Bab 3 Bunga Majemuk

BUNGA DAN TINGKAT BUNGA Bunga: Sejumlah uang yang diterima sebagai hasil dari menanam modal, yang dapat dilakukan sebagai uang yang dipinjamkan atau disebut juga sebagai keuntungan (profit). Tingkat Bunga: Perbandingan antara keuntungan yang diperoleh dari penanaman modal dengan modal yang ditanam tersebut dalam periode waktu tertentu atau dapat dinyatakan sebagai perbandingan antara jumlah uang yang harus dibayarkan untuk penggunaan suatu modal dengan modal yang digunakan.

Nilai Uang dari Waktu Dalam melakukan ekivalensi nilai uang perlu mengetahui 3 hal, yaitu : 1. Jumlah yang dipinjam atau yang diinvestasikan 2. Periode / Waktu peminjaman atau investasi 3. Tingkat bunga yang dikenakan Perhitungan Bunga

bunga yang dinyatakan per unit waktu Tingkat bunga = -------------------------------------------------------------- X 100% pinjaman pokok

Jenis Bunga untuk melakukan perhitungan nilai uang: 1. Bunga Sederhana I = Pxi x n

2.

I = Bunga yang terjadi (Rupiah) P = Induk yang dipinjam atau diinvestasikan i = Tingkat bunga per periode n = Jumlah periode yang dilibatkan

Bunga Majemuk

I = P x i  hasilnya ditambah dengan besarnya bunga yang telah terakumulasi (I + P = Pn)  I = Pn x i , dimana n (tahun pembayaran) = 1,2,3,... dst

Contoh Soal Bunga Sederhana : 

Seseorang meminjam uang sebesar Rp.1000,- selama 3 tahun dgn tingkat suku bunga 10% per tahun. Berapa total pembayaran yg harus dilakukan pada akhir tahun ketiga jika bunga yg digunakan adalah bunga sederhana ?

Penyelesaian :  Total bunga selama 3 tahun : I = 1000 x 0,10 x 3 = 300  Total pembayaran yg harus dilakukan pd akhir tahun ketiga adalah :  F = 1000 + 300 = 1300  Sehingga total pembayaran pada akhir tahun ketiga sebesar Rp 1300,

Contoh soal Bunga Majemuk - Contoh Soal : Seseorang pinjam uang sebesar Rp 1000,- selama 3 thn dgn suku

bunga 10% per thn. Berapa total pembayaran yg harus dilakukan pd akhir tahun ketiga jika bunga yg digunakan adalah bunga majemuk? Penyelesaian : Bunga pinjaman tahun berjalan akan menambah jumlah pinjaman di awal tahun berikutnya. Perhitungan total pembayaran yg harus dilakukan pada akhir tahun ketiga dapat dilihat pada tabel berikut : (1) Tahun

(2) Jumlah Pinjaman pada awal tahun

(3) = (2) x 10% Bunga Pinjaman Tahun berjalan

(3)=(2)+(3) Jumlah Pinjaman pada akhir tahun

1

1000,00

100,00

1.100,00

2

1.100,00

110,00

1.210,00

3

1.210,00

121,00

1.331,00

Sehingga total pembayaran yg harus dilakukan pada akhir tahun ketiga adalah sebesar Rp 1.331,-

Diagram Alir Kas Aliran Kas Netto = Penerimaan - Pengeluaran Diagram Alir Kas adalah suatu ilustrasi grafis dari transaksi ekonomi yang dilukiskan pada garis skala waktu. Ada 2 segmen dalam suatu Diagram Aliran Kas

:

1. Garis Horisontal yang menunjukkan skala waktu (periode). 2. Garis – garis Vertikal yang menunjukkan aliran kas. penerimaan

0

1periode

1

2

3

4

5

n

pengeluaran Titik 0 ( nol ) menunjukkan saat ini atau akhir periode nol atau awal periode 1 (satu)

Bunga dan Rumus-rumus Bunga Konsep Nilai Uang Terhadap Waktu (Time value of money)  Transaksi cash flow untuk beberapa tahun tidak boleh dijumlahkan karena harga uang pada tahun sekarang berbeda dengan harga uang pada tahun yang akan datang  Rp. 5.000,- tahun sekarang, lebih tinggi nilainya dengan Rp. 5.000,- pada tahun-tahun yang akan datang, karena adanya konsep suku bunga (interest rate). Misal: Pinjam Rp.100.000 Bunga 1,5% per bulan Maka tingkat suku bunga = 1,5 x 12 = 18%/per tahun , dan suku bunga 18% disebut bunga nominal (sederhana). Tetapi dalam prakteknya yang dipergunakan adalah suku bunga majemuk (effective interest rate) .

