Bab 9 Aplikasi Fungsi Tan Linear Dalam Ekonomi1

BAB X APLIKASI FUNGSI TAN LINEAR DALAM EKONOMI 10.1

Pengantar Pada abad 4 telah dipelajari mengenai aplikasi fungsi linear dalam ekonomi dan bisnis. Kadang kala untuk menggambarkan hubungan antara dua variabel ekonomi tidak cukup dan kurang tepat kalau didekati dengan fungsi linear. Dalam keadaan demikian itu maka pendekatan atau penggambaran hubungan antara dua variabel ekonomi tersebut akan lebih baik digunakan fungsi tan-linear. Di dalam bab ini akan dibahas mengenai aplikasi fungsi tan-linear dalam ekonomi dan bisnis, yang mencakup fungsi permintaan dan penawaran, keseimbangan pasar, keseimbangan pasar yang dikaitkan dengan pajak dan subsidi, fungsi penerimaan dan fungsi biaya dan kaitannya dengan analisis pulang pokok. kurva fungsi transformasi produk dan hukum Pareto tentang distribusi penghasilan. Penerapan optimisasi fungsi kuadrat, yang menyangkut mengoptimalkan laba, penerimaan, dan biaya serta penerapan fungsi eksponen dan logaritma. Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik (mahasiswa) diharapkan mampu menerapkan fungsi tan-linear khususnya fungsi kuadrat, fungsi pecah, fungsi eksponen, dan logaritma dalam ekonomi dan bisnis.

10.2

Aplikasi Fungsi Kuadrat dan Fungsi Pecah Dalam Bidang Ekonomi Fungsi permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar Contoh 6-1= - 2 p 2  9 dan q = p 2  5 p  1, dengan p = harga per unit barang dan q = kuantitas barang, (a). buatlah grafik fungsi permintaannya (b). Buatlah grafik fungsi penawarannya (c). Tentukanlah titik keseimbangan pasar dan buatlah grafiknya

Penyelesaian (a). Grafik fungsi permintaan Cara I

1

f d : q  2 p 2  9  a  2, b  0 dan c = 9 b

0

(1). Sumber simetri adalah p = 2a  2(2)  0 (2). Titik puncak fungsi adalah (p=

b d ,q  )  (0,9) 2a 4a

(3). Titik potong fungsi dengan sumbu q diperoleh p = 0, (4). Titik potong fungsi dengan sumbu q diperoleh bila p = 0, q =  2 p2  9

D = b 2  4ac

2 p2  9

= 02  4( 2)(9)

p2  4 1 P1,2 =

= 72 > 0

2

dan P2 dan fungsi memotong

41

P1 =

41

P2 =

41

 memiliki dua akar, P1

sumbu pada P di dua titik.

2

2 2

Jadi, titik potong kurva dengan sumbu P pada titik ( 4 1 2, 0 ) dan (- 4 1 ,0 2 Gambar grafik

Gambar 10.1 Cara II Dengan mengingat sifat fungsi permintaan, dan demikian juga untuk fungsi penawaran, hanya kurva / segmen (penggalan) garis / kurva yang terletak pada

2

kuadrat pertama yang bermakna dalam analisa ekonomi. Maka dari itu akan lebih mudah membuat grafik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran dengan bantuan tabel hubungan/pasangan nilai q dan p berdasarkan atas nilai q dan p yang memenuhi fungsi permintaan atau pun fungsi penawaran tersebut. Agar lebih jelas perhatikan penyelesaian berikut ini. fd : q = -2p2 + 9 pasangan nilai p dan q p

0

1

2

41

q

9

7

1

0

(p,q)

(0,9)

(1,7)

(2,1)

(4 1 ,0)

2

2

Gambar grafik

Gambar 10.2 (b) Grafik fungsi penawaran Cara I q = p2 + 5p + 1 → a = 1, b = 5 dan c = 1 b

5

(1) Sumbu simetrinya adalah p = 2a  2(1)  2 1 2 (2) Titik puncak kurva adalah (p =

b D ,q )  ( 2 1 ) 2 2a 4a

(3) Titik potong kurva dengan sumbu q, bila p = 0 dan diperoleh (0,1) (4) Titik potong kurva dengan sumbu p, bila q = 0, diperoleh q = p2 + 5p + 1

D = b2 – 4ac

3

0 = p2 + 5p + 1

= (5)2 – 4 (1) (1) = 21 > 0 → jadi

Kurva tersebut memotong sumbu p di dua titik. p1, 2 

=

b 

b 2  4ac 2a

 5  21 2(1)

P1 = -0,2 = - 1

5

P2 = 4,8 = - 4 4

5

Jadi, titik potong kurva fungsi tersebut dengan sumbu q, adalah titik (- 15 , 0) Gambar grafik

Gambar 10.3 Cara II q = p2 + 5p + 1 hubungan nilai p dan q p q

0 1

1 7

2 15

3 25

4

Gambar grafik

Gambar 10.4 (c) Keseimbangan pasar akan terjadi bila, qd = qs : qd = qs - 2p2 + 9 = p2 + 5p + 1 - 3p2 + 8 – 5p = 0 3p2 + 5p = 0 (3p + 8) (p – 1) = 0 (3p + 8) = 0 → p = -

