Calculo Diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

El módulo de estudio de la asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL es propiedad de la Corporación Universitaria Remington. Las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas en la bibliografía. El contenido del módulo está protegido por las leyes de derechos de autor que rigen al país. Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propósitos económicos o comerciales. AUTOR Pablo Emilio Botero Tobón [email protected] Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio o vicios de autoría; en caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Corporación Universitaria Remington, y se declaró como el único responsable. RESPONSABLES Jorge Mauricio Sepúlveda Castaño Decano de la Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería [email protected] Eduardo Alfredo Castillo Builes Vicerrector modalidad distancia y virtual [email protected] Francisco Javier Álvarez Gómez Coordinador CUR-Virtual [email protected] GRUPO DE APOYO Personal de la Unidad CUR-Virtual EDICIÓN Y MONTAJE

Derechos Reservados

Primera versión. 2017 Esta obra es publicada bajo la licencia Creative Commons. Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual 2.5 Colombia.

2

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

TABLA DE CONTENIDO Pág. 1

MAPA DE LA ASIGNATURA ...............................................................................................................................7 1.1

2

Relación de contexto de la asignatura .....................................................................................................8

UNIDAD 1 FUNCIONES ......................................................................................................................................9 2.1.1

Mapa Conceptual..............................................................................................................................9

2.1.2

OBJETIVO GENERAL ....................................................................................................................... 10

2.1.3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................................ 10

2.2

Tema 1: Conceptos y definiciones ......................................................................................................... 10

2.2.1

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 35

2.2.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 48

2.2.3

TALLER DE ENTRENAMIENTO ....................................................................................................... 52

2.3

Tema 2 : Clasificación de las funciones ................................................................................................. 55

2.3.1

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 61

2.3.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 70

2.3.3

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ......................................................................................................... 81

2.3.4

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................. 88

2.3.5

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO: ............................................................................................... 100

2.3.6

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 107

2.3.7

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 116

2.3.8

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 123

2.3.9

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 124

2.3.10

Ejercicios de entrenamiento ........................................................................................................ 135

2.3.11

Ejercicios de aprendizaje ............................................................................................................. 145

3

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3

2.3.12

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 150

2.3.13

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 156

2.3.14

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 159

2.3.15

Ejercicios de Entrenamiento ....................................................................................................... 160

2.3.16

Tema 3: Aplicaciones ................................................................................................................... 161

2.3.17

Ejercicios de entrenamiento ....................................................................................................... 183

UNIDAD 2 LÍMITES ....................................................................................................................................... 186 3.1.1

MAPA CONCEPTUAL .................................................................................................................... 187

3.1.2

OBJETIVO GENERAL ..................................................................................................................... 187

3.1.3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................................................. 187

3.2

Tema 1: Definición Intuitiva de Límite................................................................................................. 187

3.2.1 3.3

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN ............................................................................................... 195

Tema 2: Leyes para estimar límites ..................................................................................................... 196

3.3.1

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 197

3.3.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 197

3.3.3

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 197

3.3.4

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 198

3.3.5

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 198

3.3.6

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 199

3.3.7

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 199

3.3.8

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 200

3.3.9

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 205

3.3.10

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 205

3.3.11

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 205

4

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.3.12

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 208

3.3.13

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 210

3.3.14

EJERCICIO DE ENTRENAMIENTO .................................................................................................. 211

3.4

4

Tema 3: Límite y continuidad .............................................................................................................. 213

3.4.1

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 214

3.4.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 217

3.4.3

Ejercicio de Entrenamiento ......................................................................................................... 218

UNIDAD 3 DERIVADA ................................................................................................................................... 220 4.1.1

Mapa Conceptual......................................................................................................................... 222

4.1.2

OBJETIVO GENERAL ..................................................................................................................... 223

4.1.3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................................................. 223

4.2

Tema 1: Conceptos y definiciones asociados con la derivada ............................................................. 223

4.2.1

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 225

4.2.2

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 228

4.3

Tema 2: Leyes para derivar.................................................................................................................. 228

4.3.1

Ejercicios de Aprendizaje ............................................................................................................. 228

4.3.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 229

4.3.3

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 231

4.3.4

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 233

4.3.5

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 235

4.3.6

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 237

4.3.7

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 241

4.3.8

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 243

4.3.9

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 244

5

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.3.10

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 246

4.3.11

Ejercicio de Entrenamiento ......................................................................................................... 249

4.4

Tema 3: Aplicación e interpretación de la derivada ............................................................................ 250

4.4.1

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO ................................................................................................ 251

4.4.2

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 256

4.4.3

Ejercicios de aprendizaje ............................................................................................................. 259

4.4.4

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 266

4.4.5

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 268

4.4.6

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE ....................................................................................................... 273

4.4.7

Ejercicio de Entrenamiento ......................................................................................................... 281

5

PISTAS DE APRENDIZAJE .............................................................................................................................. 284

6

HERRAMIENTAS VIRTUALES A USAR ........................................................................................................... 285

7

GLOSARIO .................................................................................................................................................... 286

8

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................. 287

6

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1 MAPA DE LA ASIGNATURA CÁLCULO DIFERENCIAL

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1.1 RELACIÓN DE CONTEXTO DE LA ASIGNATURA

8

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2 UNIDAD 1 FUNCIONES

Función Enlace

2.1.1 MAPA CONCEPTUAL

9

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2.1.2 OBJETIVO GENERAL Analizar el concepto de función y sus diversas representaciones, como una aproximación a la modelación de situaciones problémicas mediante el lenguaje matemático.

2.1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Comprender el significado de función y de los conceptos de dominio y rango, crecimiento, decrecimiento y continuidad, evaluando la función para diferentes valores de la variable independiente.



Identificar los diferentes tipos de funciones, determinando el dominio, el rango, elaborando gráficas de algunas funciones y partiendo de ellas.



Modelar diferentes tipos de situaciones problémicas y solucionarlas utilizando funciones.

2.2 TEMA 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES CONCEPTO DE FUNCIÓN:

Concepto de función Enlace

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Matemática educativa Especial de funciones Enlace

Se puede decir, sin entrar en detalles, que una función es una expresión algebraica que indica la relación que existe entre dos o más variables. En el cálculo diferencial se estudian las funciones que relacionan dos variables. TIPO DE VARIABLE

ASIGNACIÓN

Otras asignaciones Otras letras que se utilizan para la

Variable independiente

Generalmente se le asigna la variable independiente son: 𝒒 cuando se trata de producción, letra 𝑿.

𝒕 para el tiempo. Variable dependiente

No quiere decir esto que no se le Por lo general se le asigna la puedan asignar otras letras, esta asignación se realiza de acuerdo a los letra 𝒀. elementos que se estén trabajando.

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NOTACIÓN DE FUNCIÓN Para indicar que la variable dependiente 𝒀 está escrita en términos de la variable independiente 𝑿 (o lo que es lo mismo, depende de la variable independiente 𝒙), se utiliza la siguiente notación:

𝒚 = 𝒇(𝒙) Que se lee: Y es una función de x. Nota: también se pueden utilizar otras letras:

𝒚 = 𝒈(𝒙),

𝒚 = 𝒇(𝒛), 𝒚 = 𝒄(𝒕),

𝒚 = 𝒄(𝒒)

Nota: la variable independiente es la que está dentro del paréntesis. DOMINIO Y RANGO  DOMINIO: el dominio para cualquier función está constituido por todos los valores que puede tomar la variable independiente (x) de los números reales.  RANGO: el rango para cualquier función está constituido por todos los números que puede tomar la variable dependiente

(y) de los números reales.

Nota: al rango también se le conoce como la imagen de la función. A raíz de las definiciones anteriores surge una pregunta:

¿Qué números o qué cantidades o qué expresiones no pertenecen a los números reales? La respuesta es que a los números reales no pertenecen (ver campo numérico):  Ni la división entre cero,  Ni los números imaginarios (raíz par de un número negativo),



Ni el logaritmo de números negativos o de cero.

Para ampliar más sobre estos temas puede consultar las siguientes páginas en internet: Los siguientes enlaces corresponden a videos donde se puede ver el concepto de función desde otra óptica.

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TV EDUCATIVA-MATEMATICAS FUNCIONES 1 Enlace

Funciones (Parte I) Enlace

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Funciones - Dominio y Codominio Enlace

REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función:    

Verbalmente: con una descripción de palabras. Numéricamente: con una tabla de valores. Visualmente: con una gráfica. Algebraicamente: con una fórmula explícita.

“Si una sola función se puede representar de las cuatro maneras, a menudo resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de esa función.” (Stewart, 1999, p.15).

Para entender mejor el concepto de función y las diferentes formas de representarlas, analizaremos, a continuación, las siguientes situaciones conceptuales cotidianas. Situación 1: Para la relación de nota definitiva en matemáticas generales y los 40 estudiantes de Contaduría Pública que finalizaron el primer semestre en la CORPORACIÓN UNIVESITARIA RÉMINGTON, determine:

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PREGUNTA

SOLUCIÓN

1. ¿Qué valores puede asumir la variable nota definitiva en matemáticas Cualquier número entre 0 generales?

y 5.

2. ¿Qué valores puede asumir la variable Cualquier número entero entre estudiante?

1 y 40.

a. La nota depende del estudiante, ya que si conozco el nombre del estudiante puedo saber cuál es su nota mirando en la planilla. 3. ¿La nota depende del estudiante o el estudiante depende de la nota?

b. Pero si lo tomamos al revés, conociendo una nota, no puedo saber a qué estudiante pertenece, por ejemplo, la nota 3.5 ¿a qué estudiante pertenece? La respuesta es que la pueden tener varios estudiantes.

Si se asume que en un salón hay 40 estudiantes entonces el 4. Si se llama Dominio a todos los dominio corresponde a todos los números enteros entre 1 y 40, es valores que puede tomar la variable decir: independiente (X), ¿cuál es el dominio en esta situación? 𝑫𝒐𝒎 𝒙 ∈ [1, 40] 5. Si se llama Rango a todos los valores El rango corresponde al valor de todas las notas que puede que puede asumir la variable obtener un estudiante, es decir, cualquier número entre 0 y 5: dependiente (Y), ¿cuál es el rango en 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒚 ∈ [𝟎, 𝟓] este caso? 6. ¿Es posible que un estudiante tenga No es posible, ya que la nota en Matemáticas y en cualquier dos o más notas diferentes en materia es única. matemáticas generales? 7. ¿Es posible que una misma nota Sí, es posible, ya que, puede suceder que dos o más estudiantes corresponda a dos o más estudiantes tengan la misma nota de 5.0 o 3.0, o 2.5, o cualquier otra nota diferentes? igual.

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Situación 2: En una fábrica se tiene que hay en total 835 empleados, los sueldos que se pagan mensualmente oscilan entre 1 y 12 salarios mínimos legales. PREGUNTA 1. ¿Cuáles variables se relacionan en esta situación problémica?

SOLUCIÓN Variable independiente: empleado. Variable dependiente: salario del empleado.

2. ¿Es posible que un empleado tenga dos o más No es posible, porque a ninguna persona le pagan dos sueldos diferentes? ¿Por qué? o más veces por realizar el mismo trabajo. Sí, es posible que un mismo sueldo corresponda a dos 3. ¿Es posible que un mismo sueldo corresponda a o más empleados, porque pueden desempeñar la dos o más empleados diferentes? ¿Por qué? misma labor. 4. ¿Cuál es la variable dependiente?

Salario o sueldo de cada empleado.

5. ¿Cuál es la variable independiente?

Empleado o trabajador.

6. ¿Cuál es el dominio?

Cualquier número entero entre cero y 835, son 835 trabajadores.

7. ¿Cuál es el rango?

Cualquier número entre 1 y 12 salarios mínimos, el número puede ser decimal o entero.

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Situación 3: La siguiente es una adaptación de una situación planteada por los autores (Uribe & Ortíz, No especificado, p.169) En cierto país el costo del correo se rige por la siguiente tabla Peso en gramos

Costo

Hasta 20 g

U.S. $ 0.20

Entre 20 g y 50 g

U.S. $ 0.26

Entre 50 g y 110 g

U.S. $ 0.39

Entre 100 g y 250 g

U.S. $ 0.85

Entre 250 g y 500 g

U.S. $ 1.70

Entre 500 g y 1000 g

U.S. $ 2.35

Entre 1000 g y 2000 g

U.S. $ 3.20

Carlos y Manuela le escriben a sus amigos José, Natalia, Lina y Sebastián. La carta de José pesa 15 g, la de Natalia pesa 85 g, la de Lina 90 g y la de Sebastián pesa 525 g. Contesta: La carta de José cuesta U.S. $ 0.20 1. ¿Cuánto cuesta poner cada carta?

La carta de Natalia cuesta U.S. $ 0.39. La carta de Lina cuesta U.S. $ 0.39. La carta de Sebastián cuesta U.S. $ 2.35.

Sí, es posible. Lo podemos ver con las cartas de 2. ¿Es posible que a dos cartas les corresponda el Natalia y Lina, ya que ambas cuestan U.S $ 0.39 mismo valor? aunque tienen diferentes pesos. 3. ¿A una misma carta le puede corresponder costos No es posible, ya que no sería lógico pagar dos veces distintos? por una misma carta. 4. ¿Cuál de las dos siguientes afirmaciones es correcta? Justifica:

El costo de una carta depende de su peso, ya que como lo podemos ver en la tabla, la tarifa para el a. El peso de la carta depende del costo de la costo de cada carta está dada en términos de su peso. misma.

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b. El costo de la carta depende del peso de la misma. 5. ¿Qué valores puede asumir la variable costo de Cualquier valor entre U.S. $ 0.20 y U.S. $ 3.20. envío? Cualquier valor entre 0 g y 2000 g, obviamente cero gramos no sería un valor que se incluya, ya que, 6. ¿Qué valores puede asumir la variable peso de la corresponde a no enviar una carta, y usted no pagaría por no enviar una carta. carta? Entonces, la respuesta correcta es: de cero gramos en adelante (sin incluir el cero) hasta 2000 gramos. Situación 4: La siguiente situación es una adaptación de una de las experiencias de los autores (Uribe & Ortíz, No especificado, p.170) Carlos tiene una lámina rectangular de cartón de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Recorta cuadrados de lado x cm en las cuatro esquinas para construir una caja sin tapa, como lo muestra la secuencia en la figura 1 siguiente:

Figura 1: Diseño de una caja (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 11 de 2011)

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De la gráfica se puede ver que: DIMENSIONES DE LA CAJA 𝑥

ALTO

𝑐𝑚

ANCHO

30 − 2𝑥 𝑐𝑚

LARGO

20 − 2𝑥 𝑐𝑚

Contesta las siguientes preguntas:

1.

¿Cuál es la expresión para el volumen de la caja?

Solución: El volumen de la caja se obtiene multiplicando entre si las 3 dimensiones, esto es:

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝒂𝒍𝒕𝒐 ∗ 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 ∗ 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 Sea: v(x) el volumen. Tenemos que:

𝒗(𝒙) = 𝒙 ∗ (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙) ∗ (𝟐𝟎 − 𝟐𝒙) Efectuando las multiplicaciones correspondientes y reduciendo términos semejantes:

𝒗(𝒙) = (𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 ) ∗ (𝟐𝟎 − 𝟐𝒙) 𝒗(𝒙) = 𝟔𝟎𝟎𝒙 − 𝟔𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 El volumen sería (en este caso depende del valor de x):

𝒗(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟎𝒙 𝒄𝒎𝟐

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2. ¿Qué variables intervienen en esta situación problémica? Solución: Intervienen diferentes variables que son:



Altura, ancho, largo y volumen de la caja.

 

El largo, el ancho y el volumen de la caja dependen de la altura de la caja. También podemos ver que el volumen depende del ancho, el largo y la altura de la caja.

Observando la función anterior, podemos afirmar que el volumen depende de la altura de la caja. Las variables de la situación problémica son: Variable independiente: altura de la caja (o lado del cuadrado a quitar). Variable dependiente: volumen de la caja. a. ¿Cuál es la variable independiente?

Altura de la caja. b. ¿Cuál es la variable dependiente?

Volumen de la caja. c. ¿Cuál es el dominio? Procedimiento para determinar el dominio: Realicemos la siguiente tabla en Excel. Plantilla para determinar el dominio y el rango de la función:

𝒗(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟎𝟎𝒙 𝒄𝒎𝟑 En la columna valor de x ingresamos números positivos, en este caso, números del cero al veinte. En la columna correspondiente a v(x) se escribe la fórmula para el volumen.

=4*A2^3-100*A2^2+600*A2. Desplegando se obtiene la información de la tabla.

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

A

B

Valor de x Valor de v(x)

Solución:

0

0

1

504

2

832

3

1008

4

1056

5

1000

6

864

7

672

8

448

9

216

10

0

11

-176

12

-288

13

-312

14

-224

15

0

16

384

17

952

18

1728

19

2736

20

4000

21

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Para este caso particular, se debe dar valores a x que permitan que se pueda fabricar una caja con la lámina de cartón de 30 cm por 20 cm. No sobra indicar que:  

Con una de las dimensiones igual a cero, no puede haber caja, y No es posible construir una caja con dimensiones negativas, es decir, la altura, el largo y el ancho de la caja solo pueden asumir valores positivos.

Para contestar esta pregunta observemos los resultados de la plantilla en Excel, dando valores a x y observando que valores toma v(x). Se puede ver que para x = 0, se obtiene v(x) = 0, por lo tanto,

x = 0 no pertenece al dominio de v(x).

También se observa que el v(x) es positivo: Desde x = 1 hasta x = 9, Nota: en x = 0 y en x = 10 →

𝒗(𝒙) = 𝟎.

Tomemos algunos valores entre 15 y 20 y reemplacemos en cada una de las dimensiones de la caja: Se puede ver que si x = 16: El alto de la caja seria: 𝑥 = 16 𝑐𝑚 El ancho de la caja seria: 30 − 2𝑥 = 30 − 2 ∗ 16 = 30 − 32 = −2𝑐𝑚 El largo de la caja sería: 20 − 2𝑥 = 20 − 2 ∗ 16 = 20 − 32 = −12 𝑐𝑚 Esto sucede si se toman valores de 16 en adelante. Actividad: Reemplaza y verifica lo que ocurre con 17, 18, 19 y 20. Completa cada uno de los esquemas:

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



Se puede ver que si x = 17:

El alto de la caja seria: 𝑥 = 17𝑐𝑚= El ancho de la caja seria: 30 − 2𝑥 = El largo de la caja sería: 20 − 2𝑥 = 

Se puede ver que si x = 18:

El alto de la caja seria: 𝑥 = 18𝑐𝑚= El ancho de la caja seria: 30 − 2𝑥 = El largo de la caja sería: 20 − 2𝑥 = 

Se puede ver que si x = 19:

El alto de la caja seria: 𝑥 = 19𝑐𝑚= El ancho de la caja seria: 30 − 2𝑥 = El largo de la caja sería: 20 − 2𝑥 = 

Se puede ver que si x = 20:

El alto de la caja seria: 𝑥 = 20𝑐𝑚= El ancho de la caja seria: 30 − 2𝑥 = El largo de la caja sería: 20 − 2𝑥 = Nota: las dimensiones negativas no son permitidas. Por lo tanto el dominio de v(x) es: 𝒙

∈ (𝟎, 𝟏𝟎)

El paréntesis quiere decir que no se incluyen los extremos (es un intervalo abierto en ambos extremos), en este caso ni el valor x = 0 ni el valor x = 10, pero sí los valores de x, de cero en adelante, hasta el 10 sin incluir el 10. d. ¿Cuál es el rango? Solución:

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

En este caso la variable dependiente es el volumen de la caja V(X) Recuerde que: el volumen de la caja no puede ser ni cero ni negativo. Para determinar el dominio y el rango utilizando el Excel: Para el rango observe la columna correspondiente a v(x) para los valores de x entre 0 y 10, podemos ver que

v(x) toma valores desde 0 hasta 1056 y luego vuelve a llegar a 0, por lo tanto el Rango: 𝒚 ∈ (𝟎, 𝟏𝟎𝟓𝟔] Nota: el corchete en un intervalo quiere decir que se incluye el extremo (intervalo cerrado en dicho extremo), es decir, el volumen puede alcanzar los 1056 cm3. e. ¿El volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar o el tamaño del cuadrado a quitar depende del volumen? Justifique. Solución: Se puede ver que el volumen depende del tamaño del cuadrado a quitar, ya que dependiendo de este la altura, el largo aumenta o disminuye, lo mismo sucede con el volumen.

Situación 5: Un mayorista tiene la siguiente promoción del día: Vende piñas a 2000 pesos la unidad y ofrece un descuento de 10 pesos por piña comprada. Contesta las siguientes preguntas.

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

PREGUNTAS 1. Si vende una piña ¿Cuál es su ingreso?

2. Si vende dos piñas ¿Cuál es su ingreso?

SOLUCIÓN Precio = 2000 – 10(1) = 1990. Ingreso = 1990(1) =1990. Precio = 2000 – 10(2) = 1980. Pesos. Ingreso = 1980(2) = 3960 pesos.

3. Si vende 10 piñas ¿Cuál es su ingreso? ¿Cuál es el Precio = 2000 – 10(10) = 1900. precio de venta de cada piña? Ingreso = 1900(10) = 19000 pesos. Sea q: Número de piñas vendidas. 4. ¿Qué variables intervienen en la situación Sea y = r problémica? q piñas.

(q): Ingreso obtenido por la venta de las

5. ¿Cuál es la variable dependiente?

Ingreso obtenido por la venta de

6. ¿Cuál es la variable independiente?

Cantidad q de piñas vendidas.

q piñas.

7. ¿Es posible representar esta situación problémica Sí. utilizando un modelo? Para construir la función de ingreso en la venta de la

q piñas, tenga en cuenta que: 8. Encuentre un modelo o expresión matemática que Ingreso (I) = precio de venta (PV) multiplicado (*) represente el ingreso del mayorista. por la cantidad vendida (CV).

𝑰 = 𝑷𝑽 ∗ 𝑪𝑽

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

En la siguiente tabla se observa mejor la construcción de la función de ingreso para la venta de q piñas. Cantidad de piñas vendidas

Precio de venta

Ingreso

1

2000 – 10(1)

[2000 – 10(1)]*1

2

2000 – 10(2)

[2000 – 10(2)]*2

3

2000 – 10(3)

[2000 – 10(3)]*3

4

2000 – 10(4)

[2000 – 10(4)]*4

Q

2000 – 10q

(2000 – 10q)*q

Como y = r (q) es el ingreso obtenido al vender q piñas:

𝒓(𝒒) = (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒒)𝒒 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 𝒓(𝒒) = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 Para contestar las preguntas 9, 10, 11 y 12 se hace la siguiente plantilla en Excel.

Cantidad vendida

Ingreso obtenido

0

0

10

19000

20

36000

30

51000

40

64000

50

75000

60

84000

70

91000

26

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

80

96000

90

99000

100

100000

110

99000

120

96000

130

91000

140

84000

150

75000

160

64000

170

51000

180

36000

190

19000

200

0

210

-21000

220

-44000

230

-69000

240

-96000

250

-125000

27

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

NÚMERO

PREGUNTA

SOLUCIÓN

9

Cuando vende 100 piñas, ya que de esta ¿Bajo qué condiciones es esta promoción manera su ingreso es de 100.000 pesos y es rentable para el mayorista? el máximo ingreso que puede obtener.

10

Cuando vende 100 piñas a un precio de 1000 ¿Bajo qué condiciones el mayorista obtendrá pesos cada una, con un ingreso máximo de el máximo ingreso? 100.000 pesos.

11

¿Cuál es el domino de la expresión anterior?

12

¿Cuál es el rango de la expresión anterior?

𝑫𝒐𝒎. 𝒒 ∈ [𝟎, 𝟐𝟎𝟎]

𝒚 ∈ [𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎]

Nota: después de analizar las situaciones problémicas anteriores aparecen algunos conceptos en los que se debe formalizar y profundizar; tales conceptos son:    

Imagen de una función. Tipos de funciones y su clasificación. Determinación del dominio. Grafica de las funciones.

Imagen de una función. Consiste en reemplazar en la función a x por el valor indicado y obtener la respectiva

y. Ejemplo 1: Si

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔

Halle: 𝒇(𝟏),

𝟐

𝒇(−𝟐), 𝒇(𝟎), 𝒇( ) 𝟑

Solución 

Cálculo de 𝒇(𝟏):

Cundo se pide hallar

𝑓(1) ,

se pide determinar el valor de

y,

cuando 𝒙

= 𝟏; esto es:

28

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Cuando 𝒙

= 𝟏, 𝒚 = 𝒇(𝟏) = 𝟒(𝟏) − 𝟑(𝟏)𝟐 − 𝟔 = 𝟒 − 𝟑 − 𝟔 = −𝟓

Interpretando el resultado, tenemos:

𝒇(𝟏) = −𝟓, implica que si: 𝒙 = 𝟏 , 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝒚 = −𝟓 

Cálculo de 𝒇(−𝟐):

Cuando 𝒙

= −𝟐, 𝒚 = 𝒇(−𝟐) = 𝟒(−𝟐) − 𝟑(−𝟐)𝟐 − 𝟔 =

−𝟖 − 𝟏𝟐 − 𝟔 = −𝟐𝟔 𝒇(−𝟐) = −𝟐𝟔 quiere decir que si:

𝒙 = −𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 = −𝟐𝟔 

Cálculo de 𝒇(𝟎):

Cuando 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝒇(𝟎) = 𝟒(𝟎) − 𝟑(𝟎)𝟐 − 𝟔 = 𝟎 − 𝟎 − 𝟔 = −𝟔 Entonces 𝒇(𝟎) = −𝟔, 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒒𝒖𝒆 si:

𝒙 = 𝟎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 = −𝟔



𝟐 Cálculo de 𝒇 ( ): 𝟑

Cuando 𝒙

=

𝟐 𝟑

𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟖

𝟒

, 𝒚 = 𝒇( ) = 𝟒( ) − 𝟑( ) − 𝟔 = − 𝟑( ) − 𝟔 = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟗

𝟖 𝟏𝟐 𝟖 ∗ 𝟑 − 𝟏𝟐 ∗ 𝟏 − 𝟔 ∗ 𝟗 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐 − 𝟓𝟒 𝟒𝟐 𝟏𝟒 − −𝟔= = =− =− 𝟑 𝟗 𝟗 𝟗 𝟗 𝟑

29

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Entonces, si:

𝒙=

𝟐 , 𝟑

𝒚=−

Ejemplo 2: Si,

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟒 𝒙+𝟏

Hallar:

𝒇(𝟏), 𝒇(−𝟏), 𝒇(𝟒), 𝒇(−𝟑)

Solución:

𝟏−𝟒

 𝒇(𝟏) = 𝟏+𝟏 =

−𝟑 𝟐

−𝟏−𝟒

 𝒇(−𝟏) = −𝟏+𝟏 =

𝟒−𝟒

𝟑

= −𝟐 −𝟓 𝟎

𝟓

= −𝟎

𝟎

 𝒇(𝟒) = 𝟒+𝟏 = 𝟓 = 𝟎 −𝟑−𝟒

−𝟕

𝟕

 𝒇(−𝟑) = −𝟑+𝟏 = −𝟐 = 𝟐 Ejemplo3: Si,

𝒚 = 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟔

Hallar: 𝒈(𝟏𝟎),

𝒈(𝟎), 𝒈(𝟓), 𝒈(𝟖)

𝟏𝟒 𝟑

30

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Solución

 𝒈(𝟏𝟎) = √𝟏𝟎 − 𝟔 = √𝟒 = 𝟐  𝒈(𝟎) = √𝟎 − 𝟔 = √−𝟔



𝒈(𝟓) = √𝟓 − 𝟔 = √−𝟏 (𝑹𝒂í𝒛 𝒑𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐), 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒙 = 𝟓 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂𝒍 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏.



𝒈(𝟖) = √𝟖 − 𝟔

= √𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔𝟐 …

Enlaces evaluación de funciones:

Videos FMAT - Evaluación de Funciones [1/7] Enlace

31

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Videos FMAT - Evaluación de Funciones [2/7] Enlace

Videos FMAT - Evaluación de Funciones [5/7] Enlace

32

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Videos FMAT - Evaluación de Funciones [6/7] Enlace

Videos FMAT - Evaluación de Funciones [7/7] Enlace

33

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Interceptos en x y precalculo 01.072 Enlace

Un intercepto es un punto donde la gráfica de la función corta cada uno de los ejes. Para obtenerlos se procede de la siguiente forma: 1. Las intersecciones con el eje

x

(si los hay) se obtienen haciendo

Nota: a partir de una gráfica las intersecciones con el eje

y=0

y despejando la x.

x corresponden a los puntos donde la gráfica corta

el eje x.

2. Las intersecciones con el eje

y (si los hay) se obtienen haciendo x = 0 y despejando la y.

Nota: a partir de una gráfica, las intersecciones con el eje y son los puntos donde la gráfica corta el eje y.

NOTA: Si al buscar las intersecciones con los ejes se presenta una de las siguientes situaciones, quiere decir, que en ese caso no hay intersecciones con el respectivo eje.

34

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

      

La ecuación no tiene solución. Una igualdad falsa. Raíz par de un número negativo. División entre cero. Cualquier expresión falsa. Logaritmo de un número negativo. Un exponencial igualado a cero.

2.2.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Determine las intersecciones con los ejes de cada una de las siguientes funciones. 1. Determine los interceptos de la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟔 Procedimiento:

a. Para encontrar el intercepto con el eje x, se hace 𝒚 = 𝟎 Si 𝑦 = 0, entonces:

𝟎 = 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟔, que se puede escribir también 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎 b.

Se despeja x:

Nota: como es una ecuación cuadrática se procede a solucionar, bien sea, factorizando o utilizando la fórmula general. Factorizando:

𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎 → (𝒙 − 𝟔) ∗ (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 c. o o

Se iguala cada factor a

0 y se despeja x:

𝒙 − 𝟔 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟔 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝟔, 𝟎) 𝑒𝑛𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜. 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝟏, 𝟎) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜.