 Perhitungan

suku Bunga Majemuk adalah sebagai berikut:

Pinjam Rp.100.000 Bunga 1,5% per bulan. Berapa yang harus dibayarkan setelah 1 tahun kemudian?

Bulan

Total dana yang dipinjamkan

0

100.000

1

100.000 + 0,015(100.000) = 100.000(1+0,015)

2

100.000(1+0,015) + [0,015x100.000(1+0,015)] = 100.000(1+0,015)2

3

100.000(1+0,015)2+ [0,015x100.000(1+0,015)2] =100.000(1+0,015)3

4

100.000(1+0,015)3+ [0,015x100.000(1+0,015)3] =100.000(1+0,015)4

…….. 12

…………………………=100.000(1+0,015)12 = 119.560

119.560 – 100.000 Suku bunga majemuk : = ---------------------- x 100%=0,195619,56% 100.000

Jadi bunga majemuk lebih besar daripada bunga nominal

Rumus suku bunga majemuk: i effective = ( 1+ i )n –1 Dimana : ieffective = interest; n = jangka waktu modal didepositokan/dipergunakan Contoh : Pinjaman Rp. 1.000.000 i = 1,5% tiap bulan Berapa besar bunga (i) untuk n = 3 bulan, 6 bulan, 9 bulan, 1 tahun? Solusi :  i = 1,5% = 0,015 per bulan  3 bulan = i = ( 1+ 0,015) 3-1 = 0.045678 atau Rp 45.678  6 bulan = i = ( 1+ 0,015) 6-1 = 0.093443 atau Rp 93.443  9 bulan = i = ( 1+ 0,015) 9-1 = 0.14339 atau Rp 143.390  1 tahun = i = ( 1+ 0,015)12-1 = 0.195618 atau Rp 195.618

Rumus-Rumus Bunga Majemuk Simbol pada Bunga Majemuk: P = Present worth (jumlah uang saat ini) F = future worth (jumlah uang masa datang) n = number /time  jangka waktu/umur teknis (minggu, hari, bulan, tahun) i = interest rate  suku bunga/periode A = annual  pembayaran seragam atau secara merata / periode G = gradient  peningkatan pembayaran yang konstan

Single-Payment Compound-Amount Factor (Discrete Compounding, Discrete Payments) Year

Amount at Beginning of Year

Interest Earned During Year

Compound Amount at End of Year

1

P(1+i)0

P(1+i)0 i

P(1+i)0 + P(1+i)0 i = P(1+i)1

2

P(1+i)1

P(1+i)1 i

P(1+i)1 + P(1+i)1 i = P(1+i)2

3

P(1+i)2

P(1+i)2 i

P(1+i)2 + P(1+i)2 i = P(1+i)3

n

P(1+i)n-1

P(1+i)n-1 i

P(1+i)3 + P(1+i)3 i = P(1+i)4

F = P (1 + i)n atau F = P ( F/P,i,n ) RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

12

F = P (1 + i)n atau F = P ( F/P,i,n ) F=? Single-Payment Present-Worth Factor

0 1

2

3

n-1

n

P diketahui

Single-Payment Compound-Amount Factor (Discrete Compounding, Discrete Payments)

Contoh : Jika seorang karyawan TELKOM merencanakan untuk mendepositokan  uangnya sebesar Rp. 100 juta dengan tingkat suku 12%/tahun. Berapakah jumlah uang karyawan tersebut pada akhir tahun kelima adalah : 

F = Rp. 100 juta (1 + 0.12) F = Rp.100 juta (1,7623) = Rp. 176,23 juta Atau F = Rp.100 juta (F/P,n,i) Lihat Tabel Bunga F = Rp.100 juta (1,7623) = Rp. 176,23 juta

Single-Payment Present-Worth Factor (Discrete Compounding, Discrete Payments)



