C Bx Ax Y

КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА : y  ax  bx  c 2

ЦРТАЊЕ ГРАФИК ФУНКЦИЈЕ: (1)график квадратне функције је ПАРАБОЛА Од знака коефицијента уз х2 зависи да ли ће парабола бити отворена ,,на горе'' (конвексна) или ,,на доле'' (конкавна)



* а>0 – парабола је отворена ,,на горе'' *а<0

-



парабола је отворена ,,на доле''

(2) НУЛЕ ФУНКЦИЈЕ: тачке у којима график сече х-осу; односно решењa једначине: ax2  bx  c  0 -број решења је 2,1 или 0 у зависности од знака детерминанте (природа решења квадратне једначине!)

(3) ТЕМЕ ФУНКЦИЈЕ Координате темена :

T, - екстремна вредност функције b 4ac  b 2   2a 4a

-ако је а>0 ( ф-ја  ) функција има минимум Т -ако је а<0 ( ф-ја  ) функција има максимум Напомене: *уколико ф-ја има две нуле, т.ј постоје х1 и х2 онда односно важи :



 мора бити тачно на средини између та два броја,

x1  x 2 2

*уколико ф-ја има једну нулу онда је

 =х1 а   0 односно теме има координате Т(х1 ,0)

(4) ПРЕСЕК СА У-ОСОМ је тачка М(с,0) -пресек са у-осом је тачка у којој график сече у-осу, односно тачка у којој је х=0

На основу резултата (1), (2), (3) и (4) треба нацртати график ф-је а потом исписати особине ф-је.

ОСОБИНЕ ФУНКЦИЈЕ 1. ДОМЕН Ф-ЈЕ ( област дефинисаности ф-је) -домен ф-је је скуп свих вредности х-а за које је ф-ја дефинисана -квадратна ф-ја дефинисана је за све реалне вреднности х-а па је домен функције: Df  R односно x   ,  2.КОДОМЕН Ф-ЈЕ (област вредности ф-је) -скуп свих вредности које ф-ја може имати за вредности х-а из домена -кодомен читамо са графика и за њега у случају квадратне ф-је важи: а>0 (ф-ја  ) Df  , 

а<0 (ф-ја  ) Df   ,

3. НУЛЕ ФУНКЦИЈЕ : тачке у којима ф-ја сече х-осу , односно решења једначине ax2  bx  c  0 ( израчунали смо под (2) ) 4. ПРЕСЕК СА У-ОСОМ : (израчунали смо под (4) ) x  0  y  c 5. ЕКСТРЕМНА ВРЕДНОСТ: T, (3) За а>0 (ф-ја  ) ф-ја има минимум: Tmin , За а<0 (ф-ја  ) ф-ја има максимум: Tmax , 6. МОНОТОНОСТ Ф-ЈЕ (раст и опадање) Ако је а>0 (ф-ја  ) : y  за x  ,  и y  за x   , 

Ако је а<0 (ф-ја  ): y  за x   ,  и y  за x  , 

7.ЗНАК ФУНКЦИЈЕ

!

D0

x 1, x 2  R  x 1  x 2 ( два различита, реална решења)

а>0

() +++

а<0 (  )

------------- ++++ х1 х2

------ +++++++ -------х1 х2

y  0 за x   , x1   x 2 , 

y  0 за x  x1, x 2 

y  0 за x   , x1   x 2 , 

y  0 за x  x1, x 2 

D0

x1,2  R  x1  x 2

а>0

(једно реално решење)

()

а<0 (  ) --------------

------------х1

+ +++++++

+++++++ х1

y  0 за x   , x1   x1, 

y  0 за x   , x1   x1, 

-у тачки х1 функција је једнака 0

-у тачки х1 функција је једнака 0

D0

x1, x 2  C  x1  x 2

а>0

(нема реалних решења)

а<0 (  )

()

-------------------------------++++++++++++++++++ y  0 за x  R

y  0 за x  R

ЗАДАЦИ: Нацртати график и исписати особине следећих функција: 1. y  x 2  4x

2. y  x 2  4x  4

3. y  x 2  4x  8

4. y  3x 2  4x  8

5. y  4x 2  12x  9

6. y  6x 2  5x  1

1. y  x 2  4x (1) а>0 => (2) x 2  4x  0 (непотпуна квадратна ј-на) x(x  4)  0 x1  0

x  4  0  x 2  4

(3) а>0 => Tmin а=1 b = -4 c= 0



b 4  2 2a 2



Tmin 2,4

4ac  b 2 0  16   4 4a 4

(4) пресек са у-осом: (у=с) х=0 => у=0 график:

ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R

2.кодомен: Df   4,  3.нуле ф-је: x 1  0 x 2  4 4.пресек са у-осом: y  0 5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmin 2,4 6.монотоност: y  за x  2,  и y  за x   ,2

7.знак: y  0 за x   ,0  4,  , y  0 за x  0,4

2. y  x  4x  4 2

(1) а<0 => (2)  x 2  4x  4  0  (x 2  4x  4)  0 (квадрат бинома)  (x  2)2  0

х-2=0 => х=2 (једна нула) (3) а<0 => Tmax -једначина има само једно решење па је Tmax (х ,0) Tmax 2,0

(4) пресек са у-осом: (у=с) х=0 => у=-4

график: ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R 2.кодомен: Df   ,0 -4

3.нуле ф-је: x1  x  2 2 4.пресек са у-осом: x  0  y  4 5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmax  2,0  6.монотоност: y  за x   ,0  и y  за x   0,   7.знак: y  0 за x  , y  0 за x   ,0   0,  



(или x  D

f

y  0)

3. y  x 2  4x  8 (1) а>0 => (2) x 2  4x  8  0

 4  16  32  4   16  нема реалних решења (D<0) 2 2 (3) а>0 => Tmin x 1/ 2 

а=1 b = 4 c=8

b 4    2 2a 2 Tmin  2,4





4ac  b 2 32  16  4 4a 4

(4) пресек са у-осом: (у=с) х=0 => у=8 график: ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R 2.кодомен: Df   4,   3.нуле ф-је: нема 4.пресек са у-осом: x  0  y  8 5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmin  2,4  6.монотоност: y  за x   , 2 и y  за x   2,  



7.знак: x  D

f

y  0

4. y  3x 2  4x  8 (1) а<0 => (2) 3x 2  4x  8  0

4  16  96 4  80  нема реалних решења (D<0) 6 6 (3) а<0 => Tmax x1/2 

а=-3 b = 4 c=-8

b 4 2   2a 6 3 Tmax  2,4





4ac  b2 96  16 80 20    4a 12 12 3

(4) пресек са у-осом: (у=с) х=0 => у=-8 график:

ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R

20   2.кодомен: Df   ,   3  3.нуле ф-је: нема 4.пресек са у-осом: x  0  y  8  2 20  5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmax  ,  3  3 2  2  6.монотоност: y  за x   ,  и y  за x   ,   3  3 



7.знак: x  D

5. y  4x 2  12x  9 (1) а>0 => (2) 4x 2  12x  9  0 (2x  3)2  0 (квадрат бинома)

3 2x  3  0  x  (једна нула) 1/2 2 (3) а>0 => Tmin 3  -једначина има само једно решење па је Tmin  ,0  2  (4) пресек са у-осом: х=0 => у=9

f

y  0

график:

ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R 2.кодомен: Df  0,   3 3.нуле ф-је: x1  x  2 2 4.пресек са у-осом: x  0  y  9

3  5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmin  ,0  2  3  3  6.монотоност: y  за x   ,  и y  за x   ,   2  2  3 3   7.знак: y  0 за x  , y  0 за x   ,    ,   2  2  



(или x  D

f

y  0)

6. y  6x 2  5x  1 (1) а>0 => 

1

x  2 (2) 6x 2  5x  1  0 => x1/2  5  25  24  5  1   1 1 12

12

x   3  2

(3) а>0 => Tmin а=6 b =5 c=1

b 5 4ac  b2 24  25 1 1   5      => Tmax   ,   4a 24 24 2a 12  12 24  (4) пресек са у-осом: х=0 => у=1 график: ОСОБИНЕ: 1.домен: Df  R  1  , 2.кодомен: Df     24  1 1 3.нуле ф-је: x   ;x   1 2 2 3 4.пресек са у-осом: x  0  y  1 5. екстремна вредност: ф-ја има минимум: Tmin   5 ,  1   12

6.монотоност: y  за x   ,  5  и y  за x    5 ,   12   12  

 1  1    y  0,x   ,  2     3 ,       7.знак:  1 1   y  0,x    ,    2 3 

24 