Bendaa Tegar

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Mempelajari

gerak

benda,

konsep-konsep

gaya

dan

energi

yang

berhubungan, membentuk satu bidang yang disebut dengan mekanika (Giancoli, 2001). Lebih lanjut, mekanika dibagi menjadi dua bagian yaitu kinematika dan dinamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak tanpa menyebabkan penyebab geraknya, sedangkan dinamika merupakan ilmu yang mempelajari gerak dengan memperhatikan penyebab geraknya (Umar,

2008). Dinamika

berhubungan dengan gaya- gaya yang berkaitan dengannya dan sifat-sifat benda yang bergerak tersebut. Benda bergerak secara translasi dan rotasi. Benda yang berotasi disebabkan oleh adanya torsi (Giancoli,2001). Jika torsi yang diberikan pada benda yang diam lebih besar dari pada torsi yang menghambat, maka benda tersebut akan berputar. Dalam hal ini, selisih antara torsi yang dikerjakan pada benda dengan torsi yang menghambat disebut dengan torsi total. Torsi merupakan gaya yang kita berikan pada benda tersebut. Secara metematis, torsi merupakan hasil kali dari gaya dan lengan gaya. Dan torsi yang menghambat disebabkan oleh adanya gaya gesekan, yang lebih tepatnya adalah hasil kali dari gaya gesekan dengan panjang lengan gaya. Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itu dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok, bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya). Derek bisa patah jika beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk apabila gaya berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu mengalami perubahan bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja berubahdengan kata lain benda menjadi

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

1

tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktorfaktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar. Selain itu peristiwa gerak benda yang menggelinding sangat erat kaitannya dengan konsep dinamika rotasi benda tegar. Benda tegar merupakan sistem benda yang terdiri atas sistem benda titik yang jumlahnya tak terhingga dan jika diberi gaya, jarak antara titik – titik dalam sistem selalu tetap. Gerak benda tegar dapat dianalisis sebagai gerak translasi dari pusat massanya, ditanbah dengan gerak rotasi sekitar pusat massa (Giancoli. 2001). Serta kaitannya dengan usaha dan energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta permasalahan pada dinamika rotasi. Berdasarkan uraian diatas, kami menyimpulkan diperlukan adanya pemahaman yang lebih mengenai kesetimbangan benda tegar, kinematika rotasi benda tegar, dinamika rotasi, torsi, momen inersia, gerak menggilinding, usaha dan energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta permasalahan pada dinamika rotasi. Agar kita semua dapat memahami lebih dalam tentang kesetimbangan benda tegar dan mempraktekannya dalam kehidupan sehri-hari.

1.2. Rumusan Masalah Dari latar belakang tersebut adapun masalah-masalah yang muncul adalah sebagai berikut : 1.

Apakah yang dimaksud dengan titik berat?

2.

Bagaimanakah Kesetimbangan benda tegar?

3.

Bagaimanakah kinematika rotasi benda tegar?

4.

Apakah yang dimaksud dengan torsi dan momen inersia dalam dinamika rotasi?

5.

Bagaimana konsep gerak menggelinding?

6.

Bagaimana penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi?

7.

Bagaimanakah usaha dan energi kinetik gerak rotasi?

8.

Bagaimanakah momentum sudut dan kekekalannya?

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

2

1.1. Tujuan 1. Menjelaskan dan menganalisis titik berat. 2. Menjelaskan dan menganalisis kesetimbangan benda tegar. 3. Menjelaskan dan menganalisis kinematika rotasi benda tegar. 4. Menjelaskan dan menganalisis dinamika rotasi yang meliputi torsi dan momen inersia. 5. Menjelaskan dan menganalisis konsep gerak menggelinding. 6. Memaparkan cara penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi. 7. Menjelaskan dan menganalisis usaha dan energi kinetik gerak rotasi. 8. Menjelaskan dan menganalisis momentum sudut dan kekekalannya. . 1.2. Manfaat Adapun manfaat dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Memberikan suatu pengetahuan mengenai Kinematika dan Dinamika Benda Tegar bagi mahasiswa khususnya mahasiswa Pendidikan Fisika. 2. Menambah modul pembelajaran mengenai Kinematika dan Dinamika Benda Tegar. 3. Memberikan tambahan wawasan mengenai Kinematika dan Dinamika Benda Tegar

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

3

BAB II PEMBAHASAN Benda tegar merupakan benda dengan bentuk tertentu yang tidak berubah, sehingga jarak antar partikel – partikel pembentuknya berada pada posisi yang tetap relatif satu sama lain (Giancoli, 2001). Tentu saja pada kenyataanya benda apapun bisa bergetar atau berubah bentuk ketika diberikan gaya. Namun efek ini seringkali kecil, sehingga konsep benda tegar yang ideal sangat berguna bagi pendekatan yang baik. Gerak benda tegar dapat dianalisis sebagai gerak translasi dari pusat massanya yaitu jika lintasan semua titik tersebut sejajar, ditambah dengan gerak rotasi sekitar pusat massa. 2.1 Titik Berat Titik berat adalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gaya berat sistem benda titik (Giancoli, 2001). Benda tegar akan melakukan gerak translasi apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai titik berat. Titik berat merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan lintasan gerak translasinya. Untuk mengetahui letak titik berat suatu benda tegar untuk benda-benda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus, balok, bujur sangkar, bola dan lain-lain yaitu sama dengan letak sumbu simetrinya. Sedangkan untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang letak titik berat dicari dengan perhitungan. Dari pernyataan di atas, titik berat benda homogen (massa jenis tiap – tiap bagian benda sama) memiliki sifat – sifat khusus sebagai berikut: 

Jika benda homogen mempunyai sumbu simetri atau bidang simetri, maka titik beratnya terletak pada sumbu simetri tersebut.



Letak titik berat benda pada benda padat bersifat tetap dan tidak tergantung pada posisi benda.



Jika suatu benda homogen mempunyai dua bidang simetri, maka titik beratnya terletak pada garis potong kedua benda tersebut.