8 (tak bermakna) 3

(p – 1) = 0 → p = pE = 1 (bermakna) Bila p = 1, q = ....... ? q = p2 + 5p + 1 =7 q = qE = 7 E (pE, qE) = E (1,7) Jadi, harga dan kuantitas keseimbangan pasar masing-masing adalah 1 per unit dan 7 unit

5

(d) Gambar grafik

Gambar .5 Untuk selanjutnya dan pada bab-bab berikutnya, agar lebih muda menggambarkan grafik fungsi ekonomi akan dipakai cara II. Contoh 6 - 2 Bila fungsi permintaan sejenis barang berbentuk pq = 30 dan fungsi penawarannya berbentuk q = 3p – 9, tentukanlah titik keseimbangan pasar (titik equilibrium) dan buatlah grafiknya. (a) fd : p . q = 30

30

→

q p

f : q = 3p – 9 keseimbangan pasar akan terjadi, bila qd = qs qd = qs 30 3p 9 p

p2 – 3p – 10 = 0

30 = 3p2 - 9p

(p – 5) (p+2) = 0

3p2 – 9p – 30 = 0

(p – 5) = 0 → p1 = 5 (bermakna), (p +2) = 0 → p2 = -2 (tak bermakna)

Jadi, titik keseimbangan pasar adalah E(pE, qE) = E (5,6)

(b). Gambar grafik

6

30

fd : q = p q p

0



1 30

filsafat : q = 3p - 9 3 10

6 5

10 3



q p

0

0 3

6 5

Gambar 9.6 Fungsi Penerimaan, Biaya dan Profit Contoh 9 – 3 Fungsi penerimaan total sebuah perusahaan yang merupakan hasil penjualan barang yang diproduksinya berbentuk R = 200q – 4q2 R = penerimaan total, dan q = kuantitas barang Pertanyaan Berapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar diperoleh penerimaan total yang maksimum ? berapa besar total penerimaan maksimum yang diperoleh ? Penyelesaian R = 200q – 4q2 = - 4q2 + 200 q  y = ax2 + bx + c a = - 4, b = 200 dan c = 0

Titik puncak kurva R adalah (q = b

 200

b D ,R ) 2a 4a

2

q = 2a  2( 4)   8  25 R=-

(b 2  4ac) 200 2  4( 4)(0) ( 200) 2    2500 4a 4 ( 4)  16

7

Jadi, titik puncak kurva R adalah (25, 2500) Oleh karena a = - 4 < 0, maka kurva R tersebut terbuka ke bawah dan titik puncaknya disebut titik maksimum. Jadi agar perusahaan tersebut memperoleh penerimaan total yang maksimum sebaiknya berproduksi sebanyak 25 unit dan besarnya penerimaan total maksimul tersebut 2500. Contoh 9 – 4 Biaya total untuk memproduksi sejenis barang dari sebuah perusahaan berbentuk, C = q2 – 16q + 68. C = biaya total dan q = kuantitas barang. Pertanyaan (a) Berapa besar biaya tetap (fixed cost) yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut ? (b) Berapa sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar biaya total yang dikeluarkan minimum dan berapa besar biaya total minimum tersebut ? (c) Gambar grafiknya Penyelesaian (a) Biaya tetap diperoleh bila q = 0 C = q2 – 16q + 68 = (0)2 – 16 (0) + 6 Jadi, besarnya biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut 68. (b) C = q2 – 16q + 68  y = ax2 – bx + c a = 1, b = - 16, c = 68 b

D

titik puncak kurva adalah (q = 2a , C  4 a ) q=

b ( 16)  8 2a 2(1)

C=

D ( 16) 2  4(1) (68)  4 4a 4(1)

Oleh karena a = 1 > 0, maka kurva fungsi C terbuka ke atas dan titik puncak kurva disebut titik minimum.

8

Jadi, agar biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan minimum, sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi sebanyak 8 unit barang, dan besarnya biaya total minimum tersebut sama dengan 4 (c) Gambar grafik C = q2 – 16q + 68 q 0 8 16 C 68 4 68 (q,C) (0,68) (8,4) (16,68) (16,68) → Titik lainnya yang dilalui kurva fungsi (8,4) → Titik puncak kurva fungsi (0,68) → Titik potong kurva dengan sumbu C P = 8 → Sumbu simetri

Gambar 10.7 Contoh 6 – 5 Fungsi permintaan suatu bareng, q = - 0,5p + 7 sedangkan fungsi penawarannya, q = p – 2. pemerintah mengenakan pajak sebesar t per unit terhadap bareng yang dijual. Agar pemerintah memperoleh penerimaan maksimum dari pajak (penerimaan pajak yang maksimal), (a) Berapa besarnya pajak total maksimum yang diperoleh pemerintah ? (b) Berapa besarnya t tersebut ? Penyelesaian fd : - 0,5p + 7 → p = - 2q + 14 fs : q = p – 2 → p = q + 2