1  P  F n   1  i  

atau P = F ( P/F, i,n ) F

Single-Payment Present-Worth Factor

0 1 P

2

3

n-1

n

Single-Payment Compound-Amount Factor RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

15

Mencari F, jika diketahui P F/P,i,n

F = P (1 + i)n atau F = P ( )

Contoh : Bunga 10% per tahun, uang Rp 1.000.000 akan ekivalen dengan berapa dalam waktu 3 tahun?  P = 1000.000 , i = 0,10 F = 1000.000 (1+0,10)3 = 1000.000 (F/P,10%,3) F=? F = 1000.000 (1,3310) = 1.331.000

i=10% 0 1 P=1000.000

2

3

n-1

n

Contoh : Berapa modal yang harus di investasikan pada 1 Januari 2011 agar pada 1 Januari 2021 modal tersebut menjadi Rp.1.791.000, dengan bunga 6% per tahun F = 1.791.000 Pembahasan: n = 10 tahun; F = Rp.1.791.000 P = F(P/F,i,n) = 1.791.000 (1+0,06)-10 = 1.791.000 (0,5584) = Rp. 1.000.000 F=1.791.00

i=6% 0 1 P=?

2

3

Mencari P, jika diketahui F

n-1

n



Seseorang meminjam Rp 1.200 diawal tahun pertama dengan rencana mengembalikan pada akhir tahun ke-5. Tetapi di awal tahun ke -3, orang tersebut menambah pinjaman sebesar Rp 800 yang akan dikembalikan bersamaan dengan pengembalian pinjaman pertama. Berapa besar uang yang harus dikembalikan di akhir tahun ke-5, jika tingkat suku bunga 12% per tahun?

1.200 800

1

Contoh soal 1

2

3

4

5

F= ?

Pembahasan

Seseorang meminjamkan uang di awal tahun pertama dengan rencana akan dikembalikan di akhir tahun ke-2 sebesar Rp 800 dan Rp 1.200 di akhir tahun ke-5. Berapa besar uang yang dipinjamkan, jika tingkat suku bunga 15%?

P = P1 + P2 P = 800 (P/F,15%,2) +1.200 (P/F,15%,5) P = 800(0,75614) + 1.200(0,49718) P = 1.201,53.

Contoh soal 2



Seseorang menginvestasikan sejumlah uang di awal tahun pertama. Di awal tahun ke-3, dia menambah investasinya sebesar 1,5 kali dari investasi pertama. Jika tingkat bunga 10% per tahun, dan diinginkan agar nilai investasinya menjadi Rp 2.000 di akhir tahun ke-5. Berapa besar investasi yang ditanamkan diawal tahun pertama dan dan awal tahun ke-3?

I = 10% 0 1

F= 2000 2

3

4 5

X

1.5 X

2000 2000 2000 X

= F1 + F2 = X(F/P, 10%, 5 + 1.5X(F/P,10%,3) = X(1.6105) + 1.5X(1.331) = 554.48

Investasi di awal tahun pertama sebesar Rp 554.48 dan diawal tahun ke-3 sebesar Rp 831.72

Contoh soal 3



Jika investasi sebesar Rp 1000 diawal tahun pertama dan Rp 1500 di awal tahun ke-4 memberikan hasil Rp 4200 pada akhir tahun ke-5. Berapa besar tingkat bunga yang berlaku? I = ?% 0 1

F= 4200 2

3

4 5

1000

1500 F = F1 + F2 4200 = 1000(F/P, i%, 5 + 1500(F/P,i%,2) Jika i = 15%  1000(2.01136) + 1500(1.3225) = 3.995 Jika i = 18%  1000(2.28776) + 1500(1.3924) = 4.376 Dengan interpolasi linear, diperoleh tingkat suku bunga

 4200  3995  i  15    18%  15%   16.61% 4376  3995  

Contoh soal 4

Seseorang

mengharapkan untuk menerima Rp 10 juta pada akhir 2010 dan pada akhir 2011. Berapa besar nilai uang (Present value) yang harus disimpan untuk penerimaan tersebut diatas pada awal tahun 2005, tingkat bunga 10%?

Contoh soal 5

05

06

07

08

i = 10%

P=?

