Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Primer Orden

CAPÍTULO 1

Fenómenos que se modelan mediante una Ecuación Diferencial de Primer Orden Guía No 1 Prof: María Angélica Vega U.

1.1. Modelo de Crecimiento Poblacional Ilimitado Denotamos por :

• N(t): el tamaño de la población en el tiempo t ≥ 0. • N(0) = N0 > 0 la población en el tiempo inicial t0 . El cambio de la población esta descrito por el problema de valor inicial:

dN = rN donde N(0) = N0 . dt

(1)

El parámetro k se llama tasa de crecimiento y es la tasa de crecimiento per capita ya que,

k=

(2)

1 dN = . N dt

• Si k > 0 , representa un crecimiento poblacional. • Si k < 0 , el tamaño de la población decrece. Verificaremos que la solución de este tipo de ecuaciones, es la familia uniparamétrica de la forma:

N(t) = N0 ek·t Problema 1 La tasa de crecimiento de la población es proporcional a la población presente en ese momento. Si

P(t) representa la población en el tiempo t y entonces el modelo matemático es:

dP es la tasa o rapidez de crecimiento de la población, dt dP = k·P dt 1

E JERCICIOS P ROPUESTOS 1.1.1. 1) Un cultivo de bacterias de población x a crece a una tasa proporcional a x. Entre las 6:00 P.M. y las 7:00 P.M. la población triplica.¿A qué hora será la población cien veces mayor que la población que había a las 6:00 P.M? Respuesta: La población será cien veces mayor que la población que había a las 6:00 P.M, hacia las 10:11 P.M. 2) La población de una ciudad minera crece a un ritmo proporcional a dicha población. En dos años la población se ha duplicado y un año más tarde había 10.000 habitantes. ¿Cuál era la población inicial? Respuesta: La población inicial era de 3531 habitantes. 3) Un moho crece a una razón proporcional a cantidad presente. Inicialmente había 2 gramos, en dos días 3 gramos.

 t 3 2 i) Si x = x(t) es la masa del moho en el instante t , probar que x(t) = 2 2 ii) Calcular la cantidad al cabo de diez días. Respuesta: La población al cabo de diez días 15.2 gramos. 1.2. Decaimiento Radioactivo La tasa de decaimiento de la cantidad M(t) (masa) de una sustancia (decrece) a una razón tal que cualquier momento t es proporcional a M(t) es decir, el modelo matemático es:

dM = k · M(t) , dt

(k > 0)

esto significa que los materiales radioactivos se desintegran a una razón que es proporcional a la cantidad de sustancia presente. D EFINICIÓN 1.2.1. Se denomina vida media, el tiempo que se requiere para que la cantidad (masa) de una sustancia se reduzca a la mitad de su cantidad o valor inicial. Por ejemplo, la vida media del C14 es de 5568 años. P ROBLEMA 1.1. En un proceso químico una sustancia se transforma en otra, con una rapidez proporcional a la cantidad que permanece sin transformar. Si al término de 1 hora esa cantidad es de 48 grs. y al término de 3 horas es de 27 gramos, hallar la cantidad que había al principio. Sol. Usaremos el método de 4 etapas basado en Pólya 2

Etapa 1. Comprender el Problema

• Definición de las Variables Q(t) : Cantidad de sustancia presente en el tiempo t medida en gramos. (var. dependiente) t : tiempo medido en horas (var. independiente) • Datos del problema t0 = t(0) = tiempo inicial. Q(t1 ) = Q(1) = 48gr. Q(3) = 27gr. • Incógnitas Q(t0 ) =? Etapa 2. Configurar un plan. El modelo de decaimiento radioactivo

dQ = k · Q(t) dt Etapa 3. Ejecutar el plan. Resolución del modelo. 3.1) Resolvemos la ecuación diferencial de variables separables. Luego

dQ = k · Q(t) dt

⇔

dQ = kdt Q(t)

integrando Z

dQ = Q(t)

Z

kdt ⇔ ln Q(t) = kt +C1

Sea C1 = ln (C)

Q(t) = kt ln C

aplicando función inversa ex

Q(t) = ekt C

⇔ Q(t) = C · ekt

Luego, la solución general de la ecuación diferencial es:

