Bab 5 Transformasi Laplace

BAB V TRANSFORMASI LAPLACE Bab sebelumnya membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear yang meliputi: cara faktor integral, mengubah persamaan diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bessel. 5.1 Transformasi Laplace Definisi Misalkan F (t ) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh: L{F (t )} 

`

e

 st

F (t ) dt  f ( s )

0

Karena L{F (t )} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (  ) maka L{F (t )} 

`

e

 st

F (t ) dt  f ( s )

0

p

 Lim  e  st F (t )dt p 

0

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0

 t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >  Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana. No. 1.

1

F (t )

1

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

L{F (t )} 1 ,s  0 s

2.

T

3.

t2

4.

tn n = 0,1,2,3,….

5. e at

6.

sin at

1 ,s  0 s2 2 ,s  0 s3 n! ,s  0 s n 1 1 ,s  0 sa

a ,s  0 s  a2 s ,s  0 2 s  a2 a ,s  a 2 s  a2 s ,s  a 2 s  a2 2

7.

cos at

8.

sinh at

9.

cosh at

10.

t cos at

s2  a (s 2  a 2 ) 2

11.

t sin at 2a

s (s 2  a 2 ) 2

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi. Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. F (t )  1 L{F (t )} 

`

e

 st

1  f (s)

0

p

 Lim  e  st dt p 

0

1    lim   e  st  p  s  

p

0

1 1    lim     0  p  se   se 0 

1 s

1 s

 f (s )

2. F (t )  t

2

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

L{F (t )} 

`

e

 st

t dt

0

p



1  lim  t.  d e  st p  s 0



p



1 lim te  st   e  st dt s p  0

1 1     lim  te  st  e  st  s p   s  

p

o

1 1 1     lim  pe  sp  e  sp    0e 0  e 0  s p   s s   

1 1      0  0    0   s s 

p

0

  

1 1    0  s s



1 s2

3. F (t )  e at L{F (t )} 

`

e

 st

t e at dt

0

p

 lim  e ( s  a ) t dt p 

0







1 lim e  ( s  a ) t s  a p 



1 1 1   lim  ( s  a )   ( s  a ) 0   ( s  a ) p   e s 



1 sa

p 0

4. F (t )  sin at L{F (t )} 



e

 st

sin at dt

0

p

 Lim  e  st  p 

0

1 d (cos at ) a

   1 1  Lim  cos at.e  st   cos atd (e  st )  a a p   0 

3

p

0

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)



1  Lim  cos at.e  st  p   a 

p

 s  st p  a cos at.e dt  



 1 s  Lim  cos at.e  st  p  a a 



 st e . 0

0

p

 1 d (sin at )  a 



0

p

 1 s  Lim  cos at.e  st  2 (e  st sin at   sin at.d (e  st )   p   a a 0   p



0 p

 1 s  Lim  cos at .e  st  2 (e  st sin at   sin at.  se  st )    p  a a 0   p



1 s s2  Lim  cos at.e  st  2 e  st sin at  2 p   a a a   Lim p 



a2 2 a  s2

a2 a2  s2

a2  2 a  s2



  

 

 



a a  s2

0

 st

p



)  

0

p

0

cos at s. sin at   2 st  a.e st a .e 

 1    0  0      0   a  

a2  1    a2  s2  a 

 sin at.se

1 s  cos at.e  st  2 sin at.e  st  a a 





p

0

  

2

5. F (t )  cos at L{F (t )} 



e

 st

cos at dt

0

p

 Lim  e  st p 

0

1 d (sin at ) a

 1  1  Lim sin at .e  st   sin atd (e  st )  p  a a 0   

  1  s  Lim sin at .e  st   sin at.e  st dt   p   a a p  

 1 s  Lim sin at.e  st  p  a a 



 st e . 0

p

0 p

0

 1 d (  cos at )  a 

p

0

p  1  s  Lim sin at.e  st  2 (e  st (  cos at )    cos at.d (e  st )   p   a a 0   p  1  s  Lim sin at.e  st  2 (e  st cos at )   cos at.  se  st dt )   p   a a 0  

4

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

p

0

p

0

 1 s s2  Lim sin at.e  st  2 (e  st cos at )  2 p   a a a   Lim p

 cos at.e

a2  1 s  sin at.e  st  2 cos at.e  st  2 2  a s a  a 



a 2  sin at s. cos at   2 st   s 2  a 2  a.e st a .e 



a2  s     0  0   0  2  2 2  s a  a  



a2  s    s2  a2  a2 



a s  a2

p

0

 st

p



) 



0

p

0

  

2

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s >  . Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi. 5.2 Metode Transformasi Laplace Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah: a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi. Metode ini berkaitan langsung dengan definisi L{F (t )} 



e

 st

F (t ) dt

0

p

 Lim  e  st F (t ) dt p 

0

Contoh L{F (t )} 



e

 st

F (t ) dt

0

p

 lim  e  st tdt p 

5

0

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

p

1  lim  t.  d (e  st ) p  s 0 p

1   lim te  st   e  st dt s p  0 1 1   lim  te  st  e  st  s p   s 





p

0

1 1 0   s s

1 s2



 f (s )

b. Metode Deret Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh F (t )  a 0  a1t  a 2 t 2  a3 t 3  ... 



a n 0

Maka

n

tn

transformasi

Laplacenya

dapat

diperoleh

dengan

menjumlahkan

transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga: L{F (t )}  L{a 0 }  L{a1t}  L{a 2 t 2 }  L{a3 t 3 }  ...

