Apostila Lógica Pintada Redigitada 2021

  • Uploaded by: Marcos Josue Costa Dias
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Sumário Capítulo 1 – Conjuntos.........................................................................................................................5 1.1. - Descrição e Representação de um Conjunto..........................................................................6 1.2. - Relação de Pertinência...........................................................................................................7 1.3. - Conjuntos Iguais.....................................................................................................................7 Exercícios...............................................................................................................................8 1.4. - Subconjuntos, Relação de Inclusão........................................................................................8 Exercícios...............................................................................................................................9 1.5. - Os Quantificadores...............................................................................................................10 1.6. - Implicação e Equivalência....................................................................................................11 Exercícios.............................................................................................................................12 1.7. - Propriedades da Inclusão, Conjunto das Partes....................................................................13 Exercícios.............................................................................................................................14 1.8. - Intersecção e União: Os Conectivos E e OU........................................................................15 Exercícios.............................................................................................................................17 1.9. - Diferença e Complementar, Conjunto Universo..................................................................18 Exercícios.............................................................................................................................19 Problemas Resolvidos sobre o Capítulo 1.................................................................................20 Problemas Propostos sobre o Capítulo 1...................................................................................22 Testes Sobre o Capítulo 1..........................................................................................................24 Respostas do Capítulo 1............................................................................................................30 Capítulo 2 – Noções de Lógica..........................................................................................................34 2.1. - Proposição............................................................................................................................35 2.2. - Negação................................................................................................................................35 Exercícios.............................................................................................................................36 2.3. - Proposição Composta - Conectivos......................................................................................36 2.3.1 - Conectivo ∧....................................................................................................................36 2.3.2. - Conectivo ∨...................................................................................................................37 Exercício...............................................................................................................................38 2.4. - Condicionais.........................................................................................................................38 2.4.1. - Conectivo →.................................................................................................................39 2.4.2. - Condicional ↔..............................................................................................................39 Exercícios.............................................................................................................................40 2.5. - Tautologias............................................................................................................................40 2.6. - Proposições Logicamente Falsas..........................................................................................41 2.7. - Relação de Implicação..........................................................................................................42 2.8. - Relação de Equivalência.......................................................................................................42 Exercícios.............................................................................................................................43 2.9. - Sentenças Abertas, Quantificadores.....................................................................................43 2.9.1. - O quantificador universal.............................................................................................43 2.9.2. - O quantificador existencial...........................................................................................44 Exercício...............................................................................................................................44 2.10. - Como Negar Proposições...................................................................................................44 2.10.1. - Negação de uma conjunção........................................................................................44 2.10.2. - Negação de uma disjunção.........................................................................................45 2.10.3. - Negação de um condicional simples...........................................................................45 2.10.4. - Negação de proposições quantificadas.......................................................................45 Exercícios.............................................................................................................................46 Respostas do Capítulo 2............................................................................................................46 1

Capítulo 3 - Sistemas de Numeração..................................................................................................48 3.1. - O Sistema Binário de Numeração........................................................................................49 3.1.1. - Conversão Binário - Decimal.......................................................................................49 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................50 3.1.2. - Tabela de Potência de Dois...........................................................................................51 Exercícios.............................................................................................................................51 3.1.3. - Conversão Decimal – Binário.......................................................................................51 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................54 Exercícios.............................................................................................................................54 3.1.4. - Números Binários e Decimais Fracionários e Suas Conversões..................................55 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................55 Exercícios.............................................................................................................................56 3.1.5. - Tabela de potências negativas de dois..........................................................................56 3.1.6. - Conversão Decimal Fracionário - Binário....................................................................56 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................57 Exercícios.............................................................................................................................58 3.2. - O Sistema Octal de Numeração............................................................................................58 3.2.1 - Conversão do sistema octal para o sistema decimal......................................................59 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................59 Exercícios.............................................................................................................................59 3.2.3. - Conversão do sistema octal para o sistema binário......................................................59 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................60 Exercícios.............................................................................................................................60 3.2.4. - Conversão do sistema binário para o sistema octal......................................................60 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................61 Exercícios.............................................................................................................................61 3.2.5. - Conversão do sistema decimal para o sistema octal.....................................................61 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................61 Exercícios.............................................................................................................................62 3.3. - O Sistema Hexadecimal de Numeração...............................................................................62 3.3.1. - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal.........................................63 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................63 Exercícios.............................................................................................................................63 3.3.2. - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário..........................................63 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................64 Exercícios.............................................................................................................................64 3.3.3. - Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal..........................................64 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................64 Exercícios.............................................................................................................................65 3.3.4. - Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal.........................................65 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................66 Exercícios.............................................................................................................................67 3.4. - Operações aritméticas no sistema binário............................................................................67 3.4.1. - Adição no sistema binário.............................................................................................67 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................68 Exercícios.............................................................................................................................68 3.4.2. - Subtração no sistema binário........................................................................................69 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................70 Exercícios.............................................................................................................................70 3.4.3. - Multiplicação no sistema binário..................................................................................70 2

Exercícios Resolvidos..........................................................................................................71 Exercícios.............................................................................................................................71 Capítulo 4 – Funções Lógicas: Portas Lógicas...................................................................................72 4.1. - Funções: E, OU, NÃO, NE e NOU......................................................................................73 4.1.1. - Função “E” ou “AND”.................................................................................................73 4.1.1.1. - Tabela da verdade..................................................................................................74 4.1.1.2. - Porta E ou AND....................................................................................................74 4.1.2. - Função “OU” ou “OR”.................................................................................................75 4.1.2.1. - Tabela da verdade da função OU..........................................................................76 4.1.2.2. - Porta “OU” ou “OR”.............................................................................................76 4.1.3. - Função “NÃO” ou “NOT”............................................................................................77 4.1.3.1. - Inversor e Tabela Verdade.....................................................................................78 4.1.4. - Função NÃO E, NE ou NAND.....................................................................................78 4.1.4.1. - Porta NAND ou NE..............................................................................................78 4.1.5. - Função NÃO OU, NOU ou NOR.................................................................................79 4.1.5.1. - Tabela da verdade da função NOU ou NOR.........................................................79 4.1.5.2. - Porta OU ou NOR................................................................................................79 4.1.6. - Quadro resumo..............................................................................................................80 4.2. - Interligação entra expressões, circuitos e tabelas da verdade...............................................81 4.2.1. - Expressões booleanas geradas por circuitos lógicos.....................................................81 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................82 4.2.2. - Circuitos obtidos de expressões booleanas...................................................................84 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................85 4.2.3 – Tabelas da verdade que representam expressões ou circuitos.......................................86 4.2.3.1 - Tabela da verdade obtida de uma expressão..........................................................87 4.2.3.2. - Expressão e tabela da verdade obtidas a partir de circuito...................................88 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................89 4.3. - Equivalência de Blocos Lógicos..........................................................................................90 4.3.1. - Obtenção de Inversores.................................................................................................90 4.3.1.1. - Inversor a partir de uma porta NAND..................................................................90 4.3.1.2. - Inversor a partir de uma porta NOR......................................................................91 4.3.2. - Outras equivalências entre blocos lógicos....................................................................91 4.3.2.1. - Porta NAND a partir de portas E e inversor..........................................................91 4.3.2.2. - Porta NOR a partir da porta E e inversor..............................................................91 4.3.2.3. - Porta OU a partir de portas E e inversores............................................................92 4.3.2.4. - Porta NOR a partir da porta OU e inversores.......................................................92 4.3.2.5. - Porta NAND a parir de porta OU e inversores.....................................................92 4.3.2.6. - Porta E a partir de porta OU e inversores.............................................................93 4.3.2.7. - Quadro resumo......................................................................................................93 Exercícios.............................................................................................................................93 Capítulo 5 – Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos...............................................95 5.1. - Variáveis e expressões na Álgebra de Boole........................................................................96 5.2. - Postulados.............................................................................................................................96 5.2.1. - Postulado ou complementação......................................................................................96 5.2.2. - Postulado de adição......................................................................................................96 5.2.3. - Postulado da multiplicação...........................................................................................97 5.3. - Propriedades.........................................................................................................................99 5.3.1. - Propriedade comutativa................................................................................................99 5.3.1.1. - Propriedade comutativa na adição........................................................................99 5.3.1.2. - Propriedade comutativa na multiplicação.............................................................99 3

5.3.2. - Propriedade associativa.................................................................................................99 5.3.2.1. - Propriedade associativa na adição.........................................................................99 5.3.2.2. - Propriedade associativa na multiplicação...........................................................100 5.3.3. - Propriedade distributiva..............................................................................................100 5.4. - Teoremas de Morgan..........................................................................................................101 5.4.1. - O complemento do produto é igual á soma dos complementos.................................101 5.4.2. - O complemento da soma é igual ao produto dos complementos................................102 5.5. - Identidades Auxiliares........................................................................................................102 5.5.1. - A + A . B = A...............................................................................................................102 5.5.2. - A + ĀB = A + B..........................................................................................................103 5.5.3. - (A + B) . (A + C) = A + B . C......................................................................................103 5.6. - Quadros Resumo................................................................................................................104 5.7. - Simplificação de Expressões Booleanas............................................................................105 Exercícios Resolvidos........................................................................................................108 Exercícios...........................................................................................................................109 5.8. - Simplificação de expressões e circuitos através dos diagramas de Veitch-Karnaugh........109 5.8.1. - Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis.........................................................109 5.8.2. - Diagramas de Veitch-Karnaugh para três variáveis....................................................116 Exercícios Resolvidos........................................................................................................121 Exercícios...........................................................................................................................122 5.8.3. - Diagramas para quatro variáveis.................................................................................123 Exercícios Resolvidos........................................................................................................130 Exercícios...........................................................................................................................132 5.8.4. - Condição irrelevante...................................................................................................132 5.9. - Exemplos de simplificação de circuitos.............................................................................132 5.10. - Diagrama para cinco variáveis.........................................................................................136 Exercícios...........................................................................................................................140 5.11. - Casos que não admitem simplificação..............................................................................141 5.12. - Outras formas de utilização do diagrama de Veitch-Karnaugh........................................143 5.12.1. - Pelo complemento da expressão...............................................................................143 5.12.2. - Pela forma da apresentação.......................................................................................143 5.13. - Quadro Resumo................................................................................................................144 Capítulo 6 : Circuitos Combinacionais.............................................................................................146 6.1. - Expressões e circuitos a partir de tabelas da verdade.........................................................147 6.1.1. - Exemplo de circuitos com duas variáveis...................................................................147 6.1.2. - Exemplo de circuitos com 3 variáveis........................................................................151 6.1.3. - Exemplo de circuitos com 4 variáveis........................................................................154 6.1.4. - Exemplo 4: Tabela verdade com 3 variáveis..............................................................157 6.1.5. - Exemplo 5: Tabela verdade com 4 variáveis..............................................................158 6.2. - Circuito OU Exclusivo.......................................................................................................159 6.2.1. - Circuito OU Exclusivo como circuito combinacionail...............................................159 6.2.2. - Circuito OU Exclusivo como bloco lógico básico......................................................160 6.3. - Circuito Coincidência.........................................................................................................160 6.3.1. - Circuito coincidência como circuito combinacionail.................................................160 6.3.2. - Circuito coincidência como bloco lógico básico........................................................161 6.4. - Interligação de blocos OU Exclusivo ou Coincidência para mais de duas variáveis.........162 6.4.1. - 3 variáveis...................................................................................................................162 6.4.2. - 4 variáveis...................................................................................................................164 Exercícios...........................................................................................................................164

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Capítulo 1 – Conjuntos

Vamos iniciar nosso estudo revendo e reforçando noções da Teoria dos Conjuntos que você certamente deve ter visto anteriormente. Aproveitamos para colocar muitos dos símbolos que frequentemente usamos em Matemática, explicando a situação em que cada um deles é empregado. Explorando tais situações acrescentamos ainda algumas noções de Lógica, muito úteis no estudo da Matemática.

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1.1. - Descrição e Representação de um Conjunto Formamos ideia de conjunto como uma coleção qualquer de objetos, que são os seus elementos. As noções de conjunto e elementos são noções primitivas em Matemática (não são definidas). Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos ou apresentando uma propriedade característica dos mesmos. Geralmente usamos as letras maiúsculas A, B, C, D, etc, para dar nomes aos conjuntos. Assim, por exemplo, podemos falar no conjunto A formado pelos números 1, 2, 3, 4 e 5, o qual podemos representar colocando os elementos entre chaves, como segue: A = {1, 2, 3, 4, 5} Se indicamos os elementos dentro de uma curva fechada simples (não entrelaçada) temos outra representação do conjunto A, conhecida como diagrama de Venn*. Consideremos agora o conjunto B dos números naturais ímpares. Observe que este conjunto está caracterizado por uma propriedade dos seus elementos: são os números naturais ímpares. Podemos representá-lo assim: B = {x|x é um número ímpar}

(leia: “tal que”)

Ou também assim: B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Colocamos as reticências para indicar que o conjunto “não tem fim” - trata-se de um conjunto infinito (tem infinitos elementos). Às vezes empregamos as reticências também em conjuntos finitos (que têm número finito de elementos) com grande número de elementos. Por exemplo, o conjunto C dos números naturais ímpares menores que 100 pode ser indicado assim: C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 99} Lembremos ainda que há conjuntos que apresentam um único elemento – os chamados conjuntos unitários – e há até conjuntos sem nenhum elemento – que chamamos de conjunto vazio. Por exemplo, são conjuntos unitários: •

O conjunto D dos números naturais que são pares e primos ao mesmo tempo. D = {2}



O conjunto E das capitais atuais do Brasil. E = {Brasília} Já um exemplo de conjunto vazio:



O conjunto F dos estados do Brasil que são banhados pelo Oceano Pacífico. F = {} ou F = { Ø }

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1.2. - Relação de Pertinência Para indicar que um elemento pertence a um conjunto A escrevemos: a∈A (leia: “a pertence a A”) Quando a não pertence a A escrevemos: a∉ A

(leia: “a não pertence a A”)

Assim, se G = { 0, 1, 3, 6, 10, 15 } temos: 0 ∈ G, 1 ∈ G, 6 ∈ G, 12 ∉ G, 20 ∉ G, 1/2 ∉ G Considerando o conjunto unitário D = {2} temos que: 2 ∈ D, isto é, 2 ∈ {2} E não é correto escrever 2 = {2}. Um conjunto unitário e o elemento desse conjunto são duas coisas distintas, assim como uma caixa contendo uma maçã não é a mesma coisa que a maçã sozinha. Há conjuntos cujos elementos são também conjuntos. Por exemplo no seguinte conjunto H = {Ø, {1}, {2}, {1,2} } os elementos são os conjuntos Ø, {1}, {2} e {1, 2}. Assim, temos que: Ø ∈ H, {1} ∈ H, {2} ∈ H e {1, 2} ∈ H Note que 1 ∉ H e também 2 ∉ H, porque 1 e 2 não são elementos de H. Pense neste outro exemplo: você pertence ao conjunto dos alunos de sua classe, mas você não pertence ao conjunto das classes do seu colégio. Finalmente, observemos que {Ø} é um conjunto unitário cujo único elemento é o conjunto vazio Ø. Temos que Ø ∈ {Ø}. A igualdade de Ø = {Ø} é falsa (pela mesma razão que 2 = {2} é falso).

1.3. - Conjuntos Iguais Dizemos que dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. Os conjuntos A e B são iguais se todo elemento A também pertence a B e todo elemento de B também pertence a A. Por exemplo, seja A o conjunto das vogais da palavra bola: A = {o, a}, seja B o conjunto das vogais da palavra campo: B = {a, o}. É fácil ver que A = B (a ordem em que escrevemos os elementos não importa): {o, a} = {a, o} Vejamos agora o conjunto E das letras da palavra amar: E = {a, m, a, r}, e o conjunto F das letras da palavra amarrar : F = {a, m, a, r, r, a, r}. Todo elemento de E pertence a F e também todo elemento de F pertence a E; logo temos E = F . Este exemplo mostra que não precisamos repetir elementos dentro de um mesmo conjunto; basta indicar cada elemento uma só vez: {a, m, a, r} = {a, m, a, s, s, a, r} = {a, m, r} Se dois conjuntos A e B não são iguais, escrevemos A ≠ B (leia A diferente de B). Para que isso ocorra é necessário que haja pelo menos um elemento que pertença a um dos conjuntos e não pertença ao outro. - Usando o argumento do parágrafo acima, você pode justificar por que Ø ≠ {Ø}?

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Exercícios 1. Reescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos: a) A = {x | x é número natural menor que 10} b) B = {x | x é número natural menor que 20} c) C = {x | x é mês de 30 dias} d) D = {x | x é satélite natural da Terra} e) E = {x | x é país da América do Norte} 2. Identifique os conjuntos unitários e os vazios: a) A = {x | x é Oceano que banha o Brasil} b) B = {x | x é ser vivo que não precisa de oxigênio para sobreviver} c) C = {x | x é mês cujo nome começa com a} d) D = {x | x é mês com menos de 30 dias} e) E = {x | x é natural e x + 1 = 0} f) F = {x | 1/X = 0} 3. Dados os conjuntos A = {a, b} e B = {{a}, {b}}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) a ∈A f) {a} ∈ B b) a ∈ B g) {b} ∉A c) b ∉A h) {b} ∉ B d) b ∉ B i) A = B e) {a} ∈A j) A e B têm a mesma quantidade de elementos. 4. Sendo A = {1, 2, {1}, {1,2}} complete com ∈ ou ∉, formando sentenças verdadeiras: a) 2 ____ A b) {2} ____ A c) {1, 2} ____ A d) Ø ____ A 5. Complete com ∈ ou ∉, formando sentenças verdadeiras: a) {a} ____ {a, b, c, d} c) 0 ____ Ø b) {a} ____ {{a}, {b}, {c}, {d}} d) Ø ____ {Ø} 6. Sendo A = {x| x é ímpar compreendido entre 2 e 8}, B = {x| x é algarismo do número 735} e C = {x| x é algarismo do número 33577}, classifique em verdadeiro ou falso: a) A = B b) B = C c) A ≠ C d) B ≠ C

1.4. - Subconjuntos, Relação de Inclusão Consideramos o conjunto A das vogais da palavra “teoria”: A = {e, o, i, a}, e o conjunto B de todas as letras da palavra “teoria”: B = {t, e, o, r, i, a}. É evidente que todo elemento do conjunto A também pertence ao conjunto B. Quando isto ocorre dizemos que A é subconjunto de B, ou que A é parte de B, e indicamos: A⊂ B

(leia: A está contido em B)

Ou ainda : B ⊃ A (leia: B contém A) Então temos que:

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Em diagrama, se A ⊂B e a linha fechada que contorna os elementos de A fica dentro da que contorna B. O símbolo ⊂ é chamado sinal de inclusão. Note que ele é colocado entre dois conjuntos e a sentença A ⊂B é verdadeira se todo elemento de A também pertencer a B. Caso haja pelo menos um elemento de A que não pertença a B, então a sentença A ⊂B é falsa; nesse caso, devemos escrever A ⊄B (A não está contido em B) ou então B ⊅ A (B não contém A).

→ Exemplos Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos: A ⊄B, porque 1 ∈A e 1 ∉ B; A ⊂C, porque todo elemento de A pertence a C; B ⊄ A, porque 5 ∈ B e 5 ∉A; B ⊂C, porque todo elemento de B pertence a C; C ⊄A, porque 5 ∈ C e 5 ∉A (também 6 ∈ C e 6 ∉A); C ⊄B, porque 1 ∈ C e 1 ∉ C (também 6 ∈ C e 6 ∉ B). Em diagrama: A ⊂C A ⊄B B ⊂C B ⊄A C ⊄A C ⊄B C ⊃A C ⊃B Dissemos anteriormente que dois conjuntos A e B são iguais se todo elemento de A também pertence a B e todo elemento B também pertence a A. Isso significa que:

Exercícios 7. Dado A = {a, e, i, o, u}, dê quatro exemplos de subconjuntos de A, todos com três elementos cada um. 8. Dado A = {1, 2, 3, 4} forme os subconjuntos de A, com dois elementos cada um. 9. Sendo A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5, 6, 7} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, classifique em verdadeira ou falsa cada sentença: a) A ⊂B e) D ⊃B i) B ⊄D b) B ⊂C

f) C ⊃ A

j) C ⊄ B

c) C ⊂D

g) C ⊃B

k) A ⊄ C

d) D ⊂A

h) B ⊃A

l) D ⊄ A

10. Classifique em verdadeiro ou falso: a) {a, b} ⊂{a, b, {a}, {b}} d) {a, b} ∈ {a, b, {a}, {b}} b) {a} ⊂{a, b, {a}, {b}} e){a, {a}} ⊂{a, b, {a}, {b}} c) {a} ∈ {a, b, {a}, {b}} 9

11. Represente num diagrama o conjunto A de todas as pessoas nascidas no estado de São Paulo e o conjunto B de todos os brasileiros. 12. Seja A o conjunto de todos os cariocas e B o conjunto de todas as pessoas inteligentes. Admitindo que é verdadeira a frase “Todo carioca é inteligente”, como se representa num diagrama os conjuntos A e B? 13. A negação da sentença A ⊂B (“Todo elemento de A pertence a B”) é a sentença A ⊄B (“Existe elemento de A que não pertence a B”). Então, qual é a negação da frase “Todo carioca é inteligente”? 14. Considerando os conjuntos A e B do exercício 12, e supondo que “Existe carioca que não é inteligente” podemos ter os seguintes casos: I. II. III.

