Algebra

U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR E´ S ´ FACULTAD DE C IENCIAS G EOL OGICAS ´ C ARRERA DE I NGENIER´I A G EOL OGICA ´ 2019 G ESTI ON

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Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra - Mat 100 Autora: Lic. Miriam Cusi Rodr´ıguez

L A PAZ - B OLIVIA

´ CARRERA DE ING. GEOLOGICA

´ UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

´ ´ PR ACTICA N O 1 - L OGICA Y CONJUNTOS Nota. 1. Resolver todos los ejercicios y los que tengan varios incisos, resolver solo 3 (Ud elija cu´ales). 2. Fecha de entrega. D´ıa del primer parcial. 3. La entrega de la pr´actica es requisito de ingreso al examen. 1. Simboliza ´ depender´a del juicio o la intuicion, ´ y no de qui´en pago´ m´as. a) La decision b) Si esta planta no crece, entonces necesita m´as agua o necesita mejor abono. ´ si, el Fiscal puede probar su culpabilidad o el testigo c) El Juez sentencia a Octavio si y solo no dice la verdad. d) Si una sustancia org´anica se descompone, entonces sus componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo. e) Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz as´ı; entonces empiezo a cavar mi propia sepultura; o bien, si no soy feliz as´ı, y no veo tampoco la posibilidad de cambiar este mundo, emprendo as´ı mismo mi autoenterramiento. ´ 2. Simboliza las siguientes proposiciones, negarlas y escribe en el lenguaje comun. a) No es justa, pero mantiene el orden. b) Los estudiantes conocen a los simuladores y los desprecian. c) Si los estudiantes conocen a los simuladores, entonces los desprecian. d) Si mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas y no aceptan las respuestas ´ ´ que no figuran en los libros, entonces imponen un cumulo de normas estupidas. e) Est´a lloviendo y el sol no est´a brillando. f ) Si no hay nubes en el cielo y el sol esta brillando entonces no est´a lloviendo g) El sol esta brillando o hay nubes en el cielo, pero no est´a lloviendo. ´ 3. Un logico le dijo a su hijo: ”Si no terminas tu cena, te ir´as directo a dormir”. el hijo termino´ su ´ cena y fue enviado directamente a dormir. ¿Incumplio´ su promesa el logico?. Explique. ´ compuesta. 4. En los siguientes ejemplos determine el valor de verdad de cada proposicion a) Si 5 < 4, entonces − 4 < −5 ´ ´ b) 17 y 19 son numeros primos y 2 es el unico primo par. c) Marte es un planeta y el sol es una estrella, o la luna no es una estrella. d) Si la luna esta hecho de queso entonces hoy habr´a un eclipse. e) Si (1)2 = (−1)2 , entonces 1 = −1. ´ si 4 + 1 = −5 f ) No es cierto que −6 + 9 = −2 si y solo g) No es cierto que si −8 + 5 = −3, entonces 6 − 4 = 2 o´ 1 + 4 = 5 1

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´ 5. Sean p: es rico y q: es feliz. Escriba cada una de las proposiciones siguientes de manera simbolica a) Si es rico entonces no es feliz b) No es rico ni es feliz c) Ser pobre es ser feliz d) El es pobre o es rico y feliz 6. Escriba el contrarec´ıproco de las siguientes proposiciones. ˜ a) Si hoy es d´ıa de trabajo, entonces manana es martes. b) Si hay suficiente viento, entonces navegaremos a vela. c) Si x2 = x entonces x = 0 o´ x = 1. d) Si la tarde est´a oscura, me invadir´a el pesimismo. e) Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficientemente triste en que pensar. 7. Sabiendo que p es V, q es F, indique el valor de verdad de: a) ( p ⇔ q) ∨ (∼ q ⇒ p) b) (∼ p ∨ q) ⇒ p c) q ⇒ (m ∨ n) ∧ r d) [( p ∧ q) ∨ q] ⇒ p ´ 8. Usando equivalencias logicas, simplifique las siguientes proposiciones. a) ∼ (∼ p∨ ∼ q) b) (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) c) ( p ⇒ q) ⇒ ( p ∧ q) d) ( p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) e) [q ⇒ ( p ∧ r )] ∧ [∼ p ⇒ ( p ∧ r )] f ) [( p ⇒ r )∧ ∼ p] ∨ [( p ∨ q) ⇒ r ] g) [( p ⇒∼ r ) ⇒ p] ∧ [∼ p ⇒∼ ( p∨ ∼ q)] h) [(∼ p ∧ q) ∨ ( p∧ ∼ q)]∨ ∼ (∼ p ⇒ q) i ) [( p ⇒ r ) ⇔ ( p ∧ r )] ∧ [( p ⇒∼ q) ⇒ q] j) [( p ⇒∼ r ) ⇒∼ p] ⇒ [ p ∧ (∼ q ⇒ r )]

