Aritmetica Teoria _pre San Marcos

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Ciclo 2019-I

Aritmética TEORÍA DE CONJUNTOS La palabra conjunto es un término no definido, sin embargo dicha palabra nos da la idea de una colección de objetos que tienen una característica común. Nombre del conjunto

M = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 } Elementos del conjunto

Relación de Pertenencia (): Elemento

 Conjunto

Ejemplo: Si M = { 2 ; 3 ; 5 ; 7} , entonces 7  M

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Por Extensión: Cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto. A = { a; e; i; o; u }

Por Comprensión: Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

A = { x / x es una vocal }

B = { 0; 2; 4; 6; 8 }

B = { x / x es un número par menor que 10 }

C = { c; o; n; j; u; t; s }

C = { x / x es una letra de la palabra conjuntos }

Cardinal de un Conjunto [card(M); n(M); #(M)]: Es el número de elementos diferentes de un conjunto. Ejemplo:

#(M) = 8 elementos

Semana Nº 2

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Clases de Conjuntos Conjunto Vacío (Φ):

Conjunto Unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Es aquel conjunto que carece de elementos.

Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que sirve de referencia a otros conjuntos incluidos en el.

Relaciones entre Conjuntos

Relación de Inclusión ( ): Conjunto A  B



Conjunto

[ xA

xB]

Relación de Igualdad (=): Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. Relación de Subconjunto Propio: Se dice que A es un subconjunto propio de B, si A esta incluido en B, pero no es igual a B. Conjunto Potencia de M: Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto M. Se denota por P(M).

Ejemplo: M = {1; 2; 3}



P (M) = { {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; M; Φ} #[ P (M) ] = 2#(M)

Nota:

# [P (M)] = 23 = 8 elementos  # [subconjuntos propios (M)] = 2#(M)1

Producto Cartesiano: AxB = { (a; b) / a  A  b  B } Ejemplo: Si

A= { 1; 2; 3 }

y

B = { 4; 5 }

, entonces el producto cartesiano

AxB = { (1;4) ; (1;5); (2;4); (2;5); (3;4); (3;5) }

y

BxA = { (4;1) ; (4;2); (4;3); (5;1); (5;2); (5;3) } Notación: M x M = M 2. Semana Nº 2

Nota: #(A x B) = #(A) x #(B) (Prohibida su reproducción y venta)

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Ciclo 2019-I

EJERCICIOS

1.

2.

Si M = { ; {}; 0; { }; {{ }} } y P(M) es el conjunto potencia de M, ¿cuántos de los siguientes enunciados son falsos? I) { }  IV) {}  P(M) VII) {; 0}  P(M)

II) {}  M V) {}  P(M) VIII) {{{ }}}  P(M)

III) VI) IX)

A) 1

C) 3

E) 5

B) 4

D) 2

{ M }  P(M) n[P(M)] = 16 {{}}  P(M)

Dados los conjuntos: U

x

W

x

20 ,

V

x

U / x es primo

U / x es primo impar ,

S

x

U / x es par

/1

x

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) W es subconjunto propio de V. II) S V. III) n(W) = n(V) -1. IV) n(U) = n(V)+12. V) La cantidad de elementos que no pertenece a V ni a S es 2.

A) 1 3.

D) 4

E) 5

B) 6

C) 5

D) 4

E) 3

 2 x  1   Dados los conjuntos S     N / 1  x  14 , T  2t  Z /   t  2  t  4  y  3   M  { 5r / r  S  r T } . Halle el número de subconjuntos propios, no nulos de M . A) 6

5.

C) 3

Lucy cuenta con monedas de varios países, una de cada país. Ella observa que entregando dos monedas o más a su único hijo, lo puede hacer de 26 formas distintas. ¿Cuántas monedas tiene Lucy?

A) 7

4.

B) 2

B) 2

C) 14

D) 0

E) 30

Si n T   1023 , T   X / X  L; X   y S  Y / Y  L ; Y no es unitario , determine la suma de las cifras del cardinal de S . A) 13

Semana Nº 2

B) 12

C) 8

D) 3

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E) 6 Pág. 23

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Aritmética Operaciones con Conjuntos Intersección de Conjuntos

Unión de Conjuntos

A

A

B

Diferencia de Conjuntos

A

B

A ∩ B = { x / xA  xB }

B

A – B = { x / xA  xB }

A U B = { x / xA  xB }

Diferencia Simétrica de Conjuntos A

Complemento de un Conjunto U

B A

Al = U – A A Δ B = (A – B) U (B – A)

LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Idempotencia

Conmutativa

AUA=A A∩A=A

AUB=BUA A ∩B=B∩A

Distributiva

De Morgan

Semana Nº 3

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Asociativa (AUB)UC = AU(BUC) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Del Complemento

Pág. 20

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AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

De la Unidad

AUU=U AUΦ=A

A∩U=A A∩Φ=Φ

Ciclo 2019-I

(AUB)l = Al∩Bl

AUAl=U

(A∩B) l =AlUBl

(Al)l = A

A∩Al= Φ

Absorción

Otras

AU(A∩B) = A A∩(AUB) = A l A U (A ∩ B) = A U B A ∩ (Al U B) = A ∩ B

A – B = A ∩ Bl Ul = Φ Φl = U

Producto Cartesiano: AxB = { (a; b) / a  A  b  B } Notación: MxM = M2

Nota: #(A x B) = #(A) x #(B) Nota: Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, entonces: #(AUB) = #(A) + #(B)  #(A∩B)

#(AUBUC) = #(A) + #(B) + #(C)  #(A∩B)  #(A∩C)  #(B∩C) + #(A∩B∩C)

Diagrama De Venn Euler Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor en el Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro paredes. Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. 1.

De 320 deportistas que solamente practican fútbol, natación o vóley, se sabe que 13 practican fútbol y natación, 15 practican vóley y natación, 5 practican los tres deportes, 160 practican vóley, 86 solamente fútbol y 250 practican fútbol o natación. ¿Cuántos deportistas practican únicamente vóley?

Semana Nº 3

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Ciclo 2019-I

Solución: -

250 practican fútbol o natación, entonces: 86 + 8 + 5 + 10 + x + z = 250

F V (160) z

86

145-z

x + z = 141

5

8

10 x N 320

-

El total de deportistas es 320, entonces: 160 + 86 + 8 + x = 320 x = 66 Luego: 66 + z = 141 z = 75  Solo practican vóley = 145 – z = 70

Diagrama de Lewis Carroll Un diagrama de Carroll es un diagrama rectangular utilizado mayormente para conjuntos disjuntos (conjuntos que no tienen elemento en común) cuya unión comprende la totalidad de los elementos. Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas quien era también matemático.

2.

En una aula de 70 personas, se sabe que - 25 mujeres tenían USB. - 35 hombres no tenían USB. Si el número de hombres que tenían USB es la cuarta parte del número de mujeres que no tenían USB, ¿cuántas personas no tenían USB?

Semana Nº 3

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Solución:

USB No USB

Hombre x 35

Mujer 25 4x

x + 25 + 35 + 4x = 70 5x = 10, luego x = 2 No tienen USB = 35 + 4x

x + 25 35 + 4x 70

 No tenían USB 43 personas.

EJERCICIOS 1.

F 

Sean los conjuntos F, G y J definidos como

G 

 x2  1 / x 3 x  F 







xZ /



0  x  200  ;



y J = x  Z  / x x2  25 x2  36 = 0 , determine la

suma de los elementos del conjunto (G Δ J) . A) 728 2.

B) 802

C) 780

D) 791

E) 63

Dados los conjuntos no vacíos F, G y H tal que F  G y G  H   ; simplifique

[ F  G   G]  H  H  F  F  G  F  H  G             A)  3.

C) F  G

D) H

E) F  G

Julián tiene un lote de 1 000 camisas. De ellas, decide eliminar aquellas que tengan dos o más yayas, y vender a mitad de precio aquellas que tengan solo una yaya. Si Julián no eliminó 922 camisas y la cantidad de camisas que venderá a mitad de precio son el doble de la cantidad de camisas que eliminó, ¿cuántas camisas venderá sin descuento? A) 784

4.

B) U

B) 766

C) 836

D) 704

E) 844

De los 88 estudiantes que se presentaron al examen de Cálculo I, se observó que 12 estudiantes usaban lentes y resolvían el examen, 16 no usaban lentes y miraban hacia las paredes. El número de estudiantes que usaban lentes y miraban hacia las paredes era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si los que miraban hacia las paredes no resolvían el examen, ¿cuántos estudiantes resolvían el examen? A) 32

Semana Nº 3

B) 16

C) 20

D) 40

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E) 44

Pág. 23

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.

Ciclo 2019-I

En la figura se muestra el triángulo ABC, el cual representa el jardín de la casa de Pedro, donde AC = 60 cm. Si la región triangular BDC se separa para construir una piscina especial, ¿cuál es el área máxima de dicha región triangular? A) 216 cm2

B

B) 184 cm2 C) 192 cm2 D) 128 cm2

A E) 164

37 o

D

cm2

C

Aritmética Sucesiones Sucesión: Una sucesión de números reales es una función x:   que asocia a  cada número entero positivo n un número real xn, llamado n-ésimo término de la sucesión. Es decir una sucesión es el conjunto de números que se generan a través de una ley de formación y se presentan en un orden determinado. Por ejemplo tenemos: a) 2, 3, 4, 5, . . . b) 10, 13, 16, . . . c) 2, 4, 8, 16, . . . A)

la ley de formación consiste en sumar uno al término anterior. la ley de formación consiste en sumar tres al término. la ley de formación consiste en multiplicar por dos al término precedente.

Sucesión polinomial de segundo orden

El término n - ésimo an está expresado de la forma: an = An2 + Bn + C donde A, B y C son constantes que se debe calcular a0 a1 a2 a3 a4 a5 . . . d0 d1 d2 d3 d4 . . . r r r r

donde d0 = d1 - r, a0 = a1 - d0 , A =

r , B = d0 - A, C = a0 2

El término general es: an = An2 + Bn + C

Semana Nº 15

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Pág. 21

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO B)

Ciclo 2019-I

Sucesión polinomial de tercer orden

Dada la sucesión: a1

a2

a3

b1

b2

c1

a3;

a5

a6 . . .

a4 b3

c2

d

a1; a2;

b4

c3 d

a5;

a6 . . .

b5 . . .

c4 d

a4;

c5 . . . d

. . .