Associe cada caso a uma das seguintes sentenças: a) Nenhum carioca é inteligente. b) Existe carioca inteligente, carioca não inteligente e inteligente que não é carioca. c) Existe carioca não inteligente, mas todo inteligente é carioca.

1.5. - Os Quantificadores Em relação ao conjunto A = {6, 8, 9, 10, 12} podemos dizer que: - Qualquer que seja o elemento A , ele é um número natural. - Existe elemento de A que é um número par. - Existe um único elemento de A que é ímpar. - Não existe elemento de A que é número primo. Em Matemática dispomos de símbolos próprios para representar as expressões grifadas acima. Estes símbolos, chamados quantificadores, são os seguintes:

∀- Qualquer que seja ∃- Existe ∃| – Existe um único ∄- Não existe Colocando-se x ∈ A ao lado de cada um deles, lemos:

∀x ∈ A – Qualquer que seja x pertencente a A (ou para todo x pertencente a A). ∃x ∈ A – Existe x pertence a A. ∃| x ∈ A – Existe um único x pertencente a A. ∄x ∈ A – Não existe x pertencente a A.

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Então, no caso do conjunto A = {6, 8, 9, 10, 12} temos:

∀x ∈ A, x é natural. ∃x ∈ A | x é par. ∃| x ∈ A | x é ímpar. ∄x ∈ A | x é primo. Já a sentença (∀x ∈ A, x é par) é falsa, porque 9 ∈ A e 9 não é par. Em outras palavras, a sentença ( ∀x ∈ A, x é par) é falsa porque (∃x ∈ A | x não é par) é verdadeira. Dizemos que a sentença (∃x ∈ A | x não é par) é a negação lógica da sentença (∀x ∈ A, x é par). Quando uma sentença é a negação lógica de outra, sendo uma delas verdadeira a outra é falsa. A negação lógica de uma sentença do tipo (∀x, x tem a propriedade P) é a sentença (∃x | x não tem propriedade P). Por exemplo, a negação de “Todo sorvete é gostoso” é “Existe sorvete que não é gostoso”. A negação lógica de uma sentença do tipo (∃x | x tem a propriedade P) é a sentença (∄x | x tem a propriedade P) ou, equivalente, (∀x, x não tem a propriedade P). Por exemplo, para negar que “Existe menino de cabelos verdes” podemos dizer “Não existe menino de cabelos verdes” ou “Nenhum menino tem cabelos verdes”, ou ainda “Todo menino não tem cabelos verdes”.

1.6. - Implicação e Equivalência Se for verdade que “Todo brasileiro entende de futebol”, então também é verdade que “Todo maranhense entende de futebol” (porque afinal, os maranhenses também são brasileiros). Isso significa que da afirmativa a, “Todo brasileiro entende de futebol”, podemos tirar como conclusão b: “Todo maranhense entende de futebol”. (É lógico que também podemos tirar outras conclusões como, por exemplo, todo paulista entende de futebol, todo gaúcho entende de futebol, todo carioca entende de futebol, etc.). Quando de uma afirmação a podemos tirar uma conclusão b dizemos que a implica em b. Indicamos: a ⇒b (leia: a implica b, ou se a então b) Se também de b podemos tirar como conclusão a, dizemos que a e b são equivalentes. Neste caso, indicamos: a ⇔b (leia: a é equivalente a b, ou a se e somente se b) → Exemplos Sendo x um número inteiro, que pode ser positivo, nulo ou negativo, temos que: • x = 2 ⇒ x2 = 4 • x + 1 = 8 ⇔x = 7 Notamos que de x2 = 4 não podemos tirar a conclusão de que x = 2 (porque poderíamos ter x = -2). Assim x2 = 4 não implica x = 2, logo x2 = não equivale a x = 2. Quando a não implica b escrevemos: Quando a não equivale a b escrevemos:

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Imaginemos agora que E é um subconjunto de um conjunto F e seja x um elemento qualquer. Podemos afirmar que se x ∈ E, então x ∈ F. X ∈E ⇒X ∈ F E também podemos afirmar que se x ∉ F, então x ∉ E: x∉F⇒x∉E A afirmativa x ∉ F é a negação de x ∉ F. Costumamos representar a negação de uma afirmativa a pelo símbolo ~a (leia: não a). De modo geral, quando:

Também temos que:

a ⇒b

~b ⇒~a

Na verdade, vale a equivalência: ( a ⇒ b) ⇔(~b ⇒~a) → Exemplo X é baiano ⇒ X é brasileiro X não é brasileiro ⇒X não é baiano Com os símbolos que estudamos podemos escrever as definições de subconjunto e da igualdade de conjuntos como segue: A ⊂B ⇔∀x, (x ∈A ⇒x ∈ B) A = B ⇔( A ⊂B e B ⊂A) E temos também: A ⊄B ⇔∃x | x ∈A e x ∉ B

Exercícios 15. Sendo A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} , classifique em verdadeiro ou falso: a) ∀x ∈ A, x é menor que 20. b) ∀x, (x ∈ A ⇒ x é número primo). c) ∃x ∈ A | x é ímpar. d) ∃| x ∈A | x é par. e) ∄x ∈ A | x é maior que 10. f) ∀x, (x ∈ A ⇒ x é maior que 10). g) ∃x ∈ A | é maior que 10. h) ∃| x ∈A | x é maior que 10. i) ∄x ∈ A | x é a negativo. j) ∀x, ( x é número primo ⇒x ∈ A).

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16. Sendo x um número inteiro qualquer, positivo nulo ou negativo, classifique em verdadeiro ou falso: a) x – 1 = 1 ⇔x = 2. d) x2 = 100 ⇔x = 10. b) x = 10 ⇒ x2 = 100. e) x2 = 100 ⇔(x = 10 ou x = -10). 2 c) x = 100 ⇒ x = 10. f) A ⊂B ⇒ B ⊂A. 17. Sendo a e b números quaisquer, classifique em verdadeiro ou falso: a) a – b = 0 ⇔a = b. b) a + b = 0 ⇔(a = 0 e b = 0). 18. Dê a negação (lógica) de sentença. a) Existe menina feia. b) Todo menino gosta de futebol. c) Nenhuma menina gosta de futebol. d) Tudo o que é bom engorda. 19. Em todo sábado que não chove, Ricardo anda de bicicleta. Se no sábado passado Ricardo não andou de bicicleta, o que você pode concluir? 20. Considere a afirmativa a: “Todo aluno que gosta de matemática também gosta de poesia”. a) Qual a negação lógica de a? b) Se a é verdadeira, o que se pode concluir a respeito de um aluno que não gosta de poesia? c) Se a é verdadeira e Adriana não gosta de matemática, pode-se concluir que Adriana não gosta de poesia?

1.7. - Propriedades da Inclusão, Conjunto das Partes Sabemos que A é subconjunto de B (A ⊂ B) quando todo elemento de A pertence também a B. Uma consequência imediata dessa definição é a seguinte propriedade:

Todo conjunto é conjunto dele mesmo → Exemplos • • • •

{a, b, c} ⊂{a, b, c} {7} ⊂{7} {1, 2, 4, 8} ⊂{1, 2, 4, 8} {0, 1, 2, 3, …} ⊂{0, 1, 2, 3, …}

Para concluir que A ⊄B é necessário exibir um elemento que pertence a A e não pertence a B. Suponhamos agora que A seja conjunto vazio, A = ∅ = { }, e que B é um conjunto qualquer. É impossível exibir um elemento que pertence a A e não pertence a B, porque A não tem elemento algum. Então, não podendo dizer que A ⊄B, concluímos que A ⊂B. Temos assim que:

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto 13

→ Exemplos • • • •

∅ ⊂{a, b, c} ∅ ⊂{1, 2, 4, 8} ∅ ⊂{7} ∅ ⊂∅ Quando vamos escrever os subconjuntos de um dado conjunto E devemos, então, incluir os

conjuntos ∅ e E. Por exemplo, sendo E = {a, b, c} são seus subconjuntos: Com nenhum elemento: ∅ Com um elemento: {a}, {b}, {c} Com dois elementos: {a, b}, {a, c}, {b, c} Com três elementos: E Notemos que E tem 3 elementos e que formamos 8 subconjuntos. É possível mostrar (veremos isso posteriormente em Análise Combinatória) que se um conjunto tem n elementos, então ele tem 2n subconjuntos. Observe que sendo n=3 vem 23 = 8. Podemos formar um conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de E, que vamos indicar por P(E) (leia: P de E): P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b, c}, E} Esse conjunto é denominado conjunto das partes de E. • • • •

Exercícios 21. Dado E = {1, 2, 4, 8}, quantos são os subconjuntos de E? 22. Escreva o conjunto das partes do conjunto E = {1, 2, 4, 8}. 23. Forme o conjunto das partes de: a) A = {1, 2} c) C = {a, r, t, e} b) B = {3, 6, 9} d) D = {7} 24. Determine quantos elementos tem P(E) nos casos: a) Se E tem 6 elementos. b) Se E tem 8 elementos. 25. Quantos são os subconjuntos do conjunto vazio? 26. Determine o conjunto P(∅). 27. Considere a definição: “O conjunto A está contido propriamente em B quando A ⊂B e A ≠ B. Neste caso, é subconjunto próprio de B.” Determine quantos conjuntos próprios tem: a) Um conjunto de 5 elementos. c) Um conjunto unitário. b) Um conjunto de 10 elementos. d) Um conjunto vazio.

dizemos que A

28. Sabendo que {a, b} ⊂X e que X ⊂{a, b, c, d}, determine os possíveis conjuntos X. 29. Determine os possíveis conjuntos X que satisfazem {1} ⊂X e X ⊂{0, 1, 2, 3}. 30. Obtenha X tal que {1, 3, 5} ⊂X ⊂{1, 2, 3, 5}.

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31. Classifique em verdadeiro ou falso: a) ∅ ⊂{3} e) {3} ⊂{3} b) ∅ ∈ {3} f) {3} ∈ {3} c) ∅ ∈ {∅, {3}} g) {3} ∈ {∅, {3}} d) ∅ ⊂{∅, {3}} h) {3} ⊂{∅, {3}} 32. Faça um diagrama de Venn representando três conjuntos A, B e C sendo A ⊂B e B ⊂C. O que se conclui a respeito de A e C?

1.8. - Intersecção e União: Os Conectivos E e OU Utilizando dois conjuntos dados, A e B, podemos construir outros conjuntos. Por exemplo, se estamos interessados nos elementos que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos, formamos com eles o conjunto chamado intersecção (ou interseção) de A e B, que indicamos por A ∩ B (leia: A inter B). Definimos:

→ Exemplo •

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} A ∩ B = {3, 5, 7, 11}

Observe que “x ∈A e x ∈ B” significa que a condição x ∈A e também a condição x ∈ B devem ser obedecidas. Colocamos o conectivo e entre duas condições quando queremos que ambas sejam verificadas. O conectivo e pode ser representado pelo símbolo ∧ (leia: e). → Exemplo • Sendo: A = conjunto dos alunos do 1º colegial B = conjunto dos alunos que usam óculos •

Temos: x ∈A se x é aluno do 1º colegial x ∈B se x é aluno que usa óculos x ∈A ∧x ∈B se x é aluno do 1º colegial e usa óculos A ∩ B = conjunto dos alunos do 1º colegial que usam óculos

Já o conectivo ou, quando colocado entre duas condições indica que pelo menos uma delas deve ser verificada: só a primeira ou só a segunda ou ambas. Chamamos união ou reunião de dois conjuntos A e B, indicamos por A U B (leia: A união B), ao conjunto dado por: → Exemplo A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o, u} A U B = {a, b, c, d, e, i, o, u} Para formar o conjunto A U B reunimos num só conjunto todos os elementos de A com todos os de B (não é necessário escrever o mesmo elementos duas vezes). O conectivo ou pode ser representado pelo símbolo ∨ (leia: ou).

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Caso particular: A ⊂B Quando A ⊂B é fácil verificar que A ∩ B = A e A U B = B.

AUB=B

A∩B=A → Exemplos • {a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b} • {a, b} U {a, b, c, d} = {a, b, c, d}

Conjuntos Disjuntos Quando dois conjuntos não têm elementos em comum, eles são chamados conjuntos disjuntos. Os conjuntos A e B são disjuntos quando A ∩ B = ∅ → Exemplo •

{1, 3, 5, 7, 9} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = ∅ {1, 3, 5, 7, 9} e {2, 4, 6, 8, 10} são conjuntos disjuntos.

Propriedades Quaisquer que sejam os conjuntos A, B, e C valem as igualdades seguintes: •







Propriedade Idempotente: A∩A=A e

AUA=A

Propriedade Comutativa: A∩B=B∩A

e

Propriedade Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

AUB=BUA

e

Propriedade Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) e

(A U B) U C = A U (B U C)

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

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Exercícios Determine A ∩ B e A U B. 33. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8, 10} 34. A = {l, o, g, i, c, a} e B = {m, a, l, u, c, o} 35. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 …, 50} e B = {1, 3, 5, 7, 9, …, 51} 36. A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 100} e B = {2, 4, 6, 8, …, 100} 37. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} e B = {3, 6, 9, 12, …} 38. A = {1, 3, 5, 7, 9, …} e B = {2, 4, 6, 8, 10, …} 39. A = { } e B = {x, y, z} Dados A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20} determine: 40. A ∩ B e A U B 41. A ∩ C e A U C 42. B ∩ C e B U C 43. A ∩ B ∩ C e A U B U C 44. A ∩ (B U C) 45. (A ∩ B) U (A ∩ C) 46. A U (B ∩ C) 47. (A U B) ∩ (A U C) 48. (A ∩ B) ∩ (B U C) 49. Sendo A e B conjuntos quaisquer, determine: a) A ∩ ∅ d) A ∩ (B ∩ ∅) b) A U ∅ e) A U (B ∩ ∅) c) A ∩ (B U ∅) f) (A ∩ ∅) U (A U B) 50. Classifique em verdadeiro ou falso, supondo A e B conjuntos quaisquer. a) A ⊂(A U B) d) (A ∩ B) ⊂B b) B ⊂(A U B) e) (A ∩ B) ⊂(A U B) c) (A ∩ B) ⊂A 51. Diga que região ou regiões (1, 2, 3, ou 4) devemos sombrear no diagrama ao lado para indicar: a) A ∩ B ∩ C b) (A ∩ B) U C 52. Idem para o diagrama abaixo. a) A ∩ B ∩ C b) (A ∩ B) U C

53. Idem para o diagrama abaixo. a) A ∩ B ∩ C b) (A ∩ B) U C

54. Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama: a) (A ∩ C) U (B ∩ C) b) (A U B) ∩ C

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55. Represente num diagrama de Venn três conjuntos A, B e C tais que A ∩ B ≠ ∅, B ∩ C ≠ ∅ e A ∩ C ≠ ∅. 56. Determine o conjunto B sabendo que A = {a, b, c, d, e, f}, A ∩ B = {c, e, f} e A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}.

1.9. - Diferença e Complementar, Conjunto Universo Denominamos diferença entre os conjuntos A e B, que indicamos por A – B, ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

→ Exemplos • Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A – B = {1, 3, 5} e

B = {2, 4, 6, 8, 10}, temos: B – A = {8, 10}

Quando B ⊂A a diferença A – B também é chamada complementar de B em A e indicamos por CAB (leia: complementar de B em A).



Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} e B = {2, 4, 6, 8, 10, …}, temos: CAB = A – B = {1, 3, 5, 7, 9, ..}

Geralmente quando vamos tratar de um assunto trabalhamos com elementos que pertencem todos a um dado conjunto. Esse é chamado conjunto universo e o representaremos por U. Em diagrama costumamos indicar U por um retângulo. Sendo A um subconjunto de U, o complementar de A em U é também representado pelo símbolo AC (leia: A complementar) ou pelo símbolo Ā (leia: A barra ou não A). Assim:



Note que para todo elemento x do conjunto universo temos: x ∈Ac ⇔x ∉A Seja U = conjunto das letras do nosso alfabeto e A = conjunto das vogais. Então AC = conjunto das consoantes.

As Leis de Morgan* Se A e B dois conjuntos contidos num universo U e vamos considerar o complementar a união: (A U B)C. Se x é elemento qualquer do universo U temos: • x ∈ (A U B)C ⇔x ∉ (A U B) ⇔(x ∉A ∧ x ∉ B) ⇔(x ∈Ac ∧ x ∈ Bc) ⇔x ∈ (AC ∩ BC) Isto significa que os conjuntos (A U B)C e AC são formados pelos mesmos elementos. Logo:

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Consideremos agora o complementar da intersecção : (A ∩ B)C. Temos: • x ∈ (A ∩ B)c ⇔x ∉ (A ∩ B)c ⇔(x ∉A ∨ x ∉ B) ⇔(x ∈AC ∨ x ∈ BC) ⇔x ∈ (AC U BC) Isso significa que os conjuntos (A ∩ B)C e AC U BC são formados pelos mesmos elementos. Logo:

→ Exemplos • Seja: U = conjunto de todos os torcedores de futebol A = conjunto dos torcedores do Flamengo B = conjunto dos torcedores fanáticos Temos:

• •

A ∩ B = conjunto dos torcedores fanáticos do Flamengo (A ∩ B)C = conjunto dos que não são torcedores fanáticos do Flamengo (A ∩ B)C = AC U BC = conjunto dos que não são torcedores do Flamengo ou não são fanáticos. A negação de x ∈ A ∩ B é x ∉ A ∨ x ∉ B. Assim, a negação da sentença “Chico é cantor e compositor” é a sentença “Chico não é cantor ou não é compositor”. A negação de x ∈ A U B é x ∉ A ∧ x ∉ B. Assim, a negação da sentença “Regina gosta de cinema ou gosta de teatro” é a sentença “Regina não gosta de cinema e não gosta de teatro”.

Exercícios Dados A = {a, r, t, e}, B = {p, i, n, t, a, r} e C = {a, t, o, r} determine: 57. A – B e B – A. 58. A – C e C – A. 59. B – C e C – A. 60. Sendo A = {2, 4, 6, 8, ..., 40} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 40} determine B – A e A – B. 61. Sendo A um conjunto qualquer, determine: a) A – A b) A - ∅ c) ∅ - A 62. Dados A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 3} determine: a) CBA b) CBC c) CAC 63. Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama. a) A – (B ∩ C)

b) A – (B U C)

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64. Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama. a) (A – B) U (B – A) b) (A U B) – (A ∩ B)

65. Denominamos diferença simética dos conjuntos A e B ao conjunto A ∆ B (leia: A delta B) dado por A ∆ B = (A – B) U (B – A). Dados A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} determine A ∆ B. 66. Considere no conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] os subconjuntos A = {2, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7, 9}. Determine: a) AC b) BC c) (A ∩ B)C d) (A U B)C 67. Clasifique em verdadeiro ou falso, supondo que A e B são subconjuntos quaisquer de um universo U: a) A – B = A ∩ BC d) O complementar de AC é A, isto é, (AC)C = A. C b) A – B = A ∩ B e) (A – B)C = (A ∩ BC)C = AC U B. c) AC – BC = B – A 68. Forme a negação de cada frase: a) Juliana é alta e loira. b) Sandro pratica natação e corrida. 69. Forme a negação de cada sentença. a) Osmar é palmeirense ou vascaíno. b) Simone gosta de ler ou de ouvir música. 70. (GV – SP) Um grupo de 4 pessoas será formado, escolhendo-se entre 3 homens (F, G, H) e 4 mulheres (W, X, Y, Z). O grupo deverá ter pelo menos 2 homens e as seguintes condições deverão ser respeitadas F se recusa a trabalhar com Y. G se recusa a trabalhar com W. Y se recusa a trabalhar com Z. a) Se Y pertencer ao grupo, quais serão os outros membros? b) Classifique em verdeiro ou falso: I. Se F não é escolhido, W também não é. II. Se H não é escolhido, Z o é. III. Se G não é escolhido, W o é.

Problemas Resolvidos sobre o Capítulo 1 1. Dados A = {a, b, c}, B = {a, c, e, f} e C = {d, e, f, g} e considerando o conjuto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h} determine: a) AC – (B ∩ C) b) (A U C) – (B U C)C Resolução a) AC = U – A = {d, e, f, g, h} B ∩ C = {e, f} Logo AC - (B ∩ C) = {d, g, h}

b) A U C = {a, b, c, d, e, f, g} B U C = {a, c, d, e, f, g} (B U C)C = U – (B U C) = {b, h} Logo A U C – (B U C)C = {a, c, d, e, f, g} 20

2. Dados A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine o conjunto X tal que A ∩ X = {1}, B ∩ X = {3} e A U B U X = {1, 2, 3, 4, 5}. Resolução e Diagrama (A = {1, 2} e A ∩ X = {1}) ⇒ (1 ∈ X e 2 ∉ X) (B = {2, 3, 4} e B ∩ X = {3}) ⇒ (3 ∈ X, 2 ∉ X e 4 ∉ X) (A U B U X = {1, 2, 3, 4, 5}, 5 ∉A e 5 ∉ B) ⇒ (5 ∈ X) Logo, X = {1, 3, 5} 3. No conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f} consideremos o subconjunto A = {a, b, c}. Determine o subconjunto X tal que A – X = {b, c}, A ∩ X ≠ ∅ e AC ∩ X = ∅. Resolução e Diagrama (A = {a, b, c}, A – X = {b, c} e A ∩ X ≠ ∅) ⇒ (b ∉ X, c ∉ X e a ∈ X) (AC = {d, e, f} e AC ∩ X = ∅) ⇒ (d ∉ X, e ∉ X e f ∉ X) Então X = {a}. 4. Sendo conhecidos n(A) = números de elementos do conjunto A, n(B) = número de elementos do conjunto B e n(A ∩ B) = números de elementos de A ∩ B, determine o número de elementos de A U B. Resolução Notamos que A U B é formado pelos elementos: - Que pertencem só a A: há n (A) – n (A ∩ B) elementos. - Que pertencem só a B: há n(B) – n (A ∩ B) elementos. - Que pertencem a A e a B: há n (A ∩ B) elementos. Então: n (A U B) = {n (A) – n (A ∩ B)} + {n (B) – n (A ∩ B)} + n (A ∩ B).