R. R. R. R. R. R. R. R. R. R.

p∧q ∼ p∨q p ∼ ( p ∧ q) p ∼ p∨r p ∼ p∨ ∼ q p∧q p

´ de la forma; Si...entonces. 9. Escriba cada una de las siguientes proposiciones como una implicacion ´ suficiente para que Daniela tenga una a) La pr´actica diaria de su servicio es una condicion buena posibilidad de ganar el torneo de tenis. b) Arregle mi aire acondicionado o no pagar´e la renta. ´ si usa el casco. c) Mar´ıa puede subir a la motocicleta de Luis solo d) Comprar´e ese auto, si trabajo. 2

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e) Te llevar´e al cine, siempre y cuando termines tus ejercicios. 10. Sean p( x, y) : x2 ≥ y, q( x, y) : x + 2 < y. Si el universo del discurso est´a constituido por los ´ numeros reales, determine el valor de verdad de: a) p(2, 4) b) p(−3, 8) ∧ q(1, 4) c) p( 12 , 13 ) ∨ q(−2, 3) d) p(2, 2) ⇒ q(1, 1) 11. Considerando los enteros como universo del discurso, sean las funciones proposicionales: p(x) : x es positivo q(x) : x es par r(x) : x es un cuadrado perfecto s(x) : x es divisible por 4 t(x) : x es divisible por 5 ´ a) Escriba en forma simbolica 1) 2) 3) 4) 5) 6)

´ entero es par Algun Existe al menos un entero positivo y par Si x es par entonces x no es divisor de 5 ´ entero par es divisible entre 5 Ningun Existe al menos un entero par divisible entre 5 Si x es par y cuadrado perfecto, entonces x es divisible entre 4

b) Exprese en palabras. 1) 2) 3) 4)

∀ x (r ( x ) ⇒ p( x )) ∃ x (s( x )∧ ∼ r ( x )) ∀ x (s( x ) ⇒∼ t( x )) ∀ x (∼ r ( x )∨ ∼ q( x ) ∨ s( x ))

´ de la proposicion ´ y simplifique: 12. En cada uno de los siguiente casos forme la negacion a) ∃ x/( P( x ) ∨ Q( x )) b) ∀ x : ( P( x )∧ ∼ Q( x )) c) ∃ x/[( P( x ) ∨ Q( x )) ⇒ R( x )] d) ∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x )) e) ∃ x/P( x ) ∨ ∼ Q( x ) f ) ∀ x ∃y/ x · y = 0 13. Supongamos que el dominio de referencia es el conjunto de todas las personas. Sean los predi´ cados P: es criminal, Q: es antisocial y R: es feliz. Exprese la proposicion:

∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x ))∧ ∼ ∃ x : ( Q( x ) ⇒ R( x )) ⇒∼ ∃ x : ( P( x ) ⇒ R( x )) ´ en el lenguaje comun. 3