 

a o a1 2!a 2   3  ... s s2 s 

n! a n

s n0

n 1

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 

c. Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas. d. Menurunkan terhadap parameter e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada. f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan. 5.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:

6

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

a) Sifat linear Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 (t ) dan F2 (t ) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1 ( s ) dan f 2 ( s ) , maka: L{c1 F1 (t )  c 2 F2 (t )}  c1 f 1 ( s )  c 2 f ( s )

Bukti: L{c1 F (t )  c 2 F2 (t )} 



e

 st

{c1 F1 (t )  c 2 F2 (t )}dt

0







0

0

 st  e c1 F1 (t )dt 

e

 st

p



0

0

c1 F2 (t ) dt

 c1  e  st F1 (t ) dt  c 2  e  st F2 (t ) dt

 c1 f 1 ( s )  c 2 f 2 ( s )

1. L{5t  3}  L{5t}  L{3}  5 L{t}  3L{1}

5 

1 1 3 2 s s

5 3  s2 s

2. L{6 sin 2t  5 cos 2t}  L{6 sin 2t}  L{5 cos 2t}  6 L{sin 2t}  5 L{cos 2t}

6 

2 s 5 2 s 4 s 4 2

12  5s s2  4

3. L{(t 2  1) 2 }  L{t 4  2t 2  1}  L{t 4 }  L{2t 2 }  L{1}  L{t 4 }  2 L{t 2 }  L{1}

 

7

4! s

4 1

 2!  1  2 21    s  s

24 4 1   s5 s3 s

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

4. L{4e 5t  6t 2  3 sin 4t  2 cos 2t}  L{4e 5t }  L{6t 2 }  L{3 sin 4t}  L{2 cos 2t}

 4 Le 5t   6 Lt 2   3L sin 4t  2 L cos 2t 

4 

1 2 4 s 6 3 3 2 2 2 s 5 s s 4 s 4

4 12 12 2s  3 2  2 s5 s s  16 s  4

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut. 1. F (t )  2t 2  e t t 2. F (t )  6 sin 2t  cos 2t 3. F (t )  (sin t  cos t ) 2 4. F (t )  cosh 3t  5. F (t )   2t  2  6.

1 sinh t 2

3

F (t )  (sin t  3) 2

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{e 2t F (t )}  f ( s  a ) Bukti `

 st Karena L{F (t )}   e F (t )dt  f ( s ) , maka 0

L{e at F (t )} 

`

e

 st

e at F (t ) dt

0





e

( s a )t

F (t ) dt

0

 f (s  a)

Contoh: 3t 1. Tentukan L{e F (t )} jika L{F (t )}  f ( s )

Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a ) Maka L{e 3t F (t )}  f  s  ( 3)   f ( s  3)

 s   a

2t 2. Tentukan L{e F (t )}, jika L{F (t )}  f 

8

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a)  s  s 2 2t  , maka L{e F (t )}  f    a  a 

Karena L{F (t )}  f 

 s 2    a a

 f

t 3. Tentukan L{e F (t )} jika L{cos 2t} 

s s 4 2

s maka menurut sifat translasi pertama s 4

Karena L{cos 2t} 

2

L{e  t F (t )}  f ( s  1)

L{e t F (t )} 



s 1 ( s  1) 2  4

s 1 s  2s  5 2

4. Tentukan L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )} Menurut sifat linear, L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}  L{e 2t (3 cos 6t )}  L{e 2t (5 sin 6t )}  3L{ 2t cos 6t}  5 L{e 2t sin 6t} }

Karena L{cos 6t} 

s 6 dan L{sin 6t}  2 s  36 s  36 2

maka menurut sifat translasi 3L{e 2t cos 6t}  3 f ( s  2)

3

( s  2) , ( s  2) 2  36

dan 5 L{e  2t sin 6t}  5

6 ( s  2) 2  36

sehingga L{e L{e

2t

(3 cos 6t  5 sin 6t )}  3



3s  24 s  4s  40 2

Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi 1) F (t )  e t sin 2 t

9

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

( s  2) 6 5 2 ( s  2)  36 ( s  2) 2  36

2) F (t )  (1  te  t ) 3 3) F (t )  e  t (3 sinh 2t  5 cosh 2t ) 4) F (t )  (t  2) 2 e t 5) F (t )  e 2t  sinh 2t  cosh 3t  6) F (t )  e  t (1  2t ) c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

 F (t  a), untuk t  a Jika L{F (t )}  f ( s ) dan G (t )    0, untuk t  a maka L{G (t )}  e  as f ( s )

Bukti L{(G (t )} 



e

 st

G (t )dt

0



a



0

a

 st  st  e G(t )dt   e G (t )dt a



0

a

  e  st (0) dt   e  st F (t  a ) dt 



e

 st

F (t  a ) dt

a

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga 



a

0

 st  e F (t  a)dt 

e

 s (u  a )

F (u ) du



 e  as  e  su F (u ) du 0

 e  as f (s )

