Analisis De Fourier Hsu.pdf

335 PROBLEMAS RESUELTOS Y EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS EN CADA CAPITULO Desarrollo completo y aplicaciones a. • SISTEMAS LINEALES • TEORIA DE LA COMUNICACION • PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA, etc.

ANALISIS DE FOURIER Hwei P. Hsu Associate Professor Department of Electrical Engineering Wayne State University, Michigan Raj Mehra, Editor

.SITESA

B

SISTEMAS TECNICOS DE EDICION, S.A. de C.V.

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina • Brasil • Chile • Colombia • Ecuador • España, Estados Unidos • México • Perú • Puerto Rico • Venezuela

Versión en español de la obra titulada Fourier Analysis, de Hwei P. Hsu, publicada originalmente en inglés por Simon & Schuster, Inc. Nueva York, E.U;A. © 1970. Esta edición en español es la única autorizada.

PARA VENTA EXCLUSIVA EN MEXICO

© 1973 por Fondo Educativo Interamericano . © 1987 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Wilínington, Delaware, E.U.A.

© 1986 por Sistemas Técnicos de Edición, S.A. de C.V. San Marcos 102, Tlalpail, 14000. México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico -de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cáfnara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1312. Impreso en México. Printed in Mexico. ISBN Q-201-029A~-1 Addi_~9n- W esley Iberoar_ner_i~ana ISBN 968-50-0047-6 Sistemas Técnicos de Edición JJKL-M-89

Se terminó de imprimir el día 16 de agosto de 1989, en los ·talleres de Lito-offset de La Banca, Moctezuma·Núm. 122 06900 México, D. F. · La tirada fue de 1,000 ejemplares.

ANALISIS DE FOURIER

Versión en español de

Ramón G. Flórez Torres • Ingeniero Eléctrico Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Cón la colaboración de

M. en C. Federico Velasco Coba Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México y

José D. Arias Páez Universidad Nacional· de Colombia

PROLOGO

La Théorie analytique de la chaleur, de Jean-Baptiste-Joseph Fourier., introdujo los métodos sencillos para la solución de los problemas de valor en la frontera, que se presentan en el tratamiento analÍtico de la conducción del. calor. Sin embargo, este "gran poema matemático", como Lord Kelvin denomino al análisis de Fourier, se ha extendido a muchas otras aplicaCiones físicas diferentes a las del calor; En efecto, el análisis de Fourier se ha convertido en un instrumento indispen~able en el tratamiento de casi toda recóndita cuestión de física moderna, teoría de comunicaciones, sistemas lineales, etc. El objetivo del autor al escribir este libro, es desarrollar completamente el análisis clásico de Fourier y mostrar su relación con las aplicaciones modernas. . El libro está destinado a estudiantes de matemáticas, física y las diversas ramas de ingeniería; se puede utilizar para un curso formal de análisis de Fourier, así como en los numerosos cursos relacionados que presentan y emplean las técnicas de Fourier; tiene la ventaja de ser un libro de texto y de repaso; como texto es suf!.cientemente completo y detallado como para no requerir referencias adicionales; y en la forma directa que caracteriza al libro de repaso, suministra cientos de problemas solucionados completament~, en los r•· :les se utilizan la teoría y técnicas esenciales. Los conceptos nuevos, las definiciones y los teoremas fundamentales importantes (o resultados) aparecen en el texto sobre fondo sombreado; los conjuntos de problemas graduados, resueltqs completamente, que constituyen la parte integral del libro, ilustran y amplían los· conceptos y desarrollan las técnicas de Fourier; los problemas suplementarios están ideados no sólo para servir como ejercicios, sino también como medio de fortalecer la habilidad y perspicacia necesarias en la utilización práctica de las técnicas de Fourier. · Los tres primeros capítulos tratan las series de· Fourier y el concepto de espectros de frecuencia; a continuación se incluye un capítulo relacionado con la integral y la transformada de Fourier, y luego uno sobre las transformadas de Fourier de funciones especiales. En la segunda parte del libro se estudian las aplicaciones del análisis de. Fourier a sistemas lineales, teoría de comunicaciones, y problemas de valor en la frontera; el capítulo final se relaciona con aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier. El Único requisito formal para comprender el análisis de Fourier, es el conocimiento del cálculo elemental; sin embargo, en la segunda parte del libro se supone que el estudiante está familiarizado con el dtlculo avanzado y las matemáticas aplicadas. ' El autor desea agradecer a Raj Mehr-a y Rhea Nichols, de Simon & Schuster, Inc., por sus esfuerzos editoriales en la revisión de la primera edición; así mismo, el autor reconoce el estímulo recibido del profesor Forest E. Brammer, y Edward F. Weller, Jr., así como la colaboración de Dennis F. Wilkie y Eugene A. Hanysz. HweiP. Hsu Southfield, Michigan

CONTENIDO

1 CAPITULO

SERIES DE FOURI ER 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

2 CAPITULO

2.1

2.4 2.5 2.6 2.7

3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

3.7

4

. . . . . .

. . . . . .

4

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 7 13 16 17 21

SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FUNCIONES PARES E IMPARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1a 2.1b SIMETRIA DE MEDIA ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1c SIMETRIA DE CUARTO DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1d SIMETRIA ESCONDIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMETRICAS . . . . . . . . . . . . . EXPANSION ENSERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIONEN UN INTERVALO FINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3a EXPANSIONES DE MEDIO INTERVALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . LA FUNCION IMPULSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4a DERIVADAS.DE LA FUNCION ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES PERIODICAS DISCONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIACION. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . , . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

24 24 27 27 27 28

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 34 37 40

. . . . . . . . . . . .

- 43 45 48

ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA

3.6

CAPITULO

· ... · · · . . . . . . .

ANALISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIODICAS

2.2 2.3

CAPITULO

FUNCIONES PERIODICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROPIEDADES DE.L SENO Y DEL COSENO: FUNCIONES ORTOGONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER .·. . . . . . . . ; . . APROXIMACION MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER . . . , . LAS CONDICIONES DE DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LAS SERIES DE FOURIER . . . PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EVALUACION DE LOS COEFICIENTES COMPLEJOS DE FOURIER POR MEDIO DE LA FUNCION ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION PERIODICA: TEOREMA DE PARSEVAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . .

.

; . . .

. . . .

52 52 57 58

. .

62

. . . .

65 68

. . . . . . .

71 71 74 79 81 82 88

INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

1NTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE LA SERIE DE FOURIER A LA INTEGRAL DE FOURIER · . . . . . . . . . . . TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE FOURIER . . . . . . . • . . . . . . . . INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . '. . CONVOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~/ :/.

. . . , . . .

. . . . . . .

4.8 TEOREMA DE PARSEVAL Y ESPECTRO DE ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 FUNCIONES DE CORRELACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 CAPITULO

92 94 99 .

TRANSFORMADA DE FOURI ER DE FUNCIONES ESPECIALES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. . . . . . . . LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION IMPULSO . . . LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA CONSTANTE . . . . . . . LA TRANSFORMADA DE_FOURIER DEL ESCALON UNITARIO . . . . LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION PERIODICA . . LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES GENE~ALIZADAS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

102. 102 104 106 110 114 118

9 CAPITULO

APLICACIONES MISCELANEAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURI ER 9.1

9.2

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

A APENDICE

B APENDICE

. . .

215 219 221 221

. . . . . . . .

221 223 224 228 · 236 239 243 244

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER Y EL FENOMENO DE GIBBS A.1 A.2

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EL FENOMENO DE GIBBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247 253

RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER y LAPLACE B.1

DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE . . . . . . . .

256 259

TRES FORMAS DE LAS SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

RESUMEN DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA. . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

265

LISTA DE SIMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

INDICE DE MATERIAS . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

B·.2

e

LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN DIFRACCION Y FORMACION DE IMAGENES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1a TRANSFORMADA BIDIMENSIONAL DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . 9.1b TRANSFORMADA TRIDIMENSIONAL DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TEORIADE PROBABILIDADES, . . . . . . 9.2a FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9.2b ESPERANZA Y MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. 9.2c FUNCION CARACTERISTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL ANALISIS DE FOURIER. . . . . . . . . FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . . CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HILBERT . . . . . . . . . , . . . . . . . . . EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . PROBLEMAS SUPLEMENTA\RIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APENO ICE

D E F

APENO ICE

APENO ICE

APENO ICE

1

CAPITULO

SERIES DE FOURIER 1.1

FUNCIONES PERIODICAS

f.(t)

PROBLEMA 1.1 Soluci6n:

t t Encontrar el período de la funciónf(t) = cos- + cos -. 3 4

si la función f(t) es p~riódica con un período T, entonces, de (1.1) se tiene

1

cos -(t

3

Puesto que cos (8

.

+ T) + cos .

1

- (t

4

+ T)

t

= cos -

3

t

+ cos -

4

..

+ 21rm) = cos 8 para cualquier entero m se tiene que 1 4

1 - T = 2rrm, 3

- T = 2rrn,

donde m y n son enteros; Por consiguiente T = 61rm = 81rn; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (Esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 241T.

PROBLEMA 1.2

Decir si lafunciónf(t) ~cos 10t + cos (10 + 1r) tes una función

periódica. 1

Figura 1.1

Una función periódica.

2

Análisis de Fourier

Solución:

aquí w 1 =10 y W2 =10 + 1T. Puesto que

10 + 71 no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga (Ll); por consiguiente f(t) no es una función periódica. ú)2

Encontrar el período de la función f(t) =(lO cos ti . 1 Solución: si aplicamos la identidad trigonométrica cos 2 0 =- (1 + cos 20) se tiene 2 . 1 2 . f(t) = (10 cos tf = 100 cos 2 t = 100- (1 + cos t) =SO+ SO cos 2t. PROBLEMA 1.3

.

2

Puesto que una constante es una función periódica de período T para cualquier valor de T, y el período de cos 2t es rr, se concluye que el perío!lo de f(t) es 7T. Demostrar que sif(t + T) = f(t), entonces

PROBLEMA 1.4

a+T/2

l

lT/2

f(t)dt=

a-T/

2

LT+t Solución:

(1.6)

f(t) dt,

-T/

2

f(t) dt

lt

=

f(t) dt.

(l. 7)

sif(t + T) = f(t), entonces, a1 hacer t = t-:- T, se tiene f(T - T + T)

(1.8)

= f(T) = f(T - T).

Considerar ahm;a

f

13

f(t) dt.

a

Si se hace la sustitución t = t - T y se usa la igualdad (1.8), se obtiene

f

f3

f(t) dt

=

ff3+T

a

f(T- T) dT

f

=

f3tT ·

f(T) d't.

atT

a+T

Puesto que cualquier símbolo puede representar la variable comodín f{3

f(t) dt = if3+T f(t) dt.

a

(1.9)

atT

Ahora, el primer miembro de la ecuación (1.6) puede escribirse como

l

f

a+T!Z

f(t) dt ==

a-T/2

-T/2

.

f_

f(t) dt +

a-T/2

a+T/2

f(t) dt.

-T/2

Aplicando el resultado de (1.9) a la primera integral del segundo miembro de la anterior ecuación, se tiene

r.

· a+T/2 Ja-T/2

f(t) dt ==

JT/2 a+T/2

la+T/2

f(t) dt +

f(t) dt

=

la+T/2

-T/2

t
-T/2

L

-T/2

T/2

Ja+T/2

T/2

==

r

f(t) dt.

f(t) dt _

3

Series de Fourier

En (1.9), if a= O y {3 = t, entonces (1.9) se convierte en

lt f(t) dt LT+t f(t) dt. =

En (1.6), si a =T/2, entonces (1.6) se convierte en

Tf(t) dt iT/2 i -T/2 =

(1.10)

f (t) dt.

O

PROBLEMA 1.5

Seaf{t + T) = f(t) y g(t) =

lt f('T) d'T.

Demostrar que g(t + T) = g(t) si y sólo si·

lT/ f(t) dt = 0. puestoqueg(t)= lt f(r:)dr, 2

-T 12

Solución:

i

· g(t + T) =

i+T f('T) d'T =

·¡T

l'f+t J('T) d'T.

f('r) d'T +

T

0

Por (1.10) y (1.7), se tiene

LT f ('T) dT= fT/ 2f('T) d'T = JT/ 2f(t) dt, -T/2 -T/2 "

l

T

O

Por consiguiente,

y g(t + T) = g(t) si y sólo si

PROBLEMA 1.6

i-T/2

O

T/2 f (t) dt + ·¡t f (t) dt -T/2

i T/2

g (t + T) =

T+t f(IJ dt ='lt f(t) dt.

1

O

f(t) dt =O

Seaf(t + T)= f(t), y F(t)= '

lt f('T)d'T-!.a

0

2

o .

t, .

21T/2 f(t) dt.. Demostrar que.F(t + T) =F(t).

. donde a0 =-

T

Solución:

-T/2

. ..

r f(r) dr -~a 0 t; se tiene 2 t+T f('T)' d'T.;.. -a 1 (t + T)

puesto que F(t) = . F(t + T) =

l T. i

~

2

o

= .

.

. f('T)d'T+

O.

0 •

.

iT+t f('T)d'T--a . 1 t--a 1 T. T

2

0

2

0

\

4

Análisis de Fourier

Por (1.10) y (1.7), se tiene

Tf(T) dT = lT/2 f(T) dT = 2a 1 T,

i

0

-T /2

O

l

T

T+t f(T) dT lt f(T) dT. =

0

Por consiguiente,

. 1 2

F(t+ T)=-a 0 T+

Lt .

1 2

1 . 2

-

f(T)dT--a,t--a 0 T

o

=

lt

1 2

f(T)dT--a 0 1 =F(t).

o

1.2 SERIES DE FOURIER

PROBLEMA 1.7

Deducir la forma (1.12) de (1.11) y expresar Cn y 8n en términos

dean ybn. Solución:

se puede expresar

ancos nw 0 t + bnsen nw 0 t = Ja~ +

b~

(

a,

Ja~ + b~

cos nw 0 t +

bn

Ja~ + b~

sen nw 0

t)

Si se utiliza la identidad trigonométrica a 11 cosnw 0 t+ b 11 sennw 0 t= Cn(cosen cosnw 0 t+ sen

en

sennwot)

(1.13)

=en cos (nwot- en), donde

(1.14)

por consiguiente,

ó

en =tan

-1

(bn) an .

(1.15)

5

Series de Fourier

También, si se hace (1.16)

se obtiene

n= 1

n= 1

1.3

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES S.ENO Y · COSENO: FUNCIONES ORTOGONALES

6

Análisis de Fourier

Verificarla integral (1.19c).

PROBLEMA 1.8

con la identidad trigonométrica

Solución:

cosAcos B ==

~[co~ (A+ B) + cos (A- B)],

y

se obtiene

I

T/2

\

cos (mw 0 t) cos (nw 0 t) dt

-T /2

==

1

2

¡·T/2 leos [(m+ . n)

W

0

t] + cos [(m- n)

W

0

t]l dt

-T/2

1 1 ==sen [(m+ n)wo t] 1 T/2 2 (m + n) W 0 -T/2

1 1 +sen [(m -n)w 0 t] 1T/2 2 (m -: n)w 0 -T/2 1 1 ( ) !sen [(m+ n)11] + sen [(m+ n)11]1 2 m+ n W 0 1 ) !sen [(m- n)17] +sen[(m-n)17]1 + !._ ( 2 m- n w 0

=O si m ::¡l:n. 1 Utilizando. la identidad cos2 0 =- trigonométrica . 2 (1 se obtiene

i

T/2 . • 1

.

cos (mW 0 t) cos (nw 0 t) dt ==

lT/2

+ cos 20)

. y haciendo m = n *O

cos 2(mw 0 t) dt

-T/2

-T/2

1 ==2

iT/2 [1 + 'cos 2mW•. t] dt 0

-T/2

== -1 t IT/2 + -1- sen 2mw 0 t 2 -T/2 4mw ° ·

PROBLEMA 1.9 Solución:

Verificar la integral (1.19e).

con la identidad trigonométrica sen A cos B

se obtiene

==~[sen (A+ B) + sen (A- B)],

IT/2 -T/2

Series de Fourier

I

7

T/2

sen (mwot) cos (nwot) dt

-T/2

=

2"1

IT/2

!sen [(m+ n)co 0 tl +sen [(m- n)w 0

tll

dt

-T/2

1

-1

=-

2 (m+ n)w 0

=o

cos[(m+n)w 0 t] ·

1 +-

IT/2

-1

IT/2

2 (m -n)cu 0

-r; 2

cos[(m-n)w 0 t] ·

'-T'2

si m *n.

Si se hace m =n *O, y se utiliza la identidad trigonométrica sim 20 =2 sen 6 cosO se obtiene T/2

1

l·T/2

sen (mwot) cos (nwot) dt = .

T/2

·

sen (mwot) cos (mwot) dt

-T/2

1

. . = -2

JT/2

sen

(2mw4 t) dt

-T 12 .

1

=-:- - -

4mwo

cos (2mw 0 t)

/

1 T/2 -T/2

=o. Evidentemente, para m= n =O, la integral es cero. )

1.4

EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER

8

Análisis de Fourier

Series de Fourier

Encontrar la serie de Fourier para la funciónf(t) definida por:

PROBLEMA 1.10

T

-L

--
f (t) =

y f(t

+ T) = f(t).

Solución:

9

{

1,

t=± T

12

(1.29)

O
(Ver figura 1.2)

.

2

LT/2

an = T

2T"

=

1

por(1.27)yw 0 t

cos (núJ 0 t)

f(t)

(±

2T)

= ±rr,setiene

f(t)

dt

---,

1

-T !2

2

=-

T

[10

-cos(núJ 0 t)dt+ iT/2 cos(núJ 0 t)dt

o

-T/2

2( 1

-=--sen

=-

T

núJ 0

núJ 0 t

L

1

1

+--sen

--1 2 1

~

~{ -

=

T

O.

o]}

.

(1.30)

=Oparan*O puesto que sen O= sen (mr)= O. Para n = O, se tiene 1

- a

2

1

o

= -

T

IT/2

f (t) dt = O

(1.31)

-T /2

puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero. De (1.28) y W 0 T= (2rr/T) T= 2rr se tiene bn

2

¡T/2

T

-T/2

= -

=2-

T

[lo

-

sen

sen

(núJ o t) di

(núJ 0 t) dt

+

lT/2 sen

T

e os· (núJ 0 t)

núJo

2

(núJ 0 t) dt

]

o

-T/2

= -2[1 -

= -

f(t)

lo

-1 cos (núJ 0 t)

-T/2 + -

núJo

-{[1-cos(-nrr)]-[cos (nrr)-1]}

núJ 0 T

2

=-

nrr

(1- cos nrr).

1

1

l

'

1 [sen O- sen (-nrr)] + - - [sen (nrr)- sen núJ 0

1 1

núJot IT/2)

núJo

núJ 0

.-

1

Figura 1.2

1

1 1

IT 12

1

-T~~----+0------;¡~--~~ ~~ •:......---¡ -1

1

lo -T/2

.

1

(1.32)

Forma de onda del problema 1.1 O.

1

1

10

Análisis de Fourier

Puesto que cos mr = (-t)»,

o, bn

=

{

n par

_

(1.33)

4

-·

n impar.

mr

De donde 00

4

f(t)

=77

n=impar

=;4 ( sen w f(t)

1

0

1 sen 3w 0 t +S 1 sen 5w 0 t +· · · ) . t + 3"

(1.34)

PROBLEMA 1.11 Encontrar la serie de Fourier para la furición cuya forma de .onda se muestra en la figilra 1.3. la función[(!) se puede expresar analíticamente así:

Solución:

4t

T 2

1+-• - -
f("t)

(1.35)

= 4t { 1--.

Figura 1.3.

Forma de onda del problema 1 .11 •

-

T o -
T

Puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero,

- 1 - a0

2

lT/2 f(t) dt. T -T/2

1

= -

(1.36)

O,

=

Por (1.27) y (1.35) se obtiene

lT/2 f T -T/2 2 lT/2

2

an = -

(t) e os (nw 0 t) dt

cos (nw 0 t)

=-

T

.dt +-210 T

-T/2

2 +T

lT/2 - 4-·t T

0

cos (nw 0

4 . -t cos (nw 0 t) dt

-T/2

T

t)dt.

La primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo t =-ten la segunda integral se obtiene

. p810

81T/2

an = -

(-'T) cos [nw 0 (-'T)](-d't")--

p

T/2

=

10

8

2 T

T/2

= - 8-

r2

16 T2

=- -

't" cos (nw0 't") d't"- 28 T

lT/2

o

8

r2

cos (nw 0 t)

dt.

t cos (nw 0 t) dt .

cos (nw 0 t) dt

o

T cos (nw 0 T)dT- -

iT/2 t o

lT/2 t

O

lT/2

o

t cos (nw 0 t) dt

Series de Fourier

11

Ahora, integrando por partes, se obtiene

l

T/2

o

1

t cos (ncu 0 t) dt = - · - t sen (ncu 0 t) ncuo

1

IT/2- _ 1

lT/2

ncuo

o

0

sen (ncu 0 t) dt .

.

(n 2TT/T) 2 (cos nTT- 1).

De donde, an

16 . 1 (cos nTT- 1) T 2 (n2TT/T) 2

= - -

(1.37)

Puesto que cos mr = (- l)n,

n par (1.38)

n impar. Análogamente, por (1.28) y (1.35) se tiene .

bn

=

~-1

T/2

f(t) sen (ncu 0 t) dt

-T/2

2

=-

T

.

-T 12

2 +-

T

2 sen (ncu 0 t) d~ +' T

iT/2 - -

4

81o .

T2

=-

4 t sen (ncu T

-T 12

.

0

1,

.

8lT./2

(-'T) sen [ncu 0 (-'T)] (- d'T)-~

t. sen (ncu 0 t) 'dt

O

T/2

lT/2 t sen, o·

t) dt

t sen (ncu 0 t) dt .

T

0

=-

8 T2

Lo

lT/2 .

.

8 (ncu 0 t) dt--

T2

-lT/2 t sen o

(ncu 0 t) dt

=o.

(1.39)

De donde, (1.40)

PROBLEMA

~12

Encontrar la serie de Fourier para la funciónf(t) delmidapor

T . ,--
o, f(t) =

. y f(t

+ T) = f(t), W

0

{

2

.

'

A sen

CU 0

t,

= 2rr/T. (Ver figura 1.4.)

T

O
(1.41)

Análisis de Fourier

12

f (t)

I

T 2

2 Figura 1.4.

Forma de onda del problema 1.12.

puesto que f(t) =O cuando-:- T/2 < t
Solución:

2 T

ao

=-

LT/2 A sen (wot) dt=2A

Tw 0

0

A

= 7T

(-cos Wat)l~

12

(1 - cos rr)

2A

(1.42)

7T

A

= -

iT/2 1sen [(1 + n) w t] + sen [(1 - n) 0

T o

W

0

t11 dt. .

(1.43)

Cuando n= 1, a1

=A -

T

lr

12

sen (2w 0 t) dt

0

=A-

T

(-1 cos 2w t 0 2w 0

)Ir

12 =

0

A '-[1cos (2rr)] 4rr ·.

A (1-1) 4rr

= -

;, o.

(1.44)

Cuandon=2,3, ... , · an =A {- cos [(1 + n) W 0 t] _ cos [(1- n) W 0 t] T Cl+n)W 0 (1-n)W 0 =

1+ n

2

0

~ {1 - [cos (1 + n) rr] + 1 - cos [(1 - n) rr] 2rr

=

}IT/ }

1- n

n par 0, A 2 2 2A . -- +-- = , n unpar { 2rr (1 + n 1 - n) (n - 1) (n + 1) rr

(1.45)

Análogamente

A

=-

T

lT/2 leos [(1- n) o

W

0

t] - cos [(1 + n)

.

W

0

t1l dt.

(1.46)

13

Series de Fourier

Cuandon= 1 A b1 =T

iT/2 dt--AT lT/2 0

cos (2w 0 t) dt

0

A A sen 2Wot = ___ 2 T 2w 0

IT0./2

A

=

2'

(1.47)

Cuandon=2,3, ... , bn =.A {sen [(1- n) W 0 ·T (1 - n) w o

t] _sen [(1 + n) w 0 t]}IT/ 2 (1 + n) w 0

.

0

=~{sen [(1- n)rr]- sim O_ sen [(1 + n)rr]- sen O} 2rr 1- n 1 +n

=o.

(1.48)

De donde, A A f(t) =-+-sen w. t -2A( - - 1 cos 2w 0 t + -1- cos 4w t + · · ·) . 7T 2 o 7T 1·3 3.5 o PROBLEMA 1.13 Solución:

(1.49)

Desarrollar f(t) = sen5 ten serie de Fourier.

en vez de proceder como se hizo en el problema (1.12), se hará uso de

las identidades e±¡ne = cos

cos

ne ±j sen ne,

ne

(l. SO) (l.S1) (l.S2)

Se expresa

S

S

1

= - sen t - -sen 3t + - sen St. 8 16 '> 16 En este caso la serie de Fourier tiene tres térininos solamente. 1.5

APROXIMACION MEDIANTE _UNA SERIE FINITA DE FOURIER

(l.S3)

14

Análisis de Fourier

Demostrar que si se aproxima una funciónf(t) por una serie finita de Fourier Sk(t), entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el mínimo error cuadrátiCo medio. PROBLEMA 1.14

So lución: Ek

si se sustituye (1.54) en (1.57), se tiene 2

= T lT/2 . [f(t)- a2- L 1

k

-T 12

(an cos nwot + bn sen nwot)

n= 1

]

dt.

(1.58)

'

Considerar E k como una función de a0 , an, y bn. Entonces para que el error cuadrático medio Ek sea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a a0 , an, y bn deben ser iguales a cero, es decir, (n=1,2,···).

Intercambiando el orden de la diferenciación y de la integración: aE aa k

= -

1 ·1r12 T '

-T/2

o

~

aEk =(T/ ab" T )_

2

2 - L (an cos nwot + bn sen nwot)

[ f(t)- a

k

]

dt,

(1.59)

n=l.

[f(t)-

-T /2

ao _

2

~ (a

L n= 1

0

cos nw 0 t + bn sen nw 0 t)]sen (n<.vot) dt. · (1.61.)

Si se usan las propiedades de ortogonalidad (1.19), (1.27), y (1.28) del seno y del coseno, · las integrales (1.59), (1.60) y 1.61) se reducen a aE a 1 _ k = ___E___

da o aEk

2

,T

2

iT/ 2 ~T 12

(1.62)

f(t) dt =O, ,

fT/2

--= an-f(t) cos (nw 0 t) dt =O, aa" T -TI 2 aE 21TI2' f(t) sen (nwot) dt __ k= b,;-ab" T -T; 2

=o.

(1.63)

(1.64)

15

Series de Fourier

Solución: Ek

=

1

T

por (1.57) se tiene LT/2

[f (t) - Sk (t)P dt

-T/2

1

iT/2

T

-T/2

= 1T

lT/2

=-

IU(t)P- 2f(t) sk (t) +[S k (t)PI dt .

1

21T/2

[f(t)P dt- T

f(t) Sk (t) dt + T

'

-T/2

lT/2

-T/2

(1.66)

[S k (t)F dt.

-T/2

Ahora bien; 2 iT/2 2 a JT/2 2 f(t)Sk(t)dt=- __!!_ f(t)dt+-

T

2

T

-T/2

2 +T

k

k

TL

-T/2

L

~

an

(

T/2

.

f(t)cos(nw 0 t)dt

)_

-T/2

n=l

T/2

.

f(t) sen (nw 0 t) dt.

bn .[ -T/2

ndl

Teniendo ert cuenta (1.27) y (1.28), se obtiene 2

iT/2

T

.

f(t) Sk(t) dt

=

2 + L (a~+ b~).

a2

-T/2

k.

·

(1.67)

n=l

Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19),

1

T

lT/2

.

[S k (t))2 dt

=

1

[a2 + L

lT/2

k

T .

-T/2

-T/2

,

+ bn sen

n=l

1 k 2L

2

=

.

Can cos nw 0 t

]2

nw 0 t)

a o + - ~ (a 2 + b 2)

4

n

dt

.

(1.68)

n.

n=l

Sustitu~endo

(1.67) y (1.68) en (1.66), se obtiene

1

E k=T

lT/2 -T/2

1

=~

LT/2

T

2

2

1

n=l

k

n=l.

2 1 k ' [f(t)P dt- ao - - ~ (a 2 + b 2 ). 4 2L n n•

-T/2

Solución:

k

[f(t)P dt- ao - ~ (an2+ bn2) + ao +- ~ (a2 + b2). 2 L 4 2L n n

n=l

·

por (1.57), se tiene

1

E k =; T

lT/2

.

[f(t)- S k (t)P dt 2:. O.

(1.70)

L

(l. 71)

-T/2

Y también por (1.65) se deduce que

2 T

IT/2 -T/2

[f(t))2 dt;::,

a2

2

+

k

n=l

(a;+ h;).

16

Análisis de Fourier

PROBLEMA 1.17 Solución:

Demostrar el teorema de Parseval.

por (l.65),.se tiene E. k+

1

1(2 2) =E k - - ak+ 1 + bk+ 1 • 2

(l. 73)

Mediante las relaciones (1.70) y (1.73) se observa que la sucesión !E k! contiene solamente términos no negativos y no es creciente; por consiguiente la sucesión converge. De (1.56), 1im E k (t) == f (t) k""""oo

lim S k (t) k-oo

= O.

(1.74)

De donde, lim Ek

=

(l. 75)

O.

k->00

En consecuencia, por (1.65) se concluye que 1 -

T

f_T/2 -T/2

1.6

.a;

2 1 oo [f(t)l dt ==- + - "\' (a~ + b~) 4 2~

n=1

LAS CONDICIONES DE DIRICHLET

f ( t)

Figura 1.5

Función continua por tramos y 1imites a la izquierda y a la derecha.

Series de Fourier

Solución:

17

por (1.69), se tiene

1

2 a~ +

L (a; + 00

b/.)

IT/2 [f(t)F dt. -T/2

2

:S T

n=l

·

Puesto que la serie del miembro izquierdo es convergente entonces es necesario que lim (a; + b/,)

O,

=

n->oo

lo cual implica que lim an

=

n-+oo

lim bn

=

o.

n~oo

So lución: los coeficientes de Fourier an y bn existen, puesto que la integr·al del valor absoluto de f(t) es finita en el intervalo [- T/2, T/2]. Aplicando tL78) y la definición de los coeficientes de Fourier se concluye que (1.79) es correcta, es decir,

lim

'{a" = hm. -2 IT

n->oo

n->oo

bn

T

12

f(t)

{cos

(nw 0 t)

Sen (nw 0 ( )

-.T /2

dt =O.

De donde,

.lim JT/2 f(t) {cos(nw t) dt -T/2 sen f) 0

n->OO

1.7

=

O.

(nW 0

DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LAS SERIES DE FOURIER

18

Análisis de Fourier

puesto que t'(t) es continua por tramos y diferenciable, su serie de Fourier Solución: converge a ella; por lo tanto su representación en serie de Fourier es f'(t)

=~o+ [
(1.82)

1

donde CX.n =

21T/2 T

f'(t)

COS

(1.83)

(nw 0 t) dt,

-T/2

f3n

21T/2 . f'(t) sen (n
=-

T

.

-T/2

(1.84)

·

Integrando (1.83) y (1.84) por partes, CX.n

2 ~(cos =T

IT/2.

nw 0 t) f(t)

.

+.

nw 0

-T/2

J

T/2 f(t) sen (nw t) dt 0

J

-T !2

(1.85) f3n = 2 T [ (sen nw 0 t) f(t)

IT/2

- nw 0

-T/2

=-

T/2

L

J.

f(t) cos (nw 0 t) dt

-T/2

.

(1.86)

nwoan

puesto que f(- T/2) = f(T/2). Debe notarse que Oto.= O. Por consiguiente, 00

f'(t) =

L nw n=l

0

(-an sen nw 0 t + bn cos nw 0 t),

'

lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) diferenciando término por término. (La diferenciación de una función con discontinuidades súbitas será tratada en la sec. 2.5).

19

Serie!! de Fourier

So lución: puesto que f(t) es una función continua por tramos y por el resultado . del problema 1.6, la función F (t) defmida por F(t) =

(

Jo

f('T) d'T- !_a 0 t

(1.89)

2

es continua y periódica con período T. Puesto qué

.

1 F'(t) = f(t)-

2

(l. 90)

a0 ,

se sigue que F (t) también es continua. Sea la expansión de F(t) en serie de Fouri~r 1

1

2 <Xo + L

F(t) =

00

.

(1. 91)

(<Xn cos núJot + f3n sen núJot).

n= 1

. Entonces, para n ;;:::: 1, <Xn

2

LT/2 ·

T

..;.T/2

=-

2

.

:F (t) e os (núJ 0 t) dt

·... .

=- -

2

IT/2

F(t) sen núJ 0 t --núJoT . -T/2 núJoT

l.

2 T/2 1 = - - - . . . . [f(t) - núJoT .-T./2 2

lT/2

F'(t) sen (núJ 0 t) dt

-T/2

ao] sen (núJot) dt . (1.92)

f3n

L

2

T/2

=-

T

F(t) sen (núJ 0_i)·dt

-T/2

2.

·.

'IT/2

núJoT

2

·= - - ..T · núJo

-T/2

l.

T/2

2.

+ --

= - --.·F(t)cosnúJ 0 t

núJoT

L

T/2

.

F'(t)cos(núJ 0 t)dt

-T/2

.

1

.

. [f(t) - -2 a o ] cos (núJ o t) dt

-T/2

1

(1.93)

=-an•.

núJo

De donde 00

F(t)

1 . 1 =-a + '\' (- bn 2· ° n=l L.., núJ · 0

cos núJ 0 t + an sen núJ 0 t).

(1.94)

Análisis de Fourier

20

Ahora bien; (l. 95)

De donde,

I.,

12

f(t) dt

=

F(t 2 ) - F(t,) +

~a 0

(t2

t 1)

-

+ an (sen ncu 0 t 2 - sen nw 0 t)l lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) mediante integración término por término.

Solución:

por el resultado del problema 1.21, se tiene

El término f a0 t·no es periódico y por consiguiente la integral no es periódica. Nótese que la integración de la serie de Fourier de f(t) término por término, conduce a la serie de Fourier de la integral def(t) solamente si a0 =O, es decir, sólo si el valor promedio de f(t) es cero; esto se demostró en el problema 1.5.

Solución: T/2 -T/ l 2

aplicando (1.27) y (1.28), se obtiene 1

[/(t)Jl dt =

2 a0 + b" ,

lT/2 -T/ 2

l

TI2

.

""

f(t) dt +

~

r.

( T /2

j_

("

f(t) cos (nw 0 t) dt

-T/2

.

J

f(t) sen (nw 6 t) dt

. -T !2

(1.99) De esta manera,

1

T

IT

12

-T/2

1

1

[f(t)F dt =-a¿+ - '\''(a~+ b~). 4 2 L 00

n=l

21

Series de Fourier

1.8

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Encontrar el período de las siguientes funciones:

PROBLEMA 1.24

(a) cosnt, {b) cos21Tt, (e) sen(21Tt/k), (d) (e) lsenwotl.

s~nt+sen{t/3)+sen{t/5),

t

o

•

7T

Respuesta: (a) 21T/n; (b) 1, (e) k, {d) 30 1T, (e) 1T/W 0 • La función fltl del problema 1.29.

Figura 1.6

Demostrar que la función/{t) =constante, es una función periódica de período T para cualquier valor positivo de T. PROBLEMA 1.25

f( t)

PROBLEMA 1.26 Si/{t) es una función periódica de t con período T, demostrar que f(at) para a =1= O es una función periódica de tcon períodb T/a.

Si f(t) es una función periódica de t con Te integrable, demostrar

PROBLEMA 1.27

que

fa

(t)

_!___ . 2a

=

l

·.-~

t+a

f

(1:) dí: también es periódica con período T .

t-a

PROBLEMA 1.28 Demostrar que si f(t) y g(t) son continuas por tramos en el intervalo (- T/2, T/2) y periódicas de período T, entonces la función h(t)

=

_!_ T

f

Figura 1.7

La función f!tl del problema 1.30.

T/2

f(t)

f(t- í:)g(í:)dí:

-T/2

es continua y periódica con período T. PROBLEMA 1.29 Encontrar la serie de .Fourier para la función f(t) definida por f(t) = 1 para-1T
Respuesta:l 2

_1. 77

f:: n

sen (2n -1) t . 2n -1

= 1

PROBLEMA 1.30 Encontrar la serie de Fourier de la función/{t) definida por f(t) = t paraelintervalo(-1T,1T) y f(t+21f)=f(t). (Verfigura1.7). 00

Respuesta: 2

L

n

= 1

(-1)n-1

n

sen .n t .

Figura 1.8.

~~.. -27T

Encontrar la serie de Fourier para la función/(t) defmida por f(t) = t en el intervalo (-1T, 1r) y f(t + 21T) = f(t). (Ver figura 1.8). PROBLEMA 1.31

Respuesta:.! · 3

TT

2

oo

L:aefunción f!tl del ·problema 1.31.

-TT

Figura 1.9

.

0

7T

2TT

La función/!tl del problema 1.32.

( 1)n

+ 4 '\' ---cos n t. · ~ n2 n=1

f(t)

PROBLEMA 1.32 . Encontnu: la serie de Fourier para la función/{t) defmida por f(t) = et en el intervalo (-1T, 1r) y f(t + 21T) = f(t). (Ver figura 1.9). A

~ (-1)n Respuesta: 2senh1T [1 - + ~ -2 (cos nt- n sen nt) ] . TT 2 n= 1 1+n PROBLEMA 1.33

(Ver figura 1.10).

Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) = 1A sen W0 t 1.

Figura 1.1 O La función f!tl del problema 1.33.

Análisis de Fourier

22

2A 4A Respuesta:- + 7T

7T

Desarrollar f(t) = sen2 t cos 3 t en serie de Fourier.

PROBLEMA 1.34

Respuesta~-.L (2 cos t- cos 3t- cos 5t). 16

Desarrollar f(t) = er cos t cos (r sen t) en serie de Fourier. [Sugerencia: usar la serie de potencias para ez cuando z = reit.]

PROBLEMA 1.35

L 00

Respuesta: 1 +

n= 1

r" cos n t. n!

Aproximar la función f(t) = ten el intervalo (- 1r, rr) mediante una serie finita de Fouri~r de 5 términos que sean diferentes de cero. Calcular también el error cuadrático medio en la aproximación.

PROBLEMA 1.36

S

Respuesta:2 n~

1

PROBLEMA 1.37

[ (-

] 1)n-1 n sen nt ,

E 5 = 0.363.

Utilizando el desarrollo en serie de Fourier del problema 1.10,

demostrar que 7T

1

1

1

-=1--+---+· 4 3 S 7

1 [Sugerencia: hacer t =-Ten (1.34).] 4 PROBLEMA 1.38

Demostrar que

L.: !.. = 1 + ..!:.4 . + .!.9 + ...!._16 · 00

n=

1

+ . . .=

n2

"2 .

·6

Ji¿'

[Sugerencia: hacer t = 1r en el resultado del problema 1.31.] 00

PROBLEMA 1.39

L:

Encontrar la suma de

n=1

1 (2n -1) 2

[Sugerencia: hacer t =O en (1.40) del problema 1.11.]

Respuesta: rr2 /8 Si una función periódica f(t) tiene derivadas continuas hasta el orden k y derivadas continuas por tramos de orden k + 1, demostrar que existe una cota B, dependiente sólo de f(t) y k tal que PROBLEMA 1.40

y

donde an y bn son los coeficientes de Fourier de f(t). PROBLEMA 1.41 Seanf(t) y g(t) funciones continuas por tramos con período T, y 8ean an, bn y~' f3n los re8pectivo8 coeficientes de Fourier de f(t) y g(9·

Demostrar que

J

~ ·

T~

-T/2

f(t)g(t)dt=~

oo

a0

a0 +

L "=1

(anein+bnf3n).

23

Series de Fourier

PROBLEMA 1.42

Si f(t) es una función periódica integrable, con período T, demostrar que

11T

(T )

f (t) - - t dt T o 2

donde bn es un coeficiente de Fourier de f(t) y [Sugerencia: desarrollar PROBLEMA 1.43

f:

t

~

bn

n= 1

nwo

~ -

=

'

= 2rr/T.

W0

T- t , para O< t < Ten serie de F ourier.]

Integrar la serie de F ourier para t 2 en el problema 1.31 para obtener y

(-1)" se:3 nt = 112 t (t2- rr)

ri=1

h 00

PROBLEMA 1.44

Utilizar el teorema de Parseval (1.72) para probar que

1

(

n~ )2 2 1

2

=

~

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.10.] PROBLEMA 1.45 De un conjunto infinito de funciones reales { ~n(t)}, donde n = 1, 2, ... , se dice que es un conjunto orto normal en el intervalo (a, b) si

Jb c/Jn

(t) c/Jm (t) dt

Smn ,

=

a

donde l:imn es la función delta de Kronecker. Seaf(t) una función defmida en el intervalo (a, b) y si se supone que f(t) se puede representar como

L 00

f (t)

= e 1 cp 1 ( t) + e 2 c/J2 (t) + · · · + en c/Jn ( t) + · · · =

en c/Jn (t)

n=1

en el intervalo (a, b ), donde las en son constantes. I>emostrar que f

e~ =Lb f(t)c/Jn(t) dt, a

n

=

1, 2, · · ·.

,

Los coeficientes en se denominan coeficientes de Fourier de f(t) con respecto al conjunto ortonormal lc/Jr. (t)l.

L k

PROBLEMA 1.46

Sif(t) en el problema 1.45, se aproxima por fk (t)

r

=

en c/Jn (t ),

n.=1

b 2

[f(t) - f k ( t)] dt es un mínimo.

demostrar que el error cuadrático medio _1_. b-aJo,a

.

PROBLEMA 1.47 Demostrar que si en son los coeficientes de Fourier de f(t) con respecto al conjunto ortonormal {~n(t)}, entonces

lb

2 [f(t)] dt=

1; e~. 1

Este resultado se conoce como la identidad de Parseval.

•

2

CAPITULO

ANALISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIODICAS 2.1

'SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA

2.1 a Funciones pares e impares

o (a) f(t)

-Solución:

sea/{t) = / 1 (t) / 2 (t). Si/1 (t) y f 2 (t) son funciones pares, entonces f(- t) = fl (- t) 12 (- t) = fl (t)f2 (t) = f(t),

y si/1 (t) y f 2 (t) son funciones impares, entonces (b) Figura 21.

(a) Una función par. (b) Una función impar.

f (- t) = fl (- t) 12 (- t) = - fl (t) [- 12 (t)] = fl (t) 12 (t) = f (t).

Esto prueba que f( t) es una función par. Análogamente, si/1 (t) es par y / 2 {t) es impar, entonces f(-t) = fl (-t)f2 (-t) = fl (t) [-/2 (t)] = -fl (t)/2 (t) = -f(t).

Esto prueba que f(t) es una función impar.

24

25

Análisis de formas de ondas periódicas

So lución:

cualquier funciónf(t) se puede expresar como

l. 1 1 1 f (t) = 2 f (t) + 2 f (- t) + 2 f (t) - 2 f (- t) =

Sea

1

1

(2.4)

2[f(t) + f(-t)] + 2[f(t)- f(-t)l.

1

.

2[f(t) + f(-t)]

1

2[f(t)- f(-t)]

=

fe(t),

(2.5)

=

10 (t).

(2.6)

Entonces, 16 (-t)

.

f0

(-

t)

=

=

1 -[f(-t) + f(t)]

2

=

fe(t),

1 1 2 [f(-; t)- f(t)] = - 2 [f(t)- f(- t)] = - f

0

(t).

De donde, f(t) = fe (t) + 10 (t),

donde fe(t) es la componente par y [ 0 (t) es la componente impar de la función dada,f(t). Otra forma de solución:

si se supone que f(t) se puede expresar como f(t) = fe(t) + f 0 (t),

(2.7)

f(t)

·K

donde fe(t) y [ 0 (t) denotan las componentes par e impar de f(t), respectivamente. De acuerdo con la defmición de componentes par e impar dadas por (2.2) y (2.3), se sigue que

.

.

.. t

{a)

(2.8)

f(-t) = fe(t)- f 0 (t).

La suma y la diferencia de (2~7) y(2.8) dan como resultado, respectivamente

1

fe (t) = 2 [f(t) + f(- t)]¡ <

. 1 10 (t)

PROBLEMA 2.3

(b)

= 2[f(t)- f(-t)],

Encontrar las componentes par e impar de la función definida por

[figura 2.2(a)]: -t

f(t)= {

Solución:

t >o

e '

O,

(2.9)

t


t

>o

t


Figura 2.2

de acuerdo con (2.9), se tiene O, f(-t) =

.

{ et,

Por medio de (2.5) y (2.6), se concluye que.

(2.10)

(a) La funciónj(t) del problema 2.3. (b) La componente par de la figura 2.2 (a). (e) La corripo· nente impar de la figura 2.2 (a).

26

Análisis de Fourier

. ~e (t) =

.

1

2 [{(t) +

f(- t)l =

t

>o

2e,

t


~e-t

t>O

-e 1 -t 2 '

{ .

(2.11)

1

{

t

f0 (f)o~[/(t)-f(-t)]o :~ •• ' 2

t
'

Las componentes par e impar de f(t) se ~uestran en las figuras 2.2(b-c).

Solución:

si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.13), se tiene

1: 1: f(t)df =

f(t) df + lB f(t) df,

Haciendo t =- x en la primera integral del segundo miembro

lo

-Bf(t)dt=

lo

. B f(-x)(-dx)= lB f(-x)dx. 0

Puesto que f(t) es par, es decir,[(- x) = f(x), se tiene B f(- x) dx l o

=

1· B f(x)

o

dx

=

lB f(t) dt.

.

o

Lo cual es -cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable "comodín"; por consiguiente,

L:

f(t) dt = lB f(t) dt + lB f(t) dt = 2 lB f (t) dt. }'

( (t)

r __/¡ 1 1

~

1 :

: 1

Solución:

_/ .t

: 1

si se escribe nuevamente elprimer miembro de (2.14), se tiene

1:

f(t) dt =

=

Figura 2.3

L:

f(t) dt + lB f(t) 'dt

lB f(- f) dt + lB f(t) dt,

Simetría de media onda.

Puesto que f(t) es impar, es decir,[(- t) =- f(t), se tiene

(2.12)

27

Análisis de formas dé ondas periódicas

ia

f(t) dt

a

=-

ra f(t) dt la f(t) dt +

.lo

=

o.

o

En particular, f(-0)

=

-f(O);

de donde, 'f(O)=O. 2.1 b Simetría de media onda

(a)

(b)

Figura 2.4

Solución:

(a) Simetría de cuarto de onda par. (b) Simetría de cuarto de onda impar.

Si f(t) tiene simetría de media onda, entonces, de acuerdo con (2 .16), se tiene t(t)=-t(t+}r).

Puesto que f(t) es periódica con período T, t(t-}r) =f(t+T-}r) =f(t+}r).

/

Por consiguiente, f (t) = - f, (t + } T) = - f ( t - } T) .

PROBLEMA 2.7 En la figura 2.S(a), demostrar que si se construye una nueva función sustrayendo de f(t) el término constante A/2, la nueva función es una función impar.

So lución: la sustracción del término constante A/2 de /(t), solamente desplaza el eje horizontal hacia arriba en A/2. Como se muestra en la figura 2.5(b ), es obvio que la nueva función g(t) = f(t)- A/2 es una función impar.

' Figura 2.5

(¡1) Simetría escondida (b) Simetría impar.

28

Análisis de Fourier

2.2

Solución:

COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMETRICAS

el desarrollo en serie de Fourier de f(t) es

1

f(t) =

2a

L 00

0

+

(an cos nw 0 t + bn

sen

nc:J 0 t).

n=l

Por (1.27) y (1.28), se tiene an

=

iT/2

2

T -

bn

=

f(t) cos (nw 0 t) dt,

n =O, 1, 2, · · ·,

f(t) sen (nw 0 t) dt,

n

-T /2

21T/2 T

=

1, 2, · · ·.

-T /2

Puesto que sen nw0 t es impar y f(t) es par, el producto f(t) sen nw 0 t es una función impar. Por consiguiente, de acuerdo con (2.14), bn =O.

Así mismo, puesto que cos nwot es una función par, el producto f(t) cos nwot es una función par; por consiguiente, según (2.13), se tiene ' \

an

4

= -

T

iT/2 o

f(t) cos (nw 0 t) dt.

29

Análisis de formas de ondas periódicas

So lución: puesto que f(t) es una función impar, el producto f(t) cos nw 0 t es una funci6n impar, y el productof(t) sen nw 0 t es una función par. Por consiguiente, de acuerdo con(2.13) y (2.14), se tiene bn

4

= -

lT/2 . sen (nw t) dt. f(t) ,

T o

Solución: f(t) es

0

el coeficiente an en la expansión de Fourier de una función periódica

IT/2

2

an = T

f(t) cos (nto 0 t) dt

-T /2

I:

~[

=

12

f(t) cos (nw 0 t) dt] ,

12

Cambiando lá variable t por (t-

~ {1T

an =

1T

f(t; cos (n(d 0t) dt +

f

T) en la primera integral, se obtiene

(t- ~ r)

12

f

cos [nw 0

(t- ~ r)]

dt

12

+

.[T

(2.22)

_f(t) cos (nw 0 t) dt}.

Puesto que f(t) tiene simetría de media onda, si se tiene en cuenta la propiedad f(t) =- f(t- f T) de (2.17) y el hecho de que sen mr =O, 2

an = -

IT/2 .

T o =

'

[-f(t) cos (nw 0 t) cos nrr + f(t) cos (nw 0 t)] dt

2 -[1- (-1)"1

lT/2

T

o =

.

{

4 T

1·

o

f(t) cos (nw 0 t) dt

paran par (2.23)

T/2

f(t) cos (nw 0 t) dt

paran impar

Un desarrollo similar muestra que

o

6 "

.

~ { ~ lTI' /~) •m (~,1) dt

paran par

(2.24) paran impar

l

30

Análisis de Fourier

Solución:

puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda par, f(t)

=

E(- t),

Por los resultados de los problemas 2.8 y}.lO se tiene, por consiguiente, que · bn

=

. a2n =

4 a2n-1 = -

. T

=

O} para todos los valores

o

i

T/2

Jo[T 14 f(t) cos [(2n -

. iT/4

+

Cambiando la variable t por (t

a2n-1.=

4T

+t

.

f(t) cos [(2n- 1)

o

4 { T

(2.27)

den (incluyendo ao),

T/2

1) w 0 t1 dt

f(t) cos [(2n- 1)

·

w0 t] .dt

W 0 t]

}

dt .

(2.28)

T) en la segunda integral, se tiene

{lT/4 f(t) cos [(2n- 1) w t] dt 0

0

(2.29)

Si se usa' la propiedadf(t) =- f(t a2n-l =

4 T

+t

T), se tiene

{lT/4 f(t) cos[(2n -1)w t] dt+ 0

O

4

.

= -

T

T/4 i-T/4

io-T/4

.

f(t) cos [(2n - 1) w 0 t] dt.

Dado que f(- t) = f(t) y f(t) cos [(2n- 1)w 0 t] es una función par, según (2.13) se obtiene 8 a2n-1=f(t) cos [(2n-1)W 0 t]dt.

(T/4

T

.

}

f(t) cos [(2n -1) w 0 t] dt

(2.30)

31

Análisis de formas de ondas periódicas

So tu ción:

puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda impar

y

f(-t) = -f(t)

f

(t+~T)

=-f(t).

Por consiguiente, de los resultados de los problemas 2.9 y 2.10, se tiene an

=

_

b 2n b 2n-l

-

= -4

o}

para todos los valores · de n (incluyendo a0 ),

0

iT/2

T

o

(2.33)

f (t) sen [(2n - 1) w 0 t] dt. .

(2.34)

Evaluando esta integral como en el problema 2.11

fT/4

8

T

b2n-l =

PROBLEMA 2.13

Jo

.

f(t) sen [(2n- 1) w 0 t] dt.

f (t)

Encontrar la serie de Fourier de la onda cuadrada que se muestra

Solución:

--,

~--

1 1

en la figura 2.6. porlafigura.2.6, se tiene f(- t) == f(t)

1

1

1 1

f

1

2

1

y Figura 2.6

es decir, la funciónf(t) tiene simetría de cuarto de onda par. Por consiguiente, según el resultado del. problema 2.11, se tiene 00

f (t)

=

L

a2n-1

cos [(2n - 1) w 0 t],

277

Wo=

T'

(2.35)

n=l

lT/4

8

a2n-1 = -

T

f (t) cos [(2n - 1) w 0 t] dt

o

81T/4 cos .[(2n- .

