Apuntes_para_ma0293_prof_leiner_viquez_2c2017.pdf
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Universidad de Costa Rica
DE C O
Facultad de Ciencias
A
ER
T
S
AD
S
ID
A
UNIV
RIC
Escuela de Matemática
LU
CE
M ASPIC
IO
Departamento de Matemática Aplicada
MA0293 Cálculo para Computación I
Apuntes para el curso MA-0293 Cálculo 1 para Computación
Prof. Leiner Víquez García
II Ciclo, 2017
Índice general 1. Límites de funciones y continuidad
4
1.1.
Concepto intuitivo de Límite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.
Cálculo de límites a partir de la grá ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.
Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.
Técnicas para el cálculo de límites
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.
Sustitución directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.2.
Límites de la forma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
0 0
1.5.
Límites laterales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6.
Límites in nitos y las asíntotas verticales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.
Límites al in nito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función
. . . . . . . . . .
33
1.7.1.
Concepto de límite al in nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.7.2.
Propiedades de los in nitos
35
1.7.3.
Comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito
1.7.4.
Cálculo de límites al in nito de funciones racionales
1.7.5.
Cálculo de límites al in nito de funciones en las que aparecen radicales de índice
1.7.6.
Cálculo de las asíntotas horizontales de una función
1.7.7.
Asíntotas oblicuas de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dos(en el numerador o el denominador)
1.8.
Límites trigonométricos
. . . . . . . . . . . . .
35
. . . . . . . . . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 44 46 54
1.8.1.
Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.8.2.
Límites Trigonométricos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.8.3.
Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable
.
60
El Teorema de Intercalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.10. La de nición formal de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.9.
1.11. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1.11.1. Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo . . .
76
1.11.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.11.3. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.11.4. Estudio de la continuidad de una función
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
1.12. El Teorema del Valor Intermedio
2. Derivadas
92
2.1.
Concepto de Derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Derivación de funciones utilizando la de nición (Límite)
2.3.
La derivada en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.4.
Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.5.
Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
2.6.
Derivación con fórmulas
105
2.7.
Derivación Implícita
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.8.
Derivadas puntuales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.9.
Derivación de las funciones inversas trigonométricas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92 93
114
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
2.10. Derivación de funciones logarítmicas
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Derivación usando las propiedades de los logaritmos
117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
2.12. Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.13. Derivación de funciones exponenciales
120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.15. Derivadas Implícitas de Orden Superior
129
2.16. Aplicaciones de la derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1. Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado
. .
132 132
2.16.2. Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.3. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración.
.
136 145
2.16.4. Problemas de tasas relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
2.16.5. Extremos de una función
151
2.17. El teorema de Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
2.18. El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
2.19. Otras aplicaciones de la derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.1. Análisis y gra cación de funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163 163
2.19.2. Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
2.19.3. Problemas de optimización
198
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Integrales
206
3.1.
La integral inde nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
3.2.
El método de sustitución para calcular integrales inde nidas . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
3.3.
Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
3.3.1.
Fórmulas para integrar funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
3.3.2.
Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por
3.3.3.
Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas
medio de una sustitución simple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220 222
3.4.
Integrales que generan logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
3.5.
Integral de las funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
3.6.
Integrales que involucran inversas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
3.7.
Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Técnicas de integración
232
234
4.1.
Método de descomposición en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
4.2.
Técnica de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.3.
Método de sustitución trigonométrica
256
4.4.
Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. La integral de nida (el área bajo una curva)
266
271
5.1.
Concepto de integral de nida
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.
Algunas propiedades de la integral de nida
5.3.
Propiedades y fórmulas de las sumatorias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.4.
Cálculo de integrales de nidas mediante sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
5.5.
El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.6.
El método de sustitución con integrales de nidas
287
5.7.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
5.8.
Aplicación: El área de la región limitada entre dos curvas
299
5.9.
Integrales de nidas que involucran diferentes funciones y técnicas de integración
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271 274
308
A. Resumen de los casos de Factorización
316
B. Fórmulas trigonométricas
317
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II Ciclo Lectivo 2017
Prof. Leiner Víquez García
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
3
C. Grá cas de las funciones trigonométricas
318
D. Algunas fórmulas de Geometría
320
E. La función exponencial
322
F. La función logarítmica
324
G. Las funciones inversas trigonométricas
327
H. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas H.1. Integrales de productos de potencias de senos y cosenos
330
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
H.1.1. Caso I: Una de las funciones tiene exponente impar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
H.1.2. Caso II: Los exponentes de ambas funciones es par . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2. Integrales de potencias de secantes y tangentes
331
H.2.1. Caso I: La secante tiene exponente par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
H.2.2. Caso II: La secante y la tangente tienen ambas exponentes impares . . . . . . . . .
332
H.2.3. Caso III: La secante tiene exponente impar y la tangente exponente par
332
. . . . . .
I. Algunas demostraciones de teoremas y otros resultados I.1.
331
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
Demostraciones de algunas propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universidad de Costa Rica
II Ciclo Lectivo 2017
333
Prof. Leiner Víquez García
Capítulo 1 Límites de funciones y continuidad
1.1. Concepto intuitivo de Límite DEFINICIÓN: Decimos que el
límite de
f (x)
cuando x tiende a c, es igual a L si a medida que los valores de x se
aproximan a c, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de Esto se escribe
l´ım f (x) = L
x→c
lo que también se puede escribir como
f (x) → L
cuando
Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la función valor se aproxima
f (x)
si
x
se aproxima a
f (x)
se aproximan a L.
x → c.
f (x) =
x2 − 4 , ¾a qué x−2
2?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· I
2
x
1,5
1,9
1,99
1,999
/////
2,001
2,01
2,1
2,5
y
3,5
3,9
3,99
3, 999
/////
4,001
4,01
4,1
4,5
··································· I Lo que en la grá ca se vería así:
4
4
J ···································
J ···································
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
5
Observe que aunque la función no está de nida para
2,
2)
se aproximan a
l´ım f (x) = 4
x→2− decimos que
4
4.
Nótese que el
4
f (x)
(restricción), para valores muy cercanos a
como a la derecha (valores mayores que
no es imagen de
(límite lateral izquierdo) y
es el límite de
x=2
2), las imágenes 2. Esto se representa mediante los límites laterales l´ım f (x) = 4 (límite lateral derecho). Al coincidir ambos,
tanto a la izquierda (valores menores que
cuando
x→2+ tiende a
x
l´ım f (x) = 4
2,
lo que simbólicamente se representa así:
o también
x→2
x2 − 4 =4 x→2 x − 2 l´ım
EXISTENCIA DEL LÍMITE Si f es una función y si c y L son números reales, decimos que
l´ım f (x) = L
x→c
si y sólo si:
l´ım f (x) = l´ım+ f (x) = L
x→c−
x→c
EJEMPLO.
a
2x + 3, Considere la función f (x) = 5, 2 x + 1, −1?
si si si
x < −1 x = −1 x > −1
¾Qué sucede cuando los valores de
··································· I
J ···································
x
−1,2
−1,1
−1,01
−1,001
-1
−0,999
−0,99
−0,9
−0,8
y
0,6
0,8
0,98
0,998
5
1,998
1,98
1,81
1,64
··································· I
Observe que cuando los valores de
−1),
x se aproximan
las imágenes se aproximan a
1.
x
?
se aproximan a
J ···································
−1
por la izquierda (valores menores que
Lo anterior se puede representar como un límite lateral izquier-
l´ım f (x) = 1. A la vez, cuando los valores de x se aproximan a −1 por la derecha (valores mayores x→−1− que −1), las imágenes se aproximan a 2. Esto se representa con el límite lateral derecho l´ım f (x) = 2. x→−1+ Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de −1 sea 5, pues f (−1) = 5. Sin embargo, al do
ser diferentes los límites laterales, no podemos decir que
l´ım f (x)
x→−1
exista. Así, para que un límite exista,
los límites laterales deben ser iguales.
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II Ciclo Lectivo 2017
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Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
6
1.2. Cálculo de límites a partir de la grá ca de la función Como ya se ha mencionado en el apartado anterior, el concepto de límite está relacionado con el comportamiento de la función en un
vecindario
alrededor de cierto número. De ahí que, si se cuenta con
la grá ca de una función, podemos calcular (sí existe) el valor de un límite. EJEMPLO. Considere la gura en la que aparece representada la función
f.
De acuerdo con los datos que se aprecian en la grá ca, se cumple que:
l´ım f (x) = −0,7
x→−1−
l´ım f (x) = 0
x→−2−
l´ım f (x) = 4
x→0−
l´ım f (x) = 4
x→1−
l´ım f (x) = 2
x→2−
l´ım f (x) = 1
x→3−
l´ım f (x) no existe
l´ım f (x) = 2
x→−1
x→−1+
l´ım f (x) = 0
l´ım f (x) = 0
f (−2) = 0
l´ım f (x) = 4
f (0) = 4
l´ım f (x) = 4
f (1) = 4
l´ım f (x) = 2
f (2) no está de nida
l´ım f (x) = 1
f (3) = 4
x→−2
x→−2+
l´ım f (x) = 4
x→0
x→0+
l´ım f (x) = 4
x→1
x→1+
l´ım f (x) = 2
x→2
x→2+
l´ım f (x) = 1
x→3
x→3+
f (−1) = 2
Cuando la función tiene asíntotas verticales, se puede dar la situación de que un límite no exista, pero el comportamiento de la función se puede representar simbólicamente como un
l´ım f (x) = +∞
x→4−
l´ım f (x) = −∞
x→−3− (*)
l´ım f (x) = +∞
x→4+
l´ım f (x) = +∞
x→−3+
límite in nito.
l´ım f (x) = +∞
f (4) no está de nida
l´ım f (x) No existe (*)
f (−3) no está de nida
x→4 x→−3
NOTA: En estos últimos ejemplos el límite no existe, sin embargo en el caso de l´ım f (x) no solamente el x→−3
límite no existe, sino que no se puede representar el comportamiento de la función (al aproximarse por ambos lados a la asíntota vertical) como un límite in nito. Además podemos analizar el comportamiento de la función cuando el valor de mente, mediante el cálculo de los siguientes
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
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límites al in nito.
x
crece o decrece in nita-
l´ım f (x) = 0
x→+∞
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Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
7
1.3. Propiedades de los límites c, L
y
cualquiera,
n
Si
M
l´ım f (x) = L, l´ım g(x) = M , k es una constante real x→c x→c es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades (la demostración de al menos son números reales tales que
una de estas propiedades se efectuará más adelante cuando se estudie la de nición formal de límite):
l´ım (f (x) ± g(x)) = l´ım f (x) ± l´ım g(x) = L ± M
(1) El límite de una suma o resta de funciones
(2) El límite de un producto de funciones
x→c
x→c
f (x) g(x)
l´ım
x→c
(4) El límite de un múltiplo escalar de una función
(5) El límite de una potencia
n
x→c
l´ım (f (x) · g(x)) = l´ım f (x) · l´ım g(x) = L · M
x→c
(3) El límite de un cociente de funciones
x→c
=
x→c
l´ım g(x)
=
x→c
L , M
si
l´ım g(x) = M 6= 0
x→c
l´ım (k · f (x)) = k · l´ım f (x) = k · L
x→c
l´ım (f (x)) = l´ım f (x)
x→c
x→c
l´ım f (x)
n
x→c
x→c
= Ln
(6) El límite de un radical:
(a) Si
(b) Si
n
es par y
n
L
es impar y
Ejemplo. Si
es real positivo o cero
L
l´ım f (x) = 25
l´ım
x→−2
y
l´ım g(x) = −4,
1p 2 f (x) + 3 (g(x)) − 5f (x) · g(x) 5
= =
(b)
" p # 3 3 5 · f (x) − 0,25 · g(x) p l´ım x→−2 2f (x) + 5 5 8g(x)
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l´ım
x→c
x→−2
=
x→c
x→c
es un real cualquiera
x→−2 de los límites.
(a)
r √ p n n f (x) = n l´ım f (x) = L l´ım p n f (x) =
r n
√ n l´ım f (x) = L
x→c
calcule los siguientes límites utilizando las propiedades
=
l´ım
x→−2
1p 2 f (x) + l´ım 3 (g(x)) − l´ım (5f (x) · g(x)) x→−2 x→−2 5
p 1 2 f (x) + 3 l´ım (g(x)) − 5 l´ım (f (x) · g(x)) l´ım x→−2 x→−2 5 x→−2 q 2 ! 1 l´ım f (x) + 3 l´ım g(x) − 5 · l´ım f (x) · l´ım g(x) x→−2 x→−2 x→−2 x→−2 5 1 √ 2 25 + 3 (−4) − 5 · (25 · −4) 5
=
1 · 5 + 3 · 16 − 5 · −100 5
=
1 + 48 − −500
=
549
(tarea)
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R/
2 5
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1.4. Técnicas para el cálculo de límites 1.4.1. Sustitución directa Aunque el valor del límite de una función cuando
x → c no depende de el valor de la función en x = c, f (c). Más adelante veremos que en este caso
en ciertos casos resulta que el límite sí coincide con el valor decimos que la función es continua en
x = c.
Así, a partir de las propiedades de los límites surge una
técnica para calcular límites determinados, llamada la
sustitución directa.
resolvamos algunos ejemplos,
teniendo en cuenta los siguientes límites básicos y las propiedades de los límites.
TEOREMA
1. 2. 3. 4.
(LÍMITES BÁSICOS) : Si b y c son números reales y n es un entero, entonces se cumple:
l´ım b = b
x→c
l´ım x = c
x→c
l´ım xn = cn
x→c
l´ım
√ n
x→c
x=
(en este caso
√ n
c
n
es positivo si
(en este caso si
n
c = 0)
es par, considere que
c > 0)
EJEMPLO.
l´ım x2 + 1 x2 + 1 x→2 = l´ım x→2 x + 2 l´ım (x + 2) x→2 l´ım x2 + l´ım (1) x→2 x→2 = l´ım (x) + l´ım (2) = =
x→2 22 +1 2+2 5 4
(por propiedad 3 de los límites)
(por propiedad 1 de los límites)
x→2
(por Teorema de los límites básicos)
Ahora bien, si no se nos pide especí camente demostrar o justi car detalladamente el resultado de un límite, podemos aplicar la técnica abreviada de la sustitución directa, para evaluar el límite, así:
22 + 1 5 x2 + 1 = = x→2 x + 2 2+2 4 l´ım
(mediante la Técnica de Sustitución Directa)
EJEMPLOS. Evalúe los siguientes límites, mediante la técnica abreviada de sustitución directa:
1.
l´ım
x→3
x−4 x+5 √
2.
3.
l´ım
x→−2
R/
5+x+1 x2 − 3
R/1
√ x+4−1 l´ım √ x→5 3 x2 + 2 + 1
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+
−1 8
√
R/
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1.4.2. Límites de la forma
9
0 0
Cuando tratamos de utilizar la técnica de sustitución directa para calcular el límite en una función algebraica cuando
x → c,
llegamos a la forma indeterminada
0 , 0
podemos calcular el límite mediante la
obtención de una función que sea equivalente a la original, salvo en el punto
x = c.
En otras palabras,
aplicaremos el siguiente teorema:
TEOREMA: Sea
c
un número real y
existe, entonces
f (x) = g(x)
l´ım f (x)
x→c
para todo
x 6= c
también existe y además
en un intervalo abierto que contiene a
c.
Si
l´ım g(x)
x→c
l´ım f (x) = l´ım g(x)
x→c
x→c
NOTA:
l´ım g(x) se puede calcular por sustitución directa, entonces, al aplicar el teorema anterior, x→c tendríamos que l´ ım f (x) = l´ım g(x) = g(c) x→c x→c
Observe que si
A partir de lo anterior, para encontrar la función requerida y posteriormente lograr una igualdad entre los límites, las técnicas que utilizaremos serán
factorización
y
racionalización.
Ejemplos de límites que se resuelven factorizando:
1.
x3 + x2 − 2x x→−2 x3 + 3x2 + 2x l´ım
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a factorizar:
x3 + x2 − 2x x(x2 + x − 2) = l´ ım x→−2 x3 + 3x2 + 2x x→−2 x(x2 + 3x + 2) x2 + x − 2 = l´ım 2 se x→−2 x + 3x + 2 (x + 2)(x − 1) = l´ım x→−2 (x + 1)(x + 2) (x − 1) = l´ım x→−2 (x + 1) (−2 − 1) = (−2 + 1) (−3) = (−1) = 3 l´ım
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sigue obteniendo la
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0 inderterminación 0
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2.
l´ım1
x→ 2
3.
l´ım
10
4x2 + 4x − 3 8x3 − 6x2 + x
x→1 x3
R/8
x3 − 1 − x2 + x − 1
R/
3 2
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
l´ım
x→1 x3
4.
0 0 se procede a factorizar:
x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = l´ım 2 − x + x − 1 x→1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + x + 1) = l´ım x→1 (x2 + 1) (12 + 1 + 1) = (12 + 1) 3 = 2
(8 − x3 )(x2 − 4x + 4) x→2 x3 − 6x2 + 12x − 8
R/−12
l´ım
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Ejemplos de límites que se resuelven racionalizando:
EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE DOS Se multiplica por un factor racionalizador (un
1
conveniente), multiplicando el numerador y el deno-
minador por el conjungado del factor que se quiere racionalizar, para obtener la fórmula notable:
(a + b)(a − b) = a2 − b2 1.
l´ım √
x→1
1−x 5 − x2 − 2
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
l´ım √
x→1
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0 0 se procede a racionalizar el denominador:
√ 1−x (1 − x) ( 5 − x2 + 2) √ √ = l´ım · 5 − x2 − 2 x→1 ( 5 − x2 − 2) ( 5 − x2 + 2) √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) √ = l´ım x→1 ( 5 − x2 )2 − (2)2 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 5 − x2 − 4 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 1 − x2 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 (1 + x)(1 − x) √ ( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 (1 + x) √ ( 5 − 12 + 2) = (1 + 1) √ ( 4 + 2) = (2) 4 = 2 = 2
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√ 2.
l´ım
x→3
12
6+x−x 3−x
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, sólo que en este caso
es el numerador:
√ l´ım
x→3
3.
x2 + x − 2 l´ım √ x→−2 6+x−2
4.
p p 2(x − 4) − 2(x + 2) l´ım x→6 x2 − 36
√ √ 6+x−x ( 6 + x − x) ( 6 + x + x) = l´ım · √ x→3 3−x (3 − x) ( 6 + x + x) √ ( 6 + x)2 − (x)2 √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) 6 + x − x2 √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) (3 − x)(2 + x) √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) (2 + x) = l´ım √ x→3 ( 6 + x + x) (2 + 3) = √ ( 6 + 3 + 3) 5 = 6
R/−12
2
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EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE TRES Se multiplica por un factor racionalizador (un
1
conveniente), multiplicando el numerador y el deno-
minador por el factor que completa la correspondiente fórmula notable:
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Ejemplos:
1.
√ 3 − 3 9x l´ım x→3 x2 − 9 SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, en este caso el nume-
rador:
√ √ √ √ 3 3 3 − 3 9x (3 − 3 9x) (3)2 + 3 9x + ( 9x)2 √ √ l´ım = l´ım · x→3 x2 − 9 x→3 (x2 − 9) (3)2 + 3 3 9x + ( 3 9x)2 √ (3)3 − ( 3 9x)3 = l´ım √ √ 3 x→3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2 = l´ım
27 − 9x √ √ 3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
= l´ım
−9(−3 + x) √ √ 3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
= l´ım
−9 √ √ 3 (x + 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
x→3
x→3
x→3
=
= =
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−9 √ √ 3 3 (3 + 3) 9 + 3 9 · 3 + 81 · 32
−9 6 (9 + 9 + 9) −1 18
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2.
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x2 − 4x + 3 l´ım √ x→3 3 3x − 1 − 2 SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, en este caso el deno-
minador:
√ √ ( 3 3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + (2)2 (x2 − 4x + 3) x2 − 4x + 3 √ = l´ım √ · √ l´ım √ x→3 ( 3 3x − 1 − 2) x→3 3 3x − 1 − 2 ( 3 3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + (2)2 p √ (x − 1)(x − 3) 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 √ = l´ım x→3 ( 3 3x − 1)3 − (2)3 p √ (x − 1)(x − 3) 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 = l´ım x→3 3x − 1 − 8 p √ 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 (x − 1)(x − 3) = l´ım x→3 3x − 9 p √ 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 (x − 1)(x − 3) = l´ım x→3 3(x − 3) p √ 3 (x − 1) (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 = l´ım x→3 3 p √ 3 (3 − 1) ( (3 · 3 − 1)2 + 2 3 3 · 3 − 1 + 4 = 3 (2) (4 + 4 + 4) = 3 (2) (12) = 3 = 8 3.
l´ım
x→4
x3 − 9x2 + 26x − 24 √ 3 − 3 23 + x
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DOBLE RACIONALIZACIÓN
1.
√ 3− x−2 √ l´ım x→11 2 − 15 − x SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto
el numerador como el denominador:
√ √ √ √ 3− x−2 (3 − x − 2) (3 + x − 2) (2 + 15 − x) √ √ √ √ l´ım = l´ım · · x→11 2 − 15 − x x→11 (2 − 15 − x) (3 + x − 2) (2 + 15 − x) 2 √ √ (3) − ( x − 2)2 (2 + 15 − x) √ √ = l´ım 2 x→11 (2) − ( 15 − x)2 (3 + x − 2) √ [9 − x + 2] (2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 [4 − 15 + x] (3 + x − 2) √ − [−11 + x] (2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 [x − 11] (3 + x − 2) √ −(2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 (3 + x − 2) √ −(2 + 15 − 11) √ = (3 + 11 − 2) −4 −2 = = 6 3
2.
√ 1− x−2 l´ım √ x→3 x+6−3
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R/−3
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3. Calcule
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√ 2x + 3 − 3 √ . x→3 − x + 1 + 2 l´ım
(Indeterminación
0 0)
SOLUCIÓN √
√ √ ( 2x + 3 − 3) ( 2x + 3 + 3) (2 + x + 1) √ √ · √ · x→3 (2 − x + 1) ( √ 2x + 3 + 3) (2 + x + 1) [2x + 3 − 9](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [4 − x − 1]( 2x + 3 + 3) √ [2x − 6](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [3 − x]( 2x + 3 + 3) √ −2[3 − x](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [3 − x]( 2x + 3 + 3) √ −2(2 + x + 1)) = l´ım √ x→3 ( 2x + 3 + 3) −2 · 4 = 6 −4 = 3 l´ım
4.
√ ( 3 16x − 8 + 2) √ x→0 ( 1 − 2x − 1) l´ım
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto
el numerador como el denominador:
p √ √ √ √ ( 3 16x − 8 + 2) ( 3 16x − 8 + 2) ( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) ( 1 − 2x + 1) l´ım √ = l´ım √ · p · √ √ x→0 ( 1 − 2x − 1) x→0 ( 1 − 2x − 1) ( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) ( 1 − 2x + 1) √ √ [( 3 16x − 8)3 + 23 ]( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ √ x→0 [( 1 − 2x)2 − 12 ]( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ [16x − 8 + 8]( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ x→0 [1 − 2x − 1]( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ 16x( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ x→0 −2x( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ −8( 1 − 2x + 1) p = l´ım 3 √ x→0 ( (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) −8(2) = (12) −4 = 3
5.
√ 1− x l´ım √ x→1 3 x − 1
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Ejemplos de límites en los que se puede aplicar una sustitución adecuada:
1.
l´ım √
x→2
x−2 √ x−1+24x−1−3
SOLUCIÓN: El límite es de la forma
0 . 0
El límite se puede resolver usando la siguiente sustitución:
Sustitución:
u4 = x − 1 Cuando x → 2 Entonces u → 1 u4 + 1 = x l´ım √
x→2
2.
u4 + 1 − 2 x−2 √ √ = l´ım √ 4 x − 1 + 2 x − 1 − 3 u→1 u4 + 2 4 u4 − 3 u4 − 1 = l´ım 2 u→1 u + 2u − 3 (u2 + 1)(u + 1)(u − 1) = l´ım u→1 (u + 3)(u − 1) (u2 + 1)(u + 1) = l´ım u→1 (u + 3) (2)(2) = = 1 (4)
√ ( 3 16x − 8 + 2) l´ım √ x→0 ( 1 − 2x − 1) SOLUCIÓN: El límite es de la forma
0 0
p √ ( 3 −8(1 − 2x) + 2) ( 3 16x − 8 + 2) √ √ = l´ım x→0 ( 1 − 2x − 1) x→0 ( 1 − 2x − 1) √ (−2 3 1 − 2x + 2) √ = l´ım x→0 ( 1 − 2x − 1) √ 3 (−2 u6 + 2) √ = l´ım (?) u→1 ( u6 − 1) (−2 u2 + 2) = l´ım u→1 (u3 − 1) −2(u + 1)(u − 1) = l´ım u→1 (u − 1)(u2 + u + 1) −2 (u + 1) = l´ım 2 u→1 (u + u + 1) −2 (2) = (3) −4 = 3 l´ım
Sustitución efectuada en el paso señalado con
?.
u6 = 1 − 2x cuando x → 0 entonces u → 1 Universidad de Costa Rica
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3.
4.
√ 3 x−4 l´ım √ x→64 x−8
l´ım √
x→0
R/
2x √ 2x + 1 − 3 2x + 1
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1 3
R/6
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Límites que se resuelven efectuando operaciones algebraicas.
1.
l´ım
x→1
1 3 − 1 − x 1 − x3
SOLUCIÓN: Observe que en este caso el límite tiene de la forma indeterminada
∞ − ∞.
La técni-
ca para calcularlo consiste en efectuar la resta planteada, para obtener una expresión equivalente (excepto quizás en
l´ım
x→1
x = 1)
1 3 − 1 − x 1 − x3
y en la que la indeterminación sea otra.
1 3 − x→1 (1 − x) (1 − x)(1 + x + x2 ) 1 + x + x2 − 3 = l´ım ahora el límite x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) x2 + x − 2 = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) (x + 2)(x − 1) = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) −(x + 2)(−x + 1) = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) −(x + 2) = l´ım x→1 (1 + x + x2 ) −(1 + 2) = (1 + 1 + 12 ) −(3) = (3) = −1 = l´ım
genera la inderterminación
0 0
2 1− x l´ım 1 x→2 √ −1 x−1
2.
0 0 , pero por conveniencia en los cálculos, efectuaremos las restas planteadas en el numerador y el denominador: SOLUCIÓN: En este caso se genera la indeterminación
2 (x − 2) √ 1− x (x − 2) x − 1 x √ √ l´ım l´ım = l´ım = x→2 1 x→2 (1 − x − 1) x→2 x(1 − x − 1) √ −1 √ x−1 x−1 √ √ √ √ (x − 2) x − 1 (1 + x − 1) (x − 2) x − 1(1 + x − 1) √ √ √ = l´ım · = l´ım x→2 x(1 − x − 1) (1 + x − 1) x→2 x (1)2 − ( x − 1)2 √ √ √ √ (x − 2) x − 1(1 + x − 1) −(−x + 2) x − 1(1 + x − 1) = l´ım = l´ım x→2 x→2 x [1 − x + 1] x [2 − x] √ √ √ √ − x − 1(1 + x − 1) − 2 − 1(1 + 2 − 1) −2 = = = −1 = l´ım x→2 x 2 2
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20
PRÁCTICA 1 1. Considere Considere la siguiente grá ca de la función
f (x). Calcule los siguientes límites (si existen).
En caso de que el límite no exista indíquelo escribiendo NO EXISTE EL LÍMITE.
a ) l´ım− f (x) x→2
b ) l´ım+ f (x) x→2
c ) l´ım f (x) x→2
d) e) f)
l´ım
x→−1,5−
f (x)
l´ım f (x)
x→−3−
l´ım f (x)
x→−3+
g ) l´ım f (x) x→−3
h ) l´ım− f (x) x→3
i ) l´ım f (x) x→3
j ) l´ım+ f (x) x→3
k)
x→−∞
l)
x→+∞
l´ım f (x)
l´ım f (x)
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2. Considere la siguiente grá ca de la función
f (x).
21
Calcule los siguientes límites e imágenes.
a ) l´ım f (x) x→−2
b ) l´ım− f (x) x→1
c ) l´ım+ f (x) x→1
d ) l´ım f (x) x→3
e ) l´ım f (x) x→0
f)
x→−∞
g)
x→+∞
l´ım f (x)
l´ım f (x)
h ) f (3) i ) f (1) j ) f (0) 3. Calcule los siguientes límites.
a ) l´ım1
x→ 2
4x2 + 4x − 3 8x3 − 6x2 + x
x3 − 7x2 + 13x − 6 x→2 x3 − 8 4x2 − 1 c ) l´ım 1 2 x→− 2 4x + 8x + 3
b ) l´ım
3x5 − 2x4 − 8x2 x→0 6x4 − 3x3 + 2x2 x4 + 3x3 − 8x2 − 12x + 16 e ) l´ım x→−4 x2 − 16 x4 + 2x3 − 5x2 − 3x + 9 f ) l´ım x→−3 x2 − 2x − 15 √ 2x2 − 2x + 4 − 2 g ) l´ım x→−2 |3x − 2|
d ) l´ım
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22
√
x+4−1 √ 3 − 3 − 2x x3 − 2x2 + x − 2 i ) l´ım x→2 x5 − 16x 3 2x − 5x2 − 2x − 3 j ) l´ım 3 x→3 4x − 13x2 + 4x − 3 2 4x2 + 8 x − 2 k ) l´ım x→2 x − 2 x + 2x − 8
h ) l´ım
x→−3
6x3 + 4x2 − 14x + 4 x→−2 6x4 + 11x3 − 3x2 − 2x √ √ 4 x+5−5 x−4 l´ım x→20 x2 − 400 −2x4 + 7x3 + 53x2 − 148x + 60 l´ım x→6 x5 − x3 − 216x2 + 216 10 + x − 3x2 √ l´ım √ 4 − 3x − −6x − 1 x→ −5 3 √ √ 2 4x + 1 − 10x2 − 4 √ l´ım √ x→2 5x − 1 − 11 − x x3 − 7x2 + 7x − 6 l´ım x→6 −x4 + 37x2 − 36 x2 + x − 2 l´ım √ x→−2 6+x−2 √ 3− 3x l´ım √ x→27 x+9−6 √ 2x − 2 l´ım √ x→2 3 4x − 2 √ √ 2 4x − 3 − 12x √ l´ım 3 x→3 x−2−1 √ 6x − 5 − x l´ım √ x→5 3 2x − 2 − 2 √ 3 2x − 5 − 1 l´ım √ x→3 4x − 3 − 3 1 1 8x + 35 l´ım + 2 − x→5 x − 5 x + 5x + 25 x3 − 125
l ) l´ım m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) u) v) w)
RESPUESTAS 1. (a) −4 (b)
−∞
2. (a) 3. (a)8
(j)
11 17
(q)
− 12
5 (c)
(b) (b)
no existe (d)
2
(c)
−1
−1 4
−3
(c)−1
(k)2
(r)
(d)
5 (e) +∞ (f ) −∞ (g)
(l)
−4 9
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3
(f )
1
(g)
(d)−4
−21 25 (s)
(e)
(m)
3 2
−9 1600
(t)1
no existe (h)
−∞ (e)
(h)
−2
15 2 (n)
(u)
(i)
(f )
−121 945
−12 5
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−∞ (i) −∞ (j) −∞ (k) −∞ (l) 0 −1
(j)
27 8
3 (g)
1 4
(o)−2
(ñ)22
(v)1
(h)
(w)
3 2
(i)
(p)
5 64
−31 420
8 75
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23
1.5. Límites laterales Ya tenemos intuitivamente el concepto de límites laterales:
Límite Lateral Derecho: l´ım+ f (x) signi ca que
x se acerca a
c
por valores mayores que
c
x→c
Límite Lateral Izquierdo: l´ım− f (x) signi ca que
x se acerca a
c
por valores menores que
c
x→c
Ejemplos: 1. Calcule el siguiente límite y deduzca por qué sólo se puede calcular cuando
l´ım+
√
x → 1+ :
x−1
R/0
x→1
2. Sea
f (x) =
3 2x − x ,
si
x<1
si
x≥1
2x2 − 2,
¾Existe
l´ım f (x)?
x→1
(En caso de que sí exista calcúlelo).
SOLUCIÓN: Como la función cambia de fórmula precisamente en
x = 1,
para determinar si el
límite en cuestión existe, se calculan los límites laterales:
l´ım f (x) = l´ım− (2x − x3 ) = 2 · 1 − 13 = 1.
x→1−
x→1
l´ım f (x) = l´ım+ (2x2 − 2) = 2 · 12 − 2 = 0.
x→1+
Como
3. Sea
x→1
l´ım f (x) 6= l´ım f (x)
x→1−
f (x) =
x→1+
x+1 , 2 12 − 2x , 3
si
entonces no existe
x≤3 ¾Existe
si
l´ım f (x).
x→1
l´ım f (x)?
x→3
(En caso de que exista calcúlelo).
x>3
R/sí existe ( l´ ım
.
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x→3
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f (x) = 2)
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4. Sea
√ x−1 x−1 , f (x) = mx + 4,
24
x>1
si
¾Cuál debe ser el valor de
m
para que
l´ım f (x)
x→1
exista? Calcule
x≤1
si
el límite.
SOLUCIÓN: Note que la variable de la función es
x,
mientras que
m
representa una constante
desconocida (o incógnita) cuyo valor debemos despejar. También se le puede llamar un
parámetro.
m se utiliza el dato que condiciona el parámetro, en este l´ım f (x) exista. De ahí, que se debe cumplir que los límites
Ahora bien, para poder calcular el valor de caso, que el valor de
m
permite que
x→1
laterales sean iguales. Se procede por tanto al cálculo de los límites laterales, para igualarlos
l´ım f (x) = l´ım− (mx + 4) = m · 1 + 4 = m + 4
x→1−
x→1
√
x−1 0 ( forma indeterminada l´ım f (x) = l´ım+ 0 por lo que se racionaliza el numerador) x − 1 x→1+ x→1 √ √ √ 2 ( x − 1) ( x + 1) (( x) − (1)2 ) (x − 1) 1 1 √ √ = l´ım · √ = l´ım = l´ım = l´ım √ = + + + + (x − 1) ( x + 1) x→1 (x − 1)( x + 1) x→1 (x − 1)( x + 1) x→1 2 x+1 x→1 Como los límites laterales deben coincidir, se igualan así; formando una ecuación.
l´ım f (x) = l´ım+ f (x)
x→1−
x→1
1 2 1 m= −4 2 −7 m= 2
m+4=
Observe que en efecto si
Así
5. Sea
m=
−7 2
f (x) =
y
l´ım f (x) =
x→1
kx − 3,
m=
6k − x,
si
−7 2 , se cumple que
l´ım f (x) =
x→1−
1 . 2
x>1 ¾Cuál debe ser el valor de
si
k
para que
x≤1
.
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1 = l´ım f (x) 2 x→1+
R/
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l´ım f (x)
x→1
k=
−2 5
exista y calcúlelo?
y
l´ım f (x) =
x→1
−17 5
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25
NOTA: En algunos límites se requiere el análisis de valor absoluto. Para ello, recordemos su de nición:
|u| =
6. Sea
x |x|
g(x) =
¾Existe
u,
si
u≥0
si
u<0
−u,
l´ım g(x)?
x→0
SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto:
|x| =
x,
si
x≥0
si
x<0
−x,
Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en
x → 0,
y como en el límite
l´ım g(x) = l´ım−
x→0−
x→0
Como
7. Sea
x x = l´ım = −1 |x| x→0− −x
l´ım g(x) 6= l´ım g(x)
x→0−
l´ım g(x) = l´ım+
x→0+
x→0
entonces se cumple que no existe
x→0+
x2 − 25 |5 − x|
h(x) =
x = 0,
para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales:
¾Existe
x x = l´ım =1 |x| x→0+ x
l´ım g(x).
x→0
l´ım h(x)?
x→5
SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto:
|5 − x| =
5 − x,
si
5−x≥0
−(5 − x),
si
5−x<0
5 − x,
si
x≤5
si
x>5
lo que es equivalente a
|5 − x| =
x − 5,
Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en y como en el límite
l´ım− h(x) = l´ım−
x→5
x→5
x → 5,
x = 5,
para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales:
x2 − 25 (x + 5)(x − 5) −(x + 5)(−x + 5) = l´ım− = l´ım− = l´ım− −(x + 5) = |5 − x| (5 − x) (5 − x) x→5 x→5 x→5
−10. l´ım+ h(x) = l´ım+
x→5
Como
x→5
x2 − 25 (x + 5)(x − 5) = l´ım+ = l´ım+ (x + 5) = 10. |5 − x| (x − 5) x→5 x→5
l´ım h(x) 6= l´ım h(x)
x→5−
x→5+
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entonces se cumple que no existe
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l´ım h(x).
x→5
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8. Sea
f (x) =
x4 − 16 |4 − 2x|
Determine
l´ım f (x)
x→2+
.
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26
R/ 16
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27
1.6. Límites in nitos y las asíntotas verticales de una función Consideremos un caso especial de límites, para lo cual analizaremos el siguiente ejemplo. ¾Qué sucede con la función
l´ım
x→3−
2 x−3
f (x) =
2 x−3
cuando
x → 3?
Para contestar analizaremos su grá ca:
l´ım
x→3+
¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite
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2 x−3
l´ım f (x)?
x→3
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28
Veamos otro ejemplo: ¾Qué sucede con la función
l´ım
g(x) =
1 (x + 1)
2 cuando
x → −1?
1
x→−1−
(x + 1)
Para contestar analizaremos su grá ca:
l´ım
2
x→−1+
¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite
1 (x + 1)
2
l´ım g(x)?
x→−1
Como se comentó cuando se estableció la idea intuitiva de límite, cuando una función tiene una asíntota vertical, surge la situación de
De nición: Sea f a
(excepto quizás en
límites in nitos. Ahora vamos a formalizar dicho concepto.
una función de nida para todo
x
perteneciente a un intervalo abierto alrededor de
a):
l´ım f (x) = +∞ si el valor de f (x) crece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los x→a valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes haciendo que x se acerque lo su ciente al
1. Decimos que
valor de
a.
l´ım f (x) = −∞ si el valor de f (x) decrece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los x→a valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (en el sentido negativo) haciendo que x se
2. Decimos que
acerque lo su ciente al valor de
a.
Ahora bien, recuerde que la representación simbólica
∞
no es un número. De hecho, en casos donde los
límites son in nitos, NO SIGNIFICA QUE EL LÍMITE EXISTE. Más bien es una representación de la manera particular en que el límite no existe, debido al comportamiento no acotado de la función.
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29
También se pueden dar los casos laterales:
−∞
l´ım f (x)
=
l´ım f (x)
= −∞
x→a− x→a+
l´ım f (x)
=
+∞
l´ım f (x)
=
+∞
x→a− x→a+
Lo anterior nos permite llegar a la siguiente de nición de asíntota vertical.
De nición: La recta vertical x = a es una asíntota vertical
de la curva
y = f (x)
l´ım f (x)
=
+∞
l´ım f (x)
=
+∞
=
+∞
si por lo menos uno
de los siguientes enunciados es verdadero:
−∞
l´ım f (x)
=
l´ım f (x)
= −∞
x→a− x→a+
l´ım f (x)
x→a
x→a− x→a+
= −∞
l´ım f (x)
x→a
NOTA (Asíntotas verticales de funciones racionales): Si
h(x) =
f (x) , g(x)
con
f
y
h(x)
entonces la grá ca de
g
polinómicas y aes un número real tal que
tiene una asíntota vertical en x
f (a) 6= 0
y
g(a) = 0,
= a.
Ejemplos. Calculemos los siguientes límites:
1.
l´ım+
x→5
x2 + 5x x2 − 25 50 x2 +5x 0 se cumple que la función dada por y = x2 −25 5. Por lo tanto, el límite cuando x → 5+ es in nito, y se determi-
SOLUCIÓN: Como el límite genera la inde nición tiene una asíntota vertical en
x=
na el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a
Cuando
x → 5+
5
por la derecha:
el numerador tiende a
valores cercanos a
5
50(+)
mientras que el denominador tiende a
tivos (por ejemplo al evaluar en el denominador división de signos
0. Al evaluar 0 pero posi-
por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a
(+)/(+) = +,
x = 5, 001
éste equivale a
0, 01001).
Al efectuar la
por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función
se puede representar así:
l´ım+
x→5
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x2 + 5x = +∞ x2 − 25
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2.
l´ım+
x→2
3.
4.
l´ım
x→3−
l´ım
30
x2 − 2x − 4x + 4
R/
+∞
x2 −9
R/
−∞
R/
−∞
x2
x2
x→3 x2
1 − x2 − 6x + 9
2
SOLUCIÓN: Como el límite genera la inde nición −8 tiene se cumple que la función dada por y = x21−x 0 −6x+9 una asíntota vertical en x = 3. Por lo tanto, los límites laterales son in nitos, y se determina el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a 3 por la derecha y por la izquierda, es decir se representan simbólicamente los límites laterales: Cuando x → 3+ el numerador tiende a −8(−) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a 3 por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x = 3, 001 éste equivale a 0, 001). Al efectuar la división de signos (−)/(+) = −, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: l´ım
2 x→3+ x
1 − x2 = −∞ − 6x + 9
Cuando x → 3− el numerador tiende a −8(−) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a 3 por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x = 2, 999 éste equivale a 0, 001). Al efectuar la división de signos (−)/(+) = −, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: l´ım
x→3−
x2
1 − x2 = −∞ − 6x + 9
Observe que si se hubiera factorizado el denominador como (x − 3)2 , también se podía justi car que cuando x → 3 su signo siempre será positivo, por lo que en ambos límites laterales se hubiera obtenido el mismo comportamiento en cuanto a los signos (−)/(+) = (−). Así, el comportamiento de la función a ambos lados de la asíntota se puede representar así:
l´ım
x→3 x2
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1 − x2 = −∞ − 6x + 9
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5.
l´ım
x→0
x3 − 1 x3
31
R/ no existe y no se puede representar simbólicamente el comportamiento de la función cuando
x→0
como un límite ini nito
Ahora bien, podemos entonces también identi car las asíntotas verticales de las funciones racionales. Por ejemplo, efectuemos el estudio de asíntotas verticales para la siguiente función:
f (x) =
x−2 x2 − 4
SOLUCIÓN: Se debe identi car en primer lugar los valores que vuelven cero al denominador, y calcular los límites respectivos para determinar si se trata de asíntotas verticales, así como el comportamiento a su alrededor:
RESTRICCIONES DE LA FUNCIÓN
f (x) =
x−2 x−2 = : 2 x −4 (x + 2)(x − 2)
x 6= −2 x 6= 2
CÁLCULO DE LÍMITES:
l´ım
x→2
(x − 2) 1 1 = l´ım = (x + 2)(x − 2) x→2 (x + 2) 4
Puesto que el límite es determinado, se deduce que en
l´ım
x→−2
(x − 2) 1 = l´ım (x + 2)(x − 2) x→−2 (x + 2)
x=2
NO hay asíntota vertical.
[forma indeterminada
1 0 ].
1 0 se puede concluir que en x = −2 hay una asíntota vertical, y el comportamiento de la función alrededor de la misma se puede representar así:
Como se genera la inde nición
l´ım f (x) = −∞ , l´ım + f (x) = +∞ (mediante la evaluación de valores cercanos a x→−2− x→−2 lados de la asíntota y efectuando el análisis de signos).
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x = −2
a ambos
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EJERCICIO. Identi que las asíntotas verticales de las siguientes funciones y analice el comportamiento de dicha función alrededor de cada asíntota mediante el cálculo de los límites correspondientes.
1.
g(x) =
2.
h(x) =
x3
x2 + 2x − 3 + x2 − 5x + 3
R/ A.V. :
x=1
1 x2 + x + 1
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,
l´ım g(x) = −∞
x→1−
,
l´ım g(x) = +∞
x→1+
R/ no tiene asíntotas verticales
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1.7. Límites al in nito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función 1.7.1. Concepto de límite al in nito De los ejemplos de límites al in nito que comentamos en el análisis de grá cas tenemos el siguiente concepto
• •
intuitivo
de límites al in nito:
l´ım f (x) = L
si conforme
x
crece sin tope,
l´ım f (x) = L
si conforme
x
decrece sin tope,
x→+∞
x→−∞
Por ejemplo, considere la grá ca de la función
f (x)
tiende a
f (x)
L.
tiende a
f (x) = √
L.
2x x2 + 2
x decrece sin tope f (x) se aproxima a la recta horizontal y = −2, mientras que x crece sin tope, f (x) se aproxima a la recta horizontal y = 2. En este caso decimos que y = −2 asíntota horizontal cuando x → −∞ y que y = 2 es una asíntota horizontal cuando x → ∞. La
Observe que conforme conforme es una
situación anterior se puede representar, utilizando la notación de límites así:
l´ım √
x→−∞
2x = −2 x2 + 2
l´ım √
x→+∞
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2x =2 x2 + 2
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Veamos otro ejemplo. Considere la función
34
g(x) =
2x2 − 3x + 5 , x2 + 1
cuya grá ca se le da a continuación.
Calcule los límites que se le piden y deduzca si existen asintotas horizontales para
g(x).
Calcule.
1. 2.
l´ım g(x)
x→−∞
l´ım g(x)
x→+∞
3. Asíntotas horizontales de
g(x)
De niciones: Entonces, de manera intuitiva tenemos lo siguiente (que se de nirá más formalmente más adelante):
1. Sea de
f
f (x)
se puede aproximar a
su cientemente 2. Sea de
f
]a, +∞[.
l´ım f (x) = L si el valor x→+∞ tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo
una función de nida en algún intervalo
grande
L
(en el sentido positivo).
f (x)
se puede aproximar a
grande
L
] − ∞, a[.
l´ım f (x) = L si el valor x→−∞ tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo
una función de nida en algún intervalo
su cientemente
Decimos que
Decimos que
(en el sentido negativo).
De nición: La recta
y=L
es una
asíntota horizontal de la curva y = f (x) si se cumple que x→+∞ l´ım f (x) = L o
l´ım f (x) = L.
x→−∞
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35
1.7.2. Propiedades de los in nitos Propiedades de los límites in nitos Si
k
∞+k =∞
2)
k·∞=∞
r
Si
es una constante positiva:
1)
Teorema
Formas indeterminadas ∞ ∞
0 0
es un racional positivo,
tal que toda
x,
xr
está de nido para
entonces se cumple lo
siguiente:
0·∞
∞−∞
l´ım
c =0 xr
l´ım
c =0 xr
x→+∞ 3)
−k · ∞ = −∞
4)
±k =0 ∞
00
1∞
∞0
x→−∞
1.7.3. Comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito Aparte de las propiedades anteriores también es útil conocer el comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito. Repasemos primero el concepto de función polinómica o polinomial:
De nición: Llamamos a la función f (x) una función polinómica o polinomial si tiene la forma: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 , con
n
Llamamos
an
6= 0).
an ,an−1 , an−2 ,..., a2 ,a1 ,
y
a0
el coe ciente principal del polinomio y
n
el grado del polinomio.
un número natural y
números reales (an
Ejemplos: 1.
f (x) = 2x4 − 5x2 + x − 1,
2.
g(x) = −x6 + 5x4 − x2 ,
3.
h(x) = 8x3 − 6x2 + 4x − 2,
4.
p(x) = −3x5 + 3x4 − 5x3 + 6x2 − x + 1,
grado
grado
6
4
coe ciente principal
coe ciente principal
grado
3
2
−1
coe ciente principal grado
5
8
coe ciente principal
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas, por lo que cuando
−3
x→∞
el polinomio también tiende
hacia un in nito. Ahora bien, es posible saber si la función polinómica tiende a su grado
n
−∞
o a
+∞,
a partir de
y de su coe ciente principal (an ), así:
1. Si
n
es par y
an
es un número positivo se cumple que
2. Si
n
es par y
an
es un número negativo se cumple que
3. Si
n
es impar y
an
es un número positivo se cumple que
4. Si
n
es impar y
an
es un número negativo se cumple que
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l´ım f (x) = +∞
x→−∞
l´ım f (x) = −∞
x→−∞
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y y
l´ım f (x) = −∞
x→−∞
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = −∞
x→+∞ y y
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = −∞
x→+∞
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36
Lo ilustraremos con las grá cas de los mismos ejemplos anteriores: 1.
f (x) = 2x4 − 5x2 + x − 1,
Note que 2.
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
g(x) = −x6 + 5x4 − x2 ,
Note que
grado
grado
l´ım g(x) = −∞
x→−∞
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y
y
4
coe ciente principal
2
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
6
coe ciente principal
−1
l´ım g(x) = −∞
x→+∞
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3.
h(x) = 8x3 − 6x2 + 4x − 2,
Note que 4.
grado
l´ım h(x) = −∞
x→−∞
y
3
coe ciente principal
l´ım p(x) = +∞
x→−∞
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y
8
l´ım h(x) = +∞
x→+∞
p(x) = −3x5 + 3x4 − 5x3 + 6x2 − x + 1,
Note que
37
grado
5
coe ciente principal
−3
l´ım p(x) = −∞
x→+∞
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38
1.7.4. Cálculo de límites al in nito de funciones racionales De nición de función racional Recuerde que y
f (x) =
p(x) q(x)
se llama una
función racional
si
p(x)
y
q(x)
son ambas funciones polinómicas
q(x) 6= 0.
Podemos usar las propiedades vistas anteriormente para calcular límites al in nito de funciones racionales. Por ejemplo:
l´ım
x→+∞
2 5− 2 x
= 5
Veamos algunos ejemplos más:
1.
3x2 − 7x + 5 x→+∞ 12x2 + 10x − 6 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
∞ . ∞
Se procede así:
x2 3 − x7 + x52 3x2 − 7x + 5 3 1 = l´ım = l´ım 2 = 10 6 2 x→+∞ 12x + 10x − 6 x→+∞ x 12 4 12 + x − x2
2.
2x + 5 x→+∞ 3x2 + 1 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
x 2+ 2x + 5 l´ım = l´ım 2 2 x→+∞ 3x + 1 x→+∞ x 3+
3.
5 x 1 x2
=0
9x3 − 8x2 + 16x + 5 x→+∞ 2x2 + 5x + 1 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
x3 9 − x8 + x162 + x53 9x3 − 8x2 + 16x + 5 l´ım = l´ ım x→+∞ x→+∞ 2x2 + 5x + 1 x2 2 + x5 + x12
4.
5.
∞ : ∞
∞ : ∞
= +∞.
10x4 − 18x5 + 16x3 + 5x + x2 − 17 x→−∞ 18x3 + 36x5 + 65x2 + 10 l´ım
l´ım
x→+∞
3 2 4x −x3 6
+
√
3 2
−
15 8 x
x2
+ 0,01x +
5
+
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π 2
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6.
16x6 + 8x5 − 9x4 + 16x3 − x2 + 11x − 13 x→−∞ −48x3 − 12x4 + 9x3 + 10x − 29 l´ım
7.
8.
39
l´ım
x→−∞
2x 3x + x−1 x+1
(5x3 + 2x2 − x + 1)2 (2x2 + 4)3 x→−∞ (2x4 + 1)2 (5x2 − 6x + 5)2 l´ım
R/
5
R/
2
NOTA: Observe que si
p(x) , q(x)
f (x) =
donde
p(x)
es un polinomio de grado
m
y
q(x)
es un polinomio de grado
n,
se
cumple:
m=n
(1) Si de
q(x)
(2) Si (3)
l´ım f (x) =
x→∞
a , b
donde
a
es el coe ciente principal de
p(x)
y
b
es el coe ciente principal
;
m
Si
entonces
entonces
m>n
entonces
l´ım f (x) = 0;
x→∞
l´ım f (x) = ∞.
x→∞
Utilizando ahora la nota anterior, calcule nuevamente estos límites, utilizando el método abreviado. 1.
2.
3 1 3x2 − 7x + 5 = = x→+∞ 12x2 + 10x − 6 12 4 l´ım l´ım
x→+∞
2x + 5 =0 3x2 + 1
3.
9x3 − 8x2 + 16x + 5 = +∞ x→+∞ 2x2 + 5x + 1
4.
10x4 − 18x5 + 16x3 + 5x + x2 − 17 = x→−∞ 18x3 + 36x5 + 65x2 + 10
5.
6.
l´ım
l´ım
l´ım
x→+∞
3 2 4x −x3 6
+
√
3 2
−
15 8 x
x2
+ 0,01x +
5
+
π 2
=
16x6 + 8x5 − 9x4 + 16x3 − x2 + 11x − 13 = x→−∞ −48x3 − 12x4 + 9x3 + 10x − 29 l´ım
NOTA: Para efectos del primer examen debe resolver los límites al in nito con
todo el procedimiento. Este
método abreviado, lo utilizaremos para agilizar cálculos de límites al in nito cuando estemos gra cando funciones.
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40
1.7.5. Cálculo de límites al in nito de funciones en las que aparecen radicales de índice dos(en el numerador o el denominador) √
Conviene tener presente lo siguiente:
u2 = |u| (
así como la de nición de valor absoluto:
|u| =
u, −u,
si si
u≥0 u<0
Ejemplos:
1.
l´ım √
x→−∞
3x − 8 + 4x − 5
x2
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
l´ım √
x→−∞
∞ : ∞
3x − 8 3x − 8 = l´ım q x→−∞ + 4x − 5 x2 1 + x4 −
x2
= l´ım
x→−∞
3x − 8
= l´ım
x→−∞
5 x2
|x|
q
1+
4 x
− x52 8
x· 3− x q −x 1 + x4 −
5 x2
3 −1 = −3
=
2.
2x + 1 l´ım √ x2 − x
R/
x→+∞
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2
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3.
41
3x − 2 l´ım √ 2x2 + 1
x→+∞
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
3x − 2 3x − 2 = l´ım q l´ım √ 2 x→+∞ 2x + 1 x2 2 +
x→+∞
∞ : ∞
1 x2
3x − 2 q |x| · 2 + x12 x 3 − x2 q = l´ım x→+∞ x· 2 + x12
= l´ım
x→+∞
3x
= l´ım
x→+∞
= = =
4.
l´ım √
x→−∞
x·
2+
1 x2
3 √ 2 √ 3 2 √ ·√ 2 2 √ 3 2 2
2x − 5 2x2 + 3x − 1
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q
R/
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√ − 2
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5.
l´ım
p
x→−∞
4x2 − 6 −
p
4x2 − x
42
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
∞ − ∞.
En este caso de debe
racionalizar para tratar de llegar a una expresión de la forma indeterminada
√ l´ım
p
x→−∞
4x2
−6 −
p
4x2
−x
= l´ım
p
x→−∞
√ = l´ım
x→−∞
4x2
−6 −
p
4x2
−x
· √
∞ . ∞
4x2 − 6 + 4x2 − 6 +
√ √
4x2 − x
4x2 − x
√ 2 2 4x2 − 6 − 4x2 − x √ √ 4x2 − 6 + 4x2 − x
4x2 − 6 − 4x2 + x √ x→−∞ 4x2 − 6 + 4x2 − x x−6 q = l´ım q x→−∞ 6 2 x (4 − x ) + x2 (4 − x1 )
= l´ım
= l´ım
x→−∞
= l´ım
x→−∞
= l´ım
x→−∞
=
6.
l´ım
x→+∞
x−
p
x2 + x
√
x−6 q | x | 4−
q +| x | 4−
6 x
x−6 q −x 4 −
q + −x 4 − x1 x 1 − x6 q q −x 4 − x6 + 4 − x1 6 x
−1 4
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1 x
R/
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−1 2
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7.
8.
l´ım
2x +
l´ım
x+
x→−∞
x→−∞
p
p 4x2 + x
x2 + 3
R/
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43
−1 4
R/
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0
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44
1.7.6. Cálculo de las asíntotas horizontales de una función Como ya se ha dicho, para que la recta
y = L sea una asíntota horizontal para la función f (x) se debe
cumplir que:
l´ım f (x) = L
o que
x→−∞
l´ım f (x) = L
x→+∞
Por ejemplo, efectuemos el análisis de asíntotas verticales y horizontales de
f (x) =
3x2 − x − 2 5x2 + 4x + 1
Para determinar si hay ASÍNTOTAS VERTICALES, tenemos que identi car los valores que vuelven cero al denominador. Podemos para eso, igualar el denominador a cero y resolver la ecuación resultante, a saber:
5x2 + 4x + 1 = 0 Sin embargo, como para esa ecuación
∆ = −4
no tiene solución, de lo que se deduce que
f
NO tiene
asíntotas verticales. Para determinar si hay ASÍNTOTAS HORIZONTALES, se deben calcular los límites al in nito:
x2 3 − 3x2 − x − 2 = l´ım 2 2 x→+∞ x x→+∞ 5x + 4x + 1 5+ 3 = 5
1 x 4 x
− +
2 x2 1 x2
x2 3 − 3x2 − x − 2 l´ım = l´ım 2 2 x→−∞ x x→−∞ 5x + 4x + 1 5+ 3 = 5
1 x 4 x
− +
2 x2 1 x2
l´ım
Análogamente:
Así,
y=
3 5 es una asíntota horizontal cuando
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x → ±∞.
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45
EJERCICIO: 1. Determine (si existen) las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones (se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gra cación y así veri car su respuesta).
√
a ) g(x) =
2x2 + 1 3x − 5
.
R/A.V.
b ) h(x) =
√
x2 + 1 − x
.
c) y =
x=
5 3
, A.H.
y=
√ − 2 cuando 3
, A.H.
y=0
4x2 − 8x + 4 4
.
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f:
y
2 3 cuando
x → +∞
x → +∞
, no tiene cuando
x → −∞
y=
R/ A.V. no tiene
2. Considere la función
√
x → −∞
cuando
R/No tiene asintotas verticales ni horizontales
i
h √ i h√ −∞, −2 6 ∪ 26 , +∞ −→ R R/ A.H.
y=
dada por
−1 4 cuando
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f (x) =
√
4x2 − 6 −
x → −∞, y =
1 4 cuando
√
4x2 − x
x → +∞
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46
1.7.7. Asíntotas oblicuas de una función racional Algunas funciones
racionales poseen asintotas oblicuas (o inclinadas), es decir, asíntotas que no son
ni verticales ni horizontales. Si forme
x→∞
f (x) tiene una asíntota oblicua (supongamos y = mx + b), f (x) y la asíntota y = mx + b tiende a cero. De ahí que:
entonces con-
la distancia entre
l´ım [f (x) − (mx + b)] = 0
x→∞
Por ejemplo, considere la grá ca de asíntotas verticales
x = −1
y
x=1
2x3 − x2 + 1 . Observe que para dicha función, x2 − 1 recta y = 2x − 1 es una asíntota oblicua de f (x).
f (x) = , la
El requisito para que una función
aparte de las
racional tenga una asíntota oblicua, es que el grado del numerador
debe exceder exactamente en una unidad el grado del denominador.Para calcular el criterio de la asintota oblicua de una función racional, existen dos métodos, a saber:
1. Efectuando la división algebraica del polinomio del numerador por el polinomio del denominador. Recuerde en este caso que si
p(x)
es el polinomio del numerador y
q(x)
es el polinomio del deno-
minador, al efectuar la división de esos polinomios, obtendremos los polinomios cociente)
c(x)
r(x)
(polinomio residuo), que cumplen que:
y
c(x)
(polinomio
En este caso, el cociente
de la división de polinomios, será el criterio de la asíntota oblicua.
2. Dado que la asíntota oblicua es una recta de la forma
m
p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x)
b
y = mx + b,
podemos obtener los coe cientes
mediante las siguientes fórmulas:
f (x) a ) m = l´ım x→∞ x b ) b = l´ım (f (x) − mx) x→∞
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47
Por ejemplo, mediante los dos métodos descritos, calculemos la asíntota oblicua de la función
f (x) =
2x3 − x2 + 1 x2 − 1
MÉTODO 1: Efectuando la división de polinomios:
MÉTODO 2: Calculando los coe cientes m y b de la asíntota oblicua y = mx + b mediante los límites correspondientes:
m = l´ım
x→+∞
f (x) x
= l´ım
x→+∞
2x3 −x2 +1 x2 −1
!
x
= l´ım
x→+∞
2x3 − x2 + 1 x3 − x
= l´ım
x→+∞
x3 2 − x1 + x13 x3 1 − x12
!
∴ m = 2 3 2x3 − x2 + 1 2x − x2 + 1 − 2x(x2 − 1) b = l´ım (f (x) − mx) = l´ım − 2x = l´ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x2 − 1 ! 3 x2 −1 + x2 + x12 2x − x2 + 1 − 2x3 + 2x −x2 + 2x + 1 b = l´ım = l´ım = l´ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x2 − 1 x2 1 − x12 ∴ b = −1
Así, el criterio de la asíntota oblicua es NOTA:
y = 2x − 1.
Es importante observar entonces que, por la diferencia que debe haber entre los grados del
numerador y el denominador, si una función
racional
tiene una asíntota oblicua, no puede tener una
asíntota horizontal y viceversa.
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OBSERVACIÓN 1 : Note que la observación anterior es válida para funciones
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racionales, que son el objeto de estudio en este
apartado, pero en efecto hay otros tipos de funciones que tienen a la vez asíntotas lineales horizontales y oblicuas a la vez.
x → +∞ entonces f (x) tiene una asíntota horizontal cuando x → −∞ entonces no puede tener una asíntota oblicua cuando x → −∞ y viceversa. Aunque sí se puede dar que una función (no racional) tenga una asíntota horizontal cuando x → +∞ y una oblicua cuando x → −∞ o viceversa.
De hecho, lo correcto sería a rmar que si
f (x) tiene una asíntota x → +∞ y viceversa.
no puede tener una asíntota oblicua cuando
horizontal cuando
Así mismo, si
Por ejemplo, considere la siguiente función (observe que no es racional):
f (x) =
√
x2 + x + x
Para esta función se cumple lo siguiente (se recomienda veri car cada uno de los datos como práctica de dominio de funciones y cálculo de límites):
1. El dominio de 2.
3.
4.
5.
6. 7.
f (x)
es
]−∞, −1] ∪ [0, +∞[
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) =
x→−∞
−1 2
f (x) =2 x→+∞ x l´ım
l´ım [f (x) − 2x] =
x→+∞
l´ım
x→−∞
1 2
f (x) =0 x
l´ım [f (x) − 2x] = +∞
x→−∞
Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando
f (x)
x → +∞
se cumple que
tiene una asíntota......................................... cuya ecuación es ...................................................... y
cuando
x → −∞
se cumple que
f (x)
tiene una asíntota ......................................... cuya ecuación es
.......................................... Más adelante estaremos en capacidad de analizar más profundamente la función para bosquejar su grá ca, pero por el momento se le da a continuación:
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OBSERVACIÓN 2 :
racional que tiene asíntota oblicua, ésta será única. Es decir, una función racional no tendrá más de una asíntota oblicua. Sin embargo, hay funciones NO racionales que pueden
En general para una función
tener una asíntota oblicua cuando
x → +∞
y otra distinta cuando
x → −∞.
Por ejemplo, considere la
siguiente función:
g(x) = La función
g
√
x2 + 1
cumple lo siguiente (se recomienda veri car cada uno de estos datos para practicar do-
minio de funciones y cálculo de límites):
1. Su dominio es 2. 3.
l´ım g(x) = +∞
x→−∞
l´ım g(x) = +∞
x→+∞
4.
l´ım
x→−∞
5.
6. 7.
R
l´ım
x→+∞
g(x) x
g(x) x
= −1 =1
l´ım (g(x) + x) = 0
x→−∞
l´ım (g(x) − x) = 0
x→+∞
Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando
x → +∞ se cumple que g(x) x→
tiene una asíntota......................................... cuya ecuación es ......................................... y cuando
−∞ se cumple que f (x) tiene una asíntota ......................................... cuya ecuación es .......................................... Además la función no tiene asíntotas .................................... ni tampoco asintotas .................................. Así la grá ca de
g(x)
es:
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EJERCICIO: Calcule las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de las siguientes funciones. Justi que cada una, con los procedimientos y razonamientos necesarios y en forma completa(se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gra cación y así veri car su respuesta).
1.
f (x) =
x2 − 2x + 4 x−2
2.
g(x) =
−x3 + x2 + 4 x2
3.
4.
2x2 − 18 x2 − 4 x y=√ x2 + 2 h(x) =
RESPUESTAS/ 1. A.V. :
x=2
A.H. : no tiene
A.O.
:
y=x
2. A.V. :
x=0
A.H. : no tiene
A.O.
:
y = −x + 1
3. A.V. :
x = −2
y
4. A.V. : no tiene
x=2 A.H. :
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A.H. :
y=1
y=2
cuando
cuando
x → ±∞
x → +∞
,
A.O. : no tiene.
y = −1
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cuando
x → −∞
A.O. : no tiene.
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PRÁCTICA 2 (NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un in nito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con −∞ o +∞ los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe) .
1. Calcule los siguientes límites.
(a)
8x3 − 1 6x2 − 5x + 1
l´ım1
x→ 2 (b)
(c)
l´ım
x3
x→1
(f )
(g)
(i)
1 2
R/
−∞
l´ım−
x3 − 8 |x − 2|
R/
− 12
l´ım
√
x→2
3x
x→2
l´ım
−
|x − 2| x−2
R/
no existe
√
x−2 √ x+1− 5−x
R/
x2 − 4 x − 16
R/
1 5
R/
−1 3
R/
−1 − 60
l´ım √
x→1 (h)
R/
x2 + x + 1 x3 − 1
x→2 (e)
6
l´ım−
x→1 (d)
x−1 − x2 + x − 1
R/
x2 − 4 x→−2 x3 + 8 3 1 l´ım − x→1 1 − x 1 − x3 l´ım
3
(j)
25 − x2 l´ım √ x→5 x+4−3
R/
(k)
l´ım
x2 + x − 2 x→3 x2 − 4x + 3
R/
no existe
(l)
4 − x2 √ x→2 3 − x2 + 5
R/
6
R/
no existe
R/
−1 4
R/
4 5
R/
3 2
(m)
(n)
(ñ)
(o)
l´ım
x−3 x2 − 8x + 15 √ 2−x−2 l´ım x→−2 x2 + 5x + 6 l´ım
x→5
x2 + 2x − 3 x→−3 x2 + x − 6 √ 1+x−1 l´ım √ x→0 3 1 + x − 1 l´ım
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(NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un in nito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con −∞ o +∞ los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe) .
2. Calcule los siguientes límites. .
(a)
(b)
(c)
x2 − 2 −x−2
l´ım
R/
no existe
x3 x→1 x2 − 1
R/
no existe
x−3 x−2
R/
−∞
2+x 1−x
R/
−∞
l´ım
4 (x − 2)3
R/
l´ım
−2 (x − 2)2
R/
−∞
R/
−∞
R/
−∞
R/
1 6
R/
0
R/
1 2
R/
0
R/
2
R/
1 6
R/
1 6
R/
+∞
x→−1 x2
l´ım
l´ım
+
x→2 (d)
(e)
(f )
(g)
l´ım
x→1+
x→2
x→2
l´ım−
x→2
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(ñ)
(o)
x2 − 2 −x−2
x2
2x2 + x + 1 x+2 x→−2− p l´ım 3x + 9x2 − x l´ım
x→−∞
l´ım
x→+∞
p
x2 + 1 −
p
x2 − 1
5x3 + 1 x→+∞ 10x3 − 3x2 + 7 l´ım
x+4 x2 − 2x + 5 √ 1 + 4x2 l´ım x→+∞ 4+x p l´ım 9x2 + x − 3x l´ım
x→+∞
x→+∞
l´ım
x→−∞
(1 − x)(2 + x) (1 + 2x)(2 − 3x)
x3 − 8x + 5 x→+∞ 2x2 − x + 3 l´ım
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no existe
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3. Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. Justi que detalladamente su procedimiento. (Sugerencia: para una mejor visualización de las asintotas encontradas, se le recomienda utilizar un software gra cador de funciones)
x2 + 3 x−1 x2 − 2x + 2 g(x) = x−1 x2 + 1 h(x) = 2 x −1 1 y= 2 x +x−6 x y=√ x2 + 2
a ) f (x) = b) c) d) e)
Respuestas (sólo se le da la respuesta nal, se supone que usted debe justi car cada tipo de asíntota en su procedimiento)
a)
Asintota horizontal: NO HAY Asíntota vertical: Asintota oblicua:
b)
Asintota horizontal: NO HAY asíntota vertical: Asintota oblicua:
c)
x=1 y =x+1 x=1 y =x−1
Asintota horizontal: Asíntotas verticales:
y=1 x=1
y en
x = −1
Asintota oblicua: NO HAY
d)
Asintota horizontal: Asíntotas verticales:
y = 0 (eje X) x = −3 y en x = 2
Asintota oblicua: NO HAY
e)
Asintota horizontal cuando
x → +∞: y = 1
Asintota horizontal cuando
x → −∞: y = −1
Asíntotas verticales: NO HAY Asintota oblicua: NO HAY
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1.8. Límites trigonométricos 1.8.1. Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas Algunos límites se pueden calcular utilizando el método de sustitución directa. Sin embargo, en ocasiones surgen indeterminaciones para las que se pueden aplicar las propiedades (identidades) conocidas para las funciones trigonométricas (ver anexo 2). Ejemplos: Calcule los siguientes límites:
1.
2.
3.
l´ım sen (x) = sen(0) = 0
x→0
l´ım x cos(x) = π cos(π) = π · −1 = −π
x→π
l´ım
tan(x) (x)
(Indeterminación
x→0 sen
SOLUCIÓN :
sen(x)
sen(x) 1 tan(x) cos(x) = l´ım = l´ım = l´ım = x→0 sen (x) x→0 sen(x) cos(x) x→0 cos(x) x→0 sen (x) l´ım
4.
l´ım cot(x)
1 = 1 cos(0)
(Inde nición
x→π
0 0)
−1 0 )
SOLUCIÓN:
−1 0 se cumple que la recta x = π es una asíntota vertical para la cot(x). Para determinar el comportamiento de la función cuando x tiende a π deter-
Como se genera la inde nición función
y=
minaremos los límites laterales in nitos, mediante la evaluación de valores cercanos a
π
a ambos
lados de la asíntota. Así:
l´ım cot(x) = l´ım−
cos(x) = −∞. sen(x)
l´ım cot(x) = l´ım
cos(x) = +∞. sen(x)
x→π −
x→π +
x→π
x→π +
l´ım cot(x) NO EXISTE y el comportamiento de la función no se puede representar x→π simbólicamente como un límite in nito. Así, se tiene que
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5.
6.
l´ım
cos x cot x
l´ımπ
1 − tan x sen x − cos x
x→ π 2
x→ 4
55
R/
R/
1
√ − 2
1.8.2. Límites Trigonométricos Especiales En otros casos se procura transformar la función para obtener alguno de los siguientes límites trigonométricos especiales.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES l´ım
sen
x→0
x
x
GENERALIZACIÓN PARA EL MÚLTIPLO ESCALAR DEL ÁNGULO
=1
l´ım
x→0
1 − cos x =0 x→0 x l´ım
l´ım
x→0
tan x =1 x→0 x l´ım
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(nx) =n x
1 − cos(nx) =0 x
l´ım
x→0
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sen
tan(nx) =n x
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56
Ejemplos:
1.
sen(x) x→0 5x l´ım
(forma indeterminada
0 0)
Por propiedades de los límites se cumple que
l´ım
x→0
sen(x) 1 sen(x) 1 1 = l´ım · l´ım = ·1= x→0 x→0 5x 5 x 5 5
Sin embargo, para simpli car los cálculos, se puede utilizar un método abreviado, así:
l´ım
sen(x) 1 sen(x) 1 1 = l´ım · = ·1= x→0 5 5x x 5 5
l´ım
sec x − 1 x sec x
x→0
2.
3.
4.
x→0
l´ım
x→0
l´ım
x→0
sen
2
R/
x
R/0
x
sen
2
x
R/1
x2
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0
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5.
57
tan(3x) x→0 x l´ım
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN:
MÉTODO 1: Sin utilizar la generalización dada para el múltiplo escalar:
l´ım
x→0
tan(3x) 3 tan(3x) tan(3x) = l´ım = l´ım 3 · =3·1=3 x→0 x→0 x 3x (3x)
MÉTODO 2: Método abreviado usando la fórmula dada para el múltiplo escalar:
l´ım
tan(3x) =3 x
l´ım
sen(2x) sen(3x)
x→0
6.
x→0
SOLUCIÓN: Como
(forma indeterminada
x→0
implícitamente se cumple el hecho de que
el numerador como el denominador de la expresión por
x
x 6= 0,
0 0)
podemos dividir tanto
con el objetivo de obtener límites trigo-
nométricos especiales. Así:
sen(2x) = l´ım x→0 x→0 sen(3x) l´ım
7.
(1 − cos(x))2 x→0 x
8.
l´ım
sen(2x) x sen(3x) x
2 sen(2x) (2x) x→0 3 sen(3x) (3x)
= l´ım
=
2 2·1 = 3·1 3
l´ım
x→0
0
R/
4
2
(2x) x2
sen
R/
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9.
10.
cot(2x) x→0 cot(x) l´ım
sen(x − π) x→0 x l´ım
58
1 2
R/
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN: Se desarrolla el seno de la resta, para tratar de llegar a límites trigonométricos especiales:
l´ım
x→0
sen(x) cos(π) − cos(x) sen(π) sen(x) · −1 − sen(x) sen(x − π) = l´ım = l´ım = l´ım = −1 x→0 x→0 x→0 x x x x
sen 11.
12.
l´ım
x→0
l´ım
x→ 3π 2
π
1 +x − 6 2 x
1 + sen(x) cos(x)
(Indeterminación
√ R/
3 2
0 0)
SOLUCIÓN: En ocasiones es conveniente multiplicar por el conjugado del denominador o del numerador (como en este caso) para formar una identidad trionométrica pitagórica mediante la fórmula notable
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
(1 + sen(x)) (1 − sen(x)) 1 − sen2 (x) cos2 (x) cos(x) · = l´ım3π = l´ım3π = l´ım3π cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 (1 − sen(x)) x→ 2 cos 3π 0 2 = 3π = 1 − −1 = 0 1 − sen 2 l´ım3π
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13.
14.
l´ım
x→0
x2 + x sen(x) cos(x) − 1
59
R/
cos2 x + cos x − 2 . x→0 sen(3x) l´ım
(Indeterminación
−4
0 0)
SOLUCIÓN
cos2 x + cos x − 2 x→0 sen(3x) l´ım
(cos(x) − 1) (cos(x) + 2) x→0 sen(3x)
= l´ım
(cos(x)−1) (cos(x)+2) x sen(3x) x→0 x −(1−cos(x)) (cos(x)+2) x l´ım 3 sen(3x) x→0 3x
= l´ım = =
0 ·3 = 0 3 ·1
cos2
15.
l´ım
x→−π
x
2 1 − cos2 (x)
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R/
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1 4
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60
1.8.3. Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable En algunas ocasiones es preciso efectuar un cambio de variable, para poder calcular ciertos límites trigonométricos, de manera que la nueva variable tienda a cero, y así, poder utilizar los límites trigonométricos especiales. Ejemplos. Calculemos los siguientes límites aplicando un cambio de variable adecuado:
1.
l´ım
x→ π 3
sen(3x) 1 − 2 cos(x)
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN:
Sustitución
u = x − π3 π cuando x → 3 entonces u → 0 sen 3 u + π3 sen(3x) = l´ım l´ım u→0 1 − 2 cos u + π x→ π 3 1 − 2 cos(x) 3 = l´ım
u→0
sen (3u + π) 1 − 2 cos u + π3
sen (3u) cos (π) + cos (3u) sen (π) u→0 1 − 2 cos (u) cos π − sen (u) sen π 3 3
= l´ım = l´ım
u→0
sen (3u) (−1) + cos (3u) (0) h √ i 1 − 2 cos (u) 12 − sen (u) 23
− sen (3u) √ u→0 1 − cos (u) + 3 sen (u) − sen (3u) u √ = l´ım u→0 1 − cos (u) + 3 sen (u) u −3 sen (3u) 3u √ = l´ım u→0 1 − cos (u) 3 sen (u) + u u −3 √ = 0+ 3 √ =− 3 = l´ım
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2.
3.
l´ım
x→π
l´ım
x→π
π−x π cos x − 2
R/1
sen(−x)
R/1
x−π
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61
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4.
l´ımπ
x→ 4
62
cos(2x) + sen(4x) 4x − π
(Indeterminación
0 0)
π 4
o
SOLUCIÓN: Aunque para resolver este ejercicio, se podría utilizar como sustitución también
u=
π 4
−x
u=x−
(verifíquelo), lo resolveremos utilizando la siguiente:
Sustitución
u = 4x − π x → π4 entonces u → 0 Además Si u = 4x − π ⇒ u + π = 4x u+π =x ⇒ 4 u π ∴ + =x 4 4 cuando
u π u π + sen 4 cos 2 + + cos(2x) + sen(4x) 4 4 4 4 l´ımπ = l´ım u→0 x→ 4 4x − π u u π cos + + sen (u + π) 2 2 = l´ım u→0 u h u u π i π cos cos − sen sen + [sen (u) cos (π) + cos (u) sen (π)] 2 2 2 2 = l´ım u→0 u h u u i cos · 0 − sen · 1 + [sen (u) · −1 + cos (u) · 0] 2 2 = l´ım u→0 u u − sen − sen (u) 2 = l´ım u→0 u u − sen sen (u) 2 − = l´ım u→0 u u ! − 12 sen 21 u sen (u) = l´ım − 1 u→0 u 2u −1 −1 2 −3 = 2 =
5.
l´ım
x→ −π 2
π + 2x cos(x)
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R/2
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63
PRÁCTICA 3 Calcule los siguientes límites
(1)
1 + tan(x) − cos(x) x→0 x l´ım
R/
1
cos(x) tan(x) x 5π cos x + 2 l´ım x→0 x
(12) l´ım
R/
1
(13)
R/
−1
x→0
(2) (3)
l´ım
(1 − x) x2 − 1
sen
x→1
l´ım
(x) √ x
sen
x→0+
R/ R/
−1 2 0
x + x cos(x) (x) cos(x)
(14) l´ım
x→0 sen
(4) (5)
l´ım
x→0
(4x) 5x
sen
l´ım x cot(3x)
x→0
R/ R/
4 5 1 3
(3x) x→0 x cos(4x)
(15) l´ım
(16) l´ım
sen
x→0
(6)
l´ım x2 csc(2x) cot(2x)
x→0
R/
1 4
3 3 cos x − x x
(17) l´ım x sec(x) x→π
(7) (8) (9) (10)
1 − cos(x) x→0 sen (x)
R/
1 − cos(x) x2
R/
l´ım
l´ım
x→0
0
3
R/
0
R/
−π
R/
4
1 2
(19) l´ım
cot(2x) cot x
R/
1 2
1 2
(20) l´ım
1 − cos(2x) sen2 (x)
R/
2
sen
R/
−2
R/
1 2
x2
x→0
x→0
R/
√ − 3 2
(21) l´ım
6x − sen (2x) x→0 2x + 3 sen (4x)
R/
2 7
(22)
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R/
sen
R/
(11) l´ım
(2x)
2
(18) l´ım
1 − cos(x) x sen x π 1 − cos −x 3 l´ım 2 x→0 x l´ım
x→0
2
R/
x→0
x→π
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l´ımπ
x→− 2
(x) − sen(x − π) x−π
cos(−x) 2x + π
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64
1.9. El Teorema de Intercalación Este teorema, también conocido como teorema del encaje, se re ere al comportamiento límite de una función que está encajadaentre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo límite en un punto dado. Dice lo siguiente:
Si
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x c, y si se cumple que
en un intervalo abierto que contiene a
c,
excepto quizás
en el propio
l´ım h(x) = l´ım g(x) = L
x→c
x→c
entonces:
l´ım f (x) = L
x→c
Note entonces que este teorema tiene dos hipótesis a saber: 1.
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), c.
para todo
x
en un intervalo abierto que contiene a
c,
excepto quizás en el
propio
2.
l´ım h(x) = l´ım g(x) = L.
x→c
x→c
Si se veri ca que se cumplen ambas hipótesis se puede deducir la siguiente conclusión:
l´ım f (x) = L
x→c
Este teorema es útil para el cálculo de límites trigonométricos o su comprobación.
La conclusión del teorema es válida también cuando
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x → +∞
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o cuando
x → −∞.
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65
Ejemplo:
(1)
Calcule
l´ım
sen(2x)
x→+∞
x
SOLUCIÓN: Por propiedades de la función
θ = 2x,
y = sen(θ)
se cumple que
−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 ∀θ ∈ R.
En particular,para
se cumple que:
−1 ≤ sen(2x) ≤ 1 ∀ x ∈ R
Puesto que
x → +∞,
la variable asume valores positivos cada vez más alejados de cero, por lo que se
puede dividir toda la desigualdad por
x
y, por propiedades de las desigualdades, no se invierte ninguna
de las mismas. Así:
sen(2x) 1 −1 ≤ ≤ , x x x
cuando
x → +∞
Con lo anterior se veri ca la primer hipótesis del teorema. Veri camos la segunda hipótesis:
l´ım
x→+∞ Entonces
(2)
−1 1 = l´ım = 0, x→+∞ x x sen(2x) l´ım = 0. x→+∞ x
l´ım
x→+∞
Por lo tanto:
−1 =0 x
l´ım
x→+∞
1 =0 x
con lo que se cumple la segunda hipótesis del teorema.
Demuestre que:
cos(3x) =0 x→+∞ x l´ım
Justi que su respuesta.
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66
Nota. En algunos ejercicios y demostraciones es útil recordar esta propiedad (k
•
|u| ≤ k
⇒
•
|u| ≥ k
⇒ u ≤ −k ∨ u ≥ k
>0
)
−k ≤ u ≤ k
Ejemplo: (3)
f es una función que satisface: |f (x)| ≤ x2 , l´ım f (x) = 0. Justi que su respuesta.
Suponga que
Demuestre que
(4) Calcule
x
en un vecindario de
x = 0.
x→0
l´ım f (x)
x→5
para todo
si se cumple que
2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2
|f (x) − 1| ≤ 2 · (5 − x)2 ∀x ∈ R
para todo
x,
determine
l´ım g(x)
R/
1
R/
2
(5)
Si
(6)
PARA INVESTIGAR (Actividad extraclase recomendada): Utilizando el Teorema de Intercalación
x→1
aplicado a áreas en el Círculo Trigonométrico compruebe que
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l´ım
x→0
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(x) =1 x
sen
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67
PRÁCTICA 4 (1)
Utilice el principio de intercalación para calcular los siguientes límites.
(a)
(b)
(c)
l´ım x4 · cos
x→0
2
l´ım x · sen
x→0
l´ım f (x)
x→1
1 x
1 √ 3 x
si se cumple que
|3 · f (x) + 6| ≤ 6 · (x − 1)4
R/
0
R/
−2
l´ım x2 cos (20πx) = 0
x→0
.
R/ Demostración completa
Aplique el Teorema del Encaje para demostrar que
π p x3 + x2 sen = 0. x→0 x l´ım
.
(4)
0
(2) Aplique el Teorema de intercalación para demostrar que
(3)
R/
R/ Demostración completa
Si
4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7
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para
x ≥ 0,
calcule
l´ım f (x)
x→4
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R/
7
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68
1.10. La de nición formal de límite Ahora que ya hemos manipulado los límites (de una manera intuitiva), podemos precisar ese concepto de una manera un poco más formal. Para eso analicemos la siguiente grá ca:
l´ım f (x) = L corresponde a que si x se x→a se aproxima a L. Viéndolo en términos de intervalos,
Observe que la idea intuitiva que tenemos de la expresión aproxima al valor esto signi ca que
a por ambos lados entonces f (x) f (x) está en un vecindario (intervalo
encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de
L, siempre x 6= a).
abierto) muy cercano a
a
(teniendo claro que
y cuando
Ahora bien, recuerde que una propiedad del valor absoluto es la siguiente (siempre que
|u| < k
es equivalente a lo siguiente:
lo que su vez equivalente a decir que
se
k > 0):
u ∈ ]−k, k[.
L es equivalente a f (x) ∈ ]L − , L + [, lo que a su vez, por de nición de intervalo abierto, es equivalente a decir que L − < f (x) < L + , pero por propiedad de las desigualdades, al restar L a toda la desigualdad obtenemos que − < f (x) − L < , para concluir nalmente (por la propiedad enunciada anteriormente) que |f (x) − L| < . Entonces, decir que
decir que, siendo
f (x)
−k < u < k
x
está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a
un valor positivo, tan pequeño como se quiera, se cumple que
a (teniendo δ tal que x ∈ ]a − δ, a + δ[ con x 6= a. Pero por de nición de intervalo abierto, esto es equivalente a a − δ < x < a + δ (de nuevo, sin olvidar que x 6= a). Lo anterior, por propiedad de las desigualdades, al restar a a los tres miembros de la desigualdad, se obtiene −δ < x − a < δ , para nalmente llegar entonces a que 0 < |x − a| < δ . Por otra parte, a rmar que
claro que
x 6= a),
x
se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de
es equivalente a decir que existe un
x se aproxima al valor a por ambos lados f (x) está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a L, siempre y cuando x se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de a (teniendo claro que x 6= a)..."llegamos a la siguiente de nición Así, para traducir formalmente la expresión (intuitiva) "...si
entonces
f (x)
se aproxima a
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L.
Viéndolo en términos de intervalos, esto signi ca que
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69
De nición. Sea
a)
f
una función de nida en un intervalo abierto que contiene a
y sea
L
a
(excepto posiblemente en
un número real. Decimos que
l´ım f (x) = L
x→a si para todo número
>0
Si
existe un número
0 < |x − a| < δ
δ>0
tal que
se cumple que
|f (x) − L| <
A partir de la de nición anterior, podemos demostrar formalmente ciertos límites, así como algunas de las propiedades que ya hemos utilizado para los límites. Efectúemos las siguientes demostraciones:
1. Demuestre utilizando la de nición formal de límite que
l´ım (1 − 5x) = 21
x→−4
SOLUCIÓN:
Sea
>0
arbitrario pero jo.
Asumimos que Se tiene que
0 < |x − (−4)| < δ
(o lo que es equivalente
0 < |x + 4| < δ )
|(1 − 5x) − 21| = |1 − 5x − 21| = | − 5x − 20| = | − 5(x + 4)|
A su vez, por propiedades del valor absoluto se cumple que:
| − 5(x + 4)| = | − 5| |x + 4| = 5 |x + 4| < 5δ (Esta última desigualdad por la suposición inicial) Así, si tomamos
δ=
5
tenemos lo siguiente:
|(1 − 5x) − 21| = 5 |x + 4| < 5δ = 5 · Por tanto, para cualquier
si
∴
0 < |x − (−4)| < δ
>0
entonces
= 5
siempre existirá
δ>0
tal que
|(1 − 5x) − 21| <
l´ım (1 − 5x) = 21
x→−4
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2. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
3. Dado el límite
70
l´ım (3x − 2) = 4.
x→2
l´ım (5x − 7) = 3 hallar un δ tal que si 0 < |x−2| < δ se cumple que |(5x−7)−3| < 0,05
x→2
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71
4. Demuestre usando la de nición formal de límite, que
l´ım x2 + x − 2 = 4.
x→2
>0 | x2 + x − 2 − 4| <
SOLUCIÓN: Hay que probar que si para todo número Si
0 < |x − 2| < δ
Sea
> 0
se cumple que
arbitrario pero jo. Si asumimos
existe un número
0 < |x − 2| < δ
δ>0
tal que
y utilizamos propiedades del valor
absoluto para analizar
| x2 + x − 2 − 4| se tiene: | x2 + x − 2 − 4| = |x2 + x − 2 − 4| = |x2 + x − 6| = |(x − 2)(x + 3)| = |x − 2| · |x + 3| < δ · |x + 3| Para determinar el
δ
conveniente, es preciso que quede sólo en términos de
mos acotar inferiormente la expresión
, |x + 3|
.
Para ello necesita-
es decir, encontrar un valor positivo menor que esa
expresión. Para eso se restringen los valores de x a un intervalo provisional adecuado, alrededor de x = 2, que podría tener un radio de una unidad alrededor de ese valor. Entonces, si condicionamos que δ = 1 y 0 < |x − 2| < 1 entonces tendríamos (nuevamente por propiedades del valor absoluto) que:
0 < |x − 2| < 1 ⇒ −1 < x − 2 < 1 ⇒1<x<3 ⇒4<x+3<6 ⇒ −6 < 4 < x + 3 < 6 ⇒ −6 < x + 3 < 6 ⇒ |x + 3| < 6 ⇒ |x + 3| < 6 ⇒ < 6 |x + 3|
Así, si tomamos
δ
=
mín{1,
6 }, se tendría que para el
> 0
elegido arbitrario, se cumple lo
siguiente:
0 < |x − 2| < δ ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| < (?). ∴ l´ım x2 + x − 2 = 4. x→2
NOTA(?): La conclusión a la que llegamos, es independiente a cuál de los dos valores de
{1, 6 }
sea el
mínimo del conjunto. Comprobemos ambos casos:
δ = mín{1, 6 } = 1 se cumpliría que δ = 1 y por lo tanto: 0 < |x − 2| < δ = 1 ⇒ 0 < |x − 2| < 1 ≤ 6 ⇒ 0 < |x − 2| < 6 con lo
CASO I: Si
que se completa el razonamiento
para comprobar el límite, ya que:
0 < |x − 2| < δ ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| <
6
·6=
δ = mín{1, 6 } = 6 , entonces se cumpliría que δ = 6 y por lo tanto: 0 < |x − 2| < δ = 6 ⇒ 0 < |x − 2| < 6 < 1 ⇒ 0 < |x − 2| < 1, la cual es una desigualdad que ya analizamos cuando restringimos el intervalo de una unidad de radio alrededor de x = 2, y que nos llevó a que 0 < |x + 3| < 6, la que a su vez es equivalente a 6 < |x+3| , que también permite comprobar el límite, ya que: 0 < |x − 2| < δ = 6 < |x+3| ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| < |x+3| · |x + 3| = CASO II: La otra posibilidad es que
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5. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
6. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
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l´ım x2 = 9.
x→3
l´ım x2 + 1 = 5.
x→2
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73
LÍMITES LATERALES (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE)
Ahora nos es posible precisar la de nición de límites laterales, que ya habíamos estudiado, pero en forma intuitiva:
De nición (Límites Laterales) 1.
Límite lateral izquierdo : l´ım− f (x) = L si para todo número > 0 existe un número δ > 0 x→a
tal que Si 2.
a−δ <x
se cumple que
|f (x) − L| <
Límite lateral derecho : l´ım+ f (x) = L si para todo número rel="nofollow"> 0 existe un número δ > 0 x→a
tal que Si
a<x
se cumple que
|f (x) − L| <
Nuevamente la ilustración vista al inicio del tema, permite visualizar las dos de niciones anteriores, para los límites laterales.
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74
LÍMITES INFINITOS (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE)
Así mismo, los límites in nitos, que se dan cuando una función presenta una asíntota vertical, pueden de nirse de manera formal, tal como se muestra a continuación:
De nición (Límites In nitos) Sea f una función de nida en un intervalo abierto que contiene el número mente en 1.
a).
l´ım f (x) = +∞
x→a
si para todo número
Si 2.
l´ım f (x) = −∞
x→a
a
(excepto posible-
Entonces:
0 < |x − a| < δ
si para todo número
Si
M rel="nofollow">0
se cumple que
N <0
0 < |x − a| < δ
existe un número
tal que
f (x) > M
existe un número
se cumple que
δ>0
δ>0
tal que
f (x) < N
Veamos la ilustración de la de nición de los límites in nitos:
l´ım f (x) = +∞
x→a
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l´ım f (x) = −∞
x→a
PRÁCTICA 5 1. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que:
a ) l´ım (4x − 5) = 7. x→3
1 x + 3 = 2. b ) l´ım x→−2 2 c ) l´ım (1 − 4x) = 13.
x→−3
d ) l´ım (7 − 3x) = −5. x→4
e ) l´ım x2 + x − 5 = 7.
x→3
f ) l´ım −x2 − 1 = −5.
x→−2
2. Dado el límite .
l´ım (2x − 5) = 1 hallar un δ tal que si 0 < |x−3| < δ se cumple que |(2x−5)−1| < 0,01
x→3 R/
δ = 0,005
3. Considere la función dada por
Demuestre utilizando la de nición formal de límite que
b)
Si
= 0,4,
determine el intervalo de para los valores de
f (x)
alrededor de
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es una respuesta correcta).
f (x) = 2x + 3.
a)
valores de
δ ≤ 0,005
(aunque en realidad cualquier
5.
l´ım f (x) = 5
x→1
x
alrededor de R/x
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∈
1 y elintervalo para los 23 27 4 6 , , f (x) ∈ , 5 5 5 5
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1.11. Continuidad 1.11.1. Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo Decimos que la función
f
es continua en un punto
x = c,
si su grá ca no sufre interrupciones en
c,
no
se rompe, ni tiene saltos o huecos. Ejemplos de discontinuidades.