Q(t) = C · ekt A continuación siguiendo el procedimiento del Problema 1. hay que calcular las constantes C y k. 3

3.2) Otra alternativa de resolución, es omitir el paso del cálculo de las constante C y k, integrando en forma definida dos veces. i) En efecto, Z 27 dQ 48

Q

Z 3

=k

⇒ ln |Q|27 48 = 2k

dt 1

ln |27| − ln |48| = 2k ⇔

k=−

0.575364 2

1 9 ln | | = k ⇒ 2 16

⇒ k = −0.28768

Hemos obtenido

k = −0.28768 negativo, lo que significa un decaimiento en la cantidad de sustancia. ii) Para determinar la cantidad de sustancia en el tiempo inicial t0 , volvemos a integrar. en forma definida, con los límites: Z 48 dQ Q0

Q

= −0.28768

Z 1

dt 0

⇔ ln |48| − ln |Q0 | = −0.28768

aplicando la función inversa

48 = Q0 · e0.228768 = 48 · 1 · 1.3333 Q0 = 63.9984 Etapa 4. Mirar hacia atrás La cantidad de sustancia radioactiva aproximada que había al inicio del proceso es de 64 gramos. ACTIVIDADES 1.2.1. 1) Si la mitad del cierta cantidad de radio se desintegra en 1600 años. ¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará al término de 2400 años? Respuesta: El porcentaje de la cantidad original que quedará al término de 2400 años es de

35.35%. 2) Si la semivida de una sustancia radioactiva es de 20 días. ¿Cuánto tardará en desintegrarse el

90% de ella? Respuesta: Para que se desintegre el 90% de la sustancia deben transcurrir 133 días. 4

3) La concentración de una droga en el organismo humano depende del tiempo transcurrido desde su administración. Si la rapidez de eliminación de la droga por el organismo es proporcional a su concentración en cada instante, se requiere: i) Encontrar la función que relaciona la concentración de la droga con el tiempo de eliminación. ii) Se denomina tiempo de eliminación T , al tiempo necesario para que la concentración inicial de la droga se reduzca a la i-ésima parte. Encontrar la expresión matemática de T .

1.3. Segunda Ley del Enfriamiento de Newton La razón a la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea. Es decir, el modelo matemático es:

dT = k · (T (t) − Ta ) dt donde T (t) representa la temperatura del objeto en el tiempo t y Ta la temperatura del medio. P ROBLEMA 1.2. Por razones obvias la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5◦C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado y el cuerpo de la víctima robado. A las 10:00 A.M. su ayudante descubre el cadáver del forense a una temperatura de 23◦C. A medida mediodía la temperatura del occiso es de 18.5◦C. Suponiendo que la temperatura normal del forense en vida fue de 37◦C. ¿A qué hora fue asesinado? Sol. Usaremos el método de 4 etapas basado en Pólya Etapa 1. Comprender el Problema

• Definición de las Variables T (t) : Temperatura del cuerpo con respecto a t medida en grados Celsius. (var. dependiente) t : tiempo medido en horas (var. independiente) • Datos del problema Ta = 5◦C T (10) = 23◦C , T (12) = 18.5◦C , T (t0 ) = 37◦C • Incógnitas t0 = t(0) = tiempo inicial. 5

Etapa 2. Configurar un plan. Segunda Ley del Enfriamiento de Newton

dT = k · (T − Ta ) dt

⇒

dT = k · (T − 5) dt

Etapa 3. Ejecutar el plan. Resolución del modelo. 3.1) Usaremos Integrales Definidas para el cálculo de k, la constante de proporcionalidad. Separamos variables e integramos: Z 18.5 23

dT = T −5

Z 12 10

12 kdt ⇔ [ln [T − 5|]18.5 23 = [kt]10

ln |13.5| − ln |18| = 2k

  13.5 1 =k ⇔ ln 2 18

Luego,

k = −0.143841 3.2) Cálculo de t0 . Integrando en forma definida Z 37 Z t0

dT =− 18.5 T − 5

0.143841dt 12

h it0 h i37 = 0.143841 − ln |T − 5|

12

18.5

−[ln |32| − ln |13.5|] = 0.143841 · t0 − 1.726092 0.14384 · t0 = −0.863046 + 1.726092 t0 =