1) w 0 t] dt

=-

T

o

..

8 =----:~--:-sen [(2n - 1) w 0 t] (2n- 1) W 0 T

= (

=

2n

~ 1)

77

{(2? ~1)

sen [(2n - 1)

~] ·

para (2n -1) = 1,5 ...

(2.36)

para (2n -1) = 3,7 ...

(2.37)

7T

. -4

. (2n - 1)

IOT/4

77

1

T O

'-l 4

IT

:- l o4

T 2

La onda cuadrada del problema 2.13

32

Análisis de Fourier

de donde,

4(

.1

1

)'

f(t) = - cos w 0 t - - cos 3w 0 t +- cos Sw 0 t- • • • •

3

1T

J!-----.

--1

1

1 1

1 1

IT 1-

l ! 2~_¡4 Figura 2.7

en la figura 2.7,

,--

Solución:

por la figura 2.7, se tiene

1

'1

_!_l _!_

(2.38)

Encontrar la serie de Fourier de la 01ida cuadrada que se muestra

PROBLEMA 2.14 f (t)

S

t(-t) =-f(t),

:T

!2

1 1

t(t+}r)

=~t(t),

es deci!, la funciónf(t) tiene simetría de cuarto de onda impar. Por consigueinte, según el resultado del problema 2.12, se tiene

La onda cuadrada del problema 2.14.

00

f(t)

=

Lb

2 n-t

277

sen [(2n- 1) w 0 tl,

Wo = - '

T

(2.39)

n=l

8lT/4

h2n-1 = -

T o

8

= -.

f(t) sen [(2n- 1) w 0 t] dt

iT/4 sen [(2n - 1)

T o

·

w 0 t] dt

.

,T/4

-8

. = (2n - 1) WoT cos [(2n ,.. 1) wotl o = ( 2n

f(t)

~ 1)

4 (2n- 1)

77

{

1 - cos [c2n - 1)

~]} (2.40)

1T'

de donde

1 1 f(t) =4- (sen w 0 t +-sen 3w 0 t +-sen Sw 0 t + · · J ·. 3

1T

'-T

o

T

t

S

(2.41)

Se debe notar que este resultado es el mismo del problema 1.10.

(a) ~ (t)

PROBLEMA 2.15

Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) que se muestra eri

---+--+----ll.----~~-+--4----. t la figura 2.8(a). Solución: como se muestra en la figura 2.8(b), la funcióng(t) == [f(t)--}] es una función impar; por consiguiente

L 00

(b)

Figura 2.8

(a) La funciónf(t) del problema 2.15. (b) La componente impar de fltl de la figura 2.8(a).

g(t) ~

bn sen nw 0 t,

Wo=r· 21T

(2.42)

n=l

bn

=

21T/2 T

-T/2

g (t) sen (nw 0 t) dt. .

(2.43)

33

Análisis de formas de ondas periódicas

Puesto que g(t) sen nw0 t es una función par, de (2.13), se tiene .bn = -4

iT/2 . a

(t) sen (nCúot) dt.

T o

(2.44)

.

Ahora bien;

entonces, bn

iT/2 (~-!_t)

=i_ T

T

2

o

sen (nCú 0 t) dt.

Integrando por partes, se obtiene b = n

i_ [- (~!_ t) T 2 T

1 --. nrr

(2.45)

Por consiguiente,

t(t)

1

=

2+ aCt)

=

2 +; L 1

00

1

1

;:; sen nCú t 0

n= 1

= -1 + -1~sen Cú 0 t + -1 sen 2Cú 0 t + -1 sen ·.2

2

rr.

3

3Cú 0 t + . . .) .

(2.46)

Teniendo en cuenta el resultado delproblema 2.15, encontrar la serie de Fourier de la funciónf(t) que se muestra en la figura 2.9(a). PROBLEMA 2.16

Solución:

f (t)

por la figura 2.9(b) y el resultado del problema 2.15, se tiene f 1 (t)

=

1- f(t)

=

00

L 2+; n=1 1

1

;:;1 sen nCú

0

t.

(2.47)

o

Por tanto,

T (o}

f(t)

=1-

fl{t) fl (t)=l-f(t)

n= 1

(2.48) O

T (b)

2.3

EXPANSIONEN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO FINITO

Una funciónf(t) no periódica, definida en cierto intervalo

Figura 2.9

(a) La función f(t) del problema 2.16. (b) La función/¡ (t) del problema 2.16.

Análisis de Fourier

34

(a)

/

(b)

(e)

,,, T

• t

(e)

(d)

(f)

Figura 2.10 (al La funciónf(t) dada. (b) Simetría par: términos del coseno, w 0 = rr/c. (e) Simetría impar: términos del seno, w 0 = rr/¡;. (d) Términos del seno y del coseno, w 0 = 2rr/r (T: arbitrario). (e) Simetría de media onda: términos del seno y del coseno, y armónicos impares, w 0 = rr/r. (f) Simetría de cuarto de onda par: términos del coseno y armónicos impares, w 0 = rr/(2-r;). (g) Simetría de cu~rto de onda impar: términos del seno y armón'icos impares, w 0 = rr/(2t). (g)

2.3a Expansiones de medio recorrido

"\

Análisis de formas de ondas periódicas

35

f ( t)

PROBLEMA 2.17

Dada la función (figura 2.11)

1

----1

para O< t <-rr 2

1

1

(2.S3) 1

para

2

1

o

rr
1T

1T

2

desarrollar f(t) en una serie de Fourier de términos del coseno y trazar la correspondiente extensión periódica de f(t).

Figura 2.11

La función j(t) del problema 2.17.

Solución: en la figura 2.12 se muestra la gráfica de la extensión periódica par def(t). Puesto quef(t) se extiende a una función par, se tiene n = 1, 2, ·

Por (2.50), se tiene an

=

~ 17

r 7T f(t) cos (nt) dt

=

Jo

~ 17T 17

cos (nt) dt

t eCO

· 1r12

·--------, 1 1

2 ' nt 17T =-sen nrr

1

1

7712

2

nrr

nrr

2

=--sen-;

~------;

1 1

l

1

1

:

: t

1

-7T

7T

7T

o

2

(2.S4) Figura 2.12

7T

2

La extensión periódica par de '

[ltl de la figura 2.11.

esto es,

n par (n i= O)

O,

2 --, nrr

n =1, S,···

2 -, n nrr

=

3, 7, · · ·.

Paran=O, 2 i7T dt=l. a=,O

1T

7T /2

(2.SS) fo(t)

De esta manera, se tiene

2( cos t- -cos 1 1 fe(t) '1 = --3t + -cos St- · ..) 2 rr 3 S. para O<

1

1

.--.

1

1

1

¡---¡

(2.S6)

t< rr.

1

: 1

1

1

1

7T ¡--;¡;.- o

:1!,. ____· 1: - 2

PROBLEMA 2.18 Desarrolla~ f(t) definida por (2.53), en una serie de Fourier expresada en términos del seno y trazar la correspondiente extensión periódica de f(t). Solución:

el gráfico de la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.13.

2 -1

Figura 2.13

1•

1

1

1

7TI 1

1

1

1

1

L---~

La extensión periódipa impar

dej(t), de la figura 2.11.

36

Análisis de Fourier

Puesto que f(t) se extiende a una función impar, an =

O.,

n = 0,1,2, · · · .

Por (2.52), se tiene

i'"

bn =2-

rr

f(t) sen (nt) dt

o

21'"

sen (nt) dt

= ;

Tr/2

=-

-cos nt

2 nrr

\'"

rr/2

2 feos n rr- cos !.n rr) · nrr \ · 2 '

(2.57)

esto es,

2 nrr

-·

n = 1,3,5, · · ·

4

- - , n = 2,6,10, • · · nrr O,

n

=

4, 8, 12, · · ·

Por consiguiente, f(t)

f 0 (t)

=;2

(sen ' t + 1 sen 3t .+S 1 sen St + · · ·)

3

. 2( . 13 rr

1S

- - sen 2t +-sen 6t +-sen 10t + · · ·

para
Figura 2.14

)

< 1r Dada la función (figura 2.14)

PROBLEMA 2.19 La funciónf(t) del problema 2.19.

2k -t l

f(t)

'(2.59)

=

{

2k

¡CZ- t)

desarrollar f(t) en una serie de Fourier en términos del seno. f(¡(t)

la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.15 . . Puesto que f(t) se extiende a una función impar,

So lución:

an

=o,

Por (2.52), se tiene

=} 1 f(t) sen (nzrr t) dt 1

Figura 2.15

La extensión periódica impar

de hi figura 2.14.

b.,

(2.58)

.O

.

n

= 0,1,2, ....

37

Análisis de formas de ondas periódicas

:Integrando ahora por partes, se obtiene 1

1

1 2

0

t sen (nrr - - t) dt 1

=

1t n rr --cos - t n rr 1

11 2

10

+¡nrr

11!

2

0

cos (n -rr1 ) dt· l

2

2 / 1 1 1 - - - - cos - n rr + -2 sen - n rr. 2

2n rr

n rr

2

(2.61)

2

~Análogamente

I

J

.

(1- t) sen

dt

/12

=

/ 2 '1 {2 1 --cos -nrr +--sen -nrr. 2 2

2n rr

2

n rr

2

(2.62)

Sustituyendoc(2.61) y (2.62) en (2.60), (2.63) de ·esta manera ( r; 1 7T 1 7T ) I(t) . =8k - sen-t--sen3-t+-sen5-t-···.

.

1

~

2.4

~

1

9

LA FUNCION IMPULSO

l

(2.64)

Análisis de Fourier

38

con un cambio formal de la variable independiente, es decir, t - t 0 = r, de donde t= t 0 +¡,y dt =d¡, Solución:

l~ o(t- t )t/J(t) dt = f_~ o(T)t/J(T + t 0

0)

dT

=

l~ o(t)t/J(t + t

0)

dt;

entonces, mediante (2.67), se tiene

L:

o(t)

~ (t + to) dt = tP (t + to) 1t=O = tP (to).

Análogamente, con at =¡, t = r/a, dt =.!. dt, si a> O, se obtiene a

.

~

roo a )_ 00

=

o(t)t¡J(.!) dt !_t¡J(.!) 1 a a a =

t=O

1

- - "'(0)·

- \al

'

'~-'

si a< O,

l

=;1 i-oo o(T)t/J

oo o(at)t/J(t) dt

-oo

(L)

-; · dT

00

=

-~ f_~o(t) t/J (;) dt

=

y;j tP (O).

1

Solución:

aquí la expresión

lb

O (t - t 0 ) g (t) dt

B

se puede interpretar como sigue: si se selecciona la función de prueba lj>(t) tal que g(t)

tP (t)

=

{

o

paraa < t < b (2.71)

para b < t 0
entonces, por (2.68), se tiene b

L a

O(t - t 0 ) g (t) d_t

ioo'

=

-oo

O (t - t 0 )

tP (t)

dt

= tP Cte) =

{g

Cto)

O

para a< t0 < b para b < t0 < a.

39

Análisis de formas de ondas periódicas

Solución: 1

aquí de nuevo la interpretaciqn de la expresión

Lb

o(l _lo) dl

es como sigue: si se selecciona la función de prueba 1/J(t) tal que

cp (l) =

1 para a< l < b {

(2.71) O para b < l 0 < a ;

entonces, por (2.68), se tiene

lb

o(l- lo)dl = =

l~o(l- lo)'cf rel="nofollow">(l) dl e/> Cto)

para a < l 0 < b .

={1

O para b < l 0 < a.

Solución:

sif(t) es una función j::Ontínua, entonces ·

l~ [f(l) o(l)] cp (t) dt = 1.~ o(t) [f (t) ~(t)] dt =

f(O) e/> (O)

= f (O)

f_~ o(t) e/> (t) dt

L~ [f (O) o(t)] cP (t)

=

(2. 78)

dt.

Puesto que 1/J(t) es una función de prueba arbitraria, se concluye que f(t) & (t) = f(O) & (t). ·Según este resultado es obvio que t o(t) =

o.

Por (2.69), se tiene

L

oo

-oo

1 cp(O) o (al) cp (l) dl = --; \

\

1 = --; \

\

1"" o

(l) cp (l) dt =

-oo

,

i""

a\

' -1 1

-oo

8 (l) cp (t) dl. "

40

Análisis de Fourier

Por tanto,

8(at)

=

·2_ 8 (t).

\a\

Haciendo a =- 1 en el anterior resultado, 1

8(-t)=\- \ o(O=o(t), 1 lo cual muestra que 6(t) es una función par. 2.4a Derivadas de la función

So lución:

o

considerar la integral dada por

loo -oo

f'(t)

cp (t)

dt.'

.

Integrando por partes, se obtiene

L:

f' (t) cp (t) dt

= f

(t)

cp (t) [

_ 00

1:

f (t)

cp' (t) dt.

(2.83)

Si s'e recuerda que la función de prueba cp(t) es tal que se anula fuera de algún intervalo, es decir, es cero en t = ±oo,

Análisis de formas de ondas periódicas

i~ f'(t) cf> (t) dt = _

1:

41

f(t) cf>' (t)dt.

Se debe notar que la derivada/'(t) de una función generalizada arbitraria está definida por (2.82).

So lución:

utilizando la expresión (2.82), se tiene

f_~ rt Ct) o Ct)J ,e/> (t)

dt

=-

f_~ rt có o col cf>' Ct) dt

= -

i~ o(t) [f(t) e/>' ,Ct)l

= _

L:8(t)l[[(t)cp(t)]'- ftt)cp(t) !dt ·

=

,

=

-1:

o(t)

liC~)cf>Ct)l' dt +

[~ e) '(t) rt(t)

1:

dt

cf>Ct) 1 dt +

lo~Ct)t(t)+ OCt) rCt)l

1:

o(t) [f'(t)cf>(t)l dt ·

[~ro Ct) r Ct)1 cf> (t}dt c/>(t)dt.

(2,85)

Por tanto, [f(t)

Solución:

o(t)], = f(t) [j '(t) +

f'Ct) (5 (t). .

por (2.84), se tiene t(t)o'(t) = [t(t) o(t)l,- f'Ct)o(t).

Puesto que según (2.74) setiene,/(t)c5(!)= f(O)c5(t), . f'(t) o (t)

= f' (O) o (t),

[ t(O) o CÓ1 ~ = f(O) o '(t).

Sustituyendo en (2.87), se obtiene f(t)o'(t) = f(O)o'(t)- f'(O)D(t).

(2.87)

42

Solución:

Análisis de Fourier

por (2.82), se tiene

L:

u '(t) cp (t) dt

1:

= _

u (t) cp' (t) dt.

Pero, según (2.88),.se tiene

1:

u'(t)cp(t~dt=-1

00

c//(t)dt =-[cp(oo)-cp(O)] =cp(O),

porque cp(oo) =O. Entonces,

1:

u'(t)cp(t) dt

=

L:

8(t)cp(t) dt.

(2.89)

En consecuencia,

u '(t) = du (t) = 8 (t). dt

(2.90)

u (t)

_~,_____¡-_' o Figura 2.16

La función unitaria de Heaviside o función esc*nada unitaria.

Si f(t) es una función continua por tramos con discontinuidades súbitas a1 , a2 , ••• en t 1 , t2 , . . . (figura 2.17), y la función f' (t) está definida en todas partes excepto en estas discontinuidades de número finito, encontrar la derivada generalizada de f(t). PROBLEMA 2.28

Solución:

considerar la función g(t)

=

L ak u(t- tk),

f(t)-

f(t)

(2.92)

k

donde 1 para t > tk u (t - t k)

=

.

Figura 2.28

Una función continua por tramos con discontinuidades súbitas.

{

O parat < tk.

la función g(t), obviamente, es continua en todas partes y su derivada es igual a[' (t) excepto en un número fmito de puntos. Por tanto, la diferenciación de (2.92) da

g'(t) = f'(t)-

L ak 8(t- tk)

(2.93)

k

Teniendo en cuenta·(2.90), por (2.93), se tiene f!(t)

=

g'(t) +

L ak 8(t- .tk). k

(2.94)

Análisis de formas de ondas periódicas

2.5

43

SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE fUNCIONES PERIODICAS DISCONTINUAS

f(t)

PROBLEMA 2.29

Encontrar la serie de Fourier para la derivada de la forma de onda

de la figura 2.18. Solución:

de acuerdo con el resultado del problema 2.15, la serie de Fourier de/(t)

está dada por

1 2

1

f(t) = - +-:-

.

TT

00

L

1

-sen i'lw 0 t

-T

n

n= 1

o Figura 2.18

(2.99)

T

2T

La forma de onda del problema 2.29.

44

Análisis de Fourier

Diferenciando término por término, se tiene '

i (t)

TL 2

=

00

n2rr

--t.

(2.100)

o(t- nT).

(2.101)

cos

T

n=l

Por otra parte, según (2.94), se tiene 00

f'(t) =-

.!._ + T

n=-oo

Se observa que la serie de Fourier (2.100) no es una serie conV.ergente en el sentido ordinario, pero se puede decir que la serie (2.100) converge a la función generalizada (2.101) en el sentido de una función generalizada.

S(t+T)

¡

-T

S(t)

S(t-T) S(t-2T)

1 1 1:

o

Figura 2 .. 19

T

2T

Un tren periódico de impulsos unitarios.

Deducir la serie de Fourier para un tren periódico de impulsos unitarios 5r(t) mediante la aplicación formal de (1.27) y (1.28). PROBLEMA 2.30

Solución:

suponer que 1

Or (t) =

2" a0

L 00

+

(2.105)

(an cos nw 0 t + bn sen nw 0 t).

n=l

Aplicando (1.27) y (1.28), mediante (2.70) y (2.72), se tiene

1 1 _a = _ 2 ° T an = -2 T

lT/2 -T/2

iT/2

or (t) dt = -1

-T/2

Or (t) cos {nw 0 t) dt = -2 T .'

T

lT/2 -T/2

o(t) dt = -1 ,

(2.106)

T

lT/2 o -T/2

(t) cos (nw 0 t) dt = 2- cos nwot 1 T t=O ,

2

= T,

(2.107)

45

Análisis deformas de ondas periódicas'

2 b;.._ = ~

-

2 Br (t) sen (nw 0 t) dt = -

LT/2

T ·

-T/2

.

LT/2'

.

=~T

'

'

8 (t) sen (nw 0 t) dt

T

-

-T/2

sennw

o

ti t=O

=o.

(2.108)

De• donde,

L

1

oo_

2

B(t- nT) = T +

r'L cos nwot,

n=-oo

oo

n=l

, 2.6

2rr T

Wo=-.

(2.109)

EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DlFERENCIACION

PROBLEMA 2.31 · Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la

figura 2.20{a), hallando la primera derivada de f(t). Solución:

sea

1

f (t) =

L 00•

2 a0 +

(an cos nw 0 t + b~ sen nw 0 t),

(2.110)

n= 1

f'(t)=~<X0 +

f

(cxn

cos_nw~t+f3n_senn(t) 0 t), ·

(2.111)

f (t)

n=l

donde 2rr

Wo = - ,

~--1

~--1

1 1 1

1 1

1 1 1

-T

T

Diferenciando {2.110) término por término e igualando con (2.111), se obtiene

1 1

1 t

1

T

d O d

T

2

2 2 . (a)

2

T

(2.112)

De donde, an

=-

- <Xn . b n-

f3n ' nw 0

(2.113)

nw 0

Puesto que /'(t) es una función generalizada impar [f'tgura 2.20{b)], se tiene n

4 f3n = T

Jo[T 12 f'(t) sen (nwot) dt

=

4 { = T

1,2, · .. ,

Jo T 12

[

-A

(2.114)

a. ( t- 21 d)]

. 'sen (nwot) dt (b) Figura 2.20

= _

4: sen ( nwid ) .

(2.115)

(a) La forma de onda del problema 2.31. (b) La primera derivada de la forma de onda mostrada en la figura 2.20(a).

46

Análisis de Fourier

De acuerdo con esto, por (2.113), se tiene nw 0

d)

nw 0 d) = 2 Ad sen ( -22Ad 4A an = - - = - - s e n ( nw 0 nw0 T 2 T (n~d) _ T

f3n

- (mrd) -

sen

T

(n;d)

(2,.116)

(2.117) Puesto que el término constante --} ao se anula en el proceso de diferenciación, teniendo en cuenta (1.23), 1 1 - a0 = 2 T

lT/

2

Ad

f (t) dt = - .

(2.118)

T

-T/'1.

Por consiguiente,

f(t)

=

Ad + 2Ad T T

f-.

L

n= 1

nrrd) sen ( T

(n~d)

f. cos\n

2rr ~

T

1·

(2.119)

PROBLEMA 2.32 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos unitariqs (2.103), resolver nuevamente el problema 2.31.

Solución:

la derivadaf'(t) de la figura 2.20(b) se puede expresar así

(2.120) Por (2.103), se tiene

(2.121)

(2.122)

donde W 0 = : ; . Sustituyendo (2.121) y (2.122) en (2.120), y utilizando la identidad trigonómetrica cos (A + B)- cos (A- B) =- 2 sen A sen B, se tiene

f , (t)

=

2A L ~ T

[ cos ( nw 0 t + T nrrd)_- cos \nw ( 0t - T nrrd)]-

n= 1

f-.

= - 4A T L

·

sen

(nrrd) T sen (nw

0

(2.123)

t).

n=1

De donde, (Xn

=O.

(2.124)

47

Análisis de formas de ondas periódicas

De esta manera, se obtiene

= 2A

nrr

2Ad T

sen (mrd) T

nrrd-) sen (-T

(2.125)

(n~d}

(2.126) PROBLEMA 2.33

Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura 2.21(a)

por diferenciación. f(t)

A

-T

_I._-d2 -d1 O d 1 2

d2 T 2

T

(a) t'(t)

o - -A(b¡

(e) Figura 2.21

Solución:

(a) La forma de onda del problema 2.33. (b) La primera derivada de la forma de onda de la figura 2.21 (a). (e) Una función par generalizada¡'' (t) de fl¿), de la figura 2.21 (a).

sif(t) se desarrolla en una serie de Fourier 1 '

f (t) =

2 B¡, + L 00

n= 1

(a" cos nw 0 t + b 0 sen nw 0 t),

(2.127)

48

donde

Análisis de Fourier

W0

= 2n/T, entonces 00

f'(t)

(-t1W 0 an sen nw 0 t + nw 0 bn cos nw 0 t),

= [

(2.128)

n=l

f" (t) =

L [- (nwoY an e os tlWot - (nwo)

2

bn sen nwot].

(2.129}

n=l

[Ver la figura 2.21(b)]. Ahora bien, según la figura 2.21(c),f"(t) es una función par generalizada y 1

O< t < 2" T.

(2.130)

Por tanto, (2.131)

4A

, )~:{cos nw 0 d 1 T(d2 .,..d1 l,

,:;.;~1~~

i /AA. an

=

"·: ·.

·.

(nw 0 )2T(d2

-

-~.feos nw 0 d 1

dJ'

AT

-:---::-:-.,..---:- (cos nw 0 d 1 (d2 - dt)

-

nz TTz

El término constante

(2.132)

cos nw 0 d 2 ),

-

-

cos nw 0 d 2 )

(2.133)

cos nw 0 d 2 ).

~ ao se puede obtener así: 1

-a0 2

1

=-

T

.

JT/ 2f(t) dt -T /2 .

A T

= -(d1 ·

.

(2.134)

+ d2 ). .

Por consiguiente, (2.135)

2.7 PROBLEMA 2.34

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Probar que la función cero es la única función que es simultáneamente

par e impar. PROBLEMA 2.35

Si la función f(t) es impar, probar que 1f(t) 1 es par.

PROBLEMA 2.36 Sea la funciónf(t) diferenciable en el intervalo (-a, a). Demostrar que su derivadaf'(t) es impar cu!)l1do f(t) es par, y par cuando f(t) es impar.

49

Análisis de formas de ondas periódicas

Encontrar las componentes par e impar de las siguientes funciones:

PROBLEMA 2.37

(a) e

1,

(b)

l..±.1.,

(e) t sen t -sen 2t.

t- 1

2

1 , f 0 ( t ) =. -2 t , [0 ( t ) = senh t, (b) fe (t) = -t2-+t - 1 t2 - 1 (e) fe(t)= tsen t,_ f0 (t)=-sen2t.

Respuesta: (a ) f e ( t )

=

eosh t,

PROBLEMA 2.38 Encontrar la serie de Fourier de la funciónf(t) definida por f(t)=itl para (-7T,7T) y f(t+21T)=f(t). (Verfigura2.22.)

Respuesta:

JL _

2

..1 ~ TT

1 eos (2n -1) t. n~ (2n -1) 2 -

Figura 2.22

PROBLEMA 2.39 Seaf(t) una función periódica con período T defmida en (- T/2, T/2), cuya serie de Fourier es

L 00

f(t) =~o +

(an cos nw 0 t+ bnsen nw 0 t),

2rr Wo=-·

T

n=1

Si fe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), demostrar que las series de Fourier de fe(t) y [ 0 (t) son, respectivamente: fe(t)

t

~o+

=

an cos áw 0 t

.Y

f 0 (t) =

n=1

L=1

bn sen nw 0 t.

n

PROBLEMA 2.40 Utilizar el resultado del problema 2.39 para encontrarla expansión en serie de Fourier de cada una de las siguientes -funciones, definidas en (-7T, 1r) con período 27T: (a) cosh t, (b) senh t. [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.32.]

Respuesta: (a) 2 senh

TT

(b) 2 senh TT

[1

'f' (- 1)n

+

b'

2

rr

rr

1

1 + n2

cos nt] ·

'

1)n+1 L --' --' ---:- n sen n t. n=1 1 + n2 oo

(-

Demostrar que el valor de la media cuadrática de f(t) es igual a la suma de los valores de las medias cuadráticas de sus· componentes pares e impares o sea, PROBLEMA 2.41

.!_J T

T/2

-T/2

¡·T/2

[f(tWdt=.L .. [fe(t)] T -TI~

2

dt+; J .

T/2

2

[i 0 (t)] dt.

-T/2

Sea la función f(t) periódica con período T. Si f( f T- t) = f(t), determinar el comportam:iento de los coeficientes de Fourier an y bn de f(t). Ilustrar f(t) gráficamente.· PROBLEMA 2.42

Respuesta: a 2n +1 =O,

b 2 n = O.

Si la función periódicaf(t) con período T satisface f(f T:- t) =- f(t), determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier an y bn de f(t). Ilustrar f(t) gráficamente. PROBLEMA 2.43

Respuesta: a 2 n =O,

b 2 n+1 =O.

La funciónj(t) del problema 2.38.

50

Análisis de Fourier

Si la expansión en serie de Fourier de f(t) en el intervalo(- T/2, T/2)

PROBLEMA 2.44

es 00

! 2

a0 +

L=1 (an cos nw t + 0

bn sen nw 0 t),

w 0 = 2TT/T,

n

demostrar que la serie de Fourier de cosenos y la de senos de /(t) en el intervalo (0, T/2) son, respectivamente: 00

a0 + Suponer que /(t) =O

00

L

L 2bn sen nw t.

2an cos nw 0 t . y n=t para - i- T < t
0

n:1

PROBLEM~ 2.45 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de cosenos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):

(a) f(t) = t, O < t

(b) f(t) =sen E. t, O< t
l

t

1 4 cos (2n- 1) t, (2n1)2 TT "= 1

Respuesta: (a) TT 2 (b)

< TT,

1_ i

[-1 cos (2TT) t + _1 cos (4TT) t + _1 TT 1·3 / 3.5 15.7

TT

cos( 6/TT)t +· .. J.

PROBLEMA 2.46 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de senos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):

(a) f(t)

=

O< t

cos t,

< TT,

(b) TT- f,

(a)

PROBLEMA 2.47

-ª. '\' _n_ sen 2nt, 2 TT ~1 4n -1

=! 4

=

t

TTt

(b) 2

-

.!_sen nt.

"= 1 n

L 00

Sea n(t) =

para O < t<

TT( (TT - t) para

1 cos nt, R espuesta: TT2· -n 16 n=1

que las funciones

Tf,

Encontrar la serie de Fourier de cosenos y la de senos de f(t)

PROBLEMA 2.48

L

< (<

00

00

Respuesta:

0

t

~ TT

TT < t < TT,

l ntl (- ) sen (2n -1) t. ~ (2n -1) 2 oo

'\'

../f2Rj sen (mrlr) t, donde n = 1, 2, · · · . Demostrar

{n(t)}, forman un conjunto ortonormal en el intervalo (0, ¡).

Suponer af(t) definida en el intervalo (0, ¡). Demostrar que la serie de Fourier de f(t) con respecto al conjunto ortonormal {n(t)} del problema 2.48, es la serie de Fourier en senos de f(t), en el intervalo (0, ¡). (Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.45.] PROBLEMA 2.49

PROBLEMA 2.50

Demostrar que

(a) f(t)8(t- t 0 )

=

f(t 0 )8(t- t 0 ),

(e) 8'(-t)=-8'(t),

(b) t8

1 (

t)

= -

(d) 8"(-t)

=

8 ( t)' (-1)"8"(t).

51

Análisis de fonnas de ondas periódicas

Demostrarque o [f(t)]

PROBLEMA 2.51

=

L

1

o(t- tn), dondetn son

lf'(tn)l

tn

los valores para los cualesf(t) se hace cero. (Sugerencia: suponer f(t) = r y formar 1/1 (r) = I{J(t)/1/'(t)l.] De_mostrar que 1

PROBLEMA 2.52

(a) o(t 2

-

a2)

= --

¿""

= o?T(t) =

lo(t- a)+ o(t +aH, (b) o (sent)

2lal [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 2.51.]

o(t- n7T).

"=-oc

Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función/(t) definida por f(t) = t, para (-7T; 7T) y f(t + 27T) = f(t).

PROBLEMA 2.53

Respuesta: ver el problema 1,30. PROBLEMA 2.54 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos unitarios (2.103) y la diferenciación, encontrar los coeficientes de Fourier de la función f(t) defmida por f(t) = é para (-7T, 1r) y f(t + 27T) = f(t).

Respuesta: ver el problema 1.32.

Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la onda sinusoide rectificada,/(t) =lA sen W 0 tl.

PROBLEMA 2.55

Respuesta: ver el problema t'.33.

Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función cuya forma de onda se muestra en la figura 1.3.

PROBLEMA 2.56

Respuesta: la ecuación (1.40).

Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.

PROBLEMA 2.57

Respuesta: la ecuación (L49).

Utilizar el resultado del problema 2.55 para deducir la serie de Fourier de la semionda sinusoide rectificada, de la figura lA.

PROBLEMA 2.58

[Sugerencia: observar que f(t) se puede expresar comof(t) =fA sen W 0 t

+f

lA sen wot 1.]

PROBLEMA 2.59 Seaf(t) = fe(t) + [ 0 (t), donde/it) y fo(t) son las componentes" par' e impar de /(t), respectivamente. Demostrar que '

T1

JT/2 -T/2

PROBLEMA 2.60

entonces

1

f(t)f(t-T)dt==T .

iT/2 -T/2

.

1

JT/2

fe(t)fe{t-T)dt+T.

f 0 (t)f 0 {t-T)dt.

-T/2

Demostrar que sif(t) es una función continua y diferenciable,

3

CAPITULO

ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA

3.1

INTRODUCCION

3.2

FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES >DE FOURIER

52

Espectros de frecuencia discreta

53

54

Análisis de Fourier

· Encontrar la serie compleja de F ourier, para la función diente de sierra que se muestra en la figura 3 .1 , definida por

PROBLEMA 3.1

A

O< t < T,

f(t) = - t,

T

f (t)

~ -T

o

f(t + T)"' f(t).

la representación de f(t) en serie co~pleja de Fourier está dada por

Solución:

L 00

f(t)

T

=_

Cn einc.Jot,

Wo =

2rr

n=-oo

Figura 3.1

(3.18)

T

(3.19)

La función diente de sierra.

Los coeficientes en se pueden encontrar a partir de (3.13); de esta manera, en=

lT

.!_ T o

f(t) e-inwot dt

(3.20) Puesto que e-in 27T = 1, .

A .

. A

A

i!f

(3.21) n w0 T 2rrn 2rrn Ciertamente este resultado no tiene significado paran= O; por consiguiente,..para n =O se tiene, a partir de (3.8), Cn=J--=J-=-e.

co =

.!_

lT

f(t) dt =

T o

~lT

tdt = .!_A.

T2 o

(3.22)

2

De donde, f(t) =

~ 2

+ j

~

f.' !einWot

2rr ~ n

(3.23a)

n=-oo

(3.23b) n=-oo

L 00

donde

;

significa que la sumatoria sólo incluye enteros diferentes de cero_

n=-oo

PROBLEMA 32

Reducir el resultado del problema 3.1 a la forma trigonómetrica de la serie de Fourier.

55

Espectros de frecuencia discreta

Solución:

puesto que según (3 .6), e_n

.*

= en = -1 ( an

.

2

+ J."b·) n '

se tiene a0

+ e_n

an = en

2e0 ,

=

= en

(3.24)

+ e:

=

(3.25)

2 Re [en]'

(3.26) donde Re y· /m denotan "la parte real de" y "la parte imaginaria de••, respectivamente. Entonces, por (3.21) y(3.22), se tiene bn

A

(3.27)

=- - .

Tlrr

De donde,

A A(·sen

- - -

2

TT

úJ 0 t

1 1 + -sen ·2 w t + -sen 3w t + ·

°

2

°

3

·}

f(t)

- (3.28)

PROBLEMA 3.3

Encontrar la serie de Fourier en forma compleja de la función periódica sinusoide rectificadaf(t) que se muestra en la figura 3.2, definida por: O
f(t) = A sen rrt,

Solución:

f(t+ T) = f(t),

puesto que el período T = 1,

W0

T= l.

-2

(3.29)

Figura 3.2

está dado por

2rr W0 = -·= 2rr;

(3.30)

T

· por consiguiente, la serie compleja de Fourier está dada por

¿

00

f(t) =

en ei27Tnt,

(3.31)

n=-00

A partir de (3.13), los coeficientes en son:

en=~

lT

f(t)e-i27Tnldt

o

=

.11 A sen

.

.

rrt~-i 2 7Tntdt

0

. A [e-i7T(2n-l)t

vvb.

1

e-J7T(2n+l)t]·l = 2i -jrr(2n_.1)- -jrr(2n+1) 0

-1

o

1

2

..

La función periódica sinusoid rectificada.

56

Análisis de Fourier

Dado que e±i 27Tn

e+ i7T =

1 y

=

e-i7T, en =

-2A 77(4n 2 - 1)

(3.32)

•

Se puede utilizar (3.8) para verificar este resultado cuando n =O; de este modo, C

0

=

l_ (T f(t)dt

Jo

T

2A 17

(3.33)

De donde, 00

f(t)

= -

217A "\' 1 ~ 4n 2 - 1

ei27Tnt.

(3.34)

n=-oo

Reducir el resultado del problema 3.3 a la· forma trigonométrica de

PROBLEMA 3.4 la serie de F ourier.

So lución:

f(t)

la ecu~ción (3 .34) se puede expresar también como = -2A -

-2A

17

17

(1-e1·2 7T t + -1e l·4 7T t + -1e l'6 7T t + ....) 3 15 35

(1e-j27TI + 1 e-j47Tt + 1 e-j67TI +·") - 2A -17

3

15

.

35

.

2 A- -4 A [1 1 . '47Tt + e-1'4 7T) t - - -1 ( e 1'27TI +e -~·2~1\ , J + -1 -(el 17 17 3 2 15 2

l._

+

=

.!_(ei67Tt

35 2

2

A 17

.

+

e-i67Tt)

+ .. ·]

4

A (.!_cos 217t + __!_ cos 477t + l._ cos 617t + .. ·). 17 3 15 35 . 1

(3.35)

O utilizando (3.25) y (3.26), se tiene

4A 77(4n 2 bn ,; -2 lm [en]

(3.36)

1)'

-

=

O.

(3.37)

De donde,

2A

17

2A 17

00

-17 L (4n 4A

n =1

1 2

-

1)

4 - A (1-cos 217t +

17

3

cos n217t

1 cos 417t + -1 cos 677t + . . .). ~ 15 35

(3.38)

57

Espectros de frecuencia discreta

3.3

Solución:

puesto que

i

ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS DE LAS SERIES DE FOURIER

eJmwot

T/2

lm=o =

e'""'ot •

1, .

1 dt

1

,T/2 · -T/2

e'""'ot

= -.-

}nwo

-T/2 =

~ (ein1T-

e-/n7T)

}nw 0

=O

(3.40)

paran* O,

= iT/2 ei
-T/2

·¡

1 = · ei(n-m)Wot T/2 j (n- m)wo . -T/2 1

(ei
j(n- m)w 0

·

1 [(-1)"-m _ (-1)"-m] j(n- m)w 0 · =

O

para n f. m •

(3.41)

PROBLEMA 3.6 Utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas { einwot } de la serie de Fourier, determinar los coeficientes de la serie compleja de Fourier.

58

Análisis de Fourier

seaf(t) una función periódica con período T, y· sea la serie de Fourier en forma compleja, correspondiente a esta función la dada por

Solución:

¡:· 00

f(t)

=

2rr T

en einúJot,

n=-oo

Multiplicando ambos miembros por

(3.42)

e-imcuot,.

e integrando en el intervalo [-

= iT/2 (

L

~ T,

} T},

se obtiene

l

00

T/2

f(t)

e-jmCUot

dt

-T/2

-T/2

=

t

en einCUot ) e.,-jmCUot dt

n=-oo

cn<·[lT/2

ei
-T/2

n=-oo

dt] •

(3.43)

·

En razón de (3.41), la cantidad en paréntesis angulares es cero excepto cuando n =m; por consiguiente,

l

T/2

f(t)

e-jmcuot

'LT/2

dt = cm

-Tj2

e j• 0 d,t

-T/2

=cm

l

T/2

dt

-T/2

(3.44) De donde, cambiando m por n,

/

(3.45)

3.4

ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA

f(t)

D -T

T

rh d

T

2

2

2

2

d

----

Figura 3.3

J-d --1

o

D. t

T

Un tren de pulsos rectangulares idénticos.

PROBLEMA 3.7 Encontrar los espectros de frecuencia para la función periódicaf(t), que se muestra en la figura 3.3, la cual consta de un tren.de pulsos rectangulares idénticos, de magnitud A y duración d.

Solución:

la función f(t) se puede expresar en un período como sigue:

1

1

2

2

para--d< t< -d

1 1 para- -T
2

1 2

1 2

-d
(3.46) '

59

Espectros de frecuencia discreta

Entonces, por (3.12), con W 0 = 2rr/T, se tiene

=. A _ id/2 . e-jnWot dt

T

_

..

-d/2

A

1

.

-jnw 0 t

- T - jnw 0 e ~ _1_. T jnw 0

ld/2 -d/2

(ejnWod/2 _ e-jnWod/2)

2._ (einwod/2

= Ad __ 1_

T (n~ 0 d) 2j

_ e-i-nw 0 d!2)

.

d)

Ad

nw 0. sen-( 2

T

(n~0 d)

(3.47)

Pero nw 0 d/2 = nrrd/T; de donde; sen (n_rrd) Ad

en = -

T

(3.48)

-:-'---,-,--"-

T

(n;d)

Es obvio, según (3.47) o (3.48), que en es real y por consiguiente el espectro de fase es cero. El espectro de amplitUd se obtie,ne dibujando (3.47) o (3.48) versus la variable discreta nw0 • La ecuación(3.47) tiene valores solamente para la frecuencia discreta nwo; es decir, el espectro de frecuencia es una función discreta y existe solamente cuando ±2rr ±4rr --,···,etc. úJ =o' T .

r'

Se debe considerar el espectro para algunos valores específicos de d t T; para d= 1/20 y T= 1/4 de segundo, W0

2rr = - = 8rr. T

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando

w=O,

±8rr,

±16rr,···,etc.,

y se muestra en la figura 3.4(a). Puesto que d/T= 1/5, ~1 espectro de amplitud se hace cero en el valor de nw 0 , para el cual nw 0

d

~

2

= mrr

nrr fj_ = nrr

ó

T

(!)S ·

= mrr

(m=± 1, ±2, ... ),

esdecir,cuando w= ±Sw0 = ±40rr, ±10w 0 = ±80rr, ±1Sw 0 = ±120rr, · · ·. En el caso siguiente se considerará d = 1/20 y T = 1/2 de segundo, y W0 =

2rr

-

T

= 4rr,

d

-

T

=

1

10

60

w0

=

1 T= -, 4 277 - = 877 T

d

1

T

S

Análisis de Fourier

1 Cn 1

A/5

, ;

' \

1 1

1

T= -, 2 277 w0 = = 477

\

A/10

d 1 -=10

T

T_

''1 1

1 1 1

1

1

d= - . 20

,

1 ,

''

o

-4077 -5w0

8077 10wo

4077 Sw0

(a)

(b) Figura 3.4

'Espectros de amplitud.

Por co~siguiente, el espectro de amplitud existe cuando w = O,

± 4 TT ,

±8rr, · · · ,

y se hace cero en el valor de nwo para el cual nw 0

d -

=

2 .

mrr

ó

.

n rr

~- = n rr T

(1..) = 10

(m. = ± 1, ± 2, . · . ),

m rr

es decir, cuando w = ±10w0 = ±40rr, ±20w0 = ±80rr, ±30w0 = ±120rr, .... El espectro de amplitUd para ~ste caso se muestra en la figura 3 .4(b).

f(t)

n

T

'

T

2 Figura 3.5

Ah o

d

T.

n~

T

PROBLEMA 3.8 Encontrar los espectros de frecuencia de la función periódica que se muestra en la figura 3.5.

Solución:

por (3.13), con W 0 = 2rr/T, se tiene

2 La función /ltl del problema 3.8.

=

e n

_!_

T

iT

f(t)

e-inwot

dt

=

o =

~

T

~.

ld

e-jnwot

dt

o _ 1 _ e-jnwot Id

T -jnw 0

-~ -.1_ (l T ]nw 0

~ _1_ T jnw 0

0

-

e-jnWod) .

e-jnú!od/2(ejnú!od/2- e-jnwc)d/2) .

(3.49)

61

Espectros de frecuencia discreta

De donde, Ad 1

en

1

~n =

sen(~) (n~ 0 d)

T

=

n~od =

_

_

nrr

'

(3.50)

(~) •

(3.51)

El espectro de amplitud es exactamente el mismo que el del problema 3.7 y no se ve afectado por el cambío de origen, pero el espectro de fase es, ahora, igual a , - nwod/2 =- mrd/T radianes. PROBLEMA 3.9 Demostrar que el desplazamiento en el tiempo de una función periódica no tiene efecto sobre el espectro de magnitud, pero modifica 'el espectro de fase en una cantidad de- nwor radianes para la componente de frecuencia nwo si el desplazamiento en el tiempo es r. Solución:

seaf(t) una función periódica con período T, y sea su serie de Fourier

la dada por

L. 00

f(t) =

en einWot.·

(3.52)

n=-oo

Por (3.52), se tiene

n=-oo

L 00

=

en e-jnWo'T einWot

n=-oo 00

_ "\'

- L

e' einw 0 t n

(3.53).

'

n:::;;-oo

donde (3.54)

Por conSiguiente, si (3.55)

entonces , en -

·1

e

n

1e HcPn -

n Wo'T)

~

(3.56)

Por (3.55) y (3.56), es obvio que el espectro de.magnitud de f(t) y f(t- r) es el mismo; sin embargo, las fases son diferentes. El desplaz~ento en un tiempo T produce un atraso de nw0 t radianes en la componente de frecuencia nw 0 •

Análisis de Fourier

62

S a (x).

fi(t+T)

o

-T

Figura 3.6

La función de muestreo.

Figura 3.7

3.5

fi(t-T)

fi(t-2T)

T

2T

Un tren periódico de impulsos unitarios •.

EVALUACION DE LOS COEFICIENTES COMPLEJOS DE FOURIER POR MEDIO DE LA FUNCION-8

PROBLEMA 3.10 Deducir la serie compleja de Fourier, del tren periódico de impulsos unitarios de la figura 3. 7. Solución:

un tren periódico 8y(t) de impulsos unitarios se puede expresar como 00

Dr (t) =

L

o(t- nT),

n=..;.oo

= i'J(t),

Por consiguiente, con

W0

= : ; , se tiene

_!_
T T --
63

Espectros de frecuencia discreta

en

T1 iT/2. Sr (t)e-jnCilo. t dt = T1 JT/2 o(t) e-jnCilot dt

=

-T/2

-T/2

.

.!._ e-jnCilot T

t=o

1 (3.60)

T

Por tanto,

1

L 00

T

o(t-nT)=

n=-oo

e

jn 2 -rr t

T

(3.61)

n=-oo

n=-oo

Probar que (2.103) esigual a (3.61).

PROBLEMA 3.11

Solución:

L 00

por (3.61), se tiene

¿: 00

o(t _

nn

¿ 00

~

=

einCilot

n=-oo

n=-~

00

T + TL 1

2

cos n w 0 t

n=l

1- + ~ 2 T

Loo

T

217

cos n - t

T

'

(3.62)

n=l

que es exactamente la expresión (2.103). PROBLEMA 3.12 Hallar los coeficientes complejos de Fourier de la función f(t) que se muestra en la figura 3.8(ar

Solución:

stiponer que

L 00

f(t)

=

217

en ejnCilot,

Cúo

= -.

T

(3.63)

n=-oo

Diferenciando término por término, como Se muestra en la figura 3. 8 (b·C), se obtiene: (3.64) n=-oo

L 00

f"(t)

=

n=-oo

1

(jnwo)2en einCilot

L 00

-

n=-::"oo

(nwo)2e~ einCilot.

(3.65)

Análisis de Fourier

64

f 1 (1) f(l)

.d. . t"

t, T

-T

2 T 2

-t,

O

t,

T

T

2 -A/1 1

(a)

(b) t" (1) ~ t,

o(t+t,)

~0(1-t,) t,

Figura 3.8

(al La función fltl del problema 3.12. (b) La primera derivada de fltl de la figura 3.8(a). (e) La segunda derivada defltl de la figura 3.8(a).

- 2A 0(1)

t,

(e)

Por la figura 3.8(c), la segunda derivada de f(t) en el intervalo- T/2 < t t"(t)

=

1a(t + t,)~

A 8(t) + ~ 8(t- t 1) ; ~ ~

2

< T/2

es

(3.66)

por consiguiente,

2A (cos nw t - 1) Tt1 o 1 •

(3.67)

= -

Utilizando la identidad trig·onométrica 1 - cos 8 = 2 sen 2

8

2 '

A 2 (nw t )• -(nwo) 2 en= - 4 ~sen __0_1 Tt 1 2

(3.68)

De donde,

(3.69)

65

Espectros de frecuencia discreta ,

Resolver nuevamente el problema 3.12, mediante la serie compleja de Fourier (3.61) de un tren periódico de impulsos unitarios.

PROBLEMA 3.13

según la figura 3.8(c),["(t) se puede expresar así:

Solución:

"

A

2A

oo

A

oo

oo

.

f (t)=- "\' o(t+t1 - n T ) - - "\' o(t-nT)+- "\' o(t-t 1 -nT). tl ~ (1 ~ tl ~ n=-oo

n=-oo

(3.70)

n=-oo

Por (3.61), se tiene 00

n=-oo

Reemplazando t por t respectivamente

L

1 o(t-n-T)=T

+ t 1 , ypor t 1

00

o(t +

tl-

nT)

=

T

L

00

2rr T

n=-oo

t 1 , en la anterior expresión, se obtiene

00

(3.72)

einú>o(lttl)

n=-oo

n=-oo

n=-oo

(3. 71)

(3. 73) n=-oo

n=-oo

n=-oo

Sustituyendo (3.71), (3.72) y (3.73) en (3;70), se tiene

(3. 74)

Por consiguiente, (3. 75)

de donde

(3. 76)

3.6

CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION PERIODICA: TEOREMA DE PARSEVAL

Análisis de Fourier

66

PROBLEMA 3.14 Si/1 (t) y f 2 (t) son dos funciones periódicas que tienen el' mismo período T, demostrar que

.Tl f_T/2 f

00

1 (t)f2 (t)dt=

-T/2

L

(c 1) 0 (c2 )_ 0

,

(3. 78)

n=-oo

donde (c¡)n y (c 2 )n son los coeficientes complejos de Fourier de / 1 (t) y f 2 (t), respectivamente. Solución:

sea 00

(ú

o

27T T

= -,

(3. 79)

n=-oo

donde (3.80) Sea

L ()()

f2(t)=

(c2)nejnWot,

(3.81)

n=-oo

donde (3.82) Entonces,

(3.83)

En razón de (3.82), se tiene (

(3.84)

De donde,

PROBLEMA 3.15

Probar el teorema de Parseval.

67

Espectros de frecuencia discreta

Solución:

haciendo ! 1 (t) = f 2 (t) = f(t) en el resultado del problema 3.14, se tiene

1

T

iT/2.

L oo

2

[f(t)] dt=

-T/2

·

.

(3.86)

en e-n.

n=-oo

·

Si f(t)' es real, entonces, según (3 .11 ), se tiene

De donde,

n=-oo

Solución:

. por (3.6), se tiene

por consiguiente

(3.87) Sustituyendo (3.87) en (3.85), se obtiene 1

T

lT/2

[f(t)J2dt =

-T/2

·

L oo

1 en 12

n=-oo 00

=

2

1 eo 1

+ 2

¿-

2

1 en 1

n=t

(3.88)

Solución:

por (1.12), se tiene 00

f(t)

=

Co +Len eos (nwot- On)· n= 1

68

Análisis de Fourier

Para el armónico enésimo de f(t), fn (t) = en cos (n Wat- On).

El valor rcm (raíz cuadrática media) es Cnl-../2; por consiguiente, el valor cuadrático medio del armónico enésimo es (Cnl-../2) 2 • Debido a (1.14), se tiene

de donde,

1.

2

2

1en 1 = -Cn,

4

Entonces, por (3.88), se obtiene

(3;89)

3.7

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de una función periódica par son reales, y los de una función periódica impar son imaginarios puros. PROBLEMA 3.18

PROBLEMA 3.19

Si/(t) y g(t) son funciones periódicas con período Ty sus expansione!

de Fourier son 00

f(t)

=

00

g(t)= [

CnejnWot,

[ n=-oo

dneinWot

para

2rr

úJo = -

T

n=-oo

demostrar que la función T/2

h(t)

=l. T

J

f(t- 1:)g(1:)d1:

-T/2

es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como 00

h ( t) =

[

Cn dn e jn <:'o t •

n=-oo

PROBLEMA 3.20

Sif(t) y g(t) son funciones periódicas de período Ty sus

expansiones de F ourier son

L

oc .

f(t)

=

n=-oo

00

cneinWot,

g(t)

=

[ 0=-00

dn ejnWot

para

_ 2rr T

úJo--'

69

Espectros de frecuencia discreta

demostrar que la función h (t) =f(t) g(t) es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como

¿:: 00

h(t)

=

anejnúJot,

n=-oo

L 00

donde an

=

Cn-k dk.

k=-00

L 00

[Sugerencia: demostrar que an

=

en-k dk son los coeficientes de Fourier de h(t).]

k=-oo

Si f(t) es una función periódica con período T, y los coeficientes complejos de Fourier son en, demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la función portadora, de amplitud modulada periódicamente f(t) cos mw 0 t, están dados PROBLEMA 3.21

por-}(cn-m +cn+m). Si f(t) es integrable- en el intervalo finito (--} T, -} T) y w es real,

PROBLEMA 3.22

demostrar que T/2

· lim lw\->oo

J

f(t)e-iw 1 dt=O.

-T/2

[Sugerencia: utilizar el problema 1.19.] Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f(t) definida '

PROBLEMA 3.23

por f(t)

= sen4 ten el intervalo (0, 1r) y f(t + 1T) =f(t).

Respuesta:

l

(e 4 i 1 - 4e 2 i 1 + 6- 4e- 2 it +

16

.

Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f(t) definida

PROBLEMA 3.24

por f(t)

4 1 8 - 1 ).

= et en el intervalo (0, 21T) y f(t + 21T) =f(t), mediante integración directa.

Respuesta: . e

27T

00

- 1

"\'. _1_._ eint. ~ 1-jn n=-oo

211

PROBLEMA 3.25 Mediante diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la función del problema 3 .4. Nótese que!' ( t) = f(t)- (e 2 1T - 1) 6 2 1r(t), donde 00

D277 (t)= [o

PROBLEMA 3.26 · Reducir el resultado del problema 3.24 a la forma trigonométrica

de la serie de Fourier.