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

4

a) Titik berat benda berbentuk linear (garis) Titik berat benda berbentuk linear (garis) dapat dilihat pada Tabel 2.1

Nama Benda

Gambar Benda

Garis Lurus

X0

Letak Titik Berat Z

A

B

Busur

Y

Lingkaran Z

A

R

yo

B

R

=

jari-jari

lingkaran

Y

Busur Setengah Lingkaran

Z yo

A

R

B

Tabel 2.1 (titik berat benda liner) Untuk benda homogen yang merupakan gabungan dari benda- benda berbentuk linear, titik beratnya dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

(2.1)

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

5

Keterangan: : panjang garis : titik berat masing – masing benda : kordinat titik berat benda Contoh soal: Hitunglah letak titik berat benda homogen satu dimensi seperti gambar di bawah jika panjang masing – masing benda 6 cm dan 8 cm! y

8 cm 10cm cm

x

cmcm

Jawab: Bangun 1: L1 = 8 cm, x1 = 0, y2 = ½ . 8 = 4 Bangun 2: L2 = 10 cm, x2 = ½ .5, y2 = 0

( )( ) (

)( )

= 2,77

( )( ) (

)( )

= 1,8

Maka titik berat benda tersebut terletak pada (2,77 , 1,8)

b) Titik berat benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi) Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik beratnya merupakan perpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat lingkaran. Titik berat bidang homegen diperlihatkan pada Tabel 2.2 berikut: Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

6

Nama Benda

Gambar Benda

Titik Berat

C

Segitiga

t = tinggi z = perpotongan

D

Z

t

garis-garis yo

A

Keterangan

AD & CF B

E F

D

Jajaran Genjang

berat

t = tinggi

C

z = perpotongan t

diagonal AC dan

yo

BD A

B

Juring Lingkaran

Y Z

yo

R

Setengah

X R=jari-jari lingkaran

Y

Lingkaran R

Z

yo

A

0

R=jari-jari lingkaran

B Tabel 2.2 (titik berat benda luasan)

Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

(2.2)

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

7

Keterangan: : Koordinat titik berat benda A

: Luas bidang : Absis titik masing – masing benda : Ordinat titik masing – masing benda

c) Titik berat benda homogen berbentuk ruangan (dimensi tiga) Titik berat benda berbentuk ruangan (dimensi tiga) dapat dilihat pada Tabel 2.3 Nama Benda

Gambar Benda

Titik Berat

Keterangan z1 = titik berat

Prisma Z2

z

pada

titik bidang alas

tengah garis z1z2 z2 = titik berat bidang atas

Z yo

= panjang sisi

Z1

tegak t = tinggi silinder

Silinder Z2

R

=

jari-jari

lingkaran alas A = luas kulit

Z t

y0

silinder

Z1

Limas

T Z

T’T = garis tinggi ruang

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

8

Kerucut

T

TT’

tinggi

kerucut

Z A

=

T’

T’

B

=

pusat

lingkaran alas

Setengah bola y0

Z

R = jari-jari

Tabel 2.3 (titik berat benda ruangan) Letak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga dapat ditentukan dengan persamaan:

(2.3)

Contoh soal: Sebuah bola homogen berlubang, mempunyai jari-

y

jari 2R. Bentuk rongga juga berbentuk bola dengan jari-jari R. Seperti terlihat pada gambar. Berapakah titik berat bola berlubang ini jika diukur dari pusat

x

koordinat dalam sumbu X.

Jawab: Misalkan bangun 1 ialah bola besar, maka

(

)

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

9

, Dan lubang ialah bangun 2, maka;

, Sehingga titik berat benda tersebut dapat diperoleh melalui persamaan 2.3

Jadi titik berat bangun bola berlubang diatas adalah(X,Y) = (-1/7 R, 0) 2.2 Kesetimbangan Benda Tegar 2.1.1 Benda Tegar Benda tegar disefinisikan sebagai benda yang ukurannya tidak dapat diabaikan dan tidak mengalami perubahan bentuk atau volume jika dikenai gaya luar (Umar, 2008). Jika benda tegar dikenai oleh suatu gaya maka setiap partikel pada benda tersebut tidak mengalami perpindahan atautidak bergeser posisinya sehingga jarak antara bagian-bagian benda tidak berubah. 2.1.2 Kesetimbangan benda Kesetimbangan sebuah benda dapat dibedakan atas kesetimbangan statis (keadaan benda tanpa gerak) dan keseimbangan dinamis (kesetimbangan benda dalam keadaan gerak beraturan). Jika resultan semua gaya yang bekerja pada suatu benda adalah nol dan benda tersebut tetap tidak bergerak, benda tersebut berada dalam keadaan keseimbangan statis. Dengan kata lain benda pada Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

10

kesetimbangan statis, jika tidak diganggu maka tidak akan mengalami percepatan translasi maupun rotasi karena jumlah semua gaya dan jumlah semua torsi yang bekerja padanya adalah nol. Bagaimanapun, jika benda dipindahkan sedikit, akam memungkinkan 3 akibat, yaitu kesetimbangan stabil, kesetimbangan tidak stabil dan kesetimbangan netral (Giancoli, 2001). Benda yang kembali ke posisi semula,dikatakan sebagai kesetimbangan stabil. Benda yang berpindah lebih juh lagi dari posisi awalnya disebut dengan kesetimbangan tidak stabil. Dan benda yang tetap pada posisinya yang baru, dinamakan kesetimbangan netral. Bendabenda yang berada dalam kesteimbangan statis banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam bidang teknik, misalnya rancangan struktur jembatan, struktur menara, dan berbagai gedung pencakar langit. Jika suatu benda bergerak beraturan dan resultan semua gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol, benda tersebut berada dalam kesetimbangan dinamis. Contoh benda yang berada dalam kesetimbangan dinamis. Contoh benda yang berada dalam keseimbangan dinamis adalah gerak seorang penerjun payungmenggunakan sebuah parasut. 2.1.3 Kesetimbangan Benda Tegar Syarat- syarat benda tegar agar setimbang adalah : 1. Percepatan linier pusat massanya nol. Dalam hukum II Newton, kita mempelajari jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda, maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda. Berdasarkan persamaan hukum II Newton, persamaannya dapat ditulis: F = m a F= 0

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

(2.50)

11

∑

∑

∑

2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangkan acuan juga nol. Dalam dinamika rotasi, kita mempelajari bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda (benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian, agar benda tidak berotasi maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut : Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi : =Iα Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut. Karena percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi : =0

(2.51)

C

60o

TBC A

TAB

B

TBC sin 60 TBC

W

Jawab: ∑

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

60o

TBC cos 60

TAB T = 50 N

12

Maka, ∑

∑

⁄ √

⁄ √

√

√

( )

√

2.3 Kinematika rotasi benda tegar Kinematika rotasi adalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegar dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi. Untuk menjelaskan gerak rotasi benda tegar akan dimulai dengan memperkenalkan konsep – konsep yang berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad), kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2).

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

13

Posisi Sudut (θ)

1)

(1)

Agar sebuah titik di tepi roda berpindah dari posisi (1) ke posisi (2), roda tersebut harus berputar sebesar θ ( lihat gambar (2)

R θ

2.1). Jika jarak tempuh linear s dari posisi 1 ke posisi 2 dan jari – jari R diketahui, maka hubungan posisi sudut dengan jarak linearnya adalah: s = Rθ (2.4)

Gambar 2.1

Keterangan: s: Perpindahan linear (m) R: Jari – jari Lingkaran (m) θ: Perpindahan sudut (rad)

Bila gerak rotasi berlawanan dengan putaran jarum jam disebut sebagai arah positif putaran, sehingga bila gerak rotasi berlawanan dengan jarum jam maka jumlah θ bertambah, sedangkan bila gerak rotasi searah dengan putaran jarum jam maka θ berkurang. Sudut θ dapat dinyatakan dengan radian (rad), derajat ( 0 ), ataupun dalam putaran. Hubungan antara satuan radian, derajat, dan putaran adalah sebagai berikut: Radian merupakan satuan geomatris murni tanpa dimensi fisis karena terjadi dari perbandingan dua panjang. 1 putaran disamakan dengan keliling ), maka untuk satu lingkaran penuh diperoleh θ

lingkaran (2 ,

, dan

.