5. Num grupo de mototristas há 28 que dirigem carro, 12 que dirigem moto e 8 que dirigem carro e moto. Quantos motoristas há nesse grupo? Quantos só dirigem carro? Resolução e Diagrama C = conjunto dos que dirigem carro. M = conjunto dos que dirigem moto. Número total de motoristas: n (C U M) = n (C) + n (M) – n (C ∩ M) = 28 + 12 – 8 = 32 Número dos que dirigem só carro: n (C) – n (C ∩ M) = 28 – 8 = 20. Também podemos resolver o problema construindo o diagrama ao lado. Marcamos os 8 elementos comuns, depois completamos o conjunto C (tem 28 elementos – como 8 são comuns, há mais 20 que pertencem só a C) e o conjunto M (tem 12 elementos - como 8 são comuns, há mais 4 que pertencem só a M). 6. Numa classe de 36 alunos temos: 19 jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 jogam basquete, 12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e quatro praticam outros três esportes. Determine: a) Quantos alunos da classe não praticam estes esportes? b) Quantos praticam exatamente um destes esportes? c) Quantos praticam exatamente dois destes esportes?

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Resolução e Diagrama Construímos o diagrama começando pelos 4 elementos que praticam os três esportes (F ∩ V ∩ B). Depois completamos F ∩ V (12 elementos), V ∩ B (8 elementos) e F ∩ B (8 elementos), V (25 elementos) e B (13 elementos). Como marcamos 4 + 8 + 4 + 4 + 3 + 9 + 1 = 33 elementos e a classe tem 36 alunos, há 3 que não praticam nenhum dos esportes. As respostas são: a) 3. b) 3 + 9 + 1 = 13. c) 8 + 4 + 4 = 16. 7. Admitindo verdadeira as premissas: (1) O professor não erra. (2) João é distraído. (3) Quem é distraído erra. Classifique em V ou F as seguintes conclusões: a) João não é professor. b) Nenhum professor é distraído. Resolução e Diagrama P = conjunto dos professores. D = conjunto dos distraídos. E = conjunto dos que erram. (1) ⇒ P ∩ E = ∅ (2) ⇒ João ∈ D (3) ⇒ D ⊂E Resposta: a) V (pois D ∩ P = ∅ e João ∈ D, logo João ∉ P) b) V (pois D ∩ P = ∅)

Problemas Propostos sobre o Capítulo 1 Considere o universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {6, 7, 9, 10} e C = {4, 5, 6, 7}. Determine: 1. (A ∩ B ∩ C)C. 2. (A U B U C)C. 3. (A U B)C – C. 4. (A ∩ C)C – BC. 5. A – (B U C)C. 6. (A – B)C ∩ C. 7. A U (B – C)C. 8. (A U B U C) – (A ∩ B). 9. AC – (B ∩ C). 10. BC U (C – A). Construa diagramas de Venn para os conjuntos A, B e C satisfazendo às condições dadas em cada caso. 11. A ∩ B = ∅, A ∩ C ≠ ∅ e B ∩ C ≠ ∅. 12. A ⊂(B ∩ C). 13. A ⊂B, C ⊂B, A ∩ C = ∅. 14. A ⊂B, A ∩ C = ∅ e C – B ≠ ∅. 22

15. Sendo A e B subconjuntos quaisquer de um conjunto universo U, classifique em verdadeiro ou falso: a) A ⊂(A U B) d) (A ∩ B) ⊂BC b) AC ⊃(B – A) e) (AC ∩ BC) ⊃(A - B) C c) A ⊃(A – B) f) (A ∩ B)C ⊃(A U B)C 16. Sendo A e B subconjuntos quaisquer do universo U, classifique em verdadeiro ou falso: a) (A ∩ B) U (A ∩ BC) = A d) (A U B) ∩ (A U BC) = A C b) (A ∩ B) ∩ (A ∩ B ) = ∅ e) (A ∩ B)C – B = A c) (A U B) U (A U BC) = U 17. Dados A ∩ B = {2, 3, 8}, A ∩ C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6}, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A U B U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine o conjunto C. 18. Dados A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, determine o conjunto X tal que A ∩ X = {0, 1}, B ∩ X = {1, 4} e A U B U X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 19. Dados A = {a, b, c, d, e, f}, B = {c, b, d} e C = {d, e, f}, determine o conjunto X tal que X ⊂A, B – X = {b, c}, X – C = {a} e C – X = {e, f}. 20. Um conjunto A tem 13 elementos, A ∩ B tem 8 elementos e A U B tem 15 elementos. Quantos elementos tem B? 21. Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam Engenharia, 10 cursam Administração e 3 que cursam Engenharia e Administração. Quantos não estão cursando Engenharia nem Administração? 22. O tipo sanguíneo de uma pessoa é classificado segundo a presença no sangue de antígenos A e B. Podemos ter: Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. Tipo B: pessoas que têm só o antìgeno B. Tipo AB: pessoas que têm A e B. Tipo O: pessoas que não têm A nem B. Em 55 amostras de sangue observamos que 20 apresentavam o antígeno A, 12 apresentam B e 7 apresentam ambos os antígenos. Quantas amostras são de: a) Sangue tipo AB? b) Sangue tipo A?

c) Sangue tipo B? d) Sangue tipo O?

23. O tipo sanguíneo também é classificado segundo a presença do fator Rh. Podemos ter: Rh positivo: pessoas que têm o antígeno Rh. Rh negativo: pessoas que não tem o antígeno Rh. Assim, por exemplo, uma pessoa tem sangue tipo A com Rh positivo (A+) se ela apresenta os antígenos A e Rh e não tem o antígeno B. Sendo: A = {pessoas que têm o antígeno A}. B = {pessoas que têm antígeno B}. R = {pessoas que têm o antígeno Rh} Determine o tipo sanguíneo de uma pessoa que pertence a: a) A ∩ B ∩ R b) A ∩ BC ∩ R c) AC ∩ B ∩ RC d) AC ∩ BC ∩ R 24. Sendo A, B e R como no exercício anterior, faça um diagrama de Venn indicando todos os tipos sanguíneos. 23

25. Num avião encontravam-se 122 passageiros dos quais 96 eram brasileiros, 64 homens, 47 fumantes, 51 homens brasileiros , 25 homens fumantes, 36 brasileiros fumantes e 20 homens brasileiros fumantes. Calcule: a) O número de mulheres brasileiras não fumantes. b) O número de homens fumantes não brasileiros. c) O número de mulheres fumantes. 26. Os 36 alunos de uma classe fixeram uma prova de 3 questões. Sabendo que 4 erram todas as questões, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a segunda e a terceira, determine quantos acertaram as três questões. 27. Num grupo de 100 pessoas constata-se que 12 têm sangue tipo A, 84 não têm sangue tipo B e 93 não têm sangue tipo AB. Quantas pessoas têm sangue tipo O? 28. Partindo das premissas: (1) Todo repórter é esperto. (2) Todo repórter é formado em Jornalismo. (3) Jamil é esperto (4) Adelaide é jornalista Pode concluir que: a) Adelaide é esperta? b) Jamil é repórter? c) Há jornalistas espertos?

Testes Sobre o Capítulo 1 1. (F. Carlos Chagas-SP) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então: a) {2, 3} b) 2 ∈A c) ∅∈A d) 3 ⊂A e) {3} ∈A 2. (MACK-SP) Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: (1) 3 ∈ a (2) {3} ⊂A (3) {3} ∈A Então: a) Apenas (1) e (2) são verdadeiras. b) Apenas (2) e (3) são verdadeiras. c) Apenas (1) e (3) são verdadeiras. d) Todas as proposições são verdadeiras e) Nenhuma proposição é verdadeira. 3. (FEC-SP) Dados os conjuntos: M = {3, 5, 6}, N = {5, 6, 7} e P = {6, 7, 8}, podemos afirmar que: a) M ∩ N = ∅ c) 3 ∈ M ∩ N b) 8 ⊂P d) n.d.a. 4. (UF-Uberlândia) Se A = {3, 4, 5, 6} e B = {7, 8, 9}, então: a) {7} ∈ B b) A ∩ B = {∅} c) {5, 6} ⊂A d) A U B = {x ∈ℝ | 3 ≤ x ≤ 9} e) CBA = B 24

5. (MACK-SP) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}} pode-se afirmar que: a) {1} ∈A c) {1} ∩ {2} ⊄A e) {1} U {2} ∈A b) {1} ⊂A d) 2 ∈A 6. (FUC-MT) Sejam os conjuntos M = {2, 3, 4, 5} e N = {1, 3, 5, 7}. Pode-se afirmar que: a) {2, 3} ⊂M - N b) -2 ∈ M - N c) N – M = {-1, 0, 1, 2} d) {7} ∈ M U N e) {3} ∉ M ∩ N 7. (CESGRANRIO) O número de conjuntos X que satisfazem {1, 2} ⊂X ⊂{1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 8. (OSEC-SP) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A – C) U (C – B) U (A ∩ B ∩ C) é: a) {a, b, c, e} d) {b, d, e} b) {a, c, e} e) n.d.a c) A 9. (FUVEST-SP) Seja A Δ B a diferença simétrica dos conjuntos A e B, definida pela igualdade: A Δ B = (A – B) U (B – A). Se A = {a, b, c} e B = {b, c, d, e, f} então A Δ B é o conjunto: a) {a, d, e, f} d) {a} b) {b, c, d, f} e) A ∩ B c) ∅ 10. (UNESP) Se A = {1, 2, x}, B = {2, 3}, C = {3, 4} e (A – B) ∩ C = ∅, então C - A é igual ao conjunto: a) {x} b) {3} c) {4} d) C e) {4} ou {3, 4}, dependendo valor de x. 11. (UF-Viçosa) Dados os conjuntos: A = {x | x é número par} B = {x | x é numero inteiro} C = {x | x é número ímpar} A afirmativa FALSA é: a) (B U C) ∩ A = B b) (A ∩ B) U C = B c) (B ∩ C) U A = B d) (A U C) ∩ B = B e) (A U B) U C = B 12. (PUC-RS) Se A, B e A ∩ B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A U B é: a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170 13. (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos; o A ∩ B tem 12 elementos; o A U B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

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14. (UFOP-MG) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que: a) 31 são mulheres. b) 29 são homens. c) 29 mulheres não jogam xadrez.. d) 23 homens não jogam xadrez. e) 9 homens jogam xadrez. 15. (Sta. Casa-SP) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é: a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 16. (EPUSP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: (1) Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde. (2) Quando chove de manhã, não chove à tarde. (3) Houve 5 tardes sem chuva. (4) Houve 6 manhãs sem chuva. Então n é igual a: a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) n.d.a 17. (UF-Uberlândia) Dados os conjuntos: D = divisores de 24 (divisores positivos). M = múltiplos de 3 (múltiplos positivos). S=D∩M n = número de subconjuntos de S Portanto, n é igual a: a) 64 b) 16 c) 32

d) 8

e) 4

18. (FATEC-SP) Em cada uma das alternativas a seguir tem-se um universo U e seus subconjuntos, não vazios, X, Y e Z. Assinale a alternativa onde a região hachurada representa (X U Y) ∩ Z. a) b) c)

d)

e)

26

19. (UF-MG) No diagrama abaixo, a parte sombreada representa: a) (E ∩ F) ∩ G b) E ∩ G c) CRE U F d) (E ∩ G) – F e) E – G 20. (GV-SP) Considere as afirmações a respeito da parte hachurada do diagrama seguinte: (1) A ∩ (B ∩ C) (2) A ∩ (B ∩ C) (3) A ∩ (B U C) (4) A ∩ (B ∩ C) A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são): a) 1 b) 3 c) 1 e 4 d) 2 e 3 e) 2 e 4 21. (UNESP) Suponhamos que: A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h} A ∩ B = {d, e} A – B = {a, b , c} Então: a) B = {f, g, h} d) B = {d, e} b) B = {d, e, f, g, h} e) B = ∅ c) B = {a, b, c, d, e} 22. (UNESP) Se A ∩ B = {a} e A U B = {a, b, c, d} podemos afirmar que: a) c está em A e em B. b) c não está em A, mas está em B. c) c não está em B, mas está em A. d) se b ≠ a então b não está em A ou b não está em B. e) {b, c, d} ⊂A ou {b, c, d} ⊂B. 23. (MACK-SP) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A ⊂B e A ⊂C, então é sempre verdadeiro que: a) B = C d) A ⊃(B U C) b) B ⊃C e) A ⊂(B ∩ C) c) B ⊂C 24. (UNESP) Suponhamos que A e B sejam subconjuntos de E satisfazendo: 1) Para todo x ∈ E, se x ∈A, então x ∈ B 2) Existe x ∈ E tal que x ∈A Então podemos afirmar que: a) B ≠ ∅. b) Existe x ∈ B tal que x ∉A. c) Existe x ∈A tal que x ∉ B. d) A contém B. e) A e B não tem elementos em comum.

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25. (MACK-SP) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂B e A ≠ ∅, então: a) Sempre existe x ∈A tal que x ∈ B. b) Sempre existe x ∈ B tal que x ∈A. c) Se x ∈ B então x ∈A. d) Se x ∈ B então x ∈A. e) A ∩ B = ∅. 26. (UF-RS) A condição necessára e suficiente para que A ⊂B, B ⊂C e C ⊂A é: a) A = B = C = ∅ d) C = ∅ b) A = C = ∅ e) A = C c) A = B = C 27. (CESGRANRIO) Se X e Y são conjuntos e X U Y = Y, pode-se sempre concluir que: a) X ⊂Y d) X = ∅ b) X = Y e) Y ⊂X c) X ∩ Y = Y 28. (MACK-SP) A sentença verdadeira é: a) Se X ⊂A e X ⊂B então X ⊂A ∩ B b) Se A ⊂B então A ∩ B = B c) Se X ⊂ A U B então X ⊂A e X ⊂B d) Se A U B = A então A ⊂B e) Se A ⊂B e B ⊂X então X – B = A 29. (GV-SP) Considere os conjuntos X e Y e as afirmações: (1) Se X ∩ Y = X, então X ⊂Y (2) X U ∅ = ∅ (3) Se A ⊂X e A ⊂Y, então A ⊂(X ∩ Y) Associando V ou F a cada alternativa, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: a) (F, F, V) d) (V, V, V) b) (V, F, V) e) (V, F, F) c) (V, V, F) 30. (ESAL) Um conjunto A admite um subconjunto não vazio D, tal que D também é subconjunto dos conjuntos B e C. Assim está incorreto afirmar que: a) A ∩ D = D b) A ∩ C ≠ ∅ c) D ⊂(A U (B - C) d) B ∩ C = D e) A U D = A 31. (UF-Uberlândia) Sejam A, B e C três conjuntos em um universo U. Qual alternativa falsa, dentre as seguintes relacionadas? a) C(A ∩ B) = CA U CB b) A U (A ∩ B) ⊂A c) A ∩ (A U B) ⊂B d) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) e) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

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32. (PUC-SP) A negação da proposição x∈ (A U B) é: a) x ∉ (A ∩ B) b) x ∉A ou x ∈ B c) x ∉A e x ∈ B d) x ∈A ou x ∉ B e) x ∉A e x ∉ B 33. (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanha não choverá é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã ou não choverá. 34. (FEI-SP) Dadaas as proposições: (1) Toda mulher é boa motorista. (2) Nenhum homem é bom motorista. (3) Todos os homens são maus motoristas. (4) Pelo menos um homem é mau motorista. (5) Todos os homens são bons motoristas. A negação de (5) é: a) (1) b) (2) c) (3) d) (4)

e) n.d.a

35. (PUC-RS) A sentença (∃x | x – a = b) é a negação de: a) ∃x | x – a ≠ b d) ∀x, x - a = b b) ∃x | x – a > b e) ∀x, x – a ≠ b c) ∃x | x – a < b 36. (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas: a) Gosta de si mesma. d) Gosta de alguém. b) Não gosta de si mesma. e) Não gosta de ninguém. c) Não existe. 37. (FATEC-SP) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: (1) Todos os amigos de João são amigos de Mário. (2) Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo. (3) Antônio só é amigo de todos os amigos de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então: a) Antônio é amigo de Mário. b) João é amigo de Roberto. c) Mário é amigo de Roberto. d) Antônio não é amigo de João. e) n.d.a. 38. (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos” - “Existem fanáticos inteligentes”, pode-se tirar a conclusão seguinte: a) “Existem corintianos inteligentes.” b) “Todo corintiano é inteligente.” c) “Nenhum corintiano é inteligente.” 29

d) “Todo inteligente é corintiano.” e) Não se pode tirar conclusão. 39. (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 , então y = 7”. Pode -se concluir que: a) Se x ≠ 3, então y ≠ 7. b) Se y = 7, então x = 3. c) Se y ≠ 7, então x ≠ 3. d) Se x = 5, então y = 5. e) Nenhuma das conclusões anteriores é válida. 40. (FUVEST-SP) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.

Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) É necessário virar todos os cartões. b) É suficiente virar os dois primeiros cartões. c) É suficiente virar os dois últimos cartões. d) É suficiente virar os dois cartõesdo meio. e) É suficiente virar o primeiro e o último cartão.

Respostas do Capítulo 1 - Exercícios 1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} C = {Abril, Junho, Setembro, Novembro} D = {Lua} E = {Estados Unidos, Canadá, México} 4. a) ∈ b) ∉ c) ∈ d) ∉

5. a) ∉ b) ∈ c) ∉ d) ∈

9. a) V b) F c) V d) F

e) V i ) F f)F j)V g) F k) V h) V l ) V

6. a) V b) V c) F d) F

2. Unitários: A, C, D Vazio: B, E, F 3. a) V c) F e) F g) V i) F b) F d) V f) V h) F j) V

7. A1 = {a, e, i} A2 = {a, e, o} A3 = {a, i, o} A4 = {a, o, u}

10. a) V e) V b) V c) V d) F

8. A1 = {1, 2} A5 = {2, 4} A2 = {1, 3} A6 = {3, 4} A3 = {1, 4} A4 = {2, 3} 11. e 12.

13. Existe carioca que não tem coração. 14. a) II b) I c) III

15. a) V b) V c) V d) V

e) F i) V f ) F j) F g) V h) F

16. a) V e) V b) V f ) F c) F d) F

17. a) V b) F

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18. a) Nenhuma menina é feia. b) Existe menino que não gosta de futebol (Pode ser também: Nem todo menino gosta de futebol.) c) Existe menina que gosta de futebol. d) Nem tudo o que é bom engorda (Pode ser também: Existe o que é bom e não engorda.) 19. Sábado passado não choveu. 20. a) Existe aluno que gosta de Matemática e não gosta de poesia. b) Que o aluno não gosta de Matemática. c) Não. 21. 16. 22. P(E) = {∅, {1}, {2}, {4}, {8}, {1, 2}, {1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}, {1, 2, 4}, {1, 2, 8}, {1, 4, 8}, {2, 4, 8}, {1, 2, 4, 8}. 23. a) P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} b) P(B) = {∅, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}} c) P(C) = {∅, {a}, {r}, {t}, {e}, {a, r}, {a, t}, {a, e}, {r, t}, {r, e}, {e, t}, {a, r, t}, {a, r, e}, {r, t, e}, {t, e, a}, {a, r, t, e} 24. a) 64 b) 256

25. 1

26. {∅}

29. {1}, {0,1}, {1, 2}, {1, 3} {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}

27. a) 31 c) 1 b) 1023 d) Nenhum

30. {1, 3, 5} ou {1, 2, 3, 5}

33. A ∩ B = {2, 4, 6} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

28. {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d} {a, b, c, d}

31. a) V d) V g) V 32. b) F e) V h) F c) V f ) F

34. A ∩ B = {a, c, l, o} A U B = {l, o, g, i, c, a, m, u}

35. A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 49} = {x ∈ℕ | x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 49} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 51} = { x ∈ℕ | 1 ≤ x ≤ 51} 36. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ..., 100} = { x ∈ℕ | x é par e 2 ≤ x ≤ 100} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 100} = { x ∈ℕ | 1 ≤ x ≤ 100} 38. A ∩ B = ∅ A U B = {1, 2, 3, 4, 5, ..., } = ℕ*

39. A ∩ B = { } = A A U B = {x, y, z} = B

40. A ∩ B = {6, 12} A U B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15} 42. B ∩ C = {15} B U C = {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20} 44. A ∩ (B U C) = {6, 10, 12}

41. A ∩ C = {10} A U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20} 43. A ∩ B ∩ C = ∅ A U B U C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20

45. (A ∩ B) U (A ∩ C) = {6, 10, 12}

46. A U (B ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 15} 48. (A ∩ B) ∩ (B U C) = {6, 12}

37. A ∩ B = B AUB=A

47. (A U B) ∩ (A U C) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 15} 49. a) ∅ c) A ∩ B e) A b) A d) ∅ f)B 31

50. Todas V. 51. a) Região 3. b) Região 2. 54.

a) e b)

53. a) Região 3. b) Regiões 2, 3 e 4.

