Analisis Y Proyecto De Mecanismos2
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ANÁLIS
V PROVECT
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Deane Lent
Análisis y proyecto de mecanismos
Análisis y proyecto de n,ecanisn,os DEANE LENT Profesor de Ingeniería Mecánica del Instituto de Tecnología de Massachusetts
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México MCMLXXIV
rrtu/o de la obra original:
Analysis and Desing of Mechanisms Edición original en lengua inglesa publicada por:
Prentice-Hall, lnc., Englewood Cliffs, N. J. Copyright© by Prentice-Hall, /ne., N.J, Versión española por et:
Dr. Alejandro Rodrigue:z de Torres Ingeniero Industrial, Profesor de mecánica y resistencia de materiales de la Escuela de Arquitectura de Barcelona Revisada por el:
Dr. Julián Fernánde:z Ferrer Catedrático de Física de la Universidad Politécnica de Barcelona Fellow of the lnstitute of Mathematics and its Applications Propiedad de EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Encarnación, 86 Barcelona c121
Ninguna parte del material cubierto por este·título de propiedad literaria podrá reproducirse en forma alguna sin el previo permiso por escrito del editor. os los derechos reservados ..nen español EDITORIAL REVERTÉ, S. A .. 1974 in Spain ' - M - 291 - 4838 - 8
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3. :Ji.S16197! - LITOCLUB Nápoles, 300 - oarcelo1,.
Prólogo
Este libro es un libro de texto y está escrito para estudiantes. La presentación es lo bastante elemental como para impartirse en el· primer año del plan de estudios de cualquier carrera técnica. No presume de conocimientos de cálculo o físicos sino que utiliza con gran profusión técnicas gráficas que faciliten el estudio de esta materia basándose en la Geometría. La claridad y simplicidad del estudio gráfico, prolonga la capacidad del estudiante más allá de los límites usuales de los cursos de introducción. El objetivo del autor es proporcionar una base sólida para la correcta aplica ción. de los principios cinemáticos en el análisis y proyecto de los mecanismos. Este libro no es un tratado teórico que investigue profundamente para acumular conocimientos, sino que está pensado para proporcionar inmediatamente procedi mientos útiles que permitan abordar problemas reales. Creemos que el estímulo de los problemas de proyecto, con su consiguiente demanda de análisis, propor ciona la motivación más efectiva para los estudios de Ingeniería. Por muy com plicadas que sean las técnicas que deban emplearse en un momento dado, el en foque gráfico inicial, capacita al estudiante para proyeétar en una primera etapa. Como quiera que ya se ha escrito mucho sobre esta materia, sería difícil y sin duda imprudente, intentar hacer un tratado completamente nuevo. Aunque se incluye considerable cantidad de materia que el autor cree que es original, tam bién se utilizan muchas técnicas clásicas con la intención de mejorar su presenta ción o de ampliar sus aplicaciones. Se ha considerado más juicioso sancionar y promover métodos satisfactorios, que buscar notoriedad mediante inventos. Este libro está escrito para instruir a los estudiantes, no para impresionar a un Claustro. En un gran número de ejemplos se ofrecen distintos métodos de análisis, per mitiendo de esta manera al profesor seleccionar el procedimiento que se siga mejor en su clase. No se ha suprimido casi nada de la primera edición, a fin de que los VII
VIII
PRÓLOGO
e ahora lo utilicen, no necesiten cambiar necesariamente su forma de enseñan za o asignación de problemas. El capítulo final que trata de mecanismos, es nuevo, ofreciendo una colección de mecanismos útiles para familiarizar mejor al estudiante con los proyectos exis tentes y estimular su ingenio para el trabajo creativo. En todos los escritos de esta clase está, detrás del autor, un compañero que mecanografía, revisa, organiza y a veces corrige, el manuscrito. En la preparación de este texto, la destreza, devoción y paciencia de mi secretaria, Diane R. Moun tain constituye la principal contribución, la cual agradecemos profundamente: DEANE LENT
Indice analítico 1 INTRODUCCióN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
Proyecto de los mecanismos Técnicas de análisis de los mecanismos Se pide precisión de dibujo Trabajo lineal de precisión Medidas de precisión Una escala grande en el dibujo, aumenta la precisión Técnica del compás de puntas fijas Técnica del trazado de curvas irregulares Combinación inteligente de técnicas Clases de movimiento en el plano
2 DESPLAZAMIENTO
2
2
3 3 5 7 9 12 15 15 19
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15
Desplazamiento lineal Desplazamiento angular Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación Desplazamientos y trayectorias en el movimiento compuesto Mecanismos que producen trayectorias específicas Mecanismos de línea recta Mecanismos para describir arcos de gran radio Mecanismo para describir trayectorias elípticas Mecanismo para describir una parábola Mecanismo para generar una involuta Mecanismo ampliador o reductor Proyecto de mecanismos para desplazamientos dados Proyecto de mecanismos para trayectorias dadas Método de la plantilla fija El método de las levas combinadas 2.16 Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas 3 VELOCIDAD
19 19 21 22
25 25 27 28 29 31 31 32 34 35 35 37 44
3.1 Velocidad lineal 3.2 Representación vectorial de las velocidades lineales 3.3 Velocidad angular 3.4 Relación entre Ia velocidad lineal y la angular 3.5 Velocidades de los puntos de cuerpos en rotación 3.6 Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compuesto 3.7 Vectores velocidad · 3.8 .Vector suma: componentes y resultantes
ne
44 47 47 49 51 � 52 53
INDICE ANALfTICO
X
. 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32
Componentes útiles Concepto de cuerpo rígido Velocidades en un cuerpo rígido Determinación de velocidades cuando se desconoce la dirección Dilatación de un cuerpo rígido Relación entre las velocidades de un cuerpo rígido Centro instantáneo de rotación Localización del centro instantáneo de rotación Velocidad angular de cuerpos en movimiento compuesto Velocidades lineales absoluta y relativa Velocidades relativas en un cuerpo rígido Utilización de las velocidades relativas para encontrar la velocidad angular Concepto de velocidad relativa: Un. instrumento para el análisis Construcción del polígono de velocidades Polígono para velocidades de dirección desconocida Centros instantáneos y polígonos de velocidades Componentes de traslación-rotación Rodadura pura Polígono de velocidades para la rodadura pura Velocidades en un contacto deslizante Velocidad de deslizamiento ¿Rodadura o deslizamiento? Determinación de la velocidad de deslizamiento Polígonos de velocidades para· contacto deslizante
4 ACELERACióN 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
Aceleración lineal Aceleración lineal uniforme Aceleración lineal variable Aceleración lineal sobre trayectorias curvas Aceleración angular Aceleración angular uniforme Aceleración angular variable Aceleraciones en cuerpos en traslación Aceleraciones lineales en cuerpos que giran a velocidad constante Aceleraciones lineales en cuerpos que giran con velocidad angular variable Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido Aceleraciones en cuerpos en movimiento compuesto Componentes útiles de la aceleración Determinación de las direcciones de las aceleraciones lineales Aceleraciones por el método del polígono vectorial Construcción de un polígono de aceleraciones Lectura de las aceleraciones relativas t:tilización del vector imagen Aceleraciones sobre cuerpos en rodadura de métodos para el estudio de la aceleración de la diferencia de velocidades para aceleraciones que comprenden deslizamiento sobre guías móviles .">o::�::Z::ll.:C e.e Cori lis
54 55 56 59 60, 62 63 65 67 68 70 71 71 72 74 76 79 81 83 86 90 90 91 92 106 106 107 108 109 110 110 111 112 113 115 118 121 122 125 128 128 137 137 138 143 144 147 153
INDICE ANALITICO,
5 ANALISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO
!(
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Diagramas para representar valores variables Cálculos gráficos Integración gráfica Diferenciación gráfica. Método de la tangente Diferenciación gráfica. Método de los escalones Diferenciación gráfica. Método de «la curva desplazada» Técnicas de cálculo gráfico Integración tabular Diferenciación tabular
6 ENGRANAJES 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21
6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29
Terminología de los engranajes Naturaleza del contacto entre dientes Determinación de la longitud de la trayectoria de contacto Razón de velocidades de un par de engranajes Formas de dientes para razón de velocidades constante Curvas conjugadas Proyecto de curvas conjugadas Aplicaciones de las superficies conjugadas Las involutas de círculo son conjugadas Dientes de engranaje de perfil de involuta Relación entre los círculos primitivos y de base Engranajes normalizados de perfil de involuta Trazado de engranajes normalizados de perfil de involuta Relaciones geométricas en función del ángulo de presión Limitaciones en la utilización de engranajes normalizados Mínima trayectoria de contacto permisible Razón de contacto Comprobación de engranajes en lo que respecta al contacto intermitente Remedios para el contacto intermitente Trayectoria de contacto máxima permisible Trayectoria de contacto máxima debida a dientes puntiagudos Comprobación para dientes puntiagudos Trayectoria máxima de contacto debida a interferencia Comprobación de interferencias Remedios para evitar la interferencia Límites de la razón de velocidades para un engranaje dado Separación de los engranajes con dientes de perfil de involuta Comprobación del comportamiento de los engranajes separados Aplicación de la separación
7 TRENES DE ENGRANAJES 7.1 7.2
Razón de velocidades de un tren de engranajes (razón de dientes - r.d.) Trenes de diferentes tipos de engranajes
XI
168 168 169 170 174 177 181 184 186 188 193 195 200 204' 208 208 209 211 214 215 218 220 221 223 227 232 232 235 235 237 239 240 241 242 245 246 250 255 258 260
275 276 278
XII
INDICE ANALfTICO
7.3 7.4 75 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25
Razón de velocidades para diferentes tipos de engranajes Razón de velocidades de un engranaje de tornillo sinfín Mecanismos de inversión de marcha Transmisiones de velocidad selectivas Proyecto de trenes de engranajes ordinarios Proyecto de· trenes de engranajes de inversión Proyecto de trenes de inversión con engranajes de diferente paso Trenes de engranajes de· planetarios o epicicloidales Razones de velocidades de trenes epicicloidales Análisis de los trenes de engranajes epicicloidales Cambiador de velocidades epicicloidal Mecanismo de inversión epicicloidal Transmisión epicicloidal selectiva de velocidad Mecanismo calculador epicicloidal Tren epicicloidal compuesto Proyecto cinemático de un tren de engranajes epicicloidal Procedimiento para proyecto de trenes epicicloidales Trenes epicicloidales simples Tren epicicloidal básico de tres engranajes Proyecto de un tren epicicloidal de tres engranajes Tren epicicloidal básico de cuatro engranajes Proyecto de un tren epicicloidal de cuatro engranajes Proyecto con montaje alargado (separación)
8 SISTEMAS ARTICULADOS 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
8.9 8.10
8.11 8.12
8.13 8.14
280 281 282 285 289 293 295 298 299 302 304 306 308 310 312 313 314 315 316 319 321 325 329
347
Cuadrilátero articulado básico Razón de velocidades angulares de las manivelas Sistema articulado biela-manivela Análisis de velocidades del sistema biela-manivela Velocidades de los puntos del acoplador Cadenas de sistemas articulados Análisis de velocidades de las cadenas de sistemas articulados Procedimiento para deducir ecuaciones de velocidad Sistemas articulados con guías móviles Sistemas articulados de retroceso rápido Proyecto de un sistema articulado de retroceso rápido Ecuaciones de velocidad para todos los mecanismos Ecuación de velocidad para leva y seguidor Ecuación de velocidad para un tren de engranajes epicicloidal
348 350 353 354 356 360 361 363 364 367 369 372 374 375
393
puntual
393 394
t
,
1
ÍNDICE ANALfTICO 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19
Proyecto de una leva para seguidor de rodillo Proyecto de leva con seguidor circular deslizante Proyecto de leva con seguidor plano con movimiento de traslación Proyecto de leva con seguidor de rodillo oscilante Proyecto de una leva con seguidor plano oscilante Levas de disco acanalado de doble efecto Levas cilíndricas de doble efecto Levas de disco de doble efecto Levas compuestas para trayectorias irregulares del seguidor Limitación en el proyecto de una leva Ángulo de presión máximo y círculo base mínimo Movimientos ascensionales para seguidores de leva Movimiento uniformemente acelerado Movimiento armónico simple Movimiento cicloidal Análisis de la aceleración de las levas Análisis gráfico de las velocidades de las levas
10 MECANISMOS 10.1 10.2 10.3. 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10,26 10.27 10.28 10.29 10.30
Sistema articulado manivela-balancín Biela de acoplamiento Balancín de suspensión de cargas doble Sistema articulado de manivelas paralelas Sistema articulado de transporte Sistema articulado de palanca acoplada con unión por p1;1sador Mecanismo de línea recta Pantógrafo Sistema articulado biela-manivela Sistema articulado de biela deslizante Mecanismo de balancín Horquilla móvil Horquillas móviles modificadas Sistemas deslizantes de articulación acodada Sistema articulado isósceles Manivela rotativa con puntos muertos Manivela oscilante con punto muerto Balancín con punto muerto Sistema articulado de biela que da una curva simétrica Sistema articulado generador de parábolas Mecanismo de Cruz de Malta Sistema articulado que acciona sobre una Cruz de Malta Mecanismo de trinquete Trinquete de fricción Mecanismo de movimiento cíclico Mecanismo accionado por excéntrica y de retroceso rápido Aparejo diferencial de cadena Mecanismo epicicloidal de línea recta Mecanismo planetario de movimiento intermitente Reductor de velocidades de engranaje cicloidal
XIII 396 398 398 400 402 404 405 406 407 409 410 412 413 415 416 418 418 429 430 431 431 432 433 433 434 435 436 437 438 439 440 440 441 442 443 444 444 445 446 447 448 449 450 450 451 451 453 454
XIV
ÍNDICE ANALITÍCO
10.31 10.32 10.33 10.34 15.35 10.36 10.37 10.38 10.39 10.40 10.41 10.42 10.43 10.44 10.45 10.46
Mecanismo intermitente de tres engranajes Mecanismo de movimiento alternativo irregular Amplificador de carrera en traslación Amplificador de movimiento rotativo Mecanismo para generar un cuadrado Transmisión de velocidad variable de disco y rueda Transmisión de velocidad variable de cono y anillo Transmisión de velocidad variable conoide-esferoidal Cambiador de velocidad de disco y esfera Cambiador de velocidad de anillo y rodillo Transmisión de velocidad variable de correa trapezoidal Mecanismo alternativo de plato oscilante Mecanismo alternativo de leva y horquilla Mecanismo indicador de leva de cilindro Transmisión oscilante accionada por leva Mecanismo indicador de ejes paralelos
APÉNDICE Glosario de símbolos de letras Tabla de cuerdas Notas sobre trigonometría Funciones trigonométricas naturales Extracto del catálogo de engranajes cilíndricos de dientes rectos normalizados, de ángulo de presión 14 ½ º
454 455 455 457 457 457 458 459 459 460 461 461 462 463 464 464 467 467 468 469 470 472
1
1
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1 Introducción
l
El mecanismo es el corazón de una máquina. Consta de una serie de partes co nectadas en movimiento, que proporcionan el movimiento específico y las fuer zas que hacen el trabajo para el cu.al se ha proyectado la máquina. Una máquina está normalmente accionada por un motor que suministra potencia y velocidad constantes. Es el mecanismo el que transforma este movimiento dado, en la forma pedida, para cumplir la misión propuesta. El primer miembro de un mecanismo, directamente unido al motor, se llama conductor, y el último miembro en el conjunto, el cual suministra el movimiento o energía útil, se le llama conducido. Algunos mecanismos están formados sola mente de dos partes, como los de la Figura 1.1, mientras que otros tienen muchos
Figura 1.1
miembros como se muestra en la Figura 1.2. Una máquina compfü;ada puede em plear varios mecanismos para cumplir varias funciones. La máqupa, en su tota lidad, se diseña alrededor de los mecanismos que realizan el trabajo. Est\! activo e importante papel de los mecanismos en el proyecto de una máquina h!lce este tema interesante y vital. LENT - 1
2
A ÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 1.2
1.1. Proyecto de los mecanismos.
Lo primero para un proyectista de mecanismos es lo que se refiere al mo vimiento. Debe seleccionar o proyectar mecanismos que produzcan los despla zamientos y velocidades requeridas y determinar las aceleraciones resultantes. El estudio del movimiento de los órganos de una máquina, sin considerar las fuerzas y los esfuerzos que se producen, se llama Cinemática. A esto es a lo que princi palmente se refiere este texto. No puede ignorarse la existencia de fuerzas. Muchos mecanismos, tales como grúas y prensas, se proyectan más por su capacidad de producir fuerzas que por las características del movimiento. Todos los componen tes del mecanismo deben proyectarse para resistir los esfuerzos producidos por cargas y aceleraciones. El estudio de las fuerzas sobre cuerpos en movimiento se llama Dinámica. Es mucho más complicada que ia'Cinemática y es la segunda fase del proyecto. Ya que muchos de los problemas dinámicos se definen por las carac terísticas del movimiento, es lógico, así como conveniente, estudiar primeramente su Cinemática. Como esto es lo que se pretende en un primer libro del proyecto de una máquina, el tratamiento dinámico será limitado. Para proyectar máquinas se debe tener primero un "vocabulario" de trabajo que dé un conocimiento de los mecanismos. Debemos poder modificar y adoptar éstos a los requisitos específicos para su ejecución. Se debe, entonces, analizar es tos mecanismos en lo que respecta a sus desplazamientos, velocidades y acelera·ones a fin de predecir su comportamiento y prepararse para el análisis dinámico que sigue. Éstos son nuestros propósitos en el estudio de los mecanismos. "> Técnicas de análisis de los mecanismos. que gran parte del trabajo es de índole geométrica, en el estudio de los .:::;:==z:c:sü!CJ,s_ se usan los dibujos sin reserva. Esta técnica gráfica simplifica el tra ero. porque los problemas se visualizan más claramente y las solucio ,_.. ,_,..,.,,..�....,..en con más facilidad, y segundo, porque se evita la dificultad o _ - _ . El aspecto ilustrativo de la solución gráfica explica el pro-
INTRODUCCIÓN
3
ceso y proporciona oportunidad de comparar y comprobar resultados constante mente. Los vectores y las gráficas proporcionan una comprensión visual, que fre cuentemente se oculta al usar métodos ttuméricos. La sustitución por métodos grá ficos elimina largas soluciones trigonométricas y simplifica grandemente el cálculo, poniendo así más problemas dentro del alcance de aquellos cuya formación ma temática sea limitada. Los cálculos deberán ser usados donde quiera que sean simples y en todos los casos donde las soluciones gráficas no ofrezcan ventaja. Así, todos los pro blemas llevarán consigo algún trabajo analítico. Uno podría no esforzarse para evitar cálculos, pero más bien deben combinarse hábilmente los dos métodos, en provecho del rendimiento y exactitud. El método más corto, el más simple, es nor malmente el.más exacto.
1.3. Se pide precisión de dibujo. El trabajo gráfico puede no justificarse a no ser que su calidad proporcio ne una precisión compatible con los métodos analíticos. Los resultados obte nidos mediante dibujos son desdeñados injustamente por algunos, como si sólo fueran aproximaciones. Esta actitud errónea, es el resultado de la ignorancia o abuso de la precisión de los métodos gráficos e indica claramente la responsabi lidad impuesta sobre aquellos que emplean técnicas gráficas. Es verdad que los cálculos pueden darnos más decimales que los que son posibles obtener con solu ciones gráficas, pero el trabajo gráfico, ejecutado con habilidad y juicio, puede dar normalmente el grado de precisión que requiere el problema. Los errores de proceso son más importantes que los errores inherentes a la elección del método, y los cálculos son más propensos al error que el trabajo gráfico. Las ventajas de la técnica gráfica más rápida, más simple, puede gustarle solamente a aquellos que dibujan con habilidad y la aplican con inteligencia y respeto. Para los detalles, se puede consultar un libro de dibujo, si bien presentare mos aquí algunas de las técnicas más importantes de precisión, las cuales son in dispensables para lograr una precisión gráfica.
1.4. Dibujo lineal de precisión. Se piden en este trabajo líneas finas, nítidas. Una línea, por definición, no tie ne anchura ni espesor. Nosotros no podemos obtener este concepto ideal con una línea visible de un lápiz, pero podemos aproximarnos a ella con mucha exactitud. Se necesita que la mina del lapicero sea larga, afilada, como se ve en la Figu ra 1.3. Es de vital importancia que la mina siga puntiaguda mientras progresa el dibujo mediante afilados frecuentes sobre un trozo de papel de lija. Los arcos
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A ALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 1.3. - Puntas de mina corree-. tas ·para dibujo de precisión.
de círculo pueden ser tan finos como otras líneas, por lo que la mina del compás necesita la misma atención constante. Ya que estos dibujos se hacen para resolver problemas y no con el propósito d(.\p copiarlos, no es necesario que se re marquen en oscuro. Esto nos permite usar una mina dura, la cua� podremos man ener fácilmente afilada durante el trazado. En la Figura 1.4 se ven más ejemplos de líneas de trabajo de precisión.
Rgura 1.4. - Dibujo lineal de precisión.
INTRODUCCIÓN
5
1.5. Medidas de precisión. La exactitud de las medidas es tan importante como la calidad de la línea para el uso de gráficos en el estudio de mecanismos. Las medidas lineales pueden obtenerse dentro de una exactitud de 1/ 4 de milímetro. Tal precisión sólo puede obtenerse mediante el uso de métodos e instrumentos correctos. Una escala con pulgadas divididas en 50 partes es preferible a una dividida en centésimas (véase Figura 1.5). Es más fácil identificar la marca deseada, y si se usa un puntero las cincuentavas partes pueden dividirse con exactitud en dos par tes iguales a simple vista. Una escala con centésimas es difícil de leer sin una lupa. i.--
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Figura 1.5. - Lecturas sobre dos tipos de escalas de ingeniería.
Un puntero es un instrumento simple, pero absolutamente necesario para la obtención de medidas de precisión (Figura 1.6). No debe usarse nunca la punta del lápiz, relativamente roma para este propósito. Con el puntero se puede mar car un minúsculo agujero en el papel para la obtención permanente y exacta de la distancia deseada. Los puntos finos, agudos, ayudan a leer la escala, especialMadera
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Figura 1.6. - Punzón.
6
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
mente si se dirige la mirada a la línea divisoria con un ojo cerrado, como se ve en la Figura 1.7. El primer paso para la consecución de una medida es dibujar una línea de trazado fino poco señalada. Esta línea puede ser más larga que la distancia a
Figura 1.7. - Dirigiendo la mirada al punzón sobre la escala.
medir. Se coloca la escala cerca de esta línea y con el punzón se marcan peque ños agujeros exactamente sobre la línea y en los puntos extremos de la distancia deseada. Las medidas deberán hacerse sobre el punto del trazado cuando vayan a utilizarse. Se invita al error y se malgasta el esfuerzo, trasladando distancias desde la· escala a la línea trazada con el compás de puntas fijas. El hacer las me didas sin una línea trazada, o con puntos marcados con grandes agujeros, o con ::narcas de lapicero, es una costumbre muy mala. Ya que los agujeros minúsculos muy difíciles de ver, se pueden localizar con más facilidad, si se trazan peque círculos a mano alzada alrededor de aquéllos al mismo tiempo que el dibujo. Agrandando los agujeros con el lapicero se sacrifica toda la precisión (ver Fi gura 1.8). Figura 1.8. - Localización de las medidas en una lí nea trazada.
que se use un transportador de precisión, propio para delinean las medidas angulares sobre dibujos de precisión se hacen las de cuerdas, más que con los pequeños transportadores
INTRODUCCIÓN
7
Los arcos de un radio dado, subtienden longitudes de cuerda, que son úni cas para cada ángulo agudo subtendido. Se da en el apéndice una tabla de longi tudes de cuerda para arcos de radio unidad, para ángulos de hasta 45°. En interés a la precisión, no deben usarse arcos de menos de 13 cm de radio, con las longitudes tabuladas de las cuerdas multiplicadas por 13 para adaptarse a esta escala aumentada. Los transportadores baratos son demasiado toscos para esta calidad de trabajo y no deberían usarse. El método de la cuerda permite me didas angulares próximas a 1O minutos, y permite el uso de radios más largos y prácticos. Las medidas de precisión pueden hacerse corrientemente a simple vista, sin esfuerzo. Sin embargo, un pequeño cristal de aumento, unido al punzón, como se ve en la Figura 1.9, aumenta la precisión y contribuye a la comodidad durante pe ríódos prolongados de este tipo de trazado.
3
Figura 1.9. - Punzón con cristal de aumento.
1.6. Una escala grande en el dibujo aumenta la precisión. Una sabia elección de escala es un factor muy importante en la validez de la solución gráfica. Dentro de ciertos límites, cuanto más grande sea el trazado,
8
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
mayor será la precisión en los resultados de las medidas. Una línea recta de 25 cm de longitud. puede medirse con una precisión de 1 / 4 de mm con igual facilidad que una línea recta de 25 mm de longitud. El error permitido en una línea recta de _ - cm es 1 parte en 1000, mientras que el error en una línea recta de 25 mm es 1 parte en 100 (¡ 1O veces mayor!). La pendiente de una línea recta se detennina con mucha más precisión por 2 puntos separados 25 cm que por punos eparados sólo 5 cm. Éste es otro argumento para el trazado mayor. Sin embargo, si el dibujo llega a ser demasiado grande, se necesitan instru mento especiales y se consume mucho más tiempo en la confección del trazado., Es tan difícil dibujar una línea recta muy larga, como una corta o medir distan ia con exactitud que excedan la longitud de la escala normal 12 pulgadas (30,5 centímetros). Se puede poner en peligro la exactitud si el dibujo llega a ser demasiado grande. En la selección de una escala adecuada, influyen la calidad de los datos dados, la complejidad del análisis y la precisión pedida en la solución. Se piden cuidado y juicio al hacer la elección.
ill
Figura 1.1 O. - Compases de puntas fijas.
INTRODUCCIÓN
9
1.7. Técnica del compás de puntas fijas. Hay muchos casos en los trazados cinemáticos donde deben dividirse líneas rectas o curvas en un número dado de partes iguales. Para hacer esto con preci sión, deben utilizarse los compases de puntas fijas. Este instrumento tiene también una valiosa función en el transporte de medidas de un lugar a otro. Normalmen te se usan dos clases de compases de puntas fijas, corno se ve en la Figura 1.1O. El grande tiene una junta de fricción y -un tornillo de ajuste manual, solamente para el ajuste fino. El pequeño está enteramente ajustado por tornillo. El uso de este instrumento entraña tanteos, pero es un buen método porque en cada tanteo se indica el tamaño del error y muestra cuánto y en qué direc ción debe hacerse la corrección. No entraña una suposición a ciegas. Por ejemplo, supongamos se pide dividir una línea AB en 3 partes iguales (ver Figura 1.11).
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Corrección
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Error inicial
Figura 1.11. - División de una línea en tres partes iguales.
Primero se coloca el compás de puntas fijas de manera que represente alre dedor de una tercera parte de la longitud AB. Con esta posición de prueba, par timos exactamente del punto A y hacemos "caminar" el compás de puntas fijas a lo largo de la línea, balanceando la pata libre, primero de un lado y después del otro (como si uno caminara sobre la cuerda floja) hasta que se hayan hecho 3 etapas. Son importantes dos cosas: Debe aplicarse una presión débil para evitar que las puntas se hinquen demasiado en el papel y debe ponerse cuidado en que las puntas del compás de puntas fijas queden exactamente sobre la línea para cada ,etapa (el dibujante falla tan lastimosamente como el funámbulo si no observa esta
12
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Técnica del trazado de curvas irregulares.
La representación gráfica de cantidades variables toma la forma de una curva irregular definida por puntos marcados a través de los cuales se puede dibujar una curva continua uniforme.* En los estudios de cinemática, este trazado o gráfica se utiliza frecuentemente para presentar datos o definir soluciones. El método de dibujar curvas irregulares difiere de otras técnicas en que es un proceso de tanteo más que una operación directa, "certera". La curva se forma, tramo a tramo, con la curva original de prueba, perfeccionada y mejorada hasta que se obtiene un resultado satisfactorio. Como con todo trabajo de precisión, se usa un instrumento para guiar al lá piz. El instrumento más común es la "pl¡mtilla de curvas" que se ve en la Fi gura 1.15.
Figura 1.15. -
Plantilla de curvas.
Estas plantillas de curvas se utilizan en gran variedad de formas y tamaños, pero un dibujante generalmente usa sólo una o dos, ya que raramente almacena instrumentos que realmente se ajusten a una parte considerable de la curva que a dibujarse. Supongamos que los puntos a, b, e, d, e, f, g, h, i han sido cuida dosamente marcados (punzón) como se ve en la Figura 1.16 y vamos a dibujar una ·a continua uniforme que pase por ellos por tanteo; seleccionamos una región plantilla de curvas la cual pasará exactamente por varios puntos consecuti- es como o, a y b en Figura 1.16. Antes de dibujar una línea, obsérvese de a acercarse hacia el próximo punto c. Si el borde pasa cerca de e, �garse más la línea que si cambiase de dirección, alejándose de e ;;;;;;;;i=az..JCamenle no sea equivalente, entendemos por curva continua unifor tos angulosos. Hacemos esto en aras de una mayor brevedad
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INTRODUCCIÓN
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Primera etapa
Figura 1.16. - Primera etapa en el dibujo de una curva por puntos.
marcadamente. En este caso la línea puede dibujarse un poco más allá de b, ya · que la curvatura puede modificarse después de este punto para que pase por c. Ahora dibujamos una línea de prueba que pase exactamente por o, a y b. Debe ser una línea esbozada que sea fácil borrar si fuera modificada. (El dibujante deberá colocarse eri una posición conveniente para dibujar contra el filo curvado, esto no puede hacerse sentado en el taburete.) Para continuar dibujando la curva, debe moverse la plantilla a una nueva posición a fin de que su filo pase exactamente por varios puntos más y que tam bién se una y solape con el final de la curva ya dibujada. La Figura 1.17 mues tra el instrumento en tal posición que se une con la curva primera en el punto b y también pasa por e, d, e, f, g y h. (Es muy poco corriente poder unir mediante una plantilla de curvas tantos puntos, pero esto nos servirá para acortar la des cripción del proceso y evitar una repetición innecesaria.) Aunque la curva pasa por el punto h, nótese que está poco dirigida hacia el próximo punto i. Consecuentemente, dibujamos la línea hasta la mitad, entre h e i, a fin de proporcionar un cambio de curvatura en h en previsión de alcanzar i
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
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Segunda etapa
Figura 1.17. - Segunda etapa en el dibujo de una curva.
en la próxima unión. La línea curva se dibuja en esbozo, como antes, para faci litar una posible modificación. La tercera etapa en la construcción de esta curva se ve en la Figura 1.18. La plantilla de curvas se ha puesto de nuevo en posición, a fin de que una la últi-. ma porción de la curva desde un punto equidistante de g y f, y se prolongue pa sando por h e i. Luego la línea se prolonga para traer la curva a su final, i. La primera línea trazada constituye solamente una prueba y debe compro barse y frecuentemente mejorarse, antes de que se utilice la línea final. La com probación se hace mejor, colocando el ojo cerca del plano del papel y dirigiendo mirada a lo largo de la curva. Pueden borrarse y corregirse los salientes, cús partes planas y discontinuidades en la curva, poniendo de nuevo la plan curvas a fin de que una exactamente las partes existentes sobre cada lado borrada; así aseguramos una curvatura continua. curva está trazada satisfactoriamente, se aplica una línea final exac ��= de ella. La plantilla de curvas se aplica y adapta repetida - � como antes, pero no se necesita reconstruir en este pro eron utilizadas originariamente. De hecho, el resultado
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INTRODUCCIÓN
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Figura 1.18. - Tercera etapa en el dibujo de una curva.
final puede aún mejorarse, si las posiciones del instrumento son ligeramente di ferentes a las colocaciones originales.
1.9. Combinación inteligente de técnicas. En el estudio de los mecanismos es esencial para su utilización, conocer cuál es el método mejor adaptado para cada parte del problema de que se trate. Debe evitarse el ser partidarios exclusivamente del método analítico o del gráfico, sino que debemos intentar seleccionar y combinar estas técnicas para lograr una solu ción simple, eficiente y exacta.
1.10. Clases de movimiento en el plano. Cuando las trayectorias de todos los puntos en movimiento de un cuerpo, están situadas en el mismo plano o en planos paralelos, se dice que el cuerpo tiene movimiento plano. El análisis del movimiento en tres dimensiones puede resol-
16
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
verse mediante el estudio de varios movimientos planos por separado, así no se limitan nuestras facu\tades si restringimos en este texto nuestra atención princi palmente al movimiento plano. Es útil dividir el movimiento plano en las clases siguientes: 1. Traslación: Un cuerpo que se mueve sin girar, se dice que tiene movimiento de tras lación. Todos los puntos de un cuerpo en traslación tienen igual movi miento. Pueden moverse a lo largo de trayectorias rectas o curvas, mas para cada instante todos los puntos se mueven en la misma dirección y con la misma velocidad. Todas las posiciones de una línea dada sobre el cuerpo permanecen paralelas cuando se mueve. El bloque que desliza en la Figura 1.19 tiene una traslación rectilí nea, puesto que los puntos A y B recorren trayectorias rectas. El telefé-
Figura 1.19. - Traslación rectilínea.
rico de la Figura 1.20 tiene una traslación curvilínea, ya que A y B re corren trayectorias curvas. En cada caso, la línea AB es paralela a A'B' en todas las posiciones.
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Figura 1.20. - Traslación curvilínea.
to de un cuerpo permanece quieto mientras el cuerpo gira ese punto, el cuerpo tiene movimiento de rotación. Las tra-
INTRODUCCIÓN
17
yectorias de todos los puntos del cuerpo son arcos de círculo alrededor del punto fijo que es el centro. A una línea imaginaria que pasa por este centro, perpendicular al plano del movimiento, se le llama eje de rotación. En este movimiento, todas las líneas del cuerpo giran con la misma ve locidad. El disco de la Figura 1.21 gira alrededor del punto fijo O. Los
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Figura. 1 .21. - Rotación.
puntos A, B, C y D describen trayectorias circulares alrededor del cen tro O. Cuando el triángulo OCD gira a la posición OC'D', las líneas OC, CD y DO giran el mismo ángulo 0, ya que todas están girando con la misma velocidad. 3. Movimiento compuesto (Traslación y rotación):* Cuando un cuerpo se mueve de tal forma que todos los puntos cambian de posición y todas las líneas giran, ese cuerpo tiene movimiento com puesto. t
Figura 1 .22. - Traslación, rotación y movimiento compuesto.
* También se le llama corrientemente movimiento plano. t Es conveniente hacer notar aquí, que el movimiento de los puntos se limita a la tras lación. Corno no tienen extensión, no podemos observar o medir la rotación de los puntos. Las líneas pueden trasladarse, girar, o hacer ambas cosas simultáneamente como en- un mo vimiento compuesto. LENT-2
18
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
En el mecanismo que se ve en la Figura 1.22, la manivela AB gira alrededor del eje fijo A, el bloque C se traslada a lo largo de las guías, y la biela BC tiene movimiento compuesto. El punto C se traslada a C', mientras que B lo hace a B' y BC gira un ángulo 0. Por tanto, la biela CD, se traslada y gira al mismo tiempo. Es a veces conveniente pensar en el movimiento compuesto como dos movimientos separados que tie nen lugar sucesivamente. Por ejemplo, la biela puede moverse primero de la posición BC a una posición paralela B ºC' mediante una traslación, después puede girar alrededor de C' un ángulo 0 hasta la posición final B'C'. La traslación y rotación pueden considerarse independientemente aun cuando en realidad tienen lugar simultáneamente. La Figura 1.22, ilustra las tres clases de movimiento: traslación del bloque en C, rotación de la manivela AB y movimiento compuesto de la biela BC.
2 Desplazamiento
Movimiento es la acc10n de cambiar de pos1c10n. Debemos estudiar primero las propiedades del movimiento de manera que podamos definirlo y medirlo antes de considerar los mecanismos que lo producen. Lo primero es considerar el des plazamiento como la consecuencia o resultado del movimiento. El desplazamien to es una medida del cambio de posición. Para describir completamente un des plazamiento, debemos conocer la posición inicial, la dirección del movimiento y la distancia o ángulo entre las posiciones inicial y final. 2.1. Desplazamiento lineal (Símbolo: S).
La distancia entre dos posiciones de un punto que se mueve a lo largo de una línea se llama desplazamiento lineal. La trayectoria, o lugar geométrico, de las posiciones del punto, puede ser curva. o recta, pero el desplazamiento es la distancia lineal recta entre dos posiciones, no necesariamente la distancia reco rrida en realidad. Aunque normalmente el desplazamiento lineal se aplica al mo vimiento de un punto, también pueden tener desplazamiento lineal un cuerpo o una línea en la traslación. Ya que todos los puntos de .un cuerpo, en la traslación, se mueven igual distancia para cualquier intervalo dado, el desplazamiento del cuerpo total es igual al desplazamiento de cualquier punto. El' desplazamiento lineal se mide en metros, centímetros, etc. 2.2. Desplazamiento angular (Símbolo: 0).
El ángulo entre dos posiciones de una línea en rotación de un cuerpo es el desplazamiento angular para ese intervalo del movimiento. Ya que un punto no 19
20
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
tiene extensión, su desplazamiento angular no tiene significado. Para determinar el desplazamiento angular de un cuerpo necesitamos medir solamente el ángulo. girado por cualquier línea solidaria al cuerpo, puesto que cuando un cuerpo gira, todas las líneas giran el mismo ángulo en un intervalo dado. El triángulo OAB (Figu ra 2.1) gira alrededor de O hasta la posición OA1B 1. En este movimiento, B A
Figura
2.1. - Desplazamiento angular.
la línea OA gira un ángulo AOA 1, igual a 8, y OB gira un ángulo BOB 1, que pue de demostrarse que también es igual a 0. El ángulo 1 es igual al ángulo 2, ya que son el mismo ángulo del triángulo en cada posición. Cuando el triángulo se des plaza un ángulo 0, el lado OA gira el ángulo 1 más el ángulo 3. El lado OB. gira el ángu lo 3 más el ángulo 2. Ya que el ángulo 1 más el ángulo 3 es igual al án gulo 3 más el ángulo 2 las líneas OA y 0B se han desplazado el mismo ángulo 0. El mismo triángulo se ve en la Figura 2.2 y podemos demostrar que los la dos OA y OB giran el mismo ángulo cuando se desplaza el triángulo. El ángulo
o Figura 2.2. - Todas las líneas de un cuerpo giran ángulos iguales.
4 es igual al ángulo 5, ya que son el mismo ángulo exterior del triángulo para cada posición. AB puede desplazarse a la posición A 1B1 en los tres movimientos 'guientes: l. Girando en sentido contrario al de las agujas de un reloj alrededor de A un ángulo 4 hasta AB 0 , en línea con OA. Girando en el sentido de las agujas de un reloj alrededor de O, un ángu r, hasta A1B2, en línea con OA 1 , º en el sentido de las agujas de un reloj un ángulo 5 hasta A1B1. :_ G
DESPLAZAMIENTO
21
La suma del movimiento levógiro en el ángulo 4 y del dextrógiro en el án gulo 5 es cero, ya que el ángulo 4 es igual al 5. Esto deja el desplazamiento total de AB desde la posición AB a A 1B1 igual al ángulo 0, el cual es el mismo des plazamiento que el del lado OA. Las unidades del desplazamiento angular son grados o radianes. El radián es el ángulo comprendido por un arco de circunferencia igual en longitud al radio de la misma (ver Figura 2.3). Como la longitud de la circunferencia es igual a
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1 Radián
Figura 2.3. - El radián como unidad angular.
2Jt * veces el radio, habrán, por tanto, 2n: radianes en 360º. Aún cuando normal mente medimos y contamos ángulos en grados, es a menudo conveniente calcular ángulos en radianes.
2.3. Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación. El disco W de la Figura 2.4 gira alrededor de un centro fijo O. Cualquier punto, tal como A, en este disco, permanece a una distancia constante (r) de O
Trayectoria de A
Figura 2.4. - Desplazamiento angular y lineal.
y consecuentemente recorre una trayectoria circular cuando el disco gira. Cuan do W da una revolución completa, el . desplazamiento angular de la línea OA es 360° o 2n radianes. Durante este movimiento, el punto A recorre una distancia igual a la longitud de una circunferencia de radio r, que es 2n:r. La trayectoria de * .1t se toma igual a 3,14 en la mayoría de los cálculos.
22
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
A será siempre directamente proporcional al desplazamiento angular de W. Si expresarnos este desplazamiento en radianes, podemos establecer una ecuación simple para la trayectoria de A o para cualquier punto del disco. En una relovución, la trayectoria de A tiene una longitud igual a 2:Jtr, y el desplazamiento de W es igual a 2Jt radianes. Dividiendo una igualdad por la otra:
Simplificando 2:ri::
Trayectoria de A 0w
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Trayectoria de A
Multiplicando por 0w: Trayectoria de A
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= r0w
Ya que A es cualquier punto de W, la ecuación general P= r0 da la distancia P r-ecorrida por cualquier punto a una distancia r del eje de ro tación del cuerpo que gira un ángulo de 0 radianes.· En la Figura 2.4 notamos que cuando el ángulo 0 es muy pequeño, el arco que subtiende P será prácticamente igual a la cuerda C. Por tanto, ya que arco P=r0 cuerda C
= r0
cuando 0 se aproxima a cero y se expresa en radianes. Por definición, el desplazamiento de A (SA) es igual a la distancia medida en línea recta entre dos posiciones de A. Cuando A recorre un arco, este despla zamiento sería la cuerda de dicho arco. Para ángulos muy pequeños (tales que 0 tienda a cero), la cuerda es aproximadamente igual al arco, así el desplazamiento llega a ser: S = r0
cuando 0 está en radianes. Esta ecuación da una relación entre el desplazamiento lineal y angular en cuerpos en rotación. !..i. Desplazamientos y trayectorias en el movimiento compuesto. l: cuerpo en movimiento compuesto está trasladándose y girando simuhá �!:ül�::e. _ Tos interesan los desplazamientos lineales de los puntos en el cuerpo ces;>lJi:.z.lmi·ento angular del mismo cuerpo.
DESPLAZAMIENTO
23
Los desplazamientos lineales pueden obtenerse gráficamente haciendo un di bujo exacto del cuerpo en las posiciones inicial y final y midiendo la distancia en tre las dos posiciones del punto en cuestión. Ei desplazamiento lineal puede cal cularse cuando se conozcan la trayectoria del punto y su velocidad, pero este método quedará más claro después del estudio de la velocidad. M
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Figura 2.5- - Desplazamientos lineal y angular en el movimiento compuesto.
24
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Cuando se desconozca la trayectoria de un punto, puede determinarse dibu jando el cuerpo en una serie de posiciones para intervalos cortos y trazando una curva a través de las sucesivas posiciones del punto. En el movimiento compuesto, la rotación de un cuerpo es por completo in dependiente de la traslación. La línea AB está fija en el cuerpo M, representado en Figura 2.5 (a). Cuando M se mueve a una nueva posición M1 , la línea AB pasa a ser A 1B 1, habiendo pasado por la traslación y la rotación para alcanzar la nue va posición. El ángulo 0 entre AB y Á 1B 1 es el desplazamiento angular de AB y del cuerpo M. Si consideramos la traslación y la rotación separadamente, AB po drá trasladarse primero desde la posición AB a A 1B0, después girar alrededor de A 1 un ángulo 0 1 a la posición A 1B 1 • Ya que AB y A 1B0 son paralelos el uno al otro, el ángulo 0 1 es igual a 0. (Cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante, los ángulos correspondientes son iguales.) Si se traslada la línea AB pri mero a A 0B 1 y después se gira un ángulo 02 hasta A 1B i , como en la Figura 2.5 (b), el desplazamiento lineal de AB habría sido diferente del primer caso, aun habien do sido el desplazamiento angular el mismo, ya que el ángulo 02 es igual al ángulo 0. (Cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante, los ángulos al ternos internos son iguales.) Como el desplazamiento angular es independiente del desplazamiento lineal, solamente es necesario medir el ángulo entre dos posiciones de una recta cual quiera sobre el cuerpo con objeto de encontrar el desplazamiento angular del cuer po en conjunto. Cuando el movimiento de un cuerpo está impuesto por restric ciones de miembros adjuntos de un mecanismo, se puede ahorrar mucho tiempo en el trazado de varias posiciones, si se señalan esquemáticamente los miembros como se ilustra en la Figura 2.6.
Figura 2.6. - Un trazado cinemático esquema- . · tizado.
DESPLAZAMIENTO
25
2.5. Mecanismos que producen trayectorias específicas. En el proyecto de máquinas se necesita, frecuentemente, guiar o conducir un punto a lo largo de una trayectoria dada. Se han ideado un gran número de me canismos que producen el movimiento a lo largo de las curvas geométricas comu nes, tales como un círculo, una elipse, una cicloide, una involuta y, desde luego, una línea recta. El arte del diseño incluye el conocimiento de lo que se ha hecho antes, así como de la capacidad para crear, por lo que será importante que el estudiante se familiarice con estos aparatos conocidos y adquiera un. "vocabula rio" de los mecanismos. Con este fin describiremos aquí algunos de los mecanis mos más familiares. 2.6. Mecanismos de línea recta. Hoy en día presenta pocos problemas el guiar un punto a lo largo de una línea recta, ya que es una cuestión simple producir superficies planas muy preci sas a lo largo de las cuales pueda deslizar una pieza. No era éste el caso antes de que se desarrollaran las modernas máquinas de mecanizado. Antes de que James Watt construyera su máquina de vapor, tuvo que pro yectar un sistema articulado para guiar un pasador a lo largo de una trayectoria en línea recta, puesto que en 1769 no había máquinas de mecanizado capaces de producir guías rectas de metal con precisión suficiente. Los mecanismos de línea recta no sólo tienen un interés histórico, sino que en algunas máquinas hay limitaciones de espacio que impiden el uso de guías convencionales.
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Figura 2.7. - Sistema articulado de Watt de línea recta.
26
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
l. Sistema articulado de Watt de línea recta (Figura 2. 7): Éste es uno de los más simples de estos aparatos, que consiste en dos manivelas AB y CD, de igual longitud, que pueden girar alrededor de pa sadores fijos en A y D, y de una biela BC conectada, dimensionada como se ve en la figura. El ·punto medio de BC, el punto E, sigue una trayecto ria aproximadamente recta para una distancia limitada, representada por la línea de puntos del segmento GH. 2. Sistema articulado de Robert de línea recta (Figura 2.8): En este mecanismo, las manivelas AB y CD son de igual longitud. La biela BC tiene un puntal saliente, unido rígidamente a 90° en su punto B
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Figura 2.8. - Sistema articulado de Robert de, línea recta.
medio para formar un miembro en T. La trayectoria del punto P es aproxi madamente una línea recta en una parte de su recorrido. 3. Sistema articulado isósceles! o de Scott Russel, de línea recta (Figura 2.9): En este mecanismo, las longitudes AB, CB y BF son iguales, formando 1 1
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e Figura 2.9. - Sistema articulado isósceles de línea recta.
DESPLAZAMIENTO
27
dos triángulos isósceles, que dan su nombre al aparato. El punto F recorre una línea recta, exactamente vertical, que pasa por A para todo el intervalo de su movimiento. 4. Sistema articulado de Peaucellier de línea recta (Figura 2.10): Si bien es más complejo, este aparato guía el pasador P en una trayecto ria exactamente recta, perpendicular a AB. Los ejes fijos son A y B, y los miembros nombrados con las mismas letras tienen la misma longitud. 1 1 1 1
� Trayectoria recta de P : 1
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5. Mecanismo epicíclico de línea recta (Figura 2.11): El diámetro del disco W es exactamente igual al radio del anillo grande fijo M. Si W rueda alrededor de la superficie de M, sin deslizar, el punto P sobre W sigue una línea exactamente recta siguiendo el diámetro de M. �M
Figura 2.11. - Mecanismo clico de línea recta.
epicí
2. 7. Mecanismo para describir arcos de gran radio. Ya que cualquier punto de un cuerpo que gire alrededor de un eje fijo sigue una trayectoria circular, no presenta problemas el instrumento para describir ar-
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ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
cos de radio pequeño. Si se desea un arco de radio muy grande, esta solución simple llega a ser, evidentemente, más difícil de realizar. Una modificación del sistema articulado de Peaucellier (Figura 2.12) en el que AB no es igual a BC, hace seguir a P un arco de círculo en vez de una línea
Figura 2.12. - Sistema articulado para arcos de radio de gran longitud.
recta. Si se hace BC menor que AB, el centro �l arco está a la derecha, sobre la prolongación de la línea AB. Si BC es mayor que AB, el centro se encuentra a la izquierda. Los otros miembros, designados con las mismas letras, tienen igual longitud.
2.8. Mecanismo para describir trayectorias elípticas. Una modificación del sistema articulado isósceles guía al punto E a lo largo de una trayectoria elíptica, como se ve en la Figura 2.13. Se hace AB igual a BC,
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Figura 2.13. - Sistema articulado para descri bir una elipse.
DESPLAZAMIENTO
29
y E puede localizarse para cualquier punto sobre CF, o sobre su prolongación (ex cepto B, C o F). El eje mayor de la elipse es igual a dos veces la suma de AB y BE. El eje menor es igual al doble de CE. El centro de la elipse es A, con el eje mayor sobre la guía.
2.9. Mecanismo para describir una parábola. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos que equidis tan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. En la Figura 2.14, el pasador fijo F es el foco, la línea central DD de la ranura ver tical fija es la directriz, y el punto P, sobre la biela B, recorre una trayectoria
Figura 2.14. - Sistema articulado para describir una parábola.
parabólica en tanto que el brazo acanalado M se mueve hacia arriba y hacia abajo. M desliza en la ranura vertical y es perpendicular a DD en todo momento. El pasador A está sobre M. AG GF =FE=EA. Los manguitos en E y G, deslizan libremente sobre B. Las líneas imaginarias AF y GE son diagonales del
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30
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
rombo AGFE. GE es la mediatriz perpendicular de AF. Por lo tanto, AP (per pendicular a DD) es igual a PF en todas las posiciones. p
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Conexión articulada L
Figura 2.15. - Mecanismo para describir una involuta.
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DESPLAZAMIENTO
31
2.10. Mecanismo para generar una involuta. Una involuta es la curva descrita por el extremo libre de un cordel, tirante, inextensible, conforme se desenrolla �e un cilindro fijo. La Figura 2.15 muestra una cadena que se desenrolla de una rueda dentada fija. El extremo de la cadena P describe una involuta. Nótese que el radio de curvatura de la involuta, para cualquier punto, es igual a la longitud de cadena desenrollada (desde P al punto de tangencia T, por ejemplo). También se ve en la Figura un mecanismo para describir una involuta. El engranaje G se mantiene quieto, mientras que la cremallera R rueda alrededor de él con los dientes engranados para evitar el deslizamiento. Se hace girar a la ar ticulación de unión L con rodillos, alrededor del centro del engranaje O, produ ciendo el giro de la cremallera y manteniendo los dientes ajustados. Una punta de trazar en un punto P de cualquier diente trazará una involuta. La circunferencia primitiva del engranaje debe tener el mismo diámetro que la circunferencia base desde la que se ha generado la involuta. La ranura de L permite ajustar L a di ferentes tamaños de engranajes.
2.11. Mecanismo ampliador o reductor. Hay un -gran número de sistemas articulados paralelos que pueden usarse para cambiar la escala del dibujo de un modelo o contorno, sin alterar sus pro porciones. Un ejemplo común es el pantógrafo, que se ve en la Figura 2.16. El punto A es fijo y los pasadores A, E y P están en línea recta. El sistema articulado for mado por CE, ED, DB y BC es un paralelogramo. Para ampliar un dibujo, se
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32
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
,sigue el contorno dado mediante un estilete en E -y la figura se reproducirá am pliada mediante un lápiz colocado en P. Para reducir el tamaño, seguimos el di bujo dado en P y la figura reducida será descrita por un lápiz colocado en E. La razón entre los tamaños de los dibujos. original y trazado es la misma que la razón de la distancia AE a AP. En este ejemplo, dicha razón es 2 a 5.
2.12. Proyecto de mecanismos para desplazamientos dados. Ahora estamos en condiciones de considerar algunos problemas de diseño ele mentales que implican desplazamientos. En los ejemplos que ofrecemos a conti nuación, sólo se indica una de las muchas soluciones posibles y sólo se considera el problema de producir el desplazamiento pedido. Si se tratase de un pro yecto verdadero, las velocidades y aceleraciones deberán ser factores vitales en la elección de un mecanismo, pero esto deberá aplazarse hasta más tarde, cuando nuestro estudio esté más avanzado.
Ejemplo 1 Un problema típico pide que se impulse un punto hacia atrás y hacia ade lante sobre una trayectoria recta (mediante un movimiento alternativo) entre dos puntos M y N, separados 4 cm. El movimiento se da por un eje giratorio, localizado en cojinetes fijos en el punto A sobre la prolongación de la línea MN, a 6 cm de M. Figura 2.17 (a). Un mecanismo simple para convertir la rotación en traslación es la mani vela y la articulación de corredera ABC que se ve en la Figura 2.17 (b). Con siderando la posición extrema N, alcanzable por C hacia la derecha (CR) es evi dente que la manivela AB y la biela BC deben extenderse en línea recta con objeto de traer C hasta esta posición. Ahora no podemos predecir las dimen siones de AB o BC individualmente, pero está claro que: BC+AB=AM+MN=6+4 o sea BC+AB=lO Cuando C esté' en la posición extrema M a la izquierda (Cr), AB y BC estará la una colocada sobre la otra así que la distancia desde B hasta M es igual a BC. Entonces BC - AB = AM o sea BC - AB = 6 Ahora tenemos dos ecuaciones que contienen A B y BC; podemos despejar ambas distancias: BC+ AB= 10 BC-AB= 6 2BC = 16 BC = 8
Sustituyendo:
(sumando las igualdades miembro a miembro)
s+ AB = 10
o sea AB
=2
DESPLAZAMIENTO
33
Así una manivela y articulación de corredera con AB = 2cm BC =8 cm como se ve en la Figura 2.17 (e) da el desplazamiento pedido.
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(el Figura 2.17 - Proyecto demanivela y articulación de corredera
para
desplazamientos
d ados.
Ejemplo 2 Estudiar qué mecanismo se necesita para hacer girar una manivela CD hacia atrás y hacia adelante (oscilando) un ángulo 0, entre las posiciones CL D y CRD, situadas como indica la Figura 2.18 (a) con un eje conductor en A, girando sobre cojinetes fijos. Un cuadrilátero articulado proporcionará el movimiento deseado. La ma nivela AB, girando alrededor de A, está conectada a CD mediante el vástago de unión BC. Figura 2.18 (b). AB da vueltas completas mientras CD oscila . Como en el ejemplo anterior, AB y BC deben estar en prolongación cuando CD está en la posición extrema de la derecha (CR D). De .esto, deducimos que BC AB = = ACR. Si medimos mediante una regla graduada, o calculamos '1a distancia ACR y encontramos que es igual a 8, podemos escribir BC + AB =8. Cuan dq · CD está en la posición extrema izquierda (CL D); BC debe superponerse a AB, en cuyo caso BC-AB = ACL. Si ACL mide 4 cm, podemos afirmar que BC-AB = 4 cm.
+
LENT - 3
34
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Ahora tenemos dos ecuaciones que contienen AB y BC y podemos despe jar ambas longitudes. BC+ AB= BC-AB = = 2BC BC =
8 4
12 (sumando) 6
=
=
Sustituyendo: 6+AB 8, o sea AB 2. El mecanismo pedido tendrá en tonces una manivela conductora AB, de 2 cm de longitud y una biela BC, de 6 cm como se ve en la Figura 2.18 (e).
45°
e
Cs,5 c __ _L __ _ (a)
B I
I I
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1
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e
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I
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I
(b)
2 cm 5, 5 cm __ A./J- _
(e) Figura 2.18. � Proyecto de un cua drilátero _articulado para desplaza mientos dados.
2.13. Proyecto de mecanismos para trayectorias dadas. Si se necesita conducir un punto a lo largo de una trayectoria curva irre gular, se pueden emplear varios métodos, dependiendo la selección del espacio disponible, del grado de precisión pedido y de las limitaciones de costo. La aproximación más simple desde el punto de vista del proyectista podría ser usar una plantilla fija, cortada según la curva deseada, la cual podría servir de guía al miembro móvil.
DESPLAZAMIENTO
35
Un segundo método implica dos chapas giratorias de contorno especialmente diseñado, llamadas levas. Éstas, a través del contacto con una pieza impulsada moviéndose libremente, proporcionan los desplazamientos convenientes, horizon tal y vertical necesarios para seguir la trayectoria pedida. El tercer método es proyectar un sistema articulado, el cual guíe e impulse el punto a lo largo de la curva. Este método es quizás el más difícil, pero el me canismo resultante podría ser, probablemente, el más satisfactorio. 2.14. Método de la plantilla fija. El mecanismo de manivela y corredera ABC se emplea en la Figura 2.19 para impulsar el pasador C. Se obliga a seguir a un rodillo, montado sobre el paTrayectoria especificada
B
I
/
'\
I
\
Plantilla D
A
Figura 2.19. - Plantilla fija para trayectorias irregulares curvas.
sador C, a lo largo de una acanaladura cortada en la plantilla D. La línea cen(ral de esta acanaladura es la trayectoria especificada que seguirá C. El meca nismo es simple, pero, si se pide un alto grado de precisión, el mecanizado de precisión necesario para prevenir holguras puede bien ser prohibitivo en cos to. La plantilla debe montarse rígidamente sobre la máquina y ocupa un espacio considerable en el área inmediata al movimiento de salida, el cual puede no ser utilizable. 2.15. El método de las levas combinadas. La leva y seguidor es un mecanismo muy simple y versátil, usado frecuente mente para obtener una gama irregular de desplazamientos. Las levas se hacen de muchas formas diferentes, con varios tipos de seguidores, por lo que las es tudiaremos con más detalle más adelante (ver Capítulo 9). La Figura 2.20 muestra una excéntrica radial, de doble acción con un seguidor de rodillo. Se talla una acanaladura en la superficie de la excéntrica para recibir el rodillo. Cuando la excéntrica C gira en el sentido de las agujas de un reloj, alre dedor del eje fijo A, el vástago T es conducido de izquierda a derecha ya que el radio del centro de la acanaladura aumenta a medida que las líneas radiales 1, 2,
36
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
2
Figura 2.21. - Excéntrica de disco con s e guidor plano.
Figura 2.20. - Excéntrica de doble acción con seguidor de rodillo.
3, etc., pasan sucesivamente por la línea de pos1c1on de referencia. Ya que el rodillo está contenido en todo momento en el interior de la acanaladura, se le llama excéntrica de doble acción. La Figura 2.21 muestra una leva de disco con un seguidor plano, el cual se sostiene en contacto permanente con la leva, por medio de un muelle de compre sión. Cuando la leva gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo B, el seguidor R sube o baja según que la distancia vertical entre el eje B de la leva y el punto de contacto sobre la superficie de la leva, aumente o disminuya. Supongamos que usamos la leva C para conducir un vástago horizontal T y la leva E para conducir un vástago vertical R, el cual está montado en T de ma nera que pueda subir o bajar libremente. Es posible, si las levas están proyectadas adecuadamente, guiar el punto P sobre el vástago R a lo largo de casi cualquier trayectoria curva, como se ve en la Figura 2.22. Si las levas están sincronizadas, la C puede producir el desplazamiento horizontal necesario, mientras que la E Trayectoria de P .
'",/
P. " .,,-'/
Desplazamiento horizontal debido a la leva C
Desplazamiento vertical debido a la leva E
Figura 2.22. - Levas combinadas para trayec
torias irregulares.
DESPLAZAMIENTO
37
proporciona - simultáneamente - el desplazamiento vertical correspondiente ne cesario para situar P en cualquier punto a lo largo de la curva. El método para proyectar estas levas se describe con detalle en el Capítulo 9.
2.16. Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas. El cuadrilátero articulado es el más básico de todos los mecanismos articu lados. Todos los demás sistemas articulados pueden señalarse como modificacio nes o combinaciones de varios cuadriláteros articulados. La Figura 2.23 muestra un ejemplo típico. Un miembro (AD) es fijo y normalmente no e_stá en la forma
/ / / /
1
\
\
Trayectoria de E
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--- ---
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___
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/
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Articulaciones a distancia fija Figura 2.23. - Trayectorias de puntos en un cuadrilátero articulado.
de barra o articulación, ya que está definido por dos puntos fijos sobre la arma dura de la máquina. Hay dos manivelas, una conductora AB y otra conducida CD. Como A y D son ejes fijos, estas manivelas tienen rotación pura. Los extremos móviles de las manivelas están conectados por una cuarta barra, la biela (llamada de acoplamiento) la cual tiene un movimiento compuesto de rotación y traslación.
----- -
38
- --:::...
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-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Análisis del cuadrilátero articulado J . A HrMn V G. L N,,_
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B
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1 1
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B=
3,s
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I I 1
1 1 1 1 1 1
A= 3,5
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1 1 1
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1 1 1
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Figura 2 24. - Página de muestra del Analysis of the Four-Bar Linkage (Análisis del cuadrilá1ero articulado) por Hrones y Nelson. (Por cortesía de John Wiley & Sons.)
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A ·2' cm
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Figura 2.25. - Sistema articulado para describir una trayectoria curva.
---
DESPLAZAMIENTO
39
Este mecanismo simple, es capaz de una gran variedad de movimientos que pue den obtenerse ajustando los tamaños relativos de las cuatro partes del sistema articulado. Según alteremos las dimensiones de las partes del sistema articulado, los diferentes puntos de la barra de acoplamiento, o de su prolongación, trazarán gran número de curvas irregulares. Es concebible que si podemos determinar las proporciones adecuadas de las partes del sistema articulado y seleccionar el punto trazador correcto sobre la barra de acoplamiento podamos obtener, con este mecanismo simple, cualquier trayectoria del movimiento que pueda pedirse. Esta solución puede ser precisa y barata y puede implicar un mínimo de espacio. Aun cuando el mecanismo resul tante ·es sencillo, el proceso de diseño de tal dispositivo resulta, desgraciadamen te, difícil. Los métodos de tanteo, usando modelos de cartón, son sugestivos e instruc tivos pero lentos e irracionales y n0 ofrecen seguridad de éxito. En general, la so lución por tanteo no debe descartarse a la ligera si los intentos preliminares seña lan el camino para un buen resultado, pero este acercamiento es descorazonador si degenera en un puro juego sin indicar caminos para mejorar. El Análisis de los mecanismos de cuatro barras, de HRONES y NELSON (Wi ley) es un catálogo que señala las trayectorias de los puntos de la barra de aco plamiento de más de 700 cuadriláteros articulados y da las dimensiones relativas de cada una de las partes del mecanismo articulado para cada caso. Este libro ofrece una solución directa a este difícil problema. Usando este catálogo encon tramos una trayectoria curva que es igual a la curva que nosotros deseamos pro ducir. Se obtienen fácilmente la situación del punto sobre la barra de acoplamien to y las dimensiones de las partes del mecanismo articulado que produzcan esta trayectoria en el mecanismo elegido, con lo que sólo queda por ajustar la escala para el tamaño de curva deseado, completando así la solución. La Figura 2.24 muestra una página característica del catálogo, y la Figu ra 2.25 uo sistema articulado seleccionado para una curva dada. Puede añadirse un sistema articulado auxiliar, señalado de puntos, si se desea limitar el movimien to del punto trazador a la trayectoria pedida.
PROBLEMAS 2.1. En la Figura P2. l, se muestra el mecanismo aproximado de Tchebicheff para
línea recta. A y D son ejes fijos, y P es el punto medio de CB. AD = 15 cm, AB = CD = 18,75 c¡.n (cruzadas en la forma que se indica) y CB = 12,5 cm. Dibujar el mecanismo a tamaño natural y trazar la trayectoria de P para de terminar la longitud de su movimiento recto. 2.2. En el sistema articulado de la Figura P2.2, A y B son ejes fijos. AB = BC = =7,5 cm, AE =AD= 10 cm y DC =CE= EF = FD = 12,5 cm. Dibujar
--
- -
-
- - - -
-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
40
e
p
8
A Figura P2.1
el mecanismo a tamaño natural y la trayectoria del punto F. ¿A qué sistema articulado se parece éste? 2.3. En la Figura P2.3 la barra LM = 15 cm, y el punto P está situado a 5 cm de L. Las líneas centrales de las guías son perpendiculares. Trazar la trayectoria de P y dibujar la curva continua uniforme. ¿De qué sistema articulado es éste una modificación? 2.4. En la Figura P2.4, A es el centro de la superficie circular fija S. El disco W se mantiene en contacto con S mediante el brazo AB. Cuando AB gira alrededor de A, no hay deslizamiento entre W y S. P es un punto de la periferia de W que está en contacto con la superficie S en la posición indicada. El radio de
s L
M Figura P2.4
Figura P2.3
=
=
=
S 15 cm; AB 10 cm, siendo el radio de W 5 cm. Trazar la trayectoria de P sobre W cuando AB gira en sentido de las agujas de un reloj un ángulo de 30º. Dibujar una curva continua uniforme para la trayectoria de P. ¿Cuál es el nombre correcto de esta curva? 2.5. Proyectar un mecanismo para llevar un pasador -R de un lado a otro de la tra yectoria recta AB de 3,2 cm de larga. El mecanismo· está accionado por un eje situado en O (Figura P2.5) el cual gira continuamente en la misma dirección. Hacer un croquis del mecanismo, dando todas las dimensiones.
41
DESPLAZAMIENTO
4cm---J 32 �--+------- -·�
A
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,, .,,.,.--
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.... ...-,
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3 cm
1t
+e-----6 cm ,M
I
i
,S
Figura P2.6
Figura P2.5
2.6. Proyectar un mecanismo que haga que la manivela ST, de 3 cm de longitud, oscile en un ángulo de 90º situado como se señala en la Figura P2.6. El me canismo está accionado por un eje que gira continuamente, situado en M. Ha cer un croquis del mecanismo pedido, dando todas las dimensiones. 2.7. La rueda de paletas de Buchanan, inventada en los días de los buques de vapor de ruedas laterales, era muy eficaz porque las paletas se mantenían en un plano vertical durante todo su movimiento y así podían entrar y salir en el agua sin un chapoteo inútil y ejercer una fuerza máxima contra el agua mientras estaban su mergidas. En la Figura P2.7 se ven las posiciones sucesivas de las paletas. Proyec tar un sistema articulado que mantenga una paleta en esta posición vertical mien tras la rueda da revoluciones completas. Especificar las dimensiones relativas de todos los miembros.