0.8663045 ≈ 5.9999 0.143841

Etapa 4. Mirar hacia atrás. El forense fue asesinado aproximadamente a las 6 A.M. ACTIVIDADES 1.3.1. 1) En un día cálido de verano, se saca del refrigerador una bebida fría y se deja en una habitación donde la temperatura es de 80◦ F . Si cuando se sacó el refresco del refrigerador su temperatura era de 40◦ F y 50◦ F después de estar 20 minutos en la habitación. i) Encontrar la función que relaciona la Temperatura del refresco con respecto al tiempo. item [ii)] Determina que tiempo debe transcurrir para que la temperatura del refresco sea 20◦C 6

tem [ii)] Determina a que temperatura del refresco a la media hora. . 2) Una olla de sopa inicialmente hirviendo se enfría en aire a 0◦C y a los 30 minutos está a una temperatura de 20◦C. ¿Cuánto se enfriará en los siguientes 30 minutos? 3) Una bola de cobre se calienta a una temperatura de 100◦C. Al tiempo t0 , se sumerge en agua que está a una temperatura de 30◦C . Al término de 3 minutos la temperatura de la bola se reduce a 70◦C. i) Encuentre el tiempo que ha de transcurrir para que la temperatura de la bola se reduce a

70◦C. ii) ¿Cuál es la temperatura a los 10 minutos?

1.4. Mezclas y Disoluciones En los problemas de disolución la razón de cambio de una cierta sustancia en un tanque es:

    dQ razón o flujo de entrada razón o flujo de salida = − dt de la sustancia al tanque de la sustancia del tanque donde el flujo de entrada (o salida) la sustancia es igual a la rapidez o velocidad de entrada(o salida) por la concentración. P ROBLEMA 1.3. Un tanque contiene inicialmente 400 litros de agua limpia, entonces se vierte lts en el tanque agua que contiene 0.050 Kg de sal por litro a una velocidad de 8 min , y se deja que la mezcla salga con la misma rapidez. ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque, a los 20




minutos?¿Cuánto tiempo debe transcurrir para tener 1 kg de sal? Sol. Usaremos el método de 4 etapas basado en Pólya Etapa 1. Comprender el Problema i) Definición de las Variables

Q(t) : Cantidad de sal en el tiempo t medida Kgs. (var. dependiente) t : tiempo medido en horas (var. independiente) 7

ii) Datos del problema

t0 : tiempo inicial , Q(t0 ) = Q0 = 0 : Cantidad inicial de sal , V0 : Volumen inicial = 400 lts Kgr
lt

v1 = 8

lts min




, C1 = 0.05

v2 = 8

lts min




  Q(t) Kgr , C2 = 400 lt

⇒ ve = v1 ·C1 = 8

lts min




· 0.05

Kgr
Kgr
lt = 0.4 min

      lts Q(t) Kgr Q(t) Kgr ⇒ vs = v2 ·C2 = 8 · = min 400 lt 50 min

iii) Incógnitas

Q(20) : Cantidad de sal en el tanque a los 20 min Q(t ∗ ) = 1 , t ∗ tiempo transcurrido para que haya 1 kgr de sal Etapa 2. Configurar un plan. Ecuación de continuidad. (Ley de Conservación)

dQ = ve − vs dt

⇒

dQ Q = 0.4 − dt 50

Etapa 3. Ejecutar el plan. Resolución del modelo. 3.1) Resolvemos la ecuación de variables separables

Q dQ = 0.4 − dt 50 Z

dQ = 20 − Q(t)

⇔ Z

1 dt 50

− ln |20 − Q(t)| − ln |C| = −

dQ 1 = integrando 20 − Q(t) 50

⇔ − ln |20 − Q(t)| =

t + ln |C| 50

−t ⇔ 20 − Q(t) = Ce 50

t 50

Luego,

−t Q(t) = 20 −Ce 50

!

3.2) Cálculo de C. Integrando en forma definida

t0 = 0 , Q0 = 0 0 = 20 −C ⇒ C = 20 Por tanto, la solución particular es: ! −t   Q(t) = 20 1 − e 50 



8

!

