Bab 3

BAB 3 KOMPETENSI DASAR Setelah mengikuti pembelajaran aturan pencacahan,siswa mampu:  menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian , permutasi, dan kombinasi) melalui masalah konteksual.  Menyelesaikan masalah konsektual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian,permutasi,dan kombinasi). Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran aturan pencacahan,siswa memperoleh pengalaman belajar.  Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian permutasi, dan kombinasi) melalui masalah konsektual.  Mengumpulkan dan mengelola informasi untuk membuat kesimpulan,serta menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah konteksual yang berkaitan dengan aturan pencacahan(aturan penjumlahan, aturan perkalian ,permutasi, dan kombinasi).  Menyajikan penyelesaian masalah konteksual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan(aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).  Mengomunikasikan proses dan hasil pemecahan masalah konteksual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan(aturan penjumlahan , aturan perkalian , permutasidan kombinasi). TAHUKAH ANDA? Plat nomor kendaraan bermotor di Indonesia menggunakan kombinasi 4 angka digabung dengan satu, dua, atau tiga huruf di belakangnya.adapun satu atau dua huruf di depan hanya berfungsi sebagai petunjuk wilayah di mana mobil itu didaftarkan plat nomornya.sebagai contoh,huruf AB menunjukkan wilayah D.I. Yogyakarta, B untuk wilayah DKI Jakarta dan sekitarnya, dan sebagainya. Taukah Anda ,berapakah maksimal banyak kendaraan bermotor yang dapat menggunakan plat nomor tersebut di suatu wilayah,misalnya D.I.Yogyakarta,jika: 1. Semua kombinasi, termasuk misalnya AB 0000 A, boleh digunakan? 2. Semua kombinasi yang memuat 0000 tidak boleh digunakan?

3. Semua kombinasi yang memuat 0000 atau huruf dibelakangnya CD tidak boleh digunakan, karena CD(Corp Diplomatic) khusus digunakan untuk kendaraan para diplomat asing? Setelah mempelajari bab ini tentu Anda dapat dengan mudah menjawab semua pertanyaan di atas. MATERI POKOK A. Aturan perkalian dan Aturan penjumlahan B. Permutasi . jika n bilangan bulat positif, n!=n(n-1)(n-2)….3.2.1 . permutasi dengan semua unsur berbeda P(n,n)=n! .permutasi dengan sebagian unsur berbeda P(n,r)= 3.1 3.1.1

ATURAN PERKALIAN DAN ATURAN PENJUMLAHAN Banyaknya kejadian suatu Peristiwa/Percobaan Misalkan kita melemparkan sekeping uang logam. (i) Hasil yang mungkin adalah muncul Gambar(G) atau Angka (A) dan keduanya tidak bersamaan. (ii) Jika S melambangkan hasil yang mungkin, maka S ={G, A}. (iii) Semua kemungkinan hasil dari suatu peristiwa disebut ruang sampel. (iv) setiap gugus suatu ruang sampel disebut titik Contoh. Jadi ,banyaknya titik contoh dalam S adalah 2,dan ditulis n(S)=2. Apabila kita melemparkan sebuah dadu berisi enam mata dadu,maka semua kemungkinan hasil yang muncul yaitu S={1,2,3,4,5,6} dan n(S)=6. 3.1.2 Aturan Perkalian Ilustrasi 1: Percobaan. Mengundi sebuah dadu sisi enam dan sekeping uang logam bersama-sama. Kesimpulan dari percobaan di atas adalah sebagai berikut.

. Jika P={unsur-unsur dadu}= {1,2,3,4,5,6} dan n(p)=6 Q={unsur-unsur uang logam} ={G, A} dan n(Q)=2. . Maka n(P x Q)= 6 x 2=12, artinya ada 12 pasangan terurut yang memuat unsurunsur P x Q. Jad,apabila suatu himpunan p memuat r elemen dan himpunan Q memuat s elemen, maka P x Q adalah suatu himpunan yang memuat rs elemen, di mana rs adalah banya pasangan berurutan (a,b) dengan a £ P dan b £ Q. Dadu 1 2 3 4 5 6 Uang

