Aplicaciones De La Integral Definida

Aplicaciones de la integral definida Trabajo En mecánica clásica, se dice que una fuerza realiza trabajo cuando altera el estado de movimiento de un cuerpo. El trabajo de la fuerza sobre ese cuerpo será equivalente a la energía necesaria para desplazarlo de manera acelerada. El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra W. En general, si un objeto se desplaza en línea recta con función posición s(t), entonces la fuerza F sobre el objeto (en la misma dirección) está dada por la segunda ley de Newton del movimiento como el producto de su masa m por su aceleración, es decir:

1 En el sistema métrico SI, la masa se mide en kilogramos (kg), el desplazamiento en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la fuerza en newtons (N= kg*m/s2). Así, una fuerza de 1 N que actúa sobre una masa de 1kg produce una aceleración de m/s2. En el sistema usual de Estados Unidos, la unidad fundamental que se ha elegido como la unidad de fuerza es la libra. En el caso de aceleración constante, la fuerza F también es constante, y el trabajo realizado está definido como el producto de la fuerza F por la distancia d que el objeto recorre: 2 Si F se mide en newtons y d en metros, entonces la unidad de W es un newton-metro, llamada joule (J). Si F se mide en libras y d en pies, entonces la unidad de W es libra- pie (lb-pie), que es de casi 1.36 J Si la fuerza fuese variable, supongamos que el objeto se desplaza a lo largo del eje x en la dirección positiva, desde x=a hasta x=b, y que en cada punto x entre a y b actúa una fuerza f(x) sobre el objeto, donde f es una función continua. Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x0, x1,…, xn e igual ancho ∆x. Elijamos un punto muestra xi * en el iésimo subintervalo [xi-1, xi]. Entonces la fuerza en el punto es f (xi*). Si n es grande, entonces ∆x es pequeña, y puesto que f es continua, los valores de f no cambian mucho sobre el intervalo [xi-1, xi]. En otras palabras, f es casi constante sobre el intervalo, por lo que el trabajo Wi que se realiza al desplazar la partícula desde xi-1 hasta xi se obtiene aproximadamente mediante la ecuación 2:

Así, podemos dar un valor aproximado del trabajo total con

3 Parece que esta aproximación es mejor a medida que incrementamos a n. Por tanto, definimos el trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b como el límite de esta cantidad cuando n→∞. Puesto que el lado derecho de 3 es una suma de Riemann, su límite es una integral definida, así que

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Valor promedio de una función Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom = . ¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) = x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo". Se propone calcular el valor promedio de la función y = f(x), a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud D x = . Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los ci viene dado por: Multiplicamos y dividimos por (b - a) y resulta:

La expresión

es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que el

promedio de los n valores es veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos (D x ® 0, n ® ¥ ) se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida:

=

=

.

El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta

fprom =

.

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. Teorema del valor medio para integrales Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. 

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b - a) =

Área de una superficie de revolución Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

Cuando

sea positiva y tenga derivada continua, definimos al área superficial de la superficie

obtenida al hacer girar la curva

en torno al eje x

Con la notación de Leibniz para derivadas la ecuación se transforma en:

Si la curva se describe con la ecuación

la ecuación se convierte

Se puede resumir de forma simbólica, Rotación en torno eje x

Rotación en torno eje y

Donde

se refiere a: ó

Aplicaciones a la física y a la ingeniería Entre las muchas aplicaciones del cálculo integral a la física y a la ingeniería, aquí se consideran dos: la fuerza debida a la presión del agua y los centros de masa. Como con las aplicaciones previas a la geometría (áreas, volúmenes y longitudes) y el trabajo, la estrategia es descomponer la cantidad física en un gran número de partes pequeñas, aproximar cada parte pequeña, sumar los resultados, tomar el límite y después evaluar la integral resultante. 

Fuerza y presión hidrostáticas

Los buceadores de aguas profundas saben que la presión del agua se incrementa al aumentar la profundidad. Esto se debe a que aumenta el peso del agua sobre ellos.

En general, suponga que una placa horizontal delgada con área de A metros cuadrados se sumerge en un fluido de densidad p kilogramos por metro cúbico a una profundidad de d metros debajo de la superficie del fluido. El fluido directamente arriba de la placa tiene volumen V=Ad, de modo que su masa es m=pV=pAd. La fuerza ejercida por el fluido sobre la placa es F=mg=pgAd, donde g es la aceleración debida a la gravedad. La presión P sobre la placa se define como la fuerza por unidad de área: P=F/A=pgd. La unidad SI para medir la presión es newtons por metro cuadrado, llamada pascal (abreviatura: 1 N/m2 = 1 Pa). Puesto que ésta es una unidad pequeña, se emplea con frecuencia el kilopascal (kPa). Un importante principio de la presión del fluido es el hecho comprobado experimentalmente de que en cualquier punto en un líquido, la presión es la misma en todas direcciones. (Un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos.) Así, la presión en cualquier dirección a una profundidad d en un fluido con masa específica p está dada por 1

P=pgd=ẟd.

Esto ayuda a determinar la fuerza hidrostática contra una placa o pared vertical en un fluido. Éste no es un problema directo porque la presión no es constante, sino que crece a medida que aumenta la profundidad.