P = P1 + P2 =10 jt (P/F,10%,5) + 10 jt(P/F,10%,6) = 10 jt (0.6209) + 10 jt (0.5645) = 11.854 jt

10 jt

10 jt

10

11

09

3.3 UNIFORM SERIES FORMULAS Seringkali arus kas yang dihadapi berupa sederetan arus kas masuk atau arus kas keluar yang besarnya sama,A,yang terjadi setiap akhir periode selama n periode dengan tingkat suku bunga ,i, per tahun. Deret seragam seperti itu disebut anuitas.  Rumus dan tabel yang disajikan dihitung berdasarkan kondisi : 1. P berada satu periode sebelum A pertama. 2. F berada bersamaan dengan A terakhir 3. A dimulai di akhir periode pertama sampai akhir periode ke n 

3.3.1 Mencari F, jika diketahui A (Discrete Compounding, Discrete Payments)

 1  i  n  1  F  A  i  

0

atau F = A (

F/A, i, n

)

F

1

2

3

n-1

A

A

A

A

n

Equal-Payment-Series Compound-Amount Factor

A RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

26

Contoh : Jika seseorang menabung Rp.100.000 tiap bulan selama 25 bulan dengan bunga 1 % per bulan, berapakah yang ia miliki pada bulan ke25 tersebut ? Solusi :  Diagram aliran kas dari contoh ditunjukkan pada gambar dibawah ini

F = A(F/A, i%,N) = Rp 100.000 (F/A,1%,25) = Rp 100.000 (28.243) = Rp 2.824.300 Jadi, pada bulan ke 25 jumlah uang yang dimiliki adalah Rp. 2.824.300.

3.3.2 Mencari A, jika diketahui F (Discrete Compounding, Discrete Payments)



 i A  F  n  1  i   1 

atau A = F (

A/F, i, n

)

F Equal-Payment-Series Sinking-Fund Factor

0

1

2

3

n-1

A

A

A

A

n A RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

28



Berapa besar pembayaran yang harus disetorkan 4 kali berturut-turut di setiap akhir tahun agar terakumulasi menjadi Rp 1,464.10 pada akhir tahun ke-4, bila tingkat bunga 10%? F=1,464.10 i=10%

A=? 1

2

A

3

A

4

A

A

Rumus : A= F(A/F,i, n) = 1,464.10 (A/F, 10%,4) = 1,464.10 (0.21547) = 315.47

Nilai Rp 1,464.10 pada akhir tahun ke-4 ekivalen dengan pembayaran a kali berturut-turut setiap akhir tahun sebesar Rp 315.47 per tahun pada tingkat suku bunga 10% per tahun.

Contoh soal

3.3.4 Mencari A, jika diketahui P (Discrete Compounding, Discrete Payments)

i 1  i   A  P  n  1  i   1  

n

atau A = P (

A/P, i, n

)

A

A

A

A

1

2

3

n-1

A

0 Equal-Payment-Series Capital Recovery Factor

n

P

RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

30



Berapa besar pembayaran dengan jumlah yang sama di setiap akhir tahun selama 4 tahun berturut-turut yang ekivalen dengan Rp 1000 di awal tahun pertama dengan tingkat bunga 10% per tahun? P= 1000 i=10%

1

2

A

3

A

4

A

A=?

A

Rumus : A= P(A/P,i, n) = 1,000 (A/P, 10%,4) = 1,000 (0.31547) = 315.47

Nilai Rp 1,000 kini ekivalen dengan pembayaran di setiap akhir tahun selama 4 tahun berturut-turut sebesar Rp 315,47 pada tingkat bunga 10% per tahun

Contoh soal

3.3.4 Mencari P, jika diketahui A (Discrete Compounding, Discrete Payments)

 1  i  n  1  P  A n   i 1  i  

atau P = A (

P/A, i, n

)

A

A

A

A

1

2

3

n-1

A

0 Equal-Payment-Series Present Worth Factor

n

P

RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

32



Berapa nilai ekivalen dari 4 kali penarikan setiap akhir tahun dengan jumlah masing-masing sebesar Rp 315,47 denngan tingkat bunga 10% per tahun? A

1

A

2

A

3

i=10%

A

A=315,47

4

Rumus : P= A(P/A,i, n) = 315,47 (P/A, 10%,4) = 315,47 (3.16987) = 1,000

P=? Nilai 4 kali penarikan setiap akhir tahun secara berturut-turut yang masingmasing sebesar Rp 315,47 ekivalen dengan Rp 1.000 pada saat ini, dengan tingkat bungan 10%

