C2

UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA NGF/ngf/1ro_2013

CERTAMEN Nº 2 ESTADISTICA 220049

Justifique adecuadamente sus respuestas PAUTA NOMBRE:…………………….……………….…..…………………………….FECHA: Ju 20.06.13 TIEMPO: 80 minutos

1. (25 puntos) En cierto sector metropolitano los grupos de ingresos bajos, medios y altos constituyen el 20%, 55% y 25% de la población respectivamente. Se sabe además, que el 80% del grupo de bajos ingresos se opone a un proyecto de ley que cursa actualmente en el congreso. Los porcentajes de los grupos medio y alto son 30% y 10% respectivamente.

a) (6 puntos) Defina claramente los eventos y sus probabilidades b) (7 puntos) Si se selecciona al azar un individuo entre esta población, ¿cuál es la probabilidad de que la persona se oponga al proyecto de ley? c) (7 puntos)Si se selecciona al azar un individuo entre esta población y se encuentra que se opone al proyecto de ley, ¿cuál es la probabilidad de que la persona pertenezca al grupo de ingresos medios? d) (5 puntos) Si se selecciona al azar un individuo entre esta población, ¿cuál es la probabilidad que no se oponga al proyecto de ley y pertenezca al grupo de ingresos altos? Solución a) Sean los eventos: B: La persona pertenece al grupo de ingresos bajos M: La persona pertenece al grupo de ingresos medios A: La persona pertenece al grupo de ingresos altos O: La persona se opone al proyecto de ley P(B) = 0.2,

P(M) = 0.55, P(A) = 0.25,

P(O/B) = 0.8,

P(O/M) = 0.3, P(O/A) = 0.10

b) P(O) = P(O/B) P(B) * P(O/M)P(M) * P(O/A)P(A) = 0.8(0.2) + 0.3(0.55) + 0.1(0.25) = 0.35 , Por lo tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar se oponga al proyecto de ley es de 0,35. c) P( M / O ) =

P(O / M )P(M ) 0.3(0.55) = 0.35 P(O)

0.165 0.47 0.35

Por lo tanto, … d) P(Oc A) P(A) P(O A) de los datos se tiene que: P(O / A) 0,1 de donde

P(O A) 0,1 P(A) Así, P(Oc

P(O

A) 0,1* P(A)

A) P(A) P(O

P(O

A) 0,1* 0,25 0,025

A) = 0,25 – 0,025 = 0,225

x 2 para x = 1, 2, 3, 4, 5 25

2. (24 puntos) Sea X una v. a. con función p( x)

a) (6 puntos) ¿Es p(x) una función de probabilidad? Explique b) (6 puntos) Calcule P(X 2) c) (6 puntos) Calcule el valor esperado de X Solución: 5

0 para x = 1, 2, 3, 4, 5 y

a) p( x)

5

x 2 x 1 25

p( x) x 1

1 (3 4 5 6 7) 25

25 1 25

Por lo tanto, p(x) es una función de probabilidad b) P(X

2) = 1 - P( X 5

E( X )

1) = 1 – P(X = 1) = 1 –

5

xp( x) x 1

x( x 2) 25 x 1

3 22 = 25 25

1 85 (3 8 15 24 35) 25 25

3. (25 puntos) Un estudiante pierde muchas clases por el mal funcionamiento de los relojes despertadores. En lugar de usar un reloj despertador, decide usar tres. a) Defina la v. a. X adecuadamente e identifique su distribución de probabilidad. b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de sus relojes despertadores funcione correctamente si cada uno por separado, tiene 99% de probabilidad de funcionar correctamente? ¿En realidad gana mucho el estudiante usando tres relojes despertadores en lugar de uno solo? c) Calcule e interprete E(X) Solución: a) X: Número de relojes despertadores que funcionan correctamente entre los tres que usa el estudiante

X ~ B(n = 3 , p = 0.99) 3 P X x p(x) 0.99x 0.013 x P(X

p(0)

x

, x = 0, 1, 2, 3

1 ) = 1 - P( X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – p(0) = 1 - 0,000001 = 0.999999

3 0.990 0.013 0

0.013

1

0

No, puesto que es prácticamente seguro que al menos un reloj funcionará b) E(X) = np = 3(0.99) = 2.97

3 se espera que los tres relojes despertadores funcionen

4. (25 puntos) La resistencia la rotura de cierto tipo de soldadura, en libra por pulgada cuadrada, puede ser considerada como una variable distribuida normalmente. Suponga que un proceso A produce soldaduras con media 1100 (lb./plg2) y desviación estándar 100 (lb./plg2) y un segundo proceso B, produce soldaduras con media 1000 (lb./plg2) y desviación estándar 40 (lb./plg2). Una soldadura con una resistencia a la rotura inferior a 900 (lb./plg2) es considerada una soldadura bajo los estándares. ¿Qué proceso elegiría usted a fin de minimizar el porcentaje de soldaduras subestándares? Solución: X : resistencia a la rotura ..

X ~N

2

?,

?

X A : resistencia a la rotura de cuerdas producidas por el proceso A. X B : resistencia a la rotura de cuerdas producidas por el proceso B. XA ~ N

A

1100,

2 A

1002 ,

XB ~ N

B

1000,

2 B

402

“Si X < 900 rechazar”

pA P( X A 900) P(Z A

900 1100 ) P(Z A 100

2) 1

pB

900 1000 ) P(ZB 40

2.5) 1

P( X B 900) P(ZB

pB < pA por lo que el proceso B debería ser elegido.

(2) 1 0.97725 0.02275 (2.5) 1 0.993790 0.00621

FORMULARIO

P( AUB)

P( A)

Ac

(A

Bc

B) c

Ac

P( A / B j )P( B j ) P( A)

P( B j / A )

P( Ac ) 1 P( A)

P(B) P( A B)

Bc

P( A Bc ) P( A) P( A B)

B) c

(A

Bayes

k

P( A / Bi )P( Bi ) es el Teorema de la Probabilidad Total.

P(A) = i 1

F x0

f x dx 1 , E( X 2 )

x 2 f ( x)dx ,

P X

x0

x0

f x dx ,

E X

xf x dx ,

V ( X ) E( X 2 ) (E( X ))2 , n

E X

1p

2p

1

np

2

n

i

p

i

,

F

P X

p

i 1

p(x)

n x n p q x

x

p(x)

x = 0, 1, 2,...,n E(X) = np,

f (x)

E(X) =

V(X) =

b a 0

p(x)

x = 0, 1, 2,...mín{n, M}

x

e x!

x = 0, 1, 2, ... E(X) =

E(X) = np

V(X) =

V(X) = npq

1

M N M x n x , N n

i

i

N n V(X) =npq N 1 , a

b

x

e

f(x) =

0

e.o.c.

a b 2 b a 12

x

x 0 e.o.c.

f ( x)

1 2

E(X) E(X) = 2

1

, V(X) =

1 2

V(X)

2

e

1 x 2

2