Solución:

35

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Las coordenadas de estos interceptos son:

(𝟏, 𝟎) 𝒚 (𝟔, 𝟎)

a. Para encontrar el intercepto con el eje y, se hace 𝒙 = 𝟎 Si:

𝒙=𝟎

𝒚 = 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟐 − 𝟕(𝟎) + 𝟔 = 𝟔 Por lo tanto, este punto tiene coordenadas:

(𝟎, 𝟔)

Actividad: realiza la gráfica utilizando los interceptos encontrados, recuerda que es una función cuadrática: ¿qué tipo de curva obtienes?

2. Halle los interceptos de la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟑 Procedimiento

a. Intercepto con el eje x: se hace 𝒚

=𝟎

𝒚, = 𝟎, 𝟎 = 𝟓𝒙 + 𝟑 → 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎

Si,

=b.

Despejando x:

𝒙=−

𝟑 𝟓

c. Las coordenadas del intercepto: d. Intercepto con el eje

𝟑

(− 𝟓 , 𝟎)

y: se hace 𝒙 = 𝟎

Si, 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟓(𝟎) + 𝟑 = 𝟑 e. Las coordenadas del intercepto: (𝟎, 𝟑) f.

Su gráfica sería:

36

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.

Halle los interceptos de la función:

𝒚 = 𝒉(𝒕) = √𝟓𝒕 − 𝟏𝟎 Procedimiento a. Con el eje t, en este caso la coordenada (eje x): se hace 𝒚 = 𝟎

Sí,

𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = √𝟓𝒕 − 𝟏𝟎 → √𝟓𝒕 − 𝟏𝟎 = 𝟎 b. Se elimina la raíz:

37

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(√𝟓𝒕 − 𝟏𝟎)𝟐 = 𝟎𝟐 Eliminando la raíz, tenemos:

𝟓𝒕 − 𝟏𝟎 = 𝟎 c. Despejando t:

𝟏𝟎 →𝒕=𝟐 𝟓 El intercepto sería el punto: (𝟐, 𝟎) El intercepto con el eje y: se hace 𝒙 = 𝟎 𝟓𝒕 = 𝟏𝟎 → 𝒕 =

d. e.

Si, 𝒙

= 𝟎 → 𝒚 = √𝟓(𝟎) − 𝟏𝟎

𝒚 = √−𝟏𝟎 : Esta raíz no intercepto con el eje y. 4.

existe en los números Reales,

Halle los interceptos de la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟔𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓

Procedimiento

a.

Se halla el intercepto con el eje y: se hace 𝒙

Si, 𝒙

= 𝟎, entonces:

𝒚=

𝟔(𝟎) + 𝟐 𝟐 → 𝒚 = 𝟎𝟐 + 𝟔(𝟎) + 𝟓 𝟓

La coordenada del intercepto con el eje

b.

0=

= 𝟎, entonces: 𝟔𝒙+𝟐 𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟓

→

𝟔𝒙+𝟐 𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟓

𝟐

y sería: (𝟎, )

Se halla el intercepto con el eje x: se hace 𝒚

Si 𝒚

=𝟎

=𝟎

𝟓

=𝟎

por lo tanto, no hay

38

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c.

Multiplicando la ecuación resultante por:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 queda:

𝟔𝒙 + 𝟐 ( 𝟐 ) ∗ (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓) = (𝟎) ∗ 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟓 d.

Simplificando en el primer miembro y multiplicando por cero en el segundo, tenemos:

𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝟎 e.

Despejando x:

𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝟎 → 𝟔𝒙 = −𝟐 → 𝒙 = − La coordenada del intercepto con el eje x sería: (−

𝟐 𝟏 →𝒙=− 𝟔 𝟑

𝟏 𝟑

, 𝟎)

5. Halle los interceptos de la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟐𝒙−𝟏 Procedimiento:

a.

Se halla el intercepto con el eje y: se hace 𝒙

𝒚 = 𝟐𝟐∗𝟎−𝟏 = 𝟐−𝟏 =

=𝟎

𝟏 𝟐

El intercepto con el eje y es el punto de coordenadas: (𝟎,

𝟏 𝟐

)

39

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

b.

Se halla el intercepto con el eje x: se hace 𝒚

=𝟎

𝟐𝟐𝒙−𝟏 = 𝟎 Esta ecuación no tiene solución, ya que un exponente nunca es igual a cero. 6.

Halle los interceptos de la función: 𝟐 −𝟖

𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝒙 Procedimiento

a.

Se halla el intercepto con el eje y: se hace 𝒙

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟎−𝟖 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑−𝟖 = 𝒍𝒐𝒈

𝟏 𝟑𝟖

De acuerdo a la anterior propiedad, tenemos que:

𝒍𝒐𝒈

𝟏 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏 − 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝟖 𝟖 𝟑

=𝟎

40

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Con las propiedades anteriores tenemos entonces:

𝒍𝒐𝒈

𝟏 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏 − 𝒍𝒐𝒈 𝟑𝟖 = 𝟎 − 𝟖 𝒍𝒐𝒈 𝟑 = −𝟖 𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝟖 𝟑

Calculando:

log 3 = 0.4771212…

−𝟖 𝒍𝒐𝒈 𝟑 = - 8 * 0.4771212 = - 3.816969696… El intercepto con el eje y es el punto de coordenadas:

a.

Se halla el intercepto con el eje x: se hace 𝒚 𝟐 −𝟖

𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝒙

(𝟎, −𝟑. 𝟖𝟏𝟔𝟗𝟔𝟗𝟔)

=𝟎 𝟐 −𝟖

→ 𝐥𝐨𝐠 𝟑𝒙

=𝟎

41

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Ejemplo:

𝟐𝟑 = 𝟖 ↔ 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟖 = 𝟑

Utilizando esta definición o aplicando exponencial en ambos lados de la ecuación, tenemos:

𝐥𝐨𝐠 𝟑

𝒙𝟐 −𝟖

𝟎

=𝟎→𝟑 =𝟑

𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙 −𝟖

Entonces, la ecuación queda:

𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟏 Igualando a 0, tenemos:

𝒙𝟐 − 𝟖 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 Factorizando:

42

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(𝒙 + 𝟑) ∗ (𝒙 − 𝟑) = 𝟎 Se iguala cada factor a 0:

𝒙 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟑 𝒙−𝟑=𝟎→𝒙=𝟑 Solución: las coordenadas de estos interceptos con el eje x son:

(−𝟑, 𝟎) 𝒚 (𝟑, 𝟎) a.

Su gráfica sería:

Nota: se observa en la gráfica claramente el intercepto con el eje y, prolongando la gráfica también se notarán los cortes o interceptos con el eje x.

43

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.1.3 continuidad de una funcion Enlace

Se dice que una función es continua en todo su dominio, cuando se puede recorrer toda la gráfica sin tener que levantar la mano, cuando no hay huecos o espacios entre sus gráficas, si algo de esto se llega a presentar se dice que la función es discontinua. La función 𝒚 = 𝒇(𝒙) mostrada en la figura 2 es continua, porque podemos recorrer toda su gráfica sin necesidad de levantar la mano. La función𝒚 = 𝒈(𝒙) mostrada en la figura 3 es discontinua (no es continua), porque al recorrer su gráfica hay que levantar la mano para continuar, o porque hay un espacio entre sus gráficas. Esta función es discontinua en el punto 𝒙𝟏 . Para indicar puntos de discontinuidad se debe nombrar la

x del punto.

44

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 2. Función continua (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Figura 3. Función discontinua. (Autor. Elkin Ceballos Gómez) 

Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento de una función:

Funciones Matemáticas Enlace

o

CRECIMIENTO: se dice que una función es creciente cuando al aumentar la x, la y también aumenta (o viceversa).

45

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

o

DECRECIMIENTO: se dice que una función es decreciente cuando al aumentar la x, la y disminuye (o viceversa).

Entiéndase por x a la variable independiente, entiéndase por y a la variable dependiente.

FUNCIÓN CRECIENTE {

𝑿 ↑ − 𝒀 ↑ (𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠) 𝜎 } 𝑿 ↓ − 𝒀 ↓ (𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠) Función decreciente:

𝑿 ↑ − 𝒀 ↓ (𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝑿, 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝒀) 𝝈 FUNCIÓN DECRECIENTE { } 𝑿 ↓ − 𝒀 ↑ (𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝑿, 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 𝒀 Gráficamente puede determinarse fácilmente si una función es creciente o decreciente, recorriendo la gráfica de la función de izquierda a derecha, si la sensación es que se sube por la gráfica, quiere decir que en este tramo la función es creciente, y si la sensación es de bajada, quiere decir que en este tramo la función es decreciente. Para determinar intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento siempre se toma como límites del intervalo el valor de x del punto y los intervalos pueden ser abiertos o cerrados. Para la figura 4 se tiene que los intervalos de crecimiento y de decrecimiento son:

𝑥 𝜖 (−∞, 𝒙𝟏 ) 𝒚 (𝒙𝟐, + ∞) Decrecimiento: 𝑥 𝜖 (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 )

 Crecimiento: 

46

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 4. Crecimiento y decrecimiento de una función (Autor. Elkin Ceballos Gómez).

Funciones crecientes, decrecientes y constantes Enlace

Funciones: crecimiento y decrecimiento Enlace

OPERACIONES CON FUNCIONES Este tema también recibe el nombre de: ÁLGEBRA DE FUNCIONES: Dadas dos funciones

𝒇 ∙g se pueden combinar para formar nuevas funciones así:

47

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

OPERACIÓN

NOTACIÓN



Suma de funciones

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)



Resta (diferencia) de funciones

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)



Producto de funciones

(𝒇 ∗ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)



Cociente de funciones

(𝒇/𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙)/𝒈(𝒙)

La función compuesta de f

y g se denota como𝒇 𝝈 𝒈 y se define como:

(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) 

Función compuesta o composición de funciones

o (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) o (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) NOTA:

(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) ≠ (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙)

2.2.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟑 a. 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙): 1.

Si 𝒇(𝒙)

Procedimiento

-

Se coloca un polinomio a continuación del otro (precedidos del signo más +) y se eliminan los paréntesis: 𝟐 ( )( ) ( ) ( ) ( )

𝒇 + 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏 + 𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 + 𝟒𝒙 − 𝟑

48

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

-

Se reducen términos semejantes:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝟕𝒙 − 𝟗 a. Halle: 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙): Si 𝒇(𝒙)

2.

Procedimiento

-

Se coloca un polinomio a continuación del otro (precedidos del signo más +), se eliminan los paréntesis:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 + (𝟕𝒙 − 𝟗) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟕𝒙 − 𝟗 -

Se reducen términos semejantes:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝟕𝒙 − 𝟗 (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 3.

Si 𝒇(𝒙)

= 𝟓𝒙 + 𝟑 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

Halle:

𝒂. (𝒇 − 𝒈)(𝒙), 𝒃. (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒙), 𝒈 𝒄. ( )(𝒙) 𝒇 Procedimiento

a. (𝒇 − 𝒈)(𝒙): -

Se coloca el minuendo y a continuación el sustraendo precedido del signo menos, se eliminan paréntesis:

(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟑 − (𝒙𝟐 ) = 𝟓𝒙 + 𝟑 − 𝒙𝟐 -

Se reducen términos semejantes y se ordena el polinomio en forma descendente:

49

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑 b. (𝒇 ∗ 𝒈)(𝒙): -

Se indica en forma de producto:

(𝒇 ∗ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = (𝟓𝒙 + 𝟑) ∗ (𝒙𝟐 ) -

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y se reducen términos semejantes (si existen).

𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = (𝟓𝒙 + 𝟑) ∗ (𝒙𝟐 ) = 𝟓𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒈

c. ( )(𝒙) -

𝒇 Se indica en forma de cociente o de fracción (división) : 𝒈(𝒙) 𝒙𝟐

- (𝒈/𝒇)(𝒙) = -

=

𝒇(𝒙) 𝟓𝒙+𝟑 Se factoriza el numerador y el denominador de la fracción (si es posible) y luego se simplifica si es del caso.

En este ejercicio no es posible factorizar, por lo tanto queda:

𝒈(𝒙) 𝒙𝟐 (𝒈/𝒇)(𝒙) = = 𝒇(𝒙) 𝟓𝒙 + 𝟑 4. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 Halle las funciones compuestas:

a. (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙): Procedimiento

(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒇(𝒙 − 𝟑) = (𝒙 − 𝟑)𝟐 b. (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙): Procedimiento

50

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

a. (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) = 𝒈(𝒙𝟐 ) = (𝒙𝟐 ) − 𝟑 = 𝒙𝟐 − 𝟑

Tutorias en Matemáticas- Operaciones con Funciones Enlace

Tutorías en Matemáticas- Operaciones con Funciones 2 Enlace

51

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Composición de funciones Enlace

2.2.3 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1. En una fábrica hay en total 352 empleados, los sueldos que se pagan mensualmente oscilan entre 1 y 8.5 salarios mínimos legales. Estudie la relación que existe entre los trabajadores y el salario mensual de cada uno de ellos, para ello determine: a. Variable independiente b. Variable dependiente c. Dominio d. Rango 2. Si los valores de “x” son 3, 5, 7, 8 y la función es f ( x) 

x2 , encuentre los respectivos valores de 2

“y” (Coloque en el paréntesis la letra correspondiente). VALORES DE X a.

3

b. 5 c. 7 d. 8

VALORES DE 𝒇(𝒙) (

)

𝟒𝟗 𝟐

(

)

32

(

)

(

)

𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐

52

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3. Determine los interceptos de las siguientes funciones:

FUNCIONES

INTERCEPTOS INTERCEPTO EJE Y: (𝟎, −𝟒) 𝟐 𝟓

INTERCEPTOS EJE X: (−𝟐, 𝟎) 𝒚 ( , 𝟎)

f x   5 x 2  8 x  4

Realiza el cálculo y responde: Sí______________ No__________ ¿Por qué? Justifique su respuesta__________________ INTERCEPTO EJE Y: (𝟎, 𝟎) INTERCEPTOS EJE X: (𝟎, 𝟎) 𝒚 (𝟒, 𝟎)

g x  20x  5x 2

Realiza el cálculo y responde: Sí______________ No__________ ¿Por qué? Justifique su respuesta__________________ Realiza el cálculo correspondiente y encuentra:

hx  2 x

2

1

INTERCEPTO(s) EJE Y: INTERCEPTO(s) EJE X: Realiza el cálculo correspondiente y encuentra:

j x  

6x  7x  3 x2  9 2

INTERCEPTO(s) EJE Y: INTERCEPTO(s) EJE X:

4. Para las siguientes funciones realice las operaciones indicadas

53

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 OPERACIONES

𝒚 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 DESARROLLO OPERACIONES Y SOLUCIÓN

a. (𝒇 − 𝒈)(𝒙) 𝟐

b. (𝒇 ∗ 𝒈)( ) 𝟓

𝒇

𝟑

𝒈

𝟐

c. ( ) ( )(𝒇 − 𝒈)(𝒙) d. (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) 5. En la figura 5 se observa la gráfica de una función f  x 

Figura 5. Gráfica de una función

f x 

(Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 12 de 2011)

Teniendo en cuenta la figura 5, determine: a. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b. Las coordenadas de los interceptos con una cifra decimal.

54

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. d. Indique si la función es continua o discontinua, explique.

2.3 TEMA 2 : CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES Se tratarán los siguientes temas: Identificar el tipo de función, determinar su dominio, representar gráficamente la función (utilizando alguna aplicación en línea), determinar intervalos de decrecimiento e intervalos de crecimiento y determinar continuidad y discontinuidad de funciones (Observando la gráfica). FUNCIÓN POLINÓMICA Una función polinómica es toda función de la forma:

y  f ( x)  an x n  an1 x n1      a1 x  a0 Se identifica porque:     

No tiene variable en logaritmos, No tiene variable en el denominador, No tiene variable dentro de una raíz, No es exponencial, No es trigonométrica.

Ejemplos de función polinómica:

𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝟕𝒙 − 𝟑 𝒚 = 𝒉(𝒙) = 𝟕𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 

DOMINIO:

El dominio de las funciones polinómicas está formado por el conjunto de todos los números reales, es decir:

𝑫𝒇= 𝑹𝒆=(−∞,+∞) 

CONTINUIDAD: las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

55

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



REPRESENTACIÓN GRÁFICA: la forma de graficar las funciones polinómicas depende de cada tipo de función.

Las funciones polinómicas se clasifican a su vez en: FUNCIÓN LINEAL O FUNCIÓN DE PRIMER GRADO: Es una función de la forma:

y  f ( x)  mx  b Donde m y

b son constantes que pertenecen a los números Reales:

m: la pendiente de la línea recta. b: el intercepto o punto de corte de la línea recta con el eje y.

56

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

De acuerdo a la anterior pista se determinan las siguientes ecuaciones para la línea recta (se ilustra gráficamente cada una de ellas:

FUNCIÓN LINEAL CRECIENTE con 𝒎 > 𝟎 (𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂)(Gráfica 1):

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑚𝑥 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑏

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = 𝑚𝑥

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑏

Gráfica 1 FUNCIÓN LINEAL DECRECIENTE con 𝒎 < 𝟎 (𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂) (Gráfica 2)

𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃 𝒚 = −𝒎𝒙

57

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 = −𝒎𝒙 − 𝒃 = −(𝒎𝒙 + 𝒃)

𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃

𝒚 = −𝒎𝒙 𝒚 = −𝒎𝒙 − 𝒃 = −(𝒎𝒙 + 𝒃) Gráfica 2

FUNCIÓN LINEAL con 𝒎 = 𝟎 (Gráfica3):Recta paralela al eje x

𝒚 = +𝒃 𝒚=𝟎 𝒚 = −𝒃

58

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 = +𝒃

𝒚=𝟎

𝒚 = −𝒃

Gráfica 3 FUNCIÓN LINEAL 𝒎 = 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 (Gráfica 4): Recta paralela al eje y

𝒙 = +𝒄 𝒙=𝟎 𝒙 = −𝒄

59

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒙 = +𝒄

𝒙=𝟎

𝒙 = −𝒄

Gráfica 4 

GRÁFICA:

Para graficar una función lineal es suficiente con dos puntos. Los paso a seguir son:

1. Se seleccionan dos valores de

x arbitrariamente, ya que el dominio de la función son los números

Reales. 2. Cada valor de x seleccionado se reemplaza en el modelo para obtener la respectiva y. 3. Las parejas obtenidas se ubican en el plano cartesiano. 4. Unimos los dos puntos obtenidos mediante una línea recta.

60

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.3.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Para la función

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓.

a) Halle su dominio. b) Realice su gráfica. c) Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. d) Indique si la función es continua o discontinua, en caso de ser discontinua indique los puntos de discontinuidad. Procedimiento a. Dominio 𝒙

𝝐 𝑹𝒆 , por ser una función polinómica.

b. Gráfica: Seleccione dos valores de x (los que desee) por ejemplo x = 0 y x = 4, con estos valores se obtiene la respectiva y reemplazando en la función. Haciendo una tabla de valores queda:

VALORES PARA X

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓.

VALORES PARA Y

PAREJA ORDENADA

𝒙=𝟎

𝟑 ∗ (𝟎) − 𝟓

−𝟓

(𝟎, −𝟓)

𝒙=𝟒

𝟑 ∗ (𝟒) − 𝟓

𝟕

(𝟒, 𝟕)

Parejas ordenadas para representar en el plano cartesiano. Se ubican estos dos puntos en el plano cartesiano y se unen mediante una línea recta. La gráfica se muestra en la siguiente figura:

61

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura: Gráfica de y  f ( x)  3x  5 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Ejemplo: Para utilizar el applet anterior para graficar:

y  f ( x)  3x  5 Debe digitar: 3*x-5 y dar la opción graficar. http://www.luventicus.org/articulos/03U004/index.html Ejemplo: Para utilizar el applet anterior para graficar

y  f ( x)  3x  5

62

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Debe digitar: 3x-5 y dar la opción graficar c. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Observando la gráfica de la figura se puede ver que la función es siempre creciente. Creciente:(−∞, +∞) d. Continuidad: la función es continua en todo su dominio.

2.

Para la función: 𝒚

= 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏𝟎

a) Halle su dominio. b) Realice su gráfica. c) Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. d) Indique si la función es continua o discontinua, en caso de ser discontinua indique los puntos de discontinuidad. Procedimiento a. Dominio 𝒙

𝝐 𝑹𝒆 , por ser una función polinómica.

b. Gráfica:

VALORES PARA X

𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙 + 𝟏𝟎

VALORES PARA Y

PAREJA ORDENADA

𝒙=𝟐

−𝟒 ∗ (𝟐) + 𝟏𝟎

𝟐

(𝟐, 𝟐)

𝒙=𝟓

−𝟒 ∗ (𝟓) + 𝟏𝟎

−𝟏𝟎

(𝟓, −𝟏𝟎)

Parejas ordenadas para representar en el plano cartesiano. Si x  2

y  f (2)  4(2)  10  8  10  2 .

Si x  5

y  f (5)  4(5)  10  20  10  10 .

La gráfica se muestra en la siguiente figura:

63

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FIGURA: Gráfica de y  f ( x)  4 x  10 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

c. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Como la pendiente es negativa, la función es decreciente, esto también se puede observar en la figura. d. Indique si la función es continua o discontinua, en caso de ser discontinua indique los puntos de discontinuidad. La función es continua en todo su dominio.

3.

Para la función:

𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝟐

a) Halle su dominio. b) Realice su gráfica. c) Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

64

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

d) Indique si la función es continua o discontinua, en caso de ser discontinua indique los puntos de discontinuidad. Procedimiento a. Dominio: 𝒙

𝝐 𝑹𝒆 , por ser una función polinómica.

b. Gráfica. Se puede ver que para cualquier valor de x, la y siempre tendrá el mismo valor. La gráfica se ve en la siguiente figura:

x

-8

8

y

2

2

FIGURA: Gráfica de

y  g ( x)  2

(Autor: Elkin Ceballos Gómez)

c. Crecimiento o decrecimiento. Como la pendiente es igual a cero, la función no crece ni decrece, es una función constante.

65

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

No crece, no decrece, es una recta paralela al eje

x que pasa por el punto 𝒚 = 𝟐.

d. Continuidad. Es siempre continua. Los siguientes enlaces tratan la función lineal.

Problema de aplicación de la función lineal Enlace

Función lineal Enlace

66

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

TV EDUCATIVA-MATEMATICAS FUNCIONES 2 Enlace

FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Es una función de la forma:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Donde a, 

b, c

son constantes con

a diferente de cero(𝒂 ≠ 𝟎).

DOMINIO:

Por ser una función polinómica, su dominio corresponde a todos los números reales:

𝒙 𝝐 𝑹𝒆 = (−∞, +∞) 

GRÁFICA:

Esta función corresponde a una

parábola y su gráfica depende del valor de a.

67

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

a

LA PARÁBOLA

VÉRTICE

FIGURA

Positiva (𝒂 > 𝟎).

abre hacia arriba

mínimo

9

Negativa (𝒂 < 𝟎).

abre hacia abajo

máximo

10

Nota 1 : Ver figuras 9 y 10 a continuación. Nota 2: El vértice de una parábola es el punto en el cual la parábola pasa de crecer a decrecer o de decrecer a crecer.

Figura 9. Parábola que abre hacia arriba (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 11 de 2011)

68

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 10. Parábola que abre hacia abajo. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 11 de 2011)

Para graficar una parábola se debe tener en cuenta los siguientes pasos:

1.

Identificar los valores de las constantes a,

b, c:

a es el coeficiente de 𝒙𝟐 b es el coeficiente de: 𝒙̇ c es el término independiente, 2. 3.

número que no tiene variable.

signo del número a se identifica hacia donde abre la parábola. Encontrar las coordenadas del vértice: el vértice tiene coordenadas (𝒉, 𝒌), dónde: Dependiendo del

𝒉=−

𝒃 𝟐𝒂

𝒚

𝒌 = 𝒇(𝒉)

69

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Nota: 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆 (−∞, 𝒉) } 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒆 (𝒉, +∞) 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒆 (−∞, 𝒉)  𝒂 < 𝟎{ } 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒆: 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒉 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 − ∞  𝒂>𝟎 {

4. 5.

Se pueden ubicar los interceptos. Este paso es opcional: se dan valores a x alrededor del vértice aproximadamente 3 a la izquierda y 3 a la derecha. (Estos puntos incluyen el vértice). Obtenga la respectiva

6.

y reemplazando en la función.

Ubique los puntos anteriores en el plano cartesiano y únalos mediante una curva.

NOTA: Una función cuadrática es siempre continua

2.3.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Para la función: 𝒚

= 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖

Determine: dominio, grafique, determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento, determine si la función es continua o discontinua (indique en qué punto): Procedimiento a. Dominio de la función:

𝑫𝒇 = 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 = (−∞, +∞), es una función polinómica.

b. Gráfica: se toman los valores de los coeficientes:

𝒂 = 𝟏, o

Como a es positiva

o

Se determina el vértice:

𝒉=−

𝒃 = 𝟔,

(𝒂 = 𝟏, 𝟏 > 𝟎).

𝒄=𝟖

La parábola abre

𝒃 𝟔 𝟔 →𝒉=− → 𝒉 = − → 𝒉 = −𝟑 𝟐𝒂 𝟐(𝟏) 𝟐

hacia arriba.

70

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒌 = 𝒇(𝒉) = 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 + 𝟔 ∗ (−𝟑) + 𝟖 = 𝟗 − 𝟏𝟖 + 𝟖 = −𝟏 → 𝒌 = −𝟏 El vértice tiene coordenadas (−𝟑, −𝟏) o

Puntos alrededor de la x del vértice (o sea alrededor de -3): 𝑨 𝒔𝒖 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂

VÉRTICE

𝑨 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂

−𝟔, −𝟓, −𝟒

−𝟑

−𝟐, −𝟏, 𝟎

Se elabora la tabla con estos valores:

I

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖

y

(x,y)

−𝟔

(−𝟔)𝟐 + 𝟔(−𝟔) + 𝟖 =

8

(−𝟔, −𝟖)

3

(−𝟓, 𝟑)

0

(−𝟒, 𝟎)

36-36+8

Z Q

−𝟓

U I E R D A

(−𝟓)𝟐 + 𝟔(−𝟓) + 𝟖 = 25-30+8

−𝟒

(−𝟒)𝟐 + 𝟔(−𝟒) + 𝟖 = 16-24+8

71

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

−𝟑

V

(−𝟑)𝟐 + 𝟔(−𝟑) + 𝟖 =

-1

(−𝟑, −𝟏)

0

(−𝟐, 𝟎)

3

(−𝟏, 𝟑)

8

(𝟎, 𝟖)

9-18+8

É R T I C E

D

−𝟐

(−𝟐)𝟐 + 𝟔(−𝟐) + 𝟖 = 4-12+8

E −𝟏

R

(−𝟏)𝟐 + 𝟔(−𝟏) + 𝟖 = 1-6+8

E 𝟎

C

(𝟎)𝟐 + 𝟔(𝟎) + 𝟖 = 0-0+8

H A o

Ubique estos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante líneas.

La gráfica se muestra en la figura 11.

72

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FIGURA 11. Gráfica de:

y  f ( x)  x 2  6 x  8

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

o

De la gráfica de la figura 11 se tiene que la función es:

Creciente en el intervalo:(−𝟑, +∞); Decreciente en el intervalo: (−∞, −𝟑) o

2.

La función es continua, por ser una función polinómica. 𝟐 Para la función 𝑦 = 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟓

Determine: dominio, grafique, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, si la función es continua o discontinua (indique en qué punto): PROCEDIMIENTO a. Dominio: 𝑫𝒇 b. Gráfica:

= 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 = (−∞, +∞), es una función polinómica.

73

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒂 = −𝟑, o

Como a es negativa(𝒂

o

Se determina el vértice:

𝒉=−

𝒃 = 𝟒,

= −𝟑, −𝟑 < 𝟎).

𝒄=𝟓 La parábola abre

hacia abajo.

𝒃 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 →𝒉=− →𝒉=− →𝒉= →𝒉= 𝟐𝒂 𝟐(−𝟑) −𝟔 𝟔 𝟑

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒌 = 𝒇(𝒉) = 𝒇 ( ) = −𝟑 ( ) + 𝟒 ( ) + 𝟓 → 𝟑 𝟑 𝟑 𝒌 = −𝟑 ∗

𝟒 𝟖 𝟏𝟐 𝟖 + +𝟓→𝒌=− + +𝟓 𝟗 𝟑 𝟗 𝟑

𝟒 𝟖 −𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟓 𝟏𝟗 𝒌=− + +𝟓→𝒌= →𝒌= 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟗

Las coordenadas del vértice:

o

( , 𝟑

𝟑

)

𝟐 Puntos alrededor de la x del vértice (o sea alrededor de ): 𝟑 𝑨 𝒔𝒖 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂

VÉRTICE

𝑨 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂

𝟎, −𝟏, −𝟐

𝟐 𝟑

𝟏, 𝟐, 𝟑

74

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Se elabora la tabla de valores:

X I

𝒚 = 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓

(x, y)

-15

(−𝟐, −𝟏𝟓)

-2

(−𝟏, −𝟐)

5

(𝟎, 𝟓)

−𝟑(−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) + 𝟓 =

−𝟐

Z

-12-8+5

Q

−𝟑(−𝟏)𝟐 + 𝟒(−𝟏) + 𝟓 =

U

y

−𝟏

-3-4+5

I E R

𝟎

(𝟎)𝟐 + 𝟒(𝟎) + 𝟓 = 0+0+5

D A

𝟐 𝟐 𝟐 −𝟑 ( ) + 𝟒 ( ) + 𝟓 = 𝟑 𝟑

V É

−

R T I

𝟐 𝟑

𝟏𝟐 𝟗

𝟖

+ + 𝟖= 𝟑

𝟒 𝟖 − + +𝟓 𝟑 𝟑

C E

−𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟓 𝟑

𝟏𝟗 𝟑

𝟐 𝟏𝟗 ( , ) 𝟑 𝟑

75

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

D

𝟏

E R

𝟐

E

−𝟑(𝟏)𝟐 + 𝟒(𝟏) + 𝟓 = -3+4+5 −𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟒(𝟐) + 𝟓 = -12+8+5

6

(𝟏, 𝟔)

1

(𝟐, 𝟏)

-10

(𝟑, −𝟏𝟎)

C H

𝟑

−𝟑(𝟑)𝟐 + 𝟒(𝟑) + 𝟓 = -27+12+5

A Se ubican estos puntos en el plano cartesiano y se unen con una curva. La gráfica es la mostrada en la figura 12

FIGURA 12 Gráfica de:

y  f ( x)  3x 2  4x  5

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

76

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

o

De la gráfica de la figura 12 se tiene que la función es:

𝟐

𝟐

𝟑

𝟑

Creciente en el intervalo:(−∞, ) ; Decreciente en el intervalo: ( , +∞) o

La función es continua, por ser una función polinómica.

