução x = 1, y = O, s = O, t = 1.

(a) y = -1, (b)

Assim,

lf (10 -10 )

O' •

1

)

lJ é

base de TI'.

6.22. Demonstre o teorema 6.3. Seja F: V

---4 U uma transformação linear. Então, (i) a imagem de F é um subespaço de U e (ii) o núcleo de F é um subespaço de V .

. (i)

Como F(O)

=

Agora, suponha u, u' E lm F e a, b E K. Como E V tais que F(v) = tt

O, O E Jm F.

u e tt' pertencem à imagem de F, existem vetores v, v'

Então,

e F(v') = u'.

F(av

+ bt~')

= aF(v)

+ bF(v')

+ bu' E

= aJl

lm F.

Assim, a imagem de F é um subespaço de U. (ii)

Como F(O) =O, O E :--luc F.

Agora, suponha v, w E Nuc F e a, b E K.

Como v e w pertencem ao núcleo de F, F(v)

I f

~

I

F(av

+ bw)

= aF(v)

+ bj(w)

= aO

=

O e F(w) = O.

+ b0='0;

Assim,

logo, a v = bw E '\ uc F.

Assim, o núcleo de F é um subespaço de V.

6.23. Demonstre o teorema 6.4. Seja V de dimensão finita e seja F : V~ U uma transformação linear com imagem U' e núcleo W. Então, dim U' + dim W = dim V. Suponha dim V = n. Como W é subespaço de V, sua dimensão é finita; digamos, dim W = r ~ n. Assim, precisamos provar que dim U' = n- r. sfja {w1, ... , wrl base de W.

Estendemos {wi} a uma base de V:

{w1, -··twr,'Vh ... ,Vn-rl·

Seja O teorema estará provado, se mostrarmos que B é base da imagem U' de F.

PrO!!a de que B gera U'. Seja u E U'. Como {w;, v;} gera V e como v E V, V

Então, existe v E V tal que F(v) = u.

+ a1w1 + ... + arWr + b1v1 + ... + bn-rVn-ro

TRANSFORMAÇõES LINEARES

168

onde os a;, b; são escalares. de F. Assim,

u =

=

Note que F(w;)

=

[CAP. 6

O, pois os w; pertencem ao núcleo

F(t•) = F(a!W! + ... + arWr + bti'l + .. + bn-rVn-r) atF(u•t) + + arF(wr) + btF(vt) + + bn-rF(vn-r)

De acô~do com isso, F(v;) gera a imagem de F. Prova de que B é linearmente independente.

Sufl'>nha

Então, F(a!V! + 02112 + ... + a,-rVn-r) = O; logo, a1VI + ... + an-rVn-r pertence ao núcleo. ri· de F. Como lw;l gera W, existem escalares bt, ... , br tais que

(*)

ou

Como lw;, v;) é base de V, é linearmente independente; portanto, os coeficientes de w; e Vi em (*) são todos O. Em particular, a1 = O, ... , On-r = O. De acôrdo com isso, os F(v;) são linearmente independentes. Assim, B é base de U'; logo, dim ~-· = n- r e o teorema está demonstrado.

6.24. Suponha que f: V--> U é linear com núcleo W e que f(v) = u. Mostre que a "classe lateral" :i} + W = {v + w : w E WJ é a imagem inversa de u, isto é, f- 1 (u) = v + W.

r

+

+

1(u) c v Devemos provar que (i) W e (ii) v W c j- 1 (u). Primeiro provaremos (i). Suponha· v' E r'(u). Então, j(v') = u; logo, j(v'- v) = j(v')-j(v) = u- u = O, isto é, v'.:. v E W.Assirn, v' = v (v'- v) E v IV e, portanto, j- 1 (u) c v H'.

+

+

+

+

+

Agora, provaremos (ii). Suponha v' E v H'. Então, v' = v w, onde H-. Como H' é núcleo dej,j(w) =O. De acôrdo com isso,j(v') = j(v w) = 1 = j(v) + j(w) = j(v) +o = j(v~ = u. Assim, v' E /~ 1 (u); logo. ,, + ]f' c (u).

w

E

+

r

TRANSFORMAÇÕES SINGULARES E N~O-SINGULARES 6.25. Suponha que F : V--> U é linear e que V· é de dimensão finita. Mostre que V e a imagem de F têm a mesma dimensão se, e somente se, F é não-singular. Determine tôdas as transformações não-singulares T :·R,j--> R 3 . ·

+

Pelo teorema 6.4, dim V= dim (lm F) dim (Nuc F). Portanto, V e Im F têm a mesma dimensão se, e somente se, dim (Nuc F) =O ou Nuc F= lO L isto é,. se, e somente se, F é não-singular. Como a dimensão de R 3 é menor do que a dimensão de R4, também será menor a dimensão da imagem de T. De ao::ôrdo com isso, nenhuma transformação linear T: R 4 ---> R 3 pode ser não-sin.gular.

6.26. Demonstre que uma tra.nsformação linear F: V--> U é não-singular se, e somente se, a imagem de um conjunto independente é independente.

CAP. 6}

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

169

Suponha que F é não-singular e suponha que (vJ, ... , v. l é um subconjunto independente de V. Afirmamos que os vetores F(v 1 ), .. , , F(t•n) são independentes. Suponha que

onde a.; E K.

+ a 2v2 + ... + a.t•.) + a2v2 + ... + a.v. E ~uc F.

Como F é linear, F(a 1v 1

a1v1

Mas F é não-singular, isto é,

~ uc

F

(O}; portanto,

=

+ a2v2 + ... + a.v.

atVl

== O; portanto,

=O.

Como os ·v; são linearmente independentes, todos os a; são O. De acôrdo com isso, os F(v;) são linearmente independentes. Em outras palavras, a imagem do conjunto independente (v 1, pendenté.

..• ,

t•nl é inde-

Por outro lado, suponha que a imagem de qualquer conjunto independente Se v E V é não-nulo, então {'v} é independente. Então, ·1 F(v)) é independente; logo, F(v) -,.f O. De acôrdo com isso, F é não-singular.

é independente.

OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 6.27. Sejam F: R 3

~

F(x, y, z)

R 2 e G: R 3 (2x, y

=

+ z)

~

R 2 definidas por

e

G(x, y, z) == (x- z, y).

Encontre fórmulas definindo as transformações F+ G, 3F e 2F- SG.

+ G(x, y, z) + z) + <::- z, y) = (3x- z, 2y + z) 3F(x, y, z) = 3(2x, y + z) = (6x, Jy + 3z)

(F+ G)(x, y, z) = F(x, y, z)

=

(3F)(x,·y, z)

=

(Zx, y

(ZF- 5G)(x, y, z) = 2F(x, y, z)- 5G(x, y, z)

2(2x, y

(4x, 2y

= (-.>:

6.28. Sejam" f': e G(x, y)

+ z)- S(x- z, y) + 2z) + (-Sx + Se, -Sy) + Sz,- 3y + 2c).

= =

.Ra ___., R e G: R 2

=

(y, x).

__,. ils definidas por F(x, y, z) = (2x, y+ z) D1..'duza fórmulas definindo as transformações 2

GoFeFoG (G o F)(x, y, z) = G(F(x, y, z)) = G(2x, y

+ z)

= (y

+ z, 2x).

A •,-~sformação FoG não está definida, porque a imagem de G não está contida no domínio de F.

6.29. Mostre que (i)

A transformação zero O, definida por O(v) = O para todo v E V, é o elemento zero de Hom (V, U).

(ii) A negativa de F E Hom (V, U) é a transformação (-l)F. isto é, - F=(-l)F.

TRANSFORMAÇOES LINEARES

170

Então, para cada v E V,

Seja F E Hom (V, V).

(i)

[CAP. 6

(F + O)(v) = F(v) + O(v) = F(v) + O = F(v). Como (F

+ O)

=

F(v) para todo v E V, F

+O=

F.

(ii) Para todo v E V. (F+ (-l)F)(v) = F(l•)

+ (-I)F(v)

=

F(v)- (Fv) = O = O(v).

Como (F+ (-l)F)(v) = O(v) para todo v E V, F+ (-l)F = O.

6.30. Mostre que para F 1 , para qualquer v E V, (arFr

Assim, (-i)F é a negativa de F.

. , .,

F" E Hom (V, U) e a 1 ,

+ a2F2 + ... +aJn)(v)

=

a 1 F 1 (v)

•. • ,

an E K,

e

+ a 2F (v) + ... + aJn(v). 2

Pela definição da transformação arFr. (arFr)(v) = arF1(v); portanto, o teorema vale para n = 1. Assim, por indução, (arFr + .a2F2 + .

+ anFn)(v) = (a.Fr)(v) + a2F2 + ... + a,Fn)(v)

= a1Fr(v) 3

+ a2F2(v) + ... + anFn(v)

2

6.31. Sejam F: R - R , C: R3 --} R2 e H: R3 --} R2 , definidas por F(x, y, z) = (x + y + z, x + y), C(x, y, z) = (2x + z, x + y) e H(x, y, z) = (2y, x). Mostre que F, C, H E Hom (R3 , R2 ) são linearmente independentes. Suponha para escalares a, b, c E K aF

+ bG + cll =

(1)

O E R 3,

(Aqui, O é a transformação zero). Para e 1 = (1, O, O) temos (aF + bG + cH)(er) = aF(I, O, O)+ bG(l, O, O)+ cH(1, O, O) a(l, 1) + b(2,1) + c(O, 1) (a + 2b, a + b +c)

=

=

e

O(er)

logo,

a

= (0, 0). Assim, por

+ 2b

(a =

(1),

+ 2b, a + b + c) = (0, O e a + b + c = O.

O); (2)

Semelhantemente, para e 2 = (O, 1, O) E R 3, temos (a F + bG + cH)(e 2 ) = a F( O, 1, O) + bG(O, 1, O) + cH(O, 1, O) = a(1, 1) + b(O, 1) c(2, O) = (a + 2c, a + b) = O(e2l = (O, 0). Assim,

+

a

+ 2c

= O

e

a

+b

= O

(3)

Usando (2) e (3), obtemos a = O, b = O, c = O. (4) Como (1) implica (4), as transformaçêes F, G e H são linearmente independentes.

6.32. Demonstre o teorema 6. 7. Suponha dim V= m e dim U = n. Então, dim Hom (V, U) = mn. Suponha que {v r •... , Vm} é base de V e que {u 1 , •.. , un} é base de V. Pelo teorema 6.2, uma transformação linear em Hom (V, V) é determinada de maneira única associando elementos arbitrários de U aos elementos v; da base de V. Definimos F;;EHom(V,V),i=l, . . ,m,j=l, ... ,n

TRANSFORMAÇõES LINEARES

CAP. 6]

171

como a transformação linear para a qual F;;(i;;) + Uj e F;;(vk) O para k ~ i. Isto é, Fij transforma v; em ui e os outros v em O. Observe que ( F;il contém exatamente mn elementos; portanto, o teorema estará demonstrado se mostrarmos que é base de l-Iom (V, U).

=

Demonstração de que I F;;} gera l-Iom (V, U). Seja F E l-Iom (V, U). Suponha F(vJ) = w1, F(v2) = w2, . Como Wk E U é combinação linear dos u; digamos, WA·

+ aklUI + ak2U2 + ... + aknUn, k

=

, F(t·m)

1, ... , tn, a;; E K.

Wm.

(1)

n

Considere a transformação linear G

!:

=

!: a;i F;;.

Como G é uma combina-

t=l j=l

ção linear dos F;;, a demonstração de que (F;;) gera Hom (V, U) estará: completa, se mostrarmos que F = G. Vamos, agora, calcular G(vk), k e Fki(l•k) = u;, m

C(v k)

Como F;;(Vk) = O, para k

1, ... , m.

=

n

= !:

;é

i

n

!: a;; F;;(v k) = !: a kjUj

i""" 1 j=l

J=l

Assim, por (l) C(vk) = Wk para cada k. Mas F(vk) = Wk para cada k. De acôrdo com isso, pelo teorema 6.2, F= C; portanto, (F;;) gera l-Iom (V, U). Demonstração de que

I F;;)

é linearmente independente.

Suponha, para escalares,

a;j E

K,

~ j=l

n ~ =

a;;F1; =O.

j=l

m.

Para Vk, k =I, ~

~

i=l

j=l

=

~

j=l

~

a;;Ftj(Vk)

j=l

a kjUj = akllll

ak;Fkj(Vk)

+ ak2U2 +

Mas os u; são linearmente independentes; portanto, para k = 1, ... , m, temos O, ak 2 = O, ... , akn = O. Em outras palavras, todos os a;i = O; logo, ( F;j} é linearmente independente.

akl =

Assim, ( F;j) é base de l-Iom (V, U); portanto, dim l-Iom (V, U) = mn.

6.33. Demonstre o teorema 6.8. Sejam V, U e W espaços vetoriais sôbre K. Sejam F, F' transformações lineares de V em U e sejam G, G' transformações lineares de U em W; e seja k E K. Então, (i) (ii)

G o (F+ F')

=

G o F+ G o F',

+ G') o F

=

Go F

(G

(iii) k(G (i)

o

F) = (kG)

o

+ G' o F,

F = G o (kF).

P11ra cada v E V, (C c;> (F + F'))(v) = G((F

+ F')(v)) = G(F(v) + F'(v)) = C(F(v)) + C(F'(v)) = (C<> F)(v) + = (C ° F + C ° F')(v)

(G

o

F')(v)

TRANSFORMAÇOES LINEARES

172 Como (C

=

0

(F+ F')(v) = (C

C° F+

[CAP. 6

° F+ C ° F')(v) para todo v E

V, C

0

(F+ F') =

co F'.

(ii) _Para todo v E V, ((C

+C')

o

+ C')(F(v))

F)( v) = (C = (C

o F)(v)

= C(F(v))

+ C'(F(v))

+ (C) o F) (v)

= (C o F+ C'_o F)(v),

Como ((C v E V, (C

+ C') ° F)(v) = (C ° F + C ° F')(v) para todo + C') ° F = C°F + C' o F.

liii) Para todo v E V, = k(C o F)(v) = k(C(F(v)))

(k(C • F))(v)

= (k(C° F))(v)

=

° F)( v) k(C ° F)(v)

= C((kF)(v))

+ (kC)(F(v))

e = k(C(F(v))) = C( kF(v))

(kC

=

(C o kF)(v).

De acôrdo com isso, k(C o F) = (kC) ° F = C 0 (kF). (Acentuamos que, para mostrar que duas transformações são iguais, devemos mostrar que elas associam a mesma imagem a cada ponto do domínio.)

6.34. Sejam F : V---+ U e G : é! ---+ W lineares. (G o F) : V---+ W é linear. Mostre que (i)

pôsto (G o F) :$ pôsto G,

(ii) pôsto (G (i)

Portanto,

o

F) :$ pôsto F.

Como F( V) cU, também temos G(F(V))c C(U) e logo dim G(F( V)) ::,; dim C( U). Então, pôsto (C o F) = dim ((C o F)( V)) = dim (C( F( V))) ::,; dim G( V) =

=

oôsto G.

(i i) Pelo teorema 6.4, dim (G(F( V))) :::; dim F( V). Portanto, pôsto (G o F) = dim ((C o F)( V)) = dim (C( F( V))) ~ ::,; dim F( V)

= pôs to

F.

ÁLGEBRA DOS OPERADORES UNEARES 6.35. Sejam S e T operadores lineares no R 2 definidos por S(x, y) = · = (y, x) e T(x, y) = (0, x). Encontre f6rmulas que definam os operadores S + T, 25- 3T, ST, TS, 52 e P (S + T) (:x, y) = S(x, y) + T(x, y) = (y, x) + (0, x) = (y, 2x) (2S- 3T)(x, y) = 2S(x, y)- 3T(x, y) = 2(y, x)- 3(0, x) = (2y, -x) (ST)(x, y)

= S(T(x, y))

= S(O, x)

= (x, O)

(TS) (x, y) = T(S(x, y)) = T(y, x) = (0, y) S 2(x, y) = S(S(x, y))

= S(y,

x) = (x, y).

Note que S 2

= I,

a transformação

identidade. T 2 (x, y) = T(T(x, y))

=

T(O, x) = (0, 0).

Note que T 2

= O, a transformação zero.

6,36. Seja T um operador linear no R 2 definido por T(3, 1) = (2, -4) e· T(1, 1) = (0,2).

(1)

. TRANSFORMAÇõES LINEARES

CAP. 6]

173

(Pelo teorema 6.2, tal operador linear existe e é único.) Encontre T(a, b). Em particular, encontre T(7, 4). Primeiro escreva (a; b), como combinação linear de (3, 1) e (1, 1), usando incógnitas escalares x e y (a, b) = x(3, 1)

Portanto, (a, b)

r3x + y

lago,

l x_ - + )'

=

(3x, x)

+ (y, )')

+ y(1,

1).

(2)

+ y, x + y);

= (3x

=a =

b.

Resolvendo para x e y em têrmos de a e b,

x = 1/2 a- 1/2 b

e

y = -1/2 a

+ 3/2 b.

(3)

Agora, usando (2), (1) e (3),

= xT(3, 1)

T(a, b)

=

(2x, -4x)

= (a-

Assim, T(i,4)

=

+ yT(I, I) = x(2, -4) + y (0,2) + (0, 2y) = (2x, --h + 2y)

b, 5b- 3a).

(í-4,20-21) = (3,-1)

6.37. Seja To operador no R 3 definido por T(x, y, z)

(i)

= (2x, 4x -y, 2x

3y- z)

Mostre que T é inversível.

(ii) Encontre uma fórmula para (i)

+

7~ 1 .

O núcleo W de T é o conjunto de todos os (x, y, z) tais que T(x, y, z) = (0, O, O), isto é, T(x, y, z)

=

(2x, 4x- y, 2x

+ 3y- z)

=

(0, O, O).

Assim, J'V é o espaço das soluções do sistema hombgêneo 2x = O, 4x- y = O, 2x

+ 3y- z

= O,

que tem somente a solução trivial (0, O, O). Assim, _não-singular e, logo, pelo teorema 6.9, é inversível.

nr =

IOI; portanto, T é

(ii) Seja (r, s, t) a imagem de (x, y, z) sob T; então, (x, y, z) é a imagem de (r, s, I) 1 sob -

r-

T(x, y, z)

=

(r, s, t)

e

T- 1 (r, s, t)

=

(x, y, z).

Encontraremos os valôres de x, y, e z em têrmos de r, s e I, e, derois, subs1 tituiremos, na fórmula acima, para • De

r-

T(x, y, z) = (2-x, 4x- y, 2x encontramos x ,.,.Assim,

r-'

= 1/2 r,

y

+ 3y- z)

=

(r, s, t)

= 2r- s, z = 7r- 3s- t.

é dado por

r- 1 (r, s, t)

=

(1/2r, 2r- s, 7r- 3s- 1).

6.38. Seja V de dimensão finita e seja T um operador linear em V. Lembre que T é inversível se, e somente se, T é não-singular ou injetora. Mostre que T é inversível se, e somente se, T é sobrejetora. Pelo teorema 6.4, dim V= dim (Im T) guintes assertivas são equivalentes:

+ dim

(Nuc T).

Portanto, as se-

TRANSFORMAÇõES LINEARES

174

[CAP. 6

(i) Té sobrejetora, (ii) Im T= V, (iii) dim (im T)=dim V, (iv) dim (Nuc T)-0, (v) Nuc T = lO). (vi) T é não-singular, (vi i) T é inversível.

6.39. Seja V de dimensão finita e seja T um operador linear em V para o qual TS = I, para algum operador S em V. (Chamamos S in· versa à direita de T.) (i) Mostre que T é inversível. (ii) Mostre que S = r- 1 • (iii) Dê um exemplo mostrando que o visto acima não precisa valer se V é de dimensão infinita. (i) Seja dim V = n. Pelo problema precedente, T é inversível se, e somente se, T é sobrejetora; portanto, T é inversível se, e sõmente se, pôsto T· = n. Temos n = pôsto I = pôsto TS S pôsto T S n. Portanto, pôsto T = n e T é inversível. (ii) TT- 1

=

T- 1 T =I.

Então, S = IS = (T- 1 T)S

= 1 1I = 1

1

;

(iii) Seja V o espaço dos polinômios em t sôbre K; digamos, p(t) = a 0

+ a2t 2 + ... + antn.

+ a 1t +

Sejam. Te S os operadores em V definidos por T(p(t)) = O

+ a1 + a2t + . + antn-l

e

Temos

+ atl 2 + . + ant+ 1 1 + a1t + ... + antn = p(t);

(TS)(p(t)) = T(S)(p(t))) = T(aot = ao

logo, TS = I, a transformação identidade. Por outro lado, se k (ST)(k) = S(T(k))

=

S(O)

=

E

K e k

~

O, então

O ~ k.

De acôrdo com isso, ST ;"' I.

6.40. Sejam S e T os operadores lineares no R 2 definidos por S(x, y) = = (0, x) e T(x, y) = (x, O). Mostre que TS = O, mas ST -,é O. Mostre também que P = T. (TS)(x, y) = T(S(x, y)) = T(O, x) = todo (x, y) E R 2 , é a transformação zero: (ST)(x, y) = S(T(x. y)) = S(x, O) = Assim, ST ,& O, pois ela não associa O = Para qualquer (x, y) E R 2, T 2(x, y) Portanto, T 2 = T.

(0, 0). Como TS associa O.= (0, O) a TS = O. (O, x). Por exemplo, (ST)(4, 2) = (0, 4). (O, O) a todo elemento do R 2 . = T(T(x, y)) = T(x, O)= (x, O) = T(x, v).

PROBLEMAS DIVERSOS 6.41. Sejam linear.

{e11 e2 , e3 } base de V e Além disso, suponha

T(eJ = ad1 T(e2) = bd1 T(ea) = cd1

IJI.J2l

base de U.

Seja T : V --+- U

+ ad2

+ bd2 + cd2

e

A

Mostre que, para qualquer v E V, A[v]. K 2 e K 3 são~scritos como vetores coluna.

=

[T(v)] 1 onde os vetores

CAP. 6]

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

175

Também

+ k2T(e2) + kaT(e 3 ) k1(adi + a2/2) +k2(bd1 + b2/2) + kaCc1/I + c2h) (a1k1 + b1k2 + c1ka)/I + (a2k1 + b2k2 + c2ka)f2.

T(v) = kiT(n)

= =

De acôrdo com isso,

Calculando, obtemos

6.42. Seja k um escalar não-nulo. Mostre que uma transformação linear T é singular se, e somente se, kT é singular. Portanto, T é singular se, e sõmente se, -T é singular. Suponha que T é singular. Então, T(v) = O para algum vetor v ~ O. tanto, (kT)(v) = kT(v) = kO =O; logo, kT é singular.

Por-

Agora, suponha que kT é singular. E.ntão, (kT)(w) =O para algum vetor w ~O; portanto, T(kw) = kT(w) = (kT)(w) =O. Mas k ~O e w ~O implica kw ~ O; logo, T é singular.

6.43. Seja E um operador linear em V para o qual E 2 = E. (Tal operador é chamado projeção.) Seja U a imagem de E e .w o núcleo. Mostre que (i) se u E U, então E(u) = u, isto é, E é a transformação identidade em U; - (ii) se E -;:6. I, então E é singular, isto é, E(v) = O para algum v -;:6. O; (iii) V = U $ W. (i)

Se u

E

U, imagem de E, então E(v) = u para algum v E I. Portant_o, usando

E2 =E, temos u

(ii)

=

E(v)

=

E 2(v)

=

E(E(v)) = E(u).

Se E ~ I, então, para algum v E V, E(v) = u, onde v ~ u. Assim, E(v- u) = E(v)- E(u) = u-

v "" E(v)

Por definição, u = E(v) núcleo de E,

E

= O, onde v.- u ~O.

+

TY.

+ v- E(v)

Seja

= u

U, imagem de E.

E(w) = E(v- E(v))

e, assim, w 6 J>V_

11

V = U

(iii) Primeiro mostraremos que e w = v- E(v). Então,

=

Portanto, V = U

Assim, v= E(v) =O; logo, U

v

E

V.

u = E(v)

+W Mostraremos que w

+ I·V. Seja vê U () T.J.'.

Como v E W, E(v) = O.

n

Faça

E(v)- E 2 (t•) = E(v)- E(v) = O.

Mostraremos, a seguir, que U n W = {0}. Como v E U, E(v) = v por (i).

Por (i), E(u) = u.

W = {0}.

As duas propriedades a-cima implicam em V = U ffi W.

E

lV,

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

176

[CAP. 6

6,44. Mostre que uma matriz quadrada A é inversível se, e sõmente se, é não-singular. (Compare com o teorema 6.9, página 156). Lembre que A é inversível se, e somente se, A é equivalente por linhas à matriz identidade I. Assim, as seguintes assertivas são equivalentes (i) A é inversível. (ii) A é equivalente por linhas a I. (iii) As equações AX = O e IX = O têm o mesmo espaço das soluções. (iv) AX = O tem somente a solução zero. (v) A é não-singular.

Problemas Propostos TRANSFORMAÇÕES 6.45.

6.46.

Diga se cada diagrama define uma transformação de {1, 2, 3} em {4, 5, 61

Defina cada uma das seguintes transformações f: R-> R por uma fórmula (i) (ii) (iii)

f associar seu quadrado mais 3. A cada número faça f associar seu cubo mais duas vêzes o número. A cada número ?. 3 faça f associar o quadrado do número e a cada número < 3 faça f associar o número -2.

A cada número faça

+ 3.

6.47.

Seja f: R-> R definida por f(x) = x 2 - 4x (i i i) f(y- 2x), (iv) f(x- 2).

6.48.

Determine o número de transformações distintas de {a,

6.49.

Faça a transformação?. associar a cada nome do conjunto {Betty, Martin, David, Alan, Rebecca} o número de letras diferentes necessárias para soletrar o nome. Encontre (i) gráfico de g, (ii) a imàgem de g.

Encontre

(i) f(4),

(i i) f(-3),

bl em {1, 2, 3}.

o

6.50.

Esboce o gráfico de r:ada transformação (i)f(x) = 1/2 x -1, (ii) g(x) = 2x 2

6.51.

As transformações f : A --+ B, g : 13 ilustradas no diagrama abaixo

-->

-

4x- 3.

A, h : C--> B, F: R --> C e G : A --> C são

Determine se cada dos seguintes define uma transformação composta e, em caso afirmativo, encontre seu domínio e seu contradomínio (i) g o f, (i i) h o f, (iii) Fof, (iv) Gof, (v)goh, (vi)hoCog.

CAP. 6] 6.52.

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Sejam f: R~ R e g :R ->R definidas por f(x)

=

x2

177

+ 3 x + 1 e g(;0

Encontre fórmulas que definam as transformações compostas (iii} g o g,

(iv)

(i)

f o g,

= 2x- 3.

(ii) g

o/,

f o f.

f= f= f

6.53.

Para qualquer transformação f: A -> B mostre que

6.54.

Para cada uma das seguintes transformações f: R ->R encontre uma fórmula para a transformação inversa (i) f(x) = 3x- 7, (ii)f(x) = xa 2.

In

o

o

IA.

+

TRANSFORMAÇÕES LINEARES 6.55.

Mostre que as seguintes transformações F são lineares (i) (ii) (iii) (iv)

6.56.

F: R 2 -> R 2 definida por F(x, y)

= (2x- y, x).

·F: R3-> R 2 definida por F(x, y, z) = (z, x

+ y).

F: R -> R 2 definida por F(x) = (2x, 3x). F: R 2 -> R 2 definida por F(x, y) = (ax by, ex onde a, b, c, d ·E R.

+

+ dy)

1\Iostre que as seguintes transformações F não são-lineares F: R 2 -> R 2 definida por F(x, y) = (x2, y2).

(i)

6.57.

~ ~

(i i)

F: R 3 -> R 2 definida por F(x, y, z) = (x

(iii)

F:R -• R2 definida por F(r) = (x, l)

(i v)

F:R 2 ->R definida por F(x, y)

+ 1, y + z).

= x- y.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios em t sôbre K. Mostre que as transformações T: V-> V e S : V-> V, definidas abaixo, são lineares T(ao ·a1t ant") = aol a1t 2 antn+ 1 S(ao

+ + .. + + atl + + anln)

=

O

Seja V o espaço vetorial das trária em V. Mostre que lineares, m~s. a terceira. não (ii) T(A) =MA -AM; (iii)

+ + + + ar + a2t + ... + anln-I_

matrizes n X n sôbre K; e seja M uma matriz arbias duas primeiras transformações T: V -> V são é linear (a menos que M = O): (i) T(A) = MA; T(A) = M +A.

6.59.

Encontre T(a, b), onde T : R 2 T(O, 1) = (2, 1, -1).

6.60.

Encontre T(a, b, c) onde T: R 3 -> R é definida por T(l, I, I) = 3, T(O, 1, -2) = 1 e T(O, O, I) = -2.

6.61.

Suponha que F: V-> Ué linear.

6.62.

->

Ra é definida por T(l, 2) =

(3, -1, 5) e

M'ostre que, para qualquer v E V, F(-v) = -F(v).

Seja W um subespaço de V. Mostre que a transforma 0ão inclusão de W em V, por i : W c V e definida por i(w) = w, é linear.

a.~otada

NÚCLEO E IMAGEM DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 6.63.

Para cada uma das seguintes transformações lineares F, encontre uma base e a dimensã::> de (a) sua imagem U e (b)seu núcleo W:

na ..... na

:r; :!0)

(i)

F:

(li)

F: R 2 -> R 2 definida por F(x, y) = (x

(iii) F: R 3

->

definida por F(x,

+ 2y, y- z, X + 2z). + y, x + y).

= (x

R 2 definida por F(x, y, z) =

(x

+ y, y + z).

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

178 6.64.

[CAP. 6

Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R e seja Jvi

= -~

-1

2

Seja

F: V---> V a transformação linear definida· por F(A) = MA. Encontre uma base e a dimensão de (i) o nllcleo W de F e (ii) a imagem U de F.

6.65.

Encontre uma transformação linear F; R 3 (1, 2, 3) e (4, 5, 6).

6.66.

Encontre uma transformação (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1).

G

linear

....

R 3, cuja imagem é gerada por

F: R 4 --->

R3,

núcleo é gerado por

cujo

Seja V o espaço vetorial dos polinômios em t sôbre R. Seja D : V --+ V o operador diferencial: D(j) = dj/dt. Encontre o núcleo e a imagem de D.

6.68. Seja F: V--+ U linear. Mostre que (i) a imagem de qualquer subespaço de V é subespaço d~ U e (ii) a pré-imagem de qualquer subespaço de Ué subespaço de 1'. 6.69.

Cada uma das seguintes matrizes determina uma transformação linear de R 4 em R 3

(i)

A-

o

2

o

-1

2

_:)

-3

2

-2

C:

(i i) B

o

2

3

-I

:)

o -5

Encontre uma base e a dimensão da imagem U e o núcleo W de cada transformação. 6.70.

Seja T: C--+ C a transformação conjugação no corpo complexo C. T(z) = z onde z E C, ou T(a bi) = a - bi, onde a, b E R. (i) Mostre não é linear se C é encarado como um espaço vetorial sôbre êle (ii) Mostre que T é linear se C é encarado co~o um espaço vetorial corpo real R.

+

Isto é, que T mesmo. sôbre o

OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES 6.71. 6.72.

Sejam F: R 3 --+ R 2 e G: R 3 --+ R 2 definidas por F(x, y, z) = (y, x+z) e G(x, y, z) = = (2x, x- y). Encontre fórmulas definindo as transformações F+ G e 3F- 2G. Seja H: R 2 --+ R 2 definida por H(x, y) = (y, 2x). Usando as transformações F e do problema precedente, encontre fórmulas definindo as transformações (i) H o F e fi o G, (i i) F o H e G o H, (iii) H o (F G) e H o F H o G.

G

6.73.

+

+

Mostre que as seguintes transformações F, G e H são linearmente independentes (i)

F, G, HE Hom (R 2, R 2) definidas por F(x, y)

(ii)

F, G, H

E

=

(x, 2y), G(x, y) = (y, x

Hom

(R 3,

F(x, y, z) = x

+ y) ,

H(x, y)

=

(0, x)

R) definidas por

+ y + z,

G(x, y, z)

= y

+ z,

H(x, y, z)

= x- z.

G.74.

Hom (V, V). mo~tr~ qut: pOsto (F =1- G):;;; pll•no F+ pônó G. (Por" tanto, V tem dimensão finita.)

6.75.

Sejam F: V--. U e G: U--+ V lineares. Mostre que, se F e G são não-singulares, então G o F é não-singular. Dê um exemplo onde G o F é não-singular, mas G não é.

6.76.

Demonstre que Hom (V, U) satisfaz a todos os axiomas requeridos de um espaço. vetorial. Isto é, prove o teorema 6.6, página 154.

Para

F, G

e

CAP. 6]

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

179

ÁLGEBRA DOS OPERADORES LINEARES

+

6.77.

Sejam S e T os operadores lineares no R 2 definidos por S(x, y) = (x y, O) e T(x, y) = (-y, x). Encontre fórmulas definindo os operadores S T, SS- 3T, ST, TS, S 2 , T 2 .

6.78.

Seja To operador linear no R 2 definido por T(x, y) tre p(T), onde p(t) = t 2 - St- 2.

6.79.

Mostre que cada um dos seguintes operadores T no R 3 é inversível e encontre uma · fórmula para 1 1

+

(i)

T(x, y, z)

=

=

(x +2y, 3x + 4y). Enmn-

(x - 3y - 2z, y - 4z, z)

(ii) T(x, y, z) = (x

+ z,

x - z, y).

6.80.

Suponha que Se T são operadores lineares em V e que Sé não-singular. Suponha que V tem dimensão finita. Mostre que pôsto (ST) = pôsto (TS) = pôsto T.

6.81.

Suponha F = U EB W. Sejam E 1 e E 2 os operadores lineares em F definidos por E1(v) = u, E 2 (v) = w, onde v = u w, u E U, w E W. Mostre que (i) Ei = E1 e E~ = E2. isto é, E1 e E2 são "projeções";. (ii) E1 E 2 = I, a transformação identidade; (iii) E1E 2 = O e E 2 E1 = O.

6.82.

+

+

Sejam E 1 e E 2 os operadores lineares em V, satisfazendo (i), (ii) e (iii) do problema 6.81. Mostre que V é a soma direta da imagem de E1 e da imagem de E 2

V= lm E1 EB Im Ez. 6.83.

Mostre que, se os operadores lineares S e T são inversíveis, então ST é inversível e (ST)- 1 = T- 1s - l

6.84.

Seja F de dimensão finita e seja T um operador linear em F tal que pôsto (T2 ) = pôsto T. Mostre que Nuc T n Im T = {ü}_.

PROBLEMAS DIVERSOS 6.85.

Suponha que T: Kn---> Km é uma transformação linear. Seja {q, ... , en} a base usual de Kn e seja A a matriz m X n, cujas colunas são os vetores T(eJ), . , T(en)• respectivamente. Mostre que, para cada vetor v E K_n, T(v) = Av, onde v é escrito como vetor coluna.

6.86.

Suponha que F: V ---> U é linear c k é um escalar não-nulo. Mostre que as transformações F e kF têm o mesmo núcleo e a mesma imagem.

6.87.

Mostre que, se F: F-> U é sobrejetora, então dim U ~ dim V. tôdas as transformações lineares T; R 1 Rd que são sobrejetoras.

6.88.

Indique os teoremas do capítulo 3 que demonstram que o espaço das matrizes quadradas n X n sôbre K é uma álgebra associativa sôbre K.

6.89.

Seji" T: V ---> U linear e seja W subespaço de V. A restrição de T a W é a transformação Tw : W---> U definida. por Tw(w) = T(w), para todo w E Demostre o seguinte;

=

u-·.

(i) T"' é linear. (ii) Nuc Tw 6.90.

Determine

= Nuc T () W; (iii) Im

T,.

= T(W)

Diz-se que dois· operadores S, TE A (V) são semelhantes se existe um operador inversível P E A(F) para o qual S = p- 1 TP. Demonstre o seguinte: (i) SemeJIJança de operadores é uma relaç5-o de equivalência. (ii)" Operadores semelhantes têm o me.smo pôsto (quando V tem dimensão finita).

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

180

[CAP. 6

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTO!) 6.45.

(i}

Não, (ii) Sim, (iii) Não.

6.46.

(i)

j(x)

=

x2

(iii) j(x) =

J

+ 3,

x2 se x

I

-2 se x

(i)

6.48.

Nenhuma.

6.49.

(i)

x3

+ 2x,

~3 < 3.

3, (ii) 24, (iii) y 2

6.47.

=

(ii) f(x)

-

4xy

+ 4x 2 -

4y

+ 8x + 3,

(iv) x 2

8x

-

+ 15.

f (Betty, 4), (Martin, 6), (David, 4), (Alan, 3), (Rebecca, 5) I.

(ii) Imagem de g = {3, 4, 5, 6). 6.51.

(i)

(g o/): A---. A, (ii} Não, (iii} (F oj): A__, C,

(vi) (h 6.52.

(i)

o

(iv) Não, (v} (g o h}: C---. A,

G o g) : B ---. B.

(/o g)(x) = 4x 2

(ii) (g o j)(x) = 2x 2 1

/- (x)

= (x

6.54..

(i)

6.59.

T(a, b) = (-a

- 6x + I + 6x- I

+ 7)/3,

+ 2b,

-3a

(iii) (g o g)(x)- = 4x- 9 (iv) (/ o/)(x) = x 4 1

(i i) /- (x)

+ b,

=

+ 6x 3 + 14x 2 + !Sx +

y x- 2.

?a- b).

6.60.

T(a, b, c) "" 8a- Jb - 2c.

6.61.

F(v)

+ F(-v)

6.63.

(i)

(a) {(1, O, 1), (O, 1, -2)). dim U = 2; (b) ((2, -1, -1)). dim W = 1.

=

F(v

+ (-v))

(ii) (a) f(l, 1)). dim U

=

=

1;

F(O) = O; portanto, F(-v) = -F(v).

(b)

((1, -1)).·dim W = 1.

(iii) (a) {(1, O), (O, 1)). dim U = 2; 6.64.

6.65.

g) ' (g

ll

(i)

J (

(i i)

{ (-~ g) ' (g· -~) }

l

F(x, y, z)

1 1

=· (x

1) 1

S.

(b) 1(1, -1, 1)). dim W = 1.

base de Nuc F; dim (Nuc F)

base de Im F; dim (Im F)

= 2

= 2.

+ 4y, 2x + Sy, Jx + 6y). (x + y - z, 2x + y- w, O).

6.66.

F(x, y, z, w) =

6.67.

O mícleo de D é o conjunto dos polinômios constantes. A imagem de D é o espaço todo V.

6.69.

(i)

(a) {(1, 2, 1)1 (O, 1, 1}) base de Im A; dim(Im A) = 2

(b) {(4, -2, -5, O), (1, -3, O, 5)} base de NucA; dim (NucA)

=

2_

(ii) (a) lm B = R 3 ; (b) {(-1. 2/3, 1, 1)) base do Nuc B; dim (Nuc B} = 1. f>-71.

6.72.

(F+ G)(x. y, z) = (y

+ 2z, 2x- y + z), (JF- 2G)(x, y, z) = (3y- 4z, x + 2y + 3z). = (x + z, 2y), (H o G)(:x, y, z) = (:x- y, 4'z).

(i)

(H o F)(x, y, z)

(ii)

Não e5tá definido.

(iii) (H o (F

+ G)) (x, y, z)

=

(H" F

+ H" G)(x, y, z)

=

(2x- y

+ z,

2y

+ 4z)_

CAP. 6] 6.77.

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

+

(S T)(x, y) = (x, x) (SS- 3 T)(x, y) = (Sx

S 2(x, y) = (x 2

T (x, y)

=

+ y, O);

181

+ 8y, -3x)

note que 5 2 = S. (-x, -y); note que T 2 I = O, portanto, T é um zero de x 2

+

+ 1.

(ST)(x, y) = (x- y, O)

(TS)(x, y) = (O, x

6.78.

p(T) =O.

6.79.

(i) (ii)

6.87.

r- 1(r, s, t) = r- 1(r, s, t) =

+ y). (14t

+ 3s +r, + 1/2s, t,

(1/2r

4t

+ s, t),

l/2r- 1/2s).

Não existem transformações lineares do R 3 no R 4 que sejam sobrejetoras.

Capítulo 7 Matrizes e Operadores Lineares INTRODUÇÃO Suponha que {e 1 , . . . , e,.} é base de um espaço vetmial V sôbre um corpo K e, para v E V, suponha v = a 1e1 a 2e2 anen. Então, o vetor coordenada de v em relação a {e;}, que escreveremos como vetor 'coluna, a menos que se implique ou especifique o contrário, é

+

[v],

=

(

~>) an

Lembre que a transformação v~ [v]., isomorfismo de V sôbre o espaço Kn.

+ ... +

.

determ~nada

pela base {e,}, é. um

Neste capítulo, mostraremos que também existe um isomorfismo, determinado pela base fe.} da álgebra A{V) dos operadores lineares em V sôbre a álgebra .91 das matrizes quadradas n X n sôbre K. F :

Resultado semelhante também vale para transformações lineares U de um espaço noutro.

V~

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM OPERADOR LINEAR Seja T um operador linear num espaço vetorial V sôbre um corpo K e suponha que I e1 , . . . , en} é base de V. Agora, T(e 1), . . . , T(en) são vetores em V; logo, cada um é combinação linear dos elementos da base {e,}

T(e1) = aue1 T(e2) = a2 1e1

+ a12e2 + + a"2e2 +

T(en) = anlel

+ an2e2 + ... +

anne,..

Surge a seguinte definição.

Definição. A transposta da matriz acima de coeficientes, anotada por [T]. ou [T], é chamada matriz representação de Tem relação à base {e;} ou, simplesmente, matriz de T na base {e;}

[ T].

=(::: .::: ..... ~:) aln a2,. ... a,.,.. 182

183

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7]

Exemplp 7.1. Seja V o espaço vetorial dos polinômios em t sôbre R de grau ~ 3 e seja D : V _. V o operador diferencial definido por D(p(t)) = d(p(l))/dt. Calculemos a matriz de D na base {l,t,t 2,t 3 }. Temos

+ OI + Ot 2 + Ota 1 + Ot + 0t 2 + Ot3 O + 2t + 01 2 + Ot 3 O + 01 + 31 + 01

D(l) =

O = O

D(t)

1 =

=

D(t 2 ) = 21

=

Df1 3 ) = 31 2 =

2

3

De acôrdo com isso,

o Q

o 2x

o 2

o o

Exemplo 7.2. Seja T o operador linear no R 2 definido por T(x, y) Calculamos a matriz de T na base {/I= (1, 1), h= (-1, 0)}.

+ y).

=

(4x- 2y,

Temos T(/J) = T(1, 1) = (2, 3) = 3(1, 1)

+ (-1, O) = 3/I +h + 2(-1, O)= -2fr + 2/ 2

T(h) = T(-1, O)= (-4, -2) = -2(1, 1)

De acôrdo com isso, [T]J

=

(3 -2) 1

2

Observação. Lembre que qualquer matriz quadrada n X n, A, sôbre K define um operador linear em Kn, pela transformação v 1~ Av (onde v é escrito como um vetor coluna). Mostraremos (probíema 7. 7) que a representação matricial dêsse operador é, precisamente, a matriz A, se usarmos a base usual de Kn Nosso primeiro teorema no~ diz que a "ação" de um operador T num vetor v é preservada por sua representação matricial. Teorema 7.1. Seja {e 1 , . . • , enl base de V e seja T qualquer operador em V. Então, para qualquer vetor v E V, [T]. [v].

=

[T(v)] •.

Isto é, se multiplicarmos o vetor coordenada de v pela representação matricial de T, obteremos o vetor coordenada de T(v). Exe!!Jplo 7.3. Considere o operador diferencial D : V-> V no exemplo 7.1. Seja p(l)

=

a

+ bl + cl 2 + d1 3 ,

logo, D(p(t)) = b

+ 2ct + 3dt 2

Portanto, em celação à base {1, I, 12 ,1 3 },

~(I)]

-

(; )

e

[D~(t))] ~~ -

(

)

MATRIZES E OPÉRADORES LINEARES

184 Mostremo~

[CAP. 7

que o teoretna 7.1 vale .aqui

~ ~ ~ ~) ~)

[D][p(t)] = (

(

0003

o o o o

=

r.

(2 ~) 3d

= [D(p(t))].

o

d 2

Exemplo 7.4. Considere o operador linear T:R ->R 2 do exemplo 7.2: T(x,y) =

(4x- 2y, 2x

+ y).

Seja v

=

(5, 7). Então,

=

v = (5, 7) = 7(1, I)

+ 2(-1, O) = 7/1 + 2/z + 11(-1, O)= 17/1 + 11!2,

T(v) = (6, 17) = 17(1, 1)

onde

h=

(1, 1) e

h=

(-1, 0). Portanto, em relação à base lh,/21. [v]J =

C)

e [T(v)]J =

C:)

Usando a matriz [1lJ no exemplo 7.2, verificamos que o teorema 7.1 vale aqui [TJt[v]f = ( :

-~)

C)

C~)

=

=

[T(v)]t

Agora, temos associada uma matriz [T]. a cada Tem A(V), álgebra dos operadores lineares em V. Pelo nosso primeiro teorema, a ação de um. operador individual T é preservada pela sua representação. Os dois teoremas seguintes nos dizem que as três operações básicas com êsses operadores, (i) adição, (ii) multiplicação por escalar, (iii) composiÇão, são também preservadas.

Teorema 7.2. Seja {e 11 . , enl base de V sôbre K, e seja d a álgebra das matrizes quadradas n X n sôbre K. Então, a transformação TI-;. [T]. é um isomorfismo de espaço vetorial de A (V) sôbre d. Isto é, a transformação é injetora e sobrejetora e, para qualquer S, TE A(V) e qualquer k E K, [T

+ S].

= [T].

+ [SJ.

e [kT].

=

k[T],

Teorema 7.3. Para quaisquer operadores S, TE A (V), [ST], Ilustramos os teoremas acima para o caso de dim V = 2. \e 1 , e 2 } é base de V, e Te S são operadores para os quais

T(ei) T(e2)

Então, Agora, temos

[T).

= =

a1e1 b1e1

= (::

(T

+ S)te

(T

+ S)(e2)

1)

+ a2e2

+ b2e•

~:)

S(eJ = c 1e1

'

S(e2)

e

=

[SJ. [TJ •.

Suponha que

+ c2e2

= d 1e1 + d2e 2

[S),=

(~~

:;)

+ S(~ 1 ) = a 1e1 + a2e2 + c1e1 + c~2 = (ai + c1)e1 + (a2 + c2)e2 = T(e 2) + S(e = b1e1 + b2e2 + d1e1 + d2e2 (b1 + d1)e1 + (b2 + d2)e2

=

T(e 1)

2)

Assim,

[T].

+ [SJ.

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7]

185

Também para k E K, tt>mos

(kT)(et) kT(et) (kT)(e2) ~ kT(e2)

(ka

[kT].

Portanto,

k(a1e1 + a2e2) =-- ua1e 1 + ka 2e2 k(b 1e 1 + b 2e2) = kb1e 1 + kb 2e2

= =

1

ka. 2

kb 1) kb 2

=

k (a 1 b1) a2 b 2

=

k[T}.

Finalmente, temos S(T(e 1)) = S(a 1e1 +a~2)

(ST)(e 1)

+ +

ai(eiei e2eJ (a 1e1 a.fl,Je1

(ST)(eJ

S(T(e 2))

=

=

[ST] •

com

(a1e1 a 1c2

S(b 1e 1

+ b2eJ

= b1S(e1)

+ e2eJ + b2(d + d2e2) + b.flt)el + (b1e2 + b2d2)e2

bi(clei (biei

De acôrdo

a 1S(eJ +a 2S(e 2)

=

+ a2(d1é1 + d2e2) + (a1e2 + a.fl,2)e 2

+

b2 S(e 2 )

1e1

isso,

+ a2d + a.fl-2

b 1c1 b1c2

1

+ b 2d 1) + bad2

[S]. [TJ.

MUDANÇA DE BASE Mostramos que podemos representar vetores por n-uplas (vetor~ coluna) e oper~dores lineares por matrizes, uma vez que tenhamos escolhido uma base. Fazemos a seguinte pi;>rgunta natural: como muda nossa representação, se escolhermos outra base? Para responder essa pergunta, precisamos primeiro de uma definição.

Definição•. Seja {e 10

e,.l

••• ,

base de V e seja U~o

. .fn)

outra· base.

Suponha

ft

=

!2 = f,.

=

+ a12e2 + + + a22e2 + ... + a,.lel + a,.2e2 + ... + auet

a21e1

alnen a2ne,. annen

Então, a transposta P da matriz acima de coeficientes é chamada matriz de transição da base ''velha" {e,l para a base "nova" {f;!

P= Comentamos que, como os vetores f 1 , . . . ,f.. são linearmente independentes, a matriz P é inversível (problema 5.47). De fato, sua inv.ersa p-l é a matriz de transição da base {f,) de volta à base {etl· Exemplo 7.5. Considere as duas bases seguintes do R 2

let

=

(1, O),

e2 = (0, 1)} e Ih = (1, 1), !2

= (-1, O))

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

186

[CAP. 7

Então,

h = h =

(1, 1)

=

(1, O) +(O, 1) ~ e1 + e2

+ 0(0, 1)

(-1, O) = -(1, O)

=

-q

+ Oe2

Portanto, a matriz de transição P da base {e;} para a base IJ;} é

'P =

(I -I) .

I

O

Tan1bém temos et

= (1, O)= 0(1, 1)- (-1, O)= Oh-!2

e2

=

(O, 1)

=

(1, 1)

+ (-1, O)

=h+ h

Portanto, a m'!triz Q de transição da base tf;} de volta à base {e;} é

(_~

Q =

:) .

Obser\•e que P e Q são inversas

P

Q

=(1 -1)o (o :) 1

-1

=(~ ~-)=I

Mostraremos, agora, como vetores coordenada são afetados mudança de base.

por umél

Teorema 7.4. Seja P a matriz de transição da base {e;} para a base {j,} num espaço vetorial V. Então, para qualquer vetor v E V, P[v]1 = [v] •. Portanto, [v1] = p- 1 [v].. · · Acentuamos que, mesmo que P seja chamada matriz de transição da base velha {e;} para a base nova {!;}. seu efeito é transformar as coordenadas de um vetor na nova base {f;} de volta para coordenadas na base antiga {e1}. Ilustraremos o teorema acima para o caso de dim V = 3. Suponha que Pé a matriz de transição da base {e 1 , e 2 , e3 } de V para a base 1!11 i 2 , ia} de V; digamos, it = a1e1 i2 = b1e1 ia = c1e1

+ a2ez +ases + b2e2 + bae3 + c2e2 + Cses

(a1 b1 Portanto, P ·

Agora, suponha v E V e, digamos, v tituindo pelos i, acima, obtemos

=

ktf1

=

+

a2 aa

kJz

+

b2 ba

ksfa.

Então, subs-

v = kt(atet +a:zt2+asea)+ kz(b 1e1+bzez+baea)+ ka(ctet +cze2+caea) (atkt +b1k2+ Ctks)el + (azk 1 +bzkz+ c2 ks)ez+ (aakt +bak2+cska)ea. Assim,

[v],-

G:)

CAP. 7]

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

187

De acôrdo com isso, [v] •.

Também, multiplicando a equação acima por Jrl, temos

Exemplo 7.6. cedente, 11 11

=

= (a,

Seja

(a, b) b)

=

11

=

(a, b) E

a(1, O)

= b(1,

1)

ll 2. ·Então, para as bases do R 2 no exemplo pre-

+ b(O, 1)

= ae1

+ (b- a) (-1, O)

+ be 2 b/J

=

+ (b- a)h

Portanto, Pelo exemplo precedente, a matriz transição P de {e;} para {f;J e sua inversa p-1 são dadas por

Verificamos o resultado do teorema 7.4

P[v]r ~ p-l[v].

=

C -~) (b~J

~ (:)

(_~

(

~)

(

~)

=

0

~

J

=[v).

=

[v]J.

O teorema seguinte mostra como representações matriciais de operadores lineares são afetadas por uma mudança de base. Teorema 7.5. Seja P a matri.z de transição da base leJ para a base {};) num espaço vetorial V. Então, para qualquer operador linear T em V, [T) 1 = p-t [T). P. Exemplo 7.7. Seja To operador linear no R 2 definido por T(x, y) = (4x- 2y, 2x+y). Então, para as bases do R 2 no exemplo 7.5, temos

T(eJ) T(e 2)

.E

= T(1, O) = (4, 2) = 4(1, O) + 2(0, 1) = 4el + 2e2 = T(O, 1) = (-2, 1) = -2(1, O) +(O, 1) = -2e1 + e2

De acôrdo com isso,

[T)

.=

Calculamos [Tlt usanQo o teorema 7.5 [Tlt

.

=

.

p-l[T]. p =

( o -1

Note que isso concorda com o ·cálculo de [Tlt no exemplo 7.2.

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

188

[CAP. 7

Observação. Suponha que P = (a1;) é qualquer matriz quadi-ada n X n inversível sôbre um corpo K. Agora, se {e1o ... , en} é base do espaço · vetorial_ V sôbre K, então os n vetores f, = aliel

+ a2,e2 + ... + anien,

i = 1, ...• n

são linearmente independentes (problema 5.47); logo, formam outra base de V. Além disso, Pé a matriz de transição da base {e;} para a base {f,}. De acôrdo com isso, se A é qualquer representação matricial de um operador linear Tem V, então a matriz B = p- 1 AP é também uma representação matricial de T. ·

SEMELHANÇA Suponha que A e B são matrizes quadradas, para as quais existe uma matriz inversível P tal que B = p- 1AP. Então, diz-se que B é semelhante a A ou diz-se que é obtida de A por uma transformação de semelhança. Mostraremos (problema 7.22) que semelhança de matrizes é uma relação de equivalência. Assim, pelo teorema 7.5 e pela observação acima, temos o seguinte resultado básico. Teorema 7.6. Duas matrizes A e B representam o mesmo operador linear se, e sômente se, elas são semelhantes. Isto é, tôdas as representações matriciais do operador linear T formam uma classe de equivalência de matrizes semelhantes. Diz-se que um operador linear T é diagonalizável se para alguma base {e;} êle é :representado por uma matriz diagonal; diz-se, então, que a base {e;} diagonaliza T. O. teorema precedente dá-nos o seguinte resultado. Teorema 7. 7, Seja A a representação matricial de um operador linear T. Então, T é diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz inversível P tal que p- 1 AP é uma matriz diagonal. Isto é, T é diagonalizável se, e somente se, sua representação matricial pode ser diagonalizada por uma transformação de semelhança. Acentuamos que nem todo operador é diagonalizável. Entretanto, -mostraremos (capítulo 10) que todo operador T pode ser representado por certas matrizes "padrão", chamadas sua forma notmal ou· cani3nica. Observamos, agora, que a discussão requererá alguma teoria de corpos, polinômios e determinantes. Suponha que f é uma função de matrizes quadradas que atribui os mesmos valôres a matrizes semelhantes; isto é, f(A) = f(B) sempre que A fôr semelhante a B. Então, f induz uma função, também anotada por f, nos operadores lineares no seguinte modo natural: f(T) = f([T).), onde {e;} é qualquer base. A função está bem definida pelo teorema precedente.

CAP. 71

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

189

O determinante é, talvez, o exemplo mais importante do tipo ac1ma de funções. ÜQtro exemplo importante segue. como

Exemplo 7.8. O traço de uma matriz quadrada A ~endo a soma de seus elementos diagonais tr(A) = an

= (a;j), escrito tr(A), é definido

+ a22 + ... + ann

Mostraremos (problema 7.22) que matrizes semelhantes têm o mesmo traço. Assim, podemos falar do traço de um operador linear T; é o traço de qualquer uma de suas representações matriciais: tr(T) = tr([T).).

MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES Agora, consideramos o caso geral de transformações lineares de um espaço noutro. Sejam V e U espaços vetoriais sôbre o mesmo corpo K e, digamos, dim V= m e dim U = n. Além disso, sejam {ei> ... , em} e {!1, . . • , f,.} bases arbitrárias fixas de V e U, respectivament:~. Suponha que F : V --t U é transformação linear. Então, os vetores F(eJ, -... , F(e,.) pertencem a U; logo, cada um é ·combinação linear dos ./;

a21f1

+ a12f2 + + a2d2 +

amdl

+ amd2 + .. · + amnfn

auf1

F(em)

=

A transposta da matriz dos coeficientes acima, anotada [F]~ é chamada a representação matricial de F em relação às. bases {e;} e 1ftl ou a matriz de F nas bases {e;} e lfd

[F]~ ::~ ~;: (

...

ain

...•.•....

a2n

~~~

)

amn

Surge o seguinte teorema. Teorema 7.8. Para qualquer vetor v E V,

LFJ:

[v].

=

[F(v)] 1 •

Isto é, multiplkando o vetor coordenada de v na base {e;) pela matriz fFJ!, obtemos o vetor coordenada de F(v) na base {f,}. Teorema,.,7.9. A transformação F--to [FJ! éumisomorfismode Hom (V, U) sôbre o espaço vetorial das matrizes n X m sôbre K. Isto é, a transformação é injetora e sobrejetora e, para quaisquer F, G E Hom (V, V) e qualquer k E K, [F+

GJ! = [FJ:

+ [GJ!

e

[kF]! = k[FJ:

Observação. Lembre que qualquer matriz A, m X n, sôbre K é identifiéada com a transformação linear de Km em K" dada por v --t A v. Agora,

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

190

[CAP. 7

suponha que V e U são espaços vetoriais sôbre K de dimensões m e n, respectivamente, e suponha que {e,-} é base de V e !f,.} base de U. Então, em vista do teorema precedente, identificaremos também A com a transformação linear F: V- U dada por [F(v)] 1 = A [v].. Comentamos que, se são dadas outras bases de V e U, então A é identificada com outras transformf!.ções lineares de V sôbre U.

Teorema 7.10. Sejam {e,.}, (f.-} e {g,.} bases de V, U e W respectivamente. Sejam F : V- U e G : U- W transformações lineares. [G

o

EntãO,

F]! = [G)~ [F]~

Isto é, em relação a bases apropriadas, a representação matricial da composta de duas transformações lineares é igual ao produto das repre~ sentações matriciais das transformações individuais. Finalrpente, mostraremos como a representação matricial de uma transformação linear F: V- U é afetada quando novas bases são escolhidas.

Teorema 7.1Í. Seja P a matriz de transição de uma base {e;} para uma base {e;} em V, e seja Q a matriz de transição de uma base !f;} para uma base

1/;)

em U.

Então, para qualquer transformação linear F: V [F]~; =

(!' [F]: p

[F]{

([' 1

---t

U,

Assim, em particular, =

]F]!

isto é, quando a mudança de base ocorre sô~ente em U; e [F]~.= [F]~P,

isto é, quarido a mudança de base ocorre somente em V. Note que os teoremas 7.1, 7.2, 7.3 e 7.5 são casos especiais dos teoremas 7.8, 7.9, 7.10 e 7.11, respectivamente. O próximo teorema mostra que tôda transformação linear de um espaço noutro pode ser representada por uma matriz muito simples.

Teorema 7.12. Seja F: V ---t U linear e, digamos, pôsto F = r. Então, existem bases de V e U tais que a representação matricial de F tem a forma A =

(~ ~)'

onde I é a matriz identidade, quadrada, r X r. normal ou canônica de F.

C9amamos A a forma

AVISO Como observado anteriormente, alguns textos escrevem o síll,lbolo do operador T à direita do vetor v, no qual êle atua, isto é, vT em lugar de T(v)

CAP. 7]

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

191

Em tais textos,. vetores e operadores são representados por n-uplas e matrizes que são as transpostas das que aparecem aqui. Isto é, se V

=

k1e1

+ k2e2 + ... + knen,

então êles escrevem

E se T(el) T(e 2 )

=

a 1e1

=

b 1e 1

+ a2e2 + ... + + b,e2 + ... +

anen bnen

em lugar de [TJ.

=

então, êles escrevem a1 [T].

= (

a,

~1. -~2

cl

.

.......

c2

...

á.,) b:,

~.: ~ ~ ~

( ::_ ..

cn

bn

an

..

o.

•

.. _:;)

cn

Isto também é verdade para as matrizes de transição de uma base para outra e para representações matriciais de transformações lineares F : V~ U. Salientamos q1,1e tais textos têm teoremas que são análogos aos que aparecem aqui.

Problemas Resolvidos REPRESENTAÇÕES MATRICIAIS DE OPERADORES LINEARES 7.1.

Encontre a representação matricial de cada um dos seguintes ope. radores T em R2 com relação à base usual:

!e1 (i) T(x, y)

=

=

(1, O), e2

(2y, 3x- y),

Primeiro, note que se (a, b) (i)

T(el) 1'(e2)

(ii) T(e 1) J'(e2)

· 7.2.

=

(ii). T(x, y) = (3x- 4y, x E

R 2 , então (a, b) = ae1

= T(l, O) = (0, 3) = Oe1 + 3e 2 = 1'(0, 1) = (2, -1) = 2c1- e2 = =

1'(1, O) T(O,I)

(0, 1)}

= (3, 1) = 3q + e 2 = (-4, 5) = -4et + Se2

(~

_i)

[T]. = (:

~)

e [T]. =

e

+ Sy).

+ be2.

Encontre a representação matricial de cada operador T do problema ·. precedente em relação à base Lf1 = (1, 3);j2 = (2, 5)}

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

192

[CAP. 7;

Precisamos encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário (a, b) E R~ em relação à base lf;}. Temos (a ,b) = x(l, 3) + y(2, 5) = (x + 2y, 3x + 5y)

+ 2y

+ 5y = = 3a - ·b

ou

x

= a

e

3x

ou

x = 2b - 5a

e

y

(a, b) = (2b- 5a)ft

Assim, (i)

b

+ (3a- b)h

Temos T(x, y) = (2y, 3x- y). Portanto, T(ft) = T(l, 3) = (6, O) =-30ft+ 18/2 T(/2) = T(2, 5) = (10, 1) e [T]

=

I

(-30 18

T(/1) = T(l, 3) T(f2) = T(2, 5)

7.3.

= (

+ 29/ 2

+ 5y).

Portanto,

-48 }\ 29

(ii) Temos T(x, y) = (3x- 4y, x

e [T],

= -48ft

77

= (-9, 16) = 77ft- 43/2 = (-14, 27) = 124ft -69/2

124) -69

-43

Suponha que T é o operàâoi· linear no R 3 , delinido por T(x, y, z)

(a1x

=

+

a2y

+ aaz.

b1x

+

b2'j

+ baz,

c1x

+ C2Y +

caz)

Mostre que a matriz de T na base usual {e;} é dada pm

Isto é, as linhas de [T], são obtidas dos coeficientes de x, y e z, nas componentes de T(x, y, z) T(eJ) = T(l, O, O)

=

(a1, b1,

CJ)

=

arer

T(e2) "" T(O, 1, O) = (a2, b2, c2) = a2et T(ea) = T(O, O, I) =·(as, ba. c a) = ase1

+ bre2 + ctea + b2e~ + c2ea + bse2 + cse 3

De acõrdo com isso, [T], =

(~: ~: ~:) C!

C2

Ca

Essa propriedade vale para qualquer espaço Kn, mas somente em relação às bases usuais

Ob!lei'VB!;iio.

le1

7.4.

= (1, O, ... , 0),

e2 = (0,1, O, ... , 0), .·.. , en

= (0, .. ,0,1)}

Encontre a representação matricial de cada um dos seguintes operadores lineares Tem R 3 em relação à base usual

{e 1 = (1, O, O), e2 (i)

T(x, y, z)

(ii) T(x, y, z)

=

(2x- 3y

=

(0, 1, O), e3 = (0, O, 1))

+ 4z, 5x- y + 2z~ 4x + 7y),

= (2y + z, x- 4y, 3x).

CAP. 7]

MATRIZES E OPERADORES LIJ'olEARES

·Pelo problema

7.5.

7..~

(i) [T].

=

-3

2 5

(

-1

7

-l

~). o

(ii) [T].

=

193

(~

-1o ~)

3

Seja T o operador linear no R 3 , definido por (i)

T(x, y, z) = (2y +z, x- 4y, 3x). Encontre a matriz de T na base

{f,

(1, 1, 1), fz

=

(ii) Verifique que [T]Av] 1

=

(1, 1, O), fa

=

(1, O, O)J

[T(v)]1 para qualquer vetor

=

11

E R3 •

Precisamos, primeiro, encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário à base {/!, /2, fal. Escreva (a, b, c) como combinação linear dos fi, usando incógnitas escalares x, y, z (a, b, c) E R 3 em relação

(a, b, r)= x(l, 1, 1) + y(1, 1, O)+ z{l, O, O) = (x

+ y + z,

x

+ y,

x)

Faça as componentes correspondentes iguais entre si para obter o sistema de equações + y +

X

Z =

a, .\' +

_I' =

b,

X = C

Resolva o sistema para x, y e z en1 têrmos de a, b e c para encontrar x = c, y = b -r; z = a- b. Assim,

+ (b- c)/2 + (a- b)fa + z, x- 4y, 3x)

(a, b, c) = ch

(i)

Como T(x, y, z) = (2y

T{/J) = T(l, 1, 1) = (3, -3, 3) = 3/1-6/2 + 6/a Tf/2) = T(1, 1,0) = (2, -3,"3) = 3/1-6/2 + 5/ 3 e T(/a) = T(l, O, O) = (0, 1, 3) = 3/J- 2/2- /a

(ii) Suponha v

=

3 3)

~3

[T]t = -6

-6

6

-2

5 -1

(a, b, c); então,

v= (a, b, c)= ch

+ (b- c)h +(a- b)fa; logo,

[v]f

=(

b

~c)

a-b

Também T(t•) = T(a, b, c)

= (2b + c, a- 4b, 3a) 3ah + (-2a- 4b)h + (-a

=

logo, [T(v)Jt = (

-2:~ 4b

+ 6b + dfa;

·)

-a+~b+c

Assim, [T)J [v)f

7.6.

=

( 3 3 3) ( -6

-6

-2

c c) b-

6

5

-1

a- b

(3 2) f

=

( -2a3a 4b ) -a+ 6b +c

= [T(v)]t

e seja T o operador linear no R 2 , definido 4 por T(v) = Av (onde v é escrito como um vetor coluna). Encontre a matriz de T em cada uma das seguintes bases : (i) {e1 = (1, O), e~= (0, l)J, isto é, a base usual;

Seja A

(ii) {!1 = (1, J),j2 = (2, S)J.

MATRIZE$ E. OFERADORES LINEARES

194 (i)

T(e 1 }

= G ~) G)= (~)=

T(e2)

= G !)

.

ass1m, [T]. =

G)

lq

[CAP. 7

+ Je2

(!) =2q + 4e~;

c ~). 3

Observe que a matriz de T na base usual é, precisamente, a matriz original A que definiu T. lsw é usual. De fato, mostraremos no próximo problema que isso é verdade para qualquer matriz A quando se ·emprega a base usual. (ii) Pelo problema 7.2, (a, b) = (2b- Sa)ft

T(j!) =

T(/2)

=

3

c !) G)

assim, [T]r

7.7.

Portanto,

~) (~)

1 (

+ (3a- b)h.

=

= (

~~)

= -8h

+ 1012;

(-56 -8) 10

Lembre que qualquer matriz quadrada n X n, A = (a;i), pode ser encarada como o operador linear Tem K", definido por T(v) = Av, onde v é escrito como um vetor coluna. Mostre que a representação matricial de T em relação à base usual {e,} de K" é a matriz A, isto é, [Tl. = A. au a12 (

.

U!n) ( 1)

~~~- -~2·2· _· _· _·. ~.2~.

an1 Un2

o

•

•

o

O

ann

T(e2) = Ae2 = ( ::; .:::_ ... anl an2

.

au) ( a.2.1

=

aue1

+ aue2+ . .. +ante,.

a"1

;:~.) ~) ( al2) o ~~ 2

.(

=iZl:!l'l + U2282+ • • • + U2ntn

an2

ann

(Isto é, T(e;) = A e; é a i-ésima coluna de A.) De acôrdo com isso,

au

rn. =

( ~~~. -~2.2 anl

a1n)

a12

an2

•.•..••

~.2~

...

