Barem Culegere Bac M2_nopw.pdf
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Barem Culegere Bac M2_nopw.pdf as PDF for free.
More details
- Words: 84,913
- Pages: 285
Loading documents preview...
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM CULEGERE ONLINE
Modele de subiecte cu bareme realizate dup modelului oficial www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA
BACALAUREAT LA MATEMATIC 2012
A
eB
nt
ia
ar
V C
Toate drepturile prezentei edi ii apar in site-ului www.mateinfo.ro & www.bacmatematic .ro reprezentate prin prof. Andr ei Octavian Dobre
2
M
Culeger ea este oferit GRATUIT doar pe site-ul www. mateinfo.ro i www.bacmatematica.ro şi nicio parte a acestei edi ii nu poate fi reprodus far acordul scris al www. mateinfo.ro şi www.bacmatematica.ro (Andrei Octavian Dobre) Dac observa i apari ia acestei culeger i sau p r i din aceasta culeger e pe alt site (sau culegeri) v rug m s ne
20
anun ati pe [email protected] sau [email protected] pentru a face demersurile lega le.
12
1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 1 Prof: Andone Elena.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
3p
1 =0,(015873) 63
V
Stabileşte a 2012-a zecimal ca fiind 1
ar
2.
f(2)= - 3
2p
eB
11 2
Not m 3x=t
2p
3 nu are solu ii în mul imea numerelor reale 5
C
x=0, 3x=
3 5
1p
A
Ecua ia devine 5t2-2t-3=0 cu solu iile t1=1, t2=
3x=1
2p
nt
3.
1p
ia
( f f )(2) f ( f (2)) f ( 3) f(-3)=
2p
2p
2
M
4.
6!=1 2 3 4 5 6 = 720
2p
20
6.
mAB
12
5.
3p
yB y A 04 4 xB x A 1 2 3
2p 3p
raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal cu jum tate din ipotenuz 2
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se calculeaz ipotenuza cu ajutorul teoremei lui Pitagora i=10
1p
R=5
2p
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
3 4 4 3
2p
A2=
2p
M
3 4 2 4 5 0 A2 2 A 5 I 2 O2 4 3 4 2 0 5 det A=5
V
b)
1p
A este inversabil
3p
ar
2 5 1 5
2p
c)
( A I 2 ) 2 A2 2 A 5 I 2 4 I 2
x y=xy-x-y+7=
a)
x(y-1) – (y-1) + 6= (x-1)(y-1)+6
1p 3p
M
x y=(x-1)(y-1)+6
Rela ia ce trebuie demonstrat reprezint asociativitatea legii de compozi ie
(x y) z=(x-1)(y-1)(z-1)+5z+1
x x=31
12
Egalitatea celor dou expresii nu se realizeaz pentru orice numere reale x, y, z este asociativ
x x=(x-1)2+ 6
3p
20
x (y z)=(x-1)(y-1)(z-1)+5x+1
c)
1p
2
b)
2p
C
2.
3p
A
4 0 O2 4 I 2 0 4
eB
nt
ia
1 1 2 1 5 1 A A , A , A det A 2 2 1 5
legea nu
2p
2p
(x-1)2=25
2p
3
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x=6 sau x=- 4
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
ă
lim ( ) =
m= n=1
M
Studiem existen a asimptotei oblice y=mx+n şi n
ă
+
2p
V
1p
y= x+1 este asimptot oblic la + )
f’(x)=0
x=0, x=2
1p 1p
ia
f’(x)=(
ar
b)
2p
nt
1p
se realizez tabelul de varia ie al func iei
2p
eB
func ia f este strict cresc toare pe intervalul , 0 i pe intervalul 0, ; func ia f este strict descresc toare pe intervalul 0,1 i pe intervalul 1, 2 .
C
A
c)
Se calculeaz derivata a doua 2 ( x 1) 3
1p
M
f "
1p
2.
ls(0)=ld(0)=f(0)=0
a)
Pe mul imea numerelor reale nenule f este continu fiind compunere de func ii elementare f f admite primitive pe continu pe
4
2p
12
f este continu în punctul x=0
2p
20
pe intervalul (-∞,1) f’’ este negativ deci func ia f va fi concav
2
se realizeaz tabelul de semn al derivatei a doua
1p
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 ln( x 1) c1 , x 0 F ( x) 2 e x x c , x 0 2
1p
Din continuitatea func iei F în punctul x=0
BA
F(1)=0
c1= 1+c2
1p
1 1 ln 2 c1 0 c1 ln 2 2 2
1p
3
2
2
2p
f x dx f x dx f x dx
2p
ar
c)
M
RE
1 1 2 2 ln( x 1) 2 ln 2, x 0 F ( x) e x x 1 ln 2 1, x 0 2
2p
0
1 ln x 2 1 2 2
0
3
0
1 1 e 2 2 ln10 2
C
A
eB
nt
1 ln10 e 2 1 2
1p
0
ia
V
ex x
3
2
M 20 12
5
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
BA
Varianta 2 Prof: Andone Elena.
RE
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1<2011<2012
V
1.
3p
ar
log 2012 1 log 2012 2011 log 2012 2012
Pentru a determina imaginea func iei f, impunem condi ia ca ecua ia f(x)=y s admit solu ii reale.
x 2 4 x 5 y x2 4 x 5 y 0
A
eB
2.
nt
Partea întreag va fi 0
ia
0 log 2012 2011 1
2p
Scriem rela iile lui Viete
1p
2
x1 x2 3, x1 x2 8
2p 2p
20
x12 x22 9 16 25
2p
{a, b, c},{a, b, d },{a, c, d },{b, c, d }
12
4.
2p
M
3.
2p
C
0 y 1 0, Im f 1,
1p
3p
6
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
y yB x xB y0 x2 3y x 2 y A yB x A xB 1 0 5 2
cos(1800-x)= - cosx=
BA
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p 3p
2p
2 3
1p 2p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M V
1. a)
x
y
2p
1
ar
Ecua ia dreptei A2 A3 este: 4 9 1 0 8 27 1
2p
ia
Dezvoltând determinantul se ob ine 9x-2y-18=0
nt
b)
aria triunghiului A2 A4 A6 este egal cu
2
6
1
1
1
4
1 36 4
9
1 4320
6
1
3 3
1p
3p
A
2
4
32 1
1 2
eB
22
16 81 1
1p
C
A=2160 2n
1
1 1 1
3n 1 1 2 n 3n 2 3 1 2n 3n 2 0, () n n2
3
1
4 9 1
2p
12
a)
x y 2 xy 4 x 4 y 3 2 x ( y 2) 4( y 2) 5 2( x 2)( y 2) 5
2p
20
cele trei puncte un sunt coliniare 2.
1p
2
Calcul m 2n 1 2n 2
3n
M
c)
1p
1p 3p 1p
b)
S verific m dac exist e, num r real astfel încât x e=e x=x, oricare ar fi x num r real
7
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x e= 2xe+4x+4e+3
Dac x e=x, oricare ar fi x num r real
2xe+3x+4e+3=0, oricare ar fi x num r real
x(2e+3) +4e+3=0, oricare ar fi x num r real 2e+3=0 şi 4e+3=0 contradic ie
BA
nu exist element neutru
x x 2( x 2) 2 5
2p
RE
c)
2p
x x x 4( x 2)3 6( x 2) 5
Ecua ia cerut devine :
M
2p
4( x 2)3 6( x 2) 5 7 4( x 2)3 6( x 2) 2 0
V
2( x 2)3 3( x 2) 1 0
1p
ar
Not m x+2=t, ecua ia
1 3 5 3 x 2 2
x0
2
x 0
ln x) lim x0
1p 1p
20
1p 2p
12
f’(x)= 2xlnx+x f’(x)= 2xlnx+x=x(2lnx+1) f’(x)=0
1p
2
1 x
(x2)’=2x
c)
2p
M
Se aplic regula de derivare a unui produs (lnx)’=
2p
ln x 0 , se aplic regula lui L’Hospital 1 x2
C
b)
lim f ( x) lim( x
A
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
1 3 5 3 şi x 2 2
nt
t
ia
3 + 1 = 0 are solu iile t=1 x= - 1, t
2
x=0 şi x= e
1p 1p
1 2
1p
se realizez tabelul de varia ie al func iei
8
Bacalaureat Matematică M – 2012 pe intervalul (0, e cresc toare 2.
BA
a)
1
0
1
f ( x ) dx 0
) f este monoton descresc toare şi pe intervalul ( e
1 2
2p , ) f este monoton
2p 2p
3 2
1p
RE
3p
Fie F o primitiv a func iei f.
2p
V
1p
V=
1 1 2 0 ( x 2)2 dx ( x 2 ) 0 4 2
2p
M
c)
1 2
1 1 dx ln( x 2) 0 x2
ln 3 ln 2 ln
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
F’(x)=f(x)=
2p
C
A
eB
nt
ia
F strict crec toare
ar
1 >0, oricare x 0 x2
2
M 20 12
9
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 3 Prof: Andone Elena
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
1p
3
1p
ia
ar
27 3 3 3 64 4 4
2p
f este bijectiv deci este inversabil
eB
nt
1 1 8 2 3 1 3 4 8
1p
V
3
3
2.
3
1 log 1 8 log 1 3 2 2 2
3 y 2 3 y 2
2p
2
M
f-1(x)=
2p
C
x=
-2x+3=y
A
pentru a determina inversa proced m astfel: f(x)=y
1p
Impunem condi iile de existen : x-1>0, x-1
1,x+2>0
x ( 1, )
{2}
Utilizând injectivitatea func iei logaritm Solu ia convenabil este x=
x+2=(x-1)2
3 13 2
10
1p 2p
12
log x 1 ( x 2) 2 log x 1 ( x 2) log x 1 ( x 1) 2
20
3.
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A53 C42 P4 60 6 24 42
2p 3p
2p
Fie M mijlocul segmentului AB, M(0,1) ;
BA
5.
mAB
yB y A 0 2 1 , panta mediatoarei va fi -1 xB x A 1 1
3p
RE
Ecua ia mediatoarei : y-1= - x
sinx=
1 3
cosx=
1
2p
2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
1 8 0 4
A+B=
A este inversabil
5 8 1 4
1p
12
înmul im egalitatea AX=B,la stânga cu A-1 X= A-1B 1 X= 2 0
2p
20
c)
3p
2
1 2 4 5 1 A A 0 0 2
1p
M
detA=8
2p
C
det (A+B)=4 b)
2p
A
1. a)
nt
ia
tgx
1p
ar
sin x cos x
2p
2 2 3
V
tgx
M
6.
2p 2p
3 2 0
11
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
f(2)=0, f(1)=2
1p
a)
- 2a+b= - 5, a-b=1
3p
a= 4, b=3
1p
1 1 1 x x x3 a 1 2 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 2
BA
b)
Din rela iile lui Viete,
+
=
2p
şi
=
2
RE
c)
+
3p
2p
împ r im polinomul f la x-2 şi ob inem câtul C(X)=X2-2X-1
2p
M
f(X)= X3-4X2+3X+2
ecua ia de gradul al doilea asociat polinomul C are discriminantul pozitiv toate r d cinile reale.
polinomul f are 1p
x0
x0
f(x0)=0
1p 2p
12
1 ln x = 0 x2
lnx-1=0
1p
20
f’(x)=
1p
2
1 ln x , f’(x0)=1 x2
y=x-1 c)
1p
M
Ecua ia tangentei: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)
f’(x)=
2p
C
( se aplic regula lui L’Hospital) b)
2p
A
lim f ( x) lim f ( x) 0
eB
1. a)
nt
ia
ar
V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p 1p
x=e
1p
se întocmeşte tabelul de varia ie al func iei
2p
12
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
din tabel se observ c punctul de coordonate (e,
2.
I f ( x)dx x ' x 2 64dx x x 2 64
BA
a)
1 ) este punct de maxim e
x 2 64 64 x 2 64
2p
dx
2p
x x 64 I 64 ln( x x 64) 2
2
2 I x x 2 64 64ln( x x 2 64) 1 I ( x x 2 64 64ln( x x 2 64)) 2
1p
RE
Utiliz m metoda schimb rii de variabil :
1p
x2+64=t
1p
V
2xdx=dt
M
b)
1p
ar
1
V (x 2 64)dx ( 0
1 193 x3 64 x ) 0 3 3
2p
eB
c)
nt
1 2 ( x 64) x 2 64 3
2p
1 1 tdt t t 2 3
ia
2 xf ( x)dx x x 64dx
1p
C
A
2p
2
M 20 12
13
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 4 Prof: Andone Emanuel
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
a10=a1+9r = 7+27=34
(a1 a10 ) 10 205 2
2p
ar
V
S10 2.
3p
O ecua ie de gradul al doilea are r d cini reale distincte dac şi numai dac
1p
>0
ia
= 4m2+1
2p
4m2+1>0 oricare ar fi m num r real, deoarece reprezint o sum de p trate
3.
Gf Oy: f(0)= 5-2-1=
24 25
2(5+a)+ 2a=0
3p
20
4! 12 , A42 3 P3 12 18 6 2!
Doi vectori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este 0
2p
12
a=
2p
2
5.
24 ) , B(2,0) 25
P3=3!=6
A42
2p
M
4.
x=2
2p
C
A(0,
x-2=0
1p
A
Gf Ox: rezolv m ecua ia f(x)=0 5x-2=1
eB
nt
2p
3p
5 2
14
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
AB AC sin A 2 8 16 sin A 3 sin A 32 3 2 2
1p
AABC
2p 1p
BA
M sura unghiului A este egal cu 600 sau 1200
cos A
1p
1 1 sau cos A 2 2
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
1. a)
2p
1 det A 3a 3 a 2 deci a R {0, } 3
2p
V
O matrice este inversabil dac şi numai dac determinantul s u este nenul, det A=3a4-a2
ar
1p
1 3
A este inversabil pentru orice a a R {0, }
2p
C
A
eB
2 0 6 (A ) = 4 2 4 12 18 8 2 T
c)
3p
nt
2 4 12 2 A A A 0 2 18 6 4 8
ia
b)
1p
M
0 3a 3a 3 A 9 12 9a 3a 3a 0
2
2p
20
a 2 3a a 2 4a 3a 2 A2 3a 2 12 3a 2 3a 16 9a 3a a 2 4a 2a 2
15
12
a 2 3a 2 a 2 a 3a 2 3a A2-3A+2I3= 3a 2 3 3a 2 3a 6 0 O3 , deci, a=1 2 2 a a 0 2 2a
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
a*(-b)= -ab+a2+b2
1p
a)
a*(-b)-ab= -ab+a2+b2-ab=(a-b)2
3p
finalizare
1p
Din defini ia monoidului
BA
b)
legea “* “ trebuie s fie asociativ
3p
Din rela ia x*(y*z)=(x*y)*z, oricare ar fi x,y,z numere reale rezult xz(a+b)+x(a2-a)-zb(b+1)=0, oricare ar fi x,y,z numere reale
RE
a+b=0, a2-a=0 şi b(b+1)=0
2p
M
c)
a=b=0 sau a=1 şi b= - 1
Utilizând rezultatul ob inut la punctul anterior, se disting dou cazuri
x*y=xy, mul imea elementelor inversabile fiind
2p
x*y= xy+x+y
ar
a=1 şi b= -1
V
a=b=0
2p
ia
elementul neutru al acestei legi este 0
mul imea elementelor inversabile este {1}
1p
2 x ex 1 1 ex
20
f '( x)
1p
2
x=0 b)
2p
M
f(x)+f’(x)=1
2p
C
f '( x)
A
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2 x =0 x=2 ex
1p
12
1p
Se realizeaz tabelul de varia ie al func iei
1p
Se precizeaz semnul primei derivate
2p
Pe intervalul ( , 2) f este strict crec toare şi pe intervalul (2, )
16
monoton descresc toare
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
f’(0)= 2
1p
ecua ia tangentei :y- f(0)= f’(0)(x-0)
1p
y+1=2x
2p
g(x)=(x-1)3
2p
2.
a)
( x 1) 4 g ( x)dx ( x 1) dx 4 C
2p
3
1p
M
b)
RE
BA
f(0)= -1
f ( x) x a 2
3
1p 1p
V
3
bx c 2 x x 1 2
x -3x +3x-1=x +(a+1)x +x(a+b+1)+a+c
ar
1p
a+1=-3; a+b+1=3; a+c=-1
x2 3(2 x 1) dx 4 x 3ln( x 2 x 1) C x2 x 1 2
(x2 +x+1)’=2x+1
2p
2
M
x2 3(2 x 1) dx 4 x 3ln( x 2 x 1) C x2 x 1 2
C
x4
1p
A
(2 x 1) dx ln( x 2 x 1) C 2 x 1
x
2p
eB
x4
nt
c)
ia
a= -4; b=6; c=3
2p
20 12
17
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 5 Prof: Andone Emanuel.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 7 25
M
1.
3p
log 5 25 2 log 5 7 log 5 7
2p
V
log57 log725=2,deci este num r natural
ar
2.
x2+x+m 4 x2+x+m 4 0
1p
ia
1 5 x x 5
2p
2p
2
An2 n ( n 1) 56
3p
20
Se rezolv ecua ia de gradul doi şi se alege solu ia natural n=8
Se calculeaz fiecare latur a triunghiului cu formula AB ( xA xB )2 ( y A yB ) 2
12
5.
2p
M
x=4 4.
1p
C
Ecua ia devine 5 x 54
2p
2p
A
3.
15 , ) 4
eB
4m 15 0 m [
nt
o func ie de gradul al doilea are semn constant, semnul coeficientului lui x2 , pe dac şi numai dac 0, 4m 15
2p 3p
AB=AC=1, BC= 2 PABC=2+ 2
18
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
BC 2R sin A
cos A=
BA
R=
1 2
1p
sin A=
3 2
2p
8 3 3
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
0 2 0 2
2p
ar
V
x 2
2p 1p
2
2 este r d cin a polinomului f
f ( 2) 0
f ( 2) 16+4 2 -a 2 =0
20
a)
4
M
2.
2p
C
X A4 X ( A2 ) 2 X (2 I 2 )2 4 X A X XA
1p
A
A4 X ( A2 )2 X (2 I 2 )2 X 4 X 4
2p
eB
det( A xI 2 ) x 2 2 0
c)
2p
nt
1 1 x A xI 2 1 x 1
1p
ia
b)
2 A2 0 2 2I2 0 A2 2 I 2
2p
M
1. a)
1p 3p
12 1p
a=4+8 2 b)
Se scriu rela iile lui Viete
x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4
3p
a 3
19
Bacalaureat Matematică M – 2012 x1 x2 x3 x4
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2 3
1 1 1 1 a x1 x2 x3 x4 2
BA c)
(x-1)2=x2-2x+1
2p
RE
Câtul este 3x2+8x+14 şi
2p
restul este x(20-a)-12
1p
M V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ia
ar lim f ( x) x 0 este asimptot x 0 x 0
vertical la dreapta
nt
1. a)
x
lim
( x 2 x 1) ln x f ( x) lim x3 x3 x
3p
M 2
Ecua ia tangentei : y-y0=f’(x0)(x-x0)
1p
20
x0=1, y0=f(1)=0
( x 2 x 1) , f’(1)=1 x
1p 2p
12
f’(x)=(2x-1)lnx+
2p
C
( x 2 x 1) ln x lim 0 x2 x x
1p
y= x-1 2.
1p
A
f ( x) graficul func iei nu admite asimptot oblic x
x
c)
orizontal
lim x
b)
2p
eB
lim f ( x) graficul func iei nu admite asimptot
2p
Explicitând cele dou module se ob ine
a)
20
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x 2)e x , x (, 0) f ( x ) ( x 2)e x , x 0, 2 x ( x 2)e , x (2, )
2p
2p
BA
se studiaz continuitatea func iei f în punctele 0 şi 2, în rest f fiind continu deoarece este compunere de func ii elementare
1p
f este continu în punctele x=2 şi x=0
ls(0)=ld(0)=f(0)= 2; ls(2)=ld(2)=f(2)=0
RE
f admite primitive pe mul imea numerelor reale deoarece orice func ie continu admite primitive
b)
Utilizând integrarea prin p r i se ob ine
M
( x 2)e dx ( x 1)e ( x 2)e dx (3 x)e c ( x 2)e dx ( x 3)e c x
x
x
1p 1p
x
1
V
x
x
1p
2
ar
Deci primitiva func iei f va fi
nt
=
ia
4 şi c2=2e2-4
Din continuitatea primitivei
2p
eB
( x 1)e x , x (, 0) F ( x ) (3 x)e x 4, x 0, 2 x 2 ( x 3)e 2e 4, x (2, )
c=1
C
A
Primitiva care trece prin origine este G(x)=F(x)+c, G(0)=0
5
f ( x)dx ( x 3)e x
2<e<3
4
e 4 (2e 1) 32
2p 1p
2
4
5
M
c)
2p
20
3<2e-1<5
16<e4<81
12
e4(2e-1)>3 16=48>32
21
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 6
RE
Prof: ANDONE EMANUEL
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
10 3 300
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
3p
nt
289 300 324 289 300 324
partea întreag a num rului Se impune condi ia de existen
x 2 3x 2 0
1p
A
2.
300 este 17
2p
eB
17 300 18
2p
Utilizând semnul func iei de gradul al doilea se ob ine x ( ,1) (2, )
2p
C
Se rezolv ecua ia de gradul al doilea şi se ob in solu iile x1=1 şi x2=2
x 1 0 x 1
Solu iile vor fi x1=0 şi x2= -1
Ank
2p
12
4.
2p
20
Se ridic egalitatea la p trat şi se ob ine x2+x=0
1p
2
Se impune condi ia de existen
M
3.
2p
n! , 0 k n, k , n ( n k )!
3p
A42 12
22
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia unei drepte de pant cunoscut , care trece printr-un punct cunoscut este: y-y0=m(x-x0)
2p
m=5, x0=2, y0=1
3p
y-1=5(x-2)
BA
y=5x-9
6.
AC fiind cea mai mare latur a triunghiului, ei i se va opune unghiul cel mai mare cel mai mare unghi al triunghiului este unghiul B
1p
RE
Aplic m teorema cosinusului
cos B
2p
2p
AB BC AC 1 , cos B 2 AB BC 2 2
2
2
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
V
2p
detA=a3-3a+2=(a+2)(a-1)2
2p
ia
Înlocuind în fiecare ecua ie a sistemului pe x =2, y=1, z=0
3p
eB
se ob ine a=0 c)
1p
nt
b)
Determinantul poate fi calculat fie cu regula lui Saruss fie utilizând propriet ile determinan ilor
ar
1. a)
2p
Pentru a=4 detA 0 , deci sistemul se rezolv cu regula lui Cramer
1p
A
detA=54, x 0, y 18, z 36
2p
C
P(x)=(x4+1)(x2+1)(x-1)(x+1)+10=x8-1+10=x8+9
a)
P(2)=P(-2)=28+9=265
1p
2
2.
2p
M
1 2 solu ia sistemului va fi x=0, y= , z= 3 3
3p
20
Q(x)= (x-1)(x+1)+10=x2+9, se observ c polinomul Q(x)>0,oricare ar fi x num r real
b)
c)
1p
12
Q (a ) =Q(a), oricare ar fi a num r real Câtul împ r irii este x6-9x4+81x2-729 şi
3p
restul 6570
2p
x2+9=x2-9i2=
2p
23
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
=(x-3i)(x+3i)
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
2p
ls (1) a 2 a 1, ld (1) a , f (1) a 2 a 1
2p
M
f este continu în punctul x=1 dac ls(1)= ld(1)=f(1)
a a 1 a 2
1p ridicând la p trat se ob ine : a a 1 a 2
V
a= - 1
ar
b)
2
x 2 x 1, x 1 Pentru a= -1 func ia f devine: f ( x) x 1 x , x 1
1p
nt
ia
1p 1p
eB
1 f’s(1)= , 2
f’d(1)=
2p
c) x
f ( x) x 1 x lim 2 x 2 x x2
1p
M
lim
C
A
f nu este derivabila în punctul x=1, acesta fiind punct unghiular pentru graficul func iei f
2p
2
2p
a)
1 1 2( x 3) x 3 0 ( x 3) f ( x)dx 0 ( x 3) 2 1 dx 2 0 ( x 3) 2 1 dx 1
1
b)
1
0
1
2
1 1 2 1 f '( x ) f ''( x) dx { f '( x) }dx f '( x ) 0 20 2
2p 2p
12
1 1 1 1 17 ln( x 2 6 x 10) (ln17 ln10) ln 0 2 2 2 10
20
2.
1p
1p
1p
24
Bacalaureat Matematică M – 2012 f ( x )
f '( x)
BA
f '(1)
2x 6 8 3 , f (1) , f (0) 2 ( x 6 x 10) 289 50 2
2 x 6 ( x 6 x 10) 2 1p
4 3 ; f '(0) ; 289 50
RE
1
8
f '( x) f ''( x)dx 2 [( 289 ) 0
2
(
3 2 ) ] 50
1p 2p
M
2
1p
2
1
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2 ( x 3) ' dx arctg ( x 3) arctg 5 arctg 4 2 1 1
f ( x)dx ( x 3) 1
1p
V
1
2p
eB
nt
ia
ar BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 7
A
Prof: Andrei Lenu a
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
f 2012 2012 2012 0 p0 3.
3p 2p
12
2.
x 3 x 3 2 16 2 x x 8 f 0 0 2012 2012, f 1 1 2012 2011 8
20
1.
2p 2p 1p
32 x 33 x3 2 x 3x 3 x3
1p 2p 2p
25
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
p=num rul cazurilor favorabile/num rul cazurilor posibile Avem trei cazuri favorabile şi cinci cazuri posibile ( prin verific ri , se ob in propozi ii adev rate pentru n= 1,2,3)
p
1p 2p 2p
3 5
5.
BA
x1
AABC
2p
y1 1 y2 1 y3 1
2 1
RE
0
1 , unde x2 2 x3
1 2
1 =8, AABC 4 1
1 0
3p
sin 700 sin 900 200 cos 200
2p
M
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin 2 x cos 2 x 1
1p 2p
inând cont de rela ia de mai sus ob inem cos 20 sin 20 1 2
0
2
0
V
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
Folosim rela ia x1 x2 x3
b)
3p
r d cin a ecua iei xi3 4 xi 3 0 xi3 4 xi 3, i 1,3
x13 x23 x33 4 x1 x2 x3 9 4 0 9 9
2p
d 3x1 x2 x3 x13 x23 x33
3p
eB
c)
xi i 1,3
3p
nt
x1 x2 x3 0
2p
b a
ia
1. a)
1p 1p
A
x1 x2 x3 3
C
d 3 3 9 0
2. a)
20
0 Ax y 1
2p
2
b)
2012 x 0 2012 y 0 Ax Ay 1 0 1 0 2012 x 2012 y 0 2012 x y Ax Ay 0 1 0
M
Obs. Determinantul se poate rezolva usor folosind propriet ile determinan ilor, şi anume se adun toate liniile (coloanele) se ob ine suma r d cinilor care este egal cu 0 şi astfel determinantul este egal cu 0.
3p 1p
Asociativitate Ax Ay Az Ax Ay Az , Ax , Ay , Az M
1p
A A A x
y
z
Ax y Az A x y z Ax y z Ax Ay Az
Comutativitate Ax Ay Ay Ax , Ax , Ay M
12
(M,·) grup abelian (comutativ) dac sunt îndeplinite urm toarele axiome asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile
1p
Ax Ay Ax y Ay x Ay Ax Element neutru Ae M astfel încât Ax Ae Ax , Ax M
26
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ax e Ax x e x e 0 ,deci elemental neutru este A0
1p
Elemente simetrizabile Ax Ax Ae Ax x A0 x x 0 x x c)
f x y Ax y
2p
Ax y Ax Ay
2p 1p
BA
Ax Ay f x f y
2p
1 1 2 x 1 x 1
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1 1 1 f x x 1 x 1 1 2 x 1 x 1 x 1
x2 2x 2
1p
ia
x 1
ar
b)
V
f x
Monotonia func iei este dat de semnul derivatei întâi
x 2x 2
1p
0 x2 2 x 0
nt
f x 0
1p
ls 1 lim f x
2p
eB
x 1 x1 2, x2 0 , f x 0 pentru x , 2 0, , f x 0 pentru x 2, 0 1 Pentru x , 2 0, f este cresc toare, iar pentru x 2, 0 1 f este 2
A
descresc toare c)
C
x 1 x 1
ld 1 lim f x x 1 x 1
2
0
x x 5 x 2
2
2
x dx dx f x x2 5 0 0
x 2 5 dx x 2 5
0
2
0
V f 2 x dx V 2
4
x 5 dx x 2 5 dx 2
1p 1p
4
2 4
2p
12
x2 5 3 5 b)
2
1p 2p
20
x2 5
1p
2
a)
2p
2p
M
Ecua ia asimptotei verticale este x 1 2.
2p
2
2p
2
2p
27
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4
x3 8 64 86 V 5 x 20 10 3 3 3 3 2
c)
2
2 x x 5dx
BA
2 0
0
2
2p
2 2 x x 5dx x x 5dx
2
0
2
2p
2 2 x x 5dx x x 5dx
2 2
x 5dx 2
RE
x
0
0
2
x
2
2
2
2
x 5dx x x 5dx x x 5dx x x 2 5dx 0 2
2
2
0
0
1p
0
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 8
V
Prof: Andrei Lenu a
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
5x 6 0 x
6 6 x , 5 5
3p 2p 1p
A
C53 10 10 10 0
eB
1.
nt
ia
ar
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
C
5 x 6 36 x 6 6 6 , , deci solu ia ecua iei este x 6 5 Ecua ia are r d cini reale egale dac 0 2 b 2 4ac 3m 2 4 9m 2 24m 4 4 9m 2 24m
2p 2p 1p
12
28
2p
20
5.
1p
2
4.
4 9m 2 12m 0 m1 0, m2 şi m2 0 3 5 Fie x pre ul ini ial al produsului, atunci x x 190 100 95 x 190 100 190 100 x 95 x 200 lei x 5 y 4 x x1 y y1 05 24 x2 x1 y2 y1
M
3.
2p
1p 1p 2p 3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 5 5 y 4 2 x 5 y 10 0
6.
Formula pentru aria triunghiului este ADEF
ADEF
BA
ADEF
DE DF sin D 2
2p
12 6 sin 600 36 sin 600 2 3 36 18 3 2
1p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 1 1 A2 3 3 3 4 4 1 12 12 4 3
M
b)
RE
1. a)
1 4 4 3 12 12 1 4A 3
2p
3p
X a X b aA I 2 bA I 2 abA2 aA bA I 2
3p
V
inând cont c A2 4 A
X a X b 4abA aA bA I 2 4ab a b A I 2 X a b 4ab
ar
c)
2p
X a inversabil X a det X a 0
ia
a 1 a a 1 3a 1 3a 2 3a 3a 1
2p
nt
det X a
1p
det X a 3a 2 a 3a 1 3a 2 4a 1 0 , pentru orice a
eB
2. a)
2p 1p
Aplic m rela iile lui Viete x1 x2 x3 4 şi x1 x2 x1 x2 x2 x3 10
x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x2 x2 x3 4 2 10 2
2
3p 1p
x x x 16 20 36 , este o constant , deci nu depinde de m b)
2 2
2 3
A
2 1
xi i 1,3 r d cin a lui f f xi 0 xi3 4 xi2 10 xi m
144 3m 9 3m 135 m 45 x1 x2 x3 4, x1 x2 x2 x3 x3 x2 10, x1 x2 x3 m x2
d x1 x2 x3 x1 x2 x3
x3 x1
x3
1 x2
x1 x1 x2 x3 1 x3 x2 1 x1
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
29
x1 x2
2p
12
x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x3 x2 x12 x22 x32 d 4 10 26 4 36 144
x3
20
x1 x2 x3
2p
2
c)
2p
M
Înlocuind x1 x2 x3 4 şi x12 x22 x32 26 se ob ine
C
x13 x23 x33 4 x12 x22 x32 10 x1 x2 x3 3m
3p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f
x
2x
x
2
2
3p
2 x2 2
2p
x
2 x2 2 x2 2 lim f x func ia nu admite asimptot orizontal
BA
b)
x 2 2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
x
f x x2 2 lim 1 x x x
y mx n , m lim
x
1p
c)
M
RE
x2 2 x2 2 n lim f x mx lim x 2 x lim lim 2 0 2 x x x x x 2x x 2x Ecua ia asimptotei ablice este y x
1p
2
x
2
2
x2 2
2 x 2 2
2
2p 2p
3p 1p
2p 1p
2
2p
20
0
1 9 x 2012 9 10
1 1 1 1 1 2012 f 2012 x 10 x 9 9 10 9 1 1 1 f 2012 x dx 10 0 9
30
1p
12
0 x 1 0 x
2012
x 2
M
f 2012 x dx
2p
C
1 1 ln x 2 9 0 2 1 1 10 ln 1 9 ln 0 9 ln 2 2 9
Aria este egal cu
x 2
2
A
1
x 2
0, x
2 1 x 1 x 9 0 x 2 9dx 2 0 x 2 9 dx 1
x2 2 x
eB
1 dx x 9 dx x9 x2 9 xdx dx 9x C 2 1 f2 x 2 x 9
x 9
2
nt
2 x 2 2
x2 2
ia
x2 2 x 2
ar
x
c)
2p
1p
x x 2 2 x
V
x f x 2 x 2
b)
f convex dac f x 0, x
2. a)
2
2p
1p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 9
ia
ar SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
A m 2 , 4m 1 se afl pe dreapta d dac şi numai dac coordonatele punctului A verific ecua ia dreptei d. În ecua ia dreptei punem x m 2 şi y 4m 1 , ob inem
3p
12
5 60 5 3 2
3p
20
A53
2p
2
n , n, k , n k n k
2p
M
5.
Ank
2p
C
10 150 15 lei 100 150 lei+15 lei=165 lei pre ul obiectului
4.
1p
A
3.
b 3 64 3 43 4 a
2p 2p 1p
eB
2.
a=3
nt
1.
2p
3p
m 2 4m 4 0 m 2 0 m 2 2
6.
sin 2 x cos 2 x 1
1p 3p
31
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 24 24 2 6 cos x 25 25 5 5 2 6 Cum x este m sura unui unghi ascu it, rezult cos x 5 cos 2 x 1 sin 2 x 1
1p
M
RE
BA SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
det A 8 0 0 0 0 0
ia
det A 0 2 0 0 0 2
A1 este inversa lui A dac A1 A I 3 1
2p
3p
C
1
Am v zut la punctul a c A
este inversa lui A
2
2 2 2 Deci, X A 4 4 4 6 6 6
1p
M
c)
1p
A
1 0 0 A A 0 1 0 I3 0 0 1
3p
eB
det A 8 b)
1p
ar
2 0 2
V
1. a)
1
2p
20
2p
12
2 2 2 X 2 2 2 3 3 3 2.
2012 2012 2012
1p
a)
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
3p
32
Bacalaureat Matematică M – 2012
2012 2012 2012
Rezultatul final
b)
1p
3p
x y xy x 2012 y 2012 x y 2012 2012 y 2012 2012
x y x 2012
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y
2012 2012
2p
2p
x a a x 2012 a 2012 2012 a
2012 a 2012 2012 a 0 a 2012 x 2012 1 0
RE
x
2p 1p
Cum x este un num r real oarecare a 2012
M V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ar
f continu în x0 1 ls 1 ld 1 f 1
2 2 ls 1 lim f x lim 2 x 1 1 , ld 1 lim f x lim 2 1 , f 1 2 1 1 1 x x x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim x
1 2
2x 1 0 , avem cazul de excep ie 2 1 0 x 4 x 1
lim 2
2x 1 2x 1 1 lim lim 2 1 1 4 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2
Deci, limita este egal cu
2
Ecua ia tangentei la graficul func iei f este y f x0 f x0 x x0
2 8 ( x 2) 5 25 8 x 25 y 26 0
2p
12
y
2p
20
Ecua ia este
1p
2
4 x 8 2 , f 2 Calcul m f x , f x 2 2 2 25 x 1 x 1
1p
M
1 2
2p
C
1 x 2
4x 1 2
A
lim
f x
1p 2p
eB
b)
3p
nt
Deci f este continu în x0 1
c)
1p
ia
1. a)
2.
f1 x 3x 2 4 x 2012
a)
F x f1 x dx 3 x 2 4 x 2012 dx 3
1p
F x x 3 x 2 2012 x C
x3 x2 4 2012 x C 3 2
3p 1p
33
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f 2 x 8 x 2012
1p
1
Aria este egal cu A
f x dx
1p
2
0
1
1
BA
x2 1 A 8 x 2012 dx 8 2012 x 0 4 0 2012 0 2 0 0 A 2016
c)
e2
1
1p
e e e f 2 x 2012 8 x 2012 2012 8x ln xdx ln xdx ln xdx 8 ln xdx x x x 1 1 1 2
2
RE
2p
2
1p
e e2 Integrala ob inut se rezolv prin p r i 8 ln xdx 8 x ln xdx 8 x ln x 1 x ln x dx 1 1 1 2 e 1 e2 8 e 2 ln e 2 x dx 8 2e 2 x 1 8 2e 2 e2 1 8 e 2 1 x 1 e2
M
e2
2
2p
2p
eB
nt
ia
ar
V
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
A
Varianta 10
Prof . Badea Daniela
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
2
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
52 6 3 2 2 1
N 0 m 2 12
0 m 2 12 0
m , 2 3 2 3,
2p 1p
12
2.
2
20
1 2
2p
1p 2p
2p
34
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
2 9 x 3x 1 5 3x 6
2p
3x t 2t 2 3t 5t 6 t 2 4t 3 0
1p
t1 1 x1 0
1p
t2 3 x2 1
1p
Nr. cazuri posibile =12
1p
C C 1
1p
BA
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 11
11 11
C 11 k 1, 2,...,10 k 11
1p
Nr. cazuri favorabile =10
RE
5.
1p
5 P 6 AB 5, AC 20, BC 5
1p
M
2p
ABC dreptunghic în A R.T.P
1p
1 M ,0 2 m 0 u şi v necoliniari
1p
V
M centrul cercului circumscris M mijlocul lui BC
ar
6.
1p
1p
A
2p
C
Presupunem c
m astfel încât Am I 2 det Am 1
det A 1 5m 1 fals
f g `h r h X4 X3 X r X 3 1
b)
2p 3p 1p 2p
12
2. a)
3p
20
m
2p
2
An 1 4 An 5 An1 , n , n 2 se demonstreaz prin induc ie matematic
c)
2p
M
det A 5 1 8 A2 4 7 9 22 A3 = . 11 13 A2 4 A 5 I 2 se verific prin calcul direct
2p
eB
b)
2p
nt
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
1p
ia
m 1 2 m m2 2m 1 0 m1,2 1 2 m0
2
2p
s x1 +x2 1 p x1 x2 1
Rela iile lui Viette
1p
x12 +x2 2 s 2 2 p 1
1p
35
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 2 +x 1 0 / x1 x 3 x12 x1 13 x1 şi x2 r d cinile lui g 1 2 1 2 x2 +x2 1 0 / x2 x2 x2 x2 x13 x23 1 1 2
2p
f x12 f x2 2 x116 +x18 1 x216 +x28 1
2p
BA
x x x x 2 2
1
2
1p
2p
2
1
2
1 1 2 0
1p
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim f x =0
2p
x
M
1. a)
0 0
lim f x lim x 1
1 1 3 x 2 4
3p
V
b)
x 1
f ' x
'
1 1 1 f x 2 f x 3 x 2 f x 2 3 x f x 2 3 x 2
'
1p
ar '
ia
1 1 1 3 x 2 rela ia adev rat f x 2 3 x f x 2 f x 1 0 x 3,1 1, , f s 1 f d 1 f ' x 4 2 3 x f strict descresc toare pe D
1p
nt
Ecua ia tangentei la grafic într-un punct
F ' x ecos x sin x x 1 sin x e cos x cos x 1 f x x
b)
2
pentru f
f x dx F x | 2 0
0
ecos x sin x x 2e
|
2 0
2
2p 2p 2p
12
'
1p
20
1 şi 2 F primitiv
1p
2
1p
M
1
F derivabil pe
2p
C
x 18 y 4 0 2. a)
1p 1p
A
f 2 2 1 ' 1 f 2 , f 2 3 2 18 ' y f 2 f 2 x 2
eB
c)
2p
1p
2
2p
36
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
4
f x cos x 1
sin 0
2
x 1 e
cos x
4
dx 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin x dx cos 2 x
2p
1 4 | cos x 0 2 1
2p
BA
1p
M
RE BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 11
1p 1p
2
x4
2p
20
x 1, 2,3, 4 20 4 x x 100 5 110 4 x 1760 100 5 x 2000 x
1p
12
5.
3p 2p
M
log 2 x 2
4.
2p
C
3.
3p
A
2.
1 32012 1 3 : 2012 N 1 3 1 3 2 3 a şi b sunt solu iile ecua iei x 2 x 12 0 numerele sunt – 3 şi 4 2log 2 x 1 3
eB
SUBIECTUL I (30 de puncte) 2012 1. 1
nt
ia
ar
Prof . Badea Daniela Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p 2p
2p
M mijlocul lui (AB) M(1,2)
1p 1p
37
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 2 d mediatoarea md 2 mAB
2p
d : 2x y 4 0 6.
BA
sin 00 0,sin 900 1
1p
sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 1 2
0
2
0
2
0
2
0
1p
sin 2 300 sin 2 600 1 1 sin 2 450 2 7 S 2
1p
RE
1p
M
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
det A 4 m 2 m 2 2m 2m m 2
3p
4 m2
2p
b)
(S)sistemul este compatibil determinat det A 0
ar
V
1. a)
c)
2. a)
f a ,b X 1 f a,b 1 0
f a ,b 1 2a 2 2ab b 2 2a 1 a b a 1 2
3p 1p 1p
2
2p
A
a b 2 0 a b a 1 0 2 a 1 0 a b 1 x1 , x2 , x3 r d cinile polinomului f1,1 2 X 3 2 X 2 X 1 2
2
1p 1p
2
M
1p
20
1 1 s1 x1 x2 x3 1; s 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 ; s3 x1 x2 x3 2 2 2 2 2 2 S 2 x1 x2 x3 s1 2 s2 0
1p
12
2 x13 2 x12 x1 1 0 2 x13 2 x12 x1 1 3 3 2 2 2 x2 2 x2 x2 1 0 2 x2 2 x2 x2 1 3 3 2 2 2 x3 2 x3 x3 1 0 2 x3 2 x3 x3 1 1 x13 x23 x33 2S 2 s1 3 1 2
2p
C
b)
1p
eB
x, y, z 1,1, 1
3p
nt
m 0 det A 4 d x 4, d y 4, d z 4
2p
ia
4 m 0 m \ 2 2
1p
1p
38
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 8 x 22 x 1 2 x 1 0 2 23 x 2 22 x 2 x 1 0
2p
Not m 2 x t 2t 3 2t 2 t 1 0
1p
t 1 2t 2 1 0 t 1
1p
2x 1 x 0
1p
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f ' x x 3 2
f ' x 0 x
2 3 3
RE
1. a)
3
1p 2p 2p
Fie m1 şi m2 pantele celor dou tangente
1p
3 m1 f ' 1 3
1p
M
2 3 2 3 f strict descresc toare pe 2, , 2 şi strict cresc toare pe 3 3
1p
ia
m2 f '
ar
V
b)
3 1
m1 m2 1 cele dou tangente sunt perpendiculare
x 3
e x 3
x
3 0 3 2 1 0 x 3
lim
e x 3
2 3 x 3 2 x 3 2 1
1
2 3 3 x 3 2 x 3 2 1 x 3
e3
3
1
x 2 f1 x dx x 1dx
1
1
x 1 x | 1 2 2 2
2p
2p 1p 1p
2p
20
x 1 3 dx 1 dx x2 x2 -1 -1 1
1
1
1
1
2p 3p
12
I1 =
x 3
2
b)
1
M
2. a)
C
e
lim
x 3
lim 1 f ' x 1 x 3
f ' x 1
A
x lim
1 f ' x 1
eB
lim f ' x
1 1 x 3
nt
c)
2p
2p
x| 3ln x 2 | 2 3ln 3
39
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
I n 1 3I n
x 1
x 1
n
x 1 dx
n2
2p
1
|
1
2p 1p
, n
n 1
M
RE
BA
2
dx
n 1
n 1
1
n
x2
1 1
3 x 1
n 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 12
C
A
Prof . Badea Daniela Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. r 3
S n 0 n 11 x 1
3p
2
2.
1p
M
a1 15
1p
20
x2 x 6 0 x 1 x , 2 1, 3
1p 1p 2p
12
A 2,3
1p
40
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
x
2 2 2 2 3 3 3 3
x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
13 9
1p
x
BA
2 2 1 13 2 t t 3 3 t 9 3 3 2 6t 2 13t 6 0 t1 , t2 2 3
1p 1p
x
3 2 x 1 2 3
1p
RE x
1p
M
4.
2 2 3 3 x 1 A53 A42
3p 2p
60 12 48
5 B' ,1 , O 0, 0 mijloacele laturilor 2 ecua ia dreptei determinate de dou puncte
V
5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
a2
a 1 b 1
c
2
c
1
3p
M
b a c b c a
d x b a c b c a a b c
3p 2p
2
b)
2p
C
det A b
2
2p
A
1. a)
2p
eB
S 2 6 3 p
1p
nt
S= 9 4 3 2 6 6
2p
ia
p=9
r
1p
ar
OB' : 2 x - 5 y 0 6.
2p
d y b a c b c a ab bc ac
41
12
x a b c, y ab bc ac , z abc
20
d z abc b a c b c a
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Fie t1 , t2 , t3 r d cinile ecua iei date
c)
1p
t1 t2 t3 x a b c Fie t1t2 t1t3 t2t3 y ab bc ac t t t z abc 123 t1 a t2 b t c 3
2p
BA
Suma coficien ilor polinomului f este egal cu f 1
RE
2. a)
2p 2p
f 1 7 2012 14
1p
b)
M
f 1 7 7 2011 2 7
2p 1p
g x 2 x 3 f x 2 x 3 q r , gradr 2 r ax b
V
1p
f 2 12012 8 10 3 f 3 1 12 10 1 2a b 3; 3a b 1 f 2 2a b 3 3 f a b 2012
ar
2a b 3 a 4 r 4 x 11 3a b 1 b 11 1 1 1 g x x 2 x 3 , x g x x 2 x 3
1p
1 1 1 1 1 1 1 1 .... 2 3 3 4 4 5 2015 2016 1 1 1007 S 2 2016 2016
2p
nt
ia
c)
C
M
f ' x 2 e2 x 2 x 2 e2 x x
f strict cresc toare pe 0,1
2p
f continu pe 0,1
1
1p 1p
12
f are cel pu in o r d cin în 0,1
1p
20
f 0 1 0, f 1 e 2 1 0
1 , 2
2p
2
f ' x 0 x 0,1
f strict cresc toare pe 0,1
1p
A
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
b)
2p
eB
S
1. a)
2p
1p
2
1p
f are o singur r d cin în 0,1
42
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f '' x 2 2e 2 x 1 , f ''' x 23 e 2 x P3 A
I
2p
Pk A Pk 1 A
f k 1 x f k x 2k e 2 x 2k 1 e 2 x '
BA
Din I şi II Pn
2. a)
x
lim
3
RE
x
lim
x 1
x
3x
x
x 1
2
3
1
3
dx
1 3
1p
3p =
x 1
1
2
2
2p
dx
1p
dx ln x 1
1 C x 1
1p
ar
V
1
x
3
1 3 x 1 1
x 1 x 1
3
x
M
b)
3
lim
0
x
2p
A n , n 3
x 1
f t dt
A II
'
1p
1
V f 2 x dx 0
5
0
2p
31 5
C
5
1
|
1p
A
x 1
1p
eB
c)
1 2 x 1
1p
nt
H x ln x 1
ia
1 c, x 1 H 0 1 1 c 1 c 2
Fie H x ln x 1
2p
20
Varianta 13
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Badea Ion Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
43
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
2 x 1 3 3 2 x 1 3
2p
1 x 2
1p
dar x A 1, 0,1, 2
1p
cardA 4 A 0,3 G f f 0 3 b 3
1p
a 1 a 2 2 f x x2 2 x 3
2p
CE : x 2 2 x 0 x , 0 2,
1p
x2 2x 3 0
2p
2p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
3.
1p
CE
x1 1, x2 3 S 1,3 3 C10
120
x1 x2 y1 y2 0 m 1
2p
ia
m 2 2m 1 0
cos 1800 x cos x
2p 1p
eB
cos 900 0 S 0 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
A
A 2 2I 2
b)
x y X ; XA AX z t t x y 2z finalizare A 2k 2k I 2 , k
A 2012 21006 I 2 ;
2p
M
1p
2
3p
20
A+A 3 +A 5 +....+A 2011 A 2 A 22 A ... 21005 A
1p 1p 1p
12
A 2k+1 2k A, k
3p
C
1. a)
c)
1p
nt
6.
2p 2p
ar
5.
3p
V
4.
2p
2p
1 2 2 2 ... 21005 A 21006 1 A
2.
A 2 +A 4 +A 6 +....+A 2012 2 22 ... 21006 I 2 2 21006 1 I 2 .
1p
Defini ia elementului neutru
2p
44
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
e 5
3p
b)
Defini ia elementului simetrizabil
c)
3' 3 x y x 4 y 4 4
2p 3p 2p 3p
BA
S a 4 b 4 b 4
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
f x '
, f 1 '
x 1
2
e 4
2p
M
e e x 1 ex 4 y e 0 2 4 lim f x =
t: y b)
xe x
3p
V
x
3p
lim f x
2p
ar
x 1 x 1
c)
ia
concluzia
4p
nt Fie F : primitiv pentru f
F derivabil pe şi F ' x f x
f x dx x
3
x C
A 1,3 GF F 1 3 2 c 3 c 1
x 1 0
1p
1
e x| 0
1p 3p
12
g x dx x 1 e |
1p
20
g : 0,1 , g x x 1 e x 1
1p
2
F x x3 x 1
2p
M
Fie F : , F x x3 x c
c)
2p 1p
C
F strict cresc toare pe b)
2p
A
F ' x 3x 2 1 0 x
1p
eB
2. a)
0
1p
2e 1 e 1 e BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 14
Prof: Badea Ion
45
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
an n
progresie aritmetic , a1 2, r 3
1p
S n 155 3n 2 n 310 0, n n 10
3p
RE x a10 29.
2.
1p
2p
M
x1 x2 1 x1 x2 m x x 1 1 2 x12 x2 2 1 2m 2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 2m 2m 1 m 0
V
1p 1p
5 x1 2 1, 2 13 5 x2 1, 4 2
1p
eB
nt
Prin ridicare la p trat se ob ine 4 x 2 21x 26 0
3P3 3 6 18 1
0
2p
20
2 x 1 1 3 x 0
1p
2
N 9 17 17 1
1p
M
C102 5 9 45
x
1p 1p
C
A 10 9 90 2 10
5.
1p
A
S 2 4.
ia
x 1 0 5 x 1, 2 5 2 x 0
1p
ar
3.
2p
1
12
2p
2p
3 x 2 2 x1,2 2
1p
46
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
MN=MB BN 1 2 AB BC 3 3 1 2 AB AB AC 3 3 1 2 AB AC. 3 3
1p 2p
1p
BA
1p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Demonstrarea rela iei
M
1. a) b)
5p
An a, b A a n , na n 1b , n
3p 2p
a 2012 1 a 1
a 1 b 1 A 1, 1
Rela iile lui Viette
x12 +x2 2 x32 a 2 2
1p 1p 1p 3p
2
s1 s2 x12 +x2 2 x32 11 1 2
2p
20
x 2 x 2; x , 1 2, f x 2 x x 2; x 1, 2 f derivabil pe \ 1, 2 (func ii elementare) şi
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
2p
M
a 2 2 1 a1,2 3
3p
C
1 1 1 s2 + =1 x1 x2 x3 s3
c)
2p
A
b)
1p
eB
a)
f 1 0 f 1 4 a b 0 a 1 a b 2 b 1
1p
nt
2.
1p
ia
a 1 b 1 A 1,1
2p
ar
2012a 2011b 2012
V
Demonstrarea prin induc ie sau cu metoda binomial c)
1p
1p
47
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 1; x , 1 2, f x 2 x 1; x 1, 2 f s ' 1 3, f d ' 1 3, f nu e derivabil în 1
1p
'
1p 1p
analog f nu e derivabil în 2
BA
D' \ 1, 2
b)
M
RE
3p
2p
Concluzia conform tabelului c)
lim h x h nu are asimptot orizontal h x
x
x
1
x
1 2
ia
n lim h x x
1p
ar
m lim
1p
V
x
2p
2.
1 asimptot oblic spre 2 f continu pe 0,e e, - func ii elementare
a)
f s e f e f d e 1 f continu în e
1p
f continu pe 0, f admite primitive pe 0,
2p
h x 0 x e 1 ,1
1p
A
A x ln xdx
x x 1
1p
x 1, 2
1p
prin integrare pe 1, 2 2
1
1p 1p
12
ln
2012
20
şi ln x 0, x 1 0 x 1, 2
2p
2
x 2 x2 1 Integrând prin p r i A ln x |1 4 2 e 2 e 3 4e 2 ln x x 1 x 1, 2
M
1 e
2012
1p
C
1
c)
2p
eB
b)
1p
nt
d : y x
1p
1 f 2012 x dx 2013
1p
48
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 15 Prof: Badea Ion
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
log 2 2 1
2p
M
2.
log 2 5 3 log 2 5 3 log 2 11 log 2 22 log 2 11 S 2 1 2 3 ... 2012 2012
2p
V
2012 2013 2012 2 20122 2
2
x 0,5
5
22
1p
x 2,1 Formula de calcul a combin rilor
x6
Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment
6.
cos 1 sin
A 2, 2 , B 2, 2 şi C 4,0
2p 1p 2p 3p
2
1p
20
2p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p
2
5 13 , cos 0 2 5 cos 13
det A x x x 2 3
1p
M
2
1. a)
1p
C
5.
1p
A
x 6, 7,8,9,10
2p
eB
x , 2 x 10
2
2p
nt
x2 x 2 0 4.
1p
ia
2x
ar
3.
2p
3p 2p
A x inversabil x 49
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
det A 1 4 A 1 inversabil
1p
2 2 0 A 1 = 0 2 2 2 0 2
1 2 1 2 0
0 1 2 1 2
2p
M
c)
RE
BA
1 2 1 1 A 1 = A 1 = 0 d 1 2 x 1 1 y A 1 1 z 1 1 1 1 U 1,5
2p
3p
V ia
2,3, 4 U 0,
ar
2.
6
6
6
det A 3 x 4
det A 5 3 x 4 5 3 x 1 x 5 x 1,3,
x, y 1, 2
1p 1p 5p
2
F derivabil pe şi f ' x e x x 2 3x 2
1p
12
l 0 d : y 0 asimptot orizontal spre
20
x 2 5x 7 x ex
l lim f x lim
Se aplic regula lui l’Hospital de dou ori şi se ob ine
b)
1p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x
2p
C
1. a)
2p
A
det A 1 3 x 4 1 3 x 3 x 1,3,5
c)
1p
eB
S 3 b)
2p
nt
a)
2p
2p 1p 1p
1p
f ' x 0 x 1, 2 , f 1 3e, f 2 e2
1p
50
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
BA c)
1 – maxim local, 2 – minim local f 0 7, f 1 3e, f 2 e 2
1p
RE
1p 1p
7 e2
2.
Conform tabelului de la b) 7 f x 3e, x 0, 2
3p
f continu
1p
M
0
a)
sin xdx 1 cos1
1p
1
1p
1
1 2 ln
ar
V
1 1 x 2 ln 2 dx x x | | 0 x 2 0 0
I cos1 2 ln
3 2
0
sin
2
xdx
I
2 0
2
c)
x
2
xdx
2
1p 2p
C
f x dx sin
2
A
V
0
2p
eB
I
1p
nt
b)
1p
ia
3 2
f t dt x 2ln x 2 2ln 2
M
0
2p
x
3p
2
1 lim f t dt 1 x x 0
12
Varianta 16
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof:B c u Cornelia Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. 51
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2
3p
2.
M
RE
1 1 1 1 16, 3 , log 3 3 8 2 2 4 1 1 16 16 2 2
a,a+2,a+8 în prog. geom. rezult
2p
( a 2) 2 a ( a 8)
1p 2p
V
a 2 4a 4 a 2 8a , 4 a 4 a 1
ar
3.
f f ( x) 3(3x 2) 2 9 x 8 f f ( x) f ( x) 6 x 6
nt
3p
M
2p
2
2p
20
2 2
1p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
C
1 2 cos 450 2 2 0 0 cos120 cos 60 cos 600
cos 600 cos 450 cos1200
3p
A
3 x 2 y 0 2 x 3 y 5 A 2, 3
6.
2p
eB
C102 10! 45 2!(10 2)!
5.
2p 2p 1p
ia
6 x 6 0, x 1 4.
2p
A1(-1.1), A2(-2,2)
:2p 2p 52
Bacalaureat Matematică M – 2012
x A1 A2 : x A1
y y A1
1 1 0
x A2
y A2
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
A1 A2 : x y
BA b)
AAA2 A3
RE
xA 1 , x A2 2 x A3
1 1
y A3
1
3p 2p
3 2
AAA2 A3
M
c)
yA y A2
A2011(-2011,2011),A2012(-2012,2012)
V
x A2011
y A2011
1 0
x A2012
y A2012
1
1
2p
2012 ( 2012) 2012 2012 2012
a)
20120 1
b)
x 2 2 x 2012 x 2
2 x
20121
x y
z
z
2p
2012 z 2012
2p
2
20122012
x y
M
x y z 2012 2012
2p
C
x 2 x 1, x 1 2
c)
3p
A
2012 x
2 x
5p
eB
2.
nt
Deci O, A2011,A2012 coliniare
2p
ia
yO
ar
xO
2
1p
x y 1
1p
20 12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
53
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2 2 (2x-1) 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2 2 (x -2x+1) x2 2 x 1
3p
2 x 1 2 2 x 1 x 1
2p
BA
x 1
f x
2
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4
x 1 2 x 2 4 x 2 2 x 4 3 x 1 x 1
2 x
1p
RE
x 1
3
2 x
f x 0
0 x 0
x 1 f ( x) 0, x 0,1 , f ( x) 0, x , 0 1, 3
1p
M
1p
lim f ( x ) 0, x
2p
V
x 1min, f (1) 1 f ( x ) 1
2p
lim f x 0, lim f x 0 y 0 asimptot orizontal spre
2p
Func ia admite asimptot vertical , asimptot orizontal şi nu admite asimptot oblic .
1p
2.
lim f ( x ) 1
1p
a)
lim f ( x ) 1
x 1 x 1
ar
lim f x ,lim f x x 1 asimptot vertical spre
c)
x 1 x 1
ia
x
x
eB
nt
x0 x 0 x0 x 0
1
1
1
2 2 x 1dx 3x 2 x 1dx
1
x
| x 1
0
3
x x 2
|
1 0
2 1 1 2
a
f x dx 3 x 2 2 x 1 dx x 3 x 2 x
|
2 a
9
a
10 a a a 9 3
2
2p
12
2
1p
20
c)
2p
2
x
2
0
2p
M
f x dx
0
2p
C
fcont. fad . prim. b)
1p
A
f ( x ) 1
1p
1p 1p
a3 a 2 a 1 0 a 1 a 1 0 2
1p
1 a 1; a 1, a , 2 a 1 3
54
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA nt
ia
ar
V eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 17
A
Prof:B c u Cornelia
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
1.
20
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
12
2 x 1 14 5 3 3 2x 1 14 5 3 3 25 65 x , 6 2
2p
1p
55
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f f x a ax 3 3 a 2 x 3a 3 f f 1 1 a 2 3a 3 1 a 2 3a 2 0 a 2, 1
2p
a 1 1 b 2 1 c 3 d 0 abcd
1p
2p 1p
BA
1p 1p
RE
1p
M
4.
1p
nr .caz.fav. nr .caz.posibile nr .caz.posibile 90 nr .caz.fav 6 1 P 15 P
1p
V
1p
2p
nt
2p
eB
NP 3 2, R 3
1p
A
6.
1p
ia
MN NP 2R sin P sin M 3 NP 2R 12 2 2
ar
5.
2p
MN 2 40
C
NP 2 40 MN NP MNPis
2p 2p
M
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2 20
1. a)
3p
det A a 2 a 7 b)
2p
12
3 2 1 det A a 1 1 1 a 2
det A 5 0 d x 5, d y 5, d z 5
1p 3p
S 1,1,1
1p 56
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
det A a 2 a 7
1p 2p 2p
a 2 a 7 0 29 p. p. a1,2 det A 0, a
x y x y 2012 2012( y 2012) 2012
a)
( x 2012)( y 2012) 2012
3p 2p
BA
2.
e a.i.x e e x x, x x e x ( x 2012)(e 2012) 2012 x e 2013
x 2012 2012 x 2012, x 1 2 ... 2012 2013 x 2012 2013 2012
M
c)
RE
b)
1p 2p 2p 3p 2p
( x 2012 ) 2012 x 2011 f ( x) 2012 x 2011 2012 x ln 2012
C
b)
y y0 f ( x0 )( x x0 )
2
ax y a 1 0
20
f ( x) 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012
a)
2p
4 1 1 dx ( f ( x) )dx 2 2 x2 x
2p 1p 2p
12
x 2010 0, 2012 x 0 f ( x) 0 fconv. pe 2.
1p 1p 1p 2p
M
x0 1, y0 1 f (1) 2012(1 ln 2012) a c)
2p 2p 1p
A
(2012 x ) 2012 x ln 2012
eB
1. a)
nt
ia
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
4
2p
4
ln x 2 2
1p
3 ln 6 ln 4 ln 2
57
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Fprim. f F ( x ) f ( x), x 1, F ( x ) f ( x )
2p
1 1 0 2 x ( x 2) 2
2p
F ( x ) 0 Fconc. pe 1,
BA c)
2
1
1p 2p
1 1 ( )dx x x2
2p
2
RE
(ln x ln x 2 ) 1
1p
8 ln 3
M nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 18
Prof:B c u Cornelia
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
20
1.
2,5 2,5
1p 1p
[-2,5]+{-2,5}+|-2,5|=-3+0,5+2,5=0
2.
1p
12
2.5 3 2,5 0, 5
2p
a 1,1 a,5a 3 2(1 a ) (a 1) (5a 3) 1 8a 4 a 2
58
3p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
13 , p 10 12 x, y sol.ec.: t 2 st p 0 13 t 2 t 10 0 12 13 77 2 77 12 12 , t 1,2 2 12 s
1p
1p
BA
8 15 15 8 S , , , 3 4 4 3
1p
cond .: x 0, x 1 0 x 1,
1p
log 2 x( x 1) 1
1p
x( x 1) 2
1p
M
RE
4.
1p
5.
1p 1p
ar
S 2
V
x 1, 2
2p
ia
A(2, 0), B(4, 2), C (6, 4) x xB xC y y B yC xG A , yG A 3 3 2 G (4, ) 3
2a 2 10a 13 13
2p
2
1 0 f (1) 0 1 0 O2 0
20
3p 2p
12
2x 0 f (2 x) 0 2x 2x 0 1 0 0 2x 0 1 x
1p
M
b)
2p
C
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 0 f (1) , 0 1 0 F (1) f (1) 0
2p
A
a 0, a 5
1. a)
1p
eB
AB (2 a )2 (1 a 4) 2
nt
6.
2p
2p
1 2
1p
59
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
x2 f ( x ) f ( x) 0
f ( x)
n
x 0
n
BA
RE
2012
22012 2 0 ... 0 2 0
0 2012 2
1p
0
1p
22013 2 0 22013 2 0
1p
g 0 x 2 3ˆ x 2ˆ 0ˆ x 3ˆ
1p 2p 2p
ar
V
2p
ˆ 0, ˆ f (4) ˆ 0ˆ g f f g c f (3)
ia
1p
eB
f x 4 1ˆ
ˆ ˆ , a aˆ 4 0,1 5
1p 2p
A
ˆ 2ˆ , a f (aˆ ) 1,
2p
nt
ˆ 4ˆ 4 1 3ˆ 4 1, 1ˆ a 0ˆ a 4ˆ
c)
1p
2 .. 22012
x 4ˆ
b)
1p
M
2. a)
0 x2
0 , n n x
f (2) ... f (2)
2 .. 22012 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
5
2p
C 2p 2p 1p
12
c)
f ( x ) f (0) f (0) x0 x f ( x ) ln 2012(2012 x 2012 x ) f (0) 2 ln 2012
lim
20
b)
2
1. a)
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2012 x 0, x
2p
f ( x) ln 2012(2012 x 2012 x ) 0, x
3p
D f nu admite as.vericale
1p 60
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
lim f ( x) , lim f ( x) deci fc .nu admite asimptote orizontale x
lim x
a)
f ( x) f ( x) , lim deci fc .nu admite as.oblice x x x
2p 2p
e 1
1 dx e x 1 1 x 1 e 1 ln e 2 x 1 1 e(e 1) ln 2 (e 2)(e 1)
BA
2.
2p
x
2
2p
RE
M
b)
g ( x) ( x 1)2
3
2
2
1
1
x
2
1
n
dx
'
x 2 1 dx
1p 2p
nt
x
n
ia
2
1
ar
2x
3p
V
3
2p
x3 x2 x C 3
g ( x)dx c)
1p
2p
3
C
A
eB
1 1 1 n 1 , n , n 2 n 1 |2 1 n 3 n 1 8 n 1 x2 1 1
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Varianta 19
Prof: Brabeceanu Silvia
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
61
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x3 x3 1 1 1 2 2
3p
5 x 1 x 5, 4, 3, 2, 1 x
2p
BA 2.
A G f f 0 0 c 0
1p
M
RE
b 2 a 1 2a V Gf 4 b 4 4a
3p
1p
Finalizare f x x 4 x
V
3.
2
2 x 5 0 5 x , 2 x3 0
1p
ia
ar
Condi ii
2 x 5 x 3 x 2 4 x 4 0 2
nt
A52
5! 20 5 2 !
v2 sunt coliniari
3 a a 1 2
BC 2 BA2 AC 2 2 BC BA
cos B
9 16
3p
12
cos B
2p
20
a 3 ; a 0a 3 a2 a 6 0 1 a2 2 6.
1p
2
v1
2p
M
Finalizare 3 6 5 20 118 5.
2p
C
4! 6 2! 4 2 !
A
C42
2p
eB
5 x 2 , 2 4.
2p
3p
2p
62
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
1 2 3 A 2 I 3 1 1 4 2 3 1
2p
BA
det A 2
3p
det A 2 0 rang A 3
2p
M
c)
3p
RE
b)
det A 2 I3 12
Din b). det A 2 0 A1 inversa matricei A
2p 1p
V
A 1 A X A 1 I 3 X A 1 ,
ar
13 7 11 1 A 9 5 7 2 1 1 1 1
1p
nt
ia
1p
Solu ia ecua iei este inversa matricei A
e 6 elementul neutru al legii de compozi ie dac
a)
x 6 x 6 6 x, x
x
2
1p
x
1p
3 x 1 2 x 2 x 6 0 3x 2 2 x 1 0
C
b)
3p
A
6x 6 x 6 x
x 6 6 x x, x
eB
2.
2p
M 2
1 x 3 x 2 2 x 1 0 16 1 3 x2 1
20
c)
12
Folosind semnul func iei de gradul doi, solu ia inecua iei este x , 1 , 3 1
2p
1p 2p
1 1 1 1 1 1 2 7 2 7 6 6 2 2 2 2 2 2
1p
63
Bacalaureat Matematică M – 2012 Formula S n a1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 qn 1 , q 1 a progresiei geometrice de ra ie q q 1 2
2p
RE
BA
7 1 1 1 2 2 1 1 36 7 35 7 35 0 Calcule care vor conduce la 1 2 2 2
1. a)
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) Condi ia ca o func ie s fie continu într-un punct x0
2p
V
2p
1p
nt
b)
2 f continu în x0 0 3
ia
f 0
ar
2 2 lim f x ; lim f x x 0 3 x 0 3
3p
eB
1 , x0 2 x 3 f x 1 , x0 x 3 2
A
2p
f descresc toare pe intervalul , 0 şi cresc toare pe intervalul 0,
lim f x 1; lim f x 1; f 0 x
2 3
a)
x3 2 f1 x dx 4 x 8 x 16 dx 4 4 x 16 x c 3
2
1
1
0
0
1p
12
b)
n 1 f1 x 4 x 2 8 x 16
20
2.
3p
2
2 3
Din tabelul de varia ie al func iei: f x ,1 , x
2p
M
x
C
c)
4p
2p
A f1 x dx 4 x 2 8 x 16 dx
3p
64
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1
4 x3 64 A 4 x 2 16 x 3 0 3
2 16 x 2 16 x f 2 x 16 x e x dx e dx x x 1 1 2
2p
BA
c)
3p
2 2 2 16 x 1 e x dx 16 x 1 e x e x dx 16e 2e 1 1 1 1
M
RE ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
ia
Varianta 20
nt
Prof: Brabeceanu Silvia
eB
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
a4 54 , q 3 şi a1 2
728
a1 q 6 1 q 1
mx 2 m 1 x m 0
0.
2p
12
E
3p
20
S6 2.
2
1.
1p
1p
b 2 4ac 0 m 1 4 m m 0 2
3p
65
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m1 1 3m 2m 1 0 1 m2 3 2
3.
x 3 0, x 3, 1 Condi ii 1 x , 2 2 x 1 0, x 2 ,
2p
BA
1p
RE
log 2 x 3 log 2 2 x 1 2 x 3 2 x 1 4
2p
V
4.
M
7 x1 2 x 5x 7 0 2 x 1 2 2
Numerele naturale abc scrise cu cifrele 1 şi 2, corespund func iilor f : a, b, c 1, 2 care sunt în
3p
ar
total 23 8 , deci sunt 8 numere: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 . 1p
ia
Favorabile cerin ei de a fi divizibile cu 4 sunt doar dou dintre ele: 112 şi 212 .
eB
5.
1p
2 0, 25 8
nt
Probabilitatea cerut este p
CM - mediatoarea segmentului AB C mijlocul segmentului şi CM AB .
1p
x A xB 1 2 2 1,1 C y A yB 1 2 2 yC 2 2
1p
C 1 3
p p a p b p c unde p
2p
20
Se utilizeaz formula lui Heron: S
2
CM : y yC mCM x xC CM : x 3 y 1 0 6.
1p
M
CM AB mCM mAB 1 mCM
A
xC
abc este 2
2p
12
semiperimetrul triunghiului.
1p
6 7 11 p 12 2
2p
S 12 12 7 12 1112 6 6 10
66
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
1 1 A2 2 A 2 3 3
2p
1 1 2 2A 3 3
1p
Din a). A2 4 A
1p
X a X b I 2 aA I 2 bA I 2 aA bA abA2
2p
X a X b I 2 aA bA ab 4 A I 2 a b 4ab A X a b 4ab
2p
X a este inversabil det X a 0
2p
ia
1p
b)
RE
BA
4 4 2 2 A2 şi 2 A 12 12 6 6
M
1. a)
ar
V
c)
1 a a 1 4a 3a 1 3a
m 3 f X 3 X 2 15 X 4
a)
Împ r irea obişnuit sau schema lui Horner
2p
20
f divizibil cu X 4 r 0
35 17
1p 2p
12
c)
1p
2
Efectuarea împ r irii
r 0 17 m 35 0 m
3p
M
q X 2 3 X 9, r 14 b)
1p
C
2.
1p
A
a , 1 4a 0 X a inversabil
1p
eB
det X a
nt
a 1 a X a I 2 aA 3a 1 3a
S1 1 Rela iile lui Viete S 2 15 S 2 3
1p
67
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x12 x22 x32 S12 2 S2 31
2p
x13 x23 x33 x12 x22 x32 15 x1 x2 x3 6 0,
2p
x13 x23 x33
x
2 1
x22
x 15 x x 2 3
1 2
x1 x3 x2 x3 6 40
BA 1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x 2 x x ln 2
2p
M
3p
f x 2 x 1 ln 2 f x f a f a xa
lim
f x f 1 f 1 ln 2 x 1
f x 0 2 x 1 ln 2 0
nt
c)
2x 1 0 x 0
2p
1 1 x 0 t 1 2 I 0 1 xdx . Subst. 1 x t ; dx 2 1 xdt I 0 2 t 2 dt 3 0 0 x 1 t 0
3p
C
1
0
0
4 15
0
2p
12
In
2n 1 n 1 2n 1 n 1 xdx x x 1 xdx 3 0 3 0
1p
20
1
2
Se aplic metoda integr rii prin p r i
I n x n 1 xdx
2p
M
1
I1 x 1 xdx 2 t 2 t 4 dt b)
2p
A
a)
1p
eB
ln 2 0
2.
3p
ia
x 1
2p
ar
x a
V
lim
b)
2n 2n I n 1 I n 3 3
1p
2n 2n 2n I n 1 I n 1 I n I n 1 3 3 2n 3
1p
68
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1
I n 1 x n 1 1 xdx 0
2p
x 0,1 x n 1 x n şi cum 0 1 x 1 x n 1 1 x x n 1 x 1
1
0
0
2p
M
RE
BA
Deci x n 1 1 xdx x n 1 xdx I n 1 I n I n n 0 descresc tor
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
Varianta 21
eB
Prof: Brabeceanu Silvia
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
Ra ionalizarea fiec rei frac ii sau aducerea la acelaşi numitor 2
2
14
Finalizare 14 2.
3p
12
43
1p
20
2 3 2 3
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1p
Pentru ca s existe intervalul I se pune condi ia:
69
x 2 1 3x 4 2 4
1p 3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 2 3x 2 0
1p
1 1 1 1 A 1,1 G f f 1 1 şi B , G f f 3 2 3 2
2p
BA
3.
1 Finalizare x , 2 2
3p
Fie x - pre ul ini ial. x 18% din x 820 .
2p
x
M
RE
4.
3a 2b 1 1 11 Rezolvarea sistemului S , 8 16 2a 4b 3
V
BC 2BA 2u 3v BC 2 AB 2 AB 3 AC BC CA 2 AB 2 AB CA AB 2 AB 2CB AB 2CB
3p
300 BC 2 AB 40 3 m C
eB
nt
1p 2p
A
Din teorema catetei AB BC BD BD 10 3 2
1p
C
CD BC BD 30 3
M
Se aplic teorema în l imii AD 2 BD DC 30
1p
2 20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A1 1, 2 şi A2 2,5
1p
12
1. a)
2p
ia
6.
1p
ar
x 1000 5.