9

(a) Sebelum pajak

Sesudah pajak

fd : p = -2q + 14

fdt : p = -2q + 14

fs : p = 2 + q

fst : p = 2 + q + t

keseimbangan setelah pajak bila, pdt = pst sebagai berikut : pdt = pst - 2q + 14 = 2 + q + t t = -3q + 12 pajak total yang diperoleh pemerintah ( T ) T = t. q = (- 3q + 12) (q) = -3q2 + 12q T = - 3q2 + 12q  y = ax2 + bx + c a = -3, b = 12, dan c = 0 b D ,T  2a 4a

Titik puncak kurva adalah T ( q = b

 12

q = 2a  2 ( 3)  2 T=





 D  12   4   3  0   12 4a 4  3 2

Jadi, titik puncak kurva T adalah (2, 12) Oleh karena a = - 3 < 0, maka kurva fungsi T terbuka ke bawah dan titik puncak disebut titik maksimum. Jadi, pajak total maksimum yang diperoleh pemerintah sebesar 12. (b) t = ....... ? q=2→T=t.q 12 = t. 2 t=6

10

jadi, besarnya pajak per unit (t) yang kenakan pemerintah terhadap barang yang dijual agar diperoleh penerimaan yang maksimum dari pajak, sama dengan 6. Contoh 6 – 6 Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan konsumen terhadap baranya, q = - 0,2p + 20. sedangkan biaya total untuk memproduksi barangnya, C = 50 + 25 q. Tentukanlah (a) Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum dan besarnya keuntungan maksimum itu. (b) Harga jual per unit agar diperoleh keuntungan yang maksimum. (c) Buatlah grafik fungsi keuntungan terhadap q. Penyelesaian (a) q = - 0,2p + 20 → p = 100 – 5q,

C = 50 + 25q

R = qp = q (100 – 5q) = 100q – 5q2 R = 5q2 + 100q Laba →  = R – C = (-5q2 + 100q) – (50 + 25q)  = - 5q2 + 75q – 50  y = ax2 + bx + c a = -5, b = 75, dan c = - 50 Titik puncak kurva  adalah (q =

b D , = ) 2a 4a

q=

 b  (75)   7,5 2a 2( 5)

=

D (75) 2  ( 5) ( 50) 5625 1000    231,25 4a 4( 5)  20

Oleh karena a = - 5 < 0 → kurva fungsi  membuka ke bawah dan titik puncak kurva disebut titik maksimum.

11

Jadi, tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan (laba) yang maksimum sebanyak 7,5 unit barang. Maksimum sebanyak 7,5 unit barang Besarnya laba maksimum yang diperoleh produsen tersebut sebesar 231,25 (b) p = ..... ? (harga jual per unit) q = - 0,2p + 20 7,5 = - 0,2p + 20 → -12,5 → p = 62,5 Jadi, harga jual per unit agar diperoleh keuntungan maksimum sama dengan 62,5. (c) Gambar grafik  = - 5q2 + 75q – 50 q 0 7,5 -50 231,25  (q, ) (0,50) (7,5, 231,25) (1) Titik potong kurva dengan sumbu  (2) Titik puncak kurva (3) Titik lainnya yang dilalui kurva (4) Titik potong kurva dengan sumbu q Sumbu simetri adalah q = 7,5

Gambar 6.8 Fungsi (Kurva) Transpormasi Produk

12

15 -50 (15, -50)

14,3 0,7 0 (14,3,0) (0,7 ,0)

Fungsi transpormasi produk menyatakan hubungan antara kuantitas dari dua jenis barang (joint products) yang dihasilkan oleh perusahaan dengan menggunakan tenaga kerja dan bahan mentah (material) yang sama. secara matematis, kurva transportasi produk adalah tempat kedudukan kombinasi kuantitas dua jenis barang yang dapat dihasilkan dengan masukkan (imput) tertentu. Apabila kuantitas kedua jenis barang yang dihasilkan tersebut adalah q1 dan q2, kurva transpormasi produk akan menunjukkan hubungan antara q 1 dan q2 berbanding terbalik, yang memiliki arti bila kuantitas q 1 bertambah maka kuantitas q2 akan berkurang dan sebaliknya. Dalam prakteknya banyak proses produk industri dapat menghasilkan lebih dari satu keluaran (output), misalnya sejenis barang tetapi dengan kualitas yang berbeda (kualitas satu, kualitas dua, dan seterusnya). Kurva transpormasi produk ini bila digambar, cekung terhadap titik 0 seperti pada gambar berikut :

Gambar 6.9 Contoh 6 – 7 Sebuah perusahaan memproduksi sejenis barang dengan kualitas yang berbeda yaitu A1 dan A2, masing-masing sebanyak q1 dan q2 unit. Fungsi / kurva transpormasi produk untuk masukkan (input) tertentu yang digunakan adalah q 2 = 100 -

1 2 q1 4

(a) Berapa unit maksimal A1 dan A2, yang dapat diproduksi ?