El término n-ésimo an está expresado de la forma:

 n -1   n -1   n -1   n -1  n n! an = a1  + b + c  1  1  +d  donde   =  0   1   2   3   r  r!  n - r  ! La suma Sn de los n primeros términos está dado por:

n n n n Sn = a1   + b1   + c1   + d   1  2  3  4

Progresión Aritmética Una progresión aritmética (PA) es una sucesión de primer orden a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . donde su razón es

r = a2 – a1 = a3 – a2 = . . . Término general:

Suma de los n primeros términos de una PA:

an = a1 +  n – 1 r

Sn =

(an + a1 )n  2a1 + (n - 1)r  = n 2 2  

Progresión Geométrica Dada la progresión geométrica (PG) es una sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . donde la a a a razón es q = 2 = 3 = 4 = ... a1 a2 a3 Término general: an = a1qn-1 Suma de los n primeros términos de una PG:

Semana Nº 15

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Sn =

a1 (qn - 1) q-1

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Ciclo 2019-I

Serie Infinita Dada la sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . una serie es la adición indicada de los términos de la sucesión. Así se tiene la serie infinita es: a1  a2  a3  a4  an  ... Suma de términos de una serie infinita: S =

a1 ; 1- q

q < 1 donde q =

a2 a3 a 4 = = = ... a1 a2 a3

Sumatorias Dada la serie numérica a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an; se puede representar usando el símbolo  llamado sumatoria, definido de la siguiente manera: n

a

i

= a1 + a2 + a3 + ... + an

i=1

Propiedades n

1)

n

 c = c + c + c + .... + c = nc i=1 n

2)

 ka

i=1

n

i

i=1

n

n

i=1

i=1

 (ai + bi ) =  ai +  bi

3)

n

= k  ai

4)

i=1

 (a

i+1

- ai ) = an+1 - a1

i=1

6

Ejemplo

 (2

i+1

- 2i ) = 27 - 2 = 126

i=1

Sumatorias Notables

n

1.-

i = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n = i=1

n(n + 1) 2

n

2.-

 2i = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) i=1 n

3.-

 (2i - 1) = 1+ 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n

2

i=1 n

4.-

i

2

= 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

i=1

 n(n + 1)  i = 1 + 2 + 3 + ... + n =     2  i=1 n

5.-

3

3

n

6.-

n(n + 1)(2n + 1) 6

3

3

2

3

 i(i + 1) = 1× 2 + 2× 3 + 3× 4 + 4× 5 + ... + n×(n + 1) = i=1

Semana Nº 15

n(n + 1)(n + 2) 3

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Miguel despertó hace 1 hora y el tiempo que transcurrió del día hasta que despertó es la tercera parte del tiempo que faltará para acabar el día dentro de una hora. ¿A qué hora despertó? A) 5:20 am

7.

B) 5:15 am

C) 5:30 am

D) 5:00 am

E) 5:40 am

El reloj de Armando sufrió un desperfecto hace algunas horas, y desde ese momento empezó a adelantarse 3 min cada 2 horas. Cuando son las 5:15 p. m., él se da cuenta de que su reloj indica las 5:33 p. m. ¿A qué hora se malogró dicho reloj? A) 5:15 a. m.

8.

Ciclo 2019-I

B) 4:15 p. m.

C) 3:15 a. m.

D) 5:15 p. m.

E) 4:15 a. m.

Roxana tiene dos relojes: uno rojo y otro amarillo, pero tiene un inconveniente. El reloj rojo se atrasa 2,5 minutos por hora y el amarillo se adelanta 1,5 minuto por hora. Roxana sincronizó con la hora correcta ambos relojes al mismo tiempo. A la mañana siguiente, el reloj amarillo indicaba las 9 en punto, mientras que el rojo indicaba las 7h:40 min. ¿A qué hora sincronizó los relojes? A) 14 h : 40 min D) 13h : 15 min

B) 12 h : 30 min E) 10 h : 20 min

C) 9 h : 30 min

Aritmética Definición (Números Racionales) El conjunto de los números racionales, que denotaremos por Q , está formado por a todos los números de la forma , donde a y b son números enteros, con b  0 . Es b decir,

a  Q   / a,bZ  b  0  b  Ejemplo:

1 3 ; - ; - 7;... 2 5

Definición (Números Irracionales) El conjunto de los números Irracionales, que denotaremos por II, está formado por a todos los números que no tienen la forma , donde a y b son números enteros, con b b  0 . Es decir, Semana Nº 8

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 

   x/x  Ejemplo:

Ciclo 2019-I

a  con a,bZ  b  0  b 

2 ; - 5 ; π ; ...

Definición (Fracción)

a , donde a y b son números b enteros positivos. Es decir, el conjunto de las fracciones se define como Una fracción se define como un número de la forma

a  f   / a,bZ+  b  

Notación: “a” es llamado “numerador” de la fracción “b” es llamado “denominador” de la fracción CLASES DE FRACCIONES: 1.-

Fracción Propia: Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador (a < b) esta clase de fracciones son menores que la unidad, es decir, a 1 b 1 4 3 ; ; ; ... Ejemplo: 2 120 7

2.-

Fracción Impropia: Es aquella fracción que no es propia, es decir que el numerador es mayor que el denominador (a > b) esta clase de fracciones son mayores que la unidad, es decir,

Ejemplo: 3.-

4 1000 7 ; ; ; ... 3 7 3

a 1 b

Fracción Aparente: Es aquella fracción donde el numerador es múltiplo del denominador, esto quiere decir que los números enteros positivos son fracciones aparentes.

f  Ejemplo: 1; 2; 3;

Semana Nº 8

 a / ab b

16 ;… 8

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.-

Ciclo 2019-I

Fracción Irreducible: Es aquella fracción donde sus términos no deben tener divisores comunes diferentes de la unidad, es decir, sus términos deben ser PESI. Ejemplo:

3 16 1345 ; ; ; ... 4 17 1344

Observación:

44 no es irreducible puesto que esta se puede “reducir” o 36 11 “simplificar” a la fracción . 9 La fracción

5.-

Fracción Decimal: Esta clase de fracciones tienen en su denominador potencias de 10.

a 10n

Es decir

Observación: Diremos que las fracciones

a c y son equivalentes, si y solo si b d

se cumple que a.d  c.d . Esto también se puede interpretar de la siguiente manera

a c   a  ck  b  dk, k  Z  b d Propiedades: 1.- Si

a a a k 1  , k  Z b b b k

2.- Si la suma de dos fracciones irreducibles resulta un número entero positivo, entonces las fracciones son homogéneas. Es decir, dadas las fracciones a c irreducibles y se cumple: b d

a c   k  Z   b  dk b d 3.- Dadas las fracciones irreducibles

 a c  MCD(a,c ) MCD  ,  =  b d  MCM(b,d )

Semana Nº 8

a c y se cumple que: b d

∧

a c MCM(a,c ) MCM ,  = b d MCD(b,d )

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

7.

8.

Ciclo 2019-I

¿A qué hora, entre las 7 y 8 de la mañana, las agujas de un reloj forman un ángulo de 120° por primera vez? A) 7h

180 min 11

B) 7h 16 min

D) 7h

160 min 11

E) 7h 18 min

C) 7h 15 min

La hora en este instante es entre las 5 y 6 de la mañana, observo en mi reloj que el minutero aún no llega a la marca de las 5 y forma con el horario un ángulo de 18°. ¿Cuánto faltan para que sean las 4:00 p.m.? A) 10h 34 min

B) 10h 30min

D) 10h 24 min

E) 10h 35 min

C) 10h 36 min

¿Qué hora marca el reloj mostrado?

1 min 13 3 5h 46 min 13 1 5h 46 min 13 2 5h 46 min 13 2 5h 45 min 13

12

A) 5h 45 B) C) D) E)

11

1

10

2 a

9

3 a

8 7

4 5

6

Aritmética FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO AVAL 1. AVAL EXACTO K cifras

0, abc...x ( n ) 

ab...x ( n ) ab...x ( n )  . K n 100 ... 0( n ) " K ceros "

Ejemplo:

Semana Nº 9

0,42 

42 21  100 50 (Prohibida su reproducción y venta)

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Ciclo 2019-I

2. AVAL PERIÓDICO PURO

0, abc...x

(n)

K cifras



abc...x ( n )  nK  1

abc...x ( n ) (n  1) (n  1) ... (n  1)( n ) " K cifras "

Ejemplo: 0,333...  0,3 

3 1  9 3

Ejemplo: 1,7373...  1,73 

173  1 172  99 99

3. AVAL PERIÓDICO MIXTO

a1a2 ...aKb1b2 ...bm   a1a2 ...aK   (n)   (n) 0,a1a2 ...aK b1b2 ...bm    K m  (n) n (n  1)



 a1a2 ...aK b1b2 ...bm    a1a2 ...aK   (n)   ( n) (n  1)(n  1) ...(n  1) 00 ... 0 ( n ) " m cifras "

" K ceros "

Ejemplo: 0,21313... = 0,213 = 213 - 2 = 211 990 990 RECONOCER EL DECIMAL A PARTIR DE SU FRACCIÓN GENERATRIZ

Sea f 

a fracción irreducible b

1) Si b = 2p x 5q con p y q no nulos a la vez. El número decimal correspondiente es exacto. # cifras decimales de f = Mayor exponente de 2 o 5 = máx. {p; q} Ejemplo:

f 

Semana Nº 9

21 21  4  0,0525 400 2  52

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Ciclo 2019-I

# cifras decimales = máx. {4; 2} = 4. Por lo tanto, f tiene cuatro cifras en la parte decimal. Regla de los 9:

Nivel:

9 = 32

Representantes

1

3

99 = 32 x 11

2

11

999 = 33 x 37

3

27

9999 = 32 x 11 x 101

4

101

99999 = 32 x 41 x 271

5

41

= 33 x 7 x 11 x 13 x 37

6

7

= 32 x 239 x 4649

7

239 y 4649

= 32 x 11 x 73 x 101 x 137

8

999999 9999999 99999999

73

y

9

y

37

y 271 y

y

13

137

Obs: El nivel se considera de arriba hacia abajo. Ejemplo: El nivel del 11 es 2 (dos), pues se encuentra por primera vez como factor de 99 (dos nueves); así como el nivel del 37 es 3 y no 6, pues el 37 aparece por primera vez como factor de 999 (tres nueves), etc.