2p
18 41 x 820 x 820 100 50
2p
x x1 y y1 Ecua ia dreptei A1 A2 : x2 x1 y2 y1
A1 A2 : 3x y 1 0
2p
70
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b)
2
1
5 1 0 Punctele A1 , A2 , An sunt coliniare dac determinantul 2 2 n n 1 1
2p
n 1 n 2 3n 2 0 1 n2 2
3p
BA c)
1
1 2
1
1
RE
A A1 A2 A3
2
2p
2p
M
2 5 1 2 3 10 1
a)
1 1 1 xy x y 1 1 x y 1 y 1 1 x 1 y 1 1 2 2 2
3p
1p
C
3x 3 1 0 x 3
1p
1 2 1 2 x x x x x x x x x x x 1 1 x 1 1 x 2 2
2p
M
1 2
4
20
Finalizare x x x x x
2p
2
Se aplic în continuare a).
x 15 1
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
1 x 1 5 1 3x 1 1 1 1 5 x 1 3x 1 1 0 2 2
5x 1 0 x 0
c)
3p
A
5 x 3x 3 1
eB
b)
nt
x, y
2p
1 1 xy x y 1 2 xy x y 1 1 2 2
ia
x, y x y
ar
2.
1p
V
A A1 A2 A3
1 2 1 2
Asimptota oblic are ecua ia y mx n, m 0
71
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 m lim
x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x 1 x
2p 1p
n lim f x mx 1 x
1p
BA
y x 1
b)
f x
x2 6 x 8
RE
x 3
2p
2
x 4 f x 0 x2 6x 8 0 1 x2 2
1p
M
2p
Din tabloul de varia ie al func iei rezult c x1 , x2 sunt puncte de extrem
ar
V c)
f x x2 4x 4 caz exceptat 1 L lim lim 2 x x x x 3 x
1p
L el e1 e
3p
x
x
nt
ia
2.
6 1 6x 9 x2 2 9 x x
3
0 adev rat pentru x 0, 3
f x dx 6 1
3
e
e e 1 Integrând rela ia de la punctul a). avem f x dx dx ln x 1 1 1 x 1
2p
12
1 f x dx 2 arctg 3 1 6 3
c)
3p
20
1
1 1 x dx 6 arctg 2 9 x 3 31
2p
2
b)
2
2
M
3 x
2p
C
0 9 x2 6 x 0 3 x
1p
A
a)
1p
eB
x2 4 x 1 2 x x 3 x
l lim
2p
2p 72
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 Folosind punctul b). avem 2 arctge arctg 1 3
Finalizare arctge
1p
1 1 arctg 2 3
M
RE
BA eB
nt
ia
ar
V C
Varianta 22
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Cioc naru Viorica
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2.
Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r.
3p
Calculul lui a11 = 2 + (11- 1) 3 de unde rezult a11 = 32
2p
Formula loga a = 1, 0 < a < 1, a > 1
şi log 3 3 = 1 73
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Formulele m loga A = loga Am, 0 < a < 1, a > 1, A > 0 loga A+ loga B - loga C = loga
AB , 0 < a < 1, a > 1, A, B, C > 0 C
BA
Calculele log 3 3 + 3 log 3 2 - 2 log 3 4 = 1+ log 3
3.
23 = 1- log 3 2 42
2p
Intersec ia Gf cu Ox înseamn rezolvarea ecua iei f(x) = 0
RE
Rezolvarea ecua iei x2- 5x + 6 = 0, ∆ = b2 – 4ac, x1,2 =
M
Calculele ∆ = 1, x1,2 =
Formulele C nk =
1p 2p
b 2a
5 1 deci Gf Ox = {A, B}, A(3, 0), B(2, 0). 2
2p
V
4.
2p
2p
ar
n! n! , Ank = , 0 k n , Pn = n! k!( n k )! (n k )!
eB
Înmul irea unui vector t = a i + b j cu un scalar s real,
nt
5.
ia
Calculele C 52 = 10, A52 = 20, P3 = 6 şi finalizarea 2 C 52 A52 + P3 = 2 10 – 20 + 6 = 6
3p
2p
s t = sa i +sb j
3p
Calculele 2 v - 3 u = 2(2 i 3 j ) – 3(3 i 2 j ) = -5 i + 12 j .
Formula pentru aria triunghiului A∆ABC =
C
sin A = sin 300 =
20 12
Matricea sistemului este inversabil dac D(a) 0.
1 D(a) = a a2
2p
2
1 1 8 10 = 20. 2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
M
1 . 2
Calculul ariei A∆ABC =
2p
1 AB AC sin A. 2
A
6.
1 1 3 1 determinant Vandermonde sau se aplic una din regulile uzuale pentru 9 1 74
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 calculul lui D(a)
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
D(a) = -2(a - 1)(a - 3).
a 1, a 3 .
1p
1 a a2 At = 1 3 9 , 1 1 1
3p
BA
det At = det A
Din punctul a) D(a) = -2(a - 1)(a - 3)
RE
2p
D(2) = -2(2 - 1)(2 - 3) = 2
c)
1p
Din punctul a) D(a) = -2(a - 1)(a - 3) , D(4) = -2(4 - 1)(4 - 3) = - 6
M
2p
ar
V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cu metoda lui Cramer se calculeaz Dx = 1 3 1 , Dy = 4 1 1 , Dz = 4 3 1 . 1 9 1 16 1 1 16 9 1 Calculele conduc la Dx = -16, Dy= 30, Dz = -20 şi x =
2p
eB
nt
8 10 , -5, )}. 3 3
ia
S = {(
Dy Dx D ,y= , z = z deci D (4) D ( 4) D (4)
2.
Din rela iile lui Viète x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x 4+ x3 x4 = -8,
1p
a)
x1x2x3+ x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3 x4 = 0, x1x2x3 x4 = 16 se determin S = 0, f(S) =16, P = 16,
3p
A
f(S)+ P = 16 + 16 = 32.
4 2 Polinomul f = X – 8X + 16 se restrânge în (X2 – 4)2 = (X - 2)2( X +2)2.
3p
Unul din factorii lui f este polinomul g deci g divide f.
2p
M
Din punctul b) r d cinile polinomului f sunt x1 = x2 = 2 , x3 = x4 = -2.
2p
20
x14 = x24 = 24 = 16, x34 = x44 = (-2)4= 16.
2p
2
c)
C
b)
1p
x14 + x24 + x34 + x44 = 16 + 16 = 32.
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
75
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f ' g fg ' . g2
f g
Formula ( ) '
Calculul lui (
2p
2 x ' (2 x)' ( x 2 3) 2 x ( x 2 3)' 2( x 2 3) 2( x 2 3) = , deci f ’(x) = . ) x2 3 ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2
BA
Calculul lui f ’(0) =
2 . 3
Rezolvarea ecua iei f ’(x) = 0 conduce la aflarea punctelor de extrem.
1p
2( x 2 3) 2( x 2 3) Din punctul a) f ’(x) = şi f ’(x) = 0 rezult = 0. ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2
1p
x2 - 3 = 0 şi x1,2 = 3 .
1p
M
V
3 3 de unde rezult punctele de extrem de coordonate ( 3 , ). 3 3
ar
f ( 3 ) =
Notarea lim ( f ( x ) x) = lim ( x
x
2p
ia
c)
1p
2x x) = L. x 3 2
nt
2 x x( x 2 3) . x x2 3
x3 x . x x 2 3
Calculele L = lim
şi g sirea limitei L = - .
C
2p
Orice func ie continu admite primitive, f este contin pe R - {1}, pentru continuitatea lui f în 2p x0 = 1 se calculeaz limitele laterale şi f(1).
2
M
a)
1p
A
Observarea nedetermin rii
1p
eB
Aducerea la acelaşi numitor L= lim
2.
2p
1p
RE
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
ls = lim( x 2 3x 2) 0 , ld = lim( x 3) ln x 0 , f(1) = (1+3)ln1= 0 f continu în x0 = 1. 1
20
x 1 x 1
x x 1
f admite primitive pe R.
0 şi
1 < 1 deci 2
1 2
0
1p
1 2
f ( x)dx = ( x
1p
12
b)
2p
2
3x 2)dx .
0
1p
x n 1 n c x dx n 1
76
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x3 x2 ( x 3x 2)dx 3 3 2 2 x c . 2
1 2
BA
( x
2
3x 2)dx = (
0
c)
e2
1, e 1 deci 2
RE
1
3
2
x x 3 2 x) 3 2
f ( x) dx = x3
1 | 02
1 1 ( )3 ( )2 1 2 = 2 3 2 2( ) = - . 3 2 2 3
e2
( x 3) ln x 1 x 3 dx =
Formula de integrare prin p r i
2p 2p
e2
ln xdx . 1
f ( x) g ' ( x)dx
f ( x) g ( x) f ' ( x )g ( x ) dx f, g derivabile cu
1p
e2
1
e2 1
x ln x |
2p
e2
dx = x ln x | x | = e + 1.
V
ln xdx =
M
derivatele continue. e2 1
e2 1
2
1
A
eB
nt
ia
ar Varianta 23
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: Cioc naru Viorica
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r . Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice Sn = 77
(a1 a n )n . 2
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Calculele a25 = 3 + (25 - 1) (-2) = 3 – 48 = - 45, S25 =
2.
(3 45) 25 = -21 25= - 525. 2
2p
1p
∆ = b2 – 4ac ∆ = (m – 1)2 - 4 2m = m2 – 10m + 1.
2p
BA
Ecua ia de gradul al II-lea are solu ii reale egale pentru ∆ = 0.
∆ = 0 m2 – 10m + 1 = 0, ∆m = 100 – 4 = 96, m1,2 =
b m 2p
2a
RE
m1,2 = 5 2 6 . Intersec ia Gf cu Ox înseamn rezolvarea ecua iei f (x) = 0.
M
3.
32x+1-1= 0 32x+1= 1 2x+1= 0 x =
1p 2p
V
1 1 deci Gf Ox = {A}, A( ,0 ). 2 2
Intersec ia Gf cu Oy înseamn f (0), f (0) = 32 0+1-1= 2 deci Gf Oy = {B}, B(0, 2) .
eB
5.
n(n 1) , P3 =6 conduc la ecua ia n (n - 1) = 12 n = 4. 2
nt
Calculele C n2 =
Condi ia ca doi vectori t = a i + b j şi r = c i + d j s fie coliniari
3p
2p
a b = c d
A
Calculele pentru ca vectorii v şi u s fie coliniari
a 2 a3 = 3(a - 3) + 2(a + 2) = 0 3 2
3p
C
5a = 5 a = 1
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a, a, b R
2p 1p
2
750 = 450 + 300
M
6.
2p
n! , 0 k n , Pn = n! k!( n k )!
ia
Formulele C nk =
ar
4.
2p
2 , 2
2p
20
sin 750 = sin 450 cos 300 + sin 300 cos 450, valorile remarcabile sin 450 = cos 450 = 1 3 2 3 1 2 , cos 300 = ( + )= sin 750 = ( 3 1). 2 2 2 2 2 4
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
78
12
sin 300 =
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
x
y
Ecua ia dreptei BC: x B
yB
xC
yC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1
x y 1 1 =0 1 2 1 = 0, B(1, 2) şi C(- 3, -2) 1 3 2 1
2p
Calculele 2x - 2 - 3y + 6 + 2x – y = 0 x – y + 1 = 0.
BA
1p
Ecua ia dreptei BC: x – y + 1 = 0.
b)
A(3, a), B(a, 2) şi C(- 3, -2) pentru a = -2 devin A(3, -2), B(-2, 2) şi C(- 3, -2)
RE
yA 1 yB 1
,
yC 1
M
xA 1 xB A∆ABC = 2 xC
3p
3 2 1 1 2 2 1 A∆ABC = 2 3 2 1
Calculul determinantului conduce la A∆ABC = 12
V
c)
1p
yA 1
xB
y B 1 = 0 pentru ca A, B, C s fie coliniare. yC 1
2p
2ˆ x = 3ˆ x = 4ˆ în Z5.
3p
M
a)
1p
C
2ˆ x + 3ˆ = 1ˆ 2ˆ x + 3ˆ + 2ˆ = 1ˆ + 2ˆ .
A
5 25 72 5 97 , se re ine valoarea pozitiv deci S = { }. 2 2
2.
S = { 4ˆ }
3p
20
1ˆ 2ˆ 3ˆ 2ˆ 3ˆ 1ˆ = 1ˆ 2ˆ 3ˆ + 1ˆ 2ˆ 3ˆ +1ˆ 2ˆ 3ˆ - ( 3ˆ 3ˆ 3ˆ +1ˆ 1ˆ 1ˆ+ 2ˆ 2ˆ 2ˆ ) 3ˆ 1ˆ 2ˆ
1p
2
b)
2p
a2 + 5a -18 = 0.
eB
nt
1 1 = 6 - 2a -3a +6 +6 – a2 = – a2- 5a +18 , 3 2 1 a1,2 =
a 2
ia
3 a
ar
xA xC
2p
12
c)
1ˆ 2ˆ 3ˆ = 1ˆ, 3ˆ 3ˆ 3ˆ = 2ˆ , 2ˆ 2ˆ 2ˆ = 3ˆ de unde rezult valoarea determinantului 3ˆ - ( 2ˆ + 1ˆ + 3ˆ ) = 2ˆ
2p
Prin adunarea membru cu membru a celor dou ecua ii se ob ine 3ˆ x = 4ˆ x = 3ˆ .
2p
Prin înlocuirea în prima ecua ie a sistemului se ob ine 1ˆ + y = 1ˆ y = 0ˆ .
2p
79
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Solu ia sistemului în Z5 este S = {( 3ˆ , 0ˆ )}.
1p
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x2 x2 2 ( f g ) f ' g fg ' , ( f ( x ) g ( x )) (ln x )' ( x 3x ) (ln x )( x 2 3 x)' , x > 0. 2 2
2p
x2 1 ( f ( x) g ( x)) ' ( x )( x 2 3 x ) + (ln x )(2 x 3) x 2
2p
'
'
M
RE
1. a)
V
( f ( x) g ( x)) ' x 3- 3x 2+ x - 3 + (ln x
1p
Curbura func iei se stabileşte folosind f “(x).
ar
b)
x2 )( 2 x 3) . 2
nt
1 1 x2 1 x )’ = 2 1 = . x x x2
f “(x)= 0 x 2 – 1 = 0 x1,2 = 1 .
1p
eB
f “(x)= (
1p
1 x2 )' = x . 2 x
ia
Din punctul a) f ' ( x) (ln x
1p
2p
x2 f ( x) 2 . lim = lim 2 x g ( x ) x x 3 x ln x
M 2
x2 lim (ln x ) = , lim( x 2 3x) = . x x 2
se rezolv cu regula lui l’Hopital.
1p
20
Nedeterminarea
1p
C
c)
A
Func ia f este convex pe intervalele ( , 1 ) (1, ) şi concav pe intervalul (-1, 1).
1p
12
x2 1 f ( x) f ' ( x) = lim , pentru care )' x , ( x 2 3x)' = 2x – 3 lim x x 2 x g ( x) g ' ( x) 2p 1 1 f ' ( x) f ' ' ( x) 1 x = lim = lim = . se aplic iar regula lui l’Hopital lim x g ' ( x ) x g ' ' ( x) x 2 2
Din punctual a) (ln x
80
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
2 f ( x)dx = ( x x )dx , formulele x
Pentru x [1, 3]
a)
2
x3 c, 3
Calculele x 2 dx =
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
xdx =
x2 c, 2
x n 1 x dx n 1 c , n
1 x dx ln x c
2
x dx 2 ln x c .
2p
BA
2 x3 x2 Finalizarea ( x 2 x )dx = 2 ln x c , x [1, 3]. x 3 2
RE
b)
3
2 x 1 ( f ( x) x x )e dx = 2
1p 1p
3
2p
xe x dx .
1
f ( x) g ' ( x)dx
M
Formula de integrare prin p r i
f ( x) g ( x) f ' ( x )g ( x ) dx f, g derivabile cu
1p
derivatele continue.
V
3
1
1
xe x dx = xe x |13 - e x |13 = 2e3.
c)
nt
1
2
g 2 ( x)dx , g(x) = f(x) – x = x 2 +
1
2
2 2 4 4 ) = x + 4x + 2 . x x
Calculele V =
1
(x 4 4x
C
2
1p
A
g2(x) = (x +
2p
2 . x
eB
Formula V =
2p
ia
3
e x dx .
ar
1p
3
xe x dx = xe x |13 -
x5 4 4 31 71 + 2x 2 - ) |12 = ( 8 ) = ( = ) dx . 2 5 x 5 5 x
2p
2
M Varianta 24
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Cioc naru Viorica
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
81
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
Formula termenului general al progresiei geometrice bn = b1 qn-1, (bn > 0 din enun ) , aplicarea ei în rela iile din enun b1 - b1q = 4, b1 - b1q3 = 7 conduce la 4(1+ q + q2) = 7 4 q2 + 4q – 3 = 0 cu solu iile q1,2 =
BA
Pentru q2 =
RE Pentru q1 =
4 16 48 1 3 , q1 = , q2 = . 8 2 2
3 termenii progresiei geometrice nu vor fi to i pozitivi. 2
Condi ia de existen
pentru
V
x 2
x 2
5 x 1 = 125 5 x 1 = 53
1p
x2 = 3. x 1
2p
5 5 5 , verific x - 1 0 i deci S = { }. 2 2 2
ia
2p
nt
Condi iile de existen
x2 este x - 1 0. x 1
ar
x+2 = 3x – 3 x = 3.
2p
1 1 1 se calculeaz b1 = 8 i b12 = 8 ( )11 = ( )8. 2 2 2
M
2.
3p
pentru logaritmi x > 0, 2x - 1 > 0, x + 1 > 0 conduc la x >
1p
eB
1 2
log 3 x + log 3 (2x - 1) = 2 log 3 (x + 1) log 3 x (2x - 1) = log 3 (x + 1)2
2p
A
x (2x - 1) = (x + 1)2 2x2- x = x2 + 2 x + 1 x2 - 3 x -1 = 0.
b , ) , intersec ia Gf cu Oy se ob ine calculând f(0). 2a 4a
5.
Condi iile ca doi vectori t = a i + b j şi r = c i + d j s fie egali sunt a = c, b = d.
v = u dac 5a + 1 = 3,5 şi 2b – 3 = 2,4 de unde a = 0,5 şi b = 2,7 deci S = {(0,5; 2,7)}. 82
3p
12
b 3 7 3 7 = , = V( , ) şi f(0) = 4 Gf Oy = {(0, 4)}. 2a 2 4a 4 2 4
2p
20
V(
3 13 }. 2
2
4.
2p
M
Mul imea solu iilor ecua iei logaritmice este S = {
3 13 3 13 1 , > 2 2 2
C
Rezolvarea ecua iei de gr. al II-lea duce la solu iile x1,2 =
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Teorema cosinusului a2 = b2 + c2 – 2bc cos A, cu a = BC, b = AC, c = AB. b = 10, c = 8, cos A = cos 600 =
2p 1p
1 . 2
BA
a2 = 102 + 82 – 2 10 8 cos 600 = 100 + 64 – 80 = 84 a =
84 = 2 21 .
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
1 1 1 A–B= 2 0 0 . 0 2 1
2p
M
2p
det (A – B) = 4 – 2 = 2 .
V
1p
Tr (A -B) = 1+ 0 + (-1) = 0
ar
b)
A inversabil dac det A 0, det A= 1 + 8 – 6 – 6 = - 3 0 deci A
-1
3p
ia
eB
nt
1 2 3 1 A* , A* matricea complemen ilor algebrici ai lui At. A = 3 1 2 , formula A-1 = det A 2 0 1 t
Calculele A11 = 1, A12 = 1, A13 = -2, A21 = -2, A22 = -5, A23 = 4, A31 = 1, A32 = 7, A33 = -5
C
c)
A
1 1 2 1 2 5 4 A = 3 1 7 5 -1
2p
Primul element al produsului A B 18.
1p
M
2
Fiecare din cele 4 puncte se acord dac se calculeaz corect câte dou elemente ale matricei produs dup rela ia ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j cu i, j {1, 2, 3}.
2p
20
18 5 7 A B = 4 5 6 11 8 11
2p
12
2.
( x y ) z x ( y z ) , x, y, z R.
a)
( x y ) z ( xy 3x 3 y 12) z = ( xy 3 x 3 y 12) z - 3 ( xy 3 x 3 y 12) 3z + 12
1p
x ( y z ) = x ( yz 3 y 3z 12) = x( yz 3 y 3 z 12) - 3x - 3( yz 3 y 3 z 12) + 12
83
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Dup desfacerea parantezelor şi reducerea termenilor asemenea în cele dou expresii se ob ine
1p
( x y ) z x ( y z ) ” ”este asociativ . b)
Rela ia x y xy 3x 3 y 12 se transform dup înlocuirea lui y cu 5 în
3p
BA
x 5 x 5 3 x 3 5 12 = 2 x - 3 2p
Rela ia x y xy 3x 3 y 12 se transform dup înlocuirea lui x cu 2 în
2p
RE
c)
x 5 = 1 2 x - 3 = 1 x = 2 deci S = {2}.
2 C n2 2C n2 3 2 3C n2 12 = - C n2 + 6
M
2p
2 C n2 > 1 - C n2 + 6 > 1 - C n2 > -5, n 2 C n2 < 5 n(n - 1) < 10
V
Mul imea solu iilor inecua iei 2 C n2 > 1 este S = {2, 3}
1p
ar
ls = lim 0
x3 3 . x4 4
ld = lim 0
3 x3 3 şi a valorii func iei în x0 = 0, f(0) = . 4 x4 4
x x 0
Asimptota orizontal se determin pentru x . 84
1p
12
1 1 1 şi f’(2) = = . 2 2 36 ( x 4) ( 2 4)
1p
20
x 3 ' ( x 3)' ( x 4) ( x 3)( x 4)' . ) x4 ( x 4) 2
f’(x) = c)
x3 . x4
1p
2
(
M
f f ' g fg ' . ( )' g g2
Dac 2 > 0 se alege pentru derivare f(x) =
1p
C
ls = ld = f(0) f este continu în x0 = 0. b)
2p
A
x x 0
2p
eB
1. a)
nt
ia
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
lim f ( x ) l , l finit.
1p
x
lim
x
x3 1. x4
1p 2p
BA
x3 lim 1 f admite asimptot orizontal de ecua ie y = 1 la . x x 4
2.
a)
1
RE
f0(x) =
x2 1
,
f 0 ( x)dx =
M
1 x 2 1dx = arctg x + c şi
2p
2
2p
1 2 1 x 2 1dx = arctg x |1 .
. 4
1p
b)
1
I2010 =
1p
x 2012 f 2012 ( x )dx = 2 dx . 0 x 1
1p
1
1
0
0
eB
nt
ia
I2012 =
x 2010 dx . x2 1
1
f 2010 ( x )dx =
0
ar
V
arctg x |12 = arctg 2-
1 x 2 1dx .
1p
x 2010 x 2012 I2010 + I2012 = ( f 2010 ( x ) f 2012 ( x ))dx = dx . x2 1 0 0 1
1
1
x2 0 x 2 1dx .
0
0
A( f) = f 2 ( x )dx = (1
1 )dx = (x - arctg x) |12 = 1- arctg 2 + . 2 4 x 1
85
2p
12
1
1p
20
1 x2 x2 1 1 = = 1- 2 . 2 2 x 1 x 1 x 1
1
2p
2
Calculul
0
2p
1 x 2011 1 |0 = . dx = 2011 2011
M
x2 f2(x) = 2 , A( f) = x 1
x
2010
C
c)
1
A
x 2010 (1 x 2 ) I2010 + I2012 = dx = x2 1 0 1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 25 (ascuns - pentru teste)
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 26 Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
2.
4.
2
M 20
3p 2p 2p 2p 1p
1p 2p 2p 1p 2p 3p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. rangA 2 x \ {1} ; a) rangA 2 det A 0 ; rangA = 2 x 2 b) 3 3 3 Pentru x = - 2 A 3 3 3 ; 3 3 3
2p 2p
1p 1p 1p
C
6.
1p
1p
A
5.
x 1 0 x (1, ) ; 6x 5 0 6x2 – 11x – 95 = 0; 2401 ; x1= 5 (1, ) ; 19 x2 = (1, ) 6 d2(A,B) = (m + 5)2 + ( - m-7)2 = 100; m2 + 12m – 13 = 0; 196 ; m1 = - 13 ; m2 = 1 u v 6i 3 j ; uv 3 5
eB
nt
ia
3.
ar
V
169 x1 1 ; x 2 2 7 1 x [ , 2] 7 N = Num rul submul imilor cu 3 elemente ale mul imii A care con ine elementul 5 este egal cu num rul submul imilor cu 2 elemente ale mul imii A\{5}; N = C92 36 Nr.caz.fav. = 81; Nr.caz.posib.= 90; nr.caz.fav. p= 0,9 nr.caz.posib.
1p 2p 2p
3p
86
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
detA* = 0 Y 1,3 ( ) Y x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p 2p
y z ; x, y, z ;
x = - 1 şi YA = B x y z 1 , Y = 1 1 1
3p 3p 2p 2p 3p
f = x3 – 9x2 –x + 9 = (x2 – 1)(x – 9); q = x – 9; r = 0 x1, x2, x3 r d cini f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0 şi x1 + x2 + x3 = 9; x 13 x 32 x 33 9(x 12 x 22 x 32 ) (x 1 x 2 x 3 ) 27 9(x 12 x 22 x 32 ) 18 c) f(3x) = 0 (3x – 1)(3x + 1)(3x – 9) = 0; 3x – 1 = 0 x = 0; 3x + 1 = 0 ecua ie imposibil ; 3x – 9 = 0 x = 2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. lim 3 x 3 3x 4 Gf nu are AO a) x f (x) lim 1; x x lim[f (x) x] 1 ;
BA
2. a) b)
M
RE
2p 1p 1p 1p 1p 1p
V
1p 1p 1p
ar
x
b)
ia
y = x + 1 , asimptot oblic ; f cotinu pe R G f nu are AV
x 3 3x 2 4 0 x 1, x 2 ; x 2 2x f (x) 3 3 , x R\{-2,1}; x 3x 2 4 f (x) f (x) x 2 2x, x R\{-2,1} f(-2) = 0 f nu este derivabil în x0 = - 2; 3 x 3 3x 2 4 x 1 3 d s lim lim ; x 2 x 2 x2 x2
1p
nt eB
c)
2p 2p 1p
A
2p
x 3 3x 2 4 x 1 3 d d lim lim x2 x 2 x2 x2 f (x) 3(x 2 1);f (x) 0 x 1 ; f este strict cresc. f (x) > 0 x (, 1), respectiv(1, ) ; f este strict descresc. f (x) 0 x (1,1) 3 f (x) 3 I = 2 dx 2 (x 2 x 2)dx ; x 1 3 3 41 x x2 2x = I= 3 2 6 2 3
C
2p
x 2 13 4 1 f ( x) dx = 2ln x 1 x 1 ln x 2 I = - 2 – 3ln2
I=
0
87
2p 3p
12
x 2 13 2 4 1 , x [1,0] ; 2 f (x) x 1 (x 1) x 2
20
c)
2
b)
1p 2p 2p
M
2. a)
2p
0
;
2p
1
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 27
BA
Prof: Dogaru Ion 1p 1p 3p
RE
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 + i)4 = - 4 ; (1 - i)4 = - 4 ; (1 + i)2012 - (1 – i)2012 = (- 4)503 - (- 4)503 = 0 2. 11x 4 0 x 2; x20 x2 – 15x = 0 x =0 şi x = 15; Solu ia ecua iei: x = 15 3. a6 = a3 + 3r; a16 = a19 – 3r; a3 + a19 = a6 + a16 = 2012 4. x2 – 1 = 0 x 1 ; x + 2 = 0 x 2 ; x -2 -1 1
M
2p 2p 1p
- - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - 0 + + + + - - - - - 0 + + +0- - - 0 + + + + +
1p
eB
Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,2); mAB = - 1 m = 1 Ecua ia mediatoarei lui [AB]: x – y + 3 = 0 6. sin 2 x cos2 x cos x 2cos 2 x cos x 1 0 ; cos x 1 x { 2k, k } ; 1 cos x x { 2k, k } ; 2 3 5 x [0, 2] x {, , } 3 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. 2 1 1, rangM 2, m ; a) 3 1 detM = m2 – 6m +5; rangM = 2 detM = 0 m = 1 sau m = 5 5.
C
2p 1p
2
M
2p
20
2p 1p 3p 2p
12
A,B,C sunt necoliniare detM 0 ; m2 – 6m +5 0 m \ {1,5} 1 1 AABC = det M m 2 6m 5 ; 2 2 2 m [1,5] 0 m 6m 5 4 ; AABC maxim = 2
1p 2p 2p 1p 1p
A
c)
2p
nt
x 2, 1 1,
b)
ia
x+2 x2 – 1 (x + 2)(x2- 1)
ar
V
1p 1p 3p 2p
2p 2p 1p
88
Bacalaureat Matematică M – 2012 2. a)
Observ m c x y
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 (5x 6)(5y 6) 6; x, y ; 5
3p
1 (5x 6)(5y 6)(5z 6) 6 x (y z) , x, y, z ; 5 este asociativ b) Elementul neutru al opera iei este e = - 1 ; 1 x x e [(5x 6)(5x 6) 6] 1 ; 5 1 5x 6 5x 6 1 5x 6 {1,1} ; Cum x 5x 6 5x {7, 5} .Deci x = -1 este simetrizabil şi x 1 c) 1 Observ m c x x (5x 6)2 6 ; x ; 5 1 x ... x (5x 6) 2012 6 ; Inductiv ob inem x 5 de 2012 ori 1 (5x 6)2012 6 = -1 ; 5 5x 6 1 x 1 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. f (x) (x 2)ex , x R; a) f (x) 0 x 2 ; Pe (, 2] f este strict descresc toare; Pe [2, ) f este strict cresc toare (x y) z
1p
BA
1p 1p
RE
1p 1p
M
1p 1p
V
2p
ar
1p
ia
1p
nt
f (x) (x 3)ex , x R; f (x) 0 x 3 ; Pe (, 3] f este concav ; Pe [3, ) f este convex x 1 0; e x
y = 0 ; AO spre F(x) = 3x2 + 2lnx + C ; x [1, ) ; F(1) = 2012 C = 2009; F(x) = 3x2 + 2lnx + 2009
20
2
2
2
V f 2 (x)dx (12x 3 24x 4x 1 ) 1 ;
3p 2p
1
c)
2p 2p 2p 1p
12
b)
2p 3p
M
2. a)
2p
C
lim f (x) xlim(x 1)e x xlim
x
1p 1p 1p
A
c)
eB
b)
2p 1p
V 110 f (x) lim 6 m; x x
2p
2 0 n; x y = 6x este asimptota oblic c tre a graficului func iei f. lim f (x) mx lim x x
89
1p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 28
RE
Prof: Dogaru Ion 1p 1p 3p 3p 1p 1p 1p 1p 3p 3p 2p
M
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 + i)4 = - 4 ; (1 + i)4 = - 4 ; (1 + i)2012 - (1 – i)2012 = (- 4)503 - (- 4)503 = 0 2. Not m 3x = y 3y2 – 10y + 3 = 0 y1 = 3; y2 = 1/3; 3x = 3 x = 1; 3x = 1/3 x = - 1 3. a6 = a3 + 3r; a16 = a19 – 3r; a3 + a19 = a6 + a16 = 2012 4. C1n 1 C n2 1 36 (n + 1)(n + 2) = 72; n+1=8 n=7 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,1); mAB = - 3/4 m = 4/3 Ecua ia mediatoarei lui [AB]: 4x – 3y + 7 = 0 6. sin 2 x cos2 x cos x 2cos 2 x cos x 1 0 ; cos x 1 x { 2k, k } ; 1 cos x x { 2k, k } ; 2 3 5 x [0, 2] x {, , } 3 3
nt
ia
ar
V
A
eB
2p 1p 2p 1p 1p 2p
C
1p
20
3p
12
90
2
M SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. t t ln t 0 a) H (t) 0 t 0 ; t 0 ; 0 0 1 detH*(t) = t2 b) 1 ln x ln y 0 H(x) H(y) = 0 1 0 ; x, y (0, ) ; 0 0 xy Deci H(x) H(y) = H(xy); x, y (0, )
2p
3p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
10 ln(1 2 ... 10) 0 H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10) = 0 10 0 ; 0 0 55 det[H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10)] = 5500 2. x 2 x 2 0 a) y 2 y 2 0 xy 2x 2y 4 0 ; x y xy 2x 2y 6 G; x, y G; G este parte stabil fa de opera ia * b) Observ m c opera ia * este comutativ ; Elementul neutru: e = 3; x x 3 x(x 2) 2x 3, x G; 1 x 2 0, x G x2 c) x y z ( x 2)( y 2)( z 2) 2, x, y, z G 1 2 8 3 4 10 ... 27 2 3 9 2 3 9 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. f ( x) 2012 x 2011 2012, x ; a) f(1) = 0; f ‘(0) = 2012; f(1) + f ‘(0) = 2012 b) y f (1) f (1)( x 1) ; y = 4024(x – 1) c) f ( x) 2012 2011x 2010 , x ; f ( x) 0, x f este convex 2. f(x) = x3 + 3x, x R (1) 1 a) 1 1 x 4 3x 2 3 ; I f ( x) dx ( x 3 x)dx 0 0 4 2 0 7 I= 4 5 b) f (-x) = [(-x)3 + 3(-x)]5 = - f5(x), x R; c)
3p 2p
BA
3p
M
RE
1p 1p 1p 1p 1p 2p 2p
V
3p
ar
nt
ia
2p 1p 1p 1p
A
eB
3p 2p 3p 2p
f (t 1) dt
x
0
(t 1) 3(t 1) 4 2
f (t 1) dt x4
2 x
= 0
( x 1) 6( x 1) 7 ; 4 4
2
( x 1) 4 6( x 1) 2 7 1 x 4x4 4
lim
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
91
3p 2p 3p
12
lim
x
f ( x )dx 0 5
20
0
4
1p
2
x
1
3p
M
c)
1
C
f este func ie impar 5
1p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 29 Prof: Gaga Loghin
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
S
3p
1, 5,9, , între oricare 3 termeni ak 1 , ak , ak 1 ai
M
ak 1 ak 1 ak 1 ak 1 8 ak 1 4 ak , deci 2 2 a1 1, r 4 . ak
V
2p
2.
ia
ar
a a 1 61 n; an a1 n 1 r 61 1 4 n 1 n 16 . Deci S 31 16 496 S 1 n n 2 2 Se vede c ob inem f 4 dac facem x
nt
2
1 2 3 1 f 4 2 3 5 5 4 2 4 2 2
3p
log x 2 2 log x 2 8 log x 2 2 3log x 2 2 4 log x 2 2 .
3p
Dac elementul 1 intr în toate submul imile, num rul de submul imi va fi format din combin rile de 9 luate câte k, unde k 0,1, 2, ,9 .
AB BC sin B ; AABC 2
p p a p b p c , unde p
AABC 9 9 8 9 6 9 4 3 15
AB BC AC 9 2
2p 3p
12
AABC
3p
2p
20
Doi verctori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este nul, adic v1 v2 0
v1 v2 0 4 m 2 3 m 1 0 m 11 . 6.
2
Deci num rul de submul imi este C90 C91 C99 2 9 512 . 5.
2p
M
4.
C
Deci 4 log x 2 2 4 log x 2 2 1 2 x 2 x 4
A
eB
3.
2p
1 2
2p
1p
92
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2 AABC 6 15 3 15 AB BC 32 16
Deci, sin B
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
BA 1. a)
3 0 3 0 32 M 2 M M 0 1 0 1 0
0 , n . Demonstr m 1
RE
3k
k 1
0
M
3k M M 0
3k 1 0 0 k 1 M i demonstr m 1 0 1
3n 0 3 0 3k 1 0 n . Deci M 1 0 1 0 1 0
k
0 3n 1 0
0 1
0 ,n 1
1p
2p
3n
ia
3n det 0
2p
ar
V
M
3p
2012
32012 0 1 0
0 2012
1p
2
m 2n 3 m 5 f 1 0 2 m 1 2n 0 4m 2n 12 n 4 f 2 0 16 4 m 1 2n 0 2
m 1 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
5p
12
x12 x22 x33 4 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 4
20
b)
2p
M
a)
2p
C
3 32012 1 Deci S 2 0 2.
0 2012
32012 1 32012 1 , fiind suma unei progresii geometrice cu ra 3 3 1 2
primul termen 3.
0 3 32 32012 1 0
A
3 32 32012 3
3 0 32 0 1 0
eB
M M M 2
nt
7 det M n 4 3n 729 7 3n 4 3n 729 3n 1 36 n 5 c)
2p
prin induc ie. Presupunem adev rat c M k
b)
3n 0 n M . Observ m c 1 0
2p
1p
93
Bacalaureat Matematică M – 2012
m 1
2
2p
4 m 1 4 m 3 m 5 0 m 3 2
4
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2p
Notez 52 x t 0 t 2 3t 4 0; 9 16 0
2p 1p
Ecua
RE
BA
2 625 x 6 25 x 8 0 2 54 x 6 52 x 8 0 54 x 3 52 x 4 0
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
e f x
xe x 2
x 1
x 1
e x 2 x 2 2 x 1
4
e x 2 x 1 1 x x 1 2 x
x 1
3
4
5 p
f x x 1 xe x 2 x2 x lim lim lim 1 2 2 x f x x x 1 e x 2 x 2 2 x 1 x x 2 x 1
5 p
c)
Ecua ia tengentei într-un punct x0 , y0 la graficul func iei f(x) este y y0 m x x0 , unde
2 p
3
A
eB
b )
nt
ia
x 1
2 xe x 2 x 1
2
ar
x2
V
1. a)
m f x0 i y0 f x0 .
C
În cazul nostru x0 2, y0 f x0 f 2 2; m f 2 1
M
2 p
y 2 x 2 x y 4 0 , care este ecua ia tangentei
2
1 p
a)
1
x f x ln x 2 dx 2
1
2
1
x 1 3
x ln x 2 x 2 ln x 2 dx
1
3 1
1
2
1
2x 2
1
2
dx
5 p
12
1
4 x 1 dx 4
1
20
2.
4 32 8 3 3
94
Bacalaureat Matematică M – 2012 b )
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 1 x 2 x 1 1 ; x2 x2 x2 1 x 1 x 2 x 1 f x 0 2 2 x2 x 2 x 2
2 p
f x
BA
2 p
Deci func ia este concav pe 2;
RE
c)
e
1 p e
2 p
e
M
e e x A g x ln x 2 dx x ln x 2 dx x ln x 2 1 dx x2 1 1 1 1
e ln(e 2) ln 3 x 1e 2 ln( x 2) 1e e ln(e 2) ln 3 e 1 2 ln(e 2) 2 ln 3 (e 2) ln(e 2) e3 p
C
A
eB
nt
ia
ar
V
1 3ln 3
2
M 12
Varianta 30
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Gaga Loghin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
95
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
z 1 i 3
1 i 3 1 i 3 2 2i 3 1 i 3 2 1 i 3 1 i 3 8 3
4p
2
1p
BA
Im z 0
2.
x12 x22 16 x1 x2 2 x1 x2 16
2p
2
RE
x1 x2 m 2 x1 x2 m 3
1p
M
m 2 2 m 3 16 m 2 4m 4 2m 6 16 2
2p
m 2 6m 6 0 m1 3 15, m2 3 15
V
3.
7 2005 7 2012 2005 7 7 C2012 C 2012 C2012 C2012 C 2012 C2012 0
5p
p
cf
671 1 2013 3
1p
C
(m 2) 2 6 2 m3
3p 2p
cf .Re ciproca T . Pitagora
ABC este dreptunghic , cu
20
Observ m c BC 2 25 AB 2 AC 2 9 16 25 ipotenuza BC.
2
M
6.
cp
2p
A
5.
cf
2013 671 3
eB
Avem c p 2013 , iar c f
p
2p
, unde c f reprezint num rul cazurilor favorabile i c p num rul cazurilor posibile.
nt
cp
ia
ar 4.
2p
2p
BC 5 AM 2 2
1p
12
tim c , într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este egal cu jum tate din ipotenuz . Not m cu M mijlocul ipotenuzei BC
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
96
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
det A
x 5
4
4
x5
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
.
det A = 0 (x 5) 2 16 0 (x 11)(x 21) 0 x1 11, x 2 21 (se înlocuieşte cu:
BA b)
(x 5)2 16 0 (x 1)(x 9) 0 x1 1, x 2 9 ) 2 4 x5 4 x 5 16 x5 A x 5 4 x 5 8 x 5 4
8 x 5 2 x 5 16
2
RE
M
2 x 52 2 x 10 A 8 x 5
1p
2 x 2 10 x 9 x 5 16 0 x 10 x 9 I 2 0 x 2 10 x 9 0
2
ar
1p
8 x 5 2 2 x 5
V
2 x 5 16 0
1p
2 8 x 5 2 x 5 2 x 5 16 8 x 5
2 8 x 5 x 5 16 2 2 x 5 0
2 2 4 4 1 1 2 2 3 4 ; A 4 8 A 2 A; 4 4 1 1 2 2
C
3 n 1
g 0ˆ x 4ˆ 0ˆ x 1ˆ .
2p
Trebuie s avem f 1ˆ 0ˆ 1ˆ a 1ˆ 2ˆ 0ˆ a 4ˆ 0ˆ a 1ˆ Pentru a 1ˆ f X X 3 X 2 X 2ˆ
1p
12
b)
20
a)
A, n
2p
2
An 1 An A 23 n 1 A A 23 n 1 A2 23 n1 23 A 23n A
M
3 n 1 Presupunem An 2 A i demonstr m A n 1 2 3 n A ;
Deci An 2
2p
2p
A
Pentru x=-1 A
A3 A2 A 2 3 A2 2 6 A;
2.
2 x 5 16 0
eB
nt
x 5 2 16 8 x 5 0 0 0 0
ia
A2 2 x 10 A x 2 10 x 9 I 2
c)
3p
x 1ˆ este solu
3p
2p 1p
97
Bacalaureat Matematică M – 2012
x 1ˆ este singura solu
S Î
2p
d, sau folosind schema lui Horner, ob
f X X 4ˆ X 2 2ˆ X 3ˆ
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f 4ˆ 4ˆ 1ˆ 4ˆ 2ˆ 1ˆ
4p
ˆ f 1ˆ 0; ˆ f 2ˆ 3ˆ 4ˆ 2ˆ 2ˆ 1; ˆ f 3ˆ 2ˆ 4ˆ 3ˆ 2ˆ 1; ˆ f 0ˆ 2;
RE
f 0ˆ f 1ˆ f 4ˆ 2ˆ 1ˆ 1ˆ 1ˆ 0ˆ
1p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
ia
1 ln 2 x 1 x1 1 ln 2 x
lim f x lim x 1
2 2 2 ln x 1 ln x 1 ln x x f x 2 1 ln 2 x
2
x0 x 0
L ' Hospital
2 ln x lim x 1 . Nu exist x 0 2 x 0 ln x x
M
1 ln x 1 ln 2 x 2
3p
C
c) Asimptot vertical . Se caut în x=0: lim
2p
A
2 ln x 1 ln 2 x 1 ln 2 x 4 x 2 x 1 ln 2 x 1 ln 2 x
eB
2x ln x
nt
b)
ar
V 1. a)
2p
2
asimptot vertical pentru f.
2p
20
2p
12
2 ln x 1 ln 2 x L ' Hospital lim x 1 . Deci y 1 Asimptot orizontal . Se caut la . lim x 1 ln 2 x x0 2 x 0 ln x x este asimptot orizontal la . Asimptot oblic . Nu exist
1p
98
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
1
I1
a)
0
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2x 1 1 x 1 dx 2 dx 2 dx ln x 2 1 2 2 0 x 1 2 x 1 x 1 0 1
1
1 0
1
arctgx 0 ln 2
4
5p
1 3 1 x x2 1 x 1 x3 1 x x x 1 I3 2 dx dx dx 2 2 x x x 1 1 1 0 0 0 1
2p
RE
BA
x 1 1 x 2 dx 1 ln 2 1 ln 2 x 1 2 4 4 0 1
2p
I1 I 3 ln 2 1 < 0 1
I n I n 2 1
0
1
x
0
2
x 1 2
dx 2
1
1
x
2p
1
1 1 dx 1 n 1 2
3p
V
x
n
xn 1 xn 2 1 x n 2 x n 2 dx dx 0 x 2 1 0 x 2 1 dx x2 1
M
c)
1p
0
2
nt
ia
ar eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 31
Prof: Ionescu Maria.
C
A 2
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 2 6 log 2 10 log 2 15 log 2
20
1.
6 10 15
2.
3p
12
log 2 4 2
2p
1p
4 Din 9 x 2 16 0 ob inem x1 , x2 . 3
4 4 Din tabelul de semn se ob ine x , . 3 3
99
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Cum x Z x 1, 0,1
2p
3.
1p
r3
2p
BA
a1 7, a1 a2 17 a7 a1 6r a7 25
2p
4! 24 4 3 !
3p
M
5.
A43
RE
4.
Fie M mijlocul segmentului BC, ob inem M(1,-1).
xM x A yM y A 2
V
AM
2
2
2p
nt C
b)
1p 2p 2p
12
1 1 1 2 1 1 3 m 3 2
1p
20
m3
1p
2
2 2 3 1 adev. m66 3
M
1 2 3 2 adev. Se verific în sistemul de ecua ii astfel:
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1
eB
AABC
2p
ia
AABC
1p
17
3 2 AB AC sin BAC 2 3 6 8 2 12 3 2
sin1200 sin 600
2
2p
ar
1 2 1 3 6.
2p
1p
m 2 5m 1 3 m2 5m 4 0
2p
Ob inem m 1, 4 .
100
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 1 1 1 1 1 3 3 3 2
c)
1p
BA
1 2 1 Calculând 2 1 1 3m 3 şi ştiam din punctul a) c determinantul sistemului este -3 m 3 2
1p
1 1 2 2 1 1 3m m 3 3
1p
RE
2p
2.
2p
1p
nt
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Calcul m : f 0 1, f 1 0, f 2 0, f 3 0, f 4 0
1p
A
4p
eB
^ ^ ^ ^
x 1, 2,3, 4
^
3p
^
Conform algoritmului împ r irii a dou polinoame ob inem câtul q X 2 3 X 2 şi
C
c)
2p
ia
^ ^ g 0 3 ^ ^ ^ f 1 g 0 3
ar
b)
^ ^ ^ ^ ^ ^ f 1 2 4 3 1 0
V
a)
M
ob inem solu ia x 1, y m 1, z m S : 1, m 1, m , m R
M
^
restul r 0
2p
2 20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
12
1. a)
Func ia f este derivabil pe R, fiind sum de func ii derivabile pe R şi f ' x 2012 x 2011 2012 x ln 2012 2012, x R
b)
Punctul de abscis nul are x0 0 .
1p
Ecua ia tangentei este : y f x0 f ' x0 x x0
1p
101
5p
(2,2,1)
Bacalaureat Matematică M – 2012 f 0 1 2012 2013,
c)
f ' 0 ln 2012 2012
1p
f '' x 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012, x R
2p
f '' x 0, x R f este convex pe R
3p
1
2p
RE
f x dx x 2012 x 2012 dx
a)
b)
Cum g : 1, 2 R, g x f x
3p
M
x2 ln x 2012 2012 x C 2
1
1
2
3
2 1
2
2p 1p
2p
C M
1 x x3 2012 x 12 arctg 2012 3 2012 1 2 1 6043 arctg arctg 2012 2012 3 2012
2p
A
1 f x 2 dx 2 x 2 2012 dx x 2012 1
1
3
eB
20143 20133 3
x 2012
nt
x 2012 dx 2
1p
ia
2
1p
1 x 2012 x 2012
ar
V
2
V g 2 x dx
c)
2p
y 2013 ln 2012 2012 x ln 2012 2012 x y 2013 0
BA 2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
2 20 12
102
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 32
ar
Prof: Ionescu Maria.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2 x 5 3 3 2 x 5 3 1 x 4 x Z x 1, 2,3, 4
x 5 0 x 5,
2 x 0 x , 2
Cum f 3 0 şi f 4 0
2p 1p 2p
2
Not m 5 x t , t 0 şi ecua ia devine t 2 6t 5 0
3p
20
f 1 f 2 ... f 10 0
4.
2p
M
De unde se deduce c ecua ia nu are solu ii reale. 3.
2p
C
Se pun condi iile de existen :
3p
A
2.
eB
1.
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
12 2p
t1 1, t 2 5
1p
5x 1 x 0
1p
5x 5 x 1
103
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
AB 2 AC 2 BC 2 cos A 2 AB AC cos A
2p
25 49 64 1 2 57 7
BA 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia dreptei MN:
3p
x xM y yM x N xM y N y M
2p
RE
x2 y3 5 5
2p 1p
M
x y 1 0 este ecua ia dreptei MN.
V
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
1 2 3 1 2 3 6 3 5 2 A 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 1 2 3 1 2 5 2 12
b)
2 2 3 I3 A 2 0 1 3 1 1
5p
eB
nt
ia
1. a)
A
3 7 1 1 A 7 11 5 8 1 5 3
2p
x 5 5 x 5, x Z
b)
2p
12
5 x 5 5 x 5 5 0 5 5
4p
20
a)
2
1
x 5 x 5 5 5 5 0 5 5
1p
M
det A 8 0 A 1
2.
3p
C
De unde se ob ine det I 3 A 14 c)
2p
1p
C ut m e Z a.î. x e e x x, x Z .Se verific x e e x .
2p 3p
104
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Din x e x x 5 e 5 5 x 0 x 5 e 6 0 e 6 Z
c)
x x x x x x x 5 5 x
1p
5 4 x 5 x 5 0 x 5 x 5 1 0
1p
5
BA
x 5 0 x 5 x 6 4 x 5 1 x 5 1 x 4
1p 1p
RE
1p
M ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ia
Func ia f este derivabil pe R, fiind produs de func ii derivabile pe R şi
nt
1. a)
'
2p
'
eB
f ' x x 2 2012 x 2011 e x x 2 2012 x 2011 e x
f ' x 2 x 2012 e x x 2 2012 x 2011 e x
lim
f x f 0
x0
x f 0 1
f ' 0 1
3p
C
b)
1p
A
f ' x x 2 2010 x 1 e x
2p
2p
'
M
c)
1p
f 2 f 1 f 0
1p
2
Din punctul a) se ob ine c func ia f este descresc toare pe intervalul [0,2]
20
f 2 2009e 2 , f 0 2011
2p 1p
12
2009 e f 1 2011 2
105
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
1
I2 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x2 dx x2
1 x 2 x 2 1 4 x2 4 4 I2 dx dx dx x2 x2 x2 0 0 0 1
2p
BA
x2 1 3 3 I 2 2 x 4 ln x 2 4 ln 2 2 2 0 1
I n1 2 I n
RE
b)
0 1
x n 1 xn dx 2 dx x2 x 2 0
1p
1
x n x 2 x2
M
I n1 2 I n
2p
0
1
dx x n dx
2p
0
2p
V
x n 1 1 1 I n1 2 I n n 1 0 n 1
Din
1
ia
1
1p
xn xn xn 1 1 1 , x 0,1 , , x 0,1 , n N * şi deci 3 x2 2 3 x2 2
ar
c)
1 1 xn xn 0 3 dx In 0 2 dx 3 n 1 I n 2 n 1
2p
eB
nt
Pentru n=2011 se ob ine
1 1 2012 I 2011 3 2
2p
A
Varianta 33
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: Ionescu Maria.
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
106
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b V , 2a 4a b Vârful parabolei este: 4, 4 2a 4a V 4, 4
1p 2p
BA
2p
2.
Din ecua ia x 2 m 1 x 2 m 0 ob inem x1 x2
b m 1, a
x1 x2
2p
c 2m a
RE
Înlocuim în rela ie şi ob inem 3 m 1 4m 2m 2 3m 2 8m 5 0 2
M
De unde m1 1, m2 Dobânda : d 700
1p
5 . 3
3p
5,5 38,5 lei 100
V
3.
2p
ar
2p
Suma final : S 700 38,5 738,5 lei
2p
eB
C
2 2012
2p
nt
2012! 2012 2011 2010! 2! 2012! 2012 2011 2! 2010!
2010 C2012
ia
4.
1p
2010 2 C2012 C2012 0 (sau folosirea formulei C nk C nn k , n k )
A
5.
Dreptele d1 : 2 mx 3 y 7 0 şi d 2 : 3 x 8 y 2 0 sunt perpendiculare a1 a2 b1 b2 0
C
2m 3 3 8 0
5 cos 6 6 5 3 cos 6 2 cos
3p
12
A1 6, 1 ,
2p
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
2
6.
2p
M
m4
2p
A3 8, 3
2p
107
Bacalaureat Matematică M – 2012 Ecua ia dreptei este :
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x1 y y1 x3 x1 y3 y1
1p
x 6 y 1 2 4
1p
BA
1p
2 x y 13 0 este ecua ia dreptei A1 A3 .
b)
AOA1 A2
AOA1 A2
y1 1 AOA1 A2 y2 1
3p
0 0 1 1 6 1 1 2 7 1 1
2p
1 13 2
Consider m punctele An n 5, 2 n 3 , Am m 5, 2 m 3 , Ap p 5, 2 p 3 , n, m, p N *
n5
ar
V
c)
y0 1
M
RE
x0 1 x1 2 x2
2n 3 1
An n 5, 2 n 3 coliniare n N *
eB
Din rela iile lui Viete ob inem x1 x2 x3
a)
2p
b c 3 şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 13 a a
A
Folosim x1 x2 x3 x12 x22 x32 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 şi ob inem 2
x1 x3 3 5 1 2 2
2p
20
Ecua ia 25x 3 5x 13 15 5 x 0 se rezolv folosind nota ia 5 x t , t 0 .
15 0 t 3 3t 2 13t 15 0 care are solu iile determinate t
1p
12
Ecua ia devine: t 2 3t 13
3p
2
c)
2p
M
Se determin r d cinile : x1 3, x2 1, x3 5 Care verific rela ia : x2
1p
C
x12 x22 x32 9 26 35 b)
4p
nt
ia
Calcul m m 5 2m 3 1 0 folosind propriet ile determinan ilor şi se ob in punctele p 5 2p 3 1
2.
1p
anterior. Revenind la nota ie ob inem solu ia ecua iei ini iale: x 0,1
108
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
f
x
x
2
4
x '
2
BA
'
x 2 x x 4 x x x 4
2
2
4 2 x 4
2p
'
2
2p
2
2
RE
f ' x
4 x2 4 x2 4
2
Func ia f este derivabil pe R şi f
M
b)
'
16 x
x
2
4
1p 2
x2 4 1 x x 2 4
3p
Calcul m lim f x lim x
V
2p
Rezult y=1 este ecua ia asimptotei orizontale la la graficul func iei f .
x0
f ' x f ' 0 x
f '' 0
1p
ia
lim
ar
c)
16 x x 2 4 16 x x 2 4 x 16 f '' x 4 2 x2 4 2 x 4 16 16 0 f '' 0 1 44 '
2
nt
2 '
2p
eB
'
2p
A
f continu pe , 0 fiind func ie elementar
a)
f continu pe 0, fiind compunere de func ii elementare
2
f x dx
0
2
1
20
1
x 2 x 1 dx e x x dx 0
e
1
e
3p
e
e
e
1
1
1
f ln x dx eln x ln x dx x ln x dx xdx ln xdx 1
2p
12
x3 x2 0 x x2 1 13 x e e 2 0 6 3 2 2 c)
1p
2
f continu pe R f admite primitive pe R.
2p
M
f continu în x0 1 l S lD f 0 1 1 1 adev rat
b)
2p
C
2.
109
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
e 1 ln xdx x ln x x 1 1
2p
e
1p
e
f ln x dx
M
RE
BA
1
e2 1 e2 1 1 2 2 2 2
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
Varianta 34
eB
Prof:Isofache C t lina Anca,C.N.Al..Cuza Ploieşşti
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2
2 7
1+2 2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 =
1 . 2 2 1
3p 2p
f(0)= 7 C(0 ;-7) 3.
2p
12
f(x)=0 x 2 +6x-7=0 cu solu iile x1 1; x2 7 .Deci A(1 ;0) şi B(-7 ;0)
20
Deci S=5461 2.
3p
2
1.
x 7 0 x (2; ) Condi ii de existen : x 2 0
110
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x7 x7 1 10 x2 x2
lg(x+7)-lg(x-2)=1 lg
3p
x=10 (2; )
BA
4.
P=
1p 1p
nr .cazuri favorabile . nr .cazuri posibile
1p
Nr.cazuri posibile=2012:2=1006
1p
RE
2012:6=335,rest 2.Deci 335 numere divizibile cu 6. c.m.m.m.c.al numerelor 4 si 6=12
M
2012:12=167,rest 8. 1p
2p
nt
3p
AB 10 5 .Deci cosB= = . BC 26 13
sin(360 0 -x) sinx, x R
eB
Din reciproca teoremei lui Pitagora ,rezult c triunghiul ABC este dreptunghic în A. cosB=
6.
1p
ia
5.
168 84 1006 503
ar
P=
V
335-167=168 numere divizibile cu 6,nedivizibile cu 4.
2p 2p
A
Aplicâând proprietatea de mai sus pentru x=1 0 ;2 0 ;...;179 0 ;sin180 0 =0 şi s in360 0 =0
1p
C
S =0
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2
0 0
A 0 0 2
20
1. a)
12
detA=0 b)
a b ;XA= X= c d
3p
2p
c d 0 a . ;AX= 0 0 0 c
3p
2p
111
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b . Rezult c c=0 ş i a=d. Deci X= 0 a
c)
Inmul im la stânga şi la dr eapta ecua ia Y 2 =A cu Y,ob inem YA=AY.
BA
a b 2 a2 . Y Y= 0 a 0
1p 2p
0 0 ab 2 .Fals. .Rezult a=0,deci Y a 2 0 0
2p
2.
b)
2p
=2(xy+x+y+1)-1=2(x+1)(y+1)-1
3p
(x y)
z=4(x+1)(y+1)(z+1)-1
2p
x (y z)= 4(x+1)(y+1)(z+1)-1
2p
(x y)
1p
V
z =x (y z), x;y ;z R.
ar
x (1) 1 şi (1) x 1 ; x R [(-2012) (-2011)… ] (1) [0 1 …
2p
ia
c)
x y=2xy+2x+2y+1=2xy+2x+2y+2-1=
M
a)
RE
Ecua ia nu are so lu ii.
… 2012]= 1 <0
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f’(x)=(x 2 4)' ( x 2 1) ( x 2 4)( x 2 1)' f’(x)=2x(2x 2 5)
f ( x ) f (0) = . x
x
f ’’(x)=12 x 2 10 . f ’’(x)=0 12 x 10 =0 x1; 2 2
x
1p 1p
5 . 6
3p
12
c)
20
lim
x
2p
2
( x 2 4)( x 2 1) 4 f ( x ) f (0) = lim x x x
2p
M
lim
b)
3p
C
1. a)
A
eB
nt
3p
5 6
112
5 6
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f’’(x) + + + + + + + + + + + + + + + 0
-----------
5 f 6
f(x)
convex
0
+++++++++++++
5 convex f 6
concav
1p
BA
Deci, func ia are 2 puncte de inflexiune.
2.
RE
a)
3p
1
1 7 1 I 0 ln(4 x 3) I 0 ln . 4 3 0 4
M
1 1 3 1 I 1 1 dx I 1 x 4 0 4x 3 4
b)
0
1
1
1p
1
1p
1 n 1
1p
ar
1
1
V
4I n1 +3I n = x n 1
2p
ia
I n 1 I n 0 I n n descresc tor.
1 1 In n. 7n 7(n 1)
7n 1 .Ob inem lim nI n .= . n n 1 7
C
Rezult 7 I n
1p
A
Deci
2p
1 1 ; 4I n1 +3I n 7 I n 1 I n1 . 7(n 1) 7(n 1)
eB
4I n1 +3I n 7 I n I n
1p
nt
c)
0
2p
1
1 3 7 3 ln( 4 x 3) I 1 ln . 4 16 3 0 16
4 x n 1 3 x n x n (4 x 3) xn x n1 n 3 dx dx dx 0 4 x 3 0 4 x 3 0 4 x 3 0 4 x 3 dx 0 x dx 1
4I n1 +3I n = 4
1
1p
2
M 20 Varianta 35
12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
113
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
x–x=3 0=3
2p
RE
2p
S = {–1,5}
1p
= 25
M
2.
– x – x = 3 x = – 1,5
1p 2p
x1 = 2, x2 = –3
V
x13 x23 = –19
2p
A65 A64 = 6 5 4 3
2p 2p
M
1p
2
OA = ( –5, 0) AB = (3, 2)
2p
20
7 OM = ( ,1 )
2p
12
2
m A 120 , fie AD BC În ABD:
1p
C
S= P=0
6.
1p
A
2, 3, 4 } 5 ={ 0,1, Verificarea elementelor din 5
5.
2p
eB
E=6
4.
2p
nt
A54 A53 = 5 4 3
ia
ar 3.
1p
AD BD 3 3 AD sin B sin A 2
2p
114
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SABC = 9 3
2p
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
a12 a21 = – 3
RE
1. a)
2p
a11a22 = 2m
1p
b)
M
S = – (3 + 2m)
det A = – 1 = – S
A1
1 A* det A
3p
ar
c)
V
m=–2
2p
ia
m = –1 det A = 1
f = (X2 – 2)(X2 – 4)
3p 2p
2
f = (X2 – 2)(X – 2)(X + 2) c)
3p
M
b)
2p
C
Verificare f (–2) = 0
3p
A
a)
eB
r=0
1p
nt
1 1 –1 = A 3 2
A* =
2.
1p
1p
20
f = (X – 2 )(X + 2 )(X – 2)(X + 2) x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 2, x4 = –2
4p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
115
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1. a)
f (x) = e– x (1 – x)
3p
f (0) = 1
2p
b)
lim f x = 0 =
2p
BA
x
x = = x e x
= lim
1p
RE = lim
x
2p
f (x) = e– x (x – 2)
M
c)
1 =0 ex
3p 2p
x = 2 un singur punct de inflexiune
a)
2 x x3 ex C ln 2 3 1 ln 2
x 2 1 ex ln 2 3 ln 2
1
1 0
0
1 2 e ln 2 3 2
Aria g x dx = 1
1p
20
2
2 = x dx
12
1
2p
2
Aria g
3p
M
c)
1p
C
2p
A
f x dx = F(x)
3
eB
b)
x
nt
F1: , F1(x) =
2p
ia
F1(0) = 1 C =
ar
F(x) =
V
2.
2p
7 3
2p
116
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 36
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
A
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
20
1.
an = a1 + (n – 1)r
n=
1p
12
2012 = 1 + 3(n – 1)
1p
2014 3
2p
2012 an n 1
1p
117
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1– x =0
2p
x {-1, 1}
3p
C n0 C n1 ... Cnn 2n
2p
BA
2p
n = 6, n , n 1
1p
RE
4.
2n = 64
1p
Cazuri favorabile = 7
2p
Cazuri posibile = 7
1p
M
Formula lui P
m=–1
d: x + y – 2 = 0
2p
AOAO’B = 2AABO
AOAO’B = 12
3 1 0 1
M
A =
2p
2
det (tA) = – 3
20
b)
1p
C
t
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
eB
AABO = 6
1p
nt
6.
2p
ia
d: y – 1 = – (x – 1)
1p
ar
5.
V
P=1
6 0 2 2
12
2A =
3p
2p
3 1 b22 = – 1 2 1
B =
3p
118
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
9 0 2 1
A2 =
2p
27 0 7 1
A3 = A2 A =
BA
2p
S = 26
a)
a0 = f (0)
2p
f (0) = –1
3p
M
b)
RE
2.
1p
V
f (1) = 1
X2 – 1 = (X – 1)(X + 1)
1p
A
2x 2
1
C
2
2p
M
f (1) =
x
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x
2p
nt
f (– 1) = –1 0
1. a)
2p
ia
f (1) = 1 0
2p
ar
c)
3p
a0 + ... + a15 = f (1)
1 1 , f (1) = , f (1) + f (1) = 1 2 2
2
3p
20
b)
lim f x =1 (gradele sunt egale)
x
2p
12
y = 1 as. orizontal
c)
3p
f (x) = 0 şi monotonia lui f
3p
x = 0 un singur punct de extrem pentru f
2p
119
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
f continu pe , 0 şi pe 0, pt. c sunt func ii elementare
2p
a)
f continu în 0 ls(0) = ld(0) = f (0) = 1
2p 1p
f continu pe f admite primitive pe
BA b)
0
1
1
x f x dx = x e dx + x 1 x dx x
1
1
0
3p
12 5e 6e
RE 0
x e dx x
1
2e e
1p
M
1
1
x 1 x dx 6 0
V 1
ia
1
ar
c)
1p
x dx 1 x dx
V(Cg) = g
2
2
2
3
2p
C
A
V(Cg) =
x3 1 0 3
2p
eB
= x x
0
nt
0
1p
2
M 12
Varianta 37
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem.
120
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
=0
1p
BA
= (m – 1)(5m – 9)
2p
9 5
2.
RE
m 1,
2p
3 x 2 0 x2 x 1
2p
M
x 2 x 1 0, x
ar
4.
x2 = t, t2 – 10t + 9 = 0
(AB): x + 4y – 9 = 0
2p 2p
M
4 a4 a
3p
2 20
6.
2p
C
x1 = – 1, x2 = 1, x3 = – 3, x4 = 3
1=
1p
A
t1 = 1, t2 = 9
5.
3p
eB
T4 = 20
2p
nt
Tk 1 C nk a n k b k , n = 6, k = 3
2p
ia
3.
2 A 3
V
x
1p
BC2 = AC2 + AB2 – 2AC AB cos 60
3p
12
BC = 39
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
121
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m m 1 d = 3 2 2 2 2 2
2p
d = 10m – 10
BA b)
3p
d 0
2p
RE
2p
m –{1}
1p
m = 2 d = 10
1p
dx = 14, dy = –24, dz = –20
3p
x = 1,4; y = –2,4; z = –2
1p
M
c)
m 1
x=4
b)
e=1
2 = 0 x2 + x – 2 0
1p 2p 2p
A
c)
2p
eB
2 2 = 1
2p
nt
a)
3p
ia
2x = 16
ar
V
2.
2p
C
x1 = 1, x2 = – 2 x [– 2; 1] adevarat
1p
2
M
lim x 0
12
1. a)
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x f 0 = f (0) = – 3 x
3p
f (x) = 6x2 – 3
2p
122
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f (x) = 0, x1 =
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 3p
2 2 , x2 = – 2 2
2p
f (x) = 12x, f x f x f x 2x3 – 6x2 + 9x + 3
2p
BA
2 2 2 2 f cresc. pentru x , , , f descresc. pentru x , 2 2 2 2
c)
RE x = 3
1p
f x dx = ln xdx x2
V
a)
2p
M
2.
(x – 3)( 2x2 + 9) = 0
e
x
3
2
1 0 2
5 f x2 ln x
2p
2p
4
4 dx = 10 x dx =
M
1
ln x 1 x dx 0 tdt =
C
4
e
1p
A
c)
ln x dx x 1
eB
lnx = t
e
dx
nt
1
f x
ia
b)
3p
ar
x ln x 1 C
2p
2
3p
2
= 26(25 – 1) adev rat
20
12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2p
Varianta 38 Prof: LEFTERIU IOANA.
123
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
(2 3) 2 7 4 3
RE
(1 2 3) 2 13 4 3
3p 2p
2
(2 3) 2 1 2 3 =20, 20
M
2.
82 5 (orice termen al unei progresii aritmetice,începând cu al doilea,este media 2 aritmetica a termenilor vecini)
2p
r 5 2 3, b 8 3 11
2p
a
ar
V
b-a=11-5=6
ia
3.
1p
2 x 3 2 2 x 1
2p
nt
Din injectivitatea func iei exponen iale x 3 2 x 1
eB
x4 4.
log13 0; log 33 1; log 39 2
num rul cazurilor favorabile 3 ;p num rul cazurilor pozibile 5
AM:
x xA y yA y 1 0 y 1 xM x A y M y A
sin110 sin 180 70 sin 70 ;
2p 2p
12
3p
20
xB xC y y 4; yM B C 1 M 4,1 2 2
2
xM
2p
M
6.
3p
C
5.
1p
A
p=
2p
cos110 cos 180 70 cos 70
2p
sin110 cos110 x sin 70 cos 70 x x x 0 0
0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 124
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2 2 4 6 C= A B 3 1 2 3 3 6 9 4 4 8 12
2p
t
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p 1p
Coloanele a doua şi a treia sunt propor ionale cu prima.
RE
2 4
3p 2p
6
det C = 3 6 9 =0 4 8 12
M
c)
6x 1 2 x 4 x D(x)=xC+I3 3x 1 6 x 8 x ; D 0 I 3 .Matricea D(x)este inversabil ,dac 4x 8 x 1 12 x
1p
ar
V
x ' , astfel încât D x D x ' I 3 = D(0) D 8 x x ' x x ' D 0
ia
x 1 1 ; x x \ 8x 1 8 8
nt
8 x x' x x ' 0 ; x '
2p
2p
eB
x y xy 7 x 7 y 49 7
a)
x 7 y 7 7
b)
x x x 7 7; din asociativitate: x x x x 7 7
3p 2p
2
3
C
A
2.
2p 3p
3
c)
x a x 7 a 7 7 a 7 x 7 7 a x; x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
125
2p
12
Din asociativitate: E 10 9 6 7 8 10 7
2p
20
x a a a 7 x 8 0, x a 7 x 7 7 x 7
2
M
Din x x x x x 7 7 x; x 7 x 6 x 8 0; x1 6; x2 7; x3 8
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2x a 0; x x 2 4
3p
lim f x lim x
y 0 este ecua ia asimptotei orizontale la
2x 1 ; x2 4
a=1; f x
BA
b)
x0
x
2
4
2p
2
2x 3 x2 4
;
1p
nt
ia
2
ar
2 x 2 6 x 8 x2 4
1p
V
a=3; f x f ' x
2p
2 x 2 2 x 8
M
f ' x
c)
1p
f ( x ) f (0) 1 = f ' 0 x 2
RE
lim
2p
1 2 x 2 6 x 8 =0; x1 4; x2 1 ; f 4 ; f 1 1 4
1p
eB
1 Din tabel, A1 4, este punct de minim; A2 1,1 este punct de maxim 4
2p
A
2.
Func ia f este continu pentru x , 0 0, (1)
a)
În x=0; lim f x lim x 2 3x 5 5 lim f x lim e x x 4 5 ; f 0 5 (2)
2p
Din (1)şi(2) functia f este continu pe Ratunci, f admite primitive pe R
1p
0
f ( x)dx x
1
1
o
31 3
3p
1
12
c)
3 x 5 dx e x x 4 dx
x 2 2 2 xf ( x )dx 2 x e x 4 dx = 0
2p
20
e
1
2
1
x0
2
1
x0
M
b)
x0
C
x0
2p
2
2p
0
3p 126
Bacalaureat Matematică M – 2012 =e
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
7 2
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 39
ia
ar
Prof: LEFTERIU IOANA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
36 9 81 3 3 64
M
2p
20
2 x 1 2 x 2 3 x 1 ;
1p 2p
12
2 x2 5 x 2 0
x1
3p
2
2 3 x 2 4; x 2, x 3 A={0,1,2}
3.
3p
C
=0
2.
2p
A
1.
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
1 ; x2 2 2
127
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x0 Condi ii de existen : ; x 2, x 2 0
Din propriet ile logaritmilor: log 2
x x 2
1p
3 x 2 2 x 8 0 ; x1 2; x2 4 ;
3p 1p
a 3 2i 3 j 2 3i 2 j
2p
5.
RE
BA
2 2, S={4}
a 13 j
ABC
AB AC sin BAC 2
2p
M
6.
3p
V
ABC 9
3p
ar
a b c 3 0 0 0 0 0 A 3I 3 O3 x y z 0 3 0 0 0 0 u v w 0 0 3 0 0 0
A
u y v z w
2
x
20
a A b c t
1p
M
a 3, b o, c 0 ; x 0, y 3, z 0 ; u 0, v 0, w 3 . b)
2p
C
b c 0 0 0 a 3 y3 z 0 0 0 x u v w 3 0 0 0
2p
eB
1. a)
nt
ia
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
12
b x c u 0 B A A x b 0 z v u c v z 0
1p
2p
t
2p
128
Bacalaureat Matematică M – 2012
b x cu
0
det B x b 0 u c v z c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
z v x b v z c u x b v z c u 0 . 0
BA
0 1 1 a y w 0; b c x z u v 1 A 1 0 1 1 1 0
2p
RE
2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
3p
2
M
a 3, b 1 f x 4 3 x3 x 2 5 x 4
a)
c x3 5 x 2 9 x 13
2p
ar
r 30
2p
x1 1, x2 1 r d cini f 1 0; f 1 0
ia
b)
1p
V
2.
1p
nt
f 1 1 a 1 b 1 5 1 4 a b 10 4
3
2
eB
2p
f 1 1 a 1 b 1 5 1 4 a b 4
3
2
C
c)
a 3, b 1 f x 4 3 x 4 x 2 5 x 4
M
2p
P 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 f 1 2
3p
20 12
lim f x lim f x lim f x x x0
x x0
2
Din x1 , x2 , x3 , x4 r d cini, f x x x1 x x2 x x3 x x4
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
A
a b 10 0 a 5; b 5 . ab 0
1p
x x0
3p
129
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 x 6 lim f x lim x 1 x 1 x 1
x2 x 6 x 1 x 1
lim f x lim
x 1
1p
BA
lim f x lim f x f nu are limit în x 1
x1
Ecua ia asimptotei oblice: y mx n
RE
b)
x1
m lim x
f x x
x2 x 6 1 x x x 1
lim
M
n lim f x mx lim x
1p
x
2p
V
6 0 x 1
m 1; n 0 ;ecua ia asimptotei : y x
ar
1p
x 1
2
;
12
x 1
3
1p
eB
f x
x2 2 x 7
nt
f x
ia
c)
1p
a)
1
26 25 1 26 ln 2 2 5
0
4p
f ( x) = x 2 25 ex
1p
12
g ( x)
1p
20
f ( x) dx x 2 25 x e 0
2
b)
1
M
2.