Contoh soal

Uniform-Gradient-Series Factor (Discrete Compounding, Discrete Payments)

 1  n A  G   n i 1  i   1  

atau A = G (

A/G, i, n

)

(n-1)G (n-2)G 2G G 0

1

2

A

A

A

A

A

1

2

3

n-1

n

Uniform-GradientSeries Factor

3

n-1

n

0

RI-1504/Ekonomi Teknik/2004/SEW/#1

34

Deret Gradient (Jumlah kenaikan yang sama) 0

1

2

3

4

n-2

n-1

n

G 2G 3G Biaya perawatan kendaraan bermotor tahun pertama Rp 150 ribu, tahun kedua Rp 175 ribu, dan tahun ketiga Rp 200 ribu dan seterusnya, berarti kenaikan biaya Perawatan Rp 25 ribu per tahun dinamakan Gradien per tahun Rp 25 ribu

(n-3) G (n-2) G (n-1) G

Selanjutnya : P = G (P/G,i%, n)  rumus 7 A = G (A/G,i%, n)  rumus 8 F = G (F/G, i%, n)  rumus 9 Contoh : Perkiraan ongkos operasi dan perawatan mesin-mesin yang digunakan oleh pabrik adalah Rp 6 juta pada tahun pertama, Rp 6,5 juta pada tahun kedua, dan seterusnya selalu meningkat Rp 0,5 juta per tahun sampai tahun ke 5. Bila tingkat bunga 15% per tahun, maka hitunglah: a. Nilai sekarang dari semua ongkos tersebut (P) b. Nilai semua ongkos tersebut pada akhir tahun ke 5 (F) c. Nilai deret seragam dari semua ongkos tersebut selama 5 tahun (A) Solusi: a. P = P1 + P2 = 6 juta (P/A,15%,5) + 0,5 juta (P/G,15%,5) = 6 juta (3,352) + 0,5 juta (5,775) = Rp 22.999.500

b.

c.

Nilai pada akhir tahun ke 5 dapat dihitung F = P (F/P,15%,5) = 22.999.500 (2,011) = Rp 46.252.000 atau F = F1 + F2 = 6 juta (F/P,15%,5) + 0,5 juta (F/G,15%,5) = 6 juta (6,742) + 0,5 juta (11,62) = Rp 46.252.000 Nilai deret seragam : A = P (A/P,15%,5) = 22.999.500 (0,29832) = Rp 6.861.000 atau A = A1+ A2 = 6 juta + 0,5 juta (A/G,15%,5) = 6 juta + 0,5 juta (1,723) = Rp 6.861.000 0

1

2

3

4

A = 6 jt G = 0,5 jt

5

Contoh untuk Gradien menurun

1000

800

i = 10% A2 = ?

600

400

200 A1 = dianggap 1000 G = dianggap - 200

0 1 2 3 4 5 6 7 Berapakah nilai A agar keseluruhan nilai-nilai pada diagram aliran kas sama? Solusi : Harga F7 = 1000 (F/A,10%,5) – 200 (F/G,10%,5) = 1000 (6,1051) – 200 (11,0508) = = 6.105,1 – 2.210,16 = 3.894,94 = F7 A2 = 3.894,94 (A/F,10%,7) = 637,90 ribu/ tahun selama 7 tahun dengan bunga 10%

Rumus-Rumus Bunga Majemuk Soal latihan 1. Hitung suku bunga majemuk dalam per tahun bila suku bunga adalah : ◦ 12% per enam bulan ◦ 12% per kuartal ◦ 12% per bulan Pembahasan : a. i dalam setahun jika i per enam bulan =12% i dalam setahun = (1 + 0,12)12/6 –1 = 0,2544 = 25,44% b. i dalam setahun jika i per kuartal =12% i dalam setahun = (1 + 0,12)12/4 –1 = 0,4049 = 40,49% c. i dalam setahun jika i per bulan =12% i dalam setahun = (1 + 0,12)12/1 –1 = 2,8959 = 289,59%

Suku bunga suatu bank 0,5% per minggu. Hitung suku bunga nominal dan majemuk dalam per tahun ! Pembahasan Diketahui i per minggu = 0,5% = 0,005 Asumsi i tahun = 52 minggu i nominal = 0,5% x 52 = 26% per tahun i eff = (1+ 0,005)52 –1 = 0,296 = 29,6% per tahun 2.