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14. Para los siguientes pares de proposiciones, use el Modus Ponens o el Modus Tollens para completar el razonamiento con un argumento v´alido. ´ a) Si Juana tiene problemas para arrancar su automovil, entonces su hija Angela verificar´a las buj´ıas. ´ Juana tiene problemas para arrancar su automovil. Por tanto................................ b) Si Braulio resolvio´ el primer problema correctamente, entonces la respuesta que obtuvo es 137. La respuesta de Braulio al primer problema no es 137. Por lo tanto......................... ´ 15. Escribe los siguientes razonamientos en forma simbolica y comprueba su validez. ´ fue el segundo. Si Pedro a) Si Jos´e gano la carrera, entonces Pedro fue el segundo o Ramon ´ fue el segundo, entonces Jos´e no gano´ la carrera. Si Carlos fue el segundo, entonces Ramon no fue el segundo. Jos´e gano´ la carrera. Luego Carlos no fue el segundo. b) Mi padre me alaba si estoy orgulloso de m´ı mismo. O me va bien en deportes o no puedo estar orgulloso de m´ı mismo. Si estudio bastante, entonces no me va bien en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante. c) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo est´a azul o gris. Por lo tanto, estoy contento o triste. ´ 16. Construye un circuito correspondiente a cada proposicion. a) ( p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) b) ( p Y q) c) ( p ∧ q) ∨ (∼ q) II. CONJUNTOS 1. Especifique cu´al de los siguientes conjuntos es finito o infinito a) {x / x es un pa´ıs de Am´erica Latina} b) {x / x es un racional entre 2 y 3} ´ c) {x / x es una religion} d) {x / x es un d´ıgito divisible entre 2} e) {x / x es un libro de MAT-100} ´ cada conjunto. 2. Escribe por extension, a) A = { x ∈ Z : 3 < x < 12 ∧ xes primo}

b) B = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}

c ) C = { x ∈ N : x 2 − 1 = 0}

d ) D = { x ∈ Z : | x − 5| = 4}

´ los siguientes conjuntos. 3. Escribe por comprension ´ ´ a) El conjunto de los numeros naturales menores que 38 y multiplos de 4. ´ b) Conjunto de los numeros primos mayores que 7 y menores que 37. 4

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´ x2 − 4 = 0. c) Conjunto de los soluciones enteras de la ecuacion ´ d) Conjunto de los numeros impares mayores que 6. ´ o interseccion ´ de los conjuntos que se dan. (Asuma 4. En cada inciso escriba a que es igual la union que A ̸= ∅, A ̸= U) 1. A ∩ Ac = 4. A ∩ ∅ =

2. A ∪ Ac = 5. ∅ ∩ U =

3. Ac ∪ U = 6. ∅c ∪ U =

´ 5. Al lado de cada una de las siguientes proposiciones, escriba F (falso) o V (verdadero) segun corresponda. 1. A ⊂ A 5. ∅ ∈ {∅} 9. a ∈ { a} 13. ∅ ∈ ∅

2. U c = ∅ 6. A ∪ B = Ac ∪ Bc 10. 0 ∈ ∅ 14. ∅ ∈ P( A)

3. ∅ ∈ ∅ 7. ∅ ⊂ A 11. A ∈ A 15. a ∈ { a}

4. ∅ = {0} 8. A ∈ P( A) 12. A ⊂ A ∪ B ∪ C 16. A ∩ B ∩ B ∩ C ∩ D ∈ A ∩ B

6. Determinar los elementos de A y B sabiendo que el universo es U ={1,2,3,4,5,6,7,8}. A △ B = {1, 2, 3, 4, 5} Bc = {1, 4, 7} y Ac = {2, 3, 5, 7} 7. Determinar los elementos de A, B y el universo U sabiendo que: A ∪ B = { a, b, c, e, f , g, h}, A ∩ B = { a, e} y Bc = {c, d, g, i } 8. Dados los siguientes conjuntos. A = { x ∈ Z : | x | ≤ 5}, B = { x ∈ N : x es divisor de 6}, C = { x ∈ N : x2 < 16}y D = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0} Calcula a) A ∪ D e) ( A r B) ∪ ( B r D )

b) A △ B f ) (C r A) ∩ ( A r C )

c) ( A ∩ B) ∪ D g) ( B r A) ∩ C

d) ( A ∩ B) ∩ C h) ( A ∩ B) r C

9. Determine todos los elementos de P ( E) si E = {1, 2, 5, 6} 10. Determine P ( E) y P (P ( E)) para un conjunto de dos elementos. 11. Demostrar gr´aficamente a) ( A ∪ B) − C = ( A − C ) ∪ ( B − C ) b) ( A ∩ B) − C = ( A − C ) ∩ ( B − C ) c) A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ Bc ) 12. Demostrar: Ac − Bc = B − A 5

