Aljabar Liniear Sistem Persamaan Linier Dan Matriks

KELOMPOK VII ALJABAR LINIEAR SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS

Oleh: Diah Ayu Rohana

(17204163176)

Aisya Mauliddatul M

(17204163227)

Sinta Adilla Najmu H

(17204163234)

Anggun Elytasani

(17204163241)

Dwi Asih Fitriani

(17204163248)

Erina Dwi Susanti

(17204163255)

Dosen Pengampu MK: Galandaru Swalaganata, M.Si.

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) TULUNGAGUNG 2017

BAB I PENDAHULUAN A.

Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, manusia sering kali dihadapkan dengan persoalan-persoalan yang apabila ditelusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubah persoalan-persoalan tersebut ke dalam bahasa atau persamaan matematika, maka suatu persoalan lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga sulit untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Matriks merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan adanya matriks, manusia lebih mudah membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linear yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang matematika maupun ilmu terapannya. Aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang senantiasa berhubungan dengan angka-angka, dalam dunia olahraga seperti penentuan klasemen suatu pertandingan, dalam bidang ekonomi biasa digunakan untuk menganalisa input dan output seluruh sektor ekonomi. Definisi dari matriks sendiri adalah himpunan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom serta diapit oleh dua kururng siku. Matriks terdiri dari berbagai jenis, seperti matriks bujur sangkar, matriks segitiga, matriks diagonal, matriks skalar, matriks nol, matrik invers, matriks simetri dan lain-lainnya. Salah satu manfaat matriks adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam makalah ini akan dijelaskan mengenai cara menyelesaikan sistem linear dengan inversi matriks, menyelesaikan sistem linear berganda dengan suatu matriks koefisien umum, sifat-sifat matriks yang dapat dibalik, matriks-matriks diagonal, segitiga dan simetrik serta matriks-matriks yang berbentuk AAT dan ATA. B.

C.

Rumusan Masalah 1. Bagaimana menyelesaikan sistem linear dengan inversi matriks? 2. Bagaimana menyelesaikan sistem linear berganda dengan suatu matriks koefisien umum? 3. Apa saja sifat-sifat matriks yang dapat dibalik? 4. Apakah matriks-matriks diagonal, matriks segitiga dan matriks simetrik? 5. Bagaimana matriks-matriks yang berbentuk AAT dan ATA?

Tujuan Penulisan Makalah 1

1. Memahami penyelesaian sistem linear dengan inversi matriks. 2. Memahami penyelesaian sistem linear berganda dengan suatu matriks koefisien umum. 3. Memahami sifat-sifat matriks yang dapat dibalik. 4. Memahami matriks-matriks diagonal, matriks segitiga dan matriks simetrik. 5. Memahami matriks-matriks yang berbentuk AAT dan ATA.

2

BAB I PEMBAHASAN 1.

Menyelesikan System Linier Dengan Inverse Matriks 1.1. Sebuah Teorema Dasar Teorema 1.6.1. setiap system persamaan linier dapat tidak mempunyai penyelesaian, tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian. Bukti. Jika Ax=b adalah suatu system persamaan linier, maka tepat salah satu dari yang berikut ini adalah benar : a. System tersebut tidak mempunyai penyelesaian; b. System tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian; atau c. System tersebut mempunyai lebih dari satu penyelesaian. Buktinya akan lengkap jika kita bisa menunjukkan bahwa system tersebut mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian dalam kasus c. Anggap Ax = b mempunyai lebih dari satu penyelesaian, dan misalkan xa = x1x2, dengan x1 dan x2 adalah sebarang dua penyelesaian yang berbeda. Karena x1 dan x2 berbeda, maka matriks x0 adalah tak nol ; lebih jauh Ax0 = A(x1-x2) = Ax1-Ax2 = b-b = 0 Jika sekarang kita misalkan k adalah sebarang skalar, maka ; A(x1 + kx0) = Ax1+A(kx0) = Ax1 + k(Ax0) =b+0 = b. Tetapi ini menyatakan bahwa x1 + kx0 adalah penyelesaian dari Ax = b. karena x0 tak-nol dan ada tak-hingga banyaknya pilihan untuk k, maka system Ax = b mempunyai tak-hingga banyakya penyelesaian. 1.2. Menyelesaikan System Linier Dengan Inverse Matriks Teorema 1.6.2. Jika A adalah suatu matriks n × n yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks b, n × 1. System persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian, yaitu x = A-1b. Bukti. karena A(A-1b) = b, maka x = A-1b adalah penyelesaian dari Ab = b. Untuk menunjukkan bahwa ini adalah satu-satunya penyelesaian, kita akan mengasumsikan bahwa x0 adalah suatu penyelesaian sebarang dari kemudian menunjukkan bahwa x0 haruslah penyelesaian dari x0 = A-1b. Jika x0 adalah sebarang penyelesaian, maka Ax0 = b. dengan mengalikan kedua ruas dengan A-1, kita memperoleh x0 = A-1b. Contoh : Tinjau sistem persamaan linier 3