Hitung suku bunga majemuk dan nominal jika suku bunga 15% per hari Pembahasan Diketahui suku bunga (i ) per hari = 15% = 0,15 Asumsi 1 tahun = 366 hari i nominal = 15% x 366 = 54,9% per tahun i eff = (1+ 0,15)366 – 1 = 0,6421 = 64,21% per tahun 3.

5.Seorang mahasiswa yang akan merencanakan pesta wisuda 3 tahun yang akan datang. Perkiraan biaya pesta adalah Rp 10 juta. Berapa besar biaya yang disiapkan saat ini, jika suku bunga per tahun 12% F = 10 jt Diketahui : F = 10 juta i = 12% per tahun 3 0 n = 3 tahun P=? Pembahasan : i = 12% P = 10 juta ( P/F, 12%,3) P = 10 juta (0,7118) = 7,118 juta P = ? atau 1 P = F ----------- = 10 juta (0,7118) = 7,118 juta (1+0.12)3

Rumus-Rumus Bunga Majemuk 6.

Seorang pengusaha merencanakan untuk meminjam uang sebesar Rp 50 juta pada sebuah bank. Uang tersebut dikembalikan 5 tahun yang akan datang. Jika bunga 1,5% per bulan. Berapa uang yang harus di kembalikan? Pembahasan : P = Rp 50 juta n = 5 tahun Bunga effektif per tahun = (1 + 0,015)12 –1 = 0,1956 = 19,56% 5 F = P (1+ i )n = 50 juta (1 + 0,0015 )F =? = 50 juta (2,443) = Rp 122,15 jt

0 i = 19,56% P = 50 jt

5

Contoh Sebuah industri yang sedang didirikan membutuhkan sebuah mesin CNC yang harganya saat ini adalah Rp. 200 juta. Pimpinan perusahaan memutuskan untuk membeli mesin tersebut dengan, pembayaran angsuran selama 5 tahun dan dibayar tiap bulan dengan jumlah angsuran yang sama. Jumlah maksimum yang bisa diangsur adalah 75% dari harganya. Bila bunga yang berlaku adalah 1% per bulan, berapakah besarnya angsuran yang harus dibayar tiap bulan ? Solusi : Jumlah yang akan diangsur adalah 75% x Rp. 200 juta = Rp.150 juta. Besarnya angsuran tiap bulan adalah selama 5 atau 60 bulan A = P(P/A.i%,n) = Rp. 150 juta (A/P,1 %, 60) = Rp. 150 juta (0,2224) = Rp. 3,336 juta

Contoh : Seorang investor menawarkan rumah dengan pembayaran kredit, sebuah rumah ditawarkan dengan membayar uang muka Rp. 10 juta dengan angsuran yang sama selama 100 bulan sebesar Rp. 200 ribu per bulan. Bila bunga yang berlaku adalah 1 % per bulan, berapakah harga rumah tersebut bila harus dibayar kontan saat ini ? Solusi : Harga rumah tersebut saat ini adalah harga uang muka ditambah harga saat ini dari angsuran yang harus dibayar. Harga saat ini dari angsuran selama 100 bulan adalah : P = A (P/A, i%, N) = Rp. 200.000 (P/A, 1%,100) = Rp. 200.000 (63,029) = Rp.12.603.800 jadi harga rumah tersebut saat ini adalah = Rp. 12.603.800 + Rp. 10.000.000 = Rp 22.603.800

Contoh Seorang guru yang berusia 30 tahun merencanakan tabungan hari tua sampai berusia 55 tahun berharap agar tabungan itu bisa dinikmati selama 20 tahun mulai umur 56 sampai umur 75 tahun. juga merencanakan akan mengambil uang yang jumlahnya sama tiap tahun selama 20 tahun tersebut. Ia merencanakan akan menabung mulai akhir tahun depan. Bila ia akan menabung dengan jumlah Rp 300,000 per tahun dan bunga yang diperoleh adalah 15% per tahun, berapakah yang bisa dia ambil tiap tahun pada saat usianya antara 56 - 75 tahun ? Solusi :

30 31

A2 = ?