Respuesta:

8277 -

1

11

[l 2

+

~

_1_ (cos nt- n sen nt)]. ~ 1 + n2 · .

n=I

PROBLEMA 3.27 . Demostrar que si

o~(t) =

L 00

n=-oc

W0

= 21T/T,

L

•200

o '(i- nT) = ';;

n=-oo

:o L 200

neinwot =-

n sen nw 0 t.

n= 1

PROBLEMA 3.28 Encontrar los coeficientes c.omplejos de Fourier y dibujar los espectros de frecuencia para la sernionda sinusoide rectificadaf(t) definida por

70 .

Análisis de Fourier

f(t)

{ y f(t

< t < T /2

A sen w 0 t

para O

o

para T/2

=


+ T) =f(t), donde Wp = 2TT/T.

Respuesta: en

1

=

·

2rr(1-n donde m = 1, 2, · · · ,

2

rr

(1 + e- 1 n )

nótese que

Y

espectros de frecuencia para la función diente de sierra definida por f(t) =-

y f(t

=O,

Encontrar los coeficientes complejos de Fourier y dibujar los

PROBLEMA 3.29

O< t < T

e2m+ 1

)

~t+

1

para

+ 1) = f(t).

Respuesta: en = -._l_ , eo =O. ¡2rrn

PROBLEMA 3.30

Aplicar el teorema de Parseval (3.85) al resultado del problema3.29

para probar que

Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la funcióil diente de sierra de la figura 3 .1. PROBLEMA 3.31

Respuesta: las ecuaciones (3 .23a-b). Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para la onda sinusoide rectificada de la figura 3.2.

PROBLEMA 3.32

Respuesta: la ecuación (3.34). PROBLEMA 3.33

Demostrar que sif(t) es una función periódica y real con período T,

entonces

donde las en son los coeficientes complejos de Fourier de la funciónf(t). [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 3.15.] PROBLEMA 3.34 Si / 1 (t) y ! 2 (t) son dos funciones periódicas que tienen el mismo período T, demostrar que

1

00

JT/2

.f 1 (t+c)f2 (t)dt= T -T/2

¿: n:-oo

donde (edn y (e 2 )n son los coeficientes complejos de Fourier de/¡ (t) y f2(t) respectivamente, y W 0 = 2TT/T. PROBLEMA 3.35 entonces

Demostrar que sif(t) es una función periódica y real con período T,

T1

J

T 12

-T/2

.

f(t+c)f(t)dt=

L oo

2

lenle

1'n

,.i

,

n=-oo

donde las en son los coeficientes complejos de Fourier de f(t) y

i

w0 r •

Wo

= 2TT/T.

4

CAPITULO

INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS 4.1

INTRODUCCION

4.2

DE LA SERIE DE FOURIER A LA INTEGRAL DE FOURIER

considerar el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.l(a), donde

So lución:

O para -

1

2

-T < t <-

1

2d (4.1)

fr (t) =

1 1 -d
O para

T> d.

fr(t + T) = fr(t),

-!j- =2 (or T=2 d) .

'

'

1 1

1 1

1 1

1 1

.

,-, 1

1

1

1

1

1

1

1

¡.d.j

1

1

-T

' 1

_r.¡ o 2

1

1 !.

_!l. !l. 2 2

2

1

fr(t)

,--1 1 1 1 1

T

- = 4 (or T = 4d) d

~--,.

1 1 1 1

1

1

1· 1

1 1

1

-T

1

T

~--.

1 1 1

1 1 1

1

'

T

dOd

T

2

2

2

2

1

T

(b)

(a)

Figura 4.1

El proceso de 1imite a medida que Y. aumenta hacia infinito.

71

f(t) = lim fr(t) T->oo ,

1

1 1

T

1 -

:'

1d 1

dOd

2

2

(el

= oo

(or T --+<

72

Análisis de Fourier

Para T----+ oo, se obtiene la función 1 cuando f(t)

=

lim lr(t) T->oo

= {

~ d < t < ~2 d 2

(4.2)

O de otro modo

Es evidente que f(t) no es una función periódica. La figura 4.1 ilustra el proceso de Hmite a medida que T aumenta y finalmente se hace infinito. PROBLEMA 4.2 Utilizando el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1 como ejemplo, discutir los efectos de incrementar el período en el espectro de la función periódica. So lución: el espectro de frecuencia del pulso rectangular periódico ya ha sido hallado en el problema 3.7. En la figura 3.4 se observa que cuando el espectro discreto de una función periódica con período T, se dibuja en función de la frecuencia, la distancia entre armónicos adyacentes es la frecuencia fundamental W 0 = 2rr/T. De este modo, a medida que el período T aumenta, W 0 disminuye y las líneas en el espectro se acercan unas a otras. En consecuencia, el número de líneas (armónicos) en una banda de frecuencia aumenta. Por otra parte, según (3.48), se tiene ( ) nrrd

d

c., A

senT

T ("~d)

Por tanto, si el período T aumenta, las amplitudes de todos los armónicos disminuyen. De lo anterior se concluye que en el límite, a medida que T se acerca al infinito [figura4.1(c)], los armónicos se encuentran infinitamente cercanos y son de amplitud infinitesimal, es decir, el espectro discreto se vuelve continuo.

/ntegra[de Fourier y espectros continuos

73

1

PROBLEMA 4.4

Solución:

Probar el teorema de la integral de Fourier.

la relación (4.9) también se puede expresar como f(t)

=

1

277

100 loo-oo -oo

f(x)

.

eJW(t- x)

dx dw.

(4.13)

Sif(t) es real, se puede igualar las partes reales en la identidad de Fourier (4.13), la cual se convierte en

1 f(t) =·-

•100

277 . -oo

l. 00 f(x) cos. w (t- x) dx dw. -oo

.

Puesto que cos w (t -x) es par con respecto a w, por {2.13), se tiene f(Ó=

~

loo

L:

f(x) cos w (t- x).dx dw.

(4.14)

74

Análisis de Fourier

4.3

TRANSFORMADAS DE FOURIER

PROBLEMA 4.5 Demostrar que (4.17) es condición suficiente para que exista la transformada de Fourier de f(t). Solución:

puesto que e-i(;)t

de donde

se sigue que si

es finita, entonces

es finita, es decir, :F [f{t)] existe.

=cos (;)(- j

sen (;)(

\

Integral de Fourier y espectros continuos

Solución:.

75

sif(t) es real, entonces, mediante la identidad e-¡wr = cos wt- j sen wt,

es posible expresar la relación (4.15) como sigue: F(w) =

=

=

L:

1:

f(t) e-iWt dt

f(t) cos wt dt- j

1:

f(t) sen wt dt

R(w) + jX(w).

(4.24)

Igualando las partes real e imaginaria, se tiene R((u) =

J~

X(w) =-

f(t) cos wt dt,

L:

f(t) sen wt dt.

Puesto que f(t) es real, se ti~ne · R(-w)

=

J~

f(t) cos (-wt) dt

=

X(-w)=- L:f(t)sen(-wt)dt=

1:

L:

f(t) cos wt dt

= R(w),

f(t)senwtdt=~X(w).

Por tanto;R (w) es una función par de w y X(w) es una función impar de w. Por (4.21) y (4.22), se tiene F(-w) = R(-w) + j X(-w) PROBLEMA 4.7

=R(w)- j

X(w) = F*(w).

Demostrar que (4.23) es una condición necesaria y suficiente para

que f(t) sea real. el hecho de que (4.23), es decir, F(-w) = F*(w), es una condición necesaria para que f(t) sea real, ya se demostró en el problema 4.6. Ahora se debe demostrar que (4.23) es también una condición suficiente para que f(t) sea real. Solución:

76

Análisis de Fourier

Sea f(t)

=

(4.25)

fl (t) + j ¡2 (t),

donde/1 (t) y [ 2 (t) son funciones reales. Entonces de (4.16), se tiene fU)

= fl (t) + j ¡2 (t) = -1

2rr

=

Loo F(w) eiWt dw -oo

~.loo[R(w) + j 2rr

=1 -

2rr

-oo

X(w)] (cos wt+ j sen wt) dw

-

Loo [R(w) cos wt- X(w) sen wt] dw _00 ,

1 loo [R (w) sen wt +X (w) + j2rr

·

-oo

cos wt]· dw.

(4.26)

Por tanto, 1 roo TT )_oo [~ (w) cos wt- X (w) sen wt] d w,

ft (t)

=

f 2 (t)

=1 -

2

2rr

Loo [R (w) sen wt + X (w) cos wt] dw. -oo

(4.27)

(4.28)

.

Ahora, si F (- w) = F *(w ),, entonces R(-w)=R(w)

y

X(-w)

=

-X(w).

En consecuencia (de los resultados del problema 2.1 ), R ( w) sen wt y X (w) cos wt son funciones impares de w, y el integrando en (4.28) es una función impar de w. Por consiguiente, de (2.21), se tiene ¡2 (t)

=

o,

es decir,f(t) es real.

So lu ció'n:

si f(t) es real, entonces, por (4.23), se tiene F(-w) = F*(w).

(4.29)

F*(w) = [F(w)[e-¡<;b(w),

(4.30)

Ahora bien, por (4.18), se tiene

(4.31) Por consiguiente, (4.32)

y por tanto, [F(-w)[

= [F(w)[,

cp(-w) = - cp(w).

(4.33)

(4.34)

77

Integral de Fourier y espectros continuos

Solución:

sea

S: [f(t)}

F(w) == R(w) + j X(w).

=

Entonces por (4.19) y (4.20), se tiene

1:

R(w) =

f(t) cos wt dt,

-1-oo

(4.35)

(4.36)

00

X(w) =

f(t) sen wt dt.

(4.37)

.Si F ( w) =R ( w) y X ( w) = O, entonces el integrando de ( 4.3 7) debe ser impar con . respecto a t. Puesto que sen wt es una función impar de t, f(t) debe ser una función par de t. Otra forma de solución:

por (4.27), con X(w) =O, se tiene f(t) =12rr =1 -

loo

-oo

loo o

1T

R(w) cos wt dw

R(w) cos wt dw, . .

(4.38)

donde, por (4.19), se tiene R(w)

2

=

ioo

f(t) cos wt dt.

(4.39)

Según (4.38), es obvio que f(- t) = f(t). Análogamente si F ( w) = j X ( w ), es decir, R ( w) = O, entonces el integrando de (4.36) debe ser impar con respecto a t. Como cos wt es una función par de t, f(t) debe ser una función impar de t. O, utilizando nuevamente (4.27) y siR (w) =O, entonces f(t)

1 =-2rr

1 =--

loo

X(w) sen wt dw

-c<>

loo X(w) sen wt dw,

(4.40)

o

1T

donde, por (4.20), se tiene X (w) =- 2

ioo

f(t) sen wt dt.

(4.41)

Según (4.40), también es obvio que f(- t) =- f(t). De los resultados anteriores se concluye que si f(t) es una función real y

S: [f(t)} entonces

donde f(t) =fe(t) respectivamente.

=

F(w) = R(w) + jX(w),

j= [fe(t)}= R(w),

(4.42)

j= [lo (t)}

(4.43)

=

j X (w),

+ /0 (t), siendo f/t) y / 0 (t) las componentes par e impar de f(t),

78

Análisis de Fourier

Encontrar la transfonnada de Fourier del pulso rectangular Pd(t) [figura 4.2(a)] definido por

PROBLEMA 4.10

1, Pd(l)

{

1

--'----'cb------' ----o

• t

.

d

d

2

ltl < ~d 2

pd (t) "'

Solución:

de (4.15), se tiene

2

F(w)

(a)

=

~f [pd(t)]

=

1: l

Pd(t) e-¡Wt dt

d/2

e-JW 1 dt

-di 2

1 =

(4.44)

o, ltl >~d. 2

.

- jW t

ld/2

-jw e

-d/2

, __!:.._ [eiWd/2 _ e-JWd/2] d

jw

d

.

(b). Figura 4.2

(a) El pulso rectangular del problema 4.1 O. (b) La transformada de Fourier del pulso rectangular de la figura 4.2(a).

=!sen

(~d)

(T) (id) .

sen "'d

(4.45)

En la figura 4.2(b) la línea continua es el espectro de magnitud IF(w) 1, y la línea punteada es F(w). PROBLEMA 4.11

Encontrar la transfonnada de Fourier de f(t) defmida por f(t) "' { e-a.t' t

o,

t

>O

(4.46)


donde a:> O (figura 4.3). Solución:

f (t)

de acuerdo con (4.15), se tiene F(w)

Figura 4.3

=

1:

f(t) e-iWt dt

La funciónj(t) del problema 4.11.

_ _ _ _ e"'"
-(O:.+jw)

~~o

'" 1 0:.

+ jw

(4.47)

Integral de Fourier y espectros continuos

4.4

79

TRANSFORMADAS SENO V COSENO DE FOURIER

So lución: si f(t) está defmida sólo para O < t < oo se puede definir f(t) para valores negativos de t por la ecuación f(- t) = f(t), por lo que la función resultante es par. En este caso se supone un comportamiento conveniente de f(t) para valores negativos del tiempo; al interp~etar los resultados, por supuesto, se debe tener presente que f(t) está defmida sólo para t mayor de cero. Si ahora se define Fe (w) =

f"'

f(t) cos wt dt,

entonces, por (4.38) y (4.39), se tiene f(t) = -2 17

Loo Fe (w) cos wt dw. o

Solución: sif(t) está definida sólo para O< t < 00 , se puede también defmir f(t) para valores negativos de t por la ecuación f(- t) =- f(t), por lo que la función resultante es impar. Si ahora se define F s (w) =

loo f(t) sen wt dt,

entonces, por (4.40) y (4.41), se tiene f(t)

= 2 17

ioo F o

s

(w) sen wt dw.

80

Análisis de Fourier

PROBLEMA 4.14

Solución:

1""

j= [e-O:t] para t ;>O, ex> S

o.

las transfonnadas coseno y seno de Fourier de e-at son c¡:c J

Sea

y

Encontrar j= e [e-O:t]

[e-O:t]

e-o:t cos wt dt = 11 y

=

l""

i""

e-"" ~~ cos wt dt,

e-o:t sen wt dt = lú entonces,hitegrando/1

por partes, se obtiene 11

=

J"" o

e-cxt cos wt dt '

- e-o:t cos wt

1"" -

-w

ex

o

ex

1

w

ex

ex •

=--

i""

e-o:t sen wt dt

o

(4.56)

-12

Análogamente, integrando / 2 por partes, se obtiene

- e-cxt sen wt

ex =

1"" + ......:. w 1"" · e-o: ex

o

1

cos wt dt

'

o

w

(4.57)

-11.

ex

Resolviendo (4.56) y (4.57) para/ 1 e / 2 resulta

y por tanto, (4.58)

j= s [e-o:t]

=

w

ex2 + w2

(4.59)

Integral de Fourier y espectros continuos

4.5

INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

81

Análisis de Fourier

82

4.6

Solución:

la transfonnada de Fourier requerida es:

~ [a 1f 1 (t) + a2f 2 (t)]

Solución:

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

=

1:

[a 1f 1 (t) + a2f2 (t)l

e.-¡w 1

dt

o

para a> O,

~ [f(at)]

=

J~

f(at)

e-JWt

dt.

\ Sea at = x; entonces,

~ [f(at)] .

=!_loo f(x) a -oo

éJ(W/

aJx dx.

Puesto que la variable comodín se puede representar por cualquier símbolo, se tiene que

1 ~ [f(at)] = ~

ioo f(t) -oo

e-J(WI a)t

dt

(4. 70)

Para a
~ [f(at)]

=

f~

f(at)

e-;wt

dt.

Integral de Fourier y espectros continuos

83

Si de nuevo se tiene, at =x; entonces,

r-oo f(x) =;1 Joo

j (i(at)]

=-;1

1

dx

e-J(W/a)x

00

-oo

f(t)

e-J(W/a)t

dt

(4.71)

En consecuencia,

S: [f(at)]

Solución:

=

l~l

F (;).

=

_!_

F

por (4.69), se tiene

S: [f (at)]

la!

(~). a

Haciendo a =- 1,

S: [f(- t)] Otra forma de solución:

= F(-w),

la transfonnada de

S: [f(-t)l

=

L:

Fou~er

de/(- t) es

f(-t) e-¡wt dt.

Haciendo- t = x dentro de la integral, se obtiene

. S: [f(- t)]

=-

=

L-oo

f(x)

Loo. f(x)

eJWx

e-¡(-W)x

dx

dx

-oo

=

=

1:

f(t) e-i <-w>t dt

F(-w).

84

Análisis de Fourier

la transfonnada de Fourier requerida es

Solución:

Haciendo t- t 0 = x, dt = dx; por consiguiente,

S: [f(t-

Solución:

1:

t0)] =

f(x)

e-JW(to + x)

dx

la transforniada de Fourier requerida es .

S: [f(t)

efúJot]

=

1:

[f(t) efúJot] e-iúJ 1 dt

=

1:

= F

PROBLEMA 4.20

Solución:

=} t] =S:[} f(t) =}S: [i(t)

S: [f(t)

W 0).

+

e-JWot),

y la propiedad (4.74),

eiúJot

+} f(t)

e-JWot]

efúJot]

+

(efúJot

cos W 0

1

=

PROBLEMA 4.21

(w -

Si F(w) =S: [f(t)], hallarla transfonnada de Fourier de f(t) cos W 0 t.

con la identidag cos w 0t

se tiene

f(t) e-f(úJ -Wo)t dt

2 F (w-

W 0)

+

}s: [f(t)

e-iúJot]

1

2 F(w + w

0 ).

(4.75)

Hallar la transfonnada de Fourier de la función coseno de duración

finita igual a d. la función coseno de duración d [figura 4.4(a)] se puede expresar como una función modulada por un pulso; es decir,

So lu ció.n:

f(t)

=

Pd(t) cos w 0 t,

donde

1 para Pd(t)=

{ O para

(4.76)

Integral de Fourier y espectros continuos

·85

F(w)

(a) Figura 4.4

(b)

(a) La función coseno de duración finita. (b) La transformada de Fourier de la función coseno en la figura 4.4(a).

Según el resultado (4.45) del problema4.10, se tiene

1 [pd(t)]

=~sen (~d)·

Entonces, por (4.75), se obtiene F(w) =

1 [pd(t) cos w 0 t] sen

1

2

d (w - w 0 )

·

sen

------------+-. w -

1

2

d (w + w 0 )

~---------

(4.78)

Wo

La transformada de F ourier, F ( w ), se ~epresenta. en la figura 4.4(b ).

Solución:

por (4.16), se tiene

1: 1: 1:

27T f(t) =

F(w)eJWt dw.

(4.80)

Cambiando t por - t en la expresión anterior, 27T i(.·:-·t) =

F(w) e-¡wt dw.

(4.81)

Ahora, intercambiando t y w en (4.81), se obtiene 27T f(-w)

PROBLEMA 4.32

=

F(t) e-iWt dt

=

1 [F(t)]..

Hallar la transformada de Fourier de la función f(t) = sen at.

7Tt Solución:

(4.82)

(4.83)

por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

1[pd(t)]=~

sen

(w2d).

(4.84)

Análisis de Fourier

86

Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, dada por (4.79), se tiene

~ [~sen (~t )] o

(4.85)

= 2TT Pd(-w)

~ [oon (H1J

"pd(-ru).

(4.86)

7Tt

Puesto que Pd(w) está definida por (ver problema 4.10), para

lwl < 1 d

para

lwl > 2 d

2

(4.87)

1

es una función par de w; por consiguiente,

Haciendo

t

Pd(-w)

= Pd(w).

(4.88)

d =a en (4.86), se tiene cz::

J

at)

(sen ---;;¡- =P2a(w),

(4.89)

donde,

1 para P2a (w) =

·

{ O para

lwl
lwl

rel="nofollow">a.

Las gráficas de f(t) =sen at/rrt y su transformada, F(w), se muestran en la figura 4.5. f(t)=senat 7Tt

F(w)

a/77

-a

o

a

(b) Figura 4.5

(a) La función f(t) del problema 4.23. (b) La transformada de Fourier deJ(t) mostrada en la figura 4.5(a).

Ahora se busca la relación entre la t~ansformada de Fourier de una función/(t), y la transformada de Fourier de su derivada/'(t). ·

So lución:

~ [f'(t)] =

1:

integrando por partes, se obtiene f '(t) e-¡wt dt

= f(t) e-iúJt

1: L: + jw

f(t) e-¡wt dt.

(4.92)

Integral de Fourier y espectros continuos

Puesto que f(t)

~O

cuando t - ± 00 , se tiene que

1:

S:[f'(t)]=jw

Solución:

87

f(t)e-iWtdt=jwF(w)=júJj[f(t)l.

considerar la función cp (t) =

1~

(4.96)

f(x) dx;

entonces, cp'(t) =f(t). De donde, si j= [cp(t)] =41(w), entonces, de (4.91), se tiene · S: [cp'(t)] =S: [f(t)l

= jw
(4.97)

con tal que

tl~

cp(t)

=

i""

f(x) dx = ("" f(t) dt = F(O) =O.

J-oo

-oo

(4.98)

Por cons~guiente, 1 cr

··

1


JW

esto es, S: [

{~ f (x) dx]

=

1 1cr[ ] -F(w) = - :t f(t). jw

jw

(4.99)

88

Análisis de Fourier

PROBLEMA 4.26

Si ~ (!( t)] = F( w ), demostrar que

~ [-jt f(t)] So lución:

puesto que F((u) =

1:

dF(w). dw

=

(4.102)

(4.103)

f(t) e-¡wt dt,

se tiene dF(w) dw

=-.!!_ dw

l""

f(t) e-i('lt dt.

(4.104)

~oo

Cambiando el orden de la diferenciación y de la integración se dF ((u) = dw '

L"" -oo

f (t) !_(e-¡wt) dt aw

=

l"" [-oo

jt f (t)] e- ¡w t dt -

.

= ~ [- jt f(t)].

4.7

So_lución:

CONVOLUCION

por (4.105), se tiene (4.109)

89

Integral de Fourier y espectros continuos

Cambiando la variable por t - x =y, 11 (t)

* 12 (t) = =

=

Solución: si se hacef1 (t) puede expresar como

1: 1: 12 (t)

11 (t- y) 12 (y) dy

12 {y)

~~ (t- y) dy

* 11 (t).

(4.110)

* f2(t) =g(t), y f 2(t) * f 3 (t) =h(t), entonces (4.111) se g (t)

* 13 (t) = 11 (t) * h (t).

(4.112)

J~

(4.113)

Puesto que

g (t)

=

11 (y) 12 (t- y) dy,

se tiene

g (t)

* 1 (t) = J~ g (x) 1 (t 3

3

=

L: [L:

x) dx

11 (y) 12 (x

~y) dy]

1: (t - x) dx.

(4.114)

Sustituyendoz =x-y e intercambiando el orden de il!-tegración, se obtiene (4.115) Y dado que .h (t)

=

J~ 1 {z) 1 (t- z) dz, 2

(4.116)

3

se tiene (4.117) Por consiguiente, la integral se identifica dentro del paréntesis angular en el segundo miembrode (4.115) como h(t- y). De donde,

g (t) esto es,

* 13 (t) = J~, 11 (y) h (t- y) dy =

11 (t)

* h(t);

(4.118)

. 90

Análisis de Fourier

por la definición de convolución (4.105), se tiene

Solución:

f (t)

1:

* o (t) =

f (x) o (t - x) dx.

Utilizando la propiedad commutativa (4.108), se tiene f(t)

* o(t) = o(t) * f(t)

=

i:

o(x) f(t- x) dx = f(t)

(4.119)

de acuerdo con (2.68). De donde, f (t)

f (t).

=

procediendo como en el problema 4.29, se tiene

Solución: f(t)

* o (t)

* o (t-

T)

= o (t-

T)

* f(t)

= J~

o (x- T) f(t- x) dx = f(t- T)

de acuerdo con (2.68). Análogamente, se obtiene f(t- t1)

* O(t- t2) = O(t -'t2) * f(t-

= J~

i 1)

O(x- t2) f(t-

X-

t1) dx

= f (t ...,. t2 - t 1) =

PROBLEMA 4.31

Solución:

f(t - t1 - t2).

Probar el teorema de convolución en el tiempo.

la transformada de Fourier de / 1 (t) j= [/1 (t)

* /2 (t)]

=

1: [1:

* / 2 (t) es

11 (x) f2 (t- x) dx] e-¡Wt dt.

1

L:

Cambiando el orden de integración, se tiene

S: [/1 (t) * 12 (t)]

=

11(x) [ [ 12 (t- x) e-iWt dt] dx.

(4.123)

1: /

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier (4.73), se tiene 2 (t- x) e-¡Wt dt = F 2 (w) e-¡wx. Sustituyendo el resultado anterior en S4.123), se obtiene

S: [f1(t) * /2 (t)]

=

J~ 11 (x) F 2 (cv)

e-júJxdx

=

LC:

f 1 (x) e-¡wxdx] F 2 (cv)

91

Integral de Fourier y espectros continuos

Probar el teorema de convolución en la frecuencia.

PROBLEMA 4.32

Solución:

por (4.16), se tiene

~-1 [~ 1 (w) * F

2

(w)]

=~- 1 =

[[

F 1 (y) F2 (w-y)dy]

2~ J~ [i: F (y) F 1

(w- y) dy]

2

~}c.Jt dw.

(4.126)

'

Sustituy.endo w -y por x e intercambiando el orden de la integración, se obtiene

~

1 -

[F1 (w)

* F 2 (w)]

=

=

1:

L 1 217

F 1 (y)

loo

-oo F 1 (y)

[l:

F 2 (x)

ei<x

+ y)t dx] dy

.[

roo F (x) 2

eJYt

)_

e

. xt dx] dy

1

00

=·2rr [f1 (t) [ 2 (t)]

(4.127)

en donde las variables comodines de la integración se han cambiado. La ecuación (4.127) se puede expresar también como

.

~ [f1 (t) f 2 (t)] = -

1F

2rr

1

(w)

* F..(w) 2

= -

1IOO F (y) F (w- y) dy.

2rr

1

2

-oo

PROBLEMA 4.33 Utilizando la propiedad de simetría de (4.79) la transformada de Fourier y el resultado (4.122) del problema 4.31, resolver nuevamente elproblema 4.32.

Solución:

por (4.122), se tiene ~ [f1 (t)

*f

2

(t)]

=

F 1 (w) F 2 (w);

esto es

(4.128) Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, se sabe que si~ [/(t)] = F(w), entonces S: [F(t)] = 21T /(- w); aplicando este resultado a (4.128), se obtiene·

~ [F

1

(t) F 2 (t)] = 2rr

L:

f 1 (x) f 2 (-w- x) dx.

(4.129)

92

Análisis de Fourier

Sustituyendo x por -y, se obtiene

= 2rr

j= [F 1 (t) F 2 (t)]

=1 -

2rr

1: ioo ~oo

f 1 (-y) f 2 (-cu + y) dy

[2rr f 1 (-y)] l2rr f2 [ - (cu- y)]l dy. ,

(4.130)

Ahora, recordando que 21T / 1 (- w) =S: [F1 (t)JY 21T / 2 (- w) = j= [F2 (t)], y cambiando F 1 (t) y F 2 (t) por / 1 (t) yf2 (t), respectivamente, y consecuentemente cambiando 21T !t(- w) y 21T / 2 (- w) por F 1 (w) y F 2 (w), respectivamente, la ecuación (4.130) se puede escribir también como j= [f1 (t) f2 (t)] = -1 F 1 (y) F 2 (cu - y) dy = -1 F 1 (cu) * F2 (cu). 2rr -oo 2rr

ioo

Utilizar la convolución para encontrar f(t) =

PROBLEMA 4.34 Solución:

S: -

1 [(

1

1 + jcu) 2

] •

la transformada de Fourier de f(t) es

F(cu)

= S: [f(t)] = -,---1-

(1 + jcu)2

1

1

(1 + jcu)

(1 + jcu)

-,---X

•

Por (4.47), se tiene que CI-1 J

[-1.] = 1 + JCU

e-t u(t).

Por consiguiente, según 4.122, se obtiene f(t)

=

L:

e-x

u(x) e-(t-

x)

u(t.:.. x) dx.

(4.131)

En la integral anterior, elintegrando incluye el factoru(x)u (t- x). Como u(x) =O para x t, entonces O para O> x y x' > t u(x)u(t- x) =

De donde, f(t)

=

1t

e-x

{ 1 paraO<x
·¡t

e-(t- x) dx = e-t

dx = t e-t u (t).

(4.132)

0

4.8

PROBLEMA 4.35

TEOREMA DE PARSEVAL V ESPECTRO, DE ENERGIA

Si j= [/1 (t)]= F 1 (w) y j= [/2 (t)] =F2 (w) demostrar que (4.133)

93

Integral de Fourier y espectros continuos

Solución:

por (4;125), se tiene que

esto es,

l-oo oo

[f1 (t) f2 (t)). e-¡wt dt

loo F

1 2rr

= -

1

(y) F 2 (w - y) dy.

-oo

(4.134) ·

Ahora,-haciendo w =O, se obtiene ,

l-oo oo

[f1 (t) f 2 (t)) dt -

= -1

2rr

loo F

(y) F 2 (-y) dy -

Loo F (w) F

1. =-

2rr

1

-oo

1

-oo

2

(-w) dw

mediante el cambio de la variable comodín de integración. PROBLEMA 4.36

Si las funciones/1 (t) y f 2 (t) soh-reales, S: (f1 (t)] =F1 (w), y

S: lf2(t)] =F2(w); demostrar que (4.135)

donde Fi(w)denota el conjugado complejo deF2 (w). Solución:

sif(t) es real, entonces de (4.23}, se tiene F(-w)

=

F*(w).

En consecuencia, según (4.133}, se puede expresar

=1 -

217

PROBLEMA 4.37

Solución:

loo F .

1

(w) F 2* (w) dw.

--oo

Probar el teorema de Parseval.

si S: [f(t)] =F(w}, entonces

S: [f*(t)) = I~

f~(t) e~JWt dt = =

1:

[f(t) eiWt]* dt

[L:

f(t) e-¡(--w)t dtr

= F*(-w).

(4.137)

94

Análisis de Fourier

Por consiguiente, si se hace / 1 (t) = f(t) y / 2 (t) = f*(t) en (4.133), se obtiene

l

oo

loo

1. f(t) t*(t) dt = -

'

-oo

2TT

F(w) F*[-(-w)l dw

-oo

1

00

=1 -

2TT

F(w) F *(w) dw.

-oo

Como/{t) f*(t) = 1f(t)l 2 y F(w)F*(w) = IF(wW, se tiene

L:

2

lt(t)j dt

=

2~

L:

2

!F(w)l dw.

Si/{t) es real, la relación {4.136) se puede obtener de (4.135), en forma sencilla

4.9

FUNCIONES DE CORRELACION

(4.138)

Integral de Fourier y espectros continuos

Solución:

R1 2 ('T)

=

R21 ('T)

=

R 11 ( 'T)

=

por (4.145), se tiene R21 ('T) =

f~

L: J~

l1 (t + 'T) 12 (t) dt,

12 (t + 'T) 11 (t) dt,

11 (t + 'T) f 1 (t) dt.

1.:

12 (t + 'T) 11 (t) dt,

y· por consiguiente R 21

(-

"é) =

f~

f 2 (t-

~) l1 (t) dt = f~ f

1

(t) 12 (t- 'T) dt = R 12 ('T).

Análogamente, por (4.146), se tiene Ru ('T) =

y por consiguiente, R 11 (-'T.)=

en razón de (4.143).

1:

L:

11 (t + 'T) 11 (t) dt,

11(.t- 'T) 11(t) dt =

J~

11(t) 11(t- 'T) dt = R 11 ('T),

95

96

Análisis de Fourier

Demostrar que la correlación de [ 1 (t) y [ 2 (t) está relacionada con la convolución de [ 1 (t) y !2 (- t).

PROBLEMA 4.40

Solución: esto es,

Sea G 12 (t) =[1 (t)

/1

(t)

* [ 2 (- t) de la definición (4.105) de convolución,

* 12 (t) = J~ 1 (x) 12 (t- x) dx, 1

se obtiene

- =

J~ 11 (x)

f 2 (x- t) dx.

(4.149)

11 (x) 12 (x - 1") dx.

(4.150)

Cambiando la variable t por T, se tiene G12 ( T)

=

J~

Cambiando nuevamente la variable comodín x por t, se obtiene Gl2 (T) =

L:

/1 (t) 12 (t- T) dt

(4.151)

De donde, (4.152)

la ecuación (4.72) del problema 4.17 muestra que si~ [f(t)) =F(w), entonces~[[(- t)) =F(-w). De tal manera que si

Solución:

~ U 1 (t)l

= F 1 (w)

Y ~ [12 (t)l

= F2 (w),

entonces

=F

~ (11 ( - t)l

1

(-w) Y ~ [12 ( - t)l

=F

2

(-w).

Aplicando ahora el teorema de convolución en el tiempo ~ [/1 (t)

* 1 (t)l =F 1(w) F 2(w)

[4.1221

2

a la relación (4.152), se obtiene ~ [R12 ('r)]

=

~ [11 (t)

* la(- t)] = F 1 (w)

Fa (-w),

./

97

Integral de Fourier y espectros continuos

o ,. (4.157)

Análogamente, se obtiene . j=[R2 , ('r)] = j= [f2 (t)

* f, (-t)]

= F 2 (w) F,(-w) = F, (-w) F 2 (w), .

o (4.158) y

j= [Ru (T)]

=

j= [f, (t)

* f, (- t)] =

F, (w) F, (-w).

,Según (4.23), si/1 (t) es una función real de t, entonces F 1 (- w) = Ft(w). De donde,

o (4.159) si / 1 (t) es una función real de t.

Deducir el resultado (4.159) sin utilizar (4.155).

PROBLEMA 4.42

Solución:

por (4.143), se tiene

~u (T) = J~

f 1 (t) f, (t-

~) dt.

Entonces,

=

=

J~ [J~

1:f,

(t)

f 1 (t) f 1 (t-' T) dt]

[J~

e-JW'"

dT

f 1 (t- T) e-¡wi dT] dt

(4.160)

por intercambio en el orden de integración. Cambiando la variable (t- -r) por x en la integral que está dentro de los paréntesis angulares de (4.160), se obtiene

j=

[R

11

(T)]

=

J~

f 1 (t)

=

J~

[

=

F 1 (w) F 1 (-w)

=

IF,(w)\ 2 •

1

(t)

[J~ f,(x) e-fWt

dt

e-iW(t-

J~

f, (x)

x)

dx] dt.

efWx

dx .

(4.161)

98

Solución:

Análisis d'3 Fourier

por(4.143),se tiene

Haciendo ¡ = O, se obtiene

Solución:

por (4.163), se tiene que

Haciendo r = O, (4.166) Por (4.164), se tiene que R 11 (O)

Loo [/ (t)]

=

1

2

dt.

-oo

Por consiguiente,

roo J-oo

[/1 (tW dt

=

1 217

1""

-oo 1F 1

2

(w~l d w.

Integral de Fourier y espectros continuos

99

4.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la integral de Fourier que representa la función

PROBLEMA 4.45

f(t) =

Respuesta: f(t)

=

1. ['"'

PROBLEMA 4.46

rrJo

{

1 para

ltl

O para

ltl >l.

<1

cos tw sen w dw. úJ

Utilizar el resultado del problema 4.45 para deducir

foo sen Jo w

úJ

dw =.!!.. .

2

[Sugerencia: hacer t == Oen el resultado del problema 4.45.] PROBLEMA 4.47 Si f(t) es una función imaginaria pura, esto es,f{t) == j g(t), donde g(t) es real, demostrar que las partes real e imaginaria de F ( w) son R (w)

=L~ g(t) sen wt dt, X(w)=l~ g(t) cos wt dt.

Así mismo, demostrar que R ( w) y X ( w) son funciones impar y par de w, respectivamente; esto es, R(..:..w)=-R(w), x(...:w)=X(w), F(-w)=-F*(w). Si j= [f(t)] ==F(w), demostrar que j= [f*(t)] ==F*(-:- w), donde f*(t) es el conjugado de f(t), y F *(:- w) es el conjugado de F (- w ).

PROBLEMA 4.48

PROBLEMA 4.49

S: [f(at) PROBLEMA 4.50

2}

PROBLEMA 4.51

· Respuesta: 2a/(a 2 +

e

¡wo

1]

= -

1-

F

la 1

(w'. - úla) . a

SiF(w) == :f[f(t)], hallar la transformada de Fourier de f(t) sen W 0 t.

Respuesta: ~ [F (w - w0 )

PROBLEMA 4.52

.

Si F(w) == j= [f(t), demostrar que

-

.

F (w + w 0 )].

.

---....¡A/T

Hallarla transformada de Fourier de f(t) == e-altl. CtJ

o

2 ).

Hallar la transformada de Fourier de f(t)

T

-A/Tt----' =

_1_·_2

a~+ t

(a)

[SugerenCia: aplicar la propiedad de simetría de la transformada de Fourier (4.79) al· resultado del problema 4.51.] Respuesta: (17/a)e-alwl_

.. (a) Hallar la transformada de Fourier del pulso [ 1 (t) que se muestra en la figura 4.6{a). {b) El pulso f 2 (t) que se muestra en la figura 4.6{b), es la integral de [ 1 (t); utilizar el resultado de la parte (a) para.obtener la transformada de Fourier de f 2 (t); comprobar el resultado mediante integración directa. [Sugerencia: para la parte {b),utilizar el resultado del p-roblema 4-.25.] ~ ) sen2 T 2 2 Respuesta: (a) F 1 (w) =- ~A sen (wr), (b) F 2 (w) = AT ,wr 2 (~rr PROBLEMA 4.53

\.w

t 2 (t)

A

-T

o

T

(b) Figura 4.6

(a) El pulso del problema 4.53. lb) La integral del pulso en la figura 4.6(a).

100

Análisis de Fourier

El momento enésimo mn de una función f(t) está definido por

PROBLEMA 4.54

mn

=[~ t" f(t) dt

paran= O, 1, 2 · · ·

Utilizando el resultado del problema 4,26, demostrar que paran=O,l,2,···

F <w)

y
=

j= [E
O

Utilizar el resultado del problema 4.54 para demostrar que F ( w) = j= [f(t)] se puede expresar como PROBLEMA 4.55

00

F (cu)

\ ' (- j)"

=

L..

n=ú

[Sugerencia: desarrollar

e_¡ cut=

f: (- j~t)"

mn cu" .

n'·.

e i~tegrar (4.15) término por término.]

n=O

Demostrar que si 5 [f(t)] = F ( ~ ), entonces

PROBLEMA 4.56 IF(cu)l

~Loo lf(t)l dt, -oo

00

IF(cu)l

~-~-1 ~d~;t) 1 dt, 1CU 1

-oo

IF(cu)l

~ ~ 2 foo ~d~t\t)\dt. --oo

Estas desigualdades determinan las cotas superiores de 1F ( w) 1. PROBLEMA 4.57

Utilizar la convolución para encontrar f ( t)

.

=

J-

1

[

1

.

(1 + jcu)(2 + jcu)

J.

.

Respuesta: (e-t- e· 21 )u(t). PROBLEMA 4.58

Hallar f(t) del problema 4.57 desarróllando F (w) en fracciones parciales

[Sugerencia:

1 (jcu + l)(jcu+2)

=

_1_ + -=:1_ y utilizar el resultado del problema 4.11.] jcu+l

icu+2 '

Demostrar .que si f(t). es de band~ limitada, esto es, F (w) = 5 [f(t)] =O · · sen at para lw 1> wc, entoncesf(t) * -;¡-= f(t) para a> wc. PROBLEMA 4 ..59

.

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23 y el teorema de convolución en el tiempo (4.122).] SeaF(w) =J [f(t)] y G(w) =j= [g(t)]. Probar que

PROBLEMA 4.60

(a)

foo

-oo

(b)

f(x)g(t- x) dx=

·

_!_Joo 2rr

F(cu)G(cu)eicut dcu,

-oo

[~ f(t)g (-t) dt= 21 [~ F (cu) G(cu~ dcu, 77

(e)

f_~f(t)g*(t) dt = 21 f_~F(cu)G*(cu)dcu, 11

donde el asterisco denota el conjugado complejo. · [Sugerencia: (a) Utilizar (4.122) Y'(4.16); (b) deducir el resultado de la parte (a) haciendo t= O; (e) deducir el resultado de la parte (b) con la ayuda de (4.72) y del problema 4.48.]

101

Integral de Fourier y espectros continuos

PROBLEMA 4.61

Seanf1 (t) y f 2 (t) dos funciones gaussianas; esto es, 2

2

_ 1 -t /2a 1 ) ---e f1(t ,

alV'f;r

* [ 2(t), entoncesf3 (t) también es una función gaussianay

Demostrar que si[3(t) = !1 (t)

i

2

donde a 3 = a 1 +

2

a~

.

PROBLEMA.4.62 Dem~strar que la función de correlación de dos funciones gaussianas cualesquiera, es una función gaussiana. PROBLEMA 4.63

Si R 11 ('¡;)es la función de a11tocorrelación de [ 1 (t), demostrar que

Ru(O)¿ IRu(r)l. [Sugerencia: desarrollar la expresión x > O para T #= O.]

PROBLEMA 4.64 SiR 11 (¡;) y R 22 (r) son las funciones de autocorrelación def1 (t) y fz(t), y Rt2 (t) es la función de correlación de [ 1 (t) y [ 2 (t), demostrar que R 11 (O)+ R 22 (0)> 21R 12 ('r)l, para todo valor der. .

[Sugerencia: desarrollar la expresión x >O, para todo valor der.] PROBLEMA 4.65

(a) HaÍlar la función de autocorrelaciónR 11 (t) del pulso rectangular

f(t), deftnido por ·

{ A

para

Jtl < d/2

O

para

Jtl > d/2.

f( t) =

(b} Hallar la densidad espectral de energíaS (w) de f(t), apartir deR. 11 (r), obtenido en la parte (a) y también comprobar que S 11 (w) = IF(w)l 2 , mediante F(w) dado en (4.45).

r (

2

. . {A '(d-JrrJ) paraJrrJ d, d SeaR 11 (!) la función de autocorrelacióny S 11 (w) = IF1 (w)l 2 , la densidad espectral de energía de la función [ 1 (t). Demostrar que el teorema de WienerKhintchine (4.162-3) se puede expresar también como PROBLEMA 4.66

Su (rr) ,;

ioo o

R 11 (cu) cos cu 'r dcu

y

Ru (cu)

1

=-

"

. i

00

o

. Su (e) cos cu'r drr. .

5

CAPITULO

TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALES 5~ 1

INTRODUCCION

5.2

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION IMPULSO

o(t)

o (a) F(úJ)

Figura 5.1

(a) La función impulso unitario-. (b) La transformada de Fourier de la función impulso unitario.

Solución: aplicando la fórmula (4.16), que es la transformada inversa de Fourier, a (5.3) se obtiene oo oo . o(t)=j=-l[l]= .

_!__i

217

lejc.Jtdw=

_!__l

217 -oo .

-oo

102

ejc.Jtdw.

Transformada dl! Fourier de funciones especiales

Se debe observar que la integración ordinaria de

1:

103

eicv 1 dw no tiene significado en

este caso; en vez de ello, se debe interpretar la identidad (5.4) como una función generalizada (o función simbólica), es decir la integración de (5.4) converge hacia cS(t) en el sentido de una 'función generalizada.

Solución:

por (5.4), y UtilizandO la identidad ej
= COS

W t + j Sen Wt, Se tiene

=]_loo ej
Loo (cos wt + j sen wt)dw

= -1

2TT

-oo

1

/

2rr

= -1

TT

-oo

1

00

00

= -1

e os w t d w + j - 1 2rr

sen w t d w'

-oo

loo cos wt dw O

en donde se han utilizado las propiedades (2.13) y (2.14) de las funciones par~ impar. Se observa de nuevo que la integración (S .S) converge acS(t) en el sentido de una función generalizada.

...

O (a)

-...... -

t0

Hallarla transformada de Fourier de la función impulso desplazada cS(t- to) que se muestra en la figura S.l(a).

PROBLEMA 5.4

Solución:

utilizando (2.68), se obtiene j= [o(t- to)l

.

=Loo o(t- to) e-jWt dt ~ e-jWt -oo

t=,!?

1

~

1

(5.8) Otra forma. de solución:

dado que j=(cS(t)] = 1, y según (4.73), o sea,

o

1[f(t- t 0)]= F(w)e-¡wto,

(b)

Figura 5;2

se obtiene j=[o(t- to)l

tal como se muestra en la figura S.2(b).

=

1 e-¡wto

=

e-¡wto,

(5. 9)

(a) La función impulso desplazada. (b) La transformada de Fourier de la. función impulso desplazada.

104

Solución:

Análisis de Fourier

sustituyendo (5.11) en el segundo miembro de (5.10), se tiene

(5.12) Aquí, para evitar confusión, se utiliza y, una variablé comodín diferente. Intercambiando el orden de integración y usando (5.6), se obtiene

2177

L:

F(w)eicutdw =

=

L: L: f(y)

1:

[2177

eicu(t-y)dw] dy

f(y)8(t- y)dy = f(t).

(5.13)

la última integral se obtiene mediante el uso de (2.68). Por consiguiente, la fórmula (5.10) ha sido probada. 5.3

PROBLEMA 5.6

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA CONSTANTE

Hallar la transformada de Fourier de una función constante

l(t)

f(t)

=

(5.14)

A,

tal como se muestra en la figura 5.3(a). A

So lución:

L:

la transformada de Fourier de f(t) =A es j=[f(t)]

= j=[A] =

o =

(a)

Ae-icutdt

~ 77 A _!_Loo 277

F(w)

ej(-cu)t dt.

(5.15)

-oo

Ahora, por (5.6), se tiene O(y) = - 1

277

A277o(w)

Loo eiXY dx,

(5.16)

-oo

Haciendo x = t e y =- w, se tiene --------~~------~~Ú)

o

8(-w)

=..!_Loo eit<-"'> dt. 277

(5.17)

-oo

(b) Figura 5.3

(a) La función f(t) =A. (b) La transformada de Fourier de f(t) =A.

Sustituyendo (5.17) en (5 .15), se obtiene j=[A]

=

277 Ao(-w).

(5.18)

Transformada de Fourier de funciones especiáles

105

Puesto que por (2.77), o(- w)::: o(w),

(5.19)

S:[A] = A211o(w).

Haciendo A = 1, se obtiene

1 [1] Otra forma de solución:

(5.20)

211o(w).

=

por(5.3);setiene 1[o(t)]

1.

=

Ahora, utilizando la propiedad de simetría (4.79) de la transformada de Fourier, es decir, si S: (f(t)] =F(w), entonces :f[F(t)] = 21T f(- w), se tiene 1[1]

2118(- w)

=

=

211o(w).

Por consiguiente,1 [A]=A21T6(w), tal como se muestra en la figura 5.3(b).

Hallar la transformada de Fourier de

PROBLEMA 5.7 Solución:

por(5.20), se tiene 1[1]

=

211o(w)

y por (4.74), se tiene

1[f(t)e1wot]

De donde la transformada de Fourier de e :f[eiwot] PROBLEMA 5.8 So lución:

=

=

F(w- w 0 ) .

1 wot

es

2tr0(w- w 0 ) .

(5.21)

Hallar las transformadas de Fourier de cos W 0 t y de sen W 0 t.

utilizando la identidad

y el resultado (5.21), la transformada de Fourier de cos wot, es

1[cos w 0 t]

=

1

=

.!.s: [eiWol] +

[}<eJwot + e-Jwot)]

2

.!_S:

iw 0 t]

2

(5.22) 1 'úJI An ál ogamente, puesto que sen w 0 t = ~(el o . . 2J

1 [sen w 0 t] = 1 =

[;j

-

. e-Iwot), se tiene

(eiwot- e-Jwot)]

1 -[211D(w-w 0 )-217o(w+w0 )] 2j

(5.23)

106

Análisis de Fourier

f(t) =cosw0 t

5.4

(a}

F(w)

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEL ESCALON UNITARIO

PROBLEMA 5.9 Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario u (t), el cual está definido por (2.88) o sea u(t)= {1 parat>O

O parat
o

supóngase que

(a) La funciónf(t) "'cos w 0 ( (b) La transformada de Fourier de fltl = cos w 0 t

S:[u(t)]

=

F(w).

S:[u(- t)]

=

F(-w).

Entonces, por (4.72), se tiene

(b) Figura 5.4

(5.24)

(5.25)

Puesto que u(- t)

=

{O para t >O 1 parat
(5.26)

se tiene

u (t) +u (:- t) = 1 (excepto cuando t = 0). Por la linealidad de la transformada de Fourier y por (5 .20), se tiene S:[u(t)] + S:[u(-t)]

=

S:[l];

(5.27)

esto es, ,F(cu) + F(-cu)

=

2rro(cu).

(5.28)

Ahora, se supone que F(cu) =k o(w) + B (w),

(5.29)

donde B (w) es una función ordinaria y k es una constante. Entonces, como 8 (- w) = 8(w), se tiene F(cu) + F(-cu) 'i" ko(w) + B(cu) + ko(-cu) + B(-w) =

2ko(cu) + B(cu) + B(-cu)

=

2rro(cu).

(5.30)

De donde se concluye que k = rr, y B ( w) es una función impar. Para encontrar B(w), se procede así: por (2.90), se tiene u'(t)

=

du(t) dt

=

o(t).

Entonces, de acuerdo con (4.91), se obtiene '

S:[u'(t)]

=

jcuF(cu) = jcu[rro(w) + B(cu)]. =

S:[o(t)]

=l.

(5.32)

Transformada de Fourier de funciones especiales

107

Ahora, puesto q~e según (2.75), w c5(w) =O, se tiene 1)

u

(5.33)

j (J) B ((J)) = l.

De donde,

1

(5.34)

B((J)) = -.- . ](J)

Finalmente, se obtiene S:[u(t)]

=

1

118((1)) + - . •

o

(5.35)

(o)

JC'lJ

F((J)) =R((J))+jX((J))

orCi

------------+-----------~(1)

(b)

o (e) Figura 5.5

Probar que la transformada de Fourier de la función escalón unitario, dada por (5.39), es decir, S: [u (t)] = 1/jw, es incorrecta.

PROBLEMA 5.10

Solución: se observa que 1/jw = -¡¡ w es una función imaginaria pura de w; de acuerdo con el resultado del problema 4.9, se ha probado que si la transformada de Fourier de una función real f(t) es imaginaria pura, entonces f(t) es una función impar de t. Pero u(t) no es una función impar de t y, por consiguiente, 1/jw no puede ser su transformada de F ourier.

(a) La función escalón unitario. (b) La transformada de Fourier de la función escalón unitario. (e) El espectro de la función esca.lón unitario.

108

Análisis de Fourier

Probar que

PROBLEMA 5.11 sgn t

cz: J -1 [ -.1- ]

= -1 sgn t,

1t------

(5.44)

2

1 (J)

donde sgn t (léase signum t) está definido como s n g

o

t=

j1

para t < O l-1parat>O.

(5.45)

seanf(t) =sgn t y j=[sgn t] =F(w). Como sgn tes una función impar de t [figura 5.6(a)], F(w) será imaginaria pura, de acuerdo con el resultado del problema 4.9 y, en consecuencia, es una función impar de w. Ahora, por (2.94), se tiene

Solución: ------1-1

(a)

f'(t) = 28(t).

\F (w)\

(5.46)

Entonces, por ( 4.91), se tiene j=[f'(t)]

= jwF(w) = j=[28(t)] = 2.

(5.47)

· Por consiguiente, F(w)

2

(5.48)

= -.-+k 8(w),

]W

o

donde k es una constante arbitraria. Puesto que F ( w) debe ser imaginaria pura e impar, k= O. _De donde, -<

F(w)

.

(b) Figura 5.6

(a) La funcion signum sgn t. (b) E 1espectro de sgn t.

=

2

s=[sgn t] = -.-_. 1 (J)

(5.49)

de lo cual se concluye que

cz: J -1

[

-.1-

]

= -1

2

]W

sgn t.

la figura 5.6 muestra la función signum sgn t y su espectro. Otra forma de solución:

porlaecuación(5.35),setiene j=[u(t)] = 778(w) +

~. ]W

u (t)

1~,---

1

2

o

1

21-----

+

o

o 1 2

Figura 5.7

La función escalón unitario y _sus componentes par e impar.

Se observa que u (t) se puede expresar como (figura 5.7) u(t) = fe(t) + f 0 (t),

(5.50)

dondefe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de u(t), respectivamente. Por (2.15) y (2.16), se tiene .

1

~

1.

fe (t) = - [u(t) +u(- t)] = - ,

2

.