1p
C
x 1, f x 0 f func ie concav
1p
A
x , 1 f x 0 f = func ie convex
2p
1
V g 2 x dx
2p
0
2p
130
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
1
x
2
1 dx
0
c)
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
76 3
1
1p
x 25 f x dx x 2 25 e x dx =
2
BA
0
0
1
1
1
0
0
0
= x 2 25 e x 2 x e x 2 e x
2p
RE
2p
= 26e 27
M nt
ia
ar
V eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 40
Prof:LEFTERIU IOANA.
C
A 2
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
Din ecua ia: t 2 St p o ,unde S x y 4 , p x y 32 ,avem
2p 2p
S 4,8 ; 8, 4 .
2.
1p
12
t 2 4t 32 0 ; x1 4; x2 8;
20
1.
Elementele mul imii A sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice: a1 3, a2 5, a3 13, a4 18, , an 98 ,
131
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
r a2 a1 a3 a2 a4 a3 5
2p
an a1 n 1 r ; 98 3 n 1 5 n 20
2p
2 3
BA
Din propriet ile logaritmilor: log5
2 3 2 3 2 3 log5 log5
2p 3p
log15 0
RE
4.
1p
n3 3n 2 4n 0 ; n1 0; n2 1; n3 4
3p
M
An3 n n 1 n 2
1p
n N, n 3 n 4
OA,OC sunt vectori opuşi,la fel: OB şi OD OA OC 0 ; OB OD 0
V
5.
2p
ia
cos120 cos 180 60 cos 60
3p
nt
6.
OA OC OB OC 0
ar
3p
2p
1
m
2 2 2m 2 3m 1 3
20
dac det A 0
3p 2p
12
S are solu ie unic
2p
2
3 2m 2 3m 1 1 m1 ; m2 0 2 b)
M
det A 1 1 1 m 1 1
C
1. a)
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
S sin 2 60 cos2 120 sin 2 60 cos 2 60 1 (din formula fundamental )
1 2m 2 3m 1 0 m1 , m2 1 2
2p
1 m \ ; 1 2
1p
132
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y 2z 1 m 1 S x y 2 z 5 ; det A 6 y 3 z 1
BA
1
2
1
d x 5 1 1 1
1
1p
2
1
2 6 ; d y 1 5 3 0 1
1
1
1
3p
2 12 ; d z 1 1 5 6 3 0 1 1
RE x
dy dx dz 1; y 2 ; z 1 ; S 1, 2, 1 det A det A det A
1p
f g f 2 0
2p
a)
f 2 2m 22 ; m 11 .
3p
3 3
f
3 0 m 12
3
m
3
2
15
3 2m m 12
3p
3
ia
f
ar
3
2p
nt
c)
V
b)
M
2.
m 1; f x 3 x 2 15 x 2
1p
eB
2p
A
x1 x2 x3 1 Din rela iile lui Viet`e : x1 x2 x1 x3 x2 x3 15 x1 x2 x3 2
C
S 2 x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 31 2
M 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f continu în x0 0 lim f x lim f x f 0 x0
lim f x lim x 3 5 x 2 7 x 1 a 1 a x 0
x 0
lim f x lim xe 2 x 2e x0
x0
x
x
2 ; f 0 2 133
2p
12
x0
20
1. a)
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 a 2 a 3
1p
x 3 5 x 2 7 x 2, x 0 a 3 , f x x x xe 2 x 2e , x 0
1p
Ecua ia tangentei în x x0 ; y f x0 f x0 x x0
BA
1p 2p
f x 3x 2 10 x 7 f 2 1
RE
1p
x y 2 0 este ecu ia tangentei.
c)
M
f x 3x 2 10 x 7 ; x 0, 2p
7 f x 0 ; 3 x 10 x 7 0 ; x1 1 ; x2 3 2
V
7 Pentru x 0,1 , , f 0 f este cresc toare 3
ar
2p 1p
ia
m 1 f1 x 3x 2 4 x 4
a)
f x dx 3x 1
1
0
0
1
0
0
= 5e 3
3p
8m 2 m 35 6
2p 1p
1 1 8m 2 m 0 ; m1 0 ; m2 ; m m 8 8
134
12
f m x dx
1
20
c)
1p
2
1p
M
x x 2 e f0 x dx e x 3x 4 dx
e x x2 x 3
1p
C
m 0 ; f 0 x x 2 3x 4 1
2p
4 x 4 dx x3 2 x 2 4 x C
A
b)
2
2p
eB
2.
nt
7 pentru x 1, f 0 f este descresc toare. 3
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 41
BA
Prof:LICA ROXANA
M
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
52
52 2 5 4, 2 54
3p
V
1
2p
ar
Pratea intreaga a numarului este 4.
a5 a1 4 r
x1 0 , x2 2
1p 2p
C
Solutiile in sunt x 2, 0
2p
M
Solutiile intregi 2, 1, 0
x1 x2 2m 1
1p
2
4.
2p
A
3.
2p
eB
a3 a1 2 r 4
1p
nt
a1 a1 4 r 8 a1 2 r 4
ia
2.
x1 x2 3m
1p
20
2m 1 3m 11 m2
2p
12
1p
5.
n n 1 3n 3 2
2p 3p
n 2 7n 6 0 , n 6 135
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2
7 2 52 2 6 , deci triunghiul este dreptunghic.
1p Ipotenuza triunghiului are lungimea 7. 2p Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egala cu jumatate din ipotenuza, deci
BA
R=3,5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
2 1 1
DetA= 1
2p
1 2 = 3 1 1
M
1. a)
2p
-1
Det A= 2 3m 1 3 2m 1
Scazand ecuatiile 3 si 1 obtinem x 1
2p 1p
eB
c)
3p
nt
Det A=0 m 1 0 m 1
1p
ia
b)
ar
V
2 6 1 3 4 1 =
yz 2 y 2z 3
2p 2p
A
z 1, y 1
C
Fie x, y
a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x y xy x y xy x y = x y 3 3 3 3 3 9 3 3 3 9
b)
Fie x . a x a a x
1 1 1 1 1 a a x a 0 3 3 3 3 3
3p
20
1 3
4p
2
2p
12
1 1 1 a x 1 0 a 3 3 3 c)
1p
M
2.
1 1 3 3
3p 2p
136
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2012 2011 2010 1 1 ... 3 3 3 3 3 3
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x 1 ln x x
RE
1. a)
3p
1 ln x x
2p
f 1 ln1 0
M
b)
f e ln e 1
1p 1p
V
Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este y f f x
2p
ar
Asadar ecuatia tangentei la graficul functiei este y 0 1 x e
nt
ia
adica x y e 0 c)
f x 0 ln x 0 x 1
0
f x
1
+
+
+
+
-
1
1
1
1
1
0
0
0
1p 3p 2p
3p
12
I1 x cos xdx x sin x sin xdx 0
2p
20
sin x 0 sin1.
sin1 cos x
-
2
a)
1
-
M
1
I 0 cos xdx 0
b)
-
C
Un singur punct de extrem, A 1,1 2.
-
A
f x
0
2p
eB
x
1p
2p
sin1 cos1 1
137
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 0,1 cos x 1
1p
x 2012 cos x x 2012
2p
1
0
1
x 2012 cos xdx x 2012 dx 0
1 2013
2p
M
RE
BA A
eB
nt
ia
ar
V Varianta 42
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: LICA ROXANA
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
lg100 10 2,5
3p
2,5 0,5
2p
138
Bacalaureat Matematică M – 2012
3p
2012 2011 2
2p
x1 1, x2 6
3p
E= 1 6 = 1 216 217
2p
C.E. x 3 1 0 x 1
1p
x 3 1 32
2p
BA
3.
f 1 f 2 f 3 ... f 2012 0 1 2 ... 2011
RE
2.
4.
3
3
M
x3 8 x2
2p
V
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin15 sin 45 30
2p
ar
sin 45 cos 30 sin 30 cos 45
1p
AB AC sin Aˆ 2 18 18 sin120 324 2sin 60 cos 60 2 2 324 3 81 3 4
2p
AABC
eB
nt
6.
ia
2 3 1 2 6 2 2 2 2 2 4
2p
C 2
M
2
3p
20 12
1 1 0 2 M 1,1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 2 0 0 1
1p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
2p
139
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
2 3 0 M 2,3 0 2 3 0 0 2
1
BA
1 M 2,3 Det M 2,3
4 6 9 1 0 4 6 8 0 0 4
RE
M 2,3
1
3p 2p
Det M 2, 3 8 M 2,3
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b 0 M a, b 0 a b 0 0 a
1p
M
2p
V
Det M a, b a 3
ar
Det M a, b 0 a *
2p
nt
ia
b f 1 1 1 1 1
a)
0
b)
f 1 0 X 1 f
f X 1 X 2 1
4 3
2p 2p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
4 2
2p
2
1 0 xi4 1 i 1, 2,3
x x x 111 3 4 1
2p
M
xi radacina pentru f xi3 xi2 xi 1 0, i 1, 2, 3
xi 1 xi3 xi2 xi
1p
C
X 1 X i X i c)
1p
A
4p
eB
2.
x2 Asimptota orizontala: lim 2 1 f admite asimptota orizontala la dreapta y 1 x x 2012
140
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
x2 1 f admite asimptota orizontala la - dreapta y 1 lim x x 2 2012
1p
Functia nu admite asimptote oblice sau verticale.
BA b)
2 x 3 4024 x 2 x3
f x
x
2012
2
2
3p
2p
RE 4024 x
x
2012
f 1
2
M
c)
2
2p
4024 20132
1p
V
Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este y f f x
ar
Asadar ecuatia tangentei devine y
f 2 x x 1 2
0
2
x 1 dx
3 1
3
0
C
f 2012 x 0, x 0,1 2012
x 1 dx
2013 1
2013
0
0
t 1t n dt 1 0
0
2p
0
t n 2 t n1 1 t dt 1 t dt n 2 n 1 1 1 0
0
n 1
2p
12
n
1p
20
1 2013 x x 1 dx
3p
2
0
1
1p
M
A x 1 1
c)
1p
A
1 3 b)
3p
eB
x 1 1
1p
nt
a)
ia
2.
2p
1 4024 x 1 2013 20132
n
1p
1 n 1 n 2 n2
141
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
BA
Varianta 43 Prof: Viorica Lungana
RE
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
x1 2 x2 3
3p
ar
x2 5x 6 0
V
1.
a n a1 n 1r , n 1
2p
nt
2.
ia
Deci mul imea de adev r este: 2;3
1p 2p
eB
a10 a1 9 r
2p
a10 131 i r 12 a1 9 12 131 a1 131 108 a1 32
A
3.
lg 288 lg 2 5 3 2
C
lg 2 5 lg 3 2
2p
2
n 2 0 n 2, n
2p
20
n! n 2 !n 1n 2 nn 1 2 2 n 2 ! n 2 !
12
n 2 n 2 0 n1 2 , n2 1 .
3p
Deci n 2 5.
2p
M
5 lg 2 2 lg 3 5 A 2 B 4.
1p
AC 2 AB xC xA i yC y A j 2 xB xA i yB yA j
142
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
10i j 2 3i 3 j 4i 7 j
6.
3p
1 3 1 3 f sin cos , (1) 6 6 2 2 2 6
2p
BA
3 1 3 1 f sin cos , (2) 3 3 2 2 2 3
RE
Din rela iile (1) i (2) rezult
2p
f f . 3 6
1p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
V
2 X 3Y A X 2 A 3B X B 2Y 2 X 3Y A X 2Y B 2 2 X 4Y 2 B Y 2B A Y 2B A
2p
ar
1. a)
ia
1 2 1 1 2 1 2 4 2 X 2 A 3B 2 2 1 2 3 2 1 2 4 2 4 1 2 1 1 2 1 2 4 2 3 6 3 5 2 5 6 3 6 2 5 2 3 6 3 5 2 1
A
eB
nt
2p
C
1 2 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1 Y 2B A 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1
M
2
3 2 3 2 3 2 3 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 A B 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 143
3p
12
5 2 5 3 2 3 2 0 2 X Y 2 5 2 2 3 2 0 2 0 5 2 1 3 2 1 2 0 0
20
b)
1p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 0 2 0 2 0 2 0 0
Deci X Y A B
BA
2
c)
0
det X Y 0 2 2 0
2 3p
x * y xy 5x 5 y 30 x 5 y 5 5, x, y G
1p
RE
0 0
2p
8 N
a)
M
2.
V
Legea este asociativ dac
x * y * z x * y * z , x, y, z G
ar
x * y * z x * y 5 z 5 5 x 5 y 5 5 5z 5 5 2p
ia
x 5 y 5 z 5 5, x, y, z G , (1)
nt
x * y * z x 5 y * z 5 5 x 5 y 5 5 5 5 5
2p
eB
x 5 y 5 z 5 5, x, y, z G , (2)
Din rela iile (1) i (2), rezult legea este asociativ .
Legea are element neutru dac exist e G astfel încât x * e e * x x, x G .
A
b)
C
x * e x, x G x 5e 5 5 x, x G x 5e 6 0, x G
1 , x G x5
1 5, x 5, . x5
12
x, 5
Deci orice element din mul imea G este inversabil. c)
2p
20
x * x , 6, x G x 5 x , 5 5 6, x G x , 5
2
Oricare ar fi x G exist x , G astfel încât x * x , x , * x 6 .
M
e 6 5, , x G .
3p
Din asociativitatea legii, dac x y z , atunci x * x * x 6 x 5 5 6 3
2p 3p
144
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 5 1 x 5 1 x 6 5, 3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
BA 1. a)
2p
D 1
3p
RE
b)
1 x 0 x 1
1p
,
M
f f , g f g, g2 g 1 x 1 x
1 x
1 x 2 21 x 21 x 1 x 2 2x 3 1 x 4 1 x 4 1 x 3 2 x 3 0 x3 1 x 3 0
- - - - - - - - - - +++++0 - ---- -----
2
1
M
i
2
f x
M
- - - - - - - - - - - - -
3
C
+ ++++ +0-------
1
A
eB
f , x
2p
0 x0
x
f ,, x
1 x 2
1 x
2
nt
f ,, x 0
2x
1p
2x
ia
f , , x 2
ar
f , x 0
2
V
f , x
1p
20
x 0 punct de maxim x 3 punct de inflexiune Ecua ia tangentei la graficul func iei f în punctul M x 0 , y 0 este y f x 0 f
f 2 3
,
x0 x x 0
12
c)
1p 1p 1p
4 f , 2 4 1
145
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 3 4 x 2 4 x y 5 0
2. a)
1
2p
1
x 1 2x I1 2 dx 2 dx 2 0 x 1 0 x 1
BA
1p
1 ln x 2 1 2
1 ln 2 ln 1 ln 2 2 2
1 0
2p
RE
b)
2p
2p
x2 x dx 0 I 2 I 1 I 2 I1 2 0 x 1
3p
M
x2 x x2 x 0, x 0,1 , atunci x2 1 x2 1 x2 1 1
x n 2 xn xn x2 1 dx 2 dx dx In 2 x2 1 0 x 1 0 x 1 0 1
1
1
2p
ia
I n 2
ar
V
c)
x dx n
2p
C
A
1 x n 1 * , n . n 1 0 n 1
eB
0
1
1p
nt
1
20
Varianta 44
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Viorica Lungana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
146
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1
3 3 2 2 2 2
BA
3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 11 2
Am folosit formula radicalilor dubli
AC 2
3 1 2 2 2
3 1 2 2 2
3 1 3p 2 2 2
AC , unde C 2 A 2 B . 2
RE
2
A B
3 1 2 2 2
2 x 1 x 2 2 x 1 x 2
2p
1p
M
Dac 2 x 1 x 2 x 3 . 2p
3 5
x 1
5 3
x 1
3 2 5
x 1
2p
3 5
1 x
x
3 3 3 2 5 5 5
x
1p
3 2 5
ia
ar
3
V
1 Dac 2 x 1 x 2 x 3
x y1 3 1 10 3 Not m y i ecua ia devine y 1 3 y 2 10 y 3 0 y2 y 3 5 3
1p
eB
nt
x
1 3 3 3 x log 3 1 x1 1 log3 5 5 5
C
A
x
1 3 1 3 x log3 1 x2 1 log 3 5 5 3 5
2p
x y C xy C yx x y ; x y ! 1000 2 x ! 1000 y x
x 4 8! 8 7 720 1000 nu este solu ie.
3p
12
x 2 4! 24 1000 este solu ie. x 3 6! 720 1000 este solu ie.
2p
20
x 0 0! 1 1000 este solu ie. x 1 2! 2 1000 este solu ie.
2
4
M
x1 x2 0
1p
Deci M 1,1, 2,2, 3,3, 0,0 cardM 4 . 5
P AB BC CA ; MN
x N xM 2 y N y M 2 147
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
AB 37 , BC 61 , CA 4 . P 37 61 4
6
sin 6 x cos 6 x cos 6 x tg 6 x 1 1 tg 6 x 1 1 tg 6 x 2 x cos sin 4 x cos 4 x cos 4 x tg 4 x 1 1 tg 4 x 1 tg 2 x 1 tg 4 x
3p
1 1 64 65 13 1 4 1 16 5 17 17
2p
E
BA
E
3p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2x 2 1 x3 det A 2 x 2 x3
M
1. a)
2x 2
2x a
1
x2
x2
1
x2
2p
ia nt
1p
a 0 2 x 3 4 x 2 2 x 0 2 x x 2 2 x 1 0 x1 0 i
3p
eB
x 2 x3 1 c)
2p
0 2x a
2x 3 4x 2 2x a
2x3 4x 2 2 x a b)
1 x3
1
ar
1
V
1
2x a 0 l 1 l 2 2 x a 2x 2
2p
A
f 0 , Fie f x 2 x 3 4 x 2 2 x a . x r d cin dubl f 0 f ,, 0
C
1 3
1 8 a2 3 27
S a1 a 2 2.
1p
12
2
1p
20
1 1 a1 0
2
f , 0 2 3 2 4 1 0 1 1; 2
1p
M
f , x 6 x 2 8 x 2
1p
1p
8 27
Se calculeaz elementele neutre ale celor dou legi de compozi ie.
148
Bacalaureat Matematică M – 2012 a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x * e x, x x e 3 x, x e 3 , x . 1p
x y xy 3x 3 y 6 x 3 y 3 3 x e, x, x x 3 e, 3 3 x, x x 3 e, 2 0, x
BA
1p
e , 2 , x . 1p
RE
Din x y x 3 y 3 3 y 3 x 3 3 y x, x, y , rezult inelul ,*, este inel comutativ.
M
Fie x 3, y 3 . S ar t m c x y 3 . Presupunem x y 3 x 3 y 3 3 3 x 3 y 3 0 x 3 sau
2p
V
y 3 , ceea ce contrazice ipoteza, deci x y 3 , adic inelul ,*, este inel comutativ i f r divizori ai lui zero.
ar
b)
Fie x, x , . S ar t m c x , este inversul lui x.
ia
3p
1 x x 2 x 3 x 3 3 2 x 3 x 3 1 x 3 x3 ,
C
Deci, elementele inversabile sunt x 4 i x 2 .
este corp dac orice element x , x 3 este inversabil în raport cu legea „ .
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
Deci ,*, nu este corp.
2p 2p
2
În acest caz, conform punctului b), numai 2 elemente sunt inversabile.
M
,*,
2p
A
Dac x 3 1 x 2 .
c)
,
eB
1 x 3 1,1 . x3
Dac x 3 1 x 4 .
,
nt
x , 3
,
f , x 2 x 7
3p
f , x 5 2 x 7 5 x 1
2p
149
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 5 x 3 m 5
1p
Coeficientul unghiular al tangentei la graficul func iei în x este f , .
1p
BA
Tangenta la graficul func iei f este paralel cu dreapta y 5 x 3 dac 1p
f 1 2 3 7 2 T 1,2 este punctul de tangen .
2p
y f f , x
2p
y 2 5 x 1 5x y 3 0
3p
M
RE
c)
f , 5 1
a)
1
I0 0
1
0
x
dx 1 x
1 x2
2
1
0
2
1
1 x
2
, x [0,1]
1
xn 1 x2
,
dx x n 1 1 x 2 dx x n 1 1 x 2
0
1 x2
2p
1 0
2p
1
n 1 x n2 1 x 2 dx 0
dx
2p
2
2 n 1
0
x n 2 1 x 2
2p
M
1
1p
C
0
3p
A
1
In
2p
eB
xn
1 x 0 In 4
2 1
0 xn 1 0
c)
ln 1 2
nt
b)
1
ia
0
ar
I1
dx ln x 1 x 2
1 x2
1
V
2.
20
2 n 1I n 2 n 1I n nI n 2 n 1I n 2
1p
12
150
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 45 Prof: Viorica Lungana
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
x 2 3 3 x 2 4
a 1 0 Im f , 4a
1p
2 20
Folosim formula log a N
2p
M
7 7 4a 4 4
7 Im f , 4 3.
2p
C
b 2 4 ac 1 8 7
2p
A
2.
eB
x 2 3 x 5 x 5,6 2 4 6 x x
3p
nt
1.
ia
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
log b N logb a log 2 4 log 2 5 log 2 64 ... log 2 3 log 2 4 log 2 63
12
log 2 3 log3 4 log 4 5 ... log 63 64 log 2 3
1p
2p 2p
log 2 64 6 4.
k k! k 1 1 k! k 1 k!k! k 1!k! 151
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 Calcul m fiecare termen din sum
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro i ob inem:
1 1! 2!1!
3p
2 2! 3!2!
BA
3 3! 4!3!
....................
1 1!2 2!3 3!... 9 9!10 10! 11!1
1p
2 2 v a 2b 2a b 2a a b 4b a 2b
2p
M
5.
RE
10 10! 11!10!
3p
pq pq cos 2 2
2p
ar
6.
V
2 4 3 4 2 9 8 12 18 22 Folosim formula sin p sin q 2 sin
75 15 75 15 cos 2 2
eB
2 3 6 2 2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p
nt
2 sin 45 cos 30 2
ia
sin 75 sin 15 2 sin
2p
0 1 0 0 1 0 0 0 1 A A A 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2
12
p
3p
20
A3 p A3
2
2
2p
M
0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A A 1 0 0 0 0 1 0 1 0 I3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3
b)
C
A
1. a)
2p
I 3p I 3
1p
A 3 p 1 A 3 p A I 3 A A A3 p2 A 3 p A 2 I 3 A 2 A 2
1p
152
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
I3, n 3p Deci A A, n 3 p 1 , p * . A2 , n 3 p 2
1p
2012 3 670 2
1p
n
c)
BA
A 2012 A3670 2
RE
0 0 1 A2 1 0 0 0 1 0
2p
Suma elementelor matricei A 2012 este 1+1+1=3
a)
M
2.
x y x ln y e ln x
1p
3p
1p
y x, x, y 0, "" este comutativ .
ar
ln x
ln x
V
e ln y ln x e ln x ln y e ln y y
Legea "" admite element neutru E 0, astfel încât
ia
b)
ln y
2p
nt
x E E x x, x 0, .
x E x, x 0, x ln E x, x 0, ln E 1, x 0,
3p
eB
E e 0, , x 0,
Deci e (num rul „e ) este elementul neutru al legii.
A
x 0, , x , 0, astfel incat x x x x e x x e, x 0, x ln x e, x 0, ln x ln x 1, x 0,
S ar t m c
2p
C
1
Simetricul num rului
1 1 în raport cu legea „* este e e e
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
153
1 1
e e . 1 1 e
ln
1
1
e ln e e 1 e 1 1
2p
1 e
3p
12
,
1 ln e
20
Simetricul num rului e în raport cu legea „* este e e ,
2
c)
M
1 ln x , ( x 1) x e ln x 0, , x 0, deci, orice element din G este ln x simetrizabil în raport cu aceast lege.
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f , x
3x 2 2 x
3 3 x3 x2
2
BA b)
x 3
x
3
x 3 1
1 1 x 2 3 1 3 1 1 x x
2
x 3
x
2 2
x x x x 3
3
2
1p
2
1p
nt
1p
eB
1 3
1p
2
C
A 2
16 4 1 1 9 3 3
1 x 1 ,1 4 x 2 x 1 4 x 2 5x 1 0 1 1 x ,1 4 4
154
2p
12
1 x 2 x 0 x 0 0, 4
20
1 Pentru x ,1 , f x g x 4
2p
2
1 Pentru x 0, , f x g x x 4
1p
M
a)
x
3
1p
m2 16 81 16 97 2 m n 9 2 9 9 9 n 2.
x3 x2 x3
1 3
m2 1 9 1 n2 9
m n
1
ia
1 . 3
Pentru m 1 i n
2
2p
ar
c)
x
x2
Deci y x
1 x
x 2 x lim
V
x
M
lim
2p
3 f x x3 x lim lim x x x x
n lim f x mx lim x
x1 0 3 x2 2 2
RE x
3p
f , x 0 3x 2 2 x 0
m lim
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 Solu ia S 0, ,1 . 4
1p
1 x x , x 0, 4
b)
1p
BA
1 1 Pentru x , 2 x 1 0 4 2
RE
1 Pentru x ,1 2
1 1 x 2 x 1, x , 4 2
1p
x 2 x 1 x 4 x 2 4 x 1 4 x 2 5x 1 0
M
1 1 1 x ,1 ,1 ,1 4 2 2
1p
V
Deci pentru x 0,1 f x g x , func iile f i g sunt func ii continue.
ar
1 4
Aria f , g f x g x dx 1
0
2 x x 3
1
1
0
1 4
1 4
1 1 4 1 1 2 2 1 1 3 1 16 4 3 4 2 3 3 4 2 16
1 2 1 3 8 32 4 9 27 9 6 3 12 16 48 48 16
2p
A
1 x , sin x x sin x , dx x x x dx sin cos 0 2 x 0
x sin x
M
,
x sin x dx
20
0
1p
2
0
2p
C
c)
1 4
3 1
2 x2 3
eB
x
4 x x 3
0
1 4
2 x 2 x 1 dx 2 x 3
1 3 4 2
nt
x
1 1 4
x x dx
ia
0
2 1 1 4
1
sin 0 0
2p
12
155
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 46 Prof: Viorica Lungana
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
Scriem rela iile lui Viéte pentru ecua ia x 2 m 2 x 4 0
V
x1 x2 m 2 ; x1 x2 4 . x12 x 22 x1 x 2 x1 x 2 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 m 2 4m 4 4 2
ar
2
m 2 4m
ia
Fie x1 , x 2
5 , cu x
f x 2 f x1
x2 x2 x1 0 ; x1 5 x12 5 , analog x22 5 .
2 x1 x2
0 f x2 f x1 f strict cresc toare pe
C
x2 x1 x1 x 2 5
2p
1p 2p
20
card A B 7 3 4 14
2p
x 2 3 x 5 0 , deoarece 9 20 11 0 x .
12
Sau card A B cardA cardB card A B 10 7 3 14
5 , , deoarece
2
cardA 10 7 3 cardB 7 4 3
4.
M
din x1 x2 5 x1 x2 5 0 . 3.
1p
x 22 5 x12 5 x1 x 22 5 x1 x12 x 2 5 x 2 x1 x 2 x 2 x1 5 x 2 x1 2 x2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 2 2p
A
1
m 4
2p
m 4,0
eB
2.
m0
nt
Dar x12 x 22 x1 x 2 0 m 2 4 m 0
3p
2p 3p
log 3 x 2 3 x 5 1 x 2 3 x 5 3
156
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 2 3x 2 0
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1 1 . x2 2
sin 6 x sin 3 x sin 6 x sin 3 x 0 2 sin
BA
sin
3x 9x 3x 9x cos 0 sin 0 sau cos 0 2 2 2 2
3x 3x 2k 0 k xk ,k 2 2 3
RE
Pentru k 0 x 0 0 0, . 2p
M
2 Pentru k 1 x1 0, . 3
Pentru k 2 x 2
V
4 0, . 3
2k 1 9x 9 x 2k 1 ,k . 0 xk, 2 2 2 9
Pentru k 1 x1,
0, . 3
Pentru k 3 x3,
7 0, . 9
C
5 0, . 9
A
Pentru k 2 x 2,
eB
0, . 9
nt
ia
Pentru k 0 x0,
1 , unde x B 2 xC
1 2 2 1 4 aria
yB yC
1
1
1
1 1 1 1 1 2 0 1
1 4 2 2
2p
12
aria
yA 1
20
xA
2
5 2 7 Deci solu ia ecua iei este S 0, , , , . , , 9 3 9 3 9
M
Pentru k 4 x 4, 0, .
6.
3p
ar
cos
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
157
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 1 1 2 1 0 2 6 A A A 0 1 4 0 1 4 4 9 8 1 2 1 1 2 1 2 6 8 2
2p
BA
1 2 1 3 6 3 3A 3 0 1 4 0 3 12 1 2 1 3 6 3
1p
RE
3 1 0 0 2 4 9 0 2 6 3 6 f A A 3 A I 3 4 9 8 0 3 12 0 1 0 4 7 4 2 6 8 3 6 3 0 0 1 1 0 6
2p
M
2
1 rangA 3
4 1 8 1 8 2 0 1
nt
ia
det A 0 1 1 2
rangA 3
7 0
4 6
3p
C
84 16 63 96 59 x y
xy 1 1 2 x 2 y 24 xy 8 x 8 y 96 x 8 y 8 8, x, y 4 4 4
x y
1 1 x 8 y 8 8 y 8 x 8 8 y x, x, y , 4 4
a)
3p
20
x y z 1 x y 8 z 8 8 1 1 x 8 y 8 8 8 z 8 8 4 4 4 1 x 8 y 8 z 8 8, x, y, z , (1) 16
158
1p 1p
12
x y z x y z , x, y , z
2
Deci legea este comutativ . b)
1p
M
2.
2p
A
det f A 4 1
9
2p
eB
2 4
c)
3p
ar
1 2 1
V
b)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 x y z
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 x 8 y z 8 8 1 x 8 1 y 8 z 8 8 8 8 4 4 4
2p
1 x 8 y 8 z 8 8, x, y, z , (2) 16
BA
Din rela iile (1) i (2) rezult c legea este asociativ .
c)
Din asociativitatea legii, pentru x y z x x x 12
2p
RE
1 x 83 8 12 16
x 8 64 x 8 4 x 12 3
3p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
,
x 5 x 4 3 x 2 1
ar
Fie x 1,1 . f
V
1. a)
,
ia
Not m x 2 y i ob inem f
2p
y 5 y 2 3 y 1 5 y
,
b)
+ + + + + + + + + + 1
3
20
Puncte de extrem ale func iei sunt: x 1 i x 1 .
2p
12
c)
3p
2
f x
1
M
f , x
C
-1
1p
A
f este strict cresc toare pe 1,1 .
x
2p
eB
nt
2
3 11 f x 5 x 2 0 10 20
2
3 11 10 20
f 1 1
1p
f 1 3
1p
f 1 f 1 3 1 2
3p
159
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
1
I1 0
1
x|
0
x 1 dx x 1
2p
3p
1
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 1 x 1 , x [0,1]; x 1 x 1
2p 2p
x2 1 x 1 0 x 1 dx 0 x 1 dx, x [0,1]; 1
RE
1
1
0
x n 1 1 xn 1 dx dx x 1 x 1 0
1
0
0
2 dx x 1
1p
C
A
1 2ln 2 n 1
1p
eB
x dx n
1p
nt
1
2p
ia
x n ( x 1) 2 dx = x 1 0 1
1
ar
I n 1 I n
1p
V
c)
M
I 2 I1
2
M 20 12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE 160
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 47 Prof: Marcu Ş
Florin
M
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
3 x 1 5
ar
x0
V
5 x 1 4 4 5 x 1 4
de elemente este egal cu 1 .
2p
nt
ia
2.
an a1 ( n 1) r
eB
a2012 a1 2011r ; r=3 a2012 5 20113 6028
5x 1 0 a logaritmilor : 3x 3 0
1p
M
2p
2
x 2 este
.
2p
20
A(3, 5) d x 3, y 5
2p
12
Cnk Cnk1 Cnk11 3 3 2 3 3 2 C 2012 C2011 C2011 C2012 C 2011 C 2011 0
5.
2p
C
Punerea condi iilor de existen
5 x 1 3x 3
4.
2p
A
3.
1p
3p
2p 3p 161
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
33 25 a 0 a 1
6.
sin(90 x ) cos x
2p
sin 85 cos 5
1p
BA
2p
sin 2 5 sin 2 85 sin 2 5 cos 2 5 1
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
1. a)
2 1 2 1 A2 A A 2 1 2 1
1p
nt
1 2 1 1 0 2 x A xI 2 x 1 x 2 1 0 1 2
3p
det( A xI 2 ) x 2 x 0 x 0, x 1
2p
A
eB
An A() n N *
20
( x 4)( y 4) 4 = xy 4 x 4 y 16 4
3p 1p
= xy 4 x 4 y 20 x y b)
1p
12
a)
2p
2
4024 2012 2012 A 4024 2012
2p
M
A A2 ... A2012 A A ... A 2012 A
2.
1p
C
c)
ia
b)
2p
ar
A2 A
V
2 1 A2 2 1
2p
x x ... x ( x 4) 2012 4
3p
2012 ori
2p
162
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x 4) 2012 4 5 ( x 4) 2012 1 x 3, x 5
c)
Se observ c : x 4 4, () x R
2p
Folosind asociativitatea avem : E [(2012) (2011) ...] 4 [... 2011 2012]
2p
BA
1p
Deci E=4
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
lim x 1
f ( x) f (1) f ' (1) x 1
2p
V
1. a)
f ' ( x) 0 2012 x 2011 2012 0
x 2011 1
2p
12
= x 2 dx 5 xdx dx =
1p
20
a)
1p
2
Ob nem : x 2012 2012 x 2011 0, () x R
2
1p
M
Dar f (1) 2010
(x
2p
strict cresc toare pe (1, )
Deci : f ( x) f (1), () x R
2.
1p
C
f este strict descresc toare pe (,1)
1p
A
x=1 este unica
c)
1p
eB
2012( x 2011 1) 0
1p
nt
b)
2p
ia
f ' (1) 0
ar
f ' ( x) 2012 x 2011 2012
1) f ( x) dx = ( x 2 5 x 1) dx
2p
2p
163
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x3 5 x2 = xC 3 2
b)
1
BA
0
1
f ( x)dx 0
1
= (1 0
x2 5x 1 dx x2 1
1p
1p
5x )dx 2 x 1
RE 1
1
0
0
= dx 5
1p
x dx 2 x 1
M
5 = 1 ln 2 2
V
1
2p
ar
c)
2p
f ( x) ' f (1) f (0) e f ( x)dx e e
e , e f (0) e
0
f (x)
1p
f ' ( x)dx e 7 e e3 e e .
eB
1
e
7 2
nt
e
f (1)
ia
0
2p
C
A 2
M 20 12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 48 Prof:Marcu Ş 164
Florin
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
x 2 16 0 x1 4, x2 4 x [ 4, 4] Z
3p
M
2p
x {4, 3,...,3, 4}
V
2.
f (1) f (2) ... f (2012) (21 1) (2 2 1) ... (22012 1)
1p
ar
= 2(1 2 ... 2012) 2012
ia
=2012 2014
2p 2p
22 x 4 43 x 1 22 x 4 26 x 2
2x 4 6x 2 3 2
2 5
AB AC sin( BAC ) 2
2p
12
A[ ABC ]
3p
20
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (2 2) 2 (a 3)2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ a 3 1 a 4 sau a 2 S 0 2 3 4 5 6
6.
2p
2
5.
2p
M
Sunt 5 cazuri posibile , din care avem 2 cazuri favorabile Deci P
2p
C
4.
1p
A
x
eB
nt
3.
3p
2p
165
Bacalaureat Matematică M – 2012 sin135 sin 45
A[ ABC ]
4 4
BA
2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 2
1p
2 2 4 2
2p
x
y 1
V
dreptei A1 A2 este : 2 3 1 0 4 5 1
E
2p
ar
1p
b)
Verificarea condi
1
2n 2n 1 1 2 Aria=1 2n 2 2n 3 1
2p
20 12
a)
2p
2
2.
1p
M
2p
C
1 A[OAn An 1 ] 2
0
4 5 1 0 6 7 1
A
Avem An (2n, 2 n 1) respectiv An 1 (2 n 2, 2 n 3)
0
3p
2 3 1
eB
Avem A3 (6, 7) , iar condi
nt
ia
x y 1 0
c)
2p
Punctele sunt : A1 (2,3) respectiv A2 (4,5)
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
^ ^ ^ ^ ^ S 1 2 3 4 5 6 =
1p
^
^ ^ ^ ^ ^ ^ = (1 6) (2 5) (3 4)
3p
166
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ S= 0
b)
1p
^ ^ ^ ^ ^ Elementele inversabile sunt : 1, 2, 3, 4 ,5, 6
3p
^
BA
^ Produsul lor este egal cu 6
RE
c)
2p
^ ^ ^ ^ ^ x2y 3 3 x 6 y 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 x 4 y 0 3 x 4 y 0
2p
M
ar
x 1 ^
2p
V
^ ^ ^ 2 y 2 y 1
1p
lim
f ( x) f (0) f ' (0) x
f ' ( x) 1 e x
2p
M
f ' (0) 2
1p
2
b)
2p
C
x0
A
1. a)
eB
nt
ia SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f ' ( x) 1 e x
1p
20
1 ex 0
12
f ' ( x) 0
1p
1p
f este strict cresc toare pe R .
2p
167
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [2011,2012]
1p
()c (2011, 2012) cu f (2012) f (2011) f ' (c)
1p
f ' (c ) e 2012 e 2011 1
1p
BA
2p
f '' ( x ) e x 0 f '
Unicitatea lui c este demonstrat
2.
1
I2 0
x2 1 dx x 1
2p
M
a)
RE
pe R
1
0
1 2
ia I n I n 1 , () n N
Ar
1p
nt
b)
2p
ar
I2
V
I 2 ( x 1)dx
eB
xn 1 1 I n1 dx x 1 0 1
1
x n ( x 2 1) dx = x 1
1 = ( xn x n )dx 0
2p
12
0
x n 2 x n dx = x 1
20
1
=
2p
2
0
x n 1 x n 1 1 , de unde prin integrare de la 0 la 1 , se ob ine cerin x 1 x 1
M
1
I n 2 I n
1p
C
c)
1p
A
x (0,1) x n x n 1
Dar , atunci :
1p
1p
1 , () n N ( n 1)( n 2)
168
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
M
RE V
Varianta 49 Florin
ia
ar
Prof: Marcu Ş
A
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
C
SUBIECTUL I (30 de puncte)
Afl m n=23 , aplicând formula : an a1 ( n 1) r n ( a1 an ) S 23 2576 2
20
2p
12
2.
2
Atunci S n
3p
M
a1 2, an 222, r 10
x2 9 0
1p
x 2 9 16
2p
x 2 25 x 5saux 5
2p
169
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A( m, 5) G f f ( m ) 5
1p
f ( m ) 2 m 2 3m 5
2p 2p
3 2m 3m 0 m 0 sau m 2 2
BA 4.
3p
RE A43
4! 24 (4 3)!
2p
Dac not m cu n,n+1,n+2 lungimile laturilor , atunci din Teorema lui Pitagora , avem :
M
5.
2p
A43
Num
( n 2) 2 n 2 ( n 1) 2
V
3p
n 2 2n 3 0 n 3 . Deci lungimile laturilor sunt 3,4,5 .
ar
6.
sin( x) sin x, cos( x) cos x
2p
ia
1p
sin155 sin 25 , cos155 cos 25
nt
2p
sin 25 cos 25 sin155 cos155 =0
A
Înlocuim x=1 , y=2 , z=3 în ultima ecua ie a sistemului
m=3
1
2
3
3p
20
Calcul m determinantul matricei sistemului : d 2 1 1 5m 10 1 3 m
1p
2
b)
2p
12
d 0 m 2 c)
2p
M
1 3 2 m3 4
2p
C
1. a)
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
x 2 y 3 z 14 Pentru m=-2 , sistemul devine : 2 x y z 3 x 3 y 2z 4 170
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
Dac sc dem din ecua ia (2) , ecua ia (1) x 3 y 2 z 11
2p
Se ob ine o contradic ie cu ecua ia (3)
2p
f este divizibil cu X-1 f (1) 0
1p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
3p
2 a 0 a 2
1p
Pentru a=-2 f X 3 2 X 2 1 = ( X 1)( X 2 X 1)
3p
M
RE
b)
f (1) 2 a
R d cinile reale ale lui f sunt : x1 1, x2
V
c)
2p
1 5 1 5 , x3 2 2
Din rela iile lui Viete avem: x1 x2 x3 a şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
2p
ar
2p
x12 x2 2 x3 2 ( x1 x2 x3 ) 2 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 )
ia
1p
Atunci x12 x2 2 x32 a 2 este un num r natural p trat perfect , ()a Z
A
lim f ( x) , deci dreapta x=0 este asimptot x 0 x 0
n lim ( f ( x) mx)
deci nu exist asimptote oblice . b)
f ' ( x) 1
1p
12
x
20
x
f ( x) 1 , dar x
2p
2
exist asimptote oblice . Avem : m lim
M
lim f ( x ) , deci nu exist asimptote orizontale
x
Afl
2p
C
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p
1 x
171
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 0 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 0 x
1p
f ( x) 0 '
2p
BA
Deci f este strict cresc toare pe (0, ) .
c)
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [a,b] f (b ) f ( a ) (b a ) f ' (c ) , c (a, b)
1p
ln b ln a ba
RE f ' (c ) 1
1 c
M
f ' (c) 1
1p
V
ba . Dar a
ar
c
1p
2p
a)
F ' ( x) e x 6 x 2 1 f ( x)
1
1
0
0
2 x x f ( x)dx = x(e 6x 1)dx =
1
1
0
0
0
20
x xe dx 1 0
x f ( x)dx =1 0
0
1p
12
1
1
1p
2
1
c)
1p
M
1
3 x = xe dx 6 x dx xdx =
Finalizare :
1p
C
b)
2p
A
Deci F
2p
eB
Verific dac
nt
ia F ' ( x) f ( x), () x R
2.
2p
6 1 3 . 4 2
2p
1
f ( x) F ( x)dx F ( x) F ' ( x)dx 0
172
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
F 2 (1) F 2 (0) = 2 2
=
(e 2015) 2 20132 ( e 2)(e 4028) 2 2
2p
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
M
Varianta 50 Prof: Marcu Ş
Florin
ar
V eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5 x 1 4 4 5 x 1 4
3 x 1 5
de elemente este egal cu 1 .
C
x0
3p
A
1.
2p
2
M
2.
an a1 ( n 1) r
20
a2012 a1 2011r ; r=3
Punerea condi iilor de existen
5x 1 0 a logaritmilor : 3x 3 0
5 x 1 3x 3
2p 2p
12
a2012 5 20113 6028
3.
1p
1p
2p 173
Bacalaureat Matematică M – 2012
x 2 este
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
.
Cnk Cnk1 Cnk11
2p
BA
3p
3 3 2 3 3 2 C 2012 C2011 C2011 C2012 C 2011 C 2011 0
2p
33 25 a 0 a 1
3p
M
6.
A(3, 5) d x 3, y 5
RE
5.
sin(90 x ) cos x
V
sin 85 cos 5
2p 1p
ar
2p
sin 2 5 sin 2 85 sin 2 5 cos 2 5 1
M
A2 A
1p
2
3p
20
1 2 1 1 0 2 x A xI 2 x 1 x 2 1 0 1 2
2p
12
det( A xI 2 ) x 2 x 0 x 0, x 1
c)
2p
C
2 1 A2 2 1
b)
2p
A
2 1 2 1 A2 A A 2 1 2 1
eB
1. a)
nt
ia SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
An A() n N *
1p
A A2 ... A2012 A A ... A 2012 A
2p
174
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
4024 2012 2012 A 4024 2012
2p
( x 4)( y 4) 4
1p
= xy 4 x 4 y 16 4
3p
= xy 4 x 4 y 20 x y
1p
b)
RE
BA
a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x ... x ( x 4) 2012 4
3p
2012 ori
c)
2p
4 5 ( x 4)
M
( x 4)
2012
2012
1 x 3, x 5
2p
Folosind asociativitatea avem : E [(2012) (2011) ...] 4 [... 2011 2012]
2p
Deci E=4
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim
f ' ( x) 2012 x 2011 2012
1p
20
1p 1p
12
x 2011 1
2p
x=1 este unica f este strict descresc toare pe (,1)
1p
2
f ' ( x) 0 2012 x 2011 2012 0 2012( x 2011 1) 0
c)
2p
M
f ' (1) 0
b)
2p
C
x 1
f ( x) f (1) f ' (1) x 1
A
1. a)
eB
nt
ia
ar
V
Se observ c : x 4 4, () x R
strict cresc toare pe (1, )
1p 1p
175
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Deci : f ( x) f (1), () x R
1p
Dar f (1) 2010
2p
Ob nem : x 2012 2012 x 2011 0, () x R
BA 2.
(x
a)
= x 2 dx 5 xdx dx =
2
1) f ( x) dx = ( x 2 5 x 1) dx
2p
RE 3
=
1
0
1
f ( x)dx 0
5x )dx 2 x 1
0
0
x dx 2 x 1
1
2p
C
c)
2p
A
5 = 1 ln 2 2
1p
eB
1
1p
nt
1
= dx 5
1p
ia
0
x2 5x 1 dx x2 1
ar
1
= (1
1p
V
x 5x xC 3 2
M
b)
2p
2
f ( x) ' f (1) f (0) e f ( x)dx e e 0
M
7 2
e , e f (0) e
1
f (x)
f ' ( x)dx e 7 e e3 e e .
20
e
1p
2
e
f (1)
0
2p
12
176
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 51 Prof:Marcu Ş
Florin
BA
M
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte)
V
1.
x 2 16 0 x1 4, x2 4 x [ 4, 4] Z
ar
x {4, 3,...,3, 4}
3p 2p
nt
ia
2.
f (1) f (2) ... f (2012) (21 1) (2 2 1) ... (22012 1)
=2012 2014
eB
= 2(1 2 ... 2012) 2012
1p 2p 2p
C
A
3.
22 x 4 43 x 1 22 x 4 26 x 2
Sunt 5 cazuri posibile , din care avem 2 cazuri favorabile
5.
2 5
2p 3p
12
Deci P
2p
20
4.
3 2
2
x
2p
M
2x 4 6x 2
1p
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (2 2) 2 (a 3)2
177
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ ^ ^ ^ ^ ^ a 3 1 a 4 sau a 2 S 0 2 3 4 5 6
6.
A[ ABC ]
BA
AB AC sin( BAC ) 2
RE
4 4 2
2p
2 2
1p
2 2 4 2
2p
sin135 sin 45
A[ ABC ]
3p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
V 2p
Punctele sunt : A1 (2,3) respectiv A2 (4,5)
x
y 1
dreptei A1 A2 este : 2 3 1 0 4 5 1
2p
eB
nt
E
ia
1. a)
x y 1 0 b)
1p 3p
A
2 3 1
4 5 1 0 6 7 1
Avem A3 (6, 7) , iar condi
C
Avem An (2n, 2 n 1) respectiv An 1 (2 n 2, 2 n 3)
0
1
2n 2n 1 1 2 Aria=1 2n 2 2n 3 1
178
2p
12
0
20
1 A[OAn An 1 ] 2
1p
2
c)
M
Verificarea condi
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ ^ ^ ^ ^ S 1 2 3 4 5 6 =
1p
^
^ ^ ^ ^ ^ = (1 6) (2 5) (3 4) ^
3p
^ S= 0
BA
1p
b)
^ ^ ^ ^ ^ Elementele inversabile sunt : 1, 2, 3, 4 ,5, 6
3p
^
RE
^ Produsul lor este egal cu 6
2p
M
^ ^ ^ ^ ^ x2y 3 3 x 6 y 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 x 4 y 0 3 x 4 y 0
2p
eB
^ x 1
2p
nt
^ ^ ^ 2 y 2 y 1
ia
ar
V
c)
1p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x0
f ( x) f (0) f ' (0) x
20
f ' ( x) 1 e x
2p 1p
12
f ' (0) 2
b)
2p
2
lim
M
1. a)
f ' ( x) 1 e x
1p 1p
1 ex 0 f ' ( x) 0
179
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
f este strict cresc toare pe R .
2p
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [2011,2012]
1p
()c (2011, 2012) cu f (2012) f (2011) f ' (c)
1p
f ' (c ) e 2012 e 2011 1
1p
M
RE
BA
c)
pe R
0
x2 1 dx x 1
2p
eB I n I n 1 , () n N
Ar
1p
A
b)
1 2
nt
0
ia
1
I 2 ( x 1)dx I2
2p
ar
a)
1
I2
V
2.
2p
f '' ( x ) e x 0 f '
Unicitatea lui c este demonstrat
1p
C
xn 1 1 I n1 dx x 1 0 1
1p
M
1p
2
x (0,1) x n x n 1
20
x n 1 x n 1 1 Dar , atunci : , de unde prin integrare de la 0 la 1 , se ob ine cerin x 1 x 1
12
c)
2p
x n 2 x n I n 2 I n dx = x 1 0
2p
1
180
Bacalaureat Matematică M – 2012 1
= 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x n ( x 2 1) dx = x 1
1
0
2p
1 , () n N ( n 1)( n 2)
RE
BA
1 = ( xn x n )dx
1p
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 52
V
Prof: Marcu Ş
Florin
ar
a1 2, an 222, r 10
2p
20
2.
n ( a1 an ) S 23 2576 2
2
Atunci S n
M
Afl m n=23 , aplicând formula : an a1 ( n 1) r
3p
C
1.
A
SUBIECTUL I (30 de puncte)
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
12
x2 9 0
2p
x 2 9 16
2p
x 2 25 x 5saux 5
181
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A( m, 5) G f f ( m ) 5
1p
f ( m ) 2 m 2 3m 5
2p 2p
3 2m 3m 0 m 0 sau m 2 2
BA 4.
3p
RE A43
4! 24 (4 3)!
2p
Dac not m cu n,n+1,n+2 lungimile laturilor , atunci din Teorema lui Pitagora , avem :
M
5.
2p
A43
Num
( n 2) 2 n 2 ( n 1) 2
V
3p
n 2 2n 3 0 n 3 . Deci lungimile laturilor sunt 3,4,5 .
ar
6.
sin( x) sin x, cos( x) cos x
2p
ia
1p
sin155 sin 25 , cos155 cos 25
nt
2p
sin 25 cos 25 sin155 cos155 =0
A
Înlocuim x=1 , y=2 , z=3 în ultima ecua ie a sistemului
m=3
1
2
3
3p
20
Calcul m determinantul matricei sistemului : d 2 1 1 5m 10 1 3 m
1p
2
b)
2p
12
d 0 m 2 c)
2p
M
1 3 2 m3 4
2p
C
1. a)
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
x 2 y 3 z 14 Pentru m=-2 , sistemul devine : 2 x y z 3 x 3 y 2z 4 182
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
Dac sc dem din ecua ia (2) , ecua ia (1) x 3 y 2 z 11
2p
Se ob ine o contradic ie cu ecua ia (3)
2p
f este divizibil cu X-1 f (1) 0
1p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
3p
2 a 0 a 2
1p
Pentru a=-2 f X 3 2 X 2 1 = ( X 1)( X 2 X 1)
3p
M
RE
b)
f (1) 2 a
R d cinile reale ale lui f sunt : x1 1, x2
V
c)
2p
1 5 1 5 , x3 2 2
Din rela iile lui Viete avem: x1 x2 x3 a şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
2p
ar
2p
x12 x2 2 x3 2 ( x1 x2 x3 ) 2 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 )
ia
1p
Atunci x12 x2 2 x32 a 2 este un num r natural p trat perfect , ()a Z
A
lim f ( x) , deci dreapta x=0 este asimptot x 0 x 0
n lim ( f ( x) mx)
deci nu exist asimptote oblice . b)
f ' ( x) 1
1p
12
x
20
x
f ( x) 1 , dar x
2p
2
exist asimptote oblice . Avem : m lim
M
lim f ( x ) , deci nu exist asimptote orizontale
x
Afl
2p
C
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p
1 x
183
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 0 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 0 x
1p
f ( x) 0 '
2p
BA
Deci f este strict cresc toare pe (0, ) .
c)
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [a,b] f (b ) f ( a ) (b a ) f ' (c ) , c (a, b)
1p
ln b ln a ba
RE f ' (c ) 1
1 c
M
f ' (c) 1
1p
V
ba . Dar a
ar
c
1p
2p
a)
F ' ( x) e x 6 x 2 1 f ( x)
1
1
0
0
2 x x f ( x)dx = x(e 6x 1)dx =
1
1
0
0
0
20
x xe dx 1 0
x f ( x)dx =1 0
0
1p
12
1
1
1p
2
1
c)
1p
M
1
3 x = xe dx 6 x dx xdx =
Finalizare :
1p
C
b)
2p
A
Deci F
2p
eB
Verific dac
nt
ia F ' ( x) f ( x), () x R
2.
2p
6 1 3 . 4 2
2p
1
f ( x) F ( x)dx F ( x) F ' ( x)dx 0
184
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
F 2 (1) F 2 (0) = 2 2
=
(e 2015) 2 20132 ( e 2)(e 4028) 2 2
2p
RE
BA M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 53
V
Prof: Nicolaescu Nicolae.
ar
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2log2 3 3
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
A
1
1 5 5 3+5=8
M 2
x12 x22 x13 x23 S 3 3SP = = P x2 x1 x1 x2
2p
20
S=-1 2.
1p
C
1.
2p
P=3
1p
12 1p
x12 x22 8 = x2 x1 3
1p
Condi ia de existen a radicalului: x 2 3x 2 0 x ,1 2, (1) 3.
Ridicând la p trat ob inem x 2 3x 2 12 x 2 3 x 10 0
185
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1 5, x2 2 ambele solu ii îndeplinind condi ia (1)
1p 2p
3x 1
BA 4.
2p
1 1 1 3x 1 2 2 2
3 1 x , 6 6
2p
RE
1p
A
M
6 3 AM 3 3 2
5.
a bc 569 10 2 2
2p
ar
S p p a p b p c 10 10 5 10 6 10 9
ia
6.
V
p
5p
2 3 B2 B B 6 1
C
1p
20
6 1 B2 4B 2 5
12
b)
2p
2
8 4 4 B 8 4
det A
2p
M
a)
A
1.
1p
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
S 10 2 cm2
2p
2a 1 6ab 1 1 3b
2p
1 det A 0 ab imposibil pentru a,b Z 6
186
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Deci, det A 0, a, b Z şi A inversabil
1 1 2 0 2 4 4 0 A , A , A 4 I 2 0 4 1 1 2 0
BA
c)
a)
503
4I 2
4503 4503 I 2 0
503
0 4503
3p
f (1) f (1) 25 2 4 1024 5
RE
2.
A2012 A4
2p
x 1 x 1
5
x2 4 x 3 q ax b
M
5
5p
5
1p 1p
x 1 32 a b x 3 1056 3a b
2p
ar
a=512, b=480
ia
f (0) 0 f x f x h ,cu h R[ X ]
2 3 x 4 x 2x
16 9
0
- - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +
b)
2p
12
f '( x )
16 9
20
x
5p
2
f '( x) 0 3 x 4 0 x
M
2 x
C
a)
3
A
f '( x)
2p
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
3p
nt
c)
1p
V
b)
2p
f ( x)
187
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
16 4 16 f ( x) f 4 2 ln 4 4 ln 9 3 9
1p
RE
BA x
3 x 2 ln x f ( x) 2 ln x lim 2 lim 2 lim 1 , cazul 1 x x x x x x x
M
c)
V
x 2ln x x x
e 0
3p
ia
Func ia f este continu pe ,1 , (1, )
1p
ls lim 2 x 1 2 1 1
3p
nt
ld lim x 2 ln x 1 , f (1) 1
x 1 x 1
x 1 x 1
eB
a)
lim 2ln x x
e x
2p
ar
2ln x 2ln x lim 1 x x
2.
x
f continu în punctul x0 1 f continu pe R f admite primitive pe R
1p
2
3
2
3
2
2p
20
Pe intervalul ,1 , F ''( x ) f '( x ) 2 x ln 2 0 ,deci F convex
2
Fie F : R R o primitiv a func iei f. Atunci F ''( x ) f '( x ) c)
5p
x3 3 16 27 f ( x )dx x ln x dx x dx ln xdx x ln x x | ln 2 3 4 3 2 2 2 3
M
b)
C
A
3
3p
12
188
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 54 Prof: Nicolaescu Nicolae.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
2p
a3 a1 2 r a1 1
2p
1 2810
1p
1.
2
145
Not m x y S , xy P
nt
ia
ar
S10
V
a10 a3 7 r r 3
eB
2.
3p
S 3 Sistemul devine 2 cu solu ia S=3,P=2 S 2P 5
2p
x 1 x 2 sau y 2 y 1
x,y sunt solu iile ecua iei x 2 3 x 2 0 adic
1p
M
3.
2p
C
Solu ia ecua iei este y=1
A
Not m 4 x y >0 .Ecua ia devine y 2 2 y 1 0
Revenim la nota ie, 4 x 1 x 0
2p
2
1 P x1 x2 1 x2
4.
P
5m 1 1 1 m m 4
5.
sin 70o 20o sin 90o sin 70o cos 20o sin 20o cos 70o = o cos 70o cos 25o sin 70o sin 25o cos 70o 25o cos 45
20
x1
2p
12 3p
189
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
1 2 2 2
BA
3p
32 4 2 2p
12 5
M
RE
d ( A, h )
2p
3 1 4 2 7
d ( A, h)
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
m
3
2p
det A 0 260 2 65 deci m Q Deci m Q sistemul este compatibil determinat
1p
2 m 2 6 m 28 33 2 m 2 6 m 5 0
2p
A
eB
m 36 40 4 0
2
det A 32 1
2
1
1 0 , 2 1 2 2 3 1
3
2
1
1 32 , 3 1 2 2 0 2 3 1 1
x=0, y=1,z=0 2.
1
Sunt inversabile clasele a astfel încât (a,9)=1
3p
12
1 2 2 1 1
3
1p
20
1
2p
M
Atunci 2 m 2 6 m 5 0 m R
c)
1p
C
b)
2p
nt
a)
1 2m 2 6m 28 2
ia
m 2 3 1
ar
2
V
1.
1p
2p
a)
3p
190
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
deci 6 elemente Sunt inversabile 1,2,4,5,7,8
b)
2p
1 6 x 6 5 6 2 3 5
3p
3 1
2p
c)
1 3 1 2 4
RE
BA
5 x 3 0 5 x 3 6
2 3 1 2 7 0 4 3 2 6 0 1 1 7
V
1 2 3 1 3 1 2 = 2 4 1 1 7
ar
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
a)
x
x ( x 3)
x
1
2 x 2x x 3 x 3 2x x 2x x
f '( x ) 0 ,deci f este cresc toare.
2015 2014 2015 2011 2014 2012 2012 2011
c)
2p
12
Ecua ia tangentei este y y0 f ' x0 x x0
3p
20
b)
2p
2
Deoarece f este cresc toare pe 3, ,rezult c f(2012)>f(2011)
3p
M
Pentru x 3, ,ob inem c
x '
C
f '( x)
( x 3) ' x ( x 3)
A
eB
nt
ia
3 1
2p
M
1 3
2p 1p
1 f '(4) 16
191
Bacalaureat Matematică M – 2012 y
2.
BA
f1 ( x ) dx
b)
=
5p
2 1 x n 1 x n 1 n 1 f n ( x)dx f n 1 ( x )dx dx 1 x dx x x 1 1 1
1 x
n
n
|
3 2 n n
1 x
2p n
x2
3p
x3 1 2 1 2 dx 2 2 x dx 2 x | x x 1 3 1 2
2p
eB
nt
ia
ar
29 6
4
V
1
3p
2
M
V V
2
1
2
c)
1 x dx ln x x C x
2
RE
1
2p
7 1 ( x 4) x 16 y 52 0 2 16
a)
2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
C
Varianta 55
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Nicolaescu Nicolae.
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
b6 b3 q 3 1.
b1 b3 : q 2
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
3 3 3 1 q q 32 4 2
3p
3 1 : 3 4 4
2p
192
Bacalaureat Matematică M – 2012
Elementele ra ionale sunt
BA
2.
Probabilitatea P
3
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
1, 3 8, 3 27 .
3p
nr . cazuri favorabile 3 nr . cazuri posibile 50
2p
1
Ecua ia devine x 2 2 x 9 2 3 cu solu iile x1 1, x2 3
2p
M
3.
RE
Condi ia de existen a logaritmului x 2 2 x 0 x ( , 2) (0, )
Ambele solu ii apar in mul imii ( , 2) (0, ) ,deci S 1, 3
n ( n 1)( n 2) n ( n 1) n 2 6 n 8 N 6
nt C
7 7 sin x 1 cos x 16 4 2
2p
2
7 x 0, sin x 0 sin x 4 2
20 12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.
3p
M
6.
3p
A
x2 y3 AG : x y 1 0 1 2 0 3
2p
eB
2 5 0 3 1 4 G , G (1, 0) 3 3 AG :
3p
ia
Ecua ia devine
5.
2p
ar
4.
n! n(n 1)(n 2) (n 3)! 3! 6
V
Cn3
1p
2 0 2 0 4 0 A2 0 7 0 7 0 49
2p
2p
193
Bacalaureat Matematică M – 2012 a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3 0 3I 2 0 3
1p
7 0 0 52
A2 3I 2 =
BA b)
det An det A 14n
3p
14 /14n det An
2p
n
RE
a b M 2 ( R) c d 2a 2b 2a 7b deci b c 0 7c 7d 2c 7d
AX=XA
2p
ar
V
c)
1p
M
Fie X
a 0 a, d R X deci ecua ia are o infinitate de solu ii în M 2 ( R ) 0 d
2p
nt
ia
Legea de compozi ie fiind comutativ , rezolv m ecua ia x e x
1p
a)
xe 8 x 8e 72 x e ( x 8) 9( x 8) e 9
4p
Fie x, y 8, x 8 0, y 8 0
2p
A
b)
eB
2.
( x 8)( y 8) 0 xy 8( x y ) 64 0
2p 3p
2
2 x 2 x 16 0 şi deoarece 2 x 0 2 x 16 0 x 4
M
2 x 2 x 72 2 2 x 16 2 x 72 72
20 12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
1p
C
xy 8( x y ) 72 8 x y 8,
c)
2p
ls lim 2 x 1 1 2 x 1 x 1
1p
194
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3x 1 2 x 1 x x 1
1p
ld lim
a)
1p
f(1)=2 Deoarece ls ld f (1) ,rezult c f este continu în punctul x0 1
BA
2p
f ' x
3x 1 x 3x 1 x ' '
M
b)
RE
Calcul m derivata func iei pe 1, .
x
2
1p
1 0 x 1, x2
3p 1p
Deoarece f '( x ) 0 x 1, rezult c f este strict cresc toare pe 1,
ar
V c)
x
3p
ia
lim f ( x ) lim 2 x1 1 1
x
2p
2. a)
x5 C 5
1
4
4
c)
4 x3
x 1
2
2
2p
0 , x 1, 2 deci f este cresc toare pe 1, 2
2
195
3p
12
1 16 Atunci f (1) f ( x ) f (2) f ( x )dx 2 1 3
20
x 1
4
3p
2
x ' x 1 x x 1 ' 3x f '( x )
M
x4 1 7 3 2 0 x 1 dx 0 x x x 1 x 1 dx 12 ln 2
2p
C
x4 1 x3 x 2 x 1 x 1 x 1 1
5p
A
b)
f ( x) ( x 1)dx x 4 dx
eB
nt
Graficul func iei f admite asimptot orizontal spre - , dreapta de ecua ie y=1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 56 Prof:Oláh Csaba.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
211 1 11 a 2 1 2 1
2p
V
ar
1 1 211 1 11 a 211 1 b 2 10 11 210 1024 . 1 2 2 1 b 1 2 210
ia
y 2x 4 x
24 1 , f 3 2 3 4 10 2
2p
A
f 1 2 f 3 10 .
2p
C
3.
1p
eB
f 1 2
y4 x4 , f 1 x 2 2
nt
2.
3p
x 0 , log 3 x t
2p
M
t 2 3t 2 0 , t1 1, t 2 2
2
log 3 x 1 x 3 , log 3 x 2 x 9
Num rul submul imilor cu 3 elemente C53
5.
a 1 1 a 1 a 5 a 1 a 2 5a 6 0 a 1 a 5 a1 2 , a2 3 a 3, 2 .
1p 5p
12
5! 4 5 10 . 2!3! 2
4.
20
x 3,9 .
2p
2p
3p
196
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin x 1 cos2 x
4p
8 2 2 9 3
BA
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 0 0 Dac x 0 , A 0 0 1 0 I 3 . 0 0 1
M
b)
RE
1. a)
b) A x A x ... A x A x x ... x A 2012 x 2012ori 2012 ori
0 0 1 2012 x . 0 1
2p
M
x 4 y 4 4 xy 4 x 4 y 20 .
5p
2
a)
a x a a 4 x 4 4 a a 4 x 4 a 4
2p
12
a 4 x 4 a 4 0 a 4 x 5 0
20
b)
3p
C
2.
2p
A
a 2012 x 0 0
3p
eB
2012
0
0 x y 1
nt
A x
0
0 x y A x y . 1
0 1
ia
c)
0 1
0 0 ax ay 1 y 0 0 1 0
ar
a x y 0 0
0 0 ay 1 x 0 0 1 0
V
ax A x A y 0 0
5p
2p
a 4. c)
1p
Din b) se ştie c 4 x x 4 4
2p
197
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 ... 100 1 2 ... 15 16 17 ... 100 4 .
3p
4 4 4
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1 x 3 3 x 2 3x x3 3x 2 3 x 1 1 x 1 f x 2 2 2 2 x 2x 1 x 2x 1 x 1 x 1
x 1
2
. 2p
y x 1
2p
Asimptota orizontal nu este
1p
Asimptot vertical x 1 .
2p
'
3p
nt
ia
ar
c)
1
V
b)
M
x 1
1 2 1 0 , x R f x x 1 2 3 x 1 x 1 '
eB
f e cresc toare pe R .
b)
f1 x dx
cos xdx sin x 0 .
x 2 cos xdx x cos xdx 2 cos xdx , g x x cos x e func ie impar
1
g x dx x 2 cos x x cos x dx 4 cos 2 xdx 2
0
2
0
0
198
3p
12
f x dx 0 0 0 .
2p
20
cos xdx 0 din a).
,
2
integrând pe un interval simetric, , , devine zero,
5p
M
a)
f 0 x dx
C
2p
A
2.
c)
3p
3
RE
1. a)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3p
sin 2 x sin 2 sin 0 2 2 1 cos 2 x dx 2 x 0 2 2 . 2 0 2 2 0
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 57 Prof:Oláh Csaba.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 2 27 3log 2 3 2 3log 2 3 2 3a 1 log 2 4 2 2 2
2x 1 x 0 .
2
0 ,
2p 3p
12
20
Ecua ia poate fi scris aşa 2 2 x 2 2 x 1 0 2 x 1
5 . 21
1p
2
Probabilitatea ca s alegem la întâmplare un num r ra ional p
2p
M
Numerele ra ionale din mul ime: 3 8 , 3 1 , 0 , adic 5 la num r Num rul de elemente al mul imii: 21
3.
2p
C
2.
2p
A
2a log 6 9 4a 1 a . a 2 3 1 log 4 27 a 1 3a 2 2
eB
1 log 4 27 1
1p
log 2 9 log 2 32 2log2 3 2a , în mod similar log 2 6 log 2 2 3 1 log 2 3 1 a
nt
log 2 3 a , log6 9
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p 4.
x1 , x2 1, , f x1 2 x1 1 1 , f x2 2 x2 1 1
199
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x1 f x2 2 x1 1 1 2 x2 1 1 x1 1 x1 1
2p
x1 x2 , deci f e injectiv . 2p
BA
5.
cos B
6.
3p
145 29 . 180 36
2p
RE
AB 2 BC 2 AC 2 81 100 36 2 AB BC 2 9 10
AB 2 AC . AM 3
5p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2
1
1
c1 2 c3
ar
V 1. a)
0
1
0
3p
3
a2
a2
0
a 2 a 2 .
2p
eB
nt
ia
det A 1 a 2 3 a 2 2 c2 c3 0 1 a 1 1 a2
det A a 2 a 2 , A1 a a R \ 2, 2 .
c)
a4
5p
C
A
b)
M
2 x y z 3 x 4 y 2 z 6 , se adun prima ecua ie cu a treia, şi se ob ine 6 x 12 x 2 4 x y z 9
2p
2
x 2 y 3. z 4
2.
X 2 2 X 15 X 3 X 5
a)
f X 2 2 X 15 f e divizibil cu X 5 X 3 , adic
1p
12
y z 1 y 3 z 4 , deci 2 y z 2
20
Se înlocuieşte x 2 in prima şi a doua ecua ie şi se ob ine
2p
1p
200
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
are dou r d cini reale x1 5 , x2 3 , se verific prin schema lui Horner.
b)
4p
Folosind schema lui Horner, f se poate scrie
f X 5 X 3 X 2 3 X 2
BA
2p
X 5 X 3 X 1 X 2 , rezult c celelalte dou r d cini sunt x3 1 şi x4 2
3p
Fie u a ultima cifr a num rului a , un num r se îm parte la 10 dac se termin în 0
1p
RE
c)
Adic toate r d cinile sunt reale.
M
Fie a x1n x2n x3n x4n , n N
V
n 1 u a u 5 3 1 2 5
ar
n 2 u a u 25 9 1 4 9
n 3 u a u 125 27 1 8 7
3p
ia
nt
n 4 u a u 625 81 1 16 3 , cum ultimele cifre ale puterilor se repet din 4 în 4 (in
x
n 1
x2n x3n x4n 10 , n N .
eB
cazul numerelor 3 si 2 ) sau nu se schimba deloc ( 5 şi 1 ), se poate deduce ca acest num r a nu se va termina în 0 , deci 1p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x f 1
x 1
x
e x x e x e x x2
f 1
e e 1 e e 1 2 . 1 e
1 e x e x ex lim f x lim lim lim x x x x x x x xe 0 , nu exist asimptot orizontal în .
201
3p
12
b)
e
2p
20
f x
x 1
f ' 1
2
lim
M
1. a)
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
lim f ln x lim x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1
eln x
e ln x ln x
x
2p
1 x lim x lim 1 0 . lim x ln x x ln x x x ln x
3p
5p
x
BA 2.
b)
RE
a)
x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 se verific prin desfacerea parantezelor si efectuarea opera iilor
de pe partea dreapta.
x 2 x2 x 1 x2 x 1 f x dx dx x 2 x2 1 x2 1 dx
2p
M
1
0
0
x 1 f x dx
3p 2p
x3 1 dx 2 dx x 1 0 1
x2 1
nt
x x 2 1
x 1 x 2 x 1
ia
1
ar
c)
1 2x 1 x2 1 dx 2 dx x ln x 2 1 C . 2 x 1 2 x 1 2
V
1
1 1 x2 1 x x 1 2x 1 dx 2 dx 2 dx ln x 2 1 arctgx 2 x 1 2 0 x 1 x 1 2 2 0 0 0
1 1 1 1 e ln 2 arctg1 0 ln1 arctg 0 ln . 2 2 2 2 2 4
2p
1p
C
A
3
eB
1
2
M 20 12
202
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 58 Prof: Oláh Csaba.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
Se cunoaşte formula Cnk Cnn k
1p 2p
V
12 C167 C169 şi C16 C164
ar
12 a b C167 C169 C16 C164 0 .
2m 3 12m 4m 2 9 2
1 , trecem în baza 2 1
2 1
2 1
1 log
x 1 log
2 1
1
2 1 , deci
x 1 2x x 2 1 x
2 1
x 1 2 1 x 1
2 2 22 2 2 1 1. 2 2
203
x 1 1
2p
12
x 1 log x 1
2 1
x 1
20
log
2 1
1p
2
log
2 1
M
2 1
2p
C
3 . 2
x 1 2 1
2 1
A
x 1,
log
2p
4m 2 9 2 3 4m2 12m 9 0 2m 3 0 4m
m
log
4m 2 9 , min f x 3 xR 4a 4m
eB
xR
1p
nt
min f x
3.
ia
2.
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
b3 b1q 2 , b7 b1q 6
b1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b3 6 2. q2 3
2p
BA 5.
d : 2 x y 4 0 , y 2 x 4 md 2
1p
RE
d1 : y 2 md1 x 1 , md md1 1 md1
1 1 2 md
1p 3p
1 x 1 x 2 y 5 0 . 2
M
d1 : y 2
6.
3p
54 b7 q4 q4 9 q 3 6 b3
BC AC AC sin A (teorema sinusurilor) BC sin A sin B sin B
2p
ar
V
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 2 a det A 0 1 a 1
A X B
12
c)
1p
20
5 1 11 5 1 11 1 1 1 A 5 1 5 , de unde A A 5 1 5 . det A 6 1 1 1 1 1 1
2p
2
1 2 1 a 1 , A 0 1 5 , calculând A , se ob ine 1 1 0
M
3p
C
A este inversabil a R \ 5 30, 5 30 . b)
5 a 2 10a 5 , a 2 10 a 5 0 x 5 30, 5 30 0
A
1. a)
eB
nt
ia
2 2 10 6 . 3 3 2
10
4p
1p
204
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
5 1 11 2 0 0 10 1 22 1 1 1 X A B 5 1 5 0 1 0 10 1 10 . 6 6 2 1 2 1 1 1 0 0 2
4p
Utilizând rela iile lui Viete x1 x2 x3 1 , x1 x2 x2 x3 x3 x1 1 , atunci
1p
x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 1 2 1
2p
BA a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2
2p
b)
Se opoate observa uşor c
f 1 0 x 1 este o r d cin real a polinomului.
5p
M
c)
RE
1 0 rezult c f nu are toate r d cinile reale.
R d cinile polinomului satisfac ecua ia f x 0 .
1p
2p
ia
x23 x22 x2 3 0
ar
V
x13 x12 x1 3 0
nt
x33 x32 x3 3 0 , adunând cele trei rela ii, ob inem
1
1
x x x 11 . 3 1
3 2
3 3
eB
x13 x23 x33 x12 x22 x32 x1 x2 x3 9 0 , de unde
2p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 1 x2 1 1 2 2 1 2 . 2 x x x x
f x
b)
1 2 f x 0, dac x 0 f x 1 2 3 x x f x 0 dac x 0
k 2 1 k 1 k 1 k2 k k
3p
12
f k
20
f e descresc toare, dac x 0 şi e cresc toare dac x 0 . c)
5p
2
1. a)
2p 1p
205
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
n 1 n 1 1 3 2 4 ... lim f 2 f 3 ... f n lim n n 2 2 33 n n
2p
n 1 1 . n 2 n 2
2p
lim
BA 2.
F x f x 2x x 2 0
3p
a)
F este o func ie cresc toare.