55.

57. A – B = {e} B – A = {p, i, n} 61. a) ∅ b) A c) ∅

52. a) Nenhuma região. b) Regiões 2 e 4.

56. B = {c, e, f, g, h}

58. A – C = {e} C – A = {o}

59. B – C = {p, i, n} 60. B – A = {1, 3, 5, 7, ..., 39} C – B = {o} A–B={}

62. a) {4, 5} b) {1, 4, 5} c) {1}

63.

64.

65. A Δ B = {2, 3, 4, 8, 9, 10, 15, 18} 66. a) {1, 4, 6, 8, 9, 10} b) {2, 4, 6, 8, 10}

c) {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10} d) {4, 6, 8, 10}

67. a) V c) V e)V b) V d) V

68. Juliana não é alta ou não é loira. Sandro não pratica natação ou não pratica corrida. 69. a) Osmar não é palmeirense e n]ao é vascaíno. b) Simone não gosta de ler e não gosta de ouvir música.

70. a) G, H e X. b) I- V II- V III- F

- Problemas 1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} 7. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

3. {2, 8}

8. {1, 3, 4, 5, 6, 9, 10}

15. a) V c) F e) F b) V d) F f ) V 19. X = {a, d}

2. {2. 8}

16. a) V c) V e) F b) V d) V 20. 10

21. 7

4. {6, 9, 10}

5. {5, 7}

6. {4, 6, 7}

9. {2, 4, 8, 9, 10} 10. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

17. C = {2, 5, 6, 7, 9} 18. X = {0, 1, 4, 5, 6} 22. a) 7 b) 13 c) 5 d) 30 32

23. a) AB b) A c) B d) O 25. a) 29 26. 6 27. 65 b) 5 c) 22

24. 28. a) Não b) Não c) Sim

- Testes 1. E 6. E 2. D 7. B 3. D 8. A 4. C 9. A 5. E 10. E

11. A 12. D 13. E 14. C 15. C

16. B 17. B 18. C 19. D 20. D

21. B 22. D 23. E 24. A 25. D

26. C 27. A 28. A 29. B 30. D

31. C 32. E 33. B 34. D 35. E

36. C 37. D 38. E 39. C 40. E

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Capítulo 2 – Noções de Lógica

Nesse capítulo, iremos aprender a interpretar e utilizar noções de lógica, muito úteis em problemas matemáticos. Vamos estudar proposições, negações, conectivos, condicionais, relação de implicação, sentenças e quantificadores.

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2.1. - Proposição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Observamos que toda proposição apresenta três características: 1º. Sendo oração, tem sujeito e predicado; 2º. É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); 3º. Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira ou falsa. → Exemplo • São proposições: a) Nove é diferente de cinco. (9 ≠ 5) b) Sete é maior que três. (7 > 3) c) Dois é um número inteiro. (2 ∈ ℤ) d) Três é divisor de onze (3 | 11) e) Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 ∙ 5 = 20) Dessas proposições, todas são verdadeiras menos a d •

Não são considerados proposições: f ) Três vezes cinco mais um. (3 ∙ 5 + 1) g) A raiz quadrada de dois é um número racional? (√2 ∈ Q?) h) O triplo de um número menos um é igual a onze. (3x – 1 = 11)

A frase f não tem predicado, a frase g é interrogativa e a frase h não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

2.2. - Negação A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. → Exemplos: • a) p: Nove é diferente de cinco. (9 ≠ 5) ~p: Nove é igual a cinco. (9 = 5) •

b) p: Sete é maior que três. (7 > 3) ~p: Sete é menor que três. (7 < 3)



c) p: Dois é um número inteiro. (2 ∈ Q) ~p: Dois não é um número inteiro. (2 ∉ Q)



d) p: Três é divisor de onze. (3 | 11) ~p: Três não é divisor de onze. (3 | 11)



e) p: Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 ∙ 5 = 20) ~p: Quatro vezes cinco é diferente de vinte. (4 ∙ 5 ≠ 20)

Para que ~ p seja realmente uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) e falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação:

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Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da preposição ~ p. Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos ~p é verdadeira no exemplo d e ~p é falsa nos demais.

Exercícios 1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? a) 5 ∙ 4 = 20 e) 1 + 3 ≠ 1 + 6 b) 5 – 4 = 3 f ) (-2)5 ≥ (-2)3 c) 2 + 7 ∙ 3 = 5 ∙ 4 + 3 g) 3 + 4 > 0 d) 5(3 + 1) = 5 ∙ 3 + 5 ∙1 h) 11 – 4 ∙ 2 2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras? a) 3 ∙ 7 = 21 e) (½)7 < (½)3 b) 3 ∙ (11 – 7) ≠ 5 f ) √2 < 1 c) 3 ∙ 2 + 1 > 4 g) - (-4) > 7 d) 5 ∙ 7 – 2 < 5 ∙ 6 h) 3 | 7

2.3. - Proposição Composta - Conectivos A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo ∧ (lê-se: e) e o conectivo ∨ (lê-se: ou).

2.3.1 - Conectivo ∧ Colocando o conectivo ∧entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p ∧q, denominada conjunção das sentenças p e q. → Exemplos 1º) p: 2 > 0 q: 2 ≠ 1 p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 2º) p: -2 < -1 q: (-2)2 < (-1)2 p ∧ q: -2 < -1 e (-2)2 < (-1)2 3º) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a q: um quadrado de lado a tem área a2 p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 4º) p: 2|5 (2 é divisor de 5) q: 3|5 (3 é divisor de 5) p ∧ q: 2|5 e 3|5 (2 e 3 são divisores de 5)

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Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V e F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:

Esse critério está resumido na tabela ao lado, em que são examinadas todas as possibilidades para p e q. Essa tabela é denominada tabela-verdade da proposição p ∧ q. Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 1º)

p: 2 > 0 q: 2 ≠ 1

(V) (V)

Então: p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 (V) 2º)

p: -2 < -1 q: (-2)2 < (-1)2 (F)

(V)

Então: p ∧ q: -2 < -1 e (-2)2 < (-1)2 3º)

(F)

p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a (F) q: um quadrado de lado a tem área a2 (V) Então: p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 (F)

4º)

p: 2|5 (F) q: 3|5 (F) Então: p ∧ q: 2|5 e 3|5

(F)

2.3.2. - Conectivo ∨ Colocando o conectivo ∨ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p ∨q, denominada disjunção das sentenças p e q. → Exemplos 1º)

p: 5 > 0 (cinco é maior que zero) q: 5 > 1 (cinco é maior que um) p ∨q: 5 > 0 ou 5 > 1 (cinco é maior que zero ou maior que um)

2º)

p: 3 = 3 (três é igual a três) q: 3 < 3 (três é menor que três) p ∨ q: 3 < 3 (três é menor ou igual a três)

3º)

p: 10 é número primo q: 10 é número composto p ∨ q: 10 é número primo ou número composto

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4º)

p: 34 < 26 q: 22 < (-3)5 p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < (-3)5

Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:

Esse critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p ∨q. Revendo os exemplos anteriores, temos: 1º)

p: 5 > 0 (V) q: 5 > 1 (V) Então: p ∨ q: 5 > 0 ou 5 > 1 (V)

2º)

p: 3 = 3 q: 3 < 3 Então: p ∨ q: 3 < 3

3º)

4º)

(V) (F) (V)

p: 10 é número primo (F) q: 10 é número composto (V) p ∨ q: 10 é número primo ou número composto p: 34 < 26 (F) q: 22 < (-3)5 (F) Então: p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < (-3)5

(V)

(F)

Exercício 3. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3 > 1 e 4 > 2 e) ½ < ¾ ou 5|11 b) 3 > 1 ou 3 = 1 f ) (-1)6 = -1 e 25 < (-2)7 c) 2|4 ou 2(4 + 1) g) √16 = 6 ou mdc (4, 7) = 2 d) 3(5 + 2) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ 2 e 3|7

2.4. - Condicionais Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se… então… (símbolo →) e o condicional ...se, e somente se, … (símbolo: ↔).

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2.4.1. - Conectivo → Colocando o condicional → entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p → q, que se lê: “se p, então q”, “p é condição necessária para q”, “q é condição suficiente para p”. No condicional p → q, a proposição p é chamada antecedente e q é chamada consequente. → Exemplos 1º) p: dois é divisor de quatro (2|4) q: quatro é divisor de vinte (4|20) p → q: se dois é divisor de quatro, então quatro é divisor de vinte (2|4 → 4|20) 2º) p: dois vezes cinco é igual a dez (2 ∙ 5 = 10) q: três é divisor de dez (3|10) p → q: se dois vezes cinco é igual a dez, então três é divisor de dez (2 ∙ 5 = 10 → 3|10) 3º) p: cinco é menor que dois (5 < 2) q: dois é número inteiro (2 ∈ℤ) p → q: se cinco é menor que dois, então dois é número inteiro (5 < 2 → 2 ∈ℤ) 4º) p: um meio é menor que um terço (1/2 < 1/3) q: três é igual a cinco (3 = 5) p → q: se um meio é menor que um terço, então três é igual a cinco (1/3 < 1/3 → 3 = 5) Vamos postular um critério de classificação para a proposição p → q baseado nos valores lógicos de p e q:

Esse critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p → q. Revendo os exemplos dados: 1º) p é V e q é V, então p → q é V. 2º) p é V e q é F, então p → q é F. 3º) p é F e q é V, então p → q é V. 4º) p é F e q é F, então p → q é V.

2.4.2. - Condicional ↔ Colocando o condicional ↔ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p ↔ q, que se lê “p se, e somente se, q”, “p é condição necessária e suficiente para q”, “q é condição necessária e suficiente para p” ou “se p, então q e reciprocamente”. → Exemplos: 1º) p: 2|12 q: 2 ∙ 7|12 ∙ 7 p ↔ q: 2|12 ↔ 2 ∙ 7|12 ∙ 7 2º) p: 3/2 = 6/2 q: 3 ∙ 4 ≠ 6 ∙ 2 p ↔ q: 3/2 = 6/4 ↔ 3 ∙ 4 ≠ 6 ∙ 2 39

3º) p: 6 = 12 : 3 q: 3 ∙ 6 = 18 p ↔ q: 6 = 12 : 3 ↔ 3 ∙ 6 = 18 4º) p: 4 < 3 q: 4 ∙ 5 < 3 ∙ 5 p ↔ q: 4 < 3 ↔ 4 ∙ 5 < 3 ∙ 5 Vamos postular para o condicional p ↔ q o seguinte critério de classificação:

Assim a tabela-verdade da proposição p ↔ q é a que está ao lado. Revendo os exemplos dados, temos: 1º) p é V e q é V, então p ↔ q é V. 2º) p é V e q é F, então p ↔ q é F. 3º) p é F e q é V, então p ↔ q é F. 4º) p é F e q é F, então p ↔ q é V.

Exercícios 4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. a) 2 – 1 = 1 → 5 + 7 = 3 ∙ 4 e) 2|8 → mmc (2, 8) = 2 b) 22 = 4 ↔ (-2)2 = 4 f)6<2↔6–2>0 c) 5 + 7 ∙ 1 = 10 → 3 ∙ 3 = 9 g) 3/5 < 2/7 → 3 ∙ 7 = 2 ∙ 5 d) mdc (3,6) = 1 ↔ 4 é número primo 5. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (V ou F) de cada proposição abaixo. a) p → r e) p → (q → r) b) p ↔ q f) p → (q ∨r) c) r → p g) ~p ↔ ~q d) (p ∨r) ↔ q h) ~p ↔ r 6. Sendo a proposição p → (r ∨s) falsa e a proposição (q ∧~s) ↔ p verdadeira, classifique em verdeira ou falsa as afirmações p, q, r e s.

2.5. - Tautologias Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, …) mediante o emprego de conectivos (∨ ou ∧) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v.

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→ Exemplos: 1º) (p ∧ ~p) → (q ∨p) é uma tautologia, pois:

2º) ~(p ∧q) ↔ (~p ∨~q) é uma tautologia, pois:

2.6. - Proposições Logicamente Falsas Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, …) mediante o emprego de conectivos (∨ ou ∧) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta só F na coluna f. →Exemplos: • 1º) p ∧~p é proposição logicamente falsa pois:



2º) (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧q)

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2.7. - Relação de Implicação Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando na tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é, quando não temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. Quando p implica q, indicamos p → q. → Observações: 1º) Notemos que p implica q quando o condicional p → q é verdadeiro. 2º) Todo teorema é uma implicação da forma. •

Hipótese → Tese Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre o caso de a hipótese ser verdadeira e a tese falsa. → Exemplos



1º) 2|4 → 2|4 ∙ 5 Significa dizer que o condicional “se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de 4 ∙ 5” é verdadeiro. 2º) p é positivo e primo → mdc (p, p2) = p Quer dizer que o condicional “se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de p e p2 é p” é verdadeiro.

2.8. - Relação de Equivalência Dadas as proposições p e q, dizemos “p é equivalente a q” quando p e q têm tabelas-verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Quando p é equivalente a q, indicamos p ↔ q. → Observações 1º) Notemos que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro. 2º) Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é equivalência. Hipótese ↔ Tese → Exemplos 1º) (p → q) ↔ (~q → ~p)

2º) 2|8 ↔ mdc (2, 8) = 2 Significa dizer que é verdadeiro o bicondicional “2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 é 2”.

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Exercícios 7. Verifique, por meio das tabelas-verdade, a validade das equivalências abaixo. a) Da conjunção b) Da disjunção p ∧q ↔ q ∧p p ∨q ↔ q ∨p (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) p ∧p ↔ p p ∨p ↔ p p ∧v ↔ p p ∨v ↔ v p ∧f ↔ f p ∨f ↔ p c) Da conjunção relativamente à disjunção p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (p ∨ q) ↔ p p ∨ (p ∧ q) ↔ p

d) Da negação ~(~p) ↔ p ~(p ∧ q) ↔ ~p ∨ ~q ~(p ∧ q) ↔ ~p ∧ ~q

Em que p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa.

2.9. - Sentenças Abertas, Quantificadores Há expressões como: a) x + 1 = 7 b) x > 2 c) x3 = 2x2 Que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuído à variável. Nos exemplos citados temos: a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x; b) x > 2 é falsa, por exemplo, para x = 0; c) x3 = 2x2 é verdadeira se trocarmos x por 0 (03 = 2 ∙ 02) ou 2(23 = 2 ∙ 22) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. Orações que contêm variáveis são chamadas funções proporcionais ou sentenças abertas. Tais orações não são proposições pois seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1º) Atribuir valor às variáveis. 2º) Utilizar quantificadores.

2.9.1. - O quantificador universal O quantificador universal =, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo ∀, que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”. → Exemplos 1º) (∀x) (x + 1 = 7), que se lê: “qualquer que seja o número x, temos x + 1 = 7” (Falsa) 2º) (∀x) (x3 = 2x2), que se lê: “para todo número x, x3 = 2x2” (Falsa) 3º) (∀a) ((a + 1)2 = a2 + 2a + 1), que se lê: “qualquer que seja o número a, temos (a + 1)2 = a2 + 2a + 1)”. (Verdadeira) 43

4º) (∀y) (y 2 + 1 > 0), que se lê: “para todo número y, temos y 2 + 1 positivo”. (Verdadeira)

2.9.2. - O quantificador existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃, que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”. → Exemplos 1º) (∃x) (x + 1 = 7), que se lê: “existe um número x tal que x + 1 = 7”. (Verdadeira) 2º) (∃x) (x3 = 2x2), que se lê: “existe um número x tal que x3 = 2x2 ”. (Verdadeira) 3º) (∃a) (a2+ 1 < 0), que se lê: “existe número a tal que a2 + 1 é não positivo”. (Falsa) 4º) (∃m) | (m(m + 1) ≠ m 2 + m), que se lê: “existe pelo menos um número m tal que m(m + 1) ≠ m 2 + m”. (Falsa) Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ∃|, que se lê: “existe um único”, “existe um e um só”, “existe só um”. → Exemplos 1º) (∃x) | (x + 1 = 7), que se lê: “existe um só número x tal que x + 1 = 7”. (Verdadeira) 2º) (∃x) | (x3 = 2x2), que se lê: “existe um só número x tal que x3 = 2x2” (Falsa) 3º) (∃x) | (x + 2 > 3), que se lê “existe um só número x tal que x + 2 > 3” (Falsa)

Exercício 8. Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores: a) x2 – 5x + 4 = 0 e) -(-x) = x 2 b) (a + 1) (a – 1) = a – 1 f ) 5a + 4 < 11 c) y/3 + y/4 ≠ y/7 g) √x2 = x d) √m2 + 9 ≠ m + 3 h) (a2 – a) / a = a – 1

2.10. - Como Negar Proposições Já vimos o que é negação de uma proposição simples, no item 2 deste capítulo. Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício 7, os quais constituem processos para negar proposições compostas e condicionais.

2.10.1. - Negação de uma conjunção Tendo em vista que ~(p ∧q) ↔ ~p ∨~q, podemos estabelecer que a negação de p ∨ q é a proposição ~p ∧~q. → Exemplos 1º) p: a ≠ 0 q: b ≠ 0 p ∧ q: a ≠ 0 e b ≠ 0 ~(p ∧ q): a = 0 ou b = 0 44

2º) p: 2|4 q: 3|9 p ∧ q: 2|4 e 3|9 ~(p ∧ q): 2 | 4 ou 3 | 9

2.10.2. - Negação de uma disjunção Tendo em vista que ~(p ∨q) ↔ (~p ∧~q), podemos estabelecer que a negação de p ∨q é a proposição ~p ∧~q. → Exemplos 1º) p: o triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero p ∨ q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero ~(p ∨ q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero 2º) p: a = 0 q: b = 0 p ∨ q: a = 0 ou b = 0 ~(p ∨ q): a ≠ 0 e b ≠ 0

2.10.3. - Negação de um condicional simples Já que ~(p → q) ↔ p ∧~q, podemos estabelecer que a negação de p → q é a proposição p ∧ ~q. → Exemplos 1º) p: 2 ∈ℤ q: 2 ∈ Q p → q: 2 ∈ℤ → 2 ∈ Q ~(p → q): 2 ∈ℤ e 2 ∉ Q 2º) p: 52 = (-5)2 q: 5 = - 5 p → q: 52 = (-5)2 e 5 ≠ -5

2.10.4. - Negação de proposições quantificadas Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo (∀x) (p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo (∃x) (~p(x)). → Exemplos 1º) Sentença: (∀x) (x + 3 = 5) Negação: (∃x) (x + 3 ≠ 5) 2º) Sentença: (∀x) (x(x + 1) = x2 + x) Negação: (∃x) (x(x + 1) ≠ x2 + x) 3°) Sentença: (∀x) (√x2+1 = x+1) Negação: (∃x) (√x2+1 ≠ x+1) 45

4º) Sentença: Todo losango é um quadrado. Negação: Existe losango que não é quadrado. Uma sentença qualificada como quantificador existencial, do tipo (∃x) (p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se p(x), obtendo: (∀x) (~p(x)). → Exemplos 1º) Sentença: (∃x) (x = x) Negação: (∀x) (x ≠ x) 2º) Sentença: (∃a) (a + ½ ≥ ⅓) Negação: (∀a) (a + ½ < ⅓) 3º) Sentença: (∃a) (1/A ∈ℝ) Negação: (∀a) (1/A ∉ ℝ)

Exercícios 9. Diga qual é a negação de cada proposição abaixo. a) mdc (2, 3) = 1 ou mmc (2, 3) ≠ 6 b) ⅗ = 6/10 ou 3 ∙ 10 ≠ 6 ∙ 5 c) 3/7 ≥ 1 e -3 ≥ -7 d) 22 = 4 → √4 = 2 e) (-3)2 = 9 → √9 ≠ -3 f) 2 ≤ 5 → 32 ≤ 52 g) (∀x) (x > 2 → 3x > 32) h) (∃x) (√x < 0) i) Todo número inteiro primo é ímpar. j) Todo triângulo isósceles é equilátero. k) Existe losango que não é quadrado. l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero. m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes. 10. Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior.