2

(5.51)

Transformada de Fourier de funciones especiales

f 0 (t)

1

=-

[u(t)- u(- t)]

1

= -:

2

1 2

sgn t =

2

t

>o (5.52)

1

{

109

2

t


Por consiguiente, según (4.42) y (4.43), se concluye que

1

[~]

rr8(w),

(5.53)

. ] 1 1 [ -1 sgn t = -.-.

(5.54)

=

2

1 {,)

Por tanto,

CI:1[1] iw 2"1sgn t. =

.J -

PROBLEMA 5.12

En el problema 4.25 se demostró que si 1 [f(t)] = 1(w), entonces 1

1[·i

-oo

L:

supuesto que

Demostrar que si

L:

f(x)dx]

=

~F(w),

1 úJ

f(t)dt

~ F(O)= o.

f(t)dt

=

F (O) ¡6 O,.

entonces

[1-oo'

(

1

1 Solución:

f(x)dx]· =

.~ F(w) + rrF(0)8(w).

(5.55)

1

sea g(t) =

1~ f(x)dx.

La integral anterior se puede expresar como la convolución de f(t) con la función escalón unitario u(t); es decir, f(t)*u(t)

=

foo

.

j_~ f(x)u(t- x)dx

=

Jt-oo

f(x)dx

=

g(t)

(5.56)

puesto que u (t - x) = O para x > t. Por consiguiente, según el teorema de convolución en .el tiempo (4.122) y el . resultado{5.35), se tiene, 1[g(t)] =

1[1~ f(x)dx]

=

1(t(t)]1[u(t)]

=

F(w) [71o(w) +

1

= -.-

1úJ

.

'

j~j

F(w) + rrF(w)8(w).

(5.57)

·Análisis de Fourier

110

Según (2.74), se tiene F(w)o(w)

=

F(O)o(w).

Por consiguiente, 1

[i~ f(x)dx] = j~ F(w) + rrF(O)o(w). 5.5

PROBLEMA 5.13 Solución:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION PERIODICA

Encontrar la transformada de Fourier de una función periódicaf(t).

una función periódicaf(t) con período T, se puede expresar como

n=-oo

tomando la transformada de Fourier de ambos lados, se obtiene

1[f(t)]=F(w)=1L~"" cnejnwot] = n~"" cn1[efnWo

1 ].

(5.58)

Puesto que según (5.21), se tiene 1 [einWol] = 2 TTO(W - n Wo) •

(5.59)

la transformada de Fourier de f(t) es ;

O
(5.60) n=-oo

Transformada de Fourier de funciones especiales

111

la función periódica es

Solución:

'oo

(5.62) n=-oo

Por (5.59), se tiene

(5.63)

De donde, 00

t(t)

=

L: n=-oo

Puesto que

einwo(t+ 217/Wo) = einwot,

f

se tiene

[t +(~:)]

= f(t + T) = f(t);

es decir, f(t) es una función periódica con período T = 2rr/w 0 • PROBLEMA 5.15 Encontrar la transformada de Fourier del tren de impulsos unitarios fJT (t), donde fJT (t) está definido por or(t) = .. ·+ o(t+ 2T) + o(t+

n + o(t) + o(t- n + o(t- 2T) + ...

00

=

L

o(t-nT).

n=--oo

So lución: puesto que f¡T (t) es una función periódica con período T, y según el resultado (3.61) del problema (3.10), la serie de Fourier de la función fJT (t) está dada por

Or (t)

=

~

L 00

einWot,

(5.65)

n=-oo

donde w 0 = 2rr/T, entonces

Por (5.59), se tiene . j= [or (t)]

=

2 71

00

"\'

TL n=-oo

L

o (w - n w 0 )

00

= W0

o(w -

n w 0)

n=-oo

(5.66)

112

Análisis de Fourier

or f (t)

(5.67)

~T-I

Demostrar que los coeficientes complejos en de la exp¡¡nsión en serie de F ourier de una función periódica f( t) con período T igualan a los valores de la transformada de Fourier F 0 (w) de la funciónf0 (t) en w = nw 0 = n21T/T multiplicada por 1/T, donde f 0 (t) está definido por PROBLEMA 5.16

(o)

F(w)

. {f(t), fo(t) _ . . . . __

__.__ _. L __

-1

_ . L_ _-1..-¡~

úJo =

iti>.!_T.

0,

Solución:

2rr T

<~ T (5.68)

úJ

1-

1t1

=

2

la función periódicaf(t) con período Tse puede expresar como

L 00

{b) Figura 5.8

f(t)

(a) El tren de impulsos. (b) La transformada de Fourier del tren de impulsos.

=

en einWot'

úJo =

2rr r'

n=-oo

1 JT/2 f(t) e-inwot dt. Ahora, donde en= T -T/2

=

-T

rtJ Fd:L o

f(t) e-iwtdt.

(5.69)

-T/2

f(t)

D

l

T/2

T

Puesto que (5.70) se concluye que

(o)

(5. 71) {

0

(t)

1

o (b)

Utilizando el resultado del problema 5.16, encontrar los coeficientes complejos de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares cuyo ancho es d y cuyo período es T, tal como se muestra en la figura 5.9(a).

PROBLEMA 5.17

Solución:

sea

L 00

Figura 5.9

(a) Un tren de pulsos rectangulares. (b) Un sólo pulso rectangular.

f(t) ~

en

einWot'

(5.72)

n::;;-oo

Entonces, según la figura S .9(b), se tiene fo(t)

=

Pit).

(5.73)

Transformada de Fourier de funciones especiales

113

Por consiguiente, según (4.45), se tiene

d)

(cu)

2 sen (:::..._ F 0 . = 1[f0 (t)] = S:[pd(t)]=.

2

(.¡)

(S. 74).

Por tanto, según (5.71), los coeficientes en de la serie de Fourier de f(t) están dados por

ncu d) ( (ncu; d) '

0 sen2

(5.75)

que es exactamente el mismo resultado de (3.47), excepto por el factor A, la altura del pulso. PROBLEMA 5.18 Hallar la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares de ancho d y período T, el cual se muestra en la figura 5.9(a).

Solución: según el resultado del problema 5.17, la serie de Fourier de esta función está dada por

De {5.60) se sigue que la transformada de Fourier de

~sta

función está dada por (5. 77)

la ecuación (5.77) indica que la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares consta de impulsos lqcalizados en w = O, ± w 0 , + 2w 0 , • • • , etc. La. intensidad del impulso localizado en w = nw 0 está dada por (2rrd/T) Sa (nrrd/T). El espectro se muestra en la figura 5.10 (caso en que d/T= 1/5). IF,(cu)i

' 1

'

\

Figura 5.10 El espectro de un tren de pulsos rectangulares.

Análisis de Fourier

114

5.6

Solución:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES GENERALIZADAS

según la defmición de transformada de Fourier, se tiene F(y)

=loo f(x)e-¡xydx,

(5. 79)

--x¡

G(x)=l"" g(y)e-¡xydy.

(5.80)

-oo

Entonces

(5.81) Intercambiando el, orden de la integración, se tiene

L:

=

g(y)F(y)dy,

"

y como se puede cambiar el símbolo de la variable comodín, se tiene

f_:

f(x)G(x)dx= L:F(x)g(x)dx.

(5.82)

Transformada de Fourier de funciones especiales

Solución:

115

según la definición (5.85), se tiene

1:

o(t)
1:

S:[o(t)]cp(w)dw.

(5.86)

y según la definición (2.67) de la función 6, se tiene

I:

o(t)
=cl>(t) lr=o =
Pero
=[L:
y como en la ecuación anterior la integración es con respecto a t, se obtiene
=

_...,,

1: 1: if>(t)dt

=

if>(w)dw.

(5.87)

Comparando los resultaoos (5.87) y (5.86), se concluye que

s= [o et)] PROBLEMA 5.21 6(t- 'Z').

Solución:

=

1.

Utilizando la relación (5.85) hallar la tr¡msformada de Fourier de

se puede expresar

L:

o(t- 'T) W(t) dt

=='L: s=

[o (t- 1:)] (w) dw.

(5.88)

Según (2.68), se tiene

1:

O(t- 'T) <1J (t) dt =
[1:

if>(t)e-¡wt.dtL=r

=Loo if>(x)e-¡rxdx. -oo Dado que el símbolo de la variable comodín se puede cambiar a voluntad, entonces (5.89) Comparando los resultados (5.88) y (5.89), se obtiene

s= [o (t-

'T)]

=

e-¡cu r.

Este es e1 mismo resultado (5.8) obtenido en el problema 5.4.

116

Solución:

Análisis de Fourier

por (5.85), se tiene

1:

~[f'(t)]cp(w)dw =

1:

f'(w)
(5.90)

Ahora bien, según la defmiciót\ (2.82); d_erivada de una función generalizada, se tiene

1:

f'(w)
L:

f(w)
(5.91)

Puesto que

=loo -jtcf:¡(t)e-jwtdt -oo = -

L:

= - ~

se tiene

L:

f'(w)
=

+

[jtcf:¡(t)] e-iWt a{

[jt cf:¡(t)],

L:

1:

f(w)
f(w) 1[jtcf:¡(t)]dw.

(5.92)

De nuevo, mediante (5.85), se tiene

·1: f(w)~[jtcf:¡(t)]dw L: j~cf:¡(w)F(w)dw. =

(5.93)

Comparando (5.93) y (5.90), se concluye qúe ~[f'(t)] =iwF(w).

(5.94)

Repitiendo el resultado (5.94), se obtiene ~[f(t)l= (jw)k F(w).

(5.95)

117

Transformada de Fourier de funciones especiales

PROBLEMA 5.24

Utilizando la relación (5.85), demostrar que .

,

dF(w)

~[(-Jt)f(t)] = F (w) = - - ,

dw

donde F(w) = 5 [f(t)] Solución:

se tiene

según la defmición (2.82), de la derivada de una función generalizada,

1:

-1:

F'(w)cp(w)dw =

F(w)cp'(w)dw.

(5.98)

Y según (5.85), se tiene (5.99)

Ahora, integrando por partes, se obtiene 5[cf>'(t)]

=L.:

cf>'(t) e-¡wt dt

=

cf>(t)e-¡wtJ:oo +iw

=

iw((L))

L:

cf>(t)~-¡wtdt

dado que la función de prueba cf>(t) se anula fuera de algún intervalo cf:¡(t) ~O cuando t~±oo.

Por consiguiente,

=

=

L:

i:

(-j(L))f(w)((L))d(L)

(-jt)f(t)(t)dt.

(5.100)

De este modo,

1:

F'((L)) e/> ((L)) d (L) =

1:

(-jt) f(t) (t) dt.

Por lo cual, según (5.85),·se concluye que j= [(- jt) f(t)] = F' ((L)) .

=

dF((L)). d(L)

(5.101)

Análisis de Fourier

118

Mediante repetición de (50101), se obtiene

= F(k)(w) =

S:[(-itl f(t)]

PROBLEMA 5.25

Solución:

dk F(w). dwk

Hallar las transfonnadas de Fourier de t y tk

(5.102)

o

según la ecuación (5o20), S: [1] = 21To(w); y según (5.101), se tiene

(5.103)

S:[(-jt)] = 2rro'(w). Por tanto, S:[t]

=

2

~ o'(w) =

i2rro'(w),

(5.104)

-}

donde o'(w)

=

d o(w). Análogamente, según (5.102), se tiene dw j=[tk]

= ..l:.!!._

o
(- j)k

= 2rrjko(k)(w), .

(5.105)

donde !>(k)(

u

5.7

w

) =

dk o(w) . . k • dw

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Evaluarías transfonnadas de Fourier de las siguientes funciones: (a) 1-3o(t)+2o'(t-2), (h)sen 3t, (e) u(t-1)0 PROBLEMA 5.26

Respuesta: (a) 2rro(w)- 3

+ 3jwe-1 2

+ 3o(w + 1) ~ o(w + 3)],

(e) rro(w)- e-lúJ/jw.

PROBLEMA 5.27

(b) j(rr/4) [o(w- 3)- 3o(w- 1)

ú),

Demostrar que la función escalón unitario u(t) se puede expresar, u(t)

=.!. + .!. 2

roo sen w t

rr ) 0

dw

o

w

[Sugerencia: utilizar las fónnulas (5.35) y (4o27).] PROBLEMA 5.28

Probar que

(a)

(b) [Sugerencia: cos w 0 t u ( t) problema 4o19.] PROBLEMA 5.29

=

t

1

{e i ú)o u ( t) + e-iúJo 1 u (t)} y utilizar el resultado del

Hallar la transfonnada de Fourier de un tren finito de impulsos

unitarios k-!

f(t)= Lo(t-nT)o n=O

Respuesta: e- i(k-t l úJT 12 sen (kw T12) sen (wT/2)

.Transformada de Fourier de funcione~ especiales

119

Si f( t) = e· at u(t), demostrar que ~[E '(t)] =·jw

PROBLEMA 5.30

S: [f(t )] .

[Sugerencia: f'(t) = o(t)- ae·at u(t).]

Seaf(t) una función periódica con períodO T. Si la funciónf0 (t)

PROBLEMA 5.31

está definida como _ { f(t)

~ (t ) -

·

O

pata ltl < T/2 ' ·paralti>T/2,

demostrar que f(t) se puede expresar como

L 00

f(t) ~

f 0 (t- nT)

=

f 0.(t)

* Or(t),

n=-oo

L 00

donde Or (t)= '

o(t- nT).

n=-oo

Utilizando el resultado del problema 5.31 y el teorema de convolución, demostrar que la transformada de Fourier de una función periódicaf(t) con período T, y coeficientes complejos en' se puede expresar como . . PROBLEMA 5.32

f(t) para ltl < t/2 donde F 0 (w)=S:[f0 (t)]

y

f0 (t)=

·{ O

para ltl > t/2.

(Sugerencia: utilizar los resultados de los problemas 5.15 y 2.50.] PROBLEMA 5.33 Probar que j= [1/t] = -7Tj sgn w = 77j- 277ju(w). [Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría (4.79) al resultado (5.44) del problema 5.11.] PROBLEMA 5.34

Del resultado del problema 5.33 deduCir que paran= 1, 2, · · ·, se tiene

S: [-1/t 2] = -jw7Tj sgn w = w77 sgn w, S: [2/t 3 ] = - (jw) 2 77j sgn w = jw 2 77 sgn

s=[~] =:.. t"

w,

(-jwt-1 77jsgn w. (n-1)!

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.24; esto es,

S: [f '( t )]

= jw

F (w).]

PROBLEMA5~35

Demostrarque S:[tu(t)] =j77o'(w)-1/w 2 • [Sugerencia:. utilizar el resultado del problema 5.24.] Demostrar que j= [ 1t 1] = - 2/ w 2·• (Sugerencia: utilizar ltl= 2t u(t)- t, la ecuación (5.104), y el resÚltado del problema 5.35.]

PROBLEMA 5.36

Hallarla solución particular de la ecuación x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) = u (t), utilizando la transformada de Fourier. ' [Sugerencia: tomar la transformada de Fourier de ambos miembros de la ecuación. Hallar X(w) = j= [x(t)] y tomar la transformada inversa de Fourier.] PROBLEMA 5.37

Análisis de Fourier

120

Respuesta: 1(1- 2e~ 1 + e- 21 ) u(t). 2

Hallar la solución particular a la ecuación x"(t)

PROBLEMA 5.38

+ 3x'(t) + 2x(t) =

35(t), utilizando la transformada de Fourier. Respuesta: 3(e- 1 - e-21) u(t). Sea F(w) la transformada de Fourier de f(t) y fk(t) la función

PROBLEMA 5.39

definida por

Demostrar que fk(t) = -1 1T

J""

sen-kx f(t- x) · dx. X

-oo

En el resultado del problema 5.39, demostrar que

PROBLEMA 5.40

o(t) = lim sen kt .

t

k->oo

[Sugerencia: observar que lim f k ( t) = f ( t ). ] k->oo

Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario desplazado

PROBLEMA 5.41

u(t-t0

).

-jWI

0 e Respuesta: rro(w) + - - -

jw

Utilizar la relación (5.85) para deducir el teorema de convolución

PROBLEMA 5.42

en el tiempo

Utilizar la relación (5.85) para demostrar que

PROBLEMA 5.43

PROBLEMA 5.44 La transformada de Fourier F(w), de la función generalizadaf(t) se puede definir mediante

J

oo

.

f(t) cp(t) dt=

1 217

-00

J""

F(w)(-w) dw,

-00

donde cf>(t) es una función de prueb~, y S: [cf>(t)] = ll>(w). Utilizando la ecuación deParseval

J"" -oo

f(t) g (t) dt .

=

2~ l""

[4.133)

F (w) G(-w) dw,

-oo

demostrar que la transformada de Fourier de la función impulso unitario es

S:[o(t)] =·t. [Sugerencia: .·

J

oo

-00

-J

o(t)cf>(t)dt == cf>(O) == 1 2rr

00

-00

(w)dw

=1 .

2rr

J"" -00

.<1>(-w)dw.]

6

CAPITULO

APLICACIONES A SISTEMAS LINEALES

6.1

SISTEMAS LINEALES f¡ (t)

Sistema lineal

Figura 6.1

6.2

FUNCIONES OPERACIONALES DEL SISTEMA

121

Entrada y salida de un sistema lineal

122

PROBLEMA 6.1 V

Análisis de Fourier

Obtener la expresión operacional para la respuesta de la corriente

i(t), al voltaje .v(t), del circuito que se muestra en la figura 6.2(a).

(t)

So 1uci ón: la fuente· es el voltaje aplicado v(t), y la respuesta es la corriente i(t), como ~e muestra en la figura 6.2(b ). La ecuación diferencial que relaciona i (t) y v(t) se puede obtener utilizando la ley de Kirchhoff, así:

(a)

R i (t) + L di (t) + dt V

(t)

RLC

i (t)

!.._

e

lt

(6.8)

i (t) dt = v(t).

-oo

Diferenciando ambos miembros, se obtiene

circuito 2

L d i (t) + R di (t) + de dt (b)

Figura 6.2

(a) El circuito del problema 6.1. (b) Sistema del circuito de la figura 6.2 (a).

!.._ i (t)

e

=

dv(t), dt

(6.9)

donde el símbolo L representa la inductancia y no al operador L. Utilizando el operador p = d/dt, la ecuación (6.9) se puede expresar como ( Lp 2 + Rp +

~)

i (t)

=

(6.10)

pv(t).

Por tanto, i (t) .

=

p

. 2 1 Lp + Rp + ~

(6.11)

v(t) = H (p) v(t),

e

donde --.---·-_.1_ _-.--

(

R+Lp+__!_) Op

= _1_ = y (p). Z(p)

.

123

Aplicaciones a sistemas lineales

Posición de equilibrio de la masa :----..,.x(t)

Considerar el sistema mecánico simple que se muestra en la figura · 6.3(a). Obtener la expresión operacional de x(t), que representa el desplazamiento de una masa m desde su posición de equilibrio. Solución: la fuente es la fuerza aplicadaf(t), y la respuesta es el desplazamiento x(t) de la masa m desde su posición de equilibrio [figura 6.3(b)].

Las fuerzas-que actúan sobre la masa son las siguientes: (1) la fuerza aplicadaf(t); (2) la reacción por inercia (-mál x/d2 t); (3) la fuerza de amortiguamiento (resistencia por fricción)(- kd dx/dt), y (4) la fuerza restauradora elástica(- k ;e). En los numerales (3) y (4), kd y ks son el coeficiente dinámico de fricción y la constante del resorte, respectivamente. Aplicando el principio de d'Alembert, se tiene d 2 x (t) dx (t) m - -2 -+ kd - - + ksx(t) = f(t).

dt

.

dt

m

(a)

f(t)

Figura 6.3,

Utilizando operadores, la ecuación (6.12) se convierte en (mp 2 + kdp + ks)x(t) = f(t).

(6.13)

Poi: tanto, x(t)=

dondeH(p)

=ll(mp

2

1 2

+ ks

f(t)=H(p)f(t),

(6.14)

+ kdp + ks).

6.3

Solución:

·

mp + kdp

RESPUESTA A FUNCIONES EXPONENCIALES DE ENTRADA- FUNCIONES PROPIAS Y FUNCIONES DEL SISTEMA

sea[0 (t)larespuestaa

Entonces,

e¡wt

L {eiWtj

=

f;,(t).

(~;16)

Puesto que el sistema es invariante, entonces por (6.7), se tiene L {eiW(t+ tolj

=

f(t +lo).

(6.17)

Pero según (6.6), se tiene L {eiW(t+

t0

)j

=

L {eiWt 0 eiWt¡

=

eiWt 0 • L leiWt!.

(6.18)

De donde, (6.19)

Haciendo t =O, se obtiene {6,40)

x ( t)

(b)

(6.12)

.

Sistema mecánico

(a) El sistema mecánico del problema 6.2. (b) Representación del sistema mecánico de la figura 6.3(a).

124

Análisis de Fourier

Como t 0 es arbitrario, se cambia t 0 por t y se expresa la ecuación (6.20} como lo(t) = lo(O) eiWt =k eiWt,

Es decir, la salida es proporcional a la entrada, siendo k= { 0 (0) la constante de proporcionalidad. En general, k es compleja y depende de w. Otra forma de solución: supóngase que la excitación en la ecuación (63}, es la función[¡(t) = e¡w 1 ; entonces (6.21) A (p) 10 (t) = B (p) e¡Wt,

donde [ 0 (t) es la respuesta del sistema. Ahora bien; B(p) = bmpm + bm-lPm-1 +• • •+ b¡p + bo, B (p) eiWt

B (jw) eiWt

=

dado que pm eJWt = dm (eiWt) = (jw)m eJWt, dtm

Por tanto, la respuesta[0 (t) está definida por la ecuación diferencial lineal A(p) 10 (t)

=

(6.22)

B(jw) e¡Wt.

La función excitadora de la ecuación (6 .22} es B Uw) eiw 1, una función exponencial, y según la teoría de las ecuaciones diferenciales, se puede suponer que la respuesta[0 (t) también es exponencial. De donde, si 10 (t) = k 1 e¡wt, entonces A(p)l0 (t) =A(p)[k 1 eiWtl =k1 A(p)[eiWt] =k 1 A(jw)eJWt =A(iw)l0 (t). (6.23)

Sustituyendo (6.23) en la ecuación (6.22}, se obtiene: A (jw) 10 (t)

=

(6.24)

B (jw) eiWt,

Por tanto, si A (jw) -::/= O, entonces

\

10 (t) = B (jw) f!Wt = H (jw) eiWt. · A(jw) Entrada

H (jw)

t-sa_li_da-•

(6.25)

La figura 6.4 muestra un diagrama que ilustra la relación entre la entrada y la salida, dada por (6.25).

f¡ (t)

La entrailaf; (t) = e 1 Wt

la salida Figura 6.4

f0

(

1) = H (jW)

Y

ei

wt •.

Función del sistema.

PROBLEMA 6.4

Hallar la respuesta del sistema especificado por H(jw), a una

constante K. Solución:

según la ecuación (6.26} y por la linealidad del sistema, se tiene L IKI =K H(O),

donde H(O) ~ H(jw)lw=o'

(6.28)

Aplicaciones a sistemas lineales

125

/

Si la función de entrada de un sistema lineal especificado por H(jw) es una función periódica, con período T, hallar la respuesta del sistema.

PROBLEMA 6.5

Solución:

puesto que la función de entrada/¡(t) es periódica, entonces

L 00

fj

(t) =

en einWot,

(6.29)

n=-oo

donde

JT/2

en = -1

T

f¡

.

-T !2

(t) e-jnWot dt. .

(6.30)

De la ecuación (6.26) se sigue que fon

(t) = H (jnwo) en ejnWot

(6.31)

es la salida en respuesta a la componente de entrada fin

(t) = én ejnWot.

(6.32)

Como el sistema es lineal, su respuesta totala/¡(t) es la suma de las componentesf0 n(t) .. De este modo 00

(6.33) n=-oo

6.4

RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO

So 1ució n: supóngase que la respuesta en estado estacionario del sistema a la entrada cos wt es re( t), y que la respuesta en estado estacionario a sen wt es rsCt); es decir

L leos

wtl

= rc(t),

(6.34)

L l sen wtl = r s (t).

(6.35)

De la propiedad de linealidad ( 6.6) se sigue que L leos wt + j sen

Pero como cos wt + j sen wt =

eiw

1

wtl

=

re (t) + j r s (t).

(6.36)

,

(6.37) Según (6.26) se sigue que (6.38)

Análisis de Fourier

126

Puesto que rc(t) yr/t) son funciotl.es reales de t, se !iene . re (t) ~ Re [ff (jcu) eiCUt],

(6.39)

[H (jcu) eiCU t].

(6.40)

Re [H (jcu) eiCUt],

(6.41)

L lsencut! = lm [H(jcu)eiCUt].

(6.42)

r s (t) = /in

Por consiguiente, L leos cut!

Solución:

=

se procede como se hizo en el problema 6.6. Sea L 1vm cos (cut+ {3)1 =

Z'e

(t),

(6.43)

L lvm sen (cut+ {3)1

rs(t).

(6.44).

=

Entonces, L 1vm [cos(cut

;1-

{3) + j sen (cut+ ¡3)]1 =L h;m =

Sea

v,;,

e_i(úJt+

~ >1

L lvm ei~ eiCUtl.

(6.45)

e i 13 = V~; entonces, de la ecuación (6.26), se tiene L

lvm eiCUtl

=

vm L leiCUtl

=V mH(jcu) ejCUt.

(6.46)

Por tanto, Z' e

Puesto que V m H(jcu) eiCUt i'e(t) r(t)

=

=Re [Vm =

(t) + j

l's

(t)

vm\H(icu)\

=

ej(CUt+

H(jcu)eiCUt]

lm [Vm H (jcu)elCUt]

Vm H (j~) ejCUt.

=

(6.47)

~+e>,

= vm\H(icu)\ tos

(cut+

f3 +e),

vm\H(icu)\ sen (cut+. {3 +e).

(6.48)

(6.49)

De este modo, vm\H(jcu)\ cos (~t + {3 +e),

L lvm cos (cut+ {3)1

=

L 1V m sen (cut + {3)1

= V m \H (jcu)\

sen (c,;t +

f3

+ e).

(6.50)

(6. 51)

Aplicaciones asistemas lineales

127

. PR9BLEMA 6.8 Hallar la respuesta/0 (t) de un sistema liileal cuando la entradafi(t) es periódica con período T, y está expresada en serie de Fourier por 00

f; (t) = Co +

L

.

en cos (núJot + cf>n),

·

úJo =

2rr

-;¡·

(6.52)

n= 1

Solución: del principio de superposición y de los resultados de los problemas 6.4 y 6.7, se sigue que f 0 (t)

=

L !f; (t)l

b

= L { Co +

Cn cos (núJ 0 t + cf>n)}

00

L

= L !Col+

L l~n

COS

(núJ 0 t + cf>n)l

n=l

L 00

= CoH (O) +

CniH (jnúJo)l cos [núJot + cf>n + e (núJ~)]..

(6.53)

n= 1

6.5

APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS

R

PROBLEMA 6.9 Una fuente de voltaje v(t) = vm cos (wt + {3) se aplica al circuito en serie RLC, que se muestra-en la figura 6.5. Hallar la corriente de respuesta i5 (i) en estado estacionario.

V

(t)

según el resultado del prqblema 6.1, la respuesta de la corriente i(t) está relacionada con la fuente de voltaje por 1 i (t) = H (p) v(t) = - - [ v(t)1, (6.54)

Solución:

dondeH(p) se tiene

=1/Z (p)

y Z(p) =R

+ Lp +

¿.

v(t) = vm cos (úJt +

donde V m

{3)

Z(p)

Figura 6.5

Utilizando ahora la not¡.tción fasorial,

(6.55)

=Re [Vm eiúJt],

= V m ei ~.

Entonces según (6.50), la respuesta senusoidal en estado estacionari() isCt), está dada por 1 i 8 (t) =Re [ --.-Vm efúJt]. (júJ) '

(6.56)

z

Ahora bien,

1 ) Z(júJ) = R + júJL + -1- = R + j ( úJL- _. júJC , úJC =

iZ(júJ)I e 16(úJ)= IZ_(júJ)I je(úJ),

donde 8(úJ) =tan-'

e

(6.57)

.( 1) úJL-R úJC

.

El circuit.o en serie RLC del problema 6.9.

Análisis de Fóurier

128

Entonces,

i s (t)

lZ (jw)" Vm l

cos [wt +

{3- 61(w)].

(6.58)

v(t)

-

V

r-t

o

TT

2TT

-V

Una fuente de voltaje v(t), cuya forma es una ·onda cuadrada, como se muestra en la figura 6.6(a), se aplica al circuito en serie RL que se muestra en la figura 6.6(b ). Hallar la corriente de respuesta iit), en estado estacionario.

PROBLEMA 6.10

So 1u ció n: la expansión en serie de Fourier de la onda cuadrada está dada P,Or (2.38). Con w 0 = 21T/T = 1, se tiene

(a)

v(t)~ 4rrV [cost-~cos3t+~cosSt-···]. 3 S

R=lÜ

V

(t)

~

L=lh

La impedancia del circuito RL (figura 6.6(b)) a cualquier frecuencia angular w está dada por. Z(jw)

(a) Forma de onda de la fuente

=

R + jwL.

Por consiguiente, para el armónico enésimo la impedancia es:

Z (jnw 0 )

(b) Figura 6.6

(6.62)

Para este problema, R

=1n

y L

=

R + jnw0 L.

= 1h; por consiguiente,

de voltaje. (b) El circuito en serie RL del problema 6.10.

donde

\Z(jn)j = ~

e(n) = tan- 1 n.

Según el principio de superposición, se sigue que la respuesta en estado estacionario i5 (t), está dada por . s (t)

1

= 4V 1T

+-

ll -

y2

1 -

sj26

PROBLEMA 6.11

cos (t- tan- 1 1) -

l ----=

cos

3y10 cos

(St- tan-1 S) + · ·

(3t - tan- 1 3) .

J.

(6.63)

]

El voltaje de entrada al circuito RC, de dos fuente::;, que se muestra

en la figura 6.7, es la serie fmita de Fourier v 1 (t) = 100 cos t + 10 cos 3t

+ cos

Hallar la respuesta resultante v0 s
St.

129

Aplicaciones a sistemas lineales

puesto que la fu~nte es

Solución:

V¡

~ l~ i (t) dt·=

(t) = R i (t) +

p~). i(t),

(R +

(6.64)

f

la respuesta es

V¡ (t)

(t)

V0

= !_

lt

C _00

i (t)' dt = __!:__ i (t).

(6.65)

pC.

•

1 V0

(t)

=__!!E_

(t)

R + _1_ pC

=

1 1 + pRC

Por copsiguiente, la respuesta v0 (t) y la entrada v;(t) están relacionados por 1 V 0 (t)

= ~ v 1(t) = H(p) 1 R+-

(6.66)

V;(t),

pC

donde 1 H(p)

= __L = R + __!:__ pC

1 1 + pRC

Ahora la razón de fasores V0 /V; a cualquier frecuencia angular w es

v·

~=

H(jw)

V1

1

=---

1 + jwRC

j- tan- 1 wRC.

1

.Jl + (wRC)

(6.67)

2

Puesto que w 0 = 1, la razón de fasores del armónico enésimo es

Por tanto, según el principio de superposición se sigue que la respuesta en estado estacionario, voit), está dada por vos

.

(t)

=

100

--;:::===::::::::::: cos (t- tan- 1 RC) + )1 + R 2 C 2

1

·.

10

)1

1

cos (3t- tan- 3RC)

+ 9R 2 C 2

.

cos .(St- tan- 1 SRC).

+

!

l 1 ~ Te

Figura 6.7

Dividiendo el resultado (6.65) por (6.64), se obtiene

V;

..

R

AIV\¡

)1 + 25R 2 C 2

6.5 a Cálculo de potencia en estado estacionario

(6.68)

Vo(t)

1

El circuito RC de dos fuentes del problema 6.11.

Análisis de Fourier

130

i (t)

-

r----------, Network =

b

Circuito

b.--L....-____.....

Figura 6.8

El circuito del problema 6.12.

sustituyendo (6.69) y (6.70) en (6.71), se tiene

Solución:

+ 10

L oo

n=t

Vn

l JT/2 COS

-

(nCú 0 t + f3n ) dt

T -T/2

(6.73)

Utilizando las relaciones de ortogonalidad de la sección 13, se obtiene

Por tanto, (6.73) se puede expresar como 1

. pab =

Vol o +

...

2

L 00

n=-

1

Denotartdo la raíz cuadrática media del armónico enésimo del voltaje por Veff,n y la del ~rmónico enésimo de la corriente por Ieff,n• se tiene

(6.74)

Aplicaciones a sistemas lineales

131

Sea (6.7S)

Entonces () n denota la diferencia de fase entre los annónicos enésimos del voltaje y de la corriente. Introduciendo (6.74) y (6.75) en (6.72), se obtiene Pab

=

Volo +

f:

Vett,n

cosen

leff,n

n= 1

00

= Po + p 1 + p 2 + ' ' ' =

L pn '

(6. 76)

n=O

donde Pn es la potencia promedio del annónico en~simo.

Determinar la poteneia promedio entregada al circuito de un puerto, de la figura 6.8, si se sabe que Vab(t) = 10 + 2 COS (t + 4S 0 ) + COS (2t + 4S 0 ) + COS (3t- 60°),

PROBLEMA 6.13

i (t) = S + So 1u ció n:

COS

t + 2 cos (3t + 7S 0 ),

para V¡,/¡, () ¡ y P¡, siendo i = O, 1, 2, 3, se tiene

V o = 10,

fo

=

P 0 = 50,

S,

P,

V,= 2,

=

!._2 cos 4S 0 2

=

0.707,

p2 ==O, p3

=

!._ 2

2

COS

(-13S 0 )

.

=

-0,707.

Por tanto, la potencia promedio entregada al circuito es Pab = P 0 + P, + P 2 + P 3 =SO+ 0.707 +O- 0.707 =SO W.

6.6

APLICACIONES A SISTEMAS MECANICOS

Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura 6:9 que consiste de un resorte, una masa y un amortiguador. Si el sistema se perturba por una fuerza f(t) = / 0 cos (wt+ {3), hallar el desplazamiento x /t), de la respuesta en estado estacionario. PROBLEMA 6.14

Solución: la respuesta x 5 (t) y la función excitadoráf(t) están relacionadas por la siguiente ecuación diferencial:. 2

d x(t) dx(t) () m -+ B - + k xt dt> dt

=

f() t,

(6.77)

f(t)

Figura 6.9

El sistema mecánico del problema 6.14.

Análisis de Fourier

132

donde m, By k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante del resorte, respectiyamente. La ecuación (6.77) se puede expresar en forma operacional como x(t)=

1 2

mp + Bp +k

(6.78)

l(t)=H(p)l(t), ·

donde H(p)

Dado

q~e

1

=

.

(mp 2 + Bp +k)

se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se tiene l(t) =locos (wt + {3) =Re [F 0 eiWt],

donde F 0 = 10 eif3. Entonces, según (6.50), se tiene que la respuesta en estado estacionario, xit), está dada por

x s (t)

=

Re [F 0 H (jw)

~¡w t].

(6. 79)

Ahora bien; H(jw) =

1

m (jw) 2 + B (jw) + k

=

1

k- mw 2 + jwB

= IH(jw)i jO(w)'

donde·

O(w)=-tan_ 1 · ( wB

k- mw 2

).

Entonces,

~

.

Q

w t + tJ - tan

t

f(t)

(a)

-1

w B .) k- mw 2

•

(6.80)

PROBLEMA 6.15 Analizar el movimiento en estado estacionario del sistema que se muestra en la figura 6.1 O(a), si la fuerza perturbadoraf(t) es la que se muestra en la figura 6.1 O(b ).

Solución: .l,a respuestaxlt), el desplazamiento de la masa m desde su posición de equilibrio, y la fuerza perturbadora están relacionádas por d 2 x(t) m --+ k x(t) = l(t), dt 2 .

(6.81)

ecuación que se puede. expresar también como: x(t)=

1 mp 2 +k

l(t)=H(p)l(t), ·

(6.82)

donde H (p) =

(b)

Figura 6.10

(a) El sistema mecánico del problema 6.15. (b) La fuerza perturbadora del problema 6.15.

1 (mp 2 +k)

La expansión en serie de Fourier def(t), se obtiene del resultado delproblema 2.15, esto es,

donde w 0

=2rr/T.

Aplicaciones a sistemas lineales

133

Puesto que interesa sólo el movimiento forzado o movimiento en estado estacionario del sistema, se procede a utilizar la notación fasorial. Entonces, se tiene. H (jw)

1 m(jw) 2 +k

=

1

IH(jw)l ¡e(w)

y H (jnw 0 ) =

1 [k - m (nw 0 ) 2 ]

Dado que el ángulo de fase en retraso O(w) es cera, entonces, por (6.51), se obtiene Xs

(t) = _

~ [sen TT

W 0 t + ~ sen 2w 0 t + ~ sen 3w 0 t + .. ·] . k - mw~ 2 k - 4mw~ 3 k - 9m~~

6.7

Solución:

(6.83)

RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN IMPULSO UNITARIO-FUNCION DEL SISTEMA

según la propiedad (2.68) de la funéión o,[¡(t) se puede expresar como f;

(t)

=

1:

f;

(6.88)

(T) o(t- T) dT.

Entonces, según la linealidad del operador L, dada por (6.6) y en razón de la ecuación (6,85), se tiene ! 0 (t)

=

L lf;(t)l

=

1:

f¡(T) L !o(t- T)! dT

=

1:

f¡

(T) h(t- T) dT.

(6.89)

. Según la definición (4.105.) y la propiedad (4.108) de la convolución, la ecuación (6.89) se puede expresar como f 0 (t)

=

f; (t)

* h (t) = =

h(t)

* f;{t)

1:

f 1 (t- T) h(T) dT.

Análisis de Fourier.

134

6.7a Función del sistema

Sol uci6n:

por (6.86), se tiene fo

(t) = l¡ (t)

* h (t).

Por consiguiente, aplicando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122), se obtiene F o (ú>) = F 1 (ú>) H (ú>).

Aplicando la fórmula (4".16), de la transformada inversa de Fourier, se obtien-e

1

00

f 0 •(t) =

CI J-1 [

· F 0 (úJ)) = 1- · F 1 (ú>) H(ú>) ei(út dúJ. 277 -oo

PROBLEMA 6.18 Verificar que la función del sisteníaH(w) definida por (6.90), es exactamente la misma función del sistema H(jw) definida por (6.26).

-Solución:

si t 1 (t)

entonces de (5.21), se tiene

= eiúJot,

F¡(úJ) = ~ [i 1 (t)] = ~ [eiúJot] = 217 O(úJ- ú> 0 ).

[5.21]

, De donde, F;(ú>) H(ú>)

=

2

17

o(ú>- ú> 0 ) H(ú>)

=

277 H(ú> 0 ) O(úJ- ú> 0 ),

(6.94)

en razón de la propiedad (2.74), de la función[). Entonces, por (6.93), se tiene

=

H(ú> 0 )

= H

1:

O(úJ- úJ 0 ) eiúJt

(ú>o) eiúJot.

d~ (6.95)

Aplicaciones a ¡;istemas lineales

135

Dado que (6.95) se cumple para cualquier valor de w 0 , se puede cambiar Wo por w y se obtiene (6.96) Por (6.26), se tiene f 0 (t)

=

L leiWt¡

=

H(jw) eiWt.

[6.26]

Comparando (6.96) y (6.26), se concluye que H (w)

=

H (jw).

R

'VV\

le

r

V¡ (l)

Hallar la respuesta al impulso unitario, del circuito RC que se muestra

PROBLEMA 6.19

en la figura 6.ll(a).

l (a)

Solución: la función del sistemaH(jw), obtenida en el resultado 6.11, está dada por

(6~67)

I

f

v 0 (t)

i

del problema h (t)

1

H (jw)

=

jwC 1 R+-jwC

1 1 + jwRC

1

RC

(jw + __!__) . , RC

(6.99)

o

Por consiguiente, según el resultado del problema 4.11, se tiene h (t)

=S: -1

[H (jw)l

=

_1

RC

S:-1·· ~

.

1

1

J=

]W+-

_1_ e-tiRe u (t).

RC

Figura 6.11

RC

La respuesta h(t) al impulso unitario está trazada en la figura 6.11(b). /

Una fuente de voltaje v¡(t) =e-tu (t) se aplica al circuito RC de la figura 6.ll(a); hallar la respuesta, el voltaje v0 (t), siR= 1/2il y C = 1 f. PROBLEMA 6.20

(b)

(6.100)

(a) El circuito RC del problema 6.19. (b) La respuesta al impulso unitario.

136

Solución:

Análisis de Fourier

sustituyendoR = 1/2il y C= 1 f en (6.100) se obtiene h (t) = 2 e- 2 1 u (t).

(6.101)

Por tanto, según(6.86), se tiene V0

(t) =

V¡

* h (t)

(t)

=

f~ v;( 'T) h (t -

=

f~

'T) d'T

e-'t u(T) 2e- 2
J~

=2e- 21

e'tu('T)u(t-'T)d'T.

Dado que u(T)u(t-T)•

~

para T t para O < 'T < t,

se tiene V0

(2 ·-"

(t) •

1'

e"

d'r)

u(t)

2 e- 2 1 (e 1 - 1) u (t)

=

=2

(e- 1 - e- 21) u(t).

(6.102)

la expresión u (t) ~n el resultado (6.102) indica que no hay respuesta debida a la fuente, antes de que ésta se aplique. PROBLEMA 6.21 Hallar la respuesta del circuito RC de la figura 6.ll(a), al escalón unitario u (t), por convolución.

Solución:

por(6.100),setiene

.

.1

h (t) = - e-ti Re u(t). RC

Por tanto, según (6.86), se obtiene V0 (t) = V¡(t)

=

=

J~

l

V¡

[R~

=~~ =

(T) h (t- 'T) dJ

1 u(T)-e:-
oo

-oo

=

* h(t)

lt

e-
8-t!Rc

Lt

e't!RC dT)u(t)

(1- e-tiRe) u(t).

(6: 103)

Aplicaciones a sistemas lineales·

137

6.7b Sistema causal

Demostrar que la respuesta/0 (t) de un sistell1a lineal causal, a cualquierfuente fi(t), e_stá dada pc;>r ·

PROBLEMA 6.22

fo

(t)

=

'=

L L"'

('r) h (t- T) dT

. (6.106)

l¡(t-T)h(T)dT.

(6.107)

f¡

Solución: de (6.104) y (6.105) se sigue que h(t), la respuesta al impulso unitario, es causal; es decir, O para t < O.

(6.108)

h(T) =O paraT
(6.109)

h (t)

=

Esto significa que

y

h (t- T) =

O

para t....: 'L < O ó

- 'L > t.

(6. IlO)

Si se aplica (6.110), se tiene que el integrando en la ecuación (6.86) es cero en elinteiValo t a 1i = 00• De (6.86) se tiene, entonces,

1i =

f 0 (t)=

=

L:

f¡(T)h(t-T)dT

1~ f 1 (T)h(t-;-

'L)dT,

Análogamente, si se aplica (6,109) se tiene que el integrando en (6.87) es cero en el inteiValo 7: =- oo a z- = O. Por (6 .8 7) se tiene, entonces, fo

(t) =

1""

f;

(t,- 'L) h (T) dT

-oo

=

.

1""

f 1 (t-T)h(T)dT.

o

PROBLEMA 6.23 Si la función de la fuente[¡(t) es causal, es decir, si la fuente[¡(t) se aplica en t =O, demostrar que la respuestaf0 (t) del sistema lineal causal es fo

(t) =

it

f;(T) h(t- T) dT.

(6.111)

Análisis dé Fourier

138

Solución: Si[¡(r) =O para'&< O, entonces el límite inferior de la integral que aparece en la ecuación (6.106), se puede cambiar a cero, pues en el intervalo 7: =- oo a r =O, el integrando es cero. De este modo, f 0 (t) =

lt

f¡(T) h(t- T) dT =

-oo

f¡(T) h(t- T) dT.

O

6.8

Solución:

lt

RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN ESCALON UNITARIO-INTEGRAL DE SUPERPOSICION

puesto que [¡(t) = u(t) y f 0 (t) =a(t), se sigue de (6.87) que a(t)=

1:

u(t-T)h(T)dT.

Dado que 0 para T > t u(t- T) =

{

1 paraT < t,

se tiene a(t)=

f_~h(T)dT.

Haciendo t = oo, se obtiene a(oo) = a(t)\ 1=00

=

1:

h(T) dT.

En realidad, esta integral se puede expresar como a(oo)

=

f~ h(T)

e-i 6Yr: dT\úJ=O = H(w)\úJ=O = H(O).

(6.116)

139

Aplicaciones a sistemas lineales

Puesto que h('¡;) =O para¡< O, la ecuación (6.113), para un sistema causal, se convierte en a(t) = PROBLEMA 6.25 Solución:

it

h(T) dT.

Utilizando (6.115), resolver de nuevo elproblema 6.21.

por(6.100),setiene h (t) = _1_ . RC

e-tiRe u

(t).

[6.100]

Sustituyendo ( 6.1 00) en (6.115), se obtiene vo(t)

=

a(t)

=

'lt o

h(T) dT= .

=

lt

-1 o RC

e-'T:IRC

dT

(1- e-ti RG) U (t),

lo cual es exactamente el mismo resultado de (6.103).

Solución:

por (5.35), se tiene

1

[1 1 (t)] =

1 [u (t)]

=

7T

8 (w) +

~­

J{U

Si ahora 1 [[0 (t)] =1 [a(t)] =A(w), entonces, por (6.92), se tiene A (w)

=

["a

(w) +

j:]

H (w)

= 7T 8 (w)

1 H (w) + -;- H (w)

= 1rH(O)

8(w) + - H(w), jw.

.

JW

1

en razón de (2.74), una propiedad de la función 6. Otra forma de solución: puesto que según (6.113), se tiene a(t) =

J~ h(T) dT,.

del resultado (5.55), del problema 5.12, se sigue que

1

A(w) =-;- H(w) + 1rH(O) 8(w). JW

[5.35]

140

Análisis de Fourier

cualquier función de entrada[¡(t) se puede expresar en la forma

Solución:

=

f¡(- oo) +

1""

E¡ (T) u(t- T) dT

(6;119)

-00

puesto que 0 para t
=

{ 1 parat>T.

Entonces, por (6.28) y (6.112), se tiene L lu(t)! = a(t) ~ L lu(t- T)! = a(t- T).

y

L IKI =K H (O)

~

De este modo, [

0

(t)=Lif1 (t)I=Lif(..:.oo)l+

L:

=f(-oo)H(O)+

i¡(T)L!u(t-T)IdT

1:

f¡(T)a(t-T)dT.

Solución:

(6.121) Figura 6.12

La función de entradaf¡(t), del problema 6.27.

Como [¡(t) tiene una discontinuidad de valor [¡(O+) en t =O, se tiene, entonces, según el resultado (2.94) del problema 2.28, que

t¡ (t) =

f;

(0+)

[j (t)

+ ¡;+ (t),

(6.122)

donde[¡~ (t) = [¡' (t)u (t), es decir, la derivada de [¡(t), para t >O. Sustituyendo (6.122)

1:

en (6.121), se obtiene f 0 (t) =

=

[f1 (0+) D(T) + f;(T)u(T)] a(t -T) dT

11 (0+)

ioo

o(T) a(t- T) dT +

-oo

=

11 (0+) a(t) +

lt

{oc

JO+

E¡ (T) a(t- T) dT

0+

puesto que, a(t- ¡)=O, para¡> ten el sistema .causal.

t; (T) a(t- T) dT

141

Aplicaciones a sistemas lineales

PROBLEMA 6.29 Explicar de qué manera la integi-al de superposiCión (6.120), expresa realmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a las componentes en escalón, de la función/¡(t). Solución: una función de entrada/¡(t) se puede aproximar por la suma de un gran número de escalones infinitesimales, como se muestra en la figura 6.13. Un escalón infinitesimal localizado en 1: se puede expresar como .

df 1 ('r)

-

-

dT

~ T u (t- T) = f[ ( T) ~ T u (t- T). .

(6.123)

En la figura 6.13 se observa que /¡(t) se puede expresar como

L t; (T) ~T u(t- T).

Figura 6.13

t

f 1 (t) = f 1 (0+) u(t) + .

lim

6'T:->0

.

(6.124)

La función de entrada.fi(t), aproximada por la suma de · funciones escalones.

'T:=O

Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario u (t) es a (t), la respuesta debida a un escalón infinitesimal (6.123) está dada por . f[(T)

~T

a(t- T).

De donde f 0 (t), la respuesta del sistema a la fuente /¡(t), estará expresada como la suma continua de las respuestas a los componentes escalonados de /¡(t), es decir

(6.125)

lt

=f1 (0+)a(t)+

t¡(T)a(t-T)dT.

Ot

Resolver el problema 6.20 utilizando la integral de superposición,

PROBLEMA 6.30

v¡ (t)

dada en (6.120). respecto ala figura 6.14,hacer: v¡(t)= e -t u(t). De este modo, se tiene

Solución:

v; (t)

=-

e-t para t > O.

a(t), la respuesta al escalón unitario, se obtiene del resultado (6.103) como a(t)

=

(1- e- 2 t) u(t).

De donde, utilizando (6.120), se obtiene V0

(t)

~

Jo+

- .

"

Figura 6.14

v; (T) a(t- T) dT

v 1 (0+) a(t) + (

- t

u(t) + {

-

' e- 2 (t-'O

=

C1-

e- 2 t)

=

(1-

~- 2 t) u(t)-

=

(1- e-2t) u (t) + (e-t- 1) u (t) + e- 2 t (e 1

=

2(e-t-

e- 2 t)

lo cual es el resultado (6.102).

Jot

[lt

u(t),

e-'T:

e-'T:

[1-

dT- e- 2 t

lt -

u(t- T)} dT

e'T:

d'-c] u(Q

1) u (t)

La fuente de voltaje del problema 6.30.

Análisis de Fourier

142

6.9

PROBLEMA 6.31

TRANSMISION SIN DISTORSION

Supongase que la funciónH(jw) de un sisterpa lineal, está dada por H (jw)

=K e-¡Wto,

(6.126)

donde K y t 0 son constantes positivas. Hallar la respuesta del sistema,f0 (t), a la excitación, /¡(t). Solución:

sea

Según (6.92), se tiene que F¡(iw) y F 0 (iw) están relacionadas por F o (jw) = F; (jw) H (jw) =.K F; (jw) e-iWto

(6.127)

De donde,

=

:rr 1"" [F; (jw) e-¡Wto] eiWt dw -oo

=

!i_l"" 2rr

F; (jw) ei w(t- to) dw.

-oo

En razón de que

f¡ (t)

[

0

(t) se puede expresar como

(6.128)

1 tl 1

1

1

1 1

1 1

r--

Kf¡ (t-

:t0 )

1 1

..

la ecuación (6.128) muestra que la respuesta es una réplica retardada de 1~ función de entrada, con la magnitud de la respuesta alterada por el factor constante K, lo cual se ilustra en la figura 6.15.

1

1 1 1 1

to --+1

:

1 1

1

1

KA 1 1 ---~--------~--1 1 1

1 1 1

1

1

1

1

Figura 6.15

La función de entrada del problema 6.31 y su réplica retardada.

PROBLEMA 6.32 Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario de un sistema de transmisión sin distorsión.

Aplicaciones a sistemas lineales

So 1u e i ó n :

143

según la deftnición de la función de un sistema, dada por (6.91 ), se tiene h(t)

2

=5- 1 [H(jw)] = ~

1:

H(jw) eiWt dw.

Sustituyendo ahoraH(jw), del sistema de transmisión sin distorsión, dada por (6.126), en la anterior expresión, se obtiene

_!_

h(t) =

2rr

Joo K ~:_¡Wto eiWt dw -oo

= K12rr

Loo eiW(t-:-to>dw· -oo

=K o(t- t 0 )

(6.130)

resultado que se obtiene mediante la identidad (5.6).

si v(x, t) es el voltaje en un punto distante x de la entrada, y en un tiempo t, entonces para una entrada senusoidal de frecuencia w, el voltaje se puede expresar como

Solución:

v(x, t)

=

R.e [Vm eiWt-Y<W>x],

(6.132)

donde Vm es la amplitud compleja del voltaje a la entrada y -y(w) es la constante de propagación. · · Entonces, el voltaje de entrada está dado por v¡(t) = v(O, t), y el voltaje de salida por v0 (t) = v(l, t) donde 1es la longitud de la línea de transmisión. De este modo, mediante notación fasorial, se tiene

y

De donde, la función del sistema H(jw) para la línea de transmisión está dada por H(íw)

=

·V. e'-Y(w)l m

= e-Y(w)l.

