Apuntes Filtros

DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________

DISEÑO PRÁCTICO DE FILTROS ACTIVOS PRÓLOGO. Estas páginas no tienen otra intención sino la de agrupar los conceptos prácticos sobre filtros activos que un diseñador electrónico a nivel de Escuela Técnica puede necesitar. Existen buenos libros y notas en esta materia, he incluido una selección de estos en el capítulo de Bibliografía al final del texto. El contenido está estructurado de forma que pueda ser utilizado como una unidad didáctica separada, y en cursos futuros irá acompañado por sus correspondientes sesiones de laboratorio, material en transparencias y CD de apoyo. Mientras este material llega podéis encontrar estos elementos: • A través de nuestro servidor FTP: ftp:\\[email protected]/users/te/Bernal • A través de la nueva página web del área en: www.unizar.es

Carlos Bernal.Ruiz Área de Tecnología Electrónica. EUITIZ. Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad de Zaragoza.

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CONTENIDOS CAPÍTULO 1. FUNCION DE TRANSFERENCIA. 1.1 ¿Qué es un filtro?. 1.2 Clasificación según bandas. 1.3 Clasificación tecnológica 1.3.1 Parámetros que definen un filtro. 1.3.2 Particularización en el paso-bajo. 1.4 Aproximaciones clásicas al filtro ideal 1.4.1 Butterworth. 1.4.2 Chebyshev. 1.4.3 Bessel 1.4.4 Comparación entre aproximaciones. 1.5 Resumen del capítulo. CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN. 2.1 Primer orden. 2.1.1 Inversor. 2.1.2 No inversor. 2.2 Sallen-Key 2.2.1 Paso-bajo. 2.2.1.1 Ganancia unitaria. 2.2.1.2 Ganancia variable. 2.2.2 Paso-alto. 2.2.2.1 Ganancia unitaria. 2.2.2.2 Ganancia variable. 2.2.3 Otras implementaciones. 2.3 MFB (Multiple Feedback). 2.3.1 Paso-bajo. 2.3.2 Paso-alto. 2.3.2 Otras implementaciones. 2.4 Resumen de implementaciones. CAPÍTULO 3. CÁLCULO PRÁCTICO. Proceso de cálculo de un filtro. 3.1 Ejemplos de cálculo. 3.1.1 Método de la función de transferencia. 3.1.2 Método simplificado de tablas. 3.1.3 Cálculo mediante software. Particularización a los filtros antialiasing. ANEXOS. a) Interpretación de la transformada de Fourier. b) Diseño en alimentación única. c) Tablas resumen. d) El filtro Notch. e) Otras funciones de transferencia. f) Listados Spice BIBLIOGRAFÍA.

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CAPÍTULO 1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 1.1 ¿QUÉ ES UN FILTRO? "Un filtro es un dispositivo que permite el paso de las señales eléctricas de una frecuencia o rango de frecuencias, mientras que impide el paso de otras." Webster.

Los filtros son utilizados en una gran variedad de aplicaciones: • En el campo de las comunicaciones, los filtros paso-banda son utilizados en el rango de audio (20Hz-20Khz) en modems y procesado de voz. • En el otro extremo, los filtros paso-banda de varias decenas de MHz no son raros. • Los sistemas de adquisición de datos normalmente requieren filtros paso-bajo antialiasing en las etapas de acondicionamiento previas a la conversión analógica a digital. • En las fuentes de alimentación los filtros son utilizados para suprimir armónicos y ruido eléctrico que pueda ser introducido en la red. Evolución del filtrado. Antiguamente la mayoría de los filtros eran pasivos, esto es, estaban construidos con elementos pasivos (resistencias, condensadores y bobinas). La aparición de los semiconductores en los 60’s y con ellos de los procesos de amplificación en estado sólido (transistores, AO’s) popularizó la construcción de la variante activa de los filtros utilizados por aquel entonces. En la actualidad el porcentaje de filtros activos aumenta cada día más, quedando los pasivos relegados a tareas como el filtrado de armónicos en red, supresión EMI, filtrado en RF, etc. Realmente se diseñan, fabrican y ajustan filtros electrónicos desde hace unos 150 años, pero ello no los hace menos útiles que antes, podríamos decir que en el “mundo digital” actual los filtros analógicos tienen su homónimo digital; es eso lo que posibilita la utilización de técnicas como la compresión de audio, la transmisión GSM, el formato DIVX/MPEG de video, etc. 1.2 CLASIFICACION SEGÚN BANDAS. Un filtro tiene una entrada (señal sin filtrar), una salida (señal filtrada) posee además la capacidad de modificar en la salida las características de amplitud y/o fase de las componentes frecuenciales de la entrada de forma selectiva . Según sea esta selección podemos obtener la siguiente clasificación de los filtros. 1. Paso-bajo (lowpass). Pasan todas las frecuencias por debajo de la frecuencia de corte y eliminan todas las frecuencias por encima de su frecuencia de corte. 2. Paso-Alto (highpass). Son los inversos de los pasobajo. Bloquean las frecuencias bajas y pasan aquellas por encima de su frecuencia de corte.

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3. Paso-banda (bandpass). Pasan las frecuencias entre la frecuencia de corte inferior y la superior, rechazan las demás. 4. Rechazo-banda(bandstop). Los inversos de los bandpass, rechazan las frecuencias entre las de corte y pasan el resto; un bandstop con alta capacidad para eliminar solamente una frecuencia (banda estrecha) se llama notch. 5. Allpass. Dejan pasar todas las frecuencias por igual pero producen un retraso de fase predecible en la señal. Éstas son las respuestas típicas de varios tipos de filtros:

Paso bajo

Paso banda

Paso alto

Fig. 1 Clasificación de los filtros atendiendo a la respuesta

Bandstop Notch

1.3 CLASIFICACIÓN TECNOLÓGICA. Dependiendo de la tecnología utilizada, podemos clasificar los filtros en: • Activos, construidos con amplificadores operacionales en combinación con resistencias y condensadores. • Pasivos, compuestos solamente de componentes pasivos (LRC). En el rango frecuencial alto (>10MHz) los filtros normalmente son pasivos, mientras que para frecuencias inferiores los activos son más utilizados pues permiten controlar mejor las características; además, el tamaño de los componentes pasivos necesarios dificulta la implementación de filtros pasivos por debajo de 1MHz.

Fig . 2 Filtro pasivo fc=120Mhz para 5KW: Alta frecuencia y potencia obligan al empleo de elementos pasivos. Cortesía de OMB Sistemas Electrónicos

Fig . 3 Los filtros activos permiten funciones de transferencia de 2º orden (dos raíces en el denominador) sin necesidad de bobinas.