Figura P2.7 2.8. Proyectar un mecanismo que sitúe la mediatriz perpendicular de las líneas (hasta de 15 cm de longitud). Este dispositivo debe alinear un borde recto a lo largo de la mediatriz perpendicular pedida. 2.9. Proyectar un mecanísmo para guíar un punto sobre una trayectoria exactamente elíptica. El eje mayor de la elipse es 30 cm, y el menor 10 cm. Hacer un cro quis del mecanismo, y especificar todas las dimensiones. 2.10. El seguidor plano F sube y baja por medio del contacto con una leva que gira alrededor del eje A, situado como indica la Figura P2.10. Partiendo de la posi ción indicada F sube 3,7 cm, entonces vuelve a la posición inicial. Este movi miento tiene lugar durante cada revolución de la leva. Proyectar una leva circu lar que produzca el movimiento pedido de F.-
42
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
2 A �3,8 cm Figura P2.10
60 °
Figura P2.11
2.11. Proyectar Un sistema articulado que guíe el punto N en uno y otro sentido so
bre la trayectoria ABC, que se muestra en la Figura P2.1 l . Este mecanismo está accionado por eje que gira continuamente. La trayectoria es aproximada mente recta desde A a B y un arco circular de 1,5 cm de radio, desde B a C. 2.12. Proyectar un mecanismo para guíar el punto S sobre la trayectoria DEF, que se muestra en la Figura P2.12. La trayectoria desde D a E es un arco circular de 5 cm de radio con centro en O. La trayectoria desde E a F es un arco de 2,5 cm de radio con centro en P.
o
Figura P2.12
2.13. Proyectar un sistema articulado que gúíe un punto sobre una trayectoria total
mente recta de 15 cm de longitud por lo menos. El sistema articulado está com puesto de barras que están articuladas unas a otras; no deben emplearse ni co rrederas ni rodillos. Debe estar accionado por un eje giratorio que haga girar a una de_ las barras. Dibujar el sistema· articulado pedido a escala en una po sición característica. Indicar todos los puntos fijos y dar dimensiones reales de los miembros. Rotular el eje motor y el punto trazador. Hacer un modelo a escala en cartón del sistema articulado a fin de poder demostrar la validez del proyecto. 2.14. Proyectar un sistema articulado que guíe un punto en uno y otro sentido a lo, largo de una trayectoria elíptica. El eje mayor de la elipse es 15 cm, el menor 1O cm. Trazar sólo un cuadrante de la elipse. El sistema articulado está ac cionado por un eje que gira continuamente. Dibujar el sistema articulado pe dido a escala, indicando todos los puntos o superficies fijos y dando las dimen siones reales de los miembros. Rotular el eje del eje motor y el punto trazador.
DESPLAZAMIENTO
43
Hacer un modelo a escala de cartón del sistema articulado a fin de poder de mostrar la validez del proyecto. 2.15. Proyectar un sistema articulado mediante pasadores para accionar un brazo oscilante de 15 cm de longitud en uno y otro sentido sobre un ángulo de 75º. La razón de tiempos total de la ida a la vuelta es de 2 a 1. El sistema articulado está accionado por un eje que gira con velocidad constante. (El desplazamiento angular del eje conductor es directamente proporcional al tiempo.) Dibujar a escala el sistema articulado pedido, indicando todos los ejes fijos y dando las dimensiones reales de todos los miembros y las posiciones relativ·as de los ejes fijos. Rotular la manivela conductora y el brazo oscilante. Hacer un modelo en cartón a escala del sistema articulado a fin de poder demostrar su validez. 2.16. Proyectar un sistema articulado que guíe un punto sobre una trayectoria para bólica. El foco estará a 20 cm de la directriz. El sistema articulado debe ser capaz de describir una parábola de al menos 15 cm de longitud aproximadamente. El sistema articulado puede accionarse por un miembro con movimiento alter nativo sobre una trayectoria recta o por un eje giratorio unido a una de las partes del sistema articul_ado. Pueden emplearse miembros deslizantes así como juntas articuladas. Dibujar el sistema articulado a escala indicando todos los puntos y superficies fijas y dando las dimensiones reales de' los miembros. Rotular el miembro conductor y el punto que describe la parábola. 2.17. Proyectar UI_l sistema articulado que guíe un punto sobre cualquier trayectoria que sea paralela en todo momento y de longitud dos veces y media la de cual quier trayectoria dada (pantógrafo). El punto conductor ha de seguir a ma no una trayectoria dada. Usar cualquier triángulo irregular como ejemplo de la trayectoria que queremos reproducir a escala mayor. Dibujar a escala el sistema articulado pedido, indicando todos los puntos fijos y dando las dimen-' siones reales de los miembros. Rotular el punto conducido a mano D y el punto trazador T. Hacer un modelo de cartón a escala del sistema articulado a fin de poder demostrar la validez del proyecto.
j
Velocidad
.El estudio de la velocidad es quizá la fase más importante· de un curso de meca nismos. El desplazamiento y la aceleración están tan estrechamente relacionados a la velocidad que a menudo se determinan más facilmente a través del estudio de la velocidad que por un método directo. Por esta razón, nos concentraremos en el desarrollo de una base sólida de análisis de la velocidad como núcleo bá sico, alrededor del cual construiremos. Velocidad es el régimen de la variación de la posición con respecto al tiempo o el desplazamiento por unidad de tiempo. Son unidades comunes de velocidad: ·el centímetro por segundó, el radián por segundo, el número de revoluciones por minuto y el kilómetro por hora. No es sólo una expresión de la magnitud, sino que denota, también, la dirección del movimiento. El término celeridad también se usa a menudo para expresar la magnitud de la velocidad, pero este término no incluye la designación de la dirección. La velocidad de un punto o de un miem� bro es un valor instantáneo, el cua,l puede permanecer constante o variar en un período de tiempo. 3.1. Velocidad lineal (Símbolo V). Un punto que se mueve sobre una línea recta tiene una velocidad lineal igual a su desplazamiento lineal por unidad de tiempo. Si el punto recorre distancias iguales en sucesivos intervalos de tiempo iguales, su velocidad ·es uniforme o constante, y puede determinarse midiendo su desplazamiento S en un tiempo dado T y dividiendo:
44
VELOCIDAD
45
Por ejemplo, en la Figura 3.1, si el punto P recorre 4 cm de a a b en 2 segundos, y 4 cm de b a e en los siguientes 2 segundos, etc., su velocidad es constante e igual VP
S 4 =T =2 = 2 cm/s
2s r-
a
"'I,. b
2s
�
Trayectoria de
Pe
,_,.___4 cm___j 1.--4 cm __..,..
Figura 3.1. - Velocidad lineal constante.
La dirección de esta velocidad es a lo largo de ac hacia la derecha en todo mo mento. Si el punto recorre distancias desiguales en sucesivos intervalos de tiempo iguales, se dice que su velocidad es variable y tiene un valor diferente en cada instante. En la Figura 3.2, un punto recorre 4 cm de a a b en 2 se gundos y 6 cm de b a e en los dos segundos siguientes. La velocidad media entre a y b es igual S Vm = T
4 = 2 cm/s =2
Sin embargo, esta velocidad media no es la velocidad para todas las posiciones entre a y b, ya que la velocidad cambia continuamente mientras el. punto se mueve. Éste es sólo un número teórico. Para determinar la velocidad instantánea para un punto dado e, considera mos un pequeñísimo desplazamiento ó.S * y el correspondiente intervalo de tiempo pequeño ó.T que se necesita para recorrer esta distancia. Cuando estos pequeños incrementos ó.S y ó.T tiendan a cero, su razón será igual al valor instantáneo de la velocidad para el punto e: V,
=
!f
(cuando ó.T tiende a cero)
Figura 3.2.·- Velocidad lineal variable. * La letra griega 6. (delta) se usa normalmente para expresar un pequeño incremento, o un pequeño ca-111bio, de cualquier cantidad.
46
ANALISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
En cálculo infinitesimal, esta relación se expresa por ds (derivada primera del dt desplazamiento lineal con respecto al tiempo). Si un punto se mueve a lo largo de una trayectoria curva, la dirección de su velocidad para toda posición dada es la dfrección de la trayectoria curva en dicho punto, que se puede definir mejor por la tangente trazada a la curva..En la Fi gura 3.3, un punto que se mueve en el sentido de las agujas de un reloj a lo largo del arco abe tiene inclinaciones diferentes de la velocidad en cada posición, como se ve por las tangentes en a, b y c. Si el punto recorre longitudes iguales de arco en intervalos de tiempo iguales, la magnitud de la velocidad en cada punto es igual a: V= ar�ab (donde Tes el tiempo necesario para ir de a a b)
Ya que la dirección de la velocidad es diferente para cada posición, el despla zamiento S entre a y b (la cuerda ab) es distinto al arco ab. Por tanto, la ecuación anterior
puede solamente aplicarse cuando /j.S sea tan pequeño que sea esencialmente igual al arco que subtiende. En este caso, la ecuación general utilizada es: V = ll.S ll.T
(cuando lj.T tiende a cero).
Un éuerpo que se traslada, puede decirse que tiene velocidad lineal. Ya que el cuerpo no gira y todos los puntos de él tienen el mismo desplazamiento en un intervalo de tiempo dado, la razón /j.S/ lj.Tserá la misma para todos los puntos, en cualquier instante. La velocidad de todo el cuerpo será, por tanto, igual a la velo cidad de un punto cualquiera de él. a
Arco ab (cuerda= arco cuando L\T tiende a cero) Trayectoria e Tangente
t.
o
o
Figura 3.3. - Velocidad lineal en una trayectoria curva.
VELOCIDAD
47
3.2. Representación vectorial de las velocidades lineales. Como la velocidad lleva consigo una direFción, así como una magnitud, di remos que es una magnitud vectorial y puede representarse gráficamente por un segmento orientado llamado vector. Supongamos que el punto A sobre un cuerpo tiene una velocidad de 3 cm/s en la dirección ascendente hacia la derecha, a 45º con el eje de referencia XX. La Figura 3.4 muestra el vector que representa esta velocidad. La magnitud se señala, dibujando el vector a escala de 1 cm igual a 1 cm/s, resultando una línea de 3 cm de longitud con origen en el punto A.' VA
X--
Figura
cidad.
45
°
_ _i ___ x
3.4. - Vector
velo
Hay dos aspectos en la dirección, primero, la inclinación, que es la línea a lo largo de la cual, tiene lugar el movimiento, y segundo, el sentido, el cual señala de qué manera el movimiento se dirige a lo largo de esta línea. El vector se dibuja para la inclinación pedida, y se añade una punta de flecha para señalar el sentido. La notación VA es un símbolo identificativo que significa "velocidad del punto A". Los vectores se usan mucho para· proporcionar una representación gráfica, clara, de las velocidades lineales ya sean dibujados a escala, o trazados señalando la magnitud.
3.3. Velocidad angular (Símbolo: w).* Una línea de un cuerpo en movimiento angular (rotación) tiene una veloci dad angular igual a su desplazamiento angular por unidad de tiempo. Si gira el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo, su velocidad angular es uniforme o constante. La magnitud de esta velocidad angular constante se determina mi diendo el ángulo girado en un intervalo de tiempo dado y dividiéndolo por dicho intervalo de tiempo:
* La letra griega oo (omega) se usa normalmente para la velocidad angular.
ANk.LISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
48
Figura 3.5. - Velocidad angular constante.
Por ejemplo, la Figura 3.5 muestra la línea AB fija en el cuerpo W, la cual gira en el sentido de las agujas de un reloj un ángulo de 45 ° cada 2 s. La veloci dad angular del cuerpo es: co
=: =
1=
22,5°/s, en el sentido de las agujas de un reloj
La velocidad angular se expresa corrientemente en radianes por segundo o en re voluciones por minuto, más que en grados por unidad de tiempo. Si w está en ra dianes por segundo, 0 debe estar en radianes, así que la ecuación escrita anterior mente, tomará la forma: co
= 1l = 0,3925 rad/s, en el sentido de las agujas de un reloj t = T = n/4 2 8 9rad
Sólo las líneas de un cuerpo pueden tener veloci9ad angular. Ya que un punto no tiene dimensiones, el movimiento angular de un punto no tiene significado. Si una línea de un cuerpo gira ángulos desiguales en iguales intervalos de tiempo, se dice que su velocidad angular es variable. Para cualquier período de tiempo dado, la velocidad angular media puede encontrarse dividiendo el desplazamien to angular durante ese intervalo (0) por el intervalo de tiempo (T):
t Conversiones de unidades (usar n= 3,14 en los cálculos): 2n radianes= 1 revolución= 360º número de radianes= número de revoluciones X 2n n ángulo en radianes 2n = ángulo en grados = 360 · 180 ángulo en radianes= ángulo en grados X
180
VELOCIDAD
49
Asimismo, esta velocidad media sólo es un valor teórico, y no la velocidad angular para todas las posiciones de -la línea durante el intervalo de tiempo T. Para determinar la velocidad angular para cualquier insthnte determinado, debe usarse un pequeñísimo 110 y su correspondiente f..T. Cuando estos pequeños incrementos, tienden a O, su cociente llega a ser la velocidad angular instantánea: co = llO (cuando f..T tienda a cero) llT En cálculo infinitesimal este cociente se expresa por d0 / dt (derivada primera del desplazamiento angular con respecto al tiempo).
3.4. Relación entre la velocidad lineal y la angular. En la Figura 3.6, el disco W gira en sentido de las agujas de un reloj alrede dor del eje fijo O, con una velocidad angular igual a ro. La línea OA tendrá la misma velocidad angular que W, y el punto A recorrerá una trayectoria circular de radio OA. Cuando se mueve, el punto A no tiene movimiento hacia el eje fijo O, ni alejándose de él y por lo tanto no tiene velocidad a lo largo de la línea ra dial OA. La velocidad de A es entonces tangencial a su trayectoria circular (perpendicular a OA) en todo momento. A
Trayectoria de - -
�A . I
I
.""-.
r/ 6.B \,
r-¡..A-:-f? /
w
1. _\
6.S=rl::i.8
(cuando />,.() tiende a cero)
Figura 3.6. - Velocidades angular y lineal.
Es evidente que si W gira rápidamente, el punto A tendrá una velocidad lineal elevada, y si W gira lentamente, la velocidad de A será baja. De esta observación, podemos esperar que exista alguna relación definida entre la velocidad angular de un cuerpo y la velocidad lineal de los puntos de dicho cuerpo. Para un instante dado, VA = llS (Articulo 3.1) f!..T LENT · 4
50
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS.
(Artículo 3.3)
y
Para aplicarlas en todos los casos, estas ecuaciones especifican que t,.,,.T tiende a O, lo cual hace t,.,,.S y t,.,,.0 muy pequeños. En el artículo 2.3 observamos que durante un desplazamiento angular 0( en radianes) un punto de un cuerpo en rotación gi rará un arco circular igual a r0. Para un ángulo muy pequeño tal como t,.,,.0 en la Figura 3.6, la trayectoria circular de A es esencialmente igual a la cuerda t,.,,.S, la cual es el desplazamiento de A durante el desplazamiento angular t,.,,.0 de W. Como t,.,,.0 y t,.,,.S tienden a cero, podemos entonces expresar 11S = r 110 En la ecuación
V= 11S
11T
podemos sustituir t,.,,.S por rt,.,,.0, así que V= r 110
11T
pero
110 = cu 11T
luego V= rw (donde w está en radianes por unidad de tiempo). En el ejemplo de la Figura 3.6, r es igual a OA y de W, así: V = OA X Ww
ffiiv
es la velocidad angular
A
Esta fórmula no sólo simplifica el cálculo de las velocidades lineales sobre un cuerpo en rotación, sino que proporciona un medio de determinar la veloci dad angular de un cuerpo cuando se conocen la velocidad lineal de un punto y su distancia al eje de rotación. Si
V= ffir,
entonces
ffi
V =(dividiendo ambos miembros de la ecuación por r). r
En todas las aplicaciones de esta fórmula, w debe estar en radianes por unidad de tiempo. Hemos observado (en el artículo 2.2), que todas las líneas de un cuerpo tienen el mismo desplazai:µiento angular para cualquier intervalo de tiempo dado. Ya que todas las líneas girarán el mismo ángulo en un tiempo dado, la razón de t,.,,.0 (ángulo girado)/ t,.,,.T (tiempo necesario en el giro) será la misma para todas las.
VELOCIDAD
51
!).0 = w, la velocidad angular será /J,.T igualmente, la misma para todas las líneas. Esto justifica el uso de la velocidad lineal de cualquier punto de un cuerpo, para encontrar su velocidad angular.
líneas del cuerpo en todo instante. Ya que
3.5. Velocidades de los puntos de cuerpos en rotación. En la Figura 3.7 un cuerpo M gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo P. Cuando está en la posición indicada, la velocidad angu lar de M es igual a WM- Todos los puntos de cuerpos en rotación tienen velocida-
Figura 3.7. - Relación entre las velocidades lineales en cuerpos en rotación.
des lineales que son perpendiculares a las líneas trazadas de estos puntos al eje de rotación. Por esto, la velocidad de L en cada instante es perpendicular a PL y (ya que V wr)
=
VL
= O)M X
PL
Análogamente, el punto Q tiene una velocidad lineal tangencial: VQ
= O)M X PQ
Si deseamos observar la relación entre VL y VQ, podemos escribir el cociente:
Análogamente, VL VN
- O) M - O)M
X X
PL - PL PN - PN
Así, encontramos que los puntos de un cuerpo en rotación tienen velocidades li neales cuyas magnitudes están en la misma razón que (son proporcionales a) sus distancias al eje de rotación.
52
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
=
=
=
Por ejemplo, si VL 20 cm/s; PL 5 cm y PQ 3 cm, podemos calcu lar roM y VP, o la velocidad lineal de cualquier otro punto del cuerpo, si se cono ce su situación. wM = � � 2 ° = 4 rad/s 5 PQ x VL = 3 x 20 = 12 cm/s VQ = PL 5
Como L y Q están situados en la misma línea radial, es fácil obtener VQ grá ficamente. Si VL se representa por un vector Ll, dibujado a escala, podemos pre decir que Qq, vector de VQ, terminará sobre la línea lP. Este vector Qq puede ser medido a la misma escala para determinar el valor de VQ· Esto es válido, ya que los triángulos PLl y PQq son semejantes (los ángulos correspondientes son igua les) y sus lados correspondientes proporcionales:
=
Qq = VQ = PQ ( como antes) Ll PL VL
La fórmula V wr nos permite determinar la velocidad lineal de cualquier punto de un cuerpo en rotación si conocemos la velocidad angular del cuerpo. La V forma w dará la velocidad angular del cuerpo si conocemos la velocidad !ir neal de un punto. En cada caso, �esde luego, debemos conocer la situación del eje de rotación y el sentido del movimiento. Esto es todo lo que necesitamos hacer para un análisis completo de la velocidad de un cuerpo en rotación.
=
3.6. Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compuesto. No hay una fórmula simple para calcular las velocidades lineales de los pun tos de un cuerpo que se mueve con movimiento compuesto de traslación y ro tación. Por esta razón resultan sencillos y eficaces los métodos gráficos. Estos métodos evitan cálculos trigonométricos largos y laboriosos y con una apropiada elección de escala y técnica de dibujo precisa, no sufren una nociva pérdida de precisión. Los métodos gráficos no deben usarse exclusivamente. Deben usarse los cálculos donde sean rápidos y simples como complemento de los gráficos. La clave de la eficacia es una sabia combinación de estos dos métodos. 3.7. Vectores velocidad. En los análisis gráficos, los vectores se usarán para represen�ar velocidades lineales. Un vector es un segmento rectilíneo que puede expresar la magnitud de
VELOCIDAD
53
cualquier cantidad por medio de su longitud medida en alguna escala especi ficada. También señala la inclinación en la cual se dirige la cantidad, por la pen diente con que se ha dibujado, y el sentido, por la punta de flecha de un extremo. Los vectores no sólo están limitados a los símbolos de velocidad, sino que pueden usarse para representar cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección. Pueden sumarse, restarse y descomponerse en partes componentes. Estas opera ciones se efectúan siempre de la misma manera, cualquiera que sea la cantidad representada. En cierto sentido, son los equivalentes gráficos de los números usa dos en el trabajo analítico.
3.8. Vector suma: componentes y resultantes. La Figura 3.8 muestra dos vectores, A y B, los cuales están dibujados con el origen en el punto O. Vamos a sumar estos dos vectores gráficamente. Como en el caso con números, la suma debe ser equivalente exactamente a las partes ori ginales. La suma de A y B se encuentra gráficamente trazando el paralelogramo del cual A y B son lados adyacentes. La diagonal R, trazada desde el origen O, es el vector suma de A y B y se le llama usualmente su resultante. La magnitud e in clinación de R son las dadas por esta construcción, y el sentido debe hacerse de acuerdo con el sentido de A y B. .(""--------
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11
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A/J I I
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o
8
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Figura 3.8. � Vector suma.
En las soluciones gráficas es conveniente usar la construcción más simple po sible en interés de la precisión, así como de la rapidez. Por consiguiente, debe notarse que si se forma un triángulo trazando A y B sucesivamente (como lados adyacentes), como se ve en la Figura 3.8, y haciendo R el lado de cierre, esta construción producirá la misma resultante R que el método del paralelogramo e implicará menos trazos. En general, para sumar vectores partimos del origen O y trazamos los vec tores sucesivamente, poniendo el origen de cada vector en el. extremo del ante rior. La resultante es un vector único, trazado desde O hasta el extremo del vec tor final de la construcción. Esta resultante siempre apunta en el sentido de aleja miento del origen. A los vectores A y B, que se han sumado para producir R, se les llaman com ponentes de R. :Éstos no son el único par de componentes que producen la resul-
54
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
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Figura 3.9. - Componentes de un vector dado.
tante R. Hay infinitas combinaciones, algunas de las cuales se muestran en la Fi gura 3.9. Entre estos pares de componentes las hay que son perpendiculares. Es tas componentes rectangulares son de especial interés. 3.9. Componentes útiles (Símbolo: e.u.). A menudo es necesario determinar el efecto de un vector a lo largo de una línea que no está en la dirección del vector en sí. La Figura 3.1 O muestra un vec tor R con origen en O y longitud Oa. Si se desea medir el efecto de este vector a lo largo de cualquier línea tal como SS, sustituimos R por un par de componen tes rectangulares, una de las cuales, E, se encuentra a lo largo de SS y la otra, F, a lo largo de TT, perpendicular a SS. A fin de que estas componentes puedan juntas equivaler a R, se determina su longitud considerando R como la diagonal del paralelogramo del cual E y F son lados adyacentes. Por lo tanto, trazamos una línea ab paralela a SS hasta encontrar a TT y ac paralela a TT hasta encon-
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\ \ \ \
R
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.,......,. E
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s� Figura 3.1 O. - Un par correspondiente de componentes útiles.
VELOCIDAD
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55
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C>�o/
� �p Figura 3.11. - Componentes útil'es en direcciones dfferentes.
trar a SS. En este caso, el paralelogramo es un rectángulo ya que los ángulos b y e son rectos. Los sentidos de E y B se muestran por las puntas de flecha en b y e, de manera que concuerden con el sentido de R. Así, el efecto total de E y F a lo largo de SS será igual al efecto de R a lo largo de SS. Ya que F es perpendicular a SS, no tiene efecto en absoluto en esa dirección. Por tanto, la componente E será igual al efecto total de R a lo largo de SS. Las componentes tales como E _pue den lógicamente llamarse componentes útiles, ya que miden el efecto total de un vector en una dirección dada. Para determinar una componente útil necesitamos trazar sólo una línea des de el final de la punta de flecha del vector dado perpendicular a la línea, a lo largo de la cual se mide el efecto. El sentido de la componente útil se determina a par tir del sentido del" vector dado por simple inspección. No es necesario dibujar la otra componente ya que no tiene efecto en la di rección deseada. La Figura 3.11 muestra varias componentes útiles de R. L es la e.u. a lo largo de PP, M lo es a lo largo de QQ y N a lo largo de VV.
3.10. Concepto de cuerpo rígido. · On cuerpo rígido es aquel que no se alarga, contrae, curva o deforma de nin guna manera. Si el cuerpo de la Figura 3.12 es realmente rígido, todos sus pun tos (tales como el A, B y C) permanecerán en todo momento a distancias fijas el uno del otro y todas las líneas rectas (como AB y BC) permanecerán rectas sin importar qué cargas se apliquen o a qué movimiento se someta el cuerpo.
----------
56
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 3.12 - Cuerpo rí gido.
Esto, desde luego, es una condición teórica que realmente no existe en sen tido pleno de la definición. Todos los cuerpos sufren alguna pequeña deforma ción cuando soportan un movimiento o fuerzas aplicadas. En la mayoría de los casos estas deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones del cuer po en conjunto y, por tanto, pueden despreciarse en los estudios cinemáticos, don de los esfuerzos internos no se consideran, sin sacrificar por ello la precisión. Nues tro trabajo se simplifica grandemente despreciando estas pequeñas deformaciones. Por tanto, con la excepción de muelles, rodetes de caucho y miembros que se pro yectan intencionadamente para flexibilidad, consideramos todos los miembros de una máquina cuerpos rígidos y así estudiamos su movimiento. Las propiedades de un cuerpo rígido impone restricciones muy definidas so bre el movimiento de los puntos y líneas de dicho cuerpo, así este concepto viene a ser una de las herramientas más útiles en el análisis de la velocidad.
3.11. Velocidades en un cuerpo rígido. La barra AB de la Figura 3 .13 está articulada en A y B a bloques que des lizan libremente por guías paralelas. AB, por tanto, tiene movimiento de traslación, puesto que todas las posiciones son paralelas. La velocidad de A está dada por el vector VA· Hallemos la velocidad de B. Si la barra es un cuerpo rígido la dimensión AB permanece la misma cual quiera que sea el movimiento.- Si consideramos el movimiento a lo largo de la línea AB, sabemos ya que esta distancia permanece constante, A nunca se acer cará, ni. se separará de B, prescindiendo del movimiento al que esté sometida la barra. Si A se desplaza 2 cm a lo largo de la línea AB en 1 s, el desplazamiento de B a lo largo de la línea AB debe ser, asimismo, de 2 cm en el mismo sentido /1S . durante el mismo segundo. Como V , podemos expresar que, dos puntos !1T cua]¡esquiera sobre un cuerpo rígido a lo largo de la línea que los une, tienen velo cidades iguales en todo momento.
=
VELOCIDAD
57
e.u. V4 A
/.': 'y v,
B Figura 3.13. - Veiocidades sobre un cuerpo en traslación.
La velocidad de A, en la dirección AB, es la componente útil de VA a lo lar go de la línea AB. Esto se ha encontrado trazando por el extremo del vector VA una perpendicular a AB (ver e.u. VA en la Figura 3.13). El punto B sobre AB debe tener la misma componente útil en el mismo sentido a lo largo de AB (ver e.u. VB)- La articulación B es un punto de la corredera así como de la barra AB, por lo que la dirección del movimiento de B está definida a lo largo de la línea central (CC) de las guías. Como sabemos que e.u. VB es la proyección de Vn a lo largo de AB y que la resultante VB está sobre CC, sólo tenemos que construir una perpendicular a AB en b hasta encontrar la línea CC, y quedará determinada VB· El origen del vector velocidad es siempre el punto cuya velocidad define, así el sentido de VB es hacia la derecha, como se ve. Este método se aplica igualmente bien a cuerpos en rotación, aunque se re comienda el cálculo, usando V wr, para encontrar las velocidades en tales casos. En la Figura 3.14, el miembro EFG gira airededor de un pasador fijo en E, y se
=
Figura 3.14. - Velocidades sobre un cuerpo en
rotación.
58
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
da la velocidad de G. Se puede demostrar que V a tiene que ser perpendicular a la línea EG por medio del principio del cuerpo rígido. Ya que E es fijo, VE
=
o
así, pues, e.u. VE a lo largo de EG debe ser igual a O. Ya que E y G están sobre el mismo cuerpo rígido, e.u. Va a lo largo de EG debe ser igual e.u. VE a lo largo EG, por lo que e.u. Va deberá ser nula. Si esto es cierto, V a debe ser perpendicu lar a EG, ya que la componente útil a lo largo de EG es O sólo cuando Va tenga aquella dirección. Para encontrar V1,,, observamos que F y G están en el mismo sólido rígido y que, por tanto, tienen iguales componentes útiles a lo largo de la línea FG. La e.u. V a a lo largo de FG se ve en la Figura 3.14 y e.u. VF, se traza igual a e.u. V0. Sabemos de antemano que la dirección de la resultante VF está sobre la línea DD, perpendicular a la línea EF. La magnitud de VF se determina por la intersección de la perpendicular a EF trazada por el extremo de e.u. VF y la línea DD. Vemos que el sentido de VF, es hacia abajo y a la derecha. El principio del cuerpo rígido es más efectivo cuando se aplica a un cuerpo en movimiento compuesto, tal como la barra LM de la Figura 3.15, donde O y P son ejes fijos. Si se da V1,, determinemos V,u. Como OL está en rotación pura, sabemos que V1, ha de ser perpendicular a OL según se indica. Como el pasador Les común a OL y LM, esta VL está aplicada en el pasador L sobre ambos cuer pos. Aplicando el principio del cuerpo rígido a LM, trazamos e.u. VM a lo largo de LM. Como L y M tienen la misma velocidad a lo largo de la línea LM, tra zamos e.u. V.11 sobre LM igual a esta e.u. V1,. La barra PM es un cuerpo en ro tación pura alrededor del eje fijo P, por lo que sabemos que la resultante VM es perpendicular a la línea PM. La longitud de la resultante se deterinina por una perpendicular a LM desde el extremo de e.u. VJ1 • La punta de flecha señala el sentido de V.11 y se ha puesto a simple vista, de acuerdo con e.u. V.11 .
Figura 3.15. - Velocidades sobre un cuerpo en movimiento compuesto.
VELOCIDAD
59
Hemos mostrado que el principio del cuerpo rígido para determinar veloci dades puede aplicarse para cualquier cuerpo rígido en cualquier clase de movi miento. Es verdaderamente una herramienta de usos múltiples.
3.12. Determinación de velocidades cuando se desconoce la dirección. En los casos precedentes fue posible predecir la dirección de la velocidad que había que determinar, ya que se conocía la trayectoria del punto en cuestión. Consideremos las velocidades de puntos cuya trayectoria no séa evidente. Se dan las velocidades de los pasadores R y T en la Figura 3 .16 y se desea encontrar la velocidad del pasador S. Sobre la barra RS puede encontrarse la e.u. VR a lo largo de RS. Ya que este cuerpo es rígido, e.u. V8, a lo largo de RS puede trazarse igual a e.u. VR en esa dirección (ver vector SA). Sabemos. que el extremo de V8 debe estar en algún lugar de la línea AA, perpendicular a RS, tra zada desde el extremo de esta e.u. V8 , pero ya que no podemos predecir la direc ción de la resultante V8 , esta construcción no nos define completamente el vec tor V8 • Examinemos ahora la barra rígida ST, ya que se conoce VT y Ses tam bién un punto de este cuerpo. A lo largo de la línea ST, los puntos S y T tienen la misma velocidad, así podemos predecir que, a lo largo de ST, e.u. V8 es igual a e.u. VT. Trazamos esto en la forma indicada en la Figura 3.16. Como en el caso anterior, la resultante V8 terminará en algún lugar de la línea BB, que es una perpendicular a ST trazada por el extremo de esta e.u. V8 • Ya que sabemos que la resultante V8 debe terminar en AA y también en BB, puede satisfacer ambas condiciones sólo si termina en la intersección e de AA y BB. La línea SC es, por tanto el vector de V8 y tendrá la magnitud e inclina ción correctas. El sentido de este V8 es hacia arriba y a la izquierda, de acuerdo con sus componentes útiles.
Figura 3.16. - Dos componentes útiles deter minan una velocidad.
60
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
El estudiante debe notar que las componentes efectivas de V 8 a lo largo de RS y ST no son un par conjugado. La resultante V 8 no se encontró completando un paralelogramo, sino por la intersección de dos perpendiculares. La perpendicu lar a RS representa la conjugada a e.u. V 8 a lo largo de RS, y la perpendicular a ST representa la conjugada con e.u. V 8 a lo largo de ST. No podemos determi nar fa longitud de ninguno de esos vectores conjugados hasta hallar su intersec ción. La V8 así determinada puede considerarse la resultante de cada par de com ponentes útiles conjugadas, pero no la resultante de un miembro de cada par. Esto explica por qué no se ha usado la construcción del paralelogramo.
�.13. Dilatación de un cuerpo rígido. Este concepto de cuerpo absolutamente rígido es una hipótesis y no un hecho. Es una hipótesis que todos los puntos contenidos dentro de los confines físicos de un cuerpo permanecen a la misma distancia unos de otros cuando el cuerpo está sometido a fuerzas o movimiento. Análogamente, se puede suponer que ciertos puntos fuera del cuerpo físico pueden permanecer también a distancias fijas de puntos en el interior del cuerpo o, en otras palabras, imaginar que el cuerpo se dilata más allá de su tamaño original. Esta dilatación teórica de un cuerpo rígido es una hipótesis a menudo muy útil. En el mecanismo de la Figura 3 .17, el disco W gira en el sentido de las agu jas de un reloj, alrededor del eje fijo A con una velocidad angular dada (en rad/s). Vamos a determinar la velocidad lineal del pasador F. Iniciamos este análisis con el disco W, determinando primero la clase de su movimiento. Un cuerpo con un punto fijo sólo puede tener movimiento de rotación, por lo que el movimiento de W será una rotación. A continuación hallamos las ve locidades lineales de B y G. Usando V= wr, Vs
= COw
X
AB
y está dirigida perpendicularmente a A B hacia la derecha, según se indica. Por la misma fórmula V0
= COw
X
AG
y es perpendicular a A G apuntando hacia la izquierda. Podemos determinar ahora sobre la barra BC la e.u. VB a lo largo de BC y trazar e.u. Ve igual a ella en la misma dirección, empleando el principio del cuerpo rígido. Ya que no podemos predecir la dirección de la velocidad absoluta de C, no podemos obtener Ve direc tamente. A continuación consideremos la barra GE. A lo largo de la línea GE de esta barra e.u. V a e.u. VE, y ya que E puede moverse solamente a lo largo de las guías fijas, sabemos que la resultante VE estará en dicha dirección. Una perpendicular desde e.u.V¡,; determina pues V E· Ahora, sobre la barra ED sabe-
=
t
1
61
VELOCIDAD
F
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Figura 3.17. - Velocidades en un cuerpo rígido dilatado.
mos que, en la dirección ED, e.u. VE= e.u. Vn, pero ya que no podemos deter minar la dirección ·del movimiento de D, no podemos encontrar la resultante Vv a partir de esta componente útil. Sobre la barra CDF sabemos que tiene una com ponente útil en C y una en D. En el ejemplo anterior encontramos que se necesi tan dos componentes útiles de la velocidad de un solo punto para determinar la velocidad resultante de ese punto, cuando se desconoce la dirección del movimien to. Debemos, entonces, encontrar un punto sobre CDF para el cual podamos es tablecer dos componentes útiles. Si aumentamos el cuerpo CDF en la forma indicada (a trazos) en la Figu ra 3 .17 de manera que incluya un punto O, intersección de las prolongaciones de las líneas BC y ED, tendremos dicho punto. Ya que los puntos C y O son del mismo cuerpo rígido, e.u. V e e.u. V O en la dirección CO. De igual forma, D y O son del mismo cuerpo, por lo que e.u. V O a lo largo· de DO es igual a e.u. VD · Tenemos ahora dos componentes útiles de la velocidad de O y podemos determi nar la velocidad resultante de O, levantando dos perpendiculares a estas compo nentes que se cortan en K,_como se ve en la Figura 3.17. Los puntos O y F, ambos están en el mismo cuerpo rígido dilatado, por lo que e.u. V o e.u. VF a lo largo de OF. Como la dirección de VF está determinad.a por las guías fijas, una perpen dicular a e.u. VF definirá la resultante deseada VF·
=
=
62
f
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
3.14. Relación entre las velocidades de un cuerpo rígido.
La utilidad del principio del cuerpo rígido en el análisis de la velocidad se ha explicado en los estudios precedentes. Resumamos estos logros en un ejemplo general. La Figura 3.18 muestra un cuerpo rígido en movimiento. Se conoce la velo cidad de un punto A sobre este cuerpo, y el cuerpo puede estar en traslación, ro tación o en movimiento compuesto. Sabemos que dos puntos cualesquiera del mis mo cuerpo tienen la misma velocidad a lo largo de la línea que los une. Si consideramos cualquier línea que pase por A, tal como MM, podemos pre decir que los puntos B, C, D y aún E (si el cuerpo se dilata) tendrán todos igua les componentes útiles a lo largo de MM ,,. iguales a e.u. VA a lo largo de MM. De hecho, todo esto es cierto para todos los puntos de la línea MM. Por el mismo principio, si dibujamos la línea RR que pase por el punto A en la dirección de VA, los puntos F, G, H y todos los demás puntos de esta línea tendrán componen tes útiles a lo largo de RR iguales a VA·
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Figura 3.18. - Relaciones de velocidad sobre un cuerpo rigido.
Si consideramos una tercera línea TT trazada por A, perpendicular a VA, descubrimos que los puntos J, K, L y todos los demás puntos de esta línea tendrán velocidad .cero en la dirección de TT, ya que VA tiene como componente útil cero, a lo largo de TT. Además podemos expresar que las velocidades resultantes de J, K, L y todos los demás puntos a lo largo de TT, serán, como VA, perpendicu-
r
VELOCIDAD
63
lares a la línea TT. Esto es cierto ya que un vector sólo puede tener una compo nente útil nula en la dirección perpendicular a sí mismo.
3.15. Centro instantáneo de rotación (Símbolo: /). Un cuerpo en rotación pura gira alrededor de un eje fijo, o centro perma nente de rotación que tiene velocidad cero en todo momento Un cuerpo en movimiento compuesto gira y se traslada al mismo tiempo. En el artículo 2.4 señalamos que, cuando un cuerpo se mueve de una posición a otra, puede suponerse que gira alrededor un punto conveniente del cuerpo. Su des plazamiento angular permanece el mismo, pero su desplazamiento lineal varía se gún el centro de rotación escogido. Si seleccionáramos como centro de rotación el punto correcto resultaría que la traslación que le acompaña se haría nula, de manera que podría lograrse el cambio de posición con una rotación solamente. Por ejemplo, la barra A B en la Figura 3.19 (a) puede moverse a la posi ción A1B 1 por una rotación alrededor del punto C hasta A 0B 0 y después una tras lación hasta A 1B 1 . El mismo cambio de posición puede llevarse a cabo mediante un movimiento simple de rotación alrededor del punto D, como se ve en la Fi gura 3. 19 (b). Se supone aumentada la barra AB hasta incluir el punto D, el cual se encuentra en la intersección de las mediatrices de las cuerdas AA 1 y B8 1 • Este concepto reduce el movimiento compuesto de AB a una simple rotación en la que A y B recorren arcos circulares alrededor del centro fijo D. La dirección del movimiento de A es a lo largo de una línea recta tangente· al arco AA 1 y la di rección del movimiento de B es a lo largo de la tangente al arco B8 1 • Notemos
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Ao'/�¿_
-
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,/1/ ª1
_ _v A1
A Figura 3.19 (a). - Rotación y traslación sucesivas.
Figura 3.19 (b). - Movimiento puesto reducido a rotación.
com
64
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
que el punto D está en la intersección de las dos perpendiculares a esas tangentes desde A y· B. En este momento, nuestros estudios de velocidad atañen sólo a una posición específica del mecanismo. Las velocidades que determinamos son velocidades ins tantáneas solamente para esta posición en la que se está observando el mecanismo. Se simplificaría grandemente nuestro análisis de la velocidad si pudiéramos en contrar el centro alrededor del cual puede suponerse que gira un cuerpo en mo vimiento compuesto en un instante dado. El punto D, descrito anteriormente, es dicho centro y puede llamarse centro instantáneo de rotación. Como todos los ejes de rotación, es el punto de un cuerpo en movimiento que tiene velocidad cero. La Figura 3.20 muestra un cuerpo W en el que se conocen las velocidades de dos puntos A y B. Si dibujamos la línea PP que pasa por A, perpendicular a VA, el principio del cuerpo rígido nos dice que todos los puntos sobre esta línea' en el cuerpo W tienen velocidad nula en la dirección PP. Si dibujamos otra línea NN que pase por B, perpendicular a VB, de igual modo sabemos que todos los puntos sobre esta línea tienen velocidad O en la dirección NN. Consideramos el punto /, donde se cortan PP y NN. I es un punto de W (amplíado) que tiene ve locidad nula a lo largo de PP y también a lo largo de NN. La velocidad resultante del punto I será por tanto nula, ya que no existe un vector que pueda dibujarse a partir de / en ninguna dirección que tenga componente útil nula en dos direcciones diferentes. Si un cuerpo está en movimiento y uno de sus puntos permanece quie-
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N� \
\\
I (V¡ = O) '-... '-...
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Ap \
Figura 3.20. - Centro instantáneo de rotación.
VELOCIDAD
65
to, el único movzm1ento posible del mismo es rotación alrededor del punto fijo. En este instante, el punto I no tiene velocidad y otros puntos de W la tienen, por lo que el único movimiento posible del cuerpo es una rotación alrededor de /. Consecuentemente podemos llamar a I centro instantáneo de rotación del cuer po W. Ya que el cuerpo en conjunto, W, gira en este instante alrededor de /, las velocidades de A, B y todos los demás puntos de W serán perpendiculares a las líneas de unión de ellos con el punto /, y sus magnitudes directamente proporcio nales a sus distancias a /, como en el caso de todos los cuerpos en rotación. Así, localizando el centro instantáneo de rotación, podemos determinar las velocida des lineales de todos los puntos de ese cuerpo sin usar las componentes útiles.· Este método es simple y rápido y elimina gran cantidad de trazados.
3.16. Localización del centro instantáneo de rotación. En general, para localizar el centro instantáneo de rotación de un cuerpo ne cesitamos saber solamente las direcciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo. Trazamos desde cada punto una línea perpendicular al vector velocidad del mismo. La intersección de estas perpendiculares es el centro instantáneo de rotación del cuerpo. Por ejemplo, en la Figura 3.21, si se da la velocidad angular de la manivela AB, podemos hallar la velocidad lineal de E en la barra BCE. Sabemos que, ya que AB está en rotación pura, Vn será perpendicular a AB. La velocidad de C está dirigida a lo largo de la línea central SS de las guías fijas. El centro instantáneo del cuerpo BCE estará localizado en la intersección de la línea que pasa por B y es perpendicular a Vn (en este caso, prolongación de la línea AB) y la línea que pasa E
A
Figura 3.21. - Relación de velocidades para el centro instantáneo. LENT - 5
66
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
.por C y es perpendicular a SS. Esta intersección se ha rotulado JncE · (El subíndice ncE se usa para señalar claramente el cuerpo que se considera, ya que en este caso, J no cae dentro de los límites de la barra BCE.) Es importante usar los subíndices, puesto que cada centro instantáneo se aplica a un solo cuerpo y se pueden pedir para un análisis los centros de varios cuerpos. Queda ahora determinada la dirección de VE, perpendicular a la línea !E, y su magnitud guarda con VB , la misma razón que sus distancias respectivas a /, pudiendo calcular.se: VE - JE VB - JB y (multiplicando ambos miembros por VB) JE VE =VB x JB Pero VB WAn X AB, así JE VE = (.l)AB X AB X B J
=
El sentido de Vn señala una rotación dextrógira de BCE alrededor de /, por lo que el sentido de VE debe señalar, de igual modo, una rotación dextrógira alrede dor de J. En algunos casos, donde las dos velocidades conocidas son paralelas, debe mos saber la magnitud de estas velocidades así como su dirección a fin de encon trar el centro instantáneo. En la Figura 3.22 se conocen las velocidades de los puntos F y G y se desea encontrar la velocidad del punto J. Como se ve, los puntos F, G y J están en la misma línea TT y VF y Va son perpendiculares a esta línea. f
T-¡�:�� 7-T ;;
Figura 3.22. - Relación de velocidades para lelas al centro instantáneo.
El usar las componentes útiles no nos daría la solución en este caso, por lo que localizaremos el centro instantáneo de la barra. Las perpendiculares trazadas a VF y Va serán la misma línea TT, por lo que no habrá intersección para loca lizar el centro instantáneo. Sólo sabemos que está en algún lugar de TT. Sin em bargo, también sabemos que VF y Va son proporcionales en magnitud a las dis tancias de F y G desde el centro instantáneo, o sea: Vp _ JF VG JG Esta relación sugiere un método gráfico simple para localizar J. Si dibuja _mos una línea recta que pase por los extremos de VF y Va (f y g) se cortará con
T
VELOCIDAD
67
TT en /. Esta línea forma dos triángulos semejantes Ffl y Ggl en los que los lados correspondientes son proporcionales, con lo que:
como se estableció anteriormente. Ya que M está girando alrededor de / en este instante, podemos decir que VJ es perpendicular a /J y calcular la magnitud de V., como sigue: V1 Va
_
IJ JG
o sea
(Las longitudes /J e /G deben medirse a escala del gráfico.) Gráficamente po demos definir V.,, prolongando la línea fg, por /, hasta encontrar a la perpendicu lar a TT, por J. En cualquier caso, el sentido de V.,, debe ser tal que produzca una rotación dextrógira alrededor de /. Debe quedar bien entendido que un centro instantáneo de rotación de un cuerpo es un punto del mismo, tanto si cae dentro del contorno físico o fuera de él. Normalmente es molesto mostrar el cuerpo ampliado para incluir un centro instantáneo, pero los subíndices que se añaden para rotular a / son los adecuados para su identificación. Como las situaciones de los puntos de un cuerpo cambian de posición cuando el cuerpo se mueve y los vectores velocidad cambian de inclinación, se deduce que la posición del centro instantáneo de rotaci6n es diferente para cada posición sucesiva que toma el cuerpo. Como el nombre implica, sólo es válido un centro instantáneo para una posición del cuerpo en movimiento compuesto. Puede habérsele ocurrido al lector que la posición de un centro instantáneo de rotación puede estar muy alejada, al tomar el cuerpo ciertas posiciones. Si el centro estuviera a 50 m del mecanismo, sería imposible señalarlo en un dibujo de tamaño conveniente. Esto podría limitar el uso de este valioso instrumento bastante seriamente si no hubiera remedio. Sin embargo, al avanzar en el estudio de las velocidades, mostraremos varios métodos de salvar esta dificultad y dar soluciones sustitutivas para los casos especiales. No todo instrumento es efectivo para todas las aplicaciones. Constantemente se pide ingenio e inventiva en todos los análisis de ingeniería y proyectos. 3.17. Velocidad angular de cuerpos en movimiento compuesto. Un cuerpo en movimiento compuesto tiene rotación y traslación, pero pode mos medir el movimiento angular del cuerpo, aparte de su traslación. Todas las líneas de un cuerpo rígido tienen desplazamientos angulares iguales en un inter-
68
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
valo de tiempo dado y por tanto iguales velocidades angulares en todo momento, cualquiera que sea el movimiento al que estén sometidas. En muchos problemas es importante determinar la velocidad angular de los cuerpos en el movimiento compuesto. Si pudiéramos localizar el centro instantá neo de rotación de un cuerpo sería muy fácil calcular su velocidad angular. En el cuadrilátero articulado de la igura 3.23, la manivela conductora OP gira alrededor del centro fijo O con una velocidad angular dada. R también es un eje fijo. Se pide encontrar la velocidad angular de la biela PT. Como OP está en rotación pura, VP es perpendicular a OP. Asimismo RT gira alrededor del centro fijo R, por lo que VT será perpendicular a RT. El centro instantáneo / de PT está en la intersección de las perpendiculares a VP y VT, tra zadas, como se ve, desde P y T. La barra PT puede considerarse que gira alrede dor de/ en este instante y como sobre todos los cuerpos en rotación V= wr, será: Vp o despejando la velocidad angular:
= W¡p X IP,
Vp W¡p = IP / es un punto de velocidad lineal nula en la biela PT ampliada y w1p wPT (to das las líneas de un cuerpo rígido tienen velocidades angulares iguales). Por tan to, sustituyendo: - Vp (J)PT_ IP podemos calcular VP, puesto que VP Wop X OP. Por tanto,
=
=
_ OJ0p (J)PT_
Figura 3.23. - Rotación instantáneo.
X OP IP
alrededor del centro
3.18. Velocidades lineales absoluta y relativa. Se muestran en la Figura 3.24 (a) los coches A y B, viajando en la misma di rección. V.4. (velocidad de A) es 40 km/h y Vn es 60 km/h. Como estas veloci-
VELOCIDAD
69
�-ª-�/ 60 •km/h �m/h
(a)
�m/h
(b)
Figura 3.24. - Velocidades relativas sobre trayectorias paralelas.
L
dades se miden respecto a un punto fijo de la carretera, se les llaman velocidades absolutas. Se desea encontrar la velocidad relativa de B respecto de A (símbo lo: VB;A)Si nos imaginamos montados en el coche A podemos visualizar la velocidad relativa de B respecto de A. Veremos a B pasándonos en la misma dirección y sen tido a 20 km/h. Vn;A es por tanto la diferencia entre las velocidades absolutas VB y VA, o sea Si el coche B, estuviera viajando a 60 km/h, en sentido opuesto [Figu ra 3.24 (b)], lo veríamos pasar a 100 km/h en sentido opuesto. Aún puede esto considerarse como la diferencia entre las velocidades absolutas de B y A si se ñalamos el sentido con los signos + o -. Si las velocidades hacia la derecha se señalan como positivas y hacia la izquierda como negativas, en este segundo caso o sea Vn1A = -Vn - VA= -100 km/h Concluimos que cuando ambos cuerpos recorren trayectorias paralelas, su veloci dad relativa es igual a la diferencia algebraica de sus velocidades absolutas. También es útil determinar las velocidades relativas cuando los cuerpos no se mueven en trayectorias paralelas. La Figura 3.25 muestra los coches A y B recorriendo carreteras divergentes. Si fuéramos en el coche A podríamos ver el B alejándose en una dirección, en general, inclinada hacia nuestra izquierda. La V BJA sigue siendo la diferencia de las velocidades absolutas, pero ya que sus trayecto rias no son paralelas, es una diferencia vectorial y no algebraica. Para sumar dos vectores, los trazaremos a partir de un origen O como los lados adyacentes de un paralelogramo, lo completamos, y dibujamos su diagonal desde O, la cual es igual al vector suma. Un método más simple de suma vecto rial, recomendado para el trabajo gráfico en el artículo 3.8, necesita trazar los dos vectores sucesivamente, partiendo del origen O. El vector resultante en este caso tiene su origen en O y termina en el extremo del segundo vector, geométricamen te equivalente a la construcción del paralelogramo (ver Figura 3.8).
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
70
6,6? ,k':1/,h�
-v;-,..._vz,� O
A
f:S
40 km/h
�
+Vs
Vwy-..-:¡_A
O 4---+-+ , ::¡,,,,
+Vs
Figura 3.25. - Velocidades relativas mediante sustracción vectorial.
La sustracción vectorial se efectúa de la misma manera que la suma, con la diferencia de que el vector a sustraer se traza con su sentido opuesto a su sentido verdadero, o sea, con sentido negativo. En otras palabras, para restar, sumamos el vector opuesto. En la Figura 3.25 se muestra el método del paralelogramo y el del triángulo para restar VA de Vn- Cuando las velocidades no sean paralelas la velocidad relativa será igual al vector diferencia: VB/A
= Vn - - VA
(El símbolo - � significa "menos, vectorialmente" .)
3.19. Velocidades relativas en un cuerpo rígido. En la Figu ra 3.26, pueden verse las velocidades de los puntos A y B sobre el mismo cuerpo rígido. Investiguemos la velocidad relativa de B respecto a A. Si nos imaginamos de pie en A, como la distancia entre A y B no varía, B parecerá que se mueve en una trayectoria circular (con radio AB) alrededor de nosotros. Éste es el único movimiento que B puede tener alrededor de A. Por tanto, VB/A debe ser perpendicular a AB, en la dirección del movimiento relativo de B respec-
A
�
------------
V<\ Figura 3.26. - Velocidades relativas de los pun tos de un cuerpo rígido.
VELOCIDAD
71
to a A. La magnitud de Vs;A se encuentra por sustracción vectorial como sucede con todas las velocidades relativas. VB/A
=
VB - - VA
Si sumamos - VA a + VB la resultante será Vs;A, que en la Figura 3.26, se ve que es perpendicular a AB, como se preveía. e.u. Vs sobre Como A y B están sobre el mismo cuerpo rígido, la c. u V,1 la línea AB, de donde se deduce que dos puntos de un cuerpo rígido no tienen velocidad relativa, según la línea que los une.
=
3.20. Utilización de las velocidades relativas para encontrar la velocidad angular. Hemos señalado que la velocidad angular de un cuerpo en movimiento com puesto puede obtenerse usando el centro instantáneo de rotación. Este método podría fallar, desde luego, si el centro instantáneo de rotación resultara inaccesi ble, como alguna vez sucede. Se dispone de otro método que utiliza el concepto de velocidad relativa. Su pongamos que se desea encontrar la velocidad angular del cuerpo de la Figu ra 3.26. Hemos observado que B recorre un arco circular respecto de A. Si B recorre un arco circular respecto de A, entonces la línea AB girará' al rededor de A con una velocidad angular: (J)AB- VB/A
AB
(ya que
(J)
= vr)
Como la línea AB es fija en el cuerpo, w.rn es igual a la velocidad angular del cuer po. Puesto que el movimiento angular de un cuerpo es independiente de cualquier movimiento de traslación, wA11 relativa de A es también la velocidad angular abso luta del cuerpo. Por medio del concepto de velocidad relativa, podremos medir la velocidad angular respecto a cualquier punto de referencia tomado como eje.
3.21. Concepto de velocidad relativa: Un instrumento para el análisis. Hasta este punto hemos usado las relaciones entre las componentes útiles, basadas sobre el principio del sólido rígido, como método de determinación de velocidades. Esta técnica se ha usado para introducir _e l estudio de la velocidad porque se cree que es la forma más clara e ilustrativa de abordar su estudio, par ticularmente cuando se usan las soluciones gráficas empleando vectores. Sin em bargo, aparecen desventajas en el método de las componentes útiles, cuando haya que dibujar mucho, repitiendo dibujos. La escala de los vectores está limitada
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
72
por el tamaño del mecanismo cuando se dibujen los vectores en lugar de los di ferentes miembros. La notación que debe acompañar estos estudios también llega a ser bastante complicada. Una vez que el estudiante tiene un conocimiento inicial de las relaciones del vector, debe usarse un método un poco más complejo en el que haya que dibujar menos, haya una notación abreviada y una precisión gráfica mayor que resuíte del uso de vectores a escalas mayores. Este método nuevo se apoya aún en los vínculos del movimiento del cuerpo rígido, pero emplearemos velo cidade5 relativas en vez de las componentes útiles. También combinaremos el método vectorial en un polígono simple, separado del mecanismo. En suma, hay dos hechos que son útiles en la aplicación del método de la velocidad relativa. 1. Si dos puntos están en el mismo cuerpo rígido, su velocidad relativa es igual a la diferencia vectorial de sus velocidades absolutas, como se ve en la Figura 3.26. Considerando los puntos A y B. Cuando se conozca la velocidad de A se deduce que: VB
=
VB!A
+-+ VA
(sumando
+ VA a ambos lados de la ecuación)
En otras palabras, el vector. desconocido VB es la suma del vector VA y · el Vn;A· 2. Si dos puntos están en el mismo cuerpo rígido, su vector velocidad rela tiva es perpendicular a la recta que los une. - Esto resulta del hecho que estos puntos no pueden tener velocidad relativa en la dirección que los une. (Sus componentes útiles en esa dirección deben ser iguales.) 3.22. Construcción del polígono de velocidades. Com,ideremos el ejemplo del cuadrilátero articulado que se ve en la Figu ra 3.27 en el cual la manivela KL gira en el sentido de las agujas de un reloj alreded-:,r del eje fijo K con una velocidad angular dada. Se pide determinar la velocida� del pasador M que une el acoplador LM a la otra manivela MP. Como KL tiene rotación pura, la velocidad de L será perpendicular a KL e igual a wKL X X KL (V wr). Este vector puede verse en el dibujo del mecanismo (VL). Consideremos las velocidades relativas sobre el acoplador rígido LM. Si VM -- VL, entonces VM VL VM!L· Es decir, si sumamos VM;L VM/L a Vr, vectorialmente, obtendremos VM , Partiendo de un origen conveniente O, trazamos VL en una dirección perpen dicular a la manivela KL. A ésta debemos sumar V,11 ¡r,. No sabemos la magnitud
=
=
=
+-
VELOCIDAD
73
1s \
\�--
Polígono vectorial
T
--
L
Mecanismo
Figura 3.27. - Velocidades en un cuadrilátero articulado.
de V11r;L, pero ya que L y M están en el mismo cuerpo rígido, sabemos que la ve locidad relativa de M respecto de L debe estar en la línea perpendicular a LM, tal como la SS del dibujo. Como MP es un cuerpo en rotación pura, sabemos que VM debe ser perpendicular a MP, sobre la línea TT en el dibujo. Ahora, ya que Vu es un vector igual a la suma de dos vectores VL y .VM;L , VJJI será el lado de cierre del triángulo cuyos otros lados son V1, y VM!L · La velocidad de L se conoce, la velocidad relativa de M respecto a L está sobre la línea SS y podemos acabar en el punto R, donde la línea SS corta a la TT, con lo que el lado de cierre del trián gulo (igual a la velocidad de M) estará sobre TT, que es la dirección correcta de V.11- La línea OR es entonces el vector de la V,1r buscada, y está dirigido de O a R. Su magnitud puede medirse a escala en el dibujo. A este triángulo vectorial se le llama polígono de velocidades. Como es un diagrama de vectores libres, separado del mecanismo, puede dibujarse a gran escala para dar resultados precisos. La notación puede simplificarse con la nomenclatura mostrada en la Figura 3.28. El punto O es el origen de todas las velocidades absolutas, con lo que todas se diri girán hacia afuera desde el punto O. Las letras de los otros extremos de cada vec tor designarán la velocidad que representan. Por ejemplo, la línea OL es el vector velocidad de L (dirigido desde O hacia L) y OM es la velocidad de M. La línea que une L y M es el vector velocidad relativa de M respecto de L (dirigido de L hacia M). Cuando se leen velocidades relativas, el vector se dirige alejándose del punto para el cual la velocidad es relativa. Los puntos fijos tales como K y P sobre el mecanismo tienen velocidad nula, por lo que pueden tomarse también como origen. Pueden considerarse como vectores de longitud O. En efecto, el vector LK debe leerse VL!1t (dirigido hacia abajo a la derecha) y debe ser, por tanto, igual a la VL absoluta, puesto que VK O. Nótese que los
=
74
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
K
O,K, p
Polígono vectorial a gran escala
L
Figura 3.28. - Polígono de velocidades a gran escala.
vectores tienen su inclinación relacionada con los miembros del mecanismo, pero podemos ampliar la escala del polígono de velocidades a fin de aumentar la exac titud de la solución.
3.23. Polígono para velocidades de dirección desconocida. El sistema articulado de la Figura 3.29 (a) es análogo al de la Figura 3.16. Se dan las velocidades de los bloques en R y T, y hay que determinar la velocidad del pasador S en dirección y magnitud. Construyamos un polígono de velocidades para este sistema articulado. Des de un origen conveniente O, trazamos primero la velocidad dada de R con una escala adecuada. Está representado por el segmento OR de la Figura 3.29 (b).
75
VELOCIDAD
"
"- a
o
'VR
(a)
R
"'
'-....Vs/R
""
"'
R
"-.. a
"- "
(b)
"'
"
R
IVslT
l b
(e)
1
""
1
"""
1
""
"' "'
"' "
�
"
(d)
Figura 3.29. - Determinación de la dirección de la velocidad del pasador S.
76
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Sobre el cuerpo rígido RS, Vs = Vu + - Vs;u, con lo que para obtener la velo cidad de S, debemos sumar la velocidad relativa de S respecto de R a la velocidad conocida de R. No sabemos la magnitud de V8111, pero conocemos que su inclina ción debe ser perpendicular a la barra RS, ya que S no puede tener movimiento relativo respecto de R en la dirección RS. En el diagrama de velocidades de la Fi gura 3.29 (b) se ha trazado una línea a de esta inclinación que pasa por R. El vector V s;R parte del punto R y termina en algún lugar de esta línea a. Ahora tracemos la velocidad dada de T en este diagrama. Ésta es la línea OT que se ve en la Figura 3.29 (c). Sobre el cuerpo rígido ST, Vs = Vr + - Vs;r, con lo que puede obtenerse la velocidad de S sumando a la velocidad relativa de S respecto de T, la velocidad conocida de T. De nuevo, no sabemos la magnitud de V s;r, pero sabemos que es perpendicular a la barra ST. Esta inclinación de Vs;T se representa por una línea b que pasa por T y es perpendicular a ST en el dibujo. La V s;r parte del punto T y termina en algún lugar de esta línea b. Si el punto S del polígono de velocidades debe estar en la línea a y también en la línea b, deberá ser la intersección de las líneas a y b, como se ve en la Fi gura 3.29 (d). Podemos dibujar ahora el vector OS, el cual tiene la magnitud co rrecta y la inclinación exacta de la velocidad del pasador S. Como todos los vec tores de velocidad absoluta, está dirigido desde O hacia S. Su magnitud puede me dirse a escala en el dibujo. 3.24. Centros instantáneos y polígonos de velocidades. Se ha yisto previamente (en el artículo 3.15) que un cuerpo rígido en movi miento compuesto puede considerarse, en cualquier instante, como una rotación pura alrededor de algún punto del cuerpo que, para ese instante, tiene velocidad nula. A este eje de rotación se le llama centro instantáneo, y una vez localizado, simplifica la determinación de la magnitud y dirección de la velocidad de cual quier punto del cuerpo. Este concepto puede verificarse por el método del polí gono de velocidades, y es igualmente útil cuando se em_plee dicha técnica. Supongamos que tenemos un cuerpo rígido W como se ve en la Figura 3.30 y supongamos que sabemos las velocidades de dos puntos, A y B. Consideremos un tercer punto I, que esté también sobre este mismo cuerpo W y se halle en la intersección de la línea PP, perpendicular a VA por A, con la línea NN, perpen dicular a VB· Para encontrar la velocidad del punto J debemos trazar un polígono de velocidades. Partiendo del origen O, las líneas OA y OB representan las velo cidades dadas de A y B. Sabemos que V1 =VA+ - V11_4, donde V1;.4 es per pendicular a la línea IA de W, mientras que IA es perpendicular a VA y a OA en el polígono. Así pues, el vector que representa a V1;A será paralelo a VA y por tanto es tará sobre OA en el polígono. No sabemos su longitud.
l
VELOCIDAD
77
A
=
Figura 3.30. - Centro instantáneo de rotación.
También V1 Vs + � V1;B, donde V1¡s es perpendicular a la línea IB, o sea, paralelo a Vs en el cuerpo rígido. Así en el polígono vectorial, el vector IB, que representa a V11s, estará sobre OB, que es el vector de VB· En el polígono, la velocidad de / se señalaría como un vector 01, que de acuerdo con la ecuación precedente, sería el lado de cierre de un triángulo com puesto de OA (VA ) e /A (V1;A)- Esta misma velocidad de/ (O/) es el lado de cierre de otro triángulo compuesto de OB (Vs) e 1B (V11s). Por tanto, el punto I del po lígono debe estar sobre OA y sobre OB. El punto /, entonces, será el O, que es el único punto que tienen en común OA y OB, es decir, su intersección. Si los puntos I y O coinciden, el segmento O/ no tendrá longitud, la velocidad de / será cero, e / será el centro instantáneo del cuerpo W. Esto es importante porque describe el movimiento de un cuerpo rígido de una nueva forma. Si un cuerpo está en movimiento y un punto del cuerpo es fijo, el cuerpo sólo puede terier rotación pura alrededor de dicho punto fijo, como un disco que gira alrededor de un eje. Así, en este ejemplo, puede considerarse para este instante que el cuerpo W tiene rotación pura alrededor de /. Esto significa que la velocidad de cualquier punto de W debe ser perpendicular a la línea que lo une con I y que las velocidades de todos los puntos de W deben ser propor cionales a sus distancias a /. Los centros instantáneos de rotación, como el /, pueden localizarse si cono cemos la inclinación de las velocidades de dos puntos del cuerpo. Solamente es necesario dibujar dos perpendiculares a los vectores velocidad por los puntos. El centro instantáneo estará en su intersección.Cuando un cuerpo se mueve con mo vimiento compuesto, cambian las inclinaciones de las velocidades de los puntos móviles con lo que los puntos tales como el / estarán localizados en posiciones di ferentes para cada posición del cuerpo. Por tanto, se les llama con propiedad . centros instantáneos de rotación.
78
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Para saber cómo se utilizan los centros instantáneos para determinar la di rección de los vectores velocidad, examinemos la Figura 3. 31. En el sistema ar ticulado que se muestra, la barra BE es un miembro rígido continuo. Se da la velocidad angular de AB y se pide encontrar la velocidad del punto E. Podemos calcular la velocidad de B (VB = wAn X AB) y trazar su vector OB perpendicular a la manivela AB. Entonces sabemos que: VE = VB
+ -� VE/B E
l BE
o
E
\ \s
Figura 3.31. - Polígono de velocidades y cen tro instantáneo.
La dirección de VE/B es perpendicular a la barra BE, y su vector pasará por B en el polígono. No sabemos la magnitud de VE/B, por lo que sólo podemos señalar que la línea SS tiene una longitud indefinida. El lado de cierre del triángulo vec-_ torial sería OE, pero ya que no sabemos la inclinación de VE, no podemos locali zar el punto E. Usando el centro instantáneo de rotación de la barra BE, encontraremos la �dirección de VE· Dicho centro estará en la intersección de la línea que pasa por B
VELOCIDAD
79
perpendicular a VJI con una línea perpendicular a V e que pasa por C. El pasador C está obligado a moverse a lo largo de la línea central de las guías fijas, y B se mueve perpendicularmente a AB. La localización del centro instantáneo J se ve en la Figura 3.31. Ahora podemos dibujar JE e imponer que V E sea perpendicu lar a JE. • En el polígono vectorial podemos dibujar entonces un vector que pase por O, paralelo a VE como se determinó anteriormente, hasta cortar la línea - SS, loca lizando así el punto E. El vector OE representa la velocidad de E y puede medirse.
3.25. Componentes de traslación-rotación. Se conocen las velocidades de los puntos A y B de la barra de la Figura 3.32 y se pide la velocidad de C. En la dirección AC; e.u.VA= e.u.V 0. Se necesita la dirección de Ve y normalmente podría encontrarse localizando el centro instantá neo de rotación de la barra. Sin embargo, en este caso, si V A y V B son práctica mente paralelas, encontramos que las perpendiculares a estas velocidades se cor tarán en un punto lejano, haciendo J inaccesible a menos que el dibujo sea muy grande.
Figura 3.32. - Componentes útiles de traslación y rotación.
