Apostila De Estruturas De Madeira_exercicios

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ENGENHARIA FLORESTAL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL

ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA Plano de

cargas

ftmmumnnnnnn —

y

yc1

''' '

x

r

r

yt2

T'\x

SEÇÃO

, Banzo Superior

p=90°

i

\;

.V NJS? b

h

at2,d

Diagonal

Montante

y=a

NJ

V

tf

Diagonal

Montante

T'r'XNk

IX

Banzo Inferior

NORMAN BARROS LOGSDON

CUIABÁ, MT. – 2012

P=9O° X<s>

®

|gL

1

i

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Página

Sumário

1. Madeiras de construção

2

2. Modelo de segurança adotado pela norma brasileira

22

3. Tração

47

4. Compressão

58

5. Cisalhamento

79

6. Torção

80

7. Flexão

81

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Página

Sumário

8. Ligações

122

9. Referências bibliográficas

159

Anexo 1 - Características geométricas de seções planas

???

Anexo 2 - Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas

???

I

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2

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

1. Madeiras de construção Cabe ao projetista viabilizar a construção, portanto, verificar no mercado o que poderá usar em termos de dimensões e espécies. a) Tipos e dimensões comerciais

/ Madeira bruta ou roliça Maciça

-> < Madeira falquejada (lavrada) ! Madeira serrada ícolada

> Madeiras

-><

Madeira laminada Industrializada ->

-/pregada

(colada e pregada

Madeira compensada Madeira aglomerada Outros produtos derivados

í

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!

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>

Madeira bruta ou roliça -> É a madeira empregada na forma de troncos, em geral apenas descascados. A seção variável dessas peças, cuja forma se aproxima a um tronco de cone, dificulta o cálculo estrutural, por isso a NBR 7190, da ABNT (2012), permite a associação destas peças a uma peca cilíndrica. O diâmetro dessa peça cilíndrica, deve ser igual ao diâmetro situado a um terço do comprimento a partir da seção mais delgada da peça de madeira roliça, desde que não superior a 1,5 vezes o menor diâmetro.

dmáx~dmin~ dmáx

2

~

v dmin

dmin dmáx‘dmin"

xZt

2

àz

L Diâmetro de cálculo da peça cilíndrica associada (usar o menor dos 2)

í

dm,x-dmin

dd - dÿ + dd =1,5x1,™

3

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k

3

%

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>

Madeira falquejada (lavrada) -> É a madeira obtida a partir de troncos, cujas faces laterais são aparadas a machado ou enxó, formando seções maciças, quadradas ou retangulares, de grandes dimensões. Para aplicação em estruturas de madeira duas seções têm especial interesse: a seção que fornece máxima área, de interesse nos problemas de tração e compressão; e a seção que fornece máximo momento de inércia, de interesse nos problemas de flexão.

, d.V2 b = h =-

,

h

d

2

H

/

Seção de madeira

b = - e h = —— falquejada mais indicada 2 na flexão. ——

b

%

V4ração ou compressão,

b

'01

Enxó;

Seção de madeira falquejada mais indicada na

i

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Madeira serrada -> É o produto estrutural de madeira mais comum entre nós. O tronco é desdobrado nas serrarias, em dimensões padronizadas

para o comércio, passando, em seguida, por um período de secagem. Secagem

IJ

£r3 > £r2

3-*-direção tangencial

2ÿdireção radial

> Melhor aproveitamento da tora > Menos operações na serra de fita ,6o > Mais económico v' > Madeira heterogénea > Maiores empenamentos/ÿ

a

*

Desdobro em pranchas paralelas

> Melhor a qualidade da madeira aos

2

3

Desdobro radialÿ)

4 Secagem

«r,3 > £r,2 3-*direção tangencial

2-ÿdireção radial

defeitos de secagem > Praticamente sem empenamentos > Madeira homogénea > Melhor preço no mercado > Menor aproveitamento e economia > Muitas operações na serra de fiteÿ-i > Desdobro lento e oneroso

\

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4

%

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O comprimento das peças é limitado, por problemas de manejo e transporte, em 5,00 m (comercial). Peças especiais com até 6,50 m podem ser obtidas. As dimensões da seção transversal são definidas pela tradição de mercado.

Tabela 1 - Madeira serrada, dimensões comerciais da seção transversal SEÇÃO EM cm x cm

NOMENCLATURA UTILIZADA

PRANCHÃO

NOMENCLATURA UTILIZADA

CAIBROS 3,0 x 30,0 4,0 x 20,0 até 4,0 x 40,0 6,0 x 15,0 até 6,0x30,0 9,0 x 30,0 SARRAFOS

VIGAS

Seções

!

encontradas

5,0 x 16,0 6,0 x 12,0 (vigota) 6,0 x 15,0 6,0 x 16,0 (vigota) 10,0 x 10,0 12,0 x 12,0 15,0 x 15,0 20,0 x 20,0 25,0 x 25,0 25,0 x 30,0

TÃBUAS

RIPAS

SEÇÃO EM cm x cm 5,0 x 6,0 6,0 x 6,0 8,0 x 8,0 2,5 x 5,0 (ripâo) 3,0x12,0 3,0 x 16,0

2,5x10,0 até 2,5x30,0 3,0 x 10,0 até 3,0x30,0 1,0 x 5,0 1,5 x 5,0

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t

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>

Peças de seção composta -> Unindo-se solidariamente duas ou mais peças de madeira (bruta, falquejada, ou serrada) obtém-se uma peça de seção composta. Para as peças compostas por peças de seções retangulares, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), ou por peças de seções circulares, segundo Hellmeister (1978), ligadas por conectores metálicos deve ser feita a correção das características geométricas como se apresenta a seguir, usando os valores de ar apresentados na tabela 2. Área efetiva da seção transversal da peça de seção composta

Aef = 2>, i=i

Número de elementos que compõem a seção composta Área da seção transversal do elemento “i” Momento de inércia efetivo da peça de seção composta

fef = “rha

Momento de inércia teórico da peça de seção composta, obtido da teoria apresentada em “Resistência dos materiais”.

Fator de redução do momento de inércia, apresentado na tabela 2.

i

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5

%

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Para as peças em seção T, I ou caixão, ligadas rigidamente por pregos, a NBR 7190, da ABNT (1997), também permitia essa correção, entretanto, só se recomenda essa simplificação quando a força cisalhante, absorvida pelos pregos, puder ser desprezada, como nas seções compostas das barras de treliças. Tabela 2 - Fator de redução do momento de inércia (ar) de peças composta

Seção utilizada

Fator de redução, ar

JjouG;: Sr;

0,80

Seção utilizada ou

Fator de redução, ar

,

f)

H

0,60

i

qp

.

; ou

II

C3E3

;•? , ou ; •.i (#|Í '

1

Seção caixão

0,85

LU (T) ou

Seção utilizada

0,40

0,70

Seção

Fator de redução, ar

0,85

0,85

ad Seção

0,95

i

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Quando não se pode desprezar a força cisalhante entre as peças deve-se obter o produto de rigidez efetivo, (EI)ef, considerando-se a rigidez da ligação, como recomenda a NBR 7190 da ABNT (2012).

O cálculo, proposto pela NBR 7190 da ABNT (2012), do produto de rigidez efetivo, entre outros, utiliza a notação, a figura e o roteiro apresentados a seguir. Notação:

Ai, I; eE; = Área, momento de inércia (Ix_x) e módulo de elasticidade, do elemento “i” (parte da seção composta); S;, Ki eF; = Espaçamento efetivo dos pregos, módulo de deslizamento e força aplicada no conector, do elemento “i” com o “2”; = Largura e altura da seção transversal do elemento “i”; b;ehi = Distância entre o centro de gravidade do elemento “i” e a ai linha neutra (eixo x-x); = Posição da linha neutra (de tensões nulas) em relação à h base do elemento “2”; CT; e Gÿí = Tensão no centro do elemento “i" (efeito da força normal) e restante desta tensão até seu valor máximo (efeito do momento fletor).

6

«I

bi



Aj , h, E1

a3

T,

0,5 bj

X

h*

_r,£A-ÿ AÿAA'A +A 2(/I.E1.A1 +/;£,A; +/3£37\jl

ai a2

Ihi x

_tâA-(hÿ)-rsEsA(h-y 2(ÿ£,A+ÿA+ÿA)

b3

’

h

h2

:

/"ÿSeçõesÿN ÍT I e caixão )

°m,3

CT1

a3

-xh

h2

b3

hi

XAAÁ+M a1 2(7,AA+ÿAA)

âãPÿ -

-X

_fh, M |a* [2 2/-a; A2 , l2, E2 Ajb2

. h2 |ph 2

CTm,1 ®

2'h

h

Ií?3

Sj,K1,F1 a_

F

\s3, K3, F3

L

Lx a2

am,1

CTKÿ

h2

T—

ai

X

a3 0,5 bÿ

+

?2

A2 , <2.

fej

A3,I3,E3/

(Cg)

b1

-(Hh -fB) a: a2

b3

X,

'dKm h3

a3

h3 3

------

ai

ai a2

<*iPT w


am,3 am,1

7

y h

>,2jd2

Distribuição' de tensões

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Roteiro - Peças compostas, de seção T, I e caixão, ligadas por pregos.

1 - Identificar, adotando se necessário, as dimensões da seção transversal dos elementos (b; e hj), que compõem a peça composta, a rigidez (módulo de elasticidade) da madeira correspondente (E;) e a densidade equivalente da madeira (pk). OBS.: A densidade equivalente da madeira (pk) corresponde à sua densidade aparente a 12% de umidade (em kg/m3) ou, no caso de madeiras diferentes, à média geométrica das densidades aparentes.

Ád =ÿPi-p2

Densidade equivalente (kg/m3), entre os elementos “i” e 2 Densidade aparente do elemento 2

Densidade aparente do elemento “i”

2 -Obter as características geométricas (A; e I;) da seção transversal de cada elemento que compõem a peça composta. Área da seção transversal do elemento “i”

Largura da seção transversal do elemento “i"

.1, = bX 12

Altura da seção transversal do elemento “i"

Momento de inércia do elemento “i”

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t

7

%

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3 - Identificar, adotando se necessário, o diâmetro do prego (d;) utilizado na ligação de cada elemento “i”, com o elemento 2, e os espaçamentos (s;) correspondentes. OBS.: O espaçamento dos pregos (s;) pode ser uniforme ou variar conforme a força de cisalhamento, entre um valor mínimo (sÿ) e um máximo (smáx), mantendo Nesse último caso usar um valor efetivo, dado por: sef=0,75.smi>+0,25.smáI. 4 -Obter o módulo de deslizamento (Kj), na interface de ligação entre o elemento “i” e o elemento 2.

C/5

05

ãl

sis i « fe

ll! Q_

"O


I‘sjS|

Densidade equivalente (kg/m3), entre os elementos “i” e 2 \ \ is5 Diâmetro dos > Estados Limites de Utilização => K1 = K5" = P]á 'd‘ pregos (mm), 20 entre “i” e 2 Módulo de deslizamento (N/mm), da ligação entre último de serviço os elementos “i” e 2 (utilização)

___

x > Estados Limites Últimos => K;

=A=|-Kí

l

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%

Em geral, serão x necessários valores últimos e de utilização.

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5 - Obter o fator de redução da inércia de cada elemento (yi). Fator de redução para o elemento 2

Fator de redução para o elemento “i” Módulo de elasticidade (MPa) do elemento T

Yi =1 e

Yi

1

/Tÿ.EjAÿi K;.L2

Módulo de deslizamento (N/mm), da ligação entre os elementos “i” e 2

.

Para i=1 e 3-

Área (mm2) do elemento “i”

Espaçamento dos pregos (mm), na interface dos elementos “i” e 2

Vão efetivo da viga (mm)

fL=vão, (L=2.vão,

para vigas biapoiadas; V L=0,8.vão, para vigas contínuas; para vigas em balanço.

—

i

6 -Obter a distância (a,) entre os centro de gravidade, da seção de cada elemento “i”, até a linha neutra da peça composta (ver figura com seções).

/i-Ei.Ai.(h2 ±hj) /3.E3.A3.(1i2 ±h3) \ 2-(/í-Ei-Aj +/2-E2.A2 +/3.e3.a3)

Distância do centro de gravidade dos elementos 1, 2 e 3 à linha neutra

/_fh3+lQ + a2

Altura dos elementos 1,2 e 3

a2

/

ai

_

-a2 e a3

.imitações: 0 < a2 < —

. Seção T -> A3=b3=h3=0.

8

%

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(0

7 -Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef, levando em consideração a rigidez da ligação.

.1

o§

Isl -

O

Distância do centro de gravidade do elemento “i” à linha neutra (mm)

3

(ElL = £(£.ÿ!< +r,-E,.A1.aí

Área (mm2) do elemento “i”

í=I

03 N

>I 1 ®

“

Módulo de elasticidade (MPa) do elemento “i”

3

Produto de rigidez efetivo (N.mm2)

o

Momento de inércia (mm4) do elemento “i"

Fator de redução para o elemento “i”

o

8 - Obter as tensões normais atuantes nos elementos. o

ilí f!l i?

ci

—

Tensão (MPa) no centro do elemento “i” (efeito da normal)

M

/i.Ei.ai. (EI).,-

Momento fletor, de cálculo, na seção de

Oj

(N.mm)

Produto de rigidez efetivo (N.mm2)

$

=0,5.Ei.hi.

\

M

(ElXr

Fator de redução, módulo de elasticidade (MPa) e distância do CG à linha neutra (mm), do elemento “i”

Restante de o, (MPa) até seu valor máximo (efeito do momento fletor)

Altura da seção transversal do elemento “i”

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Tensão máxima (MPa) no elemento “i" (ver figura com distribuição das tensões)

±<Jmf Tensão (MPa) no centro do elemento “i” (efeito da normal)

Restante de Oj (MPa) até seu valor máximo (efeito do momento fletor)

9 -Obter a tensão de cisalhamento máxima, que ocorre na linha neutra, a uma distância “h” da base do elemento 2.

h=

h,

~2±a-

e

Distância (mm) da base do elemento 2 à linha neutra (ver figura com distribuição das tensões)

a

\

=

{v} ,E3 .AJ ,a3 + 0.5.E,.b,.h2 )

Tensão de cisalhamento (MPa), máxima no elemento 2

V

b.,(El)„

Força cortante (N), de cálculo, na seção de T2.ma>

Demais notações apresentadas anteriormente

/ÿÿ"Na avaliação deÿ tensões interessam os valores últimos.

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9

!

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10 - Obter a força aplicada no conector da interface do elemento “i” com o 2.

E

1.1 'li® co

0 O

z

103

d) t

o

jfl

1o TO

>

F,=/,.E,.Ai.a,.s,.*

\

v

Espaçamento entre conectores (mm),

(EI)rfNv Para

e 3 na interface dos elementos “i” e 2.

Força cortante máxima (N), de cálculo

Força aplicada (N), no conector da interface do elemento “i” com o 2

Demais notações apresentadas anteriormente

Peças compostas com alma treliçada ou de madeira compensada -> As peças compostas com alma em treliça, formada por tábuas diagonais, e as peças compostas com alma formada por chapa de madeira compensada devem ser dimensionadas à flexão simples ou composta, considerando exclusivamente as peças dos banzos, sem redução de suas dimensões. A alma dessas vigas e suas ligações, com os respectivos banzos devem ser dimensionadas a cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

Treliçado de Town

U

&

' ft

o

,

\ \ I.-

\ A3

Alma

y

Peça composta com " alma em treliça, formada por tábuas diagonais \

; Banzos

10

%

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>

->

Madeira laminada colada (MLC) A madeira laminada colada é o produto estrutural de madeira mais importante nos países industrializados. A madeira é selecionada e cortada na forma de tábuas com espessura de 1,5 cm ou mais, que são coladas sob pressão, formando grandes vigas de madeira, em geral de seção retangular. Pressão

i

Não há limitação para dimensões e formas das vigas de MLC

Linha de cola Tábua A NBR 7190, da ABNT (2012), em seu item 5.7, apresenta todos os dados para fabricação, comercialização e utilização das vigas de MLC. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

í

4

EM.S

(1/4) h

Rigidez à flexão do elemento estrutural -> Para as vigas de MLC, de lâminas classificadas como na figura ao lado, à rigidez a flexão deve ser obtida por:

t

h

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012) Distribuição das lâminas -> As tábuas, que comporão a MLC, devem ser classificadas pelo módulo de elasticidade e as de menor rigidez utilizadas nas lâminas da metade central.

402 0459 5- Estruturas de Madeira

X

X

(1/2) h

CEI —

EM.í

[2.EMs.I(1M) + EMj.I(1

| Módulo de elasticidade médio | das lâminas de maior rigidez

EM.S b

-""'Lâminas de maior" módulo de elasticidade

(1/4) h

Momento de inércia, de cada “quarto” afastado em relação ao eixo x-x.

lâminas mais resistentes são utilizadas nos “quartos” externos.

2)

Produto de rigidez do elemento estrutural

Momento de inércia, da “metade” central em relação ao eixo x-x. Módulo de elasticidade médio das lâminas de menor rigidez

í

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11

f

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

:

!

Note que o cálculo do produto de

:_| rigidez corresponde à obtenção do

Ay

momento

X

+

x

XT

+

inércia

seção

da

de elasticidade de cada elemento.

Ay Ay

=0

EM,S (14),

de

X.ÿMÿX composta multiplicado pelo módulo

t=l

i=l

+ Ay-.A(14))+(lfl 4)x . +Ay -A(1 4) )+ (l(1 2) 0 2),. Id 4)

I(1/4)

+0

.A(1.2))

I(1/2)

Madeira -> Deve-se evitar a composição da MLC com espécies diferentes, pois os diferentes coeficientes de retração podem causar delaminação ao longo do tempo. Empregar, preferencialmente, madeiras de densidade aparente no intervalo 0,40 g/cm3 < pap 12% < 0,75 g/cm3. Dimensões das lâminas -> Espessura e largura máximas, respectivamente, de 5 e 20 cm. Qualidade da cola -> A cola deve ter resistência suficiente para que o cisalhamento ocorra na madeira e nunca na linha de cola. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

%

t

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012) Teor de umidade das lâminas -> As lâminas, para eficiência da colagem, deverão estar secas e com no máximo 18% de teor de umidade. 402 0459 5- Estruturas de Madeira

União longitudinal das lâminas -> A emenda entre peças para compor uma lâmina deve ser feita por colagem de entalhes múltiplos (“finger joints”) usinados nas extremidades de tábuas consecutivas. Outros tipos de união devem ser evitados e, se utilizados, ter eficiência comprovada por laboratório idóneo.

Usinagem horizontal

Usinagem vertical

Distância mínima entre emendas

imendas longitudinais com “finger joints”

->

Nas lâminas da metade central as uniões devem estar afastadas de no mínimo 50 cm, já nas lâminas mais resistentes, dos “quartos” externos, de no mínimo 80 cm. A distância mínima entre emendas de lâminas adjacentes deve ser de 20 cm. Largura mínima da seção transversal -> Nas vigas de MLC, de seção constante, a largura deve ser de pelo menos 1/7 da altura da seção transversal. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

S

12

%

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Madeira laminada colada, com emendas de topo

>

Utilização -> Embora a NBR 7190, da ABNT (2012), não recomende a utilização de emendas de topo, elas costumam ser utilizadas, principalmente na falta de indústria apropriada. Nestes casos, recomenda-se ainda: Tábua extra

Emenda de topo

t

aw

f

2

o)

B > -O

Distância entre emendas

> Emendas longitudinais ->

Existência

-> Quando pjga >

= 5,00 m

C Uma emenda por seção Desencontrar Distância > altura da viga emendas ->< I Se tábuas adjacentes > 25.t porrigir deficiência -> tábua extra (emenda de topo) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

5 >

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Prego Linha de cola

->

Madeira laminada colada e pregada A falta de industria, para produzir madeira laminada colada, deu origem à madeira laminada colada e pregada. Nestas peças a pressão é substituída por ligações pregadas.

Tábua

Prego Tábua

>

Madeira laminada pregada -> Alternativa menos eficiente, onde as tábuas são apenas pregadas entre si.

A madeira laminada pregada só deve ser usada em estruturas provisórias, pois pode ocorrer um fenômeno conhecido por “stress nail” e, com o tempo, os pregos soltarem-se.

i

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13

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

->

>

Madeira compensada A madeira compensada é formada pela colagem sob pressão, em indústrias, de três ou mais laminas de espessura entre 1 e 5 mm, alternando-se a direção das fibras em ângulo reto. É utilizada em portas, armários, divisórias etc.. No Brasil, os compensados não são fabricados para uso estrutural, portanto recomenda-se avaliação laboratorial da qualidade estrutural, do material adquirido, caso se pretenda utilizá-lo em estruturas.

>

Madeira aglomerada -> A madeira aglomerada é formada pela colagem sob pressão, em indústrias, de pequenos pedaços de madeira (cavacos). É utilizada em portas, armários, divisórias etc. Os aglomerados não têm qualidade estrutural, portanto não devem ser utilizados em estruturas.

>

Outros produtos derivados de madeira -> Variações da madeira compensada ou aglomerada, como LVL (laminated veneer lumber), MDP (medium density particleboard), MDF (medium density fibers) e OSB (oriented strand boards), no Brasil, não são fabricadas para uso estrutural. Assim, sua aplicação deve prever ensaios laboratoriais de resistência e durabilidade.

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Exemplos de aplicação

>

Exemplo de aplicação 01 -> Seja uma peça de madeira bruta com 4,00 m de comprimento, 30 cm de diâmetro na base e 25 cm de diâmetro no topo. Para o cálculo de uma viga fletida, a que peça se deve associar a peça de madeira bruta descrita acima? Solução:

Uma peça de madeira bruta deve ser associada, em cálculo, à uma peça cilíndrica (de seção circular), de diâmetro de cálculo (dd) dado por:

í_

Diâmetro de cálculo da peça cilíndrica associada (usar o menor dos 2)

{

dd - dmin + dmax 3 dmin =>

dd=1.5,dm

, 30-25 dd, = 25 +-

3

dd =1,5.25

=>

E, portanto, usa-se o menor dos dois -¥

min

dd = 37,5

=>

dd = 26,6 cm

cm

dd = 26,6 cm

í

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14

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 02 -> Qual a seção mais adequada de uma peça de madeira falquejada, extraída de um toro de 4,00 m de comprimento e 30 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em uma viga fletida? Solução: A seção, de madeira falquejada, para ser utilizada em vigas submetidas à flexão é a seção retangular de lados:

m

b= 4

e

:

b

E, portanto, a seção de lados ->

:

b-í2

Seção de madeira falquejada mais indicada na flexão. .

=> b

30 2

=> b = 15 cm

<W3 . , 30.V3 => h = 26 cm h =- =>h =

,

2

2

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!

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>

2,5 6 2,5

->

Obter o produto de rigidez Exemplo de aplicação 03 efetivo, (El)ef (em torno do eixo horizontal), da seção £ u caixão esquematizada na figura ao lado, de uma viga fletida biapoiada, com 4,00 m de vão, composta por peças de madeira serrada solidarizadas por pregos, com o objetivo de determinar a flecha máxima, portanto em 11 cm um Estado Limite de Serviço (utilização). A madeira é de uma folhosa da Classe D40, que tem densidade aparente de Pap,i2% = 950 kg/m3 e módulo de elasticidade de Eÿf = 10920 MPa. Os pregos utilizados são comerciais, n° 19 X 33, possuem diâmetro de 3,9 mm e estão espaçados, longitudinalmente, entre si de 20cm. Solução:

3-I J

3H

Em geral, além do momento fletor, as vigas fletidas também são submetidas à força cortante, que produz tensões de cisalhamento.

Não sendo possível desprezar as tensões de cisalhamento, o cálculo de peças compostas, de seção T, I e caixão (caso em pauta), ligadas por pregos, segue roteiro descrito na NBR 7190, da ABNT (2012). Aplicandose esse roteiro, obtém-se: Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

*

15

%

Ver roteiro (página 6)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

1 - Identificar, adotando se necessário, as dimensões da seção transversal dos elementos (b; e h;), que compõem a peça composta, a rigidez (módulo de elasticidade) da madeira correspondente (E;) e a densidade equivalente da madeira (pk).

Interface 1

Dimensões da seção:

2,5 6 2,5

Elemento 1

[bÿ6 cm=60 mm

HE

[Kl6 cm=60 mm

| b, = 2x2,5 cm=50 mm | h2 =30 cm= 300 mm

u o Cl

cm= 60 mm

11 Cl Elemento 2

Elemento 3

1

Interface 3

[KK6 cm= 60 mm

Características da madeira:

Ad = Pt3 = 950 kg/m3 ;

E3 = E: = E3 = 10920 MPa

2 -Obter as características geométricas (A; e I;) da seção transversal de cada elemento que compõem a peça composta.

A. = b,.h, e

%

I,=

b, .h;

i

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12

Ver roteiro (página 6)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A,: = bj.hj

It =

b,.h; :

12

=>

A,l =60.60

=>

I,=

A2 = b2.h2 h = b2.h2 12

A,3 =

b3.h3

60 .603

It = 1080000 mm4

12

A2 = 50.300

h= =>

I| = b3*h3 12

Aj = 3600 mm2

=>

A 2 =15000 mm2

=>

50.3003

I2 = 112500000 mm4

12

A,3 =60.60

li

A 3 = 3600 nmr

60.603

—>

12

L3 =1080000

mm4

3 - Identificar, adotando se necessário, o diâmetro do prego (dj) utilizado na ligação de cada elemento “i”, com o elemento 2, e os espaçamentos (sj correspondentes.

Dados no enunciado =>

dj=d3=3,9 mm

e

Sj =

s3 = 20 cm = 200 mm

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t

16

1

Ver roteiro (página 6)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 -Obter o módulo de deslizamento (K;), na interface de ligação entre o elemento “i” e o elemento 2. O objetivo desse problema é o cálculo de flechas, cuja verificação é para Estado Limite de Serviço (utilização), portanto devem ser obtidos valores de serviço (utilização).

Kt=Kser

=> K-!

20

e

_ Pu A 20

=

_ 3 4 K3 PÍ20

=

950u3,9 20

K( =5709,8 N/mm

950 3,9 20

= 5709,8 N/mm

5 - Obter o fator de redução da inércia de cada elemento (yj).

r2= 1 e

1

n= i+

K,L2

J

L=vão, para vigas biapoiadas; , i=1 e 3, e onde: í L=0,8.vão, para vigas contínuas; L=2.vão, para vigas em balanço.

t

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!

Ver roteiro (página 6)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

1

/i = 1+

1 1+

K,.L2

> =>

Viga biapoiada L = vão => L = 4,00 m = 4000 mm

=>

n2.10920.3600.200 5709.8.40002

yl = 0,5407

r2=loo

De forma análoga à y-, , obtém-se; 73 = 0,5407

6 -Obter a distância entre os centro de gravidade (a|), da seção de cada elemento “i”, até a linha neutra da peça composta (ver figura das seções).

a2

_ /j.EpA) .(h; ±h1)-/3.E3.A3.(h2 + h3)

a

2-Oÿi-Ej.Aj +/2.E2.A2 +/3.E3.A3)

-fh2±2 ht

-a, e

0,5407.10920.3600.(300- 60) -0.5407.10920.3600.(300 -60) a2 = 2.(0,5407. 10920.3600 + 1,00.10920.15000 + 0,5407.10920.3600)

3i =

300-60 -0 2

=>

Sj = 120 mm

e

a3 =

300-60 +0 2

-a.

a3 a2

= 0 mm

=> a3 =120 mm

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t

17

%

Ver roteiro (página 6)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

7 -Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef, levando em consideração a rigidez da ligação. 3

(EI)rf = Z(E1.Il+r,-E1.Ai.a,2) i-1

(EI)ef

=(E1.I1+71.E1.A1.a[)+(E2.I2+/2.E2.A2.aÿ)+(E3.l3+/3.E3.A3.a;)

=>

(El)ef = 2.(l0920 .1080000 + 0,5407 .10920 .3600 .1202 ) + (10920 .112500000 + 1,00. 10920 .15000 .02 )

=>

CParaEstados limites de Serviço (utilização)ÿ) (El)ef = 1864259953920 N.mnr Sendo E-, =

Ief

=

(El)ef Ec0,ef

E2 = E3 = Ec0ef = 10920 MPa, pode-se dizer ainda:

4=

1864259953 920 10920

=>

Irf =170719776 mm4

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 04 -> As lâminas mais resistentes, de uma viga de madeira laminada colada de Marupá, apresentaram módulo de elasticidade de EMs = 12000 MPa e foram colocadas nos “quartos” externos da seção da referida viga, as lâminas menos resistentes, de EMj = 9000 MPa, foram aplicadas na “metade” central. Conhecidas as dimensões da seção transversal dessa viga, esquematizada abaixo, que produto de rigidez (E.l) deve ser utilizado no cálculo? Lâminas mais resistentes (maior módulo de elasticidade)

i2cm 6 cm

12 cm 24 cm 6 cm 10 cm

Lâminas menos resistentes (menor módulo de elasticidade)

Solução: Nos casos de MLC com classificação das lâminas pelo módulo de elasticidade, deve-se considerar a seção transformada e obter o produto de rigidez por:

í

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18

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

E.I - [2.Eÿs.I|j 4) +EMj.I(1 2) Ao se decompor a seção composta, obtém-se: 6 cm 12 cm

r±r

Ek 3 =

6 cm

:y

:y

r—r--

"fl't*

3 c5 +

...L—

X-L.i.j.x

AyJ ,--rSI<° y 1

O

10 cm

E -X Õ CN

CM

;y Ay = o

1

:y

10 cm

:‘Ti

T

10 cm

10 cm

Ayy = — - — = 9 cm 2

2

Com as dimensões em “mm", obtém-se: I(14)

-

!ix.x + AYI-AI => I(,,4) =

b,.h; :

12

+ Ayÿ.(b1.h1) => I(14)

100.603 12

90:.(l00.60)

I,! 4) = 50400000 nun4

=>

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%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

I(i 2) = I 1

=>

T

_b2.h3 (12)~

=>

12

=>

I(12)

100. 1203

12

I(1 2) = 14400000 nun4

Finalmente, obtém-se:

E.I =

[2.EMS.I(1 4) + EM,.I(1,2)]

E.I = [2.1200Q50400000f 9000.1440000(j

=>

>

E.I = 1339200000000 N.mnr

Exemplo de aplicação 05 -> Durante 0 cálculo de uma viga fletida de madeira laminada (com emendas de topo), com 7,00 m de comprimento e composta por tábuas de seção 2,5 cm x 20 cm, se obteve uma altura necessária de 51 cm (com 20 cm de largura). Com que altura mínima deve ser construída esta viga? Apresente uma solução para a disposição das emendas longitudinais (se existirem).

í

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19

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Solução:

Inicialmente deve-se lembrar, que a altura de uma viga de madeira laminada é um múltiplo da espessura das tábuas que a compõem.

«tábuas

'

ntábuas

® tábua

_

hviga

«tábuas

tábua

«tábuas

51

=>

* 2,5

TT

«tábuas

=>

* 20,4

*

K

ecessana

=>

® tábua

ntabuas = 21 tábuas

Se as tábuas fossem inteiras, com 21 linhas de tábuas poder-se-ia construir a viga, mas não é o caso, pois a viga tem 7 m e as tábuas comerciais 5 m. Assim serão necessária emendas longitudinais.

Existência

> Emendas longitudinais ->

-> Quando £ÿQa > 4sbua = 5,00 m

C Uma emenda por seção Desencontrar Distância > altura da viga emendas ->< I Se tábuas adjacentes > 25.t Corrigir deficiência -> tábua extrá> (emenda de topo)

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A colocação da tábua extra aumenta o número de tábuas e, em consequência, a altura da viga.

«final = «tábuas +1

Afinal

=>

«final =21+ 1

=>

«final -etábua

«finai = 22 tábuas

Afinal = 55

hgnaj =22.2,5

cm

Uma solução para montagem da viga seria a apresentada a seguir. Zona comprimida (emendas transmitem esforços) 55 cm

{ 55

55

55"

55

55

55

40 1

55"

55

55

55

55

55

700 cm

Zona tracionada (desencontrar emendas)

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20

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Exercícios propostos

>

Exercício proposto 01 -> Seja uma peça de madeira bruta com 7,00 m de comprimento, 50 cm de diâmetro na base e 35 cm de diâmetro no topo. Para o cálculo de uma viga fletida, a que peça se deve associar a peça de madeira bruta descrita acima?