4nn

= A

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7]

7.8.

195

Cada um dos conjuntos (i) jl,t,e',te'J e (ii) {e 31 , te 31 , t 2e31 J é base de um espaço vetoriai V de funções f : R --------. R. Seja D o operador diferencial em V, isto é, D(j) = df/dt. Encontre a matriz de D nas bases dadas (i)

D(I)

=O I

D(t)

=

D(e') = e D(te') = e1

= 0(1) I (I) = 0(1) te' = 0( I) =

+

+ 0(1) + O(e + 0(1) + O(e + 0(1) + I (e') + O(t) + I (e 1) 1

+ O(te + O(te + O(te') + I (1/) 1 )

)

1 )

1 )

I o o o o ()

()

(ii)

31 D(e 31 ) = 3e 31 = 3(e ) D(te 31 ) = e 31 3te 31 = I (e 31 ) D(t 2e31) = 2te31 31 2e3 1 = O(e 31 )

+ +

3

e D =

7.9.

(

+ O(le 31 ) + 0(1 2 e 31) + 3(te + O(t 2e 31) + 2(te 31) + 3(1 2e 31) 31

)

I

g

3

o

Demonstre o teorema 7. t. Suponha que {e 1 , . . . , enJ é base de V e T é um operador linear em V. Então, para qualquer v E V, [T]. [v]. = [T(v)] •. Suponha, para i = I, ... ,

11

+ a12e2 +

T(e,.) = ai1e1

+ a;nen

n

2:

=

aii ei

j=l

Então, [T), é a matriz quadrada

11

X

11,

(aJ;, a2;.

cuja j-êsima linha é (I)

. . , anf) n

2: k;e;

Agora, suponha

i= 1

Escrevendo um vetor coluna como a transposta de um vetor linha, [v]e = (kt, k2,

. , kn) 1

(2)

Além disso, usando a linearidade de T, T(v)

=

T

n 2: k;e;:)

( t=l

=

n n n -~ k;T(e;) = -~ k,( ~ a;jej) t=l

=

~

j=I

=

t=l

(·

~

"=1

a,jk.)ei

t=l

n ~ (aJjkJ

j=J

+ a2jk2 + ... + anjkn)ei

Assim, [T(v)), é o vetor coluna, cujo j-ésimo elemento é ali

k1

+ a2j k2 + ... + anj kn

(3)

Por outro lado, o j-ésimo elemento de [T). [v). é obtido multiplicando a j-ésima linha de [T] 6 por [v]e, isto é, (I) por (2). Mas o produto de (I) e (2) é (3); portanto, [T]e [v]e e [T(v)]e têm os mesmos elementos. Assim, [T)e [v]e = [T(v)) •.

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

196

[CAP. 7

7.10. Demonstre o teorema 7.2. Seja {e,, ...• enJ base de V sôbre K, e seja d a álgebra das matrizes qudradas n X n sôbre K. Então, a transformação T -+[T]. é um isomorfismo. de espaços vetoriais de A (V) sôb1·c &I. Isto é, a transformação é injetora e soLrejetora e, para quaisquer S, TE A( V) e qualquer k E K, [T + S]. = = [T]. [S]. e [kT], = k[T] •.

+

A tran~formação é injetora, pois, pelo teorema 8.1, uma transformação linear é completamente determinada por seus valôres numa base. A transformação é sobrejetora, pois cada matr:z ME .9f é a imagem do operador linear n

i= I, ... , n,

1: m;,e;

F(e;) =

}=I

on::le (m;j) é a transposta da matriz M. Agora, suponha, para i = I,

.. , n

n

n

~ a,'iei

T(e,-) =

e

~ bijej

S(e,-) =

J=l

j=l

Sejam A e B as matrizes A Então, [T], = A' e [51, (T

+

=

=

(a;;) e B

= (b,;).

B'- Temos, para i = I, ... , tt

S)(e;)

=

n

+ S(e;)

T(e;)

~ (a;;+ b;;)P.j

=

)=I

Obsen·e que A

Tamb~m

+ B é a matri~ (a,·; + bu). De [T + S~. =(A + B)' =A'+ B'

temos, para i

=

I,

aeôrdo com isso, = [T~.

+ [S~.

' n, ~ a;;ej =

k

(kT(e;)"" kT(e;)

~ (ka,-j)ej

j= I

Observe que kA é a matriz (ka;j).

j= I

De acôrdo com isso,

[kTJe = (kA) 1 = kA' = k[T]e Assim, o teorema está provado.

7.11. Demonstre o teorema 7.3 .. Seja ·je,, ... , enl base de V. Então, para quaisquer operadores lineares S, TE ·A(V), [ST]. = [SJ. [T],. . .,.

= 1:

Suponha que T(e;)

n

a;;e; e S(ej)

j-1

~ bjkCk·

Sejam A e B as matrizes

k-1

A = (a;;) e B = (b;k). Então, [ T!e (ST)(n) = S(T(e;)) =

=

~~ 1 a;;e)

A 1 e [5~~

=

=}

=

B 1• Temos

a;,S(ef) 1

~ i; a / i; b;ke) 1-1

~-1

1 = i;(~ a;;b)ek J k-lj-1

n

Lembre que AB é a matriz AB = (c;k) onde Cik = ~ a,ibik· De acôrdo com isso, J-1

[ST]e

= (AB) 1

=

B'A 1 = [S], [T].

p MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7]

i

\;f

197

MUDANÇA DE BASE, MATRIZES SEMELHANTES 7.12 . Considere estas bases do R 2 : !et = (1, O), e,= (0, 1)} e !f1 = (1, 3), .f2 = (2, 5)}. (i) Encontre a matriz de transição P de {e1 } para {!;! . (ii) Encontre a matriz de transição Q de !f;} para let}. (iii) Verifique que Q = r'. (iv) \1ostre que [v] 1 = Y 1 [v], para qualquer vetor v E R 2 • (v) lVIostre que [T] 1 = p- 1 [T],P para o operador T no R 2 , definido por T(x, y) = (2y, 3x- y); (veja problemas 7.1 ·e 7 .2)

h h

(i)

= (1, 3) =

le1

= (2, 5) = 2et

+ 3e2 + 5e2

(ii) Pelo problema 7.2, (a, b) = (2b- 5a)/t e1 =

(1,0) =-Sft+3h

q

(0, I)

=

2ft -

b), então [v].

=

( ~)

=

e

+

F=

('

3

(3a- b)/2. Assim,

(-53 -12)

Q =

e

h

(iii)

(i v) Se v

= (a,

Portanto, p- 1

[v],

=

(-

5

(a) b

2) -1

3

(-5a3a +·- b2b)

=

2)

o . ( 3 -1

(v) Pelos problemas 7.1, 7.2, [T], =

Portanto, P

Sa)

[v]f = ( 2b3a- b

e

_, [T].P (-s 2) (o 2) (' =

3

-1

3

-1

3

[T]t

e

2)

5

+ [vlt =

(-30 -48) 18

(-30 -48. )

=

18

29

29

=

[Tl f

7.13. Considere as seguintes bases do R 3 : {e 1 = (1, O, 0), el = (0, 1, 0), e~= (0, O, 1)} e {f1 = (1, 1, 1),!2 = (1, 1, 0), .f3 = (1, O, 0)). (i) Encontre a matriz de transição P de {e; J para {.f;}. (i i) Encontre a matriz de transição Q de I f 11 para {e1 }. (iii) Verifique que Q = p - l (iv) Mostre que [v] 1 = p- 1 [v]. para qualquer vetor v E R 3 . (v) Mostre que [T] 1 = Y 1 [T].P para T definido por T(x, y, z) = (2y z, x -4y, 3x) (veja problemas 7.4 e 7 .5)

+

h = (1, 1, 1) = 1e1 + 1e2 + lea· / 2 = {1, 1, O) = le1 + le2 + Oea e P = / 3 ~ (1, O, O) = le1 + Oe2 + Oes (i i)

Pelo problema 7.5, (a, b, c) = ch t 1 ...

e2

=

+

(b- c)f 2

+

{l,O,O)"'Oft+Of2+1fa (0, 1, O) = Oh + lfz - lfa e Q =

ea = (O, O, 1)

=

1ft - 1/2

+Oh

l)

(a- b)fa. Assim,

(O O

1

O 1 -1 -1

O

'

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

198

(((()

PQ~

~

(:

+ (:)

~

p-1[1•], = (

_:) (

I

-1

~c)

.

~r

= [vlt

e [1"),- ( b a- b

c

(v)

o: ;)

i)(;_:-:)

(iv) Se v= (a, b, c), então [v],

[CAP. 7

~)

( b

c

O

n·

)

Assim,

a-b

Pelos problemas 7.4 (i i) e 7 .5.

~o ~ (~ ~

[Tj,

p- 1 [T],P

_:) (

I -1

(-~

[T]t =

O

O

-2

.'i

-1

()

~ -~ ~) 3

3 -6

I

. Assim,

~) (-~ -~

(:

O

"')

=

O

O

6

_;) =

[TlJ

5 -1

7.14. Demonstre o teorema 7 .4. Seja P a matriz de transição de uma base lei} para uma base f!,} num espaço vetorial V. Então, para qualquer v E V, P[v1 1 = [v], .. Também [vj 1 = p- 1 [v] •.

+ ainen

Suponha, para i = I,

n

= 2; a;jej. j=l

Então, P é a matriz quadrada n X n cuja j-ésima linha é (I)

(a!j, a2j· ... ',
Também supoúha que

v= kJ/1

+ knfn

+ k2h +

n

=

!: k;f;. Então, escrei= 1

vendo um ·,cetor coluna como a transposta de um vetor linha, [vJt = (kt, k2,

Substituindo f; na equação por v =

:i;

k;j;

=

1~1

n =

!:

~ 1=1

(atjl~ 1

+

k;

1

(2)

z•,

(~ U;jej) J=l

a2jk2

. , kn)

=

-~ (.. ~

a;jk,)ej

J=l i=l

+

j-1

De acôrdo com isso, [v], é o vetor coluna cujo j-ésimo elemento é (3) Por outro lado, o j-ésimo elemento de P[v]f é obtido multiplicando a j-ésima linha de P por [v]~o isto é, (l) por (2). Mas o produto de (1) e (2) é (3); portanto, P[v]f e [v]e têm os mesmos elementos; logo, P[v]! = [v] 6. Além.disso, multiplicando o acima por p-1, resulta p-I[v]e

= p-lp[V]f =

[v],.

7.15. Demo~stre o te~rema 7.5. Seja P a matriz de transição da base {e;} para a base {f;} num espaço vetorial V. Então, para qualquer operador linear T em V, [T] 1 = r 1 [T]. P.

CAP. 7]

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

199.

Para qualquer vetor v E V, p- 1 [T].P[v]J=P- 1 [T].[v].=P- 1 [T[v)].= [T(v)]f. Mas [T]j[v] = [T(v)]J; portanto, p- 1[T].P[v]J = [T]_r[v]f. Como a transformação v cada X E xn_

1---> [v] f é sôbre K", p- 1[T].PX

=

[T]1X

para

De acôrdo com isso, p- 1 [T).P = [T]J.

7.16. Mostre que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência, isto é, (i) A é semelhante a A; (ii) se A é semelhante a B, então B é semelhante a A; (iii) se A é semelhante a ;B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C. (i) A matriz identidade I é inversível e I = J- 1 • Como A = J- 1AI, A é semelhante a A. (ii) Como A é semelhante a B, existe uma matriz inversível P tal que A =P- 1BP. Portanto, B = PAP- 1 = (P- 1 )- 1AP- 1 e p-l é inversíveL Assim, B é semelhante a A. (iii) Como A é semelhante a B, existe uma matriz inversível P tal que A = p- 1BP e, como B é semelhante a C, exi~te uma matriz inversível Q tal que B = Q- 1 CQ. Portanto, A = p- 1BP = p- 1 (Q- 1 CQ)P = (QP)-lC(QP) e QP é inversível. Assim, A é semelhante a C.

TRAÇO 7.17. O traço de uma matriz'quadrada A = (a,;), escrito tr(A), é a soma de seus elementos diago~ais tr(A) = a 11 + a2 2 + ... + ann· Mostre que (i) tr(AB) - tr(BA), (ii) se A é semelhante a B, então tr(A) = tr(B). (i)

"

~

Suponha A= (a;;) e B = (b;;). Então, AB = (c;k) onde Cik = n n i:r(AB) ·= = ~ ~ a;;b;; t=! i=IJ=l n BA = (d;k), onde d;k = ~ b;;aik·

n ~-c;;

Por outro lado,

a;;b;k· Assim,

J=l

Assim,

i=l

tr(BA) =

n ~ d;; = j=l

n ~ j=l

n ~ b;;a;; = í=l

n ~

n ~ a;;b;;

= tr (AB)

t=l i=!

(i i) Se A é semelhante a B, existe uma matriz inversível P tal que A.= p-lBP. ·.