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A lo largo del texto cubriremos el diseño de los filtros activos más utilizados hoy en día, para diseñar filtros pasivos existen buenas referencias que encontrará al final, en la sección “Bibliografía”. Introduciremos tres aproximaciones matemáticas a la función de transferencia ideal de un filtro (aplicando como ejemplo el caso paso-bajo), también desarrollaremos varias implementaciones físicas con amplificadores operacionales de estos filtros. Terminaremos el texto con tres ejemplos de cálculo práctico y anexos sobre cuestiones relevantes. 1.3.1 Parámetros que definen a un filtro. Un filtro queda básicamente definido por 5 parámetros: • Fc, frecuencia de corte (cutoff frequency). Es la frecuencia a la cual la respuesta del filtro abandona la llamada “banda de error”, normalmente -3dB1. • Fs, frecuencia de banda de paso (stopband frequency). Es la frecuencia en la que se alcanza la mínima atenuación en la banda de rechazo. • Rizado en la banda de paso (passband ripple). AMAX, es la variación (banda de error) en la parte paso-banda de la respuesta. • AMIN. Atenuación mínima en la banda de paso (stopband attenuation). Define la mínima atenuación junto a la banda de rechazo. • Orden M del filtro. Definido por el número de polos en la función de transferencia.

Fig . 4 La transición entre la banda pasante y la atenuada en un filtro no es inmediata⇒ existe una” banda de transición”

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Aunque p.e. en el Chebyshev se define como aquella frecuencia a la que la amplitud abandona la banda de error.

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Normalmente uno o más de estos parámetros será variable, de forma que queda al propio criterio de cada cual seleccionarlos en el rango adecuado; ésta selección ha de hacerse de acuerdo con la experiencia previa o los requisitos que presente el diseño. Con estos parámetros (llamados “plantilla”) iremos simulando para verificar si nuestro predimensionamiento es correcto; una vez alcanzada una simulación aceptable procederemos a implementarlo acudiendo a alguna de las formas existentes. 1.3.2 Caso de estudio: el filtro paso bajo. Continuemos desarrollando la teoría de filtrado sobre el filtro paso-bajo, es un buen ejemplo y partiendo de sencillas transformaciones podemos obtener cualquiera de los otros tipos (paso-alto, paso-banda...). En general la función de transferencia es un cociente de polinomios. En el caso de un filtro paso-bajo [1] posee una serie de polos, que son las raíces del polinomio de su denominador. Estas anulaciones del denominador se producirán en las llamadas "corner frequency" asociadas a cada uno de los polos; podemos definir además una banda pasante (passband) donde la señal no es atenuada, y una banda rechazada (rejectedband) (Fig. 1). A partir de la Fig. 1 podemos decir: 1. Llamaremos orden del filtro al número de polos n que su función de transferencia contiene; de forma general A(s ) =

1 (1 + α 1 s )(1 + α 2 s )(1 + α 3 s )...(1 + α n s ) [1]

2. Con la función de la expresión anterior tendríamos una respuesta en frecuencia como la de la Figura 6. 3. Si buscamos un filtro altamente selectivo, es decir, con la respuesta más abrupta posible, tendría las características del llamado filtro ideal (Fig. 5).

Fc

A

Características del filtro ideal: - Banda de transición inexistente. - Pendiente infinita. - Lineal en fase f

Fig . 6 La respuesta de un filtro se hace más abrupta con mayor número de polos

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Fig . 5 El filtro ideal es irrealizable mediante la electrónica analógica.

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4. Esta función de transferencia (Fig. 5) no es realizable físicamente, por lo que se han desarrollado una serie de aproximaciones; veremos como estas aproximaciones no son sino una situación de compromiso entre varias características: - Banda de paso maximalmente plana o, dicho de otra manera, filtro sin rizado en la figura de la banda de paso (no ripple). - Banda de transición pequeña, es decir, alta pendiente en la transición de la banda de paso a la rechazada. - Respuesta en fase lineal cuestión, que veremos más adelante. Con estas consideraciones en mente podemos crear una función de transferencia genérica que sobre [1] debe posibilitar la inclusión de polos complejos. Un buen punto de partida es [2]. A(s ) =

A0 A0 = 2 2 (1 + a1 s + b1 s )(1 + a 2 s + b2 s )....(1 + a n s + bn s ) Π (1 + a j s + b j s 2 )

[2]

2

j

Donde Ao es la ganancia en continua y a j , b j los coeficientes de la célula j2 del filtro. Para poder implementar [2] aplicaremos que: a) es el resultado de aplicar en cascada varias etapas de segundo orden del siguiente tipo: Ai (s ) =

A0i (1 + a i s + bi s 2 )

[3]

b ) Podemos también deducir que los filtros se podrán construir como unión de otros (células) agrupados en cascada. Vi

A(s)

B(s)

C(s)

Vo

Orden 1

Orden 2

Orden 2

Vi

A.B.C(s)

Vo

Orden 5

c) Al ser necesario realizar polos complejos, tenemos dos posibilidades: - Bobinas y condensadores LC. - Elementos activos en configuración especial, como operacionales. En casos particulares podremos tener filtros con polos reales solamente [4]. A(s ) =

1 (1 + α 1 s )(1 + α 2 s )(1 + α 3 s )...(1 + α n s )

que posee una serie de polos α 1 , α 2 ...α n todos reales. 2

Llamamos así al bloque básico de construcción.

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[4]

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d) El filtro pasobajo representa un caso concreto, así la función de transferencia normalizada o genérica por célula correspondiente a los otros tipos análogamente a [3] será: s 2 A0i PASO ALTO Ai (s ) = [5] (1 + a i s + bi s 2 ) PASOBANDA

Ai (s ) =

A0i s (1 + a i s + bi s 2 ) Ai (s ) =

RECHAZO BANDA

[6]

s 2 + A0i (1 + a i s + bi s 2 )

[7]

Existen además una serie de transformaciones que permiten pasar desde cualquier función de transferencia paso-bajo a la correspondiente paso-alto, paso-banda o rechazo-banda; más información en Anexo E. 1.4 APROXIMACIONES CLÁSICAS AL FILTRO IDEAL. 1.4.1 La aproximación de Butterworth. Cuando Butterworth formuló esta aproximación pretendía obtener una respuesta (Fig. 7) en la banda de paso lo más plana posible (MFR, maximally flat response). Todas las frecuencias que atraviesen este filtro en la banda de paso, aparecerán con la misma amplitud (o proporcional) en la salida. Este filtro es pues óptimo para: - Filtros antialiasing3 en sistemas de conversión de datos. - Instrumentación genérica donde se precise una respuesta frecuencial plana. La siguiente es su forma de primer orden en el dominio de la frecuencia s ⇒f. A( f ) =

1 1 + ( f fc )

[8] 2m

A la frecuencia f C se le llama frecuencia de corte, constituye un polo, y es la

frecuencia a la que A( f ) = 1 2 = 0.707 veces el valor respecto a la situación de continua. Este nivel corresponde con una atenuación de 3.01dB ya que 20 ∗ log(0.707 ) = 3.01 . Para trabajar con la respuesta de un filtro independientemente de su frecuencia de corte utilizamos las llamadas formas normalizadas; donde en la posición 1 tendremos la frecuencia de corte del sistema. Vemos en la figura. 8 las respuestas en amplitud normalizadas para ordenes 1,2,4 y 10. 3

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Fig. 8 Respuesta normalizada Butterworth para diversos órdenes. Fuente:Texas Instruments

Fig. 7 Respuesta normalizada Chebyshev para diversos órdenes. Fuente Texas Instruments.