Consideremos otros medios de determinar la velocidad de C. El movimiento compuesto tiene simultáneamente traslación y rotación. Hemos hecho notar que puede considerarse que estos movimientos tienen lugar separadamente por conve niencia de análisis. La barra AB (Figura 3.33) puede moverse de la posición inicial a la A 1B 1 girando primero alrededor del puQto O (intersección de AB y A 1B 1 prolongada) hasta la posición A0B 0 y trasladándose después sobre la línea A 0B 0 hasta A 1B 1• Examinemos las velocidades de A y B en lo que se refiere a estos movimientos por separado. Podemos reemplazar VA por un par de componentes útiles, a lo largo de AB y sobre su perpendicular. V i1 puede representarse análogamente, como en la igura 3.32. Las componentes según AB se les llama componentes de traslación (símbolo: c.u.T), ya que definen las velocidades de A y B cuando el
80
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
B Figura 3.33. - Rotación y traslación en el movimiento compuesto.
cuerpo se traslada a lo largo de AB. Las componentes perpendiculares a AB se conocen como componentes de rotación (símbolo: c.u.R), porque definen las velocidades de A y B cuando gira el cuerpo. Se sabe que las componentes de traslación según AB son iguales en virtud del principio del sólido rígid9. Las componentes de rotación también están re lacionadas unas con otras de manera definida. Ya hemos observado que las ve locidades de los puntos en un cuerpo en rotación son proporcionales a sus dis tancias al eje de rotación. En el movimiento de AB a A 1B 1 (Figura 3.33), fue necesaria la rotación del cuerpo alrededor del punto fijo O. Por tanto, al girar la barra las velocidades de rotación (c.u.RJ de A, B y C serán proporcionales a OA, OB y OC, respectivamente: c.u.R de C oc y c.u.R de A OA c.u.B de B OB c.u.R de A OA Gráficamente, si dibujamos una línea desde a hasta b, encontraremos que c.u.R de C termina en C sobre esta línea, como se ve en la Figura 3.32. En los triángulos semejantes OAa y OCc así formados, Ce Aa
de C c.u.R de A C.U.R
oc
(como se estableció anteriormente)
OA
Como cuando / está lejos, O también lo está, este método gráfico será efec tivo ya que no exige la localización del punto O. Ahora que hemos determinado c.u.R y c.u.'1' de Ve, las perpendiculares des de este par de componentes rectangulares conjugadas definirán la resultante V0• El ejemplo de la Figura 3.34 ilustrará la utilización de este método. La manivela HL gira alrededor del eje fijo H con una velocidad angular conocida. Se pide la velocidad del punto S. Ya que V= mr. VL
= O)HL
X
HL
y es perpendicular a HL. A lo largo de LM, e.u.V¡, = e.u. VM (llamada aquí c.u.T) por la regla del cuerpo rígido. Ya que la resultante VM está sobre las guías fijas, podemos determinar fácilmente VM por una perpendicular a c.u.T de M.
VELOCIDAD
81
Figura 3.34. - Las componentes de rotación son proporcionales.
Ahora descomponemos VL y Vu en las componentes de rotación y tras lación, c.u.11 y c.u.r La c.u.T de S c.u.1' de L y de M. La línea lm define la longitud de c.u.11 de S. La resultante Vs se determina como resultante de c.u.T y c.u. 11 de S.
=
3.26. Rodadura pura. Cuando un cuerpo rueda sobre otro sin deslizar, se dice que tiene rodadura pura. Si los cuerpos deslizan en el contacto, el punto de contacto de un cuerpo se moverá con relación al de contacto del otro cuerpo. El ejemplo más conocido es el del contacto entre el neumático y la calzada en el caso de un automóvil. La Figura 3.35 muestra la rueda W en contacto con la superficie R de la carre tera. El punto P11· sobre la rueda está en contacto con el P11 de la carretera. Si se produce el deslizamiento o "resbalamiento", P 11- deslizará sobre la superficie de la carretera, con lo que tendrá velocidad, mientras que P11, siendo un punto de la carretera, permanece quieto. En función de la velocidad relativa, podemos decir que si hay deslizamiento, las velocidades de P w y P11 son diferentes, mientras que si no hay deslizamiento, las velocidades de esos puntos de contacto son idénti-
R
Figura 3.35. - Centro instantáneo de un cilindro que rueda. LENT - 6
82
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
..,
D
vf= v[ Figura 3.36. - Velocidades en la ro
dadura.
cas. "Deslizamiento nulo" significa "velocidad relativa entre los puntos de con tacto nula", que es el caso de rodadura pura. Si hay rodadura pura entre W y R, Pw tiene la misma velocidad que Pn, que es cero. Ya que el centro instantá neo de rotación es· un punto del cuerpo de velocidad cero, observamos que I r.: está en Pw, el punto de contacto, en todo momento.. Por tanto, todos los puntos de W tendrán velocidades perpendiculares a las líneas que los unen con /w y pro porcionales a sus distancias -a lw. Los discos D y F de la Figura 3.36, giran sobre ejes fijos A y B con con tacto de rodadura pura en C. La velocidad de C sobre el cuerpo D es equiva dente a úJn X AC (V= wr). La velocidad de C en Fes igual a w1,· X BC. Vr en D es igual a Ve en F, ya que no hay deslizamiento. Por tanto podemos hallar una relación entre las velocidades angulares: V�= vg y sustituyendo: OJF X BC = Wv x AC o sea
OJF (J)D -
AC BC (dividiendo ambos miembros por wn y BC)
Ya que AC es igual al radio de D(Rn) y BC el radio de F(Rp): OJF _ Rv (J)D - RF Esto se llama razón de velocidades de los cilindros que ruedan, y puede establecerse que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a los radios. Los sentidos de rotación (señalados por el sentido de Ve) en D y F son opuestos. La leva con un seguidor de rodillo de la Figura 3.37 ilustra que no todos los cuerpos que ruedan son circulares. Se da la velocidad angular de la leva y se va a determinar la velocidad angular del brazo seguidor ST para la posición se ñalada. Se especifica que no hay deslizamiento entre la leva C y el rodillo F.
t
VELOCIDAD
83
T
Figura 3.37. - Velocidades en una leva con seguidor de rodillo.
El punto de contacto P relaciona el movimiento de la leva y del seguidor. La velocidad de P sobre C puede encontrarse fácilmente. La leva C es un cuerpo que tiene rotación pura alrededor de O, por lo que VI' sobre C wc X OP y es perpendicular a OP. Ya que no hay deslizamiento, VP sobre C Vi, sobre el rodillo F. Para determinar la velocidad angular de ST necesitamos saber la ve locidad de S. P y S son del mismo cuerpo rígido, por lo que, a lo largo de la línea PS, e u. V¡,= e.u. V 8. Se sabe que V 8 es perpendicular a ST (ya que ST gi ra alrededor del eje fijo T), por lo que, una perpendicular a e.u. V8 definirá V8· V8 , y el sentido de esta velocidad angular deberá ser compatible con V 8· w8T , ST
= =
=
3.27. Polígonos de velocidades para la rodadura pura. La aplicación del método del polígono de velocidades a los problemas de rodadura ofrece las mismas ventajas de eficiencia y precisión que cuando se apli can a los sistemas articulados conectados con pasadores .. Los principios de velo cidad relativa y la utilización de los centros instantáneos se combinan para pro porcionar otro método distinto del de las componentes útiles, el cual resulta un tanto engorroso. En la rodadura pura, todos los puntos de contacto tienen la misma velo cidad y, por tanto, no tienen velocidad relativa uno respecto de otro. Como he mos visto, la velocidad relativa de un punto de un cuerpo rígido respecto de otro punto es perpendicular a la línea de unión de estos dos puntos, ya que no
'
-
---- - -
84
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
.puede haber velocidad relativa en la dirección que los une. Cuando un cuerpo tiene movimiento compuesto, una línea trazada desde cualquier punto del cuer po a su centro instantáneo debe ser perpendicular al vector velocidad de ese punto, ya que el punto no puede tener componente de velocidad sobre esta línea. El centro instantáneo es un punto sobre un cuerpo que tiene velocidad nula, por lo que no tendrá componente de velocidad en ninguna dirección. Teniendo en cuenta estos hechos, consideremos un ejemplo que encierre rodadura pura. En la Figura 3.38 se ve un tren de discos epicicloidal. El disco
I
/s /
T_
Figura 3.38. - Polígono de velocidades para el tren epicicloidal.
VELOCIDAD
85,
D gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo B. El �razo triangular A también gira alrededor de B independientemente de D y se ha pro yectado para mantener el disco J en contacto con los D y G. El disco G también se mantiene en un contacto continuo con el anillo fijo F, que es concéntrico con D y aquí se muestra solamente en parte. Se pide determinar la velocidad an gular del brazo A para una velocidad angular dada del disco D, suponiendo que 10 hay deslizamiento en ninguno de los puntos de contacto de rodadura. Podemos calcular la velocidad del punto P, de contacto entre los discos D r J puesto que en D, VP wD X BP, y será perpendicular a BP. El .punto P so >re el disco J tendrá la misma velocidad. Podemos dibujar la línea OP sobre el >olígono vectorial representando a · V1,. Es perpendicular a BP en el meca tismo. Ahora, sobre el disco J, el punto R será el punto de contacto entre J y G, la velocidad de R será la misma en ambos discos J y G. Aplicando de nuevo 1 expresión de la velocidád relativa, vemos que VR VP + -:> VR/P, donde 7 R/P será perpendicular a la línea PR sobre el disco J pero no se conoce su mag itud. Hemos representado ésta por la línea TT de longitud indefinida que pasa or el punto P del polígono. En el triángulo vectorial que representa la expresión anterior, un lado será ·P (línea OP) un segundo lado será Vp¡R , y el de cierre será VR (línea OR). Si 1dieramos determinar la dirección de Vn, podríamos completar este triángulo. otemos que R es un punto del anillo G así como de J. El punto I sobre G �ne la misma velocidad que su correspondiente I sobre el anillo fijo F, o sea, :ro. Un punto de velocidad nula de un cuerpo en movimiento es un centro ins ntáneo de rotación. Por tanto, se puede considerar que el disco G gira alrede >r de I en este instante, estableciendo la dirección de Vn como perpendicular la línea IR del disco G. Así, sobre el polígono vectorial, trazamos un vector sde O, perpendicular a IR (en el mecanismo) hasta encontrar la línea TT en Este define el vector OR, que es la velocidad del punto de contacto R sobre y J. Para determinar la velocidad angular pedida del brazo A, necesitamos sa r la velocidad lineal de algún punto de A (que no sea el punto fijo B). Proba :mente el punto E sea el más fácil de estudiar. Todos los puntos sobre el dis G tienen velocidades proporcionales a sus distancias al centro instantáneo I. í podemos calcular la velocidad de E a partir de la de R: _ JE V E _ IE y VE - IR X VR IR VR Esta velocidad de E está representada por el vector OE del polígono, per dicular a IE del disco G y dirigida de derecha a izquierda. Otro método para :rminar la velocidad de E sería verificar el valor calculado y el sentido del· :or OE:
=
=
86
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Se conoce la velocidad de R (OR sobre el polígono), por lo que a ésta sumaremos la velocidad relativa de E respecto de R. Esta VE/R es perpendicular a la línea RE sobre el dibujo del mecanismo. Por tanto, por el punto R del polí ·gono trazamos la línea SS de longitud indefinida, perpendicular a RE sobre el mecanismo (no sabemos la magnitud de VE;11). Con la dirección de la velocidad de E determinada desde el centro instantáneo del disco G (arriba), podemos di bujar una línea por O, perpendicular a /E, que es la dirección correcta de la velocidad de E. Esta línea cortará a SS en el punto E, cerrando el triángulo vec torial ORE en el polígono. Este punto E de intersección, hará OE igual al valor calculado que se usó anteriormente y podremos verificar que la velocidad de E (vector OE) está dirigido hacia la izquierda. Como E es un pasador del brazo A así como del disco G, podremos calcu lar la velocidad angular de A. Como A gira alrededor del eje fijo B, (l)A
VE
= BE
El sentido será levógiro de acuerdo con la velocidad de E.
3.28. Velocidades en un contacto deslizante. Hemos estudiado mecanismos en los que los bloques estaban proyectados para deslizar en guías fijas. Cuando las guías permanecen fijas, sólo sirven para definir la dirección del movimiento del miembro deslizante y no presentan, así, problemas en el análisis de la velocidad. En algunos mecanismos las guías para los miembros deslizantes también están en movimiento. Para determinar el mo vimiento de las guías móviles, debemos estudiar la relación entre el desplaza miento de las guías y correderas. En la Figura 3.39 una barra acanalada contiene una corredera S. La co rredera puede moverse libre y horizontalmente por la acanaladura, pero no puede hacerlo en un movimiento vertical en ella. Si la barra se mueve ascendentemente hasta M1, posición mostrada en la parte superior, y al mismo tiempo la corredera se mueve sobre la acanaladura hasta la posición S i, el desplazamiento de M será la distancia vertical d, entre las líneas centrales de la acanaladura· en las dos posiciones. El desplazamiento de S es la distancia e medida sobre la diagonal en tre las dos posiciones de la corredera C y C 1 • Si consideramos la componente vertical de e, observamos que es igual al desplazamiento d de M. Como el cen tro de S no puede salirse de la línea central de la acanaladura, esta igualdad será siempre cierta para cualquier desplazamiento de M y S. En un intervalo de tiempo dado, serán iguales los desplazamientos de M y s· en dirección perpendicular a la línea central de la acanaladura. Como V= !1S/ 11T, las velocidades de M y S, en la dirección perpendicular al deslizamiento, siempre serán iguales. Expresado en términos más generales, puede aplicarse este hecho
VELOCIDAD
87
Figura 3.39. - Desplazamiento en un contacto
deslizante.
a todos los miembros deslizantes como sigue: En la dirección perpendicular al
deslizamiento, las velocidades de los dos miembros en contacto deslizante son iguales. Partiendo de este principio, estamos en condiciones de analizar las velo cidades de cuerpos en contacto deslizante. En la Figura 3.40 se muestra un mecanismo consistente en una horquilla acanalada Y que sólo puede moverse en sentido vertical hacia arriba y hacia abajo. Se conduce la horquilla por una manivela que gira alrededor del eje fijo O, cuyo punto P está articulado al bloque B que desliza libremente en la acana ladura de Y. Se pide determinar la velocidad de Y en la posición señalada conociendo la velocidad angular de OP. El pasador P está unido a la manivela OP, que tiene rotación pura. La velocidad de P sobre OP está dada por V wr:
=
V§?P = Wop
X
OP
El pasador P también está unido al bloque B, por tanto,
vi= W
0p
X OP
Ahora podemos relacionar la velocidad de P, del bloque, con la velo cidad de algún punto de Y a fin de determinar la velocidad de Y. Si la horqui lla Y, está construida como se ve en la Figura 3.40 (a), de tal manera que la acanaladura en Y tenga la parte de atrás sólida, hay un punto en la parte tra sera de Y sobre la línea central del pasador P directamente detrás del · punto P del bloque. Comparemos la velocidad de este punto pY con la velocidad del pun to pn del bloque. En la Figura 3.40 (b) estos dos puntos estarán el uno sobre el otro. La regla de la velocidad de deslizamiento expresa que, en la dirección per pendicular al deslizamiento, o sea perpendicular· a la línea central SS de la aca naladura, los puntos pn y p,· tienen la misma velocidad. Como vi= V§?P
que es perpendicular a OP, la velocidad de pn en la dirección perpendicular a SS es la componente útil de v; sobre la línea TT.
88
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
pY
(o)
(b)
Figura 3.40. - Velocidades en una horquilla móvil.
=
Por tanto, e.u. v: sobre TT V}: sobre TT. Como Y tiene movimiento de traslación, todos los puntos de Y tienen velocidades iguales y éstas son de direc ción vertical. Así, Vt sobre TT es la velocidad resultante del punto P de Y, de hecho, la velocidad de toda la horquilla.* Vy e.u. v: sobre TT y el sentido será hacia abajo como se ve en la Fi gura 3.40 (b). La Figura 3.41 muestra una manivela AB que gira alrededor de un eje fijo A con una velocidad angular dada. La corredera S está articulada a AB en B y desliza libremente en la acanaladura producida en la barra curvada N, la cual gira alrededor del pasador fijo C. Se pide hallar la velocidad angular de la barra N. Ya que AB está girando (con dirección perpendicular a AB) V1B = OJAB x AB pero el pasador B es un pasador del bloque B así como de AB, por tanto
=
V1B
=
V�
puesto que el pasador B es común a ambos miembros. Como antes, considere mos un segundo punto B, situado en la barra N, directamente debajo del pun to B de la corredera S. Los puntos B de S y B de N tienen velocidades iguales en dirección perpendicular al deslizamiento (o , perperdicular a EE). Ya que N está girando, Vff debe ser perpendicular a CB. Ni Vj ni Vff son perpendiculares a la línea central EE de la acanaladura, pero la regla expresa que las velocidades útiles de BN y B8 perpendiculares a EE son iguaies. Como se ha obtenido v:, podrá determinarse en la forma indicada la e.u. V� perpendicular a EE. Esta e.u. V! =e.u. Vff y, conocida la dirección de V%, podemos encontrar Vt levan-
* Cuando la velocidad angular de la manivela (OP) es constante, el movimiento de la horquilla (Y) es un movimiento armónico simple.
"'
',
�
·t.J·,
VELOCIDAD
89
E Figura 3.41. - Velocidades sobre una correde ra giratoria.
tando como se indica una perpendicular a e.u. Vi{ hasta la línea de acc1on de v;. Ahora se puede encontrar la velocidad angular de N mediante w V/r: OJN
=
VN
= CB
con sentido levógiro como expresa el sentido de Vf Una leva con seguidor plano nos ofrece otro ejemplo del análisis de la ve locidad del contacto deslizante. La leva C gira a izquierdas alrededor del eje fijo A en la Figura 3.42, con una velocidad angular dada, conduciendo al seguidor
------------s
e Figura 3.42. -Velocidades en una leva con se guidor plano.
90
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
plano F a través del punto de contacto P. Se desea la velocidad de F para la po sición señalada. Como antes, relacionamos las velocidades del punto P de C y P de F. La leva C está en rotación, de manera que V�= Wc X AP y es perpendicular a AP. El deslizamiento tiene lugar sobre la superficie SS de F. El seguidor F se traslada en una dirección vertical, impuesta por los apoyos fijos en los que desliza. Los puntos pe y pF tienen la misma velocidad en la dirección NN, perpendicular a SS, así e.u. V� e.u. Vf, sobre NN. El punto PF , como todos los puntos de F, está obligado a moverse solamente en una trayectoria vertical, por lo que e.u.v; define la resultante V� que es igual a VF·
=
3.29. Velocidad de deslizamiento. Cuando un cuerpo A desliza sobre otro cuerpo B (Figura 3.43), A se mueve sobre la superficie B. A fin de que esto ocurra, Á debe tener un movimiento re lativo a B. Si A y B tuvieran velocidades iguales, se moverían juntos a la misma velocidad y no habría deslizamiento entre ellos. Si A ha de resbalar sobre B, sus velocidades absolutas deben ser de distinta magnitud, dirección, o sentido. La di ferencia de las velocidades absolutas se ha definido como velocidad relativa. Esta velocidad relativa de dos cuerpos en contacto que se mueven, se le llama velocidad de deslizamiento. Es una velocidad muy importante en muchos problemas de di seño de máquinas. La velocidad de deslizamiento entre A y B es la velocidad re lativa de A respecto de B, o sea VA - VB . Como A y B tienen velocidades para lelas, VÁ/B es, en este caso, una diferencia algebraica.*
0
VA
'�
Figura 3.43. - Velocidad de deslizamiento so bre cuerpos en traslación.
3.30. ¿Rodadura o deslizamiento? Cuando dos cuerpos en movimiento están en contacto, o hay rodadura pura, o deslizamiento, y la primera etapa en un estudio de la velocidad es identificar la naturaleza de este contacto. Se hace fácilmente si examinamos las velocidades del * V,.1n = V81_, en magnitud y sólo difiere en el sentido. Normalmente en las velocida des de deslizamiento sólo nos interesan la magnitud o posiblemente dirección de la velo cidad relativa y no necesitamos distinguir cual cuerpo es el que desliza sobre el otro.
VELOCIDAD
91
punto de contacto. Si ambos cuerpos tienen las velocidades iguales en el punto de contacto, están en rodadura pura. Si las velocidades de los puntos de contacto en cada cuerpo difieren por cualquier motivo (magnitud, dirección, o sentido),, están en contacto deslizante.
3.31. Determinación de la velocidad de deslizamiento. En la Figura 3.44, el brazo A gira en sentido dextrógiro alrededor del eje fijo D, haciendo que el cuerpo B gire alrededor del eje fijo E, a través del contac to C. El centro de la parte circular de B es O. La velocidad del punto de contacto C sobre el brazo A es perpendicular a DC e igual a WA X DC (ver vector Vt). La velocidad del punto de contacto C sobre el cuerpo B es perpendicular a EC (ver vector Vg). Estas dos velocidades en el punto de contacto tienen direcciones diferentes por lo que, cualesquiera que sean sus magnitudes, tendremos deslizamiento en C. Hallemos la velocidad de deslizamiento. Vt y vg tienen la misma componen te útil. sobre NN, perpendicular al deslizamiento (e.u. sobre el dibujo). A partir de esta componente común, establecemos la magnitud de vg en la forma normal. La velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa de C en B respecto de C en A (o viceversa). Ésta es la diferencia vectorial, vg - - v¿, ya que estas ve locidades tienen direcciones diferentes. T
Velocidad de deslizamiento f /
B
\
\ � E
D
Figura 3.44. - Velocidad de deslizamiento so bre cuerpos en rotación.
Para encontrar esta velocidad relativa trazamos la opuesta de Vt desde el ex tremo de (La opuesta de Vt tiene sentido opuesto al de la Vt real.) El vector trazado desde C hasta el extremo de - V es la velocidad relativa de desliza-
vi.
t,
92
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
miento. Nótese que como Vt es paralela e igual a - vi, la figura Cabf es un pa ralelogramo. Por tanto, f está sobre la línea TT que es una prolongación de la superficie de contacto de A. TT es tangente al cuerpo B en C, por lo que se establece que la velocidad del deslizamiento está sobre la tangente a las superficies de contacto. Esto será siempre cierto, cualquiera que fuere la magnitud de las velocidades de los puntos de contacto. En suma, la velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa de los pun tos de contacto y está dirigida según la tangente común.
3.32. Polígonos de velocidades para contacto deslizante. Las ventajas de simplicidad y precisión de una escala grande que nos pro porciona el método del polígono vectorial puede aprovecharse adaptando esta técnica a los problemas de deslizamiento. En esta aplicación sacaremos partido de la velocidad de deslizamiento. Este concepto de velocidad relativa sustituye a la componente útil perpendicular al deslizamiento. Cuando dos cuerpos están en contacto deslizante, los puntos de contacto tie nen velocidades distintas sobre cada cuerpo. La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre las velocidades de los dos puntos de contacto, pero esta diferen cia es igual a la velocidad de un punto de contacto menos la del otro. Si los pun tos de contacto son A y B: VB
- -
VA
=
V
i.
deslizamiento
y despejando la velocidad de B VB
=
VA
+-V
deslizamiento
En la Figura 3.45, una leva C gira a la izquierda alrededor del eje fijo A y mantiene contacto continuo con el seguidor plano F. El seguidor resbala hacia arriba y hacia abajo sobre las guías fijas. Se pide determinar la velocidad del seguidor F cuando la leva esté en la posición señalada. (Este mecanismo es si milar al de la Figura 3.42.) El punto de contacto P sobre la leva C (Pª) tiene una velocidad perpendicu lar a AP e igual a wc X AP. Esto se ha representado en el diagrama vectorial por la línea OPª, trazada desde un origen conveniente O. El punto correspondiente P sobre el seguidor F (PF) tiene una velocidad paralela al deslizamiento vertical del seguidor, por lo que las velocidades de los puntos de contacto son diferentes y"hay deslizamiento.
.l•
93
VELOCIDAD
_ _ _ _ __
s
o
· 1/ .guías de F
Figura 3.45. - Polígono de velocidades para una leva.
La dirección de deslizamiento es tangente a la superficie de la leva en P, o sobre la superficie plana del seguidor (ver línea SS). En este caso, la expresión de velocidad relativa para los dos puntos de contacto (Pº y PF) es:
vi=
V�+� V
des11zmm1ento
La velocidad de deslizamiento está sobre la tangente común SS, que pasa por P.. Sobre el diagrama vectorial tenemos la vi señalada como OPº, trazada a escala. Podemos sumar a ésta una línea que pase por pe paralela a SS. Ésta re presenta la dirección de VctesI cuya magnitud aún no está determinada. La suma de estas dos velocidades (V¡; y Vaesi) es igual a v;, de acuerdo con la expresión anterior. Así el vector QPF debe ser el tercer lado del triángulo vectorial. Como la velocidad de P sobre F es paralela a las guías seguidoras, se traza este vector en esta dirección pasando pór O, hasta encontrar el vector Vdesi en PF. (Este tri-· ángulo vectorial se ha representado también sobre el mecanismo para facilitar la explicación, pero no es necesario para la solución.) La magnitud de la velocidad de F (V�) es igual a la longitud del vector QPF. La velocidad de deslizamiento
94
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
E Figura 3.46. - Polígono de velocidades para el contacto deslizante.
también· puede medirse a escala en el polígono, midiendo el vector pcpF , que es la velocidad relativa de los dos puntos P. Un segundo ejemplo de UI.J. mecanismo de contacto deslizante (similar al de la Figura 3.41) se muestra en la Figura 3.46. La manivela AB gira en sentido contrario a las agujas de un reloj con velocidad conocida alrededor del eje fijo A. La corredera S está articulada a la manivela en B y desliza en la acanaladura, en el brazo curvo N. Este brazo acanalado gira alrededor del eje fijo C. Se pide hallar la velocidad angular del brazo N cuando esté N en la posición señalada. Podemos calcular la velocidad del pasador B de la manivela AB, V�B wAB X AB . . Como este pasador une la manivela AB a la corredera S, la veloci dad de B sobre AB es igual a la velocidad de B sobre S. Ver el vector OB8, traza do desde el origen O en dirección perpendicular a la manivela AB (paralela a la línea FF sobre el dibujo del mecanismo). Consideremos ahora la velocidad de un segundo punto B que esté directa mente unido al pasador B sobre la corredera, pero que sea un punto del brazo N. La velocidad del pasador B de S relativa al punto de coincidencia B de ¡y, se le llama velocidad de deslizamiento. Es igual a la diferencia de las velocidades de los dos puntos B y es paralela a la línea central de la acanaladura EE. Podemos volver a escribir Vdes1 v: vi en la forma siguiente: v: =vi+ Vdesi, ya que es Vff lo que deseamos hallar. Ahora, siguiendo esta expresión en el diagrama vectorial, podemos sumar al vector Vj (vector OB8) un vector representativo de la velocidad de deslizamiento. No sabemos la magnitud de Vdesi, pero sí que es paralela a la línea EE, que es la dirección del deslizamiento.
l.
=
=
=
--
� 1
VELOCIDAD
95
El lado de cierre de este triángulo vectorial será v_:, suma de Vctesi y Vf De nuevo no sabemos la magnitud de este vector V¡{, pero sí su dirección. Como to dos los puntos de N, la velocidad de B sobre 'tv será perpendicular a la línea de unión de B N con el eje fijo de rotación, C. El vector representativo de Vff se llamará OBN sobre el triángulo vectorial y se trazará_ por O, perpendicular a CB (o sea paralelo a TT) sobre el mecanismo. Éste cortará al vector de VdesI en el punto BN, estableciendo así la longitud de OBN (Vf{) y de B 8B N (Vdes1). Este vector OBN puede medirse a escala para determinar la velocidad del punto B sobre el brazo N. Para encontrar la velocidad angular pedida de N, di vidimos v; por la distancia CB.
PROBLEMAS Muchos de estos problemas se han proyectado para resolverlos sin cálculos o por métodos gráficos. En todos los casos, se recomienda y es más rápida y cor ta, la solución gráfica. La precisión del trazado gráfico, como se estableció en el Capítulo 1, depende de la precisión del dibujo lineal, de las medidas y de una sabia elección de las escalas de los vectores. Si se usan los cálculos, la mayoría de los triángulos se resolverán como triángulos rectángulos y aplicaremos el teorema de Pitágoras. * En muchos casos, estos triángulos comprenden ángulos comunes o razones enteras de los lados,_ como se ve en la Figura 3 .47. El estudiante debe tratar de reconocer y sacar ventaja de esta simplificación. Se deberán siempre guiar los cálculos por trazados a mano alzada que indiquen las relaciones.
1� v3li 1
1
·� 3
l5li 8
12� 5
Figura 3.47. - Razones de lados de triángulos rectángulos corrientes.
Si se hacen los problemas gráficamente, se pueden dibujar los vectores sobre el mecanismo o usarse el método del polígono vectorial. Ya que este último mé todo emplea un diagrama de vectores libres, separado del mecanismo, se pueden utilizar escalas de velocidad más grandes, lo que contribuye a la exactitud de la solución. El profesor puede designar la elección del método. * Este teorema dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
96
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
El autor sugiere que en las asignaciones iniciales, donde lo importante es aprender el método, más que el obtener soluciones precisas, es conveniente bos quejar los sistemas de vectores a mano alzada por completo, estableciendo la es cala, tamaños relativos, e inclinaciones de los vectores, a ojo. Las respuestas deter minadas mediante un boceto no son prácticamente válidas, pero puede conocerse a fondo el método muy eficientemente si se eliminan los ajustes según la escala y la manipulación de los instrumen.t:os. Se puede posponer la precisión del dibujo hasta que el estudiante sea capaz de intentar problemas más ambiciosos. Si se usan instrumentos de dibujo precisos se puede eliminar mucho tiempo de trazado re duciendo a las partes esenciales el mecanismo, como se sugirió anteriormente en el texto. Un detalle muy importante cualquiera que sea la técnica usada para la so lución, tan importante ·para el estudiante que hace el problema como para el pro fesor que lo corrige, es: una nomenclatura cuidadosa y concienzuda de los vecto res, componentes y centros instantáneos. 3.1. Un avión a reacción vuela sin pararse desde Nueva York a Madrid, 5328 km en 6 horas 48 minutos. ¿Cuál es la velocidad media del viaje? El viaje de vuelta no se hizo por la misma ruta intentando evitar el mal tiempo, invirtiéndose 7 horas 36 minutos. Si la velocidad media en el viaje de vuelta se estima en 720 km/h. ¿Cuántos Km recorrió? 3.2. El disco W, de 30 cm de diámetro, gira, en el sentido de las agujas de un reloj, alrededor de un eje fijo O en su centro, con velocidad constante. (Figu ra P3.2). La velocidad del punto C es 210 cm/min. ¿Cuál es la velocidad an gular de U,:, la velocidad tangencial en la circunferencia del disco y la velocidad angular del lado plano AB? Se dan las dimensiones en el dibujo. Dar las velo cidades angulares en radianes/segundo. A
45° ,
B
w Figura P3.2
F�_______
.
L_�
�_3ü°
F
�� � D Figura P3.3
3.3. La manivela DE de 5 cm de longitud gira en sentido contrario de las agujas de un reloj, alrededor de un eje fijo D, a 10 rad/s. El bloque F desliza libremente en las guías fijas. ¿Cuál es la velocidad de F en la posición señalada en la Figu ra P3.3?
VELOCIDAD
97
Representar el vector para indicar el sentido.
3.4. En el sistema articulado representado en la Figura P3.4, A y E son ejes fijos.
DBC es una barra rígida. AB = DB = BC = BF =FE= 7,5 cm. Si la ve locidad de D en la posición indicada es de 100 cm/s, hacia A, determinar la velocidad lineal de C y la velocidad angular de FE.
Figura P3.4
3.5. El sistema articulado de la Figura P3.5 está accionado por la manivela OR
que gira en sentido .contrario al de las agujas de un reloj, alrededor del eje fijo O, a 70 rad/min. El miembro STL gira alrededor del eje fijo T. Se dan las dimensiones en el dibujo. Determinar las velocidades angulares de ST,T.., y MP en la posición indicada.
cm
Figura P3.5
3.6. AB gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del ej� fijo D a 1 rad/s.
AD = BD = 2,5 cm, BC = 12,5 cm, y las inclinaciones de AE y CE se mues tran en la Figura P3.6. Determinar la velocidad lineal de E en la posición se ñalada. 3.7. El disco W gira en sentido de las agujas de un reloj a 10 rad/s alrededor del eje fijo O. Los puntos L, P, R y M están todos sobre un cuerpo rígido que está
LENT- 7
('
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
98
,
E
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B Figura P3.6
p
ͷ��
•
° ��-
45
'
M
w Figura P3.7
articulado a W en L y al bloque deslizante en las guías fijas en M. OL = 3,25 cm, LM = 16,25 cm, y las otras dimensiones y ángulos se dan en la Figura P3.7. Encontrar las velocidades líneales de los puntos P y R. 3.8. En el sistema articulado que se ve en la Figura P3.8, el brazo ABC gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A a 0,5 rad/s. AB = 5 cm, BC = 7,5 cm, CD= 7,5 cm, BE= 5 cm, F es el punto medio de la barra DE, FG = 8,75 cm, AG = 10,3 cm; G es un eje fijo. Encontrar la velocidad lineal de F y la velocidad angular de GF. 3.9. En la Figura P3.9, J y M son ejes fijos, RL es una barra continua, JK = 5 cm, LM = 7,5 cm, RK = 5 cm, KP = 7,5 cm, PL = 2,5 cm. Situar el centro ins tantáneo de rotación de RL. Encontrar la velocidad lineal de los puntos P y R (en la posición mostrada) si fa velocidad angular de JK es 10 rad/s.
C.
11
99
VELOCIDAD
e
L
Figura P3.8
Figura P3.9
3.10. En la Figura P3.10, ST gira alrededor del eje fijo S. RT es perpendicular a ST Y RW. El bloque W desliza en las guías fijas perpendiculares a RW con una velocidad de 7,5 cm/s, hacia abajo, en la posición señalada. ST = 2,5 cm, TR = = 5 cm, y RW = l 5 cm. Localizar el centro instantáneo de rotación de RW y encontrar la velocidad angular de RW. a) Cuando ST gira en sentido de las agujas de un reloj a 1 rad/s. b) Cuando ST gira en sentido contrario de las agujas de un reloj a 1 rad/s. 3.11. El cuadrilátero articulado de la Figura P3.ll tiene ejes fijos en K y G. HJ = = 12,5 cm, GH = 6,25 cm, y JK = 7,5 cm. Los ángulos se ven en el dibujo. Si la velocidad angular de GH = 4 rad/s, encontrar las velocidades angulares de KJ y HJ en la posición mostrada. 3.12. Dos barras rígidas-, ABC y CDE, están articuladas entre sí en C y articuladas a los bloques deslizantes en las guías fijas en A, B y E como se ve en la FiguH
=------�
•<
R
G
w K
Vw J Figura P3.10
Figura P3.11
100
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
,, p
e Figura P3.13
Figura P3.12
ra P3.12. AB = 13,65 cm, BC = 3,75 cm, CD = 6,25 cm, DE= 10 cm. Los ángulos se dan en el dibujo. En la posición señalada, la velocidad de A es igual a 5 cm/s. Localizar el centro instantáneo de rotación de la barra CDE y deter minar la velocidad del punto D. 3.13. En la Figura P3.13 MR y ST son barras rígidas. M es un eje fijo, y el bloque S desliza en las guías fijas. MQ = QR = SQ = QT = RP = TP = 7,5 cm. Si MR gira en sentido contrario de las agujas de un reloj a 1/3 rad/ s, hallar la velo cidad relativa de R respecto a T y la velocidad relativa de P respecto de Q. 3.14. El disco W de la Figura P3.14 gira alrededor del centro fijo O. Si la velocidad relativa del punto A respecto de B = 12,5 cm/s, hallar la velocidad angular de W y la velocidad de B. 3.15. La manivela OL gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor de un eje fijo O a 1 O rad/ mio. LR es una barra rígida articulada a un bloque en R, el
I
<;-1
4 c: 1
w
18
�3 cm
Figura P3.14
6 cm
1
11 cm
p
L
1 1
f
l=,o,2c=1o Figura P3.15
VELOCIDAD
101
cual se desliza en una guía vertical fija. PK es una barra rígida articulada a RL en M y a la manivela horizontal JK en K. JK gira alrededor del eje fijo J. OL = = 3,75 cm, LM = 10 cm, MR = 2,5 cm, PM = 5 cm, MK = 10 cm y KJ = 7 cm En la Figura P3.15 se ven las otras dimensiones y los ángulos. Determinar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de PK cuando la manivela OL está en la posición vertical mostrada. 3.16. En la Figura P3.16, la manivela vertical AB gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo Á a 1 rad/ s. La biela BC está articulada a AB en B y desliza libremente a través de un agujero en el cilindro E. D es el eje fijo de E que gira libremente en los apoyos fijos señalados. AB = 7,6 cm y BC = 17, 8 cm. Las otras dimensiones se dan en el dibujo. Determinar la velocidad lineal del punto C y la velocidad angular de la biela BC.
=
B
Figura P3.16
3.17. El tren de discos que se ve en la Figura P3.17 es un prototipo de un tren de en granajes. Todos los discos están montados sobre ejes fijos. Hay rodadura sin deslizamiento entre A y B y entre C y E. B y C están unidos, así que giran con la misma velocidad. Los diámetros de los discos son los siguientes: A = 22,5 cm, B = 7,5 cm, C = 17,5 cm y E= 5 cm. Si A es el conductor y E el conducido, ¿cuál es la relación de wE a wA (llamada razón de velocidad)? Si A gira 100 rpm a derechas, ¿cuál es la velocidad angular. y el sentido de E (dar 1a respuesta en rpm)?
A Figura P3.17
3.18. En la Figura P3.18 se ve un tren de discos epicicloidal. El disco W y el brazo A giran independientemente alrededor del eje O, situado en el centro del anillo
102
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
Figura P3.19
Figura P3.18
fijo R. El diámetro interior de R es 20 cm, el diámetro de W es 12,5 cm, y el diámetro de N es 3,75 cm. El disco N rueda sin deslizar sobre W y R. Si W gira a 100 rpm, a derechas, determinar la velocidad angular en módulo y sen tido del brazo A (dar la respuesta en rpm). l.19. La excéntrica E, de 15 cm de diámetro con centro en O gira alrededor del eje fijo A a 0,5 rad/ s, en sentido contrario al de las agujas de un reloj. El rodi llo R, de 10 cm de diámetro, gira libremente alrededor del pasador P en el bloque B, señalado de puntos en la Figura P3.19. Se mantiene la rodadura pura entre E y R mediante un muelle no representado. El bloque B desliza en la guía fija vertical (de puntos) cuya línea central pasa por A. Determinar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de R cuando está en la posición señalada. 3.20. La biela AB, de 11,25 cm de largo, está articulada a los centros de dos discos de diámetro 10 cm, W y M, los cuales ruedan sin deslizar sobre una superficie F
-�
7,6 cm
Figura P3.20
VE[.OCIDAD
103
fija S. La barra EF (longitud 18,75 cm) está articulada a W en E. EG tiene 15,6 cm de longitud. La barra CG está articulada a M en C y a EF en G, como se ve en la Figura P3.2O. Si la velocidad angular de W es 0,5 rad/s, a izquier das, determinar la velocidad lineal del pasador F. 3.21. En la Figura P3.21, M es un miembro rígido que gira libremente alrededor del eje fijo O. La manivela AB (5 cm de longitud) gira alrededor del eje fijo A a 1,5 rad/min a izquierdas. CD (9 cm de longitud) gira alrededor del eje fijo D. Los manguitos que deslizan libremente sobre M están articulados a AB y CD en B y C. Determinar las velocidades angulares de M y CD para la posición indicada.
E o
2, 5 cm
� ., \ A ��'1 E
Figura P3.21
Figura P3.22
3.22. La excéntrica E, de 10 cm de diámetro, gira alrededor de un eje fijo A a 1 rad/s,
en sentido contrario de las agujas de un reloj. E está en contacto con la arma dura F en R y P, como se ve en la Figura P3.22. F desliza en los apoyos verti cales que se indican. Determinar la velocidad de F y la velocidad de desliza miento entre E y F en los puntos de contacto R y P. 3.23. La leva C gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O a 1 rad/s. El seguidor puntual F desliza en unas guías verticales fijas y se man tiene en contacto con la leva mediante un muelle no representado. · Determinar la velocidad de F en la posición señalada en la Figura P3.23 y la velocidad de deslizamiento entre F y C. 3.24. Los discos W y X tienen rodadura pura. W gira a 2 rad/min, a izquierdas, al rededor del eje fijo O. X gira alrededor del eje fijo R. La barra acanalada M está articulada a W en A. El bloque W gira libremente sobre el pasador P de X y desliza en la acanaladura en M. Determinar la velocidad angular de la ba rra M y la velocidad lineal del punto S pra la posición señalada en la Figu ra P3.24. AS= 20,9 cm
104
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura P3.23
X
p 12,7 cm diám
w T
Figura P3.24
Figura P3.25
3.25. En el mecanismo de balancín deslizante, que se ve en la Figura P3.25, la ma
nivela BC tiene 10 cm de longitud y gira alrededor del eje fijo B a 1 rad/s. El pasador C lleva un bloque que desliza libremente en la acanaladura del balan cín. RT = 21,25 cm. Las guías fijas de los bloques R y T son perpendiculares. a) Determinar las velocidades de R y T cuando BC está en la posición señalada. b) Determinar las velocidades de R y T cuando R está en la posición señalada pero BC está en la otra posición. 3.26. En la Figura P3.26, se muestra un mecanismo de velocidad variable accionado por rozamiento. El eje de entrada, gira con velocidad constante de 1725 rpm accionando el cono 1. La rueda intermedia entre los conos tiene rodadura pura
�· -
-- --- -
-
VELOCIDAD
105
en todas las posiciones con ambos conos. Puede ajustarse a diferentes posiciones a lo largo de un eje mediante el tornillo y cabeza de control. (La rueda inter media gira libremente sobre un soporte que está roscado internamente e impo sibilitado de girar po·r una palanca no señalada en la Figura.) El eje de salida gira con el cono 2. Determinar la velocidad del eje de salida cuando la rueda intermedia está en las posiciones A, B y C que se ven en el dibujo. Establecer la dirección de la rotación de salida relativa al eje de entrada.
E
ü
r--_ 00
Salida Cabeza de control Figura P3.26
·-.
4 Aceleración
Para el proyectista de máquinas, la aceleración es una propiedad muy importan te del movimiento. Una fórmula básica de la dinámica expresa que fuerza es igual a masa por aceleración (F = ma). Aún cuando la Cinemática no se ocupe de las fuerzas, el estudio de la aceleración adquiere una importancia vital en el planteo de los problemas de Dinámica. La aceleración es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. La va riación de velocidad dividida por el tiempo necesario para hacer dicha variación, es la aceleración. La disminución de velocidad por unidad de tiempo se llama técnicamente deceleración. Es una aceleración negativa, por lo que no es necesa rio establecer una distinción estricta entre los términos "aceleración" y "decele ración". Es más difícil de visualizar y predecir la aceleración que la velocidad. Exige esa disciplina mental estricta y una confianza en el razonamiento analítico tan típicas de la formación del ingeniero.
4.1. Aceleración lineal (Símbolo: a). La variación de la velocidad lineal por unidad de tiempo, se llama acelera ción lineal. Es una propiedad del movimiento de un punto de un cuerpo que tiene movimiento de traslación. Las unidades corrientes de la aceleración lineal son: centímetro por segundo por segundo, o metro por segundo por segundo. Como tie ne magnitud y dirección, es una cantidad vectorial; por lo que se pueden utilizar libremente los vectores para definir las aceleraciones y evitar los cálculos dema .siado largos. 106
�-
-
--
��
---
-
ACELERACIÓN
107
4.2. Aceleración lineal uniforme. Si un punto se mueve sobre una trayectoria recta, de manera que su veloci dad varíe en la misma cantidad en sucesivos intervalos de tiempo iguales, se dice que tiene aceleración uniforme o constante. Por ejemplo, la caída libre de un cuer po tiene aceleración constante. La aceleración es igual a la variación de velocidad (11 V) dividida por el intervalo de tiempo, durante el cual tiene lugar ese cam bio (11T):
Si designamos la velocidad al principio de ese intervalo como Vº y la velocidad al final del mismo V', entonces
-V
AV Vf - Vº y a = AT = AT Si abandonamos un cuerpo partiendo del reposo, adquirirá una velocidad de 4, 9 m/s al final del primer 1/2 s, y una velocidad de 9, 8 m/s después del si guiente 1/2 s, etc., la aceleración es igual: AV= vr
- AV a - AT -
º
vr - Vº - 9 , 8 - 4, 9 - 9 8 m/s2 - ' AT 1/2
Cuando la aceleración lineal es constante, podemos obtener las ecuaciones para la velocidad y desplazamiento que son muy útiles en el análisis de los me canismos. Puesto que a= (V1 - Vº)/ 6.T, podemos obtener la velocidad final (V1), que alcanzará cuando un punto con una velocidad inicial (Vº) se desplaza con una aceleración constante dada durante el tiempo 6.T: V1 Vº + a.1T (despejando V1 en la ecuación anterior) El desplazamiento de un punto durante un intervalo de tiempo 6.T es igual a la velocidad media multiplicada por el tiempo 6.T: S vm 6.T La velocidad media, sin embargo, es igual a la suma de la velocidad al comienzo del intervalo (Vº) y la velocidad al final del mismo (VI) dividida por dos: º f vm =V + V 2 Vº + a 6.T Si sustituimos V1 º + a T) Vº ll. = V + all.T v m = + (V o 2 2 m v 6.T, así Pero Z s = º + a �T)Ar = Vº AT + a(�T)
=
=
=
=
(v
-
,
t
108
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La velocidad final también puede expresarse en función de la aceleración y del desplazamiento sin utilizar el factor de tiempo f...T:
+ a /:iT (de antes) (V1)2 = (Vº)2 + 2Vº(a /:iT) + (a l:1T)2 (elevando al cuadrado ambos V' = Vº
miembros de la ecuación)
S = Vºl:iT (2a)S = (2a)Vº /:iT
+ a(l:1T) 2
(de antes)
+ (2a)ail:1T)
2
2aS = 2Vºa /:iT
o sea,
2
(multiplicando por 2a)
+ (a l:1T)2
Nótese que los dos últimos términos de la ecuación cuadrática anterior son igual a 2aS; Si sustituimos estos dos últimos términos de la ecuación por 2aS: (Vf)2 = (Vº)2
+ 2aS
4.3. Aceleración lineal variable. Si la variación de velocidad de un punto en movimiento no es la misma en los sucesivos intervalos de tiempo iguales, la aceleración es variable y tendrá un valor diferente para cada instante. Si un punto recorre una trayectoria recta, partiendo del reposo, de manera que su velocidad sea 5 m/s al final de :0 s, 15 m/s al final del segundo intervalo de 110 s, y 30 m/s al final del tercer }u s, observamos que tiene aceleración variable. En el primer intervalo, la aceleración media es: l:iV _ V1 - Vº _ 5 - O _ 50 m/s2· a mi _ /:iT - /:iT - � En el segundo intervalo, la aceleración media es: º _ V1 - V _ 1 5 - 5 _ 100- m/s2 amz /:iT -�-
En el tercer intervalo - 30 - 1 5 am ----150 m/s2 3
1&
Estas aceleraciones medias son, en gran manera, de interés estadístico, ya que la aceleración real varía continuamente a lo largo de cada intervalo. En el estu dio de un proyecto suele necesitarse la aceleración real en un instante dado.
f.
ACELERACIÓN
109
El método de estudio de las aceleraciones instantáneas sigue la misma pauta, excepto que se usan muy pequeños intervalos de tiempo (iiT) y la correspondien te variación de velocidad (� V). Cuando estos pequeños incrementos de tiempo tiendan a cero, obtenemos la aceleración instantánea. a=
!i
(cuando iiT tiende a cero)
=
En lenguaje de cálculo, esta definición pasa a ser a dV/dT, la primera de rivada de la velocidad con respecto al tiempo. (Como V dS/dT, la aceleración también se puede expresar en la forma a= d2 S/dT2 , o sea, la derivada segunda del desplazamiento respecto del tiempo.) Cuando un punto recorre una trayectoria recta, su velocidad está dirigida en todo momento a lo largo de esa trayectoria. Los cambios en la velocidad, lo son en magnitud y posiblemente en sentido, pero la inclinación permanece constante. Las diferencias de velocidad son, por tanto, algebraicas, y no se necesitan usar los vectores. Como todas las velocidades son de la misma inclinación, todas las ace leraciones estarán igualmente dirigidas sobre la trayectoria recta del movimiento.
=
4.4. Aceleración lineal sobre trayectorias curvas. Si un punto recorre una trayectoria curva, su velocidad cambia de dirección así como de magnitud. El pmbio de velocidad AV es, por tanto, la diferencia vec torial entre la velocidad original (Vº) y la final (V') para el principio y el final del intervalo de tiempo iiT: AV V1 - -Vº L\T = L\T =
ª
En la Figura 4.1 (a), el punto A recorre la trayectoria curva que se muestra. Al principio del intervalo de tiempo .iiT, el punto está en A º y tiene una velocidad para ese instante Vº , dirigida a lo largo o tangente a la curva en A º. Para el final del intervalo de tiempo LiT, el punto ha alcanzado la posición A1 y ha adquirido una velocidad incrementada V', también tangente a la curva en A1. El cambio de velocidad (iiV) durante el tiempo �T es, por tanto, la diferencia vectorial (VI - � Vº) en el diagrama de vectores libres de la Figura 4.1 (b). Al hacer esto se tiene en cuenta todo el cambio de magnitud, como el de dirección.
Aº
-----o
vº
==-•
-- ....__
(o)
o At
�
6V�
-v º (b)
Figura 4.1. - Variación de velocidad de un punto de una trayectoria curva.
,
110
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La dirección de la aceleración lineal será en todos los casos la misma que la dirección en la cual varía la velocidad, o sea, la del vector !i V. Un cuerpo en movimiento de traslación puede considerarse que tiene acele ración lineal. Como las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales para cualquier instante dado, las variaciones de velocidad de esos puntos serán iguales para cualquier intervalo dado. La aceleración lineal del cuerpo en con junto será, por tanto, igual a la de uno cualquiera de sus puntos. 4.5. Aceleración angular
(Símbolo: a [alfa]).
La variación de velocidad angular por unidad de tiempo se llama aceleración angular. Es una propiedad del movimiento de cuerpos o líneas y no puede apli carse a puntos, puesto que su movimiento angular no tiene significado. Las uni dades corrientes de aceleración angular son radianes por segundo por segundo.
4.6. Aceleración angular uniforme. Si un cuerpo gira de tal manera que su velocidad angular varíe la misma can tidad en iguales intervalos de tiempo, se dice que su aceleración angular es cons tante o uniforme. Lo mismo que con la aceleración lineal, la variación de veloci dad angular (!iw) que tiene lugar en un intervalo de tiempo dado, dividido por dicho intervalo de tiempo, es igual a la aceleración angular (a): !101 -AT Si designamos la velocidad angular al principio del intervalo por wº y la del final por o/. ('j,-
y Esta ecuación dará una expresión para la velocidad angular final (o/) obte nida por una línea que tiene una velocidad angular original de w0 y que gira du rante un tiempo !iT, con una aceleración angular constante: wr = 01º
+ ('J,/l.T
(despejando o/ en la ecuación anterior)
El desplazamiento angular (0) de una línea durante cualquier intervalo de tiempo !iT es igual a la velocidad angular media durante ese intervalo, multiplicada por el tiempo !iT, 0
=w
m
X !iT
�
.---
-----
-
ACELERACIÓN
111
Esta velocidad angular media es igual a la suma de las velocidades inicial y final, divididas por dos. m
ú)
roº+ ro1 = --2--
rof =roº+ ruiT: º º wm =ro + (ro + a JiT) =roº+ a JiT 2 2
y sustituyendo
Ya que 0
=w
m
X tiT,
La velocidad angular final puede expresarse en función de la aceleración y desplazamiento angulares, eliminando el factor tiempo. Como «/ wº + a l:iT, elevando al cuadrado ambos miembros:
=
(ro1)2 =(roº)2+ 2roºa JiT+ (a JiT)2 a(JiT)2 0 = roº JiT+ - - (de antes) 2 y multiplicando por 2a: 2a0 =2aro0 JiT+ (aliT)2 En la ecuación de (w/)2, sustituimos por 2a0 los dos últimos términos y (rof) 2 =(roº)2+ 2a0 Nótese que estas ecuaciones son similares a las de la aceleración lineal uniforme del artículo 4.2, excepto que se ha sustituido a por ,a, V por w y S por e. 4.7. Aceleración angular variable. Si las variaciones de velocidad angular de una línea en rotación en interva los de tiempo sucesivos iguales, no fueran iguales, la aceleración angular sería variable y tendría un valor diferente para cada instante. En un intervalo de tiem po dado tJ.T, lá aceleración angular media será igual al cambio de la velocidad angular durante ese intervalo dividido por el tiempo tiT:
Este valor medio no será la aceleración correcta a lo largo de todo el inter valo, ya que la aceleración cambiará continuamente.
• 112
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Como antes, nos acercamos al valor verdadero de la aceleración instantá nea usando un intervalo de tiempo /j_T muy pequeño y la variación correspon diente, /j_w. Cuando este incremento de tiempo tiende a O, obtenemos el valor instantáneo de la aceleración angular a = !J..w IJ..T
(cuando /j_T tiende a cero)
En el lenguaje del cálculo, esta definición pasa a ser: a= d w dT la derivada primera de la velocidad angular con respecto al tiempo, o ya que w = d0/dT la derivada segunda del desplazamiento angular respecto del tiempo. Como estamos limitando nuestro estudio al movimiento en un plano umco, o en planos paralelos, los cambios de las velocidades angulares sólo afectan a la magnitud y posiblemente al sentido, por lo que las diferencias de velocidad son algebraicas y no vectoriales.* 4.8. Aceleraciones en cuerpos en traslación. Los cuerpos en traslación se mueven sin girar. Hemos observado que las ve locidades de todos los puntos en cuerpos en traslación son iguales (artículo 3.1) para cualquier instante dado. Si estas velocidades, cambian de un instante al si guiente, todas deben cambiar en la misma medida o no podrían mantener la igual dad en todo momento.
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Figura 4.2. - Aceleraciones sobre un cuerpo en traslación.
* Las velocidades angulares pueden representarse vectorialmente y ello resulta nece sario cuando los ejes de rotación no son paralelos, si bien no necesitamos tales vectores en cinemática plana.
ACELERACIÓN
113
Ya que la aceleración es igual a la variac10n de velocidad por unidad de tiempo y todos los puntos del cuerpo tienen la misma variación de velocidad por unidad de tiempo; se deduce que todos los puntos sobre un cuerpo con movimien to de traslación, tienen aceleraciones iguales en un instante dado cualquiera. La dirección de estas aceleraciones será la misma _que la dirección -del movimiento, o sea, dirigidas según las trayectorias de los puntos (paralelas), como se ve en la Figura 4.2. 4.9. Aceleraciones lineales en cuerpos que giran a velocidad constante.
Consideremos primero el caso de un cuerpo en rotación pura con velocidad angular constante. Cualquier punto sobre tal cuerpo tendrá una velocidad igual a la velocidad angular multiplicada por su distancia al eje de rotación (V= w·r) perpendicular a la línea radial de unión del punto y el eje. Como w y r permanecen constantes, también permanecerá constante en magnitud su velocidad lineal, pero cambiará en inclinación cuando el cuerpo gira. Así, pues, habrá una variación de velocidad y por tanto,, aceleración. El disco W, en la Figura 4.3 (a) gira en el sentido de las agujas de un reloj con velocidad angular constante ww alrededor del eje fijo O, que pasa por su cen tro. Un punto cualquiera de W, tal como el A, situado a la distancia r de O, tiene una velocidad lineal VA = ww·r, perpendicular a OA. Supongamos que, en un, pequeño intervalo de tiempo (!).D la línea OA gira un ángulo pequeño M}, cuan-" do A se mueve de A º a A'. Ya que !).T es un intervalo de tiempo muy pequeño, podemos considerar que la aceleración es uniforme en el intervalo sin introducir un error apreciable.
e
p�
w
(b}
(e}
(a} Figura 4.3. - Variaciones de velocidad de un cuerpo que gira a velocidad constante en mag-
114
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Esta diferencia vectorial se muestra en el diagrama . vectores libres de la Figura 4.3 (b). Ya que VI se dibuja perpendicularmente a OA1 y Vº es perpen dicular a OA º, el ángulo entre V' y Vº será igual al ángulo entre CA1 y CA º, que es el ángulo !10. Hemos demostrado (en el artículo 2.3) que la longitud de arco (P) subtendida por un ángulo (0) es igual al radio del arco (r) multiplicado por el ángulo en radianes: (P r0). Cuando el ángulo es muy pequeño, como en la Figura 4.3 (c), el arco subtendido y su cuerda (C) son prácticamente iguales, por lo que la cuerda será esencialmente igual al radio multiplicado por el ángulo expresado en radianes (C= r0). En la Figura 4.3 (b), v1 es igual a Vº, por lo que tiV puede considerarse la cuerda del círculo de radio V subtendida por un ángulo de !10. Como !10 es muy pequeño, podemos establecer que tiV= V. !10 cuando !10 tiende a cero. Entonces la aceleración de A será: VA/10 = dVA ªA dT = dT Si sustituimos w !10/!).T:
=
=
y sustituyendo VA
= ww.r: a,1.
= (cow)Zr*
como !10 estaba en radianes en la ecuación !).V= V/10; el w de la ecuación ante rior debe estar en radianes por unidad de tiempo. La dirección de esta aceleración será la misma que la de tiV. Cuando el ángulo !10 tienda a cero, el ángulo tiV y VA tenderá a 90°, en cuyo caso tiV sería paralela a OA, y estaría dirigido hacia el eje O. Como r y w son constan tes, la magnitud de aA permanecerá constante cuando el cuerpo gire. En conclusión, la aceleración de un punto cualquiera de un cuerpo que gira con velocidad constante es igual al cuadrado de la velocidad angular del cuer po (en radianes por unidad de tiempo) multiplicada por la distancia del punto al eje de rotación.
a= ü?r
(dirigida hacia el eje de rotación)
Como esta aceleración es normal (perpendicular) a la trayectoria del punto en todo momento, y por tanto radial con respecto al eje, se le llama aceleración normal o radial (az, o aR). Esta aceleración es debida sólo, al cambio de inclina* Esta ecuación puede adoptar otra forma:
VA si sustituimos row =- en la ecuación aA = VA· row. A veces esta forma es más conveniente. r
,,
ACELERACIÓN
115
ción de la velocidad, puesto que la magnitud permanece constante cuando el cuerpo tiene velocidad angular uniforme.
4.10. Aceleraciones lineales en cuerpos que giran con velocidad angular variable. Cuando varía la velocidad angular de un cuerpo, la velocidad lineal de un punto sobre el cuerpo variará en magnitud y en dirección. Consideremos la aceleración debida al cambio en magnitud de la velocidad separadamente e ignorando por el momento el cambio de dirección. En la Figura 4.4 (a), el disco W gira alrededor del eje fijo O con velocidad angular variable. En la posición A º , el punto A tiene una velocidad Vº , como se indica tras girar W un pequeño ángulo 6.0, el punto A se mueve sobre un arco hasta A1 y tiene una velocidad VI (mayor que Vº). Como estamos ignorando los cambios de dirección de la velocidad, la trayectoria circular A ºA' puede con siderarse recta, como se ve en la Figura 4.4 (b). La aceleración de A debida al cambio sólo en la magnitud de la velo:::idad debe ser: aA =
!�
(usando la ecuación para movimiento rectilíneo del artículo 4.3) A.V= V1 -
Vº (diferencia algebraica)
Como la velocidad angular varía, w º de la línea OA º , diferirá de w' de la OAI. sustituyendo:
Aº vº t1. 'r--t: I
1 1 1
/'li11t H
1/
w
v1
/
/
I¡ V
(al
(b)
Figura 4.4. - Cambios de velocidad debidos a la aceleración angular.
116
ANÁLISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
pero
w1 - wº = l:lw (variación de w)
por tanto y como
r llw a= l:lT
l:lw/llT = ex
a= rtX Esta aceleración será constante, sólo si lo es la aceleración angular a en caso contrario sería un valor instantáneo correspondiente tan sólo a la posición Aº . La dirección de esta aceleración es la misma que la de �V, la cual (como sólo estamos considerando variaciones de magnitud) es tangente a la trayectoria (perpendicular a OA), y se le llama lógicamente aceleración tangencial (aT). El punto A también tiene una aceleración debida al cambio de inclinación de V,1 . En el artículo 4.9 vimos ya �sta aceleración normal aN w2r. Como esta ecuación no comprende la aceleración angular es permisible considerar por se parado la aceleración debida a los cambios de dirección de la velocidad y la debida a los cambios de magnitud. aN no es constante en este caso. Como w cambia continuamente, la aceleración normal es un valor instantá neo y el término w2 utiliza la w de la línea OA º . La aceleración resultante de A, es la resultante de dos componentes: aN, dirigida hacia O, y aT, perpendicular a OA. Esta aceleración resultante se puede encontrar gráficamente (Figura 4.5) como la suma de dos vectores, y como aN y aT son perpendiculares, podemos calcularla mediante el teorema de Pitágoras: Puesto que a2 = (aN)2 + (a7)2,
=
a
= ,./(aN)2 + (ar)2
El ángulo � entre la aceleración resultante aA y la línea radial OA se deter mina por el cociente entre a T y aN o sea ar/w2r, que es a/ro2 (simplificando r)
w Figura 4.5. - Resultante de las aceleraciones normal y tangencial.
ACELERACIÓN
117
En trigonometría, la tangente�·del ángulo � es igual a a/w2 y � puede encontrar se en tablas. Se puede señalar aquí, que como para cualquier instante el cuerpo en con junto tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular, el án gulo � es el mismo para todos los puntos del cuerpo en una posición dada cual quiera. Esto se ilustra en la Figura 4.6.
Figura 4.6. - Inclinación de las aceleraciones con las líneas radiales.
Ejemplo 1 En la posición señalada, la palanca acodada de la Figura 4.7, gira alrede dor del eje fijo A con uq_a velocidad angular de 2 rad/min y una aceleración angular de 3 rad/min2, ambas en sentido de las agujas de un reloj. AB = 5 cm, AC = 7,5 cm y AD = 10 cm. Se piden las aceleraciones lineales de los pun tos B, C y D. La componente normal de la aceleración de B es igual a w2r: aN
= 22 x 5 = 20
cm/min2, (hacia A)
La componente tangencial de la aceleración de B es igual a ar: aT = 3 x 5 = 15 cm/min2 (perpendicular a AB, en el mismo sentido que a) La aceleración resultante de B es· la suma vectorial de aN y aT y ya que el ángulo entre ellos es 90º (ver el diagrama pequeño de la Figura 4.7)
* En términos trigonométricos, la tangente _de un ángulo agudo de un triángulo rectán gulo es igual al cateto opuesto, dividido por el cateto adyacente del ángulo.
118
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
8 15 20�
��
e
Figura 4.7. - Aceleración de puntos de un cuerpo en rotación.
aB = -v(a'J)2 + (a�)2 = -V202+152 2
= .../ffi = 25 cm/min
El ángulo B, que forman aB y AB tiene una tangente igual a alw2 = ¾· (En el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, B es el ángulo opuesto al lado de 3 unidades.) Análogamente a� al ac
= w2r = 4 X 7,5 = 30 = ar = 3 X 7 , 5 = 22,5 = y302 + 22,52)= 37,5
El ángulo B que forman a1;; a� aD
a0 y AC
= a,2r = 4 X
cm/mirf
es igual al ángulo B que forman
aB y AB.
= 40 =ar= 3 X 10 = 30 = \/402 + 302 = 50 cm/min2 10
El mismo ángulo B lo forman aD y AD.
4.11. Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido. La aceleración relativa de un punto de un cuerpo rígido respecto a otro del mismo cuerpo, es muy útil para el análisis de la aceleración de cuerpos en movimiento compuesto. El cuerpo rígido impone restricciones a las aceleraciones, lo mismo que a las velocidades.
ACELERACIÓN
119
La Figura 4.8 muestra dos puntos, A, B, del mismo cuerpo rígido. Consi deremos primero el movimiento relativo de B respecto de A. Podemos visuali zarlo imaginándonos en A y observando el movimiento de B. Desde ese punto ventajoso, el movimiento que observamos será el movimiento relativo de. B res pecto de A ..
Figura 4.8. - Aceleraciones cuerpo rígido.
relativas
en
un
El concepto de cuerpo rígido garanti�a que, cualquiera que sea el movi miento del cuerpo, B nunca se acercará o alejará de A. Entonces, el único mo vimiento relativo que B puede tener respecto de A es que se mueva sobre una trayectoria circular (de radio AB) alrededor de A. Con relación a A, la línea AB, está pues en rotación alrededor de A. La aceleración relativa de B respecto de A, debe ser entonces la aceleración de un punto del cuerpo en rotación pura alrededor de un eje fijo que pase por A, ya que cuando estamos en A, desde nuestro punto de vista, A no se mueve. Ya hemos estudiado las aceleraciones de los puntos de los cuerpos que tie nen ro�ación pura y hemos encontrado que tales puntos tienen dos componentes de la aceleración: una componente normal w2r (dirigida hacia el eje) y una tan gencial ar (perpendicular a la línea de unión con el eje). En estos términos, w y a son la velocidad angular y la aceleración angul�r de la línea de unión del punto con el eje de rotación. Como el movimiento relativo de B respecto de A es el de un punto que gira alrededor de A, podemos establecer que la aceleración relativa de B res pecto de A tiene dos componentes semejantes: la aceleración relativa normal de B respecto de A, N
a B!A
= (coAB) x 2
AB (hacia A)
y la aceleración relativa tangencial de B respecto de A, T
a B!A
= a,AB
x AB (perpendicular a AB)
..
120
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Para un instante dado, un cuerpo rígido sólo puede tener un valor de w y a. Estos valores son los mismos, independientemente de qué punto hayamos seleccionado como eje de referencia. Por tanto, los valores absolutos de w y a son los mismos valores que empleamos en la aceleración relativa. La aceleración total relativa de B respecto de A es la suma vectorial de estas dos componentes, y B no puede tener otra aceleración relativa respecto de A. Nótese que, en este estudio, no hemos especificado la clase de movimiento que tenía el cuerpo, así, los resultados obtenidos son ciertos cualquiera que sea la clase de movimiento. Si el cuerpo tiene movimiento de traslación, no gira, y w y a son cero. Por lo tanto, w2r O y ar O, y no hay aceleración relativa de un punto del cuerpo respecto de otros. Esto verifica lo dicho en el artículo 4.3 de ·que todos los puntos de un cuerpo con movimiento de traslación tienen aceleraciones igua les. Cualquier aceleración relativa de un punto respecto de otro sólo es debido a la rotación del cuerpo. Si el cuerpo tiene movimiento de rotación, o movimiento compuesto, para obtener la aceleración relativa de un punto respecto de otro se utilizarán ·1os va lores absolutos de w y a. Como en el caso de las velocidades, si se conocen las aceleraciones abso lutas de dos puntos de un cuerpo, la aceleración relativa de uno respecto de otro es la diferencia de sus aceleraciones absolutas. En la Figura 4.9 se conocen las aceleraciones de los puntos E y F (aE y aF), y se pide la aceleración relativa de F respecto de E.