.

~~~

tr(A) =

7.18.

tr(P- 1BP)

= tr(Bpp-

1)

= tr(B)

~ncontre

o traço do seguinte operador no R 3 :

T(x, y, z)

=

(a1x

+

a 2y

+ a 3z,

b1x

+ b2y + baz,

c1x

+ c2y + caz)

Precisamos, primeiro, encontrar a representação matdcial de T. Escolhendo a base usual Ie;},

e tr (T)

tr ([T].)

a1+b2+c3.

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

200

7.19.- Seja V o espaço das matrizes 2 X 2 sôbre R e seja M

[CAP.

7

G !)

=

Seja To operàdor linear em V, definido por T(A) =MA. o traço de T.

Encontre

Precisamos, primeiro, encontrar uma representação matricial de T.- Escolha as bases usuais de V

r E1 = (~ ~)

• E2 = (

~ ~)

• Ea =

Então,

T(E 1) = ME 1 =

T(Ez) = MEz =

T(Ea) = MEa =

T(E4) = ME4 =

C ~)'E~= G o) 1

c ~)

G !) G ~)

j

I

=

IE1 +DEz

+ 3Ea + OE4

c !) c ~)

(~ ~)

=OE1

+ lEz + OE 3 + 3E 4

~)

G ~)

= ZE1

+ OEz + 4E 3 + OE4

~)

(~ ~)

= OE1

+ 2E 2 + OE 3 + 4E,

-(l

o 1 o

G 2) ~I G ~) (~

'O

4.

Portanto,

(Ds

e tr(T)

= 1

+ 1+4 +4

=

3

2

o 4

o

10.

D

REPRESENTAÇÕES MATRICIAIS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 7.20. Seja F: R 3 . - R 2 a transformação linear definida por F(x, y, s)

(i)

(3x

=

+ 2y- 4z, x- Sy + 3s).

Encontre a matriz de F nas seguintes bases do R 3 e R 2

IJ1 = {gl

=

(1, 1, 1),

/2 =

(1, 3), g2

=

(1, 1, 0),

/a

=

(1, O, O)}

(2, 5)}

(ii) Verifique que a açã<;> de F é preservada por sua representação matricial; isto é, para qualquer v E R 3 , [F]~

(i)

[v] 1 = [F(v)] 0 •

+ (3a- b)g 2 . Portanto, = -1g1 + 4g2 (_ _ ~ 31 " 47 = -33gl + 19g2 e. [F]~= = --13g1 + 8g2

Pelo problema 7.2, (a, b) = (2b- Sa)u

= F(1, 1, 1) = (!, -1) FCf2) = F(l, 1, O) = (5, -4) F(fa) = F(l, O, O) = (3, 1) F(/1)

_

138

)

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7] (i i) Se v

= (x, y, z),

então, pelo problema 7.5, v = zfl

Também F(v) '= (3x

+ 2y -

(~t3x-

=

4z, x - Sy

201

+ (y- z)/ 2 +.,(x- y)f3:

+ 3z)

20y + 26z)gl + (8x + lly- 15z)g 2

Portanto, -13x- 20y+26z) ( 8x + 11y- 1Sz

Assim,

z)

-13) (y ~ 8 x-y

-7 -33 ( 419 .

[F]~=

=

(-13x - 20y + 26z) = [F(v)]o 8x+11y-15z -

7.21. Seja F : K" ____, Km a transformação linear definida por F(xl, X2, ... , Xn) = (a!lxl + aznXn, ... , am1X1

+

... + alnXn, a~1X1 + ... +

+ ... + amnXn)

Mostre que a representação matricial de F em relação às bases usuais de K" e de Km é dada por

(:::

[F]

... a,. )

a12

. . •

a22

am2

aml

a2n

amn

Isto é, as linhas de F são obtidas dos coeficientes dos x, nas componentes de F(x1, . ·.._, x,), nspectivamen te, F(1, O, ... , O)= (an, a21, ... , ami)

~:~·-!_,_

.. :·O·)·=· (~~~--~22:

..

.'.a~~)

.( an e

[Fl

=

F(O, O, ... , 1) - (a In. a2n •... , amn)

a12

.a.21

a22

am1

am2

. ...

a1n)

...

amn

a2n

7.22. Encontre a representação matricial de cada uma das seguintes transformações lineares em relação à b~se usual do Rn (i)

F : R2

____,

F(x 1 y) (ii) F : R

4

R 3 , definida por (3x- y, 2x

=

-~ R 2 ,

+ 4y, Sx- 6y)

definida por

F(x, y, s, t) = (3x- 4y (~ii)

F : R3

____,

+ 2s- St, Sx + 7y- s- 2t)

R 4 , definida por

F(x, y, z) = (2x

+

3y- 8z, x

+y+

z, 4x- Sz, 6y)

Pelo problema 7.21, temos somente que olhar para os coeficientes das incógnitas em F(x, y, ... ). Assim,

3

(i) [F] = 2 ( . 5

-1)

4 -6

(ii) [F] =

G ~~

-~

=D

(iii) [F] =

(~

4

o

~ -~·)

o 6

-5

o

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

202

[CAP. 7

7.23. Seja T: R 2 ~ R 2 definida por T(x, y) = (2x- 3y, x + 4y). Encontre a matriz dE' T nas bases {e 1 = (1, 0), e2 == (0, lj e lf1 = (1, 3), f 2 = (2, 5)1 do R 2 , respectivamente. (Podemos encarar T como uma transformação linear de um espaço noutro, cada um tendo sua própria base.)

+ (3a- b)/2.

Pelo problema 7.2, (a, b) = (2b- 5a) h T(e 1 )

=

=

T(t, O) = ( 2, 1)

+ 5/2

-8/J

e

T(e2)

7.24. Seja

A

[TJ!

-8 23) ( 5 -13

=

= T(O, 1) = (-3, 4) = 23/! -13/2

(i -45 -3)7

=

Lembre que A determina uma trans-

formação linear F: R 3 ~ R 2 definida escrito como um vetor coluna (i)

Então,

F(v) = Av, onde v é

por

Mostre que a representação matricial de F em relação à base usual do R 3 e a do R 2 é a própria matriz A: fFJ = A.

(ii) Encontre a representação matricial de F em relação às seguin-: tes bases do R 3 e do R 2

lf1 {gl (i)

f~

(1, 1, 1), f2 = (1, 1, O), (1, 3), g2 = (2, 5))

F(l, O, O) =

F(O, t, O) =

F(O, O, 1)

=

(~

5

-4

G

c

5

-4 5

-4

C

de onde [F) =

-~)

G) o

-~)

(}

-~) 5

-4

(D

-3)7

= (1, O, O)},

C)

= 2e1

c:)

=Se.- 4H

(-~)

= -3et

+ le2

+ 7e2

=A.

(Compare com o problema 7.7) (i i) Pelo problema 7.2, (a, b) = (2b- 5a)gl

(~

5 -4

-~)

=

(~

5 -4

-~)

=

(~

5 -4

-~)

F(h)

=

F(/2)

F(Ja)

e [F]~=

c1~

(D 1 1

o

G)

-41

-8\

24

5)

+ (3a- b)g2.

Então,

( !)

= -12gl

+ 8g2

(_~)

=

-4lgl

+ 24g2

C)

=

-8g1

+ Sg2

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 7]

203

7.25. Demonstre o teorema 7. l 2. Seja F : V-~ U linear. Então, existe uma base de V e uma base de U tais que a representação matricial A de F tem a .forma A

~ (~ ~)

'

onde I é a matriz identidade quadrada r X r e r é o pôsto de F. Suponha que dim V = m e dim U = n. Seja H1 o núcleo de F e V' a imagem de F. Sabemos que o pôsto F = r; portanto, a dimensão do núcleo de F é ~l-r. Seja {WJ, ... , Wm-rl base do núcleo de F e estenda essa base a uma base dt v {v], ... ,

Vn WJ, . . . , U'm-rl

Faça F( vil, Uz = F(vz), ... , u, = F(v,)

=

U!

Notamos que {111, ... , u,} é base de U', a imagem de F. Estenda esta a UJTia base {ui, ... , Uro u, + 1 • . . . , uni de U. Observe que

u1

=

=

lu 1

+ Uz

= Ou1

=

= Ou1

Ur

~ O "' Ou 1

+ Ou 2 + + lu2 + .

+ Our + Our+l + +Ou, + Our+l +

+ 0112 + + Ouz +

+

lur Our+! +Ou,+ Our+!

+

+ +

+ Oun + Oun

+Ou,+ 01tr+!

+

+ Oun

Assim, a matriz de F nas bases acima tem a forma degejada.

Problemas Propostos REPRESENTAÇÕES MATRICIAIS DE OPERADORES LINEARES 7.26.

Encontre a matriz de cada um dos seguintes operadores lineares T no R 2 em relação à base usual (e1 = (1, 0), e 2 = (0, I) I (i)

T(x, y) = (2x - 3y,

(ii) T(x, y) "" (Sx

7.27.

+ y,

x

+

j)

3x - 2y).

Encontre a matriz de cada operador T no proble~a precedente em relação à base {/I = (1, 2), h = (2, 3)}. Em cada caso, verifique que [Tlt[t•]J = [T(v)]J para qualquer v E R2. "'''

7.28.

Encontre a matriz de cada operador no problema 7.26 na base {g1 =(I, 3), g2 = (1, 4)}.

7.29.

Encontre a representação matricial de cada· um dos seguintes operadores T no R 3 em relação à base usual (i)

(ii)

T(x, y, z) = (x, y, O) T(x, y, z) = (2x- 7y- 4z, 3x

(iii) T(x, y, z)

= (k,

y

+ y + 4z, + z, x + y + z)

6x- 8y

+ z)

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

204

[CAP. 7

Seja D o operador diferencial, isto é, D(j) = df/dt. Cada um dos seguintes conjuntos é base de um espaço vetorial V de funções f: R -+ R. Encontre. a matriz de D em cada uma das bases: (i) {e', e 2', te 2'l. (ii) isen I, cos ti. (iii) {e 5', te 51 , t 2e 51 1, (iv) 11. t, sen 3t, cos 3t}. 7.31.

e

Considere o corpo complexo C como um espaço vetorial sôbre o corpo real R. Seja To operador conjugação em C, isto é, T(z) = ~- Encontre a matriz de Tem cada uma das bases (i) 11. il. (ii) 11.+ i, 1 + 2i}. Sejit V o espaço vetorial das ma trizes 2 X 2 sôbre R e seja M =

~)

(;

Encontre a matriz de cada um do seguintes operadores lineares T em V na base usual (veja problema 7.19) de V (i) T(A) =MA, (ii) T(A) = AM, (iii) T(A) =MA- AM. 7.33.

Anote por 1v e Ov os operadores identidade e zero, respectivamente, num espaço vetorial V. Mostre que, para qualquer base {e;} de V, (i) 1v. = I, 'a matriz identidade, (ii) Ove = O, a matriz zero.

MUDANÇA DE BASE. 7.34.

MATRIZES SEMELHANTES

Considere as seguintes bases do R 2: lei= (I, 0), e2 = (0, 1) l e {h= (1, 2),}2= (2, 3)J. (i)

Encontre as matrizes de transição P e Q de {e,} para (f;) e de lf;} para respectivamente. Verifique Q = p-I.

(ii)

Mostr~ que [v]e = P[v]J para qualquer vetor v

(iii) Mostre que

[TJr

= p-I[T]e P

E

!ed.

R 2.

para cada operador T no problema 7.26.

7.35.

Repita o problema 7.24 para as bases {}I = (1, 2), g2 = (1, 4)}.

7.36.

Suponha que {e I, e 2 } é base de V e T: V T(q) = 3ei- 2e2 e T{e2l = e1 + 4e2.

-+

h=

(2, 3)} e lgr = (1, 3),

V é o operador linear para o qual

Suponha que Ih. hl é a base de V, para a q,ml Encontre a matriz de T na base {/1,/2}.

h

= e1

+ e2 e h

= 2et

+ Je2.

7.37. ·

Considere as bases B = {I, i} e B' = {1 + i, 1 + 2i} do corpo complexo C sôbre o corpo real R. (i) Encontre as matrizes de transição J' e Q de B para B' e de B' para B, respectivamente. Verifique que Q = p-I (ii) Mostre que [T]s• = = p-I[T]s P para o operador conjugação T do problema 7 .31.

7 .38.

Suponha que fe;}, lf;} e {g;} são bases de V e que P e Q são as matrizes de transição de {e;} para IJ;} e de lf;} para {g;l, respectivamente. Mostre que PQ é a matriz de transição de {e;} para {g;}.

7.39.

Seja A a matriz 2 X 2 tal que sàmente A é semelhante a ela mesma. Mostre que A tem a forma

A

(~ ~)

Generalize para matrizes n X n.

7.40.

Mostre que· tôdas as matrizes semethantes a uma matriz inversível são inversíveis. Mais geQeralizado, mostre que matrizes ~emelhantes têm o mesmo pôsw.

CAP. 7]

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

205

REPRESENTAÇÕES MATRICIAIS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES 7.41.

Encontre a representação matricial das transformações lineares em relação à base usual do Rn

F: R 3 --> R 2 definida por F(x, y, z)

(i)

= (2x-

4y

+ 9z,

Sx

+

(ii) F: R'--> R 4 definida por F(x, y) = (3x 4y, Sx- 2y, X (iii) F: R 4 -->R definida por F(x, y, s, t) = 2x + 3y- 7 s- t

+ 3y- 2z) + 7y, 4x)

(iv) F: R --> R 2 definida por F(x) = (3x, Sx) 7.42.

Seja F: R 3 --> R 2 a transformação linear definida por F(x, y, z) 3x- 2y 4z)

+

= (2x

+ y- z,

Encontre a matriz de F nas seguintes bases do R 3 e R 2

(i)

Ih= (1, I, 1), fz = (1, 1, O), ia=

(1, O, O)} e lgt

(ii) Verifique que, para qualquer vetor v

E

R 3,

= (1, 3), g 2

[F]~[v], =

=

(1, 4)}

[F(v)]g.

7.43.

Sejam !e;} e lfi} bases de V e seja I v a transformação identidade em V. Mostre que a matriz de 1v nas bases lei} e lf;} é a inversa da matriz de transição P de !e;} para IJ;I; isto é. [1v]~ = p-l

7.44.

Demonstre o teorema. 7. 7. (Pista. Veja o problema 7.9.)

7.45.

Demonstre o teorema 7.8. (Pista. Veja o problema 7.10.)

7.46.

Demonstre o teorema 7.9. (Pista. Veja o problema 7.11.)

7.47.

Demonstre o teorema 7.10. (Pista. Veja o problema 7.15.)

PROBLEMAS DIVERSOS 7.48.

Seja T um operador linear em V e seja W um subespaço de V invariante sob T, .ãsto é, T(W) c: W. Suponha que dim W = m. Mostre que T tem uma representação matricial da forma

7.49.

A

B

o c

onde A é uma submatriz m X m.

Seja V = U $ W e sejam U e W invariantes sob um operador linear T: V --> V Suponha que dim U = m e dim V = n. Mostre que T tem uma representação matricial da forma

O O B

A

, onde A e B são submatrizes m X me n X n,

respectivamente. 7.50.

Lembre que dois operadores lineares F e G em V são semelhantes se existe um operador inversível Tem V tal que G = r- 1 FT. (i}··· Mostre que operadores lineares F e G são semt;lhantes se, e sàmente se, para qualquer base !e;} de V as representações matriciais [F]e e [G]e são matrizes semelhantes. (ii) Mostre que, se um operador F é diagonalizável, então qualquer operador semelhante G é também diagonalizável.

7.51.

Duas matrizes m X n, A e B, sôbre K são equivalentes, se existe uma matriz qua,"-ada m X m inversível Q e uma matriz quadrada n X n inversível P tal que

B

=

QAP

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

206 (i)

[CAP. 7

Mostre que equivalência de matrizes é uma relação de equivalência.

(ii) Mostre que A e B podem ser representações matriciais do mesmo operador linear F: V -> U se, e somente se, A. e B são equivalentes. (iii) Mostre que cada matriz A é equivalente a uma matriz da forma

(OI oo)

onde I é a matriz identidade quadrada r X r e r = pôsto A.

7.52.

Diz-se que duas álgebras A e B sôbre um corpo K são isomórficas (como álgebras) se existe uma transformação bijetora f : A -> B tal que para u, v E A e k EK, (i)

j(u

+ v) ~

(ii) f(ku)

= j(u)

+ f(v),

kf(u),

= J(u)j(v):

(iii) j(uv)

(Isto é, f preserva as três operações de álgebra: adição vetorial, multiplicação por escalar' e multiplicação vetorial.) A transformação f é, então, chamada isomorfismo de A sôbre B. Mostre que a relação isomorfismo de álgebra é uma relação de equivalência.

7.53.

Seja d a álgebra das matrizes quadradas sôbre K e seja P uma matriz inversível em d. Mostre que a transformação A 1-+ p- 1 AP, onde A E d, é um isomorfismo de álgebra de em si mesma.

l?.ESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

c

-~)

1)

5 3

7.26.

(i)

7.27.

Aqui (a, b)

= (2b- 3a)h

+ (2a- b)/2.

7.28.

Aqui (a, b)

= (4a- b)Ú

+ (b- 3a)g2.

7.29.

(i)

o

Go

o) (ii) (

~

I

o

I}

(i)

(~

7.31.

(i)

(~ -~)

7.32.

(;)o

7.30.

,o

D

2

o

o

b

a

o

c

o

o

(ii) (

d

(i i)

(i i)

( -3

-2

-2

-D

-7 2

~

1 -8

(~ -~)

( 18 -11

(i)

(-32

(iii)

(iii)

25

25) (ii)

(-2315

-39)

-15

-45) (i i) 35

( 35 -27

-32

o

(~

1

D

G ;) 1 5

(;v)

o

26

41)

o

1 o o o o o o 3

-~)

nu (i i)

(i)

c d

o o

o o a b

D (-1 (iH)

-c a-d

o ,;

b

o d-a --b

-D

-D

MATRIZES E OPERADORES LINEARES

CAP. 71

u 2)

7.34.

P~

7.35.

P=

7.36.

(_~

7.37.

P= .

7.41.

(i) (

7.42.

(i)

3

• Q

=

-D. º

(_~

=

(-32

207

-D

(_~ -~)

11)

-1

.c 1

~

(_~

~)

• Q=

3 -~)

-4

11 -8

-~)

(ii)

(_~

-!)

(; -n

(iii) (2,

3, -7, -1), (iv)

G)

Capítulo 8 Determinantes /INTRODUÇÃO A tôda matriz quadrada A sôbre um corpo K está associado um escalar específico chamado determinante de A; é, usualmente, representado por det(A)

ou

iA/.

Essa função determinahte foi descoberta pela primeira vez na investigação de sistemas de equações lineares. Veremos, nos próximos capítulos, que o determinante é uma ferramenta indispensável na inve?tigação e obtenção das propriedades de um operador linear. Comentamos que a definição de determinante e a maior parte de suas propriedades também se aplicam no caso em que os elementos de uma matriz vêm ·de um anel (veja apêndice B). Começaremos o capítulo com uma discussão de permutações, que é necessária para a definição do determinante.

PERMUTAÇÕES Uma aplicação biunívoca C' do conjunto (1, 2, ... , nl sôbre si mesmo é chamada uma permutaçiio. Anotamos a permutação cr pmC'

=

( 1

2

j.

~)

ou u = j.j2

.

],.

•••

j,, onde j, = u (i).

Observe que, como C' é injetora e sobrejetora, a seqüência j i j2 • • • in é simplesmente o rearranjo dos números 1, 2, ... , n. Observamos que o número de tais permutaÇões é n! e que o conjunto delas é, usualmente, representado por S". Também observamos que se C' E S", então a transformação inversa fT-l E Sn; e, seu, T E sn, então a transformação composta u o T E S"_ Em particular, a transformação identidade

pertence a Sn.

(Na verdade,

Exemplo 8.L Existem 2! Exemplo 8.2. 312, 32 L

~

f

12 . _. n.)

=

2 . 1

~

2 permutações em 5 2 : 12 e 21.

Existem 3! = 3 . 2 . 1 = 6 permutações em 5 3 : 123, 132, 213, 231,

208

DETERMINANTES

·CAP. 8)

209

Considere uma permutação arbitrária u em Sn : u = jâ 2 . . . Jn· Dizemos que u é par ou ímpar, conforme exista um número par ou ímpar de pares (i, k), para os quais

i> k

i precede k em

mas

(*)

u.

Então, definimos o sinal ou paridade deu, escrito sgn u, por sgn u

J

=

l

se u é par -1 se u é ímpar.

Exemplo 8.3. Considere a permutação a = 35142 em S 5 . 3 e 5 precedem e são maiores do que 1; portanto, (3, 1) e (5, 1) satisfazem (*). 3, 5 e 4 precedem e são maiores do que 2; portanto, (3, 2), (5, 2) e (4, 2) satisfazem (*). 5 precede e é maior do que 4; portant.:>, (5, 4) satisfaz (*). Como exatamente seis pares satisfazem (*), a é par e sgn a = 1. Exemplo 8.4.

A permutação identidade •

=

1 2

. n é par, porque nenhum par

pode satisfazer (*).

E1emplo 8.5. Em S 2 , 12 é par e 21 é ímpar: e 132, 213 e 321 são ímpares. Exemplo 8.6. os demais fixos

Seja

Existem

T

a permutação que troca dois números i e j entre si e deixa

T

=

T(Í)

Chamamos

Em S;i, 123, 231 e 312 são pares

j, T(j)

= i,

T(k)

=

k, k

~

i, j.

uma transposição. Se í < j, então T=12 (i-1)j(i+1). (j-!)i(j+l) ... n.

2(j- i- 1) + 1 pares satisfazendo (*) (j, í) (j, x~ (x, i), onde x = i + 1, ... , j - 1.

Assim, a transposição

r

é ímpar.

DETERMINANTE Seja A

=

(a;1) uma matriz quadrada n X n sôbre um corpo

A

c·

K

al2

a21

a22

anl

an2

:=.) a,m

Considere um produto de n elementos de A tal que um, e somente um, elemento provém de cada linha e um, e somente um, elemEnto provém de cada coluna. Tal produto pode ser escrito na forma aljl a2j2 . . .

anin,

isto é, onde os Íatôres provêm de linhas sucessivas; logo, os primeiros subscritos estão na ordem natural 1, 2, ... , n. Agora, como os fatôres provêm de colunas diferentes, a seqüência dos segundos forma uma permutação "· = j 1 j 2 . . • in em Sn. Reciprocamente, cada permutação em Sn determina um produto da forma acima. Assim, a matriz A contém n! dêsses . produtos.

DETERMINANTES

210

[CAP. 8

Definição. O determinante da matriz quadrada n X n A

= (a;;), anotado det (A) ou IA!, é a 15eguinte soma que é somada sôbre tôdas as permutações (J = jd2 ... em sn

Jn

IAI Isto é,

IA ! =

L

(sgn (j)

alu(l)

a2u(2)

. . . ana(n•·

a E sn

Diz-se que o determinante da matriz quadrada n X nA é de ordem n, que é freqüentemente representado por

Enfatiza:FIWS' que uma disposição quadrada de escalares compreendida entre linhas retas não é uma matriz, mas antes o escalar que o determinante associa à matriz formada pela disposição de escalares. an :

Exemplo 8.7. O determinante de uma matriz 1 X 1 A = (au) é o próprio escalar = an. (Notamos que a única permutação em S1 é par.)

IA I

Exemplo 8.8.

Em S 2 , a permutação 12 é par e a permutação 21 é ímpar. Portanto,

Assim,

4

f -~

-51

4{-2)- (-5)(-1) = -13 e

-1

t: !I

ad- bc.

Exemplo 8.9. Em Sa, as permutações 123, 231 e 312 são pares e as permutações 321, 213 c 132 são ímpares. Portanto,

I::~ ::: ::: I aa1

aa2

aaa

+ aua21a32- a13a22a31- a12a21a33- aua2aaa2Isto pode

ou

seF

esctito €orno

DETERMINANTES

CAP. 8]

211

que é uma combinação linear de três determinantes de ordem dois cujos coeficientes (com sinais alternados) formam a primeira linha da matriz dada. Note que cada matriz 2 X 2 pode ser obtida suprimindo na matriz original a linha e a coluna c:mtendo seu coeficiente

au

Exemplo 8.10.

(i)

I~ ~ ~ I

=

2

I: ;I - I! ~ I + I! :I 3

4

2(6- 63) -3 (5- 56) 2

I~~ ~I

-

3

+ 4(45- 48)

!~ ~I

= 2(-20+2)- 3(0- 2)- 4(0

=

+ (-4) + 4)

27

I~ =~I

= :_46.

Como n cresce, o número de têrmos no determinante se torna astronómico. De acôrdo com isso, u·samos métodos indiretos para calcular determinantes em vez de sua definição. Na verdade, demonstraremos um número de propriedades sôbre determinantes que no3 permitirão encurtar consideràvelmente o cálculo. Em particular, mostraremos que um determinante de ordem n é igual a uma combinação linear de determinantes de ordem n- 1, como no caso n = 3 acima.

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES Arrolamos, agora, propriedades básicas do determinante. Teorema 8.1. O determinante de uma matriz A são iguais: IA I = IA' 1.

e sua transposta A

1

Por êste teorema, qualquer teorema sôbre o determinante de uma matriz A que diga respeito às linhas de A terá um teorema análogo· concernente às colunas de A. O teorema seguinte dá certos casos para os quais o determinante pode ser obtido imediatamente. Teorema 8.2. Seja A uma matriz quadrada (i) (ii)

IA ! = O. então IA I = O.

Se A tem uma linha (coluna) de zeros, então

-· Se A

tem duas linhas (colunas) idênticas,

(iii) Se A é triangular, isto é, A tem zeros acima ou abaixo da diagonal, então IA i = produto dos elementos diagonais. Assim, em particular, I I/ = 1, o.nde I é a matriz identidade. O próximo teorema mostra como o determinante de uma matriz é afetado pelas operaç_ões elementares.

DETERMINANTES

212

[CAP. 8

Teorema 8.3. Seja B a matiÍz obtida da matriz A por (i)

Multiplicação de uma linha (coluna) de A por um escalar k; então,

IBI = kiAI. (ii) Troca entre si de duas linhas (respectivamente, colunas) de A; então,

IBI =-IA I. (iii) Adição de um múltiplo de uma linha (coluna) de A à outra; então,

IB! =

IAj.

Enunciaremos, agora, dois dos mais importantes e úteis teoremas sôbre determinal\tes. Teorema 8.4. Seja A qu:otlquer matriz quadrada n X n. Então, os seguintes são equivalentes (i)

A é inversível, isto é, A tem uma inversa A- 1•

(ii) A é não-singular, isto é, AX = O tem somente a solução zero, ou pôsto A = n ou as linhas (colunas) de A são linearmente independentes. (iii) O d.eterminante de A é não-nulo:

IA I ;é O.

Teorema 8.5. O determinante é uma função multiplicativa. Isto é, o determinante de um produto de duas matrizes A e B é igual ao produto de seus determinantes: IAB I = I A I I B!. Demonstraremos os dois teoremas acima U:$ando a teoria de matrizes elementares (veja página 66) .e o seguinte lema. Lema 8.6. Seja E uma matriz elementar. A'

Então, para qualq.LJeC

~!~atriz

IEA I = IE I IA I.

Observamos que PQdemos provar os dois teorem~s precedentes diretamente, sem lançar mão da· teoria das matrizes elementares.

MENORES E CO-FATÕRES Considere uma matriz quadrada n X n A = (a;;). Represente por M;; a submatriz quadrada n- 1 X n- 1 de A, obtida suprimindo sua i-ésima linha e j-ésima coluna. O determinante IM;;! é chamado menor do elemento a,i de A e definimos o co-fator de a;;, denotado por A,i, como o menor com "sinal" A;;

= (-l)t+'j M;;!.

Observe que os "sinais" (-l)HJ que acompanham os menores formam ' uma disposição quadriculada com os na diagonal pri}\çipal

+

(; . . ~ . .:. . ~ . .•• J

DETERM"JNANTES

CAP. 8]

213

Enfatizamos que M 11 denota uma matriz, enquanto A;i denota um escalar. Exemplo 8.11. Seja .4 =

A 2a

=

2 3 4) ( 5 8

(-1) 2+ 3

6 9

7 1

128 31

- (18- 24) = 6.

9

Surge, então, o seguinte teorema. Teorema 8.7. O determinante da matriz A = (at;) é igual à soma dos produtos obtidos mUltiplicando os elementos de qualquer linha (coluna) pelos seus respectivos co-fat ~res n

+ a;,.At.. IA I = aiiAii + a2iA2i

= L

e

u;jA;i

j=i

+ ... + a,.iAn; =

.

2:

a 1iA;;.

i=i

As fórmulas acima, chamadas desenvolvimento de Laplace do determinante de A, segundo a i-ésima linha e j-ésima coluna, respectivamente, oferece um método de simplificar o cálculo do IAI. Isto é, adicionando um múltiplo de uma linha (coluna) a outra linha (coluna), podemos reduzir A a uma matriz contendo uma linha ou coluna com um elemento 1 e os outros O. Desenvolvendo segundo esta linha ou coluna, reduzimos o cálculo do .1 A I ao cálculo de um determinante de ordem uma unidade inferior à ordem de !A 1.

Note que 1 aparece na segunda linha, terceira coluna. com A; onde R;.denota a i-ésimá linha: (i)

adicione -2R 2 a Rt,

(ii) adicione 3R2 a Ra,

5 4 2 1)'

2 -5 1

(

Exemplo 8.12. Calcule o determinante de A

3 -7 -2

1 -3 -1

-2 9 4

Efetue as seguintes operações

(iii) adicione 1R2 a R4.

Pelo teorema 8.3 (iii), o valor do determinante não muda por essas operações; isto é,

IAI

5

4

2

2

3

1

-2

-5 -7 -3 -2 -1

9

o

1 -2 2 3 1 3

4

5 1 -2 o 3

2 1

o

2

Agora, se.. desenvolvermos segundo a terceira coluna, podemos desprezar todos os têrmos que contêm zero. Assim,

IAI =

(-1)2+ 3 <

1 -2 2 3 1 3 2

l 1 31 2 -

Jl2

1

o

5

1

~2

o o

3 2

~~3 312

(- 2)

=-lt +

5

-2 2

~I

113 211 =38 1 J

DETERMlNANTES

214

[CAP. 8

ADJUNTA CLÁSSICA Considere uma matriz quadrada n X n A

(;~: ~~~

A

sôbre um corpo K

~:~)

...

an1

= (aif)

..........

an2

an,.

A transposta da matriz dos co-fatêres dos elementos a,i de A, representado por adj A, é chamada adjunta clássica de A

. adj A

~:: ~::

(

..

Atn

... ·. ·. ·.....

A2n

•••

~::) Ann

Dizemos "adjunta clássica" em lugar de simplesmente "adjunta" porque o têrmo "adjunta" será· usado no capítulo 13, para um exemplo. inteiramente diferente. Exemplo 8.13. Seja A =

1-4 ~I A21 = 1-~ ~I Ast = + I~ ~I An

=

Formamos a

+

-1

tran~posta

(~

3 -4 -1

-4) 2 .

Os co-fatôres dos nove elementos dç A sio

5

= -18,A12=

-~~

= -·11. A22

=

+I~

""-10, Aa2

= -

I~

~I ~I ~I

= 2,

A1a

A23

14,

=

=-

=

4, Aaa =

+I~ ~I I~ + f~

=-

_:I -!I

=

4,

=5 = 8

da matri:z dos co-fatôres acin.a para obter a adjunta clássica de A

-!!

-18 adj A

"=

(

~

-~)

5

-8

Teorema 8.8. Para ·qualquer matriz quadrada A, A . (adj A).= (adj A) . A = IA I I onde I é a matriz identidade. Assim, se IA I. ;o! O, A- 1 = l/IA I (adj A). Observe que o teorema acima nos dá um método importante para obter o inverso de uma matriz dada. Exemplo 8.14. Considere a matriz A do exemplo precedente para a qual IA Temos

J

A (adj A)

(

=

o

2

3 -4

1

~t

-46G

-;) (-1~ -!! 5

! ~)

-~)

4

5

=

-46 I =

=

-8

IA I I

-4060 (

o o)o =

-46

o -46

I=

-46.

215

DETERMINANTES

CAP. 8]

Também temos, pelo teorema 8.8,

-11/--46 14/-46 Sf-46

1 (-18/--46 A··l = - - (adj A)= 2/--46 IA! 4/--46

9/23 -1/23 ( -2/23

-10/--46) --4/--46 -8/--46

11/46 -7/23 -5/46

5/23) 2/23 4/23

APLICAÇÕES A EQUAÇÕES LINEARES Considere um sistema de n equações lineares em n incógnitas

+ a12X2 + + a1nXn + a22X2 + ... + a2nXn

=

b1

ll21X1

=

b2

an1X1

+ an~2 + · · · + annXn

=

bn

auxt

Denote por Ll o determinante da matriz A = (a;j) dos coefiéientes ~ = IA j. Também denote por Ll; o determinante da matriz obtida, substituindo a z""ésima coluna de A pela coluna dos têrmos constantes. A relação fundamental entre determinantes e a solução do. sistema acima segue.

Teorema 8.9. O sistema acima tem uma única solução se, e somente· se, Ll ~ O. Nesse caso, a solução única é dada por Xt

=

O teorema acima é conhecido como "regra de Cramer" para resolver sistemas de equações lineares. Enfatizamos que o teorema se referê somente a sistemas com o mesmo número de equações qtfe incógnitas e que só fornece a solução quando Ll ~ O. De fato, se Ll = O, o teorema não diz se o sistema tem solução ou não. Entretanto, no caso de um sistema homogêneo, temos o seguinte resultado útil.

Teorema 8.10. O sistema homogêneo Ax =O tem solução não-nula se, e somente se, Ll = I A I = o. Exemplo 8.15.

.

Resolva, uEandô determmantes,

2x - 3y

=

7

+ Sy

=

1

3x

Primeiro calcule o determinante da matriz dos coeficientes

=

Á

Como

Á

2

13

-315

=

10

,r O, o sistema tem uma única solução. f!.x =

7

11

-315

=

38

+9

=

19.

Também temos

; 1 = -19.

'

De acôrdo com isw, a única solução do sistema é Á:r

X

38

= -Á - = -19 =

2

•

y

Áy

= -Á -

-19

= - - = -1.

19

~----~--~--~_____.-~~~~-------

DETERMINANTES

216

[CAP. 8

Ggservamos que o teorema precedente é de interêsse mais por motivos teóricos e históricos do que por motivos práticos. O método precedente de resolução de sistemas de equações lineares, isto é, redução do sistema à forma escalonada, é muito mais eficiente que o uso de determinantes.~

DETERMINANTE DE UM OPERADOR LINEAR Usando a propriedade multiplicativa do determinante (teorema 8.5), obtemos

Teorema 8.11. Suponha que A e B são matrizes semelhantes. IAI = IBI

Então,

Agora, suponha que T é um operador linear arbitrário num espaço vetorial V. Definimos o determinante de T, escrito det(T), por det(T) =

I[T].I,

onde [TJ. é a matriz de T na base {ei). Pelo teorema acima, esta definição é independente da base particular que fôr escolhida. O teorema seguinte segue dos teoremas análogos sôbre matrizes.

Teorema 8.12. Sejam T e S operadores lineares num espaço vetorial V. Então

(i) det(S o T) = det(S) . det(T), (ii) T é inversível se, e sàmente se, det(T) :,;:. O.

Também observamos que det(l.) = 1, onde 1. é a identidade, e que det(T'" 1) = det(T),- 1 se T é inversíveL Exemplo. 8.16.

Seja To operador linear no R 3 definid~ po.T(x, y, z)

(2x- 4y

=

+ z, x- 2y + 3z, Sx + y- z)

A mat.-iz de T na base usual do R 3 é [T] = (

2 -4 Então, det(T) =

transformação .

1 -2 5

3

2(2- 3)

~

s

-; -1

~)

-l

+ 4(-1- 15) + 1(1 + 10)

=-55.

-l

MULTJLINEARIDADE E DETERMINANTES Denote por d o conjunto de tôdas as matrizes quadradas n X n sôbre um corpo K. Podemos encarar A como uma n-upla consistindo em seus vetores linha A h A 2 , • . . , A,. A Portanto, d em K

= (A 1, A 2,

••• ,

A,.).

pode ser encarado como o conjunto das n-uplas de n-uplas

DETERMINANTES

CAP. 8)

217

Seguem as seguintes definições.

Definição. Diz-se que uma função D : .91 em cada componente, isto é, (i)

Se linha A,

+ C,

B

=

--'-4

K é multilinear se ela é linear

então

D(A) = D( .. . , B +C, ... )

D( .. . , B, .. . )

=

+ D( .. . , C,

... );

(ii) Se linha A; = kB, onde k E K, então

D(A)

=

D(., ., kB, .. . ) = kD( .. . , B, .. . ).

Também dizemos n-linear em lugar de linear se há n componentes. Defini~ão. Diz-se que uma função D :.91 -

K é aiternada se D(A)

=

O,

sempre que A tem duas linhas idênticas D(A 11 A 2,

.•• ,

An) =O seri1pre que A,= Ai·• i>"" j.

Temos o seguinte resultado básico; aqui,- I denota a matriz identidade.

Teorema 8.13. Existe uma única função D: .91 (i)

D é multilinear,

(ii) D é alternada,

--'-4

K tal que

(iii) D(l) = 1.

Esta função D não é outra senão a função determinante; isto é, para qualquer matriz A E .91, D(A) = IA 1.

Problemas Resolvidos CÁLCULO DE DETERMINANTES 8.1.

Calcule o determinante de cada matriz (i)

(i) .

(i i)

8.2.

(

1! -~ 1 a-b a

=

3 .

a a+ b

I

s _ (-2)

a - b

a

a

a+ b

)

. 4 = 23.

=(a-b)(a+b)-a.a=-b 2 •

' Determine os valôres de k, para os quais

k

2k

I= 2k se k

>=

2-

4k

=

O ou k

.

O, ou 2k(k -2) =

=

l: . I

O. Portanto, k

2, o determinante é O.

2:

=

=

O

O; e k

=

2. Isto é,

218

DETERMINANTES

8.3.

Calcúle o determinante de cada matriz

~)

2 -2

(i)

'

5 -1 (iii)

(i)

~ ~ -~) ( -1 -3 5

I~ -~ j

I =

(i i)

I~

(iii)

I~ -1

(i v)

8.4.

I!

(~4

(iv)

2

~ -~I5

2 3

o o 2

-4 3

2

1(2- 15)- 2(-4 -6)

! -~ I

o

~-~ -~I - I~ -~I

1

=

o

(i i)

[CAP. 8

+

+ 3(20 + 4)

3

I~-

=

.79.

I~ -~ I - oI; -~ I + 1

2(10 -9)

+ 1 (-9 + 2)

i:

~I

24.

= -5.

-3

~ -~I

1(6

+ 4)

10.

Considere a matriz quadrada 3 X 3 A

=

(::

aa ·Mostre que o diagrama abaixo pode ser usado para obter o determinante de A

Forme o produto de cada um dos três números ligados pelas setas e cada produto com ~ sinal mais, no diagrama da esquerda, como segue

ant~ponha

+ a1b2ca + b1c2aa + cta2ba. Agora, forme o produto de cada dos três números ligados pelas setas no diagrama da direita e anteponha a cada produto o sinal menos como segue - aab2c1- bac2a1- caa2b1. Então, o determinante de A é, precisamente, a soma das duas expressões acima

IA I =

I:~ :~ :~I aa

ba

=

a1b2ca

+ b1c2aa + c1a2ba- aab2c1- b3c2a1- caa 2b1.

ca

O método acima para cálculo de maior do que três.

IA I

não vale para determinantes de ordem

DETERMINANTES

CAP. 8]

8.5.

219

Calcule o determinante de cada matriz (i)

(! -~) I! j -~I o o

G

-3

(i)

o (j

b (i i)

2

o

(iii)

a

c

3

-4) -2 3

Desenvolva o determinante em relação à segunda coluna, desprezando os tê.-mos contendo um zero

=

-(-3)

I!

~I

=

+ 3) = 21.

3(4

(ii) Use o método do problema precedente

a:

:b

I (iii)

•!c

I=

a3

+ b3 +

c 3 -. abc- abc- abc = a 3

+ b3 +

c3 -

3 abc.

Some duas vêzes a primeira ·coluna à terceira e, então, desenvolva pela segunda linha

-41

!_!

o2 -2 = 3

3

2

-4 + 2(3) I = I 31

o -2 + 2(1)

131 -2

3

+

3

2(-2)

8.6. Calcule o determinante de

o2 o21 = -1 3 -1

. -2

('''

A=

12 21 3 -1,

=8

-1/3)

-1

3/4

1/2

1

-4

-1

1

Primeiro, multiplique a primeira linha por 6 e a segunda linha por 4.

6 . 4 IA

I·! 8.7.

I

=

24 IA

1l =~I

I

=

=

.33 I1 +

-2! -4

-6 2 -4

+ 4(3) + 4(3) -4 + 4(1)

3 1 11

1

11: -~I

-6 2

28, e

IA I

=

(3) -4-21 -_ (3) - (l)

Então,

I

28/24 = 7/6.

Calcule o determinante de

5 -32 -2) -3 -5 -~ 3 -2 2 (

A

-1

-6

4

3

Note que 1 aparece na terceira linha, primeira coluna. Aplique as seguintes operações em A (onde R 1 d~nota a i-ésima linha) (i) some -2Ra a R1, (ii) some -2Ra a R 2 , (iii) some lR 3 a R4. Assim,

o o

2 5 -3 -2 -2 -3 2 -5 1 3 -2 2

IAI

-1 =

-6

4

,-13-+ 21 -3 +2

-2 2

3

o

-6 -1

+ 6(-2)

+

6(1)

5+

6(2)

-1 3 3 -3

1

-2 -2

2

2

5

I [_! =

-6 -1

=+

I -1

o -21 -13 2

17

I-~-3

1 -2 2

-11

~~ -131

17

-4

DETERMINANTES

220

8.8.

(

Calcule o determinante de A

-~

(CAP. 8

-:)

-~

-;

-2 4 2 -3

7 -3 -5 8

Primeiro, reduza A a uma matriz que tem 1 como um ,elemento, por exemplo, somando duas vêzes a primeira linha à seg~nda linha, e, depois, procedendo como no problema precedente. 3

-5

IAI

-2 2 3 -2 2

I =

-2 2 4 -3

-5

4 -5 7 -3 ~5 8

-2 3 -5+2(3) 2+2(-2) -2 4 -3 2

-2 -2 4 -3

-5

3

3

1-~

8

4 -2 3 7 -3 -5 8

4

1

-5

o o

o

o

3 -1

3 2

-I~ -~I 1

-2 2

-2 + -2 + 4 + -3 +

I~

7

8

+ 2(3) -2 + 2(1) 7 + 2(-2)

I~

1 3

Calcule o determinante de A

t- 3

3(3) 3(1) 3(-2) 3(2)

3 - (3) 2 - (-1)

I

L)

-1

8.9.

-

-5 _ (1)

-1

= -3(12 + 6) = -54

= -3

-1

4 3 -3 8

-5 + 2(2)

I~ ~I

3

4 -5+2(4) -3

-5

-5

2(3) 2(1) 2(-2) 2(2)

-~I

3 -1

-5 8+2(-S)

-6

Some a segunda coluna à primeira e depois some a terceira coluna à segunda, para·obter

IA I Agora, fatore t

+2

=

I1tI++o 2 2

.

o

t- 2 1-2

1 1 t+4

I

na primeira coluna e t- 2 na segunda coluna, para obter

IA I

= (t

+ 2)(1- 2)

ll

o

Finalmente, subtraia a primeira coluna da terceira, para obter

IA I

=

(t

+ 2)(t -

1

2)

I~

o

g t+4

l

=

(t

+ 2)(1- 2)(1 + 4)

CO-FATÔRES

8.10. Encontre o co-fator de 7 na matriz

(~

1 -3

-4

7

o

6

-2

5

-~) -3 2

CAP. 8]

DETERM1NANTES 2 1 -3 4 5 -4 7 -2 4 o 6 -3 3 ~2 5 2

(-1)2+3

I~ -~I I~

811.

-2

+ 3 vem do fato

Considere a matriz A= (i)

Calcule

A . (adj A) (i)

.

iAI

= 1

IA I . = i A! I

~I

135

o

I:

3

5

- I~

1 -10 1 4 -1 2

-~)

(

t =

+

1 -10

-1

=

1- 20 + 21 = 2

I~ ~I

+

~I

(iii) Verifique

1

!I

I~

71

!I - I~ !I (

I

n

2

41 +3

I~

+

10

que 7 aparece na segunda linha e terceira coluna.

. (i v) Encontre A-

- I~ ~I

-~I

61

=

(i i) Encontre adj A.

- 2

o o

2

I~ ~I - I~ ~I (ii) adj A

1

o

(-I~ ~~I) O expoente 2

221

~I

I~ ~I 1 4

7 -3

-1) 2 -1

Isto é, adj A é a transposta da matriz dos co-fatôres. Observe que os "sinais" na matriz dos co-fatôres formam uma disposição quadriculada

(iii) A . (adj A)

o

(~

Dt1~ -1-;) G D G n 2

3

4

5

-3

o

=

o

(iv) A-l =

lAT

(adj A) =

=

o

2

1

~)

+

2

1

o

-

1

2

(-:o7 -3 -;) 4

-1

=

IAI I 1

u

:f

2 3

-2

~) ·-~-

DETERMINANTES

222 8.12

[CAP. 8

Considere uma matriz arbitrária 2 X 2 A = (i)

Encontre adj A.

!,i)

d.

a J

A

(+ \d\\b\

=

d

(-cd -b) a

(ii) adj(adj A) = adj

:) .

(i i) Mostre que adj(adj A) = A.

-\c\ )' ( -c) +\a\ = -b a

-

(;

d -b) a

1 (

-r.

(+\a\ -\-b\

=

DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 8.13. Resolva para x e y, usando determinantes

+

2x y = i 3x - Sy = 4

(i)

(i) Ll

=

Então, x (i i)

~

=

Então,

I~ -~I =

Ll:z:/Ll

= 3,

3:

l>x/t.

y

ax - 2by = c onde ab -;t. O. 3ax - Sby = 2c '

~ 11 /~ =

=

= ab, Llx

e/a,

= -

I: -~I =

~X =

= -13,

1 =~~ I :< =

(ii)

-39,

~y = I~ ~I

= -13.

1.

1 =~:h 2:

=

~~ = 13:

-bc,

2:

1

= -ac.

y = ~~~~ = -cfb.

. 8.14, Resolva, usando determinantes

13y 3x

+ 2x

+ 2z

3z -

1

+

z 1 8 - Sy

= =

=

x

-

2y

Primeiro, arrume o sistema na forma padrão com as incÓgnitas aparecendo em colunas

+ 3y-

2x

z

+ Sy + 2z

3x

= 1 =

s·

x - 2y - 3z = -1

Calcule o determinante

~

=

1

~

~ ~ -~ 1 -2

da matriz A dos coeficientes 1 =

2(-15

+ 4) _ 3(-9 _ 2) _ 1(--6 _ 5) = l2

-3

Como A r" O, o sistema tem solução única. Para obter ~:r. ~~. e ,:.,, troque os coeficientes das incógnitas na matriz A reta coluna das constantes. Assiin, A, =

I ! ~ -~ I= -1

~~

-2

3

-3

1

5

8

-2

-1

l=

66,

~11

44 e x

=

I~ ! -~ l =

= Ll:z:/A

1

-1

= 3,

-22,

-3

y

=

.=

A 11 1t.

-1, z

= ~./~

= 2.

223

DETERMINANTES

CAP. 8}

DEMONSTRAÇÃO DE TEOREMAS

IA I 1

8.15. Demonstre o teorema 8.1.

=

Suponha que A

Então, A

(a;j). I

A

1

=

1

1

IA I .

=

= (b;j),

l: (sgn a)

onde b;i =

Portanto,

aj;.

bt u(l) b2u(2) • .. bnu(n)

aESn

= l: (sgn

u)

Ua(l), 1 Gu(2), 2 . . . aa(n).

n

a ESn

Seja r

=

u- 1.

=

Pelo problema 8.36, sgn r Ua(l), I Ua(2), 2 · · · Gu(n). n =

Portanto,

IA

1

1

= l: (cgn

T)

sgn a e

UJr(l) U2r(2J

· Unr(n)

aiT(l) a2r(2) . . . Unr(n)

u ESn

Entretanto, como a percorre todos os elementos de Sn, ., = todos os elementos de Sn. Assim,

u- 1

também percorre

8.16. Demonstre o teorema 8.3 (ii) . Seja B obtido de uma matriz quadrada A pela troca entre si de duas linhas (colunas) de A. Então,

IBI =-IA I. Provaremos o teorema para o caso em que duas colunas são trocadas. Seja T a transposição que troca entre si os dois números correspondentes às duas colunas de A, que são trocadas entre si. Se A = (a;j) e B = (b;j), então bij = a 1rU)· Portanto, para qualquer permutação a-,

Assim,

IBI

l: ("gn a)

btu(IJ b2u(2)

aESn

=

l: (sgn a)

Utr"(!J U2n(2J .

. Unt.t(n)

~ESn

Corno a perm1.1tação sgn a ~ ~ sgn r a; logo,

IB I

r

= -

é ímpar, sgn l:

(sgn ru)

Ta =

sgn ... sgn

u = ·-

sgn

u.

Assim,

aiTu(IJ U2ru(2) . • . anTu(n)

trESn

Mas como a percorre todos os elementos de Sn, ra também percorre todos os elementos de Sn; portanto, I B I = - I A I.

8.17. Demonstre o teorema 8.2 (i) Se zeros, então IA I = O. (ii) Se A ticas, então IA I =O. (iii) Se A duto dos elementos diagonais. onde I é a matriz identidade. {i)

A tem lima tinha (coluna) de tem dua!> linhas (colunas) idêné triangltlar, então IA I = proAssim, ·em particular, III = 1,

Cada têrmo em IA I contt'm um fator de cada linha; logo, contém da linha de zeros. Assim, cada têrmo de IA I é zero, logo IA I = O.

DETERMINANTES

224

[CAP. 8

+

1 7- O em K. Se trocarmos entre si as duas linhas idênticas de A, ainda obtemos a matriz A. Portanto, pelo problema anterior, IA I =-IA I; logo, IA I =O. Agora, suponha que 1 1 =O em K, Então, sgn cr =. 1 para cada cr E 5,.. Como A tem duas linhas Rlênticas, podemos arrumar os têrmos de A em pares de têrmos iguais. Cor-i;o~:êada par é O, o determinante de A é zero.

(ii) Suponha que 1

+

(iii) Suponha que A = (a;j) é triangular inferiormente, isto é, os elementos acima da diagonal são todos zero: a;i = O, sempre que i < j. Considere um têrmo t do determinante de A

Suponha que i1 7- 1.

Então, 1

<

i1 logo, ili 1 = O; portanto, t

= O.

Isto

é, cada têrmo para o qual i1 -,é 1 é zero. Agora, suponha i1 = 1, mas i2 7- 2. Então, 2

t = O.

< i2;

logo, a 2; 2 = O; portanto

Assim, cada têrmo para o qua·l i1 7- 1 ou i 2 ;é 2 é zero.

Semelhantemente, obtemos que cada têrmo para o qual i 1 -,é 1 ou i 2 ;é 2 ou ... ou i,. 7- n é zero. De acôrdo com isso, IA I = aua 22 ... a,, = produto dos elementos diagonais.

8.18. Demonstre o teorema 8.3. (i)

Seja B obtido de A por

multiplicação de uma linha (coluna) de A por um escalar k; então, !B I = k !A j.

(ii) troca de duas linhas (colunas) de A entre si; então,

!BI =-lA!. (iii) soma de um múltiplo de uma linha (coluna) de A à outra; então, !Bl = lA 1(i)

Se a j-ésima linha de A é multiplicada por k, então cada têrmo em multiplicado por k; logo, IBI = kiA 1- Isto é,

!B I = ~ (sgn ..-)

a1i 1 a2'i 2 .

k 1: (sgn d) a1; 1 az; 2

=

IA I é

(ka;;i) ... ani,. . . . a,.;,.~

kiA

I

v

(ii)

Foi demonstrado no problema 8.16.

(iii)

Suponha que c vêzes a k-ésima linha é somada àj-ésiina linha de A. Usando o símbolo ~ para denotar a j-ésima posição num têrmo do determinante, temos

IB I

=

1: (sgn cr)

"

ali 1 a2; 2 ...

(cak;k

+ aii;) ... a,.,-,.

= c 2; (sgn u) a1; 1 a2; 2 ... ank ... a,;,

.

.-... + 1: (sgn ..-) a11 1 a2i2 ... a;;i

+

... a,.;n

"

A primeira soma é o determinante de uma matriz, cujas k-ésima e j-ésima linhas são idênticas; portanto, pelo teorema 8.2 (íi), a soma é zero. A segunda soma é o determinante de A. Assim, IB I = ç . O IA I = A.

+

CAP. 8]

DETERMINANTES

225

8.19. Demonstre o lema 8.6. Para qualquer matriz elementar

E, IEA I =

=lEI IA/. Considere as seguintes operações

elementare~

com linhas

(i) multiplicação de uma linha por uma c-:mstante k r! O; (ii) troca de duas linhas entre si; (iii) soma de um múltiplo rle uma linha à outra. Sejam E 1 , E 2 e Ea as matrizes elementares c:>rresp::mdentes. Isto é, E1, E 2 e E 3 são obtidas por aplicação das operações acima, respectivamente, à matriz identidade I. Pelo problema precedente,

IEtl

klll = k, IE2I = - III

=

= -1,

lEal

=

III = 1

Lembre (pãgina 66) que E; A é irlêntica à matriz obtida pela aplicação da operação correspondente a A. Assim, pelo problema precedente, IEtA

I = kiA I = IEtiiA I. IE2A I =-IA I = IE2IIA I.

IEaA

I

=

IA I = liA I = lEal IA I

e o lema estã provado.

8.20. Suponha que B é equivalente por linhas a A; digamos B = E,. E,._ 1 . . . E 2 E 1 A, onde os E; ~ão matrizes elementares. Mostre que (i) (ii) (i)

IB I IB I ~

O se, e somente se,

I

Pelo problema precedente, IEtA

IBI = IEnl IEn-1 · · · E2E1A I

=

(i i) Pelo problema precedente, E; r! somente se, IA I r! o.

o

=

IA I

r!- O.

IEtl IA 1- Portanto, por indução,

IEnl IEn-II para cada i.

IE2I IEtl jA I Portanto, IB 1- r!

o se,

e

8.21. Úemonstre o teorema 8.4. Seja A uma matriz quadrada n X n. Então, as seguintes são equivalentes é não-singular, (iii) A r!- O.

(i) A é inversível,

Pelo problema 6.44, (i) e (ii) são equivalentes. trar que (i) e (iii) são equivalentes.

(ii) A

Portanto, é suficiente mos-

Suponha que A é inversível. Então, A é equivalente por linhas à matriz identidade I. Mas, I I I r! O; portanto, pelo problema precedente, IA I r! O. Por outro lado, suponha que A é não-inversíveL Então, A é equivalente por linhas a uma matriz B, que tem uma linha nula. Pelo teorema 8.2 (i), IB I = O; então, pelo problema precedente, IA I = O. Assim, (i) e (iii) são equivalentes.

8.22. Demonstre o teorema 8.5.

lAEI = /A //BI.

Se A é singular, então AB é também singular; logo, IABI = O = IA jjB. Por outro lado, se A é não-singular, então A = En ... E. 2 E 1 , um produto de matrizes elementares. Assim, pelo problema 8.20, IA I = IEn ... E2Erli = IEnl ... IE2I IEtl jij = IEnl ... IE2I IE1j; logÓ, jABI = IEn .. · E2E1BI = IEni ... IE2jjE1j jBj = jAj jBj

8.23. Demonstre o teorema 8.7.

/A/ =

a;lAii

onde A;i é o co-fator de

Seja A = (a,i); então,

+ a;2A;2 + ....+ a;,.Ain• a;i·

226

DETERMINANTES

[CAP. 8

Cada têrm:> de IA I contém um, e somente um, elemento da i-ésima linha de A, (ait, a;2, ... , a,,.). Portanto, podem:>s esc.rever IA I na forma

IA

1!1

I=

ailAn

=

•

•

a;2A;2

+ ... + a;nA;n

(Note que A • 11 é uma soma Cle têrmos envolvendo nenhum elemento da i-ésima linha de A.) Assim, o teorema ficará demonstrado, se pudermos mostrar que

A;, =A;;= (-1) +

1 1

IM;;\.

onde M;; é a matriz obtida desprezando a linha e a coluna contendo o têrmo a;;.

* foi definida como o co-fator de a;;; logo, o teo(Historicamente, a expressão A 11 rema se reduz a mostrar que as duas definições do co-fator são equivalentes.) Primeiro, consideramos o caso em que i = n, j = n. têrmos em IA I contendo ann é annA:,. = Gnn

~ (sgn

Então, a soma dos

u) ala(!) G2a(2) . -- Un-i, v(n-1)•

onde somamos sôbre tôdas as· permutações u E Sn, para o qual u(n) = n. Entretanto, isto é equivalente (problema 8.63) a somar sôbre tôdas as permutacões de 11, ... , n - 11. Assim,

Agora, con~lderamos quaisquer i e j. Trccamos a i-ésima linha com cada linha subseqüente, até q~ ela fique em último lugar, e trocamos a j-ésima coluna com cada coluna sulilseqüente até que ela fique em último lugar. Note que o determinante IMi; I. não é afetado, pois a posição relativa das outr3:s linhas e colunas não são afetadas por essas mudanças. Entretanto, o "sinal" de IA I e de A~ é mudado n- i_ e depois n- j vêzes. De acôrdo com isso,

A~

= (-l)n-fp-J IM;;

I

= (- l)f+J IM;; I

8.24. Seja A

= (ai;) e seja B a matriz obtida de A, trocando a i-ésima linha de A pelo vetor linha (bw ... , b;n). Mostre que

Aléll}- disso, mostre que, para j r!- i, a;;Ail a1;Aii Sej~ B

(b;;).

+ a;2Ai2 + + a2;A2; +

+ a;,.A;n =O + GnjAni =O

Pelo problema precedente,

IB I

=

b;JBii

+ b;2Bi2 +

Como B;; não depende da i-ésima linha de B, B;; = A;; para j = 1, ... , n. Portanto,

IB I

= b.IA;l

+ b;o.Ai2 + ... + b;,.A;,.

Agora, seja A' obtida de A pela substituição da i-ésima linha de A pela j-ésima linha de A. Como A' tem duas linhas idênticas, \A' I =O. Assim, pelo resultado acima, IA' I = a;1Ai1

Usando

IA

1

\

IA

I.

+ a;2A.:~ + ... + A;nAin

também obtemos que a1;A li a2 1A2;

+

+ ... + a,.;A,.; =

O.

=O

227

DETERMINANTES

CAP. 8]

8.25. Del'I\QtlStte o IA1 ':F O, A~ 1 Seja A

teorema =

8.8. A . (adj A) . A =

IA I I.

Assim, se

(1/IAI)(adjA).

= (Gi;) e seja A . (adj A) = (b;;). A i-ésima linha de A é (1)

Como adj A é a transposta da matriz dos co-fatôres, a é a transposta dos co-fatôres daj-ésima l;nha de A;

j~ésima

coluna de adj A (2)

Agora, b;;, o ij-ésimo elemento de A . (adj A), é obtido pela multiplicação de (1) por (2}

b;; = ai!A;t

+ Gi2A;2 + ... + a;nA;n

Assim, pelo teorema 8. 7 e pelo problema precedente, b;;

= {

IA

o

I

se i= i i~j

Se

De acôrdo com isso, A . (adj A) é a matriz diagonal com cada elemento diagonal IA j. Em outras palavras, A. (adj A) = IA I I. Semelhantemente, (adj A) . A = IA I I.

8.26. Demonstre o teorema 8.9. O sistema de equações lineares Ax = b tem solução única, se, e somente se, .1 = lA l ;é O. Nesse caso, a solução única é dada por x 1 = .1J.1, x 2 = .1.jA, .· .. , Xn = An/.1. Por resultados anteriores, Ax = b tem solução única se, e somente se, A é inversível e A é inversível se; e somente se, ó = IA I -;;-!O. Agora, suponha ó -;;-!O. Pelo problema 8.25, A- 1 (1/ó)(adj A). Multiplicando Ax = b por A-1, obtemos

=:

x

= A-1 Ax = (1/ó)(adj A) b

(1)

Note qué a i-ésima linha de (1/ó)(adj A) é (1/ó)(Ali, A 2;, ... , An;). = (b~o b2, ... , bn)1, então, por (1),

Se b =

Entretanto, como no problema 8.24, b1A1;

+ b2A2; + ... + bnAn; = ó;

o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor coluna b. Assim x; = (1/ó)ó;, como requerido.

8.27. Suponha que P é inversível. p-lp,. I.

Portanto, 1

Mostre que

·!P"" 1 l

=

!Pl- 1•

= ]I! = jp-1PI = jp-1 IIP 1. logo IP- 11 =

IPI- 1.

8.28. Demonstre o teorema 8.11. Suponha que A e B são matrizes semelhantes. Então, lA I = IB 1. B

=

Como A e B são semelhantes, existe uma matriz inversível P tal que p-IAP. Então, pelo problema precedente, IBI = IP- 1API

= IP- 1 IIAIIPI

=

IAIIp- 1 IIPI =IA!.

DETERMINANTES

228

[CAP. 8

Observamos que, embora as matrizes P- 1 e A possam não comutar, seus determinantes 1p- 1 1 e I A I comutam, pois são escalares num corpo K.

8.29. Demonstre o teorema 8.13. Existe uma única função D : ~ - 4 K tal que (i) D é multilinear, (ii) D é alternada, (iii) D(I) = 1. Esta função D é a função determinante, isto é, D(A) = IA j. Seja D a função determinante; D(A) = IA 1. Devemos mostrar que D satisfaz (i), (ii) e (iii), e que D é a única função que satisfaz (i), (ii) e (iii). Pelos resultados precedentes, D satisfaz (ii) e (iii); portanto, preciEamos mostrar que ela é multilinear. Suponha que A = (a;;) = (A 1, A 2 • . . . , An), onde A k é a k-ésima linha de A. Além disso, suponha, para um i fixo, A;

=

B;

+ C;,

on~e

B; = (bt, ... , Vn) e C;

=

(ct, ... , Cn)

De acôrdo com isso,

Desenvolvendo D(A) D(A)

=

IA

I

em relação à i-ésima linha,

+C;, ... , An) = a;1A;1 + a;2Ai2 + + c1)Ail + (b2 + c2)A;2 + ... + (b,. + c,.)A;,. (btAil + b2Ai2 + ... + bnA;,.) + (c1Ail + c2Ai2 + ... + CnAin)

= D(A1, .. . , B; =

=

(bt

Entretanto, pelo problema 8.24, as duas. somas. acima são os determinantes das matrizes obtidas de A, por substituição da i-ésima linha por B; e C;, respectivamente. Isto ~. D(A) = D(A1,

. , B; +C;, . .. ,A,.)

= D(A1, ... ,

B;, .. . , A,.)+ D(AJ, ... , C;, ... , A .. )

Além disso, pelo teorema 8.3 (i), D(A 1,

... ,

kA;, ... , A,.) = kD(A

1.

. .,

A;, ... , A,.)

Assim, D é multilinear, isto é, D satisfaz (iii). Devemos provar, a seguir, a unicidade de D. Suponha que D satisfaz (i), (i i) e (iii). Se {q, . , e,.} é a base usual de K", então por (iii), D(e1, e 2 , ••• , e,.)= = D(I) = I. Usando (ii), também temos (problema 8.73) que (1)

Agora, suponha que· A = (a;;). Observe que a k-ésima linha A 1 de A é

Usando a multilinearidade de D, podemos escrever D(A) como uma soma de têrmos da forma D(A) = ~ IXali{il' a2; 2e; 2, ... , 9,n',.Cí,() = ~ (a1í1a2;2 ... a..;,. D(e;1, e; 2 , . . . , e;,.),

(2)

onde a soma é feita sôbre tôdas as seqüências ÍJ, i2, ... i,., sendo Ík E {1, ... , n}. Se dois dos índices são iguais, digamüs i; = Ík mas j ;t! k, então, por (ii),

229

DETERMINANTES

CAP. 8].

De acôrdo com isso, a somá em (2) precisa somente ser somada sôbre tôdas as permutações u = i1, i2, ... , in. Usando (1), fim~'
Portanto, D é a função determinante; logo, o teórema está provado.

PERMUTAÇÕES 8.30. Determine a paridade de u

542163.

Método I. Precisamos obter o número de pares (i, j), para os quais i em u. Existem

>j

e i precede j

3 números (5, 4 e 2)maioresdo que e precedendo 1,

2 números (5 e 4)maiores do que e precedendo 2, 3 números (5, 4 e 6)maiores do que e precedendo 3,

número (5) maior do que e precedendo 4,

o o

(zero) número maior do que e precedendo ·5, (zero) número maior do. que e precedendo 6.

Como 3 + 2 + 3 logo, sgn u = -1.

+ 1 + O+O=

9 é ímpàr, u é permutação lmpar;

Método 2. Transponha 1 para a primeira posição, como segue,

~

~163

para

1

54 26 3

Transponha 2 para a segunda posição

1 5 4 2 6 3 para

12 5 4 6 3

Transponha 3 para a terceira posição

1 2 5 4 6 3 para

12 3 54 6

Transponha 4 para a quarta posição

1 2 3.5 4 6

para

1 2 3 4 56

Note que 5 e 6 estão nas posições "corretas". Conte o número de mínafros "saltpdos": 3 + 2 + 3 + 1 = 9. Como 9 é ímpar, u é uma permutação lmpar. (Observatão. tste método é, essencialmente, o mesmo que o .método antel'ior.)

DETERMINANTES

230

[CAP. 8

Método 3. Uma troca entre dois 1nembros de uma permutação é equivalente a multiplicar a permutação por umá transposição. Portanto, transforma tT para a permutação identidade, usando transposições tais como

Como foi usado um número ímpar, 5, de transposições, ímpar.

tT

é uma permutação

8.31. Sejam u = 24513 e r = 41352, permutações em Sn. Encontre (i) as permutações compostas r ou e u ·o r, (i i) u- 1 • Lembre que

tT

= 24513 e .,. = 41352 são modos abreviados de escrever

(1 2 3 4 5)

e .,. =

24513

(1 2 3 4 5) 41352

o ·que significa u(l)

~

2, tT{2) = 4, tT(3)

= 5,

tT(4)

=1

e tT(5)

= 3

.,.(1)

=

4, .,.(2)

=

= 3,

.,.(4)

=5

e r(5)

=2

3

4

2

3

l

e

2

(i)

2 'T

Assim, .,. o

l

l

~

5

5

2

l tT

tT

1

l l

4

15243 e

T

e tT

4

5

l

l

4

3

5

~ 2

l

l

l

5

3

4

!

3

2

o.,. = .12534.

24513) ( 1 2 3 4 5

(ii) Isto é, .,.-t

8.32.

5 3

l =

1, .,.(3)

=

41523.

Conside~e qualquer permutação u = cada par (i, k) tal que

i

>

jti2

•••

jn.

Mostre que, para

k e i precede k em u,

existe um par (1:*, k*) tal que i*

<

k*

e

u(z'*)

> u{k"')

(1)

CAP. 8]

DETERMINANTES

231

e vice-versa. Assim, u é par ou ímpar, segundo haja um número pat ou ímpar de pares satisfazendo (1). Escolha i* e k* tais que u(i*) = i e u(k*) = k. Então, i > k se, se, d(z"*) > u(k*), e i precede k em u se, e somente se, i* < k*.

8.33. Considere o

polinômio g

g(xl, ... ' Xn)

=

e somente

n (x,- xj).

Escreva

t<J

expllcitamente o polinômio g

g(x1, x 2, x 3 , X4j.

=

O símbolo TI é usado para um produto de têrmos da mesma maneira que o símbolo 2: é usado para uma soma de têrmos. Isto é, (x;- Xj) significa o pro-

J1

t<J

duto de todos qs têrmos (x;-

Xj)

para os quais i

< j.

Portanto,

8.34. Seja u uma permutação arbitrária. Para o polinômio g do problema precedente, define u(g) = (x
n

i<J~

f g se rr

u(g)

De acôrdo com isso,
l-g

é par

se u é ímpar.

(sgn
=

Como u é injetora e sobrejetora,

TI

u(g) = i

<j

(Xu(i) - Xu(j))

= t

<j

f1 ou t

>j

(x;- Xj).

Assim, u(g) = g ou u(g) = -g, segundo haja um número par ou ímpar de têrmos da forma (x;- Xj), onde i > j_ Note que, para cada par (i, j), para o qual i <j e u(i)

>

(1)

u(j),

existe um têrmo (xu(i) - Xu(i)) em cr(g) para o qual u(i) > a(j). Como u é par, se, e somente se, existe um número par de pares satisfazendo (1), temos a(g) = g se, e somente se, u é par; portanto, a(g) = -g se, c somente se, v é ímpar.

8.35. Sejam u, T E S,.. Mostre que sgn (r ou) = (sgn T) (sgn u ). Assim, o produto de duas permutações pares ou ímpares é par e o produto de uma permutação fmpar por uma par é ímpar. Usando o problema precedente, temos (sgn(r g.,y)g

~ (To a)(g) = T(v(g)) ·=

D~ acôrdo com isso, sgn(T o v)

8.36. Considere a permutação u e, para escalares a1i,

=

-r((sgn cr)g) = (sgn r)(sgn rr)g.

(sgn r )(sg'l cr).

= jd 2

•••

in·

Mostre que sgn u- 1

7emos .,.-to u =. '• a permutaçào identidade. ·Como • é par, bos pares ou ambos ímpares. Portanto, sgn u- 1 = sgn u.

.,.-t

e

=

v

sgn u

são am-

232

DETERMINANTES

[CAP. 8

Como u = j1h ... jn é uma permutação, aj 1 1 ai 2 ~ Então, kt, k 2 , •• • , kn ·te':l a propriedade que u(kr) = 1, lT(k2)

Seja

T

= k1k2 ... kn. Então, para i (u o .)(i)

As~;im, u-o

T

=

... ain" =alk 1 a2k ... ankn • 2

= 2, .. , u(kn) = n. = 1, . . , n,

tr(T (i)) = u(k;)

= i.

= '• a permutação Identidade; portanto,

=

T

u- 1 •

PROBLEMAS DIVERSOS 8.37. Encontre det (T) para cada operador linear T: (i)

T é operador no R 3 , definido por

T(x, y, z) = (2x- z, x (ii)

T é o operador no espaço vetorial V das matrizes quadradas 2 X 2 sôbre K, definido por

=

T(A) (i}

+ 2y- 4z, 3x- 3y + z)

jVJA, onde j\J

( ac

=

Encontre a representação matricial de T em relação, digamos, à base ~sua!

[11

~ (; j ~)

j

=~!-=.2.(2-12)-1(-3-6)=-11.

Então, det(T)=I1

(ii) Encontre a representação matricial de T em alguma base de V, digamos

lrE1 Então,

(~

=

=

T(E 3 )

=

T(E 4) =

A";m, [11s

~

·a det (T) =

o b

o

(! c

a

o

b

d

o

o a

o b

o c

o d

c

o d

o

~)

,Ea

(;

e ;) (~ ~) G;) G~; c !) (~ ~)

o

o

0

e~) G~)

T(EI) =

TCE2)

o) ,Ez =G 1)

0

~)

=

(~ ~),E4

(~

=

o) l 1J

_= aE1

+ OE2 + cE3 + OE4

:) =

Olh

+ aE2 ,+ OE3 + ,E,•

G (~-

o

O)

=

bEt

+ OE2 + dE3 + OE4 '

(~

~)

=

OEt

+ bE2 + OE a + dE4

e

d,

o

=a~~ o ~I+ I~ d

c

a

o b

~Id = . a d

2 2

+

2 2

b c

-

2abcd

DETERMINANTES'

(~1

=

8.38. Encontre a inversa de A

233

~1 ~~)

A inversa de A é da forma (problema 8.53)

A-1 Faça AA- 1

AA- 1

=

GJ D·

=

= I a matriz identidade

!) (~ ; ;) ==· (~o xio 1 y;~il) =(·~

(~.!

001001

~ ~)=I.

001

1

Faça os elementos correspondentes iguais entre si, para obter o sistema

+1=

X

0, y

+ +1= Z

0,

Z

+1=

0.

A solução do sistema é x= -1, y =O, z = -1. Portanto, A- 1 = (

-l -!)·

~

A- 1 poderia também ser encontrada pela fórmula A- 1 = (adj A)/ IA

1.

8.39. Seja D uma função 2-linear alternada. Mostre que D(A, B) = -D(B, A). Mais geralmente, mostre que, se D é multilinear e alternada, então D( ... ,A, ... ,B, .. . )

=

-D(.. .. ,B, ... ,A, ... ),

isto é, o sinal é trocado, sempre que duas componentes forem tro· cadas. Como D é alternada, D(A +B, A +B) = O. Além disso, como D é multilinear, O= D(A

+ B,

A

+ B)

= D(A, A + ~) + D(B, A + B) D(A, A)+ D(A, B) + D(B, A)+ D(B, B) ..

=

Mas D(A, A) =O e D(B, B) =O. Portanto, · O = D(A, B)

+ D(B, A)

ou D(A, B) = -D(B, A).

Semelhantemente, O = D( .. , A

+ B,

+ B,

. , A

= D( ... , .1, ... , A, ... )

+ D( .. . , B, =

e,

a~sim,

=

+ D( .. . , B, ) + D( , B,

... , A, ... )

D( .. , A, ... , B,

D( .. . , A,

)

+ D( .. . , A,

., B, ... )

=

... , B, ... )

+

... , B, ... ) = ... , A,

)

-D( .. . , B, ... , A, ... ).

8.40. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 M = (

~

~

)

sôbre R. Determine se D : V --t R é 2-linear (em relação às linhas} se (i) D(M) = a+ d, (ii) D(M) = ad. (i)

Não. Por exemplo, suponha que A D(A, B)

~D

C~)

=

=

(1, 1) e B

4 e D(2A, B) = D

=

G~)

(3, 3). Então, =

5

DETERMINANTES

234

[CAP. 8

e D(2A, B) ;tt. 2D(A, B). (ii) Sim. Sejam A

D(A, C)

= (a,, a2),

~ D (a' Cl

~

B

az) = Cz

a1c2

(h b2) e C ~ (c1, c!); então,

eD(B,

C)

D (bl bz) = b1c 2.

os

Cz

Cl

Portanto, para quaisquer escalares s, tE R,

D(sA

+_ tB,

C)

=

D (

+ tb1

Sal

• = s(a1c2)

+ tb2)

sa2

= (sa1

cz

q

+ t(b,c2)

= sD(A, C)

+ tb1)c2 =

+ tD(B,

C).

Isto é,, D é: linear em relação à primeira linha. Além disso,

D(C, A) = D

C2)

C! ( UI

= c1a2 e D(C, B) = D

a2

Portanto, para quaisquer escalares s, tE R,

D(C, sA

+ tB) = D =

/

(

Ct

sa1

C2

+ lb1

s(qaz) +t(qbz)

sa2

=

'

+ tbz ) = c1(saz + lb 2) sD(C, A) + tD(C, B).

=

Isto é, D é linear em relação à segunda linha. As duas condições de linearidade implicam em que D é 2-linear.

Problemas Propostos CÁLCULO DE DETERMINANTES

2 (4

5) . (6 1)

8.41.

Calcule o determinante de cada matriz (i)

8.42.

Calcule o determinante de cada

8.43.

Para cada matriz do problema precedente. encontre os valõres de t para os quais o determinante é zero.

8.44-

Calcule o determinante de cada matriz (i)

mat~iz

(i)

(~ -i), 5

-3

(i i)

('

8.45.

C! -D· -3

Calcule o determinante de cada matriz (i)

c-2 ~

4 t+ 1

o

3 )

-2 t- 4

• (ii)

( t-1 -3 -6

~4 2 1 ~31 )

(~

-2

5 6

. '3

-2

, (ii) ('

.

~1 5 1 :

3

).

~)·

l -22 D· 6

-1

(i i i)

, (n)

1

(i v) (

3 -3)

t+5 -3 t -4 6

• (iii)

c+3 . 7

6

-1 t- 5 11 ) . -6 t

+2

. 235

DETERMINANTES

CAP. 8] 8.46.

Para cada matriz do problema precedente, determine os valôres de t para os quais o determinante é zero.

8.47.

Calcule o determinante de cada matriz

(;) O=r -! -D · (; ) O-! J-D CO-FATÕRES, ADJUNTA CLÁSSICA, INVERSAS

1 8.48.

. Para a matnz

~)

2 -2

3 -1 4 0 ( 1 7

5 2 2 -3

, encontre o co-fator de

(i) o elemento 4, (ii) o elemento 5, (iii) o elemento 7.

1U9.

Seja A

=

(l !) .

Encontre (i) adj A, (ii) A-1.

2

G D· 2

Encontre (i) adj A, (ii) A -1.

8.50.

Seja A=

8.51.

Encontre a adjunta clássica de. cada matriz do problema 8.47.

8.52.

Determine a matriz genérica 2 X 2 A, . para ·a qual A = adj A.

8.53.

Suponha que A é diagonal e B é. triangular; digamos,

(i)

Mostre que adj A é diagonal e adj B é triangular.

(ii) Mostre que B é inversível se, e sàmente se, todos os b; inversível se, e· sàmente se, todos os a; ~O.

~

O; portanto, A é

(iií) Mostre que as inversas de A e B (se existirem) são da forma

A-1

(

~;' ~i: O

. .~) ,

1

n-1

= (.

a;1

O

~~ - _:~.: -~~) .. _: _: _:.

O

O

...

b;1

Isto é, os elementos diagonais de A- 1 e B-1 são os inversos dos correspondentes elementos diagonais de A e B.

DETERMINANTES DE UM OPERADOR LINEAR 8.54.

Seja To operador linear no R 3, definido por T(x, y, z) Encontre det(T).

=

(Sx- 2y, 5y

+ 7z,

x

+ y + zj

236 8.55.

DETERMINANTES

[CAP. 8

Se-ja- ·D : V -> V o operador diferencial, isto é, D(v) se V é o espaço gerado por

= dvfdt. Encontre det(D)

(i) {Í, t, ... , t"J. (ii) {e', e 21, e 31 }, (iii) {sen t, cos t}. 8.56.

Demonstre o teorema 8.12. Sejam T e S operadores lineares em V. Então, (i) det(S o T) = det(S), det(T); (ii) T é inverslvel se, e somente se, det(T) ;é O.

8.57.

Mostre que (i) det(1v) = 1, onde 1v é o operador identidade; (ii) det(T- 1)= = det(Tt 1 se T é inverslvel. .

DETERMINANTES E EQUAÇÕES LINEARES 9.58.

Resolva por determinantes

8.59.

Resolva por determinantes

8.60.

(i)

(i)

+

5y = 8 { 3x 4x - 2y = 1

l

(ii)

+

Jl 2x - 3y = -1 4x + 1y = -1

2x - 5y 2z = 7 x 2y- 4z = 3 (ii) 3x - 4y - 6z = 5

+

~

·l

+ 3 = y + 3x x- 3z = 2y + 1 3y + z = 2 - 2x

2x

Demonstre o teorema 8.10. O sistema homogêneo Ax =O tem solução não-nula se, e somente se, A = IA I = O.

PERMUTAÇÕES 8.61.

Determine a paridade destas permutações em Sr,: (i) v :.. 32154, (ii) .. = 13524, (iii) 1r = 42531.

8.62.

Para as permutações rr, r e .,. no problema 8.61, encontre (i) .. o rr, (ii) (iii) ..-t, (iv) ..- 1 •

8.63.

Seja .r E S,.. Mostre Sn = {..o v: v E Sn}.

8.64.

Seja cr E S com a propriedade v(n) = n. Seja cr* E S,.-1 definida por cr*(x) = rr(x). (i) Mostre que sgn v* = sgn rr. (ii) Mostre que·, como. v percorre S,., onde u(n) = n, .,.• percorre S,.-1; ·isto é, Sn-1 = I .,.• : .,. E S,., u(n) = n }. ·

que r o cr percorre S,.

como v percorre S,.;

1r

o rr,

isto é,

MULTILINEARIDADE 8.65.

Seja V= (Km)m, isto é, V é o espaço das matrizes quadradas m X m encaradas como m-uplas de vetores linha. Seja D : V -+ K. (i)

Mostre que a seguinte assertiva mais fraca é equivalente a D sendo alternada D(A1, A2, ... , A,.)= O sempre que A, = Ai+ 1. para algum i.

(i i) Suponha que D é m·linear e alternada. Mostre que, se A l• A 2, ... , Am são linearmente independentes, então D(A 1• . . . , Am) = O.

·(a·

8.66. · Seja V o espaço da~ matrizes 2 X 2M= b) sôbre R. Determine se . c d D : V -+ R é 2-linear (em relaÇão às linhas} se· (i) D(M) = ac - bd, (i i) D(M) = = ab- cd, (iii) D(H) =O, (iv) D(M) = 1. .

DETERMINANTES

CAP. 8] 8.67.

237

Seja V o espaçc da~ matrizes quadradas n X n sôbre K. Suponha qt:e B E V é inversível; logo, det(B) -;>! O. Defina D : V--> K por D(A) = det(AB)/det(B), onde A E V. Portanto, D(A 1. A 2• . . . , An) "" det(A 1B, A 2B, ... , AnB)/det(B), onde A; é a i-ésima linha de A; logo, A;B é a i-ésima linha de AB. Mostre que ]) é multilinear e alternada e que D(l) = I. (Assim, pelo teorema 8.13, D(A) = = det(A); logo, det(AB) = det(A) det(B). f:sse método é usado em alguns textos para demonstrar o teorema 8.5, isto é, I A B I = IA li B i.)

PROBLEMAS DIVERSOS 8.68.

8.69.

1.

Seja A uma matriz quadrada n X n. Prove que I kA I = kn I A

Prove

;q

~2 I

xn-1

X2

·'~

x2

.l·t,

x2 n

I n·-1

<-W

n

i<

(x;-

Xj)

j

xn-1

n

O acima é chamado determinante de Vandermonde, de ordem n. 8.70.

Considere a matriz de blocos Af = (

~

Z) ,

onde A e C são matrizc>s qua-

dradas. Prove que IMI ~ IA IICI. Mais geralmente, prove que, se M.! uma matriz triangular de blocos com matrizes quadradas A 1. . , Am na diagonal, então IMI =lAti IA2I ... IAm I·

8.71.

Sejam A, B, C e D matrizes quadradas n X n que comutam. Considere a matriz quadrada de blocos 2 X 2 M =(A

8

c /) ).

Prove que IMI = IA IIDI- IBIICI.

±I.

8.72.

Suponha que A é ortogonal, ist.; é, A 1A =I.

8.73.

Considere a permutação cr = jti 2 . . . j,.. Seja !ed a base usual de K" e seja A a matriz cuja i-ésima linha é Ci;• isto é, A =(ejl' Cj 2, ... , ein). Mostre que IA I =sgn cr.

8.74.

Seja A uma matriz quadrada n X n. O pôsto segundo determinantes de A é a ordem da maior submatriz de A (obtida pela eliminação de linhas e colunas de A) cujo determinante não é zero. Mostre que o pôsto segundo determinantes de A é igual ao seu pôsto, isto é, o número máximo de linhas (colunas) linearmente independentes.

Mostre que IA I =

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

8.41.

(i) -18, 2

(ii) -15.

31 - 10, (ii) t 2 - 21- 8.

8.42.

(t) 1

8.43.

(i) t = 5, t = 2; (ii) t = 4, t = -2.

8.44.

(i) 21, (i i) -11, (iii) 100, (i v) O.

8.45.

(i) (t+2)(t- 3)(t- 4), (ii) (t+2) 2 (t--4), (iii) (t+2) 2 (t- 4).

8.46.

(i) 3, 4, -2; (ii) 4, -2; (iii) 4, -2.

8.47.

(i) --131, (ii) -55.

-

238

DETERMINANTES

8.48.

(i) -135, (ii) -103, (iii) -31.

8.49.

adj A

8.50.

adj A =

8.51.

(i)

=

C'

-~~

-13

(-1 -1 2

-1 1 -2

(-}

-1

-n

o

A- 1

-2)

6

~

(adj A)/IA

.

-2)

-29 -26 -38 -16 29 51 -B -1 1 28 -18

(--!!

(ii)

-29 17

-14 11 1

7

-17 33 13 -19

-19) 11 21

-18

(~ ~)

A=

8.54.

det(T) = 4.

8.55.

(i) (0), (ii) 6, (iii) 1.

8.58.

(i)

8.59.

(i) x = 5, y = 1, determinantes .

.8.61.

sgn

8.62.

{i) To a

8.66.

{i) Sim, (ii) Não, (iii) Sim, (iv) Não.

a

(J -t -;)

-5

8.52.

X

I

[CAP. 8

= 21/26,

y. = 29/26; (ii)

= 1, sgn r

= 53142,

r;

X

=

-5/13, y = 1/13.

= 1. (ii) Como A = O, o sistema não pode ser resolvido por

= -t,

!lgn r = -1.

(ii) ,.. o

tr

= 52413,

(iii) u- 1 = 32154, (iv) r- 1

= 14253.

Capítulo 9 Auto v a Iores e Autovetores INTRODUÇÃO Neste capítulo, investigaremos a teoria de um (mico operador linear Em particular, encontraremos condições sob as quais T é _diagonalizável. Como vimos no capítulo 7, esta questão está relacionada de perto à teoria de transforma~ões por semelhanças para matrizes.

T num espaço vetorial V de dimensão finita.

Também associaremos certos polinômios a um operador T: seu polinômio característico- e seu polinômio mínimo. f:sses polinômios e suas raízes desempenham papel proeminente na investigação de T. Observamos que o corpo particular K também desempenha uma parte importante na teoria, pois a existência de raízes de um'polinômio depende de K.

-POLINÔMIOS DE MATRIZES E OPERADORES LINEARES Considere um polinômio f(t) sôbre um corpo K: f(t) = antn + Se A é uma matriz quadrada sôbre K, então definimos 0•

+at +a

+

1

onde I é a matriz identidade. Em particular, dizemos que A é uma raiz ou zero do polinômio f(t) se j(A) = O. Exemplo 9.1. Seja A =

(

!) e seja j(t) =

~

- 3 ( 1 3

2\ 4)

+

2t 2 - 3t

7 (1

o

+ 7, g(t)

o)1

= t 2 - 5t- 2. Então,

18 ( 21

14) 39

e g(A) =

(31 42)

2

- 5

_ 2 (t ( 31 2) 4 o

o)1

Assim, A é um zero de g(l).

Surge o seguinte teorema. Teorema 9.1. Sejam f e g polinômios sôbre K e seja A uma matFiz quadrada n X n sôbre K. Então,

(i)

(f+ g)(A)

=

j(A)

+ g(A)

(ii) (fg)(A) = f(A) g(A) e para qualquer escalar k E K,

239

AUTOVALORES· E AUTOVETORES

240"

[CAP. 9

(iii) (kf)(A)

kf(A) Além disso, como flt)g(t) para quaisquer polinômios ftt) e g(t), f(A)g(A) = f(A)J(A) Isto é, quaisquer dois polinômios na matriz A comutam.

Agora, suponha que T : V~ V é um operador linear num espaço vetorial V sôbre K. Se fV) = antn a1 a0 , então definimos f(T) do mesmo modo que fizemos para matrizes

+ ... + t +

f(T) = anP

+ ... + a T + aoi, 1

onde I é, agora, a transformação identidade. Também dizemos que T é um zero ou raiz de f(t) se f(T) = O. Observamos que as relações, no teorema 9.1, valem para operadores da mesma forma que valem para matrizes; portanto, quaisquer dois polinélmios em T comutam. Além disso, se A é uma representação matric1al de T, então f(A) é a representação matricial de f(T). Em particular, f(T) = O se, e somente se, f(A) = O. AUTOVALORES E AUTOVETORES Seja T : V~ V um operador linear num espaço vetorial V sôbre um corpo K. Um escalar À E K é chamado automlor de T, se existe um vetor não-nulo v E V, para o qual T(v)

=

Àv

Todo vetor que satisfaça esta relação é chamado um autovetor de T pertencente ao autovalor À. Note que cada múltiplo escalar kv é um autovetor tal que T(kv) = kT(v) = k(>.v) = À(kv) O éonjunto de todos ~sses vetores é um subespaço de V (problema 9.6), chamado auto-espaço de À. Os têrmos valor caractedstico e ·vetor característico (ou valor próprio e vetor próprio) são freqüentemente usados ao invés de autovalor e autovetor. ·'"Exemplo 9.2. Seja I: V--> V a tranEÍorma&ão identidade. Então, para cada = v = lv. Portanto, 1 é um autovalor de I e todo vetor em V é um autovetor pertencente a 1.

v E V, I(u)

Exemplo 9.3. Seja T: R 2 -> R 2 o operador linear que gira cada vetor v E R 2 de um ângulo O = 90•. Note que nenhum vetor não-nulo é um múltiplo de si mesmo. Portanto, T não tem autovalores; logo, ~ão tem autovetores. Exemplo 9.4. Seja D o operador diferencial n.o espaço vetorial V de funções diferenciáveis . . Temos D(e 5 ~ = 5e 51• Portanto, 5 é um autovalor de D com autovetor e 61•

T(v)

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

241

Se A é uma matriz quadrada n X n sôbre K, então um autovalor de A significa um autovalor de A encarado como um operador em Kn. Isto é, .X E K é um autovalor de A. se, para algum vetor (coluna) nãonulov E Kn, Av= "}..v. · Nesse caso, v é um autovetor de A pertencente a >.. Exemplo 9.5. Encontre autovalores e autovetores associados não-nulos' da matriz

A=G;). Procuramos um escalar t e um vetor não-nulo X

(~ ~)

= (;) tais que AX = tX

G) G) =

t

A equação matricial acima é equivalente ao sistema homogêneo

x { 3x

+ 2y = + 2y =

f

tx ty

ou

(t- 1)x- 2y = O

l -3x + Ú- 2)y = O

(l)

, Lembre que o sistema homogêneo tem solução não-nula se, e sàmente se, o determinante da matriz dos coeficientes é zero

I

t- 1

-3

-21

t- 2

=

t2

-

3t- 4 = (t- 4)(t

.

+ 1) = o

Assim, t é um autovalor de A se, e somente se, t = 4 ou t = -1. Fazendo t = 4 e (1), 3x - 2y =O { -3x 2y =O

+

Assim, v = ( ; )

(

~)

ou, simplesmente, 3x- 2y = O

é um autovetor não-nulo pertencente ao autovalor t

qualquer outro autovetor pertencente a t Fazendo t = -1 em (1);

-2x- 2y { -3x- 3y Assim, w

= ( ;} =

(_:)é

=O =O

um

=

4 é um múltiplo de v.

ou, simplesmente, x

a~tovetor

= 4 e

+y

= O

não-nulo pertencente ao autovalor t = -1

e qualquer outro autovetor pertencente a t = -1 é um múltiplo de w.

O próximo teorema dá uma caracterização importante de autovalores, que é freqüentemente usada como sua definição.

Teorema 9.2. Seja T : V~ V um operador linear num espaço vetorial sôbre K. Então, X E K é um autovalor de T se, e sõmente se, o operador XI- T é singular. O auto-espaço de X é, então, o núcleo de XI- T. Demonstração. >. é um autovalor de T se, e sõmente se, existe um vetor não-nulo v tal que

242

AUTOVALORES E AUTOVETORES

T(v) = Àv

ou

(>..I)(v)- T(v)

[CAP. 9

= O ou (H- T)(v) = O,

isto é, 'XI- T é singular. Também temos que v está no auto-espaço de À se, e somente se, as relações acima têm valor; portanto, v está no núcleo de H- T. Enunciaremos, agora, um teorema muito útil, que provaremos por indução (problema 9.14).

Teorema 9.3. Autovetores não-nulos pertencentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Exemplo 9.6. Considere as funções e" 11 , e" 21 , ... , e""1 onde a1, ... , a,. são números reais distintos. Se D é o operador diferencial,. então D(e0 k 1) = ake 0 k 1• De acôrdo com isso, e•11, ••• , e"n1 são autovetores de D pertencentes a autovalores distintos a1, ... , a,; logo, pelo teorema 9.3, são linearmente independentes.

Observamos que autovetores independentes podem pertencer ao mesmo autovalor (veja problema 9. 7).

DIAGONALIZAÇÃO E AUTOVETORES Seja T ~ V - t V um operador linear num espaço vetorial V com dimensão finit.a n. Note que T pode ser representado por uma matriz fu~~

o

(f'. :· . . . ··D se, e sômente se, existe uma base {v1 ,

... ,

v,. I de V para a qual

T(v1) = k1v1 T(v 2) = k2v2

isto é, tal que os vetores vh ... , r•,. são autovetores de T pertencentes, respectivamente, a autovalores kh ... , k,.. Em outras palavras,

Teorema 9.4. Um operador linear T: V---+ V pode ser representado por uma matriz diagonal B se, e sàmente se, V tem uma base consistindo em· autovetores de T. Neste caso, os elementos diagonais de B são os autovalores correspondentes. Temos o seguinte enunciado equivalente:

Forma Alternada do Teorema 9.4. Uma matriz quadrada n X n A é semelhante a uma matriz diagonal B se, e sômente se, A tem n autovetores linearmente independentes. Nesse caso, os elementos diagonais de B sao os autovalores correspondentes.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

CAP. 9]

243

No teorema dado, se P é a matriz cujas colunas são os n autovetores independentes de A, então B = p-'AP. Exemplo 9.7. Considere a matriz A = autovetores independentes p-1 = (

1/5 -2/51/5) .

(!)

e

(_~) .

(~ ~) Faça P

.

Pelo exemplo 9.5, A tem dois

= (

~ -~)

; logo,

3/5

Então, A é semelhante à matriz diagonal

,

B = p- AP =

(1/5 3/5 -2/51/5)(13 22)(23 -11) = (4O-1o')

Como esperado, os elementos diagonais 4 e -1 da matriz diagonal B são os autovalores correspondentes aos autovetores dados.

POLINÔMIO CARACTERÍSTICO. TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Considere uma matriz quadrada n X n A sôbre um corpo K

A matriz ti,..- A, onde I,. ê a matriz identidade quadrada n X n e t ê um · índeterminante, é chamada matriz característüa de A t]n-

A

=;'

Seu determinante que é um polinômio em t, é chamado polinômio característico de A. Também cha: ••amos dA (t) = det(tl,.- A) = O a equação caraderística de A. Agora, cada t~i-mo no determinante contém um, e somente um, elemento de cada linha e. de cada coluna; portahto, o polinômio característico acima é da forma · ..1A (t)

+

=

(t - au)(t- a22) ... (t- ann)

têrmos com, no máximo, n- 2 fatôres da forma. '(

De acôrdo com isso, dA (t)

=

t"- (ai 1' '+ a 22

+ ... + a,.,.)t"- + têrmos 1

de grau

menor;

Lembre que o traço de A é a so~a .de seus elementos diagonais. Assim, o polinômio característico ..1A(t) = det(tln- A) de A é um polinômio

[CAP. 9

AUTOVALORES E AUTOVETORES

244

môcho de grau n e o coeficiente de tn-I é o negativo do traço de A. polinômio é môcho se seu coeficiente inicial é 1.)

(Um

= O em L'\A(t), obtemos l\A(O) = 1- A I = (- l?IA I

Além disso, se fazemos t

Mas L'\A(O) é o têrmo constante do polinômio l\A(t). Assim, o têrmo constante do polinômio característico da matriz A é (- 1)niA I, onde n é a ordem de A. Exemplo 9.8. O polinômio característico da matr'IZ A =

(-}

~ -~)

-2

o Ll(t) =

Iti- A I

=

It ~

3

1

t

--4

~2 ~ I o

2

3

= 1 - t

é

+ 21 + 28

t+2

Como esperado, l\(t) é um polinômio môcho de grau 3. Agora, enunciaremos um dos mais importantes teoremas em Álgebra "Linear.

Teorema 9.5.

Cayley-Hamilton.

Tê da matriz é um zero de seu polinô- -

mio característico.

-- (31 22)

Exemplo 9.9: O polinômio característico da matriz A

t.(t) =

!ti -A I =

t-

I-3

.:.2.1

1

t- 2

é

= t 2 - 3t- 4

Como esperado, pelo teorema de Cayley-Hamilton, A é um zero de 6(1) ó(A)=

c~)

2

-3

(~ ~)

(~·~)

-4

=

(~ ~)

O pr6ximo teorema mostra a relação íntima entre polinômios característicos e autovalores.

Teorema 9.6. Seja A uma matriz quadrada n X n sôbre um corpo K. Um escalar À E K é um autovalor de A do polinômio característico l\(t) de A.

~e,

e

~õmente

se,

À

é uma raiz

Demonstração. Pelo teorema 9.2,

À é um autovalor de A se, e sõmente se, yl- A é singular. Além disso, pelo teorema 8.4, Àl- A é singular se, e somente se. I}1.[- A I = O, isto é, é uma raiz de ~(t). Assim, o teorema está provado.

Usando os teoremas 9.3, 9.4 e 9.6, obtemos

Corolário 9.7. Se o polinômio característico .1(t) de uma matriz quadrada A é um produto de fatôres lineares distintos

L'\(t) = (t-a 1 )(t-a 2 )

•..

(t-an),

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

i,.;t o é, se a 1, . . . , an são raízes distintas de ~(t), quando A a uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os a;.

245 é semelhante

Além disso, usando o Teorema Fundamental da Álgebra (todo polinômio sôbre C tem raiz) e o teorema anterior, obtemos

Corolário 9.8. Seja A uma matriz quadrada n X n sôbre o corpo complexo C.

Então, A tem, pelo menos, um autovalor.

-~).

Exemplo 9.10.

Seu polinômio característico é

-2

O

I

I=

s

(1- 3)(t

2

+ 1)

t+2 Consideramos dois casos (i)

A é uma matriz-sôbre o corpo real R. Então, A tem sàmente o autovalor 3. Como 3 tem somente um autovetor independente, A n:l.o é diagonalizável.

(ii) A é uma matriz sôbre o corpo complexo C. Então, A tem três autovalores distintos: 3, i c -i. Assim, existe uma matriz inversível P sôbre o corpo complexo C pam a qual 3

p-IAP

=

6 (

o o

isto é, A é diagonalizável.

Agora, suponha que A e B são matrizes semelhantes, digamos, B = p- 1AP, onde Pé inversível. Mostraremos que A e B têm o mesmo polinômio característico. Usando ti = p- 1tJP, lt1-BI

lti-P-IAPi \P- (t!-A)PI 1

IP-ItJP-P- 1AP\

= =

/P- 1 /Iti-A/IPI

Como determinantes sao escalares e comutam, e como finalmente obtemos

Ip-tl ! P I

1,

I ti- 131 como queríamos demonstrar.

Teorema 9.9. Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico.

POLINÔMIO MÍNIMO Seja .1 uma matriz quadrada n X n sôbre um corpo K. Observe que existem polinômios não-nulosf(t) para os quaisf(A) = O; por exemplo, o polinômio característico de .-1 Entre êstes polinômios, consideremos os de mais baixo grau c, entre (.sses, selecionemos um, cujo coeficiente é 1. i~to é, q~e é môdw. Tal polinômio m(l) existe e é único (problema 9.25); (· chamado polinômio mínimo ele _j.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

246

[CAP. 9

(

Teorema 9.10. O polinômio mínimo m(t) de A divide todo polinômio que tem A como um zero. Em particular, m(t) divide o polinômio característico ó(t) de A. Existe até uma relação mais forte entre m(t) e ó(t). Teorema. 9.11. Os polinômios característico e mínimo de uma matriz _,1 têm os mesmos fatôres irredutíveis. :t:ste teorema não diz que m(t) = ó(t); somente que qualquer fator irred1-ttível.de um deve dividir o outro. Em particular, como todo fator linear é irredutível, m(t) e ó(t) têm os mesmos fatôres lineares; portanto, têm as mesmas raízes. Assim, do teorema 9.6, obtemos. Teorema 9.12. Um escalar À é um autovalor para uma matriz Il se, e somente se, À é raiz do polinômio mínimo de .4. Exemplo 9.11. Encontre o polinômio mínimo m(t) da matriz

n~ 1n

A

O polinômio característico de A é ti(/) = Iti- A I = (/- 2) 3(t- 5). Pelo teorema 9.11, ambos t - 2 e t- 5 devem ser fatôres ele m(t). Mas, pelo teorema ·9.10, m(t) eleve dividir ó(t); portanto, m(t) eleve ser um elos três seguintes polinômios m1(t)

=

(t- 2)(1- 5), m 2(1) = (t- 2) 2 (t- 5), ma(l)

=

Sabemos, pelo teorema de Cayley-Hamilton, que m 3 (A) = ti(A) ficar que m 1 (A) .rf. O mas m 2 (A) = O. De acôrdo com isso, m 2 (t) nômio mínimo de A.

(!- 2) 3 (1- 5) =

=

O. O leitor pode veri(t- 2) 2 (t- 5) é o poli-

Exemplo 9.12. Seja A uma matriz 3 X 3 sôbre o corpo real R. Mostraremos que A não pode ser um zero do polinômio j(t) = t 2 + I. Pelo teorema ele Cayley-Hamilton, A é um zero de :;eu polinômio característico ó(t). Note que t-.(t) é ele grau 3; portanto, tem, ào menos, uma raiz real. Agorà, suponha que A ser o polinômio mínimo de polinômios característicos e O leitor pode verificar zero de j(l)

é um zero de f(t). Como j(t) é irredutível sôbre R, j(l) deve A. Mas j(t) não tem raiz real. Isto contradiz o fato de que mínimos têm as me:omas raíze's. Assim, A não é um zero dej(l). que a seguinte matriz 3 X 3 sôbre o corpo complexo C é um

o (

I

-I

O

o o

~)

POLINÔMIOS CARACTERÍSTICO E MÍNIMO DE OPERADORES LINEARES Agora, suponha que T: V--> V é um operador linear num espaço vetorial V com dimemoão finita. Definimos o polinômio característico ó(t) de T como sendo o polinômio característico de qualquer representação matricial de T. Pelo teorema 9.9, ó(t) é independente da base par-

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

247

ticular em que a representação matricial é calculada. Note que o grau de ..:l(t) é igual à dimensão de V. Temos teoremas para T que são semelhantes aos que tivemos para matrizes.

Teorema 9.5'. T é um zero de seu polinômio característico. Teorema 9.6'. O escalar À E K é um autovalor de T se, e somente se, À é uma raiz do polinômio característico de T. A multiplicidade algébrica de um autovalor À E K de T é definida como sendo a multiplicidade de À como uma raiz do polinêmio característico de T. A multiplicidade geométrica do autovalor À é definida como a dimensão de seu auto-espaço.

Teorema 9.13. A multiplicidade geométrica de um autovalor

À

não ex-

cede sua multiplicidade algébrica Exemplo 9.13. Seja V o espaço vetorial das funções que têm (sen 8, cos 8j como base e seja D o operador diferencial em V Então, D(sen 8) = cos

(J =

JJ(cos fi) = -sen

(J =

O(sen O)

+ 1 (cos IJ)

-1(sen O)+ O(cos O)

A matriz A de JJ na base acima é A = [D] = (

det(tl-.1)

=

e o polinômio característico de D é ti(l)

0 -1

~~ -~~ = = 12 + 1.

1

Assim,

o) t

2

+1

Por outro lado, o polinômio mínimo m(t) do operador T é definido independentemente da teoria das matrizes, como o polinômio de mais baixo grau e coeficiente inicial 1 que tem T como raiz Entretanto, para qualquer. polinômio f(t),

f(t) = O se, e somente se, f(A)

=

O,

onde A é qualquer' representação matricial de T. De acôrdo com isso, T e A tftn o mesmo polinômio mínimo. Observamos que todos os teoremas neste capítulo referentes a polinômio mínimo de uma matriz também valem para polinô~io mínimo do operador T.

Problemas Resolvidos POLINÔMIOS DE MATRIZES E OPERADORES LINEARES 9.1.

Encontre f(A), onde A

=

(!

-~)

e f(t) = t 2

-

3t

+ 7.

9.2.

1 ( ')_

Mostre que A j(A) =A 2

9.3.

[CAP. 9

AUTOVALORES E AUTOVETORES

248

-

4A- SI

=

4 3

é um zero de f(t)

)

u

=

t2

4t - 5.

-

o) = (oo

4 ) - 5 ( l 3 <' o

l.

~)

Seja V o espaço vetorial das f unções com I!õen O, cos Bl como base e seja D o operador diferencial em V. Mostre que D é um zero de f(t) = t 2 1. .

+

Aplique j(D) a çada vetor baee j(D)(sen O) = (D 2 j(D)(cos O) =

(D 2

+ J)(sen + I)(cos

O)

= D 2 (sen O)

O) = D 2 (cos O)

+ I(sen O) + I(cos O)

=

-sen O + sen O = O

=

-cos O + cos O = O

Como cada vetor base é transformado em O, cada vetor v E V é também formado em O por j(D). Assim, j(D) = O.

tran~­

É um resultado esperado, pois, pelo exemplo 9.13, j(t) é o polinômio característico de D.

9.4.

Seja A uma representação Jllatricial de um operador T. Mostre que f(A) é a representação matricial de f(T), para qualquer polinômio .f(t). Seja cJ> a transformação T -> A, isto é, que manda o operador T na sua representação matricial A. Precisamos provar que cJ>(j(T)) = j(A) Suponha que /(1) = a~tn + . + a1l + ao. A demonstração é por indução em n, o grau de j(t). Suponha n = O. Lembre que cJ>(l') = I, onde I' é a transformação identidade. Assim, .p(f(T)) = q,(aol') = aocJ>U') = aoi = f(A); logo, o teorema vale para n = O. Agora, suponha que o teorema vale para polinômios de grau menor do que n. Então, como q, é um isomorfismo algébrico,

+

+ .. +

q,(j(T)) = cJ>(an Tn an-1Tn- 1 a1T +ao!') = an.p(T) q,(T"- 1) .p(an-tT"- 1 atT +ao!') =

anAA"-t

+

+ (an-tAn-t

+ ... +

+ ... +arA

f

ao!) =j(A)

e o teorema está. demonstrado.

9.5. Demonstre o teorema 9.1. Sejam f e g polinômios sôbre K. uma matriz quadrada sélbre K. (i)

(f+ g)(A)

e (iii) (kf)(A)

=

f(A)

g(A);

(ii) (jg)(A)

+

+

. + atf

+ao e g = bmtm

+atA

+ aoi

f(A)

=

anA"

Suponha m

S

n c seja b; = O, se ·i

f

= f(A)g(A);

kf(A ), onde k E K.

=

Suponha que f = ant" por definição,

(i)

+

Seja A

Então,

+g

=

(an

+ ... + btl + bo.

e g(A) = bmAm

> m.

+ ... +

Então,

+ b,.)t" + . . + (!li + b,)l + (ao+

bo)

hA

Então,

+ b.,I

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

249

Portanto,

+ ... + (at + bt)A +(ao+ bo)I = a,.A" + b,.A" + ... +atA + btA + aol +boi= J(A) + g(A)

(f+ g) (A)= (a,.+ b,.)A"

(ii) Por definição, fg

Ck = aoh

o;=

Cn+mt"+"'

.. + ...

+ ... + c1t + c0 =

2: c!rlt, onde

t-o

t

+ ath--t + ... + akbo

= 2:

=

a;b,--;.

1-0

n+m

Portanto,

f(g)(A)

= 2: CkA k

e

t-o

/(A)g(A)

ji_ v-o

a;A 1)

~

(

\=· ~ :2;

i-o

b;A 1

J-0

}

a;bjAI+i

= n~m CkAk =

J-0

(jg)(A)

k-0

+ ... + ka1t + kao; logo, + ... + ka1 A + ka 0 l = k(a,.A" + ... + a1A + a 0 1) = kj(A)

(iii) Por definição, kf = ka,.t" (k/)(A) = ka,.A" =

AUTOVALORES E AUTOVETORES 9.6.

Seja >. um autovalor de um operador T : V - t V. Anote por V,. o conjunto de todos os autovetores de T pertencentes ao autovalor>. (chamado auto-espaço de X). Mostre que V>. é um subespaço de f. Suponha que 11, w E V,.; isto é, T(v) = >.v e T(w) = Xw. Então, para quaisquer escalares a, b E K, · T(av

+ bw)

= aT(v)

+

bT(w) = a(Xv)

+ b(Xw)

= X(av

Assim, av + bw é um autovetor pertencente a "-· isto é, av V,. é um subespaço de V.

· 9.7.

Seja

A=(~

~)

.

+ bw)

+ bw E

V,..

Portanto,

(i) Encontre todos os autovalores de A

e os autovetores correspondentes. (ii) Encontre uma matriz inversível P tal que P" 1AP é diagonal. (i)

Forme a matriz característica tl- A de A

·tJ-A =

O t ( tO)

-

(14\ 2

t- 1

3) = ( -2

-4)

(1)

t- 3

O polinômio característico A(t) de A é seu determinante !él)

=

iti-AI

=

t-t

l -2

-41 =

t- 3

t 2 -4t-5

=

(t-5)(t

+ 1)

As raizes de A(t) são 5 e -1; logo, llsses números são os autovalores de A. Obtenção dos autovetores pertencentes ao autovalor 5, Primeiro, substitua

t

=5

na matriz caracterÍstica (1) para obter a matriz

(_~ ~)

. Os autove-

tores pertencentes a 5 formam a solução do sistema homogllneo determinado pela matriz acima, isto é,

AUTOVALORES E AUTOVETORES

250 4 ( -2

-4) (x ) 2

(

o) {

o

4x - 4y = -2x + 2y = O

OU

O

y

[CAP. 9

X-

OU

·

y

0

=

(Em outras palavras, os autovetores pertencentes a 5 formam o núcleo do operador ti- A para t = 5). O sistema acima tem somente uma solução independente; por exemplo, x = 1, y = 1. Assim, v = (1, 1) é um autovetor que gera o auto-espaço de 5, isto é, todo autovetor pertencente a 5 é um múltiplo de 11. · Obtenção dos autovetores pertencentes ao autovalor -1. Substitua t = -1 em (1 ), para obter o sistema homogêneo

(-2 -4) -4 (x) =(0) -2

O

y

ou {

-2x-4y =O -2x- 4y

=

O

ou

X+

2y

=

0

O sistema só tem uma solução independente; por exemplo, x = 2, y Assim, w = (2, -1) é um autovetor que gera o auto-espaço -1.

=

-1.

(ii) Seja P a matriz cujas colunas são os autovetores acima P =

Então, B = p- 1AP é a matriz diagonal, cujos elementos diagonais são os autovalores respectivos

B=P-tAP= (1/3

2/3) ('1 1/3 -1/3 2

4) (1 2) 3 1 -1

(5

=\o

O) -1

(Observatão. Aqui, P é a matriz de transição da base usual do R 2 para a base dos autovetores {v, w}. Po~tanto, B é a representação matricial do operador A nessa nova base.)

9.8.

Para cada matriz; ençontre todos os autovalores e uma base de cada auto-espaço

o

-3

(i)

A

-5

-6

~)

(-3

1

B = '-7 -6

(i i)

-1)

5 -1 6 -2

Que ma'triz pocle ser diagonalizável e por quê ? (i)

Forme a matriz caracterlstica ti- A e calcule ·seu determinante para obter o polinômio característico ~(I) de A

~(I)

=

\ti- A I

=

I

I-=-/ -6

t

~6 5 t-=~4 I=

(t

+ 2) 2 (t- 4)

.

As raízes de ~(I) são -2 e 4; portanto, êsses -números são os autovalores de A. Encontramos uma base do auto-espaço do autovalor -2, substituindo t = -2 na matri;~; característica ti- A, para obter o sistema homogêneo

-3 -3 ( -6

~ =~) (~) z

6-6

= (

g) O

OU \

=~= ! ~~ =~: : g

-6x+6y-6z=O

OU X -

y

+Z =

0

O sistema tem duas soluções independentes, por exemplo, x = 1, y = 1, z = O e x = 1, y = O, z = -1. Assim, u = (1, 1, O) e 11 = (1, O, -1) são autovetores independentes que geram o auto-espaço de -2. · Isto é, u e v formam base do auto-espaço de -2. Isto quer dizer que cada autovetor pertencente a -2 é uma combinação linear de u e 11.

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

=

251

Encontramos uma base do auto-espaço do autovalor 4, substituindo 4 na matriz característica ti- A, para obter o sistema homogêneo

( -6-~

3 -3) (. X 9 -3 y 6 O z

)

(

=

+ 3y -

r 3x ou ~ -3x -6x

0)

O O

3z = 0

+ 9y + 6y

l

3z = O ou =O

l

X

+y -

Z

=0

2y - z = O

O sistema tem somente uma variável livre; portanto, qualquer solução particular não-nula, por exemplo, x = 1, y = 1, z = 2, gera seu espaço das soluções. Assim, w = (1, 1, 2) é um autovetor que gera; logo, forma uma· base do auto-espaço de 4. Como A tem três autovetores linearmente independentes, A é diago_nalizável. De fato, seja P a matriz cujas colunas são os três autovet:>res independentes ' p

=

(!o

1)

~

-1

(2

o o o

. Então, P- 1 AP =

1 2

O -2

Como se esperava, os elementos diagonais de p-l AP são cs autovalores de A correspondentes às colunas de P t (i)

Ll(t) =

Iti- B I =

+3

- 1

I

!

t- 5

~

-6

1 = (I

+ 2)2(t _

4)

t+2

Os autovalores de B s'io, portanto, -2 e 4. Encontramos uma base do auto-espaço do autovalor -2, substituindo ti- B, para obter o sistema homogêneo

t = -2, em

(1 -1 011 )(x~)

(O~)

7 -7

ou

!

x- 1y y+z=O 7x+ z =o ou

6x-6y

6-6

=0

x-y+z=O {

X-

y

=

0

O sistema tem somente uma solução independente, por exemplo, x = 1, = 1, z = O. Assim, u = (1, 1, O) forma uma base do auto-espaço de -2.

y

Encontramos uma base do auto-espaço do autovalor 4 substituindo t = 4 em ti- B, para obter o sistema homogêneo

1) (X) (0) 1 O y

z

6

ou

=

7X-

r Y ~ 7x- y

+ f 7 + ; •-: O0 + zZ== 0 O ou l x - y

l6x-6y+6z=O

O

.

O sistema tem somente uma solução independente, por exemplo, x = O y = 1, z = 1. Assim, v = (0, 1, 1) forma uma base do auto-espaço de 4. Observe que B não é. semelhante a uma matriz diagonal, pois B tem somente dois autovetores independentes. Além disso, como A pode ser diagonalizável, mas B não pode, A e B não são matrizes semelhantes; mesmo assim elas têm o mesmo polinômio caracterlstico. ·

9.9.

Sejam A

=(~

-!)

B

e

-1) -1

=

.

Encontre todos os

autovalores e os autovetores correspondentes de A e B encaradas como matrizes sôbre (i) o corpo real R, (ii) o corpo complexo C·

I -1-.) t- 1 I= 0

(i)

ÀA (t)

=I ti- A I

=

(

'

1

I

12

-

41

+4

= (I- 2)

2

AUTOVALORES E AUTOVETORES

252

Portanto, somente 2 é um autovalor. Faça t sistema homogêneo -1 ( -1

~)

G)

(~)

=

=

[CAP. 9

2 em ti- A, para obter o

f-x+y=O ou

l

-x+y=O

OU X-

y = 0

O sistema tem somente uma solução independente, por exemplo, x = 1, y = 1. Assim, v = (1, 1) é um autovetor que gera o auto-espaço de 2, isto é, todo autovetor pertencente a 2 é um múltiplo de v. Também temos .:ln(t)=III-BI=

Como t 2 sôbre R.

+ 1 não

t _

I

1

-2

1

t

+1

I

=t 2

+1

tem solução em R, B não tem autovalor como uma matriz

(ii) Como t1A (I) = (t- 2) 2 tem sàmente a raiz real 2, os resultados são os mesmos que em (i). Isto é, 2 é um autovalor de A e ·v = (1, 1) é um autovetor que gera o auto-espaço de 2, isto é, todo autovetor de 2 é um múltiplo (complexo) de ·t·.

Iti-

A matriz característica de B é C.n (I) = e -i são os autovalores de B.

Encontremos os autovetores associados com I ti- B, para obter o sistema homogêneo

1) (x)

i -1 (

i+1

-:2

y

(o)

=

O

B I = t2

Portanto, i

Substitua t = i em

i.

=

+ 1.

f

(i-1)x+y=O ou (i- l)x _-2x+(i+1)y=0

ou

+y

=O

O sistema tem sàmente uma solução independente, por exemplo, x = 1, y = 1- i. Assim, w = (1, 1- i) é um autovetor que gera u auto-espaço de i.

Agora; substitua t = -i em ti- B, para obter o sistema homogêneo

f H- 1)x + y =o

1-2x + (-i- l)y

= O

ou (-i- 1)x+y

=

O

O sistema tem sàmente uma solução homogênea, por exemplo, x = 1, y

=

1

+

i. Assim, w' = (1, 1 +i) é um autovetor que gera o auto-espaço de -i.

9.10. Encontre todos os autovalores e uma base de cada auto-espaço do operador T : R 3 ---'> R 3 , definido por T(x, y, z) = (2x

+ y,

y- z, 2y

+ 4z).

Primeiro, encontre a representação matricial de T, digamos, em relação à base usual do R 3 A

= [Il =

(~ ~

-!)

O polinômio característico .:l(t) de T é, então, t-2 1'1(1)

= Iti- A I

=

o .l o

Assim, 2 e 3 são os autovalores de T.

-1

t- 1

-2

~

t-4

\ = (t -

2) 2 (t - 3)

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

253

Encontremos uma base do auto-espaço do autovalor 2. Substitua t = 2 em

ti - A, para obter .o sistema homogêneo -y y z -2y - 2z

+

r

=o =o =

ou

y=o

{

l

O

y

+z = O

O sistema tem sàmente uma solução independente, por exemplo, x = 1, y =O, z = O. Assim, u = (1, O, O) forma uma base do auto-espaço de 2. Encontremos uma base do auto-espaço do autovalor 3. Substitua t = 3 em

ti- A para obter o sistema homogêneo

(

1 0

-1 2

o -2

o) (x) (o) ( x-+ =o= {

. 1 -1

=

y

0

OU

{

o

z

y

2y

l-2y -

Z

0

z

=o

OU

X -

2y

y :

O

-

o

+z

O sistema tem sàmente uma solução independente, por exemplo, x = I, y = 1, z = -2. Assim, v = (1, 1, -2) forma uma base do auto-espaço de 3.

Observe que T nãQ é diagonalizável, pois T tem sàmente dois autovetores linearmente independentes.

9.11. Mostre que O é um autovalor de T se, e somente se, T é singular. Temos que O é um autovalor de T se, e sàmente se, existe um vetor v nãonulo tal que T(v) = Ov = O, isto é, que T é singular. 9.1~.

Sejam A e B matrizes quadradas n X n. têm os mesmos autovalores.

Mostre que AB 'e BA

Pelo problema 9.11 e pelo fato de que o produto de matrizes não-singulares é não-singular, as seguintes assertivas são equivalentes (i) O é um autovalor de AB, (ii) AB é singular, (iii) A ou B é singular, (iv) BA é singular, (v) O é um autovalor de· BA. Agora, suponha que >- é um autovalor não-nulo de AB. Então, existe um vetor não-nulo v tal que ABv = >.v. Faça w = Bv. Como >- 'i"' O e v 'i"' O, A w = A Bv = >.v 'i"' O logo, w ;,! O

Mas w é um autovetor de BA pertencente ao autovalor >., pois BAw

=

BABv = B>.v = >.Bv

=

>.w

Portanto, >. é um autovalor de BA. Semelhantemente, qualquer autovalor nãonulo de BA é também um autovalor de A B. Assim, AB e BA têm os mesmos autovalores.

9.13. Suponha que tre que

À

é um autovalor de um operador inversível T.

x-l é um autovalor de r- 1.

Mos-

Como T é inversível, é também não-singular; portanto, pelo problema 9.11, À

r!

o.

Por definição de autovalor, existe um vetor não-nulo v, para o qual T(v) =>.v. Aplicando 1 1 a ambos os lados, obtemos v = 1 1 (>-v) = ~jl (v). Portanto, 1 1(v) = >.· 1v; isto é, }.-! é um autovalor de T- 1. ')...

9.14. Demonstre o teorema 9.13. Sejam V~o . . . , vn autovetores nãonulos de um operador T : V~ V pertencentes a autovalores distintos X1 ,

. . . , Àn.

Então, v 1 ,

... ,

vn são linearmente independentes.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

254

[CAP. 9

A demonstração é por indução em n. Se n = 1, então v1 é linearmente independente, pois VI ~ O. Admita-se que n > 1 Suponha (I)

onde os a; são escalares. Aplicando T à relação acima, obtemos pela linearidade

+ anT(vn)

= T(O) =O.

Mas, por hipótese, T(v;) = À;v;; portanto,

+ a2:1\2v2 + . . + anÀnt'n

atÀ!V!

Por outro lado, multiplicando (1) por atÀnVl

=

(2)

O

Àn,

+ a2:1\nV2 +

{3)

Agora, sul;>traindo (3) de (2) at(À!- :lln)Vt

+ a2{:1\2- :lln)Vz + ... + an-t(:lln-1- :lln) Vn-l

=O

Por indução, cada um dos coEficientes acima é O. Como os )\; são distintos, Ài- :lln ~O para i ~ n. Portanto, a1 = = an-1 = O. Substituindo em {1), temos anvn = O e, portanto, an =O. Assim, os v; são linearmente independentes.

POLINÔMIO CARACTERÍSTICO. TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON 9.15. Considere uma matriz triangular

(o~~~- .. o~~~ ... .·. .·. ·. ~_: )

A

....

ann

s~us

Encontre seu polinômio característico ,b..(t) e·

autovalores.

Como A é triangular e ti é diagonal, ti- A é também triangular com elementos diagonais t - a;; t- au

ti-A =

então, t.(t) =

Iti- A \ é

(

~

__ .....

O

- a12

~ ~- ~~2-O

... .·.·.- ...

...

A(l) = (t- au)(t- azz) ... (t-

nal?

Uln)

~ ~2n.

I-

Unn•

o produto dos elementos diagonais t-a;;

Portanto, os autovalo•es de A são au, U2'2• gonais.

9.16. Seja A

-

(~0 · o~ 3~)

Unn)

Unn,

isto é, seus elementos dia-

A é semelhante a uma matriz diago-

Se íôr, encontre essa matriz.

Como A é triangular, os autovalores de A são os elementos diagonais i', 2. e 3. Como êles são distintos, A é semelhante a uma matriz diagonal, cujos elê. mentos diagonais são 1, 2 e 3; por exemplo,

(

o)

1 o 2 o o o 3

o

AUTOVALORES E AUTOVETORES

CAP. 9]

255

9.17. Para cada matriz, encontre um polinômio que tenha a matriz como ra1z 1 4 (i) A 3 ( ~ _;) , (ii) B = ( ~ (iii) c = 2 -1

(~

=!) ,

-:)

Pelo teorema de Cayley-Hamilton, cada matriz é uma raiz de seu polinômio característico. Entretanto, encontramos o polinômio característico !1(1) em cada caso (i)

Mt)

= Iti- A I = '··

t- 2

I -I

= Iti - .z:il =I t-- 72 o (iii) L1(1) = Iti- c I =I o

3

(i i) A(t)

=1

2

t+4

1

-~I= (t-1)(1

-4

I- I

t- 3

-2

+ 21 + 13

t

2

+~

-21-5)

9.18. Demonstre o teorema 9.5 de Cayley-Hamilton. um zero de seu polinômio característico.

Cada matriz é

Seja A uma matriz quadrada n X n arbitrária e sejant) seu polinômio característico; digamos,

ó.(t) = ltl- A

I

=

tn

+ an-IIn-l + ... + a1t +ao

Agora, seja B(t) a adjunta clássica da matriz ti- A. Os elementos de B(t) são co-fatôres da matriz ti- A e, portanto, são polinômios em t de grau não excedendo n- 1. Assim,

B(t) = Bn-ttn- 1

+ ... + Btt + Bo,

onde os B; são matrizes quadradas n X n sôbre K que são independentes de I. Pela propriedade fundamental rle adjunta clássica (teorema 8.8),

(ti- A)B(t) =

Iti- A li

ou (ti- A)(Bn-IIn-!

+

Removendo ós parênteses c agrupando os coeficientes de t de potências correspondentes,

Bn-I =I Bn-2._ ABn-1 = an-Il Bn-3- ABn-2 = an-2I Bo-ABt=ati - ABo = aoi Multiplicando a equação matricial acima por An, An- 1,

.,

AnBn-1 = An A"- 1Bn-2-AnBn-1 = an-!A"- 1 An- 2Bn-s-An- 1Bn-2 = an-2An- 2 AB 0 -A 2B1 = a1A -ABo = aol

A, I, respectivamente,

AUTOVALORES E AUTOVETORES

256

[CAP. 9

Somando as equações matriciais acima,

O= An

+ Gn-tAn-t +

+atA+ aoi

Em outras palavras, ~(A) = O. Isto é, A é um zero de seu polinômio característico.

9.19. Mostre que uma matriz A e sua transposta A' têm o mesmo poli-· nômio característico. Pela operação de transposição, (ti-A)'= tl 1 -A 1 =ti-A'. Coino uma matriz e sua transposta têm o mesmo determinante, Iti- A I = I(ti- A) 1 j = 1 = Iti- A 'I. Portanto, A e A têm o mesmo polinômio característico.

9.20. Suponha que M

=

(~

J

1

BA\ onde A 1 e A 2 são matrizes qua-

dradas. Mostre que o polinômio característico de M é o produto dos polinômios característicos de A 1 e A 2 • Generalize tl-M

=

tl-At (

o

-B ) . Portanto, pelo problema 8. 70, ti- A2 . ti- At

III-MI

o

-B

ti- A2

I

~

lti-AIItl-BI

como requerido. Por indução, o polinômio característico da matriz triangular de blocos M~

( ~1

~2

O

·.. ·. . .

O

~)

An

'

,

onde os A; são matrizes quadradas, é o produto dos polinômios característicos dos A;.

POLINÔMIO MÍNIMO

9.21. Encontre o polinômio mínimo m(t) de A

1

o

2

o

o o

1 -2

!)

O polinômio característico de A é t- 2 D.(t)

=

o o o

-1 t-2

o o

o o

o o

~I

t- 1 -1 2 t-4

t-o

2

-1 t- 2

I It;

1

-l

t-

4

1=(1-3)(1-2) 3

O polinômio mínimo m(t) deve dividir ~(1). Também, os fatôres irredutíveis de D.(t), isto é, t- 2 e t- 3, devem ser um fator de m(t). Assim, m(t) é, exatamente, um dos seguintes j(t) = (t- 3)(t- 2), g(t)

=

(t- 3)(1 ;_ 2) 2 , h(t)

= (t- 3)(1- 2) 3

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Temos . j(A) = (A - 3I)(A - 21) =

g(A) - (A- 3/)(A- 21)'

n

o o

1 -1

~ J (

o o

-2 -2

-1

o o

o o

-2 -2

257 1 o o o o -1 o -2 o o o o -1 ~ o -2 2,

D~o

DO DO

")'

=0

Assim, g(t) = (t- 3) (t- 2) 2 é o polinômio mínimo de A. Observatllo. Sabl"mos que h(A) = il(A) = O pelo teorema de Cayley-Hamilton. Entretanto, o grau de g(t) é menor. do que o grau de h(t); portanto, g(t) > e não h(t), é o polinômio mínimo de A.

9.22. Encontre o polinômio mínimo m(!) de cada matriz (onde a .y6. O) (i)

(iii)

(i)

A

c=

(~ ~)

(i i)

a

o

À

a

B

~o

u n o o

a À

o

n

•

À

o

O polinômio característico de A é 1'.(1) portanto, m(t)

=

1'.(1)

=

=

(I - ;\) 2 • Encontramos A - ;\] ,.! O;

(I- ;\) 2 •

(ii) O polinômio característico de B é ó(t) = (t- ;\) 3 . [Note que m(t) é, exatamepte, um dos seguintes: t- À, (t- Ã) 2 ou (I- ;\) 3.] Encontramos (B- ;\/) 2 ;>!0; assim, m(t) = t.(t) = (t - ;\) 3• (iii) O polinômio característico de C é t.(t) portanto, m(t)

9.23. Seja M =

(

~ ~)

=

1'.(1)

=

=

(t- ;\) 4• Encontramos (C- ;\/) 3 7"'0;

(t- ;\) 4 •

, onde A e B são matrizes quadradas.

Mostre

que o polinômio mínimo m(t) de M é, pelo menos, múltiplo comum dos polinômios mínimos g(t) e h(t) de A e B, respectivamente. Generalize. Como m(t) é o PQlinômio mínimo de M, m(M) = portanto, m(A)

= Oe

(

m(A)

O )

O m(B)

= 0 e

'

m(B) = O. Como g(t) é o polinômio mínimo de A, g(l)

divide m(l). Semelhantemente, h(t) divide m(t). Assim, m(t) é um múltiplo de g(l) e h(t).

AUTOVALORES E AUTOVETORES

258

[CAP. 9

Agora, seja /(1) outro múltiplo de g(t) e h(t); então, f(M)

=~(~) /(~))

= (

~ ~)

= O.

Mas m(t) é o polinômio mlnimo de M; portanto, m(t) divide /(1). Assim, m(l) é, pelo menos, múltiplo comum de g(t) e h(t). Temos, então, por indução, que o polinômio mínimo de

M= onde os A; são matrizes quadradas, ·é, pelo menos, múltiplo comum dos polinômios mínimos dos Aí.

9.24. Encontre o polinômio mínimo m(t) de 2

M

Sejam

A~

(

o o o o o o 4 2 o 1 3 o o o o o o o o o o

8 2

o o o o o o

o o o o o

o o o o

o o o o o 3 o o o 5

4 2 0 3 2 8 ) ) , D = {5). Os polinôB = ( C= ( ) 02' 13·' 00

mios mínimos de A, C e D são (t- 2) 2, 12 e t- 5, respectivamente. O polinômio característico de B é

ti- B

=

t- 4

-2

I -1

t- 3

!

=

t 2 - 7t

+ 10 =

(t- 2)(t- 5);

logo, é também o polinômio tninimo de B.

Observe que M =

A O (

0

o o o)

B 0

O

C

O

0

.

Assim, m(t) é, pelo menos, múltíplo

O O O D

comum dos polinômios mínimos de A, B, C e D. De acôrdo com isso, m(t) = = t 2 (t - 2) 2 (t- 5).

9.25. Mostre que o polinômio mín.imo de uma matriz A (operador) existe e é único. Pelo teorema de Cayley-Hamilton, A é uma raiz de algum polinômitJ .não nulo (veja problema 9.31.) Seja n o mais baixo grau para o qual existe um pólinômio f(t) tal que j(Á) = O. Dividindo f(t) por seu coeficiente inicial, obtémos um polinômio môcho m(l) de grau n, que tem A como uma raiz. Suponha que m'(t) é outro polinômio môcho de grau n, para o qual m'(A) = O. Então, a diferença m(t) - m'(t) é um polinômio não-nulo de grau menor do que n, que tem A como raiz. Isto contradiz a hipótese original para n; portanto, m(l) é um polinômio mínimo único.

259

AUTOVALORES E AUTOVETORES

CAP. 9]

9.26. Demonstre o teorema 9.10. O polinômio m(t) de uma matriz (operador) A divide cada polinômio que tem A como raiz. ticular, m(t) divide o polinômio característico de A.

Em par-

Suponha que f(t) é um polinômio para o qual j(A) = O. Pela divisão de algoritmos, existem polinômios q(t) e r(t) para os quais f(t) = m(t)q(t) r(t) e r(t) = O ou grau 1·(t)
+

9.27. Seja m(t) o polinômio mínimo de uma matriz quadrada n X n A. Mostre que o polinômio característico de A divide (m(t))n. Suponha que m(t) = t' matrizes

+ Cit'-I + ... + Cr-I t + Cr.

B 0 =I BI =A + qi B2 = A 2 + CIA

Considere as seguintes

+ C2J

Então, Bo =I Bt- ABo = cii B 2 -ABt = c2I

Também -AB,-1 =Cri- (Ar+ CIAr-t = Cri- m(A) =Cri

+

Faça

+ tB..-2 + B,.-1 ·Então, (ti- A) · B(t) ·

+

+

t'- 1Bt +tE,.... I)- (t'- 1ABo + t'- 2ABI + ... +ABr-I) = = t'Bo·+ (-I(Bt- AB 0 ) t'- 2(B2- ABI) t(Br-t- ABr-2)- AB..-1 = 2 = t'I + qt'- 1I + c2t'- I + ... + C,-ItJ +Cri= = m(t)I

= (t'B 0

+

+

+

+

O determinante de ambos os lados dá. lt! -A IIBCt)l

= l(m(t)II = (m(t))".

Como IB(t)l é um polinômio, lti -A I divide (m(t))"; isto é, o polinômio característico de A divide (m(t))".

9.28. Demonstre o teorema 9.11. O polinômio característico L'l(t) e o polinômio ~11ínimo m(t) de uma matriz A têm os mesmos fatôres irredutíveis.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

260

[CAP. 9

Suponha que j(t) é um polinômio irredutível. Se f(t) divide m(t), então, como m(t) divide ó(t), j(t) divide A(l). Por outro lado, se j(t) divide A(t), então, pelo problema precedente, j(t) divide (m(t))n. Mas j(t) é irredutível; portanto, j(t) também divide m(t). Assim, m(t) e L'l(t) têm os mesmos fatôres irredutíveis.

9.29. Seja T um operador linear num espaço vetorial V de dimensão finita. Mostre que T é inversível se, e somente se, o têrmo constante do polinômio mínimo (característico) de T não é zero.

+

Suponha que o polinômio mínimo (característico) de T é f(t) =t' + an- 1 t'- 1 Cada uma das seguintes assertivas é equivalente à seguinte, por resultados anteriores (i) T é inversível; (ii) T é não-singular; (iii) O não é autovalor de T; (iv) O não é raiz de m(t); (v) o têrmo constante a 0 não é zero. Assim, o teorema está provado.

+ ... + a1t + a 0•

9.30. Suponha dim V = n. Seja T · V~ V um operador inversíveL Mostre que T- 1 é igual a um polinômio em T de grau não excedendo n. Seja m(t) o polinômio mínimo de T. Então, m(t) = t'

onde r

~ n.

+ a,-tt'- 1 + ... + a1t + ao.

Como T é inversível, a 0 >"' O. Temos m(T) = T'

+ ar-tT'-l + . . + a1T + ao I

O

=

Portanto, 1 - - (T'- 1

ao

+ a,-tT'- 2 + ... + atl)T =

I

PUOBLEMAS DIVERSOS

9.31. Seja T um operador linear num espaço vetorial V de dimensão finita n. Sem usar o teorema de Cayley-Hamilton, mostre que T é um zero de um· polinômio não-nulo. Seja N= n 2 • Considere os seguintes N+l operadores em V: 1, T, T 2 , . . • , TN. Lmub1'~ qw~ ~;o e3pnçn vtlloria! A(V) ele operarlore> em V tem rlimensão N = n 2 • Assim, 09 N+1 opêri>dõi'/.'3 acima silo lin~amv:ntc indl'pemlr,nlH. Portanto, existem escalares ao, at, ... , aN para os quais aNTN + ... + a1T + a 0I ~O. Dt1 acôrdo com isso, T é um zero do polinômio j(t) = aNtN + ... + a1t + a 0.

9.32. Demonstre o teorema 9.13. Seja À um autovalor de um operador T: V~ V. A multiplicidade geométrica de À não excede sua multiplicidade algébrica. Suponha que a multiplicidade geométrica de À é r. Então, À contém r autovetores linearmente independentes v1, .. , v,.· Estenda o conjunto lv;) a uma base de V: l Vt, ... , v,, Wt, ... , w.}. Temos T(vt) = T(vz)

ÀVt

AUTOVALORES E AUTOVETORES

CAP. 9]

T(vr) =

ÀVr

T(w1) = auv1

+

Tlw2) = a21v1

+

= aa1V1

T(w,)

A matriz de

r· na

261

+ a.lrVr + Õ!.Wl +

+ ... + aarVr + ba1W1 + ... + b,.w,

base acima é

o À

o o

o

À

a1r

a2r

o

o

bu

bn

au

a21 ·

al2

a22

...................

M=

(~~+~). OiB

/

onde A

=

(a.;j) 1 e B

=

(b;j) 1•

Pelo problema 9.20, o polinômio característico de }..],, que é (t- y)', deve dividir o polinômio característico de M e, portanto, T. Assim, a multiplicidade algébrica de J\ para o operador T é, pelo menos, r, como desejado.

1 (0

9.33. Mostre que A =

11)_

não é diagonalizável.

O polinômio característico de A é Ll(t) = (t- 1) 2 ; portanto, 1 é o único autovalor de A. Encontremos uma base do auto-espaço do autovalor 1. Substitua t = 1 na matriz ti- A, para obter o sistema homogêneo

(oo -1)o (x)y =. (o) o

ou { -y·= 0 ouy 0=0

=o

O sistema tem somente uma solução independente, por exemplo, x = 1, y =O. Portanto, u = (1, O) forma base do auto-espaço de 1. Como A tem, no máximo, um autovetor independente, A não pode ser diagonalizável.

9.34. Seja F uma extensão de um corpo K. Seja A uma matriz quadrada n X n sôbre K. Note que A também pode ser encarada como uma matri~ A sôbre F. Evidentemente, !ti- A I = !ti- A!, isto é, A e A têm o mesmo polinômio çaracterístico. Mostre que A e A também têm o mesmo polinômio mínimo. Sejam m(t) e m'(t) os polinômios mlniinos de A e Â, respectivamente. Agora, m'(t) divide todo polinômio sôbre F que tem A corno zem. Corno m(t) .tem A . como zero e como m(t) pode ser encarado como um polinômio sôbre F, m'(t) divide m(t). Mostraremos, agora, que m(t) divide m'(t). Como m'(t) é um polinômio sôbre F, que é uma extensão de K, .podemos escrever m'(t) = /I(t)bl

+ /2(t)b2 + ... + fn(t)bn, . . . , bn pertencem a F e

. onde'j,;{t) são pofinômios sôbre K e b1 , independentes sôbre K. Temos m'(A)

=

fi(A)bl

+ i2(A)b2 + ... + fn(A)bn

=

O

são lineartnente (1)

, AUTOVALORES E AUTOVETORES

262

[CAP. 9

Seja a~:> o ij-ésimo elemento de /k(A). A equação matricial acima implica que, para cada par (i, j),

a:Jlbt + ag>b + . . . + ai;>b,. 2

=

O

Como os b; são linearmente independentes sôbre K e como os = O. Então, jl(A) =O, h(A) =O, ... , j,.(A) =O

ag>

ag> E

K, todo

Como os j;(l) são polinômios sôbre K que têm A como zero e como m(l) é o polinômio mínimo de A como matriz sôbre K, m(t) divide cada um dos /;(t). De acôrdo com isto, por (1), m(t) deve também dividir m'(l). Mas polinômios mochos que dividem um ao outro são, necessàriamente; ·iguais. Quer dizer, m(l) = )n'(l), como quería~oso

....

9.35. Seja {v 1, t•,.} base de V. Seja T: V~ V um operador para o qual T(v 1 ) = O, T(v 2) = a 21v1 , T(v 3 ) = a 31v1 + a 32v2 , . . • , T(v,.) = = a,. 1v1 o. a,.,,.- 1v,.- 1• Mostre que T" = O. o

••

,

+. +

É suficiente mostrar que para j

= 1,

. o., n. Segue que

T"(vj)

= T"-i(T'(vj))

= T"-i

(O) = O, para j

= 1, ... ,

n

e, como {v1, :o o' v.. } é base, T" ·= O. Provaremos (*) por indução em j. O caso j = 1 é verdadeiro por hipótese. O passo indutivo segue (para j = 2, ... , n) de

T 1(vj) = T 1- 1(T(uj)) = T 1' 1(ajtV1 + ... + Gj, i-JVj-I) = a1tT1- 1(vv + . ai, j-~P- 1 (j-1) = ai 10 + . . . + ai. rl o = o o

•

+

Observação. Observe que a representação matricial de T na base acima é triangular com elementos diagonais zero

~- 0~~10 ~::~0-·: _~:~·)

(o

O

o

o: ..

O

O

...

o

o

..

o

a,., ..-1

o

Problemas Propostos POLINÔMIOS DE MATRIZES E OPERADORES LINEARES 9.36:.

Sejam f(t) g(B), onde

=

2t 2 - St + 6 e g(t)

A=

=

t3

-

(s2 -3) 1

2t 2 + t + 3. Encontre /(A), g(A), f(B) e

e B.,.

(_o1 ~) Seja jÜ) ~ t 3 ~2t.+3.

9.37.

Seja_ T: R 2 _,. R 2, definido por T(xo, y) Encontre j(T)(x, y).

9.38.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios v(x) = ax 2 bx +c. Seja D: V-> V o operador diferencial. Seja f(t) = t 2 21- S. Encontre J(D)(v(x)).

=

+

(x + y, 2x).

+

AUTOVALORES E AUTOVETORES

CAP. 9]

9.39.

Seja A=

9.40.

Seja B =

9.41.

G:)

Encontre A 2, Aa, An.

12

(~

263

1!).

8

o

Encontre uma matriz real A tal que B = Aa.

Considere a matriz diagonal Me a matriz triangular N

M=

( ~~ ~~ ~ ..

O

O

....... ) . . . an

e

Mostre que, para qualquer polinômio f(t), f(M) e f(N) são da·forma

(/(~. ) ~.(~~) 1

f(M)

=·

.

.........

O

9.42.·

O

...

~

(/(~ ) ~(=2) 1

. )

e F(N) =

.

f(an)

O

O

. . . .

. .. ; . )

f(an)

...

Considere uma· matriz diagonal de blocos Me uma matriz triangular de blocos N

M = ('

?.!2 .· .· .· ..A~n.). O

e N

~~ _! 2.. :.... ~ ..)

= (

.

O . . . An, onde os A; são matrizes quadradas. Mostre que, para qualquer polinômio j(t), j(M) e f(N) são da forma

J(M) = (

O