>

->

Qual o momento de inércia efetivo de uma Exercício proposto 02 viga composta por dois postes, com 25 cm de diâmetro médio (central), i

&

i

-EU

-EU

-E U

•E U

I

I

A
parafuso.

25 cm

anel metálico

25 cm

í

porca e arruela—

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 03 -> Qual a seção mais adequada de uma peça de madeira falquejada, extraída de um toro de 4,00 m de comprimento e 25 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em um pilar comprimida?

>

Exercício proposto 04 -> Qual a seção mais adequada de uma peça de madeira falquejada, extraída de um toro de 7,00 m de comprimento e 40 cm de diâmetro mínimo, para ser utilizada em uma viga fletida?

>

Exercício proposto 05 -> Qual o momento de inércia efetivo de uma viga composta por duas peças de madeira serrada, de seção 20 cm x 20 cm, solidarizadas por anéis metálicos?

A

Ao

A

Seção A-A

E3

E3-E3-+-E3 V

V

J

A
T

E3

E3

—porca e arruela

JÒL

- - -

- -

€3

rjn

A

r "parafuso

E 3-

8 -

II 20 cm

metálico

porca e arruela

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t

21

Exercício proposto 06 -> Sendo possível desprezar as forças de cisalhamento nas ligações das seções esquematizadas na figura abaixo, que características geométricas (área e momento de inércia efetivos) deveriam ser utilizadas no cálculo destas vigas compostas solidarizadas rigidamente por pregos? m m in CN ci CN H-H

2,5 6 2,5

mH

E

EB”l" cm

ffl«I 1 7,5 cm

11

>

m

2,5 cm 12 cm

o o co

o o

a) Seção caixão

10 cm

HW £

b) Seção T

2 6 2

c) Seção "T"

-> Obter o produto de rigidez efetivo, (El)ef (em torno do eixo horizontal), das seções “I” e “T” esquematizadas na figura acima, considerando que as vigas são fletidas, biapoiadas, com 4,00 m e 3,00 m de vão, respectivamente, composta por peças de madeira serrada

Exercício proposto 07

i

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

>

>

solidarizadas por pregos, com o objetivo de determinar a flecha máxima, portanto em um Estado Limite de Serviço (utilização). A madeira é de uma folhosa da classe de resistência D40, que tem densidade aparente Pap.12% = 950 kg/m3 e módulo de elasticidade Eÿ = 10920 MPa. Os pregos utilizados são comerciais, n° 19 X 33, possuem diâmetro de 3,9 mm e estão espaçados, longitudinalmente, entre si de 20 cm.

Exercício proposto 08 -> Se o objetivo do exemplo de aplicação 03 fosse a obtenção das tensões atuantes máximas, que produto de rigidez efetivo deveria ser usado? Exercício proposto 09 -> A figura ao lado representa a seção de uma viga fletida de MLC, que produto de rigidez (E.l) deve ser

I f i

EMs= 10500 MPa

JVEMFR T7.5

WOO MPa

cm

15 cm 30 cm

=!=

7,5 cm


—

i—' « EM s» 10500 MPa utilizado no cálculo de flechas? 10 cm Exercício proposto 10 -> Durante o cálculo de uma viga fletida de madeira laminada, com 5,00 m de comprimento e composta por tábuas de seção 2,5 cm x 20 cm, se obteve uma altura necessária de 42 cm (com 20 cm de largura). Com que altura mínima deve ser construída esta viga? Apresente uma solução para a disposição das emendas longitudinais (se existirem). Norman Barros Logsdon Prof

J*

22

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2. Modelo de segurança adotado pela norma brasileira A norma brasileira para o “Projeto de estruturas de madeira”, NBR 7190 da ABNT (2012), adota o “Método dos Estados Limites”, descrito na norma de “Ações e segurança nas estruturas”, NBR 8681 da ABNT (2004). Estas normas, permitem o calculo em diversas situações de projeto, que, por sua vez, definem os carregamentos e as verificações a serem utilizados. Assim, tornam-se necessárias algumas definições iniciais para entender e aplicar o método. a) Definições iniciais

>

Estados limites -> São os estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenhos inadequados às finalidades da construção. Os estados limites podem ser: n Estados Limites Últimos -> São os estados que caracterizam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção (ruptura, ruína ou perda de instabilidade). n Estados Limites de Serviço (Utilização) -> São os estados que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção (deformações ou vibrações excessivas).

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

->

Condição de segurança A segurança em relação a possíveis estados limites pode ser expressa por: Solicitação de cálculo

sd -?-d t

>

Resistência de cálculo

Tipos de ações -> As ações, definidas como as causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas, podem ser:

n Permanentes -> Ações que apresentam pequena variação durante praticamente toda a vida da construção. n Variáveis -> Ações que apresentam variação significativa durante a vida da construção.

n Excepcionais -> Ações de duração extremamente curta, e com baixa probabilidade de ocorrência, durante a vida da construção. Durante o cálculo de estruturas as ações devem ser combinadas, levando-se em conta a probabilidade de ocorrência simultânea, de modo a representar as situações mais críticas para a estrutura. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

23

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

->

Classes de carregamentos Um carregamento é especificado pelo conjunto de ações que tem probabilidade não desprezível de atuação simultânea. Conforme a duração da atuação simultânea das ações pode-se definir uma classe para o carregamento

As classes de carregamento, de qualquer combinação de ações, é definida pela duração acumulada da ação variável, tomada como principal na combinação, e são definidas na tabela 3. Tabela 3 - Classes de carregamento

AÇÃO VARIÁVEL PRINCIPAL DA COMBINAÇÃO CLASSE DE CARREGAMENTO Duração acumulada Ordem de grandeza da duração acumulada da ação característica vida útil da construção Permanente Permanente [~> Longa duração mais de 6 meses Longa duração Média duração Média duração 1 semana a 6 meses menos de 1 semana Curta duração Curta duração muito curta Duração instantânea Duração instantânea Fonte: NBR 7190 da ABNT (2012)

%

1

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Tipos de carregamentos -> Conforme o tipo de ações envolvidas no carregamento são definidos os seguintes carregamentos:

-> Um carregamento normal inclui apenas as ações decorrentes do uso previsto para a construção, é considerado de longa duração e deve ser verificado nos estados limites último e de serviço (utilização).

n Carregamento normal

n Carregamento especial -> Um carregamento especial inclui as ações variáveis de natureza ou intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento normal. n Carregamento excepcional -> Na existência de ações com efeitos catastróficos, o carregamento é definido como excepcional, e corresponde à classe de carregamento de duração instantânea. n Carregamento de construção -> Um carregamento de construção é transitório e deve ser definido em cada situação particular onde exista risco de ocorrência de estados limites últimos durante a construção. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

24

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Situações de projeto -> A norma brasileira, NBR 7190 da ABNT (2012), considera as seguintes situações de projeto: tt

Situações duradouras -> Nas situações duradouras, que podem ter duração igual ao período de referência da estrutura, devem ser verificados os estados limites últimos e de serviço (utilização) e devem ser consideradas em todos os projetos. Nas verificações de segurança a estados limites últimos consideram-se combinações últimas normais, enquanto que nas de estados limites de serviço (utilização) consideram-se combinações quase permanentes de serviço.

n

Situações transitórias -> Quando a duração for muito menor que a vida útil da construção tem-se uma situação transitória, que só será considerada se existir um carregamento especial, explicitamente especificado, e na maioria dos casos verifica-se apenas estados limites últimos, considerando-se combinações últimas especiais ou de construção. Se necessária a verificação dos estados limites de serviço (utilização), deve-se considerar combinações frequentes de serviço ou raras.

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n Situações excepcionais -> As situações com duração extremamente curta são consideradas excepcionais e verificadas apenas quanto aos estados limites últimos, considerando-se combinações últimas excepcionais. As situações excepcionais devem ser explicitamente especificadas, sempre que houver necessidade dessa consideração no projeto.

b) Combinações de ações em estados limites últimos

>

->

Combinações últimas normais São utilizadas para verificação de estados limites últimos causados por um carregamento normal. As ações variáveis são divididas em dois grupos, as principais (/ÿqi iç) e as secundárias (Fqjik). Para as ações permanentes (Fgjk), devem ser feitas duas verificações: a favorável, na qual as cargas permanentes aliviam o efeito da atuação simultânea das ações; e a desfavorável, na qual as cargas permanentes aumentam o efeito da atuação simultânea das ações. Assim, para este caso, a ação, ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a expressão entre apresentada a seguir, na qual os coeficientes yg, yq e outros, são apresentados nas tabelas 4, 5, 6, 7 e 8. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

k

25

i

402 0459 5- Estruturas de Madeira

->

i Combinações ultimas normais

Mesmo sinal Desfavorável

°o "5d 3 >' \ z

í

-

'V

Se puder romper N, V, Mete.

d

Coeficientes de ponderação Tabelas 4 a 7, páginas 26 e 27

“

i=l

j=2

Madeira isoladamente: Desfavorável -> 1,3 Favorável -> 1,0

VI

\

Valor característico da variável secundária

Valor característico da carga permanente para madeira pagina 25

Se carga rápida, Fq é multi¬ plicado por 0,75 (página 25)

permanentes

Entram sempre

Valor característico Fator de combinação da variável principal Tabela 8, página 28 Cargas variáveis Efeitos dinâmicos Só entram as com sinal de Fd página 25

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n Coeficientes de ponderação para ações permanentes -> Os coeficientes de ponderação e os fatores de combinação e de utilização utilizados nas combinações de ações, estão definidos na NBR 8681, da ABNT (2004). Para os elementos estruturais de madeira, no caso de ações permanentes diretas consideradas separadamente, são recomendados, pela NBR 7190 da ABNT (2012), os seguintes coeficientes de ponderação:

[ Se desfavoráveTÿ>

usual da NBR 8681 -> yg- 1,0 Valor NBR 7190 é omissa. Fatores de redução de cargas rápidas -> Os efeitos dinâmicos de pontes

| Se favoráveÍÿ> a

Elementos de madeira em geral -> yg- 1,3 Elementos de madeira industrializados -> yg = 1,2

Elementos de madeira

(impacto vertical, força centrífuga, força longitudinal e impacto lateral) e o vento, quando variável principal, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), em combinações últimas, devem ser reduzidas na verificação dos elementos estruturais de madeira, multiplicando-as por 0,75. *

----.

n Efeitos dinâmicos em pontes -> Segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), a força vertical (carga móvel, Fqm) e seus efeitos dinâmicos (impacto vertical, Fqj), devem ser utilizados como variável principal (Fq1 k=Fqm+0,75.Fqi) na combinação de esforços. Apenas na verificação dos elementos estruturais de madeira.

26

Tabela 4 - Coeficientes de ponderação yQ, para ações permanentes diretas consideradas separadamente

Efeito

Tipo de ação

Combinação

Normal

/—i

Especial ou de construção

Excepcional

(1)

(2)

Peso próprio de estruturas metálicas Peso próprio de estruturas pré-moldadas Peso próprio de estruturas moldadas no local Elementos construtivos industrializados W Elementos construtivos industrializados com adições in loco Elementos construtivos em geral e equipamentos _ Peso próprio de estruturas metálicas Peso próprio de estruturas pré-moldadas Peso próprio de estruturas moldadas no local Elementos construtivos industrializados <1> Elementos construtivos industrializados com adições in loco Elementos construtivos em geral e equipamentos (*> _ Peso próprio de estruturas metálicas Peso próprio de estruturas pré-moldadas Peso próprio de estruturas moldadas no local Elementos construtivos industrializados Elementos construtivos industrializados com adições in loco Elementos construtivos em geral e equipamentos (2) _

Por exemplo: paredes e fachadas pré-moldadas, gesso acartonado. Por exemplo: paredes de alvenaria e seus revestimentos, contrapisos.

%

Desfa¬ vorável 1,25 1,30 1,35 1,35 1,40 1,50

Favo¬ rável

1.15

1,0

1,20 1,25 1,25 1,30 1,40 1,10 1,15 1,15 1,15 1,20 1,30

1.0

1.0 1.0 1,0

1.0 1.0 1.0 1,0 1,0 1,0

1.0 1,0

1.0 1.0 1,0 1,0 1,0

Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 5 - Coeficientes de ponderação yg , para ações permanentes diretas

agrupadas (consideradas em conjunto)

Efeito

Tipo de estrutura

Combinação

Desfavorável Favorável Grandes pontes Edificações tipo 1 e pontes em geral (2> Edificação tipo 2

1,30 1,35 1,40

Especial ou de construção

Grandes pontes <1> Edificações tipo 1 e pontes em geral <2> Edificação tipo 2 <3>

1,20 1,25 1,30

Excepcional

Grandes pontes <1> Edificações tipo 1 e pontes em geral <2> Edificação tipo 2 <3>

1,10 1,15 1,20

Normal

<=ÿ

___ —

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

<1> Pontes em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade das ações permanentes. ® Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2. <3> Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2.

Cargas permanentes consideradas em

—

conjunto, ou

I

sejaÿXg-Fp.k = i-i

Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)

%

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon i«i

27

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 6 - Coeficientes de ponderação yq, para ações variáveis consideradas separadamente

Tipo de ação

Coeficiente de

Ações truncadas <1> Efeito de temperatura Ação do vento Ações variáveis em geral

1,2 1,2 1,4 1,5

Especial ou de construção

Ações truncadas d) Efeito de temperatura Ação do vento Ações variáveis em geral

1,1 1,0 1,2 1,3

Excepcional

Ações variáveis em geral

1,0

Combinação

Normal

0)

<£ÿ

ponderação

Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição de máximos é truncada por um dispositivo físico de modo que o valor dessa ação não pode superar o limite correspondente. O coeficiente de ponderação apresentado nesta tabela se aplica a esse valor limite.

Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 7 - Coeficientes de ponderação rq, para ações variáveis consideradas em conjunto * _

_

Combinação

Coeficiente de

Tipo de estrutura

ponderação

Pontes e edificações tipo 1 (1> Edificações tipo 2

IA

Especial ou de construção

Pontes e edificações tipo 1 Edificações tipo 2 <2>

IA

Excepcional

Estruturas em geral

1,0

Normal

0)

l

1,4

1,2

Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2. 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2.

® Edificações tipo *

Para ações variáveis consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação, apresentado nessa tabela, se aplica a todas as ações, devendo-se considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração dos materiais e o efeito de temperatura.

——

Ações variaveis consideradas em conjunto, ou seja: •

/W +É

= Yv

FqIi + X V'oj-Fqj* J=-

Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004)

í

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28

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 8 - Fatores de combinação e de redução t//0, V'I e W2 AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES

• •

2

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral _

0,6 0,6

0,5 0,3

0,3 0

0,5

0,4

0,3

0,7 0,8

0,6 0,7

0,4 0,6

0,6 0,7 0,8 1,0

0,4 0,5 0,7

1,0

0,8

0,3 0,3 0,5 0,6 0,5

CARGAS ACIDENTAIS DOS EDIFÍCIOS

• •

•

Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas <1) Locais onde há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de pessoas (2) Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens _ CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS

•

• • • •

Vo

Passarelas de pedestres Pontes rodoviárias Pontes ferroviárias não especializadas Pontes ferroviárias especializadas Vigas de rolamentos de pontes rolantes

1.0

,1)

Edificações residenciais de acesso restrito; Fonte: NBR 8681, da ABNT (2004) Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público; (3) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar zero para v|/2; (4> Para combinações excepcionais onde a ação principal for 0 fogo, y2 pode ser reduzido, multiplicando-o por 0,70. (2)

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Combinações últimas especiais ou de construção -> Para verificação de estados limites últimos causados por um carregamento especial ou de construção, a combinação é a mesma utilizada para o carregamento normal, com = iÿ0j, ação salvo quando variável principal Fq1 tenha um tempo de atuação muito pequeno, neste caso i//0jef = i//2j, portanto:

Fd

>

+?q|ÿql,k + X

“

Combinações últimas excepcionais -> Para verificação de estados limites últimos causados por um carregamento excepcional, não se aplica o coeficiente de ponderação yq à ação definido para as excepcional e se mantém o coeficiente combinações especiais ou de construção, portanto: m

Ygiÿgi,k i=l

Fq.exc Y

VÿOj.efÿqj.k j=l

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t

29

%

->

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Se entortar u (flecha) etc. c) Combinações de ações em estados limites de serviço (utilização)

Combinações quase permanentes (de serviço) -> No controle usual de deformações das estruturas são consideradas as combinações quase permanentes. Nestas combinações, definidas pela expressão abaixo, todas as ações variáveis atuam com seus valores quase permanentes (y/2-Fq,k)-

>

i Combinações

quase permanentes (de serviço)

™

F = 2j'=i.k + xd?uti i=l

Valor de serviço (utilização) F-> u, vibração etc.

Valor característico da carga variável

_2L_

qjfk

VI

H

Fator de redução Valor característico Tabela 8, página 28 da carga permanente

Permanentes Entram sempre

Cargas variáveis Só entram as com sinal de Fd utj

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

->

Combinações frequentes (de serviço) Utiliza-se esta combinação no caso de existirem materiais frágeis, não estruturais, ligados à estrutura. Nestas condições a ação variável principal atua com seu valor frequente (ÿ.Fq1 k) e as demais com seus valores quase permanentes (t//2.Fqk).

Fd,uti - X FeU +

>

+

X

Combinações raras de serviço -> São utilizadas quando for importante impedir defeitos decorrentes das deformações da estrutura. Neste caso a ação variável principal atua com seu valor característico (Fp1 k) e as demais com seus valores frequentes

(V'l-Fqj.k)-

Fd,utí =ZFgi,k+Fqi,k+ZÿiJFqj,k Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

30

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Exemplos de aplicação (combinação de ações)

>

Exemplo de aplicação 06 -> Uma determinada barra de uma tesoura, de um telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se: a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra; b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra. Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão, positivos tração), devidos a:

•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) ->Ng = -16400 N ->Nqa = -2100 N •Peso de água absorvida pelas telhas -»Nq’vp= -14900 N •Vento de pressão

•Vento de sucção

Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto.

%

900 N

VS=

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (página 25)

Solução:

Os esforços solicitantes são as causas das rupturas nas seções das estruturas, portanto produzem Estados Limites Últimos. Para verificação destes estados são utilizadas combinações últimas, no caso de carregamento de longa duração usa-se a Combinação Última Normal. Na existência de mais de um carregamento variável, em princípio não se sabe qual a variável a ser tomada como principal. Nestes casos, deve-se obter os esforços de cálculo nas diversas hipótese possíveis (em cada hipótese, adotase um dos carregamentos como variável principal) e, entre os esforços de cálculo obtidos, escolher o mais prejudicial estrutura. a) Nd de compressão (-)

N o o

i co CB

O)

cu

O

-> Esforço solicitante

pode causar ruptura -> Estado limite último => Combinação Última Normal (situação duradoura de projeto, para uso)

Nd(-) => Entram -> Ng (sempre); Nq a e Nq Vp (mesmo sinal de Nd) => por existirem duas ações variáveis, usam-se duas hipóteses para Fq1 k

Hipótese 1) Água é a variável principal (Fq1 k = Nqa) Mesmo sinal

Fd =

i«l

+ Yv FqU + ÉÿOj-Fqj.fc j=2

|

\|/Q

<- vento \

=> Nd = l,40.Ng +l,40.[Nqa +0,6.NqVP]

31

1

C. Última Normal (página 25)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Nd =lJ40.Ng+l,40.[Nqa+0,6.NqVP]

= 1,40.(- 16400) +1,40.[(- 2100) + 0,6.(- 14900)]

Nd= -38416

<Se água for a variável principa

N

Hipótese 2) Vento de pressão é a variável principal (Fq1 k = NqVP)

w

_

—--

[

Fd = r,-êF«Uc +;/q| _

local da água

\|fo

Carga rápida

Mesmo sinal

V

H

_

y1

=> Nd = 1.40.Ng +1.40.[o,75.Nq w + 0,5.Nqa

Nd = l,40.Ng +l,40.[o,75.NqVP +0,5.Nq J=>Nd =l,40.(-16400)+l,40.[0,75.(-14900)+0,5.(-2100)] vento de pressão for a variável principal

=>

Nd =-40075

N

Finalmente, conclui-se sobre a variável a ser considerada principal e sobre o esforço de cálculo (o maior, em valor absoluto, deles). Compressão

ionsidera-se o vento de pressãi -ÿ_como variável principai_ÿ

=>

Nd

N

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

t

C. Última Normal (página 25)

b) Nd de tração (+)

N -> Esforço solicitante => pode causar ruptura -> Estado limite último => Combinação Última Normal (situação duradoura de projeto, para uso) Nd(+) => Entram -> Ng (sempre) e Nq Vs (mesmo sinal de Nd) => só existe uma ação variável, portanto, Fq1 k= NqVs

Fd =

re-fyÿ+r
Sinais diferentes |favorável |

Carga rápida

N

=> Nd = l,0.Ng + l,40.[o,75.Nq vs]

Nd = 1,0.Ng + l,40.[o,75.NqVS] => Nd = 1,0.(- 16400)+ 1,40.[0,75.(900)] => Compressão

Nd =-15455

N

O máximo esforço de tração obtido, ainda é de compressão, portanto, não ocorrerá esforço de tração na barra.

í

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32

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 07 -> Uma tesoura, de um telhado convencional de madeira, apresenta os deslocamentos verticais (flechas), no centro da tesoura, listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se: a) O deslocamento vertical de serviço, para baixo, máximo na tesoura;

b) O deslocamento vertical de serviço, para cima, máximo na tesoura.

Deslocamentos verticais no centro da tesoura (valores positivos indicam deslocamentos verticais para baixo, negativos para cima), devidos a:

•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) ->Ug =4,8 mm ->uqa = 0,6 mm •Peso de água absorvida pelas telhas vp= 3,7 mm •Vento de pressão

•Vento de sucção

-0,3 mm

Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto.

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Quase Permanente (página 29)

Solução:

a) uef ou Ujj uti para baixo (+)

u -> deslocamento =x> pode causar deformação -> Estado limite de serviço (utilização) =x> Combinação quase permanente (de serviço), usual em situação duradoura de projeto (uso previsto da edificação)

Ud,uti(+) => Entram -> ug (sempre); uq a e uq Vp (mesmo sinal de ud]Uti) \\f2
Fd,uti -

+ÿ,//2j-Fqj.k

Ud.ud = ug + 0,3 -Uqa + 0,0.uqVP

=>

\\i2 4- vento

Ud,uti = ug +0,3.uqa +0,0.uq vp

+ 0,3.0,6 + 0,03,7

=> Para baixo

Ud,ud >4ÿ98 mm

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t

33

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C, Quase Permanente

(página 29)

b) uef ou ud uti para cima (-)

u -> deslocamento => pode causar deformação -> Estado limite de serviço (utilização) => Combinação quase permanente (de serviço), usual em situação duradoura de projeto (uso previsto da edificação)

Ud,uti(-) => Entram -> ug (sempre) e uq Vs (mesmo sinal de udiUtj) \|/2

vento

m

Fd,uti -

+ÿV/2j-Fqj,k

ud,utí=ug+0;0.uqVS

uduti = 4,8 + 0,0.(- 0,3)

máxima flecha negativa (para cima) obtida, ainda é positiva (para baixo), portanto, flecha para cima.

=>

ud uti = 4,8 mm

/

I Para baixo I

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%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 08 -> Na figura, a seguir, estão representados os carregamentos típicos de uma ponte rodoviária de madeira, sem revestimento, aplicados em uma das vigas principais. Considerando um produto de rigidez efetivo de Ec0rf.Irf = 1,25.1013 N.mrrr, um carregamento normal (para o uso previsto da construção), e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se: a) Os valores característicos do momento fletor, da força cortante e do deslocamento vertical máximo (flecha) para cada um dos carregamentos; b) O momento fletor e a força cortante de cálculo; c) O deslocamento vertical (flecha) efetivo.

Note que o carregamento pode ser considerado separadamente. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

34

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

12 kN

12 KN

12 kN

Impacto vertical

Carregamento

>

50 kN

50 kN

Peso

3,00 N/mm

m uinnnuTTT AU ,0,50,

1,50

1,50

0,5ÿ

4,00 m

h

>

Solução

variável

Carga móvel (trem-tipo)

50 kN

próprio

da

estrutura de madeira

!

Carregamento permanente

Note que as cargas podem ser consideradas separadamente. Recomenda-se utilizar, sempre que possível, as cargas separadamente, pois se tem melhor controle do carregamento e os esforços de cálculo resultam menores.

a) Valores característicos

A obtenção dos valores característicos é a resolução do problema de “Resistência dos Materiais” e/ou “Estática das Estruturas” envolvido.

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

a.1) Carga permanente O esquema estático, correspondente a carga permanente, é Diagramas de usual e está tabelado, portanto: E. S. (Anexo 2)

...

.3,00 N/mm

..

p1 3.4000

1111111/iiiiiiiiirrm v!(„oaPo,o) = v=T = — _A_ pi2 3.400tf (n° Centl'°) = Mmãx = £VMS ,500ÿ 1500 1500 ,500, 8 8

Vg = 6000 N

=>

; = 6.000.000

N.mm

!

4000 mm

r

H

ug(no centro) = vmáx =

5.p.r

_

5.3.4000i

=> us 384.E.I 384.(1.25. 1013)

= 0,80 mm

a. 2) Carga móvel (trem-tipo) O esquema estático, correspondente a carga móvel, pode ser Diagramas de decomposto em dois problemas tabelados (alíneas b e g), E. S. (Anexo 2) J portanto, pode-se utilizar a superposição de efeitos: 50000 N

50000 N

50000 N

50000 N

50000 N

50000 N

-A,500, r

1500 1500 4000 mm

Carga móvel

,500,

Zk. 2000

+

2000

4000 mm

Alínea b

3000

4000 mm

Alínea g

404 H

35

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Aplicando-se a superposição de efeitos obtém-se: 50000

Vqm = 75.000 N + 50000 => 2 p, 50000.4000 +50000.500 =i> Mqm = 75.000.000 N.mm Mqm(no centro) =MaaneaV +M‘alínea g = — + P.a = 4 Pi3 Pa ,(3.í2-4.a!) 3 uqra(no centro) = ua]ineab + uaHnea g 48.E.I 24.E.I -+P = Vqm(n° apoio) = Valínea b + V*~g=2

uqm(no centro) =

50000.40003

50000.500

48.(l,25.1013) 24.(l,25.1013)

(3.4000:-4.500:)

uqm = 9,25 mm

=>

a.3) Impacto vertical O carregamento, correspondente ao impacto vertical, é proporcional ao da carga móvel, portanto, pode-se utilizar a superposição de efeitos: 12 kN

t ,500,

12 kN

l

1500 1500 4000 mm

!

12 kN

t

Vqj(no apoio) =

,500,

Mÿno centro) =

1

Vqi =18.000 N

=

=ÿ.75000000

12 12 centro) = — .uom u0.(no qiV qm = —.9.25 5Q 50

=18.000.000 N.mm

=>

uqi = 2,22 mm

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Valores de cálculo para Estados Limites Últimos (Vd e Md) Os esforços solicitantes são as causas das rupturas nas seções das estruturas, portanto produzem Estados Limites Últimos. Para verificação destes estados são utilizadas combinações últimas, no caso do carregamento normal usa-se a Combinação Última Normal.

Na existência de mais de um carregamento variável, em principio não se sabe qual a variável a ser tomada como principal. Nestes casos, deve-se obter os esforços de cálculo nas diversas hipótese possíveis (em cada hipótese, adota-se um dos carregamentos como variável principal) e, entre os esforços de cálculo obtidos, escolher o mais prejudicial à estrutura. No caso de exemplo isso não será necessário, pois o impacto vertical (efeito dinâmico da carga móvel) só poderá existir na presença da carga móvel, portanto, a carga móvel deveria ser tomada como variável principal. Por outro lado, a NBR 7190 da ABNT (2012) recomenda utilizar a carga móvel e seu efeito dinâmico (impacto vertical), em conjunto, como variável principal.

i

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36

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira Apenas madeira

Carga rápida

b.1) Momento fletor de cálculo (Md) Todos os momentos característicos encontrados produzem tração embaixo, com valor máximo no centro. Assim, só faz C. Última Normal sentido procurar Md no centro e produzindo tração embaixo, (página 25) Aplicando-se a Combinação Última Normal, obtém-se:ÿ?ÿ m

Fd

+
i=l

V—yW

j-2

=> Md = 1.3.Mg + L5.(\lqm + Mq,.0.75) =>

Md = 1.3.6000000 + 1.5.(75000000 + 18000000.0.75) => Md = 140.550.000 N.mm b.2) Força cortante de cálculo (Vd) No apoio esquerdo (direito), todas as forças cortantes características encontradas são positivas (negativas). Assim, só faz sentido procurar Vd positiva (negativa) no apoio esquerdo (direito). Aplicando-se a Combinação Última Normal, obtém-se: Carga rápida ic

1c

Fd = 2>Ak + rqi-Fql,k + Xÿ-V'oj-Fqj-.k i=l

Vd = 1,3.6000 + 1,5.(75000 + 18000.0.75)

1

=>

Vd=l,3.Vg+l,5.(Vqm+Vqi.0,75)

j=2

Vd = 140.550 N

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Valor efetivo (de cálculo) para o Estado Limite de Serviço (uduti) Deslocamentos em uma viga não causam rupturas, mas podem produzir Estados Limites de Serviço (utilização) fazendo a estrutura perder funcionalidade. Para verificação destes estados são utilizadas combinações de utilização, no caso do carregamento normal usa-se a Combinação Quase Permanente (de Serviço).

Todas flechas características encontradas são para baixo, com valor máximo no centro. Assim, só faz sentido procurar udutl no centro e para baixo. Aplicando-se a Combinação Quase Permanente (de Serviço), obtém-se: m

C. Quase Permanente (página 29)

Fd,un - XFg*.k + Xÿ-Jÿqi.k => Uef = Ud,ut. = Ug + °:3uqm + 0,3-Uqi => 1=1

j=2

uef = ud ud = 0.80 + 0.3.9,25 + 0.3.2.22 => urf = ud,ud = 4ÿ24 mm

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37

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

e) Outras definições encontradas na NBR 7190 da ABNT (2012)

No cálculo de uma estrutura de madeira podem ser utilizados valores de resistências: obtidos em ensaios, realizados em laboratório, para caracterização de espécies; fornecidos pela norma brasileira para o projeto de estruturas de madeira, que apresenta o resultado de ensaios de caracterização de diversas espécies; ou valores definidos pela norma brasileira de acordo com a classe de resistência que a espécie pertence. Estes valores de resistência deverão ser corrigidos para a situação de utilização da estrutura. Para isto é necessário compreender alguns conceitos definidos na NBR 7190 da ABNT (2012).

> Resistência ->

A resistência é a aptidão da matéria suportar tensões. Os valores de resistência, obtidos em ensaios, são determinados convencionalmente pela máxima tensão que pode ser aplicada a corpos-de-prova normalizados e isentos de defeitos até o aparecimento de fenômenos particulares de comportamento que restrinjam o emprego do material em elementos estruturais.

>

Rigidez -> A rigidez é definida pelo módulo de elasticidade da madeira, o qual determina o seu comportamento na fase elásticolinear.

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

->

As propriedades de resistência e de Classes de umidade rigidez da madeira precisam ser ajustadas em função das condições ambientais onde permanecerão as estruturas. Este ajuste é feito em função das classes de umidade apresentadas na tabela 9. Tabela 9 - Classes de umidade

CLASSES DE UMIDADE

UMIDADE RELATIVA DO AMBIENTE, Uamb

UMIDADE DE EQUILÍBRIO DA MADEIRA, Ueq

1 2 3 4

< 65%

12% 15% 18% > 25%

Uamb

65% < Uamb 75% 75% < U-upb < 85% > 85% durante longos períodos

Fonte: NBR 7190, da ABNT (2012) > Tipos de caracterização da madeira -> Para a caracterização de um lote de madeira, para utilização estrutural, podem ser utilizados três procedimentos distintos para a caracterizar as propriedades de resistência e dois para as propriedades de elasticidade. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

38

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

lCaracterização da madeira

Completa

-> Todos ensaios, direções paralela e normal

> Resistência -> < Mínima -> Ensaios na direção paralela -> (Formulário VSimplificada

í"co,k /fIOJE _ 0>77

-> Ensaio de compressão paralèta

/ÿcO,k _

/ÿtO.k -

Cansaio de flexãoÿ w/w = °.25 Completa -> Ensaios de compressão paralela e normal > Rigidez -> 1 Simplificada -> Ensaio de compressão paralela -> Ec90 = — .Ec0 20

(

Para verificação de estabilidade -> 1Notação utilizada Tipo de valor

Propriedade

->

-

E0 05 - 0,7.Ec0 m

-> f = resistência; E = módulo de elasticidade -> c = compressão; t = tração;

Solicitação

k = característico; ef = efetivo; d = cálculo, ou m = médio

v = cisalhamento e e = embutimento Direção das fibras (0o, 90°, a etc.)