2p
RE
b)
2 7 . ln 2 3
2p
V
2
2
2
f x f 2 x dx f x dx f 2 x dx 1
ar
c)
2
x
M
1
2
3p
2
2x x3 4 8 2 1 f x dx 2 x dx ln 2 3 1 ln 2 3 ln 2 3 1
2
1
1
ia
2
4x 4 x3 f 2 x dx 4 4 x dx 3 1 ln 4 1
16 4 8 4 4 1 12 28 , ln 4 3 ln 4 3 ln 4 3
2
2
2
7
A
f x dx ln 2 3 , atunci 1
1
2
7
12
28 2 12 35 . 3 ln 2 ln 4 3
2p
2
M
f x f 2 x dx ln 2 3 ln 4
C
2
3p
eB
2
Din b)
x
nt
1
2
20 12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 59 Prof: Opri Elena
206
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
Ob ine a4 11
2p
2.
Pune condi ia 0
1p
Calculeaz 16 4m
2p
Ob ine m 4
2p
ia
ar
V
3.
M
RE
Aplic formula an a1 (n 1)r pentru n 4 : a4 a1 3r
Scrie forma echivalent 36 x12 36
1p
nt
Foloseşte injectivitatea func iei exponen iale şi ajunge la ecua ia 6 x 12 6
eB
Finalizare x 3
Cantitatea de magneziu este 20 / 00 2,5
2
x A xB y A y B 2
2
2
20
AB 5
Aria triunghiului ABC este ABC
AC AB sin ABC
2p 1p
12
6.
2p
2
1 2 3 1
3p
M
Lungimea segmentului AB
AB
2p
C
Ob ine 5g de magneziu
5.
2p
A
4.
2p
2p
2 1p
207
Bacalaureat Matematică M – 2012
ABC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3 5 sin 300 2
Finalizare ABC
2p
15 4
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
1 0 G 0 1
2p
Pentru x 1 şi y 0 se ob ine
M
0 0 G 0 0
2p
Pentru x y 0 se ob ine
V
Finalizare
ar
b)
1p
x y t z şi B , x, y, t , z R 5x y 2z t y z G xt
eB
xz yt xt 5 yz AB G 5( xt yt ) xt 5 yz A inversabil dac det( A) 0 .
x y 5 y x
20
2
2p
12
2.
y 2 x 5y x 2 2 x 5y
1p
2
x x2 5 y2 Scrie A1 5y x2 5 y2
1p
M
1 A* det( A)
Calculeaz A *
1p
C
det( A) x 2 5 y 2 0 deci A1
2p
A
c)
2p
nt
xt A B 2( y z )
1p
ia
Fie A
Scrie x y 4 xy 4 x 4 y 4 1
1p
a)
3p
208
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y 4( xy x y 1) 1
4 x y 1 y 1 1 4( x 1)( y 1) 1
1p
Finalizare
BA b)
x y z x y z x, y, z R . Calculeaz x y z 4 xy 4 x 4 y 3 z ... 16 xyz 16 xy 16 xz 16 yz 16 x 16 y 16 z 15
Legea " " asociativ dac
3p
RE Calculeaz
x y z x 4 yz 4 y 4 z 3 ... 16 xyz 16 xy 16 xz 16 yz 16 x 16 y 16 z 15 .
M
c)
Scrie ecua ia ... x 1 sub forma 42011 x 1 x x
2012
2p
1 1 care este echivalent cu
de 2012 ori
x 1
0
2p
ar
V
4
2011
2012
Ob ine solu ia x 1
2p
1p
1. a)
Calculeaz
eB
nt
ia SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f (1) 1 a
x 1
x f '( x)
c)
x2
x2 1 x2
f '(1) 0 şi deduce c lim x 1
f ( x ) f (1) f '(1) 0 x 1
f este strict cresc toare pe a , dac
1p
2p
f '( x ) 0 x a , .
209
1p
12
Calculeaz
1 ' x x2 1 x '
20
Ob ine f '( x)
2
1p
2
Calculeaz
f ( x) f (1) f '(1) x 1
M
Observ c lim
1p
C
Ob ine a 1 b)
2p
A
Scrie ecua ia f (1) 2 sub forma 1 a 2
2p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 Calculeaz
f '( x)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 a x2
1p 1p
Observ c pentru x a x 2 a x 2 a 0, x 2 0
BA
Rezult c
f '( x ) 0 x a , ceea ce implic f este strict cresc toare pe a , 1
2.
Pentru a calcula
RE
a)
1
0
1
1
e x ( x) ' dx e e x dx
0
xe dx 1
0
1
1
0
0
1p
ar
Calculeaz
f ( x) g '( x) 2 x 2e x 1
2 x e dx 2 x e ' dx 2 x
2
x
1p 1p
nt
0
1p
ia
1
0
1 1 2 x e 2 ( x 2 ) ' e x dx 0 0 2 x
eB
1
2e 4 xe x dx 2e 4
2p
A
0
c)
2p
x
0
b)
2p
V
Ob ine
M
x x x(e ) ' dx xe
2p
1
f ( x)dx xe x dx aplic m metoda de integrare prin p r i.
0
2p
C
Calculeaz h( x) f ( x ) g ( x ) xe x x 2 2 1
0 1
xe
x
0
1
1
0
0
0
10 3
2p
20
1
x 2 2 dx xe x dx x 2 dx 2dx
2
Scrie formula pentru arie
M
h( x)dx
1p
12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 60
210
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Prof:Opri
Elena
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
RE
1.
1p
Calculeaz 5m 2 10m 5
2p
M
Ecua ia are r d cini reale dac 0 x R .
2p
Scrie expresia pentru 5 m 1 şi observ c 0 m R
V
2.
2
Num rul submul imilor cu 8 elemente ale unei mul imi cu 10 elemente este C108
ar
n! C k ! n k ! 8
eB
2 0, 285714 7
2p 1p
A
Observ c 2012 6 335 2
2p
C
a2012 8 4.
2p
nt
Calculeaz C10 45 Scrie
1p
ia
k n
3.
2p
2p
2
M
x 2 7 x 17 0 8 C.E x , 3 3x 8 0
Foloseşte faptul c func ia logaritmic este injectiv şi ob ine x 2 7 x 17 3x 8 . G seşte
Foloseşte formula cos 1800 x cos x şi ob ine cos1300 cos500
2p 3p
Ob ine cos 500 cos1300 0 6.
3p
12
5.
20
x1 1 C.E şi x2 9 C.E
Fie d ' dreapta c utat . Din condi ia d // d ' se ob ine md md ' . Deci panta dreptei d ' este
211
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 md '
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
5 12
Ecua ia dreptei care trece prin punctul A şi este paralel cu d ' este: y y A md ' x x A
2p
BA
Înlocuieşte şi ob ine ecua ia pentru d ' : 5 x 12 y 17 0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
62 Calculeaz A 0
0 1
2p
2p
2
63
Calculeaz A3
0
Calculeaz det( A ) 6 n
n
3p
ia
b)
0 1
ar
1p
M
Scrie A2 A A şi A3 A2 A
V
RE
1. a)
2p
c)
0 2012
2
3p
20
x1 x2 x3 3 Scrie rela iile lui Viete pentru ecuatia data. x1 x2 x1 x3 x2 x3 1 x x x 1 1 2 3
12
Ob ine c x1 x2 x3 3
b)
2p
M
B2012
6 2012 6 1 0 5 0 2012
2p
C
a)
B2012
6 62 ... 62012 0
1p
A
2.
Scrie B2012 A A2 ... A2012
eB
nt
Rezolv ecua ia 6n 1296 şi ob ine n 4
2p
Scrie x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 2
3p 2p
212
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ob ine x12 x22 x32 32 2 1 7
c)
1 x2
x3 1 x2
x1 1 x3
BA
1 x1
2p
1 x3
x 1 1 1 x x x2 1 2 3 x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2 1 x1
RE
x2 x3 x1 x3 x1 x2 x12 x22 x32
x1 x2 x3
2p
1 7 6 1
M
1p
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Observ c
lim
C
f '( ) 2012 2011
F
lim
x
x 2012 2012 2012 2011 x
1p
2
1p
12
Observ c x
2012
1p
20
f ''( x) f '( x) '
f ''( x) 2012 2011x 2010
a)
2p
Intervalele de concavitate si convexitate le stabilim cu ajutorul semnului func iei f '' Calculeaz
2.
2p
M
x
x2012 2012 f '( ) x
C
f '( x) 2012 x
3p
A
c)
Calculeaz
2011
2p
eB
b)
Aplic formula x n ' nx n 1
nt
ia
1. a)
1p
0, x R deci f ''( x ) 0, x R ceea ce implic faptul c f este convex pe R
1
Scrie I1 xe x dx şi aplic metoda de integrare prin p r i. 0
213
2p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1
I1 x (e x ) ' dx xe x 0
Finalizeaz I1
BA b)
1
1
0
e x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 0
1p
2 1 e 1
1p
I n x e dx x n e x ' dx n x
0
0
RE I n xn e x
1 0
1
1p
x n ' e x dx 0
M 1
1p
1 I n n x n 1e x dx e 0
V
1 I n nI n 1 , n N , n 2 e
2p
ia
ar
c)
1
Integrând inegalitatea dat de la zero la unu se ob ine
2p
1p
2p
1 1 In , n N * n 1 n 1 e
C
A
Din rela ia de mai sus ajunge la
1
eB
nt
x n1 1 1 xn 1 1 In e n 1 0 n 1 0
1
n 1 n x n 0 x e dx 0 x e dx 0 x dx
20
Varianta 61
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Elena
12
Prof:Opri
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
214
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
log 2 128 log 3 27 log 4
3p
1 3 4
2p
log 2 128 log 3 27 log 4
BA
F
2.
1 7 3 1 4
1p
Observ c termenii sumei formeaz o progresie aritmetic cu primul termen 1 şi ra ia 3. Termenul
2p
RE
Suma elementelor mul imii A este 1 4 7 ... 37 general al unei progresii aritmetice este an a1 n 1 r . Num rul de termeni îl afl din rela ia
M
1 ( n 1) 3 37 n 13
Calculeaz suma S13
2
3 x
249
2p
1p
24
ar
x Scrie ecua ia sub forma 2
13
2
V
3.
1 37 13 S
2p
ia
Folosind injectivitatea func iei exponen iale ob inem x 2 3x 4 x 2 3x 4 0
2p
2p
În l imea copacului dup dou luni 10, 4 4% 10, 4 ... 10,816m
3p
A
5.
În l imea copacului dup o lun 10 4% 10 ... 10, 4m
eB
4.
nt
Rezolv ecua ia şi ob ine solu iile x1 1 şi x2 4
A ' este simetricul punctului A în raport cu B B este mijlocul segmentului A ' A
2p
C
3p
Foloseşte formula BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos BAC
2p
2
2p
12
Ob ine BC 7 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
2
2
1 BC 5 8 2 5 8 2 2
M
6.
x xA ' yA y A ' B A , deci xA' 2 xB xA 14 şi y A' 2 yB yA 6 . Ob inem A ' 14, 6 . 2 2
Scrie A A A 2
2p 2p
215
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 0 0 Calculeaz şi ob ine A 0 0 0 0 0 0 2
1p
BA
Finalizeaz A2 O2
b)
I 3 A I 3 A I 32 I3 A AI3 A2 .
Calculeaz
3p
c)
RE
Folosind propriet ile matricei unitate si punctul a) ob inem
2p
I 3 I 3 A I 3 A
Folosim punctul b) şi defini ia func iei inversabile ob inem
M
I3 A
1p
1
2p
I3 A
2p
ia
ar
V
2 1 1 1 Scrie I 3 A 2 3 2 3 3 2
Restul împ r irii polinomului f la X 2 se ob ine folosind teorema restului
a)
Restul este f ( 2) 2 2 1 2
b)
f ( 2) 3
2p
C 2p 1p
20
Ob ine x 1 solu ie.
2p
2
M
3p
A
g ( x) f ( x) 1 x 3 2 x 2 2 x 1 0 Scrie ecua ia sub forma x 1 x 2 x 1 0
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
x1 x2 1 2 2 2 şi calculeaz x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 1 x x 1 1 2
Scrie rela iile lui Viete
x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 ... 2 c)
3p
eB
Finalizeaz
1p
nt
2.
f '( x ) x ' 3' 3x '
2p
216
Bacalaureat Matematică M – 2012
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f '( x) 1 0 3x ln 3
2p
f '( x) 1 3x ln 3
1p
f este cresc toare pe R dac
f '( x) 0, x R
1p
BA
1p
f '( x) 1 3x ln 3
2p
3x 0, x R şi ln 3 0 implic f '( x) 0, x R
RE
1p
Concluzia: f este strict cresc toare pe R .
M
c)
f ' 1 f ' 2 ... f ' 2012 1 3ln 3 1 32 ln 3 ... 1 32012 ln 3
1p
V
1p
2012 3 32 33 ... 32012 ln 3
ar
Calculeaz suma 3 3 3 ... 3 3
2012
2012
33
1
1p
2
nt
ia
Finalizeaz
2
f '(1) f '(2) f '(3) ... f '(2012) 2012
3 2012 3 1 ln 3 2
2p
A
eB Func ia F este o primitiv pentru func ia f dac F este derivabil şi F '( x ) f ( x ) .
a)
F este derivabil deoarece este sum de func ii elementare şi
F '( x ) f ( x )
Deci 1
0
f ( x ) F ( x )dx F '( x ) F ( x )dx x
x 4 x3 2 x 2 1 2
2
0
1p
1p
12
e
0
F 2 ( x) 1 2 0
20
1
1p
2
b)
2p
M
F '( x) e x ' x 4 ' x 3 ' 2 x ' 2 ' e x 4 x 3 3 x 2 2
2p
C
2.
1p
(e 1 1 2 2)2 e 2 2 2 2
2p
217
Bacalaureat Matematică M – 2012
e 2 e 2 2
2
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
4e
Calculeaz xf ( x) F ( x) ... xe x 5 x 4 4 x3 4 x 2
BA 1
xe
x
2p 1p
5 x 4 x 4 x 2 dx 4
3
0
1
1
1
1
1
0
0
0
2p
RE
xe x dx 5 x 4 dx 4 x3 dx 4 xdx 2dx ... 3 0
0
M ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
ia
Varianta 62 Prof: P curar Cornel-Cosmin
eB
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2 x 3 3 3 2 x 3 3 0 x 3
M
1.
S f 1 f 2 ... f 10 2 1 3 2 2 3 ... 2 10 3
1p
12 2p
S 2 1 2 ... 10 3 10
2p
S 140 3.
20
2.
2p
2
A 0,1, 2,3
3p
32 x 4 3 x 2
1p 218
Bacalaureat Matematică M – 2012
2x 4 x 2
2p
x 2
2p
C31 3
2p
A32 6
2p
BA
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
RE
1p
3C31 2 A32 3 AB 4 2, BC 2 10, AC 2 10
3p
P ABC 4 2 4 10
2p
M
5.
V
A MNP
MN NP sin MNP 2
ar
6.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A
A1 2,1 , A2 4, 4 y 1
2p
2
A1 A2 : 2 1 1 0 4 4 1
20
A1 A2 : 3 x 2 y 4 0
0 0 1
1p 2p
12
b)
2p
M
x
C
1. a)
2p
eB
A MNP 12
1p
nt
1 2
ia
sin MNP
2p
2 1 1 4 4 1 4
1p
219
Bacalaureat Matematică M – 2012 AOA1 A2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 2 2
c)
2n Justificarea faptului c
3n 2 1
3p
BA
2p 3p 2 1 0 2q 3q 2 1 2p
Am , An , Ap coliniare
1p
C x2 3x 4
3p
R0
1p
f x 1 f 1 0
V
b)
m 3 f x 3 5 x 2 2 x 8
M
a)
RE
2.
2p
ar
f 1 1 m 2 2 2m 14 3m 9 1p
ia
3m 9 0 m 3
c)
eB
nt
2p
2p
t 1 < 0
1p
A
Cu nota ia 2 x t > 0 t 3 5t 2 2t 8 0 t 2 t 1 t 4 0
1p
C
t 2 x 1 t 4 x2
1p
2
M lim f x 5, lim f x 5, f 0 5 x 0
12
1. a)
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
3p
x 0
2p
f este continu în punctul x0 0
220
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x x 5 1 lim lim x 5 25 x 2 x 5 5 x 5 x x 5 5 x
3p
lim
f x 1 2 x 5 25 x 10
2p
Ecua ia tangentei este y f 2 f ' 2 x 2
2p
lim
BA c)
RE
5 10 x f ' x , oricare ar fi x < 0 2 2 x 1 x 1
Pentru x < 0, f x
2
2p
M
4 13 Ecua ia tangentei este y x 5 5
1p
V
F e elementar F e derivabil
2p
a)
F ' x f x , x
2p
ar
2.
2
1
2
4 ln 2
2
1
2
ln 2 2 8ln 2 12 2
e
e
e
1
1
1
2p
2
A F x dx 2 xdx ln xdx e2 1 xdx , ln xdx 1 1 2 1 e
20
e
1p
M
c)
2p
C
F x f x dx
4 ln 2
2p
A
y2 F x f x dx 1 2 2
ydy
eB
F x f x dx
nt
b)
1p
ia
F e primitiv pentru f
2p 1p
12
A e2
221
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 63 Prof: P curar Cornel-Cosmin
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
S5
M
1.
b1 q 5 1
3p
q 1
2p
ar
2.
V
S 5 31
S f 3 f 2 ... f 2 f 3 3 2 ... 22 32
2p 1p
C
A 1 x reprezint reducerea 10
2p
M
1p
2
9 x reprezint pre ul dup reducere 10
20
9 x 180 x 200 10 2 a3 a2 3
2p 1p
12
5.
2p
eB
3 x 0, 4 Fie x pre ul ini ial
3p
nt
x3 x 2 1 x3 3x 2 3x 1 4 x 2 3x 0
4.
2p
2
ia
S 0 3.
2
2p
a 2 a 3 2 3 a 2 5a 0 a 0 sau a 5
1p 1p
222
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a < 0 a 5
6.
1p
BD=6
1p
AD=8
1p
BA
Fie AD BC, cu D BC
A ABC
AD BC 48 2
2p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A2 4 A
M
1. a)
ar
b)
2p
V
A2 4 A O2
3p
X a X b I 2 aA I 2 I 2 aA bA
1p
ia
X a X b I 2 aA bA abA2 I 2 aA bA 4abA
nt
X a X b I 2 a b 4ab A
1p 1p
C
A
1 a 3a X a a 1 3a
1p
eB
X a X b X a b 4ab c)
2p
det X a 1 4a
1p
M
1p
2
1 det X a 0 a 4
1p
20
det X a 0, a X a e inversabil pentru a
1p
12
2.
2 x 3 y 3 3 2 xy 6 x 6 y 15
a)
x y 2 x 3 y 3 3, x, y
2p
b)
x y z 4 x 3 y 3 z 3 3
2p
3p
223
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y z 4 x 3 y 3 z 3 3
Rezult c c)
''
2p 1p
'' este asociativ
x 3 3, 3 x 3
2p
BA
3p
2012 2011 ... 2011 2012 3
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
1. a)
f ' x 2012 x 20121 2012 x ln 2012
3p
V
2p
f ' x 2012 x 2011 2012 x ln 2012 f '' x 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012
2p
ia
ar
b)
3p
f '' x 0, x f convex pe
0
x4 4
2
5
2
x5 Vg 4 x 5 0
F ' x x4 4 0, x
1p 2p
12
' Justificarea faptului c F x f x , x
2p
20
Vg 645 b)
2p
M
a)
5
Vg
C
2.
2p
A
f ' x f ' 0 ln 2 2012 lim x 0 x
3p
eB
f ' x f ' 0 lim f '' 0 x 0 x
nt
c)
2p
F este cresc toare pe
1p
224
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
4
f x dx
4
0
4
4
BA
0
0
4
4
f x dx f x dx
2p
0
4
1p
f x dx 2 f x dx
RE
4
2p
f x dx f x dx
Justificarea faptului c 4
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0
M nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 64
Prof: P curar Cornel-Cosmin
A
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
x2
x 2 3x 4 2
20
1.
2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
2p
12
x 1
3p
f 6 0
3p 2p
f 1 f 2 ... f 9 0
225
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
5 x 0 x ,5
1p
log 2 5 x log 2 32 2p
5 x 9 x 4
BA 4.
P
2p 2p
nr.caz. favorabile nr.caz. posibile
3p
RE P
M mijlocul lui AB xM 3, yM 2
1p
ar
md 1
1p
V
m AB 1
M
5.
6 1 90 15
1p
d : y 2 1 x 3 x y 1 0
ia
b 2R sin B 1 2
C
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
5 3 3 3 A 1 , A 1 8 5 8 7
20
3p
12
9 6 A 1 A 1 16 11 b)
2p
2
1. a)
2p
A
R 8
1p
eB
sin150 sin 30
2p
nt
6.
2p
1 8 x 8x 2 2 6 x 6 x 2 A x 16 x 16 x 2 1 12 x 12 x 2
2p
2p
226
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 4 2 x 2 2 x 3 2 x 2 2 x A x 8 2 x 2 2 x 1 6 2 x 2 2 x 1p
A x A 2 x 2 x 2
BA c)
det A 1 1 0 A este inversabil
1p
RE
5 3 A 8 5
2p
M
5 3 A1 8 5
2p
x1 x2 x3 x4 a
3p
a)
a 5
2p
b)
a 1 x 4 x 3 2 x 2 0 x 1 x 3 2 0
3p
ia
2p
eB
nt
c)
ar
x 1, 2 3
V
2.
R d cinile întregi ale ecua iei se g sesc printre divizorii lui 2,care sunt ± 1,± 2
7 7 , x 2 a 2 2
A
x 1 a 1 , x 1 a 1 , x 2 a
2p
3p
C M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2
f ' x 3 x 2 2 x 1 2012 x ln 2012
20
1. a)
b)
f ' x 2 x 2 x 1 2012 x ln 2012 0, x 2
2p
12
f ' 0 1 ln 2012
3p
3p 2p
f este cresc toare pe
227
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b, f cresc toare pe f a f b
3p 2p
a 3 a 2 a b 3 b 2 b 2012 b 2012 a 2.
f0 x 4
3p
BA
f0 x dx 4 x C
2p
b)
f1 x 4 x 2 4 x 4 0, x 0,1
1p
RE
a)
1
0
2p
1p
ia
f 2 x 16 x 2 8 x 4
ar
c)
22 3
V
A
2p
M
A
1
4 x3 4 x 2 f1 x dx 4x 2 3 0
nt
2 2 2 f x 4 x x 8 16 8 I 2 e dx x e dx 2 x 1 e x dx x 1 1 1
2 x 1 e dx 2 x 1 e x
1
2
eB
2
2
1p
2e x 3e2 e
x
1
1
2p
A
I 8 3e 2 e
C
1p
20
Varianta 65
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: PODUMNEAC DANIELA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
228
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
a1 1, r 2, n 10 în progresie aritmetic S10
( a1 a10 ) 10 100 , a10 x 2
3p 2p
BA
(1 x)10 100 , x 19 2
2.
1p
( x 7) 2 (7 x ) 0 ,
RE
2p
( x 7)( x 6) 0 ,
2p
x {6, 7}
M
3.
1p
x2 8 x2 8 log 2 0, 1 x 8 x8
2p
V
x 8 0 x ( 8, )
ia
4.
ar
( x 1) x 0 x {0;1}
2p
nt
A53 60 numere
a 3 8 , a ( a 3) 4 5 10 a
1p
2
0
12
5 2
2p
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
3
2p
M
d: x 2 y 1 0
det A
3p
C
d MN md mMN
1 mMN 2
1. a)
2p
A
a 2 3a 4 0 a {1, 4} 6.
3p
eB
5.
2p
3p
5 0 3 (2)
2p
det A 6
229
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
A 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 A* det A
0 2 3 5
*
Calcul A
BA c)
RE
0 1 A 1 2
2p
1 3 5 6
1p
3p
35 16 A2 A A1 3 A . 24 5
2p
M
19 10 1 0 15 6 1 A2 , A A I2 , 3A 15 6 0 1 9 0
ar
V
x y 3 xy 6 x 6 y 12 2
a)
x y 3 x ( y 2) 6( y 2) 2
3p
nt
1p
3(2 x 2)(lg x 2) 2 2 (2 x 2)(lg x 2) 0
3p
x y 3( x 2)( y 2) 2, x , y
eB
b)
1p
ia
2.
x
2p
2 2 x 1 (2, ) şi lg x 2 x 100 (2, ) , S {100}
M
( x 2)( y 2) 2 2
1p
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
12
f ( x )
2p
2
x y (2, )
1. a)
2p
C
x (2, ) x 2 x 2 0 ( x 2)( y 2) 0 y (2, ) y 2 y 2 0
A
c)
2p
3x2 ( x 2 1) 1 3 x2 1
2p
230
Bacalaureat Matematică M – 2012
f ( x) x 2 1
f ( x)
x2 1
,
1p
x4 2 x 1 x2 1
BA b)
2x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f ( x) f (1) f (1) x 1 x 1
2p
lim
RE f (1) 1
2p
f ( x ) f (1) 1 x 1 x 1
c)
1p
M
lim
Ecua ia tangentei este y f (0) f (0)( x 0)
2p
V
f (0) 1
1p
ar
2p
Ecua ia tangentei este x + y = 0.
lim f ( x ) lim f ( x) f (0) 6 f continu în punctul 0,
x 0
ia
2.
x0
nt
a)
2p
f func ie elementar f continu pe *
eB
2p
func ia f este continu pe f admite primitive pe . b)
1
1
2
f ( x) dx ( x 2 2 x 6) dx 1
C
x3 f ( x ) ( x2 6 x) 1 3
2
2
2 3
1p
0
0
1
1
20
c)
1
2
1
f ( x)
2p
M
2
2p
A
Pentru x 0 ,
1p
A g ( x) dx x(e x 5) dx 0
1
12
0
1
1p
xe x dx 5 xdx
1p
0 x2 x0 x0 xe e 5 1 1 2 1
2p
231
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4 7e 2e
1p
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 66
RE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 3
15 6 18
eB
Solu ii reale distincte dac 0
( 2 m 1) 2 4m 4 m 2 1
2x 1 x 1
2p
1p
M
2 x 1 0 x 1 x [1, ) x 1 0
20
x 0 [1, ) x2 4x 0 x 4 [1, )
1p
2
Condi ii pentru rezolvarea ecua iei ira ionale
2p
12 1p
Mul imea solu iilor S {4} 4.
2p
C
Conform injectivit ii 1 2 x 1 x
1p
A
4 m 1 0 pentru m 2
3.
2p
nt
= log 5 5 1 2.
3p
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
Num rul tuturor submul imilor este 2 4 16
2p
Num rul submul imilor cu 2 elemente C42 6
2p
232
Bacalaureat Matematică M – 2012 Probabilitatea P
5.
6 3 16 8
Din y 7 x 3 md 7 si mPQ
BA
Din d PQ md m PQ 7
3m 2 3 m
2p
3m 2 3 m
2p
19 10
RE
m
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p 1p
M
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
Prin calcul AC 37 ,
V
2p
Perimetrul este P AB BC AC 11 37 2p
ar
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
ia
1. a)
1 1 1 Dac matricea sistemului este A 1 1 1 atunci,, 2 1 a
eB
det A 2a 2
Din ecua ia trei solu ia nu depinde de a
2
1
1
1
2 1
1
1
2p
M
c)
3p
C
Prin calcul direct M (1,1, 0) verific toate ecua iile,
3p
A
b)
2p
2
d x 0 1 1 2a 2 , d y 1 0 1 2a 2 , d z 1 1 0 0 1 1 a 2 1 a 2 1 1
2.
Restul este r f ( 3)
a)
7.
b)
Suma r d cinilor este S1
2p
12
dy d dx 1, y 1 , z z 0 , solu ia sistemului este S {(1,1, 0)} . det A det A det A
20
x
3p
2
2p 3p
2 1
3p
233
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
(1 x1 )(1 x2 )(1 x3 ) 1 S1 S 2 S3
3p
= -1.
2p
BA
= -2.
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ex
Asimptota este y lim
x 6 x
1
x
3p
ar
1p
V
ex
1p
1 e lim 0 1 1 x x x 6 6 (1 ) (1 ) 6x 6x
= lim
ia
y 0 asimptot orizontal la . Func ia g ( x )
6x 1
,
6 x ln 6 (6 x 1) 2
6 x ln 6 0, x (6 x 1)2 0, x 6 x ln 6 (6 1)
2
0, x * ,
1 2x 1 dx ln(1 x 2 ) c 2 2 1 x 2
F (0)
1 ln1 c 5 c 5 2
a)
1p
2p 2p
12
F ( x)
1p
20
g ( x ) descresc toare pe * . 2.
1p
2
x
3p
M
Rezult c g ( x)
2p
C
Cum
1
A
c)
ex
eB
g ( x )
f ( x)
nt
b)
2p
234
Bacalaureat Matematică M – 2012 O primitiv a func iei este F ( x )
b)
11
1p
1 ln(1 x 2 ) 5 . 2
2p
1
0 x f ( x)dx 0 1 x2 dx
BA =
1
2p
arctgx 0
1p
4
RE =
c)
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
M
1 1 xf ( x) dx x f ( x ) f ( x) dx 0 0 0 1
=
1 e ln . 2 2
2p
ar
1 1 1 ln(1 x 2 ) 2 2 0
V
=
1p
eB
nt
ia C
Varianta 67
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2.
2 32 1 3 64 1 4 1 3
3p
3
2p
f (30 ) 2 30 ; f (31 ) 2 31 ; f (32 ) 2 32 ;...: f (310 ) 2 310
235
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
311 1 11 2 3 3 3 ... 3 11 2 1 ... 3 1 Suma lor este 311 43 2
2p
x 3 0, 5 x 0 x [ 3; 5]
1p
Ecua ia echivalent x 3 (5 x ) 2 x 2 11x 22 0
2p
0
1
2
10
2p
RE
BA
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1
P5 5!
720
3p
MN NP PQ QM 0
2p
Cum NP PN şi QM MQ ,atunci
2p
MN PN PQ MQ 0
1p
6 4
C
2 3
2
0 1
3 2 9 10
x
y 1
2p
12
( x, y ) 3 0 2 x 9 y 3 . 0 1 3
x y 6 x 5 x 9 y 3 7 y 1
c)
3p
20
b)
2p
M
1 1 1 (1, 1) 3 0
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
3p
eB
2 3 2 2
nt
ia
sin 450 cos 300
ar
6.
2p
V
5.
2p
M
4.
11 33 11 33 11 33 [ 3;5] şi x1 [ 3;5] ,solu ia S { }. 2 2 2
Atunci
3p
( x, y ) x 9 y 3 ( x, x ) 8 x 3
1p
236
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x, x) 0 8 x 3 0 3 x ( x, x ) 0, x 8
2p
f ( x 2) f (2) 0
3p
a)
a 2 0 a 2
2p
b)
Rela ia este 3S 3 2 S1 3
1p
2.
2p
RE
BA
2p
S1 a; S 3 ( a 6) , atunci
2p
Rela ia devine 5a 18 3 a 3
M
c)
1p
X ( X 2 6 X 6)
2p
X ( X 3 3)( X 3 3)
2p
ia
ar
V
Dac a = 6 atunci polinomul este de forma f X 3 6 X 2 6 X
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
eB
nt
1. a)
Func ia admite asimptote verticale în punctele x = 0 şi x = 2.
lim f ( x) , lim f ( x) x 0 x 0
x 0
A
lim f ( x) , lim f ( x) x 2 b)
2( x 2 x 1) , ( x 2 2 x)
2p
20
1p 2p
12
f ( x ) 0 x2 x 1 0 x1,2
2p
2
f ( x ) f (1) f (1) x 1 x 1 2
lim
c)
2p
M
f ( x)
x 2
2p
C
x 2
1p
1p
1 5 0; 2 2
2p
237
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2
A f ( x )dx 1
a)
2
x4 (x ) 4 1
BA
b)
2p
13 4
1
1p 2p
1
1
x 5 f ( x)dx ( x5 x8 )dx 1
RE
1
x6 x9 ( ) 6 9 1
1
0
1p
x f ( x )dx x 6 x dx 1
0
0
1p
C
A
eB
nt
ia
2
2p
ar
1
6 x 2 dx
2p
V
c)
2 9
M
2p
20
Varianta 68
2
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
12
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
238
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a2 a1 r 1 a1 r
a6 a1 5r 17 a1 5r a1 3, r 4
1p 1p 2p
a10 a1 9r 33
BA
1p
2.
x 2 0 x (6, ) x 6 0
1p
RE
x2 x2 1 4 x6 x6 26 3x 26 x (6, ) 3
2p
3 4 17 yv 9 3 17 V ( , ) 4 9
2p
log 4
M
2p
ia
2p 2p
C
3 m 0 m 3
1p
M
3p 2p
2
tg 450 2 cos1800 1 2 ( 1) 3
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
12
1. a)
3p
A
AB (2 1) 2 (3 m)2 9 (3 m)2 3
6.
2p
eB
n! n! 2 (n 3)! 3! (n 2)! n 2 12 n 14
1p
nt
5.
ar
4.
xv
V
3.
2p
1p
A0 (1, 0) : A2 (4, 4)
2p 2p
239
Bacalaureat Matematică M – 2012 x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 1
0 1 0
A0 A2 : 1
4 4 1 4 x 3 y 4 0
BA b)
1p
A1 (2,1)
1 0 1 3p
A0 , A1 , A2 nu sunt coliniare
1p
An (2 n , n 2 ); An 1 (2 n 1 , ( n 1) 2 ); An (2 n 2 , ( n 2) 2 )
1p
c)
2n 2
( n 2) 2 1
1 1 2n ( 2n 1)
2p
ia
2 n ( 2 n 1) 0, n punctele nu sunt coliniare.
2p
x y xy 5 x 5 y 25 5 x ( y 5) 5( y 5) 5
1p
eB
nt
( x 5)( y 5) 5, x, y
1p 2p
M
2p
2
e 6
b
2p 2p
12
(2012) (2011) ... 4 5 6 ... 2012 a 5b
20
Se observ c x 5 5, x
a
2p
C
e , a.i.x e e x x , x
x e x e 6, x 5 e x x e 6, x 5
c)
2p
A
b)
n2 ( n 1) 2
ar
a)
2n 2 n 1
V
2.
M
RE
2 1 1 1 0 4 4 1
1p
5b 5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
240
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia tangentei este y f (1) f (1)( x 1) , cum f (1) 3
f ( x)
1p
1 3 x ln 3 x
1p 1p
ecua ia tangentei este (ln 27 e ) x y 3 ln 27 e 0
2p
f ( x) ln x 3x lim lim x x 3 x x 3 1 x 3 ln 3 lim x x 1
2p
Func ia f este cresc toare pe (0, ) dac f ( x ) 0
1p
1 0, x (0, ) x x 3 0, x (0, )
1p
b)
RE
BA
şi panta dreptei f (1) ln 27 e
3p
M
2.
e
1
e 1 1 dx ) dx 1 x3 x5 e
ln( x 5) 1
1
1
2p 3p
20
31 420
g ( x) f ( x)
1p
2
c)
2
f ( x)dx f ( x)
2p
M
2
2p
C
e5 ln e 1 b)
1p
A
a)
( f ( x)
1p
eB
f cresc toare pe (0, )
1p
nt
f ( x ) 0, x (0, )
ia
ar
V
c)
1p
12
1 1 x5 x3
1p 2p 1p
241
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
V g 2 ( x )dx 1
2
( 1
2 1 2 ) dx ( x 3) 2 dx 1 x3
1 ) ( x3 1 4 2
RE
BA
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 69
V
Prof: PODUMNEAC DANIELA
ar
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
log n 32 a 32 na
f max
2(3 x )
2p
1p
20
3 3 5 5 x 2 2(3 x )
2p
12
8 x 3 4.
2p
2
x 2
1p
M
3.
4a 1 9 8a 8 8 a 1
2p
C
2.
3p
A
n 2, n 32
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
x 12 0 0 x 3920 28 x 3920 x 3500 25
2p 3p
242
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
l2 A
l2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 3p
3 4 4 4 3 3 3 l2
BA
2p
6.
AB 2 AC 2 BC 2 Din teorema cosinusului cos A 2 AB AC
3p
RE
16 8 27 5 2 32 2 4 2 2
2p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2x 3 2x
2x
2x 3
2p
nt
2p
8x 2 4 3x 3 8x 2 A( x) A( X ) , (1) 2 2 8 8 4 3 3 x x x
eB
b)
2
ia
2 x 3 2 x 3 4 x 4 x 2 3 4 x 2 3
1p
ar
det A
V
1. a)
2p
A
1p
M
Din calcul direct (1) = (2) c)
2p
C
8 x2 4 3x 3 0 8x 2 4 x A( x ) 3I 2 , (2) 2 2 0 3 8 8 4 3 x x x
( b)
1p
2
A 2 ( x ) 4 x A( x ) 3 I 2
2p
20
A2 (2) 8 A(2) 8 A(2) 3I 2 8 A(2)
2p
12
3 0 3I 2 0 3 2.
( x y ) z x ( y z ), x, y , z
a)
( x y ) z ( x y 4) z x y z 8 x ( y z 4) x ( y z )
3p
Legea " " este asociativ x, y , z .
1p
1p
243
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 3 4 5 12 30 4
3p
12 30 4 38
2p
Ecua ie echivalent cu x 2 2 x 1 3 2 x 5
2p
BA
2p
x2 5
1p
x 5
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 4 x 5a p trat perfect dac a
f : {2} f are o singur asimptot . x5
x 2
2
eB
( x 8) ( x 2)3
5
4
1 2x 7 g ( x) 2x 7 2 2x 7 2x 7
2p
3p
20
f ( x ) g ( x )
2
b)
2p
M
f ( x)
3p
C
Func ia f este o primitiv a func iei g dac
3p
A
Conform (b) f ( x) 0, x 8,
a)
2p
, f : {2}
f descresc toare pe intervalul 8, 2.
2p
nt
Func ia devine f ( x)
f ( x) c)
x 2
2
ia
b)
x 5
3p
4 5
ar
Atunci f ( x )
V
1. a)
5
g ( x)dx f ( x) 4 (a)
3p 2p
12
f (5) f (4) 3 1
244
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
6
6
4
4
V h2 ( x)dx
2x 7
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2
2p
dx
1p
2 x 7 dx 6
4
6
2x2 7 x 6 2 4
RE
BA
2p
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 70
V N
1.
C
a100 a1 99r 299
a1 a100 100 15050
1p
M
S100
3p
A
a1 2 a1 2 a 2 1 a5 14 a1 4r 14 r 3
10.
eB
SUBIECTUL I (30 de puncte)
nt
ia
ar
P N punctajului indicat în barem. S
Prof: RICU ILEANA
2
2 20
2.
m 1 9 m 1 3 m 1 10 m 3
m 1 0 m 1 m 1;10 Cond.: 10 m 0 m 10 245
1p
12
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1 Rel.devine:
1p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
R
m 1 2 m 1 10 m 10 m 9 m 1 10 m 0
1p
m 1 0 m 1 1;10 sau 10 m 0 m 10 1;10
BA RE
3.
2p
Cond.ca logaritmii sa fie corect definiti:
1p
M
5 x ( ; ) 2 x 5 0 2 2 x (; 2 2) (2 2; ) D (2 2; ) {10} x 8 0 log ( x 2 8) 0 x 10 2
ar
V
Ec.devine 2log 2 2 x 5 log 2 x 8 log 2 2 x 5 log 2 x 8 2 x 5 x 8 2
2
2
2
2p
nt
ia
2
3 x 2 20 x 33 0 x1 3 D si x2
11 D 3
eB A
4.
f (1) m2 m m 1 m 2 m
1p 3p
20
2p
12
Finalizare: C123 C129 0
h
1p
2
C123 C129 combinari complementare
N
2p
M
(2m 1) 2 0 ( A) m
6.
1p
C
1 4 2 4m 4m 1 0 m2 m
5.
2p
din A pe latura BC mh mBC 1
246
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 mBC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y B yC 3 2 5 1 1 mh 1 mh 2 xB xC 4 6 10 2 2
2p
y y0 m x x0 y-6=2(x-2)
2p
RE
BA SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
a b 1 0 Fie A M , a, b Z5 ; luam a 1 si b 0 A I 2 2 b a 0 1
2p
ar
V
1. a)
0 0 Daca luam a b 0 A O2 0 0
nt
ia
I 2 , O 2 M.
2p
eB d M ; c , d Z5 c
2p
C
a b c Fie A M , a, b Z5 si B 2 b a 2 d
A
b)
1p
M
2
a c a c b d b d m n M , unde m a c si A B 5 2 b d a c 2 n m 2 b 2 d a c
20
n b d 5 a c 2 b d a d b c p a dbc a c 2 b d 2 a d b c a c 2 b d 2 q
p a c 2 b d 5 si q a d b c 5
247
q M , unde p
12
a c 2 b d A B 2 b c 2 a d
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3p
BA
c)
2
1p
det A 0
AM 2
2
2
2
RE
a 2b 0 a 2b
Pentru a 0 2 b 0 b 1, 2, 3, 4 se construiesc 4 matrice inversabile
M
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
Pentru a 1 2 b 1 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
V
2
ia
ar
Pentru a 2 2 b 2 2 b 4 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
Pentru a 3 2 b 3 2 b 4 b 0,1, 2, 3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
nt
eB
Pentru a 4 2 b 4 2 b 1 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile A 1 M }are 24 elemente
C
A
{A M
UM
Deci
2.
x1
f f(x1)=0 x14 x1 1 0 1
x2
f f(x2)=0 x24 x2 1 0 2
x3
f f(x3)=0 x34 x3 1 0 3
248
4p 1p
12
b)
2
20
a)
2
1 1 1 1 1 2 1 4 2 2 X X X X X X 2 2 2 4 4 2 4 X X 1 f
2
M
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
f f(x4)=0 x44 x4 1 0 4
x4
x14 x24 x34 x44 x1 x2 x3 x4 4 0
Î x1 x2 x3 x4 0
1p
V
x14 x24 x34 x44 4
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
1p
2
3p
RE
1 1 1 Conform pct.a) f x 2 x 0, x 2 2 2 0
0
Polinomul f
M
2p
V
lim f x
x
R
f x
0
f x ex 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 +++++++++++++++++++++
A
f(x)
3p
2
e
Deoarece x 0;1 0 x 1 x 1 0 / x 1 0
x 2 1 0 x 2 1/ 1 x 2 1
e 1 e x 3 ; 2
249
(2)
12
x 1
2
2
2p
20
e x x 2 1, x 0;1 21 1x e x
2p
2
f x 0, x e x x 1, x 1 ;
Cf.rel.(1)
1p
M
Din b)
2p
C
D
f x 0, x
c)
0
finalizare b)
2p
eB
x
R
nt
1. a)
ia
ar
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Bacalaureat Matematică M – 2012 Din (2)si (3)
e e 1
x2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 (prin integrare) 2 x 1 1
1
1
1
e dx e dx 21 dx 1
0
x2
0
0
2p
x 1
1 2 2 1 1 x e x dx arctgx e x dx 4 e 0 e 0 0 0 1
1
M
RE
BA
V ar F
a a Vf ; 2 4
f
3a 9a 2 Vg ; 2 4
eB
f x g x 2 x 2 4ax
S
3p
C
A
b)
g are maxim (a= -1<0)
nt
a) F
2p
ia
2.
1p
x
0
2a
20
f(x) - g(x)
2
M
x1 0 f 0 g 0 0 O 0, 0 f x g x 0 2 x 2 4ax 0 2 2 x2 2a f 2a g 2a 2a P 2a, 2a 2p
+++++++++++++++++0 - - - - - - - - - - -0++++++++++++++
12
f x g x 0, x 0, 2a g x f x , x 0, 2a 2a
x3 x2 8a3 S g x f x dx 2 x 4ax dx 2 4a 3 2 0 3 0 0 2a
C
2p
2a
2
250
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
x
y
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1p
1
not .
0 1 0 y ax 0 y ax h x 2a 2a 2 1
BA
Ecuatia dreptei OP: 0
S1
N
S2
N
RE
g
OP
f
OP 2a
4a 3 x 2 x3 S1 g x h x dx 2ax x dx 2a 1 2 3 3 0 0 0 2a
2a
M
2
2a
h x f x dx 2ax x dx 2
0
4a 3 2 3
2p
ia
ar
0
V
S2
2a
C
A
eB
nt
2p
2
M 20 12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 71
Prof: RICU ILEANA
251
Bacalaureat Matematică M – 2012 P N punctajului indicat în barem. S
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
N
10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
100lg 2 a folosim operatia de log aritmare lg 2 lg100 lg a notam
3p
RE
2lg 2 lg a lg 22 lg a a 22 4 3
27 3
M
Finalizare:A=4-3=1
1p
V
Ecuatia devine
1 x 2 1 x
ar
2.
1p
R
2 x 2 2 x 0 S 0;1
1p
1 x 2 1 2 x x2
eB
nt
ia
x 1;1 1 x 2 0 x 1;1 Cond.ca radicalul sa fie corect definit: 1 x 0 x ;1
2p
A
2p
C Graficul ei taie axa Oy în punctul 1 f 0 1 c 1
4 4 2 b xV 4 a 12 a 3 2a 2a 2a 3
2
xV
2p
M
3.
20
Finalizare: f (x) = 3x2 + 4x + 1
Avem coordonatele punctelor A(2;0);B(1;-1);C(1;1) AC i j ; AB i j
2p
1p
12
4.
2p
Produsul scalar AC AB i j i j 1 1 1 1 1 1 0 AC AB 2p
252
Bacalaureat Matematică M – 2012
BA
C
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 1 0 1 2
2
2 1 0 1
2 ; BA
2
2
1p
2
4 m 1 m 1 2
2p
BA
3p
m 2 1 8 m 2 9 0 m1,2 3
y y0 m x x0
2p
RE
6.
2p
3 m =tg30 = 3
M
y 6
1p
V
3 x 2 3
10 30 A2 5 15
2p
nt
ia
1. a)
ar
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
10 30 5A 5 15 Finalizare
2p
A C
b)
1p
Verificare: A 2 5 A (conform pct.a); A3 A 2 A 5 A A 5 A 2 5 5 A 5 2 A
2p
M
P k P k 1 : Ak 1 A k A 5 k 1 A A 5k 1 A 2 5k 1 5 A 5 k A
A A2 A3 .......... 1 A100 99
= A 1 5 5 5 .......... 1 5 2
3
99
99
A 5 A 52 A 53 A .......... 1 599 A
q 5
99
5 A
100
1
5 1
5100 1 5100 1 A A 6 6
2p
12
folos. pct .b )
20
c)
3p
2
P n adevarata n
2p Finalizare: toate elementele matricei devin strict negative prin inmultirea elementelor din A cu o fractie negativa
253
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
C
BA
a)
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
2 x 3 y 3 3 2 xy 3 x 3 y 9 3 2 xy 6 x 6 y 18 3 2 xy 6 x 6 y 21
3p
x y , x, y
2p
x y z 2 xy 6 x 6 y 21 z a z 2az 6a 6 z 21
2p
RE
not . a 2 2 xy 6 x 6 y 21 z 6 2 xy 6 x 6 y 21 6 z 21
(1)
4 xyz 12 xy 12 xz 12 yz 36 x 36 y 36 z 105, x, y
M
x y z x 2 yz 6 y 6 z 21 x b 2 xb 6 x 6b 21 not .b 2 x 2 yz 6 y 6 z 21 6 x 6 2 yz 6 y 6 z 21 21
(2)
V
4 xyz 12 xy 12 xz 12 yz 36 x 36 y 36 z 105, x, y
asociativitatea
ar
D
nt
ia
2p
x x 2 x 3 x 3 3 2 x 3 3 2
cf .a )
eB
c)
1p 1p 1p
x x x x x x 2 x 3 3 x 2 2 x 3 3 3 x 3 3 2
A
cf .b )
2
2 2 x 3 x 3 3 22 x 3 3 2
3
C
x x ........ x 2n 1 x 3 3 n
M
P
de n ori
2
P(k) P(k+1)
k x x x ........ x ........ x x 2 k 1 x 3 3 x a x 2 a 3 x 3 3 x de k 1ori de k ori P(k+1):
2 2k 1 x 3 3 3 x 3 3 2 2 k 1 x 3 x 3 3 2 k x 3 k
k
k 1
3
12
20
2p
P
254
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x ........ x 3 22012 1 x 3
E
2012
3 3 22011 x 3
2012
0
de 2012 ori
:
x 3
2012
0 x1 x2 ..... x2012 3
Valoarea de adevar:fals
M
RE
BA 1p
V
3p
e x 4 e x e x e x 4 2e x 2e x 2 e x
eB
b)
f x e x 4 e x e x e x
nt
1. a)
ia
ar
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2p
f în punctul P ;cum d Ox md mOx 0
Not.cu d tangenta la curba
A C
Dar md 0 f x 0 2 e x 2 e x 0
e x 0 (ecuatia nu are solutii reale)
Studiem monotonia
ln 2
f :
lim f x 0 4 0 0
x
f x
-
12
f x 2e x 2 e x f x 0 x ln 2 x
1p
20
c)
4 e 2 4 2 4 P(ln2;4)
2p
2
f ln 2 e
C
M
Sau 2 e x 0 e x 2 x=ln2 ln 2
2p
lim f x 4
x
+
ln2
++++++++++++++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
255
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
f x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 4
2p
-
maxim
monotonia lui f f x 4, x
BA
1p
2.
RE
a)
f1 x f 2 x
ln x 1 ln x not .F F x ;studiem semnul lui F pe domeniul 0; x2
2p
f(x)=0 x=1;x=e 0
M
x
lnx
e
- - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++0 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
V
1-lnx
1
x2
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ar
2p
- - - - - - - - -0+++++++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ia
F(x)
nt
f1 x f 2 x F x 0, x 1; e
Din a) f1 x f 2 x , x 1; e e
e
e
eB
b)
1p
ln x ln 2 x not . dx dx I1 I 2 2 2 x x 1 1
1 2
1
A
A f ; f f1 x f 2 x dx
3 1 e
2p
2
1 2
2 5 1 ; I2 2 ; e e
M
Finalizare: A f ; f I1 I 2
C
Folosim metoda integrarii prin parti I1
2p
20 1p
e
VCg g 1
e
2
x dx 1
ln x ln x 2
x
2
ln 2 x ln 3 x ln 4 x dx 2 dx I 3 2 I 4 I x x x 1
Folosim metoda integrarii prin parti I 3
e
1 1 1 ; I 4 ; I5 3 4 5
256
2p
12
c)
Bacalaureat Matematică M – 2012 VCg I 3 2 I 4 I 5
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
30
3p
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 72 Prof: RICU ILEANA
M
P N punctajului indicat în barem. S N
10.
1.
ar
V
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
eB
x 1 y 3
nt
x 1 y 1 x y 2 y x 4 x y 4
ia
z1 z 2 x 1 yi y 1 x 4 i
2p
A M
Stim ca functia de grad I este bijectiva f este inversabila
C
2.
1p
y6 x6 1 sau f 1 x f 1 x x 2 3 3 3
2p
20
f 1 y
y6 3
2
f surjectiva y , x astfel încât f x y 3 x 6 y x
2p
12
1 2 2m 1 m 3 3
1p
3.
Cond.ca logaritmii sa fie corect definiti:
1p
257
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 1 x 1 0 x 1; ) x 2 x 2 0 x 1 x 1 1 2 x2 x2
log2(x +1) + log2(x +2) = 1 log 2
2p
BA
x+1=2(x+2) x= - 3 1; )
RE
4.
T5 C
x 3
n 4
4
1 Cn4 x x
n 4 3
4
x C x 4 n
n 16 3
2p ;
M
4 n
2p
V
n 16 0 n 16 3
2p
ar
Finalizare: A 16 15 240 2 16
5.
b xi y j ; x , y
b 30
eB
N
nt
ia
1p
x 2 y 2 30 x 2 y 2 900 1
2p
2
M
Finalizare: b1 20 2 i 10 j si b2 20 2 i 10 j
C
Înlocuim (2) în (1) y 10 x 20 2
2p
A
x y x 2 2 y 2 b coliniar cu a 2 2 1
2p
12
f x cos 2 x 2cos 2 x 1 2 cos 2 x 1 cos 2 x f x
20
6.
1p
3p
f(x) – f(x + )= f(x) – f(x)=0.
258
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
a b , a, b, c, d c d
Not.cu A G, A
b a c d AJ JA d c a b
3p
2p
a b , a, b (conform pct.a) b a
2p
M
b)
RE
BA
b c a d c b a b A , a, b d a b a d a c b
Fie A G A
1 0 0 1 a 0 0 b a b a I2 b J a b A 0 1 1 0 0 a b 0 b a
V
C
a 2 b2 a b 2 Cum X G X , a, b (cf . pct.a) X c d 2ab E
2ab a 2 b2
1p
eB
nt
c)
ia
ar
3p
a 2 b 2 2ab 1 0 0 X 2 J O2 2 2 0 0 2 1 ab a b
C
A
a 2 b 2 0 a b a b 0 ab 2 1 0 2ab 1 0
a=b sau a= -b
2 2 2 ; X 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
259
12
2 2 2 2
20
Avem X 1
2
2 2 a1 b1 2 2 Pentru a= -b - 2b 2 1 0 b 2 a 2 2 2 2 2
2p
M
Pentru a=b 2b 1 0 (ec.nu are solutii reale) 2
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
x 2 2 x 2x 4 6 2
2p
a)
3 x 3 x 3 3 x 12 3
2p
( x 2) (3 x ) 2 3 1
1p
e1 x x e1 x , x e1 x 2 3 x 2 , x e1 3
2p
e2 x x e2 x , x e2 x 3 4 x 3 , x e2 4
2p
RE
BA b)
1p
e1 e2 e1 e2 . e1 e2 e1 e2 3 4 2 3 2 4 6 12 3 3 4 12 4 3 7 f ( x y ) a x y 1 a xy 2 x 2 y 6 1 axy 2ax 2ay 6a 11
2p
M
c)
V
f ( x ) f ( y ) f x f x 3 f x f y 12 ax 1 ay 1 3 ax 1 ay 1 12 a 2 xy 2ax 2ay 7 2
ar
2p
a 2 a a 0; a2 1 a=1 1 a 1 a 6 1 7
ia
D
C
A
eB
nt
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x
-
0
+
e
x2
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
f x
+++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
f x
1 e
260
12
+++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
20
1 ln x
2p
2
x
1 ln x x2
M
1. a)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
monotonia lui f
BA
1p
b)
1 1 lim f x lim x lim 0 ecuatia asimptotei orizontale spre + x l ' Hospital x 1 x x
RE
A
este y=0
2p
1 lim ln x ecuatia asimptotei verticale x 0 x x 0 x 0 x 0
este x=0
x0 x 0
V
Conform punctului a)
2p
ia
1 f x , x 0, e
3p
ar
c)
M
Asimptota verticala: lim f x lim
nt
2p
Conform punctului b) unde y=0 este ecuatia asimptotei orizontale spre
eB
f x 0, x e, 1 e
C
A
0 f x , x e,
a)
e x 1 x f x , x
O
x 0;1
F x) 1
S F x dx x e dx x
0
0
prin parti
x e x e x dx 1 e 0 e x e e 1 e e 1 1 1
1
1
0
0
0
1p 2p
12
1
2p
20
b)
3p
2
F x x e x x e x x e x e x x e x
M
2.
1p
2p
261
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
0
F x f x e 1 x
1
dx
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x e x x 1 e x
0
e 1 x
ln e x 1 ln e 1 ln 2 ln 1
ex dx ex 1 0
2 e 1
2p
M
RE
BA
0
3p
1
dx
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 73
ia
ar
Prof: Soare Constantin
SUBIECTUL I (30 de puncte) 2
+ 8 = 24
1
5
1
6
3 ( 1 + 3 + 9 + 27) = 40
2p
12
3.
2p
20
1 , ] 6
(
1p
2
1 6
M
2.
2p
C
= ±2 2
3p
A
1.
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
3 = 1
2p
= 0
2p
262
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
> 0.
C.E
2p
Not m lgx=y
10 + 21 = 0
= 3,
BA
= 3
= 10
= 7
= 10
(
RE
5.
,
2p
)
3p
(1,2)
M
6.
3p
= 7
V
=
2p
2 2
= +
2
ar
=
1p 2p
61 + 30 2
2 =
2
(8 + 1 + 1
2
2
2) =
=4abc Pentru
=
= 1, = 1, = 1
;
= 4
;
= 4
3p
2p
12
0 sistemul are solu ie unic şi se rezolv cu regula lui Cramer.
Pentru = 4
2 + + = 4 +2 + = 4 + +2 = 4
20
c)
= 1
1p
2
Ob inem
=
2p
M
b)
2p
C
=
1 1 2 1= 1 2
A
2
2 1 1
eB
1. a)
nt
ia SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p 2p
. =
1
;
=
263
1
; =
1
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =
2.
a)
(
=
10)
10(
10
1p 3p
10)+10 = (
10) ( = (
BA
b)
(
10) + 10
1p
10) + 10
10) + 10 = 1010
3p 2p
= 20
RE
c)
10 + 100 + 10
Dem prin induc ie matematic . Verificare ( + 1)
2p
M
( )
2p
1p
Concluzie .
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
( )=
(
)
=
(
)
3, 2
=
2
3
=
2+
3
[ 2+
3, )
( 2, 2 +
3)
Studiem semnul derivatei a doua .
( )
0,
1p
2p
1p
12
( )=
1p
20
2
1p
2
3
1p
M
, 2
2p
C
f este strict descresc toare pe
2p
=
+4 +1 = 0 ( + 2)
( )= 0
f este strict cresc toare pe
+ 1)
+
A
b)
c)
( 2 + 1) ( + 2) ( ( + 2)
eB
=
nt
ia
1. a)
6 ( + 2)
1p 1p
{ 2} 2p
f este concav pe intervalul (-∞,-2) şi f este convex pe intervalul (-2,∞)
264
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
+1 ( + 1)
( )=
a)
+1 ( )= ( + 1)
BA
( )=
b)
( )
RE = 2
M
|
( + 1) 1p
1 +1 1
=
2p
1 +1
1p
=
1p
=
=
=
1
2p
1p
ln( + 1) | = 1
3+
2p
2=
ar
V c)
=
|
2
4+
3=
1 +1
2p
=
1p 2p
C
A
eB
= 3
ln( + 1) | =
1
nt
=
=
ia
=
=
( )
2
M 12
Varianta 74
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Soare Constantin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor.
265
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
= 17 = 37
+ 6 = 17 + 16 = 37
3p 2p
= 5 = 2
RE
BA 1.
f(2)=0
3p
M > 0. se ob ine ecua ia
2p
6 + 5 = 0.
1p
=1,
2p
= 5.
ia
Solu iile ecua iei sunt
ar
Not m 5 =
( 2) …. ( 2012) = 0
V
3.
( 1)
= 0
5 = 5
= 1
20
4. Se ob ine
{2,3,4,5}.
eB
nt
5 = 1
(
1)
2p
20
2p 3p
Fie M mijlocul segmentului [AB]. Atunci
=
;
=
3p
2
6.
2p
M
Ob inem M(1,4)
C
A
5.
=
7 8 2
1p
12
=
3 2
20
2
2p
2p
= 14 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
266
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( 1,3)
1. a)
2p
(2,9) =
:
:
2p
1=
BA
:6 ( 3,27)
b)
2p
M
( + 1,3
c)
2p
1 1 = 9 + 54 + 9 1
),
( + 2,3
27
27
6 = 12 de unde S=6
)
2p
1 1 1
1p
ar
V
3 +1 3 +2 3
Calcul m =
2p
),
( + 2, 3
=
(
9)
9(
) nu sunt coliniare.
eB
=
2.
, punctele
nt
( + 1,3
( ,3 ) ,
ia
= 4 3 > 0, deci pentru nicio valoare a lui
a)
9
9)+9
9 + 81 + 9
9)(
9) + 9
1p 1p 1p
M
Asociativitate Comutativitate
1p
2
Element neutru e=10
1p
20
= 9+
1p 2p
12
Dem prin induc ie matematic . Verificare ( )
3p
C
G parte stabil
Element simetrizabil
1p
A
= (
c)
1p
| |,
RE
=
1 3 unde = 2 9 3 27
b)
1p
3 = 0.
( + 1)
2p 1p
Concluzie .
267
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim ( ) =
1. a)
2p
y=x asimptot oblic spre ±
2p
x=-1 asimptot vertical
1p
RE
BA b)
( )=
, lim
( )= 0
( )= =
2,
+2 ( + 1)
2p
= 0,
M
1p
de unde deducem f strict cresc toare pe (
, 2)
( 0, )
2p
3
Avem
1p
ia
+3
1p
ar
c)
V
f strict descresc toare pe (-2,-1) ( 1,0)
0
1p
nt
+4 +4 +1
=
=
< 0
dx=
2p
| =
2p 1p
M
= (
=
0 şi x
C
a)
( )
0 adevărat pentru că ( + 2)
A
2.
)
2p
eB
(
0
1) |
=
=
| =
(
1)
= 1
+ 1=
1= 0
(
3p
1)
20
lim
|
2
b)
12 2p
c)
=
=
|
2
=
268
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
|
2
| +2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
| =
1p 2p
=e-2e+2e-2=e-2
M
RE
BA C
A
eB
nt
ia
ar
V 2
M 12
Varianta 75
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Soare Constantin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor.
269
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
BA 1.
= 2,
= 2 sau
3p
= 64 de unde deducem :
2p =
2,
=
2
RE
2.
= 16 = 1024
= 1
M
= 3,
V Num rul de submul imi ordonate este =
C. E. x>0 . Not m
şi ob inem ecua ia :
8 + 15) = 0 cu solu iile
= 0,
2p
= 3,
= 5 de unde se ob in solu iile
= 8,
= 32.
M
OA=3, OB=4,
= 5, =
=
5+ 8 4 10
8, 1
=
= 1 3 10 10
3p
12
=
3p
20
6.
2p
2
AB=5 Fie OC
3p
= 1,
C
5.
=
2p
A
(
2p
eB
= 720
4.
1p
=
nt
!
2p
ia
!
=
2p
= 4
[3,4]
ar
3.
1p
2p
270
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 1 2 3 4 9
1
1 1 detA= 2 3 4 9
1
1. a)
=
RE
BA b)
= 3 5
detA=
2p
+ 18 + 4
12
9
+6 5
detA=0
1p + 6= 0
1p
M
=
4
= 25
= 2,
2p
24 = 1
2p
= 3.
ar
V c)
2p
2
+ + = 3 Pentru m=5 se ob ine sistemul : 2 + 3 + 5 = 10 4 + 9 + 25 = 38
1p
= 6,
nt
ia
= 6,
detA=6,
= 6,
+
+
=
+
+1
= 2
m-5=0
c)
)
2(
+
+
)=
1
= 1
1p
1
1+ 2
+1
1p
12
Pentru
+
20
b)
+
1p
2
2
=
= (
+
1p
+1
M
= 6
1p
C
+
a)
A
Scriem rela iile lui Viete.
+
2p
eB
= 1, = 1, = 1
2.
2p
6= 0
3p 2p
m=5.
Pentru m=5 , rela iile lui Viete devin:
2p 1+
+
271
= 6
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +
+
= 11
= 6 = 2,
Deci
2p
= 3
BA
+
+
= 1 + 8 + 27 = 36 1p
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M ( 2 + 1) =
V
1. a)
( + 1) =
ar
lim
( )=
lim
(2 + 1) = 2 ( + 1)
3p
f nu admite asimptot orizontal spre
1p
eB ( )
] = lim
1p +1
este asimptot oblic spre
( )=
( )=
( ) > 0,
(
IR F este strict cresc toare pe IR.
)
=
a)
1p 2p
12
2.
IR
+ 1 > 0,
1p
20
( )=
( ),
1p
2
Atunci F este derivabil pe IR ( )=
1p
M
o primitiv a func iei f.
Fie F :
1p
C
= 0
1p
= 1
A
= lim [ ( )
c)
1p
+2 +2
= lim
=
1p
+4 +2
nt
ia
b)
4
2p 2p
1
1
=
=
272
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =
1
1p
b)
3p =
BA RE
c)
=
Avem
( )= 0 ( )
1) =
= 2
1 3 = 2 2
2p
,
2p
(0, ) .
1p
dx=
2p ( )
C
A
eB
nt
ia
ar
V
= ( 2012
2
2
=
2
. Din monotonia func iei f deducem ( )
M
Avem
=
=
2
M 12
Varianta 76
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. 273
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
x 1005,...1006 , cardA 2012
2p
f 1 m 1
1p
2.
M
RE
2011 2 x 1 2 11 1005 x 1006
3.
x4 x2 2
4.
mg 12 3 3 144 3 9
3p
2p 3p
M 2
b c , cos B a a
2p
20
sin B
2p
C
O –mijlocul segmentului AC O 1, 2 O-mijlocul segmentului BD D 3,5
6.
2p
A
mg 72
5.
2p
eB
x 0, 2
nt
4 x 1 x2 2 x 1
1p
ia
4x 1
2p
ar
m=1
2p
V
1 m 2 2m 1 1
2
12
c b ac b 2 a a
1p
b 2c b 2 c a a
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 274
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
A2 A A A
2p
A3 A 2 A A A
2p
A3 A
1p
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
X m mA I 2
2
2
3p
m 2 A 2mA I 2 m 2 2m A I 2
RE
2p
Finalizare
X 1 X 2 ... X 2012 A I 2 2 A I 2 ... 2012 A I 2
1p
X 1 X 2 ... X 2012 1 2 ... 2012 A 2012 I 2
2p
M
c)
V
ar
X 1 X 2 ... X 2012 1006 2013 A 2012 I 2
2p
x y z x y z
a)
xyz 2 xy 2 xz 2 yx 4 x 4 y a 2 z a xyz 2 xy 2 xz 2 yx a 2 x 4 y 4 z a
ia
2.
eB
nt
a=6
x y x 2 y 2 2 e1 3, x y x 3 y 3 3 e2 4
3p
e1 e2 e2 e1 7
2p
Not m 2012 2011 ... 1 cu x x 2 2
2p 2p
2
Nor m 10 11 ... 2012 cu y 3 y 3
M
C
c)
3p
1p
A
b)
1p
20
Finalizare
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
275
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
lim
f x f e xe
x e
' f (e)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
= f '(e)
1 1 e x
2p
BA
' f (e)=0
1p
x ln x 0 e
f e 0
x ln x = f x e
1p
1p
M
Se observ c
V
RE
b)
1p
xe f x ex
'
''
1p
nt
1 x2
20
3
4 32 2 x x 1 3 1
1
1
3
2p
12
3
f x 4
2p
2
f1 2 x 3
2p
M
a)
C
f '' pozitiv f convex
2.
1p
A
1 0, x 0, x2
1p
eB
f '' x
2p
ia
c)
ar
Punctul (e,0) este punct de minim f x 0, x 0,
4 3
1p
276
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f2 x x 2 3x
1p
f 22 x x 2 3x
1p
2x 3 , schimbare de variabil t= x 2 3 x 2 3x
3
I=
BA
x 1
I = ln
1p
9 2
RE
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
3 1 1 V 2 2 x 3x x 3x 1 1
2p
3
1p
3
2
M
ln 2 3
ar
V
V
1 11 1 1 x 2 3x 3 x x 3
2p
C
A
eB
nt
ia 2
M 12
Varianta 77
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem.
277
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
BA
E =9
E=
3p
1 9
1 9
2p
f x 1
RE
2.
log9
1p
x 1 x 2 0 1, 2 ; 2,1
M
3.
ar
2p
2p
A
3p
C
2 3 c sin 45 sin 60
2p
M
1p
2
2 3 c 2 3 2 2 c3 2
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
12
1. a)
3p
eB
BC: x+3y-15 =0
2p
nt
200
A BC m=12 6.
2p
ia
2a1 19r 20 2
1p
V
2a1 19r 20 S 20
5.
2p
Notând pre ul ini ial cu x pre ul dup reducere 70%x
70 x 2800 100 x 4000 4.
2p
Y t 2 1
2p
2 1 A 4 2
2p
278
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4 2 2A 8 4
b)
2 1
det A
BA
4 2
1p 3p
= 2 2 4 1
2p
Finalizare B (a) este inversabil dac det(B(a)) 0
1p
det B a 2a 1 4a 2
2p
RE
c)
1 4
2p
M
a
2
2.
x1 x2 x3 0
a)
x1 x2 x3 x2 x3 0 x2 x3 D x3 x1 x2 x1 x2 = 0 x1 x2 0 x3 x1 x2 x3 x1 x3 x1
ar
V
1p
3p
x13 2 x1 3 0
1p
x23 2 x2 3 0 x33 2 x3 3 0
A
x13 x23 x33 2 x1 2 x2 2 x3 9 0
2p
C
E 9 c)
3p
eB
b)
nt
ia
D=0
x1 x2 x2 x3 x1 x3 =-2 x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x1 x3 4
2 2 4 2 2 4
2p 1p
12
4 A 2 2
20
2
2p
M
x1 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x12 x22 x32 A x1 x3 x1 x2 x2 x3 x12 x22 x32 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x x x x x x x x x x x x x2 x2 x2 3 1 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 1 2 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
279
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2p
1 4 1 ld 0 4 s
0
BA
2p
ls 0 ld 0 f 0
1 4
1p
y f 1 f ' 1 x 1
RE
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x
1p
2 x
x
4
2
M
f
'
1p
2
1 2 , f 1 25 5 2 7 y x 25 25 f ' 1
1p
V ar
-2x < 0 pentru x 0,
2
4 >0
1p
eB
x
nt
x2 4 > 0 2
1p
ia
c)
2p
1p
f ' x < 0 f este descresc toare pe intervalul 0,
a)
g ' = e x 4 x 3 2 3 x 3 1
g' = f
b
f x g ' x f x g x a f ' x g x b
a
1
1
f x g x dx g x g x dx '
12
0
1p
0
1
I g 2 x 0 g ' x g x dx 1
1p
0
I
1p
20
a
1p
2
b
2p
M
Finalizare b)
2p
C
Func ia g este primitiv a func iei f dac
A
2.
2p
1 e 5 e 9 2
2p
280
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
1
0
0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
' ' xf x g x dx xg x x g x dx 1
1p
I e7
2p
'
0
M
RE
BA
I xg x dx
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
ia
ar
V
Varianta 78
A
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
C
SUBIECTUL I (30 de puncte) Se face schimbare în aceeaşi baz
M
3 2m 0
2p 1p
12
2.
1 1 2 lg 3 2
20
lg 3
3p
2
lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg8 1 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 2
2m 3 3 m 2
2p 2p
281
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m 1 ; x1 x2 2 m 2m 3m 3 3 m 5
1p
x1 x2
2p 2p
BA 4.
Num rul posibilit ilor =84
3p
AB BC CA 0 BC 7i 5 j 7, 5
2p
M
3p
V
6.
2p
RE
5.
C96
Fie AM mediana corespunz toare ipotenuzei
2p
C
A M
det A = 2-2-2-1-2-4
2p
2
det A= -9
Dx 9; Dy 0; Dz 0
1p
20
b)
2p
eB
1 1 1 A 2 1 2 1 1 2
1p
nt
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
ia
BC 8 AM 4
ar
BC 2 m B 300 AM
x 1, y 0, z 0
3p 2p
12
282
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x yz
1p
2 y z 1 3 y 2 3z a
BA
a
2.
1 2
2p
f 4 0
1p
RE
a)
2p
3p
4 m 4 1 0
m1 b)
1p
M
f x3 x 2 x 1 f x 2 1 x 1
3p
V
2p
c)
x2
1p
A C
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 7 x 10 0
x 2 x 5 0 x 2, 5
2p
2
1. a)
2p
eB
d x3
2p
nt
g x x 3
ia
ar
f x 1 x 2 x 3
2p
20
1p
12
283
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
ax b x 2 7 x 10 cx d
x 2 7 x 10 ax3 7 ax 2 10ax bx 2 7bx 10b cx d f x x 2 7 x 10 ax3 7 a b x 2 10a 7b c x 10b d f x x 2 7 x 10 a 1 7 a b 8 a b 1, c d 5 10 7 12 a b c 10b d 5
1p
1p
y mx n
1p
f x
x
x
1
x 3 8 x 2 12 x 5 x 3 7 x 2 10 x x x 2 7 x 10
x
f este continu pe 0 fiind format din func ii elementare
Finalizare x 1 1 1 f x dx 1 2 dx 0 x 2 x dx 0
0
1 x2 x 1 dx x 2 2 2 1
0
1
1p
2
2 3 1 0 x 2 x dx ln x 2 3 x 0 3 5 I ln 2 12 1
1p
M
1
1
C
1
1p
A
b)
2p
eB
1 ls 0 ld 0 f 0 2
2p
nt
a)
2p
ia
n 1 y x 1
1p
ar
n lim f x x lim
2.
1p
V
m lim
2p
M
c)
RE
BA
1p
1p
20
2p
12
284
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
x x 2 2 x A x2 2 x 2 1
g x x2
1p
1 14 3ln 2 6
2p
M
RE
BA
A
2
C
A
eB
nt
ia
ar
V 2
M 20 12
285
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM CULEGERE ONLINE
Modele de subiecte cu bareme realizate dup modelului oficial www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA
BACALAUREAT LA MATEMATIC 2012
A
eB
nt
ia
ar
V C
Toate drepturile prezentei edi ii apar in site-ului www.mateinfo.ro & www.bacmatematic .ro reprezentate prin prof. Andr ei Octavian Dobre
2
M
Culeger ea este oferit GRATUIT doar pe site-ul www. mateinfo.ro i www.bacmatematica.ro şi nicio parte a acestei edi ii nu poate fi reprodus far acordul scris al www. mateinfo.ro şi www.bacmatematica.ro (Andrei Octavian Dobre) Dac observa i apari ia acestei culeger i sau p r i din aceasta culeger e pe alt site (sau culegeri) v rug m s ne
20
anun ati pe [email protected] sau [email protected] pentru a face demersurile lega le.
12
1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 1 Prof: Andone Elena.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
3p
1 =0,(015873) 63
V
Stabileşte a 2012-a zecimal ca fiind 1
ar
2.
f(2)= - 3
2p
eB
11 2
Not m 3x=t
2p
3 nu are solu ii în mul imea numerelor reale 5
C
x=0, 3x=
3 5
1p
A
Ecua ia devine 5t2-2t-3=0 cu solu iile t1=1, t2=
3x=1
2p
nt
3.
1p
ia
( f f )(2) f ( f (2)) f ( 3) f(-3)=
2p
2p
2
M
4.