55 A1 = 300.000

56 i = 15%

Perhitungan tahap I, total dana pada usia 55 tahun (F55) : F55 = A1(F/A, 15%, 25) = 300.000 (212,793) = Rp 63.837.900

kemudian

75 F55 ini menjadi nilai P55, yang Selanjutnya dipergunakan sebagai Dasar perhitungan A2: A2 = P(A/P, 15%, 20) = 63.837.900 (0,15976) = Rp 10.198.742 dana yang diterima tiap tahun Mulai usia 56 sampai dengan 75

Menangani Aliran Kas yang Tidak Teratur Contoh: Perhatikan diagram aliran kas pada gambar 2.16. dengan menggunakan tingkat bunga 12% tentukanlah nilai P, F, dan A dari keseluruhan aliran kas tersebut :

0

1

2

3

4

5

0 3.000

6.000

8.000

10.000 12.000

Lanjutan

Menangani Aliran Kas yang Tidak Teratur

Untuk memperoleh nilai P dari keseluruhan diagram tersebut maka dilakukan konversi setiap ada aliran kas ke nilai awal (ditahun ke 0) P0 = Rp. 6.000 P1 = Rp.10.000 (P/F,12%,1) = Rp.10.000 (0,8929) = Rp. 8.929 P2 = Rp. 3000 (P/F,12%, 2) = Rp. 3.000 (0,7972) = Rp. 2.391,6 P3 P3 =0 P4 = Rp.12.000 (P/F,12%, 4) = Rp.12.000 (0,6355) = Rp. 7.626 P5 = Rp. 8000 (P/F,12%, 5 ) = Rp. 8.000 (0,5674) =.Rp. 4,539,2 Sehingga nilai P keseluruhan aliran kas tersebut adalah, P = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 6.000 + 8.929 + 2.391,6 + 0 + 7.626 + 4.539,2 = Rp. 29.485,8 

Lanjutan

Menangani Aliran Kas yang Tidak Teratur

Dengan mengetahui nilai P maka nilai F (pada tahun ke-5) dan A (selama 5 tahun) dapat dihitung dengan mudah sebagai berikut :

F =P(F/P,MN) = Rp. 29.485,8 (F/P,12%, 5) = Rp. 2.9485,8 (1,762) = Rp. 51.953,98

ktor-faktor Pemajemukan Diskret

A = P (A/P, i%, N) = Rp. 29.485,8 (A/P,12%, 5) = Rp. 29.485,8 (0,27741) = Rp. 8.179,66

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga 1. Bila Rp 1.000.000,ditabung pada 1-1-1994 dengan suku bunga 15 % per tahun, berapa nilai tabungan itu pada 1-1-2004. 2. Berapa harus ditabung pada 1-1-1995, dengan suku bunga 20 % per tahun agar nilai tabungan itu menjadi Rp 10.000.000,- pada 11-2000. 3. Bila Rp 10.000.000,ditabung pada 1-1-1999 dengan suku bunga 25 % per tahun, berapa bisa diambil tiap tahun sejumlah yang sama besar dari 1-12000 sampai dengan 1-12005 sehingga sisa tabungan itu persis habis.

F = P (F/P ; 15 % ; 10) = 1.000.000 x 4,0456 = Rp 4.045.600,-

P = F (P/F ; 20 % ; 5) = 10.000.000 x 0,4019 = Rp 4.019.000,-

A = P (A/P ; 25 % ; 6) = 10.000.000 x 0,33882 = Rp 3.388.200,-

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga 4. Bila Rp 1.000.000,ditabung tiap tahun dari 1-1-1999 sampai 11-2005 dengan suku bunga 12 %/tahun, berapa nilai tabungan itu pada 2005 5. Berapa harus ditabung sejumlah yang sama besar tiap tahun dari 1-1-1992 sampai 1-1-2000 dengan suku bunga 15 %/tahun, agar nilai tabungan itu menjadi Rp 10.000.000,pada tahun 2000 6. Berapa harus ditabung pada 1-1-1997 dengan suku bunga 20 %/tahun, agar bisa diambil Rp 1.000.000,- tiap tahun dari 1-1-1998 sampai dengan 1-

