Amrinsyah-analisis_struktur_metode_matri.pdf

_

HPq (x-aY 2EI

1ntegrasi persamaan(2 -23) memberikan: 2

x[dy} M' x +Q- 'x- - HPq x= Jx{
f

44

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

~ Mix2 Qix3 HPq ( )3 : =<\ +
(2 - 24)

Dengan memasukkan syarat batas y'(£) =
(2 - 25)

\1 1 r2 Q 1 e3 Pq 3 - - --=-8 +0- +m€--b 2EI 6EI J I 't'l 6EI Persamaan ini memberikan solusi bagi Mi dan Qi 4EI 2El 6EI 6EI Pq 2 \ti = -e-
(2 - 26a)

2

6EI 6EI 12EI 12EI Pqb (€ + 2a) Q =-

(2- 26b)

Lntuk mendapatkan Mi dan Qi sebagai fungsi deformasi dan beban, digunakan persamaan statika dasar. Hasilnya adalah : 2EI

4EI

6EI

6EI

Pq

2

(2- 27a)

\1- =-
I

(2-27b) Lntuk balok dengan kedua ujung terkekang penuh, oi = oj =
(2- 28a)

2

Pqb (€ + 2a) Q = FEQ = ---'--------:::--

'

,

(2- 28b)

e3

Pq

I

2

(2- 29a)

\t = FEM =-a b J

-'

Q_~ = FEQ.i =

e2

2 Pqa (€ + 2b)

e3

(2- 29b)

Hubungan gaya aksial N dan Ni, dengan deformasi aksial yang terjadi adalah: N/ N/ Nie N/ = - - - dan~-1 = - - + - 1 AE AE ' AE AE

~-

(2- 30)

Portal Bidang

45

Persamaan(2-27), (2-28),(2-29) dan(2-30) merupakan dasar penyusunan matrik kekakuan elemen balok lentur yang menerima gaya-gaya ujung dan beban tranversal q(x) seperti pada persamaan [2-31 ]. Secara umum persamaan(2-27) dan(2-30) menyatakan hubungan antara besaran gaya dan perubahan posisi balok. Menggantikan suku-suku fungsi beban dengan pernyataan umum FEM, FEQ dan FET bagi kedua ujung balok terkekang penuh, di-peroleh persamaan (Gambar 2.2.2) : y & I I I I

q(x)

_;r. . . . . I

'((jl,.M,

XT

~---------------------+:

Gambar 2.2.2 Parameter gaya,

perpi~dahan/rotasi dan beban balok lentur

Apabila gaya yang bekerja pada balok hanya gaya-gaya ujung Mi, Ni, Qi, dan Mi, Ni, Qi yang dinyatakan berturut-turut sebagai F 1, F2 , F3 , dan F4 , F5 , F6 , serta parameter perpindahan/rotasi ujung balok cpi,l'.i,8i,
tI

'

,, .F.

'6!,:::-- ----·· -~.~~;-···--- ---·---"fS·~:e;---··, Gambar 1.3.3 ldentifikasi Parameter Gaya dan Deformasi Ujung

46

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

EA

12El

0

EA

0

0

6EI

0

0

0

2EI

e2

e

Q.I

p

_ _g_ab 2

M.

e2

0

6EI

I

N. I

0.

2EI

e

12EI

q

~. I

e2

EA

0

2 P b (e + 2a)

6EI

0

e

e

0

0

4El

EA

0

e

e2

0

XT --T

0

0

12EI

6EI

-

6EI

0

U-xT)

J

T

E

Q.

Pa (C+2b) q

M.

J

2

e2

(2-31)

I

N.

l

J

4EI p

e

')

e-

_g_a 2 b

e2

\lenggunakan persamaan(2- 31 ), hubungan gaya Fi dan L1i seperti persamaan (2- 32). EA {

0

0

0

EA

0

fJ

0 0 EA f

0 0

12EI

6EI

;;3

;;2

6EI

4EI

e2 0

0

0 0 EA

12EI

e

6EI

;;2

6EI

2EI

;;2

e

0

0

12EI

6EI

(2- 32a)

fJ

12EI

6EI

;;2

e2

6EI

2EI fJ

0 0

e

;;2

6EI

4EI

e2

fJ

[sJn, {AL = {F}m \latrik [sl, didetinisikan sebagai MATRIK KEKAKUAN

atau

(2-32b) ELEMEN. Vektor{A}m dan

{FL

berturut-turut menyatakan derajat kebebasan elemen dan gaya ekivalen ujung.

2.3 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur :\pabila ditinjau Portal Bidang sebagai sistem struktur, maka konsep geometri portal bidang adalah kontigurasi dari elemen-elemen lurus dirangkai bersama secara monolit. Bentuk yang paling sederhana adalah elemen balok tunggal dengan perletakan cukup mencegah kerunPoria/ Bidang

47

tuhan. Perletakan sendi dan rol pada elemen sederhana merupakan jumlah minimum perletakan untuk menjaga keseimbangan hila batang dibebani. Pada portal bidang, perpindahan terjadi dalam bidang. ldentifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban luar dinyatakan dengan perpindahan translasi dan rotasi titik-titik kumpul. Contoh portal bidang seperti pada Gambar 2.3.1 Titik kumpul; 1, 2, 3 dan 4 berturut-turut adalah perletakan jepit, rol, jepit dan sendi. Tidak terjadi baik perpindahan translasi maupun rotasi di titik I dan 3, mengingat sifat perletakan jepit. Titik kumpul 2 dapat "lari" arah horizontal dan berotasi. Karenanya ada dua kebebasan bergerak titik 2 yang didefinisikan sebagai kebebasan derajat dua. Bagi titik 4, tidak mungkin terjadi perpindahan horizontal maupun vertikal; hanya rotasi, sehingga dinyatakan titik 4 mempunyi satu derajat kebebasan. Bagi titik-titik kumpul lainnya, setiap titik dapat berpindah arah dan berotasi. Dengan demikian, derajat kebebasan struktur NX = 2 +I+ 3 * 9 = 30 . Derajat kebebasan struktur ini dapat dihitung berdasarkan rumus : NX=3NJ-3NFJ-2NPJ- NR

(2 - 33)

di mana NJ NFJ NPJ NR

= =

= =

jumlah total titik kumpul, termasuk perletakan jumlah titik yang sifatnya JEPIT jumlah titik yang sifatnya SEND! jumlah titik yang sifatnya ROL

Dengan derajat kebebasan, perpindahan garis elastis yang menyatakan perubahan posisi sistem struktur dapat dihitung. Gambar 2.3.2 memperlihatkan perubahan posisi sistem secara skematik. Derajat kebebasan titik dinyatakan dengan vektor Xi . Arab vektor positip seperti terGambar. Seperti juga halnya dengan elemen, terjadinya perubahan posisi titik kumpul berakibat oleh bekerjanya gaya. Apabila setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpul diakibatkan oleh vektor gaya ekivalen yang bekerja di titik kumpul tersebut, maka kedua vektor tersebut berpasangan. Gambar 2.3.3 menyatakan vektor gaya ekivalen yang mengakibatkan terjadinya perpindahan/rotasi titik.

48 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

r:j31

13

------~------~

12 . .

G]

GJJ 8

El

@]

9

10

®J

11

~

5

§

7 6

@J

@]

2 Gambar 2.3.1

3 Portal Bidang

4

x26

y

X2s _(... !1.?.\.~~: ·

.... ............... . X3o

Xs

2 Gambar 2.3.2

3

4

Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul

Portal Bidang

49

Gambar 2.3.3 Vektor gaya ekivalen titik kumpul

Hubungan antara vektor perpindahan/rotasi dengan vektor beban ekivalen adalah : PI p2

p3 p4

XI

Kll

Kl2

K~:,

Kl4

K21

Kn

K23

K24

.K2i

K23o

x2

K31

Kn

K,3

K34

.K3J

Kno

x3 x4

.Kii

K13o

(2- 35) P,

atau

KlJ

KJ2

K, .1-

Ki4

K,.~

K,Jo

X.~

{r} = [K]{x}

Matrik [K]didefiniskan sebagai Matrik Kekakuan Struktur. Unsur matrik K,i merupakan hasi! rakitan unsur-unsur matrik elemen yang ujungnya terkait menyusun titik kumpul.

50

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

2.4 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Pcrakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] mcmer!ukan proses transfonnasi koordinat. Pacta pe:-akitan unsur [KJ di titik kumpul 8, sistem koordinat elemen batang 6 dan 7 yang menyatakan hubungan [S] 111 (i\}m=(F} 111 harus ditransformasikan ke daiam sistem koordinat ~truktur/global. Gambar 2.4.1 menunjukkan sistem koordinat struktur/global bagi elemen pL)rtal.

@]

12.------.13

2 Gambar 2.4.1 Sistem Koordinat Globai/Struktur

Posisi koordinat clemen/lokal terhadap koordinat struktur/global untuk elemen batang 6 dan 7 s.;perti pada Gambar 2.4.2. y

I y

\ t. 2 , h

X14, P14

Xn, Pn--4 ,,, 4' F,

X1s, P1s

:'is, Fs

[7j

1'.3, F3 (d)

ir , ,

F,

f\.5, F6

(c)

---------------···>X Gambar 2.4.2

Konfigurasi Elemen Portal, Besaran Gaya dar.

Pe~pindahanEiemen

pada Sistem Lokal

Portal Bidang

51

y

y"' X2, P2

X1,P1~

X

X3, P3

t.1, F1

(b)

(a)

Gambar 2.4.3 Transformasi [S]m{t.}m = {F}m ke [k]m{X}m = {P}m

Dengan sudut e yang dibentuk elemen batang 6 terhadap absis X, besaran gaya ujung elemen LF 1 F2 F3 F4 F5 F6 j dinyatakan denganLP1 P2 P3 P4 P5 P6 j melalui transfarmasi kaardinat (Gambar 2.4.3) :

Fl

case

sine

0

0

0

0

Fz

-sine

case

0

0

0

0

F3 F4 Fs F6

0

0

I

0

0

0

0

0

0

case

sine

0

0

0

0

-sine

case

0

0

0

0

0

0

atau

{F} = [T]{P]m.

Juga

perpindahan

PI Pz p3 p4 Ps p6

111

Lx~ Xz X 1 X 4 X 5

elemen L,...I ,... 2 ,... 3 ,... 4 UJUng X 6 j melalui transfarmasi kaardinat.

~I

case

sine

0

0

0

0

XI

~2

-sine

case

0

0

0

0

Xz

~3

0

0

0

0

0

~4

0

0

~5

0

0

~6

0

0

atau {M

52

(2- 36)

,... 5

x3 0 case sine 0 x4 0 -sine case 0 Xs 0 0 0 x6

= [T] {X}

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

,... 6

J

dinyatakan

dengan

(2- 3 7)

\latrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat dari sistem koordinat elemen kedalam sistem kordinat global/struktur' \1engisikan ketentuan kedua persamaan ini kedalam persamaan (2- 32)

akan diperoleh matrik kekakuan elemen yang ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :

Portal Bidang

53

CD 0

CD 0

FA

--L

CD 0 6EI L

6Fl

()

0)

LA

'-

L

0 C0

0

4El

L'

-L

0

()

()

()

LA

6FI

6EI

?El

L'

L

-1.2

eo sO

!JEI

2FI

-sm8

-L

0

0

- L,--

'-'

6Ei

L-'

L'

L

12El

0

()

12El

0

'2

L'

Q)

@

L

12EI

0

FA

--

0

()

0

0

12EI

6LI

'-'

L'

6[]

0

-

sine

eo sO

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

cos8 -sinU

0

()

0

0

0

0

0

r, "r 0

0

0

0

si nO eo sO 0

4EI

-sinA

0

X,

1

1x 1,

l

SJllfi

eo sA

0

0

0

()

()

0

0

0

I

0

0

0

0

eo se

0

0

0

- sin8

()

0

0

0

~ lr~~ 1 0

sin El

cos8 0

() " ]i'IP.' 0

( 2- 38 )

P,

I

JlP

1,

L

L'

Mengalikan persamaan (2- 38) dengan matrik invers

[T]-

1

:1] [SJT][X}=[T] [Tj[P} [TJ-'[s IT][x} = {P} 1

eo se

x, i x, I

1

(2- 39)

Dapat dibuktikan matrik invers

~ c~s ~

[T]-

1

juga mcrupakan matrik transpose

-sin8

0

0

0

0

sm t1

cos 8

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cos 8

-sine

0

0

0

0

sinO

cos 8

0

0

0

0

0

0

rTr 0~

[T]- [s ][T]{x} =[Tt Is !T][x} 1=fpl fTF:Sj[TlfX t J [ l J

[TY:

(2- 40)

1

sehingga

'H

)

54 Arnrinsyah Nasution, Metode Matnk Kekakuan Analisis Struktur

(2- 41)

Perkal ian matrik [ T] T [S ][ T] merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjad i matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan basil perkalian sebagai matrik kekakuan elcmen [k] 111

[T]T[S][T]. Hasil perkalian unsur ketiga matrik merupakan

=

unsur matrik [k]," seper1i dijelaskan pada tabel 2.1. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4, 5, 6 menyatakan besaran arah positip gaya dan perpindahan kcdua ujung elemen dalam sistem koord inat strukturl global. \ latrik kekakuan elemen [k ] 111 menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpul 8, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. Untuk elemen 6 indeks unsur elemen 4, 5, dan 6 sama dengan indeks derajat kebebasan 13, 14, dan : 5: sedangkan bagi elemen 7 indeks unsur elemen I, 2, dan sama dengan indeks derajat kebebasan struktur 13, 14. dan 16. Pesamaan (2 - 42) mcnjelaskan posisi indeks elemen Jengan indeks struktur di titik kumpul 8. Dapat diamati di persamaan (2- 42), indeks derajat kebebasan elemen terhadap sistem sumbu lokal sclalu sama bagi setiap elemen balok, yaitu I, .::. 3. 4. 5, dan 6 , ha! mana sumbu x elemen selalu pada arah bentang balok. lndeks derajat ~ebebasan elemen pada sistem koordinat struktur atau global, disesuaikan dengan urutan penomoran derajat kebebasan sistem struktur yang dibentuk oleh unsur-unsur elemen ~truktur. ldentifikasi derajat kebebasan ini dinyatakan dari derajat kebebasan t[tik-titik kumpul yang merakit sistem.

m

[D h\ 12u -co-,-uI

[D

m ["-\n

!I]

,

-"111-o· I

----::;-co:.H L-

~_-

EA

12FI \

· - + -~ l:.1nOcosl1 L LJ ;

'

!

lcU

(ll~J

-------;:;-:.1118

i

~lnLku:-,0 )

Fo\

-\

L

,

LJ hb_l ----::;-:-.1nH

,.

()F[

' L .\

(J]-J

--

,

(Jl:.]

,-

L-

Of-. I -

L

L:.A

,

12EI . .,

L

13 I::Tl\

-

L

-

L3 ;

l:::.inlko:::.U

L'

-

<1EI

,.

------::;-ro:-.0

2[1

-

L

(JE[

L

E\ o !:!cl o -:,ln-H+--co:.-o

l

r1r1

LJ

hl:.l

------::;-:.int-1 ~_-

- , cu:.-o

-----::;-ro:-1:! L-

-co:.~o._ -~s1n-B

hl-.1

-------;:;- ~illll ~_-

,

(Jl/

[•

------::;-:.inO

l~LI

L

LJ (J(:l si nO

L

()[]

I; )