~~~ :~. :~~-2~ O

•• ::: . . • .

O

...

~

. . .)

j(An)

O

e j(N) =

·

(f?. /(~,) . .•. .·.~. ) O

O

j(An),

...

9.43.

Mostre·que, para qualquer matriz quadrada (ou operador) A, (P-lAP)n=P- 1AnP, onde P é inversível. Mais generalizado, mostre que j(P- 1AP) = p-I j(A)P para qualquer polinômio f(t).

9.44.

Seja j(t) qualquer polinômio. Mostre que (i) f(A ~ trica, isto é, A 1 = A, então f(A) é simétrica.·

=

(f(A)) 1; (ii) se A é simé~

AUTOVALORES E AUTOVETORES 9.45.

Para cada, matriz, encontre todos os autovalores e autovetores linearmente independentes (i) A =

(~

(ii) B

=

G ~) . (...) c (5 -1) 111

=

.

.

1 . 3

sejam diagonais.

9.46.

Para cada ma:triz, encontr.e todos os autovalores e uma base para cada autoespaço 2 1 (ii) B = 2 (iii) r= 4 1 (i) A= • 1 Jc -1 1 o 1

u

~)

(~

~!)

Quando possível, encontre matrizes inversíveis P 1 2 e P3 CP 3 são diagonais.

.P;i1Jp

1,

G

~)

P 2 e P 3 tais que P; 1 APJ,

AUTOVALORES E AUTOVETORES

264 9.47.

Considere A

= ( 21 -41) e B --

-

1

-3

)

[CAP. 9

como matrizes sôbre o corpo real

R. Encontre todos os autovalores e autovetores linearmente independentes.

m~trizes

~rpo

9.48.

Considere A e B do problema precedente como sôbre o complexo C. Encontre todos os autovalores e autovetores linearmente independentes.

9.49.

Para cada um dos seguintes operadores T: R 2 -> R 2 , encontre todos os autovalores e uma base para cada auto-espaço (i) T(x, y) = (3x 3y, x +Sy); (ii) T(x, y) = (y, x); (iii) T(x, y) = (y, -x).

9.50.

Para cada um dos seguintes operadores T; R 3 -> R 3 , encontre todos os autovalores e uma base para cada auto-espaço (i) T(,x y, z) = (x y z, 2y z, 2y 3z); (ii) T(x, y, z) = (x, y, y z, -2y- z); (iii) T(x, y, z) = (x- y, 2x 3y 2z, x y 2z).

+

+

9.51.

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

Para cada uma das seguintes matrizes sôbre o corpo complexo C, encontre todos os autovalores e autovetores linearmente independentes

(i)

(~

(ii) (

~

~)

'

(iii)

(i'1 -3i)' -1

'

. (tv)

( 1 1

-2) -1

9.52.

Suponha que. t• é um autovetor dos operadores S e T. Mostre que v é também um autovetor do operador aS+ bT, onde a e b são escalares quaisquer.

9.53.

Suponha que v é um autovetor de um operador T pertencente ao autovalor Mostre que, para n > O, v é também um autovetor de T pertencente a Àn.

9.54.

Suponha que À é um autovalor de um operador T. Mostre que j(À) é um autovalor de j(T).

9.55.

Mostre que matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores.

9.56.

À.

Mostre que matrizes A e A 1 têm os mesmos autovalores. Dê um exemplo onde

A e A 1 têm autovetores diferentes. 9.57.

Sejam S e T operadores lineares tais que ST = TS. Seja À tim autovalor de T e seja W seu auto-espaço. Mostre que ·w é invariante sob S, isto é, S(W) c: W·

9.58.

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo complexo C. Seja W 7"o {O} um subespaço de V invariante sob um operador linear T: V--> V. Mostre que W contém um. autovetor não-nulo de T.

9.59.

Seja A uma matriz quadrada n X n sôbre K. Sejam Vt. . . . , Vn E ~ autovetores linear11;1ente independentes de A pertencentes aos autovalores À 1 , . . . , Àn, respectivamente. Seja P a matriz cujas colunas são os vetores Vt. . . . , vn. Mostre que p- 1AP é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores Àl, •,

•J

Àn•

POLINÔMIOS MÍNIMO E CARACTERÍSTICO 9.60.

Para cada matriz, encontre um polinômio para o qual a matriz é uma raiz (ii) B

=

(58 -1)3

(iii)

c=

G

3 5

o

CAP. 9] 9.61.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Considere a matriz quadrada nXn

(~

A

Mostre que j(t)

9.62.

9.63.

=

o À

H1J

o o o o

(I- À)n é polinômio mínimo e polinômio 'característico de A.

Encontre os polinômios mínimo. e característico de cada matriz

A~ (i

~-~--

265

5 2

o o o o

o 4 2 o 3 5 o o o

Sejam A=

(~

2

o

~) (~ B=

n

e B

=

(g

3

o o o o

o 3 o o 3 o o o o 2

o

n

ll c~(~

o o À o o À o o o o

o o o À

o

~)

À .·

Mostre que A e B têm polinô-

mios característicos diferentes (logo, não são semelhantes), mas têm o mesmo polinômio mínimo. Assim, matrizes não-singulares podem ter o mesmo polinômio mínimo. I'

9.64.

A transformação T : V -> V definida por T(v) = kv é chamada a transformação escalar pertencente a k E K. Mostre que T é a transformação escalar perten· cente a k E K se, e somente se, o polinômio mínimo ·de T é m(t) = t - k.

9.65.

Seja A uma matriz quadrada n X n, para a qual A Mostre que An = O.

k =

O para algum k

> n.

9.66.

Mostre que a matriz A e sua transposta A' têm o mesmo polinômio mínimo.

9.67.

Suponha que f(t) é um polinômio môcho irredutível, para o qual j(T) = O, onde T é um operador linear T : V ...... V. Mostre que f(t) é o polinômio mínimo de T.

9.68.

Considere uma matriz de blocos M = . (

ti= M =

(

ti-A -C

-B)

~ ~

) .

Mostre que

é a matriz característica de M.

tl-D

9.69.

Seja T um operador linear num espaço vetorial V de dimensão finita. Seja W um subespaço de V invariante sob T, isto é, T(W)c:: W. Seja Tw: W - t W a restrição de T a W. (i) Mostre que·o polinômio característico de Tw divide o polinômio característico de T. (ii) Mostre que o polinômio mínimo de T w divide o polinômio mí':'imo de T. ·

9.70.

Seja A =

(

au a 21 aa1

a1a) a 22 a 23 aa1 aaa

a12

•

Mostre que o polinômio característico de A é

I

a2~)'t-l :~~ :~: :~:I a31 aa2 aaa

t.(t} = t3- (au +a22+aaa)t2+ ( au a121 + \ au a131+1 a22 a21 a22 aal a33 aa2 ad .

9.71. ; Seja A uma matriz quadrada n X n. O determinante da matriz de ordem n -m obtido pela remoção de linhas e colunas que passam através de m elementos diagonais de A é chamada uma menor principal de grau n-m. Mostre que o coefi-

266

AUTOVALORES E AUTOVETORES

[CAP. 9

ciente de t"' no polinômio característico ..1(t) "" !ti- A I é a sorna .de todos os menores principais de A) e grau n'-m multiplicada por (-'1),._,._ (Observe que o problema precedente é um caso especial [email protected] resultado.)

9.72.

Considere um po•;nôrnio rnllcho arbitrário /(l) = t" + a..-tl,._1 + ... + a 1t +aoA seguinte rnátriz quadrada n X n é chamada matm companheira de j(t)

A""

(LL. ·~ -~:.) o

o ...

1

--a,-1

Mostre que /(t) é o polinômio mlnirno de A.

9.73.

Encontre urna (ii) t 4 - St'- 2t

matriz

+ 1t + 4.

A,

cujo

polinômio

rnlnirno

é (i) . . - St1

+ 6t + 8,

DIAGONALIZAÇÃO 9.7.&.

Seja A = (:

!)

urna matriz sôbre o corpo real R. Encontre condições neces-

sárias e suficientes em a, b e c, para que A seja diagonalizável, isto é, tenha dois autovetores linearmente independentes.

9.75.

Mostre que urna matriz (operador) é diagonalizável se, e somente se, seu polin6~io rnlnimo é um produto de fat6res lineares distintos..

9.77•. Sejam A e B matrizes quadradas n X n slibre K, tais que (i) AB - BA e (ii) A e B são diagonalizáveis. Mostre que A e "1J podem ser simult!nearnente diagonalizáveis, isto é, existe urna base de r na qual ambas ·A e B são representadas por matrizes diagonais (veja problema 9.57).

9.78.

V um operador projeção, isto é, E 2 = E. Mostre que E é diago-

Seja E : V -

nalizável e, de fato, pode ser representado pela matriz diagonal A

=

(Ir

O)

\o

o •

(!

~!),

onde r é o p&to de E.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

c:

_;~),

9.36.

j(A) =

9.3'1.

j(T)(x, y) = (4x ~ y, --2x -Sax1

g(A)-

c:~ -~~)

j(B) =

(! :) ,

g(B)"'

+ Sy).

+ (4a- Sb)x + (2a + 2b -Se).

9.38.

j(D)(v(x)) =

9.39.

AZ=

1 2)t ' A'= (1o3)t '-A ..... (o

9.40;

Pis~.

Seja A -

a, b e

c.

:

,

-(~ -~ ~) o o

2 .

(1, ")

\ot

. Faça B ""-A 1 ·e,

ent~o, •. obtenha C()ndições ,em

CAP. 9]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

9".44..

(ii) Usando (i), temos (j(A))'

9.45.

(i)

}..1

(ii)

}..1

= 1, u = (2, -1); = 1, u = (2,-3);

= 4,

(iii) }..

=

u

f(A 1)

}..2

=

}..2

= 6, v= (1, 1)

4, v

=

= f(A).

(1, 1)

(1, 1).

~~ ~)

=

Sejam Pt

=

267

e P2

~~

=

!) . Pa não existe, pois C tem somente

um autovetor independente; logo, não pode ser diagonalizável.

9.46.

(i)

ti = (1, -1, 0), v = (1, O, -1); >.. 2 = 6, w = (1, 2, 1) = 3, u = (1, 1, O), v = (1, O, 1); >..2 = 1, w = (2, -1, 1) >.. = 1, u = (1, O, O), v = (0, O, 1).

>..1 = 2,

(ii) >.. 1 (iii)

1 Sejam P1

=

1

-1

(

O

o

-1

P 3 não existe, pois C tem, no máximo, dóis autovetores linearmente independentes; logo, não pode ser diagonalizável.

I

9.47.

(i)

>.. = 3, u = (1, -1); (ii) B não tem autovalores (em R).

9.48.

(i)

x = 3,

9.49.

=

(i)

}..1

(ii)

ÀI"'

u = (1, -1). (ii) 'Xt

2, u 1,

=

(3, -1); À~ (1, 1);

U"'

}..2

2i, u = (1, 3, -2i); X2 = -2i, v

=

= 6, v = 11 =

= -1,

= {1, 3 + U).

(1, 1). (1, -1).

(iii) Não há autovalooes (em R).

9.50.

9.51.

o O); X2 = 4, v = (1, 1, 2). = (l, O, U). Não há outms autovalooes (em R). u = (1, O, -1); À 2 = 2, 11 = (2, -2, -1); Àa = 3, w =

(i)

'Xt = 1, u = (1,

(ii)

À

(iii)

Ãt =

(i)

=

1, u

1,

>.t = 1, u = (1, O);

(ii) X = 1, u

9.56.

= 2,

(iii}

À1

(iv)

Àt =

Seja A

u

=

À2

= i, v = (1, 1 +i).

(1, O).

=

(3,

~); }..2 =

i, u = (2, 1- i); X2

= ( 1 1) . Então,

espaço de

O

À

(1, -2, -1).

1

= 1.

.

-2, v = (1,

= -i, À

=

v

=

4).

(2, 1

+ i).

1 é o único autovalo• e v

Por outm lado, para A 1

=

G ~) ,

autovalor, mas w = (O, 1) gera o auto-espaço de

À

=

À

=

(1, O) gera o auto-

=1

é ainda o único

1.

9.57.

Seja v E W; logo, T(v) = Àv. Então, T(S11) = S('Fv) = S(>..v) = À(Sv), isto é, Sv é um autovetor de T pertencente ao autovalor À. Em outras palavras, S v E W; assim, S(W) c W.

9.5&.

Seja T : W ~ W a restrição de T a W. O polirillmio característico de T é um polinômio sôbre o corpo complexo C que, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, tem uma raiz À. Então, >. é um autovalor de T; logo, T tem um autovetor não-nulo em W, que é. também um autovetor de T.

268

AUTOVALORES E AUTOVETORES

9.59.

Suponh';i T(v) ~ >.v. Então, (kT)(v) = kT(v) = k(>.v) = (k>.)v.

9.60.

(i) /(t) = t 2

9.62.

(i)

-

A(t) = (t-

8t

+ 43,

2) 3(t-

(ii) g(t) = t 2

7) 2 ;

m(t) = (I-

-

8t

+ 23,

2) 2 (1-

(iii) h(t) = t 3 - 6t 2

7).

(ii) A(t) =. (t- 3)5; m(t) = ·(t- 3) 3• .(iii) A(t)

9.73.

(t- >.) 5; m(t)

=

t- >..

.

Use o resultado do problema 9.72 .

(i)

9.77.

=

A =

(001 0 -~8)

,

(ii) A =

(0~1·

o

o 1

o

Pista. Use o resultado do problema 9.57.

,l;

.:

··.

[CAP. 9

+ St- 12.

Capítulo 10

\

Formas Canônicas INTRO:I)UÇÃO Seja T um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita. /'éomo foi visto no capitulo precedente, T pode não ter uma representação ma·tricial diagonal. Entretanto, é ainda possível "simplificar" a rel?resentação matricial de T de várias maneiras. ~sse é o principal tópico nest'e capítulo. Em particular, obtemos o teorema da decomposição em primos e as formas canônicas triangular, de Jordan e racional. Observamos que a.S formas canônicas triangular e de Jordan de T existem se, e sômente se, o polinômio característico A(t) de T tem tôdas as Slla_§_ !"~:zes no corpo básico K. _Isto é sempre vercl_ad~; se K é o corpo complexo c, mas pOdenão ser verdade se K é o corpo real R. T~mbém introouz:remos a idéia de espaço quoci~nte. Essa é uma ferramenta muito poderosa e será usada na demonstração da existência das formas canônicas triangular e racional. "..

FORMA TRIANGULAR Seja T um operador linear num espaço vetorial n-dimensional V. Suponha que T pode ser representado por uma matriz :triangular

Então, o polinômio característico de T, A(t) =

Iti- A!

=

(t - a 11 )(t- a 22)

•••

(t - a,.,.),

é um produto de fatôres lineares. A recíproca é também verdadeira e é um teorema importante, como segue. V~ V um operador linear, cujo polinômio característico se .fatora em polinômios lineares. Então, existe uma base rle V,, na qual T é representado por uma matriz triangular.

Teorema 10.1. Seja T :

Forma Alternativa do Teorema 10.1.

Seja A uma matriz quadrada, cujo polinômio característico se fatora em polinômios lineares. Então, A é semelhante a uma matriz triangular; .isto é, existe uma matriz inversível P tal que .IT 1AP é tri~ngular.

269

FORMAS CANôNICAS

270

[CAP. 10

Dizemos que um operador T pode ser pôsto na forma triangular se· êle pode ser representado por uma matriz triangular. Note que, nesse caso, os autovalores de T são precisamente os t>lementos que aparecem na diagonal principal. Daremos uma aplicação dessa observação. Exemplo ·10.1. Seja A uma matriz quadrada sôbre o corpo complexo C. Suponha que )1. é um autovalor de A 2• Mo5tre que VA ou -0 é um autovalor de A. Sa~ hemos: pelo teorema anterior, que A é semelhante a uma· matriz triangular

B

~

(" ,:

...

]

Portanto, A 2 é semelhante à matriz

B2 =

(~~~ Pi

:) P!

Como matrizes semelhantes t~m os mesmos autovalores, )1. = p.: para algum i. Portanto, P.i = VA ou P.i = -V\; isto é, VA 'ou -0 é um autovalor c' e A.

INVARIÂNCIA Seja T: V- V linear. Diz-se que um subespaço W ~ V é invariante sob T, ou T-invariante, se .T transforma W em si mesmo, isto é, se v E W implica T(v) E W. Neste caso, T restrito a W define um· operador linear em W; isto é, T induz um operador linear T: W- W definidq por T(w) = T(w) para todo w E W.

r

Exemplo 10.2. Seja :'R 3 -> R 3 um operador linear que gira cada vetor em re. !ação ao eixo dos z de um ângulo 8 r(x, y, z) = (x cos 8- y sen 8,

X

sen 8

+ y cos 8,

z)

Observe que cada vetor w = (a, b, O) no plano xy, W, permanece em W sob a transformação T, isto é, W é r-invariante. Observe também que o eixo dos z, U é invariante sob r. Além disso, a restrição de T em W gira cada vetor em relação à origem O, e a restrição de r a U é a trãnsformação identidade em U.

y X

.

Exemplo 10.3. AutovêtOI'C!s não-nulos dê iJin operador linear r: V-> V podem ser caracterizados como geradores de subespàços unidimensionais r-invariantes. De fato, suponha que r(v) =>.v, li!;'! O. Então, W == {kv, k E Kl. o subespaço unidimensional gerado por v, é invariante sob T, porque T(kv) = kT(iJ) ,.;, k(Xv) = k>.v E W.

Reciprocamente, suponha que dim U = 1 e u ;o! O gera U e .que U é invariante sob T. Então, T(u) E U; logo, r (u) é múltiplo de u, isto é, r(u) - pU. Portanto, u é autovetor de r. ·

FORMAS CANôNICAS

fCAP. 10]

271

O teorema seguinte dá-nos uma classe importante de subespaços invariantes. Teorema 10.2. Seja T: V - t V linear e seja f(t) qualquer polinômio. Então, o n(Jcleo de f(T) é invariante sob T. A noção de invariância está relacionada às representaçõ.es matriciais como segue. T,orema 10.3. Suponha que W é subespaço invariante de

r: v- v.

(Ao ~

Então, T tem uma representação matricial de blocos

~)

, onde

A é representação matricial da restrição de Ta W.

DECOMPOSIÇÕES EM SOMAS DIRETAS INVARIANTES W1,

Um espaço vetorial V é denominado soma direta de seus subespaços lVr, escrito ~-~-

..• ,

v = wl $ w2 $

... $.

w.

se todo vetor v E V pode ser escrito de maneira única na forma v = wl

+ Wz + . . . + w.

wi E

com

wi

"

O seguinte teorema surge.

Teorema 10.4. Suponha que W1 , que {Wu, ... '

... ,

W. são subespaços de V e suponha

.

Wlnt}' . ·.. ' { Wrv . . . ·, Wrnr.l

são bases de W 1 , . . . , W., respectivamente, dos wi se, e sàmente se, a união

Então,

V é soma direta

é base de V.

Agora, suponha que T : V._ V é linear e V é paços r-invariantes (não-nulos) W 11 ••• , W. V= W 1 $ ...

(f)

w.

e

asoma direta de subes-

T(W,)c Wu i= 1, ... ,r

Anote por 1~ a restrição de T a W,. Então, diz-se que T é decompon!vel nos operadores T, ou que T é a soma direta dos T. e escreve-se

r

=

T1 $

... G:J

r.

W. reduzem T ou formam uma decomposição em soma direta T-invariante de V.

Também se diz que os subespaços W 1 ,

... ,

Considere o caso especial em que dois subespaços U e W reduzem um operador T : V - t V, digamos, dim U = 2 e dim W = 3,· e sup<)nha que fuu u 2 ) e {w1 , W 2 , w 3 ) são bases de U e W, respectivamente. Se T 1 e T2 denotam restrições de T a U e W, respectivamente, então

FORMAS CANÔNICAS

272

= T1(uJ = T1(u1)

a 11u 1 a21u1

[CAP. 10

T2(w1) = buw1 T2(w2) = b21Wi T2(wa) = ba1W~

+ a12u 2 + a22U2

+ b12w2 + b13Wa + b22W2 + b2aWa + ba2W? + baaWa

Portanto, e

B

são representações matriciais de T 1 e T 2 , respectivamente. Pelo teorema acima, {u 1 , u 2 , w 1 , w 2, w 3 } é base de V. Como T(u;) = T 1(u 1) e T(w;) = T 2 (w;), a matriz de T nessa base é a matriz diagonal de blocos

(~

~)

A generalização do argumento acima dá-nos o seguill\e teorema.

Teorema 10.5. Suponha que T : V~ V é linear e que V é a soma. direta de subespaços T-invariantes W 1 , . . . , W,. Se A; é a representação matricial da restrição de T a W 1 , então T pode ser representado pela matriz diagonal de blocos

(~~ -~·2·

M

..

. . ·. ·.: . . .

~-)

O O .. . A. A matriz diagonal de blocos M com elementos diagonais A 1 , . • . , Ar é, algumas vêzes; chamada soma direta das matrizes A 1 , :. :, A. e anotada M =AI® ... ®A •.

DECOMPOSIÇÃO EM PRIMOS O seguinte teorema mostra que qualquer operador T .: V~ V é decomponível em operadores, cujos polinômios mínimos são potências de polinômios irredutíveis. );:sse é o primeiro passo na obtenção de u~a forma canônica de T.

Teorema da Decomposição em Primos 10.6. Seja T : V----. V um operador linear, com polinômio mínimo m(t) = fi(t)" 1!2tt)" 2 ... j,(t)"', onde os f;(t) são polinômios irredutíveis mochos distintos.. EntãÕ, V é a soma direta de subespaços T-invariantes W1 , . . . , W,, onde W 1 é o núcleo de j;(T)"1 • Além disso, f 1(t)" 1 é o polinômio mínimo da restrição de Ta Wt. Como os polinômios/;(t)" 1 são primos entre !3i, o resultado fundamental acima segue (problerha10.11) dos dois teoremtis ''séguíntes .

.Teorema:10.7. -~upo~ha polinômios tais que f(T)

qu~ T: V~ =:'

V é Ji~ear. e. que f(t) = g(Dh(t) são O e g(t) e h(t) são primos entre si. E:;ntão, V

FORMAS CANÔNICAS

CAP. 10]

é a &orna direta dos subespaços = Nuc h(T).

T~invariantes

273

U e W, onde U

=

Nuc

g(T) e W

Teorema 10.8. No teorema 1O. 7, se f(t) é o polinômio mínimo de T (e g(t) e h(t) são mochos), então g(t) e h(t) são os polinômios mínimos das restrições de- Ta U e W, respectivamente. Também usaremos o teorema da decomposição em primos para defmonstrar a se-guinte caracterização útil de operadores diagonalizáveis. Teorema 10.9. Um operador linear T: V~ V tem representação matricial diagonal se, e sõmente se, seu polinômio mínimo m(t) é um produto de polinômios lineares distintos. Forma Alternativa do Teorema 10.9. Uma matriz A é semelhante a uma matriz diagonal se, e sõmente se, seu· polinômio mínimo é produto de polinômios lineares distintos. Exemplo 10.4. Suponha que A ~ I é uma málriz qua.drada, para a qual A 3 = I. Determine se A é semelhante a uma matriz diagonal, quando A é uma matriz sôbre (i) o cm·po real R, (ii) o corpo complexo C. Como AS nômio mínimo

=

I; A é um zero do polinômio J(l) = t 3 - 1 = (t- 1) (1 2 de A não pode ser t- 1, pois A ~ I. Portanto,

+ t + 1).

O poli-

m(t~

m(t) = t 2

+t +1

ou m(t) =

13 -

1

Como nenhum dêsses polinômios é um produto de polinômios lineares sôbre R, A não é diagonalizável sôbre R, Por outro lado, cada um dos polinômios é um produto de polinômios lineares distintos sôbre C. Portanto, A é diagonalizável sôbre ·C.

OPERADORES NULPOTENTES

Um operador linear T : V -~ V é chamado nulpotente se P = O para algum inteiro positivo n; chamamos k o índice de nulpotincía de T se Tk = O, mas r~-t -,é O. Anàlogamente; uma matriz quadrada é chamada nulpotente se"An =O para algúm inteiro positlvo n e·tndice k se A&= O, mas A k-I ~ O. Evrdentemente, o polinômio mínimo· de um operador (m~triz) nuli:fotente de índice k é m(i) = tt; portanto, seu único autovalor é zero. O resultado fundamental de operadores

nu~potentes

segue.

Teorema 10.10. Seja T: V~ V um operador nulpotente de índice k. Então, ·T tem uma representação matricial diagonal de blocos, cujos ele. rnentos diagonais são da forma

N

~ (~ ~ I< ~ ~)

FORMAS CANôNICAS

274

[CAP.lO

(isto é,· todos os elementos de N são O, exceto aquêles logo acima da diagonal principal, que são 1). Existe, pelo menos, um N de ordem k e todos os outros N são de ordens ~ k, O número de N de cada ordem possível é determinado de maneira única por T. Além disso, o número total de N de tôdas as ordens é igual à nulidade de T. Na demonstração do teorema acima, mostraremos que o número de N de ordem i é :im,- mi+ 1 - m,_1 , onde m, é a nulidade de T'. Observamos que a matriz N acima é nulpotente e que seu índice de nulpotência é igual à sua ordem (problema 10.13). Note que a matriz N de ordem 1 nada mais é do que a matriz zero 1 X 1 (O).

FORMA CANÔNICA DE' JORDAN Um operador T pode ser pôsto na forma canônica de Jordan se seus polinômios característico e mínimo se fatoram em polinômios lineares. Isto é sempre verdadeiro se K fôr o corpo complexo c. Em qualquer caso, podemos sempre estender o corpo básico K a um corpo em que os polinômios mínimo e caracterí~tico fatoram-se em fatôres lineares; assim,· em sentido amplo, todo operador tem uma forma canônica de Jordan. Anàlogamente, tôda matriz é semelhante a uma matriz na forma canô- nica de Jordan.

Teorema 10.11. Seja T: V---+- V um operador linear, cujos polinômios

mínim~cterístico são, respectivamente,

~

~ (t)= m(~l

(t

--:~l)"I

. , . (t :::->-..)"',

e

= Jl__~ ~~)ml ... (t - X,)mr

onde os X. são escalares distintos. Então, T tem uma repr-esentação matricial diagonal em blocos J, cujos elementos diagonais são da"forma

J"~ G~· ~ :.: +D Para cada X,, os blocos correspondentes J;; têm as seguintes propriedades (i)

Existe, ao menos, um J;; de ordem m;; todos os outros J 1; são de ordem $ m1• ~-~ f'v'Y)~ ~~"''f-;~~'~~~­

(ii) -A soma das

o~s~;~::'~'\\

(iii) O número dos J 1; é igual à multiplicidade .geométrica dos X;. (i~) O número dos única por T.

J.; de cada ordem possível é determinado ···· ·

de .maneira

CAP. 10]

FORMAS CANôNICAS

275

A matriz J, que aparece no teorema anterior, é chamada a forma canônica de Jordan do operador T. Um bloco diagonal J 1; é chamado um bloco de Jordan pertencente ao autovalor X;. Observe que

(~ ~ ~. ::: ~ ~) ( ~~ -~-::: -~· -~) . .. . .. o o.o ... X;l

000

o o ... X1 o o o

0:\1

Isto é,

0

(~·o .~o.. o~.:::... .~.o -~)

+

1

o o o

À;

o o

+

J;; = X;l N, onde N é o bloco nulpotente que aparece no teorema 10.10. Provaremos o teorema dado (problema 10.18), mostrando que T pode ser decomposto em operadores, cada um dos quais é a soma de um operador escalar e de um operador nulpotente. Exemplo 10.5. Suponha que os polinômios ·característico e mínimo de um operador T são, respectivamente, ·

= (t- 2) 4(t- 3)3 e m(t) = (t- 2) 2(1- 3) 2

L\(t)

Então, a forma canônica de Jordan de T é uma das seguintes matrizes 2 0 -

1 I 2 I -

--j

2 1 I 0 2 I - - --j -2- 1

2 -1--,

0 2 I L __ L __ 1 1 3 1 r 0 3 I

I

k

_

_

ou

L

-

J _ I3

1~2 I L~--

3 1 0 L -

r' 3 I -

~

-

13

A primeira matriz ocorre se T tem dois autovetores independentes pertencentes ao seu autovalor 2; e a segunda matriz ocorre se T tem três autovetores independentes pertencentes a 2.

SUBESPAÇOS CÍCLICOS Seja .T um operador linear mim espaço vetorial V de dimensão finita sôbre K. Suponha que v E V e v >=O. O conjunto de todos os vetores da forma f(T)(v ), ónde f(t) vat ia sôbre todos os polinômios sôbre K, é um subespaço T-invarlante de V, chamado o subespaço T-cíclico de V gerado por v; nós o denotamos por Z(v, T) e denotamos a restrição de T a Z(v, T) por T.. Poderíamos, equivalentemente, definir Z(v, T) como a interseção de todos .. os subespaços T-invariantes de V contendo v. Agora, considere a seqüência v, T(v), 'P(v), TB(v), .. ·~ ·de potências de T agindo sôbre v. Seja k o menor inteiro tal que Tt(v) é combinação lifiear.dos vetores que o precedem na seqüência; digamos, Tk(v) = -a~r 1 Tk- 1 (v)....: ... - a 1 T(v)- aov

J

FORMAS CANôNICAS

276

Então, m,(t)

=

tk

ICAP. 10

+ ak-lt~<-l + ... + a 1t + a0

é o. único polinômio môcho de grau mínimo, para o qual m,(T)(v) Chamamos m,(T) o T-anulador de v e Z(v, T).

=

O.

O seguinte teorema surge.

Teorema 10.12. Sejam Z(v, T), T. e m,(t) definidos como acima. (i)

O conjunto {v, T(v), ... , Tk-l(v)} dim Z(v, T) = k.

é base de Z(v, T);

Então, portanto,

(ii) O polinômio mínimo de T. é m. (t). (iii) A representação matricial de T. na base acima é

o o

o 1

C=

o

o

o

1

.. . ..

o o o

o

. .............

o o o o o o

~

..... .

o 1

A matriz C acima é chamada matriz companheira do polinômio m.(t). FORMA CANÔNICA RACIONAL

Nesta seção, aptesentaremos a forma canônica racional pata Úm operador T: V~ V. Enfatizamos que esta forma existe, mesmo quando o polinômio·mínimo não pode ser fatorado em polinômios lineares. (Lembre que tal não é o caso para a forma canônica de Jordan.)

Lema 10.13. Seja T: V - t V um operador linear, cujo polinômio mínimo é f(t)", onde f(t) é um polinômio môcho irredutível. soma direta . V = Z(v 1 , T) ® ... ® Z(v,, T)

Então, V é a

de subespaços T-cíclicos Z(v;, T) com T-anuladores correspondentes . f(t~'\j(t)" 2 ,

•• •

,j(t)\

n

=

n1 ~ n2 ~

•••

~ n.

Qualquer outra decomposição de V em subespaços T-cíclicos tem o mesmo número de componentes e o ~esmo conjunto de T-anuladores . . Enfatizamos que o lema acima não afirma que os vetores V.; ou os subespaços T-cíclicos Z(v1 , T) são determinados de maneira. única por T; mas afi1ma que o conjunto dos T-anuladores são determinados de marieira única por T. Assim, T tem uma representação matricial única

cl (

c2

·;

\

c.)

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

onde os C; são matrizes companheiras. panheiras dos polinômios f(t)" 1•

277

De fato, os C; são matrizes com-

Usando o teorema da decomposição em primos e o lema apresentado, obtemos o seguinte resultado fundamental.

Teorema 10.14. Seja T: V mínimo

---4

V um operador linear com polinômio

. J.(tt•. onde os fit) são polinômios irredutíveis mochos distintos. Então, T teÍn uma única representação matricial diagonal de blocos

Cu

onde os C;; são matrizes companheiras. Em particular, os C1; são as matrizes companheiras dos polinômios j 1(t)n 11 , onde Essa representação matricial de T é chamada forma canônica racional. Os polinômios f;(tt 11 são chamados divisores elementares de T. Exemplo 10.6. Seja V um espaço vetorial de dimensão 6 sôbre R e seja T um operador linear cujo mínimo polinomial é m(t) ~ (t 2 - t 3)(t- 2) 2 . Então, a forma canônica racional de é uma das seguintes somas diretas de matrizes companheiras

+

t

(i)

C(t 2

(ii)

C(t 2 - t

(iii) C(t 2

-

-

t

t

+ 3) $ + 3) $ + 3) $

C(t 2

-

t

+ 3) $

C((t- 2)

C((t-

2

)

2) 2)

C((t- 2) 2)

$ C((t- 2) 2) $ C(t- 2)

+$

C(t- 2),.

onde C(f(t)) é a matriz companheira de j(t); isto é,

o

-3 '

1

1 I

---t---1

o -3 ' 1 1 I ---+--,

I O -3 1 1 I

I O -4 1 4 I

L--~--0-4 4 (i)

L--~--10-4 ' 1 4

(i i)

-3 ' l

1 I

---1-----"1 I O -4 I 1 4 L _ _ _I _ ,

L?::....l,2 (i i i)

ESPAÇOS-QUOCIENTE Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K e seja W um subespaço de V.' Se v é qualquer vetor em V, escrevemos v+ W para o conjunto de Ramas' v + w com w E W v+ W = Iv+ w,: w E Wj

FORMAS CANÓNlCAS

278

[CAP. 10

Êsses conjuntos são chamados classes laterais de W em V. Mostra· remos (problema 10.22) que essas classes laterais decompõem V em subconjuntos mutuamente disjuntos. Y·

v+W

Exemplo 10.7. Seja W o subespaço de R 2 , definido por TV= {(a,b):a=bl

Isto é, W é a reta dada pela equação x- y = O. Podemos encarar v n· como uma translação da reta, obtida adicionando o vetor v a cada ponto de H'- Como se vê no diagrama, v W é também uma reta. Assim, as classes laterais de TV em R 2 são, precisamente, tôdas as retas paralelas a T•V.

+

X

+

'

No teorema seguinte, usaremos as classes laterais de um subespaço um espaço vetorial v para definir um nôvo espaço vetorial; êle será. chamado espaço-quociente de V por lV e anotado VIW.

w de

Teorema 10.15. Seja W um subespaço de um espaço vetorial sôbre um corpo K. Então, as classes laterais de W em V formam um espaço vetorial sôbre K, com as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar (i)

(u

+ W) + (v + W)

(u

=

+ v) + W

k(u + W) = ku + W, onde k E K. Notamos que, na demonstração do teorema acima, é necessário -primeiro mostrar que as operações estão bem definidas; isto é, sempre que u + W = u' + W e v+ W =v'+ W, então, (i) (u + v) + W = (u' + v') + W e (ii) ku + W = ku' + ·w, para qualquer k E K. (ii)

No caso de um subespaço invariante, temos o seguinte resultado útil.

Teorema 10.16. Suponha que W é um subespaço invariante sob um operador linear T : V~ V. Então, T induz Um operador linear T em V/W

definido por T(v + W) = T(v) polinBmio, então T também é. o polinBmio mínimo de T.

+ W.

Além disso, se T é raiz de algum Assim, o polinBmio mínimo de T divide

Problemas Resolvidos SUBESPAÇOS INVARIANTES 10.1.

Suponha que T : V~· V é linear. Mostre que cada um dos seguintes é invariante sob T. (i) {0}. (ii) V, (iii) núcleo de T, (iv) imagem de T.

FORMAS CANONICAS

CAP. 10] (í)

279

Temos T(O) =O E {O); portanto, (O) é invariante sob T.

(ii) Pa~ todo 11 E V, T(11) E V; portanto, V é invariante sob T. (iii) Seja u E Nuc T. Então, T(u) =O E Nuc T, pois ·o núcleo de T é subespaço de V. Assim, Nuc T é invariante sob T . . (iv) Como T(v) E Im T para todo v E V, isso é certamente verdade se 11 E Im T. Portanto, a imagem de T é invariante sob T.

10.2.

Suponha que {W;} é uma coleção de subespaços T-invariantes de um espaço vetorial V. Mostre que a interseção W = () 1 W, é também T-invariante. Suponha que v E W; então, 11 E W; para qualquer i. riante, T(11) E W; para qualquer i. Assim, T{11) E W T-invariante.

10.3.

Como W; é T-inva-

= O;W;. Logo, W é

Demonstre o teorema 10.2. Seja T: V~ V qualquer operador linear e seja f(t) qualquer polinômio. Então, o núcleo de j(T) é invariante sob T. Suponha que 11 E Nucj(T), isto é, j{T)(11) = O. PreciEamos mostrar qt:e T(v) também pertence ao núcleo de J(T), isto é, j(T)(T(v)) =0. Como f(t)t = tj(t), temos j(T)T = Tj(T). Assim, j(T)T(v) = Tj(T)(v) = T(O) =O, como procurado.

10.4.

Encontre todos os subespaços invariantes de A = carado como um operador no R 2 •

(21 -2-5)

Primeiro, temos que R 2 .e {O} são invariantes sob A. Agora, se A ttm outros subespaços invariantes, devem ser l-dimensional. Entretanto, o poEnômio característico de A é

Iti -

I=

t- 2

I

+

5 = t2 1. t+2 l -1 Portanto, A não ·tem autovalores (em R); logo, A não tem autovetores. Mas õ{t) =

A

os subespaços invariantes unidimensionais são correspondentes aos autovetores; assim, R 2 e {O} são os únicos· subespaços invariantes sob A.

10.5.

Demonstre o teorema 10.3. Suponha que W é um subespaço.invariante de T: V--> V. Então, T tem uma representação matricial diagonal de blocos

(~

~)

, onde A é representação matricial

da restrição T de T a W. Escolhemos uma base {w 1, ... , wr} de H' e a estendemos a uma base 111, ••• , v.} de V. Temos

{wt •... , w,.,

Í\wt) = T(wt) = auw1 T(w2) = T(wz) = auwt

+ .. + UtrWr

+ ... + a2rWr + a,,w,

T{111) = /:rnWI T(112) = binwl

+ ... + blrWr + Cuiii + + + b2rWr + c21v1 +

T(v.)

+ ... + bsrWr + C8llll + ... + c.,v,

=

b,tWt

FORMAS CANôNICAS

280

[CAP. 10 _

Mas a matriz de T nessa base é a transposta da matriz dos coeficientes no sistema de equações já apresentado.

Logo, ela tem a forma

(~ ~)

,

onde A é a transposta da matriz dos coeficientes para o subsistema óbvio. Pelo mesmo argumento, A é a matriz de Tem relação à base {w;J de H'.

10.6.

Seja T a restrição de um operador T de um subespaço invariante W, isto é, T (w) = T(w) para todo w E W. Demonstre (i)

Para qualquer polinômio f(t), j(T)(w) = f(T)(w).

(ii) O polinômio mínimo .de (i)

T

divide o polinômio mínimo de T.

Se j(t) = O 1 e que o resultado vale para polinômios de grau menor do que 11. Suponha que

Então,

=

+ aol)(w) 1 + + ao])(-u_.) (a.r- 1)(T(w)) + (a.- 1 T"- 1 + + aol)(w)

=

j(T)(w).

j(F)(w) = (anT" =

+ an-d""- 1 +

(a.r"- )(J'{w)) + (a.-tf'"1

(ii) Seja m(t) o polinômio mínimo de T. Então, por (i), m(T)(w) = m(T)(w) = = O(w) = O para todo w E W; isto é, T é raiz do polinômio m(t). Portanto, o polinômio mínimo de T divide m(t).

DECOMPOSIÇÕES EM SOMAS DIRETAS INVARIANTES 10.7.

Demonstre o teorema 10.4. Suponha que W 1 , . . . , Wr são subespaços de V e suponha, para i = 1, ... , r, que {Ww . . . , w,-. 1 } é base de W 1• Então, V é a soma direta dos W 1 se, e somente se, a união B = {w11 , . . . , w 1, 1 , . . . , wr 1 , . . . , wrn,l é base de V. Suponha que B é .v= a 11w 11 = w1

b;;~se

de V. Então, para qualquer v

E

V,

+

+ W2 + + Wr, + + a;, w;,

onde w; = ailwi1 é única.

1

1

E

lV;.

Mostraremos, a seguir, que tal soma

Suponha que·

w; +.w; + ... +- w;, onde w; E H';. é base de W,, w; =_ b;tWit + ... + b,, 1W;n,-:

v =

Como {w;l, . -., Win;l

logo,

w;:

Como B é base de V, au = b;;, para cada i e cada j. Portanto, w; = logo, a soma para v é única. De acôrdo com isso, V é a soma direta dos T.f!,-. · Reciprocamente, suponha. que V é __a soma direta- dos W,-. Então, para qualquer v E V, v = w 1 + ... + Wr, onde w; E W;. ·como {w;;,.l é base de W;, cada

W;

é combinação linear dos w;;,; logo, v é combinação linear dos elementos

CAP. 10]

FORMAS CANôNICAS

281

de B. Assim, B transforma V. Mostraremos, agora, que B é linearmente inde· pendente. Suponha que

auwu

+ ...

+

ainiWini

+ ... +

ariWri

+ ... + a.n,wrn, = O.

Note que lliiWii + ... +ain;Win; E W;. Também temos que O =O+ O+ ... +O, onde O E W;. Como tal soma é única para O, aiiWii

+ ... + ain;Win; = O para

i

= 1, ... ,

r.

A independência da base {wii;l implica que todos os a são O. Assim, B é -linearmente independente e, portanto, é base de V.

10.8.

Suponha que T : v---> v é linear e que T = TI ~ r~ em rdação a uma decomposição em soma direta T-invariante V = U ~ W. Mostre que (i)

m(t) é o menor múltiplo comum de mi(t) e m 2 \t), onde m(t), m 1(t) e mit) são os polinômios mínimo'sde T, T 1 e T 2, respectivamente;

(ii) .ó.(t) = .ó. 1(t) .ó. 2 (t), onde .ó.(t), .ó.I(t) e .ó. 2 (t) são os polinômios característicos de T,• TI e T 2 , respectivflmente. I

(i)

Pelo problema 10.6, mi(t) e m2(t) dividem m(t). Agora, suponha que j(t) é múltiplo de ambos mi(I) e m2(t); então, f(T 1 )(U) = O e. j(T2)(W) = O. Seja v E V; então, v = u w com u E U e w E TV. Agora,

+

f(T)v = f(T)u + j(T)w

= j(T1)u +

j(T2)w = O +O = O.

Isto é, T é raiz de f(t). Portanto, m(t) divide j(t); logo, m(l) é o menor múltiplo comum de m1(1). e· m2(t). (ii) Pelo teorema 10.5, T tem uma representação matricial M =

(~

;) ,

onde A e B são repoesentações matriciais de··T 1 e T 2 , respectivamente. Então, pelo problem!l 9.66,

.

ll(l) =

Iti- M I

=

lti-A o

como procurado.

10.9.

Demonstre o teorema 10.7. Suponha que T: V---> V é linear e que j(t) = g(t)h(t) são polinômios tais que f(T) = O e g(t) e h(t) sã~ primos entre s1. Então, V é a soma direta dos subespaços T-invariantes U e W, onde U = Nuc g(T) e W = Nuc h(T). Note, primeiro, que U e W são T-invariantes, pelo teorema 10.2. Agora, como g(t) e h(t) são primos enÚé si, existem polinômios r(l) e s(l) tais que r(t)g(l)

+ s(t)h(t)

=

1.

Portanto, para o operador T, r(T)g(T)

+ s(T)h(T) =

I.

Seja v E V; então, por (*), v

=

r(T)g(T)v

+ s(T)h(T)v.

(*)

282

FORMAS CANôNICAS

[CAP. 10

Mas o primeiro têrmo nessa soma pertence a !F = Nuc h(T), pois h(T)r(T)g(T)v

=

r(T)g(T)h(T)v

=

r(T)j(T)v = r(T)Ov =O.

Semelhantemente, o segundo têrmo pertence a U. Portanto, V é a soma de U e 1-V.

+

Para provar que V= U ffi H', devemos mostrar que a soma v = u w com u E U, w E H' é determinada de maneira única por v. Aplicando o opera<;lor r(T)g(T) a v = u w e usando g(T)u = O, obtemos

+

r(T)g(T)v = r(T)g(T)u

+ r(T)g(T)w

= r(T)g(T)w.

Também, aplicando (*) a w e usando h(T)w = O, obtemos w = r(T)g(T)w

+ s(T)h(T)w

= r(1')g(T)w.

Ambas as fórmulas acima nos dão w = r(T)g(T)v; logo, w é determinado de maneira única por v. Semelhantemente, u é determinado de maneira única r:or v. Portanto, V = U ffi IY, como procurado.

10.10. Demonstre o teorema 10.8. No teorema 10.7 (problema 10.9), se j(t) é o polinômio mínimo de T(e g(t) e h(t) são mochos), então g(t) é o polinômio mínimo da restrição TI de T a U e h(t) é o polinômio mínimo da restrição T 2 de Ta W. Sejam mi(t) e m 2 (1) os polinômios mínimos de T 1 e T 2 , respectivamente. :\Tote que g(T 1) = O e h(T 2 ) = O, porque U = Nuc g(T) e 1-F = Nuc h(T). Assim, m 1(t) divide g(t)

e

mz(t) divide h(t).

(1)

Pelo problema 10.9, j(t) é o menor múltiplo comum de m1(t) e m 2(t). Mas m 1(t) e m 2 (t) são. primos entre si, pois g(t) e h(t) são primos entre si. De acôrdo com isso, j(t) = m 1(t)mz(l). Também temos que j(t) = g(t)h(t). Essas duas equações juntas com (1) e ainda o fato de que todos os polinômios são mochos, implica que g(t) = m 1(t) e h(t) = mz(l), .:orno procurado.