x 1+2 x 2+ 3 x 3=5 2 x 1 +5 x 2+3 x 3=3 x 1+8 x 3=17 Dalam bentuk matriks, system ini bisa ditulis sebagai Ax = b. dengan,

A=

[ ] [] 1 2 3 2 5 3 1 0 8

x1 x2 x3

x=

dengan b =

[] 5 3 17

Perhatikan bahwa matriks A dapat dibalik,

[

A-1 =

−40 16 9 13 −5 −3 5 −2 −1

]

Berdasarkan Teorema 1.6.2 penyelesaian system tersebut adalah -1

x =A b= dengan demikian

x 1 = 1,

[

][ ] [ ]

−40 16 9 5 13 −5 −3 3 5 −2 −1 17

x 2 = -1,

=

1 −1 2

x 3 = 2.

Komentar. Perhatikan bahwa metode diatas hanya berlaku jika system mempunyai persamaan sebanyak peubahnya dan matriks koefisiennya bisa dibalik. 2. Menyelesaikan System Linier Berganda Dengan Suatu Matriks Koefisien Umum Ax = b1, Ax = b2,Ax = b3 ...Ax = bk Masing-masing memiliki matriks koefisien bujur sangkar yang sama, yaitu A jika A dapat dibalik, maka penyelesaiannya : x1 = A-1b1, x2 = A-1b2, x3 = A-1b3, ...xk = A-1bk Dapat diperoleh dengan satu pembalikan matriks dan k pengalian matriks. Akan tetapi, suatu metode yang lebih efisien adalah membentuk matriks. [A :b1 :b2:b3:...:bk] dimana matriks koefisien A “diperbanyak” dengan semua k matriks b1,b2,b3,...bk dengan mereduksi satu (1) menjadi bentuk baris-eselon tereduksi kita bisa menyelesaikan semua k sistem sekaligus dengan eliminasi Gauss-Jhordan. Metode ini mempunyai kelebihan, yaitu mampu diterapkan sekalipun A tidak dapat dibalik. Contoh: a. x1 + 2x2 + 3x3 = 4 2x1 + 5x2+ 3x3= 5 x1 + 3x3 = 9

b. x1 + 2x2 + 3x3 = 1 2x1 + 5x2+ 3x3 = 6 x1 + 3x3 = -6

4

Penyelesaian dua system tersebut mempunyai matriks koefisien yang sama. Jika kita memperbesar matriks koefisien ini dengan kolom konstanta pada ruas kanan systemsistem ini, kita peroleh : 1 2 3 4 1 2 5 3⋮5 6 1 0 8 9 −6

[

]

Dapat mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon tereduksi kita peroleh

[

1 0 0 1 2 0 1 0⋮0 1 0 0 1 1 −1

]

Dari dua kolom terahir kita peroleh penyelesaian sistem(a) adalah x1= 1, x2 = 0. x1= 1 dan sistem (b) adalah x1= 2, x2=1, x1= -1 3.