I [,\_ . --~~n-o

~~~~

t-

L 41:1

-

!I]

- !:~~ + ~~~~ kinOco~o

-------;;-:.lnH L-

-~~..,inO

12EI

m

0

L

(,FJ

m

,,

1~1

I

FA

[I]

0

L,\

-

[}]

1\

-

(1 ~ 1 cu~o L-

4LI

-

L

Tabel 2.1 Matrik kekakuan elemen [k]m pacla sistem koordinat struktur/global

Portal Bidang

55

.& & .ffi& ~ M QJ [D [2J

~

~

~

+- indeks derajat kcbebasan struktur

-

indeks derajat kcbebasan elemen

(2 - 42a)

& M. M &~.M..[1

J

[41

indeks dcrajat kebebasan struktur

+-indeks derajat kebebasan clemen

(2- 42b)

£T, &LiJ

ksJ

k61

Berdasarkan persamaan (2 - 42) unsur K;1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 8 adalah :

=(k~4 +k{,}KI414 =(k~s +k;JKI515 =(k~6 +kj3) Kl314 = (k~4 + k;,} Kl315 = (k~4 + kj,} Kl413 = Kl314; KI513 = Kl315·

K1313

Nilai ini merupakan unsur dari matrik struktur [K], sehingga persamaan (2- 35) menjadi:

56

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

-~-"~-~-,,

~--~-~-~~··~·~~~··-~·--·,-

~

&rK,

~

,.

~

~

&

r

K12

Ktt3

Ktt4

Ktts

Kn

Kn

K2u

K214

K21s

Kno

x2

Kut

Kuc

Ktm=(k~ 4 + ki 1) Ktm=(k~4 +kit)~

Kmo

X13

81Kt4t

Kt42

Kut4=(k~4

~IKtst

K1s2

Ktst3

~IK,ot

K3o2

K3ot3

~

+ki 1 )

Ktm=(k~ 5

l Ktst4=(k~4 K;ot4

K uol

+ki2)

Kt4ts=(k~ 4

+kit)

Ktm=(kX 6 + k~ 4 )

Kts3o

K1o1s

K3o3o

+kiJ

X1

l (I

p1

p2

Pu (2-43)

X14

pl4

Xts

Pts

X3o

P3o

\. Unsur matrik k.~ dihitung menggunakan persamaan pada Tabel 2.1, dengan struktur. Dengan mengisikan unsur-unsur matrik

K;J

dari rakitan unsur matrik

8elemen

sesuai posisi elemen terhadap absis -X koordinat

I k~, terbentuk persamaan Iin ear simultan dengan variabel

X;. Jika persamaan ini diselesaikan untuk memperoleh vektor {X}, maka perlu ditetapkan vektor beban {P} terlebih dahulu. Vektor {P} menyatakan besaran be ban titik kumpul ekivalen titik kumpul yang bebas. Besarnya unsur vektor {P} sa ma dengan besarnya be ban ekivalen di titik kumpul kondisi titik kumpul terkekang penuh, akan tetapi berlawanan arah.

Portal Bidang 57

2.5 Vektor Beban Ekivalen {P}

y

Fos

Pos Po
Ym

\

Fo2

Gaya kondisi terkekang penuh pada sistem koordinat struktur/global

(a) Pola pembebanan elemen dan gaya kondisi terkekang penuh

Gambar 2.5.1 Transformasi gaya kondisi terkekang

Memperhatikan Gambar 2.5.l.a besamya gaya-gaya ujung kondisi terkekang penuh sama dengan menghitung FEM, FEQ, dan FEN kedua ujung balok dalam sistem koordinat elemen/lokal. Dengan sudut 8 yang dibentuk elemen batang i terhadap absis X, besaran gaya ujung elemen

lP

P02 P03 P04 P 05 P06

01

J

dinyatakan

dengan

lF

01

F02 F03 F04 F05 F06 _j

melalui

transformasi koordinat (Gambar 2.5.l.b):

Fol F02 Fm Fo4 Fos Fo6

cos8

sin 8

0

0

0

0

-sin8

eo se

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cos8

sin8

0

0

0

0

-sin 8

cos8

0

0

0

0

0

0

Pol P02 Pm Po4 Pos Po6

(2- 44)

{F 0 L = [T]{P 0 L. Mengalikan kedua suku dengan matrik invers [Tr 1 dan mengingat 1 matrik invers [Tr = [T]\ maka:

atau

58

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Po1

eo se

-sine

0

0

0

0

Fo1

Po2

sine

eo se

0

0

0

0

F02

P03

0

0

Po4

0

0

0

eo se

-sine

0

Fo4

Pos

0

0

0

sine

eo se

0

Fos

Po6

0

0

0

0

0

atau {P0 }m =

0

0

0

F03 (2- 45)

Fo6

[T f {Fo }m

Dengan menetapkan vektor {P0 }111 bagi setiap elemen berdasarkan konfigurasi beban luar yang bekerja, unsur vektor {P 0 }111 digunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen {P} sistem si.ruktur. Apabila ditetapkan {P}E sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban luar yang bekerja ditengah bentang, dan matrik gaya {P} 1 sebagai akibat bekerjanya beban luar di titik kumpul, maka : {P}={P}E+{PL (2-46)

"

Menjelaskan penyusunan matrik {P}, ditinjau perakitan gaya titik kumpul ekivalen di titik kumpul 8 pada contoh portal. Elemen batang 6 dibebani beban segituga, titik kumpul 8 menerima gaya W1 dan momen M 1, sedangkan elemen 7 dibebani gaya terpusat W 5 • Posisi dan besaran gaya seperti pada gambar 2.5.3.a. Gambar 2.5.3.b dan d menunjukkan vektor gaya-gaya ujung akibat beban luar pada kondisi elemen terkekang penuh, 2

6 qL6 6 6 qL6 Fol =-W;F02 =0;Fo3 =-3Pada elemen 6 :

(2-47a)

Y 2 L q L 6. F6 -O·F6 -~ F6 - __

04 -

30 '

05 -

' 06 -

6

2

7 Wsab 7 7 Wsb Fol =- L ;Fol =0;Fo4 =-L7

Pada elemen 7 :

7

(2-47b)

2

6 Wsa b 6 6 Wsa Fo4 = ; Fos = 0; Fo6 = - L7 L7 Pada masing-masing ujung elemen 6 dan 7 yang bertemu di titik 8, besaran gaya UJUng ekivalen dalam sistem koordinat struktur adalah :

{

P04 P05 Po6

1 rc~se sme

=

6

L

0

-sine cose

(2- 48a)

0

Portal Bidang

59

y

+

y (a) Konfigurasi beban luar

pi

01~pl02-----~ ~ p'

8

I

03

G1 L:J

P

1

06

(g)

(e)

P,,} P.,,

t

P.,,

= 7

l

Gambar 2.5.3 Beban dan vektor gaya

cos 8 sin 8

-sin8 cos 8

0

0

(2- 48b)

Dengan demikian besarnya gaya bagi keseimbangan di titik kumpul adalah (gambar 2.5.3.t):

/P.,,~ r= {p""} P.,, + i P.,, P.,,, , l P.,,

RP,,l RP, RP,, j

t 60

(2- 49) 7

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

Besarnya vektor gaya di titik kumpul 8 diperoleh dari kondisi tanpa kekangan yang merupakan nilai persamaan [11 - 42] dengan tanda yang berlawanan, beserta besaran gaya luar dititik kumpul :

J: P,P,, ,,P,,

{RP,,) { W, cos 131 = - RP, . + - W,sin l3 RP" M, j

(2 _SO)

Perakitan matrik beban {P} bagi semua titik kumpul lainnya dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat pembebanan setiap elemen yang membentuk titik kumpul. 2.6 Solusi [K]{X} = {P} Setelah memperoleh unsur matrik [K] dan matrik {P}, langkah selanjutnya adalah mendapatkan solusi persamaan [K]{X} = {P} untuk matrik {X), hat mana unsur matrik {X} :1dalah besarnya perpindahan/rotasi setiap titik kumpul. Terdapat beberapa cara penyelesaian persamaan linear simultan. Mctoda Dekomposisi LU atau Cholesky banyak digunakan mendapatkan unsur [K]{X} = {P}. Akan dibahas cara DEKOMPOSISI LU sebagai saiah satu prosedur solusi. Metoda Dekomposisi LU

Dari pembuktian matematika, jika suatu matrik [K] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik): K11

K12

K13

Kin

K21

K22

K23

K2n

K31

K32

K33

K3n

maka matrik dapat diuraikan sebagai perkalian dua matrik

·,·iangular [L] dan [U]. [L] discbut matrik triangular bawah yang elemen mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 diatas diagonal, seperti 0

0

.....

ull

matriknya

llin

0

[u ]=

0

0

(2- 51)

Ll nn

Portal Bidang

61

[U] disebut matrik triangulasi atas dengan nilai elemen dibawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian: [K]=[L][U]

(2-52)

dan bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matrik [K]{X} ={P}, maka mengisikan matrik [K] dengan [L] [U] diperoleh [L][U]{X} ={P}

(2- 53)

Berarti terdapat dua sistem : [L]{z} = {P} untuk mencari {z}, dan [U]{X} = {z} untuk memperoleh {X}. Algoritma proses Dekomposisi LU adalah : 1. Mendapatkan matrik [L] dan [U] 2. Menyelesaikan [L]{z} = {b} 3. Menyelesaikan [U]{x} = {z} Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal (poros). Cara dekomposisi ini memungkinkan untuk nilai {P} yang berbeda-beda, cukup dilakukan satu kali penguraikan matrik [K] ke [L][U]. Ha! ini sering dijumpai dalam analisis struktur, ha! mana sistem struktur tidak berubah konfigurasinya (memberikan unsur matrik [K] yang sama) akan tetapi pola pembebanan berubah-ubah. Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3XI + 2X2 -

5X, = 8

SX1 - 2X2 + 3X3 = 5 XI + 4X2 - 2X3 = 9 Dalam bentuk matrik :

Dari persamaan awal, terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien X 1

sj{xll Jsl l~ - ~:I= l~I l3

62

2 2 4

}

diubah susunannya menjadi

2

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

Karena proses dekomposisi LU pada matrik [K], cukup ditulis

Proses pertama ialah menghilangkan elemen dibawah K 11 menjadi no!. Secara umum, pengali diperoleh dari

m lk

K

=-'k Kkk

2 l=_ } m 21 = K21 k -I K 11 K 2 1 baru = K 21

Kn

baru

K23 baru

= K 22

=_I_

5

(pengali yang harus disimpan sebagai unsur elemen

I

!21

dari [L])

I

K 11 = I - - (5) = I - I = 0 5 5 I 1 K 12 = 4 2) = 4 + 0.4

- -

-

5

5 (-

I

1

= 4.4

= K23 -5 K13 = -25 (3) = -2-0.6 = -2.6

1= 3 } K3 1 3 m 31 = - - =- (pengali yang harus disimpan sebagai k=l K 11 5

h1 )

3 3 K·' 1haru =K11 -5(KJ=3-5(5)=0

K)2 baru = K12 - ~ 5 K12 = 2 - ~ 5 (- 2) = 2 + 12 = 3 .2 3 3 9 = K, - - K , = -5 - - (3) = -5 - - = -6.8 .>351.' 5 5

5 -2 Susunan baru [K] : 0 4.4

r0

3.2

3 -2.6

j

-6.8

Dari susunan unsur, tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi. Portal Bidang

63

i=3 } k=2

· K 32 3.2 8 m 32 = = - = - (pengali yang disimpan sebagi b2) K 22 4.4 11

8 K32 haru = K32- m22K22 = 3.2 -~~ (4.4) = 0 8 8x2.6 K33haru = -6.8-- (- 2.6)= -6.8 + - - = -4.9091 11 11 sehingga:

ll~ ~.~ -~.61 o

3.2

menjadi

-6.8

I~ ~.~ -~.61 lo

o

=

[u]

-4.9091

sedangkan [L] ialah

l

01 010 =(L]

l 0.2 0.6

0.7273

I

Dekomposisi [K] = [L][U]

~~

2 -4

l3

2

l

~2l=l0~2 °

3 -2.6

lo.6

-4.9091

-sJ

o.7273

Penyelesaian dari persamaan menjadi : (a) [L] {z} = {P}

~0~2 ~ ~l J:~1=glmemberikanJ;~1=J 7~4 l ,j lo.6

0.7273

(b) [L]{X}

=

lzJ

1z 3 J

1-5.382J

{z}

1

1

1

s0

-2 4.4

3 -2.6

o

o

-4.9091

l

lsJ

11X x2 ) = 1 x3

Dari langkah (a), vektor

8 7.4

\ memberikan tx x2 = 10.180) -0.99

-5.382

{b} dapat

x3

mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor

sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor {X} persamaan [K]{X}= {P} bagi berbagai nilai vektor

64

1.096

{z}

menjadi fasilitator penyelesaian

{P}.

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Metoda dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemograman solusi analtsts sistem yang baku, yang unsur matrik [K] tetap, tetapi unsur vektor {P}yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi.

2. 7 Gaya-Gaya Dalam Elemen Hasil solusi {X} digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung elemen dan reaksi perletakan. Unsur matrik {X} merupakan data bagi perhitungan. Apabila ditinjau elemen 6 pada Gambar 2.7.1, maka kedua ujung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah :

iliilllfriliifr~ 2

& ~

& &

3

4

5

indeks derajat kebebasan struktur

6 - indeks derajat kebebasan elemen

6 xl =X4

p6 l

pl

k26

6 x2 =Xs

Pf

p2

k36

X~ =X 6

p6 3

p3

kll

kl2

kl3

kl4

kts

kl6

k2l

kn

k23

k24

k25

k3l

k32

k33

k34

k35

(2- 54)

k4l

k42

k43

k44

k45

k46

x 64 =

x 13

p6 4

p4

&[D

kst

ks2

ks3

ks4

kss

ks6

6 Xs = X14

p? )

Ps

~@]

k6l

k62

k63

k64

k65

k66

6 Lx6 = Xts

p6 6

p6

4

6

\1enye!esaikan persamaan (2- 54) menghasilkan {P}6. Dengan hubungan rF1

I

eo se

-sine

0

0

0

0

pl

F2

sine

eo se

0

0

0

0

p2

F3

0

0

0

0

0

eo se

-sine

0

p4

0

0

0

sine

eo se

0

Ps

lf4Fs

l

0

0

0

p3 (2- 55)

0 0 0 0 0 p6 6 F6 6 besarnya gaya dalam rencana elemen pada kedua ujung adalah : Portal Bidang

65

M

N'-'

F,

FE~

Q;_,

F,

FEQ,

M5-K N,_;

F,

FEM

Q,_;

F;

FEQ J

F"

FEM J

M,_;

F,

6

+

-:?)N,_;

X-:-

8~ Q,_;

'

(2- 56)

FETJ

6

Gambar 2.7.1 Gaya-gaya Ujung Elemen

2.8 Diagram Gaya Hasil analisis yang telah diuraikan diatas digunakan untuk desain beton bertulang sebagai gaya dalam rencana penampang. Untuk mengetahui

b~sarnya

gaya dalam penampang elemen

kritis bagi perencanaan, maka diagram M, N, dan L elemen

diperlukan. Gambar 2.8

merupakan contoh diagram gaya dalam M, N, dan L pada sistem struktur portal.

7

2

3

Gambar 2.8a Diagram gaya lintang

7

A2

... 3

Gambar 2.8b Diagram momen

66

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4

12~==

8[

13

···~="110

~-,.,-

1

11 2

~

4

3

Gambar 2.8c Diagram gaya aksial

:Jengan mcmperoleh diagram gaya-gaya dalam sistem struktur untuk setiap bentang unsur .:kmcn struktur, dapat dilakukan percncanaan atau desain elemen. Bagi sistem struktur kons~~uksi beton, rencana penulangan penampang kolom dilakukan berdasarkan kombinasi gaya ::1\am momen lcntur dan gaya normal; sedangkan untuk elemen lentur seperti balok, desain ~.J\c.ngan berdasarkan tanggap elcmen menerima momen negatif (tumpuan) atau momen ::'ositif (lapangan). Bagi konstruksi baja, pemeriksaan tegangan kerja pada profil penampang ~ t!akukan terhadap tegangan izin bahan yang berlaku dalam peraturan. \:Jaris elastis sistem struktur pada Gambar 2.8d diperoleh dari persamaan

{X}=[K]- 1{P}.

:Jeformasi maksimum yang te~jadi diperiksa terhadap ketentuan batas simpangan izin yang :'cdaku. Pemcr!ksaan ini merupakan bagian dari penentuan sifat kekakuan sistem struktuL 3

---1oi

----~11

I

I

..7

6

\

I

?7{~::: 3

Gambar 2.8d Diagram garis elastis struktur

.;;istem struktur memenuhi syarc>~ kekuatan dan kekakuan bila terpenuhi tegangan kerja pada :->enampang elemen kurang dari tcgangan izin bahan. dan lcndutan sistem lebih kecil d.ari ') arat yang berlaku.

Portal Bidang

67

2.9 Contoh Analisis Struktur Portal Bidang Untuk analisis si stem struktur Portal Bidang seperti pada gambar 2.9.1, data sifat penampang 5 dan bentang dijelaskan beserta gambar. Ditetapkan modulus elastisitas bahan Eb = 2.1 * 10 kg/cm 2 . Beban distribusi merata yang bekerja pada struktur qLL = 2.5 ton/m'. Derajat kebebasan struktur seperti pada gambar 2.9.2

hm

6 n

Ill ill

l:'rn

15m

Gambar 2.9.1 Geometri sistem struktur dan pembebanan

Derajat Kebebasan Struktur (DOF) = 3NJ. 3NF . 2NS. NR = 3 *10- 3'3

= 30-9 = 21

Gambar 2.9.2 lndeks derajat kebebc:san struktur

68

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Prosedur analisis (1) Merakit matrix kekakuan elemen lokal [S]m Elemen 1 :

I 3 4 11 =-*75*100 =0.0625m 12 !1

=~10 2

2

+14

A 1 =0.75m

Fs,~s

75 cm

0100~

=17.205m

2

/Xm

~.

F4,tl4

F6, L'.6

E1 =Eb=2.1*10 5 kg/cm 2 6

= 2.1 *I 0 ton/m 2

Ym 'F2, tl2

Gambar 2.9.3a Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 1

~

e

F3. tl3

F1, tl1

\ lendapatkan matriks kekakuan elemen lokal [S]m:

8 0 0 [s]"' = 0

8 0 0 0 0 8 EA

-

L 0 0 EA L

0

0

8 (E;}

0

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 4EI

L2

L

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 2EI

L2

L

EA L 0 0

EA L 0 0

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 2EI

L2

L

0

0

---

12EI

6EI

L3 6EI

L2 4EI

L2

L

= 91545 ton/m 3

( 12 EI/.e ) 1 309 2 (6 EI/e ) 1 2660 (4Ei/.e) 1 = 30515 (2 Ell f.), = 15258

ton/m ton ton-m ton-m Portal Bidang

69

0

oO 0

91545

0

0

-91545

0

0

309

2660

0

-309

2660

0

2660

30515

0

-2669

15258

-91545

0

0

91545

0

0

-309

-2660

0

309

-2660

0

2660

15258

0

-2660

30515

0

oG)

0 0

Elemen 2:

Xm

I 4 12 =-*75*100 3 =0.0625m 12 P = .J.-2-5_+_6_4 = 19.434 m

75 cm

2

2

A 2 = 0.75 m

E 2 =2.1 *10 6 ton/m

2

(E; )2

166950 ton/m

(12 Ell e'h 2 (6Ell£ )2 (4 EIU )2 (2 Ell f ) 2

1876 8848 55650 27825

ton/m ton ton-m ton-m

0

0 [sL-

70

=

Gambar 2.9.3b Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 2

oo

166950

0

0

-166950

0

0

1876

8848

0

-1876

8848

0

8848

55650

0

-8848

27825

-16694

0

0

166950

0

0

-1876

-8848

0

1876

-8848

0

8848

27825

0

-8848

55650

0 0

oG)

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anaftsis Struktur

0

0

Xm

Elemen 3:

t Fs,l'.s~

L = _!__ * 75 * 75 1 = 0.026367 m 4 ' 12

F4, 1'.4

( = 2 m; A,= 0.75 * 0.75 = 0.5625 m 2

Fe, l'.e

E 1 = 2.1 *I 0 6 ton I m 2 75 cm

D75om

= 590625 ton/m

0

75/75

(12 El/ e3 ) 3 = 83057 ton/m (6 Ell 1: 2)3 = 83057 ton (4 El/ 1: h = 110742 ton-m (2Ell£) 3 = 55371ton-m F1, 1'.1

Gambar 2.9.3c Penomoran derajat kebebasan lokal clcmen 3

0

CD [s ]1

=

0

0

0

0

or)

590625

0

0

-590625

0

0

83057

83057

0

-83057

83057

0

83057

110742

0

-83057

-590625

0

0

590625

0

5537~ ~

0

-83047

- 83057

0

83047

-83057

0

83057

55371

0

-83057

110742

Elemen 4:

0

j

0

0 75 cm

1

14 =_!_*75*150 =0.210938 m 12 L4 =5.5m A 4 =0.75*1.5=1.125m 6

E4 =2.1*10 ton/m

2

2

4

Ym 150 cm

!

2

F

,t.

2

t T

Fs, l'.s y0 1

F1,1'.1---E

a

~- - - - '

75/150

__.

-

vf7\

Xm

A F4,1'.4 e. '-'6 Gambar 2.9.3d Penomoran derajat kebebasan lokal

F 3,

( E; )

=

A

'-'3

429545 ton/m; (12 Ell 1: 3 ) 4

=

F

31950 ton/m; (6 Ell e2 ) 4 = 87862 ton;

4

(4 Ell t ) 4

=

322159 ton- m; (2 EIIL) 4 = 161080 ton m

Portal Bidang

71

[s ]4

=

0

0

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

-429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

-87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

0 0

0 0 0 0

Elemen 5: 1

Is=-* 75 * 100 3 = 0.210938 m 12

4

,...----

es =~4.5 2 +6 2

=1.205m

As =0.75*1.5=1.125m E s = 2.1 *I 0 6 ton I m

( E~)s

=

t-

2

2

3 15000 ton/m

( 12 Ell e3 ) 5 = 12600 ton/m (6 Ell e2 ) 5 = 47250 ton (4 Ell e )5 = 236250 ton-m (2 EIU )5 = 118125 ton-m

[s]s =

0

0

0

0

Gambar 2.9.3e Penomoran den~;jat kebebasan lokal elemen 5

0

0

315000

0

0

-315000

0

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250

72 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

0 0 0 0 0

Elemen 6: I 16 =-*75*150 3 =0.210938m 4 12 6 = 5.5 m

75cm

e

A 6 =0.75*1.5=1.125m 6

E 6 =2.1 *10 ton/m

2

150 cm

2

[E; )6

429545 ton/m

(12 EI/e 3 ) 6 2 (6 EI/e )6 (4 El/e ) 6 (2 Ell e)6

31950 ton/m 87862 ton 322159 ton-m 161080 ton-m

0 [s]6

=

Gambar 2.9.3f Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 6

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

-429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

CD

0 0 0 0 0

Elemen 7: !" =_!._*75*150 3 =0.210938 m 4 12 ,------

1

2

2

L7 =-v4,5 +6 =7.5m A 7 =0.75*1.5=1.125m 2 6

E7 = 2.1 *I 0 ton I m 2

( ECA )

=

3 15000 ton/m

7

(12El/e 3) 7 = 12600 ton/m (6 El/e 2 )7 = 47250 ton (4E!IJ1)7 = 236250 ton-m =118125ton-m (2 Ell Jl h

Gambar 2.9.3g Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 7

Portal Bidang

73

[s]7

=

315000

0

0

-315000

0

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250

Elemen 8: I 75 cm 13 =-*75*150 3 =0.210938m 4 ~-~

12 =5.5m

f8

150 cm

A 8 =0.75*1.5=1.125m

E 8 =2.1 *10 6 ton/m

2

2

(E; l

429545 ton/m

(12 Ell fi ')s 2 (6 El/e )s (4 EIU )s (2 EIU )8

31950 ton/m 87862 ton 322159 ton-m 161 080 ton-m

Gambar 2.9.3h Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 8

Unsur [S]s sama dengan unsur [S]I,:

[s]s

74

=

0

0

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

-87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

Amrinsyah ~~asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

0

0 0

0 8

Elemen 9:

I 4 19 =-*75*150 3 =0.210938m

12

£ 9 =7.5m A 9 =!.125m 2 E 9 =2.1*10 6 ton/m 2

(E:}

= 315000 ton/m

(12 EIU 3)9 = 12600 ton/m 2 (6 EIU ) 9 = 47250ton = 236250 ton-m (4 EIU )9 = 118125 ton-m (2 Ell € )9 Gambar 2.9.3i Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 9

Perhitungan unsur-unsur [S] 9 sama dengan perhitungan untuk unsur [S]? :

0 [s]9 =

0

0

0

0

0

Ol0

315000

0

0

-315000

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250

0 0 0 0

8

(2) Menghitung matris kekakuan elemen lklm terhadap sumbu struktur

lndeks [P*j, x*j] menunjukkan nomor derajat kebebasan elemen pada koordinat struktur dan indeks [P\, X\] merupakan penomoran derajat kebebasan sistem struktur pada kedua ujung elemen. Berdasarkan indeks ini, matrik kekakuan struktur [K]s dirakit dari unsur matrik elemen yang terkait. Matrik kekakuan elemen [k]m terhadap sumbu sistem struktur diperoleh dari persamaan [k] 111 = [T]mT[S]m[T]m ha! mana:

Portal Bidang

75

p·, = P\.,,

x·2:::

sn+1

p·J = P\+2,

x·3 = X"n+2

Gambar 2.10 lndeks derajat kebebasan DOF elemen dan struktur pada elemen m

cosy 111

()

()

()

()

cosy m

()

()

0

0

0

0

I

0

0

()

0

0

0

COS

sin y 111

0

0

0

()

-Sill

Ym

0

0

0

0

0

Sill

[T 1m

=

y 111

EA L 0 0

[sL =

El\ L

0 0

0

12El

6EI

,} 6EI

L2 4EI

L2

L

0

12EI L'" 6EI ')

Ym Ym

L

I

0 0

0

0

12EI L'" 6El ') L~

EA

()

L

6EI ')

()

L~

2EI L

COS

0

EA

0

L~

76

ym

Sll1

0

0

12EI

J6EI ') L~

6EI L2 2EI L 0

6EI L 4EI

L

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

-sm Ym

0

0

0

0

cosy 111

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

-smy 111

0

0

0

0

Ym Sll1 Ym

cosy 111

0

0

0

0

0

0

cosy 111 Sll1

[T ]Jl

=

ym

COS

Penomoran derajat kebebasan struktur : P.s = P's, x·s =X' a

Elemen (1) ·r

=

arc tan 1.4

cos Y1

=

0.581

sin Y1

=

0. 814

'I

[T ]I

=

54.462°

=

P.s = P'g,

x·s = x',

0.581

0.814

0

0

0

0

-0.814

0.581

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

0.581

0.814

0

0

0

0

-0.814

0.581

0

0

0

0

0

0 Gambar 2.1 Oa lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 1

Hasii perkalian: 2

[k ]I

=

3

6

5

4

-2165

31132

43152

-2165

-31132

-43152

43152

60725

1546

-43152

-60725

1546 0

-2165

1546

30515

2165

-1546

15258 0

-31132

-43152

2165

31132

43152

2165 7

-43152

-60725

-1546

43152

60725

-1546 8

-2165

1546

15258

2165

-1546

30515 9

0

0

0

7

8

0

9

Portal Bidang

77

Elemen 2:

P.s = P' "· = xs14

x*"

8 0 v, =arc tan - = 57.995 '" 5 cos Ye = 0.530 s1n 'V) = 0. 848 '0.848

()

0

0

0

-0.848

0.530

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

()

0

0.530

0.848

0

0

0

0

-0.848

0.530

0

0

0

0

=

p"4

p·, = R,,

x·, = o

Gambar 2.10b lndeks derajat kebebasan elemen ; indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 2 2

5

3

-1

48245

74190

-7503

-48245

-74190

-7503

0

74190

120581

4690

-74190

-120581

4690

0

-7503

4690

55650

7503

-4690

27825

0

-48245

- 74190

7503

48245

74190

7503

13

-74190

-120581

-4690

74190

120581

-4690 14

-7503

4690

27825

7503

-4690

55650 15

0

0

13

0

15

14

15 p·,

x'2

Elemcn 3: 0

1

0

0

0

()

1

()

0

0

0

0

()

()

I

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

()

-1

0

()

0

0

()

0

()

-

y,

'·'

= 90°

cos y 3 =0 Sill

[T), =

y, = 1

-'

P'

= Ps

21 ,

= P',o, = Xs2D

rh_

x·1 = K'21

0

75/75

[k L = [Tl.i2 [s b [T],2 Gambar 2.1 Oc lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 3

78

= P 5 1],

x·4 = X"1~'

0

0

=[Tr[s),[T), I

[kh

= P',. = X51S r-T----r

0.530

[T)2 =

[k),

p·6 x·6

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

p'J = R,,,

x·J = o

e>e', • 5

X c =X 19

2

[kh =

3

4

5

6

83057

0

-83057

-83057

0

-83057

0

0

590625

0

0

-590625

0

0

-83957

0

110742

83057

0

55371

0

-83057

0

83057

83057

0

83057 19

0

-590625

0

0

590625

0 20

-83057

0

55371

83057

0

11742 21

0

0

0

19

20

21

Elemen 4: Y4 = Oo

cos y4 =I sin y 4 = 0

[T ]4 = [I]

Gambar 2.1 Od lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 4

2

[k ]4 =

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0 1

0

31950

87862

0

-31450

87862 2

0

87862

322159

0

-87862

161080 3

-429545

0

0

429545

0

0 4

0

-31950

-87862

0

31950

-87862 5

0

87862

161080

0

-87862

322159 6

2

3

Elemen 5:

r5 =arc tan

3

= 126.869°

cos y 5 = 0.8 sin y 5 = -0.6

[k ]5 = [T ]J [S]5 [T ls

[T]5 =

4

5

6

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

Portal Bidang

19

P.s = P\,

x"s =X\ p·4 = P\, x·, = x',

p'2 = P 5 s,

x·, =x',

p·, = P',,

x·, = x', p"3 = P'g,

x·3= x'g

Gambar 2.10e lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 5

[k]5 =

121464

-145152

-37800

-12464

145152

-37800 7

145152

206136

-28350

145152

-206136

-28350 8

-37800

-28350

236250

37800

28350

I 18125 9

121464

145152

37800

121464

-145152

37800 4

1455152

-206136

28350

-145152

206136

28350 5

-37800

-28350

118125

37800

28350

236250 6

7

YG = 00

9

8

Elemen 6:

=

[T]c, = [1]

6

5

4

p", = P's, x·3 = x'8

p"6 = p',,

x,-x',

p", = P',,

cos y,, =I

sin y 6

6

5

.j

3

2

x·, = x',

75/150

12

r

p*4::;:: ps10,

x·, =X\o

0 p 2 = p 9, X.2 = X5 g

=P 1'1, x·s::;: xs,,

p*5

5

Gambar 2.10f lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 6

(k 1= [Tns l[Tl = [1][s 1[1] = [s]

80 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

2

[k]6

=

3

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0

7

0

31950

87862

0

-31950

87862

8

0

87862

322159

0

-87862

161080

9

-429545

0

0

429545

0

0

10

0

-31950

87862

0

31950

-87862

11

0

87862

161080

0

-87862

322159

12

ll

12

7

8

10

9

P·s= P\. x's= X\

y 7 =arc tan = 126.869°

cos y 7 = 0.8 Stn

Y7

p·, = P',, x·, = x',

= -0.6

Elemen 7:

[Th

-0.6 0.8 0 -0.8 -0.6 0 1 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 -0.6 0.8 - 0.8 -0.6 0 0

0 0 0 0 0

P.2 = P's,

X.2

=X's

P.1 = P',, ~__.____.

X.1

=X\

Gambar 2.1 Og lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 7 2

[kh

=

121464 -145152 -37800 -121464 145152 -37800 13

-145152 206136 -28350 145152 -206136 -28350 14

3

-37800 -28350 236250 37800 28350 118125 15

6

5

4

-121464 145152 37800 121464 -145152 37800 10

145152 -20636 28350 -145152 206136 28350 11

-37800 -28350 I 18125 37800 28350 236250

13 14 15 JO

11 12

12

Porta! Bidang

81

E!emen 8: p", = P',,,

(--:\ \_J

x" 3 =X',,

Ys = Oo

~"r

r--~- - X s - = X , s rp:,=P:,s, S X,= X 1s

p*, =P 13, x·, =x',, 5

cos y 8 =I

. ' P.s = P, 1s,

sin y 8 = 0

75/150

P 2 = P 14,

[T]8 =[1]

p" = P' 17 ,

x·,5 = x',,

x·, =X',,

Gambar 2.10h lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 8

[k

1= [T1(S l[Tl = [1][s 1[1] = [s] 2

[kh =

3

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0 13

0

31950

87862

0

-31950

87862 14

0

87862

322159

0

87862

161080 15

-429545

0

0

429545

0

0 16

0

-31950

-87862

0

31950

-87862 17

0

87862

161080

0

87862

322159.J 18

l

13

14

15

16

17

18

Elemen 9 : p", = P',, x·, = x',

y9 =arc tan = 126.869°

p", = P\,

x·, =X',

cos y 9 = 0.8 sin y = -0.6 [k], = IT];(s ], [T],

[T]

82

9

=

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

p·, = P',o, x·, = X',o

~+-_,__•

p·, = P',g, x·, = x',g

p", = P',, x·, = x',,

Gambar 2.1 Oi lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 9

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

2

121464 -145152 -37800 [k1 = -121464 145152 -37800

-145152 206136 -28350 145152 -206136 -28350

19

20

-37800 -28350 236250 37800 28350 118125

5

-1

3

-12464 145152 37800 1221464 -145152 37800

21

145152 -206136 28350 -145152 206136 28350

16

17

6

-37800 -28350 118125 37800 28350 236250

19 20 21 16 17 18

18

l- nsur e1emen [k ln merupakan unsur elemen matrik kekakuan struktur [K ]s K,,

KI2

KI3

K,4 . . . . K,.i .

K21

K22

K23

K24 . . . . K2.i .

K221

K31

K32

K33

K34 . . . . K3j .

K221

K, J

K2 J

K121

:,-1 = Ll'\.-

Kj3

K j4 . . . . K .i.i .

· Kj2I

Portal Bidang

83

(3) Merakit matrik kekakuan struktur [K]s (persamaan 2- 43) 1<1

12

1:-

'"

IS

16

17

"

"

2\J

21

-12<JS-15-hl

Ill

[K]s =

11

12

L 84

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

I~i~~~;~ll ;R I 21

10 00

~

><

€>

~_:

'J ><

~~ ><

0::0

>'

0::~

;;;

9 ~

X

~ X

~ ><

X

!Cl

(4) Penentuan gaya-gaya ujung elemen kondisi terkekang penuh Umum: Xm

86 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

p"5

{P}m = [T]~1 {FEF}m p· I

p• 2

p· 1

p·

Ym

'

p",

p; p·6

0 0 Ym -sinym 0 0 0 sin Ym COS Ym 0 0 I 0 0 0 0 0 COS Ym -sin y m 0 0 0 -sinym COS Ym 0 0 0 0 0 0 COS

0 0 0 0 0

FEN 1 FEY2 FEM 1 FEN, FEY, FEM,

p'2

Elemen 1 :

/1

= 17.20 m; y 1 = 54.462° = 2.5*0,75*1 = 1.875 t/m; qLL = 0 = 1.2 qoL + 1.6qu. = 1.2* 1.875= 2.25 t/m = 2.25*sin 54.462°=1.831 t/m = 2.25*cos 54.462°=1.308 t/m

CjDl.

qu qll,

q"'

0

0

-19.355 0 {P }1 = [T]I T {F }1 =

-32.259 0 0

7

-19.355 8 FEN1 =FEN 4 =1.831*17.20= 15.750ton; I 12

32.259 9

)

FEM, = -FEM 6= - * 1.308* 17.20- = 32.259 ton-m .

17zoq FEY2 =

*(17.20-x)z

fo y(17.20-xr

(3x+17.20-x)dx =11.250ton -15.750 -11.250

17.20

FEYs

=I 0

2

qym·\ 17.20

{x+3(17.20-x)}dx=l1.250ton;{F} 1 =-{FE} 1 +{P}~odal

-32.259 -15.750 -11.250 32.259

Portal Bidang

87

Elemen 2: lz = 9.43 m; y2 = 57.99° = 2.5*0,75* I = 1.875 t/m; qLL = 0 = 1.2 qDL + J.6qLL = 1.2 * 1.875= 2.25 tfm = 2.25*sin 57.995°=1.908 t/m 1 ~~t~s 57.995°=1.1925 t/m 12

+

FENz = qux . lz = 1.908*0.5*9.43 = 9 ton; FEN 4 = 9 ton = 8.844 ton-m; FEM 6 = - 8.844 ton-m FEY 2 = 0.5*quy lz =0.5* 1.1925* 9.43 = 5.625 ton FEV 5 = 5.625 ton

-9

0

-5.625 {F}2 = -{FE}2 + {P}~odal =

-8.844

-9

-10.613 {P}2 = (T]/ {F}2

=

0 0

-8.844 0

0

13

-5.625

-10.613 14

8.844

8.844 15

E!emen 3: /3 = 2 m ; Y3 = 90° qDL = 2.5*0.75*0.75 = 1.40625 tfm, qLL = 0 qu = 1.2 qDL + J.6qLL=J.6875 t/m qux = 1.6875. sin 90 = 1.6875 t/m; quy = 0 FEN 1 = qux . /3/2 = I ,6875*2/2 = 1.6875 ton FEN 4 =1.6875 ton-m FEM3 = 0 FEV 2 = 0 FEM6= 0 FEVs = 0

-1.6875

0

0 {F}3 = -{FE}3 + {P}~odal =

-1.6875

0

{PL =[T]/{F}; =

-1.6875 0 0

88

0 0

0

0

0

19

-1.6875 20

J

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

21

Elemen 4: /4 = 5.5 m; "(4 = 0° qDL = 2.5*0.75*1.5 = 2.8125 t/m; qLL = 2.5 t/m qu = 1.2 qDL + 1.6qLL =1.2*.2.8125 + 1.6*2.5=7.375 t/m

FEN 1 = 0; FEN4 = 0 FEM 3 =qu* 1/112 =7,375*5.5 2/12 = 18.591 ton-m; FEM 6 = -18,591 ton-m FEV 2 =qu*0.5* / 4 = 0.5*.7.375*5.5 = 20.281 ton; FEVs = 20.281 ton

0

0

-20.281

{F}4

= -{FE}4 + {P}~odal =

-18.591

0

2

-18,591

3

0 4

-20.281

-20,281

5

18.951

18,591

6

Elemen 5: 7.5 m Ditetapkan beban ekivalen beban guna memudahkan penentuan besaran gayagaya ujung batang kondisi terkekang.

{P}4 = (T1 T{F}4 =

-20,281

4.5m

I~

/5 =

FEN4

J_LUJJJJ)JJ ~

36.869°'-y/ : / / /

/ /

Be ban hid up :4.5 q LL = 7.5 q LL,;

I I I

: I

/ /

4.5 4.5 qLL' =-qLL =-*2.5=1.5t/m. 7.5 7.5

/~

Beban tetap: q 0 L =2.5*0.75*1.5=2.8125 t/m.

y5 = 126.869°

qu = 1.2 *qDL + 1.6* qLL' = 1.2 * 2.8125 + 1.6* 1.5 = 5.775 ton /m Arah beban memiliki tanda yang sama. qu, = qu* cos 36.8199 = 5.775 *cos 36.869 = 4.620 t/m FEV2 quy = qu*sin 36.8199 = 5.775*sin 36.869 = 3.465 t/m FEN 1 = 0.5*/5 qux = 0.5*7.5*4.620 = 17.325 ton; FEN4 = 17.325 ton; FEM 3 = quy/ 12/12 =3.465*7.5 2112 = 16.242 ton-m; FEM6 = -16.242 ton-m; FEY 5 = -qu 0.5 15 = -0.5*3.465*7.5 = -12.994 ton; FEY 2 = -12.994 ton

FEN1

Portal Bidang

SS

-17.325

0

12.994

{F}s = -{FE}s + {P}~odal =

-21.656 8

16.242 - 17.325

7

{P}s =[T)/{F}s =

16.242 9 0

4

12.994

-21.656 5

-16.242

-16.242 6

Elemen 6: Perhitungan bagi elemen 6 serupa dengan elemen 4: 0

0

-20.281

{F}6 = -{FE}6 + {P}~odal =

-20.281 8

-18.591 0

7

; {P}6 = [T)6T {F}6 =

-18.591 9 0

10

-20.281

-20.281 11

18.951

18.591 12

Elemen 7: Perhitungan bagi elemen 7 serupa dengan elemen 5: -17.325

{F}7 = -{FE}7 + {P}~odal =

0

13

12.994

-21.656 14

16.242

16.242 15

- 17.325 ; {P} 7 = [T)/ {F} 7 =

0

10

12.994

-21.656 11

-16.242

-16.242 12

Elemen 8: Perhitungan bagi elemen 8 serupa dengan elemen 4 : 0

0

-20.281

{F}s = -{FE}s + {P}~odal =

90

-18.591 0

13

-20.281 14

{P} 8 = [T]s T { f} 8 =

-18.591 15 0

16

-20.281

-20.281 17

18.951

18.591 18

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Elemen 9: Perhitungan bagi elemen 9 serupa dengan e1emen 5 : -17.325

0

12.994

.F(9 = -{FE}9 + {P}~odal

16.242 =

-17.325

19

-21.656 20

{P}9 = [T]9 T {F}9

=

16.242 21 0

16

12.994

-21.656 17

-16.242

-16.242 18

(5) Merakit vektor beban ekivalen {P}s

Dengan memperhatikan posisi derajat kebebasan struktur pada setiap elemen, dapat jirakit beban ekivalen titik-titik kumpul dari distribusi beban-beban ujung elemen terkait titik 1-.umpul. 0 -20.281 -18.591 0+0 -20.281- 21.656 18.591 -16.242 0+0+0 -21.656-20.281-19.359 16.242 -18.591 + 32.265 0+0

:PL =

-20.281-21.656 18.591 -16.242 0+0+0 -10.612-21.656-20.281 8.844 + 16.242 -18.591 0+0 -20.281- 21.656 18.591-16.242 0+0 - 1.688- 21.656 0 + 16.242

1 2 (6) Penyelesaian [K] 5 {X}s {P}s -20.281 Dengan menggunakan cara DE-18.591 3 KOMPOSISI atau eliminasi 0 4 GAUSS dapat ditetapkan vektor -41.938 5 deformasi struktur {X}s dari 2.349 6 persamaan simultan linear : 0 7 0

-61.293

=

8

29.910 9 0

10

-41.938 11 2.349 12 0

13

-52.551 14 6.495 15 0

16

-4 L938 17 2.349 18

0

19

l-23.344 20 16.242 21

Portal Bidang

91

g :;;

X

·~

"' -;;,

~ ~ - =r .;.·

"'

-

~ :;:: ~

~

"'

,."' -;;,,,

x x x x x x x x x

X

;;.,

~ ,."' "':r. -

,...: 'I

~

x x x x x x x

x

X'

~

~

:;;

~

"1; ~

~.

;::;

~

X:

~ ~ ~

'I

"'

---·-8··-·-·-·--:]__ _ (/)

=

- =~ - = - 92 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Penyelesaian [K] 5 {X}s={P}s menghasilkan perpindahan [m] dan rotasi [rad] titik-titik kumpul sebagai berikut :

-0.024444 -0.072522

2

0.007452

3

-0.024444

4

-0.032169

5

0.006991

6

0.007824

7

-0.007771

8

0.003007

9

0.007625 10

{x}s

=

0.000016 1 I 0

12

0.003850 13 -0.002529 14 -0.000106 15 0.003645 16 0.000558 17 0.000543 18 0.001905 19 -0.000213 20 -0.000846 21 Dengan nilai vektor {X}s dapat digambar garis elastis struktur.

Portal Bidang

93

(0

.Jlo.

Garis elastis sistem struktur, diagram gaya normal N, gaya lintang L, dan momen lentur M

:t>

3.....

@

::;)

en

'<

V~~/-

tll

::::r

ztll

en

s.6' ::;)

~

0

g.

x 1 = -0.024444 X 2= X 3 ::::

-0.0725:2':: ->0.00"1452

-

''

'

\

',\,@

:· .t"'- 0.024444 X = - 0.032169 5 X :-: +0.006991

',,

' '~'-);;;+~ @~Q~ ~

6

;,

"' "'

\

Q)

Cl>

)::,.

/; /,'

:::3

',,

I

~

/

c~- 0.000016 ~

'~ '

/,

\

\ \

I;,

®

~

x16:

+0.003645

' ~- ~~~~~~~-- x17 ~ +0.000558 X = ~x1s = +0.000543 13 x14 =-

/,'

Cl>

"'

'

J

:::3

2' -...

I

;,

'

x 8 =- 0.007771 x 9 = +0.003007

~;,

t:::

2

(f\ ;, " " ""

// ; / 1/

11

x 1::? = +0.00

824 I

~

(/)

x.

~,

~ ~

~ iii'

x10 " -:-0.007525

x1s

0.002529

= +0.000106

~ Gambar 2.11 Garis elastis sistem struktur struktur

'',,@ '

\ \

',

X19

= +0.001905

~ X2o= -0.000213

~~ =-0 000846 /

(7) Menentukan gaya-gaya dalam ujung elemen Elemen 1 :

· x.

X'1

=

{x}l =

0

0

0

0

0

0

0

0

0.00782

7

0

{tl}, =[T], {x}, =

-0.001778

-0.00077 8 0.00301

-0.01088

9

0.00301

Xm

�

F.

Fs

Fs

{FL ={FE}1 +[S]I{L'lL

Elemen 2:

0

{x}, = 0

163.075

178.826

11.252

11.373

22.625

74.871

107.136

-163.074

-147.324

11.252

-11.373

-0.121

-32.265

120.796

88.531

32.265 =

15.751

+

j

· x s =X',.

0

' : =

15.751

1

0

0

0

o

o lo

0.00385

13

-0.00253

14

{tlL =[Tt{x}, = -

1

.

l

I

o� o � .J

'

-0.00461

-0.00016 15 ,

-1.06 . I 0

'

I J

Portal Bidang

95

Xm

/

F4 9

17.520

26.520

5.623

7.702

13.325

quy

Fs Ym

8.841

{F }, ={FE},+ [s ],{t.}, =

9

+

37.803

=

-17.520

46.644 -8.520

5.623

-7.702

-2.079

-8.841

38.854

26.013

F, E1emen 3: x·2

x·,

0

0

0

0

0

0

0.00191

19

=X520

=X521

x·3

{x}, =

=X519

Xm

t

Fs

+TE' F6

-0.00021 20 -0.00085 21

0

0

0 0

{t.}, =[T],{x}, =

0 -0.00021

Y3 =90°

F2 Ym.-

-0.00191 x·3

{F}, ={FE}, +[S},{t.}, =

1.6875

124.031

125.719

0

88.040

88.040

111.573

111.573

-124.031

-122.344

0

-88.040

-88.040

0

64.507

64.507

0

+

1.6875

._,

i

96

F,

-0.00085

=o

'

.

'

~

......... 4

)·{il!J.~

"'"

'

Amrinsyah Nasution, Metode Mat~ik Kekakuan Ana!isis Struktur

E!emen 4: -0.02444 1

0

r

x·s=X's~

x·,=x',-+G-l_Hr-1~-----~-----9 X 2- X

-0.07252 2

x·.=x-. {x}. =

0.00745

3

-0.02444 4 -0.03217 5

2

0.00699 -0.02444

6

Ym

-0.07252

{L1 L = [T]. {xL =

0.00745 -0.02444

F1

~t!---&-....&.......0~----..&.......ll~or+---1~

-0.03217

IFz

0.00699

{F} 4= {FE}4+ [s]4 {L1}4

Xm

0

0

0

20.28125

-20.44779

-0.16654

-19.18310

0.59209

0

0

20.28125

20.44779

40.72904

l-18.591

-93.27969

- 111.87069

18.591 =

+

0

0,00782 {x},

x· 2 =X'a

=

7

-0.01091

-0,00777 8

-0.00159

o,oo301 9 -0,02444 4

l-

0,03217 5 0,00699 6

{L1}s = [TUx},

0.00301 =

-0.01107 0.03885 0.00699

Ym Portal Bidang

91

17.325

51.66

68.985

-12.99375

-37.1448

-50.13855

-374.36175

-390.60375

- 51.66

-34.335

-12.99375

37.1448

24.15105

16.242

95.77575

112.01775

-16.242

{F}5 = {FE}5 + [S] 5 {L1} 5 =

17.325

+

Elemen 6:

x·, =X'y

x.=x·,r .. -te:-:·tJio'.!r-:-;----®-6____ _ g

X 4=X

10

{x}c, X 2- X

9

x·s=X'"

=

0.00782

7

-0.00777

8

0.0030 I

9

0.00763

10

0.00016 -2.5.10

Ym

0.00782 -0.00777 0.00301 0.00763 0.00016 -2.5.10-' 0

81.61364

81.61364

20.28125

15.67997

35.96122

18.591

Elemen 7:

{x}7 =

-81.61364

-81.61364

20.28125

-15.67997

4.60! 28

-18.591

-199.326

-217.91712

0,00385

13

-0,00253

14

-1,06.10-" 15 0,00763

I0

-0,00016 - 2,65 . 10

98

304.15699

0

11 7

12

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

11 7

12

-4,33.10~'

{~},

=[T],{x}, =

1,56.10 ' 1,06 .10~' -4,56.10 ' - 6,11. I o-' -2,65 .I 0 '

Ym

{F}, ={FE},+ [S ],{~}, =

17.325

72.828

90.153

-12.99375

52.329

39.93539

189.9893

173.74730

-72.828

-55.503

-12.99375

-52.3291

65.32289

16.242

202.47924

218.72124

-16.242 -17.325

+

Elemen 8: x· 3=X\s x·,=X 5 13

~:. 0.00385

{X}g

®

S

X ,oX

s 00

x·,=x', 13

-0.00253 14 1.06 *I 0~~ 15 =

5

r

x·6=X 1s~.

0.00385 -0.00253 1.06 * 1o-~

0.00364

16

0.00364

0.00056

17

0.00056

0.00054

18

0.00054 Portal Bidang

99

Ym qu

F,--&i

Xm

F2

{F}8 = {FE}8 + [s)8 {~} 8 =

0

90.20454

90.2054

20.281256

-60.59253

-40.31128

-218.65816

-200.06716

-90.20454

-90.20455

60.59253

80.87378

-114.60077

-133.19177

18.591

+

0 20.28125 -18.591

J

Elemen 9: 19

-1.314* .10-J

-0.00021 20

-1.402 * 1o-J

0.00191

x·. =X'1s

{x}. =

-0.00085 21

{x}," = [RL {xL =

-8.5*10-" -1.736 * 1o-

1

17

-3.248*10-

1

18

5.4 *! 0 -·

0.00364

16

0.00056 0.00054

x·2 =X'2o

17.325

132.93

150.255

-12.99375

8.6121

-4.38165

-49.8015

-66.0435

-132.93

-115.605

-12.99375

-8.6121

-21.60585

16.242

114.3922

130.63425

-16.242 17.325

+

100 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Diagram gaya normal N, gaya lintang L, dan momen lentur M

Perjanj ian tanda .

146.819 ton 55.065 ton

(-) . gaya tekan (+) · gay a tarik

117.209 ton

87.931 ton

123.876ton

~

dJ

§:

127.251 ton - ¥ 7 " 7

ll:J

§: ::J .(Q

...... 0 ......

Gambar 2. I 2a Diagram gaya normal N

..... 0 N )>

3 ....

s·

24.338 ton

en

'< tll

::r

ztll

(/';

s.a· :J

~

Perjanjian tanda:

0 ~

(+)1

~ ~

1-)

~

"'t:::" "':::J"

tll

tll

)::.

:::J

tll

~ iii' (/)

40.00 I ton

2

"'"

-...... @> 80.563 ton

2' -.,

lVc:-:;J 87.931 ton Gambar 2.12b Diagram gaya lintang L

111.547 t-m

.A11111111 ~7

~.,.__t-m1\.303.083 t-m

,0/; Perjanjian tanda : ( _) : M negat1f (D) (+):

Mposit1f

(o)

132.093 t-m

dJ

~

64.496 t-m

CO

~

111.366 t-JTI

::s

CQ

... 0

w

Gambar 2.12c Diagram momen M

L

L.!.J

I

2.10 Program Komputer Anal is is Struktur Rangka Bidang Sub-bab ini menjelaskan bagan alir dan program sumber di dalam bahasa tingkat tinggi komputer PASCAL. Pengguna dianggap sudah memahami bahasa Turbo Pascal. Dengan bagan al ir/algoritma pemrosesan yang d irancang dari prosedur anal is is, program sumber komputer dapat disusun dalam enam kategori utama pernyataan : a.

Pernyataan bagi arsip~fi/e dan record yang akan diproses oleh komputer.

b.

Pernyataan untuk data diluar arsip, seperti untuk membuat judul yang diperlukan dalam doku mentasi.

c.

Pernyataan memindahkan data pada satu lokasi memori ke lokasi memori lainnya dalam memori utama komputer.

d.

Pernyataan melakukan prcses aritmatik yang disimpan dalam memori utama.

e.

Pernyataan logika: proses unit, pilihan (perbandingan) dan iterasi.

f.

Pernyataan membaca data dari memori dampingan (disket, hard disk) ke memori utama atau menuliskan data dari memori utama ke memori dampingan.

Secara umum Deklarasi Program Bahasa Turbo Pascal adalah

{Judul Program dan penjelasan variabel} Dek/arasi : Label Const Type Var Procedure begin

hadan sub-program; end:

Function: begin

hadan sub-program; end;

begin program utama end. Pemahaman lebih jauh dalam t;ecnograman dapat cibaca dalam buku-buku komputer.

104 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

------------------------------------------------------·---·-" Deklarasi Program

Jl

-

:::). Q)

( ))

Q Q) ::J

(Q

..... 0 (11

Deklarasi judul program

PROGRAM PORTAL_BIDANG;

Deklarasi tipe matriks M66 : Matriks 6 x 6

TYPE M66

Deklarasi konstanta MAX EL Jumlah elemen maksimum MAX_ND Jumlah nodal maksimum MAX P Jumlah derajat kebebasan maksimum MAX MT Jumlah tipe material maksimum MAX BB Jumlah tipe beban maksimum Deklarasi variabel a. Variabel data struktur JUDUL Judul Data Struktur NNODAL Jumlah titik nodal NMATERIAL Jumlah tipe material NELEMEN Jumlah elemen struktur NBEBAN Jumlah tipe beban X,Y Koordinat titik nodal FX,FY,MZ Beban titik nodal; RX,RY,RR Kode kekakangan titik nodal JJ,JK Nomor nodal i dan j elemen struktur MAT Tipe material elemen struktur BE BAN Tipe beban elemen struktur E,A, IX Sifat penampang elemen struktur QLX,QLY Beban elemen struktur b. Variabel analisis struktur NP Jumlah derajat kebebasan struktur PX,PY,PR Penomoran kebebasan struktur KK Matriks kekakuan global struktur pp Matriks gaya nodal global struktur XX Matriks perpindahan global struktur c. Variabel bantu NAMA_FILE Nama file input/output FINP,FOUT Variabel file input/output

CONST MAX_EL MAX ND MAX_P MAX_MT MAX BB

ARRAY [1 .. 6,1 .. 6] OF REAL;

=

25; 25;

=

75;

15; = 15; =

VAR JUDUL : STRING[80]; NNODAL,NMATERIAL,NELEMEN,NBEBAN : INTEGER; X,Y,FX,FY,MZ : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF REAL; RX,RY,RR : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF INTEGER; JJ,JK,MAT: ARRAY [l..MAX_EL] OF INTEGER; BEBAN : ARRAY [1 .. MAX_BB] OF INTEGER; E,A,IX,QLX,QLY : ARRAY [1 .. MAX_MT] OF REAL;

NP : INTEGER; PX,PY,PR : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF INTEGER; KK : ARRAY [1 .. MAX_P,1 .. MAX_P] OF REAL; PP,XX : ARRAY [1 .. MAX_P] OF REAL;

NAMA_FILE FINP,FOUT

STRING[15]; TEXT;

~~

1

Subprogram Pembacaan Input Data Dek larasi

)>

3 :::J [/)

'<

Ill

~

KR I'~?

:::J:

z Ill

judu~

subprogcca:c:

P~OC2DURE

variabel llari a be 1 i:erasi_ L7urn~ah joint tcrke!
~ekla~asi

N,J

INPUT_DATA;

VAR I,NR,'\JF,KJ

INTEGER;

Input Date.

I = 1 to MAX._JN

/_.._

[/)

s.6"

3agE:.n al i

1:"

SIJbprogranl

pe::JJa.caa~l

data

= 0

= 0

BEGIN

o0 0

0

FOR I:=l TO 10 DO

::::J

~

0 Q C1l

~ ~

BEGIN ~L~~~~

.

Baca

NNodal

rel="nofollow">..

X

Clli

"""

Ol

""" Ol

c:

:::l )::, :::l Ol

~ Cii ~

RX [I I : = 0;

/

!

•

Baca X(l)

Y(l)

I

..

:= 0;

FX[I: FY[II

: =·

0;

:=

0;

MZ [I I

: = 0;

READLK(FINP,JUDUL); READLN(FINP,NNODAL); FOR I:=l TO NNODAL DO READLN(FIN2,X[I],Y[II)

Baca NJ

2

""" <:: -...

:= 0;

END;

J B..lC
RY~:]

RR[ll

RX(NJ) RY(NJ) RR(NJ) -------,-----

t-------

READL'\J(FINP,NR); FOR I:=l TO NR DO BEGIN READ I FINP, NJ); REA~~NIFINP,RX[NJI

,RY[NJ] ,RR[NJI)

B<>ca

.

NMateroal

NBeb::m

END;

:

READLN(FINP,NMATERIAL,NBEBAN)

I= 1 to NMatenal

_,

FOR I:=l TO ~MATERIAL DO READLN(FINP,E[I],A[I],IX[I] I; FOR I:=l TO NBEB.Z\N DO READLN(FINP,QLX[I] ,QLY[I] I; READLN(FINP,NELEMENI; FOR I:=l TO NELEMEN DO EEADLN(FINP,JC:~I] ,JK[I] ,MAT[I] ,BEBAN[I] I; READLN(FINP,NFI; FOR I:=l TO NF DO BEGIN READ(FINP,NJI; READLN(FINP,FX[NJ] ,FY[NJ] ,MZ[NJ] I; 2ND; END;

/".., -

_____ _

Baca QLX(I) OL Y(l)

1--__t_ __ _

Baca NEiemen I

_ _ _y__ I = 1 to NEiemen

"

~

---~,/'

----•-

Baca JJ(I), JK(I),

~'_ _MAT(I) L()Ai)(l)__

~r)---

__j

I

___ __t___

Baca NF

- __'f____ __

I= 1 to NF

-----'---------

dJ

~

ClJ

Q QJ ~

'---

Baca NJ

--~-

•

Baca FX(NJ), FY(NJ) MZ(NJ)

.:J;--

(Q

..... 0

"""

Selesa'

I

_j

c;l col )>

3 :::l (J)

Subprograrn Perhitungan DOF Struktur 0eKlarasi judul subprogram

PROCEDURE DOF;

Deklarasi variabel - : Variabel iterasi

VAR

Bag an alir subp:-ogram perhi tu~_an DOF struktur

B2GIN NP :- 0;

I

'< ill

uo~ _

z

I

::r-

_jj

,---'"----

ill

1

(J)

NP "'0

I----,--

s.c.;·

l=l_t_oy_~~')-..1

:::l

$;:

'

/

-

I


oQ

0

0..

~ ~

~ :>;::>;:-

FOR I:=1 BEGIN PX[II PY[II PR[II END;

TO NNODAL DO : = 0; : = 0; : = 0;

,J}--


Q)

INTEGER;

<~-=~ --

•

--va-

//__.,.

---<.:::_R;,

= NP+1 PX_ll_l__~

c:

---~'

Q)

:::; ):,.

:::; Q)

~

. !.

FOR I:=1 TO NNODAL DO BEGIN IF RX[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PX[I I := NP IF RY[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PY[II := NP IF RR[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PR[II := NP END;

END; END; END;

iii" (/)

2:;.;,-

"

2"

J

"""'

(:;

_j

/,-.~ ~Nodal"',.. -----

--"-

Tul,-,

I PX(I) PY:IJ PRiiJ

r-

.

~

,/

WRITELN(FOUT,JUDUL); WRITELN(FOUT); 1\JRITELN ( FOUT, 'JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR = ' , NP) ; WRITELN(FOUT,' NJ PX PY PR'); FOR I:=1 TO NNODAL DO I•JRITELN ( FOUT, I: 3, PX [I I : 4, PY [I I :4, PR [I I :4) ; WRITELN(FOUT); END;

Subprograrn Perhitungan Matriks Kekakuan Global Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I,J,K : Variabel iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan j elemen struktur

Bagan alir subprogram transpose matrik

;-c-

NMAT p

DX,DY,L CX,CY EAL, EILl, EIL2,EIL3 KM KS R TEMP

Jenis material elemen struktur Nomor derajat kebebasan elemen struktur Panjang elemen struktur Cosinus dan sinus sudut elemen struklur Komponen matriks kekakuan elemen struktur Matriks kekakuan elemen lokal Matriks kekakuan elemen global Matriks rotasi Variabel penyimpan matriks semen tar a

----~11

~npos~

<

~=1to6


_ __ 1 _

--

~to6

r-

"

/~

~

___/r-1 '"'

_y_

I

LMP(IJ) = A(IJ)

0 ----~1 ~}--~-~---·

__ __j

~-J

~~:

------r - - > - -, ~(IJ)=TEMP~J I~ l -.

/

J

= 1 to

6

~

_____ ___y_

~

OJ

§:

::J

(Q

..... 0

(0

REAL;

T

-~

/-

<...,

dJ

PROCEDURE KEKAKUAN~GLOBAL; VAR I, J, K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P :ARRAY [1 .. 6] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL,EILl,EIL2,EIL3 KM,KS,R,TEMP : M66;

-

-

~~---- ___ j :::T:- - - - - - ---'f: ____ Selesa1

\

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M66); VAR TEMP : M66; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO TEMP[I,J] A[I, J]; FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO A[I,J] TEMP[J,I]; END;

..... .....

Baga:-1 cl i : :- S'Jbprograrr, perkcl i

0

r.:at_::-_i_ks

P?cOCC:DliRE

~1ULT:::

PLY I A, B

IV::S6

VAR C

i

;vr66 I ;

VAR T , ,J, K IEGlN

Mult1ply(M B Cl

}>

3-; :::J

?OR::=~ ~0 6 DO FOR J: FOR ::=~ 70 6 DO FOR J: "OR K:=: 70 6 00 C'I,J] END;

T

(fJ

'<

I- 1 to 6

ill

::r

z

.T

ill (fJ

J = 1 to 6

s

~_,.,.

0

:::J

~

C(l Jl = 0

it

T

~ ~

T

~ 5;

1 = 1 to 6

0

' I_

--

T.

:>c-

c: C\)

.,._

y ____ -

J = 1 to6

::0

'><4-----

h

::0 C\)

T

~ Cii

K = 1 to 6

..-

S2

;::l

~

C(l J) = Cil Ji +All Ki'B(K,J)

:;

T

,~-

!

r

. I I L__ II

~.

Selesa ~---

1

~"J'''EGER;

=

1 1'0 6 DO C [I, J] 1 TO fl DO

:=

0;

:= C[I,J]+A[I,K]'B[K,J];

Bagan alir subprogram perhitungan matriks kekakuan global []

~ekak_uan Global

jJ

___l__

~=1toNP >--~ I

<

___t_

J=1to~,

-- L~_j

!

I

I

t=-=~

_i_~. ~ ~toNEie~~_ _ _ _ __j ______ _

I

NJ = JJ(I). NK = JK(I); NMAT = MAT(I) I P(1) = PX(NJ); P(2) = PY(NJ); P(3) = PR(NJ) P(4) = PX(NK). P(5) = PY(NK). P(6) = PR(NK) DX = X(NK) • X(NJ). DY = Y(NK) · Y(NJ) I L = (DX2 + DY2) 112 CX = DXIL CY = DYIL EAL = E(NMAT)"A(NMAT)IL EIL1 = E(NMAT)"IX(NMAT)IL EIL2 = E(NMAT)"IX(NMAT)I(L "L) EIL3 = E(NMAT)"IX(NMAT)I(L "L "L) ----

~~~-··-,

_ _i_

~~--·

-

CJ=11o~--­ ·----r-

t

K=1t~

/

~--r-·_/

dJ ~

CO

~ ::J

CQ

~ ~

~

'-I

KM(J.K) =

L_____

I

==!J

o

R(J.~) = 0

t- '

~--_j

I :

i

BEGIN FOR I:=l TO NP DO FOR J:=l TO NP DO KK[I,J] FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK : = JK [I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[NJ]; P [ 2 l : = PY I NJ l ; P[3] := PR[NJ]; P[4] := PX[NK]; P [ 5] : = PY [ NK] ; P[6] := PR[NK]; DX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DYI; CX := DX/L; CY := DY/L; EAL := E[NMAT]*A[NMAT]/L; EILl := E[NMAT]*IX[NMAT]/L; EIL2 : = E [NMAT] *IX [NMAT] I ( L*L) ; EIL3 := E[NMAT]*IX[NMAT]/(L*L*L);

I

.

FOR J:=l TO 6 DO FOR K:=l TO 6 DO BEGIN KM[J,K] . - 0; R[J,K] = 0; END;

:=

0;

..... .....

KM[1,1] KM[2,2] KM[2, 5] KM[3,2] KM[3,5] KM[4,1] KM[5, 2] KM[ 5, 5] KM[6,2] KM[6,5]

N 1) = EAL

~

4t::: -EAL

::: 12"EIL3

= 6"EIL2 = KMt2 31 2)::: 6"EIL2 3t = 4'EIL1 KM(3 21 KM{3.61 = 2'EIL 1 KMi4 11 = -EAL ::: EAL KMtS 2) = -12'EIL3 = -6'EIL2 KMtS 51=- KM(5 2) ::: KMi5,3t

3

KMt2 51=- KMt2 2t

"""' :::J

=

(f)

'<

Ill

::r

'l

z

KM16 2) = 6'EIL2 KM(6,5) = KM(6 2J

= 2'EIL 1 = 4'EIL 1

Ill (f)

s.0

R11.11 = CX. R 11,21 = CY

= -CY

R(2

:::J

R [1, R [2, R [3, R[4, R[ 5, R[ 6,

Rt2 2) = CX Rt,J 3) = 1

41 = CX R(4 5) = CY R(S 4) = -CY Ri5 5) = CX. Ri6,61 = 1

~

0 25-

11

~ ~

i![ _

~

~------

I I

Mclt•ply(K~~ ;~~p~Ll -~--

_T':?

"" c:

""

'~~~-,

0=--~ -~-0- ~

):,.

::J

(l)

2

""t:: "'

END;

~~~~ . ~------·~ -~~J:::(KI"' _g::-> ,_, I lldak I,

KK!PiJI,P(K)I =KK(P(J) P(K)) + KS1J.K) r~--

-•Y·

~:-----

~-

~---~~ I

>t)

''-'

R [ 1. 2] R [2, 2]

:= CY; := CX;

R[4,5] R [ 5, 5]

:= CY; := CX;

KS [J, K];

c~

~

c;;;·

:= CX; :=-CY; : = 1; := CX; :=-CY; : = 1.

FOR J:=1 TO 6 DO FOR K:=1 TO 6 DO IF P[J]*P[K]<>O THEN KK[P[J],P[K]] KK [ P [ J] , P [ K ] ] +

(l)

::J

1I 1] 3] 4] 4] 6]

MULTIPLY(KM,R,TEMP); TRANSPOSE(R); MULTIPLY(R,TEMP,KS);

(l)

(/)

KM[1,4] : =-EAL; := EAL; KM[2,3] := 6*EIL2; := 12*EIL3; KM[2, 6] := KM[2,3]; :=-KM[2,2]; KM[3,3] := 4*EIL1; := 6*EIL2; KM[3,6] := 2*EIL1; :=-KM[3,2]; KM[4,4] := EAL; :=-EAL; KM[5,3] :=-6*EIL2; :=-12*EIL3; KM[5,6] := KM[5,3]; :=-KM[5,2]; KM[6,3] := 2*EIL1; := 6*EIL2; KM[6,6] := 4*EIL1; :=-KM[6,2];

-:~

'-../

I

WRITELN(FOUT, 'MATRIKS KEKAKUAN GLOBAL STRUKTUR: '); FOR J:=l TO NP DO BEGIN FOR K:=l TO NP DO WRITE(FOUT,KK[J,K] :10:0); WRITELN ( FOUT) ; END; WRITELN(FOUT); END;

8 /~

--

•-

--

~-1=1toNP~> ___ ,.____ _

C_J=1to~01

-

_____]'_

Tulis

--

-

l~--------r KK(I::'~---_J

~ ~j

I I

Q:-------~ 0---~~____y___ ~

('--

-

-,

S<=~_e~_/

Subprogr&a :PerhH:ungan Matriks Gaya Nodal

dJ

~

OJ

§: :::J

I

(Q

..... .....

w

I

I

Deklarasi judul subprogram. Deklarasi variabel I,J,K Variabel iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan j elemen struktur NMAT Jenis material elemen struktur p Nomor derajat kebebasan elemen struktur DX,DY,L Panjang elemen struktur CX,CY Cosinus dan sinus sudut elemen struktur F Matriks gaya nodal lokal PF Matriks gaya nodal global R Matriks rotasi

PROCEDURE GAYA NODAL; VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK : INTEGER; p : ARRAY [1.. 6 J OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY : REAL; F,PF : ARRAY [ 1. . 6 J OF REAL; R : M66;

-

Bagan alir subprogram transpose matriks

~r(A~ . ______y______~

~1to6=>-

l

~~' !

,._____/

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M66); VAR TEMP : M66; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO TEMP[I,J] A[I, J]; FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO A[I,J] . TEMP[J,I]; END;

.-

11

l~~~~~~ 0------_j

0-----.-"

~~--, -~~~~

I

<-J-E __l __ _

----' '_ A( I J) = TEMP(.J.I)_J

I

~--_j ~-----j

L___________________________________________~--------------------------------------~

................................-------------------Bagan allr subprogram perhitungan matriks gaya nodal

l___~a;~-Nodal

__

BEGIN FOR I:=l TO NNODAL DO BEGIN PP [ PX [I] ] . ~ FX [I] ; PP [ PY [I] ] . ~ FY [I] ; PP [PR [I] ] . ~ MZ [I] ; END; FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN IF (QLX[BEBAN[I] ]<>0) or (QLY[BEBAN[I] ]<>0) THEN BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JK[I]; P [ 1] . ~ PX [NJ]; P[2] .~ PY[NJ]; P [ 3 ] . ~ PR [ NJ] ; P[4] .~ PX[NK]; P [ 5] . ~ PY [ NK] ; P [ 6 ] . ~ PR [ NK] ; DX := X[NK] ~ X[NJ]; DY := Y[NK] ~ Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX .~ DX/L; CY := DY/L; F [ 1] F [2] F [3] F [4] F [ 5] F [ 6]

.

. . .

. .

~

~

~

~

~

~

* QLX[BEBAN[I]] * L; * QLY[BEBAN[I]] * L· * L*L; ~1 !12 * QLY[BEBAN[I]] * L· ~0.5 * QLX[BEBAN[I] I * L· ~0.5 * QLY[BEBAN[I]] 1/12 * QL Y [BE BAN [I ] ] * L*L;

~0.5

~0.5

FOR J: =1 TO 6 DO FOR K:=1 TO 6 DO R[J,K]

.

~

0;

R [1, 1]

-~~1~i1,2)~cv, --~ R(2,1) ~ -CY, R(2,2) ~ CX, R(3,3) ~ 1 I R(4,4) ~ CX: R(4,5) ~ CY I

1 1

I

RiSAl ~ -cY: RiS,S) =ex Ri6~

:.:::

R [1, 2] CX; R [2, 1] :=-CY; R [3, 3] . - 1· R[4, 4] . - CX; R[5,4] :=-CY; R[6,6] . - 1;

. - CY; R[2,2]

. - CX;

R[4, 5] R[5,5]

. - CY; . - CX;

-,---~-

1

~----'--1

1 1

TRANSPOSE (R);

Transpos~~

21 PF(J) ~ 0

-

i

__j

I

!

I

<-:·('=> l I

11

~(J) ~ PF(J) + R(J,K)'F(K) L___

I

I

t =-- lj -~

I

~

~

I

I ~· I : PP(J) ~ PP(J) + PF(J)

t1dak

,

I 1

I

~~ ~}----

r

0

~_))---------~~-·<)

cb

FOR J:=1 TO 6 DO BEGIN PF[J] .- 0; FOR K:=1 TO 6 DO PF[J] END; FOR J:=1 TO 6 DO IF P[J]<>O THEN PP[P[J]] END; END;

.- PF[J]

+ R[J,K]*F[K];

.- PP[P[J]] + PF[J];

0

<~4~__>---1 t

c-Tulis• PP(I)

WRITELN(FOUT, 'MATRIKS GAYA NODAL :. ) ; FOR I:=l TO NP DO WRITELN(FOUT, 'P[',I:3, '] = ',PP[I] :10:3); WRITELN(FOUT); END;

I

I

I I _j

q I I

(

:! Selesai

)

Subprogram Perhitungan Solusi Deformasi Deklarasi judul subprogram

PROCEDURE SOLUSI;

Deklarasi variabel I : Variabel iterasi N : Jumlah persamaan

VAR I,N

:

INTEGER;

..... ..... 00 )>

3....,

s·

(fl

Bagan alic- s1;bprogram faktorisasi matriks

j_

Faktor

//r---

-

T

,

,,____:_=2to~:_

,~--t

'<

/~----

___ _

J1=J1

ru

:::J"

zOJ

··-

Jh1

(fl

s;. 0

:::J

~

0Q

'------

SUM= KK(I Jl 11 = 1-1


~ ~

I SUM= SUM-

KK(~~~

~

~ Q) ~

<::::

K1I,Jl =SUM

Q)

::J

h

::J Q)

~

c:;;·

--·~ SUM= KKIJ J\

(/)

2 ~

2" ...,

-TEMP; SUM=

KK1J Jl =SUM I -- _j

PROCEDURE FAKTOR; VAR J,Jl,I,Il,K : INTEGER; SUM,TEMP : REAL; BEGIN FOR J:=2 '":'0 N DO BEGIN Jl := J-l; IF(Jl<>l) THEN FOR I:=2 TO Jl DO BEGIN SUM := KK[I] [J]; Il := I-1; FOR K:=l TO Il DO SUM := SUMKK[K] [I] *KK[K] [J]; KK [I] [ J] : = SUM; END; SUM : = KK [ J] [ J] ; FOR K:=l TO Jl DO BEGIN TEMP : = KK[K] [J] /KK[K] [K]; SUM:= SUM-TEMP*KK[K] [J]; KK[K] [J] := TEMP; END; KK [ J] [ ,J J : = SUM; END; END;

Bagan alir s:1bprogram substitusi PROCEDURE SUBSTITUSI; VAR INTEGER; I, Kl, K, I1, K2 SUM : REAL; BEGIN FOR I:=l TON DO BEGIN SUT1 : = XX [ I ] ; Kl : = I -1; IF(I<>l) THEN FOR K:=l TO Kl DO SUM.- SUM-KK[K] [I] XX [I j . - SUM; END; FOR I : = 1 TO N DO XX [I ] . - XX [I ] I KK [ I 1 [ I 1 ;

Subsl1tus1

<

__

,_____

I= 1 toN

>.-

i __'!___ __

SUM= XX(I) K1 = 1-1

-'-

l.:r-1 ye /

_____1___ __ "'

<~ _K = 1to_i<1_)~ t:da~

~

---

~-

--I

SUM= SUM- KK(K I) XX(K) i

- _________!1___

----

XX(I) =SUM

! _)

<~-·-~ I = 1 to N

~1__/

[ !

..... ..... CD

II

>4--------

----•

XX(I) = XX(I)IKK(I I) ----

j

I I

__ j

* XX[K];

~

H

~I

13tfl 11

13tfl 0 Cl

z 0

._

z

H

--~

._

~~:::0

--E-<

c-rx:c-r

11

tfl

+X:+-~11

0 Q

H

c-1

Z

H

11

I

"

Z

Z

1\

11

V

"H

11 :>: E-<~~5;~~

0

p:::;

"

0

~ ~ H ~

;;] Q

c-1<:.9

11

E-<

WN:8

~

zw

w

.. Pl c-1 H

Q

Z w

-~

-----~~

--- - - - -

~~~---

- - - - - --l

I

·~~LJ

0----

xX

I I

13 L_"', I

•--~

120

~---

-g, _____

"'

I

L__j

_j

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

_)

Subprogram Perhitungan Solusi Deformasi Deklarasi judul subprogram

PROCEDURE SOLUSI;

Deklarasi variabel I : variabel iterasi N : Jumlah persamaan Bagan alir subprogram perhitungan solusi deformasi

VAR

11

Solusi

I I

I= 1 to NP

N = NP

c~ktor

IT

11

Solusi 11

'"tJ

0

~

et

OJ

~

~I I ~

N

..a..

(

Selesai

)

I, N : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO NP DO XX[I] := PP[I]; N := NP; FAKTOR; SUBSTITUSI; WRITELN(FOUT, 'SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR :'); FOR I:=l TO NP DO WRITELN(FOUT, 'X[' ,I:3, '] = ',XX[I] :10:6); WRITELN ( FOUT) ; END;

..... N N )>

3....,

s·

(j)

'<

tll

::J""

z tll (j)

5.