Contoh

2 2 cos( t  ), t   3 3 L{F (t )} jika F (t )    0, t  2  3 

Carilah

10

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Menurut definisi transformasi Laplace L{F (t )} 



e

 st

F (t ) dt

0



2 / 3

e

 st



(0)dt 

0





e

2

 s ( u  2 / 3 )

e 

 st

cos(t  2 / 3)dt

/3

cos udu

0



 e  2s / 3  e  su cos udu 0



se 2s / 3 s2 1

d. Sifat pengubahan skala Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{F (at )} 

1  s f  a  a

Bukti Karena L{F (t )} 



e

 st

F (t )dt

0

maka L{F ( at )} 



e

 st

F ( at )dt

0

Misal u  at maka du  adt sehingga dt 

du a



Menurut definisi

L{F (at )   e st F (at )dt 0



 e

 s   a

u 

F (u )

0

 s  u a

 1  e  a



du a

F (u ) du

1  s f  a  a

Contoh:

11

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

6  f ( s) ( s  2) 3

1. Jika L{F (t )} 

maka L{F (3t )}  



1 s f( ) 3 3 6 3

 s  3  2   3 

6. 9 ( s  6) 3

Soal:

1. Hitunglah L{F (t )} jika

 (t  1) 2 , t  1

F (t)  

 0,0  t  1

2. Jika L{F (t )} 

s2  s 1 , carilah L{F ( 2t )} (2 s  1) 2 ( s  1)

3. Jika L{F (t )} 

e 1/ s , carilah L{e t F (3t )} s

Jawab Karena L{F (t )}  L{F (3t )} 

e 1 / s  f ( s ), maka menurut sifat 4 diperoleh s

1  s f  3  3 

3

1e s L { F ( 3 t )}  Sehingga 3 s 3 3

1   e s s  f (s )

Berdasarkan sifat Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{e at F (t )}  f ( s  a) (sifat 2) Maka L{e  t F (3t )}  f ( s  1) 3

 1  e ( S 1) ( s  1)

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{F ' (t )}  sf ( s )  F (0)

12

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Karena

L{F (t )} 



e

 st

F (t )dt  f ( s ) ,

maka

0



e

L{F ' (t )} 

 st

F ' (t )dt

0



e



 st

dF (t )

0

     e  st F (t )   F (t ) d (e  st )  0  

p

0



  F (0)  s  e  st F (t ) dt 0

 sf ( s )  F (0)

Jika L{F ' (t )}  sf ( s )  F (0) maka L{F ' ' (t )}  s 2 f ( s)  sF (0)  F ' (0) Bukti 

L{F ' ' (t )}   e  st F " (t )dt 0





e

 st

d ( F ' (t ))

0

     e  st F ' (t )   F ' (t ) d (e  st )  0        e  st F ' (t )  s  F ' (t )e  st dt  0  



 e  st F ' (t )  s ( sf ( s )  F (0))



 s 2 f ( s )  sF (0)  F ' (0)

Dengan cara yang sama diperoleh L{F ' ' ' (t )} 



e

 st

F ' ' ' (t )dt

 st

d ( F ' ' (t ))

0





e 0

     e  st F ' ' (t )   F ' ' (t ) d (e  st )  0        e  st F ' ' (t )  s  e  st F ' ' (t ) dt  0       e  st F ' ' (t )  s e  st F ' (t )   F ' (t ) d (e  st )  0  

13

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 s 3 f ( s )  s 2 F (0)  sF ' (0)  F ' ' (0)

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F (t )}  f ( s )

maka n

L{F ( n ) (t )}  s f ( s)  s n1 F (0)  s n 2 F ' (0)  ...  sF ( n2) (0)  F ( n1) (0) Contoh soal Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa L{sin at} 

a  f (s) s  a2 2

Misal F (t )  sin at diperoleh F ' (t )  a cos at , F ' ' (t )  a 2 sin at sehingga L{sin at}  

1 L{F ' ' (t )} a2

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh 1   L{sin at}    2   sf ( s )  sF (0)  F ' (0)  f  a  

1  2 a  s 2  s(0)  a  2  2 a  s a 



1 a2



1 a2





 as 2  a  2 2  s a  

 as 2  as 2  a 3    s2  a2  

a s  a2 2

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral 

t

Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L  



 F (u)du  0



f (s) s

Bukti: t

Misal G (t ) 

 F (u )du

maka G ' (t )  F (t ) dan G (0)  0

0

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh: L{G ' (t )}  L{F (t )}

14

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 sL{G (t )}  G{0}  f ( s )

 sL{G (t )}  f ( s )

f ( s) s

 L{G (t )} 





t

 F (u )du 

Jadi diperoleh L  

0



f (s) s

Contoh 

t



1. Carilah L  

Misal F (t ) 

0

sin u  du  u 

sin t t

Maka L{F (t )}  arctan

1 s

Sehingga menurut sifat transformasi di atas 

sin u  f (s) 1 1 du    arctan s s s  0 u 

L

t





sin u  1 1 du   arctan  s s  0 u  t

2. Buktikan L  Bukti: t

sin u du maka F (0)  0 u 0

Misal F (t )   F ' (t ) 

sin t dan tF ' (t )  sin t t

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian L{tF ' (t )}  L{sin t}  

1 s 1 2

d 1 sf ( s )   2 ds s 1

 sf ( s )   

1 ds s 1 2

 sf ( s )   arctan s  C

sf ( s )  lim F (t )  F (0)  0 Menurut teorema harga awal, Lim t 0 s  Sehingga diperoleh c  Jadi sf ( s ) 

15

 . 2

1 1 arctan s s

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

3.