13

(b) Berapa unit A1 dan A2 diproduksi agar kuantitas A1 dan A2 sama banyak ? Penyelesaian (a) Bila q2 = 0, q1 = ...... ? q2 = 100 -

1 2 q1 4

q2 = 100 -

1 2 q1 4

0 = 100 -

Bila q1 = 0, q2 = ...... ? 1 2 q1 4

q2 = 100

q12 = 400 q1 =  400 → (q1) 1, 2 =  20 (q1) 1 = 20 (bermakna) (q1) 2 = -20 (tak bermakna) Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang maksimal dapat diproduksi masing-masing 20 unit dan 100 unit. (b) Bila q1 = q2, maka q1 = ...... ? q2 = 100 -

1 2 q1 4

q1 = 100 -

1 2 q1 4

dan q2 = ...... ?

q12 + 4q1 – 400 = 0 → a = 1, b = 4, c = - 400 (q1) 1, 2 = =

b

4

b 2  4ac 2a

 4 2  (1) (400) 2(1)

(q1) 1 = 18,09 (bermakna) (q1)2 = -22,09 (tidak bermakna) Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang harus diproduksi masing-masing agar A1 dan A2 sama banyak adalah q1 = q2 = 18,09 unit Contoh 6 – 8

14

Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis keramik dengan kualitas yang berbeda melalui proses produksi yang sama, dengan jumlah masing-masing sebanyak q1 dan q2. kurva transpormasi produk untuk sejumlah masukan (input) yang digunakan, dinyatakan oleh persamaan. q2 – 9 q12 + 56 = 0 berapa unit masing-masing keramik harus diproduksi agar jumlah keramik 1 kali jumlah keramik kualitas dua ? 3

kualitas satu

Penyelesaian q2 – 9 q12 + 56 = 0 bila q1 =

1 q2, maka q1 = ....... ? dan q2 = .... ? 3

q2 – 9 q12 + 56 = 0 q2 – 9 (

1 q2)2 + 56 = 0 3

q2 – q22 + 56 = 0 q2 – q2 + 56 = 0 (q2 – 8) (q2 + 7) = 0 q2 = 8 (bermakna) q2 = -7 (tak bermakna) q1 = ..... ? q1 =

1 1 8 q2 = (8) = 3 3 3

jadi, agar kuantitas keramik kualitas satu

1 kali kuantitas keramik kualitas 3

dua, maka masing-masing keramik harus diproduksi sebanyak unit.

15

8 unit dan 8 3

Hukum Pareto Mengenai Distribusi Penghasilan Hubungan antara banyaknya individu (N), jumlah penduduk tertentu (a), dengan batas penghasilan terendah (x) dinyatakan dalam persamaan hiperbola Fermat, sebagai berikut : N

=

a xb

(6.1) 0 < N  a dan 0 < x < penghasilan maksimum penduduk N = banyak individu a = jumlah penduduk x = batas penghasilan terendah b = parameter penduduk, yang biasanya diperkirakan 1,5 perdifinisi n dan x adalah diskret, akan tetapi dalam prakteknya, x dipandang sinambung (kontinyu). Untuk penduduk yang berpenghasilan di atas subsisten, hukum Pareto umumnya cukup teliti dan nilai b dianggap sama dengan 1,5 (b = 1,5). Sedangkan grafik persamaan di atas secara umum seperti gambar di bawah ini:

Gambar 6.10 Contoh 6 – 9 Hukum Pareto tentang penghasilan dari sekelompok orang adalah :

16

N=

248.1010 3

x2

x = penghasilan (satuan dalam rupiah), N = banyak individu pertanyaan (a) Berapa orangkah yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah (b) Berapa orangkah yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00 dan Rp. 10.000,00 (c) Berapa penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan tertinggi Penyelesaian (a) Banyaknya orang yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah x = 106 → N = ..... ? 248.1010 248.1010   2480 N= (10 6 )3 / 2 109

Jadi, yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah sebanyak 2480 orang (b) Banyak orang yang berpenghasilan di atas Rp. 6.400,00 x = 6.400 → N = .... ? N=

248.1010 248.1010 248.1010    4.843.750 (6400)3 / 2 (82 .10 2 )3 / 2 512.103

Jumlah yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000,00 x = 10.000,00 → N = .... ? N=

248.1010 248.1010   248.10 4  2.480.000 (10 4 ) 3 / 2 106

Jadi, jumlah orang yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00 sampai dengan Rp. 10.000,00 adalah 4.843.750 orang – 2.480.000 orang = 2.363.750 orang. (c) N = 10 x = .... ? N=

248.1010 248.1010 → 10 = ( x )3 / 2 ( x )3 / 2

x3/2 = 248.109 =

3/2

248.109

= (248.109) 3 1/ 2

17

= (248.109)2/3 = (83. 109)2/3 = 82 . 106 = 64 . 106 Jadi, penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan tertinggi adalah sebesar 64. 106 atau 64 juta rupiah. Soal-Soal Latihan 6-1 Tentukanlah titik keseimbangan pasar sejenis barang yang memiliki fungsi permintaan dan penawaran sebagai berikut, dan buatlah grafiknya Permintaan