6" ::J

~

0

?5-

~

~

~ :>;Ill :>;-

Subprogram Perhitungan Gaya Elemen Struktur Deklarasi judul suoprogram Deklarasi variabel I,J,K Varjabel ~terasi NJ,NK Nornor nodal i dan j e=effien s::r;.;kt'"r NMAT Jer1~s material ele~en struktur p Nomor derajat keoebasan elemen struktur DX,OY,L Panjang elemen slruktur CX,CY Cosir1us dan sinus sudut elemen struktur EAL,EIL1, EIL2,EIL3 Kor:,ponen matriks ke:Zakuan elemen struktur ~acriks deformasi elc~en global XS XM Ma::riks deformasi ele~en lokal FM Matriks gaya elemen lokal KM Matriks kekakuan elemen lokal R Matriks rotasi Matriks gaya nodal lokal F

I PROCEDURE

GAYA~ELEMEN;

VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P : ARRAY [1 .. 6] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL,EILl,EIL2,EIL3 XS,XM,FM: ARRAY [1 .. 6] OF REAL; KM,R : M66; F :ARRAY [1 .. 6] OF REAL;

<::::

Ill

::J )::. ::J

Ill

~

c;;· (/)

2

:>;-

c: ""'

Bagan alir subprogram perhitungan gaya elemen struktur

BEGIN FOR I:=1 TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JK[I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[N,J]; P[2] := PY[NJ]; P[3] := PR[NJ]; P [ 4] : = PX [ NK] ; P [ 5 ] : = PY [ NK I ; P[6] := PR[NK]; OX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L : = SQRT (DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL := E[NMAT]*A[NMAT]/L; EIL1 := E[NMAT]*IX[NMAT]/L;

REAL;

-~~~:Eiem~

EIL2 EIL3

r•


"'---

--

NJ o JJ(I), NK o JK(I), NMAT o MAT(I) P(1) o PX(NJ) P(2) o PY(NJ), P(3) o PR(NJ) P(4) 0 PX(NK), P(5) 0 PY(NK) P(6) 0 PR(NK) I OX o X(NK)- X(NJ) DY o Y(NK)- Y(NJ) L = (0X2 + DY2)12 CX = OX/L, CY = DY/l EAL o E(NMAT)'A(NMAT)/L Ell 1 = E(NMAT)"IX(NMAT)/L EIL2 o E(NMAT)'IX(NMAT)/(L'L) EIL3 o E(NMAT)"IX(NMAT)/(L 'L 'L)

~1to6)! ~~ o o____ ,

R(J

I I

~----_j

c}___ I

- - ---

: I !

dJ ~

'~KM(5,5)

0 - KM(5,2), KM(5,6) ° KM(5,3) KM(6,2) = e·EIL2, KM(6.3) = 2~Eil1 KM(6,5) ~-: KM(6,2) KM(6 6) 0 4'EIL 1_

i

::l

I

§: ~

1\)

w

l I

I

'I

I

I

OJ


__ _j_______ _

KM(1,1) oEAL,KM(1,4) 0 ·EAL KM(2,2) 0 12'EIL3, KM(2,3) 0 6'EIL2 KM(2,5) o- KM(2,2) KM(2,6) o KM(2,3) KM(3,2) o 6'EIL2 KM(3,3) o 4'EIL1 KM(3 5) 0 - KM(3,2), KM(3 6) 0 2'EIL 1 KM(4,1) 0 -EAL. KM(4,4) 0 EAL KM(5,2) = ~12"Eil3, KM(5,3) = -6*EIL2

1

R(1 1) o ex R(1 2) o ey_-~~ R(2,1) = -cv. R(2.2l =ex. R(3,3l = 1

1

~" • R(4.41 o

ex

R(4,51 o ev ex. R(6 6) o 1

L___"__"!'~_"__:CY R(5 5) o

FOR J:=l TO 6 DO FOR K:=l TO 6 DO BEGIN KMIJ,K] := 0; RIJ,K] := 0; END; KMI1,1] KM[2,2] KMI2, 5] K~l3,2]

KMI3,5] KMI4,1] KMI5,2] KM[5, 5] KM[6,2] KMI6, 5]

~~-l •-

KM(/K)~

:= E[NMAT]*IX[NMAT]/IL*L); := E[NMAT]*IX[NMAT]/(L*L*L);

j

R 11,1] R [2, 1] RI 3, 3] R [4, 4] R [ 5, 4] RI 6, 6]

KM[1,4] :=-EAL; := EAL; KMI2,3] := 6*EIL2; := 12*EIL3; KM[2,6] := KM[2,3]; :=-KM[2,2]; KM[3,3] := 4*EILl; := 6*EIL2; KM[3, 6] := 2*EIL1; :=-KM[3,2]; KM[4,4] := EAL; :=-EAL; KMI5,3] :~-6*EIL2; :=-12*EIL3; KM IS, 6] := KMI5, 3]; :=-KMI5,2]; KMI6,3] := 2*EIL1; := 6*EIL2; KM[6, 6] := 4*EIL1; :=-KMI6,2]; := CX; :=-CY; : = 1; := CX; :=-CY; := 1-

R [1, 2] Rl2, 2]

:= CY; := CX;

R [4, 5] RI 5, 5]

:= CY; := CX;

.....

~

N

~

FOR J:=l TO 6 DO IF P[J]<>D THEN XS[J]

~~~

)>

3...., ::::r (J)

-/~ P(J)= 0 .----._.

lya------<..._

'<

x~~~

Q)

:::J"

z

Q) (J)

J

···~

..-~

tldak1

'

[-;;si~-~

= XX(P(JJI I

T

: _____ --.c;J•

s.a·

+

I !

(jr----~ -~~___j

::J

I

0~~to_;_y----,

~

0

~~XM(~)~ o-J

iS

~ ~

-·

<

!

I

r···-~

___ L__~

s

K= 1

to6

~--,-~-

~ (\)

c:

I

I I

• XM(J) = XM(J) + R(J K)"XS(K)

:>;-

!

;:------~ !

j

'!

(\)

::l

h

::l

0-~

(\)

~

_L~

c;;·

J =1

(/)

to

6 -~·/.>+-------~~]

·r·

2

1

~

.

~

~

2" .....

~~~>---1 ...l

FM(J) = FM(J) + KM(J K).XM(K)

I I

.J .J

~)---l

!'!' ~)

:= XX[P[J]] ELSE XS[J]

FOR J:=l TO 6 DO BEGIN XM[J] := 0; FOR K:=l TO 6 DO XM[J] END; FOR J:=l TO 6 DO BEGIN FM [J] : = 0; FOR K:=l TO 6 DO FM[J] END;

:= XM[J]

+

:= 0·

R[J,K]*XS[K];

:= FM[J] + KM[J,K]*XM[K];

~

F [ 1] F[2] F [3] F[4] F [ 5] F [ 6]

-------- ____y____

F(1) = 0 s•QLX(Beba~ F(2) = o s·m Y(Beban(l) • L i F(3) = 1/12.0LY(Beban(I)"L•L : F(4) = 0 s•QLX(Beban(l) • L : F(5) = 0 s·QLY(Beban(l) • L : 'F(6) = -1/12.QLY(Beban(I)"L•L I

~_y~~

* ____J

FM(J) = FM(J) + F(J) I__ _ _ _

,

:

' , FM [ J ] : 1 0 : 3 ) ; WRITELN(FOUT); END; END;

I i

IJ_/-··---1

-~L

J=1to~-~T-/ L __ i Tul1s ,

/

!

___ I

IL~--~M;J)_

----J

I

r---j __

:

~------~

6J

~

Ill

~ ::l


..... 1'1.) (1'1

r-s;;!~ --

''----

-

: = FM [ J] + F [ J] ;

WRITELN(FOUT, 'GAYA DALAM ELEMEN KE-' ,I); FOR J:=1 TO 6 DO WRITELN(FOUT, 'FM[',J:3, ']

J=1t~6-~1

--~~---~

:=

FOR J: = 1 TO 6 DO FM [ J]

'---------~-----

~

0.5 * QLX[BEBAN[I]] * L; 0.5 * QLY[BEBAN[I]] * L; := 1/12 * QLY[BEBAN[I]] * L*L; := 0.5 * QLX[BEBAN[I]] * L; := 0.5 * QLY[BEBAN[I]] * L; := -1/12 * QLY[BEBAN[I]] * L*L; :=

.....

~ )>

1

1

Program Utama Bagan alir program utama

3 ::::l

Mula1

(f)

'<

ru

..

:::r-

z ru

BEGIN ':!RITE( 'NAHA FILE DATA : 'I; READLN(NAHA_FILEI; ASS~C~N ( FINP, NKJVIA_FILE I ; RESET I FINP I ; \·!RITE( 'FILE OUTPUT : 'I; READLNINAHA_FILEI; ASSIGNIFOUT,NAMA_FILEI; RE\vRITE(?OUT);

Buka File Data

(f)

s.c;·

.

::::l B~ka

~

F11e Hasll

0Q

.

(])

~ ~

Input Data

.

iri'

DOF

""

(l)

""c:

.

(l)

::J

Kekakuan Global

h

::J

(l)

~

;;;·

(/)

~

2" ...,

·-

~-~

Gaya Nodal ------

..

_

Solus1

V

Gaya Elemen

____ y

Selesa1

INPUT_DATA; DOF; KEKAKUAN~GLOBAL;

GAYA NODAL; SOLUS1; GAYA __ ELEMEN; CLOSE I F'OUT I ; END .

Penyusunan data input program komputer bagi contoh soal

~,_,~"~(I I_} I ; I"~- !} I '~"'I !. ~,"\! I ~'"~ I. I I f }

1 '

i i

-""'

File Data PENYELESAIAN SOAL PORTAL BIDANG [SATUAN DALAM TON-M] 10 0 0 15 0 0 30 20 0 5.5 20 10 14 15.5 14 20 8 25.5 8 30 2 3 1 1 1 1 1 1 2 l 1 1 3 l 3 5 2.1E6 0.5625 0. 0263671875 2.1E6 0.75 0.0625 2.1E6 1.1250 0.2109375 1.83090031 1.307785936 1. 907996184 1.192497615 1.6875 0 7.375 0 4.62 -3.465

NNODAL

XII),

y (I)

NR N,J,

RX(NJ),

RY (NJ:, RR(NJ)

NMAT, NBEBAN E I I),

A I I),

IX I I)

QLX(I) ,QLY(I)

I

NELEMEN

9

1 6 2 8 3 10 4 5 6 5 6 7 7 8 8 9 10 9 0

JUDUL

2 2 1 3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 4

,JJ I I ) , JK (I), MAT(I), BEBAN(I)

5 4 5

NF

~

Portal Bidang

127

Arsip Hasil PENYELESAIAN SOAL PORTAL BIDANG [SATUAN DALAM TON-M] JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR NJ PX py PR 0 1 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 1 2 3 4 5 5 6 7 6 8 9 7 10 11 12 8 13 14 15 9 16 17 18 10 19 20 21

=

21

MATRIKS GAYA NODAL P[ 1] 0.000 P[ 2] -20.281 P[ 3] -18.591 p [ 4] 0.000 P[ 5] -41.938 2.349 P[ 6] p [ 7] 0.000 p [ 8] -61.293 p [ 9] 29.910 p [ 10] 0.000 -41.938 P[ 11] P[ 12] 2.349 P[ 13] 0.000 p [ 14] -52.551 P[ 15] 6.495 P[ 16] 0.000 P[ 17] -41.938 P[ 18] 2.349 P[ 19] 0.000 P[ 20] -23.344 P[ 21] 16.242

128

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Matrik Kekakuan Global Struktur: (KJ

~-------------~ I~ Ill

I~

m

Gambar 2.13 Pola pembebanan struktur

Gambar 2.14 Deformasi sistem struktur

130 Amrinsyah Nasutioil, fvletode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

2.11

Program Komputer Portal Bidang

Program komputer portal bidang yang lengkap dirancang berdasarkan bagan alir yang dikembangkan oleh William Weaver, Jr. dan James M. Gere, pengarang Matrix Analysis of Framed Structure (Second Edition, D. Van Nostrand, 1980). Mahasiswa SI dan S2 merancang program sebagai bagian dari tu gas kelas Analisa Struktur IV, Metoda Elemen Hingga, Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil Jan Lingkungan, !TB. Membuat kode program analisis struktur untuk portal bidang.

Program yang digunakan adal_ah Tubo Pascal for Windows vi .5 Dalam program ini dibuat.flle:file pembantu (*.inc) yang dipanggil dengan procedure pada program utama. Adapunfi/e~fi/e yang diperlukan di dalam program ini adalah: ; . mainJJro.pas : merupakan badan program utama 2. sdata. inc : berisi prosedur input data 3. ldatapb. inc : berisi input data dan pengkombinasian be ban titik -L loadpb. inc : berisi prosedur ekivalensi beban titik 5. stifj'ph. inc : berisi perakitan matrik kekakuan 6. hanfac. inc : berisi prosedur faktorisasi matrik -. hansol.inc : berisi penyelesaian vektor 8. resu!ph.inc : berisi penulisan hasil perhitungan Sedangkan untuk input dan outputnya diletakkan pada file text(* .txt), yaitu: · . clt _struk. txt : berisi input data struktur ~ clt load.txt : berisi input pembebanan :. report.lxt : berisi laporan input beserta hasil perhitungan. Berdasarkan bagan alir yang telah diberikan, maka kode program secara keseluruhan dapat Jisusun. Kode program lengkap dapat dilihat pada halaman berikut.

Portal Bidang

131

Source code dari program utama disimpan pada file main_pro.pas program analisis_portal_bidang; uses wincrt; type matrik reall matrik real2 matrik intl

array [1 .. 50] of real; array [1 .. 40, 1 .. 40] of real; array [1 .. 50] of integer;

VAR M,N,NJ,NR,NRJ,NLJ,NLM NDJ,ND,MD, I,LN NBI,NB,Nl,JR,JE Jl,J2,J3,Kl,K2,K3 E,SCMl,SCM2,SCM3,SCM4 XCL,YCL,SUM,TEMP dt,ld,out

hasil, input K,J,IR,IC,Il, I2,Item X,Y JJ,JK,JRL,IM,ID AX,EL,ZI,CY,CX SFF,SMS AC,AJ,AE,DJ,DF LML AML AMD,AM, AR

{$I {$I {$I {$I {$I {$I {$I

shortint; shortint; shortint; shortint; real; real; text; text; integer; matrik_reall; matrik_intl; ma tr ik__ reall; matrik_real2; matrik_reall; matrik_intl; matrik_real2; matrik_reall;

sdatapb. inc) stiffpb.inc) banfac.inc) ldatapb.inc) loadpb. inc) ban sol. inc J resulpb.inc)

BEGIN clrscr; assign (out, 'report.txt'); rewrite(out); input_data; susun_matrik_kekakuan; faktorisasi_rnatrik; load_data; beban_ekiv_joint; kombinasi_beban_joint; solusi_vektor_x; result; close (out); writeln ('Program telah selesai dieksekusi'); writeln ('Hasilnya dapat dilihat pada file report.txt'); END.

132 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Source code dari file stiffpb.inc procedure susun_rnatrik __ kekakuan; 3egin

(Kekakuan Elemen} for J:o1 toN do Begin

for K:o1 to NB do SFFIJ,K] :o 0.0; End; (Mengubah Matrik Kekakuan Titik Kumpul} for I:o1 to M do Begin

SCM1 SCM2 SCM3 SCM4

E *AX [ I ] I EL [ I ] ; 4 . 0 * E * Z I I I] I EL [I] ; 1.5'SCM21EL[I]; 2*SCM3/EL[I];

SCM1*CX[I]*CXII] + SCM4*CYII] •CYII]; SMS [ 1. l] SMS[l,2] .- (SCM1 - SCM4) 'CXII] 'CY[I]; SMS[1,3] -SCM3'CY[I]; SMS I 1. 4] . - -SMS [ 1, 1]; S~!S [ 1. 5] . - - SMS [ 1 , 2 ] ; SMS [ 1, 3]; SMS I 1. 6] SCM1*CY[I]'CY[I] + SCM4*CX[I]*CX[I]; SMSI2,2] SMSI2,3] .- SCM3*CX[I]; -SMS [ 1, 2]; SMSI2,4] SMS[2,5] -SMS 12, 2]; SMSI2,6] SMS[2, 3]; SMS[3,3] . - SCM2; SMS[3,4] . - - SMS I 1 , 3 l ; -SMS 12, 3]; SMS [ 3, 5] SMS[3,6] SCM2/2.0; SMS [ 4, 4] . - SMS I 1, 1] ; SMS [ 4, 5] . - SMS I 1, 2] ; Sl1S [ 4, 6] SMS [ 3, 4] ; SMS[2,2]; SMS [·5, 5] SMS [ 5, 6] . - SMS [ 3, 5] ; SMS [ 6, 6] . - SCN2; IN[ 1] IN[2] IN[3] IM[4] IM[5] IM[6]

3'JJ[I] 3*JJII] 3'JJII]; 3*JK[I]3 * JK [I] 3*JKII];

2; 1;

2; 1;

for J:o1 to MD do Begin Il:oiN[J]; if (JRL[I1] IC) then Begin Item :o IR; IR . - IC; IC

Item;

End; IC : o IC - IR + 1; SFF[IR,IC] SFF[IR,IC]

+ SNS[J,K];

End; End; End;

Portal Bidang

133

.End; End; End;

Source code dari file banfac.inc procedure faktorisasi_matrik; Begin if ISFF[l,ll1 then Begin for I:o2 to J1 do Begin I1:oi-1; if II1>oJ21 then Begin SUM:oSFF[I,J-I+11; for K:oJ2 to I1 do SUM:oSUM-SFF[K,I-K+11"SFFIK,J-K+11; SFFII,J-I+11 :oSUM; End; End; End; SUM : SFF I J' 1 I ; for K:~J2 to J1 do Begin TEMP: SFF I K' J- K+ 1 I I '3FF I K' 1 I ; SUM:oSUM- TEMP*SFFIK,J-K+11; SFFIK,J-K+11 TEMP; End; SFFIJ,11 :o SUM; End; 0

0

End;

Source code dari file bansol.inc procedure solusi_vektor_x; Begin for I:o1 toN do Begin J :o I-NB+1; if II
I

N-Il + l;

I+NB-1; if J>N then J:oN;

J

134 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

SUM :~ DF[I]; K2 :~ I+l; i f K2<~J then

Begin for K:~K2 to J do SUM :~ SUM-SFF[I,K-I+l] 'DF[K]; DF [I] : ~ SUM End; End;

Source code dari file resu/pb.inc result;

;~ocedure

3egin (Perpindahan Titik Kumpul} J:~N+l;

for

K:~1

to ND do

Begin JE if

ND- K + 1; then

:~

JRL[JE]~o.o

begin J:~J-1;

DJ[JE]

DF [J];

DJ[JE]

0.0;

end else

Begin End; End;

writeln writeln

(out); (out,'

Perpindahan Titik Kurnpul');

writeln (out,' Titik for J:~1 to NJ do

DJ1

DJ3');

DJ2

Begin writeln

(out,

DJ [ 3 'J- 2 I

J:3,'

: 10,

DJ[3'J-1] :10,'

'

DJ[3'J] :101;

End; (Aksi Ujung Elemen} writeln (out);

writeln (out,' Aksi Ujung Elemen'); writeln for

I:~1

(out,'

Elemen

AMl

AM2

AM3

AM4

AMS

AM6' I;

to M do

Begin J1:~3'JJ[I]-2;

J2:~3'JJ[I]-1;

J3:~3'JJ[I];

K1: ~3*JK[I] -2; K2: ~3 'JK [I] -1; K3: ~3'JK [I]; SCM1 E*AX[I] /EL[I]; SCM2 4.0'E'ZI[I]/EL[I]; SCM3 1.5'SCM2/EL[I]; SCM4 2.0*SCM3/EL[I]; AMD [ 1] SCt11' I (DJ [J1] -DJ [K1]) •ex [I I + (DJ [J2] -DJ [K2]) 'CY [I] I; l\MD[2] SCM4'(-(DJ[Jl]-DJ[K1]1'CY[I] + (D,T[J2]-DJ[K2]1'CX[I]I AMD[3] .- SCM3•(-(DJ[J1]-DJ[K1])'CY[I] t (DJ[J2]-DJ[K2])'CX[I]) ··::=•iDJ[J3]+0.5'DJ[K3]1; AMD I 4 I . - -AMD I 1 I ; AMDISJ :~ -AMDI2J; AMDI6] :~ SCM3*(-(DJ[J1]-DJIK1])'CYII] + IDJIJ2]-DJ[K2])*CXII]I .. ·= ' I 0 . 5 'DJ I J 3 I + CJ I K'l I ) ; for J:~1 to MD do

+ S013*(DJ[J3]+DJ[K3]1; +

+

Begin AMIJ] :~ AMLIJ,I] + Al1DIJ]; End; i f JRL[J1]~1 then AR I J1] : ~AR [ J1] +CX [I] 'AMD [ 1] ·CY [I] 'AMD [ 2] ; i f JRL[J2]~1 then ARIJ2]: ~ARIJ2] +CYII] 'AHDI1J +CXII] 'AMDI2]; i f JRL[J3]~1 then ARIJ3] :~ARIJ3]+AMDI3]; i f JRL[K1]~1 then AR I Kl I : ~AR I K1 I +CX I I] 'AMD I 4] -CY I I] 'AMD I 5 I ; i f JRL[K2]~1 then AR[K2] :~AR[K2] tCY[I] *AMDI4] +CX[I] 'AMD[S]; i:E JRL[Y3]=l then ARIK3] :~AR[K3]+AMD[6]; '"ritc'ln (out, 1:4, AM[1] :10:2, Al1[2] :10:2, t\M[l] :10:2, t\11[4] :10:2,

AM[S] :10:2,

: l 0: 2 I ; End;

Portal Bidang

135

{Perhitungan Reaksi Peletakan) writeln (out); writeln (out,' Reaksi Peletakan'); writeln (out,' Titik Kumpul for J:~1 to NJ do

Joint

AR1

AR2

AR3');

Begin Jl:~3*J-2;

J2:~3*J-1;

J3:~3*J;

N1 :~ JRL[J1) + JRL[J2) + JRL[J3); if N1<>0 then writeln (out,J:25,AR[J1) :9:2,AR[J2) :8:2,AR[J3) :8:2); End; End;

Source code dari file /oadpb.inc procedure beban_ekiv_joint; Begin

if NLJ<>O then Begin for I:~1 to M do Begin

if LML[I)<>O then Begin

3*JJ[I) - 2; J1 3*JJ[I) - 1; J2 J3 3*JJ[I); K1 .- 3'JK[I) - 2; K2 .- 3*JK[I] - 1; K3 3 *JK [I]; AE[J1) :~ AE[J1) AE[J2) AE[J2) AE[J3) AE[J3) AE[K1) AE[K1) AE[K2) AE[K2) AE[K3) AE[K3) -

CX[I) *AML[1, CY[I) *AML[l. AML[3, I); CX[I) *AML[4, CY [I) 'AML [ 4, AML [ 6, I) ;

I) + CY [I) *AML [ 2, I) ; I) - CX[I) *AML[2, I); I) + CY[I) *AML[5, I); I) - CX[I) *AML[5, I);

End; End; End; End;

Source code dari file ldatapb.inc procedure kombinasi_beban_joint;

Begin for

J:~1

to ND do

Begin JR:~ID[J);

AC[JR)

:~

AJ[J)

+ AE[J);

End; End; procedure load_data; Begin

{Parameter Bebanl writeln (out); writeln (out,' Jumlah Pembebanan'); wri teln (out, • NLJ NLM') ; assign (ld, 'dt_load.txt'); reset ( ld) ; readln ( ld) ; readln (ld, NLJ, NLM); writeln (out, NLJ:3, NLM:6); writeln (out);

136

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

for J:=1 to ND do Begin AJ[J] 0· AE[J] .- 0· AR[J] .- 0; End; {Beban Titik Kumpul} if {NLJ<>O) then Begin writeln (out,' Beban di Titik Kumpul'); writeln (out,' Titik kumpul AJl AJ2 AJ3'); readln ild); for J:=1 to NLJ do Begin readln (ld,K,AJ[3*K-2] ,AJ[3*K-1] ,AJ[3"K]); writeln (out, K:6, AJ[3*K-2] :13:2, AJ[3*K-1] :11:2, AJ[3*K] :12:2); End; writeln lout); {Beban Bentang} if INLM>O) then Begin for J:=1 to do Begin for K:=1 to M do AML[J,K] 0· LML[J] .- 0; End; writeln (out,' Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang'); writeln (out, Elemen AML1 AML2 AML3 AML4 AML5 readln (ld) ; for J:=1 to NLM do Begin read (ld, I,AML[1, I] ,AML[2, I] ,AML[3, I] ,AML[4, I] ,AML[5, I] ,AML[6, I]); write (out, I:4, AML[l,I]:12:2, AML[2,I]:11:2, AML[3,I]:ll:2); writeln (out, AML[4,I]:11:2, AML[5,I]:12:2, AML[6,I]:11:2); LML [I] 1; End; End; End; close lld) ; :Oc.d;

Source code dari file sdatapb.inc ;~~cedure

input_data;

c:O~IN

(Identifikasi Struktur} ~riteln

(out,' Struktur nomor 3 Portal Bidang'); writeln (out, Jurnlah sistem pembebanan ~ 1'); -----------------------------'); 'Nriteln (out, writeln (out, Parameter Struktur'); ~riteln (out, M N NJ NRJ E' I; assign ldt, 'dt_struk.txt'); reset (dt); :-eadln (dt); readln (dt, M,K,NJ,NR,NRJ,E);

{Parameter Struktur} '= 3;

:JDJ

:m : = NDJ*NJ; .d

:::

ND-NR;

~riteln

(out,M:3, ·,;riteln (out);

N:5,

NJ:S,

NRJ:7,

E:15:2);

. Koordinat Ti tik Kumpul} ·,,Titeln (out,' Koordinat Titik Kumpul');

Portal Bidang

1 ~i7

writeln (out,' Titik X Y' I; readln I dt I ; for k:=1 to NJ do Begin read1n (dt,J, X[J], Y[J] I; writeln lout,J:3, X[J] :10:3, Y[J] :8:31; End; writeln (out); {Informasi Elemen} writeln (out,' Informasi Elemen'); writeln (out,' Elemen JJ JK AX ZI EL MD := 2*NDJ; readln I dt I ; for J:=1 to M do Begin readln (dt, I, JJ[I], JK[I], AX[I], ZI [I]); NBI .- NDJ*(abs(JK[I]-JJ[I] )+1); if INBI >NB) then NB:=NBI; XCL := X[JK[I]] - X[JJ[I]]; YCL := Y[JK[I]] - Y[JJ[I]]; EL[I] sqrt(XCL*XCL + YCL*YCL); CX[I] := XCL/EL[I]; CY [I] : = YCL I EL [I] ; write (out,I:4, JJ[I] :9, JK[I] :9, AX[I] :9:3, ZI[I] :9:3); writeln (out,EL[I] :10:3, CX[I] :10:3, CY[I] :10:3); End; writeln(out); {Kekangan titik kumpul} writeln lout,' Kekangan Titik' I; writeln (out,' Titik JRl JR2 JR3' I: readln Idt I ; for J:=l to ND do begin JRL[J] 0; {Inisialisai larik kekangan} end;

for J:=l to NRJ do Begin readln (dt,K, JRL[3*K-2], JRL[3*K-l], JRL[3*K] I; writeln (out,K:3, JRL[3*K-2] :9, JRL[3*K-l] :8, JRL[3*K] :8); End; {Indeks Perpindahan Titik Kumpul} N1 := 0; {Inisialisasi} for J := 1 to ND do Begin N1 := N1 + JRL[J]; if JRL[J] > 0 then ID[J] N + Nl else ID[J] J - N1; End; close(dt); END;

138 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

ex

CY' I;

Jika program dieksekusi maka hasilnya adalah :

Contoh: File input: dt struk.txt ~~cameterStruktur

70000000

5

2

3 4

0.02 0.02 0.02

0.003 0.003 0.003

1

1

1

1

1

0

7

4

~:ordinatTitikKumpu1

0. 0

0. 0

3. 0 9. 0

4. 0 5. 0

11.0 1.0 =:·.:'oMember I E1emen) 1 2 2

3 :-:~

'
dt load.txt ~Dan

1

-=oan joint 0.0 100.0 ~ban ben tang 0.0

-100.0 200.0 120.0

0.0 -150.0 100.0

0.0

120.0

-100.0

Portal Bidang

139

File output report.txt Struktur nomor 3 Portal Bidang Jumlah sistem pembebanan = 1 Parameter Struktur

M

N

NJ

3

7

4

NRJ

E

2

70000000.00

Koordinat Titik Kumpul

Titik

y

X

0.000 3.000 9.000 11.000

1 2 4

0.000 4.000 5.000 .000

Informasi Elemen

E1emen

JJ

1 2 3

1

AX 0.020 0.020 0.020

2

4

3

Kekangan Titik Titik JR1 1 4

JK 2

1

ZI 0.003 0.003 0.003

EL 5.000 6.083 4.472

ex 0.600 0.986 0.447

CY 0.800 0.164 -0.894

JR3 1

JR2 1

Jumlah Pembebanan NLJ NLM 2 1

Beban di Titik Kumpul Titik kumpul AJ1 0. 00 2 3 100.00

AJ2 -100.00 200.00

AJ3 0.00 -150.00

Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang Elemen AML1 AML2 AML3 AML4 AML5 0.00 120.00 100.00 0.00 120.00 Perpindahan Titik Kumpul DJ1 DJ2 Titik O.OOOE+OO O.OOOE+OO 1 7.368E-03 -5.192E-03 2 6.410E-03 3.421E-03 O.OOOE+OO O.OOOE+OO Aksi Ujung Elemen El em en AM1 AM2 -74.81 294.90 -108.46 -110.58 -60.37 42.70

AML6 -100.00

DJ3 O.OOOE+OO -1.335E-04 -2.685E-04 -2.302E-03

AM3 542.86 -331.65 190.97

AM4 74.81 108.46 60.37

AM5 -54.90 110.58 -42.70

AM6 331.65 -340.97 -0.00

Reaksi Peletakan

Titik Kumpul

Joint

4

AR1 -184.81 -11.19

AR2 45.10 -73.10

AR3 442.86 0.00

140 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

2.12

Soai-Soal

1. Turunkan matriks kekakuan [K]s untuk balok di bawah ini : F2. ~2

F1

F5. ~5

~=-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. T.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-= F,&~

~,

F3.

~3

21

F4.

~4

I

//2

//2

Bandingkan dengan [K]s bila degree of freedom (DOF) nya ditambah di tengah bentang sehingga menjadi 9 DOF ?

F,

A, ~;3·-~3mI

F5. ~5

2-1-- - - -

/2

Fa. ~s

Le~~'- -,-- - F~ A~:;.. A, F,

~F6.~6 I<

//2

rel="nofollow">I

Sistem struktur bidang sepet1i berikut menerima beban luar seperti tergambar.

2 kN/m

2 kN/m

A

D

4m

14 m

4m

E = 20000 MPa

Portal Bidang

141

Pertanyaan : a. b. c. d. e. f.

Tentukan DOF sistem struktur Rakit matriks kekakuan struktur [K]s Rakit vektor gaya {P}s dengan kombinasi beban 1.4 DL dan 1.2 DL + 1.6 LL. Tentukan perpindahan sistem struktur {X}s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar garis elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam

3.

Diketahui suatu sistem struktur portal bidang penampung air seperti tergambar, i\

a.

D

b.

c. d.

41

e. f. u ,.

1..

4.

"

c

B

6m

•\•

Tentukan DOF sistem struktur. Rakit matriks kekakuan elemen [S]m & [k]rn Rakit [K]s Rakit vektor gaya {P}sjika air yang membebani dalam keadaan penuh Tentukan perpindahan si stem struktur (X }s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar garis elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam

•I

6m

Diketahui sistcm portal bidang seperti gambar mempunyai parameter sebagai berikut: E = 200000 MPa. Protil elemen : 1WF 350.350.12.9. Apabila te1:jadi se/1/ement pada titik E sebesar 50 cm, tentukan dan gambar bidang gaya-gaya dalam struktur? WLL

= 1QQ kg/cm

E'

20

rn

50 cm

~-t-15 m 11>1

142 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

::>.

Tentukan dari sistem gabungan struktur berikut ini : a. b. c.

200/350

c

D

4m

d. Sm

e. f.

Tentukan DOF sistem struktur Rakit matriks kekakuan struktur [K]s Rakit vektor gaya {P}s dengan kombinasi beban 1.4 DL dan 1.2 DL + 1.6 LL. Tentukan perpindahan sistem struktur {X }s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar bidang elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam 20000 MPa

Ebcton =

7m

A

Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. b. Tentukan matriks kekakuan lokal [S]. matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen I & 2. c. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s d. Rakit matriks gay a nodal struktur [ P} s . e. Hitung solusi perpindahan struktur dari huhungan [P)s = [K]s [X} f. Hitung kemhali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: [P}L. g. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi h. Gambarkan bidang gaya dalam struktur. 15 ton

Elemen CD: Et At

2 x 10'> kg/m 2 = 0.25 nY~ 4 = 5.208 x 1o·' m

=

It Elemen ell : 2 E2 = 2 x IOto kg/m A2 12

=2.5xlo·'~n 2

=

5.208 x 1o· 7 m 4

L

20 ton/m 4m

sendi

~

Portal Bidang

143

7. Balok diatas tiga tumpuan seperti gambar berikut menerima beban merata q = 12 N/m. q

= 12 kN/m

sendi

jepit

z

Dimensi balok adalah 300/550 [satuan mm]. Modulus elastisitas E = 20,000 MPa, angka Poisson

1.> =

0.25.

Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. d. e. f. g. h. 8.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s Rakit matriks gaya nodal struktur {P}s. Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {Ph. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur. Pada diagram struktur dibawah ini, simpangan maksimum yang diperkenankan 5" = (1 0500 I 360) mm. 7

8

H

450/1000

5500 450/1000 kolom bawah ~-3oQi35o

4500 mm

___ _

12500 mm

144 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

\1odulus elastisitas E = 20,000 MPa, angka Poisson u = 0.25. , Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. 9.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam si stem koord in at global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada si stem global struktur [k] untuk elemen. Tentukan berapa nilai gaya luar H akibat perpindahan yang terjadi. Portal dengan konfigurasi beban vertikal berikut ini : 3.5 t/m

3.5m

4

300/300

300/850

5

6

300/650

7

5m 300/300

450/450

450/450

3

2

3m

E .1han

=

2. I

X

Sm

5m

I o·' kg/cm)

P~rtanyaan ..1.

.., ~.

• _

'

: Berapa derajat kebebasan struktur? Hitung sifat-sifat penampang elemen Rakit matrik kekakuan elemen [S] Jabarkan matrik transformasi [Th Rakit matrik kekakuan clemen [k] 111 Rakit matrik kekakuan struktur [K ]s Jabarkan vektor beban {P}s Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {P)E. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur. 111

Portal Bidang

145

I 0. Portal bidang dengan beban q" dan P11 seperti tergambar. Balok I dan 2 dengan ukuran 250/350, dan balok 3 dan 4 ukuran 250/500. Semua perletakan ada!ah jepit. Modulus Elastisitas bahan Ea= 20,000.00 MPa.

r

- ------5.5 m------- - - - - - - 1

r

3.6 m I

I

----7.60 m - - - - - - - -

Pertanyaan : a. Berapa derajat kebebasan struktur? Gambar pasangan gaya/defonnasinya pada sistem. b. Hitung sifat-sifat penampang elemen. c. Tetapkan matrik kekakuan elemen [S] 1, [Sb sampai [S]4. d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k) 1, [k)I, sampai [k] 4 • e. Rakit matrik kekakuan struktur [K], f. Tentukan vektor beban {P} g. Hitung [K]s{X}s = {P}s untuk mendapatkan deformasi (X}sh. Gambar garis elastis struktur. 1. Turunkan persamaan bidang momen, lintang dan normal setiap elemen. J. Gambar diagram gaya-gaya dalam. k. Bila lendutan izin horizontal = 12 mm, apakah sistem struktur memenuhi syarat kekakuan? 11. Bila elemen balok seperti tergambar mempunyai tiga derajat kebebasan turunkan matrik kekakuan [S]m elemen.

__ ._x, u E, I, I, A

146 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

~:, ~ 2 ,

dan

~1 ,

3

Rangka Bidang

Sistem struktur Rangka Bidang merupakan struktur kerangka yang dibuat dengan menyambungkan elemen struktur yang lurus dengan sambungan sendi dikedua ujungnya. Geometri rangka yang paling seder-hana adalah elemen yang ujungnya mempunyai :-erletakan sendi dan rol (Gambar 3 .I). Perletakan sendi dan rol pad a elemen merupakan . . ekang-an minimum yang diperlukan p ::'agi keseimbangan gaya akibat bekerJn:a beban luar. \\alaupun variasi beban yang bekerja :>Jda sistem dapat berupa beban ben:Jng dan beban di titik kumpul, .:nggapan beban ket:ja dalam analisis -angka adalah bcban yang se/alu be._er~ja di titik kumpul. lni berarti beban ~entang perlu di konversikandulu hlam heban kerja terpusat ekivalen di : tik kumpul. Pada geometri rangka -.illg

paling

sederhana

sendi Gambar 3.1 Bentuk sistem rangka paling sederhana

seperti

Jam bar 3 .I, hanya ad a sa tu derajat kebebasan, sehingga hanya ad a sa tu arah be ban yang ..::q}at dike~jakan. :ZJngka dasar ini dapat dikembangkan menjadi rangka bidang dengan dua cara: :;enambahan elemen seperti Gambar 3 .2a dengan tambahan perletakan rol pad a ujung elemen :::mhahan; sehingga tetap te~jaga syarat stabilitas sistem. '·knambah dua elemen yang saling berhubungan pada satu titik kumpul, hal mana stabilitas - ,tem tetap tet:jaga (Gambar 3.2b). '\.edua konsep yang dijela:skan dapat digunakan dalam merancang sistem struktur rangka - ,Jang. Konfigurasi sistem rangka bidang yang umum adalah susunan satuan segi-tiga = emen seperti Gambar 3.2b. ~lengan bentuk dasar rangka yang mempunyai satu elemen, dua titik kumpul dan tiga gaya ·::Jh.si. dipenuhi hubungan:

JE

=

2*JTK- JR

(3 - I)

-.1! mana: :::_ =

jumlah total elemen

~K

= jumlah total titik kumpul, tennasuk yang mcnjadi perletakan

Rangka Bidang

147

JR = jumlah total gaya reaksi lndikasi terpenuhinya stabilitas sistem rangka berdasarkan persamaan (3 -I) adalah : JE :::: 2 * JTK- JR

(3 - 2)

Gambar 3.2a Sistem rangka 1 sambungan sendi

elemen tambahan c:

(1J

.c:

(1J

.0

E

.l!l

c: Q)

E Q) Q)

Gar.~bar

3.2b Sistem rangka 2

148 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

3.1 Bentuk Struktur Rangka Bidang Secara skematik beberapa bentuk rangka bidang yang dirancang berdasarkan sifat beban kerja adalah: (Gambar 3.l.la)

Gambar 3.1.1a

Rangka atap

Pada rangka atap (Gambar 3 .I. I a), beban yang bekerja se lain berat sendiri adalah be ban '~•mponen atap, seperti penutup atap, kaso-kaso, gordin dan tekanan angin. Be ban hid up pad a menara jaringan listrik (Gambar 3 .I. I b) berupa berat kabel; sedangkan di -:1enara komunikasi berupa beban antena; pada menara air, berat air. Bagi jembatan (Gambar :. l . I b) adalah be rat kendaraan dan pejalan kaki.

Gambar 3.1. '! b Menara Rangka Bidang

149

Gambar 3.1.1 c Jembatan Rangka

3.2. Beban Luar Pada sistem struktur rangka, beban luar SELALU dikonversikan menjadi beban ekivalen terpusat yang bekerja di titik-titik kumpul. Berat sendiri elemen yang bekeija merata sepanjang bentang diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung elemen (Gambar 3.2.1). Juga seperti beban meratajembatan rangka pada Gambar 3.2.la, besarnya beban yang digunakan dalam analisis struktur dinyatakan oleh gaya/beban terpusat di titiktitik kumpul (Gambar 3.2.1 b). Dengan melakukan konversi beban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pemeriksaan kekuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.

Gambar 3.2.1 a Beban me rata pad a bentang

Gambar 3.2.1 b Be ban terpusat ekivalen

Gambar 3.2.2a Beban merata pada bentang elemen

D 150 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anafisis Struktur

Gambar 3.2.2b Beban ekivalen di titik kumpul

3.3 Derajat Kebebasan Struktur : :-retjat kcbebasan sistim struktur rangka bidang ditandai dengan jumlah den~jat kebebasan ~.k kumpul bebas. Mengingat sifat sambungan berupa sendi disetiap titik kumpul tanpa __.Jnya kckangan. maka rotasi titik tidak mcmberikan pengaruh terhadap tanggap e!cmen - Jak menimbulkan gaya dalam). Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan ~;:r-~ljat kebebasan. Gerakan translasi ini umumnya diuraikan dalam komponen koordinat ~Jl1HI. Dcngan sifat tumpuan sendi atau rol pada sistem struktur. jumlah total derajat · "l~chasan rangka bidang dapat ditetapkan dari : '. \

=

2*JTK- 2*NS -NR

.: l m ana : '.\ = jumlah : K = jumlah ·." jumlah ·• R = jumlah

(3 - 3)

dcrajat kebcbasan struktur total titik kumpul. termasuk yang menjadi perletakan total perletakan sendi total pcrletakan rol

• .:,la contoh rangka bidang scpcrti Gambar 3.3.1 a. terdapat 19 clemen, 11 titik kumpul _:::ngan dua titik kumpul scbagai perletakan sendi. Dcngan adanya dua komponen translasi di
h:j [XJ

=

{PJ

(3 - 4a)

Rangka Bidang

151

6

Gambar 3.3.1 a Penomoran elemen dan titik kumpul

7~-':~·9···········L~:,::.'.'.........L~~3: .'.' L.~:::.:s....... .........~· · · · ·. .

/.... .............

... :

. . . .-·

••. X2 .P 2

/

· · ·. .t__./·

.........·~· · · . .

•••

x,,P,

•••••••

X,,P, /

~

\ .... ..../

/ . .-;"~· · · · ·. .

•.• Xc,P6 / x

~

,p

\ •••• ..../

.........~·;·.......

•• X8 .Pe .: Xs.Ps

.f./:'

\.·.

,...................... :L..., .............. :~ .............. ~L......,................ 3

2

3

Lx,P,,

3

4

Gambar 3.3.1 b Jumlah derajat kebebasan rangka

. x,p,

\ ..•••

111 . .............. :

5 6

Matrik I K[ menyatakan gabungan unsur kekakuan elemen yang membentuk si stem struktur. Disebut matrik kekakuan struktur. Vektor {X} menyatakan derajat kebebasan sistem struktur yang berpasangan dengan vektor gaya ekivalen {P}. Pad a si stem struktur rangka seperti Gambar 3.3. I. persamaan (3 -4) dalam tampi Ian penuh :

Untuk merakit matrik [K] terlebih dahulu ditinjau derajat kebebasan unsur elemen batang.

152 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

3.4 Matrik Kekakuan Elemen [S]M \ lengingat clemen batang rangka hanya memberi tanggap tarik a tau tekan saja, m aka bagi ~uatu elemen yang menerima gay a aksial N (Gambar 3 .4.1). berlaku rum us l looke

c a N EA s = - = - = - - a tau N = - - e

E

I

(3 - 5)

t

EA

Meninjau

elemen

batang dalam

sistem

koordinat

elemen

1

(Gambar 3.4.2), maka dengan bekerjanya gaya F?, Fi di kedua

L, A

ujung elemen. hubungan perpindahan gaya adalah :

T r·······

EA

I

f

EA

EA

,

~ 2 dengan

kedua

--~~---~,

e j_

' 1; ~-······~

EA

~1

~

(3- 6)

--~~+-~2 (: (

Dengan mengganti indcks derajat kebebasan elemen dan menambah vektor gaya scrta perpindahan arah komponen koordinat y (Gambar 2.4.3b), hubungan gaya dan perpindahan dinyatakan sebagai :

N 3ambar 3.4.1 Elemen tarik

EA

0 EA (

0

0 0 0 0

EA (:

0 EA f

0

0

L'. I

Fl

0

~2

F,

~,

F,

~~

F4

0 0

atau[sl,{~L ={FL

(3- 7)

X X

7

y

k

F1, l'l1

Gambar 3.4.2a Gaya aksial elemen batang pada sistem koordinat lokal/elemen

Gambar 3.4.2b Gaya ujung elemen batang pada sistem koordinat lokal/elemen

Rangka Bidang

153

3.5 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Sama seperti halnya pada analisis p011al, pcrakitan matrik [KJ dari matrik elemcn [S] memerlukan proses transformasi koordinat. Mcngambil contoh jembatan rangka pada Gambar 3.3.1. maka untuk perakitan unsur [K] di titik kumpul 8. sistcm koordinat elemcn batang 8, 9. 16 dan 17 yang menyatakan hubungan [S]{C.}=[F} harus ditransfonnasikan ke dalam sistem koordinat strukturlglobal. Gambar 3.5.1 menunjukkan sistcm koordinat elemen terhadap sistem koordinat struktur/global bagi elemen yang bertemu di titik kumpul 8. Derajat kebebasan struktur pada titik kumpul 8 dinyatakan dengan XII dan xl2 yang berpasangan dengan gaya ekivalen P 11 dan P 12 • 1-lubungan antara vektor perpindahan dan gaya ini dinyatakan dengan pcrakitan unsur kekakuan elemcn yang mcmbentuk titik kumpul 8. y

y

t

y

@

~

t

@

YJv~\

-X

X

~------------------------------------~x

Gambar 3.5.2 Konfigurasi elemen di titik kumpul 8

Jika ditinjau secara umum posisi elemen dengan sudut 0 terhadap koordinat struktur/global (Gambar 3.5 .2a). maka mcngubah de raj at kebebasan elemen

Lx,

koordinat struktur menjadi

t'

t-.2

l~'

6-1

cos8

sin 8

0

6, 6, L\,

J berorientasi

X, X, X,j (Gambar 3.5.2b) adalah: 0

XI

cos8

0

0

0

0

cosG

sin8

x, x,

0

0

-sin 8

cos8

x"

sinG

LL1,

atau {6.} = [T]{X}

154 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

(3- 8)

y

�------� X

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat batang

Gambar 3.5.2a

y

y

P,, X,

�-------. Gambar 3.5.2b

F !""

1

'

)·

F r: I

!

=

r l

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat struktur

sin 0

0

0

cos 0

()

()

0

0

cos 8

sin 8

()

0

sin 8

cos 0

cos e -Sill

0

X

r r· P,

atau {F}

=

[T]{ P].

(3- 9)

P,

'.Lnrik [T] didefinisikan scbagai matrik transformasi koordinat. •.:.:ngisikan ketentuan kedua persamaan (3-8) dan (3 - 9 ) ke dalam persamaan (3-7):

Rangka Bidang

155

CD @ @

CD Q

@

EA

EA

0

0 f

G

0

0

EA

0

0

0

(

0

EA

G

l'l'

0

rFI

~r'

112

I

Fo -'

L13

0

(

0

l

lL1c~

Fe~

0

akan diperoleh matrik kekakuan elemcn [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut : EA

-

()

!

0

! ()

()

FA

-·

LA

·--

-

()

()

()

F;\

()

sin()

()

()

-sin 0

cosO

()

0

0

I ()

cosH

()

()

cos()

sin 0

()

()

-sin 0

cos()

cosO

sin 0

0

()

-sin ll

cosO

()

()

()

()

cos()

()

()

- sin 0

XI

xl x4

sin 0 cosO

l

I'I

p,

j4 1', p

()

()

(3 - I 0)

Dalamnotasi matrik: [S]m [T]m(X}m

=

[T]m(P}m

Mengalikan persamaan (2- I 0) dengan matrik invers

[T]

1 :

[Tj -I [S )[T){X} =[Tj· 1[T){P} [T) [S)[Tj(X}= (P}

(3- 11)

1

Dapat dibuktikan matrik invers

(T]T

=

sehingga

JT]·

1

juga merupakan matrik transpose

eo se

-sine

0

0

sine

eo se

0

0

0

0

eo sO -sinG

0

0

sinG

['r]'[sfr]{x}={P} (s ](T] adalah

(3-12)

eo se

[·rJ' [s ][r ]{x} = [T ]- 1 [s ][T]{x}

Perkalian [Tr

[Tr:

(3- 13)

matrik n*n, dengan n mcrupakan der~at kebebasan elemen yang

ditinj{ILI terhadap si stem Kioordln~t global/struktur rangka. Disebut [T kekakuan elemen terhadap, ,;;istem: sumbu struktur.