=
=
Esta diferencia vectorial se forma de la misma manera que con las veloci dades, añadiendo el opuesto de aE al aF dado. aFJE es la resultante de esta ope ración. Hemos señalado antes que esta aceleración relativa se debe a la rotación del cuerpo. Ello proporciona un medio de calcular la w y la a del cuerpo. Sa bemos que la aceleración relativa de F respecto E es la resultante de dos com-
Figura 4.9. - La aceleración relativa es igual a la diferencia de las aceleraciones absolutas.
•
ACELERACIÓN
121
ponentes: of1·r, sobre FE, y ar, perpendicular a FE. Descompongamos aF;E en dos componentes sobre FE y sobre su perpendicular como se ve en la Figura 4.10: a'f1E = OJ2 x FE y
así
2
N = aFIE
(X
T = aFIE
W
FE
w=/1ij así
FE
Figura 4.1 O. - Componentes normal y tangen cial de la aceleración relativa.
4.12. Aceler�ciones en cuerpos en movimiento compuesto. En el análisis de la velocidad hemos usado el concepto de velocidade_s re lativas sobre un cuerpo rígido como herramienta básica. Indicábamos que, en la dirección que une dos puntos de un cuerpo, no había velocidad relativa. Esto fue la base para sostener que las componentes útiles eran iguales a lo largo de la línea entre dos puntos. (Si no hay velocidad relativa, entonces las veloci dades deben ser iguales.) En el análisis de la aceleración, empleamos de igual manera el concepto de aceleración relativa de un cuerpo rígido. La única diferencia es que (excepto en un cuerpo en traslación) las aceleraciones relativas son un poco más com plejas. Hemos observado, en la Figura 4.9 anterior, que la aceleración relativa de F respecto de E es igual a la diferencia entre sus aceleraciones absolutas: aF/E = Op - -aE Si despejamos aF en esta ecuación: Op
= OF/E + - QE
Esta ecuación proporciona un medio de determinar la aceleración de F cuando se conoce la aceleración de otro punto E y puede hallarse la acelera ción relativa de F respecto de E.
122
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Por ejemplo, en la Figura 4.11 pueden verse dos puntos, C y D, sobre un cuerpo M. Se conocen la velocidad y aceleración angulares de M y la acelera ción lineal absoluta de D. Se pide la aceleración de C. Siguiendo la ecuación anterior de la aceleración relativa: lle = llc¡v
+ - av
La aceleración relativa de C respecto de D se compone de dos partes: a�/D = co� X CD Y
af/D
= ocM x CD
Como se ve, están calculadas y trazadas desde C. El sentido de la compo nente fJ.r está de acuerdo con el sentido de 'ªM (sentido contrario de las agujas de un reloj con respecto a A). Después, determinamos la resultante de estas dos componentes, la cual es a0ID como se ve. Nuestra fórmula establece que debemos sumar la aceleración de D a esta a0ID para obtener a0• Esto se muestra en la Figura 4.11, en la que se ha añadido av al final de a01v y se ha dibujado la resultante a0. La magnitud y dirección de este vector son correctas puesto que son determinadas por sus componentes, ao¡v y av.
Figura 4.11. - Aceleración de un punto en un cuerpo en movimiento compuesto.
4.13. Componentes útiles de la aceleración. Apliquemos este método de la aceleración relativa a un mecanismo. El sis tema articulado de manivela y corredera de la Figura 4.12 es un caso típico. La manivela AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con w y a dadas. Hallemos la aceleración de C. AB está en rotación pura, por lo que an tiene dos componentes:
ACELERACIÓN
123
Figura 4.12. - Aceleración del botón de ma nivela.
Su resultante es, como se ve, ªB · BC tiene movimiento compuesto, por lo que utilizaremos la ecuación de la aceleración relativa para a0 : ªe = ac/B + -+a;
Podemos predecir que a0 está dirigida según la línea central de las guías. Como VO siempre está sobre esta línea central, cualquier cambio de velocidad tendrá la misma dirección. De nuevo, la aceleración relativa de C respecto de B tiene dos componentes: llc/B
= (m
2
) X
cn
CB + -> rt08
X
CB
Se da la longitud de CB, y podemos encontrar WOB, pero a.0B no se obtiene fácilmente,· por lo que intentaremos otro método. En la Figura 4.13 se muestra el vector resultante R, suma de dos compo nentes J y K. Hallemos las componentes útiles de J, K y R según una línea cual quiera, tal como la SS. Trazando perpendiculares a SS, determinamos OM
= c.u.J,
MP = c.u.K,
OP = c.u.R
Observamos: OP = OM
+--> MP
o sea c.u.R
= c.u.J +-+ c.u.K
Entonces, en cualquier dirección dada, la componente útil de un vector re sultante es igual a la suma de las componentes útiles de sus vectores compo nentes.
�--R -
J I¡
/1
s - -(!F-_,µ..----�- -s o C.UJ.� c ..uK_ _jP C.UR-�
Figura 4.13. - Suma de componentes útiles.
124
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Aplicando esto a la ecuación de la aceleración relativa (a0 deduciéndose que en cualquier dirección:
= aa;B + � aB),
e.u.ac =e.u.ac;B + �.u.aB
En el problema de la Figura 4.12, como conocemos la dirección de a0, sólo necesitamos una componente útil de la aceleración de C para determinar la mag nitud de a0 . (Una perpendicular desde esta e.u. a0 a la línea central de las guías definirá ac). Encontremos una componente útil de la aceleración de C según BC. Según BC: e.U.lle =e.u.ac;B + -e.u.aB La e.u. aa;B según BC es igual a (roBa)2 X BC porque la componente ar, siendo perpendicular a BC, no tiene efecto según BC. Encontramos roBa locali zando IBa, como se ve en la Figura 4.14. Como IB tiene la misma ro que BC (ambas líneas son del mismo cuerpo) VB
IB
Pero ya que Vn = roAB x AB,
=
(j)BC
AB X IB Después elevamos al cuadrado esta roBa y la multiplicamos por BC, y te nemos la e.u. aa;B según BC, representada en la Figura 4.14. Necesitamos luego la e.u. aB según BC, la cual se obtiene con facilidad en B. Esta e.u. se representa añadida a e.u. aa;B en la Figura 4.14. Estas dos compo nentes útiles forman juntas la e.u. a0 según BC. (j)BC
C.¡
-f
=
(j)AB
----
CJ·<�s
/
A
e
Figura 4.14. - Aceleraciones sobre una mani vela y corredera.
125
ACELERACIÓN
Una perpendicular a esta e.u. a0 por d, corta a la línea central de las guías m f, definiendo Cf como la aceleración absoluta de C. Las componentes útiles de la aceleración pueden, por tanto, utilizarse para )btener aceleraciones resultantes de la misma manera que empleábamos las com Jonentes útiles de la velocidad para obtener velocidades resultantes. Cada compo1ente útil de la aceleración según una línea de unión de dos puntos de un cuerpo ·ígido está compuesta de dos partes: 1. La componente de la aceleración relativa del primer punto respecto del segundo. (Esto se debe a la rotación del cuerpo, haciendo que el primer punto se mueva en torno al segundo, y, por tanto, es una componente ü?r.) 2. La componente de la aceleración del segundo. (Debida a la traslación del cuerpo y, por tanto, la misma para ambos puntos.) l.14. Determinación de las direcciones de las aceleraciones lineales.
Cuando no está definida la dirección de una aceleración por guías rectas, :mpleamos dos componentes útiles, lo mismo que hicimos con las velocidades. En el sistema articulado de la Figura 4.15, la manivela conductora OM, gira m sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad mgular cons. tante w. L es un eje fijo, y la barra MKP un cuerpo rígido simple. ,e piden las aceleraciones de K y P. Primero hallamos la aceleración de M. Los puntos sobre un cuerpo en ·otación, tal como el OM, tienen dos componentes de la aceleración: úJ r y ar. �n este caso, sin embargo, OM tiene una úJ constante, y por tanto a es igual a O. 2
Figura 4.15. - Aceleraciones sobre un cuadri látero articulado.
126
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La aceleración resultante de M es igual a a�= (w0M) X OM y está dirigida hacia O. Segundo, consideremos la aceleración de K. Podemos encontrar una com ponente útil de la aceleración de K según MK: e.u. aK=e.u. aKm+ -+e.u. aM (todas en la dirección MK) 2
e.u. aK;M
= (c.oMK) 2 x
(ya que ar, componente de ax;M no tiene efecto sobre MK por ser perpendicular a MK). La velocidad angular de MK puede calcularse localizando IMx, como en el artículo 4.13, o si IMK es inaccesible, puede determinarse Vx;M y WMx Vx;MIMK. Ello exige un estudio aparte de la velocidad, el cual se mues tra separadamente en la Figura 4.16. La e.u. aK total según MK se ve en la Fi gura 4.15, siendo la suma de e.u. ax;M y e.u. ªM·
MK
=
=
Figura 4.16. - Velocidades relativas sobre la biela.
Como no se conoce la dirección de ax en este problema, debemos encon trar otra e.u. aK para determinar ax por completo. Podemos hallar otra e.u. ax en la dirección KL. Aplicando la ecuación segú� KL: e.u. a1c = e.u. ªx;L+ -+ e.u. aL Aquí, e.u.aKIL = (c.oKL)2 x KL (de nuevo la componente ar de ax;L no tiene efectos según KL) c.oKL = VK/KL (La Figura 4.16 muestra Vx) e.u. a¡,= O en este caso, ya que L es un eje fijo y no tiene aceleración. La com ponente útil total de ax según KL es simplemente: e.u.aK!L (como se ve en la Figura 4.15)
= (c.oKL)2 x
KL
127
ACELERACIÓN
Ahora tenemos dos componentes útiles de aK, una según MK y otra según KL. Las perpendiculares desde los extremos de estos vectores se cortarán para determinar la resultante aK en magnitud y dirección, según se ilustra en la Fi gura 4.15. Encontremos ahora la aceleración de P. Nuestra ecuación básica establece:
= ap¡M + - aM ap¡M = (wMP) x MP + - aMP x MP (lo cual ya se determinó) OJMP = OJ¡,a ap
2
Podemos determinar ahora 'ªMP puesto que ya conocemos las aceleraciones resultantes de dos puntos, M y K, señaladas en la Figura 4.17. La aceleración relativa de K respecto de M es igual a la diferencia de sus aceleraciones ab solutas: En la Figura 4.17 podemos ver esta diferencia vectorial dando aK/M· Como K se mueve en una trayectoria relativa circular respecto de M, la aceleración re lativa de K respecto de M tiene dos componentes: una componente normal (o>2r) y una tangencial (ar), o más específicamente: aK!M
= (OJMx)
2
X
MK +
- ('J.,MK
X
MK
Sólo nos interesa la componente tangencial, producida por 'ªMK· Ésta es una componente útil de aK;M, perpendicular a MK, según se ve en la Figura 4.17. Como esta componente es igual a 'ªMK X MK, aMK es igual a esta componente dividida por MK _ a K!M • ªM K -
Como
aMK
es igual a ap¡M
aMP,
MK podemos escribir:
= (wMP) x 2
MP +
- aMP x
Esto se muestra en la Figura 4.17. Si sumamos que, según se ha visto:
MP aM
a
ap;M
tenemos
ap
ya
Esta suma vectorial, que nos da ap, se ve en la Figura 4.17. La ecuación de la aceleración relativa puede adaptarse para determinar las aceleraciones lineales de cualquier punto de un cuerpo en movimiento compuesto. El procedimiento descrito en el ejemplo anterior es típico. Las componentes útiles pueden usarse para obtener aceleraciones absolutas de dos puntos del cuerpo, luego puede hallarse la aceleración angular y aplicar la ecuación a las aceleraciones resultantes para estudiar otros_ puntos.
128
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Op/M
Figura 4.17. -Aceleraciones sobre una biela.
4.15. Aceleraciones por el método del polígono vectorial. En el estudio de la velocidad, el método del polígono vectorial se ha pro puesto como una alternativa a la técnica de la componente útil. Puede utilizarse un sistema similar de análisis en el estudio de las aceleraciones, que proporciona las mismas ventajas de economía de tiempo de trazado y una mayor exactitud en las soluciones gráficas. La utilización de polígonos de vectores libres, aparte del dibujo del mecanismo, permite el uso de escalas más grandes del vector ace leración y trazados menos complicados, mejorando ambos la exactitud de las soluciones. En el caso de análisis de aceleraciones, el concepto de aceleración relativa es el principio que sirve de guía para las técnicas de la componente útil y del polígono con lo que se tiene una transición más simple de un método al otro. La simplificación del trabajo gráfico y el ser un método de ataque más directo, induce al autor, a recomendar el sistema del polígono sobre la técnica de la componente útil especialmente para las aceleraciones de los cuerpos en movimiento compuesto. El lector puede hacer su propia elección. 4.16. Construcción de un polígono de aceleraciones. Como se han presentado las propiedades fundamentales de la aceleración y de la aceleración relativa de los puntos de un cuerpo rígido, podemos explicar mejor el método del polígono, aplicando esta técnica paso a paso a un problema típico. En la Figura 4.18, se muestra un cuadrilátero articulado. Los puntos A y D son ejes fijos con el acoplador BC alargado por C hasta el punto F y un
• ACELERACIÓN
129
A Figura 4.18. - Cuadrilátero articulado con la biela prolongada.
puntal en saliente que nos lleva al punto E con lo que BCFE es un cuerpo rígido. Supongamos que AB tiene una aceleración angular (a) de 0,4 radianes/S:2, en sentido contrario de las agujas de un reloj y" una velocidad angular (w) de 0,6 ra dianes/s. en sentido de las airnias del reloi. cuando se encuentra en la oosición
130
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Mecanismo •esquematizado•
Polígono vectorial
Figura 4.19. - Polígono de aceleraciones. Etapa 1.
2. Aceleración de C El pasador C es un punto de la biela BC y de la manivela CD. Se puede encontrar su aceleración observando el movimiento relativo de los pun tos B yD. Una aceleración relativa es la diferencia vectorial de dos ace leraciones absolutas. Por ejemplo, la aceleración relativa de C respecto a B, es igual a la aceleración absoluta de C menos (vectorialmente) la absoluta de B, lo cual puede expresarse en la forma simbólica:
Como estamos buscando ac, se puede cambiar el orden_ de esta ecua ción: ªe = ac/B + - ªº Los pasadores C y B están en el mismo cuerpo rígido, por lo que el · único movimiento relativo del pasador C que puede tener respecto de B será que recorra una trayectoria circular de radio BC alrededor de B. Si se imaginara el lector situado en B, observando el movimiento de la biela BC, podría ver a BC girando alrededor de él como centro de roúición, como si B fuera un punto fijo. Todos los puntos de la biela recorrerían arcos de círculo alrededor de su posición respecto de B (Fi gura 4.20). Si se supone fijo un punto de un cuerpo rígido, el único mo vimiento relativo que puede tener el cuerpo respecto del eje fijo es una rotación pura. Así, si BC gira alrededor de B, la aceleración relativa de C respecto de B será la de un punto de un cuerpo en rotación relativa pura respecto de un eje fijo. Respecto de B, tendrá C, pues, una compo nente !lormal de la aceleración igual a w2r y una tangencial o.r, donde w
131
ACELERACIÓN
--
" "'
----- ------ -------
'\
\
\ \ \
Figura 4.20. - Movimiento relativo de la biela respecto de B.
es la velocidad angular de BC (en la posición dada), r es la longitud de BC y ·a su aceleración angular. En forma simbólica: ac!B
= (co1c
X
BC)
+ ---> (rx,BC X BC)
(El vector [w� a X BC] será paralelo a BC con sentido desde C ha . cia B. El vector [aBa X BC] será perpendicular a BC.) Siguiendo la ecuación anterior Puesto que ya hemos trazado el vector aB , debemos sumar los dos vectores de a01s al diagrama vectorial para calcular su magnitud. Para calcular la componente normal (wB� X BC), debemos determinar wBa, cuando está en la posición dada. Puede encontrarse a partir de las velo cidades de los puntos B y C como sigue: VB
= COAB X
AB
Situemos el centro instantáneo / de BC como se ve en la Figura 4.21. Por tanto, sobre el cuerpo rígido IBC, todas las líneas tienen la misma ve locidad angular: VB - COAB X AB coBC - co1B IB IB Así pues, podemos medir AB e IB, y calcular wBa · Después eleva mos al cuadrado y multiplicamos por BC, y tenemos el valor de la com ponente normal de aa;B · Este vector se trazará desde el punto B sobre
132
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
I�
/
/
si A
/
/
/
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\
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�o 8
\
�---\
"._C
\
\ \
V \ \
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---J/
El punto C está sobre esta línea
Figura 4.22. - Polígono de aceleraciones. Etapa 2.
Figura 4.21. - Centro instantáneo de la biela.
el polígono, paralelo a BC con sentido C hacia B sobre el trazado del mecanismo. (Ver línea El en la Figura 4.22.) La componente tangencial de ac;B o sea aBc X BC, no puede calcu larse tan fácilmente ya que no podemos tener fácilmente aBc · Sin em bargo, sabemos que es perpendicular a BC, así pues, podemos dibujar una línea en esta dirección que pase por el punto 1. Solamente sabemos que el punto C, que designa el extremo del vector aceleración del pa sador C, deberá estar en algún lugar de esta línea (ver Figura 4.22). Para determinar completamente· la aceleración del pasador C, po demos considerar su aceleración relativa respecto de otro punto tal como el D. Como C y D están sobre la manivela CD, se deduce que: ªe= ªCID+ -aD La aceleración dt D es nula (es un puntq fijo), por lo que solamente necesitamos trazar ac;D desde el origen O. Ésta, como la de todos los puntos de cuerpos en rotación pura, tiene dos componentes: Oc;o
= (wio X CD) + - (a.co X CD) i
(11 a CD)
i
(_¡_ a CD)
La velocidad angular de la manivela CD puede encontrarse, hallan do V0, utilizando el centro instantáneo / de BC, de la manera siguiente: V8 = Wn x A B · IC Ve = vil X IB = WÁB
X
AB
X
IC IB
133
ACELERACJóN
Entonces, sabemos que: OJcD
_ Ve _ CD -- 01,in
X
AB
CD
X
IC /B
Puede calcularse este valor, elevarlo al cuadrado, y multiplicarlo por CD para obtener la componente normal. Se puede trazar la mag nitud de este vector a escala desde O sobre el polígono vectorial, para lelo a CD, y con sentido de C hacia D sobre el dibujo del mecanismo. (Ver línea 02 en la Figura 4.23.) Con éste, debemos sumar la otra componente de ac/D, que es nen X X CD. De nuevo aquí no podemos obtener fácilmente acn, pero po demos predecir que la dirección de este vector ar es perpendicular a CD. Si trazamos una línea con esta inclinación por el punto 2 podemos pre decir que el punto C, que designa el extremo del vector aceleración resul tante del pasador C, debe estar en algún lugar de esta perpendicular. Ahora tenemos dos líneas que contienen el punto C, la componente ,ar de ac;B (que pasa por el punto 1) y la componente ar de ac ;n (que pasa por el punto 2). La intersección de estas líneas es el punto pedido C, y puede dibujarse el vector OC, determinando así la aceleración absolu ta del pasador C. Por convenio, este vector se dirige desde O hacia C sobre el polígono. (Figura 4.23.)
1
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\ \ \ \ \ \ \ \ \
\
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/
1/
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/
/
/
/
/
/
/
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/
/
/
/
Figura 4.23. - Aceleración de C. Etapa 3.
3. Aceleración angular de CD La componente tangencial de la aceleración relativa de C respecto de D (línea 2C) está ahora determinada tanto en longitud como en dirección
134
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
y puede medirse para la escala asignada. Ya que el vector OC es la su ma de los vectores 02 y 2C, 02 se dirige hacia 2 y 2C se dirige hacia C. Esta componente 2C es igual a aeu X CD, por lo que acn podrá hallarse dividiendo el valor medido de 2C por CD. Puede determinarse el sentido de ªen observando el sentido del vector 2C con respecto a CD sobre el mecanismo. En este caso aen tiene sentido antihorario. 4. Aceleración angular del cuerpo BCFE Para un instante dado cualquiera todas las líneas de un cuerpo rígido tienen la misma velocidad angular y la misma aceleración angular. Por tanto BC, BF y BE, tendrán todas la misma aceleración angular. Deter minemos a continuación esta aBc, · ya que será útil para hallar la acelera ción de los puntos F y E. Se puede determinar rápidamente la acelera ción angular de BC a partir del trazado previo de la Figura 4.23. En este polígono, la línea lC es la componente tangencial de ac;B, la cual es :�,,�1 "" rn,:wnitnrl ::i fl°" 'x BC. Podemos dividir la longitud medida de
135
ACELERACIÓN
30
-v 1
1
\
\ \ \
\
\ \
1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
\ \ \
\ \
e
Figura 4.24. -Aceleración de F. Etapa 4.
El valor ya determinado de ªne en el apartado 4, es igual a anF por lo que podemos multiplicar este valor por BF para obtener la com ponente tangencial relativa de F respecto de B. Ahora se suma esto a la componente normal (wiF X BF) trazada anteriormente. Esta componente ar debe ser perpendicular a BF y del mismo sentido de la componen te ano X BC (hacia abajo, desde 3, y paralela a lC). El punto F caerá sobre el extremo de este vector (línea 3F) y la aceleración absoluta de F será igual al vector OF, dirigido de O hacia F. 6. Aceleración de E Hallamos la aceleración de E observando su aceleración relativa respec to de B. en la que ya se conoce an y aEIB
= (w�B x EB) + - (cxEB x EB)
t
(1/ a EB hacia B)
t
(1 a EB)
136
ANÁLISIS Y PROYECTO DE. LOS MECANISMOS
Pero como E, B y C están todos sobre el mismo cuerpo rígido, di cho cuerpo sólo tiene una ro y una a en esta posición, por lo que WB c wE11 y aB c aEB · Ya hemos calculado estas w y a. Por tanto, es fácil calcular la magnitud de la componente normal (wh X EB) y la compo nente tangencial (aEB X EB) de la aceleración relativa de E respecto de B. Ya hemos determinado la aceleración de B de la línea OB, por lo que trazamos sobre el polígono, desde B, la componente w2r (aceleración !�
=
=
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1 1 1 \ 1 \ 1 \ 1
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F
Figura 4.25 (a). - Aceleración de E. Etapa 5.
'
/ /
/
ACELERACIÓN
137
normal relativa de E respecto de B) paralela a EB y dirigida desde E hacia B sobre el mecanismo. (Ver línea B4 en la Figura 4.25 [a].) A ésta, sumamos ahora la componente ar (aceleración tangencial relativa de E respecto de B), perpendicular a EB (y a B4) y dirigida hacia abajo, de acuerdo con las otras componentes ar de las aceleraciones relativas res pecto de B. (Ver línea 4E.) Se ha llamado al extremo de este vector, E, y la línea OE es el vector de la aceleración del pasador E, con sentido de O hacia E. En el proceso de este estudio, el polígono vectorial ha ido creciendo en la serie de etapas sucesivas. En la práctica, para la investigación com pleta sólo se necesita trazar desde luego, un sólo polígono, añadiendo cada nuevo vector al sistema ya. trazado. Esta técnica de economía de trabajo da por resultado un diagrama compacto, que ilustra gráficamente los va· lores relativos.
4.17. Lectura de las aceleraciones relativas. El punto O del polígono vectorial también puede llamarse A o D ya· que éstos son puntos fijos del mecanismo. (El punto O puede considerarse como un vector aceleración de longitud nula.) El vector BO (o el BA). es la aceleración absoluta de B o la aceleración relativa de B respecto de A, que no tiene movi miento. De la misma manera, podemos leer otras aceleraciones relativas directa mente desde· el polígono vectorial ya trazado. Por ejemplo, el vector CF repre senta la aceleración relativa del pasador C respecto del pasador F, dirigida de F hacia C en el polígono vectorial. Análogamente, el vector FE es la aceleración relativa del pasador F respecto del E (dirigida hacia F). Estos vectores se han representado a trazos en la Figura 4.25 (a).
4.18. Utilización del vector imagen. Si comparamos la geométrica del triángulo BEF de la biela con el triángulo vectorial- BEF, veremos que estos dos triángulos son semejantes. (El triángulo vec torial está girado hacia la derecha un ángulo que es aproximadamente de 107 °.) También veremos que el punto C cae sobre la línea BF en cada triángulo (ver Fi gura 4.25 [b]). Esta relación es debida al hecho de que las aceleraciones relativas de los puntos de un mismo cuerpo rígido (ú>2r + � ,a.r) varían con las distancias r entre ellos, y por tanto todas dichas aceleraciones, forman el mismo ángulo con su línea de unión en el mecanismo. Esto revela una forma rápida de encontrar las ace leraciones de otros puntos de la biela una vez que se hayan determinado las ace leraciones de dos puntos cualesquiera de dicho cuerpo. Primero, localizamos los
138
ANALISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
O,A,D
'
/
/
/
/
/
/
/
/
Figura 4.25 (b). - Vector imagen de las acele raciones de la biela.
nuevos puntos sobre el vector imagen en las posiciones que corresponden a llos trazados sobre el mecanismo; después dibujamos los vectores pedidos estos puntos al origen; y finalmente, medimos la magnitud a escala. Este n es normalmente más corto que el proceso de la aceleración relativa ya q1 mina todos los cálculos.
4.19. Aceleraciones sobre cuerpos en rodadura. Cuando dos cuerpos están unidos por un pasador, l a acel eración , define l a acel eración de un punto de cada cuerpo. Determinando l a ace de cada pasador sucesivamente, podemos hacer un anál isis del sistema do complejo. Si el movimiento se transmite de un miembro a otro por otros medí centraremos nuestra atención en las aceleraciones de los puntos de conta de ir procediendo de un miembro a otro.
'' /
/
'
Q�
/
ACELERACIÓN
139
Consideremos las aceleraciones de los cuerpos en rodadura pura. El disco D (Figura 4.26) gira alrededor del eje fijo A con una velocidad angular dada wD y una aceleración angular aD , ambas en sentido de las agujas de un reloj, en la posición señalada. D conduce al disco F, el cual gira alrededor del eje fijo B, con rodadura pura en el punto P. Se piden la aceleración angular de F y la acele ración lineal del punto P sobre el cuerpo D. Como D gira alrededor de un eje fijo, al?
= wt
x AP +
---+
(1,n x AP
Como se conocen wD , a.D y AP, pueden calcularse estas componentes .y trazar su resultante (al?), como se ve en la Figura 4.26.
Y--
�
w5xAP
@- ,.-x_ 1
A
1
la 0
D
1
1
p
F
Figura 4.26. - Aceleraciones en rodadura pura.
Pasemos ahora al punto de contacto del cuerpo F (PF). Sabemos que V�= vi en todo momento. Si cambia esta velocidad, el cambio de la magnitud de la velocidad durante cualquier intervalo de tiempo debe ser igual para ambos cuerpos:
=
ilVJ?
= ilVi
Las componentes de la aceleración de ambos puntos P deben permanecer siempre las mismas en esta dirección tangente, y el1 consecuencia perpendicular a AB: a� sobre D
=
.ilT .ilT
ilVD = _ilVF = aJ; sobre F
Por tanto, son iguales estas componentes tangenciales de la aceleración de los dos puntos P. Como F tiene movimiento de rotación pura, cualquier punto de F tiene dos componentes de la aceleración: una normal hacia B, igual a w2r, y otra tangencial, perpendicular a AB, igual a ar. La aceleración resultante de P sobre F es la suma de estas dos: a� = w} x BP + ---+ (1,F x BP
140
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La componente tangencial de la aceleración de P sobre F es la componen te ar: a�= rtp x BP
y despejando aF
rt p
aT
= BP
El sentido es contrario al de las agujas de un reloj, de acuerdo con el vec tor a�, referido al disco F. Nótese que en el caso de cilindros que ruedan como los D y F:
AP = radio de D rt .....!:_=-rtD BP radio de F
o sea,
Así, al igual que las velocidades angulares, las aceleraciones angulares de dos cilindros en rodadura, son inversamente proporcionales a sus radios. La aceleración lineal de C (como la de todos los puntos de F) tiene dos componentes: lle
= W�
X BC
+ -> rt/X
BC
A partir del análisis de la velocidad (artículo 3 .26) radio de _ D wF _____ wD - radio de F Despejando
W1,<
,f
= WD
AP BP Pueden calcularse ahora las dos componentes de a0 y definir la resultante a0, como se ve en la Figura 4.26. En la Figura 4.27 puede verse otro ejemplo que contiene rodadura pura. El disco W rueda sin deslizar sobre la superficie fija S. Se dan la velocidad angular y la aceleración angular de W en la posición que se indica. Ambas en sentido de las agujas de un reloj. Se piden las aceleraciones angulares del centro A y del punto de contacto B, en W. Consideremos, primero, el movimiento de W. El disco gira alrededor de A mientras A se traslada, por lo que W tiene movimiento compuesto. Además se conoce la trayectoria de A que es una línea recta horizontal, paralela a S. Sabe mos por el estudio de la velocidad que B en W es el centro instantáneo de rota ción del disco W. Esto significa que B tiene velocidad nula, pero no que B tenga .aceleración nula. Como indica el nombre, todos los centros instantáneos son loWp
X
ACELERACIÓN·
141
ax AB A <,- ---- .. lw2 X AB
t
B
(o)
y-�
oA = axAB
w
? Se anulan ¡ o6=w�
x AB
s
Figura 4.27. -Aceleraciones sobre un cilindro que rueda.
calizaciones de un centro de rotación, bien que sólo para un instante o una po sición del cuerpo. Un instante más tarde el centro tiene una posición diferente. Independientemente de la posición que ocupe, no hará más que cambiar dicha posición o adquirir una velocidad. Este inminente cambio de la velC>cidad de muestra que el centro instantáneo tiene aceleración. En este caso, podemos predecir que B sobre W sólo puede tener aceleración en dirección vertical dirigida hacia A. Ambos puntos, B sobre W y S tienen ve locidades iguales sobre la superficie S porque no hay deslizamiento. Como B 8 tiene velocidad nula, s w también la tiene. La superficie S impone una restricción completa a n w en cualquier dirección excepto verticalmente y hacia arriba. Por tanto, cuando gira W cualquier velocidad que adquiera s w debe estar dirigida se gún esta dirección vertical. La aceleración la produce un cambio de la velocidad de s w desde O al valor real, con lo que se deduce que la aceleración de s w en la . posición de contacto solamente puede dirigirse hacia A. La ecuación de la aceleración relativa dice que: aA = llA/B + - alJ
142
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
y como
a,1./B
de aquí se deduce que a
,1.
= ro¡¡,
= ro¡¡,
X AB
X AB
+ --+ !Xw
+ --+ !Xw
X AB
X AB
+ --+ a
B
La componente ro¡¡, X AB está dirigida hacia B, mientras que sabemos que la resultante aA es horizontal. Como se sabe que la componente aw X AB es ho rizontal, la única componente que puede anular la componente w?v X AB es a11 • Por consiguiente, au debe tener una componente hacia A, igual a w¡t X AB. Hemos visto anteriormente que an es vertical, sin componente horizontal sobre la superficie S. Esto prueba que: aB
= ro¡¡,
a,1.
= (-ro¡¡,
x AB dirigida hacia A [Figura 4.27 {a)] Si sustituimos este valor en la ecuación de aA : X AB)
+--+ !Xw
X AB
+--+ (+ro¡¡,
X AB)
La componente ro¡¡, X AB de aA!B está dirigida hacia abajo, hacia B, mien tras que ro¡¡, X AB aB está dirigida hacia arriba, hacia A, por lo que la com ponente de a.1111 tendrá signo menos en la ecuación anterior.* Estas dos compo nentes se anularán, quedando a.1 aw X AB paralela a S hacia la derecha (Fi gura 4.27 [b]). aB;A Se puede comprobar ahora aB, ya que aB """7 a A
=
=
=
. ·. aB
= ro¡¡,
X AB
+--+ (-!Xw
X AB)
+
+ --+ (+!Xw
X AB)
De acuerdo con a, la componente aw X AB de aB/A está dirigida hacia J; izquierda, y por lo anterior, negativa, mientras que aB es positiva. Estas se anu larán quedando aB w¡¡, X AB (Figura 4.27 [c]). En la Figura 4.28 puede verse un tren de discos epicicloidal. El brazo , y el disco D giran independientemente alrededor de un eje fijo O. En disco impulsado por el pasador M de A, rueda sin deslizar sobre D y el anillo fijo < Se conocen la velocidad y aceleración angulares de A, ambas en sentido contr río de las agujas de un reloj. Se pide la aceleración angular de D. El pasador J, del cuerpo que gira A, tiene una componente tangencial de la aceleración (a y una componente normal (ai). Puesto que aquí buscamos aD , nos interesan pri cipalmente las componentes 'tangenciales, que son las que dependen de a.
=
a'f.t
= !X,1.
x OM (Figura 4.28)
* Suponemos que las aceleraciones dirigidas hacia la derecha o hacia arriba son po vas ( +) y. negativas (-) las dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
ACELERACIÓN
143
D Figura 4.28. - Aceleraciones sobre .cilindros epicicloidales que ruedan.
Esta aceleración tangencial de M sobre A también es igual a la aceleración tangencial de M sobre B. El punto J (centro instantáneo de rotación) del disco B, no tiene aceleración tangencial respecto del anillo fijo C, como hemos visto en el ejemplo anterior (af = O). pero como af
= O;
T T T (J, _ QM/1 _ aM - ll¡ B-
IM
IM N
-
�B-
aT M
IM
La componente tangencial de la aceleración de P es igual a: a�= a,B x IP (mostrada en la Figura 4.28) Esta aceleración tangencial de P es la misma para ambos cuerpos B y D, puesto que no hay deslizamiento en P. pero ai
= O,
a,
por tanto
T
_ ap¡0
D -
_
PO -
T aT p - a0
PO
4.20. Elección de métodos para el estudio de la aceleración. El método de las aceleraciones relativas, realizado unas veces por las com ponentes útiles y otras por los polígonos vectoriales, es tan analítico como grá-
ACELERACIÓN
145
riac1on de velocidad) por tJ.T, la definición puede expresarse como el límite del cociente de tJ. V a tJ.T cuando tJ.T tiende a cero. tJ. V es la diferencia entre la ve locidad al final del intervalo de tiempo y la velocidad inicial: ÁV
=
V1 - V0
Así, para determinar la aceleración media en el intervalo tJ.T, debemos en contrar este tJ. V y dividirlo por tJ.T, en el que se produce la variación de veloci dad. En los ejemplos que siguen podremos ver aplicaciones de este método.
Ejemplo 1 En el sistema articulado de la Figura 4.29, la manivela AB gira en sen tido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con velocidad constante de 1 rad/s. Se pide en la posició� señalada, la aceleración de la co rredera C.
A Figura 4.29. - Manivela y corredera.
Debemos determinar tJ. VO para un pequeño intervalo de tiempo !).T. El ta maño de !).T depende de la velocidad del mecanismo y puede expresarse más fácilmente en función del desplazamiento angular de AB, puesto que ·se da úJAB· La experiencia muestra que el tiempo durante el cual AB gira 1/ 10 ·radián es normalmente un valor razonable y conveniente que se utiliza para 6.T. (Como se ve en la Figura 4.30, se puede trazar con precisión un ángulo de 1/10 radián midiendo una cuerda de 1 cm sobre un arco de 1 O cm de radio. Para 1/20 de radián se debe usar una cuerda de 1/2 cm sobre el arco del mismo radio.) Más que calcular este !).T en segundos puede expresarse en función de la velocidad angular y del desplazamiento angular. Por definición: así que ÁT = ÁO (O
LENT · 10
146
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 4.30. -Trazado de 1 /1 O
de radián.
La aceleración obtenida por este método es una media para el inten de tiempo utilizado. Para obtener resultados precisos de la aceleración en posición dada, consideremos esta posición en la mitad de las posiciones ini cial y final del sistema articulado para el principio y el final del tiempo �T. La posición inicial de AB será, entonces, AB0, 1/20 radián a derechas desde posición dada AB que se muestra en la Figura 4.29. La posición final AB, será 1/20 de radián en sentido contrario de las .agujas de un reloj desde la po sición dada AB. La Figura 4.31 muestra estos desplazamientos de la maniYela.
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
8It
....,B
�- ----=��t:l�
Ve t
,..
Veº
Ve 1 -V
Figura 4.31. - Diferencias de ve
locidad en manivela
y
corredera.
eº
ACELERACIÓN
147
Para determinar �Ve, trazamos primero el sistema articulado en la po sición AB0C0 y hallamos la velocidad de C0 por los métodos usuales; utilizan do el centro instantáneo 10:
(sustituyendo Vo = OJAn x AB) Después trazamos el sistema articulado en la posición AB1C1 (con AB des plazado 1/ 10 de radián a partir de AB0 C0) y determinamos V et·
v.cr = OJAn X
C AB X I1 1 l¡B¡
La diferencia de velocidad �Ve = V e¡ - � VCo· Nótese que esto es nor malmente una diferencia vectorial pero en este caso, donde ambas velocidades tienen la misma inclinación, también es correcta una diferencia algebraica. La aceleración de C en la posición dada de la Figura 4.29, será: ae
=
Ave AT
=
Ave = AVe x OJAB = Ave X l = AV x 10 e A0AnlWAn A0An
rt
El sentido de ªe es el mismo que el del vector �Ve, puesto que �Ve se obtiene restando VCo de Ver· Nótese que este método sólo implica definiciones y aprovechamiento del análisis de la velocidad. No se emplean técnicas especiales de aceleración.
4.22. Aceleraciones que comprenden deslizamiento sobre guías móviles. Las complicaciones que normalmente acompañan los análisis de los meca nismos con deslizamiento (Coriolis) no se encuentran cuando se utiliza el método de la diferencia de velocidades según se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2 La manivela AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrede dor del eje fijo A con una velocidad constante de 10 radianes por segundo. B está articulado a un manguito que desliza libremente sobre el brazo CD. El brazo CD oscila alrededor del eje fijo D. Hallar la aceleración angular de CD cuando el mecanismo está en la posi ción de la Figura 4.32. Como en el ejemplo anterior
-
-
-
--
148
-- --------------------
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
e A
Figura 4.32. - Manivela y corredera con biela prolongada.
Seleccionando un !).0AB = 1/ 10 radián, dibujamos primero el mecanismo en la posición AB0C0D en la que AB está desplazado 1/20 radián a derechas desde la posición dada. Esto se ve en la Figura 4.33. Determinamos ahora V00 en esta posición por el método normal del vector velocidad. Después, tracemos el mecanismo en la posición AB1C¡D, en la que AB1 está desplazado 1/ 10 radián desde AB0, en sentido contrario de las agujas de un reloj, y hallemos V01 en esta posición (Figura 4.33). V01 y V00 difieren en este caso en magnitud e inclinación, por lo que !).Ve debe obtenerse mediante una diferencia vectorial: !). VO = V01 - � V00 , como se ve en el diagrama vectorial de la Figu ra 4.34. Como este !). VO es pequeño, la escala para este diagrama deberá ser mucho mayor que la utilizada para el análisis de la velocidad. Como ocurre en todas las soluciones gráficas, este método pide precisión de dibujo de alta calidad si se quieren comparar favorablemente los resultados con los métodos analíticos. La aceleración de C en la posición dada de la Figura 4.32 será: AVc x (,t)AB = Ave x 10 = AV x 100 A0AB
-�
c
La inclinación y sentido de a0 son los mismos que los del vector diferen cia !). VO en la Figura 4.34. La aceleración angular de CD es, por definición, N
_AWcv
�CD ---¡f;j:
Cuando el mecanismo está en la posición inicial AB0C0D se ha determi nado V00. Puesto que por definición, V = ·wr, la velocidad angular de C0D en esta posición, será: wCoD _ Ve. - CD
ACELERACIÓN
¡t-Radián
/
I
I
I
I
/
/
/
/
/ /
/ /
/
/
/
/
149
/ /
I I / /
// /
'/ // 1/ // / 1/ //
r /./ ,1//
//
/
Figura 4.33. - Estudio de la velocidad en dos
posiciones.
•
Análogamente, podemos determinar la velocidad angular de C1D cuando el mecanismo esté en la posición final AB¡C1D, la cual será: Wc'D
= Ve¡ CD
La variación de wan durante el tiempo !iT (miemtras AB gira 1/10 de ra dián) es la diferencia de las velocidades angulares:
Figura 4.34. - La diferencia vectorial indica la variación de velocidad.
150
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Esta diferencia es algebraica, puesto que todas las velocidades angulares están en el mismo plano. La aceleración angular de CD para la posición dada señalada en la Figu ra 4.32, será pues rx _ f...OJcD _ f...WcD X OJAs _ f...OJcD X 10 _ f...ro 100 CD - --,;:¡, -
A.0AB
-
�
-
CD X
El sentido de ac D es contrario al de las agujas de un reloj, el mismo que el de iiwcD (iiwcD , es levógira aquí, puesto que w00 es mayor que Wcr y ambas son dextrógiras). En cada uno de los ejemplos anteriores, el miembro conductor gira con velocidad angular consta_nte. Esta condición es normal, puesto que muchos me canismos están impulsados por motores de velocidad constante. Hay excepcio nes en dispositivos accionados por la gravedad, etc., en los que la manivela con ductora tiene aceleración angular.
Ejemplo 3 La manivela AB gira alrededor del eje fijo A con aceleración angular cons tante de JO radianes/s2, a derechas. En la posición señalada en la Figura 4.35, la velocidad angular de B es de 5 rad/s, a derechas. Se pide la aceleración del punto E en la posición dada. Como antes aE = M w
,-iV¡¡
pero no se puede expresar iiT como ya que ro no es constante para iiT, todas las posiciones de AB. Sin embargo, como se conoce a.An, podemos expresar iiT en función de a y w. • Por definición:
Entonces
E
Figura 4.35. - Cuadrilátero articulado.
ACELERACIÓN
151
Tomando l!,.T como tiempo en el que AB se desplaza 1/ 10 de radián, di bujamos en primer lugar el mecanismo en la posición AB0C0DE0 con AB0 gi rando 1/20 de radián en sentido contrario de las agujas de un reloj desde la posición dada (ver Figura 4.36). Debemos encontrar ahora WABo• la que, de bido a 'ªAB• es algo menor que WAB en la posición dada señalada en la Figu ra 4.35.
Figura 4.36. - Estudio de la velocidad en dos posiciones.
Para hacer esto, podemos aplicar la fórmula conocida de la aceleración constante (del artículo 4.6) ro} = ro� + 2(1,0 que aquí dice así: (roAs)2 = (roAs,)2 + 2(1, ll.0 (ll.0 =�radián) de donde:
(ro.,w,)2 = (roAs) 2 - 2(1, /l.0 = 52 - 2 X 10 X �= 24 ro.,w, = -v°24 = 4,9
152
ANALISI� Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Utilizando este valor de usuales:
WAn o
determinamos ahora VEo por los métodos
E E VE,= VB X J0 0 = OJAB, X ABo X lo o loBo ]0B0 Después debemos hallar V81, para lo cual dibujaremos el mecanismo en la posición AB 1C1DE1 en la que AB1 está desplazado 1/20 radián a derechas de la posición dada AB. Se ha señalado anteriormente que con un desplazamiento de AB de 1/20 radián, la variación de w.rn era de 0,1 rad/s (5 - 4,9 = 0,1). Como a es constante, podemos predecir que, gi�ando desde AB a AB1, la va riación de WAn también será de 0,1 rad por. segundo. Por tanto, el valor de WAnf será: 5 utilizando este valor de VE,
WAB!•
+ 0,1 = 5,1
radián/s
hallamos
Er = OJAn, x AB x 11r¡B
Ahora AVE
(Figura 4.36)
= VE, - --+ Ve,
En el diagrama de la Figura 4.37 se muestra mediante una escala grande el diagrama del vector diferencia, en magnitud, inclinación y sentido. AOJAB = OJABt - OJABo = 5,1 - 4,9 = 0,2 a partir de los valores obtenidos anteriormente. Por tanto
Esta aE tiene la misma inclinación y sentido que el vector ó.VE de la Fi gura 4.37.
Figura 4.37. - Diferencia vectorial de veloci dades.
ACELERACIÓN
153
Aunque los mecanismos que aquí se han utilizado son bastante simples, este método no es nunca más complejo que el análisis de la velocidad del que él depende. Para la exactitud son esenciales los trazados precisos y las escalas gran des en diagramas vectoriales, como ocurre con todos los métodos gráficos. En los casos en que la diferencia de velocidades es muy pequeña, este método puede ser bastante impreciso. Tiene una precisión razonable, cuando las diferencias de velocidades sean importantes (es decir, cuando las aceleraciones sean sufi cientemente grandes). Debido a que las definiciones utilizadas y a que el análisis de la velocidad son de gran sencillez frente a las técnicas especiales y complicadas del estudio de la ace leración, se justifica que consideremos el método de la diferencia de velocidades como herramienta muy valiosa.*
4.23. Aceleración de Coriolis. El método de la diferencia de velocidades ofrece una expresión clara de las relaciones básicas entre la velocidad y aceleración en las que hay deslizamiento sobre guías móviles. Con esta introducción, podemos seguir ahora un análisis más riguroso que es más complicado en principio, pero que tiene la ventaja de dar soluciones más exactas.t Empezaremos con el mecanismo sencillo de la Figura 4.38. Un disco circu lar M gira con una velocidad angular constante w alrededor del eje fijo en su centro O. Se ha hecho una acanaladura recta radial en la cara del disco. En la acanaladura hay un bloque que desliza radialmente hacia fuera. Consideremos dos puntos coincidentes A y B a la distancia r de O. El punto A está en el dis co M, directamente debajo del punto B, el cual está sobre el bloque deslizante. Se pide que determinemos la aceleración absoluta de B.
=
l. La velocidad de A (en M) es igual a VA wr y es perpendicular a OA. La aceleración de A es igual a aA w2 r y dirigida radialmente hacia O.
=
* Referencia: JoHN A. HRONES, "A Job Shop Approach to Mechanism Analysis", Ma chine Design, febrero 1954. t Si el estudiante ha dominado el método de la diferencia de velocidades, tiene a su disposición una herramienta con la que determinar las aceleraciones de los mecanismos en los que haya contactos deslizantes en guías móviles. Este método es general y puede aplicarse a todos los mecanismos. Por esta razón, el uso de la aceleración de Coriolis no es absoluta mente esencial para resolver los problemas especiales descritos anteriormente. Es atractivo educacionalmente y proporciona un grado de precisión necesario en ciertos casos pero puede omitirse si el tiempo es limitado. Aun cuando es necesario para el estudio de las aceleracio nes instantáneas cuando los mecanismos están en una posición dada, en la práctica, se pide normalmente hacer un estudio amplio del mecanismo a lo largo de un ciclo móvil completo. Ser competentes en esto, es nuestro objetivo práctko fundamental.
154
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
A en M B en el bloque
M
Figura 4.38. - Disco
con
bloque
deslizante.
2. Ahora, suponiendo que B (sobre el bloque) se mueve radialmente hacia afuera en la acanaladura con velocidad relativa respecto de A de VB/A, la absoluta VB VA + �. VB/A, siguiendo el principio de la velocidad relativa
=
M
Aceleraciones
Velocidades
Figura 4.39. -Aceleración incompleta del bloque B.
155
ACELERACIÓN
3. Si esta V111_4 no es constante, entonces B tiene una aceleración relativa respecto de A y la absoluta a11 aA �an;A (Figura 4.39). En un prin cipio podría pensarse que ésta es una expresión correcta y completa para la aceleración absoluta de B.
= +
Esto, sin embargo, no es cierto, porque esta ecuación falla al no tener en cuenta otros dos cambios que tienen lugar en la velocidad del punto B: primero, el cambio de dirección de VB/A debido a la rotación del disco M, y segundo, el cambio en magnitud de la velocidad tangencial de B (V�) debido a la variación de su distancia a O. (V� = wr, y r aumenta.) La ecuación completa para la ace leración absoluta a11 debe contener términos que expresen estas dos variaciones de velocidad. Consideremos, primeramente, tan sólo el primer cambio. Al girar M, la di rección de V11¡.{ cambia con la línea que gira OA, a la posición OA' (ver Figu ra 4.40 [a]).. Puesto que B en este caso, no se mueve radialmente sobre OA, los puntos A y B son los mismos y también coinciden los A' y B'. En un pequeño incremento de tiempo f:..T, este cambio de dirección será t:-.0 y la trayectoria f:..S desde A a A' será igual rf:..0. Para ángulos pequeños, puede considerarse este arco rf:..0 igual a la cuerda AA'. En este mismo intervalo de tiempo /':,,.T, el vec tor V11¡.{ también girará un ángulo f:..0. El cambio de Vn;A debido a esta rotación está representado en la diferencia vectorial de la Figura 4.40 (b) por el vector
2
/ /
/
(b) (a) Figura 4.40. - Variación de la velocidad del bloque debido a la rotación.
/
/
// -VB/A
3
M
/
/
/
156
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
tiV. El triángulo OAA' de la Figura 4.40 (a) es semejante al triángulo vecto rial 123 (los lados correspondientes son paralelos), por lo que se deduce que:
r - v /A
r/10
AV B
=
de donde,. tiv VB¡A MJ La aceleración de B debida a este cambio de dirección será: _AV_ VB!A/10 aB - AT--;yrpero
110
AT =
=
w
Así pues an Vn¡AW debido al primer cambio. La dirección de esta aceleración es perpendicular a OA (paralela a liV) o sea, tangente y compatible con el sentido de w. Consideremos ahora el segundo cambio solamente. Como B se mueve hacia afuera radialmente desde O, el radio OB aumenta a OB' y, como V= wr, la Vn¡A tangencial aumentará (Figu ra 4.41). En un pequeño incremento de tiem po tiT, el radio OB variará una cantidad igual a !ir y la variación de VB/A será wlir. La aceleración de B debida a esta variación de r será:
Ar i. almente AS (AT' gu AT' =
v)
Esta aceleración también es perpendicular a OA o sea, tangente y compa tible con el sentido de w.
B'
M
6.V = Vs• --- Vs
Figura 4.41. - Variación de la velocidad de un bloque debido al deslizamiento.
ACELERACIÓN
157
Como estos dos términos adicionales de la aceleración relativa de B respec to de A son iguales y en la misma dirección, se pued�n reunir en un sólo término: 2V111Aw. A este término se le llama aceleración de Coriolis, en honor a su descu bridor. Este vector es siempre perpendicular a V111,1, dirigido como si hubiera gi
rado alrededor de su origen un ángulo de 90° con V11;A en la misma dirección que w. Este término de Coriolis 2V11¡AW debe añadirse a la ecuación incompleta del número 3 anterior para dar la aceleración absoluta de B: ª11 =ªA+ - ªB/A
+ - 2VB/AOJ
En esta ecuación, B es un punto del bloque deslizante. A es un punto del disco M, coincidente con B. El término a11;A se refiere a la aceleración relativa de B, respecto del punto A en la dirección radial sobre la acanaladura. (Podría describirse como "la aceleración de B cuando el disco M está quieto".) El tér mino de Coriolis 2VJJ;AW es perpendicular a la acanaladura y es debido a la ve locidad angular de M y al cambio de posición del bloque en la anacaladura. Se muestra· en la Figura 4.42 un diagrama del sistema de vectores q�e determinan la aceleración absoluta de B (el polígono vectorial). (El tamaño relativo de los vectores es arbitrario.)
M
Figura 4.42. - Aceleración total del bloque B
En el ejemplo anterior, el disco M gira con una velocidad angular constan te. Si M tuviera también aceleración angular (Figura 4.43) seguirán siendo váli das las mismas consideraciones, excepto que el primer término (aA) tendría com ponentes de la aceleración, tangencial y normal y la aceleración de A sería: a;I + - a� o
sea w2r + - (1.,r
158
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
,_
M
r_ Figura 4.43. - Disco con aceleración angular.
Los otros términos de la- ecuación permanecerán invariables por lo que la ecuación correcta para estas condiciones sería: as= a11 +-a�+ --+a81A
-:_
+--+ 2V8/Am
Los dos ejemplos anteriores se aplican a puntos, como el B, que se mueven sobre líneas rectas en cuerpos que giran. _ Si la acanaladura que guía B es curva con centro de curvatura en C (Figura 4.44) y el disco M tiene w y a, la ecuación básica seguirá siendo verdadera con las modificaciones siguientes: l. El primer término (aA) se convertiría en a11 + --+ a� por causa de la aceleración angular a. 2 . El segundo término a8;A, se describe ahora, evidentemente, como a8 ¡M e incluirá una componente normal y una tangencial, ya que la acanala dura curva cambia la dirección de a8,1M así como su magnitud. La an;M tendría entonces dos componentes:
(En este caso w y a son las w y a de la línea BC del disco M). 3. La componente de Coriolis permanece invariable, por lo que la a8 en este caso general sería: aB = a11
+
--'> 0�
+ --+ ar;/M + --+ a�/M + --'>2VB/A(J)
Tratemos un problema que lleve consigo aceleración de Coriolis. En la Fi gura 4.45 la manivela acanalada M gira alrededor del eje fijo O con velocidad
L
ACELERACIÓN
159
�a w
aladura curva. erado con bloque en acan Figura 4.44. - Disco acel
brazo DB sentido de las agujas de un reloj. El angular constante de 5 rad/s, en el M, está en ura alad ue que desliza en la acan pun gira alrededor del eje fijo D. Un bloq El . DB) de y B es un punto del bloque e tien articulado a DB en B (por lo que, DB o braz El B. debajo del pasador O. to A es un punto de M directamente de cm 4 a n está B , los puntos A y 3 cm de largo. En la posición señalada cm. La línea central DO tiene 2½ A sobre M B sobre el bloque
4 cm 3 cm
01
\+--z½ cm-----ll>...\
. manivela acanalada. o Figura 4.45. - Mecanism de
==-----------
---
-
-
-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
160
Se pide hallar la aceleración absoluta del pasador B y la aceleración an gular del brazo DB. La ecuación de la aceleración de B es: ª· º
= aA + --+ ªo/A + --+ 2V01,IJJM
=
=
=
Podemos calcular aA. ro� X OA 52 X 4 100 cm/s2, y sabemos que está dirigida de A hacia O. Solamente se conoce la dirección de aB/A.· Como el pasador B, relativo a M, sólo puede moverse sobre la acanaladura, su acelera ción relativa respecto de M, debe ser en la dirección OB. Podemos calcular la componente de Coriolis si hallamos primero VB/A.· Esto se determina gráfica mente como se ve en la Figura 4.46, donde se ha restado VA. de VB, encontrando VB/A. 16, 3 cm/s (la cual, incidentalmente, es la velocidad de deslizamiento).
=
2VBiA.roM
= 2 X 16,3 X 5 = 163
cm/s2
Sabemos la dirección de este vector: está girado 900 respecto a VB/A. (el cual está dirigido según OA) a partir de su origen en la dirección de roM (a de rechas). Si determinamos la velocidad angular de DB, podemos calcular la compo nente normal de la aceleración de B (WEB X DB). WnB
=
VB DB
25,8 =- = 8,6 rad/s 3
así
aB
= 8,6
2
X3
y dirigido de B hacia D. M
""
"
Vs = (25.8) "/ / /�\) //
o
o Velocidad
Figura 4.46. - Velocidad relativa del bloque B respecto de A en M.
= 222 cm/s
2
ACELERACIÓN
161
Como sólo conocemos la dirección de an ;A, volvamos a escribir la ecuación de manera que podamos despejar dicho término: ªB/A = ªB - - ªA - - 2VB/A(J)M (en que aB = w1B x DB + - rxvB x DB) Podemos ahora trazar un polígono de aceleraciones ya que se conocen com pletamente 3 de los 5 vectores, en magnitud y dirección y también se conocen las direcciones de los otros dos. En la Figura 4.47 podemos ver este polígono. Partiendo del origen O, trazamos -aA (de sentido opuesto a +aA ), después -2Vn;Aw, después+ a;, después una línea en la dirección dea1(..Laa1),y fi nalmente, una línea que pase por O en la dirección de an;A (11 a OA). Estas lí neas de a1 y an ;A se cortan en el punto B, determinando, así, la longitud de estos vectores. El vector an;A se cortan en el punto B, determinando, así, la lon gitud de estos vectores. El vector an ;A es el resultante de los otros (ver ecuación anterior), por lo que estará dirigido hacia afuera a partir del origen, hacia la in tersección B. Si examinamos este polígono, notaremos que a; y a1 son dos vectores adya centes (y 1). Como BD es un cuerpo que gira, se pueden sumar vectorialmente estas dos componentes para conseguir la resultante an . En la Figura 4.47 podernos ver este vector. Mide 225 crn/s2 y está dirigido hacia abajo y a la izquierda de] brazo BD. 1
1 1
1 1
1 0�=(222) 1 1
-OA (100)
1
1
o 0B/A
1 1
_ _.d B o�= (36.6)
Aceleración Figura 4.47. - Polígono vectorial de la acele ración del bloque B. LENT- 11
-------
�
--
----
-
-
-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
162
La componente tangencial de la aceleración de B, (a�) es igual a que es 36,6 cm/s2• Por tanto aT 36,6 12,2 rad/s2 ªsn = B = - D 3
aBD
X BD
=
La aceleración de Coriolis no está limitada a sistemas articulados con des lizamiento en guías móviles. Se aplica a todos los mecanismos en los que un punto sigue una trayectoria recta o curva sobre un cuerpo que gira.
PROBLEMAS 4.1. En una prueba para determinar aceleraciones, un coche de carreras, partiendo
4.2. 4.3.
4.4.
4.5.
del reposo, alcanza una velocidad 80 km/h en 10 segundos. ¿Cuál es la ace leración media durante este tiempo? Si la aceleración del coche fuera uniforme, ¿qué camino recorrería antes de alcanzar 80 km/h? Un corredor corre en una pista los 100 m lisos en 10 segundos. Si su acele ración era uniforme, ¿cuál fue su velocidad máxima en m/s? Un cuerpo que cae partiendo. del reposo tiene una aceleración constante de 9,8 m/s2 . Determinar la distancia que recorre durante cada período de tiem po de 1 s en el tiempo de 4 s. ¿Cuál es la razón entre las distancias cubiertas del primero al segundo período, al tercero, y al cuarto? (Esta · razón de los des plazamientos durante cada igual período de tiempo sucesivo es la misma para todos los cuerpos que se mueven con aceleración lineal constante.) Partiendo del reposo, un motor se acelera uniformemente hasta que alcanza su velocidad de régimen de 3600 rpm. Si se necesita 3/10 s para acelerarse desde 1000 rpm. ¿Cuál es su aceleración y cuántas revoluciones dará antes de alcanzar su velocidad de régimen? En el cuadrilátero articulado de la Figura P4.5, la manivela LM gira alrededor del eje fijo L con una velocidad angular constante de 100 rad/min. LM = TR = 10 cm; MR LT 15 cm; MS 8,75 cm y TX 5 cm. Determinar las aceleraciones de los puntos S y X en la posición señalada.
=
=
=
=
=
S
-----+---
Figura P4.5
R
1
ACELERACIÓN
163
4..6. El disco W gira alrededor del eje fijo O con una velocidad angular de 3 rad/s en sentido de las agujas de un reloj y con una acelerac_ión angular de 12 rad/s'2 en sentido contrario al de las agujas de un reloj, en fa posición señalada en la Figura P4.6. Determinar las aceleraciones lineales de los puntos A, B y C del disco. 45
°
F
·-?s..:_e ' ���l_:�f
6'
0
O,
1 112 cm
1
A�
90 ° Figura P4.7
Figura P4.6
4..7. La aceleración absoluta del ·pasador E de la banda EF es 5 cm/s 2 hacia la iz quierda. La aceleración angular de EF es 3 rad/s.l! , en sentido contrario al de las agujas de un reloj, y la velocidad angular de EF es 1 rad/s, a derechas, en la posición señalada. Hallar la aceleración absoluta de F. (Figura P4.7.) 4.8. En la Figura P4.8, AB gira alrededor del eje fijo A. El mecanismo está accio nado por una corredera C, que ti_ene una velocidad constante, de derecha a izquierda, de 5 cm/s. AB 5 cm y BC 10 cm. Determinar la aceleración lineal de B y la aceleración angular de AB en la posición señalada.
=
A
=
Figura P4.8
Figura P4.9
e
164
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
4.9. Las partes AB, BC y CD del sistema articulado de la Figura P4.9 tienen cada una 7,5 cm de longitud. A y D son ejes fijos. AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Deter minar la aceleración del punto C.
oB
Figura P4.1 O
4.10. En la Figura P4.10, la manivela DA gira alrededor del eje fijo D con una ve
locidad angular de 2 rad/s a izquierdas y una aceleración angular de 4 rad/s2 a derechas. DA = AB = BC = CA = 7,5 cm. Determinar la aceleración de la corredera C, la aceleración angular del cuerpo F, y la aceleración del punto B. 4.11. La manivela DE de la Figura P4.11 tiene una velocidad angular constante de 1 rad/s. DE= 5 cm; EG = 10 cm; FG = 6,25 cm_ y DF = 15 cm. H es el punto mediQ de EG. D y F son ejes fijos. Encontrar la aceleración absoluta de G y H y la aceleración angular de FG. L
D Figura P4.11
Figura P4.12
4.12. Las partes OM y OP del sistema articulado de la Figura P4. l 2, giran inde pendientemente alrededor del eje fijo O. La barra rígida ML está articulada en S al bloque deslizante en las guías fijas. OM = OP = 5 cm; ML = PL = = 10 cm y MS = 5 cm. La manivela conductora OM tiene una velocidad an
gular de 1 rad/s Y, una aceleración angular de 2 rad/s�, ambas en sentido de las agujas de un reloj. Determinar la aceleración de P en la posición señalada. 4.13. El torno para levantar pesos de la Figura P4.13, está compuesto de dos cilin dros, A y E, y dos engranajes, B y C (que actúan como discos que giran uno
ACELERACIÓN
165
sobre otro sin deslizar). El engranaje B está fijo a A, de manera que giran jun tos, y el C, está fijo a E de la misma manera. A y B giran sobre el eje fijo G. C y E giran sobre el _eje fijo H. El peso W está unido a un cable enrollado alrededor del cilindro E, y la fuerza levantadora está aplicada (hacia abajo) en P; el final del segundo cable está enrollado alrededor del cilindro A. Los diá metros son los que siguen: A 30 cm; B 10 cm; C 25 cm y E= 15 cm. Si la aceleración lineal de P es 25 cm/s�, hallar la aceleración lineal de W.
=
=
=
w s Figura P4.14
Figura P4.13
4.14. El disco W rueda sin deslizar sobre la superficie fija S con una velocidad angu-
lar de 1 rad/ s y una aceleración angular de 2 rad/s2, ambas en sentido con trario a las agujas de un reloj (Figura P4.14). La biela AB está articulada a W en A y al bloque deslizante en las guías horizontales fijas, en B. W tiene 10 cm de diámetro. AB tiene una longitud de 12,5 cm. OA 4,5 cm. Determinar las aceleraciones lineales de los puntos A y B en la posición señalada. 4.15. Un tren epiéicloidal de discos se ve en la Figura P4.15. El brazo A gira alre dedor del eje fijo O con una velocidad angular de 10 rad/ s y una aceleración
=
E
Figura P4.15
166
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
angular de 5 rad/s2. El disco B está fijo y tiene 10 cm de diámetro. El disco C está conducido por el pasador en A y tiene 5 cm de diámetro. El anillo E gira libremente alrededor del centro O, guiado por los rodillos L, M, Q y R. No hay deslizamiento entre B, C y E. Determinar la aceleración angular del anillo E. 4.16. El dispositivo de la Figura P4.16 está accionado por la manivela AB, de 5 cm de longitud, la cual gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con una velocidad angular. constante de 5 rad/s. Determinar la aceleración de la horquilla C en la posición señalada. ¡+-10,8 cm 1
1 1
17,5 cm diám. Figura P4.16
Figura P4.17
4.17. En la Figura P4.17, el disco W tiene 17,5 cm de diámetro y gira en sentido de
las agujas de un reloj con velocidad constante de 30 rad/min alrededor del eje fijo O. Una acanaladura circular se ha hecho en una cara de W como se mues tra. El brazo TNS gira alrededor del eje fijo N llevando un bloque sobre el pa sador S que desliza en la acanaladura de W. NT 3,75 cm; NS= 11,25 cm. TR tiene 8,1 cm de longitud y está unido al bloque R por el pasador T. Este bloque desliza en las guías fijas situadas como se muestra. Determinar la ace leración absoluta del pasador S del bloque curvado y la aceleración dei pasa dor R del bloque rectangular. 4.18. En la Figura P4.18 OP gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad angular constante de 2 rad/s. El manguito S gira libremente sobre el pasador P y desliza sobre la biela R. M es el eje fijo de R. La distancia MO = 7,5 cm; ML = 22,5 cm. Hallar la aceleración lineal de L y la aceleración angular de R. 4.19. La excéntrica circular C gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad angular constante de 20 radianes/min. El diámetro de C = 15 cm. La excentricidad OP = 5 cm. El radio de la super ficie de contacto del seguidor F 2,5 cm. Hallar la aceleración lineal del segui dor, en forma de hongo, F de la Figura _ P4.19.
=
=
ACELERACIÓN
167
L
e
°
�90
____l
o
Figura P4.19
Figura P4.18
4.20. En la Figura P4.20, el bloque D tiene una velocidad líneal de 25 cm/s y una aceleración lineal constante de 50 cm/s2 sobre las guías fijas de izquierda a derecha en cada caso. AC es una barra rígida de 12,5 cm de longitud. AB = = 7,5 cm; BD = 20 cm y CE= 7,5 cm. E está articulada a.1 manguito que des liza libremente sobre BD. Determinar la aceleración lineal del punto E sobre CE en la posición señalada.
e
----
A Figura P4.20
V PROVECT
� ., ·oE MECANISMO
a
... (/) )0 e: (/) � L
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zw ::( o
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Deane Lent
Análisis y proyecto de mecanismos
Análisis y proyecto de n,ecanisn,os DEANE LENT Profesor de Ingeniería Mecánica del Instituto de Tecnología de Massachusetts
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México MCMLXXIV
rrtu/o de la obra original:
Analysis and Desing of Mechanisms Edición original en lengua inglesa publicada por:
Prentice-Hall, lnc., Englewood Cliffs, N. J. Copyright© by Prentice-Hall, /ne., N.J, Versión española por et:
Dr. Alejandro Rodrigue:z de Torres Ingeniero Industrial, Profesor de mecánica y resistencia de materiales de la Escuela de Arquitectura de Barcelona Revisada por el:
Dr. Julián Fernánde:z Ferrer Catedrático de Física de la Universidad Politécnica de Barcelona Fellow of the lnstitute of Mathematics and its Applications Propiedad de EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Encarnación, 86 Barcelona c121
Ninguna parte del material cubierto por este·título de propiedad literaria podrá reproducirse en forma alguna sin el previo permiso por escrito del editor. os los derechos reservados ..nen español EDITORIAL REVERTÉ, S. A .. 1974 in Spain ' - M - 291 - 4838 - 8
--==�
3. :Ji.S16197! - LITOCLUB Nápoles, 300 - oarcelo1,.