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Momentos y centros de masa

Nuestro principal objetivo aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal. El punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Primero se considera la situación más simple, donde dos masas m1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (punto de apoyo) y a distancias d1 y d2 de éste. La varilla se estabilizará si

2 Éste es un hecho experimental que descubrió Arquímedes y se llama ley de la palanca. (Imagine una persona de poco peso que pone en equilibrio a una persona más pesada en un balancín, sentándose a una mayor distancia en relación con el centro.) Ahora suponga que la varilla está a lo largo del eje x con m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en x. Se ve que d1= x-x1 y d2= x2-x, entonces, la ecuación 2 da

3 Los números m1x1 y m2x2 se llaman momentos de las masas m1 y m2 (respecto al origen), y la ecuación 3 indica que el centro de masa x se obtiene al sumar los momentos de las masas y dividir entre la masa total m=m1+ m2. En general, si se tiene un sistema de n partículas con masas m1, m2,…, mn localizadas en los puntos x1, x2,…, xn sobre el eje x, puede demostrarse de manera similar que el centro de masa del sistema se localiza en

4 Donde m∑ mi es la masa total del sistema, y la suma de los momentos individuales

Se llama momento del sistema respecto al origen. La ecuación 4 podría reescribirse como mx=M, que indica que si se considerara a la masa total como si estuviera concentrada en el centro de masa x, entonces su momento sería el mismo que el del sistema. Ahora consideremos un sistema de n partículas con masas m1, m2,…, mn localizadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) en el plano xy. Por analogía con el caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto al eje y como

5 y el momento del sistema respecto al eje x como

6 Entonces My mide la tendencia del sistema a girar respecto al eje y y Mx mide la tendencia a girar respecto al eje x. Como en el caso unidimensional, las coordenadas ( x, y ) del centro de masa están dadas en términos de los momentos por las fórmulas

7 donde m=∑ mi es la masa total. Puesto que mx= My y my= Mx, el centro de masa (x, y) es el punto donde una sola partícula de masa m tendría los mismos momentos que el sistema. Ahora, consideremos una placa plana (llamada lámina) con densidad uniforme p que ocupa una región R del plano. Se desea localizar el centro de masa de la placa, llamado centroide de R. Para esto utilizamos los siguientes principios físicos: el principio de simetría señala que si R es simétrica respecto a la recta l, entonces el centroide de R está sobre l. (Si R se refleja respecto a l, entonces R no cambia, y su centroide permanece fijo. Pero los únicos puntos fijos yacen sobre l.) Así, el centroide de un rectángulo es su centro geométrico. Los momentos deben definirse de modo que si toda la masa de una región se concentra en el centro de masa, entonces sus momentos permanecen sin cambio. Asimismo, el momento de la unión de dos regiones que no se traslapan debe ser la suma de los momentos de cada una de las regiones. Suponga que la región R es del tipo mostrado en la figura 10a); es decir, R se sitúa entre las rectas x=a y x=b, arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, donde f es una función continua. Dividimos el intervalo (a,b) en n subintervalos con puntos extremos x0, x1,…, xn e igual ancho ∆x. Elegimos el mismo punto muestra xi* como el punto medio xi del i-ésimo subintervalo; es decir, xi=(xi-1 + xi)/2. Esto determina la aproximación poligonal a R mostrada en la figura 10b). El centroide del i-ésimo rectángulo de aproximación Ri es su centro Ci(xi, 1/2 f(xi) ). Su área es f(xi) ∆x, de modo que su masa es

El momento de x respecto al eje y es el producto de su masa y la distancia desde Ci al eje y, que es xi. Así

Al sumar estos momentos, se obtiene el momento de la aproximación poligonal a R, y luego tomando el límite cuando n→∞ se obtiene el momento de R mismo respecto al eje y:

En un modo similar se calcula el momento de Ri respecto al eje x como el producto de su masa y la distancia de Ci al eje x:

De nuevo se suman estos momentos y se toma el límite para obtener el momento de R respecto al eje x:

Al igual que para sistemas de partículas, el centro de masa de la placa se define de modo que mx=My y my=Mx. Sin embargo, la masa de la placa es el producto de su densidad y su área:

Y, por tanto,

Observe la cancelación de las p. La ubicación del centro de masa es independiente de la densidad. En resumen, el centro de masa de la placa (o el centroide de R) se localiza en el punto (x, y), donde

8 Si la región R se localiza entre dos curvas y=f(x) y y=g(x), donde f(x) ≥ g(x), entonces puede usarse la misma clase de argumento que condujo a las fórmulas 8 para demostrar que el centroide de R es (x, y), donde

9 Se concluye esta sección mostrando una conexión sorprendente entre centroides y volúmenes de revolución. Teorema de Pappus. Sea R la región plana que está completamente en un lado de una recta l en el plano. Si se hace girar a R en torno a l, entonces el volumen del sólido resultante es el producto del área A de R y la distancia d recorrida por el centroide de R.

Referencia Bibliográfica  Calculo de una Variable - James Stewart - Séptima Edición