/ Xyn,z

%

Ec0,k

í

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Classes de resistência -> Visando padronizar as propriedades da madeira, a norma adota 0 conceito de classes de resistência (definidas na tabela 10), propiciando, assim, a utilização de várias espécies com propriedades similares em um mesmo projeto.

_ Tabela

10 - Classes de resistência _ Classes de Resistência

(Valores na condição-padrão de referência U = 12 %)

-o

Classes

s (ti

fv0,k

Ec0,m

Eco,k=Eo,o5*

Paparente

(MPa)

(MPa)

(MPa)

(kg/m3)

5

m d)

E o

2 CL CO

8 8 tf)

a)

£

Ci

w

C20

20

4

3500

2450

500

l-

â

C25

25

5

8500

5950

550

O

C30

30

6

14500

10150

600

< ro

«T (0

D20

20

4

9500

6650

650

CD

D30

30

5

14500

10150

800

II

D40

40

6

19500

13650

950

D50

50

7

22000

15400

970

5.

D60

60

8

24500

17150

1000

2

co

sr

fc0,k (MPa)

§

S.S O

z co

O CD

cn CQ z

1o U.

39

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

f) Valores de cálculo das resistências e das rigidezes

Obtidos os valores característicos das propriedades da madeira pode-se obter valores de cálculo por:

Valor de cálculo -> f = resistência ou E = módulo de elasticidade

Valor característico -> f = resistência ou E = módulo de elasticidade Resultados de ensaios

Xd=kmod Xk

Classes de resistência Tabela 10, página 38

/w

]

Coef. de minoração Tabela 15, página 41

Coeficiente de modificação (situação de uso)

E

E cO.ef = k mod F cO.m G., ef =Ec9°,ef

%

_ EcO.ef

20~

inod

— V mod,l ' V inod.2 ' V*mocl,3

Duração da carga Tabela 11 , página 39

Qualidade da madeira Tabelas 13 e 14, páginas 40 e 41 Para MLC -> consultar norma

Umidade da madeira (Classe) Tabela 9, página 37

C=>

Valores de kmod 2 Tabela 12, página 40

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 11 - Valores de kmod •, (considera a classe de carregamento e o tipo de material empregado) _

Ação variável principal da combinação Classes de carregamento

Duração acumulada

Permanente

Permanente

Tipos de madeira

Ordem de grandeza da duração acumulada da

ação caracteristica

Madeira serrada Madeira Madeira roliça Madeira laminada colada recomposta Madeira compensada

Vida útil da construção

0,60

0.30

(JT70 )

0.45

Média duração Média duração Uma semana a seis meses

0.80

0.65

Curta duração Curta duração

Menos de uma semana

0,90

0.90

Muito curta

1.10

1.10

Longa duração Longa duração

Instantânea

Mais de seis meses czr>

Instantânea

Fonte: NBR 7190, da ABNT (2012)

t

i

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40

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 12 - Valores de kmod2 (considera a classe de umidade e o tipo de material empregado )

Madeira serrada Classes de Madeira roliça umidade Madeira laminada colada Madeira compensada

<=t>

Madeira recomposta

d)

1.00

1,00

(2)

0.90

0,95

(3)

0.80

0,93

(4)

0,70

0,90

Fonte: NBR 7190, da ABNT (2012)

tf

OBS.: Para madeiras submersas, admite-se kmod2=0,65

1

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Segundo a atual NBR 7190, da ABNT (2012), a qualidade da madeira é definida após classificação, no mínimo por método visual, definindo um dos seguintes níveis:

SE - Classe Estrutural Especial; S1 - Classe Estrutural N° 1; S2 - Classe Estrutural N° 2; S3 - Classe Estrutural N° 3. Definida a classe da madeira, o coeficiente kmod3 é fornecido nas Tabelas 13 e 14.

Tabela 13 - Valores de kmod3 para folhosas (madeira classificada )

Tipo de classificação

5

Classe

Apenas visual

h-

z Visual e mecânica co <

SE

0,90

1,00

S1

0,85

0,95

S2

0,80

0,90

S3

0,75

0,85

o CD

£ co

z V

o

OBS.: Madeira de folhosa não classificada, admite-se: kmod3=0,70

í

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41

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 14 - Valores de kmod3 para coníferas (madeira classificada )

Tipo de classificação

As coníferas também são classificadas pela classe de densidade.

Classificação Classe

Apenas visual

Visual e mecânica

SE-D

0,70

0,90

S1-D

0,60

0.80

Densas (D)

S2-D

0,50

0,70

S3-D

0,40

0,60

cT

5

Cl CD

<

SE-ND

0,60

0,80

Não-Densas S1-ND (ND) S2-ND

0,50

0.70

0,40

0,60

ANBR7190, da ABNT (2012), § I não permite o IC l uso de madeira de conífera nãa z \classificada.

0,50

c o

-o

V

S3-ND

0,30

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%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 15 - Coeficientes de minoração, yw

COEFICIENTE DE MINORAÇÃO yw

SITUAÇÃO PARA ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

•

Compressão

Y wc -

• Tração • Cisalhamento

Ywt = !>8 Ywv =

PARA ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Adota-se o valor básico

•

Yw =1>°

í

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42

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

g) Exemplo de aplicação (valores de cálculo de resistências e rigidezes)

>

Exemplo de aplicação 09 -> Que valores de cálculo usar no projeto de uma estrutura construída em Cuiabá, utilizando madeira serrada de uma dicotiledônea, adquirida no comércio local, da classe de resistência D60? Estes dados, e os conceitos e definições vistos, permitem obter os valores de cálculo como segue:

1 - Valores característicos previamente conhecidos

W=60 MPa fy,k = 8 MPa Classes de resistência Tabela 10, página 38

>

Dicotiledônea D60

Ec0m = 24500 MPa Ec0 k =17150 MPa Paparente

1000 kg/m3

l

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver formulário (página 38)

2 - Outros valores característicos Madeira usual (comercializada)

f«/f« =0.77

ftO.k

WfcO,k=0-25

_

-> Formulário para caracterização simplificada

fço.k

ftO.k

0,77 ~

Wfto,k = 0’05 Ec90,m

20

c0,m

=>

ft0k = 77,92 MPa

fc90 fc — 15 MPa

W = 60 MPa few.k = 0-25.fc0k => fe90,k= 0,25.60 => fe90,k = 15 MPa 90,k

= 0,05 .ft0k

=>

24500

1

0,77

fc9o,t _ 0,25.60 =>

0?25.fc0k

feO,k/fcO,k=1’00

W/fc0,k=O>25

60 ~

=>

ft90 k = 0,05 .77,92 => ft90k = 3,90 MPa

Ecso.m = 1225 MPa Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

43

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 - Coeficiente de modificação (considerar situação de uso)

Carregamento normal (uso) -> longa duração

Duração da carga Tabela 11 , página 39 Classe de Umidade Tabela 9, página 37

Cuiabá, Uamb < 65% Classe de umidade 1

V

kmod,2 = 1,00

Valores de kmod 2 Tabela 12, página 40

Cuiabá, comércio não classifica madeira V

-> kmo41=0,70

Qualidade da madeira Tabela 13*, página 40

->

V

->

k mod,3

=> k mod 0,70.1,00.0,70 =>

''mod = ''‘modi ' mod.2 ' mod,3

0,70

kmod = 0,49

4 - Coeficientes de minoração das resistências Coef. de minoração Tabela 15, página 41

->

í

Compressão (embutimento) -> Xwc Tração e cisalhamento

7™ 1,4 ~

7*t = fwv = L8

->

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* Tabela 14, página 41, quando conífera

%

~

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 - Valores de cálculo ( _

kmod

IçQ.k

lc90,d — k mc d

fç90,k

Xd = kmod Xk 60

fco,d - 0,49. 1,4 => 15

=>fc9o,d =0,49.— 1,4

77,92 => 1,8

ko.d _ kmcd

fto,d _ 0,49.

ft90,d kmod

=>f*u=0,49. 1,8

fv.d = kmod

3,90

fv,k

fe0.d=kmo d

8

= 0,49. — =>

7we

l"e0.d _ 0,49

60 •

1,4

kmod'ÿcO.m

6

—

fc0 d = 21,00 MPa fc90,d = 5,25 MPa ft0,d = 21-21 MPa= fc0d => ft0,d = 21,00 MPa

ft90.d = l.°6 MPa fvd = 2,18 MPa

1,8

IgQ.k

!

=>

fe0 d= 21,00 MPa

I

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44

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

fe90,k

15 0,49. _ . => 1,4 17150 S — =>ECM=0,49. 1,4

Ec0d = 6003 MPa

Ec0.ef _ Emod.E cO:m =>Ec0ef = 0,49.24500 =>

Ec0 ef = 12005 MPa

l'e90,d E cO,d

fe90 d=5,25 MPa

“

Ywe

Kc

Gef — Ec90,ef —

•ÿcO;ef 20

Gef Ec90.ef

12005

=>

Gef - Ec90ef _ 600 MPa

Gef — Ec90 ef - kmod.Ec90iin =>Gef - Ec90ef - 0,49 .1225 => h) Tabela dos valores de cálculo das resistências e da rigidezes

De forma análoga, ao exemplo apresentado, podem ser obtidos os valores de cálculo para todas as classes de resistências das folhosas, apresentados na Tabela 16. Estes valores são validos na região Centro Oeste do Brasil (classe de umidade 1), para madeira não classificada, sempre que o carregamento for de longa duração (carregamento normal). Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 16 - Valores de cálculo para madeira não classificada de folhosas Valores de cálculo para as classes de resistência das folhosas (Valores na condição padrão de referência U = 12%)

Classe

fcO.d

fc90,d

ftO.d

ft90,d

fv0,d

feO.d

fe90,d

Eco.d*

EcO.ef

Gef

Pap,12%

(MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (kg/m3)

D20 D30 D40 D50 D60

7,00 10,50 14,00 17,50 21,00

1,75 2,63 3,50 4,38 5,25

7,00 10,50 14,00 17,50 21,00

0,35 0,53 0,71 0,88 1,06

1,09 1,36 1,63 1,91 2,18

7,00 10,50 14,00 17,50

21,00

1,75 2,63 3,50 4,38 5,25

2328 4655 3553 7105 4778 9555 5390 10780 6003 12005

233 355 478 539 600

650 800 950 970 1000

Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa duração; classe de umidade 1; madeiras não classificadas, que possam ser enquadradas nas classes de resistência e caracterizadas de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190 da ABNT (2012). * Utilizar apenas para verificação de estabilidade

Ver notação (página 38)

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exercícios propostos Exercício proposto 11

-> Uma determinada barra de uma tesoura, de um

telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se:

a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra; b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra. Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão, positivos tração), devidos a: •Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> Ng = -48601 N -> Nqa = -6327 N •Peso de água absorvida pelas telhas Vento de à (vento barlavento) pressão -> Nq Vpb = -30873 N • Vento de à sotavento) (vento pressão Nq VPs = -22514 N • sucção à Vento de barlavento) (vento = 17243 N Nq'vsb • sucção Vento de à (vento sotavento) = Nq'vss 21795 N • Nota: Não é possível a ação simultânea de duas direções, ou sentidos, de vento.

%

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Í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

> Exercício

->

Uma determinada barra de uma tesoura, de um proposto 12 telhado convencional de madeira, apresenta os esforços característicos listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se:

a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra; b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra. Esforços normais nas barras (valores negativos indicam compressão, positivos tração), devidos a:

•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> Ng Nq,a •Peso de água absorvida pelas telhas

•Vento de pressão (vento à barlavento) •Vento de pressão (vento à sotavento) •Vento de sucção (vento à barlavento) •Vento de sucção (vento à sotavento) Nota: Não é possível a ação simultânea de duas direções, ou sentidos, de vento.

= 45630 N 5940 N 31480 N NqVPs = 20778 N Nq'vsb = -34036 N NqVSs= -19863 N

=

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t

46

5

>

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exercício proposto 13

->

Uma tesoura, de um telhado convencional de madeira, apresenta os deslocamentos verticais (flechas), no centro da

tesoura, listados a seguir. Considerando que o telhado pode ser considerado como uma edificação do tipo 2, pois seu carregamento é inferior a 5 kN/m2, e sabendo-se que o carregamento é de longa duração e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se: a) O deslocamento vertical de serviço, para baixo, máximo na tesoura; b) O deslocamento vertical de serviço, para cima, máximo na tesoura. Deslocamentos verticais no centro da tesoura (valores positivos indicam deslocamentos verticais para baixo, negativos para cima), devidos a:

•Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação) -> ug = 12.455 mm •Deformação das ligações (permanente) -> Ugiig = 56,683 mm Contraflecha (permanente) • -> ugcf = -30,000 mm Peso de absorvida telhas água pelas 1,621 mm • uq,a Vento de pressão 7,112 mm = • uq,VP sucção Vento de • -> uq vs = -4,886 mm ”

Nota: Aplicar contraflecha é construir a estrutura já deformada em sentido contrário à flecha esperada.

i

402 0459 5- Estruturas de Madeira

> Exercício

proposto 14 -> Que valores de cálculo usar no projeto de uma estrutura construída em Manaus (classe de umidade 3), utilizando madeira serrada de uma dicotiledônea, adquirida no comércio local, da classe de resistência D40?

Exercício proposto 15

->

Que valores de cálculo deveriam ser usados no projeto de uma estrutura de madeira pré-fabricada, cuja indústria classificou visual e mecanicamente a madeira como sendo SE-ND de uma conífera da

classe de resistência C30, se a referida estrutura fosse em Cuiabá?

> Exercício

proposto 16 -> Como deveriam ser corrigidos os valores fornecidos na Tabela 16, para estruturas construídas em Manaus (classe de umidade 3)?

*

Exercício proposto 17

->

É possível preparar uma tabela equivalente a Tabela 16 para as coníferas? Monte a tabela, em caso afirmativo, ou justifique, em caso negativo.

i

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47

?

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3. Tração Conforme a direção de aplicação do esforço de tração, em relação às fibras da madeira, pode-se ter a madeira submetida à tração paralela ou à tração normal. A resistência da madeira a esforços de tração paralela às fibras é muito alta, enquanto que a resistência à tração normal às fibras é muito baixa e frequentemente desprezada. A resistência da madeira a um esforço de tração aplicado em uma direção inclinada, em relação às fibras, apresenta um valor intermediário entre as observadas na tração paralela e normal.

0

ICÍ?

40 Tração normal às fibras

Tração paralela às fibras

v.

í

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% a

402 0459 5- Estruturas de Madeira

a) Tração paralela às fibras

f

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), os esforços resistentes das peças estruturais de madeira devem ser determinados com a hipótese de comportamento elastofrágil do material, isto é, com um diagrama “tensão X deformação” linear até a ruptura tanto na compressão quanto na tração.

Assim, o Estado Limite (Último) de peças submetidas à tração paralela às fibras é o de ruptura, na seção menos resistente, por tensões de tração e as bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”

/"Tensões normais uniformemente distribuídas INÿForça normal

Efeito da Força Normal (N)

\

>

<j

=

%

Área da seção transversal normal (“sigma”)

Segurança à ruptura

Resistência do material (à tração ou compressão)

Zÿ> —

a

Nmax A

s

N

atenal

í

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48

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A descontinuidade do material, causada por furos ou cortes para entalhes, impedirá a transmissão do esforço de tração, portanto, a área da seção transversal a ser considerada deve ser a área efetiva (descontados os furos e entalhes). Assim, o dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à tração paralela às fibras pode ser feita aplicando-se o seguinte roteiro.

>

Roteiro - Tração paralela às fibras

1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).

2 - Obter a área da seção transversal da barra (A). 3 - Obter a área efetiva (Agf) de madeira, da seção transversal. a) Se conhecida a ligação. A

= A — A enfraquecimentos

Na qual, em geral: A

= A faros

+ A entalhes

i

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n Furos para colocação de pregos e parafusos.

A<

SEÇÃO A- A

o

Afeo = b.0

I* A furo

A
n Entalhes para colocação de dentes.

ei:

A
SEÇÃO A- A b

A entalhe

>

A

ill,

= b.e

A
Aef = 0,70.A

í

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49

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (otd).

CTtd =

Nd Aef

5 - Verificar e concluir sobre a seção. =

, opcionalmente:

Aef

V

=

N

?

<1

Aef-Itoj

Resistência à tração paralela às fibras H

Se CTW« Vd (CTtdIfffl.d « 1) => a madeira resiste com folga ao esforço, pode-se diminuir a seção.

n Se cytd>ftod (atd/ft0d> 1) => a madeira não resiste ao esforço, é necessário aumentar a seção.

n Se crld=ft0 d(atd/ft0d = 1), mas ainda menor => a madeira resiste, praticamente no limite, ao esforço, é a seção ideal.

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

4

->

Obter a seção da barra 1-3, da Exemplo de aplicação 10 tesoura esquematizada abaixo, construída com madeira de uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a barra deve ter largura de 6,00 cm e que os esforços característicos na barra (obtidos em Planos Cremona) são os listados abaixo (positivos se de tração, negativos se de compressão). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1, carregamento de longa duração e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal. Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)-> 17000 N Peso de água absorvida pelas telhas -> 2500 N Vento de pressão -> 15000 N -1000 N Vento de sucção

1,20 m

1ÿ50

1,50 5 1,50 7 6,00 m _

._

,8

Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto.

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50

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 48)

Solução:

Acompanhando o roteiro apresentado, obtém-se: 1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o diagrama de força normal.

Os esforços característicos podem ser classificados como: Permanente

-> Peso próprio

-»

í Água Variáveis

->

Ng= 17000 N

\ Vento de pressão Vento de sucção

Nq a = 2500 N

Nq VP = 15000 N Nq vs = -1000 N

Esforços solicitantes, como a forca normal, podem causar ruptura de seções, portanto, causar um Estado Limite Últimos. Estes estados são verificados com combinações últimas, para o carregamento de longa duração (carregamento normal) usa-se a Combinação Última Normal.

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (Página 25)

Da existência de três carregamentos variáveis, um caracterizando esforço de compressão e dois esforços de tração, percebe-se, ao observar a expressão de Combinação Última Normal, a possibilidade de três diferentes combinações: 1) Ng e Nq Vs possibilitando Nd de compressão; 2) Ng, Nq a (como variável principal) e Nq Vp, fornecendo Nd de tração; 3) Ng, Nqa e NqVp (como variável principal), fornecendo outro Nd de tração.

Assim, devem ser obtidos esses três valores de Nd, identificando a hipótese adotada, e: 1) se existir Nd de compressão, com ele verificar a barra à compressão; 2) com o maior valor obtido para Nd de tração, identificar a variável principal assumida e verificar a barra à tração. Como a direção das fibras da barra 1-3 (ao longo do comprimento) é a mesma dos esforços Nd (nos três casos), as duas verificações descritas acima devem ser feitas na direção paralela às fibras.

í

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51

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4- Procurando valores de compressão para

C. Última Normal (Página 25)

Nd (-)

Nesta situação devem ser consideradas todas as cargas permanentes (entram sempre) e apenas as cargas variáveis com mesmo sinal de Nd (portanto, de compressão). Assim, aplicando-se a combinação obtém-se: Não existe

N«-,=1,0.NIW+1,4.(N1.VS<_).0,75) Nd(-)

compressão na barra 1-3/

=>

1,00.17000 +1,4.[(- 1000)0,75] => Nd(-) '+15950 N

4- Procurando valores de tração

para

Nd (+)

Nesta situação devem ser consideradas todas as cargas permanentes (entram sempre) e apenas as cargas variáveis com mesmo sinal de Nd (portanto, de tração). Assim, existem duas possíveis variáveis principais. Adotam-se, por hipótese, as duas possibilidades e o maior valor de Nd será utilizado no cálculo.

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (Página 25)

Hipótese 1

-> Assumindo a água como variável principal:

N1(., = 1,4.Ng(-) + 1.4-(N„W+0,6.Nq,VP(-) ) Nd(-) = 1,4.17000 +1,4.(2500+0,6.15000) => Nd(+) = 37800 N Hipótese 2 principal:

->

Assumindo o vento de pressão como variável

Nd(+) = 1,4.Ng(-) + 1,4. N

.0,75 +0,5.Nqa(+))

Nd(_} = 1,4.17000+1,4.(150000,75+0,5.2500) =>

NdW= 41300 N

Portanto, deve-se assumir o vento de pressão como variável principal e utilizar para dimensionamento da barra uma força normal de cálculo, Nd = 41300 N, de tração.

í

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52

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 48)

2 - Obter a área da seção transversal da barra (A).

C. Geométricas (Anexo 1)

h (mm)

=>

A = b.h

A = 60.h mm"

6 cm = 60 mm

3 - Obter a área efetiva (Aef) de madeira, da seção transversal.

Para ligação desconhecida.

Aef = 0,70 .A

=> Aef = 0,70.(60.h)

Aef = 42.h mnr

4 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (atd).

Nd = Tÿ

Aef

41300

=>
=>

=

983,33 MPa h

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 48)

5 - Verificar e concluir sobre a seção. =

C. da madeira (Página 44)

t

Nd - ft0,d Aef

->

Quando se carrega incógnita DICA pode-se impor a solução ideal.

Para as condições especificadas no enunciado, a resistência da madeira esta tabelada, portanto: Folhosa classe D30

->

ft0d = 10,50 MPa

Assim:

Nd =Tÿfto,d Aef

— < 10.50

h

=> h >

983,33 => h > 93,65 mm 10,50

A solução ideal para o problema é a seção comerciai de largura 6 cm (dada no enunciado) e altura imediatamente superior a Seções comerciais 93,65 mm = 9,4 cm. Das seções encontradas no comércio, (Tabela 1, página 4) recomenda-se:

cQtíjjzãra seção comercial 6cm x 12crn(vigota)I>

i

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 11 -> Qual a máxima força normal de cálculo, de tração, a que pode resistir uma peça de madeira classe D60 (dicotiledônea), de seção 6,00 cm x 12,00 cm, sendo que 3,00 cm de sua altura são utilizados em entalhes e colocação de parafusos (figura abaixo)?. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1, carregamento de longa duração e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal.

3

6 cm

3

SEÇÃO A- A

6

12 cm

oo

-*-1,8 cm

x1,2 cm

<J

A

1

-d

6 cm A 1—1y entalhe TESíI1,8 cm 12 cm cm A furo

jgxl,2

í

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Ver roteiro (página 48)

Solução: Procura-se uma força de tração, a direção do esforço normal é a mesma da barra da treliça, que é disposta ao longo do comprimento (direção das fibras). Assim, o problema é de tração paralela as fibras, portanto, pode-se acompanhar o roteiro correspondente.

1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o diagrama de força normal.

Nd = Nd N

É a incógnita do problema => 2 - Obter a área da seção transversal da barra (A). C. Geométricas (Anexo 1)

12 cm = 120 mm

A = b.h => A = 60.120 =>

-A = 7200 mm2

6 cm = 60 mm

í

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54

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 48)

3 - Obter a área efetiva (Aef) de madeira, da seção transversal.

Para ligação conhecida. A

A—A =n

Aenfraquecmentos - Afiÿ + Aentalhes

, com

No caso, observando-se a figura dada, tem-se:

+

=> Afro =6.1,2 = 7,2 cm2

Aÿo = b.0 A entalhe = b-e

Aíúro = 720 mm2

=>

2 => A entalhe = 6.1,8 = 10,8 cm2 => Açntalhe = 1080 IM11

Aenfraq = b.(0+e) =>Aenfraq = 6.(12 +1.8) = 1&0

Xi Aef = A - Aenfrsquecinentos

cmW Aenfraq =1800 mm2

Altura utilizada

Aef = 7200- 1800 => Aef = 5400 mm2

i

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Ver roteiro (página 48)

4 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (ctd).

Nd

=>

=-7ÿ

Aef

=

Nd 5400

MPa

5 - Verificar e concluir sobre a seção.

Nd . — I'tO.d Aef C. da madeira (Página 44)

->

Quando se carrega incógnita DICA pode-se impor a solução ideal.

Para as condições especificadas no enunciado, resistência da madeira esta tabelada, portanto: Dicotiledônea classe D60

->

ft0d =21,00

a

MPa

Assim:

CTtd

Nd , — ItO.d

Aef

Nd 5400

< 21,00 =>Nd <21,00.5400=>Nd <113.400 N

A máxima força normal de cálculo de tração, que poderá ser usada, é Nd = 113.400 N. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

55

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Tração normal às fibras Quando as tensões de tração normal às fibras puderem atingir valores significativos, deverão ser empregados dispositivos que impeçam a ruptura decorrente dessas tensões. A segurança das peças estruturais de madeira, em relação a estados limites últimos, não deve depender diretamente da resistência à tração normal às fibras do material (NBR 7190, da ABNT (2012)). Quando não for possível atender essa recomendação, a verificação de peças fracionadas na direção normal às fibras pode ser feita de maneira semelhante a apresentada para tração paralela, utilizandose a resistência de cálculo à tração normal às fibras (f®ÿ)-

c) Tração inclinada às fibras

Sempre que o ângulo entre o esforço aplicado e a direção das fibras for superior a 6o, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), deve-se considerar a correspondente redução de resistência.

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A NBR 7190, da ABNT (2012), recomenda a utilização da expressão de Hankinson, apresentada a seguir, para obter a resistência à tração inclinada às fibras.

J Resistência à tração inclinada

ft“’d

ft0,d-ft90,d' ftod.sen2or + ft90 d. cos2 a

/

Ângulo entre o esforço aplicado e a direção das fibras.

—

Resistência à tração paralela Resistência à tração normal

Assim, a verificação de peças tracionadas em uma direção inclinada às fibras pode ser feita de maneira semelhante a apresentada para tração paralela, utilizando-se a resistência de cálculo à tração inclinada às fibras (ftad).

í

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56

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 19 -> Obter a seção de uma barra da tesoura de um telhado, construída com madeira de uma folhosa da classe D60. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a barra é composta por duas tábuas (ou sarrafos) de espessura 2,50 cm e afastados entre si de 6 cm, que os esforços característicos na barra (obtidos em Planos Cremona) são os listados abaixo (positivos se de tração, negativos se de compressão). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1, carregamento de longa duração e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal.

Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)-> 5577 N 726 N Peso de água absorvida pelas telhas 4946 N Vento de pressão à barlavento 2003 N Vento de pressão à sotavento Vento de sucção à barlavento -1740 N -> -3342 N Vento de sucção à sotavento Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto.

1

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t

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>

Exercício proposto 18 -> Obter a seção da barra 1-2 da treliça, esquematizada na figura abaixo, construída com uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a barra é formada por duas tábuas com 2,5 cm de espessura cada. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa duração. 5,00 m 2

Carga permanente 10 kN Carga variável (talha) 30 kN

>

5,00 4 5,00 6 5,00» 15,00 m

41

Exercício proposto 19 -> Obter a seção da barra 5-7 da treliça esquematizada na figura acima, construída com uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a largura da barra é de 6,00 cm. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa duração. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

í

57

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 18 -> Obter a seção da barra 1-2 da treliça, esquematizada na figura abaixo, construída com uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a barra é formada por duas tábuas com 2,5 cm de espessura cada. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa duração.

7-A 5,00 m

Carga permanente 10 kN

2

5,00

5,00 Ç 5,00 *15,00 * m

4-L

Carga variável (talha) 30 kN

>

-> Obter a seção da barra 5-7 da treliça esquematizada na figura acima, construída com uma folhosa da classe D30. Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a largura da barra é de 6,00 cm. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1 e carregamento de longa duração. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

Exercício proposto 19

£

%

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>

Exercício proposto 20 -> Um carpinteiro (inexperiente) utilizou dois pedaços de tábua, de seção 2,5 cm x 30 cm, com 12 cm cada, como cobrejuntas na emenda (figura abaixo) de uma barra tracionada com 62000 N (valor de cálculo). Sabendo-se que: a madeira é uma folhosa classe D40, a edificação é do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), o carregamento é de longa duração e a classe de umidade 1. A emenda resistirá ao esforço? -Cobrejunta 62000 N = Nd

4

12

Parafuso de 1/2" (12,7 mm)

>

30 cm

O2,5

Nd = 62000 N Direção das fibras

Exercício proposto 21 -> Na construção de um telhado, percebeuse que a madeira de uma das barras tinha 10° de inclinação das fibras (defeito). Considerando os dados do “exercício proposto 19”, será necessário substituirá barra?

58

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4. Compressão Devido a anisotropia do material, a madeira tem comportamento distinto quando submetida a compressão em diferentes direções, em relação às suas fibras, assim deve-se estudar o fenômeno, em cada direção, separadamente. Na figura abaixo são apresentadas peças de madeira submetidas a compressão em diferentes direções.

Compressão iaralela às fibra:

''''Compressão" normal às fibras

/ÿõmpressãoÿx

í

(inclinada às fibras

!

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

f

a) Compressão paralela às fibras

A

Considerando que a NBR 7190, da ABNT (2012), admite um comportamento elastofrágil do material, ou seja, um diagrama “tensão X deformação” linear até a ruptura, tanto na compressão quanto na tração, dois estados limites devem ser considerados:

B

> 8

Diagrama

“
Ruptura, na seção menos resistente, por tensões normais de compressão (ponto A, no diagrama “o x s”), de peças curtas;

For

flI/

i!

Carga de ruptura

/ÿRupturaÿv por compressão paralela às fibras

/ Carga crítica

Fr

>

Flambagem elástica (ponto B, no diagrama “a x s”), de peças esbeltas;

Ui Flambagem

elástica

FC;ff

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t

59

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

As bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”

'Tensões normais uniformemente distribuídas Efeito da Força Normal (N)

NÿForça normal

t

o

Área da seção transversal •Tensão normal (“sigma”)

A-

> Segurança à rupturacz£>

máx crmáx = —

N ~

Resistência do material(à tração ou compressão)

> Para evitar a flambagem

Nmáx A

cr

s

Tensão crítica de Euler -

A tensão crítica de Euler, por sua vez, é obtida a partir da carga crítica de Euler. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

!

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tensão crítica de Euler

Carga crítica de Euler

FE'=

r.E.f E/l

4

TC.

CTcr = ÍE A

°cr =

TI2.RI

4-A

I I i2=-ÿÿ>i = A

Z

Área da seção transversal

Módulo de elasticidade

Momento de inércia

Comprimento de flambagem

VA

CTcr =

CTcr

Raio de giração

\

;r2.E.i2

r

Z.E

4

Á2 í

índice de esbeltez

Os autores da NBR 7190 da ABNT (2012) não deixam claro qual o módulo de elasticidade a ser utilizado no cálculo de <xcr Considerando que: a flambagem corresponde a um Estado Limite Último; a expressão geral de verificação (Sd < Rd), nesse caso, envolve valores de cálculo; a resistência de cálculo (Xd=Kmod.Xk/yw) é corrigida por um coeficiente de modificação e um de minoração, tem-se:

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t

60

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Módulo de elasticidade caracterlstico

/wc Coeficiente de modificação

=>

_

Kmodÿr:.E

c0,k

Kc

V

7T ,2

A2

ÍÿNnod'

Módulo de elasticidade de cálculo

Coeficiente de minoração

Valor caracterlstico da Tensão crítica de Euler

/t

Tzr.d

Valor de cálculo da Tensão crítica de Euler

~~*crCr,d =

7T .E c0,d

%

índice de esbeltez A NBR 7190, da ABNT (2012), recomenda o dimensionamento à flexocompressão de toda peça (comprimida) cujas imperfeições, avaliadas pelo desvio do alinhamento na metade da distância entre os “apoios” (f), supere: í > -> Peças de madeira serrada ou roliça; 300

>

i 500

-> Peças de madeira laminada colada ou para escoramento de fôrmas de madeira.

Distância entre “apoios”

%

í

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Os furos, para colocação de pregos ou parafusos, e os entalhes são preenchidos por material tão resistente quanto a madeira, portanto, transmitem o esforço de compressão e pode-se considerar a totalidade da área da seção transversal (HELLMEISTER, 1977). Assim, o dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à compressão paralela às fibras pode ser feito aplicandose o seguinte roteiro.