2) Kecepatan Sudut (ω) Kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan pergeseran sudut atau searah dengan sumbu putarnya. Pergeseran sudut partikel dalam selang waktu

t = t2 – t1 adalah

θ = θ2 – θ1 maka laju sudut rata – rata

( ̅)dapat dirumuskan sebagai berikut: Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

14

(2.5)

Keterangan: ̅

: kecepatan sudut rata – rata (rad/s)

∆t

: selang waktu (s)

∆θ

: perpindahan sudut (rad)

Kecepatan sudut sesaat terjadi pada selang waktu

yang sangat

singkat yaitu mendekati nol sehingga perubahan kecepatannya sangat kecil. Persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:

(2.6)

Untuk benda tegar, semua garis radial yang tetap dalam benda itu dan tegak lurus terhadap sumbu rotasi akan menempuh sudut yang sama dalam waktu yang sama, sehingga kecepatan sudut terhadap sumbu ini sama untuk semua partikel dalam benda (Resnick. 1985: 319)

Gambar 2.2 Pada piringan yang berputar dengan sumbu putar pada poros, setiap titik pada piringan tersebut mengalami kecepatan sudut yang sama, sedangkan kecepatan linearnya berubah – ubah tergantung pada letak titik tersebut. semakin ke tepi (jari – jari semakin besar), semakin besar kecepatan linearnya.

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

15

Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudutnya dapat dirumuskan sebagai berikut:

Karena

, maka hubungan antara kecepatan linear (v) dengan kecepatan

sudutnya (ω) v = ωR

(2.7)

Keterangan: v

: kecepatan linear (m/s)

ω

: kecepatan sudut (rad/s)

R

: jari – jari lingkaran (m)

Contoh soal: Posisi sudut benda yang bergerak melingkar beraturan memenuhi (

)

Dari data itu tentukan kecepatan sudut rata-rata antara !

Jawab: Bila ( ( )

)

( ( )

)

= 52 rad/s 3) Percepatan Sudut (α) Jika laju sudut partikel dalam benda tegar tidak konstan maka laju sudut seluruh partikel di dalam benda tegar juga tidak konstan. Ini berarti benda tegar tersebut mengalami percepatan sudut atau biasa juga disebut dengan Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

16

percepatan anguler. Percepatan sudut merupakan perubahan kecepatan sudut per satuan waktu yang diperlukan untuk terjadinya perubahan tersebut. Jika pada saat t1, kecepatan sudut tersebut adalah ω1 dan pada saat t2 = (t kecepatan sudutnya menjadi ω2 = (ω

t),

ω), percepatan sudut rata – rata dapat

dituliskan sebgai berikut: ̅

(2.8) Keterangan: α̅

: percepatan sudut rata – rata (rad/s2)

∆ω : perubahan kecepatan sudut (rad/s) ∆t : perubahan waktu (s) Sedangkan percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai percepatan sudut rata – rata untuk selang waktu

yang sangat kecil atau mendekati nol.

(2.9)

Contoh soal: Sebuah benda berotasi dengan kecepatan sudut

(

⁄

)

Tentukan percepatan sudut saat Jawab: Percepatan sudut bisa dicari menggunakan persamaan 2.8 (

)

( )

=

⁄

Untuk rotasi dengan sumbu tetap, setiap patikel pada benda pejal tersebut mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang sama. Jadi  dan  merupakan karakteristik keseluruhan benda pejal tersebut. Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

17

Kita dapat menggunakan persamaan 2.8 untuk menunjuukan bahwa percepatan sudut berhubungan dengan percepatan linear tangensial (aT) dari partikel yang berotasi.

(2.10)

Keterangan: aT

: percepatan tangensial (m/s2)

R

: jari – jari lingkaran (m)

α

: percepatan sudut (rad/s2) Arah percepatan tangensial ini selalu bersinggungan dengan busur

lingkaran. Selain itu di dalam gerak rotasi juga terdapat percepatan radial (asp), yaitu percepatan yang arahnya menuju titik pusat lingkaran atau biasa disebut dengan percepatan sentripetal: (ω )

asp=ω2R

(2.11)

Keterangan: asp

: percepatan setripetal/ radial (rad/s2)

ω

: kecepatan sudut (rad/s)

R

: jari – jari lingkaran (m)

Pada gambar 2.3, titik P terletak di tepi piringan mengalami dua P

percepatan linear, yaitu percepatan setripetal yang arahnya menuju pusat lingkaran dan percepatan tangemsial yang arahnya tegak lurus dengan

percepatan

setripetal,

serta

bersinggungan dengan busur lingkaran yang Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

18

berpusat di O. Maka percepatan linear total dari sebuah partikel adalah jumlah vector dari dua komponen percepatan tersebut.

√ Gambar 2.3

2.3.1 Rotasi dengan laju sudut konstan Untuk gerak rotasi benda tegar yang mempunyai laju sudut yang konstan, pergeseran sudutnya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 2.5, sehingga diperoleh hubungan

̅(

). Jika

pada saat t =0 posisi sudut partikel adalah θ0 dan pada t2 = t posisi sudutnya adalah θt, hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut θt =θ ωt

(2.12)

Pada gerak rotasi partikel atau benda tegar yang laju sudutnya konstan, laju sudut sesaat sama dengan laju sudut rata – ratanya.

2.3.2 Rotasi dengan percepatan sudut konstan Definisi kecepatan sudut dan percepatan sudut dengan kecepatan dan percepatan linear, dengan θ mengganti perpindahan linear s, ω mengganti v, dan α mengganti a. Karena persamaan-persamaan kinematika yang menghubungkan θ, ω, dan α bentuknya sama dengan persamaan-persamaan kinematika gerak linear,maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh kaitan sebagai berikut untuk percepatan sudut konstan.

