Bab 1 Pendahuluan Meh

Bab I: Pendahuluan

Tahun 1800 s/d 1900 an perkembangan ilmu struktur di bidang Teknik Sipil sangatlah pesat. Sangkin pesatnya tahun tersebut dapat disebut tahun keemasan, dimana banyak teori yang muncul a.l. oleh Cremona, Maxwell, Castigliano, Coulumb, Navier, Ritter, Gerber, Mohr, Culmann, Cross, Takabeya, Kani, dll. Teori yang dihasilkan umumnya adalah penyelesaian dengan analitis yang dapat diselesaikan dengan eksak maupun dengan pendekatan (lihat gambar 1.1). Setelah tahun 1940 adalah babak baru dalam bidang analisa struktur dikarenakan pada tahun tersebut penyelesaian dalam bidang analisa struktur adalah dengan munculnya teori numerik yakni penyelesaian dengan matrix. Beberapa penyelesaian dengan numerik adalah metode finite difference, finite element method, boundary element method. Yang popular diantara metode numeric dalam bidang Teknik Sipil adalah finite element method atau disebut juga metode elemen hingga, dikarenakan dapat lebih mudah meyelesaikan problem-problem seperti rangka, portal, pelat, balok tinggi dan shell. Dan pada buku ini akan diturunkan khusus Metode elemen hingga.

Metode penyelesaian analisa struktur

Numerik

Analitis

Eksak

Pendekatan

Penyelesaian Numerik

Metode Elemen Hingga

Gambar 1.1 :berdimensi satu

Keuntungan dari metode elemen hingga adalah bahwa apa yang tidak dapat diselesaikan dengan penyelesaian analitis dapat dipecahkan dengan metode ini, sebagai contoh konstruksi yang mempunyai geometris yang kompleks, beban yang kompleks dan persyaratan material yang kompleks. Secara umum dalam metode elemen hingga dikenal dengan tiga tipe struktur yakni sbb: 1. berdimensi satu seperti pada batang 2. berdimensi dua 3. berdimensi tiga Berdimensi satu artinya struktur yang tampang elemennya yakni b <<< L atau h<<< L dimana b: tebal, h : tinggi dan L :panjang bentang. Dimana b dan h jauh lebih kecil dari Kuliah Metode Elemen Hingga Prof Dr Ing Johannes Tarigan

1

panjangnya. Struktur ini adalah seperti rangka, portal, seperti pada gambar 1.2. Umumnya dalam Teknik Sipil elemen inilah yang paling banyak dipakai.

y

x

a) Rangka Batang

b) Portal

Gambar 1.2 : Berdimensi satu

Selanjutnya pengertian berdimensi dua adalah suatu struktur dimana tampang dimana h<<
y

P P

q q

t

t

x

y

x a) pelat

b) Dinding geser Gambar 1.3 : berdimensi dua

Setelah struktur yang berdimensi satu maka yang kedua banyak dipakai adalah elemen berdimensi dua yakni untuk pelat lantai, dinding geser dan cangkang. Dan yang terakhir adalah tipe yang berdimensi tiga dimana ketiga sisi struktur baik panjang, lebar dan Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 2

tebalnya tidak begitu jauh perbedaannya seperti pile cap ataupun pondasi turbin. Contoh berdimensi tida dapat dilihat di gambar 1.4. Type ini dipakai pada konstruksi khusus pondasi, dam, dll.

z

P

y x

Gambar 1.4: berdimendi tiga

1.2 Sekilas perkembangan MEH

Perkembangan metode elemen hingga sampai sekarang sangat pesat. Untuk itu ada baiknya disampaikan perkembangan metode elemen hingga dari awal hingga saat ini sbb:              

1941 Hernnikoff menggunakan metode ini dalam bidang ilmu teknik struktur. 1943 Mc Henry menggunakan metode ini pada perhitungan tegangan untuk struktur yang berdimensi satu (one-dimensional). 1943 Courant, mengunakan dengan solusi penyelesaian tegangan dengan suatu variational form. 1947 Levy menggunakan metode gaya 1953 Levy mengembangan metode kekakuan 1956 Turner, Clough, Martin dan Topp, mereka memperkenalkan matrix kekakuan pada elemen rangka (truss) dan balok (beam element). 1960 Clough memperkenalkan elemen segiempat dan segitiga 1961 Melos, menyajikan matrix kekakuan untuk elemen segi empat. 1963 Gastron dan Strome memperkenalkan elemen axissimetri. 1964 Argirys memperkenalkan elemen dengan tiga dimensional. 1965 Archer memperkenalkan metode elemen hingga pada analisa dinamik 1965 Clogh, Rashid, Wilson memperkenalkan axissimetri element. 1977 Lyness, Owen, Zienkiewicz mmeperkenalkan aplikasi metode elemen hingga pada magnetig field. 1976 Belytscho memperkenalkan non linier dynamic behavior.

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 3

Setelah tahun 1976 perkembangan sangat pesat apa lagi kemudian dipakai komputer untuk memudahkan menyelesaikan problemnya.