Prólogo
Este libro es un libro de texto y está escrito para estudiantes. La presentación es lo bastante elemental como para impartirse en el· primer año del plan de estudios de cualquier carrera técnica. No presume de conocimientos de cálculo o físicos sino que utiliza con gran profusión técnicas gráficas que faciliten el estudio de esta materia basándose en la Geometría. La claridad y simplicidad del estudio gráfico, prolonga la capacidad del estudiante más allá de los límites usuales de los cursos de introducción. El objetivo del autor es proporcionar una base sólida para la correcta aplica ción. de los principios cinemáticos en el análisis y proyecto de los mecanismos. Este libro no es un tratado teórico que investigue profundamente para acumular conocimientos, sino que está pensado para proporcionar inmediatamente procedi mientos útiles que permitan abordar problemas reales. Creemos que el estímulo de los problemas de proyecto, con su consiguiente demanda de análisis, propor ciona la motivación más efectiva para los estudios de Ingeniería. Por muy com plicadas que sean las técnicas que deban emplearse en un momento dado, el en foque gráfico inicial, capacita al estudiante para proyeétar en una primera etapa. Como quiera que ya se ha escrito mucho sobre esta materia, sería difícil y sin duda imprudente, intentar hacer un tratado completamente nuevo. Aunque se incluye considerable cantidad de materia que el autor cree que es original, tam bién se utilizan muchas técnicas clásicas con la intención de mejorar su presenta ción o de ampliar sus aplicaciones. Se ha considerado más juicioso sancionar y promover métodos satisfactorios, que buscar notoriedad mediante inventos. Este libro está escrito para instruir a los estudiantes, no para impresionar a un Claustro. En un gran número de ejemplos se ofrecen distintos métodos de análisis, per mitiendo de esta manera al profesor seleccionar el procedimiento que se siga mejor en su clase. No se ha suprimido casi nada de la primera edición, a fin de que los VII
VIII
PRÓLOGO
e ahora lo utilicen, no necesiten cambiar necesariamente su forma de enseñan za o asignación de problemas. El capítulo final que trata de mecanismos, es nuevo, ofreciendo una colección de mecanismos útiles para familiarizar mejor al estudiante con los proyectos exis tentes y estimular su ingenio para el trabajo creativo. En todos los escritos de esta clase está, detrás del autor, un compañero que mecanografía, revisa, organiza y a veces corrige, el manuscrito. En la preparación de este texto, la destreza, devoción y paciencia de mi secretaria, Diane R. Moun tain constituye la principal contribución, la cual agradecemos profundamente: DEANE LENT
Indice analítico 1 INTRODUCCióN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
Proyecto de los mecanismos Técnicas de análisis de los mecanismos Se pide precisión de dibujo Trabajo lineal de precisión Medidas de precisión Una escala grande en el dibujo, aumenta la precisión Técnica del compás de puntas fijas Técnica del trazado de curvas irregulares Combinación inteligente de técnicas Clases de movimiento en el plano
2 DESPLAZAMIENTO
2
2
3 3 5 7 9 12 15 15 19
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15
Desplazamiento lineal Desplazamiento angular Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación Desplazamientos y trayectorias en el movimiento compuesto Mecanismos que producen trayectorias específicas Mecanismos de línea recta Mecanismos para describir arcos de gran radio Mecanismo para describir trayectorias elípticas Mecanismo para describir una parábola Mecanismo para generar una involuta Mecanismo ampliador o reductor Proyecto de mecanismos para desplazamientos dados Proyecto de mecanismos para trayectorias dadas Método de la plantilla fija El método de las levas combinadas 2.16 Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas 3 VELOCIDAD
19 19 21 22
25 25 27 28 29 31 31 32 34 35 35 37 44
3.1 Velocidad lineal 3.2 Representación vectorial de las velocidades lineales 3.3 Velocidad angular 3.4 Relación entre Ia velocidad lineal y la angular 3.5 Velocidades de los puntos de cuerpos en rotación 3.6 Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compuesto 3.7 Vectores velocidad · 3.8 .Vector suma: componentes y resultantes
ne
44 47 47 49 51 � 52 53
INDICE ANALfTICO
X
. 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 3.32
Componentes útiles Concepto de cuerpo rígido Velocidades en un cuerpo rígido Determinación de velocidades cuando se desconoce la dirección Dilatación de un cuerpo rígido Relación entre las velocidades de un cuerpo rígido Centro instantáneo de rotación Localización del centro instantáneo de rotación Velocidad angular de cuerpos en movimiento compuesto Velocidades lineales absoluta y relativa Velocidades relativas en un cuerpo rígido Utilización de las velocidades relativas para encontrar la velocidad angular Concepto de velocidad relativa: Un. instrumento para el análisis Construcción del polígono de velocidades Polígono para velocidades de dirección desconocida Centros instantáneos y polígonos de velocidades Componentes de traslación-rotación Rodadura pura Polígono de velocidades para la rodadura pura Velocidades en un contacto deslizante Velocidad de deslizamiento ¿Rodadura o deslizamiento? Determinación de la velocidad de deslizamiento Polígonos de velocidades para· contacto deslizante
4 ACELERACióN 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
Aceleración lineal Aceleración lineal uniforme Aceleración lineal variable Aceleración lineal sobre trayectorias curvas Aceleración angular Aceleración angular uniforme Aceleración angular variable Aceleraciones en cuerpos en traslación Aceleraciones lineales en cuerpos que giran a velocidad constante Aceleraciones lineales en cuerpos que giran con velocidad angular variable Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido Aceleraciones en cuerpos en movimiento compuesto Componentes útiles de la aceleración Determinación de las direcciones de las aceleraciones lineales Aceleraciones por el método del polígono vectorial Construcción de un polígono de aceleraciones Lectura de las aceleraciones relativas t:tilización del vector imagen Aceleraciones sobre cuerpos en rodadura de métodos para el estudio de la aceleración de la diferencia de velocidades para aceleraciones que comprenden deslizamiento sobre guías móviles .">o::�::Z::ll.:C e.e Cori lis
54 55 56 59 60, 62 63 65 67 68 70 71 71 72 74 76 79 81 83 86 90 90 91 92 106 106 107 108 109 110 110 111 112 113 115 118 121 122 125 128 128 137 137 138 143 144 147 153
INDICE ANALITICO,
5 ANALISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO
!(
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Diagramas para representar valores variables Cálculos gráficos Integración gráfica Diferenciación gráfica. Método de la tangente Diferenciación gráfica. Método de los escalones Diferenciación gráfica. Método de «la curva desplazada» Técnicas de cálculo gráfico Integración tabular Diferenciación tabular
6 ENGRANAJES 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21
6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29
Terminología de los engranajes Naturaleza del contacto entre dientes Determinación de la longitud de la trayectoria de contacto Razón de velocidades de un par de engranajes Formas de dientes para razón de velocidades constante Curvas conjugadas Proyecto de curvas conjugadas Aplicaciones de las superficies conjugadas Las involutas de círculo son conjugadas Dientes de engranaje de perfil de involuta Relación entre los círculos primitivos y de base Engranajes normalizados de perfil de involuta Trazado de engranajes normalizados de perfil de involuta Relaciones geométricas en función del ángulo de presión Limitaciones en la utilización de engranajes normalizados Mínima trayectoria de contacto permisible Razón de contacto Comprobación de engranajes en lo que respecta al contacto intermitente Remedios para el contacto intermitente Trayectoria de contacto máxima permisible Trayectoria de contacto máxima debida a dientes puntiagudos Comprobación para dientes puntiagudos Trayectoria máxima de contacto debida a interferencia Comprobación de interferencias Remedios para evitar la interferencia Límites de la razón de velocidades para un engranaje dado Separación de los engranajes con dientes de perfil de involuta Comprobación del comportamiento de los engranajes separados Aplicación de la separación
7 TRENES DE ENGRANAJES 7.1 7.2
Razón de velocidades de un tren de engranajes (razón de dientes - r.d.) Trenes de diferentes tipos de engranajes
XI
168 168 169 170 174 177 181 184 186 188 193 195 200 204' 208 208 209 211 214 215 218 220 221 223 227 232 232 235 235 237 239 240 241 242 245 246 250 255 258 260
275 276 278
XII
INDICE ANALfTICO
7.3 7.4 75 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25
Razón de velocidades para diferentes tipos de engranajes Razón de velocidades de un engranaje de tornillo sinfín Mecanismos de inversión de marcha Transmisiones de velocidad selectivas Proyecto de trenes de engranajes ordinarios Proyecto de· trenes de engranajes de inversión Proyecto de trenes de inversión con engranajes de diferente paso Trenes de engranajes de· planetarios o epicicloidales Razones de velocidades de trenes epicicloidales Análisis de los trenes de engranajes epicicloidales Cambiador de velocidades epicicloidal Mecanismo de inversión epicicloidal Transmisión epicicloidal selectiva de velocidad Mecanismo calculador epicicloidal Tren epicicloidal compuesto Proyecto cinemático de un tren de engranajes epicicloidal Procedimiento para proyecto de trenes epicicloidales Trenes epicicloidales simples Tren epicicloidal básico de tres engranajes Proyecto de un tren epicicloidal de tres engranajes Tren epicicloidal básico de cuatro engranajes Proyecto de un tren epicicloidal de cuatro engranajes Proyecto con montaje alargado (separación)
8 SISTEMAS ARTICULADOS 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
8.9 8.10
8.11 8.12
8.13 8.14
280 281 282 285 289 293 295 298 299 302 304 306 308 310 312 313 314 315 316 319 321 325 329
347
Cuadrilátero articulado básico Razón de velocidades angulares de las manivelas Sistema articulado biela-manivela Análisis de velocidades del sistema biela-manivela Velocidades de los puntos del acoplador Cadenas de sistemas articulados Análisis de velocidades de las cadenas de sistemas articulados Procedimiento para deducir ecuaciones de velocidad Sistemas articulados con guías móviles Sistemas articulados de retroceso rápido Proyecto de un sistema articulado de retroceso rápido Ecuaciones de velocidad para todos los mecanismos Ecuación de velocidad para leva y seguidor Ecuación de velocidad para un tren de engranajes epicicloidal
348 350 353 354 356 360 361 363 364 367 369 372 374 375
393
puntual
393 394
t
,
1
ÍNDICE ANALfTICO 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19
Proyecto de una leva para seguidor de rodillo Proyecto de leva con seguidor circular deslizante Proyecto de leva con seguidor plano con movimiento de traslación Proyecto de leva con seguidor de rodillo oscilante Proyecto de una leva con seguidor plano oscilante Levas de disco acanalado de doble efecto Levas cilíndricas de doble efecto Levas de disco de doble efecto Levas compuestas para trayectorias irregulares del seguidor Limitación en el proyecto de una leva Ángulo de presión máximo y círculo base mínimo Movimientos ascensionales para seguidores de leva Movimiento uniformemente acelerado Movimiento armónico simple Movimiento cicloidal Análisis de la aceleración de las levas Análisis gráfico de las velocidades de las levas
10 MECANISMOS 10.1 10.2 10.3. 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10,26 10.27 10.28 10.29 10.30
Sistema articulado manivela-balancín Biela de acoplamiento Balancín de suspensión de cargas doble Sistema articulado de manivelas paralelas Sistema articulado de transporte Sistema articulado de palanca acoplada con unión por p1;1sador Mecanismo de línea recta Pantógrafo Sistema articulado biela-manivela Sistema articulado de biela deslizante Mecanismo de balancín Horquilla móvil Horquillas móviles modificadas Sistemas deslizantes de articulación acodada Sistema articulado isósceles Manivela rotativa con puntos muertos Manivela oscilante con punto muerto Balancín con punto muerto Sistema articulado de biela que da una curva simétrica Sistema articulado generador de parábolas Mecanismo de Cruz de Malta Sistema articulado que acciona sobre una Cruz de Malta Mecanismo de trinquete Trinquete de fricción Mecanismo de movimiento cíclico Mecanismo accionado por excéntrica y de retroceso rápido Aparejo diferencial de cadena Mecanismo epicicloidal de línea recta Mecanismo planetario de movimiento intermitente Reductor de velocidades de engranaje cicloidal
XIII 396 398 398 400 402 404 405 406 407 409 410 412 413 415 416 418 418 429 430 431 431 432 433 433 434 435 436 437 438 439 440 440 441 442 443 444 444 445 446 447 448 449 450 450 451 451 453 454
XIV
ÍNDICE ANALITÍCO
10.31 10.32 10.33 10.34 15.35 10.36 10.37 10.38 10.39 10.40 10.41 10.42 10.43 10.44 10.45 10.46
Mecanismo intermitente de tres engranajes Mecanismo de movimiento alternativo irregular Amplificador de carrera en traslación Amplificador de movimiento rotativo Mecanismo para generar un cuadrado Transmisión de velocidad variable de disco y rueda Transmisión de velocidad variable de cono y anillo Transmisión de velocidad variable conoide-esferoidal Cambiador de velocidad de disco y esfera Cambiador de velocidad de anillo y rodillo Transmisión de velocidad variable de correa trapezoidal Mecanismo alternativo de plato oscilante Mecanismo alternativo de leva y horquilla Mecanismo indicador de leva de cilindro Transmisión oscilante accionada por leva Mecanismo indicador de ejes paralelos
APÉNDICE Glosario de símbolos de letras Tabla de cuerdas Notas sobre trigonometría Funciones trigonométricas naturales Extracto del catálogo de engranajes cilíndricos de dientes rectos normalizados, de ángulo de presión 14 ½ º
454 455 455 457 457 457 458 459 459 460 461 461 462 463 464 464 467 467 468 469 470 472
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1 Introducción
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El mecanismo es el corazón de una máquina. Consta de una serie de partes co nectadas en movimiento, que proporcionan el movimiento específico y las fuer zas que hacen el trabajo para el cu.al se ha proyectado la máquina. Una máquina está normalmente accionada por un motor que suministra potencia y velocidad constantes. Es el mecanismo el que transforma este movimiento dado, en la forma pedida, para cumplir la misión propuesta. El primer miembro de un mecanismo, directamente unido al motor, se llama conductor, y el último miembro en el conjunto, el cual suministra el movimiento o energía útil, se le llama conducido. Algunos mecanismos están formados sola mente de dos partes, como los de la Figura 1.1, mientras que otros tienen muchos
Figura 1.1
miembros como se muestra en la Figura 1.2. Una máquina compfü;ada puede em plear varios mecanismos para cumplir varias funciones. La máqupa, en su tota lidad, se diseña alrededor de los mecanismos que realizan el trabajo. Est\! activo e importante papel de los mecanismos en el proyecto de una máquina h!lce este tema interesante y vital. LENT - 1
2
A ÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 1.2
1.1. Proyecto de los mecanismos.
Lo primero para un proyectista de mecanismos es lo que se refiere al mo vimiento. Debe seleccionar o proyectar mecanismos que produzcan los despla zamientos y velocidades requeridas y determinar las aceleraciones resultantes. El estudio del movimiento de los órganos de una máquina, sin considerar las fuerzas y los esfuerzos que se producen, se llama Cinemática. A esto es a lo que princi palmente se refiere este texto. No puede ignorarse la existencia de fuerzas. Muchos mecanismos, tales como grúas y prensas, se proyectan más por su capacidad de producir fuerzas que por las características del movimiento. Todos los componen tes del mecanismo deben proyectarse para resistir los esfuerzos producidos por cargas y aceleraciones. El estudio de las fuerzas sobre cuerpos en movimiento se llama Dinámica. Es mucho más complicada que ia'Cinemática y es la segunda fase del proyecto. Ya que muchos de los problemas dinámicos se definen por las carac terísticas del movimiento, es lógico, así como conveniente, estudiar primeramente su Cinemática. Como esto es lo que se pretende en un primer libro del proyecto de una máquina, el tratamiento dinámico será limitado. Para proyectar máquinas se debe tener primero un "vocabulario" de trabajo que dé un conocimiento de los mecanismos. Debemos poder modificar y adoptar éstos a los requisitos específicos para su ejecución. Se debe, entonces, analizar es tos mecanismos en lo que respecta a sus desplazamientos, velocidades y acelera·ones a fin de predecir su comportamiento y prepararse para el análisis dinámico que sigue. Éstos son nuestros propósitos en el estudio de los mecanismos. "> Técnicas de análisis de los mecanismos. que gran parte del trabajo es de índole geométrica, en el estudio de los .:::;:==z:c:sü!CJ,s_ se usan los dibujos sin reserva. Esta técnica gráfica simplifica el tra ero. porque los problemas se visualizan más claramente y las solucio ,_.. ,_,..,.,,..�....,..en con más facilidad, y segundo, porque se evita la dificultad o _ - _ . El aspecto ilustrativo de la solución gráfica explica el pro-
INTRODUCCIÓN
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ceso y proporciona oportunidad de comparar y comprobar resultados constante mente. Los vectores y las gráficas proporcionan una comprensión visual, que fre cuentemente se oculta al usar métodos ttuméricos. La sustitución por métodos grá ficos elimina largas soluciones trigonométricas y simplifica grandemente el cálculo, poniendo así más problemas dentro del alcance de aquellos cuya formación ma temática sea limitada. Los cálculos deberán ser usados donde quiera que sean simples y en todos los casos donde las soluciones gráficas no ofrezcan ventaja. Así, todos los pro blemas llevarán consigo algún trabajo analítico. Uno podría no esforzarse para evitar cálculos, pero más bien deben combinarse hábilmente los dos métodos, en provecho del rendimiento y exactitud. El método más corto, el más simple, es nor malmente el.más exacto.
1.3. Se pide precisión de dibujo. El trabajo gráfico puede no justificarse a no ser que su calidad proporcio ne una precisión compatible con los métodos analíticos. Los resultados obte nidos mediante dibujos son desdeñados injustamente por algunos, como si sólo fueran aproximaciones. Esta actitud errónea, es el resultado de la ignorancia o abuso de la precisión de los métodos gráficos e indica claramente la responsabi lidad impuesta sobre aquellos que emplean técnicas gráficas. Es verdad que los cálculos pueden darnos más decimales que los que son posibles obtener con solu ciones gráficas, pero el trabajo gráfico, ejecutado con habilidad y juicio, puede dar normalmente el grado de precisión que requiere el problema. Los errores de proceso son más importantes que los errores inherentes a la elección del método, y los cálculos son más propensos al error que el trabajo gráfico. Las ventajas de la técnica gráfica más rápida, más simple, puede gustarle solamente a aquellos que dibujan con habilidad y la aplican con inteligencia y respeto. Para los detalles, se puede consultar un libro de dibujo, si bien presentare mos aquí algunas de las técnicas más importantes de precisión, las cuales son in dispensables para lograr una precisión gráfica.
1.4. Dibujo lineal de precisión. Se piden en este trabajo líneas finas, nítidas. Una línea, por definición, no tie ne anchura ni espesor. Nosotros no podemos obtener este concepto ideal con una línea visible de un lápiz, pero podemos aproximarnos a ella con mucha exactitud. Se necesita que la mina del lapicero sea larga, afilada, como se ve en la Figu ra 1.3. Es de vital importancia que la mina siga puntiaguda mientras progresa el dibujo mediante afilados frecuentes sobre un trozo de papel de lija. Los arcos
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A ALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 1.3. - Puntas de mina corree-. tas ·para dibujo de precisión.
de círculo pueden ser tan finos como otras líneas, por lo que la mina del compás necesita la misma atención constante. Ya que estos dibujos se hacen para resolver problemas y no con el propósito d(.\p copiarlos, no es necesario que se re marquen en oscuro. Esto nos permite usar una mina dura, la cua� podremos man ener fácilmente afilada durante el trazado. En la Figura 1.4 se ven más ejemplos de líneas de trabajo de precisión.
Rgura 1.4. - Dibujo lineal de precisión.
INTRODUCCIÓN
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1.5. Medidas de precisión. La exactitud de las medidas es tan importante como la calidad de la línea para el uso de gráficos en el estudio de mecanismos. Las medidas lineales pueden obtenerse dentro de una exactitud de 1/ 4 de milímetro. Tal precisión sólo puede obtenerse mediante el uso de métodos e instrumentos correctos. Una escala con pulgadas divididas en 50 partes es preferible a una dividida en centésimas (véase Figura 1.5). Es más fácil identificar la marca deseada, y si se usa un puntero las cincuentavas partes pueden dividirse con exactitud en dos par tes iguales a simple vista. Una escala con centésimas es difícil de leer sin una lupa. i.--
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Figura 1.5. - Lecturas sobre dos tipos de escalas de ingeniería.
Un puntero es un instrumento simple, pero absolutamente necesario para la obtención de medidas de precisión (Figura 1.6). No debe usarse nunca la punta del lápiz, relativamente roma para este propósito. Con el puntero se puede mar car un minúsculo agujero en el papel para la obtención permanente y exacta de la distancia deseada. Los puntos finos, agudos, ayudan a leer la escala, especialMadera
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Figura 1.6. - Punzón.
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
mente si se dirige la mirada a la línea divisoria con un ojo cerrado, como se ve en la Figura 1.7. El primer paso para la consecución de una medida es dibujar una línea de trazado fino poco señalada. Esta línea puede ser más larga que la distancia a
Figura 1.7. - Dirigiendo la mirada al punzón sobre la escala.
medir. Se coloca la escala cerca de esta línea y con el punzón se marcan peque ños agujeros exactamente sobre la línea y en los puntos extremos de la distancia deseada. Las medidas deberán hacerse sobre el punto del trazado cuando vayan a utilizarse. Se invita al error y se malgasta el esfuerzo, trasladando distancias desde la· escala a la línea trazada con el compás de puntas fijas. El hacer las me didas sin una línea trazada, o con puntos marcados con grandes agujeros, o con ::narcas de lapicero, es una costumbre muy mala. Ya que los agujeros minúsculos muy difíciles de ver, se pueden localizar con más facilidad, si se trazan peque círculos a mano alzada alrededor de aquéllos al mismo tiempo que el dibujo. Agrandando los agujeros con el lapicero se sacrifica toda la precisión (ver Fi gura 1.8). Figura 1.8. - Localización de las medidas en una lí nea trazada.
que se use un transportador de precisión, propio para delinean las medidas angulares sobre dibujos de precisión se hacen las de cuerdas, más que con los pequeños transportadores
INTRODUCCIÓN
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Los arcos de un radio dado, subtienden longitudes de cuerda, que son úni cas para cada ángulo agudo subtendido. Se da en el apéndice una tabla de longi tudes de cuerda para arcos de radio unidad, para ángulos de hasta 45°. En interés a la precisión, no deben usarse arcos de menos de 13 cm de radio, con las longitudes tabuladas de las cuerdas multiplicadas por 13 para adaptarse a esta escala aumentada. Los transportadores baratos son demasiado toscos para esta calidad de trabajo y no deberían usarse. El método de la cuerda permite me didas angulares próximas a 1O minutos, y permite el uso de radios más largos y prácticos. Las medidas de precisión pueden hacerse corrientemente a simple vista, sin esfuerzo. Sin embargo, un pequeño cristal de aumento, unido al punzón, como se ve en la Figura 1.9, aumenta la precisión y contribuye a la comodidad durante pe ríódos prolongados de este tipo de trazado.
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Figura 1.9. - Punzón con cristal de aumento.
1.6. Una escala grande en el dibujo aumenta la precisión. Una sabia elección de escala es un factor muy importante en la validez de la solución gráfica. Dentro de ciertos límites, cuanto más grande sea el trazado,
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
mayor será la precisión en los resultados de las medidas. Una línea recta de 25 cm de longitud. puede medirse con una precisión de 1 / 4 de mm con igual facilidad que una línea recta de 25 mm de longitud. El error permitido en una línea recta de _ - cm es 1 parte en 1000, mientras que el error en una línea recta de 25 mm es 1 parte en 100 (¡ 1O veces mayor!). La pendiente de una línea recta se detennina con mucha más precisión por 2 puntos separados 25 cm que por punos eparados sólo 5 cm. Éste es otro argumento para el trazado mayor. Sin embargo, si el dibujo llega a ser demasiado grande, se necesitan instru mento especiales y se consume mucho más tiempo en la confección del trazado., Es tan difícil dibujar una línea recta muy larga, como una corta o medir distan ia con exactitud que excedan la longitud de la escala normal 12 pulgadas (30,5 centímetros). Se puede poner en peligro la exactitud si el dibujo llega a ser demasiado grande. En la selección de una escala adecuada, influyen la calidad de los datos dados, la complejidad del análisis y la precisión pedida en la solución. Se piden cuidado y juicio al hacer la elección.
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Figura 1.1 O. - Compases de puntas fijas.
INTRODUCCIÓN
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1.7. Técnica del compás de puntas fijas. Hay muchos casos en los trazados cinemáticos donde deben dividirse líneas rectas o curvas en un número dado de partes iguales. Para hacer esto con preci sión, deben utilizarse los compases de puntas fijas. Este instrumento tiene también una valiosa función en el transporte de medidas de un lugar a otro. Normalmen te se usan dos clases de compases de puntas fijas, corno se ve en la Figura 1.1O. El grande tiene una junta de fricción y -un tornillo de ajuste manual, solamente para el ajuste fino. El pequeño está enteramente ajustado por tornillo. El uso de este instrumento entraña tanteos, pero es un buen método porque en cada tanteo se indica el tamaño del error y muestra cuánto y en qué direc ción debe hacerse la corrección. No entraña una suposición a ciegas. Por ejemplo, supongamos se pide dividir una línea AB en 3 partes iguales (ver Figura 1.11).
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Figura 1.11. - División de una línea en tres partes iguales.
Primero se coloca el compás de puntas fijas de manera que represente alre dedor de una tercera parte de la longitud AB. Con esta posición de prueba, par timos exactamente del punto A y hacemos "caminar" el compás de puntas fijas a lo largo de la línea, balanceando la pata libre, primero de un lado y después del otro (como si uno caminara sobre la cuerda floja) hasta que se hayan hecho 3 etapas. Son importantes dos cosas: Debe aplicarse una presión débil para evitar que las puntas se hinquen demasiado en el papel y debe ponerse cuidado en que las puntas del compás de puntas fijas queden exactamente sobre la línea para cada ,etapa (el dibujante falla tan lastimosamente como el funámbulo si no observa esta
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Técnica del trazado de curvas irregulares.
La representación gráfica de cantidades variables toma la forma de una curva irregular definida por puntos marcados a través de los cuales se puede dibujar una curva continua uniforme.* En los estudios de cinemática, este trazado o gráfica se utiliza frecuentemente para presentar datos o definir soluciones. El método de dibujar curvas irregulares difiere de otras técnicas en que es un proceso de tanteo más que una operación directa, "certera". La curva se forma, tramo a tramo, con la curva original de prueba, perfeccionada y mejorada hasta que se obtiene un resultado satisfactorio. Como con todo trabajo de precisión, se usa un instrumento para guiar al lá piz. El instrumento más común es la "pl¡mtilla de curvas" que se ve en la Fi gura 1.15.
Figura 1.15. -
Plantilla de curvas.
Estas plantillas de curvas se utilizan en gran variedad de formas y tamaños, pero un dibujante generalmente usa sólo una o dos, ya que raramente almacena instrumentos que realmente se ajusten a una parte considerable de la curva que a dibujarse. Supongamos que los puntos a, b, e, d, e, f, g, h, i han sido cuida dosamente marcados (punzón) como se ve en la Figura 1.16 y vamos a dibujar una ·a continua uniforme que pase por ellos por tanteo; seleccionamos una región plantilla de curvas la cual pasará exactamente por varios puntos consecuti- es como o, a y b en Figura 1.16. Antes de dibujar una línea, obsérvese de a acercarse hacia el próximo punto c. Si el borde pasa cerca de e, �garse más la línea que si cambiase de dirección, alejándose de e ;;;;;;;;i=az..JCamenle no sea equivalente, entendemos por curva continua unifor tos angulosos. Hacemos esto en aras de una mayor brevedad
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INTRODUCCIÓN
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Primera etapa
Figura 1.16. - Primera etapa en el dibujo de una curva por puntos.
marcadamente. En este caso la línea puede dibujarse un poco más allá de b, ya · que la curvatura puede modificarse después de este punto para que pase por c. Ahora dibujamos una línea de prueba que pase exactamente por o, a y b. Debe ser una línea esbozada que sea fácil borrar si fuera modificada. (El dibujante deberá colocarse eri una posición conveniente para dibujar contra el filo curvado, esto no puede hacerse sentado en el taburete.) Para continuar dibujando la curva, debe moverse la plantilla a una nueva posición a fin de que su filo pase exactamente por varios puntos más y que tam bién se una y solape con el final de la curva ya dibujada. La Figura 1.17 mues tra el instrumento en tal posición que se une con la curva primera en el punto b y también pasa por e, d, e, f, g y h. (Es muy poco corriente poder unir mediante una plantilla de curvas tantos puntos, pero esto nos servirá para acortar la des cripción del proceso y evitar una repetición innecesaria.) Aunque la curva pasa por el punto h, nótese que está poco dirigida hacia el próximo punto i. Consecuentemente, dibujamos la línea hasta la mitad, entre h e i, a fin de proporcionar un cambio de curvatura en h en previsión de alcanzar i
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
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Segunda etapa
Figura 1.17. - Segunda etapa en el dibujo de una curva.
en la próxima unión. La línea curva se dibuja en esbozo, como antes, para faci litar una posible modificación. La tercera etapa en la construcción de esta curva se ve en la Figura 1.18. La plantilla de curvas se ha puesto de nuevo en posición, a fin de que una la últi-. ma porción de la curva desde un punto equidistante de g y f, y se prolongue pa sando por h e i. Luego la línea se prolonga para traer la curva a su final, i. La primera línea trazada constituye solamente una prueba y debe compro barse y frecuentemente mejorarse, antes de que se utilice la línea final. La com probación se hace mejor, colocando el ojo cerca del plano del papel y dirigiendo mirada a lo largo de la curva. Pueden borrarse y corregirse los salientes, cús partes planas y discontinuidades en la curva, poniendo de nuevo la plan curvas a fin de que una exactamente las partes existentes sobre cada lado borrada; así aseguramos una curvatura continua. curva está trazada satisfactoriamente, se aplica una línea final exac ��= de ella. La plantilla de curvas se aplica y adapta repetida - � como antes, pero no se necesita reconstruir en este pro eron utilizadas originariamente. De hecho, el resultado
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INTRODUCCIÓN
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Figura 1.18. - Tercera etapa en el dibujo de una curva.
final puede aún mejorarse, si las posiciones del instrumento son ligeramente di ferentes a las colocaciones originales.
1.9. Combinación inteligente de técnicas. En el estudio de los mecanismos es esencial para su utilización, conocer cuál es el método mejor adaptado para cada parte del problema de que se trate. Debe evitarse el ser partidarios exclusivamente del método analítico o del gráfico, sino que debemos intentar seleccionar y combinar estas técnicas para lograr una solu ción simple, eficiente y exacta.
1.10. Clases de movimiento en el plano. Cuando las trayectorias de todos los puntos en movimiento de un cuerpo, están situadas en el mismo plano o en planos paralelos, se dice que el cuerpo tiene movimiento plano. El análisis del movimiento en tres dimensiones puede resol-
16
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
verse mediante el estudio de varios movimientos planos por separado, así no se limitan nuestras facu\tades si restringimos en este texto nuestra atención princi palmente al movimiento plano. Es útil dividir el movimiento plano en las clases siguientes: 1. Traslación: Un cuerpo que se mueve sin girar, se dice que tiene movimiento de tras lación. Todos los puntos de un cuerpo en traslación tienen igual movi miento. Pueden moverse a lo largo de trayectorias rectas o curvas, mas para cada instante todos los puntos se mueven en la misma dirección y con la misma velocidad. Todas las posiciones de una línea dada sobre el cuerpo permanecen paralelas cuando se mueve. El bloque que desliza en la Figura 1.19 tiene una traslación rectilí nea, puesto que los puntos A y B recorren trayectorias rectas. El telefé-
Figura 1.19. - Traslación rectilínea.
rico de la Figura 1.20 tiene una traslación curvilínea, ya que A y B re corren trayectorias curvas. En cada caso, la línea AB es paralela a A'B' en todas las posiciones.
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Figura 1.20. - Traslación curvilínea.
to de un cuerpo permanece quieto mientras el cuerpo gira ese punto, el cuerpo tiene movimiento de rotación. Las tra-
INTRODUCCIÓN
17
yectorias de todos los puntos del cuerpo son arcos de círculo alrededor del punto fijo que es el centro. A una línea imaginaria que pasa por este centro, perpendicular al plano del movimiento, se le llama eje de rotación. En este movimiento, todas las líneas del cuerpo giran con la misma ve locidad. El disco de la Figura 1.21 gira alrededor del punto fijo O. Los
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Figura. 1 .21. - Rotación.
puntos A, B, C y D describen trayectorias circulares alrededor del cen tro O. Cuando el triángulo OCD gira a la posición OC'D', las líneas OC, CD y DO giran el mismo ángulo 0, ya que todas están girando con la misma velocidad. 3. Movimiento compuesto (Traslación y rotación):* Cuando un cuerpo se mueve de tal forma que todos los puntos cambian de posición y todas las líneas giran, ese cuerpo tiene movimiento com puesto. t
Figura 1 .22. - Traslación, rotación y movimiento compuesto.
* También se le llama corrientemente movimiento plano. t Es conveniente hacer notar aquí, que el movimiento de los puntos se limita a la tras lación. Corno no tienen extensión, no podemos observar o medir la rotación de los puntos. Las líneas pueden trasladarse, girar, o hacer ambas cosas simultáneamente como en- un mo vimiento compuesto. LENT-2
18
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
En el mecanismo que se ve en la Figura 1.22, la manivela AB gira alrededor del eje fijo A, el bloque C se traslada a lo largo de las guías, y la biela BC tiene movimiento compuesto. El punto C se traslada a C', mientras que B lo hace a B' y BC gira un ángulo 0. Por tanto, la biela CD, se traslada y gira al mismo tiempo. Es a veces conveniente pensar en el movimiento compuesto como dos movimientos separados que tie nen lugar sucesivamente. Por ejemplo, la biela puede moverse primero de la posición BC a una posición paralela B ºC' mediante una traslación, después puede girar alrededor de C' un ángulo 0 hasta la posición final B'C'. La traslación y rotación pueden considerarse independientemente aun cuando en realidad tienen lugar simultáneamente. La Figura 1.22, ilustra las tres clases de movimiento: traslación del bloque en C, rotación de la manivela AB y movimiento compuesto de la biela BC.
2 Desplazamiento
Movimiento es la acc10n de cambiar de pos1c10n. Debemos estudiar primero las propiedades del movimiento de manera que podamos definirlo y medirlo antes de considerar los mecanismos que lo producen. Lo primero es considerar el des plazamiento como la consecuencia o resultado del movimiento. El desplazamien to es una medida del cambio de posición. Para describir completamente un des plazamiento, debemos conocer la posición inicial, la dirección del movimiento y la distancia o ángulo entre las posiciones inicial y final. 2.1. Desplazamiento lineal (Símbolo: S).
La distancia entre dos posiciones de un punto que se mueve a lo largo de una línea se llama desplazamiento lineal. La trayectoria, o lugar geométrico, de las posiciones del punto, puede ser curva. o recta, pero el desplazamiento es la distancia lineal recta entre dos posiciones, no necesariamente la distancia reco rrida en realidad. Aunque normalmente el desplazamiento lineal se aplica al mo vimiento de un punto, también pueden tener desplazamiento lineal un cuerpo o una línea en la traslación. Ya que todos los puntos de .un cuerpo, en la traslación, se mueven igual distancia para cualquier intervalo dado, el desplazamiento del cuerpo total es igual al desplazamiento de cualquier punto. El' desplazamiento lineal se mide en metros, centímetros, etc. 2.2. Desplazamiento angular (Símbolo: 0).
El ángulo entre dos posiciones de una línea en rotación de un cuerpo es el desplazamiento angular para ese intervalo del movimiento. Ya que un punto no 19
20
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
tiene extensión, su desplazamiento angular no tiene significado. Para determinar el desplazamiento angular de un cuerpo necesitamos medir solamente el ángulo. girado por cualquier línea solidaria al cuerpo, puesto que cuando un cuerpo gira, todas las líneas giran el mismo ángulo en un intervalo dado. El triángulo OAB (Figu ra 2.1) gira alrededor de O hasta la posición OA1B 1. En este movimiento, B A
Figura
2.1. - Desplazamiento angular.
la línea OA gira un ángulo AOA 1, igual a 8, y OB gira un ángulo BOB 1, que pue de demostrarse que también es igual a 0. El ángulo 1 es igual al ángulo 2, ya que son el mismo ángulo del triángulo en cada posición. Cuando el triángulo se des plaza un ángulo 0, el lado OA gira el ángulo 1 más el ángulo 3. El lado OB. gira el ángu lo 3 más el ángulo 2. Ya que el ángulo 1 más el ángulo 3 es igual al án gulo 3 más el ángulo 2 las líneas OA y 0B se han desplazado el mismo ángulo 0. El mismo triángulo se ve en la Figura 2.2 y podemos demostrar que los la dos OA y OB giran el mismo ángulo cuando se desplaza el triángulo. El ángulo
o Figura 2.2. - Todas las líneas de un cuerpo giran ángulos iguales.
4 es igual al ángulo 5, ya que son el mismo ángulo exterior del triángulo para cada posición. AB puede desplazarse a la posición A 1B1 en los tres movimientos 'guientes: l. Girando en sentido contrario al de las agujas de un reloj alrededor de A un ángulo 4 hasta AB 0 , en línea con OA. Girando en el sentido de las agujas de un reloj alrededor de O, un ángu r, hasta A1B2, en línea con OA 1 , º en el sentido de las agujas de un reloj un ángulo 5 hasta A1B1. :_ G
DESPLAZAMIENTO
21
La suma del movimiento levógiro en el ángulo 4 y del dextrógiro en el án gulo 5 es cero, ya que el ángulo 4 es igual al 5. Esto deja el desplazamiento total de AB desde la posición AB a A 1B1 igual al ángulo 0, el cual es el mismo des plazamiento que el del lado OA. Las unidades del desplazamiento angular son grados o radianes. El radián es el ángulo comprendido por un arco de circunferencia igual en longitud al radio de la misma (ver Figura 2.3). Como la longitud de la circunferencia es igual a
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1 Radián
Figura 2.3. - El radián como unidad angular.
2Jt * veces el radio, habrán, por tanto, 2n: radianes en 360º. Aún cuando normal mente medimos y contamos ángulos en grados, es a menudo conveniente calcular ángulos en radianes.
2.3. Trayectorias de puntos en cuerpos en rotación. El disco W de la Figura 2.4 gira alrededor de un centro fijo O. Cualquier punto, tal como A, en este disco, permanece a una distancia constante (r) de O
Trayectoria de A
Figura 2.4. - Desplazamiento angular y lineal.
y consecuentemente recorre una trayectoria circular cuando el disco gira. Cuan do W da una revolución completa, el . desplazamiento angular de la línea OA es 360° o 2n radianes. Durante este movimiento, el punto A recorre una distancia igual a la longitud de una circunferencia de radio r, que es 2n:r. La trayectoria de * .1t se toma igual a 3,14 en la mayoría de los cálculos.
22
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
A será siempre directamente proporcional al desplazamiento angular de W. Si expresarnos este desplazamiento en radianes, podemos establecer una ecuación simple para la trayectoria de A o para cualquier punto del disco. En una relovución, la trayectoria de A tiene una longitud igual a 2:Jtr, y el desplazamiento de W es igual a 2Jt radianes. Dividiendo una igualdad por la otra:
Simplificando 2:ri::
Trayectoria de A 0w
2rcr 2rc
Trayectoria de A
Multiplicando por 0w: Trayectoria de A
=r
= r0w
Ya que A es cualquier punto de W, la ecuación general P= r0 da la distancia P r-ecorrida por cualquier punto a una distancia r del eje de ro tación del cuerpo que gira un ángulo de 0 radianes.· En la Figura 2.4 notamos que cuando el ángulo 0 es muy pequeño, el arco que subtiende P será prácticamente igual a la cuerda C. Por tanto, ya que arco P=r0 cuerda C
= r0
cuando 0 se aproxima a cero y se expresa en radianes. Por definición, el desplazamiento de A (SA) es igual a la distancia medida en línea recta entre dos posiciones de A. Cuando A recorre un arco, este despla zamiento sería la cuerda de dicho arco. Para ángulos muy pequeños (tales que 0 tienda a cero), la cuerda es aproximadamente igual al arco, así el desplazamiento llega a ser: S = r0
cuando 0 está en radianes. Esta ecuación da una relación entre el desplazamiento lineal y angular en cuerpos en rotación. !..i. Desplazamientos y trayectorias en el movimiento compuesto. l: cuerpo en movimiento compuesto está trasladándose y girando simuhá �!:ül�::e. _ Tos interesan los desplazamientos lineales de los puntos en el cuerpo ces;>lJi:.z.lmi·ento angular del mismo cuerpo.
DESPLAZAMIENTO
23
Los desplazamientos lineales pueden obtenerse gráficamente haciendo un di bujo exacto del cuerpo en las posiciones inicial y final y midiendo la distancia en tre las dos posiciones del punto en cuestión. Ei desplazamiento lineal puede cal cularse cuando se conozcan la trayectoria del punto y su velocidad, pero este método quedará más claro después del estudio de la velocidad. M
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Figura 2.5- - Desplazamientos lineal y angular en el movimiento compuesto.
24
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Cuando se desconozca la trayectoria de un punto, puede determinarse dibu jando el cuerpo en una serie de posiciones para intervalos cortos y trazando una curva a través de las sucesivas posiciones del punto. En el movimiento compuesto, la rotación de un cuerpo es por completo in dependiente de la traslación. La línea AB está fija en el cuerpo M, representado en Figura 2.5 (a). Cuando M se mueve a una nueva posición M1 , la línea AB pasa a ser A 1B 1, habiendo pasado por la traslación y la rotación para alcanzar la nue va posición. El ángulo 0 entre AB y Á 1B 1 es el desplazamiento angular de AB y del cuerpo M. Si consideramos la traslación y la rotación separadamente, AB po drá trasladarse primero desde la posición AB a A 1B0, después girar alrededor de A 1 un ángulo 0 1 a la posición A 1B 1 • Ya que AB y A 1B0 son paralelos el uno al otro, el ángulo 0 1 es igual a 0. (Cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante, los ángulos correspondientes son iguales.) Si se traslada la línea AB pri mero a A 0B 1 y después se gira un ángulo 02 hasta A 1B i , como en la Figura 2.5 (b), el desplazamiento lineal de AB habría sido diferente del primer caso, aun habien do sido el desplazamiento angular el mismo, ya que el ángulo 02 es igual al ángulo 0. (Cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante, los ángulos al ternos internos son iguales.) Como el desplazamiento angular es independiente del desplazamiento lineal, solamente es necesario medir el ángulo entre dos posiciones de una recta cual quiera sobre el cuerpo con objeto de encontrar el desplazamiento angular del cuer po en conjunto. Cuando el movimiento de un cuerpo está impuesto por restric ciones de miembros adjuntos de un mecanismo, se puede ahorrar mucho tiempo en el trazado de varias posiciones, si se señalan esquemáticamente los miembros como se ilustra en la Figura 2.6.
Figura 2.6. - Un trazado cinemático esquema- . · tizado.
DESPLAZAMIENTO
25
2.5. Mecanismos que producen trayectorias específicas. En el proyecto de máquinas se necesita, frecuentemente, guiar o conducir un punto a lo largo de una trayectoria dada. Se han ideado un gran número de me canismos que producen el movimiento a lo largo de las curvas geométricas comu nes, tales como un círculo, una elipse, una cicloide, una involuta y, desde luego, una línea recta. El arte del diseño incluye el conocimiento de lo que se ha hecho antes, así como de la capacidad para crear, por lo que será importante que el estudiante se familiarice con estos aparatos conocidos y adquiera un. "vocabula rio" de los mecanismos. Con este fin describiremos aquí algunos de los mecanis mos más familiares. 2.6. Mecanismos de línea recta. Hoy en día presenta pocos problemas el guiar un punto a lo largo de una línea recta, ya que es una cuestión simple producir superficies planas muy preci sas a lo largo de las cuales pueda deslizar una pieza. No era éste el caso antes de que se desarrollaran las modernas máquinas de mecanizado. Antes de que James Watt construyera su máquina de vapor, tuvo que pro yectar un sistema articulado para guiar un pasador a lo largo de una trayectoria en línea recta, puesto que en 1769 no había máquinas de mecanizado capaces de producir guías rectas de metal con precisión suficiente. Los mecanismos de línea recta no sólo tienen un interés histórico, sino que en algunas máquinas hay limitaciones de espacio que impiden el uso de guías convencionales.
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Figura 2.7. - Sistema articulado de Watt de línea recta.
26
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
l. Sistema articulado de Watt de línea recta (Figura 2. 7): Éste es uno de los más simples de estos aparatos, que consiste en dos manivelas AB y CD, de igual longitud, que pueden girar alrededor de pa sadores fijos en A y D, y de una biela BC conectada, dimensionada como se ve en la figura. El ·punto medio de BC, el punto E, sigue una trayecto ria aproximadamente recta para una distancia limitada, representada por la línea de puntos del segmento GH. 2. Sistema articulado de Robert de línea recta (Figura 2.8): En este mecanismo, las manivelas AB y CD son de igual longitud. La biela BC tiene un puntal saliente, unido rígidamente a 90° en su punto B
C
1 1
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p
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D
Figura 2.8. - Sistema articulado de Robert de, línea recta.
medio para formar un miembro en T. La trayectoria del punto P es aproxi madamente una línea recta en una parte de su recorrido. 3. Sistema articulado isósceles! o de Scott Russel, de línea recta (Figura 2.9): En este mecanismo, las longitudes AB, CB y BF son iguales, formando 1 1
IF
e Figura 2.9. - Sistema articulado isósceles de línea recta.
DESPLAZAMIENTO
27
dos triángulos isósceles, que dan su nombre al aparato. El punto F recorre una línea recta, exactamente vertical, que pasa por A para todo el intervalo de su movimiento. 4. Sistema articulado de Peaucellier de línea recta (Figura 2.10): Si bien es más complejo, este aparato guía el pasador P en una trayecto ria exactamente recta, perpendicular a AB. Los ejes fijos son A y B, y los miembros nombrados con las mismas letras tienen la misma longitud. 1 1 1 1
� Trayectoria recta de P : 1
p
5. Mecanismo epicíclico de línea recta (Figura 2.11): El diámetro del disco W es exactamente igual al radio del anillo grande fijo M. Si W rueda alrededor de la superficie de M, sin deslizar, el punto P sobre W sigue una línea exactamente recta siguiendo el diámetro de M. �M
Figura 2.11. - Mecanismo clico de línea recta.
epicí
2. 7. Mecanismo para describir arcos de gran radio. Ya que cualquier punto de un cuerpo que gire alrededor de un eje fijo sigue una trayectoria circular, no presenta problemas el instrumento para describir ar-
28
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
cos de radio pequeño. Si se desea un arco de radio muy grande, esta solución simple llega a ser, evidentemente, más difícil de realizar. Una modificación del sistema articulado de Peaucellier (Figura 2.12) en el que AB no es igual a BC, hace seguir a P un arco de círculo en vez de una línea
Figura 2.12. - Sistema articulado para arcos de radio de gran longitud.
recta. Si se hace BC menor que AB, el centro �l arco está a la derecha, sobre la prolongación de la línea AB. Si BC es mayor que AB, el centro se encuentra a la izquierda. Los otros miembros, designados con las mismas letras, tienen igual longitud.
2.8. Mecanismo para describir trayectorias elípticas. Una modificación del sistema articulado isósceles guía al punto E a lo largo de una trayectoria elíptica, como se ve en la Figura 2.13. Se hace AB igual a BC,
�-- -
-�--- Elipse
Figura 2.13. - Sistema articulado para descri bir una elipse.
DESPLAZAMIENTO
29
y E puede localizarse para cualquier punto sobre CF, o sobre su prolongación (ex cepto B, C o F). El eje mayor de la elipse es igual a dos veces la suma de AB y BE. El eje menor es igual al doble de CE. El centro de la elipse es A, con el eje mayor sobre la guía.
2.9. Mecanismo para describir una parábola. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos que equidis tan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. En la Figura 2.14, el pasador fijo F es el foco, la línea central DD de la ranura ver tical fija es la directriz, y el punto P, sobre la biela B, recorre una trayectoria
Figura 2.14. - Sistema articulado para describir una parábola.
parabólica en tanto que el brazo acanalado M se mueve hacia arriba y hacia abajo. M desliza en la ranura vertical y es perpendicular a DD en todo momento. El pasador A está sobre M. AG GF =FE=EA. Los manguitos en E y G, deslizan libremente sobre B. Las líneas imaginarias AF y GE son diagonales del
=
30
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
rombo AGFE. GE es la mediatriz perpendicular de AF. Por lo tanto, AP (per pendicular a DD) es igual a PF en todas las posiciones. p
p
1 1
J. lnvoluta
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I
Conexión articulada L
Figura 2.15. - Mecanismo para describir una involuta.
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DESPLAZAMIENTO
31
2.10. Mecanismo para generar una involuta. Una involuta es la curva descrita por el extremo libre de un cordel, tirante, inextensible, conforme se desenrolla �e un cilindro fijo. La Figura 2.15 muestra una cadena que se desenrolla de una rueda dentada fija. El extremo de la cadena P describe una involuta. Nótese que el radio de curvatura de la involuta, para cualquier punto, es igual a la longitud de cadena desenrollada (desde P al punto de tangencia T, por ejemplo). También se ve en la Figura un mecanismo para describir una involuta. El engranaje G se mantiene quieto, mientras que la cremallera R rueda alrededor de él con los dientes engranados para evitar el deslizamiento. Se hace girar a la ar ticulación de unión L con rodillos, alrededor del centro del engranaje O, produ ciendo el giro de la cremallera y manteniendo los dientes ajustados. Una punta de trazar en un punto P de cualquier diente trazará una involuta. La circunferencia primitiva del engranaje debe tener el mismo diámetro que la circunferencia base desde la que se ha generado la involuta. La ranura de L permite ajustar L a di ferentes tamaños de engranajes.
2.11. Mecanismo ampliador o reductor. Hay un -gran número de sistemas articulados paralelos que pueden usarse para cambiar la escala del dibujo de un modelo o contorno, sin alterar sus pro porciones. Un ejemplo común es el pantógrafo, que se ve en la Figura 2.16. El punto A es fijo y los pasadores A, E y P están en línea recta. El sistema articulado for mado por CE, ED, DB y BC es un paralelogramo. Para ampliar un dibujo, se
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32
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
,sigue el contorno dado mediante un estilete en E -y la figura se reproducirá am pliada mediante un lápiz colocado en P. Para reducir el tamaño, seguimos el di bujo dado en P y la figura reducida será descrita por un lápiz colocado en E. La razón entre los tamaños de los dibujos. original y trazado es la misma que la razón de la distancia AE a AP. En este ejemplo, dicha razón es 2 a 5.
2.12. Proyecto de mecanismos para desplazamientos dados. Ahora estamos en condiciones de considerar algunos problemas de diseño ele mentales que implican desplazamientos. En los ejemplos que ofrecemos a conti nuación, sólo se indica una de las muchas soluciones posibles y sólo se considera el problema de producir el desplazamiento pedido. Si se tratase de un pro yecto verdadero, las velocidades y aceleraciones deberán ser factores vitales en la elección de un mecanismo, pero esto deberá aplazarse hasta más tarde, cuando nuestro estudio esté más avanzado.
Ejemplo 1 Un problema típico pide que se impulse un punto hacia atrás y hacia ade lante sobre una trayectoria recta (mediante un movimiento alternativo) entre dos puntos M y N, separados 4 cm. El movimiento se da por un eje giratorio, localizado en cojinetes fijos en el punto A sobre la prolongación de la línea MN, a 6 cm de M. Figura 2.17 (a). Un mecanismo simple para convertir la rotación en traslación es la mani vela y la articulación de corredera ABC que se ve en la Figura 2.17 (b). Con siderando la posición extrema N, alcanzable por C hacia la derecha (CR) es evi dente que la manivela AB y la biela BC deben extenderse en línea recta con objeto de traer C hasta esta posición. Ahora no podemos predecir las dimen siones de AB o BC individualmente, pero está claro que: BC+AB=AM+MN=6+4 o sea BC+AB=lO Cuando C esté' en la posición extrema M a la izquierda (Cr), AB y BC estará la una colocada sobre la otra así que la distancia desde B hasta M es igual a BC. Entonces BC - AB = AM o sea BC - AB = 6 Ahora tenemos dos ecuaciones que contienen A B y BC; podemos despejar ambas distancias: BC+ AB= 10 BC-AB= 6 2BC = 16 BC = 8
Sustituyendo:
(sumando las igualdades miembro a miembro)
s+ AB = 10
o sea AB
=2
DESPLAZAMIENTO
33
Así una manivela y articulación de corredera con AB = 2cm BC =8 cm como se ve en la Figura 2.17 (e) da el desplazamiento pedido.
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·4 cm---+j
6 cm
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A
(a)
M
N ·
(b)
8
(el Figura 2.17 - Proyecto demanivela y articulación de corredera
para
desplazamientos
d ados.
Ejemplo 2 Estudiar qué mecanismo se necesita para hacer girar una manivela CD hacia atrás y hacia adelante (oscilando) un ángulo 0, entre las posiciones CL D y CRD, situadas como indica la Figura 2.18 (a) con un eje conductor en A, girando sobre cojinetes fijos. Un cuadrilátero articulado proporcionará el movimiento deseado. La ma nivela AB, girando alrededor de A, está conectada a CD mediante el vástago de unión BC. Figura 2.18 (b). AB da vueltas completas mientras CD oscila . Como en el ejemplo anterior, AB y BC deben estar en prolongación cuando CD está en la posición extrema de la derecha (CR D). De .esto, deducimos que BC AB = = ACR. Si medimos mediante una regla graduada, o calculamos '1a distancia ACR y encontramos que es igual a 8, podemos escribir BC + AB =8. Cuan dq · CD está en la posición extrema izquierda (CL D); BC debe superponerse a AB, en cuyo caso BC-AB = ACL. Si ACL mide 4 cm, podemos afirmar que BC-AB = 4 cm.
+
LENT - 3
34
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Ahora tenemos dos ecuaciones que contienen AB y BC y podemos despe jar ambas longitudes. BC+ AB= BC-AB = = 2BC BC =
8 4
12 (sumando) 6
=
=
Sustituyendo: 6+AB 8, o sea AB 2. El mecanismo pedido tendrá en tonces una manivela conductora AB, de 2 cm de longitud y una biela BC, de 6 cm como se ve en la Figura 2.18 (e).
45°
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(e) Figura 2.18. � Proyecto de un cua drilátero _articulado para desplaza mientos dados.
2.13. Proyecto de mecanismos para trayectorias dadas. Si se necesita conducir un punto a lo largo de una trayectoria curva irre gular, se pueden emplear varios métodos, dependiendo la selección del espacio disponible, del grado de precisión pedido y de las limitaciones de costo. La aproximación más simple desde el punto de vista del proyectista podría ser usar una plantilla fija, cortada según la curva deseada, la cual podría servir de guía al miembro móvil.
DESPLAZAMIENTO
35
Un segundo método implica dos chapas giratorias de contorno especialmente diseñado, llamadas levas. Éstas, a través del contacto con una pieza impulsada moviéndose libremente, proporcionan los desplazamientos convenientes, horizon tal y vertical necesarios para seguir la trayectoria pedida. El tercer método es proyectar un sistema articulado, el cual guíe e impulse el punto a lo largo de la curva. Este método es quizás el más difícil, pero el me canismo resultante podría ser, probablemente, el más satisfactorio. 2.14. Método de la plantilla fija. El mecanismo de manivela y corredera ABC se emplea en la Figura 2.19 para impulsar el pasador C. Se obliga a seguir a un rodillo, montado sobre el paTrayectoria especificada
B
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I
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Plantilla D
A
Figura 2.19. - Plantilla fija para trayectorias irregulares curvas.
sador C, a lo largo de una acanaladura cortada en la plantilla D. La línea cen(ral de esta acanaladura es la trayectoria especificada que seguirá C. El meca nismo es simple, pero, si se pide un alto grado de precisión, el mecanizado de precisión necesario para prevenir holguras puede bien ser prohibitivo en cos to. La plantilla debe montarse rígidamente sobre la máquina y ocupa un espacio considerable en el área inmediata al movimiento de salida, el cual puede no ser utilizable. 2.15. El método de las levas combinadas. La leva y seguidor es un mecanismo muy simple y versátil, usado frecuente mente para obtener una gama irregular de desplazamientos. Las levas se hacen de muchas formas diferentes, con varios tipos de seguidores, por lo que las es tudiaremos con más detalle más adelante (ver Capítulo 9). La Figura 2.20 muestra una excéntrica radial, de doble acción con un seguidor de rodillo. Se talla una acanaladura en la superficie de la excéntrica para recibir el rodillo. Cuando la excéntrica C gira en el sentido de las agujas de un reloj, alre dedor del eje fijo A, el vástago T es conducido de izquierda a derecha ya que el radio del centro de la acanaladura aumenta a medida que las líneas radiales 1, 2,
36
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
2
Figura 2.21. - Excéntrica de disco con s e guidor plano.
Figura 2.20. - Excéntrica de doble acción con seguidor de rodillo.
3, etc., pasan sucesivamente por la línea de pos1c1on de referencia. Ya que el rodillo está contenido en todo momento en el interior de la acanaladura, se le llama excéntrica de doble acción. La Figura 2.21 muestra una leva de disco con un seguidor plano, el cual se sostiene en contacto permanente con la leva, por medio de un muelle de compre sión. Cuando la leva gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo B, el seguidor R sube o baja según que la distancia vertical entre el eje B de la leva y el punto de contacto sobre la superficie de la leva, aumente o disminuya. Supongamos que usamos la leva C para conducir un vástago horizontal T y la leva E para conducir un vástago vertical R, el cual está montado en T de ma nera que pueda subir o bajar libremente. Es posible, si las levas están proyectadas adecuadamente, guiar el punto P sobre el vástago R a lo largo de casi cualquier trayectoria curva, como se ve en la Figura 2.22. Si las levas están sincronizadas, la C puede producir el desplazamiento horizontal necesario, mientras que la E Trayectoria de P .
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P. " .,,-'/
Desplazamiento horizontal debido a la leva C
Desplazamiento vertical debido a la leva E
Figura 2.22. - Levas combinadas para trayec
torias irregulares.
DESPLAZAMIENTO
37
proporciona - simultáneamente - el desplazamiento vertical correspondiente ne cesario para situar P en cualquier punto a lo largo de la curva. El método para proyectar estas levas se describe con detalle en el Capítulo 9.
2.16. Proyecto de sistemas articulados para describir trayectorias dadas. El cuadrilátero articulado es el más básico de todos los mecanismos articu lados. Todos los demás sistemas articulados pueden señalarse como modificacio nes o combinaciones de varios cuadriláteros articulados. La Figura 2.23 muestra un ejemplo típico. Un miembro (AD) es fijo y normalmente no e_stá en la forma
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Trayectoria de E
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Articulaciones a distancia fija Figura 2.23. - Trayectorias de puntos en un cuadrilátero articulado.
de barra o articulación, ya que está definido por dos puntos fijos sobre la arma dura de la máquina. Hay dos manivelas, una conductora AB y otra conducida CD. Como A y D son ejes fijos, estas manivelas tienen rotación pura. Los extremos móviles de las manivelas están conectados por una cuarta barra, la biela (llamada de acoplamiento) la cual tiene un movimiento compuesto de rotación y traslación.
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38
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Análisis del cuadrilátero articulado J . A HrMn V G. L N,,_
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Figura 2 24. - Página de muestra del Analysis of the Four-Bar Linkage (Análisis del cuadrilá1ero articulado) por Hrones y Nelson. (Por cortesía de John Wiley & Sons.)
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Figura 2.25. - Sistema articulado para describir una trayectoria curva.
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DESPLAZAMIENTO
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Este mecanismo simple, es capaz de una gran variedad de movimientos que pue den obtenerse ajustando los tamaños relativos de las cuatro partes del sistema articulado. Según alteremos las dimensiones de las partes del sistema articulado, los diferentes puntos de la barra de acoplamiento, o de su prolongación, trazarán gran número de curvas irregulares. Es concebible que si podemos determinar las proporciones adecuadas de las partes del sistema articulado y seleccionar el punto trazador correcto sobre la barra de acoplamiento podamos obtener, con este mecanismo simple, cualquier trayectoria del movimiento que pueda pedirse. Esta solución puede ser precisa y barata y puede implicar un mínimo de espacio. Aun cuando el mecanismo resul tante ·es sencillo, el proceso de diseño de tal dispositivo resulta, desgraciadamen te, difícil. Los métodos de tanteo, usando modelos de cartón, son sugestivos e instruc tivos pero lentos e irracionales y n0 ofrecen seguridad de éxito. En general, la so lución por tanteo no debe descartarse a la ligera si los intentos preliminares seña lan el camino para un buen resultado, pero este acercamiento es descorazonador si degenera en un puro juego sin indicar caminos para mejorar. El Análisis de los mecanismos de cuatro barras, de HRONES y NELSON (Wi ley) es un catálogo que señala las trayectorias de los puntos de la barra de aco plamiento de más de 700 cuadriláteros articulados y da las dimensiones relativas de cada una de las partes del mecanismo articulado para cada caso. Este libro ofrece una solución directa a este difícil problema. Usando este catálogo encon tramos una trayectoria curva que es igual a la curva que nosotros deseamos pro ducir. Se obtienen fácilmente la situación del punto sobre la barra de acoplamien to y las dimensiones de las partes del mecanismo articulado que produzcan esta trayectoria en el mecanismo elegido, con lo que sólo queda por ajustar la escala para el tamaño de curva deseado, completando así la solución. La Figura 2.24 muestra una página característica del catálogo, y la Figu ra 2.25 uo sistema articulado seleccionado para una curva dada. Puede añadirse un sistema articulado auxiliar, señalado de puntos, si se desea limitar el movimien to del punto trazador a la trayectoria pedida.
PROBLEMAS 2.1. En la Figura P2. l, se muestra el mecanismo aproximado de Tchebicheff para
línea recta. A y D son ejes fijos, y P es el punto medio de CB. AD = 15 cm, AB = CD = 18,75 c¡.n (cruzadas en la forma que se indica) y CB = 12,5 cm. Dibujar el mecanismo a tamaño natural y trazar la trayectoria de P para de terminar la longitud de su movimiento recto. 2.2. En el sistema articulado de la Figura P2.2, A y B son ejes fijos. AB = BC = =7,5 cm, AE =AD= 10 cm y DC =CE= EF = FD = 12,5 cm. Dibujar
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ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
40
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p
8
A Figura P2.1
el mecanismo a tamaño natural y la trayectoria del punto F. ¿A qué sistema articulado se parece éste? 2.3. En la Figura P2.3 la barra LM = 15 cm, y el punto P está situado a 5 cm de L. Las líneas centrales de las guías son perpendiculares. Trazar la trayectoria de P y dibujar la curva continua uniforme. ¿De qué sistema articulado es éste una modificación? 2.4. En la Figura P2.4, A es el centro de la superficie circular fija S. El disco W se mantiene en contacto con S mediante el brazo AB. Cuando AB gira alrededor de A, no hay deslizamiento entre W y S. P es un punto de la periferia de W que está en contacto con la superficie S en la posición indicada. El radio de
s L
M Figura P2.4
Figura P2.3
=
=
=
S 15 cm; AB 10 cm, siendo el radio de W 5 cm. Trazar la trayectoria de P sobre W cuando AB gira en sentido de las agujas de un reloj un ángulo de 30º. Dibujar una curva continua uniforme para la trayectoria de P. ¿Cuál es el nombre correcto de esta curva? 2.5. Proyectar un mecanismo para llevar un pasador -R de un lado a otro de la tra yectoria recta AB de 3,2 cm de larga. El mecanismo· está accionado por un eje situado en O (Figura P2.5) el cual gira continuamente en la misma dirección. Hacer un croquis del mecanismo, dando todas las dimensiones.
41
DESPLAZAMIENTO
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Figura P2.6
Figura P2.5
2.6. Proyectar un mecanismo que haga que la manivela ST, de 3 cm de longitud, oscile en un ángulo de 90º situado como se señala en la Figura P2.6. El me canismo está accionado por un eje que gira continuamente, situado en M. Ha cer un croquis del mecanismo pedido, dando todas las dimensiones. 2.7. La rueda de paletas de Buchanan, inventada en los días de los buques de vapor de ruedas laterales, era muy eficaz porque las paletas se mantenían en un plano vertical durante todo su movimiento y así podían entrar y salir en el agua sin un chapoteo inútil y ejercer una fuerza máxima contra el agua mientras estaban su mergidas. En la Figura P2.7 se ven las posiciones sucesivas de las paletas. Proyec tar un sistema articulado que mantenga una paleta en esta posición vertical mien tras la rueda da revoluciones completas. Especificar las dimensiones relativas de todos los miembros.