Análisis de Funciones Cuadráticas - Ejercicio 1 Enlace

Funciones Cuadrática Enlace

77

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Representación de una parábola. Función cuadrática Enlace

PARÁBOLA Enlace

78

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Enlaces función cuadrática

Funcion Cuadrática|Graciela Alvarez Enlace

La funcion cuadratica Enlace

Función cúbica: Es una función de la forma:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑨𝒙𝟑 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑪𝒙 + 𝑫.

79

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Con: A,

B, C, D constantes y A≠ 𝟎.

Para graficar estas funciones y funciones de grado superior a tres, se utilizan otras técnicas que se verán más adelante. Como ejercicio de entrenamiento intente realizar con el applet la gráfica de las siguientes funciones:

f x  3x 3  10x 2  2 x  5 g ( x)  x 4  2x 3  15x 2  x  3

Función Racional Es una función de la forma:

𝒚=



La función racional: es la función cociente de dos funciones polinómicas.

Se identifica porque la función tiene 

𝒇(𝒙) , 𝒄𝒐𝒏 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎 𝒈(𝒙)

x en el denominador.

DOMINIO: Están formados por todos los números reales menos las asíntotas verticales y/o huecos de la función.

Nota: una asíntota

vertical es un valor de x donde el denominador se hace cero.

Un hueco es un valor de

x donde el numerador y el denominador son iguales a cero.

Para determinar las asíntotas verticales y/o los huecos de una función racional (si tiene) se procede de la siguiente manera:

1. Se iguala el denominador a cero. 2. Se soluciona la ecuación resultante. Si la ecuación no tiene solución, quiere decir que la función racional no tiene ni asíntotas verticales ni huecos. 3. Los valores de

x obtenidos se deben eliminar del dominio de la función.

80

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.3.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones: 1.

𝒚 = 𝒘(𝒙) =

𝟓𝒙 𝟐𝒙−𝟓

Procedimiento a. Se iguala el denominador a cero y se despeja el valor de x:

𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎 → 𝟐𝒙 = 𝟓 → 𝒙 = 𝒙=

𝟓 𝟐

𝟓 𝟐

es una asíntota vertical; se debe excluir del dominio.

b. El dominio de la función se puede expresar de la siguiente forma: 𝟓  𝑫𝒇 = 𝑹 𝒆 − { } 𝟐 

𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

𝑫𝒇 = (−∞, ) ∪ ( , +∞), un intervalo abierto en 5/2. Por lo tanto este no se incluye.

 𝑫𝒇 : 𝒙 ≠

𝟓 𝟐

c. Su gráfica es la siguiente:

81

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟒𝒙−𝟕 𝟐𝒙𝟐 −𝒙−𝟔

Procedimiento a. Se iguala el denominador a cero y se despeja el valor de x, en este caso se debe factorizar e igualar cada factor a cero:

𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎

𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎

en este caso multiplicamos el polinomio por 2 y dividimos por 2:

𝟐 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏(𝟐𝒙) − 𝟏𝟐 𝟐 ∗ (𝟐𝒙 − 𝒙 − 𝟔) = 𝟎 → =𝟎→ 𝟐 𝟐

82

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(𝟐𝒙−𝟒)(𝟐𝒙+𝟑) 𝟐 𝟐(𝒙−𝟐)(𝟐𝒙+𝟑) 𝟐

= 𝟎 , sacando el factor común 2 en el primer paréntesis, tenemos: = 𝟎, simplificando:

(𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎, igualando cada factor a cero: (𝒙 − 𝟐 ) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎 → 𝒙 = −

𝟑 𝟐

a. El Dominio de la función sería:

𝟑

𝑫𝒇 = 𝑹𝒆 − {𝟐, − }, también se puede expresar de la siguiente forma: 𝟐

𝑫𝒇 : 𝒙 ≠ 𝟐 𝒚 𝒙 ≠ − c. Su gráfica es la siguiente:

𝟑 𝟐

83

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟑 𝒙𝟐 −𝟏

Procedimiento a. Se factoriza el denominador de la fracción

𝒙𝟐 − 𝟏 y se iguala cada factor a cero:

𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟏) ∗ (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 (𝒙 + 𝟏) = 𝟎 → 𝒙 ≠ −𝟏 (𝒙 − 𝟏 ) = 𝟎 → 𝒙 ≠ 𝟏 b. El Dominio de la función sería:

𝑫𝒇 = 𝑹𝒆 − {𝟏, −𝟏}, también se puede expresar de la siguiente forma 𝑫𝒇 : 𝒙 ≠ 𝟏 𝒚 𝒙 ≠ −𝟏 c. Su gráfica es la siguiente:

84

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.

𝒚 = 𝒌(𝒙) =

𝟑𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟕 𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟑

Procedimiento a. Se factoriza el denominador de la fracción

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟑 y se iguala cada factor a cero:

No es posible factorizarlo, se utiliza entonces la fórmula general para buscar las posibles raíces, esto es:

Reemplazando, tenemos:

−𝟑 ± √𝟑𝟐 − 𝟒(𝟏) ∗ (𝟑) −𝟑 ± √𝟗 − 𝟏𝟐 −𝟑 ± √−𝟑 𝒙= = = 𝟐(𝟏) 𝟐 𝟐

85

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Pero √−𝟑 es un número imaginario, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en los números Reales, quiere decir que la función no tiene ni asíntotas verticales ni huecos, así qué, el dominio son todos los números reales.

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹 𝒆

a. Su gráfica es la siguiente:

86

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Dominio de una función racional Enlace

Dominio de una función racional Enlace

Gráfica de funciones racionales Nota: se recomienda hacer estas gráficas utilizando algún applet en línea.

87

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento: 1. Se determina el dominio de la función. 2. Se asignan a “x” valores que se encuentren a la izquierda y a la derecha de cada asíntota vertical y/o hueco. Por cada asíntota vertical y/o hueco que haya, asigne como mínimo cinco valores a su izquierda y cinco a su derecha. Tenga en cuenta que a “x” no se le pueden asignar ni los huecos ni las asíntotas verticales. 3. Se obtiene la respectiva y reemplazando en la función. 4. Se ubican estos puntos en el plano cartesiano. 5. Se ubican las asíntotas verticales en el plano cartesiano. Las asíntotas verticales son líneas rectas verticales que se trazan por cada valor de x que haga cero el denominador de la función. Las asíntotas verticales dividen el plano cartesiano de tal manera que los puntos que se encuentren a la derecha de una asíntota vertical no se pueden unir con los puntos que se encuentren a su izquierda. 6. Ubique las asíntotas horizontales. Para ello identifique cual es la “x” de mayor exponente en la fracción y divida el coeficiente del denominador entre el coeficiente del numerador, el valor obtenido corresponde a la

“y” y es la asíntota horizontal.

Trace una recta horizontal en

“y” igual a dicho

valor. 7. Una los puntos resultantes con líneas curvas; pero dichas líneas no pueden tocar las asíntotas. 8. Si se quiere una gráfica mejor, se puede ubicar también los interceptos.

2.3.4 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟓𝒙

1.

Para la función:

a. b. c. d. e.

Determine el dominio. Determine intersecciones con los ejes Grafique. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Determine si la función es continua o discontinua, en caso de que sea discontinua, indique los puntos de discontinuidad.

𝒙+𝟔

Procedimiento a. Dominio: como es una función racional se toma el denominador, se iguala a cero y se despeja la x.

𝒙 + 𝟔 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟔 , entonces:

88

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝑫𝒇 = 𝒙𝝐 𝑹𝒆 − {−𝟔} b. Gráfica: para graficar se debe dar valores a x a la izquierda y a la derecha de menos seis y reemplazando en la función se obtiene la respectiva y. Los valores se pueden ver en la siguiente tabla:

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟓𝒙 𝒙+𝟔

Y

(𝑿, 𝒀)

−𝟏𝟏

𝟓𝒙 𝟓(−𝟏𝟏) = 𝒙 + 𝟔 −𝟏𝟏 + 𝟔

11

(−𝟏𝟏, 𝟏𝟏)

−𝟏𝟎

𝟓𝒙 𝟓(−𝟏𝟎) = 𝒙 + 𝟔 −𝟏𝟎 + 𝟔

12.5

(−𝟏𝟎, 𝟏𝟐. 𝟓)

−𝟗

𝟓𝒙 𝟓(−𝟗) = 𝒙 + 𝟔 −𝟗 + 𝟔

15

(−𝟗, 𝟏𝟓)

−𝟖

𝟓𝒙 𝟓(−𝟖) = 𝒙 + 𝟔 −𝟖 + 𝟔

20

(−𝟖, 𝟐𝟎)

−7

𝟓𝒙 𝟓(−𝟕) = 𝒙 + 𝟔 −𝟕 + 𝟔

35

(−𝟕, 𝟑𝟓)

ASÍNTOTA

−𝟔

𝟓𝒙 𝟓(−𝟔) = 𝒙 + 𝟔 −𝟔 + 𝟔

∞

(𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍)

D

−5

𝟓𝒙 𝟓(−𝟓) = 𝒙 + 𝟔 −𝟓 + 𝟔

-25

(−𝟓, −𝟐𝟓)

I Z Q U I E R D A

89

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

E

−𝟒

𝟓𝒙 𝟓(−𝟒) = 𝒙 + 𝟔 −𝟒 + 𝟔

-10

(−𝟒, −𝟏𝟎)

−3

𝟓𝒙 𝟓(−𝟑) = 𝒙 + 𝟔 −𝟑 + 𝟔

-5

(−𝟑, −𝟓)

−𝟐

𝟓𝒙 𝟓(−𝟐) = 𝒙 + 𝟔 −𝟐 + 𝟔

-2.5

(−𝟐, 𝟐. 𝟓)

−1

𝟓𝒙 𝟓(−𝟏) = 𝒙 + 𝟔 −𝟏 + 𝟔

-1

(−𝟏, −𝟏)

R E C H A

Para hallar la asíntota horizontal, la “x” de mayor exponente es “x elevada a la potencia 1”. El coeficiente de “x” en el numerador es 5 y el coeficiente de “x” en el denominador es 1, se dividen, entonces la asíntota 𝟓 horizontal es: 𝒚 = = 5 𝟏

𝒚 = 𝟓 𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 La gráfica de esta función tiene la forma mostrada en la figura 13.

FIGURA 13. Gráfica de:

y  f ( x) 

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

5x x6

90

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c. Crecimiento: Crece:(−∞, −𝟔)

𝒚 (−𝟔, +∞)

d. La función es discontinua en:

𝒙 = −𝟔

= 𝒇(𝒙) =

𝟏𝟎𝟎𝒙

2.

Para la función: 𝒚

a. b. c. d. e.

Determine el dominio. Determine intersecciones con los ejes. Grafique. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Determine si la función es continua o discontinua, en caso de que sea discontinua, indique los puntos de discontinuidad.

𝒙𝟐 −𝟏𝟎𝒙+𝟗

Procedimiento a. Dominio: Como es una función racional se toma el denominador, se iguala a cero y luego se despeja la x: -

Factorizando, tenemos:

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗 = 𝟎 → (𝒙 − 𝟗)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 -

Se iguala cada factor a cero y se despeja x:

(𝒙 − 𝟗) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟗 (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 -

Por lo tanto, el dominio de la función es:

𝑫𝒇 : 𝒙𝝐 𝑹𝒆 − {𝟏, 𝟗} Se lee: el dominio de la función son los números reales menos el uno (1) y el nueve (9). b. Interceptos con los ejes cartesianos: 1. Intercepto con el eje x: se hace 𝒚

𝟎= c.

𝟏𝟎𝟎𝒙 𝒙𝟐 −𝟏𝟎𝒙+𝟗

=𝟎

→ 𝟎(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗) = 𝟏𝟎𝟎𝒙 → 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟎 → 𝒙=𝟎

91

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

El intercepto con el eje x es el punto de coordenadas: (𝟎, 𝟎) 2. Intercepto con el eje y: se hace 𝒙 d.

𝒚=

=𝟎

𝟏𝟎𝟎𝒙 𝟏𝟎𝟎 (𝟎) 𝟎 → 𝒚 = = =𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗 𝟎𝟐 − 𝟏𝟎 (𝟎) + 𝟗 𝟗 𝒚=𝟎

El intercepto con el eje yes el punto de coordenadas: (𝟎, 𝟎) c. Gráfica: e. 1. Se determina la asíntota horizontal. La

x de mayor exponente es 𝒙𝟐 .



En el numerador tiene exponente cero (no hay x 2 en el numerador),



En el denominador su exponente es 1.

Por lo tanto, la asíntota horizontal es:

𝟎

𝒚= =𝟎 𝟏

𝒚 = 𝟎 𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 2. Se dan valores a la izquierda y a la derecha de x

= 1,

y a la izquierda y a la derecha de

x=9 Los resultados se observan en las siguientes tablas:

X I

−4

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

x=1

𝟏𝟎𝟎𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗

𝟏𝟎𝟎(−𝟒) (−𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎(−𝟒) + 𝟗

Y

(𝒙, 𝒚)

−𝟔. 𝟏𝟓

(−𝟒, −𝟔. 𝟏𝟓)

92

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Z

−3

𝟏𝟎𝟎(−𝟑) (−𝟑)𝟐 − 𝟏𝟎(−𝟑) + 𝟗

−6.25

(−𝟑, −𝟔. 𝟐𝟓)

−2

𝟏𝟎𝟎(−𝟐) (−𝟐)𝟐 − 𝟏𝟎(−𝟐) + 𝟗

−6.06

(−𝟐, −𝟔. 𝟎𝟔)

−1

𝟏𝟎𝟎(−𝟏) (−𝟏)𝟐 − 𝟏𝟎(−𝟏) + 𝟗

−𝟓

(−𝟏, −𝟓)

0

𝟏𝟎𝟎(𝟎) (𝟎)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟎) + 𝟗

0

(𝟎, 𝟎)

ASÍNTOTA VERTICAL

1

𝟏𝟎𝟎(𝟏) (𝟏)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏) + 𝟗 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

Asíntota

(𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂)

D

2

𝟏𝟎𝟎(𝟐) (𝟐)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟐) + 𝟗

-28,57

(𝟐, −𝟐𝟖. 𝟓𝟕)

3

𝟏𝟎𝟎(𝟑) (𝟑)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟑) + 𝟗

-25

(𝟑, −𝟐𝟓)

4

𝟏𝟎𝟎(𝟒) (𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟒) + 𝟗

-26,66

(𝟒, −𝟐𝟔. 𝟔𝟔)

5

𝟏𝟎𝟎(𝟓) (𝟓)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟓) + 𝟗

-31,25

(𝟓, −𝟑𝟏. 𝟐𝟓)

Q U I E R D A

E R E C H A

93

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

x=9 X

𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗

𝟒

𝟏𝟎𝟎(𝟒) (𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟒) + 𝟗

-26,66

(𝟒, 𝟐𝟔. 𝟔𝟔)

𝟓

𝟏𝟎𝟎(𝟓) (𝟓)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟓) + 𝟗

-31,25

(𝟓, −𝟑𝟏. 𝟐𝟓)

𝟔

𝟏𝟎𝟎(𝟔) (𝟔)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟔) + 𝟗

-40

(𝟔, −𝟒𝟎)

𝟕

𝟏𝟎𝟎(𝟕) (𝟕)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟕) + 𝟗

-58,33

(𝟕, −𝟓𝟖. 𝟑𝟑)

A

8

𝟏𝟎𝟎(𝟖) (𝟖)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟖) + 𝟗

-114,28

(𝟖, −𝟏𝟏𝟒. 𝟐𝟖)

ASÍNTOTA VERTICAL

9

𝟏𝟎𝟎(𝟗) (𝟗)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟗) + 𝟗 𝟗𝟎𝟎 = 𝟎

Asíntota

(𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂)

D

10

𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟎) (𝟏𝟎)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏𝟎) + 𝟗

111,11

(𝟏𝟎, 𝟏𝟏𝟏. 𝟏𝟏)

I Z Q U I E R D

Y

(𝒙, 𝒚)

94

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

E

11

𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟏) (𝟏𝟏)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏𝟏) + 𝟗

55

(𝟏𝟏, 𝟓𝟓)

12

𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟐) (𝟏𝟐)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏𝟐) + 𝟗

36,36

(𝟏𝟐, 𝟑𝟔. 𝟑𝟔)

13

𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟑) (𝟏𝟑)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏𝟑) + 𝟗

27,08

(𝟏𝟑, 𝟐𝟕. 𝟎𝟖)

14

𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟒) (𝟏𝟒)𝟐 − 𝟏𝟎(𝟏𝟒) + 𝟗

21,53

(𝟏𝟒, 𝟐𝟏. 𝟓𝟑)

R E C H A

La gráfica se muestra en la figura 14.

FIGURA 14 Gráfica de y  f ( x) 

100x x  10 x  9 2

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

95

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c. Crecimiento: -

La función decrece: (−∞, −𝟑),

(𝟑, 𝟗) 𝒚 (𝟗, +∞) La función crece: (−𝟑, 𝟏), (𝟏, 𝟑)

d. Continuidad: La función es discontinua en:

𝒙=𝟏𝑦𝒙=𝟗

3. Para la función cuya gráfica se muestra en la figura 15. Indique: a. Intervalos en los cuales la función es continua. b. La ecuación de cada asíntota vertical y de cada asíntota horizontal. c. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

Figura 15: Gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

96

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento Para

𝒚 = 𝒇(𝒙):

a. La función es continua en : (−∞, −𝟑), b.

(−𝟑, 𝟏), (𝟏, 𝟑), (𝟑, ∞) Asíntotas verticales: 𝒙 = −𝟑, 𝒙 = 𝟏 ∧ 𝒙 = 𝟑

Asíntotas horizontales:

𝒚=𝟎

c. Crece: (−∞, −𝟑), Decrece: [𝟐, 𝟑)

(−𝟑, 𝟏) ∧ (𝟏, 𝟐]

∧ (𝟑, ∞)

4. Para la función 𝒚

= 𝒇(𝒙) =

𝟓−𝟗𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟐 +𝟑𝒙−𝟐𝟎

Determine: a. Dominio. b. La ecuación de las asíntotas. c. Indique en que intervalos la función es continua. 3

d. Halle: 𝑓 (− 5) Procedimiento a. Dominio: 2𝑥 2 + 3𝑥 − 20 = 0, se factoriza 2(2𝑥 2 + 3𝑥 − 20) = 0, 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟 2 (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥 2 ) 2

𝟒𝒙𝟐 +𝟑(𝟐𝒙)−𝟒𝟎 𝟐

=𝟎→

(𝟐𝒙+𝟖)∗(𝟐𝒙−𝟓) 𝟐

(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟐𝒙 − 𝟓) = 𝟎 Igualando acero cada factor y despejando x:

(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟒

=𝟎→

𝟐(𝒙+𝟒)∗(𝟐𝒙−𝟓) 𝟐

, simplificando, tenemos:

97

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(𝟐𝒙 − 𝟓) = 𝟎 → 𝒙 =

𝟓 𝟐

El Dominio es: 𝒙 ≠ −𝟒 ∧ 𝒙 ≠ o

De este dominio se determinan: Las Asíntotas verticales:

𝒙 = −𝟒, o

𝟓 𝟐

𝒙=

𝟓 𝟐

De los coeficientes de la mayor potencia de

x se determinan las asíntotas horizontales:

x, tanto en el numerador (coeficiente -9) como en el denominador 𝟗 (coeficiente 2), es 2, por lo tanto la asíntota horizontal es 𝒚 = − Recuerde que el mayor exponente de

𝟐

b.

La continuidad de la función se da en los intervalos: (−∞, −𝟒), (−𝟒,

c.

3 𝑓 (− ) 5

𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

) , ( , ∞)

3 2 9 81 125 − 81 5 − 9 (− ) 5 − 9( ) 5− 3 5 25 25 25 𝑓 (− ) = = = = 9 9 18 9 18 − 45 − 500 5 3 2 3 2 (− ) + 3 (− ) − 20 2 (25) − 5 − 20 25 − 5 − 20 25 5 5 44 44 ∗ 25 44 = 25 = − =− 527 527 ∗ 25 527 − 25

𝟑 𝟒𝟒 𝒇 (− ) = − 𝟓 𝟓𝟐𝟕

98

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Enlaces función racional

Asíntotas Enlace

FUNCIÓN IRRACIONAL Es una función de la forma: 𝒏

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒈(𝒙) Llamamos función irracional a aquella en la que la variable aparece elevada a exponentes racionales no enteros. Se identifica porque tiene variable dentro de un radical. DOMINIO: se presentan dos casos: Caso #1: Si la raíz Dom. 𝒙

es impar el dominio corresponde a

𝝐 𝑹𝒆

todos los números reales:

99

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Caso #2: Si la raíz es par, se debe garantizar que los valores que se le asignen a “x” hagan positivo todo dentro de la raíz, es decir que la cantidad subradical sea mayor o igual que cero:

(𝒈(𝒙) ≥ 𝟎) Procedimiento: 1. Plantee la inecuación 𝒈(𝒙)

≥ 𝟎.

2. Se soluciona la inecuación. 3. La solución de la inecuación es el dominio de la función irracional. 4. Si la inecuación planteada no tiene solución o si toda dentro de la raíz par es positivo, quiere decir que el dominio de la función es todos los reales:

𝑫 𝒇 = 𝒙 𝝐 𝑹𝒆

2.3.5 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO: 1.

Determine el dominio de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓

Procedimiento Es una inecuación cuadrática. PASOS: 1. Todo lo que está dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, se debe plantear la inecuación: 𝟐

𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 ≥ 𝟎

2. Se encuentran los números críticos de la expresión resultante. Esto es igual a cero y resuelva la ecuación resultante, los valores obtenidos son los números críticos de la expresión.

Nota: un número crítico es un número donde una expresión se hace cero, es decir, donde posiblemente hay cambio de signo en la expresión.

Para el ejemplo:

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 ≥ 𝟎 → 𝒙 = −𝟓 𝝈 𝒙 = 𝟑 Números críticos

(Se obtuvieron factorizando el polinomio e igualando cada factor a cero)

100

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3. Se ubican los Números críticos en la recta numérica. Véase la figura 16. 4. Se evalúa el signo de la expresión obtenida en el paso uno. Para ello se toma un número que se encuentre a la izquierda del primer número crítico, se toma un número que se encuentre entre ambos números críticos y se toma otro que se encuentre a la derecha del segundo número crítico. Estos números se reemplazan en la expresión obtenida en el paso uno y el signo del resultado se coloca en la recta numérica. Véase la figura 16. 5. La respuesta o solución de la inecuación, se da tomando los intervalos que cumplan con el sentido de la desigualdad. Para ello nos fijamos en el sentido de la desigualdad de la expresión obtenida en el paso dos. Si dice:  0 Se toman los ++++, sin incluir los números críticos. Si dice:  0 Se toman los ++++, incluyendo los números críticos. Si dice:  0 Se toman los-------, sin incluir los números críticos. Si dice:  0 Se toman los ------, incluyendo los números críticos. La solución de la inecuación es: 𝒙

𝝐 (−∞, −𝟓] ∪ [𝟑, +∞)

Este es el mismo dominio de la función: Dom. 𝒙

Figura 16. Dominio de

𝝐 (−∞, −𝟓] ∪ [𝟑, +∞)

y  f ( x)  x 2  2 x  15

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

101

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

1. Determine el dominio de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 − 𝟓

Procedimiento

Por lo tanto, se hace:

𝟑𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟎 → 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝟎 → 𝟑𝒙 = 𝟓 → 𝒙 = Ubicando

𝟓 𝟑

𝟓 en la recta numérica, tenemos: 𝟑

Figura 17. Dominio de la función

y  f ( x)  3 x  5

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

102

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

El Dominio de la función es:

𝟓

𝑫𝒇: 𝒙 𝝐 [ , +∞) 𝟑

2.

Determine el dominio de: y 

x2  9

Solución o

Se soluciona la siguiente inecuación:

𝒙𝟐 − 𝟗 ≥ 𝟎 o

Se resuelve, entonces, la siguiente ecuación:

𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑) = 𝟎 → 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝝈 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒙 = −𝟑 𝝈 𝒙=𝟑 o

Se ubican estos dos valores en la recta numérica y se dan valores a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos, tenemos:

Figura 18. Dominio de la función y  x 2  9 (Autor. Elkin Ceballos Gómez) o

El dominio es:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 (−∞, −𝟑] ∪ [𝟑, +∞)

103

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.

Determine el dominio de:

𝒚 = 𝒈(𝒙) = √𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑 Procedimiento

o

Se soluciona la desigualdad:

𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑 ≥ 𝟎 o

Por lo tanto, se resuelve la ecuación:

𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎

factorizando (es un trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐

𝟔 𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟕(𝟔𝒙) − 𝟏𝟖 𝟐 (𝟔𝒙 − 𝟕𝒙 − 𝟑) = 𝟎 → =𝟎 𝟔 𝟔 →

(𝟔𝒙−𝟗)∗(𝟔𝒙+𝟐) 𝟔

= 𝟎, sacando factor común en cada paréntesis, tenemos

𝟑(𝟐𝒙−𝟑)∗𝟐(𝟑𝒙+𝟏) 𝟑∗𝟐

= 𝟎 →Simplificando:

(𝟐𝒙 − 𝟑)*(𝟑𝒙 + 𝟏) = 𝟎, igualando cada factor a cero: (𝟐𝒙 − 𝟑)= 0→ 𝟐𝒙 = 𝟑 → 𝒙 =

𝟑 𝟐

𝝈 (𝟑𝒙 + 𝟏) = 𝟎 → 𝟑𝒙 = −𝟏 → 𝒙 = −

𝟏 𝟑

+ 𝒃𝒙 + 𝒄)

104

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

La solución de la ecuación es:

𝒙=

𝟑 𝟐

𝝈 𝒙=−

𝟏 𝟑

Se ubican estos dos números en la recta numérica y determinamos el signo a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.

Figura 19. Dominio de la función

y  g ( x)  6 x 2  7 x  3

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

El dominio de la función es:

𝑫 4.

Determine el dominio de:

𝟏 𝟑 𝒇: 𝒙𝝐 (−∞,− ]∪[ ,+∞) 𝟑 𝟐 𝟕

𝑦 = 𝒈(𝒙) = √𝟓𝒙 − 𝟕

Procedimiento Como la raíz es

impar el dominio son todos los números reales 𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹 𝒆

Los siguientes ejercicios los encuentras en los siguientes link:

105

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Dominio de Una Funcion Irracional Video 1 Enlace

Dominio de una función irracional Enlace

106

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Hallar dominio Enlace

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN IRRACIONAL: El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Se determina el dominio de la función. 2. Se asignan valores a

x que estén dentro de cada intervalo empezando por los extremos.

cada intervalo asigne aproximadamente cinco valores. 3. Para cada valor se obtiene la respectiva y reemplazando en la respectiva función. 4. Se ubican estos puntos en el plano cartesiano. 5. Se unen los puntos mediante líneas. Nota: los puntos de intervalos diferentes no se pueden unir entre sí.

2.3.6 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1.

a. b. c. d.

Para la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓

Determine el dominio. Realice su gráfica. Determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Determine si es continua o discontinua.

Nota: por

107

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento a. Se determina el dominio haciendo la cantidad subradical mayor – igual que cero:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎 Por lo tanto, se resuelve la ecuación:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎, factorizando: 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎, igualando cada factor a cero y despejando x: (𝒙 + 𝟓) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟓 𝝈 (𝒙 + 𝟏) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏 Se ubican estos puntos en la recta numérica:

Figura 20. Dominio de la función

y  f ( x)  x 2  6x  5

El dominio es:

𝑫𝒇: 𝒙 𝝐 (−∞, −𝟓] ∪ [−𝟏, +∞) b. Gráfica:

108

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

x a dar son: el menos cinco y cuatro valores a la izquierda de x = - 5 y el menos uno y cuatro valores a la derecha de x = -1. Los valores de

Tabla de valores:

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓

Y

(𝒙, 𝒚)

−𝟗

√(−𝟗)𝟐 + 𝟔(−𝟗) + 𝟓

5.65

(−𝟗, 𝟓. 𝟔𝟓)

−8

√(−𝟖)𝟐 + 𝟔(−𝟖) + 𝟓

4.58

(−𝟖, 𝟒. 𝟓𝟖)

−7

√(−𝟕)𝟐 + 𝟔(−𝟕) + 𝟓

3.46

(−𝟕, 𝟑. 𝟒𝟔)

−6

√(−𝟔)𝟐 + 𝟔(−𝟔) + 𝟓

2.23

(−𝟔, 𝟐. 𝟐𝟑)

EXTREMO

−5

√(−𝟓)𝟐 + 𝟔(−𝟓) + 𝟓

0

(−𝟓, 𝟎)

EXTREMO

−1

√(−𝟏)𝟐 + 𝟔(−𝟏) + 𝟓

0

(−𝟏, 𝟎)

0

√(−𝟎)𝟐 + 𝟔(−𝟎) + 𝟓

2.23

(𝟎, 𝟐. 𝟐𝟑)

1

√(𝟏)𝟐 + 𝟔(𝟏) + 𝟓

3.46

(𝟏, 𝟑. 𝟒𝟔)

I Z Q U I E R D A

D E

109

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

R

2

√(𝟐)𝟐 + 𝟔(𝟐) + 𝟓

4.58

(𝟐, 𝟒. 𝟓𝟖)

3

√(𝟑)𝟐 + 𝟔(𝟑) + 𝟓

5.65

(𝟑, 𝟓. 𝟔𝟓)

E C H A La gráfica es la siguiente:

Figura 21. Gráfica de

y  f ( x)  x 2  6x  5

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

c. Crecimiento y decrecimiento: o

Crece: (−𝟏, +∞)

o

Decrece: (−∞, −𝟓) 2. Para la función:

110

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝒙 a. Determine el dominio. b. Realice la respectiva gráfica. c. Determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Procedimiento

𝟐 − 𝒙 y se hace mayor – igual que cero: 𝟐 − 𝒙 ≥ 𝟎 → −𝒙 ≥ −𝟐 → 𝒙 ≤ 𝟐

a. Dominio: se toma la cantidad subradical

Por lo tanto, el dominio de la función es:

𝑫𝒇: 𝒙𝝐 (−∞. 𝟐] a. Gráfica Se asignan valores empezando en 2 y menores que 2, se puede ver en la siguiente tabla:

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝒙

Y

(𝒙, 𝒚)

𝟐

√𝟐 − 𝟐 = √𝟎

𝟎

(𝟐, 𝟎)

𝟏

√𝟐 − 𝟏 = √𝟏

𝟏

(𝟏, 𝟏)

𝟎

√𝟐 − 𝟎 = √𝟐

𝟏. 𝟒𝟏

(𝟎, 𝟏. 𝟒𝟏)

111

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

−𝟏

√𝟐 − (−𝟏) = √𝟑

𝟏. 𝟕𝟑

(−𝟏, 𝟏. 𝟕𝟑)

−𝟐

√𝟐 − (−𝟐) = √𝟒

𝟐

(−𝟐, 𝟐)

La gráfica se muestra en la siguiente figura (fig. 22)

FIGURA 19 Gráfica de:

y  f ( x)  2  x

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

b. Crecimiento – decrecimiento

Decrece: (−∞, 𝟐) c. Continuidad o discontinuidad: La función es

continua.