>

Roteiro - Compressão paralela às fibras

1 -Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is). 2 -Obter as características geométricas da seção de interesse do problema, que são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio de giração mínimo (imin). 3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de esbeltez máximo (A). Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

61

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Lembrete:

L; = KE.L

e

/ À=

Comprimento de flambagem

Raio de giração mínimo

imm

índice de esbeltez

A.< 140 Coeficiente apresentado na Tabela 17 (página 62)

Distância entre “apoios”

OBS.: A NBR 7190, da ABNT (2012), proíbe o uso de peças comprimidas, ou flexocomprimidas, com índice de esbeltez superior a 140.

4 - Obter as características da madeira: resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fcod); módulo de elasticidade longitudinal de cálculo (Eco,d); e a tensão crítica de Euler, de cálculo (crcrd).

<Jcr,d =

Módulo de elasticidade de cálculo

n'Ec : .d

índice de esbeltez

Tensão crítica de Euler, de cálculo

í

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!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 17 - Valores do coeficiente

T1

V77Á

KE

I

*4

l Io

II

Modos de flambagem

1

Ã. Valores de projeto para

KE

0.65

0,80

1.20

1,00

2,10

2.40

Código das condições de extremidade

Rotação livre e translações impedidas

Rotação e translação lateral impedidas. translação vertical livre

Rotação impedida e translações livres

~4I

Rotação e translação vertical livres, translação lateral impedida

?

Rotação e translações livres

í

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62

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (acd).

CTcd =

Na A

6 - Verificar e concluir sobre a seção.

a) Verificação da resistência

CTcd =

Resistência à compressão paralela às fibras

b) Verificação da estabilidade

CTcd

<1

= A

NJ A

J-cO.d

AJ-cO,d

Tensão crítica de Euler, de cálculo

, , opcionalmente: = —2-
cr.

N.

—— = -—-

A.£7a

<1

b) Conclusão

1

«

« acrd (crcd / fc0 d « 1 e acd / acrd « 1) => a Se acd«fc0|d e madeira resiste com folga ao esforço, pode-se diminuirá seção.

H

Se acd>fcod ou acd>crcrd (acd / fÿ d > 1 ou acd/cjcrd> 1) => a madeira não resiste ao esforço, é necessário aumentar a seção.

402 0459 5- Estruturas de Madeira

H

Rq,i Rq.m

>

Rg

E E o

s

J200 200

Se acd fco,d e acd = ocrd ou ocd = fc0,d e ccd < acrd (acd/fco,d< 1 e < 1), mas ainda menor => CTcd ! cÿcr.d = 1 ou tfaj/fco.d =1 e CTcd / a madeira resiste, no limite, ao esforço, é a seção ideal.

Exemplo de aplicação 13 -> Verificar a seção de um pilar, de madeira maciça da classe de resistência D60 (folhosa), utilizado em uma ponte em viga contínua, de madeira laminada colada. Sabe-se que o pilar tem 5 m de altura, seção 20 cm x 20 cm, é engastado na base e articulado na viga contínua. As cargas aplicadas pela viga aos pilares (reações), que causam compressão no pilar, são fornecidas abaixo. Considere: a ponte construída de madeira laminada colada, sem revestimento, e o pilar de madeira maciça não classificada, classe de umidade 1 e carregamento de longa duração. Reação devido ao peso próprio (madeira) Reação devida à carga móvel Reação devido ao impacto vertical

mm

-> Rg

= 34500 N

Rq m= 210000 N -» Rqi = 95000 N

Note que o carregamento pode ser considerado separadamente. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

63

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 60)

Solução: As cargas aplicadas são de compressão e, construtivamente, a direção do esforço normal coincide com a direção das fibras da madeira (ao longo do comprimento). Portanto, o problema em pauta é de compressão paralela às fibras.

1 - Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is).

C. Última Normal (Página 25)

Força normal, como qualquer esforço solicitante, pode levar à ruptura, portanto, um Estado limite Último. Para verificação desses estados são utilizadas Combinações Últimas. No caso de carregamento de longa duração (situação duradoura de projeto) utiliza-se a Combinação Última Normal.

Nd = l,30.Rg + l,50.[Rqm + 0,75.Rj =>Nd = 1,30.(34500)+ 1,50.[210000 + 0,75.95000] =>

\

Nd = 466725 N

Só ocorre se existir Rq m => é variável secundária

í

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!

Ver roteiro (página 60)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 -Obter as características geométricas da seção de interesse do problema, que são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio de giração mínimo (imin).

C. geométricas (Anexo 1)

E E

A = a2

A = 2002

=>

=>

A = 40000

mm2

o CM

200

a

W“VT2

200

=>

=>

VÍ2

=57,74 mm

3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de esbeltez máximo (X). Tabela 17 (KE) (Página 61)

L0 = Ke.L imin

=>

=>

L0 = 0,80.5000 Ã=

4000

57,74

—S

=>

L0 = 4000 mm 1= 69,3

í

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64

%

Ver roteiro (página 60)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 -Obter as características da madeira: resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fc0d); módulo de elasticidade longitudinal, de cálculo (Ec0d); e a tensão crítica de Euler, de cálculo (ocrd).

C. da madeira (Página 45)

Folhosa, classe D60

=

n2 .Ec0:d

-> fc0,d = 21.00 MPa _ ;T2.6003

—>

Á2

69,32

e

=>

E c0,d = 6003 MPa

(Jcrd = 12.34

MPa

5 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (acd).

Nd

=>

CJcd=ÿ A

466725

—>

CTcd = 40000

<7cd = 11,67 MPa

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

t

Ver roteiro (página 60)

6 - Verificar e concluir sobre a seção.

a) Verificação da resistência

Nd -

°"cd = A

~

fcOd

-

>


... OK!

b) Verificação da estabilidade _

Nd AA

-

=>

crcd =11,67 MPa < aai = 12,34 MPa

... OK!

c) Conclusão Tabela 1 (Página 4)

A seção adotada para o pilar, por satisfazer as duas verificações, resiste aos esforços e pode ser utilizada.

Deve-se notar que a seção adotada (20 cm x 20 cm) já é a ideal, pois a seção comercial imediatamente inferior (15 cm x 15 cm) é insuficiente, como se mostra a seguir. ;r.Ec0,d /T2.6003 466725 Nd = = = CTcd=-rÿC7cr.d 2 150" A Á2 0.8.5000

0ÿ

íjcd = 20,74

MPa >
... Não OK!

150/ VÍ2

65

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 14 -> Obter a seção da barra de uma tesoura, construída com madeira de uma folhosa da classe D50 e com 1,60 m de comprimento (entre os centros dos nós). Sabe-se que para facilidade na montagem das ligações, a barra deve ter largura de 6,00 cm e que os esforços característicos na barra (obtidos em Planos Cremona) são os listados abaixo (positivos se de tração, negativos se de compressão). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2), classe de umidade 1, carregamento de longa duração e que, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal. = -25546 N Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações)-> Ng Peso de água absorvida pelas telhas ->Nq a = -3515 N Vento de pressão à barlavento -*Nq’vPb = -16256 N Vento de pressão à sotavento -> Nq VPs = -16593 N 12102 N Vento de sucção à barlavento Vento de sucção à sotavento -ÿNq VSs = 11918 N

-»Nq’VSb=

Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

t

Ver roteiro (página 60)

Solução: As barras de treliças podem ser tracionadas ou comprimidas e, construtivamente, a direção do esforço normal coincide com a direção das fibras da madeira (ao longo do comprimento). Portanto, o problema em pauta é de tração ou compressão paralela às fibras, dependendo do sinal de Nd obtido no primeiro passo dos dois roteiros correspondentes.

Existe ainda a possibilidade da ocorrência dos dois problemas, conforme a combinação de carregamentos utilizada. 1 - Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s) diagrama(s) de força(s) normal(is). Força normal, como qualquer esforço solicitante, pode levar à ruptura, portanto, um Estado limite Último. Para verificação desses estados são utilizadas Combinações Últimas. No caso de carregamento de longa duração (situação duradoura de projeto) utiliza-se a Combinação Última Normal.

í

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66

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A existência de diversas cargas variáveis, de diferentes sentidos (sinais), permitem combinação de esforços sob diferentes hipóteses.

a) Força normal, de cálculo, de tração

-> Nd(+)

->

C. Última Normal (Página 25)

Nd(+) = 1,00.N

Constarão da combinação Ng (entra sempre) e NqVsb (mesmo sinal de Nd). Note que o outro esforço variável com mesmo sinal de Nd, NqVSs, não pode ocorrer simultaneamente com Nq.VSbi portanto, aplica-se apenas o de maior valor absoluto. +1.40.Nq.VSb(-).0.75 X> NdM = L00.(- 25546)+ l,40.(l 2102)0,75 Não existe tração na barra

b) Força normal, de cálculo, de compressão

Nd(+) s -12839 N

-> Nd(_)

Duas cargas variáveis, de mesmo sinal de Nd, podem atuar simultaneamente (água e vento de pressão). Portanto, deve-se avaliar as hipóteses de cada uma delas ser a variável principal (Fq1 k).

I

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

->

C. Última Normal (Página 25)

Constarão da combinação Ng (entra sempre), Nqa e de (mesmo sinal Note que o outro esforço Nd). Nqvps variável com mesmo sinal de Nd, NqVPb, não pode ocorrer simultaneamente com NqVPs, portanto, aplica-se apenas o de maior valor absoluto.

Hipótese 1

Nd(_, = 1.40.N (_j + 1,40.[n

-> Água é a variável principal, Fq1 k = Nqa

(_}

+0.60.Nq.VPs(-) J

Nd(_> = 1.40.(- 25546) + 1.40.[(- 3515) + 0,60.(-l 6593)] Hipótese 2

Nd(_, s -50424 N

-> Vento de pressão (a sotavento) é a

variável

principal, Fq1k= NqVPs Nd(-) = l,40.Ng(_) +

1,40.[n

q.'Ts(-)

—s

.0,75 + 0,50.Nq>1(_j]

N d(-) = 1,40.(- 25546)+ 1,40.[(- 16593)0,75 + 0,50.(-3515)]

Nd(_} = -55648 N

Portanto, deve-se assumir o vento de pressão como variável principal e utilizar para dimensionamento da barra uma força normal de cálculo, Nd = 55648 N, de compressão. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

67

%

Ver roteiro (página 60)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 -Obter as características geométricas da seção de interesse do problema, que são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio de giração mínimo (imin). —s A = b.h A = 60.h mm2 C. geométricas (Anexo 1)

>

E

£

Se h > 60 mm => 60

.c \

imm =17,32 mm

lram"VT2ÿ

menor largura

4u

>

Se h < 60 mm h r . => imin = 0,289.h mm *min

60

Vl2

3 -Obter o comprimento de flambagem (L0) e o índice de esbeltez máximo (A.). —> —> =1,00.1600 = L0 = 1600 mm Tabela 17 -

KE

(Página 61)

L0 KE.L

L0

OBS.: A barra da treliça é considerada com duas articulações, seus nós permitem rotações e impedem translações. A rigidez da treliça impede as translações em seu plano e os contraventamentos as demais.

£

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Ver roteiro (página 60)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

u Â=

> —%

imin

>

Se h >60 mm => 1ÿ = 17,32 mm

=> A =

1600

=>

17,32 1600 => Â Se h < 60 mm => imin = 0,289.h mm =>Â = 0,289.h

à = 92,4

5536,3 h

4 -Obter as características da madeira: resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fc0d); módulo de elasticidade longitudinal de cálculo (Ec0d); e a tensão crítica de Euler, de C. da madeira cálculo (acrd). (Página 45)

Folhosa, classe D50

>

-> fc0d = 17,50 MPa

e

Se h > 60 mm => À = 92,4

EcOd=5390

MPa

,T2.5390 “

92 ,4 2

(Jcr d = 6,23

O'er,d =

,T2.E cO.d À2

—, >

Se h < 60 mm =x>

=

5536,3 — h

MPa

TT.5 390

-

(55363/hf —

h2 576.17

MPa

68

%

Ver roteiro (página 60)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 - Obter a tensão atuante, de cálculo, máxima (ocd).

Nd

927,47

55648

—S

CTcd=-fL A

CTcd = 60.h

MPa

6 - Verificar e concluir sobre a seção.

a) Verificação da resistência =

N„ “T A

fc0,d

—

17,50 => h >

927,47 => h >53,0 mm 17,50

b) Verificação da estabilidade

>

Se h > 60 mm =>

=>

h

927,47 6,23

=>

h > 148,9 mm

Nd

CTcd=-TLÿCrcr => A

>

Se h < 60 mm =>

1

''Fere a hipótese =A solução inadequada

%

h>

h2 927,47 => h 576,17

h3 >927,47.576,17 =>

h> 3/534380,39 => h>81,l mm Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 60)

c) Conclusão

Verificações Resistência

Estabilidade

Solução Tabela 1 (Página 4)

:

53,0 mm O

Se h > 60 mm Se h < 60 mm

81,1 mm O

148,9 mm O

Xpere hipótese 148,9 mm O

A solução mais adequada para o problema é uma peça de seção comercial de altura imediatamente superior a 148,9 mm e largura de 60 mm. Ou seja: Adota-se a seção 6 cm x 15 cm

>

Exemplo de aplicação 15 -> Definir o valor do índice de esbeltez, arredondado para a dezena inferior, para o qual a madeira não classificada, de qualquer classe de resistência das folhosas (dicotiledôneas), quando submetida à compressão paralela às fibras chegue a rupturasem flambar. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

69

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Solução:

C. da madeira (Página 45)

Observando-se as expressões para verificação, dos problemas de compressão paralela às fibras, percebe-se que as peças sofrerão ruptura, sem flambar, sempre que fc0 d < acrd.

Por exemplo, para uma folhosa da classe D20, obtém-se: Folhosa, classe D20

fc0,d À<

-

/T:.EC04

V.2328 7,00

-> fc0-d = 7,00 MPa =>

A2 =>

n1.EcO.d

e

=>

Ec0 d = 2328 MPa Á<

ff2.E

d

fc0,d

=>

ÂZ57,3

De maneira análoga obtêm-se os resultados apresentados na Tabela 18, para as demais classes de folhosas. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 18 - Valores do índice de esbeltez (Xcr) abaixo do qual as peças comprimidas, de folhosas, chegam a ruptura sem flambar

Classe de resistência

fcO.d

EcO.d

(MPa)

(MPa)

D20

7,00

2328

57,3

D30

10,50

3553

57,8

D40

14,00

4778

58,0

D50

17,50

5390

55,1

D60

21,00

6003

53,1

Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa duração; classe de umidade 1; madeiras não classificadas, que possam ser enquadradas nas classes de resistência e caracterizadas de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190 da ABNT (2011).

A partir dos valores apresentados na Tabela 18, pode-se concluir que as peças comprimidas de folhosas serão rompidas, sem flambagem, sempre que o índice de esbeltez não superar o valor crítico de A,cr = 50. OBS.: As versões anteriores da NBR 7190 da ABNT (2012) (NB 11, de 1951; NBR 7190, de 1982; e NBR 7190, de 1997) consideravam para peças curtas o valor limite de A.cr= 40.

70

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Compressão normal às fibras

Os esforços resistentes correspondentes à compressão normal às fibras, segundo a atual norma brasileira NBR 7190, da ABNT(2012), devem considerar a extensão do carregamento, medida paralelamente à direção das fibras (“a”, na figura abaixo). Além disso, deve-se garantir que a configuração de equilíbrio não seja alterada durante o carregamento. Por isso, recomenda-se uma distância mínima, de 7,5 cm, da placa de distribuição às extremidades da peça (“c”, na figura abaixo).

Placa de

distribuição

“c” suficiente

F

“c” insuficiente F

A djst (contato)

F

v

c

b

7

a

i

\

C

'ossíveis configurações' ~-ÿ_de equilíbrio

a c

i

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c > 7,5 cm

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

O dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à compressão normal às fibras pode ser feita aplicando-se o seguinte roteiro.

>

Roteiro - Compressão normal às fibras

1 - Obter o esforço de cálculo, Fd.

2 -Determinar os valores de "a", "b" e "c" (definidos na figura anterior).

Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”. 3 - Calcular a área de distribuição (Aÿ).

A
(°c90,d)=

A_ A&t

í

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71

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 -Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão normal (fc90d), e fazer a verificação.

/Extensão do\ carregamento, medida na direção das fibras

—

Tabela 19 - Fatores de correção,

va (cm) an

1 2 2,00 1,70

4 3 5 1,55 1,40 1,30

an

10 a 15cm 7,5 1,15 1,10 1,00

OBS.: Para valores intermediários pode-se fazer uma interpolação linear. Na prática, a favor da segurança, costuma-se utilizar o valor de “an” correspondente a extensão imediatamente superior.

6 - Conclusão.

n Se crc90d « an.fc9o.d => a madeira resiste com folga ao esforço, pode-se diminuirá área de distribuição.

crc90d>an.fc90d=> a madeira não resiste ao esforço, é necessário aumentara área de distribuição.

n Se

n Se ac90d = an.fc90d, mas ainda menor => a madeira resiste, praticamente no limite, ao esforço, é a área de distribuição ideal.

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 16 -> Quais as dimensões do travesseiro (b e t na figura do detalhe de um dos apoios da viga) para que não ocorra esmagamento por compressão normal no apoio da viga esquematizada abaixo? Considere que a madeira do travesseiro, de espessura 6 cm, seja uma dicotiledônea da classe D30. Considere ainda: classe de umidade 1 e carregamento de longa duração.

8800 N - Carga variável devido a uma talha

Detalhe do apoio e do travesseiro

0,85 N/mm - Carga permanente (peso próprio)

— _yiGAj

SEÇÃO

1

í

h

2000

2000

4000 mm

1

X

TRAVESSEIRO

300

A,

VIGA

H

6 cml

4 , TRAVESSEIRO b=7

PILAR

J_I6 cm

Y

1=7

PILAR

100 mm

i

Esquema estático e seção da viga

Detalhe de um dos apoios da viga

í

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72

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 70)

Solução: O enunciado explicita tratar-se de um problema de compressão normal às fibras. Acompanhando o roteiro correspondente obtém-se:

1 - Obter o esforço de cálculo, Fd.

Diagramas de E. S. (Anexo 2).

A compressão normal no travesseiro é causada pelas reações da viga, portanto: 0.85.4000 2ÿ = Permanentes -> R2 = =>R2 =1700 N =>RS 2 2

Variável (talha)

-> Rq =

Esforço de cálculo C. Última Normal (Página 25)

=> Rq =

=> Rq = 4400 N

-> Fd = Rd = l,3.Rg +1,5.Rq

Fd = Rd = 1,3.1700+1.5.4400

=>

Fd=Rd =8810 N

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%

t

Ver roteiro (página 70)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 - Determinar os valores de "a", "b" e "c“. Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”. Observando o detalhe do apoio, obtém-se:

—

—

6 cmj

100 mm yiGA

VIHAJ

16 cm

TRAVESSEIRO

b=?

PILAR

h

/=?

1

E E

extensão do carregamento na direção das fibras = 100 mm extensão do carregamento normalmente às fibras = bmm

distância construtiva, do C = contato à borda, adotou-se

o limite mínimo (... OK!)

PILAR

=75 mm _

3 - Calculara área de distribuição (Adjst).

A
contato

= a.b

= lOO.b

mm2

4 -Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal (CTc90,d)88.10 8810 A_ MPa = => CTc90,d —

Adist

lOO.b

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73

1

Ver roteiro (página 70)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 -Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão normal (fcgo,d). e fazer a verificação.

-

Tabela 19 an (Página 71)

—

crn = 1,10

Consultando as tabelas 19 (a = 10 cm) e 14 (dicotiledônea D30), obtém-se:

C. da madeira (Página 45)

fc90,d = 2-63 MPa

Da expressão de verificação, obtém-se: =

. 88,10 JL

=> b> 30,45 mm

6 - Conclusão.

O valor “b” corresponde a uma das dimensões da seção transversal do travesseiro, portanto deve-se escolher “b”, imediatamente superior a 30,45 mm, a partir das seções comerciais. Assim:

Tabela 1 (Página 4)

Seção comercial 5 cm x 6 cm

->

b = 5 cm = 50 mm

í

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Por outro lado, adotado o valor de “c = 7,5cm” o calculo de “£” é imediato:

£ = a + 2.c

>

=> £ = 10 + 2.7,5

=>

£ = 25 cm = 250 mm

Exemplo de aplicação 17 -> Indicar madeira (classe) conveniente para resistir a compressão normal sob a placa de apoio (placa de distribuição) de um trilho. O dormente tem seção 18 cm x 22 cm; a placa de distribuição tem 17 cm x 37 cm e seu centro dista 50 cm da extremidade do dormente; a roda mais pesada, suposta agindo sobre meio dormente, aplica a carga de 160 kN. Considere, também: carregamento de longa duração; madeira não classificada; classe de umidade 1; e desprezíveis as cargas permanentes.

I= F

160000 N

4= F

BOLETO

H

ALMA.y>J

MESA

m —

160000 N

PLACA DE DISTRIBUIÇÃO

d

18 cm

17 cm i

37 cm

i

22 cm

50 cm

1

1

Esquema de apoio dos trilhos

í

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74

%

Ver roteiro (página 70)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Solução: O enunciado explicita tratar-se de um problema de compressão normal às fibras e solicita a madeira (classe de resistência) a ser usada. Acompanhando o roteiro correspondente obtém-se:

1 - Obter o esforço de cálculo, Fd. Permanentes

Fg=0N (são desprezíveis)

->

Variável (roda) -> Fq= 160000 N Esforço de cálculo C. Última Normal (Página 25)

->

Fd = l,35.Fg+l,50.Fq

Fd = 1,35.0+1,50.160000

Fd = 240000N

OBS.: Considerou-se Edificações Tipo 1 (carga acidental superior a 5 kN/m2)

%

í

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Ver roteiro (página 70)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 -Determinar os valores de "a", "b" e "c“. Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”. Observando o detalhe do contato madeira-placa, obtém-se: extensão do carregamento na direção das fibras = 37 cm

c = distância construtiva,

do_

contato à borda

b=

extensão do carregamento normalmente às fibras = 17 cm

50 - (37/2) = 31,5 cm > 7,5 cm ... OK!

3 - Calculara área de distribuição (Aÿ).

A
Adist = 62900 mm2

=> A*. =370.170

4 - Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal (aÿd). ac9<í,d =

Jd_

A-dist

=>

ac90,d

~

240000 62900

=>

£7c90 d = 3,82 MPa

í

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75

%

Ver roteiro (página 70)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 - Obter o fator de correção (an), a resistência à compressão normal (fc9o,d). e fazer a verificação.

Fd

-

* aJc

Adist

Tabela 19 an (Página 71)

90,d

Consultando a tabela 19, página 72, para a = 37cm

-> «n = l;00

Da expressão de verificação, obtém-se: CTc90,d =

Jd_

-A-dist


3,82 < l,OO.fc90 d =>

fc9o,d - 3,82 MPa

6 - Conclusão.

A madeira adequada, para o dormente em questão, deve possuir resistência de cálculo à compressão normal às fibras, não inferior a 3,82 MPa. Consultando a tabela 16, da página 45, obtém-se: C. da madeira (Página 45)

<=>

OBS.: Não é permitida a utilização de coníferas não classificadas.

!

Folhosas das classes D50 ou D60

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Compressão inclinada às fibras

Os esforços resistentes correspondentes à compressão inclinada às fibras, segundo a atual norma brasileira NBR 7190, da ABNT (2012), podem ser obtidos a partir da expressão de Hankinson, apresentada a seguir: Resistência à compressão inclinada

i

f<:0.d-fc90,d

c= fco,d-sen2Qr + fc90d.cos2ar

—

Resistência à compressão paralela Resistência à compressão normal

Ângulo entre o esforço aplicado e a direção das fibras.

A compressão inclinada tem interesse no cálculo de ligações por meio de dentes e entalhes, que será apresentada adiante. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

76

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Exercícios propostos

proposto 22 -> Obter a seção da barra 1-2, da tesoura esquematizada na figura abaixo, construída com madeira de uma folhosa da classe de resistência D40. Os esforços característicos na barra, obtidos em Planos Cremona, são os listados a seguir (positivos se de tração, negativos se de compressão). Sabe-se que: a largura da barra deve ser de 6,00 cm, para conveniência das ligações; o carregamento é de longa duração; a madeira é usual, não classificada e de classe de umidade 1; e, em princípio, não se sabe qual a ação variável principal. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2). Peso próprio (telhas, madeiramento e ligações) ->Ns = -17000 N Peso de água absorvida pelas telhas ->Nq a = -2500 N Vento de pressão “ÿNqvp = -15000 N Vento de sucção Nq,VS = 900 N

> Exercício

\

\

2

6

? 1,50 *1,50

y y

%

4

6,00 m

\

1,20 m

Note que o carregamento deve ser considerado em conjunto.

8

1

1,50

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 23

->

Obter as seções das barras 1-2 e 6-8, da treliça esquematizada na figura abaixo. A madeira utilizada é uma dicotiledônea classe D30. Os esforços nestas barras podem ser obtidos pelo método de Ritter. Sabe-se que: a largura da barra deve ser de 6,00 cm, para conveniência das ligações; o carregamento é de longa duração; a madeira é usual, não classificada e de classe de umidade 1. Carga permanente (peso próprio)

1000 N

1000 N Carga variável (vento) 2000 N

2

C

4

3 o

Tt-

5

6

E

o

o

7*"_

8

í

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1,50 m

77

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 24 -> Qual a seção, de madeira falquejada, mais adequada, para se extrair de uma tora com diâmetro mínimo de 22 cm, para utilizar como um pilar, biarticulado, comprimido?. Nesta situação, sendo a madeira uma folhosa da classe de resistência D40, e a altura do pilar de 2,50 m, qual a máxima carga de compressão, de cálculo, que o pilar pode resistir? Considere: carregamento de longa duração; madeira é usual, não classificada; e classe de umidade 1.

->

>

Exercício proposto 25

>

Exercício proposto 26 -> Estabeleça as dimensões do travesseiro de

Qual a máxima carga comprimida de cálculo em uma coluna, de madeira bruta, simplesmente engastada, construída com uma dicotiledônea da classe de resistência D50, com 5,00 m de altura e diâmetros no topo de 33,5 cm e na base de 40,5 cm? Considere: carregamento de longa duração; madeira é usual, não classificada; e classe de umidade 1.

apoio de uma tesoura, cuja reação vertical é de 15 kN, devido ao carregamento permanente, e de 8 kN, devido ao carregamento

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

variável correspondente ao vento de pressão. Sabe-se que: não é utilizada placa de distribuição; as espessuras, do banzo inferior da tesoura e do travesseiro, são de 6 cm; a madeira utilizada é uma folhosa da classe de resistência D30; o carregamento é considerado de longa duração; a madeira é usual, não classificada, de classe de umidade 1. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2).

>

-> Em uma ferrovia, para trens cuja roda mais pesada aplica 85 kN, não foram colocadas as placas de apoio, ficando os trilhos diretamente apoiados nos dormentes, a 50 cm de sua extremidade. Sabe-se que: os dormentes eram de uma folhosa da classe de resistência D60, de seção 22 cm x 22 cm; a mesa (ou aba) dos trilhos tinha 7,5 cm de largura. Considere que: a edificação é do tipo 1 (cargas acidentais superam 5 kN/m2); o carregamento é de longa duração; a madeira é usual, não classificada, de classe de umidade 1; e as cargas permanentes são desprezíveis. Isto posto, pergunta-se: "A falta das placas de apoio trouxe prejuízo à ferrovia, devido ao esmagamento dos dormentes?". Justifique.

Exercício proposto 27

í

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78

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 28 -> Verificar se é possível a utilização de um travesseiro de apoio, construído com uma folhosa da classe de resistência D30, para uma tesoura, cuja reação vertical é de 12000 N, devido ao peso próprio, e de 4000 N, devido a ação de um vento de pressão. As dimensões do travesseiro são apresentadas na figura abaixo. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); carregamento de longa duração; classe de umidade 1; madeira usual e não classificada.

Vento de pressão (carga variável) 4000 N

i

Peso próprio (carga permanente) 12000 N

TRAVESSEIRO

6 cml

1-fr

i

I

T 6 cm

77ÿ77777777777

///////////////////////////

12 cm

c > 7,5 cm c > 7,5 cm 6 cm

N

H

PERSPECTIVA

%

VISTA LATERAL

VISTA FRONTAL

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 29

->

Se a madeira do nó de apoio de uma tesoura, esquematizado abaixo, for uma folhosa da classe de resistência D60, qual a resistência às tensões normais para absorver o esforço de compressão aplicado pela barra do banzo superior ao inferior? Considere: carregamento é de longa duração; madeira usual, não classificada; e classe de umidade 1.

Banzo superior

90°

&

vs/SSS/ÿs.//////

>

Exercício proposto 30

->

S 20°

*

Banzo inferior

Se a inclinação da tesoura, do exercício proposto 29, fosse 18° e madeira uma folhosa da classe de resistência D50, qual seria a resistência às tensões normais para absorver o esforço de compressão aplicado pela barra do banzo superior ao inferior?

í

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79

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5. Cisalhamento O cisalhamento nas peças de madeira pode ocorrer na direção paralela às fibras ou perpendicularmente a elas. O caso mais comum é o cisalhamento paralelo às fibras. O cisalhamento vertical só acontece em casos especiais, em geral fruto de falha no dimensionamento, pois outras falhas ocorrerão antes dele. O cisalhamento perpendicular, conhecido intemacionalmente por “rolling shear", é evitado pela prática construtiva, que utiliza a madeira disposta longitudinalmente.

.

5??

m my

*

t

—

*

Ú3E

Cisalhamento •aralelo às fibra:

:isaihamenti vertical

,Cisalhamentò\ perpendicular:

(“rolling shear”)

í

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Estados limites oriundos de tensões de cisalhamento, na direção paralela às fibras, podem ocorrer em ligações por meio de dentes e entalhes ou em vigas fletidas com elevados esforços cortantes. A verificação destes estados limites será apresentada posteriormente no estudo da flexão e das ligações. Cisalhamento nas ligações

isalhamentò Na flexão

Estados limites devidos ao cisalhamento perpendicular (“rolling shear”), não são encontrados em estruturas de madeira, uma vez que construtivamente a madeira é disposta longitudinalmente e, nesta situação, as tensões de cisalhamento ocorrem predominantemente na direção paralela às fibras.

í

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80

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Estados limites devidos ao cisalhamento vertical, em conjunto com forte compressão normal, pode ser observado nos travesseiros de vigas contínuas sobre os pilares. Este fenômeno é mais comum em vigas de pontes e pode ser evitado com o aumento da espessura do travesseiro e o alargamento do topo do pilar.

•jfiSS

fill |

t

%

l l il

Cisalhamento vertical

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

6. Torção A torção se caracteriza pela ação de um momento torçor e é pouco conhecida em peças de madeira. A norma brasileira recomenda evitar, construtivamente, a ocorrência de torção em peças de madeira, em virtude do risco de ruptura por tração normal às fibras.

Torção na madeira Quando o equilíbrio do sistema estrutural depender diretamente dos esforços de torção deve-se respeitar a condição:

rT,d — fyO.d

Tensão de cisalhamento, de cálculo, devida a ação do momento torçor, calculada segundo a Teoria da Elasticidade

Resistência, de cálculo, ao cisalhamento paralelo às fibras

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í

81

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

7. Flexão A flexão é caracterizada pela ação de momento fletor sobre a peça. A existência de outros esforços solicitantes subdivide o estudo da flexão conforme o esquema apresentado a seguir. LEGENDA:

Flexão simples reta M, Veu

Flexão simples

Flexão simples oblíqua CMx, My, vx, vy ux , e uy

(@)

M = Momento fletor; N = Força normal; V = Força cortante; u = Flecha;_

' Flexocompressão reta N, M, V e u

Flexão

Flexocompressão

i

(@)

(ExistejÃ) Flexão composta

( Flexotracão reta N, M, Veu)

|

(NÍO) Flexotracão

(N>0) OBS.: Os índices x e y indicam flexão em torno dos eixos x-x e y-y, respectivamente.

%

Flexocompressão oblíqua N, Mx, My, Vx, Vy, ux e Uy

i

{

Flexotracão oblíqua N, Mx, My, VX) Vy, ux e uy

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

a) Flexão simples reta A flexão simples reta se caracteriza pela ação de momento fletor em torno de apenas um dos eixos principais de inércia, sem a presença de esforço normal.

Cargas verticais, perpendiculares ao eixo da estrutura, produzem momentos fletores, forças cortantes e deformação no material, o que causa deslocamentos dos pontos da estrutura (flechas). Assim, a flexão simples reta pode apresentar os seguintes estados limites: (/>

ã

ll & (D

LU

Esmagamento da madeira na borda comprimida.