Buktikan L  





cos u  ln s 2  1 du    2s  t u  

Bukti: Misal F (t ) 



 t

cos u du u

maka F ' (t )  

cos t atau t{F ' (t )}   cos t t

L{tF ' (t )}  L{ cos t}

  1

d  sf (s)  F (0)   2 s atau  d  sf (s)  2 s ds s 1 s 1  ds 

sf ( s )   

s ds s 1 2

1 ln  s 2  1  c 2

Menurut teorema harga akhir, Jadi sf ( s ) 

lim sf ( s )  lim F (t )  0, s 0

t 0

sehingga c = 0.

1 ln( s 2  1) ln  s 2  1  0 atau f ( s )  2 2s

g. Perkalian dengan t n

n d (n) Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{t F (t )  ( 1) f ( s )  (  1 ) f (s) n ds n

n

Bukti. 

 st Karena f ( s )   e F (t )dt maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan 0

dibawah tanda integral, diperoleh: df d    f ' ( s)  ds ds  





e

 st



0



 s e



F (t ) dt 

 st

F (t ) dt

0





  te

 st

F (t ) dt

0



   e  st {tF (t )}dt 0

16

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

  L{tF (t )}

Jadi L{tF (t )}  

df   f ' ( s) ds

Contoh 1. Tentukan L{t sin at} Jawab L{sin at} 

a , maka menurut sifat perkalian dari pangkat t n diperoleh s  a2 2

L{tF (t )}    1

n

L{t sin at}  (1) 

d n f (s) , sehingga ds n d  a   2  ds  s  a 2 

2as (s  a 2 ) 2 2

2 2. Tentukan L{t cos at}

2 2 Menurut sifat di atas, L{t cos at}  (1)

d2  s   2  2 ds  s  a 2 



d  a2  s2    ds  ( s 2  a 2 ) 2 



2 s 3  6a 2 s (s 2  a 2 ) 3

h. Sifat pembagian oleh t  F (t )    t  

Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L 



 f (u )du 0

Bukti: Misal G (t ) 

F (t ) maka F (t )  tG (t ) t

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh f (s)  

bentuk

L{F (t )}  L{tG (t )} atau f ( s )  

dg ds

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh dg

 f ( s )    ds

17

.

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

d L{G (t )} ds

atau

s

g ( s )    f (u ) du 







f (u ) du

s

 Jadi L 

F (t )     t 



 f (u )du 0

Soal-soal 1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F (t )  t cos 2t b. F (t )  t sin 3t c. F (t )  t (3 sin 2t  2 cos 5t ) 2 d. F (t )  t sin t 2 e. F (t )  (t  3t  2) sin 3t

F (t )  t 3 cos t

f.

2 g. F (t )  t sin t

 t 2 ,0  t  1

F (t)  

2) Jika

 0, t  1

Carilah L{F ' ' (t )}  2t ,0  t  1  t, t  1

3) Diketahui F (t )  

a. carilah L{F (t )} b. carilah L{F ' (t )} c. apakah L{F ' (t )}  sf ( s )  F (0) berlaku untuk kasus ini 

4) Tunjukkan bahwa

 te 0

 3t

sin tdt 

3 50

5) Tunjukkan bahwa 

 1 2 u   L{t 2  t  e t } ( u  u  e ) du   s  0 

L  

t

6) Perlihatkan bahwa

18

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 e  at  e  bt  sb   ln t sa  

a. L 

cos at  cos bt  1 s2  b2   ln 2 t 2 s  a2  

 b. L  

7) Tunjukkan bahwa: a.



1  u u  1 1 du   ln 1   s s  0 u  1

L  



b. Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L 





t1

t

 dt  F (u )du  1

0



0



f (s) s2

5.4 Transformasi Laplace Invers Definisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F (t )}  f ( s ) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis F (t )  L1{ f ( s )} . L1 disebut operator transformasi Laplace invers.

Contoh. 1  1 2 t maka L1 e 2 t    e s2  s  2

1.

Karena L  

2.

Karena L  

3.

Karena L  





s  maka L1 cos t 3  s   cos t 3e s2  3  s  3 2

sinh at maka 1  sinh at  1  1 L     2 2  a  s  a2 a   s a  2

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama. Contoh

F1 (t )  e

3 t

dan

 0 untuk t  1

F2 (t)  

e 3t untuk t  1

Mengakibatkan L1{F1 (t )}  L1{F2 (t )} 

19

1 s3

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsifungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema Lerch Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu L1  f ( s )  F (t ) , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini. Nomor 1.

f(s)

L1{ f ( x )}  F (t )

1 s

1

2.

1 s2

t

3.

1 s n 1

tn n! e at

, n  0,1,2,3,...

4.

1 sa

5.