Sifat-Sifat Matriks-Matriks Yang Dapat Dibalik

Sampai saat ini, untuk menunjukkan bahwa matriks A, n×n dapat dibalik, kita harus menemukan matriks B, n×n, sedemikian sehingga AB=I dan BA=I Teorema berikutnya menunjukkan bahwa jika kita menghasilkan matriks B, n×n yang memenuhi salah satu syarat di atas, maka syarat yang lainnya akan terpenuhi secara otomatis Teorema 1.6.3. Anggap A adalah suatu matriks bujur sangkar. (a) Jika B adalah suatu matriks bujur sangkar yang memenuhi BA=I, maka B=A-1. (b) Jika B adalah suatu matriks bujur sangkar yang memenuhi AB=I, maka B=A-1. Kita akan membuktikan bagian (a) dan meninggalkan bagian (b) sebagai suatu latihan. Bukti. (a). Anggap BA=I. Jika kita dapat menunjukkan bahwa A dapat dibalik, bukti tersebut dapat dilengkapkan dengan mengalikan BA=I pada kedua ruas dengan A1 untuk mendapatkan BAA-1= I A-1atau BI=I A-1atau B= A-1 Untuk menunjukkan bahwa A dapat dibalik, kita cukup menunjukkan bahwa sistem Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial (lihat Teorema 1.5.3). Anggap x0 adalah sebarang penyelesaian untuk sistem ini. Jika kita mengalikan kedua ruas Ax0 = 0 dari kiri dengan B, kita peroleh BAx0= B0 atau Ix0 = 0 atau x0=0. Jadi, sistem persamaan Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. Kita sekarang berada pada posisi menambahkan dua pernyataan lagi yang ekuivalen dengan empat pernyataan yang sudah diberikan pada Teorema 1.5.3.

5

Teorema 1.6.4. Jika A adalah suatu matriks n×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen. (a) A dapat dibalik. (b) Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trival. (c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In. (d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer. (e) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n×1. (f) Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks b, n×1. Bukti. Oleh karena telah kita buktikan dalam teorema 1.5.3. bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen, maka kita cukup membuktikan bahwa (a) →(f) → (e) → (a). (a) → (f): Ini sudah dibuktikan pada Teorema 1.6.2. (f) → (e): Ini telah terbukti dengan sendirinya. Jika Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian untuk setiap matriks b, n×I maka Ax=b konsisten untuk setiap matriks b, n×I. (c) → (a) jika sistem Ax=b konsisten untuk setiap matriks b, n ×I, maka secara khusus sistem

Ax= Ax= ………. Ax= Konsisten , Anggap x1, x2,…xn, adalah penyelesaian dari masing-masing sistem, dan marilah kita membentuk suatu matriks C, n x n yang mempunyai penyelesaianpenyelesaian ini sebagai kolomnya. Jadi, C mempunyai bentuk

C= Sebagaimana yang didiskusikan pada subbab 1.3, kolom-kolom hasil kali AC secara berturut-turut adalah

Jadi,

AC= = Menurut Teorema 1.6.3 bagian (b), kita dapatkan C = A-1 .jadi, A dapat dibalik. 6

Teorema 1.6.5. Anggap A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar yang berukuran sama. Jika AB dapat dibalik, maka A dan B pasti juga dapat dibalik. Suatu Masalah Mendasar. Anggap A adalah matriks tetap m×n. Cari semua matriks b, m×I. Sedemikian sehingga sistem persamaan Ax=b konsisten. Contoh : Syarat apakah yang harus dipenuhi b1, b2, dan b3 agar sistem persamaan x1+ x2+ 2x3 = b1 x1 + x 3 = b2 2x1+ x2+ 3x3= b3 Konsisten? Penyelesaian, matriks diperbesarnya adalah

Yang dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris sebagai berikut. -1 kali baris pertama ditambahkan ke baris kedua dan -2 kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga.

Baris kedua dikalikan dengan -1

Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga

Sekarang terbukti dari baris ketiga pada matriks tersebut bahwa sistem mempunyai suatu penyelesaian jika dan hanya jika b1,b2, dan b3 memenuhi syarat b3 – b2 – b1 = 0 atau b3 = b1 – b2 Contoh : Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh b1,b2 dan b3 agar sistem persamaan x1 + 2x2 + 3x3 = b1 2x1 + 5x2 + 3x3 = b2 7

x1

+ 8x3 = b3

Konsisten ? Penyelesaian. Matriks yang diperbesarnya adalah

Dengan mereduksi ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi kita dapatkan (periksa)

Dalam kasus ini ada batasan untuk b1,b2, dan b3yaitu sistem Ax=b yang diberikan mempunyai penyelesaian yang unik x1 = -40b1 + 16b2 + 9b3, x2 = 13b1 – 5b2 – 3b3, x3= 5b3 – 2b2 – b3 untuk semua b. 4.