Ilustrasi di atas menunjukan bahwa : jika peristiwa pertama dapat dilakukan dengan r cara yang berbeda dan setiap cara ini dilanjutkan dengan peristiwa kedua yang dapat dilakukan dengan s cara berbeda, maka kedua peristiwa tersebut dapat dilakukan secara bersama-sama dengan r x s cara yang berbeda. Hal tersebut dinamakan Aturan perkalian. Lebih lanjut lagi dengan aturan perkalian, apabila suatu peristiwa terdiri dari n yahap yang berurutan di mana peristiwa pertama dapat dilakukan dengan r1 cara yang berbeda dan setiap cara ini dilakukan dengan peristiwa kedua yang dapat dilakukan dengan r2 cara berbeda, dan seterusnya hingga peristiwa ke-n yang dapat dilakukan dengan rn cara berbeda, maka peristiwa ke tersebut dapat dilakukan secara bersama-sama dengan r1 x r2 x …. xn cara yang berbeda. 3.1.3 Aturan Penjumlahan Apabila suatu peristiwa terdiri dari n tahap yang saling lepas di mana peristiwa pertama dapat dilakukan dengan r1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dilakukan dengan r2 cara yang berbeda, dan seterusnya hingga peristiwa ke-n yang dapat dilakukan dengan rn cara berbeda, maka total peristiwa tersebut adalah r1 x r2 x …. xn cara yang berbeda. Hal tersebut dinamakan Aturan Penjumlahan. Contoh 1 : Untuk mengikuti kompetisi matematika, sebuah sekolah diwajibkan mengirimkan 1 siswa perwakilan. Jika dalam tahap akhir seleksi terpilih 3

siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan, tentukan banyaknya cara sekolah tersebut memiliki wakilnya untuk mengikuti kompetisi matematika. Jawab : Peristiwa tersebut merupakan peristiwa yang saling lepas karena peristiwa pertama tidak dilanjutkan dengan peristiwa kedua atau peristiwa tersebut bukan peristiwa berpasangan. Oleh karena itu, dalam menjawab soal tersebut digunakan aturan penjumlahan. Jadi, banyaknya cara sekolah memilih wakilnya untuk mengikuti kompetisi matematika adalah 3 + 2 = 5. Contoh 2 : 1. Terdapat 4 jalan yang berbeda dari kota A ke kota P dan 2 jalan yang berbeda dari kota P ke kota B. tentukan banyak cara seseorang dapat menggunakan jalan itu untuk berangkat dari A ke B melalui P. Jawab Banyak cara jalan dari A ke P adalah r = 4, dan banyak cara jalan dari P ke B adalah s = 2. Berdasarkan aturan perkalian diatas, maka banyak cara jalan dari A ke B melalui P adalah 4 x 2 = 8 cara. 2. Pengurus kelas yang terdiri dari 1 laki-laki dan 1 perempuan akan dipilih dari 8 siswa laki-laki dan 10 perempuan. Tentukan banyak cara/kemungkinan untuk membentuk pengurus kelas tersebut. Jawab : - Ada 8 cara untuk memilih seorang laki-laki dari 8 siswa laki-laki - Ada 10 cara untuk memilih seorang perempuan dari 10 siswa perempuan Sehingga secara bersama-sama pengurus kelas dapat dibentuk dalam 8 x 10 = 80 cara. Contoh 3 : 1. Pada saat diadakan pemilihan ketua dan sekretaris kelas, ada 3 calon untuk ketua kelas dan ada 5 calon untuk sekretaris kelas. berapa banyak pasangan calon ketua dan sekretaris yang mungkin terpilih ? Jawab :

Ada 3 cara untuk memilih ketua dari 3 calon ketua, da nada 5 cara untuk memilih sekretaris dari 5 calon sekretaris tersebut. Jadi, banyak pasangan calon ketua dan sekretaris yang mungkin terpilih adalah 3 x 5 = 15. 2. Seseorang mempunyai 4 kaus dan 3 celana. Berapa banyak cara ia memakai kaus dan celana tersebut ? Jawab : Ia dapat memakai kaus dengan 4 cara Ia dapat memakai celana dengan 3 cara Jadi, ia dapat memakai pasangan kaus dan celana yang berbeda sebanyak 4 x 3 = 12 cara.

Suatu keeping uang logam dilemarkan dua kali. Ada berapa banyak kemungkinan hasil percobaan tersebut ? Jawab : Elemen-elemen pada kedua sisi mata uang tersebut adalah : Angka (A) dan gambar (G) atau S = (A,G) dan n(S) = 2, sehingga pada lemparan pertama ada 2 kemungkinan elemen mata uang yang muncul. Demikian juga pada lemparan kedua ada 2 kemungkinan elemen yang muncul. Jadi, secara keseluruhan ada 2 x 2 = 4 kemungkinan hasil percobaan peristiwa di atas dapat ditunjukan seperti table berikut. ………………………………..

