Armaduras Planas

UNIVERSIDADNACIONALDEINGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS TERCERA PRACTICA: ARMADURAS PLANAS

ALUMNO:

CODIGO:

AGUILAR MENDOZA JOSE LUIS

PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO

CURSO – SECCIÓN: MC516– D

2012-II

20092563A

ÍNDICE

1. Enunciado del Problema......................................................................3

2. Solución................................................................................................4

3. Grados de Libertad Nodales................................................................5

4. Vector Carga........................................................................................6

5. Matriz de Rigidez.................................................................................7

6. Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno..................................12

7. Esfuerzos .........................................................................................14

8. Resultados………………………………………………………………16

9. Diagrama de Flujo.............................................................................17 10. Uso de Matlab (DIGITAL).........................................................................................19 11. Conclusiones……………………………………………………………23 2

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA En el siguiente problema determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es puesta a ciertas cargas en los nodos mostrados en la ilustración 1, sin tomar en cuenta los efectos de temperatura y el peso de cada viga de la armadura plana; y teniendo en cuenta que el modulo de elasticidad del material de todas las vigas es , así como el diámetro de la sección constante de cada viga es 50mm.

Datos:

    

E =3.1x105 N/mm2 D= 150mm Cargas a considerar (sección D) PA=5000N , PB=4000N , PE=2000N L=1500 mm

3

2. SOLUCION MODELADO DEL CUERPO REAL

Se tienen 6 elementos con 5 nodos y 10 grados de libertad. Las coordenadas para los nodos son: Nodo 1 2 3 4 5

X(mm) 0 1500 3000 1500 0

Y(mm) 0 0 0 1500 1500

Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:

Elemento 1 2 3 4 5 6

4

Nodos (1) (2) 1 2 2 3 3 4 4 2 4 1 4 5

1 1 3 5 7 7 7

GDL 2 3 4 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 3 4 8 1 2 8 9 10

Le (mm) 1500.00 1500.00 2121.321 1500.00 2121.32 1500.00

Ae ( 1963.5 1963.5 1963.5 1963.5 1963.5 1963.5

)

Ee (N/

)

3. GRADOS DE LIBERTAS NODALES (Vector Desplazamiento) A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

[

]

Donde , pues la viga esta empotrada en los nodos 1 y 5, los demás desplazamientos son incógnitas que tendremos que calcular.

5

4. VECTOR CARGA

Como no consideramos el peso de las barras y no presenta variación de temperatura, entonces el vector de cargas está dada por las por cargas puntuales y las fuerzas de reacción:

 F1   R1   F 2   R2       F3   0       F 4  2000  F 5  5000 F   N  F 6  4000  F7   0       F8   0   F 9   R3       F10  R 4 

6

5. MATRIZ DE RIGIDEZ A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:

( ) *

Respecto a Respecto a (X, Y):

Elemento 1:

Calculamos los parámetros l y m:

x2  x1 1 L y  y1 m1  2 0 L

l1 

K1=405790*[

7

]

(tracción simple)

donde

( ) [

Resulta:

+

]

Elemento 2:

Calculamos los parámetros l y m:

x3  x2 1 L y  y2 m2  3 0 L

l2 

K2=405790*[

]

Elemento 3:

Calculamos los parámetros l y m:

8

l3 

x 4  x3

m3 

 1

L 2 y 4  y3 L 2

 1

2 2

K3=286937*[

Elemento 4:

Calculamos los parámetros l y m:

x4  x2 0 L y  y2 m4  4 1 L

l4 

9

]

K4=405790*[

]

Elemento5:

Calculamos los parámetros l y m:

x4  x1  1 2 L 2 y  y1 m5  4  1 2 L 2

l5 

K5=286937*[

10

]

Elemento 6:

Calculamos los parámetros l y m:

x 4  x1 1 L y  y1 m1  4 0 L

l1 

K6=405790*[

]

La matriz de rigidez total de la armadura es: K=K1+K2+K3+K4+K5+K6 K  K1  K 2  K 3  K 4  K 5  K 6 0  23727909 6197822  17530089  6197822 6197822 0 0   17530087 0 35060174.16 0  0 0 0 6197822   0 0  17530089 0 k 0 0 0 0    6197822  6197822 0 0  0  6197822   6197822  6197822  0 0 0 0  0 0 0 0 

11

0 0  17530089 0 23727909  6197822  6197822 6197822 0 0

0

 6197822

 6197822

0

0

 6197822

 6197822

0

0 0 0 0 0 0 0  0 0  6197822 0 0  6197822  6197822 6197822 0 0 . 6197822 6197822  6197822 0 0 6197822 2992531 0  17530087 0   6197822 0 29925731  17530087 0 0  17530087  17530087 17530087 0  0 0 0 0 0

6. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

 R1  K  K1  K 2  K 3  K 4  K 5  K 6  R2   23727909 6197822  17530089    6197822 6197822  0  0     17530087 0 35060174.16 2000  0 0 0  5000  0  17530089 F  =k   0 4000 0 0 0   0    6197822  6197822 0    0   6197822  6197822  0   0 0 0  R3   0 0 0     R 4 