Compressão

Ruptura, na transição compressão/tração, por

Cisalhamento.

cisalhamento. Ruptura por tração na borda tracionada.

Estado Limite de Serviço (utilização)

Tração

$

Deslocamento

->

Flecha excessiva.

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t

82

*

402 0459 5- Estruturas de Madeira

As bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”

{

Tensões normais linearmente distribuídasÿ

Efeito do Momento Fletor (M)

a

Momento fletor a = — -Y— Distância do ponto considerado à linha neutra (CG) Resultante Momento de inércia das tensões G -Tensão normal (“sigma”)

M

Módulo de elasticidade

M

Mmáx

> Segurança à ruptura EZÿ> crmix Resistência do material (à tração ou compressão)

0

material

I

/ÿ>

Equação da Linha Elástica .Equação das flechas Equação das momentos

v

> Segurança à deformação c)

EJ.ÿ = -M

vmàx =

fÿcarreÿmerto)

Flecha limite(definida em normas)

%

1

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Efeito da Força cortante (V)

a

Tensões tangenciais parabolicamente distribuídas cortante _ V.S-— Momento estático (no corte) b j .-ÿMomento de inércia

t

Largura da seção (no corte) Tensão de cisalhamento (“tau”)

ti

T

ii! v

Resultante das tensões T

Momento estático máximo (corte no CG - meia seção)

Tensão de cisalhamento máxima

/

(ocorre no Centro de Gravidade - CG)

> Segurança à ruptura

"

b.I

Resistência do material-


7ÿ

(à tração ou compressão)

> Segurança à deformação

Usualmente desprezada Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

83

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Os estados limites últimos de esmagamento por compressão normal, na região dos apoios, e de perda de estabilidade, na zona comprimida, serão tratados oportunamente. Com estas omissões, pode-se utilizar para a flexão simples reta o roteiro a seguir.

>

Roteiro - Flexão simples reta

1 - Determinar: o momento estático (S), de meia seção, e o momento de inércia (I), ambos em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor (ver figura abaixo). Obter, também, a largura da seção transversal (b), no centro de gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (yc1) e tracionada (yÿ). Borda comprimida

Eixo perpendicular ao plano de cargas, no CG => eixo em torno do qual ocorre a flexão

Plano de cargas

®cl,d

y X

z'_ aw

7l77ÿ7

yt2

Borda tracionada SEÇÃO

1

n

ma/

S=SX.X e l=lx.x

NÍJ

ti

\ y

Notação utilizada

x°t2,d

b

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fÿ; a resistência à tração paralela às fibras, fBid; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fÿ e o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, Eÿgf. Em geral, para madeira de folhosas, basta consultar a tabela de valores de cálculo (Tabela 16, página 44).

3 -Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço \ (Ud,uti)> apenas para ações de longa duração, considerando como t =u (flecha imediata) ) vão teórico o menor dos seguintes valores: a) Distância entre eixos dos apoios; b) O vão livre mais a altura da viga, se menor que 10 cm. 4 - Verificação da Tensão normal _ _ Md Em vigas de a) Na Borda comprimida -> ‘Tu -—-Yd Vd

z

I

seção retangular ,estas expressões

Vÿão idênticaÿ/

b) Na Borda tracionada

Md

->

I

OBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a > 6o, fc0C| e fto.d devem ser substituídos por fcad e ftad, aplicando:

fwa,d -

fv0.d'fv90,d

(w~= c ouT) fw0d-sen2«

+ Wd-cos2«

84

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

regiloÿÿ.

5 -Verificação da tensão de cisalhamento a) Na Prática

r =

6 - Verificação da Flecha

b.I


Flecha limite

Flecha efetiva

( ume =ug + ç/2.uq =udutt

Uef =ftme+"e=(l + (S>Ui

tme

t

dos apoios (zá2.h), para considerar o efeito da (compressão normal, pode-se reduzir o efeito da força cortante multiplicando-a por “z/2.h”.

( uc =

=

Flecha imediata

Coeficiente de fluência (Tabela 20, página 84)

Flecha devida à fluência

As flechas / permanentes (ug) \ podem ser reduzidas \ com o uso de contraflecha (u0), mas não se pode considerar redução Em geral (uso \ maior que 2/3.ug / da construção) (ABNT, 2012). y

\

Nos vãos de vigas:

uta =

u

£

A. h

300

Nos balanços:

ti

150

%

u

f1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 20 - Coeficientes de fluência, $

Classes de umidade

Classes de carregamento

Permanente ou de longa duração Média duração Curta duração 7 - Conclusão M

(1) e (2)

(3) e (4)

<0,80

2,00 1,00 0,50

0,30 0,10

TI

Se aci d tem-se a seção ideal.

n Se ac1,d«fc0,d e ot2>d«ft0,d e td«fv0d e uef«uljm => a madeira resiste com folga, pode-se diminuirá seção. n Se ac1d>fc0d ou ot2id>fWid ou td>fv0d ou uef>u„m => a seção não resiste aos esforços, deve-se aumentar a seção.

í

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85

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 18 -> Qual a seção necessária a uma viga de madeira falquejada, com 10 cm de largura, para resistir ao carregamento indicado na figura abaixo? Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa (dicotiledônea) usual, não classificada, da classe de resistência D60; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

-

5000 N (Variável talha)

5 N/mm (Permanente)

SEÇÃO

m

h=?

A

2,00 ,

100 mm

2,00

4,00 m

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

t

Ver roteiro (página 83)

Solução:

1 - Determinar: o momento estático (S), de meia seção, e o momento de inércia (I), ambos em relação ao eixo central de C. geométricas inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor (ver (Anexo 1) figura abaixo). Obter, também, a largura da seção transversal (b), no centro de gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (yc1) e tracionada (yÿ). Borda comprimida

-

5000 N (Variável talha)

\ 1 uim Mim

5 N/mm (Permanente)

1

h h

2,00/

2,00

/4,00 m

Z

Borda tracionada

H 1

yci

8

=>S =

lOO.h2 8

S = 12,5.h2 mm3

y

*

yt2

s=sx_x = b.h2

Plano de cargas

=?

I =I

Eixo em do torno b -100 mm qual ocorre SEÇÃO a flexão

b.h: 12

=>i =

lOO.h3 12

I= 8,3 3.h3 mm4

b = 100 mm

Yà =y*2 =°>5h 01111 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

86

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 83)

2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0d; a resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0d e o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, Ec0,ef.

C. da madeira (Página 44)

fc0 d =21,00 MPa ft0 d = 2 1,00 MPa Dicotiledônea, classe D60

->

fv0 d= 2.18 MPa

|Ec0ef = 12005 MPa 3 - Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço (*ime — a) Valores característicos

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

> Carga permanente 5 N/mm í

A 2000

,

2000

"T

4000 mm

h

Diagramas de E. S. (Anexo 2)

h

+

(no centre) =

ug(no centre)

pi: 8

=>Mg

8

=>

V =10000 N

Mg =10.000.000 N.mm

2000

_ 5.pi4 384.E.I

~

>Ug ~

5.5.400d

384.12005.(8,33.h3)

u* =

166663.916

h3

mm

> Carga variável (talha) p V (no apoie) = —

I

2000

5.4000 2 5.4000

V; =

1

5000 N

£

V?(no apoie) =

’T

=>

Mq(no c entre) = — =>Mq =

4000 mm

uq(no centre) =

Pi3 48.E.I

V=

5000

2 5000.4000

4

=>

V =2500 N

=> Mq =5.000.000 N.mm

5000 .40003 _48 .12005 .(S,33.1i3 )

Uq

66.665.566

h3

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tnir

t

87

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Valores de cálculo

> Estados Limites Últimos (Md e Vd) Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante, podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes estados são verificados com combinações últimas. Nos carregamentos de longa duração usa-se a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:

C. Última Normal (Página 25)

n Momento fletor (Md)

Md =l,4.Mg + l,4.Mq=>Md =1,4.10000000 + 1,4.5000000 => Md = 21.000.000 N.mm n Força cortante (Vd)

Vd = l,4.Vg + l,4.Vq

Vd =1,4.10000+1,4.2500

Vd =17500

N

> Estados Limites de serviço (udjUti) Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda de funcionalidade da construção, portanto, estados limites de serviço (utilização).

i

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%

Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Estados limites de serviço (utilização) são verificados com combinações de serviço. Nos carregamentos de longa c. Quase Permanente duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de (página 29) serviço), aplicando-a obtém-se:

n Flecha (uime = udutl)

=>Uime =

166663.916

h3

,

+0,6.

Talha é equipamento típico de “oficina mecânica”

66.665.566 -

í?

206663.255

h!

mm

4 - Verificação da Tensão normal a) Na Borda comprimida

21000000 Md f crcu=-r-ycIÿfco,d .(0,5.h) < 21,00 => h > => I

(8,33.h3)

21000000.0,5 8,33.2 L00

h > 245,0 mm

b) Na Borda tracionada

Md (Jt2:d=-rÁ-yt2ÿft04 I

=5.

21000000

(8,33.h3)

(0,5.h)< 21,00 =>h>

'

21000000.0,5 8,33.2100

h > 245,0 mm

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t

88

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 83)

5 -Verificação da tensão de cisalhamento a) Na Prática

r

‘d

_vd-s ~

b.i

-

£f- "

Tabela 20 <(> (Página 84)

uef = (1+

17500.(12,5 .h2) 100.(8.3 3.h3)

< 2,18 => h >

6 - Verificação da Flecha

< life, => (1+ 0,80).

17500.12,5 => h > 120,5 mm 100.8,33.2,18

Vãos de vigas uHm

206663255 4000 < => h3 300

h*l

= £/300

(1+0,80)206663255.300 4000

=> h > 303,3 mm 7 - Conclusão Para satisfazer simultaneamente todas as verificações: Tensão normal r _ h>303,3 mm . .. 245i0mm o-—-?B. comprimida_. 245j0 mm . B. tracionada o |Adotar seção de largura 10 cm (dado) 5 mm e altura superior a 30,3 cm, portanto: Tensão de cisalhamento c> 2— — Flecha

-

Solução

%

—

-

! 303,3 mm

Q

303,3 mm

Seção escolhida: 10 cm x 31 cm

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Flexão simples oblíqua

A flexão simples oblíqua se caracteriza pela ação de momento fletor em torno de um eixo qualquer, sem a presença de esforço normal. Nestes casos é usual decompor o carregamento nos dois eixos principais de inércia, assim, existirão dois planos de flexão. Os estados limites são os mesmos observados na flexão simples reta. Os estados limites últimos são: esmagamento por compressão na zona comprimida (no caso, inicia-se em um ponto); ruptura por tração na zona tracionada (no caso, inicia-se em um ponto); ruptura por cisalhamento na transição compressão/tração (no caso, iniciase em um ponto). Ocorre também um estado limite de serviço (utilização), o de deslocamento excessivo.

As bases para o dimensionamento são as estudadas “Resistência dos Materiais”.

em

í

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89

I

402 0459 5- Estruturas de Madeira

CTX

yc y« Efeito dos Momentos Fletores

1

--X

Borda comprimida

<ÿBorda fracionadaÿ»

£

-a

D

X

*ÿ"x,A

_

Mx •Yc

Mx

--E£H y "V

X

•m

rV

My

M CTV,A =T—XC V


Av—y

My

=T~Xi Ivy-v

X

EP-

y.

h- H

Xt Xc

> Segurança à ruptura

N cr,mãx
i

aterial

, opcionalmente:

Resistência do material(à tração ou compressão)

t

5:

<1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

No centro de gravidade

I

y

#ÿ> 'y

Efeito das Forças cortantes

Vx

Tx T

Efeito conjunto

& rx =

&

Vx-Sx_x

b-Ix-x

TV

1

1f

Tx >

Ty

y

>

b

> Segurança à ruptura Resistência do material (ao cisalhamento)

r>‘

U

Vv.S y—y h.Iy-y

=

+ r; <

7 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

90

4

402 0459 5- Estruturas de Madeira

xÿVãos diferentesÿX Vtjasduas direçõe§x

Mesmo vão nas vÿduas direções

-0. Deslocamentos produzidos pelos Momentos Fletores

&

Px

0{

Px vN

w

uh

\\

Y*

\

V 'Vt X «s

—

Py

•

> Segurança à deformação

pM Py %

+ uj;
u=

Deslocamento conjunto ou não fica claro, melhor:

ux ux Hm e uy < uy

h(n

l

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4

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Assim, o dimensionamento à flexão simples oblíqua é semelhante ao de flexão simples reta, entretanto será necessário obter as características geométricas da seção e os esforços solicitantes de cálculo em torno dos dois eixos de flexão. Em seguidas, as verificações podem ser feitas como segue:

>

Verificação da Tensão normal

a) Na Borda comprimida X"Áumento dà\ resistência devido Vàplastificação/’

fcO•d

+ kM-

°Mx,d

u

°My,d

fC0,d

<1

ítO.d °Mx,d

+ kM_

u

e

•Yd , °My,d

b) Na Borda tracionada / Em vigas de seção retangular iasta verificar um« das bordas /

ftO.d

-> Usar a mais rigorosa das condições: kM- fc0,d

Hy,d “

°My,d

fcO.d

<1

, onde:

{

= 0,7 em seção retangular; •Xcl e kM kM = 1,0 nas demais seções. ly-V

-> Usar a mais rigorosa das condições:

<1

•Yt2 , °My,d -

e

kM

fto,d

ftM

, onde:

= 0,7 em seção retangular; •xt2 e kM = 1,0 nas demais seções. kM

i

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91

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira OBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a i 6o, fc0,d e froci devem ser

substituídos por

>

fcad e ftad, aplicando:

d) fwa,d = (VV =

C

OlTT)

fw0,d-fw90,d

f,wsen2a+fw9oj-cos2«

Verificação da tensão de cisalhamento

A NBR 7190, da ABNT (2012), é omissa a respeito da verificação da tensão de cisalhamento em vigas solicitadas a flexão simples oblíqua. Souza (2009) conclui ser apropriado usar:

Ti =

>

+ry,d

. onde: rxd

e

=

ryd

=%A

->ÿ

iiiy-y

Verificação da flecha

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), a verificação da flecha pode ser feita isoladamente para cada um dos planos de flexão. Quando o vão for o mesmo, nas duas direções, Souza (2009) recomenda utilizar: ('Em x e y Uef - Vux,ef + uy,ef uHm , lembrando que: uef = ume + uc = (l + 0)ume

_

Flecha devida à fluência

Coeficiente de fluência (Tabela 20, página 84)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Observações interessantes a

f

_____ '"'MateriâT'

ilastoplástici 8

Seção Tensões

1

pH CTiim

\

Plastificação total

Seção Tensões

CTlim

z

yT

cr

O comportamento elastofrágil da madeira, f admitido pela NBR 7190, da ABNT (2012), não é compatível com a aplicação de “kM”, nas equações apresentadas para verificação da tensão normal nos problemas de flexão oblíqua.

"

"

"CTiim

xlÿãtêriiTx elastofrágil

c

Os autores da NBR 7190, da ABNT (2012), mantiveram as expressões preconizadas pela NBR 7190, da ABNT (1997), que admitia um comportamento elastoplástico da madeira. Ou seja, Um diagrama “tensão x deformação” linear até atingir o limite de resistência, onde o material plastifica redistribuindo tensões para fibras que ainda não atingiram esse limite.

A redistribuição das tensões, após plastificação de algumas fibras, aumenta a resistência da seção (denominador nas referidas expressões). O coeficiente “kM” considera esse acréscimo de resistência. Seções retangulares, completamente plastificadas, apresentam o dobro da resistência (kM =1/2 = 0,5). Os autores da NBR 7190, da ABNT (2012), consideraram plastificação parcial das seções retangulares (kM = 0,7). Plastificação parcial

í

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92

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 19 -> Qual o máximo vão que pode ter uma terça, de seção 6 cm x 16 cm, para um telhado com inclinação de 16°, construído com madeira de uma folhosa da classe de resistência D40 e telhas cerâmicas do tipo Romana. Sabe-se que a carga permanente corresponde a uma carga uniformemente distribuída de 1245 N/m e o vento de pressão a uma de 1040 N/m. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. 1040 N/m 1245 N/m Vento de 1040 pressão 16 cm \ x 1245 N/m Carga XX\A permanente

\16°,

N/mV"~1

6 cm

Região comprimida

\>

Posição

Região tracionada

%

/////////

£=?

•• V Seção

í

deslocada

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 83)

Solução: Dada a semelhança, pode-se adaptar o roteiro de flexão simples reta para usar nos problemas de flexão simples oblíqua, apenas é necessário obter as características geométricas da seção e os esforços solicitantes de cálculo em torno dos dois eixos de flexão. Finalmente, as verificações são feitas como apresentadas neste item. 1 - Determinar: os momentos estáticos (Sx_x e Sy_y), de meia seção, e os momentos de inércia (lx.x e ly_y). Obter as dimensões da seção C. geométricas transversal (b e h), no centro de gravidade, e as distâncias deste (Anexo 1) às bordas comprimida (xc1 e yc1) e tracionada (xG e yÿ). b = 60 mm b.h2 60.1602 = => Sx_x =192000 mm3 => Sx-x = Sx-x 8 8 y E E

§

-x

X

:

Yci

h.b2

Svv-y

8

b.h3

Yt2

II

V

\*t X{2 -*l h— Xci

*ÿ:

T

_ y-y"

lib3 — 12

=>

T

160.602 8

60.1603

Ix-x

12

—

Sy-y

=i>

12 _

=>

=> Ix_x =20480000 mm4

1606°3

y-y-

b = 60 mm h = 160 mm

Sy-y = 72000 mnf

xcl -xt: -30 mm

Iy_x = 2880000 mm4 Yd = Yty = 80 mm

93

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (Página 44)

Ver roteiro (página 83)

2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0d; a resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fÿ e o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, Ec0ef.

fc0 d = 14,00 MPa ft0d = 14,00 MPa Dicotiledônea, classe D40

->

fv0 d = 1.63 MPa Ec0,ef = 9555 MPa

3 - Obter os esforços de cálculo (Vx d, Vyd, Mx d e Myd) e as flechas de serviço (uxjme e uyime, que correspondem a uxduti ®

*-*y,d,uti)-

Inicialmente é necessário decompor o carregamento nos dois planos de flexão.

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Vento de

pressão 1040 N/m

> Flexão em torno do eixo x-x gx = g. cosa => gx = 1245. cosl6°=> gx = 1197 N/m => Carga permanente

gx = 1,197 N / mm

\16°l 1245 N/m 16 cm

qx = q => qx = 1040 N /m

=>

qx = 1.040 N / mm

> Flexão em torno do eixo y-y

16° 'vi6 cm

gy = g.sencr

gy = 1245.senl6° => gy=343 N/m =>

Seção

gy = 0,343 N/mm Não há carregamento variável neste plano de flexão.

a) Valores característicos

í

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94

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira Diagramas de E. S. (Anexo 2)

4- Flexão em torno do eixo x-x

> Carga permanente 1.197J 2

Vÿg =0,599i (N)

Pi2 => Mxg = 1,197/ A/no centre) =ÿS 8

A* =0,1A2 (N.mni)

P* Vÿ(no apoie) =ÿ

1,197 N/mm

A .£ (mm)

5.p/

uÿ/no centre) =

384.Ec0cfJx-x

5.1,197/

(mn) => A = => A = 384.9555.20480000 L2555.1CP

> Carga variável (vento de pressão) 1,040 N/mm v (no apoie) = — => vx,q =1ÿ 2 2 minimum pi2 / 1,040 A Aq(no centra = *q

8

£ (mm)

uxq(no centre) =

i.p/ 384 -EcO ef-Ix-j

8

\q=0,52£(N)

A,q =0,13/ (N.mni)

5.1,040/ / =>A = 384 .9555.20480000 => A =1,445 LId3 (mn) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira Diagramas de E. S. (Anexo 2)

4. Flexão em torno do eixo y-y

> Carga permanente 0,343 N/mm

11111iiiiiii m

Vvg(no apoie)

A

£=?

Uy_g(no centre) =

=ÿ

Ag(no centre)

5.p/ 384.Ec0_efJy-y

Vy.« =

Pi2

=>MyJ! = 8

0343ÿ 2

0,343/ 8

Vvg =0.1715/: (N) = 0,043/ (N.mrq)

5.0,343£t

=> A = 384.9555.2880000 => A =6J.616.1(J2 (mn)

b) Valores de cálculo 4- Flexão em torno do eixo x-x

> Estados Limites Últimos (Mxd e Vxd) Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante, podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:

i

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95

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

tt

C. Última Normal (Página 25)

Momento fletor (Mx d)

M*d = 1,4-Mÿ + l,4.Mxq.0,75=>Mxd = l,4.(o,15i2)+l,4.(o,13.£2)o,75ÿ|Mxd = 0,347i2 N.mm n Força cortante (Vxd)

Vxd = 1,4.VX g + 1,4.VX q.0,75 => Vxd = l,4.(0,599i)+l,4.(0,52.ÿ)0,75 => Vx d =1,3851N > Estados Limites de serviço (uxd Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda de funcionalidade da construção, portanto, estados limites de serviço (utilização). Estados limites de serviço (utilização) são verificados com combinações de serviço. Nos carregamentos de longa duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de serviço), aplicando-a obtém-se:

í

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Quase Permanente (página 29)

n Flecha (uxime = uxdutj) uX!Íme = ux,4uti = uxg+ÿ2.uxq

=>

Ux,ine =

\|>2 para

1,2555.1o13

o vento

+0,0.

t 1,445 1.1013

Ux.in, ='

t

1.2555.1013

mm

4 Flexão em torno do eixo y-y

> Estados Limites Últimos (Myd e Vyd) C. Última Normal (Página 25)

Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante, podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:

n Momento fletor (Myd)

Myj = l,4.H g + l,4.M> q.0,75 => Myd = l,4.(o,043i2)+l,4.0.0,75 => |Myd =0,0602i2 N.mm Sem carregamento variável neste plano de flexão

í

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96

?

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (Página 25)

n Força cortante (Vyd)

Vy d = l,4.Vy + 1,4.V .0,75 => V d = 1,4.(0,1715.ÿ)+ 1,4.0.0,75

Vyd = 0,2401 .£ N

Sem carregamento variável neste plano de flexão

> Estados Limites de serviço (uy>diUtí) Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda de funcionalidade da construção, portanto, estados limites de serviço (utilização). Estados limites de serviço (utilização) são verificados com combinações de serviço. Nos carregamentos de longa C. Quase Permanente duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de (página 29) serviço), aplicando-a obtém-se:

n Flecha (Uyÿ — uyd ljtj)

\ine=UyAuti=Uy,g+V'2-Uy,q

Uyine=Uy,g+M

Uy,ime

t 6,1616.1012

Sem carregamento variável neste plano de flexão

mm

i

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 83)

4 - Verificação da Tensão normal a) Na Borda comprimida

X

Lembrete: Sãá

diferentes as verificações na

i-

fC0,d

-> Usar a mais rigorosa das condições:

<1

Ki-

e

flexão oblíqua/

°Mx,d

U

aMy,i

Iv-v

°My,d

f"cO:d

{

kM = 0,7 em seção retangular; -Xcl e kM = 1,0 nas demais seções.

Portanto:

°MM

_

Mx,d

=>

Ix-x

°My,d ~

My.d

ly—y

•xcl

+ kM. ‘Vd <1

fc0,d

vM

fcO,d

+

few

0,347i2

°Mx,d -

20480000

°My,d -

< 1 , onde:

*cOj

0.0602Í2

2880000'

80

=>

30

=>

e

MPa °Mx,d 737752

e “

1594684

MPa

•£2/737752 + 0,7. i2jl594684 < 1=> í <3214 mm 14,00

14,00

£2/737752 + f/1594684 £< 2980 mm 14,00

14,00

97

%

Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Deve-se admitir a mais rigorosa das condições, portanto: t < 2980 mm

b) Na Borda tracionada

+ kM-

°My,d

Ix-x

<1

f,0,d •y,2

-> Usar a mais rigorosa das condições: kM-

e

Mv,d ’

Ivy-y

ft0,d

ftO.d

< 1 , onde:

e{

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções.

•X,2

Em vigas de seção retangular basta verificar uma das bordas

í < 2980 mm

5 - Verificação da tensão de cisalhamento

rd =

,d

•o,d

-

onde: rxd

_

Yi,d'Sx-x

b-Ix-x

e

ry.d

_Vy,d-S>-y

h-Iv.

Portanto: Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

%

Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

rx,d

_

X,d-SX-x

rv.d =

Wx-x V,d-Sv—y hiy-y

rd - -\jrx,d +

=>

rx,d =

=>

ry,d =

(1.384.Q.192000 60.20480000

(0,2401.C).72000

=>

160.2880000

í 4624

—

=>

2

í

rx.d = 4624 MPa xy,d -

í 26656

MPa

2

í < 1,63 => í < 7426 mm + 26656,

6 - Verificação da Flecha :m x e y

Uef = VUx,ef +u;y.ef

- lV

, lembrando que: uef = ume + uc = (1 +
Portanto: Ux,ef = tt + U x .'.me

uy ef

= (1 + 0).uy,ime

=> Ux,ef = (1+ 0,80) => Uy ef

= (1+ 0,80).

Coeficiente de fluência (Tabela 20, Página 84)

e 1,2555. 1013

IA 64616.1012 =>

6,975.1012 Uy,ef =

3,423.101;

mm

mm

98

1

Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Uef = VUx,ef +u;y.ef — Ulim

t

t

=> 2,9407.10a < 300

2

t 6.975.1012

t

+

3,243.1012

2.9407.1012

=> í<\

<

t 300

t < 2140 mm

300

7 -Conclusão Tensão normal

/

2980 mm

o —I 2980 mm o —I

B. comprimida/ B. tracionada

L

O vão livre da terça deve ser no máximo de v 2,14 m.y

7426 mm

Tensão de cisalhamento

<>ÿ

2140 mní

Flecha\-

0 2140 mm

Soluçãó.

ó

OBS.: Este exemplo foi resolvido imaginando-se carregamento apoiado nas terças sem qualquer ligação ou atrito. Na prática não é o que acontece. As ripas são pregadas aos caibros e estes às terças, o que confere uma enorme rigidez à flexão em torno do eixo y-y, de forma a se ter flexão quase que exclusiva mente em torno do eixo x-x. Este fato permite a utilização de vão muito superior ao obtido (aMxd < fc0d => (. < 3213 mm e uxe( < JT/300 => í < 3267 mm).

i

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Flexotração simples ou oblíqua

A presença de um esforço normal de tração em um problema de flexão, caracteriza a flexotração. As bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”.

N

y

xjt]

x

°N

I

N y <%=—

y

y B

l:xlr°k=YJ--yt

> Segurança à ruptura

'Mx

y

-

Mx

My B

x

y!

x7xc

+ a\ix +

CTMy Mv , opcionalmente:

Resistência do material (à tração) na região comprimida são aliviadas tensão

_

&X

_j_

-

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<1

99

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

O problema é semelhante aos demais problemas de flexão, embora, em geral, seja dispensável a verificação na borda comprimida e a verificação de tensão normal na tracionada seja ligeiramente diferente.

>

Verificação da Tensão normal

Na Borda tracionada -> Usar a mais rigorosa das condições: [

ftO.d

°~Mx.d

ftO.d

V

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções. dsiN resistência devido plastificaçãoÿx

Só na Flexotração oblíqua

Nd

Mx,d

Aef

U

OBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a. > 6o, f® d deve ser substituído por f,a d, aplicando:

, onde:

&d

ft0,d

•y.2

e

o-M,d =

Vy

.xt2

ft0,d-ft90,d

LZ) ftad = —-;---2— Wsen a + ft9o,d-cos" a Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 20 -> O proprietário de uma oficina mecânica resolveu instalar uma talha na barra 5-7 da tesoura de seu telhado. Para o carregamento dado na figura a seguir, que forneceu os valores de cálculo na referida barra, apresentados abaixo, verifique se a madeira (classe de resistência D50) e a seção (6 cm x 16 cm) utilizadas são suficientes. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

•Força normal de cálculo -> Nd = 62435 N (de tração) •Força cortante de cálculo -> Vd = 7000 N (no apoio) •Momento fletor de cálculo -> Md = 5250000 N.mm (no centro) OBS.: Os esforços na barra 5-7 foram obtidos, de maneira simplificada, associando-se à barra uma viga simplesmente apoiada nos nós 5 e 7. O esforço normal é obtido aplicando-se à treliça as reações da viga.

I

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100

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

1500 N 600 N 3000 N 1200 N 1200 N 3000 N 2500 N 1000 N 450 N 450 N 450 N Vento de pressao 450 N 450 N 400 N 400 N Àgua absorvida pelas 3700 N telhas I 3700 N 3700 N 3700 N 3700 N Cargas permanentes <6 3000 N 3000 NT :.4

V / \ / / \ \ 1 I 1 1 I I i I <3> <S>'
1,65 m



Reações da viga associada

Carga da talha (na treliça)

5000 N

5000 N,,

1,50.- 1,50, 1,50.t 1,50,i 1,50,1,50 9,00 m h h

1 10000 N

Carga da talha (na viga associada)

0,75

Borda tracionada

i

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1.50

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Í

Ver roteiro (página 83)

Solução: Dada a semelhança, pode-se adaptar o roteiro de flexão simples reta (ou oblíqua) para usar nos problemas de flexãotração. No caso em questão, a flexão ocorre apenas em torno de um eixo, portanto, um caso de flexotração simples.

1 -Determinar: a área da seção transversal (A), o momento estático (S), de meia seção, e o momento de inércia (I), ambos em torno C. geométricas do eixo de flexão. Obter a largura da seção transversal (b) no (Anexo 1) centro de gravidade, e a distância deste à borda tracionada (yÿ). Plano de A = b.h => A = 60.160 A = 9600 mm2 cargas

s=sx_x

£ £

s

yci

x

-X [

T

yj2

ii

_

—

T

S = Sx_x _

T

_

—

T

b.h2 8

_ b.h3

—

=> S

=>I =

60.16tf

S = 192000 mm3

8

60.1603 12

I= 20480000

mm4

sz'

b = 60 mm b = 60 mm

yt, =80 mm

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101

1

Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (Página 44)

2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fco.d (se necessário verificar a borda comprimida); a resistência à tração paralela às fibras, ft0d; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0d e o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, (se necessário verificar flecha).

fc0d = 17.50 MPa ft0 d = 17.50 MPa Dicotiledônea, classe D50

->

fv0d= 1,91 MPa Ec0ef = 10780 MPa

3

Obter os esforços de cálculo (Nd, serviço (uime= uduti)

Foram dados ->

Nd =62435 N

,

Vd

Vd = 7000 N

e Md) e a flecha de

e

Md = 5250000 N.mm

í

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Ver roteiro (página 83)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Flecha excessiva não é indicativo de ruptura e, no caso em questão, não há interesse na flecha da “viga associada” (entre os nós da tesoura), mas sim na flecha da tesoura. Os dados são insuficientes para obter essa flecha. Por outro lado, o interesse do proprietário é apenas verificar se não ocorrerá ruptura ao utilizar a talha, portanto não será necessário verificar a flecha.

4 - Verificação da Tensão normal Na Borda tracionada Lembrete: São

diferentes as verificações na flexotração. Verificações na Flexotração

°Xtd °Mx,d

f-tO.d

-> Usar a mais rigorosa das condições:

*' w

ftO.d

1

°Mx,d\

e

ftO.d

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções.

c’kd -

Nd

.

=

Ço.d

<1 , onde:

Só na Flexotração oblíqua

Mÿ •yt2

e

~

H.

á-Xt2

iy. Aef Note que, nas seções retangulares, não é necessário verificar a borda comprimida, pois Nd (de tração) alivia a tensão.

_

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102

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Portanto, no caso em questão (flexotração simples), tem-se:

°Ntd

Tração paralela (ligação desconhecida)

_ Nd

°Nt,d -

Md

°1M4 = -r--yt2 I

62435

_

(0.70.A)

(0,70.9600)

_ 5250000 80 20480000

=>

f"tO,d

=> crNtd = 9.29 MPa £TMd =20,52 MPa

=>

9,29 20,52 <1 17,50 17,50

°kd | °M,d <1

ftO.d

Nd

... NãoOK!