1 s  a2

sin at a

2

6.

s s  a2 1 2 s  a2 s 2 s  a2

cos at

2

7. 8. 9.

s2  a2 (s 2  a 2 ) 2

sinh at a cosh at

t cos at

5.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear Misal c1 dan c 2 adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1 ( s ) dan f 2 ( s ) berturut-turut adalah transformasi Laplace dari F1 (t ) dan F2 (t ) , maka:

L1{c1 F1 (t )  c 2 F2 (t )}  L1{c1 F1 (t )}  L1{c 2 F2 (t )}

20

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 L1{c1 F1 (t )}  L1{c 2 F2 (t )}

 c1 L1{F1 (t )}  c 2 L1{F2 (t )}  c1 f 1 ( s )  c 2 f 2 ( s )

Contoh 3s  12   3s  12  1  1   L  2  L  2  2  s 9   s  9  s  9

L1 



s  1  1    12 L  2   s  9  s  9

 3L1 

2

 3 cos 3t  12

sin 3t 3

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka L1{ f ( s  a )}  e at F (t ) Contoh 

1  sinh 3t   t  s  9

L1 

2

maka 

  1 1 1  2 t sinh 3t  L   e 2 3  ( s  2 s  13   ( s  2)  9 

L1 

2

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka

 F (t  a), untuk t  a L {e f (s)}    0, untuk t  a 1 as

Contoh 

1    sin t maka  s  1

L1 

2

   3s   sin(t  ),untuk t   3 3 1  e   L  2    s  9   0, untuk t      3 4) Sifat pengubahan skala

21

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

1 Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka L { f (ks )} 

1  t F  k  k

Contoh  s  3s 1  t 1    cos    cos t maka diperoleh L  2 3  3  s  1  (3s )  1



1 Karena L 

2

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan 1 Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka L { f

(n)

 dn  f ( s )   (1) n t n F (t )  ds 

( s )}  L1 

Contoh 

2    sin 2t  s  4

L1 

Karena

L1

dan

2

d  2   4s 1   2   L  2 2 ds  s  4   ( s  4)

d  2   4s  2   2 maka ds  s  4  ( s  4) 2

diperoleh



  (1) n t n sin 2t  t sin 2t 

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan 





s

1 Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka L 



 f (u )du 



F (t ) t

Contoh 

 1 1 1  1 1  1 1 t   L      e maka 3 3 3  s s  1  3s ( s  1) 

1 Karena L 





 1 1 1  1  e t   du     3 u 3 ( u  1 ) 3 t  0 

diperoleh L  1



 ` 

7) Sifat perkalian dengan s n Jika L1{ f ( s )}  F (t ) maka L1{sf ( s )}  F ' (t ) Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t)  0 , sehingga L1 {sf ( s )  F (0)}  F ' (t )  L1{sf ( s )}  F ' (t )  F (0) (t ) dengan  (t ) adalah fungsi delta Dirac atau

fungsi impuls satuan. Contoh 

5    sin 5t dan sin 5t  0 maka  s  25 

1 arena L 

22

2

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)



5s  d   (sin 5t )  5 cos 5t dt  s  25 

L1 

2

8) Sifat pembagian dengan s t

 f (s)  Jika maka L     F (u ) du  s  0 1

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t. Contoh 

2    sin 2t maka diperoleh  s  4

1 Karena L 

2

 2  1  L     sin 2u du   cos 2u  2  2   s ( s  4)  0 1



t

t

 0

1  cos 2t  1 2

9) Sifat konvolusi Jika L1{ f ( s )}  F (t ) dan L1{g ( s )}  G (t ) maka t

L { f ( s ) g ( s )}   F (u )G (t  u )du  F * G 1

0

F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi. Contoh 

1  1  4t 1  2t dan L   e  e s  4 s  2    

1 Karena L 



 1  4 u 2 ( t u ) du  e 2t  e  4 t   e e  ( s  4)( s  2)  0

1 maka diperoleh L 

t

5.6 Metode Transformasi Laplace Invers Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain: 1) Metode pecahan parsial

23

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Setiap fungsi rasional

P(s) , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak Q( s)

(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya jumlah

dari

fungsi

rasional

yang

P( s ) dapat ditulis Q(s)

mempunyai

bentuk

A As  B atau dan seterusnya, r  1,2,3,.... r 2 (as  b) ( as  bs  c) r

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka  P( s)    Q( s) 

1 dapat ditentukan L 

Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus. Contoh 3s  16   2  s  s  6 

1 1. Tentukan L 

Jawab 3s  16  3s  16  1   L   2  s  s  6  ( s  2)( s  3)  

L1 

3s  16 A B   ( s  2)( s  3) s  2 s  3



A( s  3)  B ( s  2) s2  s  6



( A  B) s  (2 B  3 A) s2  s  6

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5 

3s  16  2 5  1    L    s  2 s  3  ( s  2)( s  3) 

L1 

5   2  1   L   s  2 s  3   

 L1 

 2e 2 t  5e 3t

24

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)



 s 1  2  ( s  3)( s  2s  2) 

1 2. Tentukan L 

Jawab 

 s 1 A Bs  C  1   2  L   2  ( s  3)( s  2 s  2)   s  3 ( s  2 s  2) 

L1 

A Bs  C A( s 2  2 s  2)  ( Bs  C )( s  3)  2  s  3 s  2s  2 ( s  3)( s 2  2s  2) `

As 2  2 As  2 A  Bs 2  (3B  C ) s  3C ( s  3)( s 2  2 s  2)

Sehingga  ( A  B) s 2  (2 A  3B  C ) s  (2 A  3C )   s 1      2 ( s  3)( s 2  2 s  2)  ( s  3)( s  2 s  2)    

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 4 4 1 ,B= , dan C = 5 5 5

Atau A = 

Akhirnya diperoleh

4 4 1    s   s 1   1 5 5 5  2  L   2  ( s  3)( s  2s  2)   s  3 ( s  2 s  2)   

 L1 



4 4 1  s   5 ( s  1)  5 5    4 L1  1   4  L   2      s  3 5 s  3 5 ( s  2 s  2 ) ( s  1) 2  1        1



4  3t 4  t e  e cos t 5 5

2) Metode Deret Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh

f ( s) 

a o a1 a 2 a3     ... s s 2 s3 s4

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh F (t )  ao  a1t 

a 2 t 2 a3 t   ... 2! 3!