6!=1 2 3 4 5 6 = 720
2p
20
6.
mAB
12
5.
3p
yB y A 04 4 xB x A 1 2 3
2p 3p
raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal cu jum tate din ipotenuz 2
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se calculeaz ipotenuza cu ajutorul teoremei lui Pitagora i=10
1p
R=5
2p
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
3 4 4 3
2p
A2=
2p
M
3 4 2 4 5 0 A2 2 A 5 I 2 O2 4 3 4 2 0 5 det A=5
V
b)
1p
A este inversabil
3p
ar
2 5 1 5
2p
c)
( A I 2 ) 2 A2 2 A 5 I 2 4 I 2
x y=xy-x-y+7=
a)
x(y-1) – (y-1) + 6= (x-1)(y-1)+6
1p 3p
M
x y=(x-1)(y-1)+6
Rela ia ce trebuie demonstrat reprezint asociativitatea legii de compozi ie
(x y) z=(x-1)(y-1)(z-1)+5z+1
x x=31
12
Egalitatea celor dou expresii nu se realizeaz pentru orice numere reale x, y, z este asociativ
x x=(x-1)2+ 6
3p
20
x (y z)=(x-1)(y-1)(z-1)+5x+1
c)
1p
2
b)
2p
C
2.
3p
A
4 0 O2 4 I 2 0 4
eB
nt
ia
1 1 2 1 5 1 A A , A , A det A 2 2 1 5
legea nu
2p
2p
(x-1)2=25
2p
3
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x=6 sau x=- 4
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
ă
lim ( ) =
m= n=1
M
Studiem existen a asimptotei oblice y=mx+n şi n
ă
+
2p
V
1p
y= x+1 este asimptot oblic la + )
f’(x)=0
x=0, x=2
1p 1p
ia
f’(x)=(
ar
b)
2p
nt
1p
se realizez tabelul de varia ie al func iei
2p
eB
func ia f este strict cresc toare pe intervalul , 0 i pe intervalul 0, ; func ia f este strict descresc toare pe intervalul 0,1 i pe intervalul 1, 2 .
C
A
c)
Se calculeaz derivata a doua 2 ( x 1) 3
1p
M
f "
1p
2.
ls(0)=ld(0)=f(0)=0
a)
Pe mul imea numerelor reale nenule f este continu fiind compunere de func ii elementare f f admite primitive pe continu pe
4
2p
12
f este continu în punctul x=0
2p
20
pe intervalul (-∞,1) f’’ este negativ deci func ia f va fi concav
2
se realizeaz tabelul de semn al derivatei a doua
1p
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 ln( x 1) c1 , x 0 F ( x) 2 e x x c , x 0 2
1p
Din continuitatea func iei F în punctul x=0
BA
F(1)=0
c1= 1+c2
1p
1 1 ln 2 c1 0 c1 ln 2 2 2
1p
3
2
2
2p
f x dx f x dx f x dx
2p
ar
c)
M
RE
1 1 2 2 ln( x 1) 2 ln 2, x 0 F ( x) e x x 1 ln 2 1, x 0 2
2p
0
1 ln x 2 1 2 2
0
3
0
1 1 e 2 2 ln10 2
C
A
eB
nt
1 ln10 e 2 1 2
1p
0
ia
V
ex x
3
2
M 20 12
5
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
BA
Varianta 2 Prof: Andone Elena.
RE
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1<2011<2012
V
1.
3p
ar
log 2012 1 log 2012 2011 log 2012 2012
Pentru a determina imaginea func iei f, impunem condi ia ca ecua ia f(x)=y s admit solu ii reale.
x 2 4 x 5 y x2 4 x 5 y 0
A
eB
2.
nt
Partea întreag va fi 0
ia
0 log 2012 2011 1
2p
Scriem rela iile lui Viete
1p
2
x1 x2 3, x1 x2 8
2p 2p
20
x12 x22 9 16 25
2p
{a, b, c},{a, b, d },{a, c, d },{b, c, d }
12
4.
2p
M
3.
2p
C
0 y 1 0, Im f 1,
1p
3p
6
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
y yB x xB y0 x2 3y x 2 y A yB x A xB 1 0 5 2
cos(1800-x)= - cosx=
BA
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p 3p
2p
2 3
1p 2p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M V
1. a)
x
y
2p
1
ar
Ecua ia dreptei A2 A3 este: 4 9 1 0 8 27 1
2p
ia
Dezvoltând determinantul se ob ine 9x-2y-18=0
nt
b)
aria triunghiului A2 A4 A6 este egal cu
2
6
1
1
1
4
1 36 4
9
1 4320
6
1
3 3
1p
3p
A
2
4
32 1
1 2
eB
22
16 81 1
1p
C
A=2160 2n
1
1 1 1
3n 1 1 2 n 3n 2 3 1 2n 3n 2 0, () n n2
3
1
4 9 1
2p
12
a)
x y 2 xy 4 x 4 y 3 2 x ( y 2) 4( y 2) 5 2( x 2)( y 2) 5
2p
20
cele trei puncte un sunt coliniare 2.
1p
2
Calcul m 2n 1 2n 2
3n
M
c)
1p
1p 3p 1p
b)
S verific m dac exist e, num r real astfel încât x e=e x=x, oricare ar fi x num r real
7
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x e= 2xe+4x+4e+3
Dac x e=x, oricare ar fi x num r real
2xe+3x+4e+3=0, oricare ar fi x num r real
x(2e+3) +4e+3=0, oricare ar fi x num r real 2e+3=0 şi 4e+3=0 contradic ie
BA
nu exist element neutru
x x 2( x 2) 2 5
2p
RE
c)
2p
x x x 4( x 2)3 6( x 2) 5
Ecua ia cerut devine :
M
2p
4( x 2)3 6( x 2) 5 7 4( x 2)3 6( x 2) 2 0
V
2( x 2)3 3( x 2) 1 0
1p
ar
Not m x+2=t, ecua ia
1 3 5 3 x 2 2
x0
2
x 0
ln x) lim x0
1p 1p
20
1p 2p
12
f’(x)= 2xlnx+x f’(x)= 2xlnx+x=x(2lnx+1) f’(x)=0
1p
2
1 x
(x2)’=2x
c)
2p
M
Se aplic regula de derivare a unui produs (lnx)’=
2p
ln x 0 , se aplic regula lui L’Hospital 1 x2
C
b)
lim f ( x) lim( x
A
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
1 3 5 3 şi x 2 2
nt
t
ia
3 + 1 = 0 are solu iile t=1 x= - 1, t
2
x=0 şi x= e
1p 1p
1 2
1p
se realizez tabelul de varia ie al func iei
8
Bacalaureat Matematică M – 2012 pe intervalul (0, e cresc toare 2.
BA
a)
1
0
1
f ( x ) dx 0
) f este monoton descresc toare şi pe intervalul ( e
1 2
2p , ) f este monoton
2p 2p
3 2
1p
RE
3p
Fie F o primitiv a func iei f.
2p
V
1p
V=
1 1 2 0 ( x 2)2 dx ( x 2 ) 0 4 2
2p
M
c)
1 2
1 1 dx ln( x 2) 0 x2
ln 3 ln 2 ln
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
F’(x)=f(x)=
2p
C
A
eB
nt
ia
F strict crec toare
ar
1 >0, oricare x 0 x2
2
M 20 12
9
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 3 Prof: Andone Elena
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
1p
3
1p
ia
ar
27 3 3 3 64 4 4
2p
f este bijectiv deci este inversabil
eB
nt
1 1 8 2 3 1 3 4 8
1p
V
3
3
2.
3
1 log 1 8 log 1 3 2 2 2
3 y 2 3 y 2
2p
2
M
f-1(x)=
2p
C
x=
-2x+3=y
A
pentru a determina inversa proced m astfel: f(x)=y
1p
Impunem condi iile de existen : x-1>0, x-1
1,x+2>0
x ( 1, )
{2}
Utilizând injectivitatea func iei logaritm Solu ia convenabil este x=
x+2=(x-1)2
3 13 2
10
1p 2p
12
log x 1 ( x 2) 2 log x 1 ( x 2) log x 1 ( x 1) 2
20
3.
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A53 C42 P4 60 6 24 42
2p 3p
2p
Fie M mijlocul segmentului AB, M(0,1) ;
BA
5.
mAB
yB y A 0 2 1 , panta mediatoarei va fi -1 xB x A 1 1
3p
RE
Ecua ia mediatoarei : y-1= - x
sinx=
1 3
cosx=
1
2p
2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
1 8 0 4
A+B=
A este inversabil
5 8 1 4
1p
12
înmul im egalitatea AX=B,la stânga cu A-1 X= A-1B 1 X= 2 0
2p
20
c)
3p
2
1 2 4 5 1 A A 0 0 2
1p
M
detA=8
2p
C
det (A+B)=4 b)
2p
A
1. a)
nt
ia
tgx
1p
ar
sin x cos x
2p
2 2 3
V
tgx
M
6.
2p 2p
3 2 0
11
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
f(2)=0, f(1)=2
1p
a)
- 2a+b= - 5, a-b=1
3p
a= 4, b=3
1p
1 1 1 x x x3 a 1 2 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 2
BA
b)
Din rela iile lui Viete,
+
=
2p
şi
=
2
RE
c)
+
3p
2p
împ r im polinomul f la x-2 şi ob inem câtul C(X)=X2-2X-1
2p
M
f(X)= X3-4X2+3X+2
ecua ia de gradul al doilea asociat polinomul C are discriminantul pozitiv toate r d cinile reale.
polinomul f are 1p
x0
x0
f(x0)=0
1p 2p
12
1 ln x = 0 x2
lnx-1=0
1p
20
f’(x)=
1p
2
1 ln x , f’(x0)=1 x2
y=x-1 c)
1p
M
Ecua ia tangentei: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)
f’(x)=
2p
C
( se aplic regula lui L’Hospital) b)
2p
A
lim f ( x) lim f ( x) 0
eB
1. a)
nt
ia
ar
V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p 1p
x=e
1p
se întocmeşte tabelul de varia ie al func iei
2p
12
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
din tabel se observ c punctul de coordonate (e,
2.
I f ( x)dx x ' x 2 64dx x x 2 64
BA
a)
1 ) este punct de maxim e
x 2 64 64 x 2 64
2p
dx
2p
x x 64 I 64 ln( x x 64) 2
2
2 I x x 2 64 64ln( x x 2 64) 1 I ( x x 2 64 64ln( x x 2 64)) 2
1p
RE
Utiliz m metoda schimb rii de variabil :
1p
x2+64=t
1p
V
2xdx=dt
M
b)
1p
ar
1
V (x 2 64)dx ( 0
1 193 x3 64 x ) 0 3 3
2p
eB
c)
nt
1 2 ( x 64) x 2 64 3
2p
1 1 tdt t t 2 3
ia
2 xf ( x)dx x x 64dx
1p
C
A
2p
2
M 20 12
13
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 4 Prof: Andone Emanuel
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
a10=a1+9r = 7+27=34
(a1 a10 ) 10 205 2
2p
ar
V
S10 2.
3p
O ecua ie de gradul al doilea are r d cini reale distincte dac şi numai dac
1p
>0
ia
= 4m2+1
2p
4m2+1>0 oricare ar fi m num r real, deoarece reprezint o sum de p trate
3.
Gf Oy: f(0)= 5-2-1=
24 25
2(5+a)+ 2a=0
3p
20
4! 12 , A42 3 P3 12 18 6 2!
Doi vectori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este 0
2p
12
a=
2p
2
5.
24 ) , B(2,0) 25
P3=3!=6
A42
2p
M
4.
x=2
2p
C
A(0,
x-2=0
1p
A
Gf Ox: rezolv m ecua ia f(x)=0 5x-2=1
eB
nt
2p
3p
5 2
14
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
AB AC sin A 2 8 16 sin A 3 sin A 32 3 2 2
1p
AABC
2p 1p
BA
M sura unghiului A este egal cu 600 sau 1200
cos A
1p
1 1 sau cos A 2 2
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
1. a)
2p
1 det A 3a 3 a 2 deci a R {0, } 3
2p
V
O matrice este inversabil dac şi numai dac determinantul s u este nenul, det A=3a4-a2
ar
1p
1 3
A este inversabil pentru orice a a R {0, }
2p
C
A
eB
2 0 6 (A ) = 4 2 4 12 18 8 2 T
c)
3p
nt
2 4 12 2 A A A 0 2 18 6 4 8
ia
b)
1p
M
0 3a 3a 3 A 9 12 9a 3a 3a 0
2
2p
20
a 2 3a a 2 4a 3a 2 A2 3a 2 12 3a 2 3a 16 9a 3a a 2 4a 2a 2
15
12
a 2 3a 2 a 2 a 3a 2 3a A2-3A+2I3= 3a 2 3 3a 2 3a 6 0 O3 , deci, a=1 2 2 a a 0 2 2a
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
a*(-b)= -ab+a2+b2
1p
a)
a*(-b)-ab= -ab+a2+b2-ab=(a-b)2
3p
finalizare
1p
Din defini ia monoidului
BA
b)
legea “* “ trebuie s fie asociativ
3p
Din rela ia x*(y*z)=(x*y)*z, oricare ar fi x,y,z numere reale rezult xz(a+b)+x(a2-a)-zb(b+1)=0, oricare ar fi x,y,z numere reale
RE
a+b=0, a2-a=0 şi b(b+1)=0
2p
M
c)
a=b=0 sau a=1 şi b= - 1
Utilizând rezultatul ob inut la punctul anterior, se disting dou cazuri
x*y=xy, mul imea elementelor inversabile fiind
2p
x*y= xy+x+y
ar
a=1 şi b= -1
V
a=b=0
2p
ia
elementul neutru al acestei legi este 0
mul imea elementelor inversabile este {1}
1p
2 x ex 1 1 ex
20
f '( x)
1p
2
x=0 b)
2p
M
f(x)+f’(x)=1
2p
C
f '( x)
A
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2 x =0 x=2 ex
1p
12
1p
Se realizeaz tabelul de varia ie al func iei
1p
Se precizeaz semnul primei derivate
2p
Pe intervalul ( , 2) f este strict crec toare şi pe intervalul (2, )
16
monoton descresc toare
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
f’(0)= 2
1p
ecua ia tangentei :y- f(0)= f’(0)(x-0)
1p
y+1=2x
2p
g(x)=(x-1)3
2p
2.
a)
( x 1) 4 g ( x)dx ( x 1) dx 4 C
2p
3
1p
M
b)
RE
BA
f(0)= -1
f ( x) x a 2
3
1p 1p
V
3
bx c 2 x x 1 2
x -3x +3x-1=x +(a+1)x +x(a+b+1)+a+c
ar
1p
a+1=-3; a+b+1=3; a+c=-1
x2 3(2 x 1) dx 4 x 3ln( x 2 x 1) C x2 x 1 2
(x2 +x+1)’=2x+1
2p
2
M
x2 3(2 x 1) dx 4 x 3ln( x 2 x 1) C x2 x 1 2
C
x4
1p
A
(2 x 1) dx ln( x 2 x 1) C 2 x 1
x
2p
eB
x4
nt
c)
ia
a= -4; b=6; c=3
2p
20 12
17
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 5 Prof: Andone Emanuel.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 7 25
M
1.
3p
log 5 25 2 log 5 7 log 5 7
2p
V
log57 log725=2,deci este num r natural
ar
2.
x2+x+m 4 x2+x+m 4 0
1p
ia
1 5 x x 5
2p
2p
2
An2 n ( n 1) 56
3p
20
Se rezolv ecua ia de gradul doi şi se alege solu ia natural n=8
Se calculeaz fiecare latur a triunghiului cu formula AB ( xA xB )2 ( y A yB ) 2
12
5.
2p
M
x=4 4.
1p
C
Ecua ia devine 5 x 54
2p
2p
A
3.
15 , ) 4
eB
4m 15 0 m [
nt
o func ie de gradul al doilea are semn constant, semnul coeficientului lui x2 , pe dac şi numai dac 0, 4m 15
2p 3p
AB=AC=1, BC= 2 PABC=2+ 2
18
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
BC 2R sin A
cos A=
BA
R=
1 2
1p
sin A=
3 2
2p
8 3 3
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
0 2 0 2
2p
ar
V
x 2
2p 1p
2
2 este r d cin a polinomului f
f ( 2) 0
f ( 2) 16+4 2 -a 2 =0
20
a)
4
M
2.
2p
C
X A4 X ( A2 ) 2 X (2 I 2 )2 4 X A X XA
1p
A
A4 X ( A2 )2 X (2 I 2 )2 X 4 X 4
2p
eB
det( A xI 2 ) x 2 2 0
c)
2p
nt
1 1 x A xI 2 1 x 1
1p
ia
b)
2 A2 0 2 2I2 0 A2 2 I 2
2p
M
1. a)
1p 3p
12 1p
a=4+8 2 b)
Se scriu rela iile lui Viete
x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4
3p
a 3
19
Bacalaureat Matematică M – 2012 x1 x2 x3 x4
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2 3
1 1 1 1 a x1 x2 x3 x4 2
BA c)
(x-1)2=x2-2x+1
2p
RE
Câtul este 3x2+8x+14 şi
2p
restul este x(20-a)-12
1p
M V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ia
ar lim f ( x) x 0 este asimptot x 0 x 0
vertical la dreapta
nt
1. a)
x
lim
( x 2 x 1) ln x f ( x) lim x3 x3 x
3p
M 2
Ecua ia tangentei : y-y0=f’(x0)(x-x0)
1p
20
x0=1, y0=f(1)=0
( x 2 x 1) , f’(1)=1 x
1p 2p
12
f’(x)=(2x-1)lnx+
2p
C
( x 2 x 1) ln x lim 0 x2 x x
1p
y= x-1 2.
1p
A
f ( x) graficul func iei nu admite asimptot oblic x
x
c)
orizontal
lim x
b)
2p
eB
lim f ( x) graficul func iei nu admite asimptot
2p
Explicitând cele dou module se ob ine
a)
20
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x 2)e x , x (, 0) f ( x ) ( x 2)e x , x 0, 2 x ( x 2)e , x (2, )
2p
2p
BA
se studiaz continuitatea func iei f în punctele 0 şi 2, în rest f fiind continu deoarece este compunere de func ii elementare
1p
f este continu în punctele x=2 şi x=0
ls(0)=ld(0)=f(0)= 2; ls(2)=ld(2)=f(2)=0
RE
f admite primitive pe mul imea numerelor reale deoarece orice func ie continu admite primitive
b)
Utilizând integrarea prin p r i se ob ine
M
( x 2)e dx ( x 1)e ( x 2)e dx (3 x)e c ( x 2)e dx ( x 3)e c x
x
x
1p 1p
x
1
V
x
x
1p
2
ar
Deci primitiva func iei f va fi
nt
=
ia
4 şi c2=2e2-4
Din continuitatea primitivei
2p
eB
( x 1)e x , x (, 0) F ( x ) (3 x)e x 4, x 0, 2 x 2 ( x 3)e 2e 4, x (2, )
c=1
C
A
Primitiva care trece prin origine este G(x)=F(x)+c, G(0)=0
5
f ( x)dx ( x 3)e x
2<e<3
4
e 4 (2e 1) 32
2p 1p
2
4
5
M
c)
2p
20
3<2e-1<5
16<e4<81
12
e4(2e-1)>3 16=48>32
21
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 6
RE
Prof: ANDONE EMANUEL
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
10 3 300
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
3p
nt
289 300 324 289 300 324
partea întreag a num rului Se impune condi ia de existen
x 2 3x 2 0
1p
A
2.
300 este 17
2p
eB
17 300 18
2p
Utilizând semnul func iei de gradul al doilea se ob ine x ( ,1) (2, )
2p
C
Se rezolv ecua ia de gradul al doilea şi se ob in solu iile x1=1 şi x2=2
x 1 0 x 1
Solu iile vor fi x1=0 şi x2= -1
Ank
2p
12
4.
2p
20
Se ridic egalitatea la p trat şi se ob ine x2+x=0
1p
2
Se impune condi ia de existen
M
3.
2p
n! , 0 k n, k , n ( n k )!
3p
A42 12
22
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia unei drepte de pant cunoscut , care trece printr-un punct cunoscut este: y-y0=m(x-x0)
2p
m=5, x0=2, y0=1
3p
y-1=5(x-2)
BA
y=5x-9
6.
AC fiind cea mai mare latur a triunghiului, ei i se va opune unghiul cel mai mare cel mai mare unghi al triunghiului este unghiul B
1p
RE
Aplic m teorema cosinusului
cos B
2p
2p
AB BC AC 1 , cos B 2 AB BC 2 2
2
2
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
V
2p
detA=a3-3a+2=(a+2)(a-1)2
2p
ia
Înlocuind în fiecare ecua ie a sistemului pe x =2, y=1, z=0
3p
eB
se ob ine a=0 c)
1p
nt
b)
Determinantul poate fi calculat fie cu regula lui Saruss fie utilizând propriet ile determinan ilor
ar
1. a)
2p
Pentru a=4 detA 0 , deci sistemul se rezolv cu regula lui Cramer
1p
A
detA=54, x 0, y 18, z 36
2p
C
P(x)=(x4+1)(x2+1)(x-1)(x+1)+10=x8-1+10=x8+9
a)
P(2)=P(-2)=28+9=265
1p
2
2.
2p
M
1 2 solu ia sistemului va fi x=0, y= , z= 3 3
3p
20
Q(x)= (x-1)(x+1)+10=x2+9, se observ c polinomul Q(x)>0,oricare ar fi x num r real
b)
c)
1p
12
Q (a ) =Q(a), oricare ar fi a num r real Câtul împ r irii este x6-9x4+81x2-729 şi
3p
restul 6570
2p
x2+9=x2-9i2=
2p
23
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
=(x-3i)(x+3i)
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
2p
ls (1) a 2 a 1, ld (1) a , f (1) a 2 a 1
2p
M
f este continu în punctul x=1 dac ls(1)= ld(1)=f(1)
a a 1 a 2
1p ridicând la p trat se ob ine : a a 1 a 2
V
a= - 1
ar
b)
2
x 2 x 1, x 1 Pentru a= -1 func ia f devine: f ( x) x 1 x , x 1
1p
nt
ia
1p 1p
eB
1 f’s(1)= , 2
f’d(1)=
2p
c) x
f ( x) x 1 x lim 2 x 2 x x2
1p
M
lim
C
A
f nu este derivabila în punctul x=1, acesta fiind punct unghiular pentru graficul func iei f
2p
2
2p
a)
1 1 2( x 3) x 3 0 ( x 3) f ( x)dx 0 ( x 3) 2 1 dx 2 0 ( x 3) 2 1 dx 1
1
b)
1
0
1
2
1 1 2 1 f '( x ) f ''( x) dx { f '( x) }dx f '( x ) 0 20 2
2p 2p
12
1 1 1 1 17 ln( x 2 6 x 10) (ln17 ln10) ln 0 2 2 2 10
20
2.
1p
1p
1p
24
Bacalaureat Matematică M – 2012 f ( x )
f '( x)
BA
f '(1)
2x 6 8 3 , f (1) , f (0) 2 ( x 6 x 10) 289 50 2
2 x 6 ( x 6 x 10) 2 1p
4 3 ; f '(0) ; 289 50
RE
1
8
f '( x) f ''( x)dx 2 [( 289 ) 0
2
(
3 2 ) ] 50
1p 2p
M
2
1p
2
1
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2 ( x 3) ' dx arctg ( x 3) arctg 5 arctg 4 2 1 1
f ( x)dx ( x 3) 1
1p
V
1
2p
eB
nt
ia
ar BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 7
A
Prof: Andrei Lenu a
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
f 2012 2012 2012 0 p0 3.
3p 2p
12
2.
x 3 x 3 2 16 2 x x 8 f 0 0 2012 2012, f 1 1 2012 2011 8
20
1.
2p 2p 1p
32 x 33 x3 2 x 3x 3 x3
1p 2p 2p
25
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
p=num rul cazurilor favorabile/num rul cazurilor posibile Avem trei cazuri favorabile şi cinci cazuri posibile ( prin verific ri , se ob in propozi ii adev rate pentru n= 1,2,3)
p
1p 2p 2p
3 5
5.
BA
x1
AABC
2p
y1 1 y2 1 y3 1
2 1
RE
0
1 , unde x2 2 x3
1 2
1 =8, AABC 4 1
1 0
3p
sin 700 sin 900 200 cos 200
2p
M
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin 2 x cos 2 x 1
1p 2p
inând cont de rela ia de mai sus ob inem cos 20 sin 20 1 2
0
2
0
V
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
Folosim rela ia x1 x2 x3
b)
3p
r d cin a ecua iei xi3 4 xi 3 0 xi3 4 xi 3, i 1,3
x13 x23 x33 4 x1 x2 x3 9 4 0 9 9
2p
d 3x1 x2 x3 x13 x23 x33
3p
eB
c)
xi i 1,3
3p
nt
x1 x2 x3 0
2p
b a
ia
1. a)
1p 1p
A
x1 x2 x3 3
C
d 3 3 9 0
2. a)
20
0 Ax y 1
2p
2
b)
2012 x 0 2012 y 0 Ax Ay 1 0 1 0 2012 x 2012 y 0 2012 x y Ax Ay 0 1 0
M
Obs. Determinantul se poate rezolva usor folosind propriet ile determinan ilor, şi anume se adun toate liniile (coloanele) se ob ine suma r d cinilor care este egal cu 0 şi astfel determinantul este egal cu 0.
3p 1p
Asociativitate Ax Ay Az Ax Ay Az , Ax , Ay , Az M
1p
A A A x
y
z
Ax y Az A x y z Ax y z Ax Ay Az
Comutativitate Ax Ay Ay Ax , Ax , Ay M
12
(M,·) grup abelian (comutativ) dac sunt îndeplinite urm toarele axiome asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile
1p
Ax Ay Ax y Ay x Ay Ax Element neutru Ae M astfel încât Ax Ae Ax , Ax M
26
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ax e Ax x e x e 0 ,deci elemental neutru este A0
1p
Elemente simetrizabile Ax Ax Ae Ax x A0 x x 0 x x c)
f x y Ax y
2p
Ax y Ax Ay
2p 1p
BA
Ax Ay f x f y
2p
1 1 2 x 1 x 1
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1 1 1 f x x 1 x 1 1 2 x 1 x 1 x 1
x2 2x 2
1p
ia
x 1
ar
b)
V
f x
Monotonia func iei este dat de semnul derivatei întâi
x 2x 2
1p
0 x2 2 x 0
nt
f x 0
1p
ls 1 lim f x
2p
eB
x 1 x1 2, x2 0 , f x 0 pentru x , 2 0, , f x 0 pentru x 2, 0 1 Pentru x , 2 0, f este cresc toare, iar pentru x 2, 0 1 f este 2
A
descresc toare c)
C
x 1 x 1
ld 1 lim f x x 1 x 1
2
0
x x 5 x 2
2
2
x dx dx f x x2 5 0 0
x 2 5 dx x 2 5
0
2
0
V f 2 x dx V 2
4
x 5 dx x 2 5 dx 2
1p 1p
4
2 4
2p
12
x2 5 3 5 b)
2
1p 2p
20
x2 5
1p
2
a)
2p
2p
M
Ecua ia asimptotei verticale este x 1 2.
2p
2
2p
2
2p
27
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4
x3 8 64 86 V 5 x 20 10 3 3 3 3 2
c)
2
2 x x 5dx
BA
2 0
0
2
2p
2 2 x x 5dx x x 5dx
2
0
2
2p
2 2 x x 5dx x x 5dx
2 2
x 5dx 2
RE
x
0
0
2
x
2
2
2
2
x 5dx x x 5dx x x 5dx x x 2 5dx 0 2
2
2
0
0
1p
0
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 8
V
Prof: Andrei Lenu a
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
5x 6 0 x
6 6 x , 5 5
3p 2p 1p
A
C53 10 10 10 0
eB
1.
nt
ia
ar
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
C
5 x 6 36 x 6 6 6 , , deci solu ia ecua iei este x 6 5 Ecua ia are r d cini reale egale dac 0 2 b 2 4ac 3m 2 4 9m 2 24m 4 4 9m 2 24m
2p 2p 1p
12
28
2p
20
5.
1p
2
4.
4 9m 2 12m 0 m1 0, m2 şi m2 0 3 5 Fie x pre ul ini ial al produsului, atunci x x 190 100 95 x 190 100 190 100 x 95 x 200 lei x 5 y 4 x x1 y y1 05 24 x2 x1 y2 y1
M
3.
2p
1p 1p 2p 3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 5 5 y 4 2 x 5 y 10 0
6.
Formula pentru aria triunghiului este ADEF
ADEF
BA
ADEF
DE DF sin D 2
2p
12 6 sin 600 36 sin 600 2 3 36 18 3 2
1p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 1 1 A2 3 3 3 4 4 1 12 12 4 3
M
b)
RE
1. a)
1 4 4 3 12 12 1 4A 3
2p
3p
X a X b aA I 2 bA I 2 abA2 aA bA I 2
3p
V
inând cont c A2 4 A
X a X b 4abA aA bA I 2 4ab a b A I 2 X a b 4ab
ar
c)
2p
X a inversabil X a det X a 0
ia
a 1 a a 1 3a 1 3a 2 3a 3a 1
2p
nt
det X a
1p
det X a 3a 2 a 3a 1 3a 2 4a 1 0 , pentru orice a
eB
2. a)
2p 1p
Aplic m rela iile lui Viete x1 x2 x3 4 şi x1 x2 x1 x2 x2 x3 10
x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x2 x2 x3 4 2 10 2
2
3p 1p
x x x 16 20 36 , este o constant , deci nu depinde de m b)
2 2
2 3
A
2 1
xi i 1,3 r d cin a lui f f xi 0 xi3 4 xi2 10 xi m
144 3m 9 3m 135 m 45 x1 x2 x3 4, x1 x2 x2 x3 x3 x2 10, x1 x2 x3 m x2
d x1 x2 x3 x1 x2 x3
x3 x1
x3
1 x2
x1 x1 x2 x3 1 x3 x2 1 x1
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
29
x1 x2
2p
12
x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x3 x2 x12 x22 x32 d 4 10 26 4 36 144
x3
20
x1 x2 x3
2p
2
c)
2p
M
Înlocuind x1 x2 x3 4 şi x12 x22 x32 26 se ob ine
C
x13 x23 x33 4 x12 x22 x32 10 x1 x2 x3 3m
3p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f
x
2x
x
2
2
3p
2 x2 2
2p
x
2 x2 2 x2 2 lim f x func ia nu admite asimptot orizontal
BA
b)
x 2 2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
x
f x x2 2 lim 1 x x x
y mx n , m lim
x
1p
c)
M
RE
x2 2 x2 2 n lim f x mx lim x 2 x lim lim 2 0 2 x x x x x 2x x 2x Ecua ia asimptotei ablice este y x
1p
2
x
2
2
x2 2
2 x 2 2
2
2p 2p
3p 1p
2p 1p
2
2p
20
0
1 9 x 2012 9 10
1 1 1 1 1 2012 f 2012 x 10 x 9 9 10 9 1 1 1 f 2012 x dx 10 0 9
30
1p
12
0 x 1 0 x
2012
x 2
M
f 2012 x dx
2p
C
1 1 ln x 2 9 0 2 1 1 10 ln 1 9 ln 0 9 ln 2 2 9
Aria este egal cu
x 2
2
A
1
x 2
0, x
2 1 x 1 x 9 0 x 2 9dx 2 0 x 2 9 dx 1
x2 2 x
eB
1 dx x 9 dx x9 x2 9 xdx dx 9x C 2 1 f2 x 2 x 9
x 9
2
nt
2 x 2 2
x2 2
ia
x2 2 x 2
ar
x
c)
2p
1p
x x 2 2 x
V
x f x 2 x 2
b)
f convex dac f x 0, x
2. a)
2
2p
1p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 9
ia
ar SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
A m 2 , 4m 1 se afl pe dreapta d dac şi numai dac coordonatele punctului A verific ecua ia dreptei d. În ecua ia dreptei punem x m 2 şi y 4m 1 , ob inem
3p
12
5 60 5 3 2
3p
20
A53
2p
2
n , n, k , n k n k
2p
M
5.
Ank
2p
C
10 150 15 lei 100 150 lei+15 lei=165 lei pre ul obiectului
4.
1p
A
3.
b 3 64 3 43 4 a
2p 2p 1p
eB
2.
a=3
nt
1.
2p
3p
m 2 4m 4 0 m 2 0 m 2 2
6.
sin 2 x cos 2 x 1
1p 3p
31
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 24 24 2 6 cos x 25 25 5 5 2 6 Cum x este m sura unui unghi ascu it, rezult cos x 5 cos 2 x 1 sin 2 x 1
1p
M
RE
BA SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
det A 8 0 0 0 0 0
ia
det A 0 2 0 0 0 2
A1 este inversa lui A dac A1 A I 3 1
2p
3p
C
1
Am v zut la punctul a c A
este inversa lui A
2
2 2 2 Deci, X A 4 4 4 6 6 6
1p
M
c)
1p
A
1 0 0 A A 0 1 0 I3 0 0 1
3p
eB
det A 8 b)
1p
ar
2 0 2
V
1. a)
1
2p
20
2p
12
2 2 2 X 2 2 2 3 3 3 2.
2012 2012 2012
1p
a)
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
3p
32
Bacalaureat Matematică M – 2012
2012 2012 2012
Rezultatul final
b)
1p
3p
x y xy x 2012 y 2012 x y 2012 2012 y 2012 2012
x y x 2012
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y
2012 2012
2p
2p
x a a x 2012 a 2012 2012 a
2012 a 2012 2012 a 0 a 2012 x 2012 1 0
RE
x
2p 1p
Cum x este un num r real oarecare a 2012
M V
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ar
f continu în x0 1 ls 1 ld 1 f 1
2 2 ls 1 lim f x lim 2 x 1 1 , ld 1 lim f x lim 2 1 , f 1 2 1 1 1 x x x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim x
1 2
2x 1 0 , avem cazul de excep ie 2 1 0 x 4 x 1
lim 2
2x 1 2x 1 1 lim lim 2 1 1 4 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2
Deci, limita este egal cu
2
Ecua ia tangentei la graficul func iei f este y f x0 f x0 x x0
2 8 ( x 2) 5 25 8 x 25 y 26 0
2p
12
y
2p
20
Ecua ia este
1p
2
4 x 8 2 , f 2 Calcul m f x , f x 2 2 2 25 x 1 x 1
1p
M
1 2
2p
C
1 x 2
4x 1 2
A
lim
f x
1p 2p
eB
b)
3p
nt
Deci f este continu în x0 1
c)
1p
ia
1. a)
2.
f1 x 3x 2 4 x 2012
a)
F x f1 x dx 3 x 2 4 x 2012 dx 3
1p
F x x 3 x 2 2012 x C
x3 x2 4 2012 x C 3 2
3p 1p
33
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f 2 x 8 x 2012
1p
1
Aria este egal cu A
f x dx
1p
2
0
1
1
BA
x2 1 A 8 x 2012 dx 8 2012 x 0 4 0 2012 0 2 0 0 A 2016
c)
e2
1
1p
e e e f 2 x 2012 8 x 2012 2012 8x ln xdx ln xdx ln xdx 8 ln xdx x x x 1 1 1 2
2
RE
2p
2
1p
e e2 Integrala ob inut se rezolv prin p r i 8 ln xdx 8 x ln xdx 8 x ln x 1 x ln x dx 1 1 1 2 e 1 e2 8 e 2 ln e 2 x dx 8 2e 2 x 1 8 2e 2 e2 1 8 e 2 1 x 1 e2
M
e2
2
2p
2p
eB
nt
ia
ar
V
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
A
Varianta 10
Prof . Badea Daniela
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
2
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
52 6 3 2 2 1
N 0 m 2 12
0 m 2 12 0
m , 2 3 2 3,
2p 1p
12
2.
2
20
1 2
2p
1p 2p
2p
34
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
2 9 x 3x 1 5 3x 6
2p
3x t 2t 2 3t 5t 6 t 2 4t 3 0
1p
t1 1 x1 0
1p
t2 3 x2 1
1p
Nr. cazuri posibile =12
1p
C C 1
1p
BA
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 11
11 11
C 11 k 1, 2,...,10 k 11
1p
Nr. cazuri favorabile =10
RE
5.
1p
5 P 6 AB 5, AC 20, BC 5
1p
M
2p
ABC dreptunghic în A R.T.P
1p
1 M ,0 2 m 0 u şi v necoliniari
1p
V
M centrul cercului circumscris M mijlocul lui BC
ar
6.
1p
1p
A
2p
C
Presupunem c
m astfel încât Am I 2 det Am 1
det A 1 5m 1 fals
f g `h r h X4 X3 X r X 3 1
b)
2p 3p 1p 2p
12
2. a)
3p
20
m
2p
2
An 1 4 An 5 An1 , n , n 2 se demonstreaz prin induc ie matematic
c)
2p
M
det A 5 1 8 A2 4 7 9 22 A3 = . 11 13 A2 4 A 5 I 2 se verific prin calcul direct
2p
eB
b)
2p
nt
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
1p
ia
m 1 2 m m2 2m 1 0 m1,2 1 2 m0
2
2p
s x1 +x2 1 p x1 x2 1
Rela iile lui Viette
1p
x12 +x2 2 s 2 2 p 1
1p
35
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 2 +x 1 0 / x1 x 3 x12 x1 13 x1 şi x2 r d cinile lui g 1 2 1 2 x2 +x2 1 0 / x2 x2 x2 x2 x13 x23 1 1 2
2p
f x12 f x2 2 x116 +x18 1 x216 +x28 1
2p
BA
x x x x 2 2
1
2
1p
2p
2
1
2
1 1 2 0
1p
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim f x =0
2p
x
M
1. a)
0 0
lim f x lim x 1
1 1 3 x 2 4
3p
V
b)
x 1
f ' x
'
1 1 1 f x 2 f x 3 x 2 f x 2 3 x f x 2 3 x 2
'
1p
ar '
ia
1 1 1 3 x 2 rela ia adev rat f x 2 3 x f x 2 f x 1 0 x 3,1 1, , f s 1 f d 1 f ' x 4 2 3 x f strict descresc toare pe D
1p
nt
Ecua ia tangentei la grafic într-un punct
F ' x ecos x sin x x 1 sin x e cos x cos x 1 f x x
b)
2
pentru f
f x dx F x | 2 0
0
ecos x sin x x 2e
|
2 0
2
2p 2p 2p
12
'
1p
20
1 şi 2 F primitiv
1p
2
1p
M
1
F derivabil pe
2p
C
x 18 y 4 0 2. a)
1p 1p
A
f 2 2 1 ' 1 f 2 , f 2 3 2 18 ' y f 2 f 2 x 2
eB
c)
2p
1p
2
2p
36
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
4
f x cos x 1
sin 0
2
x 1 e
cos x
4
dx 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin x dx cos 2 x
2p
1 4 | cos x 0 2 1
2p
BA
1p
M
RE BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 11
1p 1p
2
x4
2p
20
x 1, 2,3, 4 20 4 x x 100 5 110 4 x 1760 100 5 x 2000 x
1p
12
5.
3p 2p
M
log 2 x 2
4.
2p
C
3.
3p
A
2.
1 32012 1 3 : 2012 N 1 3 1 3 2 3 a şi b sunt solu iile ecua iei x 2 x 12 0 numerele sunt – 3 şi 4 2log 2 x 1 3
eB
SUBIECTUL I (30 de puncte) 2012 1. 1
nt
ia
ar
Prof . Badea Daniela Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p 2p
2p
M mijlocul lui (AB) M(1,2)
1p 1p
37
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 2 d mediatoarea md 2 mAB
2p
d : 2x y 4 0 6.
BA
sin 00 0,sin 900 1
1p
sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 1 2
0
2
0
2
0
2
0
1p
sin 2 300 sin 2 600 1 1 sin 2 450 2 7 S 2
1p
RE
1p
M
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
det A 4 m 2 m 2 2m 2m m 2
3p
4 m2
2p
b)
(S)sistemul este compatibil determinat det A 0
ar
V
1. a)
c)
2. a)
f a ,b X 1 f a,b 1 0
f a ,b 1 2a 2 2ab b 2 2a 1 a b a 1 2
3p 1p 1p
2
2p
A
a b 2 0 a b a 1 0 2 a 1 0 a b 1 x1 , x2 , x3 r d cinile polinomului f1,1 2 X 3 2 X 2 X 1 2
2
1p 1p
2
M
1p
20
1 1 s1 x1 x2 x3 1; s 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 ; s3 x1 x2 x3 2 2 2 2 2 2 S 2 x1 x2 x3 s1 2 s2 0
1p
12
2 x13 2 x12 x1 1 0 2 x13 2 x12 x1 1 3 3 2 2 2 x2 2 x2 x2 1 0 2 x2 2 x2 x2 1 3 3 2 2 2 x3 2 x3 x3 1 0 2 x3 2 x3 x3 1 1 x13 x23 x33 2S 2 s1 3 1 2
2p
C
b)
1p
eB
x, y, z 1,1, 1
3p
nt
m 0 det A 4 d x 4, d y 4, d z 4
2p
ia
4 m 0 m \ 2 2
1p
1p
38
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 8 x 22 x 1 2 x 1 0 2 23 x 2 22 x 2 x 1 0
2p
Not m 2 x t 2t 3 2t 2 t 1 0
1p
t 1 2t 2 1 0 t 1
1p
2x 1 x 0
1p
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f ' x x 3 2
f ' x 0 x
2 3 3
RE
1. a)
3
1p 2p 2p
Fie m1 şi m2 pantele celor dou tangente
1p
3 m1 f ' 1 3
1p
M
2 3 2 3 f strict descresc toare pe 2, , 2 şi strict cresc toare pe 3 3
1p
ia
m2 f '
ar
V
b)
3 1
m1 m2 1 cele dou tangente sunt perpendiculare
x 3
e x 3
x
3 0 3 2 1 0 x 3
lim
e x 3
2 3 x 3 2 x 3 2 1
1
2 3 3 x 3 2 x 3 2 1 x 3
e3
3
1
x 2 f1 x dx x 1dx
1
1
x 1 x | 1 2 2 2
2p
2p 1p 1p
2p
20
x 1 3 dx 1 dx x2 x2 -1 -1 1
1
1
1
1
2p 3p
12
I1 =
x 3
2
b)
1
M
2. a)
C
e
lim
x 3
lim 1 f ' x 1 x 3
f ' x 1
A
x lim
1 f ' x 1
eB
lim f ' x
1 1 x 3
nt
c)
2p
2p
x| 3ln x 2 | 2 3ln 3
39
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
I n 1 3I n
x 1
x 1
n
x 1 dx
n2
2p
1
|
1
2p 1p
, n
n 1
M
RE
BA
2
dx
n 1
n 1
1
n
x2
1 1
3 x 1
n 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 12
C
A
Prof . Badea Daniela Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. r 3
S n 0 n 11 x 1
3p
2
2.
1p
M
a1 15
1p
20
x2 x 6 0 x 1 x , 2 1, 3
1p 1p 2p
12
A 2,3
1p
40
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
x
2 2 2 2 3 3 3 3
x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
13 9
1p
x
BA
2 2 1 13 2 t t 3 3 t 9 3 3 2 6t 2 13t 6 0 t1 , t2 2 3
1p 1p
x
3 2 x 1 2 3
1p
RE x
1p
M
4.
2 2 3 3 x 1 A53 A42
3p 2p
60 12 48
5 B' ,1 , O 0, 0 mijloacele laturilor 2 ecua ia dreptei determinate de dou puncte
V
5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
a2
a 1 b 1
c
2
c
1
3p
M
b a c b c a
d x b a c b c a a b c
3p 2p
2
b)
2p
C
det A b
2
2p
A
1. a)
2p
eB
S 2 6 3 p
1p
nt
S= 9 4 3 2 6 6
2p
ia
p=9
r
1p
ar
OB' : 2 x - 5 y 0 6.
2p
d y b a c b c a ab bc ac
41
12
x a b c, y ab bc ac , z abc
20
d z abc b a c b c a
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Fie t1 , t2 , t3 r d cinile ecua iei date
c)
1p
t1 t2 t3 x a b c Fie t1t2 t1t3 t2t3 y ab bc ac t t t z abc 123 t1 a t2 b t c 3
2p
BA
Suma coficien ilor polinomului f este egal cu f 1
RE
2. a)
2p 2p
f 1 7 2012 14
1p
b)
M
f 1 7 7 2011 2 7
2p 1p
g x 2 x 3 f x 2 x 3 q r , gradr 2 r ax b
V
1p
f 2 12012 8 10 3 f 3 1 12 10 1 2a b 3; 3a b 1 f 2 2a b 3 3 f a b 2012
ar
2a b 3 a 4 r 4 x 11 3a b 1 b 11 1 1 1 g x x 2 x 3 , x g x x 2 x 3
1p
1 1 1 1 1 1 1 1 .... 2 3 3 4 4 5 2015 2016 1 1 1007 S 2 2016 2016
2p
nt
ia
c)
C
M
f ' x 2 e2 x 2 x 2 e2 x x
f strict cresc toare pe 0,1
2p
f continu pe 0,1
1
1p 1p
12
f are cel pu in o r d cin în 0,1
1p
20
f 0 1 0, f 1 e 2 1 0
1 , 2
2p
2
f ' x 0 x 0,1
f strict cresc toare pe 0,1
1p
A
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
b)
2p
eB
S
1. a)
2p
1p
2
1p
f are o singur r d cin în 0,1
42
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f '' x 2 2e 2 x 1 , f ''' x 23 e 2 x P3 A
I
2p
Pk A Pk 1 A
f k 1 x f k x 2k e 2 x 2k 1 e 2 x '
BA
Din I şi II Pn
2. a)
x
lim
3
RE
x
lim
x 1
x
3x
x
x 1
2
3
1
3
dx
1 3
1p
3p =
x 1
1
2
2
2p
dx
1p
dx ln x 1
1 C x 1
1p
ar
V
1
x
3
1 3 x 1 1
x 1 x 1
3
x
M
b)
3
lim
0
x
2p
A n , n 3
x 1
f t dt
A II
'
1p
1
V f 2 x dx 0
5
0
2p
31 5
C
5
1
|
1p
A
x 1
1p
eB
c)
1 2 x 1
1p
nt
H x ln x 1
ia
1 c, x 1 H 0 1 1 c 1 c 2
Fie H x ln x 1
2p
20
Varianta 13
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Badea Ion Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
43
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
2 x 1 3 3 2 x 1 3
2p
1 x 2
1p
dar x A 1, 0,1, 2
1p
cardA 4 A 0,3 G f f 0 3 b 3
1p
a 1 a 2 2 f x x2 2 x 3
2p
CE : x 2 2 x 0 x , 0 2,
1p
x2 2x 3 0
2p
2p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
3.
1p
CE
x1 1, x2 3 S 1,3 3 C10
120
x1 x2 y1 y2 0 m 1
2p
ia
m 2 2m 1 0
cos 1800 x cos x
2p 1p
eB
cos 900 0 S 0 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
A
A 2 2I 2
b)
x y X ; XA AX z t t x y 2z finalizare A 2k 2k I 2 , k
A 2012 21006 I 2 ;
2p
M
1p
2
3p
20
A+A 3 +A 5 +....+A 2011 A 2 A 22 A ... 21005 A
1p 1p 1p
12
A 2k+1 2k A, k
3p
C
1. a)
c)
1p
nt
6.
2p 2p
ar
5.
3p
V
4.
2p
2p
1 2 2 2 ... 21005 A 21006 1 A
2.
A 2 +A 4 +A 6 +....+A 2012 2 22 ... 21006 I 2 2 21006 1 I 2 .
1p
Defini ia elementului neutru
2p
44
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
e 5
3p
b)
Defini ia elementului simetrizabil
c)
3' 3 x y x 4 y 4 4
2p 3p 2p 3p
BA
S a 4 b 4 b 4
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
f x '
, f 1 '
x 1
2
e 4
2p
M
e e x 1 ex 4 y e 0 2 4 lim f x =
t: y b)
xe x
3p
V
x
3p
lim f x
2p
ar
x 1 x 1
c)
ia
concluzia
4p
nt Fie F : primitiv pentru f
F derivabil pe şi F ' x f x
f x dx x
3
x C
A 1,3 GF F 1 3 2 c 3 c 1
x 1 0
1p
1
e x| 0
1p 3p
12
g x dx x 1 e |
1p
20
g : 0,1 , g x x 1 e x 1
1p
2
F x x3 x 1
2p
M
Fie F : , F x x3 x c
c)
2p 1p
C
F strict cresc toare pe b)
2p
A
F ' x 3x 2 1 0 x
1p
eB
2. a)
0
1p
2e 1 e 1 e BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 14
Prof: Badea Ion
45
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
an n
progresie aritmetic , a1 2, r 3
1p
S n 155 3n 2 n 310 0, n n 10
3p
RE x a10 29.
2.
1p
2p
M
x1 x2 1 x1 x2 m x x 1 1 2 x12 x2 2 1 2m 2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 2m 2m 1 m 0
V
1p 1p
5 x1 2 1, 2 13 5 x2 1, 4 2
1p
eB
nt
Prin ridicare la p trat se ob ine 4 x 2 21x 26 0
3P3 3 6 18 1
0
2p
20
2 x 1 1 3 x 0
1p
2
N 9 17 17 1
1p
M
C102 5 9 45
x
1p 1p
C
A 10 9 90 2 10
5.
1p
A
S 2 4.
ia
x 1 0 5 x 1, 2 5 2 x 0
1p
ar
3.
2p
1
12
2p
2p
3 x 2 2 x1,2 2
1p
46
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
MN=MB BN 1 2 AB BC 3 3 1 2 AB AB AC 3 3 1 2 AB AC. 3 3
1p 2p
1p
BA
1p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Demonstrarea rela iei
M
1. a) b)
5p
An a, b A a n , na n 1b , n
3p 2p
a 2012 1 a 1
a 1 b 1 A 1, 1
Rela iile lui Viette
x12 +x2 2 x32 a 2 2
1p 1p 1p 3p
2
s1 s2 x12 +x2 2 x32 11 1 2
2p
20
x 2 x 2; x , 1 2, f x 2 x x 2; x 1, 2 f derivabil pe \ 1, 2 (func ii elementare) şi
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
2p
M
a 2 2 1 a1,2 3
3p
C
1 1 1 s2 + =1 x1 x2 x3 s3
c)
2p
A
b)
1p
eB
a)
f 1 0 f 1 4 a b 0 a 1 a b 2 b 1
1p
nt
2.
1p
ia
a 1 b 1 A 1,1
2p
ar
2012a 2011b 2012
V
Demonstrarea prin induc ie sau cu metoda binomial c)
1p
1p
47
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 1; x , 1 2, f x 2 x 1; x 1, 2 f s ' 1 3, f d ' 1 3, f nu e derivabil în 1
1p
'
1p 1p
analog f nu e derivabil în 2
BA
D' \ 1, 2
b)
M
RE
3p
2p
Concluzia conform tabelului c)
lim h x h nu are asimptot orizontal h x
x
x
1
x
1 2
ia
n lim h x x
1p
ar
m lim
1p
V
x
2p
2.
1 asimptot oblic spre 2 f continu pe 0,e e, - func ii elementare
a)
f s e f e f d e 1 f continu în e
1p
f continu pe 0, f admite primitive pe 0,
2p
h x 0 x e 1 ,1
1p
A
A x ln xdx
x x 1
1p
x 1, 2
1p
prin integrare pe 1, 2 2
1
1p 1p
12
ln
2012
20
şi ln x 0, x 1 0 x 1, 2
2p
2
x 2 x2 1 Integrând prin p r i A ln x |1 4 2 e 2 e 3 4e 2 ln x x 1 x 1, 2
M
1 e
2012
1p
C
1
c)
2p
eB
b)
1p
nt
d : y x
1p
1 f 2012 x dx 2013
1p
48
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 15 Prof: Badea Ion
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
log 2 2 1
2p
M
2.
log 2 5 3 log 2 5 3 log 2 11 log 2 22 log 2 11 S 2 1 2 3 ... 2012 2012
2p
V
2012 2013 2012 2 20122 2
2
x 0,5
5
22
1p
x 2,1 Formula de calcul a combin rilor
x6
Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment
6.
cos 1 sin
A 2, 2 , B 2, 2 şi C 4,0
2p 1p 2p 3p
2
1p
20
2p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p
2
5 13 , cos 0 2 5 cos 13
det A x x x 2 3
1p
M
2
1. a)
1p
C
5.
1p
A
x 6, 7,8,9,10
2p
eB
x , 2 x 10
2
2p
nt
x2 x 2 0 4.
1p
ia
2x
ar
3.
2p
3p 2p
A x inversabil x 49
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
det A 1 4 A 1 inversabil
1p
2 2 0 A 1 = 0 2 2 2 0 2
1 2 1 2 0
0 1 2 1 2
2p
M
c)
RE
BA
1 2 1 1 A 1 = A 1 = 0 d 1 2 x 1 1 y A 1 1 z 1 1 1 1 U 1,5
2p
3p
V ia
2,3, 4 U 0,
ar
2.
6
6
6
det A 3 x 4
det A 5 3 x 4 5 3 x 1 x 5 x 1,3,
x, y 1, 2
1p 1p 5p
2
F derivabil pe şi f ' x e x x 2 3x 2
1p
12
l 0 d : y 0 asimptot orizontal spre
20
x 2 5x 7 x ex
l lim f x lim
Se aplic regula lui l’Hospital de dou ori şi se ob ine
b)
1p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x
2p
C
1. a)
2p
A
det A 1 3 x 4 1 3 x 3 x 1,3,5
c)
1p
eB
S 3 b)
2p
nt
a)
2p
2p 1p 1p
1p
f ' x 0 x 1, 2 , f 1 3e, f 2 e2
1p
50
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
BA c)
1 – maxim local, 2 – minim local f 0 7, f 1 3e, f 2 e 2
1p
RE
1p 1p
7 e2
2.
Conform tabelului de la b) 7 f x 3e, x 0, 2
3p
f continu
1p
M
0
a)
sin xdx 1 cos1
1p
1
1p
1
1 2 ln
ar
V
1 1 x 2 ln 2 dx x x | | 0 x 2 0 0
I cos1 2 ln
3 2
0
sin
2
xdx
I
2 0
2
c)
x
2
xdx
2
1p 2p
C
f x dx sin
2
A
V
0
2p
eB
I
1p
nt
b)
1p
ia
3 2
f t dt x 2ln x 2 2ln 2
M
0
2p
x
3p
2
1 lim f t dt 1 x x 0
12
Varianta 16
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof:B c u Cornelia Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. 51
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2
3p
2.
M
RE
1 1 1 1 16, 3 , log 3 3 8 2 2 4 1 1 16 16 2 2
a,a+2,a+8 în prog. geom. rezult
2p
( a 2) 2 a ( a 8)
1p 2p
V
a 2 4a 4 a 2 8a , 4 a 4 a 1
ar
3.
f f ( x) 3(3x 2) 2 9 x 8 f f ( x) f ( x) 6 x 6
nt
3p
M
2p
2
2p
20
2 2
1p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
C
1 2 cos 450 2 2 0 0 cos120 cos 60 cos 600
cos 600 cos 450 cos1200
3p
A
3 x 2 y 0 2 x 3 y 5 A 2, 3
6.
2p
eB
C102 10! 45 2!(10 2)!
5.
2p 2p 1p
ia
6 x 6 0, x 1 4.
2p
A1(-1.1), A2(-2,2)
:2p 2p 52
Bacalaureat Matematică M – 2012
x A1 A2 : x A1
y y A1
1 1 0
x A2
y A2
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
A1 A2 : x y
BA b)
AAA2 A3
RE
xA 1 , x A2 2 x A3
1 1
y A3
1
3p 2p
3 2
AAA2 A3
M
c)
yA y A2
A2011(-2011,2011),A2012(-2012,2012)
V
x A2011
y A2011
1 0
x A2012
y A2012
1
1
2p
2012 ( 2012) 2012 2012 2012
a)
20120 1
b)
x 2 2 x 2012 x 2
2 x
20121
x y
z
z
2p
2012 z 2012
2p
2
20122012
x y
M
x y z 2012 2012
2p
C
x 2 x 1, x 1 2
c)
3p
A
2012 x
2 x
5p
eB
2.
nt
Deci O, A2011,A2012 coliniare
2p
ia
yO
ar
xO
2
1p
x y 1
1p
20 12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
53
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2 2 (2x-1) 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2 2 (x -2x+1) x2 2 x 1
3p
2 x 1 2 2 x 1 x 1
2p
BA
x 1
f x
2
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4
x 1 2 x 2 4 x 2 2 x 4 3 x 1 x 1
2 x
1p
RE
x 1
3
2 x
f x 0
0 x 0
x 1 f ( x) 0, x 0,1 , f ( x) 0, x , 0 1, 3
1p
M
1p
lim f ( x ) 0, x
2p
V
x 1min, f (1) 1 f ( x ) 1
2p
lim f x 0, lim f x 0 y 0 asimptot orizontal spre
2p
Func ia admite asimptot vertical , asimptot orizontal şi nu admite asimptot oblic .
1p
2.
lim f ( x ) 1
1p
a)
lim f ( x ) 1
x 1 x 1
ar
lim f x ,lim f x x 1 asimptot vertical spre
c)
x 1 x 1
ia
x
x
eB
nt
x0 x 0 x0 x 0
1
1
1
2 2 x 1dx 3x 2 x 1dx
1
x
| x 1
0
3
x x 2
|
1 0
2 1 1 2
a
f x dx 3 x 2 2 x 1 dx x 3 x 2 x
|
2 a
9
a
10 a a a 9 3
2
2p
12
2
1p
20
c)
2p
2
x
2
0
2p
M
f x dx
0
2p
C
fcont. fad . prim. b)
1p
A
f ( x ) 1
1p
1p 1p
a3 a 2 a 1 0 a 1 a 1 0 2
1p
1 a 1; a 1, a , 2 a 1 3
54
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA nt
ia
ar
V eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 17
A
Prof:B c u Cornelia
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
1.
20
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
12
2 x 1 14 5 3 3 2x 1 14 5 3 3 25 65 x , 6 2
2p
1p
55
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f f x a ax 3 3 a 2 x 3a 3 f f 1 1 a 2 3a 3 1 a 2 3a 2 0 a 2, 1
2p
a 1 1 b 2 1 c 3 d 0 abcd
1p
2p 1p
BA
1p 1p
RE
1p
M
4.
1p
nr .caz.fav. nr .caz.posibile nr .caz.posibile 90 nr .caz.fav 6 1 P 15 P
1p
V
1p
2p
nt
2p
eB
NP 3 2, R 3
1p
A
6.
1p
ia
MN NP 2R sin P sin M 3 NP 2R 12 2 2
ar
5.
2p
MN 2 40
C
NP 2 40 MN NP MNPis
2p 2p
M
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2 20
1. a)
3p
det A a 2 a 7 b)
2p
12
3 2 1 det A a 1 1 1 a 2
det A 5 0 d x 5, d y 5, d z 5
1p 3p
S 1,1,1
1p 56
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
det A a 2 a 7
1p 2p 2p
a 2 a 7 0 29 p. p. a1,2 det A 0, a
x y x y 2012 2012( y 2012) 2012
a)
( x 2012)( y 2012) 2012
3p 2p
BA
2.
e a.i.x e e x x, x x e x ( x 2012)(e 2012) 2012 x e 2013
x 2012 2012 x 2012, x 1 2 ... 2012 2013 x 2012 2013 2012
M
c)
RE
b)
1p 2p 2p 3p 2p
( x 2012 ) 2012 x 2011 f ( x) 2012 x 2011 2012 x ln 2012
C
b)
y y0 f ( x0 )( x x0 )
2
ax y a 1 0
20
f ( x) 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012
a)
2p
4 1 1 dx ( f ( x) )dx 2 2 x2 x
2p 1p 2p
12
x 2010 0, 2012 x 0 f ( x) 0 fconv. pe 2.
1p 1p 1p 2p
M
x0 1, y0 1 f (1) 2012(1 ln 2012) a c)
2p 2p 1p
A
(2012 x ) 2012 x ln 2012
eB
1. a)
nt
ia
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
4
2p
4
ln x 2 2
1p
3 ln 6 ln 4 ln 2
57
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Fprim. f F ( x ) f ( x), x 1, F ( x ) f ( x )
2p
1 1 0 2 x ( x 2) 2
2p
F ( x ) 0 Fconc. pe 1,
BA c)
2
1
1p 2p
1 1 ( )dx x x2
2p
2
RE
(ln x ln x 2 ) 1
1p
8 ln 3
M nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 18
Prof:B c u Cornelia
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
20
1.
2,5 2,5
1p 1p
[-2,5]+{-2,5}+|-2,5|=-3+0,5+2,5=0
2.
1p
12
2.5 3 2,5 0, 5
2p
a 1,1 a,5a 3 2(1 a ) (a 1) (5a 3) 1 8a 4 a 2
58
3p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
13 , p 10 12 x, y sol.ec.: t 2 st p 0 13 t 2 t 10 0 12 13 77 2 77 12 12 , t 1,2 2 12 s
1p
1p
BA
8 15 15 8 S , , , 3 4 4 3
1p
cond .: x 0, x 1 0 x 1,
1p
log 2 x( x 1) 1
1p
x( x 1) 2
1p
M
RE
4.
1p
5.
1p 1p
ar
S 2
V
x 1, 2
2p
ia
A(2, 0), B(4, 2), C (6, 4) x xB xC y y B yC xG A , yG A 3 3 2 G (4, ) 3
2a 2 10a 13 13
2p
2
1 0 f (1) 0 1 0 O2 0
20
3p 2p
12
2x 0 f (2 x) 0 2x 2x 0 1 0 0 2x 0 1 x
1p
M
b)
2p
C
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 0 f (1) , 0 1 0 F (1) f (1) 0
2p
A
a 0, a 5
1. a)
1p
eB
AB (2 a )2 (1 a 4) 2
nt
6.
2p
2p
1 2
1p
59
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
x2 f ( x ) f ( x) 0
f ( x)
n
x 0
n
BA
RE
2012
22012 2 0 ... 0 2 0
0 2012 2
1p
0
1p
22013 2 0 22013 2 0
1p
g 0 x 2 3ˆ x 2ˆ 0ˆ x 3ˆ
1p 2p 2p
ar
V
2p
ˆ 0, ˆ f (4) ˆ 0ˆ g f f g c f (3)
ia
1p
eB
f x 4 1ˆ
ˆ ˆ , a aˆ 4 0,1 5
1p 2p
A
ˆ 2ˆ , a f (aˆ ) 1,
2p
nt
ˆ 4ˆ 4 1 3ˆ 4 1, 1ˆ a 0ˆ a 4ˆ
c)
1p
2 .. 22012
x 4ˆ
b)
1p
M
2. a)
0 x2
0 , n n x
f (2) ... f (2)
2 .. 22012 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
5
2p
C 2p 2p 1p
12
c)
f ( x ) f (0) f (0) x0 x f ( x ) ln 2012(2012 x 2012 x ) f (0) 2 ln 2012
lim
20
b)
2
1. a)
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2012 x 0, x
2p
f ( x) ln 2012(2012 x 2012 x ) 0, x
3p
D f nu admite as.vericale
1p 60
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
lim f ( x) , lim f ( x) deci fc .nu admite asimptote orizontale x
lim x
a)
f ( x) f ( x) , lim deci fc .nu admite as.oblice x x x
2p 2p
e 1
1 dx e x 1 1 x 1 e 1 ln e 2 x 1 1 e(e 1) ln 2 (e 2)(e 1)
BA
2.
2p
x
2
2p
RE
M
b)
g ( x) ( x 1)2
3
2
2
1
1
x
2
1
n
dx
'
x 2 1 dx
1p 2p
nt
x
n
ia
2
1
ar
2x
3p
V
3
2p
x3 x2 x C 3
g ( x)dx c)
1p
2p
3
C
A
eB
1 1 1 n 1 , n , n 2 n 1 |2 1 n 3 n 1 8 n 1 x2 1 1
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Varianta 19
Prof: Brabeceanu Silvia
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
61
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x3 x3 1 1 1 2 2
3p
5 x 1 x 5, 4, 3, 2, 1 x
2p
BA 2.
A G f f 0 0 c 0
1p
M
RE
b 2 a 1 2a V Gf 4 b 4 4a
3p
1p
Finalizare f x x 4 x
V
3.
2
2 x 5 0 5 x , 2 x3 0
1p
ia
ar
Condi ii
2 x 5 x 3 x 2 4 x 4 0 2
nt
A52
5! 20 5 2 !
v2 sunt coliniari
3 a a 1 2
BC 2 BA2 AC 2 2 BC BA
cos B
9 16
3p
12
cos B
2p
20
a 3 ; a 0a 3 a2 a 6 0 1 a2 2 6.
1p
2
v1
2p
M
Finalizare 3 6 5 20 118 5.
2p
C
4! 6 2! 4 2 !
A
C42
2p
eB
5 x 2 , 2 4.
2p
3p
2p
62
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
1 2 3 A 2 I 3 1 1 4 2 3 1
2p
BA
det A 2
3p
det A 2 0 rang A 3
2p
M
c)
3p
RE
b)
det A 2 I3 12
Din b). det A 2 0 A1 inversa matricei A
2p 1p
V
A 1 A X A 1 I 3 X A 1 ,
ar
13 7 11 1 A 9 5 7 2 1 1 1 1
1p
nt
ia
1p
Solu ia ecua iei este inversa matricei A
e 6 elementul neutru al legii de compozi ie dac
a)
x 6 x 6 6 x, x
x
2
1p
x
1p
3 x 1 2 x 2 x 6 0 3x 2 2 x 1 0
C
b)
3p
A
6x 6 x 6 x
x 6 6 x x, x
eB
2.
2p
M 2
1 x 3 x 2 2 x 1 0 16 1 3 x2 1
20
c)
12
Folosind semnul func iei de gradul doi, solu ia inecua iei este x , 1 , 3 1
2p
1p 2p
1 1 1 1 1 1 2 7 2 7 6 6 2 2 2 2 2 2
1p
63
Bacalaureat Matematică M – 2012 Formula S n a1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 qn 1 , q 1 a progresiei geometrice de ra ie q q 1 2
2p
RE
BA
7 1 1 1 2 2 1 1 36 7 35 7 35 0 Calcule care vor conduce la 1 2 2 2
1. a)
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) Condi ia ca o func ie s fie continu într-un punct x0
2p
V
2p
1p
nt
b)
2 f continu în x0 0 3
ia
f 0
ar
2 2 lim f x ; lim f x x 0 3 x 0 3
3p
eB
1 , x0 2 x 3 f x 1 , x0 x 3 2
A
2p
f descresc toare pe intervalul , 0 şi cresc toare pe intervalul 0,
lim f x 1; lim f x 1; f 0 x
2 3
a)
x3 2 f1 x dx 4 x 8 x 16 dx 4 4 x 16 x c 3
2
1
1
0
0
1p
12
b)
n 1 f1 x 4 x 2 8 x 16
20
2.
3p
2
2 3
Din tabelul de varia ie al func iei: f x ,1 , x
2p
M
x
C
c)
4p
2p
A f1 x dx 4 x 2 8 x 16 dx
3p
64
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1
4 x3 64 A 4 x 2 16 x 3 0 3
2 16 x 2 16 x f 2 x 16 x e x dx e dx x x 1 1 2
2p
BA
c)
3p
2 2 2 16 x 1 e x dx 16 x 1 e x e x dx 16e 2e 1 1 1 1
M
RE ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
ia
Varianta 20
nt
Prof: Brabeceanu Silvia
eB
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
a4 54 , q 3 şi a1 2
728
a1 q 6 1 q 1
mx 2 m 1 x m 0
0.
2p
12
E
3p
20
S6 2.
2
1.
1p
1p
b 2 4ac 0 m 1 4 m m 0 2
3p
65
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m1 1 3m 2m 1 0 1 m2 3 2
3.
x 3 0, x 3, 1 Condi ii 1 x , 2 2 x 1 0, x 2 ,
2p
BA
1p
RE
log 2 x 3 log 2 2 x 1 2 x 3 2 x 1 4
2p
V
4.
M
7 x1 2 x 5x 7 0 2 x 1 2 2
Numerele naturale abc scrise cu cifrele 1 şi 2, corespund func iilor f : a, b, c 1, 2 care sunt în
3p
ar
total 23 8 , deci sunt 8 numere: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 . 1p
ia
Favorabile cerin ei de a fi divizibile cu 4 sunt doar dou dintre ele: 112 şi 212 .
eB
5.
1p
2 0, 25 8
nt
Probabilitatea cerut este p
CM - mediatoarea segmentului AB C mijlocul segmentului şi CM AB .
1p
x A xB 1 2 2 1,1 C y A yB 1 2 2 yC 2 2
1p
C 1 3
p p a p b p c unde p
2p
20
Se utilizeaz formula lui Heron: S
2
CM : y yC mCM x xC CM : x 3 y 1 0 6.
1p
M
CM AB mCM mAB 1 mCM
A
xC
abc este 2
2p
12
semiperimetrul triunghiului.
1p
6 7 11 p 12 2
2p
S 12 12 7 12 1112 6 6 10
66
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
1 1 A2 2 A 2 3 3
2p
1 1 2 2A 3 3
1p
Din a). A2 4 A
1p
X a X b I 2 aA I 2 bA I 2 aA bA abA2
2p
X a X b I 2 aA bA ab 4 A I 2 a b 4ab A X a b 4ab
2p
X a este inversabil det X a 0
2p
ia
1p
b)
RE
BA
4 4 2 2 A2 şi 2 A 12 12 6 6
M
1. a)
ar
V
c)
1 a a 1 4a 3a 1 3a
m 3 f X 3 X 2 15 X 4
a)
Împ r irea obişnuit sau schema lui Horner
2p
20
f divizibil cu X 4 r 0
35 17
1p 2p
12
c)
1p
2
Efectuarea împ r irii
r 0 17 m 35 0 m
3p
M
q X 2 3 X 9, r 14 b)
1p
C
2.
1p
A
a , 1 4a 0 X a inversabil
1p
eB
det X a
nt
a 1 a X a I 2 aA 3a 1 3a
S1 1 Rela iile lui Viete S 2 15 S 2 3
1p
67
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x12 x22 x32 S12 2 S2 31
2p
x13 x23 x33 x12 x22 x32 15 x1 x2 x3 6 0,
2p
x13 x23 x33
x
2 1
x22
x 15 x x 2 3
1 2
x1 x3 x2 x3 6 40
BA 1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x 2 x x ln 2
2p
M
3p
f x 2 x 1 ln 2 f x f a f a xa
lim
f x f 1 f 1 ln 2 x 1
f x 0 2 x 1 ln 2 0
nt
c)
2x 1 0 x 0
2p
1 1 x 0 t 1 2 I 0 1 xdx . Subst. 1 x t ; dx 2 1 xdt I 0 2 t 2 dt 3 0 0 x 1 t 0
3p
C
1
0
0
4 15
0
2p
12
In
2n 1 n 1 2n 1 n 1 xdx x x 1 xdx 3 0 3 0
1p
20
1
2
Se aplic metoda integr rii prin p r i
I n x n 1 xdx
2p
M
1
I1 x 1 xdx 2 t 2 t 4 dt b)
2p
A
a)
1p
eB
ln 2 0
2.
3p
ia
x 1
2p
ar
x a
V
lim
b)
2n 2n I n 1 I n 3 3
1p
2n 2n 2n I n 1 I n 1 I n I n 1 3 3 2n 3
1p
68
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1
I n 1 x n 1 1 xdx 0
2p
x 0,1 x n 1 x n şi cum 0 1 x 1 x n 1 1 x x n 1 x 1
1
0
0
2p
M
RE
BA
Deci x n 1 1 xdx x n 1 xdx I n 1 I n I n n 0 descresc tor
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
Varianta 21
eB
Prof: Brabeceanu Silvia
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
Ra ionalizarea fiec rei frac ii sau aducerea la acelaşi numitor 2
2
14
Finalizare 14 2.
3p
12
43
1p
20
2 3 2 3
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1p
Pentru ca s existe intervalul I se pune condi ia:
69
x 2 1 3x 4 2 4
1p 3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 x 2 3x 2 0
1p
1 1 1 1 A 1,1 G f f 1 1 şi B , G f f 3 2 3 2
2p
BA
3.
1 Finalizare x , 2 2
3p
Fie x - pre ul ini ial. x 18% din x 820 .
2p
x
M
RE
4.
3a 2b 1 1 11 Rezolvarea sistemului S , 8 16 2a 4b 3
V
BC 2BA 2u 3v BC 2 AB 2 AB 3 AC BC CA 2 AB 2 AB CA AB 2 AB 2CB AB 2CB
3p
300 BC 2 AB 40 3 m C
eB
nt
1p 2p
A
Din teorema catetei AB BC BD BD 10 3 2
1p
C
CD BC BD 30 3
M
Se aplic teorema în l imii AD 2 BD DC 30
1p
2 20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A1 1, 2 şi A2 2,5
1p
12
1. a)
2p
ia
6.
1p
ar
x 1000 5.
2p
18 41 x 820 x 820 100 50
2p
x x1 y y1 Ecua ia dreptei A1 A2 : x2 x1 y2 y1
A1 A2 : 3x y 1 0
2p
70
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b)
2
1
5 1 0 Punctele A1 , A2 , An sunt coliniare dac determinantul 2 2 n n 1 1
2p
n 1 n 2 3n 2 0 1 n2 2
3p
BA c)
1
1 2
1
1
RE
A A1 A2 A3
2
2p
2p
M
2 5 1 2 3 10 1
a)
1 1 1 xy x y 1 1 x y 1 y 1 1 x 1 y 1 1 2 2 2
3p
1p
C
3x 3 1 0 x 3
1p
1 2 1 2 x x x x x x x x x x x 1 1 x 1 1 x 2 2
2p
M
1 2
4
20
Finalizare x x x x x
2p
2
Se aplic în continuare a).
x 15 1
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a)
1 x 1 5 1 3x 1 1 1 1 5 x 1 3x 1 1 0 2 2
5x 1 0 x 0
c)
3p
A
5 x 3x 3 1
eB
b)
nt
x, y
2p
1 1 xy x y 1 2 xy x y 1 1 2 2
ia
x, y x y
ar
2.
1p
V
A A1 A2 A3
1 2 1 2
Asimptota oblic are ecua ia y mx n, m 0
71
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 m lim
x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x 1 x
2p 1p
n lim f x mx 1 x
1p
BA
y x 1
b)
f x
x2 6 x 8
RE
x 3
2p
2
x 4 f x 0 x2 6x 8 0 1 x2 2
1p
M
2p
Din tabloul de varia ie al func iei rezult c x1 , x2 sunt puncte de extrem
ar
V c)
f x x2 4x 4 caz exceptat 1 L lim lim 2 x x x x 3 x
1p
L el e1 e
3p
x
x
nt
ia
2.