(2.13)

(2.14) Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

19

ωt =ω

αθ

(2.15)

2.4 Dinamika Rotasi; Torsi dan Momen Inersia 2.4.1 Momen gaya (Torsi) Momen gaya merupakan hasil kali antara gaya (F) dengan lengan gaya (l) (Umar, 2008). Momen gaya sebenarnya dibagi menjadi tiga yaitu: momen lentur, momen kopel, dan momen puntir (torsi). Dalam makalah ini kami membatasi materi pada momen puntir (torsi) Benda hanya dapat mengalami perubahan gerak rotasi jika pada benda diberi momen gaya atau sering juga disebut torsi. Menurut Umar (2008), torsi didefinisikan sebagai besaran yang ditimbulkan oleh sebuah gaya terhadap sumbu putarnya dan momen ini dapat memberikan pengaruh terhadap perubahan gerak rotasi suatu benda. Torsi merupakan perkalian secara vektor antara vektor gaya dan vektor lengan gaya, maka torsi merupakan besaran vektor., sehingga selain mempunyai besar, torsi juga mempunyai arah. Contoh momen gaya (torsi) yang bisa kita temukan dalam kehidupan sehari-hari adalah pegangan pintu yang diberikan gaya oleh tangan kita sehingga engsel di dalamnya dapat berputar. Ketika membuka sebuah pintu, pengaruh gaya yang diberikan tidak hanya tergantung pada besarnya gaya, tetapi bergantung juga pada arah dan jarak titik gaya terhadap sumbu perputaran pintu. Gaya yang diberikan untuk membuka pintu arahnya tegak lurus terhadap pintu. Makin besar gaya yang diberikan, maka makin cepat pula pintu dibuka. Tetapi jika diberikan gaya dengan besar yang sama pada titik yang lebih dekat dengan engsel, maka pintu tidak akan terbuka sedemikian cepat. Sedangkan jika

kita memberikan gaya yang sejajar

dengan (mendekati atau menjauhi) engsel, maka engsel pintu tersebut tidak akan berputar sehingga pintu tidak bisa terbuka. Terlihat bahwa percepatan Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

20

sudut pintu berbanding lurus tidak hanya dengan besarnya gaya, tetapi juga dengan jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis kerja yang disebut dengan lengan gaya. F1 engsel

Pada gambar 2.4, tirik

r=

disebut sebagai sumbu rotasi,

O F

O

adalah Gambar 2.4

besar gaya yang diberikan, dan r disebut dengan lengan gaya. Adapun pengertian dari lengan gaya yang merupakan jarak yang tegak lurus dari sumbu rotasi O terhadap garis gayanya.

Berdasarkan pernyataan tersebut besarnya gaya puntir atau momen gaya (torsi) tidak hanya bergantung pada besarnya gaya, tetapi juga ditentukan oleh titik tangkap gaya relatif terhadap titik asal (lengan gaya), yaitu vektor r. Secara sistematis, torsi dirumuskan sebagai berikut:

(2.16) jika garis gaya F melalui titik asal (sumbu rotasi), maka r sama dengan nol dan momen gaya terhadap titik asal juga sama dengan nol

F sin α

F r=

O

α

Gambar 2.5

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

21

Jika gaya yang diberikan pada sebuah batang (Gambar 2.5) membentuk sudut α terhadap lengan gaya, maka vektor F sin α merupakan komponen gaya yang tegak lurus terhadap lengan gaya. Ini berarti bahwa gaya yang menimbulkan momen gaya adalah gaya yang tegak lurus dengan lengan gaya. Atau jika sin α melekat pada lengan gaya (r sin α), maka lengan gaya yang memberikan momen gaya adalah lengan yang tegak lurus terhadap garis gaya. Hubungan antara momen gaya dan lengan gaya jika gaya membentuk sudut α terdadap lengan gaya adalah:

(2.17) Keterangan: : momen gaya (Nm) : lengan momen (m) : gaya yang bekerja (N) : sudut antara garis gaya dengan lengan momen (o) Ketentuan momen gaya berdasarkan arah putarannya: 1. Jika benda diberikan gaya yang arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam atau menjauhi pembaca, maka momen gaya bernilai positif (+). 2. Jika benda diberi gaya yang arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam atau mendekati pembaca, maka momen gaya bernilai negatif (-).

Gambar 2.7 F1 A

menunjukkan

adanya dua momen gaya yang bekerja

α

B F2 Gambar 2.7

pada

Besarnya ditimbulkan

sebuah

momen oleh

batang.

gaya F1

dan

yang F2

terhadap titik B (sumbu rotasi) adalah: α

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

22

Oleh karena arah rotasi yang ditimbulkan oleh gaya F1 searah dengan arah putaran jarum jam, maka

bernilai positif, sedangkan

bernilai negatif

karena arah rotasi yang ditimbulkan F2 berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Jika pada sebuah benda bekerja dua atau lebih momen gaya, maka momen gaya total di sekitar sumbu benda merupakan penjumlahan vektor semua momen gaya yang bekerja. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

(

)

Contoh soal: Batang AB bebas berputar di titik O seperti pada gambar di bawah.

Panjang AB = 3 m, OA = 2 m, dan OB = 1 m. Pada titik A bekerja gaya F A = 10 N dan pada titik B bekerja gaya FB = 20 N. Tentukan torsi yang bekerja pada batang dan arah putarnya. ∑( (

) )

(

)

Karena torsi bernilai negatif (-) maka arah putarnya berlawanan arah jarum jam.

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

23

2.4.2 Momen inersia (kelembaman) Menurut Hukum I Newton, setiap benda memiliki kecenderungan untuk mempertahankan keadaan geraknya. Jadi, jika benda dalam keadaan diam, benda cenderung untuk tetap diam. Demikian pula dengan benda yang sedang bergerak dengan kecepatan konstan, benda akan cenderung untuk

tetap

bergerak

lurus

beraturan.

Kecenderungan

untuk

mempertahankan keadaannya inilah yang disebut dengan inersia. Konsep Hukum kelembaman tersebut juga berlaku untuk benda – benda yang sedang berotasi, seperti halnya planet – planet dalam tata surya yang mempunyai kecenderungan untuk tetap mempertahankan keadaan gerak rotasinya. Kecenderungan ini disebut sebagai momen inersia. Dalam buku yang ditulis oleh Young dan Freedman (2002), tertulis bahwa kata “momen” berarti bahwa I tergantung pada bagaimana massa benda didistribusikan dalam ruang; ini tidak ada hubungannya dengan “momen” dari waktu. Untuk sebuah benda yang rotasinya dan massa totalnya kita ketahui, semakin besar jarak sumbu terhadap partikel yang menyusun benda, semakin besar momen inersianya. A. Momen inersia benda diskrit (partikel) Perhatikan gambar 2.6. Sebuah partikel

bermassa

mengelilingi r

m

r

sebuah

m

berputar

sumbu

yang

berjarak r dari m. Dengan demikian, momen inersia (kelembaban inersia) partikel

Gambar 2.6

tersebut

dapat

dirumuskan

sebagai berikut:

I = mr2

(2.19)

Keterangan: I : momen inersia (kgm2) m : massa partikel (kg) r : jarak antara partikel dengan sumbu rotasi (m)