156 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

J' [s ][T] = [ k] m,

matrik

3.6 Matrik Kekakuan Struktur [K]s :Jcrl-.alian matrik ·1~!trik

[T]T[s][T] mcrupakan

transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi

kckakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan hasil perkalian sebagai

"atrik kckakuan elemen [k]m

=

[T]T[S][T].

Hasil pcrkalian unsur ketiga matrik mcrupakan

.:hur matrik lkJm- seperti dijclaskan pada Tabel3.6.1. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4,

·:cnyatakan besaran arah positif gaya dan perpindahan kedua ujung elemen dalam sistem · •,1rdinat strukturlglobal.

.

y

-.,..X p 3' 3

. -- . ----- ---- ..,. X

x2.~ Gambar 3.6.1 Perpindahan dan gaya ekivalen elemen terhadap sistem koordinat struktur/global

ITl

ITl

~

cos 2 8

sinG cosG

~ EA sin8 cos8 [k]!ll = @] L - cos 2 e

@]

- sinEl cos8

. ')8

Sll1 ~

- sin8 cos8 . 2o

-Sill

@] -

')

cos~o

-sine cos8 2

@] - sin8 cos8 . ') 8 - sm·· (3-14)

cos El

sine cos8

sin8 cosO

Sll1 ~

. ')8

Tabel 3.6.1 Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

Rangka Bidang

157

Matrik kekakuan elemen [k ] 11, menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpul 8 pada contoh rangka jembatan, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan e lemen [k] dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditctapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemcn. Untuk elcmen 8 dan 16 indeks unsur elcmcn 3 dan 4 sama dengan indeks derajat kebebasan I I dan 12; scdangkan bagi clemen 9 dan 17 indeks unsur elcmcn I, 2, dan sama dengan indeks dcrc~jat kebebasan struktur 11 dan 12 (Gambar 3.5.1). Persamaan (3-15) mcnjclaskan posisi indeks elemcn dengan indcks struktur di titik kumpul. 111

6 888 6 [kt, =

[~]

~ 0

8 D 8 [4]

[2]

0 D

[4]

kll

kl2

kl3

kl4

k21

kn

k23

k24

+ - - - indeks derajat kebebasan struktur + - - - indeks derajat kebebasan elemen

(3 - 15a) k31

kl2

k 33

k.l4

k41

k42

k43

k44

lndeks derajat kebebasan elemen bagi setiap elemen selalu sama. disesuaikan dengan pcngambilan sistem koordinal elemen.

A 8

[k]17-

8 8

&8

[2]

0 D [4]

[1]

kll

kl2

kl3

kl4

0

k21

k22

k2.1

k21

8 D 8 [4]

indeks derajat kebebasan struktur indeks derajat kebebasan elemen

(3-15b) k31

k,2

k\3

k,4

k41

k42

k43

k-14

158 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

~~ - - - - indeksderajat kebebasan struktur

6 6 [1]

0

[2] ~

kll

kl2

kll

kl4

& 0

k21

k22

k23

k 24

6

[2]

k,l

k,2

k ,,

k,4

~ ~

k41

k12

kn

k41

6 [kl =

~

(3 - 15c)

&&

8 8 [1]

8 [1] 0 [1-.l = 6 6 [3] 6 ~

- - - - indeks derajat kebebasan elemen

kll

0k, [!J k, k,,

k,

~

- - - - indeks derajat kebebasan struktur - - - - indeks derajat kebebasan elemen

k,.

k,,

k,. (3- 15d)

k,,

k"

k,.

k,.

k"'

k.,

k.,

k ••

Berdasarkan persamaan (3-15) unsur K;1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 8 adalah : t·

(kll> k[) k8 k9 \ -,, + 'tt + "+ 'tt} Kt2-t2 17 11 = (k--'"' + k-12}\ K t2-tt = Ktt-t2·

1'\.tt-tt = L'

1'\.;t-12

(k[(J kl7 k8 k9 ) 41 + 'n + 44 + 'n ;

=

'-.ilai ini mcrupakan unsur dcri matrik struktur [K]. sehingga persamaan (2-4) menjadi: •\

b. K, 2

K,

K,,,

K,_,o

K,_n

K,_,2

JL K,.,6

K,,

Kn K33

10 K,,_w

12_

K,2-1o

K

11-11

K 12-11

-=

(f.. i",,

-=-

1 "

~ "I" + "~ 11

(k q + k I' I,

Kn_,,

JJ

lli 17

1' < ~:·

KlG-11

+ k ') )

K,,_,2

k l-l + ""I' )

K,2-12

''

f-

~

11

q

=-

H

,.q . , I'

I!

k I<> + k I, .,

I

k

~

l-l

I

I

kn .,

)

K1110

X,

r P,

' x,

'P,

x3 x,

P, P,

K,,.3

K,,,7

x,

P,

K12-13

K,2-17

x,

P,

Kn-·1

x,

Pn

x"

Ki7-17

lx,

:::I

K1313

K,6-16

K,.2,

li

Rangka Bidang

159

3. 7 Vektor Be ban Ekivalen {P} X

Fo3 y

Fo4

(a) Pola pembebanan bentang pada elemen dan gaya ujung

(b) Gaya ujung ekivalen pada sistem koordinat struktur/global

Gambar 3.7.1 Gaya ujung elemen

Mempcrhatikan Gambar 3.7.1a. besarnya gaya-gaya ujung untuk menghitung gaya ekiva1en di titik kumpu1 di1akukan dcngan prosedur sebagai berikut : Beban bentang dinyatakan sebagai reaksi dua sendi pada kedua ujung e1emen LF01 F02 F03 F04 j. Dengan sudut 0 yang dibentuk e1emen batang i terhadap absis X. besaran gaya ujung elemen LP01 P02 P03 Pn4 dinyatakan dcngan LF01 F02 F03 F04 melalui transfonnasi koordinat (Gambar 3. 7.1 b) :

J

l~ll

eo sO

sinG

0

0

PoJ

Fo2

-sine

eo se

0

0

Po2

sine

POJ

Fo3

0

0

eo se

Fo-1

0

0

-sin El

atau {F0 } Ill

= [T]{P0 }

matrik invers [Tr'

=

111

.

[TJ maka : -sine

Po2

sine

eo se

Po3 P(q

0

0

()

0

11 } ,

Po-1

Mcngalikan kedua suku dengan matrik invcrs [Tr' dan mengingat . . ___

eo sO

{P

(3 - 16)

1 •

PoJ

atau

eo sO

J

0

FoJ

0

Fo2

eo se

-sine

FOJ

sinG

eo se

F(q

() ()

(3- 17)

= [T]'{Fo},

Dengan menetapkan vektor { P0 } 111 bagi setiap clemen berdasarkan konfigurasi bcban luar yang beke~ja. unsur vektor { P0 } , digunakan mendapatkan matrik gaya ckivalen [ P} si stem struktur. Apabila ditetapkan [P}E sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban iuar yang beke1ja ditengah ben tang. dan matrik gaya ( P} .1 sebagai akibat bekcrjanya be ban luar di titik kumpul. maka: {P}={P}E+{PL (3-18) 160 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Gambar 3.7.2 Gaya ekiva\en terpusat di titik kumpul 8

Scbagai pcnjelasan mendapatkan gaya ekivalen titik kumpul, ditinjau titik kumpul 8 bertemunya elcmen 16, 17, 8. dan 9 (Gambar 2.8.2). Unsur {P}, terdiri dari gaya yang

L

d iperolch akibat berat sendiri (be ban ben tang) masing-masing elemen, sedangkan unsur {P ciipcroleh dari beban terpusat di titik kumpul 8, seperti beban yang disalurkan oleh gelegar melintang akibat beban bergerakjalan.

3.8 Solusi [k]{x} = {p} ...;eperti dcngan pcnyelesaian persamaan I KI{X} = {P} untuk matrik {X} pada portaL ;'en:elesaian persamaan linear simultan [KI{XJ = {P} rangka dapat mcnggunakan metode jekomposisi LU atau Cholesky menyelesaikan parameter defonnasi {X}.

3.9 Gaya-gaya dalam elemen ~lasil solusi (X l digunakanuntuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung clemen dan

-;::Jksi perlctakan. Unsur matrik (X) merupakan data bagi pcrhitungan. Apabila ditinjau ~:..:men 8 pada Gambar 3.8.1. maka kedua ujung clcmen yang mempunyai dcrajat kebcbasan . ke lJC basan stru k·tur acIa Ia I1 : Lxc 1 Xc 2 xc 1 Xc -1 jT = LX"s1 Xs· 2 X"s 11 : Jng sama cj engan cl crapt .\

'

11

cJ

EA Fl

:J;::ngan hubungan

F2

L 0

F3

EA

F-l

L 0

0 0 0 ()

EA L 0

EA L

0

0 0 0

~~i'\2

lA'

(3 - 19)

L',.j

0

Rangka Bidang

161

Gambar 3.9.1

dan

Korelasi vektor perpindahan elemen 8 dengan derajat kebebasan struktur

,;\,I

cos8

-sine

0

xeI = xsI

,0,0

sin8

cos8

0

X~= X~

,;\,)

0

0

cos8

0

0

sin8

,0,4

8

-SL 1xe

3

=

11

cos8 J X~= X~::

maka besarnya gaya aksial elemen adalah : EA EA

m~

L ()

EA

0

0

0 ()

I ()

()

L

EA

-

() ()

L

0

()

eo sO

-si nO

()

()

si nO

costl

0

()

0

0

0

0

eo sO si nO

(3- 20)

xs

-si nO eo sO

0

8

r-x:

X~= X~ e

(3 - 21)

S

X, =XII x~ =

x;,

X

3.10 Contoh Analisis Rangka Bidang Sebagai contoh bagi anal is is struktur rangka. dari konfigurasi rangka bidang menara atr tergambar, ditetapkan data elemen struktur seperti pada Gambar 3.9.1 berikut. a. Profil baja yang digunakan semuanya sama yaitu profil rangkap L 60.60.5. b. Diameter tangki 3 meter dengan tcbal dinding pelat baja ~ 3 mm. c. Beban struktur seperti tcrgambar. d. Modulus elastisitas baja e. E, = 2.1 * 10(' kg/cm 2 . 162 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

Di lakukan perhitungan untuk hal-hal sebagai berikut : 1. Penentuan luas penampang protil dan bentang clemen. Penentuan derajat kebebasan struktur. .3. Merakit matriks kekakuan (S)m setiap elemen terhadap sumbu lokal/elemen -L Merakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global ). Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m. 6. Merakit vektor beban luar struktur (P}s dan beban-beban titik kumpul struktur. Meyelesaikan persamaan matriks [K]s *~X ~={PL untuk mendapatkan perpindahan titik8.

titik kumpul. Menggambarkan garis elastis struktur (perpindahan titik-titik kumpul terhadap pos1s1

9.

semula). Memeriksa lendutan yang

te~jadi

terhadap syarat maksimum peraturan yaitu lendutan izin

= bentang/360 = 22 mm. : 0. Menyelesaikan besarnya gaya-gaya dalam setiap elemen. : 1. Memeriksa tegangan yang bekcrja pada penampang elemen ( Cher a) setiap elernen 1

terhadap syarat tegangan izin Clmax = 1400 kg/cm

2

.

3.10.1 Penentuan luas penampang profil dan bentang elemen

Dengan menggunakan protil baja = 2*5.82 = 11.64 cm 2 •

JL60.60.5 untuk seluruh struktur, maka luas penampang A

Gaya ekivalen dititik, penomoran titik kumpul dan elemen: 3entang elemen :

Ekmcn I, 2, 5, 6. 12 : I= 4.0 m: Elemen 3, 4. 9. 10 =

I -*3.0= 1.5m: 2

Elemen 7, 11, 13 = JL5 2 +4 2 =4.272m 3.10.2 Penentuan Derajat Kebebasan (DOF) Struktur

\tenghitung derajat kebebasan struktur DOF rangka bidang: DOF= 2NJ- 2NS ~ NR: Jada contoh NJ= 8: NS = 2: NR = 0, sehingga DOF = 2.8-2.2 -0 = 12. Secara visual derajat -.-:bebasan ini dapat ditetapkan dari 2*6 derajat kebcbasan titik kumpul yang bebas, hal mana :.-ada masing-masing titik kumpul bebas terdapat dua derajat kebebasan. Vektor yang ·1enyatakan pasangan demjat kebebasan struktur dan gaya ekivalen titik kumpul seperti pada ~am bar 3.1 0.2 : Rangka Bidang

163

2.5m

["

WR/4

I

:

_L 1111

0.1 WR

•

3

WR/4

5

8

0

2.8m

0

0

4m

Gambar 3.9.1 Rangka bidang illenara air, gaya luar terpusat, penomoran elemen dan titik kumpul

Tabel 3.1 0.1 Sifat-sifat El em en

Ben tang

I

a!e::~en A

L

[m]

[m]

0

si nO

eo sO

EA

--*10

.

1 f-------+---1-.-_2___ --o:0-o-u-s-~-t---.-1-._o_J ___g_o-:-:,--:----1----t---':::.;-_- - ---1 06 .3

o.oo11s4

4.0

go'·

3.. 4

o.oo11s•J

1.5

o'

4..5

0.001164

1.5

0'

0. 16

5 .. 6

0.001164

4.0

90

0.06

6 .. 7

.00ll64

4.D

90

0.06

0. 001164 0.001164

4. 21 4.n

110. 56' 69.44'

0. 06

f------+--2:_;·.:..;R_ _ I 0 . 0 'Jl16 •l 10 R.6 ___-Lo.oous4

l. 5

0'

0 . 16

1.s

o'

!------+--:.:.:..·8:____+ LR

f-----+---!----1~1---+---2-'_~_4

12

8 .. 4

o o

o.s1

o.1s

0.06

o.1s -~o-_~o~0-11-6~4~+--4-.2-7~ +-~6~9-_~4~4'c,-L----f--~-+--~o-_-o~s-_, 0.00116,_;

f---1_-,--f---r-'-_-'4:.__--i--o-_-o!ill s <1

4.0 4 . 2'

11

90'

0.06

o . ss-

o . o6

L----~--~~-L--~--L---

164 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

P6,X6

P4,X4

0

P3,X3

Ps,Xs

0

4

3

Ps,Xs

P7,X7 5

0

0 P12,X12

P2,X2

Pw,Xw

0

P1,X1

Pg,Xg

0

Gambar 3.10.2 lndeks derajat i<.ebebasan DOF struktur

3.10.3 Matrik kckakuan ]S]m elemcn

:1ubungan gaya ekivalen kedua ujung elemen dengan derajat kebebasan dinyatakan dengan ·:atrik kekakuan elemen. X

FI

F.-

EA L 0

F~

EA

F-1

L 0

.:::au ( F} 111

EA

0

L 0

0

EA

0

L 0

0

= [ S] 111

{

0

[1.1

()

;\2

0 0

[1.,_, [1.4

y

\F'''

i\ )m Gamtar 3:10.3 lndeks derajat kebebasan DOF elemen

Rangka Bidang

165

EA

-

Matrik kekakuan elemen

[s ]

L 0

=

111

EA L 0

0 0 0 0

EA L 0

EA L 0

0 0 0 0

bagi setiap data elemen seperti pad a Tabel 3 .I 0.1 dapat dirakit sebagai berikut : 0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

0

0

0

0

0

8

[S]1=I0 *

0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

0

0

8

[Sb=l0 *

l

0 0611

0 8 lS],=I0 * . -0.0611 0

8

[S]=I0 * 7

.ll

s

0

0 0

-0.0572

0

0.0572

0 0

0

0

0

0

0

0

0.163

0

0 0.163

0

0

0

r

0 0572 0

0 -0.0572 0 0

-0.0572

0

0.0572

0

0

0

I

~

0 -0.0572

00572

,=J08* 0 [ ]I, -0.0572 .

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

0

0

0 -0.163

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

0

0

r

0 0572 0

-0.0572 0

8

[SJ1o=IO *

~

0 -0.0611 0 0611

0

8

r

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

0

0 -0.0572 0 0 0 0.0572 0

0

0 -0.163

0 163

0 -0.163

0 0

0 0.163

0

0

0

0.0611 8

[S]12=I0 *

~~

0

0 0.0572

~I

0

0 8 [S] 6 =10 * -0.0611

[Sh=l 0 *

ol

0.163

r

0

0

0 -0.163

-0.0611

8

0 0572 0

0.163

[S] =10 8 *

0.0611

0 -0.0572

r

[S] 9 = I 0 8 *

0

0

8

[S]2=10 *

[S]4=10 *

~

0 -0.0611 0 0

0.0611

166 Amrinsyah Nasution, Metode Metrik 1\ekakuan Ana!isis Struktur

~ ~1

~

0 -0.0611 0 0

0

0.0611

0

0.0611

0

0

0

0

0

0

0

\1eninjau derajat kebasan elemen terhadap sistem koordinat struktur, diperoleh hubungan: X

Gambar 3.10.4 Tranformasi indeks derajat kebebasan DOF elemen terhadap sistem sumbu struktur/global

Fl

eo se

sine

0

0

PI

Fo

-sine

eo se

0

0

F,

0

()

cos8

sin8

F-l

0

0

-si nO

cos El

p2 p3 p4

-"I

cos El

sine

0

()

XI

-"0-

sin El

cos El

0

0

_.._,

0

0

eo se

sine

-"4

0

0

-sine

eo se

x2 x3 x4

atau {F}m = [T] 111 {PLn

atau {L1L1 =[T]m{XL1

Jcngan mengkaji persamaan [S]m{L'.},n = (F}"' yaitu dengan mengganti ".:,n=[T]m (X}mdan {F}m=[T]m (P)mdiperoleh: 1 ': [T]m {X}m = [T]m (P}m. Dikalikan kedua suku dengan invers [Tr m: 1 1 -:-(,n [S]m [T]m {X}m = [Tr m[T]m (P}m dan mengingat [Tr m= [T]"', diperoleh: •.. (X}m = {P} 11 , ; hal mana [k] 111 = [T]m [S]m [T] 11 , disebut matriks kckakuan elemen terhadap - .;nbu global/struktur.

cos8 i

~sin

8

0

-

0

0

cos8

_,Lj

0

0

sin 8

cos8

sin 0

cosO

0

EA L 0

EA

-

L 0

EA

0 0 0 0

L

0

EA

-

L 0

0 0 0 0

cos8 sin 8

sin 8

0

0

cos8

0

0

0

0

cos 8

sin 8

0

0

~sin

8

cos8

F?angka Bidang

167

CD

0

2

cos e

[kL,

EA

0

sin8cos8

sin8cosG

sin

2

2

sine cos e

-sin

2

-sine cos e

-sinGcos8

e

2

-sin8cos8

-cos 0

0

2

-cos e

0

-sin

2

e

cos e

-sin8cos0

sin8cos8

sin G

2

CD 0 0 0

Tabel 3.1 0.2 Parameter unsur matrik [k]m EJm

No. Ujung

L

[m]

(J

si nO

EA* 10' L

cos()

EA . ;

_sln-

0

EA

EA

cos'tl

L

L

-

sin"O *

L cos" (l

1

1 -

2

4. 0

90°

1

2

2 -

3

4.0

90°

1

3

3- 4

1.5

0'

0

4

4 -

',

1. 5

0'

I)

5

')- 6

4.0

90

1

0

0.061

I).

0611

0

0

G

6 -

4.0

90

l

0

0.061

0.0611

0

0

7

7- 8

4.772

l10.'J6

0.94

0.35

0.05/

D.OS02

0.00"11

-0.0188

8

1 - 8

4.272

69.44'

0.91

0.3S

0.057

0.0502

0.0071

O.Olfl8

9

2 -

8

l.'l

0

10

8 -

6

1.5

11

2 - 4

4.272

12

8 - 4

!, . 0

13

6- 4

4.27:?

7

0

0.061

0.0611

0

0

0

0. 611

0.0611

()

0

0.163

0

0.1630

0

0. 163

0

0.1630

0

1

0

1

IJ.163

0

0.1630

0

0

1

0.163

0

0.1630

0

69.44

0.94

0.35

(). 05'1

0.0507

0.007"t

(). 01 88

90

1

0

0.061

0. 06E

()

0

1ltJ.56

0.94

0.35

0.0~7

0.0502

0.007i

-0.0188

Matriks kekakuan [k ]m setiap elemcn : 0

0

c

0

0

0.0611

()

-0.0611

0

0

0

0

()

0.0611

[k]J = lk]c =[k]s =[kl, = [k]12 =!Ox*

0 -0.0611 0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0.1630

0

()

0.163 0

~· ~I

168 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anali~is Struktur

0.0071 [!-..)- =[k]u =10 8 *

1-..J~ =rkltt = 10 *

-0.0188

-0.0071

0.0188

0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

-0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

0.0071

0.0188

-0.0071

-0.0188

0.0188

0.0572

-0.0188

-0.0572

-0.0071

-0.0188

0.0071

0.0188

-0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

8

3.10.4 Perakitan Matrik Kekakuan Struktur {K]s Titik kumpul 2 :

(i)

0

0 f..): =!Ox*

.J'. =l 0 8 *

=I Ox*

&

0

0

0

0

&

0

CD

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

&

A &

cM63

06

-~63

0

& 11 0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

-1

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

&

[k]c =I Ox*

&

g

0

11 '·

&

6

~

(i)

0

0.0071

0.0188

-0.0071

0.0188

0.0572

-0.0188

-0.01881 -0.0572

-0.0071

-0.0188

0.0071

O.OIRR I

0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

0

0

Rangka Bidang

169

P3,X3

----+

t---0.;;

0..

4 3 ;__ _...4_ _ _ _ __.,._ _ __. P1,X7

3

0

Gambar 3.10.5 lndeks derajat kebebasan DOF struktur

K11 K12 K21 K22

2

Kn 1 +K11 +K11'J+K11

11

K,/ + Kl_/ t Kl29 ·+Kill I 9 11 2 1 K.J, +K21 +K21 +K21 I K11 + K2} + Kn9 + K2211

10 8 eo++ o + 0.163 + o.oo71)

10 8 (0.1701)

1ox eo + o + o + o.o 188)

1ox (0.0 188)

10 (0 + 0 + 0 + 0.0188)

10 8 (0.0188)

10 8 (0.611 + 0.0611 + 0 + 0.572)

10 8 (0.1794)

8

Titik kumpul 3 :

[k]c =I Ox*

~ 0

&

6

&

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

()

0

-0.0611

0

0.0611

[kb =!Ox*

6

11 b 8

0

0

0

0

0.163

0

-0.163

0-1

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

~j

170 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

10 8 8 10 I0 8 !OR

10 8 (0.163)

(0 + 0.163) (0+0) (0 + 0) (0.611 + 0)

0 0 IOR(0.0611)

Titik kumpul 4 :

6&

11 0

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

0.163 [k)c =10

8

*

6

&

0

0

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0.163

0 [kh =I 0

8

*

6 11 0

& 0

1 L

kl = 10 8 * _ll

0.0071

o.oY88

0.0188 0.0071

0.0572 -0.0188

-0.0188

-0.0572

0.0071

0.0188

0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

~ 0

11 *

.. l = I 08 *

-.,,

&

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

6

8

0

0

0.0071

-0.0188

-0.0071

0.0188

-0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

-0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

i~

k 3 _' + k 11 ~ + k,, 11

"'

k;/ + kl/ + k,~

11

',

k~ 1 3 + k 21 + k 13

11

k~/ + k2/ ~ k~4

11

'

0

~ 0

~ 0

_,

6

0

0

0 -k]lc=l0 8

-o.oC6>71 -o.ffi88

4

f

k,/' =10 8 (0.163 + 0.163 '0.0071 + 0 + 0.0071) =!OR *(0.3402)

+ k,~ + k4, + k~~

12

12 12

3

8

+ k,/ =10 (0 + 0 + 0.0188 + 0- 0.0188)

=0

+ k~/'=10 (0 + 0 + 0.0188

=

8

+

k~~

13

=

8

I 0 (0 + 0

I

+

0- 0.0188)

0 8

0.0572 + 0.061 I + 0.0572) -I 0 *(0.1755)

Rangka Bidang

171

Titik kumpul 5 :

[k ]4 =I 0

8

6

ffi !A &

~

~

!A &

0)

0

0

0

0)

0

0

0

0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

*

0.163 0 4

Kn Kn Kx7 Kss

[k]s=l0

8

*

k~~ + k,~'

!Ox (0 + 0.163)

IOX(0.163)

k~/ + k,/ 4 5 k4~ + kt~ 4 k44 + k4/

I Ox (0 + 0)

0

8

10 (0+0)

0

!Ox (0.611 + 0)

I Ox (0.061 I)

Titik kumpul 6 :

~ 0

6

&

&

0,

0

0

0)

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

I0

0

0

0

Lo

-0.0611

0

0.0611

~ 0)

[k],~Jo' J~ .

[k]t,=l0

8

*

8

*

*

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

£

0)

0

0.0071

-0.0188

-0.0071

0.0188

0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

~

g

CD

0

6 0

~ 0

()

-0.163

o'

0

0

0

0

0

0.1630

0

()

0

0

0.163

~ 0

~ 0

0.163

0

172

8

0

~

0.0188

[k]to =10

fk],=l0

~

0

~ 0

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

8 k 1/+ k~/' + k 3 ~ 10 + k 11 13 = 10 (0 + 0 + 0.163 + 0.0071) k 1/ +k 3/+k 34 10 +k 12 11 = 10 8 (0+0+0-0.0188)

5

6

k2t +k43 +kl,

10

+k2t

13

:f...J- =!Ox*

0

~

&

0

0

0.0071

~0.0188

~0.0188

0.0572

0.0188

~0.0572

~0.0071

0.0188

0.0071

~0.0188

0.0188

~0.0572

~0.0188

0.0572

~

0.0071

8

I Ox *( -0.0 188) I Ox*( -0.0 188)

= 10 (0+0+0-0.0188)

0.0188

8 I = 10 * 'J'

=

8

Titik kumpul 8:

CD

= 10 8 *(0.1701)

&

CD

0

0.0071

0.0188

~0.0071

~0.0188

0.0188

0.0572

~0.0188

~

0.0071

~0.0188

0.0071

0.0188

0.0188

~0.0572

0.0188

0.0572

0

0 0.0572

& 11 21 8 0

CD '

~0.163

0

0

0

0

0

0

0.1630

0

0

0

0

0

&

£1

CD

0

0.163

I

~6]

~ 0

b

&

11 6

8

0

C0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

~0.0611

0

0

0

~0.0611

0

0.0611

0

~0.163

0

0

0

0

~0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

'

0

0

=1 ox*

. =1 ox*

0

0.163

7

k33 + k33

8

+ kn + k 11 10 + k 11 12 9

[kJ,~Io" .r~ lo = =

8

10 (0.0071+ 0.0071 + 0.163 + 0.163 + 0) I 0 8 *(0.3402)

10

k,/ +k,/+k,/+kt, +kt2 12 = 10 8 (-0.0188+0.188+0+0+0)=0 9 k 1/ I k 1, 8 +k4o +k 21 10 +k 21 12 = 10 8 (-0.()188+0.188-+ 0 +0 +0)=0 k4/-'- k4 / + ku'' + k22 10 + k22 12 = I 0 8 (0.0572 + 0.0572 + 0 + 0.0611) = I 0 8 *(0.1755) Rangka Bidang

173

Dengan penyusunan unsur matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan pada setiap titik kumpul, disusun unsur matrik kekakuan lengkap [K]s sebagai bcrikut: Kll

Kl;

Kl7

K1s

KIIJ

KilO

KIll

Kll2

K21

K,;

K 21

K 2s

K2,,

K21o

K211

K212

KJI

Kn

K 11

K 1s

K;0

KJIO

KJII

K;12

Kll

K4,

K 11

K4s

K49

K41o

Km

K412

K,l

K"

K, 7

K, 8

K,,,

K
K 511

Ks12

K(JII

Kh12

K111

K 112

K()~

K"l

Kc,;

K(J(J

Kr,7

K11

Kn

K 74

K7,

Kn

K1s

K~l

Kx;

Ks4

Kw,

Kg 7

Kss

Ks9

Ks1o

KSII

Ks12

K<JI

K');

K94

Kc,,

K%

K,J7

KIJIO

K,JII

K012

K"s

K99

KIOI

KIIJ2

KI(JJ

K 1o4

Kll,,

KI06

KI(J7

KI08

KIOIJ

KIOIIJ

KIOII

KIOI2

Kill

Kll2

KIIJ

Kill

Kl"

K11c,

Kill

K11s

KII'J

KIIIO

KIll

K111:

Kl21

K

K 121

Kl2"1

K12,

KI2(J

Kl27

K 12s

Kl29

KI211J

122

K

1211

K 1212

Memasukkan nilai K11 pada setiap komponen unsur matrik, diperoleh :

0 170 I

0 0 I 88

0"0188

111794

(I

0

0

--0 O<Ji I

-0 0071

--0 OISX

-OOIXX

-00572

(I

0

0

()

0

0

0

()

-0 0071

- ll 0 lXX

()

0

0

()

-0 1(>3

()

-00611

-00188

-00)72

0

0

0

0

()

0

0

-0 1(,"1

()

()

0

0

0

(I

0

0 Ohll

0

(I

0

0

0

0

0

0

()

0"3102

0

11 I (,1

0

-- () 0071

0"0188

0

0

0 17)5

0

0

-00572

0

-00(>1

0

-" 1J I 1>3

0

11

0

0

0

0

()

0 (I(> II

()

-0 0611

11

(I

()

0 0 163

-0 11>3

() 0 I (,1

0

()

(I

188

0

-00071

0"0188

(I

0" 1701

--00188

-0163

0

0

0

IJ 0 I XX

-00572

- 0 061 I

- 0 0 I 88

0 1Nl

0

()

-0 163

0

(I

0

0

()

0" 11>3

0

0 "14112

()

0

0

()

(I

()

0

11

()

0 1755

- () ()(J

11

3.10.5 Vrktor Beban {P}s

Mencntukan be ban terpusat ek ivalen {P) s d ilakukan dengan mengh itung pengaruh kemungkinan bcban luar maksimum yang bekctja pada sistem struktur. Mcncntukan bobot total tangki dcngan Yair= I ton/m', dimcnsi tangki 3*3

2 111 ,

volume air= 3 2 *2.5 = 22.50 ton= 22500 kg

Berat sendiri tanki : Tebal pclat 3 mm, sehingga berat persatuan luas = 23.52 kg/m 2 . Bobot tangki : o

pelat bawah = 3 2 * 23.52

=

212 kg

w pelat dinding = 4* 3 * 2.8* 23.52 Total bobot tangki

=

212+ 790

=

=

790 kg

1002 kg

17 4 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Pdat penutup tcbal 2 mm mempunyai berat = 15.69 kg/m 2 • l3obot pclat penutup = 3 2 * 15.69 = 141 kg WR = 0.5*(22500+1002+141) ton= IIS22 kg. sehingga : 0.1 WR = 1182 kg: 0.25W = 2955 kg: 0.5WR= 5911 kg Perhitungan gaya terpusat ckivalen

Vcktor (Pls dengan mengabaikan berat sendiri rangka mcrupakan bcban cki\alen dari beban air, bcban berat sendiri bak. dan beban ckivalen gempa.

PI p2

P, p-! 3rn

rp1 I 1 SP,

Pr,

Ps

P"

P, P<, p7 Px PC) P111 PII pl2

I

0.0 00 ± 1182 - 2955 0.0 - 5911 0.0 - 2955 0.0 0.0 0.0 0.0

kg kg kg kg

.)

p,

7

Rangka Bidang

175

3.1 0.6 Menyelesaikan persamaan [K]s *{X}s={P}s

Dcngan menyatakan hubungan dcrajat kcbebasan struktur terhadap gaya tcrpusat ckivalen sebagai persamaan linear simultan [K]s* [X}s={P}s lJ 171J I

(J

!1 (J I XS

(Jin-1

0 OtJ71

1J 01 SX

- 0 01 XX

-0 U502

lJI SS -0 UCJII

0 IIJ)

,. _

1 u~

0 01 XX

0 01 XX

0 0502

I I0 0

11 ~2 i

163

- (J

2'>551

()O(JII

-{I(J(lll

() 0071

() ](J)

() _\ ...1()2

-()J(J)

(J

lhl5

I (JJ

- {J

(J

0 Otl7i

IJ Ill XR

0 I XX

-0 05(12

(J

0 0188

sx

- () 05(12

() 11

'I

- 5CJ 11

.\.I,

.\,

OOrJII 0 1701

11071

0 01

\, 0 DIJII

163

0 (J611

- 0

: () 11

-0 I6J

0 OCJII

-IJ Ill SS

0 0 lXX ()

172~

\In

(! ](J_I

lC<~

J..J-02

(J

-0 fJ61 I

(J

l(l 15

.\.11 :

()

0

.\I'

(J

u

diperoleh besarnya perpindahan translasi titik-titik kumpul. Beberapa cara mendapatkan vektor [X) s (translasi titik-titik kumpul) antara lain ada!ah mencari matrik invers [Kr 1s a tau dengan cara dekomposisi LU melalui proses el im inasi d itetapkan unsur vektor [X} s· Dengan bantuan perangkat lunak komputer 'Microsoft Excel" untuk mencari matrik invers [K Is d iperoleh : --0 ]Ql(J() 71 -1-')(1(12 71 4'-)0()2 -U I CJlhh 0 OIXS 73 :'\I 'il "lh."-t 1oo I

r

~()\102

() jl) ~()()

,,

(J j()}(16

1.1 8'J9()()

19 3220:->

13 XiJl)()h

-0 01 RK

'I'

73 -t9()1J2

jl1 12208

() l(J:;

I '-J 32208

- () ](J_l

() [i)3(lh

11 H9066

l93220R

! X,

73

I'· X,,

,_

-= l () ~

(J

*

.\\ :

I'·

. x", 1

11)(}112

I tJ 12208

.'1 1J-t I lJ8

-t X:'()23h

7'}. -l'IIJ1J2

10 122()8

-(} ji):l()()

-(I h0-1()8

](I

461:"

() I '-J3D(l 'I

~11! X1ci

sehingga

I

0 I <1~

.S 7' I (J- 1 ~ I hRSh(J I

I 63

73 4'-JUU2 0 ll I 88

() 0188 0:'\72

0

(l(ljj

-43 245

()Ill SS

73

lh3

73 -FJOU2

Ol1

-" 7S

() 0:'72

lJ I 88 (l

-(I

401102

(JIJ(J]J

- \l 061 I

- () 19366"

() 1701

I 1 R096h

-0 0188

(!()

-2 89

-1-i)(J()2

11

() ]()_)

!14

-0

]'-!3()(,'\

j(l(l

!0

0 lh3

13 B'-J')66

()

!lo"

0 3402

()()

() 17.:;.;:.

lOO

-91 237 =I WX

*

-93 2-'7

Xg

-I

X9

90 - 9c!

X

n

0 ]h;

l402

0

XI

X;

11 :"

I'-) 32208 (J

(l

x2 x, x-1 x5 Xr,

1\)(J

() 17:"5

() llJ_)(>()';

70 422:'14

--() ](J3

l'-J 3220R

73 49002

OUhll

I'-) 122(18

-0 ll9·thS

(! 201JX(J()

() 0:"72

Jml

!13 -35

Vektor ini merupakan perpindahan /translasi titik-titik kumpul guna mendapatkan gans elastis struktur. 176 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

3.10.7 Garis Elastis Struktur Rangka

Dari unsur matrik (X}s digambarkan garis elastis sistem struktur rangka akibat beban yang Unsur matrik merupakan translasi titik-titik kumpul dalam satuan [m]. Gambar ~.I 0.6a mcrupakan konfigurasi struktur akibat kombinasi beban vertikal dan beban horizontal arah positif(gaya gempa ekivalen positil). h~kc1~ja.

P3

=r:_ _._. _. :·:'1'_'____._. _.

= 1182 kg

i 3 . ·. .'

/

I

~··

' / / / /

\

84

I

\,

-43

\~

245

\1

-')I

\,

237

.\(,

- ')3

=

10-8

*

\\x

-I

\q

')()

\1!1

- ')4

\11

83

\le

-35

_p·_" ] ' ' ' 5.

'

'

· ..

' '

' '

'

\

'

'

m!

Gambar 3.1 0.6a Garis elastis si stem struktur beban gempa positif

.lika kombinasi beban luar yang ditinjau untuk gempa ekivalen negatif, diperoleh garis elastis si stem struktur seperti gambar 3.1 06b. Dari gambaran kedua garis elastis, penmJauan ~truktur harus dilakukan pada kemungkinan pembcbanan yang membcrikan tanggap struktur maksimal.

Rangka Bidang

171

XI

-90

x,

- 9-f

x~

-245

x.j

-142

,

x, Xi,

=I() -R

x7

*

ml 2

Xx

-91

x9

-84

X

-43

,

,

,

,

,

,

,

,

,

'

'

'

'

'

'

'

'

I

1 .'

X12

is

· . ·-t-··-··-··-··'-··-x"71 ~~·~:r,-:··-··-··-··-··-·· '

l- 35

XI]

'

,

1- S3

XII

\

'

'

'

'

I

~0:~6 I

'

Gambar 3.1 0.6b Garis elastis si stem struktur beban gempa negatif

3 .10.8 Gaya Dalam Eiemen

Setelah memperoleh vcktor {XL, maka gaya-gaya dalam batang (berupa gaya aksial) dihitung dari derajat kebebasan scbagai berikut : L/\

()

I. ()

() ()

L ()

atau

()

cosO

I.

];\ --

Fi\ ()

li\

()

()

lrX;-xs I k ~

FI

eo sO

()

x:, = x(

F,

()

eo sO

-si nO

X\ =X~,

F~

()

()

:;inO

cosO

1 [s] [1] Jx !/ Ill

()

()

()

.

()

-si nO

()

I. ()

si nO

Ill

~~111

-

()

J X4

1

1 - l ,1I 111

178 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

=X~

xs,

t .

c

e__ ~-=--=--=-e-=--=-=-=--=--=-=

F3 ___

X' =X 5 4

.

~

n

,

,'

,'\,.

J \\

\\

\\ \\

· ···•x' 3--x" m ''\ \ \..:) G \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \>

Gambar 3.1 0. 7 Korelasi vektor perpindahan elemen dengan derajat

kebebasan struktur

i-, r.:lasi vcktor perpindahan clemen dengan derajat kebebasan struktur scpcrti pada Gambar _ '1.!. harus d itinjau dari kesamaan indeks derajat kebebasan struktur dengan de raj at ~ ::"'cbasan elemen terhadap koordinat struktur. ::;;-:1itungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah: =~~en

1 : EA/L = 0.0611; sin 8

= 1;

cos 8 = ()

0.0611

0

-.0611

0

0

1

0

0

0

2566

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

-.0611

0

0.0611

0

0

0

0

I

84

-2566

0

0

0

0

0

0

-I

0

-42

0

I)

=~:en 2: EA/L

10'

= 0.0611; sin tl

=I; cos

e=o

0.0611

()

-.0611

0

0

I

()

0

84

2994

()

()

()

0

-I

0

0

0

-42

0

-.0611

0

0.0611

0

()

0

0

I

245

-2994

0

0

()

()

()

0

-I

0

-91

()

Rangka Bidang

179

Elemen 3 : EA/L

10'

= 0; cos 0 = 1

0.163

0

-0.163

0

1

0

0

0

245

1304

0

0

0

0

0

1

0

0

-91

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

1

0

237

-1304

0

0

0

0

0

0

0

-93

0

Elemen 4: EA/L

10'

=0 163; sin 8

= 0.163; sin 0 = 0;

cos 8 = 1

0.163

0

-0.163

0

0

0

237

0

0

0

0

1

0

0

-93

0

-0.163

0

0.163

0

1

0

237

0

0

0

0

0

()

-142

0

Elemen 5 : EA/L = 0.0611; sin 8 = 1; cos 8

10:1

0.0611

0

-.06 I 1

0

0

0

-.06 I 1

0

0

0

=0 0

0

90

2994

0

0

0

-93

0

0.061l

0

0

1

237

-2994

0

0

-1

0

-142

0

0

0

5682

Elemen 6: EA/L = 0.0611; 3in 0 = 1; cos 8 = 0

10'

0.0611

()

-.0611

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

-.0611

0

0.0611

G

0

0

0

90

-5682

()

0

0

0

0

0

-1

-93

0

Elemen 7 : EA/L

10'

= 0.0572;

sin 0

0.0572 0

0 0

-.0572 0

-.0572

o

o.o5n

0

()

0

= 0 94; ccs 0 = 0.35 ~' ~0.35 0.94 -O.J4

r _J ~j ~

0

0

3544

-C.35

0 0

0

0

0

o

o.94

0.94

83

-3544

')

-0.35

-0.35

-35

0

180 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

=emen 8 : EAIL = 0.0572; sin 8 =0.94; 1o'

0

-.0572

0

-0.35

0.94

0

0

0

220

0

0

0

0

-0.94

-0.35

0

0

0

0

-.0572

0

0.0572

0

0

0

0.94

0.94

83

-220

0

0

0

0

0

0

-0.35

-0.35

-35

0

EAIL = 0.0611; sine = 1; cos

o= o

0.163

0

-0.163

0

I

0

0

0

84

163

0

0

0

0

0

I

0

0

-42

0

-0.163

0

0.163

0

0

o·

I

0

83

-163

0

0

0

0

0

0

0

-35

0

:::km en I 0 : EA/L = 0.061 L sine = 1: cos e

1o'

0.163

0

-0.163

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

Ekm en I I : EA/L = 0.0572: sin

1o'

0.35

=

0.0572

=emen 9: 1o'

cos 0

~--

=

o

I

0

0

0

83

-1141

0

I

0

0

-35

0

0

0

I

0

90

1141

0 I 0

0

0

-93

0

o=

0.94; cos e = 0.35

0.0572

0

-0.0572 0

0.35

0.94

0

0

84

0

0

0

0

-0.94

0.35

0

0

-42

~21

-0.0572 0

0.0572

0

0

0

0.35

0.94

237

321

0

0

0

0

0

-0.94

0.35

-93

0

0

1C?angka Bidang

1 J

181

Elemen 12 : EA/L = 0.0611: sin 8 = 0; cos 0

10'

0.0611

0

-.0611

0

0

0

0

0

0

-I

-.0611

()

0.061 1

0

0

0

0

0

I

=

0

0

83

3544

0

0

()

-35

0

0

0

0

1

237

-354

0

()

-I

0

-93

0

Elemen 13 : EA/I,= 0.0572: sin 0 =0.94: cos 8 = 0.35

10

1

0.0572

0

-0.0572

0

0.35

0.94

0

0

90

2943

0

0

0

0

-0.94

0.35

0

0

-93

0

-0.0572

0

0.0572

()

0

0

0.35

0.94

237

-2943

0

()

0

0

0

0

-0.94

0.35

-93

()

2955 kg

5911 kg

F2

2955 kg

8

':c'?4

F F.

l F} = Fg

566 kg

F,

Fs

F12

F,

;c·

F. F

F., F F

FG

Gambar 3.10.8a Besaran gaya dalam elemen bc:tang kombinasi beban 1

182 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan J.nalisis Struktur

0 2 J 'J4 kq l)(; R:: kg 3'J44 kq

F.

F·. F,

Fw

I tekan) kg (tekan) )04 i
lo3 1: 41

r·

3'>4cl 2'143

kg kg kg kq kg kq

( tekan) l~dlik)

( :__t:'kr1ll)

ltarikl ( Lckan)

I t.:•l;anl I Lar·ik) (t
ltekan)

Tinjauan keseimbangan gaya di titik kumpul 3, misalnya : 2955 kg

1182kg

l

e +---F 3 = 1304kg 2955 kgr

Terdapat beda 39 kg perhitungan arah keseimbangan gaya vertikal dan beda 122 kg arah keseimbangan gaya horizontal. lni akibat perhitungan gaya dalam F 2 dan F3 dengan pembulatan perhitungan simpangan vektor X. Hasil perhitungan vektor {F} dengan nilai numerik {X} beberapa angka dibelakang koma kondisi beban I ( tanda- gaya tekan):

5

F1 F, FJ

Fs

{F}

=

F, Fs Fe F1 F3

F,, Fto F11

F1~

FL,

5682 kg (tekanl 2994 kg (tekanl 1304 kg (tarikl 0 2994 kg (tekanl 2566 kg ( tarikl 220 kg (tekan) 3544 kg ( tarikl -1141 kg (tekan) 163 kg (tekan) 2943kg (tarikl 3544 kg I tekan) --321 kg (tekan)

Gambar 3.1 O.Sb Besaran gaya dalam elemen batang kombinasi be ban 2

Rangka Bidang

183

3.11 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang Bagan alir dan program sumber di dalam bahasa tingkat tinggi komputer PASCAL bagi analisis struktur rangka bidang dikembangkan untuk membcri pemahaman bagaimana analisis dilakukan dengan bantuan pro:.;rwnming Pengguna clianggap suclah memahami bahasa Turbo Pascal. Dengan bagan alirlalgoritma pemroscsan yang clirancang clari prosedur analisis. program sumber komputer dapat disusun dalam enam kategori utama pernyataan : a. Pernyataan hagi arsip/fl/c dan record yang akan diproses oleh komputer. b. Pernyataan untuk data diluar arsip. seperti untuk membuat judul yang diperlukan dalam dokumentasi. c. Pernyataan memindahkan data pacla satu lokasi mcmori ke lokasi memori lainnya dalam mcmori utama komputer. d. Pernyataan melakukan proses aritmatik yang disimpan clalam memori utama. e. Pernyataan logika: proses urut, pilihan (perbandingan) clan iterasi. f Pernyataan memhaca data clari memori clampingan (disk et, hard disk) ke memori uta ma atau menuliskan data clari memori utama ke memori dampingan. Secara umum Deklarasi Program Bahasa Turbo Pascal adalah : (Judul Program clan penjelasan variabcl} Deklara.\·i : Label Const Type Var Procedure begin badan sub-program; end; Function; begin btu/an sub-program; end; begin program utama end. Pemahaman lebih jauh clalam pemograman dapat dihaca clalam buku-buku komputer.

184 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Deklarasi Program De%larasi judul program Deklarasi tipe matriks M44 : Matriks 4 x 4 Dek~arasi

::tJ

Ol

::J

(Q

"" g:

Ol

tiJ

~ ...l>.