"

(6.133)

Vm Si y (w) == .j(R + jw L) (G + jw C)

= <X (w)

+ j {3 (w), entonces

H (jw) = e-Y(W)l = e-[cqw)t;

13 (W)]l

=

e- ex (W)l e-¡ i3 (W)l

=

\H (jw)\ e i e<w>,

(6.134)

Análisis de Fourier

144

donde [H(jw)] =

e(w) = -{3(cv)l.

e-CJ.(W)l,

Según las condiciones para transmisión sin distorsión, dadas por (6.129), se concluye que a(w) debe ser constante e independiente de w, y {3(w) debe ser una función lineal de w; ~~

\

Entonces, 'Y(w}se puede expresar como y(w)

=

=

.j(R + jw L) (G + jw C)

1 (1 RG

+

j~L)

=

<X(w) + j (3(w)

=

K 1 + jK 2 w.

(

1 j:C) +

(6.135)

Es obvio que la ecuación (6.135) se cumple si L

e

R

G

Entonces, la constante de propagación está dada por y(w)

=V

RG

(1 + i~LY

=

)RG + jwL~ =

a(w) + i f3Cw).

De donde, <X(w) =

VRG = K

11

= wL, ~ = w {Le= wK V~ "R. , Vi .

(3(w) = wL,

2•

De este modo, cuando la condición (6.131) se cumple, se tiene la línea sin distorsión.

6.10 FILTROS IDEALES

Salida Sistema

[

0

(t)

H(jw)

t

Espectro de entrada F 1 (w) . Figura 6.16

1

Espectro de salida F 0 (w)

Ilustración de la relación (6.97).

PROBLEMA 6.34 Hallar h(t), l:! respuesta al impulso unitario, de un filtro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado.

Aplicaciones a sistemas lineales

145

la figura 6.17(a) muestra las características de un filtro ideal para frecuencias bajas. Según (6.91), la respuesta al impulso unitario,h(t), se obtiene por Solución:

h (t) = j=-t [H (jw)] =

loo 1 l(úe

2_ 2rr

= -

2rr

H (jw)

dW

ei

tol

dw

W(t-

-w e L

' TT (t - t 0 ) 2j

-----:~e

=

eJW t

-oo

jW(t-t 0 )

W e

1-w e

(6.137)

w e sen w e (t - to) TT

We

(t- t0 )

.

El resultado (6.137) está dibujado en la figura 6.17(b ), de la cual se sacan las siguientes conclusiones: (1) La entrada aplicada es distorsionada por el sistema, debido al hecho de que el filtro transmite sólo una limitada banda de frecuencias. (2) El valor pico de la respuesta wcf7r es proporcional a la frecuencia de corte wc. El ancho del pulso principal es 27r/wc; se puede hacer referencia a esta cantidad, como la duración efectiva del pulso de salida, Td. Se observa que cuando wc- oo (es decir,· cuando el f:tltro permite el paso de todas las frecuencias), Td- O, y el pico de la respuesta- oo; en otros términos, la respuesta se. aproxirila a un impulso, tal como debe ser. (3) También se observa que la respuesta no es cero antes de t =O, es decir, antes de que se aplique la entrada. Esta es la característica de un sistema físicamente no realizable. Los filtros ideales no ·son físicamente realizables, y por consiguiente, no son necesariamente sistemas causales. h (t) .\H(jw)\

1

o

--'W e

(a) (b)

Figura 6.17

(a) Características de frecuencia d.e un filtro ideal para frecuencias bajas. (b) La respuesta al impulso unitario de un filtro ideal para frecue11cias bajas.

PROBLEMA 6.35 (a) Evaluar la función seno-integral. (b) Hallar a(t), la respuesta al escalón unitario de un f:tltro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado. Solución:

(a)

dado que Sa(x) =sen x. es una función par, entonces X

Si

(~y)

;,

~Si

(v).

Análisis de Fourier

146

Según la definición, cuando Y. = O, entonces

Si (O)= O. ·Dado que

roo

sen

J-oo

X

dx

=

roo ~en

2

X

) 0

X

dx

= 1T'

X

se tiene

Si (oo)

y

= 1!._

2

Si (-oo)

=

_1!_,

2

En la figura 6.18 se muestra una gráfica de Si(y). Si(y)

a (t)

1.18 (rr/2) rr/2

1

~

Pendiente =

Wc

--------------------1T

-277 277

1T

y

o

Figura 6.19 Figura 6.18

La función seno-integral.

La respuesta al escalón unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas.

(b) A partir de ( 6.113), a(t) la respuesta al escalón unitario, se puede obtener de h(t),la respuesta al impulso unitario; es decir, [6.113]

.h(1:) d1:

a(t) = [

=!:_l·i .

Cambiando'la variable wc(r- t 0 ) a(t)

1

= -·

lwc

7 7 _00

1T

(6.138)

.

-oo

por~·

en la integral (6.138), se obtiene


1 io sen x 1 - - d x =-.-dx +X

TT-ooX

1

=-

ioo

"o

sen x

77

1

lwc lwc 0

- - d x +x "o

sen x .

--dx

.

X

sen x

·

--dx. (6.139) x

Mediante la función seno-integral, la ecuación (6.139) se puede expresar como

(6.140)

En la figura 6.19 se muestra una gráfica de a(t), la respuesta al escalón unitario.

Aplicaciones a sistemas lineales

147

En el resultado anterior se observa lo siguiente: (1) se observa nuevamente la distorsión debida a la banda limitada del filtro; (2) se observa nuevamente que la respuesta no es cero' antes de t =O; (3) utilizando Si(±oo) = ±rr/2, se observa que cuando wc----+ 00 , 1

1

2

2

= - - - =O

a(t)

1

=-

2

1

+ -

2

para t < t 0

= 1 para t > t0 , i(l)

1

v;,( 1)

e

R

_l

y la respuesta se convierte en u(t- t 0 ), un escalón unitario retardado, tal como debe ser, Y

(4)

la entrada, un escalón unitario, tiene·un súbito ascenso mientras la respuesta muestra un ascenso gradual.

_(o)

i (1)

JJ'h DC. -2

o

-1

1

2

3

4

(b)

Figura 6.20

(a) El circuito del problema 6.36. (b) La forma de onda de la corriente de entrada en el problema 6.36.

6.11 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS PROBLEMA 6.36

Hallar el voltaje de salida en estado estacionario, del circuito de la figura 6.20(a), cuando la corriente de entrada tiene la forma de onda que se muestra en la figura 6.20(b ). Hacer R = 1 Q y e= 1 f.

Respuesta:

vos

(t )

!

=

+

.2

~[ 77

Lv1

1

+ 3

v1 + 977

e

i ( 1)

R

L

1

vo (1)

l

1 sen ( 77 t - tan -1 77) + 772

(o)

sen (377t- tan- 1 377) + . . . ] . 2

i ( 1)

PROBLEMA 6.37 Calcular la potencia entregada al circuito del problema 6.36 y los valores de lasraíces cuadráticas medias de i(t) y v0 (t).

Respuesta: P =0,2689 vatios, 1 = 0,707, y V= 0,519. PROBLEMA 6.38 La corriente de entrada del c~rcuitoRLe de la figura 6.21(a), tiene la forma de onda que se muestra en la figura 6.21(b ). La inductancia es L = 10 mh y el voltaje de salida es una onda senusoidal de 300 hertz. Si el valor pico en el voltaje de salida de las otras frecuencias, es menor que 1/20 del valor pico de la componente .de 300 hz, hallar los valores de e y de R .

Respuesta: C

=

28.2 p.f,

R

=

590 U.

(b) Figura 6.21

(a) El circuito RLe del problema 6.38. La forma de onda de la corriente de entrada, circuito de la figura 6.21 (a).

148

Análisis de Fourier

Analizar el movimiento en estado estacionario, del sistema mecánico que se muestra en la figura 6.10, si la fuerza perturbadoraf(t) es una onda sinusoide rectificada,[(t) = 1A sen wo t 1.

PROBLEMA 6.39

Respuesta:. xs (t) = 2A- 4.4

krr

7T

l.!

cos 2wo t + __!_ cos 4wot + .. ·]. 3 (k - mw~) 15 (k _ 4 mw~)

Cuando el pulso rectangular [¡(t) = u(t)- u (t- 1) se aplica a cierto sist~ma lineal, la respuesta esf0 (t) = f [u (t- 2) -u (t- 4)]. Hallar: (a) la función del sistemaH(jw), y (b) la respuesta al impulso unitario, h(t) .. PROBLEMA 6.40

R

Hallar la corriente del circuito RL, figura 6.22, debida a un impulso

PROBLEMA 6.41

unitario Respuesta: h(t)

=

l

e-CR/L) 1 u(t).

L

Figura 6.22

El circuito RL del problema 6.41.

Una fuente de voltaje v¡(t) = 2e- tu (t), se aplica al circuito RL de la· figura 6.22. Hallar la respuesta i (t), donde R = 2!'2 y L = 1 h.

PROBLEMA 6.42

Respuesta: 2(e- 1 - e-2t) u(t). La respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es e-t cos tu (t). Hallar la respuesta debida al escalón unitario u (t), por convolución. PROBLEMA 6.43

Respuesta:

l

2

[e-¡ (sen t- cos t) + 1] u (t ).

Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es h(t) = t e-tu (t), y la entrada es [¡(t) = e -t u (t), hallar el espectro de frecue11.cia de la salida.

PROBLEMA 6.44

Respuesta: 1/(1 + jwt· Demostrar que si la función de entrada a un sistema lineal es diferenciada, entonces la respuesta también es diferenciada. [Sugerencia: demostrar que [¡' (t) * h(t) = [[¡(t) * h(t)]' =¡¿ (t).]

PROBLEMA 6.45

PROBLEMA 6.46

Demostrar que si

J

oo

-oc

ih (t)!

dt

< oo, donde h(t) es la respuesta

al impulso unitario de un sistema lineal, entonces la respuesta del sistema a cualquier entrada acotada también es acotada. [Sugerencia: utilizar 1[0 (t) 1= 1[¡(t) * h(t) 1.] PROBLEMA 6.47 SiH(w) =R(w) + j X(w) es la función del sistema, de un sistema lineal, demostrar que la respuesta del sistema a la entrada [¡(t) = cos w 0 t u(t), se puede expresar como

10 (t) = R (w) cos w 0 t +

1 7T

=- X ( úla )

loo w X (w) cos wt dw úJ2 - úJ~

Jo

21oc

senwat+_ 7T

o

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 5.28.],

úJ

R (w) senwtdw. •

úJ2 -

úJ~

Aplicaciones a sistemas lineales

PROBLEMA 6.48

149

Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario d~ un sistema lineal cuya ·

función es

[Sugerencia: observar que H(w) = cos 0 0 problema 5.33.] Respuesta: h(t)

= cos

80 o(t) + sen 7Tt

-

para

úJ

>O

para

úJ


j sen 0 0 sgn w, y utilizar el resultado del

ea .

PROBLEMA 6.49 El sistema del problema 6.48 se denomina defasador. Demostrar que la respuesta del sistema del problema 6.48 a cos wct, es cos (wct-0 0 ). PROBLEMA 6.50 Demostrar que si la señal de entrada a un sistema lineal, cuya función H(Íw) está definida por . - j

H ( júJ) = - j sgn úJ =

{

para

ú.

>O

úJ


.

+J

para

es una función real del tiempo, entonces la salida de este sistema también es una función real del tiempo. [Sugerencia: utilizar el problema 4.7.] PROBLEMA 6.51 Hallar la salida rñ(t) si 1& entrada m(t) es (a) cos wct, y (b) (1/1 + t 2 ), para el sistema del problema 6.50, que es un defasador de -rr/2 (ó- 90°) dado que la función del sistema se puede expresar como

para úJ >O para.w
úJ e

t,

(b) t/ (1 +. (2 ).

PROBLEMA 6.52 · Sea un sistema formado pór la conexión en cascada de dos defasadores idénticos, como el defasador del problema 6.51. Demostrar que la salida de este sistema es- m(t) cuando la entrada es m(t). PROBLEMA 6.53

La entrada de un filtro ideal para frecuencias bajas, cuya función es .

H(júJ)

=

-¡Wt 0

{

para lúJI < úJc

e

. o

para lúJI > úJc,

es un tren de impulsos f;

(t) =TE( t) or(t) = T E(t)

L:

o(t- nT)

n=-.x

cuya envolvente f(t) tiene un espectro de banda limitada, IF(w) 1=O para lw 1> wc. Demostrar que si T< rrlwc, entonces la respuesta del ftltro es fo(t)= f(t- t 0 ): Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario del filtro ideal para frecuencias altas, cuya función H(jw) es PROBLEMA 6.54

150

Análisis de Fourier

para \w\ < wc H(jw) = {

0-·cvt

e

1

o

para \w\ > wc.

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.34, y observar que H (jw) = e-¡cvto- Hz(jw), donde H ¡ ( jw) es la función del sistema de un ftltro ideal para frecuencias bajas.

Respuesta: h(t)

o(t- to)- wc sen Wc (t- to). 77 wc(t- to) ,

=

Hallar a(t), la respuesta al escalón unitario de un ftltro ideal para

PROBLEMA 6.55

frecuencias altas. [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.35.]

Respuesta: a ( t) = u (t- t0 )

PROBLEMA 6.56

-{.!. .2

+

.!.7T sen

[wc (t- t0 )]} •

Un filtro gaussiano es un sistema lineal cuya función es H (w ) =e

- acv 2

e

-

¡ cv t 0

Hallar la respuesta de este ftltro a un impulso unitario.

Respuesta: h(t)

1

=

e -

214

a.

2VTTCX PROBLEMA 6.57 SiH(w) =R(w) + j X(w) es la función de un sistema lineal y causal, demostrar que h(t), la respuesta al impulso unitario del sistema, se puede expresar, ya sea como una función de R(w) o de X(w); es decir,

2{00

2

roo

h(t)=-l R(w)coswtdw=-X(w)senwtdw. 7T o . 7T o

1

[Sugerencia: fl(t) =O para t< O; de donde h(t) se puede expresar como h(t) = 2he(t) = 2h0 (t) para t >O, donde he(t) y h 0 (t) son las componentes par e impar de h(t), respectivamente.] PROBLEMA 6.58 Demostrar que si H(w) =R(w) + j X(w) e.s la función de un sistema lineal y causal, entonces, (a) la transformada de Fourier de a(t), la respuesta del sistema al escalón unitario, está dada por

~[a(t)] = TTR(O)o(w) + X(w) -

j R(w) ,

w

w

(b) la respuesta al escalón unitario, a(t), se puede expresar como

21

7T

2loo

00

a(t) =-

o

R(w) --sen wt dw = R(O) +(l.!

'

.

7T

o

X(w) - cos wtdw. w

7

CAPITULO

APLICACIONES EN TEORIA DE COMUNICACIONES

7.1

PROBLEMA 7.1

TEORIA DE MUESTREO

Probar el teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo.

So 1u ci ón: el teorema del muestreo se puede probar con la ayuda de (4.Ú5), el teorema de convolución en la frecuencia; ~s decir,

[ 4.125] Como f(t) no tiene componentes frecuenciales superiores a !M ciclos por segundo, entoncesf(t) es unaji.mdón de banda limitada, como se muestra eri la figura 7.1(a), lo cmil significa que . · . F (UJ) = ~ [f(t)] = O para 1 UJ 1 > UJM = 217 fM (7.1) [Ver figura 7,l(b)]. Considerar ahora a fs(t), una función muestreada definida por el"producto de la función f(t) y oy(t), que es una función periódica de impulsos unitarios [ver la figura 7.1(c)]: fs(t) = f(t) 8r(t). (7.2) F(w)

~.

-------L~~~----------~·

.. t

-WM

(a)

.. t

(J)

WM

(b)

(e)

\

Fs (W)

-' ...

w0 o"'o (w)

1

l

~;:;r-1 w.

-Wo

~' 1

..

fs (t)=f(t)Or(t)

''

'

(J)

-W0

(e)

(d) Figura 7.1

MM~ MM. -WM

WM

(f)

(a) La función de banda limitada j(t). (b) El espectro de j(t). (e) El ~ren de impulsos unitarios. (d) El espectro del tren de impulsos unitarios. (e) La función muestreada fs (t). ( f) El espectro def5 (t).

151

Wo

W

152

Análisis de Fourier

Recordando la defmición de 6T(t) dada por (2.104), y sus propiedades, se tiene

L

fs(t)=f(t)

o(t-nT)

n=-oo

L

=

f(t) o(t- nT)

n=-oo 00

L

=

(7.3)

f (nT) 8(t - nT).

n=-oo

[Ver figura 7.1(e).] La ecuación (7 .3) muestra que la funciónfs(t) es una sucesión de impulsos localizados a intervalos regulares de T segundos y cuyos valores son iguales a los de f(t) en los instantes del muestreo [figura 7.1(c)]. Del resultado del problema 5.15, se tiene

[5.66] n=-oo

1

De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia; dado por (4.125), se tiene

(7.4) Sustituyendo w 0 = 2rr/T, se obtiene

• 1 [F(w) .* Bw (w) ]

F 5 (w) = -

T

o

1 'L. \ ' F(w)

T

* 8(w -nw

0 ).

(7.5)

n=-oo

En el capítulo cuarto se demostró que

* 8(t) = f(t),

[4.119]

* 8(t- T) = f(t- T).

[ 4.120]

f(t) f(t)

Por consiguiente, el resultado (7 .5) se puede expresar como

(7.6) n=-oo

La ecuación (7 .6) muestra que la transformada de Fourier defs(t), se repite cada w 0 rad/seg., como se muestra en la figura 7 .1(f). Se debe observar que F(w) se repetirá periódicamente sin solaparse en tanto que w 0 > 2wM, ó 2rr/T> 2(2rr !M); es deci~,

(7.7) Por consiguiente, mientras que se tomen muestras de f(t) a intervalos regulares menores de l/(2fM) segundos, el espectro de Fourier de fs(t) será una réplica periódica de F(w), y contendrá toda la información acerca de f(t). Se puede investigar el resultado anterior, utilizando una técnica diferente, la cual, naturalmente, ha de conducir a las mismas conclusiones. El espectro de Fourier F(w), de una función de banda limitadaf(t), es el que se muestra en la figura 7.1(b).

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

153

Supóngase ahora, que el espectro F(w) es esa porción del espectro periódico F 5 ( w) [figura 7 .1(f)] que se encuentra entre- 1/2wo y 1/2wo, donde Wo = 2:rr/T Y Wo > 2wM. Como Fs(w) es una función periódica de w, cuyo período es w 0 , se puede expandir en una serie de Fourier, esto es, oo _ '\' jn27Twjw 0 (7.8) F s ( úJ ) - L..... Cn e , n=-oo

donde, por definición,

_ __!_ JWo/ 2 F S ( ) e -Jn27TW/W~ d úJ. ·

Cn -

Ú)

úJo

(7.9~

-wo/2

ComoF5 (w)=F(w) para -wM <w < wM, y (1/2)w 0 > wM, entonces la expresión (7 .9) se puede expresar como · · en = _!_ JwM F (w) e -Jn 27TJV/Wo dw. (7.10) úJo -WM

Ahora bien, f(t) = .

.

s=-• [F(w)]

=

__!__ Joo F(w) efwt do.). 217

(7.11)

_oo

, Puesto quef(t) es de banda limitada, es decir,F(w) =O para lwl > wM, entonces la expresión (7 .11) se convierte en 1 f(t) = JwM F(w) eiwt dw. (7.12) 2 17 -WM Seleccionando como puntos de muestreo los localizados en t =- nT = - n 2n1w 0 , por (7 .12) se tiene que f(-nT)=f (- n 217 _!_lwM F(w)e-Jn 2 7Tw¡w 0 dw. (7.13) úJ 0 217 -WM .

)=

Comparando (7 .13) y (7.10), se obtiene

217- f Cn=

(-n277) - =.Tf(-nT).

Wo

(7.14)

Wo

La ecuación (7 .14) indica que en puede encontrarse unívocamente a partir de los valores de la función, en los puntos de muestreo. Pero conociendo en, se puede hallar ~(w) si se utiliza (7 .8), y en consecuencia, también se halla F( w ). Si se conoce F( w ), se puede hallar f(t) para todos los valores del tiempo mediante la relación (7 .11). Ahora, de la suposición w 0 > 2wM, se tiene

217

-

T

> 417 fM,

T< _1_. 2fM

Lo cual completa la prueba.

(7.15)

Análisis de Fourier

154

------------------------~~ t

(a)

- --

Solución:

.....

como T=l/(2/M), entonces w 0 = 21T/T"=41T[M = 2wM. Por tanto, (7.8)

se convierte en DO

DO

_ '\' jn27TW/2úJM _ ' \ ' jnTúJ F s ( w ) - L... en e - L... en e . n=-oo

(b)

en

(7.18)

n=-oo

=T

TT

(7.19)

f(-nT) = 1(-nT). WM

Sustituyendo (7.19) en (7.18), se obtiene ('7.20) 1

Puesto que Fs( w) = F(w) para- wM en (7 .12), de lo cual se obtiene

(e)

Figura 7.2

(a). La función de banda limitadaf(t). (b) La función muestreada. (e) Reconstrucción de una forma de onda.

f(t) =

1 TT 2

1::

< w < wM, entonces (7 .20) se puede reemplazar

L~oo

:M f(-nT) einTúJ] eiúJt dw.

(7.21)

Intercambiando los signos de la integración y de la sumatoria, se tiene

f(t)

oo [f(-nT) Jú.)M -wM

= n~oo

1

].

2wM eiw(t+nT) dw

~

= n~oo

sen wM(t + nT) f(-nT)

00

wM(t + nT)

sen wM(t- nT)

f (nT) ---"-'-'---'n=-oo

wM(t- nT)

En la última ecuación,(- n) se reemplazó por n porque todos los valores positivos y negativos den están incluídos en la sumatoria. Puesto que T= 1T/wM, la expresión (7 .16) se puede expresar también como f(t)

=

f: n=-oo

f

(~)

,wM

sen (wMt- nrr) wMt- nrr

155

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

Verificar la expresión (7.22).

PROBLEMA 7.3

supóngase que

Solución:

f (t)

= O para 1 t 1 > T.

(7.23)

Entonces, en el intervalo,- T < t < T, la función f(t) se puede expandir en una serie de Fourier 00

00

n=-oo

n=-oo

(7.24) donde )

=

e n

¿___ JT 2T

= - 1-

f(t) e-f 27Tnti 2T dt

-T

2T

.

(7.25)

JT f(t) e-in7Tt/T dt. -T

.

Puesto que f(t) = O para t > T, y t <- T, entonces la ecuación (7 .25) se puede expresar como

=

e

¿___ 2T

n

J""

= _l_ F (nrr)·

f(t) e-Jnrrt;T dt

2T

-oo

T

'

(7.26)

donde F(w) = J'[f(t)]

=f"" f(t)

e-iwt dt .

-00

y nrr w=-. T

Sustituyendo la expresión (7 26) en la expresión (7 .24), se obtiene

t

f(t) =

21T F

(n;)

(7.27)

efn7Tt/.T.

n=-oo

Ahora bien, F(w)

=

l""-oo

f(t) e-iwt dt

= JT f(t)

e-Jwt dt,

(7.28)

-T

en razón del supuesto (7 .23). Sustituyendo (7 .27) en (7 .28), e intercambiando los signos de sumatoria y de integración, se obtiene F(w) =

1:

[ntoo

1T F 2

(n;)

tr (";) L: 2¡T

=

~

L

n=-oo

F

(n") T

efn7Tt/T

J

e-iwt dt

.-l(o-••IT)>

d~

sen (wT-nrr). wT-nrr

De este modo, se completa la prueba del teorema de muestreo en la frecuencia.

156

Análisis de Fourier

?

7.2

MODULACION DE AMPLITUD

~-· (a)

PROBLEMA 7.4

fl

n nn

n

Solución:

'--Verificar el teorema de translación de la frecuencia.

supóngase que~ [f(t)] =F(w). Por (5.22) y (5.23), se tiene ~[cos wctl = rro(w- wc) + rro(w + wc),

JV

\1 \1 \1 \1

V

~[sen wct]

(b)

= - j TTO

(w- wc) + j TT o (w + wc).

Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por ( 4.125), se tiene . 1 ~[f(t) cos wct] =-- F(w) * [rro(w- Wc) + rro(w + wc)] 2rr

f(t) COSWct

,. '

1

= -

2 1

= 1

2

1

(e)

F(w)

----~~--~-----L--~W

o

(e)

* o (w- wc) +

1

- F (w)

2

* o (w + Wc)

1

(7.29).

F (w- wc) + - F (w + wc)

2

resultado que se obtiene mediante (4.120). Análogamente, se tiene

~[f(t)

;h ~[cosWc t l

F (w)

sen wct]

=

__!_ 2rr

=-!

2

=-

~

F(w)

* [-jrro(w- wc) +jrro(w + wc)]

j F (w)

* o (w- wc) + !

j F(w- wc) +

2

~

j F (w)

.

* o (w + wc)

j F(w + cvc)•

(7.30)

Las ecuaciones (7 .29) y (7 .30) indican que la multiplicación de una señal f(t), por una señal senusoidal de frecuencia w e, translada su espectro en ±we radianes. El proceso de translación de la frecuencia se ilustra en la figura 7.3. PROBLEMA 7.5 Demostrar que si f(t) es una señal de b!mda limitada, sin componentes espectrales por encima ~e la frecuencia wM, entonces el espectro de la señalf(t) cos wet, es también de banda limitada.

Solución:

como la señal/(t) es una señal de banda limitada, se tiene que ~[f(t)] = F(w) =O para 1 w 1 > wM.

De los resultados (7.29) del problema 7.4, y de la figura 7.3, se sigue que la señal/(t) cos wet también es de banda limitada, y su espectro es igual a cero fuera de la ban~a (we- wM) a (we + wM) para w >O. Se debe observar que este resultado está basado en la suposición de que we > wM. (f)

Figura 7.3

(a) La señal de banda limitada fltl del problema 7.5. (b) La función cos c..> e t. (e) La función fltl cos wet. (d) El espectro de f(tl. (e) El espectro de cos wet. (f) El espectro de fltl cos wet.

157

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

m(t)

(a)

PROBLEMA 7.7 Hallar el espectro de la señal modulada en amplitud, la cual está dada por (7 .31 ), si la sefial moduladora es una señal senusoidal, esto es In (t) =

So 1u ció n:

m0 COS Wm(, . Wm < Wc 1

Ü

-1-m 0

/

_..,

\

I-

.

'--------~- ~, (b)

Figura 7.4

< m0 < l.

#"-----,\ .

-1

la sefial de AM, en este caso, está dada por

(;¡) La señal mensaje de banda limitada,flt). (b) 'La forma de onda de una señal modulada en amplitud.

M(w)

f(t) =K (1 + m 0 cos wmt) cos wct•

(7.34)

Utilizando identidades trigonométricas, la relación (7 .34) se puede expresar también como f(t) =K cos wct +

!

2

K m 0 cos (wm- Wc)t +

!

2

K m 0 cos (wm + Wc)t.

'

(7.35)

De lo cual, mediante (5.22), se tiene F(w) = S:[f(t)] =K rr[8(w- wc) + 8(w + Wc))

1 2

+ - K m0

.

17

[8 (w - Wm + Wc) + 8 (w + Wm - Wc)

.

+ 8(w- Wm- Wc) + 8(w + Wm + Wc)).

(7.36)

El espectro de este ejemplo se muestra en la figura 7.6. En éste caso, las bandas laterales constan de los impulsos localizados en w = wc ± wm. PROBLEMA 7.8 Para la señal de AM del problema 7.7, hallar el contenido relativo de potencia, en la portadora y en las bandas laterales que llevan la información .

.

Solución:

la señal AM del problema 7.7, está dada por

f (t) =K [1 + m 0 COS wmt) cos Wct

1 . . 1 =K COS Wct + - K m 0 COS (wm - wc) t + - K m 0 cos (wm + Wc)t• 2

2

~'---------------~~------------~ portadora

bandas laterales

(b)

Figura 7 !5

(al El espectro de m (t). (b) El espectro de una señal ordinaria modulada en amplitud.

158

Análisis de Fourier

En la expresión anterior apar\lcen los términos correspondientes a la portadora y a las bandas laterales. Es obvio que el promedio total de pot~::ncia,Pt, entregada por f(t) 1 (referida a una resistencia de 1 Q) está dada por F(w) 1 ), Pt = -1 K 2 + -1 K 2 m~+ -1 K 2 m~= -1 K 2 ( 1 + -m~ (7.37) tK111o 1TO(W-Wc -Wm) . 2 8 8 2 2 Krro (w-wc/

/

Luego la potenc.ia en la portadora, Pe, y la potencia transportada por las bandas laterales, .

P5 , están dadas por

=

p e

o

w~ w Wc -wm

Figura 7.6

Wc +wn,

!. K2 2

ps =

'

!. K2 mo2. 4

Obsérvese que Ps· = K 2 mV8, en cada una de las bandas laterales. El porcentaje de potencia contenida en las bandas laterales es

El espectro de la señal AM del problema 7.7.

P

'

¿

X

Pt Por ejemplo, si m 0

m2

lOO= _ _ o __ 2 +m~

X

100%.

(7.38)

=1/2, entonces Ps

1 4

pt . = 2 +

!.

1

=

9,

o sea, cerca del 11%,

4

m (1)

cuando m 0 = 1, [P/Pt1max = 1/3, o sea, cerca del33%. Se debe recordar que la señal m(t) que contiene la información, da lugar a las bandas laterales y sólo una fracción de la potencia de f(t), dada por la expresión (7 .38), está contenida en esas bandas laterales. La potencia contenida en la portadora representa un desperdicio (a)

f(t)=m(t) COSWcl

PROBLEMA 7.9

Hallar el espectro de una señal de AM (DBLPS) dada por la

ecuación (7 .39). si~ [m(t)] =M(w), entonces, se tiene

Solución: F(w)

= ~[f(t)l

(b)

Figura 7.7

= ~[m(t) cos

wctl

=!.

[M(w- wc) +M(w + Wc)],

2 .

.

(7.40)

resultado que se obtiene aplicando (7 .29), el teorema de translación en la frecuencia. El espectro de una señal DBLPS se muestra en la figura 7.8 ..

(af La señal senusoide de banda limitada m (t). (b) La funciónf(t) =m (t) cos Wct.

IM(w)l

o (a)

(b)

Figura 7.8

(a) El espectro de m (t). (b) El espectro de la señal DBLPS.

159

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

PROBLEMA 7.1 O

Demostrar que el espectro de la señal modulada puede ser transladado a su posición original, si se multiplica la señal modulada por cos w ct, en el extremo receptor.

So 1u ció n:

sea la señal modulada la expresada por

f (t) =m (t) cos Wct•. (7.41) Entonces, como se muestra en la figura 7 .9(a), en el receptor se multiplica la.señal recibida, f(t), por cos wct para obtener, mediante el uso d~ una id~ntidad trigonométrica, el siguiente resultado: f (t) cos wct =m (t) cos 2 wct = m

1

(t) - (1 + cos 2 Wct)

2

=

1

-

2

1

.

m (t) + - m (t) cos 2 Wct.

(7.42)

2

Ahorabien,si11m(t)]=M(w) y M(w)=O para lwl>wM,entonces,setiene,

1 [f (t)

cos wct] = =

1 [m (t)

2

cás Wct]

~ [~ m (t)] + ~

D

m (t) cos 2 wct]

1 1 1 M(w) +- M(w- 2wc) +.- M(w + 2wc). 2 4 . 4

=-

(7.43)

El espectro de/(t) cos wJ=m(t) cos2 wct, se muestra en la figura 7.9(c). Del espectro que se muestra en la figura 7.9(b), se concluye que la señal original m(t) se puede recuperar mediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso del espeétro hasta la frecuencia wM. El proceso de demodulación se muestra en el diagrama de bloques de·Ia figura 7.9(a).

l:iltro para bajas frecuencias

multiplicador

•

f (t)

m (t)

COS

2

m(t)

ú>c t

=m(t) cos Wc t

{a)

F(w)

1[t(t) cos ú>c t]

l. Mo 2

..!.M)--

-Wc

o

t

-2Wc ··------

(b),. Figura 7.9

.4

Ú)

Wc

(C:J

(a) El sistema de demodulación. (b) El espectro de la señal moduladaf(t). (e) El espectro de la señal fltl cos wct.

PROBLEMA 7.11 Demostrar que la demodulación también se puede lo~rar multiplicando la señal modulada/(t) = m(t) cos wct, por cualquier señal periódica de frecuencia wc. Solución:

sip(t) es una señal periódica de frecuencia wc y de la forma 00

(7.44) n=-oo

Ú)

160

Análisis de Fourier

entonces, según el resultado (5.57), su transformada de Fourier se puede expresar como

3-"[p{t)]

=

2rr

L""

Cn

S(w -nwc).

(7.45)

n;;;;-oo

Ahora bien, según (7 .40), se tiene

3-"[f(t)]

=.!. M(w- Wc) +.!. M(w + Wc). 2

2

De donde, de acuerdo con ( 4.125), la transformada de Fourier de f(t), p(t), está dada por

n=-oo 00

n=-oo 00

=

17

L

en IM[w .:_ (n + 1) Wc] + M[w- (n- 1) wc11

(7.46)

n=-oo

mediante la relación (4.121). Es obvio que este espectro contiene el términoM(w), el espectro de m(t), el cual se pue~e recuperar mediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso de frecuencias hasta la frecuencia wM.

7.3

MODULACION ANGULAR

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

Solución:

161

en el caso de una sefial PM, se tiene W¡(t)

=:!..._dt e(t) =. :!..._dt [wct + kp m(t)] =Wc + kp m'(t),

En el caso de una sefial FM, se tiene W¡(t)

Solución:

=! e(t) =! [Wct + kt l~ m('!) d'!] =Wc + kt m(t),

sim(t) =m 0 cos wmt, entonces por (7.48), se tiene !pM(t)

=A

COS

(wct + kp m0

COS

Wmt).

Por la relación (7 .49), se tíene que
=A

COS

(wct +

r/Jm

COS

Wmt),

r/Jm

=

kp m 0 •

162

Análisis de Fourier

Dado que para la señal FM, cp(t) = kt Jm(t) dt = k¡mo sen wmt, Wm

Demostrar que en una señal FM de modulación senusoidal, el índice de modulación se puede definir como,

PROBLEMA 7.14

(7.60) donde f m es la frecuencia de la señal moduladora, y Af es la desviación frecuencial defmida como

So 1u ció n :.

según la fórmula (7 .56), para una señal FM se tiene

De donde,

(7.61) En la relación (7.61) se observa que (w¡-

Wc)max

= ktm 0 = 2rr D.f,

es decir, la máxima diferencia entre W¡ y wc se denomina desviación de frecuencia angular de la señal FM. Por consiguiente,

:Pm

=

ktm 0 Wm

=

2rr D.f 2rr fm

=

D.f. fm

PROBLEMA 7.15 HaDar el espectro de una señal FM, en la cual la modulación se hace por una señal senusoidal

So 1u ció n:

por (7 .59), se tiene

f(t) =A cos (wct + c/Jm sen Wmt) \

=A cos Wct cos

Cc/Jm sen Wmt)- A sen Wct sen (c/Jm sen Wmt).

(7.62)

En la expresión (7 .62), los términos cos

Cc/Jm sen

wmt)

y

sen (c/Jm sen

ciJm, t)

son funciones periódicas, cuyo período es T= 2rrlwm. Por consiguiénte, estos términos se pueden expandir en serie de Fourier. Se debe observar que e

¡<j>

msen w mt

=

cos

(if>m sen

.

.

Wmt) + J sen

Cif>m sen Wmt).

(7.63)

Considérese, por tanto, la expansión en serie de Fourier de (7 .63), es decir,

(7.64) n=-oo

163

Aplicaciones en teon'a de comunicaciones

donde e

1 JT/2

n

e

=-

T

·(-Jncumt) . e

Orf;m sencumt)

dt

(7.65)

-T/2

y T= 21f/Wm. De esta manera, se tiene T/2

Wm

en=-

J

e

j(rpm sencumt-ncumt) dt

(7.66)

.

277 -T/2 Al hacer, wm t = x, se obtiene

e = 1- J7T e }(rpm

sen x-nx) d

277 _7T

n

(7.67)

x.

Los coeficientes de Fourier dados por la ecuación (7 .67), son las funciones de Bessel de · primera clase. De la función generadora de las funciones de Bessel, se tiene

L 00

ez(x2-l)/2x =

fn(z) xn,

(7.68)

n=-oo

donde Jn(z) es la función de Bessel de primera clase, orden n y argumento z. Al hacer, x = e 1cu 1 en la ecuación (7 .68), se obtiene . z

(x2 - 1) = z _! (x - .!) = iz _!_ (eicut 2x

2

x

e-icu t)

= jz sen

wt.

(7.69)

2j

De donde,

L 00

eiz sen cut=

fn(z) efncut.

(7. 70)

n=-oo

Comparando las ecuaciones (7 .70) y (7 .64) resulta (7.71) n=-oo

n=-oo

ob~iene

De esta manera, por (7 .67), se en

__ Jn ("' ) _ _.!_ i7T e j(rpm 'f'm -

sen x-nx) d .

x.

2 77 -7T .

(7. 72)

Las propiedades de las funciones de Bessel y las curvas que ilustran su comportamiento, se encuentran en muchos libros de matemáticas. Por (7.72), se obtiene Ln(~m) = (-l)n fn(~m)•

(7. 73)

Ahora bien, por (7 .71), se obtiene

L 00

eJrf;m sencumt =

fn(~m) e:ncumt

n=-oo

= foC~m)

+-

+ J,(~m) (eos Wmt + j sen wmt)

LiC~m)

(cos Wmt- j sen wmt)

+ 12<~m) (cos 2 wmt + j sen 2 wmt) + f_ 2 (~m) (cos 2 wm(- j sen 2 wmt)

+ ....

(7.74)

Si se igualan las partes real e imaginaria y se utiliza la relación (7. 73), 'se obtiene cos(~m

sen Wmt)

=loC~m)+ 2li~m)

cos 2wmt + 2]/~m) cos 4wmt + ...

00

.=

fo(~m) + 2

L f2n(~m) eos n=l

2n Wmt,

{7. 75)

Análisis de Fourier

164

00

=

2

L: f2n+l(q)m) Sen (2n + 1) Wmt•.

(7. 76)

n=O

Las ecuaciones (7. 7S) y (7. 76) son las expansiones en serie de F ourier de los términos cos (rpm sen wmt); y sen (rpm sen wmt). La distribución espectral de la sefial FM se puede obtener ahora, por sustitución de (7 .75) y (7 .76) en la ecuación (7 .62), de esta manera, f (t) =A cos (wct + 1>m sen Wmt)

=A COS wct

IJ 0(q)m) + 2 Lf i1>m) COS

2 wmt +] 4(q)m) COS 4 Wmt + • • • ] l

-2 A .sen wct [ ] 1{q)m )sen wmt +] 3(q)m) sen 3 wmt + · · .].

(7. 77)

Mediante las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia

1

cosA cos B = - [cos (A- B) + cos (A + B)], 2

t1

sen A sen B

1 1

t tt

ILdttf 1nt.

2

[cos (A- B)- cos (A + B)],

se obtiene f (t) =A IJ 0(q)m) COS Wct -] 1(q)m) [cos (wc - Wm) t - COS (wc + Wm) t]

+ ] 2(1)m) [cos (wc - 2 wm) t + cos (wc + 2 wm) t] -] 3(1)m) [cos (wc - 3 Wm) t - COS (wc + 3 Wm) t]

+ ... Figura 7.1 O El espectro de la señal FM dada por la ecuación 7.78.

1

= -

l.

(7. 78)

La ecuación (7. 78) muestra que la sefial FM, representada por f(t), consta de uná portadora y un número infmito de bandas laterales, separadas en las frecuencias ( Wc + Wm ), (Wc + 2wm ), ( Wc + 3wm ), etc., como se muestra en la figura 7.1 O. Las amplitudes de los térmil).os de la portadora y de las bandas laterales, dependen de ~Pm, el índice de modulación; esta dependencia está expresada por las funciones apropiadas de Bessel. 7.4

MODULACION DE PULSOS

PROBLEMA 7.16 Hállar el espectro de la sefial MAP (7 .79) si g(t) es un tren de pulsos rectangulares periódicos, el ancho del pulso es d segundos, y se repiten cada T= llqfM) segundos.

Aplicaciones en teon'a de comunicaciones

165 m(t)

Solución:

sea S:[m(t)] =M(w), M(w) =O para 1 w

1

(7.80)

> wM.

De acuerdo con el t~orema de convolución en la frecuen~, dado por (4.125), la transformada de Fourier de f(t) =m(t) g(t) es

(a)

F(w) = 5=[f(t)] = S:[m(t)g(t)] =

_l. M(w) 277

g(t)

* G(w),

(7.81) 1

-

r-

donde G(w) =S: [g(t)]. La función G(w) se puede obtener de (5;77), si se hace 1

77

(21M)

Ú)M

T =

277

y

W 0 =- =

T

2wM.

r-

r-

(b) F(t) =m(t)g (1)

Entonces; 00

(7.82) · n=-oo

Sustituyendo (7 .82) en (7 .81 ), se obtiene 00

(e)

IM(w)l

n=-oo 00

n=-oo 00

(7.83) n=-oo

(d)

mediante la relación (4.120). Si m(t) es una sefial de banda limitada, como se muestra en la figura 7 .11(a), entonces el espectro de amplitud de la sefial MAP es el que ilustra la figura 7.11(f).

g(t)

""',-,/

.

-

......

/

(e)

Hallar el espectro de la sefial MAP, dado porla ecuación (7.79), si g(t) es un tren de pulsos periódicos de forma de onda arbitraria, que se repiten cada T< 1/{2/M)segundos. PROBLEMA 7.17.

. F (t)

puesto que g(t) es una función periódica, se puede expandir en una serie de Fourier; de esta manera, ñ (t) _ ~ }ncu0t _ 277

So 1u ció n:

o

-

L

en e

ú>o -

1.

T •

n=-oo

Entonces, según (7 .79), la sefial MAP f(t) = m(t) g(t) se puede expresar como f(t) =m (t) (

n~oo

Figura 7.11 Cn

e}ncuol)

00

~ L

n=-oo

cnm

(a) La señal de banda limitada

m (t) del problema 7 .16. (b)

(t.)

e

}ncu0t

(7.84)

Un tren periódico de pulsos rectangulares g (t). (e) La señal MAP F(t) =m (t) g (t). (d) El espectro de m (t). (e) El espectro deg(t). (f) El espectro de la señal MAPF(t).

166

Análisis de Fourier

De esta manera

L 00

Cn

~[m (t) e}ncuot].

(7.85)

n=-oo

Ahora bien, de acuerdo con la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la transformada de Fourier, dada por 4.74, si ~[m(t)] =M(w), entonces, se tiene

De donde,

L 00

F(w)=

cnM(w-nw 0 ).

(7.86)

n=-oo

La figura 7 .12(b) ilustra el espectro de amplitud de la señal MAP, el cual consta de pulsos espaciados periódicamente, cuya amplitud es modificada por los coeficientes de Fourier deg(t). En la figura 7.12, w 0 se selecciona de tal manera que T< 1/(2/M). jF(w)j

(b)

(a)

Figura 7.12

(a) El espectro de la señal de banda limitada m (t). (b) El espectro de la señal MAP del problema 7.17.

7.5

FUNCIONES DE CORRELACION PROMEDIO

167

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

Solución:

sean/1 (t)y [ 2 (t) dos funciones periódicas con período T 1 , entonces, se tiene f 1(t)

=

f 1(t + T 1 ),

(7.91)

f 1(t- 1") = f 1(t- 1" + T 1 ),

(7.'92)

f 2 (t- 1") = f 2 (t- 't + T.).

(7.93)

, Por consiguiente, los integrandos en (7 .87) y (7 .88) son funciones periódicas en la variable t y con período T 1 , La ir.ttegral de tal función en cada período es la misma, por tanto, no es importante si las funciones de correlación son promediadas en un intervalo muy grande, T ~ oo, o en un intervalo de un período T 1 • Luego para funciones periódicas, se tiene que

-

R 11 ('t)

R12 (-r)

=

=

JT/2 f (t) f (t- 't) dt T-+00 -T/2 1 JT/2 . lim · f (t) fz(t- 1") dt r-+oo T 1

lim - , T

= -

1

1

T. = -

1

~N2

fTl/2 f (t) f .(t- 't) dt,

1

1

T.

_

-r.n

1

1

fTl/2 f (t) f (t- .1") dt. .

1

2

-~/2

PROBLEMA 7.19 Demostrar que las funciones de autocorrelación y correlación , promedios, de señales periódicas cuyo período es T 1 , son también funciones periódicas y de igual período. So 1u ció n:

por el resultado (7 .89), se tiene

R11 (1"-

T1)

~. JT

=

1

112

T1 JTl/2

=

1

f 1(t)f1 [t- ('t- T 1) ] dt

-T 1 /2

f.(t)f.(t- 't +T.) dt.

}'

-T 1 f2

Pero según (7.93), se tiene que. R 11 (1"

~

.T 1 )

1 T

= -

fTl/2 f (t) f (t- 't) dt -R -Tl/2- . 1

!

=

1

11

(1").

'

(7.94)

Análogamente, por (7 .90) y (7 .93), se tiene

R12 ('t- T 1 )

= -

1

1

T. =

ITl/2 f (t) f [t-- (1"- T 2

-1\12

T1 lTl/2 f (t) f (t1

1

1 T

= -

1

1 )]

dt

_ 2

1" + T 1 ) dt

-T1 /2

lTl/2 f (t) f (t 1

2

-T 1 f2

T.) dt ,

= -R 12 (1"). (7.95)

Las ecuaciones (7 .94) y (7.95) muestran que R 11 (r) 'y cuyo período es T 1 •

R12 (r) son funciones periódicas

168

Análisis de Fourier

PROBLEMA 7.20

Hallar la. función de autocorrelación promedio de la onda sinusoide

dada por f(t)=A sen(úJ 1t

Solución:

+cp),

puesto quef(t) es periódica, entonces de (7 .89), se tiene

IT/2

1 Ru('r)=limf(t)f(t-'t)dt T->00 T -T/2

r1

=

JT1/2

t(t)t(t-'t)dt

. 1 -T1/2 . A2 JT1/2 = -

r1

=

sen (úJ 1t +

cp)

sen [úJ 1(t- 't) +

A2 JT1/2 T sen (úJ 1t + cp) 1

A2 JT1/2 = --

2 T 1 -T,/2 = -

A2

2T

/

(7.96)

~

[ cos (A _:_ B) - cos (A

' [cos úJ 1't- cos (2úJ 1f +

2cp- úJ 1't)] dt

+ B)],

.

·¡T1/2 cós úJ1't dt · 1 -T1/2

A2 = -

r:p- úJ 1't) dt.

sen (úJ 1t +

-T1 /2

Utilizando la identidad trigonométrica sen A sen B = se tiene Ra('t)

cp] dt

-T1 ;2

(7.97)

cos (úJ1 't).

2

la ecuación (7 .97) muestra que R¡¡Cr) es ihdependiente de la fase t/J de f(t). Demostrar que si / 1 (t) y que tienen el mismo período T1 , entonces

PROBLEMA 7.21

L

f 2 (t) son funciones reales y periodicas,

00

R12('t)

=

[cin c2n] e-Jnwl'r'

(7.98)

n=-oo

donde w 1 = 2rr/T1 y c 1n, c 2 n son los coeficientes complejos de Fourier de/1 (t) y fz(t), respectivamente, y e'in denota el conjugadocomplejo de c1n. So 1ución:

en el caso de funciones periódicas, según (7.90) se tiene

'---

R12('t)

=

1 JT1/2 T. f1(t) f2(t-

't) dt.

1 -T1/2 Sean las expansiones en series de Fourier de / 1 (t) y / 2 (t) las dadas por f 1(t)

=

'\' L...

C¡n

e jnw1 t ,

(7.99)

n=-oo 00

f 2(t) == ~ '\' e 2n

einw 1t

,

(7.100)

n=-oo

donde (7.101)

169

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

(7.102) ,Exprésandof2 (t-¡) de la ecuación(7.90), en la forma dada en (7.100), se obtiene

-

Rl/T)

=

T1

JTt/2

1 -T1/2

=;

t.(t) f;J.(t- T) dt .

fT1/2f1(t)[·f::

1 -T1/2

C2nejnw¡(t-'T~

J

n=-oo

dt.

(7.103)

Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral, se tiene

(7.104) La integral dentro <;!el paréntesis angular se reconoce, eomparando con la expresión (7.101), como el conjugado complejo de c 1n. Por tanto, 00

-R12('!) .

=

'\' [

*

L._. . C¡n C2n

] e -jnw1'T •

n=-oo

Obsérvese que R.12 ( ¡) también es una función periódica de T cuyo período es T 1 • PROBLEMA 7.22

Demostrar que sif(t) es una función real y periódica con período T,

entonces

(7.105) n=-oo

donde w 0 = 2rr/T y en son los coeficientes complejos de Fourier de f(t). Solución: si se hacef1 (t) = f 2 (t) =;.f(t), y T 1 = T, entonces, de (7.98) en el problema 7.21 , se obtiene

L 00

Ru(T) =

'

c1:

L 00

Cn e -jnwo'T

=

n=-oo

n=-oo·

'

1~n 12 e -jnwo'T

L 00

=

1Cn 12 elnwo'T

n=-oo

'

dado que lc_nl 2

= lcn1 2 •

7.6

IDENTIFICACION DE SEI\iALES MEDIANTE CORRELACION

Análisis de Fourier

170

ue

si s

n:

y n

no están correlacionadas, entonces, por la relación (7 .1 07),

tien~

se qfuer12 lim s(t) n(t- 1") dt = r~oo

T

-T/2

.

[

1 lim -

r~oo

T

Jr

12

s(t) dt

-T/2

] [

1 lim -

r~oo

T

Jr

12

]

n(t) dt =O

-T/2

en razón de la suposición dada por la relación (7 .1 06). Si se denota comoR5 n(t) a la función de correlación promedio de s(t) y n(t), entonces la relación (7 .1 08) se puede expresar como Rsn('T) = O para todo valor de T.

(7.109)

Para señales de ruido al azar, cuyo valor promedio es cero, se tiene lim Rnn('T) = O.

(7.110)

'(~oo

_

R u('T)

=

=

1

lim -

r~oo

T

JT/2

f (t) f(t - 1") dt

-T/2

lim -1 JT/2 [s(t) + n(t)][s(t- 1") + n(t- 1")] dt

r~oo

T

-T/2

·

= Rs~ (1") + Rnn('T) + Rsn('T) + Rns (T).

(7.111)

Puesto que la señal s (t) y el ruid~n (t) :\.~tán correlacionadas, se tiene Rsn('T) = Rns('T) =O.

De esta manera, (7.112) 1

Utilizando el resultado (7 .112) del problema 7 .24, demostrar que la función de auto~orrelación se puede usar para detectar señales.

PROBLEMA 7.25

Solución: seaf(t) la señal recibida, que es la suma de la señal útil s (t) y el ruido n(t). Ahora bien, si se conoce la naturaleza del ruido, tal como el espectro de I:'otencia que se estudiará en la sección siguiente, entonces se puede calcular Rnn(-¡;), la función de

171

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

autocorrelación promedio del ruido. Si Rsir:) difiere de R¡¡(:j). se puede concluir que una señal útil s (t), eXiste en la señal recibida f(t), puesto que RssCr;) es diferente de cero. La ecuación (7 .112) también ofrece un medio de detectar una señal periódica oculta por el ruido. Puesto que en este caso s (t) es una se'ñal periódica y n (t) es una señal no periódica, del resultado del problema 7.19 y de la relación (7 .110), se sigue que Rss('L") es periódica, mientras que Rnn(¡) se hace muy pequeña para valores grandes der. Por co~iguiente, para valores suficientemente grandes de •.R¡¡(r:) será casi igual a R.sir), y R¡¡(r) mostrará una naturaleza periódica. PROBLEMA 7.26 Demostrar que la función de autocorrelación entre las señales transmitida y recibida, es la misma función de autocorrelación entre la señal transmitida y la señal útil recibida. Solución: seang(t) y f(t) la señal transmitida y la señal recibida, respectivamente. Entonces, se tiene que f(t) = s (t) + n(t),

dondes (t) es la señal útil recibida y n (t) es el ruido. Si ahora se correlaciona la señal recibida/(t) con la señal transmitida, se obtiene

f-T n [s (t) + n (t)] g(t- 'T) dt = Rsg('T) + Rng('T).