2) Si b se descompone en factores primos diferentes a 2 o 5 Supongamos que b = (r)(t) … (s)

donde r, t, …,s son PESI con 2 o 5, entonces

el número decimal correspondiente es periódico puro; por lo tanto # Cifras del periodo de f = MCM {nivel (r);…; nivel (s)}. Ejemplo 01:

f 

1  0, 142857 7

# Cifras del periodo = nivel (7) = 6. Luego, f genera un decimal con 6 cifras en su periodo.

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Ejemplo 02:

1  0, 003484320557491289198606271777 7  41 # Cifras del periodo de f = MCM [nivel (41); nivel (7)] = MCM [5; 6] = 30. Por lo tanto, f genera un decimal con 30 cifras en su periodo. 3) Si b tiene factores primos 2 o 5, y otros factores PESI con 2 o 5. Supongamos que b = 2p. 5q (r)…(s) con p y q no nulos a la vez donde r,…,s son PESI con 2 o 5, entonces el número decimal correspondiente es periódico mixto; por lo tanto: # cifras de la parte no periódica de f = Mayor exponente de 2 o 5 = máx.{p ; q} # Cifras de la parte periódica de f = MCM [nivel (r);…; nivel (s)]. Ejemplo: f=

7 = 0,000072765 2 ×5 ×37×13 3

2

# Cifras parte no periódica de f = máx. { 3; 2} = 3. #Cifras de parte periódica de f = MCM [nivel (37); nivel (13)] = MCM [3; 6] = 6 TEOREMA DE MIDY(1836): Sea p  2, 5 un número primo y 0 < a < p talque

a = 0,c1c 2 ...c nc n 1...c 2n 1c 2 n entonces c1c 2 ...c n + c n 1...c 2n 1c 2n  99...99 . p n cifras Observación: c j +cn+j = 9,  j =1,2,...,n. Ejemplos: 

1 = 0,05882352 94117647  05882352+94117647 = 99999999 17

Observación: c5 = 2; c5+8 = 7  c 5 +c 5+8 = 2+7 = 9 

1 = 0,142857  142+ 857 = 999 7

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1  19   0,0327458  0328  7458  7778 (Teorema de Midy en base 8) (8)

Observaciones: 1) A todo número

a que cumple el teorema llamemos número de Midy. p

2) Generalización del teorema de Midy: Sean N >1 y 1  a
N

es un número de Midy.

tal que 1  a < N . Si N divide a 10p +1 para algún número primo p , N entonces a es un número de Midy. N

3) Sea a

4) Si N es tal que 1 es de Midy, entonces, r  N

+

, 1 r es de Midy. N

Observaciones: i.

0,a(n) =

a n

ii.

iii. 0,abc (n) = v. 0,ab (n) =

a b c b c + 2 + 3 + 4 + 5 +... n n n n n

a b a b + 2 + 3 + 4 +... n n n n

0,abc (n) =

iv. 0,a(n) =

a b c + 2 + 3 n n n

a a a + 2 + 3 +... n n n

vi. 0,ab(n) =

a b b b + 2 + 3 + 4 +... n n n n

EJERCICIOS 1.

Determine la suma de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas del número 74 decimal generado por la fracción . 9184 A) 34

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B) 30

C) 38

D) 36

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E) 31

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Ciclo 2019-I

En la figura se muestra un diseño de una lámpara colgante la cual consta de 14 circunferencias pequeñas de radio 5 cm y una circunferencia mayor. Calcule el perímetro de la región sombreada. A) 180 π cm B) 200 π cm C) 190 π cm D) 195 π cm E) 210 π cm

Aritmética SISTEMAS DE NUMERACIÓN Número Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. La representación simbólica de un número recibe el nombre de numeral. Una cifra es aquel símbolo que se utiliza para la formación de numerales. Principios fundamentales de la numeración 

Del orden Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, de derecha a izquierda.



De la base Es un numeral mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera son necesarias, para formar una unidad del orden siguiente.



De la cifra Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base. El número de cifras posibles, que se puede utilizar en cierta base, es igual a la base.

Observación En toda igualdad mayor numeral aparente, le corresponde menor base y a menor numeral aparente mayor base. Ejemplo. Si 124(k) = 43(n) entonces k < n. A continuación presentamos algunos sistemas de numeración: Semana Nº 4

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Base 2 3 4 5 6

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Nombre del sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario

Cifras utilizables 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5

En un sistema de numeración de base “n” se tiene que las cifras son 0; 1; 2; 3; …; (n – 1) y la representación literal de un numeral está dado por:

abc( n ) ; aabaa ( n ) ;

 n 1 n 1 n , etc.

Número capicúa Un numeral capicúa es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos.: aba ; aaaa; abba; etc. son numerales capicúas. Cambio de base 

De base diferente de diez a base diez. Mediante descomposición polinómica: 345(7) = 3×72 + 4×7 + 5 = 147 + 28 + 5 = 180, luego 345(7) =180 2104(5) = 2×53 + 1×52 + 0×5 + 4 = 279, luego 2104(5) = 279



De base diez a base diferente de diez. Mediante divisiones sucesivas: 125 a base 6 125 6 5 20 6 2 3 luego 125 = 325(6)



De base diferente de diez a base diferente de diez. Primero se convierte a base 10 mediante descomposición polinómica y luego a la base deseada mediante divisiones sucesivas. Otros casos:



De base n a base nk. Se forman grupos de k cifras, a partir del primer orden. A cada grupo, se le descompone polinómicamente y el resultado será una cifra en base nk.

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Ejemplo. Convertir 2101121(3) a base 9. Como 9 = 32 , se forman grupos de 2 cifras: 2 2 2

| | |

10 1x3+0 3

| | |

11 1x3+1 4

| | |

21 2x3+1 7

(3)

(9)

Luego 2101121(3) = 2347(9)



De base nk a base n Cada cifra del numeral en base nk, genera un grupo de k cifras en base n, mediante divisiones sucesivas. Ejemplo. Convertir 2345(8) a base 2 Como 8 = 23 , cada cifra genera un grupo de 3 cifras: 2 | 3 | 4 | 5 010 | 011 | 100 | 101

5=101(2) 3=011(2)

(8) (2)

; ;

4 = 100(2) 2 = 010(2)

; .

Luego 2345(8) = 10011100101(2) Observación:

1a1a

i) k-veces

a1a1

ii)

.. . a1( n )

k-veces

ab

iii) k-veces

Semana Nº 4

.. . 1a ( n )

 n  k.a

ak 1  a .n  a 1 k

 a k  1  a .n  b    a 1  k

ab.. . ab ( n )

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COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número natural N, denotado por CA(N), es la cantidad que le falta a N para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. En general, el complemento aritmético de a1......a k ( b ) está definido como: CA ( a1 .......ak ( b ) )  1000...000( b )  a1 .......ak ( b ) (k+1) cifras

CA (576) = 1000 – 576 = 424 CA( 341(5)) = 1000(5) – 341(5) = 104(5)

EJERCICIOS 1.

Si mmm (m+2) = nn75 (8) = 637 (m+3) , halle el valor de (m + n). A) 8

2.

B) 9

C) 10

D) 7

E) 6

 m  6  Si    m(n - 2)(5) es un número capicúa, ¿en cuántos sistemas de numeración  2  n  se representa con tres cifras? A) 7

3.

C) 9

D) 10

E) 11

Juan tiene solo dos nietos cuyas edades, en años, son dígitos. Si el número de años que tiene Juan y su único hijo Manuel son números de dos cifras formados con los dígitos que representan las edades de los nietos, además Manuel tiene 4 veces más años que su hijo mayor, determine la suma de las edades, en años, del abuelo y su nieto menor. A) 48

4.

B) 8

B) 50

C) 54

D) 53

E) 52

Se tiene un número de tres cifras que es igual a la suma del doble de su complemento aritmético con el complemento aritmético de la suma de todos los dígitos que no forman el número. ¿Cuál es la suma de las cifras de dicho número? A) 12

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B) 13

C) 14

D) 15

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E) 16

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Aritmética SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE EUCLIDES Para los números enteros D (dividendo) y d ≠ 0 (divisor) existen dos únicos números enteros; q (cociente) y r (residuo) tales que: DIVISIÓN INEXACTA: La división es inexacta cuando el residuo es diferente de cero

D = d.q + r; donde 0  r < d  DIVISIÓN POR DEFECTO: D = d.q + rd  DIVISIÓN POR EXCESO: D = d(q + 1) – re PROPIEDADES: 1. rd + re= d 2. rmáx = d – 1 3. rmín = 1 Ejemplo: En una división entera inexacta el dividendo es menor que 912, el cociente por exceso es 12 y el residuo es 21. ¿Cuántos valores toma el divisor? Solución: q + 1 = 12  q = 11 D = d(11) + 21 < 912; 21 < d 21 < d < 81  d = 22, 23, 24 , . . . , 80. Por lo tanto # d = 59 DIVISIÓN EXACTA:(Divisibilidad): Se dice que la división entera es exacta, cuando el resto o residuo de la división, es cero. Es decir

D = d.q Semana Nº 5

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En este caso diremos que:  D es divisible por d  D es múltiplo de d  d es divisor de D o

Observación: Denotaremos esto como D = d

PROPIEDADES o

o

o

o

o

1)

d d  d

2)

d  d  d  ...  d  n  d  d

o

o

o

o

n veces

o

o

o

3)

d d  d

4)

o o o o o  o d d d ...  d   d   d   n  veces

5)

 o  o  o  d  r  d  s   d  r  s   

6)

( d + r)n = d + rn ; r < k

n

o

o

o

7)

, n  Z+,  k  Z+

o

d – rn ; si n es impar, n  Z+,  k  Z+

( d - r )n =

o

d + rn ; si n es par, n  Z+,  k  Z+ o

8)

o

d + rd = d – re ↔ rd + re = d o

a  r o

9)

Si N =

b  r

O

 N = MCM(a,b,c)  r

o

c  r Ejemplo: Halle el residuo por exceso al dividir (170512)50 por 17. Solución: 









(170512)50 = 17  x  ( 17  2 )50 = 17  x  17  250  17  x  Semana Nº 5

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 





Ciclo 2019-I 







(24 )12 . 22 17  x  (17 1)12 .4  17 x  (17 1).4  17 x  17 4  17 x  



17 13  17 x . Por lo tanto el residuo por exceso es 13.