0

0

0

0

0

0

0

 17530089

0

6197822 0 0

0 0 23727909  6197822  6197822 6197822

0  6197822 6197822  6197822 6197822  6197822 0

0

0

0

0

0

 6197822  6197822

0

 6197822  6197822

0

0 0 0 0 0 0  0  6197822 0 0  6197822 6197822 0 0 . 6197822  6197822 0 0 2992531 0  17530087 0  0 29925731  17530087 0  17530087  17530087 17530087 0  0 0 0 0

*

[

12

]

Lo que con nuestros valores calculados tenemos: Donde Q1=Q2=Q9=Q10=0, pues la viga esta empotrada en los nodos 1 y 5. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los desplazamientos de cada nodo en la dirección definida:

Q3  0.005367mm Q4  0.031421mm Q5  0.010734mm Q6  0.054296mm Q7  0.009022mm Q8  0.027428mm

Ahora podemos calcular los valores de las reacciones:

R1  20816N R2  11408N R3  15816N R4  0

13

7. ESFUERZOS Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

 Q1'   ' Q E  e     l  m l m 2'  Q3   L e  ' Q4  Y obtenemos lo siguiente:

0     0  3.1x10 5     0.8319N / mm 2  1 0 1 0  1   0.005367  1500     0.031421 0.005367  0.031421 5  3.1x10    0.8319N / mm 2  1 0 1 0  2    0.010734  1500    0.054296

14

3

4

5

6

 0.010734   0.054296   3.1x10 5    0.55124N / mm 2  1 / 2  1 / 2  1 / 2 1 / 2       0 . 009022 2828 . 427      0.027428   0.005367   0.031421  5  3.1x10    0.618915N / mm 2 0  1 0 1    0.009022  2121.321     0.027428  0     0  3.1x10 5     1.42652N / mm 2   1 / 2  1 / 2 1 / 2 1 / 2      0 . 009022 2121 . 321      0.027428  0     5 0  3.1x10    1.398N / mm 2  1 0 1 0    0.009022  1500     0.027428 

15









8. RESULTADOS Finalmente los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R1  6711 .2 N R2  6665 .97 N R3  18854 .2 N

R4  0 N

 1  0.00062 N / mm 2

 2  0.007233 N / mm 2  3  0.55124 N / mm 2

 4  0.618915 N / mm 2  5  1.42652 N / mm 2

 6  1.398 N / mm 2

16

9. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de entrada E, Area, PA, PB, PC, (x,y) de los nodos

Calcula lee, l y m de cada elemento

Para i=1:n

Calculo de la matriz de Rigidez en cada elemento finito: K(i)=E(i)*A(i)/le(i)*[l m 0 0;0 0 l m]*[1 -1;-1 1]

Matriz de rigidez global: K=k1+k2+k3+k4+k5+k6 Calculo de los desplazamientos: Q(3:8)=inv(K38)*F(3:8)

Calculo de las reacciones Ri=ki1*Q

1

17

1

Para i=1:n

Calculo de esfuerzos: s(1)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*Q’(1:4)

Imprime Reacciones, desplazamientos y esfuerzos

FIN

18

10. FUNCIÓN EN MATLAB clear all clc fprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE CALCULAR LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y\n') fprintf('LOS DESPLAZAMIENTOS DE UNA ARMADURA SIMPLE\n\n')

%Ingreso de Datos: E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (N/mm^2,MPa): '); d=input('Ingrese diametro de la seccion de cada elemento (mm): '); PA=input('Ingrese magnitud de fuerza PA (N): '); PB=input('Ingrese magnitud de fuerza PB (N): '); PC=input('Ingrese magnitud de fuerza PC (N): '); A=(pi*d^2)/4;

%Ingreso de Coordenadas: (referencia nodo 1) fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos:\n') for i=1:5 fprintf('\nCoordenada nodo %d\n',i) x(i)=input('x: '); y(i)=input('y: '); end

%Calculo de las dimensiones de los elementos: %Calculo de las Longitudes: le(1)=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%Elemento 1 le(2)=sqrt((x(2)-x(3))^2+(y(2)-y(3))^2);%Elemento 2 le(3)=sqrt((x(4)-x(3))^2+(y(4)-y(3))^2);%Elemento 3 le(4)=sqrt((x(4)-x(2))^2+(y(4)-y(2))^2);%Elemento 4

19

le(5)=sqrt((x(4)-x(1))^2+(y(4)-y(1))^2);%Elemento 5 le(6)=sqrt((x(5)-x(4))^2+(y(5)-y(4))^2);%Elemento 6 %Calculo de Cosenos directores: l(1)=(x(2)-x(1))/le(1);m(1)=(y(2)-y(1))/le(1);%Elemento 1 l(2)=(x(3)-x(2))/le(2);m(2)=(y(3)-y(2))/le(2);%Elemento 2 l(3)=(x(4)-x(3))/le(3);m(3)=(y(4)-y(3))/le(3);%Elemento 3 l(4)=(x(4)-x(2))/le(4);m(4)=(y(4)-y(2))/le(4);%Elemento 4 l(5)=(x(4)-x(1))/le(5);m(5)=(y(4)-y(1))/le(5);%Elemento 5 l(6)=(x(4)-x(5))/le(6);m(6)=(y(4)-y(5))/le(6);%Elemento 6 fprintf('\nTabla de Datos: \n') fprintf('\nElemento