112

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3. Para la función 𝒚

= √−𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝟖

Determine: a. Dominio. 8 3

b. Halle: 𝑓 (− ) Procedimiento a. Dominio: se toma el polinomio subradical y se hace mayor – igual que cero: −3𝑥 2 − 10𝑥 + 48 ≥ 0 o

Se soluciona la inecuación: se utilizará el método de los intervalos:

𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝟖 ≤ 𝟎

se multiplica por -1 (cambia el sentido de la inecuación)

Se toma la ecuación:

𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 se factoriza (polinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐): 𝟑 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟎(𝟑)𝒙 − 𝟏𝟒𝟒 𝟐 ∗ 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 → =𝟎→ 𝟑 𝟑 (𝟑𝒙+𝟏𝟖)∗(𝟑𝒙−𝟖) 𝟑

=𝟎→

𝟑(𝒙+𝟔)∗(𝟑𝒙−𝟖) 𝟑

=𝟎

simplificando por 3:

113

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(𝒙 + 𝟔) ∗ (𝟑𝒙 − 𝟖) = 𝟎 se iguala cada factor a cero: (𝒙 + 𝟔) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟔 𝝈 (𝟑𝒙 − 𝟖) = 𝟎 → 𝒙 =

𝟖 𝟑

Se representan sobre la recta numérica:

𝟖 ________C_________+∞ 𝟑

−∞__________A____________−𝟔__________B___________

Se forman 3 intervalos y se toma un número cualquiera de cada uno de ellos y se reemplaza en la ecuación original.

A= (−∞, −𝟔): (-7): 𝟑(𝟕)𝟐 + 𝟏𝟎(𝟕) − 𝟒𝟖 = 𝟏𝟒𝟕 + 𝟕𝟎 − 𝟒𝟖 = 𝟏𝟔𝟗 > 𝟎 𝟖

B= (−𝟔, ): (0): 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟏𝟎(𝟎) − 𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 < 𝟎 𝟑 𝟖

C=(𝟑 , +∞): (3): 𝟑(𝟑)𝟐 + 𝟏𝟎(𝟑) − 𝟒𝟖 = 𝟐𝟕 + 𝟑𝟎 − 𝟒𝟖 = 𝟗 > 𝟎 Tenemos la inecuación 𝟑𝒙

𝟐

+ 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝟖 ≤ 𝟎 y al reemplazar los valores asignados, el único intervalo que cumple con las condiciones (ser menor que…) es el intervalo B, por lo tanto la solución de la inecuación y dominio de la función es:

𝟖 𝑫𝒇: 𝒙 𝝐 [−𝟔, ] 𝟑 b.

𝟖

𝒇 (− 𝟑)

𝟖 𝟖 𝟐 𝟖 𝟔𝟒 𝟖𝟎 𝒇 ( ) = √−𝟑 (− ) − 𝟏𝟎 (− ) + 𝟒𝟖 = √−𝟑 ( ) + + 𝟒𝟖 𝟑 𝟑 𝟑 𝟗 𝟑

= √−

𝟔𝟒 𝟖𝟎 −𝟔𝟒 + 𝟖𝟎 + 𝟏𝟒𝟒 + + 𝟒𝟖 = √ 𝟑 𝟑 𝟑

114

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟖 𝟏𝟔𝟎 𝒇( ) = √ 𝟑 𝟑 c. Su gráfica es la siguiente:

Función algebraica Se llama función algebraica a una función f que puede expresarse como combinaciones de sumas, restas, divisiones, potencias o raíces de funciones polinómicas. Entonces todas las funciones polinómicas, racionales e irracionales son algebraicas, pero también lo son cualquier combinación de éstas.

Ejemplo1:

𝒚 = 𝒈(𝒙) = √

Ejemplo2:

𝒚 = 𝒉(𝒙) =

𝟐𝒙−𝟑 𝟓𝒙+𝟏

√𝒙 𝟓𝒙+𝟐

Nota: para determinar el dominio de estas funciones se debe tener en cuenta el tipo de funciones que se están combinando.

115

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.3.7 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Determine el dominio de las siguientes funciones 1.

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

√𝒙 𝒙−𝟏

Procedimiento a. Dominio:

𝒙≥𝟎

o

En el numerador se debe cumplir que:

o

El denominador se debe hacer diferente de 0, esto es:

En general, tenemos que hacer:

𝒙≥𝟎

𝒙−𝟏≠𝟎→𝒙≠𝟏

y 𝒙≠𝟏

Ubicando estos valores en la recta numérica, tenemos:

Figura 23. Dominio de la función y  f ( x)  (Autor. Elkin Ceballos Gómez) El dominio de la función es∷ b. Gráfica: Su grafica es la siguiente:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 [𝟎, 𝟏) ∪ (𝟏, +∞)

x x 1

116

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √

𝒙𝟐 −𝟗 𝟐𝒙−𝟏

Procedimiento a. Dominio: o

En la raíz se debe cumplir que:

𝒙𝟐 −𝟗

≥𝟎

𝟐𝒙−𝟏 o En la raíz el denominador de la fracción tiene que ser diferente de cero:

𝟐𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎 Entonces, obtenemos los siguientes puntos:

𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎, Factorizando (𝒙 + 𝟑) ∗ (𝒙 − 𝟑) = 𝟎, igualando cada factor a cero: (𝒙 + 𝟑) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟑 (𝒙 − 𝟑 ) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝟐𝒙 = 𝟏 → 𝒙 =

𝟏 𝟐

117

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Los representamos en la recta numérica:

Figura 24. Dominio de y  f  x  

Dominio: 𝑫𝒇 Nota: en

𝒙=

𝟏 𝟐

x2  9 2x  1

𝟏

= 𝒙 𝝐 [−𝟑, ) ∪ [𝟑, +∞)

𝒙=

𝟐

𝟏 𝟐

el intervalo es abierto, ya que en dicho valor el denominador se hace cero, es decir,

es un polo.

b. Gráfica: Su gráfica es la siguiente:

118

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.

𝒚 = 𝒈(𝒙) =

𝟐𝟎𝒙−𝟕 √𝟓−𝟑𝒙

Procedimiento Es una función con un radical en el denominador, por lo tanto, este denominador se hace mayor -igual que cero y también diferente de cero quedando entonces, el denominador mayor que cero, así:

𝟓 − 𝟑𝒙 > 𝟎 o

Se iguala a cero, se encuentra el valor de x:

𝟓 − 𝟑𝒙 = 𝟎 → −𝟑𝒙 = −𝟓 → 𝟑𝒙 = 𝟓 → 𝒙 = o

Se ubica este valor en la recta numérica:

𝟓 𝟑

119

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 25. Dominio de la función y  g ( x)  (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐: 𝒙 𝝐 (−∞, b. Gráfica: Su gráfica es la siguiente:

𝟓

)

𝟑

20 x  7 5  3x

120

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Para graficar estas funciones se verán más adelante técnicas apropiadas, utilizando la derivada. Se puede También lo podemos hacer utilizando una herramienta informática como el Excel o el Derive. Enlaces dominio funciones algebraicas.

Cálculo del dominio de una función (cociente con una raíz) Enlace

121

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Funciones Calculo de Dominio y rango de funciones 2 Enlace

Dominio de una función Enlace

FUNCIONES TRASCENDENTES Son funciones que no son algebraicas, entre estas están las funciones exponenciales, las funciones trigonométricas, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas inversas, las funciones hiperbólicas, entre otras.

122

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCION EXPONENCIAL (MATEMATICA) Enlace

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒈(𝒙) condiciones: 𝒃 > 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟏 Es una función de la forma:

(Exponencial general) que cumple las siguientes

DOMINIO: El dominio de esta función depende de g(x).

2.3.8 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 Procedimiento Es una función exponencial que tiene en corresponde a todos los números reales.

el exponente un polinomio,

𝑫𝒇: 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 2. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙+𝟏

por lo tanto, su dominio

123

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Solución Como en el exponente hay una función

lineal, entonces el dominio de la función es 𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 .

𝟓𝒙 𝒙−𝟒

3. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒆 Procedimiento

Como en el exponente hay una función racional, se toma el denominador y se hace diferente de cero, por lo tanto, el dominio serán todos los números reales menos las asíntotas verticales y/o los huecos, esto es:

𝒙−𝟒=𝟎→𝒙=𝟒 Por lo tanto, el dominio de la función es 

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 − { 𝟒 }

Gráfica de funciones exponenciales:

Si el dominio es x  lR para su grafica asigne a X el cero y aproximadamente 2 o 3 valores a su izquierda y 2 o 3 valores a su derecha. Nota: si el dominio no son todos los números reales, para graficar siga las pautas de la gráfica de la expresión que está en el exponente.

2.3.9 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Para la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙

a. Determine el dominio: Como es una función lineal el dominio son los números reales: 𝑫𝒇 : 𝒙

𝝐 𝑹𝒆 .

b. Determine los interceptos: o

o

y se hace 𝒙 = 𝟎 entonces 𝒚 = 𝟓𝟎 → 𝒚 = 𝟏, el intercepto con el eje y es el punto (𝟎, 𝟏). x Con el eje x no tiene intersecciones, ya que si y = 0 queda 0  5  log5 0  x , el logaritmo de Con el eje

cero no existe, por lo tanto la ecuación no tiene solución. c. Grafique. Los puntos para la gráfica se muestran en la siguiente tabla y la gráfica se muestra en la figura 26.

124

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

X

I

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙

U

0.008

(−𝟑, 𝟎. 𝟎𝟎𝟖)

𝟏 𝟏 = 𝟓𝟐 𝟐𝟓

0.04

(−𝟐, 𝟎. 𝟎𝟒)

𝟏 𝟓

0.2

(−𝟏, 𝟎. 𝟐)

𝟓−𝟑 =

−2

𝟓−𝟐 =

−𝟏

(𝒙, 𝒚)

𝟏 𝟏 = 𝟓𝟑 𝟏𝟐𝟓

−𝟑

Z Q

Y

𝟓−𝟏 =

I E R D A INTERCEPTO

𝟎

𝟓𝟎

1

(𝟎, 𝟏)

D

𝟏

𝟓𝟏

5

(𝟏, 𝟓)

E

𝟐

𝟓𝟐

25

(𝟐, 𝟐𝟓)

𝟑

𝟓𝟑

125

(𝟑, 𝟏𝟐𝟓)

R E C H A

125

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

Crece en el intervalo: (−∞, +∞)

FIGURA 26. Gráfica de: y  f ( x)  5 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

x

𝟓𝒙+𝟏 2. Para la función: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 a. Determine el dominio: que son todos los números reales, ya que en el exponente hay un polinomio:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 b. Determine los interceptos: o

Intercepto con el eje y: se hace

𝒙=𝟎

Entonces:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝟓𝒙+𝟏 = 𝟑𝟓(𝟎)+𝟏 = 𝟑𝟏 = 𝟑 Por lo tanto, el intercepto con el eje o

y es el punto de coordenadas: (0,3)

Intercepto con el eje x: con el eje x no tiene intersecciones, ya que si y

𝟑𝟓𝒙+𝟏 c. Gráfica:

, no tiene solución.

= 0,

la ecuación

𝟎=

126

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Nota: para hacer la gráfica, se debe asignar a x: el cero y cinco valores a su izquierda y cinco a su derecha, como lo muestra la tabla.

I

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝟓𝒙+𝟏 =

Y

(𝒙, 𝒚)

−𝟓

𝟑𝟓(−𝟓)+𝟏 = 𝟑−𝟐𝟓+𝟏 =

3.54 ∗ 10−12

(−𝟓, 3.54 ∗ 10−12 )

Z

𝟑−𝟐𝟒 =

Q U

𝟏 𝟑𝟐𝟒

−4

𝟑𝟓(−𝟒)+𝟏 = 𝟑−𝟐𝟎+𝟏 = 𝟑−𝟏𝟗 𝟏 = 𝟏𝟗 𝟑

8.6 ∗ 10−10

(−𝟒, 8.6 ∗ 10−10 )

−𝟑

𝟑𝟓(−𝟑)+𝟏 𝟑−𝟏𝟓+𝟏 = 𝟑−𝟏𝟒 𝟏 = 𝟏𝟒 𝟑

2.09 ∗ 10−7

(−𝟑, 2.09 ∗ 10−7 )

−2

𝟑𝟓(−𝟐)+𝟏 = 𝟑−𝟏𝟎+𝟏 = 𝟑−𝟗 𝟏 = 𝟗 𝟑

5.08 ∗ 10−5

(−𝟐, 5.08 ∗ 10−5 )

−𝟏

𝟑𝟓(−𝟏)+𝟏 𝟑−𝟓+𝟏 = 𝟑−𝟒 𝟏 = 𝟒 𝟑

I E R D A

0.012

(−𝟏, 0.012)

127

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

INTERCEPTO EJE Y

𝟎

𝟑𝟓(𝟎)+𝟏 = 𝟑𝟎+𝟏 = 𝟑𝟏

3

D

𝟏

𝟑𝟓(𝟏)+𝟏 = 𝟑𝟓+𝟏 = 𝟑𝟔

729

𝟐

𝟑𝟓(𝟐)+𝟏 = 𝟑𝟏𝟏 = 𝟑𝟏𝟐

531441

𝟑

𝟑𝟓(𝟑)+𝟏 = 𝟑𝟏𝟓+𝟏 = 𝟑𝟏𝟔

43046721

𝟒

𝟑𝟓(𝟒)+𝟏 = 𝟑𝟐𝟎+𝟏 = 𝟑𝟐𝟏

10460353203

𝟓

𝟑𝟓(𝟓)+𝟏 = 𝟑𝟐𝟓+𝟏 = 𝟑𝟐𝟔

2541865828329

E R E C H A

(𝟎, 𝟑)

La gráfica se muestra en la figura 27.

5 x 1

Figura 27: Gráfica de y  f ( x)  3 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

(𝟏, 729) (𝟐, 531441) (𝟑, 43046721)

(𝟒, 10460353203)

(𝟓, 2541865828329)

128

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. La función crece en el intervalo:

(−∞, +∞) 𝟐𝒙−𝟏

3. Para la función : 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙𝟐−𝟒 a. Dominio: Como en el exponente hay una función racional para determinar su dominio se hace el denominador del exponente igual a cero:

𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 se factoriza (diferencia de cuadrados) 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟐) ∗ (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 se iguala cada factor a cero y se despeja x: (𝒙 + 𝟐) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐 (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 por lo tanto, el dominio de la función es: 𝑫𝒇 : 𝒙 ≠ 𝟐 𝒚 𝒙 ≠ −𝟐

𝝈 𝑫𝒇 = 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 − {𝟐, −𝟐}

b. Interceptos: o

Si

𝒙=𝟎

𝒚=𝒆

𝟐(𝟎)−𝟏 (𝟎)𝟐 −𝟒

se tiene: −𝟏 −𝟒

→𝒚=𝒆

𝟏 𝟒

→ 𝒚 = 𝒆 → 𝒚 = 𝟏. 𝟐𝟖𝟒 …

El intercepto con el eje y es el punto de coordenadas: (𝟎, 𝟏. 𝟐𝟖𝟒 … ) o

Con el eje x no tiene intercepto.

c. Gráfica

x

Para la gráfica se asignan a cinco valores a la izquierda de –2, cinco valores entre –2 y 2, y cinco valores a la derecha de 2. A continuación se muestra estos valores en la tabla.

129

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

X I

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟐𝒙−𝟏 𝒆 𝒙𝟐−𝟒

Y

(𝒙, 𝒚)

−𝟕

𝟐(−𝟕)−𝟏 𝒆(−𝟕)𝟐−𝟒

0.7

(−𝟕, 𝟎. 𝟕)

−6

𝟐(−𝟔)−𝟏 𝒆(−𝟔)𝟐−𝟒

0.6

(−𝟔, 𝟎. 𝟔)

−5

𝟐(−𝟓)−𝟏 𝒆(−𝟓)𝟐−𝟒

0.5

(−𝟓, 𝟎. 𝟓)

−4

𝟐(−𝟒)−𝟏 𝒆(−𝟒)𝟐−𝟒

0.4

(−𝟒, 𝟎. 𝟒)

−3

𝟐(−𝟑)−𝟏 𝒆(−𝟑)𝟐−𝟒

0.2

(−𝟑, 𝟎. 𝟐)

−2

𝟐(−𝟐)−𝟏 𝒆(−𝟐)𝟐−𝟒

nada

∞

−1

𝟐(−𝟏)−𝟏 𝒆(−𝟏)𝟐−𝟒

2.7

(−𝟏, 𝟐. 𝟕)

𝟎

𝟐(𝟎)−𝟏 𝒆(𝟎)𝟐−𝟒

1.2

(𝟎, 𝟏. 𝟐)

𝟏

𝟐(𝟏)−𝟏 𝒆(𝟏)𝟐−𝟒

0.7

(𝟏, 𝟎. 𝟕)

Z Q U I E R D A

130

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

D

𝟐

𝟐(𝟐)−𝟏 𝒆(𝟐)𝟐−𝟒

nada

∞

𝟑

𝟐(𝟑)−𝟏 𝒆(𝟑)𝟐−𝟒

2.7

(𝟑, 𝟐. 𝟕)

𝟒

𝟐(𝟒)−𝟏 𝒆(𝟒)𝟐−𝟒

1.7

(𝟒, 𝟏. 𝟕)

𝟓

𝟐(𝟓)−𝟏 𝒆(𝟓)𝟐−𝟒

1.5

(𝟓, 𝟏. 𝟓)

𝟔

𝟐(𝟔)−𝟏 𝒆(𝟔)𝟐−𝟒

1.4

(𝟔, 𝟏. 𝟒)

𝟕

𝟐(𝟕)−𝟏 𝒆(𝟕)𝟐−𝟒

1.3

(𝟕, 𝟏. 𝟑)

E R E C H A

d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. o

La función crece(−∞, ∞)

2 x 1

Figura 24. Gráfica de y  f ( x)  e x (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

2

4

131

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Matematicas Funciones Exponenciales Enlace

FUNCION EXPONENCIAL GRAFICA 1 Enlace

1. Solución de ecuaciones exponenciales.

132

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Resolución de otra ecuación exponencial Enlace

Ejemplo7: Solución de ecuaciones exponenciales.

Ecuación exponencial Enlace

133

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1 2 Enlace

FUNCIONES LOGARÍTMICAS - Parte1 Enlace

134

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Mat 1 Bach Funcion logaritmica 04 Enlace

Es una función de la forma:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒈(𝒙) Con 𝒃 > 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟏

DOMINIO: Para hallar el dominio se debe resolver la inecuación: 𝒈(𝒙)

2.3.10

>𝟎

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

Determine el dominio y los interceptos de las siguientes funciones: 1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 Procedimiento a. DOMINIO Se plantea y se soluciona la inecuación:

𝒙 > 𝟎 entonces el dominio de la función es:

135

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 (𝟎, +∞) b. INTERCEPTOS o

Con el eje y si

𝒙 = 𝟎 → 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟎 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆,

por lo tanto no hay intersecciones con

el eje y. o

Con el eje x:

𝒚 = 𝟎 y  0  0  log3 x  0  x  30  x  1  (1, 0).

𝟎 = 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙, expresándolo en forma de potencia *, 𝟑𝟎 = 𝒙 → 𝒙 = 𝟏

2.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟑)

Procedimiento a. Dominio: recuerde que para hallar el dominio se hace 2𝑥 − 3 > 0 → 2𝑥 − 3 = 0 → 2𝑥 = 3 → 𝑥 =

𝑔(𝒙) > 𝟎

3 2

Ubicando este valor en la recta numérica:

−∞\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\0 //////////////////////////////////+∞ −

𝟑 𝟐

Se toman valores en los intervalos indicados y se remplazan en la ecuación dada:

136

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 29. Dominio de

y  f ( x)  log 2 (2 x  3)

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Por lo tanto, el dominio de la función es:

𝟑

𝑫𝒇 = ( , +∞) 𝟐

b. Interceptos

o

Intercepto con el eje y:

𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒙 = 𝟎 → 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟐 ∗ 𝟎 − 𝟑) → 𝒍𝒐𝒈𝟐 (−𝟑) 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 Por lo tanto, No hay intersección con el eje y. o

Intercepto con el eje x:

𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟑) aplicando la definición, tenemos: 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝟎 Recuerde 20 = 1 𝟒

𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟏 → 𝟐𝒙 = 𝟏 + 𝟑 → 𝟐𝒙 = 𝟒 → 𝒙 = 𝟐 → 𝒙 = 𝟐 La intersección con el eje X es el punto de coordenadas: (𝟐, 𝟎) 3.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠(𝒙𝟐 − 𝟒)

Procedimiento

137

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

a. Dominio: 𝑆𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒

𝒙𝟐 − 𝟒 > 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 factorizando e igualando a cero cada factor: 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟐) ∗ (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐

𝝈 𝒙−𝟐=𝟎→𝒙=𝟐

Se ubican estos puntos en la recta numérica y se tiene:

−∞\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\0___________________O////////////////////////////////+∞ −𝟐

+𝟐

Se toman valores en los intervalos indicados y se remplazan en la ecuación dada:



Figura 30. Dominio de y  f ( x)  log x  4 2



(Autor. Elkin Ceballos Gómez) Por lo tanto el dominio de la función es:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 (−∞, 𝟐) ∪ (𝟐, +∞),

o también

𝑫𝒇 = 𝑹𝒆 −

[−𝟐, 𝟐] a. Interceptos o

Con el eje y: se hace x = 0

𝒙 = 𝟎 → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠((𝟎)𝟐 − 𝟒) → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠(−𝟒) 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, por lo tanto intersecciones con el eje y. Si

no hay

138

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

o Si

Con el eje x: se hace y

=0

𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = 𝒍𝒐 𝒈 (𝒙𝟐 − 𝟒) → 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟏𝟎

𝟎

𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟏𝟎𝟎 → 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟏 → 𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝟒 → 𝒙𝟐 = 𝟓 Sacando raíz a ambos lados de la ecuación, tenemos:

√𝒙𝟐 = ±√𝟓 → 𝒙 = ±√𝟓 𝒙 = √𝟓 𝝈 𝒙 = −√𝟓 Por lo tanto, las intersecciones con el eje x son los puntos de coordenadas:

(−√𝟓, 𝟎 )^(√𝟓, 𝟎) 4.

𝒚 = 𝐥𝐧(𝟓𝒙 + 𝟏𝟎)

Procedimiento

𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 > 𝟎 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 > 𝟎

a. Dominio: se hace

𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 > −𝟏𝟎 Inverso aditivo de +10 es -10 𝟓𝒙 > −𝟏𝟎 𝟓𝒙 𝟓

>

−𝟏𝟎 𝟓

𝒙 > −𝟐

se divide por 5 ambos lados de la inecuación

139

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Por lo tanto, el dominio de la función es el intervalo:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 (−𝟐, +∞) b. Interceptos o Si

Con el eje y: se hace x = 0

𝒙 = 𝟎 → 𝒚 = 𝐥𝐧(𝟓 ∗ (𝟎) + 𝟏𝟎) → 𝒚 = 𝐥𝐧 𝟏𝟎 → 𝒚 = 𝟐. 𝟑𝟎𝟐

La intersección con el eje Y es el punto de coordenadas: (𝟎, 𝟐. 𝟑𝟎𝟐) o Si

Con el eje x: se hace y

=0

𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = 𝐥𝐧(𝟓𝒙 + 𝟏𝟎) → 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝒆𝟎 . Continua en *

e: es la base de los logaritmos naturales.

140

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

141

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

e es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En x x comparación, las funciones 2 (curva a puntos) y 4 (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

Tomado 05 de agosto de 2013 de: es.wikipedia.org/wiki/Número_e

∗ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟏 → 𝟓𝒙 = 𝟏 − 𝟏𝟎 → 𝟓𝒙 = −𝟗 → 𝒙 = − Por lo tanto, la intersección con el eje x es el punto de coordenadas:

𝟗 (− , 𝟎) 𝟓 Buscar en los link indicados a continuación y resolver los ejercicios allí planteados:

𝟗 𝟓

142

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Dominio de una función logaritmica Enlace

Dominio de función logarítmica. Mariano Real Enlace

ASPECTOS A TENER EN CUENTA PARA OPERAR CON LOGARITMOS: La calculadora solo tiene dos teclas para trabajar logaritmos: o o

𝒍𝒐𝒈 que significa 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 (logaritmo en base 10). La tecla 𝒍𝒏 que significa 𝒍𝒐𝒈𝒆 (logaritmo en base e). La tecla

Calcular el valor de un

log o un ln, con estas calculadoras es sencillo.

143

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

En una calculadora Casio fx  82MS o similar, que se identifican porque ellas operan igual que como se escribe, el procedimiento es el siguiente: Ejemplos: Obtenga el valor de los siguientes logaritmos:

𝒂. 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟎: digite: 1.30109996

la

tecla 𝒍𝒐𝒈,

el número

20,

la

tecla igual

y el resultado obtenido es:

La secuencia es:

log

0

2

1.30109996

=

𝒃. 𝐥𝐧 𝟏𝟑𝟓: Digite la tecla 𝒍𝒏, digite el número 𝟏𝟑𝟓, digite la tecla igual, el resultado obtenido es: 𝟒. 𝟗𝟎𝟓𝟐𝟕𝟒𝟕𝟕𝟖, la secuencia es:

ln

1

3

5

Nota: cuando la base del logaritmo es diferente

𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝐥𝐧 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝐥𝐧 𝒂

Ejemplos: Calcule los siguientes logaritmos:

𝐚. 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟐𝟒 =

4.905274778

a 10 o del número e, se debe hacer cambio de

base, para ello se aplica la siguiente fórmula:

𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 =

=

𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟒 𝐥𝐧 𝟐𝟒 = = 𝟒. 𝟓𝟖𝟒𝟗𝟔𝟐𝟓𝟎𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝐥𝐧 𝟐

144

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝐛. 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟔𝟐𝟓 = 

𝐥𝐨𝐠 𝟔𝟐𝟓 𝐥𝐧 𝟔𝟐𝟓 = = 𝟓. 𝟖𝟓𝟗𝟖𝟗𝟒𝟎𝟖𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝐥𝐧 𝟑

GRÁFICA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS:

Se debe asignar valores a X dentro de cada intervalo, se recomienda asignar a X aproximadamente cinco valores por intervalo, empezando en un valor ligeramente mayor o menor que cada extremo del intervalo. Nota: los extremos de cada intervalo son asíntotas verticales.

2.3.11 1.

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Para la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

Determine:    

El dominio. Los interceptos con los ejes coordenados. La gráfica. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Procedimiento a. Dominio: para calcular el dominio de la función se hace 𝒙 Por lo tanto, el dominio de la función es:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 (𝟎, +∞) b. Interceptos: o Si

Intercepto con el eje x: se hace 𝒚

=𝟎

𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 aplicando la definición, tenemos

𝟐𝟎 = 𝒙 → 𝒙 = 𝟏 La intersección con el eje x es el punto de coordenadas: o

Intercepto con el eje y: se hace 𝒙

=𝟎

(𝟏, 𝟎)

>𝟎

145

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟎, interceptos con el eje y.

el logaritmo de cero no existe, por lo tanto, la función no tiene

c. Realice la gráfica: Los valores se muestran en la tabla, la gráfica se muestra en la figura 31. x = 0 es una asíntota vertical.

x

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙

0

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟎

(𝒙, 𝒚)

y

No existe, hay Asíntota vertical

D

0.2

E R

0.5

E C

1

H A

2 3 4

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟎. 𝟐 =

𝒍𝒐𝒈 𝟎. 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐

−𝟐. 𝟑𝟐

(𝟎. 𝟐, −𝟐. 𝟑𝟐)

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟎. 𝟓 =

𝒍𝒐𝒈 𝟎. 𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟐

−𝟏

(𝟎. 𝟓, −𝟏)

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟏 =

𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝟐

𝟎

(𝟏, 𝟎)

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟐 =

𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒍𝒐𝒈 𝟐

𝟏

(𝟐, 𝟏)

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟑 =

𝒍𝒐𝒈 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝟐

𝟏. 𝟓𝟖 …

(𝟑, 𝟏. 𝟓𝟖 … )

𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟒 =

𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝒍𝒐𝒈 𝟐

𝟐

(𝟒, 𝟐)

Nota: recuerde que para resolver el logaritmo se debe cambiar la base (ver propiedad).