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

24

Perhatikan gambar 2.7! Untuk benda tegar yang tersusun dari banyak partikel dengan masing-masing massa m1, m2, m3, ..., mN dan berjarak tegak lurus terhadap titik poros masing-masing r1, r2, r3, ..., rN maka momen inersia sistem partikel tersebut adalah: I = m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 + … + mN rN2 ∑

m1

r1

(2..20)

r2 m2

m3 r3

Gambar 2.7 B. Momen inersia benda tegar Jika sebuah benda terdiri atas partikel – partikel yang dapat dianggap terpisah satu sama lain, momen inersianya dapat ditentukan dengan persamaan 2.20. Berbeda dengan benda tegar yang memiliki satu kesatuan massa yang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan bentuknya teratur. Teratur disini maksudnya adalah massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari titik pusat massa benda. Ketika sebuah benda tegar tidak dapat dinyatakan dengan beberapa titik massa, tapi berupa distribusi massa yang homogen, penjumlahan massa dan jarak yang mendefinisikan momen inersia dihitung menggunakan teknik integral sebagai berikut (Young dan Freedman, 2002); dengan r adalah jarak tegak lurus elemen massa dm ke sumbu putar: ∫

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

(2.21) 25

Untuk menghitung integral, kita harus menyatakan r dan dmdalam bentuk variabel integral yang sama. Ketika kita memiliki ojek satu dimensi, seperti batang tipis, kita bisa menggunakan koordinat x sepanjang batang dan menghubungkan dm pada pertambahan dx. Untuk objek tiga dimensi biasanya paling mudah menyatakan dm dalam bentuk elemen volume dV dan densitas

benda (

), sehingga persamaannya menjadi: ∫

Jika benda memiliki densitas homogen, maka

dapat dikeluarkan dari

persamaan. ∫ Untuk menggunakan persamaan ini, kita harus menyatakan elemen dV dalam bentuk diferensial dari variabel integral, seperti

.

Elemen dV harus selalu dipilih sehingga semua titik di dalamnya memiliki jarak yang sama terhadap sumbu putar. Batas integrasi ditentukan oleh bentuk dan ukuran benda. Benda – benda tegar yang bentuknya teratur, diaantaranya adalah batang, silinder dan bola. Berikut ini akan ditunjukkan cara menghitung momen inersia dari beberapa benda tegar: a. Sebuah batang dengan panjang , dan massa m, yang berputar terhadap sumbu melalui pusat massa. Dari persamaan 2.21, diasumsikan bahwa r = x dan dm =

, dengan

batas integralnya adalah x1 dan x2 sehingga diperoleh:

∫

(

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

)|

26

b. Untuk sumbu putar yang terletak di ujung batang dengan panjang , dan massa m, akan didapatkan x1 = 0 dan x2 =

sehingga momen inersia

batang akan menjadi:

∫ (

(

)|

)

Besarnya momen inersia dari sebuah benda yang bentuknya teratur bergantung pada massa benda, bentuk benda, dan letak sumbu putarnya. Pada Tabel 2 dibawah ini terdapat momen inersia dari beberapa bentuk benda dengan posisi sumbu tertentu. Gambar

Nama

Letak Sumbu

Batang

melalui pusat

Batang

melalui ujung

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

Momen Inersia

27

cincin tipis

melalui

pusat

silinder

silinder pejal

melalui

pusat

silinder

Silinder pejal

Seperti tampak pada gambar

silinder

melalui pusat

(

)

berongga

bola pejal

melalui pusat

bola pejal

melalui

salah

satu

garis

singgung

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

28

bola

Melalui pusat

berongga

Tabel 2.4 (momen inersia benda tegar) Teorema Sumbu Sejajar Ketika mengukur momen inersia dari sebuah benda pada sumbu yang berbeda, hasilnya juga akan berbeda (berubah pada setiap pengukuran). Jadi dapat dikatakan bahwa momen inersia dari sebuah benda besarnya relatif terhadap suatu sumbu (Sumardi, 1996). Terdapat suatu teori yang dapat menentukan besar momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang tidak melalui pusatnya, tetapi masih sejajar dengan sumbu yang melalui pusat tadi. Teori ini dikenal sebagai teorema sumbu sejajar. Teorema sumbu sejajar menyatakan bahwa jika sumbu putar tidak terletak pada pusat massa, tapi sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa, maka momen inersia terhadap sumbu tersebut dapat dihitung. Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar 2.8 (teorema sumbu sejajar)

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

29

Dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar tetapi melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut: ∫⃗

∫ ⃗

⃑

⃗

⃗

⃗

⃗

(2.22) (⃗

⃗) ( ⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗)

⃗

Sehingga ∫(

⃗

⃗)

(2.23)

suku pertama tidak lain adalah Mr2pm (M adalah massa total benda), suku kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat massa). Sehingga persamaanya menjadi: r2pm

(2.24)

Keterangan: Ip

: momen inersia terhadap sumbu baru (kgm2).

Ipm

: momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat (kgm2).

M

: massa seluruh benda (kg).

rpm

: jarak antara sumbu baru dengan sumbu yang melalui pusat (m).

Contoh soal:

20 cm

Hitunglah

momen

inersia

berbentuk

silinder

pejal

sebuah yang

roda

memilki

diameter 20 cm dan massa 50 kg. Jika pusat m = 50 kg

putaran ditepi roda sejajar dengan sumbunya.

d=R

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

30

Jawab: Momen inersia silinder yang mealui titik pusat adalah

, sehingga

momen inersia yang sejajar dapat diperoleh melalui persamaan 2.24: (

⁄ (

⁄

)

) (

)

⁄

Teorema sumbu tegak lurus Teori ini hanya berlaku pada benda – benda yang mempunyai luasan (lempeng tipis), karena ketebalan benda yang demikian dianggap nol. Perhatikan gambar 2.9 berikut ini!

Gambar 2.9 (teorema sumbu tegak lurus)

(

)

(2.25) Berdasarkan buku yang ditulis oleh Sumardi (1996), momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus. Contoh soal: Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

31

Keempat massa seperti tampak pada gambar,

A 3m

dihubungkan oleh kawat yang massanya dapat diabaikan. Tentukanlah momen inersia sistem jika sumber putarnya:

2m

2m

a) Melalui pusat lingkaran O tegak lurus pada bidang

b

gambar b) Melalui AA’

1m

A’ ’

Jawab: a.

b.

2.5 Gerak Menggelinding Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai benda yang bergerak menggelinding, misalnya sebuah benda yang dilemparkan di atas lantai mendatar, atau roda-roda sebuah kendaraan yang melaju di jalan raya. Berdasarkan jenis bidang yang dilewati, gerak menggelinding dibagi menjadi tiga, yaitu gerak menggelinding pada bidang datar, menggelinding pada bidang miring, dan beban yang dihubungkan melalui katrol. Menggelinding tanpa slip bergantung pada gesekan statik antara benda yang menggelinding dan lantai. Gesekan bersifat statik karena titik kontak benda yang menggelinding dengan lantai berada dalam keadaan diam pada setiap saat. Contohnya ketika sedang mengerem terlalu keras sehingga ban menjadi selip. Gerak menggelinding dengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak, yaitu gerak rotasi dan translasi. Perhatikan gambar 2.11! Setiap bagian dari silinder melakukan dua gerak sekaligus, yaitu gerak bersama pusat massa dengan Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