00 U'l

~onstauta

MAX EL Jurdah elemen maksimum MAX ND Jurdah nodal maksimum NAX_P Jurr.lah derajat kebebasac1 ma%simurr, NAX MT Jumlah tipe material rnaks:mum Deklarasi variabel a. Variabel data struktur JUDUL Judul Data Struktur NNODAL Jumlah titik nodal NiviATEF::;:AL Jumlah tipe mate~ia~ NELEMEN Jumlah elemen struktur X,Y Koordinat titik nodal FX,FY Beban titik nodal; RX,RY Kode kekakangan citik nodal JJ,JK Nomor nodal i dan j elemen struktur MAT ~ipe ma~erial elemen struktur E,A S~fat penarnpang elemen struktur b. Variabel analisis struktur NP : ~umlah derajat kebebasan struktur PX,PY Penornoran kebebasan struktur KK Matriks kekakuan global struktur pp Matriks gaya nodal global slruktur XX Matriks perpindahan global struktur c. Variabel bantu NAJV'~ FILE Nama file input/output FINP,FOUT Variabel file input/output

PPOGRAM R"~GKA BIDANG; ?YPE '144 =ARRAY [1 .. 4,1 .. 4] OF REAL; CONST l"AX EL = 25; fJ;AX ND 25; HAX P = 75; MAX_MT 15; VAR ~UDUL: STRING[80]; NNODAL, NMXI'ERIAL, NELE:viEN : INTEGER; X,Y,FX,FY: .Z',RRAY [l .. :viAX_ND] OF REAL; RX,RY,JJ,JK,T1AT : ARRAY [1 .. MAX_EL] OF INTEGER; E,A: ARRAY [l .. MAX_MT] OF REAL;

NP : INTEGER; PX,PY : ARRAY[l .. MAX_ND] OF INTEGER; KK : ARRAY [ 1. . MAX_P, l .. MAX_P] OF REAL; PP,XX: ARRAY[l .. MAX P] OF REAL;

NAMA_FILE FINP,FOUT

STRING [ 15] ; TEXT;

...... ee

0)

}>

3 ..... :::J

(/)

'<

(I)

::J

z

(I) (/)

Subprogram Pembacaan Input Data Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I :Var~abel iterasi NR :Jumlah joint terkekang NF :Jumlah nodal dibebani beban titik nodal NJ : Norwr joint Bagan alir subprogram pembacaan data j' ~- -- -1-np-u! Data---: 1

s.a· :::J

~

~

!

0 ~

.

~

y

PROCEDURE INPUT~DATA; VAR I,NR,NF,NJ INTEGER;

BEGIN FOR I:=l BEGIN RX[I] RY[I] FX [I] !'Y [I I END;

TO

MAX~ND

:= ·= := :=

0; 0; 0; 0;

DO

Baca

~

Judu'

~

READLN(!'INP,JUDULI; READLN(FINP,NNODALI; FOR I:=l TO NNODAL DO READLN(FINP,X[I] ,Y[I] I; READLN(FINP,NRI; FOR I:=l TO NR DO BEGIN READ(FINP,NJI; READLN(FINP,RX[NJ] ,RY[NJ] I; END; READLN(FINP,NMATERIALI;

Sac a

... ~~1

"'

N"Jodal

QJ

"'

i

t::

QJ

::J

h

.

I

::J

QJ

~

v;·

·'

~

---s~·~-;----7

2

"'

c: ...,

i

~----'------... I " 1 to'~" "" '------,-----''/~

"'

•

Baca L_

__

~

B'"

I

RX(NJ) RYI~

!

I

~·-~~~-

/

Baca

FOR I:=l TO NMATERIAL DO READLN(FINP,E[I],A[I]); READLN(FINP,NELEMEN); FOR 1:=1 TO NELEMEN DO READLN(FINP,JJ[I] ,JK[I] ,MAT[I]); READLN ( FINP, NF) ; FOR I:=l TO NF DO BEGIN READ(FINP,NJ); READLN(FINP,FX[NJ] ,FY[NJ]); END; END;

V

I ::: 1 to NMatenal

.,

____ - - Baca E(l), A( I)

~

J_---'

___t _

Baca NEiemen

----,------1 _y_ ___

I=

1~o NEiemen>--,----- -_y______

~

Baca JJ(I) JK(I) MAT(I) --~----

J

•

<})----

Baca NF

-----'1__

1 = 1 to NF

~

--

/

__ _ _ /

--

1

::0 Q) :::J

(Q

!

____1___~----1'

Baca

----~

:>;-

Q)

CO

§: :::J

(Q

~

00

......

--; Baca

FX(NJ) FY(N~ 1--~+

CD-__L__

Selesai

/

..... 00 00 )>

3 ::::l (/)

'<

Subprograrn Perhitungan DOF Struktur Deklarasi judul subprogram Dek:arasi variabel

I

: Variabel iterasi

BagaL alir subprogram per hi tungan DOF scr '.lktur

tll

:-JP

::T

ztll

DOF

s.6'

NP = 0

.

::::l

~

1 = 1 to

0Q

<1l

I

c

0

:::0

~

1£' ;s;-

I= 1 t:J

Q)

;s;c:

OJ

::J

NP~~~

~

----c:::::::..-

c;;;·

2

::>;-

'·

PXili=NP

.

ya--

FOR ::=1 TO NNODAL DO BEGIN PXI=l := 0; PY[I] : = 0; END; FOR 1:=1 TO NNODI'\L DO BEGIN IF Rx:=J=O THEN BEGcN NP := NP + 1; PXII] IF RY[I]=O THEN BEGIN NP := NP + l; PY[~J END;

:= NP

END;

N?

END;

{ OUTPUT DOF STRUKTUR I FOUT, JUDUL I ; v.JRITELN I FOUT I ; \•JRITELN I POUT, 'JUMLAH Kl::BEBASAN STRUK?UR 1,\]P.I?E:"N I POUT, ' f~J ?X PY' I ; FOR I:=l TO NNODAL DO WP.ITELN I FOUT, I : 3, PX I l] : 4 , PY I I] : 4 I ; lr!P.ITELN I FOUT I ; END; ~Ji\ITELN

-< .RY1II

.

N? = NP--:;:-1-

(;:

""

.

--ya--,--

::J

(/)

0;

~~Noda:

~

~

Q)

:=

,-~-

(/)

):,

PROCEDURE DOF; VAR I : INTFG:':R; BEGIN

--- -

...:

~

J --

', NPI;

_,_

"~I::. 1 to NNodal ~ ___ / -

-

__.__ TU liS

I, PX:Ii PY1I'!

-

J

~~~

...

-~,-

Subprogram Perhitungan Matriks Kekakuan Global Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I , J, K Variabel iterasi t-:0, NK Nomor ~odal i dan j elemen struktur NMAT Jenis material elemen struktur p Nomor derajat kebebasan elemen struktur DX,DY,L: Panjang elemen struktur CX,CY Cosinus dan sinus sudut elemen struktur EAL Komponen matriks kekakuan elemen struktur KM Matriks kekakuan elemen lokal KS Matriks kekakuan elemen global R Matriks rotasi TEP!P Variabel penyimpan matriks sementara Bagan alir subprogram transpose matriks ,-~

-----------,-

L_T~~=(A)

_L

,_.

/ ~-1:~~

PROCEDURE KEKAKUAN_GLOBAL; VAR I, J, K : H'TEGER; NJ,NK,NMAT : I~TEGER; P : ARRAY [1 .. 4] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL : REAL; KPI,KS,R,TEPIP : M44;

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M44); VAR TEMP M44; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO TEMP[I,J] A[I ,J];

FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO A[I,J] TEMP [J, I]; END;

.t____

p

J1=A(I Jl

y----- -

~ ~

::0

("

'--~T

Ol

:::J

~ Ol OJ

§: :::J tQ

..... 00 CD

Jo1
:

.>-

--~~~ :EMPrJ 11

!

---,,--

·~

6------1

::__~e~!~_-,----_J

-"

c.o 0

)>

3.....

IJ_M_U~Iply(A~-;:~~~ L__

I

i

~o-4--

:::J

(/)

'< Ol :::r

<......

T

z

Ol (/)

s.

6" :::J

~

~

~

"

C(IJ)

h

::J

~

=a

I

·:;!)-----

I

(.

"

1=1to4

! /

<.."-.

_ ____I___.

J = 1 to 4 -

-

-......_~

_/

I

c;;·

/~L_­

(/)

.. ......_ K

2:>:2 ..,

I

.,

s:::

QJ

/

.

I

QJ

::J

)-.If--,

~

it ~ ~

:>:QJ :>:-

'-..._

J=1to4 I

0

s

M44); M44; VAR C PROCEDURE MULTIPLY(A,B VAR I,J,K INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO C[I,J] := 0· FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO C[I,J] := C[I,J] + A[I,K]*B[K,J]; END;

Bagan alir subprogram perkalian matriks

= 1 to 4

. C(I.J) = C(l J) + A(I.K)"B(K.J) __ _j

"f Q> I

cP~----

"

Selesa1

-·

__ j ' !

........................................................................................

-.------·""~

Bagan al1r subprogram perhitungan matriks kekakuan global Kekakuar Global !

!

/

~~

- __t__

-- ' "

(__ '-~~.':__/ _ ('

____.___

Jo1toN~> KK.I J1 = 0

~r---

J}l

~

--

BEGIN FOR I:=l 70 NP DO FOR J:=l TO NP DO KK[I,J] FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN N,} := JJ[I]; NK : = JK [I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[NJ]; P[2] := PY[NJ]; P[3] := PX[NK]; P[4] := PY[NK]; OX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL : = E [ NMA T] *A~ N~1AT] I L;

:= 0;

FOR J:=l TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO BEGIN KM[J,K] . - 0; 0; R[J,K] END; i

<. Jo1c!~~1to4 >--~-.

t_

:<) (\)

:J

~ (\) llJ

~ :J


..... .....

(0

-~

KM [ l , 1 ] : = EAL ; KM [ 3 , l ] : = - EAL ;

KM[1,3] KM[3, 3]

:=-EAL; : = EAL;

. -

i

-~~-t_· KM(J K) = 0 I RIJ K) = 0

I

----,

!

I

-·-'

~·· t

(1)-.------

--~L____

- --

1) = Eil,L KM(1 ,3J = -EAL

1J__=____:_EAL, KM(3 31 = EA_.!:-__ i

L__------------!,------------_1_--------------------------'

.....

(0

N Ri1 1)

~

3 ....,

:::J (/)

l

'< Ill :::r

= CY =CX

Rt43tc-C}----

'

~

I-

1

--

(/)

1

L"-

6

---•

';

1

---~--~-

0

iS-

~---

~

""

"":::;

-- __!c,J_ _ _ _ _ KK1P(JI P(K)l ;:;KK!PiJI PtK):.,. KSiJ

I

__ ________.,!,

1

h

®---------

:::; (l)

cl'>------

~

c;;·

~r}

(/)

2 ""2"...,

I

KJ

__j

c:

(l)

CY; CX; CY; CX;

FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=1 TO 4 DO IF P[J]*P[K]<>O T;-;EN KK[P[J],P[Kj] KK[P[J] ,P[K]] + KS[J,K]; END;

TEMP KSI , _L_j

~

(l)

:= := := :=

~~--'--

:::J

~ ~

R [ 1, 2] R [2, 2] R [3, 4] R[4,4]

MULTIPLY(KM,R,TEMP); TRANSPOSE (R); MULTIPLY(R,TEMP,KS);

--'l

Transpose1R1

1

s.

:= CX; :=-CY; : = CX; :=-CY;

Multiply!KM,R '

1_"-----

z Ill

R [ l, 1] R [ 2, 1] RI 3, 3 l 2 [4 '3 J

=ex

R(2 1, = -CY Rl33)::oCX

~~:1~ ~ '-----

______y_ __ c

1

to NP

----,

"

__/').l

I T~i,IS KKrl J\

'

(;__>--------

~~;--

'----

-)

_j

Wl'liTELN ( FOUT, 'YIATRIKS KEKAKUAN GLOBAL STRUKTUR : ' ) ; FOR I:=l TO NP DO BEGIN FOR J:=1 TO NP DO WRITE(FOUT,KK[I,J] :10:0); \'JR ITEI,N ( FOUT) ; END; t:JRITELN (FOUT); END;

Subprogram Perhitungan Matriks Gaya Nodal Deklarasi :!udul subprooram Deklarasi variabel Variabel iterasi Bagan alir SJbprogram perhitungan matriks gaya nodal

-

---: '

~Gaya Nodal___j_l -

__'f_

"'

I = 1 to NNodal

'f_ _ _

PP(PX(I) = FX(I) PP(PY(I) FY(I)

;r.. -

---r----=

I 1

cTr-------" -~~ I= 1 to NP

-,-

//

I

y Tu lis PP(I)

I

)J Q)

:::J

(Q

~ Q)

CO

~ :::J

(Q

.....

w

(,)

-

t-

_T_Selesa1

-, )

PROCEDURE GAYA NODAL; VAR I :NTEGER; BEGIN FOR I:=l TO NKODAL DO BEGIN PP [ PX [I] ] : = FX [I] ; PP [ PY [I] ] : = FY [I] ; END; WRITELN(FOUT, 'MATRIKS GAYA NODAL: 'I; FOR I:=l TO NP DO ',~RITELN(FOUT,'P[',I:3,'] ' , PP [:;: J : 1 0: 3 I ; lJJRI'l'ELN ( FOUT I ; END;

..... CD

-'="

)>

3...., :::l (/)

'<

Subprograrn Perhitungan Solusi Deformasi De~larasi

judul subprogram Deklarasi variabel I : Variabel iterasi Bagan alir subprogram faktorisasi matriks

ru

r! '

:::;

z ru

Fak.tor

(/)

<J=2to

:::l

!

s.6"

~---------'-----Jl=,J-1

*

Jh

0 15-

1=2toJ1

~

____l _ _

~

I

~

<

~ ~

~-­

,ol\011

-~

QJ

~

c:

=

QJ

:::

> -

S~~~KIK I)'KK(K ~

'

®-----J

h

_L __ _

:::

QJ

= SUI\fl

Kii,J)

~ iii

cL--------

(/)

2

-----)

--

~

~

2 ..,

i

SUM= r..K1I J1 11ol1

~

SUM= KK(J Ji

L___

T


~~i~L~~

c;

·-·

KK(J J) =SUM

--

&------

.._______ •

-

,

Selesa1 _________;

\ _ __

INTEGER); PROCEDURE SOLUSIIN VAR I INTEGER; PROCEDURE FAKTOR; VAR J,Jl,I,Il,K : INTEGER; SUM,TEMP : REAL; BEGIN FOR J:=2 TO N DO BEGIN Jl := J-1; IF(Jl<>l) THEN FOR I:=2 TO Jl DO B2GIN SUM : = KK [I ] [ J] ; Il := I-1; FOR K:=l TO Il DO KK[K] [I] *KK[K] [J]; KK [ I ] [ J J : = SUM; END; SUM := KK[J] [J}; FOR K:=l TO Jl DO BEGIN TEMP := KK[K] [J} /KK[K] [K]; SUM := SUM-TEMP*KK[K} [J]; KK[K] [J] :=TEMP; END; KK [ ,J ] [ J J : = SUM ; END; END;

SUM

SUM-

..,.-~--

Bagae1 ali:: subprogram substi:::usi Subst1tus1

'

~-

1::::1toN -~

~~__/

!

____y_ SUM K1

o

XX(I)

o

1~1

I" 1 Y'

_ ____y_ __

K:::: 1 to K1

todak

_ _ y~

SUM

o

SUM~

KK(K I).XX(K)

-T

:>;Y-

----.,:~·

•--XX(I)

o

SUM

'r)---'

1::::1to-~~-­

___/

:::0 QJ ::J

~ QJ OJ

§: ::J


..... tO (Jlii

--11.

XX(I) ---

I ~___j>o

~-

XX(I)/KK(II)--~

------

cl·

---~

PROCEDURE SUBSTITUSI; VAR I,Kl,K,Il,K2 INTEGER; SUM : REAL; BEGIN FOR I:=l TON DO BEGIN SUM := XX[I]; Kl : = I -1; IF(I<>l) TJIEN SUM-KK[K] [I] FOR K:=l TO Kl DO SUM XX[K;; XX [I] : = SUM; END; FOR I:=l TON DO XX[I] := XX[I] /KK[I] [I];

~I en }>

3

~

:J

(f)

'<

Ill

::r

z

Ill

FOR Il:=l TON DO BEGIN I:=N-Il+l; SUM := XXIII;

(f)

s.0 ::J

~

I= 1 toN

K2

0

~~~ ~~~;(11)

~ ~

K2 = 1+1

X

"'" c: "'"

Y' _.._ __

lll

K = K2

::J

h

::J

__

lll

c;;·

!

_j

I• N


lll

~

I+l;

THEN FOR K:=K2 TON DO SUM:= SUH-KK[II[KI*XX[K]; XX [ I I : = SUM; END; END;

•

~

:=

~F(I<>N)

toN>--·:

__..

SUM =SUM. KK(I.K)"XX(K)

!

I

~

D---

~ 2 ""'

.}.

XX( II =SUM , -----,------1

1}----------

"----------------~/

---• Sele~~---------------------_L_____________________________________________________j

Bagan alir

s~bprogram

perhitungan solusi deformasi

BEG~N

FOR I:=l TO NP DO XX[I] := PP[I]; ?AKTOR; SUBSTITUSI; WRITELN ( FOUT, 'SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR : ' I ; FOR I:=l TO NP DO WRI'I'ELN(?OU7,'X[',I:3, ''; ',XX [I] :10:61; WRITEL!\ ( FOUT I ; END;

c--• F-aktor

! Sul·StiLSI

-

~.

I:: 1 IO NP

2\ ::0 Q) ::J

(Q

""

Q)

OJ

§: ::J

(Q

..... (0

.......

L __ ' Selesa1 )_'_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ j __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___J

~I

00 )>

3...., :::::

(f)

'<

ru

:::y

z

ru (f)

s. i3

:::::

$:

(1)

0

~

~

s

~

~ ~

ru

~

c::

(l)

:::l

h

:::l

~

iii iii

Subprogram Perhitungan Gaya Elemen Struktur Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel Gaya Elemen I ,J K Variabe:;._ iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan ~-~-­ elemen struktur <"-~~0 NEiemen '0MAT Jenis material elemen struktur NJ = JJ(I). NK = JK(I) NMAT = MAT(I) P(1) = PX(NJ) P(2) = PY(NJ) p Nomor derajat P(3) = PX(NK). P(4) = PY(NK) OX= X(NK) · X(NJ), DY = Y(NK)- Y(NJ\ kebebasan elemen L =(OX-+ OY-Ystruktur CX = DX/L CY = DY/L EAL = E(NMATrA{NMAT)/l DX,DY,;_, Panjang elemen struktur = 1 to 4 CX,CY Cosinus dan sinus -T sudut elemen struktur EA~ Komponen matriks •K = 1 to 4 ~e~akcan elemen struktur Mat:~iks deforrr,asi elemen XS ,----'global KM(J,K) = 0 R(J K) = 0 XM Matriks deformasi elemen lokal FM Matriks gaya elemen (~· lokal KM Matriks kekakuan elemen lokal ~-K-M(11J = EAL~M~3J~--:-EAL KM(3 1) ·o= -EAL. KM(3 3) = EAL R Matriks rotasi I

I

--~~-------

1

--T

t" -------

--~---

(/)

2 ~

2...,

PROCEDuRE GAYA ELEMEN; VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P : ARRAY 11 .. 4] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL : REAL; XS,XM,FM : ARRAY 11 .. 4] OF REAL; KM,R : M44; BEGIN FOR I:=1 TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JKII]; l\!1AT := MATII]; P[l] := PXINJ]; Pl2] := PYINJ]; PI 3 l : = PX INK] ; PI 4] : = PY INK I ; OX := X[NK] ~ XINJ]; DY := Y[NK] ~ Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL : = E [Nl1AT] *A INMAT] /L; FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=1 TO 4 DO Kl1[K,J] FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO R[K,J] KM [ 1 , 1] : = EAL ; K!1 [ 1 , 3 ] : = ~ EAL ; KH I 3 , 1] : = ~ EAL ; KM [ 3 , 3 ] : = EAL ; R [ ~ , 1 ] : = CX ; R [ 1 , 2 ] : = CY ; Rl2,1] :=~CY; R[2,2] := CX; R I 3 , 3 ] : = CX; R [ 3 , 4 ] : = CY; R[4,3] :=~CY; Rl4,4] := CX;

Bagan alir subprogram perhitungan gaya elemen struktur

---- y - - - - !"111) CX, R(1,2) CY i R(2,1) = -CY, R(2.2) = CX : R(3.3) = CX R(3 4} = CY R(4.3) = -CY. R(4 4) = CX

=

=

------=-r

<~~~

~

0; 0;

·-:__>-t,dak-,

•

FOR cT:=l TO 4 DO

_ _ _y______ _

XS(J) = XX(P(J))

I

XS(J) = 0

I

'-~--' ~-

~

'~

~_)

IF P[J]<>O THEN XSIJ]

:= XX[P[J]]

ELSE XS[J]

:= 0;

Penyusunan data input program komputer bagi contoh soal

·...·

W/2 2.8m

2.5m

0.1 w

..

0

Gambar 3.11.1

4m

Konfigurasi sistem struktur menara

Rangka Bidang

199

File Data ANALISIS RANGKA BA TANG BIDANC [KG-M] 8 0

0

0

4

JUDUL NNODAL X I I I, Y(II

0 8 1.5 8 8 3 4

3 3

0 1.5 4 2 1 1 1 7 1 1 1 21000000000 0.001164 13 1 2 1 1 2 3 3 4 1 4 1 5 5 6 1 7 1 6 7 8 1 1 1 8 2 8 1 1 8 6 1 2 4 8 4 1 1 4 6 3 -2955 1182 3 -5911 4 0 -2955 5 0

NR NJ, RX(NJI, RY (N,J) NMAT E I I I , Alii NELEMEN JJ (I), JKIII, MAT(II, BE BAN I I I

;\IF N,J' FX (NJ), FY(NJI

Arsip Hasil ANALISIS RANGKA BATANG BIDANG [SATUAN DALAM KG-M] JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR = 12 NJ PX py 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 3 5 7 9 0

11

0 2 4 6 8 10 0 12

,,-.

200 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

..------------------------------------------~-~~~"'~ Matriks Kekakuan Global Struktur : 17001441 1881175 0 0

-705441 -188117S

1881175 0 17238467 0 0 16296000 0 -6111000 -188:175 -16296000 -5016467 0

0 -705441 -6111000 -1881175 0 -16296000 0 6111000 0 34002881

0 0 0 0 0 0

0 -16296000 0 0 0 -705441 0 1881175 0 0 0 0

0 0 0 0

-16296000 0

0 0 0 0 0 0

0

0

-1881175 -5016467 0 0

0 -16296000 16143934 0 0 16296000 0 0 1881175 0 0 -5016467 0

-6111000

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 -16296000 0 0 0 0 1881175 -5016467

0 0

0

6111000

17001441 0 -6111000 -1881175 0 -16296000 0 0

0 0 0 0 0

0

-705441 :881175

-6111000 -1881175 -16296000 17238467 0 0 34002881 0 0

0 0 0 0 0

-6111000 0 0 0 0 0

16143934

MATRIKS GAVA NODAL PI PI PI PI PI PI PI PI PI

11 3J 2J 4J

51 6J 7J 8] 9]

p! 10 J PI 11 J

P[ 12]

0,000 1:82,000 0,000 -2955.000 0.000 -5911.000 0.000 -2955.000 0.000 0.000 0.000 0.000

SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR I X[ XI XI X I X

X[

X[ X I X I X X

1]

2] 3l 4] 5] 6]

7] 8] 9]

I 10] I 11]

X [ 12]

0.000847 -0.000421 0.002472 -0.000905 0.002400 -0.000927 0.002400 -0.001420 0.000902 -0.000937 0.000838

-0.000351

GAYA

DAL.~

FM[ Fl1 I

2]

H![

3]

Fl1[

4]

ELEMEN KE-1

2573.429 0.000 -2S73.429 0.000

1]

GAYA DALAM ELEMEN KE-2 FM[ Fl1 I FM[ FM I

11 2I 31 4I

2955.000 0 . 00 0 -2955.000 0. 000

GAYA DALAM ELEMEN KE-3 Fl1[ Fl1[ Fl1[ Fl1[

1] 2] 3] 41

~

1182.000 0.000 -1182.000 0.000

CAYA DALAM ELEMEN KE-4 FM I FM I Fl1 I Fl1[

1I 2I 3I 41

-0 . 0 0 0 0. 000 0. 000 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-5 H![

11

~

2955.000

FM [ H![

FM [

0.000 -2955.000 0.000

2] 3] 4]

GAYA DALAM ELEMEN KE-6 FM I Fl1 [

2]

H![

3]

Fl1 I

4I

1]

~

57 2 5 . 4 2 9 0.000 -5725.429 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-7 Fl1 I Fl1 I FM[ Fl1[

1] 2I 31 4]

3563.993 0.000 -3563.993 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-8 Fl1[ Fl1[ Fl1[ Fl1[

11 21 3] 4]

197.656 0.000 -197.656 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-9 FM [ FM [ FM [

1] 2]

3]

143.089 0.000 -143.089

FM [

4]

0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-10 FM [ FM [ FM[ Fl1 I

1]

2]

~

3]

4]

-10 3 8 . 911 0. 000 1038.911 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-11 FM[ FM I FMi

1] 2] 3]

~

-407.518 0. 000 407.518

Fl1 [

4]

~

0 . 000

GAYA DALAM ELEMEN KE-12 FM[ FM[ FM[ Fl1[

1] 2] 3]

4]

~

3522.141 0.000 -3522.141 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-13 Fl1[ Fl1 I Fl1[ Fl1 I

1] 2] 3] 4]

2958.820 0. 000 -2958.820 0. 000

Rangka Bidang

201

3.12 Soal - Soal Soal1 I. Rangka bidang dengan konfigurasi berikut ini : Dimensi elemen batang I dan 2 berupa profil lingkaran dengan ukuran sebagai berikut :

65cm t = 7 cm

32

Modulus Elastisitas Bahan E, 2.1 xI 06 kg/cm 2

=

Beban yang bekerja : q t!m tegak lurus elemen I dan beban 0.4q tegak lurus elemen 2 dengan arah seperti tergambar (beban angin).

PERT ANY AAN : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? b. H itung besarnya parameter penampang elemen : A= luas dan I = momen inersia dan bentang elemcn I, dan 2. c. Susun matrik kekakuan elemen I dan 2 terhadap koordinat strukturlglobal: [k] 1 & [kb d. Rakit matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan struktur : [K L e. Apabila terjadi perpindahan maksimum di titik kumpul 2 sebagai berikut: I. perpindahan arah horizontal X 1 = 7 cm 3. perpindahan arah vet1ikal X 2 = 2 cm dengan arah scperti tergambar.

f.

H itung berapa gay a ekivalen P 1, P2, dan P_; pad a titik 2 dari persamaan [K Dcngan memperoleh nilai {P}, maka tetapkan nilai beban luar q.

1{x} = {P}

Catatan: Dalam mclakukan pcrhitungan. SUJXJ_>a dipcrhatikan perjanjian tanda arah positip pcrpindahan tnaupun gaya-ga) a.

202

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Soal2 20 kN 3000 mm

I l

3000 mm

2

3000 mm

3000 mm

Dimensi elemen rangka bidang scperti tergambar adalah pipa baja diameter luar 150 mm dan tcbal 1.5 mm. Modulus elastisitas baja E, = 200000 MPa. Dengan beban scpcrti tergambar, diperoleh perpindahan titik kumpul sebagai: Perpindahan titik kumpullm] :itik

1 2

3 1\

5 6

Ul 0,0000 0,0000 -4,274E-04 2,382E-03 3,235E-03 3,450E-03

Per1anyaan : ..1. Tentukan dari persamaan

U2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

(S]

111

U3

0,0000 0,0000 -5,230E-03 1,831E-06 -2,809E-03 -7,765E-03

u3

1

p

u1

{;~} 111 = {F} 111 gaya-gaya dalam batang.

b. Gambar diagram gaya setiap elemen.

Soal3 Sistem rangka tergantung pada pendel 3. Pcnampang elemen rangka adalah profil I 300.300.16.23 ditahan pada bagian atas oleh baja tulangan D 25 mm bersifat elemen batang tarik/tekan (sendi di 2 diluar batang 1, 2). Perletakan sendi di 2 dan 3. Be ban yang beke~ja adalah beban segitiga q = 255 kN/m. Modulus Elastisitas bahan Ea= 200,000.00 MPa.

Rangka Bidang

203

rT/ I

Pcrtanyaan : a. lkrapa dcrajat kcbcbasan struktur '1 Clambar pasangan gay a/ ddormasi n:;. a pad a si stem. b. Hitung sil~tt- sil~tt pcnampang ckmen : I. A. c. Tetapkan matrik kckakuan ckmen [SJ 1 • JSb dan

1: /1

JSJ,. d. Tctapkan matrik kekakuan ckmcn terhadap koordinat struktur [kJ 1 .[kb dan Jkh. c. Rakit matrik kckakuan struktur JKL f. Tcntukan n:ktor bchan (Pi g. llitung JKJ,(Xi, = (P), untuk mendapatkan dcformasi (Xi,. h. Clamhar garis clastis struktur. i. Turunkan pcrsamaan g.aya normal sctiap elcmcn. I· Gamhar diagram gaya dalam. k. Bila simpangan horizontal izin = 15 mm. apakah si stem struktur rncmcnuhi syarat kckakuan ')

2'

Soal4 Rangka 8idang dengan konfigurasi berikut ini: bentang 2-3

=6 m

Dimensi elemen batang I , 2 dan 3 berupa protil baja I : A = 710 cm 2 dan batang 4, S : A= 350 cm 2 . Modulus Elastisitas Bahan 2 E, = 2.1 xI 0(' kg/cm Beban bekerja : q t/m tegak lurus elemen dan beban 0.4q tegak lurus elemen 2 dengan arah seperti tergambar (beban angin). Besar beban q = I .2 ton/m Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut :

sendi

+------------------------------. 15

a. b. c.

204

Ill

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S]. matriks transformasi [Tl, dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kckakuan global struktur [K ]s

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

d. e. f. g. h.

Rakit matriks gaya nodal struktur {P)s. Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan (P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elcmen I & 2: (Ph. Gamharkan bcntuk struktur setelah berdcformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

Soal5 P= 100 kN

100 kN 100 kN 100 kN

16m I I

- '

8@10 m---

Gunakan program komputer untuk menghitung perpindahan titik-titik kumpul, reaksi perletakan dan gaya-gaya dalam rangka jembatan diatas. Luas semua pcnampang batang atas .:lan bawah = 45* I O' mm 2 • batang diagonal= 22.50 * I O' mm 2. Modulus elastisitas semua batang E = 200.000 MPa.

SoaiG

Soal7

100 kN

100 kN

100 kN

100 kN

I

lOO kN

I

4 1 - - - - 5 *_ _ _....:;6, __ ! I

16 rn

16 rn

j 2

3 -----2Ci_iJ10

-2(1il I 0 rn-

rn----

\ lana dari dua sistcm struktur rangka seperti gambar yang optimal bila dikaj i dari tanggap t..ekuatan elemen. E = 200.000 MPa dan A= 30* I 0' mm 2 •

Soal8 -\nalisis matrik kekakuan rangka bidang untuk pembcbanan luar seperti gambar menghasildeformasi [mm] :

~an

_ X1

x2 x,

X-1

x) J1 = L 1.25

1.95

-2.55

-0.45

0.25

Jr

Tentukan gaya-gaya dalam elemen yang terkait dengan perpindahan titik kumpul. Juga, 1itung beban ekivalen titik kumpul yang menyebabkan te1:jadinya deformasi. Rangka Bidang

205

EA

=

12,000 kg X2, P2

X1,

X4, P4 5

P1-~----~~--..X3,

P3

--l I

16 m I

~--------~~--------~L-~Xs,Ps

11

Soal9 ===-------_

y.. ~1o

kfi/'1'1.3

]

;:,~I

Dimensi elemen batang sistem rangka lengkung adalah protil pipa D 300*3.5 untuk batang atas dan bawah, dan pipa D 200*3.0 untuk batang tegak dan diagonal. Modulus Elastisitas Bahan Es = 200,000 MPa. Selain dari berat sendiri elemen, bekerja beban air dari tanki penampungan seperti tergambar. Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. d. e. f. g. h.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transfonnasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s Rakit matriks gay a nodal struktur ( P} s . 1-litung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {Ph. Gambarkan bentuk struktur setelah berdefonnasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

206

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Soal10 20 kN 20 kN

20 kN

r C) I (_)

~I I

-~-----'"'---c:'-'=-~----'G""~---~f--""~--=---=;;: -

a.

----

-

--r -

---- -

__ --.J

Rangka atap

b. Profil batang alas dan bawah

c. Profii batang diagonal dan tegak

0 cnampang

elemen rangka atap terdiri dari susunan helai papan seperti pada gambar. \ lodulus Elastisitas Bahan Es = I 0,000 MP a. Se lain dari be rat sendiri elemen, bekerja C'cban terpusat vertikal dan horizontal di titik kumpul 7, 8, dan 9. !_akukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan ~cngan urutan scbagai berikut : Pcrtanyaan : ,:,_ Berapa derajat kebebasan struktur? Gambar pasangan gaya/ deformasinya pada sistem. ~ 1-litung sifat-sifat penampang elemen: A. Tetapkan matrik kekakuan elemen [S] 1 sampai [S] 15 • j Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k] 1 sampai [k ]1,. ~- Rakit matrik kekakuan struktur [K]s .-

Tentukan vektor be ban { P}

_ -

H itung [K ]s (X }s = { P L untuk mendapatkan def(xmasi (X }s. Gambar garis elastis struktur. Turunkan persamaan gaya normal setiap elemen. Gambar diagram gaya dalam. Bila simpangan vertikal = 40 mm, apakah sistem struktur memcnuhi syarat kekakuan?

~-

Rangka Bidang

207

4

Sruktur Kisi (Grid)

Sistem struktur Kisi atau Grid merupakan gahungan elemen-elemen yang terletak dalam satu hidang dengan hehan yang hekerja tegak lurus pada hidang tersehut. Beban inilah yang membcdakan sistem struktur kisi dengan portal hidang, hal mana pada portal hidang heban luar yang bekerja terletak dalam bidang portal itu sendiri. Geometri grid berupa kerangka balok. Pcnyederhanaan sistem struktur ba!ok dengan pelat seperti Gambar 4.1 a menjadi si stem struktur kisi (grid) dinyatakan dari be ban pelat yang diterima halok Dengan demikian unsur struktur kontinum pelat merupakan beban luar. Semua unsur elemen grid dan titik petiemuan herada dalam bidang yang sama, dan unsur elemen batang betiemu rigid pada titik kumpul.

~··.

. .

a. Sistem balok dan pelat sebidang

b. Beban dan sistem struktur kisi (grid)

Gambar 4.1 Sistem struktur kisi (grid)

Tanggap struktur terhadap behan dinyatakan oleh gaya-gaya dalam seperti Gambar 4.2. Elemen grid adalah elemen balok dengan tamhahan torsi 1momen puntir), di samping momen lentur. Gaya dalam di ujung A adalah momen puntir F 1, momen kntur F2, dan gaya geser F,. Defonnasi yang berhubungan dengan ketiga gaya ini adalah puntir _\. 1, rotasi L'l 2 • dan perpindahan L'l,. Hal serupa pada uj ung B, deformasi yang berhubungan dengan ketiga gaya-gaya F 1, F2 F3 adalah puntir L'l.J, rotasi l<. dan perpindahan L'lc,. Sebagaimana didefinisikan, matrik kekakuan elemen mendefinisikan hubungan antara keenam gaya dalam dengan deformasi. Hubungan ini dinyatakan sebagai

Fl.

"'I

Ym

Gambar 4.2 ldentifikasi gaya/deformasi ujung elemen grid

Grid

209

Fl

~I

F2

~2

F3 E~

=

~3

[s

~4

Fs

~5

F6

~6

atau [s]{~} = {F}

(4- I)

hal mana

~I GI,

e 0 0

[s] =

~2

~3

~5

~6

0

0

0

0

2Eiy

6EI y

e

el

4EI,

e

6EIY

---

el

6EI)

12EI,

e2

p3

---

0 0

6EI ji2

12EIY

---

e''

--------------------------------

GI, ji

0 0

0

2Eiy

e 6EI 1 p2

0 0

12EI,

---

r'

GI,

e 0 0

0

(4- 2)

0

4EIY

6EIY

(!

el

6EI,

12EIY

[2

t'

Pengaruh lentur pada elemen grid tidak dipengaruhi oleh peri laku puntir, dan setiap unsur dapat secara bersamaan ditetapkan. Vektor l F2, ~2 ],[

F3, ~3 ],[ Fs, ~5 ], dan [ F6, ~ 6 ] adalah akibat pe-

G.l I

ngaruh lentur di kedua ujung elemen. Hubungan antar vektor ini seperti pada elemen balok. Kolom pertama dari pcrsamaan (4- 2), yang merupakan pengaruh puntir dapat dijelaskan dari mode kompatibilitas seperii pada Gambar 4.3. Bila satu satuan puntir ~ 1 dikerjakan pada ujung A, dan ujung B dikekang, maka terdapat torsi atau momen puntir pada kedua ujung.

Gambar 4.3 Mode kompatibilitas 1 grid

210 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

d6 T(x) (T(x) F*€ . - = - - atau 6 = = - - , sehmgga dx GJ GJ GJ

f-0

untuk 6 = 6 1 = I : GJ S 11 = - yang merupakan momen puntir (torsi) di A. Untuk menjamin keseimbangan,

e

GJ haruslah di ujung B besaran momen puntir S 41 = - . . Hal serupa bagi kolom ke empat, f GJ dengan mode kompatibilitas 4, diberikannya satu satuan puntir 6 4 = I, S 44 = - . , dan

t

GJ S14=--. \'1atrik

e [s] d idefinisikan

sebagai Matrik Kekakuan Elemen. Vektor {A} dan

{F}

berturut-turut

menyatakan derajat kebebasan elemen dan gaya ekivalen ujung.

4.1 Derajat Kebebasan Dan Matrik Kekakuan Struktur Apabila ditinjau Grid sebagai sistem struktur, maka konsep geometri bidang adalah konfigurasi dari elemen-elemen lurus dirangkai bersama secara monolit, seperti halnya dengan portal bidang, tetapi dengan beban luar yang bekerja tegak lurus pada bidang. ldentifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban luar dinyatakan dengan perpindahan translasi normal terhadap bidang dan rotasi titik-titik kumpul. Contoh sistem ~rid seperti pada Gambar 4.1.1 Titik kumpul I, 2, 11, 12 adalah perletakan jepit, titik 3, 4, 7, 10 berupa sendi. Tidak ter:jadi baik perpindahan translasi maupun rotasi di 1, 2. 11, 12. mengingat si fat perletakan jepit. Titik kumpul 3, 4, 7, I 0 dapat berotasi. Karenanya ada dua derajat kebebasan. Bagi titik-titik kumpul lainnya, setiap titik dapat bertranslasi dan bcrotasi. Dengan demikian, derajat kebebasan strukur NX = 2 * 4 + 3 * 4 = 20. Derajat kebebasan struktur ini dapat dihitung berdasarkan rumus :

'\!X= 3NJ- 3NFJ- NPJ

( 4 - 3)

hal mana '\J '\FJ '\PJ

= jumlah total titik kumpul, termasuk perletakan = jumlah titik yang sifatnya JEPIT = jumlah titik yang sifatnya SEND!

Perpindahan garis elastis yang menyatakan perubahan posisi sistem struktur dapat dihitung. Gambar 4.1.2 memperlihatkan perubahan posisi sistem secara skematik. Derajat kebebasan titik dinyatakan dcngan vektor X, . Arah vektor positif seperti terGambar. Sepe1ii juga halnya dengan elemen, te1:jadinya perubahan posisi titik kumpul berakibat oleh heke1janya gaya . .\pabila setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpul diakibatkan oleh vcktor gaya ekivalen

Grid

211

yang bekerja di titik kumpul terse but, maka kedua vcktor terse but berpasangan. Gambar 2.3 .3 mcnyatakan vektor gaya ckivalen yang mengakibatkan te1:jadinya perpindahan/rotasi titik.

X

Gam bar 4.1.1 Si stem Struktur Kisi ( Grid) /

/

-

b1dan~

_,.-··-··--··-··-

:\- Y

·,, \

/

/

/

i

i

i

X

/

\

/

p

./

'

i : I

/./

/

X,

/

/

/

/

P,

·-··-. ----··-··-··-··-··-

b. Vektor gaya ekivalen titik kumpul

a. Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul

Gambar 4.1.2 Garis elastis, vektor deformasi dan gaya ekivalen

Hubungan antara vektor perpindahan/rotasi dengan vektor bcban ekivalen adalah : I' I r2

11

K 12

Ku

21

Koo

K21

K 24

P, p4

ll

K:z

K,,

K14

Kll

K i2

Kj;

K i4

K;j

K 21JI

K ~n2

K 201

K 204

K2o;

Kl4

KilO

XI

K2i

K 210

.K,I

K21o

x, x, x4

.KI.i

a tau I' I

P2o

Matrik

[K] d idefin iskan

K;>o

K

{r}=[K]{x}

X;

X;o

sebagai MUrik Kekakuan Struktur.

Unsur matrik Ku merupakan hasil rakitan unsur-unsur matrik elemen yang ujungnya terkait menyusun titik kumpul. 212 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4.2 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Pcrakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memcrlukan proses transfonnasi koordinat. Pada :'crakitan unsur [K] di titik kumpul 6, sistem koordinat elemcn batang 2. 4. 5. dan 6 yang ··:cnyatakan hubungan [S] (L',)={F) harus ditransformasikan ke dalam sistem koordinat struk:Jr global (Gambar 4.2.1 ).

Gambar 4.2.1 Nomor elemen struktur grid

p,,5isi koordinat elemen/lokal terhadap koordinat struktur/global untuk elemen batang 4 '"'perti pada Gambar 4.2.2 z.Z

Gambar 4.2.2 Transformasi [S]{C.} = {F} ke [k]m{X}m = {P}m

:Jengan sudut e yang dibentuk elemen batang 4 terhadap absis x. besaran gaya ujung elemen _F F2 F1 F4 F, F,,j dinyatakan denganlP P2 P1 P4 P, P,,j melalui transformasi koordinat 1

· Gambar 4.2.3 ). Vektor t-, 3 • X 3 , dan t-, 6 , X 6 tidak terpengaruh akibat perubahan putaran -udut e. sehingga transformasi gaya kepada sumbu sistem struktur menjadi

Fl r

r, -

cose

sin 8

0

0

0

0

PI

sinG

cos8

0

0

0

0

p2

Fi

0

0

I

0

0

0

p"

F.j

0

0

0

cos8

sin 8

0

p.j

F,

0

0

0

-sine

cose

0

Ps

F,,

0

0

0

0

0

atau {F}

=

]{P]

( 4 - 5)

p6 Grid

213

perpindahan

Juga

Lx~

x2 x,

r r

X4

x, x"J

elemen

ujung

L~~ ~2 ~, ~4 ~5 ~6 J

sine

0

0

0

0

L\2

-sine

cose

0

0

0

0

,;'\:1

0

0

0

0

0

0

0

0

cose

sine

0

L\5

0

0

0

-sine

cose

0

,;'\6

0

0

0

0

0

=

dengan

melalui transformasi koordinat.

cose

atau {!\}

dinyatakan

x, 1 x2 x:1 x. X-

(4- 6)

r

x:

[T]{X}

Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat dari sistem koordinat elemen kedalam sistem kordinat globallstruktur. Mcngisikan ketentuan kedua persamaan ini kedalam persamaan ( 4 - I )

[s]{L\}={F} akan diperoleh matrik kekakuan elemen yang ditinjau dari sistem koordinat globallstruktur sebagai berikut :

214 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

........................................----------~----------~ CD

Gl,

0

0

4El,

_ 6El,

6EI,

-7

0

G 0

GI,

@

6EI,

0

t'

t'

eo se

12EI,

6EI

_ 12EI,

-si nO

0 0

_ I2EI, 11

t'

0

6El,

r'

2EI,

0

2El,

0

0

-~

0

0

0

@

0 G 0

CD 0

0 0

,,

--~-,

Gl,

0 0

0

0

4El,

6El,

6EI,

12EI,

t'

11

I

0

case

0

0

,,

0

sin8

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

cose -sinG

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin{-) case 0

0 0

I

XI

cosO

x, x, x.

-sine

sin8 case

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

case

X;

0

0

0

-sine

case

Xr,

0

0

0

0

0

0

0 sine

P, 1 P,

0

,,p" )

a tau

P-

0

I

p:

(4- 7)

(s ](T]{x} = (T]{P} [T]-

Mengalikan persamaan (4- 7) dengan matrik invers

1 :

(T]- (s ](T]{x} =(T]- (T]{P} (T]- [s ](T]{x} = {P} 1

1

(4- 8)

1

Matrik invers

[Tr =I

[T]-

1

juga merupakan matrik transpose

cos e

-sine

0

0

0

0

sine

cos e

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos e sine

-sine

0

cos e

0

0

0

0

0

0

[Tr:

.

sehmgga

[T]-I [s ][T]{x} = [Tr[s ][T]{x} [Tr [s ][T]{x} = {P}

Gtid

215

z,Z

Perkalian

.

IT]

0

[k]m

j}J �

IT]

[I] 216

IT]

4EI Gl 2 2 --' cos 8+--'sin 8 [ f. 4EI ) (GI -' ---' sin8cos8

(

t

6EI --'sinS £

? 2EI . 2 Gl --' cos-8+-sm e £ e -

(GI

t

--' +

2EI ) --' sin8cos8

t

6El, . - -·sinS 2 [

Am rinsyah Nasution,

0

(GI,

e

e

6EI,

e3

6EI ---' (2 cos8

e

J

12EI,

.

2EI, . 2 Gl, 2 ---cos 8+--· sin 8 [ f! 6EI --' cos8 2 £

Tabel 4.2.1

. O Sin

6EI -' cos8 2 c

fi'

2EI, (GI, - --+--· sin8cos8

t

t

_

Gl, . 2 12EI 2 --sin 8+--cos e

e

kan unsur matrik [k]111, seperti dijelaskan pada tabel 4.2. I. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4, 5, 6 menyatakan besaran arah positip gaya dan perpindahan kedua ujung elemen dalam sistem koordinat struktur/global .

0

4El,). sin8cos8

6EI, . --·sinS {2

---· sm8 6EI, . {2

12EI,

{

�

2EI . 2 Gl 2 --'cos 8+-sin 8 e f.

2EI,) . (GI, - --+--· sin8cos8

€

e

6EI - 'sinS 2

t

(GI,

t

6EI,

--·

2 e

f.

4EI,). sin0cos8

e

--- --·

. sm8

- --· sinS

2EI ) (GI ' sin8cos8 - --'+-£ e

6EI,

2EI, . 2 Gl, 2 ---cos 8+--· sin 8

e

6EI,

.

(GI

e

c-

4EI,

-' --·

e

6EI, --cos8 2 [

e

12EI, e

J

-

sin8cos8

4EI, Gl 2 2 --'sin 8+--· cos 8

e

6EI, cos8 2

e

t

.

2 [

· --- sinS ?

? 4EI, ? Gl --' cos-e+--· sin-e

f.

[I]

IT]

Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

transformasi

[T]T[s][T]. Hasil perkalian unsur ketiga matrik merupa­

.... X

-----·

[T]T[S][T] merupakan

matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan hasil perkalian sebagai matrik kekakuan elemen [k]111 =

X6.P6 �Xs . P s ��x4,P.4 ...

matrik

12EI,

e'

6EI

( 'sinS 2

6EI

( ' cos 2

O

4.3 Matrik Kekakuan Struktur [K]s

Matrik kekakuan elemen [k ]m menj adi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [ K ] . Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur d i titik kumpul 8, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks deraj at kebebasan elemen. Untuk elemen 6 indeks unsur elemen 4, 5, dan 6 sama dengan indeks derajat kebebasan 1 3 , 1 4, dan 1 5 ; sedangkan bagi elemen 7 indeks unsur elemen I, 2, dan sama dengan indeks deraj at kebebasan struktur 1 3, 1 4, dan 1 6. Pesamaan [ 1 3 7] menjelaskan posisi indeks elemen dengan indeks struktur di titik kumpul 8. -

i

- -· -···-· -· -X-Y .b1dang .