10.11. Demonstre o teorema da decomposição em pri'mos 10.6. Seja T: V-+ V um operador linear com polinômio mínimo m(t) = f 1 (t)" 1 f 2 (tf 2 ••• fr(tf', onde os /;(t) são polinômios irredutíveis mochos distintos. Então, V é a soma direta de subespaços T-invariantes W 1 , . . . , W" onde W; é o núcleo def,(T)" 1• Além disso, f;(tt; é o polinômiO mínimo da restrição de T a W;. A demonstração é por indução em r. O caso r = 1 é trivial. Suponha que o teorema foi provado para r- 1. Pelo teorema 10.7, podemos escrever V como a soma direta de subespaços T-invariantes Hf 1 e Vi. onde !Y1 é o núcleo de fl(T)"I e onde V1 é o núcleo de f2(T)n2 ... j,(T)"'. Pelo teorema 10.8, o polinômio mínimo das restrições de T a W 1 e V 1 são, respectivamente, JI(I)"l e h(t)" 2 . . j,(t)"'· Denote por T1 a restrição de Ta VI. Pela hipótese de indução, VI é a soma direta dos subespaços Hrz, ... , W, tal que H-'; é o núcleo de j;(T 1 )"; e tal que J;(t)" 1 é o polinômio mínimo da restrição de T 1 a W;. Mas o núcleo de j;(T)" 1, para i = 2, ... , r está necessàriamente contido em V 1 , pois J;(t)" 1 divide fz(t)n 2 . . . j,(t)"r. Assim, o núcleo de f;(T)" 1 é o mesmo que o núcleo de j;(T1)"', que é W;. Também a restrição de T a _W; é a mesma restrição de T 1 a li"; (para i = 2, ... , r); portanto, j;(t)"i é também o polinômio mínimo da restrição de T a vV;. Assim, V = W 1 ffi W 2 ffi ... ffi H', é a decomposição cd T desejada.

FORMAS CANôNICAS-

CAP. 10]

283

10.12. Demonstre o teorema 10.9. Um operador linear T: V~ V tem uma representação matricial diagonal se, e somente se, seu polinômio mínimo é um produto de polinômios lineares distintos. Suponha que m(t) é um produto de polinômios lineares distintos; digamos, m(t) = (t- >-t)(l- >-2) ... (t- >.,),

onde os >.; são escalares distintos. Pelo teorema da decomposição em primos, V é a soma direta dos subespaços W1, ... , W,, onde W; = Nuc(T- >.;!).Assim, se v E w·;, então (T- X;!} (v)= O ou T(v) = >.;v. Em outras palavras, todo vetor em w, é um autovetor pertencente ao autovalor>.;. Pelo teorema 10.4, a união. de bases para W1, ... , W, é uma base de V. Esta base consiste em autovetores; logo, T é diagonalizável. Reciprocamente, suponha que T é diagonalizável, isto é, V tem uma base consistindo em autovetores de T. Sejam >. 1, _ _ .,Às os autovalores distintos de T. Então, o operador j(T) = (T- Xtl)(T_- >.2l) ... (T- >-si)

transforma cada vetor base em O. Assim, j(T) mínimo m(t) de T divide o polinômio

j(t)

=

= O e, portanto, o polinômio

(t - >-t)(t- >.2) ... (I- >.,I).

De acôrdo com isso, m(l) é um produto de polinômios lineares distintos.

OPERADORES NULPOTENTES, FORMA CANÔNICA DE JORDAN 10.13. Seja T: v~ V linear. Suponha para v E V, que Tk(v) = O mas Tk-l(v) (i)

~

O.

Demonstre

O conjunto S pendente.

=

{v, T(v), ... , Tk-l (v)}

é linearmente in de-

(i i) O subespaço W gerado por S é T-invariante.

(iii) A restrição T de Ta W é nulpotente de índice k. (iv) Em relação à base {Tk- 1 (v), .. _, T(v), v} de W, a matriz de T é da forma

~( ~o o~ :..::. o~ ~) ...

o o

...

...

...

...

1

o o

o o

Portanto, a matriz quadrada k X k acima é nulpotente de índice k. (i)

Suponha (*) 1

·"'·'·,

aTk- 1(v)

Aplicando T"- a (*) e usando T"(v) ,;, O, obtemos = O; pois, T"- 1(t•) r! O, a = O. Agora, aplicando Tk- 2 a (*) e ·usando Tlt(v) = O e a = O, encontramos a 1 Tk- 1 = O; portanto, a 1 = O. Em seguida, aplicando T"- 3 a (*) e usando T"(v) = O e a = a 1 = O, obtemos a 2 T"- 1 (v) = O; portanto, a 2 = O. Continuando êsse processo, encontraremos que todos os a são O; portanto, S é independente.

FORMAS CANÔNICA~

284

[CAP. 10

(ii) Seja v E TV. Então, v = bv

lJ sando Tk(v)

=

+ b1T(v) + b2T2(v) + ... + h- 1 Tk- 1(v)

O, temos

T(v) = bT(v)

+b

1T

2(v)

+ . + bk-2Tk-l(v) E

W

.-\ssim, J.V é T-invariante. (iii) Por hipótese, Tk(v) =O. Portanto, para i = .0, ... , k- 1, Tk(T;(v)) = Tk+i(v) = O

Isto é, aplicando Tk a cada gerador de 1-V, obtemos O; portanto, Tk = O; logo, T é nulpotente de índice no máximo igual a k. Por outro lado, rk- 1(v) = Tk- 1(v) ;;>!! O; portanto, T é nulpotente de índice exatamente k. (i v) Para a base I Tk- 1 (v), Tk- 2(v), ... , T(v), v} de TV, T(Tk- 1(v)) = rk(v) = O T(Tk- 2 (v)) = T(Tk

Tk- 1(v)

3 (v)) =

rk- 2(t•)

T(T(v)) r(v)

T(v) Portanto, a tnatriz de T nessa base é

(~ ~ ~

: ~ ~)

.. .. ... ... ..

o o o ... o 000

...

1

00

10. 14. Seja T : V - 4 V linear. Sejam U = Nuc Tl e W = Nu~ '['1+ 1 • Mostre que (i) U c W, (ii) T(W) c U. (i) Suponha que u E U = N uc T 1• Então, T 1(u) = O; logo, r 1+ 1(u) = r(T 1(u)) = 1 E Nuc T + 1 = W. Mas isto é verdade para _todo U; portanto, U c: !F.

T(O) =O. Assim, u

=

u

E

(i i) Anàlogamente, se w E IY = N li C r'+ 1 , então = T 1(t(w)) = T 1(0) = O; logo, T(H') c: U.

10.15. Seja T: Z = Nuc nha que

v

-4

_r.

r 1+ 1(w) =0.

Assim, T'+ 1 (w) =

v

linear. Sejam X = Nuc TH, y = Nuc ri-! e Pelo problema precedente, X c:: Y c Z. Supo-

{ui,··., Ur}, {ul, · · ., Ur,

'L't, · · · Vs},

{ut, .. . ,ur,VI, .. . ,va,Wu .. . ,w,f

São as bases de X, Y e Z, respectivamente. S

=

{u 17

.. ,

ur, T(w1),

••. ,

Mostre que T(we)}

está contido em Y e é linearmente indépendente. Pelo problema precedente, T(Z) c Y e, portànto, S c Y. Agora, suponha que S é linearmente independente. Entã~. existe uma reJa·ção a1u1

+ ... +

arUr

+ b1T(w1) + ... + beT(we)

=O,

285

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

onde pelo menos um coeficiente é não-nulo. Além disso, como (u;} é independente, pelo menos um dos h deve ser não-nulo. Transpondo, encontramos

+ b,T(w,) = -a1u1- . . - arUr E X = Nuc T 1- 2 Portanto, Ti.- 2 (btT(wJ) + ... + btT(wr)) = O 1 1 Assim, T - (biWI + ... + b,w,) = O; logo, btWI + ... + btWt E y = Nuc b1T(w1)

+

Ti.- 1 Como (u;, vil gera Y, obtemos a relação entre u;, Vj e Wk, onde um dos coeficientes, isto é, um dos bk, é não-nulo. Isto contradiz o fato de que (u;, Vj, Wkl é indep.endente. Portanto, 5 deve também ser independente.

10.16. Demonstre o teorema 10.10. Seja T: V - 4 V um operador nulpotente de índice k. Então, T tem uma representação matricial diagonal de blocos, cujos elementos diagonais são da forma

(~ ~ r ~ D

N

Existe, pelo menos, um N de ordem k e todos os outros N são de ordem :S k. O número de N de cada ordem possível é determinado de maneira única por T. Além disso, o número total de N de téldas as ordens é a nulidade de T. que dim V = n. Sejam H·- 1 = Nuc T, W 2 = Nuc T 2 , Faça m; = dím W;, para i = I, ... , k. Como T é de índice k, ll"k = V e Wk-I .?'- V; logo, 11lk- 1 < mk = n. Pelo problema 10.17, Suponha

H'~; = Nuc Tk.

Trl c

H'2 c

lh

... c

=

v

Assim, por indução, podemos escolher uma base lu1, luJ, ... , um1 1 é base de TV;.

. , uni de V tal que

Agora, escolhamos uma nova base para V em relação à qual T tem a forma desejada. Será conveniente rotular os membros dessa nova base por pares de índices. Comecemos pondo v(l, k)

=

Umk-I

+

=

1, v(2, k)

Um~-l

+ 2,

.. , v(mk-

11lfri.

k)

=

Umk

e v(l, k-l)

=

Tv(1, k), v(2, k-l)

=

Tv(mk- mk-1, k)

=

Tv(2, k),

.. , v(mk- mk-1, k-1) =

Pelo problema precedente, 51 =

(UI . . , Umk_ , v(!, k-1), ... , v(mk- fflk-1, k-1)j

2

é um subespaço linearmente independente de JFk-l· Estendemos 5 1 à base de lYk-1, acrescentando novos elementos (se necessário) que denotamos por v(mk- mk-1

+ I,

k- 1), v(mk- 11lk-I

+ 2;

k- 1), ... , v(mk-1- mk-2, k- 1)

Agora, fazemos v(l, k- 2) = Tv(l, k- 1), v(2, k- 2) = Tv(2, k- 1), v(mk-I- m~r2. k- 2)

=

Tv(mk-1- mk-2. k- 1)

Novamente pelo problema precedente, v(1, k-2), ... , v(mÃ- 1 -mk-2· k-2)1

~

FORMAS CANôNICAS

286

é um subconjunto linearmente independente de uma base de lVk- 2 ajuntando elementos

v(m~rl- mk-2

+ I,

k- 2), v(mk-1- mk-2

.+ 2,

[CAP. 10 n·k-2

que podemos estender a

k- 2), ... , v(m~r 2 - mk- 3 k- 2)

Continuando desta maneira, obtemos uma nova base para V, que, por com·eniência de referência, expomos como segue v(l, k),

... , v(mk- mk-J, k)

v(l,k-1), v(l, 2),

., v(mk-mk-J, k-1),

v(mk- mk-1• 2),

.

,

v(m2- m~o 2)

v(mk-1- mk-2 • 2),

I), ... , v(mk-I- m1r2, 1 ),

v(mk- m~rJ,

v(l' 1),

.. , v(mk-!-mk-2. k-1)

v(m2- m1, I),

., v(mi, 1)

A última linha forma base de W 1 , as duas últimas linhas formam base de lV 2 , etc. Mas o que é importante para nós é que T transforma cada vetor no vetor imediatamente abaixo na tabela ou em O se o vetor está na última linha. Isto é, Tv(i,_j) =

[ v( i, j- 1) para j

[

O

>

I

para j = 1

Agora, .é daro (veja problema 10.13(iv)) que T terá a forma desejada se os v(i, j) são ordenados de maneira lexicográfica; começando com v(l, 1) e subindo a primeira coluna até v(l, k), então, pulando para v(2, 1) e subindo a segunda

coluna áté onde fôr possível, etc. Além disso, haverá exafamente elementos diagonais de ordem k

mk- mk- 1

(mk-l- mk- 2)- (mk- mk-Ú =2mk- 1 - mk- mk-2 elementos diagonais de ordem k-1

elementos diagonais de orde"l 2 elementos diagonais de ordeJT) I, como pode ser lido diretamente da tabela. Em particular, como os números m1, ... , mk são determinados de maneira única por T, o número· de elementos diago.nais de cada ordem é determinado de maneira única por T. Finalmente, a identidade

m1 = (mk- mk-1)

+ (2mk-l- mk..- m1r2) + ... +

C2m2- m1- m3)

+ (2ml- mz)

mostra que a nulidade m1 de T é o número total de elementos diagonais de T.

10.17. Seja A

Então, A 2

(~ (~

o 1 1 o 1 1 o o () o o () o o o o 1 1 o o o o o o o o o o o o

~)

~)

e A'

O· '

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

287

portanto, A é nulpotente de índice 2. Encontre a matriz nulpotente M em forma canônica, que é semelhante a A. Como A é nulpotente de índice 2, M contém um bloco diagonal de ordem 2 e nenhum de ordem maior do que 2. Note que pôsto A = 2; portanto, nulidade de A = 5 - 2 = 3. Assim, M contém 3 blocos diagonais. De acôrdo com isso, M deve conter dois blocos diagonais de ordem 2 e um de ordem 1; isto é,

M=

~-~- :_ ~ ~' ~)

(

O O I O 1 I O 00 1 0 0 1 0

-

0

0

0

-~--

0

I

0

10.18. Demonstre o teorema 10.11, na forma canônica de Jordan para um operador T. Pelo teorema da decomposição em primos, T é decomponfvel em operadores . T1, ... , Tr, isto é, T = Tt E!) E!) T, .t.Jnde (t- l\;)mi é o polinômio mínimo de T;. Assim, em particular, (TI-

T;- l\;1.

Faça N;

Àt/)ml =

O, ... , (Tr- Àrl)mr = O

r,

Então, para i = 1,

T;

=

N;

+ >.;!,

onde

N;';

=

O

Isto é, T; é a soma do operador escalar >.;I e um operador nulpotente N;, que é de índice m;, pois (t- ">.;)m; é o polinômio mínimo de T;.

Agora, pelo teorema 10.10 sôbre operadores nulpotentes, podemos escolher uma base tal que N; esteja na forma canônica. Nessa base, T; =oo N; + À;[ é representado por uma matriz diagonal de blocos M;, cujos elementos diagonais são as matrizes J;;. A soma direta J das matrizes M; está na forma canônica e, pelo teorema 10.5, é representação matricial de T. Por último, devemos mostrar que os blocos J;; satisfazem as propriedades requeridas. Propriedade (i) segoe do fato que N; é de índice m;. Propriedade (ii) é verdadeira, pois T e J têm o mesmo polinômio característico. Propriedade (iii) é verdadeira, pois a nulidade de N; = T; .:_>.;I é igual à multiplicidade geométrica do autovalor À;. Propriedade (iv) segue do fato que os T; e, portanto, os N; são determinados de maneira única por T.

10.19. Determine tôdas as possíveis· formas canônicas de Jordan para um operador linear T : V ---t V, cujo polinômio característico é ~(t) = (t- 2) 3 (t- 5) 2 • Como t- 2 tem expoente 3 em CJ.(t), 2 deve aparecer três vêzes na diagonal principal. Semelhantemente, 5 deve aparecer duas vêzes. Assim, as posslvei~ formas canônicas de Jorda:n são

(i)

(ii)

(iii)

FORMAS CANôNICAS

288 2

1 2

[CAP. lO

2

2 2

5

2

5

5

5 (i v)

(vi)

(v)

10.20. Determine tôdas as possíveis formas canônicas de Jordan, para uma matriz de ordem 5, cujo polinômio mínimo é m(t)

=

(t- 2) 2 •

1 deve ter um bloco de Jordal1 de ord~m 2 e os outros devem ser de ordem 2 ou 1. Então, só existem duas possibilidades 2

2

,)

2

2

1=

2

Note que todos os elementos diagonais devem ser 2, pois o único autovalor é 2.

ESPAÇO QUOCIENTE E FORMA TRIANGULAR 10.21. Seja W um subespaço de um espaço vetorial V.

Mostre que os

seguintes são equivalentes

u Ev

(i)

+ W,

(ii) u- v E W,

(iii) v E u

+ W.

+

+

Suponha qt;e ·U E v rr. Então, existe Wo E TV tal que u = v wo. Portanto, u- v = Wo E rr. Inversamente, suponha que u- v E JF. Então, u- v = wo, onde Wo E r-v. Portanto, u = v Wo E v H'. Assim, (i) e (ii) são equivalentes. Também temos u- v E Hl se, e somente se, -(u- v) = v- u E TV se, e somente se, v E u W. Assim, (ii) e (iii) são também equivalentes.

+

+

+

10.22: Demonstre. As classes laterais de W em V decompõem V em conjuntos mutuamente disjuntos.

Isto é,

(i) quaisquer duas classes laterais u ticas ou são disjuntas; e

+W

e v+ W ou são idên-

(ii) cada v E V pertence a uma classe lateral; na realidade, v E v+ W. Além disso, u + W = v + W se, e somente se, u- v E lV; logo, (v = v }V para qualquer w E Hl.

+ H'

+

Seja v E V. Como O E W, temos v

= v + OE v

+

+ W,

+ w) +

o que prova (ii).

+

Agora, suponha as classes laterais u W e v W não disjuntas; digamos, o vetor x pertence a ambas, u· + W e v + Então, u- x E Ff7 e x- v E TV. A demonstração de (i) ficará completa se mostrarmos que u W = v W. Seja u wo qualquer elemento da classe lateral u W. Como u- x, x -v e Wo pertencem a TV,

+

nr.

+

+

(u +""")-v = (u -·x)

+ (x- v) + wo E

W

+

FORMAS CANôNICAS

CAP. lO)

+

+

289

+

Assim, u wo E v W e, portanto, a classe lateral u W está contida na classe lateral v W. Semelhantemente, v W está contida em u W; logo,

u

+

+

+ w =v+ w.

+

+

A última assertiva segue de que u W = v+ W se, e somente se, u E v + W e, pelo problema precedente, isto é, equivalente a u- v E }f'.

10.23. Seja W o espaço das soluções da equação homogênea 2x 3y 4z = = O. Descreva as classes laterais de W em R3.

+ +

W é um plano que passa pela origem O = (0, O, O) e as classes laterais de W são os planos paralelos a H!. Equivalentemente, as classes laterais de W são os conjuntos das soluções da famíiia de equações 2x

+ 3y + 4z

= k, k

R

E

+ T-1',

Em particular, a classe lateral '' luções da equação linear 2x

+ 3y +. 4z

=

2a

+ 3b + 4c

onde v

ou

= (a,

2(x- a)

b, c) é o conjunto das so-

+ 3(y- b) + 4(z- c)

= O

10.24. Suponha que W é um subespaço de um espaço vetorial V. Mostre que as operações no teorema 10.15, estão bem definidas; mais precisamente, mostre que, se u + W = u' + W e v+ W ;= v'+ W, então, (i)

(u

(ii) ku (i)

+ v) + W +

W

=

(u' + v') + W e + W, para qualquer k E K. u' + W e v + W = v' + H', ambos u- u' =

ku'

Como u + W = tencem a W. Mas, então,

e v- v' per-

(u +v)- (u' +v') = (u- u') +(v- v'} E W.

Portanto, (u

+ v)

+ W = (u' +v')

+ W.

(ii) Também, . como u - u' E W implica k(u - u') E W, = k(u- u') E W; portanto, ku + W = ku' + W.

então ku - ku'

10.25. Seja V um espaço vetorial e W um subespaço de V. a transformação natural11 : V~ V/W, definida por 11 (v) =

Mostre que

v+ W, é linear.

Para qualquer u, v E V e qualquer k E K, temos 11 (u +v) = u

+v+W

e 71 (kv)

=

kv

De acôrdo com isso, 11 é linear.

= u

+ lV =

+W +v+W k(v

+ W) =

= 11 (u)

k 71 (v)

+ 'l(v)

FORMAS CANôNICAS

290

[CAP. 10

10.26. Seja W um subespaço de um espaço vetorial V. Suponha que {w 1 , . . . ,w,} é base de W e o conjunto das classes laterais {v 1 , . . . , v,}, onde v1 = v1 + W é base do espaço quociente. Mostre que B = {v 1 , . . , v., w 1, ... , w,l é base de V. Assim, dim V= dim W

+ dim ( V/W).

Suponha que u

E

V. Como liiil é base de V/W,

u=

u

+W

= a1ii1

+ a2ii2 + ... + a8iia

Portanto,

+ . . + a,v, + w,

u = a1v1

onde w E W.

Como (w;} é base de H/,

u

= a1v1

+

De acôrdo com isso, B gera V. Mostraremos, agora, que B é linearmente independente. Suponha

+ ... + CsVa + d1w1 + . . + drWr + + c,ji, = O = J·V

CtVl

=

O

(1)

c 1ii 1

Então,

Como (;;} é independente, os c' são todos O. Substituindo em (1), encontramos d1w1 d,w, = O. Como (w;l é independente, os d são todos O. Assim, B é linearmente independente e, além disso, base de V.

+. +

10.27.

Demonstre o teorema 10.16. Suponha que W é subespaço invariante sob um operador linear T : V- V. Então, T induz um operador linear T em V/W, definido por T(v + W) = T(v) W. Além disso, se T é zero de qualquer polinômio, T também o é. Assim, o polinômio de T divide o polinômio m;nimo de T.

+

Primeiro, mostraremos que Testá bem definido, isto é, se u+ W = v+ W, então ]'(u W) = T(v + W). Se u W = v W, então u -v E W e, como W é T-invariante, T(u- v) = T(u)- T(v) E W. De acôrdo com isso,

+

+

T(u

+ W)

= T(u)

+W

=

+

T(v)

+W

=

T(v

+ W),

como procurávamos. T((u

A seguir, mostraremos que T é linear. Temos + W) + (v + W)) = T(~ +v + W) = T(u + v) + W = T(u) + T(v) + W = T(u) + W -i- T(t•) + W = T(u + W) + T(v + W)

e

T(k(u+W)) =T(ku+W) Logo,

T

= T(ku)+W = kT(u)+W = k(T(u)+W) = kT(u+W)

é linear.

+

Agora, para qualquer classe lateral u W em V/W, T 2 (u+W) = P(u)+W = T(T(u))+W = T(T(u)+W) =T(T(u+W)) =T2(u+ W) Portanto, 1"2 = 1"2 • Semelhantemente, Tn = Tn para qualquer n. Assim, para qualquer polinômio j(T)(u

+ W)

j(t) = antn + .... + ao = l:a;t', W = ~a;T'(u) + W = ~a;(P(u}

= f(T)(u) +

+

+

W)

+

= ~a;TI(u + W) = ~a;Tt(u W)= (~a;P)(u ~ W)= j(T)(u W); logo, j(T) = j(T). De acôrdo com isso, se T é raiz de Jct), então j(T) = Õ = = W = j(T), isto é, T também é _raiz de j(t). Assim, o teorema estã provado.

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

291

V-~ V um operador linear, cujo polinômio característico se fatora em polinômios lineares. Então, V tem uma base na qual T é representado por uma matriz triangular.

10.28. Demonstre o teorema 10.1. Seja T:

A demonstração é por indução na dimensão de V. Se dim V = 1, então, cada representação matricial de T é uma matriz 1 X I, que é triangular. Agora, suponha que dim V = n > I e que o teorema vale para espaços de dimensão menor do que n. Como o polinômio característico de T se fatora em polinômios lineares, T tem, pelo menos, um autovalor, portanto, pelo menos, um autovetor não-nulo v, digamos T(v) = auv. Seja W o subespaço unidimensional gerado por v. Faça V = V/W. Então (problema 10.26), dim V = = dim V- dim W = n- I. Note também que W é invariante. sob T. Pelo teorema 10.16, T induz um operador linear T em V, cujo polinômio mínimo divide o polinômio mínimo de T. Com::> o polinômio. característico de T é um produto de polinômios lineares, também seu polinômio mínimo o será; portanto, também serão produto de polinômios lineares os polinômios mínimo e característico de T. Assim, V e T satisfazem à ·;,hipótese do teorema. Portanto, por indução, existe uma base lii 2 , . . . , vn l de' V "tal que

TCii2l = a22V2 T(íia) = aa2ii2

+ aüvs

Agora, sejam v2 , . . . , Vn os elementos de V que pertencem às classes laterais v 2, .. , íi;,, respectivamente. Então, !v, v2 •... , vnl é base de V (problema 10.26). Como T(v2)

=

a22il2, temos T(v2)- a22v2 = O;

logo,

T(v2l- a22v2 E W

Mas TV é gerado por v; portanto, T(v2l- a2 2v 2 é múltiplo de v, digamos, T(v2)- a22V2 = a21v;

Anàlogamente, para i T(v;)- a;2v2- a;av 3·-

=

... -

logo,

T(v2) = a21v

+ a22v2

3, ... , n, a;;v;

E

W; logo, T(v;)

=

ailv

+ a;2v2 + ... + a;;v;

Assim, T(v) = auv T(v2) = anv

+ a22v2 + UnnVn

e, portanto, a matriz de T nessa base é triangular.

SUBESPAÇOS CÍCLICOS, FORMA CANÔNICA RACIONAL

10.29. Demonstre o teorema 10.12. Seja Z(v, T) um subespaço T-dclico, seja T. a restrição de T a Z(v, T) e seja m.(t) a 0 o T-anulador de v. Então,

+

(i)

+

.=

t1

+ a,_1tk-I +

O conjunto {v, T(v), ... , p- 1 (v) } é base de Z(v, T); portanto, dim Z(v, T) = k.

FORMAS CANôNICAS

292

[CAP. 10

(ii) O polinômio mínimo de T. é m,(t).

(iii) A matriz de T, na base acima é

o o o

o

o o o o o o

o

o

c (i)

o ... -a~r-2

1

Por definição de m,(t), Tk(v) é o primeiro vetor na seqüência v, T(v), T 2(v), que é combinação linear de todos os vetores que o precedem na seqüê~cia; portanto, o conjunto B = Iv, T(v), .. , yk-l(v)} é line'lrmente independente. Agora, só precisamos mostrar que Z(v, T) =·L (B), o gerador linear de B. Pelo acima, Tk(v) E L(B). Provaremos por indução que T"(v) E L(B) para todo n. Suponha que n > k e yn- 1(v) E L(B), isto é, Tn- 1(v) é combinação linear de v, . , TL 1(v). Então, T"(v) = T(T"- 1(v)) é combinação linear de T(v), ... , Tk(v). Mas Tk(v) E L(B); portanto, T"(v) E L(B) para todo n. Conseqüentemente, j(T)(t•) E L(B) para qualquer polinômio j(t). Assim, Z(v, T) = L(B); logo, B é base, como queríamos.

+ b0 é

+ b,- 1t'- 1 +

(ii) Suponha que m(t) = t' Então, como v E Z(v, T),

O = m(T.)(v) = m(T)(v) = T'(v)

polinômio mínimo de T,.

+ bs-tT'- (v) + ... + bov 1

Assim, T''(v) é combinação linear de v, T(v), ... , T'- 1 (v) e, portanto, k :S s. Entretanto, m,(T) = O; logo, mv (T,) = O. Então, m(t) divide m,(t), logo s

~

k. De acôrdo com isso, k

(iii) T.(v)

=

s e, portanto, m,(t)

= m(t).

T(v)

T,(T(v)) Tv(T"- 2(v)) = T,(T~- 1 (v))

=

Tk- 1 (v) Tk(v) "" -a 0v- a 1 T(v)-

a2T2 (v)-

... - ak-tTk-l(v)

Por definição, a matriz de T, nessa base é a transposta da matriz dos coeficientes do sistema de equações acima; é, portanto, C, como procurado.

10.30. Seja T: V-+ V linear. Seja W um subespaço T-invariante de V e seja To operador induzido em VfW. Demonstre (i) O T-anulador de v E V divide o polinômio mínimo de T. (ii) O r-anulador de v E VfW divide o polinômio mínimo de T. (i)

O T-anulador de v E V é o polinômio mínimo da restrição de T a Z(v, T) e, portanto, pelo problema 10.6, êle divide o polinômio mlnimo de T.

(ii) O 1'-anulador de ii e V/W divide o polinômio mlnimo de polinômio mlnimo d~ T pelo teorema 10.16.

T,

que divide

o

Observa~ão. No caso do polinômio mínimo de T ser j(t)", onde j(t) é um polinômio môcho irredutível, então o T-anulador de v E V e o T-anulador de li e V/W são da forma j(t)m, onde m :S n.

10:31~

'Demonstre o lema 10.13, Seja T: V -4 V um operador _linear, cujo polinBmio mínimo é f(t)", onde f(t) é um polinômio mBcho

CAP. 10]

FORMAS CANôNICAS

293

irredutível. Então, V é a soma direta dos subespaços T-cíclicos Z; = z(v;, T), i = 1, ... , r, com T-anula~'>res correspondentes f(t)'\ f(tf2, ... , f(t)\ n = n 1 2:: n 2 2:: ... 2:: n,. Qualquer outra decomposição de V na soma direta de subespaços T-cíclicos tem. o mesmo nómero de componentes e o mesmo conjunto de T-anuladores. A demonstração é por indução na dimensão de V. Se dim V = 1, então V é êle próprio T-dclico e o lema vale. Agora, suponha que dim V > 1 e que o lema vale para os espaços vetoriais de dimensão menor do que a dimensão de V. Como o polinômio mínimo de Té f(t)", existe v1 E V tal que f(T)n- 1(v 1) ~ O; portanto, o T-anulador de Vt e f(t)". Seja Z 1 = Z(vt. T) e lembre que Z 1 é T-iovariante. Seja V = V/Z 1 e seja T o operador linear em V induzido por T. Pelo teorema 10.16, o polinômio mínimo de T divide f(t)"; portanto, a hipótese vale para V e T. Conseq9entemente, por indução, V é a soma direta de subespaços T-dclicos; digamos,

V

=

Z(ií2. T) EB ...;;. EB Z(v,,

T),

onde os T-anuladores correspondentes são

J(Jt2, : . .,

2:

f(t)"r, n

n2

2: . . . 2: n,.

Dizemos que existe um vetor v 2 na classe lateral ii 2 , cujo T-anulador é f(t)"?, o T-anulador de ii2. Seja w qualquer vetor em ii2. Então, f(T)"2(w) E Zt. Por~ tanto, existe um polinômio g(t), para o qual (1)

j(T)"2(w) = g(T)(vt)

Como f(tt é o polinômio mínimo de T, temos por (1), O = f(T)"(w) = f(T)"-"2g(T)(vt) Mas f(t)" é o T-anulador de v 1; portanto, f(t)" divide f(t)"-"2g(t); logo, g(t) = c= f(t)"2h(t) para algum polinômio h(t). Fazemos V2

=

w- h(T)(vt)

Como w- v2 = h(T)(vt) E Zt. V2 também pertence à classe lateral v2. Assim, O· T-anulador de v2 é um múltiplo do T-anulador de v2 . Por outro lado, por (1) · j(T)"2(v2)

= j(T)"2(w- h(T)(v 1))

=

j(T)"2(w)- g(T)(v 1)

=

O

Conseqüentemente, o T-anulador de v2 e j(t)"2, como foi dito. Semelhantemente, existem vetores v3, ... , v, E V tais que v; E v; e que o T-anulador de v; é f(t)'\ o T-anulador de U,. Fazemos Z2

= Z(v2, T), ... , Zr = Z(vn T)

Seja d o grau de j(t) de modo que j(t)"t tenha grau dn;. Então, como /(t)"l é ambos T-anulador de Vi e T-anulador de V;, sabemos que (v;, T(vi), ... ,

r
e (v;, T(iii) . ... ,

são bases para Z(v;, T) e Z(;i,

T)

T""r- 1 (V;)!

respectivamente, para i = 2, ... , r. Mas

v = Z(V.. T) EB ... EB z(V,:, T); portanto, lii2, ~ .. , T""2· 1(ii2), .~

... , Vr, .. ',

T""r- 1(ii,)}

é base para v. Entretanto, pelo problema 10.26 e pela relação T1 (~) = Tt(v) (veja proble~a 10.27), (Vt, ... ,

r
V2, ... , rzn2- 1(v2), ... ,

Vr, ... ,

rznrl(v,)}

FORMAS CANôNICAS

294

[CAP. 10

é base. para V. Assim, pelo teorema 10.4, V-= Z(111, T) ffi requerido.

ffi Z(v,, T), como

Falta-nos mostrar que os expoentes n1, ... , nr são determinàdos de maneira única por T. Como d denota o grau de f(t), dim V

=

d(n1

+ ... + n,)

e

dim Z;

=

=

dn;, i

1, ... , r.

Se s é qualquer positivo inteiro, então, pelo proble!Jla 10.59, f(T)'(Z;) é um subespaço cíclico gerado por f(T)'(v;) e tem dimensão d(n;- s), se n; > s e dimensão O -se n; ::; s. Agora,

v=

Wt

qualquer vetor v E V pode ser escrito e onde w; E Z;,

+ ... + w,

unicamente na forma

Dal qualquer vetor em f (T)' (V) pode ser escrito unicamente na forma f (T)' (v) = f (T)' (wi) +f (T)' (wr)

+ ...

onde f(T)'(w;) E f(T) 8 (Z;). Seja t o inteiro dependente de s, para o qual

n 1 >s, f( T)'( V)

=

.,n1 >'s,n1+ 1 :$s

Então,

f(T)'(Z t) E9 ... $ j(T)'(Zt);

dim (j(T)'( V)) = d(nt- s)

+ ... + (n

1 -

logo,

s)

(*)

Os números à esquerda de (*) são determinados de maneira única por T. Faça s = n- 1 e ('") determina o número do~ n; iguais a n. A seguir, faça s = n- 2 e (*) determina o número dos n; (se houver) iguais a n- 1. Repita o processo até fazer s = O e determine o número dos n; iguais a L Assim, os n; são determinados de maneira única por Te V e o lema está provado.

10;32. Seja V um espaço vetorial de dimensão 7 sôbre R e seja T: V-? V um operador linear com polinômio mínimo m(t) = (t 2 2)(t 3) 3 • Encontre tôdas as formas canônicas racionais possíveis de T.

+

+

A soma dos graus das matrizes companheiras deve ser 7. Também uma matriz companheira deve ser 12 + 2 e outra deve ser (t 3) 3 • Assim, a forma canônica rácional de T é exatamente uma das seguintes somas diretas das matrizes companheiras

+

+ 2) e 2 C(t + 2) $ C(t 2 + 2) $

C(t 2

(i)

(ii) (iii)

+ 2) E9 C( (t + 3)3) C((t + 3)3) E9 C((t + 3) 2) C((t + 3)3) $ C(t + 3) ffi C(t 2

C(t

+ 3)

Isto é,

o -2

o -2 1

o

1

o -2 1 o

o o -27

o -27

o o -27 1

o (i)

o -27

o i -9

o o o -27 o -27 o 1 -9 -3

1 -9

-3 (ii)

(iii)

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

295

PROJEÇÕES = W 1 E9 ... E9 w•. A projeção de V no seu subespaço Wk é a transformação E: V---+ V definida por E(v) = wk, onde v = w 1 + ... + w., W; E w1. Mostre que (i) E é linear, (ii) E 2 = E.

10.33. Suponha V

(i)

+ .. . +

Como a soma v = w1 Wn w; E W é determinada de maneira única · por v, a transforma!;ãO E está bem definida. Suponha que, para u E V,

u =

+ w;, wí

wi +

+

v

E

W;. Então,

u = (wl

+ wi) + ... +

(wr

+ w;)

e kv = kw1

+ ... + kwr,

são as únicas somas correspondentes a v E(v

+ u)

= Wk

+ wí,

= E(v)

+ w;

kw;, w;

+u

+ E(u)

E

W;

e ku. Portanto,

e E(kv)

=

kwk

=

kE(v),

donde E é linear. ' Temos que Wk =

0

+

é a única soma fOrrespondente a para qualq"uer v E V, E 2 (v)

Assim, E

2

=

=

Wk E Wk;

E(E(v)) = E(wk) = Wk

portanto, E(wk) = Wk. Então,

=

E(v)

E, como procurado.

10.34. Suponha que E : V

V é linear e E 2 = E. Mostre que (i) E(u) =. u para qualquer tt E Im E, isto é, a restrição de E, e sua imagem é a transformação identidade; (ii) V é a soma direta da imagem e do núcleo de E; V = Im E E9 Nuc E; (iii) E é a projeção de V na sua imagem. Assim, pelo problema precedente, uma transformação linear T: V-~ V é uma projeção se, e sàmente se, P = T; essa caracterização de uma projeção é, freqüentemente, usada como sua definição. (i)

Se

u E

--7

lm E, então existe v

E

V para o qual E(v) = u; portanto,

E(u) = E(E(v)) = E 2(v) = E(v)

(i i) Seja v E V. Podemos escrever v na forma v E(v) E lm E e, como E(v- E(v))

=

= u.

= E( v)

+ v- E( v).

Agora,

E(v)- E 2(v) = E(v)- E(v) = O,

+

então, v- E( v) E Nuc E. De acôrdo com isso, V = lm E Nuc E. Agora, suponha que w E lm E() Nuc E. Por (i), E(w) = w, porque w E Im E. Por outro lado, E (w) = O, porque w E Nuc E. Assim, w = O e, logo, Im E n Nuc E = {0}. Essas duas condições implicam em que V é a soma direta da imagem e do núcleo de E. (iii) Seja v E V e suponha que v = u + w, onde uÉ Im E ·· w E Nuc E. !IUe E(u~ ·= u por (i), e E(w) = O, porque w E Nuc . Portanto, E(v)

= E(u + w)

=

E(u)

+ E(w) =

Isto é, E é a projeção de V na sua imagem.

u

+O =

u

Note

296

FORMAS CANôNICAS

[CAP. 10

10.35. Suponha que V = U EB W e suponha que T: V-~ V é linear. Mostre que U e W são ambos T-invariante se, e sõmente se, TE = ET, onde E é a projeção de V em U. Observe que E(v) E U para todo v E V, e que (i) E(v) = v se, e somente se, v E U, (ii) E (v) = O se, e somente se, v E W. Suponha que ET

=

TE. Seja u E U. Como E(u)

=

u,

T(u) = T(E(u)) = (TE)(u) = (ET)(u) = E(T(u))

E

U

Portanto, U é T-invariante. Agora, seja w E W. Como E(w) = O, ·E(T(w)) = (ET(w) = (TE)(w) = T(E(w)) = T(O) =O; logo, T(w) E W.

Portanto, W ·também é T-invariante. Reciprocamente, suponha que U e W são ambos Tcinvariante. Seja v E V e suponha que v = u w, onde u E Te w E W. Então, T(u) E U e T(w) E W; portanto, E(T(u)) = T(u) e E(T(w)) = O. Assim,

+

(ET)(v)

=

(ET)(u

+ w) = (ET)(u) + (ET)(w) = E(T(u)) + E(T(w)) =

T(u)

e (TE)(v) = (TE)(u

Isto é, (ET)(v)

= (TE)(v)

+ w)

=

T(E(u

+ w))

=

T(u)

para todo v E V; logo, ET = TE.

Problemas Propostos SUBESPAÇOS INVARIANTES 10.36.

Suponha que W é invariante sob T: V-> V. f(T), para qualquer polinômio j(t).

10.37.

Mostre que todo subespaço de V é invariante sob I e O, os operadores identidade .e nulo. . • .

10.38.

Supoüha que W é invariante sob S: V-> V e T: V-> V. Mostre que W também é invariante sob S T e ST.

10.39.

Seja T: V-> V linear e seja W o auto-espaço pertencente a um autovalor ·}1: de T. .Mostre que TV é T-invariante.

I

Mostre que W é invariante sob

•

+

Seja V um espaço vetorial de dimensão ímpar (maior do que 1) sôbre o corpü real. Mostre que qualquer operador linear em Y. tem um subespaço invariante diferente de V ou {O}. 2 10.41. Determine os subespaços invariantes de A = ( encarado como um operador linear em (i) R2, (ii) cz. 5 -2 10.40.

--4)

10.42.

Suponha que dim V = n. Mostre que T: V --t V tem uma repre~entação matricial triangular se, e somente se, existem subespaços T-invariantes W 1 c W 2 c c TVn = V, para os quais dim Wk = k, k = 1, ., n.

SOMAS DIRETAS INVARIANTES 10.43.

+ ... +

Diz-se· que ._, subespaços wh ...• Wr são indepe,ndei:Ites, se W} Wr=O, W;, implica que cada Wi = O. Mostre que L(W;) = wl $ .. $ se, e somente se, os W; são independentes. (Aqui, L(W;) denota a transformação linear dos W;.)

Wi E

w.

10.44.

Mostre que

V~

W1 $

$ W, se, e somente se, (i) V=L(W;) e (ii) Wk

... , W.rt. Wk+l• ... , W,)

10.45. 10.46.

297

FORMAS CANONICAS

CAP. lO]

Mostre que L(W;) dim 11-',.

+

+

= W1

=

n L(W~o

101. k =I, ... , r.

$ ... $ W, se, e somente se, dim LtW;)

=

dim W 1

+

Suponha que o polinômio característico de T; V- V é .1(1) = ft(l)ntf2(1)n2 •.. j.(l)n', onde os f;(l) são polinômios mochos irredutíveis distintos. Sejá V= 1 (!) ... $ Wr a decomposição em primos de V em subespaços Tcinvariantes. Mostre que j;(t)nt é o polinômio característico da restrição de Ta Wj.

W

OPERADORES NULPOTENTES 10.47.

Suponha que Se T são operadores nulpotentes ·que comutam, isto é, ST = TS. Mostre que S + T e ST também são nulpotentes.

10.48.

Suponha que A é uma matriz supertriangular, isto é, todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela são O. Mostre que A é nulpotente.

10.49.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios dt!·.grau diferencial em V é nulpotente de índice n +''t.

10.50.

Mo~tre

:5

n.

Mostre que o operador

que as seguintes matrizes nulpotentes de ordem n são semelhantes

o o ... o) (oo .oo) 00

(o

O . .. ..

o o

000

10.51.

e

lO O

00 O O

00

o

1

..

0

Mostre que duas matrizes nulpotentes de ordem 3 são semelhantes se, e somente se, elas têm o mesmo índice de nulpotência. Mostre, por exemplo, que a afirmação não é verdadeira para matrizes nulpotentes de ordem 4.

FORMA CANÔNICA DE JORDAN 10.52.

Encontre tôdas as possíveis formas canônicas de Jordan para as matrizes cujos polinômios característico e mínimo são como seguem (i)

.1(1) = (t- 2).(1- 3)3, m(t) = (t- 2) 2(1 - 3)2

(ii) .1(1)

=

(t- 7)5

, m(t) =

(1 - 7) 2

(iii) .1(1)

=

(I- 2)7

, m(t)

=

(t- 2) 3

(iv) .1(1) = (1- 3) 4(1- 5)', m(l) = (t- 3) 2(1- 5) 2 10.53.

Mostre que cada matriz complexa é semelhante a sua transposta. fj>i.J!ia•....llsea forma canônica de Jordan e o pmblema-IO.!ifr.j

10.54 •. Mostre que t8das as matrizes complexas A de ordem n, para as quais An

=

I,

são semelha'ntes. 10.55~

Suponha que A é uma matriz complexa com somente autovalores reais. Mostre qué' A é semelhante a uma matriz com somente elemento~ r'eai~:

SUBESPAÇOS CÍCLICOS -_,

10.56.

Suponha que T: V-+ V é linear. Demonstre que todos os subespaços r-invariantes, contendo v.

·z(v, ·T)

é a interseção de

FORMAS CANôNICAS

298

[CAP. 10

10.57. Sejam /(1) e g(l) os T-anuladores de u e v, respectivamente. Mostre que, se /(1) e g(l) são primos entre si, então f(t)g(l) é o T-anulador de u + v. 10.58.

Demonstre que Z(u, T) = Z(v, T) se, e sõmente se, g(T)(u) T-anulador de u são primos entre si.

= v,

onde g(t) e o

10.59. Seja W = Z(v, T) e suponha que o T-anulador de v é /(1)", onde /(1) é um polinômio môcho irredutlvel de grau d. Mostre que /(T)'(W) é um subespaço cíclico gerado por f(T)'(v) e tem dimensão d(n- s), se n > s e dimensão O, se n :$ s ..

FORMA CANÔ~CA RACIONAL 10.60. Encontre tôdas as formas canônicas racionais possíveis para (i)

+ 3)(1 + 1)2 + 1)3 m(l) (1 2 + 2) 2(1 + 3) 2 mínimo m(l) = (1 2 + 1)(1 2 -

matrizes .6 X 6 com polinômio mínimo m(t)

(i i) matrizes 6 X 6 com polinômio mínimo m(t) (iii) matrizes 8 X 8 com polinômio mínimo

= = =

(1 2

(I

'10.61. Seja A uma mat~iz 4 X 4 com polinômio 3). .Encontre a forma canônica r?.cional para A, se A é uma matriz sõbre (i) o corpo racional, (ii) o corpo real, (iii) o corpo complexo.

10.62. Encontre a forma canônica racional para o bloco de Jordan

~00 ~À ~~) " 00,

(

"

10.63•. Demonstre que o polinômio característico de um operador T: V---> V é um produto de seus divisores elementares. 10.64.

Demonstre que duas matrizes 3 X 3 com os mesmos polinômios mínimo e característico são semelhantes.

10.65. Denote por C((/(1)) a matriz companheira de um polinômio arbitrário /(1). Mostre que j(l) é o polinômio característico de C(/(1)).

PROJEÇÕES 10.66. Suponha que V= W1 G) ... G) Wr. Denote por E; a proJeçao de V em W;. Demonstre (i) E;E; = O, i ;o! j; (ii) I = E1 + ... + E,.. 10.67. Sejam E 1, •· .• , E,. operadores lineares em V tais que (i) E~ = E;, isto é, os E; são projeÇões; (ii) E;E; = O, i ;o! j; (iii) I = E 1 + ... + E,.. Demonstre que V = Im E1 G) ••• G) lm E,.. 10.68. Suponha que E; V-+ V é uma projeção, isto é, E• - E. Demonstre que E em uma representação matricial da forma matriz identidade quadrada r X r.

:;;',

10.69.

h o

--

o o

.

-

, onde r é o pOsto de E e Ir é a

Demonstre que quaisquer duas projeções do mesmo pOsto são semelhantes. (Pista. Use o resultado do problema 10.68.) .,

10.7" . Suponha que :{!. : V-+ V é uma projeção. Demonstre (i)

I- E é uma projeção e V = lm E + E é inversível (se 1 + 1 ;o! O).

(ii) I

G)

lm (I- E);

299

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10] ESPAÇOS· QUOCIENTE 10.71.

Seja W um subespaço de V. Suponha que o conjunto das classes laterais {v 1 W, 112 W, ... , Vn Wl em V/TV é linearmente independente. Mostre que o conjunto dos vetores {vi, v2, ... , Vn I em V é também linearmente independente.·

10.72.

Seja W um subespaço de V. Suponha que o conjunto dos vetores {u 1, u 2, ... , uni em V é linearmente independente e que L(u;) n W = {0}. Mostre que o conjunto das classes laterais {ul !
+

+

+

+

+

10.73.

Suponha que V = U $ W e que !ut. ... , uni é base de U .. Mostre que {u 1 W, .... , Un Wl é base do espaço quociente V/W. (Observe que nenhuma condição é imposta quanto à dimensionalidade de V ou W.)

10.74.

Seja H' o espaço das soluções da equação linear

+

+

a1x1

+ a2x2 + ... + anXn

= O, a; E

K

e seja v = (bt, /12, ... , bn) E r. Demonstre que a classe lateral v ..j- W de W em é o conjunto das soluções da equaÇio linear

xn

10.75.

Seja V o espaço vetorial dos polinômi::>s sôbre R e seja 1-V o subespaço dos polinômios di_;isíveis por t\ isto é, da forma aot 4 a 1t 5 an-4ln. Mostre que o espaço quociente V/W é de dimensão 4.

10.76.

Sejam U e W subespaços de V tais que W c U c V. Note que qualquer classe lateral u W de W em U pode ser encarada como uma classe lateral de W em V, pois u E U implica u E V; portanto, U/W é subconjunto de V/W. Demonstre qur (i) UfW é subespaço de VfW, (i i) dim ( V/W)- dim ( U/W) = dim (V/ U).

10.77.

Seja~ rJ e W subespaços de V. Mostre que as classes laterais de U n W em V podem ser obtidas pela interseção de cada uma das classes later.ris de U em V com cada uma das classes laterais de W em V

+

+

Vf(U 10.78.

+ ... +

n W)

=

{(v+ U) n (v'+ W): v,,v'

E

VI

Seja T: V --t V' linear com núcleo W e imagem U. V Mostre que o espaço quociente V/W é isomorfo a U ~ sob a transformação (J : VfW --> U definida ' por : fJ . O( v+ W) = T(u). Além disso, mostre que T ~i" 8".,, : onde lf ; V- V/W é a transformação natura1 de V ·v /W _ _ U _ V ' em V/W, isto é, fJ(V) = 11 W e i : U ~ V' é a trans(I i formação inclusão, isto é, i(u) = u (veja diagrama).

1

+

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 10.41.

(i)

10.52.

(i)

R 2 e· {O};

(ii) C 2 , {OI. W 1 = L(2, 1- 2i), W2 = L(2, 1 2

+ 2~).

I.

2

-,- 2, L

-_II

2

-,

I

.L--

I .I

:~·

[CAP. lO

FORMAS CANÔNICAS

300 (ii)

(iii)

(

~-~-:---,) I,_

7- 1

7 1 I - - 7_

1

7 __

_i_

(

2 1

2

1 2

I

1 2 2

-- --~ ~----, I

- - .- -

I -I- 1 2

I

1 2

.

_7_ t- ' 7

.

2

1

.

L--t--,

I .7

2

)

~7l

I

- l 1 I

- - _2 _I_ - -

I

I 2

~----,--

2

2

1

2

2

_____2 _,

___ 2

,

1

I

2

I

1

2

I ----,2~

·--

-----l I 2

-~- 2-

I

3

1 I 3 I

- - - I 3I

3

1 I 3 I

--~--,

~

I

1

~_5_

1_ _

5

5

L

--,

1 5 I

I

__

1 5

J_ _ _I

I_5_

j__

15

1 I 3 I - - -1- -,

3

--

L3_1_ ~

1

I

3 I -~-.

3

I

L--,

3 I '----I I 5 1 I 5 I ~ - - J. .- 1 I

I

'---,---,

5

1 5

I

'---L-.

15

1 5

I

5

I

..... - 1-5

o -3

o

o -3 1 o

I

_1_ __

3

(i)

1

3

__

I

I

I

3

,_

1

10.$0,

I

. 2

~--~5-l~

13

-.·.

'--r-

2 3

l

;

•..:....--I 2

'- - l-- -

(iv)

1

2

' 2

o -1 1 -2

:~~

f'l

"""

301

FORMAS CANôNICAS

CAP. 10]

' =•·

o o -1 1 o -3 o 1 -3

o o -1 1 o -3 o 1 -3

(i i)

o -1 o -3 1 -3

o

o -1

1

1 -2

-1

-1

o o o o 2 1 o o o

r o o 2 1 o o o o 1 0-4

(iii)

o o

1

o 1 o o

o

0-4 1 o

o -9

o -2 1 o

1 -6

o -9

o -9

1-6

1--6

o o o 2 1 o o o

o o

~

1 0-4 o 1 o

o -9 1 -6

10.61.

c

-3 -3

o -i

1

o o 1

10.62.

.

~)

(! ~ ~. _:~: ) o o

1

4>.

(i i)

(H v3 _J 1

o

(iii) (

-i

V3

~J

Capítulo 11 Funcionais Lineares e o Espaço Dual INTRODUÇÃO Neste capítulo, estudaremos transformações lineares de um espaço vetorial V em seu corpo K de escalares. (A menos que se diga ou implique o contrário, encaremos K como um espaço vetorial sôbre si mesmo.) Naturalmente, todos os teoremas e resultados para transformações lineares arbitrárias em V valem para êsse caso especial. Entretanto, trataremos essas transformações separadamente, por causa de sua fundamental importância e porque a relação especial de V com K dá origem a novas noções e resultados que não surgem no caso geral.

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Uma transformação ---7 K é denominada funcional linear (ou forma linear) se, para quaisquer u, v E V e quaisquer a, b E K,

: V

cp(au

+ bv)

=

acp(u)

+ bcp(v).

Em outras palavras, um funcional linear em V é uma transformação linear de V e K. 1r;(a 1 ,

Exemplo 11.1. Seja 1r; : Kn ......;. K a i-ésima ·transformação proJeçao, isto a 2 , ... , à.) = a;. Então, 11'i é linear; logo, é um funcional linear em Kn.

é,

Exemplo ll.2. Seja V o espaço vetorial dos polinômios em t sôbre R. Seja

./ : v . . . ;.

R o operador iHtegral definido por ./ (p(l))

·Jor

=

I

p(t)dt. Lembre que ./ é

linear e, portanto, é um funcional'linear em V. Exemplo 11.3. Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas· n X n sôbre K. Seja T : V -> K a transfonnação traço T(A) ,;· au

+ azz + ...

+a•• , onde A ;;;;; (a;i)

Isto é, T atribui a uma m.atriz A a soma de seus elefuerttes diagonais. Essa transforma!;\ão é linear (problema 11.27); logo, é um funcional Ünéâr em V.

Pelo teorema 6.6, o cqnjunto dos ftHWiõnals lineares num espaço vetorial V sôbre um corpo K é também um espaço vetorial sôbre K com adição e multiplicação por escalar définídas por (cp

+

u) (v) = cp(v)

+ u(v)

e

(k) (v) = k<j>(v),

onde cp e u são funcionais lineares em V e k E K. mado esPO-fO dual d~ V e anotado por V*.

302

tsse espaço é cha·

CAP. 11]

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

303

Exemplo 11.4. Seja V = Kn o espaço vetorial das n-uplas que escrevemos como vetores coluna. Então, o espaço dual V* pode ser identificado com o espaço dos vetores linha. Em particular, qualquer funcional linear 4> = (a 1, ... , an) em V tem a representação

ou, simplesmente, (Xr, ... , Xn)

=

a1X1

+ a2X2 + ... + GnXn

Historicamente, a expressão formal acima era denominada forma linear.

ESPAÇO DUAL Suponha que V é espaço vetorial de dimensão n sôbre K. Pelo teorema 6. 7, a dimensão do espaço dual V* é também n (pois K tem dimP.nsão 1 sôbre si mesmo). De fato, cada':pase de V determina uma base de V* como segue. Teorema 11.1. Suponha que lv1 , . . . , vn) é base de V sôbre K. t/> 1 , . . . , ;(vi)

Sejam

[1sei=j

= ô;i = ·[ Osei;&j

Então, {t/>;, ... , .Pn} é base de V* A base acima é chamada base dual a {v 1 } ou base dual: A fórmula acima que usa o delta de Kronecker ô1; é uma maneira curta de escrever

cPn(vl)

=

1, cPt(v2) = O, cPt(v3) = O, ... , cPt(vn) O, cP2(v2) =. 1, cP2(v3) = O, ... , cP2(vn)

=

=

O O

O, cPn(v2) = O, ... , cPn(Vn-1) = O, .Pn(vn)

=

1

Pelo teorema 6.2., essas transformações lineares 4>1 são únicas e bem definidas. Exemplo 11.5. Considere aseguinte base do R 2 : {v1 tre a base dual I.Pt • .P2l

= (2, 1),

v2

= (3, 1)}. Encon·

= ax + by e 4>2(x, y) = ex .f>2(t1t) = 0, .f>2(t12) = 1

Procuramos funcionais lineares q, 1(x, y) .f>J(VI)

= 1, .f>t(t12) =

Ô,

+ dy

tais que

Assim,

+ b = 1 } ou a = -1, b' = 3 + b =O ct> 2 (v 1) = ct> 2 (2, 1) = 2c + tl = O } ou c = 1, tl = -2 cf>2(tlt) - <#-2(3, 1) = 3,; + d = 1 ' . dual é I jp 1(x, y) = -s + 3y, 4>2(s, y) = x- 2y} t(Vt) = .f>t(2, 1) = 2a c/>t(V2) = ct>t(3, 1) = 3a

Portanto, a baae

l_.

Os próximos teoremas dão-nos relações entre as bases e suas duai~.

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

304

(CAP. 11

. . • , v,.} base de V e seja {•h ... , ,.} a base Então, para qualquer vetor u E V,

Teorema 11.2. Seja {v 1 , dual de V*.

+

u = 1(u)v 1 <1>2(u)v2 e, para qualquer funcional linear u E V*, 'J

=

+

+ ,.(u)v,.

+ u(v )2 + ... + u(v,.).P,.

u(vt)t

2

Teorema 11.3. Sejam {v 1 ,

. . , v,.} e {w 1 , . . . , w,.} bases de V e sejam {4> 1 , . . . , ,.} e {o- 1 , . . . , u,.} bases de V* duais a {v1 } e {w1 }, respectivamente. Suponha que P é a matriz de transição de {v;} a {w;\. Então, (P- 1)' é a matriz de transição de {;} a {o-;}.

ESPAÇO SEGUNDO DUAL Repetindo, todo espaço vetorial V tem um espaço dual V* que consiste em todos os funcionais lineares em V. Assim, V* tem um espaço dual V**, chamado o segundo dual de V, que consiste em todos os funcionais lineares em V*. Mostraremos, agora, que ·cada v E V determina um elemento específico v E V**. Em primeiro lugar, para qualquer E V* definimos v(.p)

=

.p(v)

Falta-nos mostrar que essa transformação v : V* --+ K é linear. Para quaisquer escalares a, b E K e quaisquer funcionais lineares , u E V*, temos v{a.p

Isto é,

v

+ b u)

=

(a

é linear; logo,

+ bu)(v) v

=

E V**.

a.p(v)

+ b (}"(v)

=

av(.P)

+ bv(o)

Surge o seguinte teorema.

Teorema 11.4. Se V tem dimensão finita, então a transformação v - v é um isomorfismo de V sôbre V**. A transformação acima v-~ ii é chamada transformação natural de V em V**. Enfatizamos que essa transformação nunca é sôbre V** se V não tem dimensão finita. Entretanto, é sempre linear e, além disso, é sempre injetora. Agora, suponha que V tem dimensão finita. Pelo teorema acima, a transformação natural determina um isomorfismo entre V e V**. A menos que se diga o contrário, identificaremos V com V** através dessa transformação. De acôrdo com isso, encararemos V como o espaço de funcionais lineares em V* e escreveremos V = V**. Observamos que, se {;) é a base .de V* dual a uma base {v,} de V, então {v1 } é a base de V= V**, que é dual a{;}.

ANULADORES Seja W um subconjunto (não necessàriainente U'm subespaço)·'de uril espaço vetorial V. Um espaço linear .p E V* é ,chamado. anulador de W

CAP. 11]

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

305

se q,(w) = O para todo w E W, isto é, se (W) = {0}. Mostraremos que o conjunto de tôdas essas transformações, denotado W 0 e chamado lador de W, é um subespaço de V*. Claramente, O E W 0 • Agora, suponha que , rr E W 0 • Então, para quaisquer escalares a, b E K e para qualquer w E W,

arm-

(aq,

+

+ brr)(w)

a<j>(w)

=

0

+ brr(w)

= aO

+ bO =

O

0

Assim, aq, bu E W ; logo, W é subespaço de V*. No caso em que W é subespaço de V, temos a seguinte relação entre W e seu anulador W 0 •

Teorema 11.5. Suponha que V tem dimensão finita e W é subespaço de V. Então, (i) dim W dim W 0 = dim V e (ii) JV0° = W.

+

Aqui, W 00 = {v E V: q,(v) = O para todo q, E W 0 } ou, equivalentemente, W 00 = (W0 ) 0 , onde W 00 é encarado como subespaço de V, 'sob a identificação de V e V**.

o conceito de anulador capacita-nos )! dar outra interpretação de um sistema homogêneo de equações lineares , aux1 a21X1

+ a 12X2 + ... + alnXn + a 22X 2 +- ... + a2nXn

=

=

O O (*)

am1X1 + am2X2 + · · · + amnXn. = Ü Aqui, cada linha (aw at 2, ... , atn) da matriz dos coeficientes A (aii) é enéarada como um elemento de K" e cada vetor solução q, = (xH x 2 , ••• , x,.) é encarado como um elemento do espaço dual. Nesse contexto, o espaço das soluções S de (*) é o anulador das linhas de A e, portanto, do espaço das linhas de A.· Conseqüentemente, usando o teorema 11.5, novamente obtemos o seguinte resultado fundamental na dimensão do espaço das soluções de um sistema homogflneo de equações lineares dim 's

=

dim K"- dim (espaço das linhas de A) = n- pôsto (A).

TRANSPOSTA DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja T : V~ U uma transformação linear arbitrária de, um espaço vetorial V em um es;>aço vetorial U. Agora, para qualquer funcional linear· q, E U*, a composta o T é uma .transformação linear de V em K

v

T

u


K

~ Isto é, q, o T E V*. Assim, a correspondência ~ P T é uma transformação de U* em V*; nós a denotamos por P e-a chamamos transposta de T. Em outras palavras, T 1 : U ~ V* é definida por , P(q,) = q,o T Assim, (T'())(v) = tf>(T(v)) pan todo v E V.

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL·

306

Teorema 11.6. A transformação transposta

r

[CAP. 11

já definida é linear.

Demonstração. Para quaisquer escalares a, b E K e quaisquer funcionais lineares f/J, IT E U*, T' (af/J + bu) = (a.p bu) o T = a(

+

=

aT'(.p)

+ bT'(IT)

1

Isto é, T é linear, como foi dito.

r

Enfatizamos que, se T é uma transformação linear de V em U, então é uma transformação linear de U* em V* TI

T

v-u

V*+- U*

O nome "transposta" para a transformação T' procede sem dúvida do seguinte teorema.

Teorema 11.7. Seja T: V-~ UJinear e seja A a representação matricial de Tem relação às bases {vi} de' V e {u;} de U . . Então, a matriz transposta A' é a representação matricial de T': U* ~ v'* em relação às bases duais a {u;} e {v1 }.

Problemas Resolvidos ESPAÇOS DUAIS E BASES 11.1.

Sejam .p : R 2 ~R e u : R 2 ~R os funcionais lineares definidos por .p(x, y) = x + 2y e IT(x, y) = 3x- y. Encontre (i) (i)

+ u,

tjJ (4>

(iii) 2f/J- Su.

(ii) 4.p,

+ o-)(x, y) =

4>(x, y)

+ o-(x, y)

(ii) (44>)(x, y) = 44>(x, y) = 4(x

=

(iii) (24>- So-){x, y)

11.2.

= x

+ 2y + 3x- y

= 4x

+y

= 4x + ~y y) = 2(x + 2y)- 5(3x- y) = -13x

+ 2y)

24>(x, y)- So-(x,

Considere a seguinte base de R : {v1 == (1,;-1, 3), v2 v3 = (0, 3, -2)}. Encontre a base dual {f/J 11 f/J 2 , f/J 3 }. 3

=

Procuramos funcionais lineares .P1(x, y, :~) =

a1X

+ G2Y + aaZ,

4> 3 (x, y, z)

=

.P2(x, y, z) = b1x

c1x

+ b2y + bJZ,

+ C2Y + caz

tais que


=

1

.PI!(vi) =O ~:i(vi) = O

.Pl(va) = O •h(lla) = O a(va) = 1

•h(v2) =O 4>2(112) = 1 d>a(112) = O

Encontramos .j, 1 como segue

+

.P1(111) ""' cP1(1, -1, 3) = G1- G2 3as = 1 4>1Cv2) = J(O, 3, -2) = 3a2 - 2aa = O

+ 9y

(0,1, -1),

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

CAP. 11]

Resolvendo o sistema de equações, obtemos cPt(X, y, z) =

a1

307·

= 1, a 2 = O, a 3 =O

Assim,

X.

A seguir, encontramos .p 2
+

= b1- b2 3ba =O = b2 - b 3 = 1 = 3b2 - 2ba = O b2 = -2, b 3 = -3. Portanto, .p 2(:r, y, z) =

+

<Pa(vt) = <PaO. -1, 3) = c1- c2 3ca =O <PaCv2) = <Pa(O, 1, -1) = c2 - c 3 =O

Resolvendo o sistema, obtemos c 1 = -2x + y + 3.

11,3.

=

-2, c 2 · = 1, c3 = 1

Assim,

Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre R de grau :::;; 1,

isto é, V= {a+ bt: a, b E definidos por

4>t(f(t)) =

i

RI.

Sej1!m 4> 1

1

f(t) dt

i

cp 2(f(t)) =

e

:

V~

R e f/> 2

V~

:

R,

2

f(t) dt

(Observamos que cp 1 e cp 2 são lineares; logo, pertencem ao espaço dual V*.) Encontre a base {v 1 , v 2 1de V que é dual a {cp 1 , f/> 2 }. Sejam v 1

=

a

+ bt

e v2 = c

+ dt.

Por definição de base dual,

Assim,

i

1

Jor

(a

+ bt)dt

==

a

(a

+ bt)dt

=

2a

(!(c +.dt)dt

J o2

i

1 )

+ 2b

=o

c+ 1/2d= O

=

I

=

(c

+ dt)dt

=

+ t}

2c

+

2d

-2

.

.

ou c = -1/2 d

Em outras pa_lavras, {2- 21, -1/2

11.4.

+ 1/2b =

ou a= 2, b

2

= 1

=

1

'

é a base de V que é dual a !
Demonstre o teorema 11.1. Suponha que {vlt ... , v,.l é base de V sôbre K. Sejam f/> 1 , . . • , cp,. E V* os funcionais lineares definidos por

cp,(v_;)

=

~t; =

·{ls~i=j 0 se i :;é j

Então, {c/J1r .•. , !/>,.} é base de V*. Primeim, mostra~emos que !
= kt. <1>(1'2)

=

v•.

Seja .P um elemento

k2, .•• , (v,.) = k,.

308

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL Faça tT = kt.Pt

+ ... + kn .Pn. = =

Semelhantemente, para i tT(v;) = (kt.Pt

=

Então,

k10l(u1)

+ k2

k1 . 1

[CAP. 11

+ k2.P2(v1) + ... + kn.Pn(t•l) . O + ... + kn . O = k1

2, ... , n,

=

+ ... + kn.Pn)(u;) + + k;.P;(u;) + ... + kn.Pn(!!;)

kt.Pt(V;)

Assim, .P(u;) = tT(v;). Para i básicos, .P = .,. = kt.Pt gera v•.

=

1, ... , n. k,..P,..

+ ... +

Resta-nos mostrar. que ponha que

(4> 1, ... ,
é

linearmente independente.

+ a2.P2 + ... + an.Pn

ai.PI

Aplicando ambos os lados a

flt,

= k;

Como .P e .,. concordam nos vetores De acôrdo com isso, ( .Pt • ... , .P,. I Su-

= O

obtemos

+ ... + an.Pn)(ul) + a2.P2(v1) + ... + a,..Pn(t1I) • 1 -t a2 • O + ... + a,. · O = a1

O = O(vt) = (at.Pt

=

al.Pt(VI)

= a1

Semelhantemente para i

2, ... , n.

=

+ ... + an.Pn)(vl) + ... + a;4>;(v;) + ... + a,..P,.(u;)

O = O(v;) = (a1.P1

= a1.P1(u;)

Isto é, a 1 = O, ... , a,. pendente; logo, é base de

11.5.

=

v•

O. Portanto,

(4>~o

= a;

... , .Pnl é linearmente inde-

Demonstre o teorema· 11.2. Seja {v 11 . . . , v,.} base de V e seja {4> 1, ... , q,,.) a base dual de V*. Então, para qualquer vetor u E V, u

= 4>1(u)v1 + 4>2(u)v2

e, para qualquer u

funcio~al

+ ... + 4>,.(u)v,.