32

kecepatan νo, dan gerak melingkar dengan kecepatan sudut

. Titik P menyatakan

titik singgung silinder dengan lantai, O menyatakan pusat massa, dan Q menyatakan bagian paling atas silinder. Q

O P

Gambar 2.11 (silinder pejal melakukan gerak menggilinding)

Jika silinder menggelinding tanpa selip, maka kecepatan titik P terhadap tanah bernilai nol atau tidak terjadi gerak relatif antara silinder dengan tanah. Jadi titik P berada dalam keadaan diam, sedangkan kecepatan νo adalah resultan dari kecepatan pusat massa νo , dan kecepatan tangensial νt =

R yang arahnya

berlawanan dengan arah νo, sehingga νp = νo –

R=0

(2.29)

dan kecepatan pusat massa memenuhi persamaan νo =

R

(2.30)

Menyatakan bahwa jika silinder hanya bergerak rotasi, maka kecepatan gerak pusat massa sama dengan kecepatan tangensial pinggir silinder. Kecepatn titik νQ = νo +

memenuhi persamaan

R = νo + νo = 2νo = 2

R

(2.31)

Oleh karena titik P memiliki kecepatan νp = 0, titik O memiliki kecepatan νo = R, dan titik

memiliki kecepatan νo = 2

sebagai gerak rotasi murni terhadap titik

R, maka gerak silinder dapat dianggap dengan kecepatan sudut

. titik

singgung P disebut sumbu sesaat dari gerak menggelinding. Contoh soal:

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

33

Sebuah

roda

berbentuk

silinder

pejal

homogen

digantung pada sumbunya seperti pada gambar. Pada tepi roda dililitkan tali. Tali tersebut ditarik vertikal

R

kebawah dengan gaya 15N. Apabila roda tersebut memiliki massa 8Kg dan jari-jari 20cm, maka tentukan percepatan tali tersebut.

F

Jawab:

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

34

Maka:

⁄ ⁄

(

)

⁄

Momen inersia katrol ⁄

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

35

2.6 Penyelesaian Masalah Dinamika Rotasi Untuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di dalamnya terdapat bagian sistem yang bergerak translasi maka pemecahannya dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut: 1. Identifikasi benda bagian dari sistem sebagai obyek pembahasan dan kelompokkan mana yang bergerak translasi dan yang bergerak secara rotasi. 2. Tentukan sumbu koordinat yang memudahkan untuk penyelesaian berikutnya. 3. Gambar diagram gaya benda bebas untuk benda yang dipermasalahkan (atau untuk setiap benda jika ada lebih dari satu), yang menunjukkan hanya (dan semua) gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut dan tepat di mana gaya-gaya tersebut bekerja, sehingga anda bisa menentukan torsi untuk setiap gaya. 4.

Gunakan persamaan

⃗

⃗ untuk gerak translasi dan

⃗

⃗⃗ untuk

gerak rotasi. 5. Selesaikan persamaan-persamaan yang dihasilkan unuk mencari besaranbesaran yang ditanyakan. 6. Buatlah perkiraan kasar untuk menentukan apakah jawaban anda masuk akal atau tidak.

Kasus 1: Benda A massa m dihubungkan dengan tali pada sebuah roda putar berjari-jari R dan bermassa M. Bila mula-mula benda A diam pada ketinggian h1 kemudian dilepas sampai pada ketinggian h2, tentukan tegangan tali dan percepatan linier benda A sepanjang geraknya.

Pembahasan 1: Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

36

Analisis rotasi Setelah benda A dilepas dari roda yang berputar dengan percepatan sudut α, dalam hal ini gaya penggerak rotasinya adalah gaya tegangan tali T. Dari hukum II Newton untuk gerak rotasi ⃗

⃗,

hubungan torsi dengan gaya (tegangan tali) yaitu ⃗⃗

⃗

Gambar 2.12

dan definisi momen inersia roda terhadap

sumbunya yaitu

, diperoleh

(2.37)

Analisis Translasi Benda A merupakan bagian sistem yang melakukan gerak translasi, sehingga percepatan linier benda A sama dengan percepatan linear roda, yaitu

,

sehingga gaya tegangan tali dapat dinyatakan seperti persamaan 2.37 Sepanjang gerakan benda A berlaku Hukum II Newton sehingga persamaanya menjadi:

(

)

(

) (

)

(2.38)

Untuk menentukan tegangan tali T, masukan persamaan 2.38 ke persamaan 2.37 sehingga:

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

37

( (

) )

(2.39)

Masalah dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi masalah dinamika rotasi juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik. Adapun energi mekanik pada benda yang melakukan gerak rotasi dan gerak translasi adalah sebagai berikut:

(2.40)

Kasus 2: Sebuah silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R diletakkan pada bidang miring dengan kemiringan θ terhadap bidang horisontal yang mempunyai kekasaran tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut menggelinding, tentukan kecepatan silinder setelah sampai di kaki bidang miring!

Gambar 2.13 Pembahasan 2: a) Penyelesaian secara dinamika Silinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat kekasaran tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang menyebabkan silinder berotasi dengan percepatan sudut θ ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat ditentukan sesuai dengan persamaan 2.37

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

38

Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak translasi, sehingga berlaku hukum kedua Newton. (2.41) Dengan mensubtitusikan persamaan 2.37 ke dalam persamaan 2.41 maka diperoleh percepatan silinder di dasar bidang miring yang memenuhi persamaan sebagai berikut:

(2.42) Dengan menggunakan hubungan

dan mengingat kecepatan

silinder saat terlepas vo = 0 da h = s sin θ, maka diperoleh persamaan: (

)

√ Terlihat

(2.43) bahwa

kecepatan

benda

menggelinding

lebih

lambat

jika

dibandingkan bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan yang kecepatannya adalah

√

b) Penyelesaian menggunakan hukum kekekalan energi mekanik Pada gerak menggelinding barlaku hukum kekekalan energi mekanik. Karena mula – mula silinder dalam keadaan diam, maka energi mekanik silinder pada kedudukan 1 adalah: (

)

(2.44)

Pada saat silinder berada pada kedudukan 2, energi kinetiknya merupakan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, sehingga berlaku persamaan:

(2.45) Dengan memasukkan momen inersia silinder

dan

ke

dalam persamaan 2.45, kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki bidang miring besarnya adalah: Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

39

(

)

√

(2.46)

2.7 Usaha dan Energi Kinetik Gerak Rotasi 2.7.1 Usaha Kerja yang yang dilakukan pada benda yang berotasi pada sumbu yang tetap, seperti pada roda atau katrol, rotasi batang motor penggerak. Kerja ini dapat dinyatakan dengan torsi dan perpindahan sudut.