146

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FIGURA 31. Gráfica de

y  f ( x)  log 2 x

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

d. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

Crece en el intervalo: (𝟎, +∞) 2.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐𝒙 − 𝟏𝟎) Dominio: se hace 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 > 𝟎 , se soluciona la inecuación Para la función:

𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 > 𝟎 + 𝟏𝟎 Inverso aditivo 𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟐𝒙 > 𝟏𝟎 → (𝟐𝒙) ( ) > (𝟏𝟎)( ) Inverso multiplicativo 𝒙>𝟓 Por lo tanto, el dominio de la función es el intervalo: 𝑫𝒇 : 𝒙

𝝐 (𝟓, +∞)

a. Interceptos: o Si

Intercepto con el eje x: se hace 𝒚

=𝟎

𝒚 = 𝟎 → 𝟎 = 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎) aplicando la definición, tenemos

147

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟓𝟎 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟏 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 → 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟏 → 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝟏 = 𝟎 → 𝟐𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎

𝟐𝒙 = 𝟏𝟏 → 𝒙 =

𝟏𝟏 𝟐

𝟏𝟏 La intersección con el eje x es el punto de coordenadas:( , 𝟎) 𝟐 o

Intercepto con el eje y: se hace 𝒙

=𝟎

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐∗ 𝟎 − 𝟏𝟎) → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠(−𝟏𝟎) no existe, intersección con el eje y

por lo tanto no tiene

b. Gráfica Los valores se muestran en la tabla, la gráfica se muestra en la figura 32. x = 5 es una asíntota vertical.

Asíntota vertical D

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐𝒙 − 𝟏𝟎)

Y

5

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟓 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟎)

No existe

6

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟔 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐)

0.43...

(𝟔, 𝟎. 𝟒𝟑)

7

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟕 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟒)

0.86...

(𝟕, 𝟎. 𝟖𝟔)

8

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟖 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟔)

1.11...

(𝟖, 𝟏. 𝟏𝟏)

9

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟗 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟖)

1.29...

(𝟗, 𝟏. 𝟐𝟗)

10

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟎)

1.463..

(𝟏𝟎, 𝟏. 𝟒𝟔𝟑)

11

𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐 ∗ 𝟏𝟏 − 𝟏𝟎) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟏𝟐)

1.54...

(𝟏𝟏, 𝟏. 𝟓𝟒)

(𝒙, 𝒚)

E R E C H A

148

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c. Determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Crece en el intervalo: (𝟓, +∞)

Figura 26. Gráfica de

y  f ( x)  log5 (2 x  10)

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

NOTA: Una función logarítmica es continua en todo su dominio. En el siguiente enlace presenta una visión de las funciones: cuadrática, logarítmica y exponencial.

149

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

TV EDUCATIVA-MATEMATICAS FUNCIONES 3 Enlace

o

Función definida por tramos

Este tipo de funciones también reciben el nombre de: Función definida por partes o función definida por tramos o función seccionalmente definida.

2.3.12 1.

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

Grafique la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = {

𝟏 − 𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 } 𝒙𝟐 , 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏

Procedimiento

𝒙≤𝟏

se debe utilizar 𝒇(𝒙)

= 𝟏 − 𝒙, como es una línea recta se asignan dos valores (cualquiera) a x, en este caso se asignan el 1 y el −𝟐 para hacer su gráfica.

a. Cuando:

X

𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝒙

Y

(𝒙, 𝒚)

1

1−(𝟏) = 𝟏 − 𝟏

0

(𝟏, 𝟎)

-2

𝟏 − (−𝟐)𝟏 + 𝟐

3

(−𝟐, 𝟑)

150

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Nota: el valor correspondiente a 𝒙

= 𝟏 sí hace parte de esta gráfica, por esto se coloca en dicho punto un

punto lleno. b. Cuando:

𝒙 > 𝟏, se debe utilizar 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 , es una parábola, se da a x valores de 1 en

adelante:

X

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

Y

(𝒙, 𝒚)

1

(1)2

1

(𝟏, 𝟏)

2

(2)2

4

(𝟐, 𝟒)

3

(3)2

9

(𝟑, 𝟗)

4

(4)2

16 (𝟒, 𝟏𝟔)

5

(5)2

25 (𝟓, 𝟐𝟓)

Tenga en cuenta que para este tramo el valor gráfica se hace con un punto

𝒙=𝟏

hueco (o en blanco).

La gráfica se muestra en la figura 33.

no hace parte de esta figura, para indicar esto en la

151

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 33. Gráfica de la función:

1  x si x  1 y  f ( x)   2  x si x  1

(Autor. Elkin Ceballos Gómez)

2.

Para la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = { a. Calcule: 𝒇(𝟎),

𝟑𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟐 } 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 > −𝟐

𝒇(−𝟏), 𝒇(−𝟐), 𝒇(𝟏𝟎), 𝒇(−𝟓), 𝒇(−𝟐)

Procedimiento Como

𝒙 = 𝟎 es mayor que−𝟐, debemos reemplazar en el tramo: 𝒙𝟐 + 𝟏 

Como

𝒙 = −𝟏

𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟐 + 𝟏 = 𝟏

es mayor que – 

2, debemos reemplazar en el tramo: 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐

152

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Como

𝒙 = 𝟏𝟎

es mayor que –

2, debemos reemplazar en el tramo: 𝒙𝟐 + 𝟏

 𝒇(𝟏𝟎) = (𝟏𝟎)𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 = 𝟏𝟎𝟏 Como

𝒙 = −𝟓

es menor que –

2, debemos reemplazar en el tramo: 𝟑𝒙 + 𝟐

 𝒇(−𝟓) = 𝟑 ∗ (−𝟓) + 𝟐 = −𝟏𝟓 + 𝟐 = −𝟏𝟑 Como 𝒙

= −𝟐

es igual a –

2, debemos reemplazar en el tramo: 𝟑𝒙 + 𝟐

 𝒇(−𝟐) = 𝟑 ∗ (−𝟐) + 𝟐 = −𝟔 + 𝟐 = −𝟒 b. Gráfica: Procedimiento Para graficar esta función se dan 5 valores a x menores o iguales a – 2 (incluyendo el – 2) y se reemplazan en 3x  2 . Y se dan 5 valores a x mayores que – 2 (sin incluir el – 2) y se reemplazan en x 2  1 . Para ello se completa la siguiente tabla de valores: Línea Recta

Parábola

X

𝟑𝒙 + 𝟐

Y

X

𝒙𝟐 + 𝟏

Y

−𝟔

𝟑(−𝟔) + 𝟐 = −𝟏𝟖 + 𝟐

−𝟏𝟔

−𝟏

(−𝟏)𝟐 + 𝟏 = 𝟏+𝟏

2

−5

𝟑(−𝟓) + 𝟐 = −𝟏𝟓 + 𝟐

−𝟏𝟑

0

(𝟎)𝟐 + 𝟏 =𝟎+𝟏

1

−4

𝟑(−𝟒) + 𝟐 = −𝟏𝟐 + 𝟐

−𝟏𝟎

1

(𝟏)𝟐 + 𝟏 =𝟏+𝟏

2

−3

𝟑(−𝟑) + 𝟐 = −𝟗 + 𝟐

−𝟕

2

(𝟐)𝟐 + 𝟏 =𝟒+𝟏

5

−2

𝟑(−𝟐) + 𝟐 = −𝟔 + 𝟐

−𝟒

3

(𝟑)𝟐 + 𝟏 =𝟗+𝟏

10

153

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 34.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN:

3 x  2 si x  2 y  f ( x)   2  x  1 si x  2

Enlaces para funciones por tramos:

Función a trozos Enlace

154

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Matematicas Graficas Funciones a trozos Enlace

Dominio de una función a trozos Enlace

ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES: 

Función valor absoluto de x, que se escribe como:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙| Esta función toma cualquier número y lo convierte a positivo. Se define:

155

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙| = {

𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎 } −𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎

El dominio de esta función son todos los números reales: 𝑫𝒇 : 𝒙

2.3.13

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙| Hallar:

a. 𝒇(𝟐) = 𝟐 b. 𝒇(−𝟑) = 𝟑 c. 𝒇(𝟎) = 𝟎 𝟑

𝟑

𝟓

𝟓

d. 𝒇(− ) =

o Gráfica de la función valor absoluto Su gráfica es de la forma (forma general):

𝝐 𝑹𝒆

156

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.

Realice la gráfica de la siguiente función valor absoluto:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏| a. Dominio: el dominio de la función, por definición, son los números Reales: 𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹𝒆 b. Interceptos: 𝟏 o Con el eje x: se hace 𝒚 = 𝟎 → 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝟐𝒙 = 𝟏 → 𝒙 = 𝟐 El intercepto con el eje

o

Con el eje

x es el punto de coordenadas:(𝟎. 𝟓, 𝟎)

y: se hace 𝒙 = 𝟎 → 𝒚 = |𝟐(𝟎) − 𝟏| → 𝒚 = |−𝟏| →

𝒚=𝟏 El intercepto con el eje

y es el punto de coordenadas:(𝟎, 𝟏)

c. Gráfica: para realizar la gráfica se asignan valores a la izquierda y valores a la derecha del intercepto con el eje x, de acuerdo a la siguiente tabla:

I Z Q U I E R D A

Intercepto eje x D E R E C H A

X

𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏|

Y

(𝒙, 𝒚)

−𝟑 −2 −𝟏 𝟎

|𝟐(−𝟑) − 𝟏| = |−𝟕| |𝟐(−𝟐) − 𝟏| = |−𝟓| |𝟐(−𝟏) − 𝟏| = |−𝟑| |𝟐(𝟎) − 𝟏| = |−𝟏|

𝟕 𝟓 𝟑 𝟏

(−𝟑, 𝟕) (−𝟐, 𝟓) (−𝟏, 𝟑) (𝟎, 𝟏)

𝟎. 𝟓

|𝟐(𝟎. 𝟓) − 𝟏| = |−𝟏|

𝟎

(𝟎. 𝟓, 𝟎)

𝟏 𝟐 𝟑

|𝟐(𝟏) − 𝟏| = |𝟏| |𝟐(𝟐) − 𝟏| = |𝟑| |𝟐(𝟑) − 𝟏| = |𝟓|

𝟏 𝟑 𝟓

(𝟏, 𝟏) (𝟐, 𝟑) (𝟑, 𝟓)

157

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

La gráfica sería:



Función mayor entero menor o igual a x. Se escribe:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = ⟦𝒙⟧ Esta función toma cualquier número y lo convierte en el entero más próximo menor o igual que el número de entrada. Dominio: el dominio de esta función son todos los números reales, 𝑫𝒇 : 𝒙 Gráfica: su gráfica es de la forma:

𝝐 𝑹𝒆

158

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.3.14 a. Si

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 𝒚 = 𝒇(𝒙) = ⟦𝒙⟧

Hallar:

1. 2. 3. 4.

𝒇(𝟓) = ⟦𝟓⟧ = 𝟓 𝒇(𝟗. 𝟓) = ⟦𝟗. 𝟓⟧ = 𝟗 𝒇(𝟎) = ⟦𝟎⟧ = 𝟎 𝒇(−𝟒. 𝟔𝟓) = ⟦−𝟒. 𝟔𝟓⟧ = −𝟓 𝟐

𝟐

5. 𝒇 ( ) = ⟦ ⟧ = ⟦𝟎. 𝟒⟧ = 𝟎 𝟓 𝟓 6. 𝒇(√𝟑𝟎) = ⟦√𝟑𝟎⟧ = ⟦𝟓. 𝟒𝟕 … ⟧ = 𝟓 b. Grafique la función 𝒚

= 𝒇(𝒙) = ⟦𝟐𝒙 − 𝟑⟧

¿Cómo se realizaría la tabla de valores? Represéntela Su gráfica sería:



Función signo de x:

159

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Se escribe de la forma: 𝒇(𝒙)

= 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐(𝒙)

𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎 Se define como:𝒇(𝒙) = { 𝟎 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎 } −𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎 Para la función

𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐(𝒙), halle: 1. 𝑓(10) = 1 2. (−2) = −1 3. 𝑓(0) = 0 4. √3 = 1 2 3

5. 𝑓 (− ) = −1 6. (−5) = −1 1 4

7. 𝑓 (− ) = −1 8. 𝑓(3) = 1 9. (−8) = −1 10. 𝑓(6) = 1

2.3.15

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

1. Determine el dominio, los interceptos y grafique cada una de las siguientes funciones: a.

f x  6 x 2  11x  4

b.

f x x 2  25

c.

f x  

7x  3 5x 2  x  4

Para las funciones anteriores determine intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Diga en qué puntos la función es discontinua.

160

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2. Grafique: y  f ( x)  2 x  1 3. Grafique: y  f ( x)  x 2  5 x  4 4. Para la función: y  f ( x)  2 x  3 realice su gráfica (elabore la tabla de valores) y determine: 1.

f (0)

2.

f (2 / 3)

3.

f (5)

4.

f ( 3)

5.

f (e)

f ( )

6.

2.3.16 1.

TEMA 3: APLICACIONES

Se tiene una lámina rectangular de cartón de dimensiones a y b conocidas, véase la figura 35.

Figura 35. (Autor. Elkin Ceballos Gómez) Con esta lámina de cartón se pueden fabricar cajas sin tapa y de altura cortan cuadrados idénticos de lado x. Véase figura 36.

X. Para ello en cada esquina de la caja se

161

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 36 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Luego se doblan los lados hacia arriba. Véase figura 37

Figura 37 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

El volumen de una caja de base rectangular se obtiene como: Volumen = cúbicas.

altura (x) multiplicada por el largo (a-2x) multiplicado por el ancho (b-2x), en unidades

Para la caja se tiene que:

𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝒙 𝑳𝒂𝒓𝒈𝒐 = 𝒂 − 𝟐𝒙 𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐 = 𝒃 − 𝟐𝒙 Por lo tanto el volumen, simbolizado como

v es igual a:

𝒗 = 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 ∗ 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 ∗ 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 Reemplazando por sus valores, tenemos:

𝒗(𝒙) = 𝒙 ∗ (𝒂 − 𝟐𝒙) ∗ (𝒃 − 𝟐𝒙) Efectuando la multiplicación:

𝒗(𝒙) = (𝒂𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 ) ∗ (𝒃 − 𝟐𝒙) →

162

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒗(𝒙) = 𝒂𝒃𝒙 − 𝟐𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝒃𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 → 𝒗(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − (𝟐𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙𝟐 ) + 𝒂𝒃𝒙 La expresión para el volumen sería, entonces:

𝒗(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 (𝒂 + 𝒃) + 𝒂𝒃𝒙 Teniendo en cuenta la situación anterior resuelva el siguiente problema particular: 

Se desea construir una caja de forma rectangular sin tapa a partir de una lámina de cartón de 20 cm por 15 cm. Para ello se cortarán cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y se doblarán los lados hacia arriba.

1. Escriba la función para el volumen. Procedimiento Se tiene que la función para el volumen es:

𝒗(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 (𝒂 + 𝒃) + 𝒂𝒃𝒙 Con: 𝒂

= 𝟐𝟎 𝒄𝒎 𝒚 𝒃 = 𝟏𝟓𝒄𝒎

Reemplazando en la función de volumen, se tiene:

𝒗 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 ∗ (𝟐𝟎 + 𝟏𝟓) + (𝟐𝟎) ∗ (𝟏𝟓) ∗ 𝒙 Efectuando las operaciones indicadas:

𝒗 = (𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙)𝒄𝒎𝟑 2. Determine el dominio matemático para esta función. Por ser una función polinómica su Dominio es:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹 𝒆

3. Determine el dominio desde el punto de vista de una situación

real para la función de volumen.

163

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento a. Se debe cumplir que el

volumen sea mayor que cero, esto es: 𝒗(𝒙) > 𝟎

𝒗(𝒙) > 𝟎 → 𝒙 ∗ (𝒂 − 𝟐𝒙) ∗ (𝒃 − 𝟐𝒙) > 𝟎 b. Reemplazando los valores de

a y de b en la desigualdad:

𝒙 ∗ (𝟐𝟎 − 𝟐𝒙) ∗ (𝟏𝟓 − 𝟐𝒙) > 𝟎 Se tiene:

𝒙 > 𝟎,

(𝟐𝟎 − 𝟐𝒙) > 𝟎,

(𝟏𝟓 − 𝟐𝒙) > 𝟎

c. Igualando a cero , despejando el valor de x y representando estos valores en la recta numérica: Se tiene que:

𝒙=𝟎 𝟐𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟎 → −𝟐𝒙 = −𝟐𝟎 → 𝒙 =

−𝟐𝟎 → 𝒙 = 𝟏𝟎 −𝟐

𝟏𝟓 − 𝟐𝒙 = 𝟎 → −𝟐𝒙 = −𝟏𝟓 → 𝒙 =

−𝟏𝟓 𝟏𝟓 →𝒙= −𝟐 𝟐

La solución para la desigualdad es: 15

−∞____________0 _____________ 2 _________________10_____________+∞

Figura 38. Solución de la desigualdad. (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

164

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

El Dominio para la situación real es: 𝒙

𝝐(𝟎,

𝟏𝟓 𝟐

) ∪ (𝟏𝟎, +∞)

Pero con valores de X en el intervalo:

(𝟏𝟎, +∞)

se tendrían

dimensiones negativas, lo cual, no es posible en problemas reales.

Por lo tanto, el dominio desde el punto de vista de una situación Nota: los valores

𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟏𝟓 𝟐

𝒗(𝒙) = 𝟎, es decir, 

real es: 𝒙 𝝐(𝟎,

𝟏𝟓 𝟐

)

no se incluyen, ya que con estos valores el volumen sería igual a cero,

no habría caja.

Determine las dimensiones de la caja de tal manera que su volumen sea de 378 cm 3 . Dé su respuesta con una precisión de tres decimales.

Procedimiento Se debe plantear y solucionar la ecuación:

𝒗 = (𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙)𝒄𝒎𝟑 pero 𝒗 = 𝟑𝟕𝟖𝒄𝒎𝟑 Reemplazando se tiene:

𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 = 𝟑𝟕𝟖 Se iguala a cero:

𝟒𝒙𝟑 − 𝟕𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟑𝟕𝟖 = 𝟎 Se saca factor común el 2:

𝟐(𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟗) = 𝟎 Dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación:

𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟗 = 𝟎 La ecuación se soluciona Factorizando un polinomio de evaluación (utilizando la división sintética). Recuerde que los posibles factores del polinomio 𝟐𝒙 término independiente:

𝟑

grado 3, para ello se utilizará

el método por

− 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟗 son los divisores del

165

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Los posibles factores son:

𝒙 = −𝟏 → 𝟐(−𝟏)𝟑 − 𝟑𝟓(−𝟏)𝟐 + 𝟏𝟓𝟎(−𝟏) − 𝟏𝟖𝟗 = −𝟑𝟕𝟔 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 = 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒙 = 𝟏 → 𝟐(𝟏)𝟑 − 𝟑𝟓(𝟏)𝟐 + 𝟏𝟓𝟎(𝟏) − 𝟏𝟖𝟗 = −𝟕𝟐 𝒙 = −𝟑 → 𝟐(−𝟑)𝟑 − 𝟑𝟓(−𝟑)𝟐 + 𝟏𝟓𝟎(−𝟑) − 𝟏𝟖𝟗 = −𝟏𝟎𝟎𝟖 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒙 = 𝟑 → 𝟐(𝟑)𝟑 − 𝟑𝟓(𝟑)𝟐 + 𝟏𝟓𝟎(𝟑) − 𝟏𝟖𝟗 = 𝟎 𝑺𝒊 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 Esto quiere decir que: efectuar la división:

𝒙=𝟑→𝒙−𝟑=𝟎

es un factor. Para encontrar el otro factor debemos

𝟑

𝟐𝒙 − 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟗 𝒙−𝟑 Utilizando división sintética, se toman los coeficientes del polinomio del numerador, se iguala el denominador a cero y se despeja la x:

2

2

-35

150

-189

6

-87

189

-29

63

0

La ecuación queda:

(𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟗𝒙 + 𝟔𝟑) = 𝟎 Se iguala cada factor a cero:

𝒙−𝟑=𝟎→𝒙=𝟑 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟗𝒙 + 𝟔𝟑 = 𝟎 Esta última ecuación la resolvemos utilizando fórmula general:

3

166

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

De donde:

−(−𝟐𝟗) ± √(−𝟐𝟗)𝟐 − 𝟒(𝟐)(𝟔𝟑)𝒂𝒄 𝟐𝟗 ± √𝟖𝟒𝟏 − 𝟓𝟎𝟒 𝒙= → 𝒙 == 𝟐(𝟐) 𝟒 𝒙=

𝟐𝟗 ± √𝟑𝟕𝟕 𝟒

𝒙𝟏 =

𝟐𝟗 + √𝟑𝟕𝟕 ≈ 𝟏𝟏, 𝟖𝟑𝟗 𝟒 𝒙𝟐 =

𝟐𝟗 − √𝟑𝟕𝟕 ≈ 𝟐. 𝟔𝟔𝟏 𝟒

Las dimensiones de la caja, serían:

𝒙=𝟑 𝒙 = 𝟐, 𝟔𝟔𝟏

ALTURA X 𝟑𝒄𝒎𝒔. 𝟐, 𝟔𝟔𝟏

𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟖𝟑𝟗

𝟏𝟏, 𝟖𝟑𝟗

Valor variable



LARGO 20 - 2X 𝟐𝟎 − 𝟐(𝟑) = 𝟏𝟒𝒄𝒎𝒔. 𝟐𝟎 − 𝟐(𝟐, 𝟔𝟔𝟏) = 𝟏𝟒, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔

𝟏𝟓 − 𝟐(𝟑) = 𝟗𝒄𝒎𝒔. 𝟏𝟓 − 𝟐(𝟐, 𝟔𝟔𝟏) = 𝟗, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 Con el ancho ocurriría lo 𝟐𝟎 − 𝟐(𝟏𝟏, 𝟖𝟑𝟗) mismo que con el largo. = −𝟑, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 Verifique realizando el Se obtendría una dimensión reemplazo correspondiente. negativa, no es posible.

Con x determine la cantidad de material utilizado.

Procedimiento

ANCHO 15 – 2X

167

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Serían 5 caras ya que la caja es destapada: Con x  3 la cantidad de material utilizado es: Cantidad de material utilizado: o o o

La base de la caja (el fondo), tendría: 𝟏𝟒𝒄𝒎𝒔 ∗ 𝟗𝒄𝒎𝒔 = 𝟏𝟐𝟔𝒄𝒎𝒔𝟐 Los laterales = 𝟗𝒄𝒎𝒔 ∗ 𝟑𝒄𝒎𝒔 = 𝟐𝟕𝒄𝒎𝒔𝟐 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝟐 → 𝟐𝟕𝒄𝒎𝒔𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟓𝟒𝒄𝒎𝒔𝟐 El lado frontal + el lado trasero: (𝟏𝟒 ∗ 𝟑) + (𝟏𝟒 ∗ 𝟑) = 𝟒𝟐𝒄𝒎𝒔𝟐 + 𝟒𝟐𝒄𝒎𝒔𝟐 = 𝟖𝟒𝒄𝒎𝒔𝟐

El material utilizado= 𝟏𝟐𝟔𝒄𝒎𝒔𝟐 + 𝟓𝟒𝒄𝒎𝒔𝟐 + 𝟖𝟒𝒄𝒎𝒔𝟐 = 𝟐𝟔𝟒 𝒄𝒎𝒔𝟐 Con 𝒙 = 𝟐, 𝟔𝟔𝟏 la cantidad de material utilizado: Siguiendo el procedimiento anterior, tenemos:

𝟏𝟒, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 ∗ 𝟗, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 + 𝟐 ∗ 𝟏𝟒, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 ∗ 𝟐, 𝟔𝟔𝟏𝒄𝒎𝒔 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟔𝟕𝟖𝒄𝒎𝒔 ∗ 𝟐, 𝟔𝟔𝟏𝒄𝒎𝒔 = 𝟐𝟕𝟏, 𝟔𝟕𝟔𝟑𝟏𝟔 

Utilice las dimensiones apropiadas de tal manera que el desperdicio de material sea el más bajo dentro de los posibles para un volumen de 378 cm3.

Solución Observando el resultado anterior, se ve que el menor desperdicio (por ser mayor el área del material utilizado) se presenta cuando las dimensiones de la caja son:

Altura: 2,661 𝑐𝑚 Largo: 14,678 𝑐𝑚 Ancho: 9,678 𝑐𝑚 2.

Se tiene una lámina cuadrada de cartón de lado x, véase la figura 39.

168

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 39. (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Con esta lámina de cartón se pueden fabricar cajas sin tapa y de altura h. Para ello en cada esquina de la caja se cortan cuadrados idénticos de lado h. Véase figura 40.

Figura 40 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Luego se doblan los lados hacia arriba. Véase la figura 41.

Figura 41. (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

El volumen de una caja de base rectangular se obtiene como:

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = (𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 ∗ 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 ∗ 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐)𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒄ú𝒃𝒊𝒄𝒂𝒔 Para la caja podemos ver que:

𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝒉 𝑳𝒂𝒓𝒈𝒐 = 𝒙 − 𝟐𝒉 𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐 = 𝒙 − 𝟐𝒉

169

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Por lo tanto, el volumen, que lo podemos simbolizar como v es igual a:

𝑽 = 𝒉 ∗ (𝒙 − 𝟐𝒉) ∗ (𝒙 − 𝟐𝒉) Efectuando la multiplicación la expresión para el volumen es:

𝒗 = 𝒉𝒙𝟐 − 𝟒𝒉𝟐 𝒙 + 𝟒𝒉𝟑 Teniendo en cuenta la situación problémica anterior resuelva: Se desea construir una caja sin tapa. Para ello se tomará una lámina cuadrada de cartón y se cortarán en las cuatro esquinas cuadrados idénticos de 5 cm de lado y se doblarán hacia arriba. Determine el dominio de la función de volumen. 1. 2. 3. 4.

Escriba la función para el volumen. Determine el dominio matemático para esta función. Determine el dominio desde el punto de vista real para el modelo de volumen. Determine las dimensiones de la lámina de cartón a utilizar, si la caja será hecha para contener un volumen de 2000 cm3. 5. Determine las dimensiones de la caja. 6. Determine la cantidad de material utilizado. Procedimiento 1. Escriba la función de volumen de la caja. o

Una forma es reemplazando 𝒉

= 𝟓 en la expresión

𝒗 = 𝒉𝒙𝟐 − 𝟒𝒉𝟐 𝒙 + 𝟒𝒉𝟑 𝒗 = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒(𝟓)𝟐 𝒙 + 𝟒(𝟓)𝟑 = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 Se tiene que:

𝒗(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 o

Otra forma puede ser de la siguiente manera:

Un cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados iguales, véase la figura 42.

170

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 42. (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Sea x el lado del cuadrado; se va a quitar en las cuatro esquinas 5 cm a cada lado de la esquina. Véase la figura 43.

Figura. 43 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Quitando 5 cm en cada esquina el lado de la caja será: 𝒙

− 𝟓 − 𝟓 = 𝒙 − 𝟏𝟎 ,Véase la figura 44.

Figura 44. (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Doblando los lados hacia arriba la caja queda:

171

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 45

La función para el volumen es: Simplificando queda:

𝒗(𝒙) = 𝟓(𝒙 − 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟎)

𝒗(𝒙) = (𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎)𝒄𝒎𝟑

1. Dominio matemático: por ser un polinomio su dominio es:

𝒙 𝝐 𝑹𝒆

2. Determine el dominio desde el punto de vista real para el modelo de volumen: Procedimiento: Se debe cumplir que: 𝒗 Esto implica que:

(𝒙) > 𝟎

𝟓(𝒙 − 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟎) > 𝟎 → (𝒙 − 𝟏𝟎) > 𝟎 → 𝒙 > 𝟏𝟎

Entonces, el dominio desde el punto de vista real para el modelo es:

𝑫𝒓 : 𝒙 𝝐 (𝟏𝟎, +∞) 3. Determine las dimensiones de la lámina de cartón a utilizar, Si la caja será hecha para contener un volumen de 2000 cm3. Procedimiento: Se debe plantear y solucionar:

𝒗(𝒙) = 𝟐𝟎𝟎𝟎 Esto implica que:

𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 Se saca factor común:

172

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟓(𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎) = 𝟐𝟎𝟎𝟎 Se divide por 5 en ambos lados de la igualdad:

𝟓(𝒙𝟐 −𝟐𝟎𝒙+𝟏𝟎𝟎) 𝟓

=

𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟓

, simplificando:

𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎, igualando a cero: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎 → 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟑𝟎𝟎 = 𝟎 Factorizando e igualando cada factor a cero:

(𝒙 − 𝟑𝟎)(𝒙 + 𝟏𝟎) = 𝟎 (𝒙 − 𝟑𝟎) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟑𝟎 𝝈 (𝒙 + 𝟏𝟎) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏𝟎: no existen magnitudes negativas, por lo tanto 𝑥 = −10 no es solución para el problema. Entonces, las dimensiones de la lámina de cartón deben ser: 𝟑𝟎

𝒄𝒎. 𝒑𝒐𝒓 𝟑𝟎 𝒄𝒎.

4. Determine las dimensiones de la caja. Procedimiento Observando la figura 45, se tiene que:

LARGO

𝒙 − 𝟏𝟎

𝟑𝟎 − 𝟏𝟎

𝟐𝟎 𝒄𝒎.

ANCHO

𝒙 − 𝟏𝟎

𝟑𝟎 − 𝟏𝟎

𝟐𝟎 𝒄𝒎.

ALTO

𝟓 𝒄𝒎.

−

𝟓 𝒄𝒎.

5. Determine la cantidad de material utilizado: Procedimiento Observando las figuras 43 y 44 se puede deducir que:

173

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Cantidad de material utilizado es igual a:

El área de la base + 4 veces el área de un costado. El área de la base= 𝟐𝟎𝒄𝒎.∗ 𝟐𝟎𝒄𝒎. = 𝟒𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 El área de un costado= 𝟐𝟎𝒄𝒎.∗ 𝟓𝒄𝒎. = 𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 = 𝟒𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 + 𝟒 ∗ (𝟏𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐 ) = 𝟖𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐

3.

Se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa, encuentre una expresión para el volumen de la caja en términos de una sola variable. Procedimiento Sean:

x : Cada lado de la base cuadrada.

y : La altura de la caja. Véase la figura 46

Figura 46 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

Recuerde que: el volumen de la caja es igual al área de la base por la altura de la misma.