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13. Pruebe o refute. a) A ∩ B = A ∩ C ⇒ B = C b) A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C ´ y sub14. Construir un diagrama para cada una de las operaciones que se indican a continuacion rayar con l´apiz de color el resultado. a) [( A ∩ B) ∩ C ]c b) ( Ac ∩ Bc ) ∪ C c c) ( A ∪ B) − ( A ∩ B) d) ( A △ B) − Bc ´ para despu´es de afeitarse, y el de una pasta de 15. Una farmacia rebajo´ el precio de una locion dientes. Se llevo´ la cuenta de las ventas y al finalizar el d´ıa, esta indicaba que 65 personas hab´ıan ´ y 12 ambos productos. ¿Cu´antas personas aprovecharon comprado pasta de dientes, 21 locion la oferta? ´ 16. Un estad´ıstico fue comisionado para determinar la preferencia en la lectura de periodicos en ´ El selecciono´ aleatoriamente una muestra apropiada La Paz, entre el Diario, Prensa y la Razon. ´ y obtuvo los siguientes datos: 80 leen los tres periodicos. 138 leen el diario y Prensa. 170 leen ´ 320 leen Prensa y la Razon. ´ 500 leen la Razon. ´ 540 leen Prensa. 700 leen el el Diario y la Razon. ´ Diario. 208 no leen ninguno de los periodicos. ´ el Diario? a) ¿Cu´antos leen solo ´ b) ¿Cu´antos leen al menos uno de los periodicos? ´ c) ¿Cu´antos leen a lo sumo uno de los periodicos? ´ d) ¿Cu´antos leen el Diario y Prensa, pero no la Razon? ´ e) ¿Cu´antos leen Diario o Prensa, pero no la Razon? 17. En cierta competencia, todos los estudiantes gustan Aritm´etica, algunos de F´ısica y otros de Qu´ımica. Si 350 gustan de Aritm´etica y F´ısica, y 470 de Qu´ımica o´ Aritm´etica. Cu´antos no gustan de F´ısica? 18. En una encuesta a 200 estudiantes, se hallo´ que 68 se comportan bien, 138 son inteligentes, 160 son habladores. 120 son habladores e inteligentes; 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes, 13 se comportan bien y no son habladores y 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes. ¿Cu´antos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes? 19. Une encuesta realizada entre 1052 obreros en una planta revelo´ que 661 ten´ıan casa propia, 702 ten´ıan radio y 733 televisor. 410 radio y televisor, 340 radio y casa propia, 370 casa propia y televisor y 50 ten´ıan las tres cosas. a) ¿Cu´antos obreros no ten´ıan ninguna de las tres cosas? ´ casa? b) ¿Cu´antos solo ´ televisor? c) ¿Cu´antos solo 6

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˜ 180 unidades con las siguientes caracter´ısticas. 20. Una agencia de autos vendio´ durante un ano ´ autom´atica, 77 ten´ıas clima, 45 ten´ıan transmision ´ autom´atica y clima, 57 ten´ıan transmision ´ autom´atica pero no ten´ıan ni clima ni autoestereo, 28 ten´ıan transmision ´ 10 ten´ıan transmision autom´atica y clima, pero no ten´ıan autoestereo, 90 no ten´ıan ninguna de las tres caracter´ısticas mencionadas, 19 ten´ıan clima y autoestereo. ¿Cu´antas de estas unidades ten´ıan autoestereo? ´ 21. Considere a los numeros reales como conjunto referencial. Para n ∈ N sea el intervalo cerrado ∪ d) A3 − A4 An = [−2n, 3n]. Determine lo siguiente: a) A3 , b) A7 ∩ A3 c) 7n=1 An ,