R¡g(i) = lim _!_ T->00 T ' ,

(7.113)

-T/2

Puesto que n (t) y g(t) no están correlacionadas, es decir, Rng('L') =O, se tiene que R¡g(T)

=

Rsg(T).

•

(7.114)

PROBLEMA 7.27 Partiendo del resultado (7 .114) del problema (7 .25), demostrar que_ la correlación promedio se puede utilizar para la detecCión de señales. Solución: si la señal recibida/(t) es únicamente ruido, es decir, si s(t) =O, entonces la función de correlación promedio Rsg(r) =O, y por tantoR¡g(r) =O. Por consiguiente, se concluye que si la función de correlación promedio entre la señal transmitida y la señal .recibida no es cero, entonces existe una señal útil en la señal recibida. La ecuación (7.114) también puede ser utilizada en la detección de una señal periódica contaminada por el ruido. Puesto que la señal útil s(t)_y la señal transmitidag(t) son señales de la misma frecuencia, se sigue del resultado del problema 7 .19, que Rsg('L') también es una función periódica de igual período. Por c"onsiguiente, del resultado (7.114) se concluye que si la función de correlación promedio, de la señal recibidaf(t) y la señal transmitidag(t), es periódica, entonces f(t) debe contener una señal periódica. · Se debe observar que en el méto~o de correlación,R¡gÜ) =Rsg(r), sin ningún término adicional del ruido, tal comoRnnCr), encontrado en la técnica de detección mediante autocorrelación; por tanto, es posible detectar una señal periódica en la señal recibidaf(t) a cualquier valor de 1i. 7.7

ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO: SEÑALES AL AZAR

· Análisis de Fourier

172

So 1u ció n:

de la relación (7 .120), se sigue que Ru(O)

JO() P (w) . dw = JO() P (2

1

=h

-00

.

TT

(7.122)

f) df.

-00

Ahora bien, por (7 .87), se tiene que

1

Ru('r)= lim

-

T-+oo

IT/2 f(t)f(t-T)dt.

T

[7.871

-T/ 2

Por consiguiente,

-_

Ru(O)

1

=

lim T-+oo T

JT/2 [f(t)F dt.

(7.123),

-T/ 2

Comparando (7.123) con (7.122), se obtiene lim -llT/2 [f(t))2 dt = -1 T 2TT -T/2

T-+00

J"" -oo

P(w) dw '

=

f"" P(2rrv) dv. -""

.

173

Aplicaciones en teona de comunicaciones

PROBLEMA 7.29

Hallar la densidad espectral de potencia· de una función periódicaf(t)

cuyo período es T. So 1u ci ón:

supóngase que la serie de Fourier de la función f(t), está dada por (7.124) n=-oo

En el problema 7.22 se demostró que la función de autocorrelación promedio de · /(t) está dada por 00

- tt ('L ) R

=

'\' 1en 12 e.jnWO'L • ~

[7 .105]

n=-oo

Si se toma la transformada de Fourier de Rj¡(r:), se obtiene 00

n=-oo 00

=

L

2rrlcnl 2 o(w-nw 0 )

(7.125)

n=-oo

mediante la relación (5.21). Por tanto,P(w) consta de una serie de impulsos localizados en las frecuencias armónicas de f(t). Cada impulso tiene un valor igual a la potencia contenida en esa componente frecuencial y es una clara medida de la distribución de potencia enf{t).

Solución:

dado que f{t) es periódica, entonces de la ecuación (7.89), se tiene que 1

l~moo T T

JT/2 , · [f(t)F dt -T/2

1

= Tl

fTt/2 [f(t)P dt,

(7.127)

.

-Tl/2

donde T 1 es el período de f(t). Sustituyendo (7.125) en (7.121) y utilizando la relación (7.127), se obtiene

; 1

L::::

[f(t)F dt =

2~

L:

P (w) dw =

1: [n~

2

lcnl o(w- nw 0 )]

dw.

Si se ihtercambia el orden de la sumatoria y de la integral, y se utiliza la propiedad de la fun<;ión 6, se obtiene

174

Análisis de Fourier

Hallar la función de autocorrelación promedio del ruido blanco.

PROBLEMA 7.31

Solución:

según la definición de ruido blanco, se tiene que (7.128)

P(w) =K.

De la relación (7.120), se sigue que

Según la identidad ( 5 .4) de la función li, es decir,

-l 1

-oo

217

-oo

efWTdW =

O('r),

se tiene. R(-r) =K o(-r).

(7.129)

Por consiguiente, la función de autocorrelación promedio del ruido blanco resulta ser un impulso. PROBLEMA 7.32 La función de autocorrelación promedio de la corriente del ruido térmico está dada por (7.130)

donde · k = constante de Boltzmann, k = 1,38 x .1 O- 23 julios/°K, T = temperatura ambiente en grados Kelvin, G = conductancia de la resistencia en mhos, ~ = número promedio de colisiones de un electrón, en un segundo. Hallar la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico ..

Solución:

si se toma la transformada de Fourier de (7.130), se tiene

00

=

kTG<Xi

e-eti'TI e-j(J.)'T

d'r

-oo

2kTG w2 1+-

(7.131)

a2

Puesto que ~. el número de colisiones por segundo, es del orden de 1012 , el factor 1 + w 2 1a 2 está cercano a la unidad para frecuencias inferiores a 1010 hz. Por consiguiente, para frecuencias inferiores a 1010 hz, la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico, se puede aproximar por medio de

P (w)

=

2kTG.

(7.132)

Aplicaciones en teona de comunicaciones

7.8

Ryy ('t") =

175

RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALIDA: CALCULO DEL RUIDO

1: 1: h (A)

h (a) R"" ('T +a- A) dadA,

(7.133)

donde h (t) = j=-l [H(w)] =respuesta del sistema al impulso unitario So 1ución: en la ecuación (6.87) se demostró que la salida y (t) está relacionada con la entrada x (t), por la integral de convolución, es decir,

y(t) =

Joo h('T) x(t- 'T) d'T. -oo

(7.134)

Ahora bien, según la relación (7 .87), se tiene que _ 1 Ryy ('t") = lim -

•

T-'>oo

T

JT/2

-T/ 2

y(t) y(t-

'P dt.

(7.135)

Por la relación (7 .134), se puede expresary (t) y y (t- ¡)como y (t)=

loo h (A) ~ (t -A) dA,

(7.136)

-00

y(t-'T)=

roo h(a)x(t-'T-a)da.

(7.137)

.l.,....oo

Sustituyendo {7 .136) y (7 .137) en (7 .135), se obtiene

_ Ryy('L)=j~r: T1 JT/2 -r;

[Ioo h(A)x(t-A)dA . foo h(a)x(t-'T-a)daJ dt . -oo

-oo

2

.,

.

(7.138)

Intercambiando el orden de la integración se puede expresar la relación (7 .138) como -1 T

JT/2

]

xS!- A) x(t- 'T- a).dt dadA.

-T/2

..

(7.139)

Dado que,

1JT;2.. Rxx('T+a-A)= lim T

T-'>oo

. -T/2

;

x(t-A)x(t-'T-a)dt,

(7.140)

Análisis de Fourier

176

la ecuación (7 .139) se convierte en Ryy (T) =

J"" l"" h (!..)

-oo

Solución:

h (a) Rxx (t:

+a~ !..)dad!...

-oo

porla ecuaéión 7.119, se tiene que P0 (w) está dado por P 0 (w)

= ~[Ryy(T)] =

Joo Ryy(T) e-¡w-r: dT.

(7.142)

-0<1

Sustituyendo (7.133) en (7.142), se obtiene Po (w) =

L: [L: L: h (!..)

h (a) Rxx (T +a- !..)dad!..] e-Jw'f: dT.

(7.143)

Con el cambio de la variable ll == r + a- A, seguido por una separación de variables, se obtiene oo . oo · " oo . P 0(w) = h (l..) dA. h (a)da Rxx {¡.t) e-iW(f.L-rJ+ A) d¡;.

i

-00

i

I

-00

-00

(7.144) Puesto que

H (w)

=

i""

h (T) e-¡w-r: dT,

-00

y h (t)es siemprereal, H*(w)

1:

=

h(T) e¡w-r: dT ..

Entonces, la ecuación (7 .144) se puede expresar como P 0 (w) = H (w) H* (w) P 1 (w).

Dado que H(w)H*(w) == IH(w)l 2 , seiiene Po (cy) = IH (wW P 1 (w).

(7.145)

Aplicaciones en teqría de

177

coinunicacione~1

PROBLEMA 7.35 Hallar la función de autocorrelación'promedio, de la salida del circuito RC para bajas frecuencias, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es ruido blanco. Así mismo, hallar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida.

R

según el resultado (6.100) del problema (6.19), la respuesta ÍIÍlpulsiva h (t) del circuito está dada por,

So 1u ció n:

_!.._

h (t) =

·

e-ti RC

U

·_c_I. .~o-----S-a-lid-o()

(t),

EotrOOit--(t-)__

RC

mientras que, según.(7.129), la función de autocorrelación promedio. de la entrada (que es el ruido blanco) está dada por

o

Rxx(t:) =K (t:).

Entonces, mediante la relación (7 .133), se obtiene

R

(t:)=f

1 . foo . K -_e-A/Rcu(,\) - · e-u/Rcu(a)o(t:+a-,-,\)dad,\

oo

RC

YY -oo

-oo

RC

= - K- -loo e-U/RC u(a) ioo o(í:+a-,\)e-A/RC U(A)d,\da. (RC) 2

.

(7.146)

-oo

-00

Recordando la propied¡¡.d (2.68) de la función 8, se tiene Ryy(T) =

~foo

e-u/RC u(a) e-cr+u)/RC da

(RC)2 _00 _._ . e-1:/ RC e- 2ct/ RC da K _ loo

(RC)2 o

.

dado que u(a) =O, para(]< O, y u(a) = 1, para a> O. De donde,·

R

(T)=

YY

~

e-1:/RCloo·e-2u/RCda = ~e-1:/RC. 2RC o .

(RC) 2

(7.147)

La ecuación (7.147) es válida sólo para valores positivos de r; sin embargo, como la función de autocorrelación es una función par de 1: ·[ver 4.148], se tiene Ryy (t:)

= -K- . e- 11:·¡ 1 ·'RC,

-oo

2RC

< t: < oo.

(7.148)

La media cuadrática del voltaje del ruido en la salida está dada por 1

lim T4oo

T

JT/2 [y(t))2 dt Ryy - (O)= -K . =

(7.149)

2 RC

-T-/ 2

Hallar la densidad espectral de potencia, para)a salida del circuito RC, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es ruido blanco. Así mismo, comparar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida, con el valor, obtenido mediante la relación (7.121). PROBLEMA 7.36

Solución:

según (6.99), la función del sistema,H(w), del circuitoRC, está dadapor 1 RC [6.99] H (w) = jw +

1

RC

Figura 7.13

El circuito RC para bajas frecuencias del problema 7.35.

178

Análisis de Fourier

~:'

La densidad espectral de potencia de la entrada {ruido blanco), está dada por

[7 .128]

P; (w) =:K.

De esta manera, según (7 .141 ), la densidad espectral de potencia de la salida, está dada por

P 0 (w)

= IH(w)l 2

P;(w)

(kY

= Ú)2

K.

+(;¿y

(7.150)

Por (7 .121 ), se tiene que la media cuadrática del voltaje de salida, se puede evaluar a partir de P 0 (w); de esta manera, se obtiene lim

.!_

T->oo

T

JT

12

[y (t)F dt

=

__!_foo P

217 _00

-T/ 2

=

0

(w) dw

c/w

K foo 2 277 (RC) _OC:

2 Ú)

(

+ -

1 )

2

RC

K

(7.151)

- -2RC

lo cual está de acuerdo con el resultado (7 .149).

7;9

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Demostrar que una función periódica de banda limitada; sin armónicos de orden superior a N, se puede especificar unívocamente por su valor en 2N + 1 instantes· d€> un período. ' [Sugerencia: con 2N + 1 incógnitas, una función periódica de banda limitada tiene la forma

PROBLEMA 7.37

N

f(t)=Co+

Len

cos(wot+
ll=l

Wo =

277 . J T

Considerar las funciones muestradoras

PROBLEMA 7.38 .+.

'f'n

( ) _

t -

sen wM (t- nT) wM(t-nT)

'

n

=

O, ±1, ±2, · · · ,

donde wM + 2rr/M, Y T= 1/(2/M). Demostrar que (a) tl>n(t) son ortogonales en el intervalo- oo < t < oo, y {b)

1:



Tonm,

donde ónm es la delta de Kronecker. [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23, y el teorema de Parseval.] PROBLEMA 7.39 Sif(t) es una señal de banda limitada, esto es, F(w) = ~ [/{t)] =O, para 1w 1> w e• demostrar que

J""·-oo

f(t)
Aplicaciones en teon'a de comunicaciones

179

donde C/Jn(t) es la función muestreadora del problema 7 .38, para todo C/Jn(t) del mismo problema, con wM > wc. [Sugerencia: multiplicar (7 .16) por C/Jn(t), integrar entre- oo e oo, y utilizar el resultado del problema 7 .38.] PROBLEMA 7.40 Utilizando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122), verificar el resultado del problema 7.39. [Sugerencia: ver el problema 4.95.] PROBLEMA 7.41 Sea f(t) una seííal de banda limitada, cuyo espectro es cero fuera del intervalo de- fM a fM Hertz. Sif(t) se muestrea a una, rata de 2fM muestras por segundo, probar que

Demostrar que el producto de una sefial de AM, con una onda periódica cuya frecuencia fundamental es la frecuencia de la portadora de la sefial AM, incluye un término proporcional a la sefial m (t). PROBLEMA 7.42

PROBLEMA 7.43 Demostrar que la sefial DBLPS se puede demodular, multiplicando la sefial por cualquier sefial periódica, cuya frecuencia fundamental es la frecuencia portadora de la sefial DBLPS.

La eliminación de una banda lateral en una sefial DBLPS, produce una sefial denominada sefial de AM de banda lateral única (BLU). La figura 7.14 muestra un diagrama de bloques del método de defasamiento' para producir una sefial BLU. Obtener: (a) la sefial DBLPS,f1 (t), multiplicando el mensaje dado, m (t), por una. portadora cos wct, y (b) la sefial DBLPS,[2 (t), multiplicando la portadora defasada en - f 1T, por el mensaje también defasado en - f 1r. Demostrar también que [ 1 (t) - [ 2 (t), produce una sefial BLU. PROBLEMA 7.44

Modulador DBLPS

C.OS

f¡(t)

w/t)

m(t)

Señal BLU

_117 2

_117

;;,( t)

2

·Modulador DBLPS

f2(t)

Defasador

Figura 7.14 Diagrama de bloques dei método de defasamiento para producir una señal BLU.

(a) Démostrar que la seííalf(t) =m (t) cos.wct, donde m (t) es una onda periódica cuadrada, se puede expresar como la sefial modulada en fase cos [wct+cp(t)]. (b)Hallarcp(t). PROBLEMA 7.45

Respuesta: si se tiene para O < t < T /2

1 m(t)

.

= {

-1

y para T/2 < t < T

m(t+ T)=m(t),

Análisis de Fourier

180

entonces tf>(t) también es una onda periódica cuadrada, es decir, para O < t

< T /2

para T /2


c/J(t+ T)

y

=

t

t

Las señales de FM con

PROBLEMA 7.46

c/J ( t) =

k 1{

m ('I) d'I

c/J(t).

«

rr para todo

-oo

valor de .t, se denominan señales de FM de banda angosta. Hallar la ecuación y el espectro de frecuencia de una señal de FM de banda angosta. Respuesta: A cos Wc t - A

A 2

c/J ( t) sen

Wct,

[8(w-wc)+8(w+wc)J- Ak¡ [M(w-wc)-M(w+Wc)],

2w

dondeM(w) = j= [m(t)]. Compél;I"ar y- hallar las diferencias entre una señal de FM de banda angosta y una señal ordinaria de AM. (Cf., problema 7 .46.) .

PROBLEMA 7.47

PROBLEMA 7.48 Hallar el espectro de la señal MAP (7 .79), si g(t) es el pulso rectangular periódico y simétrico, que se muestra en la figura 7.15. Esta señal especial MAP también se denomina señal recortada.

O

T

L 1a n_ 00

Respuesta:

2

"=1

1

[M{w- (2n- 1)w 0 l + M{w + (2n- 1)w0 lJ. con

'

-__4___ (2n- 1)rr

-1

para (2n- 1) ·

=

1, S,· · ·

a2n-1 =

{ Figura 7.15

El pulso rectangular periódico y simétrico del problema 7 .48.

-4 (2n- 1)rr

para (2n- 1) = 3, 7, · · · .

(Cf., problema 2.13.) PROBLEMA 7.49 Demostrar que la función de autocorrelación promedio R (¡),es 11 una función par de ¡. PROBLEMA 1.50 Demostrar que la derivada de la función de autocorrelación promedio de f(t), es el negativo de la función de correlación promedio de f(t) y df1dt; esto es,

dRff/d'I= -R.t at;at··

PROBLEMA 7.51 De dos señales periódicas / 1 (t) y [ 2 (t) con período T, se dice que no están correlacionadas o son incoherentes, si para todo valor.de r, se cumple que

Rt 2 ('I)= ~-

i

T/2

-T/2

T/2

•

T/2

l¡(t)f2(t-'I)dt=l_I f 1 (t)dixl_J f 2(t)dt; T -T/2 T -T/2

es decir, la función de correlación promedio de [ 1 (t) y / 2 (t), es igual al producto del promedio de / 1 (t) y / 2 (t) en un período. Demostrár que el valor cuadrático medio deJa suma de dos señales periódicas incoherentes, es la suma de los valores cuadráticos medios de las dos señales, cuando el valor promedio de cada señal es cero

181

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

PROBLEMA 7.52 Demostrar que el espectro de la densidad de pofencia de una onda senusoidalA sen w 1 t (óA cos w 1 t); esP(w) = f A 2 [8(w- w 1 ) + 8(w w¡)]. [Sugerencia: utilizar el resultado del problema 7.20.]

+

Sistema Lineal

Dos señales/aCt) y fb(t) se aplican a dos sistemas, como se muestra en la figura 7.16, siendo las salidas resultantes/1 (t) y / 2 (t), respectivamente. Expresar la función de correlación promedioR12 , de / 1 (t) y / 2 (t), en términos deRab• h 1 (t) y h 2 (t), donde h 1 (t) y h 2 (t) son las respectivas respuestas de los dos sistemas al impulso unitario.

PROBLEMA 7.53

Respuesta:

R12 ('t") =

1:h (Á)L: Rab 1

('t" + a-

Á)

h 2 (a) dad

Si la densidad espectral S 12 ( w), de dos funciones / 1 (t) y / 2 (t), está definida por S 12 (w) =S: [R 12 (-¡;)], demostrar que para los dos sistemas del problema . 7.53, sé cumple S 12 (cu) = H 1 (cu) H~ (cu) Sab (cu),

Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida del circuito para bajas frecuencias que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada tiene una función de au tocorrelación promedio de la forma R~ x ( 't") = a K e -al T\ . PROBLEMA '7.55

i

.

[ e-'-aiTI - -a e -biT!] · , donde b b ,

2

YY

b aK

2(b2-a2)

= - 1 .. RC

PROBLEMA 7.56 El coeficiente faK, deRxx(-c) del problema 7.55,ha sido seleccionado de tal manera que la entrada tenga una densidad espectral K cuando w = Ó. Luego, a bajas frecuencias la densidad espectral es la misma del ruido blanco. Demostrar que cuando a ;!!> 1/RC = b, el resultado del problema 7.55 se aproximaJil resultado (7 .148) del ruido blanco. [Sugerencia: expresar Ryy(1:) como

R ('t")=bKe-biTi[ YY

.

1

(1 - b 2 ja 2 )

2

( 1 _E._e-
PROBLEMA 7.57 SeaF(w) =R (w) + jX(w), la transformada de Fourier de una función real f(t), y F(w) la transformada de Fourier de /(t), donde /(t) está definida por

1 ['"" f(t) = ; [X(cu) cos cut+ R(cu) sen cut] dcu. o

l

Demostrar que (a) la relación entre /(t).y f(t) es

11 ! 00

f(t)

00

=;

o

f(x) sen cu(t -x) dxdcu;

-00

(b) la relación entre F(w) y F(w) es

F (cu) = -j sgn cuF(cu). [Sugerencia: (a) utilizar 4.19-20; (b) sustituir R(cu) =

.!. [F (cu) + F (-cu)] 2

y

(a)

Sistema Lineal H 2(cu), h 2(t) (b) Figura 7.16

donde Sab(w) es la densidad espectral de faCt) y fb(t);H 1 (w) y H 2 (w) son las funciones respectivas de los sistemas.

('t") =

l¡(t}

h 1(t)

Á.

PROBLEMA 7.54

. -R Respuesta:

H 1(cu),

X(iv)= 1. [F(cu)-F(-cu)] 2. 1

Los dos sistemas del problema 7 .53.

182

Análisis de Fourier

A

A

en la definición def(t), y observar que f(t) 6.50y9.55.]

PROBLEMA 7 ~58

= -

1

277

iOC) F (w) e ·w't dw. [Verlos problemas A

1

-00

La señal analítica f+(t) relacionada con la señal realf(t) está definida

por f +(t)

= f(t) + j f(t ),

donde /(t) es la señal definida en el problema 7.57. Demostrar que si j= [/+ (t) == F+ (w ), entonces 2F(w), F +(w) = 2F(w)u(w) =

{ O,

w rel="nofollow">O w
donde u(w) es el escalqn unitario. PROBLEMA 7.59 Hallar la señal analítica relacionada con la señal/(t);:;: cos wt. [Sugerencia: ver el problema 6.5 1.)

Respuesta: f+ (t)

=

PROBLEMA 7.60

cos wt + j sen wt = e ¡wt. · Con frecuencia es conveniente representar una señal real arbitraria

f(t), como una senusoide de la formaf(t) ==A (t) cos 8 (t), que es una onda modulada en amplitud y en ángulo; en esta expresión, A (t) se denomina la función envolvente, O(t)lajUnción de fase, y W¡ ==dO(t)/dt la frecuencia instantánea de la señalf(t). Sea /(t) la señal definida en el problema 7.57; entonces la función envolvente A (t) se puede definir mediante

A(t)= f(t) · · cos ltan- 1 [f(t)/f(t)]l ' y la función de fase se puede definir mediante O(t)

=

tan- 1 [f(t)/f(t)] .

. Utilizando las anteriores definiciones, expresar f(t) ==A sen wt, donde A y w son constantes, en la forma de una senusoide modulada en amplitud y en ángulo.

Respuesta; f(t) =A cos (wt- ~). Hallar la frecuencia instantánea de la señal/(t) == 1/(1 [Sugerencia: ver el problema 6.51(b).]

PROBLEMA 7.61

Respuesta:

"-----

w; = 1/(1

+ t 2 ).

+ t 2 ).

APL-ICACIONES A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

8.1

SEPARACION DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER

183

8

CAPITULO

184

Análisis de Fourier

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

185

f(x)

Hallar la solu,ción de la ecuación (8.1 ), con las condiciones de frontera dadas por (8 .2), pero con deflexión inicial triangular (figura 8.1) y velocidad inicial cero; PROBLEMA 8.2

u(x,O)

=

f(x)

=

2 k x para O< x < _! l 1 2 · . { -2k (l - x) para -1 1 < x < l,

l

au(x,t)l at

2

(8.24}

2

- ()-0 -g X • 1=0

·

(8.25)

puesto que g(x)= 0, entonces, por (8.23), se concluye que,Fn =O. Por el resultado del problema 2 ..19, se observa que los coeficientes En de (8.21), están dados por (2.63); es decir, Soíución:

Figura 8.1

.

Deflexión inicial triangular. '

186

Análisis de Fourier

Por tanto, la serie de Fourier de f(x) en términos de senos, _está dada por (2.64); es decir, u(x, O)=

~~

(sen

"t -;

2

3

sen

~x

+ ; 2 sen

S~x

- .. }

Luego, por (8.18), se tiene u (x, t)

8k (

= -

1T

Solución:

2

e 11 t 3 11 x sen -11 x cos - - -12 sen - cos 3e 11 t + · · ·) . l

l .

3

l

(8.26)

la solución general de la ecuación (8.1) está dada por (8.18); es decir, 00,

u(x, t)

L

= •

n 11 x ( En cos en-11·t + Fn sen-en 11 t ) . Sen-l

l

.

l

[8.18]

n=l

Puesto que la velocidad inicialg(x), es cero, por (8.22) se deduce que los coeficientes Fn son cero, y la expresión (8.18) se reduce a u(x, t)

""

nrrx

enrrt

L En sen -l- cos - l- .

=

(8.28)

Utilizando la identidad trigonométrica 1 . . sen A cos B = - [sen (A - B) + sen (A + B)], 2 se sigue que n 11 x en 11 t sen - -. cos - 1

1

=

· 1 [

2

n 11 n 11 ] sen,/ (x- et) +sen l (x + et) .

Por tanto, se puede expresar (8.28) en la forma u(x,t)

1

=-

2

Loo

nrr , 1 En sen- (x- et) +-

n=l

2

l

Loo En sen -nrr (x +et). 1

n='l

(8.29)

Comparando con (8.19), se concluye que las dos series anteriores son las obtenidas sustituyendo ( x - ct) y (x + ct), respectivamente, por la variable x en la expansión de f(x), dada por (8.19). Por consiguiente~ u (x, t) =

.!

2

f,(x - et) +

.!

2

f,(x

+et),

donde [ 1 (x) es la extensión periódica impar de f(x), siendo el período 21, el cual se muestra en la figura 8.2. f(x)

f 1 (x-cl)

f 1 (x)

Figura 8.2

Extensión periódica de f(x) del problema 8.3.

Figura 8.3

Gráfica de f¡ (x) y f¡ (x- ct) del problema 8.3.

·Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

187

La gráfica de / 1 (x - ct) se obtiene de la gráfica de / 1 (x ), d0SJI8zándola ct unidades a la derecha (figura 8.3). Se reconoce, así mismo, que es posible permanecer en un valor particular de la función conservando el argumento, x- ct, constante; es decir, con movimiento en la dirección x positiva y velocidad e mientras t aumenta. Esto significa que / 1 (x - ct), (e > O) representa una onda que se propaga hacia la derecha. Análogamente / 1 ( x + ct) representa una onda que se propaga haeia la izquierda con velocidad e. Por consiguiente, hi solución u(x, t) es la superposición de estas dos ondas.

Solución:

supóngase que la solución de la ecuación (8.30) es de la forma

u (x, y) =X (x) Y(y),

(8.33)

donde X(x) es función de x solamente, y Y(y) es función de y solamente. Si se sustituye (8.33) en (8.30), se obtiene X"(x)Y(y) + X(x)Y"(y) =O.

(8.34)

Dividiendo por X (x) Y (y) y separando las variables, se tiene X"(x) - Y"(y) -·--+--=0 X(x) Y(y) X"(x) X(x)

= _

Y'·'(y) Y(y)

(8.35)

(8.36)

El primer miembro de la ecuación (8.36) es independiente de y, y por consiguinte, el segundo miembro también lo es. El segundo miembro es independiente de x, el primer miembro también debe serlo. Esto significa que las expresiones en ambps mie bros de la ecuación (8.36), deben ser independientes de las dos variables x y y, e iguales a una constante. Si la constante de separación se denota por k 2 , entonces, X"(x) Y"(y) 2 --=---=k. X(x) Y(y)

(8.37)

El signo de la constante de separación se escogió de tal manera que las condiciqnes de frontera pudieran ser satisfechas. La ecuación (8.37) conduce a las dos ecuaciqnes diferenciales lineales X"(x)- k 2 X (x) =O,

(8.38)

2

(8.39)

Y"(y) + k Y (y) =O.

Las soluciones generales de (8.38) y (8.39) son X (x) = A

ekx

+ B e-kx,

Y(y) =ecos ky + D

sen ky.

(8.40)

(8.41)

188

Análisis de Fourier

Según las condiciones de frontera, dadas por (8.31), sé tiene X (O)

= A + B = O, Y(b) =D sen kb =O.

Y(O) =C =O,

De donde, A =-B,

(8.42)

sen kb =O, de lo cual se deduce que kb

= nrr

k -- nrr b,

ó

n

=

1, 2'

(8.43)

....

De esta manera se obtiene un conjunto infinito de soluciones Y (y) = Yn (y), donde

nrry Yn(Y) = Dn sen - - . , b

n = 1, 2, · • · .

(8.44)

Las soluciones generales correspondientes a (8.40) se convierten en

Xn(x) = An(ekx- e-kx) ,= 2An senh kx

= 2A n senh nrrx n = 1, 2, · • • • b. ,

(8.45)

Por tanto, las funciones

un(x,y)

nrrx nrry = Xn(x) Yn(y) =En senh -bsen -b-, n = 1, 2, · · · ,

(

8.46)

son las soluciones de (8.30) que satisfacen las condiciones de frontera (8.31). Obsérvese que 2AnDn se reemplazó por la nueva constante arbitraria En. , Evidentemente una sola solución, un ( x, y), de (8 .46), no satisfacerá la otra condición de frontera dada por (8.32). Dado que la ecuación (8.30) es lineal, se considera la serie infinita 00

·u(x,y)

=

00

L un(x,y) =LEn senh tl~x sen n~y. n=l n=l

(8.47)

Si se aplica la condición de frontera (8.32), se obtiene u (d, y)

-.¿; •

nrrd

= U0 = f....J En senh -b- sen

nrry b

n=l 00

=

Le

n

nrry sen-b ,

o< y< b,

(8.48)

donde en=

nrrd En senh - - . b

La ecuación (8.48) es una serie de Fourier en términos del seno, y los coeficientes en se · pueden determinar c->mo [ver (2.51)]

2lb

e" = -

b

0

2U

nrry

0 Uo sen - - dy = - (1- cos nrr) = b nrr

sin embargo, en=

nrrd En senh - - , b

{4Uo, nrr 0,

n=l,3,··· n

=

2, 4, ·. · ·.

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

189

y por consiguiente, En

= ___ 4_U_,o_-__

n = 1, 3; S, ... ,

(8.49)

rrd)' nrr senh ( n-b-

lo cual se puede sustituir en (8.47) para obtener la solución deseada: -

x,y)

u(

00

4U-0 = Tr

¿ n=odd

8.2

1

senh

-

n

senh

(n~x) (n~d)

sen nrry. b

(8.50)

VIBRACION

y

O Figura 8.4

a Una membrana rectangular.

190

Análisis de Fourier

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

191

Análisis de Fourier

192

PROBLEMA 8.6 Hallar la solución de (8.51), con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

u(x, y, t) =O para x =O,

x =a,

y= O,

y

y= b;

u(x,y, O)= xy (x-a) (y- b),

au at Solución:

1 -o ~=o - ·

por(8.70),setiene 00

u (x, y, t) =

00

L L

m=l

(Gmn

mTTX sen nTTy. cos kmnct + Hmn sen kmnct) sen

a

n=l

si se hace t =O; se tiene 00

·u(x,y, O)= L "' L "'G mn sen -amTTx sen nTTy. b m= 1 n= 1

b

. 193

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

De acuerdo con (8.76), se tiene _ _4 b a

G

.mn-

=4 -

.ab

bia i la o

o

m77x n77y u(x,y,O) sen-- sen-- dx dy

a

m 77 x dx x(x- a) sen-a

0

lb

b

n 77 y dy y(y- b) sen--b

0

si n y m son impares de otra manera. Puesto que ou/otit=O =O, y de acuerdo con (8.78),Hmn =O, la solución final es u(x,y, t)

64a 2 b2

= - . --

776

00

'\'

Loo-

L

1 --

m 3n 3

cos k '

mn

m77 x n 77 y et sen --,sen--. (8.79) a b '

m=impar m=impar

Las pequeñas vibraciones transversales libres, dé una viga uniforme sujeta por un extremo, que se extiende a lo largo del eje x, está regulada por la ecuación de cuarto orden 2 if't~(x, t) + l_ a u(x, t) =O, (8.80) 4 2 ax e at'

PROBLEMA 8.7

donde e 2 =El1(pA ), E= módulo de elasticidad de Young, 1 = momento de inercia de la sección transversal de la viga; p = densidad,A =área seccional. Hallar la solución de (8.80) que satisface las siguientes condiciones: u (0, t)

=o, . u (l, t) = o,

(8.81)

(8.82) u(x,O)

=

(8.83)

x(l-x),

au 11=0 -o •

(8.84)

at So 1u ció n:

supóngase que la solución de (8.80) será de la forma (8.85)

u (x, t) =X (x) T(t) . . Sustituyendo (8.85) en (8.80), se tiene

x< 4 >(x) T(t) + _!_ e•

X (x) T"(t) =O. 1

Dividiendo por X(x) T(t) y_separando las variables, se obtiene

x< 4>(x)

= _ l_ T"(t) (8.86) X(x) e 2 T(t) Puesto que el primer miembro de (8.86) depende sólo de x, y el segundo miembro depende sólo de t, las dos expresiones en ambos miembros, deben ser iguales a una constante. La constante, por ejemplo k 4 , debe ser positiva, por consideraciones físicas; en particular, para hacer a T(t) oscilatorio. De esta manera, se obtienen las dos. ecuaciones diferenciales ordinarias

194

Análisis de Fourier

x<

4

>(x) - k 4 X (x)

T"(t) + c

2

O,

(8.87)

e T (t) =O.

(8.88)

=

Las soluciones generales de (8.87) y (8.88) son X (x) =A cos kx + B sen kx +e cosh kx + D senh kx,

(8.89)

T(t) =Ecos k 2 ct + F sen k 2 ct.

(8.90)

Ahora bien, por las condiciones de frontera (8.81), se obtiene

(8.91)

X (O)= A +e= O,

(8.92)

X(l) =A cos kl + B sen kl +e cosh kl + D senh kl =O.

Puesto que X"(x)

=

-k 2 (A cos kx + B sen kx-

e

cosh kx- D senh kx),

utilizando las condiciones de frontera (8.82), se tiene X"(O) = -k 2 (A -e) =O,

X"(l)

=

2

-k (A cos kl + B sen kl-

Por (8.91) y (8.93), A y (8.94), se tiene

+e= O,

(8.93)

e cosh kl- D

A- e= O, y por tanto, A B sen kl + D senh kl

=

O,

B sen kl - D senh kl

=

O,

senh kl)

=e= O.

=

O.

(8.94)

Entonces, por (8.92)

y por tanto,

D senh kl =O.

B sen kl =O,

La segunda condiCión daD= O, dado que si senh kl =O, entonces k= O, y por tanto, X(x) =O, lo cual daría una solución trivial. Entonces, por la primera condición,

sen kl

O,

=

esto es, kl

= nrr ·

o

k

nrr

= -,

l

n

=

1, 2, · · · .

(8.95)

De esta manera se obtiene el conjunto infinito de soluciones X(x) = Xn(x); es decir, Xn(x)

=

nrrx

Bn sen - - , l

n

=

1, 2, · · ·.

(8.96)

Puesto que T '(t)

=

k 2 c (-E sen k 2 ct + F cos k 2 ct),

por la condición inicial (8.84), se obtiene T'(O) = k 2 c F =O.

Por consiguiente, F =O, y las soluciones correspondientes Tn(t) se convierten en

(8.J7) Por consiguiente, las funciones un(x, t)

n TT x

n• 71 2 ct

= Xn(x) Tn(t) = bn. sen -·cos - - - , l [2

(8.98)

donde bn = BnEn, son las soluciones de (8.80) que satisfacen las condiciones de frontera (8.81), (8.82), y la condición de velocidad inicial cero, dada por (8.84).

195

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera·

Para satisfacer la condición inicial dada por (8.83), se considera ()()

U

(x, t)

=

L

Un(X,

t)

n=l ()()

=L:

n 77 x n 2 772 ct bn sen -l- cos -. p-.

(8.99)

n=l

Por tanto, según (8.83), se tiene

·

L bn. sen -n77x- . ()()

u (x, O)

=

x (l- x)

=

. '

l

(8.100)

n=l '

De esta manera los coeficientes bn son los coeficientes de Fourier en términos del seno, de la función x( 1- x ), y están dados por 2 n77X bn = l L x (l - x) sen - - dx 1 o

rl

paran impar

(8.101)

paran par. la solución final es, por consiguiente, . 8 l2 u (x t) = - 3 ' · 77

1 n 77 x n 2 772 ct sen - - cos --.-. 3 n ·z f2

""

'\'

-

L

w=impar

(8.102)

PROBLEMA 8.8 Determinar el desplazamiento u(x, t), de una cuerda infmita con velocidad inicial cero. El desplazamiento inicial está dado por f(x), para- oo < x < 00•

Solución:

la función u(x, t) satisface la ecuación de onda de una dimensión

1 c

2

a u(x, t) =o ae ..

' [8.1]

< x < oo,

(8.103)

2

1

y las condiciones iniciales u(x, O)= f(x), au(x,t)l

at

-oo

=0.

(8.104)

t=o

Procediendo como en el problema 8.1, se sustituye u(x, t)

= X(x) T(t)

en la ecuación (8.1), lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales lineales X"(x) + k 2 X(x) =O, 2

2

T"(t) + c k T(t) =O.

las funciones · X (x)

=

A cos kx + B sen kx,

. T(t) = C cos kct + D sen kct

son las soluciones de (8.105) y (8.106), respectivamente.

(8.105) (8.106)

196

Análisis de Fourier

Utilizando la condición inicial (8.104), se obtiene T'(O)

=

kc D := O.

De donde, D =O, y u (x, t; k)

=

(F cos kx. + G sen kx) co~ kct

(8.107)

es una solución de (8.1) que satisface la condición (8.104). Cualquier serie de las funciones (8.107), hallada de la manera usual; tomando k como múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es peri_ódica en x cuando t = O. Sin embargo, como f(x) en (8.103) no se supone periódica, es natural usar la integral de Fourier en el presente caso en vez de las series de Fourier. Puesto que Fy Gen (8.107) son arbitrarias, se pueden considerar como funciones de k, y expresar, F= F(k), y G = G(k). Como la ecuación de onda (8.1) es lineal y homogénea,la función u (x, t)

=loo u (x, t; k) dk =loo [F (k) cos kx + G (k) sen kx] cos kct dk

(8.108)

también es solución de (8.1 ). Por (8.103), se tiene u(x, O)= f(x)

=loo [F(k) cos kx + G(k) sen kx] dk.

(8.109)

.,

Ahora bien, por el teorema de la integral de Fourier f (t)

= ;

loo [f_: f (x) cos

Ú)

(t- x) dx] dÚ),

[ 4.12]

se p.uede expresar f (x) = ;

loo [i: f (y) cos k(x -y) dy] dk

(8.110)

=;loo [1: f(y)(coskxcosky+senkxsenky)dy] dk = ;

loo [cos kx

Si se hace F(k)

1:

11

= -;;

f(y) cos ky dy + sen kx

00

-""

.

f(y) cos ky dy,

G(k)

i:

f(y) sen ky dy] dk.

(8. 111)

=-;;1 Loo -oo f(y) sen ky dy,

entonces la expresión ( 8.111) se puede expresar en esta forma: f(x)

=

ioo[F(k) cos kx + G(k) sen kx] dk.

(8.112)

Comparando (8.112) y (8.109), se puede expresar (8.109) como u(x,O)

=f(x) =; ioo [i: f(y) cos k(x-y) dy] dk.

Entonces, por (8.108), se tiene u (x, t)

= ;

ioo [

L:

f(y) cos k(x- y) cos ,kct dy] dk.

(8.113)

(8.114)

197

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

Mediante la identidad trigonométrica cos k(x- y) cos kct

1

2 [cos k(x + ct- y)+ cos k(x- ct- y)],

=

la ecuación(8.114) se convierte en u (x, t)

=

~ +

loo [L: ~ loo [L:

!(y) cos k (x + ct -y) dy] dk

;

;

(8.115)

!(y) cos k(x- ct- y) dy] dk.

Si se reemplaza x por x ± ct en (8.110), se tiene f(x ± ct)

= ;

loo [l:

!(y) cos k(x ± ct- y) dy] dk,

y comparando esto con (8.115), se obtiene u(x, t)

=

1

2

{,(x + ct) +

1

2

(8.116)

f(x- ct)

que es la ecuación ya conocida, de las ondas viajeras (ver el problema 8.3).

PROBLEMA 8.9

Utilizando la transformada de Fourier resolver nuevamente el

problema 8.8. Solución:

sea la transfomiada de F ourier de la solución u ( x, t) con respecto a x,

la dada por U(s, t)

=~[u(x, i~] =J

00

u(x, t) e-isx dx;

-00

entonces, u(x,t)=Jc¡::-1 [ U(s,t)] = 1-

2rr

(8.119) '

Joo U(s,t)e ' xds. 15

-00

.

(8.120)

Se supondrá que las soluciones u(x, t) y ou (x, t)/ox, son pequeñas cuando lx 1 se hace grande, y tienden a cero si x - . ± 00 • Sean uxx (x,

_ d2 u (x, t) t) a2 , ,

Ux(x, t) = éJu(x, t)'

éJx

X

Ut(x, t) =

'

.

éJu (x, t). éJt

Análisis de Fourier

198

Mediante integraciones parciales sucesivas se encuentra que la transformada de Fourier es j=[uxx(x, t)]

=

=

L: I

Uxx(x, t) e-Jsx dx

(x=oo) e-Jsx dux(x, t)

(x=-oo)

=

t)[

e-Jsx ux(x,

+ js

00

=

js

I

(X=OO)

=

ux(x, t) e-Jsx dx

e-Jsx du (~, t)

(x=-OO)

=is e-Jsx

L:

.

u(~,t)l_: -js(-js)

1:

u(x,t) e-Jsx dx

-s 2 U(s, t)

(8.121)

dado que ux(± oo, t) =u(± oo, t) =O. La transformada de Fourier de utt(x, t) es (puesto que se está tomando la transformada con respecto a x) j= [utt(x, t)]

=L.:

u 11 (x, t) e-Jsx dx

a2 {"" u (x, t) e-Jsx . dx. at -oo

= -

=

2

(8.122)

uttCs, t).

Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación de onda (8.1) y por (8.121) y (8.122), se obtiene -s 2 U(s,t)-

1

U11 (s,t)=0,

e2

o

a

2

U(s,t) + s 2 e 2 U( s, t ) -----'---'---'2

at

=O

(8.123)

que es la ecuación de la transformada U(s, t). La solución general de (8.123) es U (s, t) =A (s)

eis~t

+ B (s) e-Jsct,

(8.124)

donde A (s) y B(s) son constantes con respecto a t. Aplicando la transformada de Fourier a las condiciones iniciales (8.103) y (8.104) se obtiene

U (s, O) = j= [u (x, O)] = Joo u (x, O) e-Jsx dx

-"" =

Joo

f(x) e-Jsx dx

-00

=

F(s),

U1(s, 0) = ~(u 1(x, t) \ t=O ) = O.

(8.125) (8.126)

Por las relaciones (8.125) y (8.126), A (s) y B(s) de (8.124), se pueden evaluar ahora, de la siguiente manera: F(s) =U (s, O)= A(s) + B (s), O= U t(s, O)= jse [A (s)- B(s)].

•

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

199

Resolviendo A (s) y B(s) en estas dos ecuaciones algebraicas, se obtiene .

A(s)

= B(s) =

1

2

F(s).

Por tanto, según (8.124), se tiene U (s, t) =

~

F(s) efsct +

~

F(s) e-fsct.

(8.127)

La solución deseada u(x, t), es la transformada inversa de Fourier de U(s, t), en particular, u

(x, t)

=

~- 1 [U (s, t)]

~ S:-' [F (s) efsctl

=

+

~ ~- 1 [F (s) e-fsct].

(8.128)

Por medio de la propiedad de desplazamiento en el tiempo, dada por (4.73), se tiene ~- JF(s) efsct] = f(x + ct),

1

1

~- [F(s) e-fsct] = f(x- ct).

.De esta manera, 1

1

2

2

u(x,t)=- f(x+ct)+- f(x-ct)

que es el mismo resultado obtenido en (8.116).

8.3

CONDUCCION DE CALOR

(8.129) (8.130)

200

Análisis de Fourier

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

201

202

Análisis de Fourier

Aplicaciones a problemas de valor en la fron.tera

203

PROBLEMA.8.12 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier, resolver nuevamente el problema 8.11 .. Solución:

1:

sea la transformada de Fourier,de la soluc~ón u (x, t),con respecto a x, la

dada por U (s, t) =

5' [u (x, t)]

=

entonces, . 1 u(x,t)=Jc¡:-1 [ U(s,t)] = -

277

u (x, t)

(8.165)

e-isx dx;

foo U(s,t)e ·

1s x

ds.

(8.166)

-00

!)

Se supondrá que las soluciones u(x, t) y au(x, t)/ax son pequenas para valores grandes de 1x 1 y se acercan a cero a medida que x ~ ± oo. · Según (8'.121), la transformada de Fourier de u;x(x, t) es

(8.167)

La transformada de Fourier de UtCx, t) es

5' [u 1(x, t)] '

=

l

a

oo

u 1(x, t) e-Jsx dx

= -

at

-00

=

U (s, t)

U¡(s, t). ·

· (8.168)

204

Análisis de Fourier

Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación del calor (8.133), se obtiene

_!_

-s 2 U (s, t)-

U¡{s, t) =O

c2

o aU(s,t) +e 2 s 2 -U(s, t)-O - . at

(8.169)

La solución de la ecuación (8J69) es 2 21

-U(s,t)=U(s,O)e-c s

(8.1-?0)

•

Pero aplicando la transformada de Fourier a la condición inicial (8.152), se obtiene

U (s, O)= Joo

u

(x, O)

e-jsx

dx

-00

=

J"'

f(x)

e-Jsx

dx

-00

=loo f(y)

e-Jsy

dy.

(8.171)

-00

1:

Reemplazando (8.171) en (8.170), se tiene U (s, t)

=

e-c2s2t

f(y)

e-Jsy

dy.

(8.172)

Ahora se puede obtener la solución u(x, t) tomando la transformada de Fourier de · (8 .172); esto es,

(8.173) Suponiendo que se puede intercambiar el orden de integración, se obtiene

u(x, t)

=

Li: {i: f(y)

e[Js(x-y)-c2s2t) ds} dy.

(8.174)

Para evaluar la integral interior se procede como sigue: Por la tabla de integrales, se tiene

roo e-w

loo

2

dw == }ir.

(8.175)

Ahora bien;

loo

ooe[Js(x-y)-.c2 8 2t]ds _= -")2 exp ~(X-Y +jcsyt -oo -oo 2c {t

f

>

Introduciendo una nueva variable de integración w, mediante x-y

.

. Ti\

.

~ +]CSyf,=]W,

2cyt

(X- -y)2] ds 2cyt

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

205

se tiene

(8.176) en razón de (8.175). Sustituyendo (8.176) en (8.174), se obtiene fmalmente u(x, t)

1_1oo f(y)

= __

e-<x-y;2/(4c2t)

2c ..¡iit _00

dy

(8.177)

que es exactamente el resultado (8.163).

Hallar la temperatura u(x, t) de una barra semi-infinita, que se extiende de O a 00• El extremo en x =O se mantiene a una temperatura de cero, y la distribución inicial de la temperatura es f (x) para O< x < oo. Se supone que la condición en el extremo infmito es tal que u(x, t)--- O, a medida que x-- 00•

PROBLEMA 8.13

hay varias maneras de resolver este problema, pero en este caso se utilizará el método de las imágenes. Como la temperatura en x =O se mantiene en cero, se extiende la función inicial dada, f(x), x >O, a una función impar, para- 0:0 < x < oo; de esta manera, el problema pasa a ser de una barra infinita. (Ver el problema 8.11.) Por (8.177),-se tiene 1u(x, t) = - · ("' f(y) e-<x-y) 2 /( 4 c 2 t) dy. [8.177] 2cv;f

Solución:

loo

.

Teniendo en cuenta el hecho de que,[(- y)=- [(y), se obtiene u(x, t)

= ._ _ 1_

2c,¡7Tt

100 f(y)

e-<x-y)2/(4c2t)

dy + __ 1_ (''" f(-y)

2c,¡7Ti ) 0

0

e-<x+y)2/(4c2t)

dy

.

(8.180) que es la solución deseada.

8.4

TEORIA DE POTENCIALES

206

Análisis de Fourier

z

T(r, cp, z) 1

X

Figura 8.5

Coordenadas cilíndricas.

z

Hallar la distribución de potencial, de la caja rectangular que se muestra en la figura 8.7, si el potencial es cero en los lados y en la base, y f(x, y) en la parte superior.

PROBLEMA 8.14

sea u (x, y, z ) la distribución de potencial en la caja rectangular que se muestra en la figura 8.7. Entonces, u(x,y, z) satisface la ecuación

So 1u ei ó n :

X

Figura 8.6

Coordenadas esféricas.

\j2u = llxx + Uyy + Uzz =O,

(8.185)

· u(O,y,z) = u(a,y, z) =u (x, O, z) = li(x, b, z) = u(x,y, O)= O,

(8.186)

u(x,y,c) = f(x,y).

(8.187)

y las condiciones de frontera

u= f(x, y)

El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.185) de la forma u(x,y,z)

y

=

X(x)Y(y)Z(z).

(8.188)

Reemplazando esta solución en la ecuación (8 .185), ésta se reduce a X"(x) Y (y)Z (z) +X (x) Y"(y) Z (z) +X (x) Y (y)Z"(z) = O.

(8.189)

.

Dividiendo por X(x) Y(y)Z(z) y separando las variables, se obtiene X

Figura 8.7

X'.'(x) Y"(y) Z"(z) - - - = - - + - - = k x2, X (x) Y (y) Z (z)

La caja rectangular del problema 8.14.

(8.190)

k!

donde es la constante de separación. En este caso, la separación deperide del hecho de que el primer miembro es independiente de y y z, y el segundo miembro es independiente de x. Por consiguiente, X"(x) +k; X (x)

=

O.

(8.191)

Luego de una segunda separación, se tiene _ Y"(y) = Z"(z) _ k2 = k2 Y (y) Z (z) x Y'

(8.192)

Lo cual conduce. a las siguientes ecuaciones: Y"(y) +k~ Y (y)

=

O,

(8.193)

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

Z"(z) -_k';, Z (z)

=

O,

.207

(8; 194)

dondek; =k;= k~. Las soluciones generales de (8.191), (8.193) y (8.194) son X (x) =A cos kxx + B sen kxx,

(8.195)

Y (y) =e cos kyy + D sen kyy,

(8.196)

Z (z) =E cosh kzz + F senh kzz.

(8.197)

Según las condiciónes de frontera, dadas por (8.186), se tiene

X (O)

=

X (a)

O,

=

Y(O) = Y(b) =O,

Z (O)= O.

Por consiguiente, X(O) =A= O, X(a)

=

B sen kxa =O;

de donde, - mrr k x-

o

a

'

m=

1' 2'

•.•.

(8.198)

Análogamente, Y (O)= e= o, Y (b) = D sen kyb =O;

de donde, k=nrr Y b '

o

n

=

12 ' '

.•..

(8.199)

Así mismo Z(O) =E= O.

Expresando kz en términos de m y n,

o (8.200)

se obtienen las soluciones X (x)

=

Xm (x)

Y(y)

=

Yn(Y)

=

=

mrrx

Bm sen - - , a nrry

Dn sen - - , 6

m =

1, 2, · · · ,

·n =

1, 2, · · ·,

Z(z) = Zmn(z) = F;,n senh kmnz.

Luego, expresando bmn = B~DnFmn• se sigue que las funciones

=

mrrx

nrry

b,mn sen - - sen - .a · b

senh kmnZ,

(8.201)

donde m= 1, 2, · · ·, n = 1, 2, ···,.con kmn deftnido por (8.200), son soluciones de la ecuación (8.185), que satisfacen las condiciones de frontera dadas por (8.186).

Análisis de Fourier

208

Para satisfacer la condición de frontera dada por (8,187), se supone la solución deseada en la forma 00

00

rn=l

n=l

00

=[

¿:

m=l

n=l

L L Umn(x,y,z)

u(x,y,z)=

00

bmn sen

mrrx

Sen nrry Senh k mnZ• b

a

(8.202)

Si se hace (8.203) la condición de frontera (8.187) toma la forma

f(x;y)

=

00

00

'\'

~

'\'

mrrx nrry ~ Cmn sen -a- sen -b-,

rn=l

n=l

O < x < a, O < y < b.

