Ba Ba: C Y B X A C By Ax

MATRICI ŞI DETERMINANŢI

1. MATRICI 1.1. Despre matrici Acest concept l-am întalnit înca din primul an de liceu, atunci când s-a pus problema rexolvarii unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute x, y, de forma

 ax + by = c  ' ' '. a x+ b y = c

Acestui sistem i-am asociat un teblou pătratic, care conţine coeficienţii necunoscutelor (în prima linie sunt coeficienţii lui x, y din prima ecuaţie, iar in a doua

linie figurează coeficienţii lui x, y din ecuaţia a doua):

ab  ' ' ab  

.

Am numit acest tablou matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două coloane ale matricei figurează coeficienţii lui x (pe prima coloană a, a ' ) şi respectiv coeficienţii lui y (pe a doua coloană b, b ' ). Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip tablou cu m linii şi n coloane

 a11   a21  ...  a  m1

a12 ... a1n   a22 ... a2n  ... ... ...   am2 ... amn 

ale cărui elemente a ij sunt numere complexe.

m × n ) un

Uneori această matrice se notează şi A = ( ai j ) unde i =1, m şi j =1, n . Pentru elementul a ij , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat. Mulţimea matricilor de tip m × n cu elemente numere reale se notează prin Μm, n ( R ) . Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile Μm, n ( Z ) , Μm, n ( Q ) , Μm, n ( C ) . Cazuri particulare 1) O matrice de tipul 1 ×n (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma A = ( a1 a 2 ... a n ) . 2) O matrice de tipul m ×1 (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma

 a1     a2  B=  . ...   a   m

3) O matrice de tip m × n se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O

 0 0 ...   0 0 ... O=  ... ... ...   0 0 ... 

0  0 ... .  0 

4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.

 a11   a21 A=  ...  a  n1

a12 ... a1n   a22 ... a2n  .  ... ... ...  an2 ... ann 

Sistemul de elemente ( a11 a 22 ... a nn ) reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente a11 + a 22 +... + a nn se numeşte urma matricii n

A notată Tr(A) = ∑ai i . Sistemul de elemente i =1

( a1n

a 2 n −1 ... a n1 ) reprezintă

diagonala secundară a matricii A. Mulţimea acestor matrici se notează Μn ( C ) . Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind

 1 0 ... 0     0 1 ... 0  In =  ... ... ... ...    0 0 ... 1   

şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0). 1.2. Operaţii cu matrici 1.2.1. Egalitatea a două matrici Definiţie. Fie A = ( ai j ) , B = (bi j ) ∈ Μm, n ( C ) . Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A = B dacă ai j = bi j , (∀) i =1, m , (∀) j =1, n . Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrici

 x+ 1 + yx   2 x−− 1   =   0 x− 2y  0 − 29 x

.

R. Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:

x+ 1= 2 x+ y = −x−1   0 = 0  x − 2 y = 9 − 2 x.

Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor Definiţie. Fie A = ( ai j ) , B = (bi j ) , C = ( ci j ) ∈ Μm, n ( C ) . Matricea C se numeşte c i j = a i j + bi j , (∀ ) i =1, m , (∀) j =1, n . suma matricilor A, B dacă:

Observaţii 1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B ∈ Μm, n ( C ) . 2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă:

 a11   a21  ...  a  m1

a12 ... a1n   b11 b12 ... b1n     a22 ... a2n   b21 b22 ... b2n  + =    ... ... ... ... ... ... ...    am2 ... amn   bm1 bm 2 ... bmn   a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n     a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n  .  ...  ... ... ...    a + b a + b ... a + b   m1 m1 m2 m2 mn mn  Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:

1.

 1 − 1 2   0 5 − 3 A=   , B=   3 0 1 10 1 5

;

2.

 1  0 1 A=   , B=  . − 1  1 0

R. 1. Avem

 1 − 2   0 5 − 3  1 + 0 - 5 2 - 3   1 4 −  A+B= + = =  3 01 0 1 5 3+10 +1 5 13 6

2. Avem

 1 01  +01  12 A+B= + .= =  − 1  0 −1+ 0  1

.

Proprietăţi ale adunării matricilor A 1 (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , (∀) A, B, C ∈ Μm,n (C ) . A 2 (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică: A + B = B + A , (∀) A, B ∈ Μm, n ( C ) . A 3 (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică ∃ Om ,n ∈ Μm, n ( C ) astfel încât A + Om ,n = A, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) . A 4 (Elemente opuse). Orice matrice A ∈ Μm, n ( C ) are un opus, notat − A , astfel încât A + ( − A ) = Om , n . 1.2.3. Înmulţirea cu scalari a matricilor Definiţie.Fie λ ∈ C şi A = ( a i j ) ∈ Μm, n ( C ) . Se numeşte produsul dintre scalarul λ ∈ C şi matricea A, matricea notată λA ∈ Μm, n ( C ) definită prin λA = (λai j ) .

Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.

 λ a11 λ a12 ... λ a1n     λ a21 λ a22 ... λ a2n  Deci λA =  ... ... ... ...  .    λ a λ a ... λ a  mn   m1 m2

1   − 3 5 3  2  . Atunci 6A =  Exemplu Fie A =  0  2    0 1  3 

− 18 30  4 6

.

Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari ) λ, µ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) ; S 1 λ( µA) = ( λµ ) A , (∀ ) λ ∈ C, (∀) A, B ∈ Μm, n (C ) ; λ ( A + B ) = λA + λB , (∀ S2 S 3 ( λ + µ ) A = λA + µA , (∀ ) λ, µ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) ; S4 1 ⋅ A = A ,1 ∈ C, (∀) A ∈ Μm, n ( C ) ;

1.2.4. Înmulţirea matricilor Definiţie. Fie A = ( a k i ) ∈ Μm, n ( R ) , B = (bi j ) ∈ Μn, p ( R ) . Produsul dintre matricile A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = (c k j ) ∈ Μm, p ( R ) definită prin n

c k j = ∑ a k i bi j , (∀) k

=1, m

, (∀)

j =1, n .

i =1

Observaţii 1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A ∈ Μm, n ( R ) , B ∈ Μn, p ( R ) , adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice C = AB ∈ Μm, p ( R ) .

2) Dacă matricile sunt pătratice A, B ∈ Μn ( R ) atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, AB ≠ BA adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. Proprietăţi ale înmulţirii matricilor I 1 (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică ( AB )C = A( BC ) , (∀) A ∈ Μm,n (C ) , (∀) B ∈ Μn, p (C ) , (∀) C ∈ Μp , s (C ) . I 2 (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică ( A + B )C = AC + BC , C ( A + B ) = CA + CB, (∀) A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. I 3 Dacă I n ∈ Μn ( C ) este matricea unitate, atunci I n A = AI n = A, (∀ ) A ∈ Μn ( C ) . Se spune că I n este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricilor. 1.2.5. Puterile unei matrici Definiţie. Fie A ∈ Μn ( C ) . Atunci A1 = A , 0 A n = A n −1 ⋅ A , (∀) n ∈ N * . (Convenim A = I 2 ).

A2 = A ⋅ A ,

A 3 = A 2 ⋅ A , …,

TEOREMA Cayley – Hamilton. Orice matrice A ∈ Μn ( C ) îşi verifică polinomul caracteristic det ( A − λI ) = 0 . Pentru n = 2.

 a b a b A =   ⇒ det A = = ad − bc  c d c d

a− λ b

ab 10  − λ ba  A− λI=  − λ =   c d 01  c d− λ

.

det − λ IA = 0⇔ = 0 ( )(da λλ )−−−⇔ bc= 0 ad (a d)λ −++−⇒ bc= 0⇒ dc − λ 2

⇒ λ2 − ( a + d ) λ + ad − bc = 0

polinom caracteristic Generalizat.

A n − ( TrA) ⋅ A n −1 + ( det A) ⋅I n = 0

2. DETERMINANŢI 2.1. Definiţia determinantului de ordin n ≤ 4 Fie A= ( a i j ) ∈ Μn ( C ) o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definiţie. Dacă A= ( a11 )

∈ Μn ( C )

este o matrice pătratică de ordinul întâi,

atunci det(A) = a11 .

Definiţie. Determinantul matricii

 a11 a12  A =    a21 a22 

este numărul

det ( A) = a11 a 22 − a12 a 21

=

a11 a12 a21 a22

şi se numeşte determinant de ordin 2. Termenii a11 a 22 , a12 a 21 se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. Definiţie. Determinantul matricii

 a11 a12 a13    A =  a21 a22 a23  este numărul a a a   31 32 33 

det( A) = a11 a 22 a 33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a31 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a 32

şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului. Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple: Regula lui Sarrus Fie determinantul de ordin 3, d =a determinant se utilizează tabelul de mai jos.

i j

i, j = 1, 3

.

Pentru a calcula un astfel de

a11 a12 a13 a21 a22 a23

(am scris sub determinant primele două linii)

a31 a32 a33

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: 11 12 13 a11 a 22 a 33 , a13 a 21 a 32 , a12 a 23 a31 . 21 22 23 Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: − a13 a 22 a 31 , − a12 a 21 a 33 , − a11 a 23 a 32 . Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”.

a a a

a a a

Regula triunghiului Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus. Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3.

Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul

−3 0 1 d= 0 2 −1 31 0 R. Regula lui Sarrus. d = −3 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ (−1) − [ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + ( −3) ⋅ 1 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 0] = 0 + 0 + 0 − ( 6 + 3 + 0) = −9

Regula triunghiului d = −3 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ (−1) ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 ⋅ 1 − [ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + ( −3) ⋅ 1 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 0] = 0 + 0 + 0 − ( 6 + 3 + 0) = −9

Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană) Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus. Are loc următoarea proprietate:

a1+ 2 23 1+2 a21 3 1+3 a21 2 det(A)= −1) a1 +(−1) a12 +(−1) a13 a32 3 a31 a31 2 =

,

a1+ 2 23 2+1 a12 3 3+1 a12 3 (−1) a1 + (−1) a21 + (−1) a31 a32 3 a32 3 a2 3

Observaţii

(1)

.

(2)

1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi. 2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2). 2.2. Definiţia determinantului de ordin n Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări. Fie A= ( ai j ) ∈ Μn ( C ) . Definiţie1. Se numeşte minor asociat elementului ai j determinantul matricii pătratice Ai j de ordin n – 1 obţinut prin suprimarea liniei i şi coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin det ( Ai j ) sau Di j . Definiţie2. Se numeşte complement algebric al elementului ai j numărul

( −1) i + j det ( Ai j ) . Exponentul

i + j al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i şi coloanei

j pe care se află ai j . Definiţie. Determinantul matricii A= ( a i j ) de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică n +1 det ( A) = a11 D11 − a12 D12 + a13 D13 + ... + ( −1) a1n D1n . Observaţii 1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului

a11 a12 ... a1n det( A) =

a21 a22 ... a2n ... ... ... ...

.

an1 an2 ... ann 2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii. 3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei şi din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăţi le prezint în paragraful următor.

4) Continuând cu explicitarea determinanţilor de ordin n – 1 din definiţie ( D11 , D12 ,..., D1n ) se obţine pentru det( A) o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conţinând elemente situate pe linii şi coloane diferite. 5) Determinantul este o funcţie det : Μ n ( C ) → C . Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4:

1 1 d= 0 1

0 −2 1 −1

−1 0 1 0

2 0 . −1 0

R. Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem:

−2 0 1 0 1−2 0 1−2 0 d=1⋅ 1− 0⋅ 1 − +( 1)⋅0 1− 2⋅0 1 −1 0 1 0 1 − 0 1 − 0

=

= 0 − 0 −1 + 2 = 1 ,

unde determinanţii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3. 2.3. Proprietăţile determinanţilor P1 . Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, det ( A) = det ( t A) . adică dacă A ∈ Μn ( C ) , atunci

Demonstraţie. Fie

 a b A =    c d

şi

t

 a c A =    b d

.

Atunci det ( A) = ad − bc , iar det ( t A) = ad − bc . Prin urmare det ( A) = det ( t A) . P2 . Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,

atunci determinantul matricii este nul.

Demonstraţie. Avem

00 0b 0 d 0 c =⋅−⋅= 0 0 d 0 b=⋅−⋅= 0 dc 0 d şi

.

P3 . Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele

obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale.

Demonstraţie. Prin schimbarea liniilor să arăt că avem egalitatea

Avem evident bc − ad = −( ad − bc ) .

=

dc ba ba dc

.

P4 . Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul

său este nul. Demonstraţie. Verific pentru linii (şi tot odată pentru coloane). Avem:

ba

ba ba =⋅−⋅= 0 ba

.

P5 . Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite

cu un număr α , obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu determinantul matricii iniţiale. Demonstraţie. Verificăm pentru linii proprietatea.

αα ⋅⋅ ba a b = ⋅ad− ⋅bc ααα (ad bc)=−= α dc c d P6 .

α înmulţit cu

.

Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci determinantul este nul. Demonstraţie. Verificăm pentru linii.

a b ab = λ λ (ab ab)=−= 0 λλ ba a b

.

P7 . Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei

este egal cu suma a doi determinanţi corespunzători matricelor care au aceleaşi linii ca A, cu excepţia liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.

a1 . a1n a1 . a1n a1 . a1n . . . .. . ... ai1 + bi1 . ain + bin = ai1 . ain + bi1 . bin

.

. . . .. . ... an1 . an an1 . an an1 . an Demonstraţie. Am de arătat că:

+ aa b+ a b ba =+ c d c d dc

' ' '' .