Penawaran

(a) q = 64 – 8p – 2p2

q = 10 + 5p2

(b) q = - p2 + 25

q = p2 – 2p + 1

(c) qp = 15

q=p–2

6–2

Fungsi laba dari sebuah perusahaan dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat. Kepala bagian pemasaran memperkirakan bahwa: jika pihak perusahaan tidak menjual barangnya perusahaan rugi 50 juta rupiah. Bila perusahaan dapat menjual 4 unit, perusahaan untung 170 juta rupiah, dan bila yang terjual sebanyak 12 uit, pihak perusahaan untuk sebesar 130 juta. Bila  menyatakan laba (dalam jutaan rupiah) dan q menyatakan kuantitas barang (dalam ton) (a) Tentukanlah fungsi laba tersebut,  = f(q) (b) Agar perusahaan tersebut mendapat laba yang maksimum sebaiknya berapa unit barang yang dijual (diproduksi) ? (c) Buatlah grafiknya

6-3

a

Bila fungsi permintaan terhadap sejenis barang adalah q = p b q = kuantitas barang dan p = harga per unit berapakah kuantitas yang diminta, bila harga per unit (a)

6–4

a

1 b

(b) 1

Bagian produksi sebuah perusahaan manufaktur yang bergerak dalam bidang farmasi yang menghasilkan cairan kimia tertentu, memperkirakan

18

bahwa biaya total untukmemproduksi barangnya mengikuti fungsi kuadrat. Dengan perkiraan sebagai berikut : Bila perusahaan tidak berproduksi sama sekali biaya total yang dikeluarkan sebesar 44, bila berproduksi sebanyak 4 unit biaya total yang dikeluarkan sebesar 20, dan bila berproduksi sebanyak 10 unit biaya total yang dikeluarkan sebanyak 14, jika C menyatakan kuantitas barang (satuan dalam liter). (a) Tentukanlah fungsi biaya totalnya, C = f(q) (b) Agar biaya fungsi biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan manufaktur tersebut sekecil – kecilnya (minimum) sebaiknya berapa liter cairan kimia yang diproduksi ? (c) Buatlah grafiknya 6 – 5 Fungsi permintaan sejenis barang adalah q = - 0,5p + 18 dan fungsi penawarannya q =

p 8

Hitunglah harga dan kuantitas keseimbangan yang baru, jika : (a) Terhadap barang yang dijual dikenakan pajak per unit sebesar t = 2 (b) Terhadap tiap unit barang yang terjual dikenakan pajak penjualan sebesar 25%. (c) Terhadap barang yang dijual diberikan subsidi per unit sebesar s = 1 (d) Buatlah grafik untuk masing-masing keadaan a, b, dan c di atas. 6–6

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan untuk memproduksi sejenis barang ditunjukkan oleh fungsi : C = 5q2 - 40q + 200 q = kuantitas barang yang diproduksi dan C = biaya total pertanyaan (a) Pada tingkat produksi berapa unit biaya totalnya minimum ? (b) Hitunglah besar biaya total minimum tersebut (c) Hitunglah pula biaya tetap dan biaya rata-rata pada saat biaya totalnya minimum.

6–7

Total penjualan sebuah perusahaan ditaksir mengikuti fungsi kuadrat sebagai berikut : R = - 5q2 + 20q

19

Pertanyaan (a) Berapa unit sebaliknya barang yang dijual agar total penjualannya maksimum ? (b) Berapa besar nilai total penjualan yang maksimum tersebut ? (c) Buatlah garafiknya 6–8

Suatu pabrik kertas memproduksi kertas kualitas no. 1 sebanyak q1 m2 / hari dan kualitas no. 2 sebanyak q2 m2/hari. Antara q1 dan q2 terdapat hubungan sebagai berikut : q12 q2 = 500 100

harga kertas no. 2 adalah 2/5 harga kertas no. 1 tiap m2. Berapa m2 masing-masing kertas diproduksi untuk memperoleh total revenue (penerimaan total) yang maksimum ? 6–9

Kepala again riset dari suatu perusahaan berpendapat bahwa dalam jangka pendek

biaya

rata-rata

dapat

dinyatakan

dalam

fungsi,

C  x 2 16 x  68

Bila

C

= biaya rata-rata per unit dan q = kuantitas barang yang

diproduksi. Berapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar biaya rata-ratanya menjadi terkecil (minimum) ? Dan berapa besar biaya rata-rata minimumnya ? 6 -10 Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis manisan dengan bahan yang sama dan teknik produksi yang sama pula. Kurva transformasi produknya, q2 = 20 -

300 30  q1

Bila q1 = kuantitas manisan kualitas satu dan q2 = kuantitas manisan kualitas dua. (a) Berapa jumlah terbanyak dari masing-masing manisan dapat diproduksi ? (b) Bila permintaan manisan kualitas satu, dua kali permintaan manisan kualitas dua, berapa unit masing-masing sebaiknya diproduksi ? (c) Buatlah sketsa grafiknya.