(8.204)

De esta manera, los coeficientes cmn son los coeficientes de la doble serie de Fourier en términos del seno, que representa la función f(x, y) sobre el rectángulo indicado. Por (8.76), estos coeficientes se determinan fácilmente como cmn

= -4

ah

ibla o

mrrx nrry f (x, y) sen ·- sen - dx dy. a b

·

o

(8.205)

Con estos valores de cmn' la notación de (8.203), solución (8.202), se convierte en

u(x,y,z)

~

Loo

rn=l

n=l

= ,~

mrrx

cmn

sen-- sen a

n rry senh kmnZ b Senh kmnC '

(8.206)

donde kmn está definido por (8.200). PROBLEMA 8.15 So 1u ció n:

Resolver el problema 8.14, si f(x,y)= U0 , siendo U0 una constante.

por (8.205), se tiene Cmn

=

_±_ ab

ibia la· 0

0

4U0

mrrx sen - dx a

= --

ah

16

Uo sen mrrx sen nrry dxdy a b

0

U~

lb 0

nrry sen - dy b

para m y nimpares

mnrr

=

{

para m y n pares

O

Por tanto, según (8.206), se obtiene u(x,y,z)

=

16~0 ~ rr

donde

kmn =

f-,

rr[(m 2 /a 2 ) + (n 2 /b 2 )]%.

mrrx

nrry senh kmnZ

1 sen-- sen--

~ ~ mn m=impar n=impar

a

b

senh kmnc'

(8.207)

209

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

PROBLEMA 8.16 Hallar la distribución de temperatura en estado estacionario, en una placa semicircular de radio a, en la que las dos caras están aisladas, la parte circular se mantiene a una temperatura constante U0 y su diámetro se conserva a una temperatura de cero grados (figura 8.8).

Solución:

en la sección 8.3, la ecuación de flujo de calor se expresó como

_!_2

\Fu-

C

au =o. at

[8.131]

En estado estacionario, la temperatura u es independiente del tiempo, por tanto, ou /ot= O, y u satisface la ecuación de Laplace; es decir, \/

2

u =O.

Figura 8.8

Como en este problema el flujo de calor es en dos dimensiones y las fronteras son cilíndricas, se utilizará ellaplaciano de u en dos dimensiones y en coordenadas cilíndricas. En consecuencia, por (8.183), se tiene 2

\ /2

2

u(r,c/J) = J u(r,c/J) + !:_ Ju(r,c/J) + _!_ J u(r,c/J) =O.· Jr 2 r r2 Jcp 2

ar

(8.208)

La temperatura u(r, cp ), considerada como función de r y cp, satisface (8.208) y las condiciones de.frontera (figura 8.8)

u (a, c/J)

=

U0

(8.209)

,

u(r, O)= O,

(8.210)

O.

(8.211)

u (r, rr)

=

1

El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.208) de la forma u(r,c/J)

=

(8.212)

R(r)iP(cp). ·.

Reemplazando (8.212) en (8.208), se obtiene R"(r)iP(cp)

+ _!_r

R'(r)iP(cp) .

+! R(r)iP"(c/J) =O, r2 . -

o r 2R"(r)iP(c/J) +rR'(r)iP(cp) + R(r)iP"(cp) =O.

(8.213)

Dividiendo (8.213) por R (r) (cp), y separando las variables, se obtiene · R"(r) R'(r) iP"(cp) r 2 - - +r - - = - - - = k2 R (r) R (r) iP (c/J) '

(8.214)

donde k 2 es la constante de separación. En este caso la separación resulta del hecho de que el primer miembro es independiente_ de cp y el segundo es independiente de r. El signo de la constante de separación, se escogió de tal manera que la función (cp) estuviera expresada en términos del seno y del coseno en vez de funciones exponenciales. La ecuación (8.124) conduce entonces a las dos ecuaciones siguientes: r 2 R" (r) + rR' (r) - k 2 R (r) 2

iP"(c/J) + k iP(cp)

=

O,

=o.

(8.215) (8.216)

La solución general de (8.216) es iP(cp) =A cos kcp + B sen kcp.

Para resolver la ecuación (8.215) se hace la transformación

(8.217)

La placasemicircular del problema 8 .16.

Análisis de Fourier

210

Entonces, R'(r)

= dR = dR ds '= _! dR, dr

ds dr

r ds

y (8.215) se reduce a

La solución general de esta ecuación es R

e eks

=

+D

e-ks.

Como e 5 =r, entonces R (r)

=

e rk

+ D r-k.

(8.218)

Según las condiciones de frontera (8.210) y (8.211), se tiene <1> (O)

=

<1> (rr)

O.

=

Por tanto, y

<1>(0) =A= O

(rr) = B sen krr =O.

Puesto que resulta una solución trivial, si B =O, se debe tener sen krr =O, por lo cual

o

krr=nrr

k= n,

n

_1, 2, · · · .

=

De donde se hallan las soluciones (cf>) = n(cf>)

Bn sen ncf>,

=

n

=

1, 2, · · ·.

(8.219)

En (8.218) se observa que cuando r~ O, el término ,-k ~oo, dado que k=n >O. Puesto que en r =O, R (O)= O, D debe ser igual a cero. De esta manera, se tiene R(r)

= Rn(r) =en rn, n = 1, 2, · · ·.

(8.220)

Entonces, se sigue que las funciones Un(r, e/>)= Rn(r)n(cf>) = bn rn sen n cf>,

n = 1, 2, ... '

(8.221)

donde bn =BnCn, satisfacen la ecuación (8.208), así como las condiciones de frontera (8.210) y (8.211). Para satisfacer la condición de frontera (8.209), se supone la solución deseada en la forma ,oo

u(r,c¡'>)

=

00

L un(r,cf>) = L

bn rn sen ncf>.

(8.222)

n=l

Por (8.209), se tiene 00

(8.223)'

De esta manera, los términos bnan son los coeficientes de Fourier en senos, de la función U0 , y

217T uo sen ncf> dcf>

bnan = -

o

77

4 =

{

Uo n 1T

para n

=

1, 3, · · ·

O

para n

=

2, 4, · · · .

211

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

De donde, 4 b n -- rrna", Uo

n = 1, 3, · · · .

Con estos valores de bn, la solución (8.222) se convierte en

,?: -;1 (r)·n ~ sen ncp. 00

4U u(r, cp) = - :

(8.224)

n=unpar

Hallarla solución U(x,y) de la ecuación de Laplace en el senúplano y> O, si u(x, O)= f(x) para-oo<x < oé> (figura 8.9). PROBLEMA 8.17

So 1u ci ón:

y

t

a la ecuación de La place

1 1

1

Uxx(x,y) + Uyy(x,y) =O,

1 e 1

se aplica la transformada de Fourier con respecto a la variable x, en partic~lar, U(s,y)

I:

= S:[u(x,y)] =

1 1

o

u(x,y) e-Jsx dx.

(8.225) La solución general de (8.225) es =

A(s) e 8 Y + B(s) e-sy.

(8.226)

Asínúsmo, se supondrá que u(x,y) está acotada cuando y---+ +oo. Por tanto, para s>O, se hace A (s)=O; y U(s,y)=B(s)e-sy

para s>O.

(8.227)

Puesto que U(s, O)= B(s), se puede expresar (8.227) como para s>O.

U(s,y)=U(s,O)e-sy

(8.228)

Análogamente, paras< O, se hace B(s) =O, en (8.226), y se expresa U(s,y)=A(s)esy para s
(8.229)

Nuevamente, como U(s; O)= A (s), se puede expresar (8.229) como

U (s,y) =U (s, O) esy para s :
= j= [u (x, O)] =

U(s,y)

=

Por (8.231), se tiene

IL:

r:

.. X

u(x, O)=f(x)

Suponiendo que u(x,y) y ux(x,y) se anulen cuando x---+ ± oo, se obtiene la ecuación para U(s,y) como [ver (8.121)]

U(s,y)

1

1

f (x'.) e-Jsx' dx'.

f(x') e-Jsx'

dx'] e-lsly.

(8.230)

(8.231)

(8.232)

. (8.233)

Figúra 8.9

El semiplano del problema

8.17.

212

· Análisis de Fourier

I..a solución deseada u(x,y)es la transfonnada inversa de Fourier de (8.233); es decir, 1

u(x,y) =j=- [U(s,y)]

=__!__loo U(s,y) efsx ds 277

-oo

i:

Intercambiando el orden de la integración, se obtiene u(x,y) = 2177

f(x')

{i:

e[Js(x-x')-\s\Y] ds} dx'.

(8.235)

Ahora,

roo e [Js(x-x'>-\s\y]

j_

d

s

ro

j_

=

-00

e

[Js(x-x')+sy] d

s +

loo e [Js(x-x')-sy] d · s o

-00

+

= efs( X-x')+ S y 10

j (x - x') +y

_oo

00

ef S (x-x' )-S Y 1

j(x - x')- Y o

1

1

j(x- x') +y

j (x- x') -y

2y (x - x')2 + y2 .

(8.236)

Sustituyendo (8.236) en (8.235), se obtiene finalmente

oo 77 L

f (x') dx'

u(x,y)=~

(x - x')2 + y2

-oo

8.5

.y>O.

(8.237)

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

PROBLEMA 8.18 Resolver la ecuación (8.1 ), utilizando las condiciones de frontera dadas por (8.2) y con las condiciones iniciales f(x)

u (x, O)

=

, {k

f (x)

para O<x
X

a .

=

.

y

_k_ (l- x) l-a

e

=0.

au(x,t)l at

para a<x
t=o

Ver la figura 8.10. x

2

Respuesta: u(x, t) Figura 8.1 O La condición inicial de la cuerda elástica del problema 8.18.

=

PROBLEMA 8.19

2 kl 772a(l-a)

f: l n=t

n2

sen (n 77 a) sen(n 77 x)'cos(n 77 ct). l l l

Si la energía instantánea de una cuerda vibrante es

W

KE =

1

rl rau(x, t)rdx,

2 Pl L at ] o

hallar la energía cinética de la cuerda vibraiJ.te del problema 8.18. Respuesta:

.l p 2

f:

n=t

n

2772 2

c

2!

A~ sen 2 (.n 77 ct), l .

2

donde An

=

2kl l.. sen (n 77 a) . 772a(l-a) n2 ~ l

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

PROBLEMA 8.20

213

Probar que la función u(x, t)

f(x- ct) + g(x + ct)

=

es una solución de la ecuación de onda en una dimensión, dada por (8.1 ), s\empre que f y g sean dos funciones diferenciables de una sola variable. PROBLEMA 8.21 La temperatura de una barra aislada de longitud 1, satisface las condiciones de frontera u(O, t) =O, u(l, t) = 1, y la condición inicial u (x, O)= sen (1Tx/(). Hallar (a) la distribución de temperatura después de un tiempo t, y (b) la temperatura en estado estacionario, es decir, la temperatura en la barra a medida que t~oo.

2 L ~ __ (-1)" e-A n t sen ( n11x ) , An +2

=X -

Respuesta: (a) u(x, t)

l

(b) u(x, PROBLEMA 8.22

con

17

n.= 1

n

. l

t)l t=oo ~ ~l Resolver

au au ax (0, t). =10, -ax (77, t) =o,

-

y

L (4n21-

u(x, O)= sen x.

00

Respuesta:

= cn11,

l

l_ 1

u(x, t)=

17 n=1

17

PROBLEMA 8.23

e- 4 "

2

2

e

1

cos 2nx.

1)

Resolver

con las siguientes condiciones de frontera e inicial: u(O,y) = u(a,y) = u(x, b) =O, y u (x, O)= f(x). Respuesta: u (x, y)=

f: n=

1

bn serih [n 17 (b- y)/ a] sen (nrrx), donde senh(n11b/a) a bn

=

:la ~

PROBLEMA 8.24

f(x)sen (n;x) dx.

o

Resolver 2

a ax

2

U

+

2

a ay

U

=0

para 0 <

X

< a,

0
oo ,

2

con u(x,y)~o, cuando y~oo, u(O,y)=O u(a,y)=O y u(x,O)=x(a-x).

Loo (1 - cos nrr). e- n7Ty. /a sen ( nfr x ) . ·

Respuesta: u (x, y) .

= -4a 2

PROBLEMA 8.25

Resolver

rr 3

"=1

n3

a2u+_!au+~ a2u ar 2 . r ar r 2 ac~/

.

=0 parar<1,

con u(r,O)= u(r,1r)=O y u(l,Q rel="nofollow">)=Q>(1T-Q>).

a

.

0
214

Análisis de Fourier

L (2n-1 00

Respuesta: u(r, cp) =-ª. ,

n=l

7r

PROBLEMA 8.26

2

1 "-

sen(2n-1)cp.

1)3

Resolver

2

a u +.! au + ar 2 r ar con

r

1 i'!_2

o< cp
=o

parar< 1,

y

u(1, cf;) = cp.

acp

r2

u(r, O)= O, a u (r, 1 rr) =O, acf; 2

L (-1)l)-t (2n-1

-

00

Respuesta: u(r, cp) =

.i

n=I

7r

2

r "-

2

1

sen (2n- 1)cf;.

1)

,

Hallar la distribución de temperatura u(x, t)de una barra infinita, si la distribución de temperatura inicial es

PROBLEMA 8.27

O para x
=

{

·

T para x >O,

donde Tes una constante. (Cf., problema 8.11.) Respuesta: u (x, t) = I_ [1 + 2

erf(~)],

donde erf y=

2cVt

JY e- ( 0

2

d~.

-

Utilizando la transformada de Fourier, resolver

PROBLEMA 8.28

2

au

- il!!_ = f(x, t)

ax 2 ~on

2_ Vrr

para

-oo <X< oo,

t >O,

at

la condición inicial u(x, O)= O para t >O.

Respuesta: u(x, t)=

oo Joo -(x-(//4(1-'T) \2vrr

J-oo -oo H (.\)

e

={

~ t-e

H(t- e) f(~, e)d~de, donde

1 para .\ > O O para .\
Utilizando la transformada de Fourier, en términos del seno, resolver

PROBLEMA 8.29

a2 u - au = o,

ax 2

at

parax> .o'"'t.> o,

con u(x, O)= O, ¡>ara x >O, y u(O, t) = g(t), para T> O. Respuesta: u (x, t)

=

~ 2 Vrr

f 0

1

g (e) (t- e) 3 1 2

e -x

2

'

/ [ 4 (l-

r)]

de.

APLICACIONES MISCELANEAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER* 9.1

9

CAPITULO

LATRANSFORMADA DE FOURIER EN I:NFRACCION V FORMACION DE IMAGENES

Figura 9.1

*Las secciones de este capitulo no pretenden ser una exposición completa y suficiente de los temas respectivos.

215

La pantalla absorbente del problema 9.1.

Análisis de Fourier

216

PROBLEMA 9.2 y

t

x

1

l l

1

l l

Considérese la difracción de una rendija que se extiende desde

=--k a, hasta x =t a, como se muestra en la figura 9.2(a). Supóngase que la amplitud

de la luz transmitida por la rendija es A veces la magnitud de la onda incidente, y que la pantalla es completamente opaca en las otras regiones. Hallar la distrib~ción de la intensidad de la luz, difractada en la dirección 8. Solución:

según las suposiciones del problema, la característica de transmisión f(x)

~!!----~x es la que se muestra en la figura 9 .2(b) y está dada por 2 f(x) = Apa(x),

_e_

2

(9.6)

donde pix) se define como

{ '

f(x)

, Pa(x)

=

.

1 2

lxl <-a

O,

1 2

lxl >-a. '

Entonces, por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

------_¿--~----------~x o. a a 2 2

F(k)

=

J""

sen f(x) e-Jkx dx

=

Aa

(~a)

-oo

(b) Figura 9.2

(a) La rendija del problema 9.2. (bl La característica de transmisión de una sola rendija.

(T)

e) ("a s:n e) ··

sen ( rra =Aa

~n

(9.7)

Como la distribución de intensidad de la luz difractada J, es proporcional al cuadrado de la amplitud del patrón de difracción, se tiene

("a e) ("a ~n eJ

sen2 1 = (Aa) 2

sen ,\

,

(9.8)

donde a es el ancho de la rendija y A la longitud de onda. Hallar la distribución de intensidad producida por una rejilla de difracción, que consta de N rendijas de ancho a y separadas por una longitud d [figura 9.3(a)]. PROBLEMA 9.3

So 1u ció n: eri el caso de una sola rendija, como se muestra en la figura 9 .2(b), la característica de transmisión f(x) corresponde a un pulso de ancho a. En el caso de una rejilla que consta de N rendijas de ancho a y espaciadas en una longitud d, la característica de transmisión f(x) corresponde a un tren finito de pulsos como se muestra en la figura 9.3(b).

217

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier y

t --~X

f (x)

(a)

t

Al

DDrDRD -2d

o

-d

2d

d

A-------

----~------~--~~--------~x

.. X

o

(b) Figura 9.3

(e)

(a) La rejilla de difracción del problema 9.3. (b) La característica de transmisión de N rendijas. (e) Un pulso individual que ocurre en x =d.

Para hallar la transformada de Fourier de f(x) se procede como sigue: Por la ecuación (9.7) se tiene la transformada de Fourier, F 0 (k), de l!tJ. pulso de magnitud A y ancho a, localizado en el origen; es decir, F (k)

=

0

(T) (k;)

217

Aa sen

k = - sen 1\

e.

1

(9.9)

Entonces la transformada de Fourier de un pulso que ocurre en x =d, como se muestra en la figura 9.3(c), se encuentra por medio del teorema del desplazamiento, dado por 4.73,como (9.10) Considérese ahora, un tren de N pulsos que ocurren en x

=

-nd, -(n - 1)d, · · · , -d, O, d, · • • , (n - 1)d, nd,

donde N= 2n + l. Por superposición, se tiene F(k) = F 0 (k) (1 + efkd + e-fkd + ••. + elnkd + e-Jnkd) = F 0 (k) L1+ 2(cos kd + cos 2kd + • • • + cosnkd)] =

F 0 (k) [-1 + 2(1 + cos kd + cos 2kd + · • · + cos nkd)].

(9.11)

Las series entre paréntesis angulares se pueden sumar, tomando la parte real de la serie exponencial correspondiente, y operando de la siguiente manera: -1 + 2(1 + cos kd + cos 2kd + · · · + cos nkd) =

-1 + 2Re(1 + elkd +

= -1 + 2Re

r[ 1 -

= -1 + 2Re [

=

d

-1 + 2Re [

ef2kd

+ .•• + efnkd)

eJ(n+l)kd] efkd

1_

(1 _ ef(n+l)kd) (1 _ e-fkd)] (1 _ efkd) ( 1 ~ e-fkd) .

1_

e-fkd

+ efnkd

_ ef(n+l)kd·].

2(1- cos kd)

218

Análisis de Fourier

De donde, considerando las partes reales, se obtiene - 1 + 2 (1 + cos kd + cos kd + · · · + cos nkd) = _

1

+ 1 - cos kd + cos nkd - cos (n +_ Í) kd 1- cos kd

cos nkd- cos (n + 1) kd 1- cos kd

1 1 2 sen- (2n + 1) kd sen - kd 2 2 2 sen 2 _!_ kd

2

1 2

sen- Nkd

(9.12)

sen_!_ kd 2

De donde

sen(~ Nkd) sen(~kd).

(9.13)

La distribución de la intensidad J, producida por una rejilla de difracción que consta de N rendijas de ancho a, espaciadas por una longitud d, está dada por sen 2

l=IF(k)I =(Aa)

donde k

217

= -

,\

sen

2

2

(!2 ka) sen

(~ka)

(~ Nkd)

2

2

. sen

2

(~ kd)'

(9.14)

e.

. Demostrar que la distribución de la intensidad de la luz no se afecta si la rejilla de difracción es desplazada.

PROBLEMA 9.4

supóngase que la rejilla sea desplazada en la dirección x en una cantidad X 0 ; entonces f(x- x 0 ) representa el cambio de la caracte_rística de transmisión. Entonces, de acuerdo con el teorema del desplazamiento, dado en (4.73), el patrón de difracción se convierte en F(k) e -Jkxo (9.15) So 1u ció n:

La distribución de la intensidad está dada por JF(k)e-jkxo 12

=

IF(k)l2

(9.16)

puesto que 1 e -fkxo 1 = l. La ecuación (9.16) demuestra que la distribución de la intensidad no se afecta si la rejilla de difracción es desplazada.

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

219

9.1 a Transformada bidimensional de Fourier

Utilizando la técnica de la transformada de Fourier en una dimensión, deducir la fórmula de inversión (9.20).

PROBLEMA 9.5

Solución: se denota como G(u,y), la transformada de Fourier de la función f(x,y), donde la transformada se toma con respecto a x; es decir,

G(u,y)

=

1:

f(x,y) e-Jux dx.

(9.21)

Entonces, por la fórmula de inversión unidimensional (4.16), se tiene

1

00

f(x;y)

=1 -

277

G(u,y) elux du.

(9.22)

-00

Ahora se toma la transformada de Fourier F (u, v), de G (u, y) con respecto a y, considerando a x como un parámetro; es decir, F(u, v)

=loo G(u, y)

e-l vi dy.

(9.23)

-00

La fórmula de inversión (4.16) da G(u, y)

=1 -

277_

·Loo F(u, v)

elvy dv.

(9.24)

-00

Reemplazando (9.24) en (9.22), se obtiene 00

f(x y ) = -1- · ' (2 77) 2

1 loo F(u v) -oo

-oo

'

eJ(ux+vy) •

du dv. .

220

Análisis de Fourier

Combinando (9.23) y (9.21), se obtiene

=1: 1:

. ,":(u,v)

'\,

r

f(x,y)

e-f(ux+vy)

dx dy.

PROBLEMA 9.6 Demostrar que la transformada de Fourier, de la imagen de un objeto , incoherente, es igual al producto de la transformada de Fourier del objeto, y la transformada de Fourier de la imagen de una fuente puntual.

supóngase que las transformadas de Fourier de O(x,y), I(x,y), y E(x,y), son las funciones Q (U, V), 'J1 (U, V) y r (U, V), respectivamente; es decir,

Solución:

1: 1: 1: 1:

íl(u, v) =

'P (u, v)

=

f'" roo

f' (u, v) =

O(x,y)

e-f(ux+vy)

dx dy,

(9.25)

1 (x, y)

e-f(ux+vy)

dx dy,

(9.26)

E (x, y)

e-f

dx.dy.

(9.27)

-00 "-00

Entonces, mediante la fórmula de inversión de Fourier (9.20), se tiene

1 O(x,y) = (2rr)2

Loo roo Q(u, v) -oo j_oo

/(x y)=-·-· i ' (2rrY

v) 1 Loo 'P(u · '

eJ(ux+vy)

du dv,

(9.28)

ef(ux+vy)

du dv

(9.29)

eJ(ux+vy)

du dv.

(9.30)

00

-00

'

-00

00

E(x,y) = ( 11f) 2 2

1 Loo f'(u, v) -oo

-oo

Por (9 JO), se tiene E( X

-

X

, y - y ') 1

1

= --

(2 TT ) 2

·

loo loo f'(

U1 V

) e 1 [u<x-x')+v(y-y')] dU d V,

(9.31)

.

-00

-00

.

Reemplazando (9.31) en (9.17), se obtiene 1

1 (x, y) = - (2 rr)2

Joo 'loo O'(x', y')· E (x- x', y -y') dx'dy' -oo -oo

(9.32)

en donde E (x- x', y- y'), está dado por (9.31 ). Intercambiando el orden de integración en (9.32), resulta /(x,y)=

(;2~) 2 1: X

1: {r(u,v)eHux+~y)

[i: 1:

O(x',y')

e-i(ux'+vy')

dx'dy']} du dv.

(9.33)

Mediante (9.25), el resultado (9.33) se convierte en /(x.Y)=( 11T)' 2

loo -oo loo _oo Ü(u,v)r(u,v)eJ(ux+vy)cJudv.

(9.34)

Comparando (9.34) con (9.29), se concluye que 'P(u, v) = íl(u, v)f'(u, v).

(9,35)

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

9.1 b Transformada tridimensional de Fourier

9.2

LA TRANSFORMADA DE FOURIÉR EN TEORIA DE PROBABILIDADES

9.2a Función de distribución de probabilidad y función de densidad de probabilidad

221

222

Análisis de Fourier

PROBLEMA 9.7

Demostrar que

> O,

(9.44)

1~ p(x) dx,

(9.45)

p (x)

P(x)

=

i:

p(x) dx

Pr(x 1 <X< x2 ) =

=

ix

(9.46)

1, 2

(9.47)

p (x) dx.

xl

Solución: ,~por la definición (9.39) y por el hecho de que P(x) es una fuqción monótona creciente para todo valor de x, se tiene p(x) >O.

Integrando (9.39) entre -oo y x, se obtiene

x

L

-oo p (x) dx

ix --;_¡;-

= -oo

dP(x)

dx = P (x)- P (-oo).

Por (9.40a), se tiene que P(- 00) =O; de esta manera,

1~ p(x) dx =P(x).

1:

Entonces, por (9.40b), se tiene p (x) dx = P {oo) -P (-oo) = l.

Por (9.45), se obtiene P(x2 ) - P(x 1 )

1

x2

=

p(x) dx-

_oo

Jxl. -oo

{x2

p(x) dx = )_

p(x) dx.

(9.48)

x1

Por (9.48) y (9.43), se obtiene

PROBLEMA 9.8

Supóngase que la variable al azar x, asume el valor x 0 ; entonces,

P(x) =O para X<

X0

Hallar la densidad de probabilidad p(x).

,

P(x) = 1 para X>

X0

•

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Solución:

223

de acuerdo con la suposición,P(x) se puede expresar como P (x)

=

u (x -

X0

(9.49)

),

un escalón unitario. En este caso, la densidad de probabilidad p(x) no existe en el sentido ordinario; Sin embargo, en el sentido de una función generalizada (ver sección 2.4), se puede obtener

(9.50) mediante (2.90). 9.2b Esperanza y momentos

PROBLEMA 9.9

Demostrar que

(9.58)

Varianza de X= (X 2)-- (X) 2 • So 1u ció n:

por (9 .56) y (9 .52), se tiene

Varianza de X =E [(X- X) 2] =

=

=

1:

1: 1:

2

(x- X) p(x) dx

(x

2

2

2

-

2xX + X )p(x) dx

x p(x) dx-

2xJ:

xp(x) dx + (X)l

1:

p(x) dx.

Análisis de Fourier

224

Por tanto, var (X)= (X 2 )

-

2 XX + (X) 2 = (X 2 )

_:

(X) 2 •

(9.59)

Las ecuaciones (9.53), (9.54) y (9.46) se utilizan en la deducción de (9.59).

PROBLEMA 9.10 Demostrar que si la densidad de probabilidad p(x) es una función par, es decir, p(-x)= p(x), entonces el valor medio y todos los momentos impares son cero.

Solución:

por (9.55), se tiene mn =momento enésimo de X =E [X"] =

1:

x" p(x) dx.

Sin es impar, entonces el integrando xnp(x) es una función impar de x. Por tanto, según (2.14), se tiene

mn =

l""

x"p(x) dx =O paran = 1, 3, S, • ·• ,

(9.60)

-00

9.2c Función caracteñstica

Solución: según la fórmula (9.62), 1/)(w) es la transformada de Fourier de p(x) con un cambio en el signo del exponente; entonces p(x) se puede hallar a partir de la transformada inversa de Fourier de 1/J(w ), nuevamente con un cambio en el signo del exponente; es decir, · 1 {"" p (x)

1

= )=~ [ (cu)] = -

cp (cu)

e-fwx dcu.

217 . -"" Otra forma de solución: reemplazando (9.62) en el segundo miembro de (9.63), se obtiene 2117

1:

<j>(cu) e-fwx dcu = 2117

1: [1: e-fwx

efwA p(A) d,\] dcu.

(9.64)

/

225

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Cambiando el orden de integración, se tiene . _1_

i""

=i""

cp(w) e-fwx dw

2TT _00

.

p(,\)

-""

,

[_!_ i"" efw(A-x) dw] d,\, 2TT ·

(9.65)

-oo

Mediante la identidad (5.6) de la función 6, se tiene.

1 2;

f""

efw(A-x) dw = o(,\ - x).

(9.66)

-00

Por tanto, en razón de (2.68),'se·obtiene

-1

2TT

Solución:

1"" 1>

(w) e-fúJx dw

=

'

-00

f""

p (,\)o(,\- x) d,\

-00

= p (x).

'

puesto que e

¡wx

jwx

.

= 1 + - - + .. ·+

1

(jwx)"

n!

(9.68)

+"'•

reemplazando-(9.68) en (9.62), se obtiene cf>(w) ,;, E [efwX]

=i: =

J"" -""

p (x) e.fwx dx •

p(x) [1 + j_(JJX + · · · + (jwx)" + · · ·] dx. 1 n!

Suponiendo que la integración término por término es válida, se obtiene

i

oo

{""

cp(w)= -""p(x)dx+j(J)j_

=

.Por tanto,

xp(x)dx+ "'+

( . )" i.oo Jn~

-"" x"p(x)dx+·"

00

.

(jw)"

1 +¡wm, + ·· · + - . - mn + · · ·. n!

(9.69)

226

Análisis de Fourier

PROBLEMA 9.14

)

Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes,

entonces p(x,y) =p(x)p(y). Solución:

(9.73)

como las variables X y Y son independientes, según (9.72), se tiene P(x, y)= P(x) P(y).

Entonces, por (9.71); se tiene

Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes, entonces no son correlacionadas.

PROBLEMA 9.15

Solución:

por (9.73) y (9.74), se tiene E [XY] =

=

=

1: 1: 1: 1:

xyp(x, y) dx dy

xyp(x) p (y) dx dy

1: 1:

~E

xp(x) dx

[X] E[Y].

yp(y) dy

(9.78)

227

Aplicaciones miscelaneas de la transformada de Fourier

De esta manera, según (9. 7 5) se concluye que las dos variables al azar X y Y no están correlacionadas.

Demostrar que la funcion característica conJunta, de dos variables al azar X y Y, es la doble transformada de Fourier de p(x,y) definida por (9.19), con el signo del exponente cambiado.

PROBLEMA 9.16

Solución:

por (9.74), se puede expresar (9.77) como ,.~. ( ) _E [ J(w 1 X+w 2 Y)) 'f'

wl, w2 -

e

-ioo . ioo p (x,y)e -00

J{W1x+W2y)

d x dy ,

(9.80)

-00

que es la transformada bidi.inensional de F ourier de p ( x, y), definida por (9 .19), con el signo del exponente cambiado. PROBLEMA 9.17 Demostrar que la densidad de probabilidad conjunta p(x, y) se puede expresar en términos de cf>(w 1 , w 2 ), mediante

(9.81) por (~O), se sabe que cf>(w 1 , w 2 ) es la transformada bidimensional de Fourier de p(x,y); entonces, aplicando la transformada inversa de Fourier (9.20), con un signo cambiado, se obtiene (9.81). Solución:

PROBLEMA 9.18

Demostrar que si las variables al azar X y Y son independientes,

entonces·

cp (w 1 , w2 ) Solución:

e=

cp (w 1) cp (w2 ).

(9.82)

si X y Y son independientes, entonces por (9.79), se tiene E[eJ<wtX+w2Y)] "'E[e¡wlx e¡w2Y] =E[e¡wlx] E[e¡w2Y].

(9.83)

Por tanto,

PROBLEMA 9.19 Demostrar que sicf>(w 1 , w 2 ) = cf>(w¡)cf>(w 2 ), entonces las variables X y Y son independientes. Solución:

por(9.81),setiene

1

. p (x, y) = - - ·-

(277)2 -- -1-

(277 )2 = -

1

2rr =

loo ioo cp (w .w. 1,

-00

-00

2)

e -}(wlx+w2y) dw 1 dw 2

:

...

Loo loo ,./. (wt.) ~ ( )· e -J(wl '~-'

-oo

Loo cp (w· -oo

'f' W2

x+w2y)

d W1 d W2

-oo

1)

-~w0 e

dw 1 - 1 2rr

Loo cp (w )e ~~Ydw 2

-oo

2

.

p(x)p(y),

en razón de (9.63). Por tanto, según (9.73), se concluye que X y Y son independientes;

Análisis de Fourier

228

PROBLEMA 9.20 Demostrar que la densidad de probabilidad, de la suma de dos variables al azar e independientes, es igual a la convolución de sus respectivas densidades. Solución:

supóngase que Z =X+ Y,

(9.84)

donde X y Y son variables al azar e independientes.

Sea cf>x(w) =E [efwX], cf>y(w) =E [efwY], cf>z(w)

=

E[efwZ].

Entonces cf>z(w) =E [efwZ] =E [ei(wX+wY>].

Dado que X y Y son independientes, por (9.83), se tiene c/>z(w) =E [efwX] E[efwY] = cf>x(w) c/>y(w).

(9.85)

Aplicando el teorema de convolución (4~122), se obtiene Pz(z)

=

~- [cf>z(w)]

=

~- [cf>x(w) c/>y(w)]

= =

9.3

1

1

L:

Px(x)

* Py(Y)

p~(x) p¡..z- x) dx.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL ANALISIS DE FOURIER

(9.86)

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

PROBLEMA 9.21

229

Demostrar que w de (9.91), es igual a cero

puesto que IF(w)l 2 es par con respecto a w, el integrando de (9.91) es una función impar de w. Por tanto, según (2.14), se obtiene

Solución:

1:

es decir,

w=O.

wl F(w) ¡• dw

=O,

Con w=O, la definición (9.92) se puede expresar como

(9.93) f(t)

A

Hallar el tiempo de dispersión !J.t, de la señal que se muestra en la figura 9.4, la cual decae exponencialmente.

PROBLEMA 9.22

según (9 .88), el centro de gravedad de esta onda, T, se encuentra cómo

So 1u ció n:

o Figura 9.4

(9.94)

Entonces, por (9.89),dado que (M)•

=

_1_1.oo (t- T A T · 2 2

-- o 2

11!11 2 = A 2 T/2, se tiene

2

.

A• )

e-21/T

2

dt = ~ ("" ·(t:... T\ T 2) o

Jn

=

~. f

00

T )0

=

(t

2

-

4

4

4

dt

Tt + l_ T 2 ) e-2I!T dt,

~ ( Tl _ .Tl + T

e-21/T

.

. .

T3) .8 (9.9SY

Por tanto

1 2

M=-T.

(9.96)

Señal que decae e11 forma exponencial.

Análisis de Fourier

230

Demostrar que el ancho de banda espectral ~w, de una señal f(t) definida por (9.93), será finito sólo si la siguiente integral es finita; esto es,

PROBLEMA 9.23

r>O [f'(t)P dt = finita '

(9.97)

-00

donde f'(t) = df(t)/dt.

Solución:

puesto que

= w2 F(w)F*(w) = jwF(w)[-jwF*(w)]

6liF(wW

= jwF (w) [jwF =

(w)]*

liwF(wW, ·

se tiene

(9.98)

.Se recuerda que si j= [f (t)]

y si f(t)

~O· cuando

=

F (w),

t ~ ± oo, entonces por (4.91), se tiene j= [f'(t)]

jw F(w).

=

Por consiguiente, según el teorema de Parseval (4.136), se tiene

1:

2

2

w iF(w)i dw=

L:

2

liwF(w)i dw =2rr

1:

W(t)Fdt.

(9.99)

Por tanto, sii: [f'(t)P dt = fmita, entonces

1:

2

2

w 1 F(w) 1 dw

=finita

(9.100)

y en consecuencia, según (9.93), ~w será fmita.

PROBLEMA 9.24

Hallar el ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura

9.5(a). (t)

Figura 9.5

O

t0

(a)

2TT d

0 (b)

2TT d

(a) El pulso rectangular del problema 9.24. (b) El ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura 9.5 (a).

231

. Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Solución:

según (4.45) y (4.73), la transformada de Fourier de f(t) está dada por

F (w) =

e-jwto

(1)

Ad sen

(9.102)

(~d) Puesto que 1 e -jwt o

l

=

1, entonces sen 1

F(w)

1: \

Ad

1 =

(T)

(9.103)

(~d)

L:

Según el teorema de Parseval, dado por 4.136, se tiene 11

F

11

2

=

2

F(w)

1

dw = 277

2

(9.104)

2

f (t) dt = 2rr A d.

Por (9.93), se obtiene (Llw) 2

= -1-

=

=

2

F

11

2 d

17

11

J""

w 2 1 F(co)

-""

1:

sen2

__!_ ("" [1 7Td

1

2

dw

/

(~d) dw (9.105)

cos (wd)] dw

j_oo

el~ual es infinito, puesto que lim w 2 IF(w) 1=1= O. w~o

PROBLEMA 9.25 (a) Probar la desigualdad de Schwartz. (b) Probar el principio de incertidumbre en el análisis espectral.

Solución:

(a) seá x una variable real cualquiera y

m(x) = f"" [f (t) + xg (t))2 dt foo f (t) dt + 2 xJoo f (t) g (t) dt + x 2

=

..:..oo

-00

-00

1 00

2

-fXI

g 2(t) dt •

232

Sea

Análisis de Fourier

1:

1:

2

g (t) dt =a, _ 21: f(t) g(t) dt = b,

2

f (t) dt

= c.

(9.108)

Puesto que m(x) es la integral de un valor al cuadrado, entonces la integral es siempre positiva y real; de donde, m (x) = ax 2 + bx +e > O para valores reales de x. (9.109) De (9.109) se sigue que su descriminan.te b2 b2

-

4tJc debe ser negativo; es decir,

4ac :S. O o

-

La desigualdad de Schwartz, (9.107), se prueba reemplazando a, by e dados por (9.108). (b) Segú11 el teorema de Parseval, dado por t4.136), se tiene

(9.110)

esto es, (9.111)

Por (9 .99), se tiene [9.99]

Multiplicando (9.89) y (9.93), y utilizando (9.110) y (9.99) se obtiene 1

(ó. t ó.w) 2 = 11

f

2

11

11

F

2

Joo (t- tY f2(t) dt loo w

11

-oo

2

1F

(w)

1

2

dw

-oo

(9.112)

Escogiendo una referencia de tiempo adecuada, se puede hacer T =O, sin pérdida de generalidad; por tanto, con esta escogencia, se tiene (9.113)

1: 1:

Utilizando la desigualdad de Schwartz (9.107), se obtiene

ef

1:

2

(t) dt

[f '(t))2 dt:::

11:

2

ti (t)f '(t) dt

¡

•

(9.114)

Integrando por partes, se obtiene tf(t)f'(t) dt =

=

¡~~: tf(t)df(t)_ __!__

2

t f2(t)

loo - 2 Joo f2(t) dt. . __!__

-00

-00

2

Por tanto, si lim t f (t) =O, entonces t-->oo

1:

t f(t)f'(t) dt ==-

~

i:

__!__ 11

2

f

f2(t) dt 2

11 •

(9.115)

233

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Reemplazando este resultado en (9.114) y utilizando la desigualdad resultante en (9.113), se obtiene

1

(9.116)

=-.

4

Por tanto, ¿\t ~Ú)

1

2: -. 2

Considerando la función f(t) que se muestra en la figura 9.6(a), ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25. PROBLEMA 9.26

So l u e i ó n :

f(t)

la función y su derivada son f (t)

at

=

1

e-at u

a > O,

(t),

f'(t) =a (1 - at)

e-at u

/pendiente = a 1

(9.117) 1

--+---

(9.118) -e

(t).

1

1 1

Por (9.88), el centro de gravedad t de esta forma de onda es

loo t' ioo t2

1

l e-2at

dt

e-2at

dt

o

3 1 2a 4a3 1

(a)

\F w)\ 3 2a

(9.119)

1/a

(4a 3 ) Entonces por (9.89), se tiene

(M)2

=

_1_1oo (t - ~;2

_1_

a2 t2

e-2at

dt

-a

2a

0

Figura 9.6

3

1

16a'

(9.120)

4a

De donde,

v3

M=-. 2a

(9.121) -

El ancho de banda espectral Aw de f(t) se puede encontrar así: por (9.93), se tiene

(~wY =

-

1

Joo

-2

IIFII

W

2

1F (w) 12 dw.

-00

Por (9,108) y (9.99), la ecuación (9.93) se puede expresar como

1

(tlw) 2 =

2 7T 1

= 11

f

11

-2 11

f

2

2 7T

11

loo [r(t))2 dt -00

Joo [f'(t))2 di. -00

a

(b)

4a

1

o

(9.122)

(a) La función j(t) del problema 9.26. (b) El espectro de la función j(t) de la figura 9.6(a)~ '

234

Análisis de Fourier

Por tanto, según (9.118), se tiené (llw?

11 Jn --o 4a

roo a 2(1 - at)

= -

e- 2 al

2

·

dt

1- ~ 1 4 -4a

= -

=

a2

(9.123) '

L'lw =a.

(9.124)

Y por consiguiente,

M L'lw = jl a = y"3 > _!:.. 2a

PROBLEMA 9.27

2

(9.125)

2

Considerando la función gaussiana [figura 9.7(a)] f(t) = e- 812 ,

a> O,

(9.126)

ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25. F(úJ) f(t)

o (b)

(a) Figura 9.7

(a) La función gaussiana. (b) El espectro de la función de la figura 9.7 (a).

Solución: sea F(w)

=

S:[f(t)].

Entonces,

Esta clase de integral se evalúa "completando el cuadrado". Para hacer esto, multiplicar 2 2 el integrando por e-w ¡ 48 ·e +w ; 4 a. Entonces, F(w) =

L:

e-W2/(4a) e-a[t+JW/(2a)]2

2

=e -w !(4a)

1:

dt 2

e-~v'B [t+Jw/(2a)]} dt.

(9.127)

Introduciendo una nueva.variable de integración y, mediante

- [ t+ (2a) iw ] =y, ya entonces

ya dt=dy, y se tiene

l oo

e-{/B[t+JW/(2a)JY

dt = ~

Y

-oo

ioo e-y2 dy = -oo

en razón de (8.175); es decir oo

J -00

2

e-Y dy

yrr. -

=

~'

(9.128)

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier .

235

Po:r consiguiente,

(9.129) Por (9,¡26) y (9.129) se observa que la transformada de Fourier de una función gaussiana, es también gaussiana. Con a= 1/2, la transformada (9.129) da ~[e-t2/2] = y2TT e-úJ2/2. (9.130)

·

De esta manera, excepto por el factor ,.fi1i, la función e- 121 2 es su propia transformada de Fourier. 2 Puesto que la función e-at es pa)por (9.88) se deduce que el centro de gravedad T de esta onda es cero. Entonces, por (9 .89), se tiene

(9.131)

1:

Ahora bien, de acuerdo con (9 .128), se tiene

v1·

2

dy =

e-by

(9.132)

Diferenciando la ecuación (9.132) con respecto a b, se obtiene

L:

y2

e-by2

dy

=

v1·

21b

(9.133)

Utilizando (9.132) y (9.133), se puede evaluar (9.,131) como -~

. 1 (M) 2 = 2(2a).

•.

V 2a

/]C

=

_1__

2(2éi)

(9.Ú4)

V 2a Análogamente, por (9.93) y (9.129), se obtiene

1:

L:

a/

e-ú!2/(2a)

e-ú!2/(2a)

dw

dw

1 .-· - (2a) \ 2arr

2

\ 2arr

1

= -

2

mediante (9.132) y (9.133).

(2a)

(9.135)

Análisis de Fouri~r

236 Por consiguiente,

1

1

(~t?(t\w) 2 = - -

1

-

2 (2a) 2

. 1

(2a)

=-

4'

~t ~w = .!.

(9.136)

(9 . .137)

2

La ecuación (9.137) muestra que el signo de igualdad en la ecuación (9.106), es válido para la función gaussiana.

PROBLEMA 9.28 Considerar el pulso rectangular dado en el problema 9.24. Demostrar que el producto del ancho de banda espectral y la duración del pulso, es una constante con "apropiada" selección de alguna medida del ancho de banda. Solución:

en la figura 9.5 se observa intuitivamente que si se selecciona ~t =

d,

y el ancho de banda espectral ~w como la banda que se extiende al primer cero de 1F (w) 1 (la mayor parte de la energía está concentrada en este ancho). 2rr d

~w=-.

(9.138)

Se observa entonces que ~ t ~w =

2rr d -

d

=

2 rr ·

'

(9.139)

o sea que el producto del ancho de banda y la duración del pulso es una constante.

9.4

Solución:

FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON

sea or(t) =

L n=-oo

- la cual está definida en (2.104). Entonces, por (4.120), se tiene

o(t- nT)

(9.141)

237

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

00

n=-oo 00

L

f(t)

* 8(t- nT)

n=-oo 00

=

L

f(t -nT)

n=-oo 00

=

L

(9.142)

f(t+nT)

n=-oo

dado que todos los valores positivos y negativos de n están incluidos en la sumatoria. Por tanto, 00

L

f(t + nT)

=

f(t)

* 8r(t).

(9.143)

n=-oo

Ahora bien, por (5.66), se tiene ú!o

2rr

=

-;¡-·

n=-oo

Aplicando el teorema de convolución en eltiempo (4.122), a (9.143), se obtiene 1

[t_

1 (t+

nT)] F (~) 1[8T(t)] =

=

217

F(w)T

00

n=-oo

n=-oo

(9.144) mediante la propiedad de la función 5, dada por (2.74). Por (5.21), se tiene

Por consiguiente, según (9.144), se obtiene

~ n=-00

n=-oo

L 00

n=-oo

F (n ú!o) e¡nwot.

238

Análisis de Fourier

PROBLEMA 9.30 Solución:

Probar la fórmula de la sumatorja de Poisson.

haciendo t =O en (9.140), se obtiene

f:

f(nT)

f:

~

=

n=-oo

Solución:

F(n w 0 ).

n=-oo

sea

Entonces,

1

1

a-jw

a+jw

=--· + - -

2a

(9.147)

Si se" hace T= 1 (de donde, w 0 = 27T) en la fórmula de Poisson dada por (9.145), se obtiene 00

[

00

f(n)

=

n=-00

L _F(2rrn).

(9.148)

n=-oo

Por tanto, según (9.147), se tiene

2a n=-OO

Solución:

n=-OO

sea

Entonces, por (9.129), se tiene F(w)

= ~[e-at2] = ~ e-w2/C4al.

Si se hace T= 1 (de donde, w 0 = 27T) en (9.140), se tiene

L 00

n=-oo

L 00

f(t + n)

=

n=-oo

F(2rrn) ei 2 7Tnt.

[9.129]

239

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Por tanto, según (9.129), se obtiene (9.150) n=-00

n=-oo

o

n::::-oo

n=-oo

L -1

=1+

+

e-7T2n2/a ei2nnt

n= 1

n=-oo

2 2 e-TT n /a (ei27Tnt

= 1+ [

L ~

e-7T2n2/a ei2TTnt

+ e-i27Tnt)

n=l

= 1+

2

L

2 2 e-7T n /a cos

2 rrnt.

n=l

9.5

CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HILBERT

Sea F(w) =R(w) + jX(w), la transformada de Fourier de una función causal f(t). Demostrar que f(t) se puede expresar en términos deR (w) o X(w) solamente. PROBLEMA 9.33

Solución:

puesto que f(t) es causal, por definición, se tiene f (t)

=

O para t < O.

(9.151)

De acuerdo con esto, se tiene f(-t)=O para t>O.

(9.152)

Por consiguiente, según (2.5) y (2.6), se tiene f(t)=2fe(t)=2f0 (t) para t>O,

(9.153)

donde f(t) = fe(t) + f 0 (t),

y fe(t) y f 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente. Entonces, por (4.38) y (4.40) se obtiene f(t)

i ~~ ' =--;;Jo R(w) cos/wt dw

=---;;2 Jo~~ X (w) sen wt dw para t >O.

. (9.154)

(9.155)

240

Solución:

Análisis de Fourier

si f(t) es real y causal, entonces por los resultados del problema 4.6, se tiene

R (w) =

(oo

f (t) e os wt dt =

)_oo

X (w)

J'"

J~ f (t) sen cvt dt =

=-

f (t) cos wt dt,

(9.156)

O

-1

00

f (t) sen wt dt.

(9.157)

Reemplazando la expresión (9.155) en (9.156) se obtiene 2 R (w) = - -

Loo Loo X (y) sen yt cos wt dy dt. o

7T

o

(9.158)

-

Análogamente, reemplazando (9.154) en (9.157), se obtiene X (w)

21"" ioo

=- ~

o

7T

Solución:

.

R (y) cos yt sen wt dy dt.

(9.159)

o

con la descomposición de f(t) en sus componentes par e impar, es decir,

por (4.42) y (4.43) se tiene que, S:[ie(t)]

:f [f

0

= R(w),

(t)] = jX (w).

Por consiguiente, según el teorema de Parseval, dado por (4.136), se tiene

oo

foo R (w) dw,

(9.162)

oo [f (t)J2 dt = irr1 foo X (w) dw.

(9.163)

2

_oo [f e(t)] dt =

l l

1

2 77

2

-""

2

0

-~

-00

En razón de la causalidad de f(t) y de (9.153), se sigue que f(t)

2fe(t)

=

= 2f (t) para t >O. 0

Por tanto, 1fe(t) 1 = 1fo(t) 1·

En consecuencia, según (9.162) y (9.163), se tiene

1:

2

R (w)' dw =

L:

X'(w) dw.

Puesto que 1

F (w) [2 = R 2 (w) + X 2 (w),

y según el teorema de Parseval, dado por(4.136), se tiene

(9.164)

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

1 =-

241

Joo R\w) dw -=

77.

(9.165) en razón de (9.160) y R 2 (- w) =R 2 (w). Para una función causal f(t), dado que f(t) =O, para t
J

oo f2(t) dt

roo f2(t) dt.

=

JO

-oo

Por consiguiente,

PROBLEMA 9.36

Demostrar la igualdad de estas dos integrales: oo

L

2 2 a dw ioo w dw (a2 + w2Y = . , (a2 + w2)2.

-~

Solución: sea /(t)

= e-at

F(w) =

(9.166)

-00

u(t). Entonces, por (4.47), se tiene

e¡:[ ~ J f(t'/J

1

a

a+jw

a +w

.

w a +w

= - - =2- -2- J 2 --. 2

Por consiguiente, de acuerdo con (9.160), se tiene

l

oo

. Solución:

roo·

a.2dw

_oo (a2 + w2)2

=

w2dw

J_oo (a2 + w2)2 •

sea f (t) = fe(t) + f 0 (t),

donde fe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente. Puesto que f(t) es causal, se tiene f (-t) = O para t
Ciertamente, para cualquier función causal se puede suponer que

'

242

Análisis de Fourier

Así mismo, por (9.153), se tiene t eCt) = f 0 (t) para t >

o.

Por consiguiente, se puede expresar que fe(t)

=

f 0 (t) sgn t,

(9.169)

f 0 (t)

=

fe(t) sgn t,

(9.170)

donde sgn t se define como [ver ecuación (5.45)] sgn t =

1

parat>O

{ -1 para t
Ahora bien, por (4.42), (4.43) y (5.49), se obtiene

1 [f eCt)] 1[f

0

=

R (w),

(t)] = jX(w),

2

S:[sgn t] = - - . (jw)

Por tanto, según el teorema de convolución en la frecuencia, dado por la ecuación (4.125), se obtiene =

__!_

jX (w)

2rr

1

=-

rr =

_! 7T

X(w)

(oo

J_oo

* }¡w

*-1

w

X(y) dy. W-

Y

Análogamente, se obtiene jX(w)

=

1[f0 (t)]

=

S:[fe(t) sgn t]

1

=.-

R(w)

2 rr =

-j

2 *-

_! R(w) 7T

jw

*l. w

Por tanto, X (w)

, 1 =-rr

R (w)

R(v) *-1 =--.1 Joo -'w

rr -OOw-y

dy.

PROBLEMA 9.38 La parte real de la función del sistema H(w), de un sistema causal es, rr l> ( w); hallar la función del sistema H ( w ).

Solución:

sea H(w)=R(w)+jX(w).

Dado que R (w) = rrl>(w), por (9.168), se tiene X(w)=--1 ,

rr

loo -O(y) '. 1 dy = - 1- dy=- loo o(y)-_ w-y _oo w-y w 7T

00

(9.171),

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

mediante la relación (2.67). Por tanto, H(w)

= rro(w)- j _!_ = rro(w) + ~.

PROBLEMA 9.39

EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES

Evaluar las integrales

l

dx a2 + x2'

oo

L oo

_oo

-00

Solución:

(9.172)

]úJ

ú)

. 9.6

243

dx 1 + x2 '

sea f (t)

=

e-at u (t).

Entonces, por el resultado del problema 4.11, se tiene

.

F (w)

1

=S: [f (t)] = - . - , .

a+ ¡w

(9.173). Ahora bien, de acuerdo con el teorema de Parseval (4.136), se tiene

L.:

2

1 F(w) 1

dw

=

2rr

1:

(9.174)

P(t) dt.