6 1 6x 9 x2 2 9 x x
3
0 adev rat pentru x 0, 3
f x dx 6 1
3
e
e e 1 Integrând rela ia de la punctul a). avem f x dx dx ln x 1 1 1 x 1
2p
12
1 f x dx 2 arctg 3 1 6 3
c)
3p
20
1
1 1 x dx 6 arctg 2 9 x 3 31
2p
2
b)
2
2
M
3 x
2p
C
0 9 x2 6 x 0 3 x
1p
A
a)
1p
eB
x2 4 x 1 2 x x 3 x
l lim
2p
2p 72
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 Folosind punctul b). avem 2 arctge arctg 1 3
Finalizare arctge
1p
1 1 arctg 2 3
M
RE
BA eB
nt
ia
ar
V C
Varianta 22
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Cioc naru Viorica
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2.
Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r.
3p
Calculul lui a11 = 2 + (11- 1) 3 de unde rezult a11 = 32
2p
Formula loga a = 1, 0 < a < 1, a > 1
şi log 3 3 = 1 73
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Formulele m loga A = loga Am, 0 < a < 1, a > 1, A > 0 loga A+ loga B - loga C = loga
AB , 0 < a < 1, a > 1, A, B, C > 0 C
BA
Calculele log 3 3 + 3 log 3 2 - 2 log 3 4 = 1+ log 3
3.
23 = 1- log 3 2 42
2p
Intersec ia Gf cu Ox înseamn rezolvarea ecua iei f(x) = 0
RE
Rezolvarea ecua iei x2- 5x + 6 = 0, ∆ = b2 – 4ac, x1,2 =
M
Calculele ∆ = 1, x1,2 =
Formulele C nk =
1p 2p
b 2a
5 1 deci Gf Ox = {A, B}, A(3, 0), B(2, 0). 2
2p
V
4.
2p
2p
ar
n! n! , Ank = , 0 k n , Pn = n! k!( n k )! (n k )!
eB
Înmul irea unui vector t = a i + b j cu un scalar s real,
nt
5.
ia
Calculele C 52 = 10, A52 = 20, P3 = 6 şi finalizarea 2 C 52 A52 + P3 = 2 10 – 20 + 6 = 6
3p
2p
s t = sa i +sb j
3p
Calculele 2 v - 3 u = 2(2 i 3 j ) – 3(3 i 2 j ) = -5 i + 12 j .
Formula pentru aria triunghiului A∆ABC =
C
sin A = sin 300 =
20 12
Matricea sistemului este inversabil dac D(a) 0.
1 D(a) = a a2
2p
2
1 1 8 10 = 20. 2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
M
1 . 2
Calculul ariei A∆ABC =
2p
1 AB AC sin A. 2
A
6.
1 1 3 1 determinant Vandermonde sau se aplic una din regulile uzuale pentru 9 1 74
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 calculul lui D(a)
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
D(a) = -2(a - 1)(a - 3).
a 1, a 3 .
1p
1 a a2 At = 1 3 9 , 1 1 1
3p
BA
det At = det A
Din punctul a) D(a) = -2(a - 1)(a - 3)
RE
2p
D(2) = -2(2 - 1)(2 - 3) = 2
c)
1p
Din punctul a) D(a) = -2(a - 1)(a - 3) , D(4) = -2(4 - 1)(4 - 3) = - 6
M
2p
ar
V
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cu metoda lui Cramer se calculeaz Dx = 1 3 1 , Dy = 4 1 1 , Dz = 4 3 1 . 1 9 1 16 1 1 16 9 1 Calculele conduc la Dx = -16, Dy= 30, Dz = -20 şi x =
2p
eB
nt
8 10 , -5, )}. 3 3
ia
S = {(
Dy Dx D ,y= , z = z deci D (4) D ( 4) D (4)
2.
Din rela iile lui Viète x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x 4+ x3 x4 = -8,
1p
a)
x1x2x3+ x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3 x4 = 0, x1x2x3 x4 = 16 se determin S = 0, f(S) =16, P = 16,
3p
A
f(S)+ P = 16 + 16 = 32.
4 2 Polinomul f = X – 8X + 16 se restrânge în (X2 – 4)2 = (X - 2)2( X +2)2.
3p
Unul din factorii lui f este polinomul g deci g divide f.
2p
M
Din punctul b) r d cinile polinomului f sunt x1 = x2 = 2 , x3 = x4 = -2.
2p
20
x14 = x24 = 24 = 16, x34 = x44 = (-2)4= 16.
2p
2
c)
C
b)
1p
x14 + x24 + x34 + x44 = 16 + 16 = 32.
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
75
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f ' g fg ' . g2
f g
Formula ( ) '
Calculul lui (
2p
2 x ' (2 x)' ( x 2 3) 2 x ( x 2 3)' 2( x 2 3) 2( x 2 3) = , deci f ’(x) = . ) x2 3 ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2
BA
Calculul lui f ’(0) =
2 . 3
Rezolvarea ecua iei f ’(x) = 0 conduce la aflarea punctelor de extrem.
1p
2( x 2 3) 2( x 2 3) Din punctul a) f ’(x) = şi f ’(x) = 0 rezult = 0. ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2
1p
x2 - 3 = 0 şi x1,2 = 3 .
1p
M
V
3 3 de unde rezult punctele de extrem de coordonate ( 3 , ). 3 3
ar
f ( 3 ) =
Notarea lim ( f ( x ) x) = lim ( x
x
2p
ia
c)
1p
2x x) = L. x 3 2
nt
2 x x( x 2 3) . x x2 3
x3 x . x x 2 3
Calculele L = lim
şi g sirea limitei L = - .
C
2p
Orice func ie continu admite primitive, f este contin pe R - {1}, pentru continuitatea lui f în 2p x0 = 1 se calculeaz limitele laterale şi f(1).
2
M
a)
1p
A
Observarea nedetermin rii
1p
eB
Aducerea la acelaşi numitor L= lim
2.
2p
1p
RE
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
ls = lim( x 2 3x 2) 0 , ld = lim( x 3) ln x 0 , f(1) = (1+3)ln1= 0 f continu în x0 = 1. 1
20
x 1 x 1
x x 1
f admite primitive pe R.
0 şi
1 < 1 deci 2
1 2
0
1p
1 2
f ( x)dx = ( x
1p
12
b)
2p
2
3x 2)dx .
0
1p
x n 1 n c x dx n 1
76
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x3 x2 ( x 3x 2)dx 3 3 2 2 x c . 2
1 2
BA
( x
2
3x 2)dx = (
0
c)
e2
1, e 1 deci 2
RE
1
3
2
x x 3 2 x) 3 2
f ( x) dx = x3
1 | 02
1 1 ( )3 ( )2 1 2 = 2 3 2 2( ) = - . 3 2 2 3
e2
( x 3) ln x 1 x 3 dx =
Formula de integrare prin p r i
2p 2p
e2
ln xdx . 1
f ( x) g ' ( x)dx
f ( x) g ( x) f ' ( x )g ( x ) dx f, g derivabile cu
1p
e2
1
e2 1
x ln x |
2p
e2
dx = x ln x | x | = e + 1.
V
ln xdx =
M
derivatele continue. e2 1
e2 1
2
1
A
eB
nt
ia
ar Varianta 23
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: Cioc naru Viorica
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r . Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice Sn = 77
(a1 a n )n . 2
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Calculele a25 = 3 + (25 - 1) (-2) = 3 – 48 = - 45, S25 =
2.
(3 45) 25 = -21 25= - 525. 2
2p
1p
∆ = b2 – 4ac ∆ = (m – 1)2 - 4 2m = m2 – 10m + 1.
2p
BA
Ecua ia de gradul al II-lea are solu ii reale egale pentru ∆ = 0.
∆ = 0 m2 – 10m + 1 = 0, ∆m = 100 – 4 = 96, m1,2 =
b m 2p
2a
RE
m1,2 = 5 2 6 . Intersec ia Gf cu Ox înseamn rezolvarea ecua iei f (x) = 0.
M
3.
32x+1-1= 0 32x+1= 1 2x+1= 0 x =
1p 2p
V
1 1 deci Gf Ox = {A}, A( ,0 ). 2 2
Intersec ia Gf cu Oy înseamn f (0), f (0) = 32 0+1-1= 2 deci Gf Oy = {B}, B(0, 2) .
eB
5.
n(n 1) , P3 =6 conduc la ecua ia n (n - 1) = 12 n = 4. 2
nt
Calculele C n2 =
Condi ia ca doi vectori t = a i + b j şi r = c i + d j s fie coliniari
3p
2p
a b = c d
A
Calculele pentru ca vectorii v şi u s fie coliniari
a 2 a3 = 3(a - 3) + 2(a + 2) = 0 3 2
3p
C
5a = 5 a = 1
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a, a, b R
2p 1p
2
750 = 450 + 300
M
6.
2p
n! , 0 k n , Pn = n! k!( n k )!
ia
Formulele C nk =
ar
4.
2p
2 , 2
2p
20
sin 750 = sin 450 cos 300 + sin 300 cos 450, valorile remarcabile sin 450 = cos 450 = 1 3 2 3 1 2 , cos 300 = ( + )= sin 750 = ( 3 1). 2 2 2 2 2 4
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
78
12
sin 300 =
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
x
y
Ecua ia dreptei BC: x B
yB
xC
yC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1
x y 1 1 =0 1 2 1 = 0, B(1, 2) şi C(- 3, -2) 1 3 2 1
2p
Calculele 2x - 2 - 3y + 6 + 2x – y = 0 x – y + 1 = 0.
BA
1p
Ecua ia dreptei BC: x – y + 1 = 0.
b)
A(3, a), B(a, 2) şi C(- 3, -2) pentru a = -2 devin A(3, -2), B(-2, 2) şi C(- 3, -2)
RE
yA 1 yB 1
,
yC 1
M
xA 1 xB A∆ABC = 2 xC
3p
3 2 1 1 2 2 1 A∆ABC = 2 3 2 1
Calculul determinantului conduce la A∆ABC = 12
V
c)
1p
yA 1
xB
y B 1 = 0 pentru ca A, B, C s fie coliniare. yC 1
2p
2ˆ x = 3ˆ x = 4ˆ în Z5.
3p
M
a)
1p
C
2ˆ x + 3ˆ = 1ˆ 2ˆ x + 3ˆ + 2ˆ = 1ˆ + 2ˆ .
A
5 25 72 5 97 , se re ine valoarea pozitiv deci S = { }. 2 2
2.
S = { 4ˆ }
3p
20
1ˆ 2ˆ 3ˆ 2ˆ 3ˆ 1ˆ = 1ˆ 2ˆ 3ˆ + 1ˆ 2ˆ 3ˆ +1ˆ 2ˆ 3ˆ - ( 3ˆ 3ˆ 3ˆ +1ˆ 1ˆ 1ˆ+ 2ˆ 2ˆ 2ˆ ) 3ˆ 1ˆ 2ˆ
1p
2
b)
2p
a2 + 5a -18 = 0.
eB
nt
1 1 = 6 - 2a -3a +6 +6 – a2 = – a2- 5a +18 , 3 2 1 a1,2 =
a 2
ia
3 a
ar
xA xC
2p
12
c)
1ˆ 2ˆ 3ˆ = 1ˆ, 3ˆ 3ˆ 3ˆ = 2ˆ , 2ˆ 2ˆ 2ˆ = 3ˆ de unde rezult valoarea determinantului 3ˆ - ( 2ˆ + 1ˆ + 3ˆ ) = 2ˆ
2p
Prin adunarea membru cu membru a celor dou ecua ii se ob ine 3ˆ x = 4ˆ x = 3ˆ .
2p
Prin înlocuirea în prima ecua ie a sistemului se ob ine 1ˆ + y = 1ˆ y = 0ˆ .
2p
79
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Solu ia sistemului în Z5 este S = {( 3ˆ , 0ˆ )}.
1p
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x2 x2 2 ( f g ) f ' g fg ' , ( f ( x ) g ( x )) (ln x )' ( x 3x ) (ln x )( x 2 3 x)' , x > 0. 2 2
2p
x2 1 ( f ( x) g ( x)) ' ( x )( x 2 3 x ) + (ln x )(2 x 3) x 2
2p
'
'
M
RE
1. a)
V
( f ( x) g ( x)) ' x 3- 3x 2+ x - 3 + (ln x
1p
Curbura func iei se stabileşte folosind f “(x).
ar
b)
x2 )( 2 x 3) . 2
nt
1 1 x2 1 x )’ = 2 1 = . x x x2
f “(x)= 0 x 2 – 1 = 0 x1,2 = 1 .
1p
eB
f “(x)= (
1p
1 x2 )' = x . 2 x
ia
Din punctul a) f ' ( x) (ln x
1p
2p
x2 f ( x) 2 . lim = lim 2 x g ( x ) x x 3 x ln x
M 2
x2 lim (ln x ) = , lim( x 2 3x) = . x x 2
se rezolv cu regula lui l’Hopital.
1p
20
Nedeterminarea
1p
C
c)
A
Func ia f este convex pe intervalele ( , 1 ) (1, ) şi concav pe intervalul (-1, 1).
1p
12
x2 1 f ( x) f ' ( x) = lim , pentru care )' x , ( x 2 3x)' = 2x – 3 lim x x 2 x g ( x) g ' ( x) 2p 1 1 f ' ( x) f ' ' ( x) 1 x = lim = lim = . se aplic iar regula lui l’Hopital lim x g ' ( x ) x g ' ' ( x) x 2 2
Din punctual a) (ln x
80
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
2 f ( x)dx = ( x x )dx , formulele x
Pentru x [1, 3]
a)
2
x3 c, 3
Calculele x 2 dx =
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
xdx =
x2 c, 2
x n 1 x dx n 1 c , n
1 x dx ln x c
2
x dx 2 ln x c .
2p
BA
2 x3 x2 Finalizarea ( x 2 x )dx = 2 ln x c , x [1, 3]. x 3 2
RE
b)
3
2 x 1 ( f ( x) x x )e dx = 2
1p 1p
3
2p
xe x dx .
1
f ( x) g ' ( x)dx
M
Formula de integrare prin p r i
f ( x) g ( x) f ' ( x )g ( x ) dx f, g derivabile cu
1p
derivatele continue.
V
3
1
1
xe x dx = xe x |13 - e x |13 = 2e3.
c)
nt
1
2
g 2 ( x)dx , g(x) = f(x) – x = x 2 +
1
2
2 2 4 4 ) = x + 4x + 2 . x x
Calculele V =
1
(x 4 4x
C
2
1p
A
g2(x) = (x +
2p
2 . x
eB
Formula V =
2p
ia
3
e x dx .
ar
1p
3
xe x dx = xe x |13 -
x5 4 4 31 71 + 2x 2 - ) |12 = ( 8 ) = ( = ) dx . 2 5 x 5 5 x
2p
2
M Varianta 24
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Cioc naru Viorica
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
81
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
Formula termenului general al progresiei geometrice bn = b1 qn-1, (bn > 0 din enun ) , aplicarea ei în rela iile din enun b1 - b1q = 4, b1 - b1q3 = 7 conduce la 4(1+ q + q2) = 7 4 q2 + 4q – 3 = 0 cu solu iile q1,2 =
BA
Pentru q2 =
RE Pentru q1 =
4 16 48 1 3 , q1 = , q2 = . 8 2 2
3 termenii progresiei geometrice nu vor fi to i pozitivi. 2
Condi ia de existen
pentru
V
x 2
x 2
5 x 1 = 125 5 x 1 = 53
1p
x2 = 3. x 1
2p
5 5 5 , verific x - 1 0 i deci S = { }. 2 2 2
ia
2p
nt
Condi iile de existen
x2 este x - 1 0. x 1
ar
x+2 = 3x – 3 x = 3.
2p
1 1 1 se calculeaz b1 = 8 i b12 = 8 ( )11 = ( )8. 2 2 2
M
2.
3p
pentru logaritmi x > 0, 2x - 1 > 0, x + 1 > 0 conduc la x >
1p
eB
1 2
log 3 x + log 3 (2x - 1) = 2 log 3 (x + 1) log 3 x (2x - 1) = log 3 (x + 1)2
2p
A
x (2x - 1) = (x + 1)2 2x2- x = x2 + 2 x + 1 x2 - 3 x -1 = 0.
b , ) , intersec ia Gf cu Oy se ob ine calculând f(0). 2a 4a
5.
Condi iile ca doi vectori t = a i + b j şi r = c i + d j s fie egali sunt a = c, b = d.
v = u dac 5a + 1 = 3,5 şi 2b – 3 = 2,4 de unde a = 0,5 şi b = 2,7 deci S = {(0,5; 2,7)}. 82
3p
12
b 3 7 3 7 = , = V( , ) şi f(0) = 4 Gf Oy = {(0, 4)}. 2a 2 4a 4 2 4
2p
20
V(
3 13 }. 2
2
4.
2p
M
Mul imea solu iilor ecua iei logaritmice este S = {
3 13 3 13 1 , > 2 2 2
C
Rezolvarea ecua iei de gr. al II-lea duce la solu iile x1,2 =
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Teorema cosinusului a2 = b2 + c2 – 2bc cos A, cu a = BC, b = AC, c = AB. b = 10, c = 8, cos A = cos 600 =
2p 1p
1 . 2
BA
a2 = 102 + 82 – 2 10 8 cos 600 = 100 + 64 – 80 = 84 a =
84 = 2 21 .
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
1 1 1 A–B= 2 0 0 . 0 2 1
2p
M
2p
det (A – B) = 4 – 2 = 2 .
V
1p
Tr (A -B) = 1+ 0 + (-1) = 0
ar
b)
A inversabil dac det A 0, det A= 1 + 8 – 6 – 6 = - 3 0 deci A
-1
3p
ia
eB
nt
1 2 3 1 A* , A* matricea complemen ilor algebrici ai lui At. A = 3 1 2 , formula A-1 = det A 2 0 1 t
Calculele A11 = 1, A12 = 1, A13 = -2, A21 = -2, A22 = -5, A23 = 4, A31 = 1, A32 = 7, A33 = -5
C
c)
A
1 1 2 1 2 5 4 A = 3 1 7 5 -1
2p
Primul element al produsului A B 18.
1p
M
2
Fiecare din cele 4 puncte se acord dac se calculeaz corect câte dou elemente ale matricei produs dup rela ia ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j cu i, j {1, 2, 3}.
2p
20
18 5 7 A B = 4 5 6 11 8 11
2p
12
2.
( x y ) z x ( y z ) , x, y, z R.
a)
( x y ) z ( xy 3x 3 y 12) z = ( xy 3 x 3 y 12) z - 3 ( xy 3 x 3 y 12) 3z + 12
1p
x ( y z ) = x ( yz 3 y 3z 12) = x( yz 3 y 3 z 12) - 3x - 3( yz 3 y 3 z 12) + 12
83
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Dup desfacerea parantezelor şi reducerea termenilor asemenea în cele dou expresii se ob ine
1p
( x y ) z x ( y z ) ” ”este asociativ . b)
Rela ia x y xy 3x 3 y 12 se transform dup înlocuirea lui y cu 5 în
3p
BA
x 5 x 5 3 x 3 5 12 = 2 x - 3 2p
Rela ia x y xy 3x 3 y 12 se transform dup înlocuirea lui x cu 2 în
2p
RE
c)
x 5 = 1 2 x - 3 = 1 x = 2 deci S = {2}.
2 C n2 2C n2 3 2 3C n2 12 = - C n2 + 6
M
2p
2 C n2 > 1 - C n2 + 6 > 1 - C n2 > -5, n 2 C n2 < 5 n(n - 1) < 10
V
Mul imea solu iilor inecua iei 2 C n2 > 1 este S = {2, 3}
1p
ar
ls = lim 0
x3 3 . x4 4
ld = lim 0
3 x3 3 şi a valorii func iei în x0 = 0, f(0) = . 4 x4 4
x x 0
Asimptota orizontal se determin pentru x . 84
1p
12
1 1 1 şi f’(2) = = . 2 2 36 ( x 4) ( 2 4)
1p
20
x 3 ' ( x 3)' ( x 4) ( x 3)( x 4)' . ) x4 ( x 4) 2
f’(x) = c)
x3 . x4
1p
2
(
M
f f ' g fg ' . ( )' g g2
Dac 2 > 0 se alege pentru derivare f(x) =
1p
C
ls = ld = f(0) f este continu în x0 = 0. b)
2p
A
x x 0
2p
eB
1. a)
nt
ia
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
lim f ( x ) l , l finit.
1p
x
lim
x
x3 1. x4
1p 2p
BA
x3 lim 1 f admite asimptot orizontal de ecua ie y = 1 la . x x 4
2.
a)
1
RE
f0(x) =
x2 1
,
f 0 ( x)dx =
M
1 x 2 1dx = arctg x + c şi
2p
2
2p
1 2 1 x 2 1dx = arctg x |1 .
. 4
1p
b)
1
I2010 =
1p
x 2012 f 2012 ( x )dx = 2 dx . 0 x 1
1p
1
1
0
0
eB
nt
ia
I2012 =
x 2010 dx . x2 1
1
f 2010 ( x )dx =
0
ar
V
arctg x |12 = arctg 2-
1 x 2 1dx .
1p
x 2010 x 2012 I2010 + I2012 = ( f 2010 ( x ) f 2012 ( x ))dx = dx . x2 1 0 0 1
1
1
x2 0 x 2 1dx .
0
0
A( f) = f 2 ( x )dx = (1
1 )dx = (x - arctg x) |12 = 1- arctg 2 + . 2 4 x 1
85
2p
12
1
1p
20
1 x2 x2 1 1 = = 1- 2 . 2 2 x 1 x 1 x 1
1
2p
2
Calculul
0
2p
1 x 2011 1 |0 = . dx = 2011 2011
M
x2 f2(x) = 2 , A( f) = x 1
x
2010
C
c)
1
A
x 2010 (1 x 2 ) I2010 + I2012 = dx = x2 1 0 1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 25 (ascuns - pentru teste)
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 26 Prof: Dogaru Ion
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
2.
4.
2
M 20
3p 2p 2p 2p 1p
1p 2p 2p 1p 2p 3p
12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. rangA 2 x \ {1} ; a) rangA 2 det A 0 ; rangA = 2 x 2 b) 3 3 3 Pentru x = - 2 A 3 3 3 ; 3 3 3
2p 2p
1p 1p 1p
C
6.
1p
1p
A
5.
x 1 0 x (1, ) ; 6x 5 0 6x2 – 11x – 95 = 0; 2401 ; x1= 5 (1, ) ; 19 x2 = (1, ) 6 d2(A,B) = (m + 5)2 + ( - m-7)2 = 100; m2 + 12m – 13 = 0; 196 ; m1 = - 13 ; m2 = 1 u v 6i 3 j ; uv 3 5
eB
nt
ia
3.
ar
V
169 x1 1 ; x 2 2 7 1 x [ , 2] 7 N = Num rul submul imilor cu 3 elemente ale mul imii A care con ine elementul 5 este egal cu num rul submul imilor cu 2 elemente ale mul imii A\{5}; N = C92 36 Nr.caz.fav. = 81; Nr.caz.posib.= 90; nr.caz.fav. p= 0,9 nr.caz.posib.
1p 2p 2p
3p
86
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
detA* = 0 Y 1,3 ( ) Y x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p 2p
y z ; x, y, z ;
x = - 1 şi YA = B x y z 1 , Y = 1 1 1
3p 3p 2p 2p 3p
f = x3 – 9x2 –x + 9 = (x2 – 1)(x – 9); q = x – 9; r = 0 x1, x2, x3 r d cini f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0 şi x1 + x2 + x3 = 9; x 13 x 32 x 33 9(x 12 x 22 x 32 ) (x 1 x 2 x 3 ) 27 9(x 12 x 22 x 32 ) 18 c) f(3x) = 0 (3x – 1)(3x + 1)(3x – 9) = 0; 3x – 1 = 0 x = 0; 3x + 1 = 0 ecua ie imposibil ; 3x – 9 = 0 x = 2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. lim 3 x 3 3x 4 Gf nu are AO a) x f (x) lim 1; x x lim[f (x) x] 1 ;
BA
2. a) b)
M
RE
2p 1p 1p 1p 1p 1p
V
1p 1p 1p
ar
x
b)
ia
y = x + 1 , asimptot oblic ; f cotinu pe R G f nu are AV
x 3 3x 2 4 0 x 1, x 2 ; x 2 2x f (x) 3 3 , x R\{-2,1}; x 3x 2 4 f (x) f (x) x 2 2x, x R\{-2,1} f(-2) = 0 f nu este derivabil în x0 = - 2; 3 x 3 3x 2 4 x 1 3 d s lim lim ; x 2 x 2 x2 x2
1p
nt eB
c)
2p 2p 1p
A
2p
x 3 3x 2 4 x 1 3 d d lim lim x2 x 2 x2 x2 f (x) 3(x 2 1);f (x) 0 x 1 ; f este strict cresc. f (x) > 0 x (, 1), respectiv(1, ) ; f este strict descresc. f (x) 0 x (1,1) 3 f (x) 3 I = 2 dx 2 (x 2 x 2)dx ; x 1 3 3 41 x x2 2x = I= 3 2 6 2 3
C
2p
x 2 13 4 1 f ( x) dx = 2ln x 1 x 1 ln x 2 I = - 2 – 3ln2
I=
0
87
2p 3p
12
x 2 13 2 4 1 , x [1,0] ; 2 f (x) x 1 (x 1) x 2
20
c)
2
b)
1p 2p 2p
M
2. a)
2p
0
;
2p
1
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 27
BA
Prof: Dogaru Ion 1p 1p 3p
RE
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 + i)4 = - 4 ; (1 - i)4 = - 4 ; (1 + i)2012 - (1 – i)2012 = (- 4)503 - (- 4)503 = 0 2. 11x 4 0 x 2; x20 x2 – 15x = 0 x =0 şi x = 15; Solu ia ecua iei: x = 15 3. a6 = a3 + 3r; a16 = a19 – 3r; a3 + a19 = a6 + a16 = 2012 4. x2 – 1 = 0 x 1 ; x + 2 = 0 x 2 ; x -2 -1 1
M
2p 2p 1p
- - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - 0 + + + + - - - - - 0 + + +0- - - 0 + + + + +
1p
eB
Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,2); mAB = - 1 m = 1 Ecua ia mediatoarei lui [AB]: x – y + 3 = 0 6. sin 2 x cos2 x cos x 2cos 2 x cos x 1 0 ; cos x 1 x { 2k, k } ; 1 cos x x { 2k, k } ; 2 3 5 x [0, 2] x {, , } 3 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. 2 1 1, rangM 2, m ; a) 3 1 detM = m2 – 6m +5; rangM = 2 detM = 0 m = 1 sau m = 5 5.
C
2p 1p
2
M
2p
20
2p 1p 3p 2p
12
A,B,C sunt necoliniare detM 0 ; m2 – 6m +5 0 m \ {1,5} 1 1 AABC = det M m 2 6m 5 ; 2 2 2 m [1,5] 0 m 6m 5 4 ; AABC maxim = 2
1p 2p 2p 1p 1p
A
c)
2p
nt
x 2, 1 1,
b)
ia
x+2 x2 – 1 (x + 2)(x2- 1)
ar
V
1p 1p 3p 2p
2p 2p 1p
88
Bacalaureat Matematică M – 2012 2. a)
Observ m c x y
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 (5x 6)(5y 6) 6; x, y ; 5
3p
1 (5x 6)(5y 6)(5z 6) 6 x (y z) , x, y, z ; 5 este asociativ b) Elementul neutru al opera iei este e = - 1 ; 1 x x e [(5x 6)(5x 6) 6] 1 ; 5 1 5x 6 5x 6 1 5x 6 {1,1} ; Cum x 5x 6 5x {7, 5} .Deci x = -1 este simetrizabil şi x 1 c) 1 Observ m c x x (5x 6)2 6 ; x ; 5 1 x ... x (5x 6) 2012 6 ; Inductiv ob inem x 5 de 2012 ori 1 (5x 6)2012 6 = -1 ; 5 5x 6 1 x 1 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. f (x) (x 2)ex , x R; a) f (x) 0 x 2 ; Pe (, 2] f este strict descresc toare; Pe [2, ) f este strict cresc toare (x y) z
1p
BA
1p 1p
RE
1p 1p
M
1p 1p
V
2p
ar
1p
ia
1p
nt
f (x) (x 3)ex , x R; f (x) 0 x 3 ; Pe (, 3] f este concav ; Pe [3, ) f este convex x 1 0; e x
y = 0 ; AO spre F(x) = 3x2 + 2lnx + C ; x [1, ) ; F(1) = 2012 C = 2009; F(x) = 3x2 + 2lnx + 2009
20
2
2
2
V f 2 (x)dx (12x 3 24x 4x 1 ) 1 ;
3p 2p
1
c)
2p 2p 2p 1p
12
b)
2p 3p
M
2. a)
2p
C
lim f (x) xlim(x 1)e x xlim
x
1p 1p 1p
A
c)
eB
b)
2p 1p
V 110 f (x) lim 6 m; x x
2p
2 0 n; x y = 6x este asimptota oblic c tre a graficului func iei f. lim f (x) mx lim x x
89
1p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 28
RE
Prof: Dogaru Ion 1p 1p 3p 3p 1p 1p 1p 1p 3p 3p 2p
M
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 + i)4 = - 4 ; (1 + i)4 = - 4 ; (1 + i)2012 - (1 – i)2012 = (- 4)503 - (- 4)503 = 0 2. Not m 3x = y 3y2 – 10y + 3 = 0 y1 = 3; y2 = 1/3; 3x = 3 x = 1; 3x = 1/3 x = - 1 3. a6 = a3 + 3r; a16 = a19 – 3r; a3 + a19 = a6 + a16 = 2012 4. C1n 1 C n2 1 36 (n + 1)(n + 2) = 72; n+1=8 n=7 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,1); mAB = - 3/4 m = 4/3 Ecua ia mediatoarei lui [AB]: 4x – 3y + 7 = 0 6. sin 2 x cos2 x cos x 2cos 2 x cos x 1 0 ; cos x 1 x { 2k, k } ; 1 cos x x { 2k, k } ; 2 3 5 x [0, 2] x {, , } 3 3
nt
ia
ar
V
A
eB
2p 1p 2p 1p 1p 2p
C
1p
20
3p
12
90
2
M SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. t t ln t 0 a) H (t) 0 t 0 ; t 0 ; 0 0 1 detH*(t) = t2 b) 1 ln x ln y 0 H(x) H(y) = 0 1 0 ; x, y (0, ) ; 0 0 xy Deci H(x) H(y) = H(xy); x, y (0, )
2p
3p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
10 ln(1 2 ... 10) 0 H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10) = 0 10 0 ; 0 0 55 det[H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10)] = 5500 2. x 2 x 2 0 a) y 2 y 2 0 xy 2x 2y 4 0 ; x y xy 2x 2y 6 G; x, y G; G este parte stabil fa de opera ia * b) Observ m c opera ia * este comutativ ; Elementul neutru: e = 3; x x 3 x(x 2) 2x 3, x G; 1 x 2 0, x G x2 c) x y z ( x 2)( y 2)( z 2) 2, x, y, z G 1 2 8 3 4 10 ... 27 2 3 9 2 3 9 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. f ( x) 2012 x 2011 2012, x ; a) f(1) = 0; f ‘(0) = 2012; f(1) + f ‘(0) = 2012 b) y f (1) f (1)( x 1) ; y = 4024(x – 1) c) f ( x) 2012 2011x 2010 , x ; f ( x) 0, x f este convex 2. f(x) = x3 + 3x, x R (1) 1 a) 1 1 x 4 3x 2 3 ; I f ( x) dx ( x 3 x)dx 0 0 4 2 0 7 I= 4 5 b) f (-x) = [(-x)3 + 3(-x)]5 = - f5(x), x R; c)
3p 2p
BA
3p
M
RE
1p 1p 1p 1p 1p 2p 2p
V
3p
ar
nt
ia
2p 1p 1p 1p
A
eB
3p 2p 3p 2p
f (t 1) dt
x
0
(t 1) 3(t 1) 4 2
f (t 1) dt x4
2 x
= 0
( x 1) 6( x 1) 7 ; 4 4
2
( x 1) 4 6( x 1) 2 7 1 x 4x4 4
lim
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
91
3p 2p 3p
12
lim
x
f ( x )dx 0 5
20
0
4
1p
2
x
1
3p
M
c)
1
C
f este func ie impar 5
1p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 29 Prof: Gaga Loghin
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
S
3p
1, 5,9, , între oricare 3 termeni ak 1 , ak , ak 1 ai
M
ak 1 ak 1 ak 1 ak 1 8 ak 1 4 ak , deci 2 2 a1 1, r 4 . ak
V
2p
2.
ia
ar
a a 1 61 n; an a1 n 1 r 61 1 4 n 1 n 16 . Deci S 31 16 496 S 1 n n 2 2 Se vede c ob inem f 4 dac facem x
nt
2
1 2 3 1 f 4 2 3 5 5 4 2 4 2 2
3p
log x 2 2 log x 2 8 log x 2 2 3log x 2 2 4 log x 2 2 .
3p
Dac elementul 1 intr în toate submul imile, num rul de submul imi va fi format din combin rile de 9 luate câte k, unde k 0,1, 2, ,9 .
AB BC sin B ; AABC 2
p p a p b p c , unde p
AABC 9 9 8 9 6 9 4 3 15
AB BC AC 9 2
2p 3p
12
AABC
3p
2p
20
Doi verctori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este nul, adic v1 v2 0
v1 v2 0 4 m 2 3 m 1 0 m 11 . 6.
2
Deci num rul de submul imi este C90 C91 C99 2 9 512 . 5.
2p
M
4.
C
Deci 4 log x 2 2 4 log x 2 2 1 2 x 2 x 4
A
eB
3.
2p
1 2
2p
1p
92
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2 AABC 6 15 3 15 AB BC 32 16
Deci, sin B
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
BA 1. a)
3 0 3 0 32 M 2 M M 0 1 0 1 0
0 , n . Demonstr m 1
RE
3k
k 1
0
M
3k M M 0
3k 1 0 0 k 1 M i demonstr m 1 0 1
3n 0 3 0 3k 1 0 n . Deci M 1 0 1 0 1 0
k
0 3n 1 0
0 1
0 ,n 1
1p
2p
3n
ia
3n det 0
2p
ar
V
M
3p
2012
32012 0 1 0
0 2012
1p
2
m 2n 3 m 5 f 1 0 2 m 1 2n 0 4m 2n 12 n 4 f 2 0 16 4 m 1 2n 0 2
m 1 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
5p
12
x12 x22 x33 4 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 4
20
b)
2p
M
a)
2p
C
3 32012 1 Deci S 2 0 2.
0 2012
32012 1 32012 1 , fiind suma unei progresii geometrice cu ra 3 3 1 2
primul termen 3.
0 3 32 32012 1 0
A
3 32 32012 3
3 0 32 0 1 0
eB
M M M 2
nt
7 det M n 4 3n 729 7 3n 4 3n 729 3n 1 36 n 5 c)
2p
prin induc ie. Presupunem adev rat c M k
b)
3n 0 n M . Observ m c 1 0
2p
1p
93
Bacalaureat Matematică M – 2012
m 1
2
2p
4 m 1 4 m 3 m 5 0 m 3 2
4
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2p
Notez 52 x t 0 t 2 3t 4 0; 9 16 0
2p 1p
Ecua
RE
BA
2 625 x 6 25 x 8 0 2 54 x 6 52 x 8 0 54 x 3 52 x 4 0
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
e f x
xe x 2
x 1
x 1
e x 2 x 2 2 x 1
4
e x 2 x 1 1 x x 1 2 x
x 1
3
4
5 p
f x x 1 xe x 2 x2 x lim lim lim 1 2 2 x f x x x 1 e x 2 x 2 2 x 1 x x 2 x 1
5 p
c)
Ecua ia tengentei într-un punct x0 , y0 la graficul func iei f(x) este y y0 m x x0 , unde
2 p
3
A
eB
b )
nt
ia
x 1
2 xe x 2 x 1
2
ar
x2
V
1. a)
m f x0 i y0 f x0 .
C
În cazul nostru x0 2, y0 f x0 f 2 2; m f 2 1
M
2 p
y 2 x 2 x y 4 0 , care este ecua ia tangentei
2
1 p
a)
1
x f x ln x 2 dx 2
1
2
1
x 1 3
x ln x 2 x 2 ln x 2 dx
1
3 1
1
2
1
2x 2
1
2
dx
5 p
12
1
4 x 1 dx 4
1
20
2.
4 32 8 3 3
94
Bacalaureat Matematică M – 2012 b )
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 1 x 2 x 1 1 ; x2 x2 x2 1 x 1 x 2 x 1 f x 0 2 2 x2 x 2 x 2
2 p
f x
BA
2 p
Deci func ia este concav pe 2;
RE
c)
e
1 p e
2 p
e
M
e e x A g x ln x 2 dx x ln x 2 dx x ln x 2 1 dx x2 1 1 1 1
e ln(e 2) ln 3 x 1e 2 ln( x 2) 1e e ln(e 2) ln 3 e 1 2 ln(e 2) 2 ln 3 (e 2) ln(e 2) e3 p
C
A
eB
nt
ia
ar
V
1 3ln 3
2
M 12
Varianta 30
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Gaga Loghin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
95
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
z 1 i 3
1 i 3 1 i 3 2 2i 3 1 i 3 2 1 i 3 1 i 3 8 3
4p
2
1p
BA
Im z 0
2.
x12 x22 16 x1 x2 2 x1 x2 16
2p
2
RE
x1 x2 m 2 x1 x2 m 3
1p
M
m 2 2 m 3 16 m 2 4m 4 2m 6 16 2
2p
m 2 6m 6 0 m1 3 15, m2 3 15
V
3.
7 2005 7 2012 2005 7 7 C2012 C 2012 C2012 C2012 C 2012 C2012 0
5p
p
cf
671 1 2013 3
1p
C
(m 2) 2 6 2 m3
3p 2p
cf .Re ciproca T . Pitagora
ABC este dreptunghic , cu
20
Observ m c BC 2 25 AB 2 AC 2 9 16 25 ipotenuza BC.
2
M
6.
cp
2p
A
5.
cf
2013 671 3
eB
Avem c p 2013 , iar c f
p
2p
, unde c f reprezint num rul cazurilor favorabile i c p num rul cazurilor posibile.
nt
cp
ia
ar 4.
2p
2p
BC 5 AM 2 2
1p
12
tim c , într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este egal cu jum tate din ipotenuz . Not m cu M mijlocul ipotenuzei BC
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
96
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
det A
x 5
4
4
x5
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
.
det A = 0 (x 5) 2 16 0 (x 11)(x 21) 0 x1 11, x 2 21 (se înlocuieşte cu:
BA b)
(x 5)2 16 0 (x 1)(x 9) 0 x1 1, x 2 9 ) 2 4 x5 4 x 5 16 x5 A x 5 4 x 5 8 x 5 4
8 x 5 2 x 5 16
2
RE
M
2 x 52 2 x 10 A 8 x 5
1p
2 x 2 10 x 9 x 5 16 0 x 10 x 9 I 2 0 x 2 10 x 9 0
2
ar
1p
8 x 5 2 2 x 5
V
2 x 5 16 0
1p
2 8 x 5 2 x 5 2 x 5 16 8 x 5
2 8 x 5 x 5 16 2 2 x 5 0
2 2 4 4 1 1 2 2 3 4 ; A 4 8 A 2 A; 4 4 1 1 2 2
C
3 n 1
g 0ˆ x 4ˆ 0ˆ x 1ˆ .
2p
Trebuie s avem f 1ˆ 0ˆ 1ˆ a 1ˆ 2ˆ 0ˆ a 4ˆ 0ˆ a 1ˆ Pentru a 1ˆ f X X 3 X 2 X 2ˆ
1p
12
b)
20
a)
A, n
2p
2
An 1 An A 23 n 1 A A 23 n 1 A2 23 n1 23 A 23n A
M
3 n 1 Presupunem An 2 A i demonstr m A n 1 2 3 n A ;
Deci An 2
2p
2p
A
Pentru x=-1 A
A3 A2 A 2 3 A2 2 6 A;
2.
2 x 5 16 0
eB
nt
x 5 2 16 8 x 5 0 0 0 0
ia
A2 2 x 10 A x 2 10 x 9 I 2
c)
3p
x 1ˆ este solu
3p
2p 1p
97
Bacalaureat Matematică M – 2012
x 1ˆ este singura solu
S Î
2p
d, sau folosind schema lui Horner, ob
f X X 4ˆ X 2 2ˆ X 3ˆ
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f 4ˆ 4ˆ 1ˆ 4ˆ 2ˆ 1ˆ
4p
ˆ f 1ˆ 0; ˆ f 2ˆ 3ˆ 4ˆ 2ˆ 2ˆ 1; ˆ f 3ˆ 2ˆ 4ˆ 3ˆ 2ˆ 1; ˆ f 0ˆ 2;
RE
f 0ˆ f 1ˆ f 4ˆ 2ˆ 1ˆ 1ˆ 1ˆ 0ˆ
1p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
5p
ia
1 ln 2 x 1 x1 1 ln 2 x
lim f x lim x 1
2 2 2 ln x 1 ln x 1 ln x x f x 2 1 ln 2 x
2
x0 x 0
L ' Hospital
2 ln x lim x 1 . Nu exist x 0 2 x 0 ln x x
M
1 ln x 1 ln 2 x 2
3p
C
c) Asimptot vertical . Se caut în x=0: lim
2p
A
2 ln x 1 ln 2 x 1 ln 2 x 4 x 2 x 1 ln 2 x 1 ln 2 x
eB
2x ln x
nt
b)
ar
V 1. a)
2p
2
asimptot vertical pentru f.
2p
20
2p
12
2 ln x 1 ln 2 x L ' Hospital lim x 1 . Deci y 1 Asimptot orizontal . Se caut la . lim x 1 ln 2 x x0 2 x 0 ln x x este asimptot orizontal la . Asimptot oblic . Nu exist
1p
98
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
1
I1
a)
0
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2x 1 1 x 1 dx 2 dx 2 dx ln x 2 1 2 2 0 x 1 2 x 1 x 1 0 1
1
1 0
1
arctgx 0 ln 2
4
5p
1 3 1 x x2 1 x 1 x3 1 x x x 1 I3 2 dx dx dx 2 2 x x x 1 1 1 0 0 0 1
2p
RE
BA
x 1 1 x 2 dx 1 ln 2 1 ln 2 x 1 2 4 4 0 1
2p
I1 I 3 ln 2 1 < 0 1
I n I n 2 1
0
1
x
0
2
x 1 2
dx 2
1
1
x
2p
1
1 1 dx 1 n 1 2
3p
V
x
n
xn 1 xn 2 1 x n 2 x n 2 dx dx 0 x 2 1 0 x 2 1 dx x2 1
M
c)
1p
0
2
nt
ia
ar eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 31
Prof: Ionescu Maria.
C
A 2
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 2 6 log 2 10 log 2 15 log 2
20
1.
6 10 15
2.
3p
12
log 2 4 2
2p
1p
4 Din 9 x 2 16 0 ob inem x1 , x2 . 3
4 4 Din tabelul de semn se ob ine x , . 3 3
99
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Cum x Z x 1, 0,1
2p
3.
1p
r3
2p
BA
a1 7, a1 a2 17 a7 a1 6r a7 25
2p
4! 24 4 3 !
3p
M
5.
A43
RE
4.
Fie M mijlocul segmentului BC, ob inem M(1,-1).
xM x A yM y A 2
V
AM
2
2
2p
nt C
b)
1p 2p 2p
12
1 1 1 2 1 1 3 m 3 2
1p
20
m3
1p
2
2 2 3 1 adev. m66 3
M
1 2 3 2 adev. Se verific în sistemul de ecua ii astfel:
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1
eB
AABC
2p
ia
AABC
1p
17
3 2 AB AC sin BAC 2 3 6 8 2 12 3 2
sin1200 sin 600
2
2p
ar
1 2 1 3 6.
2p
1p
m 2 5m 1 3 m2 5m 4 0
2p
Ob inem m 1, 4 .
100
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 1 1 1 1 1 3 3 3 2
c)
1p
BA
1 2 1 Calculând 2 1 1 3m 3 şi ştiam din punctul a) c determinantul sistemului este -3 m 3 2
1p
1 1 2 2 1 1 3m m 3 3
1p
RE
2p
2.
2p
1p
nt
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Calcul m : f 0 1, f 1 0, f 2 0, f 3 0, f 4 0
1p
A
4p
eB
^ ^ ^ ^
x 1, 2,3, 4
^
3p
^
Conform algoritmului împ r irii a dou polinoame ob inem câtul q X 2 3 X 2 şi
C
c)
2p
ia
^ ^ g 0 3 ^ ^ ^ f 1 g 0 3
ar
b)
^ ^ ^ ^ ^ ^ f 1 2 4 3 1 0
V
a)
M
ob inem solu ia x 1, y m 1, z m S : 1, m 1, m , m R
M
^
restul r 0
2p
2 20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
12
1. a)
Func ia f este derivabil pe R, fiind sum de func ii derivabile pe R şi f ' x 2012 x 2011 2012 x ln 2012 2012, x R
b)
Punctul de abscis nul are x0 0 .
1p
Ecua ia tangentei este : y f x0 f ' x0 x x0
1p
101
5p
(2,2,1)
Bacalaureat Matematică M – 2012 f 0 1 2012 2013,
c)
f ' 0 ln 2012 2012
1p
f '' x 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012, x R
2p
f '' x 0, x R f este convex pe R
3p
1
2p
RE
f x dx x 2012 x 2012 dx
a)
b)
Cum g : 1, 2 R, g x f x
3p
M
x2 ln x 2012 2012 x C 2
1
1
2
3
2 1
2
2p 1p
2p
C M
1 x x3 2012 x 12 arctg 2012 3 2012 1 2 1 6043 arctg arctg 2012 2012 3 2012
2p
A
1 f x 2 dx 2 x 2 2012 dx x 2012 1
1
3
eB
20143 20133 3
x 2012
nt
x 2012 dx 2
1p
ia
2
1p
1 x 2012 x 2012
ar
V
2
V g 2 x dx
c)
2p
y 2013 ln 2012 2012 x ln 2012 2012 x y 2013 0
BA 2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p
2 20 12
102
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 32
ar
Prof: Ionescu Maria.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2 x 5 3 3 2 x 5 3 1 x 4 x Z x 1, 2,3, 4
x 5 0 x 5,
2 x 0 x , 2
Cum f 3 0 şi f 4 0
2p 1p 2p
2
Not m 5 x t , t 0 şi ecua ia devine t 2 6t 5 0
3p
20
f 1 f 2 ... f 10 0
4.
2p
M
De unde se deduce c ecua ia nu are solu ii reale. 3.
2p
C
Se pun condi iile de existen :
3p
A
2.
eB
1.
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
12 2p
t1 1, t 2 5
1p
5x 1 x 0
1p
5x 5 x 1
103
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
AB 2 AC 2 BC 2 cos A 2 AB AC cos A
2p
25 49 64 1 2 57 7
BA 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia dreptei MN:
3p
x xM y yM x N xM y N y M
2p
RE
x2 y3 5 5
2p 1p
M
x y 1 0 este ecua ia dreptei MN.
V
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
1 2 3 1 2 3 6 3 5 2 A 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 1 2 3 1 2 5 2 12
b)
2 2 3 I3 A 2 0 1 3 1 1
5p
eB
nt
ia
1. a)
A
3 7 1 1 A 7 11 5 8 1 5 3
2p
x 5 5 x 5, x Z
b)
2p
12
5 x 5 5 x 5 5 0 5 5
4p
20
a)
2
1
x 5 x 5 5 5 5 0 5 5
1p
M
det A 8 0 A 1
2.
3p
C
De unde se ob ine det I 3 A 14 c)
2p
1p
C ut m e Z a.î. x e e x x, x Z .Se verific x e e x .
2p 3p
104
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Din x e x x 5 e 5 5 x 0 x 5 e 6 0 e 6 Z
c)
x x x x x x x 5 5 x
1p
5 4 x 5 x 5 0 x 5 x 5 1 0
1p
5
BA
x 5 0 x 5 x 6 4 x 5 1 x 5 1 x 4
1p 1p
RE
1p
M ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ia
Func ia f este derivabil pe R, fiind produs de func ii derivabile pe R şi
nt
1. a)
'
2p
'
eB
f ' x x 2 2012 x 2011 e x x 2 2012 x 2011 e x
f ' x 2 x 2012 e x x 2 2012 x 2011 e x
lim
f x f 0
x0
x f 0 1
f ' 0 1
3p
C
b)
1p
A
f ' x x 2 2010 x 1 e x
2p
2p
'
M
c)
1p
f 2 f 1 f 0
1p
2
Din punctul a) se ob ine c func ia f este descresc toare pe intervalul [0,2]
20
f 2 2009e 2 , f 0 2011
2p 1p
12
2009 e f 1 2011 2
105
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
1
I2 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x2 dx x2
1 x 2 x 2 1 4 x2 4 4 I2 dx dx dx x2 x2 x2 0 0 0 1
2p
BA
x2 1 3 3 I 2 2 x 4 ln x 2 4 ln 2 2 2 0 1
I n1 2 I n
RE
b)
0 1
x n 1 xn dx 2 dx x2 x 2 0
1p
1
x n x 2 x2
M
I n1 2 I n
2p
0
1
dx x n dx
2p
0
2p
V
x n 1 1 1 I n1 2 I n n 1 0 n 1
Din
1
ia
1
1p
xn xn xn 1 1 1 , x 0,1 , , x 0,1 , n N * şi deci 3 x2 2 3 x2 2
ar
c)
1 1 xn xn 0 3 dx In 0 2 dx 3 n 1 I n 2 n 1
2p
eB
nt
Pentru n=2011 se ob ine
1 1 2012 I 2011 3 2
2p
A
Varianta 33
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: Ionescu Maria.
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
106
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b V , 2a 4a b Vârful parabolei este: 4, 4 2a 4a V 4, 4
1p 2p
BA
2p
2.
Din ecua ia x 2 m 1 x 2 m 0 ob inem x1 x2
b m 1, a
x1 x2
2p
c 2m a
RE
Înlocuim în rela ie şi ob inem 3 m 1 4m 2m 2 3m 2 8m 5 0 2
M
De unde m1 1, m2 Dobânda : d 700
1p
5 . 3
3p
5,5 38,5 lei 100
V
3.
2p
ar
2p
Suma final : S 700 38,5 738,5 lei
2p
eB
C
2 2012
2p
nt
2012! 2012 2011 2010! 2! 2012! 2012 2011 2! 2010!
2010 C2012
ia
4.
1p
2010 2 C2012 C2012 0 (sau folosirea formulei C nk C nn k , n k )
A
5.
Dreptele d1 : 2 mx 3 y 7 0 şi d 2 : 3 x 8 y 2 0 sunt perpendiculare a1 a2 b1 b2 0
C
2m 3 3 8 0
5 cos 6 6 5 3 cos 6 2 cos
3p
12
A1 6, 1 ,
2p
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
2
6.
2p
M
m4
2p
A3 8, 3
2p
107
Bacalaureat Matematică M – 2012 Ecua ia dreptei este :
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x1 y y1 x3 x1 y3 y1
1p
x 6 y 1 2 4
1p
BA
1p
2 x y 13 0 este ecua ia dreptei A1 A3 .
b)
AOA1 A2
AOA1 A2
y1 1 AOA1 A2 y2 1
3p
0 0 1 1 6 1 1 2 7 1 1
2p
1 13 2
Consider m punctele An n 5, 2 n 3 , Am m 5, 2 m 3 , Ap p 5, 2 p 3 , n, m, p N *
n5
ar
V
c)
y0 1
M
RE
x0 1 x1 2 x2
2n 3 1
An n 5, 2 n 3 coliniare n N *
eB
Din rela iile lui Viete ob inem x1 x2 x3
a)
2p
b c 3 şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 13 a a
A
Folosim x1 x2 x3 x12 x22 x32 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 şi ob inem 2
x1 x3 3 5 1 2 2
2p
20
Ecua ia 25x 3 5x 13 15 5 x 0 se rezolv folosind nota ia 5 x t , t 0 .
15 0 t 3 3t 2 13t 15 0 care are solu iile determinate t
1p
12
Ecua ia devine: t 2 3t 13
3p
2
c)
2p
M
Se determin r d cinile : x1 3, x2 1, x3 5 Care verific rela ia : x2
1p
C
x12 x22 x32 9 26 35 b)
4p
nt
ia
Calcul m m 5 2m 3 1 0 folosind propriet ile determinan ilor şi se ob in punctele p 5 2p 3 1
2.
1p
anterior. Revenind la nota ie ob inem solu ia ecua iei ini iale: x 0,1
108
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
f
x
x
2
4
x '
2
BA
'
x 2 x x 4 x x x 4
2
2
4 2 x 4
2p
'
2
2p
2
2
RE
f ' x
4 x2 4 x2 4
2
Func ia f este derivabil pe R şi f
M
b)
'
16 x
x
2
4
1p 2
x2 4 1 x x 2 4
3p
Calcul m lim f x lim x
V
2p
Rezult y=1 este ecua ia asimptotei orizontale la la graficul func iei f .
x0
f ' x f ' 0 x
f '' 0
1p
ia
lim
ar
c)
16 x x 2 4 16 x x 2 4 x 16 f '' x 4 2 x2 4 2 x 4 16 16 0 f '' 0 1 44 '
2
nt
2 '
2p
eB
'
2p
A
f continu pe , 0 fiind func ie elementar
a)
f continu pe 0, fiind compunere de func ii elementare
2
f x dx
0
2
1
20
1
x 2 x 1 dx e x x dx 0
e
1
e
3p
e
e
e
1
1
1
f ln x dx eln x ln x dx x ln x dx xdx ln xdx 1
2p
12
x3 x2 0 x x2 1 13 x e e 2 0 6 3 2 2 c)
1p
2
f continu pe R f admite primitive pe R.
2p
M
f continu în x0 1 l S lD f 0 1 1 1 adev rat
b)
2p
C
2.
109
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
e 1 ln xdx x ln x x 1 1
2p
e
1p
e
f ln x dx
M
RE
BA
1
e2 1 e2 1 1 2 2 2 2
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
Varianta 34
eB
Prof:Isofache C t lina Anca,C.N.Al..Cuza Ploieşşti
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2
2 7
1+2 2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 =
1 . 2 2 1
3p 2p
f(0)= 7 C(0 ;-7) 3.
2p
12
f(x)=0 x 2 +6x-7=0 cu solu iile x1 1; x2 7 .Deci A(1 ;0) şi B(-7 ;0)
20
Deci S=5461 2.
3p
2
1.
x 7 0 x (2; ) Condi ii de existen : x 2 0
110
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x7 x7 1 10 x2 x2
lg(x+7)-lg(x-2)=1 lg
3p
x=10 (2; )
BA
4.
P=
1p 1p
nr .cazuri favorabile . nr .cazuri posibile
1p
Nr.cazuri posibile=2012:2=1006
1p
RE
2012:6=335,rest 2.Deci 335 numere divizibile cu 6. c.m.m.m.c.al numerelor 4 si 6=12
M
2012:12=167,rest 8. 1p
2p
nt
3p
AB 10 5 .Deci cosB= = . BC 26 13
sin(360 0 -x) sinx, x R
eB
Din reciproca teoremei lui Pitagora ,rezult c triunghiul ABC este dreptunghic în A. cosB=
6.
1p
ia
5.
168 84 1006 503
ar
P=
V
335-167=168 numere divizibile cu 6,nedivizibile cu 4.
2p 2p
A
Aplicâând proprietatea de mai sus pentru x=1 0 ;2 0 ;...;179 0 ;sin180 0 =0 şi s in360 0 =0
1p
C
S =0
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2
0 0
A 0 0 2
20
1. a)
12
detA=0 b)
a b ;XA= X= c d
3p
2p
c d 0 a . ;AX= 0 0 0 c
3p
2p
111
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b . Rezult c c=0 ş i a=d. Deci X= 0 a
c)
Inmul im la stânga şi la dr eapta ecua ia Y 2 =A cu Y,ob inem YA=AY.
BA
a b 2 a2 . Y Y= 0 a 0
1p 2p
0 0 ab 2 .Fals. .Rezult a=0,deci Y a 2 0 0
2p
2.
b)
2p
=2(xy+x+y+1)-1=2(x+1)(y+1)-1
3p
(x y)
z=4(x+1)(y+1)(z+1)-1
2p
x (y z)= 4(x+1)(y+1)(z+1)-1
2p
(x y)
1p
V
z =x (y z), x;y ;z R.
ar
x (1) 1 şi (1) x 1 ; x R [(-2012) (-2011)… ] (1) [0 1 …
2p
ia
c)
x y=2xy+2x+2y+1=2xy+2x+2y+2-1=
M
a)
RE
Ecua ia nu are so lu ii.
… 2012]= 1 <0
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f’(x)=(x 2 4)' ( x 2 1) ( x 2 4)( x 2 1)' f’(x)=2x(2x 2 5)
f ( x ) f (0) = . x
x
f ’’(x)=12 x 2 10 . f ’’(x)=0 12 x 10 =0 x1; 2 2
x
1p 1p
5 . 6
3p
12
c)
20
lim
x
2p
2
( x 2 4)( x 2 1) 4 f ( x ) f (0) = lim x x x
2p
M
lim
b)
3p
C
1. a)
A
eB
nt
3p
5 6
112
5 6
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f’’(x) + + + + + + + + + + + + + + + 0
-----------
5 f 6
f(x)
convex
0
+++++++++++++
5 convex f 6
concav
1p
BA
Deci, func ia are 2 puncte de inflexiune.
2.
RE
a)
3p
1
1 7 1 I 0 ln(4 x 3) I 0 ln . 4 3 0 4
M
1 1 3 1 I 1 1 dx I 1 x 4 0 4x 3 4
b)
0
1
1
1p
1
1p
1 n 1
1p
ar
1
1
V
4I n1 +3I n = x n 1
2p
ia
I n 1 I n 0 I n n descresc tor.
1 1 In n. 7n 7(n 1)
7n 1 .Ob inem lim nI n .= . n n 1 7
C
Rezult 7 I n
1p
A
Deci
2p
1 1 ; 4I n1 +3I n 7 I n 1 I n1 . 7(n 1) 7(n 1)
eB
4I n1 +3I n 7 I n I n
1p
nt
c)
0
2p
1
1 3 7 3 ln( 4 x 3) I 1 ln . 4 16 3 0 16
4 x n 1 3 x n x n (4 x 3) xn x n1 n 3 dx dx dx 0 4 x 3 0 4 x 3 0 4 x 3 0 4 x 3 dx 0 x dx 1
4I n1 +3I n = 4
1
1p
2
M 20 Varianta 35
12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
113
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
x–x=3 0=3
2p
RE
2p
S = {–1,5}
1p
= 25
M
2.
– x – x = 3 x = – 1,5
1p 2p
x1 = 2, x2 = –3
V
x13 x23 = –19
2p
A65 A64 = 6 5 4 3
2p 2p
M
1p
2
OA = ( –5, 0) AB = (3, 2)
2p
20
7 OM = ( ,1 )
2p
12
2
m A 120 , fie AD BC În ABD:
1p
C
S= P=0
6.
1p
A
2, 3, 4 } 5 ={ 0,1, Verificarea elementelor din 5
5.
2p
eB
E=6
4.
2p
nt
A54 A53 = 5 4 3
ia
ar 3.
1p
AD BD 3 3 AD sin B sin A 2
2p
114
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SABC = 9 3
2p
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
a12 a21 = – 3
RE
1. a)
2p
a11a22 = 2m
1p
b)
M
S = – (3 + 2m)
det A = – 1 = – S
A1
1 A* det A
3p
ar
c)
V
m=–2
2p
ia
m = –1 det A = 1
f = (X2 – 2)(X2 – 4)
3p 2p
2
f = (X2 – 2)(X – 2)(X + 2) c)
3p
M
b)
2p
C
Verificare f (–2) = 0
3p
A
a)
eB
r=0
1p
nt
1 1 –1 = A 3 2
A* =
2.
1p
1p
20
f = (X – 2 )(X + 2 )(X – 2)(X + 2) x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 2, x4 = –2
4p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
115
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1. a)
f (x) = e– x (1 – x)
3p
f (0) = 1
2p
b)
lim f x = 0 =
2p
BA
x
x = = x e x
= lim
1p
RE = lim
x
2p
f (x) = e– x (x – 2)
M
c)
1 =0 ex
3p 2p
x = 2 un singur punct de inflexiune
a)
2 x x3 ex C ln 2 3 1 ln 2
x 2 1 ex ln 2 3 ln 2
1
1 0
0
1 2 e ln 2 3 2
Aria g x dx = 1
1p
20
2
2 = x dx
12
1
2p
2
Aria g
3p
M
c)
1p
C
2p
A
f x dx = F(x)
3
eB
b)
x
nt
F1: , F1(x) =
2p
ia
F1(0) = 1 C =
ar
F(x) =
V
2.
2p
7 3
2p
116
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
M
RE
BA nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 36
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
A
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
20
1.
an = a1 + (n – 1)r
n=
1p
12
2012 = 1 + 3(n – 1)
1p
2014 3
2p
2012 an n 1
1p
117
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1– x =0
2p
x {-1, 1}
3p
C n0 C n1 ... Cnn 2n
2p
BA
2p
n = 6, n , n 1
1p
RE
4.
2n = 64
1p
Cazuri favorabile = 7
2p
Cazuri posibile = 7
1p
M
Formula lui P
m=–1
d: x + y – 2 = 0
2p
AOAO’B = 2AABO
AOAO’B = 12
3 1 0 1
M
A =
2p
2
det (tA) = – 3
20
b)
1p
C
t
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
eB
AABO = 6
1p
nt
6.
2p
ia
d: y – 1 = – (x – 1)
1p
ar
5.
V
P=1
6 0 2 2
12
2A =
3p
2p
3 1 b22 = – 1 2 1
B =
3p
118
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
9 0 2 1
A2 =
2p
27 0 7 1
A3 = A2 A =
BA
2p
S = 26
a)
a0 = f (0)
2p
f (0) = –1
3p
M
b)
RE
2.
1p
V
f (1) = 1
X2 – 1 = (X – 1)(X + 1)
1p
A
2x 2
1
C
2
2p
M
f (1) =
x
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x
2p
nt
f (– 1) = –1 0
1. a)
2p
ia
f (1) = 1 0
2p
ar
c)
3p
a0 + ... + a15 = f (1)
1 1 , f (1) = , f (1) + f (1) = 1 2 2
2
3p
20
b)
lim f x =1 (gradele sunt egale)
x
2p
12
y = 1 as. orizontal
c)
3p
f (x) = 0 şi monotonia lui f
3p
x = 0 un singur punct de extrem pentru f
2p
119
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
f continu pe , 0 şi pe 0, pt. c sunt func ii elementare
2p
a)
f continu în 0 ls(0) = ld(0) = f (0) = 1
2p 1p
f continu pe f admite primitive pe
BA b)
0
1
1
x f x dx = x e dx + x 1 x dx x
1
1
0
3p
12 5e 6e
RE 0
x e dx x
1
2e e
1p
M
1
1
x 1 x dx 6 0
V 1
ia
1
ar
c)
1p
x dx 1 x dx
V(Cg) = g
2
2
2
3
2p
C
A
V(Cg) =
x3 1 0 3
2p
eB
= x x
0
nt
0
1p
2
M 12
Varianta 37
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: IV NESCU-GLIGA LILIANA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem.
120
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
=0
1p
BA
= (m – 1)(5m – 9)
2p
9 5
2.
RE
m 1,
2p
3 x 2 0 x2 x 1
2p
M
x 2 x 1 0, x
ar
4.
x2 = t, t2 – 10t + 9 = 0
(AB): x + 4y – 9 = 0
2p 2p
M
4 a4 a
3p
2 20
6.
2p
C
x1 = – 1, x2 = 1, x3 = – 3, x4 = 3
1=
1p
A
t1 = 1, t2 = 9
5.
3p
eB
T4 = 20
2p
nt
Tk 1 C nk a n k b k , n = 6, k = 3
2p
ia
3.
2 A 3
V
x
1p
BC2 = AC2 + AB2 – 2AC AB cos 60
3p
12
BC = 39
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
121
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m m 1 d = 3 2 2 2 2 2
2p
d = 10m – 10
BA b)
3p
d 0
2p
RE
2p
m –{1}
1p
m = 2 d = 10
1p
dx = 14, dy = –24, dz = –20
3p
x = 1,4; y = –2,4; z = –2
1p
M
c)
m 1
x=4
b)
e=1
2 = 0 x2 + x – 2 0
1p 2p 2p
A
c)
2p
eB
2 2 = 1
2p
nt
a)
3p
ia
2x = 16
ar
V
2.
2p
C
x1 = 1, x2 = – 2 x [– 2; 1] adevarat
1p
2
M
lim x 0
12
1. a)
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x f 0 = f (0) = – 3 x
3p
f (x) = 6x2 – 3
2p
122
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f (x) = 0, x1 =
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 3p
2 2 , x2 = – 2 2
2p
f (x) = 12x, f x f x f x 2x3 – 6x2 + 9x + 3
2p
BA
2 2 2 2 f cresc. pentru x , , , f descresc. pentru x , 2 2 2 2
c)
RE x = 3
1p
f x dx = ln xdx x2
V
a)
2p
M
2.
(x – 3)( 2x2 + 9) = 0
e
x
3
2
1 0 2
5 f x2 ln x
2p
2p
4
4 dx = 10 x dx =
M
1
ln x 1 x dx 0 tdt =
C
4
e
1p
A
c)
ln x dx x 1
eB
lnx = t
e
dx
nt
1
f x
ia
b)
3p
ar
x ln x 1 C
2p
2
3p
2
= 26(25 – 1) adev rat
20
12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2p
Varianta 38 Prof: LEFTERIU IOANA.
123
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
(2 3) 2 7 4 3
RE
(1 2 3) 2 13 4 3
3p 2p
2
(2 3) 2 1 2 3 =20, 20
M
2.
82 5 (orice termen al unei progresii aritmetice,începând cu al doilea,este media 2 aritmetica a termenilor vecini)
2p
r 5 2 3, b 8 3 11
2p
a
ar
V
b-a=11-5=6
ia
3.
1p
2 x 3 2 2 x 1
2p
nt
Din injectivitatea func iei exponen iale x 3 2 x 1
eB
x4 4.
log13 0; log 33 1; log 39 2
num rul cazurilor favorabile 3 ;p num rul cazurilor pozibile 5
AM:
x xA y yA y 1 0 y 1 xM x A y M y A
sin110 sin 180 70 sin 70 ;
2p 2p
12
3p
20
xB xC y y 4; yM B C 1 M 4,1 2 2
2
xM
2p
M
6.
3p
C
5.
1p
A
p=
2p
cos110 cos 180 70 cos 70
2p
sin110 cos110 x sin 70 cos 70 x x x 0 0
0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 124
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2 2 4 6 C= A B 3 1 2 3 3 6 9 4 4 8 12
2p
t
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p 1p
Coloanele a doua şi a treia sunt propor ionale cu prima.
RE
2 4
3p 2p
6
det C = 3 6 9 =0 4 8 12
M
c)
6x 1 2 x 4 x D(x)=xC+I3 3x 1 6 x 8 x ; D 0 I 3 .Matricea D(x)este inversabil ,dac 4x 8 x 1 12 x
1p
ar
V
x ' , astfel încât D x D x ' I 3 = D(0) D 8 x x ' x x ' D 0
ia
x 1 1 ; x x \ 8x 1 8 8
nt
8 x x' x x ' 0 ; x '
2p
2p
eB
x y xy 7 x 7 y 49 7
a)
x 7 y 7 7
b)
x x x 7 7; din asociativitate: x x x x 7 7
3p 2p
2
3
C
A
2.
2p 3p
3
c)
x a x 7 a 7 7 a 7 x 7 7 a x; x
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
125
2p
12
Din asociativitate: E 10 9 6 7 8 10 7
2p
20
x a a a 7 x 8 0, x a 7 x 7 7 x 7
2
M
Din x x x x x 7 7 x; x 7 x 6 x 8 0; x1 6; x2 7; x3 8
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2x a 0; x x 2 4
3p
lim f x lim x
y 0 este ecua ia asimptotei orizontale la
2x 1 ; x2 4
a=1; f x
BA
b)
x0
x
2
4
2p
2
2x 3 x2 4
;
1p
nt
ia
2
ar
2 x 2 6 x 8 x2 4
1p
V
a=3; f x f ' x
2p
2 x 2 2 x 8
M
f ' x
c)
1p
f ( x ) f (0) 1 = f ' 0 x 2
RE
lim
2p
1 2 x 2 6 x 8 =0; x1 4; x2 1 ; f 4 ; f 1 1 4
1p
eB
1 Din tabel, A1 4, este punct de minim; A2 1,1 este punct de maxim 4
2p
A
2.
Func ia f este continu pentru x , 0 0, (1)
a)
În x=0; lim f x lim x 2 3x 5 5 lim f x lim e x x 4 5 ; f 0 5 (2)
2p
Din (1)şi(2) functia f este continu pe Ratunci, f admite primitive pe R
1p
0
f ( x)dx x
1
1
o
31 3
3p
1
12
c)
3 x 5 dx e x x 4 dx
x 2 2 2 xf ( x )dx 2 x e x 4 dx = 0
2p
20
e
1
2
1
x0
2
1
x0
M
b)
x0
C
x0
2p
2
2p
0
3p 126
Bacalaureat Matematică M – 2012 =e
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
7 2
M
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 39
ia
ar
Prof: LEFTERIU IOANA
SUBIECTUL I (30 de puncte)
36 9 81 3 3 64
M
2p
20
2 x 1 2 x 2 3 x 1 ;
1p 2p
12
2 x2 5 x 2 0
x1
3p
2
2 3 x 2 4; x 2, x 3 A={0,1,2}
3.
3p
C
=0
2.
2p
A
1.
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
1 ; x2 2 2
127
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x0 Condi ii de existen : ; x 2, x 2 0
Din propriet ile logaritmilor: log 2
x x 2
1p
3 x 2 2 x 8 0 ; x1 2; x2 4 ;
3p 1p
a 3 2i 3 j 2 3i 2 j
2p
5.
RE
BA
2 2, S={4}
a 13 j
ABC
AB AC sin BAC 2
2p
M
6.
3p
V
ABC 9
3p
ar
a b c 3 0 0 0 0 0 A 3I 3 O3 x y z 0 3 0 0 0 0 u v w 0 0 3 0 0 0
A
u y v z w
2
x
20
a A b c t
1p
M
a 3, b o, c 0 ; x 0, y 3, z 0 ; u 0, v 0, w 3 . b)
2p
C
b c 0 0 0 a 3 y3 z 0 0 0 x u v w 3 0 0 0
2p
eB
1. a)
nt
ia
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
12
b x c u 0 B A A x b 0 z v u c v z 0
1p
2p
t
2p
128
Bacalaureat Matematică M – 2012
b x cu
0
det B x b 0 u c v z c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
z v x b v z c u x b v z c u 0 . 0
BA
0 1 1 a y w 0; b c x z u v 1 A 1 0 1 1 1 0
2p
RE
2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
3p
2
M
a 3, b 1 f x 4 3 x3 x 2 5 x 4
a)
c x3 5 x 2 9 x 13
2p
ar
r 30
2p
x1 1, x2 1 r d cini f 1 0; f 1 0
ia
b)
1p
V
2.
1p
nt
f 1 1 a 1 b 1 5 1 4 a b 10 4
3
2
eB
2p
f 1 1 a 1 b 1 5 1 4 a b 4
3
2
C
c)
a 3, b 1 f x 4 3 x 4 x 2 5 x 4
M
2p
P 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 f 1 2
3p
20 12
lim f x lim f x lim f x x x0
x x0
2
Din x1 , x2 , x3 , x4 r d cini, f x x x1 x x2 x x3 x x4
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
A
a b 10 0 a 5; b 5 . ab 0
1p
x x0
3p
129
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 x 6 lim f x lim x 1 x 1 x 1
x2 x 6 x 1 x 1
lim f x lim
x 1
1p
BA
lim f x lim f x f nu are limit în x 1
x1
Ecua ia asimptotei oblice: y mx n
RE
b)
x1
m lim x
f x x
x2 x 6 1 x x x 1
lim
M
n lim f x mx lim x
1p
x
2p
V
6 0 x 1
m 1; n 0 ;ecua ia asimptotei : y x
ar
1p
x 1
2
;
12
x 1
3
1p
eB
f x
x2 2 x 7
nt
f x
ia
c)
1p
a)
1
26 25 1 26 ln 2 2 5
0
4p
f ( x) = x 2 25 ex
1p
12
g ( x)
1p
20
f ( x) dx x 2 25 x e 0
2
b)
1
M
2.
1p
C
x 1, f x 0 f func ie concav
1p
A
x , 1 f x 0 f = func ie convex
2p
1
V g 2 x dx
2p
0
2p
130
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
1
x
2
1 dx
0
c)
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
76 3
1
1p
x 25 f x dx x 2 25 e x dx =
2
BA
0
0
1
1
1
0
0
0
= x 2 25 e x 2 x e x 2 e x
2p
RE
2p
= 26e 27
M nt
ia
ar
V eB
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 40
Prof:LEFTERIU IOANA.
C
A 2
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
Din ecua ia: t 2 St p o ,unde S x y 4 , p x y 32 ,avem
2p 2p
S 4,8 ; 8, 4 .
2.
1p
12
t 2 4t 32 0 ; x1 4; x2 8;
20
1.
Elementele mul imii A sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice: a1 3, a2 5, a3 13, a4 18, , an 98 ,
131
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
r a2 a1 a3 a2 a4 a3 5
2p
an a1 n 1 r ; 98 3 n 1 5 n 20
2p
2 3
BA
Din propriet ile logaritmilor: log5
2 3 2 3 2 3 log5 log5
2p 3p
log15 0
RE
4.
1p
n3 3n 2 4n 0 ; n1 0; n2 1; n3 4
3p
M
An3 n n 1 n 2
1p
n N, n 3 n 4
OA,OC sunt vectori opuşi,la fel: OB şi OD OA OC 0 ; OB OD 0
V
5.
2p
ia
cos120 cos 180 60 cos 60
3p
nt
6.