Observe que la continuidad en
x=c
1. La función no está de nida en 2. El límite de 3. El límite de Así, para que
f (x)
f (x) f (x)
para para
x→c x→c
sea continua en
se pierde por alguna de estas tres razones:
x=c
(Ejemplo
no está de nido
x = c1 ).
(Ejemplos
existe pero no coincide con
x = c, f (c)
x = c2 ). f (c) (Ejemplos x = c3 ).
debe estar de nida, el
l´ım f (x)
x→c
debe existir y ser igual a
f (c).
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD f f (c) está de nido l´ım f (x) existe
1. EN UN PUNTO: Una función i. ii. iii.
2.
se dice continua en un punto
x=c
si se veri can las siguientes condiciones:
x→c
l´ım f (x) = f (c)
x→c
EN UN INTERVALO ABIERTO: Una función
puntos de ese intervalo. Nota: Si
f
f
se dice continua en el intervalo
es continua en todo
continua (sin especi car que lo es en todo
] − ∞, +∞[
]a, b[
si lo es en todos los
se dice simplemente que es una función
IR).
3. EN UN INTERVALO CERRADO: Una función
f
es continua en
[a, b] si es continua en ]a, b[ y l´ım+ f (x) = f (a) x→a
y
l´ım− f (x) = f (b)
x→b
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1.11.2. Propiedades de las funciones continuas Teorema:Si b es un número real y f , g
son funciones continuas en
x = c,
también son continuas en
las funciones: 1. Suma y diferencia:
b·f
2. Múltiplo escalar: 3. Producto: 4. Cociente:
f ±g
f ·g f si g(c) 6= 0 g
La demostración de cada una de las propiedades anteriores se puede llevar a cabo a partir de las propiedades de los límites. Por lo tanto, se puede deducir la continuidad de ciertos tipos de funciones que usamos regularmente. Por ejemplo, algunas funciones que asumiremos como continuas en cada uno de los puntos pertenecientes a su dominio son las siguientes:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 an , an−1 ..., a2 , a1 , a0 ∈ IR, , an = 6 0, n ∈ N siempre será continua para todo x ∈ IR
1. Funciones polinómicas: Una función de la forma con
Ejemplo:
p(x) = 2x5 − 3x3 + x2 − x + 6
2. Funciones racionales: Una función de la forma polinómicas y con
q(x) 6= 0,
es continua para todo
x ∈ IR.
p(x) , con p(x) y q(x) ambas funciones q(x) x ∈ IR salvo los números que hagan cero el
f (x) =
serán continuas para todo
denominador.
Ejemplo:
r(x) =
x4 − 3x3 + x − 3 x2 − 9 f (x) = n es par
3. Funciones radicales: Una función de la forma que si
n
es impar su dominio es
Ejemplo:
IR,
f (x) =
pero si
√ 4
x
es continua para todo
√ n
x ∈ IR − {−3, 3}.
x será continua en todo su dominio. Recuerde [0, +∞[
su dominio máximo es
es continua para todo
x ∈ [0, +∞[
4. Funciones Trigonométricas: Las siguientes funciones trigonométricas son continuas para todo
x que
pertenezca a su dominio. Ejemplos:
a ) f (x) = sen(x) es continua para todo x ∈ IR b ) f (x) = cos(x) es continua para todo x ∈ IR c ) f (x) = tan(x) es continua para todo x ∈ IR − { (2k+1)π , k ∈ R}. 2 Observe que esto se puede explicar a partir del hecho de que
tan(x) =
sen(x) cos(x)
y la propiedad
4 de las funciones continuas.
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c
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Las propiedades anteriores nos permiten asegurar la continuidad de funciones en cualquier punto de su dominio, por ejemplo
f (x) =
x2 + x + 1 √ sen x − x
es continua para
x=
π . 4
Justi que por qué.
Para referirnos a la continuidad de una composición de funciones continuas en un punto, primero repasemos mediante un diagrama el concepto de composición de funciones:
En el caso de funciones compuestas tenemos los siguientes teoremas:
TEOREMAS: l´ım f (g(x)) = f l´ım g(x)
1. Si
g
es continua en
c
y
f
lo es en
g(c),
entonces
2. Si
g
es continua en
c
y
f
lo es en
g(c),
la función compuesta dada por
Ejemplo:
f (x) =
√
x2 + 1
es continua para todo
x
x→c
en su dominio
x→c
IR.
f (g(x))
es continua en
x = c.
Justi que por qué.
PRÁCTICA 6 1. Si
f
y
g son funciones continuas en IR y además se cumple que f (3) = 5 y que l´ım [2f (x) − g(x)] = 4,
encuentre
x→3
g(3).
2. Justi que detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué
f (x) = x2 +
√
7−x
es continua en
x = 4.
3. Justi que detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué
g(x) = sen(x2 + 2x − 1)
4. Explique por qué la función
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x = −1. cos x h(x) = 2 es x +x+1
es continua en
continua en todo su dominio.
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1.11.3. Tipos de discontinuidades Las discontinuidades caen en dos categorías:
1. Discontinuidades evitables: continua rede niéndola en
Se dice que una discontinuidad en
x = c es evitable si f
puede hacerse
x = c.
Ejemplo:
g(x) =
Para que
x2 − 25 x−5
g(x)
con
x 6= 5.
Su grá ca es:
sea continua bastaría rede nir
g(5) = 10 2 x − 25 , g(x) = x−5 10,
la función de manera que
Note que la función
si
x 6= 5
si
x=5
sería una función continua.
NOTA:Observe que si la función g(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasi ca como evitable si
l´ım g(x)
x→a
existe, es decir, basta comprobar que
2. Discontinuidades no evitables: puede rede nir en
x=c
l´ım g(x) = l´ım+ g(x).
x→a−
x→a
Se dice que una discontinuidad en
x=c
no es evitable si
f
no se
para hacerla continua.
Ejemplo:
( 2x − 4, h(x) = x2 − 2x − 2,
si si
x≥3 x<3
Su grá ca es:
Como la función
h(x)
tiene un salto
en
x=3
no se puede rede nir para que sea continua.
NOTA:Observe que si la función h(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasi ca como NO evitable si en
l´ım h(x) NO existe, es decir, basta comprobar que l´ım− h(x) 6= l´ım+ h(x). También note que x→a x→a x→a a la función tiene una asíntota vertical, la discontinuidad también seria .
si
x=
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no evitable
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1.11.4. Estudio de la continuidad de una función A partir de todo lo que hemos mencionado acerca de la continuidad de una función, podemos efectuar el estudio de la misma, tanto en un punto como en un intervalo. Ejemplos:
1. Compruebe que
2 x f (x) = 5 −x + 6
si si si
2. Comprueba que la función dada por
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x<2 x=2 x>2
f (x) = √
tiene una discontinuidad evitable en
1 1 − x2
x = 2.
1 es continua en ]-1,1[ pero no en [-1,1].
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3. Sea la función
3x + 1 f (x) = x2 + 3 4x + 3
si si si
81
x<1 1<x≤3 3<x
Efectúe el estudio completo de la continuidad de
f (x).
Además clasi que las discontinuidades que
encuentre.
4. Encuentre y clasi que la(s) discontinuidad(es) de la función:
h(x) =
x3 + 4x2 + x − 6 (x − 1)2 (x + 3)
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5. Considere la función
f
82
dada por
x + 1 f (x) = x2 + m x+7 Determine los valores de
f
SOLUCIÓN:
a ) ] − ∞, 0[:
m
y
n
, si , si , si
x≤0 0<x≤n x>n
, de forma que la función
f
sea continua en
R.
es continua en los siguientes intervalos:
f (x) = x + 1 ] − ∞, 0[.
Ya que
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
también continua en
b ) ]0, n[:
f (x) = x2 + m continua en ]0, n[.
Ya que
también
c ) ]n, +∞[:
Ya que
f (x) = x + 7 ]n, +∞[.
también continua en Por lo tanto, para que
Continuidad en (i) (ii)
f
sea continua en
R
basta garantizar la continuidad en
x=0
y
x = n.
x=0
f (0) = 1 l´ım f (x)
x→0
debe existir
l´ım f (x) = l´ım− (x + 1) = 0 + 1 = 1
x→0−
x→0
l´ım f (x) = l´ım+ (x2 + m) = 02 + m = m
x→0+
x→0
Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, (iii) Para que
∴
l´ım f (x) = f (0) = 1
x→0 f es continua en
Continuidad en (i) (ii)
x=0
siempre que
siempre que
m=1
m=1
m=1
x=n
f (n) = n2 + 1 l´ım f (x)
x→n
debe existir
l´ım f (x) = l´ım− (x2 + 1) = n2 + 1
x→n−
x→n
l´ım f (x) = l´ım+ (x + 7) = n + 7
x→n+
x→n
n2 + 1 = n + 7 Resolviendo n = 3 o n = −2, sin embargo este último valor se función n > 0. Por lo tanto, para que el límite exista se
Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, la ecuación
n2 − n − 6 = 0
se obtiene que
descarta ya que por de nición de la debe cumplir que (iii) Para que
∴
n=3
l´ım f (x) = f (n) = 10 siempre que n = 3 x = n siempre que n = 3
x→n f es continua en
Por tanto, la función dada será continua en
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R
siempre que
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m=1
y
n = 3.
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6. Encuentre los valores de las constantes
c
y
d,
83
de tal modo que la función
h(x),
de nida a continua-
ción, sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta.
x + 2c h(x) = 3cx + d 3x − 2d
si si si
x < −2 −2≤x≤1 1<x
RESPUESTA/ Para que
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f
sea continua en
R
se debe cumplir que
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c =
1 3
y
d =
2 3.
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7. Considere la función
f : R −→ R
dada por
f (x) =
Justi que si
l´ım f (x)
x→−4 la discontinuidad.
RESPUESTA:
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sen(x + 4) 2x + 8 √ x+8 4
existe y conteste si
l´ım f (x) =
x→−4−
84
f
, si
, si
x < −4
x ≥ −4
es continua en
1 = l´ım f (x), f 2 x→−4+
x = −4. En caso de no serlo clasi que
ES CONTINUA en
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x = −4
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85
PRÁCTICA 7 (1)
Estudiar la continuidad de cada una de las siguientes funciones. Clasi que las discontinuidades que
encuentre.
(b)
( |x − 2| + 3 f (x) = x+5 √ f (x) = 1 − x2 en el
(c)
f (x) =
(a)
√
x−1
si si
x<0 x≥0
intervalo
en el intervalo
( (2)
Considere la función Determine el valor de
(3)
f (x) = k
[−1, 1]
]1, +∞[
4(x2 + 1) 2x + 3k
x≤0 x>0 f (x) sea
si si
para que la función
continua. Justi que su respuesta.
Encuentre el valor de la constante a, que hace que la función
( g(x) =
x3 − a2 x + 2a x−1
si si
x ≤ −1 x > −1
sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta. (4)
Encuentre el valor de la constante k , que hace que la función
( g(x) =
x2 + x x+k
si si
x≤2 x>2
sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta. (5) Determine el valor de las constantes
a, b y k
para que las siguientes funciones sean continuas en toda
la recta real.
(a)
(b)
(c)
(d)
2 2 x (x − 1) + x − 1 , f (x) = x−1 k, ( x3 , si x ≤ 2 f (x) = 2 ax , si x > 2 2x, g(x) = ax + b, −2x, 2 2 x − a , x−a g(x) = 8,
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si si si
si
x 6= 1
si
x=1
x ≤ −1 −1<x<3 x≥3 si
x 6= a
si
x=a
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(6)
Hallar el valor de
c
86
para que el límite exista y calcúlelo
3x2 + cx + c + 3 x→−2 x2 + x − 2 l´ım
(7) Hallar las asíntotas verticales y las discontinuidades evitables de la función de nida por la expresión
f (x) = (8)
Considere la siguiente función:
( f (x) = Determine el valor de (9)
3x2 + 3x − 18 x(x − 1)(x − 2)
k
para que
f
4(x2 + 1), 2x + 3k,
si si
x≤0 x>0
sea continua.
Dada la función:
f (x) =
2x − 2, 3, 2 , x − 1 2 x − 10,
si
x<2
si
x=2
si
2<x≤3
si
x>3
f.
(a)
Determine las discontinuidades de la función
(b)
Determine cuáles son evitables y cuáles inevitables. Justi que.
(10) Determine las discontinuidades de la función
f (x)
y anote cuáles son evitables y cuáles inevitables.
Justi que su respuesta. (a)
f (x) =
x3 − x x|x − 1|
(b)
(c)
f (x) =
2x2 + 7x + 6 x4 − 16
(d)
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x3 − x x(x − 1)2 ( 1 − x, f (x) = x2 − 2x,
f (x) =
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si si
x≥2 x<2
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87
RESPUESTAS: (1) (a) f es continua en IR (b) f es continua en el intervalo [−1, 1] (c) f es continua en el intervalo [1, +∞] 4 (2) Con k = g es continua en x = 0. 3 (3) a = −1 para que l´ım f (x) exista. x→−1
(4) k = 4 para que l´ım f (x) exista. x→2
(5) (a) k = 3 (6) a = 15
l´ım
(b) a = 2
x→−2
(c) a = −1 b = −3
(d) a = 4
3x2 + 15x + 18 = −1 x2 + x − 2
(7) Asíntotas verticales en x = 0 y x = 1. Discontinuidad evitable en x = 2 (8) k =
4 3
(9) (a) Discontinuidades en x = 2 y x = 3. (b) x = 2 es una discontinuidad evitable. Basta rede nir f (2) pues l´ım f (x) = 2 x→2
x = 3 es una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) 6= l´ım f (x) x→3
−
x→3
+
(10) (a) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) 6= l´ım f (x). x→1
−
x→1
x→0
+
(b) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad no x→0 evitable pues hay una asíntota vertical. (c) En x = 2 hay una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) no existe. En x = −2 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe.
x→2
x→2
(d) En x = 2 hay una discontinidad no evitable pues l´ım f (x) no existe. x→2
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88
La función parte entera de x La función f : IR −→ Z dada por f (x) = bxc asocia cada número real x con el mayor entero menor o igual a x. 5 b c=2 2
Así: b0c = 0
b3,785c = 3
√ b 3c = 1 b−πc = −4
b−0,99c = −1
b−20c = −20
Su grá ca es:
La notación:
también corresponde a la parte entera de x. Es decir,
En el transcurso del curso y en las evaluaciones se puede utilizar indistintamente cualquiera de las dos notaciones. EJERCICIO: 1. Analice la continuidad de la función f (x) = x − bxc en: (a) x = −21
(b) x =
3 8
2. Considere la función f : ]−∞, 6[ −→ R dada por x−2 (x − 2)2 f (x) = 1 bxc
, si x ≤ 2 , si 2 < x < 4 , si x = 4 , si 4 < x < 6
Efectúe el análisis de continuidad para f y concluya en qué valores del dominio la función NO es continua y clasi que esas discontinuidades encontradas.
R/ (1) (a) discontinua (b) continua (2) x = 4 es discontinuidad evitable y x = 5 es discontinuidad no evitable
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89
1.12. El Teorema del Valor Intermedio Si
f
[a, b] y k es cualquier número entre f (a) y f (b), existe al menos [a, b] para el que f (c) = k .
es continua en
un número
c
en
Ejemplos.
Note como al ser f continua en [a, b] para k en [f (a), f (b)] existe al menos un c tal que f (c) = k. De hecho en la gura existen tres. En cambio, en el caso de g , al no ser continua observe que existen valores de k para los que no existe c tal que g(c) = k.
Ejemplos de aplicación. (1) Compruebe que
f (x) = x3 + 2x − 1
tiene al menos un cero en el intervalo
Solución: Veri camos las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [0, 1]: i)f es continua en [0, 1]: Justi cación ya que al ser polinómica es continua en R en el intervalo real [0, 1]. ii)f (0) = −1 < 0 < 2 = f (1) ⇒ ∃c ∈ [0, 1] tal que f (c) = 0 ∴ c es un cero de f (x) en el intervalo [0, 1]
(2) Demuestre que la ecuación
2x3 + x2 = −2
[0, 1].
y, en particular, será continua
tiene una solución en el intervalo
[−2, −1].
Solución: Despejamos cero en la ecuación dada así: 2x3 + x2 + 2 = 0 De nimos la función f (x) = 2x3 + x2 + 2. Note que un cero de f (x) es a la vez una solución de la ecuación 2x3 + x2 = −2. Así que basta probar que f (x) tiene un cero en [−2, −1] Veri camos que la función de nida cumple con las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [−2, −1]: i)f es continua en [−2, −1]. Justi cación: Ya que f es polinómica y por tanto es continua en R y en particular será continua en el intervalo real [−2, −1]. ii)f (−2) = −10 < 0 < 1 = f (−1) ⇒ ∃c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 0 ⇒ c ∈ [−2, −1] es un cero de f (x) ∴ c es una solución para la ecuación 2x3 + x2 + 2 = 0 en el intervalo [−2, −1]
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(3) Pruebe que
f (x) = x2
Solución:
y
g(x) =
√ 6+x
90
se intersecan en al menos un punto en el intervalo
[ 41 , 3].
Dado que el punto de intersección de f (x) con g(x) pertenece al grá co √ de ambas funciones, entonces corresponde 2 a una solución de√la ecuación f (x) = g(x) o lo que es equivalente x = 6 + x. Despejando cero en esta ecuación √ obtenemos x2 − 6 + x = 0. De nimos la√función h(x) = x2 − 6 + x. Por lo tanto un cero para la función h(x) será una solución para la ecuación x2 = 6 + x y a la vez será una intersección para las funciones f (x) y g(x). Por lo tanto, basta demostrar que h(x) tiene un cero en el intervalo [ 41 , 3]. Veri camos que h(x) cumple las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en [ 41 , 3]: i) h es continua en el intervalo [ 14 , 3]: La función f (x) =√x2 es continua en R por ser polinómica, y en particular, será continua en el intervalo real [ 14 , 3]. A la vez g(x) = 6 + x es continua en el intervalo [−6 + ∞[ porque al ser una composición de funciones continuas ∀x ∈ [−6 + ∞[, por propiedades de las funciones continuas será también continua ∀x ∈ [−6 + ∞[. En particular, como [ 14 , 3] ⊂ [−6 + ∞[ entonces g(x) es continua en [ 14 , 3]. Pero entonces, dado que h(x) = f (x) − g(x), se cumple que es la resta de dos funciones continuas ∀x ∈ [ 41 , 3] y por propiedades de las funciones continuas h(x) será también continua en ese intervalo. ii) h
1 4
=
−39 < 0 < 6 = h(3) 16
⇒ ∃c ∈ [ 41 , 3] tal que h(c) = 0 ⇒ c ∈ [ 14 , 3] es un cero de h(x) ⇒ c es una solución para la ecuación x2 =
√
6 + x en el intervalo [ 14 , 3]
⇒ c ∈ [ 14 , 3] cumple que f (c) = g(c) ∴ c ∈ [ 41 , 3] corresponde a una intersección entre las funciones f (x) y g(x).
(4) Demuestre que la ecuación
x = cos(x)
tiene una solución en el intervalo
SOLUCIÓN: Despejamos cero en la ecuación dada obteniendo el siguiente ecuación equivalente:
π 0, 2 .
x − cos(x) = 0 De nimos la función f (x) = x − cos(x). Note que probar que f tiene cero en el intervalo 0, π2 es equiva un lente a probar que la ecuación dada tiene una solución en el intervalo 0, π2 . Veri camos que f satisface las hipótesis del Teorema de los Valores Intermedios en el intervalo 0, π2 . i. f es continua en 0, π2 : Ya que f (x) = x − cos(x) es una resta de funciones ambas continuas ∀x ∈ 0, π2 (esto por propiedades de las funciones polinómicas y la función trigonométrica coseno que son continuas en R y en particular en el intervalo anterior); y, por propiedad de las funciones continuas, entonces f también será continua ∀x ∈ 0, π2 . ii. f (0) < 0 < f π2 : Ya que f (0) = 0 − cos(0) = 0 − 1 = −1 y f π2 = π2 − cos π2 = π2 − 0 = π2 y en efecto, −1 < 0 < π2 π Entonces Teorema de Valores Intermedios) existe c ∈ 0, 2 tal que f (c) = 0 π(por ∴ c ∈ 0, 2 es una solución de la ecuación x = cos(x) .
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91
(5) Sea f (x) = x3 −5x2 +7x−9. Demuestre que existe α ∈ R tal que f (α) = 100.(Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio)
PRÁCTICA 8 1. Demuestre que la ecuación cos(x) =
√
x
πi tiene una solución en el intervalo 0, . Justi que su respuesta. 2 h
2. Suponga que f (x) es una función continua en el intervalo [a, b], que cumple que f (a) < 0 y f (b) > 1
Demuestre que existe un valor c en el intervalo ]a, b[ donde f (c) =
1 2
3. Demuestre que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene una solución entre x = 0 y x = 1. Justi que su respuesta. 2 3 4. Demuestre que lasgrá cas de las funciones f (x) = cos(2x ) y g(x) = x − 5x se intersecan al menos una √ − π vez en el intervalo , 0 . 4
5. Demuestre que la grá ca de la función y = x3 + x + 1 interseca al eje X en al menos un punto. (Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio) 6. Considere la función f : [0, 1] −→ [0, 1] continua tal que 0 < f (0) < f (1) < 1. Demuestre que existe c ∈]0, 1[ tal que f (c) = c.
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Capítulo 2 Derivadas
2.1. Concepto de Derivada Uno de los problemas a partir de los cuales surge el Cálculo, es el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Por ejemplo:
Algunas soluciones parciales a este problema fueron dadas por Pierre Fermat, René Descartes, Christian Huygens e Isaac Barrows, se atribuye la primer solución a Isaac Newton y Gottfried Leibniz. La pendiente (m) de la recta tangente, se deduce aproximándose a la recta tangente mediante rectas secantes, proceso que genera un límite. Suponga que se quiere calcular la pendiente de la recta tangente a f en cualquier punto (x, f (x))
92
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93
f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) y2 − y1 ∆y = = = ∆x x2 − x1 x+h−x h Ahora bien, la recta secante se aproxima a la recta tangente cuando h → 0. Así la pendiente de la recta tangente sería:
La pendiente de la secante es: msec =
f (x + h) − f (x) h El límite utilizado para de nir la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, se usa también para de nir una de las dos operaciones fundamentales del Cálculo: la derivación. mtan = l´ım
h→0
Por tanto, si tenemos una función f llamamos la función derivada de f al siguiente límite: f (x + h) − f (x) h Al proceso del cálculo de la derivada de una función se le llama derivada de una función son las siguientes: f 0 (x) = l´ım
h→0
f 0 (x),
dy , dx
d [f (x)], dx
derivación.
Algunas notaciones para la
y0
2.2. Derivación de funciones utilizando la de nición (Límite) Veamos algunos ejemplos del cálculo de la derivada de funciones simples a partir de la de nición de derivada. Calcule la derivada de las siguientes funciones: √ (1) f (x) = x Solución: f 0 (x)
=
l´ım
h→0
f (x + h) − f (x) h √
=
=
=
=
=
=
l´ım
h→0
x+h− h
√ x
√ √ √ √ ( x + h − x) ( x + h + x) √ · l´ım √ h→0 h ( x + h + x) √ √ ( x + h)2 − ( x)2 √ l´ım √ h→0 h( x + h + x) l´ım
x+h−x √ √ h( x + h + x)
l´ım
h √ √ h( x + h + x)
h→0
h→0
1 l´ım √ √ ( x + h + x)
h→0
=
1 √ √ ( x + 0 + x)
=
1 √ √ ( x + x)
=
1 √ 2 x
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1 ∴ f 0 (x) = √ 2 x
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(2) f (x) =
√ 3 x
(3) g(x) =
x x+1
94
1 R/ f 0 (x) = √ 3 3 x2
Solución: g 0 (x)
=
=
=
=
=
=
=
l´ım
h→0
g(x + h) − g(x) h
x+h x − x + h + 1 x + 1 l´ım h→0 h (x + h)(x + 1) − x(x + h + 1) (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h x2 + x + xh + h − x2 − xh − x (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h h (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h l´ım
h h(x + h + 1)(x + 1)
l´ım
1 (x + h + 1)(x + 1)
h→0
h→0
=
1 (x + 0 + 1)(x + 1)
=
1 (x + 1)2
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∴ g 0 (x) =
1 (x + 1)2
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(4) g(x) =
−1 x
95
R/ g 0 (x) =
1 x2
(5) y = 3x2 − 5x + 6 Solución: Sea y = f (x) dy dx
=
=
=
=
=
=
∴
f (x + h) − f (x) h
l´ım
[3(x + h)2 − 5(x + h) + 6] − [3x2 − 5x + 6] h
h→0
[3(x2 + 2xh + h2 ) − 5x − 5h + 6] − [3x2 − 5x + 6] h→0 h [3x2 + 6xh + 3h2 − 5x − 5h + 6] − [3x2 − 5x + 6] l´ım h→0 h
= =
l´ım
h→0
l´ım
l´ım
3x2 + 6xh + 3h2 − 5x − 5h + 6 − 3x2 + 5x − 6 h
l´ım
6xh + 3h2 − 5h h
l´ım
h(6x + 3h − 5) h
h→0
h→0
h→0
l´ım (6x + 3h − 5)
h→0
=
(6x + 3 · 0 − 5)
=
6x − 5
dy = 6x − 5 dx
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Triángulo de Pascal: Para determinar los coe cientes de las fórmulas notables (a ± b)n . 1 1
1 &
1
2 &
1
.
1 &
3 &
1
.
. 3
&
4 &
.
.
1 &
6
.
&
.
. 4
&
.
1 &
.
Así (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Así (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 y (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 Así (a+b)4 = a4 +4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4 y (a−b)4 = a4 −4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4 (6) f (x) = x3 + 2x Solución: f 0 (x)
=
=
=
=
=
=
=
l´ım
f (x + h) − f (x) h
l´ım
[(x + h)3 + 2(x + h)] − [x3 + 2x] h
l´ım
[x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 + 2x + 2h] − [x3 + 2x] h
l´ım
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 + 2x + 2h − x3 − 2x h
l´ım
3x2 h + 3xh2 + h3 + 2h h
l´ım
h(3x2 + 3xh + h2 + 2) h
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
l´ım (3x2 + 3xh + h2 + 2)
h→0
=
(3x2 + 3x · 0 + 02 + 2)
=
3x2 + 2
∴ f 0 (x) = 3x2 + 2
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(7) y = −0,5x2 + x − 6
97
R/ y 0 = −x + 1
(8) f (x) = sen(x)
R/ f 0 (x) = cos(x)
PRÁCTICA 9
Calcule la derivada de las siguientes funciones mediante la de nición de derivada. Debe efectuar el cálculo del límite correspondiente. x−1 x+3 −1 2. g(x) = √ x
4 (x + 3)2 1 R/ g 0 (x) = √ 2 x3 dy R/ = − sen(x) dx 1 R/ f 0 (x) = √ 2x + 1 dy R/ = 20x3 − 6x + 7 dx
1. h(x) =
R/ h0 (x) =
3. y = cos(x) 4. f (x) =
√ 2x + 1
5. y = 5x4 − 3x2 + 7x − 11
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2.3. La derivada en un punto FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA (la derivada en un punto) La derivada de f evaluada en x = c viene dada por: f 0 (c) = l´ım
x→c
f (x) − f (c) suponiendo que tal límite exista. x−c
Ejemplos. (1) Sea f (x) = x2 − x − 6. Calcule la derivada de f en el punto (3, 0). SOLUCIÓN f 0 (3)
= = = =
f (x) − f (3) x−3 (x2 − x − 6) − 0 l´ım x→3 x−3 (x + 2)(x − 3) l´ım x→3 (x − 3) l´ım
x→3
−→
0 0
l´ım (x + 2)
x→3
=
3+2
=
5
NOTA: A partir del resultado anterior se interpreta que la pendiente punto
(3, 0)
es igual a
(m)
de la recta tangente a
f (x)
en el
5.
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(2) Sea g(x) =
√
99
1 − 2x. Calcule la pendiente de la recta tangente a g(x) en x = −4.
SOLUCIÓN Se calcula g 0 (−4)
= = = = = =
g(x) − g(−4) x→−4 x − −4 √ 1 − 2x − 3 l´ım x→−4 x+4 √ √ ( 1 − 2x − 3) ( 1 − 2x + 3) l´ım · √ x→−4 (x + 4) ( 1 − 2x + 3) √ 2 ( 1 − 2x) − (3)2 √ l´ım x→−4 (x + 4)( 1 − 2x + 3) l´ım
l´ım
1 − 2x − 9 √ (x + 4)( 1 − 2x + 3)
l´ım
−2x − 8 √ (x + 4)( 1 − 2x + 3)
x→−4
x→−4
−→ −→
g(−4) =
p √ 1 − 2(−4) = 9 = 3
0 0
−2(x + 4) √ (x + 4)( 1 − 2x + 3) −2 = l´ım √ x→−4 ( 1 − 2x + 3) −2 p = ( 1 − 2(−4) + 3) −2 = 6 −1 = 3 −1 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente a g(x) en (−4, 3) tiene pendiente m = 3 =
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l´ım
x→−4
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100
2.4. Derivadas laterales Se de nen la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha a los siguientes límites laterales: 0 f− (c) = l´ım
x→c−
f (x) − f (c) x−c
0 f+ (c) = l´ım
x→c+
f (x) − f (c) x−c
Si ambos límites existen y son iguales decimos que la derivada f 0 (c) = l´ım
x→c
que es lo mismo, que f es derivable o diferenciable en x = c.
f (x) − f (c) existe o lo x−c
0 0 Ejemplo: calcule las derivadas laterales f− (4) y f+ (4) para la función:
0 f (x) = 5 − x 1 5−x −→ f (4) =
,si x ≤ 0 , si 0 < x < 4 ,si x ≥ 4, x 6= 5 1 = 1 ←− 5−4
% 0 f− (4)
f (x) − f (4) = l´ım x−4 x→4−
0 f+ (4)
f (x) − f (4) = l´ım x−4 x→4+
(5 − x) − 1 = l´ım x−4 x→4−
1 −1 5 − x = l´ım x−4 x→4+
−x + 4 = l´ım x→4− x − 4
1 − (5 − x) 5−x = l´ım x−4 x→4+
−(x − 4) = l´ım x−4 x→4−
1−5+x 5−x = l´ım x−4 x→4+
= l´ım −1 x→4−
= −1
x−4 5 −x = l´ım x→4+ x − 4 = l´ım
x−4 (5 − x)(x − 4)
= l´ım
1 5−x
x→4+
x→4+
=
1 5−4
=1
NOTA: Observe que f no es diferenciable para x = 4, puesto que las derivadas laterales no coinciden.
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2.5. Derivabilidad y continuidad Una función NO es derivable en un punto donde su grá ca tiene un pico o una recta tangente vertical. La derivabilidad también queda destruida si no hay continuidad, ya que si una función es derivable en un punto, forzosamente es continua en ese punto. Sin embargo, una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Ejemplos: 1) Considere la función 0 ,si x ≤ 0 5 − x , si 0 < x < 4 f (x) = 1 , si x ≥ 4, x 6= 5 5−x ¾En qué valores de x la función f no es diferenciable? SOLUCIÓN: (a) x = 4.Justi cación:
Las derivadas laterales no coinciden (ver página anterior). Nota: Observe sin embargo,que f es continua en x = 4, pues: (i) f (4) = 1 1 (ii) l´ım f (x) = 1, ya que l´ım f (x) = 5 − 4 = 1 y l´ım f (x) = =1 x→4 5−4 x→4− x→4+ (iii) l´ım f (x) = f (1) = 1 x→4 Lo anterior es un ejemplo del hecho de que una función f puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. (b) x = 5 Justi cación: f no es continua en 5, pues f (5) no está de nida. Al no ser continua en x = 5 la función no es derivable en ese valor
(c) x = 0 Justi cación: f no continua en x = 0, pues f (0) = 0 pero l´ım f (x) = 0 6= l´ım f (x) = 5 y si no x→0−
hay continuidad en 0, f no puede ser derivable en 0.
x→0+
Lo anterior se puede apreciar en la grá ca de f que se ve a continuación:
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102
√ 2) Veri que que la función de nida por f (x) = 3 x no es derivable en x = 0. Haga una interpretación grá ca. SOLUCIÓN. √ (a) Note que la función f es continua en x = 0 [ justi cación: l´ım f (x) = 3 0 = 0 = f (0) ] x→0
(b) Derivada en el punto (0 , 0): √ 1 3 −2 f (x) − f (0) x−0 x3 1 f 0 (0) = l´ım = l´ım = l´ım = l´ım x 3 = l´ım 2 = +∞ (c) Interpretación grá ca: Al obx→0 x→0 x→0 x x→0 x→0 x 3 x−0 x tener in nito en la derivada se concluye que la recta tangente a f en el punto (0, 0) es vertical. Cuando esto sucede se concluye a la vez que la función no es derivable en (0, 0).
3) Considere la función de nida por f (x) =
si x ≤ −1,
1 x
si − 1 < x.
x
Muestre que esta función es continua pero no es derivable en x = −1. SOLUCIÓN Continuidad en x = −1 Se veri can condiciones de continuidad en un punto. i. f (−1) = −1 ii. l´ım f (x) = −1 x→−1
ya que
l´ım f (x) = −1 =
x→−1−
l´ım f (x)
x→−1+
iii. l´ım f (x) = f (−1) = −1 x→−1
∴ f (x) es continua en x = −1 Derivabilidad en x = −1 Se calculan las derivadas laterales en x = −1. 0 f− (−1) =
0 f+ (−1) =
l´ım
1 1+x − −1 f (x) − f (−1) 1 x = l´ım x = l´ım = l´ım = −1 x − −1 x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− x
l´ım
f (x) − f (−1) x − −1 x+1 = l´ım = l´ım = l´ım 1 = 1 x − −1 x→−1+ x + 1 x→−1+ x + 1 x→−1+
x→−1−
x→−1+
0 0 Como f− (−1) 6= f+ (−1) entonces f no es derivable en x = −1.
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(
4) Considere la función f dada por f (x) =
1 x x 4
1−
103
, si x < b . , si x ≥ b
a. Si f es continua en x = b, determine el valor de b. SOLUCIÓN: Si f es continua en x = b, por de nición de continuidad en un punto se cumple que l´ım f (x) existe. Por lo x→b tanto:
l´ım f (x) = l´ım f (x) x→b+ 1 x l´ım = l´ım 1 − + − 4 x→b x x→b 1 b =1− b 4 4 4b − b2 = 4b 4b 2 b − 4b + 4 = 0 x→b−
(b − 2)2 = b ∴b=2
1 Note que en efecto si b = 2 se cumple que f (2) = l´ım f (x) = , con lo que se cumple que f es continua en x→2 2 x = 2.
b. Conteste: ¾Es f derivable en el valor x = b encontrado en la parte (a)? Justi que. SOLUCIÓN: Basta veri car que las derivadas laterales coinciden: 0 f− (2) = l´ım
1 2−x − 21 (2 − x) −(−2 + x) f (x) − f (2) −1 2x = l´ım x = l´ım = l´ım = l´ım = x−2 4 x→2− x − 2 x→2− x − 2 x→2− 2x(x − 2) x→2− 2x(x − 2)
0 f+ (2) = l´ım
1 − x4 − f (x) − f (2) = l´ım x−2 x−2 x→2+
x→2−
+ x→ 1 2
1 2
= l´ım
x→2+
2−x − x4 −(−2 + x) −1 4 = l´ım = l´ım = + x−2 4 x→2 x − 2 x→2+ 4(x − 2)
1 2
0 0 Así: f− (2) = f+ (2). Por lo tanto, f es derivable en x = 2.
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5) Veri que que la función f (x) = |x − 2| es continua en x = 2 pero no es derivable en x = 2. Haga una interpretación grá ca. SOLUCIÓN: (a) Continuidad en x = 2
Análisis del valor absoluto
f (2) = |2 − 2| = |0| = 0
i.
l´ım f (x) = l´ım (2 − x) = 2 − 2 = 0
ii.
(
x→2−
x→2−
|x − 2| =
l´ım f (x) = l´ım (x − 2) = 2 − 2 = 0
x→2+
x→2+
x−2 2−x
si x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 si x − 2 < 0 ⇒ x < 2
Por lo tanto l´ım f (x) = 0 x→2
iii.
l´ım f (x) = 0 = f (2)
x→2
∴ f es continua en x = 2
(b) Derivabilidad en x = 2
0 f− (2) = l´ım
x→2−
f (x) − f (2) x−2
0 f+ (2) = l´ım
x→2+
f (x) − f (2) x−2
= l´ım
|x − 2| − 0 x−2
= l´ım
|x − 2| − 0 x−2
= l´ım
2−x x−2
= l´ım
x−2 x−2
= l´ım
−(x − 2) x−2
= l´ım 1
x→2−
x→2−
x→2−
= l´ım −1 x→2−
x→2+
x→2+
x→2+
=1
= −1 f (x) − f (2) no existe x−2 ∴ f no es derivable en x = 2 ⇒ f 0 (2) = l´ım
x→2
EJERCICIO. Veri que que la función f
de nida por f (x) = |x2 − 9| no es derivable en x = −3 ni en x = 3. Sugerencia: Al analizar el valor absoluto, tome en cuenta que para saber en que intervalos x2 − 9 ≥ 0 (y en consecuencia en cuales x2 − 9 < 0), la desigualdad cuadrática se resuleve así: x2 − 9 ≥ 0
Así: |x2 − 9| = 2 x − 9 , si x ≤ −3 ∨ x ≥ 3
(x + 3)(x − 3) ≥ 0
ceros
9 − x2
x = −3 x = 3
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, si − 3 < x < 3
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2.6. Derivación con fórmulas Aparte del método de cálculo por la de nición, la derivada de una función puede encontrarse de manera directa con fórmulas. Veamos algunos ejemplos del uso de las fórmulas.
(1)La derivada de una constante:
d [c] = 0 dx
c constante real.
. Si f (x) = 2 entonces f 0 (x) = 0 −3π entonces g 0 (x) = 0 . Si g(x) = 5
(2) La derivada de la función identidad:
d [x] = 1 dx
. Si f (x) = x entonces f 0 (x) = 1
(3)la derivada de una potencia cuya base es la variable de derivación elevada a un exponente numérico: d n [x ] = n · xn−1 dx
. Si f (x) = x7 entonces f 0 (x) = 7x6 . Si g(x) = xπ entonces g 0 (x) = πxπ−1 . Si h(x) = xe−6 entonces h0 (x) = (e − 6)xe−7 1 dy −1 . Si y = = x−1 entonces = −1x−2 = 2 x dx x 1 −4 −4 0 −5 . Si g(x) = 4 = x entonces g (x) = −4x = 5 x x −2 √ 1 1 1 1 0 3 √ . Si f (x) = x = x 3 entonces f (x) = x 3 = 2 = 3 3 3 x2 3x 3 −1 −1 −3 −1 1 1 −1 √ x 2 = . Si h(x) = √ = 1 = x 2 entonces h0 (x) = 3 = 2 x 2 x3 x2 2x 2
(4) La derivada de las función raíz cuadrada . Si f (x) =
d √ 1 [ x] = √ dx 2 x
√ 1 x entonces f 0 (x) = √ 2 x
(5)La derivada de las funciones trigonométricas: d [sen (x)] = cos (x) dx
d [cos (x)] = − sen (x) dx
d [tan (x)] = sec2 x dx
d [cot (x)] = − csc2 (x) dx
d [sec (x)] = sec (x) · tan (x) dx
d [csc (x)] = − csc (x) · cot (x) dx
. Si f (x) = cos (x) entonces f 0 (x) = − sen (x) . Si g((x)) = tan (x) entonces g 0 (x) = sec2 (x) . Si h(x) = csc (x) entonces h0 (x) = − csc (x) · cot (x)
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(6)La derivada del múltiplo constante de una función:
d [c · f (x)] = c · f 0 (x) dx
√ 1 3 . Si f (x) = −3 x entonces f 0 (x) = −3 · √ = − √ 2 x 2 x π π . Si f (x) = − tan (x) entonces f 0 (x) = − sec2 (x) 2 2 2πx2 2π 4πx . Si g(x) = entonces g 0 (x) = · 2x = 3 3 3 √ 3 −2 x 1 1 1 0 . Si h(x) = entonces h (x) = · · x 3 = √ 3 4 4 3 12 x2 −4 ln 3 2 ln 3 = 2 ln 3 · x−2 entonces y 0 = 2 ln 3 · −2x−3 = . Si y = x2 x3 0 . Si g(x) = 0,75x entonces g (x) = 0,75 · 1 = 0,75
(7)La derivada de sumas o restas de funciones:
d [f (x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x) dx
Ejemplos:
√ 3 π 1 3π π−1 x − xπ + entonces f 0 (x) = √ − x 5 4 5 2 x √ 3 10 . Si f (x) = 2 sec (x) − 10 3 x − entonces f 0 (x) = 2 sec (x) · tan (x) − √ 3 7 3 x2 √ 8 −32 4 5 . Si g(x) = 4 + 3πx − x4 + 4x6 − e2 entonces g 0 (x) = 5 + 3π − √ + 24x5 x x 55x 1 13 √ −3 −7 13 −3 13 1 2 . Si y = √ + 6 entonces y 0 = x 4 − −2 · x−3 − · −x−2 = √ − 2 − + 3 + 2 4 4 3 x 3x 4 3 x 3x x 4 x7
. Si f (x) =
NOTA: Esta regla de derivación, junto con la del múltiplo constante, permite derivar polinomios como los siguientes: . Si h(x) = −9x4 − 6x3 + 13x2 − 16x + 1 entonces h0 (x) = −36x3 − 18x2 + 26x − 16 2 3x π 3 . Si p(x) = 0,75x4 − x3 + 0,5x2 − + entonces p0 (x) = 3x3 − 2x2 + x − 3 2 5 2 (8)La derivada de la multiplicación de dos funciones:
d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Ejemplos:
√ √ √ √ 1 x entonces f 0 (x) = [3x9 ]0 · x + 3x9 · [ x]0 = 27x8 · x + 3x9 · √ 2 x √ 5 . Si g(x) = (3x3 − 4x2 − πx + e) · (−3 x) entonces √ √ 0 3 2 0 0 5 5 g (x) = [(3x − 4x − πx + e)] · (−3 x) + (3x3 − 4x2 − πx+ e) · [(−3 x)] √ 3 ∴ g 0 (x) = (9x2 − 8x − π) · (−3 5 x) + (3x3 − 4x2 − πx + e) − √ 5 5 x4 √ −2π 2 3 . Si h(x) = − 5 cot(x) + entonces 3x2 3 2π h i −2 0 0 −2πx 2 −2π 2 0 h (x) = · − 5 cot(x) + · − 5 cot(x) 2 3 3 3x 3 4π 2 −2π ∴ h0 (x) = − 5 cot(x) + 5 csc2 (x) 3 2 3x 3 3x
. Si f (x) = 3x9 ·
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(9)La derivada de una multiplicación de tres funciones: d [f (x) · g(x) · h(x)] = f 0 (x) · g(x) · h(x) + f (x) · g 0 (x) · h(x) + f (x) · g(x) · h0 (x) dx
Ejemplo: √ . Sif (x) = (1 − 4x2 ) · csc(x) · 2 5 x entonces √ √ √ f 0 (x) = [(1 − 4x2 )]0 · csc(x) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · [csc(x)]0 · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · csc(x) · [2 5 x]0 √ √ 2 −4 f 0 (x) = −8x · csc(x) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · (− csc(x) · cot(x)) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · csc(x) · x 5 5 √ √ 2(1 − 4x2 ) csc(x) √ ∴ f 0 (x) = −16x 5 x csc(x) − 2 5 x(1 − 4x2 ) · csc(x) · cot(x) + 5 5 x4
(10)La derivada de una división de funciones:
g(x) · f 0 (x) − g 0 (x) · f (x) d f (x) = dx g(x) [g(x)]2
Ejemplos: . Si g(x) =
(π − x3 − x2 + 2 √ entonces g 0 (x) = π− 3x
√ √ 3 x)[x3 − x2 + 2]0 − [π − 3 x]0 (x3 − x2 + 2) √ (π − 3 x)2
√ 1 3 x)(3x2 − 2x) − − √ (x3 − x2 + 2) 3 2 3 x 0 √ ∴ g (x) = (π − 3 x)2 √ √ √ √ √ √ (3 + xe )[ x − 2 3 x]0 − [(3 + xe )]0 ( x − 2 3 x) x−23x 0 . Si h(x) = entonces h (x) = 3 + xe (3 + xe )2 (π −
(3 + xe )
∴ h0 (x) =
. Si g(x) =
√ √ 1 2 √ − √ − (exe−1 )( x − 2 3 x) 3 2 x 3 x2 (3 + xe )2
2 tan(x) + 5 sen(x) √ entonces (x3 − 5x2 − x + 1) x √
√ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)[2 tan(x) + 5 sen(x)]0 − [(x3 − 5x2 − x + 1) x]0 (2 tan(x) + 5 sen(x)) √ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)2 h √ √ 3 2 2 ((x − 5x − x + 1) x)(2 sec (x) + 5 cos(x)) − (3x2 − 10x − 1) x + (x3 − 5x2 − x + 1) · 0 ∴ g (x) = √ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)2 g 0 (x) =
1 √ 2 x
i
(2 tan(x) + 5 sen(x))
(*)Tarea: Compruebe las 2 primeras fórmulas trigonométricas usando la de nición de derivadas y las cuatro restantes usando otras fórmulas de derivación y las identidades trigonométricas.
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RESUMEN :********************************************************************* REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Derivadas Básicas:
d [c] = 0 dx d [x] = 1 dx d [c · f (x)] = c · f 0 (x) dx d n [x ] = n · xn−1 dx d √ 1 [ x] = √ dx 2 x d [f (x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x) dx d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx d [f (x) · g(x) · h(x)] = f 0 (x) · g(x) · h(x) + f (x) · g 0 (x) · h(x) + f (x) · g(x) · h0 (x) dx d h f (x) i g(x) · f 0 (x) − g 0 (x) · f (x) = dx g(x) [g(x)]2 d [sen (x)] = cos (x) dx d [cos (x)] = − sen (x) dx d [tan (x)] = sec2 (x) dx d [cot (x)] = − csc2 (x) dx d [sec (x) = sec (x) · tan (x) dx d [csc (x)] = − csc (x) · cot (x) dx *******************************************************************************
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Regla de la Cadena Cuando se tiene una composición de funciones, para derivarla es preciso utilizar la siguiente Regla de la Cadena , a saber:
d [f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x) dx
o bien, si y=f(u) y u=g(x), entonces
dy du dy = · dx du dx
A partir de la Regla de la Cadena se rede nirán las fórmulas ya estudiadas para el caso en que el argumento de una función sea otra función. Las fórmulas quedarían así:
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
(utilización de la Regla de la Cadena para funciones compuestas) u = f (x) d n [u ] = n · un−1 · u0 dx
d √ 1 [ u] = √ · u0 dx 2 u
Derivada de las funciones trigonométricas: d [sen (u)] = cos (u) · u0 dx d [tan (u)] = sec2 (u) · u0 dx d [sec (u)] = sec(u) · tan (u) · u0 dx
d [cos (u)] = − sen (u) · u0 dx d [cot (u)] = − csc2 (u) · u0 dx d [csc (u)] = − csc (u) · cot(u) · u0 dx
Ejemplos: Derive las siguientes funciones: √ −π p 2 5 3 · 5x + 5x − 1 − (1) g(x) = 2 π SOLUCIÓN: π p g 0 (x) = − [ 5x2 + 5x − 1]0 2 π 1 g 0 (x) = − · √ · [5x2 + 5x − 1]0 2 2 5x2 + 5x − 1 π 1 ⇒ g 0 (x) = − · √ · (10x + 5) 2 2 5x2 + 5x − 1 −5π(2x + 1) ∴ g 0 (x) = √ 4 5x2 + 5x − 1 √ (2) h(x) = 6 3 ax3 − bx2 + cx − d con a, b, c, d constantes reales SOLUCIÓN
1 0 h0 (x) = 6 (ax3 − bx2 + cx − d) 3
⇒ h0 (x) = 6 ·
−2 1 (ax3 − bx2 + cx − d) 3 · (3ax2 − 2bx + c) 3
2 · (3ax2 − 2bx + c) ∴ h0 (x) = p 3 (ax3 − bx2 + cx − d)2
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s
(3) y = −7 3 tan2
x2 + 1 π − 2x3
+
110
1 2
SOLUCIÓN 23 #0 x2 + 1 tan π − 2x3 2 −1 2 0 3 dy 2 x +1 x +1 ⇒ = −7 · tan · tan dx 3 π − 2x3 π − 2x3 −1 2 3 2 2 0 dy −14 x +1 x +1 x +1 2 ⇒ = tan · sec · dx 3 π − 2x3 π − 2x3 π − 2x3 2 −1 3 (π − 2x3 )(2x) − (−6x2 )(x2 + 1) −14 dy x2 + 1 x +1 2 · sec = tan · ∴ dx 3 π − 2x3 π − 2x3 (π − 2x3 )2 dy = −7 dx
"
(4) f (x) = 2 sen
5 3x3 − 4x2 + 56 x − 3π
SOLUCIÓN: 5 h 5 i 0 6 6 · 3x3 − 4x2 + x − 3π 3x3 − 4x2 + x − 3π 5 5 5 4 h i0 6 6 6 ⇒ f 0 (x) = 2 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 5 3x3 − 4x2 + x − 3π · 3x3 − 4x2 + x − 3π 5 5 5 5 4 6 6 6 3 2 2 ⇒ f 0 (x) = 2 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 5 3x − 4x + x − 3π · 9x − 8x + 5 5 5 5 4 6 6 6 3 2 2 ∴ f 0 (x) = 10 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 3x − 4x + x − 3π · 9x − 8x + 5 5 5 f 0 (x) = 2 cos
(5) f (x) = (3x10 − 5x5 + 3e)−2 ·
√
1 + x + x2
SOLUCIÓN i0 √ h√ i0 h 1 + x + x2 f 0 (x) = (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · 1 + x + x2 + (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · ∴ f 0 (x) = −2(3x10 − 5x5 + 3e)−3 · (30x9 − 25x4 ) ·
√ 1 1 + x + x2 + (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · √ · (1 + 2x) 2 1 + x + x2
p 5 x − sec3 (x) dy √ . (6) donde y = dx cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 SOLUCIÓN: hp i0 p h i0 √ √ 5 x − sec3 (x) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 − 5 x − sec3 (x) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 2 √ cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 p √ 5(2x+3) 1 (x − sec3 (x))−4/5 (1 − 3 sec3 (x) tan(x)) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 − 5 x − sec3 (x) + 37 x4/3 − csc2 (x) + √ 2 5 dy x +3x = 2 √ dx 7/3 2 cot(x) + 10 x + 3x + x dy = dx
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PRÁCTICA 10 1. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a
) f (x) =
cos3 (2x) q x + x1 r 1 1 · (−6) · (cos2 (2x)) · (sen(2x)) − 1 − · cos3 (2x) x+ √ x 2x x f 0 (x) = ! r 2 1 x+ x
b
√ ) g(x) = (x2 sec(x) − 4 3 x + 1)5
√ 4 R/ g 0 (x) = 5(x2 sec(x) − 4 3 x + 1)4 2x sec(x) + x2 sec(x) tan(x) − (x + 1)−2/3 3
c
) h(x) =
x3 cos(3x2 + 3) 1 x4 + tan x
R/ h0 (x) =
d
) f (x) =
p
(x4 + tan(1/x))(3x2 cos(3x2 + 3) − 6x4 sen(3x2 + 3) − x3 cos(3x2 + 3)(4x3 + sec2 (1/x) · (−1/x2 )) (x4 + tan(1/x))2
(x5 + 4x) sen2 x + (2x − 1)3
.
R/ f 0 (x) =
2. Demuestre (usando la de nición de derivada) que
(5x4 + 4) sen2 x + 2(x5 + 4x) sen x cos x + 6(2x − 1)2 p 2 (x5 + 4x) sen2 x + (2x − 1)3
d −1 1 = 2 dx x x
.
R/ Demostración completa
3. Sea f (x) = cos (2x). Utilice la de nición de derivada para calcular f 0
π 4
R/−2
4. Una función cuyo dominio es D es par si ∀x ∈ D se cumple que f (x) = f (−x). Una función cuyo dominio es D es impar si ∀x ∈ D se cumple que f (x) = −f (x). Demuestre utilizando la de nición de derivada que: a
) La derivada de una función par es una función impar, es decir, f 0 (−x) = −f 0 (x) si f es par.
b
) La derivada de una función impar es una función par, es decir, f 0 (−x) = f 0 (x) si f es impar. .
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R/ Demostración completa
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2.7. Derivación Implícita Hay funciones despejadas en la forma explicita y = f (x).
Ejm: y =
5x2 + 3x x+1
o también
y=
√x2 − 1 1 tan + x3 2 2x + 8
Así mismo, hay funciones o relaciones modeladas por ecuaciones en las cuales y está planteada de forma implícita. Por ejemplo: x2 y + xy = 5y 3
√ x + y = x2 + y 2
o también
En todas estas funciones o relaciones dadas por ecuaciones consideramos que y depende de x y para su dy = f 0 (x) derivación y 0 = dx Ejemplos de derivación implicita. dy Encuentre : dx 1)x2 y + 3x = xy 2 Solución: Sea y 0 =
dy dx
2)xy 3 − 7y + 2xy = 5
Solución: Sea y 0 =
dy dx
2xy + x2 y 0 + 3 = y 2 + x · 2yy 0 2xy + x2 y 0 + 3 = y 2 + 2xyy 0
y 3 + 3xy 2 y 0 − 7y 0 + 2y + 2xy 0 = 0
x2 y 0 − 2xyy 0 = y 2 − 2xy − 3
3xy 2 y 0 − 7y 0 + 2xy 0 = −y 3 − 2y
y 0 (x2 − 2xy) = y 2 − 2xy − 3 y 2 − 2xy − 3 y0 = x2 − 2xy
y 0 (3xy 2 − 7 + 2x) = −y 3 − 2y −y 3 − 2y y0 = 3xy 2 − 7 + 2x
2.8. Derivadas puntuales 2 2 dy Sea x 3 − y 3 − y = 1 Calcule en(1, −1) dx dy 0 Solución: Sea y = dx
NOTA: Observe que el punto dado pertenece a la curva (verifíquelo) 2 −1 2 −1 x 3 − y 3 y0 − y0 = 0 3 3 2 −1 −2 −1 − y 3 y0 − y0 = x 3 3 3 2 −1 −2 −1 y 0 (− y 3 − 1) = x 3 3 3 −1 −2 −1 −2 −2 x 3 (1) 3 0 0 3 3 3 =2 Así y = −1 y = −2 −1 = −2 −1 (1,−1) 3 3 y −1 (−1) −1 3 3 3
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PRÁCTICA 11 1. Calcule la derivada de la función denominada como Bifolio: (x2 + y 2 )2 = 4x2 y R/ y 0 =
2xy − x3 − xy 2 x2 y + y 3 − x2
2. La función y está dada implícitamente por la ecuación que se indica. Calcule la derivada. x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 2 = 0 .
R/ y 0 =
2−x−y x+y+1
3. Derive las siguientes funciones dadas implícitamente:
a
)
√ x + y = y + 6x
R/ y 0 =
√ 12 x + y − 1 √ 1−2 x+y
b
) sen(x + y) = −y
R/y 0 =
− cos(x + y) 1 + cos(x + y)
4. Encuentre la derivada
dy dx
si xy 3 − x5 y 2 = 4
.
5. Considere
R/
π dy 2xy + sen y = 2 Calcule en 1, . π dx 2
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dy 5x4 y 2 − y 3 = dx 3xy 2 − 2x5 y
R/
−π 2
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2.9. Derivación de las funciones inversas trigonométricas Derivada de las funciones trigonométricas inversas d 1 [arc sen(x)] = √ dx 1 − x2 d 1 [arctan(x)] = dx 1 + x2 1 d √ [arcsec(x)] = dx | x | · x2 − 1
d −1 [arc cos(x)] = √ dx 1 − x2 d −1 [arccot(x)] = dx 1 + x2 −1 d √ [arccsc(x)] = dx | x | x2 − 1
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas aplicando Reglas de la Cadena d 1 [arc sen(u)] = √ · u0 dx 1 − u2 d 1 [arctan(u)] = · u0 dx 1 + u2 1 d √ [arcsec(u)] = · u0 dx | u | · u2 − 1
d −1 [arc cos(u)] = √ · u0 dx 1 − u2 −1 d [arccot(u)] = · u0 dx 1 + u2 d −1 √ [arccsc(u)] = · u0 dx | u | u2 − 1
EJEMPLOS: Calcule la derivada de las siguientes funcionces. 1. f (x) = arc cos4 (x)
√ 2. g(x) = arc sen( x)
3. h(x) = 2 arctan(5x2 ) − 2 sen2 (x3 ) −
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4. y = 3 arc cos
1 x
−
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p 3 cot(2x + 1)
5. f (x) =
√ 2x x − 2 arccot 2x+1 + arc sen 22 arctan(x + 1)
6. g(x) =
−2 7
7. h(x) =
arcsec(3x + 2) − csc 3
√ · arccot(7 x) − 2 arctan(1)
2 x
8. y = arcsec(4x2 + 1) · arctan(4x2 + 1)
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RESPUESTAS: −4 arc cos3 (x) √ 1. f 0 (x) = 1 − x2 1 2. g 0 (x) = √ √ 2 x 1−x 20x 0 − 12x2 sen(x3 ) cos(x3 ) 3. h (x) = 25x4 + 1 2 csc2 (2x + 1) dy 3 q 4. = + dx 3 (cot(2x + 1))2/3 x2 1 − 12 x
5. f 0 (x) =
2 arctan(x + 1) − 2
2x 1+(1+x)2
arctan (x + 1)
2 + 2 x 1 + 2x+1 ( 2x + 1)2
6. g 0 (x) =
1 √ (1 + 49x) x
7. h 0 (x) =
2 1 p − 2 csc x |3x + 2| (3x + 2)2 − 1
8.
2 2 cot x x
dy 8x 8x p = · arctan(4x2 + 1) + arcsec(4x2 + 1) · dx (4x + 1)2 + 1 (4x2 + 1) (4x + 1)2 − 1
También hay correspondencias modeladas por una ecuación, cuya derivada hay que calcuarla implícitamente. Por dy si se cumple que ejemplo, calcule dx 1. y = arctan(xy).
R/
2. arc sen(1 + x) = xy 2 .
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R/ y 0 =
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dy y = dx 1 + x2 y 2 − x
p 1 − y 2 1 − (1 + x)2 p 2xy 1 − (1 + x)2
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117
2.10. Derivación de funciones logarítmicas Veamos las fórmulas para derivar funciones que involucran logaritmos:
Derivada de las funciones logarítmicas d 1 [ln(x)] = dx x
d 1 [loga (x)] = dx x · lna
1 d [ln(u)] = u0 dx u
d 1 [loga (u)] = u0 dx u · ln a
Ejemplos: −2 ln x + sen3 (x) − 3π entonces f 0 (x) = Si f (x) = 3 Si g(x) = 2 ln5 (3x2 +
√
x) + tan x entonces g 0 (x)=
Si h(x) = 4 log7 x + 3π log4 x − 1 entonces h0 (x) =
Si y = c log 1
3
sec2 x ax + b
+ d (a,b,c,d constantes) entonces
dy = dx
2.11. Derivación usando las propiedades de los logaritmos El cálculo de ciertas derivadas con logaritmos se simpli ca notablemente si, antes de derivar, se aplican las propiedades de los logaritmos para desarrollarlos. Calcule la primer derivada de las siguientesrfunciones de los logaritmos ! aplicando las propiedadesr ! √ √ 3 2 x 1+x e x x+1 (2)g(x) = ln (3)f (x) = ln (1)y = ln x4 ln x x−1
Solución p y = ln( 1 + x2 ) − ln(x4 )
Solución
Solución
√ 1 ex 3 x g(x) = ln 2 ln x g(x) =
√ 1 (ln ex + ln 3 x − ln(ln x)) 2
dy 1 1 1 = · 2x − 4 · dx 2 (1 + x2 ) x
g(x) =
1 2
1 x + ln x − ln(ln x) 3
dy x 4 = − dx 1 + x2 x
g 0 (x) =
1 2
g 0 (x) =
1 2
y=
1 ln(1 + x2 ) − 4 ln(x) 2
1+
1 1 1 1 · − · 3 x (ln x) x
1+
1 1 − 3x x ln x
R/ f 0 (x) =
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−1 x2 − 1
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2.12. Derivación logarítmica Si tenemos una función dada explícitamente y = f (x), podemos aplicar logaritmo natural: lny = ln f (x) y derivamos ambos miembros de la igualdad Ejemplos Calcule la primer derivada de las siguientes funciones: √
(1)y = xln x
(2)y = x
Respuesta/ y 0 = xln x
2 ln x x
Respuesta/ y 0 = x
2
(3)y = 5x
(4)y = (x + 2)x
solución
√ x
√ ln x x √ + x 2 x
(5)y = 7
solución x
x
√
x2 +1
solución √
x2
ln[y] = ln[(x + 2) ]
ln y = x ln 5
ln y = x2 ln[(x + 2)]
d d [ln y] = [x ln 5] dx dx
d d 2 [ln y] = [x ln(x + 2)] dx dx
d d p 2 [ln y] = [( x + 1) ln 7] dx dx
1 0 · y = ln 5 y
1 0 1 · y = 2x ln(x + 2) + x2 · · 1 y x+2
1 0 1 · y = ln 7 · √ · 2x y 2 x2 + 1
y 0 = y · ln 5
y 0 = 5x · ln 5
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y 0 = y 2x ln(x + 2) +
2
y 0 = (x + 2)x
ln[y] = ln[7
x2 +1
ln[y] = ln[5 ]
ln y = (
x2 (x + 2)
2x ln(x + 2) +
x2 (x + 2)
p
]
x2 + 1) ln 7
x ln 7 y0 = y · √ x2 + 1 √
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y=7
x2 +1
x ln 7 ·√ x2 + 1
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(6) Calcule la derivada de y =
sen(x) 1 x
119
(con x > 0)
SOLUCIÓN: Este ejercicio se debe resolver por derivación logarítmica. sen(x) 1 ln(y) = ln x 1 ln(y) = sen(x) · ln x d d 1 [ln(y)] = sen(x) · ln dx dx x 0 1 1 y0 = [sen(x)]0 · ln + sen(x) · ln y x x 1 y0 1 −1 = cos(x) · ln + sen(x) · 1 · 2 y x x x 0 1 y 1 = cos(x) · ln − sen(x) · x · 2 y x x 1 y0 1 = cos(x) · ln − sen(x) · y x x sen(x) 1 − y 0 = y cos(x) · ln x x sen(x) sen(x) 1 1 0 · cos(x) · ln − ∴y = x x x
(7) Sea y =
csc2 x ln(1 + x)
tan x
. Calcule
dy . dx
SOLUCIÓN: tan x csc2 x ln(1 + x) tan x ! csc2 x ln(y) = ln ln(1 + x) csc2 x ln(y) = tan x · ln ln(1 + x)
y=
ln(y) = tan x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x))) d d [ln(y)] = [tan x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x)))] dx dx y0 1 1 1 = sec2 x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x))) + tan x · 2· · − csc x cot x − · y csc x ln(1 + x) 1+x 0 2 y csc x 1 = sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − y ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x) csc2 x 1 y 0 = y sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x) tan x 2 2 csc x csc x 1 y0 = sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − ln(1 + x) ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x)
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120
La derivación logarítmica también se puede utilizar en aquellas funciones que por su criterio es dí cil obtener la derivada. p Ejemplo. p (x + 1)(x + 2) (x2 + 1)3 (1)y = (2)y = p 3 (x − 1) ln x (x3 + 1)4
Solución":
Solución:
# p (x + 1)(x + 2) ln[y] = ln (x − 1) ln x 1 ln y = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(x − 1) − ln(ln x) 2 d 1 d [ln y] = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(x − 1) − ln(ln x) dx dx 2 1 0 1 1 1 1 ·y = + − − y (x + 2) (x − 1) x ln x 2(x + 1) 1 1 1 1 y0 = y · + − − 2(x + 1) (x + 1) (x − 1) x ln x p (x + 1)(x + 2) 1 1 1 1 0 y = · + − − (x − 1) ln x 2(x + 1) (x + 2) (x − 1) x ln x p (x2 + 1)3 4x2 3x − R/ y 0 = p 3 x3 + 1 (x3 + 1)4 x2 + 1
2.13. Derivación de funciones exponenciales Derivada de las funciones exponenciales
d x [a ] = ax · ln a dx d u [a ] = au · ln a · u0 dx
d x [e ] = ex dx d u [e ] = eu · u0 dx
Ejemplos: (1) Calcule la derivada de g(x) = log3 (x2 + 1) − 2 · Solución:
3x2 −6x+5 3 + 3 ln 2 2
3x2 −6x+5 3 3 ln (6x − 6) 2 2 3x2 −6x+5 2x 3 3 por lo tanto g 0 (x) = 2 − 12(x − 1) ln · (x + 1) ln 3 2 2
g 0 (x) =
1 · 2x − 2 · (x2 + 1) ln 3
y
(2) Derive implícitamente xy = e x Solución: d d xy [xy] = [e ] dx dx 0 y xy −y y + xy 0 = e x x2 y y 0 x xy − e x y e y + xy 0 = x2 y y x2 (y + xy 0 ) = e x xy 0 − e x y y y x2 y + x3 y 0 = e x xy 0 − e x y y x x3 y 0 − e x xy 0 = −e y y − x2 y y y y 0 (x3 − xe x ) = −e x y − x2 y y −e x y − x2 y y0 = y x3 − xe x
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EJERCICIO: Calcule la derivada 1. y =
121
dy de la función dada. dx
4e−5x −x4 + 90
. 2. y = ln(x +
R/ y 0 = √
e−5x 20x4 + 16x3 − 1800 (90 − x4 )2
x2 + 1) + 23x
.
R/ y 0 =
1 √ x + x2 + 1
x 1+ √ + 23x · 3 ln 2 x2 + 1
3. y = log(arctan2 (x) · e−3x )
.
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R/ y 0 =
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2 3 − arctan(x) · ln(10) · (x2 + 1) ln(10)
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122
4. y = esen x (1 + ln x2 )
2 R/ y 0 = esen x cos(x) 1 + ln x2 + x
. 5. e2x = arc sen(x + 3y)
.
R/ y = 0
2e2x
p 1 − (x + 3y)2 − 1 3
6. ln(xy) = e
x+y
.
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R/ y 0 =
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ex+y xy − y x − ex+y xy
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123
Más ejemplos. 1. En cada uno de los casos calcule a
) y=
dy (No es necesario que simpli que su respuesta). dx
arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) √ 2x
SOLUCIÓN: Se aplican la reglas de derivada del cociente de funciones así como la derivada del producto de funciones:
=
h i0 √ h√ i0 arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x 2 √ x 2
=
h i0 √ h√ i0 arccot(ex ) 0 · log6 (4x2 + 25) + arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x √ 2 2x
dy dx dy dx
dy ∴
b
=
ex (ex )2 +1
·
log6 (4x2 + 25) + arccot(ex ) ·
dx
) y=
8x (4x2 +25) ln(6) √ 2 2x
x √ 2 ln(2) √ 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2 2x
√ x2 + 1 log8 7arctan(2x)
SOLUCIÓN: Se aplica la fórmula de derivada de un cociente: dy = dx
h i0 √ √ 0 7arctan(2x) · log8 x2 + 1 − 7arctan(2x) · log8 x2 + 1 2
(7arctan(2x) )
RESPUESTA:
7arctan(2x)
·
√
dy = dx
c
) y=
1 x2
+1
·
ln(8)
1 · √ 2 x2 + 1
2x −
7arctan(2x) · ln(7) ·
7arctan(2x)
p 3
cos(x)
√ 1 · 2 · log8 x2 + 1 1 + (2x)2
2
arc sen(x)
SOLUCIÓN: Se aplica derivación logarítmica:
ln(y) = ln
q 3
arc sen(x) cos(x)
ln(y) = arc sen(x) · ln
q 3
cos(x)
q d d [ln(y)] = arc sen(x) · ln 3 cos(x) dx dx q q 0 1 0 0 · y = [arc sen(x) ] · ln 3 cos(x) + (arc sen(x) ) · ln 3 cos(x) y q −2 y0 1 1 1 3 p · (cos(x)) 3 (− sen(x)) = · ln cos(x) + (arc sen(x) ) · √ 3 y 3 1 − x2 cos(x) y
0
∴y
0
√
= y
=
q 3
1 1 − x2
arc sen(x) cos(x)
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−2 1 1 · (cos(x)) 3 (− sen(x)) cos(x) + (arc sen(x) ) · p 3 3 cos(x) q −2 1 1 1 3 √ · (cos(x)) 3 (− sen(x)) · ln cos(x) + (arc sen(x) ) · p 3 3 1 − x2 cos(x)
· ln
q 3
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dy y evalúela en el 2. Considere la curva dada por la siguiente ecuación: x2 ln(y) + x3 = ex−y . Calcule dx punto (1, 1).
SOLUCIÓN: Se aplica derivación implícita:
d 2 x ln(y) + x3 = dx 1 2x ln(y) + x2 · · y 0 + 3x2 = y x2 y 0 2x ln(y) + + 3x2 = y x2 y 0 + ex−y y 0 = y 2 x y0 + ex−y = y ∴ y0 =
d x−y e dx ex−y · (1 − y 0 ) ex−y − ex−y y 0 ex−y − 3x2 − 2x ln(y) ex−y − 3x2 − 2x ln(y) ex−y − 3x2 − 2x ln(y) x2 + ex−y y
Se evalúa la derivada en el punto (1, 1) (que en efecto pertenece a la curva dada porque satisface la ecuación). e1−1 − 3 · 12 − 2 · 1 ln(1) 12 + e1−1 1 e0 − 3 · 1 − 2 · 1 · 0 = 1 + e0 1 − 3 −0 = 1 + 1 −2 = 2 = −1
y 0 |(1,1) =
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PRÁCTICA 12 1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: e4x log2 (x6 ) x − πh i 1 6e4x (x − π) 4log2 x + − log2 x xln(2) R/f 0 (x) = (x − π)2
a
) f (x) =
b
) f (x) = 2x arc cos(5x) h i 5 R/f 0 (x) = 2x ln2 · arc cos(5x) − √ 1 − 25x2
c
) f (x) =
x2
1 cos(x) +1
R/f 0 (x) =
d
) f (x) =
) y=
1 sen(3x) x
−
2x cos x i x2 + 1
5ln2 · 25x · cos2 (x) + 2 cos(x)sen(x) · 25x cos4 (x)
x>0
R/
) y=
√
dy = dx
1 sen(3x) x
3x cos(3x)ln
1 x x
− sen(3x)
x2 − 1 − arcsen x + log5 (x2 + 1)
R/ y 0 = √
h
3x2 1 √ + 2xln7 |x3 | x6 − 1
g
1 x2 + 1
25x cos2 (x)
R/g 0 (x) =
f
√ ) f (x) = arcsec(x3 ) + log7 ( x)
R/ f 0 (x) =
e
1 cos x h − sen x · ln x2 + 1
x x2
1 2x −√ + 2 2 (x + 1) ln 5 −1 1−x
) y = ln3 (arctanx) R/ y 0 =
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3 ln2 (arctan x) arctan x · (1 + x2 )
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i
) y = −2arcsec
1 5x
+
π 2
R/ y 0 =
j
2 r 1 1 5x2 −1 5x 25x2
) y = 2arcsen(1 + x + x2 ) − 3arccot(ln(x2 )) R/ y 0 = p
k
126
) y=
2(1 + 2x) 6 + x 1 + (ln(x2 ))2 1 − (1 + x + x2 )2
−3e arccos(ex ) + 2π 1 − arctan(sen x) (1 − arctan(sen x))
R/ y 0 =
2. Suponga que y 2 lnx = ln(2 − y 2 ), veri que que:
3ex+1 − cos x √ − (−3e arc cos(ex ) + 2π) 1 + sen2 x 1 − e2x (1 − arctan(sen x))2
−1 dy = en el punto (1, 1) dx 2
y4 2y 2 − dy x x = y luego evaluar en el punto R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que dx 4y lnx − 2y 3 lnx + 2y (1, 1).
3. Si y ln(x) = x ln(y), veri que que
dy = 1 en el punto (1, 1). dx
y ln(y) − dy x R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que = x y luego evaluar en el punto (1, 1) dx ln(x) − y
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2.14. Derivadas de orden superior La segunda derivada es la derivada de la primer derivada. La tercer derivada es la derivada de la segunda derivada, etc. f 00 (x) = [f 0 (x)]0
f 000 (x) = [f 00 (x)]0 d2 y , dx2
Notaciones: Segunda derivada: f 00 (x) ,
d2 [f (x)] dx2
d3 y , dx3 dn y N-ésima derivada: f (n) (x) , , dxn
Tercer derivada: f 000 (x)
d3 [f (x)] dx3 dn [f (x)] dxn
,
y 00
,
y 000
, ,
y (n)
Ejemplos 1-Encuentre la tercer derivada de y = x4 + 5x3 − 7x + 2 SOLUCIÓN: Sea y 0 =
dy dx
y 0 = 4x3 + 15x2 − 7 y 00 = 12x2 + 30x ∴
y 00 = 24x + 30
2- Encuentre la segunda derivada de y = sen(4x3 − 2x) dy SOLUCIÓN: Sea y 0 = dx y 0 = cos(4x3 − 2x) · (12x2 − 2) y 00 = [cos(4x3 − 2x)]0 · (12x2 − 2) + cos(4x3 − 2x) · [(12x2 − 2)]0 ∴
y 00 = −sen(4x3 − 2x) · (12x2 − 2)2 + cos(4x3 − 2x) · (24x)
3- Encuentre la segunda derivada de: SOLUCIÓN:
Sea y 0 =
f (x) =
x−1 x2 − x − 6
dy dx
f 0 (x) =
(x2 −x−6)[x−1]0 −[x2 −x−6]0 (x−1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)2 [−x2 +2x−7]0 −[(x2 −x−6)2 ]0 (−x2 +2x−7) ((x2 −x−6)2 )2
f 0 (x) =
(x2 −x−6)(1)−(2x−1)(x−1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)2 (−2x+2)−2(x2 −x−6)(2x−1)(−x2 +2x−7) (x2 −x−6)4
f 0 (x) =
x2 −x−6−(2x2 −2x−x+1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)[(x2 −x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x2 +2x−7)] (x2 −x−6)4
f 0 (x) =
x2 −x−6−2x2 +3x−1 (x2 −x−6)2
∴ f 00 (x) =
∴ f 0 (x) =
(x2 −x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x2 +2x−7) (x2 −x−6)3
−x2 +2x−7 (x2 −x−6)2
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4- Calcule la segunda derivada de f (x) = xex SOLUCIÓN: Derivamos: f 0 (x) = [x]0 ex + x[ex ]0 = ex + xex = ex (1 + x) por lo tanto f 0 (x) = ex (1 + x) Calculamos la segunda derivada: f 00 (x) = [ex ]0 (1 + x) + ex [1 + x]0 = ex (1 + x) + ex = ex (1 + x + 1) = ex (x + 2)
por lo tanto f 00 (x) = ex (x + 2)
Ahora que podemos calcular derivadas de orden superior, también podemos veri car identidades diferenciales que incluyan derivadas de orden superior. Por ejemplo: Veri que que la función g(x) =
sen(πx) , satisface la siguiente igualdad: x g 00 (x) +
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2 0 g (x) = −π 2 g(x) x
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2.15. Derivadas Implícitas de Orden Superior Encuentre y para las siguientes funciones dadas implícitamente: 1) 2y − 6xy 2 = 2 dy Solución: Sea y 0 = dx 2y 0 − 6y 2 − 6x · 2yy 0 = 0 2y 0 − 12xyy 0 = 6y 2 2y 0 (1 − 6xy) = 6y 2 6y 2 y0 = 2(1 − 6xy) 3y 2 0 y = 1 − 6xy (1 − 6xy)[3y 2 ]0 − [1 − 6xy]0 (3y 2 ) 00 y = (1 − 6xy)2 (1 − 6xy)(6yy 0 ) − (−6y − 6xy 0 )(3y 2 ) y 00 = (1 − 6xy)2 0 2 0 6yy − 36xy y + 18y 3 + 18xy 2 y 0 y 00 = (1 − 6xy)2 6yy 0 − 18xy 2 y 0 + 18y 3 00 y = 2 (1 − 6xy)2 3y 2 3y − 18xy 2 + 18y 3 6y 1 − 6xy 1 − 6xy 00 ∴y = (1 − 6xy)2
2) cos(x + y) = 2x Solución: Sea y 0 =
dy dx
− sen (x + y) · (1 + y 0 )
=
2
− sen (x + y) − sen (x + y) · y
0
=
2
− sen (x + y) · y
0
=
y
0
=
y0
=
2 + sen (x + y) 2 + sen (x + y) − sen (x + y) −2 − sen (x + y) sen (x + y)
sen(x + y)[−2 − sen (x + y)]0 − [sen (x + y)]0 (−2 − sen (x + y)) sen2 (x + y) sen(x + y)(− cos (x + y)(1 + y 0 )) − (cos (x + y)(1 + y 0 ))(−2 − sen (x + y)) = sen2 (x + y) cos(x + y)(1 + y 0 )[− sen (x + y) − (−2 − sen (x + y))] = sen2 (x + y) 0 cos(x + y)(1 + y )[− sen (x + y) + 2 + sen (x + y))] = sen2 (x + y) 2 cos(x + y)(1 + y 0 ) = sen2 (x + y) −2 − sen (x + y) 2 cos (x + y) 1 + sen (x + y) ∴ y 00 = sen2 (x + y)
y 00 = y 00 y 00 y 00 y 00
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3) Considere la ecuación y + 1 =
√ 3
130
xy + x2 , que de ne implícitamente y como función de x. Calcule
d2 y . dx2
SOLUCIÓN:
y+1= d [y + 1] = dx y0 = y0 = 1 y 0 − (xy)−2/3 xy 0 = 3 1 −2/3 0 x = y 1 − (xy) 3 y0 = y0 =
√ 3
xy + x2 d √ [ 3 xy + x2 ] dx 1 (xy)−2/3 (y + xy 0 ) + 2x 3 1 1 (xy)−2/3 y + (xy)−2/3 xy 0 + 2x 3 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 − 13 (xy)−2/3 x 1 −2/3 1/3 x y + 2x 3 1 − 31 x1/3 y −2/3
d2 y es: dx2 d 0 d 31 x−2/3 y1/3 +2x [y ] = dx dx 1− 13 x1/3 y−2/3
Así: y 00 =
i0 i0 h · 1 − 13 x1/3 y −2/3 − 13 x−2/3 y 1/3 + 2x · 1 − 13 x1/3 y −2/3 y 00 = 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 −2 −5/3 1/3 x y + 19 x−2/3 y −2/3 y 0 + 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 − 31 x−2/3 y 1/3 + 2x − 91 x−2/3 y −2/3 + 92 x1/3 y −5/3 y 0 9 y 00 = 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 h
1 −2/3 1/3 x y 3
+ 2x
4) Considere la curva y 2 + xy = 1. Calcule el valor de la expresión
dy d2 y |(0,1) + 2 |(0,1) . dx dx
.
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R/
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−1 4
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PRÁCTICA 13 x 1. Calcule la segunda derivada de la siguiente expresión: y = √ x−1
R/ y 00 =
1 2
3
1 3 (x − 1) 2 (x − 2) 2 (x − 1)3
(x − 1) 2 −
2. Calcule la tercer derivada de la función y = cos(b + ax) donde a y b son constantes. R/ y 000 = a3 sen(b + ax)
3. Veri que que la función l(x) = w·cos(x)+u·sen(x)+ 12 x·sen(x), con w, u ∈ R, satisface la siguiente igualdad: R/ Demostración completa
l 00 (x) + l(x) = cos(x)
4. Pruebe que para y =
5. Hallar y 00 =
x2 − 1 se cumple que (4x3 + 4x)y 00 = 4y 0 (1 − 3x2 ) x2 + 1
2 2 2 d2 y si x 3 + y 3 = a 3 . dx2
R/ Demostración completa
R/y 00 =
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−1 3
+x
−2 3
2
1
y3
2
3x 3
−hy − ax yh − xh hx R/ y 00 = x2 h2 2
6. Calcule y 00 para ax2 + 2hxy = a2 b2 (a, b, h son constantes reales)
y
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132
2.16. Aplicaciones de la derivada 2.16.1. Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado Si f es una función derivable, la derivada de f , proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva o grá ca de f en el punto (x0 , y0 ) perteneciente a la grá ca (punto de tangencia). La recta normal al punto (x0 , y0 ) de la función f , es la recta perpendicular a la recta tangente a la función, en el punto de tangencia (x0 , y0 )
Notas: 1. Como la tangente y la normal son rectas, su ecuación tiene la forma:
y = mx + b.
2. Para funciones lineales recuerde lo siguiente:
a ) Pendiente de la recta tangente: mT = f 0 (x0 ) (es decir, la pendiente equivale a la derivada evaluada en el punto de tangencia) b ) La intersección de la recta con eje y está dada por b = y0 − mx0 c ) Recuerde que si dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversos multiplicativos y tienen signo opuesto o lo que es equivalente, su producto es igual a -1. Como la tangente y la normal son perpendiculares ,entonces se cumple que mT · mN = −1 o,lo que es equivalente, mN = −1 m T
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Ejemplo: 1)Encuentre la ecuación de la recta tangente y la recta normal a y = 5x2 + 3x en el punto (3,54).
Solución: Sea y 0 =
dy dx
Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Recta normal −1 mN = 33 bN = y − mN · x
Recta tangente 0
y = 10x + 3 ⇒
0
mT = y |(3,54) = 10 · 3 + 3 = 33 bT = y − mT · x
−x 595 + 33 11
R2/ yN =
= 54 − 33 · 3
R1/ yT = 33x − 45
2)Encontrar la recta normal a la curva x2 + xy + y 2 − 3y = 10 en el punto (2, 3).
Solución: Sea y 0 =
dy dx
Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente 2x + y + xy 0 + 2yy 0 − 3y 0 = 0 y 0 (x + 2y − 3) = −2x − y −2x − y y0 = x + 2y − 3 mT = y 0 |(2,3) =
−7 −2 · 2 − 3 = 2+2·3−3 5
Recta normal 5 mN = 7 bN = y − mN · x 5 bN = 3 − · 2 7 11 R2/ bN = 7 5x + 11 R/ yN = 7
3) Hallar la recta normal para: sen (2x − 3y) = 12x2 y − 1 en
1 1 , 2 3
Solución Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente 0
Recta normal 2 0
cos (2x − 3y) · (2 − 3y ) = 24xy + 12x y 0
mN = 3 2 0
2 cos (2x − 3y) − 3y cos (2x − 3y) = 24xy + 12x y
2 cos (2x − 3y) − 24xy = 12x2 y 0 + 3y 0 cos (2x − 3y) 2 cos (2x − 3y) − 24xy = y 0 (12x2 + 3 cos (2x − 3y)) 2 cos (2x − 3y) − 24xy y0 = 12x2 + 3 cos (2x − 3y) 2 cos (2 · 21 − 3 · 13 ) − 24 · 12 · 13 1 Así mT = y 0 |( 1 , 1 ) = =− 1 2 3 3 12 · ( 12 )2 + 3 cos (2 · 21 − 3 · ) 3 Universidad de Costa Rica
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bN =
1 1 7 −3· =− 3 2 6
∴ yN = 3x −
7 6
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4) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la ecuación sen(x − y) = xy
en el punto (0, π). SOLUCIÓN: Cálculo de la derivada: d d [sen(x − y)] = [xy] dx dx 0 cos(x − y) (1 − y ) = y + xy 0 cos(x − y) − y = xy 0 + y 0 cos(x − y) cos(x − y) − y = y 0 (x + cos(x − y)) ∴ y0 =
cos(x − y) − y x + cos(x − y)
Cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto (0, π) (que pertenece a la curva) y que viene dada por: cos(0 − π) − π = 1+π 0 + cos(0 − π) Cálculo de la intersección bt de la recta tangente con el eje Y, a saber: mt = y 0 |(0,π) =
bt = π − (1 + π) · 0 = π RESPUESTA: y = (1 + π)x + π .
5) Determine la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva dada por la ecuación (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = 6xy en el punto 43 , 38 . SOLUCIÓN: Se efectúa el cálculo de la derivada: d d 3 [x + y 3 ] = [6xy] dx dx 3x2 + 3y 2 y 0 = 6y + 6xy 0 3y 2 y 0 − 6xy 0 = 6y − 3x2 y 0 (3y 2 − 6x) = 6y − 3x2 6y − 3x2 3y 2 − 6x 3(2y − x2 ) y0 = 3(y 2 − 2x) y0 =
∴ y0 =
(2y − x2 ) (y 2 − 2x)
Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto 43 , 83 (que pertenece a la curva) y que viene dada por: 2 2 · 8 − 43 4 mt = y 0 |( 4 , 8 ) = 8 32 = 4 3 3 5 − 2 · 3 3 Se efectúa el cálculo de la intersección bt de la recta tangente con el eje Y, a saber: bt = 38 − 45 · 43 = 85 La ecuación de la recta tangente (RESPUESTA 1)es: y = 45 x + 85 .
Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta normal al punto
4 3
,
8 3
:
−5 mN = 4 Se efectúa el cálculo de la intersección bN de la recta tangente con el eje Y, a saber: −5 4 · = 13 3 4 3 Se escribe la ecuación de la recta normal (RESPUESTA 2), a saber: y = bN =
8 3
−
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−5 x 4
+
13 . 3
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−1 1 6) Sea g(x) = [f (x)]4 donde f es una función derivable en R tal que f 0 (1) = y f (1) = . 2 2 Calcule una ecuación para la recta tangente a la grá ca de g en x = 1.
.
R/ La recta tangente está dada por y =
7) Calcule la ecuación de la recta normal a la curva
.
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√
−x 4
+
5 16
5 − y + xy 2 = 6 en el punto (4, 1).
R/ La recta normal está dada por y =
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31x 4
− 30
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PRÁCTICA 14 1)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x3 − 2x2 y + 3xy 2 = 38 en el punto (2, 3) R/ yT = 2)Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y 2 =
−15 57 x+ 28 14
x2 en el punto (4, 2) xy − 4
R/ yT = 2 (Tangente horizontal) 3)Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva: y 3 x2 − 2xy = 6x + y + 1 en el punto x = 0 R/ yT = −4x − 1 4)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: sen (xy) = y en el punto
5)Encontrar la recta normal a la curva y = sen x + csc x en el punto
π 4
,f
π 2
yN =
1 x−1 4
,1
R/ yT = 1 (Tangente horizontal) π 4
R/ yn =
3 √ π √ 2x + 2 − 2 4
2.16.2. Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva Para encontrar rectas tangentes a una curva dada hay que tener en cuenta lo siguiente: 1.
: Una función tiene una tangente horizontal en el punto x = c, si es continua en c y la derivada de la función en x = c se hace cero. Por lo tanto, el procedimiento para encontrar los puntos en una curva donde la recta tangente es horizontal, consiste en identi car los ceros de la derivada, para los cuales la función original es continua. Ejemplo: Tangentes horizontales
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2.
3.
137
: Una función tiene una tangente vertical en el punto x = c, si es continua en ese punto k y la derivada de la función en x = c genera la forma inde nida , con k 6= 0 (límite in nito). Así, para 0 identi car los puntos en una curva para los cuales la recta tangente es vertical, se identi can aquellos valores k que inde nen a la derivada (con la forma inde nida , k 6= 0) pero para los cuales la función original es 0 continua. Ejemplo: Tangentes verticales
: Puesto que la pendiente de la recta tangente está dada por la función derivada, para encontrar el punto sobre una curva para el cual la pendiente es un valor dado, se iguala la derivada a ese valor y se resuelve la ecuación resultante, para hallar el punto sobre la curva.Ejemplo: Rectas tangentes con una pendiente dada
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EJEMPLOS: 2
1. Determine si la grá ca de la función y = (2x − 8) 3 tiene tangentes verticales. SOLUCIÓN. Llamemos y = f(x) −1 dy 2 = · (2x − 8) 3 · 2 dx 3
Derivamos:
Se calcula el valor que inde ne la derivada √ 3 3 2x − 8 = 0
dy 4 p = 3 dx 3 · (2x − 8)
√ 3
2x − 8 = 0
2x − 8 = 0 x=4
Veri camos que la función f (x) = (2x − 8) (i) f (4) = 0 2 (ii) l´ım f (x) = l´ım (2x − 8) 3 = 0 x→4
2 3
es continua en x = 4
x→4
(iii) l´ım f (x) = f (4) = 0 x→4
2
∴ y = (2x − 8) 3 es continua en x = 4.
Veri camos que x = 4 inde ne la derivada, ya que al evaluar se llega (especi camente) a la forma inde nida 4 . 0 Ahora bien, el punto (4, 0) pertence a la grá ca de la función (ya veri camos que f es continua en x = 4). 2 ∴ y = (2x − 8) 3 tiene una tangente vertical en el punto cuya coordenada es (4, 0) 2. Considere la función y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20. Determine en los cuales: a
b
las coordenadas de los puntos sobre la curva
) La recta tangente es paralela al eje X. .
R/ (0, 20),(−2, −12) ,(1, 15)
) La recta tangente es paralela con la recta y − 24x − 15 = 0. √ √ √ √ . R/ (−1, 7),( 2, 8 + 8 2) ,(− 2, 8 − 8 2)
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3. Determine los puntos en los que que la recta tangente a la curva x3 y 2 + y = 1 es horizontal.
4. Encuentre todos los puntos de la curva dada por f (x) =
R/ (0, 1).
x+1 en que: 1−x
(a)La recta tangente sea horizontal (si existen) (b)La pendiente de la recta tangente sea 2. SOLUCIÓN. (a) La recta tangente es horizontal si su pendiente es 0, lo que signi ca que la tangente es horizontal en los puntos en que la derivada se hace 0. Por lo tanto, es necesario derivar e igualar la derivada a 0 y resolver la ecuación para hallar los ceros de la derivada. (1 − x)1 − (−1)(1 + x) 1−x+1+x 2 = = (1 − x)2 (1 − x)2 (1 − x)2
f 0 (x) =
Igualamos a cero la derivada
2 = 0 (No hay solución para la ecuación pues 2 6= 0) (1 − x)2
De lo anterior se concluye que la derivada nunca se hace cero y por lo tanto la función no tiene tangentes horizontales. (b)Decir que la pendiente de la tangente sea 2, es equivalente a decir que la derivada es igual a 2. Por lo tanto, igualemos la derivada a 2 y resolvamos la ecuación. 2 =2 (1 − x)2 2 = 2 · (1 − x)2 1 = 1 − 2x + x2 1 = 1 − 2x + x2 0 = −2x + x2
Se resuelve la cuadrática 0 = x(−2 + x) ⇒x=0 ∨ x−2=0 ∴x=0 ∨
x2 = 2
En estos dos valores de x es donde la pendiente de la tangente se hace 2; pero cada uno debe ser dado como par ordenado, por lo que hay que buscar sus imágenes. f (0) =
0+1 =1 1−0
f (2) =
2+1 = −3 1−2
Así, la derivada (y por lo tanto la pendiente de la recta tangente es igual a 2 en los puntos (0, 1) y (2, −3)
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5. Demuestre que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuación y = x3 − 6x2 + 8x. Hallar el punto de tangencia. SOLUCIÓN Observe que para y = −x la pendiente es m = −1. Por lo tanto, hay que probar que en la curva y = x3 − 6x2 + 8x hay punto para los cuales la derivada es igual a −1. Una vez que se encuentran esos puntos hay que probar que pertenecen a la curva y a la recta. dy Derivamos (Sea y 0 = dx ): y 0 = 3x2 − 12x + 8 Igualamos la derivada a −1 y despejamos la ecuación. y 0 = 3x2 − 12x + 8 3x2 − 12x + 8 = −1 3x2 − 12 + 8 + 1 = 0 3x2 − 12x + 9 = 0 x1 = 3 x2 = 1
Sustituimos para encontrar las imágenes de 3 y 1 y escribir los pares ordenados: y|x=3 = 33 − 6 · 32 + 8 · 3 = −3 y|x=1 = 13 − 6 · 12 + 8 · 1 = 3 Así los pares son: (3, −3) y (1, 3) Sin embargo, aunque sabemos que pertenecen a la curva, es preciso veri car que pertencen a la recta y = −x Sustituyendo (1, 3) en la recta: y = −x se obtiene 3 = −1 lo que es una igualdad falsa ya que 3 6= −1 Sustituyendo el punto (3, −3) en la recta y = −x se obtiene −3 = −3 Note que solamente (3, −3) pertence a la recta y = −x y a la curva y = x3 − 6x2 + 8x simultáneamente. Por lo tanto, la recta y = −x sólo es tangente a la curva en (3, −3) que es el punto de tangencia.
6. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x2 + 4y 2 = 36 que pasan por el punto (12, 3) SOLUCIÓN: Observe que el punto (12, 3) no pertenece a la elipse dada ya que no satisface la igualdad 122 + 4 · 32 6= 36
En este ejercicio no se conoce el punto de tangencia. Llamemos al punto de tangencia (z, t) Como el punto de tangencia (z, t) pertenece a la elipse satisface la ecuación x2 + 4y 2 = 36, por lo que se cumple la igualdad: z 2 + 4t2 = 36
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ecuación 1
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La pendiente de una recta tangente en el punto (z, t) y que pasa por el punto (12, 3), se puede calcular así: y2 − y1 t−3 mT = = (*) x2 − x1 z − 12 A la vez como (z, t) es punto de tangencia sabemos que la derivada evaluada en el punto (z, t) es igual a la dy pendiente. Así que derivando implicitamente (Sea y 0 = dx ): [x2 + 4y 2 ]0 = [36]0 2x + 8yy 0 = 0 8yy 0 = −2x −2x y0 = 8y −x y0 = 4y
Sustituyendo (z, t) en la derivada obtenemos la pendiente: mT = y 0 |(z,t) =
−z (**) 4t
Igualando (*) con (**) obtenemos:
t−3 −z = z − 12 4t
ecuación 2
Sistema de ecuaciones: z 2 + 4t2 = 36 −z t−3 = z − 12 4t
Solución del sistema: Ec.2.
Ec.1. 2
Ec.1. 2
4t(t − 3) = −z(z − 12)
z + 4t = 36
z 2 + 4t2 = 36
4t2 − 12t = −z 2 + 12z
|−−−|
z 2 + 4(3 − z)2 = 36
z 2 + 4t2 = 12z + 12t
12z + 12t = 36
z 2 + 4(9 − 6z + z 2 ) = 36
|−−−|
12(z + t) = 36
z 2 + 36 − 24z + 4z 2 = 36
z+t=3
5z 2 − 24z = 0
t=3−z
z(5z − 24) = 0 ⇒ z1 = 0 ∨ z2 =
24 5
⇒ t 1 = 3 − z1 ∨ t 2 = 3 −
24 5
⇒ t1 = 3 ∨ t2 = − 95 24 −9 , son puntos de tangencia(observe que ambos pertenecen a la eilpse pues 5 5 satisfacen la ecuación z 2 + 4t2 = 36, compruebelo). Utilizaremos los subíndices T 1 y T 2 para diferenciar −z ambas rectas tangentes. Sustituimos ambos valores en mT = para obtener las pendientes de las rectas 4t −24 0 2 tangentes mT 1 = y mT 2 = 5−9 = . 4·3 3 4· 5
Así los puntos (0, 3) y
Como ambas pasan por lo puntos (12, 3) calculamos las intersecciones (valor de b) de cada recta tangente 2 con el eje Y, a saber bT 1 = 3 − 0 · 12 = 3 y bT 2 = 3 − · 12 = −5. Así las rectas tangentes a la elipse son: 3 2 y=3 y y = x−5 3
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7. Calcule una ecuación para cada una de las dos rectas tangentes a la curva y = −x2 + 4x + 5 y que a la vez se intersecan en (2, 10).
R/ y = 2x + 6 ; y = −2x + 14
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PRÁCTICA 15 h(x) 1. Si h(2) = 4, h0 (2) = −3 y f (x) = calcule f 0 (2). x
2. Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3)pasa por el punto (0, 2), calcule f (4)y f 0 (4). 3. Determinar el punto de la parábola y = x2 − 7x + 3 por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta cuya ecuación es 5x + y − 3 = 0 4. Determine las coordenadas de los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la grá ca de f (x) = 4x − x2 y que pasan por el punto (2, 5) 5. Considere la siguiente grá ca de la función f. Identi que ejemplos de puntos en ella en las que la derivada tenga signo positivo, signo negativo, sea igual a cero y no esté de nida.
6. Veri que que la curva de nida por la ecuación xy 3 + x3 y = 4 no tiene ninguna tangente horizontal. Justi que su respuesta. 7. La recta que es tangente al grá co de la función y = f (x) en el punto (2, 5), pasa por el punto (−1, 1). Calcule f (2) y f 0 (2). Justi que su respuesta 8. Encuentre el punto donde la recta y = −x + 8 es tangente al grá co de la función h(x) = x3 − 6x2 + 11x. Justi que su respuesta. 9. Encuentre la ecuación de la recta tangente al grá co de la función f (x) = x3 y pasa por el punto (1, 5) 10. Trace la grá ca de una función que satisfaga las siguientes condiciones. a
) f es continua en ] − ∞, −2[ , ] − 2, 0[ y ]0, +∞[
b
) f 0 (−3) = 0 y
c
)
d
)
e
) l´ım f (x) = −∞ y
f 0 (1) no existe
l´ım f (x) = 1 y
x→−∞
l´ım f (x) = 2 y
x→−2−
x→0−
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l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = 1
x→−2+
l´ım f (x) = +∞
x→0+
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RESPUESTAS. 1. f 0 (2) = − 25 2. f 0 (4) = 3 y f 0 (4) =
1 4
3. (1, −3) 4. (3, 3) y (1, 3) 5. f 0 (c1 ) > 0, f 0 (c2 ) = 0, f 0 (c3 ) < 0, f 0 (c4 ) no está de nida, f 0 (c5 ) > 0, f 0 (c6 ) no está de nida 6. Demostración completa. 7. f (2) = 5, f 0 (2) =
4 3
8. (2, 6) 9. R/y = 3x + 2 10. Una posible solución es
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145
2.16.3. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración. Hemos visto como la derivada tiene una aplicación geométrica (corresponde a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado). Asímismo tiene una aplicación física: hallar la razón(ritmo) de cambio de una magnitud respecto a otra. Un caso particular corresponde a:
Velocidad instantánea: en movimiento rectilíneo o caída libre, si s = s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento en términos de la variable tiempo (t), la velocidad (instantánea) del objeto en el instante t viene dada por la derivada de s(t) con respecto a t, es decir ds . Así: dt v(t) = s0 (t) o lo que es lo mismo
v(t) =
ds dt
Rapidez: recuerde la difrencia entre rapidez
y velocidad. Se de ne rapidez como el valor absoluto de la velocidad. Así la rapidez indica sólo que tanto cambia la distancia recorrida por el objeto con respecto al tiempo transcurrido, mientras que la velocidad indica además la dirección del movimiento. Ejemplo:
(1)Hallar la velocidad y la rapidez en posición es
t = 1
y
t = 2
de un objeto en caída libre cuya función de
s(t) = −16t2 + 100
con s medida en pies y t en segundos. SOLUCIÓN. Velocidad [v]: v(t) = s0 (t) = −32t
⇒ v(1) = −32 · 1 = −32 ∧ v(2) = −32 · 2 = −64
pies ∴ la velocidad para t = 1 es de -32 s y para t = 2 es
pies −64 s
Rapidez [r]: r(1) = |v(1)| = | − 32| = 32
r(2) = |v(2)| = | − 64| = 64
pies pies ∴ la rapidez para t = 1 es de 32 s y para t = 2 es 64 s
Aceleración:La
aceleración [a(t)] viene dada por la segunda derivada de la función de posición o lo que es lo mismo, la primer derivada de la función de la velocidad. Así a(t) = v 0 (t) = s00 (t) o lo que es lo mismo a(t) =
d2 s dv = dt dt2
(2)Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posición es s(t) = −16t2 + 100
con s medida en pies y t en segundos. v(t) = s 0 (t) = −32t (
pies ) ⇒ a(t) = v 0 (t) = −32 pies s s2
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2.16.4. Problemas de tasas relacionadas. En muchas situaciones podemos usar la derivada para medir la razón de cambio de una variable respecto a otra, suponiendo que están relacionadas por una función y = f (x) con x y y derivables con respecto al tiempo t.
EJEMPLO 1: Un tanque con forma de cono invertido, con una altura h = 3, y radio de la base r = 5, está lleno de agua. A partir de cierto momento se empieza a desaguar el tanque a una velocidad de 1,5m3 /s. Determine a que velocidad disminuye el nivel del agua.
SOLUCIÓN
Sea x el nivel de agua en el instante t, y el radio sobre la super cie del agua en el instante t y V el volumen de agua en el instante t. Asumimos que x,y y V son derivables con respecto al tiempo t. dV dx = −1, 5m3 /s = −3 . Tenemos que m3 /s. Queremos determinar 2 dt dt Por aplicación del Teorema de Thales en el triángulo vertical que se forma tenemos que:
5 y = 3 x 5x =y 3
Ahora bien, el volumen de agua contenido en el recipiente viene dado por: 1 2 πy x 3 2 1 5x V = π x 3 3 V =
1 25x2 π · · x 3 9 25 3 V = πx 27 V =
Derivando a ambos lados con respecto al tiempo t tenemos lo siguiente:
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d 25 3 πx dt 27 25 dx π · 3x2 27 dt 25 2 dx π · x 9 dt 25 2 dx π · x 9 dt −3 dx 2 = 25π dt · x2 9 dx −27 ∴ = dt 50π x2 d [V ] = dt dV = dt dV = dt −3 = 2
−27 Tenemos que en general la razón a la que cambia el nivel del agua, en general se da por m/s. En 50π x2 el instante en que se empieza a desaguar el tanque, que según el problema se encontraba lleno, se tendría que x = 3m. Así, en ese instante tenemos que: dx dt dx dt dx dt dx dt
−27 50π x2 −27 = 50π · 32 −27 = 50π · 9 −3 = m/s ≈ −0, 019m/s 50π =
Así, la respuesta sería que, en el instante en que se empieza a vaciar el tanque, el nivel del agua cambia con −3 −27 una velocidad de m/s ≈ −0, 019m/s, y en general, ese nivel disminuye a una razón de m/s, siendo 50π 50π x2 x el nivel de agua en el instante t.
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EJEMPLO 2: 2
cm cm La altura de un triángulo disminuye a razón de 2 min mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 min . Determine la razón de cambio de la base del triángulo en el instante en que la altura es igual a 20cm y el área es de 150cm2 .
SOLUCIÓN: Sean: b la medida de la base del triángulo en el instante t; h la medida de la altura del triángulo en el instante t; A el área del triángulo en el instante t. Asumimos que b, h, A son derivables con respecto al tiempo t.
Tenemos:
dh cm = −2 min , dt
dA cm2 = −3 min dt
Queremos:
db cuando h = 20cm y A = 150cm2 . dt
Derivamos con respecto al tiempo la ecuación de área del triángulo: A= d [A] = dt dA = dt dA = dt −3 = −6 = 2b − 6 = 2b − 6 = h
bh 2 d bh dt 2 1 d [b · h] 2 dt 1 db dh ·h+b · 2 dt dt 1 db · h + b · (−2) 2 dt db · h − 2b dt db ·h dt db dt
db 2b − 6 Así, en general: = . En el instante en que h = 20cm y A = 150cm2 se puede despejar que b = 15cm, dt h y al sustituir b y h en la expresión anterior, se tiene que: db 2 · 15 − 6 24 6 cm cm = = = = 1, 2 min dt 20 20 5 min
RESPUESTA/ En el instante en que h = 20cm y A = 150cm2 la base cambia a una razón de
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6 cm 5 min
cm = 1, 2 min .
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PRÁCTICA 16 (1)La arena que empieza a vaciarse de una tolva a razón de 10m3 /s forma una pila cónica cuya altura es el doble de su radio. ¾A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura es de 5m? (2)El largo de la base b de un rectángulo disminuye a razón de 2cm/s, mientras que su altura h aumenta a razón de 2cm/s. Hallar la razón de cambio del área A cuando b = 12cm y h = 5cm. (3)Un cuadrado se expande con el tiempo. ¾Cómo se relaciona la razón de aumento del área del cuadrado con la razón de aumento de la longitud de su lado? 3 (4)Se inyecta un globo esférico a razón de 20 pies min . ¾A qué razón varía el radio cuando mide 3pies?
(5)Un cohete es lanzado con una dirección vertical y rastreado por una estación de radar, situada a 3 millas del sitio de lanzamiento. ¾Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es de 5 millas y esa distancia aumenta a razón de 5000 millas por hora? (6)Un hombre de 6 pies de estatura camina con una velocidad de 8pies/seg , alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 18pies. ¾Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra cuando él está a 100pies del poste de luz? (7)Si el lado de un triángulo equilátero crece con rapidez de 0,2dm/s√ , ¾con qué rapidez crece aproximadamente la super cie en el instante en que el área es de 24dm2 ? (Nota:
A=
3 2 L ) 4
(8)Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9m y radio de la base 2m. En t = 0 comienza a llenarse el depósito con agua a razón de 10m3 /h. Determine la velocidad aproximada a la que está subiendo el nivel de líquido en el depósito. (9)Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma de cono recto con el vértice hacia abajo. Su diámetro mide 6 metros y su altura 9 metros. Una sura ocasiona que se fugue el agua con una rapidez de 1 m3 /h. Calcule la rapidez con la que cambia la altura del nivel del agua (con respecto al vértice), en el momento en que el radio sobre la super cie del agua mide 2 metros. (10)Una varilla de metal tiene forma de cilindro. Conforme se calienta, su longitud aumenta a razón de 0,005cm/min y su radio aumenta a razón de 0,001cm/min, ¾con qué rapidez está cambiando el volumen de la varilla, cuando esta alcance 40cm de longitud y 1,5cm de radio? (11)Se deja salir agua de un tanque cilíndrico de diez pies de radio, Si la profundidad del agua en el tanque disminuye a razón de tres pies por segundo, ¾con qué rapidez disminuye la cantidad de agua, en el instante en que la profundidad es de cinco pies? (12)Una lámpara, ubicada en el extremo superior de un poste de 4m de altura, ilumina a un joven que camina, alejandose del poste, con una velocidad de 55m/min. Si el joven mide 1,5m de alto, ¾con qué rapidez cambia la longitud de la sombra del joven? (13)Una cometa está a 80m de altura sobre el nivel del suelo. Horizontalmente se aleja a una velocidad de 4 metros por segundo del niño que la sostiene. ¾A qué velocidad el niño está soltando la cuerda, cuando la cuerda mide 100 metros? (14) Un avión vuela en forma horizontal a una altitud de 5 km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la super cie de la tierra. En el momento en que el ángulo de elevación es de π/3, ese ángulo está disminuyendo en una razón de π/6 rad / min. Determine la rapidez con la que se está moviendo el avión (horizontalmente) en ese preciso instante.
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Respuestas (1)
4 m dr = ≈ 0,25 dt 5π s
(2)
dA cm2 = 14 dt s
(3)La razón de aumento del área equivale a la razón de aumento del lado multiplicada por el doble del lado.
(4)
dr 5 pies = ≈ 0,18 dt 9π min
(5)
mi dy = 6250 dt h
(6)
dz pies = 12 dt s dA dm2 ≈ 1,29 dt s
(7)
(8)
(9)
m dx ≈ 0,79 dt h 1 4π
(10)
m h
≈ 0,0796 m h
21π cm3 cm3 ≈ 0,4123 160 min min
(11) 300π
pies3 seg
(12) 33
m min
(13)2,4
m s
(14)
10π 9
km min
km ≈ 3, 49 min
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2.16.5. Extremos de una función DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MÁXIMOS RELATIVOS
1. Una función f posee un mínimo relativo en x = c si f (c) ≤ f (x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c. 2. Una función f posee un máximo relativo en x = c si f (c) ≥ f (x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c.
DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MAXIMOS ABSOLUTOS
Sea f de nida en su dominio D. 1. f (c) es el mínimo absoluto de f en D si f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ D. 2. f (c) es el máximo absoluto de f en D si f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ D.
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El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto para el cual f es derivable.
TEOREMA DE FERMAT Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f 0 (c) existe. Entonces: f 0 (c) = 0.
El teorema anterior signi ca geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c y f 0 (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal.
DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO
Si f está de nida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f 0 (c) = 0 o si f 0 no está de nida en c. Nota: Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos. Es decir, si f tiene un extremo relativo en x=c, entonces c es un número crítico de f.
Ejemplo: Encuentre los números críticos de f (x) = x3 − 3x SOLUCIÓN: Calculamos f 0 (x) = 3x2 − 3 y buscamos los números que hacen 0 o inde nen esa derivada. En este caso no se inde ne f así que igualamos la derivada a 0. Así:
3x2 − 3 = 0 3(x2 − 1) = 0 3(x + 1)(x − 1) = 0 ⇒ x1 = −1 ∨ x2 = 1
∴ x = −1
y
x=1
son los números críticos de
f.
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo absoluto y también un mínimo absoluto en ese intervalo. Para hallar los máximos o mínimos absolutos de una función f continua en un intervalo CERRADO [a, b], se siguen este procedimiento. 1. Veri car que f es continua en el intervalo cerrado. 2.Hallar los números críticos de f ( puntos donde la derivada se hace cero o se inde ne) 3.Evaluar f en cada uno de los números críticos que tenga en ] a,b [ 4.Evaluar f en los extremos del intervalo, es decir, calcular f (a) y f (b). 5.El menor de tales valores es el mínimo absoluto, el mayor será el máximo absoluto.
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√ Ejemplo 1: Dada la función f (x) = 2x − 3 3 x2 en el intervalo [−1, 3]. Calcule extremos absolutos.
SOLUCIÓN: Note que f es una función continua en el intervalo [−1, 3] por propiedades de las funciones continuas, ya que se trata de resta, múltiplo escalar y composición de funciones que son continuas para todo x √∈ [−1, 3]. √ 3 x−1) 2 3 x−2 2 2 √ Calculamos su derivada: f 0 (x) = 2 − 2x−1/3 = 2 − x1/3 =2− √ ⇒ f 0 (x) = 2( √ . 3x = 3x 3x Se calculan los números críticos:
CEROS DE f 0 √ 2( 3 x−1) √ 3 x
=0
√ 3
⇒ 2( x − 1) = 0 √ ⇒ 3x=1
RESTRICCIONES DE f 0 √ 3 x=0
⇒ x = 0(1 ∈ [−1, 3])
⇒ x = 1 (1 ∈ [−1, 3])
Se buscan la imagenes de los números críticos y los extremos del intervalo
f (0) = 2 · 0 − 3 · 02/3 = 0 f (1) = 2 · 1 − 3 · 1
2/3
(máx.abs)
= −1
f (−1) = 2 · −1 − 3 · (−1)2/3 = −5 (mín.abs) √ f (3) = 2 · 3 − 3 · 32/3 = 6 − 3 · 3 9 ≈ −0,24
R/El máximo absoluto es 0 y se alcanza en el punto (0, 0) y el mínimo absoluto es −5 y se alcanza en el punto (−1, −5), tal y como se ilustra en la gura:
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Ejemplo 2: Considere la función f : [1, 9] −→ R cuyo criterio es f (x) = kx2 + 2x + 1. Si k es una constante tal que x = 3 es un número crítico de f , determine las coordenadas (x, y) de los puntos en los que f alcanza su punto máximo absoluto y su punto mínimo absoluto. SOLUCIÓN: Si k es una constante tal que x = 3 es un número crítico de f , entonces en x = 3 la derivada de f se hace cero o se inde ne, pero como f es un polínomio su derivada (dada por f 0 (x) = 2kx + 2 ) también lo es, y por lo tanto no se inde ne. Entonces f 0 (3) = 0 ⇒ 2k(3) + 2 = 0 ⇒ 6k + 2 = 0 ⇒ k =
−1 3
Así, la fórmula de f es f (x) = −1 x2 + 2x + 1. Por lo tanto, su derivada sería: f 0 (x) = −2 x + 2. 3 3 Ya tenemos que el número crítico en el intervalo [1, 9] es x = 3 (Además como f 0 es lineal es único). Se procede a calcular las imágenes del número crítico, así como de los extremos del dominio. f (3) = −1 · 32 + 2 · 3 + 1 = 4 (máximo absoluto) 3 2 f (1) = −1 · 1 + 2 · 1 + 1 = 83 3 2 −1 f (9) = 3 · 9 + 2 · 9 + 1 = −8 (mínimo absoluto)
RESPUESTA/ El máximo absoluto de f es 4 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (3, 4) y el mínimo absoluto de f es −8 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (9, −8).
Analizando los extremos relativos de una función Si c es un punto crítico para f (x) en un intervalo abierto ] a,b [ y f es derivable, excepto quizá en c; puede clasi carse como sigue: a)Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f (c) es un máximo relativo de f . b)Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c) es un mínimo relativo de f . c)Si f 0 no cambia de signo en c, f (c) no es ni mínimo ni máximo relativo.
Otro resultado que puede ser útil en problemas de aplicación de máximos o mínimos es el siguiente:
TEOREMA:
Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. Se cumple que: a)Si f 00 (c) > 0 entonces f (c) es un mínimo relativo . b)Si f 00 (c) < 0 entonces f (c) es un máximo relativo . c)Si f 00 (c) = 0 entonces el criterio no decide.
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EJEMPLO 1:
155
√
Determine los extremos relativos de f (x) = 2x − 3 3 x2 . √
2( 3 x − 1) √ y sus números críticos son x = 0 y x = 1 (VER PÁGINA 3 x ANTERIOR). Con esta información podemos elaborar un cuadro de signos para la primer derivada de f.
SOLUCIÓN: Derivando se tiene que f 0 (x) =
Por lo tanto la función alcanza un máximo relativo en (0,0) y un mínimo en (1,-1), tal y como se ilustra en la siguiente grá ca:
Nota: Una forma alternativa para determinar si un número crítico es un máximo o un mínimo es, evaluándolo
en la segunda derivada. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, cuando se llega a la conclusión de que 0 y −1 son los números críticos, si se quisiera clasi car el extremo relativo x = 1, en lugar del cuadro para analizar los signos de la primer derivada, podríamos usar la segunda derivada así: 1
Como f 0 (x) =
2(x 3 − 1) x 1 3
⇒ f 00 (x) = 2 ·
x (
1 3
1 2
1
⇒ f 00 (x) = 2 ·
1
)(x − 1) 2 3
1
1 3
1 3
3x 3
1
x 3 [x 3 − 1]0 − [x 3 ]0 (x 3 − 1)
⇒ f 00 (x) = 2 ·
(x )2 1 1 x 3 − (x 3 − 1) 1 2 3
⇒ f 00 (x) =
2 3
x 3x x Ahora sustituimos los números críticos en la derivada.f 00 (1) =
2 4
3·(1) 3
=
2 3
2 4
3x 3 > 0 por lo que en 1 hay un mínimo
relativo. Sin embargo, f (0) no está de nida(como tampoco f (0) esta de nida no se cumple la hipótesis del teorema) por lo que para x = 0 el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar para determinar si 0 es máximo o mínimo. 00
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0
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EJEMPLO 2: Determine y clasi que los extremos relativos de la función dada por f (x) = x3 − 3x.
Respuesta/ f tiene máxino relativo en (−1, 2) y mínimo relativos en (1, −2)
EJEMPLO 3:
Considere la función f : R+ −→ R dada por f (x) = x · ln(x). Para cada una de las siguientes condiciones, determine las coordenadas (x, y) del punto sobre la curva en el cual: 1. La recta tangente es paralela a la recta x − y = −3. SOLUCIÓN: Observe que la pendiente de la recta y = x + 3 es m = 1. Se calcula la primer derivada de la función: f 0 (x) = ln(x) + x · x1 = 1 + ln(x). Igualamos la derivada con la pendiente de la recta y despejamos. 1 + ln(x) = 1 ln(x) = 0 e0 = x ∴x=1
Completar el par ordenado: (1, f (1)) = (1, 0). RESPUESTA: El punto de la curva en que la recta es paralela a x − y = −3 es (1, 0).
2. La función tiene un extremo relativo. Dado el dominio, la función tiene un extremo relativo en el punto en que la recta tangente es horizontal y por tanto la pendiente de la tangente es m = 0. Igualamos la derivada con cero y resolvemos la ecuación.
1 + ln(x) = 0 ln(x) = −1 e−1 = x 1 ∴x= e
Completar el par ordenado:
1 ,f e
1 e
=
1 −1 , e e
RESPUESTA: La función tiene un extremo relativo en el punto
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1 −1 , e e
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2.17. El teorema de Rolle Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. Si f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en ]a, b[ tal que f 0 (c) = 0
Observe que el teorema asegura la existencia de al menos un extremo relativo en el intervalo abierto ]a, b[, por lo que debe considerarse que también puede haber funciones en la que los extremos podrían ser dos o más.
COROLARIO DEL TEOREMA DE ROLLE
Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (a) = f (b), entonces f tiene algún número crítico en el intervalo abierto ]a, b[. Note que el corolario anterior se obtiene al suprimir el requisito de derivabilidad en el teorema de Rolle, f tendrá todavía un número crítico en ]a, b[ pero no tendrá necesariamente tangente horizontal.
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Aplicaciones del teorema de Rolle Ejemplo 1: 2x + 2 Considere la función dada por g(x) = 5 − (x − 2)2
si
−1 2
si
1≤x≤4
≤x<1
.
1. Demuestre que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo eso lo que concluye dicho teorema para 1a función g en ese intervalo.
−1 2
, 4 y escriba a partir de
2. Determine el valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema.
SOLUCIÓN: 1. Veri camos que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en
−1 2
,4 :
I. g es continua en −1 , 4 : En los intervalos −1 , 1 y ]1, 4] la función es continua por ser polinómica. 2 2 Se veri ca la continuidad en x = 1:
i. g(1) = 4 ii. l´ım g(x) = l´ım (2x + 2) = 4 = l´ım 5 − (x − 2)2 = l´ım g(x) x→1−
x→1−
x→1+
x→1+
∴ l´ım g(x) = 4 x→1
iii. l´ım g(x) = g(1) = 4 x→1
∴ g es continua en x = 1 y en
−1 2
,4 .
−1 0 , 4 : En el cual está bien II. g es derivable en −1 2 intervalo 2 , 1 la derivada está dada por g (x) = 2 la −1 de nida para todo x ∈ 2 , 1 y en el intervalo ]1, 4[ la derivada está dada por g 0 (x) = −2x + 4 −1 la cual está bien de nida para todo x ∈ 2 , 1 . Se analiza la derivabilidad en x = 1 calculando las derivadas laterales: 0 0 g− (1) = 2 = g+ (1)
∴ g es derivable en g 0 (x) =
III. g
−1 2
∴ ∃c ∈
−1 2
−1 2
, 4 y su derivada esta dada por:
2
si
−1 2
−2x + 4
si
1≤x<4
<x<1
.
= 1 = g(4)
,4
al que g 0 (c) = 0
b. Cálculo de c: En el intervalo −1 , 1 la derivada está dada por la constante g 0 (x) = 2 por lo cual no se vuelve cero, 2 entonces el valor de c está en el intervalo [1, 4[ en el cual la derivada está dada por g 0 (x) = −2x + 4 y el valor que la vuelve cero se obtiene al despejar g 0 (c) = 0 es decir, −2c + 4 = 0 con lo que se obtiene que c = 2.
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Ejemplo 2: Considere la función dada por f (x) = x3 − 4x + 3. Si b ∈ R+ es una constante tal que f satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, b], determine: a. El valor de b. b. El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Primero, se debe deducir que como la función es polinómica entonces cumple la hipótesis de ser continua en [0, b] y derivable en ]0, b[ independientemente del valor de b, y por lo tanto, para que se cumplan todas las hipótesis del teorema entonces lo que falta es que cumpla la tercer hipótesis, a saber, f (0) = f (b). A partir de lo anterior, planteamos y resolvemos la ecuación resultante. 3 = b3 − 4b + 3 0 = b(b2 − 4) 0 = b(b + 2)(b − 2) ⇒ b = 0 ∨ b = −2 ∨ b = 2
Se descartan los que no cumplen b > 0, por lo tanto b = 2. RESPUESTA/ b = 2 El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Si para b = 2 se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle, entonces dicho teorema concluye que existe c ∈ ]0, 2[ tal que f 0 (c) = 0. Calculamos la derivada: f 0 (x) = 3x2 − 4 Evaluamos c en la derivada e igualamos a cero la derivada para despejar el valor de c.
f 0 (c) = 0 ⇒ 3c2 − 4 = 0 r
4 ⇒c=± 3 √ √ 2 3 −2 3 ∴c= ∨c= 3 3
Se descarta c =
√ −2 3 3
porque no pertenece al intervalo.
RESPUESTA/ c =
√ 2 3 3
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PRÁCTICA 17 (1) Hallar las dos intersecciones con el eje x de la grá ca de f (x) = x4 +x3 −3x2 −4x−4 y probar que f 0 (x) = 0 en algún punto x = c entre ellas.
(2) Sea f (x) = x4 − 2x2 . Pruebe que f tiene extremos relativos en el intervalo ] − 2, 2[. Hallar todos los números c en el intervalo ] − 2, 2[ tal que f 0 (c) = 0.
(3) Veri que que la función f (x) = cos(2x) satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, π]. Luego encuentre los números c que satisfacen el teorema de Rolle.
2
(4) Sea f (x) = 1 − x 3 . Demuestre que f (−1) = f (1), pero no hay ningún punto tal que f 0 (x) = 0. Conteste y justi que lo siguiente: ¾Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?.
(5) Demuestre que la ecuación x7 + 5x3 + x − 6 = 0 tiene exactamente una solución real.
(6) Considere una función f : [a, b] → R. tal que f es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f 0 (x) 6= 0∀x ∈ ]a, b[. Demuestre que f es inyectiva.
RESPUESTAS: (1) I Parte (intersecciones con el eje X): (−2, 0) y (2, 0) II Parte (existencia de c): Demostración completa (2) I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = 0 , c = −1 , c = 1 π (3)I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = 2 (4) I Parte (no existencia de c): Demostración completa II Parte: No hay contradicción con el Teorema de Rolle porque f no satisface la hipótesis de derivabilidad en el intervalo ] − 1, 1[ ya que f 0 se inde ne para x = 0. (5)Demostración completa (6)Demostración completa
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2.18. El Teorema del Valor Medio Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[, existe algún número f (b) − f (a) c en ]a, b[ tal que f 0 (c) = b−a El nombre de este teorema (medio) se re ere a la razón media(promedio) de cambio de f en el intervalo [a, b]. Este teorema tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geométricamente, garantiza la existencia de una recta tangente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))
Pendiente de la tangente paralela mt = f 0 (c) f (b) − f (a) Pendiente de la secante ms = b−a f (b) − f (a) 0 Como son paralelas f (c) = b−a
NOTA: Un enunciado alternativo para el Teorema del Valor Medio es:
Si f es continua en [ a , b ] y derivable en ] a , b [, existe c en ] a , b [ tal que f (b) = f (a) + (b − a) f 0 (c)
COROLARIO DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f 0 (x) = g 0 (x) para todo x en un intervalo ] a , b [, entonces f − g es una constante en ] a , b [ ; esto es, f (x) = g(x) + k; con k constante.
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Aplicaciones del teorema del valor medio 2
Ejemplo: Sea f una función continua en [0, 1] y derivable en ]0, 1[. Si se cumple que f 0 (x) = ex y f (0) = 10. Utilice el Teorema del Valor Medio para encontrar los valores reales a y b tales que a < f (1) < b. SOLUCIÓN: Por los datos dados en el enunciado, se tiene que f satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0, 1], a saber: (i) f es continua en [0, 1]. (ii) f es derivable en ]0, 1[. f (1) − f (0) = f (1) − 10 1−0 + 10
Entonces, existe c ∈]0, 1[ tal que f 0 (c) = 2
Así: f (1) = f 0 (c) + 10 ⇒ f (1) = ec
2
2
Además como c ∈]0, 1[ ⇒ 0 < c < 1 ⇒ 0 < c2 < 1 ⇒ e0 < ec < e1 ⇒ 1 < ec < e Al sumar 10 a la desigualdad anterior se tiene que: 2
11 < ec + 10 < e + 10 ⇒ 11 < f 0 (c) + 10 < e + 10 ∴ 11 < f (1) < e + 10
Respuesta: Los valores buscados son a = 11 y b = e + 10
PRÁCTICA 18 (1) Dada f (x) = 5 − x4 pruebe que existe c en el intervalo ]1, 4[ tal que la tangente a la curva en el punto c sea paralela a la secante a la curva en los puntos (1, f (1)) y (4, f (4)), después de probar su existencia, calcule los valores de x = c. √ (2) Veri que que la función f (x) = 1 + 3 x − 1 satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 9]. Luego encuentre los números c que satisfagan el teorema.
(3) Suponga que la función f es derivable en [−1, 2] con f (−1) = −1 y f (2) = 5. Demuestre que existe un punto sobre la grá ca de f en el que la recta tangente es paralela con la recta con la ecuación −2x + y = 0. (4) La altura de un objeto t segundos después de haberse soltado desde 500 pies de altura es s(t) = −16t2 +500. a. Hallar la velocidad media en los primeros tres segundos. b. Usar el teorema del valor medio para veri car que en algún instante en esos tres segundos de caída, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media. ¾En qué instante ocurre eso?. (5) Si f 0 (x) = c para todo x ∈ R, siendo c una constante, utilice el corolario del Teorema del Valor Medio para probar que f (x) = cx + d, para alguna constante d.
RESPUESTAS: (1) I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = 2 √ 9 + 7 21 (2) I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = 9 (3) Demostración completa. (4) (a) La velocidad media es de −48 pies/s (b) La velocidad instantánea es igual a la velocidad media en el instante t = 1,5s (5) Demostración completa.
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2.19. Otras aplicaciones de la derivada 2.19.1. Análisis y gra cación de funciones ANÁLISIS DE LA PRIMERA DERIVADA (1) Monotonía(Teorema): Si f
es una función derivable en el intervalo ]a, b[ entonces:
a) Si f (x) > 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es creciente en ]a, b[. 0
b) Si f 0 (x) < 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es decreciente en ]a, b[. c) Si f 0 (x) = 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es constante en ]a, b[.
Por lo tanto, si f es continua en el intervalo ]a, b[; para hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente, es conveniente seguir estos pasos: 1- Localizar los números críticos de f en ]a, b[ los cuales delimitan los intervalos de prueba. 2- Determinar los signos de f 0 en cada uno de esos intervalos. 3- Determinar la monotonía (creciente, decreciente o constante) para cada uno de los intervalos obtenidos.
(2) Máximos y mínimos relativos.- Criterio de la primer derivada-(Teorema): Si c es un punto crítico para f (x) en un intervalo abierto ]a, b[ y f es derivable, excepto quizá en c; f puede clasi car como sigue:
a) Si f 0 cambia de positiva a negativa en c (es decir, si f cambia de creciente a decreciente en c ), entonces f (c) es un máximo relativo de f . b) Si f 0 cambia de negativa a positiva en c (es decir, si f cambia de decreciente a creciente en c ), entonces f (c) es un mínimo relativo de f . c) Si f 0 no cambia de signo en c, f (c) no es ni mínimo ni máximo relativo. Ejemplos. 1) Dada la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1. (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primer derivada.
R/ f es creciente en ] − ∞, 1[ y ]3, +∞[. f es decreciente en ]1, 3[. Hay un máximo relativo en el punto (1, 5) y hay un mínimo relativo en (3, 1)
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2)Dada la función ( x2 − 4, si x < 3 f (x) = 8 − x, si x ≥ 3 (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primera derivada.
R/ f es decreciente en ] − ∞, 0[ y ]3, +∞[. f es creciente en ]0, 3[. Hay un máximo relativo en el punto (3, 5) y hay un mínimo relativo en (0, −4)
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(3) Determine a y b tales que la función de nida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga extremo relativo en P(2,3).
R/ a = −3 , b = 7.
ANÁLISIS DE LA SEGUNDA DERIVADA Veamos primero unas grá cas para recordar el concepto de concavidad y evitar confusiones con el concepto de monotonía.
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Concavidad-criterio de la segunda derivada-(Teorema): Sea f
una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto ]a, b[, se cumple: a) Si f 00 (x) > 0 para todo x ∈]a, b[ entonces la grá ca de f es cóncava hacia arriba en ]a, b[. b) Si f 00 (x) < 0 para todo x ∈]a, b[ entonces la grá ca de f es cóncava hacia abajo en ]a, b[.
NOTA: Si f 00 (x) = 0 para todo x ∈]a, b[ significa que f es una función lineal (la cual no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo).
Puntos de in exión(De nición) Si la concavidad de la función f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo . (o viceversa) en el punto (c, f (c)) decimos que este es un PUNTO DE INFLEXIÓN
NOTA: Como los puntos de in exión ocurren donde la concavidad cambia de sentido, debe suceder que en ellos f 00 cambia de signo. Así que para localizar posibles puntos de in exión necesitamos determinar los valores de x en los cuales se cumple: 1-)f 00 (x) = 0 2-)f 00 (x) no está de nida Ejemplo. Considere la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 Determine los intervalos en que la grá ca es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y los puntos de in exión.
R/ f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 2[ y cóncava hacia arriba en ]2, +∞[. Hay un punto de in exión en (2, 3).
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ANÁLISIS Y GRAFICACION DE FUNCIONES POLINOMIALES
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES POLINOMIALES: 1- Calcular el dominio: Df = R 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero (y = f (x) = 0). b) Intersección con el eje Y: Sustituyendo x = 0. 3- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primer derivada, máximos y mínimos. 4- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 5- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 6- Construcción de la grá ca.
NOTA:
Recuerde que en una función polinomial f (x) = an xn + an − 1xn − 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ., su comportamiento cuando x tiende a los in nitos se puede deducir a partir de su grado (n) y su coe ciente principal (an ) así:
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ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Recuerde que una función f es racional si tiene la forma f (x) =
p(x) con p(x) y q(x) polinomios y q(x) 6= 0. q(x)
Así, el dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto las restricciones (valores que hacen cero al polinomio denominador). Además recuerde que las funciones racionales pueden tener asíntotas, las cuales ya hemos aprendido a calcular. Recordemos como:
Asíntotas de una función racional
Una función racional puede presentar las siguientes asíntotas: a)
Asíntotas horizontales de una función racional: Se hace el estudio de los limites
l´ım f (x) = L
l´ım f (x) = L
x→+∞
x→−∞
en cuyo caso la recta y = L es una asintota horinzontal. En el caso de que estos límites sean in nitos, entonces no habrá asíntotas horinzontales, pero se obtiene el comportamiento de la función cuando x tiende a ±∞ b)
Asíntotas verticales de una función racional: Se debe estudiar el comportamiento de la función alrededor de los puntos en los que se inde ne la función. Si c inden ne a f (x) calculamos los limites laterales para identi car las siguientes situaciones l´ım f (x) = −∞ l´ım f (x) = +∞
x→c−
x→c−
l´ım f (x) = −∞
l´ım f (x) = +∞
x→c+
x→c+
Así tendremos el comportamiento de la función alrededor de la asíntota vertical x = c
c)
Asíntotas oblicuas de una función racional: La grá ca de una función racional (sin factores comunes) tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador excede exactamente en una unidad al grado del denominador. Los coe cientes de la asíntota oblicua y = mx + b son: Pendiente:
m = l´ım
x→±∞
f (x) x
Intersección con el eje Y: b = l´ım [f (x) − mx] x→±∞
Otra manera para obtener la asíntota oblicua consiste en efectuar la división de los polinomios numerador y denominador para reescribir la fracción como la suma de un polinomio de grado 1 dado por el cociente de la división (asintota oblicua)más otra función racional (residuo sobre divisor). Dividendo residuo = cociente + divisor divisor
NOTA: Si una función racional tiene una asíntota oblícua no tiene asíntota horinzontales y viceversa.
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Entonces, para gra car una función racional, aplicamos el siguiente procedimiento:
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RACIONALES: 1- Calcular el dominio:Df = R -{restricciones} 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f (x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 3- Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la grá ca.
EJEMPLOS: (1) Considere la función f : D → R, de nida por f (x) = f 0 (x) =
x2 − 2 en su dominio máximo y sus derivadas (x − 1)2
4x − 10 −2x + 4 y f 00 (x) = . (x − 1)3 (x − 1)4
Haga el estudio de la función y construya la grá ca. 1. Dominio e intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Dominio: R − {1} Intersección con el eje Y: (0, √ −2) √ Intersecciones con el eje X: ( 2, 0) y (− 2, 0)
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2. Ecuaciones de todas las asíntotas (si las hay). RESPUESTA: Asíntota vertical: x = 1 Asíntota horizontal: y = 1 cuando x → ±∞ Asíntota oblicua: No hay. 3. Intervalos donde la función es creciente y decreciente. RESPUESTA: f es decreciente en los intervalos ] − ∞, 1[ y ]2, +∞[ f es creciente en el intervalo ]1, 2[ 4. Los valores extremos relativos de la función. Mencionar los pares ordenados. RESPUESTA: f alcanza un máximo relativo en el punto (2, 2). 5. Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en los intervalos ] − ∞,1[ y 1, 52 f es cóncava hacia arriba en el intervalo 25 , +∞ 6. Cuadro de variación.
7. Grá ca.
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(2) Considere la siguiente función: Considere la siguiente función: f (x) =
2 x +2+ 2 x
Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f (x), a saber: f 0 (x) =
1 2 − 2 2 x
f 00 (x) =
4 x3
Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca.
RSPUESTAS: 1. Dominio de f . RESPUESTA: R − {0} 2. Intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Eje X: (−2, 0) Eje Y: NO HAY. 3. Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f . (Nota: Debe justi car cada asíntota, incluso en el caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas). RESPUESTAS: Verticales: x = 0 porque al evaluar el límite es in nito (inde nición 40 ) Horizontales: No hay, porque l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞ x→+∞
x→−∞
Oblicuas: Si hay, porque es una función racional en la que el grado del numerador excede en una unidad el grado del denominador. Su ecuación es y = 21 x + 2 (la cual se puede obtener mediante la división de polinomios o por medio de fórmulas para m y b). 4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la primer derivada. f es creciente en ] − ∞, −2[ y ]2, +∞[ f es decreciente en ] − 2, 0[ y ]0, 2[ f tiene un máximo relativo en (−2, 0) f tiene un mínimo relativo en (2, 4)
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5. Intervalos de concavidad. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la segunda derivada. f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 0[ y cóncava hacia arriba en ]0, +∞[ 6. Cuadro de variación de f RESPUESTA:
7. Grá ca de f RESPUESTA:
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(3) Considere la siguiente función: x3 (x − 1)2
f (x) =
Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f (x), a saber: f 0 (x) =
x3 − 3x2 (x − 1)3
f 00 (x) =
6x (x − 1)4
Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca. 1. Dominio de f .
RESPUESTA: R − {1}
2. Intersecciones con los ejes.
RESPUESTA: Interseca ambos ejes en el origen (0, 0).
3. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f . (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justi car por qué). RESPUESTA. i.
Asíntota vertical. Sí hay y su ecuación es
x = 1. Justicación: Porque al evaluar el límite l´ım f (x) x→1
(límites laterales in nitos), lo que garantiza el comportamiento asíntótico se genera la inde nición de la función cuando x → 1. 1 0
ii.
Asíntota horizontal. No hay asíntotas horizontales. Justi cación: Porque l´ım f (x) = l´ım
x→+∞
iii.
x→+∞
x3 = +∞ y (x − 1)2
l´ım f (x) = l´ım
x→−∞
x→−∞
x3 = −∞. (x − 1)2
Asíntota oblicua. Si hay. Su ecuación es y = x + 2. Justi cación: Se garantiza la existencia porque
es una función racional en la que el grado del polinomio numerador excede en una unidad el grado del denominador. Por ser una función racional el cálculo de la ecuación, se puede efectuar la división de polinomios x3 ÷ (x2 − 2x + 1) o si lo pre ere calcular los coe ciente de la asíntota mediante los siguientes límites: x3 f (x) (x − 1)2 x2 m = l´ım = l´ım = l´ım 2 =1 x→∞ x→∞ x→∞ x − 2x + 1 x x 3 x3 x − x3 + 2x2 − x − x b = l´ım [f (x) − mx] = l´ım = l´ ım =2 x→∞ x→∞ x2 − 2x + 1 x→∞ x2 − 2x + 1
4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: f es creciente en ] − ∞, 1[ y ]3, +∞[. f es decreciente en ]1, 3[. . Hay un mínimo relativo en 3 , 27 4 5. Intervalos de concavidad y puntos de in exión. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 0[. f es cóncava hacia arriba en ]0, 1[ y ]1, +∞[. Hay un punto de in exión en (0, 0).
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6. Cuadro de variación de f .
7. Grá ca de f RESPUESTA:
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PRÁCTICA 19 1. Encontrar los máximos y mínimos de las siguientes funciones. (a) f (x) = 8x5 − 5x4 − 20x3 48 (b) f (x) = x3 + x 4 x +1 (c) f (x) = x2 (x − 1)(1 − x) (d) f (x) = x2 Respuestas/ 3 −513 , mínimo relativo (−1, 7) máximo relativo aunque x = 0 es número crítico el punto (0, 0) 2 16 no es máximo ni mínimo.
(1)(a)
(b)(−2, 32) máximo relativo (2, 32)mínimo relativo
(c)(−1, 2) mínimo relativo (1, 2)mínimo relativo
(d)(1, 0) máximo relativo
2. Encontrar los puntos de in exión de la función. f (x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 − 12x + 15 Respuesta/ Puntos de in exión
−1 488 , (2, −89) 3 27
3. Efectúe el análisis y construya la grá ca de las siguientes funciones. a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2) b) y = x4 − 6x2 c) y =
x2 −1
x2
DERIVADAS: f 0 (x) = 3x2 − 3 f 00 (x) = 6x
DERIVADAS: y 0 = 4x3 − 12x DERIVADAS: y 0 =
d) f (x) =
x2 x−1
e) f (x) =
−x2 + x + 2 x2 − 2x + 1
−2x − 1)2
(x2
DERIVADAS: f 0 (x) =
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y
x2 − 2x (x − 1)2
DERIVADAS: f 0 (x) =
y
00
00
=
= 12x2 − 12 6x2 + 2 (x2 − 1)3
f 00 (x) =
x−5 (x − 1)3
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2 (x − 1)3
f 00 (x) =
14 − 2x (x − 1)4
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Respuestas de la parte 3/: Se omite el análisis. Sólo se le dala grá ca: (3a)
(3b)
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(3c)
(3d)
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(3e)
4. Considere la función f (x) =
x(3x − 4) cuyas derivadas son: 2(x − 1)2 f 0 (x) =
2−x (x − 1)3
2x − 5 (x − 1)4 Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca. Debe incluir los siguientes aspectos:dominio de f , intersecciones con los ejes, asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f . (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justi car por qué), Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y puntos de in exión, cuadro de variación de f , grá ca de f . R/ La grá ca de f es: f 00 (x) =
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5. Considere la función racional f (x) que satisface las siguientes condiciones: l´ım f (x) = −∞ y
l´ım f (x) = +∞.
a
) El dominio de f es R − {1} y
b
) f 0 (x) > 0 en los intervalos ]−∞ , 0[ y ]2 , +∞[.
c
) f 0 (x) < 0 en los intervalos ]0 , 1[ y ]1 , 2[.
d
) f 00 (x) < 0 en el intervalo ]−∞ , 1[ y f 00 (x) > 0 en el intervalo ]1 , +∞[.
e
)
l´ım f (x) = −∞ y
x→−∞
x→1−
x→1+
l´ım f (x) = +∞.
x→+∞
f (x) = 1 y l´ım (f (x) − x) = 1. x→∞ x 0 0 g ) f (0) = 0 , f (2) = 4 y f (0) = f (2) = 0. f
) l´ım
x→∞
A partir de la información anterior, determine cuáles son las asíntotas lineales de f (x), elabore el cuadro de variación de la función y construya su grá ca. R/ Asíntota vertical x = 1, NO hay asintota horizontal, Asíntota oblicua y = x + 1. La grá ca de f es:
6. Considere la funcióng(x) =
x3 − 4 cuyas derivadas aparecen a continuación: x2 g 0 (x) =
x3 + 8 x3
g 00 (x) =
−24 x4
a
) Diga cuál es el dominio y encuentre los puntos críticos de g(x).
b
) Determine en qué intervalo es creciente y en cuáles es decreciente la función g(x).
c
) Clasi que los extremos relativos de g(x): Justi que su respuesta.
R/ (a) Dominio: R − {0} Números críticos x = 0, x = −2 (b)creciente: ] − ∞, −2[ y ]0, +∞[ decreciente: ] − 2, 0[ (c)Máximo relativo:(−2, −3) pues g 00 (−2) < 0.
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x+3 7. Considere la función f (x) = . Para responder las siguientes preguntas puede usar el hecho que x+2 2 −1 y f 00 (x) = . f 0 (x) = (2 + x)2 (x + 2)3 Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasi cación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asintotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el grá co de f(x).
R/ La grá ca de f es:
x2 − 3x . Para responder esta pregunta puede utilizar, sin calculadora, las dos (x + 3)2 primeras derivadas de la función f(x) que aparecen a continuación:
8. Considere la función f (x) =
9(x − 1) 18(3 − x) f 00 (x) = (x + 3)3 (x + 3)4 Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasi cación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asíntotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el grá co de f(x). f 0 (x) =
R/ La grá ca de f es:
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9. Considere la función: f (x) =
181
x2 + x − 1 x−1
Para responder esta pregunta puede utilizar la siguiente información sobre la derivada, sin necesidad de veri carla: ∗f 0 (x) > 0 en los intervalos ] − ∞, 0[ y ]2, +∞[ ∗f 0 (x) < 0 en los intervalos ]0,1[ y ]1,2[. ∗f 0 (0) = 0
f 0 (2) = 0.
en el intervalo ]1, +∞[
∗f 00 (x) > 0
en el intervalo ] − ∞, 1[
00
∗f (x) < 0
Determine lo siguiente: a
) Encuentre el dominio de f (x) y calcule las asíntotas verticales, horizontales o inclinadas de la función, si éstas existen.
b
) Encuentre los puntos donde el grá co de f (x) corta los ejes de coordenadas.
c
) Haga el cuadro de variación de f (x) y dibuje la grá ca de la función.
d
) Identi que los extremos relativos de la función. Justi que su respuesta.
R/ a
) Dominio: R − {1}. Asíntota vertical x = 1, Horizontal: No hay. Oblicua: y = x + 2.
b
) ∩x :
c
) Cuadro de variación:
−1 − 2
√ 5
,0
y
−1 + 2
√ 5
,0
∩y : (0, 1)
Grá ca:
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d
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) Máximo relativo (0,1) pues f cambia de creciente a decreciente en ese punto. Mínimo reltativo (2,5)pues f cambia de decreciente a creciente en ese punto.
x2 + 4 10. De nimos la función f (x) por: f (x) = . Haga el estudio completo de la función f (x) que incluya el 2x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el grá co interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el grá co de la función f (x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos siguientes derivadas de la función f(x) que aparece a continuación: f 0 (x) =
R/ La grá ca de f (x) es:
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x2 − 4 2x2
f 00 (x) =
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4 x3
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x2 − 2x − 3 11. De nimos la función porf (x) = Haga el estudio completo de la función f (x) que incluya el x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el grá co interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el grá co de la función f(x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos primeras derivadas de la función f (x) que aparecen a continuación f 0 (x) =
R/ La grá ca de f (x) es:
x2 + 3 x2
f 00 (x) =
−6 x3
12. A continuación se le da la grá ca de la primer derivada de la función f , es decir, la grá ca correspondiente a f 0 . A partir de la información en ella, identi que los intervalos de monotonía y concavidad de la función f .
R/ Monotonía: f es creciente en ] − 2, 0[ y ]2, +∞[. f es q decreciente q en ] − ∞, −2[ y ]0, 2[ 12 Concavidad: f es cóncava hacia arriba en ] − ∞, − 5 [ y ] 12 , +∞[. f es cóncava hacia abajo en 5 q q 12 12 ]− , [. 5 5
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ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RADICALES Para gra car otros tipos de funciones se utiliza el mismo procedimiento que el estudiado para funciones racionales:
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RADICALES: 1- Calcular el dominio:En este caso hay que calcular en dominio máximo de la función, tomando en cuenta la paridad del índice. 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f (x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 3- Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la grá ca.
Además, hay que tomar en cuenta que ciertos aspectos relacionados con las asíntotas, que se tomaban en cuenta con las funciones racionales, varían un poco cuando se trabaja con funciones radicales. Por ejemplo, para calcular las asíntotas oblicuas no se puede utilizar la división de polinomios, ya que no se trata de una función racional. Por otra parte, para justi car la existencia o no de ese tipo de asíntotas, ya no se puede utilizar la comparación de grados. En ambos casos, se deben calcular los límites y, si existen, entonces hay asíntota oblicua: 1. l´ım
x→∞
f (x) x
=m
2. l´ım (f (x) − mx) = b x→∞
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PRÁCTICA 20
Efectúe el análisis completo y a partir de él, construya la grá ca de las siguientes funciones. En cada caso, se le dan las derivadas de cada función. 1. f (x) =
3p 3 (x + 2)2 (x − 2)2 4
x Derivadas: f 0 (x) = p 3 (x + 2)(x − 2)
2. f (x) =
r 3
f 00 (x) =
3
p 3
x2 − 12 (x + 2)4 (x − 2)4
x−1 x+1 2
Derivadas: f 0 (x) = 3(x + 1)2 √ 3. f (x) = x x − x2
Derivadas: f 0 (x) =
x−1 x+1
2/3
√
x(3 − 4x) √ 2 1−x
f 00 (x) =
f 00 (x) =
4 − 12x 5/3 x−1 9(x + 1)4 x+1
x(8x2 − 12x + 3) 4(x(1 − x))3/2
RESPUESTAS: 1.
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2.
3.
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2.19.2. Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital : Suponga que f y g son funciones derivables y que g 0 (x) 6= 0 en un intervalo abierto I que contiene a a (excepto quizás en a). Suponga que Regla de L'Hôpital(Teorema)
l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = 0
x→a
x→a
o que l´ım f (x) = ±∞ y l´ım g(x) = ±∞
x→a
x→a
(En otras palabras, el límite tiene la forma indeterminada
0 ∞ o ) 0 ∞
Entonces:
l´ım
x→a
f 0 (x) f (x) = l´ım 0 x→a g (x) g(x)
Suponiendo que este último límite exista o sea in nito (+∞ o −∞)
NOTAS: 1. La Regla de L'Hôpital a rma que el límite del cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones (hipótesis) del teorema. Es por eso, que antes de aplicar la Regla de L'Hôpital, debe veri car las condiciones referentes a los límites de f y g . 2. La Regla de L'Hôpital también aplica para el caso de los límites laterales y los límites al in nito, es decir, el teorema también se puede aplicar cuando x → a− , x → a+ , x → −∞ o x → +∞. 3. Observe quela Regla de L'Hôpital involucra el límite del cociente o división de las derivadas de f y de g f 0 (x) , NO se re ere de ninguna manera a la derivada de la división de las funciones f y g que es l´ım 0 x→a g (x) 0 f (x) otra cosa l´ım . x→a g(x) 0 ∞ o y , en lugar de ellas, se genera algún otro 0 ∞ 0 ∞ 0 tipo de indeterminación, tal como 0 · ∞, ∞ − ∞,0 , 1 o ∞ . En esos casos se busca reescribir la función para obtener alguna de las indeterminaciones requeridas y así poder usar la Regla de L'Hôpital.
4. En ocasiones, un límite no genera las indeterminaciones
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0 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA . 0 Calcule los siguientes límites:
1. l´ım √ x→2
x−2 √ x−1+24x−1−3
0 SOLUCIÓN: El límite es de la forma por lo que el mismo cumple con la hipótesis de la Regla de L'Hôpital 0 y por lo tanto se puede seguir este procedimiento: l´ım √
x→2
x−2 √ = l´ım x→2 x−1+24x−1−3 = l´ım
x→2
= l´ım
√1 2 x−1 1 √ 2 1
x→2 1 2
1 + 2 · 14 (x − 1)−3/4
1 + 2 · 14 (1)−3/4
1 +2·
1 4
·1
=1
2. l´ım
e2x − 1 x
R/ 2
3. l´ım
ln(x) x−1
R/ 1
4. l´ım
tan(x) − x x3
R/
x→0
x→1
x→0
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∞ EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA . ∞ Calcule los siguientes límites:
1.
2.
3.
l´ım
ln(x) x
l´ım
ex x2
l´ım
ln(x) √ 3 x
x→+∞
x→+∞
x→+∞
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R/ 0
R/ +∞
R/ 0
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 0 · ∞. Calcule los siguientes límites: 1.
l´ım e−x ·
x→+∞
√ x
R/ 0
2. l´ım x · ln(x)
R/ 0
x→0+
3. l´ım
x→0+
ln(x) · ln(x2 + 1)
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R/ 0
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA ∞ − ∞. Calcule los siguientes límites: 1. Calcule el siguiente límite: l´ım
x→0+
1 1 − ex − 1 x
SOLUCIÓN: Note que cuando x → 0+ el límite tiene la forma indeterminada ∞ − ∞. No se puede aplicar LHôpital . Para ello se debe efectuar la resta. Se debe indicar hasta que el límite sea de la forma indeterminada 00 o ∞ ∞ si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente:
1 1 l´ım − = ex − 1 x x→0+ x − ex + 1 = l´ım + x(ex − 1) x→0 x − ex + 1 = l´ım xex − x x→0+ 1 − ex = l´ım ex + xex − 1 x→0+ −ex = l´ım ex + ex + xex x→0+ −1 = 2
2.
l´ım
−
[forma: ∞ − ∞ aún no se puede aplicar L'Hôpital]
0 forma: se puede aplicar L'Hôpital 0 0 forma: se puede aplicar L'Hôpital 0
R/ 0
(sec(x) − tan(x))
x→( π 2)
3. l´ım
x→1+
1 1 − ln(x) x−1
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R/
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 1∞ o 00 o ∞0 .
Calcule los siguientes límites: 1.
x2 1 cos x→+∞ x l´ım
SOLUCIÓN: El límite es de la forma 1∞ . Llamemos k al resultado del límite:
x2 1 =k x→+∞ x " x2 # 1 ln l´ım cos = ln(k) x→+∞ x " x2 # 1 = ln(k) l´ım ln cos x→+∞ x 1 l´ım x2 · ln cos = ln(k) x→+∞ x " # ln cos x1 l´ım = ln(k) 1
l´ım
cos
x→+∞
l´ım
1
[cos( x1 )]
x2
· − sen
1 x
·
−2 x3
x→+∞
" l´ım
x→+∞
[forma: ∞ · 0 aún no se puede aplicar L'Hôpital]
0 forma: ya se puede aplicar L'Hôpital 0
−1 x2 = ln(k)
−x3 sen 2x2 · cos
#
1 x 1 x
= ln(k)
"
# − sen x1 = ln(k) l´ım x→+∞ 2 1 · cos 1 x x " # sen x1 −1 l´ım · = ln(k) 1 x→+∞ 2 cos x1 x 1·
−1 = ln(k) 2·1 −1 = ln(k) 2 k=e
∴ l´ım
x→+∞
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−1 2
x2 1 1 cos = √ x e
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2.
x 1 1+ x→+∞ x
193
l´ım
R/ e
3. l´ım xx
R/ 1
x→0+
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194
R/ e4
4. l´ım (1 + sen(4x))cot(x) x→0+
5. Determine el valor de a para el cual se cumple la igualdad: l´ım
x→+∞
x+a x−a
x = e
SOLUCIÓN: Note que cuando x → +∞ el límite tiene la forma indeterminada 1∞ . No se puede aplicar LHôpital hasta que el límite sea de la forma indeterminada 00 o ∞ . Para ello se debe aplicar la función ∞ inyectiva logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad, para aplicar propiedades de los logaritmos y propiedades de las funciones continuas para calcular el límite y luego despejar el valor de a. Se debe indicar si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente:
ln
x+a x−a
x
l´ım x x+a l´ım ln x→+∞ x−a x+a [forma:∞ · 0] ←− l´ım x · ln x→+∞ x−a x+a ln x−a 0 forma: se puede aplicar Regla de L'Hôpital ←− l´ım 1 x→+∞ 0 x 1 (x−a)−(x+a) (x+a) · (x−a)2 (x−a) l´ım −1 x→+∞ x2 " # x→+∞
l´ım
x→+∞
l´ım
x→+∞
−2a x2 −a2 −1 x2
2ax2 2 x − a2
= ln[e] = 1 = 1
= 1
= 1
= 1 = 1
2a ∴
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= 1 1 a = 2
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I PARTE. Calcule los siguientes límites:
PRÁCTICA 21
(ln(x))2 x−1 √ √ 3 x− 3k 2. l´ım x→k x−k
1. l´ım
R/0
x→1
1 R/ √ 3 3 k2
e2x x→+∞ x2 2 2 − 4. l´ım ln(x) x−1 x→1+
3.
R/+∞
l´ım
R/1 R/ 1
5. l´ım (x − 1)ln(x) x→1+
ex − 1 − x x→0 x2 1 − cos(x) 7. l´ım x→0 x2
1 2 1 R/ 2
6. l´ım
8.
R/
2
R/ 0
l´ım x3 e−x
x→+∞
9. l´ım (1 − 2x)1/x x→0 a bx 10. l´ım 1 + x→+∞ x 11. l´ım (tan(2x))x
R/
1 e2
R/ eab R/1
x→0+
12.
195
R/1
l´ım (ln(x))2/x
x→+∞
x + sen(2x) x − sen(2x) 8 x 14. l´ım − x→2 x2 − 4 x−2 √ 15. l´ım e−x · x
13. l´ım
R/−3
x→0
R/
−3 2
R/0
x→+∞
3
ex − 1 x→0 x − sen(x) 1 x · sen 17. l´ım x→+∞ x 1 1 18. l´ım − x→0 x ln (1 + x)
16. l´ım
R/6 R/1 −1 2 −1 R/ π
R/
19. l´ım csc (πx) · ln(x) x→1 √ 4 − x2 20. l´ım − x −2 x→2
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R/−∞
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196
II PARTE.
Ahora que ha practicado la Regla de LHôpital, es posible utilizarla en algunos de los pasos de grafcación de algunas funciones que no habíamos podido analizar, por no contar con esa herramienta para el cálculo de ciertos límites. Resuelva los siguientes ejercicios. 1. Considere la función f :]0, +∞[−→ R dada por f (x) = x2 · ln(x), cuyas derivadas se pueden expresar de la siguiente forma: f 0 (x) = x(1 + 2 ln(x)) y f 00 (x) = 2 ln(x) + 3. a
) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justi que por qué.
b
) Veri que que l´ım f (x) = 0.
c
) Veri que que l´ım f (x) = +∞.
x→0+
x→+∞
f (x) = +∞. x e ) Justi que la inexistencia de los tres tipos de asíntotas.
d
) Veri que que l´ım
f
) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos.
g
h
x→+∞
) Determine los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de f .
(x − 1)2 , cuyas derivadas se pueden expresar de la ex √ √ −(x − 3)(x − 1) (x − 3 − 2)(x − 3 + 2) 0 00 siguiente forma: g (x) = y g (x) = . Además considere que ex ex g(x) l´ım = +∞. x→−∞ x
2. Considere la función g : R −→ R dada por g(x) =
a
) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justi que por qué.
b
) Veri que que l´ım g(x) = +∞.
c
) Veri que que l´ım g(x) = 0.
d
e f
g
x→−∞
x→+∞
) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justi que para los tipos de asíntota que no existan. ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos. ) Determine los intervalos en los que g es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de g .
3. Considere la función h : R − {0} −→ R dada por h(x) = 1 + xe1/x , cuyas derivadas se pueden expresar de e1/x (x − 1) e1/x la siguiente forma: h 0 (x) = y h 00 (x) = 3 . Además considere que la única intersección x x con el eje X se ubica entre −2 y −1. a
) Veri que que l´ım h(x) = +∞.
b
) Veri que que l´ım h(x) = 1.
x→0+
x→0−
h(x) = 1. x d ) Veri que que l´ım (h(x) − x) = 2. c
) Veri que que l´ım
x→±∞ x→±∞
e
f g
h
) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justi que para los tipos de asíntota que no existan. ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos. ) Determine los intervalos en los que h es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de h.
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RESPUESTAS/ No se brinda el análisis de cada una de los ejercicios. Sólo se da la grá ca nal de cada una. (2a)
(2b)
(2c)
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2.19.3. Problemas de optimización Sugerencias para plantear y resolver estos problemas: 1.Hacer un dibujo representativo del problema. Asignar las variables necesarias de acuerdo con el enunciado. 2.Proponer la función a optimizar con base en la información del problema. 3.Si en la función intervienen varias variables es preciso establecer relaciones entre ellas para dejar una función en una variable. 4.Hallar el intervalo de factibilidad para x. Es determinar el dominio que tenga sentido con el enunciado del problema. 5.El problema de optimización queda reducido a calcular los extremos de la función.
Ejemplo 1: Resuelva el siguiente problema, mediante el planteo y optimización de la función correpondiente. De todos los rectángulos cuya área es de 16 cm2 determine las dimensiones del rectángulo cuyo perímetro sea menor. Además determine dicho perímetro. SOLUCIÓN: Sea x la longitud del largo de cada rectángulo y y la medida del ancho de cada rectángulo. Sea P el perímetro de cada uno de los rectángulos.
La función a optimizar es P = 2x + 2y . Utilizamos el dato del área para plantear una ecuación auxiliar, para expresar la función P en una sola variable. A = 16 xy = 16 16 y= x
Así tenemos que la función P se puede reescribir como una función de x ( x ∈]0, +∞[ ) así: P (x) = 2x + 2 ·
16 x
32 x 2x2 + 32 x 4x · x − (2x2 + 32) · 1 x2 2x2 − 32 x2 2(x2 − 16) x2 2(x + 4)(x − 4) x2
P (x) = 2x + P (x) = ⇒ P 0 (x) = P 0 (x) = P 0 (x) = ∴ P 0 (x) =
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199
El único número crítico en el dominio es x = 4 y se puede veri car que en ese valor se alcanza el perímietro mínimo, mediante el criterio de la segunda derivada: P 00 (x) =
4x · x2 − (2x2 − 32) · 2x (x2 )2
4x3 − 4x3 + 64x x4 64 00 P (x) = 3 x 64 ⇒ P 00 (4) = 3 4 64 00 P (4) = 64 P 00 (4) = 1 > 0 P 00 (x) =
Por tanto, en x = 4 se alcanza el perímetro mínimo. También se puede veri car lo anterior, mediante el cuadro de signos de la primer derivada:
RESPUESTAS/ Entonces las dimensiones para que el perímetro sea mínimo son x = 4 metros y y = metros. Además el perímetro mínimo será P (4) = 16 metros.
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16 4
=4
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200
Ejemplo 2: Resuelva el siguiente problema mediante el planteo y optimización de una función adecuada. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero (tal como muestra la gura). El perímetro de la ventana es de 3 metros. Determine cuál debe ser la longitud del lado del triángulo para que la ventana tenga el área máxima. (NOTA: El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide x corresponde a √ x2 3 ) 4
SOLUCIÓN: Las variables x y y ya vienen dadas por la gura. De nimos A como el área total de la ventana (que es lo que se quiere maximizar)y está dada por: A=
√ x2 3 4
+ xy
Pero para que quede en una variable requerimos de la ecuación auxiliar dada por el dato del perímetro de la ventana, a saber: P = 2y + 3x 3 = 2y + 3x 3 − 3x = 2y 3 − 3x =y 2
Al sustituir lo anterior en la función de área obtenemos: A(x) =
√ x2 3 4
+x
3−3x 2
,
(con dominio ]0, 1[ para que tenga sentido el problema) Simpli cando se tiene que A(x) =
Derivando obtenemos que:
A0 (x) =
Lo que es equivalente a A0 (x) =
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√
3 2
x+
3 2
√ x2 3 4
+
3x 2
−
3x2 2
− 3x
√ x 3+3−6x 2
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201
Se procede a calcular los números críticos: Ceros de f 0 : √ x 3 + 3 − 6x = 0 √ x 3 − 6x = −3 √ x 3 − 6 = −3 −3 x= √ ≈ 0, 703 3−6 −3 No hay restricciones para f 0 . Luego, el único número crítico en el dominio es x = √ . Faltaría veri car si en 3−6 √ 3 efecto es un máximo, lo que se puede hacer utilizando la segunda derivada(*): A00 √−3 = − 3 ≈ −2, 13 3−6 2 −3 Al ser A00 √−3 < 0 se cumple que en x = √ se obtiene el máximo para la función de área (que es lo que 3−6 3−6 se quería). −3 metros. RESPUESTA: Para que el área de la ventana sea máxima, el lado del triángulo debe medir √ 3−6 (*) NOTA: En lugar de utilizar el criterio de la segunda derivada se puede elaborar un cuadro de signos para f 0 :
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202
Para resolver algunos problemas de optimización sep debe aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), a saber d = (y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2 , que surge del teorema de Pitágoras y que repasamos amediante la gura adjunta:
Ejemplo 3: Mediante el planteo y optimización de una función adecuada, determine la coordenada (z, t) del punto perteneciente a la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (−3, 1). SOLUCIÓN: Plantear la función a minimizar, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano: p d = (t − 1)2 + (z + 3)2 . Se plantea una ecuación auxiliar, utilizando el hecho de que el punto (z, t) pertenece a la recta y = 9 − 6x: Ecuación auxiliar: t = 9 − 6z Se sustituye en la función original, se simpli ca y deriva la función de distancia. p d(z) = (9 − 6z − 1)2 + (z + 3)2 , dominio: R p d(z) = (8 − 6z)2 + (z + 3)2 p .d(z) = 64 − 96z + 36z 2 + z 2 + 6z + 9 p d(z) = 37z 2 − 90z + 73 1 · (74z − 90) ⇒ d 0 (z) = √ 2 37z 2 − 90z + 73 (37z − 45) ∴ d 0 (z) = √ 37z 2 − 90z + 73 Se identi ca el único número crítico: x = 45 y se comprueba que el número crítico es en efecto un mínimo. Se 37 puede hacer con un cuadro de signos o con el criterio de la seguda derivada. Cuadro:
00 45 676 O en lugar del cuadro se puede calcular f 00 (x) = (37z2 −90z+73) ≈ 8, 65 > 0, con lo que se 3/2 y evaluar f 37 veri ca que en el número crítico la distancia se minimiza. 63 Se utiliza la ecuación auxiliar para calcular t = 9 − 6 · 45 = 37 y así completar el par ordenado 45 , 63 . 37 37 37
RESPUESTA/ El punto sobre la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (−3, 1) es
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45 63 , 37 37
.
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203
Ejemplo 4: Sea P = (3, 0). Determine el punto Q = (x, y) en la grá ca de la curva y = x2 − x, tal que la distancia de P a Q sea mínima. SOLUCIÓN: Queremos minimizar la distancia entre el punto exterior P (3, 0) y el punto Q(x, y) pertneciente a la curva dada por y = x2 − x. Por conveniencia y para diferenciar los valores de las coordenadas del punto Q sobre la curva de las variables dependiente e indpendiente de la función dada, renombraremos las coordenadas del punto Q como Q(z, t). Así como el punto Q pertenece a la curva dada por y = x2 − x, se tiene la siguiente: ECUACIÓN AUXILIAR: t = z 2 − z Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que:
d=
p
(t − 0)2 + (z − 3)2
d=
p
t2 + (z − 3)2
d(z) =
p
(z 2 − z)2 + (z − 3)2
d(z) =
p
z 4 − 2z 3 + z 2 + z 2 − 6z + 9
p
z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 6z + 9 1 d 0 (z) = √ · (4z 3 − 6z 2 + 4z − 6) 4 3 2 z − 2z + 2z 2 − 6z + 9 1 · 2(2z − 3)(z 2 + 1) d 0 (z) = √ 4 3 2 z − 2z + 2z 2 − 6z + 9 (2z − 3)(z 2 + 1) d 0 (z) = √ z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 6z + 9 d(z) =
Respuesta/ El punto Q sobre la curva y = x2 − x más cercano al punto P (3, 0) es Q
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3 2
,
3 4
.
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204
PRÁCTICA 22
1) Hallar dos números enteros positivos tal que el producto es 192 y la suma del primero más tres veces el segundo es mínima.
2) Una empresa requiere mejorar el proceso productivo. Una de sus primeras tareas es mejorar unos corrales donde se tienen cerdos en una nca de producción; por lo tanto, se le encarga construir dos corrales rectangulares adyacentes entre sí, aprovechando el largo de la nca, la cual ya tiene cerca (se forma una E con estos corrales). Los materiales para el lado paralelo a la valla cuestan 6 c2400, 00 colones el metro y los materiales de los lados perpendiculares cuestan 6 c2000, 00 colones el metro. Si sólo dispone de 6 c600000, 00 colones para construir las cercas. Determine las dimensiones para que el área total sea lo más grande posible.
3) Hay que diseñar un cilindro circular recto para un jugo natural de frutas, el cual debe contener 22 pulgadas cúbicas ( aprox. 12 onzas); por lo tanto, se desea que gaste la mínima cantidad de material para este envase. Ante esta situación, encuentre las dimensiones para satisfacer el requerimiento solicitado.
4) Se requiere diseñar un cilindro circular recto para contener un volumen de 350ml(1ml = 1cm3 ). Si el costo del material del fondo y de la tapa es de 6 c0, 5colones/cm2 y del área lateral es 6 c0, 25colones/cm2 . (a) Cuáles son las dimensiones del recipiente que minimizan el costo del envase cilíndrico? (b) Si se mantiene el diámetro del envase enconstrado en el punto anterior y si el volumen se cambia a 473 ml, ¾cuál es el incremento de costo del recipiente ?
5) Se tiene un cable de 4 metros de largo para construir un círculo y un cuadrado. ¾Cómo debe distribuirse el cable entre las dos guras para maximizar la suma de las áreas generadas?
6) Una granja avícola tiene que realizar dos nuevos corrales, para lo cual ha comprado 100 metros de malla ciclón. Se pretende que los carrales sean idénticos y estén adyacentes con la nalidad de ahorrarse una pared o costado de corral. ¾Cuáles deben ser las dimensiones aproximadas de cada corral para que se tengan los corrales de máxima área posible?
7) Cada página de un libro debe contener 30pulg 2 de impresión y cada página debe tener un margen de 2 pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes de una pulgada a cada lado. ¾Cuáles son las dimensiones de la página que permiten obtener el área mínima de la misma?
8) Dos postes del tendido eléctrico de 12 y 28 metros de altura, están en la misma dirección y separados entre sí por una distancia de 30 metros. Desea colocarse un cable de acero jado en un único punto en el suelo, entre las puntas de ambos postes (ver dibujo).¾En qué punto del suelo hay que jar el cable para usar la mínima cantidad de cable? (Sugerencia: Denote D la longitud del cable. Use Y, Z para las hipotenusas de los tringulos rectangulares y X para la distancia desde la base del poste más pequeño al punto intermedio en el suelo).
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205
9) Determine el punto (x,y) de la recta 2x + y = 3 más cercano al punto (3,2).
10) Se forma un sólido uniendo dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen total del sólido es de 12cm3 . Hallar el radio de la base del cilindro que produce el área mínima de la super cie del sólido.
11) Calcular las coordenadas del punto P de la curva y = x2 más próximo al punto A(3,0).
12) Calcular el radio y la altura de los cilindros de volumen máximo y mínimo que pueden incribirse en un cono de 6cm de radio y 12 cm de altura.
RESPUESTAS (1)Los números son 24 y 8. (2)Dimensiones: ancho r = 50cm, largo= 125m r 11 3 11 (3)Dimensiones: r= (aprox 1,518 pulg.) h= 2 3 pulgadas (aprox 3,04 pulg.) π r rπ 175 3 175 pulgadas (aprox. 3,03 pulg.) h=4 3 pulgadas (aprox. 12,12 pulg.) (4) (a) Dimensiones: 2π 2π (4) (b)El incremento del costo del recipiente es de 6 c20, 3. (5) Sólo se debe construir el círculo. (6)Las dimensiones deben ser corral. √ 12,5m x16,67m en cada √ (7) Dimensiones: Largo:4 + 60pulg. Altura 2 + 15pulg. (8) Hay que jarlo a 9m de la base del poste de menor altura. (9) (1,1) r 9 (10)r= 3 cm (aprox, 1,42 cm) π (11)(1,1) (12) Dimensiones de (a) cilindro de volumen mínimo:r=0cm, h=12cm(caso limite) cilindro de volumen máximo: r=4cm,h=4cm.
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Capítulo 3
Integrales 3.1. La integral inde nida Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este problema: dada una función F hallar su derivada F 0 . No obstante, muchas aplicaciones importantes del Cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada la derivada F 0 encontrar la función F . Por ejemplo considere la función F cuya derivada es: F 0 (x) = 3x2 d 3 [x ] = 3x2 . Por lo tanto llamaremos a F una antidedx
Una solución al problema anterior será F (x) = x3 , porque
rivada o primitiva para F 0 . Por conveniencia usaremos f (x) = F 0 (x) para expresar que F (x) es una antiderivada de f (x). Así, x3 es una antiderivada para 3x2 . Decimos unaantiderivada y no la antiderivada, pues en realidad x3 + C , con C cualquier constante, es una antiderivada para f (x).
DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA Se llama a una función F una antiderivada (o primitiva) de la función f , si para todo x del dominio de f se cumple F 0 (x) = f (x)
Ahora bien, si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces F (x) + C , con C constante, también es una antiderivada para todo x en I . Por ejemplo, para f (x) = 2x, podemos representar la familia de todas las antiderivadas mediante la suma de una constante C así, F (x) = x2 + C
NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS Si y = F (x) es una antiderivada de f , entonces se dice que F (x) es una solución de la ecuación: dy = f (x) dx Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir la forma diferencial equivalente dy = f (x)dx La operación de encontrar todas las soluciones (la antiderivada general de f)de esta ecuación se denomina integración y se denota por el símbolo ∫ . La solución general de la ecuación dy = f (x)dx se denota por Z y = f (x)dx = F (x) + C Z donde es el símbolo de la integral, f (x) es el integrando, F (x) es la antiderivada, C es contante de integración. Z Llamamos a f (x)dx la integral inde nida de f respecto a x. Así pues, la diferencia dx sirve para identi car a x como la variable de integración. El término integral inde nida es sinónimo de primitiva general. 206
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207
EN RESUMEN: Z La notación
f (x)dx = F (x) + C donde C es una constante arbitraria, signi ca que F es una primitiva o antiderivada
def . Esto es, F 0 (x) = f (x) para todo x en el dominio de f . La naturaleza inversa de la integración y la derivación se re eja en estas propiedades: Z d [f (x)] dx = f (x) + C dx d [∫ f (x)dx] = f (x) dx REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN (1)
Z
0dx = C (C constante)
(2)
Z
kdx = kx + C (k,C constantes)
Z Ejemplos: 2dx = 2x + C Z edx = ex + C Z π 2 dx = π 2 x + C
(3)
Z
xn dx =
xn+1 + C (para n 6= −1) n+1
Ejemplos: Z x4 +C x3 dx = 4 x8 +C 8
Z
x7 dx =
Z
√ x2 2x 2 x dx = 3 + C = +C 3 2
Z
1 x−3 −1 −4 dx = ∫ x dx = +C = +C x4 −3 3x3
3
3
♣ Nota: Para el caso en que n = −1 se Zintegra con Zla siguiente Z fórmula. 1 dx −1 x dx = dx = = ln | x | +C x x
TEOREMA: Z [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± ∫ g(x)dx Z Z (2) kf (x)dx = k f (x)dx
(1)
Z
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Ejemplo: Calculemos las siguientes integrales y comprobemos cada respuesta mediante derivación. (1)
Z
(x2 − x + 5) dx =
Z
x2 dx −
=
Z
Z xdx +
x3 + c1 3
−
5dx
x2 + c2 2
(c1 , c2 y c3 constantes reales)
+ (5x + c3 )
=
x3 x2 + c1 − − c2 + 5x + c3 3 2
=
x2 x3 − + 5x + c1 − c2 + c3 3 2
=
x3 x2 − + 5x + C 3 2
(de nimos la constante real C = c1 − c2 + c3 )
NOTA: Dado que las sumas y restas de constantes dan como resultado una constante, siempre podremos agrupar las constantes obtenidas a partir de las sumas y restas de integrales y dejar una sola constante (usualmente se denota como C ). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación: Z
(x2 − x + 5) dx =
Z
x2 dx −
Z
Z xdx +
5dx =
x3 x2 − + 5x + C 3 2
PRUEBA: d dx
(2)
Z
x3 x2 − + 5x + C 3 2
3x2 dx = 3
Z
= x2 − x + 5
x2 dx = 3
x3 + c1 3
= x3 + 3c1
(c1 constante real) (de nimos la constante real C = 3c1 )
= x3 + C
NOTA: Dado que producto de constantes da como resultado una constante, siempre podremos dejar una sola constante (usualmente se denota como C ). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación:
Z
3x2 dx = 3
Z
x2 dx = 3 ·
x3 + C = x3 + C 3
PRUEBA: d x3 + C = 3x2 dx
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NOTA: A partir de los siguientes ejemplos usaremos el método abreviado, por lo que se indicará en forma directa una sola constante de integración C , que asumiremos que es (según corresponda) la suma, resta o producto de las constantes resultantes a partir de cada una de las integrales resultantes de la aplicación de las propiedades enunciadas en el teorema de la página anterior. Z (3) (6x2 − 9x + 10) dx
(4)
Z
√ 3t3 − 5t2 + 4 3 t dt 3t2
TEOREMA:
Si F(x) es una antiderivada de f(x) entonces∫ f (g(x)) · g 0 (x)dx = F (g(x)) + C
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales mediante una sustitución que permita utilizar la propiedad anterior. Compruebe sus respuestas mediante derivación 4
(1) ∫ 5(5x − 2)3 dx.
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R/ (5x−2) + C (C constante) 4
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√ (2) ∫ 2x x2 + 4 dx.
R/ 23 (x2 + 4)3/2 + C (C constante)
(3) ∫ (3x + 1)−2 dx (sugerencia: multiplique la integral por 1 = 33 ).
6
R/ (5x 60+3) + C (C constante)
√ 4x + 2 dx.
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−1 R/ 3(3x+1) + C (C constante)
2
(4) ∫ x(5x2 + 3)5 dx.
(5) ∫
210
3/2
R/ (4x+2) 6
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+ C (C constante)
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(6)
Z
(7)
Z
√ 3
x dx. 7x2
211
3 (7x2 )2/3 + C (C constante) R/ 28
2x dx. (x2 + 4)5
R/ 4(x−1 2 +4)4 + C (C constante)
NOTA: Para calcular algunas integrales, se pueden utilizar técnicas algebraicas ya estudiadas, tales como la racionalización. Por ejemplo: (8)
x3 (x − 1) √ dx x− x SOLUCIÓN: Al racionalizar el denominador del integrando se obtiene:
Z
Z
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√ x3 (x − 1) (x + x) √ · √ dx (x − x) (x + x) √ Z 3 x (x − 1)(x + x) dx = (x2 − x) √ Z 3 x (x − 1)(x + x) = dx (x(x − 1)) Z √ = x2 (x + x) dx Z = x3 + x5/2 dx
x3 (x − 1) √ dx = x− x
Z
=
x4 x7/2 + 7 +C 4 2
=
x4 2x7/2 + +C 4 7
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(9)
Z
5 dz √ √ . 2+z+ z
212
R/ 53 (2 + z)3/2 − z 3/2 + C (C constante)
3.2. El método de sustitución para calcular integrales inde nidas Pasos 1. Elegir una sustitución u = f (x).Por lo general es mejor elegir el argumento ("función interna") de una función compuesta. 2. Evaluar el diferencial du = f 0 (x) dx. 3. Reexpresar el integrado en términos de u (sustitución). 4. Evaluar la integral resultante en términos de u 5. Expresar la primitiva elemental en términos de la variable original.
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213
Ejemplos. √ (1) ∫ x 1 + x dx .
R/ 25 (1 + x)5/2 − 32 (1 + x)3/2 + C (C constante)
R/ 25 (1 + x)5/2 − 34 (1 + x)3/2 + 2(1 + x)1/2 + C (C constante)
(2)
Z
x2 √ dx. 1+x
(3)
Z
1 √ √ dt. t( t + 1)3
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−1 R/ (√t+1) 2 + C (C constante)
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(4)
Z
214
√ R/4( ax + b)1/2 + C (C constante)
a dx √ √ 1 [Nota:a, b constantes]. ax( ax + b) 2
NOTA: Mediante técnicas de integración, podemos resolver ecuaciones diferenciales sencillas como: (5) Encuentre una función h(x) que satisfaga la ecuación: h0 (x) = 5 + 7x −
. (6) Resuelva la ecuación diferencial
.
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3 x2
R/h(x) = 5x +
7x2 2
+
3 x
+ C (C constante)
√ dy 3 1 = 4x2 − 5 x + 2 − dx x x
R/ y =
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4x3 3
−
10x3/2 3
−
3 x
− ln |x| + C (C constante)
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215
NOTA: En algunos ejercicios es preciso encontrar una antiderivada especí ca de una función mediante el cálculo de constantes de integración. Usualmente se les conoce como ejercicios de valores iniciales. Ejemplos: 1. Si para la función f : R+ → R se cumple que f 00 (x) = criterio de la función f .
10x2 − 1 , f 0 (1) = 13 y f (1) = 10; determine el x2
SOLUCIÓN: 10x2 − 1 dx = x2 1 f 0 (x) = 10x + +c x f 0 (x) =
Z
Z
10x2 1 − 2 dx = x2 x
Z
10 − x−2 dx = 10x −
x−1 +c −1
con c una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al grá co de f despejar el valor de dicha contante c.
0
se utiliza para
f 0 (1) = 13 1 ⇒ 10 · 1 + + c = 13 1 ⇒ 11 + c = 13 ∴ c=2
1 + 2. Ahora integramos de nuevo para obtener f . x Z 1 f (x) = 10x + + 2 dx x 10x2 f (x) = + ln |x| + 2x + k 2 f (x) = 5x2 + ln |x| + 2x + k
Así, tenemos entonces que f 0 (x) = 10x +
Con k una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al grá co de f se utiliza para despejar el valor de dicha contante k. f (1) = 10 ⇒ 5 · (1)2 + ln |1| + 2 · 1 + k = 10 ⇒ 5 + 0 + 2 + k = 10 ∴k=3
Así el criterio de la función es f (x) = 5x2 + ln |x| + 2x + 3.
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2. Sea f : R → R, tal que f 00 (x) = 3x + 5, f (0) = 0, f 0 (1) = 2. Determine el criterio de f .
SOLUCIÓN: Como f 00 (x) = 3x + 5 se cumple que: Z f 0 (x) = 3x + 5 dx Entonces: f 0 (x) =
3x2 + 5x + c (con c constante). 2
A partir del valor inicial dado (f 0 (1) = 2) podemos despejar el valor de la constante c.
3 2 ·1 +5·1+c=2 2 3 +5+c=2 2 c=2− c=
Así tendríamos que f 0 (x) = Z f (x) =
3 −5 2
−9 2
3x2 9 + 5x − . Pero entonces se cumpliría que: 2 2
3x2 9 + 5x − dx 2 2
Entonces: f (x) =
5x2 9x x3 + − + k (con k constante). 2 2 2
A partir del valor inicial dado (f (0) = 0) podemos despejar el valor de la constante k. 03 5 · 02 9 ·0 + − +k =0 2 2 2 ⇒k=0 ∴ f (x) =
5x2 9x x3 + − 2 2 2
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3. Los puntos (−1, 3) y (0, 2) forman parte del grá co de la función f (x) y f 00 (x) = 2 − 4x. Calcule f (x).
.
R/ f (x) = x2 −
2x3 2x + +2 3 3
4. Calcule f (x) si se cumple lo siguiente: f (9) = 4 , f 0 (1) = 2 , f 00 (x) = x3/2 .
.
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R/ f (x) =
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8x 9112 4x7/2 + − 35 5 35
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PRÁCTICA 23 1. Calcule las siguientes integrales inde nidas: Z
2zdz √ 3 2 z +1 √ b ) ∫ 2x x + 1dx
a
)
2
R/ 32 (z 2 + 1) 3 +C R/
5 3 4 4 (x + 1) 2 − (x + 1) 2 +C 5 3
5
)
Z
c
d
)
R
e
)
R √ x x + 2dx
)
Z
f
x3 + 1 dx x2
)
Z
g
x2 − 1
)
Z
h
i
) )
Z
j
)
Z
k
(xa − 1)2 √ dx x
)
Z
l
x √ dx (x + 1) − x + 1
x2 − 6 √ dx x
R/
1
x+
R/
2
(x2 + 2x + 2) 2 +C 3
5 3 2 4 R/ (x + 2) 2 − (x + 2) 2 +C 5 3
R/
x2 1 − +C 2 x 5
dx
1 x
√ − 12 x+C 3
√ (x + 1) x2 + 2x + 2 dx
x2
x3 3
1
R/ 25 x 2 − 2x 2 +C dx
R/
R √ t 3 t − 4dt
R/
√ (x + 1) x + 2 dx
R/ R/
+ 2x − x1 +C
7 4 3 (t − 4) 3 + 3(t − 4) 3 +C 7
5 3 2 2 (x + 2) 2 − (x + 2) 2 + C 5 3 1
(a constante real)
x3 3
1
1 x2a+ 2 2xa+ 2 + 2x 2 + C 1 − 2a + 2 a + 12 √ R/ x + 1 + 2 x + 1 + C
2. Calcule f (x) si se sabe que √ 1 f 0 (x) = 2x x − √ x
,
R/ f (x) =
f (4) = −1
4x5/2 113 − 2x1/2 − 5 5
3. Calcule h(x) si se sabe que h 0 (x) =
√ ( x − 1)2 x3
,
h(1) =
−1 6
R/ h(x) =
4. Considere la función f continua en todo R, tal que
Z
(f (x) + k) dx = (c + k)x + k0 , donde c, k, k0 ∈ R.
Demuestre que f es una función constante.
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1 −1 4 + 3/2 − 2 x 2x 3x
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R/ Demostración completa
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3.3. Integrales trigonométricas 3.3.1. Fórmulas para integrar funciones trigonométricas (1) ∫ sen x dx = − cos x + C (2) ∫ cos x dx = sen x + C
(3) ∫ tan x dx = ln | sec x| + C (4) ∫ cot x dx = ln | sen x| + C
(5) ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x| + C (6) ∫ csc x dx = ln | csc x − cot x| + C
? ? ? ? ? ? ??
(7) ∫ sec x tan x dx = sec x + C (8) ∫ csc x cot x dx = − csc x + C ? ? ? ? ? ? ??
(9)* ∫ sen2 x dx =
1 (x − sen x cos x) + C 2
(10)* ∫ cos2 x dx = 21 (x + sen x cos x) + C
(11) ∫ sec2 x dx = tan x + C (12) ∫ csc2 x dx = − cot x + C
(13)** ∫ tan2 x dx = tan x − x + C (14)** ∫ cot2 x dx = − cot x − x + C EJERCICIO: Compruebe mediante la de nición de integral inde nida (con derivada) las fórmulas enunciadas anteriormente. NOTAS: 1. LAS FÓRMULAS SEÑALADAS CON (*) 9 Y 10 SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LAS FÓRMULAS DE LA MITAD DEL ÁNGULO, A SABER: 1 − cos(2x) 1 + cos(2x) sen2 (x) = y cos2 (x) = 2 2 2. LAS FÓRMULAS 13 Y 14 SEÑALADAS CON (**) SE PUEDENE OBTENER A PARTIR DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: tan2 (x) = sec2 (x) − 1 y cot2 (x) = csc2 (x) − 1
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3.3.2. Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por medio de una sustitución simple Z
R/ − cos(5x − 2) + C (C constante)
5 sen(5x − 2)dx
Z
R/
cos(3x + 1)dx
Z cos x ·
Z
√ 1 + sen xdx
+ C (C constante)
R/ 32 (1 + sen(x))3/2 + +C (C constante)
csc2 (t) dt cot4 (t)
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sen(3x+1) 3
R/
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1 3
tan3 (t) + C (C constante)
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221
Z
2 + 3 cos(x) dx sen2 (x)
R/ −2 cot(x) − 3 csc(x) + C (C constante)
Z
sec2 (x) − tan2 (x) dx sec2 (x)
R/ 12 (x + sen(x) cos(x)) + C (C constante)
Resuelva la siguiente ecuación diferencial: y 0 = 4 sec2 (x) −
.