Contoh 

Tentukan

 e

1

L  







1 s

 

s  

Jawab

25

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)



 e   





1 s



1 1 1 1    ...  1  s s 2! s 2 3! s 3 

 

s  

1 1  1 1   2    ... 3 4 2! s 3! s  s s 

=



 e

1

Sehingga L   



1  s 2



1 1 1  1   2    ... 2! s 3 3! s 4  s s 

1  L 

s  

 1 t 

t2 t3 + ...  12 2 2 12 2 2 3 2

3) Metode persamaan diferensial 4) Turunan terhadap statu parameter 5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema 6) Penggunaan tabel 7) Rumus inversi kompleks 8) Rumus Penguraian Heaviside Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu  k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka n  P( s)  P ( k )  k t  e   k 1 Q ' ( k )  Q(s) 

L1 

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut: Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda  1 ,  2 ,  3 , ... ,  n maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh Ak An A1 A2 P( s )    ...   .....(1) Q( s) s   1 s   2 s k s n

Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-  k ) dan mengambil s   k dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh  s k  P( s) ( s   k )  lim P ( s )  s  k Q ( s ) s  k  Q( s) 

Ak  lim

 s k   s  k  Q( s ) 

 lim P ( s ) lim  s  k

 s k    Q( s ) 

 P( k ). lim  s  k

26

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 P ( k )

1 ... Q' ( s)

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai P ( k ) 1 P( n ) P ( 2 ) P( s ) P ( 1 ) 1 1 1  .  .  ...   . Q ( s ) Q ' ( 1 ) s   1 Q ' ( 2 ) s   2 Q ' ( k ) s   k Q' ( n ) s   n

dengan demikian P( k ) P ( n ) P( 2 )  P(s)  1 1 1 1  1  P ( 1 ) .  .  ...  .  ...  .  L   Q' ( k ) s   k Q' ( n ) s   n   Q( s )   Q' ( 1 ) s   1 Q' ( 2 ) s   2

L1 

1   P ( 1 ) P ( k P ( 2 1  1  1 1  . . .  L    ....  L   Q' ( 1 ) s   1   Q' ( 2 ) s   2   Q' ( k s   k

L1 



 

P ( k )  k t P ( n )  nt P ( 1 ) 1t P( 2 )  2t .e  .e  ...  .e  ...  .e Q ' ( 1 ) Q ' ( 2 ) Q ' ( k ) Q ' ( n ) P ( k )  k t e k 1 Q ' ( k ) n



9) Fungsi Beta Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai 1

B(m,n) =

u

m 1

(1  n) n 1 du a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

0

1. B( m, n) 

2.

 2

 sin

2 m 1

 ( m)  ( n)  (m  n)

 cos 2 m 1  d 

0

1  ( m)  ( n ) B ( m, n )  2 2 ( m  n )

Soal-soal 1. Tentukan, 

12    4  s

1 a. L 

 2s  5   2  s  9

1 b. L 

 3s  8 4 s  24   2  2  s  4 s  16 

1 c. L 

27

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 P( n ) 1  .   Q' ( n ) s   n 

1   ...  L 



 3s  2

1 d. L 

5







7   3s  2  

s2



 s 3   (s  1) 

1 e. L 

3s  14    s  4s  8  

1 f. L 

2

8s  20    s  12 s  32  

1 g. L 

2

 s  1

1 h. L 



 s 3 2 

5s  2    3s  4 s  8  

1 i. L 

2



s

1 j. L 

 ( s  4)

5

2



4 s  24   s 2  16  



 s 1 2   ( s  2 s  2) 

1 k. L 

2



 1  2  ( s  4)( s  4) 

1 l. L 



 1 3   ( s  1) 

1 m. L 

2

2. Buktikan bahwa: 3s  16  2t  2t   5e  2e 2  s  s  6 

1 a. L 

3 t 1 t  2s  1    1 e  e 3 2 2  s  s

1 b. L 

s 1  1 t 2 1  2t 3  e  e  2 2 2  6s  7 s  2  

1 c. L 



 11s 2  2  5 3 t 2t t   5e  e 2  2e ( s  2 )( 2 s  1 )( s  1 ) 2  

1 d. L 



27  12 s   4t   3e  3 cos(3t ) 2  ( s  4)( s  9) 

1 e. L 



s 2  16s  24  1   sin( 4t )  cos(2t )  sin( 2t ) 4 2 2  s  20s  64 

1 f. L 

28

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)



 s 1 1 4  3t    4 cos t  3 sin t   e 2 5 5  ( s  3)( s  2 s  2) 

1 g. L 

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa 

2 s  11    ( s  2)( s  3) 

1 a. L 



 19 s  27   ( s  2)( s  1)( s  3) 

1 b. L 



2s 2  6 s  5   3 2  ( s  6 s  11s  6 

1 c. L 



 2s 2   ( s  1)( s  2)( s  3) 

1 d. L 

5.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial d 2Y dY p  qY  F ( x) atau Y ' ' pY ' qY  F ( x) dengan p,q adalah konstanta dx dx

dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan. Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar LY ( x )  y ( s ) .

Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi. Contoh Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut. 1) Y ' 'Y  x dengan Y(0) = 1 dan Y’(0)=-2 Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh

29

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

L{Y "Y }  LY "  LY   L{x} Menurut sifat (5) transformasi Laplace

L F ( n ) (t )  s n L{F (t )}  s n 1 F (0)  s n  2 F " (0)  .... 

, sehingga  {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  L{Y }  L( x)

 ( s 2 y  s  2)  y   ( s 2  1) y 

1 s2

1  ( s  2) s2

1 s2  2 2 s ( s  1) s  1

 y

2

=

1 1 s 2  2  2  2 2 s s 1 s 1 s 1

=

1 s 3  2  2 2 s s 1 s 1

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers s 3   1  2  2  2 s  1 s  1  s

Y  L1 

3   1  s  1   L1  2  L  2  2   s   s  1  s  1

 L1 

 x  cos x  3 sin x

Untuk pemeriksaan jawab di atas Y  x  cos x  3 sin x Y '  1  sin x  3 cos x Y ' '   cos x  3 sin x Y ' 'Y    cos x  3 sin x    x  cos x  3 sin x   x dan Y(0) = 1, Y’(0)= -2

2) Y ' '3Y '2Y  4e 2 x dengan Y(0) = -3 dan Y’(0) = 5 Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh

30

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

LY "3Y '2Y   L{4e 2 x } Menurut sifat (5) transformasi Laplace





L F ( n ) (t )  s n f ( s )  s n 1 F (0)  s n  2 F " (0)  ....  sF , sehingga

LY "3Y '2Y   L{4e 2 x }  {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  3 sL{Y }  Y (0)  2 L{Y }  L( 4e 2 x )  {s 2 y  3s  5}  3{sy  3}  2 y   ( s 2  3s  2) y 

4 s2

4  3s  14 s2

4  3s  14  2 ( s  3s  2)( s  2) s  3s  2

 y

2



 3s 2  20s  24 ( s  1)( s  2) 2



7 4 4   s  1 s  2 ( s  2) 2

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers  7 4 4    2   s  1 s  2 ( s  2) 

Y  L1 

 4  4  7  1  1   L   L  2   s  1  s  2  ( s  2) 

 L1 

 7e x  4e 2 x  4 xe 2 x

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefisen variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbnentuk x n Y ( n ) ( x)

sehingga

transformasi

Laplace

  dm L x m Y ( n ) ( x)   (1) m L Y ( n ) ( x)  m ds  









Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace dn Jika L{F (t )}  f ( s ) maka L{t n F (t )}    1 n n f ( s )    1 f ( n ) ( s ) ds

31

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

diperoleh

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut Tentukan selesaian persamaan diferensial 1) xY ' '2Y ' xY  0 dengan Y(0) = 1 dan Y(  )= 0 Jawab Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

L xY "2Y ' xY   L 0

 L xY "  L 2Y '  L xY   0  ( 1)1  1

d 2 d  s y  sY (0)  Y ' (0)  2( sy  Y (0))  ( 1)1 ( y)  0 ds ds

d 2 d  s y  s  1  2( sy  1)  ( 1)1 ( y)  0 ds ds

dy dy      2 sy  s 2  1  0  2( sy  1)  (1) 0 ds ds    2 sy  s 2 y '1  2 sy  2  y '  0

 ( s 2  1) y '  1

 y'  

1 ( s  1) 2

Diperoleh y   

1 ds   arctan s  C ( s  1)

Karena y  0 bila y

2

s   kita dapatkan

c

 , sehingga 2

 1  arctan s  arctan 2 s 

1 s

1 Akhirnya didapat Y  L  arctan  



sin t , hal ini memenuhi Y(  ) =0 t

2) Y ' ' xY 'Y  1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 Jawab Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

LY " xY 'Y   L1

 LY "  L xY '  LY   L   s 2 y  sY (0)  Y ' (0)  (1)1

32

d 1 {sy  Y (0)}  y  ds s

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

  s 2 y  s.1  2 

d ( sy  1)  y  0 ds

  s 2 y  s  2  ( y  sy ' )  y '   sy '( s 2  1) y  s  2 

1 s

1 s

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi: 1 2 1   y ' s   y  1   2 s s s  

Faktor integral persamaan di atas adal   e

1 s   ds 

1

 e2

s 2  2 ln s

1

 s 2e 2

s2

s2

d  2 2 s 2   2 1  2 Maka  s e y    1   2  s e 2 ds  s s    1

s

s2

1 2 1 Sehingga y  e y  (1   2 ) s 2 e 2 ds s s s s2

1 2 c   2  2 e2 s s s

Akhirnya diperoleh y  1  2t Soal-soal Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut: 1) Y ' ' xY 'Y  0 dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1 2) xY ' '(1  2 x )Y '2Y  0 dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 3) xY ' ' ( x  1)Y 'Y  0 dengan Y(0) = 5 dan Y(  ) = 0 4) Y ' 'Y '4 xY  0 dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0 5) Y ' '4Y  0 dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7 6) Y ' '3Y '2Y  4 x  12e  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)= -1 5.8 Persamaan Diferensial Simultan Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.

33

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui nilainya pada variabel yang saling bergantung. Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.