1.4.2 La aproximación de Chebyshev (Tshebyscheff). Esta aproximación proporciona una máxima pendiente por encima de la frecuencia de corte, sin embargo en la banda de paso la ganancia no es constante (ripple). Podemos observar que para un determinado orden cuanta más pendiente se desee más rizado en la banda de paso se obtiene. La frecuencia de corte de un filtro Chebyshev se define como la frecuencia a la cual la respuesta baja del mínimo del rizado en la banda de paso, al poder graduar el rizado cuando hablemos de un filtro Chebyshev deberemos especificar además el rizado para conocer los coeficientes a j , b j . Los filtros Chebyshev son utilizados sobre todo en bancos de filtros, donde la rápida atenuación con la frecuencia es más importante que la amplificación constante en la banda de paso. 1.4.3 La aproximación de Bessel. Se caracteriza por tener una respuesta lineal en fase, veamos que significa esto. Un sistema lineal en fase cumple que si se suman dos señales senoidales de distinta frecuencia, éstas aparecerán en la salida con amplitud y fase diferentes4; no obstante el retraso temporal de propagación de cada una de las señales será igual, esto es, “llegarán a la vez”. 4

El desfase en grados ha de variar con la frecuencia para que el tiempo de propagación se mantenga constante.

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Para que en un sistema no se produzca distorsión es necesario: - Que la respuesta frecuencial sea plana, distorsión en amplitud. - Que el sistema sea lineal en fase, que es lo mismo que decir que el retraso temporal (llamado retraso de grupo5), sea igual para cada una de las frecuencias de paso: A esto le llamamos distorsión de fase. En la figura las señales de entrada se superponen, pasan a través del sistema estrictamente lineal y pueden ser separadas en la salida de forma que Vin =Vout.

Sist lineal

Por el contrario si el sistema es lineal en amplitud pero no en fase:

Sist No lineal

La aproximación de Bessel cumple que retrasa el mismo tiempo todas las frecuencias (group delay constante) en su banda de paso, ver figura 9, por eso es particularmente útil en procesado de voz y música, ya que el oído humano es sensible a distorsiones de fase; sin embargo esta aproximación tiene algo de ripple (rizado) en la banda de paso y la pendiente, llamada rolloff en la literatura, no es tan buena como en los dos casos anteriores.

Fig . 10 Group delay en respuestas normalizadas

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En inglés Group Delay.

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Fig. 9 La función ideal (en rojo) se puede aproximar de muchas maneras, hemos visto tres de ellas.

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1.4.4 Comparación entre aproximaciones. Las tres aproximaciones vistas (Fig. 10) son las más clásicas, aunque a lo largo de la historia se han desarrollado otras más eficaces en algunos aspectos, resultan normalmente más difíciles de implementar; en este cuadro podemos ver resumidas las ventajas e inconvenientes de todas ellas.

Solo polos reales Polos complejos Polos complejos Polos complejos

Tipo de aproximación RC Butterworth Chebyshev Bessel

Pendiente (rolloff) Malo Normal La mejor Malo

Rizado (ripple) Normal La mejor Malo Normal

Fase (LPR, Linear Phase Response) Malo Malo Normal La mejor

Tabla 1 Ventajas e inconvenientes de los distintos tipos de filtros.

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1.5 RESUMEN DEL CAPITULO. Estas son las ideas clave que el lector debería haber adquirido a lo largo de este Capítulo 1: • Existen una serie circuitos que son capaces de rechazar o aceptar (en definitiva distinguir) unas u otras frecuencias o rangos de éstas llamadas bandas. Los principales tipos son: - Paso alto. - Paso bajo. - Paso banda. - Rechazo banda. - Notch. • Para cada una de las funciones ideales, no realizables físicamente, existe una serie de aproximaciones desarrolladas que intentando maximizar algunas características, pero perdiendo en otras con respecto al caso ideal. • Estas aproximaciones pueden tener polos y ceros, complejos o no, en su función de transferencia. Así. - Solo polos reales en función de transferencia: filtro RC. - Polos complejos: Butterworth Chevyshev. Bessel. - Polos y ceros: Otros filtros no explicados aquí, como los Elípticos. • Para poder realizar la implementación de estos filtros existen varias tecnologías: ACTIVOS. Formados por redes RC y elementos activos (transistores, válvulas de vacío, amplificadores operacionales, etc...). PASIVOS. Formados por redes de componentes RLC.

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CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN CIRCUITAL. Veremos a lo largo del capítulo diversas configuraciones circuitales que permiten implementar las diversas aproximaciones del Capítulo 1. Solamente comentaremos aspectos puntuales de aplicación, ya que el desarrollo teórico de los circuitos puede resultar largo, tedioso e improductivo al lector. Para el cálculo completo de los filtros, selección, aproximación e implementación, en el Capítulo 3 desarrollaremos tres ejemplos utilizando distintas técnicas. PRINCIPALES IMPLEMENTACIONES ACTIVAS. Como ya adelantamos en el Capítulo 1 (1.3), utilizaremos circuitos activos con ganancia (amplificadores); implementaremos exclusivamente con amplificadores operacionales debido a la sencillez de su manejo y comprensión. 2.1 Implementación de primer orden Para filtros de primer orden (una raíz real en su denominador) podemos encontrar dos variantes comunes, resultado de adaptar el amplificador inversor (Fig. 12) y el seguidor (Fig. 11).

Fig. 12 Filtro paso-bajo 1º orden, etapa inversora

Fig . 11 Filtro paso-bajo 1º orden, etapa no inversora

La función de transferencia de los circuitos de la figura solo permitirá incluir un único polo real, así las funciones de transferencia correspondiente son:

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1 para el no inversor, vemos que no permite ajuste de ganancia en 1 + R1C1 s continua (llamado de ganancia unidad) [9] A(s ) =

R2 R1 A(s ) = para el inversor con ganancia ajustable 1 + w c R 2 C1 s −

[10]

SEGUNDO ORDEN 2.2 TOPOLOGIA Sallen-Key. Desarrollada por R.P. Sallen y E.L. Key (IRE Trans. Circuit Theory, 1955), aprovecha el amplificador operacional para configurarlo con ganancia fija y limitada en la banda de paso; utiliza las llamadas técnicas VCVS (Voltaje Controlled Voltaje Source) es decir fuente de tensión controlada por tensión o, comúnmente, amplificador de tensión. 2.2.1 Paso-bajo. Existen al menos dos variantes, la de ganancia unidad en continua y la de ganancia ajustable. Fig . 13 Filtro paso-bajo orden 2, Sallen-Key ganancia ajustable

Fig . 14 Filtro paso-bajo orden 2, Sallen-Key ganancia unidad

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V0 (s ) del caso más general (ganancia ajustable) Vin no permite ver que es posible la implementación de polos dobles, ajustar la ganancia en continua Ao , y a través de un análisis más profundo de los coeficiente de [12] implementar polos complejos, que en los filtros pasivos están obligatoriamente formados por pares bobina-condensador: A0 A( s ) = [ 11] 1 + wc [C1 (R1 + R 2 ) + (1 − A0 )R1C 2 ]s + wc2 R1 R 2 C1C 2 s 2 La función de transferencia [12]

Simplificando para ganancia unidad los coeficientes de la función de transferencia A0 general Ai (s ) = ; a1 , b1 serán: (1 + a i s + bi s 2 ) A0 = 1 .