.......

... . ...

' /./'

/4

i i

,.� ,.,. / I .

.

..

...... ...

.

. ... .

.... ....

.. '··,,., ...

....

..

X.

.

......

...... ....

·.\

. '·.,

\

i

J

/1

X1,

\

//

.

,

.,

,

.

,

.

'· ,..,.., -·--��---·--··-··-··-··-..-··- - . �/..,. / _

!A !A � � &� --- indeks derajat kebebasan struktur

[1] 0 QJ kll k12 ku �[I] k21 k22 k23 �0 k 1 k, k ] k [ ]2 = �0 k 1 k 2 k ] �0 k41 k42 k43 �0 k,61l k,2 k53h 62 3 �0

� kl4 k24 k34 k44 k,4 k64

� kl\ k25 k]j k4, k,, k65

0 --- indeks derajat kebebasan elemen klh k26 k ,6 K = kekangan k46 k,6 k66

& & 6 b. &&--- indeks derajat kebebasan struktu r

[kL

=

[1] kll 6[1] k 6.0 21 &0 k31 �0 k41 �0 k,l �0 k61

0 k12 k22 k32 k42 k,2 kh2

QJ kll k23 k33 k 43 k53 kr,]

� k14 k24 k34 k44 k,4 k h4

� kl\ k25 k, k45 k,, k6,

� kl(> k26 k36 k46 k,6 k66

--- indeks derajat kebebasan elemen

Grid

217

& 6 �& ��

[i] 0 0 k �[I] ,, k12 kl3 &0 k21 k22 k &0 k11 k12 k]] LJ1. 0 k41 k42 k41 �0 k51 k52 k51 &0 k61 k62 k6] 21

[k]5 =

� k,4 k24 k14 k44 k54 k64

� k,s k 25 k15 k45 kss k65

� kl6 k26 k16 k46 k56 k66

& 6 � � &�

[k]7

=

[i] 0 0 �[I] kll kl2 kl3 &0 k21 k22 k2.1 &0 kll k12 k" &0 k41 k42 k4] �0 ks1 ks2 k51 �0 k61 k(,2 k6] ,L1

� kl4 k24 k14 k44 k54 k(>4

� k15 k25 k3 5 k45 kss k65

� kl6 k26 k36 k46 k56 k66

+--+---

indeks derajat kebebasan struktur indeks derajat kebebasan elemen

+--+---

indeks derajat kebebasan struktur indeks derajat kebebasan elemen

Berdasarkan persamaan ( 4 - 4) unsur K;1 bagi derajat kebebasan d i titik kumpul 6 adalah : K66 = k �6 + k �6 + k i l + k i K67 = k i2 + k i K6s = k i, + k J, Kn = k � 2 + k i

( J ( ( J K78 = (k �, + k i, ) Kss = (k �3 + k ;3 ) K76 = K67; Ks6 = K6s· Unsur

matrik

}

J

(

k 'IJ

d i h itung

menggunakan

persamaan pad a Tabel 4.3 I dengan 8elemen sesuai posi s i e lemen terhadap absi s -X koordi nat struktur. Dengan mengis i kan unsur-unsur matrik K;1 dari .

rakitan unsur matri k I

k�,

,

terbentuk persamaan

l i near simu ltan dengan variabel X; J i ka persamaan .

i n i d i selesaikan untuk mempero leh vektor {X},

maka perlu d itetapkan vektor be ban { P} terlebih dah u l u . Vektor {P} menyatakan besaran beban titik kumpu l ekivalen TITI K KUMPUL yang bebas. Besarnya unsu r vektor {P} sama dengan besarnya beban ekivalen di titik kumpu l kondisi titik kumpu l terkekang penuh, akan tetapi berlawanan arah. U nsur matrik struktur [K], setel ah d i l akukan proses perakitan setiap unsur matrik e lemen :

21 8

Amrinsyah Nasution ,

Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

&. &.

£

&

&

�

K 12o

XI

PI

K21 K22

K26

K27

K28

K22o

Xz

P2

x

p6

IKII K 12

K 16

K"1 K"2

.

K11 Kn Ks1 Ksz K2o1

K2o2

K66= (k�'6 + k466 + k\ll + kll7 ) K7<>=(ki2 + kiz} Ks6 K2o6

Ki7

K 1s

K67=(ki2 + kiz) K6s=(ki3 + k �J

K

Kn=(k;2 + kiz} Kn=(k�3 + kiJ

K12o

k;J Kss=(k�3 + kU

Kszo

I Ks7=(k�3

+

Kzo7

Kzos

6

,2o

Kzozo

x7

p7 l's

Xs

P2 o

Xzo

4.4 Vektor Beban Ekivalen {P} z]

z

X

(a) Pola pembebanan elemen dan gaya kondisi terkekang

Gambar 4.4.1

(b) Ga ya kondisi terkekang penuh pad a

Transformasi gaya kondisi terkekang

\1emperhati kan Gambar 4.4. l .a besarnya gaya-gaya uj ung kond isi terkekang pen u h sama Jengan menghitung FET. FEM, dan FEQ. kedua uj ung balok dalam sistem koord inat clemen/loka l . Dengan sudut 8 yang d i bentuk elemen batang i terhadap absis X. besaran gaya ujung e lemen

l P01 P02 P0, P04 P05 P06J

d inyatakan dengan

me l a l u i transformasi koord inat ( Gambar 4.4. 1 b) :

l F01 F02 F0, F04 F05 F06J Grid

219

(4 - 9

FFoO2I FFoo,4 FFoos6

oPo2 PPoos4 {FoL, =[T]{P0}, Po6 P

cose

sine

0

0

0

0

- sine

cose

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cose

sin e

0

0

0

0

-si n e

cos 8

0

0

0

0

0

0

1

P 03

(4- 9)

atau

1 Menga l i kan kedua suku dengan matrik invers [Tr , mengingat matrik tnvers [Trl maka :

oPo2 Po4 P l

cose

- sine

0

0

0

0

sine

cose

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cose

- si n e

0

P os

0

0

0

sine

cose

0

P o6

0

0

0

0

0

Pm

Dengan menetapkan vektor yan g bekerja, unsur vektor

FF0ol2 FFoo4, FFoo6s

atau

{PaL,

=[Tr

{FoL,

[T] r ,

(4 - I 0)

{ P L, bagi setiap elemen berdasarkan kontigurasi beban l uar {P0} d igunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen { P } sistem

0

m

struktur. Apabila ditetapkan ( P h sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban l uar yang bekerj a ditengah bentang, dan matrik gaya { P }J sebagai akibat bekerj anya be ban l uar di titik kumpul, maka : + 1 E

{P}

{P} {P} =

Menjelaskan penyusunan matri k { P } , d it i njau perakitan gaya titik kump u l ekivalen d i titik kumpu l 6 . Elemen batang 2 d i bebani beban P terpusat, titik kumpu l 6 menerima gaya F�4,F�,,F�6, sedangkan e l emen 4 d i bebani beban merata q1, dari element 5 beban merata trapesium, dan dari e lernen 7 beban l uar torsi t [satuan gaya/bentang). Posisi dan besaran gaya seperti pada Gambar 4.4.2, menunj ukkan vektor gaya-gaya uj ung akibat beban l uar pada kond isi elemen terkekang penuh. Pada masing-masing uj ung elernen 2, 4, 5 dan 7 yang berternu di titik 6, besaran gaya uj ung ekivalen dalarn sistem koord inat struktur adalah :

{P0P054l l P o6

220

2

cose

- sine

= - sine

cose

0

0

Oj{F0F054l {P054ll F0(, 4 P

0

I

2

0

P 06

cose

- si ne

= - sine

cose

0

0

Amrinsyah Nasurion, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

(4 - I I a)

r'll P05 P o6

=

�

c se

- sin8

- sm8

cos8

5

0

0

or l l , rl 0 I

Fos Fo6 )-

4 Fo 3

P02 Po,

4 F o6

4 F o1

Gambar 4.4.2

=

�

c se

- si n8

- s1118

cos8

0

7

0

or l , 0 I

Fo2 Fo,

7

F os

(4 - l l b)

7

7

F o6

7

Fo4

Ps

Vektor gaya ujung kondisi terkekang

Dengan dem i kian besarnya gaya bagi kesei mbangan d i titik kumpul 6 (Gambar 4.4.3) : (4 - 1 2)

Besarnya vektor gaya d i titik kumpul 6 d iperoleh dari kondisi tanpa kekangan yang merupakan n ilai persamaan (4 - 1 2) dengan tanda yang berlawanan, beserta besaran gaya luar d ititik kumpul : (4 - 1 3 )

Grid 2 2 1

Gambar 4.4.3

Beban dan vektor gaya

Perakitan matrik beban { P } bagi semua titik kump u l lainnya dapat d i l akukan dengan memperhatikan sifat pembebanan setiap e l emen yang membentuk titik kump u l .

4.5 S o l u s i [K]{X} = {P} Setelah memperoleh unsur matrik [K] dan matrik { P } , l angkah se lanjutnya adalah mendapatkan so lusi persamaan [KI{X} {P} untuk matrik { X } , hal mana unsur matrik { X } adalah besarnya perpindahan/rotasi setiap titik kump u l . M etoda Dekomposisi L U atau Cholesky banyak d igunakan mendapatkan unsur [K]{X} = {P}. =

222

Amrinsyah Nasurion, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4.6 Gaya-Gaya Dalam Elemen Has i l sol u si ( X } digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam uj ung e l emen dan reaksi perletakan . U nsur matri k { X } merupakan data bagi perhitungan. Apab i l a ditinjau e l emen 4 pada Gambar 4.6. 1 , maka kedua uj ung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah :

Gambar 4. 6. 1

�CO

80 &0 &CD

b0 .&0

l ndeks derajat kebebasan struktur dan elemen

� �&& 6 � [1]

kll

0 [3] � k l2

k l3

k l4

� [6] k l5

k l(

k2 3

k 24

k 25

k 26

)

k 21

k 22

k ,,

k 32

k 33

k ,4

k ,s

k 36

k4 1

k 42

k 43

k 44

k 45

k 46

k sl

k 52

k53

k54

k55

k 56

k 61

k 62

k 63

k 64

k 65

k 66

X � = X,

xi= x4 4 X 3 =X5

X � =X6 x� = X 7

X � =X8

4 pI

p� 4 p3 4 p4 4 p5 4 p6

P, p4 Ps Pc,

(4 - 1 4)

p7 Ps 4

M enyelesaikan persamaan (4- 1 4) menghasi l kan { P}6 . Dengan h ubungan

Grid

223

Fl F2 F3 F4 Fs F6 4

eo se

- sine

0

0

0

0

PI

sine

eose

0

0

0

0

p2 p3 p4

0

0

I

0

0

0

eose

- sine

0

0

0

0

sine

eo se

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(4 - 1 5 )

Ps

p6 4

besarnya gaya d al am rencana e lemen pada kedua uj ung ada l ah :

FET; Fl FEQ; F2 FEM; F, + FET F4 FEQ Fs F6 4 FEM 4

Ts-6 Ms-6 Os-6 Tr,-s M6-s 06-5 4

ql

(4 - 1 6)

.I

F4

.I

J

Gambar 4.6 . 2

Gaya-gaya Ujung Elemen

4.7 Contoh D i ketahui struktur grid seperti gambar di bawah i n i . Parameter dan sifat unsur : E = 20000 M pa; u = 0.25

1-

1

,

,__""________ ,_18000 - ,,--, --

-+-1 'l

-

'

0 0 0 ,.._

g

0 0

I

L_

-7200-

Gambar 4.7. 1

224

----'---,---1 J

Geomertri sistem struktur kisi (grid)

Amrinsyah Nasurion , Metode Matrik Kekakuan Anafisis Struktur

-5000 -

_j

I g

0

_j

_

Pembebanan struktur sebagai berikut :

jepit

Gambar 4.7.2

Pembebanan struktur kisi (grid)

Anal isis g rid u ntuk s istem stru ktur dilaku kan melal u i p roses : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

8.

9.

1 0. 1 1. 1 2. 1 3. 1 4.

M enentukan parameter penampang/analisis penampang Menetapkan derajat kebebasan struktur Mengh itung matriks kekakuan struktur e lemen [S] m M enjabarkan matriks kekakuan elemen [k] 111 terhadap sumbu struktur M erakit matriks kekakuan struktur [k]s M enjabarkan vektor beban e l emen { F o } m M erakit vektor beban bentang e l emen { P } m M enyusun vektor beban titik kump u l Merakit vektor beban struktur {P}s M enyelesaikan persamaan [ K]s{ X }s = {P}, M enyelesaikan vektor { X } m dari setiap elemen M engh itung { L'. } 111 M enetapkan gaya-gaya dal am uj ung elemen M enggambar d iagram gaya-gaya dalam

Proses analisis d i atas d ikerj akan untuk tiap-tiap elemen.

Grid 225

Derajat Kebebasan Struktur R4

(2)

Gambar 4.7.3 Elemen

lndeks derajat kebebasan struktur

1

b

3 50

h

mm

600

mm

20000 MPa

E A

1

3

--

2 1 0000 101 82 , 3 4

a lpha

mm' mm

45 0, 25

u

8000 6 , 300E+09

mm'

4

5 , 4 5 4 E+09 mm

5 , 04 N /mm 4 5000 N /mm

( be r a t s endiril ( beban s e g i t i ga )

-4,285E+09

4,285E+09

[SL

[TJ1

226

4,950E+10

-7291666,7

2,4749E+10

7,292E-:-06

-7,292E+06

l,432E+03

-7291666,7

-1432' 2186

2,475E+10

-7,292E+06

4,950E+10

7291666,67

7 I 292E+06

-1,432E+03

7,292E+06

1,432E+03

4,285E+09

-4,285E+09

0

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

[T]Tl

[k],

Elemen

0,707

-0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

-0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

3,927E+10

®

-2,769E+10

@

6,315E+06

1,642E+10

G)

-1,778E+10

CV

-6,315E+06

-2,769E+10

2,796E+10

-5,156E+06

-1,778E+10

9,161E+09

5,156E+06

6,315E+06

-5,156E+06

1,432E+03

6,315E+06

-5,156E+06 -1,432E+03

6,315E+06

3,927E+10

-2,769E+10 -6,315E+06

1,642E+10

-1,778E+10 9,161E+09

-5,156E+06 -2,769E+10

2,796E+10

5,156E+06

-6,315E+06

5,156E+06

-1,432E+03

5,156E+06

1,432E+03

E

2 0000 MP a 2 1 0000 rrun"

A

4 8 14 , 33

L alpha

J q�

T

-6,315E+06

@

® @ G) CV

G)

2

3 50 600

\'

G)

-1,778E+10

b h

G I

@

- 80

rrun rrun

rrun

0, 25 8000 6 , 3 00E+09

rrun'

' 5,4 5 4 E + 0 9 rrun 5 , 04 N/rrun 1 0000 N-m/m

(berat s endi r i ) ( beban t o rs i )

-9,063E+09

9, 063E+09

[S],

[T],

[T]Ta

1,047E+ll

-32617427

5,2344E+l0

3§262E+07

-3 I 262E+07

1, 355E+04

-32617427

-13550,136

5,234E+l0

-3,262E+07

1,047E+ll

32617427,1

3,262E+07

-1,35SE+04

3,262E+07

1,355Ev04

9,063E+09

-9,063E+09

0,174

0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,174

0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,174

-0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,174

-0,866

o,oco

0,000

0,000

0,000

0,866

0,174

0,000

o,oco

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

Grid 227

®

[k],

®

7,879E+10

-1,438E+10

-1,438E+10

9,954E+09

0

-5,664E+06 -9,235E+09

®

-9,235E+09

-2,825E+07

-5,219E+09

5,664E+06

2,825E+07

-5,664E+06

1,35SE+04

2,825E+07

-5,664E+06 -1.355E+04

-9,235E+09

2,825E+07

7,879E+10

-1.438E+10

-9,235E+09

-5,219E+09 -5,664E+06 -1.438E+10

9,954E+09

5,664E+06

-1,3SSE+04 -2,825E+07

5,664E+06

1,355E+04

5,664E+06

3

4 0 0 mm 9 0 0 mm

b h

2 0 0 0 0 MP a ' 3 6 0 0 0 0 mm 7 72 5 , 28 mm

E A L

alpha

-2,825E+07

Q) ®

' 2 , 43 0E + l 0 mm ' 1 , 3 84E + l 0 mm

=

I

=

J

® ® ® @

8 , 64 N / mm . 3 5 0 0 0 N / mm .

qs q,

( be r a t sendiri ) ( beban mera t a l

-21 0 , 25

V

G

8000

[S],

[T],

(T]T 3

[k],

228

®

3,898E+10

3,898E+10

-2,825E+07

Elemen

®

2,825E+07

1"�33E+10

0

0

-14333693628

0

0

0

2,516E+11

-48860589,81

0

1,25821E+ll

4,886E+07 -12649.52721

0

-4,886E+07

1,265E+04

0

-48860589,81

-1,433E+10

0

0

1,433E+10

0

0

1. 258E+ll

-4,886E+07

2,516E+ll

48860589,81

0

4,886E+07

-1.265E+04

4,886E+07

1,265E+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0, 934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1. 000

1,249E+10

Q)

-5,906E-02

Q)

-5,906E-02

2,193E+ll

1,302E-05

®

1,302E-05

CD

-1,249E+10

-4,562E+07 -3,488E-02

0

®

1,097E+ll

4,562E+07

-3,488E-02 -1,302E-05

-4,562E+07

1,265E+04

1,302E-05

-4,562E+07 -1,265E+04

-1,2491!:+10 -3,488E-02

1,302E-05

1. 249E+10

-5,906E-02 -1,302E-05

-3,488E-02

1, 097E+ll

-4,562E+07

-5,906E-02

2,193E+ll

4,562E+07

-1. 302E-05

4,562E+07

-1.265E+04 -1,302E-05

4,562E+07

1,265E+04

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

® ® CD 0

®

4

Elemen

b

400

mm

h

900

mm

E

20000

A

3 6 0000

L

0 , 25

V

G

8000

I

2 , 4 3 0E + 1 0 1 , 3 84E+10

J Pt

' mm

5 2 1 0 , 0 5 mm -2 1

a l pha

qs

MP a

MP a

' mm mm'

8 , 6 4 N / mm

=

2,1251!:+10

[S],

( be r a t sendiri ) (beban terpu s a t )

200000N

0

0 -107424629

1,865631!:+11

1,0741!:+08

4,1241!:+04

-107424629

-41237,47161

1,0741!:+08

2,1251!:+10 0

0

0

2,1251!:+10

0

1,8661!:+11

-1,0741!:+08

0

3,7311!:+11

107424629

1,0741!:+08

4,1241!:+04

1,0741!:+08

[T] •

[k],

-4,1241!:+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000 0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

G)

1,000

-5' 1721!:-02

-2,8641!:-05

1,6261!:+11

1,003E+08

0,000

[T]T,

0

-21253511590

0 3,7311!:+11

G)

@

@

@

1,852E+l0

G

-8,7 571!:-02

-8,7 571!:-02

3,2521!:+11

2,8641!:-05

-1,0031!:+08

4,1241!:+04

2,8641!:-05

-1,0031!:+08 -4,124E+04

-1,852E+10 -5, 1721!:-02

2,864E-05

1,852E+10

-8,757E-02 -2,864E-05

2,8641!:-05

-1,8521!:+10

-1,0031!:+08 -5, 1721!:-02

-5, 172E-02

1,626E+11

-1,003E+08 -8, 757E-02

3, 252E+11

1,003E+08

-2,8641!:-05

1,003E+08

-4,124E+04 -2,864E-05

1,003E+08

4,124E+04

Elemen5

b

400

mm

h

900

mm

E

20000

A

360000

L

6 2 5 1,20

alpha V

MP a

G

mm

J

mm '

I

q, q,

G) @ C0 ® (2)

®

-2 1 0 , 25 8 0 0 0 MPa ' 2, 4 3 0 E + 1 0 mm ' 1 , 3 8 4 E + 1 0 mm 8 , 6 4 N/mm 2 5 0 0 0 N / mm

(be r a t s endi r i ) ( beban mera t a )

Grid 229

1, 771E+10

-17713687521

0 3,110E+11

[Sls

7,462E+07

-74620890,69 2,387E+04

[Tls

[T]Ts

7,462E+07

-74620890,69

-23874,09286

0

0

1. 771E+10

0

1,771E+l0

1,5549E+11

0

1. 555E+ll

-7,462E+07

3,llOE+ll

74620890,69

0

7,462E+07

-2,387E+04

7,462E+07

2,387E+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1. 000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

@

[k],

1,544E+10

-7, 298E-02

1,989E-05

-1,544E+10 -4,310E-02 -1. 989E-05

®

@

@

-7,298E-02

2,710E+11

-6,966E+07

-4,310E-02

1. 355E+ll

6,966E+07

1. 989E-05

-6,966E+07

2,387E+04

1,989E-05

-6,966E+07 -2,387E+04

0

1,989E-05

1,544E+10

-7,298E-02

-1,989E-05

-4,310E-02

1. 355E+11

-6,966E+07

-7, 298E-02

2, 710E+ll

6,966E<-07

-1,989E-05

6,966E+07

-2,387E+04 -1,989E-05

6,966E+07

2,387E+04

-1, 544E+10 -4,310E-02

L

0

230 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

®

0 ®

® (@

®

Pera kitan matriks keka k u a n struktur

0,

[K] s

=

I

1 ,249E+10 -5,906E-02 -1,249E+10 -3,488E-02 -1,302E-05 O.OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO

&

-5,906E-02 2,193E+1 1 -3,488E-02 1 ,097E+1 1 4,562E+07 O,OOOE+OO O.OOOE+OO O.OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO

&

&

&

&

-1 ,249E+10 -3,488E-02 7,028E+10 -2 769E+10 -6,315E+06 -1,852E+10 -5,172E-02 -2,864E-05 O,OOOE+OO O.OOOE+OO

-3,488E-02 ,097E+1 1 -2,769E+10 5,725E+1 1 -4,952E+07 -5,172E-02 1,626E+1 1 1,003E+08 O,OOOE+OO O.OOOE+OO

-1 ,302E-05 4,562E+07 -6,315E+06 -4.952E+07 5,532E+04 2.864E-05 ,003E+08 -4,124E+04 O.OOOE+OO O,OOOE+OO

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -1,852E+10 -5.172E-02 2,864E-05 1.128E+11 -1,438E+10 -2,825E+07 -1,544E+10 -4,310E-02

11

&

11

&

1

-1

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -5, 172E-02 ,626E+1 1 -1 ,003E+08 -1,438E+10 6,062E+11 3,629E+D7 -4,310E-02 1.355E+1 1 1

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -2,864E-05 1,003E+08 -4,124E+04 -2,825E+07 3,629E+07 7,866E+04 1,989E-05 -6.966E+07

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO -1,544E+10 -4,310E-02 1,989E-05 1,544E+10 -7,298E-02

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO -4,310E-02 1,355E+11 -6,966E+07 -7.298E-02 2,710E+1 1

invers matriks keka kuan stru ktu r

&

[K] s

:;)I

Q.

.::J,

N w ..

=

I

I

1,042E-10 -6,128E-12 2.412E-1 1 4,399E-13 2.841E-08 1,092E-1 1 2.754E-12 2,041 E-08 1,092E-1 1 3,869E-12

&

-6,128E-12 1,146E-11 -6,128E-12 -9.192E-13 -3,096E-08 -7,191E-12 -3,151E-12 -1.915E-08 -7,191E-12 -3,346E-12

2,412E-11 -6,128E-12 2,412E-11 4,399E-13 2,841E-08 1,092E-11 2,754E-12 2,041 E-08 1,092E-11 3,869E-12

4,399E-13 -9.192E-13 4,399E-13 3,217E-12 -3.315E-09 -2.306E-12 -6,037E-13 -7.927E-09 -2.306E-12 -1.736E-12

2,841E-08 -3,096E-08 2,841E-08 -3.315E-09 1,568E-04 4,012E-08 1,660E-08 1,1 1 1E-04 4,012E-08 2,026E-08

1,092E-1 1 -7,191E-12 1,092E-1 1 -2,306E-12 4,012E-08 2,385E-1 1 3,835E-12 3,764E-08 2,385E-1 1 7,756E-12

11

2,754E-12 -3,151E-12 2,754E-12 -6,037E-13 1.660E-08 3,835E-12 3,997E-12 9,370E-09 3.835E-12 4,100E-13

&

2,041E-08 -1,915E-08 2,041E-08 -7,927E-09 1,1 1 1E-04 3,764E-08 9,370E-09 1,1 15E-04 3,764E-08 2,397E-08

&

1,092E-11 -7,191E-12 1,092E-1 1 -2,306E-12 4,012E-08 2,385E-1 1 3,835E-12 3,764E-08 8,862E-1 1 7,756E-12

&

3,869E-12 -3,346E-12 3,869E-12 -1,736E-12 2,026E-08 7,756E-12 4,100E-13 2,397E-08 7,756E-12 9,646E-12

2 3 4 5 6

1:

10

2 3 4 5 6

1 1:0

Perakitan vektor beban struktur Gaya Dal am U j ung Aki ba t B e r a t Send i r i

[F)

=

=

=

O , OOOE+OO

1 , 2 63E+12 -1 , 031E+12

2 , 566E+04 O , OOOE+OO

=

1 , 1 46E+08 O , OOOE+OO

=

[P)

1 , 146E+08 -1 , 263E+12

1 , 4 58E+12

1 , 031E+12

2 , 566E+04

1 , 146E+08

1 , 146E+08

Gaya D a l am U j ung Akibat Beban Luar

Vektor Beban t r an s f o rm a s i

R R

3

R

4

5

P

O , OOOE+OO

2 , 4 07E + 07

1 , 2 6 1 E + 07

- 9 , 73 5 E + 0 6

R

O , OOOE+OO

1 , 916E+07

1 , 2 13E+04

R

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3 E+ 0 4

R

9 , 73 5 E + 0 6

O , OOOE +OO

2 , 2 5 4 E + 07

6

1 , 213E+04

O , OOOE+OO

1 , 2 13E+04

8

O , OOOE+OO

[P)

2 , 4 07 E + 0 7

Gaya Dal a'm U j ung Akibat Beban Luar

[P)

2

-4 , 250E+06

7

Vek t o r Beban P t r an s f ormas i

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

4 , 6 4 1 E- 0 2

- 4 , 2 97 E + 0 7

- 1 , 74 1 E + 1 1

-1 , 625E+11

1

3 , 3 3 7E + 0 4

1 , 3 52E+08

1 , 3 52E+08

R

- 4 , 6 4 1 E- 0 2

4

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO

[P)

3

4 , 2 97E + 07

1 , 74 1 E + l l

1 , 6 2 5E + 1 1

3 , 3 37E+04

1 , 3 52E+08

1 , 352E+08

Gaya Da l am U j ung Ak i b a t Beban Luar

Vek t o r Beban P t r an s f ormasi

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

3 , 993E- 0 5

- 1 , 9 5 4 E + 07

- 1 , 3 03E+08

- 1 , 3 98E+08

2 , 2 51E+04 O , OOOE+OO

[P)

5 , 2 10E+08 O , OOOE+OO

[P)

4

2

3

5

3

4

- 3 , 993E- 0 5

5

5 , 2 1 0E + 0 8

6

1 , 9 5 4 E + 07

1 , 3 03E+08

1 , 398E+08

7

2 , 2 51E+04

5 , 2 1 0E + 0 8

5 , 2 10 E + 0 8

8

Berat Sendiri

=

[P)

4 , 3 5 5E + 07

Gaya Dal am U j ung Akibat

[F)

P

- 1 , 4 58E+12

Gaya D a l am Ujung Akibat Berat Send i r i

[F)

t r an s f orma s i

O , OOOE+OO

Gaya Da l am U j ung Aki ba t B e r a t Send i r i

[F)

Vektor Beban

- 4 , 3 5 S E + 07

Gaya Da l am U j ung Ak i b a t B e r a t Send i r i

[F)

Gaya Da l am U j un g Akibat Beban Luar

Gaya Dal am Uj ung Akibat Beban Luar

Vektor Beban tran s f o rmas i

P

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

2 , 1 71E- 0 2

6

- 2 , 8 1 4 E+07

- 8 , 1 4 1E + 1 0

-7 , 6 0 3 E + 1 0

7

2 , 701E+04

7 , 8 1 4 E + 07

7 , 8 17E+07

2 , 8 1 4 E + 07

8 , 1 4 1E + 1 0

- 2 , l 71E- 0 2

2 , 701E+04

7 , 8 1 4 E + 07

7 , 8 17 E + 0 7

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO

232 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

[P)

s

7 , 603E+10

8 9

10 R

Pera kitan vektor beban struktur Gaya da l am u j ung a k i ba t berat send i r i

[F]

::

O , OOOE+OO

1,263E+12

R

- 1 , 4 5 8£ + 1 2

-1,031E+12

R

1,146E+08

R

2 , 5 6 6£ + 0 4 O , OOOE+OO

1 , 1 4 6£+ 0 8

[P]

O , OOOE+OO

4 , 3 5 5£ + 07

1 , 4 5 8£+ 1 2

2 , 5 6 6£ + 0 4

1 , 1 4 6£ + 0 8

[pl

1

Gaya da l am u j ung a k i b a t

::

- 1 , 2 6 3£+ 1 2

3

1 , 0 3 1£ + 1 2

4

1 , 1 4 6£ + 0 8

5

Vek t o r beban

beban l u a r

t r ans f orma s i

P

0 , 0 0 0£+ 0 0

2 , 4 07£+07

1 , 2 6 1£ + 0 7

R

- 9 , 73 5£ + 0 6

O , OOOE+OO

1 , 9 1 6£+07

R

1 , 2 1 3£ + 0 4

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3£+ 0 4

R

O , OOOE+OO

[P]

2 , 4 07£+ 07

[P]

2

- 4 , 2 5 0£+ 0 6

6

9 , 7 3 5£ + 0 6

0 , 0 0 0£+ 0 0

2 , 2 5 4£ + 0 7

7

1 ' 2 1 3 £+ 0 4

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3£+04

8

Gaya d a l am u j ung a k i ba t

Gaya d a l am u j ung a k i b a t beban l ua r

Vek tor beban P

trans f orma s i

4 , 6 4 1£ - 0 2

0 , 0 0 0£+ 0 0

O , OOOE+OO

- 4 , 2 97£+07

- 1 , 74 1£+ 1 1

- 1 ' 6 2 5£+ 1 1

2

3 , 3 3 7£+ 0 4

1 , 3 5 2£+ 0 8

1 , 3 5 2£+ 0 8

R

[P]

[P]

3

- 4 , 6 4 1£ - 0 2

3

1 , 7 4 1£+ 1 1

1 , 6 2 5£+ 1 1

4

3 , 3 3 7£+ 0 4

1 , 3 5 2£+ 0 8

1 , 3 5 2£+ 0 8

5

O , OOOE+OO

Gaya da l am u j ung akibat beban luar

Vek t o r beban P tran s f orma s i

0 , 0 0 0£ + 0 0

O , O O OE+OO

3 , 993£ - 0 5

3

- 1 , 954£+07

- 1 , 3 0 3£+ 0 8

- 1 , 3 9 8£+ 0 8

4

2 , 2 5 1£+ 0 4 O , O O OE + O O

5 , 2 1 0£+ 0 8

[P]

0 , 0 0 0£+ 0 0

[P]

4

5,2 1 0£ + 0 8

5

- 3 ' 993£ - 0 5

6

1 , 9 5 4£ + 0 7

1 , 3 0 3 £+ 0 8

1 , 3 9 8£+ 0 8

7

2 , 2 5 1£+04

5 , 2 1 0£ + 0 8

5 , 2 1 0£+ 0 8

8

Gaya dalam u j ung akibat

Gaya d a 1 am u j ung akibat

berat send i r i

Vek t o r beban P

beban 1 uar

t r ans f orma s i

[F]

1

4 , 2 97£+07

O , O O OE+OO

Gaya d a l am u j ung a k i b a t berat sendiri

[F]

P

O , O O OE + O O

b e r a t sendiri

[F]

Vek tor beban trans f o rmas i

- 4 , 3 5 5£ + 07

Gaya d a l am u j ung aki bat berat s e nd i r i

[F]

Gaya da l am u j ung a k i b a t beban l u a r

0 , 0 0 0£+ 0 0

O , OOOE+OO

2 , 1 7 1 £- 0 2

- 2 , 8 1 4£ + 0 7

6

- 8 , 1 4 1£+ 1 0

- 7' 6 0 3 £+ 1 0 ' 7 , 81 7E+ 07

7

- 2 ' 1 7 1 £- 0 2

9

2 , 7 0 1£ + 0 4 O , O O OE+ O O

[P]

7 , 8 1 4£ + 0 7 O , OOOE+OO

[P ]

s

8

2 , 8 1 4£+07

8 , 1 4 1£+ 1 0

7 , 6 0 3 £+ 1 0

10

2 , 701£+04

7 , 8 1 4£+07

7 , 8 1 7£+ 07

R

Grid 233

Vektor Beban Ekivalen {P}s

(P}

s

4,641E-02

1

-1,625E+ll

2

-1,263 E+l2

3

1,1 9 3 E +l2

4

7,7 0 8 E + 0 8

5

-4,25 0E+06

6

- 7,587E +l0

7

5, 992E+OR

8 9

-2,171E-02

10

7, 6 0 3 E + l 0

Vektor perpindahan

2

3

4

6 - ,l2REl -2

2,4l�E-1J

' l'}';)E-13

�,

-9'

146El - l .�,

' 3:1%-13

-9,192£-13

2' �41£-08

-3' 096£-08

6 -l,

19�£u

9

10

-l,"l46E-l2

9l�E-O R

L0'J2E-lL

�LE-11 J,2l'E12

,', �4lE-OR

8

-3,315£-09

-9 J - HSE0 l,S6RE-04

2 - ,306£U -

-6,037£-13

-'.927£·09 4,0UEO -R

4,Ol�E-OR

.<,026EO -R

-� , l')lE

"

2,-54£-12

l.092E-ll

J,H35E-l2

3, 9�-E1 -2

9,3-oE-09

3,H]�E-12

-l.9l5E·OR

92'£0 -9

l,lllF> 04

],764£-0R

9,370£-09

L,llSE-04

3 .. 64£-08

7 - ,J91EU -

2,301)£-12

4,0L'E-CIR

2,3«51:.-ll

3' �35£-12

3,764£-0R

3

>,756E-l2

�,

2,B"7E-OR

3, 1 � lE-12

�.754£U -

-3,346EU ·

6,03�£U -

026£-0?

1 OOE-1 J

',-s&E-12

2,3:.-,E-OH

9,646E-l2

Solusi persamaan ini menghasilkan nilai vektor perpindahan {X} 5,277E+OO --l,OSBE+Ol

�,277E+00 -3,9'::l8E+OO

[X]

l,SJDE+OS

s

3, H40E+Dl 1,445E<+Ol 1,215E+OS J,840E+01

2, 427E+01

234

2 4 5 6 8 9 10

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

x,

4, 611E-02

X-'

-1,625E+ll

X3

-1, 26JE+] 2

x,

1, 193E+12

Xc

7,708E+OH

x,

-4,250E+06

Xo

-"1,587E+l0

x,

5,99�E+08

X9

-2, 171E-02

x,

7, 6 0 3 E+ 10

Perpindahan ujung elemen sumbu struktur

{X)_

Perpindahan ujung elemen sumbu lokal

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

5,277E+00

UJ,

3,038E-01

Gaya-ga ya dalam ujung elemen 2.078+12

R 2.BOE+OB

{f-<'}1 4.99E+ll

-7,369E+OO 1,530E+05

1,530E+05

0, OOOE+OO

0,OOOE+OO 0,OOOE+OO 0,OOOE+OO

{X)'

3,8408+01

2 "07E+12 -2.58E+ll

0,OOOE+OO

{ ,\) �

6.438+08

O,OOOE+OO

6.14E+ll

1,9198+01

1,445E+Ol

-3,0758+01

-2.80E+ll

1,215E+05

1,215E+05

-6.438+08

5,277E+OO

4,9268+00

-3,058E+01

-2,854E+Ol

5,277E+OO

4.95E+08

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

{X)'

{"'J

4,926E+OO

{F)j

-3, 69SE+OO

-2.59E+l2

1, 530E+05

1, 530E+05

-2.24E+08

5,277E+OO

6.14E+ll

-3,958E+OO

2.09E+12

{X}�

3,840E+01

2.75E+08

{F}4

{ i\}4

-6.14E+ll

1,445E+Ol

-8.99E+ll

1,215E+05

7.67E+08

-3.36E-01

3,840E+Ol

3,58SE+Ol

1,445E+Ol

1,3498+01

1.18E+l2

1,215E+OS

1,21SE+OS

-1.24E+08

3,840E+Ol

R

7.418-01

-3,958E+00

1,530E+05

(X)�

R

{P),

Ul,

3,58SE+Ol

{F);

-5.27E-05-0

2,427E+Ol

2,266E+Ol

4.58E-05-0

10

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

2.80E+08

R

Diagram gaya dalam dan garis elastis sistem

Berdasarkan has i l perhitungan yang d i peroleh dari vektor gaya dalam dan derajat kebebasan struktur dapat digambar bidang gaya dalam momen, geser, dan aksial, serta pol a garis elastis ( defonnasi) pad a si stem bangunan. Besaran gaya dalam digambarkan bagi setiap ben tang, untuk d i gunakan sebagai data input desain penampang.

Grid :235

G a m ba r 4.7.4a

G a m ba r 4.7.4b

Diagram Momen Lentur

Diagram Gaya Lintang

236 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

G a m ba r 4.7.4c

Diagram Tarsi

Gambar 4.7Ad Garis Elastis

Grid 237

4.8

P rogram Kom puter S istem Grid

Program komputer sistem struktur grid yang lengkap dirancang berdasarkan bagan alir yang dikembangkan oleh Wi lliam Weaver, Jr. dan James M. Gere, pengarang Mulrix Anu/ysis of" Frwned S!rue/ure (Second Edilion, D. Vun Noslrund,

/980).

Membuat kode pro g ra m a na!isa struktur u ntu k s i stem grid.

Program yang d i gunakan ada lah Tubo Pascal for Windows v 1 . 5 Dalam program i n i d ibuatfile�jile pembantu ( * . i nc) yang d i panggi l dengan proc edur e pada program utama. Adapun.file�file yang d i perl ukan di dalam program i n i adalah : : merupakan badan program utama I. mainJJro.pas : berisi prosedur input data 2. sdatag inc : berisi input data dan pengkombinasian beban titik 3. ldataginc 4. /oadg. inc : berisi prosedur ekivalensi beban titik : beri si perakitan matri k kekakuan 5 . stiff'ginc 6. banfac. inc : berisi prosedur fakorisasi matrik : beris i penyelesaian vektor 7. bansol. inc : berisi pen u l i san basi l perh itungan 8. resulg. inc Sedangkan untuk input dan outputnya d i l etakkan pada til e text ( * .txt), yaitu : I. dt struk. txl : berisi input data struktur : berisi input pembebanan 2 . dt load.txl : berisi laporan input beserta bas i l perhitungan. 3 . reporl.lxt Berdasarkan bagan a l i r yang te lah d i beri kan, maka kode program secara kesel u ruhan dapat d isusun. Kode program lengkap dapat d i l ihat pada halaman berikut.

238 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Source code

dari program utama, d i simpan pada file main_pro.pas

p rogram ANALISIS_GRID; uses w i nc r t; type rn a t r i k_reall ma t r ik_real2 m a t r i k i n tl

a r r ay [1 . . 5 0 ] of r e a l ; a r r a y [ 1 . . 4 0 , 1 . . 4 0 ] o f real; a r r ay [1 . . 50] o f in teger;

VAR M,N,NJ,NR,NRJ,NLJ,NLM NDJ , ND,MD,I,LN NBI , NB, Nl, JR , JE Jl,J2 , J3,Kl,K2,K3 E,G,SCM1, SCM2,SCM3 , SCM4: XCL , YCL,SUM,TEMP dt,ld,out has i l K , J,IR,IC, Il,I2 , I tem X,Y JJ,JK,JRL , IM,ID EL,XI,YI,CY,CX SFF , SMS AC,AJ,AE , DJ , DF LML AML AMD,AM, AR

{$I ($I ($I ($I ($I {$I {$I

shortint; sho r t i n t; shor t in t; shor t in t; r e a l; r e a l; text; text; i n t eger; ma t r i k_rea ll; m a t r ik_in tl; m a t r ik_reall; ma t r i k_rea l2; m a t r ik_reall; m a t rik_in tl; ma t r ik_real2; ma t r i k_reall;

sdatag . i nc) s t if fg . inc} banfac . inc} lda tag . inc} loadg . i nc } banso l . i nc} resu l g . i nc}

BEGIN c l rscr; a s s ign (out, ' r epo r t . tx t'}; r ew r i t e (out}; input_data; s usun_ma t r ik_kekakuan; faktorisas i _ma t r ik; load data· beban_ekiv_j o int; komb i n a s i _beban_jo int; s o l u s i_vekto r_x; resu l t;

END .

c l o s e lout}; w r i t e l n ('Program t e l ah s e l e s a i dieksekus i'); w r i t e l n 1 'Has i lnya dapat d i l ihat pada f i l e repo r t . tx t ' };

Grid 239

Source code

dari

file s tiffg.inc

p rocedure susun_ma t r i k_kekakuan; Begin (Kekakuan Elemen} for J:�1 to N do Begin f or K:�1 to N B do SFFIJ, K]:� 0. 0; End; (Mengubah M a t r i k Kekakuan T i t i k Kumpul } f or I:�1 to M do Begin SCM1 SCM2 SCM3 SCM4

G*XIII]/ELII]; 4.0*E*YIIII/ELII]; 1.5*SCM2/ELIIJ; .- 2*SCM3/ELIII;

SMSI1, 1]:�SCM1*CXII]*CXII]+SCM2*CYII]*CYIIJ; SMSI1, 2] :�SCM1*CXII]*CYII]-SCM2*CXII]*CYIIJ; SMSI1, 3]:�SCM3*CYIIJ; SMSI1, 4] :�-SCM1*CXIII*CXII]+0.5*SCM2*CYII]*CYIII; SMSI1,5] :�-SCM1*CXIII*CYII]-0.5*SCM2*CXII]*CYIIJ; SMSI2, 21 : �SCM1*CYII]*CYII] +SCM2*CXI I I *CXII I ;

SMSI1, 6] :�-SCM3*CYIII; SMS I 2, 4 l :� SMSI1 , 5 l

;

SMSI2, 3I :�-SCM3*CXIII; SMSI2, 6I:� SCM3*CXII l

;

SMSI2, 5]:�-SCM1*CYII]*CYII]+0.5*SCM2*CXII]*CXIIJ;

SMSI3, 31 :�SCM4;

SMSI 3, 4I: � SMSI1,3I;

SMSI3, 5]:�SMSI2,3I; SMSI 3, 6]:�-SCM4;

SMSI4, 5 l :�SMSI1, 2I;

SMSI 4,4]:�SMSI1 ,11 ; SMSI4, 6]:�-SMSI1, 3];

SMSI 5, 6 l :�-SMSI2, 3]; SMSI6 , 6]:�SMSI 3, 3I;

SMSI 5 , 5]:�SMSI2 ,2I;

IMI11 :�3*JJIII-2;

IMI2]:�3*JJII]-1;

IMI31 :�3*JJII];

IMI4]:�3*JKII]-2;

IMISI :�3*JKII]-1;

IMI6]:�3*JKII];

for J:�1 to MD do

Begin Il :� IMIJ];

i f (JRLII1] <� 0) then Begin f o r K:�J to MD do Begin I2

: � IMIKI;

i f (JRLII21 Begin IR

<� 0)

t h en

:� IDIll];

IC :� IDII21;

i f (IR>IC) Begin

then

Item :� IR; IR

IC;

IC

Item;

End; IC

:

�

IC - IR + 1;

SFFIIR, ICI

SFFIIR,IC] + SMSIJ, K];

End;

End; End; End;

End; End;

240 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

Source code

dari

file banfac.inc

procedure f a k t o r i s a s i_matrik; Begin if (SFF[1,1]<=DI then Begin write l n ('Ma t r i k kekakuan tidak pos i t if de f i n i t i f' I; h a l t (1); end; for J:=2 t o N do Beg i n J1 := J- 1; J2 : = J -N B +1; if J2<1 then J2:=1; if J 1<> 1 then Begin f or I:=2 to J1 do Beg i n Il:= I - 1; if (I1> =J21 then Be g i n SUM:= SFF[ I,J - I + 1]; for K:=J2 to I1 do SUM:=SUM-SFF[K,I-K +1]*SFF[K , J -K+1]; SFF[I,J-I+1]: = SUM; End; End; End; SUM := SFF[J , 1]; f o r K:=J2 to J1 do Begin TEMP: = S F F[K,J -K+1] / SFF[K , 1]; SUM:=SUM - TEMP*SFF[K,J-K+1] ; TEMP; S FF[K,J-K+ 1] End; SFF [J , 1] := SUM; End; End;

Source code

dari

file bansol.inc

procedure s o lusi_vektor_x; Begin f or I:=l to N do Beg i n J := I -NB+1; i f (I<=NB) then J: = 1; SUM : = AC[ I] ; K1 := I-1; if (J<=K1) then Begin for K:=J to K1 do SUM := SUM - SFF[K,I-K +1] *DF[K] ; End; DF[I] SUM; End; for I:=1 t o N do DF [ I] : = DF[I] I SFF[I,1] ; f o r I1:=1 t o N do Begin N-I2.. + 1; I I +N B -1; J if J>N then J:=N; SUM := DF[I]; K2 := I +l; if K 2 < = J then Begin f or K:=K2 t o J do

Grid 241

SUM := SUM-SFF[I,K-I +1] *DF[K] ; DF [I] : = SUM End; End; End;

Source code

dari file res u/g.inc

procedure resu l t; Begin {Perpindahan T i t i k Kumpu1} J:=N+1; for K:=1 to NO do Begin JE : = ND - K + 1· i f JRL[JE] =O . O then begin J : =J-1; DJ[JE] := DF[J] ; end else Begin 0 . 0; DJ[JE] End; End; w r i t e l n {out); w r i t e l n (out , ' Perpindahan T i t i k Kump u l' I; w r i t e l n (out , ' T i t i k DJ1 DJ2 f o r J:= 1 to NJ do Begin DJ I 3*J- 2 I : 1 0 , ' w r i t e l n (out, J:3 , ' End;

DJ3'

I;

DJI3 * J - 1 I

:

10 ,'

DJ I 3*J I

:

10

I;

