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Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.

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PROBLEMA 5. La celosía de la figura está formada por barras de acero de 4 metros de longitud. Determinar la sección de las barras para que el desplazamiento

horizontal en el

punto de aplicación de la carga sea igual a 10 mm. 1

E=210GPa.=21000kN/cm2

3

2

4

200 kN

50 kN SOLUCION: Se ha enumerado los nudos y barras, así mismo se ha asignado coordenadas a todos los nudos, además se ha establecido la dirección local de las barras de nudo menor a nudo mayor según su numeración: 1

(0,6) 2

(3.4641,4) 1

3 3

(0,2) 5

2 4

(3.4641,0) 4

En la estructura planteada se verifica que la barra 1 no ejerce ningún esfuerzo debido a que se encuentra entre dos apoyos fijos. Por lo cual se prescindirá de su participación en la estructura.

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Luego se obtiene la matriz de rigidez de cada barra, para ello se hace uso de la tabla siguiente donde se muestran los valores a utilizarse para la construcción de la matriz de rigidez de cada elemento: Nudo Inicial 1 1 2 2 3

BARRA 1 2 3 4 5

L (cm) 400 400 400 400 400

A(cm2) A A A A A

l

Coordenadas X Y 0 6 0 6 0 2 0 2 3.4641 4

m -1.000 -0.500 0.500 -0.500 -1.000

0 0.866 0.866 0.866 0

Coordenadas X Y 0 2 3.4641 4 3.4641 4 3.4641 0 3.4641 0

Nudo Final 2 3 3 4 4

lm

l2

0 -0.433 0.433 -0.433 0

0 0.750 0.750 0.750 0

m2 1.000 0.250 0.250 0.250 1.000

AE/L 52.5A 52.5A 52.5A 52.5A 52.5A

Utilizando la expresión:

 l2 lm l 2 lm    AE  lm m 2 lm m 2  K    2 L l lm l 2 lm    2 lm m 2   lm m las matrices de rigidez de cada elemento son los siguientes: X1

Y1

X3

Y3

X2

Y2

X3

Y3

X2

Y2

X4

Y4

 K 2

 39.375 22.733 39.375 22.733 X1  22.733 13.125 22.733 13.125 Y1   A   39.375 22.733 39.375 22.733 X3    22.733 13.125 22.733 13.125 Y3

 K 3

 39.375 22.733 39.375 22.733 X2  22.733 13.125 22.733 13.125 Y2   A   39.375 22.733 39.375 22.733 X3    22.733 13.125 22.733 13.125 Y3

 K 4

 39.375 22.733 39.375 22.733 X2  22.733 13.125 22.733 13.125 Y2   A   39.375 22.733 39.375 22.733 X4    22.733 13.125 22.733 13.125 Y4 X3

 K 5

Y3

0.000 0.000 0.000 52.500  A  0.000 0.000  0.000 52.500

X4

Y4

0.000 0.000  X3 0.000 52.500  Y3 0.000 0.000  X4  0.000 52.500  Y4 Alder Jhosué Quispe Panca

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Siendo la matriz ensamblada la siguiente: X3

Y3

X4

Y4

0.000 39.375 22.733 X3 78.750  0.000 78.750 22.733 65.625 Y3   K   A   0.000 0.000 39.375 22.733 X4    0.000 52.500 22.733 65.625 Y4 Aplicando la expresión: F   K   U  y despejando U   K   F  se tiene: 1

1

0.000 39.375 22.733   0  U 3 X   78.750 U    0.000 78.750 22.733 65.625   0   3Y            A    0.000 0.000 39.375 22.733   200  U 4 X      U 4Y    0.000 52.500 22.733 65.625  50 

U 3 X  1.27 E  02 0.00 E  00 U    3Y  1 0.00 E  00 3.81E  02   U 4 X  A 0.00 E  00 2.20 E  02  U 4Y  0.00 E  00 3.81E  02

0.00 E  00 0.00 E  00   0  2.20 E  02 3.81E  02   0    4.44 E  02 3.30 E  02   200   3.30 E  02 5.71E  02  50

U 3 X  0.00000  U     3Y  1 2.49410      cm. U 4 X  A 7.23932  U 4Y   3.74115 Luego según la condición del problema el desplazamiento de U 4 X  1cm.  10mm.

1  7.23932  cm  1cm , de la cual despejando se obtiene el área A requerida: A  7.23932 cm2 Por lo cual se plantea:

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Resultados Obtenidos con Autodesk Robot Structural Analysis. Ux=1cm=10mm

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