[12]

a1 = wc C1 (R1 + R2 )

[13]

b1 = wc2 R1 R2 C1C 2

[14]

2.2.2 Paso-alto. Para conseguir la transformación a la topología paso bajo solo deberemos cambiar componentes de sitio, manteniendo la estructura general. Así la célula de segundo orden Sallen-Key de tipo paso alto y ganancia variable quedaría (Fig. 15). Fig. 15 Célula Sallen-Key de segundo orden, paso alto y ganancia ajustable.

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Con una función de transferencia según [16] que se correspondería a la forma genérica [5] vista en el Capítulo 1. R α Con α = 1 + 4 R (C + C 2 ) + R1C 2 (1 − α ) 1 1 1 R3 1+ 2 1 • + 2 • 2 wc R1 R 2 C1C 2 s wc R1 R 2 C1C 2 s Igualmente podemos encontrar la forma de ganancia unitaria de función de transferencia más reducida. [ R3 → ∞; R 4 → 0 ⇒ α → 1 . A( s ) =

[15]

Fig. 16 Célula Sallen-Key segundo orden, paso alto y ganancia unitaria.

2.2.3 Otras implementaciones PASO BANDA y RECHAZO BANDA. (Véase Anexo D). MAYOR ORDEN. Para conseguir mayor pendiente (rolloff) deberemos encadenar en cascada varios filtros de primer o segundo orden, teniendo en cuenta las siguientes precauciones: a) El filtro de ganancia más alta normalmente será el primero. b) En la cadena ninguno de los filtros ha de tener tanta ganancia que con los niveles de señal esperados la salida del amplificador operacional de una célula se sature.

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2.3 MFB. Multiple Feedback Más actual, se desarrolló buscando menores exigencias que en el Sallen-Key en cuanto a tolerancia de los componentes, por ello normalmente es preferida en filtros que requieren un alto orden y ganancia. En esta configuración el operacional no trabaja con única realimentación como amplificador fijo, sino que tiene dos o más realimentaciones negativas, de ahí el nombre. 2.3.1 Paso-bajo.

Fig . 17 Célula MBF segundo orden, paso bajo.

La función de transferencia del circuito

Vout (s ) es: Vin

R2 R1 A(s ) = R2 R    s + wc2 C1C 2 R 2 R3 s 2 1 + wc C1  R 2 + R3 + R1   Relacionándola con los coeficientes de la ecuación normalizada[3] A0 Ai (s ) = (1 + a i s + bi s 2 ) R A0 = − 2 R1

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[16]

[17]

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 RR  a1 = wcC1  R2 + R3 + 2 3  R1   b1 = wc2 C1C 2 R2 R3 2.3.2 Paso-alto. Al igual que ocurre con la estructura Sallen-Key, podemos reorganizar los componentes (Fig. 18), intercambiando C's por R's, para conseguir una función de transferencia paso alto semejante a [5]. Fig. 18 Célula MFB segundo orden, paso alto

Con una función de transferencia: C C2 A(s ) = − 2C + C 2 1 2C + C 2 1 1+ ⋅ + ⋅ wc R1CC 2 s wc R1CC 2 s 2 Siendo en este caso el cálculo más sencillo al estar los valores de componentes relacionados con los parámetros f c , ganancia en continua [10] A∞ , C. R1 =

1 ; R 2 = R3 ( A∞ − 1) ; R 2 = − R 1 A∞ 2πf c a1C1

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[18]

[19]

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CAPÍTULO 3. CÁLCULO PRÁCTICO DE FILTROS. 3.1 Proceso de cálculo de un filtro. Vamos a ver ahora algunos ejemplos prácticos de cálculo, normalmente para realizar el diseño de un filtro, tenemos tres alternativas: 1- Utilizamos las ecuaciones [12] o [13] identificando cada componente con los coeficientes de la función de transferencia deseada; si el filtro tiene orden superior a dos pondríamos varias etapas en cascada. Esta manera de proceder es aconsejable solamente cuando el filtro no pueda ser realizado a través de las aproximaciones clásicas (Butterworth, Chebyshev, Bessel) o no se disponga de las herramientas que permiten trabajar según 2 o 3. 2- Hacer uso de las tablas de cálculo simplificadas (Véase Anexo I). 3- Utilizar un programa informático que calcule los componentes y las derivas causadas por la tolerancia de estos. Independientemente de la herramienta el proceso de diseño ha realizarse según aparece en este esquema. Inicio de proceso

1 Recojo especificaciones Generación de plantilla.

2 Selecciono el tipo A producción 3 Estimo el orden necesario en función de la atenuación

SI

4

NO

¿Cumple?

Simulo o implemento función de transferencia (Spice, Matlab, Software especializado...)

¿Es suficiente? (¿Cumplo plantilla?)

7 Construyo fisicamente prototipo NO SI

SI NO¿Cumple? 5 Elijo implementación

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6 Verifico simulación circuital

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Para cada fase del esquema anterior podremos utilizar las siguientes herramientas. FASE 1 Generación de plantilla 2 Selección del tipo que mejor se adecua a los requisitos 3 Estimación de orden 4 Simulación de la función de transferencia teórica

5 Elección de la implementación 6 Verificación de implementación

7 Construcción del prototipo

Herramientas Determinar los requisitos del producto en el que se trabaja. Teóricas, Bibliografía.

Verificación Teórica Experiencia

Gráficas. Software de predimensionamiento. Experiencia Matlab A través de la simulación Spice (componentes ideales) Programa especializado, Filterlab, FilterCAD, Microwave Office, Eagleware... Teórica, Bibliografía. Simulación circuital. Spice, ewb, A través de la simulación, análisis etc... de ruido, Monte Carlo (para las desviaciones de valores), de estabilidad, etc... Montaje en PCB o placa de Métodos frecuenciales: ensayo. - Analizador de espectros. - Analizador de filtros. Sound Blaster. - Métodos temporales y de variación. - Osciloscopio. - Cámara climática.

ALGUNAS HERRAMIENTAS DE SIMULACIÓN GENÉRICA ACTUALES SON (2002)

a) Protel 99SE. Permite : - Edición de esquemas. - PCB's completísimo. - Simulación (pocos modelos pero simulación completa, análisis paramétrico, frecuencial, ruido, Monte Carlo, distorsión,etc...). - Versión totalmente funcional solo por 30 dias www.protel.com b) Orcad 9. - Edición de esquemas. - PCB's completo. - Simulación, integra Pspice de Microsim (que fué comprada por Orcad). - Versión DEMO con limitaciones. c) Electronic Work Bench Versiones. 4,5,6-2002. - Edición de esquemas. - Entorno muy intuitivo. - PCB's completo (ultiboard). - Simulación (análisis paramétrico, frecuencial, ruido, Monte Carlo, distorsión,etc...). - Bastantes librerías y muy sencillas de editar. - Este programa ha mejorado muchísimo.