20

6 – 11 Fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang masing-masing sebagai berikut, q = 10 – 2p

dan

q = 4p – 2

q = kuantitas barang dan p = harga per unit barang bila pemerintah mengenakan pajak sebesar t per unit terhadap barang yang dijual. (a) Tentukanlah penerimaan maksimum dari pajak yang diperoleh pemerintah (pajak total maksimumnya) (b) Tentukan besar t tersebut, agar diperoleh pajak yang maksimum dari pajak.

6 – 12 Fungsi permintaan terhadap sejenis komoditi berbentuk, q = - 5p + 20 q = Kuantitas komoditi, p = harga per unit komoditi tersebut, pertanyaan (a) Tentukanlah fungsi penerimaan / penjualan totalnya (b) Berapa unit sebaiknya ia menjual barangnya agar total penjualan maksimum ? (c) Berapa harga per unit barang yang ia harus jual agar total penjualan maksimum (d) Gambarlah grafik dari fungsi penerimaan totalnya 6 – 13 Hukum pareto mengenai distribusi penghasilan dari sekelompok orang tertentu, dinyatakan oleh fungsi : N=

25.1010 3

x4

N = Jumlah individu, x = pendapatan (satuan dalam rupiah) Pertanyaan : (a) Berapa orang mempunyai penghasilan antara Rp. 125.000,00 dan Rp. 1.000.000,00 (b) Berapa distribusi penghasilan terendah dari 100 orang terkaya ?

21

6 – 14 Fungsi distribusi penghasilan dari sekelompok penduduk menurut hukum Pareto dinyatakan oleh : N=

3.106 x2

N = Jumlah individu, x = penghasilan (satuan dalam jutaan rupiah) Pertanyaan : (a) Berapa orang yang punya penghasilan melebihi 2 juta rupiah (b) Berapa orang mempunyai penghasilan antara 4 juta dan 10 juta rupiah (c) Berapa besar pendapatan terendah dari 12 orang terkaya ?

6 – 15 Jika fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang q = p2 – 12p + 36

dan q = p2 - 1

terhadap barang ini dikenakan pajak penjualan sebesar 20% per unit. Bila p = harga per unit barang dan q = kuantitas barang tentukanlah : (a) Harga dan kuantitas keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak (b) Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen dan konsumen (dalam %) (c) Besarnya pajak yang diterima oleh pemerintah 6 – 16 Permintaan terhadap sejenis barang diperkirakan mengikuti fungsi pecah yaitu hiperbola fermat. Data empiris menunjukkan keadaan sebagai berikut : bila harga per unit barang tersebut 2, kuantitas barang yang diminta sebanyak 25 unit. Bila harga per unit barang tersebut 5, kuantitas yang diminta sebanyak 4 unit. Tentukanlah fungsi permintaan barang tersebut. buatlah sketsa grafiknya. Berapa unit barang yang akan diminta harga per unit barang tersebut 10. 6.3 Aplikasi Fungsi Eksponen dan Logaritma dalam Ekonomi Fungsi pertumbuhan adalah salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dan logaritma dalam bidang ekonomi dan bisnis (analisa ekonomi).

22

Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara menoton. Fungsi pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang merupakan batas atas. Pembahasan fungsi pertumbuhan pada bagian ini dibatasi hanya pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk / biologis, kurva (fungsi) Gomperrtz dan kurva (fungsi) pengajaran. Fungsi Bunga Majemuk Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k0 dibungakan k kali per tahun dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun maka setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi :  Kn = K0  1  

r  k

Apabila k sangat besar yaitu k →

n .k

(6.2)

 , maksudnya bunga yang dibayarkan secara

kontinyu atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan menjadi : Kn = Ko.er.k

(6.3)

Dengan, Ko = Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol. Kn = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n. e = Bilangan basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...) k = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun n = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan r = Besarnya bunga per tahun jika fungsi Kn = Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut :

23

Gambar 6.11 Contoh 6 – 10 Seseorang menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun. Berapakah jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun. (a) Bila bunga dibayarkan sekali setahun (b) Bila bunga dibayarkan per triwulan (c) Bila bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun Penyelesaian (a) Bunga dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1 Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn = ....? Kn = Ko (1 + =4(1+

r n.k ) k 0,05 1x10 ) 1

= 4 ( 1 + 0,05)10 = 4 (1,05)10 Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator) Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak 6,515785 juta rupiah Contoh 6 – 11 Seorang petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan datang. Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga 24% per tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan ? Penyelesaian Kn = 5 juta rupiah = Rp. 5.106 n

= 10 tahun, r = 24 % = 0,24 dan k = 1

Ko = .... ?