=> 1,70>1

A tensão normal na borda tracionada é não verificada. Portanto, a talha não deve ser instalada em uma barra da tesoura. OBS.: Note que a força normal utilizaria 53% da resistência total, enquanto que o momento fletor necessitaria 117% da resistência total. Esse fato ratifica a idéia de que, em treliças, as cargas devem ser aplicadas aos nós. A aplicação de cargas fora dos nós conduz a dimensionamentos antieconômicos.

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Flexocompressão simples ou oblíqua

A presença de um esforço normal de compressão em um problema de flexão, caracteriza a flexocompressão. As bases para o dimensionamento são as estudadas em “Resistência dos Materiais”. y

X

i

' A

# By

n

N

N °X=T

y4::x+++ y, czj>

-

Mx

BH y

XX

MH

=7ÿ-yc

BT

A

> Segurança à ruptura

X

as +

X,

xc

it

My _J

M

=7-xc Ly—y

+ °My - 4ÿ opcionalmente:

Resistência do material (à compressão) na região tracionada são aliviadas -\Dela tensão

_

-

<1

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k

103

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Embora, em geral, seja dispensável a verificação na borda fracionada, além das verificações comuns aos problemas de flexão, nos problemas de flexocompressão também é necessária a verificação de estabilidade. Os problemas de estabilidade são indeterminados na teoria linear de primeira ordem, por isso os autores de NBR 7190, da ABNT (2012), estabeleceram um roteiro para essa verificação. Assim, pode-se aplicar o roteiro, apresentado a seguir, para verificação de madeira à flexocomprressão.

>

Roteiro - Flexocompressão (simples ou oblíqua)

1 - Determinar: a área da seção transversal (A); os momentos estáticos (Sx.x e Sy.y), de meia seção; os momentos de inércia (lx.x e ly.y); e os raios de giração (ix.x e iy.y). Obter, também, as dimensões da seção transversal (b e h), no centro de gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (xc1 e yc1) e fracionada (xQ e yÿ). 2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0 d; a resistência à tração paralela às fibras, fÿ (se necessário verificar a borda fracionada); a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fvod; os módulos de elasticidades efetivo, Eÿef, e de cálculo, Eÿ, ambos à compressão paralela às fibras.

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 - Obter os esforços de cálculo (Nd, Vxd, Vyd, Mxd e Myd) e as flechas de serviço (ux ime e uyiime, que correspondem a uxd uti e uyiduti). 4 - Verificação da estabilidade (roteiro da NBR 7190, da ABNT (2012)). a) Determinar comprimentos de flambagem (L0x e L0y) e índices de esbeltezes (Aÿ e Ay).

Tabela 17 -KE (página 61)

L0.X = KE.LX

Lo.y - KE.Ly

.

Lo,

4=t-

e

Lp,y

*x-x

OBS.: Existindo, em determinada direção, valores diferentes de

vão (Lx ou Ly), deve-se usar o mais desfavorável. b) Obter as esbeltezes relativas (Are| X e

_K_ Ael.x 71 ). Wk

e

Aei.y

Arei y).

, Noteque: E7 VÿcoVÿcO n 'ijjr

Á

k

d

OBS.: para A.reijX < 0,3 e A,re|iV < 0,3, não ocorrerá instabilidade, mas deve-se verificar a resistência (ir para o passo 5). Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

104

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Obter os coeficientes

kx e ky.

k,=0,5[l + AI-k«,,-0.3)+(ÿij]

e

k,=o4+A-(ÿJ.-0,3)+&U»)!]

-> [A =°>2| Para madeira laminada colada e microlaminada (LVL) -> \PC = 04| Para madeira maciça serrada e peças roliças

Pcÿ>

para peças de madeira serrada ou roliças

Se limitados os alinhamentos no centro do vão

->

d) Obter os coeficientes

ÍI500 para peças de madeira laminada colada

Consultar norma específica para escoramentos e fôrmas de madeira

kcx e kÿ.

1

K + faJ

1

kcv = _

e

ky+A/(kJ-Ure,J

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

e) Verificar a estabilidade -> Usar a mais rigorosa das condições: °Kçd

|

X*"íçO d

°Mx,d

K

fcO:dv

í

e

°Nc.d A

Mo.d V'W W

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções. daN resistência devido 'vàplastificaçãoÿ

Observações interessantes

Só na Flexocompressão oblíqua

Nd

°N<;d T A -

OBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a > 6o, fc0 d deve ser substituído por fcad, aplicando:

<1 , onde:

Ix-x

•Yd

e

=

My.d

ly-y

•Xci

fc0,d-fc90,d

fca>d = fcod-senÿ + fÿod-cos2»

í

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105

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 - Verificação da Tensão normal Na Borda comprimida

°k<;d

fC0.d

+

-> Usar a mais rigorosa das condições:

°Mx,d

°My,d

fC0,d

fcO,

e

1

°N<;d

°N<;d -

sÿplastificaçãoÿ

V

fcO,d

L

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções. daX resistência devido

, onde:

*

w

Só na Flexocompressão oblíqua

Nd

e

•Yd

7

A

OBS.: Nas peças com fibras inclinadas de a > 6o, fc0 d deve ser substituído por fcad, aplicando:

fcad =

•xci

fç0,d-fc90.d fc0,d-Sen2« + fc90,d-COs2a

6 - Verificação da tensão de cisalhamento

rd - V rM + Ty,d

-

fvo.d , onde:

rx,d

_Vx,d-Sx-x

e

b-Ix-x

r

_%4-Sy-y h.1

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

7 - Verificação da Flecha

Uef

-

+uy,ef - uHm , lembrando que:

Existindo vãos diferentes, melhor:

Ox,ef — 0X| |ím

®

Oyef

Uy

|jm

Uef =Ume+UC =(1+/)U,ime

Flecha devida à fluência

Coeficiente de fluência (Tabela 20, Página 84)

8 - Conclusão

n Se todas as verificações forem satisfeitas e pelo menos uma delas se encontrar muito próxima do correspondente valor limite => tem-se a seção ideal.

n Se todas as verificações forem satisfeitas, mas se encontrarem muito distantes do correspondente valor limite => a madeira resiste com folga e pode-se diminuir a seção.

n Se pelo menos uma das verificações não for satisfeitas => a seção não resiste aos esforços e deve-se aumentar a seção.

í

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106

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exemplo de aplicação 21 -> Um galpão foi construído tendo tesouras simplesmente apoiadas sobre pilares. As paredes eram formadas por tábuas pregadas a estes pilares. Verificar se para os pilares pode ser utilizada madeira de uma folhosa, da classe de resistência D50, e seção 20 cm x 20 cm, sabendo-se que os m T esquemas estáticos admitidos, o esquema de fixação das paredes e os carregamentos, aplicados pela parede e pelas reações da tesoura, são apresentados nas figuras a seguir. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores Pilar a 5 kN/m2); madeira usual, não classificada; carregamento Tábuas de longa duração e classe de umidade 1.

>

da parede

3,00 m

£ E

E

o

co i I

Esquema construtivo

o

Esquema: estáticos

co

í

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 103)

Solução: 15950 N

7950 N 2100 N

E E

:

E E

8\

E E

O

-o

o

8

.2

8

8

i= C0 J/ss/s

Seção

~]]200 mm 200

a) Carga permanente

c

CD

Observando-se os carregamentos, na figura ao lado, percebe-se que as cargas verticais causam compressão no pilar e a carga horizontal flexão. Portanto, o dimensionamento do pilar deve ser feito à flexocompressão.

1 - Determinar: a área da seção transversal (A); os momentos estáticos (Sx_x e Sy_y), de meia seção; //£// os momentos de inércia (lx.x e ly_y); e Seção os raios de giração (ix_x e iy_y). Obter, as dimensões da seção também, ]j200mm transversal (b e h), no centro de 200 gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (xc1 e yc1) e b) Vento tracionada (x,2 e ye). de pressão

í

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107

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

y

E E

§ CN ii

CD

7D <S> O

§>

ro ro

K

°

ro

V X(2

C. geométricas (Anexo 1)

Ver roteiro (página 103)

Observa-se, também, que a flexão ocorrerá apenas em torno do eixo y-y, ou seja, o problema é de flexocompressão simples.

A = a2

Xd

A = 20tf

=>

A = 40000 mnr

200 mm

sx-x = s

y-y

a3 8

a4 x-x

y-y

22

iX-x = iS-v = — rr

Vl2

b= h = a

sx-x =sy-y 2003 8

=> =>

=>

Ix-x=Iy-y

200* 12

b-x íy-y

200

Ju

=>

Sx_x =Sy_y =1000000 min3

=>

IX_X=IV_V = 133333333mm4

=>

b = h = 200

Xcl = Xt2 = Ycl = Yt2 = 2

ix_x =iv-y =57,74 mm

=>

b = h = 200 mm

xci =xt2 =ycl =yt2 = 100 mm

=>

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (Página 44)

2 - Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0 d; a resistência à tração paralela às fibras, ft0d (se necessário verificar a borda fracionada); a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fvod; os módulos de elasticidades efetivo, Ec0ef, e de cálculo, Ec0d, ambos à compressão paralela às fibras.

fc0d = 17,50 MPa ft0d = 17,50 MPa Dicotiledônea, classe D50

-> (

fv0d = 1,91 MPa Ec0.ef = 10780 MPa Ec0d =5390 MPa

í

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108

1

Ver roteiro (página 103)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 -Obter os esforços de cálculo (Nd, Vxd, Vyd, Mxd e Myd) e as flechas de serviço (uxime e uwme, que correspondem a uxd utl e uyAuti).

a) Valores característicos

> Carga permanente

I

15950 N

V-1 g

$i

N (N)

E

M

E

O

VM = X,=°N

CO

O

'

SN

M (N.mm)

E E

5>{ o

E £

V (N)

S <J>

1-1 T

15950 N ~

z

Ng = 18150 N

15950 N

Mj. g = My g = 0 N.mm

o o CO

E E

O

O

TO

8 LUE

u*lg = Uy.g = 0 mm

2 //////

VÍ2

15950+0,90.3000 = 18150

Sem flexão => sem flechas (Eld2v/dx2=-M) Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

M

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

l

7950 N

2100 N

%

Diagramas de E. S. (Anexo 2)

> Vento de pressão

o

7950 N 2100 N

Nq = 7950 N V (N)

N (N)

+1

S CT>

M

M (N.mm) O

Yi,q = 0 N

s

E E

7950 N

o

2100 N

o

©

Vyq=2100 N

©

o n E o E TO O

s .2 V

L3 Uy,q

q

.2

E LU

= 0 N.mm

//////

•y

*0* -y PI3

2100.3000 = 6300000

Flexão apenas em torno do eixo y-y

=> lVq =

2100.3000’ 3.10780.133333333

=>

My. q = 63 00000N.mm

ux u

q

= 0 mm = 13.15 mm

í

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109

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (Página 25)

b) Valores de cálculo 4- Compressão

> Estados Limites Últimos (Nd) Esforços solicitantes, como a força normal, podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:

Nd = l,4.Ng + l,4.Nq.0,75 =>Nd = 1,4.18150+1,4.79500,75 => Nd=33758N \

Carregamento considerado em conjunto (carga permanente = telhas e madeira)

lFlexão em torno do eixo

x-x

No caso só existe flexão em torno do eixo y-y, portanto:

> Estados Limites Últimos (Mxd e Vxd)

VXsd =0 N

M* d = 0 N.mrn

e

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. Última Normal (Página 25)

> Estados Limites de serviço (uxdjUtj) Ux,diUtí = 0 mm

ou

Ujjne = 0 mm

lFlexão em torno do eixo y-y

> Estados Limites Últimos (Myd e Vyd) Esforços solicitantes, como a momento fletor e força cortante, podem causar a ruptura de seções e, portanto, estados limites últimos. Estes estados, nos carregamentos de longa duração, são verificados com a Combinação Última Normal, aplicando-a obtém-se:

Myj = 1,4-My g + l,4.My q.0,75 =>Myid = 1,4.0+1,4.63000000,75=» Vy d = 1,4.Vyg +1,4.Vyq.0,75

=>

=6615000N.mm

Vy d = 2205 N

Vy d = 1,4.0 +1,4.2100.0,75

> Estados Limites de serviço (uyd Lítj) Deslocamentos (flechas) excessivos podem causar a perda de funcionalidade da construção, portanto, estados limites de serviço _ ~ --; (— (utilização).

--

— -

---

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110

%

C. Quase Permanente (página 29)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 103)

Estados limites de serviço (utilização) são verificados com combinações de serviço. Nos carregamentos de longa duração usa-se a Combinação Quase Permanente (de serviço), aplicando-a obtém-se:

li,.*,* =0+0.13,15

UyÀuti = Uy,g +V/2-Uy,q

Uy,d,uti = 0 mm

=>

uv ime =0 mm

ou

4 - Verificação da estabilidade (roteiro da NBR 7190, da ABNT (2012)). a) Determinar comprimentos de flambagem (L0x e L0y) e índices de esbeltezes (A* e Ay).

L0x = KE ,LX => L0 x = 2,10.3000 => L0 x = 6300 mm

Tabela 17 - KE (página 61)

L0y = KE.Ly => L0y = 2,10.3000 => 6300

*x-x

Lo 1Y-Y

\ = 57,74 JL- =

|L0 y = 63OO mm A =109,1

=>

6300

=> K = 109,1 57.74 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 103)

b) Obter as esbeltezes relativas (A,re! x e A,reiy).

\ K.x 71_ í Ec0,k V

"ÿtel,x

~

Ael,y

_

jW 71

_ I * V Ec0.d

=> KL y — ÒL 71

LcO,k

•

I

=> 4el,x =

109,1 17,50 n

5390

109,1 17,50

Vy- —

5390

=> Aeu = l,98

=> Vyÿ1’98

Note que:

fc0,k/Ec0,k = fcoVÿco.d c) Obter os coeficientes kx e ky.

kx = 0,5.[l + A-fôeu - 0,3)+ {Kj. Y ] => kx=0,5.[l + 0,2.(1,98-0,3) + (l,98)2]=> |kx =2,63 ky = 0,5.[l + Pc(K,y 0,3)+ (V j] => ky = 0,5.[l + 0,2.(l,98-0,3)+(l,98)2]=> ~

Madeira serrada, limitando

0

alinhamento no centro do vão em

=>

|ky =2,63 A = °,2

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t

111

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Obter os coeficientes

kcx = kcy =

kcx e kcy.

1

K+

Ver roteiro (página 103)

kcx =

=*

faJ

1

ky + V(ky f

1

2.63 + A/(2;63

Urel.y)2

kcx = 0.23

=>

kcy = 0.23

- (l.98)2

2.63 +

1 ~

=>

f

— (1.98 y2

e) Verificar a estabilidade -> Usar a mais rigorosa das condições:

°Ncd

|

QNM

,L

I<1

kcx-fcO.d

e

kcyfc0,d V írO

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções.

<1 , onde:

Só na Flexocompressão oblíqua

Nd

.

°Ncd

fcO,d

e

°Mx,d

A

O'My.d

IV_y

No caso, flexocompressão simples em torno do eixo y-y, a mais rigorosa das condições será:

i

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

|

í:0,d

kcyfc0,d

Nd ,

<1 , onde:

3 -•XC1

e

A

ly—y

Portanto:

Nd

°Nc,d

=>

A —

kyyÿcO.d

My,d

CTMvd

Iy-y

fc0,d

33758

°Nç,d

A

<1 =»

o-y-cd = a85

=>

40000

~

6615000 100 133333333

=>

MPa

o-Mvd = 4.96 MPa

0.85 496 < 1 ==“ 0,21+0,28< 1 0,23.17.50 17,50

H0-49ÿ1 - 0K!

O pilar não perde estabilidade

í

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112

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 103

5 - Verificação da Tensão normal Na Borda comprimida

-> Usar a mais rigorosa das condições: ,2

°k<;d

+

°Mx,d

í:0,d

'

v

A.

I<1

e

-'fc,

fc0,d

°My,d

, onde:

fcO.d

7

kM = 0,7 em seção retangular; kM = 1,0 nas demais seções. °ÍM -

aMx,d\ ,

Só na Flexocompressão oblíqua

Nd

.

e

=

M,y.d

•Xci

A

No caso, flexocompressão simples em torno do eixo y-y, a mais rigorosa das condições será: .2

°N<;d

+

Ç:0,d

0My,d

í:0,d

<1 , onde:

°Nc,d

~

Nd A

M.y,d

°My,d

e

ly-:

Portanto:

-Xcl

i

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%

Ver roteiro (página 103)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

_ Nd A

_ 33758 40000

=>

A

~

My,d Iy-y

=*

,2

aN<;d

+

fC0,d

<1 =>|

= 0,85 MPa

6615000

‘V.d = 133333333100 0.85

2

17,50,

crMyd=4,96 MPa

=>

4,96 - 1=> 0,0023+0,2834< 1 =* |0,286
OBS.: As expressões para verificação de estabilidade são mais rigorosas que as de verificação de resistência. Assim, só faz sentido verificar a resistência se Xre)>x<0,3 e Arely<0,3 (não ocorrerá instabilidade), ou se for necessário verificar a borda tracionada (xc1 xÿ ou yc1 yÿ).

*

*

6 - Verificação da tensão de cisalhamento

n = TÍAÃJ £ fv»,d

.°nde:

Ti,d

VM-S,-» b.Ix-x

e ®

r14

-Ai'S

y-y

“

h.1y-y

í

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113

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 103)

Portanto:

rx,d =

ry,d =

*"d

Yc,d-Sx-x

0.1000000

=>

bIX-X Vy.dH.S?-y

rx.d = 100.133333333 2205.1000000

V= 100.133333333

=>

h.Ivy—y

Vpid +

—

rd = ry d < fv0 d

fv0,d

=>

rx d = 0 MPa

=>

ry d = 0.17 MPa

=>

017 MPa < 1,91 MPa

... OK!

0

7 - Verificação da Flecha

Uef

-

Vux,ef +uy,ef

Coeficiente de fluência (Tabela 20, Página 84)

- llKm

ud uti

\

Uef =Uime+Uc=(l+»Uime

, lembrando que:

Em x e y

Portanto:

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ux.ef = (1+mxjme Uy,ef =

uxef = (1+ 0,8).0

=>

0 + 0K,im<

Nos balanços

->

i uto = —L 150

0

=>

Uef = 0

uta =

U|im

(Página 84)

uyef = 0 mm

=>

3000

150

Ver roteiro (página 103)

Ux,ef = 0 mm

=>

uy ef = (1+ 0.8 ).0

=>

Uef

-

Tabela 20 <(> (Página 84)

=>

UHm = 20 mm

0 mm <20 mm

... OK!

0

8 - Conclusão

Todas as verificações foram satisfeitas, portanto, o pilar pode ter seção 20 cm x 20 cm e ser construído com __rnadeira da classe de resistência D50.__

——

——

í

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114

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

e) Estabilidade lateral de vigas

A zona comprimida de uma viga fletida pode sofrer um fenômeno parecido com a flambagem, ou seja, se a tensão atuante na borda comprimida for elevada, a viga pode perder estabilidade lateral.

Movimento da seção

V Deslocamento da zona comprimida poi perda de estabilidade \.lateral da vigaÿ/

//

fjrfrrn

A verificação, quanto a estabilidade lateral, deve fazer parte de todo problema de flexão, a exceção dos que garantem a estabilidade lateral de maneira construtiva.

í

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Os problemas de estabilidade são indeterminados na teoria linear de primeira ordem, por isso os autores de NBR 7190, da ABNT (2012), estabeleceram um roteiro para verificação da estabilidade lateral, que admite uma viga cujas extremidades tem a rotação impedida e com travamentos de distancia não maior queÿ-,. Rotação das extremidades impedidas pelos apoios

Dimensões da seção

SET a jâ

A ' r

h b

Ê3 Í2
3

h

Í2
k

k Maior distancia entre travamentos

i Notação utilizada

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-h

ti

115

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Roteiro - Estabilidade lateral de vigas

1 - Obter as dimensões da seção transversal (b e h) e o maior espaçamento entre as barras de travamento (£-,). 2 - Determinar as propriedades de cálculo da madeira utilizada, no caso: o módulo de elasticidade efetivo (Eÿf) e a resistência à compressão paralela às fibras (fco.d)3 - Obter o coeficiente (3M, função da relação h/b, dado a seguir. Tabela 21 - Coeficiente de correção, pM

h/b PM h/b PM

3

2

1

4

5

6

7

8

9

10

6,0

8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0

OBS.: Valores intermediários podem ser obtidos por interpolação linear. Na prática, utiliza-se o valor tabelado (de pM) imediatamente superior, trabalhando-se a favor da segurança .

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 - Verificar a estabilidade lateral da viga. a) Se

íi< b

b) Se

>

b

Ecoef Pu fcO.d Eçp.ef

Pu -fc0,d

então: a viga não perde estabilidade lateral

e a tensão normal foi verificada, então:

b.1) Recupere (e verifique) o valor da tensão normal máxima na borda comprimida.

crcl d = I .ycl < fc0 d

(do problema de flexão)

b.2) Obtenha o valor limite dessa tensão para que não ocorra perda de estabilidade lateral: =

EçO.ef

V A.

i

í

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«

116

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b.3) Verifique a estabilidade lateral

n Se

H

EçO.ef

— °lim

f

_

Se

f

então:

A viga não perde estabilidade lateral

A viga perde estabilidade lateral deve-se aumentar a seção da viga (b), ou então: aumentar o número de pontos contraventados, diminuindo o valor de Neste caso o problema precisará ser refeito.

> Dica ->

Para definir a necessidade de contraventamentos laterais é usual avaliar, sucessivamente, as seguintes hipóteses: 1) Não é necessário contraventar 2) Um contraventamento no centro (ÿ1=ÿ/2); 3) Um contraventamento a cada terço da viga (£\=ÍIZ) etc..

í

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«

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 22 -> Seja a viga: simplesmente apoiada, com 4,00 m de vão; seção 6 cm x 16 cm; um carregamento permanente, uniformemente distribuído em toda a extensão da viga, de 400 N/m; e um carregamento acidental móvel (variável), concentrado, de 1000 N (homem caminhando). Onde devem ser colocados contraventamentos laterais, para evitar a perda de estabilidade lateral dessa viga? Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D30; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

-

1000N (variável homem caminhando)

var.

0,40N/mm (permanente)

160mm Esquema estático 4000mm

m

Seção

—

-

do problema de flexão

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117

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 115)

Solução:

Sendo o interesse obter a posição dos contraventamentos laterais, deve-se avaliar, sucessivamente, as hipóteses: 1) Sem contraventamento {£\=£)\ 2) Um contraventamento no centro {£ÿ<=£12); 3) Um contraventamento a cada terço da viga {£<=£IZ) etc..

n Hipótese 1 - Sem contraventamento

1 - Obter as dimensões da seção transversal (b e h) e o maior espaçamento entre as barras de travamento {£<).

b = 60mm, h = 160mm e

C. da madeira (Página 44)

Hipótese £,í =£

=> £.= 4000 mm

2 - Determinar as propriedades de cálculo da madeira utilizada, no caso: o módulo de elasticidade efetivo (Ec0ef) e a resistência à compressão paralela às fibras (fc0d).

Ec0ef = 7105 MPa Dicotiledônea, classe D30

->

fc0d= 10,50 MPa

i

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 115)

3 - Obter o coeficiente (3M, função da relação h/b, dado a seguir. Tabela 21 - pM Página 115

h b

_ “

160 60

—

b

= 2.67

=> Da tabela 21ÿ

A, =123

4 - Verificar a estabilidade lateral da viga.

L

4000

¥““60“ Eco,ef A4,,d Como

b 7105

123.10,50

L b

A1-fcO.d

e

= 66.67

=>

Ecoef

Al-lcO.d

í 21 > =55,01

b

Eco,ef

Al -IcO.d

deve-se retornar ao problema de flexão

b.1) Recupere (e verifique) o valor da tensão normal máxima na borda comprimida. A partir do problema de flexão simples reta, obtém-se:

i

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118

í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Seção

x

i=u=

x 160mm

Yci =

;y

m Carga permanente

JF

4000mm

1 d

12

=> i=

h

60.1603 => 12 160

2

Mg =

0,40N/mm

b.h3

p.f; 8

PX Mq = — 4

=> Mg = =» M

=

1 = 20.480.000

=>

8

1000.4000

Md = l,4.Mg +l,4.Mq

4

=> Mq = 1.000.000 N.mm

=> Md = 1,4.800000+1,4.1000000 =>

Md = 2.660.000 N.mm

Posição crítica da carga móvel 2660000 (homem caminhando) CTcLd =—IT’-Ycl =* CTcl,d = 20480000 80 1000N

JF

2000

«

=3.

+ 2000 4000mm

ycl = 80 mm

0,40.400tf => Mg = 800.000 N.mm

Carga variável

I

mm4

=>

C7dd =10,39 MPa

=10-39 MPa Verifica a tensão de flexão

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d H

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 115)

b.2) Obtenha o valor limite dessa tensão (C|im) para que não ocorra perda de estabilidade lateral: cO.ef

akn >1

7105 ~

66.67.12,3

0jfcn = 8,66 MPa

b.3) Verifique a estabilidade lateral


Sendo

> °Km

então:

>

A viga perde estabilidade lateral deve-se aumentar a seção da viga (b), ou aumentar o número de pontos contraventados, e diminuindo o valor de refazer o problema.

í

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«

119

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n Hipótese 2 - Um contraventamento no centro Essa nova hipótese altera somente o valor de £•, (íÿ=í!2). Esta alteração muda a resolução anterior no passo 1 (valor de £:) e depois, já nas verificações, no passo 4 (valores de tÿb e CTHm). Assim, o cálculo fica reduzido a: Hipótese i,í

=en

=>

lx _ 2000 ¥"60

A =4000/2

=>

e

Eço.ef

b

A¥c0,d

— = 33.33 , como

_ 55,01

l, - 2000 mm

A

Eco,ef

k

AffcO.d

A viga, sob essa hipótese, não perde estabilidade lateral H

Conclusão

---

]
--- %

Para evitar a perda de estabilidade lateral, da viga em questão, deve-se colocar -* ip travamento lateral no centr<ÿ_____—-

-

-

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

Finalizar f) Exercícios propostos

>

Exercício proposto 31 -> Calcular a carga nominal permanente máxima (pgk), uniformemente distribuída, que poderá ser aplicada a uma viga caixão, 4,00 m de vão, simplesmente apoiada, com solidarizada por pregos comerciais, n° 21 X 33, que

®I EJ o

possuem diâmetro de 4,9 mm e estão espaçados, T° longitudinalmente, entre si de 20 cm. Sabe-se que não I -r-:' existe carga variável e que a seção da viga é a 11 cm h H esquematizada na figura ao lado. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D30; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

«í I

>

-> Se a viga, do exercício proposto 31, tiver uma carga permanente de 3 N/mm, uniformemente distribuída, qual a máxima carga variável, oriunda de uma talha, concentrada e aplicada no meio do vão, que pode ocorrer?

Exercício proposto 32

í

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120

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 33 -> Verificar se uma viga, simplesmente apoiada, de seção 6 cm x 16 cm, e 4,00 m de vão, é suficiente para resistir a um carregamento permanente, uniformemente distribuído em toda a extensão da viga, de 450 N/m e um carregamento acidental móvel (variável), concentrado, de 1000 N (homem caminhando). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

y Exercício proposto 34

->

Em uma viga simplesmente apoiada, de seção 6 cm x 16 cm, com 2,00 m de vão, é aplicado um carregamento uniformemente distribuído, vertical, de 5000 N/m e uma carga concentrada axial, de compressão, no apoio móvel, passando pelo centro de gravidade da viga, de 10000 N. Sabendo-se que o carregamento é considerado permanente (não existe carga variável), a viga suporta o carregamento?. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D60; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 35 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial, de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 33?

->

y Exercício proposto 36 Qual a melhor seção, retangular, comercial, de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 34?

>

Exercício proposto 37 -> Em uma viga simplesmente apoiada, de seção 6 cm x 16 cm e 2,00 m de vão, é aplicado um carregamento uniformemente distribuído, vertical, de 5000 N/m e uma carga concentrada axial, de compressão, no apoio móvel, passando pelo centro de gravidade da viga, de 10000 N. Sabendo-se que o carregamento é considerado permanente (não existe carga variável), a viga suporta o carregamento? Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

->

y Exercício proposto 38 Qual a melhor seção, retangular, comercial, de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 37?

í

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121

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 39 -> Uma viga simplesmente apoiada, de seção 6 cm x 16 cm e 1,50 m de vão, tem dois furos na seção central, com 1,50 cm de diâmetro cada. Esta viga foi submetida a um carregamento composto por uma carga concentrada, vertical, aplicada no centro do vão, de 1500 N e uma carga concentrada, axial, de tração, aplicada no apoio móvel e passando pelo centro de gravidade da seção, de 35000 N. Sabendo-se que o carregamento é considerado permanente (não existe carga variável), a viga suportará o carregamento? Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D60; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

>

Exercício proposto 40 -> Qual a melhor seção, retangular, comercial, de largura 6 cm, para solução do exercício proposto 39?

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 41 -> Verificar se a viga simplesmente engastada, de seção 10 cm x 30 cm e 1,50 m de vão, com o carregamento indicado na figura abaixo, perde estabilidade lateral. Caso afirmativo, onde deve(m) ser colocado(s) contraventamento(s)? Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

5 N/mm - Carga permanente

Seção E o

s

10000 N - Carga variável (talha para erguer motores)

[

1,50 m

10 cm

í

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122

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

8. Ligações os pontos mais fracos de uma estrutura de madeira são suas Assim é muito importante o conhecimento adequado do dos esquemas construtivos utilizados nas ligações. Para se introdução de esforços secundários, a ligação deve ser Isimétrica] em relação ao plano médio da estrutura e, se possível, a disposição dos elementos de ligação deve ser|centrada| Em geral ligações. cálculo e evitar a

a) Tipos de ligações

Cola Parafusos

Força de compressão

P

P

Pregos

1 $

p

P

IP

P

&QI

UUi L

P.cos

Dentes e entalhes

*

R

.igações por contato

X

®\®

I j !P/2

]p

P/2

Resultante

'

\

'

P/2Í

ÍP/2

|p

Área

|P/2

PI2\

p colada

.igações por aderência

Ligações por penetração

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Ligações práticas (sem modelo de cálculo) Algumas ligações utilizadas em estruturas de madeira não têm modelo de cálculo definido, entretanto têm sido utilizadas por carpinteiros sem apresentarem problemas para as estruturas e por isso tiveram sua aplicação difundida. Terça

Terça :

Prego

Tesoura

Prego.

Tesoura

Modelo 2

Modelo 3

Cobrejunta Terça Terça -hO / O o o ? Apoio para a Terça Recorte na Prego

1—

cobrejunta

Tesoura Vista lateral

Ligações típicas para emenda de terças

Parafuso com porcas e arruelas

Tesoura

Modelo 1 Cobrejunta

\

Tesoura Vista frontal Modelo 4

Apoio para a Terça

Terça

¥/

Ti

I IV

Prego U Cobrejunta lesoura

Vista superior

í

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123

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

modelo de cálculo, da ligação apresentada abaixo, não é definido para vigas fletidas, embora para as peças tracionadas, segundo a NBR 7190, da ABNT (1997), pode-se admitir 85% da resistência da peça maciça. A atual NBR 7190, da ABNT (2012), é omissa a respeito. b

L

OBS.: As vezes a inclinação da cunha é proibitiva.

1 <3> 10.b

Ligação colada em viga maciça fletida ou tracionada

Embora a atual NBR 7190, da ABNT (2012), seja omissa a respeito, a emenda de uma das lâminas (tábua) de uma peça de MLC, pode ser feita de três diferentes maneiras e, segundo a NBR 7190, da ABNT (1997), pode-se admitir uma redução da seção resistente da lâmina, em função do tipo de emenda, dada por:

Aied=arAef

{

Emenda por entalhes múltiplos ("finger joints") Emendas em cunha (inclinação 1:10) Emendas de topo

OBS.: O calculo da MLC é igual ao da madeira maciça, mas a atual NBR 7190, da ABNT(2012), altera sua resistência, conforme as características da peça, por meio do

!

ar= 0,90 ar= 0,85 curvatura -> ar= 0,00 \ => Kmod3jÿ.Ce Ce C t ]_ entalhe

temperatura

402 0459 5- Estruturas de Madeira Emenda por entalhes múltiplos (“fingerjoints”)

/

Cola

/Ferramenta/

para execução Emenda em cunha /(inclinação >1:10)

Cola

dos entalhesy múltiplos

*>10.t Emenda de topo

Cola

Ligação entre as tábuas de uma peça de madeira laminada fletida ou/ \ÿtracionada

Tábua extra para compensar a emenda longitudinal

í

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124

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Ligações pregadas De maneira geral, o cálculo de uma ligação pregada, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), pode ser feito segundo o seguinte roteiro:

Roteiro - Ligações pregadas

>

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “t” (ver figura abaixo). Identificar, ou escolher, o prego a ser utilizado (ver tabela 22, a seguir) e em consequência o diâmetro do prego “d” (para uso estrutural 3 mm < d < t / 5). OBS.: Deve existir pré-furação (dfuro < d). A penetração mínima do prego deve ser 12.d, desde que inferior a espessura da peça. (t4< t2)

,d t

*1

t é o menor valor entre t,e U (t4>12.d)

L

Corte simples

%

%

1(t4
'Ih (U - t3)\J|ÿ

-V

-V

-r-'U

h. t é o menor valor entre ti e t2

li *v

t é o menor valor entre

ir

l2

h

•V

íilJi

U e t2/2

f

Espessura convencional “t”

%

'V-I-

Vr-

Í4I

*4 l_*2

(t4=t2)

*2 .