Long. Elemento

l

m

\n')

for i=1:6 fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f\n',i,le(i),l(i),m(i)) end

%Calculo de las matrices de rigidez de cada elemento: acu=[]; for i=1:6 H(i)=(E*A)/le(i); Pi=H(i)*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)]'*[1 -1; -1 1]*[l(i) m(i) 0 0; 0 0 l(i) m(i)]; acu=[acu Pi]; end k=acu; k1=k(1:4,1:4);k2=k(1:4,5:8);k3=k(1:4,9:12); k4=k(1:4,13:16);k5=k(1:4,17:20);k6=k(1:4,21:24); fprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n') for i=1:6 fprintf('Elemento %d:\n',i) disp(k(1:4,4*i-3:4*i)) end

20

%Conectividad de la Matriz de Rigidez Estructural K1=[k(1:2,1:2)+k(1:2,17:18);k(1:2,3:4);zeros(2);k(1:2,19:20);zeros(2)]; K2=[zeros(2);k(3:4,3:4)+k(1:2,5:6)+k(1:2,13:14);k(1:2,7:8);k(1:2,15:16) ;zeros(2)]; K3=[zeros(4,2);k(3:4,7:8)+k(1:2,9:10);k(1:2,11:12);zeros(2)]; K4=[zeros(6,2);k(3:4,11:12)+k(3:4,15:16)+k(3:4,19:20)+k(3:4,23:24);k(3: 4,21:22)]; K5=[zeros(8,2);k(1:2,21:22)]; Kf=[K1 K2 K3 K4 K5]; K=tril(Kf,1)+tril(Kf,-2)'; fprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n') disp(K) %Vector Columnas de Fuerzas en la estructura: f=[0 0 0 PC PA PB 0 0 0 0]; %Calculo de deformaciones [Q]: (condicion Q1=Q2=Q9=Q10=0) q=inv(K(3:8,3:8))*f(3:8)'; Q=[zeros(2,1); q; zeros(2,1)];

%Calculo de las Reacciones: R1=K(1,1:10)*Q; R2=K(2,1:10)*Q; R9=K(9,1:10)*Q; R10=K(10,1:10)*Q; fprintf('\n Vector Columna Fuerza [F](N): \n') fprintf('\n fprintf('

R1\n') R2\n')

fprintf('\n %d',f(3:8)') fprintf('\n

21

R9\n')

fprintf('

R10\n')

fprintf('\nResolucion del Sistema de la Estructura [F]=[K][Q]: \n') fprintf('\nVector Desplazamiento [Q] (mm):\n') fprintf('\n

%d',Q)

fprintf('\n\nReacciones en los Apoyos (N): \n') fprintf('\n

R1:

%d\n',R1)

fprintf('

R2:

%d\n',R2)

fprintf('

R9:

%d\n',R9)

fprintf('

R10: %d\n',R10)

%Distribucion de Esfuerzos: Js=[]; for i=1:6 J=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]; Js=[Js;J]; end s(1)=Js(1,:)*Q(1:4); s(2)=Js(2,:)*Q(3:6); s(3)=Js(3,:)*Q(5:8); s(4)=Js(4,:)*[Q(3:4);Q(7:8)]; s(5)=Js(5,:)*[Q(1:2);Q(7:8)]; s(6)=Js(6,:)*[Q(9:10);Q(7:8)]; fprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n') fprintf('\nElemento

Esfuerzo (N/mm^2,MPa)\n')

for i=1:6 fprintf('%4d %18.4f \n',i,s(i))

22

11. CONCLUSIONES



En el caso de armaduras planas, podemos considerar cada una de las barras como un elemento finito para la solución del problema, ya que presentan sección constante. No se tomarán en cuenta los efectos de la temperatura ni del peso de la barra, solo se analizaran a las fuerzas que actúen y cómo afectan a cada una de las barras.



El programa elaborado solamente sirve para ejecutar la solución de este problema, porque fue diseñado según las características del mismo, como es el número de elementos finitos a utilizar (vigas de sección constante).



Para la solución de los problemas, el sistema de referencia no es único, es decir, se puede escoger cualquier sistema, como el que se uso en este caso, teniendo cuidado a la hora de interpretar los resultados al sistema real.



Para la elaboración de la matriz de rigidez global, es importante los grados de libertad de los nodos en cada elemento, pues algún error en el momento de hallarlos, generara una matriz de rigidez que no corresponde a la armadura.



El programa elaborado solamente sirve para ejecutar la solución de este problema, porque fue diseñado según las características del mismo, como es el número de elementos finitos a utilizar (vigas de sección constante).

23

24

25