Figura P2.7 2.8. Proyectar un mecanismo que sitúe la mediatriz perpendicular de las líneas (hasta de 15 cm de longitud). Este dispositivo debe alinear un borde recto a lo largo de la mediatriz perpendicular pedida. 2.9. Proyectar un mecanísmo para guíar un punto sobre una trayectoria exactamente elíptica. El eje mayor de la elipse es 30 cm, y el menor 10 cm. Hacer un cro quis del mecanismo, y especificar todas las dimensiones. 2.10. El seguidor plano F sube y baja por medio del contacto con una leva que gira alrededor del eje A, situado como indica la Figura P2.10. Partiendo de la posi ción indicada F sube 3,7 cm, entonces vuelve a la posición inicial. Este movi miento tiene lugar durante cada revolución de la leva. Proyectar una leva circu lar que produzca el movimiento pedido de F.-
42
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
2 A �3,8 cm Figura P2.10
60 °
Figura P2.11
2.11. Proyectar Un sistema articulado que guíe el punto N en uno y otro sentido so
bre la trayectoria ABC, que se muestra en la Figura P2.1 l . Este mecanismo está accionado por eje que gira continuamente. La trayectoria es aproximada mente recta desde A a B y un arco circular de 1,5 cm de radio, desde B a C. 2.12. Proyectar un mecanismo para guíar el punto S sobre la trayectoria DEF, que se muestra en la Figura P2.12. La trayectoria desde D a E es un arco circular de 5 cm de radio con centro en O. La trayectoria desde E a F es un arco de 2,5 cm de radio con centro en P.
o
Figura P2.12
2.13. Proyectar un sistema articulado que gúíe un punto sobre una trayectoria total
mente recta de 15 cm de longitud por lo menos. El sistema articulado está com puesto de barras que están articuladas unas a otras; no deben emplearse ni co rrederas ni rodillos. Debe estar accionado por un eje giratorio que haga girar a una de_ las barras. Dibujar el sistema· articulado pedido a escala en una po sición característica. Indicar todos los puntos fijos y dar dimensiones reales de los miembros. Rotular el eje motor y el punto trazador. Hacer un modelo a escala en cartón del sistema articulado a fin de poder demostrar la validez del proyecto. 2.14. Proyectar un sistema articulado que guíe un punto en uno y otro sentido a lo, largo de una trayectoria elíptica. El eje mayor de la elipse es 15 cm, el menor 1O cm. Trazar sólo un cuadrante de la elipse. El sistema articulado está ac cionado por un eje que gira continuamente. Dibujar el sistema articulado pe dido a escala, indicando todos los puntos o superficies fijos y dando las dimen siones reales de los miembros. Rotular el eje del eje motor y el punto trazador.
DESPLAZAMIENTO
43
Hacer un modelo a escala de cartón del sistema articulado a fin de poder de mostrar la validez del proyecto. 2.15. Proyectar un sistema articulado mediante pasadores para accionar un brazo oscilante de 15 cm de longitud en uno y otro sentido sobre un ángulo de 75º. La razón de tiempos total de la ida a la vuelta es de 2 a 1. El sistema articulado está accionado por un eje que gira con velocidad constante. (El desplazamiento angular del eje conductor es directamente proporcional al tiempo.) Dibujar a escala el sistema articulado pedido, indicando todos los ejes fijos y dando las dimensiones reales de todos los miembros y las posiciones relativ·as de los ejes fijos. Rotular la manivela conductora y el brazo oscilante. Hacer un modelo en cartón a escala del sistema articulado a fin de poder demostrar su validez. 2.16. Proyectar un sistema articulado que guíe un punto sobre una trayectoria para bólica. El foco estará a 20 cm de la directriz. El sistema articulado debe ser capaz de describir una parábola de al menos 15 cm de longitud aproximadamente. El sistema articulado puede accionarse por un miembro con movimiento alter nativo sobre una trayectoria recta o por un eje giratorio unido a una de las partes del sistema articul_ado. Pueden emplearse miembros deslizantes así como juntas articuladas. Dibujar el sistema articulado a escala indicando todos los puntos y superficies fijas y dando las dimensiones reales de' los miembros. Rotular el miembro conductor y el punto que describe la parábola. 2.17. Proyectar UI_l sistema articulado que guíe un punto sobre cualquier trayectoria que sea paralela en todo momento y de longitud dos veces y media la de cual quier trayectoria dada (pantógrafo). El punto conductor ha de seguir a ma no una trayectoria dada. Usar cualquier triángulo irregular como ejemplo de la trayectoria que queremos reproducir a escala mayor. Dibujar a escala el sistema articulado pedido, indicando todos los puntos fijos y dando las dimen-' siones reales de los miembros. Rotular el punto conducido a mano D y el punto trazador T. Hacer un modelo de cartón a escala del sistema articulado a fin de poder demostrar la validez del proyecto.
j
Velocidad
.El estudio de la velocidad es quizá la fase más importante· de un curso de meca nismos. El desplazamiento y la aceleración están tan estrechamente relacionados a la velocidad que a menudo se determinan más facilmente a través del estudio de la velocidad que por un método directo. Por esta razón, nos concentraremos en el desarrollo de una base sólida de análisis de la velocidad como núcleo bá sico, alrededor del cual construiremos. Velocidad es el régimen de la variación de la posición con respecto al tiempo o el desplazamiento por unidad de tiempo. Son unidades comunes de velocidad: ·el centímetro por segundó, el radián por segundo, el número de revoluciones por minuto y el kilómetro por hora. No es sólo una expresión de la magnitud, sino que denota, también, la dirección del movimiento. El término celeridad también se usa a menudo para expresar la magnitud de la velocidad, pero este término no incluye la designación de la dirección. La velocidad de un punto o de un miem� bro es un valor instantáneo, el cua,l puede permanecer constante o variar en un período de tiempo. 3.1. Velocidad lineal (Símbolo V). Un punto que se mueve sobre una línea recta tiene una velocidad lineal igual a su desplazamiento lineal por unidad de tiempo. Si el punto recorre distancias iguales en sucesivos intervalos de tiempo iguales, su velocidad ·es uniforme o constante, y puede determinarse midiendo su desplazamiento S en un tiempo dado T y dividiendo:
44
VELOCIDAD
45
Por ejemplo, en la Figura 3.1, si el punto P recorre 4 cm de a a b en 2 segundos, y 4 cm de b a e en los siguientes 2 segundos, etc., su velocidad es constante e igual VP
S 4 =T =2 = 2 cm/s
2s r-
a
"'I,. b
2s
�
Trayectoria de
Pe
,_,.___4 cm___j 1.--4 cm __..,..
Figura 3.1. - Velocidad lineal constante.
La dirección de esta velocidad es a lo largo de ac hacia la derecha en todo mo mento. Si el punto recorre distancias desiguales en sucesivos intervalos de tiempo iguales, se dice que su velocidad es variable y tiene un valor diferente en cada instante. En la Figura 3.2, un punto recorre 4 cm de a a b en 2 se gundos y 6 cm de b a e en los dos segundos siguientes. La velocidad media entre a y b es igual S Vm = T
4 = 2 cm/s =2
Sin embargo, esta velocidad media no es la velocidad para todas las posiciones entre a y b, ya que la velocidad cambia continuamente mientras el. punto se mueve. Éste es sólo un número teórico. Para determinar la velocidad instantánea para un punto dado e, considera mos un pequeñísimo desplazamiento ó.S * y el correspondiente intervalo de tiempo pequeño ó.T que se necesita para recorrer esta distancia. Cuando estos pequeños incrementos ó.S y ó.T tiendan a cero, su razón será igual al valor instantáneo de la velocidad para el punto e: V,
=
!f
(cuando ó.T tiende a cero)
Figura 3.2.·- Velocidad lineal variable. * La letra griega 6. (delta) se usa normalmente para expresar un pequeño incremento, o un pequeño ca-111bio, de cualquier cantidad.
46
ANALISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
En cálculo infinitesimal, esta relación se expresa por ds (derivada primera del dt desplazamiento lineal con respecto al tiempo). Si un punto se mueve a lo largo de una trayectoria curva, la dirección de su velocidad para toda posición dada es la dfrección de la trayectoria curva en dicho punto, que se puede definir mejor por la tangente trazada a la curva..En la Fi gura 3.3, un punto que se mueve en el sentido de las agujas de un reloj a lo largo del arco abe tiene inclinaciones diferentes de la velocidad en cada posición, como se ve por las tangentes en a, b y c. Si el punto recorre longitudes iguales de arco en intervalos de tiempo iguales, la magnitud de la velocidad en cada punto es igual a: V= ar�ab (donde Tes el tiempo necesario para ir de a a b)
Ya que la dirección de la velocidad es diferente para cada posición, el despla zamiento S entre a y b (la cuerda ab) es distinto al arco ab. Por tanto, la ecuación anterior
puede solamente aplicarse cuando /j.S sea tan pequeño que sea esencialmente igual al arco que subtiende. En este caso, la ecuación general utilizada es: V = ll.S ll.T
(cuando lj.T tiende a cero).
Un éuerpo que se traslada, puede decirse que tiene velocidad lineal. Ya que el cuerpo no gira y todos los puntos de él tienen el mismo desplazamiento en un intervalo de tiempo dado, la razón /j.S/ lj.Tserá la misma para todos los puntos, en cualquier instante. La velocidad de todo el cuerpo será, por tanto, igual a la velo cidad de un punto cualquiera de él. a
Arco ab (cuerda= arco cuando L\T tiende a cero) Trayectoria e Tangente
t.
o
o
Figura 3.3. - Velocidad lineal en una trayectoria curva.
VELOCIDAD
47
3.2. Representación vectorial de las velocidades lineales. Como la velocidad lleva consigo una direFción, así como una magnitud, di remos que es una magnitud vectorial y puede representarse gráficamente por un segmento orientado llamado vector. Supongamos que el punto A sobre un cuerpo tiene una velocidad de 3 cm/s en la dirección ascendente hacia la derecha, a 45º con el eje de referencia XX. La Figura 3.4 muestra el vector que representa esta velocidad. La magnitud se señala, dibujando el vector a escala de 1 cm igual a 1 cm/s, resultando una línea de 3 cm de longitud con origen en el punto A.' VA
X--
Figura
cidad.
45
°
_ _i ___ x
3.4. - Vector
velo
Hay dos aspectos en la dirección, primero, la inclinación, que es la línea a lo largo de la cual, tiene lugar el movimiento, y segundo, el sentido, el cual señala de qué manera el movimiento se dirige a lo largo de esta línea. El vector se dibuja para la inclinación pedida, y se añade una punta de flecha para señalar el sentido. La notación VA es un símbolo identificativo que significa "velocidad del punto A". Los vectores se usan mucho para· proporcionar una representación gráfica, clara, de las velocidades lineales ya sean dibujados a escala, o trazados señalando la magnitud.
3.3. Velocidad angular (Símbolo: w).* Una línea de un cuerpo en movimiento angular (rotación) tiene una veloci dad angular igual a su desplazamiento angular por unidad de tiempo. Si gira el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo, su velocidad angular es uniforme o constante. La magnitud de esta velocidad angular constante se determina mi diendo el ángulo girado en un intervalo de tiempo dado y dividiéndolo por dicho intervalo de tiempo:
* La letra griega oo (omega) se usa normalmente para la velocidad angular.
ANk.LISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
48
Figura 3.5. - Velocidad angular constante.
Por ejemplo, la Figura 3.5 muestra la línea AB fija en el cuerpo W, la cual gira en el sentido de las agujas de un reloj un ángulo de 45 ° cada 2 s. La veloci dad angular del cuerpo es: co
=: =
1=
22,5°/s, en el sentido de las agujas de un reloj
La velocidad angular se expresa corrientemente en radianes por segundo o en re voluciones por minuto, más que en grados por unidad de tiempo. Si w está en ra dianes por segundo, 0 debe estar en radianes, así que la ecuación escrita anterior mente, tomará la forma: co
= 1l = 0,3925 rad/s, en el sentido de las agujas de un reloj t = T = n/4 2 8 9rad
Sólo las líneas de un cuerpo pueden tener veloci9ad angular. Ya que un punto no tiene dimensiones, el movimiento angular de un punto no tiene significado. Si una línea de un cuerpo gira ángulos desiguales en iguales intervalos de tiempo, se dice que su velocidad angular es variable. Para cualquier período de tiempo dado, la velocidad angular media puede encontrarse dividiendo el desplazamien to angular durante ese intervalo (0) por el intervalo de tiempo (T):
t Conversiones de unidades (usar n= 3,14 en los cálculos): 2n radianes= 1 revolución= 360º número de radianes= número de revoluciones X 2n n ángulo en radianes 2n = ángulo en grados = 360 · 180 ángulo en radianes= ángulo en grados X
180
VELOCIDAD
49
Asimismo, esta velocidad media sólo es un valor teórico, y no la velocidad angular para todas las posiciones de -la línea durante el intervalo de tiempo T. Para determinar la velocidad angular para cualquier insthnte determinado, debe usarse un pequeñísimo 110 y su correspondiente f..T. Cuando estos pequeños incrementos, tienden a O, su cociente llega a ser la velocidad angular instantánea: co = llO (cuando f..T tienda a cero) llT En cálculo infinitesimal este cociente se expresa por d0 / dt (derivada primera del desplazamiento angular con respecto al tiempo).
3.4. Relación entre la velocidad lineal y la angular. En la Figura 3.6, el disco W gira en sentido de las agujas de un reloj alrede dor del eje fijo O, con una velocidad angular igual a ro. La línea OA tendrá la misma velocidad angular que W, y el punto A recorrerá una trayectoria circular de radio OA. Cuando se mueve, el punto A no tiene movimiento hacia el eje fijo O, ni alejándose de él y por lo tanto no tiene velocidad a lo largo de la línea ra dial OA. La velocidad de A es entonces tangencial a su trayectoria circular (perpendicular a OA) en todo momento. A
Trayectoria de - -
�A . I
I
.""-.
r/ 6.B \,
r-¡..A-:-f? /
w
1. _\
6.S=rl::i.8
(cuando />,.() tiende a cero)
Figura 3.6. - Velocidades angular y lineal.
Es evidente que si W gira rápidamente, el punto A tendrá una velocidad lineal elevada, y si W gira lentamente, la velocidad de A será baja. De esta observación, podemos esperar que exista alguna relación definida entre la velocidad angular de un cuerpo y la velocidad lineal de los puntos de dicho cuerpo. Para un instante dado, VA = llS (Articulo 3.1) f!..T LENT · 4
50
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS.
(Artículo 3.3)
y
Para aplicarlas en todos los casos, estas ecuaciones especifican que t,.,,.T tiende a O, lo cual hace t,.,,.S y t,.,,.0 muy pequeños. En el artículo 2.3 observamos que durante un desplazamiento angular 0( en radianes) un punto de un cuerpo en rotación gi rará un arco circular igual a r0. Para un ángulo muy pequeño tal como t,.,,.0 en la Figura 3.6, la trayectoria circular de A es esencialmente igual a la cuerda t,.,,.S, la cual es el desplazamiento de A durante el desplazamiento angular t,.,,.0 de W. Como t,.,,.0 y t,.,,.S tienden a cero, podemos entonces expresar 11S = r 110 En la ecuación
V= 11S
11T
podemos sustituir t,.,,.S por rt,.,,.0, así que V= r 110
11T
pero
110 = cu 11T
luego V= rw (donde w está en radianes por unidad de tiempo). En el ejemplo de la Figura 3.6, r es igual a OA y de W, así: V = OA X Ww
ffiiv
es la velocidad angular
A
Esta fórmula no sólo simplifica el cálculo de las velocidades lineales sobre un cuerpo en rotación, sino que proporciona un medio de determinar la veloci dad angular de un cuerpo cuando se conocen la velocidad lineal de un punto y su distancia al eje de rotación. Si
V= ffir,
entonces
ffi
V =(dividiendo ambos miembros de la ecuación por r). r
En todas las aplicaciones de esta fórmula, w debe estar en radianes por unidad de tiempo. Hemos observado (en el artículo 2.2), que todas las líneas de un cuerpo tienen el mismo desplazai:µiento angular para cualquier intervalo de tiempo dado. Ya que todas las líneas girarán el mismo ángulo en un tiempo dado, la razón de t,.,,.0 (ángulo girado)/ t,.,,.T (tiempo necesario en el giro) será la misma para todas las.
VELOCIDAD
51
!).0 = w, la velocidad angular será /J,.T igualmente, la misma para todas las líneas. Esto justifica el uso de la velocidad lineal de cualquier punto de un cuerpo, para encontrar su velocidad angular.
líneas del cuerpo en todo instante. Ya que
3.5. Velocidades de los puntos de cuerpos en rotación. En la Figura 3.7 un cuerpo M gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo P. Cuando está en la posición indicada, la velocidad angu lar de M es igual a WM- Todos los puntos de cuerpos en rotación tienen velocida-
Figura 3.7. - Relación entre las velocidades lineales en cuerpos en rotación.
des lineales que son perpendiculares a las líneas trazadas de estos puntos al eje de rotación. Por esto, la velocidad de L en cada instante es perpendicular a PL y (ya que V wr)
=
VL
= O)M X
PL
Análogamente, el punto Q tiene una velocidad lineal tangencial: VQ
= O)M X PQ
Si deseamos observar la relación entre VL y VQ, podemos escribir el cociente:
Análogamente, VL VN
- O) M - O)M
X X
PL - PL PN - PN
Así, encontramos que los puntos de un cuerpo en rotación tienen velocidades li neales cuyas magnitudes están en la misma razón que (son proporcionales a) sus distancias al eje de rotación.
52
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
=
=
=
Por ejemplo, si VL 20 cm/s; PL 5 cm y PQ 3 cm, podemos calcu lar roM y VP, o la velocidad lineal de cualquier otro punto del cuerpo, si se cono ce su situación. wM = � � 2 ° = 4 rad/s 5 PQ x VL = 3 x 20 = 12 cm/s VQ = PL 5
Como L y Q están situados en la misma línea radial, es fácil obtener VQ grá ficamente. Si VL se representa por un vector Ll, dibujado a escala, podemos pre decir que Qq, vector de VQ, terminará sobre la línea lP. Este vector Qq puede ser medido a la misma escala para determinar el valor de VQ· Esto es válido, ya que los triángulos PLl y PQq son semejantes (los ángulos correspondientes son igua les) y sus lados correspondientes proporcionales:
=
Qq = VQ = PQ ( como antes) Ll PL VL
La fórmula V wr nos permite determinar la velocidad lineal de cualquier punto de un cuerpo en rotación si conocemos la velocidad angular del cuerpo. La V forma w dará la velocidad angular del cuerpo si conocemos la velocidad !ir neal de un punto. En cada caso, �esde luego, debemos conocer la situación del eje de rotación y el sentido del movimiento. Esto es todo lo que necesitamos hacer para un análisis completo de la velocidad de un cuerpo en rotación.
=
3.6. Velocidades de los puntos de un cuerpo en movimiento compuesto. No hay una fórmula simple para calcular las velocidades lineales de los pun tos de un cuerpo que se mueve con movimiento compuesto de traslación y ro tación. Por esta razón resultan sencillos y eficaces los métodos gráficos. Estos métodos evitan cálculos trigonométricos largos y laboriosos y con una apropiada elección de escala y técnica de dibujo precisa, no sufren una nociva pérdida de precisión. Los métodos gráficos no deben usarse exclusivamente. Deben usarse los cálculos donde sean rápidos y simples como complemento de los gráficos. La clave de la eficacia es una sabia combinación de estos dos métodos. 3.7. Vectores velocidad. En los análisis gráficos, los vectores se usarán para represen�ar velocidades lineales. Un vector es un segmento rectilíneo que puede expresar la magnitud de
VELOCIDAD
53
cualquier cantidad por medio de su longitud medida en alguna escala especi ficada. También señala la inclinación en la cual se dirige la cantidad, por la pen diente con que se ha dibujado, y el sentido, por la punta de flecha de un extremo. Los vectores no sólo están limitados a los símbolos de velocidad, sino que pueden usarse para representar cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección. Pueden sumarse, restarse y descomponerse en partes componentes. Estas opera ciones se efectúan siempre de la misma manera, cualquiera que sea la cantidad representada. En cierto sentido, son los equivalentes gráficos de los números usa dos en el trabajo analítico.
3.8. Vector suma: componentes y resultantes. La Figura 3.8 muestra dos vectores, A y B, los cuales están dibujados con el origen en el punto O. Vamos a sumar estos dos vectores gráficamente. Como en el caso con números, la suma debe ser equivalente exactamente a las partes ori ginales. La suma de A y B se encuentra gráficamente trazando el paralelogramo del cual A y B son lados adyacentes. La diagonal R, trazada desde el origen O, es el vector suma de A y B y se le llama usualmente su resultante. La magnitud e in clinación de R son las dadas por esta construcción, y el sentido debe hacerse de acuerdo con el sentido de A y B. .(""--------
I
11
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A/J I I
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8
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1 1
o
8
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Figura 3.8. � Vector suma.
En las soluciones gráficas es conveniente usar la construcción más simple po sible en interés de la precisión, así como de la rapidez. Por consiguiente, debe notarse que si se forma un triángulo trazando A y B sucesivamente (como lados adyacentes), como se ve en la Figura 3.8, y haciendo R el lado de cierre, esta construción producirá la misma resultante R que el método del paralelogramo e implicará menos trazos. En general, para sumar vectores partimos del origen O y trazamos los vec tores sucesivamente, poniendo el origen de cada vector en el. extremo del ante rior. La resultante es un vector único, trazado desde O hasta el extremo del vec tor final de la construcción. Esta resultante siempre apunta en el sentido de aleja miento del origen. A los vectores A y B, que se han sumado para producir R, se les llaman com ponentes de R. :Éstos no son el único par de componentes que producen la resul-
54
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
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/.
Figura 3.9. - Componentes de un vector dado.
tante R. Hay infinitas combinaciones, algunas de las cuales se muestran en la Fi gura 3.9. Entre estos pares de componentes las hay que son perpendiculares. Es tas componentes rectangulares son de especial interés. 3.9. Componentes útiles (Símbolo: e.u.). A menudo es necesario determinar el efecto de un vector a lo largo de una línea que no está en la dirección del vector en sí. La Figura 3.1 O muestra un vec tor R con origen en O y longitud Oa. Si se desea medir el efecto de este vector a lo largo de cualquier línea tal como SS, sustituimos R por un par de componen tes rectangulares, una de las cuales, E, se encuentra a lo largo de SS y la otra, F, a lo largo de TT, perpendicular a SS. A fin de que estas componentes puedan juntas equivaler a R, se determina su longitud considerando R como la diagonal del paralelogramo del cual E y F son lados adyacentes. Por lo tanto, trazamos una línea ab paralela a SS hasta encontrar a TT y ac paralela a TT hasta encon-
·r
-\ ----
\
a
b¡:S
\ \ F\
\ \ \ \
R
.,... __......
.,......,. E
\ - ..,.-----s
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s� Figura 3.1 O. - Un par correspondiente de componentes útiles.
VELOCIDAD
/
í
/V', ',
/
/ N/
p
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Q-
55
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1
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C>�o/
� �p Figura 3.11. - Componentes útil'es en direcciones dfferentes.
trar a SS. En este caso, el paralelogramo es un rectángulo ya que los ángulos b y e son rectos. Los sentidos de E y B se muestran por las puntas de flecha en b y e, de manera que concuerden con el sentido de R. Así, el efecto total de E y F a lo largo de SS será igual al efecto de R a lo largo de SS. Ya que F es perpendicular a SS, no tiene efecto en absoluto en esa dirección. Por tanto, la componente E será igual al efecto total de R a lo largo de SS. Las componentes tales como E _pue den lógicamente llamarse componentes útiles, ya que miden el efecto total de un vector en una dirección dada. Para determinar una componente útil necesitamos trazar sólo una línea des de el final de la punta de flecha del vector dado perpendicular a la línea, a lo largo de la cual se mide el efecto. El sentido de la componente útil se determina a par tir del sentido del" vector dado por simple inspección. No es necesario dibujar la otra componente ya que no tiene efecto en la di rección deseada. La Figura 3.11 muestra varias componentes útiles de R. L es la e.u. a lo largo de PP, M lo es a lo largo de QQ y N a lo largo de VV.
3.10. Concepto de cuerpo rígido. · On cuerpo rígido es aquel que no se alarga, contrae, curva o deforma de nin guna manera. Si el cuerpo de la Figura 3.12 es realmente rígido, todos sus pun tos (tales como el A, B y C) permanecerán en todo momento a distancias fijas el uno del otro y todas las líneas rectas (como AB y BC) permanecerán rectas sin importar qué cargas se apliquen o a qué movimiento se someta el cuerpo.
----------
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ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 3.12 - Cuerpo rí gido.
Esto, desde luego, es una condición teórica que realmente no existe en sen tido pleno de la definición. Todos los cuerpos sufren alguna pequeña deforma ción cuando soportan un movimiento o fuerzas aplicadas. En la mayoría de los casos estas deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones del cuer po en conjunto y, por tanto, pueden despreciarse en los estudios cinemáticos, don de los esfuerzos internos no se consideran, sin sacrificar por ello la precisión. Nues tro trabajo se simplifica grandemente despreciando estas pequeñas deformaciones. Por tanto, con la excepción de muelles, rodetes de caucho y miembros que se pro yectan intencionadamente para flexibilidad, consideramos todos los miembros de una máquina cuerpos rígidos y así estudiamos su movimiento. Las propiedades de un cuerpo rígido impone restricciones muy definidas so bre el movimiento de los puntos y líneas de dicho cuerpo, así este concepto viene a ser una de las herramientas más útiles en el análisis de la velocidad.
3.11. Velocidades en un cuerpo rígido. La barra AB de la Figura 3 .13 está articulada en A y B a bloques que des lizan libremente por guías paralelas. AB, por tanto, tiene movimiento de traslación, puesto que todas las posiciones son paralelas. La velocidad de A está dada por el vector VA· Hallemos la velocidad de B. Si la barra es un cuerpo rígido la dimensión AB permanece la misma cual quiera que sea el movimiento.- Si consideramos el movimiento a lo largo de la línea AB, sabemos ya que esta distancia permanece constante, A nunca se acer cará, ni. se separará de B, prescindiendo del movimiento al que esté sometida la barra. Si A se desplaza 2 cm a lo largo de la línea AB en 1 s, el desplazamiento de B a lo largo de la línea AB debe ser, asimismo, de 2 cm en el mismo sentido /1S . durante el mismo segundo. Como V , podemos expresar que, dos puntos !1T cua]¡esquiera sobre un cuerpo rígido a lo largo de la línea que los une, tienen velo cidades iguales en todo momento.
=
VELOCIDAD
57
e.u. V4 A
/.': 'y v,
B Figura 3.13. - Veiocidades sobre un cuerpo en traslación.
La velocidad de A, en la dirección AB, es la componente útil de VA a lo lar go de la línea AB. Esto se ha encontrado trazando por el extremo del vector VA una perpendicular a AB (ver e.u. VA en la Figura 3.13). El punto B sobre AB debe tener la misma componente útil en el mismo sentido a lo largo de AB (ver e.u. VB)- La articulación B es un punto de la corredera así como de la barra AB, por lo que la dirección del movimiento de B está definida a lo largo de la línea central (CC) de las guías. Como sabemos que e.u. VB es la proyección de Vn a lo largo de AB y que la resultante VB está sobre CC, sólo tenemos que construir una perpendicular a AB en b hasta encontrar la línea CC, y quedará determinada VB· El origen del vector velocidad es siempre el punto cuya velocidad define, así el sentido de VB es hacia la derecha, como se ve. Este método se aplica igualmente bien a cuerpos en rotación, aunque se re comienda el cálculo, usando V wr, para encontrar las velocidades en tales casos. En la Figura 3.14, el miembro EFG gira airededor de un pasador fijo en E, y se
=
Figura 3.14. - Velocidades sobre un cuerpo en
rotación.
58
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
da la velocidad de G. Se puede demostrar que V a tiene que ser perpendicular a la línea EG por medio del principio del cuerpo rígido. Ya que E es fijo, VE
=
o
así, pues, e.u. VE a lo largo de EG debe ser igual a O. Ya que E y G están sobre el mismo cuerpo rígido, e.u. Va a lo largo de EG debe ser igual e.u. VE a lo largo EG, por lo que e.u. Va deberá ser nula. Si esto es cierto, V a debe ser perpendicu lar a EG, ya que la componente útil a lo largo de EG es O sólo cuando Va tenga aquella dirección. Para encontrar V1,,, observamos que F y G están en el mismo sólido rígido y que, por tanto, tienen iguales componentes útiles a lo largo de la línea FG. La e.u. V a a lo largo de FG se ve en la Figura 3.14 y e.u. VF, se traza igual a e.u. V0. Sabemos de antemano que la dirección de la resultante VF está sobre la línea DD, perpendicular a la línea EF. La magnitud de VF se determina por la intersección de la perpendicular a EF trazada por el extremo de e.u. VF y la línea DD. Vemos que el sentido de VF, es hacia abajo y a la derecha. El principio del cuerpo rígido es más efectivo cuando se aplica a un cuerpo en movimiento compuesto, tal como la barra LM de la Figura 3.15, donde O y P son ejes fijos. Si se da V1,, determinemos V,u. Como OL está en rotación pura, sabemos que V1, ha de ser perpendicular a OL según se indica. Como el pasador Les común a OL y LM, esta VL está aplicada en el pasador L sobre ambos cuer pos. Aplicando el principio del cuerpo rígido a LM, trazamos e.u. VM a lo largo de LM. Como L y M tienen la misma velocidad a lo largo de la línea LM, tra zamos e.u. V.11 sobre LM igual a esta e.u. V1,. La barra PM es un cuerpo en ro tación pura alrededor del eje fijo P, por lo que sabemos que la resultante VM es perpendicular a la línea PM. La longitud de la resultante se deterinina por una perpendicular a LM desde el extremo de e.u. VJ1 • La punta de flecha señala el sentido de V.11 y se ha puesto a simple vista, de acuerdo con e.u. V.11 .
Figura 3.15. - Velocidades sobre un cuerpo en movimiento compuesto.
VELOCIDAD
59
Hemos mostrado que el principio del cuerpo rígido para determinar veloci dades puede aplicarse para cualquier cuerpo rígido en cualquier clase de movi miento. Es verdaderamente una herramienta de usos múltiples.
3.12. Determinación de velocidades cuando se desconoce la dirección. En los casos precedentes fue posible predecir la dirección de la velocidad que había que determinar, ya que se conocía la trayectoria del punto en cuestión. Consideremos las velocidades de puntos cuya trayectoria no séa evidente. Se dan las velocidades de los pasadores R y T en la Figura 3 .16 y se desea encontrar la velocidad del pasador S. Sobre la barra RS puede encontrarse la e.u. VR a lo largo de RS. Ya que este cuerpo es rígido, e.u. V8, a lo largo de RS puede trazarse igual a e.u. VR en esa dirección (ver vector SA). Sabemos. que el extremo de V8 debe estar en algún lugar de la línea AA, perpendicular a RS, tra zada desde el extremo de esta e.u. V8 , pero ya que no podemos predecir la direc ción de la resultante V8 , esta construcción no nos define completamente el vec tor V8 • Examinemos ahora la barra rígida ST, ya que se conoce VT y Ses tam bién un punto de este cuerpo. A lo largo de la línea ST, los puntos S y T tienen la misma velocidad, así podemos predecir que, a lo largo de ST, e.u. V8 es igual a e.u. VT. Trazamos esto en la forma indicada en la Figura 3.16. Como en el caso anterior, la resultante V8 terminará en algún lugar de la línea BB, que es una perpendicular a ST trazada por el extremo de esta e.u. V8 • Ya que sabemos que la resultante V8 debe terminar en AA y también en BB, puede satisfacer ambas condiciones sólo si termina en la intersección e de AA y BB. La línea SC es, por tanto el vector de V8 y tendrá la magnitud e inclina ción correctas. El sentido de este V8 es hacia arriba y a la izquierda, de acuerdo con sus componentes útiles.
Figura 3.16. - Dos componentes útiles deter minan una velocidad.
60
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
El estudiante debe notar que las componentes efectivas de V 8 a lo largo de RS y ST no son un par conjugado. La resultante V 8 no se encontró completando un paralelogramo, sino por la intersección de dos perpendiculares. La perpendicu lar a RS representa la conjugada a e.u. V 8 a lo largo de RS, y la perpendicular a ST representa la conjugada con e.u. V 8 a lo largo de ST. No podemos determi nar fa longitud de ninguno de esos vectores conjugados hasta hallar su intersec ción. La V8 así determinada puede considerarse la resultante de cada par de com ponentes útiles conjugadas, pero no la resultante de un miembro de cada par. Esto explica por qué no se ha usado la construcción del paralelogramo.
�.13. Dilatación de un cuerpo rígido. Este concepto de cuerpo absolutamente rígido es una hipótesis y no un hecho. Es una hipótesis que todos los puntos contenidos dentro de los confines físicos de un cuerpo permanecen a la misma distancia unos de otros cuando el cuerpo está sometido a fuerzas o movimiento. Análogamente, se puede suponer que ciertos puntos fuera del cuerpo físico pueden permanecer también a distancias fijas de puntos en el interior del cuerpo o, en otras palabras, imaginar que el cuerpo se dilata más allá de su tamaño original. Esta dilatación teórica de un cuerpo rígido es una hipótesis a menudo muy útil. En el mecanismo de la Figura 3 .17, el disco W gira en el sentido de las agu jas de un reloj, alrededor del eje fijo A con una velocidad angular dada (en rad/s). Vamos a determinar la velocidad lineal del pasador F. Iniciamos este análisis con el disco W, determinando primero la clase de su movimiento. Un cuerpo con un punto fijo sólo puede tener movimiento de rotación, por lo que el movimiento de W será una rotación. A continuación hallamos las ve locidades lineales de B y G. Usando V= wr, Vs
= COw
X
AB
y está dirigida perpendicularmente a A B hacia la derecha, según se indica. Por la misma fórmula V0
= COw
X
AG
y es perpendicular a A G apuntando hacia la izquierda. Podemos determinar ahora sobre la barra BC la e.u. VB a lo largo de BC y trazar e.u. Ve igual a ella en la misma dirección, empleando el principio del cuerpo rígido. Ya que no podemos predecir la dirección de la velocidad absoluta de C, no podemos obtener Ve direc tamente. A continuación consideremos la barra GE. A lo largo de la línea GE de esta barra e.u. V a e.u. VE, y ya que E puede moverse solamente a lo largo de las guías fijas, sabemos que la resultante VE estará en dicha dirección. Una perpendicular desde e.u.V¡,; determina pues V E· Ahora, sobre la barra ED sabe-
=
t
1
61
VELOCIDAD
F
've.u. VF ''''-
'
�
/
/
/
/
/
/
/
Figura 3.17. - Velocidades en un cuerpo rígido dilatado.
mos que, en la dirección ED, e.u. VE= e.u. Vn, pero ya que no podemos deter minar la dirección ·del movimiento de D, no podemos encontrar la resultante Vv a partir de esta componente útil. Sobre la barra CDF sabemos que tiene una com ponente útil en C y una en D. En el ejemplo anterior encontramos que se necesi tan dos componentes útiles de la velocidad de un solo punto para determinar la velocidad resultante de ese punto, cuando se desconoce la dirección del movimien to. Debemos, entonces, encontrar un punto sobre CDF para el cual podamos es tablecer dos componentes útiles. Si aumentamos el cuerpo CDF en la forma indicada (a trazos) en la Figu ra 3 .17 de manera que incluya un punto O, intersección de las prolongaciones de las líneas BC y ED, tendremos dicho punto. Ya que los puntos C y O son del mismo cuerpo rígido, e.u. V e e.u. V O en la dirección CO. De igual forma, D y O son del mismo cuerpo, por lo que e.u. V O a lo largo· de DO es igual a e.u. VD · Tenemos ahora dos componentes útiles de la velocidad de O y podemos determi nar la velocidad resultante de O, levantando dos perpendiculares a estas compo nentes que se cortan en K,_como se ve en la Figura 3.17. Los puntos O y F, ambos están en el mismo cuerpo rígido dilatado, por lo que e.u. V o e.u. VF a lo largo de OF. Como la dirección de VF está determinad.a por las guías fijas, una perpen dicular a e.u. VF definirá la resultante deseada VF·
=
=
62
f
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
3.14. Relación entre las velocidades de un cuerpo rígido.
La utilidad del principio del cuerpo rígido en el análisis de la velocidad se ha explicado en los estudios precedentes. Resumamos estos logros en un ejemplo general. La Figura 3.18 muestra un cuerpo rígido en movimiento. Se conoce la velo cidad de un punto A sobre este cuerpo, y el cuerpo puede estar en traslación, ro tación o en movimiento compuesto. Sabemos que dos puntos cualesquiera del mis mo cuerpo tienen la misma velocidad a lo largo de la línea que los une. Si consideramos cualquier línea que pase por A, tal como MM, podemos pre decir que los puntos B, C, D y aún E (si el cuerpo se dilata) tendrán todos igua les componentes útiles a lo largo de MM ,,. iguales a e.u. VA a lo largo de MM. De hecho, todo esto es cierto para todos los puntos de la línea MM. Por el mismo principio, si dibujamos la línea RR que pase por el punto A en la dirección de VA, los puntos F, G, H y todos los demás puntos de esta línea tendrán componen tes útiles a lo largo de RR iguales a VA·
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____ ,, h. \ /' E<Í e.u,
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1
1
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C.U. = VA
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C.U. = VA
F
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e,"
- G
Figura 3.18. - Relaciones de velocidad sobre un cuerpo rigido.
Si consideramos una tercera línea TT trazada por A, perpendicular a VA, descubrimos que los puntos J, K, L y todos los demás puntos de esta línea tendrán velocidad .cero en la dirección de TT, ya que VA tiene como componente útil cero, a lo largo de TT. Además podemos expresar que las velocidades resultantes de J, K, L y todos los demás puntos a lo largo de TT, serán, como VA, perpendicu-
r
VELOCIDAD
63
lares a la línea TT. Esto es cierto ya que un vector sólo puede tener una compo nente útil nula en la dirección perpendicular a sí mismo.
3.15. Centro instantáneo de rotación (Símbolo: /). Un cuerpo en rotación pura gira alrededor de un eje fijo, o centro perma nente de rotación que tiene velocidad cero en todo momento Un cuerpo en movimiento compuesto gira y se traslada al mismo tiempo. En el artículo 2.4 señalamos que, cuando un cuerpo se mueve de una posición a otra, puede suponerse que gira alrededor un punto conveniente del cuerpo. Su des plazamiento angular permanece el mismo, pero su desplazamiento lineal varía se gún el centro de rotación escogido. Si seleccionáramos como centro de rotación el punto correcto resultaría que la traslación que le acompaña se haría nula, de manera que podría lograrse el cambio de posición con una rotación solamente. Por ejemplo, la barra A B en la Figura 3.19 (a) puede moverse a la posi ción A1B 1 por una rotación alrededor del punto C hasta A 0B 0 y después una tras lación hasta A 1B 1 . El mismo cambio de posición puede llevarse a cabo mediante un movimiento simple de rotación alrededor del punto D, como se ve en la Fi gura 3. 19 (b). Se supone aumentada la barra AB hasta incluir el punto D, el cual se encuentra en la intersección de las mediatrices de las cuerdas AA 1 y B8 1 • Este concepto reduce el movimiento compuesto de AB a una simple rotación en la que A y B recorren arcos circulares alrededor del centro fijo D. La dirección del movimiento de A es a lo largo de una línea recta tangente· al arco AA 1 y la di rección del movimiento de B es a lo largo de la tangente al arco B8 1 • Notemos
.
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Ao'/�¿_
-
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_ _v A1
A Figura 3.19 (a). - Rotación y traslación sucesivas.
Figura 3.19 (b). - Movimiento puesto reducido a rotación.
com
64
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
que el punto D está en la intersección de las dos perpendiculares a esas tangentes desde A y· B. En este momento, nuestros estudios de velocidad atañen sólo a una posición específica del mecanismo. Las velocidades que determinamos son velocidades ins tantáneas solamente para esta posición en la que se está observando el mecanismo. Se simplificaría grandemente nuestro análisis de la velocidad si pudiéramos en contrar el centro alrededor del cual puede suponerse que gira un cuerpo en mo vimiento compuesto en un instante dado. El punto D, descrito anteriormente, es dicho centro y puede llamarse centro instantáneo de rotación. Como todos los ejes de rotación, es el punto de un cuerpo en movimiento que tiene velocidad cero. La Figura 3.20 muestra un cuerpo W en el que se conocen las velocidades de dos puntos A y B. Si dibujamos la línea PP que pasa por A, perpendicular a VA, el principio del cuerpo rígido nos dice que todos los puntos sobre esta línea' en el cuerpo W tienen velocidad nula en la dirección PP. Si dibujamos otra línea NN que pase por B, perpendicular a VB, de igual modo sabemos que todos los puntos sobre esta línea tienen velocidad O en la dirección NN. Consideramos el punto /, donde se cortan PP y NN. I es un punto de W (amplíado) que tiene ve locidad nula a lo largo de PP y también a lo largo de NN. La velocidad resultante del punto I será por tanto nula, ya que no existe un vector que pueda dibujarse a partir de / en ninguna dirección que tenga componente útil nula en dos direcciones diferentes. Si un cuerpo está en movimiento y uno de sus puntos permanece quie-
,,l
N� \
\\
I (V¡ = O) '-... '-...
'',
..__
\ 1 1 1
\
w
� N
\
Ap \
Figura 3.20. - Centro instantáneo de rotación.
VELOCIDAD
65
to, el único movzm1ento posible del mismo es rotación alrededor del punto fijo. En este instante, el punto I no tiene velocidad y otros puntos de W la tienen, por lo que el único movimiento posible del cuerpo es una rotación alrededor de /. Consecuentemente podemos llamar a I centro instantáneo de rotación del cuer po W. Ya que el cuerpo en conjunto, W, gira en este instante alrededor de /, las velocidades de A, B y todos los demás puntos de W serán perpendiculares a las líneas de unión de ellos con el punto /, y sus magnitudes directamente proporcio nales a sus distancias a /, como en el caso de todos los cuerpos en rotación. Así, localizando el centro instantáneo de rotación, podemos determinar las velocida des lineales de todos los puntos de ese cuerpo sin usar las componentes útiles.· Este método es simple y rápido y elimina gran cantidad de trazados.
3.16. Localización del centro instantáneo de rotación. En general, para localizar el centro instantáneo de rotación de un cuerpo ne cesitamos saber solamente las direcciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo. Trazamos desde cada punto una línea perpendicular al vector velocidad del mismo. La intersección de estas perpendiculares es el centro instantáneo de rotación del cuerpo. Por ejemplo, en la Figura 3.21, si se da la velocidad angular de la manivela AB, podemos hallar la velocidad lineal de E en la barra BCE. Sabemos que, ya que AB está en rotación pura, Vn será perpendicular a AB. La velocidad de C está dirigida a lo largo de la línea central SS de las guías fijas. El centro instantáneo del cuerpo BCE estará localizado en la intersección de la línea que pasa por B y es perpendicular a Vn (en este caso, prolongación de la línea AB) y la línea que pasa E
A
Figura 3.21. - Relación de velocidades para el centro instantáneo. LENT - 5
66
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
.por C y es perpendicular a SS. Esta intersección se ha rotulado JncE · (El subíndice ncE se usa para señalar claramente el cuerpo que se considera, ya que en este caso, J no cae dentro de los límites de la barra BCE.) Es importante usar los subíndices, puesto que cada centro instantáneo se aplica a un solo cuerpo y se pueden pedir para un análisis los centros de varios cuerpos. Queda ahora determinada la dirección de VE, perpendicular a la línea !E, y su magnitud guarda con VB , la misma razón que sus distancias respectivas a /, pudiendo calcular.se: VE - JE VB - JB y (multiplicando ambos miembros por VB) JE VE =VB x JB Pero VB WAn X AB, así JE VE = (.l)AB X AB X B J
=
El sentido de Vn señala una rotación dextrógira de BCE alrededor de /, por lo que el sentido de VE debe señalar, de igual modo, una rotación dextrógira alrede dor de J. En algunos casos, donde las dos velocidades conocidas son paralelas, debe mos saber la magnitud de estas velocidades así como su dirección a fin de encon trar el centro instantáneo. En la Figura 3.22 se conocen las velocidades de los puntos F y G y se desea encontrar la velocidad del punto J. Como se ve, los puntos F, G y J están en la misma línea TT y VF y Va son perpendiculares a esta línea. f
T-¡�:�� 7-T ;;
Figura 3.22. - Relación de velocidades para lelas al centro instantáneo.
El usar las componentes útiles no nos daría la solución en este caso, por lo que localizaremos el centro instantáneo de la barra. Las perpendiculares trazadas a VF y Va serán la misma línea TT, por lo que no habrá intersección para loca lizar el centro instantáneo. Sólo sabemos que está en algún lugar de TT. Sin em bargo, también sabemos que VF y Va son proporcionales en magnitud a las dis tancias de F y G desde el centro instantáneo, o sea: Vp _ JF VG JG Esta relación sugiere un método gráfico simple para localizar J. Si dibuja _mos una línea recta que pase por los extremos de VF y Va (f y g) se cortará con
T
VELOCIDAD
67
TT en /. Esta línea forma dos triángulos semejantes Ffl y Ggl en los que los lados correspondientes son proporcionales, con lo que:
como se estableció anteriormente. Ya que M está girando alrededor de / en este instante, podemos decir que VJ es perpendicular a /J y calcular la magnitud de V., como sigue: V1 Va
_
IJ JG
o sea
(Las longitudes /J e /G deben medirse a escala del gráfico.) Gráficamente po demos definir V.,, prolongando la línea fg, por /, hasta encontrar a la perpendicu lar a TT, por J. En cualquier caso, el sentido de V.,, debe ser tal que produzca una rotación dextrógira alrededor de /. Debe quedar bien entendido que un centro instantáneo de rotación de un cuerpo es un punto del mismo, tanto si cae dentro del contorno físico o fuera de él. Normalmente es molesto mostrar el cuerpo ampliado para incluir un centro instantáneo, pero los subíndices que se añaden para rotular a / son los adecuados para su identificación. Como las situaciones de los puntos de un cuerpo cambian de posición cuando el cuerpo se mueve y los vectores velocidad cambian de inclinación, se deduce que la posición del centro instantáneo de rotaci6n es diferente para cada posición sucesiva que toma el cuerpo. Como el nombre implica, sólo es válido un centro instantáneo para una posición del cuerpo en movimiento compuesto. Puede habérsele ocurrido al lector que la posición de un centro instantáneo de rotación puede estar muy alejada, al tomar el cuerpo ciertas posiciones. Si el centro estuviera a 50 m del mecanismo, sería imposible señalarlo en un dibujo de tamaño conveniente. Esto podría limitar el uso de este valioso instrumento bastante seriamente si no hubiera remedio. Sin embargo, al avanzar en el estudio de las velocidades, mostraremos varios métodos de salvar esta dificultad y dar soluciones sustitutivas para los casos especiales. No todo instrumento es efectivo para todas las aplicaciones. Constantemente se pide ingenio e inventiva en todos los análisis de ingeniería y proyectos. 3.17. Velocidad angular de cuerpos en movimiento compuesto. Un cuerpo en movimiento compuesto tiene rotación y traslación, pero pode mos medir el movimiento angular del cuerpo, aparte de su traslación. Todas las líneas de un cuerpo rígido tienen desplazamientos angulares iguales en un inter-
68
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
valo de tiempo dado y por tanto iguales velocidades angulares en todo momento, cualquiera que sea el movimiento al que estén sometidas. En muchos problemas es importante determinar la velocidad angular de los cuerpos en el movimiento compuesto. Si pudiéramos localizar el centro instantá neo de rotación de un cuerpo sería muy fácil calcular su velocidad angular. En el cuadrilátero articulado de la igura 3.23, la manivela conductora OP gira alrededor del centro fijo O con una velocidad angular dada. R también es un eje fijo. Se pide encontrar la velocidad angular de la biela PT. Como OP está en rotación pura, VP es perpendicular a OP. Asimismo RT gira alrededor del centro fijo R, por lo que VT será perpendicular a RT. El centro instantáneo / de PT está en la intersección de las perpendiculares a VP y VT, tra zadas, como se ve, desde P y T. La barra PT puede considerarse que gira alrede dor de/ en este instante y como sobre todos los cuerpos en rotación V= wr, será: Vp o despejando la velocidad angular:
= W¡p X IP,
Vp W¡p = IP / es un punto de velocidad lineal nula en la biela PT ampliada y w1p wPT (to das las líneas de un cuerpo rígido tienen velocidades angulares iguales). Por tan to, sustituyendo: - Vp (J)PT_ IP podemos calcular VP, puesto que VP Wop X OP. Por tanto,
=
=
_ OJ0p (J)PT_
Figura 3.23. - Rotación instantáneo.
X OP IP
alrededor del centro
3.18. Velocidades lineales absoluta y relativa. Se muestran en la Figura 3.24 (a) los coches A y B, viajando en la misma di rección. V.4. (velocidad de A) es 40 km/h y Vn es 60 km/h. Como estas veloci-
VELOCIDAD
69
�-ª-�/ 60 •km/h �m/h
(a)
�m/h
(b)
Figura 3.24. - Velocidades relativas sobre trayectorias paralelas.
L
dades se miden respecto a un punto fijo de la carretera, se les llaman velocidades absolutas. Se desea encontrar la velocidad relativa de B respecto de A (símbo lo: VB;A)Si nos imaginamos montados en el coche A podemos visualizar la velocidad relativa de B respecto de A. Veremos a B pasándonos en la misma dirección y sen tido a 20 km/h. Vn;A es por tanto la diferencia entre las velocidades absolutas VB y VA, o sea Si el coche B, estuviera viajando a 60 km/h, en sentido opuesto [Figu ra 3.24 (b)], lo veríamos pasar a 100 km/h en sentido opuesto. Aún puede esto considerarse como la diferencia entre las velocidades absolutas de B y A si se ñalamos el sentido con los signos + o -. Si las velocidades hacia la derecha se señalan como positivas y hacia la izquierda como negativas, en este segundo caso o sea Vn1A = -Vn - VA= -100 km/h Concluimos que cuando ambos cuerpos recorren trayectorias paralelas, su veloci dad relativa es igual a la diferencia algebraica de sus velocidades absolutas. También es útil determinar las velocidades relativas cuando los cuerpos no se mueven en trayectorias paralelas. La Figura 3.25 muestra los coches A y B recorriendo carreteras divergentes. Si fuéramos en el coche A podríamos ver el B alejándose en una dirección, en general, inclinada hacia nuestra izquierda. La V BJA sigue siendo la diferencia de las velocidades absolutas, pero ya que sus trayecto rias no son paralelas, es una diferencia vectorial y no algebraica. Para sumar dos vectores, los trazaremos a partir de un origen O como los lados adyacentes de un paralelogramo, lo completamos, y dibujamos su diagonal desde O, la cual es igual al vector suma. Un método más simple de suma vecto rial, recomendado para el trabajo gráfico en el artículo 3.8, necesita trazar los dos vectores sucesivamente, partiendo del origen O. El vector resultante en este caso tiene su origen en O y termina en el extremo del segundo vector, geométricamen te equivalente a la construcción del paralelogramo (ver Figura 3.8).
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
70
6,6? ,k':1/,h�
-v;-,..._vz,� O
A
f:S
40 km/h
�
+Vs
Vwy-..-:¡_A
O 4---+-+ , ::¡,,,,
+Vs
Figura 3.25. - Velocidades relativas mediante sustracción vectorial.
La sustracción vectorial se efectúa de la misma manera que la suma, con la diferencia de que el vector a sustraer se traza con su sentido opuesto a su sentido verdadero, o sea, con sentido negativo. En otras palabras, para restar, sumamos el vector opuesto. En la Figura 3.25 se muestra el método del paralelogramo y el del triángulo para restar VA de Vn- Cuando las velocidades no sean paralelas la velocidad relativa será igual al vector diferencia: VB/A
= Vn - - VA
(El símbolo - � significa "menos, vectorialmente" .)
3.19. Velocidades relativas en un cuerpo rígido. En la Figu ra 3.26, pueden verse las velocidades de los puntos A y B sobre el mismo cuerpo rígido. Investiguemos la velocidad relativa de B respecto a A. Si nos imaginamos de pie en A, como la distancia entre A y B no varía, B parecerá que se mueve en una trayectoria circular (con radio AB) alrededor de nosotros. Éste es el único movimiento que B puede tener alrededor de A. Por tanto, VB/A debe ser perpendicular a AB, en la dirección del movimiento relativo de B respec-
A
�
------------
V<\ Figura 3.26. - Velocidades relativas de los pun tos de un cuerpo rígido.
VELOCIDAD
71
to a A. La magnitud de Vs;A se encuentra por sustracción vectorial como sucede con todas las velocidades relativas. VB/A
=
VB - - VA
Si sumamos - VA a + VB la resultante será Vs;A, que en la Figura 3.26, se ve que es perpendicular a AB, como se preveía. e.u. Vs sobre Como A y B están sobre el mismo cuerpo rígido, la c. u V,1 la línea AB, de donde se deduce que dos puntos de un cuerpo rígido no tienen velocidad relativa, según la línea que los une.
=
3.20. Utilización de las velocidades relativas para encontrar la velocidad angular. Hemos señalado que la velocidad angular de un cuerpo en movimiento com puesto puede obtenerse usando el centro instantáneo de rotación. Este método podría fallar, desde luego, si el centro instantáneo de rotación resultara inaccesi ble, como alguna vez sucede. Se dispone de otro método que utiliza el concepto de velocidad relativa. Su pongamos que se desea encontrar la velocidad angular del cuerpo de la Figu ra 3.26. Hemos observado que B recorre un arco circular respecto de A. Si B recorre un arco circular respecto de A, entonces la línea AB girará' al rededor de A con una velocidad angular: (J)AB- VB/A
AB
(ya que
(J)
= vr)
Como la línea AB es fija en el cuerpo, w.rn es igual a la velocidad angular del cuer po. Puesto que el movimiento angular de un cuerpo es independiente de cualquier movimiento de traslación, wA11 relativa de A es también la velocidad angular abso luta del cuerpo. Por medio del concepto de velocidad relativa, podremos medir la velocidad angular respecto a cualquier punto de referencia tomado como eje.
3.21. Concepto de velocidad relativa: Un instrumento para el análisis. Hasta este punto hemos usado las relaciones entre las componentes útiles, basadas sobre el principio del sólido rígido, como método de determinación de velocidades. Esta técnica se ha usado para introducir _e l estudio de la velocidad porque se cree que es la forma más clara e ilustrativa de abordar su estudio, par ticularmente cuando se usan las soluciones gráficas empleando vectores. Sin em bargo, aparecen desventajas en el método de las componentes útiles, cuando haya que dibujar mucho, repitiendo dibujos. La escala de los vectores está limitada
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
72
por el tamaño del mecanismo cuando se dibujen los vectores en lugar de los di ferentes miembros. La notación que debe acompañar estos estudios también llega a ser bastante complicada. Una vez que el estudiante tiene un conocimiento inicial de las relaciones del vector, debe usarse un método un poco más complejo en el que haya que dibujar menos, haya una notación abreviada y una precisión gráfica mayor que resuíte del uso de vectores a escalas mayores. Este método nuevo se apoya aún en los vínculos del movimiento del cuerpo rígido, pero emplearemos velo cidade5 relativas en vez de las componentes útiles. También combinaremos el método vectorial en un polígono simple, separado del mecanismo. En suma, hay dos hechos que son útiles en la aplicación del método de la velocidad relativa. 1. Si dos puntos están en el mismo cuerpo rígido, su velocidad relativa es igual a la diferencia vectorial de sus velocidades absolutas, como se ve en la Figura 3.26. Considerando los puntos A y B. Cuando se conozca la velocidad de A se deduce que: VB
=
VB!A
+-+ VA
(sumando
+ VA a ambos lados de la ecuación)
En otras palabras, el vector. desconocido VB es la suma del vector VA y · el Vn;A· 2. Si dos puntos están en el mismo cuerpo rígido, su vector velocidad rela tiva es perpendicular a la recta que los une. - Esto resulta del hecho que estos puntos no pueden tener velocidad relativa en la dirección que los une. (Sus componentes útiles en esa dirección deben ser iguales.) 3.22. Construcción del polígono de velocidades. Com,ideremos el ejemplo del cuadrilátero articulado que se ve en la Figu ra 3.27 en el cual la manivela KL gira en el sentido de las agujas de un reloj alreded-:,r del eje fijo K con una velocidad angular dada. Se pide determinar la velocida� del pasador M que une el acoplador LM a la otra manivela MP. Como KL tiene rotación pura, la velocidad de L será perpendicular a KL e igual a wKL X X KL (V wr). Este vector puede verse en el dibujo del mecanismo (VL). Consideremos las velocidades relativas sobre el acoplador rígido LM. Si VM -- VL, entonces VM VL VM!L· Es decir, si sumamos VM;L VM/L a Vr, vectorialmente, obtendremos VM , Partiendo de un origen conveniente O, trazamos VL en una dirección perpen dicular a la manivela KL. A ésta debemos sumar V,11 ¡r,. No sabemos la magnitud
=
=
=
+-
VELOCIDAD
73
1s \
\�--
Polígono vectorial
T
--
L
Mecanismo
Figura 3.27. - Velocidades en un cuadrilátero articulado.
de V11r;L, pero ya que L y M están en el mismo cuerpo rígido, sabemos que la ve locidad relativa de M respecto de L debe estar en la línea perpendicular a LM, tal como la SS del dibujo. Como MP es un cuerpo en rotación pura, sabemos que VM debe ser perpendicular a MP, sobre la línea TT en el dibujo. Ahora, ya que Vu es un vector igual a la suma de dos vectores VL y .VM;L , VJJI será el lado de cierre del triángulo cuyos otros lados son V1, y VM!L · La velocidad de L se conoce, la velocidad relativa de M respecto a L está sobre la línea SS y podemos acabar en el punto R, donde la línea SS corta a la TT, con lo que el lado de cierre del trián gulo (igual a la velocidad de M) estará sobre TT, que es la dirección correcta de V.11- La línea OR es entonces el vector de la V,1r buscada, y está dirigido de O a R. Su magnitud puede medirse a escala en el dibujo. A este triángulo vectorial se le llama polígono de velocidades. Como es un diagrama de vectores libres, separado del mecanismo, puede dibujarse a gran escala para dar resultados precisos. La notación puede simplificarse con la nomenclatura mostrada en la Figura 3.28. El punto O es el origen de todas las velocidades absolutas, con lo que todas se diri girán hacia afuera desde el punto O. Las letras de los otros extremos de cada vec tor designarán la velocidad que representan. Por ejemplo, la línea OL es el vector velocidad de L (dirigido desde O hacia L) y OM es la velocidad de M. La línea que une L y M es el vector velocidad relativa de M respecto de L (dirigido de L hacia M). Cuando se leen velocidades relativas, el vector se dirige alejándose del punto para el cual la velocidad es relativa. Los puntos fijos tales como K y P sobre el mecanismo tienen velocidad nula, por lo que pueden tomarse también como origen. Pueden considerarse como vectores de longitud O. En efecto, el vector LK debe leerse VL!1t (dirigido hacia abajo a la derecha) y debe ser, por tanto, igual a la VL absoluta, puesto que VK O. Nótese que los
=
74
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
K
O,K, p
Polígono vectorial a gran escala
L
Figura 3.28. - Polígono de velocidades a gran escala.
vectores tienen su inclinación relacionada con los miembros del mecanismo, pero podemos ampliar la escala del polígono de velocidades a fin de aumentar la exac titud de la solución.
3.23. Polígono para velocidades de dirección desconocida. El sistema articulado de la Figura 3.29 (a) es análogo al de la Figura 3.16. Se dan las velocidades de los bloques en R y T, y hay que determinar la velocidad del pasador S en dirección y magnitud. Construyamos un polígono de velocidades para este sistema articulado. Des de un origen conveniente O, trazamos primero la velocidad dada de R con una escala adecuada. Está representado por el segmento OR de la Figura 3.29 (b).
75
VELOCIDAD
"
"- a
o
'VR
(a)
R
"'
'-....Vs/R
""
"'
R
"-.. a
"- "
(b)
"'
"
R
IVslT
l b
(e)
1
""
1
"""
1
""
"' "'
"' "
�
"
(d)
Figura 3.29. - Determinación de la dirección de la velocidad del pasador S.
76
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Sobre el cuerpo rígido RS, Vs = Vu + - Vs;u, con lo que para obtener la velo cidad de S, debemos sumar la velocidad relativa de S respecto de R a la velocidad conocida de R. No sabemos la magnitud de V8111, pero conocemos que su inclina ción debe ser perpendicular a la barra RS, ya que S no puede tener movimiento relativo respecto de R en la dirección RS. En el diagrama de velocidades de la Fi gura 3.29 (b) se ha trazado una línea a de esta inclinación que pasa por R. El vector V s;R parte del punto R y termina en algún lugar de esta línea a. Ahora tracemos la velocidad dada de T en este diagrama. Ésta es la línea OT que se ve en la Figura 3.29 (c). Sobre el cuerpo rígido ST, Vs = Vr + - Vs;r, con lo que puede obtenerse la velocidad de S sumando a la velocidad relativa de S respecto de T, la velocidad conocida de T. De nuevo, no sabemos la magnitud de V s;r, pero sabemos que es perpendicular a la barra ST. Esta inclinación de Vs;T se representa por una línea b que pasa por T y es perpendicular a ST en el dibujo. La V s;r parte del punto T y termina en algún lugar de esta línea b. Si el punto S del polígono de velocidades debe estar en la línea a y también en la línea b, deberá ser la intersección de las líneas a y b, como se ve en la Fi gura 3.29 (d). Podemos dibujar ahora el vector OS, el cual tiene la magnitud co rrecta y la inclinación exacta de la velocidad del pasador S. Como todos los vec tores de velocidad absoluta, está dirigido desde O hacia S. Su magnitud puede me dirse a escala en el dibujo. 3.24. Centros instantáneos y polígonos de velocidades. Se ha yisto previamente (en el artículo 3.15) que un cuerpo rígido en movi miento compuesto puede considerarse, en cualquier instante, como una rotación pura alrededor de algún punto del cuerpo que, para ese instante, tiene velocidad nula. A este eje de rotación se le llama centro instantáneo, y una vez localizado, simplifica la determinación de la magnitud y dirección de la velocidad de cual quier punto del cuerpo. Este concepto puede verificarse por el método del polí gono de velocidades, y es igualmente útil cuando se em_plee dicha técnica. Supongamos que tenemos un cuerpo rígido W como se ve en la Figura 3.30 y supongamos que sabemos las velocidades de dos puntos, A y B. Consideremos un tercer punto I, que esté también sobre este mismo cuerpo W y se halle en la intersección de la línea PP, perpendicular a VA por A, con la línea NN, perpen dicular a VB· Para encontrar la velocidad del punto J debemos trazar un polígono de velocidades. Partiendo del origen O, las líneas OA y OB representan las velo cidades dadas de A y B. Sabemos que V1 =VA+ - V11_4, donde V1;.4 es per pendicular a la línea IA de W, mientras que IA es perpendicular a VA y a OA en el polígono. Así pues, el vector que representa a V1;A será paralelo a VA y por tanto es tará sobre OA en el polígono. No sabemos su longitud.
l
VELOCIDAD
77
A
=
Figura 3.30. - Centro instantáneo de rotación.
También V1 Vs + � V1;B, donde V1¡s es perpendicular a la línea IB, o sea, paralelo a Vs en el cuerpo rígido. Así en el polígono vectorial, el vector IB, que representa a V11s, estará sobre OB, que es el vector de VB· En el polígono, la velocidad de / se señalaría como un vector 01, que de acuerdo con la ecuación precedente, sería el lado de cierre de un triángulo com puesto de OA (VA ) e /A (V1;A)- Esta misma velocidad de/ (O/) es el lado de cierre de otro triángulo compuesto de OB (Vs) e 1B (V11s). Por tanto, el punto I del po lígono debe estar sobre OA y sobre OB. El punto /, entonces, será el O, que es el único punto que tienen en común OA y OB, es decir, su intersección. Si los puntos I y O coinciden, el segmento O/ no tendrá longitud, la velocidad de / será cero, e / será el centro instantáneo del cuerpo W. Esto es importante porque describe el movimiento de un cuerpo rígido de una nueva forma. Si un cuerpo está en movimiento y un punto del cuerpo es fijo, el cuerpo sólo puede terier rotación pura alrededor de dicho punto fijo, como un disco que gira alrededor de un eje. Así, en este ejemplo, puede considerarse para este instante que el cuerpo W tiene rotación pura alrededor de /. Esto significa que la velocidad de cualquier punto de W debe ser perpendicular a la línea que lo une con I y que las velocidades de todos los puntos de W deben ser propor cionales a sus distancias a /. Los centros instantáneos de rotación, como el /, pueden localizarse si cono cemos la inclinación de las velocidades de dos puntos del cuerpo. Solamente es necesario dibujar dos perpendiculares a los vectores velocidad por los puntos. El centro instantáneo estará en su intersección.Cuando un cuerpo se mueve con mo vimiento compuesto, cambian las inclinaciones de las velocidades de los puntos móviles con lo que los puntos tales como el / estarán localizados en posiciones di ferentes para cada posición del cuerpo. Por tanto, se les llama con propiedad . centros instantáneos de rotación.
78
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Para saber cómo se utilizan los centros instantáneos para determinar la di rección de los vectores velocidad, examinemos la Figura 3. 31. En el sistema ar ticulado que se muestra, la barra BE es un miembro rígido continuo. Se da la velocidad angular de AB y se pide encontrar la velocidad del punto E. Podemos calcular la velocidad de B (VB = wAn X AB) y trazar su vector OB perpendicular a la manivela AB. Entonces sabemos que: VE = VB
+ -� VE/B E
l BE
o
E
\ \s
Figura 3.31. - Polígono de velocidades y cen tro instantáneo.
La dirección de VE/B es perpendicular a la barra BE, y su vector pasará por B en el polígono. No sabemos la magnitud de VE/B, por lo que sólo podemos señalar que la línea SS tiene una longitud indefinida. El lado de cierre del triángulo vec-_ torial sería OE, pero ya que no sabemos la inclinación de VE, no podemos locali zar el punto E. Usando el centro instantáneo de rotación de la barra BE, encontraremos la �dirección de VE· Dicho centro estará en la intersección de la línea que pasa por B
VELOCIDAD
79
perpendicular a VJI con una línea perpendicular a V e que pasa por C. El pasador C está obligado a moverse a lo largo de la línea central de las guías fijas, y B se mueve perpendicularmente a AB. La localización del centro instantáneo J se ve en la Figura 3.31. Ahora podemos dibujar JE e imponer que V E sea perpendicu lar a JE. • En el polígono vectorial podemos dibujar entonces un vector que pase por O, paralelo a VE como se determinó anteriormente, hasta cortar la línea - SS, loca lizando así el punto E. El vector OE representa la velocidad de E y puede medirse.
3.25. Componentes de traslación-rotación. Se conocen las velocidades de los puntos A y B de la barra de la Figura 3.32 y se pide la velocidad de C. En la dirección AC; e.u.VA= e.u.V 0. Se necesita la dirección de Ve y normalmente podría encontrarse localizando el centro instantá neo de rotación de la barra. Sin embargo, en este caso, si V A y V B son práctica mente paralelas, encontramos que las perpendiculares a estas velocidades se cor tarán en un punto lejano, haciendo J inaccesible a menos que el dibujo sea muy grande.
Figura 3.32. - Componentes útiles de traslación y rotación.