Ejemplo: ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre cualquiera de las cantidades: 7, 6, 5, 3 ó 2, deja un residuo máximo para cada divisor empleado? Solución: Sea N el menor número entero positivo, del dato:  7  6  7  1  6  5  6  1  N  5 4  5 1  N  MCM (2,3,5, 6, 7)  1  210 1  Por lo tanto el menor es 209.  3 2  3 1   2 1  2 1  CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR 2 POR 3 POR 4 POR 5 POR 6 POR 7

: : : : : :

La última cifra es 0, 2, 4, 6 ó 8. La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. La última cifra es 0 ó 5. Es divisible por 2 y por 3. La suma de sus cifras multiplicadas “de derecha a izquierda” por los factores 1, 3, 2, –1, –3, –2, ... es múltiplo de 7 O

O

N  a b c d e f  7  f + 3e + 2d - c - 3b - 2a = 7 -2 -3 -1 2 3 1

POR 8 : Las tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. POR 9 : La suma de sus cifras es múltiplo de 9. POR 11: Diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar menos la suma de sus cifras de lugar par es múltiplo de 11. O

O

N  a b c d e f  11  (f + d + b) - (e + c + a) = 11 -1 1 -1 1 -1 1

POR 13: Cuando la suma de sus cifras multiplicadas “de derecha a izquierda” por los factores 1, – 3, – 4, – 1, 3, 4, 1,... es múltiplo de 13.

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Ciclo 2019-I o

f

N=abc def

3e

4d

c + 3b + 4a = 13

4 3 -1 -4 -3 1

POR 33: El número nabcdef es divisible por 33, si n  ab  cd  ef es múltiplo de 33. POR 99: El número nabcdef es divisible por 99, si n  ab  cd  ef es múltiplo de 99. Ejemplo: 



Si 7x3yz = 55 y zx3  3 , hallar el mayor valor de (x + y).

Solución: i) z = 5 (Obvio) ii)



7 x 3 y 5  11



5 x3  3

; 

15  (x  y)  118  x  3 



x  y  11 4

2+x= 3 7 8 1 4 7 Por lo tanto x + y = 15

RESTOS POTENCIALES Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo. Ejemplo. Calcule los restos potenciales de la base 3, respecto al módulo 5. O

3  5 3  3 1

0 4 1

O

0 4 2

O

0 4 3

3  5 4  3 2

3  5 2  3 3

0

O

34  5  1  34 Luego se tienen 4 residuos diferentes: 3, 4, 2 y 1 Ejemplo: Calcule el residuo por exceso de dividir 342358954521456550 por 5. Solución: o

o

o

o

o

342358954521456550  5 r  34 2  5 r  5+ 4  5 r  re  1

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Aritmética NÚMEROS PRIMOS Se dice que un número natural es primo o primo absoluto cuando admite tener únicamente 2 divisores positivos que son la unidad y él mismo. Ejemplo: 17 admite solo como divisores positivos a 1 y 17. Observaciones: 1) 2) 3)

La unidad es el único número que no es primo ni compuesto por tener un solo divisor. Se llama número primo en Z a todo número entero que posee exactamente 4 divisores. Si p es un número primo en Z, entonces –p es un número primo en Z. NÚMEROS COMPUESTOS

Se dice que un número natural es compuesto cuando admite tener más de dos divisores positivos. Los números primos menores a 100 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Teorema (Criterio de Eratóstenes) Sea n  ℕ (n > 1). Si no existe q  ℕ, 1 < q ≤ número primo.

n , que divide a n, entonces n es un

Ejemplo: Si 227 = 15,06… Los números primos ≤ que 15 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13 Como ninguno de los números: 2, 3, 5, 7, 11, 13 divide a 227  227 es primo.

Teorema Fundamental de la Aritmética Si n  ℕ (n > 1), entonces existe un conjunto finito de números primos p k y αk  ℕ - {0}, donde k = 1, 2, 3, 4, … ,m tales que 0 < p1 < p2 < p3 < …< pm donde: 







n = p1 1 . p2 2 . p3 3 ... pmm (descomposición canónica de n). Ejemplo: Sea ab. (a + 1) a . ab la descomposición canónica del número N. Si N es el menor posible, halle la suma de cifras de N.

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Solución: N = 23. 32. 23  N = 1656. Por lo tanto, 1+ 6 + 5 + 6 = 18. CANTIDAD DE DIVISORES POSITIVOS (CD) 







Sea n  ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma p1 1 . p2 2 . p3 3 ... pmm , la cantidad de divisores positivos de n denotada por CD(n), está definida como: CD(n) = (α1 + 1) (α2 + 1) (α3 + 1) . . . (αm + 1) Nota: Sea n  ℕ, entonces: 1) (CD (n)) = (CD primos) + (CD compuestos) + 1 2) (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) 3) # (Divisores simples) = # (Divisores primos) + 1. 4) Divisor propio: Es aquel que, siendo divisor de un número, no es igual a él. Ejemplos: - Los divisores propios de 8 son: 1; 2 y 4 - Los divisores propios de 20 son: 1; 2; 4; 5 y 10 Ejemplo: El número N = 3n + 3n+3 tiene 33 divisores positivos que no son números primos, halle el número de divisores primos del número nnn . Solución: N = 3n + 3n+3 = 3n (1 + 33) = 3n .22 .7 (CD (n)) = (CD primos) + (CD no primos) (n + 1)(3)(2) = 33 + 3 entonces n = 5. Luego nnn = 555 = 5.3.37. Por lo tanto, el número de divisores primos es 3. SUMA DE DIVISORES POSITIVOS Sea n  ℕ (n > 1), cuya descomposición canónica es de la forma a α . bβ . cθ , la suma de los divisores positivos de n denotada por SD(n), está definida como:

 a  1  1   b  1  1   c 1  1   .  .  SD(n) =    b1   c1  a  1      

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PRODUCTO DE DIVISORES POSITIVOS Sea n  ℕ (n > 1), el producto de los divisores positivos de n denotado por PD(n), está definido como: PD(n) = nCD(n) Ejemplo: La suma de divisores positivos y el producto de sus divisores positivos de un número son 624 y 312  56  76 , respectivamente, además tiene 12 divisores positivos. Calcule la suma de los divisores que no son múltiplos de 7. Solución: SD(N) = 624 PD(N) = 312.56.76 entonces NCD/2 = (32.5.7)12/2 entonces N = 32.5.7 

Por lo tanto, SD (N no 7 ) =

33  1 52  1 = 13(6) = 78 . 3 1 5 1

EJERCICIOS 1.

¿Cuántos pares de números positivos primos entre sí existen, tal que su producto es 360? A) 2

2.

C) 5

D) 6

E) 3

Martín tiene 6n1 paquetes de galletas, todos del mismo tamaño. Si el máximo número de cajas de diferentes tamaños que se pueden confeccionar es a4 , donde cada una de estas contienen exactamente un número de paquetes de galletas, equivalente a un divisor del número total de paquetes de galletas que tiene Martín, determine el valor de a+n. A) 9

3.

B) 4

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Las edades, en años, de Camila y Sara son dos números PESI, que se diferencian en 2. Además, el producto de sus edades que tienen, aumentado en 1 resulta un número que tiene 8 divisores positivos propios y 3 divisores positivos simples. Si ambas son no menores de 10 años y no mayores de 21 años, ¿cuántos años tiene la menor? A) 17

Semana Nº 6

B) 11

C) 13

D) 19

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E) 15

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En un depósito se tiene guardado un lote de cajas idénticas, que están colocadas como en la figura, donde cada cuadrado representa una caja y el número que lleva cada una de ellas, indica la cantidad de artefactos que hay en ella. Si está permitido que en un lote, se tenga a lo más 50 docenas de artefactos, ¿cuál es la máxima cantidad de cajas que puede contener este lote?

1 .. . .. .. 1 1 3 W 1 3 5 X 1 3 5 7 Y 1 3 5 7 9 .. . Z A) 45

B) 54

C) 66

D) 72

E) 80

Aritmética MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS ENTEROS

1.

Definición: El Máximo Común Divisor (MCD) de un conjunto de números enteros positivos es el mayor de sus divisores comunes.

Ejemplo: Si A = 34.57.1713 y B = 312.72.1711, el MCD (A; B) = 34.1711 -

Se dice que A y B son primos entre sí (PESI), si MCD(A; B) = 1

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PROPIEDADES Dados los números enteros A, B, C y n, entonces se cumple que: i.

MCD(nA; nB; nC)  n  MCD(A; B; C)

ii.

 A B C MCD  ; ;  n n n

MCD(A; B; C) n

iii. MCD(An ; Bn ; Cn )  MCD(A; B; C) n iv. MCD(A;B;C;D)=MCD(MCD(A;B);MCD(C;D)) v.

MCD(A;B;C)=MCD(MCD(A;B);MCD(B;C))

Observación. -

En general, sean los números enteros A, B y C; de tal manera que el MCD(A; B; C) = d, entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: A = d  p; B = d  q y C = d  r

-

Si a es múltiplo de b, entonces el MCD(a;b) es b.

-

Si varios números naturales se dividen entre su MCD, los resultados son primos entre sí.

-

El MCD de dos números enteros a y b coincide con el MCD de b y el resto de la división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides.

-

Teorema de Bezout. a y b son números enteros con MCD(a;b) = d si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifica: d = p.a + q.b

-

2.

Según el Teorema de Bezout. a y b son PESI si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifique: p.a + q.b = 1.

Definición: El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de un conjunto de números enteros positivos es el menor de sus múltiplos comunes. Ejemplo: Si A = 26.54.78 y B = 25.33.79, el MCM (A; B) = 26.33.54.79 -

Si A y B son primos entre sí, entonces MCM (A; B) = A  B

Semana Nº 7

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PROPIEDADES. Dados los números enteros A, B, C y n, entonces se cumple que: i.

MCM(nA; nB; nC)  n  MCM(A; B; C)

MCM(A; B; C)  A B C MCM  ; ;  n n n n n n n iii. MCM(A ; B ; C )  MCM(A; B; C) n

ii.