Á𝒓𝒆𝒂𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝒙 ∗ 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝒚 𝒄𝒎. Reemplazando, el volumen de esta caja es:

𝒗 = 𝒙 ∗ 𝒙 ∗ 𝒚 → 𝒗 = 𝒙𝟐 ∗ 𝒚 𝒄𝒎.𝟑

174

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Para escribir ‘’y’’ en términos de ‘’x’’, se utiliza la condición para la cantidad de material. Cantidad de material es: 1200

cm2

Para la caja de la figura 46 la cantidad de material es igual a: La cantidad de material de la base cuadrada más 4 veces la cantidad de material de los cuatro costados, esto es:

Á𝒓𝒆𝒂𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝒙 ∗ 𝒙 = 𝒙𝟐 Á𝒓𝒆𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝒙 ∗ 𝒚 : son cuatro costados (𝟒 ∗ 𝒙 ∗ 𝒚) Material utilizado: área de la base + 4 costados= 1200, reemplazando: 𝒙 ∗ 𝒙 + 𝟒𝒙 ∗ 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 → 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 ∗ 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 Despejando ‘’y’’:

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 ∗ 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 → 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝒚 → 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 𝒚= 𝟒𝒙 Reemplazando la expresión anterior en:

𝒗 = 𝒙𝟐 ∗ 𝒚 𝒄𝒎.𝟑 , se tiene:  1200  x 2  1200 x  x3 3 v  x y v  x  cm v 4x =  4  2

2

La expresión para el volumen de la caja es:

𝟏𝟐𝟎𝟎−𝒙𝟐

𝒗 = 𝒙𝟐 ∗ 𝒚 → 𝒗 = 𝒙𝟐 ∗ (

𝟒𝒙

)

Efectuando el producto indicado y simplificando:

𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙−𝒙𝟑

𝒗=(

𝟒

) 𝒄𝒎.𝟑

175

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

1. Determine el dominio de la expresión anterior. Procedimiento: Por ser una función polinómica su dominio es:

𝑫𝒇 : 𝒙 𝝐 𝑹 𝒆

Por ser una situación problémica y para que pueda ser construida la caja, su dominio se debe limitar sólo a los números reales que cumplan que:

𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝒙𝟑 𝒗(𝒙) = ( )>𝟎 𝟒 SOLUCIÓN DE LA DESIGUALDAD

𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝒙𝟑 > 𝟎 → 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝒙𝟑 > 𝟎 𝟒 Factorizando:

𝒙(𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 ) > 𝟎 → 𝒙(√𝟏𝟐𝟎𝟎 + 𝒙)(√𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙) > 𝟎 Igualando cada factor a cero, se obtienen las raíces:

𝒙=𝟎 √𝟏𝟐𝟎𝟎 + 𝒙 = 𝟎 → 𝒙 = −√𝟏𝟐𝟎𝟎 √𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙 = 𝟎 → 𝒙 = √𝟏𝟐𝟎𝟎 La solución de la desigualdad, que es el dominio para que la caja pueda ser construida, es el intervalo

𝑫𝒓𝒆𝒂𝒍 : 𝒙 𝝐 (𝟎, √𝟏𝟐𝟎𝟎) NOTA: 𝒙 = √𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟑𝟒. 𝟔𝟒𝟏𝟎𝟏𝟔𝟏 2. Encuentre el volumen máximo posible de la caja. PROCEDIMIENTO Dando valores a la variable x, reemplazando en la función de volumen y utilizando Excel.

176

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

v(x) 299,75 598 893,25 1184 1468,75 1746 2014,25 2272 2517,75 2750 2967,25 3168 3350,75 3514 3656,25 3776 3871,75 3942 3985,25

20

4000

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

3984,75 3938 3858,25 3744 3593,75 3406 3179,25 2912 2602,75 2250 1852,25 1408 915,75 374 -218,75

177

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

También puedes realizar la tabla asignando los valores de x en la función volumen correspondiente, de la siguiente manera:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙 − 𝒙𝟑 𝒗=( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏) − (𝟏)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐) − (𝟐)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑) − 𝒙𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟒) − (𝟒)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟓) − (𝟓)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟔) − (𝟔)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟕) − (𝟕)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟖) − (𝟖)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟗) − (𝟗)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟎) − (𝟏𝟎)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟏) − (𝟏𝟏)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟐) − (𝟏𝟐)𝟑 ( ) 𝟒

𝒗(𝒙)

299,75

A

598 893,25

U

1184 1468,75

M

1746 2014,25 2272

E

2517,75 2750 2967,25 3168

N

178

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟑) − (𝟏𝟑)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟒) − (𝟏𝟒)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟓) − (𝟏𝟓)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎(𝟏𝟔) − (𝟏𝟔)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟕) − (𝟏𝟕)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟖) − (𝟏𝟖)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟗) − (𝟏𝟗)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟎) − (𝟐𝟎)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟏) − (𝟐𝟏)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟐) − (𝟐𝟐)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟑) − (𝟐𝟑)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟒) − (𝟐𝟒)𝟑 ( ) 𝟒 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟓) − (𝟐𝟓)𝟑 ( ) 𝟒

3350,75

T

3514 3656,25

A

3776 3871,75 3942 3985,25 4000 3984,75 3938 3858,25 3744 3593,75

D I S

179

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

26 26 28 29 30 31 32 33 34 35

𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟔) − (𝟐𝟔)𝟑 ( ) 𝟒 3406 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟕) − (𝟐𝟕)𝟑 ( ) 𝟒 3179,25 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟖) − (𝟐𝟖)𝟑 ( ) 𝟒 2912 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟐𝟗) − (𝟐𝟗) ( ) 𝟒 2602,75 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟎) − (𝟑𝟎) ( ) 𝟒 2250 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟏) − (𝟑𝟏) ( ) 𝟒 1852,25 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟐) − (𝟑𝟐)𝟑 ( ) 𝟒 1408 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟑) − (𝟑𝟑)𝟑 ( ) 𝟒 915,75 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟒) − (𝟑𝟒)𝟑 ( ) 𝟒 374 𝟏𝟐𝟎𝟎(𝟑𝟓) − (𝟑𝟓)𝟑 ( ) 𝟒 -218,75

Se ve que el volumen máximo es 4000

M I

N U Y E

cm3 y se obtiene cuando x = 20

Como piden hallar las dimensiones de la caja cuando el volumen es máximo, se debe halla el valor de

𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 𝟏𝟐𝟎𝟎 − (𝟐𝟎)𝟐 𝒚=( )→𝒚=( )→ 𝟒𝒙 𝟒(𝟐𝟎) 𝒚=(

𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 )→𝒚= → 𝒚 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎. 𝟖𝟎 𝟖𝟎

y.

180

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Las dimensiones de la caja que permiten obtener el máximo

volumen son:

𝒗𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎𝒄𝒎 ∗ 𝟐𝟎𝒄𝒎 ∗ 𝟏𝟎𝒄𝒎. El volumen máximo también se puede determinar a partir de la gráfica de la parte pertinente de la función de volumen, como se ve en la figura 47:

Figura 47 (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

4. El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por (Haeussler & Richard, 1997). Una empresa de TV por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno en promedio $18000 mensuales por el servicio, un estudio determinó que puede conseguir 150 suscriptores más por cada $500 menos en la cuota mensual. Encuentre una expresión para el ingreso de la empresa de TV. Solución Para determinar la función de ingreso, es conveniente llenar la siguiente tabla:

181

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Número de Valor de la cuota Número de mensual suscriptores disminuciones de 500

Sea

Ingreso

1

(𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟏))

𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟏)

[𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟏)] ∗ [𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟏)]

2

(𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟐))

𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟐)

[𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟐)] ∗ [𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟐)]

3

(𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟑))

𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟑)

[𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝟑)] ∗ [𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝟑)]









q

(𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝒒))

𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝒒)

[𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝒒)] ∗ [𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝒒)]

q: Número de disminuciones de $ 500 en la cuota.

La función de ingreso se obtiene efectuando las multiplicaciones en la expresión del último renglón y última columna. Ingreso:

𝒓(𝒒) = [𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝟎(𝒒)] ∗ [𝟒𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎(𝒒)] 𝒓(𝒒) = 𝟖𝟔. 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟐. 𝟕𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟐. 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟕𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒒𝟐

Reduciendo términos semejantes, se encuentra una expresión para el ingreso de la empresa de TV.

𝒓(𝒒) = −𝟕𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒒𝟐 + 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 + 𝟖𝟔. 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

182

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2.3.17

EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

1. Se desea cercar un campo rectangular en el cual el ancho es 20 metros más pequeño que el largo. a. Encuentre una expresión para el perímetro en términos de una sola variable. b. Encuentre una expresión para el área cercada en términos de una sola variable. c. Determine el dominio de la función de área. d. Utilizando una herramienta de informática represente gráficamente la función de área, a partir de la gráfica, determine el área máxima cercada. e. Si el área cercada es igual a 8000 m2, determine las dimensiones del terreno. 2. Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una parte del empaque será una caja abierta construida de un cuadrado de aluminio cortando cuadros de 3 centímetros en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. a. Encuentre un modelo para el volumen de la caja. b. Determine el dominio de la expresión anterior. c. Si la caja debe ser hecha para contener un volumen de 588 cm3, determine la cantidad de material utilizado. 3.

Se desea construir un envase cilíndrico de base circular que tenga una capacidad de 125 metros cúbicos. a. Halle una expresión para la cantidad de lámina utilizada en términos de una sola variable. b. Halle las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima. c. Si la altura del envase es 10 cm, determine su radio.

4.

El siguiente ejercicio es una adaptación de un ejercicio propuesto por los autores (Haeussler & Richard, 1997).

El fabricante de un producto encuentra que para las primeras 500 unidades que produce y vende la utilidad es de $50 por unidad. La utilidad disminuye en $0,10 por cada unidad que produce más allá de 500. Por ejemplo la utilidad total cuando produce y vende 502 unidades es de 500(50)+2(49,8). a. Encuentre una expresión para la utilidad del fabricante. b. A partir de una gráfica determine el nivel de producción que maximiza la utilidad. 5.

Un mayorista ofrece un precio de venta de $ 5.200 menos un descuento de $ 5 por cada artículo comprado de las mismas especificaciones. a. Determine una función para el precio de venta de cada artículo. b. Determine una función para el ingreso. c. Encuentre un intervalo apropiado en el cual sea óptimo para el mayorista sostener estas condiciones.

183

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

d. Grafique la función de ingreso. A partir de la gráfica determine: e. El nivel de producción que maximice el ingreso. f. El ingreso máximo. 6.

Un fabricante estima que si cada pedido de materias primas contiene “x” unidades, el costo total de adquirir y almacenar el suministro anual de materias primas será:

𝒄(𝒙) = 𝟒𝒙 +

𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝑫ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒙

a. Represente la parte pertinente de la gráfica de este modelo de costo y a partir de ella estime el tamaño óptimo de un pedido, es decir bajo qué condiciones se obtiene el costo mínimo y cual es este costo mínimo. b. Cuando el costo es de 1000 dólares, estime cuántas unidades fueron adquiridas y almacenadas. c. Si se adquiere y se almacenan 500 unidades, ¿el costo es? 7.

Un fabricante estima que si se emplean X máquinas, el costo de un período de producción será:

𝒄(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 +

𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑫ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒙

a. Represente la parte pertinente de la gráfica de este modelo y a partir de ella calcule cuántas máquinas deberá utilizar el fabricante para minimizar el costo. b. ¿Si los costos en un período de producción son de 500 dólares, estime cuántas máquinas fueron utilizadas? c. Determine el costo cuando se utilizan 50 máquinas. 8.

Un proyectil es lanzado al aire con una velocidad inicial de 192 metros por segundo. Después de t segundos su altura es:

𝑺(𝒕) = 𝟏𝟗𝟐𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐 a. b. c. d.

Elabore la gráfica de la parte pertinente de este modelo. A partir de la gráfica determine el tiempo en el cual el proyectil alcanza su altura máxima. Halle la altura máxima que alcanza. Determine el tiempo en el cual la velocidad es de 576 m / s.

184

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

9.

Un terreno rectangular de 500m2 de área va a ser cercado. La cerca para el frente del terreno, como da a una carretera, tiene un costo de US$ 50 el metro instalado, para los otros tres lados, el metro instalado tiene un costo de US$ 35. a. Obtenga un modelo para el costo total del cercado del terreno en términos del lado que da a la carretera. b. Elabore la gráfica de este modelo. c. A partir de la gráfica, estime las dimensiones del terreno que permitan minimizar los costos. d. Determine cuál es el costo mínimo.

185

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3 UNIDAD 2 LÍMITES

Límites: Explicación con Ejemplos Enlace

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Enlace

186

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.1.1 MAPA CONCEPTUAL

3.1.2 OBJETIVO GENERAL Entender el concepto de límite y su aplicación como una aproximación al estudio de la derivada.

3.1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar el límite de una función teniendo en cuenta una tabla numérica de aproximaciones a un valor deseado de la variable independiente. Estudiar las leyes básicas para la estimación de límites, identificando indeterminaciones de la forma cero sobre cero e infinito menos infinito y el procedimiento para la eliminación de éstas indeterminaciones y la posterior evaluación del límite. Determinar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto.

3.2 TEMA 1: DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Se pretende determinar qué sucede con una función

f(x) cuando la variable independiente (o sea la

x) se aproxima tanto como pueda a un valor a, sin llegar a ser igual a dicho valor. Si el límite existe, se dice que es igual a un número L. Lo anterior se simboliza de la siguiente manera:

187

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒂

En términos conceptuales, el límite cuando a

𝒙

se aproxima a un valor

𝒂 de la función 𝒇(𝒙) es diferente

𝒇(𝒂)

Para entender un poco mejor se analizarán los siguientes ejercicios de entrenamiento: 1.

Este ejercicio es propuesto por los autores (Haeussler & Richard, 1997). Para la función:

𝒙𝟑 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 Determinar:

a. 𝒇(𝟏): Procedimiento: se reemplaza 1 en la función dada:

𝟏𝟑 − 𝟏 𝟎 𝒇(𝟏) = → 𝒇(𝒙) = 𝟏−𝟏 𝟎 Se obtiene una

𝒃.

indeterminación de la forma:

𝟎 𝟎

𝒙𝟑 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏

Se realiza el cálculo de:

𝒙𝟑 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 La herramienta que se tiene para calcular este límite, es por la definición intuitiva del concepto de límite, es decir, se va a determinar qué sucede con 𝒇(𝒙) cuando la variable

izquierda como por derecha, esto es: o o

Por valores ligeramente menores

que uno, y Por valores ligeramente mayores que uno.

𝒙 se

aproxime lo más que pueda a

1,

tanto por

188

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Para ello se diligencia la siguiente tabla: (𝒙 < 𝟏) 𝒙 → 𝟏− Se lee 1 por la izquierda

0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999

𝒙𝟑 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 2,71 2,9701 2,997001 2,9997 2,99997

Se puede ver que cuando la variable aproxima a

3; esto

(𝒙 > 𝟏) 𝒙 → 𝟏+ Se lee 1 por la derecha

1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001

𝒙𝟑 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏 3,31 3,0301 3,003001 3,0003 3,00003

x se aproxima a 1, tanto por izquierda como por derecha,

la función se

es:

𝒙𝟑 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 =𝟑 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 2.

Determine por definición intuitiva de límite:

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙−𝟐 Procedimiento Para ello se diligencia la siguiente tabla: (𝒙 < 𝟐) 𝒙 → 𝟐− Se lee 2 por la izquierda

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝒇 (𝒙 ) = 𝒙−𝟐 29,679 31,76079902 31,9760081 31,997602 31,99977

(𝒙 > 𝟐) 𝒙 → 𝟐+ Se lee 2 por la derecha

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟐 34,481 32,24180099 32,0240079 32,002399 32,00022

189

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

De acuerdo a los resultados.

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝐥𝐢𝐦 = 𝟑𝟐 𝒙→𝟐 𝒙−𝟐 Límites a partir de una gráfica.

Límites a partir de la gráfica de una función Enlace

3.

Límite a partir de una gráfica.

Utilizando la gráfica de la figura 48 estime

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏

190

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 48. Estimación de límites a partir de una gráfica. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

Procedimiento Para determinar este límite, se deben estimar dos límites que son:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒚

𝒙→−𝟏−

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏+

a. Límite por la izquierda de -1:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏−

Observando la figura 49, se puede ver que a medida que la X se aproxima a menos 1 por la izquierda, la Y se aproxima a 1, esto es:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒙→−𝟏−

191

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 49. X se aproxima a menos uno por la izquierda (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

b. Límite por la derecha de -1:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏+

Observando la figura 50, se puede ver que a medida que la X se aproxima a menos 1 por la derecha, la Y se aproxima a 2, esto es:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝟐

𝒙→−𝟏+

Figura 50. X se aproxima a menos uno por la derecha. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

192

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Como:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝟏 ≠ 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝟐

𝒙→−𝟏−

𝒙→−𝟏

Entonces:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆

𝒙→−𝟏 4.

Límite a partir de una gráfica. Utilizando la gráfica de la figura 51. Estime:

𝒇(𝒙)

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑

Figura 51. Límite a partir de una gráfica. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

Solución Para determinar este límite, se debe estimar dos límites que son:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑−

𝒇(𝒙) 𝒚

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑+

𝒇(𝒙)

a. Límite por la izquierda de -3:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑−

𝒇(𝒙)

Observando la figura 52, se puede ver que a medida que la X se aproxima a menos 3 por la izquierda, la Y se aproxima a 2, esto es:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑−

𝒇(𝒙) = 𝟐

193

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 52. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

Estimación de

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑+

𝒇(𝒙)

Observando la figura 53, se puede ver que a medida que la X se aproxima a menos 3 por la derecha, la Y se aproxima a 2, esto es:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑+

𝒇(𝒙) = 𝟐

Figura 53. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

Como:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑−

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒙→−𝟑

194

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Entonces:

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟑

𝒇(𝒙) = 𝟐

3.2.1 EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN Utilizando la definición intuitiva de límite, estime: 1.

lim 3x 2  2 x  3 x  5

lim x 2  16 x  2 4x  8 lim x 2 3. x4 x4 2.

4. Dada la gráfica de la figura 54. Estime:

lim lim f ( x)  f ( x) x  2 x2

Figura 54. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

5. Dada la gráfica de la figura 55. Estime:

lim lim f ( x)  f ( x) x  2 x2

195

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Figura 55 (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 13 de 2011)

3.3 TEMA 2: LEYES PARA ESTIMAR LÍMITES

Applet para calcular límites: http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/limit_calculator/index.php El límite de una constante es igual a la constante c:

196

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄 𝒙→𝒂

3.3.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 𝒙→𝟕

2.

𝐥𝐢𝐦 2 = 2

𝑥→−20



Límite de x elevada a una potencia n. 𝒏 𝒏 𝒏 𝐥𝐢𝐦 𝒙 = (𝒂) = 𝒂 𝒙→𝒂

3.3.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟒 = (𝟑)𝟒 = 𝟖𝟏 𝒙→𝟑

2. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 = (−𝟓)𝟑 = −𝟏𝟐𝟓 𝒙→−𝟓

𝟏

𝟏

3. 𝐥𝐢𝐦 𝒙−𝟐 = (𝟒)−𝟐 = 𝟐 = 𝟒 𝟏𝟔 𝒙→𝟒



Límite de una constante por x elevada a una potencia n

𝒏 𝒏 𝒏 𝐥𝐢𝐦𝒄 𝒙 = 𝒄 ∗ 𝐥𝐢𝐦(𝒙) = 𝒄 ∗ (𝒂) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

3.3.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙𝟓 = 𝟑 ∗ (𝟐)𝟓 = 𝟑 ∗ 𝟑𝟐 = 𝟗𝟔 𝒙→𝟐

2.

𝟐 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝟕 𝒙 = 𝟕 ∗ (−𝟑) = 𝟕 ∗ (𝟗) = 𝟔𝟑

𝒙→−𝟑 3.

𝟐 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝟒 𝒙 = 𝟒 ∗ (−𝟏) = 𝟒 ∗ (𝟏) = 𝟒

𝒙→−𝟏

197

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



El límite de una suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de los límites.

𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) ± ⋯ ± 𝒉(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ± 𝐥𝐢𝐦(𝒈(𝒙) ± ⋯ ± 𝐥𝐢𝐦 𝒉(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

3.3.4 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

𝟏. 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝟔𝒙 + 𝐥𝐢𝐦 𝟓 = 𝒙→𝟑

𝒙→𝟑

𝒙→𝟑

𝒙→𝟑

𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟔(𝟑) + 𝟓 = 𝟐𝟕 − 𝟏𝟖 + 𝟓 = 𝟏𝟒

𝟐. lim 6𝑥 − 2 = 6(−5) − 2 = −30 − 2 = −32 𝑥→−5



El límite de un producto es igual al producto de los límites.

𝐥𝐢𝐦 [𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ∗ 𝐥𝐢𝐦(𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

3.3.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦 ( 𝟐𝒙 + 𝟏) ∗ (𝟑𝒙 − 𝟐) = 𝒙→−𝟑

𝐥𝐢𝐦 ( 𝟐𝒙 + 𝟏) ∗ 𝐥𝐢𝐦 (𝟑𝒙 − 𝟐)

𝒙→−𝟑

𝒙→−𝟑

Reemplazando:

[𝟐(−𝟑) + 𝟏] ∗ [𝟑(−𝟑) − 𝟐] = (−𝟔 + 𝟏) ∗ (−𝟗 − 𝟐) = (−𝟓) ∗ (−𝟏𝟏) = 𝟓𝟓 2. 𝐥𝐢𝐦( 𝟑𝒙 − 𝟐) ∗ (𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝒙→𝟐

𝐥𝐢𝐦( 𝟑𝒙 − 𝟐) ∗ 𝐥𝐢𝐦 (𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒙→𝟐

𝒙→𝟐

Reemplazando:

[𝟑(𝟐) − 𝟐] ∗ [𝟐(𝟐) + 𝟓] = (𝟔 − 𝟐) ∗ (𝟒 + 𝟓) = 𝟒 ∗ 𝟗 = 𝟑𝟔

198

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



El límite de un cociente es igual al cociente de los límites.

𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝐥𝐢𝐦 = 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂

𝐒𝐢 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎 𝒙→𝒂

3.3.6 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦

𝟐𝒙𝟐 +𝒙−𝟑 𝒙𝟑 +𝟒

𝒙→𝟏

=

𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙𝟐 +𝒙−𝟑

𝒙→𝟏

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 +𝟒

=

𝒙→𝟏

𝟐(𝟏)𝟐 +(𝟏)−𝟑 (𝟏)𝟑 +𝟒

=

𝟐+𝟏−𝟑 𝟎 = =𝟎 𝟏+𝟒 𝟓 2. 𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏 𝒙𝟐 +𝟑

𝒙→𝟓

=

𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟓

𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 +𝟑

=

𝒙→𝟓

(𝟓)𝟐 −𝟐(𝟓)+𝟏 (𝟓)𝟐 +𝟑

=

𝟐𝟓 − 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟏𝟔 𝟒 = = 𝟐𝟓 + 𝟑 𝟐𝟖 𝟕 

El límite de una raíz es igual a la raíz del límite.

𝐥𝐢𝐦 𝒏√𝒇(𝒙) = 𝒏√𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂

𝐒𝐢 𝐧 𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) > 𝟎 (𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) 𝒙→𝒂

3.3.7 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 𝟑

𝟑

1. 𝐥𝐢𝐦 √𝒙𝟐 + 𝟕 = 𝟑√𝐥𝐢𝐦(𝒙𝟐 + 𝟕) = √(𝟑)𝟐 + 𝟕 = 𝒙→𝟑 𝒙→𝟑 𝟑

𝟑

𝟑

𝟑

√𝟏𝟔 = √𝟖 ∗ √𝟐 = 𝟐 ∗ √𝟐

199

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2. 𝐥𝐢𝐦 √𝟒 − 𝟓𝒙 = √ 𝐥𝐢𝐦 (𝟒 − 𝟓𝒙) = √𝟒 − 𝟓(−𝟏) = √𝟒 + 𝟓 = √𝟗 = 𝟑 𝒙→−𝟏

𝒙→−𝟏

LÍMITES Y MANIPULACIÓN ALGEBRAICA Límite indeterminado de la forma

𝟎 𝟎 𝟎

Cuando al evaluar un límite el resultado es cero sobre cero ( 𝟎) 𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒖𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐, se debe factorizar o racionalizar la expresión, simplificar y volver a evaluar el límite las veces que sea necesario para eliminar dicho indeterminado.

3.3.8 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦

𝟓𝒙𝟐 +𝟏𝟕𝒙−𝟏𝟐

𝒙→−𝟒 𝟑𝒙𝟐 +𝟏𝟑𝒙+𝟒

, Reemplazando por 𝒙 = −𝟒, se tiene:

𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟐 𝟓(−𝟒)𝟐 + 𝟏𝟕(−𝟒) − 𝟏𝟐 𝟖𝟎 − 𝟔𝟖 − 𝟏𝟐 𝐥𝐢𝐦 = = 𝒙→−𝟒 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒 𝟑(−𝟒)𝟐 + 𝟏𝟑(−𝟒) + 𝟒 𝟒𝟖 − 𝟓𝟐 + 𝟒 𝟎 = 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝟎

En este caso hay que factorizar tanto el numerador como el denominador de la fracción: o

Factorización del numerador:

𝟓(𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟐) 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟕(𝟓𝒙) − 𝟔𝟎 = 𝟓 𝟓 (𝟓𝒙 + 𝟐𝟎) ∗ (𝟓𝒙 − 𝟑) = 𝟓(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟓𝒙 − 𝟑) = 𝟓 𝟓 Simplificando:

200

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟓𝒙 − 𝟑): 𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 o

Factorizando el denominador:

𝟑(𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒) 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟑(𝟑𝒙) + 𝟏𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟏𝟐) ∗ (𝟑𝒙 + 𝟏) = = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟑𝒙 + 𝟏) = 𝟑 Simplificando:

(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟑𝒙 + 𝟏): 𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 Reemplazando en la expresión inicial:

(𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟓𝒙 − 𝟑) 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟐 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟒 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒 𝒙→−𝟒 (𝒙 + 𝟒) ∗ (𝟑𝒙 + 𝟏) Simplificando 𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝒙→−𝟒

+ 𝟒 se elimina el cero tanto en el numerador como en el denominador, por lo tanto:

𝟓𝒙𝟐 +𝟏𝟕𝒙−𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 +𝟏𝟑𝒙+𝟒

2. 𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟑 −𝟏

𝒙→𝟏 𝒙−𝟏

= 𝐥𝐢𝐦

𝟓𝒙−𝟑

𝒙→−𝟒 𝟑𝒙+𝟏

=

reemplazando, se tiene:

𝟓(−𝟒)−𝟑 𝟑(−𝟒)+𝟏 𝟏𝟑 −𝟏 𝟏−𝟏

=

=

𝟏−𝟏 𝟏−𝟏

−𝟐𝟎−𝟑 −𝟏𝟐+𝟏

=

𝟎 𝟎

=

−𝟐𝟑 −𝟏𝟏

=

𝟐𝟑 𝟏𝟏

, con 𝒙 ≠ −𝟒

𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐

Para solucionar este indeterminado se factoriza el numerador (diferencia de cubos) de la fracción (el denominador no es factorizable):

𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟑 −𝟏

= 𝐥𝐢𝐦

(𝒙−𝟏)∗(𝒙𝟐 +𝒙+𝟏)

𝒙−𝟏 𝒙→𝟏 𝒙−𝟏 𝒙→𝟏 y en el denominador, por lo tanto:

, simplificando 𝒙 − 𝟏 se elimina el cero en el numerador

𝒙𝟑 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝟏)𝟐 + 𝟏 + 𝟏 = 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙→𝟏 𝟏+𝟏+𝟏=𝟑 3. 𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟒 −𝟏𝟔

𝒙→𝟐 𝒙−𝟐

𝒄𝒐𝒏 𝒙 ≠ 𝟏 reemplazando, se tiene:

201

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟐𝟒 − 𝟏𝟔 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔 𝟎 = = 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝟐−𝟐 𝟏−𝟏 𝟎 Para solucionar este indeterminado se factoriza el numerador (diferencia de cuadrados) de la fracción (el denominador no es factorizable):

𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟒 −𝟏𝟔

𝒙→𝟐 𝒙−𝟐

𝐥𝐢𝐦

= 𝐥𝐢𝐦

(𝒙𝟐 +𝟒)∗(𝒙𝟐 −𝟒)

𝒙→𝟏

(𝒙𝟐 +𝟒)∗(𝒙+𝟐)∗(𝒙−𝟐)

𝒙−𝟐 𝒙→𝟐 denominador, por lo tanto:

𝒙−𝟐

todavía hay una diferencia de cuadrados, se factoriza nuevamente:

simplificando

𝒙 − 𝟐 se elimina el cero

en el numerador y en el

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦(𝒙𝟐 + 𝟒) ∗ (𝒙 + 𝟐) = (𝟐𝟐 + 𝟒) ∗ (𝟐 + 𝟐) = 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙→𝟐 (𝟒 + 𝟒) ∗ (𝟒) = 𝟖 ∗ 𝟒 = 𝟑𝟐, con 𝒙 ≠ 𝟐 4. 𝐥𝐢𝐦

𝒙−𝟒

, reemplazando:

𝒙→𝟒 √𝒙−𝟐

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒

𝒙−𝟒 √𝒙 − 𝟐

=

𝟒−𝟒 √𝟒 − 𝟐

=

𝟎 𝟎

Para eliminar el indeterminado se debe racionalizar el denominador de la fracción:

202

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝐥𝐢𝐦(√𝒙 + 𝟐) ∗ √𝒙 + 𝟐 (𝒙 − 𝟒) ∗ (√𝒙 + 𝟐) √𝒙 + 𝟐 𝐥𝐢𝐦 ∗ = 𝒙→𝟒 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒 √𝒙 − 𝟐 √𝒙 + 𝟐 𝒙→𝟒 (𝒙 − 𝟒) √𝒙𝟐 − (𝟐)𝟐 𝒙−𝟒

Simplificando 𝑥

− 4 en el numerador y en el denominador, se tiene: 𝐥𝐢𝐦(√𝒙 + 𝟐) = √𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 𝒙→𝟒

5. 𝐥𝐢𝐦

𝒙−𝟑

, reemplazando:

𝒙→𝟑 √𝒙+𝟔−𝟑

𝐥𝐢𝐦

𝒙−𝟑

𝒙→𝟑 √𝒙+𝟔−𝟑

=

𝟑−𝟑 √𝟑+𝟔−𝟑

=

𝟑−𝟑 √𝟗−𝟑

=

𝟎 𝟎

𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐

203

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento Para eliminar este indeterminado se racionaliza el denominador: La conjugada del denominador es: √𝒙

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑

𝒙−𝟑

+𝟔+𝟑

√𝒙 + 𝟔 + 𝟑

∗ = 𝐥𝐢𝐦 √𝒙 + 𝟔 − 𝟑 √𝒙 + 𝟔 + 𝟑 𝒙→𝟑

(𝒙 − 𝟑) ∗ (√𝒙 + 𝟔 + 𝟑) √(𝒙 + 𝟔)𝟐 − (𝟑)𝟐

=

(𝒙 − 𝟑) ∗ (√𝒙 + 𝟔 + 𝟑) (𝒙 − 𝟑) ∗ (√𝒙 + 𝟔 + 𝟑) = 𝐥𝐢𝐦 = 𝒙→𝟑 𝒙→𝟑 𝒙+𝟔−𝟗 (𝒙 − 𝟑)

𝐥𝐢𝐦

Simplificando 𝑥

− 3 en el numerador y en el denominador, se tiene:

𝐥𝐢𝐦(√𝒙 + 𝟔 + 𝟑) = √𝟑 + 𝟔 + 𝟑 = √𝟗 + 𝟑 = 𝟑 + 𝟑 = 𝟔 𝒙→𝟑

http://www.youtube.com/watch?v=5kyW-JJpR9o http://www.youtube.com/watch?v=nAmIO3HpR54 http://www.youtube.com/watch?v=PwBdwnc621g http://www.youtube.com/watch?v=k6fB0JD2bvM http://www.youtube.com/watch?v=tEaYRekR9Ik http://www.youtube.com/watch?v=AcSwtKOwtLU LÍMITES AL INFINITO Se pretende determinar el siguiente límite:

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→∞ Se presentan varias posibilidades: 

Si la expresión es constante, el límite es la misma constante.

𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄

𝒙→∞

204

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.3.9 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 𝒙→∞

2. 𝐥𝐢𝐦 −𝟓 = −𝟓 𝒙→∞



Si la función es polinómica el límite tiende

a infinito.

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ±∞

𝒙→∞ Siempre que 𝒇(𝒙) sea polinómica:

3.3.10

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

1. 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟖𝒇(𝒙) = ∞ 𝒙→∞

2. 𝐥𝐢𝐦 √𝟒𝒙 − 𝟕 = ∞ 

𝒙→∞ Si la función es racional

Para obtener este límite se procede de la siguiente manera: Se dividen todos los términos de la fracción por la 𝒙 de mayor

exponente.

Se simplifica y se aplican las siguientes propiedades (llamados, también, límites especiales):

𝟏

 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎 𝒙→∞ 𝒙 𝟏

 𝐥𝐢𝐦 

3.3.11

𝒙→∞ 𝒙𝒏 𝒄

𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞ 𝒙𝒏 constante

= 𝟎, c es una

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

1. 𝐥𝐢𝐦

=𝟎

𝟓𝒙𝟑 −𝟒𝒙𝟐 +𝟕

𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟐 −𝟏𝟎𝒙𝟑 +𝒙−𝟕

reemplazando, se obtiene:

205

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟓𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟕 ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝟐 = 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒙→∞ 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟕 ∞

Procedimiento De acuerdo a la norma se dividen cada uno de los términos del numerador y del denominador por 𝒙

𝟑

:

𝟓𝒙𝟑 𝟒𝒙𝟐 𝟕 𝟓𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟕 𝟑 − 𝒙𝟑 + 𝒙 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟕 𝒙→∞ 𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝒙 𝟕 − + − 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝟑

𝟐

Simplificando: 𝟒 𝟕 + 𝒙 𝒙𝟑 𝐥𝐢𝐦 , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝟏 𝟕 𝒙→∞ 𝟑 − 𝟏𝟎 + − 𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟓−

𝟒 𝟕 𝟓−𝒙+ 𝟑 𝟓−𝟎+𝟎 𝟓 𝟏 𝒙 𝐥𝐢𝐦 = = =− 𝟏 𝟕 𝒙→∞ 𝟑 𝟎 − 𝟏𝟎 + 𝟎 − 𝟎 −𝟏𝟎 𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑

2. 𝐥𝐢𝐦 (

𝟐𝒙+𝟑𝒙𝟐

𝒙→∞ 𝟏−𝒙𝟒 Procedimiento

− 𝟐𝟎)

Recuerde que. El límite de una suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de los límites, por lo tanto:

3. 𝐥𝐢𝐦 ( 𝒙→∞

𝟐𝒙+𝟑𝒙𝟐 𝟏−𝒙𝟒

− 𝟐𝟎) = 𝐥𝐢𝐦 ( 𝒙→∞

𝟐𝒙+𝟑𝒙𝟐 𝟏−𝒙𝟒

) − 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝟎) = 𝒙→∞

206

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Recuerde que: en el primer límite se dividen todos los términos de la fracción por 𝑥 2 , en el segundo el límite de una constante es la misma constante.

𝟐 𝟑 𝟐𝒙 𝟑𝒙𝟐 + + 𝟒 𝒙𝟒 − 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟑 𝒙𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒙→∞ 𝟏 𝒙→∞ 𝒙→∞ 𝟏 𝒙→∞ 𝒙𝟒 − 𝟏 − 𝟒 𝒙 𝒙𝟒 𝒙𝟒 Utilizando las propiedades de los límites, se tiene:

𝟐 𝟑 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝟎 = 𝟎 + 𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟎 − 𝟐𝟎 = −𝟐𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙 𝒙→∞ 𝟏 𝒙→∞ 𝟎−𝟏 −𝟏 𝟒 𝒙

Cálculo de Límites - Conjugada Enlace

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

 𝐥𝐢𝐦 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒂, 𝒂 𝝐 𝑹𝒆 𝒙→𝒂

 𝐥𝐢𝐦 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒂, 𝒂 𝝐 𝑹𝒆 𝒙→𝒂

 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

𝐬𝐢𝐧 𝒌𝒙 𝒌𝒙

= 𝟏, 𝒌𝒙 ≠ 𝟎, 𝒌𝝐 𝑹𝒆

207

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

 𝐥𝐢𝐦

𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 𝒌𝒙

𝒙→𝟎

3.3.12 1.

= 𝟎, 𝒌𝒙 ≠ 𝟎, 𝒌𝝐 𝑹𝒆

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒙

,

se multiplica por 2 tanto el numerador como el denominador:

𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∗𝟐 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝟐𝒙 𝒙

𝐥𝐢𝐦

2. 3.

Halle:

𝐥𝐢𝐦

𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝟓𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

=𝟎

𝟓𝒙 𝒙→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐥𝐢𝐦 , se divide el numerador y el denominador por 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙

= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎

𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟎 𝒙 = =𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 𝒙

𝒙 se tiene entonces

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 de acuerdo a los límites trigonométricos: 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙

,

208

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Límites Trigonométricos - Ejercicio 1 Enlace

limite trigonometrico caso 1 Enlace

209

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

LIMITES TRIGONOMETRICOS 4º Y 5º SEC TRIGONOMETRIA Enlace

LÍMITES LATERALES

𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝑳

𝒙→𝒂

la izquierda de 𝒇(𝒙) es igual a L”. acercando al valor a por valores menores que a.

Este límite se lee: “límite cuando 𝒙 se aproxima a un valor a por Quiere decir, la

𝒙 se está

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳

𝒙→𝒂+

𝒙 se aproxima a un valor a por la derecha de 𝒇(𝒙) es igual a L”. acercando al valor a por valores mayores que a.

Este límite se lee: “límite cuando Quiere decir, la

𝒙 se está

Se tiene que:

LIM 𝑓(𝑥 ) = 𝐿 𝑠Í 𝑠Ó𝑙𝑜 𝑠Í LIM− 𝑓 (𝑥 ) = LIM+ 𝑓 (𝑥 ) 𝑥→𝑎

3.3.13 1. 2.

𝑥→𝑎

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 𝐥𝐢𝐦

𝟓

𝒙→𝟐+ 𝒙−𝟐 𝟐𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑+ 𝟑−𝒙

= +∞ = −∞

𝑥→𝑎

210

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3.3.14

EJERCICIO DE ENTRENAMIENTO

Estime los siguientes límites: Recuerde que: un indeterminado no es solución para el límite, por lo tanto, tiene que proceder a eliminarlo con alguno de los procedimientos vistos.

lim 5 x 2  32x  21 1. x  7 2 x 2  9 x  35 2.

lim 5 x 2  6 x  8 x  2 4x 2  7x  2

3.

lim 6 x 2  11x  5 x  1 7 x 2  6 x  1

4.

lim 3x 2  35x  22 x  11 5 x 2  54x  11

lim 10x 2  61x  6 5. x  6 9 x 2  52x  12 6.

lim 8 x 2  37 x  15 x5 x 2  25

7.

lim 5x 2  5x x  1 3x 2  4 x  7

8.

lim x 2  3x x  3 6 x 2  23x  15

211

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

lim x 2  4x 9. x  4 7 x 2  26x  8 10.

lim 6 x 2  23x  35 x5 x 2  5x

11.

lim x 2  6x x  6 x 2  2 x  48

12.

lim ( x  4) 2  16 x0 8x

lim (2 x  5) 2  25 13. x0 10x 14.

lim (4 x  1) 2  1 x0 4x

15.

lim (3x  8) 2  64 x0 4x

16.

lim x 3  27 x  3 5 x 2  11x  12

17.

lim 7 x 2  19 x  10 x  2 x3  8

18.

lim 8 x 2  37 x  15 x5 x 3  125

19.

lim x 3  125 x  5 x 2  5 x

20.

lim x 2  64 x  8 x 3  512

21.

lim x2  7x x  7 x 3  343

lim 49  2 x  7 2 22. x  0 5x  4 x 2 lim x 1 lim 24. x2 23.

x3 2 x 1 x2 x2 2

212

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

25.

lim x0

5x x9 3

26.

lim x 1

5x  4  3 x 1

27.

lim x5

2x  1  3 x 2  25

28. 𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝒙𝟑 −𝟑𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟑 𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟒

√𝟑𝒙−𝟒+𝟓 𝒙→∞ 𝒙𝟐 −𝟑𝒙−𝟏𝟒

29. 𝐥𝐢𝐦 30.

𝐥𝐢𝐦

𝟏−𝒙−𝒙𝟑

𝒙→∞ 𝒙𝟒 −𝟐𝒙+𝟏

3.4 TEMA 3: LÍMITE Y CONTINUIDAD

2.1.3 continuidad de una funcion Enlace

CONTINUIDAD EN UN PUNTO: Una función

𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂, si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. 𝑓(𝒂) 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 2. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒙→𝒂

213

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

3. 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) 𝒙→𝒂

Si

𝒇 no es continua en a, se dice que existe una discontinuidad en 𝒙 = 𝒂

3.4.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Analice si

𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟏 es continua en 𝒙 = 𝟐

a. Se halla 𝒇(𝒂)

𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝒇(𝟐):

𝒇(𝟐) = 𝟓(𝟐) + 𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟏 = 𝟏𝟏 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟐 b. Se calcula el límite de 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 tiende a 2

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 (𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟓(𝟐) + 𝟏 = 𝟏𝟏 c. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟐) Esta verificación de la tres condiciones de continuidad en esta función permite asegurar que esa función es

continua, en 𝒙 = 𝟐. Más aun, por ser una función

2. Determine si 𝒇(𝒙) = a. 𝒇(𝟏) =

𝟏𝟐 +𝟐(𝟏)−𝟐

b. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟏

𝟏−𝟐 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟐 𝒙−𝟐

polinómica es continua en todo su dominio. 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟐 𝒙−𝟐

es continua en

𝒙=𝟏

= −𝟏

=

𝟏𝟐 +𝟐(𝟏)−𝟐 𝟏−𝟐

=

𝟏+𝟐−𝟐 𝟏−𝟐

=

𝟏 −𝟏

= −𝟏

c. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟏) = −𝟏

se puede observar claramente que se están cumpliendo las tres condiciones que son propuestas por la teoría de la continuidad en límites, por lo tanto, esta función es continua en 𝒙

=𝟏

3.

¿Por qué?

𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟐 𝒙−𝟐

es discontinua en

𝒙 = 𝟐 , realice el proceso de demostración.

214

CÁLCULO DIFERENCIAL

215

TRASVERSAL

4. Determine si 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟒 es continua en 𝒙 = −𝟐 a. 𝒇(−𝟐) = √−𝟐 + 𝟒 = √𝟐. b. 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐 √𝒙 + 𝟒=√−𝟐 + 𝟒 = √𝟐 c. 𝒍𝒊𝒎𝒙→−𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝟐) = √𝟐 Como se puede observar se están dando las tres condiciones de continuidad, lo que asegura que su trazado es continuo y no tiene saltos.

5.

Determine si 𝒇(𝒙)

a. 𝒇(𝟒) = 𝒃. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝟐𝟐 −𝟒 𝟐−𝟐 𝒙𝟐 −𝟒 𝒙−𝟐

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

=

𝟎

𝒙−𝟐

𝒙𝟐 −𝟒 𝒙−𝟐

es continua en

𝒙=𝟐

𝒇(𝒙) no se define en 𝑥 = 2

𝟎

==

𝒙𝟐 −𝟒

=

𝟎 𝟎

se factoriza para eliminar el indeterminado:

= 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

(𝒙+𝟐)∗(𝒙−𝟐) 𝒙−𝟐

se simplifica 𝒙

− 𝟐, se tiene:

𝒙𝟐 − 𝟒 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 = 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝒙 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 𝒙−𝟐 𝒄. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) ≠ 𝒇(𝟐) Lo que quiere decir: que por no cumplir todas las condiciones de continuidad, la función es discontinua en 𝒙

𝟐, por lo tanto su trazado

tiene discontinuidad en dicho punto.

=

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

CONTINUIDAD EJERCICIO CON PARAMETROS1_PARTE 1 Enlace

Continuidad de una función - Ejercicio 1 Enlace

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Se dice que una función 𝒇(𝒙) es continua en un intervalo abierto

𝒙 del intervalo. Se dice que 1.

𝒇(𝒙)

𝒇(𝒙)

es continua en un intervalo cerrado [a,

es continua en el intervalo abierto (𝒂, 𝒃)

b], si:

(𝒂, 𝒃), si es continua en cada

216

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2. Sí: 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) 𝒙→𝒂

3. Si: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒃)

𝒙→𝒃−

Nota: Las funciones vistas hasta el momento son continuas en todo su dominio, es decir: También se puede tener en cuenta algunas propiedades de la continuidad, las cuales se cumplen para todo número 𝒙

𝝐 𝑹𝒆 .

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Todas las funciones polinómicas son continuas. Todas las funciones racionales son continuas en su dominio. Las funciones racionales son continuas en todo su dominio. Las funciones algebraicas son continuas en todo se dominio Las funciones exponenciales son continuas en todo su dominio. Las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio. Las funciones trigonométricas son continuas en todo su dominio. Las funciones trigonométricas inversas son continuas en todo su dominio. Las funciones hiperbólicas son continuas en todo su dominio. Toda función es continua en su dominio. Todas las funciones racionales son continuas, excepto en aquellos puntos donde la función no está definida, es decir en aquellos puntos donde su denominador se hace cero. 12. La sumatoria f(x) g(x), es continua 13. f(x) g(x) es continua 14.

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

es continua, siempre que g(x)≠ 0

𝑚

𝑚

15. √𝑓(𝑥) es continua siempre y cuando √𝑓(𝑥) este definida.

3.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Analice la continuidad de la función

𝒇(𝒙) =

𝒙+𝟐 𝒙−𝟑

, en el intervalo [-2,

3]

Procedimiento

racional, por lo tanto es continua en todos los reales excepto en 𝒙 = 𝟑 porque acá el denominador se hace cero, por lo tanto 𝒙 = 𝟑 es una asíntota vertical. Esta función es

217

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒇(𝒙) es continua en el intervalo abierto (−2,3), pero no es continua en el intervalo cerrado [-2,3], puesto que es discontinua en 𝒙 = 𝟑, que es uno de los extremos de dicho Se pude afirmar que intervalo.

2.

Determine si la función 𝒇(𝒙)

= 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟓 es continua en 𝒙 = 𝟑.

Procedimiento Por ser una función polinómica, esta función es continua en todo su dominio, por lo tanto también es continua en 𝒙 = 𝟑

3.

Determine si 𝒇(𝒙)

=

𝒙𝟐 +𝟕𝒙+𝟓 𝒙−𝟐

f ( x) 

x2  7x  5 es continua en 𝒙 x2

= 𝟏𝟎.

Determine

donde es discontinua f (x) . Procedimiento Se puede ver que f (x) es una función racional, por lo tanto sólo es discontinua en que f (x) es continua en

𝒙 = 𝟐 y se puede afirmar

𝒙 = 𝟏𝟎.

3.4.3 EJERCICIO DE ENTRENAMIENTO 1. Para cada una de las siguientes funciones analice su continuidad indicando los intervalos en los cuales cada una de ellas es continua, indique además los puntos de discontinuidad si los hay. a.

f ( x)  5x 2  3x  9

b.

f x   7 x  3

c.

f x  

4x  1 2 x  3x  9

d.

f x  

x 2  10

2

7 x 2  14 x

x3 x2 1 2. Evalúe la continuidad de la función: e.

f ( x) 

3 x  1, para x  3 f ( x)   2  x  1, para x  3

218

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

En el punto 𝒙 = −𝟑 3. Evalúe la continuidad de la función:

 x 2  4, para x  0 f ( x)   2  x  3, para x  0 En el punto x = - 0 4. Evalúe la continuidad de la función:  5x  2  x 2  4 , para x  2  f ( x)  5 x  1, para  2  x  3  10  x 2  9 , para x  3 

En el punto 𝒙 = −𝟑 Applets Para límites http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/limit_calculator/index.php

219

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4 UNIDAD 3 DERIVADA

Derivadas: Introducción y Definición Enlace

Física - Video 11 - El concepto de pendiente Enlace

220

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Concepto de derivada 01 Enlace

DERIVADA POR 4 PASOS. ESCUELA PREPARATORIA 1 SCLC Enlace

221

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.1.1 MAPA CONCEPTUAL

222

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.1.2 OBJETIVO GENERAL Analizar los conceptos básicos de la derivada, así como las diversas reglas para su cálculo y algunas aplicaciones de la misma.

4.1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Explorar conceptos y procedimientos asociados con el tema de las derivadas. Describir procedimientos asociados con las técnicas para el cálculo de derivadas. Comparar mediante la ejemplificación resultados de cálculos de derivadas optimizando así los distintos procedimientos empleados.

4.2 TEMA 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES ASOCIADOS CON LA DERIVADA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO Y RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO Dados dos puntos de coordenadas

(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ) 𝒚 (𝒙, 𝒚 )

Se define el cambio en 𝒚 como:

𝚫𝒚 = 𝒚𝟎 − 𝒚 Se define el cambio en 𝒙 como:

𝚫𝒙 = 𝒙𝟎 − 𝒙 Nota: se acostumbra cambiar 𝚫𝒙 por

𝒉

Entonces el cambio en 𝒙 se define como:

𝐡 = 𝒙𝟎 − 𝒙 Se define la razón de cambio promedio como:

𝚫𝒚 𝚫𝒙

𝝈

𝚫𝒚 𝐡

223

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Adicionalmente se define la razón de cambio instantánea como: 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎

𝚫𝒚 𝐡

Como: 𝚫𝒚 = 𝒚𝟎 − 𝒚 Reemplazando se tiene que:

𝒚𝟎 − 𝒚 𝒉→𝟎 𝐡

𝐥𝐢𝐦 Pero

𝒚𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎 ) 𝒚

𝒚 = 𝒇(𝒙)

La expresión queda:

𝒇(𝒙𝟎) − 𝒇(𝒙) 𝒉→𝟎 𝐡

𝐥𝐢𝐦 Pero:

𝐡 = 𝒙𝟎 − 𝒙 Despejando

𝒙𝟎 , queda: 𝒙𝟎 = 𝒙 + 𝒉

Reemplazando se tiene que la razón de cambio instantánea es:

𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉→𝟎 𝐡

𝐥𝐢𝐦

DEFINICIÓN DE DERIVADA: La derivada de una función 𝒇(𝒙) es otra función que se obtiene o se deriva de la función anterior. Para indicar que se está derivando una función 𝒇(𝒙) se utiliza cualquiera de las siguientes notaciones: Si se tiene la función: ORDEN DERIVADA

𝒚 = 𝒇 (𝒙 ) FORMAS DE REPRESENTACIÓN

224

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚′ = 𝒇′ (𝒙)

La primera derivada La derivada

𝒚′′ = 𝒇′′ (𝒙)

segunda

La tercera derivada

𝒚′′′ = 𝒇′′′ (𝒙)

La cuarta derivada

𝒚𝟒 = 𝒇𝟒 (𝒙)

La derivada orden n

𝒚𝒏 = 𝒇𝒏 (𝒙)

de

𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝒙𝟑 𝒅𝟒 𝒚 𝒅𝒙𝟒

𝒅[𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟐 ( ) 𝒅 [𝒇 𝒙 ] 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝟑 [𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙𝟑 𝒅𝟒 [𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙𝟒

𝒅𝒏 𝒚 𝒅𝒙𝒏

𝒅𝒏 [𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙𝒏

𝑫𝒙 [𝒇(𝒙)] Derivadas de orden superior

La derivada es la razón de cambio instantáneo, es decir:

𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉→𝟎 𝐡

𝐥𝐢𝐦

Desde esta expresión, se puede explicar el concepto de derivada como un cambio en la función 𝒇(𝒙) cuando se produce un pequeño cambio en la variable independiente (en este caso la variable independiente es 𝒙), por lo tanto: Se entiende la derivada de una función como un cambio en dicha función. DIFERENCIACIÓN: es el proceso mediante el cual obtenemos la derivada de una función.

4.2.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1.

Para 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 determine la primera derivada de esta función la variable 𝒙.

Se pide determinar: 𝒇 Procedimiento

′

(𝒙)

con respecto a

225

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟐

′

𝒇 (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎

𝟐

𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝟑(𝒙 + 𝒉) + 𝟓 − (𝟑𝒙 + 𝟓) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝐡 𝐡

Se resuelven las potencias indicadas:

𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎

𝟑(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐 ) + 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 + 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝐡 𝒉

Reduciendo términos semejantes queda:

𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉 Evaluando el límite en este punto, se tendría:

𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 𝟔𝒙(𝟎) + 𝟑(𝟎)𝟐 𝟎 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = , 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒉→𝟎 𝒉→𝟎 𝒉 𝟎 𝟎 Se utiliza la factorización para eliminar dicho indeterminado: Se tiene un factor común:

𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎

𝟑𝒉(𝟐𝒙 + 𝒉) 𝒉

Eliminando 𝒉 en el numerador y en el denominador, se elimina la indeterminación:

𝐥𝐢𝐦 𝟑 ∗ (𝟐𝒙 + 𝒉) = 𝐥𝐢𝐦 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 𝒉→𝟎

𝒉→𝟎

Evaluando el límite:

𝐥𝐢𝐦 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 = 𝟔𝒙 + 𝟑(𝟎) = 𝟔𝒙 𝒉→𝟎

Por lo tanto:

𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙 Para

𝒇(𝒙) =

𝟑𝒙 𝒙+𝟐

halle

𝒇′ (𝒙)

226

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento

𝟑(𝒙 + 𝒉) 𝟑𝒙 −𝒙+𝟐 (𝒙 + 𝒉) + 𝟐 𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 , 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐: 𝒉→𝟎 𝒉 m.c.m: [(𝒙 + 𝒉) + 𝟐] ∗ ( 𝒙 + 𝟐), entonces:

𝟑(𝒙 + 𝒉)(𝒙 + 𝟐) − 𝟑𝒙[(𝒙 + 𝒉) + 𝟐] 𝟑(𝒙 + 𝒉) 𝟑𝒙 −𝒙+𝟐 [(𝒙 + 𝒉) + 𝟐] ∗ (𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝒉) + 𝟐 𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉→𝟎 𝒉 𝒉 𝟑(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒉𝒙 + 𝟐𝒉) − 𝟑𝒙[𝒙 + 𝒉 + 𝟐] [(𝒙 + 𝒉) + 𝟐] ∗ (𝒙 + 𝟐) 𝐥𝐢𝐦 = 𝒉→𝟎 𝒉 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉𝒙 + 𝟔𝒉 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒉 − 𝟔𝒙 [(𝒙 + 𝒉) + 𝟐] ∗ (𝒙 + 𝟐) 𝐥𝐢𝐦 = 𝒉→𝟎 𝒉 Reduciendo términos semejantes:

𝟔𝒉 𝟔𝒉 (𝒙 + 𝒉 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐) 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉→𝟎 𝒉(𝒙 + 𝒉 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐) 𝒉 Simplificando h y evaluando el límite:

𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎

𝟔𝒉 𝟔 𝟔 = 𝐥𝐢𝐦 = = 𝒉→𝟎 (𝒙 + 𝒉 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝟎 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐) 𝒉(𝒙 + 𝒉 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐)

𝟔 𝟔 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙 + 𝟐) ∗ (𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝟐)𝟐 Los ejercicios de entrenamiento los encuentras en: 2. 3. 4. 5.

http://www.youtube.com/watch?v=A66wZnq5PE0 http://www.youtube.com/watch?v=ZmOTH6emM2E http://www.youtube.com/watch?v=5FqTmF5rJQ4 http://www.youtube.com/watch?v=wQ8PoGXLyJ4

227

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.2.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Obtenga la primera derivada de cada una de las siguientes funciones utilizando la fórmula:

f ' x  

1. 2. 3.

lim h0

f x  h   f x  h

f x   6 x 2  7 x  3 3x  1 4x  7 9x f x   2x 2  3 f x  

4.

f x   8 x  3

5.

f x   x 2  4 x  3

4.3 TEMA 2: LEYES PARA DERIVAR Este tema también recibe el nombre de Leyes de Diferenciación. Derivada de una constante: La derivada de una constante es igual a cero:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒄, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒄 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → 𝒇′ (𝐱) = 𝟎 4.3.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟓 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝟎 2. 𝒚 = 𝒈(𝒙) = −𝟑𝟓𝟎 𝒚′ = 𝒈′ (𝒙) = 𝟎

228

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Derivada de una potencia de

𝒙

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 → 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 4.3.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Si

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 , hallar 𝒇′ (𝒙)

Procedimiento Aplicando la propiedad, se tiene:

𝒇′ (𝒙) = 𝟓𝒙𝟓−𝟏 = 𝟓𝒙𝟒 𝟕

2.

Si

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟑 , hallar 𝒉′ (𝒙)

Procedimiento Aplicando la propiedad, se tiene:

𝟕 𝟕 −𝟏 𝟕 𝟕−𝟑 𝟕 𝟒 𝟕 𝟑 𝟒 𝒉 𝒙) = 𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟑 = √ 𝒙 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ′(

Derivada de una constante por una función potencia:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒙𝒏 → 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝒄 ∗ 𝒏𝒙𝒏−𝟏 Nota 1: para aplicar esta ley la variable debe estar en el numerador. Nota 2: si hay radicales, para aplicar esta ley se deben llevar a potencia con exponente fraccionario, aplicar la ley y luego volver a convertir a radical. EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Si

𝒚 = 𝒉(𝒙) = 𝟓𝒙−𝟑 , hallar 𝒉′ (𝒙)

Procedimiento Aplicando la propiedad, se tiene:

229

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒉′ (𝒙) = 𝟓 ∗ (−𝟑) 𝒙−𝟑−𝟏 = −𝟏𝟓𝒙−𝟒 = − 2. Si

𝟏𝟓 𝒙𝟒

𝟓

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 , hallar 𝒇′ (𝒙)

Procedimiento Para aplicar la propiedad el radical se expresa en forma de potencia:

𝟐

𝟓

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 = 𝒙 𝟓 Aplicando la propiedad, se tiene:

𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐−𝟓 𝟐 −𝟑 𝐟 𝐱) = 𝐱 𝟓 = 𝐱 𝟓 = 𝐱 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 ′(

Expresando con exponente positivo y en forma de raíz:

𝟐 𝟑

𝟓𝒙 𝟓 3.

𝑺𝒊 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟕 𝒙

, hallar 𝒇

′

=

𝟐 𝟓

𝟓 √𝒙𝟑

(𝒙)

Procedimiento Para aplicar la propiedad se expresa 𝒙 en forma de potencia negativa (se pasa al numerador de la fracción):

𝟕

𝒚 = 𝒇(𝒙) = = 𝟕𝒙−𝟏 𝒙

Aplicando la propiedad, se tiene:

𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝟕 ∗ (−𝟏)𝒙−𝟏−𝟏 = −𝟕𝒙−𝟐 Expresando con exponente positivo:

−𝟕𝒙−𝟐 = −

𝟕 𝒙𝟐

230

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

http://www.youtube.com/watch?v=4E0_L08y_r0&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=A-xrIDIHVlI&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=HM1XCOXaQuA&feature=related Enlaces para las leyes anteriores http://www.youtube.com/watch?v=4E0_L08y_r0 http://www.youtube.com/watch?v=RiqwT_xoDSw http://www.youtube.com/watch?v=dmi1gk9RwME

Derivada de una suma (diferencia): Si

𝒚 = 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) ± 𝒌(𝒙) …, entonces: 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) ± 𝒈′ (𝒙) ± 𝒌′ (𝒙) …,

Esta ley dice que la derivada de una suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas de cada función; es decir cuando hay una suma, se deriva cada función por separado y luego se juntan los resultados con el signo correspondiente.

4.3.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓

Procedimiento Se deriva cada uno de los sumandos:

𝒇′ (𝒙) = 𝟑 ∗ 𝟐𝒙𝟐−𝟏 + 𝟎 𝒇′ (𝒙) = 𝟑 ∗ 𝟐𝒙𝟐−𝟏 + 𝟎 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙 2.

𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎, hallar 𝒈′′′ (𝒙)

231

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento Para hallar la tercera derivada hay que partir siempre de la primera derivada y luego de la segunda.