⃗

o

Anggaplah sebuah gaya tangensial ⃗ sedang berputar sejauh sudut suatu interval ⃗

di pinggir sebuah benda yang

yang sangat kecil pada sumbu tetap dalam

yang sangat kecil. Kerja

yang dilakukan oleh gaya

ketika titik pada pinggiran benda tersebut bergeser sejauh Jika

Karena

diukur dalam radian, maka

adalah torsi yang disebabkan oleh gaya ⃗

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

adalah dan

, maka

40

Kerja total ke

yang dilakukan oleh torsi sepanjang perpindahan sudut dari

adalah : ∫

(kerja yang dilakukan oleh torsi)

Jika torsi konstan ketika sudut berubah sebanyak (

Anggaplah

)

adalah:

(kerja yang dilakuakn oleh torsi konstan)

menyatakan torsi total pada benda , sehingga dari persamaan

dapat diasumsikan bahwa benda bersifat tegar sehingga momen inersia

adalah konstan. Kemudian ubah integral dalam persamaan

∫

kedalam integral ω sebagai berikut: (

Karena

)

merupakan torsi total, maka persamaan

∫

merupakan

kerja total yang diberikan pada benda tegar yang berputar. Persamaan tersebut kemudian dapat ditulis menjadi: ∫

Jadi kerja total sebuah benda tegar yang berputar dapat disamakan dengan perubahan energi kinetik rotasi benda tegar.

2.7.2 Energi Kinetik Rotasi Energi kinetik pada suatu partikel maupun yang terdiri dari banyak partikel yaitu : Ek = ∑

mi ( ⃗⃗ ⃗⃗ )

(2.54)

Atau dapat juga ditulis ∑

mi v2i

(2.55)

Untuk benda tegar yang berotasi berlaku kecepatan sudut ⃗⃗⃗⃗, jadi kecepatan setiap partikel yaitu : Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

41

vi = ⃗⃗⃗ × ⃗⃗ i (2.56) Sehingga besar kelajuannya adalah vi = R i

(2.57)

Ri merupakan jarak dari partikel ke sumbu rotasi. Karena benda tegar merupakan sistem banyak partikel yang jarak antara partikel-partikel penyusunnya konstan. Sehingga energi kinetik sistem partikel memenuhi persamaan: mi (⃗⃗⃗ × ⃗⃗ i).( ⃗⃗⃗ × ⃗⃗ i)

∑

(2.58)

Besarnya dapat ditulis sebagai Ek = ∑

mi | ⃗⃗⃗ × ⃗⃗ i|2

(2.59)

i

Jika dipakai besaran kelajuan untuk menggantikan kecepatan agar persamaannya lebih sederhana, maka Ek = ∑

mi v2i

(2.60)

vi = Ri, maka memenuhi persamaan ∑

mi ( Ri)2 ∑ (mi Ri2)

(2.61) 2

(2.62)

Dengan meninjau kembali rumus momen inersia yaitu, I = ∑ mi Ri2, maka diperoleh persamaan Ek =

2

(2.63)

Pada persamaan vi = ⃗⃗⃗ × ⃗⃗ i berlaku untuk sembarang sumbu yang bukan utama, karena besarnya kelajuan vi

=

Ri, besarnya torsi L = I . Jika

rotasinya bekerja pada sumbu utama, maka persamaannya Ek = Benda tegar yang berotasi terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan pada saat yang sama benda tegar relatif bergerak translasi terhadap pengamat. Energi kinetik suatu benda dalam suatu acuan kerangka inersia adalah sebagai berikut: Ek = M vc2 + Ek,c Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

(2.64) 42

Dengan M adalah massa total, vc adalah kelajuan pusat massa, dan Mvc2 adalah energi kinetik translasi. Jika bendanya berputar, Ek,c adalah energi kinetik rotasi yang relatif terhadap pusat massa yang ditujukan oleh vc2

2

.

Dengan Ic adalah momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi yang melalui pusat massa. Sehingga energi kinetik total benda memenuhi persamaan Ek = M vc2 +

Ic ω2

(2.65)

Sesuai dengan hukum kekekalan energi memenuhi persamaan yaitu : Ek + Ep = Konstan Maka persamaan tersebut menjadi : Ek = Mi vc2 +

Ic ω2 + Ep = Konstan

(2.66)

2.8 Momentum Sudut dan Kekekalannya 2.8.1

Momentum Sudut Jika momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka momentum sudut merupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang melakukan gerak rotasi. Dikatakan sudut, karena ketika melakukan gerak rotasi, setiap benda mengitari sudut tertentu.Dalam hal ini, benda berputar terhadap poros alias sumbu rotasi. Persamaan-persamaan kinematika dan dinamika untuk gerak rotasi analog dengan persamaan-persamaan v

untuk gerak linier biasa menggunakan variabel sudut yang sesuai. Contohnya ada pada energi kinetik rotasi yang dirumuskan sebagai translasi =

yang analog dengan Ek

R

m

Gambar 22

. Cara yang sama juga dapat

digunakan pada momentum linier

yang memiliki analogi rotasi.

Besaran tersebut disebut momentum sudut L. Jika benda yang bergerak rotasi, memiliki massa dan kecepatan, maka dikatakan benda itu memiliki Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

43

momentum linier. Jika momentum linier dikalikan jari-jarinya, maka diperoleh momentum sudut yang besarnya dirumuskan: (2.67) (

atau

)

menjadi

(2.68)

Keterangan : = momentum sudut (kg m2 rad/s) = momen inersia (kg m2) = kecepatan sudut (rad/s) = massa (kg) = kecepatan linier (m/s)

Momentum sudut merupakan besaran yang vekor yang arahnya dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan, yang berbunyi : “ Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut, maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak rotasinya “

2.8.2

Hukum II Newton versi Momentum untuk Gerak Rotasi

Hukum II Newton tidak hanya dituliskan dalam persamaan ∑

, namun dalam pembahasan momentum ini, ∑

⁄

.

Dengan cara yang serupa, ekivalen rotasi Hukum II Newton juga dapat dirumuskan sebagai ∑

, sehingga dalam momentum sudut

dirumuskan: ∑ Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

(2.69) 44

Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut sama dengan torsi total yang bekerja pada benda tegar. Laju perubahan momentum sudut = perubahan momentum sudut yang terjadi selama selang waktu tertentu. Misalnya mula-mula sebuah benda tegar diam (momentum sudutnya = 0). Setelah dikerjakan Torsi, bnda tegar tersebut berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. Ketika berotasi, benda tegar itu mempunyai momentum sudut. Jadi selama selang waktu tertentu, benda mengalami perubahan momentum sudut dari nol atau tidak ada menjadi ada. Dalam hal ini terjadi pertambahan momentum sudut. Dalam pesamaan diatas, ∑

merupakan torsi total yang bekerja

untuk merotasikan benda, dan

merupakan perubahan momentum sudut

. Persamaan ∑

merupakan suatu kasus khusus pada

dalam waktu

persamaan 2.69 apabila momen inersianya konstan. Jika sebuah benda memiliki kecepatan sudutnya pada saat

pada waktu t=0, dan kecepatan sudut

, makapercepatan sudutnya menjadi: (2.70)

Kemudian dari persamaan 2.65 didapatkan: ∑

2.8.3

(

)

(2.71)

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Momentum sudut merupakan konsep penting dalam fisika, karena

momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum sudut. Hukum itu berbeda dengan prinsip. Bila dalam fluida kita mengenal prinsip archimedes, pascal dll. Maka prinsip itu hanya berlaku untuk kondisi tertentu saja. Karena hukum berlaku universal alias umum. Momentum sudut pada kondisi tertentu juga disebut besaran yang kekal. Pada persamaan 2.69 dapat dilihat apabila ∑

= 0, maka

juga bernilai 0. Hal tersebut merupakan hukum kekekalan momentum sudut yang menyatakan :

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

45

Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap konstan jika torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol.