-

Solo para dos números enteros se cumple que MCD(A; B)  MCM(A; B)  A  B

Observación. -

En general, sean los números enteros A, B y C; de tal que el MCM(A; B; C) = m; entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: m = A  p, m = B  q

y

m = C r

-

Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a.

-

Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente) por m.

ALGORITMO DE EUCLIDES PARA EL CÁLCULO DEL MCD DE DOS NÚMEROS

El procedimiento se puede organizar en el siguiente esquema:

Cocientes Dividendo y divisor Residuos

q1

q2 q3

# Mayor # Menor r1 A B r1

r2

q

q

r2

r3

r4 = d = MCD(A;B)

r3

r4

0

4

5

TERMINA EL PROCESO CUANDO EL RESIDUO ES CERO.

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Ejemplo: Halle el MCD de 42 y 9

42

4

1

2

9

6

3

6

3

0

MCD(42 ; 9) = 3

Por lo tanto, MCD (42; 9) = 3

PROPIEDADES. -

𝑀𝐶𝐷[𝑃𝑎 − 1; 𝑃𝑏 − 1] = 𝑃𝑀𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) − 1.

-

Si 𝑁 = 𝑎 ± 𝑘

-

Si a = q.b + r, 0 < r < b entonces MCD(a, b) = MCD( b, r).

•



•

y

𝑁 = 𝑏 ± 𝑘, 𝐾 ∈ ℤ  N  MCD(a;b)  k

EJERCICIOS 1.

Ana, Betty, Carla y Daniela asisten al mismo teatro cada 8; 9; 10 y 12 días respectivamente. Si un día martes todas asistieron por primera vez a dicho teatro, ¿qué día de la semana irán todas por cuarta vez? A) Miércoles

2.

C) Jueves

D) Viernes

E) Sábado

Aldo y Beto tienen A y B soles respectivamente. Si se sabe que el MCM(A; B) equivale al MCM(13A; 7B), además Aldo tiene 30 soles más que Beto, ¿cuántos soles, como mínimo, tienen entre ambos? A) 96

3.

B) Martes

B) 82

C) 68

D) 54

E) 40

Un alumno al hallar correctamente el MCD(abc;cba) con a > c, mediante el algoritmo de Euclides, obtuvo los cocientes sucesivos 1; 1; 13; 2; 2 y 2, realizando solo la tercera y cuarta división por exceso. Determine el menor valor de (a – b.c). A) 2

4.

B) – 2

C) – 4

D) 0

E) 4

Tres albañiles Andrés, Beto y Carlos deben colocar losetas en un área de 535m 2. Para colocar 1m2 emplean 30, 36 y 42 minutos respectivamente. ¿Cuántas horas tardarán en culminar dicho trabajo, si se desea que cada uno de los tres albañiles empleen un mínimo de tiempo y coloquen cada uno un número entero de m 2 trabajando simultáneamente? A) 112

Semana Nº 7

B) 102

C) 96

D) 84

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E) 105 Pág. 23

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.

En el sistema mostrado, los radios de las poleas M, N, P, Q y R son 4, 6, 3, 6 y 2 cm, respectivamente. Si el bloque sombreado sube una longitud de 8π cm en el sentido indicado, ¿cuántas vueltas dará la polea Q? A) 1

8.

Ciclo 2019-I

B)

C) 1

1 3

E) 1

1 2

1 2

D) 1

1 4

En la figura se muestra una bicicleta cuyos radios de las ruedas están en la relación de 5 es a 2. Al hacer cierto recorrido, la rueda mayor dio 18 vueltas menos que la rueda menor. Halle la suma de los ángulos girados por cada rueda en ese recorrido. A) 80π rad B) 81π rad C) 82π rad D) 84π rad E) 86π rad

Aritmética RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades que pertenecen a una misma magnitud, por medio de una diferencia o de un cociente. Razón aritmética: Cuando se compara por diferencia: a  b  r Ejemplo: La razón aritmética entre 15 y 9 es 6, pues 15  9  6 Razón geométrica (RAZÓN): Cuando se compara por cociente:

a k b

6 2 3 En los dos casos anteriores se conoce como Ejemplo:

la razón entre 6 y 3 es 2, pues

Semana Nº 10

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO a: b: r: k:

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Antecedente Consecuente Valor de la razón aritmética. Valor de la razón geométrica.

PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones de un mismo tipo. 1.

Proporción aritmética (EQUIDIFERENCIA): Es la igualdad de dos razones Aritméticas. a–b=c–d Donde: a y d: Se llamarán “términos extremos” b y c: Se llamarán “términos medios”

1.1 Proporción aritmética discreta (o no continua): Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes ab  cd,

bc

Donde: d: Se llamará “cuarta diferencial de a, b y c” 1.2 Proporción aritmética continua: Es cuando los términos medios de la proporción son iguales.

ab  bc

Donde: ac b : Se llamará “media diferencial de a y c” 2 c: Se llamará “tercera diferencial de a y b” 2.

Proporción geométrica (PROPORCIÓN): Es la igualdad de dos geométricas

razones

a c  b d Se lee: Donde:

a es a b como c es a d a y d: Se llamarán “términos extremos” b y c: Se llamarán “términos medios”

2.1. Proporción discreta: Es cuando los términos medios de la proporción son diferentes a c  , bc b d Donde: d: Se llamará “cuarta proporcional de a, b y c”

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.2. Proporción continua: iguales

Ciclo 2019-I

Es cuando los términos medios de la proporción son

a b  b c

b  ac : Se llamará “media proporcional de a y c” c: Se llamará “tercera proporcional de a y b”

Propiedades 1)

a c  , se dice que d es la cuarta proporcional. Se cumplen: b d

Si

i)

ab



cd

iv)

b d a c  ii) ab cd iii)

2)

ii)

a1 b1



a2 b2

b1  b 2  ...  bn

b 1b 2 ...b n

iii)

vi)

 ... 

a 1  a 2  ...  a n

a 1a 2 ... a n

an b

ac a c   bd b d

Dado:

i)

v)

ac bd  a-c b-d

an bn

n



cn n

n

;

d

n

a b



n

c

n

d

ac  k2 bd

 k , serie de n – razones se tiene:

k

 kn

a n1  a n2  ...  a nn bn1  bn2  ...  bnn

 kn

Ejemplo 1. Sea M la tercera diferencial de 24 y 16. L es la media diferencial de 9 y 1. Halle la media diferencial de M y L  1. Solución: 24 – 16 = 16 – M  M = 8

9 – L = L – 1  L = 5, luego, 8 – x = x – 4  x = 6

Ejemplo 2.

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Sea M la cuarta proporcional de 7, 2 y 21. N es la tercera proporcional de 16 y 8. Halle la cuarta diferencial de M, N y 5. Solución:

16 7 21 8   → M = 6; → N = 4 , luego, M – N = 5 – x → 6 – 4 = 5 – x → x = 3 2 8 M N Ejemplo 3.

b2  c2 1  Si b es la media proporcional de a y c, a + b + c = 63 y 2 , siendo a, b y 2 16 a b c  Z+, halle la cuarta diferencial de a, b y c. Solución: a b   b2  ac b c

De (1) en (2):

b2  c2 1  2 2 16 a b

… (1)

… (2)

ac  c2  16  a=16c En (1): b2  16c2  b=4c 2 a  ac

a  b  c  63  16c  4c  c  63  c  3 a  48 b  12  48  12  3  x  x = -33 EJERCICIOS 1.

La cantidad de aficionados al fútbol que ingresaron al estadio la primera y segunda fecha suman 40 000 y estuvieron en la razón de 13 a 7. Si la cantidad de aficionados que ingresaron al estadio la tercera fecha fue de 8 000, ¿cuál es la razón entre la cantidad de aficionados que ingresaron a dicho estadio la tercera y la segunda fecha? A) 4/7

2.

C) 1/2

D) 9/14

E) 3/7

En una campaña de vacunación se observó que por cada 5 varones adultos que se vacunan, 6 niños varones se vacunan, y por cada tres mujeres adultas que se vacunan, 8 niñas se vacunan, de los adultos el número de varones es al número de mujeres como 7 es a 4. Si se vacunaron 286 niños en total, ¿cuántos varones adultos se vacunaron? A) 120

3.

B) 5/7

B) 105

C) 180

D) 110

E) 115

La suma de las edades, en años, de tres amigos es 76. Si el producto del número de años del mayor y menor es igual al cuadrado del número de años del intermedio, y la edad de este es a la del menor como 3 es a 2, ¿cuántos años tiene el mayor? A) 45

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B) 36

C) 42

D) 54

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E) 48

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Aritmética MAGNITUDES PROPORCIONALES (DIRECTA E INVERSA)-REPARTO PROPORCIONAL- REGLA DE TRES SIMPLE-REGLA DE TRES COMPUESTA MAGNITUDES PROPORCIONALES (DIRECTA E INVERSA) MAGNITUD: Es todo lo susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser cuantificado. Dos magnitudes tienen cierta relación de proporcionalidad si, al variar una de ellas, entonces la otra también varía en la misma proporción. Dicha relación de proporcionalidad puede ser de dos tipos: A) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P.) Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) cuando al aumentar los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan en la misma proporción o viceversa. Observación 1: La magnitud “A” es directamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: A D.P. B  A = cte. B

VALORES NUMÉRICOS A

a1

a2

a3

…

an

B

b1

b2

b3

…

bn

 B

a1 a2 a3 a    ...  n b1 b2 b3 bn A  cte. B

b3 b2

Función de Proporcionalidad Directa F(x) = kx,

k: Cte.

300 60

400 80

b1

a1

a2

A

a3

Ejemplo: Distancia Velocidad

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100 20

200 40

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B) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ( I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) cuando al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen en la misma proporción o viceversa. Es decir, si los valores de una de ellas se duplica, triplica, … los valores correspondientes se reducen a su mitad, tercera parte… respectivamente. Observación 2: La magnitud “A” es inversamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: A I.P. B  A x B = cte. VALORES NUMÉRICOS A

a1

a2

a3

…

an

B

b1

b2

b3

…

bn

a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = … = an bn

Función de Proporcionalidad Inversa F(x) = k , x

k: Cte

Ejemplo: V T

50 20

100 10

200 5

250 4

500 2

PROPIEDADES I)

Si A D.P B  B D.P C  A I.P C

II)

Si A I.P B  A D.P

III)

Si A D.P B (C es constante)

1 B

Si A D.P C (B es constante)

Semana Nº 12

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO  A D.P B x C  IV)

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A = cte. BxC

Si A I.P B (C es constante) A I.P C (B es constante)  A I.P B x C  A x B x C = cte.