Respostas do Capítulo 2 1. São proposições: a, b, c, d, e, f, g. São verdadeiras: a, c, d, e, g. 2. a) 3 ∙ 7 ≠ 21 (F) b) 3(11 – 7) = 5 (F) c) 3 ∙ 2 + 1 ≤ 4 (F) d) 5 ∙ 7 – 2 > 5 ∙ 6 (V)

e) (½)7 ≥ (½)3 (F) f) √2 ≥ 1 (V) g) -(-4) < 7 (V) h) 3 / 7 (V) 46

3. a) V b) V c) V d) F

e) V f) F g) F

4. a) V b) V c) V d) V

e) F f) F g) V

5. a) F b) V c) V d) V

e) F f) V g) V h) V

6. p(V); q(V); r (F); s (F). 8. a) (∃x) (x2 – 5x + 4 – 0) b) (∀a) ((a + 1) (a – 1) = a2 -1) c) (∃y) (y/3 + y/4 ≠ y/7) d) (∀m) (√m2 + 9 ≠ m + 3) e) (∀x) (-(-x) = x) f) (∃a) (5a + 4 ≤ 11) g) (∃x) (√x2 = x) h) (∃a) (a2 – a /a = a – 1) 9. a) mdc (2, 3) ≠ 1 e mmc (2, 3) = 6 b) 3/5 ≠ 6/10 e 3 ∙ 10 = 6 ∙ 5 c) 3/7 < 1 ou -3 < -7 d) 22 = 4 e √4 ≠ 2 e) (-3)2 = 9 e √9 = -3 f) 2 > 5 e 32 > 52 g) (∃x) (x > 2 e 3x ≤ 32) h) (∀x) (√x ≥ 0) i) Existe um número inteiro primo e par. j) Existe triângulo isósceles e não equilátero. k) Todo losango é quadrado. l) Todo número tem raiz quadrada diferente de zero. m) Existe um triângulo equiângulo e não equilátero.

10. a) F b) F c) V d) F e) F f) F g) F h) V i) V j) V k) F l) F m) F

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Capítulo 3 - Sistemas de Numeração O homem através dos tempos sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: sistema decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado por nós no dia a dia e é sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais podemos formar qualquer número, através da lei de formação. Os sistemas: binário, o octal e hexadecimal são muito importantes na área de técnicas digitais e computação. No decorrer do estudo, perceberse-á a ligação existente entre circuitos lógicos e esses sistemas de numeração.

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3.1. - O Sistema Binário de Numeração O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas dois algarismos: - o algarismo 0 (zero) - o algarismo 1 (um) Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0), para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo (1). E para representarmos a quantidade dois, se nós não possuímos o algarismo (2) nesse sistema? É simples. No sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e nós representamos a quantidade de uma dezena utilizando-nos do algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Neste caso, o algarismo 1 (um) significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo 0 (zero) nenhuma unidade, o que significa dez. No sistema binário agimos da mesma forma, para representarmos a quantidade dois, utilizamos o algarismo um (1) seguido do algarismo (0). O algarismo (1) significará que temos um grupo de dois elementos e o (0) um grupo de nenhuma unidade, representando assim o número dois. Após esta explicação, podemos notar, na tabela ao lado, que a numeração em binário vai tornar-se:

3.1.1. - Conversão Binário - Decimal Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o significa: 5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1 = ↓ ↓ ↓ centena dezena unidade ↑ ↑ ↑ 2 1 5 x 10 + 9 x 10 + 4 x 100 =

número 594. Este número

5 (centena) 9 (dezena) 4 (unidade)

Esquematicamente temos: 5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1 = 594

5 x 102 + 9 x 101 + 4 x 100 = 594

Nesse exemplo, podemos notar que o algarismo menos significativo (no caso o quatro) multiplica a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo (o nove) multiplica a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (no caso, o 5) multiplica a centena (100 ou 102). A soma desses resultados irá representar o número. 49

Podemos notar que a base deste sistema é o número 10 (dez). A base do sistema binário é o número 2 (dois). Tomemos agora, um número binário qualquer, por exemplo, o número 101. Na tabela anterior podemos reparar que o número 101 no sistema binário equivale ao número 5 no sistema decimal. Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos também mostrar que o número 101 na base 2 (sistema binário), é igual ao número 5 na base 10 (sistema decimal). Vejamos abaixo:

Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Daqui por diante, colocaremos como índice do número a base do sistema em que estamos trabalhando, os seja: 2010 → significará o número vinte na base dez. (sistema decimal) 1102 → significará o número cento e dez na base dois. (sistema binário) No caso calculado acima podemos escrever então: 510 = 1012 Vamos, agora, fazer a conversão do número 1001 para o sistema decimal. Temos então:

Exercícios Resolvidos 1. Converter o número 011102 em decimal. Primeiramente, devemos lembrar que o zero à esquerda de zero é um algarismo não significativo. Logo 011102 = 11102. Teremos então:

2. Converter o número 10102 para o sistema decimal. 1 x 23 + 1 x 21 = ⸫ 1010

10102 = 1010

3. Idem para o número 11001100012.

50

3.1.2. - Tabela de Potência de Dois

Exercícios 1. Converta os seguintes números binários em decimal: a) 1001100 b) 1111 c) 11111 d) 10000 e) 10001 f) 1010110 g) 011001100110101

3.1.3. - Conversão Decimal – Binário Como vimos, a necessidade da conversão do sistema binário para decimal é evidente, pois, se tivermos um número grande no sistema binário fica difícil perceber a quantidade de que este representa. Transformando-se este número em decimal, o problema desaparece. Agora, veremos a transformação de um número decimal em um número binário, ou seja, a conversão do sistema decimal para o sistema binário. Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 47. Se dividirmos o número 47 por 2 teremos: Ou seja, teremos: 2 x 23 + 1 = 47 Ou também: 23 x 21 + 1 x 20 = 47 (equação A)

51

Se dividirmos agora 23 por 2 teremos: Ou seja, teremos 11 x 2 + 1 = 23 (equação B) Substituindo a equação B em A, teremos: (2 x 11 + 1) x 21 + 1 x 20 = 47 11 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 47 (equação C) Se dividirmos agora 11 por 2 teremos: Ou seja, teremos 5 x 2 + 1 = 11 (equação D) (2 x 5 + 1) x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 47 5 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 47 (equação E) Dividindo 5 por 2 teremos: Ou seja, teremos 2 x 2 + 1 = 5 (equação F) Substituindo a equação F na E teremos: (2 x 2 + 1) x 2 3 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 2 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 (equação G) Se dividirmos, agora, 2 por 2 teremos: Ou seja, teremos (2 x 1 + 0) = 2 (equação H) Se substituirmos a equação H em G teremos: (1 x 2 + 0) x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 2o = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 Desta expressão podemos reparar: Ou seja: 1011112 = 4710 Logicamente para efeituarmos tal conversão, utilizamos um método mais simples:

52

O último quociente será o algarismo mais significativo, fica colocado à esquerda; os outros algarismos seguem-se na ordem: último resto, penúltimo resto, anti-penúltimo, etc, até o primeiro resto. Teremos, então, no caso acima: 1 último quociente

0 5º quociente

1 4º quociente

1 3º quociente

1 2º quociente

1 1º quociente

⸫ 1011112 = 4710 Um outro exemplo seria a transformação do número 40010 em binário. Pelo método prático, temos:

⸫ 1100100002 = 40010 Agora, já temos elementos para converter um número decimal em binário, ou um número binário em decimal, ou seja, para fazer uma conversão do sistema decimal para o sistema binário ou vice-versa, já podemos conferir se esta conversão foi expressada corretamente. Para exemplificar a explicação acima, tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, 35, vamos, então, converter em binário:

3510 = 1000112

Vamos conferir: 1 x 25 + 1 x 21 + 1 x 20 = 32 + 2 + 1 = 3510

53

Exercícios Resolvidos Converter o número 2110 em binário. Vamos utilizar o método prático: Temos então: 2110 = 101012 confere, pois: 1 x 24 + 1 x 22 + 1 x 20 = 2110

Converter o número 71510 em binário. Vamos utilizar o método prático:

Temos, então: 7510 = 10110011112 Conferindo, temos: 29 + 27 + 26 + 23 + 21 + 20 = 512 +128 + 64 + 8 + 2 + 1 = 71510

Exercícios 2. Converter os seguintes números decimais em binário: a) 78 b) 102 c) 215 d) 404 e) 808 f) 5429 g) 1683 54

3. Quantos algarismos binários necessitaríamos para representar os números decimais abaixo: a) 512 b) 12 c) 2 d) 17 e) 33 f) 43 g) 7

3.1.4. - Números Binários e Decimais Fracionários e Suas Conversões Até agora, tratamos de números inteiros. Mas se aparecesse um número binário desse tipo: 101,1012 , como poderíamos saber a quantidade que ele representa? Para responder isso, vamos recordar, primeiramente, como procedemos no sistema decimal. Tomemos um número qualquer, por exemplo, o número 10,5.

Para um número binário, agimos da mesma forma, por exemplo, no nosso caso, temos:

Daí, podemos escrever: 1 x 2 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-3 = 1 x 4 + 1 x 1 + 1 x 1/2 + 1 x 1/8 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,62510 Portanto: 1011012 = 5,62510 2

Tomemos, agora, um número binário qualquer, por exemplo, o número 1010,11012. Vamos verificar qual o seu valor em decimal:

1 x 23 + 1 x 21 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-4 = 1 x 8 + 1 x 2 + 1 x 1/2 + 1 x 1/4 + 1 x 1/16 8 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 10,812510

Exercícios Resolvidos - Converter o número binário 111,0012 em decimal. 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-3 = 4 + 2 + 1 + 0,125 = 7,125 Portanto:

111,0012 = 7,12510

55

- Converter o número binário 0100,110012 em decimal. 1 x 22 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-5 4 + 0,5 + 0,25 + 0,03125 = 4,7812510 Portanto: 100,110012 = 4,7812510

Exercícios 4. Transformar para decimal os seguintes números binários: a) 1111,1112 b) 1000,00012 c) 1010,10102 d) 11,112 e) 1011,112 f) 1100,0011012

3.1.5. - Tabela de potências negativas de dois

3.1.6. - Conversão Decimal Fracionário - Binário Podemos também converter um número decimal fracionário em binário e, para isso, vamos utilizar uma regra prática. Por exemplo, para transformarmos o número 8,375 em binário. Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375 Transformamos primeiramente a parte inteira do número, já explicado anteriormente, tendo então 810 = 10002. Isso feito, o passo a seguir é transformar a parte fracionária. Para tal, utilizamos a seguinte sequência:

56

Quando atingimos o número 1 e a parte do número após a vírgula não for nula, separamos essa última e reiniciamos o processo, no caso: Teremos então: 0,0112 = 0,375 e 1000,0112 = 8,375

Vamos, agora, transformar um outro número decimal binário, por exemplo, o número 4,810 1º) Separamos a parte inteira do número. 4,8 → 4 (parte inteira) e 0,8 (parte fracionária) 2º) Convertemos, primeiramente, a parte inteira. 410 → 10002 3º) Iniciamos o processo de conversão de um número fracionário.

Atingimos o número 1 Separando a parte posterior à vírgula e repetindo duas vezes o processo, voltaremos à 0,8. Se continuarmos repetindo o processo teremos a mesma sequência já vista. Este caso é uma dízima. Teremos, então: 0,810 = 0,1100 1100 1100 … Logo: 4,810 = 100, 1100110011001100…

Exercícios Resolvidos - Converter o número 3,380 em binário. 3,380 = 3 + 0,380

No caso, temos: 0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4 = 0,378906

Se aproximarmos o número decimal em duas casas, teremos 0,38. Logo, para uma precisão de duas casas decimais é suficiente que tenhamos seguido o método até aí. Então: 0,38 = 0,01100001 3,38 = 11,01100001 57

Notamos que quanto mais casas possuímos após a vírgula, maior é a precisão obtida. Logo, devemos aplicar o método até obter a precisão desejada.

Exercícios 5. Transformar os seguintes números decimais em binários: a) 0,125 b) 0,0625 c) 0,7 d) 0,92 e) 7,9 f) 47,47 g) 53,3876 h) 1,1111

3.2. - O Sistema Octal de Numeração O sistema octal de numeração é um sistema no qual existem oito algarismos

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Para representarmos a quantidade oito, agimos do mesmo modo que visto anteriormente para números binários e decimais. Colocamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0. Isto significará: teremos um grupo de oito adicionado a nenhuma unidade. Veremos em capítulos posteriores que esse se trata de um sistema que simplifica muito a numeração do mapa de teorias de máquinas digitais de palavras de 6 bits. Desta pequena introdução já podemos mostrar a sequência da numeração octal.

58

3.2.1 - Conversão do sistema octal para o sistema decimal Para convertermos um número octal em decimal, utilizaremos os conceitos básicos de formação de um número. Vamos, por exemplo, converter o número 1448 em decimal. Temos que: 1 x 82 + 4 x 81 + 4 x 80 = 1 x 64 + 4 x 8 + 4 x 1 = 64 + 32 + 4 = 10010 1448 = 10010

Exercícios Resolvidos - Converter o número 778 em decimal. 7 x 81 + 7 x 80 = 7 x 8 + 7 x 1 = 56 + 7 = 6310 778 = 6310 - Converter o número 1008 em decimal. 1 x 82 + 0 x 81 + 0 x 80 = 64 + 0 + 0 = 6410 1008 = 6410

Exercícios 6. Converter os seguintes números em decimal: a) 148 b) 678 c) 1538 d) 15448 7. Explique o porque de o número 15874 não pode ser um número octal.

3.2.3. - Conversão do sistema octal para o sistema binário Trata-se de uma conversão extremamente simples, e podemos utilizar a seguinte regra prática. Tomemos, por exemplo, um número octal qualquer, o número 278. Desmembremos esse número em dois algarismos e transformamos cada algarismo, no correspondente binário. (zero à esquerda é algarismo não significativo) 278 = 101112

59

Exercícios Resolvidos - Converter o número 348 em binário. 348 = 111002 - Converter o número 5368 em binário. 5368 = 1010111102

Exercícios 8. Converter os seguintes números octais em binários. a) 4778 b) 15238 c) 47648 d) 100008 e) 43218

3.2.4. - Conversão do sistema binário para o sistema octal Tomemos um número binário qualquer, por exemplo, o número 1100102. Para transformarmos esse número em octal, o separamos em grupos de três algarismos a partir da direita: 110 010 Fazemos, agora, a conversão desses grupos de algarismos para o sistema decimal. Podemos notar que o maior número que se pode formar com três algarismos binários é o número 7. Esta conversão resultará diretamente o número no sistema octal. 110 0102 = 628 Podem ocorrer casos em que separando-se o número binário em grupos de três grupos de três algarismos a partir da direita, sobre um grupo de dois ou de um algarismo. Nesses casos, basta adicionarmos zeros à esquerda até complementarmos o grupo de três algarismos. Por exemplo, para convertermos o número 10102 em octal, teremos:

10102 = 128

60

Exercícios Resolvidos - Converter 101112 em octal 101112 = 278

- Converter 110101012 110101012 = 3258

Exercícios 9. Converter os seguintes números binários em octal. a) 10112 b) 100111002 c) 1101011102 d) 10000000012

3.2.5. - Conversão do sistema decimal para o sistema octal Existem dois métodos para efetuarmos esta conversão. O primeiro é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente que nesse caso utilizaremos a divisão por 8, pois o sistema é octal. Vamos converter o número 9210 para o sistema octal.

9210 = 1348

O outro método é a conversão do número decimal em binário e após, a conversão do sistema binário em octal. Aparentemente é mais trabalhoso, porém, podemos notar em capítulos posteriores que este método é de grande praticidade.

Exercícios Resolvidos - Converter o número 7410 em octal. 1º método 7410 = 1128 2º método 61

7410 = 10010102 001 1

001 1

010 2

7410 = 1128

Exercícios 10. Converter os seguintes números decimais em octal. a) 10710 b) 18510 c) 204810 d) 409710

3.3. - O Sistema Hexadecimal de Numeração Seis algarismo, assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, e F Notamos que a letra A representa o algarismo A que por sua vez representa a quantidade dez. A letra B representa o algarismo B que representa a quantidade onze, e assim sucede-se até a letra F que representa a quantidade quinze. Para representarmos a quantidade dezesseis, utilizamos o conceito básico da formação de um número, ou seja, colocamos o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Isso representará um grupo de dezesseis adicionado a nenhuma unidade. Dessa introdução já podemos escrever a sequência da numeração hexadecimal. Este sistema utilizado em computação e também em mapeamento de memórias de máquinas digitais com palavras de 4,8 ou 16 bits.

62

3.3.1. - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal Análogo aos outros sistemas. Tomemos por exemplo, o número hexadecimal 3F e vamos convertê-lo em decimal: 3 x 161 + F x 160 = (F16 = 1510) = 2 x 162 + 15 x 160 = 3 x 16 + 15 x 1 = 6310

Portanto, 3F16 = 6310

Exercícios Resolvidos - Converter os seguintes números em hexadecimal para decimal. 1) 1C316 1 x 162 + C x 161 + 3 x 160 mas C16 = 1210 então: 1 x 162 + 12 x 161 + 3 x 160 = 1 x 256 + 12 x 16 + 3 x 1= 45110 Portanto, 1C316 = 45110 2) 23816 2 x 162 + 3 x 161 + 8 x 160 = 2 x 256 + 3 x 16 + 8 x 1 = 56810 Portanto, 23816 = 56810

Exercícios 11. Converter para o sistema decimal os seguintes números hexadecimais: a) 47916 b) 4AB16 c) BDE16 d) F0CA16 e) 203F16

3.3.2. - Conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário É análogo á conversão do sistema octal para o sistema binário. Só que, nesse caso, necessitamos de quatro algarismo binários para representarmos um algarismo hexadecimal. Por exemplo, convertemos o número C1316 para o sistema binário: 63

C 1100

1 0001

3 0011

(deve-se lembrar que C16 = 1210) Portanto, C1316 = 1100000100112

Exercícios Resolvidos - Converter para o sistema binário os seguintes números: 1) 1ED16 1 E D 0001 1110 1101 Portanto, 1ED16 = 1111011012

E16 = 410 D16 = 1310

2) ABF16 A B F 1010 1011 1111 Portanto, ABF16 = 101010111111

Exercícios 12. Converter para o sistema binário os seguintes números hexadecimais: a) 8416 b) 7F16 c) 3B8C16 d) 47FD16 e) F1CD16

3.3.3. - Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal É análoga á conversão do sistema binário para o octal, somente que nesse caso, agrupamos de quatro em quatro algarismos da direita para a esquerda. Exemplo: 1001 1000 9 8 Portanto, 100110002 = 9816

Exercícios Resolvidos - Converter para o sistema hexadecimal os seguintes números binários 1) 11000112

64

0110 0011 6 3 Portanto, 11000112 = 6316 2) 110001111000111002 0001 1000 1111 1 B F

0001 1100 1 C

Portanto, 110001111000111002 = 18F1C16

Exercícios 13. Converter para o sistema hexadecimal os seguintes números binários: a) 100112 b) 11100111002 c) 1001100100112 d) 11111011112

3.3.4. - Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal Vamos ter, como no caso do sistema octal, dois métodos: 1º método: Transformação de um número decimal qualquer para hexadecimal, através da divisão sucessiva deste pela base do sistema, no caso dezesseis. Exemplo: 100010

mas no sistema hexadecimal: 140 = E Portanto, 100010 = 3E816

2º método: É aquele que se transforma primeiramente o número decimal em binário e logo a seguir em hexadecimal: Exemplo: 100010

0011 1110 1000 3 E 8 Portanto, 100010 = 3E816

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Exercícios Resolvidos 1) Converter o número 13410 para o sistema hexadecimal 1º método:

Portanto, 13410 = 8616

2º método:

1000 0110 8 6 Portanto, 13410 = 8616

2) Converter o número 38410 para o sistema hexadecimal 1º método

Portanto, 38410 = 18016

2º método

0001 1000 0000 1 8 0 Portanto, 38410 = 18016

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Exercícios 14. Converter os seguintes números decimais em hexadecimais: a) 48610 b) 200010 c) 409610 d) 555510 e) 3547910

3.4. - Operações aritméticas no sistema binário Trata-se de uma parte do estudo de numeração muito importante, pois, facilitará a compreensão dos circuitos lógicos aritméticos tais como: somadores, subtratores, etc, que serão vistos mais adiante.

3.4.1. - Adição no sistema binário Para efetuarmos a adição no sistema binário, devemos, agir como numa adição convencional no sistema decimal, lembrando apenas que, no sistema binário temos apenas dois algarismos. Temos, então: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 = 11 Aqui cabe observar que no sistema decimal. 1 + 1 = 2, no sistema binário representamos o número 210 por 102, vem daí: 1 + 1 = 102 Já temos aí, então, uma primeira regra de transporte: 1 + 1 = 0 como o transporte de um para a próxima coluna, ou seja, 0 “vai um”. Vamos somar, agora, os números binários: 112 + 102 = (310 + 210 = 510) Portanto, 112 + 102 = 1012

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Outro exemplo: 1102 + 1112 (610 + 710 = 1310) 1 + 1 → “zero vai um”

Exercícios Resolvidos 1) 11001 + 1011

2) 101101 + 11100011

Exercícios 15. Realizar as adições abaixo: a) 1000 + 1001 = b) 10001 + 11110 = c) 101 + 1001011 = d) 110 + 1001011 = e) 10101 + 1001001 =

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3.4.2. - Subtração no sistema binário O método de resolução é análogo a uma subtração no sistema decimal. Temos, então: 0–0=0 1–1=0 1–0=1 0 – 1 = 1 e “empresta um” Para ficar mais claro vamos exemplificar: a) 7 – 4 = 3 em binário, temos 111 – 100 = 0112 = 310

b) 8 – 7 = 1 em binário, temos: 1000 – 111 Vamos por partes.