´ PRACTICA 2 - RELACIONES Y FUNCIONES I. RELACIONES 1. Dados los conjuntos A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Describa por ´ y grafique las relaciones entre A y B, dadas por: extension a) xRy ⇔ x = y

c) xRy ⇔ x2 = y2

b) xRy ⇔ x = y2

d) xRy ⇔ x2 ≥ y2

´ 2. En el anterior ejercicio, encuentre el dominio y el recorrido de cada relacion. 3. Sean los conjuntos A = { a, c, e}, B = { a, b, d, e} y C = {b, c, f } y las relaciones R entre A y B; S entre B y C dadas por. R = {( a, a), (c, e), (e, b)} y S = {( a, b), (b, f ), (b, c), (e, f )} Encuentre S ◦ R y grafique. 4. Con las relaciones del anterior ejercicio (3), encuentre R−1 , S−1 , R−1 ◦ S−1 y verifique que:

( S ◦ R ) −1 = R −1 ◦ S −1 ´ de A en B definida por: 5. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} y sea R una relacion xRy ⇔ x + y es par ´ a) Determine R y R−1 por extension. b) Representar A × B y R. c) Determine el dominio e imagen de R. 6. Sea A = { x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}se define R ⊂ A × B mediante:

( x, y) ∈ R ⇔ x + y ≤ 5 ´ a) Determine R y R−1 por extension. b) Representar A × B y R 7

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7. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 6, 16} C = {2, 3, 8, 10} y las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ B × C definidas por: y ( x, y) ∈ R ⇔ y = x2 (y, z) ∈ S ⇔ z = 2 ´ a) Determine R y S por extension. ´ la composicion ´ S◦R ⊂ A×C b) Determine por extension c) Determine los dominios e im´agenes de las tres relaciones. ´ por 8. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relacion xRy ⇔ 3| x − y ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion c) Determinar las clases de equivalencia. ´ por 9. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relacion xRy ⇔ 3| x + y ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion c) Determinar las clases de equivalencia. ´ 10. En A = {1, 2, 3, 4} se considera la relacion R = {( x, y) ∈ A2 : x = y ∨ x + y = 5} ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion ´ de A. c) Determinar la particion 11. Obtener los gr´aficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R a) ( x, y) ∈ R ⇔ y = 3 b) ( x, y) ∈ S ⇔ x + y = 1 c) ( x, y) ∈ T ⇔ x + y < 1 12. Sea E el conjunto de los seres humanos. Clasificar las siguientes relaciones. a) aRb ⇔ a es hijo de b

d) aRb ⇔ a es amigo de b

b) aRb ⇔ a habla con b

e) aRb ⇔ a est´a casado con b

c) aRb ⇔ a es de la misma nacionalidad que b II. FUNCIONES

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´ 1. Sea P el conjunto de todas las personas; C el conjunto de numeros de tel´efono; S el conjunto de todos los grupos sangu´ıneos y R el conjunto de todos los pa´ıses. Determine si las siguientes asignaciones f , g, h, k son funciones o no. Justifique su respuesta. a) f : P → P, ( x, y) ∈ f ⇔ x es amigo de y ´ b) g : P → C, ( x, y) ∈ g ⇔ y es el numero de tel´efono de z c) h : P → S, ( x, y) ∈ h ⇔ y es el grupo sangu´ıneo de x d) k : P → R, ( x, y) ∈ k ⇔ y es el pa´ıs de x 2. En los supermercados al vender ciertos productos, se pesa estos y una m´aquina muestra el ´ impl´ıcita. Indique cual es y mencione su dominio y codominio. precio. Aqu´ı hay una funcion 3. D´e cuatro ejemplos de funciones que se dan en la vida cotidiana. 4. Clasificar las siguientes funciones en el sentido de indicar si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. a) f : R → R dada por f ( x ) = 7x − 3 b) f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} con f = {(1, 2)(2, 5)(3, 3)(4, 1)(5, 4)} c) f : Z → Z dada por f ( x ) = 2x 5. Sea f ( x ) =

1 1+ x .