V)

Si A D.P B  (valor A)n (valor B)n

= cte.

Si A I.P B  (valor A)n x (valor B)n = cte. REPARTO PROPORCIONAL Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste dividir una cantidad en varias partes, las cuales deben ser proporcionales a un conjunto de números o cantidades llamados índices de reparto. REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Sea “C” la cantidad a repartir y los índices de reparto: a1; a2 ; a3; …; an

C=

a1 x K a2 x K a3 x K . . . an x K

K

C a1  a2  a3  ...  an



Partes P1 = a 1 K P2 = a 2 K P3 = a 3 K . . . Pn = a n K

Ejemplo: Reparta S/. 720 directamente proporcional a: 2; 3; y 4 2K 720

3K 4K

Semana Nº 12

720 K  80 234

P1 = 2(80) = 160 P2 = 3(80) = 240 P3 = 4(80) = 320

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REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Sea “C” la cantidad a repartir y los índices de reparto: a1; a2 ; a3; …; an 1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an   1K a1

C

1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an   2K a2 1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an   3K a3

K

. . .

C 1  2  3  ...  n

1 xMCMa1,a2 ,a3 ,...,an   nK an

Ejemplo: Reparta S/. 780 que sean inversamente proporcional a 6; 9; y 12. 1 MCM(6,9,12)  6K 6

780

1 MCM(6,9,12)  4K 9

P1 = 6(60) = 360 K

780  60 643

P2 = 4(60) = 240 P3 = 3(60) = 180

1 MCM(6,9,12)  3K 12

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Es cuando se tiene dos magnitudes directamente proporcionales. El esquema es el siguiente: A

B

a1

b1

x

b2

 x

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a1b2 b1

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REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Es cuando se tiene dos magnitudes inversamente proporcionales. El esquema es el siguiente: A B a1

b1

x

b2  x  a1b1 b2

REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando se tienen tres o más magnitudes. El esquema es el siguiente: A

B

C

a1

b1

c1

x

b2

c2

Supongamos que las magnitudes A con B son directas y A con C son inversas; entonces, x

a1b2c1 b1c2

EJERCICIOS 1.

En cada uno de los enunciados determine la relación de proporcionalidad existente entre las magnitudes dadas y determine el valor de verdad en el orden indicado, considere la constante de proporcionalidad igual a k . I.

II. III.

La rapidez de la circulación sanguínea V , que hay en una arteria principal, es directamente proporcional al producto de la cuarta potencia del radio r y la V presión sanguínea P . Entonces: 4 k r P La presión P y el volumen V son cantidades inversamente proporcionales. Entonces: P V  k El número de mutaciones genéticas M , resultantes de una exposición a los rayos X, varía directamente proporcional con la magnitud d de la dosis. Entonces: d  k  M

A) VVV

Semana Nº 12

B) VVF

C) FVF

D) FVV

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E) VFF

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Aritmética PORCENTAJES Porcentaje es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad. Es decir, si dividimos una cantidad en 100 partes iguales y tomamos un número “m” de esas partes, nos estamos refiriendo al m por ciento, denotado por m%; luego: m% 

m 100

Así, el m% de una cantidad C es igual a m %C  Ejemplo: el 32% de 40 es: 32%  40  

m C 100

32  40  12,8 100

Propiedad Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: 100% C  C. Ejemplo: A + 20%A = 120%A Descuentos y aumentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%? Cantidad Final = 70%(80% cantidad Inicial) = 56% cantidad inicial. Por tanto el descuento único equivalente es (100 – 56)% = 44% Ejemplo: ¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 30%? Cantidad Final = 130%(120% cantidad inicial) = 156% cantidad inicial. Por tanto el aumento único equivalente es (156 – 100)% = 56% Variación porcentual Se utiliza para describir la diferencia entre un valor pasado y uno presente en términos de un porcentaje del valor pasado. Generalmente se puede calcular la variación porcentual con la fórmula: V . P. 

VFINAL  VINICIAL  VINICIAL

 100%

Ejemplo: Si el precio de un artículo subió de 50 a 60 soles, ¿en qué porcentaje aumentó?  60  50 100%  20% V . P.  50 Por lo tanto aumentó en 20%.

Semana Nº 11

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Mezcla alcohólica La pureza de una mezcla alcohólica nos indica qué tanto por ciento representa el volumen de alcohol puro respecto del volumen total. Pureza 

Valcohol puro  100% Vtotal

Ejemplo: ¿Cuál es la pureza de mezcla de 9 litros de alcohol puro con 3 litros de agua? Pureza 

9  100%  75% 93

Aplicaciones comerciales  Cuando el precio de venta es mayor que el precio de costo: Pventa  Pcos to  Ganancia Gbruta  Gneta  gastos Pfijado  Pventa  Descuento

Observación. Generalmente i. Las ganancias se representan como un tanto por ciento del precio de costo, ii. El descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado.  Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo: Pventa  Pcos to  P

Donde P = pérdida. Observación. Generalmente las pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo.  Cuando el precio de venta y el precio de costo son iguales, no hay ganancia ni pérdida. Ejemplo: Se compró un artículo a 240 soles. ¿En cuánto se debe fijar el precio para su venta al público, de tal manera que al hacerse un descuento del 10% todavía se esté ganando el 20% del costo? PV = 90%PF = PC + 20%Pc = 120%PC = 120%(240) = 288 90%PF = 288 → PF = 320 Se debe fijar el precio en 320 soles.

EJERCICIOS 1.

Juan vendió tres artefactos eléctricos. Vendió el primero y el segundo a 2970 soles cada uno, ganando en uno de ellos el 10% y perdiendo en el otro el 10%, además el costo del tercer artefacto fue de 1200 soles. Si en la venta de los tres artefactos no ganó ni perdió, ¿a cuántos soles vendió el tercer artefacto? A) 1340

Semana Nº 11

B) 1320

C) 1280

D) 1260

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E) 1240

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Aritmética REGLA DE INTERÉS Capital ( C ): Es la cantidad de dinero que se va a prestar o alquilar para que luego de un periodo de tiempo produzca una ganancia. Tiempo ( t ): Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. Interés ( I ): Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital, durante cierto tiempo. Tasa de interés ( r% ): Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias, en un cierto tiempo. Monto ( M ): Es la suma del capital más los intereses que se obtienen en un determinado momento. Fórmulas de interés simple I = C × r% × t

M=C+I

Se debe tener presente que las unidades de tasa y tiempo deben ser las mismas. Observación Considerar: Año comercial = 360 días Mes comercial = 30 días

REGLA DE DESCUENTO Letra de cambio Es una orden escrita de una persona (girador) a otra (girado) para que pague una determinada cantidad de dinero en un tiempo futuro (determinado o determinable) a un tercero (beneficiario). Valor Nominal ( VN ) Es la cantidad de dinero escrita en el documento (Letra, pagaré, etc.) Valor actual ( VA ) Es el efectivo que se paga por la deuda en una fecha antes de su vencimiento.

Semana Nº 13

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Descuento Comercial ( Dc ) Es la rebaja que se hace al valor de un documento, por pagarla anticipadamente a su vencimiento. Se calcula como un interés simple tomando como capital de referencia en valor nominal. Tiempo ( t ) Es el tiempo que falta para el vencimiento del documento al momento de realizar un pago anticipado. Tasa de descuento ( r % ) Es el tanto por ciento aplicado por cada cierto periodo establecido a un determinado valor. Fórmulas del Descuento Comercial

Dc = VN × r% × t

VA = VN  Dc

Se debe tener presente que las unidades de tasa y tiempo deben ser las mismas. Observación Considerar: Año comercial = 360 días Mes comercial = 30 días EJERCICIOS 1.

El 20% de un capital se impone a una tasa del 5% semestral y el 40% del mismo capital al 20% trimestral. ¿A qué tasa de interés semestral se deberá imponer el resto de dicho capital para que luego de dos años se obtenga un monto igual al 200% del capital? A) 32,2 %

2.

C) 15,4 %

D) 25,5 %

E) 36 %

Teodoro coloca cierta cantidad de soles en un banco, si durante 15 meses dicho capital produce un interés igual al 36% del monto, ¿a qué tasa cuatrimestral estuvo impuesta? A) 20%

3.

B) 20 %

B) 12%

C) 40%

D) 15%

E) 24%

El 20 de marzo se abrió una cuenta con S/ 80 000 en un Banco que pagaba una tasa de interés simple del 18% anual. Se requiere conocer el interés, en soles, que generó dicho capital hasta el 15 de abril del mismo año, fecha en que se canceló la operación. A) S/ 1600

Semana Nº 13

B) S/ 1400

C) S/ 1040

D) S/ 1700

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E) S/ 1000

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Aritmética MEZCLAS Y ALEACIONES MEZCLA Es la unión de dos o más sustancias homogéneas en la que cada uno de ellas conserva su propia naturaleza. REGLA DE MEZCLA En el comercio se acostumbra a mezclar diversas clases de mercadería (ingredientes de la mezcla) de distintos precios, para venderlo en un precio intermedio. El precio medio (o precio de la mezcla) es el precio de costo por unidad de mezcla. Está dado por:

Pm =

C1P1 +C2P2 +...+CnPn C1 +C2 +...+Cn

C1,C2 ,...Cn Cantidades de los ingredientes P1,P2 ,...Pn Precios de los ingredientes

PV = Pm + G MEZCLA ALCOHÓLICA

Es aquella en la que interviene alcohol puro y agua; o donde los ingredientes contienen cierta cantidad de alcohol puro. Grado o pureza de alcohol Es el tanto por ciento de alcohol puro que contiene una mezcla alcohólica. También se mide en grados. El alcohol puro tiene 100° y el agua sola 0°.  Grado de   alcohol

 volumen de alcohol puro × 100% =  volumen total de la mezcla

Grado medio (Gm ) Es el grado resultante de mezclar varios alcoholes, cada uno de ellos con su respectivo grado. Gm =

Semana Nº 14

G1V1 +G2 V2 +...+Gn Vn V1 +V2 +...+Vn

V1,V2 ,..., Vn Volumen de los alcoholes G1,G2 ,...,Gn Grado de los alcoholes

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ALEACIÓN Es la mezcla de dos o más metales mediante la fundición. Ley de Aleación La pureza de una aleación se determina mediante la relación entre el peso del metal fino y el peso total de la aleación. Ley =

Wmetal fino puro Wtotal de la aleación

Liga de Aleación Se determina mediante la relación entre el peso del metal ordinario y el peso total de la aleación. liga =

Wmetal ordinario Wtotal de la aleación

Observación: a. b. c. d.