Într-adevăr membrul stâng este egal cu ( a + a ' )d − c(b + b ' ) = ad + a ' d − bc − b ' c . Membrul drept este ad − bc + a ' d − b ' c şi egalitatea se verifică. Obs.: O proprietate analogă are loc şi pentru coloane.

P8 . Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinaţie liniară de

celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero. P9 . Dacă la o linie (o coloană) a matricii A adunăm elementele altei linii

(coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A. Demonstraţie. Voi aduna la linia întâi L1 linia a doua înmulţită cu λ . Vom nota acest fapt prin L1 + λL2 . Avem:

a+λ b 11 ab λ1 b a ab P7 + P6 +0= a b11 a1b 1 b a1 a1b

det ( I n ) = 1

P10 .

P11 .

.

det ( λA) = λn det ( A), A ∈ Μn ( C ) .

P12 . Dacă A= ( ai j ) este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci det ( A) = a11 a 22 ...a nn . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de

pe diagonala principală). P13 . Dacă A, B ∈ Μn ( C ) , atunci det ( AB ) = det ( A) ⋅ det ( B ) (Determinantul

produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanţilor acelor matrici). În particular det ( A n ) = ( det ( A) ) n , n ∈ N * .

Teoremă. Determinantul unei matrici A ∈ Μn ( C ) este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii Li (i =1, n ) şi complemenţii lor algebrici, adică i +1 i +2 i +3 i +n det ( A) = a i1 ( − 1) Di1 − a i 2 ( − 1) Di 2 + a i 3 ( − 1) Di 3 + ... + a in ( − 1) Din . (Formula lui det ( A) dă dezvoltarea determinantului după elementele liniei i). Această teoremă permite să calculăm determinantul unei matrici după oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cât mai uşor) mai multe zerouri. Observaţie: Ţinând seama de proprietatea P1 teorema precedentă are loc şi pentru coloane sub forma: det ( A) = a1 j ( −1)

1+ j

D1 j − a 2 j ( −1)

2+ j

D2 j + a 3 j ( −1)

3+ j

D3 j + ... + a nj ( −1)

n+ j

Dnj .

2.4. Calculul inversei unei matrici Definiţie. Fie A ∈ Μn ( C ) . Matricea A se numeşte inversabilă dacă există matricea B ∈ Μn ( C ) cu proprietatea că A ⋅ B = B ⋅ A = I n , I n fiind matricea unitate. Matricea B din definiţie se numeşte inversa matricii A şi se notează B = A −1 . Deci A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n . Teoremă. Matricea A ∈ Μn ( C ) este inversabilă dacă şi numai dacă det ( A) ≠ 0. O astfel de matrice se numeşte nesingulară. Construcţia lui A −1 presupune următorii paşi: Pasul 1. (Construcţia transpusei)

 a11   a21 Dacă A =  ...  a  n1

a12 ... a1n   a22 ... a2n  ,  ... ... ...  an2 ... ann 

 a11  a t  12 atunci construim transpusa lui A A =  ...  a  1n Pasul 2. (Construcţia adjunctei)

a12 ... an1   a22 ... an2  .  ... ... ...  a2n ... ann 

 ( − 1) 1+ 1 D11 ( − 1) 1+ 2 D12  2+ 1 2+ 2  ( ) ( ) − 1 D21 − 1 D22 * Matricea A =  ...  ...  n+ 1 ( − 1) Dn1 ( − 1) n+ 2 Dn2

... ( − 1) D1n   2+ n ( ) ... − 1 D2n   ... ...  n+ n  ... ( − 1) Dnn  1+ n

obţinută din t A , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A. Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:

 d 0 0 .. 0    * *  0 d 0 .. 0  A ⋅ A = A⋅ A =  , iar de aici  d1 A  A = A d1 A  = I . .. .. .. .. ..    0 0 0 .. d   *

*

n

A −1 =

Ultimele egalităţi arată că

1 ⋅ A* det ( A)

2.5. Ecuaţii matriciale Voi prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor ecuaţii de forma AX = C , XA = C , AXB = C , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaţii se numesc ecuaţii matriciale. Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile. avem:

Pentru rezolvarea ecuaţiei AX = C înmulţim la stânga egalitatea cu A −1 şi

(

)

A −1 ( AX ) = A −1C ⇔ A −1 A X = A −1C ⇔ IX = A −1C ⇔ X = A −1C . −1

Deci soluţia ecuaţiei date este X = A C . Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei XA = C vom înmulţi la dreapta cu A −1 şi analog vom găsi X = CA −1 , soluţia ecuaţiei matriciale. Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei AXB = C înmulţim egalitatea la stanga cu A −1 şi la dreapta cu B −1 şi obţinem X = A −1CB −1 .