24

Kn = Ko ( 1 +

r 1xn ) 1

5.106 = Ko (1 + 0,24)10 5.106 = Ko (1,24)10 K0 =

5.1066 (1,24)10

= 581.772,49 Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp. 581.772,49

Pertumbuhan Penduduk / Biologis Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat Po mengalami pertumbuhan sebesar 100 r% per tahun (atau r pertahun), maka setelah t tahun, jumlah penduduk menjadi : PT = Po (1 + r )t

(6.4)

Bagi suatu negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka pertumbuhan penduduk berlangsung hampir kontinyu, maka jumlah penduduk setelah t tahun menjadi : PT = Po. er.t

(6.5)

Misalkan (r + 1) pada persamaan (6.4) sama dengan R yaitu (r + 1) = R, maka persamaan (6.4) di atas dapat dinyatakan sebagai berikut : P t = P o Rt Pt = Jumlah penduduk pada tahun yang ke t’ Po = Jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun yang ke nol r

= Tingkat pertumbuhan

25

(6.6)

R = (r + 1) = tingkat pertumbuhan + 1 Persamaan (6.6) di atas diperoleh juga pada model penduduk dengan setiap anggota / individu menimbulkan R – 1 anggota / individu baru dalam satu satuan waktu, dengan anggapan tidak ada anggota yang meninggal. Teoritisi organisasi menyatakan bahwa fungsi Pt = Po Rt dapat dipergunakan untuk menggambarkan pertumbuhan awal suatu perusahaan yang tumbuh dengan pesat. Jika fungsi Pt = Po Rt dibuat grafiknya secara umum bentuknya sebagai berikut :

Gambar 6.12 Contoh 6 – 12 Pada tahun 1981 penduduk sebuah kota adalah 629.039 jiwa. Sedangkan pada tahun 1986 jumlah penduduknya adalah 771.186 jiwa. Pertanyaan : (a) Berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut (b) Perkirakan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 1996 Penyelesaian Persoalan di atas akan diselesaikan melalui sifat-sifat logaritma, walaupun juga dapat diselesaikan melalui sifat-sifat eksponen. (a)

Po = 629.039 Pt = 771.186 t = 5 (dari tahun 1981 s.d 1986) r = ....... ? P t = P o ( 1 + r )t Log Pt = Log Po (1 + r )t Log Pt = Log Po + Log (1 + r)t

26

Log Pt = Log Po + t Log (1 + r) Log 771.186 = Log 629.039 + 5. log ( 1 + r ) 5,8872 = 5,7987 + 5 . Log ( 1 + r ) 5 Log ( 1 + r ) = 5, 8872 – 5,7987 = 0,0885 Log ( 1 + r ) =

0,0885  0,0177 5

( 1 + r ) = 1,0415 r

= 1,0415 – 1 = 0,0415 = 4,15 %

Jadi tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut per tahun adalah 4,15 %. (b) Dari tahun 1981 s.d 1996, ini berarti t = 15 Po = 629.039 r = 0,0415 t = 15 Pt = ..... ? Pt = Po (1 + r )t Log Pt = Log Po ( 1 + r )t Log Pt = Log Po + t . Log ( 1 + r ) = Log 629.039 + t. Log (1 + 0,0415) = 5,7987 + 15 Log ( 1,0415) = 5,7987 + 15 ( 0,0177 ) = 5,7987 + 0,2655 = 6,0642 Pt = 1159311,1 Jadi, jumlah anggota organisasi profesi tersebut setelah 5 tahun adalah 10.240 anggota (orang)

27

Fungsi Gompertz Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut : N = C.aRt

(6.7)

N = adalah jumlah penduduk pada tahun ke t R = tingkat pertumbuhan (dengan 0 < R < 1 ) a = proposi pertumbuhan awal C = tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtot tertinggi) Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah ini. Type I : 0 < a < Type II :

1 e

1
Gambar 6.13 Kurva I, untuk nilai t kecil yang positif kurva cembung terhadap sumbu t (berakselerasi positif) dan untuk nilai t besar yang positif, kurva cekung terhadap sumbu t (berakselerasi negatif). Sedangkan kurva II, untuk semua nilai t positif, kurva cekung terhadap sumbu t (berakselerasi negatif).

28

Teoritisi organisasi menemukan dan menggunakan kurva Gompertz ini untuk menggambarkan pertumbuhan organisasi. Kurva ini juga dapat dipergunakan untuk fungsi ekonomi dan bisnis, seperti fungsi pendapatan total dan produksi. Contoh 6 – 14 Penjualan setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi p adalah jumlah pengeluaran untuk promosi dan advertensi. S adalah penjualan / omzet setiap bulan. Pertanyaan (a) Berapa besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama dengan nol atau berapa besar penjualan awalnya ? (b) Berapa penjualan maksimumnya ? (c) Berapa besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 ? Penyelesaian (a) Jika P = 0, maka S adalah S= = 100 Jadi, penjualan awalnya adalah 100 (b) Penjualan maksimum terjadi saat, tingkat pertumbuhannya nol

(R = 0)

= 1000 (1) Jadi, penjualan maksimumnya adalah 1000 (c) Jika p = 5, maka S adalah

S = 1000(0,976697) S = 976,697 Jadi, besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah 976,697. Fungsi Pengajaran

29

Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan taraf pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada awalnya dan semakin lambat ketika mendekati asimtot batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut : y = C – a.e-k x

(6.8)

C, a dan k adalah konstanta positif y = keaktifan belajar, dan x adalah variabel pendorong sedangkan bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut :

Gambar 6.14 Fungsi pengajaran ini juga dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan fungsi produksi.