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5 sen x cos2 x
+ x tan(x2 + 1)
R/ 4 tan(x) − 5 sec(x) +
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1 2
ln(sec(x2 + 1)) + C (C constante)
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3.3.3. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas En muchos de estos casos se busca replantear el integrando mediante identidades trigonométricas, para lograr efectuar alguna sustitución conveniente (VER APÉNDICE H). Calculemos las siguientes integrales: 1)
Z
√ √ sen2 ( 3 x) cos3 ( 3 x) √ dx 3 x2
SOLUCIÓN: Sustitución 1: √ u= 3x 1 du = √ 3 2 dx 3
3du =
x dx √ 3 2 x
Al aplicar la sustitución anterior se tiene:
Z
√ √ Z sen2 ( 3 x) cos3 ( 3 x) √ dx = 3 sen2 (u) cos3 (u) du 3 x2 Z = 3 sen2 (u) cos2 (u) cos(u) du Z = 3 sen2 (u) 1 − sen2 (u) cos(u) du (?) Z = 3 w2 1 − w2 dw Z =3 w2 − w4 dw 3 w5 w − +c =3 3 5 sen3 (u) sen5 (u) =3 − +c 3 5 √ √ sen3 ( 3 x) sen5 ( 3 x) =3 − +c 3 5
con c una constante real arbitraria.
(?) Sustitución 2: w = sen(u) dw = cos(u)du
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2)
Z
3)
Z
223
sec4 (3x) tan3 (3x) dx .
cos2
x 7
R/
tan4 (3x) 12
+
tan6 (3x) 18
+ C (C constante)
dx
SOLUCIÓN: Al aplicar la identidad cos2 (θ) =
Z
Al aplicar a la integral que: 1 2
cos2
Z cos
2x 7
Z
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1 + cos(2θ) x al integrando anterior, para el cual θ = tenemos que: 2 7
x
7
=
1 2
=
1 2
1 + cos 2x 7 dx 2 Z 2x 1 + cos dx 7 Z Z 2x dx + cos dx 7
dx la sustitución u =
Z dx +
Z dx =
cos
2x 7
2x 2 para la cual se cumple que du = dx se tiene 7 7
Z Z 1 7 dx = dx + cos (u) du 2 2 1 7 = x + sen (u) + C 2 2 x 7 2x = + sen +C 2 4 7
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Calcule las siguientes integrales inde nidas: 1.
Z
1 + sen θ dθ cos2 θ
2.
Z
sen(t) dt 1 − sen2 (t)
3.
Z
sec2 (x) dx tan3 (x)
4.
Z
sen(x) p dx 1 − cos(x)
5.
Z
cos(x) p dx sen(x)
6.
Z
7.
Z
sen3 (θ) dθ
8.
Z
sec3 (2θ + 1) tan(2θ + 1) dθ
x2 cos2 (x3
+ 1)
224
PRÁCTICA 24 R/ tan θ + sec θ +C
R/sec(t)+C
R/
−1 +C 2 tan2 x
√ R/ 2 1 − cos x+C
√ R/2 sen x+C
R/
dx
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R/
1 cos3 (θ) − cos(θ) + C 3
R/
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1 tan(x3 + 1) + C 3
1 sec3 (2θ + 1) + C 6
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225
3.4. Integrales que generan logaritmos 1)
Z
dx = ln | x | +C x
2) Si la derivada del denominador es el numerador podemos utilizar el siguiente resultado que seguiremos usando como una fórmula: Z 0 f (x) dx = ln | f (x) | +C f (x) Z du Si llamamos u=f(x) se cumple que = ln | u | +C u
Ejemplo : Calcule las siguientes integrales: (1)
Z
3x2 dx = 3 x +5
Z
du = ln | u | +C = ln | x3 + 5 | +C u
sustitición: u = x3 + 5 du = 3x2 dx
(2)
Z
x2 1 dx = 2x3 + 7 6
Z
du 1 1 = ln | u | +C = ln | 2x3 + 7 | +C u 6 6
sustitución: 3
u = 2x + 7 2
du = 6x dx du 2 = x dx 6
(3)
Z
x−2 1 dx = x2 − 4x + 1 2
Z
du 1 = ln | u | +C= 12 ln | x2 − 4x + 1 | +C u 2
sustitición: u = x2 − 4x + 1 du = (2x − 4)dx du = 2(x − 2)dx du 2
= ((x − 2)dx
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226
Ejercicio: Calcule las siguientes integrales.
(1)
(2)
. Z
Z
1 dx x ln(x)
x3 + x2 + x − 5 dx x2 + 2x + 4
Sugerencia: Utilice la sustitución u = ln(x).
R/ ln | ln(x)| + C Sugerencia: Efectue la división de polinomios
.
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R/
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1 x2 − x − ln |x2 + 2x + 4| + C 2 2
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227
3.5. Integral de las funciones exponenciales R
Z
ex dx = ex + C
ax dx =
ax +C ln a
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales (Tarea: Compruebe sus respuestas mediante derivación) R (1) 5x dx Solución: Método 1(por sustitución ) Z
5x dx =
Z
du 1 = ln 5 ln 5
Z du =
5x 1 ·u+C = +C ln 5 ln 5
sustitución: u = 5x du = 5x ln 5 dx du = 5x dx ln 5
Método 2 (usando directamente la fórmula para integrar exponenciales con base distinta de e) Z 5x 5x dx = +C ln5 R 2 (2) 2xex dx Solución: Método 1(usando como sustitución la función exponencial) R
2
2xex dx =
R
2
du = u + c = ex + C
sustitución: 2 u = ex 2 du = ex · 2xdx
Método 2(usando como sustitución el argumento de la función exponencial) R
2
2x ex dx =
R
2
eu du = eu + C = ex + C
sustitución: u = x2 du = 2xdx
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(3)
R
228
e7x dx
Solución: Z
e7x dx =
1 7
Z
eu du =
1 1 u e + C = e7x + C 7 7
sustitución: u = 7x du = 7dx du = dx 7 (4)
(1 + ex )2 dx Solución: Z Z Z Z Z 1 (1 + ex )2 dx = (1 + 2ex + e2x )dx = 1dx + 2 ex dx + e2x dx = x + 2ex + e2x + C 2 R
sustitución: R En e2x dx u = 2x du = 2dx du = dx 2 Z R 2x 1 1 eu du = eu +c e dx = 2 2
(5)
(6)
R
. Z
e3x+1 dx
R/
e3x+1 +C 3
1
ex dx x2
. Universidad de Costa Rica
R/−e1/x + C II Ciclo Lectivo 2017
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(7)
(8)
(9)
Z (ex
. Z
. Z
229
ex dx + 1) ln(ex + 1)
R/ln | ln(ex + 1)| + C (1 + ecot(θ) ) csc2 θdθ
R/− cot(θ) + ecot(θ) + C 2ev cos(ev )dv
.
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R/2 sen (ev ) + C
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230
3.6. Integrales que involucran inversas trigonométricas (1)
Z
x dx √ = arc sen +C a a2 − x2
(2)
Z
x dx 1 = arctan +C a2 + x2 a a
(3)
Z
x dx 1 √ = arcsec +C a a x x2 − a2
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales. (1)
Z
(2)
Z
(3)
Z
dx √ 8 − x2
(4)
Z
dx √ x x2 − 16
1 √ x x2 − 9
R/
dx
dx 7x2 + 63
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R/
1 3
arcsec
x 3
+ C (C constante)
1 21
arctan
x 3
+ C (C constante)
x √ 8
+ C (C constante)
arcsec
x 4
R/ arc sen
R/
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1 4
+ C (C constante)
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(5)
Z
(6)
Z
(7)
dx 7 + x2
231
x √ 7
dx √ 4 − x2
R/ arc sen
x 2
Z
ex dx 1 + e2x
R/ arctan(ex ) + C (C constante)
(8)
Z
cos θ dθ 1 + sen2 θ
(9)
Z
earc sen x √ dx 1 − x2
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R/
1 √ 7
arctan
+ C (C constante)
+ C (C constante)
R/ arctan(sen(θ)) + C (C constante)
R/ earc sen(x) + C (C constante)
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232
3.7. Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados Las integrales que generarán un UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es 1 y el denominador es un polinomio de segundo grado y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que ∆ < 0.
NOTAS: 1. Para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el término dado por TCC =
b2 . 4a
2. El resultado de este tipo de integrales se puede veri car mediante la siguiente fórmula (esta fórmula se le da sólo para que veri que el resultado, NO puede ser utilizada como justi cación o procedimiento de resolución, ya que se espera que las resuelvan completando cuadrados) Z
dx 2 = p arctan ax2 + bx + c −(∆)
2ax + b p −(∆)
! + C donde ∆ = b2 − 4ac y ∆ < 0
Ejemplo. Calcule la siguiente integral: Z 1 dx 4x2 + x + 2
Ejercicio: Calcule
Z
dx 4x2 − 4x + 10
.
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R/
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1 arctan 6
2x − 1 3
+C
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233
Las integrales que generarán un LOGARITMO MÁS UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es un polinomio de primer grado, el denominador es un polinomio de segundo grado, el numerador NO corresponde a la derivada del denominador (pues de lo contrario se trataría de un logaritmo) y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que ∆ < 0. Z 3 + 2x Ejemplo: Calcule: dx −12x + 9x2 + 8
EJERCICIO: Calcule las siguientes integrales. 1.
Z
x−1 dx 3x2 − 4x + 3
.
2.
Z
1 1 R/ ln |3x2 − 4x + 3| − √ arctan 6 3 5
6 R/ln |2x2 − 3x + 5| + √ arctan 31
3x − 2 √ 5
4x − 3 √ 31
+C
4x dx 2x2 − 3x + 5
.
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+C
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Capítulo 4
Técnicas de integración 4.1. Método de descomposición en fracciones parciales Z
P (x) dx tales que P (x) y Q(x) son polinomios con Q(x) 6= 0 Q(x) Si m es el grado de P (x) y n es el grado de Q(x) decimos que:
Se aplica a integrales de la forma
(a) Si m ≥ n decimos que la fracción es impropia (b) Si m < n decimos que la fracción es propia.
Ejemplos:
x3 + x2 + 5 dx x2 − 4 Z x+1 Fracción propia dx x2 − x − 6
Fracción impropia
Z
Los casos dependen de los factores del denominador.
CASO l. La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y no se repiten Ejemplo:
Z
x dx = 2x2 − 3x + 1
Z
x dx (x − 1)(2x − 1)
Para integrar se sigue el siguiente procedimiento: 1. Factorizar el denominador. 2. Se descompone la fracción algebraica original como suma de fracciones cuyo denominador sea cada uno de los factores obtenidos y se representa el numerador (aún desconocido) mediante una variable auxiliar ( usualmente letras mayúsculas). 3. Se resuelve la suma de fracciones parciales y se iguala a la fracción. 4. Para encontrar el valor de las letras se utilizan los ceros de los factores. 5. Una vez que se tiene el valor de las letras o variables, se forman las integrales parciales y se resuelven por los métodos estudiados anteriormente.
234
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235
Ejemplo. Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
dx x2 − 4
R/
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1 1 ln | x − 2 | − ln | x + 2 | +C 4 4
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(2)
Z
236
5x2 + 3x − 2 dx x3 + x2 − 2x
R\ ln | x | +2 ln | x + 2 | +2 ln | x − 1 | +C
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(3)
Z
237
7x2 − 14 dx 2x3 + 3x2 − 23x − 12
R/
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1 ln | 2x + 1 | +2 ln | x + 4 | + ln | x − 3 | +C 2
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238
CASO II La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y algunos se repiten. A cada factor se le asigna una fracción parcial y se siguen los mismos pasos del caso I, pero hay un cero que se repite, por lo que se asigna dos fracciones parciales para ese factor (en caso de que aparezca dos veces repetido), en una con el exponente 1 y en otra con la multiplicidad del cero (número de veces que aparece) como exponente.
Ejemplos:Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
x+1 dx x3 + 3x2 − 4
R/
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−2 1 2 ln | x + 2 | − + ln | x − 1 | +C 9 3(x + 2) 9
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(2)
Z
239
3x2 − 21x + 32 dx x3 − 8x2 + 16x
R/ 2 ln | x | + ln | x − 4 | +
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1 +C x−4
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240
CASO III La fracción es propia y en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible Un factor cuadrático irreducible (FCI)es aquel que tiene discriminante negativo. Ejemplos.
Z
x dx (x + 1)(x2 + 9)
Z
x+1 dx (4 − x)(x2 + 2x + 3)
(x2 + 9); F CI(∆ = −36)
(x2 + 2x + 3); F CI(∆ = −8)
En este caso se sigue los mismos pasos que en los anteriores, pero a los factores cuadráticos irreducibles se les asigna una fracción parcial cuyo numerador sea de la forma lineal Ax + B [ o si son varios Cx + D, etc.]. Además, para calcular los valores de A,B ,C ,D etc.; después de efectuar la suma de fracciones algebraicas se agrupan términos para efectuar la comparación de coe cientes. Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
x+1 dx x3 + 4x
R/
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1 1 1 x ln | x | − ln | x2 + 4 | + arctan + C 4 8 2 2
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(2)
Z
241
4x + 2 dx (x + 1)(x2 + 1)
SOLUCIÓN: Fracciones parciales: (Bx + C) 4x + 2 A = + (x + 1)(x2 + 1) (x + 1) (x2 + 1) A(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C) 4x + 2 = 2 (x + 1)(x + 1) (x + 1)(x2 + 1) 4x + 2 = A(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C)
Si x = −1 ⇒ −2 = 2A ⇒ A = −1 Comparación de coe cientes: 4x + 2 = −1(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C) 4x + 2 = −x2 − 1 + Bx2 + Bx + Cx + C 4x + 2 = (B − 1)x2 + (B + C)x + (C − 1)
⇒B−1=0∧C −1=2⇒B =1∧C =3
Z
Z
(x + 3) −1 + dx (x + 1) (x2 + 1) Z −1 x 3 = + + 2 dx (x + 1) (x2 + 1) x +1 Z Z Z 1 x 3 =− dx + dx + dx (x + 1) (x2 + 1) x2 + 1 Z Z Z dx 2x dx 1 =− + dx + 3 (x + 1) 2 (x2 + 1) x2 + 1 1 = − ln |x + 1| + ln |x2 + 1| + 3 arctan(x) + c 2
4x + 2 dx = (x + 1)(x2 + 1)
con c constante real arbitraria.
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(3)
Z
242
2x2 + x + 2 dx x3 + 2x
SOLUCIÓN: Z Z 2x2 + x + 2 2x2 + x + 2 dx = dx 3 x + 2x x(x2 + 2) Fracciones parciales:
(Bx + C) A 2x2 + x + 2 = + x(x2 + 2) x (x2 + 2) A(x2 + 2) + x(Bx + C) 2x2 + x + 2 = x(x2 + 2) x(x2 + 2) 2x2 + x + 2 = Ax2 + 2A + Bx2 + Cx 2x2 + x + 2 = (A + B)x2 + Cx + 2A
Al comparar coe cientes, se concluye que A = 1, B = 1 y C = 1. Por lo tanto podemos reescribir la integral de la siguiente manera:
Z
2x2 + x + 2 dx = x(x2 + 2)
Z
(x + 1) 1 + dx x (x2 + 2) Z Z (x + 1) dx = + dx x (x2 + 2) Z Z Z dx x 1 = + dx + dx x (x2 + 2) (x2 + 2) 1 1 x = ln |x| + ln |x2 + 2| + √ · arctan √ + c 2 2 2
con c constante.
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(4)
Z
243
3x2 − x + 1 dx (x + 1)(x2 + 2x + 2)
R/ 5 ln | x + 1 | − ln | x2 + 2x + 2 | −7 arctan(x + 1) + C
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(5)
Z
244
6x2 − 15x + 22 dx (x + 3)(x2 + 4)
R/
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43 33 x 121 ln | x + 3 | − ln | x2 + 4 | − arctan + C 13 26 13 2
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245
CASO IV La fracción es impropia Son aquellas en las que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Para resolverlas hay que efectuar la división polinomial y aplicar el algoritmo D = c + dr donde D es el dividendo, d el divisor, c d el cociente y r el residuo. Ejemplo. Resuelve las siguientes integrales. (1)
Z
2x2 − x + 2 dx 2x − 3
R/
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x2 5 + x + ln |2x − 3| + C 2 2
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(2)
Z
246
x2 + x + 1 dx x2 − x + 1
2 R/ x + ln |x − x + 1| + √ arctan 3 2
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2x − 1 √ 3
+C
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(3)
Z
247
x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3 dx x3 − 2x2 + 3x
R/
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1 x2 + ln |x| − ln |x2 − 2x + 3| + C 2 2
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RESUMEN DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES RACIONALES Cuando se tiene la integral de una función RACIONAL, es decir, una expresión de la forma: Z P (x) dx, con P (x) y Q(x) polinomios, Q(x) 6= 0 Q(x) se recomienda seguir el siguiente orden, para determinar el método más conveniente de integración: 1. Veri que si la integral corresponde a un LOGARITMO NATURAL. Recuerde que para eso se explora el uso de la sustitución u = Q(x) y se veri ca si la misma genera la forma Z du = ln |u| + C , con C ∈ R u
2. Veri que si la integral es equivalente a una presenta una de las siguientes situaciones:
a
b
ARCOTANGENTE.
Recuerde que esto se reconoce si se
) Si P (x) = 1 y Q(x) = x2 + a2 , con a ∈ R, es decir, si la integral es de la forma: Z x dx 1 · arctan + C , con C ∈ R = 2 2 x +a a a
) Si P (x) = 1 y Q(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R, y Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que ∆ < 0) es decir, si la integral es de la forma: Z
dx , con a, b, c ∈ R y ∆ = b2 − 4ac < 0 ax2 + bx + c
Recuerde que en este caso, se completan cuadrados en el denominador (recuerde que el término que b2 completa cuadrados se puede obtener con la fórmula TCC = 4a ) entonces la integral puede llegar (mediante una sustitución u conveniente) a la forma de arcotangente: Z u du 1 = + C , con C ∈ R · arctan u2 + a2 a a
3. Veri car si la integral da como resultado LOGARITMO NATURAL + ARCOTANGENTE . Recuerde que esto se da cuando el numerador P (x) es un factor lineal (es decir de grado 1) y el denominador Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que ∆ < 0). Es decir, si la integral tiene la forma: Z mx + k dx, con a, b, c, m, k ∈ R y ∆ = b2 − 4ac < 0 ax2 + bx + c Para resolverla, se deben utilizar métodos algebraicos para descomponer la fracción dada como la suma de dos fracciones, cada una correspondiente con uno de los dos casos anteriores. Luego se separa la integral como suma de dos integrales que ya sabemos resolver.
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249
4. Si la fracción no corresponde a ninguno de los casos anteriores, pero la fracción es propia (esto signi ca que el grado de P (x) es menor que el grado de Q(x)) y además se cumple que Q(x) se puede factorizar, entonces la integral se puede resolver por el método de FRACCIONES PARCIALES, de los casos I, II o III. Recuerde que dichos casos dependen de los factores que se obtengan en el denominador, a saber:
a
b
c
) Caso I: Los factores del denominador son todos lineales y distintos entre sí. Recuerde que en este caso en la suma de fracciones parciales habrá una fracción por cada factor del denominador y los numeradores serán constantes reales que se representarán por incógnitas A, B, C, ....
) Caso II: Los factores del denominador son todos factores lineales pero uno o varios de ellos se repiten. Análogo al anterior, pero para los factores que se repiten se asignarán dos fracciones parciales, una con denominador igual al factor lineal y otra con el factor elevado al exponente dado por la multiplicidad del factor repetido.
) Caso III: Uno de los factores del denominador es un F.C.I. (∆ < 0). Este caso análogo a los anteriores, pera a las fracciones cuyo denominador es el F.C.I., se les asigna como numerador un factor lineal de la forma Ax + B y si es más de uno se continúa con numeradores como Cx + D, etc. En este caso, también es recomendable utilizar la técnica de comparación de coe cientes para calcular los valores de A, B , C , etc.
Una vez que se descompone el integrando en suma de fracciones parciales, se separa la integral de la suma como la suma de varias integrales, las cuales se resuelven por alguno de los tres métodos anteriores (1. LOGARITMO 2. ARCOTANGENTE 3. LOGARITMO + ARCOTANGENTE)
5. Si la fracción es IMPROPIA (caso IV de fracciones parciales), es decir, si el grado de P (x) es mayor o igual al grado de Q(x), entonces se efectúa la DIVISIÓN ALGEBRAICA DE LOS POLINOMIOS. Luego se utiliza el algoritmo de la división (con P (x) como polinomio dividendo, Q(x) como polinomio divisor, c(x) polinomio cociente y r(x) polinomio residuo) , para descomponer la fracción y separar la integral de la siguiente forma: Z Z Z Z r(x) r(x) P (x) dx = c(x) + dx = c(x) dx + dx Q(x) Q(x) Q(x)
La segunda de estas integrales será propia y se podrá resolver por alguno de los métodos anteriores (1. LOGARITMO 2. ARCOTANGENTE 3. LOGARITMO + ARCOTANGENTE 4. FRACCIONES PARCIALES DE LOS CASOS I, II o III)
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4.2. Técnica de integración por partes Esta técnica es útil para calcular la integral de ciertos productos.Recuerde que: d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Integrando a ambos lados: Z
d [f (x) · g(x)] dx = dx
Z
0 f (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Y aplicando la naturaleza inversa de la integración con la derivación y las propiedades de las integrales se tiene que: Z f (x) · g(x) =
f 0 (x) · g(x)dx +
Z
f (x) · g 0 (x)dx
Despejando la igualdad anterior se obtiene la siguiente que es la fórmula general de integración por partes: Z
Si
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) −
u = f (x) ⇒ du = f 0 (x)dx
Z
g(x) · f 0 (x)dx
v = g(x) ⇒ dv = g 0 (x)dx Z
tenemos entonces:
Z udv = u · v −
vdu
Para de nir u en la integral se sigue la siguiente prioridad: 1. Inversas trigonométricas. 2.
Logarítmicas.
3.
Algebraicas.
4.
Trigonométricas.
5.
Exponenciales.
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251
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales: (1)
Z
x2 · arc sen(x) dx
SOLUCIÓN: Por el Método de Integración por partes dv = x2 dx
u = arc sen(x) du = √
1
1−x2
dx
v=
x3 3
Así: Z
= = = = = = =
x3 − 3
x3 1 ·√ dx 3 1 − x2 Z x3 arc sen(x) 1 x3 √ − dx 3 3 1 − x2 Z 2 x3 arc sen(x) 1 x · x dx √ − ? 3 3 1 − x2 Z (1 − w) x3 arc sen(x) 1 −1 √ − · dw 3 3 2 w Z x3 arc sen(x) 1 1 w + − 1/2 du 3 6 w1/2 w Z x3 arc sen(x) 1 + w−1/2 − w1/2 du 3 6 1/2 x3 arc sen(x) 1 w w3/2 + − 3 +c 1 3 6 2 2 x3 arc sen(x) 2(1 − x2 )3/2 1 2 1/2 + 2(1 − x ) − +c 3 6 3
x2 · arc sen(x) dx = arc sen(x) ·
Z
con c una constante real arbitraria. ? Sustitución simple: w = 1 − x2 dw = −2x dx −dw = x dx 2 despejando la sustitución además se tiene: x2 = 1 − w
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(2)
Z
(3)
Z
(4)
Z
252
R/
x ln x dx
R/
x cos(3x)dx
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x 1 sen(3x) + cos(3x) + C 3 9
R/ e4x
x2 e4x dx
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x2 x2 ln(x) − +C 2 4
x2 x 1 − + 4 8 32
+C
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253
NOTA: La integral de funciones como ln(x) o arctan(x) se calculan por la técnica de partes: Z (5) ln(x) dx R/ x ln(x) − x + C
(6)
Z
(7)
Z
ln(1 + x2 ) dx x2
(8)
Z
ln x dx x2
R/ x arctan(x) −
arctan(x) dx
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R/
ln(x2 + 1) + C
− ln(1 + x2 ) + 2 arctan(x) + C x
R/
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1 2
− ln(x) 1 − +C x x
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254
NOTA (INTEGRALES POR PARTES QUE SON CÍCLICAS): En ocasiones, al aplicar la técnica de integración por partes varias veces en una misma integral (como ya vimos en uno de los ejemplos anteriores) surge nuevamente la integral original con que se empezó el ejercicio. Si esto sucede, decimos que la integral es CÍCLICA y para resolverla hay que plantear una ecuación a partir de la equivalencia entre el primer paso y el último y de ahí despejar el resultado de la integral. Un ejemplo de una integral muy conocida y en la que esto sucede, es la integral de la función sec3 (x), la cual además de resolverse por partes, es cíclica. (9)
Z
sec3 xdx
.
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R/
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sec(x) · tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| +C 2
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(10)
Z
255
ex/2 sen(2x)dx
.
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R/
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2ex/2 (sen(2x) − 4 cos(2x)) +C 17
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256
4.3. Método de sustitución trigonométrica Esta técnica se utiliza en aquellas integrales que presentan un radical (cuadrado) cuyo subradical es un binomio cuadrático. La sustitución es la siguiente: (1) (2) (3)
√ √ √
x2 + b2
Sustitución: x = b tan θ
x2 − b2
Sustitución: x = b sec θ
b2 − x2
Sustitución: x = b sen θ
Ejemplo de Z
SUSTITUCIÓN CON TANGENTE
dx √ x2 x2 + 1
Sustitución trigonométrica x = tan(θ) dx = sec2 (θ) dθ. p p √ x2 + 1 = tan2 (x) + 1 = sec2 (x) = sec(x).
Así:
Z
dx √ = x2 x2 + 1
Z Z
=
sec2 (θ) dθ tan2 (θ) sec(θ) 1 cos(θ) sen2 (θ) cos2 (θ)
dθ
cos2 (θ) dθ sen2 (θ) cos(θ) Z cos(θ) = dθ sen2 (θ) Z cos(θ) 1 = · dθ sen(x) sen(θ) Z = csc(x) · cot(x) dx Z
=
= − csc(θ) + C √ − x2 + 1 = +C x
con C constante. Universidad de Costa Rica
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Z
257
dx √ x x2 + 4
√ 1 x2 + 4 − 2 R/ ln +C 2 x
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Ejemplo de SUSTITUCIÓN Z √ 2 x − 25 dx x
258
CON SECANTE
R/5
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√x2 − 25 5
− arcsec
x +C 5
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Ejemplo de SUSTITUCIÓN Z dx √ x2 9 − x2
259
CON SENO
R/ EJERCICIO. Calcule
Z
√
√ − 9 − x2 +C 9x
x2 dx − 16
x2
√ x√x2 − 16 x + x2 − 16 R/8 + ln +C 16 4
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260
Si la variable x tiene coe ciente real, las sustituciones trigonométricas se pueden replantear así:
(1) (2) (3)
√
√
√
a2 x2 + b2
Sustitución: x =
b tan θ a
a2 x2 − b2
Sustitución: x =
b sec θ a
b2 − a2 x2
Sustitución: x =
b sen θ a
Ejercicio: Z p 4x2 + 9 dx (1)
R/
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√ √ 2 9 2x 4x2 + 9 4x + 9 + 2x + ln +C 4 9 3
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(2)
261
Z √ 9 − 4x2 dx x2
2x √9 − 4x2 + arc sen +C R/ −2 2x 3
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(3)
Z p
262
(ex )2 − 25 dx
SOLUCIÓN: Sustitución: u = ex du = ex dx NOTA: Como u = ex > 0 ∀x ∈ R lo anterior es equivalente a: du = dx ex du u
= dx
Al aplicar la sustitución se obtiene:
Z p
Z √ (ex )2 − 25 dx =
sustitución trigonométrica:
u2 − 25 du, para la cual se plantea la siguiente u
Sustitución trigonométrica: u = 5 sec(θ) du = sec(θ) tan(θ) dx Radical: q p √ u2 − 25 = (5 sec(θ))2 − 25 = 25 sec2 (θ) − 25 = p p 2 25(sec2 (θ) − 1 = 25 tan (θ) = 5 tan(θ)
sec(θ) =
u 5
⇒ θ = arcsec
u 5
Así: Z p Z √ 2 u − 25 (ex )2 − 25 dx = du u Z 5 tan(θ) = 5 sec(θ) tan(θ) dθ 5 sec(θ) Z =5 tan2 (θ) dθ = 5 (tan(θ) − θ) + c √ 2 u u − 25 − arcsec +c = 5 5 5 p x ! (ex )2 − 25 e +c =5 − arcsec 5 5
con c una constante real arbitraria.
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263
En ciertas integrales para aplicar la sustitución trigonométrica es necesario completar cuadrados en el polinomio cuadrático del subradical. Recuerde que para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el térb2 mino dado por TCC = 4a Z x (1) √ 2 dx x + 4x + 8
R/ 2
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p(x + 2)2 + 4
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2
p(x + 2)2 + 4 + x + 2 − ln +C 2
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(2)
Z
264
dx (−x2
3
+ 6x + 5) 2
R/
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1 x−3 p +C 14 14 − (x − 3)2
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(3)
Z
265
dx (x2
3
− 4x) 2
−(x − 2) R/ p +C 4 (x − 2)2 − 4
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266
4.4. Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio Para resolver ciertas integrales (en las que aparecen por ejemplo funciones trignométicas), en ocasiones se puede utilizar alguna sustitución particular, para transformar la integral en una de otro tipo (por ejemplo en una integral en la que sólo hayan funciones algebraicas). Un caso en el que se aprecia esto, es la sustitución de la tangente del ángulo medio u = tan x2 , que permite resolver aquellas integrales en las que al cambiar las funciones sen(x) o cos(x), generan una fracción racional. Para esta sustitución, para la que además se cumplen las siguientes relaciones:
u = tan
x 2
cos x =
1 − u2 1 + u2
sen x =
2u 1 + u2
dx =
2 du 1 + u2
Ejemplos: (1)
Z
dx 1 + sen x − cos x
x x R/ ln tan + 1 +C − ln tan 2 2
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(2)
Z
267
1 dx 1 + sen x
R/
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−2 x +C tan +1 2
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Calcule las siguientes integrales inde nidas:
268
PRÁCTICA 25
(1)
R
(cot x)ln(sen x)dx
R/
(ln(sen x))2 +C 2
(2)
R
x cos(2πx2 ))dx
R/
1 sen(2πx2 ) + C 4π
(3)
R
(e2 π + sen(−πx) −
(4)
Z h
(e−3 + lnπ −
√
1 − 2x + xe−1 )dx
π 1 i √ 5 x 2 dx 1 − x + sec 4
R/ (e2 πx +
3 1 1 xe cos(−πx) + (1 − 2x) 2 + +C π 3 e
R/ (e−3 + lnπ)x +
(5)
R
√ x2 1 − xdx
R/
(6)
R
x3 sen (4x) dx
R/ −1 x3 cos(4x) + 4
3 5 7 4 2 −2 (1 − x) 2 + (1 − x) 2 − (1 − x) 2 + C 3 5 7
3 − 128 sen(4x)
ln(2x) dx x2 √ √ Z sen x cos x √ (8) dx x Z 3x − 1 dx (9) 2x2 − 2x + 5 Z
(7)
(10)
R
x3 cos(−4x)dx
R/
Z
(12)
lnx √ dx x x
Z h
i x + e−2x sen(−3x) dx 1+x
R √ (13) ( e−a + xπ − cos(ln3) − 4 3 − 2x )dx Z (14)
2−x dx 4x2 − 4x + 3
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3 2 x sen(4x) 16
+
3 x 32
R/ sen2
+C
√
x+C
R/
1 3 2 ln 2x − 2x + 5 + arctan 4 6
R/
−1 3 x 4
R/
cos(4x)
−ln(2x) 1 − +C x x
sen(−4x) +
3 − 128 cos(−4x)
(11)
√ 6 5 2 2 32 (1 − x) 5 + x 6 3
3 2 x 16
2x − 1 3
cos(−4x) +
3 x 32
+C
sen(−4x)
+C
−2lnx − 4 √ +C x
R/ x-ln|x+1| −
2 −2x 3 e sen(−3x) + e−2x cos(−3x) + C 13 13
5 xπ+1 2 − cos(ln3)x + (3 − 2x) 4 + C π+1 5 3 2x − 1 1 √ R/ √ arctan − ln|4x2 − 4x + 3| + C 8 4 2 2
R/ e−a x +
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(15)
Z √ 3 1 + lnx dx x
(16)
R
Z (17)
(18)
R
Z (19)
(20)
R
Z (21)
R/
4 3 (1 + lnx) 3 + C 4
√ 3 x + 2dx
R/
4 10 7 12 3 (x + 2) 3 − (x + 2) 3 + 3(x + 2) 3 + C 10 7
e−x dx (1 + e−x )2
R/
1 +C 1 + e−x
x2
ln2 x dx
x dx 16x2 + 8x + 10
sen(x)ln(cos(x))dx
3x √ dx 3 2x2 + 3
R (22) (5ax4 + sen(−π) + e−3 − xln5)dx
(23)
R
e−2x cos(−2x)dx
Z
2x + 2 dx x2 + x + 1
(24)
(25)
R
Z (26)
√
R/ xln2 x − 2xlnx + 2x + C
R/
(4x + 1) 1 1 ln|16x2 + 8x + 10| − arctan +C 32 48 3
R/ − cos(x)ln(cos x) + cos(x) + C
R/
2 9 (2x2 + 3) 3 + C 8
R/ ax5 + (sen(−π) + e−3 )x −
2 R/ ln|x2 + x + 1| + √ arctan 3 x4 x4 lnx − +C 4 16
1 dx 9x2 + 6x − 8
R/
1 3x + 1 ln + 3 3
9x2 − 4 dx x
R/ 2
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ln5 2 x +C 2
−1 −2x 1 e cos(−2x) − e−2x sen(−2x) + C 4 4
R/
x3 lnx dx
Z √ (27)
269
2x + 1 √ 3
+C
√ 9x2 + 6x − 8 +C 3
√ 2 9x − 4 3x − arcsec +C 2 2
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3x3 + 2x2 + x − 3 dx x2 − 1
R/
Z
2x2 − x + 4 dx x3 + 4x
R/ ln|x| +
Z
3x + 4 dx x3 − 2x − 4
R/ln|x − 2| −
Z (28)
(29)
(30)
(31)
3 2 3 5 x + 2x + ln|x − 1| + ln|x + 1| + C 2 2 2
x 1 1 ln|x2 + 4| − arctan +C 2 2 2 1 ln|x2 + 2x + 2| + C 2
Z √ 9 − 4x2 dx x
√ 3 − 9 − 4x2 p R/ 3ln + 9 − 4x2 + C 2x
Z
dx √ 10 − 6x + x2
p R/ ln x2 − 6x + 10 + x − 3 + C
Z
x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3 dx x3 − 2x2 + 3x
R/
x2 2
dx √ 4x2 + 1
R/
p 1 ln(2x + 4x2 + 1) + C 2
x3 + x2 + x − 5 dx x2 + 2x + 4
R/
x2 1 − x − ln|x2 + 2x + 4| + C 2 2
x3 + x2 + x − 1 dx x2 + 2x + 4
R/
x + 1 x2 1 4 − x − ln|x2 + 2x + 4| + √ arctan √ +C 2 2 3 3
dx sen x − 2 cos x − 1
R/
x x −1 1 ln tan + 3 + ln tan − 1 + C 2 2 2 2
dx 1 + cos x
R/ tan
dx 1 + sen x
R/
1 dθ 1 + sen θ + cos θ
θ R/ ln tan + 1 + C 2
(32)
(33)
Z (34)
Z (35)
Z (36)
Z (37)
Z (38)
Z (39)
Z (40)
270
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+ ln|x| −
x 2
1 ln|x2 − 2x + 3| + C 2
+C
−2 x +C tan +1 2
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Capítulo 5
La integral de nida (el área bajo una curva) 5.1. Concepto de integral de nida Supongamos que se desea conocer el área de la región limitada por una función, de nida en un intervalo cerrado [a,b]. Para ello podemos efectuar una partición arbitraria en el intervalo para de nir rectángulos y así aproximar dicha área. a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b De nimos ∆xi como el ancho del i-ésimo intervalo.
Si ci es cualquier punto del i-ésimo intervalo se puede tomar como altura del rectángulo para ese intervalo a f (ci ). Así que el área de cada rectángulo es Ai = ∆xi f (ci ). Así, en caso de querer aproximar el área de la región del plano limitado por las rectas verticales x = a, x = b , el eje X y la grá ca de f, basta sumar todas las áreas de los rectángulos, a saber. A = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + f (c3 )∆x3 + f (c4 )∆x4 + ... + f (cn−1 )∆xn−1 + f (cn )∆xn n X A= f (ci )∆xi i=1
Como veremos en la siguiente de nición la expresión anterior es una suma de Riemann
271
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272
DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN
Sea f de nida en un intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una partición arbitraria de [a,b], a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b donde ∆xi como es la anchura del i-ésimo intervalo. Si ci es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la suma: n X f (ci )∆xi , con xi−1 ≤ ci ≤ xi se llama una
i=1
suma de Riemann de f asociada a la partición ∆
Ahora bien para una partición dada ∆, llamamos norma de la partición a la longitud del subintervalo más largo, y la denominamos k∆k. Si todos los subintervalos son de igual longitud la partición es regular y denotamos b−a la norma por: k∆k = ∆x = n
Por lo tanto podemos ver que el número de subintervalos de la partición tiende a in nito cuando la norma de la partición tiende a cero, es decir, k∆k → 0 implica n→ +∞. Para de nir la integral de nida usamos el limite siguiente: n X l´ım f (ci )∆xi =L k∆k→0
o su forma equivalente: l´ım
n→∞
i=1
n X
f (ci )∆xi =L
i=1
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Si f está de nida en el intervalo [a,b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces decimos que f es integrable en [a,b] y denotamos este límite mediante. Z b n X f (x)dx = l´ım f (ci )∆xi a
n→+∞
i=1
Llamamos integral de nida de f entre a y b al valor de este limite. el número a es el lmite inferior de integración y el número b es el limite superior de integración.
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Nota: Las integrales de nidas y las inde nidas son entidades diferentes. Una integral de nida es un número, mientras que una integral inde nida es una familia de funciones. Sin embargo, existe una relación entre ambas que se analizará cuando lleguemos al Teorema Fundamental del Cálculo.
La integral de nida corresponde al valor exacto del área bajo la curva, pues corresponde al límite cuando la cantidad de subintervaloe ( n ) tiende a in nito en la suma de Riemann. Lo anterior se puede apreciar en las siguientes guras en las que se aprecian las aproximaciones por medio de sumas superiores e inferiores de Riemann. En la segunda y tercer guras se aprecia que, conforme se incrementa el valor de n, las aproximaciones son mejores, por lo que se puede deducir que cuando n → ∞ la integral de nida (que corresponde al valor del límite) ya no es tan sólo una aproximación, sino el valor exacto del área.
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5.2. Algunas propiedades de la integral de nida 1. Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces f es integrable en [a, b]. 2. La integral de nida como área de una región:Si f es continua, no negativa, en el intervalo [a, b] entonces el área de la región limitada por la grá ca de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por la integral: área =
b
Z
f (x) dx a
Ejemplo: Para la función f (x) = 4x − x2 el área de la región limitada por la grpa ca de f , el eje X y las rectas verticales x = 1 yx = 3 (sombreada en la gura), viene dada por la integral: Z 3 área= (4x − x2 )dx 1
3.
a
Z
f (x)dx = 0 a
4. Si f es integrable en [a,b], entonces
b
Z
Z f (x)dx = −
a
a
f (x)dx b
5. Si f es integrable en [a,b] y k es una constante se cumple que
b
Z
b
Z k f (x)dx = k
a
f (x)dx a
6. Si f y g son integrables en [a, b] se cumple que Z b Z b Z b [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx a
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a
a
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7. Si f es integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] y además f es integrable en [a, c] y [c, b] entonces se cumple que Z
b
c
Z
b
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
a
a
f (x)dx c
Por ejemplo, observe el grá co que se le da a continuación, en el cual se aprecia una función f (x) continua en el intervalo [1, 7], el área sombreada corresponde a: Z 7 AT = f (x) dx 1
Pero como 3 ∈ [1, 7], se cumple que 3
Z A1 =
f (x) dx 1 7
Z
f (x) dx
A2 = 3
y como AT = A1 + A2 se tiene que 7
Z
3
Z f (x) dx =
1
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7
Z f (x) dx +
1
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f (x) dx 3
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8. Si se tiene una función f de nida en un intervalo [a, b] en el que f (x) < 0 (es decir f es negativa), al calcular el área limitada por la curva, el eje X y las rectas x = a y x = b, dará como resultado un valor negativo. Por ejemplo, a continuación se le da la grá ca de la función f (x) la cual es negativa en el intervalo [3, 6]. Más adelante aprenderemos como calcular el área sombreada y veremos que: 6
Z
f (x) dx = −13,5 3
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5.3. Propiedades y fórmulas de las sumatorias Antes de resolver integrales de nidas mediante sumas de Riemann, es preciso estudiar algunas propiedades de las sumatorias.
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA 1.
n X
k ai = k
i=1
2.
n X
FÓRMULAS DE SUMA 1.
ai con k constante
i=1
i=1
c = cn (c constante real)
i=1
n n n X X X (ai ± bi ) = ai ± bi i=1
n X
2.
i=1
n X
i=
i=1
3.
n X
i2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
i3 =
n2 (n + 1)2 4
i=1
4.
n X
n(n + 1) 2
i=1
Ejemplos: (a)
19 X
4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 19 · 4 = 76
i=1
(b)
200 X
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 198 + 199 + 200 =
i=1
(c)
14 X
i2 = 12 + 22 + 32 + ..,122 + 132 + 142 =
i=1
200(200 + 1) = 20100 2
14(14 + 1)(2 · 14 + 1) = 1015 6
20 20 20 20 20 20 20 20 20 X X X X X X X X X (d) (2i3 − 5i2 + 7i − 4) = 2i3 − 5i2 + 7i − 4=2 i3 − 5 i2 + 7 i− 4 i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
202 (20 + 1)2 20(20 + 1)(2 · 20 + 1) 20(20 + 1) =2· −5· +7· − 4 · 20 = 74240 4 6 2
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5.4. Cálculo de integrales de nidas mediante sumas de Riemann Recuerde que: b
Z
f (x)dx = l´ım
n→∞
a
n X
∆xf (ci )
i=1
b−a n Ahora bien, al calcular el límite de la suma de Riemann, la escogenca de ci puede hacerse, utilizando los extremos (izquierdo o derecho del subintervalo) u otro punto del mismo, que incluso podría ser el punto medio. Como se trata de un límite, independientemente de dicha escogencia, el valor del área será el mismo. Así que, si se quiere, podemos utilizar como ci el extremo derecho de cada subintervalo, que tendrá siempre la siguiente forma: ci = a + ∆x · i. EJEMPLOS: (1) Considere la función dada por f (x) = sen x2 cuya grá ca se le da a continuación. Mediante una partición en tres subintervalos del mismo ancho, aproxime el área limitada por la grá ca de f , el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = π (área sombreada en la gura).
Así mismo, si la partición es regular, ∆x =
SOLUCIÓN: (Usando como ci el punto medio de cada sub-intervalo). π−0 π = 3 3
∆x =
Partición
ci
x0 = 0 x1 = π3 x2 =
c1 =
2π 3
x3 = π
área (aprox.) =
3 X i=1
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π f (c1 ) = sen 26 = sen π f (c2 ) = sen 22 = sen 5π f (c3 ) = sen 26 = sen
π 6
c2 =
π 2
c3 =
5π 6
f (ci )∆x =
f (ci )
3 X i=1
f (ci )
π 12 π 4
5π 12
3 π π π πX π 5π = f (ci ) = sen + sen + sen ≈ 2, 023 3 3 i=1 3 12 4 12
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NOTA: Si para resolver el ejercicio no se utiliza el punto medio de cada subintervalo, y se trabaja con sumas superiores o inferiores, dependiendo si usa el extremo derecho o izquierdo de cada subintervalo respectivamente, se puede llegar también a las siguientes aproximaciones: Usando el extremo derecho el área aproximada es de 2,4777 unidades cuadradas. Usando el extremo izquierdo el área aproximada es de 1,4302 unidades cuadradas. A continuación se representa grá camente la aproximación que se utilizó en este caso.
(2) Calcule las siguientes integrales de nidas mediante el límite de una suma de Riemann. (a)
Z
1
R/3
x2 dx −2
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(b)
Z
280
1
R/
x3 dx −2
−15 4
utilizando el límite de la suma de Riemann correspondiente,
(c) Si a es una constante real, demuestre, Z a+1 1 que x dx = a + . 2 a SOLUCIÓN: ∆x =
a+1−a 1 = n n
ci = a +
1 n
i=a+
f (ci ) = ci = a +
i n
i n
a+1
Z
x dx = l´ım a
x→+∞
= l´ım
x→+∞
= l´ım
x→+∞
n X
f (ci )∆x
i=1 n X
a+
i=1 n X a i=1
n
+
i n
i n2
1 n
n n X a X i + n i=1 n2 i=1
= l´ım
x→+∞
!
1 n(n + 1) a ·n+ 2 · x→+∞ n n 2 1 = l´ım a+ · (n + 1) x→+∞ 2n 1 1 = l´ım a+ + x→+∞ 2 2n 1 =a+ 2
= l´ım
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(3) Planteé la integral que permite calcular el valor exacto del área de la región limitada por la grá ca de la función f (x) = 6x2 − 2x + 5, el eje X, y las rectas verticales x = 1 y x = 3. Luego calcule esa integral mediante sumas de Riemann. R/54 unidades cuadradas
(4) A continuación se le da la grá ca de la función 16 − 4x2 . Calcule planteando una integral de nida y calculándola mediante sumas de Riemann, el valor exacto del área de la región sombreada. . R/36 unidades cuadradas
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(5) Demuestre
a
)
b
Z
utilizando la de nición de integral de nida
282
(es decir, mediante Sumas de Riemann) que:
c dx = c(b − a); con a < b, a, b, c ∈ R
a
b
)
b
Z a
c
)
b
Z f (x) − g(x) dx = a
b
Z
x dx = a
b2 − a2 ; 2
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Z f (x) dx −
b
g(x) dx; con a < b, a, b ∈ R, f y g integrables en [a, b].
a
con a < b, a, b ∈ R
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PRÁCTICA 26 1. Usando Sumas de Riemann, calcule la integral de nida
2
Z
(10x − x2 ) dx 1
38 3 2. Utilice Sumas de Riemann para calcular la siguiente Z 2 integral de nida: x2 − 6x dx
R/
0
.
R/
−28 3
3. Utilice Sumas de Riemann para calcular la siguiente integral de nida: Z 1 2 3x + 4x + 1 dx 0
. 4.
R/ 4
(a) Utilice una partición del intervalo [0,2] en cuatro subintervalos del mismo ancho, para aproximar la siguiente integral de nida, mediante sumas superiores: Z 2
4x2 + 1 dx
0
(b) Como usted sabe, la integral
Z
2
4x2 + 1 dx representa una cierta área. Dibuje la grá ca de la función
0
y = 4x2 + 1 e indique (sombreado) cuál es el área que se está aproximando en el ejercicio (a).
R/ (a) La aproximación del área con cuatro rectángulos es A ≈ 17(Unidades cuadradas)
(b)
5. Utilice una partición del intervalo [0, π], en tres subintervalos del mismo ancho, para aproximar el área 1 contenida entre la grá ca de la función f (x) = sen x , el eje X y la recta x = π , utilizando como ci los 2 puntos medios de cada sub-intervalo. Efectúe un grá co de la rigión calculada. π π 5π R/ área aproximada: A≈ π3 sen + sen + sen ≈ 2, 023 12 4 12 (b)
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5.5. El Teorema Fundamental del Cálculo Ya hemos estudiado la integral de nida utilizando sumas de Riemann. Sin embargo, veremos como el siguiente teorema, nos permite calcular la integral de nida sin recurrir a estas sumas. Este teorema es de suma importancia, ya que relaciona las dos operaciones fundamentales del cálculo: La derivación y la integración. En otras palabras, este teorema relaciona los dos problemas principales que hemos abordado en nuestro cálculo: el problema de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto (con el que introducimos al cálculo diferencial) y el problema del área bajo una curva (aborde mediante el cálculo integral).
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces Rb f (x)dx = F (b) − F (a) a donde F es cualquier función tal que F 0 (x) = f (x) para todo x en [a,b] Notas: 1- Si es posible calcular la integral inde nida de f, podemos encontrar la integral de nida sin tener que usar el límite de la suma de Riemann 2- Al aplicar el Teorema Fundamental delR Cálculo es conveniente usar la notación b f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a 3- Observemos que la constante de integración C puede ser eliminada de la integral inde nida para calcular la R b de nida, ya que: f (x)dx = [F (x) + C]ba = [F (b) + C] − [F (a) + C] = F (b)+ 6 C − F (a)− 6 C = F (b) − F (a) a EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS USANDO EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1. Calcule
R3 1
x3 dx e interprete grá camente el resultado obtenido.
Solución: 4 3 Z 3 x x3 dx = 4 1 1 34 14 = − 4 4 81 1 = − 4 4 = 20 INTERPRETACIÓN GRÁFICA: El área EXACTA de la región limitada por la función f (x) = x3 , el eje X y las rectas x = 1 y x = 3 es de 20 unidades cuadradas. 2. Calcule
R2 1
(x2 − 3)dx
Solución: 3 2 Z 2 x (x2 − 3) dx = − 3x 3 1 1 3 23 1 = −3·2 − −3·1 3 3 8 1 = −6 − 3 −3 3 −10 −8 = − 3 3 −2 = 3
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3. Calcule
Z
4
285
√ 3 xdx
1
Solución: 4
√ 3 xdx = Z 4 √ =3 xdx "1 3 #4 x2 =3 3
Z
1
2
1 # 4 3 2x 2 =3 3 1 3 3 2 2 2 2 =3 ·4 ·1 − 3 3 2 = 3 · [(8) − (1)] 3 = 2 · 7 = 14 = 14
"
4. Hallar el área de la región limitada por la grá ca de f (x) = 2x2 − 3x + 2, el eje X y las lineas verticales x = 0 y x = 2. Elabore un bosquejo de la región calculada.
Solución
Z 2 área= (2x2 − 3x + 2)dx 2 30 3x2 2x − + 2x = 3 2 0 3 2·2 2 · 03 3 · 22 3 · 02 = − +2·2 − − +2·0 2 3 2 3 10 = − (0) 3 10 = 3
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5. Calcule
R2 0
286
| 2x − 1 |dx e interprete grá camente el resultado obtenido.
Solución Análisis del valor absoluto 1 2x − 1, si 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 | 2x − 1 |= −(2x − 1), si 2x − 1 < 0 ⇒ x <
Dado que
1 ∈ [0, 2] podemos reexpresar la integral en dos partes de la siguiente forma: 2
2
Z
| 2x − 1 | dx = 0
1 2
Z −
1 2
1 2
R
0
Z 1 2
R2 1 2
(2x − 1) dx
2
(2x − 1) dx +
0
−(2x − 1) dx +
(2x − 1) dx 1 2
= −[x2 − x]0 + [x2 − x]21 2 " ! # " 2 1 1 2 =− − − (0 − 0) + (22 − 2) − 2 2 −1 −1 =− − (0) + (2) − 4 4 1 9 = + 4 4 5 = 2
Grá camente, el área sombreada es
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2 !# 1 1 − 2 2
5 : 2
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5.6. El método de sustitución con integrales de nidas El método de cambio de variable que estudiamos para integrales inde nidas, se puede aplicar en integrales de nidas. Sin embargo, hay que tener cuidado con los límites de integración. Si la integral de nida se calcula a partir de la inde nida y en el cálculo de la inde nida se deshace el cambio de variable se usan los límites de integración originales. Sin embargo, si se mantiene la nueva variable a la hora de aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso rede nir los límites de integración, sustituyéndolos en el cambio de variable aplicado.
Ejemplos. 1) Calcular
Z
1
x(x2 + 1)3 dx
0
Método 1. Resolver la integral inde nida. Se calcula mediante sustitución
Z
x(x2 + 1)3 dx
Sustitución u = x2 + 1 du = 2x dx du = x dx 2
Así
Z
x(x2 + 1)3 dx = Z
du (u)3 = 2 Z 1 u3 du = 2 u4 1 · +C = 2 4 u4 +C = 8 (x2 + 1)4 +C 8
Se utiliza este resultado en la integral de nida: 1
Z
x(x2 + 1)3 dx = 2 1 (x + 1)4 = 8 0 2 (1 + 1)4 (02 + 1)4 − = 8 8 1 2− = 8 15 8 0
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Método 2.R Efectuar directamente la sustitución en la integral de nida (cambiando límites) 1 Calcular 0 x(x2 + 1)3 dx
Sustitución u = x2 + 1 du = 2x dx du = x dx 2
Límites de integración u = 12 + 1 = 2 u = 02 + 1 = 1
1
Z
x(x2 + 1)3 dx = 0
(u)3 1
1 2
=
=
du 2
2
Z
u3 du 1
2 1 u4 2 4 1
=
1 24 14 − 2 4 4
=
1 1 4− 2 4
=
1 15 2 4 =
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2
Z
15 8
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2) Calcular
Z 1
5
√
289
x dx 2x − 1
Solución:
Sustitución u+1 u = 2x − 1 ⇒ =x 2 du 2
du = 2dx ⇒
= dx
Límites de integración u=2·5−1=9 u=2·1−1=1
5
Z
√ 1
x dx = 2x − 1
=
=
1 4
Z
1 4
Z
=
1 4
−1 2
u
·
du 2
du
1 9
1
(u 2 + u
−1 2
) du
1
"
3
u2 3 2
1
+
u2 1 2
#9 1
9 1 1 2 32 u + 2u 2 4 3 1
−
3 1 2 · 12 + 2 · 12 3
1 8 (24) − 4 3 =
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1
(u + 1)u
3 1 2 · 92 + 2 · 92 3
=
√
9
1 = 4
=
9 u+1 2
Z
16 3
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3) Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral de nida Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral Solución. Análisis del valor absoluto. x2 − x − 2, si x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 | x2 −x−2 |=| (x+1)(x−2) |= −(x2 − x − 2), si − 1 < x < 2
290
R4 −1
| x2 − x − 2 |dx
ceros de | (x + 1)(x − 2) |⇒ x = −1 x = 2
Cálculo de la integral R4 R2 R4 | x2 − x − 2 | dx= −1 | x2 − x − 2 | dx + 2 | x2 − x − 2 | dx R 2−1 R 4 = −1 −(x2 − x − 2) dx + 2 (x2 − x − 2) dx R2 2 R4 2 = − −1 (x − x − 2) dx + 2 (x − x − 2) dx 3 2 4 3 x x2 x2 x + − − 2x − − 2x =− 3 2 3 2 2 3 −1 3 3 3 2 (−1) (−1)2 2 4 2 2 42 22 =− − −2·2 − − − 2 · −1 + − −2·4 − − −2·2 3 2 3 2 3 2 3 2 7 16 −10 −10 − + − =− 3 6 3 3 =
79 6
El área de la región es
79 unidades cuadradas. 6
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4) En la grá ca adjunta aparece destacada el área limitada por la función f (x) = y = 0, x =
1 2
y x=
√
3 . 2
2 arctan(2x) y las rectas 4x2 + 1
Determine el valor exacto del área resaltada.
SOLUCIÓN: Sea A el área buscada: √
3 2
Z A= 1 2
√
3 2
Z A= 1 2
√
Z
3
A= 1
2 arctan(2x) dx 4x2 + 1
√
Z
2 arctan(2x) dx (2x)2 + 1 arctan(u) du u2 + 1
3
arctan(u) ·
A= 1
Z A=
π 3
w dw
[?]
1 du u2 + 1
[? ?]
π 4
A=
A=
π w2 3 2 π 4 π 2 3
2 7π 2 A= 288
−
π 2 4 2
En el paso señalado con [?] se aplicó la sustitución: Sustitución 1: u = 2x du = 2 dx Límites de integración: √ √ Superior: u = 2 · 23 = 3 Inferior: u = 2 · 21 = 1 En el paso señalado con [? ?] se aplicó la sustitución: Sustitución 2: w = arctan(u) dw = u21+1 du Límites de integración:√ Superior: w = arctan( 3) = π3 Inferior: w = arctan(1) = π4
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292
Veamos algunos ejemplos de integrales de nidas en las que aparecen funciones trigonométricas en las que se puede aplicar el Método de Sustitución. √ Z π 2 2x 3 3 cos 5) Calcule dx R/ 3 4 0
Z 2π x dx 6) π 3 sec2 2 2
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√ R/ 2 3 − 2
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7)
π 4
Z
R/
sen2 (x) cos3 (x) dx
0
8)
Z
5π 12
√ 7 2 120
R/ 0
sec4 (3x) tan3 (3x)dx
π 12
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293
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294
5.7. El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Supongamos que de nimos el límite superior de integración x, mientras que la integral de nida está de nida con respecto a otra variable. A saber, la siguiente situación:
Ejemplos. Sea F (x) =
Rx 2
(3 − 3t2 )dt. Hallar la función F(x) y calcular
d [F (x)] dx
TEOREMA.(SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO)
Si f es continua en un intervalo abierto l que contiene al número a, para todo x del intervalo se cumple
d dx
Z
x
f (t)dt = f (x)
a
NOTA: A partir del teorema anterior ( y bajo las mismas hipótesis), podemos generalizar: d 1. dx
"Z
d dx
"Z
2.
α(x)
# f (t)dt = f (α(x)) · α0 (x)
[α(x) derivable]
a β(x)
# f (t)dt = f (β(x)) · β 0 (x) − f (α(x)) · α0 (x)
[α(x) y β(x) derivables ]
α(x)
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295
Ejemplos: 1) Calcular
d dx
2) Sea f (x) =
x
Z
Z
p t2 + 1dt
0
1 1−3x
u3 du. Calcule f 0 (x) u2 + 1
3) Calcule la derivada de F (x) =
p
√ 3
Z x2 − 1 + 1
4) Calcule la derivada de F (x) =
x2
Z
x2
1 dt ln(1 + t)
(x > 1)
2
e−t dt
2x
√
5) Calcule la derivada f (x) =
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Z 1 x
x
cos(t2 )dt
( x > 0)
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6) Considere la función dada por f (x) = x4 + Determine f (x) (no es necesario simpli car) 0
Z
ln(x) 5x
296
t2 2 t +1
dt,
(x > 0).
SOLUCIÓN: Se aplica la regla de la derivada de la suma de funciones:
"Z # ln(x) t2 d 4 d f (x) = x + dt (?) dx dx 5x t2 + 1 (ln(x))2 (5x)2 1 · · 5 f 0 (x) = 4x3 + − (ln(x))2 + 1 x (5x)2 + 1 0
? NOTA: La segunda integral en el paso señalado se puede calcular utilizando el segundo teorema fundat2 mental del cálculo, porque cumple las hipótesis de dicho teorema, ya que 2 es continua para todo t +1 t ∈ R por ser una función racional cuyo denominador nunca se vuelve cero. Además las funciones en los límites de integración, a saber, ln(x) y 5x son ambas derivables ∀x > 0, pues sus derivadas ambas están bien de nidas en el intervalo ]0, +∞[.
7) Considere las funciones g y h, las cuales son derivables y están de nidas de la siguiente forma: Z g(x) =
x
Z p(t)dt
0
g(x)
2f (t)dt 0
Además p(0) = 9 y f (0) = 7. Calcule h 0 (0).
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h(x) =
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R/126
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8) Considere la función F : [0, +∞[→ R dada por F (x) =
Z
2x x
F 0 (c) = 0.
9) Considere la función dada por F (x) = cuáles es decreciente. .
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x2
Z
2
e−t dt. Calcule el valor de c ∈ R para el cual q R/ ln(2) 3
p 1 + t2 dt. Determine en cuáles intervalos F es creciente y en
0
R/ F es creciente en ]0, +∞[, decreciente en ] − ∞, 0[
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10) Considere la función continua f : R → R, para la cual f (2) = 0 y además se cumple que Z
−1
f (t)dt = 3ex 2x
Z
x2
2t +
x4
f (t) − 1 dt 3
.Calcule f (1) SOLUCIÓN: Se deriva a ambos lados Z−1 Zx2 f (t) d d x − 1 dt f (t) dt = 2t + 3e dx dx 3
x4
2x
−1 Z d La derivada del término del lado izquierdo se calcula directamente así: f (t) dt = −2 · f (2x) dx 2x
La derivada del término del lado derecho, por tratarse de la derivada de una multiplicación es: Zx2 f (t) d x 2t + − 1 dt 3e dx 3 x4 2
= 3ex
Zx f (t) f (x2 ) f (x4 ) 2t + − 1 dt + 3ex 2x2 + − 1 2x − 2x4 + − 1 4x3 3 3 3
x4
Se evalúa cada derivada con x = 1 y f (2) = 0, y se resuelve igualan nuevamente los resultados, para obtener la siguiente ecuación: 1 1 1 1 0 = 3e · 0 + 3e 2 + f (1) − 1 2 − 2 + f (1) − 1 4 3 3 2 0 = 3e(−2 − f (1)) 3 f (1) = −3
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5.8. Aplicación: El área de la región limitada entre dos curvas Teorema. Si f y g son continuas en [a, b] y f (x) ≥ g(x) para toda x en [a,b], entonces el área de la región limitada por las grá cas de f y g y las lineas verticales x = a yx = b es
A=
b
Z
[ f (x) − g(x) ] dx a
En general, podemos a rmar que Si f y g son continuas en [a, b] el área de la región limitada por las grá cas de f y g y las lineas verticales x = a yx = b es A=
b
Z
| f (x) − g(x) | dx a
Note que f y g no necesariamente deben ser positivas en todo el intervalo [a, b] para poder calcular el área de la región entre ellas. Si se usa como integrado [f (x) − g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y f (x) ≥ g(x) para todo x en [a, b], el valor del área será positivo. Por lo tanto f y g pueden estar ubicadas de cualquier manera con respecto al eje X . Así mismo, en el caso de funciones que se intersecan en más de un punto, es posible calcular el área entre las dos curvas.
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300
Por ejemplo, considere las grá cas de las siguientes funciones:
Nota: Para encontrar los puntos de intersección entre f y g se igualan las fórmulas y se despeja. Para veri car en qué intervalo es f mayor que g (o viceversa ) se resuelve la desigualdad f (x) ≥ g(x), o se puede efectuar un trazo aproximado de las curvas. EJEMPLOS: 1. Hallar el área de la región limitada por las grá cas de f (x) = 2 − x2 y g(x) = x. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución: Veri que si las grá cas se intersecan o no. Igualamos las fórmulas: x = 2 − x2 x2 + x − 2 = 0 ⇒ x1 = −2 ∨ x2 = 1 (las grá cas se intersecan en x=-2 y x=1) Por lo tanto a=-2 y b=1
Veri quemos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x)−g(x) > 0 para compararlas en el intervalo [-2, 1]) (2 − x2 ) − (x) > 0 2 − x − x2 > 0 (2 + x)(1 − x) > 0
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Trazo de las curvas y la región.
Calculemos el área de la región señalada. R1 R1 área= −2 [f (x) − g(x)]dx = −2 [(2 − x2 ) − (x)]dx R1 = −2 [(2 − x − x2 )]dx 1 x2 x3 = 2x − − 2 3 −2 (−2)2 (−2)3 12 13 = 2·1− − − 2 · −2 − − 3 2 3 2 −10 7 9 − = = 6 3 2
2. Calcular el área de la región comprendida entre las grá cas f (x) = 3x3 − x2 − 10x y g(x) = −x2 + 2x. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución : Veri que si las siguientes grá cas se intersecan o no: Igualmos las fórmulas: 3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x 3x3 − 12x = 0 3x(x2 − 4) = 0 3x(x + 2)(x − 2) = 0 ⇒ 3x = 0 ∨ x + 2 = 0 ∨ x − 2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −2 ∨ x = 2 Entonces las dos grá cas se intersecan en -2,0 y 2. Por lo tanto a=-2 y b=2 Veri camos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x) − g(x) > 0 para comparar en los intervalos [-2,0] y [0,2]) (3x3 − x2 − 10x) − (−x2 + 2x) > 0 3x3 − x2 − 10x + x2 − 2x > 0 3x3 − 12x > 0 3x(x + 2)(x − 2) > 0
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Trazo de las grá cas (en el caso de f por ser cúbica hay que efectuar al menos los elementos más importantes del análisis para trazarla):
Cálculo R 0del área: R2 área= −2 [f (x) − g(x)]dx + 0 [g(x) − f (x)]dx R0 R2 = −2 [(3x3 − x2 − 10x) − (−x2 + 2x)]dx + 0 [(−x2 + 2x) − (3x3 − x2 − 10x)]dx R0 R 2 = −2 [3x3 − 12x]dx + 0 [−3x3 + 12x]dx 0 2 4 −3x4 3x − 6x2 + + 6x2 = 4 4 −2 0 = (0 − 0) − (12 − 24) + (−12 + 24) − (0 + 0) = 24
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3. Hallar el área de la región limitada por las grá cas de y = x2 + 2 , y = −x , x = 0 y x = 1. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución: Llamamos f (x) = x2 +2 y g(x) = −x. Veri quemos si las grá cas se intersecan o no. Igualamos las fórmulas: x2 + 2 = −x x2 + x + 2 = 0 (No tiene solución pues ∆ = −7 < 0) ⇒las grá cas no se intersecan
Veri camos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x) − g(x) > 0) (x2 + 2) − (−x) > 0 x2 + x + 2 > 0 (no hay ceros) la desigualdad se cumple para cualquier valor R . Por lo tanto, f (x) > g(x) para todo x ∈ R . (en particular en el intervalo [0,1])
Lo anterior también se puede veri car con el trazo de las funciones y la región en cuestión:
Cálculo del área
R1 R1 área= 0 [f (x) − g(x)]dx= 0 [(x2 + 2) − (−x)]dx R1 2 = 0 [(x + x + 2)]dx h 3 i1 2 = x3 + x2 + 2x 0 3 3 1 12 0 02 = + +2·1 − + +2·0 2 3 2 3 = 17 − (0) 6 17 = 6
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√ 4. Considere las curvas y = 2x y y = x2 − x. Grafíquelas en el mismo sistema de coordenadas, sombree el área encerrada entre las mismas, y calcule esta área.
SOLUCIÓN: Nombremos f (x) = entre ellas es:
√
2x y g(x) = x2 − x. La grá ca de ambas funciones y la región encerrada
Los puntos de intersección entre ambas funciones se dan en x = 0 y x = 2 y como se aprecia en la grá ca ∀x ∈ [0, 2] se cumple que f (x) ≥ g(x). La integral que permite calcular el área destacada es: Z
2
Z
2
√ [( 2x) − (x2 − x) dx
2
√ [ 2(x)1/2 − x2 + x dx
[f (x) − g(x)] dx = 0
0
Z = 0
=
√
2
x3/2 3 2
x3 x2 − + 3 2
2 0
2 √ x3 x2 2 2 x3/2 − + = 3 3 2 0 √ √ 2 2 · 23/2 23 22 2 2 03/2 03 02 = − + − − + 3 3 2 3 3 2 8 8 = − + 2 − (0 − 0 + 0) = 2 3 3
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5. Determine el área de la región limitada por las grá cas de las funciones dadas por f (x) = 6x3 − x + g(x) = x2 + 21 . Represente grá camente el área calculada.
1 2
y
SOLUCIÓN: Cálculo de las intersecciones: 1 1 = x2 + 2 2 6x3 − x2 − x = 0 6x3 − x +
x(3x + 1)(2x − 1) = 0 −1 1 ∨ x=0∨x= 3 2
Se establece la relación de orden correspondiente, a saber: −1 En el intervalo 1 3 , 0 se cumple f (x) ≥ g(x) En el intervalo 0, 2 se cumple g(x) ≥ f (x)
Se calcula el área mediante la siguiente suma:
Z
0
1/2
Z [f (x) − g(x)] dx +
A= −1/3
Z
0
= −1/3
[g(x) − f (x)] dx 0
6x3 − x2 − x dx +
1/2
Z
−6x3 + x2 + x dx
0
0 1/2 −3x4 x3 x2 x3 x2 3x4 + − − + + = 2 3 2 −1/3 2 3 2 0 −2 7 = (0) − + − (0) 81 96 7 2 + = 81 96 253 = 2592
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306
PRÁCTICA 27
(INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA ENTRE DOS CURVAS) 1. Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar las siguientes integrales de nidas. Se recomienda efectuar el bosquejo de la grá ca de la región cuya área viene dada por la integral. (a)
3
Z
(2x − 1)dx
1
(b)
2
Z
(x + 4)dx
0
(c)
4
Z
(x2 − 9)dx
3
(d)
Z
(e)
Z
2
(−x2 + x + 2)dx
−1 1
(x − x3 )dx
0
(f)
2
Z
| x2 − 1 |dx
−1
(g)
2
Z
| 2x − 1 |dx
0
(h)
R1√ x(1 − x)dx 0
(i)
Z
6
x √ dx 2x − 3
3
√ x 3 − xdx
2
(j)
Z
(k)
Z
0 1
x(x − 1)2 dx
0
(l)
Z
4
| x2 − x − 2 |dx
−1
2. Calcule el área de la región limitada por las siguientes curvas. Se recomienda que elabore un bosquejo en el que se destaque el área de la región calculada. (a) y = 2 − x2 , y = −x (b) f (x) = x3 − 6x2 + 8x, g(x) = x2 − 4x (c) y = x2 + 2 , y = −x, x = 0, x = 1 (d) f (x) = x3 , g(x) = 2x3 + x2 − 2x (e) y = x2 + 2x, y = −x + 4 (f) f (x) =
1 , g(x) = −x2 , x = 1, x = 2 x2
(g) y = 3x − 4x2 + x3 , y = x2 − x (h) f (x) = −x2 + 2x + 8, g(x) = −2x + 3
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307
RESPUESTAS 1)
(a) 6 (b) 10
2)
(c)
10 3
(d)
9 2
(e)
1 4
(f)
8 3
(g)
5 2
(h)
4 15
(i)
22 3
(j)
√ 12 3 5
(k)
1 12
(l)
79 6 Z 2
(a)
[(2 − x2 ) − (−x)]dx =
−1
(b)
R3
(c)
Z
(d)
Z
(e)
Z
(f)
Z
0
9 2
[(x3 − 6x2 + 8x) − (x2 − 4x)]dx + [(x2 + 2) − (−x)]dx =
[(2x3 + x2 − 2x) − (x3 )]dx + −2
[(−x + 4) − (x2 + 2x)]dx = 2
1
(h)
1
Z
[(x3 ) − (2x3 + x2 − 2x)]dx = 0
1 −4
1 −x2
dx =
17 6
[(3x − 4x2 + x3 ) − (x2 − x)]dx +
4
Z
[(x2 − x) − (3x − 4x2 + x3 )]dx =
0
1
R5
[(−x2 + 2x + 8) − (2x + 3)]dx = 36
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8 5 37 + = 3 12 12
125 6
1
−1
45 7 71 + = 4 12 6
17 6
0
Z
[(x2 − 4x) − (x3 − 6x2 + 8x)]dx = 3
1 0
(g)
4
Z
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7 45 71 + = 12 4 6
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5.9. Integrales de nidas que involucran diferentes funciones y técnicas de integración 1.
1
Z
xex dx 0
1
Z
xex dx = [xex ]10
Z
0
= [xex ]10
−
[xex ]10 1
−
=
1
ex dx
−
0 [ex ]10 [ex ]10 0
= 1·e −0·e
−
e1 − e0
=e−e+1=1
2.
π
Z
x5 · sen(x3 ) dx 0
Se aplica la sustitución: Sustitución: w = x3 dw = 3x2 dx dw = x2 dx 3 Límites de integración: Superior: w = π 3 Inferior: w = 03 = 0 Con lo que se tiene que:
Z
π
x5 · sen(x3 ) dx =
π
Z
0
x3 · sen(x3 ) · x2 dx 0
= =
1 3
Z
π3
w · sen(w) dw 0
3 1 1 [−w cos(w)]π0 − 3 3
π3
Z
−cos(w) dw (?) 0
Z 3 3 1 1 π [−w cos(w)]π0 + cos(w) dw 3 3 0 3 3 1 1 = [−w cos(w)]π0 + [sen(w)]π0 3 3 1 1 = −π 3 cos π 3 − (0 cos (0)) + sen(π 3 ) − sen(0) 3 3 1 3 1 3 3 = − π cos π + sen(π ) 3 3 =
En el paso señalado con (?)se aplicó la técnica de integración por partes: u=w du = dw
dv = sen(w) dw v = −cos(w)
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3.
Z
309
π/2
cos2 x sen2 xdx −π/2
En la integral de potencias pares de senos y cosenos, conviene utilizar las siguientes fórmulas: cos2 (θ) =
Z
1 + cos(2θ) 2
π/2
cos2 (x) sen2 (x)dx =
sen2 (θ) =
Z
π/2
−π/2
−π/2
= = = =
1 4
Z
1 4
Z
1 4
Z
1 8
Z
1 − cos(2θ) 2
1 + cos(2x) 1 − cos(2x) · dx 2 2
π/2
1 − cos2 (2x) dx −π/2 π/2
sen2 (2x) dx −π/2 π/2 −π/2
1 − cos(4x) dx 2
π/2
1 − cos(4x) dx −π/2
π/2 1 1 x− sen(4x) 8 4 −π/2 1 π 1 −π 1 = − ·0 − − ·0 8 2 4 2 4 1 hπ πi = + 8 2 2 π = 8
=
4. Calcule el área de la región limitada por la grá ca de e−x y el eje X, para 0 ≤ x ≤ 1 R/
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e−1 e
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5. Calcule:
Z
π/2
310
1 + ecot(t) csc2 (t) dt
π/4
R/ e
6. Calcule:
Z
ln(π/2)
2eu cos(eu ) du
ln(π/4)
7. Calcule:
Z 0
ln(
√ 3)
R/ 2 −
√ 2
R/
π 12
ex dx 1 + e2x
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311
8. En la gura adjunta, aparecen las grá cas de las funciones f (x) = (x − 2)2 + 2 y g(x) = 4 − (x − 2)2 , las cuales se intersecan en los puntos x = a y x = b. Calcule el valor de a, b, así como el valor exacto del área de la región sombreada.
.
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R/a = 1 , b = 3 , área =
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22 3
unidades cuadradas
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312
1 9. Construya la grá ca de las funciones f (x) = 2 , g(x) = x y h(x) = 8x. Calcule el área de la región limitada x por las grá cas de las tres funciones.
R/ área = Grá ca:
3 2
unidades cuadradas.
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313
PRÁCTICA 28 1. Calcule las siguientes integrales Z π/2 cos x dx a) 1 + sen2 x −π/2 R/ b
)
π 2
π/4
Z
ex sen(2x) dx 0
c
d
)
)
2
Z
√ 3
2
Z
1/2
e
)
0
eπ/4 + 2 5
R/
√ 2 3−π 6
√ 4 − x2 dx x2
1 dx 4x2 − 4x + 10
π/3
Z
R/
R/
π 24
R/ −1 +
√ 3
1 dx 1 + sen(x)
√ 2. En la gura adjunta aparece la grá ca de la función f (x) = 3 x y se destaca con negro la región encerrada entre la curva y el eje x en el intervalo [0, 4]. Determine el valor exacto del área sombreada.
.
R/ 16 unidades cuadradas
4 . Luego calcule el valor exacto del 9 + 2x2 área de la región limitada por la grá ca de esa función, el eje de las abscisas y las rectas verticales que pasan por los puntos de in exión de esas función.
3. Determine los puntos de in exión de la función dada por y =
R/Los puntos de in exión son x =
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√ − 6 2
y x=
√
6 2
y el área de la región es de
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√ 2π 2 9
unidades cuadradas.
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314
r
x y g(x) = |1 − x|. Encuentre las intersecciones entre ambas funciones 2 y el valor exacto del área de la región limitada entre las grá cas de f y g en el intervalo [0, 3].
4. Considere las funciones f (x) =
R/ Las intersecciones son x = Grá ca:
1 2
y x = 2 y el área es de
11+12 12
5. Considere la función f continua en todo R. Demuestre que
√
6
unidades cuadradas
b
Z
Z
−a
f (−x) dx =
f (x) dx −b
a
R/ Demostración completa
6. Sea f una función continua en R. Veri que que
b
Z
b
Z
f (a + b − x) dx
f (x) dx = a
a
R/ Demostración completa 7. Si f es una función continua en R demuestre que
Z
2a
Z
a
f (x − a) dx = 0
f (x) dx −a
R/ Demostración completa
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Prof. Leiner Víquez García
Bibliografía [1] Agüero, Evelyn y Fallas, Juan José. Introducción Tecnológica de Costa Rica. Cartago, Costa Rica. 2011. [2] Ávila Herrera, Juan Félix. Ejercicios de Cálculo; torial Tecnológica de Costa Rica. Cartago. 2000.
al Cálculo en una variable
. Primer Edición. Editorial
límites, derivadas e integrales.
Segunda edición. Edi-
[3] Larson, Roland;Hostetler, Robert y Edwards, Bruce. Cálculo y Geometría Analítica. Quinta Edición. McGraw-Hill. Madrid. 1995. [4] Rodríguez Arce, Pedro;Poltronieri Vargas, Jorge. Ejercicios de Cálculo I. Cuarta Edición. Sección de impresión de SIEDIN (Universidad de Costa Rica). San José, Costa Rica. 2006. [5] Stewart, James. xico. 2008.
Cálculo en una variable. Trascendentes tempranas.
315
Sexta Edición.Cengage Learning. Mé-
Apéndice A
Resumen de los casos de Factorización
316
Apéndice B
Fórmulas trigonométricas A.FÓRMULAS PARA ÁNGULOS NEGATIVOS. cos(−u) = cos (u)
sen (−u) = − sen(u)
tan(−u) = − tan (u)
sec(−u) = sec (u)
csc (−u) = − csc(u)
cot(−u) = − cot (u)
B.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. POR COCIENTE
RECÍPROCAS
PITAGÓRICAS
sen (u) tan (u) = cos (u)
1 csc (u) = sen (u)
sen2 (u) + cos2 (u) = 1
sec (u) =
1 cos (u)
sec2 (u) − tan2 (u) = 1
cot (u) =
1 tan (u)
csc2 (u) − cot2 (u) = 1
cot u =
cos (u) sen (u)
C.FÓRMULAS PARA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS sen(u + v) = sen (u) · cos (v) + cos (u) · sen (v)
cos(u + v) = cos (u) · cos (v) − sen (u) · sen (v)
sen(u − v) = sen (u) · cos (v) − cos (u) · sen (v)
cos(u − v) = cos (u) · cos (v) + sen (u) · sen (v)
D.FÓRMULAS PARA ÁNGULOS DOBLES cos(2u) = cos2 (u) − sen2 (u)
sen(2u) = 2 · sen (u) · cos (u)
= 2 cos2 (u) − 1 = 1 − 2 sen2 (u)
E.FÓRMULAS PARA EL ÁNGULO MEDIO sen2
u 2
=
1 − cos u 2
cos2
u 2
=
1 + cos u 2
En algunos ejercicios conviene replantear estas fórmulas de esta manera θ =
1 − cos (2θ) sen2 θ = 2
1 + cos (2θ) cos2 θ = 2
317
u 2
:
Apéndice C
Grá cas de las funciones trigonométricas (1) f(x)=sen x
318
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
319
(2) f(x)=cos x
(3) f(x)=tan x
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Apéndice D
Algunas fórmulas de Geometría
320
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
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321
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Apéndice E
La función exponencial DEFINICIÓN
Una función f : R −→ R
f (x) = 2x
+
es exponencial si es de la forma f (x) = ax tal que a > 0ya 6= 1. Ejemplos:
g(x) =
x 1 3
h(x) = ex
y = 0, 5x
Ejemplos de funciones exponenciales compuestas con otras funciones: 1 2 2 x h(x) = 5− tan(x) y= f (x) = 3x +2x+1 3
ECUACIONES EXPONENCIALES
Para resolver ecuaciones exponenciales se puede utilizar el siguiente principio: Si ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL (f (x) = ex )
Observe que l´ım ex = +∞ y que l´ımx→−∞ ex = 0 x→+∞
322
√ 2 g(x) = 4 x +1
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
323
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL COMO INVERSA DE LA LOGARÍTMICA NATURAL
Sea x un número real. La función exponencial natural, denotada por ex se de ne como sigue y = ex si y sólo si lny = x Nota: Observe la simetría entre las grá cas de ambas funciones con respecto a la función identidad.
Notas 1. Observe que l´ım ln x = +∞ x→+∞
l´ımx→0+ ln x = −∞
2. Recuerde la equivalencia para efectuar conversiones de notación logarítmica a exponencial y viceversa, a saber, si a es positivo y distinto de 1, se cumple x = ay si loga x = y 3. Así como y = ln x es la función inversa de y = ex y viceversa, así y = loga x es inversa de y = ax 4. Se puede aplicar la equivalencia del punto anterior para calcular la inversa de funciones compuestas con logaritmos y exponenciales.
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Apéndice F
La función logarítmica Ya en secundaria hemos estudiado la función logarítmica como inversa de la función exponencial. La de nición estudiada de función logarítmica, es:
DEFINICIÓN Una función f : R
+
−→ R
es logarítmica si es de la forma f (x) = loga (x) tal que a > 0 y a 6= 1.
Ejemplos: f (x) = log2 (x)
g(x) = log 1 (x)
h(x) = ln(x)
3
Ejemplos de funciones logarítmica compuestas con otras funciones: 1 h(x) = log5 (x2 + 1) y = ln(sen2 (x)) f (x) = log 2 x −4
y = log(x)
g(x) = log4
√ 5
x + 1 (con x > −1)
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La grá ca de la función logarítmica (f (x) = loga (x) con a > 0 y a 6= 1) varía según su base así:
324
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
325
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Recordemos las propiedades de los logaritmos. Si uy v son números reales positivos y a es real positivo y distinto de 1, se cumple: 1)loga (u · v) = loga u + loga v 2) loga
u v
= loga u − loga v
3) loga (un ) = n loga u √ 4) loga ( n u) =
1 n
loga u
( n ∈ N , n > 1)
5) loga 1 = 0 6) loga an = n 7) aloga (n) = n
( n ∈ R , n > 0)
8) ln en = n 9) eln(n) = n
( n ∈ R , n > 0)
Además resultará útil recordar la fórmula de cambio de base, a saber (para x > 0, a y b reales positivos logb (x) distintos de 1): loga (x) = y, en particular, puede utilizarse para reescribir logaritmos en otras base a logb (a) ln(x) logaritmos naturales asi: loga (x) = ln(a)
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326
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA NATURAL En secundaria se estudió la función logarítmica natural (y = ln(x)) como la inversa de la función exponencial natural (y = ex ). Es decir:
DEFINICIÓN 1: de ne como sigue:
Sea x un número real positivo,. La función
logaritmo natural
que se denota ln(x), se
ln(x) = b si y sólo si eb = x
Como la base de la función logarítmica natural es e y e > 1 su grá ca es:
1 Sin embargo, la función logarítmica natural tiene una relación estrecha con la función racional . En primer x lugar, ln(x) también puede de nirse como integral de nida, tal y como se muestra a continuación.
DEFINICIÓN 2: La función logaritmo natural x
Z ln(x) = 1
1 dt t
ln(x), es la función de nida por:
con x > 0
Observe que ln(x) corresponde al área de la función f (t) =
1 desde 1 hasta x, con x > 0. t
Por otra parte, a partir de esta de nición es fácil concluir la derivada de la función ln(x) a partir del segundo 1 teorema fundamental del cálculo, ya que f (t) = es continua en un intervalo abierto que contiene a t = 1, con t lo que se cumple la hipótesis de dicho teorema. Así, para x > 0: d d [ln(x)] = dx dx
Z 1
x
1 1 dt = t x
Además, el resultado anterior junto con la formula de cambio de base para los logaritmos y aplicando la regla de la cadena, es posible deducir las fórmulas de derivación que se dan a continuación.
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Apéndice G
Las funciones inversas trigonométricas Si se hacen las restricciones apropiadas en el dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas, podemos hacer que sean biyectivas y que por lo tanto tengan función inversa. De nimos las seis funciones inversas trigonométricas con su dominio y su ámbito respectivo:
De nición de la función y=arcsen (x) si y sólo si sen (y)=x
Dominio
ámbito
[-1,1]
y=arccos (x) si y sólo si cos (y)=x y=arctan (x) si y sólo si tan (y)= x
[-1,1]
si y sólo si csc (y)=x
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
y= arcsec (x) si sólo si sec (y)=x y=arccot (x) si y sólo si cot (y)=x
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
h −π π i , 2 2 [0, π] i −π π h , h −π 2π i 2 , − {0} 2 2 [0, π] − {π/2}
IR
]0, π[
y=arccsc (x)
IR
Grá cas de las funciones trigonométricas inversas
327
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Apéndice H
Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas H.1. Integrales de productos de potencias de senos y cosenos H.1.1. Caso I: Una de las funciones tiene exponente impar En este caso se separa la potencia de exponente impar de forma que se pueda utilizar identidades trigonométricas para llegar a una sustitución simple. Ejemplo: Z cos5 (x) sen6 (x)dx = Z cos4 (x) sen6 (x) cos(x)dx = Z cos2 (x) cos2 (x) sen6 (x) cos(x)dx = Z (1 − sen2 (x))(1 − sen2 (x)) sen6 (x) cos(x)dx = Sustitución: u = sen(x) Z (1 − u2 )(1 − u2 )u6 du = du = cos(x)dx Z (1 − 2u2 + u4 )u6 du = Z (u6 − 2u8 + u10 ) du = u7 2u9 u11 − + +C = 7 9 11 sen7 (x) 2 sen9 (x) sen11 (x) − + +C 7 9 11
330
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
331
H.1.2. Caso II: Los exponentes de ambas funciones es par Se replantea el integrando para utilizar las fórmulas vistas para la mitad de un ángulo. A saber, 1 − cos(2θ) 2 1 + cos(2θ) 2 cos (θ) = 2
sen2 (θ) =
Ejemplo: Z
sen4 (x) cos2 (x)dx =
Z
sen2 (x) sen2 (x) cos2 (x)dx =
Z
(1 − cos(2x)) (1 − cos(2x)) (1 + cos(2x)) dx = Aplicando las fórmulas del ángulo medio 2 2 2 Z (1 − cos(2x))(1 − cos2 (2x))dx = Z 1 − cos(2x) − cos2 (2x) + cos3 (2x) dx = Z Z Z Z 1dx − cos(2x) dx − cos2 (2x) dx + cos3 (2x) dx = sen3 (2x) 1 1 2x + sen(2x) cos(2x) 1 x − sen(2x) − + sen(2x) − +C 2 2 2 2 3
1 8 1 8 1 8 1 8
H.2. Integrales de potencias de secantes y tangentes H.2.1. Caso I: La secante tiene exponente par En este caso tomamos de la secante un factor sec2 (x) para formar el diferencial de la tangente y se utilizan identidades y operaciones algebraicas para que el integrando quede en términos de la tangente y usar la sustitución u = tan(x). Ejemplo: Z tan8 (x) sec4 (x) dx = Z tan8 (x) sec2 (x) sec2 (x) dx = Z tan8 (x)(1 + tan2 (x))(x) sec2 (x) dx = Sustitución u = tan(x) Z u8 (1 + u2 ) du = du = sec2 (x)dx Z u8 + u10 du = u9 u11 + +C = 9 11 tan9 (x) tan11 (x) + +C 9 11
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332
H.2.2. Caso II: La secante y la tangente tienen ambas exponentes impares En este caso, se separa un factor de cada una de las potencias para obtener el diferencial de la secante y se utilizan identidades y operaciones algebraicas para que el integrando quede en términos de la secante y usar la sustitución u = sec(x).Ejemplo: Z tan5 (x) sec3 (x) dx = Z tan4 (x) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Z tan2 (x) tan2 (x) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Z (sec2 (x) − 1)(sec2 (x) − 1) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Sustitución u = sec(x) Z (u2 − 1)(u2 − 1)u2 du = du = sec(x) tan(x)dx Z (u4 − 2u2 + 1)u2 du = Z (u6 − 2u4 + u2 ) du = 2u5 u3 u7 − + +C = 7 5 3 sec7 (x) 2 sec5 (x) sec3 (x) − + +C 7 5 3
H.2.3. Caso III: La secante tiene exponente impar y la tangente exponente par El integrando se reescribe en términos de sec(x). Luego se separa la integral en sumas o restas de integrales de potencias de la secante, que se resuelven independientemente por el método de integración por partes. Para ello se separa un factor sec2 (x) (recuerde que en el caso de la integral de secante elevada al cubo además genera una integral cíclica).Ejemplo: Z tan2 (x) sec3 (x) dx = Z (sec2 (x) − 1) sec3 (x) dx = Z (sec5 (x) − sec3 (x)) dx = Z Z sec5 (x) dx − sec3 (x) dx = Z Z sec3 (x) sec2 (x) dx − sec(x) sec2 (x) dx Z Z Sea I1 = sec3 (x) sec2 (x) dx y sea I2 = sec(x) sec2 (x) dx Se aplica el método de integración por partes a ambas integrales, de forma que: Integral 1. Tomando u = sec3 (x) y dv = sec2 (x) dx y resolviendo la integral cíclica, se llega a que : Z sec3 (x) tan(x) 3 I1 = + sec3 (x) dx 4 4 Integral 2. Tomando u = sec(x) y dv = sec2 (x) dx y resolviendo la integral cíclica, se llega a que : I2 = Z ∴
sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| 2
tan2 (x) sec3 (x) dx =
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sec3 (x) tan(x) sec(x) tan(x) − ln | sec(x) tan(x)| − +C 3 8
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Apéndice I
Algunas demostraciones de teoremas y otros resultados I.1. Demostraciones de algunas propiedades de los límites 1. Si a, L, M son números reales, f y g son funciones tales que l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M . x→a x→a Demuestre utilizando la de nición formal de límite que l´ım [f (x) + g(x)] = L + M
x→a
SOLUCIÓN: Hay que probar que ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ se cumple que |(f (x)+g(x))−(L+M )| < . Sea Sea 2 > 0 arbitrario pero jo. Por las hipótesis dadas de l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M , entonces x→a x→a existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que: (i) si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − L| < (ii) si 0 < |x − a| < δ2 entonces |g(x) − M | <
2 2
Sea δ = mín{δ1 , δ2 }. Entonces si 0 < |x − a| < δ las condiciones anteriores (i) y (ii) se cumplen simultáneamente, por lo que tendríamos que: Si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L| <
2
y |g(x) − M | <
. 2
Ahora bien, se cumple lo siguiente: |(f (x) + g(x)) − (L + M )| = |f (x) + g(x) − L − M | = |f (x) − L + g(x) − M | = |(f (x) − L) + (g(x) − M )| ≤ |f (x) − L| + |g(x) − M | (por desigualdad triangular) < + = 2 2
Entonces, ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se cumple que |(f (x) + g(x)) − (L + M )| < Por lo tanto, l´ım [f (x) + g(x)] = L + M . x→a
333
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334
2. Demuestre (utilizando la de nición formal de límite) la siguiente proposición. Sean a y L números reales y f una función tal que l´ım f (x) = L, y k es una constante real tal que k 6= 0, entonces: x→a
l´ım ( k · f (x)) = k · L
x→a
SOLUCIÓN: Hay que probar que ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se cumple que |kf (x) − kL| < . Sea 1 > 0 arbitrario pero jo. Entonces = |k| · 1
también es positivo y arbitrario.
Por hipótesis dada de l´ım f (x) = L sabemos que para el 1 > 0 dado, existe δ1 > 0 tal que x→a
si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − L| < 1 Entonces, si 0 < |x − a| < δ1 , por propiedades del valor absoluto se cumple que si: |kf (x) − kL| = |k(f (x) − L)| = |k| |f (x) − L| < |k| 1 = Así, si tomamos δ 6 δ1 tenemos lo siguiente: Si 0 < |x − a| < δ se cumplirá que |kf (x) − kL| < Por tanto, como = 1 · |k| era arbitrario y positivo ya que 1 > 0 era arbitrario, tenemos que: ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |kf (x) − kL| < ∴
l´ım (kf (x)) = kL
x→a
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DE C O
Facultad de Ciencias
A
ER
T
S
AD
S
ID
A
UNIV
RIC
Escuela de Matemática
LU
CE
M ASPIC
IO
Departamento de Matemática Aplicada
MA0293 Cálculo para Computación I
Apuntes para el curso MA-0293 Cálculo 1 para Computación
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II Ciclo, 2017
Índice general 1. Límites de funciones y continuidad
4
1.1.
Concepto intuitivo de Límite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.
Cálculo de límites a partir de la grá ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.
Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4.
Técnicas para el cálculo de límites
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.
Sustitución directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.2.
Límites de la forma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
0 0
1.5.
Límites laterales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.6.
Límites in nitos y las asíntotas verticales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.7.
Límites al in nito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función
. . . . . . . . . .
33
1.7.1.
Concepto de límite al in nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.7.2.
Propiedades de los in nitos
35
1.7.3.
Comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito
1.7.4.
Cálculo de límites al in nito de funciones racionales
1.7.5.
Cálculo de límites al in nito de funciones en las que aparecen radicales de índice
1.7.6.
Cálculo de las asíntotas horizontales de una función
1.7.7.
Asíntotas oblicuas de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dos(en el numerador o el denominador)
1.8.