Contoh 4 : Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5, dan 6 tanpa pengulangan ? Jawab : Untuk memudahkan menjawab soal tersebut, kita membuat empat tempat yang kosong sebagai berikut : Untuk memilih angka ribuan kita hanya dapat memilih dari angka 1,2,3,4,5 dan 6. Hal ini disebabkan 0 tidak mungkin ditempatkan pada posisi paling kiri sehingga posisi pertama dapat ditempati dengan 6 cara (perhatikan skema berikut) Jika salah satu angka sudah ditempatkan pada psisi pertama, maka posisi kedua dapat ditempati dengan 6 cara (diambil dari angka 0 ditambah siswa dari 6 angka yang telah dipakai di depan) Posisi ketiga dapat ditempati dengan 5 cara dan selanjutnya posisi keempat ditempati dengan 4 cara. Jadi, banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun adalah 6 x 6 x 5 x 4 = 720 bilangan. Contoh 5

Latihan 1 A. Soal menjodohkan Pasangkan penyelesaian dari setiap soal berikut dengan jawaban yang sesuai. 1. Banyaknya cara menyusun 6 buku yang berbeda judul A. 8 adalah …. 2. Banyaknya bilangan genap yang lebih dari 6.000 yang B. 60 dibentuk dari angka (3,4,6,8) tanpa ada angka yang berulang adalah …. 3. Banyaknya bilangan ratusan yang dibentuk dari angka-angka C. 720 (2,3,4,5) tanpa ada angka yang berulang adalah …. 4. Banyaknya cara anak duduk apabila 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk dalam satu baris yang terdiri dari 5 D. 120 kursi adalah …. 5. Kota A dan B dihubungkan oleh 5 jalan, kota B dan C dihubungkan oleh 3 jalan, sedangkan kota C dan D E. 24 dihubungkan oleh 4 jalan. Banyak cara yang dapat dilalui oleh seseorang berangkat dari kota A ke D melalui B dan C adalah …. B. Soal Objektif Pilihlah satu jawaban yang benar. 6. Di sebuah sekolah akan dipilih seorang siswa untuk mengikuti kompetisi matematika. Jika dalam tahap final selesksi terdapat 8 siswa putra dan 7

siswa putri, banyaknya cara memilih siswa untuk mengikuti kompetisi tersebut adalah ………………. a. 7 d. 28 b. 8 e. 56 c. 15 7. Untuk menuju ke kota A dari kota B ada berapa jenis angkutan yang dapat digunakan. Ada 3 bus, 2 kapal laut, 1 pesawat terbang, dan 1 kereta api yang dapat dipilih. Banyak cara berbeda untuk berangkat menuju kota A dari kota B menggunakan kendaraan tersebut adalah ………….. a. 5 d. 8 b. 6 e. 9 c. 7 8. Kota K dan kota L dihubungkan oleh 4 alternatif jalan. Kota L dan kota M dihubungkan oleh 5 alternatif jalan. Jika seseorang bepergian dari kota K ke kota M melalui kota L, banyaknya rute berbeda yang dapat ditempuh adalah a. 9 d. 20 b. 12 e. 24 c. 16 9. Penomoran kursi pada sebuah ujian adalah satu huruf dilanjutkan dengan vilangan asli tidak lebih dari 30. Jika semua kursi ditempati peserta ujian, banyaknya peserta ujian adalah……. a. 56 d. 780 b. 240 e. 1.200 c. 360 10. Seorang anak mempunyai 6 baju, 3 jaket, dan 3 celana panjang. Banyak komposisi pemakaian baju, jaket dan celana panjang adalah …… a. 12 d. 48 b. 28 e. 54 c. 36 11. Banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun dari angka-angka 1,2,3,4,5 dan 6 dengan angka-angka tidak boleh berulang adalah sebanyak………. a. 1.080 d. 270 b. 630 e. 180

c. 360 12. Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka berbeda yang daoat disusun dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 adalah …….. a. 840 d. 5.040 b. 1.680 e. 6.720 c. 3.360 13. Banyaknya bilangan bernilai ribuan yang lebih dari 3.000 yang terdiri dari angka berbeda dan dibentuk dari angka-angka 0,1,2,3,5,6 dan 9 adalah….. a. 88 d. 312 b. 154 e. 480 c. 216 14. Dalam suatu kelas terdapat 20 siswa yang akan dibentuk pengurus kelas yang yeridiri atas satu orang ketua, satu orang sekretaris, dan satu orang bendahara. Jika setiap siswa mendapat hak untuk dipilih, banyaknya cara pembentukan pengurus kelas adalah ……….. a. 4.680 d. 6.840 b. 4.860 e. 8.640 c. 6.480 15. Ada 6 jalan yang menghubungkan kota A dengan kota B dan 4 jalan menghubungkan kota B dengan kota C. banyaknya cara seseorang dapat pergi dari kota A ke kota B dilanjutkan ke kota C kemudian kembali ke kota A melalui kota B. jika ia tidak menggunakan jalan yang sama lebih dari satu kali adalah …………… a. 840