3.3) Cálculo de Q(20). ! −20   Q(20) = 20 1 − e 50  = 20(1 − 0.67032) = 20 · (0.3296799) = 6.59



3.3) Cálculo de Q(t ∗ ). ! −t ∗ −t ∗ −t ∗ 19 1   = 1 − e 50 ⇔ − = −e 50 Q(t ∗ ) = 1 ⇔ 1 = 20 1 − e 50  ⇔ 20 20



−t ∗ 0.95 = e 50 aplicamos función inversa ln (x) −t ∗ ⇔ t ∗ = −50 ln (0.95) ⇒ t ∗ = 2.56 ln (0.95) = 50 Etapa 4. Mirar hacia atrás. i) A los 20 minutos hay 6.6 Kgrs. de sal aproximadamente. ii) Para que haya un Kgr de sal deben transcurrir 2 minutos y medios aproximadamente. ACTIVIDADES 1.4.1. 1) Un depósito contiene 100 litros de salmuera, en la que hay disueltas 200 Kg de sal. A partir de

t = 0 se añade agua pura a razón de 3

lts min . La mezcla que se mantiene uniforme mediante un




agitador, sale del depósito con la misma rapidez. ¿Cuánto tiempo tardará en reducirse a 100 kgs la cantidad disuelta de sal en el depósito? 2) Se está celebrando una fiesta de la carrera de ingeniería en un local de 1800 pies3 que contiene aire libre de monóxido de carbono. En el instante t = 0 varios estudiantes comienzan a fumar. El humo que contiene 6 % de monóxido de carbono, se introduce en la habitación a razón de

0.15 pies3 por minutos y la mezcla removida por ventilación sale a la misma razón por una ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esta fiesta, si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de 0.00018.


lts . que 3) En un depósito de 400 litros lleno de agua pura, se vierte agua salada a razón de 12 min contiene 1/4 Kg de sal por litro. La solución homogénea gracias a un agitador, sale a la misma velocidad. i) ¿Cuántos kilógramos de sal habrá al término de 1 hora 40 minutos? Resp: 95 Kgr. ii) ¿Cuál es el límite superior de la cantidad de sal en el depósito si el proceso continúa indefinidamente. Resp: 100 kgr. iii) ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que la cantidad de sal pase de 50 kgr a 75 Kgr? 9

1.5. Modelo de Crecimiento Poblacional Restringido

Modelo Logístico. Este modelo se usa para modelar poblaciones. El siguiente modelo supone que la tasa de crecimiento relativa de la población es una función linealmente decreciente:

1 dP = k − aP. P dt

(3)

En el modelo logístico, a medida que P crece, la tasa de crecimiento relativo decrece a cero. Llega a ser cero cuando,

k − aP = 0 ⇒ P =

k a

Este valor límite L = ak de la población se denomina capacidad de sostenimiento del entorno. y representa la máxima población que puede sostener. Si reemplazamos en la ecuación (3) el valor de a = Lk , la ecuación logística, se transforma en :

1 dP = k − Lk P P dt dP dt

k = kP − P2 L   P = kP 1 − L

dP dt

Esta última ecuación diferencial se conoce como ecuación diferencial logística, y es la que el matemático belga P.F. Verhults propuso por primera vez para hallar el crecimiento poblacional en 1840. Solución Analítica. Es una ecuación de variables separables.

    dP P L−P = kP 1 − = kP dt L L Z

dP = P(L − P)

Z

k dt L

descomponiendo en fracciones parciales, se obtiene que :

1 1 = P(L − P) L



Luego tenemos: 10

1 1 + P L−P



R 1

L  R



 R k 1 1 + dP = dt P L−P L

 1 1 + dP P L−P

R

= kdt integrando

ln |P| − ln |L − P| L − P ln P

= kt +C. o = −kt +C

L − P P

= Ce−kt

Como en todo Problema de Valor inicial, el valor de C se calcula a partir de las condiciones iniciales, cuando t = 0, se tiene:

C= Además,

L − P0 P0

L−P L = −1 P P

Se tiene:

L = 1 −Ce−kt P

De aquí, (4)

P=

L 1 +Ce−kt

con C =

L − P0 P0

Ésta última ecuación, es la fórmula para la curva logística.