(1)

linear u E V*,

+ u(v2)4>2 + ... + u(v,.)q,"

= u{vt)4>I

(2)

Suponha que

(3) Então,

+ a2.P1(112) + ... + a,. 4>l(v,.) + a2 • O + ... + a,. . O = a 1

.P1(u) = ai.PI(ui)

= a1 . 1 Semelha-ntemente, para i

=

4>;(u) = al.P;(vt)

hto é, 4> 1 (u) = a 1 , .P2(u) em (3), obtemos (1).

=

=

2, ... , n,

+ ... + a;4>;(v;) + . . + a~.P;(v,.) a2, ...• .Pn(u) ... a,..

,;, a;

Substituindo êsses resultados

A seguir, provaremos (2). Aplicando o funcional linear .,. . a .ambos os lados de ( 1),

+

+ + 4>,.(u) cr(vn)

tT(Ú) = <~>t(u) a(vt) .P2(u) o-(v2) = cr(vt) .Pl(u) tT(t12) 4>2(u) = (u(VI) 4>1 tT(t12) .P2+ ...

+

+

+ ... + cr(vn) .P~(u) + u(Vn)4>,.)(u)

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

CAP. 11]

Como o apresentado vale para todo u

E

V,

u = u(vt).P 1 + o-(vz)2 + ... + u(vn).Pn

como queríamos provar.

11.6.

Demonstre o teorema 11.3. Sejam {v 1 , . . . , vnl e {wu .... , wn} bases de V e sejam {cf>t, ... , ct>nl e {cr 1 , . . . , u,.) as bases de V* duais a {vi} e {w1}, respectivamente. Suponha que P é a matriz de transição de {v;} para {w;}. Então, (P- 1)1 é a matriz de trànsição de {c/>;) para {u;}. Suponha que Wt = anVI + a12v2 + ... + ainVn Wz = a21V1 + a22il2 + · .. + aznVn

u1 = buI + b122 + ... + b1nq,n u2 = bn.Pl + b222 + ... + bzn<~>n

onde P = (a;;) e Q = (b;;). Queremos prov.ar que Q = (P- 1) 1. Seja R; a i-ésima linha de Q e seja C; R;

=

(bii, b;z, ... , b;n)

e

Í j-ésima coluna de P 1• Então,

C;

(a; ~o a;2 •... , a;nl

=

Pela definição de base dual, ~r;(w;)

= (b;I.PI

+ b;2.P2 +

= b;1ai1 +

b;~;z

+ ... + b;na;n = R;C; =

~ij,

onde f.;; é o delta de Kronecker. Assim, RJCl

R1Cz

R2C1 . ~2-~~.

1

QP =

(

RnCl

RnCz

e, portanto, Q = (P 1)- 1 = (P-1) 1, como queríamos provar.

11.7.

Mostre que, se v E V,

Suponha que V tem dimensão finita.

v ~ O, então existe cf> E V* tal que cf>(v) ~ O.

Estendemos {v) a uma base {v, v2 , ••• ,v,.} de V. Pelo teorema 6.1, existe uma única transformação linear cf>: V--+ K tal que cf> (v) = 1 e cf>(v;) = O, i = 2, ... , n. Portanto, cf> tem a propriedade desejada. 11.8.

Demonstre o teorema 11.4. Se V tem dimensão finita, então a transformação v f--+v é um isomorfismo de V em V**. (Aqui V* --+ K é definida por (cf>) = cf>(v).)

v:

v

1-->;

Provaremos, primeiro, que a transformação v é linear, isto é, para quaisquer vetores v, w E. V e quaisquer escalares a, b E K, av+hw' = a'ii + bw. Para qualquer funCional linear .P E V*, .

,.....----..__

av + bw (.P) = a';(tf>)

Como = a 'i)

~()=.(a';+

+ b;;;.

=

.

.P(av + bw)

+ bw(.P)

=

(av

.

= a.P(v)

..

+ b
+ bw).P

bw)(tf>) para todo .P E V*, Assim, a transforma&ão v 1~ é linear.

v

temos

av + bw =

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

310

[CAP. 11

Agora, suponha que v E V, v r! O. En~o, pelo. problema precedente, existe ~E V*, para o qual ~(v) r! O. Portanto, -;(~) = ~(v) r! O, logo v r! O. Como v r! O implica que ; r! O, a transformação v l-->-; é não-singular e, portanto, um isomorfismo (teorema 6.5.). Agora, dim V = dim V* = dim V**, porque V tem dimensão finita. De acôrdo c:>m iss:>, a transformação v l-> -; é um isomorfism-:> de V em V** ..

ANULADORES 11.9.

Mostre que, se q, E V* anula um subconjunto S de V, então q, anula a transformação linear L(S) de S. Portanto, S 0 = (L(S)) 0 • Suponha que v v = a1W1 a2w2

E

+

~(v)

=

L(S). Então existem

+ ... + arWr. a1~(w1) + az
w 1, ... , Wr E S

+ a20 +

= a10

para os quais

+arO= O

Como v era um elemento arbitrário de L(S), 4> anula L(S).

11.10. Seja W o subespaço de R4 gerado por v1 = (1, 2, -3, 4) v2 = (O, 1, 4, -1). Encontre uma base do ~nulador de W.

e

Pelo problema precedente, é suficiente encontrar .uma base do conjunto dos funcionais lineares (v2) =O

+

+ +

+

1>(1, 2, -3, 4) = a+ 2b - 3c 4d =O 4>(0, 1, 4, -1) = b+4c- d=O

O si&tema de equações nas inc6gnitas a, b, c, d está na forma escalonada com variáveis livres c e d. Faça c = 1, d = O para obter a solução a = 11, b = -4, c portanto, o funcional línear 4>l(x, y, z, w) = llx- 4y + z.

=

1, d "" O e,

Faça c =O, d = .-1 para obter a solução a = 6; b = -1, c = O, d portanto, o. funcional linear 2(x, y,.z, w) = 6x- y- w.

= -1

e,

·O conjunto dos funcionais líneare~ t

11.11. Mostre que (i) para qualquer subconjunto sl c s2, então sg c st. (i)

s

de

v, s

c S0°; (ii) se

Seja v E S. Então, para todo funcional linear 4> E sO, -;(
Í!jS(),

S c: S 00

(ii) Seja 4> E ~· Então, f>(v) = O para todo v E S 2 • Mas S1 c: S2; portanto,

anul3."todoo elemento de St. isto é,

E sl.


Donde ~c:~·

11.12. Demonstre o teorema U.S. Suponha que V tem dimensão finita e · que W é subespaço de V. Então, (i) dim W + dim W 0 = dim V .(ii) (i)

woo = w.

Su~a

dim

wb =

que dim V = n e dim W = r :::; n. n- r. Escolhemos uma base de. lw 1,

Quéremos mostrar que de W e a esten-

... ; Wr}

CAP. 11]

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL demos à seguinte base de V: fwi> ... , Wr, dual

Vt • . . . , Vn

311

-r}. Considere a bas~

Por definição de base dual, cada um dos u acima anula cada w;; portanto, W 0 • Dizemos que f oj} é base de W 0 . Agora, f uj} é parte de uma base de V*; logo, é linearmente independente. "h . . . , Un-r E

Mostraremos, a seguir, que f "il gera W0 rema 11.2, u

=

Seja

W0 • Pelo teo-

u E

+ ... + u(wr)'Í'r + u(vt)<TI + + u(vn -r)un-r + ... + 04>, + u(vt)<TI + . . + u(Vn-r)Un-r + + u(lln-r)"n-r

u(wl)l

= 04>1 = u(vi)<TI

Assim, f "I> . . , dim W 0 = n- r

"n-rl

gera W 0 . Logo, é base de W0 • De acôrdo com isso

= dim V- dim W.

(ii) Suponha que dim V = n e dim W =.r. Então; dim V* = n e, por (i), dim W 0 = n- r. A5sim, por (i)?, dim W 00 = n- (n- r) r; logo, dim W dim W 00. Pelo problema precedente, jyc W 00 • De acõrdo com isso, W = W oo.

=

=

11.13. Sejam

u e w subespaços de v.

Demonstre ( u

+ W)

0

= U0

nW

0•

Seja 4> E ( U + W) 0• Então, 4> anula U + W; logo, em partiQI.IIar, anulÇt U e W. Isto é, E U 0 e 4> E W 0 ; portanto, E UO () W0 • Assim, + W) 0 c U 0 () W 0 •

(u

Por outro lado, suponha que u E U 0 n W 0 ; então, .,. anula U e também Se v E U W, então v = u w, onde u E U e w E W. Portanto, a(v) = = u(u) u(w) = O O = O. Assim, .,. an.ula U W, isto é, u E ( U + W) 0• De acôrdo com isso, U 0 W0 c ( U W) 0 • W.

+

+

+

+

+

+

+

Ambas as relações de inclusão nos dão como resultado a desejada igualdade.

Observação. Observe que nenhum argumento dimensional é empregado nessa demonstração; portanto, o resultado vale para espaços de- dimensão finita ou infinita.

TRANSPOSTA DE UMA TRANSFORMAÇÃO .LINEAR 11.14. Seja q, o funcional linear em R 2 , definido por q,(x, y) = x- 2y. Para cada dos seguintes operadores lineares T no R 2 , encontre· (T'(q,))(x, y): (i) T(x, y) = (x, O) ; (ii) T(x, y) = (y, x y); (iii) T(x, y) = (2x- 3y, Sx + 2y).

+

Por definição de transformação transposta, ('r(
('r())(x, y) = .P(T(x, y)) ;.. .P(x, O)

(ii) (T (
= (í'(x,

(iii) ('r(
=

y))

(T(x, y))

=

,P(y, x

=

=



+ y)

=

-2x- y

o

T, isto é,

x

+ y)

= (2x- 3y,

'r()

=

5x

= (2x- 3y) ~ 2(5x

y- 2(x

+ 2y) + 2y)

=

-8x- 7y.

312

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

[CAP. 11

11.15. Seja .T : V-) U linear e seja T' : U* -) V* sua transposta. Mostre que o núcleo de T' é o anulador da imagem de T, isto é, Nuc T' = = (lm T) 0 • Suponha que t/> E Nuc T': · isto é, T(t/>) = t/> o T =O. então u = T(v) para algum v E V; portanto, t/>(u) = t/>(T(v)) = (t/> Temos que t/>(u) Nuc T1 c: (lm

o

no.

(T(u)}(v) = (u

o

u

E

Im T,

T)(v) = O(v) = O

= O para todo u E lm

Por outro lado, suponha que rr para todo v E V,

Se

E ~Im

r;

portanto,

no,

T)(v) = rr(T(v))

t/> E (1m T} 0 .

Assim•

isto é, u(lm T) =. {0}. Então,

= O = O(v)

Temos que (T 1(rr))(v) = O(v) para todo v E V; portanto, T 1 (..-) = O. Donde uE Nuc logo, (lm c: Nuc T'.

r;

no

Ambas as relações de inclusão nos dão a igualdade desejada.

11.16. Suponha que V e U têm dimensão finita e suponha que T : V-) U é linear. Demonstr.e pôsto (T) = pôsto (T'). Suponha que dim V = n e dim U = m. Suponha também qm: pôsto (T) = r. Então, pelo teorema 11.5, dim ((Im T} 0) = dim U- dim. (Im T) = = m- pôsto (T) = m- r

no.

Pelo problema precedente, Nuc T' = (lm Portanto, nulidade (T') = m- r. Segue, então, que, como foi dito, pôsto (T') = dim U*- nulidade (T') = 1 =m-(m-r)=r=pôsto(T).

11.17. Demonstre o teorema 11.7. Seja T: V-+ U linear e seja A a representação matricial de T em relação às bases {u 1 , . . . , vml de V e fut. ... , u,) de U. Então, a matriz transposta A 1 é a representação matricial de -T': U*-+ V* em relação às bases duais a {u1 } e {u;}. . Suponha que T(vl) T(112)

= auUt = a21u1

T(vm) = am1U1

+ a12U2 + ... + a1nUn + a22U2 + .. - + a2nUn

(1)

+ am2U2 + ... + amnlln

Queremos mostrar que

+ ant/>2 + ... + amtt/>m + a22t/>2 + ... + am2tf>m a1ntP1 + a2ntP2 + ... +·amnt/>m,

T'(.,t) = aut/>1 T'(u2) = a12t/>1 T'(u,.) =

(2)

onde {rr;l e {;} são as bases duais a {u;l e {v;}, respectivamente.

+ k 2v2 + ... + kmVm~ Então, por (1), + k2TCv2) + ... + kmT(~~m) = ktCanul + . . + alnu 11 ) + k2Ca21u1 + .. ,. + a2,u,) + ... + +'km(amtU1 + ... + amnUn) . '='(ktau + k2a21 + + kmam1)u1 + . ; . +{kíal;, + k2Mn -F .. + kmarnr " (k1aH + k2a2i + .Z

Seja v E V e suponha que v = k1v 1 T(v) ,; k 1T(vv

ieol

CAP. 11]

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

313

Portanto, para j = 1, ... , n,

Z (klali + k2<12i + ...

(:z-i(u;)(v)) = u;(T(v)) = u;(.

1-1

= k1a1;

+ kmam;)u,) .

+ k2a2; + ... + kmUmj

(3)

Por outro lado, para j = 1, ... , n, (alil

+ U2j2 + · · · + Umjm)(v)

+ + + ... +

(ali1 a2;2 k2v2 kmvm) = k1aH + k2a2i + =

+

+ Umjm)(klf'l + + kmUmj

(4)

Como v t= V era arbitrário, (3) e (4) implicam que :z-i(u;) = a1;.P1

+ a2;2 +

+ am;.Pm,

j = 1, ... , n

que é (2). Assim, está demonstrado o teorema.

x:

11.18. Seja A uma matriz arbitrária m X n sôbre u~ corpo Demonstre que o pôsto das linhas e o pôsto das colunas de A são iguais. Seja T: K" ~ Km a transformação Iif!ear definida por T(v) = Av, onde os elementos de K" e Km são escritos como vetores coluna. Então, A é a representação matricial de T em relação às bases usuais de K" e Km e a imagem de T é o espaço coluna de A. Portanto, pôsto (T) = pôsto das colunas de A. Pelo teorema 11.7, A' é a representação matricial de T 1 em relação às !:!ases duais. Portanto, pôsto (:z-1) = pôs to das colunas de A 1

=

pôs to das linhas de A.

Mas, pelo problema 11.16, pôsto (T) = pôstó (:z-1); portanto, o pôsto das linhas ·. e o pôsto das colunas de A são iguais. (~sse resultado foi determinado anteriermente no teorema 5.9 e foi demonstrado de uma maneira direta no problema 5.21.)

Problemas Propostos ESPAÇOS DUAIS E BASES DUAIS 11.19.

Sejam : as --+R e a: R 3 --+R funcionais lineares definidos por (x, y, z) = = 2x - 3y + z e u(x, y, z) = 4x - 2y + 3z. Encontre (i) + a, (ii) 3<1>, (íii) 2.P- 5u.

11.20. Seja .p o funcional linear no R 2 definido por .p(2, 1) = 15 ·e .p(1, -2) = -10. Encontre (x, y) e, em particular, (-2, 7).

11.21.

11.22. ,•

1<:ncontre as bases duais de cada uma das seguintes .bases do R 3 (i)

11. O, O),

(ii)

tc1. -2, 3), ct, -1, 1), c2, -4,

(0, 1, O), (0, O, 1)}.

?>r

Seja V o espaço vetorial i:los polinômio~ sôbre R de grau :$; 2. e .Pa os funcionais lineares em V definidos por I(j(t))

=

Jo

f(t)dt, 2 (/(1))

= f'(1),

t/> 3(/(t)) = /(0)

Sejam <1> 1 , <1>2

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

314

[CAP. 11

+ +

Aqui, /(1) = a bt ct 2 E V e /'(1) denota a derivada de j(t). lh(t), /2(1), /3(1)} de V, que é dual a lt, t/>2, tl>a}.

Encontre a base

II.23.

Suponha que u, v E V e que t/>(u) = O implica t/>(v) = O para todo t/> E V*. Mostre que ;o = ku para algum escalar k.

11.24.

Suponha que t/>, u E V* e que (v) = O implica Mostre que u = kt/> para algum- escalar k.

II.25.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre K. Para a E K, defina 0 : V---> K por t/>0 (/(1)) = j(a). Mostre que (i) a é linear; (ii) se a c;é b, então 0 c;é b.

II.26.

Seja V o distintos. b(/(t}) = pendente

11.27.

Seja V o espàço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Seja T: V---'> K a transformação traço T{A) = a 11 a 22 a,.n. onde A = (a;;). Mostre que T é linear.

II.2S.

Seja W o sube5paço de V. Para qualquer funcional linear <1> em vV, mostre que existe um funcional linear u em V tal que u(w) = t/>(w) para qualquer w E vV, isto é, é a restrição de u a W.

ll.29.

Seja {e 1, ... , enl a base usual de K". Mostre que a base dual é l"l• ... , "nl. onde ,., é a i-ésima transformação projeÇão ,.,(at. ... , a,.) = a;.

11.30.

Seja V um espaço vetorial sôbre R. Sejam <1> 1, t/> 2 E V* e suponha que u: V---> R definida por u(v) = t/>1, (v)2(v) também pertence a V*. Mostre que ou t/>1 = O ou <1>2 = O.

u(v) =O

para

todo

v E V.

espaço vetorial dos polinômios de grau S 2 .. Sejam a, b, c, E K escalares Sejam t/>0 , b e c, os funcionais lineares definidos por t/>0 (f(t)) = j(a), j(b), t/>cU(t) = j(c). Mostre que {.. b, c l é linearmente indee encontre a base Ih (I); h (1), h (I)} de V que é sua dual.

+

+ ... +

ANULADORES ll.31.

Seja W o subespaço de R 4 gerado por (1, 2, -3, 4), (1, 3, -2, 6) e (1, 4, -1, 8) Encontre uma base do anulador de vV

11.32.

Seja W o subespaço de R 3 gerado por (1, 1, O) e (0, 1, 1). Encontre uma ba.se do anulador de W.

11.33.

Mostre que, para qualquer subconjunto S de_ V, L(S) ""' S 00 , onde L(S) é o gerador línear de S.

11.34.

Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V de dimensão finita. Demonstre ( U n W) 0 = U 0 W 0.

+

11.35. Suponha que V= U $ W. Prove que V* = [1° E9 W 0 •

TRANSPOSTA DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 11.36. '• i

Seja <1> o funQional linear no R 2 definido por (x, y) = 3x- 2y . . Para cada transformação linear T: R 3 ---> R 2, encontre (T 1())(x, y, z) (i) T(x, y, z) = (x

+ y, y + z);

(ii) T(x, y, z)

= (x

+ y,

2x- y)

q.37. Suponha ,que S: U __. V e T.: V---> W _são lineares. Demonstre que

·= s'o r.

..

Cz;,o S)'_-=

11.38. Suponha que T: V--> U é linear e que V tem dimensão finita. Demonstre que lin

T' =

(Nuc T) 0.

•

CAP. 11]

315

FUNCIONAIS LINEARES E O ESPAÇO DUAL

Demonstre que u E Im T ou existe

11.39.

Suponha que T: V----> U é linear e u E U. 4> E V* tal que T 1(4>) = O e
11.40.

Seja V de dimensão finita. Mostre que a transformação T I-> T' é um iso· morfismo de Hom (V, V) em Hom (V*, V*). (Aqui, T é qualquer operador linear em V.)

PROBLEMAS DIVERSOS 11.41.

Seja V um espaço vetorial sôbre R. O segmento de reta uv ligando pontos u, v E V é definido por

+ (1 -

uv = {tu

t)v : O ~ t

Um subconjunto S de V é chamado convexo se V* e seja

~

1).

11,

v E S implica uvc S. Seja

OI,

w- ;,

TV+

=

{v E V: (v) >OI, TV= {v E V: (t·)

Demonstre que Hí+ , vV e 11.42.

r.v-

=

{v E V: (v)

< 0}.

são convexos.

Seja V um espaç.l vetorial de dimensão fitÚta. Um hiperplano H de V é definido como sendo o núcleo de um funcional linear não-nulo 4> em V. Mostre que tod9 subespaço de V é a interseção de um número finito de hiperplanos.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

+ 4z, (ii) 6x- 9y + 3z, 4x + 7y, 4>(-2, 7) = 41.

11.19.

(i) 6x- Sy

11.20.


11.21.

11.25. 11.26.

(i)

{qi> 1 (r, y, z) = x,

(ii)

{q~> 1 (r,

y, s)

=

{

ft(t) =

t

-

+ 4y- 13z.

= y, g(:x, y, z) = z}.

-3x- Sy- 2z, .P2(:x, y, z) = 2x

(ii) Seja j(t) = t. Então, <Pa(/(1)); 2

(iii) -16x

(b+c)t

+ bc

(a- b)(a --c)

+ z,

11.31.

{

11.32.

{
11.36.

(i) (T'(.P))(x, y, z) = 3x

•

h ()t

=

= a ""' t

2

-

b

+ y,

y, z) = x

=
<Pa ""'
(a+c)t +:ac .

(b- a)(b- c)


+ 2y + ::).

_ t 2 - (a+b)t

• fa(t) -

(c- a)(c- b)

= 2y- 1).

+ z). + y- 2z,

(ii) cr(
+ ab}.

-~_:......:...._.;___

=-X+ Sy + 3z.

Capítulo 12 Formas Bilineares, Quadráticas e Hermitianas FORMAS BILINEARES · Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre um corpo K. Uma forma bilinear em V é uma transformação f : V X V~ K que satisfaz (i)

f(au 1

+ bu v) = af(u!i v) + bf(u v) + bv = af(u, vi) + bf(u, V 2,

2,

(ii) f(u, av 1

2)

2)

~a qmlisquer a, b E K e quaisquer u;. v1 E V. Expressamos a condição (i) dizendo que f é linear na primeira variável e a condição (ii) dizendo que f é linear na segunda variável.

Exemplo 12.1. Sejam 4> e rr os funcionais lineares arbitrários em V, Seja f: V X V-> K definida por f(u ,v) = (u)rr(v). Então, f é bilinear, porque 4> e tT são cada qual lineares. (Resulta que tal forina bilinear f é o produto tensorial de 4> e rr e é, algumas vêzes, escrita f = 4> $ tr.)

+

Exemplo 12.2. Seja f o produto interno em R", isto é, f(u, v) = u . v = a 1b1 onde u = (a;) e t• = (b;). Então, f é uma forma bilinear em R".

+ a 2bz + ... + a,.b.,,

Exemplo 12.3. Seja A = (a;j) qualquer matriz n X n sôbre K. Então, A ser encarada como uma forma bilinear f em K" definindo

/(X, Y)

=

1

X AY

=

(xt, xz, ... , xn) ( :::___:_:; ...... anl

" 1: i,J= I

il{IXjyj "" iluXIYI

an2

. ..

pode

_:_:~) ~:) (

ann

y

+ llJgl'I}'~ + .

A expnissão lonnal açÍiila nas varh\vcis x;, y; é denominada polinômio bilinear correspon· dente à matriz A. A fórmula (1) abaixo mostra que, num certo sentido. tôda forma bilinear é dllsse tipo.

Denotaremos por B( V) o conjunto das formas bilineares em V. Coloca-se uma estrutura de espaço vetorial em B (V) definindo f + g e kf por

(f+ g)

(u, v) = f(u, v) (kf)(u, v) = kf(u, v)

+ g(u, v)

para quaisquer f, g E E( V) e qualquer k E K.

De fato,

Teorema 12.1. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sôbre K. Seja {tfli, ... tfl.. } basedoespaçodual V*. Então, {f;i :i,j = 1, ... ,n} é base de B(V), onde f;; é definida por f;j(u, v) = 1/J;(u)tP;(v). Assim, em particular, dim B(V) = n 2 •

316

CAP. 12]

317

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

FORMAS BIUNEARES E MATRIZF.S Seja f uma forma bilinear em V e seja nha que u, v E V e que

a

Então, f(u, v) = f(a 1e 1

(e~>

... , enl base de V.

+ ... + a,.e,., b1e 1 + ... + bnen) + a1bd(e1, e2) + ... + anbnf(en, en)

= a1bd(e1, e1)

Supo-

=

n

=

L

aAf(e1 , e)

i.J=l

Assim, f é determinada completamente pelos n 2 valôres f( e;. e). A matriz A = (a;;) onde a1i = f(e;, ei) é chamada representação matricial de f em relação à base {e1 } ou, simplesmente, a matriz de f em {e;). Ela "representa" f no sentido de que \

(a1, , .. , a,.)A

(

~bn:.)

[u]~A[vl.

(1)

para quaisquer u, v E V. (Como de costume, [u]. denota o vetor (coluna) coordenada de u E V na base {e, I .) A seguir, perguntamos: como se transforma uma matriz que representa uma forma bilinear, quando uma nova base é e~colhida? A resposta é dada no teorema seguinte. (Lembre, teorema 7.4, que a matriz de transição P de uma base {e1 } para outra (e;} tem a propriedade [uJ.•= P[ul. para todo u E V.)

Teorema 122. Seja P a matriz de transição de uma base para outra. Se A é a matriz de f na base original, então B = P'AP é a matriz de j·na nova base. O teorema acima motiva a seguinte definição.

Definição. Diz-se que uma matriz B é congruente a uma matriz A se existe uma matriz inversível (ou não-singular) P tal que B = P'AP. Assim, pelo teorema acima, matrizes que representam a mesma forma bilinear são congruentes. Ôhservamos .que matrizes congruentes têm o mesmo pôsto porque P e P' sao não-singulares; portanto, a seguinte definição está bem clara.

Definição. O pôsto. de .uma forma bilinear f ern V, escrito pôsto (f), é definido como o' pÔ~to' 'cie qualquer represen'i:áÇão matricial. Dizemos que f é degenerada ou não-degenerada segundo seja pôsto ( f) pôs to (f) = dim V.

< dim V

ou

318

F0RMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS I .

[CAP. 12

FORMAS BILINEARES ALTERNADAS Diz-se que uma forma bilinear f em V é alternada se

=

(i) f(v, v)

para qualquer v E V. O = f(u

O

Se f é alternada, então

+ v, u + v)

=

(ii) f(u, v)

Jogo,

+ ftu, v) + ftv, u) + f(v, v);

f(u, u)

= -

f(v, u)

para quaisquer u, v E V. Diz-se que uma forma bilinear que satisfaz a condição (ii) é anti-simétrica (ou oblíqua). Se 1 + 1 r! O em K. então a condição (ii) implica f(v, v) = - f(v, v), que implica na condição (i). Em outras palavras, alternada e anti-simétrica são noções equivalentes, quando 1 + 1 r! o. Segue o teorema principal sôbre a estrutura de formas bilineares. Teorema 12.3. Seja f uma forma bilinear alternada em V. Entã9, existe uma base de V, na qual f é representada por uma matriz da forma

o -1

1

1

o

1

_ _ _ :_j _ _ ,

I 0

1 1

1...,.1

0

I

L __ _,

I

0

Li ~

1 I 0 I -·- +-

-1

IÜ I ~

-~-I

~_j ~.­ ,o

Além disso, o número de

0 (-1

1

o)

é determinado

de maneira

única por f (porque é igual a 1/2 pôsto (f)). Em particular, o teorema acima mostra que uma forma bilinear alternada deve ter pôsto par.

FORMAS BILINEARES SIMÉTRICAS, FORMAS QUADRÁTICAS Diz•se que um~ forma bilinear f em V é simétrica se f(u, v) = f(v, u)

para quaisquer u, v E V.

CAP. 12]

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

319

f, podemos escrever .f(X, Y) = X'A Y = (X'A Y)' = Y'A'X

Se A é representação matricial de

(Usamos o fato de que X'A Y é um escalar e, portanto, igual à sua transposta.) Assim, se f é simétrica, Y'A'X

f(X, Y)

=

=

f(Y, X)= Y'AX.

e, como isto é verdadeiro para todos os vetores X, Y, segue que A = A

t

Reciprocamente, se A é simétrica, então f é simétrica.

ou A é simétrica.

O resultado principal para formas bilineares simétricas é dado pelo Teorema 12.4. Seja f uma forma bilinear simétrica em V sôbre K (na qual 1 1 ré 0). Então, V tem uma base {v 1 , . . . , vn}, na qual f é representada por uma matriz diagonal, isto é, f(v;, vi) = O para i ré j.

+

Forma Alternada do Teorema 12.4. Seja ·•.ti uma matriz simétrica sôbre + 1 ré 0). Então, existe uma matriz inversível (ou não-singular) P tal que P'AP é diagonal. Isto é, A é congruente a uma matnz diagonal.

K (no qual 1

Como uma matriz inversível P é um produto de matrizes elementares (problema 3.36), um meio de obter a forma diagonal P'AP é fazer uma seqiíência de operações elementares com linhas e a mesma seqüência de operações elemeatares com colunas. Essas mesmas operações eleinentares em I produzirão P'. tsse método é ilustrado no exemplo seguinte. Exemplo 12.4. Seja A

(_~

=

_! =: ) ,

uma matriz simétrica.

É conveniente

formar a matriz de blocos (A, I) (A, I)

= (

~

2 -3 ' 1 o o 5-4:010 -4 8,001

-3

)

Aplicamos as operações R2 -+-2Rl + R2 e R 3 -> 3R 1 +Ra a (.<1, I) .e, depois, as operações correspondentes C 2 ->-2CI + C2 e C3 ..... 3C1+C3 a A, para obter

o

o·

1 0

0 ) e, depois; 1

A seguir, aplicamos a operação R3 - -2R2 C s _,. -2C2 C3, para obter

+

(~

o

o

1

2 -5

o

o

1 I I I

~)

-2 1 7 -2

e, depois,

Agora, A foi diagonalizada. Fazemos p =

(i

-2 7) 1 -2 1

o

+ R3

(10

o

0

2

o

or 2 1 -2 -1 1 3

1

o

~)

e, depois, a operação correspondente

(g

o

o o 1

I}

o .:;

I

-2 1 7 -2

n

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

320

[CAP. 12

Definição. Uma transformação q : V---'> K é chamada forma quadrática se q(v)

~

f(v, v) para alguma forma bilinear simétrica em V.

Chamamos q a forma quadrática associada com a forma bilinear simétrica f. Se 1 1 ;;é O em K, então f pode ser obtida de q de acôrdo com a identidade

+

f(u, v) = 1/2(q(u +v)- q(u)- q(v)) A fórmula acima é chamadaforma Polar de f. Agora, se f é- representada por uma matriz simétrica A = (a;;), então q é representada na seguinte forma q(X) = f(X, X)= X 1AX = au

(xu . .. ' xn)

(

al2

~2·1 . anl

= I: a;/'·";X;

=

auxi

.

.

·a·22· . : : ·. . an2

.

.

n.In) (

X1 )

~~".

~2

ann

xn

+ a2~ + ... + annX~ + 2 I:

(1 1 iX;X;

i<J

i,j

A expressão formal acima nas variáveis X; é denominada polinômio quadrático correspondente à matriz simétrica A. Observe que, se a matriz A é diagonal, então q tem representação diagonal q(X)

=

X'AX

= a 11xi

+ a 22 X; + ... + annx~,

isto é, o polinômio quadrático que representa q não conterá ti"rmos com "produto misto". Pelo teorema 12.4, tôda forma quádráttca tem uma tal rl'presentação (quando 1 + 1 '>"' O). Exemplo 12.;;. Considere a se~uinte forma quadrática. no R 2 q(x. y) = 2x 2

-

12xy

+ 5y 2

Um modo de diagonalizar q ê ·pelo método conhecido como "completar o quadrado", que é descrito completamente no problema 12.35. Nesse caso, fazemos a substituição x = s + 31, y = t, para obter a forma diagonal · q(x, y)

=

2(s

+ 31) 2 .:.

12(s

+ 31)1 + 51 2

= 2s 2 - 131 2 •

FORMAS BILINEARES SIMÉTRICAS REAIS. LEI DE INÉRCIA Nesta seção, trataremos de formas bilineares simétricas e formas quadráticas em espaços vetoriais sôbre o corpo real R. Essas formas aparecem em muitos ramos da Matemática e da Física. A natureza especial de R permite uma teoria independente. O resultado principal segue.

Teorema 12.5. Seja f uma forma bilinear simétrica em V sôbrt" R. Então.

existe uma base de V na qual f é representada por uma, matriz.·diagonl!-li 'J qualquer outra representação diagonal tem o mesmo número P de ele- -:'~ mentos positivos e o mesmo número N de elementos, negativos. A dife- '~ rença S = P - N é chamada assinatura de f. 'i

1

CA;P. 12)

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

321

Diz-se que uma forma bilinear simétrica é semidefinida não-negativa se

q(v) = f(v, v)

~

O

para todo vetor v; e diz-se que é definida positiva se q(v) = f(v, v) para todo vetor v (i)

f

(ii)

f

;:é

>

O

O. Pelo teorema acima,

é semidefinida não-negativa se, e somente se, S = p,ôsto (f)

é definida positiva se, e somente se, S natura de f.

=

dim V, onde S é a assi-

Exemplo 12.6. Seja f o produto interno no Rn, isto é, f(u, v)

=

u .v

=

a1b1

+ a2v2 + ... + anbn,

onde u = (a;) e v = (b;). Note que f é simétrica, pqis f(u, v)

=

u . v

=

v . u

=

f(v, u)

Além. disso, f é definida positiva, porque f(u, u)

= ai + a~ + ... + a; >

O

quando u r! O.

No próximo _capítulo, veremos como uma forma quadrática real q se transforma quando a matriz de transição Pé "ortogonal". Se nenhuma conqição é imposta a P, então q pode ser representada na forma diagonal com somente os 1 e -1 como coeficientes não-nulos. Especificamente,

Corolário 12.6. Qualquer forma quadrática real q tem uma representação única na forma q(xi, ... , xn) = xi

+ ... + x;- X:+

I - ... -

x;

O resultado acima para formas quadráticas reais é, algumas vêzes, citado como Lei de Inércia ou Teorema de Sylvester.

FORMAS HERMITIANAS Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sôbre o corpo complexo C. Seja f ·(i)

:V X

](a111

V~

C tal que

+ bu2, v) = af(uu v) + bf(u2, v)

(ii) f(u, v)

=

f( v, ú),

onde a, b E C e u;, v E V. Como sempre, k denota f(u, av1

ó

Então,

=

+

u) = af(v 1, u) bf(v 2, u) 7if(v 1, u) = bf(v2 , u) = ãf(u, vi)+ bf{u, V2 ) 2,

Isto é, · (iii) ftu, av 1

+ bv

2)

em V.

conjugado complexo de k E C.) Por (i) e (ii),

+ bv.;) = f(avt + bv

~ -~ \

f é chamada forma hennitiana

= ã f (u, vi)

+ b f(u,

v 2)

322

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

[CAP. 12

Como antes,exprimimos a condição (i) dizendo que f é linear na primeira variável. Por outro lado, expressamos a condição (iii), dizendo que f é linear conjugada na segunda variável, Note que, por (ii), f( v, v) =f(v, v); logo, f(v, v) é real para todo v E V. Exemplo 12.7. Seja A = (a;j) uma matriz n X n sôbre C. Escrevemos A para a matriz obtida tomando o conjugado complexo de cada elemento de A, isto é, A = (a;j) TambérR escrevemos A* para  1 =A'. D,iz-~ que a fllatriz A é hermitiana se A* =A, isto é, se a;i = aji. Se A é hermitian;i, então f(X, Y) = X 1AY define uma forma hermitiana em cn (problema 12.16). .

A transformação q : V - t R definida por q(v) = f(v, v) é chamada forma quadrática hermitiana ou forma quadrática complexa associada .à forma hermitiana f. Podemos obter f de q, de acôrdo com a seguinte identidade, chamada forma polar de f

f(u, v)

=

1/4 (q(u

+ v)- q(u- v)) + i/4 (q(u + iv)- q(u- iv))

Agora, suponha que {e1 , • • . , en} é base de V. A matriz H = (h 11 ). onde hti = f(eu e,.), é chamada representaçãp matricial de f na base kl. Por (ii), f(e 1, e); = f(e;, e;); portanto, H é hermitiana e, em particular, os elementos diagonais de H são reais. Assim, qualquer representação diagonal de f contém apenas elementos reais. O teorema seguinte ·é o análogo complexo do teorema 12.5 sôbre formas bilineares simétricas reais.

Teorema 12.7. Seja f uma forma hermitiana em V. Então, existe uma base {e1 , . . • , enl de V, na qual f é representada por uma matriz diagonal, isto é, f(e 1, ei) = O para i.,&. j. Além disso, tôda representação diagonal de f tem o mesmo número P de elementos positivos e o mesmo número N de elementos negativos. A diferença S = P - N é chamada assinatura de f. Anàlogamente, diz-se que uma forma hermitiana f é semidefinida não-negativa se

~

q(v) = f(v, v) 2': O para todo v E V e diz-se que é definida positiva se

q(v)

= f(v, v) > O

para todo v .,&. O. Exemplo 12.8. Seja f o produto interno em

cn,

isto é,

onde u = (z;) e v = (uii). Então, f é uma forma hermitiana em definida positiva, pois, para qualquer v rf O,

f

cn.

Além disso,

fé

CAP. 12]

323

FORMAS BILINEAR·ES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

Problemas Resolvidos FORMAS BILINEARES 12.1.

Sejam

f(u, v)

=

u =

(x1 ,

x 2,

3x1y 1 - 2XIY2

x 3) e

{y1 , y 2 , y 3) e seja

v =

+ Sx2Y + 7x2Y 1

+ 4X Y

8x2y3

2 -

3

2 -

x 3y 3

Exprima f em notação m!ltricial. Seja A matriz 3 X 3, cujo elemento-ij é o coeficiente de 1

j(u, v) = X A Y

=

Cx1, x2 ,xa)

= (~

O

12.2.

XiYj·

Então,

-~ -~) ( ~~) 4 -1

Y3

Seja A uma matriz n X n sôbre K. Mostre que a seguinte transformação f é uma forma bilinear e11_1 Kn :f(X, Y) = X;1 Y. Para qualquer a, b E K e qualquer X;/; Y; E Kn, f(aX 1

Portanto,

+ bX 2.

12.3.

+ bX 2) 1A Y = (aX~ + bX~)A Y = aX~A Y + bX~A Y = af(X 1, Y) = bf(X2, = (aX 1

Y)

f é linear na primeira variáveL Também

f(X, aY1

Portanto,

Y)

f

+ bY = X'A(aY1 + bY2) = aX AY1 + bX A Y2 = = afCX, Yt) + bf(X, Y2) 1

2)

é linear na segunda variável; logo,

f

1

é uma forma bilinear em Kn.

Seja/ a forma bilinear em R 2 definida por /((x1, x2), CY1• Y2)) = 2xJyJ

(i)

- 3.xly2

Encontre a matriz A de f na base {u1

+ X2Y2 (1,0), u 2 = (1, 1)}

=

(ii) Encontre a matriz B de f na base {v 1 = (2, 1), v2 = {1, -1)} (iii) .Encontre a matriz transição P da base {u1) para a base {v;) e verifique que B = P'AP. (i)

Faça A = (a;;), onde a;; =.f(u;, u;)

a 11 = j(u1, u 1) = /((1, 0), (1, O)) = 2- O+ O = 2 au = j(u1, u2) = f((l, O), (1, 1)) = 2 - 3 +O = -1 a21 = j(u2, u1) a22 = j(u2, u2)

Assim, A

.

=

(2 -1)o 2

= f((t, 1,) = /((1, 1),

é a matriz de

(1, O)) (1, 1))

f

= 2- O+ O=

= 2-3

+1

=

2 O

na base (u~o u2l•

(ii) Faça B = (b;;), onde bâj =/(v;, v;)

= /((2, 1), (2, 1)) = 8 - 6 + 1 ,.. 3 = f{(2, 1), (1, -1)) = 4 + ó - 1 =" _9 bu = j(v2, v1) = /((1, -1), {2, 1))" = 4'- 3 - 1 = ô bn = f(v 1 ,

b12

v 1)

= j(v1, v2)

b22 =j(v2, v2)

.

Ass1m, B =

(3 0

= /((1, -1),

(1, -I))

=

2

+3+1 =6

:) é a matriz de f na base (vt, v2l

324

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS (iii) Devem.:>s escrever

111

112

em têrnns de u;

= (2, 1) = (1, O)+ (1, 1) = u1 + u2 = (1, -1) = 2(1, O)- (1, 1) ~ 2u1- u 2

111 112

Então, P

e

=C-~); =C -~) . 2) (3o = (1 1)(2-1)(1 o logo, P

1

Assim,

1

P AP

12.4.

[CAP. 12

2

-1

2

1

-1

=

:) =

B

Demonstre o teorema 12.1. Seja V um espaço vetmial de dimensão n sôbre K. Seja { cp 1 , . . . , q,n} base do espaço dual V*. Então, {fi,.: i, j = 1, ... , n} é base de B(V), onde f,,. é definida por f;;(u, v)= cp;(u) cf>;(v) . Assim, em particular, dim (B(V) = n 2 • Seja {e 1 , . . . , enl a base de V duala I .p;\. Mostramos, primeiro, que f!;;} gera B( V). Seja f E B( V) e suponha que /(e;, e;) = a;;. Dizemos que f= "l;a;if;; É suficiente mostrar que f(e,, ec) = ("I;a;;f;f)(e,, e1) para s, t = 1, ... , n. Temos ("I;a_iif;i)(e., et) = "l;a;ifii(e,, et)

como queríamos. Portanto, Falta

mostrar

que

"l;aüf;; =O. Então, para s,

= "l;a;; cf>;(e,) tf ;;} gera

= a., = j(e,, e

1),

IJ;iJ

·é linearmente independente. Suponha que t = 1, ... , n,

O = O(e,, e1)

O último passo segue como antes. base de B( V).

12.5.

,Pj(e,) = "l;a;; ó;, ó;t

B( V).

= ("I;a,,.J;,)(e8 ,

e1) = a..

Assim, {/iil é independente e, portanto, é

Denote por (f] a representação matricial de uma forma bilinear f em V em relação à base {e H • • • , en} de V. Mostre que a transformação f----. [f] é um isomorfismo de B( V) sôbre o espaço vetoria! das matrizes quadradas n X n. Como f é detenninada completamente pelos escalares f(e;, ef), a trans· formação f - [j) é sôbre e biunívoca. É sufit:iente mostrar que a transfor~ação f·_. [f] é um isomodismo, isto é, que [aj

+ bg] =

afj)

+ b[g]

(•)

Entretanto, para i, j = 1, ... , n, (af

+ bg)(e;, e;)

= aj(e;, e,.)

+ bg(e;, e,.),

que é uma reformulação de (*). Assim, o resultado está provado.

12.6.

Demonst~e

o teorema 12.2. Seja P a matriz de transição de uma base {e1 } para outra base {e;}. Se A é a matriz de f na base original {e1 }, então B = P'AP é a matriz de f na nova base {e;}. !)ej~m

u, ."E V. Como P é a matriz de transição de {ei} a {eil. temos

P[u] •• , = [u] 0 .e P[v]e•

=]v]e; portanto; [u]i =

[u]~. P 1• Assim,

f(u, v) = [ul!A([v}. = [u]!, P 1AP[v],•

Cotno u e

11

são.elementos arbitrários de V,P 1AP é a matriz de/ na base {e;).

CAP. 12]

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

325

FORMAS BILINEARES SIM~TRICAS. FORMAS QUADRÁTICAS 12.7.

Encontre a matriz simétrica que corresponde a cada um dos seguintes polinômios quadráticos q(x, y)

=

4x2- 6xy- 7y2

(ii) q(x, y)

=

xy

(i)

(iii) q(x, y, z)

+ yz 3x 2

=

+

+

4xy- y 2

(iv) q(x, y, z) = xL 2yz

8xz- 6yz

+

z2

+ xz

A matriz simétrica A = (a;j) representando q(x1, . . , xn) tem o elemento diagonal a;; igual ao coeficiente de x; e tem os elementos aii e Ufi cada um igual à metade do coeficiente de x;x;. Assim,

(_~ =~) C~2 1/~)

G-~ -~) ( ~ -3

12.8.

1

1/2

Üj.i) · .

(ii)

(i)

-1 ~ 1/2)

o

-1 (iv)

Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A, encontre uma matriz P não-singular tal que P'AP é diagonal e também encontre sua assinatura (i) (i)

0~r -n

A

(ii) A

~

0-~ _1)

Primeiro, forme a matriz de blocos (A, I) (A , I ) =

(

-3 7

2 -S

:

O

0 ·1

2 -5

8

I

0

0

1 -3

I

+

Aplique as operações com linhas R2 .... 3Rt + R2 e Ra _. -2Rt Ra a (A, I) e, depois, as operações correspondentes com colunas C 2 ---> 3C 1 C2 e C3 _. -2Ct Ca a A, para obter .

+

2

1 -3 ( o

o

-2

1

1

4

o

I

I I

3

I

-2

1

o

o) O 1

e, depois,

( o

0

1

1 3

o

1 -2

o

I

I

O -2 o 1

I

4

+

1

+

A seguir, aplique a operaçã;> com linhas R 3 _. R 2 2R 3 e, depois, a operação correspondente com colunas Ca--> C 2 2C 3 , para obter

+

(

o 1 o -2 o o

0

I

1

1 I

3

9

I I

-1

0

o)

(o

1

0

e, depnis,

-~ ~

0

2

0

18

\ 1

~ .~

-1

Agora, A foi diagonalizada. Faça

P

~

(i ! -D ;

então, P'AP =

A assinatura S de A é S = 2 - 1 = 1.

G-~ 1~)

326

· [CAP. 12

FORMAS BILINEARES, QUADRATICAS E HERMITIANAS (i i) Primeiro, forme a matriz de blocos (A, I) (A, I)=

(1

-2 1

1 o o 1 o o

I I I I

1 2 -1

~)

Para trazer o elemento diagonal não nulo -1 para a primeira posição diagonal, aplique a operação com linhas R1 ---> Ra e, então, a operação correspondente com colunas cl ---> c3. para obter 1 I 0 o 0 1) ( 1 2 1 2 -1 I 0 1 -2 2 : O 1 0 e, depois, -2 -2 1 o ( 1 0 011110 o 1 o

+

+

Aplique as operações com linhas R2--+ 2Rl R2 e R 3 --+ R1 Ra e, depois, as correspondentes operações com colunas C2---> 2Cl C2 e Cs--+ C1 C3, para obter

(-~

l~

1

1)

~

~

:

e, depois,

+

(-1

~

o o 2

o o o 1

3

3

+

I

o

1

+

Aplique a operação com linhas R3 -> -3R2 2R3 e, depois, a correspondente operação com colunas C 3 --+ -3C2 2Ca

c~

o o 'I o o 1 2 3 I o o -7 I 2 -3

i)

+

e, depois,

c~

o 2

o -14

Agora, A foi diagonalizada. Faça P = (

~

:

=~);então, P AP (-~ 1

=

A assinatura S de A é a diferença .S ... 1 - 2

12.9.

o o o

o o I

i)

-3

2

o o) o 2

o -14

= -1.

Suponha que 1 + 1 r= O em K. De um algoritmo formal para · diagonalizar (sob çongruêncía) uma matriz simétrica A = (a1,-) sôbre K.

+

Caso 1. a 11 "" O. Aplique a operação com linhas Ri --> -a,; 1 R 1 auR;, i = 2, __ ., n e, depois, a correspondente operação com colunas C; ~ -ai1C 1

+ aúC;, par~

reduzir A à forma ( a:

1

~)

+

•

Caso 2. a 11 = O, mas aii "" O, para algum i > 1. Aplique a operação com linhas R 1 <->R; e, depois, a correspondente operação com colunas C1 C;, para trazer a;; para a primeira posição diagonal. Isto reduz a matriz ao caso 1.

<->

Caso 3. Todos os elementos diagonais a,;; = O. Escolha i, j tais que a;j ;;AI! O e aplique a operação com linhas R; --+ Rj + Ri e a correspondente ope-_ ração com colunas C; --+ Cj + C,;, para trazer 2a;i ;;AI! O para a i-ésima ,posição diagonal. Isto reduz a matriz ao caso 2. _ ). 0 Em cada um dos casos, podemos, finalmente, reduzir A à forma B 0 onde B é ~ma matriz simétrica de ordem menor do que A. Por indução, podemos, finalmente, trazer A para a forma diagonal. ·

(au

Observação. A hipótese 1 mos que 2a;i "" O.

+ 1 ;;AI! O em

K é usada no caso 3, onde afirma-

CAP. 12]

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

327

12.10. Seja q a forma quadrática associada com a forma bilinear simétrica!. Verifique a seguinte forma polar de f: f(u, v) = -} (q(u + v)- q(u)- q(v)) (Suponha que 1 + 1 ;o! O.) q(u

+ v) -

t

+ 1 ~ O,

Se 1

+

q(u) - q(v) = f(u 11, tt v) - f(u, u) -/(v, v) = f(u, u) f(u, v) f(v, u) f(v, v) - f(u, u) -f(v, v) = 2/(u, v)

+

+

+

podemos dividir por 2 para obter a identidade desejada.

12.11. Demonstre o teorema 12.4. Seja f uma forma bilinear simétrica em V sôbre K (no qual 1 + 1 ~ 0). Então, V tem uma base {v 1 , . . . , vnl, na qual f é representada por uma matriz diagonal, isto é, f(v 1 , vi) = O parai ~ j. Método 1. Se f =" O o.u se dim V = 1, então o teorema evidentemente vale. Portanto, podemos supor f ~ O e dim V = n > 1. Se q(v) = f(v, v)= O pam todo v E V, então a forma polar de f (veja problema 12.10) implica que f = O. Portanto, podemos supor que existe um vetor~ v 1 ~ V tal que j(v 1 , v 1) ~ O. Sejà U o subespaço gerado por .v 1 e seja W constitUído dos vetores v E V, para os quais /(v 1, v) = O. Dizemos que V = U e lV. (i)

Demonstração de que U n W = {OI. Suponha que u E U n W. Como u E U, u = kv 1 para algum escalar k E K. Como u E W, O = j(u, u) = = j(kv1. kv1) = P/(t•J. Vt). Mas j(v1, v 1) ~ O; portanto, k = O e, portanto, u = kv 1 =O. Assim, U n W = {OI.

(ii)

Demonstração de que V

= U

+

W. Seja v E V. Faça

j(v1, v)",· w. = v - - - - - v1. /(vi, vi)

(I)

Então, /(ui, v) f(V}, W) = j(VI, V) - ~(-- j(Vt. V}) = 0~

f

V}, V!)

Assim, w E W. Po.r (1), v é a soma de_ um elemento de U com um elemento de W. Assim, . V = U W. Por (i) e (ii), V '"' U W.

+

e

Agora; f restrita a W é uma forma bilinear simétrica em vV. Mas dim W = 1; portanto, por indu~;ão, existe uma base {v:l, .. , v11 1 de W tal que 'f( v;, Vj) = O para i ~ j e 2 $ i,. j S n. Mas, pela ·própria definição de W, J(v 1 , v;) = O para j = 2, .. ·_, n. Por isto, a base lv 1 , . . , v.. I de V tem a pro· p.riedade requerida f(v;, Vj) = O para i ~j.

= n-

Método 2, O algoritmo no problema 12.9 mostra que cada matriz simétrica sôbre K é congruente a uma matriz diag-onal. Isto é equivalente à· assertiva de que f tem uma representação matricial diagonal. 01 2

12.12. Seja A (

a

a,.)

uma

matriz diagonal sôbre K.

Mostre que (i)

Para quaisquer escalares não-nulos ki> ... , k,. E K, A é congruente a uma matriz diagonal com elementos diagonais aJi1_.

328

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

[CAP. 12

(ii) Se K é o corpo complexo C, então A é congruente a uma matriz diagonal, com elementos diagonais somente 1 e O. (iii) se K é o corpo real R, então A é congruente a uma matriz diagonal com somente 1 e -1 e O como elementos diagonais. (i)

Seja P a matriz diagonal com elementos diagonais k;. Então,

P'AP

c J("' "' J\' J k2

k2

..

c·l

a2k~

..,: )

(ii) Seja P a matriz diagonal com elementos diagonais b;

]1/VIlise a;~ O

l

1

se a; = O.

1

Então, P AP tem a forma requerida. (iii) Seja P. a matriz diagonal com elementos diagonais b; =

Jl 1/V\GiT se

a; ~ O

se a;= O.

Então, P'AP tem a forma ·requerida.

Observação. Enfatii:amos que (ii) não é verdadeiro se congruência fôr substituída por congruência hernlitiana (veja problemas 12.40 e 12.41).

12.13. Demonstre o teorema 12.5. Seja f uma forma bilinear simétrica em V sôbre R. Então, existe uma base de V, na qual f é representada por uma matriz diagonal e qualquer outra representação diagonal de f tem o mesmo número de elementos positivos e o mesmo número de elementos negativos. Pelo teorema 12.4, existe uma base {ut. ... , u,] de V, na qual f é representada por uma matriz diagonal, digamos, com P elementos positivos e N elementos negativos. Agora, suponha que {w 1, ... , wnl é outra base de V, na qual f é representada por uma matriz diagonal, digamos, com P' elementos positivos e N' elementos negativos. Podemos supor, sem perda de generalidade, que os elementos positivos em cada matriz aparecem primeiro. Como pôsto (f) = P N = P' N', é suficiente provar que P = P'. Seja U o espaço gerado por u1, .. .• up e seja lV o espaço gerado por WP'+I· . . . , w,. Então, f(v, v) > O para todo v E U não-nulo e j(v, v) _-<::; O para todo v E W não-nulo. Portanto, U n W ={O}; Note que dim U = P e dim W = n-P'. Assim.

+

dim ( U

+

+ W)

= =

+

dim U P-P'

+ dim W + n.

dim ( U

n W)

+

= P

Mas dim (U W) 5 dim V= n; portanto, P-P' n lhantemente, P' _-<::; P e daí P = P', como queríamos.

_-<::;

+ (n n ou P

P') - O

_-<::;

=

P'. Seme-

Observação. O teorema precedente e sua demonstração depende~ somente do conceito de positividade. Assim, o teorema é verdadeiro para qualquer subcorpo K do corpo real R.

CAP. 12]

329

FORMAS BILINEARES, QUADRATICAS E HERMITIANAS

12.14. Diz-se que uma matriz A simétrica real n X n é definida positiva se X'AX > O para qualquer vetor (coluna) não-nulo X E R", isto é, se A é definida positiva encarada como uma forma bilinear. Seja B qualquer matriz real não-singular. Mostre que (i) B'B é simétrica e (ii) B'B é definida positiva. (B'B) 1 = B 1B 11 = B 1B; portanto, B 1B é simétrica.

(i)

(ii) Como B é não-singular, BX ;>! O para qualquer X E R" não-nulo. Portanto, o produto interno de BX consigo mesmo, BX . BX = (BX) 1(BX) . é positivo. Assim, X 1(B 1B)X = (X 1B 1)(BX) = (BX) 1(BX)

>

O,

como queríamos.

FORMAS HERMITIANAS 12.15. Determine quais das seguintes matrizes são hermitianas

(4+ 2! Si3i

Si)

2 + 3i 45 6 + 2i 6 - 2i -7 (i)

(

'3

2 - i 4+i

(_; -~ ~ ) 5

1

2-i 6

i

·r)

(i i)

-6

(iii) Uma matriz A = (a;j) é hermitiana se, e somente se, A e sOmente se, aij = fiii' (i)

=

A*, isto é, se,

A matriz é hermi-tiana, pois ela é igual à sua transposta conjugada.

(ii) A matriz não é hermitiana; no entanto, ela é simétrica. (iii) A matriz é hermitiana. De fato, uma matriz real é hermitiana se, e sàmente se, ela é simétrica.

12.16. Seja A uma matriz· hermitiana. Mostre que f é uma forma hermitiana em C", onde f é definida por f(X, Y) = X'A Y. Para todos os a, b E C e todos os X 1. X 2. Y E cn, j(aX 1

+ bX 2.

Y)

= (aX 1 =

+ bX 2l'AY = (aXi + bX~)AY + bX~AY = aj(X 1 , Y) + bj(X 2, Y).

aXiAY

Portanto, f é ·linear na primeira variável. Também f(X, Y) = X'AY = (X 1AY) 1 = Y 1A 1X = Y'A*X = Y 1AX = j(Y, X).

Portanto, f é uma forma hermitiana em C". (Observação. Usamos o fato de que X'AY é um escalar; logo, é igual à sua transposta.)

12.17. Seja f u~a forma hermitiana em V. base {e1 , ••• , e,} de V. Mostre que (i)

Seja H a matriz de

f(u, v) = [u]! H[v]. para quaisquer u, v E V.

f

na

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIAN"AS

[CAP. 12

(ii) Se P é a matriz de transição de I e;} para uma nova b-:1se [e; J de V, então B = P'HP (ou B = Q*HQ, onde Q = P) é a matriz de f na nova base {e;}. Note que (ii) é o análogo complexo do teorema 12.2: Sejam u, v E V e suponha que

(i)

u = a1e1

+ a2e2 + ... + anen

e

+ b2e2 + . . + bnen

v·= b1e1

t:ntão, j(u, v) = j(a1e1

+ ... + anen,

'~' a;b;/(i;, •;)-

b1e1

+ ... + bnen)

:J -

[•J!H[•l•

(o., ... , a..)H (

como queríamos.

{eil.

(ii) Como P é a matriz de transição de {e;l para P[u],• = (u},• P[v],•

= [v],;

logo, [u}~

então,

= [uJ!• P 1,

[v)e

= P[vje'.

Assim, por (i), j(u, v) = [u]~ H[vfe' = (u)!•. P HP[v ]e. Mas u e v são elementos arbitrários de V; portanto, P 1HP é a matTiz de f na base {e~j. 1

~i

12.18. Seja H.= ( 1 -2i

+i

1

uma matriz hermi tiana.

4

2

+ 3i

Encontre uma matriz P não-singular tal que P'HP é diagonal. Primeiro, forme a ma triz de blocos (H, I)

+i 4 2 + 3i

1 ( 1 - i -2i

1

2i I 1 O O) 2 - 3i : o 1 o 7 I O O 1

+

+

Aplique as operações com linhas R:~,~ (-1 + i)R1 R2 e Rs-? 2iR 1 Ra a (A,-I) e, depois, as "operações hermitianas com colunas" correspondentes (veja problema 12.42) C.:~. - (-1 - i)C1 C2 e C3 - . -2iCt C3 a A, para <>bter

+

'1 1 +i 2 ( O

o

.'ii

2i -Si

o o)

i1 -1 1+ i

3

1 0

2i

I

O 1

+

e, depois,

( o oi 1 O 2 0 Si

A. seguir, aplique a eperação com linhas Rs ...... -5iR 2 hermitiana com colunas correspondentes Ca ~ SiC2

(

~ ~ -.'i~

o o

-19

i I

-1 5

~i

+ 9i

i

-Si

2

~)

e, depois, (

1 1 -Si -1 + i 3 I 2i

Oh~ .. rvl'

(~

-l

ti

5

~ ~ ~

o o

-38

~t) e, depois; P HP ~ (~·

nue a assinatura S de H é S = 2.- 1

1 0

O 1

+ 2R 3 e, depois; a operação + ~C3 , para obter

1

= l.

~ ~)

-1+i + 9i -Si 2

.5

Agora, H foi diagonalizada. Faça P.=

o o)

;! jJ

CAP. 12]

FORMAS BILINEARES; QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

:331

PROBLEMAS DIVERSOS 12.19. Mostre que qualquer forma bilinear f em V é a soma de uma forma bilinear simétrica e de uma forma bilinear anti-simétrica. Faça g(u, v) = -}ff(u, v) simétrica, porque g(u, v) = -}f!Cu, v)

+ f(v, u))

+ l(v, u)]

=

e h(u, v)

{-[j(v, u)

= {-[f(u, v)- f(v,

+ l(u, v)]

=

u). Então, g é

g(t•, u),

e h é anti-simétrica, porque h(u, v) = -} fl(u, v)- f(v, u)]

Além disso,

I =

g

= --}f!(v, u)- f(u,

v))

= -h(v, u).

+ h.

12.20. Demonstre o teorema 12.3. Seja f uma forma bilinear alternada em V. Então, existe uma base de V, na qual f é represwtada por uma matriz da forma I

o 11 -1 o - - t-- -, Io 1 I c~~

I

o

' -1

t I

~-, l...o -1-

'

Lo_j

.-'0 I

Alé.m disso, o núméro de

(_~ ~)

é determinado de maneira

única por f (porque é igual a 1'/2 pôsto (f)). Se f = O, então o teorema é obviamente verdadeiro. Também, se dim

Ir= 1, então j(k 1u, k 2 u) ~ k 1 k 2 j(u, u) O; logo, f= O. De acôrdo com isso, podemos supor que dim V > 1 e f ;oi O. Como I -,.!. O, existem (não nulos) u~o u 2 E V tais que /(uh u2) 7J!!. O. De fato, multiplicando u 1 por um fator apropriado, podemos supor que f(ui, u2) = 1; logo, /(u 2 , u 1) = -1. Agora, u 1 e u 2 são linearmente independentes; porque se, digamos, u2 = ku1, então j(u1, u2) = j(u1, ku1) =· kj(u,, u 1 ) = O. Seja U o subespaço gerado por u1 e u2, isto é, U = L(uJ, u2). Note

=

(i)

A representação matricial da restrição de/ a Una base (u 1, u2l

(ii) Se u E U, digamos, u = au1

+ bu2,

então

+ bu2, u1) j(au1 + bu2, u2)

f(u, u,) = l(aul

= -b

j(u, u2)

= a.

=

é(_~ ~).

332

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS Seja W constituído dos vetores w Equivalentemente,

W

E

W tais que f(w, u 1)

[CAP. 12

= O e f(w, u 2 ) = O.

{wE V:f(w, u) =O para todo uE U}.

=

Afirmamos que V= U EEl W. É claro que U que V= U +TV. Seja v E V. Faça

nW

=

{O); logo, falta mostrar

(1) Como u é combinação linear de u 1 e u 2 , u E U. (l) e (ii), f(u, Ut) = f(v, u 1 ); portanto,

= f(v-

f(w, u 1 )

Mostraremos que w E W. Por

u, u 1 ) = f(v, ut)- f(u, ui)

= O.

Semelhantemente, f(u, u 2) = f(v, u 2); logo,

+

Então, w E W; logo; por (1), v = u w, onde u E U e w E W. que V = U W e portanto, V = U E9 vV.

+

Isto mostra

Agora, a restrição de f a W é uma forma bilinear alternada em W. Por indução, existe uma base u 3 , . , un de H:, na qual a representação matricial de f restrita a 11' tem a forma desejada. Assim, u~o u 2, u 3 , . . . , Un é uma base de V, na qual a representação matricial de f tem a forma desejada.

Problemas Propostos FORMAS BILINEARES. 12.2.1.

Sejam u = (x 1 , x 2) e v bilineares em R 2 (i)

f(u, v) =

(ii) f(u, t•) =

2X).Y2-

x1

=

(y 1 , y 2 ).

Jx2yi

+ ;vz

(iii) f(u, v) = 3xzyz 12.22.

Determine quais das seguintes são formas

(iv) j(u, v) =

XtX2

(v) f(u,

1

v) =

+ Y1Y2

(vi) j(u, v) = O.

Seja

f

(i)

Encontre a m~triz A de

f

na base lut. = (1, 1),

(ii) Encontre a matriz B de

f

na base {v 1 = (1, -1), vz = (3, 1)).

a forma biljnear em R 2 definida por f(('fl•

Xz),

(Yl• Y2)) =

3XIY! -

2XtY2

+ 4X2Yl- X2Y2 u2 =

(1, 2)).

(iii) .Encontre a matriz de transição P de {u;) a {v;) e verifique que B = P 1AP. 12.23.

Seja V o espaço yetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R. Seja M = seja f(A, B) = tr(A 1MB), onde A, B E V e "tr" denota traço. (i) Mostre que f é uma for'1).a bilinear em V. (ii) Encontre a n1atriz de

f

na base

(

1

2

3

5

)

e

CAP. 12] 12.24.

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

333

Seja B( V) o conjunto das formas bilineares em V sôbre K. Demonstre (i)

+

Se /, g E B( V), então f g e kf, para k E K, também pertencem a B( V); logo, B( V) é um subespaço de e!spaço vetorial de funções de V X V em K.

(ii) Se e a são funcionais lineares em V, então f(u, v) = (u) a(v) pertence a B(V). 12.25.

Seja f uma forma bilinear em V. Para qualque,· subconjunto S de V, escrevemos

s.L = sT =

{v E

v: f(u,

v)

=

{v E .V: /(v, u) =

o para o para

todo u

S}

E

qualquer u E SI.

Mostre que (i)

s.L

e

sT

V; sf e si

são subespaços de

(ii) St c S 2 implica

st

c

c

S{;

(iii) {O}.L = {O}T = V.

v.L

12.26.

Demonstre. Se f é uma forma bilinear em V, então pôsto {f) = dim V- dim VT e, portanto, dim v.t =:3_im VT.

12.27.

Seja f uma forma bilinear em V. Para cada u E V, sejam-;: V-> K e';;: V ..... K definidos por ;(x) = j(x, u) e ';; (x) = f(u, x). Demonstre (i)

= dim

V- dim

-; e ';; são lineares, cada um, isto é, ;, ';; E V*;

(ii) u ,_.-; e u

---> ';;

são cada um transformação linear de V em V*;

(iii) pôsto {f) = pôsto (u ,__. ;) = pôs~o (u ,__. ';;). 12.28.

Mostre que congruência de matrizes é uma relação de equivalência, isto é, (i) A é congruente a A; (ii) se A é congruente a B, então B ·é congruente a A; (iii) se A é congruente a B e B é congruente a C, então A é congruente a C.

JPORMAS BILINEARt~S SIMÉTRICAS. 12.29.

(i)

q(x, y, z) = 2x 2

-

8xy

+ y2 -

16xz

+ 14yz + 5z 2 ;

+ y 2;

(ii) q(x, y, z) = x 2

- xz

(iii) q(x, y, z) = xy

+ y 2 + 4xz + z 2 ;

(iv) q(x, y, z) = xy 12.30.

Jo'ORMAS QUADRÁTICAS

Encontre a matriz simétrica pertencente a cada um dos seguintes polinômios quadráticos

+ yz.

Para cada uma das seguintes matrizes A, encontre uma matriz não-singular P tal q.1e P'AP seja diagonal li)

A=

Em cada

G 43) ca~o,

.

-2

.

(i i) A=

(-: -:) 6

(iii) A=

-9

encontre o pôsto e a assinatura.

(-3l

2

-5 -1

-2 -5 6 9

-3) -1 9 11

13.31.

Seja q a forma quadrática associada com a forma bilinear simétrica f. Verifique a seguinte forma polar alternada de f: f(u, v) = T[q(u v)- q(u- v)].

12.32.

Seja _S(V) o conjunto das formas bilineares simétricas em V. Mostre que

+

(.'

S( V) é um subespaço de B( V);

(iiJ se .dim V

=

n, então dim S( V)

=

-}n(n

+ 1).

334 12.33.

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS Seja f q(x, y) (i) (ii)

a forma bilinear simétrica associada com a bxy cy 2 . Mostre que

= ax 2

f é f é

+

forma quadrática

+

não-degenerada se, e somente se, b 2 definida positiva se, e somente se, a

[CAP. 12 real

4ac >"' O;

-

>

O e b2

-

<

4ac

O.