0  Ley 1 0  liga 1 Ley  liga  1 En las aleaciones por convencionalismo los metales se clasifican en : * Finos : oro, plata, platino. *Ordinarios : cobre, hierro, zinc , plomo.

Ley Media (LM) Es la ley de una aleación conformada por varias aleaciones. Lm =

L1W1 + L2 W2 + ... + Ln Wn W1 + W2 + ...+ Wn

W1,W2 ,...,Wn peso de cada metal L1, L2 ,...,Ln Ley de cada metal

Liga Media (lm) Es la liga de una aleación conformada por varias aleaciones. lm =

l1W1 + l2 W2 + ... + ln Wn W1 + W2 + ...+ Wn

Semana Nº 14

W1,W2 ,...,Wn peso de cada metal l1 , l2 ,...,ln Liga de cada metal

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Ley de oro Ley =

Peso del oro N° quilates = Peso total 24

Quilates medio (Km) Km =

K1W1 +K2 W2 + ...+Kn Wn W1 +W2 + ... Wn

W1 ,W2 ,...,Wn pesos K1 , K2 ,...,Kn quilates

de

cada

de

cada

metal metal

EJERCICIOS 1.

Don Jesús mezcló tres tipos de comida balanceada para gatitos cuyos precios por kg son 15; 10 y 9 soles respectivamente, obteniendo una mezcla de S/ 12 el kg. Si empleó 24 kg del más caro, además la cantidad del más barato es a la de precio intermedio como 2 es a 3; y toda esa mezcla la vendió ganando el 25%, ¿cuántos soles ganó don Jesús en dicha venta? A) 135

2.

E) 132

B) 1,5

C) 1,75

D) 0,95

E) 0,9

B) 10

C) 11

D) 9

E) 8

Juan tiene “n” tipos de un mismo ingrediente, cuyos pesos en gramos están en la relación de 1; 2; 3; 4;... y sus precios en soles son 2; 3; 4; 5;…por gramo respectivamente. Si Juan mezcló todos los ingredientes y obtuvo un precio medio de S/14 por gramo, calcule el valor de “n”. A) 14

5.

D) 81

Un joyero dispone de dos lingotes compuestos por plata y cobre, uno pesa 25 kg de ley 0,810 y el otro pesa 18 kg de ley 0,910. Si de cada lingote extrajo una cantidad entera de kg, y lo que quedó de ambos lo fundió obteniendo una aleación de ley 0,835; ¿cuántos kilogramos, como mínimo, extrajo en total el joyero de los dos lingotes? A) 12

4.

C) 162

Bernardino, encargado de la limpieza de cierta institución educativa, debe encerar el piso del patio empleando cera liquida al 60% de concentración, para evitar accidentes de los transeúntes. Si solo dispone de 4,5 litros de cera liquida al 80% de concentración, ¿cuántos litros de agua le debe agregar Bernardino, para obtener la concentración requerida? A) 1,25

3.

B) 189

B) 17

C) 19

D) 12

E) 21

Se ha mezclado tres tipos de café M, N y P, cuyos precios son 3,7; 7,4 y 11,1 soles el kg respectivamente. Si el peso del café tipo N es 20% más que el peso del café de tipo M, y el peso del café tipo P es 25% más que el peso del café tipo N, ¿en cuántos soles se debe vender el kilogramo de la mezcla para ganar el 21% del precio de venta? A) 11

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B) 10,5

C) 10

D) 11,2

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E) 9,5 Pág. 25

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La figura muestra un sólido formado por 12 cubos cuyas aristas miden 1 cm. Hallar la longitud mínima que debe recorrer una hormiga para ir del punto A hasta el punto B. A) 6 cm B)

29 cm

C) ( 5 + 10 ) cm D) (2 + 13 ) cm E) 5 cm 8.

Anita ha apilado cierta cantidad de cubos congruentes. Luego, ella ha tomado fotografías del solido construido y ha obtenido las siguientes vistas ¿cuántos cubos ha apilado como máximo? A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 12

Aritmética VARIABLE CUALITATIVA Son aquellas que se pueden describir, no se pueden medir, no toman valores, tienen categorías Ejemplos de variables cualitativas Grado de instrucción de las madres de los docentes del curso de Aritmética de CEPRESM. Deporte que practican los socios de YMCA ubicado en el distrito de Pueblo Libre, Lima. VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. Son aquellas que pueden tomar únicamente valores enteros y que solo puede tomar valores dentro de un conjunto definido.

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Ejemplos de variables cuantitativas discretas:  El número de hijos en una familia (1,2,3,4...)  El número de carros que hay en un estacionamiento (…10,11,12,13, 14…)  El número de empleados que trabajan en una fábrica (…100,101,102,103...)  El número de vacas que hay en una granja (...5, 6, 7, 8, 9...)  El número de dedos que tiene una persona en las manos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) Nótese que para todos los casos los valores deben ser enteros. Es decir, una familia no puede tener 4/3 hijos, ni en un estacionamiento pueden haber 8/5 carros, ni en una granja 51/2 vacas. PRESENTACIÓN TABULAR DE UNA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA CON RECORRIDO PEQUEÑO Para realizar la tabulación de una variable cuantitativa discreta, se recomienda la siguiente disposición:  En la primera columna colocar los distintos valores de la variable discreta ordenados de menor a mayor.  En la segunda columna los valores de las frecuencias absolutas simples (recuento de datos).  En la tercera columna los valores de las frecuencias relativas (división de la frecuencia absoluta entre el total de datos). Para interpretar se multiplica por cien cada frecuencia relativa, es decir se expresa en porcentajes.  En la cuarta columna los valores de las frecuencias absolutas acumuladas (acumulación o suma de cada frecuencia absoluta con todas las anteriores).  En la quinta columna los valores de las frecuencias relativas acumuladas. Ejemplo de una variable cualitativa En un campamento de verano, los jóvenes son encuestados acerca de los deportes que practican: fútbol, ping-pong, tiro con arco, vela y bicicleta de montaña. A continuación, la tabla muestra los resultados.

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Deportes (xi)

Ciclo 2019-I Frecuencias relativas (hi)

fútbol ping-pong tiro con arco vela bicicleta

Frecuencias Absolutas (fi) 48 35 15 112 40

Total

250

1,000

0,192 0,140 0,060 0,448 0,160

 48 jóvenes que participaron en el campamento de verano practican fútbol.  El 14% de jóvenes que participaron en el campamento de verano practican ping-pong. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Medida de Tendencia Central: Es una cantidad representativa de un conjunto de datos, que nos ayudan a resumir la información en un solo número, donde esta debe estar comprendida entre el menor y mayor de los datos. Sean d1 ;d2 ;d3 ;d4 ;...;dn los datos (ordenados de forma creciente). Si M es la medida de tendencia central de dichos datos, entonces:

d1  M  d n

MEDIDAS DE POSICIÓN IMPORTANTES 1.

Media Aritmética. ( MA ; X ) n

suma de los datos X= = cantidad total de los datos

d

i

i=1

n

OBS:

Aumento y / o disminución  Variación del promedio (Vp) Vp =

 Velocidad promedio.

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Vp =

de los datos Total de los datos

espacio total recorrido Tiempo total empleado

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2.

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Media Geométrica. ( MG ) MG =

cantidad total de los datos

n Producto = n  di = n d1 ×d 2 × ...×dn de los datos i=1

 Crecimiento promedio, incremento promedio, etc. 3.

Media Armónica. ( MH ) MH =

cantidad total de los datos = suma de inversas de los datos

n n

1

d i=1

i

 Velocidad media, etc. PROPIEDADES: 1) MA  MG  MH 2) MA = MG = MH si y solo si todos los datos son iguales. 3) Propiedades para dos datos a y b.

a) MA(a,b) =



b) MA(a,b)



a+b 2a.b ; MG(a,b) = a.b; MH(a,b) = 2 a+b

  MH(a,b) = MG(a,b)





c) MA(a,b) - MG(a,b) = 1.



2

a - b 

2

 

4 MA(a,b) + MG(a,b)



Mediana (Me) considerando los “n” datos ordenados (creciente o decreciente). Si “n” es impar, la mediana es el término central y si “n” es par, la mediana es la semisuma de los dos términos centrales.

2.

Moda (Mo) es aquel dato que se presenta con mayor frecuencia, así un conjunto de datos puede ser AMODAL, UNIMODAL, BIMODAL, etc.

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA 1) Varianza ( σ 2 ) σ 2 varianza de la población.

d i elementos de observación (datos) i = 1, 2, ...,n X = MA media de los datos d i , i = 1, 2, ...,n

n número de elementos de la muestra.

 n

σ2 =

di - X

Entonces:

  d  n

2

2

 

i

=

i=1

n

i=1

n

- X

2

σ 2  X + k  = σ 2  X  , donde k es constante.

Además σ 2 (kX) = k 2σ 2 (X);

2) Desviación estándar ( σ )

 d - X n

n

2

i

σ=

i=1

n

 d  i

=

i=1

n

2

 

- X

2

 La varianza nos permite identificar los datos que están a una “distancia” por encima y/o por debajo de la media de los datos. MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA Coeficiente de variación (CV) es una medida de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la desviación estándar del conjunto entre su media aritmética y se expresa generalmente en términos porcentuales. El coeficiente de variación es la cantidad más adecuada para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos.

CV =

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Desviación es tandar  = .100% Media aritmética MA

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Ciclo 2019-I

Determine la información necesaria para afirmar que se cumple la siguiente relación (𝑛 + 1)2 < 𝑛3 . Información i. 𝑛 > 0 ii. 𝑛 ≥ 2,2 Para responder la pregunta: A) La información I es suficiente. B) La información II es suficiente. C) Es suficiente usar ambas informaciones. D) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. E) Las informaciones dadas son insuficientes.