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d) Microsim eval 8. Spice. - Edición de esquemas. - Simulación Pspice clásica + Probe. - Versión de evaluación con limitaciones (ninguna grave). e) Microchip FilterLab. - Programa gratuito. - Permite predimensionar rápidamente. - Implementa Sallen-Key (ganancia unitaria) y MFB. - www.microchip.com

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3.2 EJEMPLOS DE CÁLCULO. El cálculo de filtros permite la aplicación de muchas técnicas diferentes: 1. Por una parte podemos comparar la función de transferencia normalizada de la aproximación (Butterworth, Cheby, etc...) con la de la implementación (Sallen-Key o MFB). Esta comparación normalmente se realiza en el dominio frecuencial transformando s⇒jw. 2. Por otra parte es común encontrar demasiados grados de libertad en las ecuaciones que relacionan la función aproximación con la implementación (circuito), son demasiados valores de componentes por elegir, por lo que se toman unas “simplificaciones tipo” como por ejemplo hacer resistencias o condensadores iguales y conseguir de esta forma que el sistema tenga solución determinada. 3. La complejidad se puede reducir a través del uso de tablas de cálculo simplificadas, que tienen en cuenta las “simplificaciones tipo” y que, por supuesto con algunas limitaciones, permiten el cálculo rápido en un porcentaje muy alto de los casos. Dado el carácter práctico de este texto trataremos uno de estos procedimiento de diseño mediante tablas, que aunque cerrado lleva a la obtención rápida de soluciones. En las referencias bibliográficas encontrará excelentes soluciones completas.

3.2.1 CÁLCULO DE MEDIANTE TABLAS. (Implementación Sallen-Key ganancia variable fig.15) Una vez que tengamos claro: a) El tipo de aproximación. b) El orden. c) La frecuencia de corte. El proceso de cálculo será el siguiente: 1.

En caso de tratarse de un filtro de orden n par calcularemos n de la tabla 5.

2.

En caso de ser n impar, calcularemos

(n − 1)

2

2

células según los datos y el orden

células siguiendo el mismo procedimiento y

añadiremos al comienzo de la cascada el filtro de primer orden de la fig.11 fijando f c en la 3.

especificada para el filtro general. Con cada célula buscaremos para el tipo y orden elegido el parámetro f n → Normalizing Factor, este factor lo utilizamos para tratar con la función de transferencia normaliza (la que tiene f c = 1 ).

1 . 2πf n f c

4.

Calcularemos RC =

5. 6.

Seleccionando uno de ellos, normalmente R calcularemos el otro C . Buscaremos tal como antes el factor de ganancia K necesario.

7.

Del circuito de la fig 15. K =

R4 = (K − 1) × R3 8.

R3 + R4 ⇒ Tomaremos un valor de R3 y calcularemos R3

Procederemos a comprobar el filtro calculado según fig 15. conociendo y a los valores de

R1 = R2 = R; C1 = C 2 = C ; R3 ; R4

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DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________

Butterworth

Bessel

Chebyshev (0.5dB)

Butterworth

Bessel

Nº polos

K

fn

2 4

1.586 1.152 2.235 1.068 1.586 2.483 1.038 1.337 1.889 2.610

1.272 1.432 1.606 1.607 1.692 1.908 1.781 1.835 1.956 2.192

6

8

Chebyshev (2dB)

Chebyshev 0.5dB K 1.268 1.084 1.759 1.040 1.364 2.023 1.024 1.213 1.593 2.184

Chebyshe v 2.0dB

fn

K

fn

K

1.231 0.597 1.031 0.396 0.768 1.011 0.297 0.599 0.861 1.006

1.842 1.582 2.660 1.537 2.448 2.846 1.522 2.379 2.711 2.913

0.907 0.471 0.964 0.316 0.730 0.983 0.238 0.572 0.842 0.990

2.114 1.924 2.782 1.891 2.648 2.904 1.879 2.605 2.821 2.946

Tabla. 5. Filtro de cuarto orden implementación VCVS (Sallen[1] Tomado de “The art of Electronics” Paul Horowitz, Winfield Hill.

Ejemplo 1.

“ Diseñar un filtro de f c = 22 KHz para un sistema de audio y con estas características: -

Orden 4. Aproximación tipo Chebyshev de 0.5dB dde rizado en la banda de paso. Paso-bajo.”

Para un filtro paso-bajo, acudimos al Capítulo 2 de implementaciones. Seleccionando la Sallen-Key, como el orden es par ( 2 células de 2º orden ); este es el esquema resultante:

Fig. 19 Filtro de cuarto orden implementación VCVS (Sallen-Key)

Donde las ganancias de cada uno de los amplificadores no inversores estarán dadas por:

K'=

(R3 + R2 ) ; K ' ' = (R5 + R6 )

R3 R5 Buscando en la tabla K ' = 1.582; K ' ' = 2.660 de donde seleccionando R3 , R5 =10KΩ. Podemos calcular:

R2 = K '× R3 − R3 = 5.82 KΩ ≈ 5.83KΩ (serie E192) R6 = K '× R5 − R5 = 16.66 KΩ ≈ 16.7 KΩ (serie E192) EUITIZ, Universidad de Zaragoza

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DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________ La frecuencia de corte es de 22Khz, podemos calcular utilizando los factores de normalización f n (0.597,0.031) los valores del resto de los componentes. Para la célula 1.

R1C1 =

1 1 1 = = = 1.2118 × 10 −5 seleccionando 2πf n f c 2π (0.597)(22000) 82535.3

Para la célula 2.

R4 C 3 =

1 1 1 = = = 7.017 × 10 −6 seleccionando 2πf n f c 2π (1.031)(22000) 142511

7.017 × 10 −6 R4 = 10 KΩ ⇒ C 3 = = 7.017 × 10 −10 = 700 pF ≈ 680 pF 10 K El circuito final queda.

Donde hemos seleccionado los valores comerciales más próximos. Verificando en el simulador: ç

Más en detalle.

Consideraciones prácticas al cálculo con tablas. •

Con el método simplificado de cálculo no es posible ajustar la ganancia en la banda de paso. Serían necesarias etapas de amplificación / atenuación en cascada para poder hacerlo.

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DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________ • •

• •

Existen métodos más elaborados que trabajan a partir de la identificación de componentes en la función de transferencia. Una buena referencia es: “Passive and Active Filter, Theory and Implementations”, Wai-Kai Chen. Ed. John Wiley & Sons.1986. ISBN 0-471-82352-X En general la selección de componentes con los de las series disponibles es una fuente importante de errores, en el filtro calculado podemos ver el resultado de una variación del 5% en los valores de componentes (análisis de de Monte Carlo).

Aunque el orden de las células teóricamente da igual, se implementarán tal y como aparecen en las tablas; de esta forma haremos más difícil la saturación de la salida de uno de los operacionales. La frecuencia de transición para ganancia unidad del amplificador operacional seleccionado será 6(rule of thumb) si es posible de unas 10 veces la frecuencia de corte del filtro; de esta forma no afectará a la implementación. Ft > 10*Fc A

f

6

En la literatura significa, truco, regla de uso.

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Un CD player contiene un filtro antialiasing complejo en la salida de su conversor D/A.