Consideremos otros medios de determinar la velocidad de C. El movimiento compuesto tiene simultáneamente traslación y rotación. Hemos hecho notar que puede considerarse que estos movimientos tienen lugar separadamente por conve niencia de análisis. La barra AB (Figura 3.33) puede moverse de la posición inicial a la A 1B 1 girando primero alrededor del puQto O (intersección de AB y A 1B 1 prolongada) hasta la posición A0B 0 y trasladándose después sobre la línea A 0B 0 hasta A 1B 1• Examinemos las velocidades de A y B en lo que se refiere a estos movimientos por separado. Podemos reemplazar VA por un par de componentes útiles, a lo largo de AB y sobre su perpendicular. V i1 puede representarse análogamente, como en la igura 3.32. Las componentes según AB se les llama componentes de traslación (símbolo: c.u.T), ya que definen las velocidades de A y B cuando el
80
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
B Figura 3.33. - Rotación y traslación en el movimiento compuesto.
cuerpo se traslada a lo largo de AB. Las componentes perpendiculares a AB se conocen como componentes de rotación (símbolo: c.u.R), porque definen las velocidades de A y B cuando gira el cuerpo. Se sabe que las componentes de traslación según AB son iguales en virtud del principio del sólido rígid9. Las componentes de rotación también están re lacionadas unas con otras de manera definida. Ya hemos observado que las ve locidades de los puntos en un cuerpo en rotación son proporcionales a sus dis tancias al eje de rotación. En el movimiento de AB a A 1B 1 (Figura 3.33), fue necesaria la rotación del cuerpo alrededor del punto fijo O. Por tanto, al girar la barra las velocidades de rotación (c.u.RJ de A, B y C serán proporcionales a OA, OB y OC, respectivamente: c.u.R de C oc y c.u.R de A OA c.u.B de B OB c.u.R de A OA Gráficamente, si dibujamos una línea desde a hasta b, encontraremos que c.u.R de C termina en C sobre esta línea, como se ve en la Figura 3.32. En los triángulos semejantes OAa y OCc así formados, Ce Aa
de C c.u.R de A C.U.R
oc
(como se estableció anteriormente)
OA
Como cuando / está lejos, O también lo está, este método gráfico será efec tivo ya que no exige la localización del punto O. Ahora que hemos determinado c.u.R y c.u.'1' de Ve, las perpendiculares des de este par de componentes rectangulares conjugadas definirán la resultante V0• El ejemplo de la Figura 3.34 ilustrará la utilización de este método. La manivela HL gira alrededor del eje fijo H con una velocidad angular conocida. Se pide la velocidad del punto S. Ya que V= mr. VL
= O)HL
X
HL
y es perpendicular a HL. A lo largo de LM, e.u.V¡, = e.u. VM (llamada aquí c.u.T) por la regla del cuerpo rígido. Ya que la resultante VM está sobre las guías fijas, podemos determinar fácilmente VM por una perpendicular a c.u.T de M.
VELOCIDAD
81
Figura 3.34. - Las componentes de rotación son proporcionales.
Ahora descomponemos VL y Vu en las componentes de rotación y tras lación, c.u.11 y c.u.r La c.u.T de S c.u.1' de L y de M. La línea lm define la longitud de c.u.11 de S. La resultante Vs se determina como resultante de c.u.T y c.u. 11 de S.
=
3.26. Rodadura pura. Cuando un cuerpo rueda sobre otro sin deslizar, se dice que tiene rodadura pura. Si los cuerpos deslizan en el contacto, el punto de contacto de un cuerpo se moverá con relación al de contacto del otro cuerpo. El ejemplo más conocido es el del contacto entre el neumático y la calzada en el caso de un automóvil. La Figura 3.35 muestra la rueda W en contacto con la superficie R de la carre tera. El punto P11· sobre la rueda está en contacto con el P11 de la carretera. Si se produce el deslizamiento o "resbalamiento", P 11- deslizará sobre la superficie de la carretera, con lo que tendrá velocidad, mientras que P11, siendo un punto de la carretera, permanece quieto. En función de la velocidad relativa, podemos decir que si hay deslizamiento, las velocidades de P w y P11 son diferentes, mientras que si no hay deslizamiento, las velocidades de esos puntos de contacto son idénti-
R
Figura 3.35. - Centro instantáneo de un cilindro que rueda. LENT - 6
82
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
..,
D
vf= v[ Figura 3.36. - Velocidades en la ro
dadura.
cas. "Deslizamiento nulo" significa "velocidad relativa entre los puntos de con tacto nula", que es el caso de rodadura pura. Si hay rodadura pura entre W y R, Pw tiene la misma velocidad que Pn, que es cero. Ya que el centro instantá neo de rotación es· un punto del cuerpo de velocidad cero, observamos que I r.: está en Pw, el punto de contacto, en todo momento.. Por tanto, todos los puntos de W tendrán velocidades perpendiculares a las líneas que los unen con /w y pro porcionales a sus distancias -a lw. Los discos D y F de la Figura 3.36, giran sobre ejes fijos A y B con con tacto de rodadura pura en C. La velocidad de C sobre el cuerpo D es equiva dente a úJn X AC (V= wr). La velocidad de C en Fes igual a w1,· X BC. Vr en D es igual a Ve en F, ya que no hay deslizamiento. Por tanto podemos hallar una relación entre las velocidades angulares: V�= vg y sustituyendo: OJF X BC = Wv x AC o sea
OJF (J)D -
AC BC (dividiendo ambos miembros por wn y BC)
Ya que AC es igual al radio de D(Rn) y BC el radio de F(Rp): OJF _ Rv (J)D - RF Esto se llama razón de velocidades de los cilindros que ruedan, y puede establecerse que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a los radios. Los sentidos de rotación (señalados por el sentido de Ve) en D y F son opuestos. La leva con un seguidor de rodillo de la Figura 3.37 ilustra que no todos los cuerpos que ruedan son circulares. Se da la velocidad angular de la leva y se va a determinar la velocidad angular del brazo seguidor ST para la posición se ñalada. Se especifica que no hay deslizamiento entre la leva C y el rodillo F.
t
VELOCIDAD
83
T
Figura 3.37. - Velocidades en una leva con seguidor de rodillo.
El punto de contacto P relaciona el movimiento de la leva y del seguidor. La velocidad de P sobre C puede encontrarse fácilmente. La leva C es un cuerpo que tiene rotación pura alrededor de O, por lo que VI' sobre C wc X OP y es perpendicular a OP. Ya que no hay deslizamiento, VP sobre C Vi, sobre el rodillo F. Para determinar la velocidad angular de ST necesitamos saber la ve locidad de S. P y S son del mismo cuerpo rígido, por lo que, a lo largo de la línea PS, e u. V¡,= e.u. V 8. Se sabe que V 8 es perpendicular a ST (ya que ST gi ra alrededor del eje fijo T), por lo que, una perpendicular a e.u. V8 definirá V8· V8 , y el sentido de esta velocidad angular deberá ser compatible con V 8· w8T , ST
= =
=
3.27. Polígonos de velocidades para la rodadura pura. La aplicación del método del polígono de velocidades a los problemas de rodadura ofrece las mismas ventajas de eficiencia y precisión que cuando se apli can a los sistemas articulados conectados con pasadores .. Los principios de velo cidad relativa y la utilización de los centros instantáneos se combinan para pro porcionar otro método distinto del de las componentes útiles, el cual resulta un tanto engorroso. En la rodadura pura, todos los puntos de contacto tienen la misma velo cidad y, por tanto, no tienen velocidad relativa uno respecto de otro. Como he mos visto, la velocidad relativa de un punto de un cuerpo rígido respecto de otro punto es perpendicular a la línea de unión de estos dos puntos, ya que no
'
-
---- - -
84
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
.puede haber velocidad relativa en la dirección que los une. Cuando un cuerpo tiene movimiento compuesto, una línea trazada desde cualquier punto del cuer po a su centro instantáneo debe ser perpendicular al vector velocidad de ese punto, ya que el punto no puede tener componente de velocidad sobre esta línea. El centro instantáneo es un punto sobre un cuerpo que tiene velocidad nula, por lo que no tendrá componente de velocidad en ninguna dirección. Teniendo en cuenta estos hechos, consideremos un ejemplo que encierre rodadura pura. En la Figura 3.38 se ve un tren de discos epicicloidal. El disco
I
/s /
T_
Figura 3.38. - Polígono de velocidades para el tren epicicloidal.
VELOCIDAD
85,
D gira en el sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo B. El �razo triangular A también gira alrededor de B independientemente de D y se ha pro yectado para mantener el disco J en contacto con los D y G. El disco G también se mantiene en un contacto continuo con el anillo fijo F, que es concéntrico con D y aquí se muestra solamente en parte. Se pide determinar la velocidad an gular del brazo A para una velocidad angular dada del disco D, suponiendo que 10 hay deslizamiento en ninguno de los puntos de contacto de rodadura. Podemos calcular la velocidad del punto P, de contacto entre los discos D r J puesto que en D, VP wD X BP, y será perpendicular a BP. El .punto P so >re el disco J tendrá la misma velocidad. Podemos dibujar la línea OP sobre el >olígono vectorial representando a · V1,. Es perpendicular a BP en el meca tismo. Ahora, sobre el disco J, el punto R será el punto de contacto entre J y G, la velocidad de R será la misma en ambos discos J y G. Aplicando de nuevo 1 expresión de la velocidád relativa, vemos que VR VP + -:> VR/P, donde 7 R/P será perpendicular a la línea PR sobre el disco J pero no se conoce su mag itud. Hemos representado ésta por la línea TT de longitud indefinida que pasa or el punto P del polígono. En el triángulo vectorial que representa la expresión anterior, un lado será ·P (línea OP) un segundo lado será Vp¡R , y el de cierre será VR (línea OR). Si 1dieramos determinar la dirección de Vn, podríamos completar este triángulo. otemos que R es un punto del anillo G así como de J. El punto I sobre G �ne la misma velocidad que su correspondiente I sobre el anillo fijo F, o sea, :ro. Un punto de velocidad nula de un cuerpo en movimiento es un centro ins ntáneo de rotación. Por tanto, se puede considerar que el disco G gira alrede >r de I en este instante, estableciendo la dirección de Vn como perpendicular la línea IR del disco G. Así, sobre el polígono vectorial, trazamos un vector sde O, perpendicular a IR (en el mecanismo) hasta encontrar la línea TT en Este define el vector OR, que es la velocidad del punto de contacto R sobre y J. Para determinar la velocidad angular pedida del brazo A, necesitamos sa r la velocidad lineal de algún punto de A (que no sea el punto fijo B). Proba :mente el punto E sea el más fácil de estudiar. Todos los puntos sobre el dis G tienen velocidades proporcionales a sus distancias al centro instantáneo I. í podemos calcular la velocidad de E a partir de la de R: _ JE V E _ IE y VE - IR X VR IR VR Esta velocidad de E está representada por el vector OE del polígono, per dicular a IE del disco G y dirigida de derecha a izquierda. Otro método para :rminar la velocidad de E sería verificar el valor calculado y el sentido del· :or OE:
=
=
86
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Se conoce la velocidad de R (OR sobre el polígono), por lo que a ésta sumaremos la velocidad relativa de E respecto de R. Esta VE/R es perpendicular a la línea RE sobre el dibujo del mecanismo. Por tanto, por el punto R del polí ·gono trazamos la línea SS de longitud indefinida, perpendicular a RE sobre el mecanismo (no sabemos la magnitud de VE;11). Con la dirección de la velocidad de E determinada desde el centro instantáneo del disco G (arriba), podemos di bujar una línea por O, perpendicular a /E, que es la dirección correcta de la velocidad de E. Esta línea cortará a SS en el punto E, cerrando el triángulo vec torial ORE en el polígono. Este punto E de intersección, hará OE igual al valor calculado que se usó anteriormente y podremos verificar que la velocidad de E (vector OE) está dirigido hacia la izquierda. Como E es un pasador del brazo A así como del disco G, podremos calcu lar la velocidad angular de A. Como A gira alrededor del eje fijo B, (l)A
VE
= BE
El sentido será levógiro de acuerdo con la velocidad de E.
3.28. Velocidades en un contacto deslizante. Hemos estudiado mecanismos en los que los bloques estaban proyectados para deslizar en guías fijas. Cuando las guías permanecen fijas, sólo sirven para definir la dirección del movimiento del miembro deslizante y no presentan, así, problemas en el análisis de la velocidad. En algunos mecanismos las guías para los miembros deslizantes también están en movimiento. Para determinar el mo vimiento de las guías móviles, debemos estudiar la relación entre el desplaza miento de las guías y correderas. En la Figura 3.39 una barra acanalada contiene una corredera S. La co rredera puede moverse libre y horizontalmente por la acanaladura, pero no puede hacerlo en un movimiento vertical en ella. Si la barra se mueve ascendentemente hasta M1, posición mostrada en la parte superior, y al mismo tiempo la corredera se mueve sobre la acanaladura hasta la posición S i, el desplazamiento de M será la distancia vertical d, entre las líneas centrales de la acanaladura· en las dos posiciones. El desplazamiento de S es la distancia e medida sobre la diagonal en tre las dos posiciones de la corredera C y C 1 • Si consideramos la componente vertical de e, observamos que es igual al desplazamiento d de M. Como el cen tro de S no puede salirse de la línea central de la acanaladura, esta igualdad será siempre cierta para cualquier desplazamiento de M y S. En un intervalo de tiempo dado, serán iguales los desplazamientos de M y s· en dirección perpendicular a la línea central de la acanaladura. Como V= !1S/ 11T, las velocidades de M y S, en la dirección perpendicular al deslizamiento, siempre serán iguales. Expresado en términos más generales, puede aplicarse este hecho
VELOCIDAD
87
Figura 3.39. - Desplazamiento en un contacto
deslizante.
a todos los miembros deslizantes como sigue: En la dirección perpendicular al
deslizamiento, las velocidades de los dos miembros en contacto deslizante son iguales. Partiendo de este principio, estamos en condiciones de analizar las velo cidades de cuerpos en contacto deslizante. En la Figura 3.40 se muestra un mecanismo consistente en una horquilla acanalada Y que sólo puede moverse en sentido vertical hacia arriba y hacia abajo. Se conduce la horquilla por una manivela que gira alrededor del eje fijo O, cuyo punto P está articulado al bloque B que desliza libremente en la acana ladura de Y. Se pide determinar la velocidad de Y en la posición señalada conociendo la velocidad angular de OP. El pasador P está unido a la manivela OP, que tiene rotación pura. La velocidad de P sobre OP está dada por V wr:
=
V§?P = Wop
X
OP
El pasador P también está unido al bloque B, por tanto,
vi= W
0p
X OP
Ahora podemos relacionar la velocidad de P, del bloque, con la velo cidad de algún punto de Y a fin de determinar la velocidad de Y. Si la horqui lla Y, está construida como se ve en la Figura 3.40 (a), de tal manera que la acanaladura en Y tenga la parte de atrás sólida, hay un punto en la parte tra sera de Y sobre la línea central del pasador P directamente detrás del · punto P del bloque. Comparemos la velocidad de este punto pY con la velocidad del pun to pn del bloque. En la Figura 3.40 (b) estos dos puntos estarán el uno sobre el otro. La regla de la velocidad de deslizamiento expresa que, en la dirección per pendicular al deslizamiento, o sea perpendicular· a la línea central SS de la aca naladura, los puntos pn y p,· tienen la misma velocidad. Como vi= V§?P
que es perpendicular a OP, la velocidad de pn en la dirección perpendicular a SS es la componente útil de v; sobre la línea TT.
88
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
pY
(o)
(b)
Figura 3.40. - Velocidades en una horquilla móvil.
=
Por tanto, e.u. v: sobre TT V}: sobre TT. Como Y tiene movimiento de traslación, todos los puntos de Y tienen velocidades iguales y éstas son de direc ción vertical. Así, Vt sobre TT es la velocidad resultante del punto P de Y, de hecho, la velocidad de toda la horquilla.* Vy e.u. v: sobre TT y el sentido será hacia abajo como se ve en la Fi gura 3.40 (b). La Figura 3.41 muestra una manivela AB que gira alrededor de un eje fijo A con una velocidad angular dada. La corredera S está articulada a AB en B y desliza libremente en la acanaladura producida en la barra curvada N, la cual gira alrededor del pasador fijo C. Se pide hallar la velocidad angular de la barra N. Ya que AB está girando (con dirección perpendicular a AB) V1B = OJAB x AB pero el pasador B es un pasador del bloque B así como de AB, por tanto
=
V1B
=
V�
puesto que el pasador B es común a ambos miembros. Como antes, considere mos un segundo punto B, situado en la barra N, directamente debajo del pun to B de la corredera S. Los puntos B de S y B de N tienen velocidades iguales en dirección perpendicular al deslizamiento (o , perperdicular a EE). Ya que N está girando, Vff debe ser perpendicular a CB. Ni Vj ni Vff son perpendiculares a la línea central EE de la acanaladura, pero la regla expresa que las velocidades útiles de BN y B8 perpendiculares a EE son iguaies. Como se ha obtenido v:, podrá determinarse en la forma indicada la e.u. V� perpendicular a EE. Esta e.u. V! =e.u. Vff y, conocida la dirección de V%, podemos encontrar Vt levan-
* Cuando la velocidad angular de la manivela (OP) es constante, el movimiento de la horquilla (Y) es un movimiento armónico simple.
"'
',
�
·t.J·,
VELOCIDAD
89
E Figura 3.41. - Velocidades sobre una correde ra giratoria.
tando como se indica una perpendicular a e.u. Vi{ hasta la línea de acc1on de v;. Ahora se puede encontrar la velocidad angular de N mediante w V/r: OJN
=
VN
= CB
con sentido levógiro como expresa el sentido de Vf Una leva con seguidor plano nos ofrece otro ejemplo del análisis de la ve locidad del contacto deslizante. La leva C gira a izquierdas alrededor del eje fijo A en la Figura 3.42, con una velocidad angular dada, conduciendo al seguidor
------------s
e Figura 3.42. -Velocidades en una leva con se guidor plano.
90
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
plano F a través del punto de contacto P. Se desea la velocidad de F para la po sición señalada. Como antes, relacionamos las velocidades del punto P de C y P de F. La leva C está en rotación, de manera que V�= Wc X AP y es perpendicular a AP. El deslizamiento tiene lugar sobre la superficie SS de F. El seguidor F se traslada en una dirección vertical, impuesta por los apoyos fijos en los que desliza. Los puntos pe y pF tienen la misma velocidad en la dirección NN, perpendicular a SS, así e.u. V� e.u. Vf, sobre NN. El punto PF , como todos los puntos de F, está obligado a moverse solamente en una trayectoria vertical, por lo que e.u.v; define la resultante V� que es igual a VF·
=
3.29. Velocidad de deslizamiento. Cuando un cuerpo A desliza sobre otro cuerpo B (Figura 3.43), A se mueve sobre la superficie B. A fin de que esto ocurra, Á debe tener un movimiento re lativo a B. Si A y B tuvieran velocidades iguales, se moverían juntos a la misma velocidad y no habría deslizamiento entre ellos. Si A ha de resbalar sobre B, sus velocidades absolutas deben ser de distinta magnitud, dirección, o sentido. La di ferencia de las velocidades absolutas se ha definido como velocidad relativa. Esta velocidad relativa de dos cuerpos en contacto que se mueven, se le llama velocidad de deslizamiento. Es una velocidad muy importante en muchos problemas de di seño de máquinas. La velocidad de deslizamiento entre A y B es la velocidad re lativa de A respecto de B, o sea VA - VB . Como A y B tienen velocidades para lelas, VÁ/B es, en este caso, una diferencia algebraica.*
0
VA
'�
Figura 3.43. - Velocidad de deslizamiento so bre cuerpos en traslación.
3.30. ¿Rodadura o deslizamiento? Cuando dos cuerpos en movimiento están en contacto, o hay rodadura pura, o deslizamiento, y la primera etapa en un estudio de la velocidad es identificar la naturaleza de este contacto. Se hace fácilmente si examinamos las velocidades del * V,.1n = V81_, en magnitud y sólo difiere en el sentido. Normalmente en las velocida des de deslizamiento sólo nos interesan la magnitud o posiblemente dirección de la velo cidad relativa y no necesitamos distinguir cual cuerpo es el que desliza sobre el otro.
VELOCIDAD
91
punto de contacto. Si ambos cuerpos tienen las velocidades iguales en el punto de contacto, están en rodadura pura. Si las velocidades de los puntos de contacto en cada cuerpo difieren por cualquier motivo (magnitud, dirección, o sentido),, están en contacto deslizante.
3.31. Determinación de la velocidad de deslizamiento. En la Figura 3.44, el brazo A gira en sentido dextrógiro alrededor del eje fijo D, haciendo que el cuerpo B gire alrededor del eje fijo E, a través del contac to C. El centro de la parte circular de B es O. La velocidad del punto de contacto C sobre el brazo A es perpendicular a DC e igual a WA X DC (ver vector Vt). La velocidad del punto de contacto C sobre el cuerpo B es perpendicular a EC (ver vector Vg). Estas dos velocidades en el punto de contacto tienen direcciones diferentes por lo que, cualesquiera que sean sus magnitudes, tendremos deslizamiento en C. Hallemos la velocidad de deslizamiento. Vt y vg tienen la misma componen te útil. sobre NN, perpendicular al deslizamiento (e.u. sobre el dibujo). A partir de esta componente común, establecemos la magnitud de vg en la forma normal. La velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa de C en B respecto de C en A (o viceversa). Ésta es la diferencia vectorial, vg - - v¿, ya que estas ve locidades tienen direcciones diferentes. T
Velocidad de deslizamiento f /
B
\
\ � E
D
Figura 3.44. - Velocidad de deslizamiento so bre cuerpos en rotación.
Para encontrar esta velocidad relativa trazamos la opuesta de Vt desde el ex tremo de (La opuesta de Vt tiene sentido opuesto al de la Vt real.) El vector trazado desde C hasta el extremo de - V es la velocidad relativa de desliza-
vi.
t,
92
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
miento. Nótese que como Vt es paralela e igual a - vi, la figura Cabf es un pa ralelogramo. Por tanto, f está sobre la línea TT que es una prolongación de la superficie de contacto de A. TT es tangente al cuerpo B en C, por lo que se establece que la velocidad del deslizamiento está sobre la tangente a las superficies de contacto. Esto será siempre cierto, cualquiera que fuere la magnitud de las velocidades de los puntos de contacto. En suma, la velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa de los pun tos de contacto y está dirigida según la tangente común.
3.32. Polígonos de velocidades para contacto deslizante. Las ventajas de simplicidad y precisión de una escala grande que nos pro porciona el método del polígono vectorial puede aprovecharse adaptando esta técnica a los problemas de deslizamiento. En esta aplicación sacaremos partido de la velocidad de deslizamiento. Este concepto de velocidad relativa sustituye a la componente útil perpendicular al deslizamiento. Cuando dos cuerpos están en contacto deslizante, los puntos de contacto tie nen velocidades distintas sobre cada cuerpo. La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre las velocidades de los dos puntos de contacto, pero esta diferen cia es igual a la velocidad de un punto de contacto menos la del otro. Si los pun tos de contacto son A y B: VB
- -
VA
=
V
i.
deslizamiento
y despejando la velocidad de B VB
=
VA
+-V
deslizamiento
En la Figura 3.45, una leva C gira a la izquierda alrededor del eje fijo A y mantiene contacto continuo con el seguidor plano F. El seguidor resbala hacia arriba y hacia abajo sobre las guías fijas. Se pide determinar la velocidad del seguidor F cuando la leva esté en la posición señalada. (Este mecanismo es si milar al de la Figura 3.42.) El punto de contacto P sobre la leva C (Pª) tiene una velocidad perpendicu lar a AP e igual a wc X AP. Esto se ha representado en el diagrama vectorial por la línea OPª, trazada desde un origen conveniente O. El punto correspondiente P sobre el seguidor F (PF) tiene una velocidad paralela al deslizamiento vertical del seguidor, por lo que las velocidades de los puntos de contacto son diferentes y"hay deslizamiento.
.l•
93
VELOCIDAD
_ _ _ _ __
s
o
· 1/ .guías de F
Figura 3.45. - Polígono de velocidades para una leva.
La dirección de deslizamiento es tangente a la superficie de la leva en P, o sobre la superficie plana del seguidor (ver línea SS). En este caso, la expresión de velocidad relativa para los dos puntos de contacto (Pº y PF) es:
vi=
V�+� V
des11zmm1ento
La velocidad de deslizamiento está sobre la tangente común SS, que pasa por P.. Sobre el diagrama vectorial tenemos la vi señalada como OPº, trazada a escala. Podemos sumar a ésta una línea que pase por pe paralela a SS. Ésta re presenta la dirección de VctesI cuya magnitud aún no está determinada. La suma de estas dos velocidades (V¡; y Vaesi) es igual a v;, de acuerdo con la expresión anterior. Así el vector QPF debe ser el tercer lado del triángulo vectorial. Como la velocidad de P sobre F es paralela a las guías seguidoras, se traza este vector en esta dirección pasando pór O, hasta encontrar el vector Vdesi en PF. (Este tri-· ángulo vectorial se ha representado también sobre el mecanismo para facilitar la explicación, pero no es necesario para la solución.) La magnitud de la velocidad de F (V�) es igual a la longitud del vector QPF. La velocidad de deslizamiento
94
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
E Figura 3.46. - Polígono de velocidades para el contacto deslizante.
también· puede medirse a escala en el polígono, midiendo el vector pcpF , que es la velocidad relativa de los dos puntos P. Un segundo ejemplo de UI.J. mecanismo de contacto deslizante (similar al de la Figura 3.41) se muestra en la Figura 3.46. La manivela AB gira en sentido contrario a las agujas de un reloj con velocidad conocida alrededor del eje fijo A. La corredera S está articulada a la manivela en B y desliza en la acanaladura, en el brazo curvo N. Este brazo acanalado gira alrededor del eje fijo C. Se pide hallar la velocidad angular del brazo N cuando esté N en la posición señalada. Podemos calcular la velocidad del pasador B de la manivela AB, V�B wAB X AB . . Como este pasador une la manivela AB a la corredera S, la veloci dad de B sobre AB es igual a la velocidad de B sobre S. Ver el vector OB8, traza do desde el origen O en dirección perpendicular a la manivela AB (paralela a la línea FF sobre el dibujo del mecanismo). Consideremos ahora la velocidad de un segundo punto B que esté directa mente unido al pasador B sobre la corredera, pero que sea un punto del brazo N. La velocidad del pasador B de S relativa al punto de coincidencia B de ¡y, se le llama velocidad de deslizamiento. Es igual a la diferencia de las velocidades de los dos puntos B y es paralela a la línea central de la acanaladura EE. Podemos volver a escribir Vdes1 v: vi en la forma siguiente: v: =vi+ Vdesi, ya que es Vff lo que deseamos hallar. Ahora, siguiendo esta expresión en el diagrama vectorial, podemos sumar al vector Vj (vector OB8) un vector representativo de la velocidad de deslizamiento. No sabemos la magnitud de Vdesi, pero sí que es paralela a la línea EE, que es la dirección del deslizamiento.
l.
=
=
=
--
� 1
VELOCIDAD
95
El lado de cierre de este triángulo vectorial será v_:, suma de Vctesi y Vf De nuevo no sabemos la magnitud de este vector V¡{, pero sí su dirección. Como to dos los puntos de N, la velocidad de B sobre 'tv será perpendicular a la línea de unión de B N con el eje fijo de rotación, C. El vector representativo de Vff se llamará OBN sobre el triángulo vectorial y se trazará_ por O, perpendicular a CB (o sea paralelo a TT) sobre el mecanismo. Éste cortará al vector de VdesI en el punto BN, estableciendo así la longitud de OBN (Vf{) y de B 8B N (Vdes1). Este vector OBN puede medirse a escala para determinar la velocidad del punto B sobre el brazo N. Para encontrar la velocidad angular pedida de N, di vidimos v; por la distancia CB.
PROBLEMAS Muchos de estos problemas se han proyectado para resolverlos sin cálculos o por métodos gráficos. En todos los casos, se recomienda y es más rápida y cor ta, la solución gráfica. La precisión del trazado gráfico, como se estableció en el Capítulo 1, depende de la precisión del dibujo lineal, de las medidas y de una sabia elección de las escalas de los vectores. Si se usan los cálculos, la mayoría de los triángulos se resolverán como triángulos rectángulos y aplicaremos el teorema de Pitágoras. * En muchos casos, estos triángulos comprenden ángulos comunes o razones enteras de los lados,_ como se ve en la Figura 3 .47. El estudiante debe tratar de reconocer y sacar ventaja de esta simplificación. Se deberán siempre guiar los cálculos por trazados a mano alzada que indiquen las relaciones.
1� v3li 1
1
·� 3
l5li 8
12� 5
Figura 3.47. - Razones de lados de triángulos rectángulos corrientes.
Si se hacen los problemas gráficamente, se pueden dibujar los vectores sobre el mecanismo o usarse el método del polígono vectorial. Ya que este último mé todo emplea un diagrama de vectores libres, separado del mecanismo, se pueden utilizar escalas de velocidad más grandes, lo que contribuye a la exactitud de la solución. El profesor puede designar la elección del método. * Este teorema dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
96
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
El autor sugiere que en las asignaciones iniciales, donde lo importante es aprender el método, más que el obtener soluciones precisas, es conveniente bos quejar los sistemas de vectores a mano alzada por completo, estableciendo la es cala, tamaños relativos, e inclinaciones de los vectores, a ojo. Las respuestas deter minadas mediante un boceto no son prácticamente válidas, pero puede conocerse a fondo el método muy eficientemente si se eliminan los ajustes según la escala y la manipulación de los instrumen.t:os. Se puede posponer la precisión del dibujo hasta que el estudiante sea capaz de intentar problemas más ambiciosos. Si se usan instrumentos de dibujo precisos se puede eliminar mucho tiempo de trazado re duciendo a las partes esenciales el mecanismo, como se sugirió anteriormente en el texto. Un detalle muy importante cualquiera que sea la técnica usada para la so lución, tan importante ·para el estudiante que hace el problema como para el pro fesor que lo corrige, es: una nomenclatura cuidadosa y concienzuda de los vecto res, componentes y centros instantáneos. 3.1. Un avión a reacción vuela sin pararse desde Nueva York a Madrid, 5328 km en 6 horas 48 minutos. ¿Cuál es la velocidad media del viaje? El viaje de vuelta no se hizo por la misma ruta intentando evitar el mal tiempo, invirtiéndose 7 horas 36 minutos. Si la velocidad media en el viaje de vuelta se estima en 720 km/h. ¿Cuántos Km recorrió? 3.2. El disco W, de 30 cm de diámetro, gira, en el sentido de las agujas de un reloj, alrededor de un eje fijo O en su centro, con velocidad constante. (Figu ra P3.2). La velocidad del punto C es 210 cm/min. ¿Cuál es la velocidad an gular de U,:, la velocidad tangencial en la circunferencia del disco y la velocidad angular del lado plano AB? Se dan las dimensiones en el dibujo. Dar las velo cidades angulares en radianes/segundo. A
45° ,
B
w Figura P3.2
F�_______
.
L_�
�_3ü°
F
�� � D Figura P3.3
3.3. La manivela DE de 5 cm de longitud gira en sentido contrario de las agujas de un reloj, alrededor de un eje fijo D, a 10 rad/s. El bloque F desliza libremente en las guías fijas. ¿Cuál es la velocidad de F en la posición señalada en la Figu ra P3.3?
VELOCIDAD
97
Representar el vector para indicar el sentido.
3.4. En el sistema articulado representado en la Figura P3.4, A y E son ejes fijos.
DBC es una barra rígida. AB = DB = BC = BF =FE= 7,5 cm. Si la ve locidad de D en la posición indicada es de 100 cm/s, hacia A, determinar la velocidad lineal de C y la velocidad angular de FE.
Figura P3.4
3.5. El sistema articulado de la Figura P3.5 está accionado por la manivela OR
que gira en sentido .contrario al de las agujas de un reloj, alrededor del eje fijo O, a 70 rad/min. El miembro STL gira alrededor del eje fijo T. Se dan las dimensiones en el dibujo. Determinar las velocidades angulares de ST,T.., y MP en la posición indicada.
cm
Figura P3.5
3.6. AB gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del ej� fijo D a 1 rad/s.
AD = BD = 2,5 cm, BC = 12,5 cm, y las inclinaciones de AE y CE se mues tran en la Figura P3.6. Determinar la velocidad lineal de E en la posición se ñalada. 3.7. El disco W gira en sentido de las agujas de un reloj a 10 rad/s alrededor del eje fijo O. Los puntos L, P, R y M están todos sobre un cuerpo rígido que está
LENT- 7
('
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
98
,
E
L
B Figura P3.6
p
ͷ��
•
° ��-
45
'
M
w Figura P3.7
articulado a W en L y al bloque deslizante en las guías fijas en M. OL = 3,25 cm, LM = 16,25 cm, y las otras dimensiones y ángulos se dan en la Figura P3.7. Encontrar las velocidades líneales de los puntos P y R. 3.8. En el sistema articulado que se ve en la Figura P3.8, el brazo ABC gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A a 0,5 rad/s. AB = 5 cm, BC = 7,5 cm, CD= 7,5 cm, BE= 5 cm, F es el punto medio de la barra DE, FG = 8,75 cm, AG = 10,3 cm; G es un eje fijo. Encontrar la velocidad lineal de F y la velocidad angular de GF. 3.9. En la Figura P3.9, J y M son ejes fijos, RL es una barra continua, JK = 5 cm, LM = 7,5 cm, RK = 5 cm, KP = 7,5 cm, PL = 2,5 cm. Situar el centro ins tantáneo de rotación de RL. Encontrar la velocidad lineal de los puntos P y R (en la posición mostrada) si fa velocidad angular de JK es 10 rad/s.
C.
11
99
VELOCIDAD
e
L
Figura P3.8
Figura P3.9
3.10. En la Figura P3.10, ST gira alrededor del eje fijo S. RT es perpendicular a ST Y RW. El bloque W desliza en las guías fijas perpendiculares a RW con una velocidad de 7,5 cm/s, hacia abajo, en la posición señalada. ST = 2,5 cm, TR = = 5 cm, y RW = l 5 cm. Localizar el centro instantáneo de rotación de RW y encontrar la velocidad angular de RW. a) Cuando ST gira en sentido de las agujas de un reloj a 1 rad/s. b) Cuando ST gira en sentido contrario de las agujas de un reloj a 1 rad/s. 3.11. El cuadrilátero articulado de la Figura P3.ll tiene ejes fijos en K y G. HJ = = 12,5 cm, GH = 6,25 cm, y JK = 7,5 cm. Los ángulos se ven en el dibujo. Si la velocidad angular de GH = 4 rad/s, encontrar las velocidades angulares de KJ y HJ en la posición mostrada. 3.12. Dos barras rígidas-, ABC y CDE, están articuladas entre sí en C y articuladas a los bloques deslizantes en las guías fijas en A, B y E como se ve en la FiguH
=------�
•<
R
G
w K
Vw J Figura P3.10
Figura P3.11
100
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
,, p
e Figura P3.13
Figura P3.12
ra P3.12. AB = 13,65 cm, BC = 3,75 cm, CD = 6,25 cm, DE= 10 cm. Los ángulos se dan en el dibujo. En la posición señalada, la velocidad de A es igual a 5 cm/s. Localizar el centro instantáneo de rotación de la barra CDE y deter minar la velocidad del punto D. 3.13. En la Figura P3.13 MR y ST son barras rígidas. M es un eje fijo, y el bloque S desliza en las guías fijas. MQ = QR = SQ = QT = RP = TP = 7,5 cm. Si MR gira en sentido contrario de las agujas de un reloj a 1/3 rad/ s, hallar la velo cidad relativa de R respecto a T y la velocidad relativa de P respecto de Q. 3.14. El disco W de la Figura P3.14 gira alrededor del centro fijo O. Si la velocidad relativa del punto A respecto de B = 12,5 cm/s, hallar la velocidad angular de W y la velocidad de B. 3.15. La manivela OL gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor de un eje fijo O a 1 O rad/ mio. LR es una barra rígida articulada a un bloque en R, el
I
<;-1
4 c: 1
w
18
�3 cm
Figura P3.14
6 cm
1
11 cm
p
L
1 1
f
l=,o,2c=1o Figura P3.15
VELOCIDAD
101
cual se desliza en una guía vertical fija. PK es una barra rígida articulada a RL en M y a la manivela horizontal JK en K. JK gira alrededor del eje fijo J. OL = = 3,75 cm, LM = 10 cm, MR = 2,5 cm, PM = 5 cm, MK = 10 cm y KJ = 7 cm En la Figura P3.15 se ven las otras dimensiones y los ángulos. Determinar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de PK cuando la manivela OL está en la posición vertical mostrada. 3.16. En la Figura P3.16, la manivela vertical AB gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo Á a 1 rad/ s. La biela BC está articulada a AB en B y desliza libremente a través de un agujero en el cilindro E. D es el eje fijo de E que gira libremente en los apoyos fijos señalados. AB = 7,6 cm y BC = 17, 8 cm. Las otras dimensiones se dan en el dibujo. Determinar la velocidad lineal del punto C y la velocidad angular de la biela BC.
=
B
Figura P3.16
3.17. El tren de discos que se ve en la Figura P3.17 es un prototipo de un tren de en granajes. Todos los discos están montados sobre ejes fijos. Hay rodadura sin deslizamiento entre A y B y entre C y E. B y C están unidos, así que giran con la misma velocidad. Los diámetros de los discos son los siguientes: A = 22,5 cm, B = 7,5 cm, C = 17,5 cm y E= 5 cm. Si A es el conductor y E el conducido, ¿cuál es la relación de wE a wA (llamada razón de velocidad)? Si A gira 100 rpm a derechas, ¿cuál es la velocidad angular. y el sentido de E (dar 1a respuesta en rpm)?
A Figura P3.17
3.18. En la Figura P3.18 se ve un tren de discos epicicloidal. El disco W y el brazo A giran independientemente alrededor del eje O, situado en el centro del anillo
102
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
E
Figura P3.19
Figura P3.18
fijo R. El diámetro interior de R es 20 cm, el diámetro de W es 12,5 cm, y el diámetro de N es 3,75 cm. El disco N rueda sin deslizar sobre W y R. Si W gira a 100 rpm, a derechas, determinar la velocidad angular en módulo y sen tido del brazo A (dar la respuesta en rpm). l.19. La excéntrica E, de 15 cm de diámetro con centro en O gira alrededor del eje fijo A a 0,5 rad/ s, en sentido contrario al de las agujas de un reloj. El rodi llo R, de 10 cm de diámetro, gira libremente alrededor del pasador P en el bloque B, señalado de puntos en la Figura P3.19. Se mantiene la rodadura pura entre E y R mediante un muelle no representado. El bloque B desliza en la guía fija vertical (de puntos) cuya línea central pasa por A. Determinar la velocidad lineal de P y la velocidad angular de R cuando está en la posición señalada. 3.20. La biela AB, de 11,25 cm de largo, está articulada a los centros de dos discos de diámetro 10 cm, W y M, los cuales ruedan sin deslizar sobre una superficie F
-�
7,6 cm
Figura P3.20
VE[.OCIDAD
103
fija S. La barra EF (longitud 18,75 cm) está articulada a W en E. EG tiene 15,6 cm de longitud. La barra CG está articulada a M en C y a EF en G, como se ve en la Figura P3.2O. Si la velocidad angular de W es 0,5 rad/s, a izquier das, determinar la velocidad lineal del pasador F. 3.21. En la Figura P3.21, M es un miembro rígido que gira libremente alrededor del eje fijo O. La manivela AB (5 cm de longitud) gira alrededor del eje fijo A a 1,5 rad/min a izquierdas. CD (9 cm de longitud) gira alrededor del eje fijo D. Los manguitos que deslizan libremente sobre M están articulados a AB y CD en B y C. Determinar las velocidades angulares de M y CD para la posición indicada.
E o
2, 5 cm
� ., \ A ��'1 E
Figura P3.21
Figura P3.22
3.22. La excéntrica E, de 10 cm de diámetro, gira alrededor de un eje fijo A a 1 rad/s,
en sentido contrario de las agujas de un reloj. E está en contacto con la arma dura F en R y P, como se ve en la Figura P3.22. F desliza en los apoyos verti cales que se indican. Determinar la velocidad de F y la velocidad de desliza miento entre E y F en los puntos de contacto R y P. 3.23. La leva C gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O a 1 rad/s. El seguidor puntual F desliza en unas guías verticales fijas y se man tiene en contacto con la leva mediante un muelle no representado. · Determinar la velocidad de F en la posición señalada en la Figura P3.23 y la velocidad de deslizamiento entre F y C. 3.24. Los discos W y X tienen rodadura pura. W gira a 2 rad/min, a izquierdas, al rededor del eje fijo O. X gira alrededor del eje fijo R. La barra acanalada M está articulada a W en A. El bloque W gira libremente sobre el pasador P de X y desliza en la acanaladura en M. Determinar la velocidad angular de la ba rra M y la velocidad lineal del punto S pra la posición señalada en la Figu ra P3.24. AS= 20,9 cm
104
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura P3.23
X
p 12,7 cm diám
w T
Figura P3.24
Figura P3.25
3.25. En el mecanismo de balancín deslizante, que se ve en la Figura P3.25, la ma
nivela BC tiene 10 cm de longitud y gira alrededor del eje fijo B a 1 rad/s. El pasador C lleva un bloque que desliza libremente en la acanaladura del balan cín. RT = 21,25 cm. Las guías fijas de los bloques R y T son perpendiculares. a) Determinar las velocidades de R y T cuando BC está en la posición señalada. b) Determinar las velocidades de R y T cuando R está en la posición señalada pero BC está en la otra posición. 3.26. En la Figura P3.26, se muestra un mecanismo de velocidad variable accionado por rozamiento. El eje de entrada, gira con velocidad constante de 1725 rpm accionando el cono 1. La rueda intermedia entre los conos tiene rodadura pura
�· -
-- --- -
-
VELOCIDAD
105
en todas las posiciones con ambos conos. Puede ajustarse a diferentes posiciones a lo largo de un eje mediante el tornillo y cabeza de control. (La rueda inter media gira libremente sobre un soporte que está roscado internamente e impo sibilitado de girar po·r una palanca no señalada en la Figura.) El eje de salida gira con el cono 2. Determinar la velocidad del eje de salida cuando la rueda intermedia está en las posiciones A, B y C que se ven en el dibujo. Establecer la dirección de la rotación de salida relativa al eje de entrada.
E
ü
r--_ 00
Salida Cabeza de control Figura P3.26
·-.
4 Aceleración
Para el proyectista de máquinas, la aceleración es una propiedad muy importan te del movimiento. Una fórmula básica de la dinámica expresa que fuerza es igual a masa por aceleración (F = ma). Aún cuando la Cinemática no se ocupe de las fuerzas, el estudio de la aceleración adquiere una importancia vital en el planteo de los problemas de Dinámica. La aceleración es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. La va riación de velocidad dividida por el tiempo necesario para hacer dicha variación, es la aceleración. La disminución de velocidad por unidad de tiempo se llama técnicamente deceleración. Es una aceleración negativa, por lo que no es necesa rio establecer una distinción estricta entre los términos "aceleración" y "decele ración". Es más difícil de visualizar y predecir la aceleración que la velocidad. Exige esa disciplina mental estricta y una confianza en el razonamiento analítico tan típicas de la formación del ingeniero.
4.1. Aceleración lineal (Símbolo: a). La variación de la velocidad lineal por unidad de tiempo, se llama acelera ción lineal. Es una propiedad del movimiento de un punto de un cuerpo que tiene movimiento de traslación. Las unidades corrientes de la aceleración lineal son: centímetro por segundo por segundo, o metro por segundo por segundo. Como tie ne magnitud y dirección, es una cantidad vectorial; por lo que se pueden utilizar libremente los vectores para definir las aceleraciones y evitar los cálculos dema .siado largos. 106
�-
-
--
��
---
-
ACELERACIÓN
107
4.2. Aceleración lineal uniforme. Si un punto se mueve sobre una trayectoria recta, de manera que su veloci dad varíe en la misma cantidad en sucesivos intervalos de tiempo iguales, se dice que tiene aceleración uniforme o constante. Por ejemplo, la caída libre de un cuer po tiene aceleración constante. La aceleración es igual a la variación de velocidad (11 V) dividida por el intervalo de tiempo, durante el cual tiene lugar ese cam bio (11T):
Si designamos la velocidad al principio de ese intervalo como Vº y la velocidad al final del mismo V', entonces
-V
AV Vf - Vº y a = AT = AT Si abandonamos un cuerpo partiendo del reposo, adquirirá una velocidad de 4, 9 m/s al final del primer 1/2 s, y una velocidad de 9, 8 m/s después del si guiente 1/2 s, etc., la aceleración es igual: AV= vr
- AV a - AT -
º
vr - Vº - 9 , 8 - 4, 9 - 9 8 m/s2 - ' AT 1/2
Cuando la aceleración lineal es constante, podemos obtener las ecuaciones para la velocidad y desplazamiento que son muy útiles en el análisis de los me canismos. Puesto que a= (V1 - Vº)/ 6.T, podemos obtener la velocidad final (V1), que alcanzará cuando un punto con una velocidad inicial (Vº) se desplaza con una aceleración constante dada durante el tiempo 6.T: V1 Vº + a.1T (despejando V1 en la ecuación anterior) El desplazamiento de un punto durante un intervalo de tiempo 6.T es igual a la velocidad media multiplicada por el tiempo 6.T: S vm 6.T La velocidad media, sin embargo, es igual a la suma de la velocidad al comienzo del intervalo (Vº) y la velocidad al final del mismo (VI) dividida por dos: º f vm =V + V 2 Vº + a 6.T Si sustituimos V1 º + a T) Vº ll. = V + all.T v m = + (V o 2 2 m v 6.T, así Pero Z s = º + a �T)Ar = Vº AT + a(�T)
=
=
=
=
(v
-
,
t
108
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La velocidad final también puede expresarse en función de la aceleración y del desplazamiento sin utilizar el factor de tiempo f...T:
+ a /:iT (de antes) (V1)2 = (Vº)2 + 2Vº(a /:iT) + (a l:1T)2 (elevando al cuadrado ambos V' = Vº
miembros de la ecuación)
S = Vºl:iT (2a)S = (2a)Vº /:iT
+ a(l:1T) 2
(de antes)
+ (2a)ail:1T)
2
2aS = 2Vºa /:iT
o sea,
2
(multiplicando por 2a)
+ (a l:1T)2
Nótese que los dos últimos términos de la ecuación cuadrática anterior son igual a 2aS; Si sustituimos estos dos últimos términos de la ecuación por 2aS: (Vf)2 = (Vº)2
+ 2aS
4.3. Aceleración lineal variable. Si la variación de velocidad de un punto en movimiento no es la misma en los sucesivos intervalos de tiempo iguales, la aceleración es variable y tendrá un valor diferente para cada instante. Si un punto recorre una trayectoria recta, partiendo del reposo, de manera que su velocidad sea 5 m/s al final de :0 s, 15 m/s al final del segundo intervalo de 110 s, y 30 m/s al final del tercer }u s, observamos que tiene aceleración variable. En el primer intervalo, la aceleración media es: l:iV _ V1 - Vº _ 5 - O _ 50 m/s2· a mi _ /:iT - /:iT - � En el segundo intervalo, la aceleración media es: º _ V1 - V _ 1 5 - 5 _ 100- m/s2 amz /:iT -�-
En el tercer intervalo - 30 - 1 5 am ----150 m/s2 3
1&
Estas aceleraciones medias son, en gran manera, de interés estadístico, ya que la aceleración real varía continuamente a lo largo de cada intervalo. En el estu dio de un proyecto suele necesitarse la aceleración real en un instante dado.
f.
ACELERACIÓN
109
El método de estudio de las aceleraciones instantáneas sigue la misma pauta, excepto que se usan muy pequeños intervalos de tiempo (iiT) y la correspondien te variación de velocidad (� V). Cuando estos pequeños incrementos de tiempo tiendan a cero, obtenemos la aceleración instantánea. a=
!i
(cuando iiT tiende a cero)
=
En lenguaje de cálculo, esta definición pasa a ser a dV/dT, la primera de rivada de la velocidad con respecto al tiempo. (Como V dS/dT, la aceleración también se puede expresar en la forma a= d2 S/dT2 , o sea, la derivada segunda del desplazamiento respecto del tiempo.) Cuando un punto recorre una trayectoria recta, su velocidad está dirigida en todo momento a lo largo de esa trayectoria. Los cambios en la velocidad, lo son en magnitud y posiblemente en sentido, pero la inclinación permanece constante. Las diferencias de velocidad son, por tanto, algebraicas, y no se necesitan usar los vectores. Como todas las velocidades son de la misma inclinación, todas las ace leraciones estarán igualmente dirigidas sobre la trayectoria recta del movimiento.
=
4.4. Aceleración lineal sobre trayectorias curvas. Si un punto recorre una trayectoria curva, su velocidad cambia de dirección así como de magnitud. El pmbio de velocidad AV es, por tanto, la diferencia vec torial entre la velocidad original (Vº) y la final (V') para el principio y el final del intervalo de tiempo iiT: AV V1 - -Vº L\T = L\T =
ª
En la Figura 4.1 (a), el punto A recorre la trayectoria curva que se muestra. Al principio del intervalo de tiempo .iiT, el punto está en A º y tiene una velocidad para ese instante Vº , dirigida a lo largo o tangente a la curva en A º. Para el final del intervalo de tiempo LiT, el punto ha alcanzado la posición A1 y ha adquirido una velocidad incrementada V', también tangente a la curva en A1. El cambio de velocidad (iiV) durante el tiempo �T es, por tanto, la diferencia vectorial (VI - � Vº) en el diagrama de vectores libres de la Figura 4.1 (b). Al hacer esto se tiene en cuenta todo el cambio de magnitud, como el de dirección.
Aº
-----o
vº
==-•
-- ....__
(o)
o At
�
6V�
-v º (b)
Figura 4.1. - Variación de velocidad de un punto de una trayectoria curva.
,
110
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La dirección de la aceleración lineal será en todos los casos la misma que la dirección en la cual varía la velocidad, o sea, la del vector !i V. Un cuerpo en movimiento de traslación puede considerarse que tiene acele ración lineal. Como las velocidades de todos los puntos del cuerpo son iguales para cualquier instante dado, las variaciones de velocidad de esos puntos serán iguales para cualquier intervalo dado. La aceleración lineal del cuerpo en con junto será, por tanto, igual a la de uno cualquiera de sus puntos. 4.5. Aceleración angular
(Símbolo: a [alfa]).
La variación de velocidad angular por unidad de tiempo se llama aceleración angular. Es una propiedad del movimiento de cuerpos o líneas y no puede apli carse a puntos, puesto que su movimiento angular no tiene significado. Las uni dades corrientes de aceleración angular son radianes por segundo por segundo.
4.6. Aceleración angular uniforme. Si un cuerpo gira de tal manera que su velocidad angular varíe la misma can tidad en iguales intervalos de tiempo, se dice que su aceleración angular es cons tante o uniforme. Lo mismo que con la aceleración lineal, la variación de veloci dad angular (!iw) que tiene lugar en un intervalo de tiempo dado, dividido por dicho intervalo de tiempo, es igual a la aceleración angular (a): !101 -AT Si designamos la velocidad angular al principio del intervalo por wº y la del final por o/. ('j,-
y Esta ecuación dará una expresión para la velocidad angular final (o/) obte nida por una línea que tiene una velocidad angular original de w0 y que gira du rante un tiempo !iT, con una aceleración angular constante: wr = 01º
+ ('J,/l.T
(despejando o/ en la ecuación anterior)
El desplazamiento angular (0) de una línea durante cualquier intervalo de tiempo !iT es igual a la velocidad angular media durante ese intervalo, multiplicada por el tiempo !iT, 0
=w
m
X !iT
�
.---
-----
-
ACELERACIÓN
111
Esta velocidad angular media es igual a la suma de las velocidades inicial y final, divididas por dos. m
ú)
roº+ ro1 = --2--
rof =roº+ ruiT: º º wm =ro + (ro + a JiT) =roº+ a JiT 2 2
y sustituyendo
Ya que 0
=w
m
X tiT,
La velocidad angular final puede expresarse en función de la aceleración y desplazamiento angulares, eliminando el factor tiempo. Como «/ wº + a l:iT, elevando al cuadrado ambos miembros:
=
(ro1)2 =(roº)2+ 2roºa JiT+ (a JiT)2 a(JiT)2 0 = roº JiT+ - - (de antes) 2 y multiplicando por 2a: 2a0 =2aro0 JiT+ (aliT)2 En la ecuación de (w/)2, sustituimos por 2a0 los dos últimos términos y (rof) 2 =(roº)2+ 2a0 Nótese que estas ecuaciones son similares a las de la aceleración lineal uniforme del artículo 4.2, excepto que se ha sustituido a por ,a, V por w y S por e. 4.7. Aceleración angular variable. Si las variaciones de velocidad angular de una línea en rotación en interva los de tiempo sucesivos iguales, no fueran iguales, la aceleración angular sería variable y tendría un valor diferente para cada instante. En un intervalo de tiem po dado tJ.T, lá aceleración angular media será igual al cambio de la velocidad angular durante ese intervalo dividido por el tiempo tiT:
Este valor medio no será la aceleración correcta a lo largo de todo el inter valo, ya que la aceleración cambiará continuamente.
• 112
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Como antes, nos acercamos al valor verdadero de la aceleración instantá nea usando un intervalo de tiempo /j_T muy pequeño y la variación correspon diente, /j_w. Cuando este incremento de tiempo tiende a O, obtenemos el valor instantáneo de la aceleración angular a = !J..w IJ..T
(cuando /j_T tiende a cero)
En el lenguaje del cálculo, esta definición pasa a ser: a= d w dT la derivada primera de la velocidad angular con respecto al tiempo, o ya que w = d0/dT la derivada segunda del desplazamiento angular respecto del tiempo. Como estamos limitando nuestro estudio al movimiento en un plano umco, o en planos paralelos, los cambios de las velocidades angulares sólo afectan a la magnitud y posiblemente al sentido, por lo que las diferencias de velocidad son algebraicas y no vectoriales.* 4.8. Aceleraciones en cuerpos en traslación. Los cuerpos en traslación se mueven sin girar. Hemos observado que las ve locidades de todos los puntos en cuerpos en traslación son iguales (artículo 3.1) para cualquier instante dado. Si estas velocidades, cambian de un instante al si guiente, todas deben cambiar en la misma medida o no podrían mantener la igual dad en todo momento.
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Figura 4.2. - Aceleraciones sobre un cuerpo en traslación.
* Las velocidades angulares pueden representarse vectorialmente y ello resulta nece sario cuando los ejes de rotación no son paralelos, si bien no necesitamos tales vectores en cinemática plana.
ACELERACIÓN
113
Ya que la aceleración es igual a la variac10n de velocidad por unidad de tiempo y todos los puntos del cuerpo tienen la misma variación de velocidad por unidad de tiempo; se deduce que todos los puntos sobre un cuerpo con movimien to de traslación, tienen aceleraciones iguales en un instante dado cualquiera. La dirección de estas aceleraciones será la misma _que la dirección -del movimiento, o sea, dirigidas según las trayectorias de los puntos (paralelas), como se ve en la Figura 4.2. 4.9. Aceleraciones lineales en cuerpos que giran a velocidad constante.
Consideremos primero el caso de un cuerpo en rotación pura con velocidad angular constante. Cualquier punto sobre tal cuerpo tendrá una velocidad igual a la velocidad angular multiplicada por su distancia al eje de rotación (V= w·r) perpendicular a la línea radial de unión del punto y el eje. Como w y r permanecen constantes, también permanecerá constante en magnitud su velocidad lineal, pero cambiará en inclinación cuando el cuerpo gira. Así, pues, habrá una variación de velocidad y por tanto,, aceleración. El disco W, en la Figura 4.3 (a) gira en el sentido de las agujas de un reloj con velocidad angular constante ww alrededor del eje fijo O, que pasa por su cen tro. Un punto cualquiera de W, tal como el A, situado a la distancia r de O, tiene una velocidad lineal VA = ww·r, perpendicular a OA. Supongamos que, en un, pequeño intervalo de tiempo (!).D la línea OA gira un ángulo pequeño M}, cuan-" do A se mueve de A º a A'. Ya que !).T es un intervalo de tiempo muy pequeño, podemos considerar que la aceleración es uniforme en el intervalo sin introducir un error apreciable.
e
p�
w
(b}
(e}
(a} Figura 4.3. - Variaciones de velocidad de un cuerpo que gira a velocidad constante en mag-
114
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Esta diferencia vectorial se muestra en el diagrama . vectores libres de la Figura 4.3 (b). Ya que VI se dibuja perpendicularmente a OA1 y Vº es perpen dicular a OA º, el ángulo entre V' y Vº será igual al ángulo entre CA1 y CA º, que es el ángulo !10. Hemos demostrado (en el artículo 2.3) que la longitud de arco (P) subtendida por un ángulo (0) es igual al radio del arco (r) multiplicado por el ángulo en radianes: (P r0). Cuando el ángulo es muy pequeño, como en la Figura 4.3 (c), el arco subtendido y su cuerda (C) son prácticamente iguales, por lo que la cuerda será esencialmente igual al radio multiplicado por el ángulo expresado en radianes (C= r0). En la Figura 4.3 (b), v1 es igual a Vº, por lo que tiV puede considerarse la cuerda del círculo de radio V subtendida por un ángulo de !10. Como !10 es muy pequeño, podemos establecer que tiV= V. !10 cuando !10 tiende a cero. Entonces la aceleración de A será: VA/10 = dVA ªA dT = dT Si sustituimos w !10/!).T:
=
=
y sustituyendo VA
= ww.r: a,1.
= (cow)Zr*
como !10 estaba en radianes en la ecuación !).V= V/10; el w de la ecuación ante rior debe estar en radianes por unidad de tiempo. La dirección de esta aceleración será la misma que la de tiV. Cuando el ángulo !10 tienda a cero, el ángulo tiV y VA tenderá a 90°, en cuyo caso tiV sería paralela a OA, y estaría dirigido hacia el eje O. Como r y w son constan tes, la magnitud de aA permanecerá constante cuando el cuerpo gire. En conclusión, la aceleración de un punto cualquiera de un cuerpo que gira con velocidad constante es igual al cuadrado de la velocidad angular del cuer po (en radianes por unidad de tiempo) multiplicada por la distancia del punto al eje de rotación.
a= ü?r
(dirigida hacia el eje de rotación)
Como esta aceleración es normal (perpendicular) a la trayectoria del punto en todo momento, y por tanto radial con respecto al eje, se le llama aceleración normal o radial (az, o aR). Esta aceleración es debida sólo, al cambio de inclina* Esta ecuación puede adoptar otra forma:
VA si sustituimos row =- en la ecuación aA = VA· row. A veces esta forma es más conveniente. r
,,
ACELERACIÓN
115
ción de la velocidad, puesto que la magnitud permanece constante cuando el cuerpo tiene velocidad angular uniforme.
4.10. Aceleraciones lineales en cuerpos que giran con velocidad angular variable. Cuando varía la velocidad angular de un cuerpo, la velocidad lineal de un punto sobre el cuerpo variará en magnitud y en dirección. Consideremos la aceleración debida al cambio en magnitud de la velocidad separadamente e ignorando por el momento el cambio de dirección. En la Figura 4.4 (a), el disco W gira alrededor del eje fijo O con velocidad angular variable. En la posición A º , el punto A tiene una velocidad Vº , como se indica tras girar W un pequeño ángulo 6.0, el punto A se mueve sobre un arco hasta A1 y tiene una velocidad VI (mayor que Vº). Como estamos ignorando los cambios de dirección de la velocidad, la trayectoria circular A ºA' puede con siderarse recta, como se ve en la Figura 4.4 (b). La aceleración de A debida al cambio sólo en la magnitud de la velo:::idad debe ser: aA =
!�
(usando la ecuación para movimiento rectilíneo del artículo 4.3) A.V= V1 -
Vº (diferencia algebraica)
Como la velocidad angular varía, w º de la línea OA º , diferirá de w' de la OAI. sustituyendo:
Aº vº t1. 'r--t: I
1 1 1
/'li11t H
1/
w
v1
/
/
I¡ V
(al
(b)
Figura 4.4. - Cambios de velocidad debidos a la aceleración angular.
116
ANÁLISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
pero
w1 - wº = l:lw (variación de w)
por tanto y como
r llw a= l:lT
l:lw/llT = ex
a= rtX Esta aceleración será constante, sólo si lo es la aceleración angular a en caso contrario sería un valor instantáneo correspondiente tan sólo a la posición Aº . La dirección de esta aceleración es la misma que la de �V, la cual (como sólo estamos considerando variaciones de magnitud) es tangente a la trayectoria (perpendicular a OA), y se le llama lógicamente aceleración tangencial (aT). El punto A también tiene una aceleración debida al cambio de inclinación de V,1 . En el artículo 4.9 vimos ya �sta aceleración normal aN w2r. Como esta ecuación no comprende la aceleración angular es permisible considerar por se parado la aceleración debida a los cambios de dirección de la velocidad y la debida a los cambios de magnitud. aN no es constante en este caso. Como w cambia continuamente, la aceleración normal es un valor instantá neo y el término w2 utiliza la w de la línea OA º . La aceleración resultante de A, es la resultante de dos componentes: aN, dirigida hacia O, y aT, perpendicular a OA. Esta aceleración resultante se puede encontrar gráficamente (Figura 4.5) como la suma de dos vectores, y como aN y aT son perpendiculares, podemos calcularla mediante el teorema de Pitágoras: Puesto que a2 = (aN)2 + (a7)2,
=
a
= ,./(aN)2 + (ar)2
El ángulo � entre la aceleración resultante aA y la línea radial OA se deter mina por el cociente entre a T y aN o sea ar/w2r, que es a/ro2 (simplificando r)
w Figura 4.5. - Resultante de las aceleraciones normal y tangencial.
ACELERACIÓN
117
En trigonometría, la tangente�·del ángulo � es igual a a/w2 y � puede encontrar se en tablas. Se puede señalar aquí, que como para cualquier instante el cuerpo en con junto tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular, el án gulo � es el mismo para todos los puntos del cuerpo en una posición dada cual quiera. Esto se ilustra en la Figura 4.6.
Figura 4.6. - Inclinación de las aceleraciones con las líneas radiales.
Ejemplo 1 En la posición señalada, la palanca acodada de la Figura 4.7, gira alrede dor del eje fijo A con uq_a velocidad angular de 2 rad/min y una aceleración angular de 3 rad/min2, ambas en sentido de las agujas de un reloj. AB = 5 cm, AC = 7,5 cm y AD = 10 cm. Se piden las aceleraciones lineales de los pun tos B, C y D. La componente normal de la aceleración de B es igual a w2r: aN
= 22 x 5 = 20
cm/min2, (hacia A)
La componente tangencial de la aceleración de B es igual a ar: aT = 3 x 5 = 15 cm/min2 (perpendicular a AB, en el mismo sentido que a) La aceleración resultante de B es· la suma vectorial de aN y aT y ya que el ángulo entre ellos es 90º (ver el diagrama pequeño de la Figura 4.7)
* En términos trigonométricos, la tangente _de un ángulo agudo de un triángulo rectán gulo es igual al cateto opuesto, dividido por el cateto adyacente del ángulo.
118
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
8 15 20�
��
e
Figura 4.7. - Aceleración de puntos de un cuerpo en rotación.
aB = -v(a'J)2 + (a�)2 = -V202+152 2
= .../ffi = 25 cm/min
El ángulo B, que forman aB y AB tiene una tangente igual a alw2 = ¾· (En el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, B es el ángulo opuesto al lado de 3 unidades.) Análogamente a� al ac
= w2r = 4 X 7,5 = 30 = ar = 3 X 7 , 5 = 22,5 = y302 + 22,52)= 37,5
El ángulo B que forman a1;; a� aD
a0 y AC
= a,2r = 4 X
cm/mirf
es igual al ángulo B que forman
aB y AB.
= 40 =ar= 3 X 10 = 30 = \/402 + 302 = 50 cm/min2 10
El mismo ángulo B lo forman aD y AD.
4.11. Aceleraciones relativas en un cuerpo rígido. La aceleración relativa de un punto de un cuerpo rígido respecto a otro del mismo cuerpo, es muy útil para el análisis de la aceleración de cuerpos en movimiento compuesto. El cuerpo rígido impone restricciones a las aceleraciones, lo mismo que a las velocidades.
ACELERACIÓN
119
La Figura 4.8 muestra dos puntos, A, B, del mismo cuerpo rígido. Consi deremos primero el movimiento relativo de B respecto de A. Podemos visuali zarlo imaginándonos en A y observando el movimiento de B. Desde ese punto ventajoso, el movimiento que observamos será el movimiento relativo de. B res pecto de A ..
Figura 4.8. - Aceleraciones cuerpo rígido.
relativas
en
un
El concepto de cuerpo rígido garanti�a que, cualquiera que sea el movi miento del cuerpo, B nunca se acercará o alejará de A. Entonces, el único mo vimiento relativo que B puede tener respecto de A es que se mueva sobre una trayectoria circular (de radio AB) alrededor de A. Con relación a A, la línea AB, está pues en rotación alrededor de A. La aceleración relativa de B respecto de A, debe ser entonces la aceleración de un punto del cuerpo en rotación pura alrededor de un eje fijo que pase por A, ya que cuando estamos en A, desde nuestro punto de vista, A no se mueve. Ya hemos estudiado las aceleraciones de los puntos de los cuerpos que tie nen ro�ación pura y hemos encontrado que tales puntos tienen dos componentes de la aceleración: una componente normal w2r (dirigida hacia el eje) y una tan gencial ar (perpendicular a la línea de unión con el eje). En estos términos, w y a son la velocidad angular y la aceleración angul�r de la línea de unión del punto con el eje de rotación. Como el movimiento relativo de B respecto de A es el de un punto que gira alrededor de A, podemos establecer que la aceleración relativa de B res pecto de A tiene dos componentes semejantes: la aceleración relativa normal de B respecto de A, N
a B!A
= (coAB) x 2
AB (hacia A)
y la aceleración relativa tangencial de B respecto de A, T
a B!A
= a,AB
x AB (perpendicular a AB)
..
120
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Para un instante dado, un cuerpo rígido sólo puede tener un valor de w y a. Estos valores son los mismos, independientemente de qué punto hayamos seleccionado como eje de referencia. Por tanto, los valores absolutos de w y a son los mismos valores que empleamos en la aceleración relativa. La aceleración total relativa de B respecto de A es la suma vectorial de estas dos componentes, y B no puede tener otra aceleración relativa respecto de A. Nótese que, en este estudio, no hemos especificado la clase de movimiento que tenía el cuerpo, así, los resultados obtenidos son ciertos cualquiera que sea la clase de movimiento. Si el cuerpo tiene movimiento de traslación, no gira, y w y a son cero. Por lo tanto, w2r O y ar O, y no hay aceleración relativa de un punto del cuerpo respecto de otros. Esto verifica lo dicho en el artículo 4.3 de ·que todos los puntos de un cuerpo con movimiento de traslación tienen aceleraciones igua les. Cualquier aceleración relativa de un punto respecto de otro sólo es debido a la rotación del cuerpo. Si el cuerpo tiene movimiento de rotación, o movimiento compuesto, para obtener la aceleración relativa de un punto respecto de otro se utilizarán ·1os va lores absolutos de w y a. Como en el caso de las velocidades, si se conocen las aceleraciones abso lutas de dos puntos de un cuerpo, la aceleración relativa de uno respecto de otro es la diferencia de sus aceleraciones absolutas. En la Figura 4.9 se conocen las aceleraciones de los puntos E y F (aE y aF), y se pide la aceleración relativa de F respecto de E.