Contoh 6 – 15 Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan sebagai berikut : C = 100 – 50 e – 0,02 q C menyatakan biaya produksi dan q menyatakan kuantitas produksi. Pertanyaan (a) Berapa besar biaya tetapnya ? (b) Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya ?

30

Penyelesaian (a) Jika q = 0, maka C = ... ? C = 100 – 50. e- 0,02(0) = 100 – 50 . eo = 100 - 50. 1 = 50 Jadi, biaya tetapnya (maksudnya jika tidak berproduksi atau jika q = 0) = 50 juta rupiah. (b) Bila q = 100, maka biaya total (C) adalah, C = 100 – 50 . e- 0,02(0) = 100 – 50. e-2 = 100 –

50 e2

= 100 -

50 ( 2,718) 2

= 100 – 6,7682 = 93,2318 juta rupiah Jadi, proposi biaya tetap terhadap biaya total (untuk berproduksi 100 unit) adalah : 50

= 93,2318 x100% = 53,63 %

Soal-soal Latihan 6 - 7 Seorang petani menabung Rp. 100.000,00 salama 15 tahun. Dua kemungkinan dapat dilakukan, bunga majemuk 12 % per tahun dengan bunga digabungkan setiap bulan atau bunga majemuk 15 % per tahun dengan bunga digabungkan per kwartal. Pilihan manakah yang lebih baik ?

31

6 - 18

Jika anda ingin memiliki uang sebanyak dua juta rupiah sesudah 20 tahun (20 tahun dari sekarang), berapa besarnya anda harus menabung mulai sekarang bila tingkat bunga majemuk 15 % per tahun ?

6 - 19

Seorang mahasiswa menabung uang sebesar Rp 500.000,00 dalam jangka waktu 20 tahun dengan tingkat bunga 15 % per tahun. Berapakah jumlah uang yang terima setelah 20 tahun, jika (a) Bunga dibayarkan tiap bulan ? (b) Bunga dibayarkan 2 kali setahun ? (c) Bunga dibayarkan per triwulan ? (d) Bunga dibayarkan secara kontinyu ?

6 - 20

Jika suatu barang yang dihasilkan sebanyak q unit per hari dan selama t hari kerja produksi berlaku fungsi, q = 500 – 200. e -0,01 t Pertanyaan (a) Berapa unit barang per hari (q) yang dihasilkan setelah 10 hari kerja ( t = 10 ) ? (b) Berapa unit kapasitas produksi maksimumnya ? (c) Berapa persenkah hasil produksi selama 10 hari kerja dibandingkan kapasitas produksi maksimumnya ?

6 – 21

Jumlah perusahaan dalam sebuah industri dinyatakan oleh fungsi, N = 8(0,5)0,75t t menyatakan jumlah tahun sejak industri itu mulai beroperasi. Pertanyaan : (a) Berapa Perusahaan berada dalam industri sesudah 6 tahun ? (b) Berapa jumlah perusahaan berada dalam industri secara maksimum ?

6 – 22

Suatu organisasi massa mulai beroperasi dengan 5 orang anggota, setiap anggota diperkenakan memasukkan 2 orang anggota baru setiap tahunya. Berapa anggota organisasi tersebut setelah 10 tahun beroperasi ?

6 - 23

Pada tahun 2000 penduduk sebuah kota sebanyak 2,53 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut r = 1,2 % per tahun. Berapa jumlah

32

penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 % per tahun. Berapa jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2010, jika penduduk bertambah secara kontinyu tiap tahun ? 6-24

Pada tahun 2000 penduduk sebuah negara sebanyak 203 juta jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 % per tahun. Berapa jumlah penduduk negara tersebut pada tahun 2005 ?

REFERENSI Budnick, S. Frank. Applied Mathematics for Business, Economics, and The Social Sciences. Ed. Ke-4, Singapore : Mc Graw – Hill, 1993. Bab 6 dan 7 Chiang, C. Alpha. Fundamental Methods of mathematical Economics. Ed. Ke – 3, New York : Mc Graw – Hill, 1984. Bab 2 Dowling, Edward T. Mathematical for Economists. Singapore : MccGraw-Hill, 1980. Bab 2 dan 8 Purcell, Edwin J. dan Vargerg, Dale. Calculus With Analytic Geometry. Ed. Ke -4. New York : Prentice – Hall, 1984 Bab 2 Weber, Jean E Mathematical Analysis, Business and Economics Application. Ed. ke 4 New York : Harper dan Row Publishers , Bab 1

33

34