F = A (F/A ; 12 % ; 7) = 1.000.000 x 10,089 = Rp 10.089.600,-

A = F (A/F ; 15 % ; 9) = 10.000.000 x 0,059957 = Rp 599.570,-

P = A (P/A ; 20 % ; 8) = 1.000.000 x 3,837 = Rp 3.837.000,-

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga 7. Berapa harus ditabung pada 1-1-1996 dengan suku bunga 15 % per tahun agar bisa diambil setiap tahun berturut-turut sbb :

Sehingga sisa tabungan itu persis habis

P = G (P/G ; 15 % ; 5) = 500.000 x 5,7751 = Rp 2.887.550,8. Berapa harus ditabung sejumlah yang sama besar tiap tahun dari 1-1-1996 sampai dengan 1-1-2001 dengan suku bunga 20 % per tahun, agar bisa diambil tiap tahun berturut-turut sbb :

A = G (A/G ; 20 % ; 6) = 1.000.000 x 1,98 = Rp 1.980.550,-

Sehingga sisa tabungan itu persis habis

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga 9. Berapa modal yang harus diinvestasikan sekarang dengan suku bunga 5 % per tahun, agar dapat disediakan Rp 12.000.000,- pada tahun ke 5; Rp 12.000.000,pada tahun ke 10; Rp. 12.000.000,- pada tahun ke 15, dan Rp 12.000.000,- pada tahun ke 20 Jawab : n1 = 5 ; n2 = 10; n3 = 15 ; n4 = 20 F1 = 12 juta F2 = 12 juta F3 = 12 juta F4 = 12 juta P1 = F1 (P/F ; 5 %; 5) = 12.000.000 (0,7835) = 9.402.000,P2 = F2 (P/F ; 5 %; 10) = 12.000.000 (0,6139) = 6.367.000,P3 = F3 (P/F ; 5 %; 15) = 12.000.000 (0,4810) = 5.720.000,P4 = F4 (P/F ; 5 %; 20) = 12.000.000 (0,3769) = 4.523.000,Jadi modal yang harus diinvestasikan : P1 + P2 + P3 + P4 = Rp 27.064.000 Atau F1 = F2 = F3 = F4 P = F (A/F ; 5 %; 5) (P/A ; 5 %; 20) = 12.000.000 (0,18097) (12,462) = Rp 27.063.000

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga 10. Seseorang mendepositokan uang sekarang Rp 20.000.000,-; 2 tahun kemudian RP 15.000.000,-; 4 tahun kemudian RP 10.000.000,-. Suku bunga 8 % per tahun. Berapa jumlah total pada tahun ke 10 ? Jawab : n1 = 10 ;

n2 = 8;

n3 = 6 ;

F = F1 + F2 + F3 = P1 (F/P; 8 %; 10) + P2 (F/P; 8 %; 8) + P3 (F/P; 8 %; 6) = 20 juta (2,1589) + 15 juta (1,8509) + 10 juta (1,5869) = Rp 86.810.000,11. Seorang bapak memberi hadiah ultah sebesar RP 1.000.000,- per tahun dalam bentuk tabungan, yaitu dari ultah ke 1 - 18; suku bunga 20 % per tahun. Sejak ultah ke 19 – 25 si anak mengambil sejumlah Rp 3.000.000,- per tahun. Berapa kelebihan/kekurangan tabungan tersebut ? Jawab : F1 = A1 (F/A ; 20 % ; 18) = 1.000.000 (128,117) = Rp 128.117.000,-

Contoh-Contoh Penggunaan Rumus Bunga Seandainya tidak diambil sampai dengan ultah ke 25 menjadi : F2’ = P2’ (F/P ; 20 % ; 7) = 128.117.000 (3,5832) = Rp 459.068.830,F2 = A2 (F/A ; 20 % ; 7) = 3.000.000 (129,16) = Rp 387.480.000,-

}

F

= F2’ - F2 = 459.068.830 – 387.480.000 = Rp 71.588.830,-

12. Biaya pengoperasian dan pemeliharaan suatu mesin pada akhir tahun pertama Rp 155.000.000,-, dan naik tiap tahun Rp 35.000.000,- selama 7 tahun. Berapa uang yang harus disediakan sekarang untuk pengoperasian dan pemeliharaan selama 8 tahun dengan suku bunga 6 % per tahun Jawab : P = 155 juta (P/A; 6 %; 8) + 35 juta (P/G; 6 %; 8) = 155 juta (6,210) + 35 juta (19,842) = Rp 1.657.200.000,-