Límites trigonométricos
. . . . . . . . . . . . .
35
. . . . . . . . . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 44 46 54
1.8.1.
Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.8.2.
Límites Trigonométricos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.8.3.
Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable
.
60
El Teorema de Intercalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.10. La de nición formal de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.9.
1.11. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
1.11.1. Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo . . .
76
1.11.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.11.3. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.11.4. Estudio de la continuidad de una función
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
1.12. El Teorema del Valor Intermedio
2. Derivadas
92
2.1.
Concepto de Derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Derivación de funciones utilizando la de nición (Límite)
2.3.
La derivada en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.4.
Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
2.5.
Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
2.6.
Derivación con fórmulas
105
2.7.
Derivación Implícita
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.8.
Derivadas puntuales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.9.
Derivación de las funciones inversas trigonométricas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92 93
114
Apuntes para MA0293 Cálculo I para Computación
2.10. Derivación de funciones logarítmicas
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Derivación usando las propiedades de los logaritmos
117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
2.12. Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.13. Derivación de funciones exponenciales
120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.15. Derivadas Implícitas de Orden Superior
129
2.16. Aplicaciones de la derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1. Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado
. .
132 132
2.16.2. Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16.3. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración.
.
136 145
2.16.4. Problemas de tasas relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
2.16.5. Extremos de una función
151
2.17. El teorema de Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
2.18. El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
2.19. Otras aplicaciones de la derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.1. Análisis y gra cación de funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163 163
2.19.2. Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
2.19.3. Problemas de optimización
198
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Integrales
206
3.1.
La integral inde nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
3.2.
El método de sustitución para calcular integrales inde nidas . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
3.3.
Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
3.3.1.
Fórmulas para integrar funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
3.3.2.
Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por
3.3.3.
Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas
medio de una sustitución simple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220 222
3.4.
Integrales que generan logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
3.5.
Integral de las funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
3.6.
Integrales que involucran inversas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
3.7.
Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Técnicas de integración
232
234
4.1.
Método de descomposición en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
4.2.
Técnica de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.3.
Método de sustitución trigonométrica
256
4.4.
Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. La integral de nida (el área bajo una curva)
266
271
5.1.
Concepto de integral de nida
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.
Algunas propiedades de la integral de nida
5.3.
Propiedades y fórmulas de las sumatorias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.4.
Cálculo de integrales de nidas mediante sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
5.5.
El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.6.
El método de sustitución con integrales de nidas
287
5.7.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
5.8.
Aplicación: El área de la región limitada entre dos curvas
299
5.9.
Integrales de nidas que involucran diferentes funciones y técnicas de integración
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271 274
308
A. Resumen de los casos de Factorización
316
B. Fórmulas trigonométricas
317
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3
C. Grá cas de las funciones trigonométricas
318
D. Algunas fórmulas de Geometría
320
E. La función exponencial
322
F. La función logarítmica
324
G. Las funciones inversas trigonométricas
327
H. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas H.1. Integrales de productos de potencias de senos y cosenos
330
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
H.1.1. Caso I: Una de las funciones tiene exponente impar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
H.1.2. Caso II: Los exponentes de ambas funciones es par . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2. Integrales de potencias de secantes y tangentes
331
H.2.1. Caso I: La secante tiene exponente par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
H.2.2. Caso II: La secante y la tangente tienen ambas exponentes impares . . . . . . . . .
332
H.2.3. Caso III: La secante tiene exponente impar y la tangente exponente par
332
. . . . . .
I. Algunas demostraciones de teoremas y otros resultados I.1.
331
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
Demostraciones de algunas propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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333
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Capítulo 1 Límites de funciones y continuidad
1.1. Concepto intuitivo de Límite DEFINICIÓN: Decimos que el
límite de
f (x)
cuando x tiende a c, es igual a L si a medida que los valores de x se
aproximan a c, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de Esto se escribe
l´ım f (x) = L
x→c
lo que también se puede escribir como
f (x) → L
cuando
Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la función valor se aproxima
f (x)
si
x
se aproxima a
f (x)
se aproximan a L.
x → c.
f (x) =
x2 − 4 , ¾a qué x−2
2?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· I
2
x
1,5
1,9
1,99
1,999
/////
2,001
2,01
2,1
2,5
y
3,5
3,9
3,99
3, 999
/////
4,001
4,01
4,1
4,5
··································· I Lo que en la grá ca se vería así:
4
4
J ···································
J ···································
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5
Observe que aunque la función no está de nida para
2,
2)
se aproximan a
l´ım f (x) = 4
x→2− decimos que
4
4.
Nótese que el
4
f (x)
(restricción), para valores muy cercanos a
como a la derecha (valores mayores que
no es imagen de
(límite lateral izquierdo) y
es el límite de
x=2
2), las imágenes 2. Esto se representa mediante los límites laterales l´ım f (x) = 4 (límite lateral derecho). Al coincidir ambos,
tanto a la izquierda (valores menores que
cuando
x→2+ tiende a
x
l´ım f (x) = 4
2,
lo que simbólicamente se representa así:
o también
x→2
x2 − 4 =4 x→2 x − 2 l´ım
EXISTENCIA DEL LÍMITE Si f es una función y si c y L son números reales, decimos que
l´ım f (x) = L
x→c
si y sólo si:
l´ım f (x) = l´ım+ f (x) = L
x→c−
x→c
EJEMPLO.
a
2x + 3, Considere la función f (x) = 5, 2 x + 1, −1?
si si si
x < −1 x = −1 x > −1
¾Qué sucede cuando los valores de
··································· I
J ···································
x
−1,2
−1,1
−1,01
−1,001
-1
−0,999
−0,99
−0,9
−0,8
y
0,6
0,8
0,98
0,998
5
1,998
1,98
1,81
1,64
··································· I
Observe que cuando los valores de
−1),
x se aproximan
las imágenes se aproximan a
1.
x
?
se aproximan a
J ···································
−1
por la izquierda (valores menores que
Lo anterior se puede representar como un límite lateral izquier-
l´ım f (x) = 1. A la vez, cuando los valores de x se aproximan a −1 por la derecha (valores mayores x→−1− que −1), las imágenes se aproximan a 2. Esto se representa con el límite lateral derecho l´ım f (x) = 2. x→−1+ Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de −1 sea 5, pues f (−1) = 5. Sin embargo, al do
ser diferentes los límites laterales, no podemos decir que
l´ım f (x)
x→−1
exista. Así, para que un límite exista,
los límites laterales deben ser iguales.
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6
1.2. Cálculo de límites a partir de la grá ca de la función Como ya se ha mencionado en el apartado anterior, el concepto de límite está relacionado con el comportamiento de la función en un
vecindario
alrededor de cierto número. De ahí que, si se cuenta con
la grá ca de una función, podemos calcular (sí existe) el valor de un límite. EJEMPLO. Considere la gura en la que aparece representada la función
f.
De acuerdo con los datos que se aprecian en la grá ca, se cumple que:
l´ım f (x) = −0,7
x→−1−
l´ım f (x) = 0
x→−2−
l´ım f (x) = 4
x→0−
l´ım f (x) = 4
x→1−
l´ım f (x) = 2
x→2−
l´ım f (x) = 1
x→3−
l´ım f (x) no existe
l´ım f (x) = 2
x→−1
x→−1+
l´ım f (x) = 0
l´ım f (x) = 0
f (−2) = 0
l´ım f (x) = 4
f (0) = 4
l´ım f (x) = 4
f (1) = 4
l´ım f (x) = 2
f (2) no está de nida
l´ım f (x) = 1
f (3) = 4
x→−2
x→−2+
l´ım f (x) = 4
x→0
x→0+
l´ım f (x) = 4
x→1
x→1+
l´ım f (x) = 2
x→2
x→2+
l´ım f (x) = 1
x→3
x→3+
f (−1) = 2
Cuando la función tiene asíntotas verticales, se puede dar la situación de que un límite no exista, pero el comportamiento de la función se puede representar simbólicamente como un
l´ım f (x) = +∞
x→4−
l´ım f (x) = −∞
x→−3− (*)
l´ım f (x) = +∞
x→4+
l´ım f (x) = +∞
x→−3+
límite in nito.
l´ım f (x) = +∞
f (4) no está de nida
l´ım f (x) No existe (*)
f (−3) no está de nida
x→4 x→−3
NOTA: En estos últimos ejemplos el límite no existe, sin embargo en el caso de l´ım f (x) no solamente el x→−3
límite no existe, sino que no se puede representar el comportamiento de la función (al aproximarse por ambos lados a la asíntota vertical) como un límite in nito. Además podemos analizar el comportamiento de la función cuando el valor de mente, mediante el cálculo de los siguientes
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
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límites al in nito.
x
crece o decrece in nita-
l´ım f (x) = 0
x→+∞
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7
1.3. Propiedades de los límites c, L
y
cualquiera,
n
Si
M
l´ım f (x) = L, l´ım g(x) = M , k es una constante real x→c x→c es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades (la demostración de al menos son números reales tales que
una de estas propiedades se efectuará más adelante cuando se estudie la de nición formal de límite):
l´ım (f (x) ± g(x)) = l´ım f (x) ± l´ım g(x) = L ± M
(1) El límite de una suma o resta de funciones
(2) El límite de un producto de funciones
x→c
x→c
f (x) g(x)
l´ım
x→c
(4) El límite de un múltiplo escalar de una función
(5) El límite de una potencia
n
x→c
l´ım (f (x) · g(x)) = l´ım f (x) · l´ım g(x) = L · M
x→c
(3) El límite de un cociente de funciones
x→c
=
x→c
l´ım g(x)
=
x→c
L , M
si
l´ım g(x) = M 6= 0
x→c
l´ım (k · f (x)) = k · l´ım f (x) = k · L
x→c
l´ım (f (x)) = l´ım f (x)
x→c
x→c
l´ım f (x)
n
x→c
x→c
= Ln
(6) El límite de un radical:
(a) Si
(b) Si
n
es par y
n
L
es impar y
Ejemplo. Si
es real positivo o cero
L
l´ım f (x) = 25
l´ım
x→−2
y
l´ım g(x) = −4,
1p 2 f (x) + 3 (g(x)) − 5f (x) · g(x) 5
= =
(b)
" p # 3 3 5 · f (x) − 0,25 · g(x) p l´ım x→−2 2f (x) + 5 5 8g(x)
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l´ım
x→c
x→−2
=
x→c
x→c
es un real cualquiera
x→−2 de los límites.
(a)
r √ p n n f (x) = n l´ım f (x) = L l´ım p n f (x) =
r n
√ n l´ım f (x) = L
x→c
calcule los siguientes límites utilizando las propiedades
=
l´ım
x→−2
1p 2 f (x) + l´ım 3 (g(x)) − l´ım (5f (x) · g(x)) x→−2 x→−2 5
p 1 2 f (x) + 3 l´ım (g(x)) − 5 l´ım (f (x) · g(x)) l´ım x→−2 x→−2 5 x→−2 q 2 ! 1 l´ım f (x) + 3 l´ım g(x) − 5 · l´ım f (x) · l´ım g(x) x→−2 x→−2 x→−2 x→−2 5 1 √ 2 25 + 3 (−4) − 5 · (25 · −4) 5
=
1 · 5 + 3 · 16 − 5 · −100 5
=
1 + 48 − −500
=
549
(tarea)
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R/
2 5
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8
1.4. Técnicas para el cálculo de límites 1.4.1. Sustitución directa Aunque el valor del límite de una función cuando
x → c no depende de el valor de la función en x = c, f (c). Más adelante veremos que en este caso
en ciertos casos resulta que el límite sí coincide con el valor decimos que la función es continua en
x = c.
Así, a partir de las propiedades de los límites surge una
técnica para calcular límites determinados, llamada la
sustitución directa.
resolvamos algunos ejemplos,
teniendo en cuenta los siguientes límites básicos y las propiedades de los límites.
TEOREMA
1. 2. 3. 4.
(LÍMITES BÁSICOS) : Si b y c son números reales y n es un entero, entonces se cumple:
l´ım b = b
x→c
l´ım x = c
x→c
l´ım xn = cn
x→c
l´ım
√ n
x→c
x=
(en este caso
√ n
c
n
es positivo si
(en este caso si
n
c = 0)
es par, considere que
c > 0)
EJEMPLO.
l´ım x2 + 1 x2 + 1 x→2 = l´ım x→2 x + 2 l´ım (x + 2) x→2 l´ım x2 + l´ım (1) x→2 x→2 = l´ım (x) + l´ım (2) = =
x→2 22 +1 2+2 5 4
(por propiedad 3 de los límites)
(por propiedad 1 de los límites)
x→2
(por Teorema de los límites básicos)
Ahora bien, si no se nos pide especí camente demostrar o justi car detalladamente el resultado de un límite, podemos aplicar la técnica abreviada de la sustitución directa, para evaluar el límite, así:
22 + 1 5 x2 + 1 = = x→2 x + 2 2+2 4 l´ım
(mediante la Técnica de Sustitución Directa)
EJEMPLOS. Evalúe los siguientes límites, mediante la técnica abreviada de sustitución directa:
1.
l´ım
x→3
x−4 x+5 √
2.
3.
l´ım
x→−2
R/
5+x+1 x2 − 3
R/1
√ x+4−1 l´ım √ x→5 3 x2 + 2 + 1
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+
−1 8
√
R/
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3
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1.4.2. Límites de la forma
9
0 0
Cuando tratamos de utilizar la técnica de sustitución directa para calcular el límite en una función algebraica cuando
x → c,
llegamos a la forma indeterminada
0 , 0
podemos calcular el límite mediante la
obtención de una función que sea equivalente a la original, salvo en el punto
x = c.
En otras palabras,
aplicaremos el siguiente teorema:
TEOREMA: Sea
c
un número real y
existe, entonces
f (x) = g(x)
l´ım f (x)
x→c
para todo
x 6= c
también existe y además
en un intervalo abierto que contiene a
c.
Si
l´ım g(x)
x→c
l´ım f (x) = l´ım g(x)
x→c
x→c
NOTA:
l´ım g(x) se puede calcular por sustitución directa, entonces, al aplicar el teorema anterior, x→c tendríamos que l´ ım f (x) = l´ım g(x) = g(c) x→c x→c
Observe que si
A partir de lo anterior, para encontrar la función requerida y posteriormente lograr una igualdad entre los límites, las técnicas que utilizaremos serán
factorización
y
racionalización.
Ejemplos de límites que se resuelven factorizando:
1.
x3 + x2 − 2x x→−2 x3 + 3x2 + 2x l´ım
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a factorizar:
x3 + x2 − 2x x(x2 + x − 2) = l´ ım x→−2 x3 + 3x2 + 2x x→−2 x(x2 + 3x + 2) x2 + x − 2 = l´ım 2 se x→−2 x + 3x + 2 (x + 2)(x − 1) = l´ım x→−2 (x + 1)(x + 2) (x − 1) = l´ım x→−2 (x + 1) (−2 − 1) = (−2 + 1) (−3) = (−1) = 3 l´ım
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sigue obteniendo la
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0 inderterminación 0
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2.
l´ım1
x→ 2
3.
l´ım
10
4x2 + 4x − 3 8x3 − 6x2 + x
x→1 x3
R/8
x3 − 1 − x2 + x − 1
R/
3 2
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
l´ım
x→1 x3
4.
0 0 se procede a factorizar:
x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = l´ım 2 − x + x − 1 x→1 (x − 1)(x2 + 1) (x2 + x + 1) = l´ım x→1 (x2 + 1) (12 + 1 + 1) = (12 + 1) 3 = 2
(8 − x3 )(x2 − 4x + 4) x→2 x3 − 6x2 + 12x − 8
R/−12
l´ım
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11
Ejemplos de límites que se resuelven racionalizando:
EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE DOS Se multiplica por un factor racionalizador (un
1
conveniente), multiplicando el numerador y el deno-
minador por el conjungado del factor que se quiere racionalizar, para obtener la fórmula notable:
(a + b)(a − b) = a2 − b2 1.
l´ım √
x→1
1−x 5 − x2 − 2
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
l´ım √
x→1
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0 0 se procede a racionalizar el denominador:
√ 1−x (1 − x) ( 5 − x2 + 2) √ √ = l´ım · 5 − x2 − 2 x→1 ( 5 − x2 − 2) ( 5 − x2 + 2) √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) √ = l´ım x→1 ( 5 − x2 )2 − (2)2 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 5 − x2 − 4 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 1 − x2 √ (1 − x)( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 (1 + x)(1 − x) √ ( 5 − x2 + 2) = l´ım x→1 (1 + x) √ ( 5 − 12 + 2) = (1 + 1) √ ( 4 + 2) = (2) 4 = 2 = 2
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√ 2.
l´ım
x→3
12
6+x−x 3−x
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, sólo que en este caso
es el numerador:
√ l´ım
x→3
3.
x2 + x − 2 l´ım √ x→−2 6+x−2
4.
p p 2(x − 4) − 2(x + 2) l´ım x→6 x2 − 36
√ √ 6+x−x ( 6 + x − x) ( 6 + x + x) = l´ım · √ x→3 3−x (3 − x) ( 6 + x + x) √ ( 6 + x)2 − (x)2 √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) 6 + x − x2 √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) (3 − x)(2 + x) √ = l´ım x→3 (3 − x)( 6 + x + x) (2 + x) = l´ım √ x→3 ( 6 + x + x) (2 + 3) = √ ( 6 + 3 + 3) 5 = 6
R/−12
2
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R/
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1 16
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13
EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE TRES Se multiplica por un factor racionalizador (un
1
conveniente), multiplicando el numerador y el deno-
minador por el factor que completa la correspondiente fórmula notable:
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Ejemplos:
1.
√ 3 − 3 9x l´ım x→3 x2 − 9 SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, en este caso el nume-
rador:
√ √ √ √ 3 3 3 − 3 9x (3 − 3 9x) (3)2 + 3 9x + ( 9x)2 √ √ l´ım = l´ım · x→3 x2 − 9 x→3 (x2 − 9) (3)2 + 3 3 9x + ( 3 9x)2 √ (3)3 − ( 3 9x)3 = l´ım √ √ 3 x→3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2 = l´ım
27 − 9x √ √ 3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
= l´ım
−9(−3 + x) √ √ 3 (x + 3)(x − 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
= l´ım
−9 √ √ 3 (x + 3) 9 + 3 3 9x + 81x2
x→3
x→3
x→3
=
= =
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−9 √ √ 3 3 (3 + 3) 9 + 3 9 · 3 + 81 · 32
−9 6 (9 + 9 + 9) −1 18
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2.
14
x2 − 4x + 3 l´ım √ x→3 3 3x − 1 − 2 SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, en este caso el deno-
minador:
√ √ ( 3 3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + (2)2 (x2 − 4x + 3) x2 − 4x + 3 √ = l´ım √ · √ l´ım √ x→3 ( 3 3x − 1 − 2) x→3 3 3x − 1 − 2 ( 3 3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + (2)2 p √ (x − 1)(x − 3) 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 √ = l´ım x→3 ( 3 3x − 1)3 − (2)3 p √ (x − 1)(x − 3) 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 = l´ım x→3 3x − 1 − 8 p √ 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 (x − 1)(x − 3) = l´ım x→3 3x − 9 p √ 3 (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 (x − 1)(x − 3) = l´ım x→3 3(x − 3) p √ 3 (x − 1) (3x − 1)2 + 2 3 3x − 1 + 4 = l´ım x→3 3 p √ 3 (3 − 1) ( (3 · 3 − 1)2 + 2 3 3 · 3 − 1 + 4 = 3 (2) (4 + 4 + 4) = 3 (2) (12) = 3 = 8 3.
l´ım
x→4
x3 − 9x2 + 26x − 24 √ 3 − 3 23 + x
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R/
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−54
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15
DOBLE RACIONALIZACIÓN
1.
√ 3− x−2 √ l´ım x→11 2 − 15 − x SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto
el numerador como el denominador:
√ √ √ √ 3− x−2 (3 − x − 2) (3 + x − 2) (2 + 15 − x) √ √ √ √ l´ım = l´ım · · x→11 2 − 15 − x x→11 (2 − 15 − x) (3 + x − 2) (2 + 15 − x) 2 √ √ (3) − ( x − 2)2 (2 + 15 − x) √ √ = l´ım 2 x→11 (2) − ( 15 − x)2 (3 + x − 2) √ [9 − x + 2] (2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 [4 − 15 + x] (3 + x − 2) √ − [−11 + x] (2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 [x − 11] (3 + x − 2) √ −(2 + 15 − x) √ = l´ım x→11 (3 + x − 2) √ −(2 + 15 − 11) √ = (3 + 11 − 2) −4 −2 = = 6 3
2.
√ 1− x−2 l´ım √ x→3 x+6−3
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R/−3
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3. Calcule
16
√ 2x + 3 − 3 √ . x→3 − x + 1 + 2 l´ım
(Indeterminación
0 0)
SOLUCIÓN √
√ √ ( 2x + 3 − 3) ( 2x + 3 + 3) (2 + x + 1) √ √ · √ · x→3 (2 − x + 1) ( √ 2x + 3 + 3) (2 + x + 1) [2x + 3 − 9](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [4 − x − 1]( 2x + 3 + 3) √ [2x − 6](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [3 − x]( 2x + 3 + 3) √ −2[3 − x](2 + x + 1)) √ = l´ım x→3 [3 − x]( 2x + 3 + 3) √ −2(2 + x + 1)) = l´ım √ x→3 ( 2x + 3 + 3) −2 · 4 = 6 −4 = 3 l´ım
4.
√ ( 3 16x − 8 + 2) √ x→0 ( 1 − 2x − 1) l´ım
SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación
0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto
el numerador como el denominador:
p √ √ √ √ ( 3 16x − 8 + 2) ( 3 16x − 8 + 2) ( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) ( 1 − 2x + 1) l´ım √ = l´ım √ · p · √ √ x→0 ( 1 − 2x − 1) x→0 ( 1 − 2x − 1) ( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) ( 1 − 2x + 1) √ √ [( 3 16x − 8)3 + 23 ]( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ √ x→0 [( 1 − 2x)2 − 12 ]( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ [16x − 8 + 8]( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ x→0 [1 − 2x − 1]( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ 16x( 1 − 2x + 1) p = l´ım √ x→0 −2x( 3 (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) √ −8( 1 − 2x + 1) p = l´ım 3 √ x→0 ( (16x − 8)2 − 2 3 16x − 8 + 4) −8(2) = (12) −4 = 3
5.
√ 1− x l´ım √ x→1 3 x − 1
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R/
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−3 2
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17
Ejemplos de límites en los que se puede aplicar una sustitución adecuada:
1.
l´ım √
x→2
x−2 √ x−1+24x−1−3
SOLUCIÓN: El límite es de la forma
0 . 0
El límite se puede resolver usando la siguiente sustitución:
Sustitución:
u4 = x − 1 Cuando x → 2 Entonces u → 1 u4 + 1 = x l´ım √
x→2
2.
u4 + 1 − 2 x−2 √ √ = l´ım √ 4 x − 1 + 2 x − 1 − 3 u→1 u4 + 2 4 u4 − 3 u4 − 1 = l´ım 2 u→1 u + 2u − 3 (u2 + 1)(u + 1)(u − 1) = l´ım u→1 (u + 3)(u − 1) (u2 + 1)(u + 1) = l´ım u→1 (u + 3) (2)(2) = = 1 (4)
√ ( 3 16x − 8 + 2) l´ım √ x→0 ( 1 − 2x − 1) SOLUCIÓN: El límite es de la forma
0 0
p √ ( 3 −8(1 − 2x) + 2) ( 3 16x − 8 + 2) √ √ = l´ım x→0 ( 1 − 2x − 1) x→0 ( 1 − 2x − 1) √ (−2 3 1 − 2x + 2) √ = l´ım x→0 ( 1 − 2x − 1) √ 3 (−2 u6 + 2) √ = l´ım (?) u→1 ( u6 − 1) (−2 u2 + 2) = l´ım u→1 (u3 − 1) −2(u + 1)(u − 1) = l´ım u→1 (u − 1)(u2 + u + 1) −2 (u + 1) = l´ım 2 u→1 (u + u + 1) −2 (2) = (3) −4 = 3 l´ım
Sustitución efectuada en el paso señalado con
?.
u6 = 1 − 2x cuando x → 0 entonces u → 1 Universidad de Costa Rica
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3.
4.
√ 3 x−4 l´ım √ x→64 x−8
l´ım √
x→0
R/
2x √ 2x + 1 − 3 2x + 1
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18
1 3
R/6
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19
Límites que se resuelven efectuando operaciones algebraicas.
1.
l´ım
x→1
1 3 − 1 − x 1 − x3
SOLUCIÓN: Observe que en este caso el límite tiene de la forma indeterminada
∞ − ∞.
La técni-
ca para calcularlo consiste en efectuar la resta planteada, para obtener una expresión equivalente (excepto quizás en
l´ım
x→1
x = 1)
1 3 − 1 − x 1 − x3
y en la que la indeterminación sea otra.
1 3 − x→1 (1 − x) (1 − x)(1 + x + x2 ) 1 + x + x2 − 3 = l´ım ahora el límite x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) x2 + x − 2 = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) (x + 2)(x − 1) = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) −(x + 2)(−x + 1) = l´ım x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) −(x + 2) = l´ım x→1 (1 + x + x2 ) −(1 + 2) = (1 + 1 + 12 ) −(3) = (3) = −1 = l´ım
genera la inderterminación
0 0
2 1− x l´ım 1 x→2 √ −1 x−1
2.
0 0 , pero por conveniencia en los cálculos, efectuaremos las restas planteadas en el numerador y el denominador: SOLUCIÓN: En este caso se genera la indeterminación
2 (x − 2) √ 1− x (x − 2) x − 1 x √ √ l´ım l´ım = l´ım = x→2 1 x→2 (1 − x − 1) x→2 x(1 − x − 1) √ −1 √ x−1 x−1 √ √ √ √ (x − 2) x − 1 (1 + x − 1) (x − 2) x − 1(1 + x − 1) √ √ √ = l´ım · = l´ım x→2 x(1 − x − 1) (1 + x − 1) x→2 x (1)2 − ( x − 1)2 √ √ √ √ (x − 2) x − 1(1 + x − 1) −(−x + 2) x − 1(1 + x − 1) = l´ım = l´ım x→2 x→2 x [1 − x + 1] x [2 − x] √ √ √ √ − x − 1(1 + x − 1) − 2 − 1(1 + 2 − 1) −2 = = = −1 = l´ım x→2 x 2 2
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20
PRÁCTICA 1 1. Considere Considere la siguiente grá ca de la función
f (x). Calcule los siguientes límites (si existen).
En caso de que el límite no exista indíquelo escribiendo NO EXISTE EL LÍMITE.
a ) l´ım− f (x) x→2
b ) l´ım+ f (x) x→2
c ) l´ım f (x) x→2
d) e) f)
l´ım
x→−1,5−
f (x)
l´ım f (x)
x→−3−
l´ım f (x)
x→−3+
g ) l´ım f (x) x→−3
h ) l´ım− f (x) x→3
i ) l´ım f (x) x→3
j ) l´ım+ f (x) x→3
k)
x→−∞
l)
x→+∞
l´ım f (x)
l´ım f (x)
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2. Considere la siguiente grá ca de la función
f (x).
21
Calcule los siguientes límites e imágenes.
a ) l´ım f (x) x→−2
b ) l´ım− f (x) x→1
c ) l´ım+ f (x) x→1
d ) l´ım f (x) x→3
e ) l´ım f (x) x→0
f)
x→−∞
g)
x→+∞
l´ım f (x)
l´ım f (x)
h ) f (3) i ) f (1) j ) f (0) 3. Calcule los siguientes límites.
a ) l´ım1
x→ 2
4x2 + 4x − 3 8x3 − 6x2 + x
x3 − 7x2 + 13x − 6 x→2 x3 − 8 4x2 − 1 c ) l´ım 1 2 x→− 2 4x + 8x + 3
b ) l´ım
3x5 − 2x4 − 8x2 x→0 6x4 − 3x3 + 2x2 x4 + 3x3 − 8x2 − 12x + 16 e ) l´ım x→−4 x2 − 16 x4 + 2x3 − 5x2 − 3x + 9 f ) l´ım x→−3 x2 − 2x − 15 √ 2x2 − 2x + 4 − 2 g ) l´ım x→−2 |3x − 2|
d ) l´ım
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22
√
x+4−1 √ 3 − 3 − 2x x3 − 2x2 + x − 2 i ) l´ım x→2 x5 − 16x 3 2x − 5x2 − 2x − 3 j ) l´ım 3 x→3 4x − 13x2 + 4x − 3 2 4x2 + 8 x − 2 k ) l´ım x→2 x − 2 x + 2x − 8
h ) l´ım
x→−3
6x3 + 4x2 − 14x + 4 x→−2 6x4 + 11x3 − 3x2 − 2x √ √ 4 x+5−5 x−4 l´ım x→20 x2 − 400 −2x4 + 7x3 + 53x2 − 148x + 60 l´ım x→6 x5 − x3 − 216x2 + 216 10 + x − 3x2 √ l´ım √ 4 − 3x − −6x − 1 x→ −5 3 √ √ 2 4x + 1 − 10x2 − 4 √ l´ım √ x→2 5x − 1 − 11 − x x3 − 7x2 + 7x − 6 l´ım x→6 −x4 + 37x2 − 36 x2 + x − 2 l´ım √ x→−2 6+x−2 √ 3− 3x l´ım √ x→27 x+9−6 √ 2x − 2 l´ım √ x→2 3 4x − 2 √ √ 2 4x − 3 − 12x √ l´ım 3 x→3 x−2−1 √ 6x − 5 − x l´ım √ x→5 3 2x − 2 − 2 √ 3 2x − 5 − 1 l´ım √ x→3 4x − 3 − 3 1 1 8x + 35 l´ım + 2 − x→5 x − 5 x + 5x + 25 x3 − 125
l ) l´ım m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) u) v) w)
RESPUESTAS 1. (a) −4 (b)
−∞
2. (a) 3. (a)8
(j)
11 17
(q)
− 12
5 (c)
(b) (b)
no existe (d)
2
(c)
−1
−1 4
−3
(c)−1
(k)2
(r)
(d)
5 (e) +∞ (f ) −∞ (g)
(l)
−4 9
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3
(f )
1
(g)
(d)−4
−21 25 (s)
(e)
(m)
3 2
−9 1600
(t)1
no existe (h)
−∞ (e)
(h)
−2
15 2 (n)
(u)
(i)
(f )
−121 945
−12 5
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−∞ (i) −∞ (j) −∞ (k) −∞ (l) 0 −1
(j)
27 8
3 (g)
1 4
(o)−2
(ñ)22
(v)1
(h)
(w)
3 2
(i)
(p)
5 64
−31 420
8 75
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23
1.5. Límites laterales Ya tenemos intuitivamente el concepto de límites laterales:
Límite Lateral Derecho: l´ım+ f (x) signi ca que
x se acerca a
c
por valores mayores que
c
x→c
Límite Lateral Izquierdo: l´ım− f (x) signi ca que
x se acerca a
c
por valores menores que
c
x→c
Ejemplos: 1. Calcule el siguiente límite y deduzca por qué sólo se puede calcular cuando
l´ım+
√
x → 1+ :
x−1
R/0
x→1
2. Sea
f (x) =
3 2x − x ,
si
x<1
si
x≥1
2x2 − 2,
¾Existe
l´ım f (x)?
x→1
(En caso de que sí exista calcúlelo).
SOLUCIÓN: Como la función cambia de fórmula precisamente en
x = 1,
para determinar si el
límite en cuestión existe, se calculan los límites laterales:
l´ım f (x) = l´ım− (2x − x3 ) = 2 · 1 − 13 = 1.
x→1−
x→1
l´ım f (x) = l´ım+ (2x2 − 2) = 2 · 12 − 2 = 0.
x→1+
Como
3. Sea
x→1
l´ım f (x) 6= l´ım f (x)
x→1−
f (x) =
x→1+
x+1 , 2 12 − 2x , 3
si
entonces no existe
x≤3 ¾Existe
si
l´ım f (x).
x→1
l´ım f (x)?
x→3
(En caso de que exista calcúlelo).
x>3
R/sí existe ( l´ ım
.
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x→3
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f (x) = 2)
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4. Sea
√ x−1 x−1 , f (x) = mx + 4,
24
x>1
si
¾Cuál debe ser el valor de
m
para que
l´ım f (x)
x→1
exista? Calcule
x≤1
si
el límite.
SOLUCIÓN: Note que la variable de la función es
x,
mientras que
m
representa una constante
desconocida (o incógnita) cuyo valor debemos despejar. También se le puede llamar un
parámetro.
m se utiliza el dato que condiciona el parámetro, en este l´ım f (x) exista. De ahí, que se debe cumplir que los límites
Ahora bien, para poder calcular el valor de caso, que el valor de
m
permite que
x→1
laterales sean iguales. Se procede por tanto al cálculo de los límites laterales, para igualarlos
l´ım f (x) = l´ım− (mx + 4) = m · 1 + 4 = m + 4
x→1−
x→1
√
x−1 0 ( forma indeterminada l´ım f (x) = l´ım+ 0 por lo que se racionaliza el numerador) x − 1 x→1+ x→1 √ √ √ 2 ( x − 1) ( x + 1) (( x) − (1)2 ) (x − 1) 1 1 √ √ = l´ım · √ = l´ım = l´ım = l´ım √ = + + + + (x − 1) ( x + 1) x→1 (x − 1)( x + 1) x→1 (x − 1)( x + 1) x→1 2 x+1 x→1 Como los límites laterales deben coincidir, se igualan así; formando una ecuación.
l´ım f (x) = l´ım+ f (x)
x→1−
x→1
1 2 1 m= −4 2 −7 m= 2
m+4=
Observe que en efecto si
Así
5. Sea
m=
−7 2
f (x) =
y
l´ım f (x) =
x→1
kx − 3,
m=
6k − x,
si
−7 2 , se cumple que
l´ım f (x) =
x→1−
1 . 2
x>1 ¾Cuál debe ser el valor de
si
k
para que
x≤1
.
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1 = l´ım f (x) 2 x→1+
R/
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l´ım f (x)
x→1
k=
−2 5
exista y calcúlelo?
y
l´ım f (x) =
x→1
−17 5
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25
NOTA: En algunos límites se requiere el análisis de valor absoluto. Para ello, recordemos su de nición:
|u| =
6. Sea
x |x|
g(x) =
¾Existe
u,
si
u≥0
si
u<0
−u,
l´ım g(x)?
x→0
SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto:
|x| =
x,
si
x≥0
si
x<0
−x,
Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en
x → 0,
y como en el límite
l´ım g(x) = l´ım−
x→0−
x→0
Como
7. Sea
x x = l´ım = −1 |x| x→0− −x
l´ım g(x) 6= l´ım g(x)
x→0−
l´ım g(x) = l´ım+
x→0+
x→0
entonces se cumple que no existe
x→0+
x2 − 25 |5 − x|
h(x) =
x = 0,
para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales:
¾Existe
x x = l´ım =1 |x| x→0+ x
l´ım g(x).
x→0
l´ım h(x)?
x→5
SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto:
|5 − x| =
5 − x,
si
5−x≥0
−(5 − x),
si
5−x<0
5 − x,
si
x≤5
si
x>5
lo que es equivalente a
|5 − x| =
x − 5,
Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en y como en el límite
l´ım− h(x) = l´ım−
x→5
x→5
x → 5,
x = 5,
para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales:
x2 − 25 (x + 5)(x − 5) −(x + 5)(−x + 5) = l´ım− = l´ım− = l´ım− −(x + 5) = |5 − x| (5 − x) (5 − x) x→5 x→5 x→5
−10. l´ım+ h(x) = l´ım+
x→5
Como
x→5
x2 − 25 (x + 5)(x − 5) = l´ım+ = l´ım+ (x + 5) = 10. |5 − x| (x − 5) x→5 x→5
l´ım h(x) 6= l´ım h(x)
x→5−
x→5+
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entonces se cumple que no existe
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l´ım h(x).
x→5
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8. Sea
f (x) =
x4 − 16 |4 − 2x|
Determine
l´ım f (x)
x→2+
.
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26
R/ 16
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27
1.6. Límites in nitos y las asíntotas verticales de una función Consideremos un caso especial de límites, para lo cual analizaremos el siguiente ejemplo. ¾Qué sucede con la función
l´ım
x→3−
2 x−3
f (x) =
2 x−3
cuando
x → 3?
Para contestar analizaremos su grá ca:
l´ım
x→3+
¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite
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2 x−3
l´ım f (x)?
x→3
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28
Veamos otro ejemplo: ¾Qué sucede con la función
l´ım
g(x) =
1 (x + 1)
2 cuando
x → −1?
1
x→−1−
(x + 1)
Para contestar analizaremos su grá ca:
l´ım
2
x→−1+
¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite
1 (x + 1)
2
l´ım g(x)?
x→−1
Como se comentó cuando se estableció la idea intuitiva de límite, cuando una función tiene una asíntota vertical, surge la situación de
De nición: Sea f a
(excepto quizás en
límites in nitos. Ahora vamos a formalizar dicho concepto.
una función de nida para todo
x
perteneciente a un intervalo abierto alrededor de
a):
l´ım f (x) = +∞ si el valor de f (x) crece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los x→a valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes haciendo que x se acerque lo su ciente al
1. Decimos que
valor de
a.
l´ım f (x) = −∞ si el valor de f (x) decrece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los x→a valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (en el sentido negativo) haciendo que x se
2. Decimos que
acerque lo su ciente al valor de
a.
Ahora bien, recuerde que la representación simbólica
∞
no es un número. De hecho, en casos donde los
límites son in nitos, NO SIGNIFICA QUE EL LÍMITE EXISTE. Más bien es una representación de la manera particular en que el límite no existe, debido al comportamiento no acotado de la función.
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29
También se pueden dar los casos laterales:
−∞
l´ım f (x)
=
l´ım f (x)
= −∞
x→a− x→a+
l´ım f (x)
=
+∞
l´ım f (x)
=
+∞
x→a− x→a+
Lo anterior nos permite llegar a la siguiente de nición de asíntota vertical.
De nición: La recta vertical x = a es una asíntota vertical
de la curva
y = f (x)
l´ım f (x)
=
+∞
l´ım f (x)
=
+∞
=
+∞
si por lo menos uno
de los siguientes enunciados es verdadero:
−∞
l´ım f (x)
=
l´ım f (x)
= −∞
x→a− x→a+
l´ım f (x)
x→a
x→a− x→a+
= −∞
l´ım f (x)
x→a
NOTA (Asíntotas verticales de funciones racionales): Si
h(x) =
f (x) , g(x)
con
f
y
h(x)
entonces la grá ca de
g
polinómicas y aes un número real tal que
tiene una asíntota vertical en x
f (a) 6= 0
y
g(a) = 0,
= a.
Ejemplos. Calculemos los siguientes límites:
1.
l´ım+
x→5
x2 + 5x x2 − 25 50 x2 +5x 0 se cumple que la función dada por y = x2 −25 5. Por lo tanto, el límite cuando x → 5+ es in nito, y se determi-
SOLUCIÓN: Como el límite genera la inde nición tiene una asíntota vertical en
x=
na el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a
Cuando
x → 5+
5
por la derecha:
el numerador tiende a
valores cercanos a
5
50(+)
mientras que el denominador tiende a
tivos (por ejemplo al evaluar en el denominador división de signos
0. Al evaluar 0 pero posi-
por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a
(+)/(+) = +,
x = 5, 001
éste equivale a
0, 01001).
Al efectuar la
por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función
se puede representar así:
l´ım+
x→5
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x2 + 5x = +∞ x2 − 25
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2.
l´ım+
x→2
3.
4.
l´ım
x→3−
l´ım
30
x2 − 2x − 4x + 4
R/
+∞
x2 −9
R/
−∞
R/
−∞
x2
x2
x→3 x2
1 − x2 − 6x + 9
2
SOLUCIÓN: Como el límite genera la inde nición −8 tiene se cumple que la función dada por y = x21−x 0 −6x+9 una asíntota vertical en x = 3. Por lo tanto, los límites laterales son in nitos, y se determina el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a 3 por la derecha y por la izquierda, es decir se representan simbólicamente los límites laterales: Cuando x → 3+ el numerador tiende a −8(−) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a 3 por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x = 3, 001 éste equivale a 0, 001). Al efectuar la división de signos (−)/(+) = −, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: l´ım
2 x→3+ x
1 − x2 = −∞ − 6x + 9
Cuando x → 3− el numerador tiende a −8(−) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a 3 por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x = 2, 999 éste equivale a 0, 001). Al efectuar la división de signos (−)/(+) = −, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: l´ım
x→3−
x2
1 − x2 = −∞ − 6x + 9
Observe que si se hubiera factorizado el denominador como (x − 3)2 , también se podía justi car que cuando x → 3 su signo siempre será positivo, por lo que en ambos límites laterales se hubiera obtenido el mismo comportamiento en cuanto a los signos (−)/(+) = (−). Así, el comportamiento de la función a ambos lados de la asíntota se puede representar así:
l´ım
x→3 x2
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1 − x2 = −∞ − 6x + 9
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5.
l´ım
x→0
x3 − 1 x3
31
R/ no existe y no se puede representar simbólicamente el comportamiento de la función cuando
x→0
como un límite ini nito
Ahora bien, podemos entonces también identi car las asíntotas verticales de las funciones racionales. Por ejemplo, efectuemos el estudio de asíntotas verticales para la siguiente función:
f (x) =
x−2 x2 − 4
SOLUCIÓN: Se debe identi car en primer lugar los valores que vuelven cero al denominador, y calcular los límites respectivos para determinar si se trata de asíntotas verticales, así como el comportamiento a su alrededor:
RESTRICCIONES DE LA FUNCIÓN
f (x) =
x−2 x−2 = : 2 x −4 (x + 2)(x − 2)
x 6= −2 x 6= 2
CÁLCULO DE LÍMITES:
l´ım
x→2
(x − 2) 1 1 = l´ım = (x + 2)(x − 2) x→2 (x + 2) 4
Puesto que el límite es determinado, se deduce que en
l´ım
x→−2
(x − 2) 1 = l´ım (x + 2)(x − 2) x→−2 (x + 2)
x=2
NO hay asíntota vertical.
[forma indeterminada
1 0 ].
1 0 se puede concluir que en x = −2 hay una asíntota vertical, y el comportamiento de la función alrededor de la misma se puede representar así:
Como se genera la inde nición
l´ım f (x) = −∞ , l´ım + f (x) = +∞ (mediante la evaluación de valores cercanos a x→−2− x→−2 lados de la asíntota y efectuando el análisis de signos).
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x = −2
a ambos
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EJERCICIO. Identi que las asíntotas verticales de las siguientes funciones y analice el comportamiento de dicha función alrededor de cada asíntota mediante el cálculo de los límites correspondientes.
1.
g(x) =
2.
h(x) =
x3
x2 + 2x − 3 + x2 − 5x + 3
R/ A.V. :
x=1
1 x2 + x + 1
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,
l´ım g(x) = −∞
x→1−
,
l´ım g(x) = +∞
x→1+
R/ no tiene asíntotas verticales
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33
1.7. Límites al in nito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función 1.7.1. Concepto de límite al in nito De los ejemplos de límites al in nito que comentamos en el análisis de grá cas tenemos el siguiente concepto
• •
intuitivo
de límites al in nito:
l´ım f (x) = L
si conforme
x
crece sin tope,
l´ım f (x) = L
si conforme
x
decrece sin tope,
x→+∞
x→−∞
Por ejemplo, considere la grá ca de la función
f (x)
tiende a
f (x)
L.
tiende a
f (x) = √
L.
2x x2 + 2
x decrece sin tope f (x) se aproxima a la recta horizontal y = −2, mientras que x crece sin tope, f (x) se aproxima a la recta horizontal y = 2. En este caso decimos que y = −2 asíntota horizontal cuando x → −∞ y que y = 2 es una asíntota horizontal cuando x → ∞. La
Observe que conforme conforme es una
situación anterior se puede representar, utilizando la notación de límites así:
l´ım √
x→−∞
2x = −2 x2 + 2
l´ım √
x→+∞
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2x =2 x2 + 2
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Veamos otro ejemplo. Considere la función
34
g(x) =
2x2 − 3x + 5 , x2 + 1
cuya grá ca se le da a continuación.
Calcule los límites que se le piden y deduzca si existen asintotas horizontales para
g(x).
Calcule.
1. 2.
l´ım g(x)
x→−∞
l´ım g(x)
x→+∞
3. Asíntotas horizontales de
g(x)
De niciones: Entonces, de manera intuitiva tenemos lo siguiente (que se de nirá más formalmente más adelante):
1. Sea de
f
f (x)
se puede aproximar a
su cientemente 2. Sea de
f
]a, +∞[.
l´ım f (x) = L si el valor x→+∞ tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo
una función de nida en algún intervalo
grande
L
(en el sentido positivo).
f (x)
se puede aproximar a
grande
L
] − ∞, a[.
l´ım f (x) = L si el valor x→−∞ tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo
una función de nida en algún intervalo
su cientemente
Decimos que
Decimos que
(en el sentido negativo).
De nición: La recta
y=L
es una
asíntota horizontal de la curva y = f (x) si se cumple que x→+∞ l´ım f (x) = L o
l´ım f (x) = L.
x→−∞
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35
1.7.2. Propiedades de los in nitos Propiedades de los límites in nitos Si
k
∞+k =∞
2)
k·∞=∞
r
Si
es una constante positiva:
1)
Teorema
Formas indeterminadas ∞ ∞
0 0
es un racional positivo,
tal que toda
x,
xr
está de nido para
entonces se cumple lo
siguiente:
0·∞
∞−∞
l´ım
c =0 xr
l´ım
c =0 xr
x→+∞ 3)
−k · ∞ = −∞
4)
±k =0 ∞
00
1∞
∞0
x→−∞
1.7.3. Comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito Aparte de las propiedades anteriores también es útil conocer el comportamiento de las funciones polinómicas en el in nito. Repasemos primero el concepto de función polinómica o polinomial:
De nición: Llamamos a la función f (x) una función polinómica o polinomial si tiene la forma: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 , con
n
Llamamos
an
6= 0).
an ,an−1 , an−2 ,..., a2 ,a1 ,
y
a0
el coe ciente principal del polinomio y
n
el grado del polinomio.
un número natural y
números reales (an
Ejemplos: 1.
f (x) = 2x4 − 5x2 + x − 1,
2.
g(x) = −x6 + 5x4 − x2 ,
3.
h(x) = 8x3 − 6x2 + 4x − 2,
4.
p(x) = −3x5 + 3x4 − 5x3 + 6x2 − x + 1,
grado
grado
6
4
coe ciente principal
coe ciente principal
grado
3
2
−1
coe ciente principal grado
5
8
coe ciente principal
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas, por lo que cuando
−3
x→∞
el polinomio también tiende
hacia un in nito. Ahora bien, es posible saber si la función polinómica tiende a su grado
n
−∞
o a
+∞,
a partir de
y de su coe ciente principal (an ), así:
1. Si
n
es par y
an
es un número positivo se cumple que
2. Si
n
es par y
an
es un número negativo se cumple que
3. Si
n
es impar y
an
es un número positivo se cumple que
4. Si
n
es impar y
an
es un número negativo se cumple que
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l´ım f (x) = +∞
x→−∞
l´ım f (x) = −∞
x→−∞
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y y
l´ım f (x) = −∞
x→−∞
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = −∞
x→+∞ y y
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = −∞
x→+∞
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36
Lo ilustraremos con las grá cas de los mismos ejemplos anteriores: 1.
f (x) = 2x4 − 5x2 + x − 1,
Note que 2.
l´ım f (x) = +∞
x→−∞
g(x) = −x6 + 5x4 − x2 ,
Note que
grado
grado
l´ım g(x) = −∞
x→−∞
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y
y
4
coe ciente principal
2
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
6
coe ciente principal
−1
l´ım g(x) = −∞
x→+∞
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3.
h(x) = 8x3 − 6x2 + 4x − 2,
Note que 4.
grado
l´ım h(x) = −∞
x→−∞
y
3
coe ciente principal
l´ım p(x) = +∞
x→−∞
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y
8
l´ım h(x) = +∞
x→+∞
p(x) = −3x5 + 3x4 − 5x3 + 6x2 − x + 1,
Note que
37
grado
5
coe ciente principal
−3
l´ım p(x) = −∞
x→+∞
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38
1.7.4. Cálculo de límites al in nito de funciones racionales De nición de función racional Recuerde que y
f (x) =
p(x) q(x)
se llama una
función racional
si
p(x)
y
q(x)
son ambas funciones polinómicas
q(x) 6= 0.
Podemos usar las propiedades vistas anteriormente para calcular límites al in nito de funciones racionales. Por ejemplo:
l´ım
x→+∞
2 5− 2 x
= 5
Veamos algunos ejemplos más:
1.
3x2 − 7x + 5 x→+∞ 12x2 + 10x − 6 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
∞ . ∞
Se procede así:
x2 3 − x7 + x52 3x2 − 7x + 5 3 1 = l´ım = l´ım 2 = 10 6 2 x→+∞ 12x + 10x − 6 x→+∞ x 12 4 12 + x − x2
2.
2x + 5 x→+∞ 3x2 + 1 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
x 2+ 2x + 5 l´ım = l´ım 2 2 x→+∞ 3x + 1 x→+∞ x 3+
3.
5 x 1 x2
=0
9x3 − 8x2 + 16x + 5 x→+∞ 2x2 + 5x + 1 l´ım
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
x3 9 − x8 + x162 + x53 9x3 − 8x2 + 16x + 5 l´ım = l´ ım x→+∞ x→+∞ 2x2 + 5x + 1 x2 2 + x5 + x12
4.
5.
∞ : ∞
∞ : ∞
= +∞.
10x4 − 18x5 + 16x3 + 5x + x2 − 17 x→−∞ 18x3 + 36x5 + 65x2 + 10 l´ım
l´ım
x→+∞
3 2 4x −x3 6
+
√
3 2
−
15 8 x
x2
+ 0,01x +
5
+
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π 2
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6.
16x6 + 8x5 − 9x4 + 16x3 − x2 + 11x − 13 x→−∞ −48x3 − 12x4 + 9x3 + 10x − 29 l´ım
7.
8.
39
l´ım
x→−∞
2x 3x + x−1 x+1
(5x3 + 2x2 − x + 1)2 (2x2 + 4)3 x→−∞ (2x4 + 1)2 (5x2 − 6x + 5)2 l´ım
R/
5
R/
2
NOTA: Observe que si
p(x) , q(x)
f (x) =
donde
p(x)
es un polinomio de grado
m
y
q(x)
es un polinomio de grado
n,
se
cumple:
m=n
(1) Si de
q(x)
(2) Si (3)
l´ım f (x) =
x→∞
a , b
donde
a
es el coe ciente principal de
p(x)
y
b
es el coe ciente principal
;
m
Si
entonces
entonces
m>n
entonces
l´ım f (x) = 0;
x→∞
l´ım f (x) = ∞.
x→∞
Utilizando ahora la nota anterior, calcule nuevamente estos límites, utilizando el método abreviado. 1.
2.
3 1 3x2 − 7x + 5 = = x→+∞ 12x2 + 10x − 6 12 4 l´ım l´ım
x→+∞
2x + 5 =0 3x2 + 1
3.
9x3 − 8x2 + 16x + 5 = +∞ x→+∞ 2x2 + 5x + 1
4.
10x4 − 18x5 + 16x3 + 5x + x2 − 17 = x→−∞ 18x3 + 36x5 + 65x2 + 10
5.
6.
l´ım
l´ım
l´ım
x→+∞
3 2 4x −x3 6
+
√
3 2
−
15 8 x
x2
+ 0,01x +
5
+
π 2
=
16x6 + 8x5 − 9x4 + 16x3 − x2 + 11x − 13 = x→−∞ −48x3 − 12x4 + 9x3 + 10x − 29 l´ım
NOTA: Para efectos del primer examen debe resolver los límites al in nito con
todo el procedimiento. Este
método abreviado, lo utilizaremos para agilizar cálculos de límites al in nito cuando estemos gra cando funciones.
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40
1.7.5. Cálculo de límites al in nito de funciones en las que aparecen radicales de índice dos(en el numerador o el denominador) √
Conviene tener presente lo siguiente:
u2 = |u| (
así como la de nición de valor absoluto:
|u| =
u, −u,
si si
u≥0 u<0
Ejemplos:
1.
l´ım √
x→−∞
3x − 8 + 4x − 5
x2
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
l´ım √
x→−∞
∞ : ∞
3x − 8 3x − 8 = l´ım q x→−∞ + 4x − 5 x2 1 + x4 −
x2
= l´ım
x→−∞
3x − 8
= l´ım
x→−∞
5 x2
|x|
q
1+
4 x
− x52 8
x· 3− x q −x 1 + x4 −
5 x2
3 −1 = −3
=
2.
2x + 1 l´ım √ x2 − x
R/
x→+∞
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2
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3.
41
3x − 2 l´ım √ 2x2 + 1
x→+∞
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
3x − 2 3x − 2 = l´ım q l´ım √ 2 x→+∞ 2x + 1 x2 2 +
x→+∞
∞ : ∞
1 x2
3x − 2 q |x| · 2 + x12 x 3 − x2 q = l´ım x→+∞ x· 2 + x12
= l´ım
x→+∞
3x
= l´ım
x→+∞
= = =
4.
l´ım √
x→−∞
x·
2+
1 x2
3 √ 2 √ 3 2 √ ·√ 2 2 √ 3 2 2
2x − 5 2x2 + 3x − 1
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q
R/
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√ − 2
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5.
l´ım
p
x→−∞
4x2 − 6 −
p
4x2 − x
42
SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada
∞ − ∞.
En este caso de debe
racionalizar para tratar de llegar a una expresión de la forma indeterminada
√ l´ım
p
x→−∞
4x2
−6 −
p
4x2
−x
= l´ım
p
x→−∞
√ = l´ım
x→−∞
4x2
−6 −
p
4x2
−x
· √
∞ . ∞
4x2 − 6 + 4x2 − 6 +
√ √
4x2 − x
4x2 − x
√ 2 2 4x2 − 6 − 4x2 − x √ √ 4x2 − 6 + 4x2 − x
4x2 − 6 − 4x2 + x √ x→−∞ 4x2 − 6 + 4x2 − x x−6 q = l´ım q x→−∞ 6 2 x (4 − x ) + x2 (4 − x1 )
= l´ım
= l´ım
x→−∞
= l´ım
x→−∞
= l´ım
x→−∞
=
6.
l´ım
x→+∞
x−
p
x2 + x
√
x−6 q | x | 4−
q +| x | 4−
6 x
x−6 q −x 4 −
q + −x 4 − x1 x 1 − x6 q q −x 4 − x6 + 4 − x1 6 x
−1 4
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1 x
R/
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−1 2
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7.
8.
l´ım
2x +
l´ım
x+
x→−∞
x→−∞
p
p 4x2 + x
x2 + 3
R/
Universidad de Costa Rica
43
−1 4
R/
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0
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44
1.7.6. Cálculo de las asíntotas horizontales de una función Como ya se ha dicho, para que la recta
y = L sea una asíntota horizontal para la función f (x) se debe
cumplir que:
l´ım f (x) = L
o que
x→−∞
l´ım f (x) = L
x→+∞
Por ejemplo, efectuemos el análisis de asíntotas verticales y horizontales de
f (x) =
3x2 − x − 2 5x2 + 4x + 1
Para determinar si hay ASÍNTOTAS VERTICALES, tenemos que identi car los valores que vuelven cero al denominador. Podemos para eso, igualar el denominador a cero y resolver la ecuación resultante, a saber:
5x2 + 4x + 1 = 0 Sin embargo, como para esa ecuación
∆ = −4
no tiene solución, de lo que se deduce que
f
NO tiene
asíntotas verticales. Para determinar si hay ASÍNTOTAS HORIZONTALES, se deben calcular los límites al in nito:
x2 3 − 3x2 − x − 2 = l´ım 2 2 x→+∞ x x→+∞ 5x + 4x + 1 5+ 3 = 5
1 x 4 x
− +
2 x2 1 x2
x2 3 − 3x2 − x − 2 l´ım = l´ım 2 2 x→−∞ x x→−∞ 5x + 4x + 1 5+ 3 = 5
1 x 4 x
− +
2 x2 1 x2
l´ım
Análogamente:
Así,
y=
3 5 es una asíntota horizontal cuando
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x → ±∞.
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45
EJERCICIO: 1. Determine (si existen) las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones (se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gra cación y así veri car su respuesta).
√
a ) g(x) =
2x2 + 1 3x − 5
.
R/A.V.
b ) h(x) =
√
x2 + 1 − x
.
c) y =
x=
5 3
, A.H.
y=
√ − 2 cuando 3
, A.H.
y=0
4x2 − 8x + 4 4
.
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f:
y
2 3 cuando
x → +∞
x → +∞
, no tiene cuando
x → −∞
y=
R/ A.V. no tiene
2. Considere la función
√
x → −∞
cuando
R/No tiene asintotas verticales ni horizontales
i
h √ i h√ −∞, −2 6 ∪ 26 , +∞ −→ R R/ A.H.
y=
dada por
−1 4 cuando
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f (x) =
√
4x2 − 6 −
x → −∞, y =
1 4 cuando
√
4x2 − x
x → +∞
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46
1.7.7. Asíntotas oblicuas de una función racional Algunas funciones
racionales poseen asintotas oblicuas (o inclinadas), es decir, asíntotas que no son
ni verticales ni horizontales. Si forme
x→∞
f (x) tiene una asíntota oblicua (supongamos y = mx + b), f (x) y la asíntota y = mx + b tiende a cero. De ahí que:
entonces con-
la distancia entre
l´ım [f (x) − (mx + b)] = 0
x→∞
Por ejemplo, considere la grá ca de asíntotas verticales
x = −1
y
x=1
2x3 − x2 + 1 . Observe que para dicha función, x2 − 1 recta y = 2x − 1 es una asíntota oblicua de f (x).
f (x) = , la
El requisito para que una función
aparte de las
racional tenga una asíntota oblicua, es que el grado del numerador
debe exceder exactamente en una unidad el grado del denominador.Para calcular el criterio de la asintota oblicua de una función racional, existen dos métodos, a saber:
1. Efectuando la división algebraica del polinomio del numerador por el polinomio del denominador. Recuerde en este caso que si
p(x)
es el polinomio del numerador y
q(x)
es el polinomio del deno-
minador, al efectuar la división de esos polinomios, obtendremos los polinomios cociente)
c(x)
r(x)
(polinomio residuo), que cumplen que:
y
c(x)
(polinomio
En este caso, el cociente
de la división de polinomios, será el criterio de la asíntota oblicua.
2. Dado que la asíntota oblicua es una recta de la forma
m
p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x)
b
y = mx + b,
podemos obtener los coe cientes
mediante las siguientes fórmulas:
f (x) a ) m = l´ım x→∞ x b ) b = l´ım (f (x) − mx) x→∞
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47
Por ejemplo, mediante los dos métodos descritos, calculemos la asíntota oblicua de la función
f (x) =
2x3 − x2 + 1 x2 − 1
MÉTODO 1: Efectuando la división de polinomios:
MÉTODO 2: Calculando los coe cientes m y b de la asíntota oblicua y = mx + b mediante los límites correspondientes:
m = l´ım
x→+∞
f (x) x
= l´ım
x→+∞
2x3 −x2 +1 x2 −1
!
x
= l´ım
x→+∞
2x3 − x2 + 1 x3 − x
= l´ım
x→+∞
x3 2 − x1 + x13 x3 1 − x12
!
∴ m = 2 3 2x3 − x2 + 1 2x − x2 + 1 − 2x(x2 − 1) b = l´ım (f (x) − mx) = l´ım − 2x = l´ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x2 − 1 ! 3 x2 −1 + x2 + x12 2x − x2 + 1 − 2x3 + 2x −x2 + 2x + 1 b = l´ım = l´ım = l´ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x2 − 1 x2 1 − x12 ∴ b = −1
Así, el criterio de la asíntota oblicua es NOTA:
y = 2x − 1.
Es importante observar entonces que, por la diferencia que debe haber entre los grados del
numerador y el denominador, si una función
racional
tiene una asíntota oblicua, no puede tener una
asíntota horizontal y viceversa.
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OBSERVACIÓN 1 : Note que la observación anterior es válida para funciones
48
racionales, que son el objeto de estudio en este
apartado, pero en efecto hay otros tipos de funciones que tienen a la vez asíntotas lineales horizontales y oblicuas a la vez.
x → +∞ entonces f (x) tiene una asíntota horizontal cuando x → −∞ entonces no puede tener una asíntota oblicua cuando x → −∞ y viceversa. Aunque sí se puede dar que una función (no racional) tenga una asíntota horizontal cuando x → +∞ y una oblicua cuando x → −∞ o viceversa.
De hecho, lo correcto sería a rmar que si
f (x) tiene una asíntota x → +∞ y viceversa.
no puede tener una asíntota oblicua cuando
horizontal cuando
Así mismo, si
Por ejemplo, considere la siguiente función (observe que no es racional):
f (x) =
√
x2 + x + x
Para esta función se cumple lo siguiente (se recomienda veri car cada uno de los datos como práctica de dominio de funciones y cálculo de límites):
1. El dominio de 2.
3.
4.
5.
6. 7.
f (x)
es
]−∞, −1] ∪ [0, +∞[
l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) =
x→−∞
−1 2
f (x) =2 x→+∞ x l´ım
l´ım [f (x) − 2x] =
x→+∞
l´ım
x→−∞
1 2
f (x) =0 x
l´ım [f (x) − 2x] = +∞
x→−∞
Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando
f (x)
x → +∞
se cumple que
tiene una asíntota......................................... cuya ecuación es ...................................................... y
cuando
x → −∞
se cumple que
f (x)
tiene una asíntota ......................................... cuya ecuación es
.......................................... Más adelante estaremos en capacidad de analizar más profundamente la función para bosquejar su grá ca, pero por el momento se le da a continuación:
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OBSERVACIÓN 2 :
racional que tiene asíntota oblicua, ésta será única. Es decir, una función racional no tendrá más de una asíntota oblicua. Sin embargo, hay funciones NO racionales que pueden
En general para una función
tener una asíntota oblicua cuando
x → +∞
y otra distinta cuando
x → −∞.
Por ejemplo, considere la
siguiente función:
g(x) = La función
g
√
x2 + 1
cumple lo siguiente (se recomienda veri car cada uno de estos datos para practicar do-
minio de funciones y cálculo de límites):
1. Su dominio es 2. 3.
l´ım g(x) = +∞
x→−∞
l´ım g(x) = +∞
x→+∞
4.
l´ım
x→−∞
5.
6. 7.
R
l´ım
x→+∞
g(x) x
g(x) x
= −1 =1
l´ım (g(x) + x) = 0
x→−∞
l´ım (g(x) − x) = 0
x→+∞
Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando
x → +∞ se cumple que g(x) x→
tiene una asíntota......................................... cuya ecuación es ......................................... y cuando
−∞ se cumple que f (x) tiene una asíntota ......................................... cuya ecuación es .......................................... Además la función no tiene asíntotas .................................... ni tampoco asintotas .................................. Así la grá ca de
g(x)
es:
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EJERCICIO: Calcule las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de las siguientes funciones. Justi que cada una, con los procedimientos y razonamientos necesarios y en forma completa(se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gra cación y así veri car su respuesta).
1.
f (x) =
x2 − 2x + 4 x−2
2.
g(x) =
−x3 + x2 + 4 x2
3.
4.
2x2 − 18 x2 − 4 x y=√ x2 + 2 h(x) =
RESPUESTAS/ 1. A.V. :
x=2
A.H. : no tiene
A.O.
:
y=x
2. A.V. :
x=0
A.H. : no tiene
A.O.
:
y = −x + 1
3. A.V. :
x = −2
y
4. A.V. : no tiene
x=2 A.H. :
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A.H. :
y=1
y=2
cuando
cuando
x → ±∞
x → +∞
,
A.O. : no tiene.
y = −1
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cuando
x → −∞
A.O. : no tiene.
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PRÁCTICA 2 (NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un in nito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con −∞ o +∞ los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe) .
1. Calcule los siguientes límites.
(a)
8x3 − 1 6x2 − 5x + 1
l´ım1
x→ 2 (b)
(c)
l´ım
x3
x→1
(f )
(g)
(i)
1 2
R/
−∞
l´ım−
x3 − 8 |x − 2|
R/
− 12
l´ım
√
x→2
3x
x→2
l´ım
−
|x − 2| x−2
R/
no existe
√
x−2 √ x+1− 5−x
R/
x2 − 4 x − 16
R/
1 5
R/
−1 3
R/
−1 − 60
l´ım √
x→1 (h)
R/
x2 + x + 1 x3 − 1
x→2 (e)
6
l´ım−
x→1 (d)
x−1 − x2 + x − 1
R/
x2 − 4 x→−2 x3 + 8 3 1 l´ım − x→1 1 − x 1 − x3 l´ım
3
(j)
25 − x2 l´ım √ x→5 x+4−3
R/
(k)
l´ım
x2 + x − 2 x→3 x2 − 4x + 3
R/
no existe
(l)
4 − x2 √ x→2 3 − x2 + 5
R/
6
R/
no existe
R/
−1 4
R/
4 5
R/
3 2
(m)
(n)
(ñ)
(o)
l´ım
x−3 x2 − 8x + 15 √ 2−x−2 l´ım x→−2 x2 + 5x + 6 l´ım
x→5
x2 + 2x − 3 x→−3 x2 + x − 6 √ 1+x−1 l´ım √ x→0 3 1 + x − 1 l´ım
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(NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un in nito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con −∞ o +∞ los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe) .
2. Calcule los siguientes límites. .
(a)
(b)
(c)
x2 − 2 −x−2
l´ım
R/
no existe
x3 x→1 x2 − 1
R/
no existe
x−3 x−2
R/
−∞
2+x 1−x
R/
−∞
l´ım
4 (x − 2)3
R/
l´ım
−2 (x − 2)2
R/
−∞
R/
−∞
R/
−∞
R/
1 6
R/
0
R/
1 2
R/
0
R/
2
R/
1 6
R/
1 6
R/
+∞
x→−1 x2
l´ım
l´ım
+
x→2 (d)
(e)
(f )
(g)
l´ım
x→1+
x→2
x→2
l´ım−
x→2
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(ñ)
(o)
x2 − 2 −x−2
x2
2x2 + x + 1 x+2 x→−2− p l´ım 3x + 9x2 − x l´ım
x→−∞
l´ım
x→+∞
p
x2 + 1 −
p
x2 − 1
5x3 + 1 x→+∞ 10x3 − 3x2 + 7 l´ım
x+4 x2 − 2x + 5 √ 1 + 4x2 l´ım x→+∞ 4+x p l´ım 9x2 + x − 3x l´ım
x→+∞
x→+∞
l´ım
x→−∞
(1 − x)(2 + x) (1 + 2x)(2 − 3x)
x3 − 8x + 5 x→+∞ 2x2 − x + 3 l´ım
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no existe
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3. Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. Justi que detalladamente su procedimiento. (Sugerencia: para una mejor visualización de las asintotas encontradas, se le recomienda utilizar un software gra cador de funciones)
x2 + 3 x−1 x2 − 2x + 2 g(x) = x−1 x2 + 1 h(x) = 2 x −1 1 y= 2 x +x−6 x y=√ x2 + 2
a ) f (x) = b) c) d) e)
Respuestas (sólo se le da la respuesta nal, se supone que usted debe justi car cada tipo de asíntota en su procedimiento)
a)
Asintota horizontal: NO HAY Asíntota vertical: Asintota oblicua:
b)
Asintota horizontal: NO HAY asíntota vertical: Asintota oblicua:
c)
x=1 y =x+1 x=1 y =x−1
Asintota horizontal: Asíntotas verticales:
y=1 x=1
y en
x = −1
Asintota oblicua: NO HAY
d)
Asintota horizontal: Asíntotas verticales:
y = 0 (eje X) x = −3 y en x = 2
Asintota oblicua: NO HAY
e)
Asintota horizontal cuando
x → +∞: y = 1
Asintota horizontal cuando
x → −∞: y = −1
Asíntotas verticales: NO HAY Asintota oblicua: NO HAY
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1.8. Límites trigonométricos 1.8.1. Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas Algunos límites se pueden calcular utilizando el método de sustitución directa. Sin embargo, en ocasiones surgen indeterminaciones para las que se pueden aplicar las propiedades (identidades) conocidas para las funciones trigonométricas (ver anexo 2). Ejemplos: Calcule los siguientes límites:
1.
2.
3.
l´ım sen (x) = sen(0) = 0
x→0
l´ım x cos(x) = π cos(π) = π · −1 = −π
x→π
l´ım
tan(x) (x)
(Indeterminación
x→0 sen
SOLUCIÓN :
sen(x)
sen(x) 1 tan(x) cos(x) = l´ım = l´ım = l´ım = x→0 sen (x) x→0 sen(x) cos(x) x→0 cos(x) x→0 sen (x) l´ım
4.
l´ım cot(x)
1 = 1 cos(0)
(Inde nición
x→π
0 0)
−1 0 )
SOLUCIÓN:
−1 0 se cumple que la recta x = π es una asíntota vertical para la cot(x). Para determinar el comportamiento de la función cuando x tiende a π deter-
Como se genera la inde nición función
y=
minaremos los límites laterales in nitos, mediante la evaluación de valores cercanos a
π
a ambos
lados de la asíntota. Así:
l´ım cot(x) = l´ım−
cos(x) = −∞. sen(x)
l´ım cot(x) = l´ım
cos(x) = +∞. sen(x)
x→π −
x→π +
x→π
x→π +
l´ım cot(x) NO EXISTE y el comportamiento de la función no se puede representar x→π simbólicamente como un límite in nito. Así, se tiene que
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5.
6.
l´ım
cos x cot x
l´ımπ
1 − tan x sen x − cos x
x→ π 2
x→ 4
55
R/
R/
1
√ − 2
1.8.2. Límites Trigonométricos Especiales En otros casos se procura transformar la función para obtener alguno de los siguientes límites trigonométricos especiales.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES l´ım
sen
x→0
x
x
GENERALIZACIÓN PARA EL MÚLTIPLO ESCALAR DEL ÁNGULO
=1
l´ım
x→0
1 − cos x =0 x→0 x l´ım
l´ım
x→0
tan x =1 x→0 x l´ım
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(nx) =n x
1 − cos(nx) =0 x
l´ım
x→0
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sen
tan(nx) =n x
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Ejemplos:
1.
sen(x) x→0 5x l´ım
(forma indeterminada
0 0)
Por propiedades de los límites se cumple que
l´ım
x→0
sen(x) 1 sen(x) 1 1 = l´ım · l´ım = ·1= x→0 x→0 5x 5 x 5 5
Sin embargo, para simpli car los cálculos, se puede utilizar un método abreviado, así:
l´ım
sen(x) 1 sen(x) 1 1 = l´ım · = ·1= x→0 5 5x x 5 5
l´ım
sec x − 1 x sec x
x→0
2.
3.
4.
x→0
l´ım
x→0
l´ım
x→0
sen
2
R/
x
R/0
x
sen
2
x
R/1
x2
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0
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5.
57
tan(3x) x→0 x l´ım
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN:
MÉTODO 1: Sin utilizar la generalización dada para el múltiplo escalar:
l´ım
x→0
tan(3x) 3 tan(3x) tan(3x) = l´ım = l´ım 3 · =3·1=3 x→0 x→0 x 3x (3x)
MÉTODO 2: Método abreviado usando la fórmula dada para el múltiplo escalar:
l´ım
tan(3x) =3 x
l´ım
sen(2x) sen(3x)
x→0
6.
x→0
SOLUCIÓN: Como
(forma indeterminada
x→0
implícitamente se cumple el hecho de que
el numerador como el denominador de la expresión por
x
x 6= 0,
0 0)
podemos dividir tanto
con el objetivo de obtener límites trigo-
nométricos especiales. Así:
sen(2x) = l´ım x→0 x→0 sen(3x) l´ım
7.
(1 − cos(x))2 x→0 x
8.
l´ım
sen(2x) x sen(3x) x
2 sen(2x) (2x) x→0 3 sen(3x) (3x)
= l´ım
=
2 2·1 = 3·1 3
l´ım
x→0
0
R/
4
2
(2x) x2
sen
R/
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9.
10.
cot(2x) x→0 cot(x) l´ım
sen(x − π) x→0 x l´ım
58
1 2
R/
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN: Se desarrolla el seno de la resta, para tratar de llegar a límites trigonométricos especiales:
l´ım
x→0
sen(x) cos(π) − cos(x) sen(π) sen(x) · −1 − sen(x) sen(x − π) = l´ım = l´ım = l´ım = −1 x→0 x→0 x→0 x x x x
sen 11.
12.
l´ım
x→0
l´ım
x→ 3π 2
π
1 +x − 6 2 x
1 + sen(x) cos(x)
(Indeterminación
√ R/
3 2
0 0)
SOLUCIÓN: En ocasiones es conveniente multiplicar por el conjugado del denominador o del numerador (como en este caso) para formar una identidad trionométrica pitagórica mediante la fórmula notable
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
(1 + sen(x)) (1 − sen(x)) 1 − sen2 (x) cos2 (x) cos(x) · = l´ım3π = l´ım3π = l´ım3π cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 cos(x) (1 − sen(x)) x→ 2 (1 − sen(x)) x→ 2 cos 3π 0 2 = 3π = 1 − −1 = 0 1 − sen 2 l´ım3π
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13.
14.
l´ım
x→0
x2 + x sen(x) cos(x) − 1
59
R/
cos2 x + cos x − 2 . x→0 sen(3x) l´ım
(Indeterminación
−4
0 0)
SOLUCIÓN
cos2 x + cos x − 2 x→0 sen(3x) l´ım
(cos(x) − 1) (cos(x) + 2) x→0 sen(3x)
= l´ım
(cos(x)−1) (cos(x)+2) x sen(3x) x→0 x −(1−cos(x)) (cos(x)+2) x l´ım 3 sen(3x) x→0 3x
= l´ım = =
0 ·3 = 0 3 ·1
cos2
15.
l´ım
x→−π
x
2 1 − cos2 (x)
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R/
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1 4
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60
1.8.3. Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable En algunas ocasiones es preciso efectuar un cambio de variable, para poder calcular ciertos límites trigonométricos, de manera que la nueva variable tienda a cero, y así, poder utilizar los límites trigonométricos especiales. Ejemplos. Calculemos los siguientes límites aplicando un cambio de variable adecuado:
1.
l´ım
x→ π 3
sen(3x) 1 − 2 cos(x)
(forma indeterminada
0 0)
SOLUCIÓN:
Sustitución
u = x − π3 π cuando x → 3 entonces u → 0 sen 3 u + π3 sen(3x) = l´ım l´ım u→0 1 − 2 cos u + π x→ π 3 1 − 2 cos(x) 3 = l´ım
u→0
sen (3u + π) 1 − 2 cos u + π3
sen (3u) cos (π) + cos (3u) sen (π) u→0 1 − 2 cos (u) cos π − sen (u) sen π 3 3
= l´ım = l´ım
u→0
sen (3u) (−1) + cos (3u) (0) h √ i 1 − 2 cos (u) 12 − sen (u) 23
− sen (3u) √ u→0 1 − cos (u) + 3 sen (u) − sen (3u) u √ = l´ım u→0 1 − cos (u) + 3 sen (u) u −3 sen (3u) 3u √ = l´ım u→0 1 − cos (u) 3 sen (u) + u u −3 √ = 0+ 3 √ =− 3 = l´ım
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2.
3.
l´ım
x→π
l´ım
x→π
π−x π cos x − 2
R/1
sen(−x)
R/1
x−π
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61
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4.
l´ımπ
x→ 4
62
cos(2x) + sen(4x) 4x − π
(Indeterminación
0 0)
π 4
o
SOLUCIÓN: Aunque para resolver este ejercicio, se podría utilizar como sustitución también
u=
π 4
−x
u=x−
(verifíquelo), lo resolveremos utilizando la siguiente:
Sustitución
u = 4x − π x → π4 entonces u → 0 Además Si u = 4x − π ⇒ u + π = 4x u+π =x ⇒ 4 u π ∴ + =x 4 4 cuando
u π u π + sen 4 cos 2 + + cos(2x) + sen(4x) 4 4 4 4 l´ımπ = l´ım u→0 x→ 4 4x − π u u π cos + + sen (u + π) 2 2 = l´ım u→0 u h u u π i π cos cos − sen sen + [sen (u) cos (π) + cos (u) sen (π)] 2 2 2 2 = l´ım u→0 u h u u i cos · 0 − sen · 1 + [sen (u) · −1 + cos (u) · 0] 2 2 = l´ım u→0 u u − sen − sen (u) 2 = l´ım u→0 u u − sen sen (u) 2 − = l´ım u→0 u u ! − 12 sen 21 u sen (u) = l´ım − 1 u→0 u 2u −1 −1 2 −3 = 2 =
5.
l´ım
x→ −π 2
π + 2x cos(x)
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R/2
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63
PRÁCTICA 3 Calcule los siguientes límites
(1)
1 + tan(x) − cos(x) x→0 x l´ım
R/
1
cos(x) tan(x) x 5π cos x + 2 l´ım x→0 x
(12) l´ım
R/
1
(13)
R/
−1
x→0
(2) (3)
l´ım
(1 − x) x2 − 1
sen
x→1
l´ım
(x) √ x
sen
x→0+
R/ R/
−1 2 0
x + x cos(x) (x) cos(x)
(14) l´ım
x→0 sen
(4) (5)
l´ım
x→0
(4x) 5x
sen
l´ım x cot(3x)
x→0
R/ R/
4 5 1 3
(3x) x→0 x cos(4x)
(15) l´ım
(16) l´ım
sen
x→0
(6)
l´ım x2 csc(2x) cot(2x)
x→0
R/
1 4
3 3 cos x − x x
(17) l´ım x sec(x) x→π
(7) (8) (9) (10)
1 − cos(x) x→0 sen (x)
R/
1 − cos(x) x2
R/
l´ım
l´ım
x→0
0
3
R/
0
R/
−π
R/
4
1 2
(19) l´ım
cot(2x) cot x
R/
1 2
1 2
(20) l´ım
1 − cos(2x) sen2 (x)
R/
2
sen
R/
−2
R/
1 2
x2
x→0
x→0
R/
√ − 3 2
(21) l´ım
6x − sen (2x) x→0 2x + 3 sen (4x)
R/
2 7
(22)
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R/
sen
R/
(11) l´ım
(2x)
2
(18) l´ım
1 − cos(x) x sen x π 1 − cos −x 3 l´ım 2 x→0 x l´ım
x→0
2
R/
x→0
x→π
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l´ımπ
x→− 2
(x) − sen(x − π) x−π
cos(−x) 2x + π
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1.9. El Teorema de Intercalación Este teorema, también conocido como teorema del encaje, se re ere al comportamiento límite de una función que está encajadaentre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo límite en un punto dado. Dice lo siguiente:
Si
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x c, y si se cumple que
en un intervalo abierto que contiene a
c,
excepto quizás
en el propio
l´ım h(x) = l´ım g(x) = L
x→c
x→c
entonces:
l´ım f (x) = L
x→c
Note entonces que este teorema tiene dos hipótesis a saber: 1.
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), c.
para todo
x
en un intervalo abierto que contiene a
c,
excepto quizás en el
propio
2.
l´ım h(x) = l´ım g(x) = L.
x→c
x→c
Si se veri ca que se cumplen ambas hipótesis se puede deducir la siguiente conclusión:
l´ım f (x) = L
x→c
Este teorema es útil para el cálculo de límites trigonométricos o su comprobación.
La conclusión del teorema es válida también cuando
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x → +∞
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o cuando
x → −∞.
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65
Ejemplo:
(1)
Calcule
l´ım
sen(2x)
x→+∞
x
SOLUCIÓN: Por propiedades de la función
θ = 2x,
y = sen(θ)
se cumple que
−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 ∀θ ∈ R.
En particular,para
se cumple que:
−1 ≤ sen(2x) ≤ 1 ∀ x ∈ R
Puesto que
x → +∞,
la variable asume valores positivos cada vez más alejados de cero, por lo que se
puede dividir toda la desigualdad por
x
y, por propiedades de las desigualdades, no se invierte ninguna
de las mismas. Así:
sen(2x) 1 −1 ≤ ≤ , x x x
cuando
x → +∞
Con lo anterior se veri ca la primer hipótesis del teorema. Veri camos la segunda hipótesis:
l´ım
x→+∞ Entonces
(2)
−1 1 = l´ım = 0, x→+∞ x x sen(2x) l´ım = 0. x→+∞ x
l´ım
x→+∞
Por lo tanto:
−1 =0 x
l´ım
x→+∞
1 =0 x
con lo que se cumple la segunda hipótesis del teorema.
Demuestre que:
cos(3x) =0 x→+∞ x l´ım
Justi que su respuesta.
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66
Nota. En algunos ejercicios y demostraciones es útil recordar esta propiedad (k
•
|u| ≤ k
⇒
•
|u| ≥ k
⇒ u ≤ −k ∨ u ≥ k
>0
)
−k ≤ u ≤ k
Ejemplo: (3)
f es una función que satisface: |f (x)| ≤ x2 , l´ım f (x) = 0. Justi que su respuesta.
Suponga que
Demuestre que
(4) Calcule
x
en un vecindario de
x = 0.
x→0
l´ım f (x)
x→5
para todo
si se cumple que
2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + 2
|f (x) − 1| ≤ 2 · (5 − x)2 ∀x ∈ R
para todo
x,
determine
l´ım g(x)
R/
1
R/
2
(5)
Si
(6)
PARA INVESTIGAR (Actividad extraclase recomendada): Utilizando el Teorema de Intercalación
x→1
aplicado a áreas en el Círculo Trigonométrico compruebe que
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l´ım
x→0
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(x) =1 x
sen
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67
PRÁCTICA 4 (1)
Utilice el principio de intercalación para calcular los siguientes límites.
(a)
(b)
(c)
l´ım x4 · cos
x→0
2
l´ım x · sen
x→0
l´ım f (x)
x→1
1 x
1 √ 3 x
si se cumple que
|3 · f (x) + 6| ≤ 6 · (x − 1)4
R/
0
R/
−2
l´ım x2 cos (20πx) = 0
x→0
.
R/ Demostración completa
Aplique el Teorema del Encaje para demostrar que
π p x3 + x2 sen = 0. x→0 x l´ım
.
(4)
0
(2) Aplique el Teorema de intercalación para demostrar que
(3)
R/
R/ Demostración completa
Si
4x − 9 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 7
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para
x ≥ 0,
calcule
l´ım f (x)
x→4
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R/
7
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68
1.10. La de nición formal de límite Ahora que ya hemos manipulado los límites (de una manera intuitiva), podemos precisar ese concepto de una manera un poco más formal. Para eso analicemos la siguiente grá ca:
l´ım f (x) = L corresponde a que si x se x→a se aproxima a L. Viéndolo en términos de intervalos,
Observe que la idea intuitiva que tenemos de la expresión aproxima al valor esto signi ca que
a por ambos lados entonces f (x) f (x) está en un vecindario (intervalo
encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de
L, siempre x 6= a).
abierto) muy cercano a
a
(teniendo claro que
y cuando
Ahora bien, recuerde que una propiedad del valor absoluto es la siguiente (siempre que
|u| < k
es equivalente a lo siguiente:
lo que su vez equivalente a decir que
se
k > 0):
u ∈ ]−k, k[.
L es equivalente a f (x) ∈ ]L − , L + [, lo que a su vez, por de nición de intervalo abierto, es equivalente a decir que L − < f (x) < L + , pero por propiedad de las desigualdades, al restar L a toda la desigualdad obtenemos que − < f (x) − L < , para concluir nalmente (por la propiedad enunciada anteriormente) que |f (x) − L| < . Entonces, decir que
decir que, siendo
f (x)
−k < u < k
x
está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a
un valor positivo, tan pequeño como se quiera, se cumple que
a (teniendo δ tal que x ∈ ]a − δ, a + δ[ con x 6= a. Pero por de nición de intervalo abierto, esto es equivalente a a − δ < x < a + δ (de nuevo, sin olvidar que x 6= a). Lo anterior, por propiedad de las desigualdades, al restar a a los tres miembros de la desigualdad, se obtiene −δ < x − a < δ , para nalmente llegar entonces a que 0 < |x − a| < δ . Por otra parte, a rmar que
claro que
x 6= a),
x
se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de
es equivalente a decir que existe un
x se aproxima al valor a por ambos lados f (x) está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a L, siempre y cuando x se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de a (teniendo claro que x 6= a)..."llegamos a la siguiente de nición Así, para traducir formalmente la expresión (intuitiva) "...si
entonces
f (x)
se aproxima a
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L.
Viéndolo en términos de intervalos, esto signi ca que
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69
De nición. Sea
a)
f
una función de nida en un intervalo abierto que contiene a
y sea
L
a
(excepto posiblemente en
un número real. Decimos que
l´ım f (x) = L
x→a si para todo número
>0
Si
existe un número
0 < |x − a| < δ
δ>0
tal que
se cumple que
|f (x) − L| <
A partir de la de nición anterior, podemos demostrar formalmente ciertos límites, así como algunas de las propiedades que ya hemos utilizado para los límites. Efectúemos las siguientes demostraciones:
1. Demuestre utilizando la de nición formal de límite que
l´ım (1 − 5x) = 21
x→−4
SOLUCIÓN:
Sea
>0
arbitrario pero jo.
Asumimos que Se tiene que
0 < |x − (−4)| < δ
(o lo que es equivalente
0 < |x + 4| < δ )
|(1 − 5x) − 21| = |1 − 5x − 21| = | − 5x − 20| = | − 5(x + 4)|
A su vez, por propiedades del valor absoluto se cumple que:
| − 5(x + 4)| = | − 5| |x + 4| = 5 |x + 4| < 5δ (Esta última desigualdad por la suposición inicial) Así, si tomamos
δ=
5
tenemos lo siguiente:
|(1 − 5x) − 21| = 5 |x + 4| < 5δ = 5 · Por tanto, para cualquier
si
∴
0 < |x − (−4)| < δ
>0
entonces
= 5
siempre existirá
δ>0
tal que
|(1 − 5x) − 21| <
l´ım (1 − 5x) = 21
x→−4
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2. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
3. Dado el límite
70
l´ım (3x − 2) = 4.
x→2
l´ım (5x − 7) = 3 hallar un δ tal que si 0 < |x−2| < δ se cumple que |(5x−7)−3| < 0,05
x→2
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71
4. Demuestre usando la de nición formal de límite, que
l´ım x2 + x − 2 = 4.
x→2
>0 | x2 + x − 2 − 4| <
SOLUCIÓN: Hay que probar que si para todo número Si
0 < |x − 2| < δ
Sea
> 0
se cumple que
arbitrario pero jo. Si asumimos
existe un número
0 < |x − 2| < δ
δ>0
tal que
y utilizamos propiedades del valor
absoluto para analizar
| x2 + x − 2 − 4| se tiene: | x2 + x − 2 − 4| = |x2 + x − 2 − 4| = |x2 + x − 6| = |(x − 2)(x + 3)| = |x − 2| · |x + 3| < δ · |x + 3| Para determinar el
δ
conveniente, es preciso que quede sólo en términos de
mos acotar inferiormente la expresión
, |x + 3|
.
Para ello necesita-
es decir, encontrar un valor positivo menor que esa
expresión. Para eso se restringen los valores de x a un intervalo provisional adecuado, alrededor de x = 2, que podría tener un radio de una unidad alrededor de ese valor. Entonces, si condicionamos que δ = 1 y 0 < |x − 2| < 1 entonces tendríamos (nuevamente por propiedades del valor absoluto) que:
0 < |x − 2| < 1 ⇒ −1 < x − 2 < 1 ⇒1<x<3 ⇒4<x+3<6 ⇒ −6 < 4 < x + 3 < 6 ⇒ −6 < x + 3 < 6 ⇒ |x + 3| < 6 ⇒ |x + 3| < 6 ⇒ < 6 |x + 3|
Así, si tomamos
δ
=
mín{1,
6 }, se tendría que para el
> 0
elegido arbitrario, se cumple lo
siguiente:
0 < |x − 2| < δ ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| < (?). ∴ l´ım x2 + x − 2 = 4. x→2
NOTA(?): La conclusión a la que llegamos, es independiente a cuál de los dos valores de
{1, 6 }
sea el
mínimo del conjunto. Comprobemos ambos casos:
δ = mín{1, 6 } = 1 se cumpliría que δ = 1 y por lo tanto: 0 < |x − 2| < δ = 1 ⇒ 0 < |x − 2| < 1 ≤ 6 ⇒ 0 < |x − 2| < 6 con lo
CASO I: Si
que se completa el razonamiento
para comprobar el límite, ya que:
0 < |x − 2| < δ ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| <
6
·6=
δ = mín{1, 6 } = 6 , entonces se cumpliría que δ = 6 y por lo tanto: 0 < |x − 2| < δ = 6 ⇒ 0 < |x − 2| < 6 < 1 ⇒ 0 < |x − 2| < 1, la cual es una desigualdad que ya analizamos cuando restringimos el intervalo de una unidad de radio alrededor de x = 2, y que nos llevó a que 0 < |x + 3| < 6, la que a su vez es equivalente a 6 < |x+3| , que también permite comprobar el límite, ya que: 0 < |x − 2| < δ = 6 < |x+3| ⇒ | x2 + x − 2 − 4| = |x − 2| · |x + 3| < |x+3| · |x + 3| = CASO II: La otra posibilidad es que
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5. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
6. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que
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l´ım x2 = 9.
x→3
l´ım x2 + 1 = 5.
x→2
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73
LÍMITES LATERALES (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE)
Ahora nos es posible precisar la de nición de límites laterales, que ya habíamos estudiado, pero en forma intuitiva:
De nición (Límites Laterales) 1.
Límite lateral izquierdo : l´ım− f (x) = L si para todo número > 0 existe un número δ > 0 x→a
tal que Si 2.
a−δ <x
se cumple que
|f (x) − L| <
Límite lateral derecho : l´ım+ f (x) = L si para todo número rel="nofollow"> 0 existe un número δ > 0 x→a
tal que Si
a<x
se cumple que
|f (x) − L| <
Nuevamente la ilustración vista al inicio del tema, permite visualizar las dos de niciones anteriores, para los límites laterales.
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74
LÍMITES INFINITOS (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE)
Así mismo, los límites in nitos, que se dan cuando una función presenta una asíntota vertical, pueden de nirse de manera formal, tal como se muestra a continuación:
De nición (Límites In nitos) Sea f una función de nida en un intervalo abierto que contiene el número mente en 1.
a).
l´ım f (x) = +∞
x→a
si para todo número
Si 2.
l´ım f (x) = −∞
x→a
a
(excepto posible-
Entonces:
0 < |x − a| < δ
si para todo número
Si
M rel="nofollow">0
se cumple que
N <0
0 < |x − a| < δ
existe un número
tal que
f (x) > M
existe un número
se cumple que
δ>0
δ>0
tal que
f (x) < N
Veamos la ilustración de la de nición de los límites in nitos:
l´ım f (x) = +∞
x→a
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75
l´ım f (x) = −∞
x→a
PRÁCTICA 5 1. Pruebe, usando la de nición formal de límite, que:
a ) l´ım (4x − 5) = 7. x→3
1 x + 3 = 2. b ) l´ım x→−2 2 c ) l´ım (1 − 4x) = 13.
x→−3
d ) l´ım (7 − 3x) = −5. x→4
e ) l´ım x2 + x − 5 = 7.
x→3
f ) l´ım −x2 − 1 = −5.
x→−2
2. Dado el límite .
l´ım (2x − 5) = 1 hallar un δ tal que si 0 < |x−3| < δ se cumple que |(2x−5)−1| < 0,01
x→3 R/
δ = 0,005
3. Considere la función dada por
Demuestre utilizando la de nición formal de límite que
b)
Si
= 0,4,
determine el intervalo de para los valores de
f (x)
alrededor de
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es una respuesta correcta).
f (x) = 2x + 3.
a)
valores de
δ ≤ 0,005
(aunque en realidad cualquier
5.
l´ım f (x) = 5
x→1
x
alrededor de R/x
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∈
1 y elintervalo para los 23 27 4 6 , , f (x) ∈ , 5 5 5 5
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76
1.11. Continuidad 1.11.1. Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo Decimos que la función
f
es continua en un punto
x = c,
si su grá ca no sufre interrupciones en
c,
no
se rompe, ni tiene saltos o huecos. Ejemplos de discontinuidades.
Observe que la continuidad en
x=c
1. La función no está de nida en 2. El límite de 3. El límite de Así, para que
f (x)
f (x) f (x)
para para
x→c x→c
sea continua en
se pierde por alguna de estas tres razones:
x=c
(Ejemplo
no está de nido
x = c1 ).
(Ejemplos
existe pero no coincide con
x = c, f (c)
x = c2 ). f (c) (Ejemplos x = c3 ).
debe estar de nida, el
l´ım f (x)
x→c
debe existir y ser igual a
f (c).