Interpretar lo siguiente:

a) f ( f ( x )) ¿Para qu´e x tiene sentido? b) f ( 1x ) c) f (cx ) d) f ( x + y) ´ ´ e) ¿Para qu´e numeros c existe un numero x tal que f (cx ) = f ( x )? (Note que hay muchos m´as de los que a primera vista parece) ´ f : R → R, dado por f ( x ) = 1 − 5x3 . Encuentre la inversa de f . 6. Sea la funcion 7. Sea f , g : f : R → R donde g( x ) = 1 − x + x2 , f ( x ) = ax + b, ( g ◦ f )( x ) = 3 − 9x + 9x2 . Halle ayb 8. Sean las siguientes funciones de f : R en R f 1 ( x ) = x; f 2 ( x ) = 1 − x; f 3 ( x ) =

1 x 1 x−1 ; f4 (x) = ; f5 (x) = ; f6 (x) = x x−1 1−x x

Calcular: f 1 ◦ f 2 ; f 2 ◦ f 4 ; f 5 ◦ f 6 ; f 6 ◦ f 4 ; f 6 ◦ f 1 ; f 3 ◦ f 3 ; f 4 ◦ f 6 9. Grafique las siguientes funciones a) f : R → R, f ( x ) = x − 1 b) f : R → R, f ( x ) = x2 + 1 c) f : Z → Q, f ( x ) =

x −1 2

´ lineal: a) f ( x ) = 3x + 2, d) Funcion

b) f ( x ) = −2x + 3, 9

c) f ( x ) = 2x − 5 Lic. Miriam Cusi R.

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´ cuadr´atica: a) f ( x ) = x2 + 4, b) f ( x ) = − x2 + 6x e) Funcion 1 2x x+1 ´ fraccionaria: a) f ( x ) = f ) Funcion , b) f ( x ) = , c) f ( x ) = x−1 x+3 x+5 ´ Valor absoluto: a) f ( x ) =| x | +2, b) f ( x ) = − | x | +3 g) Funcion ´ f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3 ¿Existe f −1 ? Justifique su respuesta, y si 10. Sea la funcion existe encuentre f −1 . ´ f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3. Encuentre f (5), f ( a + 1), f ( a + h), f (2 − 11. Sea la funcion x ), f ( f ( f ( f ( x )))) 12. Si f ( x ) =

x +1 x −1

y g( x ) =

x x +1 .

Hallar

f (2)+ g(1) 2− f (2) g (1)

13. Si f ( x ) = 3x − 1. Hallar f [3 + f ( f ( 23 ))] 14. Si f ( x ) =

2x2 −3 3x +2 ,

g( x ) =

2x +3 . 3x2 −2

R.7

R.14

g( f (−11))+ g(1) f ( g(−1)) 1+ f (1)

Hallar

R.5

´ f ( x ) = ax + b, f (1) = 3, f (3) = 5. Hallar a y b. 15. Dada la funcion 16. Si f ( x − 2) =

x +9 x −4 .

Hallar

a ) f (3),

R.a = 1, b = 2

b) f (−1)

17. Halla la inversa de cada una de las funciones, si existe. √ 1 c) f ( x ) = x+ a) f ( x ) = x2 − 4x + 3 x √ −1 b) f ( x ) = 4−xx2 d) f ( x ) = 2x 1− x 2 18. Si f ( x ) =

5x +4 x −5 .

Hallar f ( f ( x ))

19. Si f ( x ) =

x x +2 ,

g( x ) =

20. Si f ( x ) = 3 − 21. Si f ( x ) =

2x −3 3x +7 .

2x +1 x −1 .

x +1 x −2 .

Hallar ( f ◦ g)( x ), ( g ◦ f )( x )

Hallar f −1 ( x ).

Hallar ( f −1 ◦ f −1 )( x )

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