Calculo Diferencial

ANDRES FELIPE RUBIO MOSQUERA TI= 1006555426 / Juan Camilo Arrieta Amado TI:1003205152

PROBLEMA 1: Un depósito contiene 1 000 galones de agua que se drenan desde la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en galones) una vez que transcurren t minutos.

(a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto en la gráfica con t 5, 10, 20, 25 y 30. SOLUCION T= 5= 694- 250 / 5-15 = 444/ -10 = -44.4 T= 10= 444- 250/ 10-15 = 194/-5= -38.8 T= 20= 111- 250 / 20-15 = -139/ 5 = -27.8 T= 25= 28- 250/ 25-15= -222/ 10= -22.2 T= 30= 0- 250/ 30- 15= -250/ 15= 16.66

(b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes. SOLUCION -38.8+ (-27.8) = -66.6= -33.3 2

2

(c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P. (Está pendiente representa la cantidad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 minutos.) SOLUCION

800 694 444

400

250 200

111 28

0 5

15

25

PROBLEMA 2: El punto P (1,1/2) está sobre la curva y=x/(1+x). (a) Si Q es el punto (x,x/(1+x)), use su calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran a continuación: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)

0.5 = 0.3333333333 0.9= 0.7333333333 0.99= 0.8233333333 0.999= 0.8323333333 1.5=1.3333333333 1.1= 0.933333333 1.01= 0.8433333333 1.001= 0.8343333333

(b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P (1,1/2). SOLUCION m= De los resultados se pude deducir que el valor de 

 es= 0.93=

(c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en P (1,1/2).

SOLUCION

y-1/2= 0.93. (x-1) y= 0.93x + 1.43

y-1/2= 0.93x + 0.93

PROBLEMA 3: Velocidad de un Ford Mustang Cobra La siguiente figura muestra la gráfica tiempodistancia de un Ford Mustang Cobra 1994 acelerando desde el reposo.

a. Estime las pendientes de las secantes PQ1, PQ2, PQ3 y PQ4, ordenándolas en una tabla como la de la figura 2.3. ¿Cuáles son las unidades apropiadas para estas pendientes? b. Después, calcule la velocidad del Cobra en el tiempo t = 20 seg.

SOLUCION: A)

f (x+h) – f (x) H

PQ1= msec= 0-210/10= 21 m/s PQ2=

msec 210+380/14= 42.14 m/s

PQ3= msec= 380+480/17= 50.58 m/s PQ4= mesec=480+550/18= 57.22 m/s Tiempo (t) Asceleracion(a)

10 21 m/s

14 42.14 m/s

B) Velocidad promedio= 117.0 km/m

17 50.58 m/s

18 57.22 m/s

PROBLEMA 4=

PROBLEMA 5= Sea g(x) =√x para x≥0. a. Encuentre la razón de cambio promedio de g(x) respecto de x en los intervalos [1,2], [1, 1.5] y [1, 1 + h]. SOLUCION m = f(b) – f(a)

a=1

b=2

b-a m= - √2 - √1 = √2 -1 = 0.41 2 - 1

1

[1,1.5]

m= - √1.5 - √1 = 0.44 1.5 - 1

[1,1+b]

m= - √1 - √1+h = √1+h -1 1 - 1+h

b. Haga una tabla de valores de la razón de cambio promedio de g respecto de x en el intervalo [1, 1 + h] para algunos valores de h cercanos a cero, digamos h = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 y 0.000001 SOLUCION .h= 0.1 m= - √1+0.1 -1 = 0.48 0.1 h= 0.1 m= - √1+0.01 -1 = 0.49 0.01

h= 0.1 m= - √1+0.001 -1 = 0.499 0.001 h= 0.1 m= - √1+0.0001 -1 = 0.4999 0.0001 h= 0.1 m= - √1+0.00001 -1 = 0.49999 0.00001 h= 0.1 m= - √1+0.000001 -1 = 0.499999 0.000001

c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es la razón de cambio de g(x) respecto de x en x=1? SOLUCION g(x) en x es= 0.4999