Analisis Ciclo De Carnot

EJEMPLO DE PROCESOS DE UN GAS IDEAL: ANÁLISIS DE UN CICLO DE CARNOT En un ciclo de potencia de Carnot descrito por un gas perfecto diatómico (γ = 1.40) la presión máxima es 3.50 bar y el volumen específico al final del proceso de expansión isoterma es 19.0 litro/mol. La etapa isoterma de alta temperatura ocurre a 400 K, y se sabe que durante la etapa isoterma de baja temperatura el calor rechazado en cada ciclo es 1570 J/mol. Se supone que todas las etapas son reversibles. La constante universal de los gases es R = 8,314 J·mol-1·K-1. Usando los valores numéricos dados junto a este enunciado, se pide: a) Calcular las coordenadas P, v, T de todos los puntos notables del ciclo. Haga una gráfica a escala. b) Calcular el calor entrante en cada ciclo, así como el trabajo neto que realiza el ciclo y el rendimiento. c) Calcular la variación de energía interna y de entropía del gas entre los estados de presión máxima y volumen máximo. a) Calcular las coordenadas P, v, T de todos los puntos notables del ciclo. Haga una gráfica a escala.

P

3

v (m /mol)

Datos disponibles

Presión máxima

1 2 3 4

1 TA

qA

4

v2

P2

T (K) T1 T2

(Pasamos todos los datos al S.I.)

TA TB

q B (J/mol)

2

Adiabática

v1

P (Pa) P1

Adiabática

Cálculos

TB

qB

3

Volumen máximo

v Gráfica cualitativa

Para v1 y P2, usamos la ecuación del gas ideal

v1 = RT1 / p1

p2 = RT2 / v2

Observación: nótese que todos los volúmenes en este problema son específicos molares (v = V / mol)

T e r m o d i n á m i c a

P

3

v (m /mol)

Datos disponibles

1 TA

2

Adiabática

4

Relaciones adiabáticas

Gráfica cualitativa Calor y trabajo en proceso isotermo q = w v4

v q → ln 4 = B v3 RT3

v3

⎛ p1v1γ ⎞ qB 1 ⎟ = ln⎜⎜ Igualando: γ ⎟ RT3 γ − 1 ⎝ p2v2 ⎠

T3 = T4 =

Una vez obtenidas las temperaturas, los volúmenes específicos se obtienen de las relaciones adiabáticas ⎛ p vγ v4 = ⎜⎜ 1 1 ⎝ RT4

1 / (γ −1)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

T3 T4

TB

Cálculo de temperatura T3 = T4

3 v

∫

v3 v4

TA

q B (J/mol)

qB

v pdv = RT3 ln 4 = q B v3

T (K) T1 T2

P2 P3 P4

v2

Adiabática

TB

wisot =

v1

1 2 3 4

qA

P (Pa) P1

⎛ p vγ v3 = ⎜⎜ 2 2 ⎝ RT3

1 / (γ −1)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

RT4 γ v4 v4

p1v1γ = RT4 v4γ −1

RT p2v2 = p3v3 = 3 v3γ v3

p2v2γ = RT3v3γ −1

p1v1γ = p4 v4γ = γ

γ

Puesto que T3 = T4 →

(γ − 1) qB

⎛ p1v1γ ⎞ ⎟ R ln⎜⎜ γ ⎟ p v ⎝ 2 2⎠

p1v1γ ⎛ v4 ⎞ =⎜ ⎟ p2 v2γ ⎜⎝ v3 ⎟⎠

γ −1

⎛ p1v1γ ⎞ v4 1 ⎟ ln = ln⎜⎜ γ ⎟ v3 γ − 1 ⎝ p2 v2 ⎠

Una vez conocidos temperaturas y volúmenes específicos, las presiones se obtienen de la ecuación del gas ideal

p3 = RT3 / v3

p4 = RT4 / v4

T e r m o d i n á m i c a

a) Calcular las coordenadas P, v, T de todos los puntos notables del ciclo. Haga una gráfica a escala. Datos numéricos γ= P1 (bar)= V2 (l/mol) = qB (J/mol) = T1 (K) =

1,40 1 3,50 19,00 1570,0 400,0

Coordenadas P, V, T v (m3/mol) P (Pa) T (K) 1 2 3 4

3,50E+05 Pa 1,90E-02 m3/mol -1,57E+03 J/mol

2

9,50E-03

3,50E+05

400,0

1,90E-02

1,75E+05

400,0

4,96E-02

4,57E+04

272,5

2,48E-02

9,13E+04

272,5

T e r m o d i n á m i c a

4,00

Note que qB es negativo porque es el calor rechazado, es decir, calor saliente

3,50 3,00

1 P (bar)

2,50

TA

2

Adiabática

4

2,00 1,50

Adiabática

TB

1,00

3

0,50 0,00 0,00

10,00

20,00

30,00 v (l/mol)

40,00

50,00

60,00

b) Calcular el calor entrante en cada ciclo, así como el trabajo neto que realiza el ciclo y el rendimiento. vb

P

1 TA

qA

∫

pdv = RT ln

vb va

va

2

Adiabática

4

w=

q=w

Procesos isotermos

Adiabática

TB

η=

3

qB

w=

q=0

Procesos adiabáticos

pb vb − pa va pa va − pb vb = 1− γ γ −1

w +q wneto wA + wB = A B = wA qA qin

v c) Calcular la variación de energía interna entre los estados de presión máxima y volumen máximo.

Gráfica cualitativa

Energía interna

∆u = q − w

c) Calcular la variación de entropía del gas entre los estados de presión máxima y volumen máximo. Procesos isotermos Procesos adiabáticos reversibles

∆sab = 0

∆sab =

∫

δqisot T

=

1 T

∫

δwisot T

vb

=

1 T

∫

vb

pdv =

va

1 T

∫

v RT dv = R ln b va v

va

0, adiabático reversible

∆s13 = ∆s12 + ∆s23 = R ln

v2 v1

T e r m o d i n á m i c a

b) Calcular el calor entrante en cada ciclo, así como el trabajo neto que realiza el ciclo y el rendimiento. c) Calcular la variación de energía interna y de entropía del gas entre los estados de presión máxima y volumen máximo.

w (J/mol) 1→2 2→3 3→4 4→1 Σ=

wneto =

q (J/mol) ∆u (J/mol) ∆s (J/K.mol)

2,30E+03

2,30E+03

0,00E+00

5,76E+00

2,65E+03

0,00E+00

-2,65E+03

0

-1,57E+03

-1,57E+03

0,00E+00

-5,76E+00

-2,65E+03

0,00E+00

2,65E+03

0

7,35E+02

7,35E+02

0,00E+00

2,66E-15

7,35E+02

qin =

qout = w η = neto = qin

2,30E+03 -1,57E+03

(qin = q A

y qout = qB )

Rend. Teórico 31,9%

31,9%

∆s13 = ∆s12 + ∆s23 =

5,76E+00

T e r m o d i n á m i c a