Lft (t4 =t3)

t é o menor valor entre t2/2 e t4

|Kt é o menor ’I valor entre ti,t2/2et3

(t4>12.d)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 22 - Pregos comerciais

Características do prego

Pregos Por Número Diâmetro Comprimento pacote Comercial d (mm) í (mm) de 1 kg

1970 22 12 x 12 1,6* 13x15 1430 28 2,0* 36 895 14x 18 2,2* 36 15x18 685 2,4* 36 16 x 18 520 2,7* 305 48 17x21 3,0 55 285 17x24 3,0 62 226 17x27 3,0 55 18x24 211 3,4 18x27 187 62 3,4 18x30 175 69 3,4 19x27 62 152 3,9 133 19x30 69 3,9 19x33 76 122 3,9 19x36 83 109 3,9 * Não são utilizados em estruturas de madeira

Características do prego

Pregos por

Número Diâmetro Comprimento pacote Comercial d (mm) i(mm) de 1 kg 20x30 20x36 20x42 21 x 33 21 x36 21 x45 22x36 22x42 22x45 22x48 22 x 54 24x48 24 x 60 25 x 60 25x72 26x84

4,4 4,4 4.4 4,9 4,9 4,9 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 6,4 6,4 7,6 7,6 7,8

69 83 96 76 83 103 83 96 103 110 124 110 138 138 165 190

99 91 76 80 70 56 63 51 49 45 34 34 27 24 16 14

125

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿd), da madeira utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a direção do esforço e das fibras da madeira. Tabela 23, abaixo

fe90,d'ÿe

’

fen.d _

Redefinido em relação ao fe90d apresentado na tabela 16 (página 44)

'ÿe90:d

feod-seiror + fj90,d‘ cos

Tabela 23 - Valores do coeficiente

®

a

ae para pinos (pregos, parafusos etc.)

3” Diâmetro P°l- 1/4” 3/8” 1/2" 5/8” 3/4" 7/8” 1” VÁ” VÁ” 13/4” 2” do pino cm á0,64* 0,95 1,27 1,59 1,91 2,22 2,54 3,18 3,81 4,45 5,08 £7,62

Coeficiente ae

2,50

1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 1,27 1,19 1,14 1,10 1,07 1,00

* Só é válido para pregos

OBS.: Para valores intermediários recomenda-se utilizar, a favor da segurança, o valor tabelado imediatamente inferior.

i

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 - Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples, segundo o seguinte roteiro:

a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, /3|lm , dados por: t

e

A.=U5,

fyd

fea.d

, na qual:

fyd

600 MPa

Para pregos

b) Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples (Rvd1), por:

n Se

n Se

RV(U=0,50.t.d.fead

P> pÿ=> Rvdsl = 0,625 .

d2

Am

fvd > 600 MPa

•fyd

E o estado limite último será o embutimento na madeira,/ E o estado limite último será a lexão do prego

í

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126

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um prego (Rvd), pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rÿ 1) em que o prego atua. -

Rvd

R,d = n„.R vd I

-d,li

Número de cortes simples em um prego

i=l

5 - Obter o número de pregos necessários na ligação (np).

npÿ

Id

Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação

Rvd

OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar no mínimo 2 pregos por ligação; 3) Usar no máximo 8 pregos por linha.

6 - Obter o número de pregos em cada face da ligação (npface). Hp.face —

np Número de faces da ligação

nfaces

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

7 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento).

I

/z.

/

/

~t~T

T~l

=1=1,5.d

=J

n.d|n.d 4.d

1

Uii -T t

1,S.d

1,5.d 3.d 1,5.d

n.d

4.d

1,5.d

/

Hl,

Pregos, cavilhas e parafusos ajustados n= 6

c

~f~1.5.d

4.d

t

in.din.di 7.d

Parafusos n= 4

3.dj

~T~ 1.5.d n.d

4.d

4.d n.d ;i,5.d

n.d 1,5.d

X 7/7ÿ

7.d 1,5.di i3.d

spaçamentos mínimos de pinos

(pregos, parafusos etc.)

1,S.d

i

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127

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 23 -> Dimensionar uma emenda pregada, em uma barra de seção 6 cm x 12 cm. A barra é submetida a um esforço de cálculo de 11200 N de tração (figura abaixo). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. Face

\\

Nd= 11.200 N

l

E

Nd = 11.200 N

U

o

CN

v 6

Nd= 11.200 N

Face

*

I

Nd= 11.200 N

Face

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 124)

Solução:

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “t” . Identificar, ou escolher, o prego a ser utilizado e em consequência o diâmetro do prego “d”. Escolha det

->

Definição de t Página 124

t = menor entre

As 2 cobrejuntas devem transmitir a carga total => Devem ter a área total pelo menos igual a da peça central => Adotam-se 2 peças de seção 3 cm x 12 cm. dprego — 3 mm Largura da cobrejunta ou t = 3 cm = 30 mm metade da largura da barra-> => t = 30 mm Penetração* do prego -> Mínimo = 12.d > 36 mm na peça central

->

Devem ser escolhidos o comprimento (£) e o diâmetro do prego (d) Se a corte simples ->£ = tcobrejunta+penetração* => C> 30 + 36 => t > 66 mm

Escolha do prego

Se a corte duploÿí > 2.tcobrejunta+bpeça centrai =>c* 2.30 + 60ÿ £ >120 mm

* Penetração mínima

de 12.d

i

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128

1

Ver roteiro (página 124)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

(. > 30+12. d

Adotando ligação à corte simples (prego não “vara" a peça central), tem-se:

í > 66 mm e 3 mm < d < — =>3 mm < d < — => 3 mm < d < 6 mm 5 5 T. de Pregos (página 124)

Assim, adota-se o Prego n° 20 x 36 => d - 4.4 mm e t = 83 mm

2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿ), da madeira direção definida pelo ângulo a, entre a direção do C. da madeira utilizada, na esforço e das fibras da madeira. (página 44) Dicotiledônea classe C 40

-

Tabela 23 ae (página 126)

fe9o,d = fe9o,d

=>

-> fe0 d = 14,00 MPa

Cd = 3,50.2,50

=>

e

fe90 d = 3,50 MPa

fe*90d = 8.75 MPa

Observa-se, do esquema da ligação, que esforço é aplicado paralelamente as fibras, portanto, a = 0o. Portanto:

fea.d -

feO.d'C90,d

feo.d-sen'a + f*

14,00.8,75

90, d' cos'

=>

14,00.sen:0 + 8,75.cos2 0

a

í

fea,d=feO,d=14ÿ0

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Ver roteiro (página 124)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples, segundo o seguinte roteiro:

a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, pm , dados por: 30

t

=>

4,4

/L =1,25. f, a.à

A.

600 J-14,00

P = 6,82

An =8,!8

Pr egos -> fyd > 600 MPa b) Obter o valor de cálculo da resistência de um prego a corte simples (Rvd.i), por: f E o estado \ limite último será Rvd,i = 0,50.t.d.fead n Como p
Rvd,i = 0,50.t.d.fead => Rvdl =0,50.30.4,4.14,00 => Rvdl=924 N Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

k

129

%

Ver roteiro (página 124)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 - Obter o valor de cálculo da resistência total de um prego (Rvd), pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que o prego atua.

ncs = 1

Foi adotado corte simples do prego (passo 1) :=>

Rvd _ncs-Rvd,l

Rvd =1-924

=>

Rvd = 924

=>

N

5 - Obter o número de pregos necessários na ligação (np).

11200

'*-924-

nPÿ Ryd

np = 14

=> np > 12,12 =>

pregos

OBS.: 1) Lembrar que uma emenda são duas ligações; 2) Para garantir simetria da ligação é usual “arredondar” np para um múltiplo do número de faces.

6 - Obter o número de pregos em cada face da ligação (npface). rÿp.face

"P —

* Hfaces

=>

np,face —

14

np,face=7

=>

2

Pre§os

i

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1

Ver roteiro (página 124)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

7 - Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua Espaçamentos (página 126) compreensão (detalhamento). Na direção normal às fibras Das arestas -> 1,5.d = 1,5.4,4 = 6,6 mm => pode-se adotar 10 mm = 1 cm Entre pregos -> 3.d = 3.4,4 = 13,2 mm => pode-se adotar 50 mm = 5 cm Na direção paralela às fibras

Da aresta interrompida -> 7.d = 7.4,4 = 30,8 mm => adota-se 40 mm = 4 cm Entre pregos -> 6.d = 6.4,4 EE 26,4 mm => pode-se adotar 30 mm = 3 cm Assim, a emenda pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo: .4, 3.

Nd= 11.200 N

3. 4. 4. 3. 3. 4.

6

l

6

1

JNd= 11.200 N

£

o rg

\

Prego n°20 x 36

363

28 cm

Nd= 11.200 N i

Nd= 11.200 N

130

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Ligações parafusadas Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o cálculo de uma ligação parafusada pode ser feito usando o seguinte roteiro:

>

Roteiro - Ligações parafusadas

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “f” (ver figura abaixo). Identificar, ou escolher, o parafuso (ver tabela 24) e em consequência o diâmetro do parafuso “d” (para uso estrutural 9,5 mm
>J[ÿ | Corte simples

£

t é o menor valor entre

ti et2

É

3

E

1 h *2

—Lt—1

*3

M ..

%

]

/Espessura convencional “t”

té o menor valor entre t-|, t2/2 e tj

if

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%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Tabela 24 - Diâmetros de parafusos comerciais, d

d

Pol.

1/4”*

cm

0,64 0,95 1,27 1,59 1,91 2,22 2,54 3,18

mm

6,4

3/8”

9,5

1/2" 5/8”

3/4" 7/8”

1”

11/2”

12,7 15,9 19,1 22,2 25,4 31,8

* Não devem ser utilizados em estruturas de madeira.

2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fÿd), da madeira utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a direção do esforço e das fibras da madeira. Tabela 23, página 125

Cd = Cd Cd -

-

CM Cd'Co.d

Cdsen2or + fCd- cos2 a

=>

Co,d

~

Ê

Redefinido em relação ao fe90d apresentado na Tabela 16 (página 44)

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131

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte simples, segundo o roteiro: a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, t

e

, dados por:

fvd , na qual: fyd /L=1,25,M

fea.d

MPa

Para parafusos

b) Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte simples (Rvd1), por: '

H

H

Se p
Rvd,i = 0,50.t.d.fead

Se p>PbD

Rvd.i

=>

= 0,625 .

d2 •fvd Am /

E o estado \ limite último será o embutimento na madeira. E o estado limite último será o de flexão do parafuso

fvd > 250 MPa

l

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1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um parafuso (Rÿ,), pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd j) em que o parafuso atua. nc

Rvd

XRvd.li

=>

Rvd n,R vd.l

N° de cortes simples em um parafuso

i=l

5 - Obter o número de parafusos necessários na ligação (np). Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação

Rvd OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar no mínimo 2 parafusos por ligação; 3) Usar no máximo 8 parafusos por linha.

6 - Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da detalhes necessários à sua página 126), com todos os compreensão (detalhamento).

í

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132

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

->

O nó de uma tesoura (tipo Pratt), apresentado Exemplo de aplicação 24 na figura abaixo, tem sua diagonal ligada ao banzo inferior por meio de parafusos. A diagonal é tracionada com uma carga de cálculo de 16800 N. Considerando as dimensões apresentadas na figura abaixo, detalhar a ligação. Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D60; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

é?

Montante

?>

12 cm

16

Ar 51

—

X40°

Plano de corte do parafuso

_

b

16 cm

TV

Plano de corte do parafuso

igação de um nc de tesoura Pratt

Banzo Inferior

í

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 130)

Solução:

Definição de t (página 130)

T. parafusos (página 130)

t = menor

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “t” (figura da página 130). Identificar, ou escolher, o parafuso (tabela 24, página 130) e em consequência o diâmetro do parafuso “d” (para uso estrutural 9,5 mm < d < t / 2).

Espessura das peças -> t = 3 cm = 30 mm da diagonal => t = 30 mm Metade da largura da peça do banzo inferior-ÿ b/2 = 6/2 = 3 cm = 30 mm

9,5mm
=>

9,5mm 9,5mm

d = 12,7 mm

2 -Obter a resistência de cálculo de embutimento (fea,d). da madeira utilizada, na direção definida pelo ângulo a, entre a direção do esforço e das fibras da madeira.

í

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133

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (página 44)

-

Tabela 23 ae (página 125)

Folhosa da classe D60

fj90 ,d

Ver roteiro (página 130)

->

fe0 d =21.00

4, = 5,25. 1,68

=>

MPa

efe90,d = 5,25 MPa

K

=>

90,d

= 8,82 MPa

Observa-se, do esquema da ligação, que esforço é aplicado pela diagonal, a 40° com a direção das fibras, portanto, a = 40°. Portanto:

4d

fe0,d-fe90,d “

— => fe*,d

fe0d.seiror + f*90,d .cos

a

21,00.8,82

=>

21,00.sen240 + 8,82.cos2 40

4, =13,37 MPa 3 -Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte simples, segundo o roteiro:

a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, 30

t

P = 12,7

, dados por:

p = 2,36

=>

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

fvd /L =U5J-r lea.d

=>

Ver roteiro (página 130)

A. =U25.

250 13,37

=>

An =5,41

Paraíltsos —> fyd > 250 MPa b) Obter o valor de cálculo da resistência de um parafuso a corte simples (Rvd1), por:

n Como p< /4

Rvd4 = 0,50.t.d.fead

E o estado limite último será o embutimento na madeiraÿ

R vd.l = 0,50.t.d.fead

iV

=>Rvd I =0,50.30.12,7.13,37 => Rvd,t = 2547 N

4 -Obter o valor de cálculo da resistência total de um parafuso (Rvd), pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd-1) em que o parafuso atua. Observa-se do esquema da ligação (ao lado), que cada parafuso atua em 2 cortes simples. Cortes simples

=>

ncs = 2

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%

134

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Rvd = ncs.RvdI

=>

Rvd = 2.2547

Rvd = 5094 N

=>

5 - Obter o número de parafusos necessários na ligação (np).

np>

16800 => 5094

Rvd

np > 3,30 => np = 4 parafusos

6 - Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos, Espaçamentos com todos os detalhes necessários à sua compreensão (página 126) (detalhamento). Na direção normal às fibras Das arestas

1,5.d = 1,5.12,7 = 19,05 mm

=> pode-se adotar 20 mm = 2 cm

-> 3.d = 3.12,7 = 38,1 mm

=> pode-se adotar 40 mm = 4 cm

Entre parafusos

Na direção paralela às fibras Da aresta interrompida Da aresta interna

Entre parafusos

-> 7.d = 7.12,7 = 88,9mm

adota-se 90 mm = 9 cm

-> 4.d = 4.12,7 = 50,8 mm

=> pode-se adotar 51 mm = 5 cm n.d = 4.d = 4.12,7 = 50,8 mm => pode-se adotar 51 mm = 5 cm

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Assim, a ligação pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo:

&

W

12 cm

16

Ar

& 6

v

6

40°

Wÿ±4.d = 50 mm

’

- -ÿL --9ÿ\-r1,5.d = 20 mm

1,5.d = 20 mm

16 cm

Parafuso passante

7.d = 90 mm

d = Vi”

= 12,7 mm

í

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135

1JJ.

402 0459 5- Estruturas de Madeira

e) Ligações cavilhadas

Cavilhas são pinos torneados de madeira resistente. As cavilhas, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), devem ser feitas com madeiras de folhosas da classe D60, ou com madeiras moles impregnadas com resinas de modo a possuírem resistências compatíveis com a classe D60.

A NBR 7190, da ABNT (2012), admite o uso de cavilhas estruturais com os diâmetros de 16 mm, 18 mm e 20 mm. O diâmetro dos furos, para instalação, deve ser o mesmo da cavilha. Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o cálculo de uma ligação cavilhada pode ser feito usando o seguinte roteiro:

> Cola

ú

Roteiro - Ligações cavilhadas

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “f”(ver figura a seguir). Identificar, ou escolher, o diâmetro da cavilha “d” (para uso estrutural 16 mm, 18 mm e 20 mm). Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

i

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

| Corte simplêT

5

*2

Jl

*2

t é o menor

t é o menor valor entre

et2

I

í

1

valor entre_ t-j, t2/2 e tj

1

ti /Espessura convencional

OBS.: Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), cavilhas submetidas a um único corte simples só devem ser utilizadas em ligações secundárias.

2 -Obter as resistência de cálculo da madeira utilizada nas cavilhas à compressão, nas direções paralela (fcod.cav) e normal (fC90d,cav) às fibras. OBS.: As cavilhas, segundo a NBR 7190 da ABNT (2012), devem ser feitas com madeiras de folhosas da classe D60, ou com madeiras moles impregnadas com resinas de modo a possuírem resistências compatíveis com a classe D60. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

136

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 -Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte simples, segundo o roteiro:

a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, pm , dados por: t

e

Am =

fc0d,cav

fc 90d,cav

b) Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte simples (Rvd1), por:

n Se

«

p
Se P>(\n

=> Ryd.l

0,50.t.dfc9odiCav

Rvd,i=°>50.

/Sc. o estado

d2

Am

E o estado x, limite último será o esmagamento \da cavilhaÿ/

Od:cav

limite último será o de flexão da \ÿcavilha.ÿ/

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

4 - Obter o valor de cálculo da resistência total de uma cavilha (Rvd), pela soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que a cavilha atua. “o

Rvd

XR vd.li

R vd

-R vd, 1

N° de cortes simples em uma cavilha

i=l

5 - Obter o número de cavilhas necessárias na ligação (ncav).

ncav

Fd Rvd

Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação

OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Usar no mínimo 2 cavilhas por ligação; 3) Usar no máximo 8 cavilhas por linha.

6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da página 126), com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento).

í

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137

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 25 -> Dimensionar uma emenda cavilhada, em uma barra de seção 6 cm x 12 cm. A barra é submetida a um esforço de cálculo de 11200 N de tração (figura abaixo). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D40; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. Face

\\

Nd= 11.200 N

l

E

Nd = 11.200 N

U

o

CN

v 6

Nd= 11.200 N

Face

*

I

Nd= 11.200 N

Face

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 135)

Solução:

1 - Identificar, adotando se necessário, as espessuras das peças da ligação e através delas a espessura convencional “t”. Identificar, ou escolher, o diâmetro da cavilha “d" (para uso estrutural d = 16 mm, 18 mm ou 20 mm). Escolha det _

Definição de t (página 135)

->

As 2 cobrejuntas devem transmitir a carga total => Devem ter a área total pelo menos igual a da peça central => Adotam-se 2 peças de seção 3 cm x 12 cm.

Espessura da cobrejunta-> t = 3 cm = 30 mm => t = 30 mm t = menor entre / Metade da espessura -> t = 6/2 = 3 cm = 30 mm peça central

Ida

Escolha da cavilha

->

Escolher o diâmetro da cavilha (d) ->

d = 20 mm

2 -Obter as resistência de cálculo da madeira utilizada nas cavilhas à compressão, nas direções paralela (fcodxav) e normal (fC90d,cav) às fibras. As cavilhas devem ser de folhosas da classe D60, ou ter resistência compatível com esta classe.

í

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138

i

Ver roteiro (página 135)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (página 44)

-> fc0d = 21,00 MPa e fc90 d = 5.25 MPa => - — 5,25 MPa MPa e 21,00 = lc90d,cav fc0d>cav

Folhosa da classe D60

-

3 -Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte simples, segundo o roteiro:

a) Obter o parâmetro, p , e seu valor limite, pm , dados por: t

Am

~

30

=>

P = 1,50

20

fc0d,cav fc 90d,cav

Am =

'21,00

Am =2,00

5,25

b) Obter o valor de cálculo da resistência de uma cavilha a corte simples (Rvd1), por:

Rvdl

n Como p
I

O estado limite último será o = 0,50.t.d.fc9Odcav de esmagamento i _da cavilha. Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1

Ver roteiro (página 135)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n

Rvd,, = 0,50.t.d.fc90d,cav

= 0.50.30.20.5,25

=>

N

Rvdl=1575

4 - Obter o valor de cálculo da resistência total de uma cavilha (Rvd), pela £ soma da resistência nos diversos cortes simples (Rvd1) em que a o cavilha atua. CN

Cortes simples

vd,l

Observa-se do esquema da ligação (ao lado), que cada cavilha atua em 2 cortes simples.

Rvd = ncs-Rvd,l

=>

Rvd =2.1575

ncs = 2

=>

=>

Rvd = 3150

N

5 - Obter o número de cavilhas necessárias na ligação (ncav).

ncav li

Rvd

=>

ncav —

11200 3150

=>

ncav — 2,56

=>

ncav = 4 caviUias

OBS.: 1) Lembrar que uma emenda são duas ligações.

6 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura da página 126), com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento).

í

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139

1

Espaçamentos (página 126)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Na direção normal às fibras

-> 1,5.d = 1,5.20 s 30 mm Entre cavilhas -> 3.d = 3.20 = 60 mm

=> pode-se adotar 30 mm = 3 cm => pode-se adotar 60 mm = 6 cm

Das arestas

Na direção paralela às fibras Da aresta interrompida -> 7.d = 7.20 = 140 mm => adota-se 140 mm = 14 cm Entre cavilhas

-> 6.d = 6.20 = 120 mm

=> pode-se adotar 120 mm = 12 cm

Assim, a emenda pode ser detalhada como se apresenta na figura abaixo: 14

T

Nd= 11.200 N

12 . 14 o

o

Q

O

6

3L

3 3

o

o

p=q

i i i

o

o

H H

Nd= 11.200 N

Cavilha (£ = 12 cm e d = 2 cm) 40 cm

h

Nd= 11.200 N

12 . 14

14

E

n tnd i—i

6

Nd= 11.200 N

4

*

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

f) Ligações com anéis metálicos

Corte para facilitar instalação

e d

Anéis metálicos são peças cilíndricas, ocas, de diâmetro relativamente grande. A NBR 7190, da ABNT (2012), admite o uso de anéis metálicos estruturais com diâmetros internos (d) de 64 mm e 102 mm e paredes de espessura (e) não menor que — T 4 mm e 5 mm, respectivamente, sempre acompanhados por parafusos de diâmetros de 12 mm e 19 mm, respectivamente. h — A transmissão de esforços através de um anel metálico envolve compressão na parede lateral do anel e cisalhamento na madeira interna a ele. Para instalar anéis metálicos é necessária m uma ferramenta especial, apresentada na figura a seguir, que faz os sulcos onde são encaixados os anéis metálicos na madeira.

£

í=

: 3 —» Anel

e Parafuso de montagem

d

2

‘t ==A h

7

ransmissão de esforços um anel metálico

jDor

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

,

140

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Pino para fixação no mandril

Segundo a NBR 7190, da ABNT (2012), o cálculo de uma ligação com anéis metálicos pode ser feito usando o seguinte roteiro:

> Roteiro - Ligações com anéis metálicos 1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicado e a direção das fibras (a). Determinar a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento (fÿ), a compressão paralela (fco,d)< a compressão normal (fcgo,d) © a compressão inclinada (fcotd).

fca.d -

fçQ,d-fc90,d fc0:d-sen2« + fc 90.d" cos2 a

2 - Escolher as dimensões do anel a ser utilizado, diâmetro interno (d), espessura da parede (e), profundidade de penetração na madeira (t) e altura total (h).

í

o o

Facas que fazem os sulcos

\JJ

e

6

Pino guia (diâmetro do parafuso)

Ferramenta para preparar os sulcos de scolocação dos anéis/

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Lembrando que: d -> deve ser 64 mm ou 102 mm;

-> deve ser > 4 mm (se d = 64 mm) ou > 5 mm (se d = 102 mm); parafuso -> de diâmetro 12 mm (se d = 64 mm) ou 19 mm (se d = 102 mm).

e

Sugere-se adotar:

j>

fvo,d 4 fca,d

d

e

|h > 2.t + Ã] Acréscimo de altura devido a irregularidades

di

m

e

d

U

t

i

h

h1=ÿVd2-d2

;t

d2

V' : [ÃTõ]

A= Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

141

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

- Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples, dado pelo menor dos seguintes valores: -

R-anel

7T.à

,

— -I.M

Resistência à compressão na parede do anel

t.d.fCQ:d

e

Resistência ao cisalhamento da área interna do anel

4 - Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéjs).

R naneis. > — -pj

Valor de cálculo do esforço a ser transmitido pela ligação

•ÿanel

OBS.: 1) Emendas são consideradas duas ligações; 2) Para solidarização de uma viga de seção composta, Fd corresponde a força cisalhante que os anéis devem absorver. Momento estático Número de anéis na seção

Fd = rd-Aÿ Fd = Fd - Hjnns-Ranel

©*->}

vd.s I

—

aneis

— naneis-F- anel

=>

aneis

aneis

—

/

Espaçamento entre anéis

%

Momento de inércia anel

/yds

Força cortante no trecho

402 0459 5- Estruturas de Madeira

5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento). Posição relativa do corte, no anel, para facilitar montagem e o esforço aplicado

k©-©+

t e,V

0,75.d 0,75.d

/

"V

7/

0,75.d 1,0.d

"V

/

|0,75.d 1,0.d

'b

°'fs

0,75.d 0,75.d

-

d = diâmetro interno do anel

/

v

0,75.d

1,0.d

0,75.d

0,75.d

pi5.d_|_1,5.d_|

/

br

<3

TV

0,75.dl 0,75.d

-

7/ V ©./-• [0,75.

-

1,0.d

d

142

i

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 26 -> O nó de uma tesoura (tipo Pratt) é apresentado na figura abaixo. Verificar se é possível fazer a ligação da diagonal ao banzo inferior usando anéis metálicos. Se possível, como seria essa ligação? A diagonal é tracionada com uma carga de cálculo de 12000 N. Considere: as dimensões apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. fi3 3®x 12 cm ,12 cm

B

Ar

I

He

ITV

Nd = 12000 N

2

Diagonal

.igação de um nc de tesoura Pratt 16 cm

Banzo inferior

1

prof. Qr

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Norman Barros Logsdon

Espaçamentos (página 141)

Solução:

7/

A atual norma brasileira permite o uso estrutural de dois anéis (diâmetros internos de 64 mm ou 102 mm). Além disso os anéis devem ter seu centro afastado das bordas como indica a figura ao lado.

120mm>l,5.d

1,0.d 0,75.d

<07 •
160 => d < - => d < 91,4 mm

1,75

e 12 cm >0,75.d + 0,75.d

/

/

Portanto, para o caso em questão, pode-se usar anéis metálicos se: 16 cm > 1,0.d + 0,75.d => 160mm>lJ5.d

/

=> d<

120

1,5

=> d < 80 mm

Assim, os anéis de d = 64 mm podem ser utilizados nesta ligação, se a resistência o permitir.

Aplicando-se o roteiro correspondente, obtém-se: Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

143

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (página 44)

Ver roteiro (página 140)

1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicado e a direção das fibras (a). Determinar a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento (fv0d), a compressão paralela (fc0d), a compressão normal (fcg0 d) e a compressão inclinada (fcctd). Ângulo entre a diagonal (esforço) e o banzo inferior (fibras) Folhosa da classe D50

fc«,d =

fv0d = 1,91 MPa , fc0d =17,50 MPa

íçO.dÿcM.d

fc0d.serítf+fcMd.cosJtf

fcOA

~

e

->

a = 40°

=>

fc90d =4,38 MPa

17,50.4,38 17,5 O.seif 40 + 4,3 8. cos 40

fca,d =7,82 MPa

2 - Escolher as dimensões do anel a ser utilizado, diâmetro interno (d), espessura da parede (e), profundidade de penetração na madeira (t) e altura total (h).

Adota-se, para este caso, anéis com: diâmetro interno, d = 64 mm; espessura, e >4 mm; e acompanhados por parafusos de 12 mm de

diâmetro.

í

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

TV

Ver roteiro (página 140)

Para profundidade de penetração (t) e altura do anel, recomendam-se: t

>

ÍIM 4

A=0

fca,d

h > 2.t + A

=>t>

=>

;r.64 1,91

4

‘7,82

t > 12,3 mm

=> t = 1,5 cm = 15 mm h = 3,0

=>

h> 2.15 + 0

cin=

30 mm

3 - Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples, dado pelo menor dos seguintes valores:

Ranel

.

, _ ;r.64: ——•1,91 => R and 4

•ÿ’ÿvO.d

Ranel = t.d.fcají =>

61 II N

!

=>

R and = 15.64.7,82 => R anel = 7507 N

Raad = 6144 N

4 - Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéls).

Ranel

=> naneis >

“

12000 => 6144

nan«s

L95 =>

=2 anéis

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

144

1

Espaçamentos (página 141)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 140)

5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (figura abaixo), com todos os detalhes necessários à sua compreensão (detalhamento). Na direção normal às fibras Da aresta não solicitada 60 mm = 6 cm

-> 0,75.d = 0,75.64 = 48 mm => pode-se adotar Da aresta solicitada -> 1,0.d = 1,0.64 = 64 mm => pode-se adotar 100 mm = 10 cm

12 cm h

6

fi3

TV

-iV Parafuso passante (d = 1,2cm)

,12 cm Na direção paralela às fibras Da aresta interrompida -> 1,5.d = 1,5.64 = 96 mm => adota-se 100 mm = 10 cm

6 ,'6

iLi L [ 4

-H*-

1,5-H*

1,5 Anéis metálicos (d = 6,4 cm e h = 3,0 cm) 3,0 cm

1 >

z o 00 CM

r

16 cm

.

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exemplo de aplicação 27 -> Uma viga bicircular, submetida a um carregamento móvel, foi solidarizada por anéis metálicos de diâmetro interno 102 mm e espessura 6 mm. As peças roliças, que deram origem à viga, possuíam diâmetro máximo (na base) de dmáx = 405 mm e mínimo (no topo) de dmin= 355 mm. Conhecido o envoltório de forças cortantes (em valores de cálculo), apresentado na figura abaixo, as características geométricas da seção (em valor efetivo), S = 21548184 mm3 e I = 8188309924 mm4, e sabendo que a madeira é de uma folhosa, usual e não classificada, da ciasse de resistência D60, definir a altura e a distribuição dos anéis ao longo da viga. Considere carregamento de longa duração e classe de umidade 1. z O z z 2 00 § CM 00 Envoltório de máximos valores § 00 © uo O) 00 CO de cálculo da força cortante co CM z z z z § § CM OBS.: O envoltório de um esforço o oo O o> z •oCD CD solicitante registra seu máximo co CM o CO 00 valor em cada seção da estrutura. 00

©

s

CM

•o-

0,80

0,80

0,80 4,00 m

0,80

0,80

í

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

145

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

C. da madeira (página 44)

Ver roteiro (página 140)

Solução:

1 - Obter a inclinação entre o esforço aplicado e a direção das fibras (a). Determinar a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento (fv0d), a compressão paralela (fc0d), a compressão normal (fc90,d) e a compressão inclinada (fcad).

-> \a = 0°

Ângulo entre o esforço cisalhante (axial) e a direção das fibras Folhosa da classe D60

-> fv0d =2,18 MPa , fc0d= 21,00 MPa

fc90d = 5.25 MPa

e

2 - Escolher as dimensões do anel a ser utilizado, diâmetro interno (d), espessura da parede (e), profundidade de penetração na madeira (t) e altura total (h). Os anéis têm: diâmetro interno, d = 102 mm; espessura, e = 6 mm (e > 5 mm); e serão acompanhados por parafusos com diâmetro de 19 mm.