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD f f (c) está de nido l´ım f (x) existe
1. EN UN PUNTO: Una función i. ii. iii.
2.
se dice continua en un punto
x=c
si se veri can las siguientes condiciones:
x→c
l´ım f (x) = f (c)
x→c
EN UN INTERVALO ABIERTO: Una función
puntos de ese intervalo. Nota: Si
f
f
se dice continua en el intervalo
es continua en todo
continua (sin especi car que lo es en todo
] − ∞, +∞[
]a, b[
si lo es en todos los
se dice simplemente que es una función
IR).
3. EN UN INTERVALO CERRADO: Una función
f
es continua en
[a, b] si es continua en ]a, b[ y l´ım+ f (x) = f (a) x→a
y
l´ım− f (x) = f (b)
x→b
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1.11.2. Propiedades de las funciones continuas Teorema:Si b es un número real y f , g
son funciones continuas en
x = c,
también son continuas en
las funciones: 1. Suma y diferencia:
b·f
2. Múltiplo escalar: 3. Producto: 4. Cociente:
f ±g
f ·g f si g(c) 6= 0 g
La demostración de cada una de las propiedades anteriores se puede llevar a cabo a partir de las propiedades de los límites. Por lo tanto, se puede deducir la continuidad de ciertos tipos de funciones que usamos regularmente. Por ejemplo, algunas funciones que asumiremos como continuas en cada uno de los puntos pertenecientes a su dominio son las siguientes:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 an , an−1 ..., a2 , a1 , a0 ∈ IR, , an = 6 0, n ∈ N siempre será continua para todo x ∈ IR
1. Funciones polinómicas: Una función de la forma con
Ejemplo:
p(x) = 2x5 − 3x3 + x2 − x + 6
2. Funciones racionales: Una función de la forma polinómicas y con
q(x) 6= 0,
es continua para todo
x ∈ IR.
p(x) , con p(x) y q(x) ambas funciones q(x) x ∈ IR salvo los números que hagan cero el
f (x) =
serán continuas para todo
denominador.
Ejemplo:
r(x) =
x4 − 3x3 + x − 3 x2 − 9 f (x) = n es par
3. Funciones radicales: Una función de la forma que si
n
es impar su dominio es
Ejemplo:
IR,
f (x) =
pero si
√ 4
x
es continua para todo
√ n
x ∈ IR − {−3, 3}.
x será continua en todo su dominio. Recuerde [0, +∞[
su dominio máximo es
es continua para todo
x ∈ [0, +∞[
4. Funciones Trigonométricas: Las siguientes funciones trigonométricas son continuas para todo
x que
pertenezca a su dominio. Ejemplos:
a ) f (x) = sen(x) es continua para todo x ∈ IR b ) f (x) = cos(x) es continua para todo x ∈ IR c ) f (x) = tan(x) es continua para todo x ∈ IR − { (2k+1)π , k ∈ R}. 2 Observe que esto se puede explicar a partir del hecho de que
tan(x) =
sen(x) cos(x)
y la propiedad
4 de las funciones continuas.
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c
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Las propiedades anteriores nos permiten asegurar la continuidad de funciones en cualquier punto de su dominio, por ejemplo
f (x) =
x2 + x + 1 √ sen x − x
es continua para
x=
π . 4
Justi que por qué.
Para referirnos a la continuidad de una composición de funciones continuas en un punto, primero repasemos mediante un diagrama el concepto de composición de funciones:
En el caso de funciones compuestas tenemos los siguientes teoremas:
TEOREMAS: l´ım f (g(x)) = f l´ım g(x)
1. Si
g
es continua en
c
y
f
lo es en
g(c),
entonces
2. Si
g
es continua en
c
y
f
lo es en
g(c),
la función compuesta dada por
Ejemplo:
f (x) =
√
x2 + 1
es continua para todo
x
x→c
en su dominio
x→c
IR.
f (g(x))
es continua en
x = c.
Justi que por qué.
PRÁCTICA 6 1. Si
f
y
g son funciones continuas en IR y además se cumple que f (3) = 5 y que l´ım [2f (x) − g(x)] = 4,
encuentre
x→3
g(3).
2. Justi que detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué
f (x) = x2 +
√
7−x
es continua en
x = 4.
3. Justi que detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué
g(x) = sen(x2 + 2x − 1)
4. Explique por qué la función
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x = −1. cos x h(x) = 2 es x +x+1
es continua en
continua en todo su dominio.
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1.11.3. Tipos de discontinuidades Las discontinuidades caen en dos categorías:
1. Discontinuidades evitables: continua rede niéndola en
Se dice que una discontinuidad en
x = c es evitable si f
puede hacerse
x = c.
Ejemplo:
g(x) =
Para que
x2 − 25 x−5
g(x)
con
x 6= 5.
Su grá ca es:
sea continua bastaría rede nir
g(5) = 10 2 x − 25 , g(x) = x−5 10,
la función de manera que
Note que la función
si
x 6= 5
si
x=5
sería una función continua.
NOTA:Observe que si la función g(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasi ca como evitable si
l´ım g(x)
x→a
existe, es decir, basta comprobar que
2. Discontinuidades no evitables: puede rede nir en
x=c
l´ım g(x) = l´ım+ g(x).
x→a−
x→a
Se dice que una discontinuidad en
x=c
no es evitable si
f
no se
para hacerla continua.
Ejemplo:
( 2x − 4, h(x) = x2 − 2x − 2,
si si
x≥3 x<3
Su grá ca es:
Como la función
h(x)
tiene un salto
en
x=3
no se puede rede nir para que sea continua.
NOTA:Observe que si la función h(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasi ca como NO evitable si en
l´ım h(x) NO existe, es decir, basta comprobar que l´ım− h(x) 6= l´ım+ h(x). También note que x→a x→a x→a a la función tiene una asíntota vertical, la discontinuidad también seria .
si
x=
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no evitable
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1.11.4. Estudio de la continuidad de una función A partir de todo lo que hemos mencionado acerca de la continuidad de una función, podemos efectuar el estudio de la misma, tanto en un punto como en un intervalo. Ejemplos:
1. Compruebe que
2 x f (x) = 5 −x + 6
si si si
2. Comprueba que la función dada por
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x<2 x=2 x>2
f (x) = √
tiene una discontinuidad evitable en
1 1 − x2
x = 2.
1 es continua en ]-1,1[ pero no en [-1,1].
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3. Sea la función
3x + 1 f (x) = x2 + 3 4x + 3
si si si
81
x<1 1<x≤3 3<x
Efectúe el estudio completo de la continuidad de
f (x).
Además clasi que las discontinuidades que
encuentre.
4. Encuentre y clasi que la(s) discontinuidad(es) de la función:
h(x) =
x3 + 4x2 + x − 6 (x − 1)2 (x + 3)
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5. Considere la función
f
82
dada por
x + 1 f (x) = x2 + m x+7 Determine los valores de
f
SOLUCIÓN:
a ) ] − ∞, 0[:
m
y
n
, si , si , si
x≤0 0<x≤n x>n
, de forma que la función
f
sea continua en
R.
es continua en los siguientes intervalos:
f (x) = x + 1 ] − ∞, 0[.
Ya que
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
es polinómica y por tanto continua en
R
y en particular, será
también continua en
b ) ]0, n[:
f (x) = x2 + m continua en ]0, n[.
Ya que
también
c ) ]n, +∞[:
Ya que
f (x) = x + 7 ]n, +∞[.
también continua en Por lo tanto, para que
Continuidad en (i) (ii)
f
sea continua en
R
basta garantizar la continuidad en
x=0
y
x = n.
x=0
f (0) = 1 l´ım f (x)
x→0
debe existir
l´ım f (x) = l´ım− (x + 1) = 0 + 1 = 1
x→0−
x→0
l´ım f (x) = l´ım+ (x2 + m) = 02 + m = m
x→0+
x→0
Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, (iii) Para que
∴
l´ım f (x) = f (0) = 1
x→0 f es continua en
Continuidad en (i) (ii)
x=0
siempre que
siempre que
m=1
m=1
m=1
x=n
f (n) = n2 + 1 l´ım f (x)
x→n
debe existir
l´ım f (x) = l´ım− (x2 + 1) = n2 + 1
x→n−
x→n
l´ım f (x) = l´ım+ (x + 7) = n + 7
x→n+
x→n
n2 + 1 = n + 7 Resolviendo n = 3 o n = −2, sin embargo este último valor se función n > 0. Por lo tanto, para que el límite exista se
Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, la ecuación
n2 − n − 6 = 0
se obtiene que
descarta ya que por de nición de la debe cumplir que (iii) Para que
∴
n=3
l´ım f (x) = f (n) = 10 siempre que n = 3 x = n siempre que n = 3
x→n f es continua en
Por tanto, la función dada será continua en
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R
siempre que
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m=1
y
n = 3.
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6. Encuentre los valores de las constantes
c
y
d,
83
de tal modo que la función
h(x),
de nida a continua-
ción, sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta.
x + 2c h(x) = 3cx + d 3x − 2d
si si si
x < −2 −2≤x≤1 1<x
RESPUESTA/ Para que
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f
sea continua en
R
se debe cumplir que
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c =
1 3
y
d =
2 3.
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7. Considere la función
f : R −→ R
dada por
f (x) =
Justi que si
l´ım f (x)
x→−4 la discontinuidad.
RESPUESTA:
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sen(x + 4) 2x + 8 √ x+8 4
existe y conteste si
l´ım f (x) =
x→−4−
84
f
, si
, si
x < −4
x ≥ −4
es continua en
1 = l´ım f (x), f 2 x→−4+
x = −4. En caso de no serlo clasi que
ES CONTINUA en
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x = −4
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PRÁCTICA 7 (1)
Estudiar la continuidad de cada una de las siguientes funciones. Clasi que las discontinuidades que
encuentre.
(b)
( |x − 2| + 3 f (x) = x+5 √ f (x) = 1 − x2 en el
(c)
f (x) =
(a)
√
x−1
si si
x<0 x≥0
intervalo
en el intervalo
( (2)
Considere la función Determine el valor de
(3)
f (x) = k
[−1, 1]
]1, +∞[
4(x2 + 1) 2x + 3k
x≤0 x>0 f (x) sea
si si
para que la función
continua. Justi que su respuesta.
Encuentre el valor de la constante a, que hace que la función
( g(x) =
x3 − a2 x + 2a x−1
si si
x ≤ −1 x > −1
sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta. (4)
Encuentre el valor de la constante k , que hace que la función
( g(x) =
x2 + x x+k
si si
x≤2 x>2
sea continua en todos los números reales. Justi que su respuesta. (5) Determine el valor de las constantes
a, b y k
para que las siguientes funciones sean continuas en toda
la recta real.
(a)
(b)
(c)
(d)
2 2 x (x − 1) + x − 1 , f (x) = x−1 k, ( x3 , si x ≤ 2 f (x) = 2 ax , si x > 2 2x, g(x) = ax + b, −2x, 2 2 x − a , x−a g(x) = 8,
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si si si
si
x 6= 1
si
x=1
x ≤ −1 −1<x<3 x≥3 si
x 6= a
si
x=a
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(6)
Hallar el valor de
c
86
para que el límite exista y calcúlelo
3x2 + cx + c + 3 x→−2 x2 + x − 2 l´ım
(7) Hallar las asíntotas verticales y las discontinuidades evitables de la función de nida por la expresión
f (x) = (8)
Considere la siguiente función:
( f (x) = Determine el valor de (9)
3x2 + 3x − 18 x(x − 1)(x − 2)
k
para que
f
4(x2 + 1), 2x + 3k,
si si
x≤0 x>0
sea continua.
Dada la función:
f (x) =
2x − 2, 3, 2 , x − 1 2 x − 10,
si
x<2
si
x=2
si
2<x≤3
si
x>3
f.
(a)
Determine las discontinuidades de la función
(b)
Determine cuáles son evitables y cuáles inevitables. Justi que.
(10) Determine las discontinuidades de la función
f (x)
y anote cuáles son evitables y cuáles inevitables.
Justi que su respuesta. (a)
f (x) =
x3 − x x|x − 1|
(b)
(c)
f (x) =
2x2 + 7x + 6 x4 − 16
(d)
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x3 − x x(x − 1)2 ( 1 − x, f (x) = x2 − 2x,
f (x) =
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si si
x≥2 x<2
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RESPUESTAS: (1) (a) f es continua en IR (b) f es continua en el intervalo [−1, 1] (c) f es continua en el intervalo [1, +∞] 4 (2) Con k = g es continua en x = 0. 3 (3) a = −1 para que l´ım f (x) exista. x→−1
(4) k = 4 para que l´ım f (x) exista. x→2
(5) (a) k = 3 (6) a = 15
l´ım
(b) a = 2
x→−2
(c) a = −1 b = −3
(d) a = 4
3x2 + 15x + 18 = −1 x2 + x − 2
(7) Asíntotas verticales en x = 0 y x = 1. Discontinuidad evitable en x = 2 (8) k =
4 3
(9) (a) Discontinuidades en x = 2 y x = 3. (b) x = 2 es una discontinuidad evitable. Basta rede nir f (2) pues l´ım f (x) = 2 x→2
x = 3 es una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) 6= l´ım f (x) x→3
−
x→3
+
(10) (a) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) 6= l´ım f (x). x→1
−
x→1
x→0
+
(b) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad no x→0 evitable pues hay una asíntota vertical. (c) En x = 2 hay una discontinuidad no evitable pues l´ım f (x) no existe. En x = −2 hay una discontinuidad evitable pues l´ım f (x) existe.
x→2
x→2
(d) En x = 2 hay una discontinidad no evitable pues l´ım f (x) no existe. x→2
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La función parte entera de x La función f : IR −→ Z dada por f (x) = bxc asocia cada número real x con el mayor entero menor o igual a x. 5 b c=2 2
Así: b0c = 0
b3,785c = 3
√ b 3c = 1 b−πc = −4
b−0,99c = −1
b−20c = −20
Su grá ca es:
La notación:
también corresponde a la parte entera de x. Es decir,
En el transcurso del curso y en las evaluaciones se puede utilizar indistintamente cualquiera de las dos notaciones. EJERCICIO: 1. Analice la continuidad de la función f (x) = x − bxc en: (a) x = −21
(b) x =
3 8
2. Considere la función f : ]−∞, 6[ −→ R dada por x−2 (x − 2)2 f (x) = 1 bxc
, si x ≤ 2 , si 2 < x < 4 , si x = 4 , si 4 < x < 6
Efectúe el análisis de continuidad para f y concluya en qué valores del dominio la función NO es continua y clasi que esas discontinuidades encontradas.
R/ (1) (a) discontinua (b) continua (2) x = 4 es discontinuidad evitable y x = 5 es discontinuidad no evitable
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89
1.12. El Teorema del Valor Intermedio Si
f
[a, b] y k es cualquier número entre f (a) y f (b), existe al menos [a, b] para el que f (c) = k .
es continua en
un número
c
en
Ejemplos.
Note como al ser f continua en [a, b] para k en [f (a), f (b)] existe al menos un c tal que f (c) = k. De hecho en la gura existen tres. En cambio, en el caso de g , al no ser continua observe que existen valores de k para los que no existe c tal que g(c) = k.
Ejemplos de aplicación. (1) Compruebe que
f (x) = x3 + 2x − 1
tiene al menos un cero en el intervalo
Solución: Veri camos las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [0, 1]: i)f es continua en [0, 1]: Justi cación ya que al ser polinómica es continua en R en el intervalo real [0, 1]. ii)f (0) = −1 < 0 < 2 = f (1) ⇒ ∃c ∈ [0, 1] tal que f (c) = 0 ∴ c es un cero de f (x) en el intervalo [0, 1]
(2) Demuestre que la ecuación
2x3 + x2 = −2
[0, 1].
y, en particular, será continua
tiene una solución en el intervalo
[−2, −1].
Solución: Despejamos cero en la ecuación dada así: 2x3 + x2 + 2 = 0 De nimos la función f (x) = 2x3 + x2 + 2. Note que un cero de f (x) es a la vez una solución de la ecuación 2x3 + x2 = −2. Así que basta probar que f (x) tiene un cero en [−2, −1] Veri camos que la función de nida cumple con las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [−2, −1]: i)f es continua en [−2, −1]. Justi cación: Ya que f es polinómica y por tanto es continua en R y en particular será continua en el intervalo real [−2, −1]. ii)f (−2) = −10 < 0 < 1 = f (−1) ⇒ ∃c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 0 ⇒ c ∈ [−2, −1] es un cero de f (x) ∴ c es una solución para la ecuación 2x3 + x2 + 2 = 0 en el intervalo [−2, −1]
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(3) Pruebe que
f (x) = x2
Solución:
y
g(x) =
√ 6+x
90
se intersecan en al menos un punto en el intervalo
[ 41 , 3].
Dado que el punto de intersección de f (x) con g(x) pertenece al grá co √ de ambas funciones, entonces corresponde 2 a una solución de√la ecuación f (x) = g(x) o lo que es equivalente x = 6 + x. Despejando cero en esta ecuación √ obtenemos x2 − 6 + x = 0. De nimos la√función h(x) = x2 − 6 + x. Por lo tanto un cero para la función h(x) será una solución para la ecuación x2 = 6 + x y a la vez será una intersección para las funciones f (x) y g(x). Por lo tanto, basta demostrar que h(x) tiene un cero en el intervalo [ 41 , 3]. Veri camos que h(x) cumple las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en [ 41 , 3]: i) h es continua en el intervalo [ 14 , 3]: La función f (x) =√x2 es continua en R por ser polinómica, y en particular, será continua en el intervalo real [ 14 , 3]. A la vez g(x) = 6 + x es continua en el intervalo [−6 + ∞[ porque al ser una composición de funciones continuas ∀x ∈ [−6 + ∞[, por propiedades de las funciones continuas será también continua ∀x ∈ [−6 + ∞[. En particular, como [ 14 , 3] ⊂ [−6 + ∞[ entonces g(x) es continua en [ 14 , 3]. Pero entonces, dado que h(x) = f (x) − g(x), se cumple que es la resta de dos funciones continuas ∀x ∈ [ 41 , 3] y por propiedades de las funciones continuas h(x) será también continua en ese intervalo. ii) h
1 4
=
−39 < 0 < 6 = h(3) 16
⇒ ∃c ∈ [ 41 , 3] tal que h(c) = 0 ⇒ c ∈ [ 14 , 3] es un cero de h(x) ⇒ c es una solución para la ecuación x2 =
√
6 + x en el intervalo [ 14 , 3]
⇒ c ∈ [ 14 , 3] cumple que f (c) = g(c) ∴ c ∈ [ 41 , 3] corresponde a una intersección entre las funciones f (x) y g(x).
(4) Demuestre que la ecuación
x = cos(x)
tiene una solución en el intervalo
SOLUCIÓN: Despejamos cero en la ecuación dada obteniendo el siguiente ecuación equivalente:
π 0, 2 .
x − cos(x) = 0 De nimos la función f (x) = x − cos(x). Note que probar que f tiene cero en el intervalo 0, π2 es equiva un lente a probar que la ecuación dada tiene una solución en el intervalo 0, π2 . Veri camos que f satisface las hipótesis del Teorema de los Valores Intermedios en el intervalo 0, π2 . i. f es continua en 0, π2 : Ya que f (x) = x − cos(x) es una resta de funciones ambas continuas ∀x ∈ 0, π2 (esto por propiedades de las funciones polinómicas y la función trigonométrica coseno que son continuas en R y en particular en el intervalo anterior); y, por propiedad de las funciones continuas, entonces f también será continua ∀x ∈ 0, π2 . ii. f (0) < 0 < f π2 : Ya que f (0) = 0 − cos(0) = 0 − 1 = −1 y f π2 = π2 − cos π2 = π2 − 0 = π2 y en efecto, −1 < 0 < π2 π Entonces Teorema de Valores Intermedios) existe c ∈ 0, 2 tal que f (c) = 0 π(por ∴ c ∈ 0, 2 es una solución de la ecuación x = cos(x) .
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91
(5) Sea f (x) = x3 −5x2 +7x−9. Demuestre que existe α ∈ R tal que f (α) = 100.(Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio)
PRÁCTICA 8 1. Demuestre que la ecuación cos(x) =
√
x
πi tiene una solución en el intervalo 0, . Justi que su respuesta. 2 h
2. Suponga que f (x) es una función continua en el intervalo [a, b], que cumple que f (a) < 0 y f (b) > 1
Demuestre que existe un valor c en el intervalo ]a, b[ donde f (c) =
1 2
3. Demuestre que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene una solución entre x = 0 y x = 1. Justi que su respuesta. 2 3 4. Demuestre que lasgrá cas de las funciones f (x) = cos(2x ) y g(x) = x − 5x se intersecan al menos una √ − π vez en el intervalo , 0 . 4
5. Demuestre que la grá ca de la función y = x3 + x + 1 interseca al eje X en al menos un punto. (Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio) 6. Considere la función f : [0, 1] −→ [0, 1] continua tal que 0 < f (0) < f (1) < 1. Demuestre que existe c ∈]0, 1[ tal que f (c) = c.
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Capítulo 2 Derivadas
2.1. Concepto de Derivada Uno de los problemas a partir de los cuales surge el Cálculo, es el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Por ejemplo:
Algunas soluciones parciales a este problema fueron dadas por Pierre Fermat, René Descartes, Christian Huygens e Isaac Barrows, se atribuye la primer solución a Isaac Newton y Gottfried Leibniz. La pendiente (m) de la recta tangente, se deduce aproximándose a la recta tangente mediante rectas secantes, proceso que genera un límite. Suponga que se quiere calcular la pendiente de la recta tangente a f en cualquier punto (x, f (x))
92
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93
f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) y2 − y1 ∆y = = = ∆x x2 − x1 x+h−x h Ahora bien, la recta secante se aproxima a la recta tangente cuando h → 0. Así la pendiente de la recta tangente sería:
La pendiente de la secante es: msec =
f (x + h) − f (x) h El límite utilizado para de nir la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, se usa también para de nir una de las dos operaciones fundamentales del Cálculo: la derivación. mtan = l´ım
h→0
Por tanto, si tenemos una función f llamamos la función derivada de f al siguiente límite: f (x + h) − f (x) h Al proceso del cálculo de la derivada de una función se le llama derivada de una función son las siguientes: f 0 (x) = l´ım
h→0
f 0 (x),
dy , dx
d [f (x)], dx
derivación.
Algunas notaciones para la
y0
2.2. Derivación de funciones utilizando la de nición (Límite) Veamos algunos ejemplos del cálculo de la derivada de funciones simples a partir de la de nición de derivada. Calcule la derivada de las siguientes funciones: √ (1) f (x) = x Solución: f 0 (x)
=
l´ım
h→0
f (x + h) − f (x) h √
=
=
=
=
=
=
l´ım
h→0
x+h− h
√ x
√ √ √ √ ( x + h − x) ( x + h + x) √ · l´ım √ h→0 h ( x + h + x) √ √ ( x + h)2 − ( x)2 √ l´ım √ h→0 h( x + h + x) l´ım
x+h−x √ √ h( x + h + x)
l´ım
h √ √ h( x + h + x)
h→0
h→0
1 l´ım √ √ ( x + h + x)
h→0
=
1 √ √ ( x + 0 + x)
=
1 √ √ ( x + x)
=
1 √ 2 x
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1 ∴ f 0 (x) = √ 2 x
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(2) f (x) =
√ 3 x
(3) g(x) =
x x+1
94
1 R/ f 0 (x) = √ 3 3 x2
Solución: g 0 (x)
=
=
=
=
=
=
=
l´ım
h→0
g(x + h) − g(x) h
x+h x − x + h + 1 x + 1 l´ım h→0 h (x + h)(x + 1) − x(x + h + 1) (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h x2 + x + xh + h − x2 − xh − x (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h h (x + h + 1)(x + 1) l´ım h→0 h l´ım
h h(x + h + 1)(x + 1)
l´ım
1 (x + h + 1)(x + 1)
h→0
h→0
=
1 (x + 0 + 1)(x + 1)
=
1 (x + 1)2
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∴ g 0 (x) =
1 (x + 1)2
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(4) g(x) =
−1 x
95
R/ g 0 (x) =
1 x2
(5) y = 3x2 − 5x + 6 Solución: Sea y = f (x) dy dx
=
=
=
=
=
=
∴
f (x + h) − f (x) h
l´ım
[3(x + h)2 − 5(x + h) + 6] − [3x2 − 5x + 6] h
h→0
[3(x2 + 2xh + h2 ) − 5x − 5h + 6] − [3x2 − 5x + 6] h→0 h [3x2 + 6xh + 3h2 − 5x − 5h + 6] − [3x2 − 5x + 6] l´ım h→0 h
= =
l´ım
h→0
l´ım
l´ım
3x2 + 6xh + 3h2 − 5x − 5h + 6 − 3x2 + 5x − 6 h
l´ım
6xh + 3h2 − 5h h
l´ım
h(6x + 3h − 5) h
h→0
h→0
h→0
l´ım (6x + 3h − 5)
h→0
=
(6x + 3 · 0 − 5)
=
6x − 5
dy = 6x − 5 dx
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Triángulo de Pascal: Para determinar los coe cientes de las fórmulas notables (a ± b)n . 1 1
1 &
1
2 &
1
.
1 &
3 &
1
.
. 3
&
4 &
.
.
1 &
6
.
&
.
. 4
&
.
1 &
.
Así (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Así (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 y (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 Así (a+b)4 = a4 +4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4 y (a−b)4 = a4 −4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4 (6) f (x) = x3 + 2x Solución: f 0 (x)
=
=
=
=
=
=
=
l´ım
f (x + h) − f (x) h
l´ım
[(x + h)3 + 2(x + h)] − [x3 + 2x] h
l´ım
[x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 + 2x + 2h] − [x3 + 2x] h
l´ım
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 + 2x + 2h − x3 − 2x h
l´ım
3x2 h + 3xh2 + h3 + 2h h
l´ım
h(3x2 + 3xh + h2 + 2) h
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
h→0
l´ım (3x2 + 3xh + h2 + 2)
h→0
=
(3x2 + 3x · 0 + 02 + 2)
=
3x2 + 2
∴ f 0 (x) = 3x2 + 2
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(7) y = −0,5x2 + x − 6
97
R/ y 0 = −x + 1
(8) f (x) = sen(x)
R/ f 0 (x) = cos(x)
PRÁCTICA 9
Calcule la derivada de las siguientes funciones mediante la de nición de derivada. Debe efectuar el cálculo del límite correspondiente. x−1 x+3 −1 2. g(x) = √ x
4 (x + 3)2 1 R/ g 0 (x) = √ 2 x3 dy R/ = − sen(x) dx 1 R/ f 0 (x) = √ 2x + 1 dy R/ = 20x3 − 6x + 7 dx
1. h(x) =
R/ h0 (x) =
3. y = cos(x) 4. f (x) =
√ 2x + 1
5. y = 5x4 − 3x2 + 7x − 11
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2.3. La derivada en un punto FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA (la derivada en un punto) La derivada de f evaluada en x = c viene dada por: f 0 (c) = l´ım
x→c
f (x) − f (c) suponiendo que tal límite exista. x−c
Ejemplos. (1) Sea f (x) = x2 − x − 6. Calcule la derivada de f en el punto (3, 0). SOLUCIÓN f 0 (3)
= = = =
f (x) − f (3) x−3 (x2 − x − 6) − 0 l´ım x→3 x−3 (x + 2)(x − 3) l´ım x→3 (x − 3) l´ım
x→3
−→
0 0
l´ım (x + 2)
x→3
=
3+2
=
5
NOTA: A partir del resultado anterior se interpreta que la pendiente punto
(3, 0)
es igual a
(m)
de la recta tangente a
f (x)
en el
5.
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(2) Sea g(x) =
√
99
1 − 2x. Calcule la pendiente de la recta tangente a g(x) en x = −4.
SOLUCIÓN Se calcula g 0 (−4)
= = = = = =
g(x) − g(−4) x→−4 x − −4 √ 1 − 2x − 3 l´ım x→−4 x+4 √ √ ( 1 − 2x − 3) ( 1 − 2x + 3) l´ım · √ x→−4 (x + 4) ( 1 − 2x + 3) √ 2 ( 1 − 2x) − (3)2 √ l´ım x→−4 (x + 4)( 1 − 2x + 3) l´ım
l´ım
1 − 2x − 9 √ (x + 4)( 1 − 2x + 3)
l´ım
−2x − 8 √ (x + 4)( 1 − 2x + 3)
x→−4
x→−4
−→ −→
g(−4) =
p √ 1 − 2(−4) = 9 = 3
0 0
−2(x + 4) √ (x + 4)( 1 − 2x + 3) −2 = l´ım √ x→−4 ( 1 − 2x + 3) −2 p = ( 1 − 2(−4) + 3) −2 = 6 −1 = 3 −1 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente a g(x) en (−4, 3) tiene pendiente m = 3 =
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l´ım
x→−4
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2.4. Derivadas laterales Se de nen la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha a los siguientes límites laterales: 0 f− (c) = l´ım
x→c−
f (x) − f (c) x−c
0 f+ (c) = l´ım
x→c+
f (x) − f (c) x−c
Si ambos límites existen y son iguales decimos que la derivada f 0 (c) = l´ım
x→c
que es lo mismo, que f es derivable o diferenciable en x = c.
f (x) − f (c) existe o lo x−c
0 0 Ejemplo: calcule las derivadas laterales f− (4) y f+ (4) para la función:
0 f (x) = 5 − x 1 5−x −→ f (4) =
,si x ≤ 0 , si 0 < x < 4 ,si x ≥ 4, x 6= 5 1 = 1 ←− 5−4
% 0 f− (4)
f (x) − f (4) = l´ım x−4 x→4−
0 f+ (4)
f (x) − f (4) = l´ım x−4 x→4+
(5 − x) − 1 = l´ım x−4 x→4−
1 −1 5 − x = l´ım x−4 x→4+
−x + 4 = l´ım x→4− x − 4
1 − (5 − x) 5−x = l´ım x−4 x→4+
−(x − 4) = l´ım x−4 x→4−
1−5+x 5−x = l´ım x−4 x→4+
= l´ım −1 x→4−
= −1
x−4 5 −x = l´ım x→4+ x − 4 = l´ım
x−4 (5 − x)(x − 4)
= l´ım
1 5−x
x→4+
x→4+
=
1 5−4
=1
NOTA: Observe que f no es diferenciable para x = 4, puesto que las derivadas laterales no coinciden.
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2.5. Derivabilidad y continuidad Una función NO es derivable en un punto donde su grá ca tiene un pico o una recta tangente vertical. La derivabilidad también queda destruida si no hay continuidad, ya que si una función es derivable en un punto, forzosamente es continua en ese punto. Sin embargo, una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Ejemplos: 1) Considere la función 0 ,si x ≤ 0 5 − x , si 0 < x < 4 f (x) = 1 , si x ≥ 4, x 6= 5 5−x ¾En qué valores de x la función f no es diferenciable? SOLUCIÓN: (a) x = 4.Justi cación:
Las derivadas laterales no coinciden (ver página anterior). Nota: Observe sin embargo,que f es continua en x = 4, pues: (i) f (4) = 1 1 (ii) l´ım f (x) = 1, ya que l´ım f (x) = 5 − 4 = 1 y l´ım f (x) = =1 x→4 5−4 x→4− x→4+ (iii) l´ım f (x) = f (1) = 1 x→4 Lo anterior es un ejemplo del hecho de que una función f puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. (b) x = 5 Justi cación: f no es continua en 5, pues f (5) no está de nida. Al no ser continua en x = 5 la función no es derivable en ese valor
(c) x = 0 Justi cación: f no continua en x = 0, pues f (0) = 0 pero l´ım f (x) = 0 6= l´ım f (x) = 5 y si no x→0−
hay continuidad en 0, f no puede ser derivable en 0.
x→0+
Lo anterior se puede apreciar en la grá ca de f que se ve a continuación:
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√ 2) Veri que que la función de nida por f (x) = 3 x no es derivable en x = 0. Haga una interpretación grá ca. SOLUCIÓN. √ (a) Note que la función f es continua en x = 0 [ justi cación: l´ım f (x) = 3 0 = 0 = f (0) ] x→0
(b) Derivada en el punto (0 , 0): √ 1 3 −2 f (x) − f (0) x−0 x3 1 f 0 (0) = l´ım = l´ım = l´ım = l´ım x 3 = l´ım 2 = +∞ (c) Interpretación grá ca: Al obx→0 x→0 x→0 x x→0 x→0 x 3 x−0 x tener in nito en la derivada se concluye que la recta tangente a f en el punto (0, 0) es vertical. Cuando esto sucede se concluye a la vez que la función no es derivable en (0, 0).
3) Considere la función de nida por f (x) =
si x ≤ −1,
1 x
si − 1 < x.
x
Muestre que esta función es continua pero no es derivable en x = −1. SOLUCIÓN Continuidad en x = −1 Se veri can condiciones de continuidad en un punto. i. f (−1) = −1 ii. l´ım f (x) = −1 x→−1
ya que
l´ım f (x) = −1 =
x→−1−
l´ım f (x)
x→−1+
iii. l´ım f (x) = f (−1) = −1 x→−1
∴ f (x) es continua en x = −1 Derivabilidad en x = −1 Se calculan las derivadas laterales en x = −1. 0 f− (−1) =
0 f+ (−1) =
l´ım
1 1+x − −1 f (x) − f (−1) 1 x = l´ım x = l´ım = l´ım = −1 x − −1 x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− x
l´ım
f (x) − f (−1) x − −1 x+1 = l´ım = l´ım = l´ım 1 = 1 x − −1 x→−1+ x + 1 x→−1+ x + 1 x→−1+
x→−1−
x→−1+
0 0 Como f− (−1) 6= f+ (−1) entonces f no es derivable en x = −1.
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(
4) Considere la función f dada por f (x) =
1 x x 4
1−
103
, si x < b . , si x ≥ b
a. Si f es continua en x = b, determine el valor de b. SOLUCIÓN: Si f es continua en x = b, por de nición de continuidad en un punto se cumple que l´ım f (x) existe. Por lo x→b tanto:
l´ım f (x) = l´ım f (x) x→b+ 1 x l´ım = l´ım 1 − + − 4 x→b x x→b 1 b =1− b 4 4 4b − b2 = 4b 4b 2 b − 4b + 4 = 0 x→b−
(b − 2)2 = b ∴b=2
1 Note que en efecto si b = 2 se cumple que f (2) = l´ım f (x) = , con lo que se cumple que f es continua en x→2 2 x = 2.
b. Conteste: ¾Es f derivable en el valor x = b encontrado en la parte (a)? Justi que. SOLUCIÓN: Basta veri car que las derivadas laterales coinciden: 0 f− (2) = l´ım
1 2−x − 21 (2 − x) −(−2 + x) f (x) − f (2) −1 2x = l´ım x = l´ım = l´ım = l´ım = x−2 4 x→2− x − 2 x→2− x − 2 x→2− 2x(x − 2) x→2− 2x(x − 2)
0 f+ (2) = l´ım
1 − x4 − f (x) − f (2) = l´ım x−2 x−2 x→2+
x→2−
+ x→ 1 2
1 2
= l´ım
x→2+
2−x − x4 −(−2 + x) −1 4 = l´ım = l´ım = + x−2 4 x→2 x − 2 x→2+ 4(x − 2)
1 2
0 0 Así: f− (2) = f+ (2). Por lo tanto, f es derivable en x = 2.
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5) Veri que que la función f (x) = |x − 2| es continua en x = 2 pero no es derivable en x = 2. Haga una interpretación grá ca. SOLUCIÓN: (a) Continuidad en x = 2
Análisis del valor absoluto
f (2) = |2 − 2| = |0| = 0
i.
l´ım f (x) = l´ım (2 − x) = 2 − 2 = 0
ii.
(
x→2−
x→2−
|x − 2| =
l´ım f (x) = l´ım (x − 2) = 2 − 2 = 0
x→2+
x→2+
x−2 2−x
si x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 si x − 2 < 0 ⇒ x < 2
Por lo tanto l´ım f (x) = 0 x→2
iii.
l´ım f (x) = 0 = f (2)
x→2
∴ f es continua en x = 2
(b) Derivabilidad en x = 2
0 f− (2) = l´ım
x→2−
f (x) − f (2) x−2
0 f+ (2) = l´ım
x→2+
f (x) − f (2) x−2
= l´ım
|x − 2| − 0 x−2
= l´ım
|x − 2| − 0 x−2
= l´ım
2−x x−2
= l´ım
x−2 x−2
= l´ım
−(x − 2) x−2
= l´ım 1
x→2−
x→2−
x→2−
= l´ım −1 x→2−
x→2+
x→2+
x→2+
=1
= −1 f (x) − f (2) no existe x−2 ∴ f no es derivable en x = 2 ⇒ f 0 (2) = l´ım
x→2
EJERCICIO. Veri que que la función f
de nida por f (x) = |x2 − 9| no es derivable en x = −3 ni en x = 3. Sugerencia: Al analizar el valor absoluto, tome en cuenta que para saber en que intervalos x2 − 9 ≥ 0 (y en consecuencia en cuales x2 − 9 < 0), la desigualdad cuadrática se resuleve así: x2 − 9 ≥ 0
Así: |x2 − 9| = 2 x − 9 , si x ≤ −3 ∨ x ≥ 3
(x + 3)(x − 3) ≥ 0
ceros
9 − x2
x = −3 x = 3
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, si − 3 < x < 3
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105
2.6. Derivación con fórmulas Aparte del método de cálculo por la de nición, la derivada de una función puede encontrarse de manera directa con fórmulas. Veamos algunos ejemplos del uso de las fórmulas.
(1)La derivada de una constante:
d [c] = 0 dx
c constante real.
. Si f (x) = 2 entonces f 0 (x) = 0 −3π entonces g 0 (x) = 0 . Si g(x) = 5
(2) La derivada de la función identidad:
d [x] = 1 dx
. Si f (x) = x entonces f 0 (x) = 1
(3)la derivada de una potencia cuya base es la variable de derivación elevada a un exponente numérico: d n [x ] = n · xn−1 dx
. Si f (x) = x7 entonces f 0 (x) = 7x6 . Si g(x) = xπ entonces g 0 (x) = πxπ−1 . Si h(x) = xe−6 entonces h0 (x) = (e − 6)xe−7 1 dy −1 . Si y = = x−1 entonces = −1x−2 = 2 x dx x 1 −4 −4 0 −5 . Si g(x) = 4 = x entonces g (x) = −4x = 5 x x −2 √ 1 1 1 1 0 3 √ . Si f (x) = x = x 3 entonces f (x) = x 3 = 2 = 3 3 3 x2 3x 3 −1 −1 −3 −1 1 1 −1 √ x 2 = . Si h(x) = √ = 1 = x 2 entonces h0 (x) = 3 = 2 x 2 x3 x2 2x 2
(4) La derivada de las función raíz cuadrada . Si f (x) =
d √ 1 [ x] = √ dx 2 x
√ 1 x entonces f 0 (x) = √ 2 x
(5)La derivada de las funciones trigonométricas: d [sen (x)] = cos (x) dx
d [cos (x)] = − sen (x) dx
d [tan (x)] = sec2 x dx
d [cot (x)] = − csc2 (x) dx
d [sec (x)] = sec (x) · tan (x) dx
d [csc (x)] = − csc (x) · cot (x) dx
. Si f (x) = cos (x) entonces f 0 (x) = − sen (x) . Si g((x)) = tan (x) entonces g 0 (x) = sec2 (x) . Si h(x) = csc (x) entonces h0 (x) = − csc (x) · cot (x)
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(6)La derivada del múltiplo constante de una función:
d [c · f (x)] = c · f 0 (x) dx
√ 1 3 . Si f (x) = −3 x entonces f 0 (x) = −3 · √ = − √ 2 x 2 x π π . Si f (x) = − tan (x) entonces f 0 (x) = − sec2 (x) 2 2 2πx2 2π 4πx . Si g(x) = entonces g 0 (x) = · 2x = 3 3 3 √ 3 −2 x 1 1 1 0 . Si h(x) = entonces h (x) = · · x 3 = √ 3 4 4 3 12 x2 −4 ln 3 2 ln 3 = 2 ln 3 · x−2 entonces y 0 = 2 ln 3 · −2x−3 = . Si y = x2 x3 0 . Si g(x) = 0,75x entonces g (x) = 0,75 · 1 = 0,75
(7)La derivada de sumas o restas de funciones:
d [f (x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x) dx
Ejemplos:
√ 3 π 1 3π π−1 x − xπ + entonces f 0 (x) = √ − x 5 4 5 2 x √ 3 10 . Si f (x) = 2 sec (x) − 10 3 x − entonces f 0 (x) = 2 sec (x) · tan (x) − √ 3 7 3 x2 √ 8 −32 4 5 . Si g(x) = 4 + 3πx − x4 + 4x6 − e2 entonces g 0 (x) = 5 + 3π − √ + 24x5 x x 55x 1 13 √ −3 −7 13 −3 13 1 2 . Si y = √ + 6 entonces y 0 = x 4 − −2 · x−3 − · −x−2 = √ − 2 − + 3 + 2 4 4 3 x 3x 4 3 x 3x x 4 x7
. Si f (x) =
NOTA: Esta regla de derivación, junto con la del múltiplo constante, permite derivar polinomios como los siguientes: . Si h(x) = −9x4 − 6x3 + 13x2 − 16x + 1 entonces h0 (x) = −36x3 − 18x2 + 26x − 16 2 3x π 3 . Si p(x) = 0,75x4 − x3 + 0,5x2 − + entonces p0 (x) = 3x3 − 2x2 + x − 3 2 5 2 (8)La derivada de la multiplicación de dos funciones:
d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Ejemplos:
√ √ √ √ 1 x entonces f 0 (x) = [3x9 ]0 · x + 3x9 · [ x]0 = 27x8 · x + 3x9 · √ 2 x √ 5 . Si g(x) = (3x3 − 4x2 − πx + e) · (−3 x) entonces √ √ 0 3 2 0 0 5 5 g (x) = [(3x − 4x − πx + e)] · (−3 x) + (3x3 − 4x2 − πx+ e) · [(−3 x)] √ 3 ∴ g 0 (x) = (9x2 − 8x − π) · (−3 5 x) + (3x3 − 4x2 − πx + e) − √ 5 5 x4 √ −2π 2 3 . Si h(x) = − 5 cot(x) + entonces 3x2 3 2π h i −2 0 0 −2πx 2 −2π 2 0 h (x) = · − 5 cot(x) + · − 5 cot(x) 2 3 3 3x 3 4π 2 −2π ∴ h0 (x) = − 5 cot(x) + 5 csc2 (x) 3 2 3x 3 3x
. Si f (x) = 3x9 ·
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(9)La derivada de una multiplicación de tres funciones: d [f (x) · g(x) · h(x)] = f 0 (x) · g(x) · h(x) + f (x) · g 0 (x) · h(x) + f (x) · g(x) · h0 (x) dx
Ejemplo: √ . Sif (x) = (1 − 4x2 ) · csc(x) · 2 5 x entonces √ √ √ f 0 (x) = [(1 − 4x2 )]0 · csc(x) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · [csc(x)]0 · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · csc(x) · [2 5 x]0 √ √ 2 −4 f 0 (x) = −8x · csc(x) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · (− csc(x) · cot(x)) · 2 5 x + (1 − 4x2 ) · csc(x) · x 5 5 √ √ 2(1 − 4x2 ) csc(x) √ ∴ f 0 (x) = −16x 5 x csc(x) − 2 5 x(1 − 4x2 ) · csc(x) · cot(x) + 5 5 x4
(10)La derivada de una división de funciones:
g(x) · f 0 (x) − g 0 (x) · f (x) d f (x) = dx g(x) [g(x)]2
Ejemplos: . Si g(x) =
(π − x3 − x2 + 2 √ entonces g 0 (x) = π− 3x
√ √ 3 x)[x3 − x2 + 2]0 − [π − 3 x]0 (x3 − x2 + 2) √ (π − 3 x)2
√ 1 3 x)(3x2 − 2x) − − √ (x3 − x2 + 2) 3 2 3 x 0 √ ∴ g (x) = (π − 3 x)2 √ √ √ √ √ √ (3 + xe )[ x − 2 3 x]0 − [(3 + xe )]0 ( x − 2 3 x) x−23x 0 . Si h(x) = entonces h (x) = 3 + xe (3 + xe )2 (π −
(3 + xe )
∴ h0 (x) =
. Si g(x) =
√ √ 1 2 √ − √ − (exe−1 )( x − 2 3 x) 3 2 x 3 x2 (3 + xe )2
2 tan(x) + 5 sen(x) √ entonces (x3 − 5x2 − x + 1) x √
√ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)[2 tan(x) + 5 sen(x)]0 − [(x3 − 5x2 − x + 1) x]0 (2 tan(x) + 5 sen(x)) √ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)2 h √ √ 3 2 2 ((x − 5x − x + 1) x)(2 sec (x) + 5 cos(x)) − (3x2 − 10x − 1) x + (x3 − 5x2 − x + 1) · 0 ∴ g (x) = √ ((x3 − 5x2 − x + 1) x)2 g 0 (x) =
1 √ 2 x
i
(2 tan(x) + 5 sen(x))
(*)Tarea: Compruebe las 2 primeras fórmulas trigonométricas usando la de nición de derivadas y las cuatro restantes usando otras fórmulas de derivación y las identidades trigonométricas.
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RESUMEN :********************************************************************* REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Derivadas Básicas:
d [c] = 0 dx d [x] = 1 dx d [c · f (x)] = c · f 0 (x) dx d n [x ] = n · xn−1 dx d √ 1 [ x] = √ dx 2 x d [f (x) ± g(x)] = f 0 (x) ± g 0 (x) dx d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx d [f (x) · g(x) · h(x)] = f 0 (x) · g(x) · h(x) + f (x) · g 0 (x) · h(x) + f (x) · g(x) · h0 (x) dx d h f (x) i g(x) · f 0 (x) − g 0 (x) · f (x) = dx g(x) [g(x)]2 d [sen (x)] = cos (x) dx d [cos (x)] = − sen (x) dx d [tan (x)] = sec2 (x) dx d [cot (x)] = − csc2 (x) dx d [sec (x) = sec (x) · tan (x) dx d [csc (x)] = − csc (x) · cot (x) dx *******************************************************************************
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Regla de la Cadena Cuando se tiene una composición de funciones, para derivarla es preciso utilizar la siguiente Regla de la Cadena , a saber:
d [f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x) dx
o bien, si y=f(u) y u=g(x), entonces
dy du dy = · dx du dx
A partir de la Regla de la Cadena se rede nirán las fórmulas ya estudiadas para el caso en que el argumento de una función sea otra función. Las fórmulas quedarían así:
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
(utilización de la Regla de la Cadena para funciones compuestas) u = f (x) d n [u ] = n · un−1 · u0 dx
d √ 1 [ u] = √ · u0 dx 2 u
Derivada de las funciones trigonométricas: d [sen (u)] = cos (u) · u0 dx d [tan (u)] = sec2 (u) · u0 dx d [sec (u)] = sec(u) · tan (u) · u0 dx
d [cos (u)] = − sen (u) · u0 dx d [cot (u)] = − csc2 (u) · u0 dx d [csc (u)] = − csc (u) · cot(u) · u0 dx
Ejemplos: Derive las siguientes funciones: √ −π p 2 5 3 · 5x + 5x − 1 − (1) g(x) = 2 π SOLUCIÓN: π p g 0 (x) = − [ 5x2 + 5x − 1]0 2 π 1 g 0 (x) = − · √ · [5x2 + 5x − 1]0 2 2 5x2 + 5x − 1 π 1 ⇒ g 0 (x) = − · √ · (10x + 5) 2 2 5x2 + 5x − 1 −5π(2x + 1) ∴ g 0 (x) = √ 4 5x2 + 5x − 1 √ (2) h(x) = 6 3 ax3 − bx2 + cx − d con a, b, c, d constantes reales SOLUCIÓN
1 0 h0 (x) = 6 (ax3 − bx2 + cx − d) 3
⇒ h0 (x) = 6 ·
−2 1 (ax3 − bx2 + cx − d) 3 · (3ax2 − 2bx + c) 3
2 · (3ax2 − 2bx + c) ∴ h0 (x) = p 3 (ax3 − bx2 + cx − d)2
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s
(3) y = −7 3 tan2
x2 + 1 π − 2x3
+
110
1 2
SOLUCIÓN 23 #0 x2 + 1 tan π − 2x3 2 −1 2 0 3 dy 2 x +1 x +1 ⇒ = −7 · tan · tan dx 3 π − 2x3 π − 2x3 −1 2 3 2 2 0 dy −14 x +1 x +1 x +1 2 ⇒ = tan · sec · dx 3 π − 2x3 π − 2x3 π − 2x3 2 −1 3 (π − 2x3 )(2x) − (−6x2 )(x2 + 1) −14 dy x2 + 1 x +1 2 · sec = tan · ∴ dx 3 π − 2x3 π − 2x3 (π − 2x3 )2 dy = −7 dx
"
(4) f (x) = 2 sen
5 3x3 − 4x2 + 56 x − 3π
SOLUCIÓN: 5 h 5 i 0 6 6 · 3x3 − 4x2 + x − 3π 3x3 − 4x2 + x − 3π 5 5 5 4 h i0 6 6 6 ⇒ f 0 (x) = 2 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 5 3x3 − 4x2 + x − 3π · 3x3 − 4x2 + x − 3π 5 5 5 5 4 6 6 6 3 2 2 ⇒ f 0 (x) = 2 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 5 3x − 4x + x − 3π · 9x − 8x + 5 5 5 5 4 6 6 6 3 2 2 ∴ f 0 (x) = 10 cos 3x3 − 4x2 + x − 3π · 3x − 4x + x − 3π · 9x − 8x + 5 5 5 f 0 (x) = 2 cos
(5) f (x) = (3x10 − 5x5 + 3e)−2 ·
√
1 + x + x2
SOLUCIÓN i0 √ h√ i0 h 1 + x + x2 f 0 (x) = (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · 1 + x + x2 + (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · ∴ f 0 (x) = −2(3x10 − 5x5 + 3e)−3 · (30x9 − 25x4 ) ·
√ 1 1 + x + x2 + (3x10 − 5x5 + 3e)−2 · √ · (1 + 2x) 2 1 + x + x2
p 5 x − sec3 (x) dy √ . (6) donde y = dx cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 SOLUCIÓN: hp i0 p h i0 √ √ 5 x − sec3 (x) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 − 5 x − sec3 (x) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 2 √ cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 p √ 5(2x+3) 1 (x − sec3 (x))−4/5 (1 − 3 sec3 (x) tan(x)) cot(x) + 10 x2 + 3x + x7/3 − 5 x − sec3 (x) + 37 x4/3 − csc2 (x) + √ 2 5 dy x +3x = 2 √ dx 7/3 2 cot(x) + 10 x + 3x + x dy = dx
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PRÁCTICA 10 1. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a
) f (x) =
cos3 (2x) q x + x1 r 1 1 · (−6) · (cos2 (2x)) · (sen(2x)) − 1 − · cos3 (2x) x+ √ x 2x x f 0 (x) = ! r 2 1 x+ x
b
√ ) g(x) = (x2 sec(x) − 4 3 x + 1)5
√ 4 R/ g 0 (x) = 5(x2 sec(x) − 4 3 x + 1)4 2x sec(x) + x2 sec(x) tan(x) − (x + 1)−2/3 3
c
) h(x) =
x3 cos(3x2 + 3) 1 x4 + tan x
R/ h0 (x) =
d
) f (x) =
p
(x4 + tan(1/x))(3x2 cos(3x2 + 3) − 6x4 sen(3x2 + 3) − x3 cos(3x2 + 3)(4x3 + sec2 (1/x) · (−1/x2 )) (x4 + tan(1/x))2
(x5 + 4x) sen2 x + (2x − 1)3
.
R/ f 0 (x) =
2. Demuestre (usando la de nición de derivada) que
(5x4 + 4) sen2 x + 2(x5 + 4x) sen x cos x + 6(2x − 1)2 p 2 (x5 + 4x) sen2 x + (2x − 1)3
d −1 1 = 2 dx x x
.
R/ Demostración completa
3. Sea f (x) = cos (2x). Utilice la de nición de derivada para calcular f 0
π 4
R/−2
4. Una función cuyo dominio es D es par si ∀x ∈ D se cumple que f (x) = f (−x). Una función cuyo dominio es D es impar si ∀x ∈ D se cumple que f (x) = −f (x). Demuestre utilizando la de nición de derivada que: a
) La derivada de una función par es una función impar, es decir, f 0 (−x) = −f 0 (x) si f es par.
b
) La derivada de una función impar es una función par, es decir, f 0 (−x) = f 0 (x) si f es impar. .
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R/ Demostración completa
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2.7. Derivación Implícita Hay funciones despejadas en la forma explicita y = f (x).
Ejm: y =
5x2 + 3x x+1
o también
y=
√x2 − 1 1 tan + x3 2 2x + 8
Así mismo, hay funciones o relaciones modeladas por ecuaciones en las cuales y está planteada de forma implícita. Por ejemplo: x2 y + xy = 5y 3
√ x + y = x2 + y 2
o también
En todas estas funciones o relaciones dadas por ecuaciones consideramos que y depende de x y para su dy = f 0 (x) derivación y 0 = dx Ejemplos de derivación implicita. dy Encuentre : dx 1)x2 y + 3x = xy 2 Solución: Sea y 0 =
dy dx
2)xy 3 − 7y + 2xy = 5
Solución: Sea y 0 =
dy dx
2xy + x2 y 0 + 3 = y 2 + x · 2yy 0 2xy + x2 y 0 + 3 = y 2 + 2xyy 0
y 3 + 3xy 2 y 0 − 7y 0 + 2y + 2xy 0 = 0
x2 y 0 − 2xyy 0 = y 2 − 2xy − 3
3xy 2 y 0 − 7y 0 + 2xy 0 = −y 3 − 2y
y 0 (x2 − 2xy) = y 2 − 2xy − 3 y 2 − 2xy − 3 y0 = x2 − 2xy
y 0 (3xy 2 − 7 + 2x) = −y 3 − 2y −y 3 − 2y y0 = 3xy 2 − 7 + 2x
2.8. Derivadas puntuales 2 2 dy Sea x 3 − y 3 − y = 1 Calcule en(1, −1) dx dy 0 Solución: Sea y = dx
NOTA: Observe que el punto dado pertenece a la curva (verifíquelo) 2 −1 2 −1 x 3 − y 3 y0 − y0 = 0 3 3 2 −1 −2 −1 − y 3 y0 − y0 = x 3 3 3 2 −1 −2 −1 y 0 (− y 3 − 1) = x 3 3 3 −1 −2 −1 −2 −2 x 3 (1) 3 0 0 3 3 3 =2 Así y = −1 y = −2 −1 = −2 −1 (1,−1) 3 3 y −1 (−1) −1 3 3 3
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PRÁCTICA 11 1. Calcule la derivada de la función denominada como Bifolio: (x2 + y 2 )2 = 4x2 y R/ y 0 =
2xy − x3 − xy 2 x2 y + y 3 − x2
2. La función y está dada implícitamente por la ecuación que se indica. Calcule la derivada. x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 2 = 0 .
R/ y 0 =
2−x−y x+y+1
3. Derive las siguientes funciones dadas implícitamente:
a
)
√ x + y = y + 6x
R/ y 0 =
√ 12 x + y − 1 √ 1−2 x+y
b
) sen(x + y) = −y
R/y 0 =
− cos(x + y) 1 + cos(x + y)
4. Encuentre la derivada
dy dx
si xy 3 − x5 y 2 = 4
.
5. Considere
R/
π dy 2xy + sen y = 2 Calcule en 1, . π dx 2
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dy 5x4 y 2 − y 3 = dx 3xy 2 − 2x5 y
R/
−π 2
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2.9. Derivación de las funciones inversas trigonométricas Derivada de las funciones trigonométricas inversas d 1 [arc sen(x)] = √ dx 1 − x2 d 1 [arctan(x)] = dx 1 + x2 1 d √ [arcsec(x)] = dx | x | · x2 − 1
d −1 [arc cos(x)] = √ dx 1 − x2 d −1 [arccot(x)] = dx 1 + x2 −1 d √ [arccsc(x)] = dx | x | x2 − 1
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas aplicando Reglas de la Cadena d 1 [arc sen(u)] = √ · u0 dx 1 − u2 d 1 [arctan(u)] = · u0 dx 1 + u2 1 d √ [arcsec(u)] = · u0 dx | u | · u2 − 1
d −1 [arc cos(u)] = √ · u0 dx 1 − u2 −1 d [arccot(u)] = · u0 dx 1 + u2 d −1 √ [arccsc(u)] = · u0 dx | u | u2 − 1
EJEMPLOS: Calcule la derivada de las siguientes funcionces. 1. f (x) = arc cos4 (x)
√ 2. g(x) = arc sen( x)
3. h(x) = 2 arctan(5x2 ) − 2 sen2 (x3 ) −
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π 2
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4. y = 3 arc cos
1 x
−
115
p 3 cot(2x + 1)
5. f (x) =
√ 2x x − 2 arccot 2x+1 + arc sen 22 arctan(x + 1)
6. g(x) =
−2 7
7. h(x) =
arcsec(3x + 2) − csc 3
√ · arccot(7 x) − 2 arctan(1)
2 x
8. y = arcsec(4x2 + 1) · arctan(4x2 + 1)
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RESPUESTAS: −4 arc cos3 (x) √ 1. f 0 (x) = 1 − x2 1 2. g 0 (x) = √ √ 2 x 1−x 20x 0 − 12x2 sen(x3 ) cos(x3 ) 3. h (x) = 25x4 + 1 2 csc2 (2x + 1) dy 3 q 4. = + dx 3 (cot(2x + 1))2/3 x2 1 − 12 x
5. f 0 (x) =
2 arctan(x + 1) − 2
2x 1+(1+x)2
arctan (x + 1)
2 + 2 x 1 + 2x+1 ( 2x + 1)2
6. g 0 (x) =
1 √ (1 + 49x) x
7. h 0 (x) =
2 1 p − 2 csc x |3x + 2| (3x + 2)2 − 1
8.
2 2 cot x x
dy 8x 8x p = · arctan(4x2 + 1) + arcsec(4x2 + 1) · dx (4x + 1)2 + 1 (4x2 + 1) (4x + 1)2 − 1
También hay correspondencias modeladas por una ecuación, cuya derivada hay que calcuarla implícitamente. Por dy si se cumple que ejemplo, calcule dx 1. y = arctan(xy).
R/
2. arc sen(1 + x) = xy 2 .
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R/ y 0 =
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dy y = dx 1 + x2 y 2 − x
p 1 − y 2 1 − (1 + x)2 p 2xy 1 − (1 + x)2
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2.10. Derivación de funciones logarítmicas Veamos las fórmulas para derivar funciones que involucran logaritmos:
Derivada de las funciones logarítmicas d 1 [ln(x)] = dx x
d 1 [loga (x)] = dx x · lna
1 d [ln(u)] = u0 dx u
d 1 [loga (u)] = u0 dx u · ln a
Ejemplos: −2 ln x + sen3 (x) − 3π entonces f 0 (x) = Si f (x) = 3 Si g(x) = 2 ln5 (3x2 +
√
x) + tan x entonces g 0 (x)=
Si h(x) = 4 log7 x + 3π log4 x − 1 entonces h0 (x) =
Si y = c log 1
3
sec2 x ax + b
+ d (a,b,c,d constantes) entonces
dy = dx
2.11. Derivación usando las propiedades de los logaritmos El cálculo de ciertas derivadas con logaritmos se simpli ca notablemente si, antes de derivar, se aplican las propiedades de los logaritmos para desarrollarlos. Calcule la primer derivada de las siguientesrfunciones de los logaritmos ! aplicando las propiedadesr ! √ √ 3 2 x 1+x e x x+1 (2)g(x) = ln (3)f (x) = ln (1)y = ln x4 ln x x−1
Solución p y = ln( 1 + x2 ) − ln(x4 )
Solución
Solución
√ 1 ex 3 x g(x) = ln 2 ln x g(x) =
√ 1 (ln ex + ln 3 x − ln(ln x)) 2
dy 1 1 1 = · 2x − 4 · dx 2 (1 + x2 ) x
g(x) =
1 2
1 x + ln x − ln(ln x) 3
dy x 4 = − dx 1 + x2 x
g 0 (x) =
1 2
g 0 (x) =
1 2
y=
1 ln(1 + x2 ) − 4 ln(x) 2
1+
1 1 1 1 · − · 3 x (ln x) x
1+
1 1 − 3x x ln x
R/ f 0 (x) =
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−1 x2 − 1
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2.12. Derivación logarítmica Si tenemos una función dada explícitamente y = f (x), podemos aplicar logaritmo natural: lny = ln f (x) y derivamos ambos miembros de la igualdad Ejemplos Calcule la primer derivada de las siguientes funciones: √
(1)y = xln x
(2)y = x
Respuesta/ y 0 = xln x
2 ln x x
Respuesta/ y 0 = x
2
(3)y = 5x
(4)y = (x + 2)x
solución
√ x
√ ln x x √ + x 2 x
(5)y = 7
solución x
x
√
x2 +1
solución √
x2
ln[y] = ln[(x + 2) ]
ln y = x ln 5
ln y = x2 ln[(x + 2)]
d d [ln y] = [x ln 5] dx dx
d d 2 [ln y] = [x ln(x + 2)] dx dx
d d p 2 [ln y] = [( x + 1) ln 7] dx dx
1 0 · y = ln 5 y
1 0 1 · y = 2x ln(x + 2) + x2 · · 1 y x+2
1 0 1 · y = ln 7 · √ · 2x y 2 x2 + 1
y 0 = y · ln 5
y 0 = 5x · ln 5
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y 0 = y 2x ln(x + 2) +
2
y 0 = (x + 2)x
ln[y] = ln[7
x2 +1
ln[y] = ln[5 ]
ln y = (
x2 (x + 2)
2x ln(x + 2) +
x2 (x + 2)
p
]
x2 + 1) ln 7
x ln 7 y0 = y · √ x2 + 1 √
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y=7
x2 +1
x ln 7 ·√ x2 + 1
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(6) Calcule la derivada de y =
sen(x) 1 x
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(con x > 0)
SOLUCIÓN: Este ejercicio se debe resolver por derivación logarítmica. sen(x) 1 ln(y) = ln x 1 ln(y) = sen(x) · ln x d d 1 [ln(y)] = sen(x) · ln dx dx x 0 1 1 y0 = [sen(x)]0 · ln + sen(x) · ln y x x 1 y0 1 −1 = cos(x) · ln + sen(x) · 1 · 2 y x x x 0 1 y 1 = cos(x) · ln − sen(x) · x · 2 y x x 1 y0 1 = cos(x) · ln − sen(x) · y x x sen(x) 1 − y 0 = y cos(x) · ln x x sen(x) sen(x) 1 1 0 · cos(x) · ln − ∴y = x x x
(7) Sea y =
csc2 x ln(1 + x)
tan x
. Calcule
dy . dx
SOLUCIÓN: tan x csc2 x ln(1 + x) tan x ! csc2 x ln(y) = ln ln(1 + x) csc2 x ln(y) = tan x · ln ln(1 + x)
y=
ln(y) = tan x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x))) d d [ln(y)] = [tan x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x)))] dx dx y0 1 1 1 = sec2 x · (2 ln (csc x) − ln (ln(1 + x))) + tan x · 2· · − csc x cot x − · y csc x ln(1 + x) 1+x 0 2 y csc x 1 = sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − y ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x) csc2 x 1 y 0 = y sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x) tan x 2 2 csc x csc x 1 y0 = sec2 x · ln + tan x · −2 cot x − ln(1 + x) ln(1 + x) (1 + x) ln(1 + x)
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La derivación logarítmica también se puede utilizar en aquellas funciones que por su criterio es dí cil obtener la derivada. p Ejemplo. p (x + 1)(x + 2) (x2 + 1)3 (1)y = (2)y = p 3 (x − 1) ln x (x3 + 1)4
Solución":
Solución:
# p (x + 1)(x + 2) ln[y] = ln (x − 1) ln x 1 ln y = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(x − 1) − ln(ln x) 2 d 1 d [ln y] = ln(x + 1) + ln(x + 2) − ln(x − 1) − ln(ln x) dx dx 2 1 0 1 1 1 1 ·y = + − − y (x + 2) (x − 1) x ln x 2(x + 1) 1 1 1 1 y0 = y · + − − 2(x + 1) (x + 1) (x − 1) x ln x p (x + 1)(x + 2) 1 1 1 1 0 y = · + − − (x − 1) ln x 2(x + 1) (x + 2) (x − 1) x ln x p (x2 + 1)3 4x2 3x − R/ y 0 = p 3 x3 + 1 (x3 + 1)4 x2 + 1
2.13. Derivación de funciones exponenciales Derivada de las funciones exponenciales
d x [a ] = ax · ln a dx d u [a ] = au · ln a · u0 dx
d x [e ] = ex dx d u [e ] = eu · u0 dx
Ejemplos: (1) Calcule la derivada de g(x) = log3 (x2 + 1) − 2 · Solución:
3x2 −6x+5 3 + 3 ln 2 2
3x2 −6x+5 3 3 ln (6x − 6) 2 2 3x2 −6x+5 2x 3 3 por lo tanto g 0 (x) = 2 − 12(x − 1) ln · (x + 1) ln 3 2 2
g 0 (x) =
1 · 2x − 2 · (x2 + 1) ln 3
y
(2) Derive implícitamente xy = e x Solución: d d xy [xy] = [e ] dx dx 0 y xy −y y + xy 0 = e x x2 y y 0 x xy − e x y e y + xy 0 = x2 y y x2 (y + xy 0 ) = e x xy 0 − e x y y y x2 y + x3 y 0 = e x xy 0 − e x y y x x3 y 0 − e x xy 0 = −e y y − x2 y y y y 0 (x3 − xe x ) = −e x y − x2 y y −e x y − x2 y y0 = y x3 − xe x
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EJERCICIO: Calcule la derivada 1. y =
121
dy de la función dada. dx
4e−5x −x4 + 90
. 2. y = ln(x +
R/ y 0 = √
e−5x 20x4 + 16x3 − 1800 (90 − x4 )2
x2 + 1) + 23x
.
R/ y 0 =
1 √ x + x2 + 1
x 1+ √ + 23x · 3 ln 2 x2 + 1
3. y = log(arctan2 (x) · e−3x )
.
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R/ y 0 =
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2 3 − arctan(x) · ln(10) · (x2 + 1) ln(10)
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122
4. y = esen x (1 + ln x2 )
2 R/ y 0 = esen x cos(x) 1 + ln x2 + x
. 5. e2x = arc sen(x + 3y)
.
R/ y = 0
2e2x
p 1 − (x + 3y)2 − 1 3
6. ln(xy) = e
x+y
.
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R/ y 0 =
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ex+y xy − y x − ex+y xy
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123
Más ejemplos. 1. En cada uno de los casos calcule a
) y=
dy (No es necesario que simpli que su respuesta). dx
arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) √ 2x
SOLUCIÓN: Se aplican la reglas de derivada del cociente de funciones así como la derivada del producto de funciones:
=
h i0 √ h√ i0 arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x 2 √ x 2
=
h i0 √ h√ i0 arccot(ex ) 0 · log6 (4x2 + 25) + arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2x √ 2 2x
dy dx dy dx
dy ∴
b
=
ex (ex )2 +1
·
log6 (4x2 + 25) + arccot(ex ) ·
dx
) y=
8x (4x2 +25) ln(6) √ 2 2x
x √ 2 ln(2) √ 2x − arccot(ex ) · log6 (4x2 + 25) 2 2x
√ x2 + 1 log8 7arctan(2x)
SOLUCIÓN: Se aplica la fórmula de derivada de un cociente: dy = dx
h i0 √ √ 0 7arctan(2x) · log8 x2 + 1 − 7arctan(2x) · log8 x2 + 1 2
(7arctan(2x) )
RESPUESTA:
7arctan(2x)
·
√
dy = dx
c
) y=
1 x2
+1
·
ln(8)
1 · √ 2 x2 + 1
2x −
7arctan(2x) · ln(7) ·
7arctan(2x)
p 3
cos(x)
√ 1 · 2 · log8 x2 + 1 1 + (2x)2
2
arc sen(x)
SOLUCIÓN: Se aplica derivación logarítmica:
ln(y) = ln
q 3
arc sen(x) cos(x)
ln(y) = arc sen(x) · ln
q 3
cos(x)
q d d [ln(y)] = arc sen(x) · ln 3 cos(x) dx dx q q 0 1 0 0 · y = [arc sen(x) ] · ln 3 cos(x) + (arc sen(x) ) · ln 3 cos(x) y q −2 y0 1 1 1 3 p · (cos(x)) 3 (− sen(x)) = · ln cos(x) + (arc sen(x) ) · √ 3 y 3 1 − x2 cos(x) y
0
∴y
0
√
= y
=
q 3
1 1 − x2
arc sen(x) cos(x)
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−2 1 1 · (cos(x)) 3 (− sen(x)) cos(x) + (arc sen(x) ) · p 3 3 cos(x) q −2 1 1 1 3 √ · (cos(x)) 3 (− sen(x)) · ln cos(x) + (arc sen(x) ) · p 3 3 1 − x2 cos(x)
· ln
q 3
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dy y evalúela en el 2. Considere la curva dada por la siguiente ecuación: x2 ln(y) + x3 = ex−y . Calcule dx punto (1, 1).
SOLUCIÓN: Se aplica derivación implícita:
d 2 x ln(y) + x3 = dx 1 2x ln(y) + x2 · · y 0 + 3x2 = y x2 y 0 2x ln(y) + + 3x2 = y x2 y 0 + ex−y y 0 = y 2 x y0 + ex−y = y ∴ y0 =
d x−y e dx ex−y · (1 − y 0 ) ex−y − ex−y y 0 ex−y − 3x2 − 2x ln(y) ex−y − 3x2 − 2x ln(y) ex−y − 3x2 − 2x ln(y) x2 + ex−y y
Se evalúa la derivada en el punto (1, 1) (que en efecto pertenece a la curva dada porque satisface la ecuación). e1−1 − 3 · 12 − 2 · 1 ln(1) 12 + e1−1 1 e0 − 3 · 1 − 2 · 1 · 0 = 1 + e0 1 − 3 −0 = 1 + 1 −2 = 2 = −1
y 0 |(1,1) =
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PRÁCTICA 12 1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: e4x log2 (x6 ) x − πh i 1 6e4x (x − π) 4log2 x + − log2 x xln(2) R/f 0 (x) = (x − π)2
a
) f (x) =
b
) f (x) = 2x arc cos(5x) h i 5 R/f 0 (x) = 2x ln2 · arc cos(5x) − √ 1 − 25x2
c
) f (x) =
x2
1 cos(x) +1
R/f 0 (x) =
d
) f (x) =
) y=
1 sen(3x) x
−
2x cos x i x2 + 1
5ln2 · 25x · cos2 (x) + 2 cos(x)sen(x) · 25x cos4 (x)
x>0
R/
) y=
√
dy = dx
1 sen(3x) x
3x cos(3x)ln
1 x x
− sen(3x)
x2 − 1 − arcsen x + log5 (x2 + 1)
R/ y 0 = √
h
3x2 1 √ + 2xln7 |x3 | x6 − 1
g
1 x2 + 1
25x cos2 (x)
R/g 0 (x) =
f
√ ) f (x) = arcsec(x3 ) + log7 ( x)
R/ f 0 (x) =
e
1 cos x h − sen x · ln x2 + 1
x x2
1 2x −√ + 2 2 (x + 1) ln 5 −1 1−x
) y = ln3 (arctanx) R/ y 0 =
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3 ln2 (arctan x) arctan x · (1 + x2 )
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i
) y = −2arcsec
1 5x
+
π 2
R/ y 0 =
j
2 r 1 1 5x2 −1 5x 25x2
) y = 2arcsen(1 + x + x2 ) − 3arccot(ln(x2 )) R/ y 0 = p
k
126
) y=
2(1 + 2x) 6 + x 1 + (ln(x2 ))2 1 − (1 + x + x2 )2
−3e arccos(ex ) + 2π 1 − arctan(sen x) (1 − arctan(sen x))
R/ y 0 =
2. Suponga que y 2 lnx = ln(2 − y 2 ), veri que que:
3ex+1 − cos x √ − (−3e arc cos(ex ) + 2π) 1 + sen2 x 1 − e2x (1 − arctan(sen x))2
−1 dy = en el punto (1, 1) dx 2
y4 2y 2 − dy x x = y luego evaluar en el punto R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que dx 4y lnx − 2y 3 lnx + 2y (1, 1).
3. Si y ln(x) = x ln(y), veri que que
dy = 1 en el punto (1, 1). dx
y ln(y) − dy x R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que = x y luego evaluar en el punto (1, 1) dx ln(x) − y
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2.14. Derivadas de orden superior La segunda derivada es la derivada de la primer derivada. La tercer derivada es la derivada de la segunda derivada, etc. f 00 (x) = [f 0 (x)]0
f 000 (x) = [f 00 (x)]0 d2 y , dx2
Notaciones: Segunda derivada: f 00 (x) ,
d2 [f (x)] dx2
d3 y , dx3 dn y N-ésima derivada: f (n) (x) , , dxn
Tercer derivada: f 000 (x)
d3 [f (x)] dx3 dn [f (x)] dxn
,
y 00
,
y 000
, ,
y (n)
Ejemplos 1-Encuentre la tercer derivada de y = x4 + 5x3 − 7x + 2 SOLUCIÓN: Sea y 0 =
dy dx
y 0 = 4x3 + 15x2 − 7 y 00 = 12x2 + 30x ∴
y 00 = 24x + 30
2- Encuentre la segunda derivada de y = sen(4x3 − 2x) dy SOLUCIÓN: Sea y 0 = dx y 0 = cos(4x3 − 2x) · (12x2 − 2) y 00 = [cos(4x3 − 2x)]0 · (12x2 − 2) + cos(4x3 − 2x) · [(12x2 − 2)]0 ∴
y 00 = −sen(4x3 − 2x) · (12x2 − 2)2 + cos(4x3 − 2x) · (24x)
3- Encuentre la segunda derivada de: SOLUCIÓN:
Sea y 0 =
f (x) =
x−1 x2 − x − 6
dy dx
f 0 (x) =
(x2 −x−6)[x−1]0 −[x2 −x−6]0 (x−1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)2 [−x2 +2x−7]0 −[(x2 −x−6)2 ]0 (−x2 +2x−7) ((x2 −x−6)2 )2
f 0 (x) =
(x2 −x−6)(1)−(2x−1)(x−1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)2 (−2x+2)−2(x2 −x−6)(2x−1)(−x2 +2x−7) (x2 −x−6)4
f 0 (x) =
x2 −x−6−(2x2 −2x−x+1) (x2 −x−6)2
f 00 (x) =
(x2 −x−6)[(x2 −x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x2 +2x−7)] (x2 −x−6)4
f 0 (x) =
x2 −x−6−2x2 +3x−1 (x2 −x−6)2
∴ f 00 (x) =
∴ f 0 (x) =
(x2 −x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x2 +2x−7) (x2 −x−6)3
−x2 +2x−7 (x2 −x−6)2
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4- Calcule la segunda derivada de f (x) = xex SOLUCIÓN: Derivamos: f 0 (x) = [x]0 ex + x[ex ]0 = ex + xex = ex (1 + x) por lo tanto f 0 (x) = ex (1 + x) Calculamos la segunda derivada: f 00 (x) = [ex ]0 (1 + x) + ex [1 + x]0 = ex (1 + x) + ex = ex (1 + x + 1) = ex (x + 2)
por lo tanto f 00 (x) = ex (x + 2)
Ahora que podemos calcular derivadas de orden superior, también podemos veri car identidades diferenciales que incluyan derivadas de orden superior. Por ejemplo: Veri que que la función g(x) =
sen(πx) , satisface la siguiente igualdad: x g 00 (x) +
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2 0 g (x) = −π 2 g(x) x
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2.15. Derivadas Implícitas de Orden Superior Encuentre y para las siguientes funciones dadas implícitamente: 1) 2y − 6xy 2 = 2 dy Solución: Sea y 0 = dx 2y 0 − 6y 2 − 6x · 2yy 0 = 0 2y 0 − 12xyy 0 = 6y 2 2y 0 (1 − 6xy) = 6y 2 6y 2 y0 = 2(1 − 6xy) 3y 2 0 y = 1 − 6xy (1 − 6xy)[3y 2 ]0 − [1 − 6xy]0 (3y 2 ) 00 y = (1 − 6xy)2 (1 − 6xy)(6yy 0 ) − (−6y − 6xy 0 )(3y 2 ) y 00 = (1 − 6xy)2 0 2 0 6yy − 36xy y + 18y 3 + 18xy 2 y 0 y 00 = (1 − 6xy)2 6yy 0 − 18xy 2 y 0 + 18y 3 00 y = 2 (1 − 6xy)2 3y 2 3y − 18xy 2 + 18y 3 6y 1 − 6xy 1 − 6xy 00 ∴y = (1 − 6xy)2
2) cos(x + y) = 2x Solución: Sea y 0 =
dy dx
− sen (x + y) · (1 + y 0 )
=
2
− sen (x + y) − sen (x + y) · y
0
=
2
− sen (x + y) · y
0
=
y
0
=
y0
=
2 + sen (x + y) 2 + sen (x + y) − sen (x + y) −2 − sen (x + y) sen (x + y)
sen(x + y)[−2 − sen (x + y)]0 − [sen (x + y)]0 (−2 − sen (x + y)) sen2 (x + y) sen(x + y)(− cos (x + y)(1 + y 0 )) − (cos (x + y)(1 + y 0 ))(−2 − sen (x + y)) = sen2 (x + y) cos(x + y)(1 + y 0 )[− sen (x + y) − (−2 − sen (x + y))] = sen2 (x + y) 0 cos(x + y)(1 + y )[− sen (x + y) + 2 + sen (x + y))] = sen2 (x + y) 2 cos(x + y)(1 + y 0 ) = sen2 (x + y) −2 − sen (x + y) 2 cos (x + y) 1 + sen (x + y) ∴ y 00 = sen2 (x + y)
y 00 = y 00 y 00 y 00 y 00
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3) Considere la ecuación y + 1 =
√ 3
130
xy + x2 , que de ne implícitamente y como función de x. Calcule
d2 y . dx2
SOLUCIÓN:
y+1= d [y + 1] = dx y0 = y0 = 1 y 0 − (xy)−2/3 xy 0 = 3 1 −2/3 0 x = y 1 − (xy) 3 y0 = y0 =
√ 3
xy + x2 d √ [ 3 xy + x2 ] dx 1 (xy)−2/3 (y + xy 0 ) + 2x 3 1 1 (xy)−2/3 y + (xy)−2/3 xy 0 + 2x 3 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 (xy)−2/3 y + 2x 3 1 − 13 (xy)−2/3 x 1 −2/3 1/3 x y + 2x 3 1 − 31 x1/3 y −2/3
d2 y es: dx2 d 0 d 31 x−2/3 y1/3 +2x [y ] = dx dx 1− 13 x1/3 y−2/3
Así: y 00 =
i0 i0 h · 1 − 13 x1/3 y −2/3 − 13 x−2/3 y 1/3 + 2x · 1 − 13 x1/3 y −2/3 y 00 = 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 −2 −5/3 1/3 x y + 19 x−2/3 y −2/3 y 0 + 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 − 31 x−2/3 y 1/3 + 2x − 91 x−2/3 y −2/3 + 92 x1/3 y −5/3 y 0 9 y 00 = 2 1 − 13 x1/3 y −2/3 h
1 −2/3 1/3 x y 3
+ 2x
4) Considere la curva y 2 + xy = 1. Calcule el valor de la expresión
dy d2 y |(0,1) + 2 |(0,1) . dx dx
.
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R/
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−1 4
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131
PRÁCTICA 13 x 1. Calcule la segunda derivada de la siguiente expresión: y = √ x−1
R/ y 00 =
1 2
3
1 3 (x − 1) 2 (x − 2) 2 (x − 1)3
(x − 1) 2 −
2. Calcule la tercer derivada de la función y = cos(b + ax) donde a y b son constantes. R/ y 000 = a3 sen(b + ax)
3. Veri que que la función l(x) = w·cos(x)+u·sen(x)+ 12 x·sen(x), con w, u ∈ R, satisface la siguiente igualdad: R/ Demostración completa
l 00 (x) + l(x) = cos(x)
4. Pruebe que para y =
5. Hallar y 00 =
x2 − 1 se cumple que (4x3 + 4x)y 00 = 4y 0 (1 − 3x2 ) x2 + 1
2 2 2 d2 y si x 3 + y 3 = a 3 . dx2
R/ Demostración completa
R/y 00 =
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−1 3
+x
−2 3
2
1
y3
2
3x 3
−hy − ax yh − xh hx R/ y 00 = x2 h2 2
6. Calcule y 00 para ax2 + 2hxy = a2 b2 (a, b, h son constantes reales)
y
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132
2.16. Aplicaciones de la derivada 2.16.1. Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado Si f es una función derivable, la derivada de f , proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva o grá ca de f en el punto (x0 , y0 ) perteneciente a la grá ca (punto de tangencia). La recta normal al punto (x0 , y0 ) de la función f , es la recta perpendicular a la recta tangente a la función, en el punto de tangencia (x0 , y0 )
Notas: 1. Como la tangente y la normal son rectas, su ecuación tiene la forma:
y = mx + b.
2. Para funciones lineales recuerde lo siguiente:
a ) Pendiente de la recta tangente: mT = f 0 (x0 ) (es decir, la pendiente equivale a la derivada evaluada en el punto de tangencia) b ) La intersección de la recta con eje y está dada por b = y0 − mx0 c ) Recuerde que si dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversos multiplicativos y tienen signo opuesto o lo que es equivalente, su producto es igual a -1. Como la tangente y la normal son perpendiculares ,entonces se cumple que mT · mN = −1 o,lo que es equivalente, mN = −1 m T
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133
Ejemplo: 1)Encuentre la ecuación de la recta tangente y la recta normal a y = 5x2 + 3x en el punto (3,54).
Solución: Sea y 0 =
dy dx
Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Recta normal −1 mN = 33 bN = y − mN · x
Recta tangente 0
y = 10x + 3 ⇒
0
mT = y |(3,54) = 10 · 3 + 3 = 33 bT = y − mT · x
−x 595 + 33 11
R2/ yN =
= 54 − 33 · 3
R1/ yT = 33x − 45
2)Encontrar la recta normal a la curva x2 + xy + y 2 − 3y = 10 en el punto (2, 3).
Solución: Sea y 0 =
dy dx
Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente 2x + y + xy 0 + 2yy 0 − 3y 0 = 0 y 0 (x + 2y − 3) = −2x − y −2x − y y0 = x + 2y − 3 mT = y 0 |(2,3) =
−7 −2 · 2 − 3 = 2+2·3−3 5
Recta normal 5 mN = 7 bN = y − mN · x 5 bN = 3 − · 2 7 11 R2/ bN = 7 5x + 11 R/ yN = 7
3) Hallar la recta normal para: sen (2x − 3y) = 12x2 y − 1 en
1 1 , 2 3
Solución Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente 0
Recta normal 2 0
cos (2x − 3y) · (2 − 3y ) = 24xy + 12x y 0
mN = 3 2 0
2 cos (2x − 3y) − 3y cos (2x − 3y) = 24xy + 12x y
2 cos (2x − 3y) − 24xy = 12x2 y 0 + 3y 0 cos (2x − 3y) 2 cos (2x − 3y) − 24xy = y 0 (12x2 + 3 cos (2x − 3y)) 2 cos (2x − 3y) − 24xy y0 = 12x2 + 3 cos (2x − 3y) 2 cos (2 · 21 − 3 · 13 ) − 24 · 12 · 13 1 Así mT = y 0 |( 1 , 1 ) = =− 1 2 3 3 12 · ( 12 )2 + 3 cos (2 · 21 − 3 · ) 3 Universidad de Costa Rica
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bN =
1 1 7 −3· =− 3 2 6
∴ yN = 3x −
7 6
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134
4) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la ecuación sen(x − y) = xy
en el punto (0, π). SOLUCIÓN: Cálculo de la derivada: d d [sen(x − y)] = [xy] dx dx 0 cos(x − y) (1 − y ) = y + xy 0 cos(x − y) − y = xy 0 + y 0 cos(x − y) cos(x − y) − y = y 0 (x + cos(x − y)) ∴ y0 =
cos(x − y) − y x + cos(x − y)
Cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto (0, π) (que pertenece a la curva) y que viene dada por: cos(0 − π) − π = 1+π 0 + cos(0 − π) Cálculo de la intersección bt de la recta tangente con el eje Y, a saber: mt = y 0 |(0,π) =
bt = π − (1 + π) · 0 = π RESPUESTA: y = (1 + π)x + π .
5) Determine la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva dada por la ecuación (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = 6xy en el punto 43 , 38 . SOLUCIÓN: Se efectúa el cálculo de la derivada: d d 3 [x + y 3 ] = [6xy] dx dx 3x2 + 3y 2 y 0 = 6y + 6xy 0 3y 2 y 0 − 6xy 0 = 6y − 3x2 y 0 (3y 2 − 6x) = 6y − 3x2 6y − 3x2 3y 2 − 6x 3(2y − x2 ) y0 = 3(y 2 − 2x) y0 =
∴ y0 =
(2y − x2 ) (y 2 − 2x)
Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto 43 , 83 (que pertenece a la curva) y que viene dada por: 2 2 · 8 − 43 4 mt = y 0 |( 4 , 8 ) = 8 32 = 4 3 3 5 − 2 · 3 3 Se efectúa el cálculo de la intersección bt de la recta tangente con el eje Y, a saber: bt = 38 − 45 · 43 = 85 La ecuación de la recta tangente (RESPUESTA 1)es: y = 45 x + 85 .
Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta normal al punto
4 3
,
8 3
:
−5 mN = 4 Se efectúa el cálculo de la intersección bN de la recta tangente con el eje Y, a saber: −5 4 · = 13 3 4 3 Se escribe la ecuación de la recta normal (RESPUESTA 2), a saber: y = bN =
8 3
−
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−5 x 4
+
13 . 3
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−1 1 6) Sea g(x) = [f (x)]4 donde f es una función derivable en R tal que f 0 (1) = y f (1) = . 2 2 Calcule una ecuación para la recta tangente a la grá ca de g en x = 1.
.
R/ La recta tangente está dada por y =
7) Calcule la ecuación de la recta normal a la curva
.
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√
−x 4
+
5 16
5 − y + xy 2 = 6 en el punto (4, 1).
R/ La recta normal está dada por y =
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31x 4
− 30
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PRÁCTICA 14 1)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x3 − 2x2 y + 3xy 2 = 38 en el punto (2, 3) R/ yT = 2)Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y 2 =
−15 57 x+ 28 14
x2 en el punto (4, 2) xy − 4
R/ yT = 2 (Tangente horizontal) 3)Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva: y 3 x2 − 2xy = 6x + y + 1 en el punto x = 0 R/ yT = −4x − 1 4)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: sen (xy) = y en el punto
5)Encontrar la recta normal a la curva y = sen x + csc x en el punto
π 4
,f
π 2
yN =
1 x−1 4
,1
R/ yT = 1 (Tangente horizontal) π 4
R/ yn =
3 √ π √ 2x + 2 − 2 4
2.16.2. Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva Para encontrar rectas tangentes a una curva dada hay que tener en cuenta lo siguiente: 1.
: Una función tiene una tangente horizontal en el punto x = c, si es continua en c y la derivada de la función en x = c se hace cero. Por lo tanto, el procedimiento para encontrar los puntos en una curva donde la recta tangente es horizontal, consiste en identi car los ceros de la derivada, para los cuales la función original es continua. Ejemplo: Tangentes horizontales
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2.
3.
137
: Una función tiene una tangente vertical en el punto x = c, si es continua en ese punto k y la derivada de la función en x = c genera la forma inde nida , con k 6= 0 (límite in nito). Así, para 0 identi car los puntos en una curva para los cuales la recta tangente es vertical, se identi can aquellos valores k que inde nen a la derivada (con la forma inde nida , k 6= 0) pero para los cuales la función original es 0 continua. Ejemplo: Tangentes verticales
: Puesto que la pendiente de la recta tangente está dada por la función derivada, para encontrar el punto sobre una curva para el cual la pendiente es un valor dado, se iguala la derivada a ese valor y se resuelve la ecuación resultante, para hallar el punto sobre la curva.Ejemplo: Rectas tangentes con una pendiente dada
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EJEMPLOS: 2
1. Determine si la grá ca de la función y = (2x − 8) 3 tiene tangentes verticales. SOLUCIÓN. Llamemos y = f(x) −1 dy 2 = · (2x − 8) 3 · 2 dx 3
Derivamos:
Se calcula el valor que inde ne la derivada √ 3 3 2x − 8 = 0
dy 4 p = 3 dx 3 · (2x − 8)
√ 3
2x − 8 = 0
2x − 8 = 0 x=4
Veri camos que la función f (x) = (2x − 8) (i) f (4) = 0 2 (ii) l´ım f (x) = l´ım (2x − 8) 3 = 0 x→4
2 3
es continua en x = 4
x→4
(iii) l´ım f (x) = f (4) = 0 x→4
2
∴ y = (2x − 8) 3 es continua en x = 4.
Veri camos que x = 4 inde ne la derivada, ya que al evaluar se llega (especi camente) a la forma inde nida 4 . 0 Ahora bien, el punto (4, 0) pertence a la grá ca de la función (ya veri camos que f es continua en x = 4). 2 ∴ y = (2x − 8) 3 tiene una tangente vertical en el punto cuya coordenada es (4, 0) 2. Considere la función y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20. Determine en los cuales: a
b
las coordenadas de los puntos sobre la curva
) La recta tangente es paralela al eje X. .
R/ (0, 20),(−2, −12) ,(1, 15)
) La recta tangente es paralela con la recta y − 24x − 15 = 0. √ √ √ √ . R/ (−1, 7),( 2, 8 + 8 2) ,(− 2, 8 − 8 2)
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3. Determine los puntos en los que que la recta tangente a la curva x3 y 2 + y = 1 es horizontal.
4. Encuentre todos los puntos de la curva dada por f (x) =
R/ (0, 1).
x+1 en que: 1−x
(a)La recta tangente sea horizontal (si existen) (b)La pendiente de la recta tangente sea 2. SOLUCIÓN. (a) La recta tangente es horizontal si su pendiente es 0, lo que signi ca que la tangente es horizontal en los puntos en que la derivada se hace 0. Por lo tanto, es necesario derivar e igualar la derivada a 0 y resolver la ecuación para hallar los ceros de la derivada. (1 − x)1 − (−1)(1 + x) 1−x+1+x 2 = = (1 − x)2 (1 − x)2 (1 − x)2
f 0 (x) =
Igualamos a cero la derivada
2 = 0 (No hay solución para la ecuación pues 2 6= 0) (1 − x)2
De lo anterior se concluye que la derivada nunca se hace cero y por lo tanto la función no tiene tangentes horizontales. (b)Decir que la pendiente de la tangente sea 2, es equivalente a decir que la derivada es igual a 2. Por lo tanto, igualemos la derivada a 2 y resolvamos la ecuación. 2 =2 (1 − x)2 2 = 2 · (1 − x)2 1 = 1 − 2x + x2 1 = 1 − 2x + x2 0 = −2x + x2
Se resuelve la cuadrática 0 = x(−2 + x) ⇒x=0 ∨ x−2=0 ∴x=0 ∨
x2 = 2
En estos dos valores de x es donde la pendiente de la tangente se hace 2; pero cada uno debe ser dado como par ordenado, por lo que hay que buscar sus imágenes. f (0) =
0+1 =1 1−0
f (2) =
2+1 = −3 1−2
Así, la derivada (y por lo tanto la pendiente de la recta tangente es igual a 2 en los puntos (0, 1) y (2, −3)
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5. Demuestre que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuación y = x3 − 6x2 + 8x. Hallar el punto de tangencia. SOLUCIÓN Observe que para y = −x la pendiente es m = −1. Por lo tanto, hay que probar que en la curva y = x3 − 6x2 + 8x hay punto para los cuales la derivada es igual a −1. Una vez que se encuentran esos puntos hay que probar que pertenecen a la curva y a la recta. dy Derivamos (Sea y 0 = dx ): y 0 = 3x2 − 12x + 8 Igualamos la derivada a −1 y despejamos la ecuación. y 0 = 3x2 − 12x + 8 3x2 − 12x + 8 = −1 3x2 − 12 + 8 + 1 = 0 3x2 − 12x + 9 = 0 x1 = 3 x2 = 1
Sustituimos para encontrar las imágenes de 3 y 1 y escribir los pares ordenados: y|x=3 = 33 − 6 · 32 + 8 · 3 = −3 y|x=1 = 13 − 6 · 12 + 8 · 1 = 3 Así los pares son: (3, −3) y (1, 3) Sin embargo, aunque sabemos que pertenecen a la curva, es preciso veri car que pertencen a la recta y = −x Sustituyendo (1, 3) en la recta: y = −x se obtiene 3 = −1 lo que es una igualdad falsa ya que 3 6= −1 Sustituyendo el punto (3, −3) en la recta y = −x se obtiene −3 = −3 Note que solamente (3, −3) pertence a la recta y = −x y a la curva y = x3 − 6x2 + 8x simultáneamente. Por lo tanto, la recta y = −x sólo es tangente a la curva en (3, −3) que es el punto de tangencia.
6. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x2 + 4y 2 = 36 que pasan por el punto (12, 3) SOLUCIÓN: Observe que el punto (12, 3) no pertenece a la elipse dada ya que no satisface la igualdad 122 + 4 · 32 6= 36
En este ejercicio no se conoce el punto de tangencia. Llamemos al punto de tangencia (z, t) Como el punto de tangencia (z, t) pertenece a la elipse satisface la ecuación x2 + 4y 2 = 36, por lo que se cumple la igualdad: z 2 + 4t2 = 36
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ecuación 1
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La pendiente de una recta tangente en el punto (z, t) y que pasa por el punto (12, 3), se puede calcular así: y2 − y1 t−3 mT = = (*) x2 − x1 z − 12 A la vez como (z, t) es punto de tangencia sabemos que la derivada evaluada en el punto (z, t) es igual a la dy pendiente. Así que derivando implicitamente (Sea y 0 = dx ): [x2 + 4y 2 ]0 = [36]0 2x + 8yy 0 = 0 8yy 0 = −2x −2x y0 = 8y −x y0 = 4y
Sustituyendo (z, t) en la derivada obtenemos la pendiente: mT = y 0 |(z,t) =
−z (**) 4t
Igualando (*) con (**) obtenemos:
t−3 −z = z − 12 4t
ecuación 2
Sistema de ecuaciones: z 2 + 4t2 = 36 −z t−3 = z − 12 4t
Solución del sistema: Ec.2.
Ec.1. 2
Ec.1. 2
4t(t − 3) = −z(z − 12)
z + 4t = 36
z 2 + 4t2 = 36
4t2 − 12t = −z 2 + 12z
|−−−|
z 2 + 4(3 − z)2 = 36
z 2 + 4t2 = 12z + 12t
12z + 12t = 36
z 2 + 4(9 − 6z + z 2 ) = 36
|−−−|
12(z + t) = 36
z 2 + 36 − 24z + 4z 2 = 36
z+t=3
5z 2 − 24z = 0
t=3−z
z(5z − 24) = 0 ⇒ z1 = 0 ∨ z2 =
24 5
⇒ t 1 = 3 − z1 ∨ t 2 = 3 −
24 5
⇒ t1 = 3 ∨ t2 = − 95 24 −9 , son puntos de tangencia(observe que ambos pertenecen a la eilpse pues 5 5 satisfacen la ecuación z 2 + 4t2 = 36, compruebelo). Utilizaremos los subíndices T 1 y T 2 para diferenciar −z ambas rectas tangentes. Sustituimos ambos valores en mT = para obtener las pendientes de las rectas 4t −24 0 2 tangentes mT 1 = y mT 2 = 5−9 = . 4·3 3 4· 5
Así los puntos (0, 3) y
Como ambas pasan por lo puntos (12, 3) calculamos las intersecciones (valor de b) de cada recta tangente 2 con el eje Y, a saber bT 1 = 3 − 0 · 12 = 3 y bT 2 = 3 − · 12 = −5. Así las rectas tangentes a la elipse son: 3 2 y=3 y y = x−5 3
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7. Calcule una ecuación para cada una de las dos rectas tangentes a la curva y = −x2 + 4x + 5 y que a la vez se intersecan en (2, 10).
R/ y = 2x + 6 ; y = −2x + 14
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PRÁCTICA 15 h(x) 1. Si h(2) = 4, h0 (2) = −3 y f (x) = calcule f 0 (2). x
2. Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3)pasa por el punto (0, 2), calcule f (4)y f 0 (4). 3. Determinar el punto de la parábola y = x2 − 7x + 3 por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta cuya ecuación es 5x + y − 3 = 0 4. Determine las coordenadas de los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la grá ca de f (x) = 4x − x2 y que pasan por el punto (2, 5) 5. Considere la siguiente grá ca de la función f. Identi que ejemplos de puntos en ella en las que la derivada tenga signo positivo, signo negativo, sea igual a cero y no esté de nida.
6. Veri que que la curva de nida por la ecuación xy 3 + x3 y = 4 no tiene ninguna tangente horizontal. Justi que su respuesta. 7. La recta que es tangente al grá co de la función y = f (x) en el punto (2, 5), pasa por el punto (−1, 1). Calcule f (2) y f 0 (2). Justi que su respuesta 8. Encuentre el punto donde la recta y = −x + 8 es tangente al grá co de la función h(x) = x3 − 6x2 + 11x. Justi que su respuesta. 9. Encuentre la ecuación de la recta tangente al grá co de la función f (x) = x3 y pasa por el punto (1, 5) 10. Trace la grá ca de una función que satisfaga las siguientes condiciones. a
) f es continua en ] − ∞, −2[ , ] − 2, 0[ y ]0, +∞[
b
) f 0 (−3) = 0 y
c
)
d
)
e
) l´ım f (x) = −∞ y
f 0 (1) no existe
l´ım f (x) = 1 y
x→−∞
l´ım f (x) = 2 y
x→−2−
x→0−
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l´ım f (x) = +∞
x→+∞
l´ım f (x) = 1
x→−2+
l´ım f (x) = +∞
x→0+
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RESPUESTAS. 1. f 0 (2) = − 25 2. f 0 (4) = 3 y f 0 (4) =
1 4
3. (1, −3) 4. (3, 3) y (1, 3) 5. f 0 (c1 ) > 0, f 0 (c2 ) = 0, f 0 (c3 ) < 0, f 0 (c4 ) no está de nida, f 0 (c5 ) > 0, f 0 (c6 ) no está de nida 6. Demostración completa. 7. f (2) = 5, f 0 (2) =
4 3
8. (2, 6) 9. R/y = 3x + 2 10. Una posible solución es
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2.16.3. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración. Hemos visto como la derivada tiene una aplicación geométrica (corresponde a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado). Asímismo tiene una aplicación física: hallar la razón(ritmo) de cambio de una magnitud respecto a otra. Un caso particular corresponde a:
Velocidad instantánea: en movimiento rectilíneo o caída libre, si s = s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento en términos de la variable tiempo (t), la velocidad (instantánea) del objeto en el instante t viene dada por la derivada de s(t) con respecto a t, es decir ds . Así: dt v(t) = s0 (t) o lo que es lo mismo
v(t) =
ds dt
Rapidez: recuerde la difrencia entre rapidez
y velocidad. Se de ne rapidez como el valor absoluto de la velocidad. Así la rapidez indica sólo que tanto cambia la distancia recorrida por el objeto con respecto al tiempo transcurrido, mientras que la velocidad indica además la dirección del movimiento. Ejemplo:
(1)Hallar la velocidad y la rapidez en posición es
t = 1
y
t = 2
de un objeto en caída libre cuya función de
s(t) = −16t2 + 100
con s medida en pies y t en segundos. SOLUCIÓN. Velocidad [v]: v(t) = s0 (t) = −32t
⇒ v(1) = −32 · 1 = −32 ∧ v(2) = −32 · 2 = −64
pies ∴ la velocidad para t = 1 es de -32 s y para t = 2 es
pies −64 s
Rapidez [r]: r(1) = |v(1)| = | − 32| = 32
r(2) = |v(2)| = | − 64| = 64
pies pies ∴ la rapidez para t = 1 es de 32 s y para t = 2 es 64 s
Aceleración:La
aceleración [a(t)] viene dada por la segunda derivada de la función de posición o lo que es lo mismo, la primer derivada de la función de la velocidad. Así a(t) = v 0 (t) = s00 (t) o lo que es lo mismo a(t) =
d2 s dv = dt dt2
(2)Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posición es s(t) = −16t2 + 100
con s medida en pies y t en segundos. v(t) = s 0 (t) = −32t (
pies ) ⇒ a(t) = v 0 (t) = −32 pies s s2
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2.16.4. Problemas de tasas relacionadas. En muchas situaciones podemos usar la derivada para medir la razón de cambio de una variable respecto a otra, suponiendo que están relacionadas por una función y = f (x) con x y y derivables con respecto al tiempo t.
EJEMPLO 1: Un tanque con forma de cono invertido, con una altura h = 3, y radio de la base r = 5, está lleno de agua. A partir de cierto momento se empieza a desaguar el tanque a una velocidad de 1,5m3 /s. Determine a que velocidad disminuye el nivel del agua.
SOLUCIÓN
Sea x el nivel de agua en el instante t, y el radio sobre la super cie del agua en el instante t y V el volumen de agua en el instante t. Asumimos que x,y y V son derivables con respecto al tiempo t. dV dx = −1, 5m3 /s = −3 . Tenemos que m3 /s. Queremos determinar 2 dt dt Por aplicación del Teorema de Thales en el triángulo vertical que se forma tenemos que:
5 y = 3 x 5x =y 3
Ahora bien, el volumen de agua contenido en el recipiente viene dado por: 1 2 πy x 3 2 1 5x V = π x 3 3 V =
1 25x2 π · · x 3 9 25 3 V = πx 27 V =
Derivando a ambos lados con respecto al tiempo t tenemos lo siguiente:
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d 25 3 πx dt 27 25 dx π · 3x2 27 dt 25 2 dx π · x 9 dt 25 2 dx π · x 9 dt −3 dx 2 = 25π dt · x2 9 dx −27 ∴ = dt 50π x2 d [V ] = dt dV = dt dV = dt −3 = 2
−27 Tenemos que en general la razón a la que cambia el nivel del agua, en general se da por m/s. En 50π x2 el instante en que se empieza a desaguar el tanque, que según el problema se encontraba lleno, se tendría que x = 3m. Así, en ese instante tenemos que: dx dt dx dt dx dt dx dt
−27 50π x2 −27 = 50π · 32 −27 = 50π · 9 −3 = m/s ≈ −0, 019m/s 50π =
Así, la respuesta sería que, en el instante en que se empieza a vaciar el tanque, el nivel del agua cambia con −3 −27 una velocidad de m/s ≈ −0, 019m/s, y en general, ese nivel disminuye a una razón de m/s, siendo 50π 50π x2 x el nivel de agua en el instante t.
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EJEMPLO 2: 2
cm cm La altura de un triángulo disminuye a razón de 2 min mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 min . Determine la razón de cambio de la base del triángulo en el instante en que la altura es igual a 20cm y el área es de 150cm2 .
SOLUCIÓN: Sean: b la medida de la base del triángulo en el instante t; h la medida de la altura del triángulo en el instante t; A el área del triángulo en el instante t. Asumimos que b, h, A son derivables con respecto al tiempo t.
Tenemos:
dh cm = −2 min , dt
dA cm2 = −3 min dt
Queremos:
db cuando h = 20cm y A = 150cm2 . dt
Derivamos con respecto al tiempo la ecuación de área del triángulo: A= d [A] = dt dA = dt dA = dt −3 = −6 = 2b − 6 = 2b − 6 = h
bh 2 d bh dt 2 1 d [b · h] 2 dt 1 db dh ·h+b · 2 dt dt 1 db · h + b · (−2) 2 dt db · h − 2b dt db ·h dt db dt
db 2b − 6 Así, en general: = . En el instante en que h = 20cm y A = 150cm2 se puede despejar que b = 15cm, dt h y al sustituir b y h en la expresión anterior, se tiene que: db 2 · 15 − 6 24 6 cm cm = = = = 1, 2 min dt 20 20 5 min
RESPUESTA/ En el instante en que h = 20cm y A = 150cm2 la base cambia a una razón de
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6 cm 5 min
cm = 1, 2 min .
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PRÁCTICA 16 (1)La arena que empieza a vaciarse de una tolva a razón de 10m3 /s forma una pila cónica cuya altura es el doble de su radio. ¾A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura es de 5m? (2)El largo de la base b de un rectángulo disminuye a razón de 2cm/s, mientras que su altura h aumenta a razón de 2cm/s. Hallar la razón de cambio del área A cuando b = 12cm y h = 5cm. (3)Un cuadrado se expande con el tiempo. ¾Cómo se relaciona la razón de aumento del área del cuadrado con la razón de aumento de la longitud de su lado? 3 (4)Se inyecta un globo esférico a razón de 20 pies min . ¾A qué razón varía el radio cuando mide 3pies?
(5)Un cohete es lanzado con una dirección vertical y rastreado por una estación de radar, situada a 3 millas del sitio de lanzamiento. ¾Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es de 5 millas y esa distancia aumenta a razón de 5000 millas por hora? (6)Un hombre de 6 pies de estatura camina con una velocidad de 8pies/seg , alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 18pies. ¾Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra cuando él está a 100pies del poste de luz? (7)Si el lado de un triángulo equilátero crece con rapidez de 0,2dm/s√ , ¾con qué rapidez crece aproximadamente la super cie en el instante en que el área es de 24dm2 ? (Nota:
A=
3 2 L ) 4
(8)Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9m y radio de la base 2m. En t = 0 comienza a llenarse el depósito con agua a razón de 10m3 /h. Determine la velocidad aproximada a la que está subiendo el nivel de líquido en el depósito. (9)Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma de cono recto con el vértice hacia abajo. Su diámetro mide 6 metros y su altura 9 metros. Una sura ocasiona que se fugue el agua con una rapidez de 1 m3 /h. Calcule la rapidez con la que cambia la altura del nivel del agua (con respecto al vértice), en el momento en que el radio sobre la super cie del agua mide 2 metros. (10)Una varilla de metal tiene forma de cilindro. Conforme se calienta, su longitud aumenta a razón de 0,005cm/min y su radio aumenta a razón de 0,001cm/min, ¾con qué rapidez está cambiando el volumen de la varilla, cuando esta alcance 40cm de longitud y 1,5cm de radio? (11)Se deja salir agua de un tanque cilíndrico de diez pies de radio, Si la profundidad del agua en el tanque disminuye a razón de tres pies por segundo, ¾con qué rapidez disminuye la cantidad de agua, en el instante en que la profundidad es de cinco pies? (12)Una lámpara, ubicada en el extremo superior de un poste de 4m de altura, ilumina a un joven que camina, alejandose del poste, con una velocidad de 55m/min. Si el joven mide 1,5m de alto, ¾con qué rapidez cambia la longitud de la sombra del joven? (13)Una cometa está a 80m de altura sobre el nivel del suelo. Horizontalmente se aleja a una velocidad de 4 metros por segundo del niño que la sostiene. ¾A qué velocidad el niño está soltando la cuerda, cuando la cuerda mide 100 metros? (14) Un avión vuela en forma horizontal a una altitud de 5 km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la super cie de la tierra. En el momento en que el ángulo de elevación es de π/3, ese ángulo está disminuyendo en una razón de π/6 rad / min. Determine la rapidez con la que se está moviendo el avión (horizontalmente) en ese preciso instante.
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Respuestas (1)
4 m dr = ≈ 0,25 dt 5π s
(2)
dA cm2 = 14 dt s
(3)La razón de aumento del área equivale a la razón de aumento del lado multiplicada por el doble del lado.
(4)
dr 5 pies = ≈ 0,18 dt 9π min
(5)
mi dy = 6250 dt h
(6)
dz pies = 12 dt s dA dm2 ≈ 1,29 dt s
(7)
(8)
(9)
m dx ≈ 0,79 dt h 1 4π
(10)
m h
≈ 0,0796 m h
21π cm3 cm3 ≈ 0,4123 160 min min
(11) 300π
pies3 seg
(12) 33
m min
(13)2,4
m s
(14)
10π 9
km min
km ≈ 3, 49 min
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2.16.5. Extremos de una función DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MÁXIMOS RELATIVOS
1. Una función f posee un mínimo relativo en x = c si f (c) ≤ f (x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c. 2. Una función f posee un máximo relativo en x = c si f (c) ≥ f (x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c.
DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MAXIMOS ABSOLUTOS
Sea f de nida en su dominio D. 1. f (c) es el mínimo absoluto de f en D si f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ D. 2. f (c) es el máximo absoluto de f en D si f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ D.
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152
El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto para el cual f es derivable.
TEOREMA DE FERMAT Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f 0 (c) existe. Entonces: f 0 (c) = 0.
El teorema anterior signi ca geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c y f 0 (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f (c)) es horizontal.
DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO
Si f está de nida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f 0 (c) = 0 o si f 0 no está de nida en c. Nota: Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos. Es decir, si f tiene un extremo relativo en x=c, entonces c es un número crítico de f.
Ejemplo: Encuentre los números críticos de f (x) = x3 − 3x SOLUCIÓN: Calculamos f 0 (x) = 3x2 − 3 y buscamos los números que hacen 0 o inde nen esa derivada. En este caso no se inde ne f así que igualamos la derivada a 0. Así:
3x2 − 3 = 0 3(x2 − 1) = 0 3(x + 1)(x − 1) = 0 ⇒ x1 = −1 ∨ x2 = 1
∴ x = −1
y
x=1
son los números críticos de
f.
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo absoluto y también un mínimo absoluto en ese intervalo. Para hallar los máximos o mínimos absolutos de una función f continua en un intervalo CERRADO [a, b], se siguen este procedimiento. 1. Veri car que f es continua en el intervalo cerrado. 2.Hallar los números críticos de f ( puntos donde la derivada se hace cero o se inde ne) 3.Evaluar f en cada uno de los números críticos que tenga en ] a,b [ 4.Evaluar f en los extremos del intervalo, es decir, calcular f (a) y f (b). 5.El menor de tales valores es el mínimo absoluto, el mayor será el máximo absoluto.
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√ Ejemplo 1: Dada la función f (x) = 2x − 3 3 x2 en el intervalo [−1, 3]. Calcule extremos absolutos.
SOLUCIÓN: Note que f es una función continua en el intervalo [−1, 3] por propiedades de las funciones continuas, ya que se trata de resta, múltiplo escalar y composición de funciones que son continuas para todo x √∈ [−1, 3]. √ 3 x−1) 2 3 x−2 2 2 √ Calculamos su derivada: f 0 (x) = 2 − 2x−1/3 = 2 − x1/3 =2− √ ⇒ f 0 (x) = 2( √ . 3x = 3x 3x Se calculan los números críticos:
CEROS DE f 0 √ 2( 3 x−1) √ 3 x
=0
√ 3
⇒ 2( x − 1) = 0 √ ⇒ 3x=1
RESTRICCIONES DE f 0 √ 3 x=0
⇒ x = 0(1 ∈ [−1, 3])
⇒ x = 1 (1 ∈ [−1, 3])
Se buscan la imagenes de los números críticos y los extremos del intervalo
f (0) = 2 · 0 − 3 · 02/3 = 0 f (1) = 2 · 1 − 3 · 1
2/3
(máx.abs)
= −1
f (−1) = 2 · −1 − 3 · (−1)2/3 = −5 (mín.abs) √ f (3) = 2 · 3 − 3 · 32/3 = 6 − 3 · 3 9 ≈ −0,24
R/El máximo absoluto es 0 y se alcanza en el punto (0, 0) y el mínimo absoluto es −5 y se alcanza en el punto (−1, −5), tal y como se ilustra en la gura:
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Ejemplo 2: Considere la función f : [1, 9] −→ R cuyo criterio es f (x) = kx2 + 2x + 1. Si k es una constante tal que x = 3 es un número crítico de f , determine las coordenadas (x, y) de los puntos en los que f alcanza su punto máximo absoluto y su punto mínimo absoluto. SOLUCIÓN: Si k es una constante tal que x = 3 es un número crítico de f , entonces en x = 3 la derivada de f se hace cero o se inde ne, pero como f es un polínomio su derivada (dada por f 0 (x) = 2kx + 2 ) también lo es, y por lo tanto no se inde ne. Entonces f 0 (3) = 0 ⇒ 2k(3) + 2 = 0 ⇒ 6k + 2 = 0 ⇒ k =
−1 3
Así, la fórmula de f es f (x) = −1 x2 + 2x + 1. Por lo tanto, su derivada sería: f 0 (x) = −2 x + 2. 3 3 Ya tenemos que el número crítico en el intervalo [1, 9] es x = 3 (Además como f 0 es lineal es único). Se procede a calcular las imágenes del número crítico, así como de los extremos del dominio. f (3) = −1 · 32 + 2 · 3 + 1 = 4 (máximo absoluto) 3 2 f (1) = −1 · 1 + 2 · 1 + 1 = 83 3 2 −1 f (9) = 3 · 9 + 2 · 9 + 1 = −8 (mínimo absoluto)
RESPUESTA/ El máximo absoluto de f es 4 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (3, 4) y el mínimo absoluto de f es −8 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (9, −8).
Analizando los extremos relativos de una función Si c es un punto crítico para f (x) en un intervalo abierto ] a,b [ y f es derivable, excepto quizá en c; puede clasi carse como sigue: a)Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f (c) es un máximo relativo de f . b)Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c) es un mínimo relativo de f . c)Si f 0 no cambia de signo en c, f (c) no es ni mínimo ni máximo relativo.
Otro resultado que puede ser útil en problemas de aplicación de máximos o mínimos es el siguiente:
TEOREMA:
Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. Se cumple que: a)Si f 00 (c) > 0 entonces f (c) es un mínimo relativo . b)Si f 00 (c) < 0 entonces f (c) es un máximo relativo . c)Si f 00 (c) = 0 entonces el criterio no decide.
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EJEMPLO 1:
155
√
Determine los extremos relativos de f (x) = 2x − 3 3 x2 . √
2( 3 x − 1) √ y sus números críticos son x = 0 y x = 1 (VER PÁGINA 3 x ANTERIOR). Con esta información podemos elaborar un cuadro de signos para la primer derivada de f.
SOLUCIÓN: Derivando se tiene que f 0 (x) =
Por lo tanto la función alcanza un máximo relativo en (0,0) y un mínimo en (1,-1), tal y como se ilustra en la siguiente grá ca:
Nota: Una forma alternativa para determinar si un número crítico es un máximo o un mínimo es, evaluándolo
en la segunda derivada. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, cuando se llega a la conclusión de que 0 y −1 son los números críticos, si se quisiera clasi car el extremo relativo x = 1, en lugar del cuadro para analizar los signos de la primer derivada, podríamos usar la segunda derivada así: 1
Como f 0 (x) =
2(x 3 − 1) x 1 3
⇒ f 00 (x) = 2 ·
x (
1 3
1 2
1
⇒ f 00 (x) = 2 ·
1
)(x − 1) 2 3
1
1 3
1 3
3x 3
1
x 3 [x 3 − 1]0 − [x 3 ]0 (x 3 − 1)
⇒ f 00 (x) = 2 ·
(x )2 1 1 x 3 − (x 3 − 1) 1 2 3
⇒ f 00 (x) =
2 3
x 3x x Ahora sustituimos los números críticos en la derivada.f 00 (1) =
2 4
3·(1) 3
=
2 3
2 4
3x 3 > 0 por lo que en 1 hay un mínimo
relativo. Sin embargo, f (0) no está de nida(como tampoco f (0) esta de nida no se cumple la hipótesis del teorema) por lo que para x = 0 el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar para determinar si 0 es máximo o mínimo. 00
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0
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EJEMPLO 2: Determine y clasi que los extremos relativos de la función dada por f (x) = x3 − 3x.
Respuesta/ f tiene máxino relativo en (−1, 2) y mínimo relativos en (1, −2)
EJEMPLO 3:
Considere la función f : R+ −→ R dada por f (x) = x · ln(x). Para cada una de las siguientes condiciones, determine las coordenadas (x, y) del punto sobre la curva en el cual: 1. La recta tangente es paralela a la recta x − y = −3. SOLUCIÓN: Observe que la pendiente de la recta y = x + 3 es m = 1. Se calcula la primer derivada de la función: f 0 (x) = ln(x) + x · x1 = 1 + ln(x). Igualamos la derivada con la pendiente de la recta y despejamos. 1 + ln(x) = 1 ln(x) = 0 e0 = x ∴x=1
Completar el par ordenado: (1, f (1)) = (1, 0). RESPUESTA: El punto de la curva en que la recta es paralela a x − y = −3 es (1, 0).
2. La función tiene un extremo relativo. Dado el dominio, la función tiene un extremo relativo en el punto en que la recta tangente es horizontal y por tanto la pendiente de la tangente es m = 0. Igualamos la derivada con cero y resolvemos la ecuación.
1 + ln(x) = 0 ln(x) = −1 e−1 = x 1 ∴x= e
Completar el par ordenado:
1 ,f e
1 e
=
1 −1 , e e
RESPUESTA: La función tiene un extremo relativo en el punto
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1 −1 , e e
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2.17. El teorema de Rolle Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. Si f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en ]a, b[ tal que f 0 (c) = 0
Observe que el teorema asegura la existencia de al menos un extremo relativo en el intervalo abierto ]a, b[, por lo que debe considerarse que también puede haber funciones en la que los extremos podrían ser dos o más.
COROLARIO DEL TEOREMA DE ROLLE
Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (a) = f (b), entonces f tiene algún número crítico en el intervalo abierto ]a, b[. Note que el corolario anterior se obtiene al suprimir el requisito de derivabilidad en el teorema de Rolle, f tendrá todavía un número crítico en ]a, b[ pero no tendrá necesariamente tangente horizontal.
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Aplicaciones del teorema de Rolle Ejemplo 1: 2x + 2 Considere la función dada por g(x) = 5 − (x − 2)2
si
−1 2
si
1≤x≤4
≤x<1
.
1. Demuestre que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo eso lo que concluye dicho teorema para 1a función g en ese intervalo.
−1 2
, 4 y escriba a partir de
2. Determine el valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema.
SOLUCIÓN: 1. Veri camos que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en
−1 2
,4 :
I. g es continua en −1 , 4 : En los intervalos −1 , 1 y ]1, 4] la función es continua por ser polinómica. 2 2 Se veri ca la continuidad en x = 1:
i. g(1) = 4 ii. l´ım g(x) = l´ım (2x + 2) = 4 = l´ım 5 − (x − 2)2 = l´ım g(x) x→1−
x→1−
x→1+
x→1+
∴ l´ım g(x) = 4 x→1
iii. l´ım g(x) = g(1) = 4 x→1
∴ g es continua en x = 1 y en
−1 2
,4 .
−1 0 , 4 : En el cual está bien II. g es derivable en −1 2 intervalo 2 , 1 la derivada está dada por g (x) = 2 la −1 de nida para todo x ∈ 2 , 1 y en el intervalo ]1, 4[ la derivada está dada por g 0 (x) = −2x + 4 −1 la cual está bien de nida para todo x ∈ 2 , 1 . Se analiza la derivabilidad en x = 1 calculando las derivadas laterales: 0 0 g− (1) = 2 = g+ (1)
∴ g es derivable en g 0 (x) =
III. g
−1 2
∴ ∃c ∈
−1 2
−1 2
, 4 y su derivada esta dada por:
2
si
−1 2
−2x + 4
si
1≤x<4
<x<1
.
= 1 = g(4)
,4
al que g 0 (c) = 0
b. Cálculo de c: En el intervalo −1 , 1 la derivada está dada por la constante g 0 (x) = 2 por lo cual no se vuelve cero, 2 entonces el valor de c está en el intervalo [1, 4[ en el cual la derivada está dada por g 0 (x) = −2x + 4 y el valor que la vuelve cero se obtiene al despejar g 0 (c) = 0 es decir, −2c + 4 = 0 con lo que se obtiene que c = 2.
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Ejemplo 2: Considere la función dada por f (x) = x3 − 4x + 3. Si b ∈ R+ es una constante tal que f satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, b], determine: a. El valor de b. b. El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Primero, se debe deducir que como la función es polinómica entonces cumple la hipótesis de ser continua en [0, b] y derivable en ]0, b[ independientemente del valor de b, y por lo tanto, para que se cumplan todas las hipótesis del teorema entonces lo que falta es que cumpla la tercer hipótesis, a saber, f (0) = f (b). A partir de lo anterior, planteamos y resolvemos la ecuación resultante. 3 = b3 − 4b + 3 0 = b(b2 − 4) 0 = b(b + 2)(b − 2) ⇒ b = 0 ∨ b = −2 ∨ b = 2
Se descartan los que no cumplen b > 0, por lo tanto b = 2. RESPUESTA/ b = 2 El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Si para b = 2 se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle, entonces dicho teorema concluye que existe c ∈ ]0, 2[ tal que f 0 (c) = 0. Calculamos la derivada: f 0 (x) = 3x2 − 4 Evaluamos c en la derivada e igualamos a cero la derivada para despejar el valor de c.
f 0 (c) = 0 ⇒ 3c2 − 4 = 0 r
4 ⇒c=± 3 √ √ 2 3 −2 3 ∴c= ∨c= 3 3
Se descarta c =
√ −2 3 3
porque no pertenece al intervalo.
RESPUESTA/ c =
√ 2 3 3
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PRÁCTICA 17 (1) Hallar las dos intersecciones con el eje x de la grá ca de f (x) = x4 +x3 −3x2 −4x−4 y probar que f 0 (x) = 0 en algún punto x = c entre ellas.
(2) Sea f (x) = x4 − 2x2 . Pruebe que f tiene extremos relativos en el intervalo ] − 2, 2[. Hallar todos los números c en el intervalo ] − 2, 2[ tal que f 0 (c) = 0.
(3) Veri que que la función f (x) = cos(2x) satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, π]. Luego encuentre los números c que satisfacen el teorema de Rolle.
2
(4) Sea f (x) = 1 − x 3 . Demuestre que f (−1) = f (1), pero no hay ningún punto tal que f 0 (x) = 0. Conteste y justi que lo siguiente: ¾Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?.
(5) Demuestre que la ecuación x7 + 5x3 + x − 6 = 0 tiene exactamente una solución real.
(6) Considere una función f : [a, b] → R. tal que f es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f 0 (x) 6= 0∀x ∈ ]a, b[. Demuestre que f es inyectiva.
RESPUESTAS: (1) I Parte (intersecciones con el eje X): (−2, 0) y (2, 0) II Parte (existencia de c): Demostración completa (2) I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = 0 , c = −1 , c = 1 π (3)I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = 2 (4) I Parte (no existencia de c): Demostración completa II Parte: No hay contradicción con el Teorema de Rolle porque f no satisface la hipótesis de derivabilidad en el intervalo ] − 1, 1[ ya que f 0 se inde ne para x = 0. (5)Demostración completa (6)Demostración completa
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2.18. El Teorema del Valor Medio Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[, existe algún número f (b) − f (a) c en ]a, b[ tal que f 0 (c) = b−a El nombre de este teorema (medio) se re ere a la razón media(promedio) de cambio de f en el intervalo [a, b]. Este teorema tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geométricamente, garantiza la existencia de una recta tangente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))
Pendiente de la tangente paralela mt = f 0 (c) f (b) − f (a) Pendiente de la secante ms = b−a f (b) − f (a) 0 Como son paralelas f (c) = b−a
NOTA: Un enunciado alternativo para el Teorema del Valor Medio es:
Si f es continua en [ a , b ] y derivable en ] a , b [, existe c en ] a , b [ tal que f (b) = f (a) + (b − a) f 0 (c)
COROLARIO DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f 0 (x) = g 0 (x) para todo x en un intervalo ] a , b [, entonces f − g es una constante en ] a , b [ ; esto es, f (x) = g(x) + k; con k constante.
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Aplicaciones del teorema del valor medio 2
Ejemplo: Sea f una función continua en [0, 1] y derivable en ]0, 1[. Si se cumple que f 0 (x) = ex y f (0) = 10. Utilice el Teorema del Valor Medio para encontrar los valores reales a y b tales que a < f (1) < b. SOLUCIÓN: Por los datos dados en el enunciado, se tiene que f satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0, 1], a saber: (i) f es continua en [0, 1]. (ii) f es derivable en ]0, 1[. f (1) − f (0) = f (1) − 10 1−0 + 10
Entonces, existe c ∈]0, 1[ tal que f 0 (c) = 2
Así: f (1) = f 0 (c) + 10 ⇒ f (1) = ec
2
2
Además como c ∈]0, 1[ ⇒ 0 < c < 1 ⇒ 0 < c2 < 1 ⇒ e0 < ec < e1 ⇒ 1 < ec < e Al sumar 10 a la desigualdad anterior se tiene que: 2
11 < ec + 10 < e + 10 ⇒ 11 < f 0 (c) + 10 < e + 10 ∴ 11 < f (1) < e + 10
Respuesta: Los valores buscados son a = 11 y b = e + 10
PRÁCTICA 18 (1) Dada f (x) = 5 − x4 pruebe que existe c en el intervalo ]1, 4[ tal que la tangente a la curva en el punto c sea paralela a la secante a la curva en los puntos (1, f (1)) y (4, f (4)), después de probar su existencia, calcule los valores de x = c. √ (2) Veri que que la función f (x) = 1 + 3 x − 1 satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 9]. Luego encuentre los números c que satisfagan el teorema.
(3) Suponga que la función f es derivable en [−1, 2] con f (−1) = −1 y f (2) = 5. Demuestre que existe un punto sobre la grá ca de f en el que la recta tangente es paralela con la recta con la ecuación −2x + y = 0. (4) La altura de un objeto t segundos después de haberse soltado desde 500 pies de altura es s(t) = −16t2 +500. a. Hallar la velocidad media en los primeros tres segundos. b. Usar el teorema del valor medio para veri car que en algún instante en esos tres segundos de caída, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media. ¾En qué instante ocurre eso?. (5) Si f 0 (x) = c para todo x ∈ R, siendo c una constante, utilice el corolario del Teorema del Valor Medio para probar que f (x) = cx + d, para alguna constante d.
RESPUESTAS: (1) I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = 2 √ 9 + 7 21 (2) I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = 9 (3) Demostración completa. (4) (a) La velocidad media es de −48 pies/s (b) La velocidad instantánea es igual a la velocidad media en el instante t = 1,5s (5) Demostración completa.
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2.19. Otras aplicaciones de la derivada 2.19.1. Análisis y gra cación de funciones ANÁLISIS DE LA PRIMERA DERIVADA (1) Monotonía(Teorema): Si f
es una función derivable en el intervalo ]a, b[ entonces:
a) Si f (x) > 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es creciente en ]a, b[. 0
b) Si f 0 (x) < 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es decreciente en ]a, b[. c) Si f 0 (x) = 0 para todo x ∈]a, b[ ⇒ f es constante en ]a, b[.
Por lo tanto, si f es continua en el intervalo ]a, b[; para hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente, es conveniente seguir estos pasos: 1- Localizar los números críticos de f en ]a, b[ los cuales delimitan los intervalos de prueba. 2- Determinar los signos de f 0 en cada uno de esos intervalos. 3- Determinar la monotonía (creciente, decreciente o constante) para cada uno de los intervalos obtenidos.
(2) Máximos y mínimos relativos.- Criterio de la primer derivada-(Teorema): Si c es un punto crítico para f (x) en un intervalo abierto ]a, b[ y f es derivable, excepto quizá en c; f puede clasi car como sigue:
a) Si f 0 cambia de positiva a negativa en c (es decir, si f cambia de creciente a decreciente en c ), entonces f (c) es un máximo relativo de f . b) Si f 0 cambia de negativa a positiva en c (es decir, si f cambia de decreciente a creciente en c ), entonces f (c) es un mínimo relativo de f . c) Si f 0 no cambia de signo en c, f (c) no es ni mínimo ni máximo relativo. Ejemplos. 1) Dada la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1. (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primer derivada.
R/ f es creciente en ] − ∞, 1[ y ]3, +∞[. f es decreciente en ]1, 3[. Hay un máximo relativo en el punto (1, 5) y hay un mínimo relativo en (3, 1)
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2)Dada la función ( x2 − 4, si x < 3 f (x) = 8 − x, si x ≥ 3 (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primera derivada.
R/ f es decreciente en ] − ∞, 0[ y ]3, +∞[. f es creciente en ]0, 3[. Hay un máximo relativo en el punto (3, 5) y hay un mínimo relativo en (0, −4)
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(3) Determine a y b tales que la función de nida por f (x) = x3 + ax2 + b tenga extremo relativo en P(2,3).
R/ a = −3 , b = 7.
ANÁLISIS DE LA SEGUNDA DERIVADA Veamos primero unas grá cas para recordar el concepto de concavidad y evitar confusiones con el concepto de monotonía.
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Concavidad-criterio de la segunda derivada-(Teorema): Sea f
una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto ]a, b[, se cumple: a) Si f 00 (x) > 0 para todo x ∈]a, b[ entonces la grá ca de f es cóncava hacia arriba en ]a, b[. b) Si f 00 (x) < 0 para todo x ∈]a, b[ entonces la grá ca de f es cóncava hacia abajo en ]a, b[.
NOTA: Si f 00 (x) = 0 para todo x ∈]a, b[ significa que f es una función lineal (la cual no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo).
Puntos de in exión(De nición) Si la concavidad de la función f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo . (o viceversa) en el punto (c, f (c)) decimos que este es un PUNTO DE INFLEXIÓN
NOTA: Como los puntos de in exión ocurren donde la concavidad cambia de sentido, debe suceder que en ellos f 00 cambia de signo. Así que para localizar posibles puntos de in exión necesitamos determinar los valores de x en los cuales se cumple: 1-)f 00 (x) = 0 2-)f 00 (x) no está de nida Ejemplo. Considere la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 Determine los intervalos en que la grá ca es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y los puntos de in exión.
R/ f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 2[ y cóncava hacia arriba en ]2, +∞[. Hay un punto de in exión en (2, 3).
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ANÁLISIS Y GRAFICACION DE FUNCIONES POLINOMIALES
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES POLINOMIALES: 1- Calcular el dominio: Df = R 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero (y = f (x) = 0). b) Intersección con el eje Y: Sustituyendo x = 0. 3- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primer derivada, máximos y mínimos. 4- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 5- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 6- Construcción de la grá ca.
NOTA:
Recuerde que en una función polinomial f (x) = an xn + an − 1xn − 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ., su comportamiento cuando x tiende a los in nitos se puede deducir a partir de su grado (n) y su coe ciente principal (an ) así:
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ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Recuerde que una función f es racional si tiene la forma f (x) =
p(x) con p(x) y q(x) polinomios y q(x) 6= 0. q(x)
Así, el dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto las restricciones (valores que hacen cero al polinomio denominador). Además recuerde que las funciones racionales pueden tener asíntotas, las cuales ya hemos aprendido a calcular. Recordemos como:
Asíntotas de una función racional
Una función racional puede presentar las siguientes asíntotas: a)
Asíntotas horizontales de una función racional: Se hace el estudio de los limites
l´ım f (x) = L
l´ım f (x) = L
x→+∞
x→−∞
en cuyo caso la recta y = L es una asintota horinzontal. En el caso de que estos límites sean in nitos, entonces no habrá asíntotas horinzontales, pero se obtiene el comportamiento de la función cuando x tiende a ±∞ b)
Asíntotas verticales de una función racional: Se debe estudiar el comportamiento de la función alrededor de los puntos en los que se inde ne la función. Si c inden ne a f (x) calculamos los limites laterales para identi car las siguientes situaciones l´ım f (x) = −∞ l´ım f (x) = +∞
x→c−
x→c−
l´ım f (x) = −∞
l´ım f (x) = +∞
x→c+
x→c+
Así tendremos el comportamiento de la función alrededor de la asíntota vertical x = c
c)
Asíntotas oblicuas de una función racional: La grá ca de una función racional (sin factores comunes) tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador excede exactamente en una unidad al grado del denominador. Los coe cientes de la asíntota oblicua y = mx + b son: Pendiente:
m = l´ım
x→±∞
f (x) x
Intersección con el eje Y: b = l´ım [f (x) − mx] x→±∞
Otra manera para obtener la asíntota oblicua consiste en efectuar la división de los polinomios numerador y denominador para reescribir la fracción como la suma de un polinomio de grado 1 dado por el cociente de la división (asintota oblicua)más otra función racional (residuo sobre divisor). Dividendo residuo = cociente + divisor divisor
NOTA: Si una función racional tiene una asíntota oblícua no tiene asíntota horinzontales y viceversa.
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Entonces, para gra car una función racional, aplicamos el siguiente procedimiento:
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RACIONALES: 1- Calcular el dominio:Df = R -{restricciones} 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f (x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 3- Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la grá ca.
EJEMPLOS: (1) Considere la función f : D → R, de nida por f (x) = f 0 (x) =
x2 − 2 en su dominio máximo y sus derivadas (x − 1)2
4x − 10 −2x + 4 y f 00 (x) = . (x − 1)3 (x − 1)4
Haga el estudio de la función y construya la grá ca. 1. Dominio e intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Dominio: R − {1} Intersección con el eje Y: (0, √ −2) √ Intersecciones con el eje X: ( 2, 0) y (− 2, 0)
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2. Ecuaciones de todas las asíntotas (si las hay). RESPUESTA: Asíntota vertical: x = 1 Asíntota horizontal: y = 1 cuando x → ±∞ Asíntota oblicua: No hay. 3. Intervalos donde la función es creciente y decreciente. RESPUESTA: f es decreciente en los intervalos ] − ∞, 1[ y ]2, +∞[ f es creciente en el intervalo ]1, 2[ 4. Los valores extremos relativos de la función. Mencionar los pares ordenados. RESPUESTA: f alcanza un máximo relativo en el punto (2, 2). 5. Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en los intervalos ] − ∞,1[ y 1, 52 f es cóncava hacia arriba en el intervalo 25 , +∞ 6. Cuadro de variación.
7. Grá ca.
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(2) Considere la siguiente función: Considere la siguiente función: f (x) =
2 x +2+ 2 x
Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f (x), a saber: f 0 (x) =
1 2 − 2 2 x
f 00 (x) =
4 x3
Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca.
RSPUESTAS: 1. Dominio de f . RESPUESTA: R − {0} 2. Intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Eje X: (−2, 0) Eje Y: NO HAY. 3. Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f . (Nota: Debe justi car cada asíntota, incluso en el caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas). RESPUESTAS: Verticales: x = 0 porque al evaluar el límite es in nito (inde nición 40 ) Horizontales: No hay, porque l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞ x→+∞
x→−∞
Oblicuas: Si hay, porque es una función racional en la que el grado del numerador excede en una unidad el grado del denominador. Su ecuación es y = 21 x + 2 (la cual se puede obtener mediante la división de polinomios o por medio de fórmulas para m y b). 4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la primer derivada. f es creciente en ] − ∞, −2[ y ]2, +∞[ f es decreciente en ] − 2, 0[ y ]0, 2[ f tiene un máximo relativo en (−2, 0) f tiene un mínimo relativo en (2, 4)
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5. Intervalos de concavidad. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la segunda derivada. f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 0[ y cóncava hacia arriba en ]0, +∞[ 6. Cuadro de variación de f RESPUESTA:
7. Grá ca de f RESPUESTA:
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(3) Considere la siguiente función: x3 (x − 1)2
f (x) =
Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f (x), a saber: f 0 (x) =
x3 − 3x2 (x − 1)3
f 00 (x) =
6x (x − 1)4
Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca. 1. Dominio de f .
RESPUESTA: R − {1}
2. Intersecciones con los ejes.
RESPUESTA: Interseca ambos ejes en el origen (0, 0).
3. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f . (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justi car por qué). RESPUESTA. i.
Asíntota vertical. Sí hay y su ecuación es
x = 1. Justicación: Porque al evaluar el límite l´ım f (x) x→1
(límites laterales in nitos), lo que garantiza el comportamiento asíntótico se genera la inde nición de la función cuando x → 1. 1 0
ii.
Asíntota horizontal. No hay asíntotas horizontales. Justi cación: Porque l´ım f (x) = l´ım
x→+∞
iii.
x→+∞
x3 = +∞ y (x − 1)2
l´ım f (x) = l´ım
x→−∞
x→−∞
x3 = −∞. (x − 1)2
Asíntota oblicua. Si hay. Su ecuación es y = x + 2. Justi cación: Se garantiza la existencia porque
es una función racional en la que el grado del polinomio numerador excede en una unidad el grado del denominador. Por ser una función racional el cálculo de la ecuación, se puede efectuar la división de polinomios x3 ÷ (x2 − 2x + 1) o si lo pre ere calcular los coe ciente de la asíntota mediante los siguientes límites: x3 f (x) (x − 1)2 x2 m = l´ım = l´ım = l´ım 2 =1 x→∞ x→∞ x→∞ x − 2x + 1 x x 3 x3 x − x3 + 2x2 − x − x b = l´ım [f (x) − mx] = l´ım = l´ ım =2 x→∞ x→∞ x2 − 2x + 1 x→∞ x2 − 2x + 1
4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: f es creciente en ] − ∞, 1[ y ]3, +∞[. f es decreciente en ]1, 3[. . Hay un mínimo relativo en 3 , 27 4 5. Intervalos de concavidad y puntos de in exión. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en ] − ∞, 0[. f es cóncava hacia arriba en ]0, 1[ y ]1, +∞[. Hay un punto de in exión en (0, 0).
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6. Cuadro de variación de f .
7. Grá ca de f RESPUESTA:
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PRÁCTICA 19 1. Encontrar los máximos y mínimos de las siguientes funciones. (a) f (x) = 8x5 − 5x4 − 20x3 48 (b) f (x) = x3 + x 4 x +1 (c) f (x) = x2 (x − 1)(1 − x) (d) f (x) = x2 Respuestas/ 3 −513 , mínimo relativo (−1, 7) máximo relativo aunque x = 0 es número crítico el punto (0, 0) 2 16 no es máximo ni mínimo.
(1)(a)
(b)(−2, 32) máximo relativo (2, 32)mínimo relativo
(c)(−1, 2) mínimo relativo (1, 2)mínimo relativo
(d)(1, 0) máximo relativo
2. Encontrar los puntos de in exión de la función. f (x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 − 12x + 15 Respuesta/ Puntos de in exión
−1 488 , (2, −89) 3 27
3. Efectúe el análisis y construya la grá ca de las siguientes funciones. a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2) b) y = x4 − 6x2 c) y =
x2 −1
x2
DERIVADAS: f 0 (x) = 3x2 − 3 f 00 (x) = 6x
DERIVADAS: y 0 = 4x3 − 12x DERIVADAS: y 0 =
d) f (x) =
x2 x−1
e) f (x) =
−x2 + x + 2 x2 − 2x + 1
−2x − 1)2
(x2
DERIVADAS: f 0 (x) =
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y
x2 − 2x (x − 1)2
DERIVADAS: f 0 (x) =
y
00
00
=
= 12x2 − 12 6x2 + 2 (x2 − 1)3
f 00 (x) =
x−5 (x − 1)3
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2 (x − 1)3
f 00 (x) =
14 − 2x (x − 1)4
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Respuestas de la parte 3/: Se omite el análisis. Sólo se le dala grá ca: (3a)
(3b)
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(3c)
(3d)
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(3e)
4. Considere la función f (x) =
x(3x − 4) cuyas derivadas son: 2(x − 1)2 f 0 (x) =
2−x (x − 1)3
2x − 5 (x − 1)4 Efectúe el análisis completo de la misma y construya su grá ca. Debe incluir los siguientes aspectos:dominio de f , intersecciones con los ejes, asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f . (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justi car por qué), Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y puntos de in exión, cuadro de variación de f , grá ca de f . R/ La grá ca de f es: f 00 (x) =
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5. Considere la función racional f (x) que satisface las siguientes condiciones: l´ım f (x) = −∞ y
l´ım f (x) = +∞.
a
) El dominio de f es R − {1} y
b
) f 0 (x) > 0 en los intervalos ]−∞ , 0[ y ]2 , +∞[.
c
) f 0 (x) < 0 en los intervalos ]0 , 1[ y ]1 , 2[.
d
) f 00 (x) < 0 en el intervalo ]−∞ , 1[ y f 00 (x) > 0 en el intervalo ]1 , +∞[.
e
)
l´ım f (x) = −∞ y
x→−∞
x→1−
x→1+
l´ım f (x) = +∞.
x→+∞
f (x) = 1 y l´ım (f (x) − x) = 1. x→∞ x 0 0 g ) f (0) = 0 , f (2) = 4 y f (0) = f (2) = 0. f
) l´ım
x→∞
A partir de la información anterior, determine cuáles son las asíntotas lineales de f (x), elabore el cuadro de variación de la función y construya su grá ca. R/ Asíntota vertical x = 1, NO hay asintota horizontal, Asíntota oblicua y = x + 1. La grá ca de f es:
6. Considere la funcióng(x) =
x3 − 4 cuyas derivadas aparecen a continuación: x2 g 0 (x) =
x3 + 8 x3
g 00 (x) =
−24 x4
a
) Diga cuál es el dominio y encuentre los puntos críticos de g(x).
b
) Determine en qué intervalo es creciente y en cuáles es decreciente la función g(x).
c
) Clasi que los extremos relativos de g(x): Justi que su respuesta.
R/ (a) Dominio: R − {0} Números críticos x = 0, x = −2 (b)creciente: ] − ∞, −2[ y ]0, +∞[ decreciente: ] − 2, 0[ (c)Máximo relativo:(−2, −3) pues g 00 (−2) < 0.
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x+3 7. Considere la función f (x) = . Para responder las siguientes preguntas puede usar el hecho que x+2 2 −1 y f 00 (x) = . f 0 (x) = (2 + x)2 (x + 2)3 Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasi cación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asintotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el grá co de f(x).
R/ La grá ca de f es:
x2 − 3x . Para responder esta pregunta puede utilizar, sin calculadora, las dos (x + 3)2 primeras derivadas de la función f(x) que aparecen a continuación:
8. Considere la función f (x) =
9(x − 1) 18(3 − x) f 00 (x) = (x + 3)3 (x + 3)4 Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasi cación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asíntotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el grá co de f(x). f 0 (x) =
R/ La grá ca de f es:
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9. Considere la función: f (x) =
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x2 + x − 1 x−1
Para responder esta pregunta puede utilizar la siguiente información sobre la derivada, sin necesidad de veri carla: ∗f 0 (x) > 0 en los intervalos ] − ∞, 0[ y ]2, +∞[ ∗f 0 (x) < 0 en los intervalos ]0,1[ y ]1,2[. ∗f 0 (0) = 0
f 0 (2) = 0.
en el intervalo ]1, +∞[
∗f 00 (x) > 0
en el intervalo ] − ∞, 1[
00
∗f (x) < 0
Determine lo siguiente: a
) Encuentre el dominio de f (x) y calcule las asíntotas verticales, horizontales o inclinadas de la función, si éstas existen.
b
) Encuentre los puntos donde el grá co de f (x) corta los ejes de coordenadas.
c
) Haga el cuadro de variación de f (x) y dibuje la grá ca de la función.
d
) Identi que los extremos relativos de la función. Justi que su respuesta.
R/ a
) Dominio: R − {1}. Asíntota vertical x = 1, Horizontal: No hay. Oblicua: y = x + 2.
b
) ∩x :
c
) Cuadro de variación:
−1 − 2
√ 5
,0
y
−1 + 2
√ 5
,0
∩y : (0, 1)
Grá ca:
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d
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) Máximo relativo (0,1) pues f cambia de creciente a decreciente en ese punto. Mínimo reltativo (2,5)pues f cambia de decreciente a creciente en ese punto.
x2 + 4 10. De nimos la función f (x) por: f (x) = . Haga el estudio completo de la función f (x) que incluya el 2x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el grá co interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el grá co de la función f (x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos siguientes derivadas de la función f(x) que aparece a continuación: f 0 (x) =
R/ La grá ca de f (x) es:
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x2 − 4 2x2
f 00 (x) =
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4 x3
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x2 − 2x − 3 11. De nimos la función porf (x) = Haga el estudio completo de la función f (x) que incluya el x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el grá co interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el grá co de la función f(x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos primeras derivadas de la función f (x) que aparecen a continuación f 0 (x) =
R/ La grá ca de f (x) es:
x2 + 3 x2
f 00 (x) =
−6 x3
12. A continuación se le da la grá ca de la primer derivada de la función f , es decir, la grá ca correspondiente a f 0 . A partir de la información en ella, identi que los intervalos de monotonía y concavidad de la función f .
R/ Monotonía: f es creciente en ] − 2, 0[ y ]2, +∞[. f es q decreciente q en ] − ∞, −2[ y ]0, 2[ 12 Concavidad: f es cóncava hacia arriba en ] − ∞, − 5 [ y ] 12 , +∞[. f es cóncava hacia abajo en 5 q q 12 12 ]− , [. 5 5
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ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RADICALES Para gra car otros tipos de funciones se utiliza el mismo procedimiento que el estudiado para funciones racionales:
PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RADICALES: 1- Calcular el dominio:En este caso hay que calcular en dominio máximo de la función, tomando en cuenta la paridad del índice. 2- Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f (x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 3- Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de in exión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la grá ca.
Además, hay que tomar en cuenta que ciertos aspectos relacionados con las asíntotas, que se tomaban en cuenta con las funciones racionales, varían un poco cuando se trabaja con funciones radicales. Por ejemplo, para calcular las asíntotas oblicuas no se puede utilizar la división de polinomios, ya que no se trata de una función racional. Por otra parte, para justi car la existencia o no de ese tipo de asíntotas, ya no se puede utilizar la comparación de grados. En ambos casos, se deben calcular los límites y, si existen, entonces hay asíntota oblicua: 1. l´ım
x→∞
f (x) x
=m
2. l´ım (f (x) − mx) = b x→∞
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PRÁCTICA 20
Efectúe el análisis completo y a partir de él, construya la grá ca de las siguientes funciones. En cada caso, se le dan las derivadas de cada función. 1. f (x) =
3p 3 (x + 2)2 (x − 2)2 4
x Derivadas: f 0 (x) = p 3 (x + 2)(x − 2)
2. f (x) =
r 3
f 00 (x) =
3
p 3
x2 − 12 (x + 2)4 (x − 2)4
x−1 x+1 2
Derivadas: f 0 (x) = 3(x + 1)2 √ 3. f (x) = x x − x2
Derivadas: f 0 (x) =
x−1 x+1
2/3
√
x(3 − 4x) √ 2 1−x
f 00 (x) =
f 00 (x) =
4 − 12x 5/3 x−1 9(x + 1)4 x+1
x(8x2 − 12x + 3) 4(x(1 − x))3/2
RESPUESTAS: 1.
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2.
3.
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2.19.2. Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital : Suponga que f y g son funciones derivables y que g 0 (x) 6= 0 en un intervalo abierto I que contiene a a (excepto quizás en a). Suponga que Regla de L'Hôpital(Teorema)
l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = 0
x→a
x→a
o que l´ım f (x) = ±∞ y l´ım g(x) = ±∞
x→a
x→a
(En otras palabras, el límite tiene la forma indeterminada
0 ∞ o ) 0 ∞
Entonces:
l´ım
x→a
f 0 (x) f (x) = l´ım 0 x→a g (x) g(x)
Suponiendo que este último límite exista o sea in nito (+∞ o −∞)
NOTAS: 1. La Regla de L'Hôpital a rma que el límite del cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones (hipótesis) del teorema. Es por eso, que antes de aplicar la Regla de L'Hôpital, debe veri car las condiciones referentes a los límites de f y g . 2. La Regla de L'Hôpital también aplica para el caso de los límites laterales y los límites al in nito, es decir, el teorema también se puede aplicar cuando x → a− , x → a+ , x → −∞ o x → +∞. 3. Observe quela Regla de L'Hôpital involucra el límite del cociente o división de las derivadas de f y de g f 0 (x) , NO se re ere de ninguna manera a la derivada de la división de las funciones f y g que es l´ım 0 x→a g (x) 0 f (x) otra cosa l´ım . x→a g(x) 0 ∞ o y , en lugar de ellas, se genera algún otro 0 ∞ 0 ∞ 0 tipo de indeterminación, tal como 0 · ∞, ∞ − ∞,0 , 1 o ∞ . En esos casos se busca reescribir la función para obtener alguna de las indeterminaciones requeridas y así poder usar la Regla de L'Hôpital.
4. En ocasiones, un límite no genera las indeterminaciones
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0 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA . 0 Calcule los siguientes límites:
1. l´ım √ x→2
x−2 √ x−1+24x−1−3
0 SOLUCIÓN: El límite es de la forma por lo que el mismo cumple con la hipótesis de la Regla de L'Hôpital 0 y por lo tanto se puede seguir este procedimiento: l´ım √
x→2
x−2 √ = l´ım x→2 x−1+24x−1−3 = l´ım
x→2
= l´ım
√1 2 x−1 1 √ 2 1
x→2 1 2
1 + 2 · 14 (x − 1)−3/4
1 + 2 · 14 (1)−3/4
1 +2·
1 4
·1
=1
2. l´ım
e2x − 1 x
R/ 2
3. l´ım
ln(x) x−1
R/ 1
4. l´ım
tan(x) − x x3
R/
x→0
x→1
x→0
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∞ EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA . ∞ Calcule los siguientes límites:
1.
2.
3.
l´ım
ln(x) x
l´ım
ex x2
l´ım
ln(x) √ 3 x
x→+∞
x→+∞
x→+∞
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R/ 0
R/ +∞
R/ 0
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 0 · ∞. Calcule los siguientes límites: 1.
l´ım e−x ·
x→+∞
√ x
R/ 0
2. l´ım x · ln(x)
R/ 0
x→0+
3. l´ım
x→0+
ln(x) · ln(x2 + 1)
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R/ 0
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA ∞ − ∞. Calcule los siguientes límites: 1. Calcule el siguiente límite: l´ım
x→0+
1 1 − ex − 1 x
SOLUCIÓN: Note que cuando x → 0+ el límite tiene la forma indeterminada ∞ − ∞. No se puede aplicar LHôpital . Para ello se debe efectuar la resta. Se debe indicar hasta que el límite sea de la forma indeterminada 00 o ∞ ∞ si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente:
1 1 l´ım − = ex − 1 x x→0+ x − ex + 1 = l´ım + x(ex − 1) x→0 x − ex + 1 = l´ım xex − x x→0+ 1 − ex = l´ım ex + xex − 1 x→0+ −ex = l´ım ex + ex + xex x→0+ −1 = 2
2.
l´ım
−
[forma: ∞ − ∞ aún no se puede aplicar L'Hôpital]
0 forma: se puede aplicar L'Hôpital 0 0 forma: se puede aplicar L'Hôpital 0
R/ 0
(sec(x) − tan(x))
x→( π 2)
3. l´ım
x→1+
1 1 − ln(x) x−1
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R/
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EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 1∞ o 00 o ∞0 .
Calcule los siguientes límites: 1.
x2 1 cos x→+∞ x l´ım
SOLUCIÓN: El límite es de la forma 1∞ . Llamemos k al resultado del límite:
x2 1 =k x→+∞ x " x2 # 1 ln l´ım cos = ln(k) x→+∞ x " x2 # 1 = ln(k) l´ım ln cos x→+∞ x 1 l´ım x2 · ln cos = ln(k) x→+∞ x " # ln cos x1 l´ım = ln(k) 1
l´ım
cos
x→+∞
l´ım
1
[cos( x1 )]
x2
· − sen
1 x
·
−2 x3
x→+∞
" l´ım
x→+∞
[forma: ∞ · 0 aún no se puede aplicar L'Hôpital]
0 forma: ya se puede aplicar L'Hôpital 0
−1 x2 = ln(k)
−x3 sen 2x2 · cos
#
1 x 1 x
= ln(k)
"
# − sen x1 = ln(k) l´ım x→+∞ 2 1 · cos 1 x x " # sen x1 −1 l´ım · = ln(k) 1 x→+∞ 2 cos x1 x 1·
−1 = ln(k) 2·1 −1 = ln(k) 2 k=e
∴ l´ım
x→+∞
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−1 2
x2 1 1 cos = √ x e
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2.
x 1 1+ x→+∞ x
193
l´ım
R/ e
3. l´ım xx
R/ 1
x→0+
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194
R/ e4
4. l´ım (1 + sen(4x))cot(x) x→0+
5. Determine el valor de a para el cual se cumple la igualdad: l´ım
x→+∞
x+a x−a
x = e
SOLUCIÓN: Note que cuando x → +∞ el límite tiene la forma indeterminada 1∞ . No se puede aplicar LHôpital hasta que el límite sea de la forma indeterminada 00 o ∞ . Para ello se debe aplicar la función ∞ inyectiva logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad, para aplicar propiedades de los logaritmos y propiedades de las funciones continuas para calcular el límite y luego despejar el valor de a. Se debe indicar si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente:
ln
x+a x−a
x
l´ım x x+a l´ım ln x→+∞ x−a x+a [forma:∞ · 0] ←− l´ım x · ln x→+∞ x−a x+a ln x−a 0 forma: se puede aplicar Regla de L'Hôpital ←− l´ım 1 x→+∞ 0 x 1 (x−a)−(x+a) (x+a) · (x−a)2 (x−a) l´ım −1 x→+∞ x2 " # x→+∞
l´ım
x→+∞
l´ım
x→+∞
−2a x2 −a2 −1 x2
2ax2 2 x − a2
= ln[e] = 1 = 1
= 1
= 1
= 1 = 1
2a ∴
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= 1 1 a = 2
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I PARTE. Calcule los siguientes límites:
PRÁCTICA 21
(ln(x))2 x−1 √ √ 3 x− 3k 2. l´ım x→k x−k
1. l´ım
R/0
x→1
1 R/ √ 3 3 k2
e2x x→+∞ x2 2 2 − 4. l´ım ln(x) x−1 x→1+
3.
R/+∞
l´ım
R/1 R/ 1
5. l´ım (x − 1)ln(x) x→1+
ex − 1 − x x→0 x2 1 − cos(x) 7. l´ım x→0 x2
1 2 1 R/ 2
6. l´ım
8.
R/
2
R/ 0
l´ım x3 e−x
x→+∞
9. l´ım (1 − 2x)1/x x→0 a bx 10. l´ım 1 + x→+∞ x 11. l´ım (tan(2x))x
R/
1 e2
R/ eab R/1
x→0+
12.
195
R/1
l´ım (ln(x))2/x
x→+∞
x + sen(2x) x − sen(2x) 8 x 14. l´ım − x→2 x2 − 4 x−2 √ 15. l´ım e−x · x
13. l´ım
R/−3
x→0
R/
−3 2
R/0
x→+∞
3
ex − 1 x→0 x − sen(x) 1 x · sen 17. l´ım x→+∞ x 1 1 18. l´ım − x→0 x ln (1 + x)
16. l´ım
R/6 R/1 −1 2 −1 R/ π
R/
19. l´ım csc (πx) · ln(x) x→1 √ 4 − x2 20. l´ım − x −2 x→2
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R/−∞
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II PARTE.
Ahora que ha practicado la Regla de LHôpital, es posible utilizarla en algunos de los pasos de grafcación de algunas funciones que no habíamos podido analizar, por no contar con esa herramienta para el cálculo de ciertos límites. Resuelva los siguientes ejercicios. 1. Considere la función f :]0, +∞[−→ R dada por f (x) = x2 · ln(x), cuyas derivadas se pueden expresar de la siguiente forma: f 0 (x) = x(1 + 2 ln(x)) y f 00 (x) = 2 ln(x) + 3. a
) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justi que por qué.
b
) Veri que que l´ım f (x) = 0.
c
) Veri que que l´ım f (x) = +∞.
x→0+
x→+∞
f (x) = +∞. x e ) Justi que la inexistencia de los tres tipos de asíntotas.
d
) Veri que que l´ım
f
) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos.
g
h
x→+∞
) Determine los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de f .
(x − 1)2 , cuyas derivadas se pueden expresar de la ex √ √ −(x − 3)(x − 1) (x − 3 − 2)(x − 3 + 2) 0 00 siguiente forma: g (x) = y g (x) = . Además considere que ex ex g(x) l´ım = +∞. x→−∞ x
2. Considere la función g : R −→ R dada por g(x) =
a
) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justi que por qué.
b
) Veri que que l´ım g(x) = +∞.
c
) Veri que que l´ım g(x) = 0.
d
e f
g
x→−∞
x→+∞
) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justi que para los tipos de asíntota que no existan. ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos. ) Determine los intervalos en los que g es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de g .
3. Considere la función h : R − {0} −→ R dada por h(x) = 1 + xe1/x , cuyas derivadas se pueden expresar de e1/x (x − 1) e1/x la siguiente forma: h 0 (x) = y h 00 (x) = 3 . Además considere que la única intersección x x con el eje X se ubica entre −2 y −1. a
) Veri que que l´ım h(x) = +∞.
b
) Veri que que l´ım h(x) = 1.
x→0+
x→0−
h(x) = 1. x d ) Veri que que l´ım (h(x) − x) = 2. c
) Veri que que l´ım
x→±∞ x→±∞
e
f g
h
) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justi que para los tipos de asíntota que no existan. ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasi que los extremos relativos. ) Determine los intervalos en los que h es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de in exión. ) Elabore el cuadro resumen y construya la grá ca de h.
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RESPUESTAS/ No se brinda el análisis de cada una de los ejercicios. Sólo se da la grá ca nal de cada una. (2a)
(2b)
(2c)
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2.19.3. Problemas de optimización Sugerencias para plantear y resolver estos problemas: 1.Hacer un dibujo representativo del problema. Asignar las variables necesarias de acuerdo con el enunciado. 2.Proponer la función a optimizar con base en la información del problema. 3.Si en la función intervienen varias variables es preciso establecer relaciones entre ellas para dejar una función en una variable. 4.Hallar el intervalo de factibilidad para x. Es determinar el dominio que tenga sentido con el enunciado del problema. 5.El problema de optimización queda reducido a calcular los extremos de la función.
Ejemplo 1: Resuelva el siguiente problema, mediante el planteo y optimización de la función correpondiente. De todos los rectángulos cuya área es de 16 cm2 determine las dimensiones del rectángulo cuyo perímetro sea menor. Además determine dicho perímetro. SOLUCIÓN: Sea x la longitud del largo de cada rectángulo y y la medida del ancho de cada rectángulo. Sea P el perímetro de cada uno de los rectángulos.
La función a optimizar es P = 2x + 2y . Utilizamos el dato del área para plantear una ecuación auxiliar, para expresar la función P en una sola variable. A = 16 xy = 16 16 y= x
Así tenemos que la función P se puede reescribir como una función de x ( x ∈]0, +∞[ ) así: P (x) = 2x + 2 ·
16 x
32 x 2x2 + 32 x 4x · x − (2x2 + 32) · 1 x2 2x2 − 32 x2 2(x2 − 16) x2 2(x + 4)(x − 4) x2
P (x) = 2x + P (x) = ⇒ P 0 (x) = P 0 (x) = P 0 (x) = ∴ P 0 (x) =
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El único número crítico en el dominio es x = 4 y se puede veri car que en ese valor se alcanza el perímietro mínimo, mediante el criterio de la segunda derivada: P 00 (x) =
4x · x2 − (2x2 − 32) · 2x (x2 )2
4x3 − 4x3 + 64x x4 64 00 P (x) = 3 x 64 ⇒ P 00 (4) = 3 4 64 00 P (4) = 64 P 00 (4) = 1 > 0 P 00 (x) =
Por tanto, en x = 4 se alcanza el perímetro mínimo. También se puede veri car lo anterior, mediante el cuadro de signos de la primer derivada:
RESPUESTAS/ Entonces las dimensiones para que el perímetro sea mínimo son x = 4 metros y y = metros. Además el perímetro mínimo será P (4) = 16 metros.
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16 4
=4
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200
Ejemplo 2: Resuelva el siguiente problema mediante el planteo y optimización de una función adecuada. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero (tal como muestra la gura). El perímetro de la ventana es de 3 metros. Determine cuál debe ser la longitud del lado del triángulo para que la ventana tenga el área máxima. (NOTA: El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide x corresponde a √ x2 3 ) 4
SOLUCIÓN: Las variables x y y ya vienen dadas por la gura. De nimos A como el área total de la ventana (que es lo que se quiere maximizar)y está dada por: A=
√ x2 3 4
+ xy
Pero para que quede en una variable requerimos de la ecuación auxiliar dada por el dato del perímetro de la ventana, a saber: P = 2y + 3x 3 = 2y + 3x 3 − 3x = 2y 3 − 3x =y 2
Al sustituir lo anterior en la función de área obtenemos: A(x) =
√ x2 3 4
+x
3−3x 2
,
(con dominio ]0, 1[ para que tenga sentido el problema) Simpli cando se tiene que A(x) =
Derivando obtenemos que:
A0 (x) =
Lo que es equivalente a A0 (x) =
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√
3 2
x+
3 2
√ x2 3 4
+
3x 2
−
3x2 2
− 3x
√ x 3+3−6x 2
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201
Se procede a calcular los números críticos: Ceros de f 0 : √ x 3 + 3 − 6x = 0 √ x 3 − 6x = −3 √ x 3 − 6 = −3 −3 x= √ ≈ 0, 703 3−6 −3 No hay restricciones para f 0 . Luego, el único número crítico en el dominio es x = √ . Faltaría veri car si en 3−6 √ 3 efecto es un máximo, lo que se puede hacer utilizando la segunda derivada(*): A00 √−3 = − 3 ≈ −2, 13 3−6 2 −3 Al ser A00 √−3 < 0 se cumple que en x = √ se obtiene el máximo para la función de área (que es lo que 3−6 3−6 se quería). −3 metros. RESPUESTA: Para que el área de la ventana sea máxima, el lado del triángulo debe medir √ 3−6 (*) NOTA: En lugar de utilizar el criterio de la segunda derivada se puede elaborar un cuadro de signos para f 0 :
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202
Para resolver algunos problemas de optimización sep debe aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), a saber d = (y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2 , que surge del teorema de Pitágoras y que repasamos amediante la gura adjunta:
Ejemplo 3: Mediante el planteo y optimización de una función adecuada, determine la coordenada (z, t) del punto perteneciente a la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (−3, 1). SOLUCIÓN: Plantear la función a minimizar, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano: p d = (t − 1)2 + (z + 3)2 . Se plantea una ecuación auxiliar, utilizando el hecho de que el punto (z, t) pertenece a la recta y = 9 − 6x: Ecuación auxiliar: t = 9 − 6z Se sustituye en la función original, se simpli ca y deriva la función de distancia. p d(z) = (9 − 6z − 1)2 + (z + 3)2 , dominio: R p d(z) = (8 − 6z)2 + (z + 3)2 p .d(z) = 64 − 96z + 36z 2 + z 2 + 6z + 9 p d(z) = 37z 2 − 90z + 73 1 · (74z − 90) ⇒ d 0 (z) = √ 2 37z 2 − 90z + 73 (37z − 45) ∴ d 0 (z) = √ 37z 2 − 90z + 73 Se identi ca el único número crítico: x = 45 y se comprueba que el número crítico es en efecto un mínimo. Se 37 puede hacer con un cuadro de signos o con el criterio de la seguda derivada. Cuadro:
00 45 676 O en lugar del cuadro se puede calcular f 00 (x) = (37z2 −90z+73) ≈ 8, 65 > 0, con lo que se 3/2 y evaluar f 37 veri ca que en el número crítico la distancia se minimiza. 63 Se utiliza la ecuación auxiliar para calcular t = 9 − 6 · 45 = 37 y así completar el par ordenado 45 , 63 . 37 37 37
RESPUESTA/ El punto sobre la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (−3, 1) es
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45 63 , 37 37
.
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203
Ejemplo 4: Sea P = (3, 0). Determine el punto Q = (x, y) en la grá ca de la curva y = x2 − x, tal que la distancia de P a Q sea mínima. SOLUCIÓN: Queremos minimizar la distancia entre el punto exterior P (3, 0) y el punto Q(x, y) pertneciente a la curva dada por y = x2 − x. Por conveniencia y para diferenciar los valores de las coordenadas del punto Q sobre la curva de las variables dependiente e indpendiente de la función dada, renombraremos las coordenadas del punto Q como Q(z, t). Así como el punto Q pertenece a la curva dada por y = x2 − x, se tiene la siguiente: ECUACIÓN AUXILIAR: t = z 2 − z Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que:
d=
p
(t − 0)2 + (z − 3)2
d=
p
t2 + (z − 3)2
d(z) =
p
(z 2 − z)2 + (z − 3)2
d(z) =
p
z 4 − 2z 3 + z 2 + z 2 − 6z + 9
p
z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 6z + 9 1 d 0 (z) = √ · (4z 3 − 6z 2 + 4z − 6) 4 3 2 z − 2z + 2z 2 − 6z + 9 1 · 2(2z − 3)(z 2 + 1) d 0 (z) = √ 4 3 2 z − 2z + 2z 2 − 6z + 9 (2z − 3)(z 2 + 1) d 0 (z) = √ z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 6z + 9 d(z) =
Respuesta/ El punto Q sobre la curva y = x2 − x más cercano al punto P (3, 0) es Q
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3 2
,
3 4
.
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204
PRÁCTICA 22
1) Hallar dos números enteros positivos tal que el producto es 192 y la suma del primero más tres veces el segundo es mínima.
2) Una empresa requiere mejorar el proceso productivo. Una de sus primeras tareas es mejorar unos corrales donde se tienen cerdos en una nca de producción; por lo tanto, se le encarga construir dos corrales rectangulares adyacentes entre sí, aprovechando el largo de la nca, la cual ya tiene cerca (se forma una E con estos corrales). Los materiales para el lado paralelo a la valla cuestan 6 c2400, 00 colones el metro y los materiales de los lados perpendiculares cuestan 6 c2000, 00 colones el metro. Si sólo dispone de 6 c600000, 00 colones para construir las cercas. Determine las dimensiones para que el área total sea lo más grande posible.
3) Hay que diseñar un cilindro circular recto para un jugo natural de frutas, el cual debe contener 22 pulgadas cúbicas ( aprox. 12 onzas); por lo tanto, se desea que gaste la mínima cantidad de material para este envase. Ante esta situación, encuentre las dimensiones para satisfacer el requerimiento solicitado.
4) Se requiere diseñar un cilindro circular recto para contener un volumen de 350ml(1ml = 1cm3 ). Si el costo del material del fondo y de la tapa es de 6 c0, 5colones/cm2 y del área lateral es 6 c0, 25colones/cm2 . (a) Cuáles son las dimensiones del recipiente que minimizan el costo del envase cilíndrico? (b) Si se mantiene el diámetro del envase enconstrado en el punto anterior y si el volumen se cambia a 473 ml, ¾cuál es el incremento de costo del recipiente ?
5) Se tiene un cable de 4 metros de largo para construir un círculo y un cuadrado. ¾Cómo debe distribuirse el cable entre las dos guras para maximizar la suma de las áreas generadas?
6) Una granja avícola tiene que realizar dos nuevos corrales, para lo cual ha comprado 100 metros de malla ciclón. Se pretende que los carrales sean idénticos y estén adyacentes con la nalidad de ahorrarse una pared o costado de corral. ¾Cuáles deben ser las dimensiones aproximadas de cada corral para que se tengan los corrales de máxima área posible?
7) Cada página de un libro debe contener 30pulg 2 de impresión y cada página debe tener un margen de 2 pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes de una pulgada a cada lado. ¾Cuáles son las dimensiones de la página que permiten obtener el área mínima de la misma?
8) Dos postes del tendido eléctrico de 12 y 28 metros de altura, están en la misma dirección y separados entre sí por una distancia de 30 metros. Desea colocarse un cable de acero jado en un único punto en el suelo, entre las puntas de ambos postes (ver dibujo).¾En qué punto del suelo hay que jar el cable para usar la mínima cantidad de cable? (Sugerencia: Denote D la longitud del cable. Use Y, Z para las hipotenusas de los tringulos rectangulares y X para la distancia desde la base del poste más pequeño al punto intermedio en el suelo).
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205
9) Determine el punto (x,y) de la recta 2x + y = 3 más cercano al punto (3,2).
10) Se forma un sólido uniendo dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen total del sólido es de 12cm3 . Hallar el radio de la base del cilindro que produce el área mínima de la super cie del sólido.
11) Calcular las coordenadas del punto P de la curva y = x2 más próximo al punto A(3,0).
12) Calcular el radio y la altura de los cilindros de volumen máximo y mínimo que pueden incribirse en un cono de 6cm de radio y 12 cm de altura.
RESPUESTAS (1)Los números son 24 y 8. (2)Dimensiones: ancho r = 50cm, largo= 125m r 11 3 11 (3)Dimensiones: r= (aprox 1,518 pulg.) h= 2 3 pulgadas (aprox 3,04 pulg.) π r rπ 175 3 175 pulgadas (aprox. 3,03 pulg.) h=4 3 pulgadas (aprox. 12,12 pulg.) (4) (a) Dimensiones: 2π 2π (4) (b)El incremento del costo del recipiente es de 6 c20, 3. (5) Sólo se debe construir el círculo. (6)Las dimensiones deben ser corral. √ 12,5m x16,67m en cada √ (7) Dimensiones: Largo:4 + 60pulg. Altura 2 + 15pulg. (8) Hay que jarlo a 9m de la base del poste de menor altura. (9) (1,1) r 9 (10)r= 3 cm (aprox, 1,42 cm) π (11)(1,1) (12) Dimensiones de (a) cilindro de volumen mínimo:r=0cm, h=12cm(caso limite) cilindro de volumen máximo: r=4cm,h=4cm.
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Capítulo 3
Integrales 3.1. La integral inde nida Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este problema: dada una función F hallar su derivada F 0 . No obstante, muchas aplicaciones importantes del Cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada la derivada F 0 encontrar la función F . Por ejemplo considere la función F cuya derivada es: F 0 (x) = 3x2 d 3 [x ] = 3x2 . Por lo tanto llamaremos a F una antidedx
Una solución al problema anterior será F (x) = x3 , porque
rivada o primitiva para F 0 . Por conveniencia usaremos f (x) = F 0 (x) para expresar que F (x) es una antiderivada de f (x). Así, x3 es una antiderivada para 3x2 . Decimos unaantiderivada y no la antiderivada, pues en realidad x3 + C , con C cualquier constante, es una antiderivada para f (x).
DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA Se llama a una función F una antiderivada (o primitiva) de la función f , si para todo x del dominio de f se cumple F 0 (x) = f (x)
Ahora bien, si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces F (x) + C , con C constante, también es una antiderivada para todo x en I . Por ejemplo, para f (x) = 2x, podemos representar la familia de todas las antiderivadas mediante la suma de una constante C así, F (x) = x2 + C
NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS Si y = F (x) es una antiderivada de f , entonces se dice que F (x) es una solución de la ecuación: dy = f (x) dx Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir la forma diferencial equivalente dy = f (x)dx La operación de encontrar todas las soluciones (la antiderivada general de f)de esta ecuación se denomina integración y se denota por el símbolo ∫ . La solución general de la ecuación dy = f (x)dx se denota por Z y = f (x)dx = F (x) + C Z donde es el símbolo de la integral, f (x) es el integrando, F (x) es la antiderivada, C es contante de integración. Z Llamamos a f (x)dx la integral inde nida de f respecto a x. Así pues, la diferencia dx sirve para identi car a x como la variable de integración. El término integral inde nida es sinónimo de primitiva general. 206
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207
EN RESUMEN: Z La notación
f (x)dx = F (x) + C donde C es una constante arbitraria, signi ca que F es una primitiva o antiderivada
def . Esto es, F 0 (x) = f (x) para todo x en el dominio de f . La naturaleza inversa de la integración y la derivación se re eja en estas propiedades: Z d [f (x)] dx = f (x) + C dx d [∫ f (x)dx] = f (x) dx REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN (1)
Z
0dx = C (C constante)
(2)
Z
kdx = kx + C (k,C constantes)
Z Ejemplos: 2dx = 2x + C Z edx = ex + C Z π 2 dx = π 2 x + C
(3)
Z
xn dx =
xn+1 + C (para n 6= −1) n+1
Ejemplos: Z x4 +C x3 dx = 4 x8 +C 8
Z
x7 dx =
Z
√ x2 2x 2 x dx = 3 + C = +C 3 2
Z
1 x−3 −1 −4 dx = ∫ x dx = +C = +C x4 −3 3x3
3
3
♣ Nota: Para el caso en que n = −1 se Zintegra con Zla siguiente Z fórmula. 1 dx −1 x dx = dx = = ln | x | +C x x
TEOREMA: Z [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± ∫ g(x)dx Z Z (2) kf (x)dx = k f (x)dx
(1)
Z
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Ejemplo: Calculemos las siguientes integrales y comprobemos cada respuesta mediante derivación. (1)
Z
(x2 − x + 5) dx =
Z
x2 dx −
=
Z
Z xdx +
x3 + c1 3
−
5dx
x2 + c2 2
(c1 , c2 y c3 constantes reales)
+ (5x + c3 )
=
x3 x2 + c1 − − c2 + 5x + c3 3 2
=
x2 x3 − + 5x + c1 − c2 + c3 3 2
=
x3 x2 − + 5x + C 3 2
(de nimos la constante real C = c1 − c2 + c3 )
NOTA: Dado que las sumas y restas de constantes dan como resultado una constante, siempre podremos agrupar las constantes obtenidas a partir de las sumas y restas de integrales y dejar una sola constante (usualmente se denota como C ). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación: Z
(x2 − x + 5) dx =
Z
x2 dx −
Z
Z xdx +
5dx =
x3 x2 − + 5x + C 3 2
PRUEBA: d dx
(2)
Z
x3 x2 − + 5x + C 3 2
3x2 dx = 3
Z
= x2 − x + 5
x2 dx = 3
x3 + c1 3
= x3 + 3c1
(c1 constante real) (de nimos la constante real C = 3c1 )
= x3 + C
NOTA: Dado que producto de constantes da como resultado una constante, siempre podremos dejar una sola constante (usualmente se denota como C ). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación:
Z
3x2 dx = 3
Z
x2 dx = 3 ·
x3 + C = x3 + C 3
PRUEBA: d x3 + C = 3x2 dx
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NOTA: A partir de los siguientes ejemplos usaremos el método abreviado, por lo que se indicará en forma directa una sola constante de integración C , que asumiremos que es (según corresponda) la suma, resta o producto de las constantes resultantes a partir de cada una de las integrales resultantes de la aplicación de las propiedades enunciadas en el teorema de la página anterior. Z (3) (6x2 − 9x + 10) dx
(4)
Z
√ 3t3 − 5t2 + 4 3 t dt 3t2
TEOREMA:
Si F(x) es una antiderivada de f(x) entonces∫ f (g(x)) · g 0 (x)dx = F (g(x)) + C
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales mediante una sustitución que permita utilizar la propiedad anterior. Compruebe sus respuestas mediante derivación 4
(1) ∫ 5(5x − 2)3 dx.
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R/ (5x−2) + C (C constante) 4
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√ (2) ∫ 2x x2 + 4 dx.
R/ 23 (x2 + 4)3/2 + C (C constante)
(3) ∫ (3x + 1)−2 dx (sugerencia: multiplique la integral por 1 = 33 ).
6
R/ (5x 60+3) + C (C constante)
√ 4x + 2 dx.
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−1 R/ 3(3x+1) + C (C constante)
2
(4) ∫ x(5x2 + 3)5 dx.
(5) ∫
210
3/2
R/ (4x+2) 6
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+ C (C constante)
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(6)
Z
(7)
Z
√ 3
x dx. 7x2
211
3 (7x2 )2/3 + C (C constante) R/ 28
2x dx. (x2 + 4)5
R/ 4(x−1 2 +4)4 + C (C constante)
NOTA: Para calcular algunas integrales, se pueden utilizar técnicas algebraicas ya estudiadas, tales como la racionalización. Por ejemplo: (8)
x3 (x − 1) √ dx x− x SOLUCIÓN: Al racionalizar el denominador del integrando se obtiene:
Z
Z
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√ x3 (x − 1) (x + x) √ · √ dx (x − x) (x + x) √ Z 3 x (x − 1)(x + x) dx = (x2 − x) √ Z 3 x (x − 1)(x + x) = dx (x(x − 1)) Z √ = x2 (x + x) dx Z = x3 + x5/2 dx
x3 (x − 1) √ dx = x− x
Z
=
x4 x7/2 + 7 +C 4 2
=
x4 2x7/2 + +C 4 7
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(9)
Z
5 dz √ √ . 2+z+ z
212
R/ 53 (2 + z)3/2 − z 3/2 + C (C constante)
3.2. El método de sustitución para calcular integrales inde nidas Pasos 1. Elegir una sustitución u = f (x).Por lo general es mejor elegir el argumento ("función interna") de una función compuesta. 2. Evaluar el diferencial du = f 0 (x) dx. 3. Reexpresar el integrado en términos de u (sustitución). 4. Evaluar la integral resultante en términos de u 5. Expresar la primitiva elemental en términos de la variable original.
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Ejemplos. √ (1) ∫ x 1 + x dx .
R/ 25 (1 + x)5/2 − 32 (1 + x)3/2 + C (C constante)
R/ 25 (1 + x)5/2 − 34 (1 + x)3/2 + 2(1 + x)1/2 + C (C constante)
(2)
Z
x2 √ dx. 1+x
(3)
Z
1 √ √ dt. t( t + 1)3
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−1 R/ (√t+1) 2 + C (C constante)
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(4)
Z
214
√ R/4( ax + b)1/2 + C (C constante)
a dx √ √ 1 [Nota:a, b constantes]. ax( ax + b) 2
NOTA: Mediante técnicas de integración, podemos resolver ecuaciones diferenciales sencillas como: (5) Encuentre una función h(x) que satisfaga la ecuación: h0 (x) = 5 + 7x −
. (6) Resuelva la ecuación diferencial
.
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3 x2
R/h(x) = 5x +
7x2 2
+
3 x
+ C (C constante)
√ dy 3 1 = 4x2 − 5 x + 2 − dx x x
R/ y =
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4x3 3
−
10x3/2 3
−
3 x
− ln |x| + C (C constante)
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NOTA: En algunos ejercicios es preciso encontrar una antiderivada especí ca de una función mediante el cálculo de constantes de integración. Usualmente se les conoce como ejercicios de valores iniciales. Ejemplos: 1. Si para la función f : R+ → R se cumple que f 00 (x) = criterio de la función f .
10x2 − 1 , f 0 (1) = 13 y f (1) = 10; determine el x2
SOLUCIÓN: 10x2 − 1 dx = x2 1 f 0 (x) = 10x + +c x f 0 (x) =
Z
Z
10x2 1 − 2 dx = x2 x
Z
10 − x−2 dx = 10x −
x−1 +c −1
con c una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al grá co de f despejar el valor de dicha contante c.
0
se utiliza para
f 0 (1) = 13 1 ⇒ 10 · 1 + + c = 13 1 ⇒ 11 + c = 13 ∴ c=2
1 + 2. Ahora integramos de nuevo para obtener f . x Z 1 f (x) = 10x + + 2 dx x 10x2 f (x) = + ln |x| + 2x + k 2 f (x) = 5x2 + ln |x| + 2x + k
Así, tenemos entonces que f 0 (x) = 10x +
Con k una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al grá co de f se utiliza para despejar el valor de dicha contante k. f (1) = 10 ⇒ 5 · (1)2 + ln |1| + 2 · 1 + k = 10 ⇒ 5 + 0 + 2 + k = 10 ∴k=3
Así el criterio de la función es f (x) = 5x2 + ln |x| + 2x + 3.
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2. Sea f : R → R, tal que f 00 (x) = 3x + 5, f (0) = 0, f 0 (1) = 2. Determine el criterio de f .
SOLUCIÓN: Como f 00 (x) = 3x + 5 se cumple que: Z f 0 (x) = 3x + 5 dx Entonces: f 0 (x) =
3x2 + 5x + c (con c constante). 2
A partir del valor inicial dado (f 0 (1) = 2) podemos despejar el valor de la constante c.
3 2 ·1 +5·1+c=2 2 3 +5+c=2 2 c=2− c=
Así tendríamos que f 0 (x) = Z f (x) =
3 −5 2
−9 2
3x2 9 + 5x − . Pero entonces se cumpliría que: 2 2
3x2 9 + 5x − dx 2 2
Entonces: f (x) =
5x2 9x x3 + − + k (con k constante). 2 2 2
A partir del valor inicial dado (f (0) = 0) podemos despejar el valor de la constante k. 03 5 · 02 9 ·0 + − +k =0 2 2 2 ⇒k=0 ∴ f (x) =
5x2 9x x3 + − 2 2 2
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3. Los puntos (−1, 3) y (0, 2) forman parte del grá co de la función f (x) y f 00 (x) = 2 − 4x. Calcule f (x).
.
R/ f (x) = x2 −
2x3 2x + +2 3 3
4. Calcule f (x) si se cumple lo siguiente: f (9) = 4 , f 0 (1) = 2 , f 00 (x) = x3/2 .
.
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R/ f (x) =
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8x 9112 4x7/2 + − 35 5 35
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PRÁCTICA 23 1. Calcule las siguientes integrales inde nidas: Z
2zdz √ 3 2 z +1 √ b ) ∫ 2x x + 1dx
a
)
2
R/ 32 (z 2 + 1) 3 +C R/
5 3 4 4 (x + 1) 2 − (x + 1) 2 +C 5 3
5
)
Z
c
d
)
R
e
)
R √ x x + 2dx
)
Z
f
x3 + 1 dx x2
)
Z
g
x2 − 1
)
Z
h
i
) )
Z
j
)
Z
k
(xa − 1)2 √ dx x
)
Z
l
x √ dx (x + 1) − x + 1
x2 − 6 √ dx x
R/
1
x+
R/
2
(x2 + 2x + 2) 2 +C 3
5 3 2 4 R/ (x + 2) 2 − (x + 2) 2 +C 5 3
R/
x2 1 − +C 2 x 5
dx
1 x
√ − 12 x+C 3
√ (x + 1) x2 + 2x + 2 dx
x2
x3 3
1
R/ 25 x 2 − 2x 2 +C dx
R/
R √ t 3 t − 4dt
R/
√ (x + 1) x + 2 dx
R/ R/
+ 2x − x1 +C
7 4 3 (t − 4) 3 + 3(t − 4) 3 +C 7
5 3 2 2 (x + 2) 2 − (x + 2) 2 + C 5 3 1
(a constante real)
x3 3
1
1 x2a+ 2 2xa+ 2 + 2x 2 + C 1 − 2a + 2 a + 12 √ R/ x + 1 + 2 x + 1 + C
2. Calcule f (x) si se sabe que √ 1 f 0 (x) = 2x x − √ x
,
R/ f (x) =
f (4) = −1
4x5/2 113 − 2x1/2 − 5 5
3. Calcule h(x) si se sabe que h 0 (x) =
√ ( x − 1)2 x3
,
h(1) =
−1 6
R/ h(x) =
4. Considere la función f continua en todo R, tal que
Z
(f (x) + k) dx = (c + k)x + k0 , donde c, k, k0 ∈ R.
Demuestre que f es una función constante.
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1 −1 4 + 3/2 − 2 x 2x 3x
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R/ Demostración completa
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3.3. Integrales trigonométricas 3.3.1. Fórmulas para integrar funciones trigonométricas (1) ∫ sen x dx = − cos x + C (2) ∫ cos x dx = sen x + C
(3) ∫ tan x dx = ln | sec x| + C (4) ∫ cot x dx = ln | sen x| + C
(5) ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x| + C (6) ∫ csc x dx = ln | csc x − cot x| + C
? ? ? ? ? ? ??
(7) ∫ sec x tan x dx = sec x + C (8) ∫ csc x cot x dx = − csc x + C ? ? ? ? ? ? ??
(9)* ∫ sen2 x dx =
1 (x − sen x cos x) + C 2
(10)* ∫ cos2 x dx = 21 (x + sen x cos x) + C
(11) ∫ sec2 x dx = tan x + C (12) ∫ csc2 x dx = − cot x + C
(13)** ∫ tan2 x dx = tan x − x + C (14)** ∫ cot2 x dx = − cot x − x + C EJERCICIO: Compruebe mediante la de nición de integral inde nida (con derivada) las fórmulas enunciadas anteriormente. NOTAS: 1. LAS FÓRMULAS SEÑALADAS CON (*) 9 Y 10 SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LAS FÓRMULAS DE LA MITAD DEL ÁNGULO, A SABER: 1 − cos(2x) 1 + cos(2x) sen2 (x) = y cos2 (x) = 2 2 2. LAS FÓRMULAS 13 Y 14 SEÑALADAS CON (**) SE PUEDENE OBTENER A PARTIR DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: tan2 (x) = sec2 (x) − 1 y cot2 (x) = csc2 (x) − 1
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3.3.2. Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por medio de una sustitución simple Z
R/ − cos(5x − 2) + C (C constante)
5 sen(5x − 2)dx
Z
R/
cos(3x + 1)dx
Z cos x ·
Z
√ 1 + sen xdx
+ C (C constante)
R/ 32 (1 + sen(x))3/2 + +C (C constante)
csc2 (t) dt cot4 (t)
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sen(3x+1) 3
R/
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1 3
tan3 (t) + C (C constante)
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221
Z
2 + 3 cos(x) dx sen2 (x)
R/ −2 cot(x) − 3 csc(x) + C (C constante)
Z
sec2 (x) − tan2 (x) dx sec2 (x)
R/ 12 (x + sen(x) cos(x)) + C (C constante)
Resuelva la siguiente ecuación diferencial: y 0 = 4 sec2 (x) −
.