OA OC OB OC 0
ar
3p
2p
1
m
2 2 2m 2 3m 1 3
20
dac det A 0
3p 2p
12
S are solu ie unic
2p
2
3 2m 2 3m 1 1 m1 ; m2 0 2 b)
M
det A 1 1 1 m 1 1
C
1. a)
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
S sin 2 60 cos2 120 sin 2 60 cos 2 60 1 (din formula fundamental )
1 2m 2 3m 1 0 m1 , m2 1 2
2p
1 m \ ; 1 2
1p
132
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y 2z 1 m 1 S x y 2 z 5 ; det A 6 y 3 z 1
BA
1
2
1
d x 5 1 1 1
1
1p
2
1
2 6 ; d y 1 5 3 0 1
1
1
1
3p
2 12 ; d z 1 1 5 6 3 0 1 1
RE x
dy dx dz 1; y 2 ; z 1 ; S 1, 2, 1 det A det A det A
1p
f g f 2 0
2p
a)
f 2 2m 22 ; m 11 .
3p
3 3
f
3 0 m 12
3
m
3
2
15
3 2m m 12
3p
3
ia
f
ar
3
2p
nt
c)
V
b)
M
2.
m 1; f x 3 x 2 15 x 2
1p
eB
2p
A
x1 x2 x3 1 Din rela iile lui Viet`e : x1 x2 x1 x3 x2 x3 15 x1 x2 x3 2
C
S 2 x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 31 2
M 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f continu în x0 0 lim f x lim f x f 0 x0
lim f x lim x 3 5 x 2 7 x 1 a 1 a x 0
x 0
lim f x lim xe 2 x 2e x0
x0
x
x
2 ; f 0 2 133
2p
12
x0
20
1. a)
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 a 2 a 3
1p
x 3 5 x 2 7 x 2, x 0 a 3 , f x x x xe 2 x 2e , x 0
1p
Ecua ia tangentei în x x0 ; y f x0 f x0 x x0
BA
1p 2p
f x 3x 2 10 x 7 f 2 1
RE
1p
x y 2 0 este ecu ia tangentei.
c)
M
f x 3x 2 10 x 7 ; x 0, 2p
7 f x 0 ; 3 x 10 x 7 0 ; x1 1 ; x2 3 2
V
7 Pentru x 0,1 , , f 0 f este cresc toare 3
ar
2p 1p
ia
m 1 f1 x 3x 2 4 x 4
a)
f x dx 3x 1
1
0
0
1
0
0
= 5e 3
3p
8m 2 m 35 6
2p 1p
1 1 8m 2 m 0 ; m1 0 ; m2 ; m m 8 8
134
12
f m x dx
1
20
c)
1p
2
1p
M
x x 2 e f0 x dx e x 3x 4 dx
e x x2 x 3
1p
C
m 0 ; f 0 x x 2 3x 4 1
2p
4 x 4 dx x3 2 x 2 4 x C
A
b)
2
2p
eB
2.
nt
7 pentru x 1, f 0 f este descresc toare. 3
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 41
BA
Prof:LICA ROXANA
M
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
52
52 2 5 4, 2 54
3p
V
1
2p
ar
Pratea intreaga a numarului este 4.
a5 a1 4 r
x1 0 , x2 2
1p 2p
C
Solutiile in sunt x 2, 0
2p
M
Solutiile intregi 2, 1, 0
x1 x2 2m 1
1p
2
4.
2p
A
3.
2p
eB
a3 a1 2 r 4
1p
nt
a1 a1 4 r 8 a1 2 r 4
ia
2.
x1 x2 3m
1p
20
2m 1 3m 11 m2
2p
12
1p
5.
n n 1 3n 3 2
2p 3p
n 2 7n 6 0 , n 6 135
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2
7 2 52 2 6 , deci triunghiul este dreptunghic.
1p Ipotenuza triunghiului are lungimea 7. 2p Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egala cu jumatate din ipotenuza, deci
BA
R=3,5.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
2 1 1
DetA= 1
2p
1 2 = 3 1 1
M
1. a)
2p
-1
Det A= 2 3m 1 3 2m 1
Scazand ecuatiile 3 si 1 obtinem x 1
2p 1p
eB
c)
3p
nt
Det A=0 m 1 0 m 1
1p
ia
b)
ar
V
2 6 1 3 4 1 =
yz 2 y 2z 3
2p 2p
A
z 1, y 1
C
Fie x, y
a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x y xy x y xy x y = x y 3 3 3 3 3 9 3 3 3 9
b)
Fie x . a x a a x
1 1 1 1 1 a a x a 0 3 3 3 3 3
3p
20
1 3
4p
2
2p
12
1 1 1 a x 1 0 a 3 3 3 c)
1p
M
2.
1 1 3 3
3p 2p
136
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2012 2011 2010 1 1 ... 3 3 3 3 3 3
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x 1 ln x x
RE
1. a)
3p
1 ln x x
2p
f 1 ln1 0
M
b)
f e ln e 1
1p 1p
V
Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este y f f x
2p
ar
Asadar ecuatia tangentei la graficul functiei este y 0 1 x e
nt
ia
adica x y e 0 c)
f x 0 ln x 0 x 1
0
f x
1
+
+
+
+
-
1
1
1
1
1
0
0
0
1p 3p 2p
3p
12
I1 x cos xdx x sin x sin xdx 0
2p
20
sin x 0 sin1.
sin1 cos x
-
2
a)
1
-
M
1
I 0 cos xdx 0
b)
-
C
Un singur punct de extrem, A 1,1 2.
-
A
f x
0
2p
eB
x
1p
2p
sin1 cos1 1
137
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 0,1 cos x 1
1p
x 2012 cos x x 2012
2p
1
0
1
x 2012 cos xdx x 2012 dx 0
1 2013
2p
M
RE
BA A
eB
nt
ia
ar
V Varianta 42
C
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
2
M
Prof: LICA ROXANA
20
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
lg100 10 2,5
3p
2,5 0,5
2p
138
Bacalaureat Matematică M – 2012
3p
2012 2011 2
2p
x1 1, x2 6
3p
E= 1 6 = 1 216 217
2p
C.E. x 3 1 0 x 1
1p
x 3 1 32
2p
BA
3.
f 1 f 2 f 3 ... f 2012 0 1 2 ... 2011
RE
2.
4.
3
3
M
x3 8 x2
2p
V
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin15 sin 45 30
2p
ar
sin 45 cos 30 sin 30 cos 45
1p
AB AC sin Aˆ 2 18 18 sin120 324 2sin 60 cos 60 2 2 324 3 81 3 4
2p
AABC
eB
nt
6.
ia
2 3 1 2 6 2 2 2 2 2 4
2p
C 2
M
2
3p
20 12
1 1 0 2 M 1,1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 2 0 0 1
1p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
2p
139
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
2 3 0 M 2,3 0 2 3 0 0 2
1
BA
1 M 2,3 Det M 2,3
4 6 9 1 0 4 6 8 0 0 4
RE
M 2,3
1
3p 2p
Det M 2, 3 8 M 2,3
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b 0 M a, b 0 a b 0 0 a
1p
M
2p
V
Det M a, b a 3
ar
Det M a, b 0 a *
2p
nt
ia
b f 1 1 1 1 1
a)
0
b)
f 1 0 X 1 f
f X 1 X 2 1
4 3
2p 2p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
4 2
2p
2
1 0 xi4 1 i 1, 2,3
x x x 111 3 4 1
2p
M
xi radacina pentru f xi3 xi2 xi 1 0, i 1, 2, 3
xi 1 xi3 xi2 xi
1p
C
X 1 X i X i c)
1p
A
4p
eB
2.
x2 Asimptota orizontala: lim 2 1 f admite asimptota orizontala la dreapta y 1 x x 2012
140
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
x2 1 f admite asimptota orizontala la - dreapta y 1 lim x x 2 2012
1p
Functia nu admite asimptote oblice sau verticale.
BA b)
2 x 3 4024 x 2 x3
f x
x
2012
2
2
3p
2p
RE 4024 x
x
2012
f 1
2
M
c)
2
2p
4024 20132
1p
V
Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa este y f f x
ar
Asadar ecuatia tangentei devine y
f 2 x x 1 2
0
2
x 1 dx
3 1
3
0
C
f 2012 x 0, x 0,1 2012
x 1 dx
2013 1
2013
0
0
t 1t n dt 1 0
0
2p
0
t n 2 t n1 1 t dt 1 t dt n 2 n 1 1 1 0
0
n 1
2p
12
n
1p
20
1 2013 x x 1 dx
3p
2
0
1
1p
M
A x 1 1
c)
1p
A
1 3 b)
3p
eB
x 1 1
1p
nt
a)
ia
2.
2p
1 4024 x 1 2013 20132
n
1p
1 n 1 n 2 n2
141
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
BA
Varianta 43 Prof: Viorica Lungana
RE
M
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
x1 2 x2 3
3p
ar
x2 5x 6 0
V
1.
a n a1 n 1r , n 1
2p
nt
2.
ia
Deci mul imea de adev r este: 2;3
1p 2p
eB
a10 a1 9 r
2p
a10 131 i r 12 a1 9 12 131 a1 131 108 a1 32
A
3.
lg 288 lg 2 5 3 2
C
lg 2 5 lg 3 2
2p
2
n 2 0 n 2, n
2p
20
n! n 2 !n 1n 2 nn 1 2 2 n 2 ! n 2 !
12
n 2 n 2 0 n1 2 , n2 1 .
3p
Deci n 2 5.
2p
M
5 lg 2 2 lg 3 5 A 2 B 4.
1p
AC 2 AB xC xA i yC y A j 2 xB xA i yB yA j
142
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
10i j 2 3i 3 j 4i 7 j
6.
3p
1 3 1 3 f sin cos , (1) 6 6 2 2 2 6
2p
BA
3 1 3 1 f sin cos , (2) 3 3 2 2 2 3
RE
Din rela iile (1) i (2) rezult
2p
f f . 3 6
1p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
V
2 X 3Y A X 2 A 3B X B 2Y 2 X 3Y A X 2Y B 2 2 X 4Y 2 B Y 2B A Y 2B A
2p
ar
1. a)
ia
1 2 1 1 2 1 2 4 2 X 2 A 3B 2 2 1 2 3 2 1 2 4 2 4 1 2 1 1 2 1 2 4 2 3 6 3 5 2 5 6 3 6 2 5 2 3 6 3 5 2 1
A
eB
nt
2p
C
1 2 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1 Y 2B A 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1
M
2
3 2 3 2 3 2 3 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 A B 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 143
3p
12
5 2 5 3 2 3 2 0 2 X Y 2 5 2 2 3 2 0 2 0 5 2 1 3 2 1 2 0 0
20
b)
1p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 0 2 0 2 0 2 0 0
Deci X Y A B
BA
2
c)
0
det X Y 0 2 2 0
2 3p
x * y xy 5x 5 y 30 x 5 y 5 5, x, y G
1p
RE
0 0
2p
8 N
a)
M
2.
V
Legea este asociativ dac
x * y * z x * y * z , x, y, z G
ar
x * y * z x * y 5 z 5 5 x 5 y 5 5 5z 5 5 2p
ia
x 5 y 5 z 5 5, x, y, z G , (1)
nt
x * y * z x 5 y * z 5 5 x 5 y 5 5 5 5 5
2p
eB
x 5 y 5 z 5 5, x, y, z G , (2)
Din rela iile (1) i (2), rezult legea este asociativ .
Legea are element neutru dac exist e G astfel încât x * e e * x x, x G .
A
b)
C
x * e x, x G x 5e 5 5 x, x G x 5e 6 0, x G
1 , x G x5
1 5, x 5, . x5
12
x, 5
Deci orice element din mul imea G este inversabil. c)
2p
20
x * x , 6, x G x 5 x , 5 5 6, x G x , 5
2
Oricare ar fi x G exist x , G astfel încât x * x , x , * x 6 .
M
e 6 5, , x G .
3p
Din asociativitatea legii, dac x y z , atunci x * x * x 6 x 5 5 6 3
2p 3p
144
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 5 1 x 5 1 x 6 5, 3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
BA 1. a)
2p
D 1
3p
RE
b)
1 x 0 x 1
1p
,
M
f f , g f g, g2 g 1 x 1 x
1 x
1 x 2 21 x 21 x 1 x 2 2x 3 1 x 4 1 x 4 1 x 3 2 x 3 0 x3 1 x 3 0
- - - - - - - - - - +++++0 - ---- -----
2
1
M
i
2
f x
M
- - - - - - - - - - - - -
3
C
+ ++++ +0-------
1
A
eB
f , x
2p
0 x0
x
f ,, x
1 x 2
1 x
2
nt
f ,, x 0
2x
1p
2x
ia
f , , x 2
ar
f , x 0
2
V
f , x
1p
20
x 0 punct de maxim x 3 punct de inflexiune Ecua ia tangentei la graficul func iei f în punctul M x 0 , y 0 este y f x 0 f
f 2 3
,
x0 x x 0
12
c)
1p 1p 1p
4 f , 2 4 1
145
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 3 4 x 2 4 x y 5 0
2. a)
1
2p
1
x 1 2x I1 2 dx 2 dx 2 0 x 1 0 x 1
BA
1p
1 ln x 2 1 2
1 ln 2 ln 1 ln 2 2 2
1 0
2p
RE
b)
2p
2p
x2 x dx 0 I 2 I 1 I 2 I1 2 0 x 1
3p
M
x2 x x2 x 0, x 0,1 , atunci x2 1 x2 1 x2 1 1
x n 2 xn xn x2 1 dx 2 dx dx In 2 x2 1 0 x 1 0 x 1 0 1
1
1
2p
ia
I n 2
ar
V
c)
x dx n
2p
C
A
1 x n 1 * , n . n 1 0 n 1
eB
0
1
1p
nt
1
20
Varianta 44
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: Viorica Lungana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
146
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1
3 3 2 2 2 2
BA
3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 11 2
Am folosit formula radicalilor dubli
AC 2
3 1 2 2 2
3 1 2 2 2
3 1 3p 2 2 2
AC , unde C 2 A 2 B . 2
RE
2
A B
3 1 2 2 2
2 x 1 x 2 2 x 1 x 2
2p
1p
M
Dac 2 x 1 x 2 x 3 . 2p
3 5
x 1
5 3
x 1
3 2 5
x 1
2p
3 5
1 x
x
3 3 3 2 5 5 5
x
1p
3 2 5
ia
ar
3
V
1 Dac 2 x 1 x 2 x 3
x y1 3 1 10 3 Not m y i ecua ia devine y 1 3 y 2 10 y 3 0 y2 y 3 5 3
1p
eB
nt
x
1 3 3 3 x log 3 1 x1 1 log3 5 5 5
C
A
x
1 3 1 3 x log3 1 x2 1 log 3 5 5 3 5
2p
x y C xy C yx x y ; x y ! 1000 2 x ! 1000 y x
x 4 8! 8 7 720 1000 nu este solu ie.
3p
12
x 2 4! 24 1000 este solu ie. x 3 6! 720 1000 este solu ie.
2p
20
x 0 0! 1 1000 este solu ie. x 1 2! 2 1000 este solu ie.
2
4
M
x1 x2 0
1p
Deci M 1,1, 2,2, 3,3, 0,0 cardM 4 . 5
P AB BC CA ; MN
x N xM 2 y N y M 2 147
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
AB 37 , BC 61 , CA 4 . P 37 61 4
6
sin 6 x cos 6 x cos 6 x tg 6 x 1 1 tg 6 x 1 1 tg 6 x 2 x cos sin 4 x cos 4 x cos 4 x tg 4 x 1 1 tg 4 x 1 tg 2 x 1 tg 4 x
3p
1 1 64 65 13 1 4 1 16 5 17 17
2p
E
BA
E
3p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2x 2 1 x3 det A 2 x 2 x3
M
1. a)
2x 2
2x a
1
x2
x2
1
x2
2p
ia nt
1p
a 0 2 x 3 4 x 2 2 x 0 2 x x 2 2 x 1 0 x1 0 i
3p
eB
x 2 x3 1 c)
2p
0 2x a
2x 3 4x 2 2x a
2x3 4x 2 2 x a b)
1 x3
1
ar
1
V
1
2x a 0 l 1 l 2 2 x a 2x 2
2p
A
f 0 , Fie f x 2 x 3 4 x 2 2 x a . x r d cin dubl f 0 f ,, 0
C
1 3
1 8 a2 3 27
S a1 a 2 2.
1p
12
2
1p
20
1 1 a1 0
2
f , 0 2 3 2 4 1 0 1 1; 2
1p
M
f , x 6 x 2 8 x 2
1p
1p
8 27
Se calculeaz elementele neutre ale celor dou legi de compozi ie.
148
Bacalaureat Matematică M – 2012 a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x * e x, x x e 3 x, x e 3 , x . 1p
x y xy 3x 3 y 6 x 3 y 3 3 x e, x, x x 3 e, 3 3 x, x x 3 e, 2 0, x
BA
1p
e , 2 , x . 1p
RE
Din x y x 3 y 3 3 y 3 x 3 3 y x, x, y , rezult inelul ,*, este inel comutativ.
M
Fie x 3, y 3 . S ar t m c x y 3 . Presupunem x y 3 x 3 y 3 3 3 x 3 y 3 0 x 3 sau
2p
V
y 3 , ceea ce contrazice ipoteza, deci x y 3 , adic inelul ,*, este inel comutativ i f r divizori ai lui zero.
ar
b)
Fie x, x , . S ar t m c x , este inversul lui x.
ia
3p
1 x x 2 x 3 x 3 3 2 x 3 x 3 1 x 3 x3 ,
C
Deci, elementele inversabile sunt x 4 i x 2 .
este corp dac orice element x , x 3 este inversabil în raport cu legea „ .
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
Deci ,*, nu este corp.
2p 2p
2
În acest caz, conform punctului b), numai 2 elemente sunt inversabile.
M
,*,
2p
A
Dac x 3 1 x 2 .
c)
,
eB
1 x 3 1,1 . x3
Dac x 3 1 x 4 .
,
nt
x , 3
,
f , x 2 x 7
3p
f , x 5 2 x 7 5 x 1
2p
149
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 5 x 3 m 5
1p
Coeficientul unghiular al tangentei la graficul func iei în x este f , .
1p
BA
Tangenta la graficul func iei f este paralel cu dreapta y 5 x 3 dac 1p
f 1 2 3 7 2 T 1,2 este punctul de tangen .
2p
y f f , x
2p
y 2 5 x 1 5x y 3 0
3p
M
RE
c)
f , 5 1
a)
1
I0 0
1
0
x
dx 1 x
1 x2
2
1
0
2
1
1 x
2
, x [0,1]
1
xn 1 x2
,
dx x n 1 1 x 2 dx x n 1 1 x 2
0
1 x2
2p
1 0
2p
1
n 1 x n2 1 x 2 dx 0
dx
2p
2
2 n 1
0
x n 2 1 x 2
2p
M
1
1p
C
0
3p
A
1
In
2p
eB
xn
1 x 0 In 4
2 1
0 xn 1 0
c)
ln 1 2
nt
b)
1
ia
0
ar
I1
dx ln x 1 x 2
1 x2
1
V
2.
20
2 n 1I n 2 n 1I n nI n 2 n 1I n 2
1p
12
150
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 45 Prof: Viorica Lungana
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
x 2 3 3 x 2 4
a 1 0 Im f , 4a
1p
2 20
Folosim formula log a N
2p
M
7 7 4a 4 4
7 Im f , 4 3.
2p
C
b 2 4 ac 1 8 7
2p
A
2.
eB
x 2 3 x 5 x 5,6 2 4 6 x x
3p
nt
1.
ia
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
log b N logb a log 2 4 log 2 5 log 2 64 ... log 2 3 log 2 4 log 2 63
12
log 2 3 log3 4 log 4 5 ... log 63 64 log 2 3
1p
2p 2p
log 2 64 6 4.
k k! k 1 1 k! k 1 k!k! k 1!k! 151
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 Calcul m fiecare termen din sum
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro i ob inem:
1 1! 2!1!
3p
2 2! 3!2!
BA
3 3! 4!3!
....................
1 1!2 2!3 3!... 9 9!10 10! 11!1
1p
2 2 v a 2b 2a b 2a a b 4b a 2b
2p
M
5.
RE
10 10! 11!10!
3p
pq pq cos 2 2
2p
ar
6.
V
2 4 3 4 2 9 8 12 18 22 Folosim formula sin p sin q 2 sin
75 15 75 15 cos 2 2
eB
2 3 6 2 2 2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p
nt
2 sin 45 cos 30 2
ia
sin 75 sin 15 2 sin
2p
0 1 0 0 1 0 0 0 1 A A A 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2
12
p
3p
20
A3 p A3
2
2
2p
M
0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A A 1 0 0 0 0 1 0 1 0 I3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3
b)
C
A
1. a)
2p
I 3p I 3
1p
A 3 p 1 A 3 p A I 3 A A A3 p2 A 3 p A 2 I 3 A 2 A 2
1p
152
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
I3, n 3p Deci A A, n 3 p 1 , p * . A2 , n 3 p 2
1p
2012 3 670 2
1p
n
c)
BA
A 2012 A3670 2
RE
0 0 1 A2 1 0 0 0 1 0
2p
Suma elementelor matricei A 2012 este 1+1+1=3
a)
M
2.
x y x ln y e ln x
1p
3p
1p
y x, x, y 0, "" este comutativ .
ar
ln x
ln x
V
e ln y ln x e ln x ln y e ln y y
Legea "" admite element neutru E 0, astfel încât
ia
b)
ln y
2p
nt
x E E x x, x 0, .
x E x, x 0, x ln E x, x 0, ln E 1, x 0,
3p
eB
E e 0, , x 0,
Deci e (num rul „e ) este elementul neutru al legii.
A
x 0, , x , 0, astfel incat x x x x e x x e, x 0, x ln x e, x 0, ln x ln x 1, x 0,
S ar t m c
2p
C
1
Simetricul num rului
1 1 în raport cu legea „* este e e e
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
153
1 1
e e . 1 1 e
ln
1
1
e ln e e 1 e 1 1
2p
1 e
3p
12
,
1 ln e
20
Simetricul num rului e în raport cu legea „* este e e ,
2
c)
M
1 ln x , ( x 1) x e ln x 0, , x 0, deci, orice element din G este ln x simetrizabil în raport cu aceast lege.
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
f , x
3x 2 2 x
3 3 x3 x2
2
BA b)
x 3
x
3
x 3 1
1 1 x 2 3 1 3 1 1 x x
2
x 3
x
2 2
x x x x 3
3
2
1p
2
1p
nt
1p
eB
1 3
1p
2
C
A 2
16 4 1 1 9 3 3
1 x 1 ,1 4 x 2 x 1 4 x 2 5x 1 0 1 1 x ,1 4 4
154
2p
12
1 x 2 x 0 x 0 0, 4
20
1 Pentru x ,1 , f x g x 4
2p
2
1 Pentru x 0, , f x g x x 4
1p
M
a)
x
3
1p
m2 16 81 16 97 2 m n 9 2 9 9 9 n 2.
x3 x2 x3
1 3
m2 1 9 1 n2 9
m n
1
ia
1 . 3
Pentru m 1 i n
2
2p
ar
c)
x
x2
Deci y x
1 x
x 2 x lim
V
x
M
lim
2p
3 f x x3 x lim lim x x x x
n lim f x mx lim x
x1 0 3 x2 2 2
RE x
3p
f , x 0 3x 2 2 x 0
m lim
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 Solu ia S 0, ,1 . 4
1p
1 x x , x 0, 4
b)
1p
BA
1 1 Pentru x , 2 x 1 0 4 2
RE
1 Pentru x ,1 2
1 1 x 2 x 1, x , 4 2
1p
x 2 x 1 x 4 x 2 4 x 1 4 x 2 5x 1 0
M
1 1 1 x ,1 ,1 ,1 4 2 2
1p
V
Deci pentru x 0,1 f x g x , func iile f i g sunt func ii continue.
ar
1 4
Aria f , g f x g x dx 1
0
2 x x 3
1
1
0
1 4
1 4
1 1 4 1 1 2 2 1 1 3 1 16 4 3 4 2 3 3 4 2 16
1 2 1 3 8 32 4 9 27 9 6 3 12 16 48 48 16
2p
A
1 x , sin x x sin x , dx x x x dx sin cos 0 2 x 0
x sin x
M
,
x sin x dx
20
0
1p
2
0
2p
C
c)
1 4
3 1
2 x2 3
eB
x
4 x x 3
0
1 4
2 x 2 x 1 dx 2 x 3
1 3 4 2
nt
x
1 1 4
x x dx
ia
0
2 1 1 4
1
sin 0 0
2p
12
155
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 46 Prof: Viorica Lungana
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
Scriem rela iile lui Viéte pentru ecua ia x 2 m 2 x 4 0
V
x1 x2 m 2 ; x1 x2 4 . x12 x 22 x1 x 2 x1 x 2 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 m 2 4m 4 4 2
ar
2
m 2 4m
ia
Fie x1 , x 2
5 , cu x
f x 2 f x1
x2 x2 x1 0 ; x1 5 x12 5 , analog x22 5 .
2 x1 x2
0 f x2 f x1 f strict cresc toare pe
C
x2 x1 x1 x 2 5
2p
1p 2p
20
card A B 7 3 4 14
2p
x 2 3 x 5 0 , deoarece 9 20 11 0 x .
12
Sau card A B cardA cardB card A B 10 7 3 14
5 , , deoarece
2
cardA 10 7 3 cardB 7 4 3
4.
M
din x1 x2 5 x1 x2 5 0 . 3.
1p
x 22 5 x12 5 x1 x 22 5 x1 x12 x 2 5 x 2 x1 x 2 x 2 x1 5 x 2 x1 2 x2 2 x1 2 x1 x 2 2 x1 x 2 2p
A
1
m 4
2p
m 4,0
eB
2.
m0
nt
Dar x12 x 22 x1 x 2 0 m 2 4 m 0
3p
2p 3p
log 3 x 2 3 x 5 1 x 2 3 x 5 3
156
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 2 3x 2 0
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1 1 . x2 2
sin 6 x sin 3 x sin 6 x sin 3 x 0 2 sin
BA
sin
3x 9x 3x 9x cos 0 sin 0 sau cos 0 2 2 2 2
3x 3x 2k 0 k xk ,k 2 2 3
RE
Pentru k 0 x 0 0 0, . 2p
M
2 Pentru k 1 x1 0, . 3
Pentru k 2 x 2
V
4 0, . 3
2k 1 9x 9 x 2k 1 ,k . 0 xk, 2 2 2 9
Pentru k 1 x1,
0, . 3
Pentru k 3 x3,
7 0, . 9
C
5 0, . 9
A
Pentru k 2 x 2,
eB
0, . 9
nt
ia
Pentru k 0 x0,
1 , unde x B 2 xC
1 2 2 1 4 aria
yB yC
1
1
1
1 1 1 1 1 2 0 1
1 4 2 2
2p
12
aria
yA 1
20
xA
2
5 2 7 Deci solu ia ecua iei este S 0, , , , . , , 9 3 9 3 9
M
Pentru k 4 x 4, 0, .
6.
3p
ar
cos
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
157
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 1 1 2 1 0 2 6 A A A 0 1 4 0 1 4 4 9 8 1 2 1 1 2 1 2 6 8 2
2p
BA
1 2 1 3 6 3 3A 3 0 1 4 0 3 12 1 2 1 3 6 3
1p
RE
3 1 0 0 2 4 9 0 2 6 3 6 f A A 3 A I 3 4 9 8 0 3 12 0 1 0 4 7 4 2 6 8 3 6 3 0 0 1 1 0 6
2p
M
2
1 rangA 3
4 1 8 1 8 2 0 1
nt
ia
det A 0 1 1 2
rangA 3
7 0
4 6
3p
C
84 16 63 96 59 x y
xy 1 1 2 x 2 y 24 xy 8 x 8 y 96 x 8 y 8 8, x, y 4 4 4
x y
1 1 x 8 y 8 8 y 8 x 8 8 y x, x, y , 4 4
a)
3p
20
x y z 1 x y 8 z 8 8 1 1 x 8 y 8 8 8 z 8 8 4 4 4 1 x 8 y 8 z 8 8, x, y, z , (1) 16
158
1p 1p
12
x y z x y z , x, y , z
2
Deci legea este comutativ . b)
1p
M
2.
2p
A
det f A 4 1
9
2p
eB
2 4
c)
3p
ar
1 2 1
V
b)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 x y z
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 x 8 y z 8 8 1 x 8 1 y 8 z 8 8 8 8 4 4 4
2p
1 x 8 y 8 z 8 8, x, y, z , (2) 16
BA
Din rela iile (1) i (2) rezult c legea este asociativ .
c)
Din asociativitatea legii, pentru x y z x x x 12
2p
RE
1 x 83 8 12 16
x 8 64 x 8 4 x 12 3
3p
M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
,
x 5 x 4 3 x 2 1
ar
Fie x 1,1 . f
V
1. a)
,
ia
Not m x 2 y i ob inem f
2p
y 5 y 2 3 y 1 5 y
,
b)
+ + + + + + + + + + 1
3
20
Puncte de extrem ale func iei sunt: x 1 i x 1 .
2p
12
c)
3p
2
f x
1
M
f , x
C
-1
1p
A
f este strict cresc toare pe 1,1 .
x
2p
eB
nt
2
3 11 f x 5 x 2 0 10 20
2
3 11 10 20
f 1 1
1p
f 1 3
1p
f 1 f 1 3 1 2
3p
159
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
1
I1 0
1
x|
0
x 1 dx x 1
2p
3p
1
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 1 x 1 , x [0,1]; x 1 x 1
2p 2p
x2 1 x 1 0 x 1 dx 0 x 1 dx, x [0,1]; 1
RE
1
1
0
x n 1 1 xn 1 dx dx x 1 x 1 0
1
0
0
2 dx x 1
1p
C
A
1 2ln 2 n 1
1p
eB
x dx n
1p
nt
1
2p
ia
x n ( x 1) 2 dx = x 1 0 1
1
ar
I n 1 I n
1p
V
c)
M
I 2 I1
2
M 20 12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE 160
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 47 Prof: Marcu Ş
Florin
M
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
3 x 1 5
ar
x0
V
5 x 1 4 4 5 x 1 4
de elemente este egal cu 1 .
2p
nt
ia
2.
an a1 ( n 1) r
eB
a2012 a1 2011r ; r=3 a2012 5 20113 6028
5x 1 0 a logaritmilor : 3x 3 0
1p
M
2p
2
x 2 este
.
2p
20
A(3, 5) d x 3, y 5
2p
12
Cnk Cnk1 Cnk11 3 3 2 3 3 2 C 2012 C2011 C2011 C2012 C 2011 C 2011 0
5.
2p
C
Punerea condi iilor de existen
5 x 1 3x 3
4.
2p
A
3.
1p
3p
2p 3p 161
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
33 25 a 0 a 1
6.
sin(90 x ) cos x
2p
sin 85 cos 5
1p
BA
2p
sin 2 5 sin 2 85 sin 2 5 cos 2 5 1
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
1. a)
2 1 2 1 A2 A A 2 1 2 1
1p
nt
1 2 1 1 0 2 x A xI 2 x 1 x 2 1 0 1 2
3p
det( A xI 2 ) x 2 x 0 x 0, x 1
2p
A
eB
An A() n N *
20
( x 4)( y 4) 4 = xy 4 x 4 y 16 4
3p 1p
= xy 4 x 4 y 20 x y b)
1p
12
a)
2p
2
4024 2012 2012 A 4024 2012
2p
M
A A2 ... A2012 A A ... A 2012 A
2.
1p
C
c)
ia
b)
2p
ar
A2 A
V
2 1 A2 2 1
2p
x x ... x ( x 4) 2012 4
3p
2012 ori
2p
162
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x 4) 2012 4 5 ( x 4) 2012 1 x 3, x 5
c)
Se observ c : x 4 4, () x R
2p
Folosind asociativitatea avem : E [(2012) (2011) ...] 4 [... 2011 2012]
2p
BA
1p
Deci E=4
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
lim x 1
f ( x) f (1) f ' (1) x 1
2p
V
1. a)
f ' ( x) 0 2012 x 2011 2012 0
x 2011 1
2p
12
= x 2 dx 5 xdx dx =
1p
20
a)
1p
2
Ob nem : x 2012 2012 x 2011 0, () x R
2
1p
M
Dar f (1) 2010
(x
2p
strict cresc toare pe (1, )
Deci : f ( x) f (1), () x R
2.
1p
C
f este strict descresc toare pe (,1)
1p
A
x=1 este unica
c)
1p
eB
2012( x 2011 1) 0
1p
nt
b)
2p
ia
f ' (1) 0
ar
f ' ( x) 2012 x 2011 2012
1) f ( x) dx = ( x 2 5 x 1) dx
2p
2p
163
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
x3 5 x2 = xC 3 2
b)
1
BA
0
1
f ( x)dx 0
1
= (1 0
x2 5x 1 dx x2 1
1p
1p
5x )dx 2 x 1
RE 1
1
0
0
= dx 5
1p
x dx 2 x 1
M
5 = 1 ln 2 2
V
1
2p
ar
c)
2p
f ( x) ' f (1) f (0) e f ( x)dx e e
e , e f (0) e
0
f (x)
1p
f ' ( x)dx e 7 e e3 e e .
eB
1
e
7 2
nt
e
f (1)
ia
0
2p
C
A 2
M 20 12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 48 Prof:Marcu Ş 164
Florin
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
RE
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
x 2 16 0 x1 4, x2 4 x [ 4, 4] Z
3p
M
2p
x {4, 3,...,3, 4}
V
2.
f (1) f (2) ... f (2012) (21 1) (2 2 1) ... (22012 1)
1p
ar
= 2(1 2 ... 2012) 2012
ia
=2012 2014
2p 2p
22 x 4 43 x 1 22 x 4 26 x 2
2x 4 6x 2 3 2
2 5
AB AC sin( BAC ) 2
2p
12
A[ ABC ]
3p
20
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (2 2) 2 (a 3)2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ a 3 1 a 4 sau a 2 S 0 2 3 4 5 6
6.
2p
2
5.
2p
M
Sunt 5 cazuri posibile , din care avem 2 cazuri favorabile Deci P
2p
C
4.
1p
A
x
eB
nt
3.
3p
2p
165
Bacalaureat Matematică M – 2012 sin135 sin 45
A[ ABC ]
4 4
BA
2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 2
1p
2 2 4 2
2p
x
y 1
V
dreptei A1 A2 este : 2 3 1 0 4 5 1
E
2p
ar
1p
b)
Verificarea condi
1
2n 2n 1 1 2 Aria=1 2n 2 2n 3 1
2p
20 12
a)
2p
2
2.
1p
M
2p
C
1 A[OAn An 1 ] 2
0
4 5 1 0 6 7 1
A
Avem An (2n, 2 n 1) respectiv An 1 (2 n 2, 2 n 3)
0
3p
2 3 1
eB
Avem A3 (6, 7) , iar condi
nt
ia
x y 1 0
c)
2p
Punctele sunt : A1 (2,3) respectiv A2 (4,5)
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
^ ^ ^ ^ ^ S 1 2 3 4 5 6 =
1p
^
^ ^ ^ ^ ^ ^ = (1 6) (2 5) (3 4)
3p
166
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ S= 0
b)
1p
^ ^ ^ ^ ^ Elementele inversabile sunt : 1, 2, 3, 4 ,5, 6
3p
^
BA
^ Produsul lor este egal cu 6
RE
c)
2p
^ ^ ^ ^ ^ x2y 3 3 x 6 y 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 x 4 y 0 3 x 4 y 0
2p
M
ar
x 1 ^
2p
V
^ ^ ^ 2 y 2 y 1
1p
lim
f ( x) f (0) f ' (0) x
f ' ( x) 1 e x
2p
M
f ' (0) 2
1p
2
b)
2p
C
x0
A
1. a)
eB
nt
ia SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f ' ( x) 1 e x
1p
20
1 ex 0
12
f ' ( x) 0
1p
1p
f este strict cresc toare pe R .
2p
167
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [2011,2012]
1p
()c (2011, 2012) cu f (2012) f (2011) f ' (c)
1p
f ' (c ) e 2012 e 2011 1
1p
BA
2p
f '' ( x ) e x 0 f '
Unicitatea lui c este demonstrat
2.
1
I2 0
x2 1 dx x 1
2p
M
a)
RE
pe R
1
0
1 2
ia I n I n 1 , () n N
Ar
1p
nt
b)
2p
ar
I2
V
I 2 ( x 1)dx
eB
xn 1 1 I n1 dx x 1 0 1
1
x n ( x 2 1) dx = x 1
1 = ( xn x n )dx 0
2p
12
0
x n 2 x n dx = x 1
20
1
=
2p
2
0
x n 1 x n 1 1 , de unde prin integrare de la 0 la 1 , se ob ine cerin x 1 x 1
M
1
I n 2 I n
1p
C
c)
1p
A
x (0,1) x n x n 1
Dar , atunci :
1p
1p
1 , () n N ( n 1)( n 2)
168
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
M
RE V
Varianta 49 Florin
ia
ar
Prof: Marcu Ş
A
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
C
SUBIECTUL I (30 de puncte)
Afl m n=23 , aplicând formula : an a1 ( n 1) r n ( a1 an ) S 23 2576 2
20
2p
12
2.
2
Atunci S n
3p
M
a1 2, an 222, r 10
x2 9 0
1p
x 2 9 16
2p
x 2 25 x 5saux 5
2p
169
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A( m, 5) G f f ( m ) 5
1p
f ( m ) 2 m 2 3m 5
2p 2p
3 2m 3m 0 m 0 sau m 2 2
BA 4.
3p
RE A43
4! 24 (4 3)!
2p
Dac not m cu n,n+1,n+2 lungimile laturilor , atunci din Teorema lui Pitagora , avem :
M
5.
2p
A43
Num
( n 2) 2 n 2 ( n 1) 2
V
3p
n 2 2n 3 0 n 3 . Deci lungimile laturilor sunt 3,4,5 .
ar
6.
sin( x) sin x, cos( x) cos x
2p
ia
1p
sin155 sin 25 , cos155 cos 25
nt
2p
sin 25 cos 25 sin155 cos155 =0
A
Înlocuim x=1 , y=2 , z=3 în ultima ecua ie a sistemului
m=3
1
2
3
3p
20
Calcul m determinantul matricei sistemului : d 2 1 1 5m 10 1 3 m
1p
2
b)
2p
12
d 0 m 2 c)
2p
M
1 3 2 m3 4
2p
C
1. a)
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
x 2 y 3 z 14 Pentru m=-2 , sistemul devine : 2 x y z 3 x 3 y 2z 4 170
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
Dac sc dem din ecua ia (2) , ecua ia (1) x 3 y 2 z 11
2p
Se ob ine o contradic ie cu ecua ia (3)
2p
f este divizibil cu X-1 f (1) 0
1p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
3p
2 a 0 a 2
1p
Pentru a=-2 f X 3 2 X 2 1 = ( X 1)( X 2 X 1)
3p
M
RE
b)
f (1) 2 a
R d cinile reale ale lui f sunt : x1 1, x2
V
c)
2p
1 5 1 5 , x3 2 2
Din rela iile lui Viete avem: x1 x2 x3 a şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
2p
ar
2p
x12 x2 2 x3 2 ( x1 x2 x3 ) 2 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 )
ia
1p
Atunci x12 x2 2 x32 a 2 este un num r natural p trat perfect , ()a Z
A
lim f ( x) , deci dreapta x=0 este asimptot x 0 x 0
n lim ( f ( x) mx)
deci nu exist asimptote oblice . b)
f ' ( x) 1
1p
12
x
20
x
f ( x) 1 , dar x
2p
2
exist asimptote oblice . Avem : m lim
M
lim f ( x ) , deci nu exist asimptote orizontale
x
Afl
2p
C
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p
1 x
171
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 0 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 0 x
1p
f ( x) 0 '
2p
BA
Deci f este strict cresc toare pe (0, ) .
c)
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [a,b] f (b ) f ( a ) (b a ) f ' (c ) , c (a, b)
1p
ln b ln a ba
RE f ' (c ) 1
1 c
M
f ' (c) 1
1p
V
ba . Dar a
ar
c
1p
2p
a)
F ' ( x) e x 6 x 2 1 f ( x)
1
1
0
0
2 x x f ( x)dx = x(e 6x 1)dx =
1
1
0
0
0
20
x xe dx 1 0
x f ( x)dx =1 0
0
1p
12
1
1
1p
2
1
c)
1p
M
1
3 x = xe dx 6 x dx xdx =
Finalizare :
1p
C
b)
2p
A
Deci F
2p
eB
Verific dac
nt
ia F ' ( x) f ( x), () x R
2.
2p
6 1 3 . 4 2
2p
1
f ( x) F ( x)dx F ( x) F ' ( x)dx 0
172
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
F 2 (1) F 2 (0) = 2 2
=
(e 2015) 2 20132 ( e 2)(e 4028) 2 2
2p
RE
BA BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
M
Varianta 50 Prof: Marcu Ş
Florin
ar
V eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5 x 1 4 4 5 x 1 4
3 x 1 5
de elemente este egal cu 1 .
C
x0
3p
A
1.
2p
2
M
2.
an a1 ( n 1) r
20
a2012 a1 2011r ; r=3
Punerea condi iilor de existen
5x 1 0 a logaritmilor : 3x 3 0
5 x 1 3x 3
2p 2p
12
a2012 5 20113 6028
3.
1p
1p
2p 173
Bacalaureat Matematică M – 2012
x 2 este
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
.
Cnk Cnk1 Cnk11
2p
BA
3p
3 3 2 3 3 2 C 2012 C2011 C2011 C2012 C 2011 C 2011 0
2p
33 25 a 0 a 1
3p
M
6.
A(3, 5) d x 3, y 5
RE
5.
sin(90 x ) cos x
V
sin 85 cos 5
2p 1p
ar
2p
sin 2 5 sin 2 85 sin 2 5 cos 2 5 1
M
A2 A
1p
2
3p
20
1 2 1 1 0 2 x A xI 2 x 1 x 2 1 0 1 2
2p
12
det( A xI 2 ) x 2 x 0 x 0, x 1
c)
2p
C
2 1 A2 2 1
b)
2p
A
2 1 2 1 A2 A A 2 1 2 1
eB
1. a)
nt
ia SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
An A() n N *
1p
A A2 ... A2012 A A ... A 2012 A
2p
174
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
4024 2012 2012 A 4024 2012
2p
( x 4)( y 4) 4
1p
= xy 4 x 4 y 16 4
3p
= xy 4 x 4 y 20 x y
1p
b)
RE
BA
a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x ... x ( x 4) 2012 4
3p
2012 ori
c)
2p
4 5 ( x 4)
M
( x 4)
2012
2012
1 x 3, x 5
2p
Folosind asociativitatea avem : E [(2012) (2011) ...] 4 [... 2011 2012]
2p
Deci E=4
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim
f ' ( x) 2012 x 2011 2012
1p
20
1p 1p
12
x 2011 1
2p
x=1 este unica f este strict descresc toare pe (,1)
1p
2
f ' ( x) 0 2012 x 2011 2012 0 2012( x 2011 1) 0
c)
2p
M
f ' (1) 0
b)
2p
C
x 1
f ( x) f (1) f ' (1) x 1
A
1. a)
eB
nt
ia
ar
V
Se observ c : x 4 4, () x R
strict cresc toare pe (1, )
1p 1p
175
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Deci : f ( x) f (1), () x R
1p
Dar f (1) 2010
2p
Ob nem : x 2012 2012 x 2011 0, () x R
BA 2.
(x
a)
= x 2 dx 5 xdx dx =
2
1) f ( x) dx = ( x 2 5 x 1) dx
2p
RE 3
=
1
0
1
f ( x)dx 0
5x )dx 2 x 1
0
0
x dx 2 x 1
1
2p
C
c)
2p
A
5 = 1 ln 2 2
1p
eB
1
1p
nt
1
= dx 5
1p
ia
0
x2 5x 1 dx x2 1
ar
1
= (1
1p
V
x 5x xC 3 2
M
b)
2p
2
f ( x) ' f (1) f (0) e f ( x)dx e e 0
M
7 2
e , e f (0) e
1
f (x)
f ' ( x)dx e 7 e e3 e e .
20
e
1p
2
e
f (1)
0
2p
12
176
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 51 Prof:Marcu Ş
Florin
BA
M
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte)
V
1.
x 2 16 0 x1 4, x2 4 x [ 4, 4] Z
ar
x {4, 3,...,3, 4}
3p 2p
nt
ia
2.
f (1) f (2) ... f (2012) (21 1) (2 2 1) ... (22012 1)
=2012 2014
eB
= 2(1 2 ... 2012) 2012
1p 2p 2p
C
A
3.
22 x 4 43 x 1 22 x 4 26 x 2
Sunt 5 cazuri posibile , din care avem 2 cazuri favorabile
5.
2 5
2p 3p
12
Deci P
2p
20
4.
3 2
2
x
2p
M
2x 4 6x 2
1p
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (2 2) 2 (a 3)2
177
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ ^ ^ ^ ^ ^ a 3 1 a 4 sau a 2 S 0 2 3 4 5 6
6.
A[ ABC ]
BA
AB AC sin( BAC ) 2
RE
4 4 2
2p
2 2
1p
2 2 4 2
2p
sin135 sin 45
A[ ABC ]
3p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
ar
V 2p
Punctele sunt : A1 (2,3) respectiv A2 (4,5)
x
y 1
dreptei A1 A2 este : 2 3 1 0 4 5 1
2p
eB
nt
E
ia
1. a)
x y 1 0 b)
1p 3p
A
2 3 1
4 5 1 0 6 7 1
Avem A3 (6, 7) , iar condi
C
Avem An (2n, 2 n 1) respectiv An 1 (2 n 2, 2 n 3)
0
1
2n 2n 1 1 2 Aria=1 2n 2 2n 3 1
178
2p
12
0
20
1 A[OAn An 1 ] 2
1p
2
c)
M
Verificarea condi
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
^ ^ ^ ^ ^ S 1 2 3 4 5 6 =
1p
^
^ ^ ^ ^ ^ = (1 6) (2 5) (3 4) ^
3p
^ S= 0
BA
1p
b)
^ ^ ^ ^ ^ Elementele inversabile sunt : 1, 2, 3, 4 ,5, 6
3p
^
RE
^ Produsul lor este egal cu 6
2p
M
^ ^ ^ ^ ^ x2y 3 3 x 6 y 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 x 4 y 0 3 x 4 y 0
2p
eB
^ x 1
2p
nt
^ ^ ^ 2 y 2 y 1
ia
ar
V
c)
1p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
x0
f ( x) f (0) f ' (0) x
20
f ' ( x) 1 e x
2p 1p
12
f ' (0) 2
b)
2p
2
lim
M
1. a)
f ' ( x) 1 e x
1p 1p
1 ex 0 f ' ( x) 0
179
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
f este strict cresc toare pe R .
2p
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [2011,2012]
1p
()c (2011, 2012) cu f (2012) f (2011) f ' (c)
1p
f ' (c ) e 2012 e 2011 1
1p
M
RE
BA
c)
pe R
0
x2 1 dx x 1
2p
eB I n I n 1 , () n N
Ar
1p
A
b)
1 2
nt
0
ia
1
I 2 ( x 1)dx I2
2p
ar
a)
1
I2
V
2.
2p
f '' ( x ) e x 0 f '
Unicitatea lui c este demonstrat
1p
C
xn 1 1 I n1 dx x 1 0 1
1p
M
1p
2
x (0,1) x n x n 1
20
x n 1 x n 1 1 Dar , atunci : , de unde prin integrare de la 0 la 1 , se ob ine cerin x 1 x 1
12
c)
2p
x n 2 x n I n 2 I n dx = x 1 0
2p
1
180
Bacalaureat Matematică M – 2012 1
= 0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x n ( x 2 1) dx = x 1
1
0
2p
1 , () n N ( n 1)( n 2)
RE
BA
1 = ( xn x n )dx
1p
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 52
V
Prof: Marcu Ş
Florin
ar
a1 2, an 222, r 10
2p
20
2.
n ( a1 an ) S 23 2576 2
2
Atunci S n
M
Afl m n=23 , aplicând formula : an a1 ( n 1) r
3p
C
1.
A
SUBIECTUL I (30 de puncte)
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
12
x2 9 0
2p
x 2 9 16
2p
x 2 25 x 5saux 5
181
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
A( m, 5) G f f ( m ) 5
1p
f ( m ) 2 m 2 3m 5
2p 2p
3 2m 3m 0 m 0 sau m 2 2
BA 4.
3p
RE A43
4! 24 (4 3)!
2p
Dac not m cu n,n+1,n+2 lungimile laturilor , atunci din Teorema lui Pitagora , avem :
M
5.
2p
A43
Num
( n 2) 2 n 2 ( n 1) 2
V
3p
n 2 2n 3 0 n 3 . Deci lungimile laturilor sunt 3,4,5 .
ar
6.
sin( x) sin x, cos( x) cos x
2p
ia
1p
sin155 sin 25 , cos155 cos 25
nt
2p
sin 25 cos 25 sin155 cos155 =0
A
Înlocuim x=1 , y=2 , z=3 în ultima ecua ie a sistemului
m=3
1
2
3
3p
20
Calcul m determinantul matricei sistemului : d 2 1 1 5m 10 1 3 m
1p
2
b)
2p
12
d 0 m 2 c)
2p
M
1 3 2 m3 4
2p
C
1. a)
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
x 2 y 3 z 14 Pentru m=-2 , sistemul devine : 2 x y z 3 x 3 y 2z 4 182
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
Dac sc dem din ecua ia (2) , ecua ia (1) x 3 y 2 z 11
2p
Se ob ine o contradic ie cu ecua ia (3)
2p
f este divizibil cu X-1 f (1) 0
1p
BA
2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a)
3p
2 a 0 a 2
1p
Pentru a=-2 f X 3 2 X 2 1 = ( X 1)( X 2 X 1)
3p
M
RE
b)
f (1) 2 a
R d cinile reale ale lui f sunt : x1 1, x2
V
c)
2p
1 5 1 5 , x3 2 2
Din rela iile lui Viete avem: x1 x2 x3 a şi x1 x2 x1 x3 x2 x3 0
2p
ar
2p
x12 x2 2 x3 2 ( x1 x2 x3 ) 2 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 )
ia
1p
Atunci x12 x2 2 x32 a 2 este un num r natural p trat perfect , ()a Z
A
lim f ( x) , deci dreapta x=0 este asimptot x 0 x 0
n lim ( f ( x) mx)
deci nu exist asimptote oblice . b)
f ' ( x) 1
1p
12
x
20
x
f ( x) 1 , dar x
2p
2
exist asimptote oblice . Avem : m lim
M
lim f ( x ) , deci nu exist asimptote orizontale
x
Afl
2p
C
1. a)
eB
nt SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1p
1 x
183
Bacalaureat Matematică M – 2012 x 0 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1 0 x
1p
f ( x) 0 '
2p
BA
Deci f este strict cresc toare pe (0, ) .
c)
Aplic Teorema lui Lagrange pe intervalul [a,b] f (b ) f ( a ) (b a ) f ' (c ) , c (a, b)
1p
ln b ln a ba
RE f ' (c ) 1
1 c
M
f ' (c) 1
1p
V
ba . Dar a
ar
c
1p
2p
a)
F ' ( x) e x 6 x 2 1 f ( x)
1
1
0
0
2 x x f ( x)dx = x(e 6x 1)dx =
1
1
0
0
0
20
x xe dx 1 0
x f ( x)dx =1 0
0
1p
12
1
1
1p
2
1
c)
1p
M
1
3 x = xe dx 6 x dx xdx =
Finalizare :
1p
C
b)
2p
A
Deci F
2p
eB
Verific dac
nt
ia F ' ( x) f ( x), () x R
2.
2p
6 1 3 . 4 2
2p
1
f ( x) F ( x)dx F ( x) F ' ( x)dx 0
184
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
F 2 (1) F 2 (0) = 2 2
=
(e 2015) 2 20132 ( e 2)(e 4028) 2 2
2p
RE
BA M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 53
V
Prof: Nicolaescu Nicolae.
ar
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2log2 3 3
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
A
1
1 5 5 3+5=8
M 2
x12 x22 x13 x23 S 3 3SP = = P x2 x1 x1 x2
2p
20
S=-1 2.
1p
C
1.
2p
P=3
1p
12 1p
x12 x22 8 = x2 x1 3
1p
Condi ia de existen a radicalului: x 2 3x 2 0 x ,1 2, (1) 3.
Ridicând la p trat ob inem x 2 3x 2 12 x 2 3 x 10 0
185
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1 5, x2 2 ambele solu ii îndeplinind condi ia (1)
1p 2p
3x 1
BA 4.
2p
1 1 1 3x 1 2 2 2
3 1 x , 6 6
2p
RE
1p
A
M
6 3 AM 3 3 2
5.
a bc 569 10 2 2
2p
ar
S p p a p b p c 10 10 5 10 6 10 9
ia
6.
V
p
5p
2 3 B2 B B 6 1
C
1p
20
6 1 B2 4B 2 5
12
b)
2p
2
8 4 4 B 8 4
det A
2p
M
a)
A
1.
1p
eB
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
S 10 2 cm2
2p
2a 1 6ab 1 1 3b
2p
1 det A 0 ab imposibil pentru a,b Z 6
186
2p 1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Deci, det A 0, a, b Z şi A inversabil
1 1 2 0 2 4 4 0 A , A , A 4 I 2 0 4 1 1 2 0
BA
c)
a)
503
4I 2
4503 4503 I 2 0
503
0 4503
3p
f (1) f (1) 25 2 4 1024 5
RE
2.
A2012 A4
2p
x 1 x 1
5
x2 4 x 3 q ax b
M
5
5p
5
1p 1p
x 1 32 a b x 3 1056 3a b
2p
ar
a=512, b=480
ia
f (0) 0 f x f x h ,cu h R[ X ]
2 3 x 4 x 2x
16 9
0
- - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +
b)
2p
12
f '( x )
16 9
20
x
5p
2
f '( x) 0 3 x 4 0 x
M
2 x
C
a)
3
A
f '( x)
2p
eB
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
3p
nt
c)
1p
V
b)
2p
f ( x)
187
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
16 4 16 f ( x) f 4 2 ln 4 4 ln 9 3 9
1p
RE
BA x
3 x 2 ln x f ( x) 2 ln x lim 2 lim 2 lim 1 , cazul 1 x x x x x x x
M
c)
V
x 2ln x x x
e 0
3p
ia
Func ia f este continu pe ,1 , (1, )
1p
ls lim 2 x 1 2 1 1
3p
nt
ld lim x 2 ln x 1 , f (1) 1
x 1 x 1
x 1 x 1
eB
a)
lim 2ln x x
e x
2p
ar
2ln x 2ln x lim 1 x x
2.
x
f continu în punctul x0 1 f continu pe R f admite primitive pe R
1p
2
3
2
3
2
2p
20
Pe intervalul ,1 , F ''( x ) f '( x ) 2 x ln 2 0 ,deci F convex
2
Fie F : R R o primitiv a func iei f. Atunci F ''( x ) f '( x ) c)
5p
x3 3 16 27 f ( x )dx x ln x dx x dx ln xdx x ln x x | ln 2 3 4 3 2 2 2 3
M
b)
C
A
3
3p
12
188
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 54 Prof: Nicolaescu Nicolae.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
2p
a3 a1 2 r a1 1
2p
1 2810
1p
1.
2
145
Not m x y S , xy P
nt
ia
ar
S10
V
a10 a3 7 r r 3
eB
2.
3p
S 3 Sistemul devine 2 cu solu ia S=3,P=2 S 2P 5
2p
x 1 x 2 sau y 2 y 1
x,y sunt solu iile ecua iei x 2 3 x 2 0 adic
1p
M
3.
2p
C
Solu ia ecua iei este y=1
A
Not m 4 x y >0 .Ecua ia devine y 2 2 y 1 0
Revenim la nota ie, 4 x 1 x 0
2p
2
1 P x1 x2 1 x2
4.
P
5m 1 1 1 m m 4
5.
sin 70o 20o sin 90o sin 70o cos 20o sin 20o cos 70o = o cos 70o cos 25o sin 70o sin 25o cos 70o 25o cos 45
20
x1
2p
12 3p
189
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
1 2 2 2
BA
3p
32 4 2 2p
12 5
M
RE
d ( A, h )
2p
3 1 4 2 7
d ( A, h)
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
m
3
2p
det A 0 260 2 65 deci m Q Deci m Q sistemul este compatibil determinat
1p
2 m 2 6 m 28 33 2 m 2 6 m 5 0
2p
A
eB
m 36 40 4 0
2
det A 32 1
2
1
1 0 , 2 1 2 2 3 1
3
2
1
1 32 , 3 1 2 2 0 2 3 1 1
x=0, y=1,z=0 2.
1
Sunt inversabile clasele a astfel încât (a,9)=1
3p
12
1 2 2 1 1
3
1p
20
1
2p
M
Atunci 2 m 2 6 m 5 0 m R
c)
1p
C
b)
2p
nt
a)
1 2m 2 6m 28 2
ia
m 2 3 1
ar
2
V
1.
1p
2p
a)
3p
190
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
deci 6 elemente Sunt inversabile 1,2,4,5,7,8
b)
2p
1 6 x 6 5 6 2 3 5
3p
3 1
2p
c)
1 3 1 2 4
RE
BA
5 x 3 0 5 x 3 6
2 3 1 2 7 0 4 3 2 6 0 1 1 7
V
1 2 3 1 3 1 2 = 2 4 1 1 7
ar
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
a)
x
x ( x 3)
x
1
2 x 2x x 3 x 3 2x x 2x x
f '( x ) 0 ,deci f este cresc toare.
2015 2014 2015 2011 2014 2012 2012 2011
c)
2p
12
Ecua ia tangentei este y y0 f ' x0 x x0
3p
20
b)
2p
2
Deoarece f este cresc toare pe 3, ,rezult c f(2012)>f(2011)
3p
M
Pentru x 3, ,ob inem c
x '
C
f '( x)
( x 3) ' x ( x 3)
A
eB
nt
ia
3 1
2p
M
1 3
2p 1p
1 f '(4) 16
191
Bacalaureat Matematică M – 2012 y
2.
BA
f1 ( x ) dx
b)
=
5p
2 1 x n 1 x n 1 n 1 f n ( x)dx f n 1 ( x )dx dx 1 x dx x x 1 1 1
1 x
n
n
|
3 2 n n
1 x
2p n
x2
3p
x3 1 2 1 2 dx 2 2 x dx 2 x | x x 1 3 1 2
2p
eB
nt
ia
ar
29 6
4
V
1
3p
2
M
V V
2
1
2
c)
1 x dx ln x x C x
2
RE
1
2p
7 1 ( x 4) x 16 y 52 0 2 16
a)
2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
C
Varianta 55
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Nicolaescu Nicolae.
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
b6 b3 q 3 1.
b1 b3 : q 2
12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
3 3 3 1 q q 32 4 2
3p
3 1 : 3 4 4
2p
192
Bacalaureat Matematică M – 2012
Elementele ra ionale sunt
BA
2.
Probabilitatea P
3
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
1, 3 8, 3 27 .
3p
nr . cazuri favorabile 3 nr . cazuri posibile 50
2p
1
Ecua ia devine x 2 2 x 9 2 3 cu solu iile x1 1, x2 3
2p
M
3.
RE
Condi ia de existen a logaritmului x 2 2 x 0 x ( , 2) (0, )
Ambele solu ii apar in mul imii ( , 2) (0, ) ,deci S 1, 3
n ( n 1)( n 2) n ( n 1) n 2 6 n 8 N 6
nt C
7 7 sin x 1 cos x 16 4 2
2p
2
7 x 0, sin x 0 sin x 4 2
20 12
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.
3p
M
6.
3p
A
x2 y3 AG : x y 1 0 1 2 0 3
2p
eB
2 5 0 3 1 4 G , G (1, 0) 3 3 AG :
3p
ia
Ecua ia devine
5.
2p
ar
4.
n! n(n 1)(n 2) (n 3)! 3! 6
V
Cn3
1p
2 0 2 0 4 0 A2 0 7 0 7 0 49
2p
2p
193
Bacalaureat Matematică M – 2012 a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3 0 3I 2 0 3
1p
7 0 0 52
A2 3I 2 =
BA b)
det An det A 14n
3p
14 /14n det An
2p
n
RE
a b M 2 ( R) c d 2a 2b 2a 7b deci b c 0 7c 7d 2c 7d
AX=XA
2p
ar
V
c)
1p
M
Fie X
a 0 a, d R X deci ecua ia are o infinitate de solu ii în M 2 ( R ) 0 d
2p
nt
ia
Legea de compozi ie fiind comutativ , rezolv m ecua ia x e x
1p
a)
xe 8 x 8e 72 x e ( x 8) 9( x 8) e 9
4p
Fie x, y 8, x 8 0, y 8 0
2p
A
b)
eB
2.
( x 8)( y 8) 0 xy 8( x y ) 64 0
2p 3p
2
2 x 2 x 16 0 şi deoarece 2 x 0 2 x 16 0 x 4
M
2 x 2 x 72 2 2 x 16 2 x 72 72
20 12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
1p
C
xy 8( x y ) 72 8 x y 8,
c)
2p
ls lim 2 x 1 1 2 x 1 x 1
1p
194
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3x 1 2 x 1 x x 1
1p
ld lim
a)
1p
f(1)=2 Deoarece ls ld f (1) ,rezult c f este continu în punctul x0 1
BA
2p
f ' x
3x 1 x 3x 1 x ' '
M
b)
RE
Calcul m derivata func iei pe 1, .
x
2
1p
1 0 x 1, x2
3p 1p
Deoarece f '( x ) 0 x 1, rezult c f este strict cresc toare pe 1,
ar
V c)
x
3p
ia
lim f ( x ) lim 2 x1 1 1
x
2p
2. a)
x5 C 5
1
4
4
c)
4 x3
x 1
2
2
2p
0 , x 1, 2 deci f este cresc toare pe 1, 2
2
195
3p
12
1 16 Atunci f (1) f ( x ) f (2) f ( x )dx 2 1 3
20
x 1
4
3p
2
x ' x 1 x x 1 ' 3x f '( x )
M
x4 1 7 3 2 0 x 1 dx 0 x x x 1 x 1 dx 12 ln 2
2p
C
x4 1 x3 x 2 x 1 x 1 x 1 1
5p
A
b)
f ( x) ( x 1)dx x 4 dx
eB
nt
Graficul func iei f admite asimptot orizontal spre - , dreapta de ecua ie y=1
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 56 Prof:Oláh Csaba.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
211 1 11 a 2 1 2 1
2p
V
ar
1 1 211 1 11 a 211 1 b 2 10 11 210 1024 . 1 2 2 1 b 1 2 210
ia
y 2x 4 x
24 1 , f 3 2 3 4 10 2
2p
A
f 1 2 f 3 10 .
2p
C
3.
1p
eB
f 1 2
y4 x4 , f 1 x 2 2
nt
2.
3p
x 0 , log 3 x t
2p
M
t 2 3t 2 0 , t1 1, t 2 2
2
log 3 x 1 x 3 , log 3 x 2 x 9
Num rul submul imilor cu 3 elemente C53
5.
a 1 1 a 1 a 5 a 1 a 2 5a 6 0 a 1 a 5 a1 2 , a2 3 a 3, 2 .
1p 5p
12
5! 4 5 10 . 2!3! 2
4.
20
x 3,9 .
2p
2p
3p
196
Bacalaureat Matematică M – 2012 6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
sin x 1 cos2 x
4p
8 2 2 9 3
BA
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 0 0 Dac x 0 , A 0 0 1 0 I 3 . 0 0 1
M
b)
RE
1. a)
b) A x A x ... A x A x x ... x A 2012 x 2012ori 2012 ori
0 0 1 2012 x . 0 1
2p
M
x 4 y 4 4 xy 4 x 4 y 20 .
5p
2
a)
a x a a 4 x 4 4 a a 4 x 4 a 4
2p
12
a 4 x 4 a 4 0 a 4 x 5 0
20
b)
3p
C
2.
2p
A
a 2012 x 0 0
3p
eB
2012
0
0 x y 1
nt
A x
0
0 x y A x y . 1
0 1
ia
c)
0 1
0 0 ax ay 1 y 0 0 1 0
ar
a x y 0 0
0 0 ay 1 x 0 0 1 0
V
ax A x A y 0 0
5p
2p
a 4. c)
1p
Din b) se ştie c 4 x x 4 4
2p
197
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 2 ... 100 1 2 ... 15 16 17 ... 100 4 .
3p
4 4 4
BA
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1 x 3 3 x 2 3x x3 3x 2 3 x 1 1 x 1 f x 2 2 2 2 x 2x 1 x 2x 1 x 1 x 1
x 1
2
. 2p
y x 1
2p
Asimptota orizontal nu este
1p
Asimptot vertical x 1 .
2p
'
3p
nt
ia
ar
c)
1
V
b)
M
x 1
1 2 1 0 , x R f x x 1 2 3 x 1 x 1 '
eB
f e cresc toare pe R .
b)
f1 x dx
cos xdx sin x 0 .
x 2 cos xdx x cos xdx 2 cos xdx , g x x cos x e func ie impar
1
g x dx x 2 cos x x cos x dx 4 cos 2 xdx 2
0
2
0
0
198
3p
12
f x dx 0 0 0 .
2p
20
cos xdx 0 din a).
,
2
integrând pe un interval simetric, , , devine zero,
5p
M
a)
f 0 x dx
C
2p
A
2.
c)
3p
3
RE
1. a)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3p
sin 2 x sin 2 sin 0 2 2 1 cos 2 x dx 2 x 0 2 2 . 2 0 2 2 0
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 57 Prof:Oláh Csaba.
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 2 27 3log 2 3 2 3log 2 3 2 3a 1 log 2 4 2 2 2
2x 1 x 0 .
2
0 ,
2p 3p
12
20
Ecua ia poate fi scris aşa 2 2 x 2 2 x 1 0 2 x 1
5 . 21
1p
2
Probabilitatea ca s alegem la întâmplare un num r ra ional p
2p
M
Numerele ra ionale din mul ime: 3 8 , 3 1 , 0 , adic 5 la num r Num rul de elemente al mul imii: 21
3.
2p
C
2.
2p
A
2a log 6 9 4a 1 a . a 2 3 1 log 4 27 a 1 3a 2 2
eB
1 log 4 27 1
1p
log 2 9 log 2 32 2log2 3 2a , în mod similar log 2 6 log 2 2 3 1 log 2 3 1 a
nt
log 2 3 a , log6 9
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p 4.
x1 , x2 1, , f x1 2 x1 1 1 , f x2 2 x2 1 1
199
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x1 f x2 2 x1 1 1 2 x2 1 1 x1 1 x1 1
2p
x1 x2 , deci f e injectiv . 2p
BA
5.
cos B
6.
3p
145 29 . 180 36
2p
RE
AB 2 BC 2 AC 2 81 100 36 2 AB BC 2 9 10
AB 2 AC . AM 3
5p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2
1
1
c1 2 c3
ar
V 1. a)
0
1
0
3p
3
a2
a2
0
a 2 a 2 .
2p
eB
nt
ia
det A 1 a 2 3 a 2 2 c2 c3 0 1 a 1 1 a2
det A a 2 a 2 , A1 a a R \ 2, 2 .
c)
a4
5p
C
A
b)
M
2 x y z 3 x 4 y 2 z 6 , se adun prima ecua ie cu a treia, şi se ob ine 6 x 12 x 2 4 x y z 9
2p
2
x 2 y 3. z 4
2.
X 2 2 X 15 X 3 X 5
a)
f X 2 2 X 15 f e divizibil cu X 5 X 3 , adic
1p
12
y z 1 y 3 z 4 , deci 2 y z 2
20
Se înlocuieşte x 2 in prima şi a doua ecua ie şi se ob ine
2p
1p
200
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
are dou r d cini reale x1 5 , x2 3 , se verific prin schema lui Horner.
b)
4p
Folosind schema lui Horner, f se poate scrie
f X 5 X 3 X 2 3 X 2
BA
2p
X 5 X 3 X 1 X 2 , rezult c celelalte dou r d cini sunt x3 1 şi x4 2
3p
Fie u a ultima cifr a num rului a , un num r se îm parte la 10 dac se termin în 0
1p
RE
c)
Adic toate r d cinile sunt reale.
M
Fie a x1n x2n x3n x4n , n N
V
n 1 u a u 5 3 1 2 5
ar
n 2 u a u 25 9 1 4 9
n 3 u a u 125 27 1 8 7
3p
ia
nt
n 4 u a u 625 81 1 16 3 , cum ultimele cifre ale puterilor se repet din 4 în 4 (in
x
n 1
x2n x3n x4n 10 , n N .
eB
cazul numerelor 3 si 2 ) sau nu se schimba deloc ( 5 şi 1 ), se poate deduce ca acest num r a nu se va termina în 0 , deci 1p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x f 1
x 1
x
e x x e x e x x2
f 1
e e 1 e e 1 2 . 1 e
1 e x e x ex lim f x lim lim lim x x x x x x x xe 0 , nu exist asimptot orizontal în .
201
3p
12
b)
e
2p
20
f x
x 1
f ' 1
2
lim
M
1. a)
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
lim f ln x lim x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1
eln x
e ln x ln x
x
2p
1 x lim x lim 1 0 . lim x ln x x ln x x x ln x
3p
5p
x
BA 2.
b)
RE
a)
x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 se verific prin desfacerea parantezelor si efectuarea opera iilor
de pe partea dreapta.
x 2 x2 x 1 x2 x 1 f x dx dx x 2 x2 1 x2 1 dx
2p
M
1
0
0
x 1 f x dx
3p 2p
x3 1 dx 2 dx x 1 0 1
x2 1
nt
x x 2 1
x 1 x 2 x 1
ia
1
ar
c)
1 2x 1 x2 1 dx 2 dx x ln x 2 1 C . 2 x 1 2 x 1 2
V
1
1 1 x2 1 x x 1 2x 1 dx 2 dx 2 dx ln x 2 1 arctgx 2 x 1 2 0 x 1 x 1 2 2 0 0 0
1 1 1 1 e ln 2 arctg1 0 ln1 arctg 0 ln . 2 2 2 2 2 4
2p
1p
C
A
3
eB
1
2
M 20 12
202
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 58 Prof: Oláh Csaba.
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
M
1.
Se cunoaşte formula Cnk Cnn k
1p 2p
V
12 C167 C169 şi C16 C164
ar
12 a b C167 C169 C16 C164 0 .
2m 3 12m 4m 2 9 2
1 , trecem în baza 2 1
2 1
2 1
1 log
x 1 log
2 1
1
2 1 , deci
x 1 2x x 2 1 x
2 1
x 1 2 1 x 1
2 2 22 2 2 1 1. 2 2
203
x 1 1
2p
12
x 1 log x 1
2 1
x 1
20
log
2 1
1p
2
log
2 1
M
2 1
2p
C
3 . 2
x 1 2 1
2 1
A
x 1,
log
2p
4m 2 9 2 3 4m2 12m 9 0 2m 3 0 4m
m
log
4m 2 9 , min f x 3 xR 4a 4m
eB
xR
1p
nt
min f x
3.
ia
2.
2p
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
b3 b1q 2 , b7 b1q 6
b1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
b3 6 2. q2 3
2p
BA 5.
d : 2 x y 4 0 , y 2 x 4 md 2
1p
RE
d1 : y 2 md1 x 1 , md md1 1 md1
1 1 2 md
1p 3p
1 x 1 x 2 y 5 0 . 2
M
d1 : y 2
6.
3p
54 b7 q4 q4 9 q 3 6 b3
BC AC AC sin A (teorema sinusurilor) BC sin A sin B sin B
2p
ar
V
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 2 a det A 0 1 a 1
A X B
12
c)
1p
20
5 1 11 5 1 11 1 1 1 A 5 1 5 , de unde A A 5 1 5 . det A 6 1 1 1 1 1 1
2p
2
1 2 1 a 1 , A 0 1 5 , calculând A , se ob ine 1 1 0
M
3p
C
A este inversabil a R \ 5 30, 5 30 . b)
5 a 2 10a 5 , a 2 10 a 5 0 x 5 30, 5 30 0
A
1. a)
eB
nt
ia
2 2 10 6 . 3 3 2
10
4p
1p
204
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
5 1 11 2 0 0 10 1 22 1 1 1 X A B 5 1 5 0 1 0 10 1 10 . 6 6 2 1 2 1 1 1 0 0 2
4p
Utilizând rela iile lui Viete x1 x2 x3 1 , x1 x2 x2 x3 x3 x1 1 , atunci
1p
x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 1 2 1
2p
BA a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
2
2p
b)
Se opoate observa uşor c
f 1 0 x 1 este o r d cin real a polinomului.
5p
M
c)
RE
1 0 rezult c f nu are toate r d cinile reale.
R d cinile polinomului satisfac ecua ia f x 0 .
1p
2p
ia
x23 x22 x2 3 0
ar
V
x13 x12 x1 3 0
nt
x33 x32 x3 3 0 , adunând cele trei rela ii, ob inem
1
1
x x x 11 . 3 1
3 2
3 3
eB
x13 x23 x33 x12 x22 x32 x1 x2 x3 9 0 , de unde
2p
C
A SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 1 x2 1 1 2 2 1 2 . 2 x x x x
f x
b)
1 2 f x 0, dac x 0 f x 1 2 3 x x f x 0 dac x 0
k 2 1 k 1 k 1 k2 k k
3p
12
f k
20
f e descresc toare, dac x 0 şi e cresc toare dac x 0 . c)
5p
2
1. a)
2p 1p
205
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
n 1 n 1 1 3 2 4 ... lim f 2 f 3 ... f n lim n n 2 2 33 n n
2p
n 1 1 . n 2 n 2
2p
lim
BA 2.
F x f x 2x x 2 0
3p
a)
F este o func ie cresc toare.
2p
RE
b)
2 7 . ln 2 3
2p
V
2
2
2
f x f 2 x dx f x dx f 2 x dx 1
ar
c)
2
x
M
1
2
3p
2
2x x3 4 8 2 1 f x dx 2 x dx ln 2 3 1 ln 2 3 ln 2 3 1
2
1
1
ia
2
4x 4 x3 f 2 x dx 4 4 x dx 3 1 ln 4 1
16 4 8 4 4 1 12 28 , ln 4 3 ln 4 3 ln 4 3
2
2
2
7
A
f x dx ln 2 3 , atunci 1
1
2
7
12
28 2 12 35 . 3 ln 2 ln 4 3
2p
2
M
f x f 2 x dx ln 2 3 ln 4
C
2
3p
eB
2
Din b)
x
nt
1
2
20 12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 59 Prof: Opri Elena
206
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
Ob ine a4 11
2p
2.
Pune condi ia 0
1p
Calculeaz 16 4m
2p
Ob ine m 4
2p
ia
ar
V
3.