{Aksi U j ung Elemen} w r i t e ln (out); w r i t e l n (ou t , ' A k s i U j ung Elemen' I; AMS AM6' I; Al14 Al13 w r i t e l n (out,' E l emen AM 1 AM2 for I:=1 to M do Begin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l] +DJ [Kl] I 'CY[I] + 10 . 5 'DJ[J2] +DJ[K2] I*CX[I] I -.SCM3* (D.J[J3] DJ [K3 I I; for J : =1 to MD do Begin AM[.J] : = ANL[J , I] + AMD[J] ; End; if JRL[J1] = 1 then AR [J1] :=AR [ J 1] +CX[I] 'AND[1] -CY[I] *AMD[2]; if JRL[J2] = 1 then AR[J2] :=AR[J2 ] +CY[I] *AND[ 1] +CX[I] 'AMD[2 ] ; if JRL[J3] =1 then AR[J3] : =AR[J3] +At1D[3] ; i f JRLIKl] =1 then ARIKl] : =AR[K 1] +CX[I] *At10[4] -CY[I] *At1D[5] ; i f JRL[K2 ] =1 then AR[K2] : =AR [ K2]+CY[I] *At1D[4] +CX[I] *At1D[5]; i f JRL[K3] =1 then AR [K3] : =AR[K3]+ At1D[6] ; '"ri t e 1 n I out, I:4, AN I 1 I : 1 0 : 2 , At1I2 I :1 0 : 2 , M1[3 I : 1 0 : 2 , ANI4 I : 1 0 :2 , At116] : 1 0 : 2); End;

242

Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

At1I5 I : 1 0 : 2 ,

{Perhi tungan Reaksi P e l e t a ka n } w r i t el n (out); w r i t e l n ( out, ' Reaks i P e l e takan' I; AR2 w r i teln (out,' T i t i k Kumpu l ARl Joint f or J:�l t o NJ d o Begin Jl:�3*J-2; J2:�3*J-l; J3:� 3*J; Nl :� JRL[Jl] + JRL[J 2 ] + JRL[J3]; i f Nl<>O then w r i teln ( out,J:25,AR[Jl] :9:2,AR[J2]: 8:2,AR[J3] :8:2); End;

AR 3 ' );

End;

Source code

dari file /oadg.inc

proc edure beban_ekiv_ j o i n t; Begin i f NLJ<>O then Begin for I:=l to M do Be g i n i f LML[I]<>O then Beg i n Jl:� 3*JJ[I]-2; J2:� 3*JJ[I]-l; J3:� 3*JJ[I] Kl:� 3*JK[I] - 2 ; K2:� 3 *JK[I] - 1 ; K3:� 3*JK[I] AE[Jl] :� AE[Jl]-CX[I] *AML[l, I]+CY[I] *AML[2, I] ; AE[J2] :� AE[J2]-CY[ I] *AML[l , I]-CX[I]*AML[2 , I]; AE[J 3 ] :� AE[J3] -AML[ 3 , I ] ; AE[Kl]:� AE[Kl] -CX[I]*AML[4, I] +CY[I] *AML[S, I] ; AE[K2] :� AE[K 2] -CY[I]*AML[4,I]-CX[I]*AML[5,I]; AE[K 3]:� AE[K3]-AML[6,I]; End; End; End; End;

Source code

dari file ldatag.inc

procedure kornbinasi_beban_j o i nt; Begin f or J:�l to ND do Begin JR :� ID[J]; AC[JR] :� AJ[J] + AE[J]; End; Snd;

procedure load_data; Beg i n {Parameter Beban} w r i teln ( ou t); w r iteln (ou t,' Jumlah Pembebanan'); w r i t e l n ( out,' NLJ NLM' ); ass ign ( ld, ' dt_l oad . tx t'); reset ( ld); readln ( ld); readln ( ld, NLJ, NLM); w r i teln ( ou t , NLJ:3, NLM :6);

Grid 243

writeln

(out);

for J:=1 to ND do Begin

AJ[J] AE[J] AR[J]

0; 0; 0;

End; (Beban Titik Kumpul) if

(NLJ<>O) then

Begin writeln

(out,' Beban di Titik Kumpul' I;

writeln

(out,' Titik kumpul

AJl

AJ3'

AJ2

readln (ldl; for J:=1 to NLJ do Begin readln writeln End; writeln

I;

(ld,K,AJ[J*K-2] ,AJ [ J*K -1] ,AJ[3*K] I; (out, K:6, AJ[J*K-2] :13:2, AJ[3*K-l] :11:2, AJ[3*K ] :12:2);

(out);

(Beban Bentang) if

(NLM>O I then

Begin for J:=1 to

do

Begin for K:=1 to M do AML[J ,K] 0; LML[J] : = 0; End; writeln

(out,' Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang' I;

writeln

(out,'

AML1

Elemen

AML2

AML3

AML4

AML6' I; readln

(ldl;

for J:=1

to NLM do

Begin read

(ld, I,AML[1, I],AML[2,I],AML[3,I] ,AML[4,I] ,AML[5,I] ,AML[6,I]);

write

(out, I:4, AML[1,I]:12:2, AML[2,I]:11:2, AML[3,I]:11:2);

writeln

(out, AML[4,I]:11:2, AML[5,I] :12:2, AML[6,I] :11:2);

dari file

sdatag.inc

LML[I] : = 1; End; End; End; closelld);

End;

Source code procedure

input�data;

BEGIN (Identifikasi Struktur) Struktur nomor 3 GRID' I;

Writeln

(out, '

writeln

(out, ' Jumlah sistem pembebanan

writeln

(out,'

-----------------------------

writeln

(out, '

Parameter Struktur');

(out, '

M

WRITELN assign reset

N

NJ

NR

NRJ

�

)

1'):

E

'

;

G ' I;

(dt,'dt_struk.txt' I; (dt);

readln (dt); readln

(dt, M,N,NJ,NR,NRJ,E,G);

{Parameter Struktur}

NDJ := 3; ND := NDJ'NJ; N := ND-NR; writeln (ou t ,M:3, N:5, NJ:5, NRJ:7, E:15:2, G:15:2);

244 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

AML5

w r i t e l n (ou t ) ; { Koordinat T i t i k Kumpul } w r i t e l n (out, ' Koordinat T i t i k Kumpul ' ) ; w r i t e l n (out, ' T i t i k X Y' ) ; readln ( dt ) ; f or k:=1 to NJ do Beg i n readln (dt,J, X[J], Y[J] ) ; w r i t e l n (out,J:3, X [ J]:10:3, Y[J]: 8 : 3 ) ; End; w r i t e l n (ou t ) ; { In f o rmas i E l emen } w r i t e l n (ou t , ' In f orma s i E l emen ' ) ; EL XI YI w r i t e l n (out, ' E l emen JJ JK MD : = 2*NDJ ; readln ( dt ) ; f or J:=1 to M do Beg i n readln (dt, I, JJ[I], JK[I], XI[I], YI [I] ) ; NBI := NDJ* (abs (JK[I]-JJ[I] ) +1 ) ; i f (NBI > N B ) then NB:=NBI; XeL : = X[JK[I]] - X[JJ[I]]; YeL : = Y [JK[ I ] ] - Y[JJ[I] ]; EL [ I] : = s q r t (Xe L *XeL + YeL*Ye L ) ; e x[I] : = XCL I E L[I]; eY[I] := YCL / EL[I ] ; w r i t e (out, I:4, JJ[I] : 9, JK[I] : 9 , XI[I ] : 9 : 3, YI[I]:9: 3 ) ; w r i t e l n (out,EL[I]:10:3, CX[ I] :10:3, CY [I] :10: 3 ) ; End; w r i t e ln (out ) ;

ex

ey • ) ;

(Kekangan t i t i k kumpul } w r i t e l n (ou t , ' Kekangan T i t ik ' ) ; JR3' ) ; w r i t e l n (out,' T i t i k JR1 JR2 readln ( d t ) ; f o r J:=1 to ND do begi n { I n i s i a l i s a i l a r i k kekangan } 0; JRL[J] end ; f o r J:=1 to NRJ do Beg i n readln (dt,K, JRL[3 * K-2], JRL[3 * K- 1], JRL[3*K] ) ; w r i t e l n (out,K:3, JRL[3 ' K- 2 ] :9, JRL[ 3 ' K-1] : R , JRL [ 3 * K] : 8 ) ; End ; {Indeks Perpi ndahan T i t i k Kumpu l } { In i s i a 1 i s as i } N 1 : = 0; f o r J : = 1 t o N D do Begin N1 : = N1 + JRL[J] ; i f JRL[J] > 0 then N + N1 ID[J] else ID[J] J - N1; End; c l os e ( dt ) ; O:ND ;

Grid 24 5

J i ka program dieksekusi maka hasilnya adalah :

Contoh : File input:

dt struk.txt

Parame t e r S t ruktur ( Jm l e l emen,DOF,j m l j o i nt , j m l reaks i tumpuan, j m l tumpuan,E,G ) 5 3 4 2 200000000 80000000 Koordina t T i t ikKumpul ( N o Koord T i t i k Kumpul, Koord x, Koord y ) 1 0.0 0.0 5. 0 0.0 9 . 0 5. 0 I n f oMember ( N o E l emen, No U j ung E l emen j, No U j ung E l emem k, Ix, I y ) 1 1 2 0 . 002 0 . 0 03 0 . 003 0 . 002 2 3 KekanganTumpuan ( N o K o o r d T i t i k Kumpul, 1=Terkekang O=Tidak terkekang ) 1 1 1 1 2 0 0

dt load.txt 2

Beban

2

0.0

Beban j o i n t

200 . 0 0.0

50 . 0 0.0

( T i t i k , T , P z , My )

1 00 . 0 3 Beban bentang

246

0

( Jo i n t , Bentang)

( E l emen , FETi , FE Q i , FEM i , FETj , FE Q j , FEMj )

Amrinsy
Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

File output

report.txt

S t ruktur nornor 3 GRID Jumlah s i stem p embebanan Paramet er S t ruktur H N NJ NR NRJ 3 2

:::

1

E 200000000 . 00

G 80000000 . 00

Koord i n a t T i t i k Kump u l T it ik X Y 1 0 . 000 0 . 000 5 . 000 0 . 000 5 . 000 9 . 000 Informas i E l emen E l emen JJ 1 2 Kekangan T i t i k JR1 Titik 1 1 0 2

JK 2 3

YI 0 . 003 0 . 003

XI 0 . 0 02 0 . 002

EL . 000 .403

ex

1 . 000 0 . 6 25

CY 0 . 000 0 . 7 81

JR3 1

JR2 1 0

Jumlah Pembebanan �JLJ NLM 2 0 Beban di T i t i k Kumpu 1 A,Jl 7 i t i k kumpu1 0 . 00 2 100 . 00

AJ2 200 . 00 0 . 00

AJ3 50 . 00 0 . 00

?erp indahan T i t i k Kumpul DJ1 DJ2 �i tc i k O . OOOE+OO 1 O . OOOE +OO 4 . 16 7 E - 04 2 3 . 12 5E - 0 3 1 . 848E - 0 3 5 . 3 3 7E- 0 3

DJ3 O . OOOE+OO O . OOOE+OO 1 . 66 3 E - 0 2

.::,k s i U j ung E l emen AM2 :::: l emen AM1 - 100 . 00 0 . 00 - 1 5 9 3 . 41 -62 . 4 7 ?.eak s i P e l e t akan � i t ik Kumpu1

Joint

AM3 -0 . 0 0 124 . 2 3

AR1 - 100 . 00 0 . 00

AM4 100 . 00 62 . 4 7

AR2 0 . 00 0 . 00

AM5 60 . 00 - 3 366 . 56

AM6 0 . 00 - 1 24 . 2 3

AR3 - 0 . 00 124 . 2 3

Grid 247

4.9

Soal - Soal

Soa l 1

� I

/

I \

I

/

)

2 Pel at tebal 1 5 0 mm didukung oleh sistem grid balok ukuran 2 5 0/5 5 0 mm • B ahan elemen ' ada lah beton dengan berat volume Ybcton 24 kN/m . Angka Poisson u 0.25, dan mod u l us e lastisitas Eb = 20.000 M Pa. Ukuran panj ang c lemcn balok seperti tergambar. =

=

PERT A N Y AAN : a. b. c.

d. e. f.

g. h. 1.

J.

k.

Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ dcfonnasi nya pada sistem . H itung sifat - sifat pcnampang clemen : I , J , G , dan A. Tetapkan matrik kekakuan e l emen [S],. Tetapkan matrik kekakuan e lemen terhadap koordinat struktur [k];. Rakit matrik kekakuan struktur [ K ] s Tentukan vektor beban { P } H itung [K]s ( X } s = { P} s untuk mendapatkan defonnasi ( X } s. Gam bar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam e l emen. Gam bar d iagram gaya dalam. B i la simpangan horizontal izin O;Lm = - 1 5 mm. apakah sistem struktur memen u h i syarat kckakuan ?

248 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Soal 2 24060

''85

'I I

12

l� 8 0

Pier jembatan

0

seperti tergambar dapat di modelkan sebagai sistem grid. Beban yang bekerja adalah P 1 25 0 kN. Dimensi penampang seperti di gambar potongan [ dalam mm]. Modulus E lastisitas bahan Eh 20,000.00 MPa. (beton), dan angka Poisson u = 0 . 2 5 . Pertanjaan : a. Bcrapa derajat kebebasan struktur ') Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada sistem. b. H itung sifat - sitat penampang elemen : I, J, G, dan =

=

A. 0 0 0 CJJ

c. Tetapkan matrik kekakuan elemen [ Sl i· d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k],. e. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor beban { P l s a H itung [K l s ( X } s { P } s untuk mendapatkan ,. deformasi {X } s. =

h. 1.

J.

Gambar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam e lemen. Gambar d i agram gaya dalam.

Soal 3

Apab i l a lendutan maksimum uj ung j em batan d i pi ku l s i stem ?

=

305 mm, berapa beban

P yang dapat

Soal 4

Apab i l a l endutan d i noc!al 1 1 e l emen 1 3

= -

elemen 1 4

d imasing m a s i n g nodal ?

=

=+

1 5 0 m m , di nodal 1 2

=

-

1 5 0 m m , dan rotasi ujung

0 . 0 1 2 rad . , berapa beban ekivalen

P yang dapat d i p i ku l

Grid 249

Soa l 5

9 (sendi)

1 (sendi)

·.

-

'-

___ 1_1 (sen9Jl__

8@ 1 0

m

13 (sem:J iL

__

-.J

.

I

16

__ '" 1', \\\

,

j

m

Rangka portal xrid seper1i gambar merupakan konstruksi atap mezzanine beton tebal 1 00 2 mm. B eban h id u p yang bekerj a adalah beban air h uj an = 1 5 kN/m . D imensi kerangka adalah pipa baj a D 250*40. Gunakan program komputer untuk mengh itung perpi ndahan titik titik kumpul, reaksi perle­ takan dan gaya gaya dalam rangka jembatan diatas . Modulus elastisitas semua batang E = 200,000 M Pa, angka Poisson u = 0.30.

Soal 6

Terdapat 1 1 segmen l urus balok l engkung seperti gambar, seh ingga dapat d ikaj i sebagai sistem grid. Profi l penampang e l emen adalah p i pa D 2 5 0 .40, E hn.1a = 200,000 M Pa, u 0.30. Perletakan merupakan jepit sempurna. =

Pertanjaan : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ defonnasi nya pada sistem. b. H itung sifat - si fat penampang: elemen : I, J, G, dan A . c . Tetapkan matri k kekakuan elcmen [ S ];. d . Tetapkan matrik kekakuan ekmen terhadap koordinat struktur [k]i. e. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor be ban { P } s g. H itung [K] s { X ) s = { P} s untuk mendapatkan deformasi { X } s.

250 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

q, ,

SOAL 7

=

2.75 kN/m'

3.5 m

Lakukan ana l isis struktur grid dari beton bert u l ang dengan beban pelat seperti tergam bar. 2 Data : D imensi balok grid bentang 2 - 5 - 4 : 250/550 m m ; d imensi balok grid bentang I - 5 2 - 3 : 450/700 mm . Tebal pel at beton yang menj ad i bagian dari grid = 1 3 0 m m . Eb = 20000 M Pa. Semua perletakan grid terkekang penuh. Lakukan proses analisis dengan u rutan :

a. H itung beban pel at qpe l at dan beban h idup b. c. d.

e. f.

g. h. 1.

q11 yang bekerj a pada balok grid ( keempat sud ut pe I at bebas ). Lengkapi penomoran titik kumpul dan penomoran derajat kebebasan struktur dalam sistem koord inat globa l . Tentukan matriks kekakuan lokal (S]111 , m atriks transformasi [T], dan matriks kekakuan e lemen [k]m pada s i stem global struktur. Rakit matriks kekakuan g loba l struktur [K]s Rakit matriks gaya nodal struktur { P} s . H itung solusi perpindahan struktur dari hubungan { P } s = [K]s { X } H itung kembal i gaya-gaya dalam e lemen { Ph . Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

Soal 8

2 Parameter s istem : E = 200* I 0 6 kN/m ; G = 80* I 0 6 kN/m 2 ; lx = 2 * I o-3 m 4 dan 4 I , = J = I * I o-3 m . Analisis matrik kekakuan grid untuk pembebanan luar seperti gam bar menghasi l kan deformasi [mm] di titik titik kumpul : B [ 5047E-03 ,

? [ 4 5 1 6E- 03 ,

A,

C,

D,

1 1 1 6 E- 0 3 ,

3 3 2 2 E- 0 2 ]

2 3 2 0E- 03 ,

9 2 5 6 E- 0 2 ]

dan G

:

[0, 0, 0]

( p e r l e t akan j ep i t )

Gritl 251

1 65 kN

a. b.

55 kN

('5)

G(6,8)

Gambar garis e lastis sistem struktu r. Tentukan gaya-gaya dalam elemen yang terkait dengan perpindahan titik kumpu l . Soal 10

Soal 9

3 m

I

J

Pertanyaan : a. Berapa deraj at kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada s istem. b. H itung s i fat - s i fat penampang elemen : A, I" J, dan G. c. Tetapkan matrik kekakuan e lemen [S lm· d. Tetapkan matrik kekakuan e l emen terhadap koordinat struktur [ k l m · e . Rakit matrik kekakuan struktur [ K ] 5; Tentukan vektor beban { P } , f. H itung [K]5 { X } s = ( P } s untuk mendapatkan defonnasi { X } s. g. Turunkan persamaan gaya normal set iap elemen, dan gambar d i agram gaya dalam. D i mensi elemen s i stem grid profil 2 [ ] 2 5 0 * 1 20*3 .2 . Modulus Elastisitas Bahan Es = 200 ,000 M Pa,

u

=0 . 3 0 . Selain dari berat sendiri elemen, bekerj a variasi beban luar scperti tergambar.

252 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

5

Ran g ka Ruang

Transformasi Koordi nat Ruang Vektor yang menyatakan gaya, perp i ndahan, dan unsur e l emen pada si stem struktur ruang dapat mempunyai orientasi semharang d idalam ruang. Setiap vektor dalam ruang dapat d inyatakan dengan komponen ortogonal dalam s istem koordinat Kartesian ruang. Walaupun pem i l i h an sumbu dapat sembarang, tetap i pada ana l is i s s i stem struktur terd
z

z,

X

Gambar 5.1 Dua sistem koordinat orthogonal ruang

0 I 0 x,

Y , y, Gambar 5.2a Rotasi

81

dan reposisi vektor

( 5 - l a)

[Px.Pv. Pz] Rangka Ruang

253

z, z,

b. Rotasi 8 2 terhadap sumbu z 1 • S u mbu z 1 merupakan SUI11bU baru akibat rotasi 8 1 · K oord in at [ Xm,y2 ,z2 ] menyatakan posisi baru . Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

Y .y, y,

z,

X m . Sumbu z 1

c . Rotasi 8 3 terhadap sumbu

meru pakan SUI11bU barU akibat rotasi 8 1 · Koord inat [xm ,y2 ,z2 ] menyatakan pos i s i baru. Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

y,

H u bungan komponen vektor

l

Gambar 5.2c Rotasi

OJl

Ym

82

dan reposisi vektor [Pxm. P2,P,,]

l P,m P,m P,m J terhadap lPx Py Pz f melal u i proses i n i menj adi 0

s i n 8, cos 8 3

254

J

cos 82

sin 82

- s i n 82

cos 8 2

0

0

cos 8 1

0

sin 8 1

0

0

I

0

I

- si n 8 1

0

cos 8 1

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

J

1� Px Py Pz

atau

(5 - 2)

Hat serupa bagi perpindahan :

H r � ym � Zill ..

r

l'

T

}

0 os e, sin 8 2 O os 9, 0 si" 9 0 l x X y atau 0 I 0 cos 80 sin 8 J - sin 8 2 cos 8 2 - si 1 81 0 cos 8 1 x 7 0 0 - sin 8J cos 8 J o

� �

(5 - 3 )

y

X

G a m ba r 5 . 3

Komponen perpindahan ruang

Transfonnasi pada ruang digunakan untuk menetapkan hubungan unsur elemen struktur [ ] ruang antara sistem sumbu lokal dengan sistem sumbu struktur (global). Dalam ana lisis si stem struktur rangka dan p011al ruang, matrik transformasi ruang T J merupakan bagian dari proses transformasi gaya dan perpindahan dari satu sistem koordinat orthogonal lokal (sumbu e lemen) kepada sistem koordinat orthogonal global (struktur). Dengan hukum transformasi koordinat ini, kekakuan elemen, beban l uar. dan gaya-gaya dalam unsur-unsur elemen struktur d irakit menj adi unsur matrik kekakuan struktur, beban ekivalen dan gaya­ gaya ujung elemen. Persamaan dua rotasi 8 1 dan 8 2 dinyatakan dari posisi elemcn seperti pada Gambar 5 .4 . Dengan koordinat [ X,Y,Z] sebagai koordinat global (struktur) yang pusat sumbunya sama dengan pusat sumbu koordinat lokal, maka komponen panjang elemen dapat dinyatakan sebagai [X"'' Ym, Zm] . Koordinat ini berupa koordinat titik 8, dan A 8 1 = X",; 828 = Y m ; dan 8 1 82 = Zm . Rangka Ruang

255

y y

s/

X

X

z

Gambar 5.4

Dengan demik ian :

AB2 = Jx�, I

=

+

Z�, , dan bentang e lernen I d inyatakan dari

, �'' . + Y,�,' + Z

'\jI X �',

[ T}; dinyatakan scbagai

Rotasi 0 1 dan 0 2 da lam matrik 8 , 13 _,

=

sin e,

A B,

E lemen pada koordinat ruang

=

z l ll

� X � , + z �,

: ( 5 - 4a )

( 5 - 4h) dan sin 0 -,

=

BB, r

cos 8' = --

AB, r

c

=

=

y

"'

---;=

'

_

,

�X�, + Z�, +

83

( 5 - 4d )

�=""==""== - '

, 'JI X �,

+ Y,�,

Z�,

Persamaan ( 5 - 4 ) i n i mcru pakan pcrsamaan kom ponen bentang I elcmen. Rotasi

( 5 - --1-c )

� X �, + Y,�, + Z�, ,

U lllll lll

b i la jarak [X l ll• Ylll, zll , ] merupakan

mcnyatakan oricntasi dari pcnampang e lemcn, y a itu posisi pcnampang tcrhadap

sumbu utama. Rotas i i n i bukan merupakan fungsi bcntang. melainkan pcrputaran pcnampang terhadap vcktor normal penampang.

S .i ll ()

256

·'

=

�

z I'

,

,

p

+ z-p

y-

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

(5 - 5 )

y

Ym

Bagi penampang bulat_ rotasi 9, tidak dapat d ide-finisikan, akan tetapi i11engingat geometri penampang bulat mempunya i oroientasi sa m a setiap arah, 0, dapat dihilangkan. Hal khusus untuk elemen vertikal, perubahan posisi dapat dilakukan dengan dua cara. Pada Gambar 5 .6a elemen yang direbahkan dalam bidang [X,Z] dirubah posisinya menjadi elemen vertikal dengan pertama kali mela­ kukan rotasi e 2 90°, yang ke m u d i an rotas i e, . Rotasi 8 1 0 tidak d iperlukan, sebab penampang =

=

sudah bcrorientasi pada sumbu norm a l lokal.

Gambar 5.5.

Xm

y

y_,

X

/

Rotasi pcrtama

Rotasi terhadap sumbu

8 2 • kemudian 83 : 8 1 0 =

Gambar 5.6

Z

b. Rotasi pcrtama

8 2 • kemudian 83 : 8 1 0 =

Rotasi elemen ke posisi vertikal

Prosedur alternatif seperti pada Gambar 5 .6b, menyatakan posisi akhir vertikal elemen dari posisi rebah di lakukan dengan memutar elcmen pada [X,Z] dengan rotasi 91 , kemud ian ditegakkan dengan rotasi 8 2 90 ° ; sedangkan e, 0. Dapat disimpulkan untuk merubah posisi elemen ke posisi ver1ikal, dua prosedur rotasi yang berbeda, menghasil kan kedudukan akhir yang sama. Menyelesaikan matrik transfomasi =

=

Rangka Ruang

257

J

l

o cos e, sin 8 2 cos e ) sin e, - sin 82 cos 8 2 - sin e ) cos e, 0 o 0

(5 - 6)

bagi elemen rangka ruang rotasi 81 = 0, mengingat orientasi sumbu utama penampang dalam bidang normal terhadap sumbu aksial elemen.

l �l� I � l 0

[T , ] ]

[T 1

0

=

cos8, sin 82 . - si 82 cos82

�

0

iO l 0 .

I

cosO

0

- si n 8 1

0

0

cos O, cosO, sin 82 s;o O, cos O, - cos81 sin 82 cose2 - sin el sin e2 cos el - sin 81 0

j

I

- S�J9 , cosel

j

(5 - 7a)

Bagi elemen tegak, hanya terdapat rotasi 82 , dan 81 = 0 sehingga, sin e2 cos e2

(5 - 7b)

0

5.1 Sistem Stru ktu r

Sistem struktur portal rangka mempunyai konfigurasi susunan elemen batang dalam ruang; dengan sambungan atau titik pertemuan uj ung berperilaku sendi. Setiap batang berputar kaku dan berpindah akibat tiga pcrpindahan orthogonal .di kedua uj ung. Sebagaimana rangka portal, rangka ruang yang sitat sambungannya sendi hanya dapat menyalurkan gaya aksial. Dengan dem ikian, deformasi aksial perpendekun utau perpunjungun - merupakan satu satunya defonnasi yang te�jadi pada elemen. Translasi titik kumpu l yang terjadi akibat deformasi aksia1 j uga merupakan satu­ satunya derajat kebebasan elemn. Perputaran uj ung batang relatif terhadap titik kumpul 258

l'•

____.+

� ··i'· I·

p

I' t

---. +< �r---:�' ' , { ···.,)_ �_:_·/ 7�:

____.,_1·

I

I,

-

.. ...

·

,

....

.. .

I

j _.-·- "'· I '• , / ._ . ..._ � ·::.. .-..:.:..,.,::;:.... I ! '·""�·-···'"' r >'· ' ": .w . ..• : -·-- · -· IF ·.;;J. � ·- !'; , • I l · ..· ' • _. : -:· · . ' - - · �. .. ·� J\ . 7ffi• .

�.IF

.. ·

.

..

..

..

-

'

Gambar 5. 1 . 1 S i stcm utuh struktur rangka

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

bukan besaran 'independent ' , sebab besar-an dan arahnya ditetapkan dari trans-lasi. Mengingat perputaran ujung batang perputaran 'kaku ' relatif terhadap titik kumpul tidak mempengaruhi gaya dalam, maka tidak perlu parameter ini di perhitungkan. 5.2 Beba n Luar

Sama seperti pada sistem struktur rangka bidang, beban l uar se/alu dikonversikan menjadi beban ekiva len terpusat yang bekerja di titik - titik kumpul . Berat sendiri elemen yang bekerja merata sepanjang bentang (gambar 5 .7a) diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung di titik-titik kumpul (gambar 5 .7b). Dengan melakukan konversi beban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pemeriksaan kekuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.

a . Beban bentang G a m ba r 5.2. 1

b. Beban terpusat ekivalen

Pembebanan struktur rangka

5.3 Derajat Kebebasan Struktur

Derajat kebebasan sistim struktur rangka ruang ditandai dengan juml ah derajat kebebasan titik kumpul bebas. Mengingat sifat sambungan berupa sendi disetiap titik kumpul tanpa adanya kekangan, maka rotasi titik tidak memberikan pengaruh terhadap tanggap elemen (tidak menimbulkan gaya dalam). Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan derajat kebebasan. Gerakan translasi ini umumnya diuraikan dalam komponen koordinat utama. Dengan sifat tumpuan sendi atau rol pada sistem struktur, jum lah total derajat kebebasan rangka bidang dapat ditetapkan dari : N X = 3 * JTK - 3 *N S - 2NR1 - N R2 (5 8) di mana : N X = jumlah derajat kebebasan struktur JTK jumlah total titik kumpu l, termasuk yang menj ad i perletakan NS jum lah total perletakan sendi N R 1 jumlah total perletakan rol tipe I N R2 jumlah total perletakan rol tipe 2. -

=

=

=

=

Rangka Ruang

259

Gambar 5.3.1 Derajat kebebasan struktur

Kl l

K12

Ku

K1

K2 J

K 2·12

4

K3

K 2-12

Kn

Kn

K2

K 31

K ]2

K � :;

K,

K 2 J

K

K 1 2 1 K 122

J3

K 123

K

K 1-12

J

4

K 21

K ll

KI

4

J

J4

Kl2

4

K

JJ

KI2 J

Pacla contoh rangka biclang seperti gambar 5 .8. terclapat 1 9 elemen, 1 1 titik kumpu l dengan clua titik kumpul sebagai perletakan sencli. Dengan aclanya clua komponen translasi di setiap titik kumpul bebas. maka clerajat kebcbasan struktur ( DOF) : DOF = (3 *8) - (3*4) = 24 - 1 2 = 1 2. Derajat kebebasan struktur 1 11 1 cligambarkan berpasangan clengan gaya ekivalen titik kumpul sebagai vektor arah positif [X,. P,] . Yang harus cliselesaikan pacla analisis struktur metocle matrik kekakuan adalah menclapatkan perpinclahan translasi clari pcrsamaan l inear simultan clari hubungan gaya ekivalen {P} s clengan {X}s : (5 9a) [K]s{X}s = {P} s �

XI

x2

X3 X4

p.), p4

(5 9b) �

p. J

K -12 J

K l 2 -1 2

PI

1' 2

xl2

rl 2

Matrik [K]s menyatakan gabungan unsur kekakuan elemen yang membentuk sistem struktur. Disebut matrik kekakuan struktur. Vektor {X} s menyatakan clerajat kebebasan sistem struktur yang berpasangan clengan vektor gaya ekivalen {P}s. Pacla sistem struktur rangka seperti gambar 5 .3 . 1 , persamaan (5 9a) clalam tampi lan penuh seperti ( 5 9b ). �

�

5.4 Matri k Keka kuan Elemen [S]M

Dengan menetapkan incleks clerajat kebebasan elemen pacla ruang clan menambah vektor gaya serta perpinclahan arah komponen koorclinat y clan z (gambar 5 .3 .2b), hubungan gaya dan pcrpinclahan clinyatakan sebagai pacla persamaan (5- I 0). Gaya gaya ujung F2, F1, F5, dan F6 aclalah fiktif. N i lai gaya ini selalu 0, walaupun terclapat enam trans'asi ujung batang. Bentuk persamaan [S]111 clalam persamaan (5 I 0) untuk me­ fasilitasi proses tranformasi koorclinat lokal ke koorclinat struktur, cl isamping memastikan ni lai fiktif F2, F3, F5• dan F6 berni lai 0. �

260 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

y

y

z

z

Gambar 5.3.2a Gaya aksial elemen

X

0 f 0 0 0 0 EA 0 e 0 0 0 0

5.5

0 0 0 0 0 0

EA e

0 0 EA e

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

�I �2 �3 �4 �5 �6

Gambar 5.3.2b Gaya uj u ng elemen batang

pada sistem koordinat lokal/elemen

batang pada sistem koordinat lokal/elemen

EA

X

Fl F2 F3 atau [sL, { L, = {F L, � F Fs F6 4

(5 - 1 0)

Koordinat Lokal Dan Koordi nat Struktu r

Perakitan matrik [K] dari matrik elemen [ Sl m memerlukan proses transformasi koordinat. Mengambi l contoh rangka ruang pada gambar 5 .5 . 1 , maka untuk perakitan unsur [K] di titik kumpul 6, sistem koordinat e lemen batang 3, 4, 6. 1 3, 1 4 dan 1 8 yang menyatakan hubungan [S] { M = { F } harus d itransformasikan kedalam sistem koordinat struktur/global. Gambar 5 . 5 .2 menunjukkan sistem koordinat elemen terhadap sistem koordinat struktur/global bagi elemen yang bertemu di titik kumpul 6. Derajat kebebasan struktur pada titik kumpul 6 dinyatakan dengan X l o, X I I dan x l 2 yang berpasangan dengan gaya ekivalen P 1 0, P 1 1 dan P 1 2 . Hubungan antara vektor perpindahan dan gaya ini dinyatakan dengan perakitan unsur kekakuan e lemen yang membentuk titik kumpul 8.

z

Gambar 5.5.1 Penomoran elemen & titik kumpul

Rangka Ruang

261

J ika ditinjau secara umum posisi elemen dengan berturut-turut berotasi 8 1 , 82, dan 8, , maka terhadap koordinat struktur/global (gambar 5 . 5 .2a), maka merubah derajat kebebasan elemen L L X, L'll L'l2 L'l] L'l4 L'l, ll6J berorientasi koordinat struktur menj ad i X I X , X]

[

{llt, = [:],

(gambar 5.5.2b) adalah : L H ubungan vektor F1

[ [T0l ]{r}

{F}m = [T ], O

....

..,

...

. ··

y

··

\. :

.•• •••••·• B2

·-i_

... ..X. .. ....

......: ::::--� · :.. ...

· z:: · "

z

X

.... . .. .., . . ..

.

. ..

· . ··

···

· ···

. ..

\...

. � . · ·· ... · · · · B2 1

,.··

Zm'

· · ·· · · · ·

Gambar 5 . 5 . 2 . b Gaya ujung elemen koordinat struktur

cos 8 1 cos 82 sin 82 sin 81 cos 8, (5 - 1 2) - cos 8 1 sin 82 cos 82 - sin 8 1 sin 82 I cos 81 - sin 81 Pada titik kumpul yang dibentuk o leh elemen 2, 4, 6, 1 3, 1 4, dan 1 8 sepetti pada gambar 5 .5 .3 , akan diperoleh enam pasang hubungan deformasi dan gaya ujung dalam sistem koordinat elemen dengan sistem koord in at struktur, yaitu :

0

xm----1 •

y

I

I

z

•

(5 - 1 1 b)

Gambar 5 . 5.2.a Gaya ujung dan rotasi e , , o, posisi elemen terhadap koordinat struktur

=

T

p6 J

(5 - l l a)

m

z

l [T],

[;1Jx },

y �

y

z

x. xJT

/ ,I

Gambar 5.5.3

@

.x

[[T0]1 [Tl1 l { } {F } = [ [T ), 0 l { } m 0 [T l

{L\} =

'

I

Ill

@ .2 I

X

m

Posisi koordinat elemen dan struktur di tit1k kumpul 6

dan

0

Ill

m

X

p

Ill

m

m = 2, 4, 6, 1 3, 1 4 dan 1 8.

262 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

(5 - 1 3a)

(5 - 1 3 b)

Pe1j u m lahan deformasi dan gaya-gaya uj ung e l emen d i titik 6 d i da lam sistem koord i nat struktur haruslah memenuhi syarat kom pat i b i l itas dengan pasangan deformasi dan gaya ekivalen titik kumpu l yang sesuai dengan deraj at kebebasan struktut di titik 6 . Mengisi kan ketentuan kedua persamaan ( 5 - 1 1 ) kedalam persamaan ( 5 - I 0)

G) G G) 8 G 0

0 0(] EA

0 0 0 0 0 0

0 e 0 0 0 0 EA 0 e 0 0 0 0

:

G CV 0 EA

0 0 0 0 0 0

- -

fJ

0 0 EA

-

e

0 0

0 0 0 [ 1 0 [T l 0 0 0

[:

l m {X }m

_ -

[

� l {r L,

[T ) , 0 [ l

( 5 - 1 4a)

atau

[sL [TL {xL = [TL {rL ha

I

mana

['r)

"'

=

[

( 5 - 1 4b)

;l

[T ] , 0 t l

Men gal i kan persamaan ( 5 - 1 4b) dengan matrik invers

(5 - 1 5)

[T ],1 :

[T t,1 [sL [T L {X } [TLl [T L { p L [T t,1 [sL [T L {X} = { p L =

Karena matrik transfonnasi di buktikan matrik invers .

se I1 mgga Perkal ian

(5 - 1 6)

[TL

terkait dengan si stem koord inat orthogonal, dapat

[T t1 j uga merupakan

matrik transpose

[T ]�, :

[TLI [sL [TL, {x L = [Ttl [sL [TL {x L [T ],� [s ]Jr L {x L {r L =

[T ].:Js] J r L adalah ,

( 5 - 1 7)

matrik n * n, hak mana n merupakan derajat kebebasan elemen

yang d itinjau terhadap si stem koord inat globa l/struktur rangka. D i sebut matrik kekakuan e lemen terhadap s i stem sumbu struktur.

[T J,:, [s L [Tln = [k L ,

Rangka Ruang

263

[I]

m

s_,,::

cos 8 1 sa 0 2 cos 92 �

82

- cos 0 1 stn 9 2 cos 0 2

tl[ COS L.. 9 2 cos 0 1 S i n e 2 co

[k lrn

--=-

EA "' I

cos 0 1 sn1 82 cos� 0 2 2 2 - cos

01 cos

- cos e 1 s m o2 cos e 2 COS 8 [ S i ll 82

02

Tabel 5 . 5 . 1

111�02 s1n e1 sm n2 c o s e 2 0

- S I !l - 8 2 - Slll 9 [ Sill 02 cos 8 2

rn

sm 01

0

�1n

[I]

0

82

COS 0 1 Slll 0 2

e 2 cos 02 0

s 1 n � e 1 c o s .. o

�

\

- s m 8 1 cos 0 1 cos - e 2 s m O s 1 n 02 cos 82 � Sill- 8 [

02

- cos B 1 sn1 0 2 cos H 2

- cos 0 1 S 1 n 02 costl2 - Si n {

cos 0 1

[]]

[]]

0

cos� EI 1 cos- o2

02

0

�os._ 8 2

- sm 0 1 S l n 82 cos H 2 cos 0 1 s m 8 2 cos 0 2

cos- o l cos- 8 2

02

cos 0 1 S i n 0 2 cos H 2

Sill 0 1 S i Jl ()I COS 02

sm 8 1 cos 0 1 cos e 2

0

- cos 0 1 su1 02 cos"' 0 2 S i l l 0 :. 1 11 82 COS 0 2 � Sill .. fl[

02

s m e 1 cos 0 1 cos H 2 Sill 8 [ S i l l 0 [ eo:, 8 2 2 cos

e1

02

Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

5.6 Matri k Kekakuan Struktur [K]s

Perkal ian matrik [T J,:, [s}TL merupakan transformasi matrik kekakuan e l emen [S]m menjadi matri k kekakuan e lemen pada s i stem koord i nat struktur. D inamakan has i l perkal ian sebagai

matrik kekakuan elemen [k ]m = [T J:Js}T], . Hasil perk a! ian unsur ketiga matrik merupakan unsur matrik [k] 111 , seperti d ij e l askan pada tabel 5 . 5 . 1 . l ndeks dalam kotak persegi I , 2, 3 , 4, menyatakan besaran arah positi p gaya dan perpindahan kedua uj ung e l emen dalam s i stem koord inat struktur/globa l . M atrik kekakuan e l emen [k] m menj adi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [ K ] . Meninj au penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpu l 6 pada contoh, maka prosedu r menggabungkan i ndeks unsur kekakuan e lemen [k] m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. U ntuk e l emen 2, 4, 6, 1 3 , 1 4, dan 1 8 dengan i ndeks derajat kebebasan 1 , 2, dan 3 e l emen sama dengan indeks derajat kebebasan struktur I 0, 1 1 dan 1 2 . Persamaan (5 - 1 8) menj e l askan posisi indeks e lemen dengan indeks struktur d i titik kumpu l . Xm Xm..._ _ / Xm__. - - -1

\

5

y •

z a.

berajat kebebasan struktur

G a m ba r 5 . 6 . 1

/ ..

/

3

--. X

Xm /�

12

' xm

b. Derajat kebebasan struktur di titik kumpul 6

Perpindahan dan gaya ekivalen elemen terhadap sistem koordinat struktur/global

264 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

[k h

=

[ k ]1 3

[]

/;1. [1] b [2] &0 &0 &ITJ &[6]

=

k Ig =

/;1. QJ 80 &0 80 &ITJ &[6] & [i] 8� &0 &0 &ITJ &[6]

/;1. 8 11. & & & 0 0 0 @] [6] [i] k

k

l l

k

k

21

k

k

31

k

k

k

61

k

32

k

42

ks

i

k

22

k

41

ks

k

l2

k

2

k

62

k

l3

k

23

k

43

k

53

25

64

45

k

26 36

k

(5 - ! Sa)

46

kss

ks

k

k

65

+-- indeks derajat kebebasan elemen

l6

k

35

k

44 54

k

63

k

34

k

l5

k

24

k

33

k

l4

+-- indeks derajat kebebasan struktur

6

66

&, & 8 8 8 & [6] 0 0 0 @] [i] k

k

k

l l

k

21

k k

k

k

41

ks

22

k3

31

k

61

2

42

ks

1

k

l2

2

62

k k k

l3

23 33 43

ks k

3

63

k

k

l4

k k

24 34

k

44

ks k

4

64

l5

k k

25 35

k

45

k

k k

26

36

k

k

21

k3 k

1

41

ks k

k

l l

i

61

l2

k k k

22 32 42

ks k

2

62

k k

k k

l3

23 33 43

ks k

3

63

k

l4

k

k

k k

24 34

k

44

ks k

4

64

k

l5

k

6

66

k

k

k3

k k k

35 45 55 65

+-- indeks derajat kebebasan struktu r +-- indeks deraJat kebebasan elemen

l6

k,�)

(5 - ! Sb)

46

ks

& 8 11. 8 & b. [i] 0 0 0 @] [6] k

struktur

+-- indeks derajat kebebasan elemen

l6

kss 65

+-- indeks derajat kebebasan

k

26

( 5 - ! Se)

46

ks k

6

6

66

Rangka Ruang

265

[k ] , 4

[]

k 6

[]

k 4

=

=

=

& [i] b0 i1. 12l 8 [4_l &[}] &@] & [i] 80 i1. 12l &� &[}] &@] & [iJ 80 & &� &[}] &@l

& L21 i1. b. & 8 [iJ 0 12] � [}] @] k

k k k

l l

31

l2

k

21

k

22 32

k

41

ks k

k

42

ks

i

k

61

2

62

k

k k k

l3

23 33 43

k5

3

"63

k

l4

k k

k4

k

k

k

k

�)

35

k

26

36

k

45

ks

k

k

65

6

66

& 8 i1. & & & [i]

k

k k

l l

21 31

k

41

ks k

�

12]

k

k

k

i

61

l2 22

k3 k

2

42

ks

2

"62

k

k

l3

23 33

k

43

"s "-

3

63

�

k

l4

k

24

[}]

@]

k

k

k

l5 25

k34

k

k

k

44

35 45

k

k

36

k

k

k

k6

56 6

& 8 & & & & [1] k

k k k

l l

21 31 41

ks k

6

i

l

0

12]

k

k

k

k

l2 22 32

k4 ks k

2

2

62

k

k k k k

l3

23 33 43 53 63

[lJ

[}]

@]

k

k

k

k

k

l4 24

34

k

44

k

k

l5 25

35

k

45

k

k

36

k

( 5 - 1 8 f)

46

ks

k

k

k

6

66

Unsur K,1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 6 adalah : c 11 1 1 - k K 1010 k c= 2 + k 21 3c + k c1 Kc + k c1 42 + k 2c' 2 + k c" 2 1 1 + k 1 1 + k 1 s1 + k 1 41 + k "1 1 + k 41 1 ' K 1 1 1 1 K l2 1 c = k , + k + k � + k �� + k , + k �, K 1 o 1 1 = K 1 1 1 o ; K I O i c K 1 2 1 o ; K l l 1 2 = K l 2 1 1

( (;

�:

�

�

}. }

(

strukt u r

+-- indeks deraja\ kebebasan elemen

26

kss 65

+-- indeks deraJat kebebasan

l6

k s4 64

( 5 - ! Se)

46

k

65

struktur

+-- indeks derajat kebebasan elemen

26

k--

64

+-- indeks derajat kebebasan

l6

" s4

))

( 5 - 1 8d)

46

kss

64

struktur

+-- indeks derajat kebebasan elemen

l6

k

4

54

l5

kr

24 34

k

k

+-- indeks deraJat kebebasan

��

)·

,

N i lai 1 11 1 merupakan unsur dari matri k struktur [ K], yang mengam b i l bentuk seperti persamaan ( 5 - 9b) :

266 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

&&&&

& &. &.

K11 -

K12

K13

K14

.Kij.

K2 1

K22

K2 3

K24

.K2j.

K3 1

K32

K33

K3 4

. K3 . . .I

( 5 -19) x. .I

p. .I

Seperti dengan penyelesaian persamaan [KJ5{X}s {P}s untuk matrik {X}s pada portal, penyelesaian persamaan linear simultan [KJ5{X}s {P}s rangka dapat menggunakan metode dekomposisi LU atau Cholesky menyelesaikan menyelesaikan parameter deformasi {X}5. =

5.7 Gaya-Gaya Dalam Elemen

Ha si1 solusi {X} s digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung elemen dan reaksi perletakan. Unsur matrik [X} merupakan data bagi perhitungan. Apabila ditinjau elemen 13 pada gambar 5 .6.2, maka kedua unjung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah: Lx"l xc2 X", RI R2 RJT LxsiO XSI I xsl2 RI R2 R, J. RI R2 R, adalah kondisi perletakan. =

1>/� ' X,=X" R2 ..

R3

.

•

R

,

:1\

e

\j

•·.

••

·.,

e

_

•

s

'•,,

X X' � , \ /1(( : = �X t '-jX �

e

x�

\.,(f)

s

i

. . "' :: :

: ::

•• •• ••••• ••• •

I -

.... ..

.

.. .

5

•.

..

········ ·

••••• ••••• • •• •

(--3�'\

�

•

...

..

..

\ .;

...

-- --

... (1, /)

.•

••••

..

6

: )

••'(0 __

.

. .. s

x,

14\ :� )

z

Gambar 5.6.2

Korelasi vektor perpindahan elemen

13

dengan derajat kebebasan struktur

Rangka Ruang

267

Fl EA F�FF-J EA F6

0 0 0 0 0 0

(

0 0

Dengan hubungan

dan

)

0 0

(�

X � = X�0 11 1 x " = X II 11 2 - s 114113 = [[:]3 [�dl 3 xcR 3I = 0x 1 2 R2 = 0 116 R, = 0

0 0 0 0 0 0

j' '

L'- s

EA , 118o ( EA 11-113 rA: 0 0 {

{

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( 5 - 20 )

(5 - 2 1 )

0

FF"l EA FF3 EA Fs EA For, EA Fr�F:-

EA EA

maka besarnya gaya aksial clemen adalah : {

0 0

.J

0 0

F6

f

0 0 0. 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Elemen 1 8 :

(

0 0

F,

X

0 0

c

t

0 0

e

c

0 0

EA EA 0 0

r

(

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x cI = XIs() x e2 = XII x c3 x sl " [ [ :] [�d l 3 R I = 0 R2 = 0 R3 = 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

xeI - x s1 0 x 2 = X II [LT}, [IolJ x xex c -- xxs1s2 X ': = X � = xs

S

=

c

s

3 �

�

)

xe

6

( 5 - 22)

-

�

.)