1.3 Metode elemen hingga dalam struktur Secara umum dalam perhitungan mekanika ada dua cara yakni : 1. Metode Gaya (Force Methode) 2. Metode Perpindahan (Displacement Methode) Pada metode Gaya, yang dihitung terlebih dahulu adalah gaya, baru dengan gaya dapat dihitung perpindahannya. Contoh perhitungan dengan metode gaya adalah Cross, Clayperon, Unit Load Methode atau metode lainnya. Sedangkan metode perpindahan adalah metode yang mengahsilkan perpindahan terlebih dahulu baru kemudian dengan perpindahan dapat dihitung gaya yang terjadi. Metode perpindahan ini dikenal dalam metode kekakuan dan metode elemen hingga. Dalam perkembangan software dasarnya adalah metode kekakuan atau metode elemen hingga. Beda metode kekakuan dengan metode elemen hingga adalah dalam mengerjakan matrix kekakuannya. Pada metode kekakuan dalam mencari kekakauannya dimulai dari metode konvesional, sedangkan dengan metode elemen hingga dasar perhitungan kekakuannya adalah dari teori energi. Pada metode kekakuan hanya dapat dilakukan pada elemen yang berdimensi satu (one dimensional), sedangkan metode elemen hingga dapat diterapkan pada elemen batang atau elemen yang berdimensi satu (one dimensional) , berdimensi dua(two dimensional) maupun berdimensi tiga (three dimensional). Dalam analisa metode elemen hingga didasarkan atas 4 (empat) dasar pemikiran sbb: 1. Keseimbangan : Gaya yang bekerja yakni gaya luar harus seimbang dengan gaya dalam. 2. Kompatibilitas : Akibat deformasi yang terjadi maka bagian-bagian dari elemen yang saling bertetangga tidak boleh bercerai-berai. 3. Sifat Bahan : Hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk ditentukan dengan hubungan gaya dan perubahan bentuk. 4. Interpretasi hasil : Dari hasil output dapat dikaji apakah perhitungan sudah benar atau belum. 1.4. Langkah-langkah umum dalam Metode Elemen Hingga. Pada metode elemen hingga maka ada langkah-langkah yang diikuti agar tahapan perhitungan menjadi sistematis. Adapun langkah-langkahnya adalah : Langkah I: Deskritisasi dan pemelihan tipe elemen. Dibawah ini diberikan contoh-contoh tipe elemen sbb:

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 4



Elemen batang atau elemen yang berdimensi satu. Elemen ini disebut juga simple line element ditunjukkan di gambar 1.5, dimana pada elemen tersebut secara umum ada dua simpul yakni 1 dan 2. Titik 1 adalah awal dan titik 2 adalah akhir. Perpindahan dititik 1 dan dititik 2, bisa bebeberapa alternatif akan dibahas pada bab-bab berikut ini yang mana akan didefinikan pada truss, spring, plane frame, space truss, space frame dan grid.

x

2

1

x

Gambar 1.5 : elemen batang 

Elemen dua dimensional atau disebut juga simple two-dimensional element. Contoh elemen ini ditunjukkan di gambar 1.6 a yang disebut juga elemen segitiga, kemudian di gambar 1.6 b yakni elemen segi empat. y

3

y

3

4

x 1

a) )

2

x 1

b)

2

Gambar 1.6 : elemen dua dimensi 

Elemen tiga dimensi atau Simple three-dimensional element dimana bisa elemen segitiga atau segi empat seperti gambar 1.7. dengan koordinat kartesian atau gambar 1.8 dengan koordinat polar.

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 5

1

8

3

7

4 2

3

6

5

1

2

3

Gambar 1.7 : Elemen tiga dimensi 

Elemen axi simetri atau Simple axisymmetri element.

𝜗

Gambar 1.8: Elemen axi simetris Langkah 2: Pemilihan fungsi perpindahan (shape function) Langkah 3: Tetapkan regangan/perpindahan dalam hubungannya dengan tegangan dan regangan. Langkah 4: Tetapkan matrix kekakuan  Direct stiffness methode /Metode kekakuan  Work or energy method ( metode ritz)  Methods of weighted residuals (metode Galerkin)

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 6

Langkah 5: Tetapkan persamaan konstruksi secara global dengan syarat batas yang berlaku. (boundary condition) Langkah 6: Selesaikan derajat kebebasan yang tidak diketahui (metode Gauss) Langkah 7: Selesaikan elemen strain dan stess. Langkah 8 : Interpretasi hasil.

1.5 Aplikasi metode elemen hingga Aplikasi metode elemen hingga dapat digunakan pada analisa struktur ataupun non struktur. Pada analisa struktur digunakan dalam tipe struktur:  truss, spring, frame, grid dan stress analysis.  Tekuk  Dynamika struktur Sedangkan pada non struktur metode elemen hingga digunakan pada :  Heat transfer  Fluid flow  Distribution of electric or magnetic potensial  Biomechanical enginnering problem Pada buku ini yang dibahas hanyalah metode elemen hingga pada elemen struktur.

1.6 Keunggulan dari metode elemen hingga Dibanding dengan analisa biasa metode elemen hingga mempunyai keunggulan sbb : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Geometris yang irregular dihitung dengan mudah Dapat menyelesaikan kondisi beban yang variasi dengan mudah Memodelkan yang mempunyai material yang berbeda. Dapat menyelesaikan persamaan pada elemen yang tidak terbatas dan juga jenis dari syarat batas. Dapat dibuat menjadi elemen-elemen yang paling kecil jika diperlukan Setelah dibuat model maka sangat gampang diselesaikan dan mudah Dapat menyelesaikan problem dinamik Dapat menyelesaikan non linear material.

Pada buku ini yang dibahas hanyalah elemen satu dimensi saja yakni sbb: a. Elemen truss (rangka bidang) b. Elemen spring c. Elemen beam (balok) Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 7

d. Elemen plane frame (portal bidang) e. Elemen grid (balok silang) Dalam program perhitungan dapat digunakan M_exell, yakni dalam perhitungan Invers Matrix ataupun perkalian matrix.

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015

hal 8