Arboles

Programación lógica con árboles

Ingeniería Informática Ingeniería Técnica en Informática Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga

Contenido 1. Programación con árboles 2. Otras estructuras arbóreas

Programación lógica con árboles

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Introducción

Introducción Objetivo: representar en Prolog estructuras de datos y procesarlas Para cada estructura de datos, daremos: definición formal (conjunto inductivo) representación sintáctica (gramática formal) definición de dominio relaciones Aplicaremos las técnicas de programación básicas: recursión, recursión de cola, generar/comprobar

Programación lógica con árboles

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Programación con árboles

Definición de árbol binario Sea D un dominio o tipo base Definición: el conjunto de árboles binarios B de D se define 1. nil ∈ B (árbol vacío) [base] 2. si I, D ∈ B ∧ R ∈ D, entonces I::R::D ∈ B [recursivo] :: ::

es un constructor ternario: B × D × B → B hijo izquierdo :: raíz :: hijo derecho

Ejemplo:

b

(nil :: a :: nil ) :: b :: (nil :: c :: nil) a Programación lógica con árboles

c 6

Representación Prolog de árboles binarios Necesitamos términos recursivos para representar árboles Seguimos la definición inductiva de B: 1. nil ∈ B (árbol vacío) 2. si I, D ∈ B ∧ R ∈ D, entonces I::R::D ∈ B

[base] [recursivo]

Caso base Æ constante vacioB Caso recursivo Æ estructura funtor nodoB/3 Æ nodoB(I,R,D) Un árbol binario bien formado es un término de la gramática: AB ::= vacioB | nodoB(AB,T,AB) donde T es un término Prolog Programación lógica con árboles

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Ejemplo de árbol binario bien construido 4

El árbol binario: 2 1

6 3

5

7

se representa por el término Prolog: nodoB(nodoB(nodoB(vacioB, 1, vacioB), 2, nodoB(vacioB, 3, vacioB)), 4, nodoB(nodoB(vacioB, 5, vacioB), 6, nodoB(vacioB, 7, vacioB))) Programación lógica con árboles

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El predicado arbolB_ej/1 % arbolB_ej(?A) arbolB_ej( nodoB(nodoB(nodoB(vacioB, 1, vacioB), 2, 1 nodoB(vacioB, 3, vacioB)), 4, nodoB(nodoB(vacioB, 5, vacioB), 6, nodoB(vacioB, 7, vacioB)))). Cada hecho define un árbol binario bien construido: ?- arbolB_ej(A), miembro(3,A). Programación lógica con árboles

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Definición de dominio Seguimos la definición inductiva de B: 1. nil ∈ B (árbol vacío) 2. si I, D ∈ B ∧ R ∈ D, entonces I::R::D ∈ B

% es_arbolB(+A) es_arbolB(vacioB). es_arbolB(nodoB(I,R,D)) :es_arbolB(I), es_arbolB(D).

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[base] [recursivo]

% base % recursivo

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Usos de es_arbolB/1 ?- arbolB_ej(A), es_arbolB(A). Yes

% test

?- es_arbolB(A). % generador anómalo A = vacioB ; A = nodoB(vacioB, _G309, vacioB) ; A = nodoB(vacioB, _G309, nodoB(vacioB, _G313, vacioB)) ; A = nodoB(vacioB, _G309, nodoB(vacioB, _G313, nodoB(vacioB, _G317, vacioB))) ; ...

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Tabla de comportamiento de es_arbolB/1 es_arbolB(A) Uso (+) (-)

Comportamiento test generador anómalo

Ejercicio: ¿Por solucionarías?

qué

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no

Significado A∈B

funciona

el

uso

(-)?

¿Cómo

lo

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El predicado miembro/2 miembro(?X,+A) – X pertenece al árbol binario A Es similar a miembro/2 para listas: miembro(X,nodoB(_,X,_)). miembro(X,nodoB(I,_,_)) :miembro(X,I). miembro(X,nodoB(_,_,D)) :miembro(X,D).

% base % recursivo (I) % recursivo (D)

caso base Æ acceso directo a la raíz casos base y recursivos no son excluyentes Programación lógica con árboles

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Usos de miembro/2 ?- arbolB_ej(A), miembro(5,A). Yes

% test

9 ?- arbolB_ej(A), miembro(X,A). X = 4 ; X = 2 ; X = 1 ; X = 3 ; X = 6 ; X = 5 ; X = 7 ; No

% gen acotado

Ejercicio: ¿En qué orden se generan los elementos del árbol? Programación lógica con árboles

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Tabla de comportamiento de miembro/2 miembro(X,A) Uso Comportamiento (+,+) test (-,+) generador acotado

Significado comprueba que X ∈ A genera elementos de A en preorden

Ejercicio: ¿Cómo se comportan los usos (+,-) y (-,-)? ¿De qué depende el orden en que se generen los elementos? Escribir definiciones que generen los elementos en inorden y postorden. ¿Cómo almacenar el recorrido en predorden en una lista?

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El predicado preorden/2 preorden(+A,?Rs) – Rs es el recorrido en preorden de A Aplicamos recursión sobre el árbol A : preorden(vacioB,[]). preorden(nodoB(I,R,D),RID) :preorden(I,PreI), preorden(D,PreD), concatena([R|PreI],PreD,RID).