O BSERVACIÓN 1.5.1. La ecuación (10) se puede expresar en otras formas, por ejemplo, la ecuación logística se puede reescribir

dP = kP(L − P) dt donde L es la capacidad de sostenimiento. Esta ecuación es de variable separables y siguiendo el procedimiento de solución se tiene:

Z

dP =k P(L − P) 11

Z

dt

1 L

Z 

 Z 1 1 + dP = k dt P L−P   P ln = kLt +C L−P

Aplicando función inversa, obtenemos

P = Aek·Lt , L−P

donde A = eC

Usando la condición inicial (P(t0 ) = P(0) = P0 obtenemos que:

A=

P0 L − P0

y

P P0 ekLt = L − P L − P0 entonces, al despejar P(t) se obtiene

P(t) =

(5)

LP0 P0 + (L − P0 )e−kLt

1.5.1. Análisis Cualitativo de la solución de la ecuación logística. La figura 1, muestra el campo de pendientes y la curva solución en forma de S. Para cada valor fijo de P, es decir a lo largo de cada línea horizontal, las pendientes son las mismas porque dP/dt sólo depende de P y no de t . Las pendientes son pequeñas cerca de P = 0 y cerca de P = L. Para P > L las pendientes son negativas, lo que significa que si la población es mayor que la capacidad de sostenimiento, la población disminuirá. Observemos que las pendientes son más inclinadas cerca de P = L/2.

F IGURA 1.1. Campo de direcciones

F IGURA 1.2. dP/dt versus P 12

Mediante la gráfica de dP dt con respecto a P en la figura 1.1 se puede ubicar con precisión el punto de inflexión, donde las pendientes son máximas. La gráfica es una parábola porque dP dt es una función cuadrática de P. Las intersecciones horizontales están en P = 0 y P = L, así que el máximo donde la pendiente es máxima, está en P = L2 . También se puede observar de la figura 1.3 que para 0 < P < L/2 la pendiente dP/dt > 0 y creciente, lo que implica que la gráfica es convexa. Para L/2 < P < L, la pendiente dP/dt > 0 y decreciente, lo que implica que la gráfica es cóncava. Si P = 0 o P = L, hay una solución de

F IGURA 1.3. Crecimiento logístico

F IGURA 1.4. dP/dt versus P

equilibrio (trivial si P = 0). La figura 1.4, muestra que P = 0 es un equilibrio inestable porque las soluciones que empiezan cerca de 0 se alejan, pero si P = L es un equilibrio estable. Para P pequeña, la curva solución es similar a una exponencial. P ROBLEMA 1.4. Suponga que en el instante t = 0, en una población de 100.000 personas, 10.000 personas ha oído un cíerto rumor. Después de 1 semana el número P(t) de personas que han escuchado el rumor ha aumentado a P(1) = 20.000. Suponiendo que P(t) satisface la ecuación logística. ¿Cuánto tiempo pasará para que el 80 % de la población haya oído el rumor? Sol. Usaremos el método de 4 etapas basado en Pólya Etapa 1. Comprender el Problema i) Definición de las Variables

P(t) : Número de individuos que han escuchado el rumor en el tiempo t (var. dependiente) t : tiempo medido en semanas (var. independiente) 13

ii) Datos del problema

L = 100.000 capacidad de sostenimiento P(0) = P0 = 10.000 : Cantidad de personas que han escuchado el rumor P(1) = 20.000 iii) Incógnitas

t ∗ : tiempo transcurrido para que Q(t ∗ ) = 0.8L = 80.000 Etapa 2. Configurar un plan.Modelo Logístico

dP = kP(L − P) , dt

cuya solución general es

P(t) =

LP0 P0 + (L − P0 )e−kLt

Etapa 3. Ejecutar el plan. Resolución del modelo. Consideremos P0 = 10 y L = 100 miles de personas y sustituimos en la ecuación 3.1) La solución de la ecuación de variables separables es