12.34.

Suponha que A é uma matriz simétrica real definida positiva. Mostre que existe uma matriz não-singular P tal que A = P'P.

12.35.

Considere um polinômio real q(xi.

n ~

. , Xn) =

a;;x;x;, onde a;; = a;;.

i,j=l

Se a 11 >"' O; mostra. que a substituição

(i)

x1

=

1 Y1- - - Ca12Y2 au

+

determina a equação q(xl. ... , Xn) = auy~ é um polinômio quadrático. (ii) Se a 11

=

+ q(y2,

.. , Yn), onde q' também

O mas, digamos, a 12 >"' O, mostre que a substituição ·• Xn

= Yn

determina a equação q(xt . ... , Xn) = ~ bijYiYi• onde bn >"' O, isto é, reduz êste · caso ao caso (i). Êste método de diagonalizar q é conhecido como "completar o quadrado". 12.36.

Use passos do tipo usado no problema precedente para reduzir cada polinômio quadrático no problema 12.29 à forma diagonal. Encontre o pôsto e a assinatura em cada caso.

FORMAS HERMITIANAS 12.37.

(i) A 12.38.

matrizes complexas A, B

Para quaisquer

+ B =A+ B,

(ii) kA =

kA,

e qualquer k

(iii) AB =

AB,

(iv)

E

C,

mostre que

A'= A 1•

Para cada uma das seguintes matrizes hermitianas H, encontre uma matriz 1 HP seja diagonal

não-sing~lar P tal que P

(i)

H=

-i

(i i)

2 (i i i)

H=

H= -t

2-i

2 2- 3i

2 1 +i

+ 3i -1

2 +i 1 - i :;!-

Encontre o pôsto e a assinatura em cada caso. 12.39.

Seja A qualquer matriz complexa não-singular. Mostre que H = A* A é hermitiana e definida positiva.

12.40.

Dizemos que B é hermitiana congruente a A se existe uma matriz não-singular = Q* A Q. Mostre que tongruência hermitiana é uma relação de equivalência.

Q tal que B

12.41.

Demonstre o teorema 12.7. Seja f uma forma hermitiana em V. Então, existe uma base le 1 , . . , , enl de V, na qual f é representada por uma matriz diagonal, isto é, f(e;, e;) = O para i >"' j. Além disso, tôda representação diagonal de f tem o mesmo número P de elementos positivos e o· mesmo número N de elementos negativos. (Note que a segunda parte do teorema não vale para formas

CAP. 12]

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

335

bilineares simétricas complexas, como foi visto no problema 12.12 (ii). Entretanto, a demonstração do teorema 12.5 no problema 12.13 dá validade para o caso hermitiano.) ·

PROBLEMAS DIVERSOS 12.42.

Considere as seguintes operações elementares com linhas

[a1l R; <-> Rj, [a2] R;

-->

+ R;.

kR;, k ~ O, [a 3] R;--> kRi

As correspóndentes operações elementares com colunas são, respectivamente, [b1] C;<-> Cj, [b2] C;

-->

kC;, k

~

+ C..

O, [b 3] C; _,.. kCi

Se K é o corpo complexo, então as correspondentes operações hermítianas com colunas são, respectivamente, [c1l C; <-> Cj, [c2] C; _,.. kC;, k ~ O, [cal C; _,.. kCi

(i)

+ C;.

Mostre que a matriz elementar correspondente a [b;] é a transposta da matriz elementar correspondente a [a,:).

(ii) Mostre que a matriz elementar correspOndente a [c;] é a transposta conjugada da matriz elementar correspondente .a [a;]. 12.43.

Sejam V e W espaços vetoriais sôbre K. Uma transformação f: V X W-. K é chamada forma bilinear em V e W se (i)

J(avt

+ bv2, w) = aj(vt, w) + bj(v2, w); + bw2) = af(v, w1) + bf(v, w2).

(ii) f(v, aw1

Para todo a, b E. K, v; (i)

E

V,

Wj E

TF. Prove que

O conjunto B(V, W) de formas lineares em V e W é lim subespaço do espaço vetorial das funções de V X W em K.

(i i) Se !4> 1 , ... , 4>ml é base de V e I u 1 , . . . , uni é base de W, então lf•i: i = 1, ... , m, j = 1, ... , n I é base de B( V, W),- onde fii é definida por fii(v, w) = = 4>;(v) uj(W). Assim, dim B( V, W) = dim V . dim W. (Observação. Observe que, se V = W, então obtemos o espaço B( V) estudado neste capitulo.) m vêzes 12.44.

Seja V um espaço vetorial sôbre K. Uma transformação f: VX VX ... X V_,.. K é chamada forma multilinear (ou m-linear) em V se f é linear em cada variável, isto é, para i= 1, ... , m,

f( ... , au

+ bv,

... ) = af( .. . , -;, ... )

+ nf( .. • , -;,

... ),

o'nde denota a i-ésima componente e outras componentes são mantidas fixas. Uma forma m-linear f é chamada alternada se f(vh ... , Vm) = O sempre que v;

=

Vk. i ~ k.

Demonstre (i)

O conjunto Bm( V) de formas m-lineares em V é um subespaço do espaço vetorial das funções de V X V X X V em K.

(ii) O conjunto Am(V) de formas m-lineares alternadas em v·é um subespaço de Bm(V). Observação I. Se m = 2, então obtemos o espaço B( V), estudado neste capitulo. Observação 2. Se V= Km, então a função determinante é uma forma m-linear alternada particular em V.

336

FORMAS BILINEARES, QUADRÁTICAS E HERMITIANAS

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 12.21.

(i) Sim, (ii) Não, (iii) Sim, (iv) Não, (v) Não, (vi) Sim.

12.22.

(i)

12.23.

12.29.

p.30.

(i i)

(i)

(~ ~)'

A=

o

(j

1

o 3 -4 1

P

(i i)

p =

(iii) p _

12.38.

o

4

(g

7 ;

(ii)

( 1~ o-..!.-)~

•

n

P 1AP =

;) ")

2 1

(iii) p =

(

-~).

3

-2

o

-1 1

-1 3

13

o o

o

9 7

P=

G :).

(i i)

P=

(~

-2

(g

i 1

+ 3i)

o

'

-3:1

1

1

'

P'AP

(~

'

S =O.

'

(g

o

o) o ' s

2

o

~)

ptHP =

~

'

o 1

o o

o -7 o o

s

=

-1~) '

(~

= 1.

:-38

=O

ptHp = (

i)

o

2

o)

1

ptHp =

1

(o+ +

(iii)

(2 'o -2

P AP =

'

'

o o

-2

(i)

(iii) p =

-4) '

O 20 32

D

o

= ('o1 -3) 2

(i)

(

2

2 -8) (,-8 7 5. -4

(i i) B =

o 1

o

.U

s

2.

S =O.

~).

-4

S=l.

= 2.

[CAP. 12

Capítulo 13 Espaços com Produto Interno INTRODUÇÃO A definição de espaço vetorial envolve um corpo arbitrário K. Neste capítulo, K será ou o corpo real R ou o corpo complexo C. No primeiro caso, chamaremos V espaço vetorial real e, no segundo, espaço vetorial complexo. Lembre que os conceitos de "comprimento" e "ortogonalidade" não apareceram no estudo de espaços vetoriais arbitrários (embora aparecessem no capítulo 1 nos espaços Rn e Cn). Neste capítulo, colocaremos uma estrutura adicional no espaço vetorial V, para obter espaço com produto ·interno e neste contexto aquêles conçeitos serão definidos. Enfatizamos que V denotará um esptço vetorial de dimensão finita, a menos que' se diga ou implique o contrário. Em verdade, muitos dos teoremas neste capítulo não são verdadeiros para espaços de dimensão infinita. Isto é ilustrado por alguns dos exemplos e problemas.

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO Começaremos com uma definição.

Definição. Seja V um espaço vetorial (real ou complexo) sôbre K. Suponha que, para cada par de vetores u, v E V está associado um escalar (u, v) E K. Esta transformação é chamada produto interno erri V se satisfaz os axiomas

[I1] (au 1

+

+

bu 2 , v) = a (uh v) b (u 2, v) [12] (u, v) = (v, u) UaJ (u, u) ~ O; e (u, u) = o se, e somente se, u

= o.

O espaço vetorial V com produto interno é chamado espaço com produto interno. Observe que (u, u) é sempre real por [12]; logo, a relação de desigualdade em [!3 ] faz sentido. Também usamos a notação

llull

=

V(u, u) lluil é chamado

Êste número real não-negativo norma ou comprimento de u. Também, usando [I1) e [12], obtemos (problema 13.1) a rela~ão (u, av1,

+ bv2)

=

a(u,

Vt)

+ b (u, V2J

Se o corpo básico K é real, os sinais de conjugado que aparecem acima e em [12] podem ser ignorados.

337

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

338

[CAP. l3

Na linguagem' do capítulo precedente, um produto interno é uma forma bilinear simétrica definida positiva, se o corpo básico fôr real, e é uma forma hermitiana positiva, se o corpo básico fôr complexo. Um espaço com produto interno real é, às vêzes, chamado espaço euclidiano e um espaço com produto interno complexo é, às vêzes, chamadd espaço unitário. Exemplo 13.1. Considere o produto escalar no Rn

u . v = a1b1

+ a2b2 + ... + a,b,,

onde u = (a;) c v = (b;). Isso é um produto interno no R", e R" com êste produto interno é usualmente designado espaço euclidiano n-din:tensional. Embora haja muitas maneiras de definir produto interno no R" (veja problema 13.2), suporemos sempre êsse produto interno no R", a menos que se diga ou implique o contrário. Exemplo 13.2. Considere o produto escalar em C" U • V =

ZI"Wl

+ Z2W2 + ... + ZnWn,

onde u = (z;) e v = (u•;). Como no caso real, êste é um produto interno em C" e suporemos sempre êste produto interno em C", a menos que se diga ou implique o contrário. Exemplo 13.3. Denote por V o espaço vetorial das matrizes m X n sôbre R. produto interno em V é

Um

(A, B) = tr (B 1A), onde tr indica traço, soma dos elementos diagonais. Anàlogamente, se U denota o espaço vetorial das matrizes m X n sôbre C, então o seguinte é um produto interno em V (A, B) = tr (B* A)

Como sempre, B* denota a transposta conjugada da matriz B. Exemplo 13.4. Seja V o espaço vetorial de funções reais contínuas no intervalo b. Um produto interno em V é

a::; t::;

(f, g) =

ib

j(t)g(t)dt

Anàlogamente, se U denota o espaço vetorial das funções complexas contínuas no intervalo (real) a ::; t ::; b, então o seguinte é um produto interno em V (f, g) =

ib

j(t) g(t) dt

Exemplo 13.1). Seja V o espaço vetorial da seqüência infinita de números reais ••• ), Satisfazendo

(a 1, a 2 ,

~ l=l

a7 = ai + a~ + . . . <

ro,

isto é, a soma converge. Adição e multiplicação por escalar são definidas componente a componente

· Um produto interno •\ defi11ido em V por

{
àtÕt

+ a 2bz + ...

ÇAJ rel="nofollow">. 131

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

339

Essa soma converge absolutamente para qualquer par de pontos em V (problema 13.44); portanto, o produto interno está bem definido. f:ste espaço com produto interno é chamado espaço 12 (ou espaçJ de Hilbert).

Observaçao I. Se J!v/1 = 1, isto é, se (v, v) = 1, então v é chamado· vetor unitário ou diz-se que está normalizado. Notamos que todo vetor não nulo u E V pode ser normalizado, fazendo v = uf/!u/1. Observação 2. O número real nãO-negativo d(u, v) = Jlv- uJI é chamado distância entre u e v; esta função satisfaz os axiomas de espaços métricos (veja problema, 13.51).

DESIGUALDADE DE CAUCHY-SCHWARZ A seguinte fórmula, chamada desigualdade de Cauchy-Schwarz, é usada em muitos rumos da Matemática. J'eorema 13.1. (Cauchy-Schwarz) Para

I (u,

v) I ~

qu~isquer

vetores u, v E V,

liullllvll

A seguir, examinaremos esta desigualdade em casos específicos. Exemplo 13.6. Considere quaisquer números complexos a 1, Então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

(a1b1

+ ... + anbn) 2 ;:5;

C\a1\ 2 +.

... ,

+

\an\ 2)(\bl\ 2 +

=

(b;).

a,.,

b 1,

... ,

bn

E

C.

... + \bn\ 2),

isto é,

onde u

=

(a;) e v

Exemplo 13.7. Sejam f e g quaisquer funções reais contínuas definidas no intervalor unitário O :; t :; 1. Então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, ((f, g)) 2

=(!o

1

j(t) g(t)

d~2

:;

i

I

_{2(1) dt f o I g 2 (t) dt

=

11111 2 1\gl\ 2

Aqui, V ~ o e•paço com produto interno do exemplo 13.4.

ORTOGONALIDADE Seja V um espaço com produto interno. Diz-se que os vetores zt, v E V são ortogonais se (u, v) = O. A relação é claramente simétrica; isto é, seu é ortogonal a v, então (v, u) = (u, v)= Õ =O; logo; v é ortogonal a u. Notamos que O E Vê ortogonal a todo v E V, pois (O, v)= (Ov,v) =O (v, v)= O

Reciprocamente, se u é ortogonal a todo v E V, então (u, u) tanto, u = O pôr [!3 ].

=

O e, por-

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

340

[CAP. 13

Agora, suponha que W é qualquer subconjunto de V. O complemento órtogonal de W, denotado por W .l (leia "W perp"), cohsiste nos vetores em V que são ortogonais a todo w E W

W.l = {t• E V: (v,w) =O, paratodow E W} MoStraremos que W.l é um subespaço de V. Claramente, O E W.l. Agora, suponha que u, v E Wi. Então, para quaisquer a, b E K e qualquer w E W,

(au . Assim, au

+

bv, w)

+ bt• E W.l

= a (u, w)

+

b(v, w)

= a . O+ b .

O= O

e, portanto, W é subespaço de V.

Teorema 13.2. Seja W um subespaço de V. de W e W.l, isto é, V= W EB W..L.

Então, V é a soma direta

Agora, ~e W é subespaço de V, então V= W EB W.l pelo teotema anterior; portanto, existe uma projeção única Ew : V- V com imagem W e núcleo W..L. Isto é, se v E V e v = w w', onde w E W, w' E fV..L, então Ew é definida por Ew(v) = w. Esta transformação Ew é chamada projeção ortogonal de V em W.

+

z

Exemplo 13.8. Seja W o etxo dos z no R3, isto é, W

~

((O, O, c): c

E

w

RI

Entào, W ..L é o plano xy, isto é,

w..L

=

{(a,b,O):a,bt;;RI

Como foi dito anteriormente, R 3 = W fi! l.V .l. A projeção ortogonal E de R 3 em W é dada por E (x, y, z) = (0, o; z). Exemplo 13.9. Considere um sistema homogêneo de equações. lineares sôbre R · ' aux1 a21X1

+ a12x2 + ... + + a22X2 + ... +

atnXn

~

O

a2nXn

~

0

ou em notação matricial AX = O. Lembre que o espaço das soluções l'V pode ser encarado como o núcleo· do operador linear A. Podemos também encarar H' como o conjunto de todos os vetores v = (x 1, ... , Xn), que são ortogonais a cada linha de A . .Assim, W é o complemento ortogonal do espaço das linhas de A. O teorema 13.2 dá-nos, então, outra demonstração do resultado fundamental dím H' = n- pôsto (A) ..

Observação. Se V é espaço com produto interno real, então o ângulo 8 entre vetores não-nulos u, v E V é definido por cos

(J

=

(u, v)

llui!llv!l

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

341

Pela desigualdade de Cauchy-Sch warz, -1 S: cos (} S: 1; logo, o ângulo 8 sempre existe. Obs~rve que u e v são ortogonais se, e sõmente se, êles são "perpendiculares", isto é, O = .,.;z.

CONJUNTOS ORTONORMAIS Diz-se que um conjunto {ui} de vetores em V é ortogonal se seus elementos distintos são ortogonais, isto é, se (u1 , uJ = O para i ;-é j. Em particular, diz-se que o conjunto {u;} é ortonormal se êle é ortogonal e se cada U; tem comprimento 1, isto é, se _ J O para i ~ j [ . . 1 para 1- = J

_

(u;, u) -

óii -

Um conjunto ortonormal pode sempre ser obtido de um conjunto ortogonal de vetores não-nulos normalizando cada vetor. Exemplo 13.10. Considere a base usual do esftaçg euclidiano R 3 {e1

= (1, O, 0),

e2

= (0, 1, 0),

ea

= (O, O, 1)1

É claro que (elo e1 ) = (e2, e2) = (e 3, e 3)

= 1 e

(e;, ej)

= O para

i.,.;; j

Isto é, !et. e 2 , e 3 1 é uma base ortonormal do R 3 • Mais geralmente, a base usua1 do P" ou de cn é ortonormal para todo n. Exemplo 13.11. Seja V o espaço vetorial -de funções reais contínuas no intervalo

.,.. ::; t ::; ,.. com produto interno definido por

Ú. g).

=L:

f(t)g (t)dt. Um exemplo clás-

sico de subconjunto ortogonal de V é {1, cos t, cos 21,

. , sen I, sen 2t, ...

I

O conjunto ortogonal acima desempenha papel importante na teoria das séries de Fourier.

As seguintes propriedades de um conjunto ortonormal serão usadas na próxima seção. Lema 13.3. Um conjunto ortonormal {u 1 , pendente e, para qualquer v E V, o vetor w = v- (v, u 1 ) u 1

-

(v, u 2 ) u 2 -

•.• ,

ur} é linearmente inde-

- (v, u,) ur

é ortogonal a cada um dos ui.

PROCESSO DE ORTOGONALIZÀÇÃO DE GRAM-SCHMIDT Bases ortogonais desempenham papel importante em espaços com produto interno. O próximo teorema mostra que sempre existem tais bases; sua demonstração usa o célebre processo de ortogonalização de Gram-Schmid t. Teorema 13.4. Seja {v 1 , . . . , vnl uma base arbitrária de um espaço com produto interno V. Então, existe uma base ortogonal {u 1 , . . . , u"} de V

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

342

tal que a matriz de transição de {v;} a i= 1, ... , n,

{uJ

[CAP.B

é triangular, isto é, para

Demonstração. Fazemos u 1 = vJI[v 1ll; então, {u 1 } é ortogonal. fazemos w 2 = v2 - (v2 , u 1 ) u 1 e u 2 = wJ[!w 21/

A seguir,

Pelo lema 13.3, w2 (e, portanto, u 2) é ortogonal a u 1 ; então, {u 1 , u 2 } é ortonormal. A seguir, fazemos

w 3 = v3 - (v 3 , u 1 ) u 1 - (v 3 , u 2 )

U2

e Ua

= wJ)iwall

Novamente pelo lema 13.3, w 3 (e, portanto, u 3) é ortogonal a u 1 e u 2 ; então, {u 1, u 2 , u 3·} é ortonormal. Em geral, depois de obter {u 1 , . . :, it,l fazemos W;+J

= v1+1- (v;+ 11 u 1 ) u 1 -

... -

(v;+t• u 1 )ui e

= W;+J))w;+ 1ll v;) = L(u 1, ••• , u 1).)

U;+l

(Note que w1+ 1 ;é O, porque V;+J t L(v 1 , . . . , Como antes, {ult ... , ut+d também é ortonormal. Por indução, obtemos um conjunto ortonormal {u1 ... , un\. que é independente e, portanto, base -de V. A construção específica garante que a matriz de transição é triangular. Exemplo 13.12. Considere a seguinte base do espaço euclidiano &3 {v 1 = (1, 1, 1), v2 ~ (0, 1, 1) 1 va = (0, O, l)j

Usamos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para transformar '(v,j numa base ortogonal ( u;l. Primeiro, normalizamos v 1, isfo é, fazemos ·

w

(1, 11 1)

V1

111

=

=

v3

(

1

1

1

vf · vf · v3

=

)

Agora, fazemos W2

~ V2- (112

1

~ (0, J,l)- Jr (~,

11Jl111

Jr Jr) 1•

=

(-

~, ~

,

c 1 depois, normalizamos w 2 , isto é, fazemos W2 =

Finalmente,

~~=:~~ =

(-

~ ~' J6) I

temos

wa = va- (va. 111)

=(o, o;

111-

(tta,

11z} 112 =

o- Jf (Jr · Jr · Jr)- Jt (~ Jc;· Jc;· ~)

=fo - _!.. _!..) \'

2

I

2

depois, normalizamos w 3 11a =

wal llwal

~(o,--v ~2-, v-~2-)

~)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13]

343

A base ortonormal do R 3 requerida é

{ Ut =

(

1 1 1 ) V'f ' vT ' VJ. '

U2

(

=

-

2

1

1 )

,j6 ' V6 ' VÓ '

Ua

=

( . O, -

1

1 )}

yf ' Vf

FUNCIONAIS LINEARES E OPERADORES ADJUNTOS Seja V um espaço com produto interno. Cada u E V determina uma transformação ii : V-+ K definida por ii(v) = (v, u). Agora, para quaisquer a, b E K e quaisquer Vtt v2 E V,

+

+

+

+

ii(av 1 bv 2 ) = (av1 bv 2 , u) = a(vt, u) b(v 2 , u) = a'ii(vt) b'ii(v 2 ) Isto é, ii é um funcional linear em V. A recíproca é também verdadeira para espaços de dimensão finita e é também o próximo teorema importante. Teorema 13.5. Se-ja

T(x, y, z) = (2x

+ iy.,

y- Siz, x

+ (1

- i)y

+ 3z)

Encontraremos uma fórmula semelhante para o adjunto T* de que a matriz T na base usual de c3 é 2 [T]

=

o

(1

i. 1 1 -i

'J". Note (problema 7.3)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

344

(_;

lCAP. 13

Lembre qu.; a base usual é ortonormaL Assim, pelo teorema 13.6, a matriz de T* nessa base é a trapsposta conjugada

~~.\T~

~

~

O Si o~

i)

1

3

acôrdo com isso, T*(x, y, z)

= (2x + z, -ix + y + (1 + ~}z, Siy + 3z) O teorema seguinte resume algumas proptiedades do adjunto.

Teorema 13.7. Sejam Se T operadores lineares em V e seja k E K. Então, (i) (S + T)* = S* + T* (iii) (ST)* T*S* (ii) (kT)* = kT*

(iv) (T*)*

= T

ANALOGIA ENTRE A(V) E C, OPERADORES ESPECIAIS Denote por A(V) a álgebra de todos os operadores lineares num espaço com produto interno de dimensão finita V. A transformação adjunta T ~ T* em A(V) é bastante semelhante à transformação conjugação z ~ z no corpo complexo C. Para ilustrar essa analogia, identificaremos, na tabéla seguinte, certas classes de opetadores TE A(V), cujo comportamento sob a transformação adjunta imita o comportamento sob conjugação de classes familiares de números complexos. Classe de núme-

Comportamento

Classe de opera-

ros complexos

sob conjugação

dores em A(V)

Círculo unitário

(lzl

z=

Operadores ortogona1s (caso real) Operadores unitários (caso complexo)

1/z

= 1)

----·---.

Eixo real

'

·.z

Eixo imaginário

Eixo real positivo

(O, co)

1 íi

"i

=

z

--

--

-·--·-

= -z

l._z = Ww,

;,

---·-·· ..

w ;oé

o

;

Operadores autoadjuntos Também chamados simétricos (caso real) e hermitianos (caso complexo) Operadores antiadjuntos Também chamados anti-simétricos (caso real) e anti-hermitianos (caso complexo) Operadores definidos positivos

Comportamento sob a transformação adjunta

T* = T-1

T*

= T

T* = -T

T= S*S com S nãosingular

A analogia entre essas classes de operadores Te números complexos. z é refletida no seguinte teorema.

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

Teorema 13.8. Seja (i)

Se T*

= 1

1

,

À

345

um autovalor de um operador linear Tem V

IÀ I =

en-tão

T, então

1.

(ii) Se T*

=

(iii) Se T*

= -

(iv) Se T

= S*S com S nãocsingular, então

é real.

À

T, então

À

é imaginário puro. À

é real e positivo.

Agora, demonstraremos êsse teorema. Em cada caso, seja v um autovetor não-nulo de T pertencente a À, isto é, T(v) = Àv com v rE O; portanto, (v, v) é positivo.

Demonstração de (i). Mostraremos que

À~ (v, v)

=

(v, v)

À X (v, v) = (Àv, Àv) = (T(v), T(v)) = (v, T*T(v)) = (v, I(v)) = (v, v)

Mas (v, v) r! O; portanto, ÀX = 1; logo,

lXI

= 1.

Demonstração de (ii). Queremos mostr~r que À(v, v) = x(v, v) J..(v, v) = (Àv, v) = (T(v), v) = (v, T*(v)) = (v, T(v)) = =

X (v, v) portanto, À = X;

(v, À v)

Mas (v, v) r! O;

=

Demonstração de (iii).

logo,

À

é real.

Mostraremos que À (v, v) = -X (v, .v)

À (v, v) = (Àv, v) = (T(v), v) = (v, T*(v)) = (v, -T(v)) = =(v,-Xv)=-X(v,v) ·

Mas (t•, v) r! O; portanto,

À

= -X ou X = -X; logo, X é imaginário puro.

Demonstração de (iv). Note, primeiro, que S(v) rE O, porque Sé não-singular; portanto, (S(v), S(v)) é positivo. Mostraremos que À(v, v)

=

À (v, v) = (S(v), S(v)) (Xv, v)= (T(v), v) = (S*S(v), v) = (S(v), S(v))

Mas (v, v) e (S(v), S(v)) são positivos; portanto,

À

é positivo.

Observamos que todos os operadores T dados comutam com seus adjuntos, isto é, TT* = T*T. Tais operadores são chamados operadores normais.

·OPERADORES ORTOGONAIS E UNITÁRIOS Seja U um operador linear num espaço com produto interno de dimensão finita V. Como já foi definido, se

U* =

u-

1

ou, equivalentemente, UU*

= U* U = I,

então, diz-se que U é ortogonal ou unitário segundo seja o corpo básico real" ou complexo. O teorema seguinte dá car2Pterizações alternativas dêsses operadores.

346

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

[CAP. 13

Teorema 13.9. As seguintes condições num operador U são equivalentes (i) U* = u-t, isto é, UU* = U*U = I. (ii) U preserva produtos internos, isto é,

para quaisquer

v,

w E V,

(U(v), U(w)) = (v, w) (iii) U preserva comprimentos, isto é, para qualquer v E V, IIU(v)ll

=

11~!.

Exemplo 13.14. Seja T: R 3 __. R 3 o operador que gira càda vetor em relação ao eixo dos z por um ângulo fixo IJ T(x, y, z) = (x cos IJ- y sén IJ, x sen IJ

+ y cos IJ, z)

Observe que os comprimentos (distâncias à origem) são preservados sob T. Assim, T é um operador ortogonal. Exemplo 13.15. Seja V o espaço l2 do exemplo 13.5. Seja T: V _.. V o operador linear definido por T(a 1 , a 2 , . . . ) = (O, a1, a 2 , .•• ). Claramente, T preserva produtos internos e comprimentos. Entretanto, T não é sobrejetora, pois, por exemplo, (1, O, O, ... ) não pertence à imagem de T; portanto, T não é inverslvel. Assim, vemos que o teorema 13.9 não é válido para espaços de dimensão infinita.

Um isomorfismo de um espaço com produto interno noutro é uma transformação bijetora que preserva as três operações básicas de espaços com produto interno: adição vetorial, multiplicação por escalar e produtos internos. Assim, as transformações dadas (ortogonais ou unitárias) podem tàmbém ser caracterizadas com os isomorfismos de V em si mesmo. Note que uma tal transformação U também preserva distâncias, pois IIU(v)- U(w)ll = IIU(v-w)ll por isso, Ué também chamada isometria.

= l!v-wll;

MATRIZES ORTOGONAIS E UNITÁRIAS Seja U um operador linear num espaço com produto interno V. Pelo teorema 13.6, obtemos o seguinte resultado, quando o corpo básico K é complexo. Teorema 13.10-A. Uma matriz A com elementos complexos representa um operador unitário U (em relação a uma base ortonormal) se, e sômente se, A • = A- 1. Por outro lado, se ó corpo básico K é real, então A* = A'; portanto, temos o correspondente teorema seguinte para espaços com produtos iTJternos reais. Teorema. 13.10-B. Uma matriz A com elementos reais; ,repr~senta, ,um operador ortogonal U (em relação a .uma base ortonormal) se, e sqmente se, A'= A- 1 •

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13]

347

~s:es teoremas motivam as seguintes definições.

Dermição. Uma matriz complexa A, para a qual A* = A- 1 , ou, equivalentemente, AA* = A*A = I, é chamada matriz unitária.

Definição. Uma matriz real A, para a qual A'= A-: 1, ou, equivalentemente, AA' = A'A = I, é chamada matriz ortogonal. Observe que uma matriz unitária com elementos reais é ortogonal. é

Exemplo 13.16.

uma

matriz

unitária. Então.

AA • = I; portanto, AA*

= (

a1 bt

a2

b2

Assim,

la1l 2

+

la2l 2

1, lb1l 2

=

+

lb2_l 2

=

e a1b1

1

+ a2b2 ~O

De acôrdo com isso, as linhas de A formam um c(ínju'nto ortonormal. Semelhantemente, 'A•A =I força as colunas de A a formarem um conjunto ortono.rmal.

O resultado, nesse exemplo, é verdadeiro em geral e traz Teorema 13.11. As seguintes condições para uma matriz A são equivalentes (i)

A é unitária (ortogonal).

(ii) As linhas de A formam um conjunto ortonormal. (iii) As colunas de A formam um conjunto ortonormal. Exemph;- 13.17. A matriz A, representando a rotação de T no exemplo 13.14, em relação à base usual do R3, é A =

. Como era esperado, as linhas e A é uma matriz ortogonal.

(

cos 8 sen 8

o

as~~nas

-sen (J cos 8

•

o

O) O

1

de A formam conjuntos ortonormais, isto é,

MUDANÇAS DE BASES ORTONORMAIS Em vista de regra especial de bases ortonormais na teoria dos espaços com produto interno, estamos naturalmente interessados nas propriedades da matriz de transição de uma de tais bases para outra. O seguinte teorema surge. Teorema 13.12. Seja {e 11 ••• , e,} tima base ortonormal de um espaço com produto interno V. Então, a matriz de transição de {e;} para outra base ortonormal é unitária (ortogonal). Reciprocamente, se P = (a;;) é uma matriz unitária (ortogonal), então a seguinte é uma base ortonormal {e; = alte1

+a

e

21 2

+ ... + a,;e,: i

= 1, ... , n}

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

348

[CAP. 13

Lembre que matrizes A e B que representam o mesmo operador linear são semelhantes, isto é, B = p-tAP, onde P é a matriz (não-sirtgular) de transição. Por outro lado, se V é um espaço com produto in-. terno, estamos usualmente interessados no caso em que P é unitária (ou ortogonal), como foi sugerido no teorema anterior. (Lembre que Pé unitária, se P* = p-t e P é ortogonal, se P' = Y 1 .) Isso conduz à seguinte definiç"io. Definição. Matrizes complexas A e B são unitàriamente equivalentes se existe uma matriz unitária P, para a qual B = P*AP. Ariàloga:tnente, matrizes reais A e B são ortogonalmente equivalentes se existe uma matriz ortogonal P, para a qual B = P 1AP. Observe que matrizes ortogonalmente equivalentes são necessàriamente congruentes.

OPERADORES POSITIVOS Seja P um operador linear num espaço com produto iriterno Diz-se que P é positivo (ou semidefinido) se

P

V.

= S* S para algum operadt"Jr S

e diz-se que P é definido positivo se S é também não-singular. Os teoremas segui11tes dão caracterizações alternativas dllsses operadores. Teorema 13.13-A. As seguintes condições sõbre um operador P equivalentes

são

(i) P = T 2 para algum operador T auto-adjunto. (i i) P = S* S para algum operador S. (iii) P é auto-adjunto e (P(u), u) ~ O para todo u E V. O teorema correspondente para

open~dores

definidos positivos é

Teorema 13.13-B. As seguintes condições sôbre um operador P são equivalentes 2

(i) P = T para algum operador auto-adjunto não-singular T. (ii). P = S* S para algum operador não-singular S. (iii) Pé auto-adjunto e (P(u), u) > O para todo u r" O em V.

DIAGONALIZAÇÃO E FORMAS CANÔNICAS EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS Seja T um operador linear num espaço ·vetorial de dimensão finita com prOduto interno V sôbre K. A representação de T por uma matriz diagonal depende· dos autovetores e autovalores de T e, portanto, das raízes do polinômio característico tJ.(t) de :T (teorema 9.6). Agora, tJ.(t) sempre se fatorá em polinômios lineares. sôbre o corpo complexo C, mas pode não ter polinéimios lineares sôbre o corpo real R. Assim, a si-

/

CAP. IJ]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

349

tuação para espaços euclidianos (onde K = R) é intrinsecamente diferente daquela para espaços unitários (onde K = C); por,tap.to, serão tratadas separadamente. Investigaremos espaços euclidianos adiante e- espaços unitários na próxima seção. · Teorema 13.14. Seja T um operador simétrico (auto-adjunto) num espaço real, de dimensão finita, com produto interno V. Então, existe uma base ortonormal de V consistindo em auto,;etores de. T; isto é, T pode ser representado por uma matriz diagonal em relação a uma base ortonormal. Damos o enunciado correspondente para matrizes. Forma Alternativa do Teorema 13.14. Seja A uma matriz simétrica real. Então, existe uma matriz ortogonal P tal que B = p- 1AP = P'AP é diagonal. Podemos escolher as colunas da matriz P anterior como autovetores ortogonais normalizados de A; então, os el1_mentos diagonais de B são os autovalores correspondentes. Exemplo 13.18. Seja A = tal que P'AP é diagonal. A(t)

2

(

-2

2 - ) . Encontraremos urna matriz ortogonal P

5

O polinômio característico A(l) de A é

= \ti- A I

=

I

t _ 2.

5

2

t-

5

I = (1. 6) (t- 1)

Os autovalores de A são 6 e 1. Substitua t = 6 na matriz ti- A para obter o sistema homogêneo correspondente de equações lineares

4x

+ 2y

= O, 2x

+y

= O

Uma solução não-nula é VI = (1, -2). A seguir, substitua t encontrar o sistema homogêneo corresponden-te -x

+ 2y

= O,

~

1 na matriz ti- A para

2x- 4y = O

Uma solução não-nula é (2, 1). Como esperado pelo !Jroblerna 13.31, v1 e 112 são ortogonais. Normalize ~'1 e v2 para obter a base ortonormal lu1 = ------/

(1/vs. -2/vs).

u2 =

<21-v's. 1/Vs)l

Finalmente, seja P a matriz cujas colunas· são u 1 e u 2 , respectivamente. Então,

P

= ( 1/VS -2/v'S

2/VS) 11-Ys

e

p-1Ap

= P'AP

~(

06

01)

Como esperado, os elementos diagonais de P 1AP são os autovalores correspondentes às colunas de P.

Observamos que a matriz B = p- 1 AP = P'AP é também congruente a A. Agora, se q é uma forma quadrática real representada pela matriz A, então o método visto pode ser usado para diagonalizar q sop uma mudança ortogonal de coordenadas. Isso é ilustrado no exemplo seguinte. . Exerrtplit 1'3.19. ·Encontre uma transformação ortogonal de coordenadas que diagonalize- a (arma quadtática q(x, y) = 2x 2 - 4xy 5y 2 •

+

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

350

=

A matriz simétrica que representa q é A . ortogona I vemos a matnz P

=

1/Vs ( _ 2/Vs

2/Y5) /yS , 1

( 2 -2) . -2

5

[CAP. 13

No exemplo precedente, obti-

t

para a qual P AP =

(

6 0

~)

(Aqui, 6 e 1 são os autovalores de A.) Assim, a transformação ortogonal de requerida é

X) (y

=

P

coordena~as

(x') . , X= -2x'/VS x'/Vs + 2y~/VS + y'/Vs 1sto e,

y'

y =

Sob essa mudança de coordenadas, q é transformada na forma diagonal (q(x', y')

= 6x'2

+ y'2)

Note que os elementos diagonais de q são os autovalores de A.

Um operador ortogonal T não precisa ser simétrico; logo, pode não ser representado por uma matriz diagonal em relação a uma base ortogonal. Entretanto, tal operador T tem representação canônica simples, como descrito no teorema seguinte.

Teorema 13.15. Seja T um operador ortogonal num espaço real com produto interno V. Então, existe uma base ortogon;;~.l com relação à ::J_ual T tem a forma 1

1 I

1I -

-- -

·-c! - - - - - - - ,

I

-1

-1

-1

---r--------. 1

I

cos 81 sen 61

-

sen 81 I sen 01 1

+---------'. 'r - - - - - - - - cos o. - sen 8. I , sen 8, cos o. O leitor pode reconhecer êsses blocos diàgonais 2 X 2 como representantes de rotações nos subespaços bidimehsionais correspondentes.

DIAGONALIZAÇÃO E FORMAS CANÔNICAS EM ESPAÇOS UNITÁRiqS Agora, apr,esentaremos o teorema fimc;iamenta,l ,d~ diagopalização para espaços complexos com produto interno, isto é,· ·para espaços unitános. · Lembre que se diz que um operador T é normal se êle comuta com

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

351

seu adjunto, isto é, se TT* = T*T. Anàlogamente, diz-se que uma matriz complexa A é normal se ela comuta com sua transposta conjugada, isto é, AA* = A*A. Exemplo 13.20. Seja A

=

~

(

-i

)

3- 2i

A*A

=

1 ( 1

-i ) ( 1 3- ~i i

1

3

+ 2i

)

3

1

i) .

( 3

+ 3i

( 3

+ 3i

+2

Então,

2

3- 3i) 14

2

3- 3i) 14

Assim, A é uma 'matriz normal.

O seguinte teorema surge.

Teorema 13.16. Seja T um operador noFmaJ num espaço complexo, com Qroduto interno, de dimensão finita V. Eri;tãó, existe uma base ortonormal de V consistindo em autovetores de T; isto é, T pode ser representado por uma matriz diagonal em relação a uma base ortonormal. Damos o enunciado correspondente para matrizes.

Forma Alternativa do Teorema 13.16. Seja A uma matriz normal. Então, existe uma matriz unitária P tal que B = Y 1AP ~ P*AP é diagonal. O teorema seguinte mostra que mesmo operadores não normais em espaços unitários têm forma relativamente simples.

Teorema 13.17. Seja T um operador arbitrário num espaço complexo, com produto interno, de dimensão finita V. Então, T pode ser representado por uma matriz triangular em relação a uma base ortonormal de V. Forma Alternativa do Teorema 13.17. Seja A uma matriz complexa arbitrária. Então, existe uma matriz unitária P tal que B = p- 1AP =· P *AP é triangular. TEOREMA3§PECTR~ O Teorema Espectral é uma reformulação dos teoremas de diagonaIização 13.14 e 13.16.

Teorema 13.8 (Teorema Espectral). Seja T um operador norma] (simétrico) num espaço complexo (real), com produto interno, de dimensão finita V. Então, existem projeções ortogonais E~> ... , E. em V e escalares À~> . . . , Àr tais que (i)

T

(ii) E 1

=

+E

(iii) E 1Ei

+ Ã2E2 + ... + ~r + . . . + E. = I

Ã1E1

=

2

O para i~ j.

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

352

[CAP. 13

O exemplo seguinte mostra a relação entre uma representação matricial ortogonal e as correspondentes projeções ortogonais. Exemplo 13.2l. Considere uma matriz diagonal, digamos,

Fa~.

O leitor pode verificar que os E; são projeções, isto é, E~ = E;, e que (i) A

= 2Et

+ 3E2 + SE 3 ,

(i i) Et

+ E2 + Es

=

I, (iii) E;E;

= O para i

~

j

Problemas Resolvidos PRODUTOS INTERNOS 13.1.

Verifique a relação (u,

Glh

+ bv 2)

=

a (u., 'Dt) + b (u, v

2 ).

Usando [I 2], [h] e, depois, [h], encontramos (u, av1

+ bv2) =

13.2.

+

+

= (av, bv 1 , u) = a(u,, u) b(v,, u) (v,, u) +li (v., u} = ~ (u, 11}) b(u, v2)

a

+

Verifique que ó seguinte é um produto interno no R 2 :

(u, v)

-=

XJYt- XtY 2 -

X2)'1

+ 3x2y~,

onde u

=

(x1o x 2 ), v

Método 1. Verificamos os três axiomas de um produto interno. Fazendo w = (zt, z2), encontramps

Assim, (au

+ bw,

+ +

+

v) = ((axt bzt, ax2 bz2), (yt, Y2)) = (ax1 bzt)Yt- (axt bzt)Y2- (ax2 bz2)y1 3(ax2 = a(XlYl- XtY2- X2YI 3X2Y2) b(ztYl- ZlY2- Z;Yl = a{u, v) + b~w. v);

+ +

+

+

+

+ bz2)Y2 + 3z;,.2) ·

logo, o axioma [I 1] está.. satisfeito. Também (v, U) = YIXI- Y1X2- Y2X1

+ 3.Y,.2X2 =;

XJYl- XlY2- X2Yl

+ 3X2J2 =

(u, 11)

e o axioma [1 2 ] está satisfeito. Finalmente,

(u, u)

=

x~- 2x1x2

+ 3x; =

x~- 2:qx2

+ xi + 2xi =

(x1- x2) 2 + 2xi ~O

Também (u, u) = O se, e somente se, x1 = O, x 2 = O, isto é, u = O. Portanto, o ú1lÍmo axioma [1 3 ] estl satisfeito.

CAP. 13)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

353

Método 2. Raciocinaremos com matrizes. Isto é, pudemos escrever (u, v) em notação matricial 1 (u, v}= uAv =(XI, x2)

1 -1) (YI)

(

-1

.

3

Y2

..

;

logo, [I 1] vale. Como A é simétrica, [/ 2) vale. Assim, somente precisamos mostrar que A é definida positiva. Aplicando a operação elementar com li.nhas R 2 --> R1 R2 e, depois, a operação elementar com colunas, correspondente 1 0 C 2 --> Ct C2, transformamos A na forma diagonal ( ). Alssim, A é definida positiva e [I 3] vale. O 2

+ +

13.3.

Encontre a norma de v = (3, 4) E R 2 em relação a (i) o produto interno usual, (ii) o produto interno do problema 13.2. llvll 2 = (v, v) = ((3, 4), (3, 4)) = 9

(i)

(ii) llvll 2 = (v, v)= ((3, 4), (3, 4)}

13.4.

=

+ 16

=

9-12 ~:,:12

25; portanto, llvll

+ 48 =

=

5

33; portanto, llvll = v33.

Normalize cada um dos seguintes vetores no espaço euclidiano R 3 : (i)

u

=

(2, 1, -1),

(ii) v

(1/2, 2/3, -1/4).

=

Note que (u, u) é a soma dos quadrados dos elementos de u ; isto é,

(i)

(u, u) = 2 2 + 1 2 + (-1) 2 = 6. Portanto, divida u por llull v6 ' para obter o vetor unitário requerido

V(u, u) =

=

uillull = C2/v6. 11v6, ~1/v6) (ii) Primeiro, multiplique v por 12 para "livrá-lo" de frações. 12v = (6, 8, -3). Temos (12v, 12v) = 6 2 82 (-3) 2 = 109. Então, o vetor unitário requerido é

+

+

12v/ll12vll = (6/vl09, 8/v109, -3/vl09)

13,5.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios, com produto interno dado por (f, g) t2

13.6.

-

2t- 3.

(i)

(f, g) =

(ii)

(f, f>""

=

i

1

f(t)g(t)dt.

Sejam j(t)

=

t

+2

e

g(t)

~

Encontre (i) (f, g) e (ii) llfll-

il (t. + 2) (1 2- 2t- 3) dt = [t 4/4- 7t 2/2- 6tJ:

!

1

(t

+ 2)(t + 2) dt

= 19/3 e 11111

=

=

V(J, f>=

-37/4

v'19/3

0

Demonstre o teorema 13.1 (Cauchy-Schwarz).

I (u, v) I :::; llul! llvll·

s

Se v = O, a desigualdaée s~ reduz a O O e, portanto, é válida. Agora, suponha que v ;>é O. Usando = lz 12 (para qualquer número complexo z) e (v, u) = (u, v), expandimos llu- (u, v) tvll 2 ~ O, onde t é qualquer valor real

zz

O S llu- (u, v) tvll 2 = (u- (u, v) tv, u- (u, v) tv) =

(u, u)- (u, v) /(11, v)- (u, ,;) l(v, u)

=

llull

2

-

21 I (u,

v)l2 +I (u,

v)

1 1 llvll 2

2

2

+ (u, v)(u,

v) 12(v, v)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

354 Faça t =

1/llvll 2

para encontrar O::;

llull 2

I (u,

v) 1 2

tlvll 2

-

[CAP. 13

onde

,

l(u, v)l 2

::;

::; llu11 2 llvll 2, Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos a desigualdade requerida. 3.7.

Demonstre que a norma em qualquer espaço com produto interno satisfaz os seguintes axiomas [N1]

:

l!vl! ;:::: O; e l/vil

= O se, e somente se, v = O.

[N2J : llkvl! = I k lllv/1[Na] : llu + v!l ~ llull + llvll· Por [h], (v, v) 2: O; portanto, llvll = ~ 2: O. Além disso, llvll = O se, e sàmente se, (v, v) = O, e isto vale se, e sàmente se, v = O. Assim, [N1] é válido. Encontramos llkvll 2 = (kv, kv) = kk(v, v)= quadrada de ambos os lados, temos [N 2].

lk1 2 llvll 2 .

Tomando a

raiz

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos

llu + vll 2 = (u +v, u +v) = (u, u) + (u, v) + + (u, v) (v, ::; llull 2 + 2llullllvll + llvll 2 = Cllull + llvll) 2

t•)

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, produz-se [N 3].

Observação. [N3] é freqüentemente chamada de desigualdade triangular, porque, se encaramos u v como lado de um triângulo formado com u e v (como ilustradq à direita), então [N 3] afirma que o comprimento de um lado de um triângulo ' é menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros lados.

+

u

<)RTOGONALIDADE

13.8.

Mostre que, se u é ortogonal a v, então todo múltiplo escalar deu é também ortogonal a v. Encontre um vetor unitário ortogonal a. V1 = (1, 1, 2) e v2 = (0, 1, 3) em R 3 • Se (u, t•) = O, então (ku, v) = k(u, v) = k. O w = (x, y, z). Queremos O = (w, v1) = x

+ y + 2z

e O = (w, v 2) = y

=

O, como requerido. Seja

+ 3z

Assim, obtemos o sistema homogêneo

x

+ y + 2z

=O, y

+ 3z =O

Faça z = 1 para encontrar y = -3 e x = 1; então, w = (1, -3, 1). Normalize w, pam obter o vetor unitário requerido w' ortogonal a v1 e v2: w' = w/llwll =

0/Vfl, -3/VIT, t/vfi). 13.9~

Seja W o subespaço de R" gerado por u = (1, 2, 3, -1, 2) e Encontre uma base do complemento ortogonal w.L de w ..

v = (2, 4, 7, 2, -1).

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13]

355

Procuramos todos os vetores w = (x, y, z, s, t) tais que (w, u) (w, v)

= x + 2y + 3z - s + = 2x + 4y + 7z + 2s -

2t

=

O

t = O

Eliminando x da segunda equação, encontramos o sistema equivalente x + 2y + 3z -

s + 2t = O

+ 4s

z

- St =O

As variáveis livres são y, s e t. Faça y = -1, s = O, t = O para obter a solução w1 = (2, -1, O, O, 0). Faça y = O, s = 1, t =O para obter a solução w 2 = (13, 0,-4,1,0). Faça y =O, s.= O, t = 1 para obter a solução wa = (-17,0,5,0,'1). O conjunto {w1, wz, wal é uma base de w.L.

13.10. Encontre uma base ortonormal do subespaço W de C 3 gerado por v1 = (1, i, O) ~ v2 = (1, 2, 11:,-i). lize

Aplique o processo de ortogonalrzação de Gram-Schmidt. Primeiro normaEncontramos l!v1ll 2 = (V!, VJ) = 1 · 1 +i. (-i) 0. 0 = 2; logo, 1/VJI/ = VZ

v1.

Assim,

+

u1

= vJ./IIvll/ = (1Jy2, i/VZ; 0).

Para formar w 2 (v 2 , u 1 )

= v2 -

(v2, Ut)Ut, primeiro calcule

= ((1, 2, 1, -i), (1/v2. i/v2, O)) = l/v2- 2i/v2 =

(1- 2i)/V2

Então, W2

=

c1. 2, 1,

- 2i f- 1 i -i>- 1...; \ ...; • ...; 2 2 2

.o

)

=

( 1 -

+- 2i .• 2

-

2- i 2

.) •. 1- t

A seguir, normalize w 2 ou, .equivalentemente, 2w2 = (1 + 2i, 2- i, 2- 2i) Temos · l/2w 1 1J 2 = (2wt. 2w 1 ) = (1 + 2i)(1 - 2i) + (2 - i)(2 + i) + (2 - 2i)(2 + 2i) = 18 e l/2w 11/

{ u1 =

= vts. Assim, a base ortonormal de W requerida é

v,.~, o)

,

(\~~i, ~, ~).} 2

uz =

:;: 11 11

=

13.11. Demonstre o lema 13.13. Um conjunto ortonormal {u 1 , . . . , u,} é linearmente independente e, para qualquer v E V, o vetor w = v- (v, u 1 ) u 1 - (v, u 2 ) u 2 -

• • • -

(v, u,) u,

é ortogonal a cada um dos u;. ·

+ ... + arur =O. Tomando o produto interno de ambos

Suponha que a 1u1 os lados em relação a UI,

O = (0, U!) = (aiUI + ... + aru,, UI) = ai(ui, UI)+ az(Uz, UI)+ ... + ar(Ur, UI) = a1. 1 +·a2. O + ... +a,. O = ai ou ar

= O. Semelhantemente, para i O

=

(0,

U;) =

=

=

2, ... , r,

(aiUI + ... + arur, u;) at(UI, u;) + ... + a;(u;, u;) + ...· + ar(Urr u;)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

356

De acôrdo com isso, {ut, ... ,

[CAP. 13

é linearmente independente.

Ur)

Falta mostrar que w é ortogonal a cada um dos u;. Tomando o produto interno de w em relação a UI, (w, UI) = (v, UI)- (v, UI) (UI, Ut)- (v, UÚ (u2, UI)- ... - (v, Ur) (Ur, Ut)

=

(v, UI)- (v, ut) . 1 - (v, u2) . O- ... - (v, u,) . O

=O

Isto é, w é ortogonal a UI. Semelhantemente, para i = 2, ... , r (w, u;) = (t•, u;)- (v, ut) (ut, u;)- ... -

- (v, u;) (u;, u;)- ... - (v, u,) (ur, u;)

=

Assim, w é ortogonal a u; para i

=

O

1, ... , r, como foi dito.

13.12. Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V. Mostre que existe uma base ortonormal de W, que é parte de uma base ortonormal de V. Escolhemos uma base de lV {vi, ., v,] e a estend~mos a {vt, ... , •·nl de V. Então, aplicamos o processo de ortogonalização Schmidt a {vt, ... , vnl para obter uma base ortonormal {ui, ... , onde, para i = 1, ... , n, u; = a;1Vt a;;v;. Assim, UI, ... , portanto, {ul. ... , u,} é uma base ortonormal de TF.

+ ... +

uma base de Gramunl de V, u, E IV e,

13.13. Demonstre o teorema 13.2. Seja W um subespaço de V; então, v= W$ w.L. Pelo problema 13.12, existe uma base ortonormal {ui, ... , u,} de W, que é parte de uma base ortonormal {ut, ... , unl de V. Como (ut, ... , Unl é ortonormal, Ur+I • ... , Un E l•V .L. Se v E V,

v = aiUI

+ ... + anun, ar+ I Ur+I

De acôrdo com isso, V = W

+ W .1..

Por outro lado, se w E TV portanto, w n w.J.. = {0} . . As duas condições, V=

onde aiUI + ... + a,u, E IV, + ... + anUn E l•f/.1.

n w.J..,

W+ W.J..

então (w, w) = O.

e W

n w.t

Isto produz w = O;

={O}, dão o resultado desejado

v= w EB w.t.

·

Note que provamos· o teorema somente para o caso em que V tem dimensão finita; observamos que o teorema também vale para espaços de dimensão arbitrária.

13.14. Seja W um subespaço de V. Mostre que Wc w.t.t, e que w = w.t.l quando v tem dimensão finita. Seja w E W. Então, (w, v) = 0 para todo De acôrdo com isso, Wc: w.t.t.

t' E

W.i; portanto, w

Agora, suponha que V tem dimensão finita. Pelo V= W EB w.t e, também, V= W.L EB w.t.t. Portanto,

E

w.t.L.

teorema

13.2,

dim w = dim v- dim w.L .e dim w.L.J.. = dim v- dim. w.L Isto

produz

dim W = dirJ Wl..i_

~V= f.jl.l.l, como requerido.

Mas

wc w.L.J.. pelo acima;

portanto,

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

13.15. Seja {e1 ,

357

e,.} uma base ortonormal de V.

... ,

+ (u, e

(i)

para q~alquer u E V, u

(ii)

+ . . . + (u, e,.) e,. ; (a1e 1 + ... + anbn, b1e1 + ... + b,.en =

=

(u, e1 ) e1

Demonstre 2)

e2

a;b 1

+

+

(iii) para quaisquer u, v E V, (u, v)

=

(u, e1 ) (v, ei)

+ ... + (u, e,.) (v, e,.);

(iv) se T: V~ V é linear, então (T(e1), et) é o elemento-ij da matriz A, que representa T na base {e1 } dada. (i)

Suponha que u = k1ti + k2t2 + ... + k,.e,.. Tomando o. produto interno de u com ti, (u, q) = (kiel + k2e2 + ... + k,.en, ti) = k1(e1, e1) + k2(e2, e1) + .. : k,.(en, e1) · = k1. 1 + k2. O + .. ; + .kn. O = k1

+

Semelhantemente, para i

= 2, ... , n,

+

(u, e;) = (kiti + ... + k;e; + ... + k,.e,., e;) = k1(et, e;) + ... + k;(e;, e;)+ ... + kn(e,.;e;) = kl. o + k;. 1 k,.. o = k;

+ ...

+ ... +

Substituindo (u, e;) por k; na equação u = k1ei + ... + k,.e,., obtemos o resultado desejado. (ii) Temos


i

a;e;,

t~I

Mas (e;, ej) querido,

<

i;

bíeí) =

= O

Z

a;bí (e;, tj)

i. i=l

J=l

para i r! j .. e (e;, Cj) = 1 para i = j; portanto, como re·

a;e;,

i= I

(iii) Por (i), u = (u, el)e1 + ... Então, por (ii) (u, v)

= (u, el)

(~)

+ (u, e,.)en

e v = (v, ei)e1

+ ... + (v, e,.)e,.

+ (u, e2} (v:-;;) + ... + (u, e,.) (v, en)

(iv) Por (i),

T(el) = T(e2) =

< T(el), el)e1 + (T(el), e2)e2 + ... + (T(el), en)e,. < T(e2), e1)e1 + (T(e2), e2)e2 + ... + (T(e2), e,.)e,.

A matriz A que representa T na base led é a transposta da matriz dos coeficientes acima; portanto, o elemento-ij de A é (T(ej), ei).

ADJUNTOS 13.16. Seja To operador linear e, C 3 , definido por T(x, y, z)

= (2x +

(1- i)y, (3

·Encontre T* (x, y, z).

+ 2i)x- 4iz, 2ix + (4- 3i)y- 3z)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

358

[CAP. 13

Primeiro, encontre a matriz A que representa T na base usual de C 3 (veja problema 7.3)

Forme a transposta conjugada A* de A 2

A* =

( 1

3- 2i

ci i

~

4

-2i ) 4 ~ 3i

Assim,

T* (x, y, z) = (2x

+ (3 -

2i)y - 2iz, (1

+ i)x + (4 + 3i)z, 4iy -

3z)

13.17. Demonstre·o teorema 13.5. Seja rp um funcional linear num espaço com produto interno, de dimensão finita V. Então, existe um único u E V tal que rp(v) = (v, u) para todo v E V. Seja fel, ... , enl uma base ortonormal de V. Faça

+ 4>(e.)e2 + ... + 4>(en)en em v definido por u(v) = {v, u}

u = 4>(e,)el

Seja ; o funcional linear Então, para i ~ 1, ... , n,

u(e;) ~ (e;, u) ~ (e;, 4>(e,)el

Como

ue

para todo v E

v.

+ ... + 4>(en)en) ~ 4>(e;)

4> coincidem nos vetores básicos,

u ~ .P.

Agora, suponha que u' é outro vetor em V, para o qual .P(v) = (v, u') para todo v E V. Então, {v, u) = {v, u') ou (v, u- u') =O. Em particular, isso é verdadeiro para v = u- u'; logo, (u- ur, u- u') = O. Isto leva a u- u' = O e u = u'. Assim, tal vetor é único, como afirmado.

13.18. Demonstre o teorema 13.6. Seja T um operador linear num espaço com produto interno, de dimensão finita V. Então, existe um único operador linear T* em V tal que (T(u), v) = (u, T* (v)), para quaisquer u, v E V. Além disso, se A é a matriz que repre- . senta T numa base ortogonal fetl de V, então a transposta conjugada A* de A é a matriz que representa T* em {etl· Primeiro, definimos a transformação T*. Seja v um elemento arbitrário, mas fixo, de V. A transformação u ~ {T(u), v) é um funcional linear em V. Portanto, pelo teorema .13.5, existe um único elemento v' E V tal que (T(u), v) = (u, v'} para todo u E v. Definimos r•: v--+ v por T*(v) = ú. Então, (T(u), v) = (u, T*(v)) para quaisquer u, v E V. A seguir, mostraremos que T* é linear. quer a, bE K, (u, T*(avt

+ bt•2)}

Para quaisquer u, v; E V, e quais-

+ bv2) = a(T(u), VI) + b (T(u), 112) + b(u, ncv2)) = (u, aT*(vt) + bT*(v2))

= (T(u), avt = '(i(u, T*(vt))

Mas isso .é verdade para todo u E V, ·portanto,

T*(av1

+ bv2) =

aT*(vi)

+ bT*Cv2).

Assim, T* é linear.

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13]

359

Pelo problema 13.15 (iv), as matrizes A = (a;;) e B = (b;;) que representam Te T*, respectivamente, na base {e;l, são dadas por a;;= (T(e;). e;) e b;; ·= (T*(e;), e;}. Portanto,

b;; =·(T*(e;}, e;}= (e,, T•(e;) = (T(ei), e;}= a;; Assim, B

= A*,

como afirmado.

13.19. Demonstre o teorema 13. 7. Sejam S e T operadores lineares num espaço com produto interno, de dimensão finita V, e seja k E K. Então, (i) . (S

+

T),*

= S*

+ T*

(iii) (ST)* = T* S* (iv) (T*)* = T

(ii) (kT)* = kT* (i)

Para q~aisquer u, v E V, ((5 + T)(u}, v} = (S(u) + T(u), v) = (S(u), v}+ (T(u), v) = = (u, S*(v)) (u, T*(••)) = (u, S*(v} T*(v)) = (u, (S*

+

A unicidade do adjunto implica -(S (i i) Para quaisquer u

,tJ E

+

=

S*

+ T*)(v))

+ T*

V,

((kT)(u), v) =

+ T)*

= (kT(u), v) = k (T(u), v} = k (u, T*(v)} = (u, kT*(v)} = (u, (kT*)(v))

A unicidade do adjunto implica (kT)* = kT*. (iii) Para· quaisquer u, v

E

V,

((ST)(u), v) = (S(T(u)), v) = (T{u), S*(v)) = = (u, T*(S*(v))) = (u, {T*S*){v)) A unicidade do adjunto implica (ST)* = T*S*. (iv) Para quaisquer u, v E V. (T*(u), v) = (v, T•(u)) = (T(v), u) = (u, T(v)) A unicidade do adjunto implica (T*)* = T.

13.20. Mostre que (i) I* = I; então (1 1)* = T*- 1.

(ii) O* = O;

(i)

Para quaisquer u, v E V, (I(u), v)

(ii)

Para quaisquer u, v E V, tanto, o• = o.

(iii} I = I*

=

(TT- 1)*

(O(u), v)

= (1 1)*T*;

(iii) se T é inversível,

= (u, v) = (u, I( v}); pbrtanto, I* = I. = (0, v) = O = (u, O) = (u, O(v); por-

portanto, (T- 1)*

=

T*- 1.

13.21. Seja T um operador linear em V e W um subespaço T-invariante de V. Mostre que WJ. é invariante sob T*. . Seja u E WJ.. Se w E lV, então T(w) E W; logo, (w, T*(u)} = (T(w), u) =O. Assim, T*(u) E J1'7l., pois é ortogonal a todo w E H'. Portanto, H-'J. é invariante sob T*.

13.22. Seja T um operador linear em V. cÇindições seguintes implica T = O

Mostre que cada uma das

(I) (T(u), v) = O, para quaisquer u, v E V; (ii) V é um espaço complexo e (T(u), u) = O para torlo u E V;

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

360

(CAP. 13

(iii) T é auto-adjunto e (T(u), u) = O para todo u E V. Dê um exemplo de um operador T num espaço real V para o qual (T(u), u) = O para cada u E V, mas T ~ O. (i)

Faça v = T(u).

Então,

(T(u), T(u)) = 0; portanto, T(u) = O para todo

u E V. De acôrdo com isso, T = O.

+

(ii) Por hipótese, (T(v w), v+ w) = O para quaisquer t•, w vendo e fazendo (T(v), v)= O e (T(w), w) =O, (T(v), w) Note que w é (T(v), iw)

=

arbitrário em

~(T(v), w)

=

+ (T(w), v)

E

V.

Desetl\"ol-

= O

(I)

(1). Substituindo w

J?Or iw e

usando

-i(T(v), w) e (T(iw), v) = (iT(w), v) = i(T(w), v), -i(T(v), w) i(T(w), v) = O

+

Dividindo tudo por i e somando a (1), obtemos (T(w), v) ,;, O para quaisquer v, w E V. Por (i), T = O. (iii) Por (ii), o resultado vale para o caso complexo; portanto, precisamos apenas considerar o caso real. Desenvolvendo (T(v w), v+ w) =O, obtemos· novamente (1). Como T é auto-adjunto e como o espaço é real, temos (T(w), v) = (w, T(v)) = (T(v), w). Substituindo em (1), obtemos (T(v), w)=O para quaisquer v, w E V; Por (i), T = O.

+

Para nosso exemplo, considere o operador linear T definido por T(x, y) = = (y, -x). Então, (T(u), u) = O para todo 11 E V, mas T ~ O.·

OPERADORES E MATRIZES ORTOGONAIS E UNITÁRIOS 13.23. Demonstre o teorema 13.9. As seguintes condições sôbre um operador U são equivalentes (i) U* = u-I; (ii) ( U(v), U(w)) = = (v, w), para quaisquer v, w E V; (iii) IIU(v)ll = j!vll, para todo v E V. Suponha que (i)- valha. Então, para quaisquer v, w (U(v), U(w))

=

(v, V*U(w))

=

V,

E

(v, I(w)) = (v, w)

Assim, (i) implica (ii). Agora, se (ii) vale, ent-ão

11 U(v)l! = V( U(v), U\v)} = V(v, v> = ))vil Portanto, (ii) implica (iii). Falta mostrar que (iii) implica (i). Suponha que (iii) valha. Então, para· todo v E V, (V* U(v), v)

= ( U(v), U(v)} = (v, v)

= (I(v), v)

Portanto, ((U*U-l)(v), v)= O, para qualquer vE V. Mas U*U-I é autoadjunto (demonstre); . então, pelo problema 13.22, temos U• V- I = O; logo, U*U = I. Assim, U* = u-1, como foi dito.

U um operador unitário (ortogonal) em V e W um subespaço invariante sob U. Mostre que Wl. é também mvariante sob U. Como iJ é não-singular, V( H') = H"; isto é, para ciuálquer w€ 11" existe w' E W ta), que U(w') = w. Agora, seja v E iJ'l.. Entã6(-pa0rá 'qhàlqúer w E I-V,

l3.24. · Seja

(U(v), w) = (V(v), U(w')) =(v; w')) =O· Assim, U(v) pertence a

·n·J..

i'·

Portanto, H.-l. é. in~ari~nte sob; U. ·.

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

13.25. Seja A uma matriz com linhas R 1 e colunas C1• (i)

361 Mostre ·que

o elemento-ij de AA * é (R1, Ri);

(ii) o elemento-ij de A *A é (Ci, C1 ).

= (b;j), onde bti =;;i. Assim, AA* =

Se A = (au), então A* n Cij

=

~

J:

a;kbkj

=

~

=

k=l

Uikajk

=

(ajt, __ .,

onde

+ Ui2aJ2 +

Uilajl

k=l

((a;t, ... , a;,),

(Cij),

aj 11 ) ) =(R;, Rj),

como requerido._ Também, A*A = (d;j), onde n dtj

= =

~

n bikaki

k=l

=

_

~

_

+ U2jaz; +

ll.kjakt = at 1ali

k=l

((at;, ... ,a,.j), (ali, ... ,an;))

=

(CJ, C;)

13.26. Demonstre o teorema 13.11. As seguintes condições para uma matriz A são equivalentes (i) A ,é unitária (ortogonal). (ii) As linhas de A formam um conjuiÍto ortogonal. (iii) As colunas de A formam um conjunto ortonormal. Denote por R; e C; as linhas e as colunas de A, respectivamente. Pelo problema precedente, AA * = (c;j), onde CtJ == (R;, R,). Assim, AA * = I se, e somente se, (R;, R;) = 6;;. Isto é, (i) é equivalente .a (ii)_ . Também pelo problema precedente, A • A = (d;;). onde d;; = (C;; C;). Assim, A* A =I se, e sàmente se, (Cj, C;)= Ôii· Isto é, (i) é equivalente a (iii).

Observação. Como (ii) e (iii) são equivalentes, A é unitária (ortogonal) se, e sàmente se, a transposta de A é unitária (ortogonal).

13.27. Encontre uma matriz ortogonal A, cuja primeira linha é u.

(1/3, 2/3, 2/3).

=

Primeiro, encontre um vetor não-nulo wz isto é, para o qual 0

=

= wz =

(ut, w2)

x/3

+ 2yf3 +

2z/3

=

(x, y, z), que é ortogonal a

Ut,

~-

= O ou

x

+ 2y + 2z

=O

Uma tal solução é (O, 1, -1). Normalize w2, para obter a segunda linha de A, isto é, uz = (0, 1/Vz, --1/v'2\ A seguir, encontre um vetor não-nulo w 3 = (x, y, z) que seja ortogonal a Ut e u2, isto é, para o qual

+

O = (u1, w;;) = x/3 2yf3 O = (u2,.w3) = y/Vz-

+ 2z/3

= O ou x

z/Vz =

O ou

+ 2y + 2z = O

y- z =

O

Faça z = -1 e encontre a solução w 3 = (4, -1, -1). Normalize w 3 e obtenha a terceira linha de A, isto é, u 3 = (4/y18, -l/V18, __:l/yl8). Assim,

1/3

A

=

(

2/3 2/3 ') 1/VZ -1/Vz 4/3v'2 -1/3Vz -1/3Vz O

Enfatizamos que a matriz A dada não é única.