=
=
Esta diferencia vectorial se forma de la misma manera que con las veloci dades, añadiendo el opuesto de aE al aF dado. aFJE es la resultante de esta ope ración. Hemos señalado antes que esta aceleración relativa se debe a la rotación del cuerpo. Ello proporciona un medio de calcular la w y la a del cuerpo. Sa bemos que la aceleración relativa de F respecto E es la resultante de dos com-
Figura 4.9. - La aceleración relativa es igual a la diferencia de las aceleraciones absolutas.
•
ACELERACIÓN
121
ponentes: of1·r, sobre FE, y ar, perpendicular a FE. Descompongamos aF;E en dos componentes sobre FE y sobre su perpendicular como se ve en la Figura 4.10: a'f1E = OJ2 x FE y
así
2
N = aFIE
(X
T = aFIE
W
FE
w=/1ij así
FE
Figura 4.1 O. - Componentes normal y tangen cial de la aceleración relativa.
4.12. Aceler�ciones en cuerpos en movimiento compuesto. En el análisis de la velocidad hemos usado el concepto de velocidade_s re lativas sobre un cuerpo rígido como herramienta básica. Indicábamos que, en la dirección que une dos puntos de un cuerpo, no había velocidad relativa. Esto fue la base para sostener que las componentes útiles eran iguales a lo largo de la línea entre dos puntos. (Si no hay velocidad relativa, entonces las veloci dades deben ser iguales.) En el análisis de la aceleración, empleamos de igual manera el concepto de aceleración relativa de un cuerpo rígido. La única diferencia es que (excepto en un cuerpo en traslación) las aceleraciones relativas son un poco más com plejas. Hemos observado, en la Figura 4.9 anterior, que la aceleración relativa de F respecto de E es igual a la diferencia entre sus aceleraciones absolutas: aF/E = Op - -aE Si despejamos aF en esta ecuación: Op
= OF/E + - QE
Esta ecuación proporciona un medio de determinar la aceleración de F cuando se conoce la aceleración de otro punto E y puede hallarse la acelera ción relativa de F respecto de E.
122
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Por ejemplo, en la Figura 4.11 pueden verse dos puntos, C y D, sobre un cuerpo M. Se conocen la velocidad y aceleración angulares de M y la acelera ción lineal absoluta de D. Se pide la aceleración de C. Siguiendo la ecuación anterior de la aceleración relativa: lle = llc¡v
+ - av
La aceleración relativa de C respecto de D se compone de dos partes: a�/D = co� X CD Y
af/D
= ocM x CD
Como se ve, están calculadas y trazadas desde C. El sentido de la compo nente fJ.r está de acuerdo con el sentido de 'ªM (sentido contrario de las agujas de un reloj con respecto a A). Después, determinamos la resultante de estas dos componentes, la cual es a0ID como se ve. Nuestra fórmula establece que debemos sumar la aceleración de D a esta a0ID para obtener a0• Esto se muestra en la Figura 4.11, en la que se ha añadido av al final de a01v y se ha dibujado la resultante a0. La magnitud y dirección de este vector son correctas puesto que son determinadas por sus componentes, ao¡v y av.
Figura 4.11. - Aceleración de un punto en un cuerpo en movimiento compuesto.
4.13. Componentes útiles de la aceleración. Apliquemos este método de la aceleración relativa a un mecanismo. El sis tema articulado de manivela y corredera de la Figura 4.12 es un caso típico. La manivela AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con w y a dadas. Hallemos la aceleración de C. AB está en rotación pura, por lo que an tiene dos componentes:
ACELERACIÓN
123
Figura 4.12. - Aceleración del botón de ma nivela.
Su resultante es, como se ve, ªB · BC tiene movimiento compuesto, por lo que utilizaremos la ecuación de la aceleración relativa para a0 : ªe = ac/B + -+a;
Podemos predecir que a0 está dirigida según la línea central de las guías. Como VO siempre está sobre esta línea central, cualquier cambio de velocidad tendrá la misma dirección. De nuevo, la aceleración relativa de C respecto de B tiene dos componentes: llc/B
= (m
2
) X
cn
CB + -> rt08
X
CB
Se da la longitud de CB, y podemos encontrar WOB, pero a.0B no se obtiene fácilmente,· por lo que intentaremos otro método. En la Figura 4.13 se muestra el vector resultante R, suma de dos compo nentes J y K. Hallemos las componentes útiles de J, K y R según una línea cual quiera, tal como la SS. Trazando perpendiculares a SS, determinamos OM
= c.u.J,
MP = c.u.K,
OP = c.u.R
Observamos: OP = OM
+--> MP
o sea c.u.R
= c.u.J +-+ c.u.K
Entonces, en cualquier dirección dada, la componente útil de un vector re sultante es igual a la suma de las componentes útiles de sus vectores compo nentes.
�--R -
J I¡
/1
s - -(!F-_,µ..----�- -s o C.UJ.� c ..uK_ _jP C.UR-�
Figura 4.13. - Suma de componentes útiles.
124
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Aplicando esto a la ecuación de la aceleración relativa (a0 deduciéndose que en cualquier dirección:
= aa;B + � aB),
e.u.ac =e.u.ac;B + �.u.aB
En el problema de la Figura 4.12, como conocemos la dirección de a0, sólo necesitamos una componente útil de la aceleración de C para determinar la mag nitud de a0 . (Una perpendicular desde esta e.u. a0 a la línea central de las guías definirá ac). Encontremos una componente útil de la aceleración de C según BC. Según BC: e.U.lle =e.u.ac;B + -e.u.aB La e.u. aa;B según BC es igual a (roBa)2 X BC porque la componente ar, siendo perpendicular a BC, no tiene efecto según BC. Encontramos roBa locali zando IBa, como se ve en la Figura 4.14. Como IB tiene la misma ro que BC (ambas líneas son del mismo cuerpo) VB
IB
Pero ya que Vn = roAB x AB,
=
(j)BC
AB X IB Después elevamos al cuadrado esta roBa y la multiplicamos por BC, y te nemos la e.u. aa;B según BC, representada en la Figura 4.14. Necesitamos luego la e.u. aB según BC, la cual se obtiene con facilidad en B. Esta e.u. se representa añadida a e.u. aa;B en la Figura 4.14. Estas dos compo nentes útiles forman juntas la e.u. a0 según BC. (j)BC
C.¡
-f
=
(j)AB
----
CJ·<�s
/
A
e
Figura 4.14. - Aceleraciones sobre una mani vela y corredera.
125
ACELERACIÓN
Una perpendicular a esta e.u. a0 por d, corta a la línea central de las guías m f, definiendo Cf como la aceleración absoluta de C. Las componentes útiles de la aceleración pueden, por tanto, utilizarse para )btener aceleraciones resultantes de la misma manera que empleábamos las com Jonentes útiles de la velocidad para obtener velocidades resultantes. Cada compo1ente útil de la aceleración según una línea de unión de dos puntos de un cuerpo ·ígido está compuesta de dos partes: 1. La componente de la aceleración relativa del primer punto respecto del segundo. (Esto se debe a la rotación del cuerpo, haciendo que el primer punto se mueva en torno al segundo, y, por tanto, es una componente ü?r.) 2. La componente de la aceleración del segundo. (Debida a la traslación del cuerpo y, por tanto, la misma para ambos puntos.) l.14. Determinación de las direcciones de las aceleraciones lineales.
Cuando no está definida la dirección de una aceleración por guías rectas, :mpleamos dos componentes útiles, lo mismo que hicimos con las velocidades. En el sistema articulado de la Figura 4.15, la manivela conductora OM, gira m sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad mgular cons. tante w. L es un eje fijo, y la barra MKP un cuerpo rígido simple. ,e piden las aceleraciones de K y P. Primero hallamos la aceleración de M. Los puntos sobre un cuerpo en ·otación, tal como el OM, tienen dos componentes de la aceleración: úJ r y ar. �n este caso, sin embargo, OM tiene una úJ constante, y por tanto a es igual a O. 2
Figura 4.15. - Aceleraciones sobre un cuadri látero articulado.
126
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La aceleración resultante de M es igual a a�= (w0M) X OM y está dirigida hacia O. Segundo, consideremos la aceleración de K. Podemos encontrar una com ponente útil de la aceleración de K según MK: e.u. aK=e.u. aKm+ -+e.u. aM (todas en la dirección MK) 2
e.u. aK;M
= (c.oMK) 2 x
(ya que ar, componente de ax;M no tiene efecto sobre MK por ser perpendicular a MK). La velocidad angular de MK puede calcularse localizando IMx, como en el artículo 4.13, o si IMK es inaccesible, puede determinarse Vx;M y WMx Vx;MIMK. Ello exige un estudio aparte de la velocidad, el cual se mues tra separadamente en la Figura 4.16. La e.u. aK total según MK se ve en la Fi gura 4.15, siendo la suma de e.u. ax;M y e.u. ªM·
MK
=
=
Figura 4.16. - Velocidades relativas sobre la biela.
Como no se conoce la dirección de ax en este problema, debemos encon trar otra e.u. aK para determinar ax por completo. Podemos hallar otra e.u. ax en la dirección KL. Aplicando la ecuación segú� KL: e.u. a1c = e.u. ªx;L+ -+ e.u. aL Aquí, e.u.aKIL = (c.oKL)2 x KL (de nuevo la componente ar de ax;L no tiene efectos según KL) c.oKL = VK/KL (La Figura 4.16 muestra Vx) e.u. a¡,= O en este caso, ya que L es un eje fijo y no tiene aceleración. La com ponente útil total de ax según KL es simplemente: e.u.aK!L (como se ve en la Figura 4.15)
= (c.oKL)2 x
KL
127
ACELERACIÓN
Ahora tenemos dos componentes útiles de aK, una según MK y otra según KL. Las perpendiculares desde los extremos de estos vectores se cortarán para determinar la resultante aK en magnitud y dirección, según se ilustra en la Fi gura 4.15. Encontremos ahora la aceleración de P. Nuestra ecuación básica establece:
= ap¡M + - aM ap¡M = (wMP) x MP + - aMP x MP (lo cual ya se determinó) OJMP = OJ¡,a ap
2
Podemos determinar ahora 'ªMP puesto que ya conocemos las aceleraciones resultantes de dos puntos, M y K, señaladas en la Figura 4.17. La aceleración relativa de K respecto de M es igual a la diferencia de sus aceleraciones ab solutas: En la Figura 4.17 podemos ver esta diferencia vectorial dando aK/M· Como K se mueve en una trayectoria relativa circular respecto de M, la aceleración re lativa de K respecto de M tiene dos componentes: una componente normal (o>2r) y una tangencial (ar), o más específicamente: aK!M
= (OJMx)
2
X
MK +
- ('J.,MK
X
MK
Sólo nos interesa la componente tangencial, producida por 'ªMK· Ésta es una componente útil de aK;M, perpendicular a MK, según se ve en la Figura 4.17. Como esta componente es igual a 'ªMK X MK, aMK es igual a esta componente dividida por MK _ a K!M • ªM K -
Como
aMK
es igual a ap¡M
aMP,
MK podemos escribir:
= (wMP) x 2
MP +
- aMP x
Esto se muestra en la Figura 4.17. Si sumamos que, según se ha visto:
MP aM
a
ap;M
tenemos
ap
ya
Esta suma vectorial, que nos da ap, se ve en la Figura 4.17. La ecuación de la aceleración relativa puede adaptarse para determinar las aceleraciones lineales de cualquier punto de un cuerpo en movimiento compuesto. El procedimiento descrito en el ejemplo anterior es típico. Las componentes útiles pueden usarse para obtener aceleraciones absolutas de dos puntos del cuerpo, luego puede hallarse la aceleración angular y aplicar la ecuación a las aceleraciones resultantes para estudiar otros_ puntos.
128
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Op/M
Figura 4.17. -Aceleraciones sobre una biela.
4.15. Aceleraciones por el método del polígono vectorial. En el estudio de la velocidad, el método del polígono vectorial se ha pro puesto como una alternativa a la técnica de la componente útil. Puede utilizarse un sistema similar de análisis en el estudio de las aceleraciones, que proporciona las mismas ventajas de economía de tiempo de trazado y una mayor exactitud en las soluciones gráficas. La utilización de polígonos de vectores libres, aparte del dibujo del mecanismo, permite el uso de escalas más grandes del vector ace leración y trazados menos complicados, mejorando ambos la exactitud de las soluciones. En el caso de análisis de aceleraciones, el concepto de aceleración relativa es el principio que sirve de guía para las técnicas de la componente útil y del polígono con lo que se tiene una transición más simple de un método al otro. La simplificación del trabajo gráfico y el ser un método de ataque más directo, induce al autor, a recomendar el sistema del polígono sobre la técnica de la componente útil especialmente para las aceleraciones de los cuerpos en movimiento compuesto. El lector puede hacer su propia elección. 4.16. Construcción de un polígono de aceleraciones. Como se han presentado las propiedades fundamentales de la aceleración y de la aceleración relativa de los puntos de un cuerpo rígido, podemos explicar mejor el método del polígono, aplicando esta técnica paso a paso a un problema típico. En la Figura 4.18, se muestra un cuadrilátero articulado. Los puntos A y D son ejes fijos con el acoplador BC alargado por C hasta el punto F y un
• ACELERACIÓN
129
A Figura 4.18. - Cuadrilátero articulado con la biela prolongada.
puntal en saliente que nos lleva al punto E con lo que BCFE es un cuerpo rígido. Supongamos que AB tiene una aceleración angular (a) de 0,4 radianes/S:2, en sentido contrario de las agujas de un reloj y" una velocidad angular (w) de 0,6 ra dianes/s. en sentido de las airnias del reloi. cuando se encuentra en la oosición
130
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Mecanismo •esquematizado•
Polígono vectorial
Figura 4.19. - Polígono de aceleraciones. Etapa 1.
2. Aceleración de C El pasador C es un punto de la biela BC y de la manivela CD. Se puede encontrar su aceleración observando el movimiento relativo de los pun tos B yD. Una aceleración relativa es la diferencia vectorial de dos ace leraciones absolutas. Por ejemplo, la aceleración relativa de C respecto a B, es igual a la aceleración absoluta de C menos (vectorialmente) la absoluta de B, lo cual puede expresarse en la forma simbólica:
Como estamos buscando ac, se puede cambiar el orden_ de esta ecua ción: ªe = ac/B + - ªº Los pasadores C y B están en el mismo cuerpo rígido, por lo que el · único movimiento relativo del pasador C que puede tener respecto de B será que recorra una trayectoria circular de radio BC alrededor de B. Si se imaginara el lector situado en B, observando el movimiento de la biela BC, podría ver a BC girando alrededor de él como centro de roúición, como si B fuera un punto fijo. Todos los puntos de la biela recorrerían arcos de círculo alrededor de su posición respecto de B (Fi gura 4.20). Si se supone fijo un punto de un cuerpo rígido, el único mo vimiento relativo que puede tener el cuerpo respecto del eje fijo es una rotación pura. Así, si BC gira alrededor de B, la aceleración relativa de C respecto de B será la de un punto de un cuerpo en rotación relativa pura respecto de un eje fijo. Respecto de B, tendrá C, pues, una compo nente !lormal de la aceleración igual a w2r y una tangencial o.r, donde w
131
ACELERACIÓN
--
" "'
----- ------ -------
'\
\
\ \ \
Figura 4.20. - Movimiento relativo de la biela respecto de B.
es la velocidad angular de BC (en la posición dada), r es la longitud de BC y ·a su aceleración angular. En forma simbólica: ac!B
= (co1c
X
BC)
+ ---> (rx,BC X BC)
(El vector [w� a X BC] será paralelo a BC con sentido desde C ha . cia B. El vector [aBa X BC] será perpendicular a BC.) Siguiendo la ecuación anterior Puesto que ya hemos trazado el vector aB , debemos sumar los dos vectores de a01s al diagrama vectorial para calcular su magnitud. Para calcular la componente normal (wB� X BC), debemos determinar wBa, cuando está en la posición dada. Puede encontrarse a partir de las velo cidades de los puntos B y C como sigue: VB
= COAB X
AB
Situemos el centro instantáneo / de BC como se ve en la Figura 4.21. Por tanto, sobre el cuerpo rígido IBC, todas las líneas tienen la misma ve locidad angular: VB - COAB X AB coBC - co1B IB IB Así pues, podemos medir AB e IB, y calcular wBa · Después eleva mos al cuadrado y multiplicamos por BC, y tenemos el valor de la com ponente normal de aa;B · Este vector se trazará desde el punto B sobre
132
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
I�
/
/
si A
/
/
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"'"'
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"'"'
�o 8
\
�---\
"._C
\
\ \
V \ \
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---J/
El punto C está sobre esta línea
Figura 4.22. - Polígono de aceleraciones. Etapa 2.
Figura 4.21. - Centro instantáneo de la biela.
el polígono, paralelo a BC con sentido C hacia B sobre el trazado del mecanismo. (Ver línea El en la Figura 4.22.) La componente tangencial de ac;B o sea aBc X BC, no puede calcu larse tan fácilmente ya que no podemos tener fácilmente aBc · Sin em bargo, sabemos que es perpendicular a BC, así pues, podemos dibujar una línea en esta dirección que pase por el punto 1. Solamente sabemos que el punto C, que designa el extremo del vector aceleración del pa sador C, deberá estar en algún lugar de esta línea (ver Figura 4.22). Para determinar completamente· la aceleración del pasador C, po demos considerar su aceleración relativa respecto de otro punto tal como el D. Como C y D están sobre la manivela CD, se deduce que: ªe= ªCID+ -aD La aceleración dt D es nula (es un puntq fijo), por lo que solamente necesitamos trazar ac;D desde el origen O. Ésta, como la de todos los puntos de cuerpos en rotación pura, tiene dos componentes: Oc;o
= (wio X CD) + - (a.co X CD) i
(11 a CD)
i
(_¡_ a CD)
La velocidad angular de la manivela CD puede encontrarse, hallan do V0, utilizando el centro instantáneo / de BC, de la manera siguiente: V8 = Wn x A B · IC Ve = vil X IB = WÁB
X
AB
X
IC IB
133
ACELERACJóN
Entonces, sabemos que: OJcD
_ Ve _ CD -- 01,in
X
AB
CD
X
IC /B
Puede calcularse este valor, elevarlo al cuadrado, y multiplicarlo por CD para obtener la componente normal. Se puede trazar la mag nitud de este vector a escala desde O sobre el polígono vectorial, para lelo a CD, y con sentido de C hacia D sobre el dibujo del mecanismo. (Ver línea 02 en la Figura 4.23.) Con éste, debemos sumar la otra componente de ac/D, que es nen X X CD. De nuevo aquí no podemos obtener fácilmente acn, pero po demos predecir que la dirección de este vector ar es perpendicular a CD. Si trazamos una línea con esta inclinación por el punto 2 podemos pre decir que el punto C, que designa el extremo del vector aceleración resul tante del pasador C, debe estar en algún lugar de esta perpendicular. Ahora tenemos dos líneas que contienen el punto C, la componente ,ar de ac;B (que pasa por el punto 1) y la componente ar de ac ;n (que pasa por el punto 2). La intersección de estas líneas es el punto pedido C, y puede dibujarse el vector OC, determinando así la aceleración absolu ta del pasador C. Por convenio, este vector se dirige desde O hacia C sobre el polígono. (Figura 4.23.)
1
""
--- o- ------
\ \ \ \ \ \ \ \ \
\
e
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/
1/
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/
/
/
/
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"'92
/
/
/
/
Figura 4.23. - Aceleración de C. Etapa 3.
3. Aceleración angular de CD La componente tangencial de la aceleración relativa de C respecto de D (línea 2C) está ahora determinada tanto en longitud como en dirección
134
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
y puede medirse para la escala asignada. Ya que el vector OC es la su ma de los vectores 02 y 2C, 02 se dirige hacia 2 y 2C se dirige hacia C. Esta componente 2C es igual a aeu X CD, por lo que acn podrá hallarse dividiendo el valor medido de 2C por CD. Puede determinarse el sentido de ªen observando el sentido del vector 2C con respecto a CD sobre el mecanismo. En este caso aen tiene sentido antihorario. 4. Aceleración angular del cuerpo BCFE Para un instante dado cualquiera todas las líneas de un cuerpo rígido tienen la misma velocidad angular y la misma aceleración angular. Por tanto BC, BF y BE, tendrán todas la misma aceleración angular. Deter minemos a continuación esta aBc, · ya que será útil para hallar la acelera ción de los puntos F y E. Se puede determinar rápidamente la acelera ción angular de BC a partir del trazado previo de la Figura 4.23. En este polígono, la línea lC es la componente tangencial de ac;B, la cual es :�,,�1 "" rn,:wnitnrl ::i fl°" 'x BC. Podemos dividir la longitud medida de
135
ACELERACIÓN
30
-v 1
1
\
\ \ \
\
\ \
1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
\ \ \
\ \
e
Figura 4.24. -Aceleración de F. Etapa 4.
El valor ya determinado de ªne en el apartado 4, es igual a anF por lo que podemos multiplicar este valor por BF para obtener la com ponente tangencial relativa de F respecto de B. Ahora se suma esto a la componente normal (wiF X BF) trazada anteriormente. Esta componente ar debe ser perpendicular a BF y del mismo sentido de la componen te ano X BC (hacia abajo, desde 3, y paralela a lC). El punto F caerá sobre el extremo de este vector (línea 3F) y la aceleración absoluta de F será igual al vector OF, dirigido de O hacia F. 6. Aceleración de E Hallamos la aceleración de E observando su aceleración relativa respec to de B. en la que ya se conoce an y aEIB
= (w�B x EB) + - (cxEB x EB)
t
(1/ a EB hacia B)
t
(1 a EB)
136
ANÁLISIS Y PROYECTO DE. LOS MECANISMOS
Pero como E, B y C están todos sobre el mismo cuerpo rígido, di cho cuerpo sólo tiene una ro y una a en esta posición, por lo que WB c wE11 y aB c aEB · Ya hemos calculado estas w y a. Por tanto, es fácil calcular la magnitud de la componente normal (wh X EB) y la compo nente tangencial (aEB X EB) de la aceleración relativa de E respecto de B. Ya hemos determinado la aceleración de B de la línea OB, por lo que trazamos sobre el polígono, desde B, la componente w2r (aceleración !�
=
=
=
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/
/
!/
;
/
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/
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""
E "-
�-" --"
F
B 1/'.
O,A,D
1
\r-v1 4<>/ 1
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1
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\
\ \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ 1 \ 1 \ \ \ 1 1
\
'
B
--/ ,', I ' ',·' 1
1 \ 1
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\ \ 1 ' ', \ 1 , 1 1 1 1 1 1 I
,1 /
1
,1 e
/ '/
1 1 1 \ 1 \ 1 \ 1
,
F
Figura 4.25 (a). - Aceleración de E. Etapa 5.
'
/ /
/
ACELERACIÓN
137
normal relativa de E respecto de B) paralela a EB y dirigida desde E hacia B sobre el mecanismo. (Ver línea B4 en la Figura 4.25 [a].) A ésta, sumamos ahora la componente ar (aceleración tangencial relativa de E respecto de B), perpendicular a EB (y a B4) y dirigida hacia abajo, de acuerdo con las otras componentes ar de las aceleraciones relativas res pecto de B. (Ver línea 4E.) Se ha llamado al extremo de este vector, E, y la línea OE es el vector de la aceleración del pasador E, con sentido de O hacia E. En el proceso de este estudio, el polígono vectorial ha ido creciendo en la serie de etapas sucesivas. En la práctica, para la investigación com pleta sólo se necesita trazar desde luego, un sólo polígono, añadiendo cada nuevo vector al sistema ya. trazado. Esta técnica de economía de trabajo da por resultado un diagrama compacto, que ilustra gráficamente los va· lores relativos.
4.17. Lectura de las aceleraciones relativas. El punto O del polígono vectorial también puede llamarse A o D ya· que éstos son puntos fijos del mecanismo. (El punto O puede considerarse como un vector aceleración de longitud nula.) El vector BO (o el BA). es la aceleración absoluta de B o la aceleración relativa de B respecto de A, que no tiene movi miento. De la misma manera, podemos leer otras aceleraciones relativas directa mente desde· el polígono vectorial ya trazado. Por ejemplo, el vector CF repre senta la aceleración relativa del pasador C respecto del pasador F, dirigida de F hacia C en el polígono vectorial. Análogamente, el vector FE es la aceleración relativa del pasador F respecto del E (dirigida hacia F). Estos vectores se han representado a trazos en la Figura 4.25 (a).
4.18. Utilización del vector imagen. Si comparamos la geométrica del triángulo BEF de la biela con el triángulo vectorial- BEF, veremos que estos dos triángulos son semejantes. (El triángulo vec torial está girado hacia la derecha un ángulo que es aproximadamente de 107 °.) También veremos que el punto C cae sobre la línea BF en cada triángulo (ver Fi gura 4.25 [b]). Esta relación es debida al hecho de que las aceleraciones relativas de los puntos de un mismo cuerpo rígido (ú>2r + � ,a.r) varían con las distancias r entre ellos, y por tanto todas dichas aceleraciones, forman el mismo ángulo con su línea de unión en el mecanismo. Esto revela una forma rápida de encontrar las ace leraciones de otros puntos de la biela una vez que se hayan determinado las ace leraciones de dos puntos cualesquiera de dicho cuerpo. Primero, localizamos los
138
ANALISIS Y PROVECTO DE LOS MECANISMOS
O,A,D
'
/
/
/
/
/
/
/
/
Figura 4.25 (b). - Vector imagen de las acele raciones de la biela.
nuevos puntos sobre el vector imagen en las posiciones que corresponden a llos trazados sobre el mecanismo; después dibujamos los vectores pedidos estos puntos al origen; y finalmente, medimos la magnitud a escala. Este n es normalmente más corto que el proceso de la aceleración relativa ya q1 mina todos los cálculos.
4.19. Aceleraciones sobre cuerpos en rodadura. Cuando dos cuerpos están unidos por un pasador, l a acel eración , define l a acel eración de un punto de cada cuerpo. Determinando l a ace de cada pasador sucesivamente, podemos hacer un anál isis del sistema do complejo. Si el movimiento se transmite de un miembro a otro por otros medí centraremos nuestra atención en las aceleraciones de los puntos de conta de ir procediendo de un miembro a otro.
'' /
/
'
Q�
/
ACELERACIÓN
139
Consideremos las aceleraciones de los cuerpos en rodadura pura. El disco D (Figura 4.26) gira alrededor del eje fijo A con una velocidad angular dada wD y una aceleración angular aD , ambas en sentido de las agujas de un reloj, en la posición señalada. D conduce al disco F, el cual gira alrededor del eje fijo B, con rodadura pura en el punto P. Se piden la aceleración angular de F y la acele ración lineal del punto P sobre el cuerpo D. Como D gira alrededor de un eje fijo, al?
= wt
x AP +
---+
(1,n x AP
Como se conocen wD , a.D y AP, pueden calcularse estas componentes .y trazar su resultante (al?), como se ve en la Figura 4.26.
Y--
�
w5xAP
@- ,.-x_ 1
A
1
la 0
D
1
1
p
F
Figura 4.26. - Aceleraciones en rodadura pura.
Pasemos ahora al punto de contacto del cuerpo F (PF). Sabemos que V�= vi en todo momento. Si cambia esta velocidad, el cambio de la magnitud de la velocidad durante cualquier intervalo de tiempo debe ser igual para ambos cuerpos:
=
ilVJ?
= ilVi
Las componentes de la aceleración de ambos puntos P deben permanecer siempre las mismas en esta dirección tangente, y el1 consecuencia perpendicular a AB: a� sobre D
=
.ilT .ilT
ilVD = _ilVF = aJ; sobre F
Por tanto, son iguales estas componentes tangenciales de la aceleración de los dos puntos P. Como F tiene movimiento de rotación pura, cualquier punto de F tiene dos componentes de la aceleración: una normal hacia B, igual a w2r, y otra tangencial, perpendicular a AB, igual a ar. La aceleración resultante de P sobre F es la suma de estas dos: a� = w} x BP + ---+ (1,F x BP
140
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
La componente tangencial de la aceleración de P sobre F es la componen te ar: a�= rtp x BP
y despejando aF
rt p
aT
= BP
El sentido es contrario al de las agujas de un reloj, de acuerdo con el vec tor a�, referido al disco F. Nótese que en el caso de cilindros que ruedan como los D y F:
AP = radio de D rt .....!:_=-rtD BP radio de F
o sea,
Así, al igual que las velocidades angulares, las aceleraciones angulares de dos cilindros en rodadura, son inversamente proporcionales a sus radios. La aceleración lineal de C (como la de todos los puntos de F) tiene dos componentes: lle
= W�
X BC
+ -> rt/X
BC
A partir del análisis de la velocidad (artículo 3 .26) radio de _ D wF _____ wD - radio de F Despejando
W1,<
,f
= WD
AP BP Pueden calcularse ahora las dos componentes de a0 y definir la resultante a0, como se ve en la Figura 4.26. En la Figura 4.27 puede verse otro ejemplo que contiene rodadura pura. El disco W rueda sin deslizar sobre la superficie fija S. Se dan la velocidad angular y la aceleración angular de W en la posición que se indica. Ambas en sentido de las agujas de un reloj. Se piden las aceleraciones angulares del centro A y del punto de contacto B, en W. Consideremos, primero, el movimiento de W. El disco gira alrededor de A mientras A se traslada, por lo que W tiene movimiento compuesto. Además se conoce la trayectoria de A que es una línea recta horizontal, paralela a S. Sabe mos por el estudio de la velocidad que B en W es el centro instantáneo de rota ción del disco W. Esto significa que B tiene velocidad nula, pero no que B tenga .aceleración nula. Como indica el nombre, todos los centros instantáneos son loWp
X
ACELERACIÓN·
141
ax AB A <,- ---- .. lw2 X AB
t
B
(o)
y-�
oA = axAB
w
? Se anulan ¡ o6=w�
x AB
s
Figura 4.27. -Aceleraciones sobre un cilindro que rueda.
calizaciones de un centro de rotación, bien que sólo para un instante o una po sición del cuerpo. Un instante más tarde el centro tiene una posición diferente. Independientemente de la posición que ocupe, no hará más que cambiar dicha posición o adquirir una velocidad. Este inminente cambio de la velC>cidad de muestra que el centro instantáneo tiene aceleración. En este caso, podemos predecir que B sobre W sólo puede tener aceleración en dirección vertical dirigida hacia A. Ambos puntos, B sobre W y S tienen ve locidades iguales sobre la superficie S porque no hay deslizamiento. Como B 8 tiene velocidad nula, s w también la tiene. La superficie S impone una restricción completa a n w en cualquier dirección excepto verticalmente y hacia arriba. Por tanto, cuando gira W cualquier velocidad que adquiera s w debe estar dirigida se gún esta dirección vertical. La aceleración la produce un cambio de la velocidad de s w desde O al valor real, con lo que se deduce que la aceleración de s w en la . posición de contacto solamente puede dirigirse hacia A. La ecuación de la aceleración relativa dice que: aA = llA/B + - alJ
142
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
y como
a,1./B
de aquí se deduce que a
,1.
= ro¡¡,
= ro¡¡,
X AB
X AB
+ --+ !Xw
+ --+ !Xw
X AB
X AB
+ --+ a
B
La componente ro¡¡, X AB está dirigida hacia B, mientras que sabemos que la resultante aA es horizontal. Como se sabe que la componente aw X AB es ho rizontal, la única componente que puede anular la componente w?v X AB es a11 • Por consiguiente, au debe tener una componente hacia A, igual a w¡t X AB. Hemos visto anteriormente que an es vertical, sin componente horizontal sobre la superficie S. Esto prueba que: aB
= ro¡¡,
a,1.
= (-ro¡¡,
x AB dirigida hacia A [Figura 4.27 {a)] Si sustituimos este valor en la ecuación de aA : X AB)
+--+ !Xw
X AB
+--+ (+ro¡¡,
X AB)
La componente ro¡¡, X AB de aA!B está dirigida hacia abajo, hacia B, mien tras que ro¡¡, X AB aB está dirigida hacia arriba, hacia A, por lo que la com ponente de a.1111 tendrá signo menos en la ecuación anterior.* Estas dos compo nentes se anularán, quedando a.1 aw X AB paralela a S hacia la derecha (Fi gura 4.27 [b]). aB;A Se puede comprobar ahora aB, ya que aB """7 a A
=
=
=
. ·. aB
= ro¡¡,
X AB
+--+ (-!Xw
X AB)
+
+ --+ (+!Xw
X AB)
De acuerdo con a, la componente aw X AB de aB/A está dirigida hacia J; izquierda, y por lo anterior, negativa, mientras que aB es positiva. Estas se anu larán quedando aB w¡¡, X AB (Figura 4.27 [c]). En la Figura 4.28 puede verse un tren de discos epicicloidal. El brazo , y el disco D giran independientemente alrededor de un eje fijo O. En disco impulsado por el pasador M de A, rueda sin deslizar sobre D y el anillo fijo < Se conocen la velocidad y aceleración angulares de A, ambas en sentido contr río de las agujas de un reloj. Se pide la aceleración angular de D. El pasador J, del cuerpo que gira A, tiene una componente tangencial de la aceleración (a y una componente normal (ai). Puesto que aquí buscamos aD , nos interesan pri cipalmente las componentes 'tangenciales, que son las que dependen de a.
=
a'f.t
= !X,1.
x OM (Figura 4.28)
* Suponemos que las aceleraciones dirigidas hacia la derecha o hacia arriba son po vas ( +) y. negativas (-) las dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
ACELERACIÓN
143
D Figura 4.28. - Aceleraciones sobre .cilindros epicicloidales que ruedan.
Esta aceleración tangencial de M sobre A también es igual a la aceleración tangencial de M sobre B. El punto J (centro instantáneo de rotación) del disco B, no tiene aceleración tangencial respecto del anillo fijo C, como hemos visto en el ejemplo anterior (af = O). pero como af
= O;
T T T (J, _ QM/1 _ aM - ll¡ B-
IM
IM N
-
�B-
aT M
IM
La componente tangencial de la aceleración de P es igual a: a�= a,B x IP (mostrada en la Figura 4.28) Esta aceleración tangencial de P es la misma para ambos cuerpos B y D, puesto que no hay deslizamiento en P. pero ai
= O,
a,
por tanto
T
_ ap¡0
D -
_
PO -
T aT p - a0
PO
4.20. Elección de métodos para el estudio de la aceleración. El método de las aceleraciones relativas, realizado unas veces por las com ponentes útiles y otras por los polígonos vectoriales, es tan analítico como grá-
ACELERACIÓN
145
riac1on de velocidad) por tJ.T, la definición puede expresarse como el límite del cociente de tJ. V a tJ.T cuando tJ.T tiende a cero. tJ. V es la diferencia entre la ve locidad al final del intervalo de tiempo y la velocidad inicial: ÁV
=
V1 - V0
Así, para determinar la aceleración media en el intervalo tJ.T, debemos en contrar este tJ. V y dividirlo por tJ.T, en el que se produce la variación de veloci dad. En los ejemplos que siguen podremos ver aplicaciones de este método.
Ejemplo 1 En el sistema articulado de la Figura 4.29, la manivela AB gira en sen tido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con velocidad constante de 1 rad/s. Se pide en la posició� señalada, la aceleración de la co rredera C.
A Figura 4.29. - Manivela y corredera.
Debemos determinar tJ. VO para un pequeño intervalo de tiempo !).T. El ta maño de !).T depende de la velocidad del mecanismo y puede expresarse más fácilmente en función del desplazamiento angular de AB, puesto que ·se da úJAB· La experiencia muestra que el tiempo durante el cual AB gira 1/ 10 ·radián es normalmente un valor razonable y conveniente que se utiliza para 6.T. (Como se ve en la Figura 4.30, se puede trazar con precisión un ángulo de 1/10 radián midiendo una cuerda de 1 cm sobre un arco de 1 O cm de radio. Para 1/20 de radián se debe usar una cuerda de 1/2 cm sobre el arco del mismo radio.) Más que calcular este !).T en segundos puede expresarse en función de la velocidad angular y del desplazamiento angular. Por definición: así que ÁT = ÁO (O
LENT · 10
146
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Figura 4.30. -Trazado de 1 /1 O
de radián.
La aceleración obtenida por este método es una media para el inten de tiempo utilizado. Para obtener resultados precisos de la aceleración en posición dada, consideremos esta posición en la mitad de las posiciones ini cial y final del sistema articulado para el principio y el final del tiempo �T. La posición inicial de AB será, entonces, AB0, 1/20 radián a derechas desde posición dada AB que se muestra en la Figura 4.29. La posición final AB, será 1/20 de radián en sentido contrario de las .agujas de un reloj desde la po sición dada AB. La Figura 4.31 muestra estos desplazamientos de la maniYela.
/
/
/
/
/
/
/
/
/
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/
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/
/
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/
/
/
8It
....,B
�- ----=��t:l�
Ve t
,..
Veº
Ve 1 -V
Figura 4.31. - Diferencias de ve
locidad en manivela
y
corredera.
eº
ACELERACIÓN
147
Para determinar �Ve, trazamos primero el sistema articulado en la po sición AB0C0 y hallamos la velocidad de C0 por los métodos usuales; utilizan do el centro instantáneo 10:
(sustituyendo Vo = OJAn x AB) Después trazamos el sistema articulado en la posición AB1C1 (con AB des plazado 1/ 10 de radián a partir de AB0 C0) y determinamos V et·
v.cr = OJAn X
C AB X I1 1 l¡B¡
La diferencia de velocidad �Ve = V e¡ - � VCo· Nótese que esto es nor malmente una diferencia vectorial pero en este caso, donde ambas velocidades tienen la misma inclinación, también es correcta una diferencia algebraica. La aceleración de C en la posición dada de la Figura 4.29, será: ae
=
Ave AT
=
Ave = AVe x OJAB = Ave X l = AV x 10 e A0AnlWAn A0An
rt
El sentido de ªe es el mismo que el del vector �Ve, puesto que �Ve se obtiene restando VCo de Ver· Nótese que este método sólo implica definiciones y aprovechamiento del análisis de la velocidad. No se emplean técnicas especiales de aceleración.
4.22. Aceleraciones que comprenden deslizamiento sobre guías móviles. Las complicaciones que normalmente acompañan los análisis de los meca nismos con deslizamiento (Coriolis) no se encuentran cuando se utiliza el método de la diferencia de velocidades según se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2 La manivela AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrede dor del eje fijo A con una velocidad constante de 10 radianes por segundo. B está articulado a un manguito que desliza libremente sobre el brazo CD. El brazo CD oscila alrededor del eje fijo D. Hallar la aceleración angular de CD cuando el mecanismo está en la posi ción de la Figura 4.32. Como en el ejemplo anterior
-
-
-
--
148
-- --------------------
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
e A
Figura 4.32. - Manivela y corredera con biela prolongada.
Seleccionando un !).0AB = 1/ 10 radián, dibujamos primero el mecanismo en la posición AB0C0D en la que AB está desplazado 1/20 radián a derechas desde la posición dada. Esto se ve en la Figura 4.33. Determinamos ahora V00 en esta posición por el método normal del vector velocidad. Después, tracemos el mecanismo en la posición AB1C¡D, en la que AB1 está desplazado 1/ 10 radián desde AB0, en sentido contrario de las agujas de un reloj, y hallemos V01 en esta posición (Figura 4.33). V01 y V00 difieren en este caso en magnitud e inclinación, por lo que !).Ve debe obtenerse mediante una diferencia vectorial: !). VO = V01 - � V00 , como se ve en el diagrama vectorial de la Figu ra 4.34. Como este !). VO es pequeño, la escala para este diagrama deberá ser mucho mayor que la utilizada para el análisis de la velocidad. Como ocurre en todas las soluciones gráficas, este método pide precisión de dibujo de alta calidad si se quieren comparar favorablemente los resultados con los métodos analíticos. La aceleración de C en la posición dada de la Figura 4.32 será: AVc x (,t)AB = Ave x 10 = AV x 100 A0AB
-�
c
La inclinación y sentido de a0 son los mismos que los del vector diferen cia !). VO en la Figura 4.34. La aceleración angular de CD es, por definición, N
_AWcv
�CD ---¡f;j:
Cuando el mecanismo está en la posición inicial AB0C0D se ha determi nado V00. Puesto que por definición, V = ·wr, la velocidad angular de C0D en esta posición, será: wCoD _ Ve. - CD
ACELERACIÓN
¡t-Radián
/
I
I
I
I
/
/
/
/
/ /
/ /
/
/
/
/
149
/ /
I I / /
// /
'/ // 1/ // / 1/ //
r /./ ,1//
//
/
Figura 4.33. - Estudio de la velocidad en dos
posiciones.
•
Análogamente, podemos determinar la velocidad angular de C1D cuando el mecanismo esté en la posición final AB¡C1D, la cual será: Wc'D
= Ve¡ CD
La variación de wan durante el tiempo !iT (miemtras AB gira 1/10 de ra dián) es la diferencia de las velocidades angulares:
Figura 4.34. - La diferencia vectorial indica la variación de velocidad.
150
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Esta diferencia es algebraica, puesto que todas las velocidades angulares están en el mismo plano. La aceleración angular de CD para la posición dada señalada en la Figu ra 4.32, será pues rx _ f...OJcD _ f...WcD X OJAs _ f...OJcD X 10 _ f...ro 100 CD - --,;:¡, -
A.0AB
-
�
-
CD X
El sentido de ac D es contrario al de las agujas de un reloj, el mismo que el de iiwcD (iiwcD , es levógira aquí, puesto que w00 es mayor que Wcr y ambas son dextrógiras). En cada uno de los ejemplos anteriores, el miembro conductor gira con velocidad angular consta_nte. Esta condición es normal, puesto que muchos me canismos están impulsados por motores de velocidad constante. Hay excepcio nes en dispositivos accionados por la gravedad, etc., en los que la manivela con ductora tiene aceleración angular.
Ejemplo 3 La manivela AB gira alrededor del eje fijo A con aceleración angular cons tante de JO radianes/s2, a derechas. En la posición señalada en la Figura 4.35, la velocidad angular de B es de 5 rad/s, a derechas. Se pide la aceleración del punto E en la posición dada. Como antes aE = M w
,-iV¡¡
pero no se puede expresar iiT como ya que ro no es constante para iiT, todas las posiciones de AB. Sin embargo, como se conoce a.An, podemos expresar iiT en función de a y w. • Por definición:
Entonces
E
Figura 4.35. - Cuadrilátero articulado.
ACELERACIÓN
151
Tomando l!,.T como tiempo en el que AB se desplaza 1/ 10 de radián, di bujamos en primer lugar el mecanismo en la posición AB0C0DE0 con AB0 gi rando 1/20 de radián en sentido contrario de las agujas de un reloj desde la posición dada (ver Figura 4.36). Debemos encontrar ahora WABo• la que, de bido a 'ªAB• es algo menor que WAB en la posición dada señalada en la Figu ra 4.35.
Figura 4.36. - Estudio de la velocidad en dos posiciones.
Para hacer esto, podemos aplicar la fórmula conocida de la aceleración constante (del artículo 4.6) ro} = ro� + 2(1,0 que aquí dice así: (roAs)2 = (roAs,)2 + 2(1, ll.0 (ll.0 =�radián) de donde:
(ro.,w,)2 = (roAs) 2 - 2(1, /l.0 = 52 - 2 X 10 X �= 24 ro.,w, = -v°24 = 4,9
152
ANALISI� Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
Utilizando este valor de usuales:
WAn o
determinamos ahora VEo por los métodos
E E VE,= VB X J0 0 = OJAB, X ABo X lo o loBo ]0B0 Después debemos hallar V81, para lo cual dibujaremos el mecanismo en la posición AB 1C1DE1 en la que AB1 está desplazado 1/20 radián a derechas de la posición dada AB. Se ha señalado anteriormente que con un desplazamiento de AB de 1/20 radián, la variación de w.rn era de 0,1 rad/s (5 - 4,9 = 0,1). Como a es constante, podemos predecir que, gi�ando desde AB a AB1, la va riación de WAn también será de 0,1 rad por. segundo. Por tanto, el valor de WAnf será: 5 utilizando este valor de VE,
WAB!•
+ 0,1 = 5,1
radián/s
hallamos
Er = OJAn, x AB x 11r¡B
Ahora AVE
(Figura 4.36)
= VE, - --+ Ve,
En el diagrama de la Figura 4.37 se muestra mediante una escala grande el diagrama del vector diferencia, en magnitud, inclinación y sentido. AOJAB = OJABt - OJABo = 5,1 - 4,9 = 0,2 a partir de los valores obtenidos anteriormente. Por tanto
Esta aE tiene la misma inclinación y sentido que el vector ó.VE de la Fi gura 4.37.
Figura 4.37. - Diferencia vectorial de veloci dades.
ACELERACIÓN
153
Aunque los mecanismos que aquí se han utilizado son bastante simples, este método no es nunca más complejo que el análisis de la velocidad del que él depende. Para la exactitud son esenciales los trazados precisos y las escalas gran des en diagramas vectoriales, como ocurre con todos los métodos gráficos. En los casos en que la diferencia de velocidades es muy pequeña, este método puede ser bastante impreciso. Tiene una precisión razonable, cuando las diferencias de velocidades sean importantes (es decir, cuando las aceleraciones sean sufi cientemente grandes). Debido a que las definiciones utilizadas y a que el análisis de la velocidad son de gran sencillez frente a las técnicas especiales y complicadas del estudio de la ace leración, se justifica que consideremos el método de la diferencia de velocidades como herramienta muy valiosa.*
4.23. Aceleración de Coriolis. El método de la diferencia de velocidades ofrece una expresión clara de las relaciones básicas entre la velocidad y aceleración en las que hay deslizamiento sobre guías móviles. Con esta introducción, podemos seguir ahora un análisis más riguroso que es más complicado en principio, pero que tiene la ventaja de dar soluciones más exactas.t Empezaremos con el mecanismo sencillo de la Figura 4.38. Un disco circu lar M gira con una velocidad angular constante w alrededor del eje fijo en su centro O. Se ha hecho una acanaladura recta radial en la cara del disco. En la acanaladura hay un bloque que desliza radialmente hacia fuera. Consideremos dos puntos coincidentes A y B a la distancia r de O. El punto A está en el dis co M, directamente debajo del punto B, el cual está sobre el bloque deslizante. Se pide que determinemos la aceleración absoluta de B.
=
l. La velocidad de A (en M) es igual a VA wr y es perpendicular a OA. La aceleración de A es igual a aA w2 r y dirigida radialmente hacia O.
=
* Referencia: JoHN A. HRONES, "A Job Shop Approach to Mechanism Analysis", Ma chine Design, febrero 1954. t Si el estudiante ha dominado el método de la diferencia de velocidades, tiene a su disposición una herramienta con la que determinar las aceleraciones de los mecanismos en los que haya contactos deslizantes en guías móviles. Este método es general y puede aplicarse a todos los mecanismos. Por esta razón, el uso de la aceleración de Coriolis no es absoluta mente esencial para resolver los problemas especiales descritos anteriormente. Es atractivo educacionalmente y proporciona un grado de precisión necesario en ciertos casos pero puede omitirse si el tiempo es limitado. Aun cuando es necesario para el estudio de las aceleracio nes instantáneas cuando los mecanismos están en una posición dada, en la práctica, se pide normalmente hacer un estudio amplio del mecanismo a lo largo de un ciclo móvil completo. Ser competentes en esto, es nuestro objetivo práctko fundamental.
154
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
A en M B en el bloque
M
Figura 4.38. - Disco
con
bloque
deslizante.
2. Ahora, suponiendo que B (sobre el bloque) se mueve radialmente hacia afuera en la acanaladura con velocidad relativa respecto de A de VB/A, la absoluta VB VA + �. VB/A, siguiendo el principio de la velocidad relativa
=
M
Aceleraciones
Velocidades
Figura 4.39. -Aceleración incompleta del bloque B.
155
ACELERACIÓN
3. Si esta V111_4 no es constante, entonces B tiene una aceleración relativa respecto de A y la absoluta a11 aA �an;A (Figura 4.39). En un prin cipio podría pensarse que ésta es una expresión correcta y completa para la aceleración absoluta de B.
= +
Esto, sin embargo, no es cierto, porque esta ecuación falla al no tener en cuenta otros dos cambios que tienen lugar en la velocidad del punto B: primero, el cambio de dirección de VB/A debido a la rotación del disco M, y segundo, el cambio en magnitud de la velocidad tangencial de B (V�) debido a la variación de su distancia a O. (V� = wr, y r aumenta.) La ecuación completa para la ace leración absoluta a11 debe contener términos que expresen estas dos variaciones de velocidad. Consideremos, primeramente, tan sólo el primer cambio. Al girar M, la di rección de V11¡.{ cambia con la línea que gira OA, a la posición OA' (ver Figu ra 4.40 [a]).. Puesto que B en este caso, no se mueve radialmente sobre OA, los puntos A y B son los mismos y también coinciden los A' y B'. En un pequeño incremento de tiempo f:..T, este cambio de dirección será t:-.0 y la trayectoria f:..S desde A a A' será igual rf:..0. Para ángulos pequeños, puede considerarse este arco rf:..0 igual a la cuerda AA'. En este mismo intervalo de tiempo /':,,.T, el vec tor V11¡.{ también girará un ángulo f:..0. El cambio de Vn;A debido a esta rotación está representado en la diferencia vectorial de la Figura 4.40 (b) por el vector
2
/ /
/
(b) (a) Figura 4.40. - Variación de la velocidad del bloque debido a la rotación.
/
/
// -VB/A
3
M
/
/
/
156
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
tiV. El triángulo OAA' de la Figura 4.40 (a) es semejante al triángulo vecto rial 123 (los lados correspondientes son paralelos), por lo que se deduce que:
r - v /A
r/10
AV B
=
de donde,. tiv VB¡A MJ La aceleración de B debida a este cambio de dirección será: _AV_ VB!A/10 aB - AT--;yrpero
110
AT =
=
w
Así pues an Vn¡AW debido al primer cambio. La dirección de esta aceleración es perpendicular a OA (paralela a liV) o sea, tangente y compatible con el sentido de w. Consideremos ahora el segundo cambio solamente. Como B se mueve hacia afuera radialmente desde O, el radio OB aumenta a OB' y, como V= wr, la Vn¡A tangencial aumentará (Figu ra 4.41). En un pequeño incremento de tiem po tiT, el radio OB variará una cantidad igual a !ir y la variación de VB/A será wlir. La aceleración de B debida a esta variación de r será:
Ar i. almente AS (AT' gu AT' =
v)
Esta aceleración también es perpendicular a OA o sea, tangente y compa tible con el sentido de w.
B'
M
6.V = Vs• --- Vs
Figura 4.41. - Variación de la velocidad de un bloque debido al deslizamiento.
ACELERACIÓN
157
Como estos dos términos adicionales de la aceleración relativa de B respec to de A son iguales y en la misma dirección, se pued�n reunir en un sólo término: 2V111Aw. A este término se le llama aceleración de Coriolis, en honor a su descu bridor. Este vector es siempre perpendicular a V111,1, dirigido como si hubiera gi
rado alrededor de su origen un ángulo de 90° con V11;A en la misma dirección que w. Este término de Coriolis 2V11¡AW debe añadirse a la ecuación incompleta del número 3 anterior para dar la aceleración absoluta de B: ª11 =ªA+ - ªB/A
+ - 2VB/AOJ
En esta ecuación, B es un punto del bloque deslizante. A es un punto del disco M, coincidente con B. El término a11;A se refiere a la aceleración relativa de B, respecto del punto A en la dirección radial sobre la acanaladura. (Podría describirse como "la aceleración de B cuando el disco M está quieto".) El tér mino de Coriolis 2VJJ;AW es perpendicular a la acanaladura y es debido a la ve locidad angular de M y al cambio de posición del bloque en la anacaladura. Se muestra· en la Figura 4.42 un diagrama del sistema de vectores q�e determinan la aceleración absoluta de B (el polígono vectorial). (El tamaño relativo de los vectores es arbitrario.)
M
Figura 4.42. - Aceleración total del bloque B
En el ejemplo anterior, el disco M gira con una velocidad angular constan te. Si M tuviera también aceleración angular (Figura 4.43) seguirán siendo váli das las mismas consideraciones, excepto que el primer término (aA) tendría com ponentes de la aceleración, tangencial y normal y la aceleración de A sería: a;I + - a� o
sea w2r + - (1.,r
158
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
,_
M
r_ Figura 4.43. - Disco con aceleración angular.
Los otros términos de la- ecuación permanecerán invariables por lo que la ecuación correcta para estas condiciones sería: as= a11 +-a�+ --+a81A
-:_
+--+ 2V8/Am
Los dos ejemplos anteriores se aplican a puntos, como el B, que se mueven sobre líneas rectas en cuerpos que giran. _ Si la acanaladura que guía B es curva con centro de curvatura en C (Figura 4.44) y el disco M tiene w y a, la ecuación básica seguirá siendo verdadera con las modificaciones siguientes: l. El primer término (aA) se convertiría en a11 + --+ a� por causa de la aceleración angular a. 2 . El segundo término a8;A, se describe ahora, evidentemente, como a8 ¡M e incluirá una componente normal y una tangencial, ya que la acanala dura curva cambia la dirección de a8,1M así como su magnitud. La an;M tendría entonces dos componentes:
(En este caso w y a son las w y a de la línea BC del disco M). 3. La componente de Coriolis permanece invariable, por lo que la a8 en este caso general sería: aB = a11
+
--'> 0�
+ --+ ar;/M + --+ a�/M + --'>2VB/A(J)
Tratemos un problema que lleve consigo aceleración de Coriolis. En la Fi gura 4.45 la manivela acanalada M gira alrededor del eje fijo O con velocidad
L
ACELERACIÓN
159
�a w
aladura curva. erado con bloque en acan Figura 4.44. - Disco acel
brazo DB sentido de las agujas de un reloj. El angular constante de 5 rad/s, en el M, está en ura alad ue que desliza en la acan pun gira alrededor del eje fijo D. Un bloq El . DB) de y B es un punto del bloque e tien articulado a DB en B (por lo que, DB o braz El B. debajo del pasador O. to A es un punto de M directamente de cm 4 a n está B , los puntos A y 3 cm de largo. En la posición señalada cm. La línea central DO tiene 2½ A sobre M B sobre el bloque
4 cm 3 cm
01
\+--z½ cm-----ll>...\
. manivela acanalada. o Figura 4.45. - Mecanism de
==-----------
---
-
-
-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
160
Se pide hallar la aceleración absoluta del pasador B y la aceleración an gular del brazo DB. La ecuación de la aceleración de B es: ª· º
= aA + --+ ªo/A + --+ 2V01,IJJM
=
=
=
Podemos calcular aA. ro� X OA 52 X 4 100 cm/s2, y sabemos que está dirigida de A hacia O. Solamente se conoce la dirección de aB/A.· Como el pasador B, relativo a M, sólo puede moverse sobre la acanaladura, su acelera ción relativa respecto de M, debe ser en la dirección OB. Podemos calcular la componente de Coriolis si hallamos primero VB/A.· Esto se determina gráfica mente como se ve en la Figura 4.46, donde se ha restado VA. de VB, encontrando VB/A. 16, 3 cm/s (la cual, incidentalmente, es la velocidad de deslizamiento).
=
2VBiA.roM
= 2 X 16,3 X 5 = 163
cm/s2
Sabemos la dirección de este vector: está girado 900 respecto a VB/A. (el cual está dirigido según OA) a partir de su origen en la dirección de roM (a de rechas). Si determinamos la velocidad angular de DB, podemos calcular la compo nente normal de la aceleración de B (WEB X DB). WnB
=
VB DB
25,8 =- = 8,6 rad/s 3
así
aB
= 8,6
2
X3
y dirigido de B hacia D. M
""
"
Vs = (25.8) "/ / /�\) //
o
o Velocidad
Figura 4.46. - Velocidad relativa del bloque B respecto de A en M.
= 222 cm/s
2
ACELERACIÓN
161
Como sólo conocemos la dirección de an ;A, volvamos a escribir la ecuación de manera que podamos despejar dicho término: ªB/A = ªB - - ªA - - 2VB/A(J)M (en que aB = w1B x DB + - rxvB x DB) Podemos ahora trazar un polígono de aceleraciones ya que se conocen com pletamente 3 de los 5 vectores, en magnitud y dirección y también se conocen las direcciones de los otros dos. En la Figura 4.47 podemos ver este polígono. Partiendo del origen O, trazamos -aA (de sentido opuesto a +aA ), después -2Vn;Aw, después+ a;, después una línea en la dirección dea1(..Laa1),y fi nalmente, una línea que pase por O en la dirección de an;A (11 a OA). Estas lí neas de a1 y an ;A se cortan en el punto B, determinando, así, la longitud de estos vectores. El vector an;A se cortan en el punto B, determinando, así, la lon gitud de estos vectores. El vector an ;A es el resultante de los otros (ver ecuación anterior), por lo que estará dirigido hacia afuera a partir del origen, hacia la in tersección B. Si examinamos este polígono, notaremos que a; y a1 son dos vectores adya centes (y 1). Como BD es un cuerpo que gira, se pueden sumar vectorialmente estas dos componentes para conseguir la resultante an . En la Figura 4.47 podernos ver este vector. Mide 225 crn/s2 y está dirigido hacia abajo y a la izquierda de] brazo BD. 1
1 1
1 1
1 0�=(222) 1 1
-OA (100)
1
1
o 0B/A
1 1
_ _.d B o�= (36.6)
Aceleración Figura 4.47. - Polígono vectorial de la acele ración del bloque B. LENT- 11
-------
�
--
----
-
-
-
ANÁLISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
162
La componente tangencial de la aceleración de B, (a�) es igual a que es 36,6 cm/s2• Por tanto aT 36,6 12,2 rad/s2 ªsn = B = - D 3
aBD
X BD
=
La aceleración de Coriolis no está limitada a sistemas articulados con des lizamiento en guías móviles. Se aplica a todos los mecanismos en los que un punto sigue una trayectoria recta o curva sobre un cuerpo que gira.
PROBLEMAS 4.1. En una prueba para determinar aceleraciones, un coche de carreras, partiendo
4.2. 4.3.
4.4.
4.5.
del reposo, alcanza una velocidad 80 km/h en 10 segundos. ¿Cuál es la ace leración media durante este tiempo? Si la aceleración del coche fuera uniforme, ¿qué camino recorrería antes de alcanzar 80 km/h? Un corredor corre en una pista los 100 m lisos en 10 segundos. Si su acele ración era uniforme, ¿cuál fue su velocidad máxima en m/s? Un cuerpo que cae partiendo. del reposo tiene una aceleración constante de 9,8 m/s2 . Determinar la distancia que recorre durante cada período de tiem po de 1 s en el tiempo de 4 s. ¿Cuál es la razón entre las distancias cubiertas del primero al segundo período, al tercero, y al cuarto? (Esta · razón de los des plazamientos durante cada igual período de tiempo sucesivo es la misma para todos los cuerpos que se mueven con aceleración lineal constante.) Partiendo del reposo, un motor se acelera uniformemente hasta que alcanza su velocidad de régimen de 3600 rpm. Si se necesita 3/10 s para acelerarse desde 1000 rpm. ¿Cuál es su aceleración y cuántas revoluciones dará antes de alcanzar su velocidad de régimen? En el cuadrilátero articulado de la Figura P4.5, la manivela LM gira alrededor del eje fijo L con una velocidad angular constante de 100 rad/min. LM = TR = 10 cm; MR LT 15 cm; MS 8,75 cm y TX 5 cm. Determinar las aceleraciones de los puntos S y X en la posición señalada.
=
=
=
=
=
S
-----+---
Figura P4.5
R
1
ACELERACIÓN
163
4..6. El disco W gira alrededor del eje fijo O con una velocidad angular de 3 rad/s en sentido de las agujas de un reloj y con una acelerac_ión angular de 12 rad/s'2 en sentido contrario al de las agujas de un reloj, en fa posición señalada en la Figura P4.6. Determinar las aceleraciones lineales de los puntos A, B y C del disco. 45
°
F
·-?s..:_e ' ���l_:�f
6'
0
O,
1 112 cm
1
A�
90 ° Figura P4.7
Figura P4.6
4..7. La aceleración absoluta del ·pasador E de la banda EF es 5 cm/s 2 hacia la iz quierda. La aceleración angular de EF es 3 rad/s.l! , en sentido contrario al de las agujas de un reloj, y la velocidad angular de EF es 1 rad/s, a derechas, en la posición señalada. Hallar la aceleración absoluta de F. (Figura P4.7.) 4.8. En la Figura P4.8, AB gira alrededor del eje fijo A. El mecanismo está accio nado por una corredera C, que ti_ene una velocidad constante, de derecha a izquierda, de 5 cm/s. AB 5 cm y BC 10 cm. Determinar la aceleración lineal de B y la aceleración angular de AB en la posición señalada.
=
A
=
Figura P4.8
Figura P4.9
e
164
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
4.9. Las partes AB, BC y CD del sistema articulado de la Figura P4.9 tienen cada una 7,5 cm de longitud. A y D son ejes fijos. AB gira en sentido contrario de las agujas de un reloj con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Deter minar la aceleración del punto C.
oB
Figura P4.1 O
4.10. En la Figura P4.10, la manivela DA gira alrededor del eje fijo D con una ve
locidad angular de 2 rad/s a izquierdas y una aceleración angular de 4 rad/s2 a derechas. DA = AB = BC = CA = 7,5 cm. Determinar la aceleración de la corredera C, la aceleración angular del cuerpo F, y la aceleración del punto B. 4.11. La manivela DE de la Figura P4.11 tiene una velocidad angular constante de 1 rad/s. DE= 5 cm; EG = 10 cm; FG = 6,25 cm_ y DF = 15 cm. H es el punto mediQ de EG. D y F son ejes fijos. Encontrar la aceleración absoluta de G y H y la aceleración angular de FG. L
D Figura P4.11
Figura P4.12
4.12. Las partes OM y OP del sistema articulado de la Figura P4. l 2, giran inde pendientemente alrededor del eje fijo O. La barra rígida ML está articulada en S al bloque deslizante en las guías fijas. OM = OP = 5 cm; ML = PL = = 10 cm y MS = 5 cm. La manivela conductora OM tiene una velocidad an
gular de 1 rad/s Y, una aceleración angular de 2 rad/s�, ambas en sentido de las agujas de un reloj. Determinar la aceleración de P en la posición señalada. 4.13. El torno para levantar pesos de la Figura P4.13, está compuesto de dos cilin dros, A y E, y dos engranajes, B y C (que actúan como discos que giran uno
ACELERACIÓN
165
sobre otro sin deslizar). El engranaje B está fijo a A, de manera que giran jun tos, y el C, está fijo a E de la misma manera. A y B giran sobre el eje fijo G. C y E giran sobre el _eje fijo H. El peso W está unido a un cable enrollado alrededor del cilindro E, y la fuerza levantadora está aplicada (hacia abajo) en P; el final del segundo cable está enrollado alrededor del cilindro A. Los diá metros son los que siguen: A 30 cm; B 10 cm; C 25 cm y E= 15 cm. Si la aceleración lineal de P es 25 cm/s�, hallar la aceleración lineal de W.
=
=
=
w s Figura P4.14
Figura P4.13
4.14. El disco W rueda sin deslizar sobre la superficie fija S con una velocidad angu-
lar de 1 rad/ s y una aceleración angular de 2 rad/s2, ambas en sentido con trario a las agujas de un reloj (Figura P4.14). La biela AB está articulada a W en A y al bloque deslizante en las guías horizontales fijas, en B. W tiene 10 cm de diámetro. AB tiene una longitud de 12,5 cm. OA 4,5 cm. Determinar las aceleraciones lineales de los puntos A y B en la posición señalada. 4.15. Un tren epiéicloidal de discos se ve en la Figura P4.15. El brazo A gira alre dedor del eje fijo O con una velocidad angular de 10 rad/ s y una aceleración
=
E
Figura P4.15
166
ANALISIS Y PROYECTO DE LOS MECANISMOS
angular de 5 rad/s2. El disco B está fijo y tiene 10 cm de diámetro. El disco C está conducido por el pasador en A y tiene 5 cm de diámetro. El anillo E gira libremente alrededor del centro O, guiado por los rodillos L, M, Q y R. No hay deslizamiento entre B, C y E. Determinar la aceleración angular del anillo E. 4.16. El dispositivo de la Figura P4.16 está accionado por la manivela AB, de 5 cm de longitud, la cual gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo A con una velocidad angular. constante de 5 rad/s. Determinar la aceleración de la horquilla C en la posición señalada. ¡+-10,8 cm 1
1 1
17,5 cm diám. Figura P4.16
Figura P4.17
4.17. En la Figura P4.17, el disco W tiene 17,5 cm de diámetro y gira en sentido de
las agujas de un reloj con velocidad constante de 30 rad/min alrededor del eje fijo O. Una acanaladura circular se ha hecho en una cara de W como se mues tra. El brazo TNS gira alrededor del eje fijo N llevando un bloque sobre el pa sador S que desliza en la acanaladura de W. NT 3,75 cm; NS= 11,25 cm. TR tiene 8,1 cm de longitud y está unido al bloque R por el pasador T. Este bloque desliza en las guías fijas situadas como se muestra. Determinar la ace leración absoluta del pasador S del bloque curvado y la aceleración dei pasa dor R del bloque rectangular. 4.18. En la Figura P4.18 OP gira en sentido de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad angular constante de 2 rad/s. El manguito S gira libremente sobre el pasador P y desliza sobre la biela R. M es el eje fijo de R. La distancia MO = 7,5 cm; ML = 22,5 cm. Hallar la aceleración lineal de L y la aceleración angular de R. 4.19. La excéntrica circular C gira en sentido contrario de las agujas de un reloj alrededor del eje fijo O con una velocidad angular constante de 20 radianes/min. El diámetro de C = 15 cm. La excentricidad OP = 5 cm. El radio de la super ficie de contacto del seguidor F 2,5 cm. Hallar la aceleración lineal del segui dor, en forma de hongo, F de la Figura _ P4.19.
=
=
ACELERACIÓN
167
L
e
°
�90
____l
o
Figura P4.19
Figura P4.18
4.20. En la Figura P4.20, el bloque D tiene una velocidad líneal de 25 cm/s y una aceleración lineal constante de 50 cm/s2 sobre las guías fijas de izquierda a derecha en cada caso. AC es una barra rígida de 12,5 cm de longitud. AB = = 7,5 cm; BD = 20 cm y CE= 7,5 cm. E está articulada a.1 manguito que des liza libremente sobre BD. Determinar la aceleración lineal del punto E sobre CE en la posición señalada.
e
----
A Figura P4.20
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