3.2.2 CALCULO UTILIZANDO SOFTWARE. FILTROS ANTIALIASING.

“ Los conversores A/D utilizan normalmente muestreo periódico y homogéneo, es decir, su frecuencia de muestreo ( Fs ) es constante. Uitlizando esta frecuencia de muestreo, todas las señales de frecuencias inferiores a la mitad de la de muestreo pueden ser apropiadamente digitalizadas, si una porción de la señal de entrada está por encima de la mitad de la frecuencia de muestreo se “reflejará” en la banda de interés

Fs ) con amplitud modificada….” (AN699, Microchip Tech. Bonnie C. Baker). 2 En la vida cotidiana podemos encontrar filtros analógicos en casi cualquier aplicación electrónica; no obstante, con el desarrollo de la electrónica digital, cada vez más procesos de filtrado se realizan mediante operaciones matemáticas, utilizando para ello el procesadores digitales de señal (DSP’s). Aún con toda esta tecnología disponible es rigurosamente cierto que: - Para que un sistema digital pueda procesar datos analógicos, primero hay que pasar por un proceso de conversión analógica a digital (A/D) . - Si queremos que los datos se reflejen en una magnitud física, deberemos pasar por el proceso inverso de conversión digital a analógico (D/A). - En estos procesos normalmente 7el ancho de banda de interés, con el que puede operar el sistema digital y que tiene significado para nosotros es el F comprendido entre DC ⇒ s ; siendo Fs la frecuencia de muestreo. 2 Será necesario evitar entradas o salidas al sistema de señales con frecuencias F superiores a s , incorporamos los llamados filtros antialiasing, ya que el fenómeno de la 2 “mezcla” entre estas frecuencias y la señal de entrada en el proceso de muestreo se llama “aliasing”. Vemos pues como en la práctica cada proceso de conversión entre los mundos analógico y digital está unido inevitablemente a la utilización de filtros analógicos (aunque el procesado posterior de la información sea puramente digital ).

(DC-

Fs/2

A

Banda “util”

Fs

Con energía aquí f ALIASING

Utilización del espectro de entrada a un conversor A/D

7

Otras técnicas específicas como el “undersampling” operan con anchos de banda diferentes.

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Ejemplo 2 Diseñar el filtro antialiasing de una tarjeta de sonido de altas prestaciones con las siguientes especificaciones: • Velocidad de muestreo : 196KSPS • Ancho de banda de audio: DC-20Khz. • Nº de bits. 24 bis. • Máxima relación señal-ruido teórica 1 LSB. • Velocidad de muestreo 196KSPS. PLANTEAMIENTO fs = 98Khz , luego 2 cualquier señal será convertida con precisión hasta 98Khz, como la banda de interés solamente se extiende hasta 20Khz podemos bajar hasta allí la frecuencia de corte del filtro. Notar que hemos muestreado más rápido8 de lo necesario, ya que podemos digitalizar señales de hasta 98Khz pero la información útil (audio) solamente se extiende a 20Khz. Sabemos que ½ de la frecuencia de muestreo (Nyquist)

PROCESO DE DISEÑO. Primero deberemos establecer los requisitos, después haremos un predimiensionamiento y los verificaremos para volver a repetir el proceso en caso necesario.

20Khz

A

Muestreo justo a frecuencia de Nyquist Fs=196Khz Con energía aquí f ALIASING

Banda “util”

fig . 20 El sobremuestreo “Oversampling” relaja los requisitos de filtrado

8

Técnica llamada “Oversampling”.

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DEFINICIÓN DE REQUISITOS Según lo expuesto anteriormente: - Banda de paso plana (igual respuesta a cualquier tono de audio).⇒ Tipo Butterworth. - Frecuencia de corte 20Khz. 1 1 - Atenuación a 98Khz Ndebit = 16 = 0.0000152587 pasándolo a dB 2 2  1  20 log 16  = −96.32dB . 2  PREDIMENSIONAMIENTO Cada polo añade una pendiente lejos de la frecuencia de corte de 20dB/década, si la frecuencia de corte fuera de 10Khz necesitaríamos al menos 6 polos (6*20=120dB)para cumplir los requisitos, al ser 20Khz necesitaremos 6dB más⇒ podemos empezar a aproximar con 6 polos ya que la atenuación final dependerá de (Capítulo 2): - El tipo de filtro . - El número de polos. - La distancia entre la frecuencia de corte y ½ de la de muestreo. VERIFICACION Implementando la función de transferencia correspondiente al Butterworth de orden 6 9.

Fig . 21 Utilizamos para el predimensionamiento un programa comercial de distribución gratuita, el Microchip Filterlab. www.microchip.com. 2000

9

(utilizamos para ello una herramienta informática apropiada, Matlab, Filterlab, etc…)

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VERIFICACIÓN Y REPLANTEAMIENTO. Vemos que un orden 6 no es suficiente para distintos tipos de filtros la atenuación a

fs

2

(98Khz) queda: Tipo Butterworth Chevyshev 1dB Bessel

Orden 5 -69dB -86.8dB -48.9dB

Orden 6 -82.8dB -106.5dB -55.0dB

Orden 7 -96.7dB -126.3dB -60.7dB

Luego solo cumpliremos los requisitos A < 0.000015258 = −96.32dB si escogemos: a) Butterworth de orden 7 ⇒ 13 resistencias, 3 AO’s, 13 condensadores. b) Chevyshev 1dB de rizado y orden 6. ⇒ 12 resistencias, 3 AO’s, 12 condensadores. c) Otra solución sería muestrear más deprisa10 (ver tabla adjunta) para conseguir llevar ½ de Fs más arriba en frecuencia. Sobremuestreo sobre criterio de Nyquist X1 (40KSPS) Criterio de Nq.

X5 (200KSPS) X6 (240KSPS) X7 (280KSPS) X10 (400KSPS) X16 (640KSPS)

Orden necesario para Butterworth Teóricamente ∝ para eliminar totalmente cualquier componente (alias) por encima de 20Khz. 7 6 6 5 4

Atenuación conseguida a ½ de Fs --

-96.7dB -93.4dB -101.4dB -100dB -96.3dB

Con una atenuación de 96.7dB>96.dB cumplimos los requisitos del diseño.

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El circuito resultante implementado en Sallen-Key es el de la figura.

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ANEXOS ANEXO A. INTERPRETACION DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. La transformada de Fourier. Dominio frecuencial. A través de varias asignaturas nos es familiar el llamado análisis de Fourier; éste análisis de Fourier forma una familia de técnicas matemáticas basadas en la descomposición / recomposición de una señal en senoides. En el año 1807 Jean Baptiste Joseph Fourier argumentó en un estudio sobre la propagación del calor, que “cualquier señal real podía ser representada como suma de varias senoides cuidadosamente seleccionadas…”; algunos grandes matemáticos como Joshep Luis Lagrange veían claro que esto ocurriese para señales con “cantos redondeados” pero pensaban imposible que una señal con esquinas abruptas pudiese ser suma de señales “suaves” como una senoide. Años más tarde Gibbs se encargó de demostrar que para un número suficiente grande de senoides (n⇒∝) normalmente sí se podía hacer dicha suposición, de hecho es común pensar que las funciones matemáticas se pueden descomponer en sumas de otras muchas (senoides, ondas cuadradas, triangulares, etc…) que combinadas acertadamente dan la original. ¿Por qué Fourier utilizó las senoides?, por su cualidad más apreciada: su sencillez de cálculo. Estas son algunas de las propiedades: 1) Una senoide de una frecuencia determinada introducida en un sistema cualquiera siempre va a dar en su salida al menos otra senoide de la misma frecuencia. 2) Una senoide de frecuencia f, introducida en un sistema lineal (como los filtros activos) siempre va a dar en la salida del sistema otra senoide de frecuencia f, con amplitud y fase solo definidas por el sistema (función de transferencia). Esto es, para una determinada realidad podremos trabajarla matemáticamente en dos modos (dominios): • Temporal. Donde lo que buscaremos es que ocurre en forma clásica (tensión, corriente, etc... frente a tiempo). • Frecuencial. Nos permitirá ver y procesar información oculta en el dominio temporal; ya que trataremos con la amplitud y la fase de cada una de las senoides de la serie de Fourier de la señal. Debe notar el lector que ambas visiones del problema corresponden a una única realidad, no obstante en muchos casos parece más simple para el ser humano el distinguir información temporal, aunque por ejemplo la mente de un músico está perfectamente entrenada y capacitada para percibir notas (senoides de frecuencias determinadas) igual que hacemos en el análisis de Fourier.