Jika pada benda yang bergerak rotasi tidak bekerja momen gaya, maka momentum sudut dari benda itu tidak berubah terhadap waktu, ini berarti momentum sudut kekal. Jika momentum sudut awal dinyatakan dengan L0 dan momentum sudut akhir dinyatakan dengan Lt, maka berlaku : (2.72) atau (2.73) Persamaan diatas didapat dengan menggunakan persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum, yaitu : ∑ ∑

∑

Keterangan : momentum sudut awal = momentum sudut akhir

Jadi jika torsi total nol yang bekerja pada sebuah benda yang berotasi pada sumbu tetap atau yang arahnya tidak berubah dapat dituliskan

Dimana

dan

berturut-turut adalah momen inersia dan kecepatan sudut

disekitar sumbu pada saat awal (t=0). Sedangkan

dan

berturut-turut adalah

nilainya pada saat yang lain. Bagian-bagian benda bisa merubah posisinya relative satu sama lain. Sehingga kali

berubah. Tetapi kemudian

berubah juga dan hasil

tetap konstan. Ini berarti momentum sudut total system adalah konstan.

Torsi-torsi dan gaya dalam dapat memindahkan momentum sudut dari satu benda Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

46

ke benda lainnya, namun mereka tidak dapat mengubah momentum sudut total dari sistem.

Contoh penerapan Hukum kekekalan momentum sebagai berikut: 1.

Seseorang berdiri dengan membawa beban pada setiap tangannya di atas sebuah piringan yang berputar. Pada awal gerakannya, kedua tangan direntangkan. Momen inersia orang akan besar karena beban jauh dari sumbu putar (badan). Akibatnya kecepatan sudut orang menjadi kecil. Jika beban yang dibawa tersebut dirapatkan, momen inersianya akan berkurang karena jarak beban ke sumbu putar berkurang. Ini menyebabkan kecepatan sudut yang dialami beban bertambah besar

2.

Bumi berputar mengelilingi matahari karena adanya gaya gravitasi oleh matahari pada

bumi,

yaitu Fg sepanjang garis

yang

menghubungkan Bumi (B) dan Matahari (M). momen gaya ( ) oleh Fg dan r segaris θ = 0 sehingga

. Jadi momentum

sudut Bumi terhadap Matahari selama berputar adalah konstan 3.

Tegaknya sebuah gasing yang sedang berputar juga dapat dijelaskan dengan hukum kekekalan momentum sudut. Vector momentum sudut (L) yang sedang berotasi arahnya vertical ke atas. Selama gasing berotasi dapat diasumsikan arah L tidak berubah jika tidak ada momen gaya luar yang mempengaruhinya. Itulah sebabnya saat berotasi gasing dapat berdiri tegak.

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

47

BAB III PENUTUP

3.1 SIMPULAN 1. Titik berat adalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gaya berat sistem benda titik. 2. Kinematika rotasi adalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegar dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Konsep – konsep yang berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad), kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2). 3. Dinamika

rotasi

mempelajari

mengenai

gerak

rotasi

dengan

memperhitungkan pengaruh gaya yang menyebabkan benda itu bergerak. Dinamika benda tegar sangat berhubungan dengan rotasi benda tegar dengan sumbu rotasi tetap dalam kerangka acuan inersia. Momen gaya didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dengan jarak titik ke garis kerja gaya pada arah tegak lurus. Sedangkan Momen inersia selain bergantung pada kandungan zat di dalamnya atau massa benda juga bergantung pada bentuk benda posisi massa tersebut ke sumbu putarnya. Semakin jauh posisi massa benda ke pusat rotasinya, semakin besar momen inersia benda tersebut. 4. Gerak menggelinding dengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak, yaitu gerak pusat massa dan gerak rotasi relatif terhadap pusat massa. Jika dalam proses gerak menggelinding disertai dengan adanya slip, maka ketika slip terjadi, gerak rotasi mengalami perlambatan sudut. 5. Momen kopel merupakan besaran vektor dengan satuan N.m. Pengaruh kopel terhadap suatu benda dapat menyebabkan benda berotasi. Momen kopel didefinisikan sebagai hasil kali antara salah satu gayanya dengan jarak yang tegak lurus antara kedua gaya itu. 6. Keseimbangan benda tegar dibedakan menjadi:  Keseimbangan stabil  Keseimbangan netral  Keseimbangan labil Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

48

7. Usaha dalam rotasi benda tegar dirumuskan dengan persamaan: ⃗ d⃗ Sedangkan untuk energi kinetic benda tegar dirumuskan dengan persamaan: Ek = Mi vc2 +

Ic ω2 + Ep

Momentum sudut merupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang melakukan gerak rotasi. Momentum sudut merupakan besaran yang vekor yang arahnya dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan, yang berbunyi : “ Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut, maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak rotasinya “ 8. Hukum kekekalan momentum sudut yang menyatakan : Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap konstan jika torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol

3.2

Saran Adapun saran yang dapat kami sampaikan dalam pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Ternyata alam sekitar telah menyediakan kita laboratorium, yang dapat kita gunakan sebagai media bantu untuk memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan fisika. Karena setiap permasalahan dalam fisika erat sekali kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, jadi yang dapat disarankan adalah dalam belajar fisika hendaknya berawal dari memahami konsepnya terlebih dahulu melalui kehidupan sehari-hari. 2. Hendaknya para mahasiswa berlatih menerapkan teori-teori dalam kinematika dan dinamika gerak benda tegar untuk menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan teori kinematika gerak lurus.

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

49

DAFTAR PUSTAKA

Bueche, F.J. & Eugene H. 2006. Schaum’s Outlines Teori dan Soal-Soal Fisika Univesitas: Edisi Kesepuluh. Jakarta: Erlangga Giancoli, D.C. 2001. Fisika: Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta: Erlangga Kardiawarman dkk. 1992. Fisika Dasar I. Jakarta: Depdikbud Sarojo, G.A. 2002. Mekanika. Jakarta: Salemba Teknika Satriawan, Mirza. 2007. Fisika Dasar. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada Sumardi, Y. dkk. 1996. Mekanika. Jakarta: Depdikbud Umar, Efrizon. 2008. Buku Pintar Fisika. Jakarta: Media Pusindo Young, H.D & Roger A.F. 2002. Fisika Universitas: Edisi Kesepuluh Jilid I. Jakarta: Erlangga

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar

50