Por tanto, según (9.173), se obtiene

00

=

e-2at' 2rr --·-

-2a

17 a

= -. 0

De esta manera, (9.175) Haciendo ti = 1, resulta

l

oo

-00

dx

- · -2 -rr 1 +x - •

(9.176)

244

Análisis de Fourier

Solución:

sea

Entonces, por (9.147), se obtiene F(w) = :f[f(t)] =

a

a2+ w2

Ahora bien, utilizando el teorema de Parseval (4.136), se tiene

L:

1

F (w)

2 1

dw

277

=

L:

f2(t) dt. _

Por tanto,

=

!!_[e2at

2

1O

2a _00

+ e-2at -2a

loo] 0

77

. (9.177)

2a De esta manera,

(9.178) Haciendo a = 1 , se obtiene

(9.179) \.

9.7 PROBLEMA 9.41

(a)

Si :f [f(x,y)] =F (u, v), demostrar que

:f [f(ax, by)]=

_1_ F(!!.a , X:), labl b

(b) :f[i(x-a,y-b)] PROBLEMA 9.42

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

=

F(u, v)e-j(au+bv).

Demostrar el teorema de Parseval para dos dimensiones, es decir, 2

ryoo lt(x, y)l dxdy

J~ PROBLEMA 9.43

= -

1- JOOJIF (u, vW dudv.

(277)2

--ce

Demostrar el teorema de la transformada de Fourier 2 :f [V' f(x, y)]=- (u 2 + v 2):f [f(x, y)],

donde V'

2

2

es el operador laplaciano \7 =

a 1ax 2

2

+

a 1ay 2

2

•

Aplicaciones misceláneas de la tránsformada de Fourier

245

PROBLEMA 9.44 Supóngase que la función de prueba lf>(x,y) es una función continua, que se anula fuera de alguna región fmita, y que la función bidimensional oes la función simbólica definida por la relación

ff 00

8(x, y) cp(x, y) dxdy = cp(O, 0).

-oo

.

Demostrar las siguientes propiedades de la· función bidimensional

Jf

o:.

00

(a)

8 (x-

g, y- r¡)

cp (x, y) dxdy = cp (g, r¡);

-oo

(b) S(ax, by)= _1_ S(x, y);

labl (e) ~ [8 (x, y)]= l. PROBLEMA 9.45 En el capítulo sexto se defmió un sistema, como la transfm;mación

de una función de entrada en una función de salida. [Cf., (6.5).] Las funciones de entrada y de salida, son funciones de una variable independiente unidimensional (el tiempo); pero en el caso de sistemas de formación de imágenes, la entrada y la salida pueden ser funciones de una variable independiente bidimensional (el espacio). De esta manera, un sistema lineal de formación de imágenes se pJ.Iede representar por L {f¡ (x, y)}

= fo

(x, y),

L {a1 f 11 (x, y)+ a 2 f 12 (x, y)}= a 1 L {fil (x, y)}+ a 2 L{f¡ 2 (x, y)}.

Se dice que el sistema ~s invariante en el espacio si

Y+ Y oH=

L !f; (x + X0 ,

fo

(x + Xo, Y+ Yo)•

Sea h ( x, y) la respuesta del sistema al impulso unitario; es decir, L{8(x,y)l = h(x,y).

Deducir la relación de convolución bidimensiomíÍ 00

f 0 (x,y)=f 1 (x,y) *h(x,y)= Jft¡(g,r¡)h(x-g, y-r¡)dgdr¡. -oo

PROBLEMA 9.46 Si ~[h(x,y)] =H(u; v), ~[[¡(x,y)] =F¡(u, v) y~ [[0 (x,y)] = F 0 (x,y), demostrar que

F 0 (u, v)

=

F 1 (u, v) H(u, v),

donde H(u, v) es la función bidimensional del sistema. [Cf., (9.35).] Hallar la función característica de la variable gáussiana al azar, X,

PROBLEMA 9.47

.

cuya densidad de probabilidad es p (x) Respuesta: cp (0)

e

=

}m cv

e

2 2 -CV 0' /2

=

.

.1-- e

aV2TT

~

-(x-m>

12

~

a

.

.

Si X es la variable gaussiana al azar del problema 9.47, demostrll;r que E [X] =m y Var(X)= a 2 •

PROBLEMA 9.48

PROBLEMA 9.49 Si lf>x(w) es la función característica de la variable al azar X, hallar la función característica lf>y(w), de la variable al azar Y= aX + b, donde a y b son dos números reales cualesquiera, en términos de lf>x(w ).

Respuesta: 'f'y "' (0)

=

e

jbCV

cp X (a(i)).

246

Análisis de Fourier

PROBLEMA 9.50

La variable al azar X se distribuye nonnalmente con densidad

probabilística p (x)

=

e-

1

212

x

2

a

•

Hallar la densidad probabilística de la variable

aV2TT

X

al azar Y=aX 2 •

[Sugerencia: si Y = g (X), entonces variable y = g (x), 00

cpy(w) =f

ejú.Jyh(y)dy=

cpY (w) =

e jú.Jg (x) px (x) dx. con un cambio de

-oo

Joo ejú.Jypy(y)dy

-oo

y

h(y)=py(y).]

-oo

2

·

-y/ 2 aa

y

av2 rray

Respuesta: p (y)= e

PROBLEMA 9.51

J""

·

u(y), donde u(y) =

{1 ara >O p Y . 0 para y< 0

La densidad probabilística de una variable al azar X, es p (x) =

cp (w Y= e- al úJ 1.

Demostrar que su función característica es

~/ 77

a

+x 2

PROBLEMA 9.52 Demostrar que si la densidad probabilística de una variable al azar X, es ..!. a e- a¡ x 1 , entonces su función característica ·cp (w) , es a2 ¡ (a 2 + w 2 ). . 2

'

Verificar el priticipio de incertidumbre en el análisis espectral, para e- 1a 1 1 •

PROBLEMA 9.53

la señal f ( t)

=

00

PROBLEMA 9.54

Probar que

L

n=-oo

1 1 + a 2n 2

=

~

coth

(~) ..

[Sugerencia: aplicar la fónnula de la sumatoria de Poisson, con f(t) = 1/(1 PROBLEMA 9.55

mCt)

+ t 2 ).]

Demostrar que m(t) y m(t) del problema 6.51, están relacionadospor

=i"" -oo

m(T) dT t- T

y

·"" m(T)

m(t)=-J

-oo

- - dT.

t-

T

De esta manera, m(t) también se denomina transformada deHilbert de m(t). Si una función real m(t), tiene como transfonnada de Hilbert a m(t), demostrar que la transfonnada de Hilbert de m(t) es- m(Í); esto es, r:z(t) =- m(t). PROBLEMA 9.56

PROBLEMA 9.57

Demostrar que

[Sugerencia: utilizar el teorema de Parseval.]

•

CONVERGENCIA DE. LA SERIE DE FOURIER Y EL FENOMENO DE GIBBS A.1

A

APENDICE

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

PROBLEMA A,1 Si Sk(t) denota la suma de los primeros (2k + 1) términos de la serie de Fourier de f(t), es decir

sk (t) = ~

.

k

ao +

L (an cos

nwot + bn sen nwot),

(A.2)

n'=l

-

donde w 0 = 2Tr/T, y an y bn están dados por

8

21T/2

0

bn

= -

T

-T/2

2

lT/2

T

-T/2

=-

f(t) cos (nw 0 t) dt,

.

f(t) Sen (nw 0 t) dt,

(A.3)

(A.4)

demostrar entonces que . 21·T/2

Sk(t)=f(x)Dk[w 0 (x-t)]dx, ' T -T/2 .

(A. S)

donde Dk(~) es el llamado "núcleo Dirichlet"; es decir,

(A.6)

248

Análisis de Fourier

Solución:

en las expresiones (A.3) y-(A.4), tes la variable comodín. Por tanto,

=

-2 [T

+

JT/2 -T/2

.3_ [ T

=

f(x) cos (nw 0 x) dx] cos nw 0 t

f

T/2

f(x) sen (nw 0 x) dx

·

sen ilw0 t

-T/2

T2 IT/2

f(x) [co~ (nw 0 x) cos (nw 0 t) + sen (nw 0 x) sen (nw 0 t)] dx

-T/2 •

2 JT/2

=-

T

]

'

. .

(A.7)

f(x) cos [nw 0(x- t)] dx,

-T/2

'

De esta manera,

. 1 Sk(t) =

l

L (an cos nwat + k

8

+

0

bn sen nw 0 t)

n=l

=

k T1 lT/2 f(x) dx + L T2 JT/2

-T/2

=

.3. JT/ T

f(x) cos [nw 0 (x- t)] dx

-T/2

h=l

.

·

2

f(x){.!-_ + cos [w 0 (x- t)] + cos

{2wo (x- t)]

2

-T/2

+ · · · + cos [kw 0 (x-

t)]} dx.

(A.8)

Hacer w 0 (x ~t) =~y considerar la suma - Dk (() =

.

.!-_ + cos 2

( + cos 2( + • • • + cos k(,

Utilizando la identidad trigonométrica, 2 cosA sen B =sen (A obtiene

. e -

e

e

+ B)- sen (A - B), se

e

.

2 sen~ Dk(() =sen~,+ 2 sen- cos ( + 2 sen- cos ~( 2 2 . 2 2

(

.

+ ... + 2 sen - cos k( 2 = sen {_ - sen {_ + sen ~ ( - sen ~- ,; + sen 2_ ( 2 2 2 . 2 2 - .. · - sen

= sen [

[(k - t) (J + sen [(k + t) (J

l

(k + t) (

De esta manera,

(A.9)

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs

249

Por tanto,

(A.lO)

sen

PROBLEMA A:2

[(k+~) i]·.

Demostrar que la relación (A. lO) se puede expresar como

Sk(t);,

1_ T

So lución:

f

T

.

12

sen

f(t +A)

haciendo el cambio de variables

k + -

w0 A

2

.

2

-7:12

[( 1) ] sen(~ w A)

X-

dA.

(A.ll)

.

0

t por A en ia relación (A. lO), el

resultado es

sk·.co

~-~1-_:--~~'('+A) "<" [(• 1}·•] +

2 sen (

2

~ woA)

dA.

(A.12)

Ahora bien, por la relación (A.9), se tiene

(A.13)

Por tanto,

sen

[(k + ~) woA

2 sen

J

(~ w A) 0

es una función periódica en la variable A, con período T. Puesto que la funciéln f(t + A) también es periódica en la variable X, con período T, el integrándo de (A.12) esperiódico en la variable A, con período T. Entonces; por (L6), se puede expresar (A.12) como

que es la solución deseada. Sea f(t) una función periódica con período T, integrable absolutamente en un periodo. Demostrar que en todo punto de continuidad donde existe la derivada, la serie de Fourier de f(t) converge al valor f(t), es decir,

PROBLEMA A.3

lim Sk(t)=f(t). k->00

(A.14)

250

Solución:

Análisis de Fpurier

sea t un punto de continuidad de f(t). ,De acuerdo con (A.ll), se tiene

lirn Sk(t)

=

k->00

JT/2· f(t +A)

lirn -2 ·

T

k->OO

(A.15)

-T/2

Por (A.13), se tiene

dA.

=

2 JT/ [~ +

t

-T/2

=

1

2

nwoA] dA.

cos

n=!

JT/2 dA.+[k JT/2. cos(nw A)dA. 0

-T/2

n=l

-T/2

T

(A.16)

=-

2 en razón de (1.19a). Por tanto,

~

r'

sen

l

[(k + 1) w,A

2sen(~w0A)

-T/2

dA.= 1

(A.17)

para cualquier valor de k. Por (A.17), se tiene

t (t)

=

r2 JT/2 t (t) -T/2

dA..

(A.18)

·

Por (A.l8) y (A.lS), se obtiene

_

.

lirn Sk(t)- f(t)

=

k->00

2

lirn k·~OO T

JT/2 . [f(t +A)- f(t)]

sen [(k +

-T/2

2

~) w A] 0

sen(~ w~A)

dA..

(A.19)

Considerar ahora la función

g (A)

=

f (t + A.) - f (t)

2

sen(~

(¡J 0

f (t + A.) - f (t)

A

A)

2 sen

(.!

. 2

w0

A). .

Dado que f(t) tiene una derivada en el punto t, f (t + A.) - f (t)

>.. permanece limitado a medida que A~ O. · Por otra parte, la función

es continua para A =1= O, y se aproxima a

l/w 0 a medida que A---+ O, puesto que

lirn sen e->o

e

e=

l.

(A.20)

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs

251

Según estos resultados y dado que f(t) es integrable absolutamente, se sigile que la función g(t) defmida en (A.20), es integrable absolutamente. Entonces, por el resultado (1.79) del problema 1.19, se tiene, 2 T/2 (A.21) lim S k(t) - f (t) = lim g (A) sen k-->OO

k-->OO

T

J

-T/2

Portanto, lim Sk(t)=f(t). k-->00

PROBLEMA A.4 Sea f(t) una función continua por tramos, periódica con período T, e integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de discontinuidad donde f(t) tiene una derivada de derecha y una de izquierda, la serie de ·Fourier de f(t) converge al valor

1

- [f(t+) + f(t-)], 2

donde f(t +)es el valor de f(t)justamente en el lado derecho de la discontinuidad, y f(t-) es el valor de f(t) justamente en el lado izquierdo dela discontinuidad; es decir, lim Sk(t)

= _!_

2

k-->00

So 1uci ón:

[f(t+) + f(t-)].

(A.22)

por (A.15), se tiene

=

sen

~lo

lim

f(t +A)

w 0 A]

2

2sen(~ w A)

-T 12

k-->oo

[(k + !)

· dA.

0

2JT/2 + lim f (t + A.) k-->OO T o .

dA..

(A.23)

Puesto que el integrando en (A.17) es par, entonces de acuerdo con (2.13), se obtiene

2 dA.=T

Jo

dA.

-T/2

=

!. 2

(A.24)

Por tanto, según (A.24), se tiene

1

- f(t+) 2

21. T/2

=-

T

0

sen f(t +)

[(k+ ~)

2 sen (

w 0 A]

~ w A) 0

dA.

(A.25)

252

Análisis de Fourier

De esta manera,

lim

~ ·IT

k->oo

T

/2 f ( t

_se_n~[(,_k_+_i_,_)_w_o_A_.. .]

+ ,\)

dÁ

.!_ f (t +)

-

2 sen ( 1 w 0 ,\ )

O

2

2

=

lim-2 k->oo

T

IT/2

sen [i(t+A) -f(t+)]

0

[(k + 1) WoA] d,\.

2 sen

(i wo,\)

(A.26)

Considérese ahora la función g(,\)

=

f (t + ,\) - f (t +)

f(t + ,\) - f( t+)

i

,\

(A.27)

,\

2 sen ( woA)

Puesto que f(t) tiene una derivada en el lado derecho en t, f(t + ,\)- f(t+)

,\>o,

,\

permanece limitado a medida que A.- O, y la función ,\

i

2 sen

w 0 ,\)

también es limitada. Como en el caso donde f(t) es continuo, se concluye que la función g(A.) es integrable absolutamente en el intervalo [0, T12]. De esta manera, por (1.79), se tiene lim k->oo

~ rT/'

f(t +Á) sen [(• +

T )0

·

2 sen

=

(

~)

ru,Á]

1 2

d,\- - f(t +)

1 ) 2 w A 0

¡~~ ~ iT/

2

l i)

g(,\) sen (k+

w 0 A] d,\.

=O.

(A.28)

Por tanto,

d,\

1 f(t+). 2

=-

(A.29)

Análogamente,

lim l k ->oo

T

f_

0

-T /2

.

1) ]

sen ~( ~ k + 2 w 0 ,\.. d,\ f(t + ,\) . 2 sen ( ~ w 0

A)

Por tanto, según (A.29), (A.30) y (A.23), se obtiene

lim k-H>O

Sk(t) .

=!2

[f(H)

1

f(t-)1.

=! 2

f(t-).

(A.30)

253

Convergencia de la serie de Fourier y el/enómeno de Gibbs A.2

EL FENOMENO DE GIBBS

''L

-¡

1 1

1, 1

1 1

1

.1

1

1

1

r-1

1 1

Considérese la onda cuadrada de amplitud uno y período 21T (figura ,1\.1), es decir,

PROBLEMA A.5

f(t)

-1 =

{

-TT

< t <Ü

1 O
Figura A.1

Analizar la suma de un número finito de té~os de la serie' de Fourier.

La onda cuadrada del problema A.5.

Solución: según el resultado del problema 1.10, la serie de Fourier de la onda. cuadrada es: (haciendo w 0 == 21T/T== 1) 1 (t)

= -4

( sen t + -1 sen 3 t + -1 sen 5 t + · • ·) • 3 5

1T

(A.31)

Esta ~erie no muestra uniformidad en la convergencia de la serie de Fourier, cerca de la discontinuidad. En la figura A.2 se ilustran aproximaciones sucesivas.

f(t)

s 2 (t)=.1(sent+l senl)

s 1 (t) =isent • .

3

1T

1T

(b)

(a) f (t)

s· ( t) 3

=-41T ( sen t + -31

sen -3t + -51 sen

(e)

Figura A.2

Las tres primeras sumas finitas de la serie de Fourier., en la onda cuadrada de la figura A.1.

Considérese ahora la suma de un número finito de términos, de la serie Sk(t). (A.10), esta suma está dada por (T== 21T, w 0 == 21T/T== 1)

~egún

3

..

1

254

Análisis de Fourier

sen

.. 2 Sk(t)

iT/2

T.

=

f(x)

rrk + !) Wo(X- t)] L\ . 2 [

2 sen

-T/2

%w 0(x- t)

dx

]

Sustituyendo x - t por y, y t- x' por y', se obtiene

dy'.

(A.33)

Esto es así, porque dy'

sen [(k+

sen

=

.;_dx',

1)Yl

1)<~y')] =-sen

[(k+

[% (.;_y')] = - sen [

1Yl·

Puesto que

rr-t lt lt Jrr-t lrr:....t lt lt lrr-t l-t + rr+t = -t + t + rr+t + rr-t ~ -1+ rr+t se puede expresar (A.33) como

Sk(t) = _1

·

2rr ·

Jt -t

l

_sen-=--:[(k_+--'-D--=-Y dy + _1

'2

sen (1 y)

2rr

i7J-t rr+t

En la vecindad de la discontinuidad, es decir, t =O, se evalúa la primera integral en la región donde y= O. Aplicando la regla deL 'Hospital, se obtiene el valor del integrando eny=O?como

=

2k +l.

Y=O

La segunda integral se evalúa en la región donde y= n. El integrando de la segunda integral en y = n _es (- 1 )k. Se puede despreciar la contribución de la segunda integral en comparación con la contribución de la primera. Por consiguiente,

255

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gif?bs

(A.35)

puesto que el inte grande es par en y. Como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad, es decir, t =O, y

e= e

1

. sen l lffi -e... o

[t ~H

'

se puede reemplazar senl/2y por l/2y, y obtener

.

S,(t)~; f

sen

dy

~ J,' [(k; ~)Y] ;

sen

dy.

(A.36)

2 Sustituyendo (k

+ 1/2)y por¿-, se tiene . (A.37)

donde S¡ (y) es la función seno-integral comentada en el problema 6.34. Puesto que S¡(O) =O, y 8¡(00) = 1r /2 (ver el problema 6.34), Sk(O)

=

0,

.lim Sk(t)=l. k->oo

Según la gráfica de S¡(y) (figúra 6.18) y figura: A.2, se observa que en t= O el valor de Sk(t) es cero; luego asciende rápidamente a medida qu~ t aumenta, sobrepasa el valor 1 y oscila alrededor de la línea f(t) = 1, con amplitud decreciente. A medida que el número de los términos aumenta, la curva resultante oscila con frecuencia creciente y amplitud decreciente; a ambos lados de las discontinuidades hay sobrepaso de curvas. Aunque la magnitud del pico no disminuye a medida que k aumenta, hay .un límite inferior de 9% de sobrepaso aun si k---+ oo.

B

APENO ICE

RELACION ENTRE ·LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE B.1

PROBLEMA B.1

DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS . DE l.A TRANSFORMADA DE LAPLACE

Hallarla transformad~ de Laplace del escalón unitario

. {1,

f (t) =u (t)

=

t>O t
o,

(B.4)

Solución: · utilizart!lo la definición B.l, se tiene

.=

F(s)

PROBLEMA B.2

~[u(t)]

=

loo

e-st

Q

.

dt

= --1

•

e--st

S

loo = -. 1 O.

(B. S)

S

Hallar la transformada de Laplace de f(t)'=

erx 1

. { o..

'

donde ct es una constante.

256

t >O ·t

<0,

(B.6)

.257

Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace

So 1uci ón:

F(s)

=

utilizando la defmición (B.l), se obtiene

Í[eCXt]

=

í"" eCXt e-st dt =roo e-<s-CX)t dt

Jo

Jo

= -

1- ,

s-a

Re[s]

>a..

(B.7)

Si [ 1 (t) y [ 2 (t) son dos fuaciones del tiempo, y a 1 y a2 son constantes, demostrar que

PROBLEMA B.3

Í [a1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] Solución:

= a 1 Í[f1 (t)] + a 2 Í [f2 (t)] = a 1 F 1 (s) + a 3 F 2 (s).

utilizando la definición (B.l), se·obtiene Í[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)]

PROBLEMA B.4

=i"" l""

[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)]

e~st dt.

=

a1

f 1 (t) e-st

dt + a

=

a 1 Í [f1 (t)] + a 2 Í

U2 (t)]

=

a 1 F 1 (s) + a 2 Fis).

1

00

2

f 2 (t) e-st dt

Hallar la transformada de Laplace de f{t)

Solución:

(B.8)

=

cos wt, :t > O {

.

o,

t

(B.9)·


porlaidentidad e±Jcut = cos wt ±i sen wt, se tiene

Utilizando el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene Í [eJcut]

1- , . Í [e-Jcut]

= -

s-jw

= -

1-

s+iw'

Re [s] > O.

(B.10)

Y utilizando (B.8), se obtiene

1 1 Í [cos wt] = .! [-+ - -] = 2 s 2 , 2 s - j w s ;;1- j w s +w

PROBLEMA B.5

Re [s] > O.

Si ~[f(t)] =F(s), hallarla transformada de Laplace de

df(t) dt Solución:

por defmición,

(t)J

Í [df dt

=

l"" o

di e-st dt, dt

integrando por partes, se obtiene

f [ ~:] =

[f (t)

e-st]~

+si""

f (t) e-st dt.·

(B.ll)

Análisis de Fourier

258

Puesto que para Re [s] > O,

lim [f (t) e- 81 ]

=

O,

t-->oo

. [dt]

~ dt

PROBLEMA 8.6

Solución:

=

sF(s)- 1(0).

(B.12)

Hallar la transformada de Laplace del impulso unitario [) ( t).

en el problema 2.27 se demostró que

o(t) =

du (t). dt

(B.17)

Utilizando esto en conjunto con (B.12) y (B.S), se obtiene

~[o (t)]

·

=

~ [du (t~l

Lat J

= s ~[u (t)] - u (O) =S

1 --u (O) S

=

1- u (O).

(B.18)

Obsérvese que en la definición de u(t), dada en (B.4), u(O) no está definida. Si se utiliza (B.16), entonces f[o(t)] = 1-u(O+).= 1-1 =o,

(B.19)

mientras que si se utiliza (B.14), entonces (

~[o (t)] = 1- u co-) = 1- o = 1.

(B.20)

Como en el caso de la transformada de Fourier, es conveniente tener .~[o(t)l=L

(B.21)

De esta manera, se observa nuevamente una ventaja en seleccionar O-como el límite inferior, de la integral que defme la transformada de Laplace.

Relación entre las transformadas de Fourier y Lap/ace

259

Si f[f(t)] =F(s), hallar 13; transfonnada de Laplace de

PROBLEMA B.7

J~ f('r) d'r. Solución:

sea g(t)

=

Jt

f('r) d-r.

(8.22)

-00

entonces

dg (t)

f (t),

=

dt .

de tal manera que mediante (B.14), se obtiene sG(s)- g(O-) = F(s),

(8.23)

donde G (s) = ~[g(t)]. Por el resultado (B.23), se tiene G(s) =

_!. F(s)

+.!.

S

. Dado que g (O-)

g(O-).

(8.24)

ro-

(8.25)

S

o

=

loo-

f ( 'r) d 'r, entonces

(

]

1

1

~ [ j_ f(T)d'r =~F(s)+~J-"" f(T)d't. 00

B.2

PROBLEMA B.S

RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE

Si f(t) es causal, es decir, f (t)

ioo

= O para 1 f(t) 1

t
dt < oo,

(8.29) (8.30)

260

Análisis de Fourier

entonces, demostrar que 1[f(t)] = ~[f(t)]s=JW'

Solución:

1:

(B.31)

por la definición (B.28), se tiene

1 [f (t)]

=

=

f (t) e-iwt dt

J.

O f (t) e-Jwt dt

+

loo

=

f (t) e-iwt dt

o

-00

~

roo f (t) e-jwt dt

Jo

(B.32)

\

dado que f(t) =O, para t
PROBLEMA B.9

l(t)

donde

t >O

e-at =

{

'

o, . t
a> O.

Solución:

puestoquef(t)=O,parat
Jo

=1

00

o

e-C
a>O,

=_l e-C
o

< oo,

a

y se puede aplicar (B.31). Por¡¡;el resultado (B.7) del problema B.i, se tiene

~[f(t)] Por tanto, según (B.31 ), se tiene

1

1 -. s+a

= -

-1

5[f(t)] = _.s +a S=]W .

1 iw +a

(B.33)

que es exactamente el resultado obtenido en (4.47). PROBLEMA B.10 Demostrar que la transformada de Fourier del escalón unitario u(t), no se puede encontrar a partir·de (B.31).

Solución:

puesto que

la condición (B.30) no se cumple; por tanto, (B.31) no se puede aplicar. En efecto, según los resultados del problema B.l y problema 5;9, se tiene

~[u (t)]

=

.! S

PROBLEMA B.11

Si

y

5[u(t)] = rr8(w) +

_!_, iw

Relación entre las transformadasde Fourier y Laplace

261

demostrar que

~[f(t)]

=

~[f(t)L=iw + f[f(t)ls=-i"' si

~ [f (t)l = l? [f (t)] s=jw Solución:

1:

-.s? [f (t)l s= -jw

f(t) es par

(8.34)

si f (t) es impar

. (8.35)

mediante (B.28), se tiene

~ [f (t)]

=

=loo

\

f (t) e-iwt dt

f (t) e-iwtdt

+Jo

o

i(t) e-i"' 1dt . .

(8.36)

-00

1=

entonces existe

SiL: 1f(t) 1 dt < ,;,,

, y es igual a

f (t) e±iwt dt

~ [f(t)]s=:¡:jw• Si f(t) es par, es decir, f(- t) = f(t), entonces, cambiando las variables de integración, se tiene

1°-=

f (t) e-iwt dt

= (" f (- T) ei"'" dT

Jo

=loo· o

f (T) e-(-jw)T dT

. (8.37)

Si f{t) es impar, es decir, f(- t) =- f(t), entonces

J. 0

f (t) e-:-iwt dt =

1=

f (- T) eiWt dT

O

_oo

= -

=

ioo

f (T) e-(-jw)c dT

:....s? [f(t)]S=-ÍW"

(B.38)

Sustituyendo (B.37) y (B.38) en (B.36), se obtiene_

~[f(t)l = l?[f(t)ls=jW + ~[f(t)]s=-jW

SÍ f(.:_f)

~[t(t)l = f[t(t)ls=jw-f[t(t)L=-jw

si t(-t) = -t(t).

= f(t),

26~

'

Análisis de Fourier

e

APENO ICE

TRES ·FORMAS: DE LAS SERIES DE FOURIER Forma 1:

trigonométrica 00

f(t) = ao +

2 Forma 2:

L:

n=l

trigonométrica

L 00

f(t)= Ca+

en cos(núlot- ()n).

n=l

Forma 3:

exponencial compleja

L OO.

f(t)=

cne¡nwot.

n=-oo

Para todas las formas anteriores. f (t + T) = f ( t),

277

úlo=-.

T

Fórmulas de conversión: Paran =F O,

-1..

bn)

'~'n! = tan . - an ,

an·

en =2\cn\

=

2 Re [en] ,

=va~+ b~,

bn

=

-1 (

-2 lm [en] ,

en =tan-

1

(!:)

Paran= O,

263

=-c/Jn·

APENDICE.

RESUMEN DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA

Resumen de las condiciones de simetría para ondas periódicas y•coeficientes de Fourier. '

Tipo de simetría

Fórmulas de l~;_~oeficientes de Fourier

Formas de las series de Fourier

Condiciones

o_ O -==-1-J, "'F(-t) d* i f '12 .

00

Par

f(t) = f( -t)

t

=~o '

Impar

f(t) = -1(-t)

f(t) =.

L.: an cos ncu t

+

Bn=tf

0

o

n=l

f: b"

·

f(t)cos(ncu 0 t)dt

bn

sen ncuó t

1

T/2

=

.i_ T

n=l

o

f(t) sen (ncu 0 t) dt . ;

00

Media onda

f(t) = -l(t +

f)

f(t) =

L.: [a2n-l cos (2n- 1)cu t 0

n=l

a 2n-t} b2n-l

+ b2n-t sen (2n :..o 1) cu0 t]

JT/2

= .i.. T 0

f(t)

{cos [(2n-1)cu tldt 0 sen

' •f(t) = f(-t)

Cuarto de onda par

y

f(t) = -t(t +

f)

l(t)=-H-t)

y

Cuarto de onda impar

a2n-1 cos (2n -1) cu 0 t

n=l

a2n-l = .!_ T

o

L.:

f(t) cos [(2n -1)cu0 tl dt .

T/4

00

f(t) = f(t)=-l(t+f)

¿

J

•T/4

00

t =

b2n-l sen (2n -1) W 0 t

n=l

b2n-t=tf o

.

f(t)sen[(2n-1)cu0 t]dt .

-~

\Ji~

,\

264

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

W0

Las funciones son periódicas con período T, = 2-rr/T, son constantes reales, con n = 1, 2, · · · .

E

APENDICE

a> Q; b, t

f (t)

y

F(úJ)

1

f(at)

\a\

F(ú)) a

F (-úJ)

f (-t)

fe (t) =

0

k

[f(t) + f(-t)]

f 0 (t) = _! [f(t) -f(-t)]

2 .

f(t)= fe(t)+fo(t)

F (t)

2rrf(-úJ)

i'(t)

}úJF (úJ)

¡(n)(t)

( }úJ)n F (úJ)

Jt

f(x)dx

-00

-jtf(t)

f 1 (t)

*

f2 (t)

=Joo f (x) f (t- x) dx -oo 1

2

265

266

Análisis de Fourier

F(w)

f(t)

_L F; (w) 2rr

* F 2 (w)= _!_loo F 1 (y)F 2 (w- y) dy 2rr

-oo

1

e-at u(t)

jw +a

~ e-J/(4a)

1 p (t)= { a

para

O para

sen

sen \~a)

\t\ < a/2 \t\ > a/2

a---

(~a)

at

rrt

1

te-at u(t)

(jw + a) 2

t n-1 --''----e-at u(t) (n -1)! ·

1

e-at sen btu (t)

b

jw +a

e-at cos btu(t)

JL [e-a\úl-bl + e-a\úJ+b\J

2a

_]]_ [e-a\úl-b\_e-a\ú!+6\J 2aj

.

o(t)

1

o(t-to)

s'U)

jw

o
(jw)n

u (t)

rro(w) + _l_ jw rro(w) + _L e-júlto jw

1

2rro(w) 2 rrj

o'(w)

2 rrr o (w)

Propiedades de la transformada de Fourier

267

f(t)

F(w)

TT [8 (w -

W0)

+ 8 (w +

W 0)]

-jTT[8(w- w 0 ) - 8(w + w 0 )] sen w 0 t u(t)

Wo

w~- w

jw

cos w 0 t u(t)

t

2

w~- w

2

+_!!_ [8(w-w 0 )-8(w+w0 )] 2j .

+ !!_ [8 (w - w 0 ) + 8 (w +

W

2

u (t)

jTT 8 '(w)- _l_

1

TTj-2TTj u(w)

- .

0

w2

(-jw)n-1 _

---[TTj-2TTj u(w)] (n ..,.. 1)! -

2

sgn t ·

iw

L 00

00

8T(t)=

w 0 8r.u 0 (w)=w 0

L.8(t-nT)

n=-:-oo

n=-oo

Otras propiedades:

J-oo 00

f(x) G (x) dx

=

Joo F (x) g (~) dx. --eo

8(w-.nw0 )

)J

F

APENO ICE

LISTA DE SIMBOLOS

"•} bn en a(t)

Coeficientes de Fourier

B

Coeficiente de amortiguación

e

Capacitancia

d

Duración de un pulso

nkm E

Núcleo de Dirichlet

Respuesta al escalón unitario

m

Masa

mn m(t) n(t) p p(x),p(x,y)

Momento enésimo de X

f(t)

Contenido de energía; esperanza

11/11

Pulso rectangular dé

y duraciónd p

Frecuencia

P(x),P(x,y)

Potencia Función de distribución

P(w)

Densidad espectral de potencia;

probabilística

Contenido de energía de f(t) Transformada de Fourier de f(t)

Fc(w)

Transformada coseno de Fourier

Fiw)

Transformada seno de F ourier

de f(t) de f(t)

IIFII

Densidad probabilística o

Error cuadrático medio

F(w),F(jw)

2

El operador d/dt

amplitud unitaria

Función del tiempo 2

Ruido

función de frecuencia

Pa(t)

matemática

Ek f

Mensaje

Contenido de energía de

espectro de potencia

R

Resistencia

R(w)

Parte real de F ( w)

Ru,Rzz, ... R¡z,Rz¡, ...

Funciones de autocorrelación

Ru,Rzz, ···

Funciones de autocorrelación

R¡z,Rz¡, ...

Funciones de correlación

F(w)

Funciones de correlación promedias

G

Conductancia

h(t) H(p)

Respuesta al impulso unitario Función operacional del sistema

Si

Función seno integral

H(w),H(jw)

Transformada de Fourier de h(t);

Sa(t) Sk(t)

Función muestreadora

promedias

función del sistema

i,I

~orriente

lm

Amplitud del fasor que representa

Suma de los primeros (2k + 1) términos de la serie de

la corriente i(t)

k

Constante de Boltzman; constante del resorte

K

Conductividad térmica

Fourier de f(t)

t

Tiempo

T

Período de una función periódica; temperatura; tensión

T

kz,kx•···•kmn Constante de separación L Inductancia; operador lineal

Centro de gravedad del área bajo la curva f 2 (t)

268

269

Lista de símbolos

(T

Tiempo de ascenso

ek

Error entre f(t) y Sk(t)

Td

Duración efectiva del pulso

()

Angulo de fase

u

Deflexión de1 cordel o de la

X

Longitud de onda

membrana; potencial

p

Densidad

electrostático; :distribución

a

Desviación estándar

1/J

Función característica;

de temperatura u(t)

Función escalón unitru.io

v, V

Voltaje

Vm

Amplitud del fasor que representa al voltaje v (t)

ángulo de fase; función de prueba

tPm

Indice de modulación

w

Frecuencia angular

w

Centro de gravedad del

X

Desplazamiento; variable

X

Variable al azar

área bajo la curva

X(w)

Parte imaginaria de F ( w)

IF(w)l 2

Y(p), Y(jw)

Admitancia

Z(p),Z(jw)

Impedancia

a

Constante de Atenuación

{3

Constante de fase

an, 13n 'Y o(t)

oy(t), ow/W)

j= , (S: e ' j= s )

Transformada de Fourier (coseno, seno)

cr-1

-t

-1

:f ' (j=c ' j=s )

Transformada inversa de

Coeficientes de F ourier

.f

Transformada de Laplace

Constante de propagación

.e-t

Transformada inversa de ·

.fu

Transformada bilateral de

Fourier (coseno, seno)

Función delta o impulso unitario Tren periódico de impulsos unitarios

M

Dispersión en el tiempo

~w

Ancho de banda

Laplace Laplace

Re

La parte real de

!m

La parte. ÍJTlaginaria de

/

INDICE

A

Admitancia operacional, 123 senusoidal, 128 AM (modulación de amplitud); 156-160 señal, 156 BLU (banda lateral única}, 179 DBLPS (doble banda lateral y portadora suprimida), 158 ordinaria, 156 Ancho de banda espectral, 229, 236 de un pulso cuadrado, 231 Ancho de banda, 147, 229, 236 de un filtro, 14 7 de una señal, 229 espectral, 229, 236 Aproximación mediante una serie finita de Fourier, 13-16 Armónico amplitud del, 5 enésimo, 5 Azar· proceso al, 221 ruido al,166, 169 señal al, 17'1-172, 175 variable al, 221 función característica de la, 224 gaussiana, 245 momento enésimo de la, 223 no correlacionada, 226 ortogonal, 226 valor cuadrático medio de, 223 valor medio de, 223 varianza de, 223

B

Banda lateral, 157 inferior, 157 superior, 157

e Cálculo de potencia en estado estacionario, 129-131

Cálculo de ruido, 175 Característica de transmisión, 215 de una pantalla absorbente, 215-216 de una rendija, 215-216 de una rejilla de difracción, 216-217 Causalidad, 239 Centro de gravedad, 228 Circuitos eléctricos, 127 Coeficientes de Fourier con respecto al conjunto ortonormal, 23 de midas simétricas, 28-33 · simetría de cuarto de onda, 29 simetría de media onda, 29 simetría impar, 28 simetría par, 28 evaluación de los, 7-13 por diferenciación, 45~48 por medio de la función o, 62~65 Coeficiente de transmisión, 215 - Condiciones de Dirichlet, 16, 24, 247 Condiciones de frontera, 183 Condiciones iniciales, 183 Conducción de calor, 199-205 Conjunta función característica, 226. función de densidad, 226 función de distribución, 226 Conjunto ortonormal, 50 Constante de propagación de una línea de transmisión, 143-144 Constante de separación, 184 Contenido de potencia, 65, 172 de una función periódica, 65 de una señal, 172 · Convergencia de una sucesión de una funqión generalizada, 4 3 de la serie de Fourier, 16, 247 en un punto de discontinuidad, 17, 251 Convolución, 88-92, 133 de las funciones causales, 88, 137. ley asociativa de la, 89 ley conmutativa de la, 89 Convolución en dos dimensiones, 221, 245 ·teorema de la, 221 Cuerda vibrante, 212 energÍa instantánea de la, 212 energÍa cinética de la, 212

271

D

Defasador, 149 Delta de Kronecker, 23 De las series de Fourier a la integral de Fourier, H-73 Demodulacion, 158-159 Densidad espectral de potencia, 172-173 de una función periódica, 173 del ruido blanco, 174 del ruido termico, 174 Derivadas generalizadas, 40, 43 de una función con discontinuidades, 42-43 Descomposicion de una función en funciones pares e impares, 25 Desigualdad de Schwartz, 232, 233 De.sviación de frecuencia angUlar de una señal de FM, 162 Desviación estándar, 223 Detección, 158 Diferenciación de las series de Fourier, 17 Difracción, 215 de Fraunhofer, 215 de rayos X por cristales, 221 patrón de, 215 por una rejilla, 216 por una rendija, 216 ·· Discontinuidades, 16,42 súbitas, 42 Dispersión, 228 Distribución de temperatura en estado estacionario de una barra infinita, 202 de una barra semi-infinita, 205 de una placa semicircular, 209 Distribución del objeto, 219 Distribución de potencial de una caja rectangular, 206 Doble banda lateral y portadora suprimida (DBLPS) señal de AM con, 158 E

Ecuación del calor función de Green de la, 205 Ecuación de Laplace, 187, 205 Ecuación de Parseval, 114

Análisis de Fourier

El laplaciano, 199, 205 en coordenadas cilÍndricas, 206 en coordenadas esféricas, 206 en coordenadas rectangulares, 206 El principio de incertidumbre, 228 de Heisenberg, 228 en el análisis de Fourier, 228-236 en el análisis espectral, 228 Energía cinética de una cuerda vibrante, 212 .._ Energía contenido, 94, 166, 228 de una señal (o función), 94, 166, 228 densidad de, 171 densidad espectral de, 94, 98 espectro de, 92,. 94, 98, 171 Energía instantánea de una cuerda vibrante, 212 Enésimó armónico de una función periódica, S Enésimo momento, 100, 223 de una función, 100 de una variable al azar, 223 Error cuadrático medio, 14 en la aproximación por una serie finita de Fourier, 13, 16 Error cuadrático medio, 14 con serie finita de Fourier, 14 mínimo, 14 Espectro de magnitud, 74, 81, Espectro de potencia, 171 (ver densidad espectral de potencia) Espectro de potencia media, 171 Espectro frecuencial complejo, 51! continuo, 71, 81 de una señal DBLPS, 158 de una señal órdinaria de AM, 157 de una señal MAP, 164-166 de una señal periódica, 52· de una señal senusoidal modulada en FM, 162-164 · discreto, 52, 58, 72 Esperanza matemática, 223 Evaluació11-de los coeficientes de Fourier, 7-13 por diferenciación, 45-48 usando la función 6, 62-65 Expansión de Fourier de medio intervalo, 34-35 Expansiones de medio intervalo, 34-35 series de Fourier en cosenos, 34 series de Fourier en senos, 34 Expansión en serie de Fourier de una función en un intervalo finito, 33-37 F

Fase ángulo de, 5 espectro de, 58, 74 • función de, 182 modulación de, (PM), 160 respuesta de, 142 retraso, 132

Fasores, 126 representación fasorial de funciones senusoidales, 126 Fenómeno .de Gibbs¡ 253 Filtro ideal, 144 -14 7 para altas frecuencias, 149 para bajas frecuenciaS, 144 ancho de banpa del, 147 frecuencill de cotte del, 144 respuesta al escalón unitario del, 145-147 respuesta al impulso unitario del, 144-145 tiempo de ascenso, 147 Flujo de calor en estado estacionario, 187 FM (modulación de frecuencia), 161 banda angosta, 180 desviación de la frecuencia angular de, 162 espectro de una senusoidal modulada, 162-164 índice de moduálción de, 161 señal de~ 161 Frecuencia de corte, 144 función de, 221 fundamental angular, S, 72 instantánea, 161, 182 portadora, 157 Fórmula de la sumatoria de Poisson, 236-239 Fórmula de inversión, 224 Función de autocorrelación, 95 promedio, 166 transformada de Fourier de la, 98 Función de autocorrelación promedio, 166 de ondas seimsoidales, 168 de señales periódicas, 167, 169 del ruido blanco, 174 del ruido térmico, 174 transformada de Fourier de la,. 168 Función de entrada, 121 Función de Green, 205 de la ecuación del calor, 205 Función de prueba, 37, 114 Función de salida, 121 Función delta, 37-43 -(ver impulso unitario) bidimensional, 245 definición de la, 3 7 derivada de la, 40 representación integral de la, 103 transformada de Fourier de la, 102, 115 transfgrmada de Laplace de la, 258 Función envolvente, 182 Función gaussiana, 101, 234 transformada de Fourier de la, 235 Función generalizada, 37, 103 sucesión de la, 43 convergencia de la, 43 transformada de Fourier de la, 102, 114-118. 268

Función impar, 24 coeficientes de Fourier de la, 28-29 integración de la, 26 ' transformada de Fourier de la, 77 Función muestreada, 151 Función muestreadora, 62, 154

272

Función propia (o <;aracterística), 124 de un sistema lineal, 124 Función seno-integral, 146, 255 ' Función simbólica, 37-103 Función unitaria de Heaviside, 42 (ver escalón unitario) Función theta, 238 Funciones de Bessel, 163 función generadora de las, 163 Funciones características, 224 conjuntas, 226 derivadas de las, 225 Funciones causales, 137, 239 convolución de las, 88, 137 transformada de Fourier de las, 239 Funciones de correlación, 94-98 autocorrelación, 95 correlación, 94 promedio, 166-171 Funciones de correlación promedio, 166 de señales reales periódicas, 168-169 transformada de Fourier de las, 1'80 Funciones pares, 24 coeficientes de Fourier de las, 28 integración de las, 26 transformada de Fourier de las, 77 Funciones periódicas, 1 armónico enésimo de las, 5 autocorrelación de, 167 componente fundamental de, 5 contenido de potencia de, 65 correlación de, 167 densidad espectral de potencia de, 173 espectro frecuencial complejo de, 58 período de, 1 series de Fourier de, 4 transformada de Fourier de, 110-113 Fundamental componente fundamental de una función periódica, S frecuencia ángular fundamental,. 5, 72

Identidad de fourier, 73 Identidad de Parseval, 23, 67 Identificación de señales usando correlación, 169-171 Imagen de una fuente puntual, 219 distribución, 219 formación, 215-221 Impedancia operacional, 123 senusoidal, 128 Impulso unitario, 37-43 (ver función delta) Integración de las series de Fourier, 17 Integral de Duhamel, 141 Integral de Fourier, 71, 74 Integral de superposición, 138-141 Integral del valor absoluto de. una función,

16, 74, 102 Intensidad de iluminación, 219 distribución, 216 producida por una rendija, 216 producida por una rejilla, 216-218

lndice

Intervalo de Nyquist, 153 Inversa transformada de Fourier, 74 transformada de Laplace, 25 6 L

La ecuación de onda en dos dimensiones, 189 en una dimensión, 183 La transformada de Fourier en dos dimensiones, 218-220, 227 Ley asociativa de la convolución, 89 Uy conmutativa de la cqnvolución, 89 linea de transmisión, 143 constante de propagación de la, 143-144. función del sistema para la, 143 ' M

Modulación angular, 1.60-164 de amplitud (AM), 156-160 de amplitud de pulsos (MAP), 164 de fase (PM), 160 de frecuencia (FM), 161 de pulsos, 164-166 índice, 160-161 de una señal de FM, 161 de una señal PM, 160 Momento, 100, 223 enésimo, 100, 223 de una función, 100 de una variable al azar, 22 3 N

Núcleo de Dirichlet, 24 7

o Onda inci4ente, 215 Onda plana monocromática, 215 Ondas periódicas, 24 análisis de, 24 Ondas via~eras, 197 Operacional admitancia, 123 función del sistema en forma, 121 impedancia, 123 Operador lineal, 122 Ortogonales conjunto de funciones, 5 funciones, 5, 57 definición de, .5, 57 variables al azar, 226 Ortogonalidad de las funciones exponenciales complejas, 57-58 de las funciones seno y coseno, 5 .

característica de ,transmisión de la, 215-216 patrón de difracción de la, 215 Parámetros estadísticos, 22 3 Período definición, de, 1 J!M (modulación de fase), 160 Portadora, 157 . · frecuencia de la, 157 Potencial electrostático, 187 Principio de superposición, 121 Probabilidad· l función de distribución de, 221 conjunta, 226 función de densidad de, 221 conjunta, 226 teoría de, 221-228 Problemas de valor en la frontera, 183-214 Problema de valor inicial, 197 Propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Foui:ier, 84 Propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la transformada de Fourier, 84 Propiedad de escalonamiento de la t.:ansformada de Fourier, 83 Propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, 83 Propiedad de simetría de la transformada de Foilrier, 85 Pulsos rectangulares espectro de frecuenCia de, 58 Punto de discontinuidad, 17

R

Relaciones entre la entrada y la salida, 17 5 Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace, 259 Representación en serie de Fourier de una función no periódica, 72-73 Representación integral de la función delta, 103 Respuesta amplitud de la respuesta, 142 a un escalón unitario, 138 a un impulso unitario, 138 de un sistema lineal, 133 a una función exponencial, 123 en estado estacionario, 125 fase de la, 142 función de la, 121 Respuesta en estado estacionario de un " sistema lineal, 125-127 senusoidal, 125 Ruido, 166, 175 al azar, 166 blanco, 174 térmico, 1·74

S

p

Pantalla absorbente, 215

Senusoidal admitancia, 128

273

función, 5 impedancia, 128 Senusoide modulad¡¡ en amplitud y en ángulo, 182 Señales alazar, 171-172, 175 AM (modulación de amplit1,1d), 156 BLU (banda lateral única), 179 DBLPS (doble banda lateral y· portadora suprimida), 158 analíticaS, 182 ancho de bl!flda de las, 228-229 contenido de energía de las, 94, 166, 228 debandalimi~ada, 151, .153, 156 de tiempo limitado, 154 duración de las, .228 FM (modulación de frecuencia), 161 de banda angosta, 180 incoherente, 180 MAP (modulación de amplitud de pulsos), 164 moduladas en ángulo, 160 no correlacionadas, 180 PM (modulación de fase), 161 recortados, 180 Señal FM de banda ang,osta, 180 Serie(s) de Fourier, 1, 4 compleja, 53 convergencia de las, 16, 247 de derivadas de funciones periódicas discontinuas, 43-45 de una función diente de sierra, 54 de una función senusoide rectific~da, 55 de un tren periódico. de impulsos unitarios, 44, 62-63 diferenciación e integración de las, 17 divergencia de las, 17 doble, 191 expansión de una funciÓn en un intervalo finito, 3 3-3 7 fmitas, 13 forma compleja de las, 52-56 teorema de diferenciación de las, 18 trigonométricas, 4 Series de Folirier en términos del coseno, 34 Series de Fourier en términos del seno, 34 Series dobles de'Fourier en términos del seno, 208 Serie finita de Fourier, 13 aproximación por una, 13-16 Separación de variables, 183 Sgn t (Signum t), 108 Simetría propiedad de la transformada de Fourier, 85 de onda, 24 Simetría de cuarto de onda. 27 impar, 27 par, 27 coeficientes de Fourier de señales con, 29-31 Simetría de media onda, 27 coeficientes de Fourier de funciones con, 29

Análisis de Fourier

Simetría escondida, 27 Sistema causal, 137 de formación de imágenes, 245 de parámetros constantes, 121 físicamente no realizable, 145 realizable, 145 invariante en el espacio, 245 invariante en el tiempo, 121, 122 mecánico, 131 óptico, 215 que no introduce distorsión, 142 Sistema lineal, 121 característica de filtro del, 144 función propia del, 124 respuesta a una función exponencial, 12'3 respuesta al impulso unitario de un, 133-134 respuesta a1 escalón unitario de un, 138-139 respuesta de amplitud del, 142 respuesta de fase del, 142 respuesta senusoidal en estado estacionario del, 125 valor prooio de, 124 T

Teorema de convolución en el tiempo,:90 en dos dimensiones. 221 en la frecuencia, 91 Teorema ,de convolución en la frecuencia, 151, 156 Teorema de la integtal de Fourier, 73

Teorema de modulación, 156 Teorema del muestreo, 151, 155 en el dominio de la frecuencia, 154 en el dominio del tiempo, 151 uniforme, 151· Teorema de Parseval, 16, 65, ó7, 92, 94, 98, 173 en do~ dimensiones, 244 Teorema de translación en la frecuencia, 156 T~;orema de Wiener-Khinchine, 98, 101 Teoría de comunicaciones, 151-182 Teoría de potenciales, 205-212 Tiempo de dispersión, 228 Tiempo de subida, 147 Transformada coseno de Fourier, .79 Transformada de Fourier, 74 aplicaciones misceláneas de la, 215-246 bidimensional, 218-220, 227 con+ j, 224 de derivadas, 86 definición de la, 74 de funciones especiales, 102, 120 de funciones generalizadas, 102, 114-118, 265 de la función 6, 102, 115 de la función gaussiana, 235 del coseno, 105 del escalón unitario, 102, 115 del impulso unitario, 102, 115 del seno; ·105 de una constante, 104 de una función exp-onencial, 78, 105 !fe una función impar, 77 de una función par, 77· de una función periódica, 110-113 de un pulso rectangular, 78

de un tren de impulsos unitarios, 111-112 de un tren de pulsos rectangulares, 113 doble, 227 en difracción y en formación de imágenes, 215-221 en teoría de probabilidades, 221-228 interpretación de la, 81- 82 Transformada de Hilbert, 239, 242, 246 Transformada de Laplace, 256 bilateral, 261 definición de la, 256 de un escalón unitario, 256 de un impulso unitario, 258 inversa, 256 relación con la transformada de Fourier, 259 unilateral, 261 Transformadas seno de Fourier, 79-80 Transformada tridimensional de Fourier, 221 Transmisión sin distorsión, 142-144

V

Valor cuadrático medio, 223 Valor medio, 223 Valor propio (o característico), 124 de un sistema lineal, 124 · Varianza, 223 Vibración, 189-199 de una cuerda, 183 de una cuerda infinita, 195 -197 de una membrana, 189 de una viga uniforme sujeta por un extremo, 193

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