Matriks-Matriks Diagonal, Segitiga Dan Simetrik 4.1 Matriks-Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di luar diagonal utamanya bernilai nol. Contoh :

[

][

6 0 0 0 1 0 0 2 0 0 −4 0 0 0 1 0 ¿ 0 −5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8

][

]

Semua matriks diagonal umum D, n × n, dapat ditulis,

[

d₁ 0 ⋯ 0 0 d₂ ⋯ 0 D= ¿ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 0 dn

]

(1)

Suatu matriks diagonal dapat dibalik jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol, dalam hal ini invers dari (1) adalah,

[

1/d ₁ 0 ⋯ 0 0 1 /d ₂ … 0 D¯ ¹= ¿ ⋮ ⋮ ⋮ … 0 0 1/d n 8

]

Jika D adalah matriks diagonal (1) dan k adalah suatu bilangan bulat positif maka,

[

d ₁k 0 ⋯ 0 k 0 d₂ ⋯ 0 Dk = ¿ ⋮ ⋮ … ⋮ 0 0 d nk

]

Contoh : Jika

[

1 0 0 A= 0 −3 0 0 0 2

]

Maka ;

[ ][ 1

A ¯ 1=

0

0 −1 3

0

0

0

]

[ ] 1

1 0 0 0 A5 = 0 −243 0 A−5= 1 0 0 32 0 2 0

0 −1 243 0

0 0

1 32

Hasil kali matriks yang melibatkan faktor-faktor matriks diagonal sangatlah mudah dihitung, misalnya

[

][

][

d ₁ 0 0 a ₁₁ a ₁₂ a₁₃ a ₁₄ d ₁a ₁₁ d ₁a ₁₂ d ₁a ₁₃ d ₁ a ₁₄ 0 d ₂ 0 a ₂₁ a ₂₂ a₂₃ a ₂₄ = d ₂a ₂₁ d ₂a ₂₂ d ₂a ₂₃ d ₂ a ₂₄ 0 0 d 3 a ₃₁ a ₃₂ a₃₃ a ₃₄ d 3 a₃₁ d 3 a₃₂ d 3 a ₃₃ d3 a ₃₄

[

a ₁₁ a ₂₁ a ₃₁ a ₄₁

a₁₂ a₂₂ a₃₂ a ₄₂

][

][

d ₁a ₁₁ a ₁₃ d₁ 0 0 d ₁a ₂₁ a ₂₃ 0 d₂ 0 = a ₃₃ d ₁a ₃₁ 0 0 d3 a ₄₃ d ₁a ₄₁

d ₂ a₁₂ d ₂ a₂₂ d ₂ a₃₂ d ₂a ₄₂

d 3 a₁₃ d 3 a ₂₃ d 3 a₃₃ d3 a ₄₃

]

]

Dengan kata lain, untuk mengalikan sebuah matriks A dari kiri dengan sebuah matriks diagonal D, dapat dikalikan secara berturut-turut baris-baris A dengan entri-entri diagonal D, dan untuk mengalikan A dari kanan dengan D, dapat dikalikan secara berturut-turut kolom-kolom A dengan entri-entri diagonal D. 4.2.Matriks-Matriks Segitiga Matriks bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah. Sedangkan matriks bujur sangkar semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga. Jadi, suatu matriks yang termasuk dalam segitiga bawah maupun segitiga atas disebut matriks segitiga. Contoh:

9

(a)

(b)

Amati bahwa matriks-matriks diagonal adalah segitiga atas (a) dan sekaligus segitiga bawah (b) karena matriks-matriks ini mempunyai nol di bawah dan di atas diagonal utama. Amati juga bahwa matriks bujur sangkar yang berbentuk eselon baris adalah segitiga atas karena mempunyai nol di bawah diagonal utama. Matriks segitiga mempunyai beberapa sifat antara lain: 1. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika bariske-idimulai dengan paling tidak i – 1 nol. 2. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga bawah jika dan hanya jika kolom ke-j dimulai dengan paling tidak j – 1 nol. 3. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk i>j. 4. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk i<j. Dalam sifat – sifat matriks terdapat teorema yang menjelaskan beberapa sifat dasar dari matriks-matriks segitiga. Teorema 1.7.1 a.) Transpose suatu matriks segitiga bawah adalah segitiga atas, dan transpose suatu matriks segitiga atas adalah segitiga bawah. b.) Hasil kali matriks – matriks segitiga bawah adalah segitiga bawah, dan hasil kali matriks – matriks segitiga atas adalah segitiga atas. c.) Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika dan hanya jika anggota – anggota diagonalnya semuanya tak nol. d.) Invers suatu matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah segitiga bawah, dan invers suatu matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah segitiga atas. Teorema bagian (a) terbukti dari fakta bahwa mencari transpose suatu matriks bujur sangkar dapat dilakukan dengan mencerminkan entri- entri terhadap diagonal utama. Bukti. teorema bagian (b) akan membuktikan tentang hasil kali matriks-matriks bagian bawah. Anggap A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks segitiga bawah n x n, dan anggap C = [cij] adalah hasil kali C = AB. Kita akan membuktikan bahwa C adalah segitiga bawah dengan menunjukkan bahwa cij = 0 untuk i < j. Akan tetapi, dari definisi perkalian matriks, cij= ai1b1j+ai2b2j+ ... + ainbnj Jika diasumsikan bahwa i < j, maka suku suku dalam persamaan ini dapat dikelompokkan sebagai berikut: 10