P(t) =

LP0 1000 = −kLt P0 + (L − P0 )e (10 + 90)e−100kt

3.2) Cálculo de k. Usamos la condición P(1) = 20 y obtenemos

20 =

1000 10 + 90e−100k

⇒ e−100k =

4 9

⇒k=−

1 4 ln ≈ 0.008109 100 9

Luego,

1000 (10 + 90)e−0.8109t ∗ ∗ 3.3) Cálculo de t . En efecto, usamos P(t ) = 80 P(t) =

80 =

1000 ∗ 10 + 90e−0.8109t

25 = 20 + 180e−0.8109·t ∗ 1 = e−0.8109·t 36

⇔ ∗



1 2 = ∗ 25 10 + 90e−0.8109·t

⇔ 5 = 180e−0.8109·t

1 ⇔ ln 36



∗

= −0.8109 · t ∗ ⇔ t ∗ ≈ 4.419

Etapa 4. Mirar hacia atrás. Para que el 80 % de la población haya oído el rumor deben transcurrir 4 semanas y 3 días aproximadamente.

14

ACTIVIDADES 1.5.1. 1) Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su facultad, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad x de estudiantes infectados, sino también a la cantidad de estudiantes no infectados. Determine la cantidad de estudiantes infectados seis días después, si se observa que a los cuatros días hay 50 estudiantes infectados. 2) El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad está descrito por el P.V.I.

dP(t) = P(t)(10−1 − (10−7 P(t) , dt

P(0) = 5000

3) El crecimiento de una cierta población animal está regida por la ecuación:

1000 dP = 100 − P P dt donde P(t) es el número de individuos en la colonia en el tiempo t en años. Se sabe que la población inicial es de 200 individuos. i) Trace la gráfica de P(t). ii) ¿ En que momento habrá más de 200 individuos en la colonia? iii) En que momento habrá menos de 100 individuos en la colonia. Explicar

1.6. Segunda Ley del Enfriamiento de Newton La razón a la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea. Es decir, el modelo matemático es:

dT = k · (T (t) − Ta ) dt donde T (t) representa la temperatura del objeto en el tiempo t y Ta la temperatura del medio. P ROBLEMA 1.5. Por razones obvias la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5◦C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado y el cuerpo de la víctima robado. A las 10:00 A.M. su ayudante descubre el cadáver del forense a una temperatura de 23◦C. A medida mediodía la temperatura del occiso es de 18.5◦C. Suponiendo que la temperatura normal del forense en vida fue de 37◦C. ¿A qué hora fue asesinado? Sol. Usaremos el método de 4 etapas basado en Pólya Etapa 1. Comprender el Problema 15

• Definición de las Variables T (t) : Temperatura del cuerpo con respecto a t medida en grados Celsius. (var. dependiente) t : tiempo medido en horas (var. independiente) • Datos del problema Ta = 5◦C T (10) = 23◦C , T (12) = 18.5◦C , T (t0 ) = 18.5◦C • Incógnitas t0 = t(0) = tiempo inicial. Etapa 2. Configurar un plan. Segunda Ley del Enfriamiento de Newton

dT = k · (T − Ta ) dt

⇒

dT = k · (T − 5) dt

Etapa 3. Ejecutar el plan. Resolución del modelo. 3.1) Usaremos Integrales Definidas para el cálculo de k, la constante de proporcionalidad. Separamos variables e integramos: Z 18.5 23

dT = T −5

Z 12 10

12 kdt ⇔ [ln [T − 5|]18.5 23 = [kt]10

ln |13.5| − ln |18| = 2k

  13.5 1 =k ln ⇔ 2 18

Luego,

k = −0.143841 3.2) Cálculo de t0 . Integrando en forma definida Z t0 Z 37

dT =− 18.5 T − 5

0.143841dt 12

h i37 h it0 − ln |T − 5| = 0.143841 18.5

12

−[ln |32| − ln |13.5|] = 0.143841 · t0 − 1.726092 0.14384 · t0 = −0.863046 + 1.726092 t0 =

0.8663045 ≈ 5.9999 0.143841 16

Etapa 4. Mirar hacia atrás. El forense fue asesinado aproximadamente a las 6 A.M.

17