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Exercícios Resolvidos 1) 10010 – 10001

(1810 – 1710 = 110)

2) 11000 – 111

(2410 – 710 = 1710)

Portanto, 11000 – 111 = 10001

Exercícios 16. Resolva as subtrações a seguir: a) 11002 – 10102 = b) 101012 – 11102 = c) 111102 – 11112 = d) 10110012 – 110012 = e) 1000002 – 111002 =

3.4.3. - Multiplicação no sistema binário Procede-se como uma multiplicação normal no sistema decimal. Temos: Façamos, por exemplo: 0x0=0 10002 x 12 = 0x1=0 1x0=0 1x1=1 70

Exercícios Resolvidos 1) 10002 x 02 =

Portanto, 10002 x 02 = 1101002

2) 110102 x 102 =

Exercícios 17. Resolva as multiplicações: a) 101012 x 112 = b) 110012 x 102 = c) 1101102 x 1112 = d) 111102 x 10002 = Nota: A divisão de números binários é a mais complexas das operações aritméticas binárias, pois., abrange operações de multiplicação e subtração. Não vamos abordá-la nesse capítulo, pois não a utilizaremos nessa parte do estudo dos circuitos lógicos.

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Capítulo 4 – Funções Lógicas: Portas Lógicas Em meados do século passado G. Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica. Esse sistema é conhecido como álgebra de Boole. No início da era eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemas analógicos, também conhecidos por sistemas lineares. Com o avanço da tecnologia, esses mesmos problemas começaram a ser solucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica emprega nas suas máquinas, tais como: computadores, processadores de dados, sistemas de controle e de comunicação digital, codificadores, decodificadores, etc. Apenas um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas OU, E, NÃO, e flip-flops. Através da utilização conveniente desses circuitos, podemos “implementar” todas as expressões geradas pela álgebra de Boole, que constituem uma poderosa ferramente para os projetos das máquinas referidas acima. Neste capítulo trataremos dos blocos OU, E e NÃO, deixando para um próximo capítulo o estudo do flip-flop.

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4.1. - Funções: E, OU, NÃO, NE e NOU Nas funções lógicas teremos apenas dois estados: - o estado 0 (zero) e - o estado 1 (um). O estado zero (0) representará, por exemplo: portão fechado, aparelho desligado, ausência de tensão, chave aberta, não, etc.; o estado um (1) representará, então: portão aberto, aparelho ligado, presença de tensão, chave fechada, sim, etc. Note, então, que se representarmos por zero (0) uma situação, representaremos por um (1) a situação contrária. Para qualquer bloco lógico faremos o estudo somente desses dois estados. Deve-se salientar aqui que cada terminal de um bloco lógico pode assumir somente duas situações distintas: 0 ou 1.

4.1.1. - Função “E” ou “AND” A função E é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias. S=A.B onde se lê: S = A e B Para melhor compreensão, representaremos a função E através do seguinte circuito:

Convenções: chave aberta = 0 chave fechada = 1 lâmpada apagada = 0 lâmpada acesa = 1

Situações possíveis: 1) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B aberta (0), nesse circuito não circulará corrente, logo, a lâmpada permanecerá apagada (0). 2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), logo a lâmpada permanecerá apagada (0). (A=0, B=1, A.B=0) 3) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (0), a lâmpada permanecerá apagada: (A=1, B=0, A.B=0); 4) Se tivermos, agora, a chave A fechada (1) e a chave B fechada (1) a lâmpada acenderá, pois circulará corrente: (A=1, B=1, A.B=1) Analisando as situações, concluímos que só teremos a lâmpada acesa quando as chaves A e B estiverem fechadas (1 e 1).

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4.1.1.1. - Tabela da verdade Tabela da verdade é um mapa onde colocamos todas as possíveis situações com seus respectivos resultados. Nesta tabela encontraremos o modo como a função se comporta perante todas as situações possíveis. Tabela da verdade de uma função E ou AND

4.1.1.2. - Porta E ou AND A porta E é um circuito que executa a função E. Representaremos uma porta E através do símbolo (à esquerda) abaixo e uma tabela verdade da função E(à direita):

A porta E executa a tabela da verdade da função E, ou seja, teremos a saída no “estado um” se, e somente se as duas entradas forem iguais a um, e teremos a saída igual a zero nos demais casos. Até agora, descrevemos a função E para duas variáveis de entrada. Podemos estender esse conceito para qualquer número de entradas.

Teremos neste caso uma porta E de N entradas, e somente uma saída. A saída permanecerá no “estado um” se, e somente se as N entradas forem iguais a um (1), e permanecerá no “estado zero” nos demais casos. Para exemplificar, vamos mostrar uma porta E de quatro entradas e sua tabela da verdade.

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Notamos que a tabela da verdade anterior mostra as dezesseis possíveis combinações das variáveis de entrada e seus respectivos resultados na saída O número de situações possíveis é igual a 2n,, onde N é o número de variáveis. No exemplo acima: N=4 portanto, 24 = 16, que são as dezesseis combinações possíveis para 4 variáveis de entrada. A função E também é conhecida como função “AND”, nome derivado do inglês.

4.1.2. - Função “OU” ou “OR” A função OU é aquela que assumo valor um (1) quando uma ou mais variáveis da entrada forem iguais a um (1) e assume valor zero (0) se, e somente se todas as variáveis de entrada forem iguais a zero (0). É representada da seguinte forma: S=A+B

(lê-se S = A ou B, onde o símbolo + é lido como OU)

Para entendermos melhor a função OU, vamos representá-la pelo circuito abaixo:

Usaremos as mesmas convenções usadas pelo circuito representativo da função E. Situações possíveis: 1) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B aberta (0), no circuito não circulará corrente, logo, a lâmpada permanecerá apagada (0): (A=0, B=0, A+B=0). 2) Se tivermos a chave A aberta (0) e a chave B fechada (1), circulará uma corrente pela chave B e a lâmpada acenderá (1): (A=0, B=1, A+B=1). 3) Se tivermos a chave A fechada (1) e chave B aberta (0), circulará uma corrente pela chave A e a lâmpada acenderá (1): (A=1, B=0, A+B=1). 75

4) Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B fechada (1), circulará corrente pelas duas chaves e a lâmpada acenderá (1): (A=1, B=1, A+B=1). A soma A+B=1, a princípio é estranha, é verdadeiro, pois como veremos mais a frente, trata-se de uma soma booleana: no sistema binário 1 + 1 = 10; na álgebra de Boole 1 + 1 = 1. Notamos pelas situações que teremos a lâmpada ligada, quando CH A ou CH B ou ambas as chaves estiverem ligadas.

4.1.2.1. - Tabela da verdade da função OU Nesta tabela da verdade, teremos todas as situações possíveis com os respectivos valores que a função OU assume.

4.1.2.2. - Porta “OU” ou “OR” É a porta que executa a função OU. Representaremos a porta OU através dos símbolos a seguir:

Tabela da verdade da função OU.

A porta OU executa a tabela da verdade da função OU, ou seja, teremos a saída no “estado um” quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a um (1), e teremos a saída no estado zero (0) se, e somente se todas as varáveis de entradas forem iguais a zero. Podemos entender o conceito de porta OU para mais de duas variáveis.

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Exemplo de porta OU de 3 variáveis de entrada:

As 3 variáveis de entrada possibilitam 23 = 8 combinações possíveis. A função OU, também é conhecida como função OR, que é o nome derivado do inglês.

4.1.3. - Função “NÃO” ou “NOT” A função “NÃO” ou função complemento é aquela que inverte o estado da variável, ou seja, se a variável estiver em zero vai para um (1), e se a variável estiver em um (1) vai para zero. É representada da seguinte forma: Essa barra ou apóstrofe sobre a letra que representa a variável significa que esta sofrerá uma inversão. Também, podemos dizer que A’ (“Não A”) significa a negação de A. Para entendermos melhor a função NÃO vamos representá-la pelo circuito a seguir:

Usaremos as mesmas convenções dos circuitos anteriores: Situações possíveis: 1) Quando a chave A estiver aberta (0), passará corrente pela lâmpada e esta acenderá (1): A=0, A’=1. 2) Quando a chave A estiver fechada (1), curto-circuitaremos lâmpada e essa se apagará (0): A=1, A’=0.

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4.1.3.1. - Inversor e Tabela Verdade O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO. Sua representação será:

Tabela da verdade.

No caso do inversor só poderemos ter uma entrada e uma saída. A função NÃO ou complementar também é conhecida como função NOT, termo derivado do inglês.

4.1.4. - Função NÃO E, NE ou NAND Como o próprio nome “NÃO E” diz: essa função é uma composição da função E com a função NÃO, ou seja, teremos a função E invertida. É representada da seguinte forma:

4.1.4.1. - Porta NAND ou NE A parta NAND é o bloco lógico que executa a função NAND. Sua representação será:

Esse bloco segue a tabela verdade da função NAND abaixo:

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Podemos notar pela tabela da verdade que formamos uma porta NE ou NAND a partir de uma porta E ou AND e um bloco inversor ligado à sua saída.

A porta NAND, como os outros blocos lógicos, pode ter duas ou mais entradas. O termo NAND, derivado do inglês, é ainda o mais usual.

4.1.5. - Função NÃO OU, NOU ou NOR Analogamente á função NAND, a função NOR é a composição da função NÃO com a função OU, ou seja, a função NOR será o inverso da função OU. É representada da seguinte forma:

4.1.5.1. - Tabela da verdade da função NOU ou NOR.

Podemos notar pela tabela da verdade acima que a função NOR, realmente, é a função OU invertida.

4.1.5.2. - Porta OU ou NOR A porta NOR é o bloco lógico que executa a função NOR. Sua representação será:

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tabela da verdade para porta NOR de 2 entradas:

Podemos notar pela tabela da verdade que formamos uma porta NOU ou NOR a partir de uma porta OU e um bloco inversor ligado à sua saída.

A porta NOR como a porta OU pode ter duas ou mais entradas. O termo NOR, derivado do inglês, é ainda o mais usual.

4.1.6. - Quadro resumo

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4.2. - Interligação entra expressões, circuitos e tabelas da verdade Todo circuito entre expressões lógico executa uma expressão booleana, e, por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas. Por exemplo: A porta E executa a expressão S = A.B, esquematicamente lemos:

= A.B

4.2.1. - Expressões booleanas geradas por circuitos lógicos Podemos escrever a expressão booleana que é executada por qualquer circuito lógico. Vejamos, por exemplo, qual a expressão que o circuito abaixo executa:

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Vamos dividir o circuito em duas partes:

Na saída S1 teremos o produto A.B, pois, este bloco é uma porta E, então, a expressão de S1 será: S1 = A.B. Esta saída da S1 será injetada em uma das entradas da porta OU pertencente á segunda parte do circuito. Na outra entrada da porta OU está a variável C, e a expressão da segunda parte do circuito será: S = S1 + C. Para sabermos a expressão final, basta agora, substituirmos a expressão S1 na expressão acima, ficamos, então, como S = (A.B) + C, que é a expressão que o circuito executa. Uma outra maneira mais simples para resolvermos o problema é a de colocarmos nas saídas dos diversos blocos básicos do circuito as expressões por esses executadas da seguinte maneira:

Exercícios Resolvidos - Escrever a expressão booleana executada pelo circuito abaixo:

Vamos, agora, escrever as expressões de saída de cada bloco básico do circuito.

82

- Determinar a expressão booleana característica do circuito abaixo:

Seguindo o processo do exercício anterior teremos:

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4.2.2. - Circuitos obtidos de expressões booleanas Vimos até agora, que podemos obter uma expressão booleana que um circuito lógico executa. Podemos também desenhar um circuito lógico que execute uma expressão booleana qualquer, ou seja, podemos desenhar um circuito a partir de sua expressão característica. Por exemplo, um circuito que executa a expressão: S = A + B

onde: S =A + B Podemos também obter circuitos de expressões mais comuns, por exemplo: S = (A+B) . C . (B+D) Faremos como na aritmética elementar, iniciaremos os parênteses e fazemos primeiramente as somas e após as multiplicações. Dento do primeiro parêntese, temos a soma booleana A+B, logo o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU. Dentro do segundo parêntese, temos a soma booleana B+D, logo o circuito será uma porta OU, teremos até aí: S = (A+B) . C . (B+D)

Agora, temos uma multiplicação booleana dos dois parênteses com a variável C, e o circuito que executa essa multiplicação será uma porta E. Teremos, então:

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O circuito completo será:

Podemos conferir e veremos que realmente, esse circuito executa a expressão booleana. S = (A + B) . C . (B + D)

Exercícios Resolvidos - Desenhar o circuito que executa a seguinte expressão booleana: S = A.B.C + (A + B) . C Primeiramente, vamos dividir a expressão em partes:

Começando pelo parêntese que é a executa de uma porta OU:

Logo a seguir faremos o produto A.B.C

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O próximo passo será o produto entre a variável C e a soma 1,

E por fim a soma 2 + 3

O circuito final será:

Devemos lembrar que as entradas que representam a mesma variável estão ligadas entre si. Utilizamos o desenho acima, sem as interligações, para melhor interpretação do circuito.

4.2.3 – Tabelas da verdade que representam expressões ou circuitos Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela da verdade, que, como vimos, anteriormente, é um mapa onde se colocam todas as situações possíveis, de uma dada expressão, juntamente com o valor por esta assumida. 86

Como já visto, existe uma ligação íntima entre o circuito lógico e sua expressão característica, ou seja, e podemos, portanto, uma tabela da verdade representará o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica.

4.2.3.1 - Tabela da verdade obtida de uma expressão Para extrairmos a tabela da verdade de uma expressão, seguimos a seguinte regra: 1. Montamos o quadro de possibilidades. 2. Montamos colunas para os vários membros da expressão. 3. Preenchemos essas colunas como seus resultados. 4. Montamos uma coluna para o resultado final. 5. Preenchemos essa coluna com os resultados finais. Para esclarecer este processo, tomemos, por exemplo, a expressão:

Temos na expressão acima 4 variáveis: A; B; C e D, logo, teremos 2 possibilidades de combinações. O quadro de possibilidades ficará:

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Na coluna do 1º membro colocaremos o resultado da multiplicação A.B.C (1º membro). Na coluna do 2º membro colocaremos o resultado da multiplicação A.D (2º membro). Na coluna do 3º membro colocaremos o resultado da multiplicação A.B.D (3º membro). Na coluna de resultados, colocaremos a soma dos 3 termos, que é o resultado final da expressão. No caso de termos na expressão a inversão de uma variável ou de um membro, agimos como no exemplo abaixo: S = A’ + B + A.B.C’

Na coluna do 1º membro, colocamos o inverso da variável A, ou seja, A’. Na coluna do 2º membro, repetimos a variável B. Para formarmos a coluna do 3º membro, necessitamos de uma coluna auxiliar com o inverso da variável C, ou seja, C’. Feita esta coluna, podemos escrever então a coluna do 3º membro que será o produto A.B.C’. Na coluna S, que será a coluna do resultado final, devemos escrever a soma do 1º, do 2º e do 3º membro, ou seja, A’+B+ABC’. Não devemos somar os valores das colunas auxiliares, no caso C’, pois essa serve apenas para auxiliar a realização do produto do 3º membro, ou seja ABC’.

4.2.3.2. - Expressão e tabela da verdade obtidas a partir de circuito Podemos também estudar o comportamento de um circuito através de uma tabela da verdade. Para isto, dado um circuito, extraímos desse sua expressão característica, daí, podemos montar a tabela da verdade da expressão relativa ao circuito. Por exemplo:

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Extraímos do circuito a expressão:

Seguindo o processo, montamos a tabela da verdade da expressão acima:

Exercícios Resolvidos - Montar a tabela da verdade da expressão abaixo:

Na coluna do 1º termo colocamos os resultados do produto AB.C, na coluna do 2º termo o do produto A.B’.C, na coluna do 3º membro os do produto A’.B’.C, na coluna do 4º membro os do produto A’.B’.C’ e na última coluna, a do resultado final, colocamos o resultado da somas dos 4 termos. Cabe lembrar aqui, que a função S = A’.B’ é diferente da função S = (A.B)’

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4.3. - Equivalência de Blocos Lógicos Antes de encerrarmos este capítulo, deve-se mencionar que podemos obter qualquer bloco lógico básico utilizando um outro bloco qualquer e inversores, e mais, podemos também obter inversores á partir de portas NAND e NOR.

4.3.1. - Obtenção de Inversores Podemos obter inversores de duas maneiras: 1. A partir de portas NAND. 2. A partir de portas NOR.

4.3.1.1. - Inversor a partir de uma porta NAND Analisemos a tabela da verdade de uma porta NAND.

Podemos notar que no caso A = 0 e B = 0, a saída assume valor 1 (um), e, no caso A = 1 e B = 1 a saída assume valor zero (0). Logo, se interligarmos os terminais de entrada de uma porta NAND, teremos sempre a condição A = B, ou seja, se A for igual zero, B também será igual a zero e se A for igual a 1, B também será igual a 1. Teremos, então:

Se aplicarmos 1 à entrada X ( X = A = B), pela tabela da verdade acima, notamos que a saída será zero, e se aplicarmos zero à entrada X, notamos que a saída será igual a 1. Podemos, montar então, a seguinte tabela da verdade.

Logo, se curto-circuitarmos os terminais de entrada de uma porta NAND, ela se torna um bloco inversor.

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4.3.1.2. - Inversor a partir de uma porta NOR Analogamente ao caso anterior analisemos a tabela da verdade da porta NOR.

Se interligarmos A e B, cairemos no caso anterior e a porta NOR se transformará num bloco inversor. Tabela da verdade de um circuito inversor.

4.3.2. - Outras equivalências entre blocos lógicos 4.3.2.1. - Porta NAND a partir de portas E e inversor.

Como já visto anteriormente, basta colocarmos um inversor na saída de uma porta E, que teremos uma porta NAND.

4.3.2.2. - Porta NOR a partir da porta E e inversor Podemos provar através da tabela da verdade.

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4.3.2.3. - Porta OU a partir de portas E e inversores Seria somente colocarmos um inversor na saída da porta NOR obtida acima, ou seja:

4.3.2.4. - Porta NOR a partir da porta OU e inversores

Como já visto, anteriormente, basta colocarmos um inversor na saída de uma porta OU que teremos uma porta NOR.

4.3.2.5. - Porta NAND a parir de porta OU e inversores

Podemos provar que o circuito acima é uma porta NAND através da tabela da verdade:

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4.3.2.6. - Porta E a partir de porta OU e inversores. Necessitamos colocar um inversor no circuito obtido acima, ou seja:

4.3.2.7. - Quadro resumo

Exercícios 1. Desenhe os circuitos das expressões abaixo: a) b)

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2. Escreva as expressões dos circuitos abaixo e suas tabela-verdade. a)

b)

c)

3. Mostre como podemos: a) Obter uma porta OU a partir de portas NAND e inversores. b) Transformar uma porta NOR em uma porta E.

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Capítulo 5 – Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos Vimos até aqui que circuitos lógicos executam equações booleanas as quais representam situações. No capítulo anterior, determinamos esses circuitos através de suas expressões características extraídas de tabela da verdade. Os circuitos gerados por esse processo, apesar de corretor, admitem geralmente simplificações, e consequentemente, uma diminuição do número de blocos lógicos utilizados, que por sua vez significa uma diminuição no grau de dificuldade da montagem e no custo do sistema. Para entrarmos no estudo da simplificação dos circuitos lógicos, teremos que fazer um breve estudo da Álgebra de Boole, pois, é através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que efetuamos as mencionadas simplificações. Além disso, notaremos que é na Álgebra de Boole que estão todos os fundamentos da Eletrônica Digital. 95

5.1. - Variáveis e expressões na Álgebra de Boole As variáveis booleanas, que são representadas através de letras, podem assumir apenas dois valores 0, e 1. Expressão Booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas. Seu resultado assumirá apenas dois valores: 0 ou 1. Exemplo: S = A . B, tanto A como B como S podem assumir os valores 0 ou 1.

5.2. - Postulados 5.2.1. - Postulado ou complementação Esse postulado mostra como são as regras da complementação.

5.2.2. - Postulado de adição Esse postulado mostra como são as regras da adição dentro da Álgebra de Boole.

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1. 0 + 0 = 1 2. 0 + 1 = 1 3. 1 + 0 = 1 4. 1 + 1 = 1 Através desse postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades: 1. A + 0 = 1: porque A pode ser o ou 1, vejamos em todas as possibilidades: A=0 >0+0=1 A=1→1+0=1 Obs.: Notamos que o resultado será sempre igual à variável A.

2. A + 1 = 1: vejamos todas as possibilidades: A=0→0+1=1 A=1→1+1=1 Obs.: Notamos que sempre que somarmos 1 a uma variável o resultado será sempre 1.

3. A + A = A: vajamos todas as possibilidades: A+0→0+1=1 A=1→1+1=1 Obs.: Notamos que se somarmos a mesma varável, o resultado será ela mesma.

4. A + A’ = 1: vejamos todas as possibilidades: A = 0 → A’ = 1 → 0 + 1 = 1 A = 1 → A’ = 0 → 1 + 0 = 0 Portanto, sempre que somarmos a uma variável o seu complemento, teremos como resultado 1. O circuito lógico que executa o postulado da adição, como já foi visto, é o circuito OU.