Aritmética ANÁLISIS COMBINATORIO FACTORIAL DE UN NÚMERO El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Si n es un entero positivo, el factorial de n se denota por n!, es decir: n! = 1×2×3⋯ × (n-1) ×n Observación. ● 0! = 1 ● Si n! = 1 entonces n = 1 o n = 0. ● n! = n× (n-1)! PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A) Principio de Multiplicación Si un suceso A se puede realizar de m maneras diferentes y por cada una de estas un segundo suceso B se puede realizar de n maneras diferentes, entonces el suceso A y B se pueden realizar simultáneamente de m×n maneras diferentes. B) Principio de Adición Si un suceso A se puede realizar de m maneras diferentes y otro suceso B se puede realizar de n maneras diferentes, y además ambos sucesos no pueden ocurrir a la vez, entonces el suceso A o B se puede realizar de m + n maneras diferentes. Semana Nº 17

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C) Variaciones Son los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. La característica principal de una variación es el orden de sus elementos, es decir, dos ordenaciones son diferentes, cuando el orden de sus elementos es distinto. ●

Variaciones simples Cuando se tienen n elementos diferentes y se quiere ordenarlos tomándolos de k en k (k≤ n), el número de variaciones se calcula como:

Vkn = n(n - 1)(n - 2)...(n - k +1) = ●

n! (n - k)!

Variaciones con repetición Son todas las agrupaciones de k objetos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n objetos distintos, donde cada uno de los elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible. El número de variaciones con repetición de k objetos a partir de n objetos distintos, es:

VRnk = (n)(n)...(n) = nk k veces

D) Permutaciones Se denominan permutaciones de n objetos a cada una de las variaciones de los n objetos distintos. ●

Permutaciones simples o lineales Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se arreglan u ordenan en línea recta. El número de permutaciones de n objetos distintos, denotado por P n, es:

Vnn = Pn = n× (n- 1) × (n- 2) ×...× 2 ×1= n! ●

Permutaciones circulares Son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos, donde no hay ni primero ni último objeto, es decir lo que importa es la posición relativa de los objetos entre sí; mientras que en la permutación lineal importa los lugares que los objetos ocupan. El total de permutaciones “circulares” diferentes que pueden formarse con n objetos distintos, es:

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PnC = (n – 1)!

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Permutaciones con objetos repetidos Se da cuando los elementos a ordenar no son todos distintos. Entonces el número de permutaciones de n objetos de los cuales n 1 son iguales entre sí, n2 son iguales entre sí, … nk son iguales entre sí, está dado por la expresión:

Pnn ,n

1 2 ,...,nk

=

n! ; n +n + ... +nk  n n1!  n2!   nk! 1 2

E) Combinaciones Una combinación es una selección o grupo de elementos que se pueden formar con parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos, es decir una combinación es diferente de otra, si al menos tiene un elemento diferente. ●

Combinaciones simples Consideremos n elementos diferentes, los cuales se agrupan de k en k. el número de n grupos diferentes con k elementos distintos, denotado por Ck , viene dado por:

Cnk =

n! k!(n - k)!

Propiedades n n 2) Ck = Cn - k

1) Cn0 = Cnn = 1 4) Cnk = ●

n n n+1 3) Ck-1 + Ck = Ck

n

n- k +1 n Ck- 1 k

5)

t

 Cnk =2n

6)

C

m k

Cnt - k = Cn+m t

k=0

k=0

Combinaciones con repetición El número de combinaciones de n objetos disponibles tomados en grupos de tamaño k de manera que dos, tres, …, k objetos pueden ser uno mismo y que denotaremos por

CRnk está dado por la expresión CRnk = Cnk k 1 =

(n + k - 1)! k!(n - 1)!

EJERCICIOS 1.

La línea 1 del Metro de Lima tiene 26 estaciones. Si se entregaran boletos que solo lleven impresas las estaciones de origen y destino, ¿cuántos tipos de boletos diferentes como máximo se tendrán que emitir? A) 300

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B) 325

C) 1300

D) 650

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E) 351 Pág. 26

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En el siguiente diagrama de flujo, ¿cuál es la acción del proceso descrito?

A) Reconoce si el primer número ingresado es el mayor y finaliza. B) Ordena 3 números de mayor a menor y finaliza. C) Reconoce si el tercer número ingresado es el menor y finaliza. D) Identifica al mayor de los 3 números y finaliza. E) Identifica al menor de los 3 números y finaliza.

Aritmética TEORÍA DE PROBABILIDAD La Teoría de Probabilidad tiene como objetivo el estudio de las leyes que gobiernan los fenómenos aleatorios, es decir, trata con las propiedades de los fenómenos aleatorios que dependen esencialmente de la noción de aleatoriedad y no de otros aspectos del fenómeno considerado. Caracterización de un fenómeno aleatorio Tiene los siguientes rasgos: 1.Se podrían repetir indefinidamente las observaciones bajo condiciones esencialmente invariables. 2.Se es capaz de describir todos los posibles resultados de una observación, aun cuando no sea posible establecer lo que será un resultado particular. 3.Los resultados individuales de las observaciones repetidas pueden ocurrir de manera accidental. Espacio Muestral (Ω) : Es el conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener de una sola observación realizada, o más brevemente del experimento aleatorio. Evento o Suceso (A) : Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

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Probabilidades de sucesos en espacios muestrales finitos equiprobables Sea   1 , 2 ,..., n  el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio tal que todos los sucesos elementales i tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces es un espacio muestral finito equiprobable. Sea A    P(A) =



Número de elementos del suceso A  n(A) = Número de elementos del espacio muestral n(Ω)

Ejemplo: En el «BANQUITO LOS 11» hay cinco hombres y seis mujeres como candidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta? A)

31 33

B)

310 333

C)

210 331

D)

160 357

E)

5 16

Solución: A:”Se forma una comisión mixta de 4 miembros”

C15 xC36  C52 xC62  C53 xC16 31 PA   C11 33 4 Propiedades 1. 0  P(A)  1 2. P(A) +P(AC ) = 1, donde AC es el suceso contrario al suceso A. P(A B) = P(A) +P(B) - P(A B), donde A y B son sucesos cualesquiera. 3. Sucesos Mutuamente Excluyentes Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir ambos simultáneamente.

A B =   P(A B) = 0  P(A UB) = P(A) +P(B) Ejemplo: La distribución de tipos de sangre de los integrantes de raza blanca de una determinada ciudad es aproximadamente la siguiente: Tipo de sangre A B AB O Porcentaje 40% 11% 4% 45% Tras un accidente automovilístico, un individuo de raza blanca es conducido de emergencia a una clínica. Si se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, o del tipo B o del tipo AB? A) 0,55

Semana Nº 18

B) 0,45

C) 0,51

D) 0,49

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E) 0,54

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Solución Tenemos eventos mutuamente excluyentes

P( A  B  AB)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,40  0,11  0,04  0,55 Probabilidad Condicional Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral Ω, donde P (B) > 0. La probabilidad de que ocurra el suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido, que denotaremos por P  A / B  , está definido por P(A/B) =

P(A  B) P(B)

Ejemplo: Al lanzar tres dados perfectos, la suma de los puntajes obtenidos en las caras superiores siempre es un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que dicha suma sea mayor que 6? Solución Evento B: La suma de los puntajes obtenidos de las caras superiores siempre es un número impar. B = {3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17} n(B) = 8

Ω={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18} Evento A: la suma es mayor que 6. A ∩ B = {7; 9; 11; 13; 15; 17}

n(Ω) = 16

A = {7; 9; 11; 13; 15; 17} n(A ∩ B) = 6 6 3 P(A/B) = 16 = 8 4 16

Ejemplo: En la tienda de «DON RAMONCITO», hay 60 tarros de leche chocolatada de la marca X y 40 tipo light de la misma marca, también hay 50 tarros de leche chocolatada de la marca Z y 30 tipo light de la misma marca. Si se vende un tarro de leche al azar, halle: a) La probabilidad de que sea de la marca X, dado que es leche chocolatada. b) La probabilidad de que sea leche chocolatada, dado que es de la marca X.

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Solución X Z

Leche chocolatada (A) Leche light (B) 60 40 100 50 30 80 110 70 180

60 6 a) P(X/A) = 180 = 110 11 180 60 3 b) P(A/X) = 180 = 100 5 180

Regla de la Multiplicación Dados dos sucesos A y B tal que P(A) > 0, se tiene

P  A  B   P  A  P B / A  Ejemplo: De un grupo de 180 turistas se sabe que 120 hablan inglés, 72 hablan francés y 24 hablan los dos idiomas. Si seleccionamos al azar a un turista del grupo ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés sabiendo que habla inglés? A) 0,7

B) 0,6

C) 0,5

D) 0,2

E) 0,4

Solución: Según los datos

Habla francés No habla francés Total

Habla inglés 24 96 120 P  F | I 

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No habla inglés 48 12 60

Total 72 108 180

P(F I) 24 / 180   0,2 P(I) 120 / 180

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TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Si Hn  es una colección contable de eventos incompatibles para la cual P Hn   0 para todo n y P 

N  Hn   1 , entonces para todo suceso A se cumple P  A    P Hn  P  A / Hn  . n1  n1  N

Ejemplo: Los porcentajes de votantes del partido “DIGNIDAD” en tres distritos electorales diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito 21%; en el segundo distrito 45% y en el tercero 75%. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que vote por el partido DIGNIDAD? A) 1/ 100

B) 1/ 120

C) 37 / 100

D) 43 / 100

E) 47 / 100

Solución:

1 3 B: «La persona seleccionada vota por el partido DIGNIDAD»

Ai: «Se selecciona el i-ésimo distrito» 3

P  B    P  A i  P  B / A i   P B   i1

 P  Ai  

1  21 45 75  47 x    3  100 100 100  100

SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos A y B se dicen independientes si se cumple P  A  B   P  A P  B  Ejemplo: Una urna contiene cuatro fichas de color azul y nueve fichas de color blanco. Si se extrae dos fichas sucesivamente y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos fichas resulten de color azul? A)

1 13

B)

4 13

C)

9 13

D)

7 156

E)

7 12

Solución: A: «La primera ficha seleccionada es de color azul» B: «La segunda ficha seleccionada es de color azul» 4 3 1 P  A  B  X  13 12 13

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