1.

 dX  dt  2 x  3 y , bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3   dY  y  2x  dt

2.

 dX dZ  dt  dt  t , bergantung pada Y (0)  3, Y ' (0)  2, Z (0)  0  2  d Y  Z  e t  dt 2

3.

  3Y ' 3Z '  te t  3cos t 

 tY ' Z '  sin t

, bergantung pada Y (0)  1, Y ' (0)  2, Z (0)  4, Z ' (0)  0

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang diperoleh. Contoh Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini

1)

 dX  dt  2 x  3 y , bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3  dY   y  2x  dt

Jawab

34

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:  dX    L ( 2 x )  L (3 y )  dt 

L

 dY    L( y )  L( 2 x )  dt 

L

atau sx  X (0)  2 x  3 y  ( s  2) x  3 y  8

sy  Y (0)  y  2 x  ( s  1) y  2 x  3

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh: ( s  2) x  3 y  8 (2)  2( s  2) x  6 y  16 ( s  1) y  2 x  3 ( s  2)  ( s 2  3s  2) y  2( s  2) x  3s  6

(6  s 2  3s  2) y  22  3s  y 

22  3s 3s  22  2  ( s  3s  4) ( s  1)( s  4)

Analog, untuk variabel y ( s  2) x  3 y  8 .( s  1)  ( s  1)( s  2) x  3( s  1) y  8( s  1)

( s  1) y  2 x  3.3  3( s  1) y  6 x  9

( s 2  3s  2  6) x  8( s  1)  9  x 

8s  17 ( s  1)( s  4)

Sehingga  3s  22  2  5  2   5 1  1    L1  Y  L1 ( y )  L1    L   L    s 1 s  4   s  1  s 4  ( s  1)( s  4)   8s  17  3  5  3   5 1  1    L1  X  L1 ( x)  L1    L   L    s 1 s  4   s 1  s  4  ( s  1)( s  4) 

Atau

35

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

X  5e  t  3e 4t dan Y  5e t  2e 4t merupakan selesaian persamaan diferensial

 dX  dt  2 x  3 y simultan  , bergantung pada X (0)  8, Y (0)  3 dY   y  2x  dt

 X ' Y '3X  15et 

2)

 Y ' 4 X '3Y  15sin 2t

, dengan X (0)  35, X '(0)  48,Y (0)  27,Y '(0)  55

Jawab Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh: L X ' '  L(Y ' )  L(3 x)  L(15e  t ) L Y ' '  L ( 4 X ' )  L (3Y )  L (15 sin 2t )

atau s 2 x  sX (0)  X ' (0)  sy  Y (0)  3 x 

15 s 1

s 2 y  sY (0)  Y ' (0)  4( sx  ( X (0))  3 y 

30 s 4 2

atau s 2 x  35s  48  sy  27  3 x 

15 s 1

s 2 y  27 s  55  4 sx  140  3 y 

30 s 4 2

Atau

s

2

 3 x  sy  35s  21 

s

2

 3 y  4 sx  27 s  195 

15 s 1

30 s 4 2

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

36

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

s

2

s

2



15    3   4 s  x  ( 4 s ) sy  (4 s ) 35s  21   s 1 







 



30    3 s 2  3 y  4 s s 2  3 x  s 2  3  27 s  195  2  s 4 

x

35s 3  48s 2  300 s  63 15( s 2  3) 30 s   2 2 2 2 2 2 ( s  1)( s  9) ( s  1)( s  1)( s  9) ( s  1)( s  4)( s 2  9)

30s 45 3 2s  2   2 2 s 1 s  9 s 1 s  4



Analog, untuk variabel y

s

2

 3 s 2  3 x   s 2  3 sy   s 2  3{35s  21 

s  s 2  3 y  4 s ( s ) x   s {27 s  195 

y 

15 } s 1

30 } s 4 2

27 s 3  55s 2  3s  585 60s 30( s 2  3)   ( s 2  1)( s 2  9)  s  1  s 2  1 s 2  9 ( s 2  1)(s 2  4)(s 2  9)

30s 60 3 2  2   2 2 ( s  9) ( s  1) s  1 s  4)

Sehingga Y  L1 ( y )  30 cos 3t  60 sin t  3e  t  sin 2t X  L1 ( x )  30 cos t  15 sin 3t  3e  t  2 cos 2t

merupakan selesaian persamaan diferensial simultan

 X ' Y '3X  15e t 

 Y ' 4 X  3Y  15sin 2t

, dengan X (0)  35, X '(0)  48,Y (0)  27,Y ' (0)  55

Soal-soal Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:

1)

37

 Y 'Z '2Y  2Z  sin t , dengan Y (0)  Y '(0)  Z (0)  0   Y ' 2Z 'Y  0

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)

 X '2Y '  e t

, dengan X (0)  Y (0)  Y ' (0)  0  X '2 X  Y  1 

2)

3)

4)

5)

38

 tY  Z 'tZ '  (t 1)et 

 Y 'Z  e

t

, dengan Y (0)  1, Z (0)  1

 Y 'Z '2Y  2Z  sin t , dengan Y (0)  0,Y '( )  1, Z (0)  1   Y ' 2Z 'Y  0 

 Y ' X '  t  Y ''  X  e

t

, dengan Y (0)  3, Y ' (0)  2, X (0)  0

Mujtahid Kaavessina, PhD (MTK 1)