(J

_f ,>1 �, � ;' �:· /

268 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

(5 - 23 )

E lemen 1 4 : fI

EA

F2 F, F4 F5 F(J 1 -l

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

t

0

f

0

Hal scrupa, elemen 4 : EA

[ F, F,

l�:

F, F6

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

f

(

EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

{

0 4

EA

f

0

e

(

[[:1

x eI

[;lt

[[ :], [;l, l

x e2

x s1 0

= xll S

x .1e - x s1 2

( 5 - 24)

x e-t x s7 x "5 - x �X e

x (,

= x Sq 1 4

X I = XS x e2 - x s1 1 x e' - x s1 2 R4 = 0 R5 0 R6 = 0 e

10

(5 - 2 5 )

=

-l

5.8 Contoh Analisis Rangka Ruang

Contoh anal is is struktur rangka ruang berupa menara tcrgambar. Ditetapkan data elemen struktur scbagai berikut : Pro fi l baja yang digunakan profi l rangkap L 5 0 . 5 0 . 5 . untuk batang horizontal dan vertikal, tunggal L 5 0 . 5 0 . 5 untuk batang diagonal. Tebal pclat beton 2 0 0 mm. Modulus elastisitas baja Es = 2 . 1 * I 0(' kg/cm 2 . Di lakukan pcrhitungan untuk hal-hal sebagai berikut : I . Penentuan l uas penampang profi l dan ben­ tang elemen. 2 . Penentuan den1_jat kebebasan struktur. 3 . Merakit matriks kekakuan (S)m setiap ele­ men tcrhadap sumbu lokal/elemen. Gambar 5.8.1

Struktur rangka ruang

Rangka Ruang

269

Xw,P ·,,

x,.,p.,

4.

M erakit matriks kekakuan [k]111 setiap e lemen terhadap sumbu global

5.

Meraki t matriks kekakuan struktur kesel u ru han [K]s dari matrik kekakuan e l emen

x,,p,

6.

[k ]m

.

Merakit vektor be ban luar struktur t P ls dan beban-beban titik kumpul struktur.

7.

y

z)_x

Gambar 5.8.2

Meyel esaikan persamaan matriks [ K]s* � X � = { P } , untuk mendapatkan perpindahan titik-titik kumpu l .

8.

2

Menggambarkan garis elasti s struktur (perp i ndahan titik-tit i k kump u l terhadap po-

sisi sem u l a). 9. M emeriksa lendutan yang terjadi terhadap syarat maks i m u m peraturan yaitu lendutan izin = bentang/3 60. 8. M enyel esaikan besarnya gaya-gaya dalam setiap e l emen. Derajat kebebasan struktur

9. M emeriksa tegangan yang bekerj a pad a penampang e l emen ( O'k eqa) . seti ap elemen terhadap 2 = syarat tegangan izin 0'111ax 1 400 kg/cm .

y

y

z

270

G a m ba r 5.8.3

. . . . . . .. . . . ...

:

.

.......

....... ···

·

£:

. Putaran su®) transformasi ruang .

Amrinsyah Nasution , Metode Mc;trik Kekakuan Ana/isis Struktur

X

Xm Gam bar 5.8.4

Template

Enam derajat kebebasan batang rangka ruang

perangkat l unak MATHLAB digunakan untuk analisis.

Parameter Bata n g Bata n g 1 : E

:

=

200000 M Pa, 83 1

L I :=

�(

)

:

=

-

45°

2 2 I Oo0 + I OO ct + 3500

tw I := 5 tfl := 5 h I := 50 b I

:=

A I := 2 [ ( tw l · h l )

3 L l = 3 .775 x 1 0

50 +

[ ( b l - tw l ) · tfl ] ] ;

A I = 950

Matriks kekakuan lokal : EA! Ll (I

S I :=

()

-( E A ! ) Ll

()

()

ll

(I

() (I

() (I

() ll

() (I () ()

-( L A ! ) Ll

() 0

EA! Ll

() ()

(I ()

() ()

() () () (l

08

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0

4 5.03 3 x 1 0

() 0 () ()

0

SI =

0

0 0 -5.033 X

4 -5.033 X 1 0 0 0

CD®

4 10 0 0

0

4 5 .03 3 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0/

Ylatriks transformasi [Th T I : =

Rangka Ruang 271

T8 1 := Tc i · Tb i · Ta l Tc l

()

:=

()

()

8b l := -atan ()

0.265 -0 . 927 -0 . 265 0.656 0.375 -0.656 0 . 707 0 . 707 0

Tl =

Tb l

cos (oc 1 ) sin(Oc l ) --sin ( flc l ) cos ( Oc I )

()

()

()

()

0 0

0 0

0

(

)

8c l := Odeg

cos (8b l ) sin(Ob l ) - sin(Ob 1 ) cos (8b 1 )

:=

()

()

()

()

cos (Oa l ) 0 sin(Oa l )

Kl := T l1 · S l · T I

m

:

[k]1

=

8a I := -45deg

K1

0

�

0

3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 - 3 532x 1 03 -3 532x 1 03 I 236x 1 04 4 .j .J - 1 .236 x l (l 4 327x I O I 236 x 1 04 1 . 236x 1 0 -.J .327x 1 04 4 -J 532 1 03 1 .236x 1 04 J )32 I 03 3 S32 x 103 - 1 .236x 1 0 3 -3 5)2 1 03 I 236x IO.J ) 532 1 03 3 . 532 x I 0 - 1 .236 x 1 04 4 -4.327x I O.J - 1 .236 x 1 04 - I 236x 104 4 327x I O.J I 236x 1 0 X

X

X

X

3.532x I 03 - I 236x 1 04 -3.532x 1 03 -3.532x

10]

1 .236x 104

3.532x i (? -l -1 .236x 1 0 -3.532 x i t? -3 532

J

L2 := booJ + 1 ooJ) + 3soo2 h2

A2

272

:= :=

50 b2

( tw2 · h2)

:=

+

X

I

1 .236x 1 04 3 532 1 0]

Bata n g 2

tw2 := 5 tf2 := 5

0

-sin (Oa l ) 0 cos (Oa l )

0 0 0 0 0 0 () 0 . 265 -0 . 927 -0 . 265 0 . 656 0 . 375 -0.656 0.707 0 . 707 0

"""""

Kl =

0

Ta l

0 0

Matriks kekakuan elemen batang 1

QJ

3 .5 �I + 1

50 [(b2 - tw2) · tf2] A2 = 475

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

X

R u m u s matriks kekakuan lokal :

F A2 L2 ()

() 0

--

S2 :=

()

-( F A2) L2 ()

()

()

() 0 ()

()

()

(

()

()

()

()

()

()

()

0

()

Tc2 :=

n+

atan

=

T2 : 8b2 := -atan

()

()

()

() ()

()

( �))

cos ( Oc2) sin(8c2) ( ) -sin(Oc2) cos (Oc2)

T82 : = Tc2 · Tb2 · Ta2

-0.704

0.67

-0.235

0.3 1 6

0

-0.949

()

=

()

()

()

() ()

0

()

()

M atriks kekakuan e l e m e n [k]2

1

K2 := T2 - S2- T2

[2]

()

0

0 0

=

-9 50-l x I 03 - 1 1 09 x 1 04 -2. 7 1 6 x I 03 -3. 1 6X x 1 03

() () ()

0

()

() ()

()

()

()

()

() ()

()

() ()

2.0 1 4 x 1 04 ()

()

0 ()

0

8c2

1

()

() ()

()

3.5

::

00

0

-2.0 1 4 x 1 04 0 0

:=

()

()

Odeg

cos ( Oa2) Ta2 : =

()

-sin(Oa2)

()

,,,. (8,2)

()

()

cos ( Oa2)

J

.

0

-0 . 636 -0 . 742 -0.2 1 2

=

-0.704 0.3 1 6

0.6 7 ()

-0.235 -0.949

K 2 terhadap sumbu sistem struktur :

0 X

1\.2

�

-2.01 4 x 1 04 0 () () 0 0

( �9 + )

0

' 9 504 x 1 03 2 7 1 6x l (f 9.504 x I (? I 1 09 x 1 04 ) 1 68 I 03 2. 7 1 6 x 1 03 3. 1 6X x I 03 905 1 67 3 3 1 4 7 x 1 0 -9 50-l x I 0 --2.7 1 6 x 1 03

� 1 4 7 x 1 03

()

cos (8b2) sin( Ob2) Tb2 := -sin( Ob2) cos (8b2) () 0

-0.636 -0 . 74 2 -0.2 1 2

T2

S2 =

() ()

l'·A2 L2

()

2.0 1 4 x 1 04 0

() ()

()

M atriks transformasi [Th O a2 :=

0

-( E A2) () () 1 .2

CD

0

0

-R. 1 4 7 x 1 03 -9.50-l x 1 03 -2 7 1 6 x 1 03 -9 50-l x I (? - I 1 09 x 1 04 -3 1 68 I (? X

-2 7 1 6 X I (? -3. 1 68 x I (? -905. 1 67 X 1 47 x 1 03 9.50-l x I (? 2 . 7 1 6 x 1 03 -3. 1 6 8 x 1 03 9 504x I 03 I 1 09x 1 04 3 . 1 68x I (? --905. 1 6 7 2 . 7 1 6 x I 03 3 1 68 x I 03 905. 1 67

Rangka Ruang 273

Bata n g 3 : L3 := L l

tw3 h3

:= :=

5

tf3 := 5

50

b3 : = 5 0

A3 := [ ( tw3 · h3 ) + [ ( b3 - tw3) · tf3] ] 2

A 3 = 950

0

M atri ks kekakuan e l e m e n :

F i\ 3 u

S3 :=

()

()

0 -( F i\ 3 ) u ()

()

()

0 () ()

0

(I ()

�·( F i\3 ) L3

0 0

0 0 E i\ 3

() 0 0 ()

()

() ()

() () 0 ()

L3

4 5 . 03 3 x 1 0

S3

0 0

()

()

=

8 b3 := -atan

8a3 := -( 90 + 45) deg

Tc3 :=

()

0

()

()

cos (oc3) sin ( Oc3) -sin ( O c3 ) cos (Oc3)

Th3

:=

274

0

0

0

0 0

0

0 0

4 5 .033 X 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

3.5 1 + 1

() -0.265 -0 927 -0.265 () () () () -0 656 () 375 -0 656 () () 0 () () -(1 707 0 707 -0 265 ·-0 927 -0 265 () 0 () -0 656 0 375 -0 656 () () () ( ) -(!707) () () ()707 ()

()

��

0 0

1

)

-sin(Oh3) cos (tlo3) 0

0J)

4 10 0

0

cos (Oh3) sin(Oo3)

T83 : = Tc3· Tb3 · Ta3

T3 =

(�

0

0 0 -5.033 X

4 -5.033 X 1 0 0 0

()

M atriks transformasi [Th = T3 :


�

(J

Oc3

J

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

:=

Odeg

cos (Oa3)

Ta3 : =

0 -sin

(Oa3)

0

sin(Oa3)

()

cos (8a3)

()

M atriks kekakuan e l e m e n [k], = K3 terhadap sumbu sistem struktur :

1 K J� : = r.) . s .)· � r.)

[2]

I

3 532x I (? 1 . 236x

.j [ (l

0

0

236x 1 04

4.327x 1 04

3 532x 1 03

1 . 236x 1 04 -3.532x I(? - \ .236x 1 04

K3 =

L4 : = tw4 h4

�(

:= :=

+ 4oo J ) +

2 1 000

-

4 327x 1 04 I

236x 1 04

lA

+ [ ( b4 - tw4) · tf4]

() 0

()

() 0

()

() ()

-( E i\4 )

() (I

lA ()

) () 0 0

-( E A 4 )

lA

()

8a4 := 0 . 5n

+

atan

L4 ()

0

X

()

0

()

0

=

S4 =

OJ

T4 : 8 b4 : = -atan

()

cos (Oc.J) sin(Oc.J) -sin(Gc4) cos (Hc4)

0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 1 .757x 1 0

0 0

4 1 .7 5 7 x 1 0

()

cos ( G b4) sin( llb.J)

Tb.J : = -sin(Ob4) cos ( Ob.J) ()

4 0 0 - 1 .757x 1 0 0 0

4 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

( �) ()

80

80

0

0

(I

0

()

( �)

Tc4· Tb4 · Ta4

()

E i\4

M atriks transformasi [T]4

0

J 532 1 c?

A4 = 475

(I 0 (l

()

(

()

Tc.J :=

1 04

b4 := 50

50

E A4

:=

i .236x

2 35oo

M atriks kekakuan e l e m e n :

184

X

tf4 : = 5

5

A4 := ( tw4· h4)

S4 :=

0

.j 3 532x l l? -3.532x 1 03 - 1 .236x I O -3 532 X I 03 1 . 236x 1 04 -- 1 . 236x 1 04 -4 327x 1 04 - I 236x 1 04 3 532x 1 03 -3.532x 1 (13 - I 236x 1 04 _l 532 1 03 ' -J 532 X 1 03 3 532x 1 03 1 . 236 x 1 04 3.532x l (f

- 1 .236x 1 04 -4. 327x 1 04 - 1 .236x 1 04 I 236x 1 04 -3. 5 3 2 x 1 03 - 1 236x 1 04 -J 532 X 1 03 3 532x I 03

Batang 4 :

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c4 : = Odeg () (I

Ta4 :=

cos (Oa.J) 0

-sin(Oa.J)

()

()

sin(Ha4) ()

cos (Oa.J)

Rangka Ruang 275

T4 =

() () -0 1 85 -0 647 0.74 0 () -0 1 57 () 762 () 628 () 0 -0.243 () 0 -0. 97 () (I 0 0 - 0 1 85 -0.647 () 74 () 0 -0 1 57 0. 762 () 628 () () () -0.97 (I 0 -0 243 ()

M atriks kekakuan elemen [k]� = K4 terhadap sumbu s istem struktur : K4 := T

l · S4· T4 QJ

600.53

1<.4 =

3 2 1 02 x 1 0 -2.402 X I 03 -600 53

0

2. 102 x I 03 3 7.356x 1 0 3 -8.407x 1 0 3 -2 1 02 x 1 0 -7.356x 1 03

0

0

-2 402 x 1 03 -600.53 3 -P 407 x 1 0 -2. 1 02 x 1 c? 3 9 :'J08 x 1 03 2.402 X 1 0 2402 x I 03 600 53

0

0

-2 . 1 02 x 1 ()3 2 402 x 1 03 -7. 356x 1 03 8 407 x 1 03 3 8 407 x I 0 -9.608x I 03 2. 1 02 x 1 03 -2.402 x 1 03

3 3 8.407x 1 03 2 1 02 x I 0 7.356x 1 0 -8.407x 1 03 -2. 1 02 x 1 03 3 8 407 x 1 03 --9 6118 x 1 03 -2 402 x 1 03 -8 407 x 1 03 9 60X x 1 03 2 41J 2 x 1 0 Bata ng 5 :

L5 := L l tw5 := 5 h5

:=

50

tf5 := 5 b5 := 50

AS := [ ( tw5 · h5 )

+

[ ( b5 - tw5 )
AS = 95�

M atriks kekakuan elemen :

:1 0 ('j

-( EA 5) E /\ 5 () () () LS L5 0 () 0 () () () I) () () S5 := () (1 1 E· A5 -( E /\ 5 ) Cl 0 L5 L5 () 0 () () 0 () 0 0 () 0 () ()

276

(:)

4 5.033 x 1 0

ss =

QR)

0

0 0 -5.033 X

�

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 5 . 03 3 x 1 0

0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

0 0

�-� -5.C3 3 x ! 0 0 0 0 ()

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

M atriks trans formasi : 8a5

( l 3 5) deg

:=

8b5 := -atan

T85 := Tc5 · Tb5 · Ta5 0

0

Tc5 :=

0

Tb5

:=

(� ) 3.5

1 + 1

cos (Ob5) sin (Ub5) -sin ( Ob5) cos ( Ob5) 0

cos (Oc5) sin(8c5) -sin ( Oc5 ) cos (tlc5)

0

0

-0.265 -0 927

0

0 I

:

8c5

Ta5 : = ()

0.265

0.375

0 656

Cl

-0 707

0

Cl

()

()

Cl

-sin

() s i n ( tla5)

()

0

Cl

()

- 0 265 -0 9 2 7

0

- 0 656

0.375

0

-0.707

()

()

()

( Ela5) (I

0

Cl

-0 656

0

Odeg

cos (Oa5)

-0 707 T5 =

:=

0

()

�

65

0 656

()

cos ( 8a5)

I

-0 707

)

M atriks kekakuan elemen [k], = K5 terhadap sumbu s istem struktur : K5

:=

T

T5 · S5- T5

QJ

0

�

[I]

0

4 1 . 236x 1 0

-3 5 3 2 X

3 10

3 �3 5 3 2 x 1 0

4 - 1 236x 1 0

3 3 532x 1 0

I (}

4 4.327x 1 0

4 - 1 236x 1 0

4 - 1 .236x 1 0

4 -4. 3 2 7 x 1 0

4 1 . 236x 1 0

J (?

4 - 1 .236x 1 0

3 3.532x 1 0

3 3.532x 1 0

4 I 236x 1 0

3 -3 5 3 2 X 1 0

3

4 - I 236x 1 0

3 3 532x I 0

3 3 532 x 1 0

4 I 236x 1 0

-3 . 5 3 2 x

4 - 1 .236x 1 0

4 --U 2 7 x 1 0

4 1 . 236x 1 0

4 327 x

3 3 532 x 111

4 I 236x 1 11

1 . 236x -3 . 5 3 2 x

K5 =

0

3 3 532x 1 0

-J

532 X 1 0

I

4 236x 1 0

-3.532x

le?

-J

3 532 X 1 0

4 10

4 - \ .236x 1 0

le?

4 - 1 .236x 1 0

J

532 X

103

Batang 6 : L6 : = L2 tw6 := 5 tf6 := 5 h6 A6 A6

:= := =

50

b6

50

( tw6- h 6 ) + [ ( b6 - tw6) · t f6]

4 75

Rangka Ruang 277

M atriks kekakuan elemen :

EA6 -( E A6) (J ( ) L.6 L6 0 () 0 0 0 0 () 0 S6 :� EA6 -( E A6) () () L6 L6 0 0 () 0 0 0 0 0

---

Tc6 :�

T86

T6

�

0

0

:=

+ atan

( �)

0

0 0 0 0 S6 =

0 0

8 b6 := -atan

cos (Oc6) sin (Oc6) -sin (Oc6) cos (Oc6)

(jfi)

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 2 .0 1 4 x 1 0

0 0

4 0 0 -2.0 1 4 x 1 0 0 0

4 -2.0 1 4 x 1 0 0 0

0 0 0 0

0

0

4 2 .0 1 4 x 1 0

M atriks transformasi : 8a6 := 0 . 5n:

@2)

0

( ) ()

(

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

3.5

-./ 1 +

1

)

8c6 := Odeg

cos (Ob6) sin(Ob6) Tb6 : = -sin( Ob6) cos (Ob6) 0

0

Tc6 · Tb6 Ta6 ·

Cl () -0. 355 -0 927 0 1 1 8 0 () -0 XX () 375 0.293 () () () -0. 3 1 6 0 -0 949 () () () 0 0 -0.355 -0 927 0 I 1 8 0 () -0.8X 0 375 0 293 0 () 0 0 -0. 3 1 6 () -0.949

cos (Oa6)

:J

Ta6 :=

-sin (Oa6)

M atriks kekakuan elemen [k ]6 = K6 terhadap sumbu si stem struktur : K6 = T6 T · S6 · T6

QJ

K6

�

84 7 l)l)X

278

0

0

0

0

0

-2 544 x 1 03 -6.63 7 x I 03 847. 998 3 1 04 -2 2 1 2 x I 03 -6.63 7 x 1 0 - J . 73 1 1 04 2 2 ! 2 x 1 03 I 73 1 -847 998 -2 2 1 2 x I 03 282.666 X.J 7. 998 2.2 1 2 x 1 03 -282.666 1 -2.544x 1 03 -6 637x l (f 847.99S 2 .54-lx 1 03 6 fJ37x 1 03 -847. 998 -6 637x 1 03 - J . 7 J I X 1 04 2.2 1 2 x I (? 6 63 7 x 1 03 I 73 1 X l(l -2 2 1 2 x 1 03 2.544 x 1 03 6 637 x 1 03

6 637 x 1 03

-847 998

X

2.2 1 2 x

X

le?

-n2.666

-8.J7 l)'J8

1 -2 2 1 2 x 1 1r

()

282.666

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

0

sin (Oa6) ()

cos (Oa6)

Batang 7 :

tt7 := 5

L7 : = L l tw7 : = 5 h7

50

:=

A7

b7

:=

50

( ( tw 7 · h 7 ) + [ ( b7 - tw7) · tt7] ] 2

:=

A7

950

=

M atriks kekakuan clcmen :

E· A7 1 .7 0 S7 :�

0

0 0

-( Fi\7 )

() () () 0

() 0

-( E i\7) 0 () l.7 () (I 0

11 ( )

11

L7

E

S7

() () () ( )

M atriks transformasi :

:= 4 5deg

8 a7

0

Tc7 : =

T8 7

0

:=

8b7

()

:=

cos (tk7) sin (Oc7) -sin(Hc7) cos (Oc7)

:=

T

i · S7· T7 [2]

K7 �

0

(

Tb7

n�

Matriks kekakuan clemen [kh K7

-atan

0

Tc7· Tb7·Ta7

G::0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 5 . 03 3 x 1 0

0 0

0 () 0 ()

0 ()

0

4 5 .033 x 1 0

0 0

i\7 l.7

@:])

0

0 ()

=

3.5

�1 +

:�

1

=

4 -5.03 3 x 1 0 0 0

)

8c7

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

:=

cos (Ob7) sin(Ob7) 0 -sin(Ob7) cos (Ob7) 0 ()

4 0 0 -5.03 3 x 1 0 0 0

0

Odeg 0

cos (Oa7) Ta7 : =

() () 0 265 -0 927 () 265 () () () 0 656 0 375 0.656 11 () () -0 707 0 0.707 () () 0 () 265 -0 927 0.265 0 () () 656 () 3 75 0 656 0 0 () -0 707 0 () 707 11 0

{)

-sin (Oa7)

0

sin(lla7) {)

cos (Ga7)

K7 terhadap sumbu s i stcm struktur :

0

4 3 5 32 x 1 03 - 1 .236x 1 0 3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 4 327x 1 04 ·- 1 236x 1 04 3 532x 1 03 - I 236x 1 04 3 . .532x J(? 4 -3.532x 1 03 I 236x 1 0 -3 532x 1 03 4 --1 327x 1 04 I 23Ax 1 04 I 236x 1 0

0

�

0

4 -3.532 x 1 03 1 .236x 1 0 -3.532x I 03 1 .236x 1 04 4 327x 1 04 1 .236 x 1 04 3 1 .236x 1 04 -3.532x 1 03 -J 53 2 I 0 3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 3 532 x 1 03 -

X

327x 1 04 - I 236x 1 04 3 1 . 236x 1 04 -3 5 3 2x 1 03 3 .532 x l (rl - 1 .236x 1 04 3. 532 x 1 03 -J 532 X 1 0 - 1 .236x 1 04

4

Rangka Ruang 279

Bata n g 8

LS : = L4 tfS

:=

A S : = ( tw8 · h 8 )

5 hS := 5 0 bS : = 5 0

+

AS = 475

[ ( b8 - tw8 ) · tf8 ]

0

M atriks kekakuan :

-( E A R ) () () 8 () () () () () () 0 () 0 () () () LAX -( F A 8 ) () 0 () 0 LX I.R () 1 1 0 () 0 () () () lJ () 0 () EAR 1. 8

sx

:=

() 0

( �)

4 1 . 75 7 x 1 0

--1.

S8 =

M atriks transformas i : 8a8

:=

T88

:=

Tc8 :=

atan

8b8 := -atan

Tc8· Tb8· TaS

()

()

0

cos ( Oc8) sin(Hc8)

0 -sin( Oc8) cos ( Oc8)

( � :·: 1 )

(f:0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 1 . 75 7 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c8 : = 0 deg

Tb8 := -si n(Ob8) cos (8b8) ()

0

0 () 0.09 1 -(1927 0.363 () () 0 225 () 375 () 899 0 () -0 97 () () 24 3 () 0 0 TX = () 0.09 1 -0 927 () 363 0 (I 0 0.225 (I 375 0 X99 () () () () -0 97 () 0.243 0

()

0

Ta8 : =

M atriks kekakuan elemen [k ]8 = KS terhadap sumbu si stem struktur : T KS := TS · SS · T8

QJ

145 02 - 1 . 4X K8 =

X

1 03

5XO 079 - 1 45.02 J .48

X

1 03

-580.079 280

0

- 1 .4X x 1 03 J.51

X

1 04

0

580 079 -5.9 1 9 x 1 03

-5. 9 1 9 x 1 03 2.32 x 1 03 1 .48 X I o3 - 1 .5 1

X

IIJ3

-580 079

48 1 03 X

- 1 . 5 1 x l 04

5 . 9 1 9 x 1 03

-580 079

5. 9 1 9 x 1 03

-2 32 x i 03

- 1 45 02 I

-2.32 x 1 03

J . 48

X

0

1 45 02

-580 079

1 04 5 9 1 9 x 1 03

5.9 1 9 x 1 03

0

0

-1

- 1 .48 x 1 c? 580 079 48 x 1 03 1 . 5 1 X 1 04 -5. 9 1 9 x 1 03

580 079

&:!)

4 0 0 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

4 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

cos ( Ob8) sin(Ob8)

0

-5 9 1 9 x 1 03 2. 32x 1 03

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

[

""

( o,s) 0 sin(Oa8) 0 0

-sin( fla8)

()

cos (Oa8)

Bata n g 9 :

L9

:=

2000 tw9 := 5 tf9 :=

A9 := j ( t11 9 · h 9 l

+

S

h9 := 50 b9 A9

[ ( b9 - tlv9l · lliJ I I 2

:=

=

50

950

Matriks kekakuan : () ()

E· i\ 9 L9 ()

S9

:=

-( E

L9 ()

0 0

()

0

-( E· f\9 )

0

0

E· i\9

()

()

0

()

()

0

0

0

(ifj)

0

00

4 0 0 9.5 X 1 0 0 0 0

-9. 5 x

4 10 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0

0

0

0

L9

0 0

0

0

0

0 0

L9 ()

0

0

() 0

;\9)

S9 =

4 10 0 0 0 0 0 0 0 0

4 10 0 0 0 0 0 0 0 0

9.5 X

-9. 5 X

()

M atriks transformasi :

Oa9 := Odeg

Tc9 :=

T09

:=

()

()

cos (Oc9)

s i n (Oc9)

0 -si n ( lk9)

cos (Oc9)

0

cos ( Ob9)

Tb9 : =

s i n ( O b9)

-si n ( O b9) cos ( Ob9) ()

0

cos (Oa9)

0

()

Ta9 :=

()

()

sin ( Oa9) 0

-si n (Oa9) () cos ( Oa9)

Tc9 · Tb9 · Ta9

Matriks kckakuan elemen [k],;

TLJ =

Oc9 : = Odeg

Ob9 := Odeg

I (I (I I ) (I l l I () 0 () 1 1 () (J I () () ( ) () I) () I ( ) ( ) () () () 0 I () 0 0 0 0 0 I

=

K9 terhadap sumbu s i stcm struktur : K9

QJ 9.5

X

0[2]

4 10 0 0

� -9. 5 X

:=

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 10 0 0

9.5 X

S9 · T9

4 10 0 0

0 0

-9. 5 X

r

��

0 K9 =

T9

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

Rangka Ruang 281

Bata n g 1 0 : L I O := 3 000 tw l 0 : = 5

tfl 0 : = 5 h I 0 : = 5 0 b I 0 : = 5 0

A I O : = [ ( tw i CJ. h i O) + [( b l 0 - tw l 0) - tfl 0] ] 2

A l 0 = 95 0

M atriks kekakuan elemen :

E· A I O

() ()

-( E· A I O)

()

0 ()

()

()

() ()

1.10

S I O :=

()

-( E· A I O) LIO ()

() ()

1. 1 0

6.333 X

0 0

()

0 ()

0 00 0

() ()

E·A I O LIO

() ()

()

() ()

SIO=

0 ()

0 0 -6.333 X

0 ()

08

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 6.33 3 x 1 0

0 0

4 -6. 3 3 3 X 1 0 0 0

() ()

()

4 10

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

Matriks transformasi : 8a I 0 := -90deg

8b l 0 := Odeg ()

0

8c l 0 := Odeg

cos {Ob i O) sin{Ob i O) 0

Tc i O := 0 cos ( Oc 1 o) sin( Oc I o) ()

Tb i O := -si n (Ob i O) cos (Ob I 0)

-si n ( Oc I 0) cos (Oc I o)

()

0

()

cos (fla i O) Ta i O :=

()

-sin(Oa i O)

(}

()

sin(Oa i O) cos (ea 1 o)

T8 1 0 := Tc i O · Tb i O · Ta i O

0 ()

1 () I () 0 () () () () 0 0

() I TIO =

() () ()

K I O := T I O

r

0 () () () () () 0 -1

() () () () ()

I

()

I

()

()

()

()

--3 X78 x KIO=

0 0 1 0- 1 2

3.X78x

11

0

() 0

282

Matriks kekakuan e l emen [k] 1 0 = K I 0 terhadap sumbu s i stem struktur :

S I O· T I O

0 1

1 0- 2 0

-3 87X x

6

11 1 0- -

0 .j 333 x I U

3.X7X x

(I

1 1 0-- 2

-fd 3 3 x

1 04

0

()

()

3 . 87 8 x

() lJ

-3 R ? X x

1 0-

12

()

0

0

l (f

12

()

0

3.X78x

()

1 0-

12

-6 3 3 3 x 1 114 -3 X 7 X x

1 0-

12

() 6 3 3 3 x 1 0-l

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

()

Batang 11 :

LI

I

hI I

:=

bI I

50

tfl I

tw I I : = 5

2000

:=

:=

:=

5

50

A l l : = [ (tw l l · h l l ) + [ ( b l l - tw l l ) · tfl l ] ] 2

A l l = 950

M atriks kekakuan : E· A I I

Ll l

() ()

()

() ()

Ll l

() ()

()

-( E· A I I )

S I I :=

-( F A l l )

Ll l

E· A I I ()

() ()

0 0

-9.5 X

4 10

0

0 0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 0

-9.5 X

0 ()

()

4 10

0

SI ! =

() ()

Ll l

() ()

()

9.5 X

0 ()

()

() ()

()

() () () ()

()

0 ()

0 00 0 08 4 10

0 0

9.5 X

4 10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M atriks trans formasi : 8a I l

:=

Je l l :=

T8 1 1

:=

8b l l := Odeg

80deg

I

0

0

()

()

cos (Oc i l) sin(Oc l l) -s i n( Oc l l) cos (Oc l l)

8c l

Th l l

:=

Tl l

r

=

()

() I

()

-I I

1

:

Ta l l :=

cos O a l l

(

)

(

)

()

-sin O a l l

()

()

sin(Oa l l) ()

cos ( Oa I I )

tcrhadap sumbu sistem struktur :

S I I·TI I

9.5 x 1 (1�

Kll

()

cos (Ob l l) sin(Oh l l) - s i n ( O h l l ) cos (Oh l l)

Tc l l · T b l l · Ta l l

M atriks kekakuan clemen [k] 1 1 = K 1 Kl l

:=

l := Odeg

I)

1 63 X

0 - 1 1 63 x 1 0- l l I)

I I () I ()-

()

()

-9.5 x i 04 0 1 1 63 x l ()- l l (I () () - 11 1 63 X 1 0 11 ()

I

-I

-9 5 x 1 04 () 1 63 X 95

X

()

1 63 x

I If

4 Io

I0

0 0 11

0

0

II

()

(I

I

-I

1 6 3 x l ll- l l () ()

1 63 X

()

I ( )-

11

(I

Rangka Ruang 283

Bata n g 1 2 :

L l 2 := 3000 tw l 2 : = 5

t fl 2 := 5 b l 2 := 50

h l 2 := 50

A l 2 := [ ( tw l 2· h l 2) + [ ( b l 2 - tw 1 2) · tfl 2] ] 2

A 1 2 = 950

M atriks kekakuan : [. ;\ 1 2

-( F i\ 1 2) () () () () L l2 L12 () () () () () () () () () () () () S l 2 := - ( F i\ 1 2) () () E i\ 1 2 () () Ll2 L12 () () () () () () () () () () () ()

4 6.33 3 x 1 0

Sl2=

0 0 -6.333 X

8

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 6.333 X 1 0

0 0

4 -6. 3 3 3 x 1 0 0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

M atriks transformasi : ea 1 2 := 90deg

Tc l 2 :=

T8 1 2

:=

()

()

8b l 2

:=

Odeg

()

0

8c l 2

:=

Odeg

cos (Ob 1 2) sin(O b 1 2)

cos (Oc 1 2) sin (tlc 1 2) -sin (Oc 1 2) cos (Oc 1 2)

Th l 2 := -sin(Ob 1 2) cos (Ob 1 2) ()

0

Tc l 2 Tb i 2· Ta 1 2

:J

cos ( Oa 1 2) Ta 1 2 :=

M atriks kekakuan elemen [k] 1 2 = K 1 2 terhadap sumbu s i stcm struktur :

Kl2=

0 ()

0

3.878 x 1 0- 1 2

0

() ()

()

0

3 878 x 1 0- 1 2 ()

6.333 x ()

1 04

0 ()

0 -3.S78 x ()

1 0- 1 2 0 0 0 () 0

-3.878 x

()

1 0- 1 2

-6 333 x 1 04 3 878 x

()

10- 1 2

284 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

-sin (Oa 1 2)

() ()

sin (Oa 1 2) ()

cos (Oa 1 2)

Batang 1 3 :

2 ! b l 3 : = 5 0 L l 3 : = ,j 2000

tw 1 3 := 5 h 1 3 : = 5 0

2

+ 3000

: = ( tw l 3 · h l 3 ) + [ ( b l 3 - tw l 3 ) · tfl 3 ]

AI

A l 3 = 47 5 t fl 3 := 5

M atriks kckakuan : FAI3

-( L A I 3 ) Cl

L\3

s 1 3 :=

()

()

(

M atriks transformas i : -

0.5rr

+ atan ()

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

() ( )

8b 1 3 : = Odeg 0

Tc l 3 := () cos ( Oc 1 3 ) s in( O c 1 3) 0 -sin(Oc 1 3) cos (Oc 1 3)

Tb l 3 :=

4

2.63 5 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c 1 3 := Odeg

:�

cos (Ob 1 3) sin(Gb 1 3) () -sin(Ob 1 3) cos (Ob 1 3) 0

0 0 -2.63 5 x 1 04 0 0

-2.63 5 x 1 04 0 0

0 0

() ()

( �))

Sl3 =

0

() ( )

I.13

()

(I ()

()

()

E- A I 3

ll

0

O

() ()

()

O O

()

8a 1 3 : =

()

()

-( F· A \ 3 ) L13

00

I. 1 3

() ()

0

O

O

4 2.63 5 x 1 0

0

Ta l 3 : =

cos (Oa 1 3) () sin (Oa l 3)

()

0

-sin{Oa 1 3) () cos (Oa 1 3)

T8 l 3 : = Tc i 3 · Tb i 3 · Ta l 3

-0. 5 5 5 0 -0.832

()

0

() 8 3 2 113

=

() ()

0

0 -0 5 5 5

() () ()

QJ

() ()

0

0

() ()

0 0

() ()

-0 5 5 5

(]

0.832

0 -0 5 5 5

()

()

()

()

-0 8 32

()

0

Matriks kekak uan clemen [k] 1 3 = K 1 3 terhadap sumbu si stem struktur :

0

0

0

3 8. 1 07 x 1 03 () 1 .2 1 6 X 1 04 -8. 1 07 x 1 0 () - 1 .2 1 6x 1 04 0 0 0 0 () ()

Kl3 =

1 .2 1 6 X 1 04 0 1 .82 4 x 1 04 - 1 . 2 1 6 x 1 04 () - 1 .82 4 x 1 04 3 3 1 0 7 x 1 0 0 - 1 .2 1 6 x 1 04 8. 1 07 x 1 0 0 1 .2 1 6x 1 04 0 0 () 0 0 0

- 1 .2 1 6 x 1 04 0 - 1 .82 4 x 1 04

1 .2 1 6x 1 04 0 1 .82 4 X 1 04 Rangka Ruang 285

M atrik kekakuan struktur untuk

1 2 derajat kebebasan s istem struktur [K]s =

dari matrik kekakuan elemen [k ]m yang terkait dengan t i t i k kumpul : L[k ] i Xt1,P11 X10,P10

2 G a m ba r 5.8.5

286

Derajat kebebasan struktur

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

KG merupakan perakitan

-------��"''

I

"

h.\

'·

k\

" 'l

,.

I

h. I �

'-\ , -.1, ,

• :;. ,

h. I �

'-

,.-,

,, ,.,

', ,

' ·l , f. I�

KG =

1 .068 · 1 05

1

"' i , 1,1\

k' ,

2

-4 .338 1 0 3

,, , ,

h_ � ' ' '"

�

3

h. I ;

h. I',

h. I •,,

h. : \

h.l ] ,

l . l l , . h. \ .

, ' ', , h_ l ·,

', , h.'. ,

'-''1 ,

, . , , , ,,\

"'\ , h_l ,,

f I� I

"'\-

&

�

1

0

"·

h. I \

I

0

, ,,

"- ', . h.l :; ,

,_

�--

h . l l, ,

"'

'-'l

h. I 'L \

I

1-.. l i,

5

7

6

-236.507

-9.5· 1 04

0

0

" -, ,

1 1

, "\ h. l '. , h.t, , 1 1 ', ' I < ,

"-� \ . L

"' ', kl\

& & &

�

4

h.<;

''\ ,

0

0

0

11

10

9

8

0

0

-3.878 · 1 Q - 1 2

- 4 338· 1 03

6.946 · 1 04

9 .6 1 1 - 1 03

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

-236.507

9 .6 1 1 · 1 03

7.009 · 1 04

0

0

0

0

0

0

-3 878· 1 Q- 1 2

0

-6.333·104 - 1 . 2 1 6 · 1 04

3

-9.5-104

0

0

1 .072 · 1 05

1 .446 1 04

1 . 329 1 04

0

0

3.878 1 Q- 1 2

-8. 1 07 · 1 03

0

4

0

0

0

1 . 44 6 · 1 04

5.062 · 1 04

3.955· 1 03

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

1 .329 1 04

3.955 1 03

9. 472 · 1 04

3.878· 1 Q- 1 2

0

-6.333 · 1 04

- 1 . 2 1 6· 1 04

- 1 .824 · 1 04

6

0

0

0

0

0

3.878· 1 Q- 1 2

9.853 · 1 04

1 .236 1 04

-3.532 1 03

0

1 . 1 63· 1 Q- 1 1

7

0

0

0

0

0

0

1 .236 1 04

4. 327· 104

- 1 .236·104

-9. 5- 1 04

0

0

0

0

8

0

0

0

3.878· 1 Q-12

0

-6.333· 1 04

-3.532 · 1 03

- 1 .236·104

6.687 1 04

1 . 1 63 · 1 Q- 1 1

0

0

9

0

0

-3.878· 1 Q- 1 2

-8. 1 07 · 1 0 3

0

- 1 .2 1 6 · 1 04

-9.5 · 1 04

0

1 . 1 63 · 1 Q- 1 1

1 .092 · 1 0 5

-5.726 · 1 03

1 .484 · 1 04

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-5.726· 1 0 3

6.058 1 04

- 1 . 4 57·104

11

-3.878 1 Q- 1 2

0

-6.333· 1 04

- 1 .2 1 6· 1 04

0

- 1 .824·104

1 . 1 63· 1 Q- 1 1

0

0

1 .484 · 1 04

- 1 . 457·104

8.539 · 1 04

,_

Rangka Ruang 287

5.8.1

Matri k Beban Elemen

Tebal pe lat - 200 qd

24 · 0 .2

:=

Beban h idup = qI

:=

qtot q2

:=

mm.

qd

=

4.8

O. l * beban mat i . qtot

:=

4.8

+

0 .48

qtot

kN 2 m

=

5 .2 8

kN 2 m

qtot

Berat sendiri batang d iabaikan.

G a m ba r 5 . 8 . 1

Ekivalen gaya terpusat pada tititk kumpul

Gaya l uar terpusat ekivalen pada elemen I , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8, dan

() () Fl

:=

0 0 ()

()

13 :

0 0 P I := T IT F I

0 1' 1 = () 0 ()

288 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

Batang 1 0 :

Batang 9 :

0 -2.6�

()

-

F9 :=

b 6 3)

X

+ Jo

()

()

P9

:= T9

T

P9

F9

-2.64 ! 03 (I

=

PlO T\OT F\0 PlO= 00 F\0:= 00 -5 28x -5 28 103 0 0

()

:=

0 4 -2 6 x I 03 ()

Batang 1 2 :

0

\ I :�

103

-5.2S x

103

Batang 1 1 :

F

0

()

I)

-2.64 x

()

w'

()

()

:=

F 12

I)

-2 64 !03 (I

Vekor beban {P}s

=

0 -5.28 1 0 () P\2 \ 2T � \ 2 P\2 = T 0 -5.28 103 0 :=

0 -5.28 x

0 ()

10-

1

-5.28 x

0

PG

1'90 + P\23 P9 1 + 1'1 24 1'92 + I' 125 P93 + PI 00 1''! + P I 01 4 1'95 + 1'102 PG := Pi \ + 1'!03 0 PI I 1 + PI04 1'1 1 2 + PI05 1'1 13 + 1' 1 20 I'l l� + 1'1 21 PJ \ 5 + PI22

0 0

0

1

-7.92 · 1 03

2

0

3

0

4

-7.92 · 1 03

PG = 5

0

6

0

7

-7.92 · 1 03

8

0

9

0

10

-7.92 · 1 03

11

0

Satuan beban [N-mm] untuk momen, dan [N] untuk gaya. Dari persamaan K G * [X } s = PG, d i h itung vektor { X } s= 21 = K - 1 * PG d ipero leh : -0.075

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.2 1 3

0 1 78

-O. I 'J7

-0. 1 34

OJ36

-0 .336

-0. 1 70

0.342

-0. 1 58

1 1

j

T

-0 248

Rangka Ruang 289

Gaya -gaya dalam batang [N] : Batang 1

0

0

XI

()

Ll (J

FD I : =

S I ( T I ·X I ) FD I =

,\ I

L\ 2

Batang 3 : ()

0

"' ' "' � "' s ·'

f[)J

:= S3· ( T3· X3)

FD3

=

0

t.c,

FD5

=

SS ( T 5 · X5) FD5

0

8 . 60 3 x 1 0'

0

3 8.603 x 1 0

8.542

X

0

�\ s

0

:=

S7 ( T7 X7)

FD7 =

X4 :=

0

0

86. 6 1 5

0

0

"' '

FD4 := S4 · 1 T4· X4)

FD4 =

() -86.6 1 5

"'4

0

1� 5

0

Batang 6 :

X6 :=

()

86 059

0

0

'

FD6 := S6·( T6· X6 )

Li 9

FD6 =

0 -86 059

10

0

()

()

0 3 8.62 8 x 1 0

-2 .209> 1 0

t. l

l

-i

0 X8 :=

0

"' o

t.s

0

Batang 4 :

0

Batang 9 :

"' �

40 . 9 1 4

()

0

c\ 1 1

"' 3

"- I

3 -8.62 8 x 1 0

0

.\ 2

FD2 := S2· (T2· X2) FD2 =

()

()

Batang 8 :

0

�\ 1 0

"' o

0

0

"'7

:� �D

X2 : =

()

·" 2

() =

0

X9 :=

' 8 .402 x 1 a

-

0

()

Batang 7 :

X7 :=

0

0

3 -8. 542 X 1 0

()

X5 :=

I \

I I

40 .9 1 4

0

0 0

Batang 5 : ()

I

-

0 X3 :=

�

�840 x I a'

Batang 2 :

0

0 FD := S8·(T8· X8) Ll ()

"' I

FD8 =

0 I 07.382 0 0

Batang 1 0 : Ll J

(I

2 .209 '

3 -2 263x 1 0 0

(\

FD9 := S9·( T9· X9) FD9 =

07.382

X I O := lo

F D I O := S I O · iT I O · X I O ) FD I O =

'

n

()

290 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

() .1 2 263x 1 0 () ()

Batang 1 1 :

-2.263 1 rr 0 0

'

X

X I I :=

FDI I

=

Batang 1 2 :

2 .263

X

()

X l 2 :=

1 0:1

()

Batang 1 3 :

X l 3 :=

-2. 1 95 x 1 0:1 0 0 2 1 95x 1 0' 0 0

F D I I := S I I ( T I I X I I )

-� s

-96.239 0 0 96.239 0 0

5 . 8 . 2 Diagram Gaya Dalam

�

.. •

·

\

\\(:3) \

I

Gambar 5.8.2

Diagram gaya dalam (�) gay a tarik batang (-) gaya tekan batang

Rangka Ruang 291

5.9 P rogram Komputer Ana lisis Ra n g ka Ruang

Program komputer sistem struktur P01tal Ruang dirancang berdasarkan bagan alir yang di­ kembangkan oleh William Weaver, Jr. & James M . Gerc . penulis buku Afutrix A nalysis of Framed Stmcture (,)'econd Edition, D. Van Nostrund, 1 980). Runcangan program dikem­ bangkan oleh mahasiswa S1 kelas Anal isa Struktur IV, dan mahasiswa S2 kelas Metoda E­ lemen H ingga, Program Studi Tekn ik Sipil ITB. Membuat kode p rogram a na lisa stru ktu r untuk rangka ruang.

Program yang digunakan adalah Turbo Pascal for Windows v 1 .5 Dalam program ini dibuat /lle:fi/e pembantu ( * .inc) yang dipanggil dengan procedure pada program utama. Adapunfile:file yang diperlukan di dalam program ini adalah: : merupakan bad an program uta m a 1 . main_JJro,pas 2. sdutarr. inc : berisi prosedur input data 3 . ldatarr. inc : berisi input data dan pengkombinasian be ban titik 4. stijjiT. inc : berisi perakitan matrik kekakuan 5 . hanfac. inc : berisi prosedur fakorisasi matrik : berisi penyelesaian vektor 6 . hansol. inc 7. resulrr. inc : berisi penul isan basil perhitungan Sedangkan untuk input dan outputnya diletakkan pada ji/e text ( *.txt), yaitu: I . datarr. txt : berisi input data struktur dan pembebanan 2. report. txt : berisi laporan input beserta hasil perhitungan.

Berdasarkan bagan alir yang tclah diberikan. maka kode program secara keseluruhan dapat disusun. Kode program lengk