El proceso de filtrado. EUITIZ, Universidad de Zaragoza

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Supongamos que intentamos saber qué es esto.

Fig. . 22 La sonda de un osciloscopio “al aire”.

Es obvio que a menos que usted sea un vidente no habrá manera de distinguir nada en esta señal, parece que no es útil. Sin embargo vamos a ver la muestra desde otro punto de vista, el análisis de Fourier.

Fig . 23 Espectro de la señal anterior, podemos distinguir la energía del “ruido ambiente” y los canales de radio en la parte alta del espectro.

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Efectivamente, sí que podemos identificar un montón de cosas, los picos de la parte baja corresponden a ruidos eléctricos varios, armónicos de la señal de red, transmisores de AM, para la parte más altas una serie de emisoras (Cadena 40, Onda Cero, etc...) inyectan mucha energía en nuestro “ruido ambiente”. El proceso de filtrado responde a la necesidad de filtrar, seleccionar o suprimir algunas de estas frecuencias, de hecho, si construimos un filtro selectivo a la frecuencia de forma que solo deje pasar un rango frecuencial (sintonizador) ya podremos empezar a pensar en escuchar la radio.

ANEXO B. DISEÑO DE FILTROS CON ALIMENTACIÓN ÚNICA. En los circuitos vistos hasta ahora hemos considerado alimentación bipolar, esto no es cierto en todos los casos, ya que varios factores pueden obligar a diseñar para alimentación única (alimentación a baterías, alta linealidad, etc...). Los sistemas de alimentación única normalmente requieren operar con una “masa virtual” ya que el punto de polarización debe estar a mitad de la alimentación para asegurarnos de utilizar todo el rango disponible deberemos: • Generar esta “masa virtual” en la mitad de la tensión de alimentación, lo más limpia de ruido que nos sea posible. • Además habrá que acoplar la señal entre etapas mediante condensadores, polarizando la entrada en el punto correspondiente a la mitad de la alimentación. • Si la alimentación es pequeña (sistemas con baterías) tendremos que utilizar todo el rango dinámico del operacional ⇒ utilizaremos operacionales del tipo rail-to-rail, que pueden acercar su salida prácticamente a ambas alimentaciones. Aunque existen muchas aproximaciones al tema para que sirva de muestra el circuito de la figura representa una opción válida de diseño de una célula Sallen- Key con alimentación única.

Fig . 24 Polarización de una célula Sallen-Key con alimentación unipolar. Analog Devices, Inc.

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ANEXO C. TABLAS RESUMEN. FILTROS ACTIVOS. IMPLEMENTACIONES MÁS COMUNES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN (SOLO POLOS EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA) CIRCUITO

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

1 si se cumple que: 1 + RCs Z in << Z out Impedancias adaptadas

Activo inversor

R2 R1 A(s ) = 1 + w c R 2 C1 s −

Activo no

PRIMER ORDEN

A(s ) =

Ai (s ) =

Sallen-Key G. Unit.

SEGUNDO ORDEN

PASO BAJO

Pasivo

A(s ) ≈

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1 1 + wc RC

A0

(1 + a i s + bi s 2 ) A0 = 1 a1 = wc C1 (R1 + R2 ) b1 = wc2 R1 R2 C1C 2

34

A( s ) =

A0 1 + w c [C1 (R1 + R 2 ) + (1 − A0 )R1 C 2 ]s + wc2 R1 R 2 C1 C 2 s 2

R2 R1 A(s ) = R2 R    s + wc2 C1C 2 R 2 R3 s 2 1 + wc C1  R 2 + R3 +  R 1  

MFB

SEGUNDO ORDEN

PASO BAJO

Sallen-Key G.

DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________

PASO ALTO.

RCs si se cumple que: 1 + RCs Z in << Z out Impedancias adaptadas

Activo no inversor

PRIMER ORDEN

PASO ALTO

Pasivo

A(s ) ≈

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R2 R3 A(s ) = 1 1 1+ ⋅ wc R1C1 s 1+

35

Activo inversor

R2 R1 A(s ) = − 1 1 1+ ⋅ wc R1C1 s

A( s ) =

α R 2 (C1 + C 2 ) + R1C 2 (1 − α ) 1 1 1 • + 2 • 1+ wc R1 R 2 C1C 2 s wc R1 R 2 C1C 2 s 2

Sallen-Key G.var.

con α = 1

A( s ) =

α R 2 (C1 + C 2 ) + R1C 2 (1 − α ) 1 1 1 • + 2 • 1+ wc R1 R 2 C1C 2 s wc R1 R 2 C1C 2 s 2

con α = 1 +

R1 =

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R4 R3

C C2 A(s ) = − 2C + C 2 1 2C + C 2 1 1+ ⋅ + ⋅ wc R1CC 2 s wc R1CC 2 s 2

MFB

SEGUNDO ORDEN

PASO ALTO

Sallen-Key G.Unit.

PRIMER ORDEN

DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________

36

1 ; R 2 = R3 ( A∞ − 1) ; 2πf c a1C1 R 2 = − R 1 A∞

DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________

R 2 R3 Cwm ⋅ s R1 + R3 A(s ) = 2 R1 R3 RR R 1+ Cwm ⋅ s + 1 2 3 C 2 wm2 s 2 R1 + R3 R1 + R3 Donde: En la frecuencia central. R1 + R3 R 1 fm = ; − Am = 2 2R1 2πC R1 R2 R3 Otros parámetros. 1 Q = πf m R2 C ; Bandwidth B = πR2 C k (1 + s 2 ) 1 + 2(2 − k ) ⋅ s + s 2 Donde: En la frecuencia central. R 1 ; G =1+ 2 fm = 2πRC R1 La ganancia en banda de paso: A0 = G 1 Q= 2(2 − G ) A(s ) =

T-Twin Notch

RECHAZO BANDA

G ⋅ RCwm ⋅ s 1 + RCwm (3 − G ) ⋅ s + R 2 C 2 wm2 s 2 Donde: En la frecuencia central: 1 G ; Am = fm = 2πRC 3−G Otros parámetros: R 1 G =1+ 2 ; Q = R1 3−G −

MFB

COMPUESTOS

PASO BANDA

Sallen-Key

A(s ) =

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β (1 + s 2 ) A(s ) = 1 + α 3 1+ s + s2 1+α Con : R2 R α= y β= 2 R3 R4

Wien-Robinson

RECHAZO BANDA

COMPUESTOS

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DISEÑO FILTROS ACTIVOS v 1.0 ________________________________________________________ Fig . 25 El filtro Notch permite eliminar una banda muy estrecha