13.28. Demonstre o teorema 13.12. Seja {e1 ,

. . . , enl uma base ortonormal de um espaço com prôduto intt:. rno V. Então, a matriz de transição .de {e1} para outra base ortonormal é unitária (ortogonal).

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

362

[CAP. 13

Reciprocamente, se P = (aii) é uma matriz unitária (ortogonal), então vem a base ortonormal {e:

=

+ a2,e2 + ... + anien :i ==

alie)

Suponha que

f;

lfd

1, ...•

nl

é outra base ortonormal e suponha que

= bi1e1 + b;2e2 + -:- .. + b;nen. i =

I, ... , n

(1)

Pelo problema 13.15,. e, como {f;] é ortonormal,

a;;

= (/;,f;) =

bb,l

+ b;2bJ2 + ... + b;nbjn

(2)

Seja B = (b;;) a matriz dos coeficientes em (1). (Então, B' é a matriz de transição de {e;} para IJ;\.) Pelo problema 13.25, BB* = (c;;), onde c;; = bnb 1 1 b; 2b 1e b;nbJn· Por (2), c;; = a;i e, portanto, BB* = I. De acôrdo com isso, B e, po~tanto, B 1 são unitárias.

+

+

+ ... +

Falta mostrar que {e; I é ortonormal. Pelo problema 13.15, .(e;, e})

+ a2;a21 +

= ali~

+anianj

= (C;, Cj),

onde C; denota a i-ésima coluna da matriz unitária (ortogonal) P = (a;j). Pelo teorema 13.1.1, as colunas de P são ortonormais; portanto (e;,ej) = (C;, C;)= ó;;. Assim, {e; I é uma base ortonormal.

l\Iostre que det(A) = 1 ou -1.

13.29. Suponha que A é ortogonal.

A é ortogonal, AA' =I. Usando /A I = /A 1 /, 1 =/li= /AA'I = /A/IA'I = /A/ 2 E, portanto, /A I = 1 ou -I. Como

13.30. Mostre que tôda matriz ortogonal 2 X 2 A para a qual det (A) é da forma (

~~~

-~~:

:

Suponha que A =

( ac

:)

1

para algum número real 8.

db) . Como A é ortogonal, suas linhas formam

um conjunto ortonormal; portanto, a2

+ b2

= I, c2

+ d2 =

A última equação vem de det(A) de a = (it e a ~ O.

=

1, ac

+ bd

=O, ad- bc = I

I. Consideraremos separadamente os casos

Se ~=O, a· primeira equação dá b 2 =I e, por isso, b = ±1. Então, a quarta equação dá c = -b = + 1 e a segundil. equação prod\1Z 1 d 2 = 1 ou d =O. Assim,

+

A_ ( -

1)

o

o

-1

A primeira alternativa tem a forma requerida com IJ = -..-{2, e a segunda alternativa tem a forma requerida com 8 = -rr/2. Se a ~ O, a terceira equação pode ser resolvida para dar c = -bd/a. Substituindo ié&;J na segunda equação,

b 2d 2fa 2

+ d2 =

1 ou b 2d 2

+ a 2d 2

=

a 2 ou (b 2

+ a 2)d 2 =

a 2 ou a 2 = d 2

e, por isso, á = d ou a = -d, então a terceira equação dá c = b; logo, a quarta equação dá -a 2 - c2 = 1, o que é impossível. Assim, a == d. ·Mas, então. a terceira equação dá b = -c; logo,

A = -.

·+

(.a_c;

-c)a

Como a 2 c2 =' 1, existe um número real 8 tal que a .,;;.ms IJ, c = sen IJ c, oortanto, A tem a forma requerida também nesse caso.

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13]

363

OPERADORES SIMÉTRICOS E FORMAS CANÔNICAS EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS 13.31. Seja T um operador simétrico. Mostre que (i) o polinômio característico ll(t) de T é um produto de polinômios lineares (sôbre R); (ii) T .tem um autovetor não-nulo; (iii) autovetores de T pertencentes a autovalores distintos são ortogonais. (i)

Seja A uma matriz que represente T em relação a uma base ortonormal de V; então, A = A 1. Seja ó(t) o polinômio característico de A. .Encarando A como um operador auto-adjunto complexo, A tem somente autovalôres reai~ pelo teorema 13.8. Assim, (i- Àn),

onde os À; são todos reais. Em outras palaYras, ll(l) é produto de polinômios lineare~ sôbre R. (ii) Por (i), T tem, ao menos, um autovalpr (real). Portanto, T tem um autovetor não-nulo. (iii) Suponha que T(v) = ÀV e À(v, w) = J.<(V, w) X(v, w) Mas

À

=

(Àv, w)

=

r!' p.; portanto, (v,

T(w) = J.<W,

(T(v), w)

=

onde

À

(tt, T(w))

=

r!'

I'·

Mostraremos que

(v, J.<W)

=

J.<(v, w)

w) =·O, como foi dito.

13.32. Demonstre o teorema 13.14. Seja T um operador simétrico espaço real com produto interno V. Então, existe uma· ortonormal de V consistindo em autovetores de T; isto é, .T ser representado por uma matriz diagonal em relação a uma ortonqrmal.

num base pode base

A demonstração é por indução na dimensão de V. Se dim V= 1, o teorema vale trivialmente. Agora, suponha que dim V = n > L Pe-lo problema precedente, existe um autovetor não-nulo v1 de T. Seja J.V o espaço gerado por v1 e seja u1 um vetor unitário em W. Por exemplo, seja ui = VIillviii· Como v1 é um autovetor de T, o subespaço W de V é invariante sob T. Pelo problema 13.21, J+".l é invariante sob T* = T. Assim, a restrição T de T a !F_L é um operador simétrico. Pelo teorema 13.2, V= W ffi W.L. Portanto, dim n·.L = n - 1, pois dim !+' = 1. Por indução, existe uma base ortonormal lu 2 , ••. , uni de WJ_, consistindo em autovetores de Te, portanto, de T. Mas (u1, u;) =O para i= 2, ... , n, porque u; E Hl.L. De acôrdo com isso, !ui, u 2 , ••• , uni é um conjunto ortonormal e consiste em autovetores de T. Assim, o teorema está provado.

13•.33. Seja A

(~ ~)

Encontre uma matriz ortogonal (real) P,

para a qual P'AP é diagonal. O polinômio característico ó(t) de A é L\(t) =

Iti - A I

= 1

t- 1

i -2

-2 t- 1

I=

12

-

21- 3 = (I- 3)(1

+ 1)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

364

[CAP. 13

e, portanto, os autovalores de A são 3 e -1. Substitua t = 3 na matriz para obter o sistema homogêneo de equações lineares correspondente

2x- 2y = O, -2x

+ 2y

ti- A,

=.O

Uma solução não-nula é v 1 = (1, 1). :\"ormalize unitária Ut = (1/VZ, 1/Vf).

para

''1>

encontr;,~r

a solução

A seguir, substitua t = -1 na matriz t [ - A, para obter o sistema homogêneo de equações lineares correspondente

-2x - 2y = O, 2-x- 2y = O Uma solução não-nula é v 2 = (1, -1). :\!ormalize unitária u2 = 0/.VZ. -1/Vf).

t•2

para éncontrar a solução

Finalmente, seja P a matriz cujas colunas são u 1 _ e u 2 , respectivamente; então,

P

= (ti....!~ liV2

li~)

-t/vz

e

P'AP.

=

(Jo u) -1

Como era esperado, os elementos diagonais de l''AP são os autovalores de A.

2~ (

1 2 1 P tal que P'AP é diagonal.

13.34. Seja A =

Encontre uma matriz

ortogon~l

(real)

Primeiro, encontre o polinômio característico ll(l) de A: ll(t)

=!ti-AI=

lt=~ t =~ -1

=!I=

(t-1) 2 (1--l)

t- 2

.

Assim, os autovalores de A são 1 (<-om multiplicidade dois) c 4 (
-x - y - z

=

O, -x - y- z

=

O, -x - y - z

=

O

+ +

Isto é, x y z = O. O sistema tem duas soluçõeo independentes. Uma delas é v 1 = (1, -1, 0). Procuramos uma segunda solução t•z = (a, b, r) que $eja também ortogonal a v1: isto é, tal que (l

+.b +c.= O e também n- b ""O

Por exemplo, vz = (1, 1, -2). A segltir, normalizamos v 1 c v 2 pnra obter as solu· çõcs ortogonais unitárias "t =

(1/....!2. -t,...;f. o). u2 = orV6. 11v'6. -2/v'õ->

Agora, substitua t gêneo correspondente

=

2x - y - z

=

4 na matriz

O, -x

ti- A, para encontrar o sistema homo-

+ 2y'- z· = O,

-x - y

+ 2z

=

O

Encontre uma solução não-nula tal como V:i = (1, 1, 1), e normalize L' 3 para obter a solução unitária u 3 = (ln/3, 1JV'3, 1/V3). Finalmente, P é :l matriz cujas colunas são os Ui, respeCtivamente,

p

t/Vf trv6_. -t!vf 11....!6 ( o -z;...;t;

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

365

13.35. Encontre Uma mudança ortogonal de coordenadas que diagonalize a forma quadrática real q(x, y)

=

+ 2xy + 2y

2x2

2

•

Prinifiro, encontre a matriz simétrica A que n;presenta q e, depois, seu polinômio característico Ll(l)

A = (

1 ) e A(l) = iti- A I =

2

1

2

I

t-

2

-

-1

1

t-

2

I=

1)(1- 3)

(t-

Os autovalores de A são 1 e 3; portanto, a forma diagonal de q é q(x', y') = x' 2

+ 3y'2

Encontrámos a transformação de coordenadas correspondente, obtendo um conjunto ortonormal correspondente de autovetores de A.

= 1 na matriz ti - A, para obter o sistema homogêneo correspon-

Faça t dente

-x- y =O, -x- y =O Uma solução não-nula é v 1 = (1, -1). Agora, faça t encontrar o sistema homogêneo correspondente X -

y

0, -i'~+ y

=

= 3 na matriz ti- A, para

0

=

Uma solução não-nula é v2 = (1, 1). Como esperado, pelo problema 13.31, e t• 2 são ortogonais. Normalize v1 e v2, para obter a. base ortonormal

v1

{ul = (ljy'Z, -1/VZ), u2 = (1/VZ, 1/VZ) l

A matriz de transição P e a transformação de coordenadas requerida seguem

p

=

(

l/V2 1/VZ) e (. -11v'2 1/v'Z

·x) p(x'). =

y' ·

Y

ou x. = (x' Y =

+ y')/yT

<-x' + y')/VZ

Note que as c.olunas de P são u1 e u2. Também podemos expressar x' e y' em têrmos de x e y, usando p- 1 = P 1; isto é, x' = (x- y)/VZ, y' = (x

+ y)/VZ

13.36. Demonstre o teorema 13.15. Seja T um operador ortogonal num espaço com produto interno V. Então, existe uma base ortonormal em relação à qual T tem a forma 1

I

1

I.

I

1 -

-

-

-

--

- -1 . 1 -1

-~-

-

-

- ,I

1

I

I

-1

L---·-~-- _I_- - - - - - ,

cos 81 -sen 81 1 sen 81 _cos 8 1 L__:_ _ _ _ _1

I

1

J

r.------

cos 8, -sen 8, 8, cos 8,

1 1sen

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

CAP. 13r

367

Como AA • F- A • A, a matriz A não é normal. (ii)

i ) BB• = ( 1 1 2 +i B*B

=

c:

2~J

( 1 -i

c

2 ( 2- 2i

2

+

2i)

6

Como BB* = B*B, a matriz B é normal.

13.38. Seja T um operador normal. (i)

Ttv)

Demonstre

= O se, e sômente se, T*(v) = O.

(ii) T- H é. normal. (iii) Se T(1f) = ;\v" então T*(v) = Xv; portanto, qualquer autovetor de T é também um autovetor de T*. i

(iv) Se T(v) = X1v e T(w) = X2w, onde X1 ~ X2-, então (v, w) = O; isto é, autovetores de T ~rtencentes a autovalores distintos são ortonormais. (i)

Mo~traremos que (r(t~), r(11)) = (T*(v), T*(v))

(r(v), r(v)) = (v, T*r(v)) = (v, rT*(v)) = (T*(v), T*(v))_

Portanto, por [I3 ], r(v)

=

O se, e somente se, r•(v)

=

O.

(ii) Mostraremos que ·r- l\l comuta com seu adjunto (r- H)( r - M)*

= (r- H)(T*,- Ü) = rr•- l\T*- ~r+ = r•r- ];r- l\T*

+ ];.l\I

=

>5~I

(T*- Ü)(r- H)

= (r- H)* (r- l\IJ.

Assim, r - l\l é normal. (iii) Se r(v) = l\v, então (r- 1\I)(v) = O. Agora, r - H é normal por (ii); entretanto, por (i) (r- H)*(v) = O. Isto é, (r•- "7\I)(v) = (); portanto, T*·(v) = Xv.

(iv) Mostraremos que >. 1(v, w)

= >. 2(11, w) ÀI(v, w) = (>.1v, w) = (r(u), w) = (11, r•(w)) = (v, X2w) = />.2(v, w).

Mas, />.1 F- />.2·; portanto, (v, w) =O.

13.39. Demonstre o teorema 13.16. Seja T um operador normal num espaço complexo com produto interno, de dimensão finita V. Então, existe uma base ortonormal de V consistindo em autovetores de T; isto é, T pode ser representado por uma matriz diagonal em relação a uma base ortonormal. A demonstração é, por indução, na dimensão de V. Se dim V= 1, então o teorema vale trivialmente. Agora, su1xmha que dim V = n > L Como V é um espaço vetorial complexo, t tem, ao menos, um aütovalor e, 'portanto, um autovetor não-nulo. Seja W o subespaço de V gerado por v e seja UJ um vetor unitário em W. Como v é um autovetor de r, o subespaço W· é invariante sob r. Entret';l~to,.}l .,é -~!ll.i,J.ém.: um autovetor de r\ pelo._probl~IJ1a precedente;. portanto, W também é _iriyariante sob r•. Pelo problema 13.21, Wl. é invariante sob r•• = T. O rêsto da demonstração é idêntico à última parte da demonstração do teorema 13.14 (problema 13.32).

366

"ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

+

+

+ r- 1)T(v)

,;, T(T

[CAP. 13

+

+

Seja S = T T- 1 = T T*. Então, S* = (T T*)* ""' T* T = S. Assim, S é um operador simétrico em V. Pelu teorema 13.14, existe uma base ortonormal de V, consistindo nos autovetores de S. Se >.to ... , >.m denotam os autovalores distintos de S, então V pode ser· decomposto na soma direta V= V1 $ V 2 $ ... $ Vm, onde os V; consistem nos autovetores de S pertencentes a >.;. Afirmamos que cada V; é invariante sob T. De fato, suponha que v E V;; então, S(v) = >.;v e S(T(v)) = (T

+ T"" 1)(v) = TS(v)

=

T(X;v)

= >.;T(v)

Isto é, T(v) E V;. Portanto, V; é invariante sob T. Como os V.: são ortogonais uns aos outros, podemos restringir nossa investigação ao modo pelo qual T atua em cada V; individualmente. Num dado V;, (T T- 1 )v = S(v) = >.;v. Multiplicando por T, (T 2 - >.;T I)(v) = O

+

+

= ± 2 e' À; -,é ± 2 separadamente. Se >.; = ±2, então (T ± I) 2 (v) =O, o que conduz a (T±I)(v) =O ou

Consideraremos os casos >.;

T(v) = ±v. Assim, T restrito a êsse V; é ou I ou -I. Se >.;-,é ±2, então T não tem autovetores em V;, pois, pelo teorema 13.8, os únicos autovalores de T são 1 e -1. De acôrdo com isso, para v -,é O os vetores v e T(v) são linearmente independentes. Seja W o subespaço gerado por v e T(v). Então, W é invariante sob T, pois T(T(v)) = T 2 (t•) = >.;T(v)- v

Pelo teorema 13.2, V; = W $ WL. Além disso, pelo problema f3.24, wJ.. é também invariante sob T. Assim, podemos decompor V, na soma direta de subespaços bidimensionai' Wi, onde os W; são ottogonais uns aos outros e cada 1-Vj é invariante sob T. A ..sim, podemo$ agora restringir nossa investigação ao modo pelo qual T atua em cada Wj indivídualmt;,nte. Como 'f"l - >.;T + I = O, o polinômio característico A(t), de T agindo em W;, é A(t) = t 2 - >.;t + 1. Assim, o determinante de T é 1, o têrmo constante em ~{!). Pelo problema 13.30, a matriz A que representa T atuando em JVi em relação a qualquer base ortonormal de U'i deve ser da forma cose- - sen u sen (J cos 8 A união das bases de Wi dá uma base ortonormal de V; e a união das bases de V; dá uma base ortonormal de V, na qual a matriz que representa T tem a forma desejada.

OPERADORES NORMAIS E FORMAS CANÔNICAS EM ESPAÇOS UNITÁRIOS 13.37. Determine qual matriz é normal (i) (i)

A AA*= A*A

i ) ("") 1 ,nB=

1 (O

(1

G~) (~ n (~ o) (

1 ( _:_il

1 \O

=

i ) 1

i

)

12+i" :)

( 1 i ) =~i2

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

368

(CAP. 13

13.40. Demonstre o teorema 13.17. Seja T um operador arbitrário num espaço complexo com produto interno, de dimensão finita V. Então, T pode ser representado por uma matriz triangular em relação a uma base ortonormal {uh u 2, ... , un}; isto é, para i= 1, ... , n,

A demonstração é por indução na dimensão de V. Se dim V = 1, então o teorema vale trivialmente. Agora, suponha que dim V = n > 1. Como V é um espaço vetorial complexo, T tem, ao menos, um autovalor e, portanto, pelo menos um autovetor não-nulo v. Seja TF o subespaço de V gerado por v e seja u; um vetor unitário em TV. Então, u; é um autovetor de T e, digainos, T(u;) = anui. Pelo teorema 13.2, V = W ffi J.Vl-. Denote· por E a projeção ortogonal de V em lJll-. Claramente, VVl- é invariante sob o operador ET. Por indução, existe uma base ortonormal !u 2 , .. , Un l de J-Jll- tal que, para i = 2, ... , n, ET(u;)

=

a;2u2

+ a;3U3 + ... + a;;u;.

(Note que !ui, u 2 , .. , unl é uma base ortonormal de V.) Mas E é a projeção ortogonal de V em vV.l; portanto, devemos ter T(u;)

=

a;IUI

para i = 2, ... , n. Isto com T(u;)

+ a;2u2 + ... + a;;u; = anui

dá-nos o resultado desejado.

PROBLEMAS DIVERSOS 13.41. Demonstre o teorema 13.13-A. As seguintes condições num operador P são equivalentes (i)

P

(ii) P

T 2 para algum operador auto-adjunto T.

S* S para. algum operador S.

(iii) P é auto-adjunto e (P(u), u) 2:: O para todo u E V. Supo\lha que (i) vale, isto é, P= T 2 , onde T = T*. Então, P = TT = T*T; logo, \i) implica (ii). Agora, suponha que (ii) vale. Então, P* = (S* S)* = = s•S•• = S*S = P; logo, P é auto-adjunto. Além disso, (P(u), u) = (S*S(u), u) = (S(u), S(u)) 2: O.

Assim, (ii) implica (iii); logo, resta mostrar que (iii) implica (i). Agora, suponha que (iii) vale. Como P é auto-adjunto, existe uma base ortonormal {u1, ... , Un l de V, consistindo de autovetores de P; digamos, P(u;) = X;U;. Pelo teorema 13.8, os X; são reàis. Usando (iii), mostraremos que os X( são não-negativos. Temos, para' càda i, 0.~ (P(u;), u;) = (X;u;, ui) "" ;l.;(u;, u;) ..

(íi·i;:1ti)2::Q força Xi2: O, como foi dito.''D~'âi:ôrdo córr1 iisp, v'~ é ii?tmer~ ~eaCSeja T o operador linear' à~firi.id;;'Po'r .

Assiiri',·

um

T(u;) = y'~u;, para i = 1, , .. , n.

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

369

Como T está representado por uma matriz diagonal em relação à base ortonormal fui), T é auto-adjunto. Além disso, para cada i,

T 2(u;) _; T(y'Xiu;) = y'~r(u;) = v'~~u; =>.;'u; = P(u;). Como T2 e P coincidem numa base de V, P demonstrado.

= T 2 • Assim, o teorema está

Observação. O operador T apresentad:J é o único operadór pósitivo tal que P = r 2 (problema 13.93); é chamado raiz quadrada positiva de P.

13.42. Mostre que qualquer operador T é a soma de um operador auto-adjunto e de um operador antiadjunto. Faça S

=

s•

r

t(T + r*) e U = ter- r*). Então,

=
=

S + U, onde

P))* = ter• + r••> = ter• + T)

=

s

e

U* = C-}(T ~ T*))*

=

-}CT* ~- r)

=

--}(r- r•) = - U,

isto é, S é auto-adjunto e U é antiadjuntÓ\'

13.43. Demonstre. Seja T um operador linear arbitrário num espaço com produto interno, de dimensão finita V. Então, T é produto de um operador unitário (ortogonal) U e de um único operador positivo P, isto é, T = UP. Além disso, se T é inversível, então U também é determinado de maneira única. Pelo teorema 13.13, r•r é um operador positivo e, portanto, existe um (único) operador positivo P tal que P 2 = r .. T (problema 13.93). Observe que

IIP(v)ll 2 = (P(v), P(v)) = (P 2 (v), v)= (T*r(v), v)= (r(v), T(v)) = IIT(v)ll 2 Agora, consideraremos separadamente os casos de sível. Se

r é inversível, então fazemos fJ

=

r

PT- 1 • Mostraremos que

U* = (Pr- 1 )* = r-u P* =

(1)

inversível e T não inver-

fJ

é unitário

(T*)- 1P

e

f]•f] = (r*)- 1PPr- 1 = (r•)- 1 T*TT- 1 = I. Assim, tário e

fJ

é unitário. A seguir, fazemos U = f]- 1 . UP, comÓ requerido.

Então, U é também um· (

r=

Para provar a Unicidade, suponhamos que e Po é ~sitivo. Então,

T*T

=

r=

UoPo, onde Uo é unitário

P~U~UoPo = PoiPo = P~.

Mas a raiz quadrada positiva de T*r é única (problema 13.93); portanto, Po = P. (Note que a inversibilidade de r não é usada para demo.nstrar a unicidade de P.) Agora, se r é inversível, então P tàmbém o é, por (1). Multiplicando UoP = UP à direita por p- 1 , temos U 0 U. Assim, U também é único,. quando T é inversível.

=

Agora, suponha que T não é inversível. Seja W a ímàgem 'de P, isto é, Definimos U1 ' W--> V por

W = Im P.

U 1 (w) = T(v), onde p!,.) = w.

(2)

EsPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

370

[CAP. l3

Precisamos mostrar que Ut está. bem definido, isto e, P(v) = P(v') implica T(v) = T(v)'. Isso segue do fato de P(v- v')= O ser equivalente a IIP(v- v'lll =0, o que força 11 T(v- v') li = O por (1). Assim, U1 está bem definido. A seguir, definimos U2: W-> V. Note por (I) que P e T têm o mesmo núcleo. Portanto, ás imagens de P e T têm a mesma dimensão, isto é, dim (I~ P) = = dim W = dim (lm T). Conseqüentemente, J.rl. e (lm T)l. também têm a mesma dimensão. Seja U 2 um isomorfismo qualquer entre Wl. e (Im T)l.. A seguir, fazemos U = Ut EB U2. (Aqui, U é definido como segue se + w', onde w E W, w' E Wl.; então, U(v) = U1(w) + U 2(w').) Agora, Ué linear (problema 13.121) e, se v E V e P(v) = w, então por (2)

v E V e v = w

T(v) = U1(w) = U(w) = UP(v).

Assim, T

=

UP como requerido.

Falta-nos. mostrar que U é unitário. Agora, cada vetor x E V pode ser escrito na forma x = P(v) + w', onde w' E wJ.. Então, U(x) = UP(v) + U 2(w') = T(v) U2(w'), onde (T(v), U2(w')) = O por definição de U 2 • Também, (T(v), T(v)) = (P(v), P(v)) por (1). Assim,

+

+

(U(x), U(x))

+

=

+

(T(v) U2(w'), T(v) U 2 (w')) (T(v), T(v)) (U 2(w'), U 2 (w')) = (P(v), P(v)) (w', w') = (P(v) = (x, x).

+ +

+ w',

P(v)

+ w')

(Também usamos o fato de que (P(v), w') = O.) Assim, U é unitário e o teorema está demonstrado.

.) qualquer par de pontos no espaço-1 2 i~l

converge absolutamente. Pelo problema 1.16 (desigualdade de Cauchy-Schwarz),

latbtl

+ ... +

lanbn I

~

_/-n J-n

_,-,.

r;;-;;

"i:l "i:l b~ ~ "i:l a~ "'t:l a;

b; •

que vale para todo n. Assim, a seqüência (monótona) de somas Sn = Iatbtl + + ... + Ianbn I é limitada e, por isso, converge. Portanto, a soma infinita converge absolutamente.

13.45. Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre R com produto interno definido por (f, g) =

i

I

/(t) g(t) dt.

Dê um exemplo de um funcional linear cp em V, para o qual o teorema 13.5 não vale, isto é, não existe um polinômio h(t) para o qual cp(f) = (f, h) para todo f E V.

~j~. q; : V-> R definido por 4>(/) = f(O), isto é, 4> calcula f(t) em O e, portanto, transforma f(t) ·em. seu têrmo constante. Suponha que existe um polinômio. h(t), . para o qual

1

1

4>(!) = f( O) =

j(t) h(t) dt

(1)

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

371

para todo polinômio f(t). Observe que 4> transforma o polinômiot1 (t)em portant:J, por (1),

!o

O;

1

tj(t) h(l) dt

=

O

(2)

para todo polinômio /(1). Em particular, (2) deve valer para /(1) = lh(t), isto é,

!

1

2 12h (t)dt =O.

0

Essa integral obriga h(t) a ser o polinômio nulo; portanto, 4>(/) = "(!, h) = = (f, O) = O pàra todo polinômio /(1). Isto contraria o fato de <]Ue q, não é o funcional zero; portanto, o polinômio h(t) não existe.

P'roblemas f>ropostos PRODUTOS INTERNOS 13.46.

Verifíque que (a1u1

+ a2u2, b1v1 + b2v2)

= atbt(Ut, Vt)

+ a2b1(u2, Vt) + a2b2(u2, v2).

+ atb2(u1, v 2 ) +

Mais geralmente, demonstre que

< ~

13.47.

Sejam u

.

(i)

=

(x1, x 2) e v

=

l;

a;u;,

t=l

j=

b;v;) 1

1; a;b;(u;, Vj ). i,}

(y1, y 2 ) pertencentes a ~ 2 .

- - ·--· - -'·· - ·--· Verifique que o seguinte é um produto interno no R 2 • -·~----

--j(u, v);,:·-;;Yl- 2xm- 2xm

+

Sx2Y2-

(ii) Para que valôres de k é o seguinte um produto interno no R 2 ? j(u, v) = XtYl- 3XlY2- Jx2Y1

+ kx2Y2·

(iii) Para que·valôres de a, b, c, dE R é o seguinte um produto interno no R 2 ? j(u, v) = UXlYl 13.48.

+ ÔX1Y2 + CX2Yl + dX2Y2·

Encontre a norma de v = (1, 2) E R 2 em relação a (i) o produto interno usual, (ii) o produto interno do problema 13.47 (i).

13.49. Sejam u = (z~o z 2) e v = (w1, w2) pertencentes a C 2. (i)

Verifique se o seg.uinte é um produto interno em C 2 j(u, v) .;. z1:;1

+

(1

+ i)z1:W2 + (1 -

i)z2w1

+ 3Z2W2·

(i i) Para que valôres de a, b, c, dE C é o seguinte um produto interno em C 2 ? M~

f(u,

13.50.

V)

=

.~ UZfWl

-

_ ..

-

+ bZlW2 + CZ2Wl + dl:2W2·

Encontre a n.orma de v = (1 - 2i, 2 + 3i) E C 2 em relação a (i) o produto interno usual, (ii) o produto interno no problema 13.49 (i).

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

372 13.51.

Mostre que a função distância d(u, v) = llvguintes axiomas de um espaço métrico:

ull,

[CAP. 13

onde u, v E V satisfaz os se-

[D1] d(u, v) 2': ·o; e d(u v) = O se, e somente se, u = v. [D2] d(u, v) = d(v, u). [D 3 j d(u, v) ~ d(u, w) d(u, v).

+

13.52.

Verifique a Lei do Paralelogramo

!lu +vil + iiu- vil

= 2

I! ui! + 2Nvll.

13.53.

Verifique as seguintes formas polares para (u, v)

13.54.

Seja V o espaço vetorial das matrizes m X n sôbre R. 1 = tr (B A) define um produto interno em V.

Mostre que (A, B) =

13.55.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre R.

Mostre que (f, g)

= 13.56.

!

=

1

f(t) g(t) dt define um produto interno em V. 0

Encontre a norma de cada um dos seguintes vetores: (1.)

(i i)

-

u'V

(_!. __}_ _!_ _!_) E R 4 2'

4'

3' 6

'

+ i, 2 - Si) E" C 3, 2t + 3 no espaço do

= (1 - 2i, 3

(iii) j(t) = t 2 (i v) A = (

problema 13.55,

2 )· no espaço do problema 13.54. -4 .

1

3

13.57.

Mostre que (i) a soma de dois produtos internos é um produto interno; (ii) um múltiplo positivo de qm produto interno é um produto interno.

13.58.

Sejam a, b, c E R tais que at 2 bt + c 2': O para todo tE R. Mostre que b2 - 4ac $ O. Use êsse -resultado para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para espaços reais, com produto interno,- desenvolvendo llttt vll 2 "2': O.

+

+

13.59.

13.60.

Suponha que I (u, v) I = llullllvll. {Isto é, a desigualdade de Cauchy-Schwarz reduz-se a uma igualdade.) Mostre que u e v são linearmente independentes. Encontre o co-seno do ângulo O entre u e v se (i)

u = (i, -3, 2), v = (2, 1, 5) no R3;

(i i) u

= 2t- 1,

v

= t2

(. .) (2 1) 111

ti=

.

3

-1

no espaço do problema 13.55;

, v = (

-~

-

~)

no espaço do problema 13.54.

ORTOGONALIDADE 13.61~ 'En~o-ritre i'Ima base do subespaço W de R 4 ortogonal a U2 = (3, -5, 7, · 8). 1'3.62.

u1 =

Enéontre u'ma base ortonormal para o subespaço W· de C 3 , "' = 11. i. 1) e u2 "" (l i, O, 2).

+

(1, -2, 3, 4) e

gerado'· por

CAP. 131 ]3.63.

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

373

Seja V o espaço vetorial dos polinômios, sôbre R, de grau ~ 2, com produto interno (/, g) =

il

j(t) g(l) dt.

(i) Encontre uma base do subespaço vV ortogonal a h(!) = 21 + 1. (ii) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base {1, t, t2j para obter uma base ortonormal {UI(t), u2(t), u 3 (t)} de V. 13.64. Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 X 2 sôbre R com produto interno defi· nido por (A, B) = tr (B 1A). (i)

Mostre que a seguinte é uma base orton,:mnal de V

f (I

t o

~)' (~ o1) ' (oo o) (oo o) 1J 1

'

1

(ii) Encontre uma base para o complemento ortogonal de gonais, (b) as matrizes simétricas.

{a) as matrizes dia·

13.65.

Seja Hr um subconjunto (não necessàriamente subespaço) de V. Demonstre (i) w.L = L(!F); (ii) se V tem dimênsão finita, então ll'.l.L = L(H'). (Aqui, L(!V) é o espaço gerado por W.) .; ·

13.66.

Seja !F o subespaço gerado por um vetor não-nulo w em V e seja E a projeção (v, w) ortogonal de V em W. Demonstre E(v) = w. Chamamos E(v) ·a 2

llwll

projeção de v em w. 13.67.

Encontre a projeção de v em w se (i) v= (1,:..1, 2),w = (0, 1, I) em R 3 ; (ii) v = (I- i, 2 3i), w = (2- i, 3) em C 2 ; (iii) v = 21- I, w = t 2 no espaço do problema 13.55; 1 1 2 ) no espaço do problema 13.54. ), w (iv) v= ( . 1 -3 1 2

+

=(O -

13.68.

Suponha que {ui, ... , ur} é uma base de um subespaço IV de V, onde dim V= n. Seja {vt. ... , Vn-,-} um conjunto independente de n- r vetores tais que (u;, vj) para cada i e cada j. Mostre que lvt. ... , Vn-rl é uma base do complemento ortogonal r:v.L.

13.69.

Suponha que I ui, ... , u 7 } é uma base ortonormal para um subespaço vV de V. Seja E: .V--> V a transformação linear definida por

=O

E(v) = (v,

UI) UI

+ (v, U2) Uz +

+ (v, Ur) Ur

Mostre que E é a projeção ortogonal de V em W. 13.70.

Seja {ui. ... , ur} um subconjunto ortonormal de V. Mostre que, para qualquer T

v E V,

~ l(v, u;)l 2 ~ I~

13.71.

l/vll 2.

(Isso é conhecido como desigualdade de Bessel.)

I

Seja V um espaço real com produto interno.

Mostre que

+

(i) /lu// = li vil se, e somente se, (u v, u- v) = O; (ii) llu + vll 2 = llull 2 + llvll 2 se, e somente se, (u, v) =O. Mostre, por contra-exetnplos, que as assertivas mostradas não são para, digamos, cz. 13.72, I.

'

~erdadeiras

Sejam U e W sübespaços de um espaço com produto interno, de dimensão finita V. Mostre que (i) ( U JF).l ~ U.i n H·.L; (i i) ( U 11 W).l = u.L w.L.

+

+

ESPAÇO~ COM PRODUTO INTERNO

374

{CAP. 13

OPERADOR ADJUNTO 13.73.

Seja

T; R 3 --> R 3

definido

por

T(x, y, z) = (x

+ 2y, 3x '- 4z, y).

Encontre

P (x, y, z). 13.74.

Seja T: C 3 -> C 3 definicio por T(x, y, ,;) = (ix

+ (2 + 3i)y, 3x + (3- i)z, (2- Si)y + iz)

Encontre T* (x, y, ::). 13.75.

Pàra cada uma das seguintes funções linear<.-s

(11) = (v; u) para todo v E V (i)

(ii) C definido por R definido por (f) blema 13.63.

=

+ 2y- 3z. + (2 + 3i)y + (1- 2i)z.

j(1 ), onde V é o espaço vetorial do pro-

13.76.

Suponha que V tem dimensão finita. Demonstre que a imagem de T* é o complemento ortogonal do núcleo de T, isto é, Im T* = (Nuc T)i.. Portanto, pôsto (T) = pôsto (T*).

13.77.

Mostre que T*T = O implica T = O.

13.78.

Seja V o espaço vetorial dos polinômios sôbre R com produto interno definido por (f, g)

=i

1

j(t)

g~t) dl.

Seja D o opcr
Mostre que não existe um operador D* em V tal que (D(j), g) = (f, D*(g)) para quaisquer f, g e V. Isto é, D não tem adjunto.

OPERADORES UNITÁRIOS E ORTOGONAIS E MATRIZES Encontre uma matriz ortogonal cuja primeira linha seja (ii) um múltiplo de (1, 1, 1). -

13.80.

Encontre uma matriz ortogonal simétrica cuja primeira linha seja (1/3, 2/3, 2/3) (compare com o problema 13.27).

13.81.

Encontre uma matriz unitária cuja primeira linha seja

(1, 1, -1);

.. ll .

(n)

2•

1 • -zt,

1

(i)

(1/VS, 2/VS);

13.79.

(i) um múltiplo de

I .

2--zt).

13.82.

Demons~re. O produto e inversas de matrizes ortogonais são ortogonais. (Assim; as matrizes ortogonais formam um grupo sob multiplicação chamado grupo ortogonal.)

13.83.

Demonstre. O produto e inversas de matrizes unitárias são unitárias. (Assim, as matrizes unitárias formam um grupo sob multiplicação chamado grupo unitário).

l3A~4.

Mostre que, se um,. matriz ortogonal (unitária) é triangular, então. ela é diagonal.

13.85.

Lembre que as matrizes complexas A e B são unitàriamente equivalentes se existe uma matriz unitária P tal que B = p• AP. Mostre que essa -.é uma relação de equivalência.

13.86.

Lembre que as matrizes reais A e B são ortogonalmente eqúivalentes. se existe uma matriz ortogonal P tal que B = P 1AP. Mostre que essa é uma relação de equivalência.

CAP. 13]

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

375

13.87.

Seja W um subespaço de V. Para qualquer v E V, faça v= w + w', onde w E W, w' E (Tal soma é única, porque v = w E9 wJ..) Seja T: v--> v definida por T(v) = w- w'. Mostre que T é um operador unitário auto-adjunto em V.

13.88.

Seja V um espaço com produto interno e suponha que U: V-+ V (não necessàriamente linear) é sobrejetora e preserva produtos internos, isto é, (U(v), U(w)) = = (u, w) para quaisquer v, w E V. Demonstre que Ué linear e, portanto, unitário.

rvJ..

OPERADORES POSITIVOS E OPERADORES DEFINIDOS POSITIVOS 13.89.

Mostre que a soma de dois operadores positivos (definidos positivos) é positiva (definida positiva).

13.90.

Seja T um operador linear em V e seja f: V X V-+ K definida por f(u, v) = = (T(u), v). Mostre que f é um produto interno em V se, e som$!nte se, T é definido positivo.

13.91.

Suponha que E é uma projeção ortogonal sôbre algum subespaço W de V. monstre que kl E é positivo (definido ,positivo) se k 2': O (k > 0).

13.92.

Demonstre o teorema 13.13-B, em operadores definidos positivos. (O correspondente teorema 13.13-A para operadores positivos foi demonstrado no problema 13.41.)

13.93.

Considere o operador T definido por T(tt;) = v!Xi u;, i = 1, ... , n na demonstração de teorema 13.13-A (problema 1.3.41). Mostre. que T é positivo e que é único operador positivo para o qual T 2 = P.

13.94.

Suponha que P é ambos positivo e unitário.

13.95.

Diz-se que uma matriz n X n (real ou complexa) A = (a;;) é positiva, se A encarada como um operador linear em Kn fôr positivo. (Uma definição anâ.loga define uma matriz definida positiva.) Demonstre que A é positiva (definida positiva) se, e somente se, a;i = aii e

+

Prove que P

De-

I.

=

(>O) i,j=l

para quaisquer (x1, ... , Xn) em Kn. 13.96.

Determine quais das seguintes matrizes são positivas (definidas positivas)

(: (i) 13.97.

c ~) (~

~) (_~ ~) (_~ ~) (~ ~) (i i)

(iii)

(i v)

Demonstre que uma matriz complexa 2X2A

(v)

=

(:

!)

é

~) (vi)

positiva se, e

somente se, (i) A = A*, e. (i i) a, d e ad- bc são números reais não-negativos. 13.98.

Demonstre que uma matriz diagmial A .; positiva (definida positiva) se, e somente se, eàda elemento diagonal é um número real não-negativo (positivo)

OPERADORES AUTO-ADJUNTOS E SIMÉTRICOS 13.99.

Para qualquer operador T, mostre que T adjunto:

+ T*

é auto-adjunto e T- T* é anti-

13.100. Suponha que T é auto-adjunto. Mostre que T 2(v) o= O i~plica T(v) isto para provar que Tn!v) = O implica T(v) =; O para n > O.

=

O.

Use

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

376

[CAP. 13

13.101. Seja V um espaço complexo com produto interno. Suponha que (T(v), v) é real para qualquer v E V. Mostre que T é auto-adjunto. 13.102. Suponha que S e T são auto-adjuntos. Mostre que ST é auto-adjunto se, e somente se, S e T comutam, isto é, ST = TS. 13.103. Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontre uma matriz orto· gonal P, para a qual P 1AP seja diagonal (i) A

=

c-D . c-!) ' (ii)

A

=

(iii) A

=(

~

_:)

13.104. Encontre uma transformação ortogonal de coordenadas que diagonalize cada forma quadrática (i) q(x, y) = 2x 2 - 6xy l0y 2, (ii) q(x, y) = x2 8xy- 5y2

+

+

13.105. Encontre uma tran.sformação ortogonal de coordenadas que diagonalize a forma quadrática q(x, y, z) = 2xy 2xz 2yz.

+

+

OPERADORES NORMAIS E MATRIZES 13.106. Verifique que A = ( :

; ) é normal.

Encontre uma matriz unitária P tal

que P*AP seja diagonal e encontre P*AP. 13.107.

Mostre que uma matriz triangular é normal se, e somente se, ela é diagonal.

13.108. Demonstre que se T é normal em V, então 1\ T(v)ll = 11 T*(v)il para todo v E V. Demonstre que a r(!cíproca vale em espaços complexos com produto interno. 13.109. Mostre que operadores auto-adjuntos, antiadjuntos e unitários (orlqgonais) são normais. 13.110. Suponha que T é normal.

Demonstre que

(i) T é auto-adjunto se, e somente se, seus autovalores são reais. (ii) T é unitário se, e somente se, seus autovalores têm valor absoluto 1. (iii) T é positivo se, e somente se, seus autovalores são· númer~s reais não.ne· gativos. 13.111. Mostre que, se T é normal, então Te T* têm o mesmo núcleo e a mesma imagem. 13.112.• Suponha que S e T são normais e comutem. são normais. 13.113. Suponha que T é normal e comuta com S.

Mostre que S

+T

e ST também

Mostre que T também comuta com

s•.

13.114. Demonstre. Sejam S e T operadores normais num espaço vetorial complexo de dimensão finita V. Então, existe uma base ortonormal de V consistindo em autovetores de ambos S e T. (Isto é, S e T podem ser simultâneamente diagonalizados.)

PROBLEMAS SÔBRE ISOMORFISMOS 13:.115. Seja {et, ... , enl uma base ortonormal de um espaço com produto V interno sôbre K. Mostre que a tran~formação v...., [v]. é um {espaço com produto interno) isomorfismo entre V e Kn. (Aqui [v]o denqta o vetor coordenada de v na base {e;}.) 13.116. Mostre que espaços com produto interno V e W sôl:)re K são isomõrficos se, e somente se, V e H' têm a mesma dimensão.

CAP. 13)

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

377

13.117. Suponha que let, ... , enl e !e~, ... , e~} são bases ortonormais de V ·e W, res· pectivamente. Seja T : V---> W a transformação linear definida por T(e;) = para cada i. Mostre que T é um isomorfismo.

e;

13.118. Seja V um .espaço com produto interno. Lembre que cada u E V determina um funcional linear ';J no espaço dual V* pela definição ';J(v) = (v, u) para toc'o v E V. Mostre que a transformação u ,_. ';J é linear e não-singular e, portanto, um isomorfismo de V em V* 13.119. Considere o espaço com produto interno V do problema 13.54. é isomórfico a Rmn sob a transformação

Mostre que V

= (ail, a;2, ... , a;n) a i-ésima linha de A.

onde R;

PROBLEMAS DIVERSOS

13.120. Mostre que existe uma base ortonormal lut, ... , un} de V consistindo em autovetores de T se, e somente se, existem projeções ortogonais Et. ... , E, e escalares ÀI, ... , À, tais que (i) T = À1E1+ . . + ÀrE,; (ii) E 1 + ... +Er =I]; (ii·i) E;E; =O para i ~j. 13.121. Suponha que V = U $" W e suponha que Tt : U---> V e T2: W--+ V são lineares. Mostre que T = T 1 $ T 2 é também linear. (Aqui, T é definido ·como segue. Se v E V e v = u + w, onde u E U, w E W, então T(v) = Tt(u) + T2(w).) 13.122. Suponha que U é um operador ortogonal em R 3 com determinante positivo. Mostre que U é uma rotação ou uma reflexã? através de um plano. RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

>

>

>

13.47.

(ii) K

13.48.

(i)

y'S,

13.50.

(i)

13.56.

(i)

3y2, (ii) sv2 llull = VÓS/12, (ii) llvll = 2yTI,

)3.60.

(i)

13.61.

lvt = (1, 2, 1, 0),

13.62.

lvt

13.63.

CÓS

(iii) a

9;

(ii)

9/y420,

9 =

O, d

O, ad- bc

>

O

Vf3

v2

(ii) cos 9 =

(iii)

lif{tlll :" V83/15,

VIS/6, (i i i) cos

9 =

(iv) (A)= y30

2/V210

= (4, 4, O, 1)}

= (1, i,

1)/VJ,

(i)

lh(t)

=

71 2 -

(ii)

ltttCt>

=

1, u2c1>

12

=

(2i, 1- 3i, 3- i)/V24l

5t, /2(1) = 121 2

=

-

5}

c21- otv'T. !t3(1) = (61 2 - 61

~ ~} (~

~)}'

13.64.

(i i) (a) { (

13.67.

(i)

(0. 1/Vf. 1/Vf). CiD (26

(i v)

nv6) (~7t~ -14Jv6

+ 7i.

(b) { (

21

+ t>tvsl

~ -~)}

+ 24il/Vt4.

(iii)

v'St 2/6,

ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO

. 378 13.73. 13.74. 13.75.

13.79.

+ 3y, 2x + z, -4y) T*(x, y, z) = (-ix + 3y, (2- 3i)x + (2 + Si)z, (3 + i)y- iz) Seja u = .P(e,)el + ... + .P(en)en, onde e; é uma base ortonormal (i) u = (1, 2, -3), (ii) u = (-i, 2- 3i, 1 + 2i), (iii) u = (18t 2 - 8t + 13)/15 T"(x, y, z)

= (x

( 1/vs

( i)

2/Vs

2/vs) _ 1/vs ,

c··) u

(

t;V3 _1 2_

110 o_ 21v6

t 1v

-1iv'6

t;v3) . ;-

-tiv 2

-t/v'6

1/3 2/3 2/3 ) 13.80. 2/3 -2/3 1/3 ( 2/3 1/3 -2/3 13.81.

1,V3 (1 - i)/VJ) ( (1 + i)/VJ -1/...;3

(i)

13.96. Somente (i) e (v) são positiYos. Além disso, (v) é definido positivo. 13.103. (i)

p =

(iii) p =

13.104. (i) x

(

2/Vs

-t/vs

3/ylO ( -t/v'tõ

-t/VS )

2/VS '

..

(

(ul P =

21vs -t/vs

-t;vs)

2/VS '

-1/yiO)

J/vto = (3x'- y')/vto, y = (x' + 3y')/v10,

x

=

+ 2y')/VS x'/v3 + y'!v'2 + z'/v'6,

z

=

x'/VJ- 2z'JV6

(ii) x = (2x'- y')/Vs,

y = (x'

13.105.

[CAP. 13

13.106. P =

1/v'2 ( l/V3

-1/V2) l/y'2 ,

P*AP

y

=

=

x'!VJ- y'/V2 + z'/...;6,

(.2 +i O

() )

2 _i

Apêndice A Conjuntos e Relações CONJUNTOS, ELEMENTOS Qualquer lista ou coleção bem definida de objetos é chamada um conjunto; os objetos que compreendem um conjunto são chamados seus elementos ou mem'bros. Escrevemos

p E A se p é um elemento no conjunto .A Se todo elemento de A também pertence a um conjunto B, isto é, se x E A implica x E B, então A é chamado subconjunto de B ou diz-se que está contido em B; isso é anotado por

A c B

ou

B. ::> A

Dois conjuntos são iguais se ambos contêm o mesmo número de elementos; isto é, A = B se, e sàmente se, A c B e B c A As negações de p E A, A c B e A ~ B são escritas p ~A, A respectivamente.

<;f;;

B eA

~

B,

Especificamos um conjunto particular discriminando seus elementos ou enunciando propriedades que caracterizam os elementos no conjunto. Por exemplo, A = { 1, 3, 5, 7, 9} significa que A é o conjunto consistindo nos números 1, 3, 5, 7 e 9; e B

=

{x: x é um número pnmo, x

<

15}

significa que B é o conjunto dos números primos menores do que 15. Também usáremos símbolos especiais para denotar conjuntos que ocorrem muito freqüentemente no texto. A menos que se especifique o contrário, N Z Q R C

O O O O O

conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto

dos dos dos dos dos

inteiros positivos 1, 2, 3, ... , inteiros ... , -2, -1, O, 1, 2, ... ; números racionais; números reats; números complexos.

Também usaremos rfJ para denotar o conjunto nulo ou vazio, isto é, o conjunto que não contém elementos; supõe-se que êsse conjunto é subc()njunto de qualquer outro conjunto. Freqüentemente, os membros de um conjunto também são conjuntos. Por exemplo, -cada linha num conjunto de linhas é um conjunto de pontos.

379

CONJUNTOS E RELAÇõES

380

[Apêndice A

Para ajudar o esclarecimento dessas situações, usamos as palavras classe, coleção e famíl-ia como srnônimos de conjunto. As palavras subclasse, subcoleção e subfamília têm significado análogo a subconjunto. Exemplo A. 1. Os conjuntos A e B acima rodem tamliém ser escritos como A = lx E N: x é ímpar, x B = 12, 3, 5, 7, 11. 131 Observe que 9 EA, 6 ~A e 6 f/' B.

mas 9

f/'

B, e 11 E B, mas li

<

lO]

f/'

A; enqyanto 3 E A e 3 E B e

c

Exemplo A. 2. Os conjuntos numéricos estão relacion3dos como

seg~e

N c Z c Q c R c C.

= lx: x 2 = 4, x é ímpar]. Então, C = , isto é, C é o conjunto

Exemplo A. 3. Seja C

vazio.

Exemplo A. 4• Os membros da clasce 112. 3], 121. 15. 6]] são os conjuntos 12. 3], 12) e 15 . 6]. Surge,. então, o seguinte teorema.

Teorema A. 1. Sejam A, B e C quaiEquer conjuntos. Então (i) A (ii) se A c B e B c A, então A = B;

A

c

c

A;

(iii) se A c B e B c C, então

C.

Enfatizamos que A c B não exclui a possibilidade de A = B. Entretanto, se A c B, mas A r6 B, então dizemos que A é subconjunto pr •.íprio de B. (Alguns autores usam o símbolo c para subconjunto e o símbolo. G SOmente para subconjunto p!Óprio.) Quando falamos de um conjunto indexado {a1 :i E I}, ou simplesmente {a;}. queremos dizer que existe uma aplicação 4> do conjunto I num conjunto A e que a imagem ct>(i) de i E I é anotada a;. O conjunto I é chamado conjunto dos índices e os elementos a; (a imagem de 4>) diz-se que são indexados por I. Um conjunto {a 1 , a 2 , . . . l indexado pelos inteiros positivos N é chamado seqüência. Uma classe indexada de conjuntos (A;: i E I}, ou simplesmente {A 1 }. tem significado análogo, exceto que, agora, a aplicação 4> associa a cada i E I um conjunto A; em vez de um elemento a 1 •

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Sejam A e B conjuntos arbitrários. A união de A e B, escrita A lJ B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B; e a interseção de A e B, escrita A () B, é o conjunto dos elementos pertencentes a ambos ,1 e B A u B = {x : x E A_ ou x E B} e A B ~ {x :X E A e X E Bl

n

Se A n B = , isto é, se A e B não têm qualquer elemento e.m comum, diz-se que A e B são disjuntos.

Apêndice A]

CONJUNTOS E RELAÇÕES

381

Supomos que todos os nossos conjuntos são subconjuntos de um conjunto universal fixo (anotado aqui por U). Então, o complemento de A, escrito A•, é o conjunto dos elementos que não pertencem a A

Ac{xE U:x\tAl Exemplo A. 5. Os seguintes diagramas, chamados de Venn, ilustram as oçeraçot:s com os conjuntos dados. Aqui, os conjuntos são representadcs por áreas planas simples e U, o conjunto universal, pela área do retângulo inteiro. .

A U B está sombreado

A () B está sombreado

A c está sombreado

Os conjuntos sob as operações dados··~atisfazem várias leis ou identidades que estão enumeradas na tabela abaixo. Na realidade, enunctamos Teorema A. 2. Conjuntos satisfazem às leis na tabela 1. LEIS DA ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS LEIS DE IDEMPOTÊNCIA lb.

la.

A UA =A

2a.

(A U B) U C

3a.

AUB=BUA

4a.

A U (B Cl C)

Sa. 6a.

AU,0=A

7a. 8a.

A U Ac =V (AC)C =A

9a.

(A

AnA =A

LEIS ASSOCIATIVAS

= A

2b.

U (B U C)

(A n B) n C

= A () (B ()

C)

LEIS COMUTATIVAS 3b.

A·n B

= B ()A

LEIS DISTRIBUTIVAS

=

(A U B) n (A U C)

4b.

A () (B U C)

=

(A n B) U (A n C)

LEIS DE IDENTIDADE Sb. 6b.

A U U = U

AClU=A

A()0=.0

LEIS DE COMPLEMENTAÇÃO

= 0 = ,0. .0c =

7b.

A n Ac

8b.

uc

u

LEIS DE MORGAN

u B)C

... A c () BC

9b.

Tabela

(A () Bt =A cU BC

---

CONJUNTOS E RELAÇõES

382 Observação. Cada uma

de~sas

[Apêndice A

regras segue de uma regra lógica análoga.

Por exemplo, A

n B = lx: X = lx: X

EA e E B e

X X

E B} = E Al = B

n .1

(Aqui, usamos o fato de que a sentença composta "q e q", escrita p " q; é logicamente equivalente à sentença composta "q e p", isto é, q" p. A relação entre inclusões com conjuntos e as operações com conjuntos segue.

Teorema A. 3. Cada uma das seguintes condições é equivalente a A (iii) BC c Ac (i) A n B = A (i i) A

uB

= B

(iv) A (v) B U Ac = U

n Bc

=

c

B

0

Generalizaremos . as operações com conjuntos como segue. Seja {A; :i E I} uma família qualquer de conjuntos. Então, a união dos A;. escrita UiEIAi (ou, simplesmente, U;A;), é o conjunto dos elementos cada um dos quais pertence a, ao menos, um dos A;; e a interseção dos A;. escrita n;E 1 A, ou, simplesmente, n;A; é o conjunto dos elementos cada um pertencendo a todos os A;.

CONJUNTOS P.RODUTO Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto produto de A e B, anotado por A X B, consiste em todos os pares ordenados (a, b), onde a E A e b EB A X B = ! (a, b) :a E a, b E B} O cõnjunto produto de um conjunto consigo pr6p1 io, digamos, A X A, é anotado por A 2• • Exemplo A. 6. O leitor está familiarizado com o plano cartesiano R 2 = R X R, como mostrado abaixo. Aqui, cada ponto P representa um par ordenado (a, b) de números reais e vice-versa.

2

bi-----P

-3

la,

Exempio A. 7. Sejam A b}. Então,

=

11, 2, 3) e B =

-2

-1 -1

-2

A X B = 1(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)l

ObservaçãÓ. O par ordenado (a, b) é rigorosamente definido por (a, b) = {la} , {a, b}} Dess.a definição, a propriedade de "ordem" pode ser provada; isto.é, (a, b)= = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d.

Apêndice A]

CONJUNTOS E RELAÇOES

383

O conceito de conjunto produto é estendido a qualquer número finito de conjuntos de uma maneira natural. O conjunto produto dos conjuntos Alt ... , Am, escrito A 1 X A 2 X ... X Am, é o conjunto que consiste em tôdas as m-uplas (a 1 , a 2 , . . • , am), onde a; E A; para cada i.

RELAÇÕES Uma relação binária ou simplesmente relação R de um conjunto A para um conjunto B atribui a cada par ordenado (a, b) A X B exatamente uma das assertivas (i)

"a está relacionado com b", escrito aRb

(i i) "a não está relacionado com b", escrito a R b Uma relação de um conjunto A para o mesmo conjunto A é chamada relaçãÔ em A. Exemplo A. 8. A inclusão de conjuntos é uma relação em qualquer classe de conjuntos. Pois, dado qualquer par de conjuntos A e B, ou A c B ou A cf. B.

Observe que qualquer relação R de A para B define de maneira única um subconjunto R de A X B, como segue

R=

{(a,b) :aRb}

Reclprocamente, qualquer subconjunto de A para B como segue

R

de A X B define uma relação

a R b se, e somente se, (a, b) E

R

Em virtude da correspondência dada entre relações de A para B e subconjuntos de A X !3. redefinimos relação como segue. Definição. Uma relação R de A para B é um subconjunto de A X B.

RELAÇÕES DE EQUIVALENCIA Utna relação num conjunto A é chamada ·relação de equivalência se satisfaz os axiomas [E1J

Todo a E A está relacionado consigo mesmo.

[E 2]

Se a está relacionado com b, então b está relacionado com a.

[E 3 ]

Se a está relacionado com b e b está relacio.u.:::.do com c, então a está relacionado com c.

Em geral, diz-se que uma relação é reflexiva, se satisfaz [E 1]; simétrica, se satisfaz [E 2]; e transitiva, se satisfaz [E 3]. Em outras palavras, uma relação é de equivalência se é reflexiva, simétrica e transitiva.

384

CONJUNTOS E RELAÇõES

[Apêndice A

Exemplo A. 9. Considere a relação c: de inclusão.de coi1juntos. Pelo teorema A. 1, A c A para todo conjunto A; e, se A c B e B c: C, ·então A c: c_.. Isto é, c: é reflexiva e transitiva. Por outro lado, c não é simétrica, pois·A C: B e A oF B implica B <:f:. A. Exemplo A. 10. Na Geometria Euclidiana, semelhança de triângulos é uma relação de equivalência. Pois, se a, fj e 1 são triângulos quaisquer, então (i) a é semelhante a si mesmo; (ii) se a é semelhante a {1, então f! é semelhante a a; e (iii) se a é semelhante a {3 e {3 é semelhante a -y, então a é semelhante a 1'·

Se R é uma relação de equivalência em A, então a clàsse de eqUivalência de um el~mento qualquer a E A, denotada por [a], é o conjunto dos elementos aos quais a está relacionado

[a]={x:aRxl A coleção de classes de equivalência, denotada por A/R, é chamada quociente de A por R

A/R = {[a] :a E

A

Ãi

propriedade fundamental das relações de equivalência segue

Teorema A. 4. Seja R uma relação de equivalência em A. Então, o conjunto quociente A/R é uma partição de A, isto é, todo a E A pertence a um membro de A/R e os membros de A/R são disjuntos dois a dois. Exem pio A. 11. Seja R 5 a relação em Z, conjunto dos inteiros, definida por x "" y (mód. 5),

que se lê "x é congruente a y módulo 5" e que significa "x- y é divisível por. 5". Então, R 5 é uma relação de eq·uivalência em Z. Existem, exatamente; cinco classes de equivalência em Z/ R 5 Ao = 1... , -10, -5, o, s, 10] A1 = 1-. -9, -4, 1, 6, 11] A2 = I , -8, -3, 2, 7, 12} A3 =I. -7, -2, 3, 8, 13} A4 =I. .. , -6, -1, 4, 9, 14]

+

Agora, todo inteiro x é exprimível de maneira única na forma x = Sq r, onde O ::; r < S; Observe que x E Er, onde r é o resto. Note que as classes de equivalência são disjuntas duas a duas e que Z =Ao U A 1 U A2 U Aa U .4,.

Apêndice 8 Estruturas Algébricas INTRODUÇÃO Definiremos aqui estruturas algébricas que ocorrem em quase todos os ramos da Matemática. Em particular, definiremos corpo, o que aparece na definição de e.>paço vetorial. Começaremos com a definição de grupo, que é ,uma estrutura algébrica relativamente simples, com apenas uma operação e é usado como bloco constituinte de muitos outros sistemas algébricos.

GRUPOS Seja G um conjunto não-vazio com uma operação binária, isto é, a cada par de elementos a, b E G está sociado um elemento ab E G. Então, G é ch.amadogrupo se os seguintes á'Xiomas valem [G 1 ] Para quaisquer a, b, c E G, temos (ab)c = a(bc) (lei associativa). [G 2] Existe um elemento e E G, chamado elemento identidade,- tal que ae = ea = à para todo a E G. [G3 l Para cada a E G, existe um elemento a· 1 E G, chamado im·erso de a, tal que aa· 1 · = a·•a = e.

Diz-se que um grupo G é abeliano (ou comutatit•o) Ee a lei da comutatividade vale, isto é, se ab = ba para quaisquer a, b E G. Quando a operação binária é denotada por justaposição, como acima, diz-se que o grupo G está escrito multiplicativamente. ·Algumas ví'lzes, quando G é abeliano, a operação é denotada por + e diz-se que G está escrito aditivamente. Em tal caso, o elemento identida<;lé é denotado por O e é chamado elemento zero; e o inverso é denotado por -a e é chamado negativo de a. . Se A e B são subconjuntos de um grupo G, então escrevemos A B = {ab : a E A, b E ..B J, ou A B = Ia + b : a E A, b E B l Também escrevemos a em vez de (a}.

+

Um subconjunto H de um grupo G é chamado subgrupo de G, se o próprio H forma um grupo sob a operação de G. Se H é subgrupo de G e a E G, então o conjunto Ha é chamado classe lateral à direita de H e o conjunto aH é chamado classe lateral à esquerda de H.

Definição. Um subgrupo H de G é chamado subgrupo normal, se a- 1Ha c H para todo a E G. Equivalentemente, H é normal, se aH = Ha para todo a E G, isto é, se as classes laterais à direita e à esquerda de H coincidem. Note que todo subgrupo de t:m grupo abeliano é normal.

385

ESTRUTURAS ALGI!BR1CAS

386

[Apêndice B

Teorema B. 1. Seja H um subgrupo normal de G. Então, as classes laterais de H e G formam um grupo sob multiplicação de classes laterais. 'tsse grupo é chamado grupo quociente e é denotado por Gf H. Exemplo B. 1. O conjunto Z dos inteiros forma um grupo abeliano sob adição. (Observamos que os inteiros pares formam um subgrupo deZ, mas os inteiros ímpares nãJ formam.) Denote por H o conjunto dos múltiplos de 5, isto é, H= { ... , -10, -5, O, 5, 10, ... 1 Então, H_é um subgrupo (necessàriamente normal) de Z. Às classes laterais de H em Z segue

Õ =O+ H= H= { ... , -10,-5, O, 5, 10, ... 1 1 +H={ ... ,-9,-4,1,6,11, ... 1 2 = 2 + H = ! ... , -8, -3, 2, 7, 12, . . I

1=

3 = 3 +H = {... , -7, -2, 3, 8, 13, I 4=4+H= { ... ,-6,-1,4,9,14, ... )

n= n + H coincide com uma dessas classes laterais.

Para qualquer outro inteiro n E Z, Assim, pelo teorema dado, Z!H = {Õ, laterais; sua tábua de adição é

+ õ

õ õ

1

1

2 3 4

2 3 4

1, 2, 3. 41 forma um grupo sob adição de classes ·

1 1

2 3 4 õ

3 3 4 õ

2 2 3 4 õ

1

1

2

4 4 õ 1

2 3

f:sse grupo quoc.ien.te Z/H é mencionado como os inteiros módulo 5 e é freqüentemente denotado por Zs. Anàlógamente, para qualquer inteiro positivo n, existe o grupo Zn chamado dos inteiros módulo n. • Exemplo B. 2. As permutações de n símbolos formam um grupo sob composição de aplicações; é chamado grupo simétrico de grau n e é denotado por Sn. Investigaremos · S 3 aqui; seus elementos são

•

2 3

=

"1 =

2

2

3

2

3

3

2

"2 =

"3 =

1

2

3

3

2

1

1

2

3

2

1

3

2

~.

~2 =

3

3

2

3

1

1

2

3

3

1

2

é a permutação que transforma 1 ...... i, 2 ....... j, 3--+ k. k de multiplicação de S 3 é Aqui,

-i

j

<'1

..

"I

"1

"1

"2

"3

4>1

4>2

"2

era 4>2 4>1

4>1

4>2 era

4>1

"2

Ir!

cra

cra

4>2 4>1

4>1 4>2

4>1 4>2

"2

cra

4>2

"•

cr a

"2 "I

"2

"a "1 4>2

"1 "2 4>1

A tabela

Apêndice B]

ESTRUTURAS ALGf:BRICAS

387

(0 elemento na a-ésima linha e b-ésima coluna é ab.) O conjunto H = f •· de S3; suas classes laterais à direita e à esquerda são Classes laterais à direita

H H.pl H.P2

"I'

r•. = f<~>I. "2' = f.P2, "al

=

"I

I é um subgrupo

Classes laterais à esquerda

H=I•·"II I.PI, "31 .P2H = f<~>2. "2!

.P1H =

Observe que as classes lat"rais à direita e as classes laterais à esquerda são distirttas; portanto, H não é um subgrupo normal de 5 3 .

Uma transformàção f de um grupo G para um grupo G' é chamada homomorfismo se f(ab) = f(a)f(b) para quaisquer a, b E C. (Se f é também bijetora, isto é, biunívoca e sôbre, então f é chamada um isomorfismo e diz-se que G e G' são isomorfos.) Se f: G --+ G' é homomorfismo, então o núcleo de f é o conjunto dos elementos de G, que são transformados no elemento identidade e' E G' núcleo de f= {a E G :f(a)

=

e'}

(Como sempre, f(G) é chamada 1"magem da aplicação f: G seguinte teorema surge.

--+

G'.)

O

Teorehla B. 2. Seja f: G --+ G' um homomorfismo com núcleo K. Então, K é um >iubgrupo normal de G e o grupo quociente G/K é isomorfo à imagem de f. Exemplo B. 3. Seja G o grupo dos n:Jmeros reais sob ad-ição e seja G' o grupo dos re::tis positivos sob multiplicação. A transformação f: G--+ G' definida por f(a) = za é um homomorfismo, porque n~meros

f(a

+ b)

= za+b = 2a zb

= f(a)f(b)

Em particular, f é bijetora; portanto, G e G' são isomorfos. Exemplo B. 4. Seja G o grupo dos números complexos não-nulos sob multiplicação e seja G' o grupo dos números reais não-nulos sob multiplicação. A transformação f : G -> G', definida por f(z) = lz I. é homomorfismo, porque f(zlz2) ~ lziz21 = lz1llzzl =f(zi)f(z2)

O núcleo K de f consiste nos números complexos z no círculo unitário, isto é, para os quais Iz I = I. Assim, G/K é isomorfo à imagem de f, isto é, ao grupo dos números positivos sob multiplicação.

ANÉIS, DOM1NIOS DE INTEGRIDADE E CORPOS Seja R um conjunto não-vazio com duas operações binárias, uma operação de adição (denotada por +) e uma operação de multiplicação (denotada por justaposição). Então,R é chamado anel se os seguintes axiomas são satisfeitos

+ +

+

[RI] Para quaisquer a, b, c E R, temos (a b) c = a (b + c). [Rz] Existe um elemento O E R, chamado elemento zero, tal que a+ O = = O a = a, para qualquer a E R.

+

ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

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[Apêndice B

[R 3 ] Para cada a-E R existe um elemento -a E R, chamado negativo de a tal que a (-a) = (-a) a = O. [R 4 ) Para quaisquer a, b E R, temos a b = b + a. [R~J Para quaisquer a, b, c E R, temos (ab)c = a(bc). [R 6] Para quaisquer a, b, c E R temos

+

(i) a(b

+

+

c) = ab

+ ac,

e (ii) (b

+

+ c)a =

ba

+