% base % recursivo

Ejercicio: definir los recorridos en inorden y postorden

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Usos de preorden/2 % test ?- arbolB_ej(A), preorden(A,[4,2,1,3,6,5,7]). Yes % generador único ?- arbolB_ej(A), preorden(A,Rs). Rs = [4,2,1,3,6,5,7] ; No % generador anómalo ?- preorden(A,[4,2,1,3,6,5,7]). A = arbolB_ej ; % y se cuelga... Programación lógica con árboles

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Tabla de comportamiento de miembro/2 preorden(+A,?Rs) Uso Comportamiento (+,+) test (+,-) generador único

Significado comprueba que Rs es el recorrido en preorden de A genera en Rs el recorrido en preorden de A

Ejercicio: Construir las tablas de inorden/2 y postorden/2 ¿Es posible generar el árbol a partir del recorrido? Programación lógica con árboles

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Generación de árboles binarios arbol_preorden(+Rs,?A) – Rs es el recorrido preorden de A Hay que dirigir la recursión por la lista (el recorrido): arbol_preorden([],vacioB). % base arbol_preorden([R|Rec],nodoB(I,R,D)) :- % recursivo concatena(RecI,RecD,Rec), % (-,-,+) arbol_preorden(RecI,I), arbol_preorden(RecD,D). Ejercicio: definir los arbol_postorden/2 Programación lógica con árboles

predicados

arbol_inorden/2

y

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El predicado suma/2 suma(+A,?N) – los nodos del árbol binario A suman N Aplicamos recursión al árbol binario A: suma(vacioB,0). suma(nodoB(I,R,D),N) :suma(I,SI), suma(D,SD), N is SI+R+SD.

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% base % recursivo

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El predicado sustituye/3 sustituye(+X,+AX,+Y,?AY) – el árbol AY es AX, con todas las X reemplazadas por Y Aplicamos recursión al árbol AX: sustituye(_,_,vacioB,vacioB). sustituye(X,Y,nodoB(Ix,R,Dx),nodoB(Iy,R,Dy)) :X \== R, sustituye(X,Y,Ix,Iy), sustituye(X,Y,Dx,Dy). sustituye(X,Y,nodoB(Ix,R,Dx),nodoB(Iy,Y,Dy)) :X == R, sustituye(X,Y,Ix,Iy), sustituye(X,Y,Dx,Dy). Programación lógica con árboles

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Ejercicios 1. Define los siguientes predicados sobre árboles binarios: iguales(+A,+B) simetricos(+A,+B) frontera(+A,?F) 2. Los árboles binarios de búsqueda se pueden representar por términos de la forma: ArbolBB ::= vacioBB | nodoBB(ArbolBB,T,ArbolBB) donde T es un término Prolog. Define los predicados esta(+X,+A), no_esta(+X,+A), inserta(+X,+A,?AX) y borra(+X,+AX,?A). Utiliza los predicados extralógicos de comparación de términos Programación lógica con árboles

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Otras estructuras arbóreas

Fórmulas proposicionales sin variables Definición: el conjunto F se define 1. >, ⊥ ∈ F 2. si A, B ∈ F entonces A∧B∈ F A∨B∈ F ¬ A∈ F

[base] [recursivo]

Términos Prolog: F := | | | |

cierto falso y(F,F) o(F,F) no(F)

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Definición de dominio es_fbf(P) – se satisface si P es una fórmula proposicional sin variables es_fbf(cierto). es_fbf(falso). es_fbf(o(P,Q)) :es_fbf(P), es_fbf(Q). es_fbf(y(P,Q)):es_fbf(P), es_fbf(Q). es_fbf(no(P)) :es_fbf(P). Programación lógica con árboles

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Derivación simbólica (I) derivada(+Fx,+X,?DF)– DF es la derivada de Fx respecto de X

derivada(X,X,1). derivada(C,X,0) :atomic(C), % C es constante y C \= X. % no coincide con el diferencial derivada(-U,X,-DU) :derivada(U,X,DU).

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Derivación simbólica (II)

derivada(U+V,X,DU+DV) :derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV). derivada(U-V,X,DU-DV) :derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV).

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Derivación simbólica (III)

derivada(U*V,X,U*DV+DU*V) :derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV). derivada(U/V,X,(DU*V-U*DV)/V*V) :U \== 1, derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV).

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Derivación simbólica (y IV) derivada(1/V,X,-DV/(V*V)) :derivada(V,X,DV). derivada(sin(X),X,cos(X)). derivada(cos(X),X,-sin(X)). derivada(X^N,X,N*X^NN) :N>0, NN is N-1.

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Ejemplos Prolog deriva bastante bien: ?- derivada(x^3+x,x,U). U = 3*x^2+1 ; No ?- derivada(x^3+x,x,3*x^2+1). Yes pero no sabe nada de conmutatividad: ?- derivada(x^3+x,x,1+3*x^2). No ni simplifica las derivadas: ?- derivada(3*x,x,U). U = 3*1+0*x ; No Programación lógica con árboles

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