ANEXO D. EL FILTRO NOTCH

Cuando intentamos diseñar un filtro de rechazo-banda para eliminar de nuestra señal una determinada frecuencia (o banda muy estrecha) lo haremos a través de estructuras diferentes a las vistas en el Capítulo 2 o en el ANEXO C; esto es debido a que: • La banda eliminada normalmente tiene una frecuencia muy precisa, esta frecuencia debe de ser estable con la temperatura, tolerancias de componentes, etc... • Los valores de componentes para mantener alta atenuación y banda estrecha (⇒ Q’s altos), resultan imposibles en la práctica con las implementaciones clásicas. En por ello que se han desarrollado las técnicas Notch, que tienen como objetivo filtros muy “picudos” en los que solo queremos afectar a una banda muy estrecha y concreta. En instrumentación la aplicación más general del Notch es la de eliminar el ruido de 50Hz que aparece en los sensores o cables de transmisión. Hemos creído conveniente exponer solamente esta aplicación, dejando análisis más profundos a las referencias bibliográficas. Filtro NOTCH tipo T-TWIN características Frecuencia central del notch, media geométrica de las frecuencias laterales. f f m = 50 Hz . Q = 10 donde el factor de calidad es Q = m ; Adc = 1.95 ∆f

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ANEXO E. OTRAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. Vimos en el capítulo 1 como a partir del paso-bajo es posible desarrollar las funciones de transferencia de las aproximaciones clásicas paso-alto, paso-banda y rechazobanda. El estudio de estas formas va más allá del propósito de este texto, no obstante desarrollaremos las líneas guía de lo que en otras referencias se expone. Para la transformación de paso-bajo a otro tipo será necesario en [3] hacer las siguientes sustituciones: Transformación a:

Sustituir

PASO-ALTO

s

PASO-BANDA

s

RECHAZO-BANDA

s

Por 1 s 1  1  s +  donde ∆Ω es el ancho de banda de la ∆Ω  s banda de paso. ∆Ω donde ∆Ω es el ancho de banda de la banda 1  s +  s  de paso.

De esta forma obtenemos las ecuaciones [5],[6],[7] que expresan la forma general de cada uno de los tipos. Para llegar a la implementación física también se han desarrollado estructuras VCVS y MFB que están incluidas en el ANEXO C del presente texto. Tenemos que tener en cuenta los siguientes aspectos: • • •

Es posible sintetizar un filtro paso-banda o rechazo-banda de la conexión en cascada de un paso-alto y un paso-bajo. Si se trata de un rechazo banda de banda eliminada muy estrecha, hablaremos de Notch y debe ser implementado en la práctica a través del uso de estructuras diferentes como las que se introducen en el ANEXO F del presente texto. La aplicación de estos filtros (paso-banda, rechazo-banda y notch requiere normalmente un estudio más profundo de sus requisitos y variación de sus características con la tolerancia de los componentes).

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ANEXO F. LISTADOS SPICE. En este apartado encontrareis el listado Spice de simulación de distintos tipos de filtros. Corre en cualquier simulador compatible spice, los parámetros de variación están escritos dentro del listado. EJEMPLO 1. Filtro 1 orden, no inversor con fc= 1K.

**************************************************

* DISEÑO PRACTICO DE FILTROS * EUITIZ Universidad de Zaragoza * Carlos Bernal Ruiz * Mayo 2002 ************************************************** * Generadores

* Modelo del LM741 .SUBCKT op_lm7xx_LM741 1 2 3 Vos 4 1 DC 1mV Ib1 4 0 90nA Ib2 2 0 70nA G1 0 5 4 2 58.48m G2 0 6 5 0 779.74m G3 0 3 6 0 779.74m Ri 4 2 2MEGohm R1 5 0 1Kohm R2 6 0 75ohm R3 3 0 75ohm C1 5 0 21.221u C2 6 0 2.1221e-35 Cc 5 0 30p .ENDS .PROBE .AC DEC 1000 1 1MEG .PRINT AC V(61) .OPTIONS ITL4=25 .END

V_AC_0 60 0 AC 1.4142 0 + SIN(0 1.4142 10K 0 0 0) * Resistencias * R0 60 59 16.9K * Carga R1 0 61 1K * Condensadores * C1 C0 0 59 470p * Operacionales LM741, modelo incluido * X_opamp3_0 59 61 61 op_lm7xx_LM741

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EJEMPLO 2. Filtro paso-alto Butterworth, fc=1Khz, Sallen-Key ganancia variable.

************************************************** * DISEÑO PRACTICO DE FILTROS * EUITIZ Universidad de Zaragoza * Carlos Bernal Ruiz * Mayo 2002 * Filtro paso-alto fc=1Khz Sallen-key 2º orden gan.variable ************************************************** * Generadores

.SUBCKT op_lm7xx_LM741 1 2 3 Vos 4 1 DC 1mV Ib1 4 0 90nA Ib2 2 0 70nA G1 0 5 4 2 58.48m G2 0 6 5 0 779.74m G3 0 3 6 0 779.74m Ri 4 2 2MEGohm R1 5 0 1Kohm R2 6 0 75ohm R3 3 0 75ohm C1 5 0 21.221u C2 6 0 2.1221e-35 Cc 5 0 30p .ENDS .PROBE .AC DEC 500 1 1MEG .OPTIONS ITL4=25 .END

V_AC_0 60 0 AC 1.4142 0 + SIN(0 1.4142 10K 0 0 0) * Resistencias * R0 0 65 1K * R1 0 64 10K * R2 63 65 10K * R3 0 66 10K * R4 66 65 5.8K * Condensadores * C0 63 64 12.5n * C1 60 63 12.5n * Operacionales * X_opamp3_0 64 66 65 op_lm7xx_LM741 * Modelo del LM741 EUITIZ, Universidad de Zaragoza

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EJEMPLO 3. Filtro paso-bajo 2º orden Chebyshev 1dB MFB fc = 2Khz

************************************************** * DISEÑO PRACTICO DE FILTROS * EUITIZ Universidad de Zaragoza * Carlos Bernal Ruiz * Mayo 2002 * Paso-bajo Chebyshev 1dB, fc=2Khz, MFB ************************************************** * Generadores * AC Voltage Source(s) *

* C1 0 63 220n * Operacionales * X_opamp3_0 0 64 67 op_lm7xx_LM741 * Modelo del LM741 .SUBCKT op_lm7xx_LM741 1 2 3 Vos 4 1 DC 1mV Ib1 4 0 90nA Ib2 2 0 70nA G1 0 5 4 2 58.48m G2 0 6 5 0 779.74m G3 0 3 6 0 779.74m Ri 4 2 2MEGohm R1 5 0 1Kohm R2 6 0 75ohm R3 3 0 75ohm C1 5 0 21.221u C2 6 0 2.1221e-35 Cc 5 0 30p .ENDS .OPTIONS ITL4=25 .PROBE .AC DEC 500 1 1MEG .END

V_AC_0 60 0 AC 1.4142 0 + SIN(0 1.4142 10K 0 0 0) * Resistencias * R0 0 67 1K * R1 63 64 1.36K * R2 63 60 868 * R3 63 67 868 * Condensadores * C0 64 67 22n

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BIBLIOGRAFIA.

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