5.2.3. - Postulado da multiplicação É o resultado que determina as regras da multiplicação booleana. 1. 0 x 0 = 0 2. 0 x 1 = 1 97

3. 1 x 0 = 0 4. 1 x 1 = 1 Através desse postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades: 1. A x 0 = 0: todo número multiplicado por zero será zero. Podemos confirmar verificando todas as possibilidades: A=0→0x0=0 A=1→1x0=0 Obs.: Notamos que todo número multiplicado por zero s será zero.

2. A x 1 = A: analisando todas as possibilidades, temos: A=0→0x1=0 A=1→1x1=1 Obs.: Notamos que o resultado dessas expressões numéricas serão sempre iguais a A.

3. A x A = A Essa identidade, a primeira vista estranha é verdadeira, como podemos confirmar pela análise de todas as possibilidades.

A= 0→0x0=0 A=1→1x1=1 Obs.: Notamos que os resultados serão sempre iguais a A.

4. A . A’ = 0: analisemos todas as possibilidades: A=0→0x1=0 A=1→1x1=0 Notamos que para ambos os valores possíveis que a variável pode assumir, o resultado da expressão será sempre zero.

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5.3. - Propriedades 5.3.1. - Propriedade comutativa 5.3.1.1. - Propriedade comutativa na adição A+B=B+A Provamos essa igualdade analisando todas as possibilidades:

Notamos que para cada possibilidade as expressões se equivalem.

5.3.1.2. - Propriedade comutativa na multiplicação Ax B = B xA Provamos essa igualdade analisando todas as possibilidades:

Notamos que para cada possibilidade as expressões assumem os mesmos valores.

5.3.2. - Propriedade associativa 5.3.2.1. - Propriedade associativa na adição A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C Provamos essa igualdade analisando todas as possibilidades

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Notamos que, também nesse caso, para cada possibilidade, as expressões assume o mesmo valor.

5.3.2.2. - Propriedade associativa na multiplicação A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C

Nesse caso, também, notamos que para cada possibilidade as expressões assumem o mesmo valor.

5.3.3. - Propriedade distributiva A . (B + C) = A . B + A . C Vamos verificar essa propriedade através da tabela verdade, analisando todas as possibilidades:

Notamos que as duas expressões se equivalem

100

5.4. - Teoremas de Morgan 5.4.1. - O complemento do produto é igual á soma dos complementos Para provar esse teorema vamos montar a tabela da verdade de cada membro e comparar os resultados.

Notamos a igualdade de ambas as colunas; Podemos ver a aplicação desse teorema na equivalência entre blocos lógicos.

Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

Concluímos que uma porta NAND, com mais de duas entradas é equivalente a uma porta OU com o mesmo número de entradas, apenas que com essas últimas invertidas, esquematicamente:

101

5.4.2. - O complemento da soma é igual ao produto dos complementos Esse teorema é uma extensão do primeiro:

Ou, generalizando:

5.5. - Identidades Auxiliares 5.5.1. - A + A . B = A Provamos essa identidade utilizando a propriedade distributiva. Vamos evidenciar o A no 1º termo: A (1 + B) = A 102

Do postulado da soma temos: 1 + B = 1, logo podemos escrever: A.1=A

portanto, A(1 + B) = A

5.5.2. - A + ĀB = A + B Vamos provar essa identidade:

5.5.3. - (A + B) . (A + C) = A + B . C Vamos provar essa identidade:

103

5.6. - Quadros Resumo

104

5.7. - Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando esse conceito da Álgebra de Boole podemos simplificar expressões. Lembrando que a cada circuito corresponde uma expressão, veremos que simplificações de expressões implicam simplificações dos circuitos. Para efetuarmos essas simplificações, existem, basicamente, dois processos. O primeiro deles é a simplificação através da fatoração. O outro é a utilização dos mapas de Veitch Karnauh que, veremos no item 5.8. Tomemos, como exemplo, a expressão: 105

Essa expressão mostra a importância da simplificação de expressões e a consequente minimização do circuito, pois, os resultados dessa expressão são idênticos aos valores assumidos pela variável A. Circuito antes da simplificação:

106

Circuito após a simplificação:

Notamos que todo esse circuito pode ser substituído por um fio. Como um outro exemplo, temos a expressão:

Circuitos: Antes da simplificação:

Após a simplificação:

107

Exercícios Resolvidos - Simplificar as expressões abaixo:

108

Exercícios 1. Simplificar as expressões abaixo:

5.8. - Simplificação de expressões e circuitos através dos diagramas de Veitch-Karnaugh Vimos até aqui a simplificação de expressões mediante a utilização dos postulados, propriedades de Álgebra de Boole. Nestes itens vamos tratar da simplificação de expressões por meio dos diagramas de Veitch Karnaugh. Após o estudo, notaremos que chegaremos mais facilmente à expressão mínima. Os diagramas de Veitch Karnaugh permitem simplificação de expressões características com duas, três, quatro, cinco, ou mais variáveis, sendo que para cada caso existe um tipo de diagrama mais apropriado.

5.8.1. - Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis

No quadro, temos as regiões das variáveis A e B:

A região na qual A = 1

109

A região onde A = 0 (A =1)

A região onde B = 1

A região onde B = 0 (B = 1)

Com duas variáveis podemos obter 4 possibilidades:

→ → → →

caso 0 caso 1 caso 2 caso 3

4 possibilidades

No caso zero, temos: A = 0 e B = 0. A região do diagrama que mostra esta condição é a da intersecção das regiões onde A = 0 e B = 0:

Região onde A = 0 (A = 1)

110

Região onde B = 0 ( B = 1)

A intersecção dessas regiões são:

Essa região também pode ser chamada de região AB.

No caso 1, temos: A = 0 e B = 1. A região do diagrama que mostra essa condição é a da intersecção das regiões onde A = 0 (A = 1) e B = 1.Fazendo-se a intersecção, teremos:

Essa região também pode ser chamada região AB.

No caso 2, temos a intersecção das regiões onde A = 1 e B = 0 (B = 1). Fazendo-se essa intersecção teremos:

Essa região também pode ser chamada de região AB.

No caso 3, temos a intersecção das regiões onde A = 1 e B = 1. Fazendo-se essa intersecção, teremos:

Essa região também pode ser chamada região AB. 111

Podemos distribuir, então as 4 possibilidades neste diagrama, da seguinte forma:

Logo notamos que cada linha da tabela verdade possui sua região própria no diagrama de Veitch-Karnaugh. Essas regiões são portanto os locais onde devem ser colocadas os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades. Para entendermos melhor o significado desse conceito, vamos utilizar o exemplo abaixo: Exemplo 1: A tabela verdade mostra o estudo de uma função de duas variáveis. Vamos colocar seus resultados do Diagrama de Veitch-Karnaugh. Caso 0 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Utilizando o método desenvolvido no capítulo 3, obtemos a expressão característica da função: S = AB + AB + AB Primeiramente, vamos colocar no diagrama o valor que a expressão assume no caso zero, ou seja, vamos colocar o valor de S, para esse caso, na região AB.

112

Agora, vamos colocar no diagrama o valor que a expressão assume no casa 1 (S = 1, caso 1, na região AB).

Em seguida, vamos colocar no diagrama o caso 2 (S = 1 na região AB).

E finalmente, colocaremos no diagrama a saída referente ao caso 3 (S = 1 na região AB).

Temos, agora, aquela tabela verdade escrita no diagrama de Veitch-Karnaugh:

Uma vez entendida a colocação dos valores assumidos pela expressão em cada caso no digrama de Veitch-Karnaugh, vamos verificar como podemos efetuar a simplificação. Para obtermos a expressão simplificada do diagrama, utilizaremos o seguinte método: Tentamos agrupar as regiões onde S é igual a um (1), no menor número possível de pares. 113

As regiões onde S é um (1), que não puderem ser agrupadas em pares serão consideradas isoladamente. No exemplo, temos:

Notamos que um par é o conjunto de duas regiões onde S é um (1) que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos. O mesmo um (1) que pode pertencer a mais de um par. Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama. O par 1 ocupa a região onde A é igual a um, então, sua expressão será: Par 1 = A O par 2 ocupa a região onde B é igual a um, então, sua expressão será: Par 2 = B Notamos também que nenhum um (1) ficou fora dos pares. Agora, basta somarmos para obtermos a expressão simplificada. No caso: S = Par 1 + Par 2 S= A + B Como podemos notar essa é a expressão de uma porta OU, pois a tabela verdade também é a da porta OU. Outro fato a ser notado é que a expressão obtida diretamente da tabela verdade é visivelmente maior que a expressão minimizada. Expressão obtida diretamente da tabela da verdade: S = AB + AB + AB. Circuito relativo a essa expressão:

Expressão obtida após a simplificação: S = A + B. Circuito relativo a expressão simplificada:

114

É evidente que a minimização da expressão, simplifica o circuito e como consequência, diminui o custo e a dificuldade de montagem. Exemplo 2: Vamos simplificar o circuito que executa a tabela verdade abaixo:

Obtendo-se a expressão diretamente da tabela, temos: S = A B + AB + AB. Transportando-se a tabela para o diagrama, mediante processo já visto, teremos:

Agora, vamos agrupar os pares:

Vamos escrever as expressões dos pares: Par 1 → A Par 2 → B Somando-se as expressões dos pares, teremos a expressão simplificada de S. S = A + B. Notamos que a tabela verdade é a de uma porta NAND e sabemos que a expressão de uma porta NAND é: S = A.B . Aplicando-se o teorema de Morgan, a expressão encontrada após a simplificação, encontraremos esta expressão: S = A + B = A.B.

115

5.8.2. - Diagramas de Veitch-Karnaugh para três variáveis

Região na qual A = 1:

Região na qual A = 1 (A = 0):

Região na qual B = 1:

Região na qual B = 1 (B = 0):

Região na qual C = 1:

Região na qual C = 1 (C = 0):

116

Nesse diagrama também teremos uma região para cada caso da tabela verdade: Tabela verdade de 3 variáveis

Mapa das regiões

Vamos analisar a colocação somente de uma das possibilidades, visto que as outras serão de uma maneira análoga. Vamos colocar no diagrama no caso 3: Caso 3

ABC 01 1

No diagrama será a intersecção das regiões onde: A = 0 ( A = 1), B = 1 e C = 1. Essa pode ser chamada de região A B C: Colocação do caso 3 no diagrama:

Para melhor compreensão, vamos traspor para o diagrama a tabela verdade abaixo:

Expressão extraída da tabela verdade: S=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

117

Transpondo a tabela para o diagrama, teremos:

Para efetuarmos a simplificação, seguimos o seguinte processo: Primeiramente, localizamos as “quadras” e escrevemos suas expressões. Quadras são agrupamentos de regiões onde S é igual a um (1) adjacentes, em sequência, ou dois a dois. As quadras possíveis num diagrama de três variáveis são: Quadra A

Quadra A

Quadra B

Quadra B

Quadra C

Quadra C

118

Notamos também que, num diagrama de três variáveis, as quadras são os locais onde uma das variáveis assume, um dado valor fixo. Exemplo: a quadra B assume o valor 1 (B = 0). Nosso exemplo, vamos ter:

Feita a localização das quadras, localizamos o número de pares possíveis e escrevemos suas expressões. Não devemos considerar como par, os pares já incluídos nas quadras, porém poderá acontecer de termos uma par formando “um” externo à quadra e um outro “um” pertencente à quadra. Deve-se ressaltar que são também considerados pares os seguintes casos abaixo:

Após isso, vamos localizar os pares no nosso exemplo:

1 par: A.B (pois o par está na intersecção das regiões: A = 1 e B= 1)

Notamos que esse par não depende de C, pois está localizado tanto em C como em C, ou seja, nesses dois casos a expressão resultará independente de valor de C. Feita a localização dos pares, resta considerarmos os termos isolados qjue não puderem ser agrupados em nenhum par e em nenhuma quadra. No nosso exemplo não temos esse caso. O passo final, é somarmos as expressões referentes às quadras, aos pares e aos termos isolados. No nosso exemplo, temos: Quadra: Par:

C AB

119

A expressão final minimizada será: S = A B + C Vamos efetuar a comparação entre as expressões e circuitos antes e após minimização. Expressão antes da minimização: S=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC Circuito antes da minimização:

Expressão após a minimização: S = A B + C Circuito após a minimização:

Como outro exemplo vamos minimizar o circuito que executa a tabela verdade abaixo:

Transpondo para o diagrama temos:

120

Agora, vamos agrupar as quadras, os pares e os termos isolados. Nesse caso vamos notar que teremos três pares. Pares: A C AB AC

A expressão minimizada será: S = A C + A B + A C Poderíamos também ter agrupado de outra maneira:

Gerando a expressão: S = A C + A C + B C Essas duas expressões, aparentemente diferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade, fato este comprovado levantando-se as respectivas tabelas verdade.

Exercícios Resolvidos - Minimizar as expressões abaixo, utilizando o diagrama de Veitch-Karnaugh 1) S = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

121

Transpondo para o diagrama de três variáveis, teremos:

Temos 1 quadra e 1 par:

A expressão minimizada ficará: S = C + A B 2) S = A B C + A B C + A B C

Transpondo para o diagrama, temos:

Agrupando-se os termos, temos:

A expressão minimizada ficará: S = A C + A B C

Exercícios 2. Minimizar as expressões abaixo: a) S = A B C + A B C + A B C + A B C b) S = A B C + A B C + A B C + A B C c) S = A B C + A B C + A B C + A B C

122

5.8.3. - Diagramas para quatro variáveis

Região onde A = 1

Região onde A = 1

Região onde B = 1

Região onde B = 1

Região onde C = 1

Região onde C = 1

Região onde D = 1

Região onde D = 1 123

Essas regiões também são conhecidas como oitavas: Região onde A = 1: oitava A Região onde A = 1: oitava A Região onde B = 1: oitava B Região onde B = 1: oitava B Região onde C = 1: oitava C Região onde C = 1: oitava C Região onde D = 1: oitava D Região onde D = 1: oitava D Nesse tipo de diagrama, também temos uma região para, cada caso da tabela verdade, como podemos verificar no diagrama completo abaixo: Tabela verdade de 4 variáveis

Diagrama de 4 variáveis com casos colocados

Vamos analisar a colocação de uma das possibilidades, visto que as outras são análogas. Tomemos como exemplo, o caso 8.

124

ABCD →1000 A = 1; B = 0; C =0; D = 0 Da intersecção dessas regiões, obtemos a região A B C D, que é a referente ao caso 8.

Para esclarecermos melhor a colocação no diagrama, analisando outros casos, vamos transpor para o mesmo a tabela da verdade abaixo:

Expressão de S extraída da tabela verdade: S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ AB CD+ABCD+ABCD

Transpondo a tabela para o diagrama: 125

Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo processo para os diagramas de três variáveis, somente que nesse caso o principal agrupamento será a oitava. Devemos ressaltar aqui, que no diagrama os lados extremos opostos se comunicam, ou seja, podemos formar oitavas, quadras, pares com termos localizados em lados extremos opostos. Vamos, como exemplo, verificar alguns desses casos no diagrama: Os casos abaixo são considerados pares:

Os casos abaixo são considerados quadras:

Após essa ressalva, vamos minimizar a expressão do nosso exemplo: Inicialmente, agrupamos as oitavas, em seguida as quadras, a seguir os pares e, por último, os termos isolados.

Somando-se as expressões, teremos a expressão final minimizada: S=D+AC+ABC

126

Expressões e circuito antes da minimização: S= ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ A B C D +A B C D + A B C D + A B C D + A B C D

Expressões e circuitos após a minimização: S=D+AC+ABC

127

Vamos analisar outro exemplo: Minimizar o circuito que executa a tabela verdade abaixo:

Expressão: S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+

AB

CD Transpondo-se a tabela verdade para o diagrama, teremos:

No diagrama temos: 2 quadras, 1 par, e 1 termo isolado.

128

Temos, então, que a expressão minimizada de S será a soma de todas esses agrupamentos: S=ABCD+BCD+AB+AD Circuito antes da minimização:

Circuito após a minimização:

129

Exercícios Resolvidos 1) Minimizar a expressão abaixo utilizando o diagrama de Veitch-Karnaugh. S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ AB CD Transpondo-se diretamente a expressão para o diagrama teremos:

Agrupando-se os termos no diagrama, teremos:

A expressão simplificada será: S=ABC+CD+ BD

130

2) Minimizar o circuito que executa a tabela verdade abaixo:

Transpondo-se da tabela para o diagrama, teremos:

Agrupando-se o diagrama, teremos:

A expressão minimizada ficará: S = A B + B C + D E o circuito minimizado será:

131

Exercícios 3. Simplificar as expressões abaixo, utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh. a) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D b) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B CD c) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B CD+ABCD+ABCD+ABCD d) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B CD e) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D

5.8.4. - Condição irrelevante Como já visto no capítulo 3, a condição irrelevante significa que para uma dada combinação das variáveis de entrada, a saída poderá assumir um (1) ou zero (0) indiferentemente. Tomemos, por exemplo, o caso da tabela abaixo: Transpondo essa tabela para o diagrama, temos:

O símbolo Ø representa que nessa condição a expressão pode assumir valores zero (0) ou um (1). No caso de escolhermos valor zero, a expressão simplificada será: S = A C + A B. No caso de escolhermos o valor um, a expressão ficará: S = A. Nesse caso é interessante adotarmos a condição irrelevante com o valor um (1), pois representa maior simplificação da expressão. Nos próximos itens aplicaremos esses conceitos.

5.9. - Exemplos de simplificação de circuitos No capítulo 4, vimos como esquematizarmos circuitos a partir de situações. Vamos complementar esses estudo simplificando esses circuitos. Tomemos o item 3.2.1, no qual o no qual o 2º exemplo gerou a seguinte tabela verdade: 132

Notamos a presença de condição irrelevante Vamos transpor a tabela para os diagramas incluindo estas condições irrelevantes.

Nos diagramas omitimos as letras A e B, isto porque, onde não temos A implicará automaticamente a condição A e onde não tivermos B implicará a condição B. Analisando o diagrama do V¹, verificamos a presença do par A, logo tomaremos a condição irrelevante como sendo zero. A expressão simplificada de V¹ será: V¹ = A. Analisando o diagrama de V², verificamos que é mais interessante tomar a condição irrelevante como sendo um (1) pois a expressão ficará: V² = A, isto é, devido ao agrupamento do par:

Notamos que no exemplo V¹ = V² (pois V¹ + A e V² = A). Analisando o diagrama de Vm¹, notamos que este é igual ao de V², então: Vm¹ = V² = A. Analogamente ocorre com Vm² que é identico a V¹, portanto: Vm² = V¹ = A O circuito ficará:

133

Comparando-se esses circuitos com o item 3.2.1 notamos que a simplificação foi significativa. Tomemos, agora, o exemplo do item 3.2.2. Neste exemplo temos a seguinte tabela verdade: Transpondo-se para os diagramas teremos: SA:

Fazendo-se Ø = 0, temos: Sa = A SB : Fazendo-se Ø = 0, temos: Sb = A B

SC : Fazendo-se Ø = 1, temos: Sc = A B

Os circuitos simplificados são:

134

Temos neste exemplo a seguinte tabela verdade:

SA:

SB:

S B= A B

SA=A

SC :

SD: SC=A B C

SD= A B C D

135

Os circuitos simplificados ficarão:

No capítulo que tratará de decodificadores e circuitos aritméticos, veremos mais aplicações de simplificação de circuitos pelos diagramas de Veitch-karnaugh.

5.10. - Diagrama para cinco variáveis

Vamos verificar as regiões deste diagrama: Região onde A = 1:

136

Região onde B = 1:

Região onde C = 1:

Região onde D = 1:

137

Região onde E = 1:

Essas regiões denominam-se hexas. A colocação de uma condição neste diagrama se faz de uma maneira análoga às anteriores. Vemos, por exemplo, verificar a região onde: A =1, B=0, C=1,D=0 e E=0.

Para efetuarmos a simplificação num diagrama de cinco variáveis, devemos tentar agrupar, primeiramente, em hexas, em seguida em oitavas, em seguida em quadras, e os pares, por último os temos isolados.

138

Vamos, agora, fazer a transposição e a simplificação da tabela verdade a seguir: Transpondo para o diagrama teremos:

Temos, então: 2 quadras:

quadra C D E quadra A B C

5 pares:

par A B D E par A B C D par A B D E par A B D E par A B D E

A expressão minimizada será: S= CDE+ABC+ABDE+ABCD+ABDE +ABDE+ACD E

139

Exercícios 4. Desenhar os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela verdade a seguir:

140

5.11. - Casos que não admitem simplificação Vamos analisar o caso da expressão abaixo: S=AB+AB Vamos tentar simplificar a expressão por meio do diagrama de Veitch-karnaugh.