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5 sen x cos2 x
+ x tan(x2 + 1)
R/ 4 tan(x) − 5 sec(x) +
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1 2
ln(sec(x2 + 1)) + C (C constante)
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222
3.3.3. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas En muchos de estos casos se busca replantear el integrando mediante identidades trigonométricas, para lograr efectuar alguna sustitución conveniente (VER APÉNDICE H). Calculemos las siguientes integrales: 1)
Z
√ √ sen2 ( 3 x) cos3 ( 3 x) √ dx 3 x2
SOLUCIÓN: Sustitución 1: √ u= 3x 1 du = √ 3 2 dx 3
3du =
x dx √ 3 2 x
Al aplicar la sustitución anterior se tiene:
Z
√ √ Z sen2 ( 3 x) cos3 ( 3 x) √ dx = 3 sen2 (u) cos3 (u) du 3 x2 Z = 3 sen2 (u) cos2 (u) cos(u) du Z = 3 sen2 (u) 1 − sen2 (u) cos(u) du (?) Z = 3 w2 1 − w2 dw Z =3 w2 − w4 dw 3 w5 w − +c =3 3 5 sen3 (u) sen5 (u) =3 − +c 3 5 √ √ sen3 ( 3 x) sen5 ( 3 x) =3 − +c 3 5
con c una constante real arbitraria.
(?) Sustitución 2: w = sen(u) dw = cos(u)du
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2)
Z
3)
Z
223
sec4 (3x) tan3 (3x) dx .
cos2
x 7
R/
tan4 (3x) 12
+
tan6 (3x) 18
+ C (C constante)
dx
SOLUCIÓN: Al aplicar la identidad cos2 (θ) =
Z
Al aplicar a la integral que: 1 2
cos2
Z cos
2x 7
Z
Universidad de Costa Rica
1 + cos(2θ) x al integrando anterior, para el cual θ = tenemos que: 2 7
x
7
=
1 2
=
1 2
1 + cos 2x 7 dx 2 Z 2x 1 + cos dx 7 Z Z 2x dx + cos dx 7
dx la sustitución u =
Z dx +
Z dx =
cos
2x 7
2x 2 para la cual se cumple que du = dx se tiene 7 7
Z Z 1 7 dx = dx + cos (u) du 2 2 1 7 = x + sen (u) + C 2 2 x 7 2x = + sen +C 2 4 7
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Calcule las siguientes integrales inde nidas: 1.
Z
1 + sen θ dθ cos2 θ
2.
Z
sen(t) dt 1 − sen2 (t)
3.
Z
sec2 (x) dx tan3 (x)
4.
Z
sen(x) p dx 1 − cos(x)
5.
Z
cos(x) p dx sen(x)
6.
Z
7.
Z
sen3 (θ) dθ
8.
Z
sec3 (2θ + 1) tan(2θ + 1) dθ
x2 cos2 (x3
+ 1)
224
PRÁCTICA 24 R/ tan θ + sec θ +C
R/sec(t)+C
R/
−1 +C 2 tan2 x
√ R/ 2 1 − cos x+C
√ R/2 sen x+C
R/
dx
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R/
1 cos3 (θ) − cos(θ) + C 3
R/
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1 tan(x3 + 1) + C 3
1 sec3 (2θ + 1) + C 6
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225
3.4. Integrales que generan logaritmos 1)
Z
dx = ln | x | +C x
2) Si la derivada del denominador es el numerador podemos utilizar el siguiente resultado que seguiremos usando como una fórmula: Z 0 f (x) dx = ln | f (x) | +C f (x) Z du Si llamamos u=f(x) se cumple que = ln | u | +C u
Ejemplo : Calcule las siguientes integrales: (1)
Z
3x2 dx = 3 x +5
Z
du = ln | u | +C = ln | x3 + 5 | +C u
sustitición: u = x3 + 5 du = 3x2 dx
(2)
Z
x2 1 dx = 2x3 + 7 6
Z
du 1 1 = ln | u | +C = ln | 2x3 + 7 | +C u 6 6
sustitución: 3
u = 2x + 7 2
du = 6x dx du 2 = x dx 6
(3)
Z
x−2 1 dx = x2 − 4x + 1 2
Z
du 1 = ln | u | +C= 12 ln | x2 − 4x + 1 | +C u 2
sustitición: u = x2 − 4x + 1 du = (2x − 4)dx du = 2(x − 2)dx du 2
= ((x − 2)dx
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226
Ejercicio: Calcule las siguientes integrales.
(1)
(2)
. Z
Z
1 dx x ln(x)
x3 + x2 + x − 5 dx x2 + 2x + 4
Sugerencia: Utilice la sustitución u = ln(x).
R/ ln | ln(x)| + C Sugerencia: Efectue la división de polinomios
.
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R/
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1 x2 − x − ln |x2 + 2x + 4| + C 2 2
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227
3.5. Integral de las funciones exponenciales R
Z
ex dx = ex + C
ax dx =
ax +C ln a
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales (Tarea: Compruebe sus respuestas mediante derivación) R (1) 5x dx Solución: Método 1(por sustitución ) Z
5x dx =
Z
du 1 = ln 5 ln 5
Z du =
5x 1 ·u+C = +C ln 5 ln 5
sustitución: u = 5x du = 5x ln 5 dx du = 5x dx ln 5
Método 2 (usando directamente la fórmula para integrar exponenciales con base distinta de e) Z 5x 5x dx = +C ln5 R 2 (2) 2xex dx Solución: Método 1(usando como sustitución la función exponencial) R
2
2xex dx =
R
2
du = u + c = ex + C
sustitución: 2 u = ex 2 du = ex · 2xdx
Método 2(usando como sustitución el argumento de la función exponencial) R
2
2x ex dx =
R
2
eu du = eu + C = ex + C
sustitución: u = x2 du = 2xdx
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(3)
R
228
e7x dx
Solución: Z
e7x dx =
1 7
Z
eu du =
1 1 u e + C = e7x + C 7 7
sustitución: u = 7x du = 7dx du = dx 7 (4)
(1 + ex )2 dx Solución: Z Z Z Z Z 1 (1 + ex )2 dx = (1 + 2ex + e2x )dx = 1dx + 2 ex dx + e2x dx = x + 2ex + e2x + C 2 R
sustitución: R En e2x dx u = 2x du = 2dx du = dx 2 Z R 2x 1 1 eu du = eu +c e dx = 2 2
(5)
(6)
R
. Z
e3x+1 dx
R/
e3x+1 +C 3
1
ex dx x2
. Universidad de Costa Rica
R/−e1/x + C II Ciclo Lectivo 2017
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(7)
(8)
(9)
Z (ex
. Z
. Z
229
ex dx + 1) ln(ex + 1)
R/ln | ln(ex + 1)| + C (1 + ecot(θ) ) csc2 θdθ
R/− cot(θ) + ecot(θ) + C 2ev cos(ev )dv
.
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R/2 sen (ev ) + C
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230
3.6. Integrales que involucran inversas trigonométricas (1)
Z
x dx √ = arc sen +C a a2 − x2
(2)
Z
x dx 1 = arctan +C a2 + x2 a a
(3)
Z
x dx 1 √ = arcsec +C a a x x2 − a2
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales. (1)
Z
(2)
Z
(3)
Z
dx √ 8 − x2
(4)
Z
dx √ x x2 − 16
1 √ x x2 − 9
R/
dx
dx 7x2 + 63
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R/
1 3
arcsec
x 3
+ C (C constante)
1 21
arctan
x 3
+ C (C constante)
x √ 8
+ C (C constante)
arcsec
x 4
R/ arc sen
R/
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1 4
+ C (C constante)
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(5)
Z
(6)
Z
(7)
dx 7 + x2
231
x √ 7
dx √ 4 − x2
R/ arc sen
x 2
Z
ex dx 1 + e2x
R/ arctan(ex ) + C (C constante)
(8)
Z
cos θ dθ 1 + sen2 θ
(9)
Z
earc sen x √ dx 1 − x2
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R/
1 √ 7
arctan
+ C (C constante)
+ C (C constante)
R/ arctan(sen(θ)) + C (C constante)
R/ earc sen(x) + C (C constante)
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232
3.7. Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados Las integrales que generarán un UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es 1 y el denominador es un polinomio de segundo grado y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que ∆ < 0.
NOTAS: 1. Para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el término dado por TCC =
b2 . 4a
2. El resultado de este tipo de integrales se puede veri car mediante la siguiente fórmula (esta fórmula se le da sólo para que veri que el resultado, NO puede ser utilizada como justi cación o procedimiento de resolución, ya que se espera que las resuelvan completando cuadrados) Z
dx 2 = p arctan ax2 + bx + c −(∆)
2ax + b p −(∆)
! + C donde ∆ = b2 − 4ac y ∆ < 0
Ejemplo. Calcule la siguiente integral: Z 1 dx 4x2 + x + 2
Ejercicio: Calcule
Z
dx 4x2 − 4x + 10
.
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R/
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1 arctan 6
2x − 1 3
+C
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233
Las integrales que generarán un LOGARITMO MÁS UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es un polinomio de primer grado, el denominador es un polinomio de segundo grado, el numerador NO corresponde a la derivada del denominador (pues de lo contrario se trataría de un logaritmo) y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que ∆ < 0. Z 3 + 2x Ejemplo: Calcule: dx −12x + 9x2 + 8
EJERCICIO: Calcule las siguientes integrales. 1.
Z
x−1 dx 3x2 − 4x + 3
.
2.
Z
1 1 R/ ln |3x2 − 4x + 3| − √ arctan 6 3 5
6 R/ln |2x2 − 3x + 5| + √ arctan 31
3x − 2 √ 5
4x − 3 √ 31
+C
4x dx 2x2 − 3x + 5
.
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+C
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Capítulo 4
Técnicas de integración 4.1. Método de descomposición en fracciones parciales Z
P (x) dx tales que P (x) y Q(x) son polinomios con Q(x) 6= 0 Q(x) Si m es el grado de P (x) y n es el grado de Q(x) decimos que:
Se aplica a integrales de la forma
(a) Si m ≥ n decimos que la fracción es impropia (b) Si m < n decimos que la fracción es propia.
Ejemplos:
x3 + x2 + 5 dx x2 − 4 Z x+1 Fracción propia dx x2 − x − 6
Fracción impropia
Z
Los casos dependen de los factores del denominador.
CASO l. La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y no se repiten Ejemplo:
Z
x dx = 2x2 − 3x + 1
Z
x dx (x − 1)(2x − 1)
Para integrar se sigue el siguiente procedimiento: 1. Factorizar el denominador. 2. Se descompone la fracción algebraica original como suma de fracciones cuyo denominador sea cada uno de los factores obtenidos y se representa el numerador (aún desconocido) mediante una variable auxiliar ( usualmente letras mayúsculas). 3. Se resuelve la suma de fracciones parciales y se iguala a la fracción. 4. Para encontrar el valor de las letras se utilizan los ceros de los factores. 5. Una vez que se tiene el valor de las letras o variables, se forman las integrales parciales y se resuelven por los métodos estudiados anteriormente.
234
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235
Ejemplo. Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
dx x2 − 4
R/
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1 1 ln | x − 2 | − ln | x + 2 | +C 4 4
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(2)
Z
236
5x2 + 3x − 2 dx x3 + x2 − 2x
R\ ln | x | +2 ln | x + 2 | +2 ln | x − 1 | +C
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(3)
Z
237
7x2 − 14 dx 2x3 + 3x2 − 23x − 12
R/
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1 ln | 2x + 1 | +2 ln | x + 4 | + ln | x − 3 | +C 2
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238
CASO II La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y algunos se repiten. A cada factor se le asigna una fracción parcial y se siguen los mismos pasos del caso I, pero hay un cero que se repite, por lo que se asigna dos fracciones parciales para ese factor (en caso de que aparezca dos veces repetido), en una con el exponente 1 y en otra con la multiplicidad del cero (número de veces que aparece) como exponente.
Ejemplos:Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
x+1 dx x3 + 3x2 − 4
R/
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−2 1 2 ln | x + 2 | − + ln | x − 1 | +C 9 3(x + 2) 9
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(2)
Z
239
3x2 − 21x + 32 dx x3 − 8x2 + 16x
R/ 2 ln | x | + ln | x − 4 | +
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1 +C x−4
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240
CASO III La fracción es propia y en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible Un factor cuadrático irreducible (FCI)es aquel que tiene discriminante negativo. Ejemplos.
Z
x dx (x + 1)(x2 + 9)
Z
x+1 dx (4 − x)(x2 + 2x + 3)
(x2 + 9); F CI(∆ = −36)
(x2 + 2x + 3); F CI(∆ = −8)
En este caso se sigue los mismos pasos que en los anteriores, pero a los factores cuadráticos irreducibles se les asigna una fracción parcial cuyo numerador sea de la forma lineal Ax + B [ o si son varios Cx + D, etc.]. Además, para calcular los valores de A,B ,C ,D etc.; después de efectuar la suma de fracciones algebraicas se agrupan términos para efectuar la comparación de coe cientes. Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales. (1)
Z
x+1 dx x3 + 4x
R/
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1 1 1 x ln | x | − ln | x2 + 4 | + arctan + C 4 8 2 2
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(2)
Z
241
4x + 2 dx (x + 1)(x2 + 1)
SOLUCIÓN: Fracciones parciales: (Bx + C) 4x + 2 A = + (x + 1)(x2 + 1) (x + 1) (x2 + 1) A(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C) 4x + 2 = 2 (x + 1)(x + 1) (x + 1)(x2 + 1) 4x + 2 = A(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C)
Si x = −1 ⇒ −2 = 2A ⇒ A = −1 Comparación de coe cientes: 4x + 2 = −1(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C) 4x + 2 = −x2 − 1 + Bx2 + Bx + Cx + C 4x + 2 = (B − 1)x2 + (B + C)x + (C − 1)
⇒B−1=0∧C −1=2⇒B =1∧C =3
Z
Z
(x + 3) −1 + dx (x + 1) (x2 + 1) Z −1 x 3 = + + 2 dx (x + 1) (x2 + 1) x +1 Z Z Z 1 x 3 =− dx + dx + dx (x + 1) (x2 + 1) x2 + 1 Z Z Z dx 2x dx 1 =− + dx + 3 (x + 1) 2 (x2 + 1) x2 + 1 1 = − ln |x + 1| + ln |x2 + 1| + 3 arctan(x) + c 2
4x + 2 dx = (x + 1)(x2 + 1)
con c constante real arbitraria.
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(3)
Z
242
2x2 + x + 2 dx x3 + 2x
SOLUCIÓN: Z Z 2x2 + x + 2 2x2 + x + 2 dx = dx 3 x + 2x x(x2 + 2) Fracciones parciales:
(Bx + C) A 2x2 + x + 2 = + x(x2 + 2) x (x2 + 2) A(x2 + 2) + x(Bx + C) 2x2 + x + 2 = x(x2 + 2) x(x2 + 2) 2x2 + x + 2 = Ax2 + 2A + Bx2 + Cx 2x2 + x + 2 = (A + B)x2 + Cx + 2A
Al comparar coe cientes, se concluye que A = 1, B = 1 y C = 1. Por lo tanto podemos reescribir la integral de la siguiente manera:
Z
2x2 + x + 2 dx = x(x2 + 2)
Z
(x + 1) 1 + dx x (x2 + 2) Z Z (x + 1) dx = + dx x (x2 + 2) Z Z Z dx x 1 = + dx + dx x (x2 + 2) (x2 + 2) 1 1 x = ln |x| + ln |x2 + 2| + √ · arctan √ + c 2 2 2
con c constante.
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(4)
Z
243
3x2 − x + 1 dx (x + 1)(x2 + 2x + 2)
R/ 5 ln | x + 1 | − ln | x2 + 2x + 2 | −7 arctan(x + 1) + C
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(5)
Z
244
6x2 − 15x + 22 dx (x + 3)(x2 + 4)
R/
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43 33 x 121 ln | x + 3 | − ln | x2 + 4 | − arctan + C 13 26 13 2
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245
CASO IV La fracción es impropia Son aquellas en las que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Para resolverlas hay que efectuar la división polinomial y aplicar el algoritmo D = c + dr donde D es el dividendo, d el divisor, c d el cociente y r el residuo. Ejemplo. Resuelve las siguientes integrales. (1)
Z
2x2 − x + 2 dx 2x − 3
R/
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x2 5 + x + ln |2x − 3| + C 2 2
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(2)
Z
246
x2 + x + 1 dx x2 − x + 1
2 R/ x + ln |x − x + 1| + √ arctan 3 2
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2x − 1 √ 3
+C
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(3)
Z
247
x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3 dx x3 − 2x2 + 3x
R/
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1 x2 + ln |x| − ln |x2 − 2x + 3| + C 2 2
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248
RESUMEN DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES RACIONALES Cuando se tiene la integral de una función RACIONAL, es decir, una expresión de la forma: Z P (x) dx, con P (x) y Q(x) polinomios, Q(x) 6= 0 Q(x) se recomienda seguir el siguiente orden, para determinar el método más conveniente de integración: 1. Veri que si la integral corresponde a un LOGARITMO NATURAL. Recuerde que para eso se explora el uso de la sustitución u = Q(x) y se veri ca si la misma genera la forma Z du = ln |u| + C , con C ∈ R u
2. Veri que si la integral es equivalente a una presenta una de las siguientes situaciones:
a
b
ARCOTANGENTE.
Recuerde que esto se reconoce si se
) Si P (x) = 1 y Q(x) = x2 + a2 , con a ∈ R, es decir, si la integral es de la forma: Z x dx 1 · arctan + C , con C ∈ R = 2 2 x +a a a
) Si P (x) = 1 y Q(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R, y Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que ∆ < 0) es decir, si la integral es de la forma: Z
dx , con a, b, c ∈ R y ∆ = b2 − 4ac < 0 ax2 + bx + c
Recuerde que en este caso, se completan cuadrados en el denominador (recuerde que el término que b2 completa cuadrados se puede obtener con la fórmula TCC = 4a ) entonces la integral puede llegar (mediante una sustitución u conveniente) a la forma de arcotangente: Z u du 1 = + C , con C ∈ R · arctan u2 + a2 a a
3. Veri car si la integral da como resultado LOGARITMO NATURAL + ARCOTANGENTE . Recuerde que esto se da cuando el numerador P (x) es un factor lineal (es decir de grado 1) y el denominador Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que ∆ < 0). Es decir, si la integral tiene la forma: Z mx + k dx, con a, b, c, m, k ∈ R y ∆ = b2 − 4ac < 0 ax2 + bx + c Para resolverla, se deben utilizar métodos algebraicos para descomponer la fracción dada como la suma de dos fracciones, cada una correspondiente con uno de los dos casos anteriores. Luego se separa la integral como suma de dos integrales que ya sabemos resolver.
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249
4. Si la fracción no corresponde a ninguno de los casos anteriores, pero la fracción es propia (esto signi ca que el grado de P (x) es menor que el grado de Q(x)) y además se cumple que Q(x) se puede factorizar, entonces la integral se puede resolver por el método de FRACCIONES PARCIALES, de los casos I, II o III. Recuerde que dichos casos dependen de los factores que se obtengan en el denominador, a saber:
a
b
c
) Caso I: Los factores del denominador son todos lineales y distintos entre sí. Recuerde que en este caso en la suma de fracciones parciales habrá una fracción por cada factor del denominador y los numeradores serán constantes reales que se representarán por incógnitas A, B, C, ....
) Caso II: Los factores del denominador son todos factores lineales pero uno o varios de ellos se repiten. Análogo al anterior, pero para los factores que se repiten se asignarán dos fracciones parciales, una con denominador igual al factor lineal y otra con el factor elevado al exponente dado por la multiplicidad del factor repetido.
) Caso III: Uno de los factores del denominador es un F.C.I. (∆ < 0). Este caso análogo a los anteriores, pera a las fracciones cuyo denominador es el F.C.I., se les asigna como numerador un factor lineal de la forma Ax + B y si es más de uno se continúa con numeradores como Cx + D, etc. En este caso, también es recomendable utilizar la técnica de comparación de coe cientes para calcular los valores de A, B , C , etc.
Una vez que se descompone el integrando en suma de fracciones parciales, se separa la integral de la suma como la suma de varias integrales, las cuales se resuelven por alguno de los tres métodos anteriores (1. LOGARITMO 2. ARCOTANGENTE 3. LOGARITMO + ARCOTANGENTE)
5. Si la fracción es IMPROPIA (caso IV de fracciones parciales), es decir, si el grado de P (x) es mayor o igual al grado de Q(x), entonces se efectúa la DIVISIÓN ALGEBRAICA DE LOS POLINOMIOS. Luego se utiliza el algoritmo de la división (con P (x) como polinomio dividendo, Q(x) como polinomio divisor, c(x) polinomio cociente y r(x) polinomio residuo) , para descomponer la fracción y separar la integral de la siguiente forma: Z Z Z Z r(x) r(x) P (x) dx = c(x) + dx = c(x) dx + dx Q(x) Q(x) Q(x)
La segunda de estas integrales será propia y se podrá resolver por alguno de los métodos anteriores (1. LOGARITMO 2. ARCOTANGENTE 3. LOGARITMO + ARCOTANGENTE 4. FRACCIONES PARCIALES DE LOS CASOS I, II o III)
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250
4.2. Técnica de integración por partes Esta técnica es útil para calcular la integral de ciertos productos.Recuerde que: d [f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Integrando a ambos lados: Z
d [f (x) · g(x)] dx = dx
Z
0 f (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) dx
Y aplicando la naturaleza inversa de la integración con la derivación y las propiedades de las integrales se tiene que: Z f (x) · g(x) =
f 0 (x) · g(x)dx +
Z
f (x) · g 0 (x)dx
Despejando la igualdad anterior se obtiene la siguiente que es la fórmula general de integración por partes: Z
Si
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) −
u = f (x) ⇒ du = f 0 (x)dx
Z
g(x) · f 0 (x)dx
v = g(x) ⇒ dv = g 0 (x)dx Z
tenemos entonces:
Z udv = u · v −
vdu
Para de nir u en la integral se sigue la siguiente prioridad: 1. Inversas trigonométricas. 2.
Logarítmicas.
3.
Algebraicas.
4.
Trigonométricas.
5.
Exponenciales.
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251
Ejemplos. Calcule las siguientes integrales: (1)
Z
x2 · arc sen(x) dx
SOLUCIÓN: Por el Método de Integración por partes dv = x2 dx
u = arc sen(x) du = √
1
1−x2
dx
v=
x3 3
Así: Z
= = = = = = =
x3 − 3
x3 1 ·√ dx 3 1 − x2 Z x3 arc sen(x) 1 x3 √ − dx 3 3 1 − x2 Z 2 x3 arc sen(x) 1 x · x dx √ − ? 3 3 1 − x2 Z (1 − w) x3 arc sen(x) 1 −1 √ − · dw 3 3 2 w Z x3 arc sen(x) 1 1 w + − 1/2 du 3 6 w1/2 w Z x3 arc sen(x) 1 + w−1/2 − w1/2 du 3 6 1/2 x3 arc sen(x) 1 w w3/2 + − 3 +c 1 3 6 2 2 x3 arc sen(x) 2(1 − x2 )3/2 1 2 1/2 + 2(1 − x ) − +c 3 6 3
x2 · arc sen(x) dx = arc sen(x) ·
Z
con c una constante real arbitraria. ? Sustitución simple: w = 1 − x2 dw = −2x dx −dw = x dx 2 despejando la sustitución además se tiene: x2 = 1 − w
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(2)
Z
(3)
Z
(4)
Z
252
R/
x ln x dx
R/
x cos(3x)dx
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x 1 sen(3x) + cos(3x) + C 3 9
R/ e4x
x2 e4x dx
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x2 x2 ln(x) − +C 2 4
x2 x 1 − + 4 8 32
+C
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253
NOTA: La integral de funciones como ln(x) o arctan(x) se calculan por la técnica de partes: Z (5) ln(x) dx R/ x ln(x) − x + C
(6)
Z
(7)
Z
ln(1 + x2 ) dx x2
(8)
Z
ln x dx x2
R/ x arctan(x) −
arctan(x) dx
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R/
ln(x2 + 1) + C
− ln(1 + x2 ) + 2 arctan(x) + C x
R/
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1 2
− ln(x) 1 − +C x x
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254
NOTA (INTEGRALES POR PARTES QUE SON CÍCLICAS): En ocasiones, al aplicar la técnica de integración por partes varias veces en una misma integral (como ya vimos en uno de los ejemplos anteriores) surge nuevamente la integral original con que se empezó el ejercicio. Si esto sucede, decimos que la integral es CÍCLICA y para resolverla hay que plantear una ecuación a partir de la equivalencia entre el primer paso y el último y de ahí despejar el resultado de la integral. Un ejemplo de una integral muy conocida y en la que esto sucede, es la integral de la función sec3 (x), la cual además de resolverse por partes, es cíclica. (9)
Z
sec3 xdx
.
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R/
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sec(x) · tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| +C 2
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(10)
Z
255
ex/2 sen(2x)dx
.
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R/
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2ex/2 (sen(2x) − 4 cos(2x)) +C 17
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256
4.3. Método de sustitución trigonométrica Esta técnica se utiliza en aquellas integrales que presentan un radical (cuadrado) cuyo subradical es un binomio cuadrático. La sustitución es la siguiente: (1) (2) (3)
√ √ √
x2 + b2
Sustitución: x = b tan θ
x2 − b2
Sustitución: x = b sec θ
b2 − x2
Sustitución: x = b sen θ
Ejemplo de Z
SUSTITUCIÓN CON TANGENTE
dx √ x2 x2 + 1
Sustitución trigonométrica x = tan(θ) dx = sec2 (θ) dθ. p p √ x2 + 1 = tan2 (x) + 1 = sec2 (x) = sec(x).
Así:
Z
dx √ = x2 x2 + 1
Z Z
=
sec2 (θ) dθ tan2 (θ) sec(θ) 1 cos(θ) sen2 (θ) cos2 (θ)
dθ
cos2 (θ) dθ sen2 (θ) cos(θ) Z cos(θ) = dθ sen2 (θ) Z cos(θ) 1 = · dθ sen(x) sen(θ) Z = csc(x) · cot(x) dx Z
=
= − csc(θ) + C √ − x2 + 1 = +C x
con C constante. Universidad de Costa Rica
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Z
257
dx √ x x2 + 4
√ 1 x2 + 4 − 2 R/ ln +C 2 x
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Ejemplo de SUSTITUCIÓN Z √ 2 x − 25 dx x
258
CON SECANTE
R/5
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√x2 − 25 5
− arcsec
x +C 5
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Ejemplo de SUSTITUCIÓN Z dx √ x2 9 − x2
259
CON SENO
R/ EJERCICIO. Calcule
Z
√
√ − 9 − x2 +C 9x
x2 dx − 16
x2
√ x√x2 − 16 x + x2 − 16 R/8 + ln +C 16 4
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260
Si la variable x tiene coe ciente real, las sustituciones trigonométricas se pueden replantear así:
(1) (2) (3)
√
√
√
a2 x2 + b2
Sustitución: x =
b tan θ a
a2 x2 − b2
Sustitución: x =
b sec θ a
b2 − a2 x2
Sustitución: x =
b sen θ a
Ejercicio: Z p 4x2 + 9 dx (1)
R/
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√ √ 2 9 2x 4x2 + 9 4x + 9 + 2x + ln +C 4 9 3
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(2)
261
Z √ 9 − 4x2 dx x2
2x √9 − 4x2 + arc sen +C R/ −2 2x 3
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(3)
Z p
262
(ex )2 − 25 dx
SOLUCIÓN: Sustitución: u = ex du = ex dx NOTA: Como u = ex > 0 ∀x ∈ R lo anterior es equivalente a: du = dx ex du u
= dx
Al aplicar la sustitución se obtiene:
Z p
Z √ (ex )2 − 25 dx =
sustitución trigonométrica:
u2 − 25 du, para la cual se plantea la siguiente u
Sustitución trigonométrica: u = 5 sec(θ) du = sec(θ) tan(θ) dx Radical: q p √ u2 − 25 = (5 sec(θ))2 − 25 = 25 sec2 (θ) − 25 = p p 2 25(sec2 (θ) − 1 = 25 tan (θ) = 5 tan(θ)
sec(θ) =
u 5
⇒ θ = arcsec
u 5
Así: Z p Z √ 2 u − 25 (ex )2 − 25 dx = du u Z 5 tan(θ) = 5 sec(θ) tan(θ) dθ 5 sec(θ) Z =5 tan2 (θ) dθ = 5 (tan(θ) − θ) + c √ 2 u u − 25 − arcsec +c = 5 5 5 p x ! (ex )2 − 25 e +c =5 − arcsec 5 5
con c una constante real arbitraria.
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263
En ciertas integrales para aplicar la sustitución trigonométrica es necesario completar cuadrados en el polinomio cuadrático del subradical. Recuerde que para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el térb2 mino dado por TCC = 4a Z x (1) √ 2 dx x + 4x + 8
R/ 2
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p(x + 2)2 + 4
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2
p(x + 2)2 + 4 + x + 2 − ln +C 2
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(2)
Z
264
dx (−x2
3
+ 6x + 5) 2
R/
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1 x−3 p +C 14 14 − (x − 3)2
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(3)
Z
265
dx (x2
3
− 4x) 2
−(x − 2) R/ p +C 4 (x − 2)2 − 4
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266
4.4. Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio Para resolver ciertas integrales (en las que aparecen por ejemplo funciones trignométicas), en ocasiones se puede utilizar alguna sustitución particular, para transformar la integral en una de otro tipo (por ejemplo en una integral en la que sólo hayan funciones algebraicas). Un caso en el que se aprecia esto, es la sustitución de la tangente del ángulo medio u = tan x2 , que permite resolver aquellas integrales en las que al cambiar las funciones sen(x) o cos(x), generan una fracción racional. Para esta sustitución, para la que además se cumplen las siguientes relaciones:
u = tan
x 2
cos x =
1 − u2 1 + u2
sen x =
2u 1 + u2
dx =
2 du 1 + u2
Ejemplos: (1)
Z
dx 1 + sen x − cos x
x x R/ ln tan + 1 +C − ln tan 2 2
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(2)
Z
267
1 dx 1 + sen x
R/
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−2 x +C tan +1 2
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Calcule las siguientes integrales inde nidas:
268
PRÁCTICA 25
(1)
R
(cot x)ln(sen x)dx
R/
(ln(sen x))2 +C 2
(2)
R
x cos(2πx2 ))dx
R/
1 sen(2πx2 ) + C 4π
(3)
R
(e2 π + sen(−πx) −
(4)
Z h
(e−3 + lnπ −
√
1 − 2x + xe−1 )dx
π 1 i √ 5 x 2 dx 1 − x + sec 4
R/ (e2 πx +
3 1 1 xe cos(−πx) + (1 − 2x) 2 + +C π 3 e
R/ (e−3 + lnπ)x +
(5)
R
√ x2 1 − xdx
R/
(6)
R
x3 sen (4x) dx
R/ −1 x3 cos(4x) + 4
3 5 7 4 2 −2 (1 − x) 2 + (1 − x) 2 − (1 − x) 2 + C 3 5 7
3 − 128 sen(4x)
ln(2x) dx x2 √ √ Z sen x cos x √ (8) dx x Z 3x − 1 dx (9) 2x2 − 2x + 5 Z
(7)
(10)
R
x3 cos(−4x)dx
R/
Z
(12)
lnx √ dx x x
Z h
i x + e−2x sen(−3x) dx 1+x
R √ (13) ( e−a + xπ − cos(ln3) − 4 3 − 2x )dx Z (14)
2−x dx 4x2 − 4x + 3
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3 2 x sen(4x) 16
+
3 x 32
R/ sen2
+C
√
x+C
R/
1 3 2 ln 2x − 2x + 5 + arctan 4 6
R/
−1 3 x 4
R/
cos(4x)
−ln(2x) 1 − +C x x
sen(−4x) +
3 − 128 cos(−4x)
(11)
√ 6 5 2 2 32 (1 − x) 5 + x 6 3
3 2 x 16
2x − 1 3
cos(−4x) +
3 x 32
+C
sen(−4x)
+C
−2lnx − 4 √ +C x
R/ x-ln|x+1| −
2 −2x 3 e sen(−3x) + e−2x cos(−3x) + C 13 13
5 xπ+1 2 − cos(ln3)x + (3 − 2x) 4 + C π+1 5 3 2x − 1 1 √ R/ √ arctan − ln|4x2 − 4x + 3| + C 8 4 2 2
R/ e−a x +
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(15)
Z √ 3 1 + lnx dx x
(16)
R
Z (17)
(18)
R
Z (19)
(20)
R
Z (21)
R/
4 3 (1 + lnx) 3 + C 4
√ 3 x + 2dx
R/
4 10 7 12 3 (x + 2) 3 − (x + 2) 3 + 3(x + 2) 3 + C 10 7
e−x dx (1 + e−x )2
R/
1 +C 1 + e−x
x2
ln2 x dx
x dx 16x2 + 8x + 10
sen(x)ln(cos(x))dx
3x √ dx 3 2x2 + 3
R (22) (5ax4 + sen(−π) + e−3 − xln5)dx
(23)
R
e−2x cos(−2x)dx
Z
2x + 2 dx x2 + x + 1
(24)
(25)
R
Z (26)
√
R/ xln2 x − 2xlnx + 2x + C
R/
(4x + 1) 1 1 ln|16x2 + 8x + 10| − arctan +C 32 48 3
R/ − cos(x)ln(cos x) + cos(x) + C
R/
2 9 (2x2 + 3) 3 + C 8
R/ ax5 + (sen(−π) + e−3 )x −
2 R/ ln|x2 + x + 1| + √ arctan 3 x4 x4 lnx − +C 4 16
1 dx 9x2 + 6x − 8
R/
1 3x + 1 ln + 3 3
9x2 − 4 dx x
R/ 2
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ln5 2 x +C 2
−1 −2x 1 e cos(−2x) − e−2x sen(−2x) + C 4 4
R/
x3 lnx dx
Z √ (27)
269
2x + 1 √ 3
+C
√ 9x2 + 6x − 8 +C 3
√ 2 9x − 4 3x − arcsec +C 2 2
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3x3 + 2x2 + x − 3 dx x2 − 1
R/
Z
2x2 − x + 4 dx x3 + 4x
R/ ln|x| +
Z
3x + 4 dx x3 − 2x − 4
R/ln|x − 2| −
Z (28)
(29)
(30)
(31)
3 2 3 5 x + 2x + ln|x − 1| + ln|x + 1| + C 2 2 2
x 1 1 ln|x2 + 4| − arctan +C 2 2 2 1 ln|x2 + 2x + 2| + C 2
Z √ 9 − 4x2 dx x
√ 3 − 9 − 4x2 p R/ 3ln + 9 − 4x2 + C 2x
Z
dx √ 10 − 6x + x2
p R/ ln x2 − 6x + 10 + x − 3 + C
Z
x4 − 2x3 + 3x2 − x + 3 dx x3 − 2x2 + 3x
R/
x2 2
dx √ 4x2 + 1
R/
p 1 ln(2x + 4x2 + 1) + C 2
x3 + x2 + x − 5 dx x2 + 2x + 4
R/
x2 1 − x − ln|x2 + 2x + 4| + C 2 2
x3 + x2 + x − 1 dx x2 + 2x + 4
R/
x + 1 x2 1 4 − x − ln|x2 + 2x + 4| + √ arctan √ +C 2 2 3 3
dx sen x − 2 cos x − 1
R/
x x −1 1 ln tan + 3 + ln tan − 1 + C 2 2 2 2
dx 1 + cos x
R/ tan
dx 1 + sen x
R/
1 dθ 1 + sen θ + cos θ
θ R/ ln tan + 1 + C 2
(32)
(33)
Z (34)
Z (35)
Z (36)
Z (37)
Z (38)
Z (39)
Z (40)
270
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+ ln|x| −
x 2
1 ln|x2 − 2x + 3| + C 2
+C
−2 x +C tan +1 2
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Capítulo 5
La integral de nida (el área bajo una curva) 5.1. Concepto de integral de nida Supongamos que se desea conocer el área de la región limitada por una función, de nida en un intervalo cerrado [a,b]. Para ello podemos efectuar una partición arbitraria en el intervalo para de nir rectángulos y así aproximar dicha área. a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b De nimos ∆xi como el ancho del i-ésimo intervalo.
Si ci es cualquier punto del i-ésimo intervalo se puede tomar como altura del rectángulo para ese intervalo a f (ci ). Así que el área de cada rectángulo es Ai = ∆xi f (ci ). Así, en caso de querer aproximar el área de la región del plano limitado por las rectas verticales x = a, x = b , el eje X y la grá ca de f, basta sumar todas las áreas de los rectángulos, a saber. A = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + f (c3 )∆x3 + f (c4 )∆x4 + ... + f (cn−1 )∆xn−1 + f (cn )∆xn n X A= f (ci )∆xi i=1
Como veremos en la siguiente de nición la expresión anterior es una suma de Riemann
271
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272
DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN
Sea f de nida en un intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una partición arbitraria de [a,b], a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b donde ∆xi como es la anchura del i-ésimo intervalo. Si ci es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la suma: n X f (ci )∆xi , con xi−1 ≤ ci ≤ xi se llama una
i=1
suma de Riemann de f asociada a la partición ∆
Ahora bien para una partición dada ∆, llamamos norma de la partición a la longitud del subintervalo más largo, y la denominamos k∆k. Si todos los subintervalos son de igual longitud la partición es regular y denotamos b−a la norma por: k∆k = ∆x = n
Por lo tanto podemos ver que el número de subintervalos de la partición tiende a in nito cuando la norma de la partición tiende a cero, es decir, k∆k → 0 implica n→ +∞. Para de nir la integral de nida usamos el limite siguiente: n X l´ım f (ci )∆xi =L k∆k→0
o su forma equivalente: l´ım
n→∞
i=1
n X
f (ci )∆xi =L
i=1
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Si f está de nida en el intervalo [a,b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces decimos que f es integrable en [a,b] y denotamos este límite mediante. Z b n X f (x)dx = l´ım f (ci )∆xi a
n→+∞
i=1
Llamamos integral de nida de f entre a y b al valor de este limite. el número a es el lmite inferior de integración y el número b es el limite superior de integración.
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273
Nota: Las integrales de nidas y las inde nidas son entidades diferentes. Una integral de nida es un número, mientras que una integral inde nida es una familia de funciones. Sin embargo, existe una relación entre ambas que se analizará cuando lleguemos al Teorema Fundamental del Cálculo.
La integral de nida corresponde al valor exacto del área bajo la curva, pues corresponde al límite cuando la cantidad de subintervaloe ( n ) tiende a in nito en la suma de Riemann. Lo anterior se puede apreciar en las siguientes guras en las que se aprecian las aproximaciones por medio de sumas superiores e inferiores de Riemann. En la segunda y tercer guras se aprecia que, conforme se incrementa el valor de n, las aproximaciones son mejores, por lo que se puede deducir que cuando n → ∞ la integral de nida (que corresponde al valor del límite) ya no es tan sólo una aproximación, sino el valor exacto del área.
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5.2. Algunas propiedades de la integral de nida 1. Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces f es integrable en [a, b]. 2. La integral de nida como área de una región:Si f es continua, no negativa, en el intervalo [a, b] entonces el área de la región limitada por la grá ca de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por la integral: área =
b
Z
f (x) dx a
Ejemplo: Para la función f (x) = 4x − x2 el área de la región limitada por la grpa ca de f , el eje X y las rectas verticales x = 1 yx = 3 (sombreada en la gura), viene dada por la integral: Z 3 área= (4x − x2 )dx 1
3.
a
Z
f (x)dx = 0 a
4. Si f es integrable en [a,b], entonces
b
Z
Z f (x)dx = −
a
a
f (x)dx b
5. Si f es integrable en [a,b] y k es una constante se cumple que
b
Z
b
Z k f (x)dx = k
a
f (x)dx a
6. Si f y g son integrables en [a, b] se cumple que Z b Z b Z b [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx a
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a
a
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7. Si f es integrable en [a, b] y c ∈ [a, b] y además f es integrable en [a, c] y [c, b] entonces se cumple que Z
b
c
Z
b
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
a
a
f (x)dx c
Por ejemplo, observe el grá co que se le da a continuación, en el cual se aprecia una función f (x) continua en el intervalo [1, 7], el área sombreada corresponde a: Z 7 AT = f (x) dx 1
Pero como 3 ∈ [1, 7], se cumple que 3
Z A1 =
f (x) dx 1 7
Z
f (x) dx
A2 = 3
y como AT = A1 + A2 se tiene que 7
Z
3
Z f (x) dx =
1
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7
Z f (x) dx +
1
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f (x) dx 3
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276
8. Si se tiene una función f de nida en un intervalo [a, b] en el que f (x) < 0 (es decir f es negativa), al calcular el área limitada por la curva, el eje X y las rectas x = a y x = b, dará como resultado un valor negativo. Por ejemplo, a continuación se le da la grá ca de la función f (x) la cual es negativa en el intervalo [3, 6]. Más adelante aprenderemos como calcular el área sombreada y veremos que: 6
Z
f (x) dx = −13,5 3
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277
5.3. Propiedades y fórmulas de las sumatorias Antes de resolver integrales de nidas mediante sumas de Riemann, es preciso estudiar algunas propiedades de las sumatorias.
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA 1.
n X
k ai = k
i=1
2.
n X
FÓRMULAS DE SUMA 1.
ai con k constante
i=1
i=1
c = cn (c constante real)
i=1
n n n X X X (ai ± bi ) = ai ± bi i=1
n X
2.
i=1
n X
i=
i=1
3.
n X
i2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
i3 =
n2 (n + 1)2 4
i=1
4.
n X
n(n + 1) 2
i=1
Ejemplos: (a)
19 X
4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 19 · 4 = 76
i=1
(b)
200 X
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 198 + 199 + 200 =
i=1
(c)
14 X
i2 = 12 + 22 + 32 + ..,122 + 132 + 142 =
i=1
200(200 + 1) = 20100 2
14(14 + 1)(2 · 14 + 1) = 1015 6
20 20 20 20 20 20 20 20 20 X X X X X X X X X (d) (2i3 − 5i2 + 7i − 4) = 2i3 − 5i2 + 7i − 4=2 i3 − 5 i2 + 7 i− 4 i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
202 (20 + 1)2 20(20 + 1)(2 · 20 + 1) 20(20 + 1) =2· −5· +7· − 4 · 20 = 74240 4 6 2
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5.4. Cálculo de integrales de nidas mediante sumas de Riemann Recuerde que: b
Z
f (x)dx = l´ım
n→∞
a
n X
∆xf (ci )
i=1
b−a n Ahora bien, al calcular el límite de la suma de Riemann, la escogenca de ci puede hacerse, utilizando los extremos (izquierdo o derecho del subintervalo) u otro punto del mismo, que incluso podría ser el punto medio. Como se trata de un límite, independientemente de dicha escogencia, el valor del área será el mismo. Así que, si se quiere, podemos utilizar como ci el extremo derecho de cada subintervalo, que tendrá siempre la siguiente forma: ci = a + ∆x · i. EJEMPLOS: (1) Considere la función dada por f (x) = sen x2 cuya grá ca se le da a continuación. Mediante una partición en tres subintervalos del mismo ancho, aproxime el área limitada por la grá ca de f , el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = π (área sombreada en la gura).
Así mismo, si la partición es regular, ∆x =
SOLUCIÓN: (Usando como ci el punto medio de cada sub-intervalo). π−0 π = 3 3
∆x =
Partición
ci
x0 = 0 x1 = π3 x2 =
c1 =
2π 3
x3 = π
área (aprox.) =
3 X i=1
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π f (c1 ) = sen 26 = sen π f (c2 ) = sen 22 = sen 5π f (c3 ) = sen 26 = sen
π 6
c2 =
π 2
c3 =
5π 6
f (ci )∆x =
f (ci )
3 X i=1
f (ci )
π 12 π 4
5π 12
3 π π π πX π 5π = f (ci ) = sen + sen + sen ≈ 2, 023 3 3 i=1 3 12 4 12
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279
NOTA: Si para resolver el ejercicio no se utiliza el punto medio de cada subintervalo, y se trabaja con sumas superiores o inferiores, dependiendo si usa el extremo derecho o izquierdo de cada subintervalo respectivamente, se puede llegar también a las siguientes aproximaciones: Usando el extremo derecho el área aproximada es de 2,4777 unidades cuadradas. Usando el extremo izquierdo el área aproximada es de 1,4302 unidades cuadradas. A continuación se representa grá camente la aproximación que se utilizó en este caso.
(2) Calcule las siguientes integrales de nidas mediante el límite de una suma de Riemann. (a)
Z
1
R/3
x2 dx −2
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(b)
Z
280
1
R/
x3 dx −2
−15 4
utilizando el límite de la suma de Riemann correspondiente,
(c) Si a es una constante real, demuestre, Z a+1 1 que x dx = a + . 2 a SOLUCIÓN: ∆x =
a+1−a 1 = n n
ci = a +
1 n
i=a+
f (ci ) = ci = a +
i n
i n
a+1
Z
x dx = l´ım a
x→+∞
= l´ım
x→+∞
= l´ım
x→+∞
n X
f (ci )∆x
i=1 n X
a+
i=1 n X a i=1
n
+
i n
i n2
1 n
n n X a X i + n i=1 n2 i=1
= l´ım
x→+∞
!
1 n(n + 1) a ·n+ 2 · x→+∞ n n 2 1 = l´ım a+ · (n + 1) x→+∞ 2n 1 1 = l´ım a+ + x→+∞ 2 2n 1 =a+ 2
= l´ım
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281
(3) Planteé la integral que permite calcular el valor exacto del área de la región limitada por la grá ca de la función f (x) = 6x2 − 2x + 5, el eje X, y las rectas verticales x = 1 y x = 3. Luego calcule esa integral mediante sumas de Riemann. R/54 unidades cuadradas
(4) A continuación se le da la grá ca de la función 16 − 4x2 . Calcule planteando una integral de nida y calculándola mediante sumas de Riemann, el valor exacto del área de la región sombreada. . R/36 unidades cuadradas
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(5) Demuestre
a
)
b
Z
utilizando la de nición de integral de nida
282
(es decir, mediante Sumas de Riemann) que:
c dx = c(b − a); con a < b, a, b, c ∈ R
a
b
)
b
Z a
c
)
b
Z f (x) − g(x) dx = a
b
Z
x dx = a
b2 − a2 ; 2
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Z f (x) dx −
b
g(x) dx; con a < b, a, b ∈ R, f y g integrables en [a, b].
a
con a < b, a, b ∈ R
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283
PRÁCTICA 26 1. Usando Sumas de Riemann, calcule la integral de nida
2
Z
(10x − x2 ) dx 1
38 3 2. Utilice Sumas de Riemann para calcular la siguiente Z 2 integral de nida: x2 − 6x dx
R/
0
.
R/
−28 3
3. Utilice Sumas de Riemann para calcular la siguiente integral de nida: Z 1 2 3x + 4x + 1 dx 0
. 4.
R/ 4
(a) Utilice una partición del intervalo [0,2] en cuatro subintervalos del mismo ancho, para aproximar la siguiente integral de nida, mediante sumas superiores: Z 2
4x2 + 1 dx
0
(b) Como usted sabe, la integral
Z
2
4x2 + 1 dx representa una cierta área. Dibuje la grá ca de la función
0
y = 4x2 + 1 e indique (sombreado) cuál es el área que se está aproximando en el ejercicio (a).
R/ (a) La aproximación del área con cuatro rectángulos es A ≈ 17(Unidades cuadradas)
(b)
5. Utilice una partición del intervalo [0, π], en tres subintervalos del mismo ancho, para aproximar el área 1 contenida entre la grá ca de la función f (x) = sen x , el eje X y la recta x = π , utilizando como ci los 2 puntos medios de cada sub-intervalo. Efectúe un grá co de la rigión calculada. π π 5π R/ área aproximada: A≈ π3 sen + sen + sen ≈ 2, 023 12 4 12 (b)
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5.5. El Teorema Fundamental del Cálculo Ya hemos estudiado la integral de nida utilizando sumas de Riemann. Sin embargo, veremos como el siguiente teorema, nos permite calcular la integral de nida sin recurrir a estas sumas. Este teorema es de suma importancia, ya que relaciona las dos operaciones fundamentales del cálculo: La derivación y la integración. En otras palabras, este teorema relaciona los dos problemas principales que hemos abordado en nuestro cálculo: el problema de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto (con el que introducimos al cálculo diferencial) y el problema del área bajo una curva (aborde mediante el cálculo integral).
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces Rb f (x)dx = F (b) − F (a) a donde F es cualquier función tal que F 0 (x) = f (x) para todo x en [a,b] Notas: 1- Si es posible calcular la integral inde nida de f, podemos encontrar la integral de nida sin tener que usar el límite de la suma de Riemann 2- Al aplicar el Teorema Fundamental delR Cálculo es conveniente usar la notación b f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a 3- Observemos que la constante de integración C puede ser eliminada de la integral inde nida para calcular la R b de nida, ya que: f (x)dx = [F (x) + C]ba = [F (b) + C] − [F (a) + C] = F (b)+ 6 C − F (a)− 6 C = F (b) − F (a) a EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS USANDO EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1. Calcule
R3 1
x3 dx e interprete grá camente el resultado obtenido.
Solución: 4 3 Z 3 x x3 dx = 4 1 1 34 14 = − 4 4 81 1 = − 4 4 = 20 INTERPRETACIÓN GRÁFICA: El área EXACTA de la región limitada por la función f (x) = x3 , el eje X y las rectas x = 1 y x = 3 es de 20 unidades cuadradas. 2. Calcule
R2 1
(x2 − 3)dx
Solución: 3 2 Z 2 x (x2 − 3) dx = − 3x 3 1 1 3 23 1 = −3·2 − −3·1 3 3 8 1 = −6 − 3 −3 3 −10 −8 = − 3 3 −2 = 3
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3. Calcule
Z
4
285
√ 3 xdx
1
Solución: 4
√ 3 xdx = Z 4 √ =3 xdx "1 3 #4 x2 =3 3
Z
1
2
1 # 4 3 2x 2 =3 3 1 3 3 2 2 2 2 =3 ·4 ·1 − 3 3 2 = 3 · [(8) − (1)] 3 = 2 · 7 = 14 = 14
"
4. Hallar el área de la región limitada por la grá ca de f (x) = 2x2 − 3x + 2, el eje X y las lineas verticales x = 0 y x = 2. Elabore un bosquejo de la región calculada.
Solución
Z 2 área= (2x2 − 3x + 2)dx 2 30 3x2 2x − + 2x = 3 2 0 3 2·2 2 · 03 3 · 22 3 · 02 = − +2·2 − − +2·0 2 3 2 3 10 = − (0) 3 10 = 3
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5. Calcule
R2 0
286
| 2x − 1 |dx e interprete grá camente el resultado obtenido.
Solución Análisis del valor absoluto 1 2x − 1, si 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 | 2x − 1 |= −(2x − 1), si 2x − 1 < 0 ⇒ x <
Dado que
1 ∈ [0, 2] podemos reexpresar la integral en dos partes de la siguiente forma: 2
2
Z
| 2x − 1 | dx = 0
1 2
Z −
1 2
1 2
R
0
Z 1 2
R2 1 2
(2x − 1) dx
2
(2x − 1) dx +
0
−(2x − 1) dx +
(2x − 1) dx 1 2
= −[x2 − x]0 + [x2 − x]21 2 " ! # " 2 1 1 2 =− − − (0 − 0) + (22 − 2) − 2 2 −1 −1 =− − (0) + (2) − 4 4 1 9 = + 4 4 5 = 2
Grá camente, el área sombreada es
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2 !# 1 1 − 2 2
5 : 2
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5.6. El método de sustitución con integrales de nidas El método de cambio de variable que estudiamos para integrales inde nidas, se puede aplicar en integrales de nidas. Sin embargo, hay que tener cuidado con los límites de integración. Si la integral de nida se calcula a partir de la inde nida y en el cálculo de la inde nida se deshace el cambio de variable se usan los límites de integración originales. Sin embargo, si se mantiene la nueva variable a la hora de aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso rede nir los límites de integración, sustituyéndolos en el cambio de variable aplicado.
Ejemplos. 1) Calcular
Z
1
x(x2 + 1)3 dx
0
Método 1. Resolver la integral inde nida. Se calcula mediante sustitución
Z
x(x2 + 1)3 dx
Sustitución u = x2 + 1 du = 2x dx du = x dx 2
Así
Z
x(x2 + 1)3 dx = Z
du (u)3 = 2 Z 1 u3 du = 2 u4 1 · +C = 2 4 u4 +C = 8 (x2 + 1)4 +C 8
Se utiliza este resultado en la integral de nida: 1
Z
x(x2 + 1)3 dx = 2 1 (x + 1)4 = 8 0 2 (1 + 1)4 (02 + 1)4 − = 8 8 1 2− = 8 15 8 0
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Método 2.R Efectuar directamente la sustitución en la integral de nida (cambiando límites) 1 Calcular 0 x(x2 + 1)3 dx
Sustitución u = x2 + 1 du = 2x dx du = x dx 2
Límites de integración u = 12 + 1 = 2 u = 02 + 1 = 1
1
Z
x(x2 + 1)3 dx = 0
(u)3 1
1 2
=
=
du 2
2
Z
u3 du 1
2 1 u4 2 4 1
=
1 24 14 − 2 4 4
=
1 1 4− 2 4
=
1 15 2 4 =
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2
Z
15 8
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2) Calcular
Z 1
5
√
289
x dx 2x − 1
Solución:
Sustitución u+1 u = 2x − 1 ⇒ =x 2 du 2
du = 2dx ⇒
= dx
Límites de integración u=2·5−1=9 u=2·1−1=1
5
Z
√ 1
x dx = 2x − 1
=
=
1 4
Z
1 4
Z
=
1 4
−1 2
u
·
du 2
du
1 9
1
(u 2 + u
−1 2
) du
1
"
3
u2 3 2
1
+
u2 1 2
#9 1
9 1 1 2 32 u + 2u 2 4 3 1
−
3 1 2 · 12 + 2 · 12 3
1 8 (24) − 4 3 =
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1
(u + 1)u
3 1 2 · 92 + 2 · 92 3
=
√
9
1 = 4
=
9 u+1 2
Z
16 3
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3) Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral de nida Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral Solución. Análisis del valor absoluto. x2 − x − 2, si x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 | x2 −x−2 |=| (x+1)(x−2) |= −(x2 − x − 2), si − 1 < x < 2
290
R4 −1
| x2 − x − 2 |dx
ceros de | (x + 1)(x − 2) |⇒ x = −1 x = 2
Cálculo de la integral R4 R2 R4 | x2 − x − 2 | dx= −1 | x2 − x − 2 | dx + 2 | x2 − x − 2 | dx R 2−1 R 4 = −1 −(x2 − x − 2) dx + 2 (x2 − x − 2) dx R2 2 R4 2 = − −1 (x − x − 2) dx + 2 (x − x − 2) dx 3 2 4 3 x x2 x2 x + − − 2x − − 2x =− 3 2 3 2 2 3 −1 3 3 3 2 (−1) (−1)2 2 4 2 2 42 22 =− − −2·2 − − − 2 · −1 + − −2·4 − − −2·2 3 2 3 2 3 2 3 2 7 16 −10 −10 − + − =− 3 6 3 3 =
79 6
El área de la región es
79 unidades cuadradas. 6
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291
4) En la grá ca adjunta aparece destacada el área limitada por la función f (x) = y = 0, x =
1 2
y x=
√
3 . 2
2 arctan(2x) y las rectas 4x2 + 1
Determine el valor exacto del área resaltada.
SOLUCIÓN: Sea A el área buscada: √
3 2
Z A= 1 2
√
3 2
Z A= 1 2
√
Z
3
A= 1
2 arctan(2x) dx 4x2 + 1
√
Z
2 arctan(2x) dx (2x)2 + 1 arctan(u) du u2 + 1
3
arctan(u) ·
A= 1
Z A=
π 3
w dw
[?]
1 du u2 + 1
[? ?]
π 4
A=
A=
π w2 3 2 π 4 π 2 3
2 7π 2 A= 288
−
π 2 4 2
En el paso señalado con [?] se aplicó la sustitución: Sustitución 1: u = 2x du = 2 dx Límites de integración: √ √ Superior: u = 2 · 23 = 3 Inferior: u = 2 · 21 = 1 En el paso señalado con [? ?] se aplicó la sustitución: Sustitución 2: w = arctan(u) dw = u21+1 du Límites de integración:√ Superior: w = arctan( 3) = π3 Inferior: w = arctan(1) = π4
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Veamos algunos ejemplos de integrales de nidas en las que aparecen funciones trigonométricas en las que se puede aplicar el Método de Sustitución. √ Z π 2 2x 3 3 cos 5) Calcule dx R/ 3 4 0
Z 2π x dx 6) π 3 sec2 2 2
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√ R/ 2 3 − 2
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7)
π 4
Z
R/
sen2 (x) cos3 (x) dx
0
8)
Z
5π 12
√ 7 2 120
R/ 0
sec4 (3x) tan3 (3x)dx
π 12
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5.7. El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Supongamos que de nimos el límite superior de integración x, mientras que la integral de nida está de nida con respecto a otra variable. A saber, la siguiente situación:
Ejemplos. Sea F (x) =
Rx 2
(3 − 3t2 )dt. Hallar la función F(x) y calcular
d [F (x)] dx
TEOREMA.(SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO)
Si f es continua en un intervalo abierto l que contiene al número a, para todo x del intervalo se cumple
d dx
Z
x
f (t)dt = f (x)
a
NOTA: A partir del teorema anterior ( y bajo las mismas hipótesis), podemos generalizar: d 1. dx
"Z
d dx
"Z
2.
α(x)
# f (t)dt = f (α(x)) · α0 (x)
[α(x) derivable]
a β(x)
# f (t)dt = f (β(x)) · β 0 (x) − f (α(x)) · α0 (x)
[α(x) y β(x) derivables ]
α(x)
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Ejemplos: 1) Calcular
d dx
2) Sea f (x) =
x
Z
Z
p t2 + 1dt
0
1 1−3x
u3 du. Calcule f 0 (x) u2 + 1
3) Calcule la derivada de F (x) =
p
√ 3
Z x2 − 1 + 1
4) Calcule la derivada de F (x) =
x2
Z
x2
1 dt ln(1 + t)
(x > 1)
2
e−t dt
2x
√
5) Calcule la derivada f (x) =
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Z 1 x
x
cos(t2 )dt
( x > 0)
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6) Considere la función dada por f (x) = x4 + Determine f (x) (no es necesario simpli car) 0
Z
ln(x) 5x
296
t2 2 t +1
dt,
(x > 0).
SOLUCIÓN: Se aplica la regla de la derivada de la suma de funciones:
"Z # ln(x) t2 d 4 d f (x) = x + dt (?) dx dx 5x t2 + 1 (ln(x))2 (5x)2 1 · · 5 f 0 (x) = 4x3 + − (ln(x))2 + 1 x (5x)2 + 1 0
? NOTA: La segunda integral en el paso señalado se puede calcular utilizando el segundo teorema fundat2 mental del cálculo, porque cumple las hipótesis de dicho teorema, ya que 2 es continua para todo t +1 t ∈ R por ser una función racional cuyo denominador nunca se vuelve cero. Además las funciones en los límites de integración, a saber, ln(x) y 5x son ambas derivables ∀x > 0, pues sus derivadas ambas están bien de nidas en el intervalo ]0, +∞[.
7) Considere las funciones g y h, las cuales son derivables y están de nidas de la siguiente forma: Z g(x) =
x
Z p(t)dt
0
g(x)
2f (t)dt 0
Además p(0) = 9 y f (0) = 7. Calcule h 0 (0).
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h(x) =
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R/126
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297
8) Considere la función F : [0, +∞[→ R dada por F (x) =
Z
2x x
F 0 (c) = 0.
9) Considere la función dada por F (x) = cuáles es decreciente. .
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x2
Z
2
e−t dt. Calcule el valor de c ∈ R para el cual q R/ ln(2) 3
p 1 + t2 dt. Determine en cuáles intervalos F es creciente y en
0
R/ F es creciente en ]0, +∞[, decreciente en ] − ∞, 0[
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10) Considere la función continua f : R → R, para la cual f (2) = 0 y además se cumple que Z
−1
f (t)dt = 3ex 2x
Z
x2
2t +
x4
f (t) − 1 dt 3
.Calcule f (1) SOLUCIÓN: Se deriva a ambos lados Z−1 Zx2 f (t) d d x − 1 dt f (t) dt = 2t + 3e dx dx 3
x4
2x
−1 Z d La derivada del término del lado izquierdo se calcula directamente así: f (t) dt = −2 · f (2x) dx 2x
La derivada del término del lado derecho, por tratarse de la derivada de una multiplicación es: Zx2 f (t) d x 2t + − 1 dt 3e dx 3 x4 2
= 3ex
Zx f (t) f (x2 ) f (x4 ) 2t + − 1 dt + 3ex 2x2 + − 1 2x − 2x4 + − 1 4x3 3 3 3
x4
Se evalúa cada derivada con x = 1 y f (2) = 0, y se resuelve igualan nuevamente los resultados, para obtener la siguiente ecuación: 1 1 1 1 0 = 3e · 0 + 3e 2 + f (1) − 1 2 − 2 + f (1) − 1 4 3 3 2 0 = 3e(−2 − f (1)) 3 f (1) = −3
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299
5.8. Aplicación: El área de la región limitada entre dos curvas Teorema. Si f y g son continuas en [a, b] y f (x) ≥ g(x) para toda x en [a,b], entonces el área de la región limitada por las grá cas de f y g y las lineas verticales x = a yx = b es
A=
b
Z
[ f (x) − g(x) ] dx a
En general, podemos a rmar que Si f y g son continuas en [a, b] el área de la región limitada por las grá cas de f y g y las lineas verticales x = a yx = b es A=
b
Z
| f (x) − g(x) | dx a
Note que f y g no necesariamente deben ser positivas en todo el intervalo [a, b] para poder calcular el área de la región entre ellas. Si se usa como integrado [f (x) − g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y f (x) ≥ g(x) para todo x en [a, b], el valor del área será positivo. Por lo tanto f y g pueden estar ubicadas de cualquier manera con respecto al eje X . Así mismo, en el caso de funciones que se intersecan en más de un punto, es posible calcular el área entre las dos curvas.
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300
Por ejemplo, considere las grá cas de las siguientes funciones:
Nota: Para encontrar los puntos de intersección entre f y g se igualan las fórmulas y se despeja. Para veri car en qué intervalo es f mayor que g (o viceversa ) se resuelve la desigualdad f (x) ≥ g(x), o se puede efectuar un trazo aproximado de las curvas. EJEMPLOS: 1. Hallar el área de la región limitada por las grá cas de f (x) = 2 − x2 y g(x) = x. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución: Veri que si las grá cas se intersecan o no. Igualamos las fórmulas: x = 2 − x2 x2 + x − 2 = 0 ⇒ x1 = −2 ∨ x2 = 1 (las grá cas se intersecan en x=-2 y x=1) Por lo tanto a=-2 y b=1
Veri quemos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x)−g(x) > 0 para compararlas en el intervalo [-2, 1]) (2 − x2 ) − (x) > 0 2 − x − x2 > 0 (2 + x)(1 − x) > 0
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301
Trazo de las curvas y la región.
Calculemos el área de la región señalada. R1 R1 área= −2 [f (x) − g(x)]dx = −2 [(2 − x2 ) − (x)]dx R1 = −2 [(2 − x − x2 )]dx 1 x2 x3 = 2x − − 2 3 −2 (−2)2 (−2)3 12 13 = 2·1− − − 2 · −2 − − 3 2 3 2 −10 7 9 − = = 6 3 2
2. Calcular el área de la región comprendida entre las grá cas f (x) = 3x3 − x2 − 10x y g(x) = −x2 + 2x. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución : Veri que si las siguientes grá cas se intersecan o no: Igualmos las fórmulas: 3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x 3x3 − 12x = 0 3x(x2 − 4) = 0 3x(x + 2)(x − 2) = 0 ⇒ 3x = 0 ∨ x + 2 = 0 ∨ x − 2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −2 ∨ x = 2 Entonces las dos grá cas se intersecan en -2,0 y 2. Por lo tanto a=-2 y b=2 Veri camos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x) − g(x) > 0 para comparar en los intervalos [-2,0] y [0,2]) (3x3 − x2 − 10x) − (−x2 + 2x) > 0 3x3 − x2 − 10x + x2 − 2x > 0 3x3 − 12x > 0 3x(x + 2)(x − 2) > 0
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Trazo de las grá cas (en el caso de f por ser cúbica hay que efectuar al menos los elementos más importantes del análisis para trazarla):
Cálculo R 0del área: R2 área= −2 [f (x) − g(x)]dx + 0 [g(x) − f (x)]dx R0 R2 = −2 [(3x3 − x2 − 10x) − (−x2 + 2x)]dx + 0 [(−x2 + 2x) − (3x3 − x2 − 10x)]dx R0 R 2 = −2 [3x3 − 12x]dx + 0 [−3x3 + 12x]dx 0 2 4 −3x4 3x − 6x2 + + 6x2 = 4 4 −2 0 = (0 − 0) − (12 − 24) + (−12 + 24) − (0 + 0) = 24
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3. Hallar el área de la región limitada por las grá cas de y = x2 + 2 , y = −x , x = 0 y x = 1. Haga una grá ca de la región cuya área viene dada por la integral propuesta. Solución: Llamamos f (x) = x2 +2 y g(x) = −x. Veri quemos si las grá cas se intersecan o no. Igualamos las fórmulas: x2 + 2 = −x x2 + x + 2 = 0 (No tiene solución pues ∆ = −7 < 0) ⇒las grá cas no se intersecan
Veri camos la relación de orden entre ambas funciones (se resuelve la inecuación f (x) − g(x) > 0) (x2 + 2) − (−x) > 0 x2 + x + 2 > 0 (no hay ceros) la desigualdad se cumple para cualquier valor R . Por lo tanto, f (x) > g(x) para todo x ∈ R . (en particular en el intervalo [0,1])
Lo anterior también se puede veri car con el trazo de las funciones y la región en cuestión:
Cálculo del área
R1 R1 área= 0 [f (x) − g(x)]dx= 0 [(x2 + 2) − (−x)]dx R1 2 = 0 [(x + x + 2)]dx h 3 i1 2 = x3 + x2 + 2x 0 3 3 1 12 0 02 = + +2·1 − + +2·0 2 3 2 3 = 17 − (0) 6 17 = 6
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304
√ 4. Considere las curvas y = 2x y y = x2 − x. Grafíquelas en el mismo sistema de coordenadas, sombree el área encerrada entre las mismas, y calcule esta área.
SOLUCIÓN: Nombremos f (x) = entre ellas es:
√
2x y g(x) = x2 − x. La grá ca de ambas funciones y la región encerrada
Los puntos de intersección entre ambas funciones se dan en x = 0 y x = 2 y como se aprecia en la grá ca ∀x ∈ [0, 2] se cumple que f (x) ≥ g(x). La integral que permite calcular el área destacada es: Z
2
Z
2
√ [( 2x) − (x2 − x) dx
2
√ [ 2(x)1/2 − x2 + x dx
[f (x) − g(x)] dx = 0
0
Z = 0
=
√
2
x3/2 3 2
x3 x2 − + 3 2
2 0
2 √ x3 x2 2 2 x3/2 − + = 3 3 2 0 √ √ 2 2 · 23/2 23 22 2 2 03/2 03 02 = − + − − + 3 3 2 3 3 2 8 8 = − + 2 − (0 − 0 + 0) = 2 3 3
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305
5. Determine el área de la región limitada por las grá cas de las funciones dadas por f (x) = 6x3 − x + g(x) = x2 + 21 . Represente grá camente el área calculada.
1 2
y
SOLUCIÓN: Cálculo de las intersecciones: 1 1 = x2 + 2 2 6x3 − x2 − x = 0 6x3 − x +
x(3x + 1)(2x − 1) = 0 −1 1 ∨ x=0∨x= 3 2
Se establece la relación de orden correspondiente, a saber: −1 En el intervalo 1 3 , 0 se cumple f (x) ≥ g(x) En el intervalo 0, 2 se cumple g(x) ≥ f (x)
Se calcula el área mediante la siguiente suma:
Z
0
1/2
Z [f (x) − g(x)] dx +
A= −1/3
Z
0
= −1/3
[g(x) − f (x)] dx 0
6x3 − x2 − x dx +
1/2
Z
−6x3 + x2 + x dx
0
0 1/2 −3x4 x3 x2 x3 x2 3x4 + − − + + = 2 3 2 −1/3 2 3 2 0 −2 7 = (0) − + − (0) 81 96 7 2 + = 81 96 253 = 2592
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306
PRÁCTICA 27
(INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA ENTRE DOS CURVAS) 1. Use el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar las siguientes integrales de nidas. Se recomienda efectuar el bosquejo de la grá ca de la región cuya área viene dada por la integral. (a)
3
Z
(2x − 1)dx
1
(b)
2
Z
(x + 4)dx
0
(c)
4
Z
(x2 − 9)dx
3
(d)
Z
(e)
Z
2
(−x2 + x + 2)dx
−1 1
(x − x3 )dx
0
(f)
2
Z
| x2 − 1 |dx
−1
(g)
2
Z
| 2x − 1 |dx
0
(h)
R1√ x(1 − x)dx 0
(i)
Z
6
x √ dx 2x − 3
3
√ x 3 − xdx
2
(j)
Z
(k)
Z
0 1
x(x − 1)2 dx
0
(l)
Z
4
| x2 − x − 2 |dx
−1
2. Calcule el área de la región limitada por las siguientes curvas. Se recomienda que elabore un bosquejo en el que se destaque el área de la región calculada. (a) y = 2 − x2 , y = −x (b) f (x) = x3 − 6x2 + 8x, g(x) = x2 − 4x (c) y = x2 + 2 , y = −x, x = 0, x = 1 (d) f (x) = x3 , g(x) = 2x3 + x2 − 2x (e) y = x2 + 2x, y = −x + 4 (f) f (x) =
1 , g(x) = −x2 , x = 1, x = 2 x2
(g) y = 3x − 4x2 + x3 , y = x2 − x (h) f (x) = −x2 + 2x + 8, g(x) = −2x + 3
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307
RESPUESTAS 1)
(a) 6 (b) 10
2)
(c)
10 3
(d)
9 2
(e)
1 4
(f)
8 3
(g)
5 2
(h)
4 15
(i)
22 3
(j)
√ 12 3 5
(k)
1 12
(l)
79 6 Z 2
(a)
[(2 − x2 ) − (−x)]dx =
−1
(b)
R3
(c)
Z
(d)
Z
(e)
Z
(f)
Z
0
9 2
[(x3 − 6x2 + 8x) − (x2 − 4x)]dx + [(x2 + 2) − (−x)]dx =
[(2x3 + x2 − 2x) − (x3 )]dx + −2
[(−x + 4) − (x2 + 2x)]dx = 2
1
(h)
1
Z
[(x3 ) − (2x3 + x2 − 2x)]dx = 0
1 −4
1 −x2
dx =
17 6
[(3x − 4x2 + x3 ) − (x2 − x)]dx +
4
Z
[(x2 − x) − (3x − 4x2 + x3 )]dx =
0
1
R5
[(−x2 + 2x + 8) − (2x + 3)]dx = 36
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8 5 37 + = 3 12 12
125 6
1
−1
45 7 71 + = 4 12 6
17 6
0
Z
[(x2 − 4x) − (x3 − 6x2 + 8x)]dx = 3
1 0
(g)
4
Z
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7 45 71 + = 12 4 6
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5.9. Integrales de nidas que involucran diferentes funciones y técnicas de integración 1.
1
Z
xex dx 0
1
Z
xex dx = [xex ]10
Z
0
= [xex ]10
−
[xex ]10 1
−
=
1
ex dx
−
0 [ex ]10 [ex ]10 0
= 1·e −0·e
−
e1 − e0
=e−e+1=1
2.
π
Z
x5 · sen(x3 ) dx 0
Se aplica la sustitución: Sustitución: w = x3 dw = 3x2 dx dw = x2 dx 3 Límites de integración: Superior: w = π 3 Inferior: w = 03 = 0 Con lo que se tiene que:
Z
π
x5 · sen(x3 ) dx =
π
Z
0
x3 · sen(x3 ) · x2 dx 0
= =
1 3
Z
π3
w · sen(w) dw 0
3 1 1 [−w cos(w)]π0 − 3 3
π3
Z
−cos(w) dw (?) 0
Z 3 3 1 1 π [−w cos(w)]π0 + cos(w) dw 3 3 0 3 3 1 1 = [−w cos(w)]π0 + [sen(w)]π0 3 3 1 1 = −π 3 cos π 3 − (0 cos (0)) + sen(π 3 ) − sen(0) 3 3 1 3 1 3 3 = − π cos π + sen(π ) 3 3 =
En el paso señalado con (?)se aplicó la técnica de integración por partes: u=w du = dw
dv = sen(w) dw v = −cos(w)
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3.
Z
309
π/2
cos2 x sen2 xdx −π/2
En la integral de potencias pares de senos y cosenos, conviene utilizar las siguientes fórmulas: cos2 (θ) =
Z
1 + cos(2θ) 2
π/2
cos2 (x) sen2 (x)dx =
sen2 (θ) =
Z
π/2
−π/2
−π/2
= = = =
1 4
Z
1 4
Z
1 4
Z
1 8
Z
1 − cos(2θ) 2
1 + cos(2x) 1 − cos(2x) · dx 2 2
π/2
1 − cos2 (2x) dx −π/2 π/2
sen2 (2x) dx −π/2 π/2 −π/2
1 − cos(4x) dx 2
π/2
1 − cos(4x) dx −π/2
π/2 1 1 x− sen(4x) 8 4 −π/2 1 π 1 −π 1 = − ·0 − − ·0 8 2 4 2 4 1 hπ πi = + 8 2 2 π = 8
=
4. Calcule el área de la región limitada por la grá ca de e−x y el eje X, para 0 ≤ x ≤ 1 R/
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e−1 e
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5. Calcule:
Z
π/2
310
1 + ecot(t) csc2 (t) dt
π/4
R/ e
6. Calcule:
Z
ln(π/2)
2eu cos(eu ) du
ln(π/4)
7. Calcule:
Z 0
ln(
√ 3)
R/ 2 −
√ 2
R/
π 12
ex dx 1 + e2x
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311
8. En la gura adjunta, aparecen las grá cas de las funciones f (x) = (x − 2)2 + 2 y g(x) = 4 − (x − 2)2 , las cuales se intersecan en los puntos x = a y x = b. Calcule el valor de a, b, así como el valor exacto del área de la región sombreada.
.
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R/a = 1 , b = 3 , área =
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22 3
unidades cuadradas
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312
1 9. Construya la grá ca de las funciones f (x) = 2 , g(x) = x y h(x) = 8x. Calcule el área de la región limitada x por las grá cas de las tres funciones.
R/ área = Grá ca:
3 2
unidades cuadradas.
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313
PRÁCTICA 28 1. Calcule las siguientes integrales Z π/2 cos x dx a) 1 + sen2 x −π/2 R/ b
)
π 2
π/4
Z
ex sen(2x) dx 0
c
d
)
)
2
Z
√ 3
2
Z
1/2
e
)
0
eπ/4 + 2 5
R/
√ 2 3−π 6
√ 4 − x2 dx x2
1 dx 4x2 − 4x + 10
π/3
Z
R/
R/
π 24
R/ −1 +
√ 3
1 dx 1 + sen(x)
√ 2. En la gura adjunta aparece la grá ca de la función f (x) = 3 x y se destaca con negro la región encerrada entre la curva y el eje x en el intervalo [0, 4]. Determine el valor exacto del área sombreada.
.
R/ 16 unidades cuadradas
4 . Luego calcule el valor exacto del 9 + 2x2 área de la región limitada por la grá ca de esa función, el eje de las abscisas y las rectas verticales que pasan por los puntos de in exión de esas función.
3. Determine los puntos de in exión de la función dada por y =
R/Los puntos de in exión son x =
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√ − 6 2
y x=
√
6 2
y el área de la región es de
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√ 2π 2 9
unidades cuadradas.
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314
r
x y g(x) = |1 − x|. Encuentre las intersecciones entre ambas funciones 2 y el valor exacto del área de la región limitada entre las grá cas de f y g en el intervalo [0, 3].
4. Considere las funciones f (x) =
R/ Las intersecciones son x = Grá ca:
1 2
y x = 2 y el área es de
11+12 12
5. Considere la función f continua en todo R. Demuestre que
√
6
unidades cuadradas
b
Z
Z
−a
f (−x) dx =
f (x) dx −b
a
R/ Demostración completa
6. Sea f una función continua en R. Veri que que
b
Z
b
Z
f (a + b − x) dx
f (x) dx = a
a
R/ Demostración completa 7. Si f es una función continua en R demuestre que
Z
2a
Z
a
f (x − a) dx = 0
f (x) dx −a
R/ Demostración completa
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Bibliografía [1] Agüero, Evelyn y Fallas, Juan José. Introducción Tecnológica de Costa Rica. Cartago, Costa Rica. 2011. [2] Ávila Herrera, Juan Félix. Ejercicios de Cálculo; torial Tecnológica de Costa Rica. Cartago. 2000.
al Cálculo en una variable
. Primer Edición. Editorial
límites, derivadas e integrales.
Segunda edición. Edi-
[3] Larson, Roland;Hostetler, Robert y Edwards, Bruce. Cálculo y Geometría Analítica. Quinta Edición. McGraw-Hill. Madrid. 1995. [4] Rodríguez Arce, Pedro;Poltronieri Vargas, Jorge. Ejercicios de Cálculo I. Cuarta Edición. Sección de impresión de SIEDIN (Universidad de Costa Rica). San José, Costa Rica. 2006. [5] Stewart, James. xico. 2008.
Cálculo en una variable. Trascendentes tempranas.
315
Sexta Edición.Cengage Learning. Mé-
Apéndice A
Resumen de los casos de Factorización
316
Apéndice B
Fórmulas trigonométricas A.FÓRMULAS PARA ÁNGULOS NEGATIVOS. cos(−u) = cos (u)
sen (−u) = − sen(u)
tan(−u) = − tan (u)
sec(−u) = sec (u)
csc (−u) = − csc(u)
cot(−u) = − cot (u)
B.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. POR COCIENTE
RECÍPROCAS
PITAGÓRICAS
sen (u) tan (u) = cos (u)
1 csc (u) = sen (u)
sen2 (u) + cos2 (u) = 1
sec (u) =
1 cos (u)
sec2 (u) − tan2 (u) = 1
cot (u) =
1 tan (u)
csc2 (u) − cot2 (u) = 1
cot u =
cos (u) sen (u)
C.FÓRMULAS PARA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS sen(u + v) = sen (u) · cos (v) + cos (u) · sen (v)
cos(u + v) = cos (u) · cos (v) − sen (u) · sen (v)
sen(u − v) = sen (u) · cos (v) − cos (u) · sen (v)
cos(u − v) = cos (u) · cos (v) + sen (u) · sen (v)
D.FÓRMULAS PARA ÁNGULOS DOBLES cos(2u) = cos2 (u) − sen2 (u)
sen(2u) = 2 · sen (u) · cos (u)
= 2 cos2 (u) − 1 = 1 − 2 sen2 (u)
E.FÓRMULAS PARA EL ÁNGULO MEDIO sen2
u 2
=
1 − cos u 2
cos2
u 2
=
1 + cos u 2
En algunos ejercicios conviene replantear estas fórmulas de esta manera θ =
1 − cos (2θ) sen2 θ = 2
1 + cos (2θ) cos2 θ = 2
317
u 2
:
Apéndice C
Grá cas de las funciones trigonométricas (1) f(x)=sen x
318
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319
(2) f(x)=cos x
(3) f(x)=tan x
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Apéndice D
Algunas fórmulas de Geometría
320
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321
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Apéndice E
La función exponencial DEFINICIÓN
Una función f : R −→ R
f (x) = 2x
+
es exponencial si es de la forma f (x) = ax tal que a > 0ya 6= 1. Ejemplos:
g(x) =
x 1 3
h(x) = ex
y = 0, 5x
Ejemplos de funciones exponenciales compuestas con otras funciones: 1 2 2 x h(x) = 5− tan(x) y= f (x) = 3x +2x+1 3
ECUACIONES EXPONENCIALES
Para resolver ecuaciones exponenciales se puede utilizar el siguiente principio: Si ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL (f (x) = ex )
Observe que l´ım ex = +∞ y que l´ımx→−∞ ex = 0 x→+∞
322
√ 2 g(x) = 4 x +1
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323
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL COMO INVERSA DE LA LOGARÍTMICA NATURAL
Sea x un número real. La función exponencial natural, denotada por ex se de ne como sigue y = ex si y sólo si lny = x Nota: Observe la simetría entre las grá cas de ambas funciones con respecto a la función identidad.
Notas 1. Observe que l´ım ln x = +∞ x→+∞
l´ımx→0+ ln x = −∞
2. Recuerde la equivalencia para efectuar conversiones de notación logarítmica a exponencial y viceversa, a saber, si a es positivo y distinto de 1, se cumple x = ay si loga x = y 3. Así como y = ln x es la función inversa de y = ex y viceversa, así y = loga x es inversa de y = ax 4. Se puede aplicar la equivalencia del punto anterior para calcular la inversa de funciones compuestas con logaritmos y exponenciales.
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Apéndice F
La función logarítmica Ya en secundaria hemos estudiado la función logarítmica como inversa de la función exponencial. La de nición estudiada de función logarítmica, es:
DEFINICIÓN Una función f : R
+
−→ R
es logarítmica si es de la forma f (x) = loga (x) tal que a > 0 y a 6= 1.
Ejemplos: f (x) = log2 (x)
g(x) = log 1 (x)
h(x) = ln(x)
3
Ejemplos de funciones logarítmica compuestas con otras funciones: 1 h(x) = log5 (x2 + 1) y = ln(sen2 (x)) f (x) = log 2 x −4
y = log(x)
g(x) = log4
√ 5
x + 1 (con x > −1)
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La grá ca de la función logarítmica (f (x) = loga (x) con a > 0 y a 6= 1) varía según su base así:
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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Recordemos las propiedades de los logaritmos. Si uy v son números reales positivos y a es real positivo y distinto de 1, se cumple: 1)loga (u · v) = loga u + loga v 2) loga
u v
= loga u − loga v
3) loga (un ) = n loga u √ 4) loga ( n u) =
1 n
loga u
( n ∈ N , n > 1)
5) loga 1 = 0 6) loga an = n 7) aloga (n) = n
( n ∈ R , n > 0)
8) ln en = n 9) eln(n) = n
( n ∈ R , n > 0)
Además resultará útil recordar la fórmula de cambio de base, a saber (para x > 0, a y b reales positivos logb (x) distintos de 1): loga (x) = y, en particular, puede utilizarse para reescribir logaritmos en otras base a logb (a) ln(x) logaritmos naturales asi: loga (x) = ln(a)
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LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA NATURAL En secundaria se estudió la función logarítmica natural (y = ln(x)) como la inversa de la función exponencial natural (y = ex ). Es decir:
DEFINICIÓN 1: de ne como sigue:
Sea x un número real positivo,. La función
logaritmo natural
que se denota ln(x), se
ln(x) = b si y sólo si eb = x
Como la base de la función logarítmica natural es e y e > 1 su grá ca es:
1 Sin embargo, la función logarítmica natural tiene una relación estrecha con la función racional . En primer x lugar, ln(x) también puede de nirse como integral de nida, tal y como se muestra a continuación.
DEFINICIÓN 2: La función logaritmo natural x
Z ln(x) = 1
1 dt t
ln(x), es la función de nida por:
con x > 0
Observe que ln(x) corresponde al área de la función f (t) =
1 desde 1 hasta x, con x > 0. t
Por otra parte, a partir de esta de nición es fácil concluir la derivada de la función ln(x) a partir del segundo 1 teorema fundamental del cálculo, ya que f (t) = es continua en un intervalo abierto que contiene a t = 1, con t lo que se cumple la hipótesis de dicho teorema. Así, para x > 0: d d [ln(x)] = dx dx
Z 1
x
1 1 dt = t x
Además, el resultado anterior junto con la formula de cambio de base para los logaritmos y aplicando la regla de la cadena, es posible deducir las fórmulas de derivación que se dan a continuación.
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Apéndice G
Las funciones inversas trigonométricas Si se hacen las restricciones apropiadas en el dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas, podemos hacer que sean biyectivas y que por lo tanto tengan función inversa. De nimos las seis funciones inversas trigonométricas con su dominio y su ámbito respectivo:
De nición de la función y=arcsen (x) si y sólo si sen (y)=x
Dominio
ámbito
[-1,1]
y=arccos (x) si y sólo si cos (y)=x y=arctan (x) si y sólo si tan (y)= x
[-1,1]
si y sólo si csc (y)=x
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
y= arcsec (x) si sólo si sec (y)=x y=arccot (x) si y sólo si cot (y)=x
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
h −π π i , 2 2 [0, π] i −π π h , h −π 2π i 2 , − {0} 2 2 [0, π] − {π/2}
IR
]0, π[
y=arccsc (x)
IR
Grá cas de las funciones trigonométricas inversas
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Apéndice H
Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas H.1. Integrales de productos de potencias de senos y cosenos H.1.1. Caso I: Una de las funciones tiene exponente impar En este caso se separa la potencia de exponente impar de forma que se pueda utilizar identidades trigonométricas para llegar a una sustitución simple. Ejemplo: Z cos5 (x) sen6 (x)dx = Z cos4 (x) sen6 (x) cos(x)dx = Z cos2 (x) cos2 (x) sen6 (x) cos(x)dx = Z (1 − sen2 (x))(1 − sen2 (x)) sen6 (x) cos(x)dx = Sustitución: u = sen(x) Z (1 − u2 )(1 − u2 )u6 du = du = cos(x)dx Z (1 − 2u2 + u4 )u6 du = Z (u6 − 2u8 + u10 ) du = u7 2u9 u11 − + +C = 7 9 11 sen7 (x) 2 sen9 (x) sen11 (x) − + +C 7 9 11
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331
H.1.2. Caso II: Los exponentes de ambas funciones es par Se replantea el integrando para utilizar las fórmulas vistas para la mitad de un ángulo. A saber, 1 − cos(2θ) 2 1 + cos(2θ) 2 cos (θ) = 2
sen2 (θ) =
Ejemplo: Z
sen4 (x) cos2 (x)dx =
Z
sen2 (x) sen2 (x) cos2 (x)dx =
Z
(1 − cos(2x)) (1 − cos(2x)) (1 + cos(2x)) dx = Aplicando las fórmulas del ángulo medio 2 2 2 Z (1 − cos(2x))(1 − cos2 (2x))dx = Z 1 − cos(2x) − cos2 (2x) + cos3 (2x) dx = Z Z Z Z 1dx − cos(2x) dx − cos2 (2x) dx + cos3 (2x) dx = sen3 (2x) 1 1 2x + sen(2x) cos(2x) 1 x − sen(2x) − + sen(2x) − +C 2 2 2 2 3
1 8 1 8 1 8 1 8
H.2. Integrales de potencias de secantes y tangentes H.2.1. Caso I: La secante tiene exponente par En este caso tomamos de la secante un factor sec2 (x) para formar el diferencial de la tangente y se utilizan identidades y operaciones algebraicas para que el integrando quede en términos de la tangente y usar la sustitución u = tan(x). Ejemplo: Z tan8 (x) sec4 (x) dx = Z tan8 (x) sec2 (x) sec2 (x) dx = Z tan8 (x)(1 + tan2 (x))(x) sec2 (x) dx = Sustitución u = tan(x) Z u8 (1 + u2 ) du = du = sec2 (x)dx Z u8 + u10 du = u9 u11 + +C = 9 11 tan9 (x) tan11 (x) + +C 9 11
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H.2.2. Caso II: La secante y la tangente tienen ambas exponentes impares En este caso, se separa un factor de cada una de las potencias para obtener el diferencial de la secante y se utilizan identidades y operaciones algebraicas para que el integrando quede en términos de la secante y usar la sustitución u = sec(x).Ejemplo: Z tan5 (x) sec3 (x) dx = Z tan4 (x) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Z tan2 (x) tan2 (x) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Z (sec2 (x) − 1)(sec2 (x) − 1) sec2 (x) sec(x) tan(x) dx = Sustitución u = sec(x) Z (u2 − 1)(u2 − 1)u2 du = du = sec(x) tan(x)dx Z (u4 − 2u2 + 1)u2 du = Z (u6 − 2u4 + u2 ) du = 2u5 u3 u7 − + +C = 7 5 3 sec7 (x) 2 sec5 (x) sec3 (x) − + +C 7 5 3
H.2.3. Caso III: La secante tiene exponente impar y la tangente exponente par El integrando se reescribe en términos de sec(x). Luego se separa la integral en sumas o restas de integrales de potencias de la secante, que se resuelven independientemente por el método de integración por partes. Para ello se separa un factor sec2 (x) (recuerde que en el caso de la integral de secante elevada al cubo además genera una integral cíclica).Ejemplo: Z tan2 (x) sec3 (x) dx = Z (sec2 (x) − 1) sec3 (x) dx = Z (sec5 (x) − sec3 (x)) dx = Z Z sec5 (x) dx − sec3 (x) dx = Z Z sec3 (x) sec2 (x) dx − sec(x) sec2 (x) dx Z Z Sea I1 = sec3 (x) sec2 (x) dx y sea I2 = sec(x) sec2 (x) dx Se aplica el método de integración por partes a ambas integrales, de forma que: Integral 1. Tomando u = sec3 (x) y dv = sec2 (x) dx y resolviendo la integral cíclica, se llega a que : Z sec3 (x) tan(x) 3 I1 = + sec3 (x) dx 4 4 Integral 2. Tomando u = sec(x) y dv = sec2 (x) dx y resolviendo la integral cíclica, se llega a que : I2 = Z ∴
sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| 2
tan2 (x) sec3 (x) dx =
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sec3 (x) tan(x) sec(x) tan(x) − ln | sec(x) tan(x)| − +C 3 8
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Apéndice I
Algunas demostraciones de teoremas y otros resultados I.1. Demostraciones de algunas propiedades de los límites 1. Si a, L, M son números reales, f y g son funciones tales que l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M . x→a x→a Demuestre utilizando la de nición formal de límite que l´ım [f (x) + g(x)] = L + M
x→a
SOLUCIÓN: Hay que probar que ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ se cumple que |(f (x)+g(x))−(L+M )| < . Sea Sea 2 > 0 arbitrario pero jo. Por las hipótesis dadas de l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M , entonces x→a x→a existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que: (i) si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − L| < (ii) si 0 < |x − a| < δ2 entonces |g(x) − M | <
2 2
Sea δ = mín{δ1 , δ2 }. Entonces si 0 < |x − a| < δ las condiciones anteriores (i) y (ii) se cumplen simultáneamente, por lo que tendríamos que: Si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L| <
2
y |g(x) − M | <
. 2
Ahora bien, se cumple lo siguiente: |(f (x) + g(x)) − (L + M )| = |f (x) + g(x) − L − M | = |f (x) − L + g(x) − M | = |(f (x) − L) + (g(x) − M )| ≤ |f (x) − L| + |g(x) − M | (por desigualdad triangular) < + = 2 2
Entonces, ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se cumple que |(f (x) + g(x)) − (L + M )| < Por lo tanto, l´ım [f (x) + g(x)] = L + M . x→a
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2. Demuestre (utilizando la de nición formal de límite) la siguiente proposición. Sean a y L números reales y f una función tal que l´ım f (x) = L, y k es una constante real tal que k 6= 0, entonces: x→a
l´ım ( k · f (x)) = k · L
x→a
SOLUCIÓN: Hay que probar que ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ se cumple que |kf (x) − kL| < . Sea 1 > 0 arbitrario pero jo. Entonces = |k| · 1
también es positivo y arbitrario.
Por hipótesis dada de l´ım f (x) = L sabemos que para el 1 > 0 dado, existe δ1 > 0 tal que x→a
si 0 < |x − a| < δ1 entonces |f (x) − L| < 1 Entonces, si 0 < |x − a| < δ1 , por propiedades del valor absoluto se cumple que si: |kf (x) − kL| = |k(f (x) − L)| = |k| |f (x) − L| < |k| 1 = Así, si tomamos δ 6 δ1 tenemos lo siguiente: Si 0 < |x − a| < δ se cumplirá que |kf (x) − kL| < Por tanto, como = 1 · |k| era arbitrario y positivo ya que 1 > 0 era arbitrario, tenemos que: ∀ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |kf (x) − kL| < ∴
l´ım (kf (x)) = kL
x→a
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