Arboles Matematicas Discretas

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Tiene un nodo al que se le llama "nodo raíz" o raíz del árbol, éste no tiene "padre". Todos los nodos tienen una sola línea de entrada, excepto el nodo raíz, éste no tiene línea de entrada. Existe una "única" ruta del nodo raíz a todos los demás nodos del árbol. Si existe una ruta , entonces "b" es el "hijo" de "a" y es el nodo raíz de un sub-árbol. Todos los nodos que son descendientes de un mismo nodo "padre", son "hermanos". Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), es un nodo "terminal" u "hoja". Todo nodo que no es raíz ni terminal es un nodo "interior". "Grado" es el número de descendientes directos de un determinado nodo. "Grado del árbol" es el máximo grado de todos los nodos del árbol. "Nivel" es el número de ramificaciones que se deben recorrer para llegar a un determinado nodo. El nodo raíz tiene nivel 1. "Altura del árbol" es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol.

•Raíz: El nodo superior de un árbol. •Hijo: Un nodo conectado directamente con otro cuando se aleja de la raíz. •Padre: La noción inversa de hijo. •Hermanos: Un conjunto de nodos con el mismo padre. •Descendiente: Un nodo accesible por descenso repetido de padre a hijo. •Ancestro: Un nodo accesible por ascenso repetido de hijo a padre. •Hoja: Un nodo sin hijos. •Nodo interno: Un nodo con al menos un hijo. •Grado: Número de subárboles de un nodo. •Brazo: La conexión entre un nodo y otro. •Camino: Una secuencia de nodos y brazos conectados con un nodo descendiente. •Nivel: El nivel de un nodo se define por 1 + (el número de conexiones entre el nodo y la raíz). •Altura de un nodo: La altura de un nodo es el número de aristas en el camino más largo entre ese nodo y una hoja. •Altura de un árbol: La altura de un árbol es la altura de su nodo raíz. •Profundidad: La profundidad de un nodo es el número de aristas desde la raíz del árbol hasta un nodo. •Bosque: Un bosque es un conjunto de árboles n ≥ 0 disjuntos. •Rama: Una ruta del nodo raíz a cualquier otro nodo.

Búsqueda en amplitud o por nivel Se recorre primero la raíz, luego se recorren los demás nodos ordenados por el nivel al que pertenecen en orden de Izquierda a derecha. Este tipo de búsqueda se caracteriza por que la búsqueda se hace nivel por nivel y de izquierda a derecha. NIVELES 1 2 3 4

Recorrido: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,H,L,M,N,O

Recorrido Pre-orden: El recorrido inicia en la Raíz y luego se recorre en pre-orden cada unos de los sub-árboles de izquierda a derecha.

Los ordenamientos más importantes son llamados: prefijo, sufijo y posfijo. ·

Recorrido en PREFIJO: 1. Visitar la raíz 2. Recorrer el subárbol izquierdo en prefijo 3. Recorrer el subárbol derecho en prefijo

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Recorrido SUFIJO: 1. Recorrer el subárbol izquierdo en sufijo 2. Visitar la raíz 3. Recorrer el subárbol derecho en sufijo

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Recorrido en POSFIJO: 1. Recorrer el subárbol izquierdo en postfijo 2. Recorrer el subárbol derecho en postfijo 3. Visitar la raíz

Los árboles se pueden clasificar de dos maneras: -De acuerdo con su número de nudos. -En función de su altura. CLASIFICACIÓN POR NÚMERO DE NODOS: ÁRBOL BINARIO: En este tipo de árbol cada nodo tiene como máximo dos hijos, el nodo puede tener dos ramas, una o ninguna, pero nunca puede tener más de dos, son especialmente importantes en el área de la computación ya que por su naturaleza de tener solamente dos valores (0, 1), o bien falso o verdadero, son muy útiles en aplicaciones de sistemas digitales.

ÁRBOL BINARIO COMPLETO: Es aquél en el que cada nodo tiene dos ramas o ninguna. Un árbol binario completo con i nodos internos tiene (i + 1) hojas y (2i + 1) vértices en total.

ÁRBOLES TERNARIOS: Es una estructura similar a un árbol, tiene una raíz y cada nodo tiene máximo tres hijos, los cuaternarios (cada nodo padre tiene como máximo cuatro hijos) y así sucesivamente.

CLASIFICACIÓN POR ALTURA. ÁRBOL BALANCEADO: un árbol con una altura h está balanceado si el nivel de cualquier hoja es h o (h - 1), esto es, si hay una diferencia máxima de un nivel entre hojas. Pero además cada nodo padre debe tener el mismo número de hijos, a excepción del que no se complete colocado en la parte baja del árbol. Para balancear un árbol con una cantidad constante de hijos de los nodos padres, se llenan empezando por la raíz y descendiendo con un avance de izquierda a derecha.

ÁRBOL DESBALANCEADO: Esta es cuando la diferencia de altura entre las ramas es mayor de ala de 1.

ÁRBOL ROJO-NEGRO: Un árbol rojo-negro es un tipo especial de árbol binario usado en informática para organizar información compuesta por datos comparables (por ejemplo, números). En los árboles rojo-negros las hojas no son relevantes y no contienen datos. Un árbol binario de búsqueda en el que cada nodo tiene un atributo de color cuyo valor es rojo o negro. Además de los requisitos impuestos a los árboles binarios de búsqueda convencionales, se deben satisfacer las siguientes reglas para tener un árbol rojo-negro válido.

1. 2. 3. 4. 5.

Todo nodo es o bien rojo o bien negro. La raíz es negra. Todas las hojas (NULL) son negras. Todo nodo rojo debe tener dos nodos hijos negros. Cada camino desde un nodo dado a sus hojas descendientes contiene el mismo número de nodos negros.