í

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1 di

Ver roteiro (página 140)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Para profundidade de penetração (t) e altura do anel, recomendam-se: j>

K -d

fyO.d

4

fca.d

e

4-

102 2,18 4 21,00

=> t>-. —:— =>

=>

t = 1,0 cm = 10 mm

t

A h h>2.t + A, sendo:

"t

d2

t>8,3 mm

hi = --Vdi “d2

h: = y Vd2 - d2

A=

i-h.Vi-h, 2 2

No caso existem duas posições limites: nas extremidades da viga, d1 = 405 mm e d2 = 355 mm; e no centro, d1 = d2 = dméd = 380 mm. Deve-se utilizar o anel, cuja altura satisfaça as duas posições (maior A), portanto: 1 h,i = .V4052 — 102 2 =196,0 mm Extremidades da viga

h,

-1022 =170.0 mm =-.V3552 2

A=

405

J +í

] = 14,0

mm

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t

146

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

-A/3802 -1022 = 183.0 mm

h, = h, = Centro da viga

A=

Ver roteiro (página 140)

ÍHO_183,OUM-183,O}

...

14,0 mm

As 14,0 mm

h = 4,0 cm = 40 mm

=> h>34,0 =>

=> h> 2.10 + 14,0

h > 2.t + A

Maior dos dois

3 - Obter o valor de cálculo da resistência de um anel a corte simples, dado pelo menor dos seguintes valores:

Ranel _

. fvO.d

Ranel

Ranel = td-fca.d =>

R

;r.l022

„,0

-.2,18

4

= 10.102.21,00

=> R anel = 17813 N

Riffle! = 17813 N

=> R anel = 21420 N

4 - Obter o número de anéis necessários na ligação (nanéjs). No caso, será usado um anel em cada seção (nanéls = 1) e deve-se obter o espaçamento entre anéis ao longo da viga.

í

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Ver roteiro (página 140)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

O espaçamento entre anéis (4néis) em um trecho de força cortante (Vd) constante será:

->

laneis <• —

aneis

,Ranel

vd.s

Admitindo-se um envoltório (superestimado) para força cortante (Vd), como o representado abaixo, pode-se obter o espaçamento entre anéis para cada trecho da viga, fazendo:

O O

z

CO CM

O

|Z1

o

co CO

©

CO

CD

CO

Z

Z

Z

o

O CM

o

CD of 00

h

O CD

CN

05

CN

O)

CD

CO

CO CD CM

0

0,80

0,80 4,00 m

0,80

-

-7 n •Ranel

17813 N

aneis

V+S /

r*rq

21548184 mm3

8188309924 mm4

z O

Z

oo CO co

X

0,80

í aneis

z

o

co

CO

1

©

z

o o CO CM

0,80

Envoltório de máximos valores de cálculo da força cortante

í

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147

%-

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Espaçamento entre anéis para cada trecho da viga

Vd

Trecho

0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 <1)

m<x< m<x< m<x< m<x< m<x<

0,80 1,60 2,40 3,20 4,00

m m m m m

4néis

1,

(mm) 160,0 200,0 266,7 200,0 160,0

42300 33840 25380 33840 42300

<2)

Valores calculados

Ver roteiro (página 140)

4néis(2) (cm) 16 20

27 20 16

Valores adotados

5 -Desenhar a ligação, garantindo os espaçamentos mínimos (1,5.d = 15,3 cm entre anéis), com todos os detalhes necessários à sua compreensão. Assimetria (simetria de posição com giro vertical) i

Eo

Parafuso passante (d = 1,9 cm)

i I

in

oo

15,1616,16,16,16, 20,20,20,20, 27 ,1ÿ.5 40 80 80

Anéis metálicos (d = 10,2 cm e h = 4 cm)

200 cm

í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

g) Ligações por meio de dentes e entalhes

Uma ligação tipica por meio de dentes e entalhes é o nó de apoio de uma tesoura, onde o banzo superior (comprimido) se liga ao banzo inferior (tracionado). Nesta ligação, apresentada em sua forma geral na figura abaixo (à esquerda), o esforço de compressão Nd, do banzo superior, transmite-se ao banzo inferior através das componentes P1 e P2. Geralmente o ângulo entre as barras (y) é pequeno e “P2" não tem valor elevado, entretanto é comum se fazer, construtivamente, p=0°, como na figura abaixo (à direita), e então: y = a, P2 = 0 e P1 = Nd.

Nd

heIfTT?

X

Nd.cosYÿ

Á2

heirr

b

*Mr I

I

rra t Caso geral, /?/90°

Hl \

II

h

er

Nd

y

b

Hí-

Nd.cosl£

0=90°,

=a,

P1 = Nde P2=0

Caso mais comum, /?=9Õ0 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

148

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Dois estados limites devem ser verificados: 1) O esmagamento por compressão inclinada às fibras, na “cabeça do dente” ou na área de contato do dente com o banzo inferior, que definirá um limite para a altura do dente “he”; 2) A ruptura por cisalhamento (ver figura abaixo) e o consequente “escorregamento" da madeira do banzo inferior, a frente do dente, que definirá um limite para a folga

u

e

Folga suficiente

Folga insuficiente

Ruptura por cisalhamento

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Estudando o caso mais frequente (figura ao lado), obtém-se;

y

Nd

he ÉS jjTB CTco,i

b

A dente

h

Nd.cos‘)ÿ

Nd he

tf

{1= 90°, 7=a, PrNdeP2 = 0 <£isomais comum, (3=90°

_ _ Nd.cosy A~

\ p

hei

---

4

L 'Ia

A cisalhante

- fyO.d

Onde:

Caso geral, (3/90°

Nd. coser

- í:a.d

h.fca,d

b

fc«,d =

Nd.cosy - fcct.d Lb

=>

J1

fc0d.sen2or + fc90d.cos2ír =>

í> Nd.cosx

bfy0.d

Para o caso geral (figura ao lado), o cálculo de t não se altera, mas é provocada por P (em vez de Nd), assim:

A Nd.cosY_

=>

AB.b

Lcoser

\ Pi

N-

* fca,d

1

Pj = Nd. cos(/ - er) e

he >

Nd.cos(/- a), coser

bfCa,d

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149

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

A altura do dente “he” é limitada, pois diminui a área efetiva do banzo inferior (tracionado). Usualmente limita-se he a 25% de h, ou seja, he < h/4 (h = altura da seção do banzo inferior). Por outro lado, o carregamento pode exigir he maior que este limite, causando a necessidade de estudar dois novos problemas, apresentados nas figuras abaixo. Preqo Cobrejunta Nd

l\ > U2

_

Nd/

feir ~2

L

t2>t

..

O uso de dois dentei (h/4
.

VISTA LATERAL

de dois dentè$\ e ligação complementar (he> h/2) V

/tj uso

*

VISTA SUPERIOR

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

O cálculo de uma ligação por meio de dentes e entalhes, com todas as variações possíveis, pode ser feito segundo o seguinte roteiro:

>

Roteiro - Ligações por meio de dentes e entalhes

1 - Cálculo da altura do entalhe (dente) he e definição do problema. a) Altura do dente he

n Se y*a, caso geral, então:

K*

Nd.cos(/- cr) coser

b.fcaid

na qual:

fç0,d-fc90,d

ícaA = fd>,d-sen2ar+fc90d.cos2 a

n Se p=90°, o que é usual (caso mais frequente), então: y=a e,

Nd. coser

b-fc«.d

na qual:

fcad =

fçQ,d-fc90,d fc0d.sen2tf + fc90d.cos2or

b) Definição do problema

n Se h <

.«Jjtfljzshse um dente de alturahg. 4

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150

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

n Se

h , utilizam-se dois dentes de altura -
cada.

~

2

h

utilizam-se dois dentes de altura cada e o restante .4 ? — da carga é absorvido por uma ligação pregada ou parafusada. Neste caso a carga absorvida pelos dentes, Rcd=2.Rcd1, será utilizada para definir a folga ao cisalhamento t, e o restante da carga, Fdcj=Nd-Rcd=Nd-2.Rcd1, será absorvida pelas cobrejuntas de uma ligação pregada ou parafusada.

Rcd = 2.R cd:l

OCÂ

e

cos a

F'd.q — Nd Rcd - Nd 2.RC(U

OBS.: Expressões válidas se p = 90° (caso mais frequente). No caso geral altera-se a expressão de Rcd (basta trocar cosa por cos(y-a).cosa, na expressão de Rcd>.

í

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402 0459 5- Estruturas de Madeira

2 - Cálculo da folga necessária ao cisalhamento t. H

Se

, esta folga será:

b-fvo*d

/''ResistênciaX ao cisalhamentoÿ . paralelo às J fibras

n Se — < h cada e a < — , utilizam-se dois dentes de altura e 2 9 ’ 4 —> folga necessária ao cisalhamento é marcada a partir do segundo dente, sendo que deve-se garantir ao menos metade dela do primeiro dente. Os valores destas folgas serão:

>

a partir do segundo dente

->

>

a partir do primeiro dente

-> tx >

i

í> Nd.cosf

b-fv0,d

h-fvo.d

2

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%

151

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira H

Se

,

>

h h , utilizam-se dois dentes de altura — cada e o restante 4 2 da carga é absorvido por uma ligação pregada ou parafusada.

Neste caso a carga absorvida pelos dentes, Rcd= 2.Rcd1, será utilizada para definir a folga ao cisalhamento í, e o restante da carga, Fd cj=Nd-Rcd=Nd-2.Rcd1, será absorvida pelas cobrejuntas de uma ligação pregada ou parafusada. Assim, os valores das folgas serão:

>

a partir do segundo dente ->

>

a partir do primeiro dente -> Nas quais:

Red _ 2-Rcd,l

e cosor

Rcd-cos/

a

k-fyO.d

Fd,çj - Nd Rcd - Nd 2.Rcd [

OBS.: Expressões válidas se p = 90° (caso mais frequente). No caso geral altera-se a expressão de Rcd (basta trocar cosa por cos(y-a).cosa, na expressão de Rcd).

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

3 - Cálculo da ligação pregada ou parafusada, se necessário.

Utilizar o roteiro específico, apresentado anteriormente. 4 -Desenha-se a ligação, com todos os detalhes necessários à sua compreensão, permitindo sua construção (detalhamento).

>

Outras aplicações

As ligações por meio de dentes e entalhes, também são utilizadas em outras ligações de treliças. Em alguns casos, existe continuidade da peça que recebe a ligação. Nestes casos o cálculo da folga necessária ao cisalhamento é dispensado. Apresentam-se, nas figuras seguintes, alguns nós típicos de treliças, nos quais são aplicadas ligações por meio de dentes e entalhes, com o objetivo de identificar os parâmetros utilizados no cálculo.

í

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152

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

p*90°

Nd

, Banzo

Superior Banzo Superior y=a

P=90° h.

V Diagonal

Nd'

â Diagonal

Montante Montante

y=a Banzo Inferior

'V'

K1

0

Montante

Banzo Superior

""Detalhes de alguns nós de uma tesoura, identificando os parâmetros: Nd, y, a e he Diagonal

Montante

Pÿ90‘

D-ppi

Zríhe Banzo Inferior

í

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í

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exemplo de aplicação 28 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó de apoio de uma tesoura, sabendo-se que a inclinação do telhado é de 17°, que a peça do banzo superior tem seção de 6 cm x 16 cm e uma carga atuante, de cálculo, de 68000 N de compressão, e que a seção da peça do banzo inferior é de 6 cm x 16 cm (ver figura abaixo). Considere: edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira é uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

A6CíCV Nd= 68000 N 7=17°

•

6 16 cm

í

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153

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 149)

Solução:

1 -Cálculo da altura do entalhe (dente) he e definição do problema. a) Altura do dente he

n Adotando-se p=90° (caso mais frequente), então: y = a = 17° e,

Nd. coser b-fca,d C. da madeira Folhosa D50 (página 44)

fca,d _

. na qual: fcad

=

fç0,d-Íc90,d

fco,d-sen2tf + fC9o,d- cos2 a e

-> fc0.d = 17>50 MPa _

fco,d -seif a+ fC9o d coÿ cr •

fc9o,d = 4.38 MPa

17,50.4,38 17,50.serrl7° +4,38.cos 17°

f«a.â — 13,90 MPa

=>

he> Nd.cos b.fca!d

a

=> he >

68000. cosl7°

he >77,8

60.13,90

he = 80 mm

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I

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 149)

b) Definição do problema

n Comparando-se he com h/4 e h/2 (onde h é a altura da barra que recebe a ligação, no caso a do Banzo Inferior):

h

160 -

4

h 2

4

= 40 mm

160 - = 80 mm 2

=>

-

4

= 40 mm< he = 80 mm< - = 80 mm

2

D.

Neste caso (h/4 < he< h/2), utilizam-se dois dentes de altura

he/2

cada. Portanto:

Adotam-se 2 dentes de altura

80 he = — = 40 mm= 4.0 cm

—

2

2

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154

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Ver roteiro (página 149)

2 - Cálculo da folga necessária ao cisalhamento t. H

, utilizam-se dois dentes de altura he cada e a 2 4 folga necessária ao cisalhamento é marcada a partir do segundo

— < he < —

Para

dente, sendo que deve-se garantir ao menos metade dela do

primeiro dente. Os valores destas folgas serão:

Nd.cos/ a partir do segundo dente -> £2-ÿ

>

h-fyO.d

C. da madeira (página 44)

Folhosa D50

£2=£>

fvM = l,91 MPa

->

68000. cosi 7o 60.1,91

t1-í> 567,4 mm=> t2 =í = 57 cm

a partir do primeiro dente ->

>

A-

£

=> A -

57

f-\

~

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

cm

t

Ver roteiro (página 149)

3 - Cálculo da ligação pregada ou parafusada, se necessário.

Neste caso (h/4 < he < h/2), não é necessária ligação complementar. 4 - Desenha-se a ligação, com todos os detalhes necessários à sua compreensão, permitindo sua construção (detalhamento).

v:«4

4,0 cml

y

i = 17°

—

,16 cm

6

16 cm

JL:

28,5 cm 57 cm

? (£2

57 cm)

<- Cotas desnecessárias Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

155

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

h) Exercícios propostos

>

Exercício proposto 42 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 1 da

Tesoura Howe, ambos esquematizados na figura abaixo, de um telhado. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carreaamento de lonaa duração e classe de umidade 1. 6 8


'2 9

Dimensões em cm

co

"

1 1,501 1

7 1,50 - 1,501 1.50 _ 9,00 m _

1,50

3

6

W

\n

Nd = 58384 N g

y= 20°

H

7 Exercício proposto 43

Banzo inferior

I«

Banzo inferior

rel="nofollow">

Banzo superior

\

-> O que resultaria se a madeira do exercício

i

proposto 42 fosse da classe D20?

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

!

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 44 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 4 da Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, na diagonal, ligação por dentes e entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais c inferiores a 5 kN/m2); madeira de Terça Terça Pi folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração •I lí e classe de umidade 1.

.

/

$6_A II

6

i

v-'

i$-í (!)

c

o E S IO CD

1

,5cíÿ1,50ÿ;1,50-1,S0Ífi ,5Cf11i1,50 9,00 m

®p

II

56°

4 v %

s f .6 6

Nd = 4528 N x2,5 0j x2,5

o

//

>12

Diagonal

Dimensões em cm

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

156

1 >

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exercício proposto 45 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 5 da Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, na diagonal, ligação por dentes e entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. (6)

Dimensões em cm

61

«10

H

6

%

r

"

8

12

1 .Zà.

CD

Íÿ,5ÿ,5(ÿ,5(ÿ,5(@1,50A 9,00 m

V

0)

c

°'*o

£ IO

Nd = 4528 N

'ÿ'o

6

4

1,50

15


x2,5 X2,5

c

o 2

+’ Banzo inferior

Diagonal

*

6

H

0I«

- •J c

o

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

402 0459 5- Estruturas de Madeira

>

Exercício proposto 46 -> O que resultaria se a madeira do exercício proposto 44 fosse da classe D20 e a ligação do montante pregada? Seria necessário aumentar a largura das peças do montante?

>

Exercício proposto 47

>

Exercício proposto 48 -> O que resultaria se a madeira do exercício proposto 45 fosse da classe D20 e a ligação do montante fosse cavilhada? Seria necessário aumentar a largura das peças do

-> O que resultaria se a ligação do montante do exercício proposto 44 fosse cavilhada? Seria necessário aumentar a largura das peças do montante?

montante?

>

-> O que resultaria se a ligação do montante do exercício proposto 45 fosse por anéis metálicos? Que dimensões os anéis deveriam ter?

Exercício proposto 49

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

t

157

%

>

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Exercício proposto 50 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 6 da Tesoura Howe de um telhado. Verificar a altura do dente no banzo superior e calcular uma ligação parafusada para o montante. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. 40°|

I

Ml'T--

.

c O

©

Nd = 16098 E

,5C@1,5(01,5cí7i1,50Í"9Í,5001,50

#1

61

1

\I o 2

n Diagonal

N

x2,5 x2,5

Dimensões em cm

í

Exercício proposto 51 -> Dimensionar e detalhar a ligação do nó 7 da Tesoura Howe de um telhado. Utilizar, nas diagonais, ligações por dentes e entalhes e, no montante, ligação parafusada. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1.

61

6* //

hà

36°j

-

Banzo inferior

©

N

\

o c

6

'ij

/ -

©

CO CD

9,00 m

V2

Diagonal

V

At#,

&

©.

E © 0 12 ®©A A 5 9 3 1,50 1,50 lA7 J,50 1,5(01,50

x2,5 *2,5

Nd = 16098

6

V/l6

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Dimensões em cm

H

&

a>

s

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

.15

«10

Terça

15

9,00 m

>

§

:o°

TO

?

0o

\

c

St

©.A.

6

\

OJ

©. ©

/

A

*6 36° ! 0I« R

* Montante

Banzo inferior

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

158

402 0459 5- Estruturas de Madeira

-> O que resultaria se a madeira do exercício proposto 50 fosse da classe D20 e a ligação do montante pregada? Seria necessário aumentar a largura das peças do montante?

>

Exercício proposto 52

>

Exercício proposto 53

O que resultaria se a madeira do exercício proposto 51 fosse da classe D20 e a ligação do montante cavilhada? Seria necessário aumentar a largura das peças do montante?

>

Exercício proposto 54 -> O que resultaria se a ligação do montante do exercício proposto 51 fosse por anéis metálicos? Que dimensões os anéis

->

deveriam ter?

>

Exercício proposto 55 -> Dimensionar e detalhar uma emenda parafusada na barra 5-7 da Tesoura Howe de um telhado. Considere: as seções e forças apresentadas na figura abaixo; edificação do tipo 2 (cargas acidentais inferiores a 5 kN/m2); madeira de uma folhosa, usual e não classificada, da classe de resistência D50; carregamento de longa duração e classe de umidade 1. 6 Banzo inferior H

©

8

0 (D, \«TA,5d'? 1,5ÿ1,«SYsA,50A

E

Nÿ= 43723 N

DI« / = 43723

Nd

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9,00 m

t

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

> >

>

Exercício proposto 56 -> Como ficaria a emenda do exercício proposto 55

se fosse cavilhada? Exercício proposto 57 -> Como ficaria a emenda do exercício proposto 55 se fosse por anéis metálicos? Exercício proposto 58 -> Uma viga de uma ponte, com a seção composta da figura abaixo, foi solidarizada por anéis metálicos de diâmetro interno 102 mm e espessura 6 mm. Conhecido o envoltório de forças cortantes em valores de cálculo (figura abaixo), definir a altura e a distribuição dos anéis ao longo da viga. Considere: madeira de folhosa, não classificada, da classe de resistência D60; o carregamento de longa duração e classe de umidade 1.rÿi—i—i . m_ , _ _ _

©i

IO cg

2 O CO O)

04

©

04

o

/ÿEnvoltório da forçaTx

2

Z

o" co

o


a»

co

2 O

o

o

CO

-O)

0$'

o

z o

o
1,00

1,00 5,00 m

1,00

<£>

1,00

o

IO cg

O)

04

E

CM IO |S

CO

cortante de cálculo 1,00

ir>

25 25 50 cm

H

H

Seção da viga

159

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

9. Referências bibliográficas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1951). NB 11 Cálculo e execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR 7190 - Cálculo e execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1997). NBR 7190 - Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2012). NBR 7190 - Projeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2004). NBR 8681 - Ações e segurança nas estruturas - Procedimentos. Rio de Janeiro. HELLMEISTER, J. C. (1977). Estruturas de Madeira. Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 2ed. rev. São Carlos, SP. 1977. (Notas de Aula).

í

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

402 0459 5- Estruturas de Madeira

HELLMEISTER, J. C. (1978). Pontes de Eucalipto Citriodora. São Carlos. 1978. Tese (Professor Livre Docente). Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. SOUZA, R. P. de (2009). Sobre a Flexão Simples Oblíqua em elementos estruturais de madeira. Orientador: Prof. Dr Norman Barros Logsdon. Universidade Federal de Mato Grosso - Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia, Cuiabá, fevereiro de 2009. 11 5f. (Monografia - Engenheiro Civil)

í

Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

160

402 0459 5- Estruturas de Madeira

ANEXO 1 - Características geométricas de seções planas

a) Seção retangular A = b.h

iy 4-

i i

h

Sx-x

X...|CG.X i i

b

h

y-y

8

b.h 3 12

/ X -X

y

h.b2

b.h2

/ v-.v

h

iA - A

iy-y

1

i-min

-

8

h.bl 12

b

VÍ2

/ argura

menor

VT2 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Seção quadrada A = a2 iy

*x-x =Sy-y

I

'CG

a x

X

i I

Ix-x =/

>->•

+

h

y a

1

Ix-x

a

3

8

a4 12

x'min

<2

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t

161

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Seçào circular

A=

iy i i i

d

-— +iCG

X

X

I i i

y d

7T.d~ 4

Sx-x

=Sy-y

h-x

=Iy-y

*x—x

dl 12

7T.dA 64

*min

d

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%

t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Seção triangular

b.h

y

A=— 2

i i I i

Sx

r X—X

'CG

X

h 3

X

/.r-.x

i i t

y \

h

b

ix-.t

4

2 - — .b.h 81

b.h3 36

4l.h = 0,23 6.h 6

hum = merior entre ix-.x

sy-y

h.b 2 24

/ y-y

h.b 3 48

iy-y

V6 b 12

e iy-y

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%

162

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

e) Seção semicírculo

.y i I

8

s>’->• dl

Sx_x = 0,0085adl

CG

X

TT.d ~

A=

X

4.r 3.71

I

i i

y d=2.r

8

n

1x-x

24

/ y-y =

— r4

8

9.7T

= 0,2643./*

ft-.t

)->•

*./*4 8

4

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t

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

f) Seção setor circular

y i

X

a

'CG

XwX

c= X

a

I

y OBS.: w em radianos

I« s

9

—3 ./*.

K)

tr

Sé?//

A = —.r

2

2

9 4

2 — ./* 3 . Sé?// Cl — Cl = 3

Ix-x =Io—o

8 r4 2 — . — .Sé?// 9 w

(/<)

/ Cl— Cl

-—

8

.[w + Sé?//(iv)j

4

W,

9

/ y-y

-—

8

\w — senMl

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t

163

I

402 0459 5- Estruturas de Madeira

Seção composta Identificar os elementos, que compõem a seção composta, e obter, para cada

elemento, A; , 1;ÿ e

2

I*

Adotar um sistema de eixos auxiliar OXY, identificar, neste sistema de eixos, a posição do centro de gravidade de cada elemento (x, e y) e obter o centro de gravidade da seção composta por:

Z**A*

SA. i=i

IA< i=l

Q Em relação aos eixos x-x e y-y, que passam pelo centro de gravidade da seção composta, calcular suas características geométricas por: A=

SAi

Sx-x = y*.

i=l

Ix-x = Z i=l

1min

i=i

+ Z Ay'Ai Vy = Z Vv + Z i=l

= menor entre ix_x e iy-y

Ax; A; (meia seção)

-A; (meia seção) Sy_y =

i=l

i=l

i=l

***

A

ix-x =

Sempre que existir ao menos um eixo de simetria

164

402 0459 5- Estruturas de Madeira

ANEXO 2 - Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas a) Viga simplesmente apoiada - Carga uniformemente distribuída.

—-—

I

yp = cte.

*ÿ

imuuufumuuui

R=V

A Normal

2

v-=p{rx)

fa

1

R

_ pi

*a

Mmàx(no centro) =

£áí 8

Cortante

v4Tm$rrrÿ vmáx(no centro) =

Momento

5.piA 384.£.7

vx = —24.£.7 if3 V -2.Í.X2 +x3 ) \

parábola

’

i

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Mmáx

402 0459 5- Estruturas de Madeira

b) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada no centro. P

P

R=V=— 2

X

Mmáx (no

£12

£12 R Normal

1

*a

Cortante

VH 1 1 1 leiTTTT

R

w

,

Momento

(

Mx (para

x<—)v =

Mx(para

x'Zÿ) =

vmwc (no I I I 101 I I I 1

Pi

centro) =-

centro) =

P.x

—

Pi3 48.£.7

t P.x vx( para x< -) =

48.£.7

vx( para x > -) =

*

Mmáx

2

P

~

4<2-4.X2)

* hi2 - 4.(l - x)2 ]J

48.£.7 1

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165

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

c) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada em qualquer ponto.

P.b Rx-Vx( máximo se a
P X

P.a

A a

Ri

+

b

R2

1

Normal

R2 = V2(máximo se a>b)-—j.... . P.a.b Mmáx ( sob a c arg a)- —— C P.b.x Mx( para x < a) = —vmáx(ern

Cortante

0

x

_

Ja.(a + 2.b)

_ P.a.b.(a + 2.b}-)]3.a.(a + 2.b) 21.E.I.L

1 1 1 1 1 1 1 lei 1 1 m-v2

Momento

va(sob a carga) = vx(para x
Mmáx

( \,x. 1 para

1

se a rel="nofollow">b)~

P.a2.b2 3.E.I.Í

P.b.x 6.E.I.Í

x>aj =

.(e2-b2-x2)

6.E.I1

.(2.í_x - x2 - a2 )

*

’

402 0459 5- Estruturas de Madeira

d) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída.

Rx = Vxí máximo

x

se

a
p cte. I=

R2 =V2(máximo

R't=

b

1

ri-MR2

se a>c) =

Zí

.(2.c + b)

ZC

Vx( para a < x <(a + b)j = Rx- p.(x -a)

Normal

*i Mmáx(ern x = a + —) = R\. o +2.p P

Cortante

V

i;

Momento

Mx( para x < a) = Rvx

.

a + Ri P

—

AI parábola ' Mmáx

Mx(para a <x< (a + b)j = 'reta

Mx(para

x > (a + b)j = R2.(í - x)

166

5

402 0459 5- Estruturas de Madeira

-

e) Viga simplesmente apoiada Carga unilòrme parcialmente distribuída em um extremo.

.(2i - a ) Rl = Fj(máximo) - 1— 21

p = cte.

R.-V

21

J.V

RIH-

JR2

L

Normal Cortante

Xl I I I I I

!<=>! I I I I I I

kVo

- p.x

Vx (para

x
/ \r Mrnm(em

-V =

Mx(para

x < a) = Rx .x - p. —

—;=T!2-P P i

x2

x rel="nofollow"> a) = R2

Mx(para

-x)

Momento Rj/P

vx( para x < a) =

t

.[a* .(21-a f - 2.a.x\(K -a)+ (.a' ]

P-x 24.E.I1 reta

parábola

%

Mmáx

vx(para x>a) =

PÿU-x) [)

xl24E.I1 “

lx2-a2}

402 0459 5- Estruturas de Madeira

f) Viga simplesmente apoiada

-

Carga uniforme parcialmente distribuída nos dois extremos.

cte. X->P1= muni h

Ri

'

9

b

1

P2= cte.

xraA ,

c

jR2

R,=VX = P\

R2=V2

.a.(2.í-a)+ p2.c~ 21

_

pva~ 2C

V*=Vx(para a< x<(a + b)j = J?, - p1.a

Vz( para x
Normal

Vx (para

Cortante

*1 Mmáx(em x = —

x rel="nofollow"> (a + b)) = -R2 + p2-(í - x)

P\

R{

se R-L
~P\

R2

M„m( em x-í -- se R-<

Pi

Momento

Ri'p.

Mx(para x
Rx

< p- rel="nofollow">.c)= —— 2 P2

*

\lx (para a<x<(a+ b)) = R\ .xMx(para x > [a+ b))= R2{í -x)-

.(2x - a)

Pi-U-xf 2

167

5

402 0459 5- Estruturas de Madeira

-

g) Viga simplesmente apoiada

Duas cargas concentradas iguais e simetricamente

localizadas. P

R= V =P

P

x

a

R

as c arg as) = P.a

Mmáx ( entre b

4-

a

Mx ( para

-‘

R

l

x < a) = P.x

Mx( para x> í-a) = P.(í- x)

Normal Mx( entre as c argas) = constante = P.a

Cortante

P.a

vmàx(no centro) =

IV

Momento

vx (para

x < a) =

24.E.7

.(3.ÿ2 -4x2: )

P.x .(3.Í.0 -3.a~ 6.E.I

— x~ )

vxf para a<x<(í-a))= 6P.I.(3i.x- 3.x2 -cr I

Mmáx

í

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%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

h) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais em qualquer posição.

P

Ri = Vx(máximo

P

se a
I-*-

A

A Rt ——1 Normal Cortante

MS

P

se a >b) = — .((.- b+ a \

b

R:

l

*0 [ffiTn

V1=Rl-P = A/j( máximo se a
/V2

Momento

M1

R2 =Vj(máximo

—Pí .((—a+b)

M2

M2 (máximo se a> b) = R2.b

Mx (para

x < a) = i?,.x

Mx (para

a<x<(f. -b)) = Rx.x - P.(x -a)

í

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168

%

402 0459 5- Estruturas de Madeira

i) Viga engastada - Carga uniformemente distribuída. R = V= p.C

—

,h-* ,p = cte. iinninmiinnuiii

1 Normal

H = 0 ( zero)

t) ÍR' M

Vx--p.x M = Mmca (no

-*2.

Cortante

extremo

fixo)

_ p.f. 2 2

p.x~ 2 vmàx(no extremo livre) =

Momento parábola

xWlmáx v, = —

24.E.I

p.(f 8.EJ

.(x4 v -4ÿ3jc+3í4)

'

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t

402 0459 5- Estruturas de Madeira

j) Viga engastada - Carga concentrada no extremo livre. R = V =P

x

H — 0 (zero)

P

H h

1

Vx = cons tan te = -P M = Mmáx (no

extiemo

Normal

fixo) = p.£

M x = -p.x

Cortante V

vmáx(no

extremo

Momento /

Mmáx

Vx =

P.f.3

livre) =3.E.I

— .Í2.í3-3.f2.x + x3)

6.E.I

’

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169

1

402 0459 5- Estruturas de Madeira

k) Viga engastada - Carga concentrada em qualquer ponto.

R= V=P

P

H = 0 ( zero) Vx( para x < at = 0 ( zero)

X

H y

a

y

}R

b

t

1

Vx( para x>a) = -P

M

M = Mmco,{no

Mx (para

Normal

fixo) = Pb

extremo

x
Mx ( para x rel="nofollow"> a) = -P.(x - a )

Cortante

I

Momento

vmáx( no

V

vjsob x Mmáx

%

livre)-

extremo

a carga) =

vx (para

x< a) =

vx (para

x> a)

Pb2 .(3.f.-b)

i.E.I

py 3E.I

P.b2 6.E.I

.(3.Í-3..X -b)

_P.((-x)2 ,(3.b 6E.I

- (. + x)

402 0459 5- Estruturas de Madeira

-

1) Viga simplesmente apoiada com una balanço

Carga concentrada no balanço.

extremo

do

í

P y 2<1

I——

Rtf

L

ÍRÿa

R2 =Vl+V2 = — .{£ + a) ' v2 =p Mmáxi em x = xl = 0) = Pa

.

.

Normal

Mxf no

balanço )=-P.[a -Xj)

Cortante

VmiJentre

V2.

Vvi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g 1 1 1 1 M 1 1 r

Momento

.

Mx( entre os apoios) =

os apoios em

0

P.a.x -— --

x=—r

s'

P.at? 9-43.EJ

= 0,06415

Mmáx

k

P.al2 E.I

PJCT

{i +a\ vmàí no balanço em xi = a) = —— 3.El

v/ entre vXi f no

os apoios) =

P.a.x 6.EI.Í

balanço) = ~~ {zai + 3.axi - .xf )