M
RE
Aplic formula an a1 (n 1)r pentru n 4 : a4 a1 3r
Scrie forma echivalent 36 x12 36
1p
nt
Foloseşte injectivitatea func iei exponen iale şi ajunge la ecua ia 6 x 12 6
eB
Finalizare x 3
Cantitatea de magneziu este 20 / 00 2,5
2
x A xB y A y B 2
2
2
20
AB 5
Aria triunghiului ABC este ABC
AC AB sin ABC
2p 1p
12
6.
2p
2
1 2 3 1
3p
M
Lungimea segmentului AB
AB
2p
C
Ob ine 5g de magneziu
5.
2p
A
4.
2p
2p
2 1p
207
Bacalaureat Matematică M – 2012
ABC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3 5 sin 300 2
Finalizare ABC
2p
15 4
BA
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
RE
1. a)
1 0 G 0 1
2p
Pentru x 1 şi y 0 se ob ine
M
0 0 G 0 0
2p
Pentru x y 0 se ob ine
V
Finalizare
ar
b)
1p
x y t z şi B , x, y, t , z R 5x y 2z t y z G xt
eB
xz yt xt 5 yz AB G 5( xt yt ) xt 5 yz A inversabil dac det( A) 0 .
x y 5 y x
20
2
2p
12
2.
y 2 x 5y x 2 2 x 5y
1p
2
x x2 5 y2 Scrie A1 5y x2 5 y2
1p
M
1 A* det( A)
Calculeaz A *
1p
C
det( A) x 2 5 y 2 0 deci A1
2p
A
c)
2p
nt
xt A B 2( y z )
1p
ia
Fie A
Scrie x y 4 xy 4 x 4 y 4 1
1p
a)
3p
208
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y 4( xy x y 1) 1
4 x y 1 y 1 1 4( x 1)( y 1) 1
1p
Finalizare
BA b)
x y z x y z x, y, z R . Calculeaz x y z 4 xy 4 x 4 y 3 z ... 16 xyz 16 xy 16 xz 16 yz 16 x 16 y 16 z 15
Legea " " asociativ dac
3p
RE Calculeaz
x y z x 4 yz 4 y 4 z 3 ... 16 xyz 16 xy 16 xz 16 yz 16 x 16 y 16 z 15 .
M
c)
Scrie ecua ia ... x 1 sub forma 42011 x 1 x x
2012
2p
1 1 care este echivalent cu
de 2012 ori
x 1
0
2p
ar
V
4
2011
2012
Ob ine solu ia x 1
2p
1p
1. a)
Calculeaz
eB
nt
ia SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f (1) 1 a
x 1
x f '( x)
c)
x2
x2 1 x2
f '(1) 0 şi deduce c lim x 1
f ( x ) f (1) f '(1) 0 x 1
f este strict cresc toare pe a , dac
1p
2p
f '( x ) 0 x a , .
209
1p
12
Calculeaz
1 ' x x2 1 x '
20
Ob ine f '( x)
2
1p
2
Calculeaz
f ( x) f (1) f '(1) x 1
M
Observ c lim
1p
C
Ob ine a 1 b)
2p
A
Scrie ecua ia f (1) 2 sub forma 1 a 2
2p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 Calculeaz
f '( x)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x2 a x2
1p 1p
Observ c pentru x a x 2 a x 2 a 0, x 2 0
BA
Rezult c
f '( x ) 0 x a , ceea ce implic f este strict cresc toare pe a , 1
2.
Pentru a calcula
RE
a)
1
0
1
1
e x ( x) ' dx e e x dx
0
xe dx 1
0
1
1
0
0
1p
ar
Calculeaz
f ( x) g '( x) 2 x 2e x 1
2 x e dx 2 x e ' dx 2 x
2
x
1p 1p
nt
0
1p
ia
1
0
1 1 2 x e 2 ( x 2 ) ' e x dx 0 0 2 x
eB
1
2e 4 xe x dx 2e 4
2p
A
0
c)
2p
x
0
b)
2p
V
Ob ine
M
x x x(e ) ' dx xe
2p
1
f ( x)dx xe x dx aplic m metoda de integrare prin p r i.
0
2p
C
Calculeaz h( x) f ( x ) g ( x ) xe x x 2 2 1
0 1
xe
x
0
1
1
0
0
0
10 3
2p
20
1
x 2 2 dx xe x dx x 2 dx 2dx
2
Scrie formula pentru arie
M
h( x)dx
1p
12 BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 60
210
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Prof:Opri
Elena
BA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
RE
1.
1p
Calculeaz 5m 2 10m 5
2p
M
Ecua ia are r d cini reale dac 0 x R .
2p
Scrie expresia pentru 5 m 1 şi observ c 0 m R
V
2.
2
Num rul submul imilor cu 8 elemente ale unei mul imi cu 10 elemente este C108
ar
n! C k ! n k ! 8
eB
2 0, 285714 7
2p 1p
A
Observ c 2012 6 335 2
2p
C
a2012 8 4.
2p
nt
Calculeaz C10 45 Scrie
1p
ia
k n
3.
2p
2p
2
M
x 2 7 x 17 0 8 C.E x , 3 3x 8 0
Foloseşte faptul c func ia logaritmic este injectiv şi ob ine x 2 7 x 17 3x 8 . G seşte
Foloseşte formula cos 1800 x cos x şi ob ine cos1300 cos500
2p 3p
Ob ine cos 500 cos1300 0 6.
3p
12
5.
20
x1 1 C.E şi x2 9 C.E
Fie d ' dreapta c utat . Din condi ia d // d ' se ob ine md md ' . Deci panta dreptei d ' este
211
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 md '
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
5 12
Ecua ia dreptei care trece prin punctul A şi este paralel cu d ' este: y y A md ' x x A
2p
BA
Înlocuieşte şi ob ine ecua ia pentru d ' : 5 x 12 y 17 0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
62 Calculeaz A 0
0 1
2p
2p
2
63
Calculeaz A3
0
Calculeaz det( A ) 6 n
n
3p
ia
b)
0 1
ar
1p
M
Scrie A2 A A şi A3 A2 A
V
RE
1. a)
2p
c)
0 2012
2
3p
20
x1 x2 x3 3 Scrie rela iile lui Viete pentru ecuatia data. x1 x2 x1 x3 x2 x3 1 x x x 1 1 2 3
12
Ob ine c x1 x2 x3 3
b)
2p
M
B2012
6 2012 6 1 0 5 0 2012
2p
C
a)
B2012
6 62 ... 62012 0
1p
A
2.
Scrie B2012 A A2 ... A2012
eB
nt
Rezolv ecua ia 6n 1296 şi ob ine n 4
2p
Scrie x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 2
3p 2p
212
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ob ine x12 x22 x32 32 2 1 7
c)
1 x2
x3 1 x2
x1 1 x3
BA
1 x1
2p
1 x3
x 1 1 1 x x x2 1 2 3 x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2 1 x1
RE
x2 x3 x1 x3 x1 x2 x12 x22 x32
x1 x2 x3
2p
1 7 6 1
M
1p
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Observ c
lim
C
f '( ) 2012 2011
F
lim
x
x 2012 2012 2012 2011 x
1p
2
1p
12
Observ c x
2012
1p
20
f ''( x) f '( x) '
f ''( x) 2012 2011x 2010
a)
2p
Intervalele de concavitate si convexitate le stabilim cu ajutorul semnului func iei f '' Calculeaz
2.
2p
M
x
x2012 2012 f '( ) x
C
f '( x) 2012 x
3p
A
c)
Calculeaz
2011
2p
eB
b)
Aplic formula x n ' nx n 1
nt
ia
1. a)
1p
0, x R deci f ''( x ) 0, x R ceea ce implic faptul c f este convex pe R
1
Scrie I1 xe x dx şi aplic metoda de integrare prin p r i. 0
213
2p 2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 1
I1 x (e x ) ' dx xe x 0
Finalizeaz I1
BA b)
1
1
0
e x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 0
1p
2 1 e 1
1p
I n x e dx x n e x ' dx n x
0
0
RE I n xn e x
1 0
1
1p
x n ' e x dx 0
M 1
1p
1 I n n x n 1e x dx e 0
V
1 I n nI n 1 , n N , n 2 e
2p
ia
ar
c)
1
Integrând inegalitatea dat de la zero la unu se ob ine
2p
1p
2p
1 1 In , n N * n 1 n 1 e
C
A
Din rela ia de mai sus ajunge la
1
eB
nt
x n1 1 1 xn 1 1 In e n 1 0 n 1 0
1
n 1 n x n 0 x e dx 0 x e dx 0 x dx
20
Varianta 61
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Elena
12
Prof:Opri
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
214
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
log 2 128 log 3 27 log 4
3p
1 3 4
2p
log 2 128 log 3 27 log 4
BA
F
2.
1 7 3 1 4
1p
Observ c termenii sumei formeaz o progresie aritmetic cu primul termen 1 şi ra ia 3. Termenul
2p
RE
Suma elementelor mul imii A este 1 4 7 ... 37 general al unei progresii aritmetice este an a1 n 1 r . Num rul de termeni îl afl din rela ia
M
1 ( n 1) 3 37 n 13
Calculeaz suma S13
2
3 x
249
2p
1p
24
ar
x Scrie ecua ia sub forma 2
13
2
V
3.
1 37 13 S
2p
ia
Folosind injectivitatea func iei exponen iale ob inem x 2 3x 4 x 2 3x 4 0
2p
2p
În l imea copacului dup dou luni 10, 4 4% 10, 4 ... 10,816m
3p
A
5.
În l imea copacului dup o lun 10 4% 10 ... 10, 4m
eB
4.
nt
Rezolv ecua ia şi ob ine solu iile x1 1 şi x2 4
A ' este simetricul punctului A în raport cu B B este mijlocul segmentului A ' A
2p
C
3p
Foloseşte formula BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos BAC
2p
2
2p
12
Ob ine BC 7 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
20
2
2
1 BC 5 8 2 5 8 2 2
M
6.
x xA ' yA y A ' B A , deci xA' 2 xB xA 14 şi y A' 2 yB yA 6 . Ob inem A ' 14, 6 . 2 2
Scrie A A A 2
2p 2p
215
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 0 0 Calculeaz şi ob ine A 0 0 0 0 0 0 2
1p
BA
Finalizeaz A2 O2
b)
I 3 A I 3 A I 32 I3 A AI3 A2 .
Calculeaz
3p
c)
RE
Folosind propriet ile matricei unitate si punctul a) ob inem
2p
I 3 I 3 A I 3 A
Folosim punctul b) şi defini ia func iei inversabile ob inem
M
I3 A
1p
1
2p
I3 A
2p
ia
ar
V
2 1 1 1 Scrie I 3 A 2 3 2 3 3 2
Restul împ r irii polinomului f la X 2 se ob ine folosind teorema restului
a)
Restul este f ( 2) 2 2 1 2
b)
f ( 2) 3
2p
C 2p 1p
20
Ob ine x 1 solu ie.
2p
2
M
3p
A
g ( x) f ( x) 1 x 3 2 x 2 2 x 1 0 Scrie ecua ia sub forma x 1 x 2 x 1 0
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a)
1p
x1 x2 1 2 2 2 şi calculeaz x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 1 x x 1 1 2
Scrie rela iile lui Viete
x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 ... 2 c)
3p
eB
Finalizeaz
1p
nt
2.
f '( x ) x ' 3' 3x '
2p
216
Bacalaureat Matematică M – 2012
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f '( x) 1 0 3x ln 3
2p
f '( x) 1 3x ln 3
1p
f este cresc toare pe R dac
f '( x) 0, x R
1p
BA
1p
f '( x) 1 3x ln 3
2p
3x 0, x R şi ln 3 0 implic f '( x) 0, x R
RE
1p
Concluzia: f este strict cresc toare pe R .
M
c)
f ' 1 f ' 2 ... f ' 2012 1 3ln 3 1 32 ln 3 ... 1 32012 ln 3
1p
V
1p
2012 3 32 33 ... 32012 ln 3
ar
Calculeaz suma 3 3 3 ... 3 3
2012
2012
33
1
1p
2
nt
ia
Finalizeaz
2
f '(1) f '(2) f '(3) ... f '(2012) 2012
3 2012 3 1 ln 3 2
2p
A
eB Func ia F este o primitiv pentru func ia f dac F este derivabil şi F '( x ) f ( x ) .
a)
F este derivabil deoarece este sum de func ii elementare şi
F '( x ) f ( x )
Deci 1
0
f ( x ) F ( x )dx F '( x ) F ( x )dx x
x 4 x3 2 x 2 1 2
2
0
1p
1p
12
e
0
F 2 ( x) 1 2 0
20
1
1p
2
b)
2p
M
F '( x) e x ' x 4 ' x 3 ' 2 x ' 2 ' e x 4 x 3 3 x 2 2
2p
C
2.
1p
(e 1 1 2 2)2 e 2 2 2 2
2p
217
Bacalaureat Matematică M – 2012
e 2 e 2 2
2
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
4e
Calculeaz xf ( x) F ( x) ... xe x 5 x 4 4 x3 4 x 2
BA 1
xe
x
2p 1p
5 x 4 x 4 x 2 dx 4
3
0
1
1
1
1
1
0
0
0
2p
RE
xe x dx 5 x 4 dx 4 x3 dx 4 xdx 2dx ... 3 0
0
M ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
nt
ia
Varianta 62 Prof: P curar Cornel-Cosmin
eB
C
A
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2 x 3 3 3 2 x 3 3 0 x 3
M
1.
S f 1 f 2 ... f 10 2 1 3 2 2 3 ... 2 10 3
1p
12 2p
S 2 1 2 ... 10 3 10
2p
S 140 3.
20
2.
2p
2
A 0,1, 2,3
3p
32 x 4 3 x 2
1p 218
Bacalaureat Matematică M – 2012
2x 4 x 2
2p
x 2
2p
C31 3
2p
A32 6
2p
BA
4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
RE
1p
3C31 2 A32 3 AB 4 2, BC 2 10, AC 2 10
3p
P ABC 4 2 4 10
2p
M
5.
V
A MNP
MN NP sin MNP 2
ar
6.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A
A1 2,1 , A2 4, 4 y 1
2p
2
A1 A2 : 2 1 1 0 4 4 1
20
A1 A2 : 3 x 2 y 4 0
0 0 1
1p 2p
12
b)
2p
M
x
C
1. a)
2p
eB
A MNP 12
1p
nt
1 2
ia
sin MNP
2p
2 1 1 4 4 1 4
1p
219
Bacalaureat Matematică M – 2012 AOA1 A2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 2 2
c)
2n Justificarea faptului c
3n 2 1
3p
BA
2p 3p 2 1 0 2q 3q 2 1 2p
Am , An , Ap coliniare
1p
C x2 3x 4
3p
R0
1p
f x 1 f 1 0
V
b)
m 3 f x 3 5 x 2 2 x 8
M
a)
RE
2.
2p
ar
f 1 1 m 2 2 2m 14 3m 9 1p
ia
3m 9 0 m 3
c)
eB
nt
2p
2p
t 1 < 0
1p
A
Cu nota ia 2 x t > 0 t 3 5t 2 2t 8 0 t 2 t 1 t 4 0
1p
C
t 2 x 1 t 4 x2
1p
2
M lim f x 5, lim f x 5, f 0 5 x 0
12
1. a)
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
3p
x 0
2p
f este continu în punctul x0 0
220
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f x x 5 1 lim lim x 5 25 x 2 x 5 5 x 5 x x 5 5 x
3p
lim
f x 1 2 x 5 25 x 10
2p
Ecua ia tangentei este y f 2 f ' 2 x 2
2p
lim
BA c)
RE
5 10 x f ' x , oricare ar fi x < 0 2 2 x 1 x 1
Pentru x < 0, f x
2
2p
M
4 13 Ecua ia tangentei este y x 5 5
1p
V
F e elementar F e derivabil
2p
a)
F ' x f x , x
2p
ar
2.
2
1
2
4 ln 2
2
1
2
ln 2 2 8ln 2 12 2
e
e
e
1
1
1
2p
2
A F x dx 2 xdx ln xdx e2 1 xdx , ln xdx 1 1 2 1 e
20
e
1p
M
c)
2p
C
F x f x dx
4 ln 2
2p
A
y2 F x f x dx 1 2 2
ydy
eB
F x f x dx
nt
b)
1p
ia
F e primitiv pentru f
2p 1p
12
A e2
221
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 63 Prof: P curar Cornel-Cosmin
BA
RE
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
S5
M
1.
b1 q 5 1
3p
q 1
2p
ar
2.
V
S 5 31
S f 3 f 2 ... f 2 f 3 3 2 ... 22 32
2p 1p
C
A 1 x reprezint reducerea 10
2p
M
1p
2
9 x reprezint pre ul dup reducere 10
20
9 x 180 x 200 10 2 a3 a2 3
2p 1p
12
5.
2p
eB
3 x 0, 4 Fie x pre ul ini ial
3p
nt
x3 x 2 1 x3 3x 2 3x 1 4 x 2 3x 0
4.
2p
2
ia
S 0 3.
2
2p
a 2 a 3 2 3 a 2 5a 0 a 0 sau a 5
1p 1p
222
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a < 0 a 5
6.
1p
BD=6
1p
AD=8
1p
BA
Fie AD BC, cu D BC
A ABC
AD BC 48 2
2p
RE
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
A2 4 A
M
1. a)
ar
b)
2p
V
A2 4 A O2
3p
X a X b I 2 aA I 2 I 2 aA bA
1p
ia
X a X b I 2 aA bA abA2 I 2 aA bA 4abA
nt
X a X b I 2 a b 4ab A
1p 1p
C
A
1 a 3a X a a 1 3a
1p
eB
X a X b X a b 4ab c)
2p
det X a 1 4a
1p
M
1p
2
1 det X a 0 a 4
1p
20
det X a 0, a X a e inversabil pentru a
1p
12
2.
2 x 3 y 3 3 2 xy 6 x 6 y 15
a)
x y 2 x 3 y 3 3, x, y
2p
b)
x y z 4 x 3 y 3 z 3 3
2p
3p
223
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x y z 4 x 3 y 3 z 3 3
Rezult c c)
''
2p 1p
'' este asociativ
x 3 3, 3 x 3
2p
BA
3p
2012 2011 ... 2011 2012 3
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
1. a)
f ' x 2012 x 20121 2012 x ln 2012
3p
V
2p
f ' x 2012 x 2011 2012 x ln 2012 f '' x 2012 2011x 2010 2012 x ln 2 2012
2p
ia
ar
b)
3p
f '' x 0, x f convex pe
0
x4 4
2
5
2
x5 Vg 4 x 5 0
F ' x x4 4 0, x
1p 2p
12
' Justificarea faptului c F x f x , x
2p
20
Vg 645 b)
2p
M
a)
5
Vg
C
2.
2p
A
f ' x f ' 0 ln 2 2012 lim x 0 x
3p
eB
f ' x f ' 0 lim f '' 0 x 0 x
nt
c)
2p
F este cresc toare pe
1p
224
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
4
f x dx
4
0
4
4
BA
0
0
4
4
f x dx f x dx
2p
0
4
1p
f x dx 2 f x dx
RE
4
2p
f x dx f x dx
Justificarea faptului c 4
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0
M nt
ia
ar
V BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
eB
Varianta 64
Prof: P curar Cornel-Cosmin
A
C
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
M
x2
x 2 3x 4 2
20
1.
2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
2p
12
x 1
3p
f 6 0
3p 2p
f 1 f 2 ... f 9 0
225
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
5 x 0 x ,5
1p
log 2 5 x log 2 32 2p
5 x 9 x 4
BA 4.
P
2p 2p
nr.caz. favorabile nr.caz. posibile
3p
RE P
M mijlocul lui AB xM 3, yM 2
1p
ar
md 1
1p
V
m AB 1
M
5.
6 1 90 15
1p
d : y 2 1 x 3 x y 1 0
ia
b 2R sin B 1 2
C
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
5 3 3 3 A 1 , A 1 8 5 8 7
20
3p
12
9 6 A 1 A 1 16 11 b)
2p
2
1. a)
2p
A
R 8
1p
eB
sin150 sin 30
2p
nt
6.
2p
1 8 x 8x 2 2 6 x 6 x 2 A x 16 x 16 x 2 1 12 x 12 x 2
2p
2p
226
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 4 2 x 2 2 x 3 2 x 2 2 x A x 8 2 x 2 2 x 1 6 2 x 2 2 x 1p
A x A 2 x 2 x 2
BA c)
det A 1 1 0 A este inversabil
1p
RE
5 3 A 8 5
2p
M
5 3 A1 8 5
2p
x1 x2 x3 x4 a
3p
a)
a 5
2p
b)
a 1 x 4 x 3 2 x 2 0 x 1 x 3 2 0
3p
ia
2p
eB
nt
c)
ar
x 1, 2 3
V
2.
R d cinile întregi ale ecua iei se g sesc printre divizorii lui 2,care sunt ± 1,± 2
7 7 , x 2 a 2 2
A
x 1 a 1 , x 1 a 1 , x 2 a
2p
3p
C M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2
f ' x 3 x 2 2 x 1 2012 x ln 2012
20
1. a)
b)
f ' x 2 x 2 x 1 2012 x ln 2012 0, x 2
2p
12
f ' 0 1 ln 2012
3p
3p 2p
f este cresc toare pe
227
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a b, f cresc toare pe f a f b
3p 2p
a 3 a 2 a b 3 b 2 b 2012 b 2012 a 2.
f0 x 4
3p
BA
f0 x dx 4 x C
2p
b)
f1 x 4 x 2 4 x 4 0, x 0,1
1p
RE
a)
1
0
2p
1p
ia
f 2 x 16 x 2 8 x 4
ar
c)
22 3
V
A
2p
M
A
1
4 x3 4 x 2 f1 x dx 4x 2 3 0
nt
2 2 2 f x 4 x x 8 16 8 I 2 e dx x e dx 2 x 1 e x dx x 1 1 1
2 x 1 e dx 2 x 1 e x
1
2
eB
2
2
1p
2e x 3e2 e
x
1
1
2p
A
I 8 3e 2 e
C
1p
20
Varianta 65
2
M BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
12
Prof: PODUMNEAC DANIELA
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
228
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
a1 1, r 2, n 10 în progresie aritmetic S10
( a1 a10 ) 10 100 , a10 x 2
3p 2p
BA
(1 x)10 100 , x 19 2
2.
1p
( x 7) 2 (7 x ) 0 ,
RE
2p
( x 7)( x 6) 0 ,
2p
x {6, 7}
M
3.
1p
x2 8 x2 8 log 2 0, 1 x 8 x8
2p
V
x 8 0 x ( 8, )
ia
4.
ar
( x 1) x 0 x {0;1}
2p
nt
A53 60 numere
a 3 8 , a ( a 3) 4 5 10 a
1p
2
0
12
5 2
2p
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
3
2p
M
d: x 2 y 1 0
det A
3p
C
d MN md mMN
1 mMN 2
1. a)
2p
A
a 2 3a 4 0 a {1, 4} 6.
3p
eB
5.
2p
3p
5 0 3 (2)
2p
det A 6
229
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
A 1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
1 A* det A
0 2 3 5
*
Calcul A
BA c)
RE
0 1 A 1 2
2p
1 3 5 6
1p
3p
35 16 A2 A A1 3 A . 24 5
2p
M
19 10 1 0 15 6 1 A2 , A A I2 , 3A 15 6 0 1 9 0
ar
V
x y 3 xy 6 x 6 y 12 2
a)
x y 3 x ( y 2) 6( y 2) 2
3p
nt
1p
3(2 x 2)(lg x 2) 2 2 (2 x 2)(lg x 2) 0
3p
x y 3( x 2)( y 2) 2, x , y
eB
b)
1p
ia
2.
x
2p
2 2 x 1 (2, ) şi lg x 2 x 100 (2, ) , S {100}
M
( x 2)( y 2) 2 2
1p
20
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
12
f ( x )
2p
2
x y (2, )
1. a)
2p
C
x (2, ) x 2 x 2 0 ( x 2)( y 2) 0 y (2, ) y 2 y 2 0
A
c)
2p
3x2 ( x 2 1) 1 3 x2 1
2p
230
Bacalaureat Matematică M – 2012
f ( x) x 2 1
f ( x)
x2 1
,
1p
x4 2 x 1 x2 1
BA b)
2x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
f ( x) f (1) f (1) x 1 x 1
2p
lim
RE f (1) 1
2p
f ( x ) f (1) 1 x 1 x 1
c)
1p
M
lim
Ecua ia tangentei este y f (0) f (0)( x 0)
2p
V
f (0) 1
1p
ar
2p
Ecua ia tangentei este x + y = 0.
lim f ( x ) lim f ( x) f (0) 6 f continu în punctul 0,
x 0
ia
2.
x0
nt
a)
2p
f func ie elementar f continu pe *
eB
2p
func ia f este continu pe f admite primitive pe . b)
1
1
2
f ( x) dx ( x 2 2 x 6) dx 1
C
x3 f ( x ) ( x2 6 x) 1 3
2
2
2 3
1p
0
0
1
1
20
c)
1
2
1
f ( x)
2p
M
2
2p
A
Pentru x 0 ,
1p
A g ( x) dx x(e x 5) dx 0
1
12
0
1
1p
xe x dx 5 xdx
1p
0 x2 x0 x0 xe e 5 1 1 2 1
2p
231
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4 7e 2e
1p
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 66
RE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
M
SUBIECTUL I (30 de puncte)
log 3
15 6 18
eB
Solu ii reale distincte dac 0
( 2 m 1) 2 4m 4 m 2 1
2x 1 x 1
2p
1p
M
2 x 1 0 x 1 x [1, ) x 1 0
20
x 0 [1, ) x2 4x 0 x 4 [1, )
1p
2
Condi ii pentru rezolvarea ecua iei ira ionale
2p
12 1p
Mul imea solu iilor S {4} 4.
2p
C
Conform injectivit ii 1 2 x 1 x
1p
A
4 m 1 0 pentru m 2
3.
2p
nt
= log 5 5 1 2.
3p
ia
1.
ar
V
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
Num rul tuturor submul imilor este 2 4 16
2p
Num rul submul imilor cu 2 elemente C42 6
2p
232
Bacalaureat Matematică M – 2012 Probabilitatea P
5.
6 3 16 8
Din y 7 x 3 md 7 si mPQ
BA
Din d PQ md m PQ 7
3m 2 3 m
2p
3m 2 3 m
2p
19 10
RE
m
6.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1p 1p
M
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
Prin calcul AC 37 ,
V
2p
Perimetrul este P AB BC AC 11 37 2p
ar
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
nt
ia
1. a)
1 1 1 Dac matricea sistemului este A 1 1 1 atunci,, 2 1 a
eB
det A 2a 2
Din ecua ia trei solu ia nu depinde de a
2
1
1
1
2 1
1
1
2p
M
c)
3p
C
Prin calcul direct M (1,1, 0) verific toate ecua iile,
3p
A
b)
2p
2
d x 0 1 1 2a 2 , d y 1 0 1 2a 2 , d z 1 1 0 0 1 1 a 2 1 a 2 1 1
2.
Restul este r f ( 3)
a)
7.
b)
Suma r d cinilor este S1
2p
12
dy d dx 1, y 1 , z z 0 , solu ia sistemului este S {(1,1, 0)} . det A det A det A
20
x
3p
2
2p 3p
2 1
3p
233
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
(1 x1 )(1 x2 )(1 x3 ) 1 S1 S 2 S3
3p
= -1.
2p
BA
= -2.
M
1. a)
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
ex
Asimptota este y lim
x 6 x
1
x
3p
ar
1p
V
ex
1p
1 e lim 0 1 1 x x x 6 6 (1 ) (1 ) 6x 6x
= lim
ia
y 0 asimptot orizontal la . Func ia g ( x )
6x 1
,
6 x ln 6 (6 x 1) 2
6 x ln 6 0, x (6 x 1)2 0, x 6 x ln 6 (6 1)
2
0, x * ,
1 2x 1 dx ln(1 x 2 ) c 2 2 1 x 2
F (0)
1 ln1 c 5 c 5 2
a)
1p
2p 2p
12
F ( x)
1p
20
g ( x ) descresc toare pe * . 2.
1p
2
x
3p
M
Rezult c g ( x)
2p
C
Cum
1
A
c)
ex
eB
g ( x )
f ( x)
nt
b)
2p
234
Bacalaureat Matematică M – 2012 O primitiv a func iei este F ( x )
b)
11
1p
1 ln(1 x 2 ) 5 . 2
2p
1
0 x f ( x)dx 0 1 x2 dx
BA =
1
2p
arctgx 0
1p
4
RE =
c)
1
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
M
1 1 xf ( x) dx x f ( x ) f ( x) dx 0 0 0 1
=
1 e ln . 2 2
2p
ar
1 1 1 ln(1 x 2 ) 2 2 0
V
=
1p
eB
nt
ia C
Varianta 67
A
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
M
2
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
20
12
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
2.
2 32 1 3 64 1 4 1 3
3p
3
2p
f (30 ) 2 30 ; f (31 ) 2 31 ; f (32 ) 2 32 ;...: f (310 ) 2 310
235
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
311 1 11 2 3 3 3 ... 3 11 2 1 ... 3 1 Suma lor este 311 43 2
2p
x 3 0, 5 x 0 x [ 3; 5]
1p
Ecua ia echivalent x 3 (5 x ) 2 x 2 11x 22 0
2p
0
1
2
10
2p
RE
BA
3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x1
P5 5!
720
3p
MN NP PQ QM 0
2p
Cum NP PN şi QM MQ ,atunci
2p
MN PN PQ MQ 0
1p
6 4
C
2 3
2
0 1
3 2 9 10
x
y 1
2p
12
( x, y ) 3 0 2 x 9 y 3 . 0 1 3
x y 6 x 5 x 9 y 3 7 y 1
c)
3p
20
b)
2p
M
1 1 1 (1, 1) 3 0
2p
A
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
3p
eB
2 3 2 2
nt
ia
sin 450 cos 300
ar
6.
2p
V
5.
2p
M
4.
11 33 11 33 11 33 [ 3;5] şi x1 [ 3;5] ,solu ia S { }. 2 2 2
Atunci
3p
( x, y ) x 9 y 3 ( x, x ) 8 x 3
1p
236
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
( x, x) 0 8 x 3 0 3 x ( x, x ) 0, x 8
2p
f ( x 2) f (2) 0
3p
a)
a 2 0 a 2
2p
b)
Rela ia este 3S 3 2 S1 3
1p
2.
2p
RE
BA
2p
S1 a; S 3 ( a 6) , atunci
2p
Rela ia devine 5a 18 3 a 3
M
c)
1p
X ( X 2 6 X 6)
2p
X ( X 3 3)( X 3 3)
2p
ia
ar
V
Dac a = 6 atunci polinomul este de forma f X 3 6 X 2 6 X
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
eB
nt
1. a)
Func ia admite asimptote verticale în punctele x = 0 şi x = 2.
lim f ( x) , lim f ( x) x 0 x 0
x 0
A
lim f ( x) , lim f ( x) x 2 b)
2( x 2 x 1) , ( x 2 2 x)
2p
20
1p 2p
12
f ( x ) 0 x2 x 1 0 x1,2
2p
2
f ( x ) f (1) f (1) x 1 x 1 2
lim
c)
2p
M
f ( x)
x 2
2p
C
x 2
1p
1p
1 5 0; 2 2
2p
237
Bacalaureat Matematică M – 2012 2.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
2
A f ( x )dx 1
a)
2
x4 (x ) 4 1
BA
b)
2p
13 4
1
1p 2p
1
1
x 5 f ( x)dx ( x5 x8 )dx 1
RE
1
x6 x9 ( ) 6 9 1
1
0
1p
x f ( x )dx x 6 x dx 1
0
0
1p
C
A
eB
nt
ia
2
2p
ar
1
6 x 2 dx
2p
V
c)
2 9
M
2p
20
Varianta 68
2
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: PODUMNEAC DANIELA
12
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
238
Bacalaureat Matematică M – 2012 1.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
a2 a1 r 1 a1 r
a6 a1 5r 17 a1 5r a1 3, r 4
1p 1p 2p
a10 a1 9r 33
BA
1p
2.
x 2 0 x (6, ) x 6 0
1p
RE
x2 x2 1 4 x6 x6 26 3x 26 x (6, ) 3
2p
3 4 17 yv 9 3 17 V ( , ) 4 9
2p
log 4
M
2p
ia
2p 2p
C
3 m 0 m 3
1p
M
3p 2p
2
tg 450 2 cos1800 1 2 ( 1) 3
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
12
1. a)
3p
A
AB (2 1) 2 (3 m)2 9 (3 m)2 3
6.
2p
eB
n! n! 2 (n 3)! 3! (n 2)! n 2 12 n 14
1p
nt
5.
ar
4.
xv
V
3.
2p
1p
A0 (1, 0) : A2 (4, 4)
2p 2p
239
Bacalaureat Matematică M – 2012 x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y 1
0 1 0
A0 A2 : 1
4 4 1 4 x 3 y 4 0
BA b)
1p
A1 (2,1)
1 0 1 3p
A0 , A1 , A2 nu sunt coliniare
1p
An (2 n , n 2 ); An 1 (2 n 1 , ( n 1) 2 ); An (2 n 2 , ( n 2) 2 )
1p
c)
2n 2
( n 2) 2 1
1 1 2n ( 2n 1)
2p
ia
2 n ( 2 n 1) 0, n punctele nu sunt coliniare.
2p
x y xy 5 x 5 y 25 5 x ( y 5) 5( y 5) 5
1p
eB
nt
( x 5)( y 5) 5, x, y
1p 2p
M
2p
2
e 6
b
2p 2p
12
(2012) (2011) ... 4 5 6 ... 2012 a 5b
20
Se observ c x 5 5, x
a
2p
C
e , a.i.x e e x x , x
x e x e 6, x 5 e x x e 6, x 5
c)
2p
A
b)
n2 ( n 1) 2
ar
a)
2n 2 n 1
V
2.
M
RE
2 1 1 1 0 4 4 1
1p
5b 5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
240
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Ecua ia tangentei este y f (1) f (1)( x 1) , cum f (1) 3
f ( x)
1p
1 3 x ln 3 x
1p 1p
ecua ia tangentei este (ln 27 e ) x y 3 ln 27 e 0
2p
f ( x) ln x 3x lim lim x x 3 x x 3 1 x 3 ln 3 lim x x 1
2p
Func ia f este cresc toare pe (0, ) dac f ( x ) 0
1p
1 0, x (0, ) x x 3 0, x (0, )
1p
b)
RE
BA
şi panta dreptei f (1) ln 27 e
3p
M
2.
e
1
e 1 1 dx ) dx 1 x3 x5 e
ln( x 5) 1
1
1
2p 3p
20
31 420
g ( x) f ( x)
1p
2
c)
2
f ( x)dx f ( x)
2p
M
2
2p
C
e5 ln e 1 b)
1p
A
a)
( f ( x)
1p
eB
f cresc toare pe (0, )
1p
nt
f ( x ) 0, x (0, )
ia
ar
V
c)
1p
12
1 1 x5 x3
1p 2p 1p
241
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
V g 2 ( x )dx 1
2
( 1
2 1 2 ) dx ( x 3) 2 dx 1 x3
1 ) ( x3 1 4 2
RE
BA
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 69
V
Prof: PODUMNEAC DANIELA
ar
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
log n 32 a 32 na
f max
2(3 x )
2p
1p
20
3 3 5 5 x 2 2(3 x )
2p
12
8 x 3 4.
2p
2
x 2
1p
M
3.
4a 1 9 8a 8 8 a 1
2p
C
2.
3p
A
n 2, n 32
eB
nt
ia
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
2p
x 12 0 0 x 3920 28 x 3920 x 3500 25
2p 3p
242
Bacalaureat Matematică M – 2012 5.
l2 A
l2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 3p
3 4 4 4 3 3 3 l2
BA
2p
6.
AB 2 AC 2 BC 2 Din teorema cosinusului cos A 2 AB AC
3p
RE
16 8 27 5 2 32 2 4 2 2
2p
M
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2x 3 2x
2x
2x 3
2p
nt
2p
8x 2 4 3x 3 8x 2 A( x) A( X ) , (1) 2 2 8 8 4 3 3 x x x
eB
b)
2
ia
2 x 3 2 x 3 4 x 4 x 2 3 4 x 2 3
1p
ar
det A
V
1. a)
2p
A
1p
M
Din calcul direct (1) = (2) c)
2p
C
8 x2 4 3x 3 0 8x 2 4 x A( x ) 3I 2 , (2) 2 2 0 3 8 8 4 3 x x x
( b)
1p
2
A 2 ( x ) 4 x A( x ) 3 I 2
2p
20
A2 (2) 8 A(2) 8 A(2) 3I 2 8 A(2)
2p
12
3 0 3I 2 0 3 2.
( x y ) z x ( y z ), x, y , z
a)
( x y ) z ( x y 4) z x y z 8 x ( y z 4) x ( y z )
3p
Legea " " este asociativ x, y , z .
1p
1p
243
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 3 4 5 12 30 4
3p
12 30 4 38
2p
Ecua ie echivalent cu x 2 2 x 1 3 2 x 5
2p
BA
2p
x2 5
1p
x 5
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 4 x 5a p trat perfect dac a
f : {2} f are o singur asimptot . x5
x 2
2
eB
( x 8) ( x 2)3
5
4
1 2x 7 g ( x) 2x 7 2 2x 7 2x 7
2p
3p
20
f ( x ) g ( x )
2
b)
2p
M
f ( x)
3p
C
Func ia f este o primitiv a func iei g dac
3p
A
Conform (b) f ( x) 0, x 8,
a)
2p
, f : {2}
f descresc toare pe intervalul 8, 2.
2p
nt
Func ia devine f ( x)
f ( x) c)
x 2
2
ia
b)
x 5
3p
4 5
ar
Atunci f ( x )
V
1. a)
5
g ( x)dx f ( x) 4 (a)
3p 2p
12
f (5) f (4) 3 1
244
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
6
6
4
4
V h2 ( x)dx
2x 7
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2
2p
dx
1p
2 x 7 dx 6
4
6
2x2 7 x 6 2 4
RE
BA
2p
M
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 70
V N
1.
C
a100 a1 99r 299
a1 a100 100 15050
1p
M
S100
3p
A
a1 2 a1 2 a 2 1 a5 14 a1 4r 14 r 3
10.
eB
SUBIECTUL I (30 de puncte)
nt
ia
ar
P N punctajului indicat în barem. S
Prof: RICU ILEANA
2
2 20
2.
m 1 9 m 1 3 m 1 10 m 3
m 1 0 m 1 m 1;10 Cond.: 10 m 0 m 10 245
1p
12
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1 Rel.devine:
1p
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
R
m 1 2 m 1 10 m 10 m 9 m 1 10 m 0
1p
m 1 0 m 1 1;10 sau 10 m 0 m 10 1;10
BA RE
3.
2p
Cond.ca logaritmii sa fie corect definiti:
1p
M
5 x ( ; ) 2 x 5 0 2 2 x (; 2 2) (2 2; ) D (2 2; ) {10} x 8 0 log ( x 2 8) 0 x 10 2
ar
V
Ec.devine 2log 2 2 x 5 log 2 x 8 log 2 2 x 5 log 2 x 8 2 x 5 x 8 2
2
2
2
2p
nt
ia
2
3 x 2 20 x 33 0 x1 3 D si x2
11 D 3
eB A
4.
f (1) m2 m m 1 m 2 m
1p 3p
20
2p
12
Finalizare: C123 C129 0
h
1p
2
C123 C129 combinari complementare
N
2p
M
(2m 1) 2 0 ( A) m
6.
1p
C
1 4 2 4m 4m 1 0 m2 m
5.
2p
din A pe latura BC mh mBC 1
246
1p
Bacalaureat Matematică M – 2012 mBC
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
y B yC 3 2 5 1 1 mh 1 mh 2 xB xC 4 6 10 2 2
2p
y y0 m x x0 y-6=2(x-2)
2p
RE
BA SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
M
a b 1 0 Fie A M , a, b Z5 ; luam a 1 si b 0 A I 2 2 b a 0 1
2p
ar
V
1. a)
0 0 Daca luam a b 0 A O2 0 0
nt
ia
I 2 , O 2 M.
2p
eB d M ; c , d Z5 c
2p
C
a b c Fie A M , a, b Z5 si B 2 b a 2 d
A
b)
1p
M
2
a c a c b d b d m n M , unde m a c si A B 5 2 b d a c 2 n m 2 b 2 d a c
20
n b d 5 a c 2 b d a d b c p a dbc a c 2 b d 2 a d b c a c 2 b d 2 q
p a c 2 b d 5 si q a d b c 5
247
q M , unde p
12
a c 2 b d A B 2 b c 2 a d
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
3p
BA
c)
2
1p
det A 0
AM 2
2
2
2
RE
a 2b 0 a 2b
Pentru a 0 2 b 0 b 1, 2, 3, 4 se construiesc 4 matrice inversabile
M
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
Pentru a 1 2 b 1 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
V
2
ia
ar
Pentru a 2 2 b 2 2 b 4 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
Pentru a 3 2 b 3 2 b 4 b 0,1, 2, 3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile
nt
eB
Pentru a 4 2 b 4 2 b 1 b 0,1, 2,3, 4 se construiesc 5 matrice inversabile A 1 M }are 24 elemente
C
A
{A M
UM
Deci
2.
x1
f f(x1)=0 x14 x1 1 0 1
x2
f f(x2)=0 x24 x2 1 0 2
x3
f f(x3)=0 x34 x3 1 0 3
248
4p 1p
12
b)
2
20
a)
2
1 1 1 1 1 2 1 4 2 2 X X X X X X 2 2 2 4 4 2 4 X X 1 f
2
M
2p
3p
Bacalaureat Matematică M – 2012
f f(x4)=0 x44 x4 1 0 4
x4
x14 x24 x34 x44 x1 x2 x3 x4 4 0
Î x1 x2 x3 x4 0
1p
V
x14 x24 x34 x44 4
BA c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2
1p
2
3p
RE
1 1 1 Conform pct.a) f x 2 x 0, x 2 2 2 0
0
Polinomul f
M
2p
V
lim f x
x
R
f x
0
f x ex 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 +++++++++++++++++++++
A
f(x)
3p
2
e
Deoarece x 0;1 0 x 1 x 1 0 / x 1 0
x 2 1 0 x 2 1/ 1 x 2 1
e 1 e x 3 ; 2
249
(2)
12
x 1
2
2
2p
20
e x x 2 1, x 0;1 21 1x e x
2p
2
f x 0, x e x x 1, x 1 ;
Cf.rel.(1)
1p
M
Din b)
2p
C
D
f x 0, x
c)
0
finalizare b)
2p
eB
x
R
nt
1. a)
ia
ar
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Bacalaureat Matematică M – 2012 Din (2)si (3)
e e 1
x2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
1 (prin integrare) 2 x 1 1
1
1
1
e dx e dx 21 dx 1
0
x2
0
0
2p
x 1
1 2 2 1 1 x e x dx arctgx e x dx 4 e 0 e 0 0 0 1
1
M
RE
BA
V ar F
a a Vf ; 2 4
f
3a 9a 2 Vg ; 2 4
eB
f x g x 2 x 2 4ax
S
3p
C
A
b)
g are maxim (a= -1<0)
nt
a) F
2p
ia
2.
1p
x
0
2a
20
f(x) - g(x)
2
M
x1 0 f 0 g 0 0 O 0, 0 f x g x 0 2 x 2 4ax 0 2 2 x2 2a f 2a g 2a 2a P 2a, 2a 2p
+++++++++++++++++0 - - - - - - - - - - -0++++++++++++++
12
f x g x 0, x 0, 2a g x f x , x 0, 2a 2a
x3 x2 8a3 S g x f x dx 2 x 4ax dx 2 4a 3 2 0 3 0 0 2a
C
2p
2a
2
250
Bacalaureat Matematică M – 2012
c)
x
y
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
1p
1
not .
0 1 0 y ax 0 y ax h x 2a 2a 2 1
BA
Ecuatia dreptei OP: 0
S1
N
S2
N
RE
g
OP
f
OP 2a
4a 3 x 2 x3 S1 g x h x dx 2ax x dx 2a 1 2 3 3 0 0 0 2a
2a
M
2
2a
h x f x dx 2ax x dx 2
0
4a 3 2 3
2p
ia
ar
0
V
S2
2a
C
A
eB
nt
2p
2
M 20 12
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 71
Prof: RICU ILEANA
251
Bacalaureat Matematică M – 2012 P N punctajului indicat în barem. S
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
N
10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
100lg 2 a folosim operatia de log aritmare lg 2 lg100 lg a notam
3p
RE
2lg 2 lg a lg 22 lg a a 22 4 3
27 3
M
Finalizare:A=4-3=1
1p
V
Ecuatia devine
1 x 2 1 x
ar
2.
1p
R
2 x 2 2 x 0 S 0;1
1p
1 x 2 1 2 x x2
eB
nt
ia
x 1;1 1 x 2 0 x 1;1 Cond.ca radicalul sa fie corect definit: 1 x 0 x ;1
2p
A
2p
C Graficul ei taie axa Oy în punctul 1 f 0 1 c 1
4 4 2 b xV 4 a 12 a 3 2a 2a 2a 3
2
xV
2p
M
3.
20
Finalizare: f (x) = 3x2 + 4x + 1
Avem coordonatele punctelor A(2;0);B(1;-1);C(1;1) AC i j ; AB i j
2p
1p
12
4.
2p
Produsul scalar AC AB i j i j 1 1 1 1 1 1 0 AC AB 2p
252
Bacalaureat Matematică M – 2012
BA
C
5.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2 1 0 1 2
2
2 1 0 1
2 ; BA
2
2
1p
2
4 m 1 m 1 2
2p
BA
3p
m 2 1 8 m 2 9 0 m1,2 3
y y0 m x x0
2p
RE
6.
2p
3 m =tg30 = 3
M
y 6
1p
V
3 x 2 3
10 30 A2 5 15
2p
nt
ia
1. a)
ar
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
eB
10 30 5A 5 15 Finalizare
2p
A C
b)
1p
Verificare: A 2 5 A (conform pct.a); A3 A 2 A 5 A A 5 A 2 5 5 A 5 2 A
2p
M
P k P k 1 : Ak 1 A k A 5 k 1 A A 5k 1 A 2 5k 1 5 A 5 k A
A A2 A3 .......... 1 A100 99
= A 1 5 5 5 .......... 1 5 2
3
99
99
A 5 A 52 A 53 A .......... 1 599 A
q 5
99
5 A
100
1
5 1
5100 1 5100 1 A A 6 6
2p
12
folos. pct .b )
20
c)
3p
2
P n adevarata n
2p Finalizare: toate elementele matricei devin strict negative prin inmultirea elementelor din A cu o fractie negativa
253
Bacalaureat Matematică M – 2012
2.
C
BA
a)
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1p
2 x 3 y 3 3 2 xy 3 x 3 y 9 3 2 xy 6 x 6 y 18 3 2 xy 6 x 6 y 21
3p
x y , x, y
2p
x y z 2 xy 6 x 6 y 21 z a z 2az 6a 6 z 21
2p
RE
not . a 2 2 xy 6 x 6 y 21 z 6 2 xy 6 x 6 y 21 6 z 21
(1)
4 xyz 12 xy 12 xz 12 yz 36 x 36 y 36 z 105, x, y
M
x y z x 2 yz 6 y 6 z 21 x b 2 xb 6 x 6b 21 not .b 2 x 2 yz 6 y 6 z 21 6 x 6 2 yz 6 y 6 z 21 21
(2)
V
4 xyz 12 xy 12 xz 12 yz 36 x 36 y 36 z 105, x, y
asociativitatea
ar
D
nt
ia
2p
x x 2 x 3 x 3 3 2 x 3 3 2
cf .a )
eB
c)
1p 1p 1p
x x x x x x 2 x 3 3 x 2 2 x 3 3 3 x 3 3 2
A
cf .b )
2
2 2 x 3 x 3 3 22 x 3 3 2
3
C
x x ........ x 2n 1 x 3 3 n
M
P
de n ori
2
P(k) P(k+1)
k x x x ........ x ........ x x 2 k 1 x 3 3 x a x 2 a 3 x 3 3 x de k 1ori de k ori P(k+1):
2 2k 1 x 3 3 3 x 3 3 2 2 k 1 x 3 x 3 3 2 k x 3 k
k
k 1
3
12
20
2p
P
254
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x x ........ x 3 22012 1 x 3
E
2012
3 3 22011 x 3
2012
0
de 2012 ori
:
x 3
2012
0 x1 x2 ..... x2012 3
Valoarea de adevar:fals
M
RE
BA 1p
V
3p
e x 4 e x e x e x 4 2e x 2e x 2 e x
eB
b)
f x e x 4 e x e x e x
nt
1. a)
ia
ar
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2p
f în punctul P ;cum d Ox md mOx 0
Not.cu d tangenta la curba
A C
Dar md 0 f x 0 2 e x 2 e x 0
e x 0 (ecuatia nu are solutii reale)
Studiem monotonia
ln 2
f :
lim f x 0 4 0 0
x
f x
-
12
f x 2e x 2 e x f x 0 x ln 2 x
1p
20
c)
4 e 2 4 2 4 P(ln2;4)
2p
2
f ln 2 e
C
M
Sau 2 e x 0 e x 2 x=ln2 ln 2
2p
lim f x 4
x
+
ln2
++++++++++++++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
255
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
f x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
0 4
2p
-
maxim
monotonia lui f f x 4, x
BA
1p
2.
RE
a)
f1 x f 2 x
ln x 1 ln x not .F F x ;studiem semnul lui F pe domeniul 0; x2
2p
f(x)=0 x=1;x=e 0
M
x
lnx
e
- - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++0 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
V
1-lnx
1
x2
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ar
2p
- - - - - - - - -0+++++++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ia
F(x)
nt
f1 x f 2 x F x 0, x 1; e
Din a) f1 x f 2 x , x 1; e e
e
e
eB
b)
1p
ln x ln 2 x not . dx dx I1 I 2 2 2 x x 1 1
1 2
1
A
A f ; f f1 x f 2 x dx
3 1 e
2p
2
1 2
2 5 1 ; I2 2 ; e e
M
Finalizare: A f ; f I1 I 2
C
Folosim metoda integrarii prin parti I1
2p
20 1p
e
VCg g 1
e
2
x dx 1
ln x ln x 2
x
2
ln 2 x ln 3 x ln 4 x dx 2 dx I 3 2 I 4 I x x x 1
Folosim metoda integrarii prin parti I 3
e
1 1 1 ; I 4 ; I5 3 4 5
256
2p
12
c)
Bacalaureat Matematică M – 2012 VCg I 3 2 I 4 I 5
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
30
3p
BA
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
RE
Varianta 72 Prof: RICU ILEANA
M
P N punctajului indicat în barem. S N
10.
1.
ar
V
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2p
eB
x 1 y 3
nt
x 1 y 1 x y 2 y x 4 x y 4
ia
z1 z 2 x 1 yi y 1 x 4 i
2p
A M
Stim ca functia de grad I este bijectiva f este inversabila
C
2.
1p
y6 x6 1 sau f 1 x f 1 x x 2 3 3 3
2p
20
f 1 y
y6 3
2
f surjectiva y , x astfel încât f x y 3 x 6 y x
2p
12
1 2 2m 1 m 3 3
1p
3.
Cond.ca logaritmii sa fie corect definiti:
1p
257
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x 1 x 1 0 x 1; ) x 2 x 2 0 x 1 x 1 1 2 x2 x2
log2(x +1) + log2(x +2) = 1 log 2
2p
BA
x+1=2(x+2) x= - 3 1; )
RE
4.
T5 C
x 3
n 4
4
1 Cn4 x x
n 4 3
4
x C x 4 n
n 16 3
2p ;
M
4 n
2p
V
n 16 0 n 16 3
2p
ar
Finalizare: A 16 15 240 2 16
5.
b xi y j ; x , y
b 30
eB
N
nt
ia
1p
x 2 y 2 30 x 2 y 2 900 1
2p
2
M
Finalizare: b1 20 2 i 10 j si b2 20 2 i 10 j
C
Înlocuim (2) în (1) y 10 x 20 2
2p
A
x y x 2 2 y 2 b coliniar cu a 2 2 1
2p
12
f x cos 2 x 2cos 2 x 1 2 cos 2 x 1 cos 2 x f x
20
6.
1p
3p
f(x) – f(x + )= f(x) – f(x)=0.
258
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a)
a b , a, b, c, d c d
Not.cu A G, A
b a c d AJ JA d c a b
3p
2p
a b , a, b (conform pct.a) b a
2p
M
b)
RE
BA
b c a d c b a b A , a, b d a b a d a c b
Fie A G A
1 0 0 1 a 0 0 b a b a I2 b J a b A 0 1 1 0 0 a b 0 b a
V
C
a 2 b2 a b 2 Cum X G X , a, b (cf . pct.a) X c d 2ab E
2ab a 2 b2
1p
eB
nt
c)
ia
ar
3p
a 2 b 2 2ab 1 0 0 X 2 J O2 2 2 0 0 2 1 ab a b
C
A
a 2 b 2 0 a b a b 0 ab 2 1 0 2ab 1 0
a=b sau a= -b
2 2 2 ; X 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
259
12
2 2 2 2
20
Avem X 1
2
2 2 a1 b1 2 2 Pentru a= -b - 2b 2 1 0 b 2 a 2 2 2 2 2
2p
M
Pentru a=b 2b 1 0 (ec.nu are solutii reale) 2
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
x 2 2 x 2x 4 6 2
2p
a)
3 x 3 x 3 3 x 12 3
2p
( x 2) (3 x ) 2 3 1
1p
e1 x x e1 x , x e1 x 2 3 x 2 , x e1 3
2p
e2 x x e2 x , x e2 x 3 4 x 3 , x e2 4
2p
RE
BA b)
1p
e1 e2 e1 e2 . e1 e2 e1 e2 3 4 2 3 2 4 6 12 3 3 4 12 4 3 7 f ( x y ) a x y 1 a xy 2 x 2 y 6 1 axy 2ax 2ay 6a 11
2p
M
c)
V
f ( x ) f ( y ) f x f x 3 f x f y 12 ax 1 ay 1 3 ax 1 ay 1 12 a 2 xy 2ax 2ay 7 2
ar
2p
a 2 a a 0; a2 1 a=1 1 a 1 a 6 1 7
ia
D
C
A
eB
nt
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
f x
-
0
+
e
x2
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
f x
+++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
f x
1 e
260
12
+++++++++0- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
20
1 ln x
2p
2
x
1 ln x x2
M
1. a)
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
monotonia lui f
BA
1p
b)
1 1 lim f x lim x lim 0 ecuatia asimptotei orizontale spre + x l ' Hospital x 1 x x
RE
A
este y=0
2p
1 lim ln x ecuatia asimptotei verticale x 0 x x 0 x 0 x 0
este x=0
x0 x 0
V
Conform punctului a)
2p
ia
1 f x , x 0, e
3p
ar
c)
M
Asimptota verticala: lim f x lim
nt
2p
Conform punctului b) unde y=0 este ecuatia asimptotei orizontale spre
eB
f x 0, x e, 1 e
C
A
0 f x , x e,
a)
e x 1 x f x , x
O
x 0;1
F x) 1
S F x dx x e dx x
0
0
prin parti
x e x e x dx 1 e 0 e x e e 1 e e 1 1 1
1
1
0
0
0
1p 2p
12
1
2p
20
b)
3p
2
F x x e x x e x x e x e x x e x
M
2.
1p
2p
261
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
0
F x f x e 1 x
1
dx
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x e x x 1 e x
0
e 1 x
ln e x 1 ln e 1 ln 2 ln 1
ex dx ex 1 0
2 e 1
2p
M
RE
BA
0
3p
1
dx
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
V
Varianta 73
ia
ar
Prof: Soare Constantin
SUBIECTUL I (30 de puncte) 2
+ 8 = 24
1
5
1
6
3 ( 1 + 3 + 9 + 27) = 40
2p
12
3.
2p
20
1 , ] 6
(
1p
2
1 6
M
2.
2p
C
= ±2 2
3p
A
1.
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1p
3 = 1
2p
= 0
2p
262
Bacalaureat Matematică M – 2012 4.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
> 0.
C.E
2p
Not m lgx=y
10 + 21 = 0
= 3,
BA
= 3
= 10
= 7
= 10
(
RE
5.
,
2p
)
3p
(1,2)
M
6.
3p
= 7
V
=
2p
2 2
= +
2
ar
=
1p 2p
61 + 30 2
2 =
2
(8 + 1 + 1
2
2
2) =
=4abc Pentru
=
= 1, = 1, = 1
;
= 4
;
= 4
3p
2p
12
0 sistemul are solu ie unic şi se rezolv cu regula lui Cramer.
Pentru = 4
2 + + = 4 +2 + = 4 + +2 = 4
20
c)
= 1
1p
2
Ob inem
=
2p
M
b)
2p
C
=
1 1 2 1= 1 2
A
2
2 1 1
eB
1. a)
nt
ia SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1p 2p
. =
1
;
=
263
1
; =
1
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =
2.
a)
(
=
10)
10(
10
1p 3p
10)+10 = (
10) ( = (
BA
b)
(
10) + 10
1p
10) + 10
10) + 10 = 1010
3p 2p
= 20
RE
c)
10 + 100 + 10
Dem prin induc ie matematic . Verificare ( + 1)
2p
M
( )
2p
1p
Concluzie .
ar
V SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
( )=
(
)
=
(
)
3, 2
=
2
3
=
2+
3
[ 2+
3, )
( 2, 2 +
3)
Studiem semnul derivatei a doua .
( )
0,
1p
2p
1p
12
( )=
1p
20
2
1p
2
3
1p
M
, 2
2p
C
f este strict descresc toare pe
2p
=
+4 +1 = 0 ( + 2)
( )= 0
f este strict cresc toare pe
+ 1)
+
A
b)
c)
( 2 + 1) ( + 2) ( ( + 2)
eB
=
nt
ia
1. a)
6 ( + 2)
1p 1p
{ 2} 2p
f este concav pe intervalul (-∞,-2) şi f este convex pe intervalul (-2,∞)
264
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2.
+1 ( + 1)
( )=
a)
+1 ( )= ( + 1)
BA
( )=
b)
( )
RE = 2
M
|
( + 1) 1p
1 +1 1
=
2p
1 +1
1p
=
1p
=
=
=
1
2p
1p
ln( + 1) | = 1
3+
2p
2=
ar
V c)
=
|
2
4+
3=
1 +1
2p
=
1p 2p
C
A
eB
= 3
ln( + 1) | =
1
nt
=
=
ia
=
=
( )
2
M 12
Varianta 74
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Soare Constantin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor.
265
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
2.
= 17 = 37
+ 6 = 17 + 16 = 37
3p 2p
= 5 = 2
RE
BA 1.
f(2)=0
3p
M > 0. se ob ine ecua ia
2p
6 + 5 = 0.
1p
=1,
2p
= 5.
ia
Solu iile ecua iei sunt
ar
Not m 5 =
( 2) …. ( 2012) = 0
V
3.
( 1)
= 0
5 = 5
= 1
20
4. Se ob ine
{2,3,4,5}.
eB
nt
5 = 1
(
1)
2p
20
2p 3p
Fie M mijlocul segmentului [AB]. Atunci
=
;
=
3p
2
6.
2p
M
Ob inem M(1,4)
C
A
5.
=
7 8 2
1p
12
=
3 2
20
2
2p
2p
= 14 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
266
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( 1,3)
1. a)
2p
(2,9) =
:
:
2p
1=
BA
:6 ( 3,27)
b)
2p
M
( + 1,3
c)
2p
1 1 = 9 + 54 + 9 1
),
( + 2,3
27
27
6 = 12 de unde S=6
)
2p
1 1 1
1p
ar
V
3 +1 3 +2 3
Calcul m =
2p
),
( + 2, 3
=
(
9)
9(
) nu sunt coliniare.
eB
=
2.
, punctele
nt
( + 1,3
( ,3 ) ,
ia
= 4 3 > 0, deci pentru nicio valoare a lui
a)
9
9)+9
9 + 81 + 9
9)(
9) + 9
1p 1p 1p
M
Asociativitate Comutativitate
1p
2
Element neutru e=10
1p
20
= 9+
1p 2p
12
Dem prin induc ie matematic . Verificare ( )
3p
C
G parte stabil
Element simetrizabil
1p
A
= (
c)
1p
| |,
RE
=
1 3 unde = 2 9 3 27
b)
1p
3 = 0.
( + 1)
2p 1p
Concluzie .
267
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
lim ( ) =
1. a)
2p
y=x asimptot oblic spre ±
2p
x=-1 asimptot vertical
1p
RE
BA b)
( )=
, lim
( )= 0
( )= =
2,
+2 ( + 1)
2p
= 0,
M
1p
de unde deducem f strict cresc toare pe (
, 2)
( 0, )
2p
3
Avem
1p
ia
+3
1p
ar
c)
V
f strict descresc toare pe (-2,-1) ( 1,0)
0
1p
nt
+4 +4 +1
=
=
< 0
dx=
2p
| =
2p 1p
M
= (
=
0 şi x
C
a)
( )
0 adevărat pentru că ( + 2)
A
2.
)
2p
eB
(
0
1) |
=
=
| =
(
1)
= 1
+ 1=
1= 0
(
3p
1)
20
lim
|
2
b)
12 2p
c)
=
=
|
2
=
268
2p
Bacalaureat Matematică M – 2012 =
|
2
| +2
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
| =
1p 2p
=e-2e+2e-2=e-2
M
RE
BA C
A
eB
nt
ia
ar
V 2
M 12
Varianta 75
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Soare Constantin
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor.
269
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
BA 1.
= 2,
= 2 sau
3p
= 64 de unde deducem :
2p =
2,
=
2
RE
2.
= 16 = 1024
= 1
M
= 3,
V Num rul de submul imi ordonate este =
C. E. x>0 . Not m
şi ob inem ecua ia :
8 + 15) = 0 cu solu iile
= 0,
2p
= 3,
= 5 de unde se ob in solu iile
= 8,
= 32.
M
OA=3, OB=4,
= 5, =
=
5+ 8 4 10
8, 1
=
= 1 3 10 10
3p
12
=
3p
20
6.
2p
2
AB=5 Fie OC
3p
= 1,
C
5.
=
2p
A
(
2p
eB
= 720
4.
1p
=
nt
!
2p
ia
!
=
2p
= 4
[3,4]
ar
3.
1p
2p
270
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1 1 2 3 4 9
1
1 1 detA= 2 3 4 9
1
1. a)
=
RE
BA b)
= 3 5
detA=
2p
+ 18 + 4
12
9
+6 5
detA=0
1p + 6= 0
1p
M
=
4
= 25
= 2,
2p
24 = 1
2p
= 3.
ar
V c)
2p
2
+ + = 3 Pentru m=5 se ob ine sistemul : 2 + 3 + 5 = 10 4 + 9 + 25 = 38
1p
= 6,
nt
ia
= 6,
detA=6,
= 6,
+
+
=
+
+1
= 2
m-5=0
c)
)
2(
+
+
)=
1
= 1
1p
1
1+ 2
+1
1p
12
Pentru
+
20
b)
+
1p
2
2
=
= (
+
1p
+1
M
= 6
1p
C
+
a)
A
Scriem rela iile lui Viete.
+
2p
eB
= 1, = 1, = 1
2.
2p
6= 0
3p 2p
m=5.
Pentru m=5 , rela iile lui Viete devin:
2p 1+
+
271
= 6
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro +
+
= 11
= 6 = 2,
Deci
2p
= 3
BA
+
+
= 1 + 8 + 27 = 36 1p
RE
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M ( 2 + 1) =
V
1. a)
( + 1) =
ar
lim
( )=
lim
(2 + 1) = 2 ( + 1)
3p
f nu admite asimptot orizontal spre
1p
eB ( )
] = lim
1p +1
este asimptot oblic spre
( )=
( )=
( ) > 0,
(
IR F este strict cresc toare pe IR.
)
=
a)
1p 2p
12
2.
IR
+ 1 > 0,
1p
20
( )=
( ),
1p
2
Atunci F este derivabil pe IR ( )=
1p
M
o primitiv a func iei f.
Fie F :
1p
C
= 0
1p
= 1
A
= lim [ ( )
c)
1p
+2 +2
= lim
=
1p
+4 +2
nt
ia
b)
4
2p 2p
1
1
=
=
272
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =
1
1p
b)
3p =
BA RE
c)
=
Avem
( )= 0 ( )
1) =
= 2
1 3 = 2 2
2p
,
2p
(0, ) .
1p
dx=
2p ( )
C
A
eB
nt
ia
ar
V
= ( 2012
2
2
=
2
. Din monotonia func iei f deducem ( )
M
Avem
=
=
2
M 12
Varianta 76
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. 273
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
BA
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
3p
x 1005,...1006 , cardA 2012
2p
f 1 m 1
1p
2.
M
RE
2011 2 x 1 2 11 1005 x 1006
3.
x4 x2 2
4.
mg 12 3 3 144 3 9
3p
2p 3p
M 2
b c , cos B a a
2p
20
sin B
2p
C
O –mijlocul segmentului AC O 1, 2 O-mijlocul segmentului BD D 3,5
6.
2p
A
mg 72
5.
2p
eB
x 0, 2
nt
4 x 1 x2 2 x 1
1p
ia
4x 1
2p
ar
m=1
2p
V
1 m 2 2m 1 1
2
12
c b ac b 2 a a
1p
b 2c b 2 c a a
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 274
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
A2 A A A
2p
A3 A 2 A A A
2p
A3 A
1p
BA b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
X m mA I 2
2
2
3p
m 2 A 2mA I 2 m 2 2m A I 2
RE
2p
Finalizare
X 1 X 2 ... X 2012 A I 2 2 A I 2 ... 2012 A I 2
1p
X 1 X 2 ... X 2012 1 2 ... 2012 A 2012 I 2
2p
M
c)
V
ar
X 1 X 2 ... X 2012 1006 2013 A 2012 I 2
2p
x y z x y z
a)
xyz 2 xy 2 xz 2 yx 4 x 4 y a 2 z a xyz 2 xy 2 xz 2 yx a 2 x 4 y 4 z a
ia
2.
eB
nt
a=6
x y x 2 y 2 2 e1 3, x y x 3 y 3 3 e2 4
3p
e1 e2 e2 e1 7
2p
Not m 2012 2011 ... 1 cu x x 2 2
2p 2p
2
Nor m 10 11 ... 2012 cu y 3 y 3
M
C
c)
3p
1p
A
b)
1p
20
Finalizare
1p
12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
275
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
lim
f x f e xe
x e
' f (e)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
= f '(e)
1 1 e x
2p
BA
' f (e)=0
1p
x ln x 0 e
f e 0
x ln x = f x e
1p
1p
M
Se observ c
V
RE
b)
1p
xe f x ex
'
''
1p
nt
1 x2
20
3
4 32 2 x x 1 3 1
1
1
3
2p
12
3
f x 4
2p
2
f1 2 x 3
2p
M
a)
C
f '' pozitiv f convex
2.
1p
A
1 0, x 0, x2
1p
eB
f '' x
2p
ia
c)
ar
Punctul (e,0) este punct de minim f x 0, x 0,
4 3
1p
276
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f2 x x 2 3x
1p
f 22 x x 2 3x
1p
2x 3 , schimbare de variabil t= x 2 3 x 2 3x
3
I=
BA
x 1
I = ln
1p
9 2
RE
c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
3 1 1 V 2 2 x 3x x 3x 1 1
2p
3
1p
3
2
M
ln 2 3
ar
V
V
1 11 1 1 x 2 3x 3 x x 3
2p
C
A
eB
nt
ia 2
M 12
Varianta 77
20
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem.
277
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte) 1.
BA
E =9
E=
3p
1 9
1 9
2p
f x 1
RE
2.
log9
1p
x 1 x 2 0 1, 2 ; 2,1
M
3.
ar
2p
2p
A
3p
C
2 3 c sin 45 sin 60
2p
M
1p
2
2 3 c 2 3 2 2 c3 2
20
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
2p
12
1. a)
3p
eB
BC: x+3y-15 =0
2p
nt
200
A BC m=12 6.
2p
ia
2a1 19r 20 2
1p
V
2a1 19r 20 S 20
5.
2p
Notând pre ul ini ial cu x pre ul dup reducere 70%x
70 x 2800 100 x 4000 4.
2p
Y t 2 1
2p
2 1 A 4 2
2p
278
Bacalaureat Matematică M – 2012
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
4 2 2A 8 4
b)
2 1
det A
BA
4 2
1p 3p
= 2 2 4 1
2p
Finalizare B (a) este inversabil dac det(B(a)) 0
1p
det B a 2a 1 4a 2
2p
RE
c)
1 4
2p
M
a
2
2.
x1 x2 x3 0
a)
x1 x2 x3 x2 x3 0 x2 x3 D x3 x1 x2 x1 x2 = 0 x1 x2 0 x3 x1 x2 x3 x1 x3 x1
ar
V
1p
3p
x13 2 x1 3 0
1p
x23 2 x2 3 0 x33 2 x3 3 0
A
x13 x23 x33 2 x1 2 x2 2 x3 9 0
2p
C
E 9 c)
3p
eB
b)
nt
ia
D=0
x1 x2 x2 x3 x1 x3 =-2 x12 x22 x32 x1 x2 x3 2 x1 x2 x2 x3 x1 x3 4
2 2 4 2 2 4
2p 1p
12
4 A 2 2
20
2
2p
M
x1 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x12 x22 x32 A x1 x3 x1 x2 x2 x3 x12 x22 x32 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x x x x x x x x x x x x x2 x2 x2 3 1 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 1 2 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
279
Bacalaureat Matematică M – 2012 1. a)
2p
1 4 1 ld 0 4 s
0
BA
2p
ls 0 ld 0 f 0
1 4
1p
y f 1 f ' 1 x 1
RE
b)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x
1p
2 x
x
4
2
M
f
'
1p
2
1 2 , f 1 25 5 2 7 y x 25 25 f ' 1
1p
V ar
-2x < 0 pentru x 0,
2
4 >0
1p
eB
x
nt
x2 4 > 0 2
1p
ia
c)
2p
1p
f ' x < 0 f este descresc toare pe intervalul 0,
a)
g ' = e x 4 x 3 2 3 x 3 1
g' = f
b
f x g ' x f x g x a f ' x g x b
a
1
1
f x g x dx g x g x dx '
12
0
1p
0
1
I g 2 x 0 g ' x g x dx 1
1p
0
I
1p
20
a
1p
2
b
2p
M
Finalizare b)
2p
C
Func ia g este primitiv a func iei f dac
A
2.
2p
1 e 5 e 9 2
2p
280
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
1
1
0
0
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
2p
' ' xf x g x dx xg x x g x dx 1
1p
I e7
2p
'
0
M
RE
BA
I xg x dx
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Prof: Szöcs Ana
ia
ar
V
Varianta 78
A
eB
nt
Pentru orice solu ie corect , chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunz tor. Nu se acord frac iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ri par iale, în limitele punctajului indicat în barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin împ r irea punctajului ob inut la 10.
1.
C
SUBIECTUL I (30 de puncte) Se face schimbare în aceeaşi baz
M
3 2m 0
2p 1p
12
2.
1 1 2 lg 3 2
20
lg 3
3p
2
lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg8 1 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 2
2m 3 3 m 2
2p 2p
281
Bacalaureat Matematică M – 2012 3.
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
m 1 ; x1 x2 2 m 2m 3m 3 3 m 5
1p
x1 x2
2p 2p
BA 4.
Num rul posibilit ilor =84
3p
AB BC CA 0 BC 7i 5 j 7, 5
2p
M
3p
V
6.
2p
RE
5.
C96
Fie AM mediana corespunz toare ipotenuzei
2p
C
A M
det A = 2-2-2-1-2-4
2p
2
det A= -9
Dx 9; Dy 0; Dz 0
1p
20
b)
2p
eB
1 1 1 A 2 1 2 1 1 2
1p
nt
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. a)
2p
ia
BC 8 AM 4
ar
BC 2 m B 300 AM
x 1, y 0, z 0
3p 2p
12
282
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
x yz
1p
2 y z 1 3 y 2 3z a
BA
a
2.
1 2
2p
f 4 0
1p
RE
a)
2p
3p
4 m 4 1 0
m1 b)
1p
M
f x3 x 2 x 1 f x 2 1 x 1
3p
V
2p
c)
x2
1p
A C
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
M
x 2 7 x 10 0
x 2 x 5 0 x 2, 5
2p
2
1. a)
2p
eB
d x3
2p
nt
g x x 3
ia
ar
f x 1 x 2 x 3
2p
20
1p
12
283
Bacalaureat Matematică M – 2012 b)
f x
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro
ax b x 2 7 x 10 cx d
x 2 7 x 10 ax3 7 ax 2 10ax bx 2 7bx 10b cx d f x x 2 7 x 10 ax3 7 a b x 2 10a 7b c x 10b d f x x 2 7 x 10 a 1 7 a b 8 a b 1, c d 5 10 7 12 a b c 10b d 5
1p
1p
y mx n
1p
f x
x
x
1
x 3 8 x 2 12 x 5 x 3 7 x 2 10 x x x 2 7 x 10
x
f este continu pe 0 fiind format din func ii elementare
Finalizare x 1 1 1 f x dx 1 2 dx 0 x 2 x dx 0
0
1 x2 x 1 dx x 2 2 2 1
0
1
1p
2
2 3 1 0 x 2 x dx ln x 2 3 x 0 3 5 I ln 2 12 1
1p
M
1
1
C
1
1p
A
b)
2p
eB
1 ls 0 ld 0 f 0 2
2p
nt
a)
2p
ia
n 1 y x 1
1p
ar
n lim f x x lim
2.
1p
V
m lim
2p
M
c)
RE
BA
1p
1p
20
2p
12
284
Bacalaureat Matematică M – 2012 c)
www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2p
x x 2 2 x A x2 2 x 2 1
g x x2
1p
1 14 3ln 2 6
2p
M
RE
BA
A
2
C
A
eB
nt
ia
ar
V 2
M 20 12
285
Related Documents
Barem Culegere Bac M2_nopw.pdf
February 2021 0
Culegere Bac M2 2012
February 2021 0
Culegere Bac Info 2009
January 2021 2
Barem-
January 2021 3
Culegere Fizica.pdf
January 2021 1
Fizica Bac
January 2021 1More Documents from "Corina-Stefania"
Barem Culegere Bac M2_nopw.pdf
February 2021 0
Tema De Control Dos
January 2021 1
Printul Spinilor M.l
January 2021 1
Masca Inocentei Virginia Henley
January 2021 1
Carte Electrocardiografie
February 2021 1