cij = ai1b1j+ ai2 b2j+ ... +aij-1 bj-1+aij bjj+ ... + ain bnj Suku-suku dengan nomor bari a lebih kecil daripada nomor kolom a

Suku-suku dengan nomor baris b lebihdengan kecil daripada nomor kolom b daripada nomor kolom a Suku-suku nomor bari a lebih kecil Dalam pengelompokkan pertama, semua faktor b adalah nol karena B adalah segitiga bawah, dan dalam pengelompokkan kedua, semua faktor a adalah nol karena A adalah segitiga bawah. Jadi, cij = 0, yang merupakan sesuatu yang ingin kita buktikan. Contoh:

Matriks A dapat dibalik karena entri-entri diagonalnya tak nol, tetapi matriks B tidak. Kita serahkan kepada pembaca untuk menghitung invers A dengan metode Subbab 1.5 dan tunjukkan bahwa

Invers ini adalah segitiga atas, sebagaimana yang dijamin oleh bagian (d) dari Teorema 1.7.1. kita menyerahkan ini kepada pembaca untuk memeriksa bahwa hasil kali AB adalah

Hasil kali ini adalah segitiga atas, sebagaimana yang dijamin oleh bagian (b) dari Teorema 1.7.1. 4.3.

Matriks-Matriks Simetrik

Suatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A=AT Contoh : Matriks-matriks berikut adalah simetrik karena semuanya sama dengan transposnya(periksalah)!

[

7 −3 −3 5

]

[

1 4 5 4 −3 0 5 0 7

11

]

[

d1 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 d3 0 0 0 0 d4

]

Kita dapat mengenali matriks simetri dengan mudah dengan memeriksanys. Entrientri di diagonal utama boleh sembarang, tetapi entri-entri yang “bercerminan” terhadap diagonal utama harus sama.(Gambar 1) Gambar 1

[ ] 1 4 5 4 3 0 5 0 7

Oleh karena itu, mencari transpos suatu matriks bujur sangkar dapat dilakukan dengan mempertukarkan entri-entri yang letaknya simetris terhadap digonal utama. Teorema 1.7.3. Jika A dan B adalah matriks-matriks simetri dengan ukuran yang sama, dan jika k adalahsembarang skalar, maka : a. AT adalah simetrik. b. A+B dan A-C adalah simetrik. c. k(A) adalah simetrik. Secara umum tidak benar bahwa hasil kali matriks-matriks yang simetrik adalah simetriks. Untuk melihat mengapa hal ini terjadi, anggap A dan B adalah matriksmatrikssimetri berukuran sama. Maka hasilnya (AB)T=BTAT= BA Karena AB dan BA biasanya tidak sama, maka AB biasanya tidak simetrik. Akan tetapi dalam kasusk khusus dimana AB=BA, hasil kali simetrik.jika A dan B adalah matriks-matriks sedemikian sehingga AB=BA, maka kita katakan bahwa A dan B komutatif. Contoh : Persamaan pertama dari persamaan-persamaan berikut menunjukkan suatu hasil kali matriks-matriks simetrik yang tidak simetrik, dan yang kedua menunjukkan suatu hasil kali matriks-matriks simetrik yang simetriks. Kita simpulkan bahwa faktor-faktor dalam persamaan pertama tidak komutatif, tetapi faktor-faktor dalam persamaan kedua komutatif.