Pode-se notar que não podemos agrupar termos, logo temos que tomar dois termos isolados o que significa que a expressão já foi dada na forma minimizada. S = A B + A B Que é a expressão do circuito OU exclusivo. S=A+B Outro caso notável é o da expressão: S=AB+AB No diagrama temos:

Podemos verificar que esse é um caso análogo ao anterior, logo a forma minimizada da expressão será: S=AB+AB

OU

S=A . B=A+B

Vamos agora analisar os casos dos circuitos OU exclusivo e coincidência para 3 variáveis: S1 = A + B + C S2 = A . B . C

141

Passemos as expressões acima para a tabela verdade:

Podemos notar que S1 e S2 são iguais e mais, olhando no diagrama podemos notar que não admitem simplificação:

Logo: S = A . B . C = A + B + C e já estão na forma simplificada. Podemos, efetuando o mesmo precedimento mostrar que: para 4 variáveis temos:

para 5 variáveis temos:

S=A+B+C+D =A.B.C.D

S=A+B+C+D+E=A.B.C.D.E

Essas formas não admitem simplificação. Se estendermos veremos que: para um número par de variáveis, temos a função OU exclusivo como sendo o complemento da função coincidência. E para um número ímpar de variáveis, temos a função OU exclusivo como sendo igual à função coincidência.

142

5.12. - Outras formas de utilização do diagrama de Veitch-Karnaugh 5.12.1. - Pelo complemento da expressão Significa tomarmos os casos onde a expressão é nula (os zeros do diagrama). Desta forma teremos o complemento da função S, bastando apenas inverter a saída. Isso nada mais é que utilizarmos o teorema de Morgan. Exemplo: tomemos a tabela abaixo e vamos simplificar a expressão:

Pelo método já conhecido temos que: S=A+C Podemos agrupar também os zeros, e ai teremos: S=A.C Aplicando-se Morgan teremos: S = ( A . C) = A + C que é a mesma expressão.

5.12.2. - Pela forma da apresentação Em vez de representarmos o diagrama dividindo-o em regiões como visto até aqui, podemos representá-lo de uma forma análoga conforme a figura a seguir.

Nessa figura é mostrada a disposição da tabela verdade no diagrama. 143

Pode-se reparar que este nada mais é que o diagrama já conhecido.

5.13. - Quadro Resumo 1) Diagrama de Veitch-karnaugh 2 variáveis

3 variáveis

4 variáveis

5 variáveis

144

2) Para simplificarmos: a) Fazemos o menor número possível de: 1-Oitavas 2- Quadras 3- Pares 4- Termos isolados b) Somamos as expressões dos agrupamentos. 3)

2 variáveis 3 variáveis

A+B=A.B A+B+C=A.B.C A . B .C = A + B + C

Número par de variáveis – Função OU Exclusivo complementar à função coincidência. Número ímpar de variáveis – Função OU Exclusivo à função coincidência.

145

Capítulo 6 : Circuitos Combinacionais Um dos capítulos importantes da eletrônica digital é o que trata dos circuitos combinacionais. É através do estudo desses que poderemos compreender o funcionamento de circuitos, tais como: somadores, somadores completos, subtratores, circuitos que executam prioridades, codificadores, decodificadores e outros circuitos muito utilizados na construção de computadores e em vários outros sistemas digitais. O circuito combinacional é aquele em que a saída depende única e exclusivamente das várias combinações das variáveis de entrada. Podemos utilizar um circuito lógico combinacional para solucionar problemas em que necessitamos de uma resposta quando acontecerem determinadas situações, situações estas, representadas pelas variáveis de entrada. Para construirmos esses circuitos, necessitamos de sua expressão característica, como vimos no capítulo anterior. Precisamos, então obter uma expressão que represente uma dada situação. Para extrairmos uma expressão de uma situação, o caminho mais fácil será o de obtermos a tabela verdade desta situação e, em seguida levantarmos a expressão. Esquematicamente, teremos:

146

6.1. - Expressões e circuitos a partir de tabelas da verdade No capítulo 3 tratamos de: -Expressões a partir de circuitos -Circuitos a partir de expressões -Tabelas verdade a partir de circuitos ou expressões. Veremos, agora, como podemos obter expressões e circuitos a partir da tabela verdade. Este é o caso mais comum na prática, pois geralmente, necessitamos representar situações através de circuitos lógicos. E com esta finalidade que utilizamos as tabelas verdade, pois elas mostram todas as situações possíveis e suas respostas.

6.1.1. - Exemplo de circuitos com duas variáveis Para entendermos esse processo, vamos seguir o problema abaixo:

O desenho acima representa o cruzamento das ruas A e B, com seus respectivos semáforos. Nesse cruzamento queremos instalar um sistema automático para os semáforos, que possua as seguintes características: 1ª Quando houver carros transitando somente na rua B, o semáforo 2 deverá permanecer verde para que essas viaturas possam trafegar livremente. 2ª Quando houver carros transitando somente na rua A, o semáforo 1 deverá permanecer verde para que essas viaturas possam trafegar livremente. 3ª Quando houver carros transitando somente na rua A e B, deveremos abrir o semáforo para a rua A, pois é preferencial. Para solucionarmos esse problema, podemos utilizar um circuitos lógico. Para montarmos esse circuito lógico, necessitamos de sua expressão, então, vamos agora analisar a situação, para obter sua tabela verdade. 147

Primeiramente, vamos estabelecer as seguintes convenções: a) Existência de carro na rua A A=1 b) Não existência de carro na rua A A = 0 ou A = 1 c) Existência de carro na rua B B=1 d) Não existência de carro na rua B B = 0 ou B = 1 e) Verde do sinal 1 aceso V1 = 1 f) Verde do sinal 2 aceso V2 = 1 g) Quando V1 =1 - vermelho do semáforo 1 apagado Vm1 = 0 verde do semáforo 2 apagado V2 = 0 vermelho do semáforo 2 aceso Vm2 = 0 h) Quando V2 = 1 V1 = 0; Vm2 = 0 e Vm1 = 1 Vamos montar a tabela verdade:

A situação 0 (A = 0 e B = 0) representa a ausência de veículos em ambas as ruas. Se não temos carros, tanto faz qual sinal permanece aceso. Nesse caso, preencheremos a tabela verdade da seguinte maneira:

Onde o símbolo O significa que as variáveis podem assumir os valores 0 ou 1. Esta condição é chamada condição irrelevante. A situação 1 (A = 0 e B = 1) representa presença de veículos na rua B e a ausência de veículos na rua A, logo devemos acender o sinal verde para rua B (v2 = 1). Teremos, então:

A situação 2 (A = 1 e B = 0) representa a presença de veículos na rua A e a ausência de veículos na rua B, logo devemos acender o sinal verde para a rua A (v1 = 1). Teremos então:

E a última situação possível, a situação 3 (A = 1 e B = 1) representa a presença de veículos em ambas as ruas, logo devemos acender o sinal verde para a rua A, pois esta é preferencial. 148

Temos, então:

Podemos, agora preencher a tabela:

No caso 0, condição irrelevante, tanto faz qual o sinal permanece aceso. Vamos adotar, por exemplo, que o verde do sinal 2 permaneça aceso. Teremos, então: V2 = 1 V1 = 0

Vm1 = 1

Vm2 = 0

Preencheremos, novamente, a tabela verdade com os novos valores para o caso 0.

Cada saída, ou seja, tanto V1 como Vm1 como Vm2 como V2, possuirá um circuito independente. Vamos escrever, primeiramente, a expressão de V1. Em que casos V1 deve acender? No caso 2 OU no caso 3 No caso 2 temos: V1 = 1 quando: A = 1 e B = 0, ou seja, V1 = 1 quando: A = 1 e B = 1 Logo, se tivermos como variáveis de uma função E, A e B, essa função assumirá valor 1 neste, e só neste caso. Logo: V1 = 1 quando A . B = 1 No caso 3 temos: V1 = 1 quando: A = 1 e B = 1, portanto, V1 = 1 quando: A = 1 . B = 1 Teremos V1 = 1 no caso 2 ou no caso 3. Logo, se tivermos como variáveis de uma função OU os produtos dos casos 2 e 3, esta função irá assumir o valor 1 nestes casos. 149

Podemos escrever, então: V1 = A . B + A . C - que é a expressão que representa a situação referente ao verde do semáforo 1. Vamos, agora, escrever a expressão de Vm1. Vm1 deverá acender no caso 0 OU 1. No caso 0, teremos Vm1 = 1 quando: A = 0 e B = 0, ou seja, A = 1 e B = 1. Vm1 será 1 quando A . B = 1 OU No caso 1, teremos Vm1 = 1 quando: A = 0 e B = 1, ou seja, A = 1 e B = 1 Vm1 será 1 quando A . B = 1 Daqui podemos escrever a expressão completa de Vm1: Vm1 = A . B + A . B Vamos, agora, escrever a expressão de V2. V2 acende no caso 0 ou no caso 1 Caso 0 A . B = 1

V2 = 1

Caso 1 A . B = 1

V2 = 1

OU V2 = A . B + A . B Podemos notar pela tabela verdade e pela expressão, que V2 = Vm1. Lógico, pois se acende o sinal verde para a rua B deve acender o vermelho para a rua A. Vamos escrever a expressão de Vm2. Vm2 acende no caso 2 ou no caso 3. Caso 2 A . B = 1

Vm2 = 1

Caso 3 A . B = 1

Vm2 = 1

OU Vm2 = A . B + A . B Como podemos notar pela tabela e pela expressão, Vm2 = V1. Lógico, pois se acende o farol verde para a rua A deve simultaneamente acender vermelho para a rua B. As expressões ficam: V1 = Vm2 = A . B + A . B V2 = Vm1 = A . B + A . B

150

E os circuitos que executarão essas funções serão:

Através desse exemplo, deixamos bem claro que um circuito combinacional tem suas saídas dependentes única e exclusivamente das variáveis de entrada. No caso, esse semáforo será comandado única e exclusivamente pelas variáveis A e B (vide convenções adotadas). Através desse exemplo, também deixamos claro como podemos extrair expressões de tabela verdade. Podemos notar aqui a importância dos assuntos tratados no capítulo anterior, pois sem conhecimento desses ficaria impossível a esquematização do circuito a partir da expressão obtida a partir da tabela verdade.

6.1.2. - Exemplo de circuitos com 3 variáveis Deseja-se utilizar um amplificador para ligar três aparelhos: um toca-fitas, um toca-discos e um rádio FM. Vamos elaborar um circuito lógico que nos permitirá ligar os aparelhos obedecendo às seguintes prioridades: 1ª Prioridade: Toca-discos 2ª Prioridade: Toca-fitas 3ª Prioridade: Rádio FM Isso significa que quando não tivermos nem um disco nem uma fita tocando, permanecerá ligado à entrada do amplificador o rádio FM. Se nesta hora ligarmos o toca-fitas, automaticamente esse ficará ligado à entrada do amplificador pois possui prioridade sobre o rádio FM. Se agora ligarmos o toca-discos, sendo ele a 1ª prioridade, permanecerá ligado ao amplificador.

151

Convenções utilizadas: Sa é a saída do circuito que dará a A a 1ª prioridade. Sb é a saída do circuito que dará a B a 2ª prioridade. Sc é a saída do circuito que dará a C a 3ª prioridade. Logo, se: Sa = 1 = ch1 fechada Sb = 1 = ch2 fechada Sc = 1 = ch3 fechada

Para preenchermos a tabela acima vamos analisar todas as oito situações possíveis. Situações possíveis: Caso 0 - Os três estão desligados. Logo, condição irrelevante. Caso 1 - Está ligado apenas o FM. Logo, somente Sc assume valor 1. Caso 2 - Está ligado apenas o toca-fitas. Logo, somente Sb assume valor 1. Caso 3 - Estão ligados Fm e toca-fitas, o toca-fitas tem prioridades sobre o FM. Logo, somente Sb assumo valor 1. Caso 4 - Está ligado apenas o toca-discos. Logo, somente Sa assume o valor 1. Caso 5 - Estão ligados toca-discos e Fm, os toca-discos é a 1ª prioridade. Logo, somente Sa assume valor 1. Caso 6 - Análogo ao caso 5. Caso 7 - Análogo ao caso 5 e 6. Após fazer a análise de cada situação, podemos preencher a tabela verdade. Obs: No caso da condição irrelevante vamos supor Sa=Sb=Sc=0, ou seja, nada ficará ligado a entrada do amplificador.

152

Vamos, agora, escrever as expressões de Sc, Sb e Sa 1ª) Expressão de Sc. Sc Assumirá valor 1 somente no caso 1, ou seja, Sc = 1 quando A = 0 e B = 0 e C = 1, logo também Sc = 1 quando A = 1 e B = 1 e C = 1, logo podemos escrever: Sc = A . B . C 2ª) Expressão de Sb. Sb Assumirá valor 1 no caso 2 ou no caso 3. Caso 2: A . B . C Sb = 1 Caso 3: A . B . C Sb = 1 Sb = A . B . C + A . B . C 3ª) Expressão Sa. Sa Assumirá valor nos casos 4 ou 5 ou 6 ou 7. Caso 4: A . B . C Sa = 1 Caso 5: A . B . C Sa = 1 Caso 6: A . B . C Sa = 1 Caso 7: A . B . C Sa = 1 Sa = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C E os circuitos que executam essas expressões são:

153

Notamos que quanto maior for o número de variáveis, maior será o número de situações possíveis, e por conseguinte, maiores serão os circuitos, porém, esses circuitos admitem simplificações como veremos no capítulo seguinte Álgebra de Boole. Aqui vamo-nos preocupar somente em extrair circuitos das situações.

6.1.3. - Exemplo de circuitos com 4 variáveis Suponhamos, agora, que uma empresa queira implantar um sistema de prioridades nos seus intercomunicadores, da seguinte maneira: Presidente: Vice-presidente: Engenharia: Chefes de secção:

1ª prioridade 2ª prioridade 3ª prioridade 4ª prioridade

Esquematicamente, teremos:

Convenções utilizadas:

-Presença de chamada: 1 -Ausência de chamada: 0 -Intercomunicador do presidente A -Intercomunicador do vice-presidente B -Intercomunicador da engenharia C -Intercomunicador do chefe de secção D

Saídas:

Efetivação de chamada:1 Não efetivação de chamada: 0

154

Estabelecidas as convenções, montamos a tabela de verdade:

Expressão de Sd Sd = 1 somente no caso 1 Sd = A . B . C . D Expressão de Sc Sc = 1 nos casos 2 ou 3 Sc = A B C D + A B C D Expressão de Sb Sb = 1 nos casos 4, 5, 6, 7 Sb = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D Expressão de Sa Sa = 1 nos demais casos (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) Sa = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + ABCD+ABCD

155

Os circuitos que executarão as funções serão:

156

6.1.4. - Exemplo 4: Tabela verdade com 3 variáveis Suponhamos que a tabela abaixo represente uma situação qualquer, da qual queremos levantar a expressão, para após montarmos o circuito.

Expressão de Sa. Se assume o calor 1 nos casos: 1 ou 2 ou 3 ou 7

Sa = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z

Expressão de Sb Se assume valor 1 nos casos: 0 ou 2 ou 3 ou 6 ou 7

Sb = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z

Expressão de Sc Sc assume valor 1 nos casos: 0 ou 2 ou 5 ou 6

Sc = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z

157

6.1.5. - Exemplo 5: Tabela verdade com 4 variáveis Agora, vamos levantar a expressão e montar o circuito de uma situação onde temos 4 variáveis e somente uma saída conforme a tabela verdade abaixo:

Expressão de S. S assume valor de 1 nos casos: 1 ou 5 ou 6 ou 7 ou 11 ou 12 ou 13 ou 14 S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ ABCD

158

Circuito

6.2. - Circuito OU Exclusivo 6.2.1. - Circuito OU Exclusivo como circuito combinacionail Trataremos do circuito OU exclusivo, como sendo um circuito combinacional, mas podemos considerá-lo também um bloco lógico como veremos no item 3.3.2. A função que ele executa, como o próprio nome diz, consiste em fornecer 1(um) à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. Com esta peque apresentação podemos montar sua tabela verdade e, obter pelo mesmo processo visto até aqui, sua expressão característica e, posteriormente, esquematizarmos o circuito. Tabela verdade: 2 variáveis. As entradas são iguais. As entradas são diferentes entre si. As entradas são diferentes entre si. As entradas são iguais. Dessa tabela podemos levantar a expressão característica da função OU exclusivo. S será 1(um) nos casos: 1 ou 2 S=AB+AB Circuito Ou exclusivo:

159

6.2.2. - Circuito OU Exclusivo como bloco lógico básico Existe também uma outra notação que representa a função OU exclusivo. S = A + B (lê-se: A OU Exclusivo B) Logo: S=A+B=AB+AB Ou seja, quando lemos A + B, temos de compreender que isso significa a função OU exclusivo, cuja expressão característica é S = A B + A B. Os símbolos do bloco lógico OU exclusivo são:

O bloco lógico OU Exclusivo executa a tabela verdade da função OU Exclusivo. E bom lembrarmos que esse bloco pode ser formado por blocos lógicos fundamentais, esquematizando temos:

O circuito OU Exclusivo também é conhecido como EXOR, pois é o termo derivado do inglês.

6.3. - Circuito Coincidência 6.3.1. - Circuito coincidência como circuito combinacionail Como o bloco OU Exclusivo, o circuito coincidência será tratado aqui como um circuito combinacional, embora possamos considerá-lo um bloco lógico básico. A função que ele executa, como seu próprio nome diz, será de fornecer 1 (um) à saída quando houver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada.

160

Montamos, agora, a tabela verdade. → houve coincidência dos valores de entrada → não houve coincidência dos valores de entrada → não houve coincidência dos valores de entrada → houve coincidência dos valores de entrada A tabela anterior gera a expressão: S=A.B+A.B Dessa expressão podemos esquematizar o circuito coincidência.

6.3.2. - Circuito coincidência como bloco lógico básico Existe uma outra notação para a função coincidência: S = A . B (Lê-se A coincidência B) Logo: S = A . B = A . B + A . B Ou seja, quando lermos A . B temos de compreender que isso significa a função coincidência cuja expressão característica é S = A . B + A . B Os símbolos da porta coincidência são:

Obs: Notamos que os símbolos são portas OU Exclusivo com a saída invertida. Podemos comprovar que existe esta inversão comparando-se as tabelas verdade de ambos circuitos.

161

E bom lembrarmos também que o bloco lógico coincidência pode ser formado por blocos lógicos fundamentais, esquematizando temos:

6.4. - Interligação de blocos OU Exclusivo ou Coincidência para mais de duas variáveis 6.4.1. - 3 variáveis Para a expressão: S = A + B + C podemos esquematizar o circuito das seguintes formas:

162

Tabela verdade

Como podemos notar nos circuitos acima, deve-se efetuar essa expressão parcialmente de dois em dois termos: S=(A+B)+C S=A+(B+C) S = ( A + C) + B Analogamente para a expressão: S = A . B . C, podemos esquematizar os circuitos da seguinte forma:

163

Podemos confirmar a validade dos circuitos acima, através das respectivas tabelas da verdade.

6.4.2. - 4 variáveis Para a expressão: S = A + B + C + D, temos:

Devemos, como já mencionado, efetuar a expressão parcialmente, de dois em dois termos. Analogamente, para a expressão: S = A . B . C . D, temos:

Se tivermos mais de 4 variáveis, seguimos o mesmo processo para esquematizarmos um circuito representativo da expressão. Para continuarmos o estudo dos circuitos combinacionais, faremos no capítulo a seguir uma análise sobre a simplificação de circuitos lógicos. Isto feito, trataremos de importantes circuitos combinacionais, tais como: somadores, subtratores e codificadores.

Exercícios 1. Elaborar um circuito lógico que permita encher automaticamente um filtro de água de dois recipientes e vela, conforme desenho abaixo. A eletroválvula permanecerá desligada quando tivermos nível 0 (zero). O controle será efetuado por 2 eletrodos A e B colocados nos recipientes a e b respectivamente. Convenções: -Recipiente “a” cheio eletrodo A em nível 1 -Recipiente “a” vazio eletrodo A em nível 0 -Recipiente “b” cheio eletrodo B em nível 1 -Recipiente “b” vazio eletrodo B em nível 0

164

2. Suponhamos o entrocamento das ruas A, B e C como no desenho acima, e que nesse cruzamento queremos instalar um conjunto de semáforos para as seguintes funções:

1ª) Prioridades: a) Quando o semáforo 1 abrir para a Rua A, automaticamente os semáforos 2 e 3 devem fechar, para possibilitar ao motorista ambas as conversões.. b) Analogamente quando o semáforo 2 abrir, devem fechar os semáforos 1 e 3. c) Pelo mesmo motivo, quando o semáforo 3 abrir devem fechar os semáforos 1 e 2. 2ª) Devemos também seguir as prioridades: a) O motorista que está na Rua A tem prioridade em relação ao motorista que está na Rua B. b) O motorista que está na Rua B tem prioridade em relação ao motorista que está na Rua C. c) O motorista que está na Rua C tem prioridade em relação ao motorista que está na Rua A. d) Quando houver carros nas três ruas a Rua A é preferencial. Pede-se: As expressões e os circuitos dos sinais verdes e vermelhos dos semáforos 1, 2 e 3. 3. Supondo que a tabela verdade abaixo represente uma situação qualquer, escrever as suas expressões características, e esquematizar os circuitos.

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4. Idem para a tabela a seguir de quatro variáveis.

5. Mostre que o circuito abaixo é um circuito OU Exclusivo.

6. Esquematize o circuito OU Exclusivo, utilizando apenas portas NOR e inversores. 7. Mostre que o circuito abaixo é um circuito coincidência.

8. Faça a tabela verdade e esquematize o circuito que executa a seguinte expressão: S = {( A . B + C) . ( A + B)} . C 166

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