Aplicaciones De Algebra Lineal

APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL A LA INGENIERIA

LAURA MANUELA VALENCIA QUINTERO 1016549 VALENTINA CASTRILLON VALENCIA 1017516 PAULA ANDREA VALENCIA HENAO 1017553 SOFIA OCAMPO GONZALEZ 1017538 INGENIERIA FISICA

FERNANDO MARTINES ALGEBRA LINEAL

MANIZALES, CALDAS 30 DE MAYO DE 2018 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

El algebra lineal es una de las tantas ramas que comprende la matemática cuyos objetivos son el estudio de los espacios vectoriales, el uso de ecuaciones lineales y diferenciales. En la actualidad se ha constituido con una teoría matemática de generalizaciones, nuevos métodos de análisis y se ha convertido en una herramienta primordial en diversos campos de la industria y la investigación. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas por computadora, etc. Teniendo en cuenta este concepto, el algebra lineal se aplica a varios campos, uno de ellos en el cual se ve muy enfocado y aplicado es en la ingeniería. Los conceptos anteriormente nombrados tienen conexión y utilidad para el planteamiento y solución de diversos problemas en muchas áreas de la ingeniería. El algebra lineal aunque no lo creamos, los ingenieros tiene innumerables aplicaciones a nuestra carrera, por ejemplo, en los sistemas de ecuaciones lineales permiten modelar infinidad de problemas reales, los valores y vectores propios asociados a una matriz ayudan al estudio de la estabilidad de una estructura y sus frecuencias y modos naturales de vibración. Cada vez mas son los avances que se generan en este campo, aunque normalmente el álgebra se considere una técnica “estadística”, la forma de solucionar problemas es por medio de los procesos algebraicos evidenciados en las ecuaciones lineales y diferenciales.

Las matemáticas son tan indispensables, que en nuestra vida cotidiana las usamos y ponemos en práctica, el simple hecho de comprar un dulce de $100 pesos y pagar con una moneda de $500 pesos al calcular cuánto es lo que sobra usamos la matemática, eso es un ejemplo sencillo, pero tan claro para mostrar la importancia que tiene esta área para la vida. Ahora veamos un ejemplo en el que se ve su aplicación El éxito de Google es gracias a un algoritmo llamado "Page Rank” basado en algebra lineal. Este algoritmo asigna un valor numérico a cada página web de acuerdo a su importancia, en un primer paso, se podría tomar como valor de importancia ix de la página i como el número de enlaces que se hacen desde el resto de las páginas hacia i. en este sentido se construye una matriz A. Las páginas de internet públicas es un grafo dirigido donde cada página web es un nodo y hay una arista orientada entre páginas que citan a otras páginas A es la matriz de adyacencia del grafo, Pagerank implica que los vectores y valores propios sea 𝐴𝑇 ∗ 𝑥 =⋋∗ 𝑥 donde ⋋ es la constante de proporcionalidad, un valor propio de 𝐴𝑇 e 𝑥=( 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) es el vector de importancia de las páginas censadas, un vector propio 𝐴𝑇 . Por otro lado, el algebra línea se ve aplicada en la física como en los campos eléctricos y electromagnéticos siendo campos vectoriales. En la mecánica de fluidos el fluido, se modeliza como un medio continuo (lo mismo se hace en Suelos, estructuras, etc.) y así se definen magnitudes cuyas identidades son de igual modo campos vectoriales y en estas modelizaciones aplicamos plenamente la teoría de espacios vectoriales, además las deformaciones de un sólido también se describen mediante un espacio vectorial, como combinación de distintas "bases" de deformaciones.

En la ingeniería física una de las grandes funciones de la algebra lineal aplicada se trata de la aplicación de códigos detectores o correctores de errores, la idea de este tipo de códigos es enviar más información de la estrictamente necesaria para poder emplearla como información adicional para detectar y corregir errores. Por ejemplo, si tenemos que enviar cuatro bits de información 4321 bbbb , vamos a enviar siete: 7654321 bbbbbbb , es decir, los cuatro originales más tres bits adicionales que se llaman bits de control. Se tratará en este caso de un código C(7, 4). Se plantea una matriz que es capaz de detectar y corregir un error. De esta forma se consigue que al hacer el producto se obtenga una secuencia binaria 7654321 bbbbbbb donde los 4 primeros bits son los originales, es decir, la información que deseamos transmitir. Otros ejemplos que muestran la aplicación del Álgebra Lineal son: 1) En Ingeniería Geofísica, existe el problema del Pronóstico numérico del tiempo; algunos modelos cuyo objetivo es la predicción a corto y largo plazo utilizan Álgebra Lineal para obtener sus resultados. 2) La investigación de operaciones que es un problema de asignación de recursos se fundamentales en el Álgebra Lineal. 3) En la investigación de materiales, en los últimos años se han desarrollado una gran variedad de reómetros. Estos equipos permiten someter materiales a diversas condiciones de flujo mediante el empleo de diferentes geometrías. Con ellos es posible simular estados de deformación similares a los que se presentan en los procesos industriales, de este modo es posible predecir el comportamiento de los fluidos en condiciones de trabajo. Por medio de la caracterización físicas que estudia la viscosidad, la plasticidad, la elasticidad y el derrame de la materia. se establecen estándares de calidad tanto en la producción como en los productos finales. 4) En Ingeniería de Telecomunicaciones el problema de obtener cada vez mejores señales de audio y video se ha convertido en un problema de particular importancia. Dentro del mercado las señales digitales son el atractivo para el público en general y cada vez un número mayor de personas, adquieren paquetes que contienen este tipo de señales. 5) En robótica el manejo del grado de libertad en el diseño de un juguete es de vital importancia. 6) Los sistemas de control de un transbordador espacial son absolutamente críticos durante el vuelo. Matemáticamente, las señales de entrada y salida de un sistema de control son funciones. Es importante, para las aplicaciones que las señales puedan sumarse y multiplicarse por escalares. 7) En cristalografía, la descripción de una red cristalina es mejor si se escoge una base [ u ,v,w ] para IR3 que corresponden a tres aristas adyacentes de una celda unitaria de cristal. Una red completa se construye aplicando varias copias de una celda unitaria.

8) La telemática, la inteligencia artificial o la percepción remota difícilmente se pueden concebir sin Álgebra Lineal en sus modelos matemáticos. La estadística es una rama del algebra lineal, en este campo la ingeniería física tiene una gran aplicación ya que por este método se puede determinar que funciona y que no funciona. El sistema de ecuaciones lineales, se busca no solamente una solución ante una problemática sino que se busca la solución que menos recursos requiera, de la forma más exacta posible. CONCLUSIONES:  Consideramos que el algebra lineal es muy importante en el campo de las ingenierías, ya que nos enseña a pensar y analizar de manera mucho más lógica y algorítmica, la cual nos permite resolver problemas de una forma mucho más precisa y exacta, que cuando se usan métodos tradicionales.  El aprendizaje del Álgebra Lineal es conocido como dificultoso, dada esta problemática, varios investigadores desde hace algunas décadas, han propuesto una mejora en la enseñanza de esta área, para así lograr la comprensión y fácil aplicación del algebra lineal a la vida y la ingeniería.