[ ][ [ ][

1 2 −4 1 2 3 1 0

] [ ] ] [ ]

1 2 −4 3 2 3 3 −1

−2 1 −5 2

=

=

2 1 1 3

Teorema 1.7.3. Jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka A -1 adalah simetrik. Bukti. Anggap A adalah simetrik dapat dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta bahwa A=A-1 kita dapatkan (A-1)T = (AT)-1=A-1 12

Yang membuktikan bahwa A-1 adalah simetrik. 5. Matriks-Matriks Berbentuk AAT Dan ATA Hasil kali matriks berbentuk AAT dan ATAmuncul dalam berbagai penerapan. Jika A adalah suatu matriks m x n dan matriks ATA adalah suatu matriks n x m, sehingga hasil kali AAT dan ATA keduanya adalah matriks-matriks bujur sangkar, matriks AA T mempunyai ukuran m x m dan matriks ATA mempunyai ukuran n x n hasil kali ini selalu simetris karena (AAT)T = (AT)TAT=AAT dan (ATA)T = (AT)TAT = ATA Contoh: Anggap A adalah matriks 2x3

[

A= 1 −2 4 3 0 −5

]

Maka ; T

A A=

T

AA =

[ ][

[

1 3 10 −2 −11 1 −2 4 = −2 0 −2 4 −8 3 0 −5 4 −5 −11 −8 41

[

][

]

][

1 3 1 −2 4 21 −17 −2 0 = 3 0 −5 −17 34 4 −5

]

]

Amati bahwa ATAdanAAT simetris sebagaimana ysng diharapkan, kita akan mendapatkan syarat umum untuk A dimana AATdanATA dapat dibalik akan tetapi dalam kasus khusus dimana A bujur sangkar kita mempunyai hasil berikut ini. Teorema 1.7.4. Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka AAT danATA juga dapat di balik. Bukti. karena A dapat di balik demikian juga AT berdasarkan teorema 1.4.10 jadiAAT danATA dapat dibalik., karena matriks-matriks ini adalah hasil kali matriks-matriks yang dibalik.

13

BAB III PENUTUP A.

KESIMPULAN 1. Jika A adalah suatu matriks n × n yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks b, n × 1. System persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian, yaitu x = A-1b. 2. Ax = b1, Ax = b2,Ax = b3 ...Ax = bk Masing-masing memiliki matriks koefisien bujur sangkar yang sama, yaitu A jika A dapat dibalik, maka penyelesaiannya : x1 = A-1b1, x2 = A-1b2, x3 = A-1b3, ...xk = A-1bk Dapat diperoleh dengan satu pembalikan matriks dan k pengalian matriks. Akan tetapi, suatu metode yang lebih efisien adalah membentuk matriks. [A :b1 :b2:b3:...:bk] dimana matriks koefisien A “diperbanyak” dengan semua k matriks b1,b2,b3,...bk dengan mereduksi satu (1) menjadi bentuk baris-eselon tereduksi kita bisa menyelesaikan semua k sistem sekaligus dengan eliminasi Gauss-Jhordan. 3. Untuk menunjukkan bahwa A dapat dibalik, kita cukup menunjukkan bahwa sistem Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial (lihat Teorema 1.5.3). Anggap x0 adalah sebarang penyelesaian untuk sistem ini. Jika kita mengalikan kedua ruas Ax0 = 0 dari kiri dengan B, kita peroleh BAx0= B0 atau Ix0 = 0 atau x0=0. Jadi, sistem persamaan Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. 4. Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di luar diagonal utamanya bernilai nol ; matriks yang termasuk dalam segitiga bawah maupun segitiga atas disebut matriks segitiga ; dan Suatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A=AT. 5. Jika A adalah suatu matriks m x n dan matriks ATA adalah suatu matriks n x m, sehingga hasil kali AAT dan ATA keduanya adalah matriks-matriks bujur sangkar, matriks AAT mempunyai ukuran m x m dan matriks ATA mempunyai ukuran n x n hasil kali ini selalu simetris karena, (AAT)T = (AT)TAT=AAT dan (ATA)T = (AT)TAT = ATA

B.

SARAN Dari paparan yang dituliskan mengenai hasil-hasil sistem persamaan dan keterbalikan serta matriks diagonal, matriks segitiga, matriks simetrik, Penulis berharap pembaca dapat memaaanfaatkan ilmu ini dengan sebaik mungkin. baik itu untuk kegiatan pembelajaran atau non pembelajaran. Selain itu penulis juga berharap bahwa ilmu aljabar linier ini bermaanfaat baik dijadikan tambahan referensi maupun ilmu yang ada didalamnya.

14

DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linier. Interaksara : California.

15