𝒚

=

𝒈(𝒙)

𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎

𝑦′

=

𝑔′ (𝑥)

𝟒 ∗ 𝟑𝒙𝟑−𝟏 − 𝟓 ∗ 𝟐𝒙𝟐−𝟏 + 𝟑𝒙𝟏−𝟏 − 𝟎 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑

𝑦 ′′

=

𝑔′′ (𝑥)

𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 =

Primera derivada

Segunda derivada

𝟐 ∗ 𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟏 − 𝟏𝟎𝒙𝟏−𝟏 + 𝟎 = 𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 𝑦 ′′′

=

𝑔′′′ (𝑥)

𝟐𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟒𝒙𝟏−𝟏 − 𝟎 = 𝟐𝟒

3. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 Procedimiento Se deriva cada uno de los sumandos:

𝒇′ (𝒙) = 𝟔 ∗ 𝟒𝒙𝟒−𝟏 − 𝟗 ∗ 𝟑𝒙𝟑−𝟏 + 𝟓 ∗ 𝟐𝒙𝟐−𝟏 + 𝟑𝒙𝟏−𝟏 + 𝟎 𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 4. http://www.youtube.com/watch?v=8XDLFQ5qLz0&feature=related

Tercera derivada

232

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Aprende a Derivar 2/17 Enlace

Derivada de un producto: Si 𝒚

= 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) ∗ 𝒉(𝒙), entonces: 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝒈′ (𝒙) ∗ 𝒉(𝒙) + 𝒉′ (𝒙) ∗ 𝒈(𝒙)



Derivada de un cociente:

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙)

con

𝒉(𝒙) ≠ 𝟎, entonces:

𝒈′ (𝒙) ∗ 𝒉(𝒙) − 𝒈(𝒙) ∗ 𝒉′ (𝒙) 𝒚 𝒙 ) = 𝒇 𝒙) = [𝒉(𝒙)]𝟐 ′(

′(

4.3.4 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Si

𝒚 = 𝒇(𝒙) = (𝟓𝒙 − 𝟕) ∗ (𝟐𝒙 + 𝟗), hallar 𝒇′ (𝒙) PROCEDIMIENTO Se aplica la regla del producto:

233

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

FUNCIÓN

DERIVADA

FUNCIÓN

DERIVADA

𝒈(𝒙)

𝒈′ (𝒙)

𝒇(𝒙)

𝒇′ (𝒙)

𝟓𝒙 − 𝟕

𝟓

𝟐𝒙 + 𝟗

𝟐

Entonces:

𝒚′ (𝒙) = 𝟓 ∗ (𝟐𝒙 + 𝟗) + 𝟐 ∗ (𝟓𝒙 − 𝟕), realizando los productos indicados, se tiene: 𝒚′ (𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝟓 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟒 Reduciendo términos semejantes:

𝒚′ (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑𝟏 2. Si 𝒚

= 𝒇(𝒙) =

𝟒𝒙−𝟓 𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐

, hallar 𝒇′ (𝒙)

Procedimiento Se aplica la regla del cociente:

𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝟒𝒙 − 𝟓 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐

 𝒈(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓 → 𝒈′ (𝒙) = 4  𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 → 𝒉′ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 Entonces:

𝟒 ∗ (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐) − (𝟐𝒙 − 𝟑) ∗ (𝟒𝒙 − 𝟓) 𝒚 𝒙) = 𝒇 𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝟐 ′(

′(

Realizando los productos indicados:

𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 𝒇 𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝟐 ′(

234

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Reduciendo términos semejantes en el numerador de la fracción:

−𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟕 𝒇 𝒙) = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝟐 ′(

3. Si 𝒇(𝒙)

=

𝟓 𝟐𝒙−𝟕

hallar 𝒇

′

(𝒙)

 𝒈(𝒙) = 𝟓 → 𝒈′ (𝒙) = 𝟎  𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟕 → 𝒉′ (𝒙) = 𝟐 Entonces:

𝒇′ (𝒙) =

𝟎 ∗ (𝟐𝒙 − 𝟕) − 𝟐 ∗ (𝟓) , (𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐

Realizando los productos indicados en el numerador:

𝒇′ (𝒙) =

−𝟏𝟎 𝟏𝟎 ′( ) → 𝒇 𝒙 = − (𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐

4.3.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

Aplicando la propiedad:

𝟒𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟏 𝟑

, se puede expresar de la forma:

𝟏 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏) 𝟑

235

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒇′ (𝒙) = 2.

𝟏 𝒅 𝟏 ∗ (𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏) → 𝒇′ (𝒙) = (𝟖𝒙 − 𝟓) 𝟑 𝒅𝒙 𝟑

𝒇(𝒙) = 𝟗(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟓), derivando: 𝒇′ (𝒙) = 𝟗 ∗ (𝟐𝒙 − 𝟔), sacando el 2 como factor común: 𝒇′ (𝒙) = 𝟗 ∗ 𝟐 ∗ (𝒙 − 𝟑) = 𝟏𝟖 ∗ (𝒙 − 𝟑)

3.

𝒇(𝒙) =

𝟓𝒙𝟒 −𝟕𝒙𝟑 +𝟓 𝟖

, se puede expresar de la forma:

𝒇(𝒙) =

𝟏 ∗ (𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟑 + 𝟓) 𝟖

Aplicando la propiedad:

𝒇′ (𝒙) =

𝟏 𝒅 𝟏 𝟑 ∗ (𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟓) → 𝒇′ (𝒙) = (𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 ) 𝟖 𝒅𝒙 𝟖

Factorizando el polinomio del paréntesis (Factor común:

𝒙𝟐 (𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟏) 𝟖

𝒙𝟐 ):

236

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Aprende a Derivar 3/17 Enlace

REGLA DE LA CADENA (O REGLA DE LA POTENCIA) Si 𝒚

= 𝒇(𝒙) = 𝒖𝒏 , donde 𝑢 es una función escrita en términos de 𝒙, entonces: 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝒏𝒖𝒏−𝟏 ∗ 𝒖′

Otra forma de escribir lo mismo es:

𝒇(𝒙) = [𝒈(𝒙)]𝒏 → 𝒇′ (𝒙) = 𝒏[𝒈(𝒙)]𝒏−𝟏 ∗ 𝒈′ (𝒙) Esta ley dice que si se tiene una expresión elevada a cualquier exponente, la derivada es igual al exponente multiplicado por la misma expresión elevada al exponente menos uno y multiplicada por la derivada de lo que está dentro del paréntesis.

4.3.6 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Si 𝒚

= 𝒇(𝒙) = (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒)𝟕 , hallar 𝒇′ (𝒙)

Procedimiento Se hace

𝒖 igual a todo lo que está dentro del paréntesis: 𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒

Derivando 𝒖:

→

237

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒖′ = 𝟔𝒙 − 𝟓

En términos de 𝑢 queda: Se tiene:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = (𝒖)𝟕 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒖𝟕

Derivando en función de 𝒖:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒖𝟕 → 𝒇′(𝒙) = 𝟕𝒖𝟕−𝟏 ∗ 𝒖′ = 𝟕𝒖𝟔 ∗ 𝒖′ Recuperando la variable inicial (reemplazando):

𝒇′(𝒙) = 𝟕(𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒)𝟔 ∗ (𝟔𝒙 − 𝟓) 𝟑

2.

𝑺𝒊 𝒚 = 𝒉(𝒙) = √𝟔𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟕, hallar la primera derivada.

Procedimiento 𝟑

√𝟔𝒙𝟑

𝒚 = 𝒉(𝒙) =

𝟑

− 𝟖𝒙 + 𝟕 = (𝟔𝒙 − 𝟖𝒙 +

𝟏 𝟕)𝟑

Sea:

𝒖 = 𝟔𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟕 Derivando

𝒖:

𝒖′ = 𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟖 Reemplazando en función de u:

𝒚=

𝟏 𝒖𝟑

𝟏 𝟏−𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 ′ ′ ′ ′ 𝟑 𝟑 →𝒚 = 𝒖 ∗𝒖 →𝒚 = 𝒖 ∗𝒖 →𝒚 = ∗ 𝒖′ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝒖𝟑 ′

Reemplazando en función de

𝒙:

𝒚′ = 𝒉′ (𝒙) =

𝟏 𝟑(𝟔𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 +

𝟐 𝟕)𝟑

∗ 𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟖

Factorizando el numerador y expresando el denominador en forma de raíz:

238

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

′

′(

𝒚 = 𝒉 𝒙) =

𝒚′ = 𝒉′ (𝒙) =

𝟐∗(𝟗𝒙𝟐 −𝟒) 𝟑

𝟐 𝟑 √(𝟔𝒙𝟑 −𝟖𝒙+𝟕)

→ efectuando la diferencia de cuadrados

𝟐 ∗ (𝟑𝒙 + 𝟐) ∗ (𝟑𝒙 − 𝟐) 𝟑

𝟑 √(𝟔𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟕)𝟐

Regla de la cadena 01 Enlace

3. Si 𝒚

= (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟓 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟒 , hallar la primera derivada.

Procedimiento Sea:

𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏 → 𝒖′ = 𝟐 𝒗 = 𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏 → 𝒗′ = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏  Reemplazando en función de 𝒖

𝒚 = 𝒖𝟓 ∗ 𝒗 𝟒  Derivando como un producto:

𝒚 𝒗, se tiene:

239

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚′ = 𝟓𝒖𝟒 ∗ 𝒖′ ∗ 𝒗𝟒 + 𝟒𝒗𝟑 ∗ 𝒗′ ∗ 𝒖𝟓 

Reemplazando en función de

x:

𝒚′ = 𝟓(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 ∗ 𝟐 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟒 + 𝟒(𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟑 ∗ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 ∗ (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟓  Factorizando (factor común):

𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟑 ∗ [𝟓 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏) + 𝟐 ∗ (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏) ∗ (𝟐𝒙 + 𝟏)]  Efectuando las operaciones indicadas en el corchete: 𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟑 ∗ [𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟓 + 𝟐 ∗ (𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏)]  Eliminando el paréntesis dentro del corchete: 𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟑 ∗ [𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟓 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐]  Reduciendo términos semejantes en el corchete:

𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝟑 ∗ (𝟏𝟕𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟑) http://www.youtube.com/watch?v=iXbz7uvjc8I http://www.youtube.com/watch?v=nBiVLxtzM5w http://www.youtube.com/watch?v=RiqwT_xoDSw http://www.youtube.com/watch?v=FPUPE1D9G84 http://www.youtube.com/watch?v=777494gvxg4 http://www.youtube.com/watch?v=8upWMuvw_Sw

Derivada de funciones exponenciales

240

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Sea 𝒖

= 𝒇(𝒙), 𝒂 > 𝟎 𝒚 𝒂 ≠ 𝟏

Entonces: 𝒚

= 𝒂𝒖 → 𝒚′ = 𝒂𝒖 ∗ 𝒖′ ∗ 𝐥𝐧 𝒂

Esta ley dice que la derivada de una función exponencial es igual a la misma función exponencial multiplicada por la derivada del exponente y multiplicada por el logaritmo natural de la base. El logaritmo natural del número e es igual a uno (𝐥𝐧 𝒆

= 𝟏)

4.3.7 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Si

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝟑𝒙−𝟏𝟎 , Hallar la primera derivada

Procedimiento

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝟑𝒙−𝟏𝟎 → 𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝟓𝟑𝒙−𝟏𝟎 ∗ 𝟑 ∗ 𝐥𝐧 𝟓 2.

Si

𝟐 −𝟓𝒙−𝟒

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒆𝟕𝒙

, hallar 𝒚′

Procedimiento 𝟐 −𝟓𝒙−𝟒

𝒚 = 𝒆𝟕𝒙 Pero

𝟐 −𝟓𝒙−𝟒

∗ (𝟏𝟒𝒙 − 𝟓) ∗ 𝐥𝐧 𝒆

𝟐 −𝟓𝒙−𝟒

∗ (𝟏𝟒𝒙 − 𝟓)

→ 𝒚′ = 𝒆𝟕𝒙

𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏, entonces 𝟐 −𝟓𝒙−𝟒

𝒚 = 𝒆𝟕𝒙 3.

Si 𝒚

→ 𝒚′ = 𝒆𝟕𝒙

𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

= 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ∗ 𝒆𝟒𝒙

, hallar la primera derivada

Procedimiento  Se deriva como un producto:

𝒚′ =

𝒅 𝟐 𝒅 𝟒𝒙𝟐 −𝟓𝒙−𝟑 𝟐 (𝒙 ) ∗ 𝒆𝟒𝒙 −𝟓𝒙−𝟑 + (𝒆 ) ∗ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

𝒚′ = 𝟐𝒙 ∗ 𝒆𝟒𝒙

𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

+ 𝒆𝟒𝒙

∗

𝒅 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟑) ∗ 𝒙𝟐 𝒅𝒙

241

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

𝒚′ = 𝟐𝒙 ∗ 𝒆𝟒𝒙

𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

+ 𝒆𝟒𝒙

∗ (𝟖𝒙 + 𝟓) ∗ 𝒙𝟐

 Factorizando (factor común): 𝟐 −𝟓𝒙−𝟑

𝒚′ = 𝒙 ∗ 𝒆𝟒𝒙 4. 5.

[𝟐 + (𝟖𝒙 + 𝟓) ∗ 𝒙]

http://www.youtube.com/watch?v=SgETNp-GsXs http://www.youtube.com/watch?v=k8w8P03VqNA Derivada de la función logarítmica Si

′

′

𝒖 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒖 → 𝒚′ = 𝒇 (𝒙) = 𝒖∗𝐥𝐧 𝒃

Ejercicios de aprendizaje 1. Si

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟏𝟎), hallar 𝒇′ (𝒙)

Procedimiento

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟏𝟎) → 𝒇′ (𝒙) = 𝒚′ =

𝟑 𝟑𝒙−𝟏𝟎

2. Si

𝑫𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟏𝟎) (𝟑𝒙 − 𝟏𝟎) 𝐥𝐧 𝒆

, recuerde que 𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏

𝒚 = 𝐥𝐧(𝟓𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐),

hallar

𝒚′

Procedimiento

𝑫𝒙 (𝟓𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐) 𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝟖 ′ 𝒚 = →𝒚 = 𝟒 (𝟓𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐) ∗ 𝐥𝐧 𝒆 𝟓𝒙 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐 ′

3. http://www.youtube.com/watch?v=N5BsXgg6xxU 4. http://www.youtube.com/watch?v=ijvgbTBA8jA 5. http://www.youtube.com/watch?v=6GBLkGLkRJY

242

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Nota: en algunos casos para derivar funciones logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de los logaritmos. Dichas propiedades se enuncian a continuación:  Logaritmo de una potencia:

𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂𝒏 = 𝒏 ∗ 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 4.3.8 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Ejemplo 1: Obtenga la primera derivada de:

𝒚 = 𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟒 Procedimiento 

Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia:

𝒚 = 𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟒)𝟒 = 𝟒 𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟒) 

Se procede a derivar aplicando la derivada de un logaritmo natural:

𝒚′ = 𝟒 ∗ 2.

𝑫𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟒) 𝟑 𝟏𝟐 → 𝒚′ = 𝟒 = (𝟑𝒙 − 𝟒) ∗ 𝐥𝐧 𝒆 (𝟑𝒙 − 𝟒) 𝟑𝒙 − 𝟒

Obtenga la primera derivada de: 𝟓

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟕 √𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟗 

Se expresa la raíz en forma de potencia:

𝟏

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟕 (𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟗)𝟓 

Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia: 𝟏

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟕 (𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟗)𝟓 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 

𝟏 ∗ 𝐥𝐨𝐠 𝟕 ( 𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟗) 𝟓

Se procede a derivar aplicando la derivada de un logaritmo:

243

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟏 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 𝟑𝒙 ∗ (𝟓𝒙 + 𝟐) 𝒚 = ∗ 𝟑 = 𝟓 ∗ 𝐥𝐧 𝟕 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟗 𝟓 ∗ 𝐥𝐧 𝟕 ∗ (𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟗) ′

 Logaritmo de un producto:

𝐥𝐨𝐠 𝒃 (𝒂 ∗ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄  Logaritmo de un cociente:

𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒃 ( ) = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄 𝒄 4.3.9 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Hallar la primera derivada de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧[(𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏)𝟑 ∗ √𝟓𝒙 − 𝟑] 

Se aplica la propiedad del logaritmo de un producto: 𝟏

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧[(𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏)𝟑 ∗ √𝟓𝒙 − 𝟑] = 𝐥𝐧(𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏)𝟑 + 𝐥𝐧(𝟓𝒙 − 𝟑)𝟐 

Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia:

𝟏 𝒚 = 𝟑 𝐥𝐧(𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏) + 𝐥𝐧(𝟓𝒙 − 𝟑) 𝟐 

Derivando, se obtiene:

𝒚′ = 𝟑 ∗

2.

𝟏𝟒𝒙 + 𝟒 𝟏 𝟓 𝟑(𝟏𝟒𝒙 + 𝟒) 𝟓 + ∗ = ∗ 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟓𝒙 − 𝟑 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝟓𝒙 − 𝟑

Halle la derivada de:

𝒚 = 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 [

𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 ] 𝟓𝒙 + 𝟏

244

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente:

𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 [ 

𝒚′ =

𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 ] = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟏𝟎𝒙 + 𝟑) − 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟓𝒙 + 𝟏) 𝟓𝒙 + 𝟏

Derivando, se obtiene:

𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟓 ∗ − ∗ 𝐥𝐧 𝟐 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 𝐥𝐧 𝟐 𝟓𝒙 + 𝟏

Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas Enlace

Derivada de las funciones trigonométricas:

𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝒖 𝐭𝐚𝐧 𝒖 𝐜𝐨𝐭 𝒖 𝐬𝐞𝐜 𝒖 𝐜𝐬𝐜 𝒖

𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∗ 𝒖′ − 𝐬𝐢𝐧 𝒖 ∗ 𝒖′ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖 ∗ 𝒖′ −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒖 ∗ 𝐜𝐨𝐭 𝒖 ∗ 𝒖′ 𝐬𝐞𝐜 𝒖 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝒖 ∗ 𝒖′ −𝐜𝐬𝐜 𝒖 ∗ 𝐜𝐨𝐭 𝒖 ∗ 𝒖′

245

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

4.3.10

EJERCICIOS DE APRENDIZAJE

1. Halle la primera derivada de: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥 2 + 5𝑥 − 1) Procedimiento 

Se aplica la propiedad para derivar la función seno:

𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∗ 𝒖′

𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝒖

Sea

𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 → 𝒖′ = 𝟔𝒙 + 𝟓 

Derivando se tiene: 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬( 𝟑𝒙



𝟐

+ 𝟓𝒙 − 𝟏) ∗ 𝟔𝒙 + 𝟓

Ordenando la derivada: 𝒚′ = (𝟔𝒙 + 𝟓) ∗ 𝐜𝐨𝐬( 𝟑𝒙

2.

𝟐

+ 𝟓𝒙 − 𝟏) ∗

Hallar la primera derivada de:

𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 (

𝟑𝒙 + 𝟏 ) 𝟐𝒙 − 𝟑

Procedimiento 

Se aplica la propiedad para derivar la función seno:

𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∗ 𝒖′

𝐲 = 𝐬𝐢𝐧 𝒖 Sea

𝒖=

𝟑𝒙+𝟏 𝟐𝒙−𝟑

→ 𝒖′ =

𝟑(𝟐𝒙−𝟑)−𝟐(𝟑𝒙+𝟏) (𝟐𝒙−𝟑)𝟐

=

𝟔𝒙−𝟗−𝟔𝒙−𝟐 (𝟐𝒙−𝟑)𝟐

=−

𝟏𝟏 (𝟐𝒙−𝟑)𝟐

246

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 ( 

Ordenando la derivada:

𝒚′ = − 3.

𝟑𝒙 + 𝟏 𝟏𝟏 )∗− 𝟐𝒙 − 𝟑 (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐

𝟏𝟏 𝟑𝒙 + 𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬 ( ) (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑

Hallar la primera derivada de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟓 (𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) Procedimiento 

Se tiene la siguiente igualdad:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟓 (𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) = [𝒔𝒆𝒏(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑]𝟓 

Para derivar esta expresión se debe aplicar primero la regla de la potencia o regla de la cadena (se deriva la potencia primero, luego se deriva la función seno y por último la derivada de u):

𝒚′ = 𝟓[𝒔𝒆𝒏(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑]𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) ∗ 𝟏𝟔𝒙 𝒚′ = 𝟖𝟎𝒙[𝒔𝒆𝒏(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑]𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒚′ = 𝟖𝟎𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒 (𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟖𝒙𝟐 + 𝟑) 4.

Hallar la primera derivada de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧(𝟒𝒙 − 𝟕) Procedimiento 

Aplicando la propiedad:

𝐲 = 𝐭𝐚𝐧 𝒖

𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖 ∗ 𝒖′

247

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟒𝒙 − 𝟕) ∗ 𝟒 

Ordenando la derivada:

𝒚′ = 𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟒𝒙 − 𝟕) 5.

Hallar la primera derivada de:

𝒚 = 𝒄𝒔𝒄𝟑 (𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) Procedimiento 

Para derivar esta expresión se debe aplicar primero la regla de la potencia o regla de la cadena (se deriva la potencia primero, luego se deriva la función cosecante y por último la derivada de u):

𝒚′ = 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) ∗ [−𝒄𝒔𝒄(𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) ∗ 𝒄𝒐𝒕(𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) ∗ (𝟏𝟎𝒙 − 𝟖)] 

Realizando el producto indicado y ordenando la derivada:

𝒚′ = −𝟑 ∗ (𝟏𝟎𝒙 − 𝟖)𝒄𝒔𝒄𝟑 (𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) ∗ 𝒄𝒐𝒕(𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑) 6.

Hallar la primera derivada de:

𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙 + 𝟏) ∗ 𝒙 Procedimiento 

Como es un producto se aplica la propiedad correspondiente:

𝒚 = [−𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏) ∗ 𝟐 ∗ 𝒙] + [𝟏 ∗ 𝐜𝐨 𝐬(𝟐𝒙 + 𝟏)] 

Ordenando la derivada:

𝒚 = −𝟐𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙 + 𝟏)

248

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

7.

Obtenga la primera derivad de:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏[𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟐)] Procedimiento 

Se deriva la función seno y luego la derivada interna (la función logaritmo natural):

𝟑 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔[𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟐)] ∗ 𝟑𝒙 − 𝟐 ′



Ordenando la derivada:

𝒚′ =

𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔[𝐥𝐧(𝟑𝒙 − 𝟐)] 𝟑𝒙 − 𝟐

http://www.youtube.com/watch?v=lu1H_ljGF44 http://www.youtube.com/watch?v=_Fq9vROMCnQ http://www.youtube.com/watch?v=DchcMA739MQ http://www.youtube.com/watch?v=eAlRGsCR_nY

4.3.11

EJERCICIO DE ENTRENAMIENTO

Halle la primera derivada para cada una de las siguientes funciones. 1.

f x   9 x 3 

2.

f x  4 x  3  7  3x 2

3.

f x   5 x  3 7  2 x 

4.

f x   6 x 2  7 x  4

5. 6.

3  4 3x  1  x 5x 2



3



7x  2 5x  3 4x  2 y 3  2 x 3 y

5x  2 3x  4

7.

h x   3

8.

g x   sen 7 x  1







4



249

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

9.

 10  3  f  x   tan    x2 



10. f x   sec 5x  2

3 x 5



 11x  3  11. h x   ln 2   7x  2x  9  12. g x   32 x  e x

13. f x   senx  ln x

cos 3x  1 8  3x senx 15. f  x   cos x 14. f  x  

Direcciones de applets para derivar. http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/NewScript/derivar.jsp http://math.uprag.edu/derivadas.html

4.4 TEMA 3: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA APLICACIONES EN GEOMETRÍA: La derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto conocido. http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Derivadas/derivada.html Recta tangente es una recta que toca una curva en un punto; como lo muestra la figura. 56

FIGURA. 56. Recta tangente. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 15 de 2011)

250

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Es demostrable que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto se obtiene derivando la curva:

𝒚=

𝒇(𝒙) Lo que se afirma es lo siguiente:

La pendiente en cualquier punto se obtiene derivando la función:

𝒇(𝒙), esto es:

𝒎 = 𝒇′ (𝒙) 4.4.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:

𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟒

en el punto donde

𝒙=𝟐

Procedimiento 1. Se debe conocer la ordenada 𝒚 del punto; para ello se reemplaza la Para

𝒙 en la función dada, esto es:

𝒙 = 𝟐 → 𝒚 = 𝒇(𝟐) = 𝟑(𝟐)𝟐 − 𝟓(𝟐) − 𝟒 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 − 𝟒 = −𝟐

El punto tiene coordenadas: (𝟐, −𝟐) 2. Para hallar la pendiente se deriva la función y se reemplaza el valor de 𝒙 en la derivada:

𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟓 Determinación de la pendiente de la recta tangente en

𝒙=𝟐

𝒎 = 𝒇′ (𝟐) = 𝟔(𝟐) − 𝟓 𝒎=𝟕 3. Con el punto(𝟐, −𝟐) y la pendiente

𝒎=𝟕

se encuentra la ecuación de la recta tangente

utilizando la ecuación punto pendiente de la línea recta:

𝒚 − 𝒚𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂 ) Reemplazando estos valores, se tiene:

251

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚 − (−𝟐) = 𝟕 (𝒙 − 𝟐) → 𝒚 + 𝟐 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟒 Despejando

y:

𝒚 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟒 − 𝟐 → 𝒚 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟔 = Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva,

𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟒, en el punto donde 𝒙 = 𝟐.

Actividad: realizar las dos gráficas sobre un mismo plano cartesiano. 2. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva :

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 , en el punto donde 𝒙 = −𝟒 Procedimiento 1. Se halla la 𝒚 del punto: Para 𝒙

= −𝟒 → 𝒚 = √𝟐𝟓 − (−𝟒)𝟐 = √𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 = √𝟗 = 𝟑

Cuando:

𝒙 = −𝟒 → 𝒚 = 𝟑, corresponde al punto de coordenadas: (−𝟒, 𝟑)

2. Para hallar la pendiente

𝒎, se deriva la función y se reemplaza el valor de 𝒙 en la derivada:

 Para derivar se expresa la raíz en forma de potencia:

𝟏

𝒚 = 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟐  Derivando la potencia:

𝒚′ =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∗ (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟐−𝟏 ∗ (−𝟐𝒙) → 𝒚′ = ∗ (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )− 𝟐 ∗ (−𝟐𝒙) → 𝟐 𝟐

 Simplificando por 2 y expresando con exponente positivo: 𝟏

𝒚′ = (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )− 𝟐 ∗ (−𝒙) → 𝒚′ = −

𝒙 𝟏

(𝟐𝟓−𝒙𝟐 )𝟐

, expresando en forma de raíz:

252

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒚′ = −



𝒙 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

Reemplazando

𝒙 = −𝟒 en la derivada para hallar 𝒎:

𝒎 = 𝒇′ (−𝟒) = −

𝒎=

(−𝟒) √𝟐𝟓 − (−𝟒)𝟐

=

𝟒 √𝟗

=

𝟒 𝟑

𝟒 𝟑

3. La ecuación de la recta tangente: reemplazando el punto conocido y la pendiente:

𝟒 𝟒 𝟏𝟔 𝒚 − 𝟑 = 𝒎 (𝒙 − (−𝟒)) → 𝒚 = 𝒙 + +𝟑→ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟒

𝒚 = 𝟑𝒙 +

𝟐𝟓 𝟑

Ecuación de la recta tangente a la curva.

4. Se puede decir que la pendiente de la recta normal es

m1, la ecuación queda:

𝟒 ∗ 𝒎𝟐 = −𝟏 𝟑 Despejando 𝒎𝟐 que es la pendiente de la recta perpendicular:

𝒎𝟐 = −𝟏 ∗

𝟑 𝟑 → 𝒎𝟐 = − 𝟒 𝟒

 Para hallar la ecuación de la recta normal (o perpendicular) se tiene la siguiente información:

253

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝟑

𝒎 = − , 𝒙 = −𝟒, 𝒚 =3 𝟒

 Reemplazando estos valores en la ecuación punto pendiente de la línea recta:

𝒚−𝟑=−

𝟑 𝟑 (𝒙 − (−𝟒)) → 𝒚 − 𝟑 = − 𝒙 − 𝟑 + 𝟑 → 𝟒 𝟒 𝟑

𝒚 = − 𝒙 , ecuación de la recta normal o perpendicular a la curva. 𝟒

Entonces: o o

La ecuación de la recta tangente es: La ecuación de la recta normal es:

𝟒

𝒚 = 𝟑𝒙 +

𝟐𝟓 𝟑

𝟑

𝒚=− 𝒙

𝟒 3. Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva:

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔, en el punto donde 𝒙 = 𝟑. Procedimiento a. Primero se halla la Para

𝒚 del punto:

𝒙 = 𝟑 → 𝒚 = (𝟑)𝟐 − 𝟐(𝟑) − 𝟔 → 𝒚 = 𝟗 − 𝟔 − 𝟔 = −𝟑

Cuando



𝒙 = 𝟑, 𝒚 = −𝟑 se obtiene el punto de coordenadas:(𝟑, −𝟑) Se deriva para hallar la pendiente:

𝒇′ (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 → 𝒎 = 𝒇′ (𝟑) = 𝟐(𝟑) − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒 𝒎=𝟒 b. Se halla la ecuación de la recta tangente:

𝒚 − (−𝟑) = 𝟒 (𝒙 − 𝟑) → 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 − 𝟑 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓

254

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

c. Para hallar la ecuación de la recta normal, primero se halla la pendiente de dicha recta. Cuando dos rectas son normales o perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a –1: 

Despejando, se tiene:

𝒎𝟐 = − 

m1 * m2 = -1

𝟏 𝒎𝟏

Reemplazando:

𝒎𝟐 = −

𝟏 𝟏 → 𝒎𝟐 = − 𝒎𝟏 𝟒

𝟏

(𝒎𝟐 = − ) y el punto (3,- 3),



Con esta pendiente



𝒚 − (−𝟑) = − 𝟒 (𝒙 − 𝟑) → 𝒚 = − 𝟒 𝒙 + 𝟒 − 𝟑 →

se encuentra la ecuación de la recta normal:

𝟒

𝟏

𝟏

𝟑

𝟏 𝟗 𝒚=− 𝒙− 𝟒 𝟒 o

La ecuación de la recta tangente es:

o

La ecuación de la recta normal es:

𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓 𝟏

𝟗

𝒚 = −𝟒𝒙 − 𝟒

http://www.youtube.com/watch?v=sefneheJGY4 http://www.youtube.com/watch?v=81CGqmle-jE http://www.youtube.com/watch?v=H3Ydr96kbUA

APLICACIONES EN ECONOMÍA (RAZÓN DE CAMBIO) En esta sección analizaremos la derivada como el modelo matemático para el ingreso marginal y la derivada como el modelo matemático para el costo marginal. 

Costo marginal: se define en economía como el incremento que se presenta en el costo cuando se fabrica una unidad adicional del producto, es decir, el valor que cuesta producir una unidad adicional a las unidades que se tenía planeado producir.

𝒄(𝒒)

Si es la función para el costo total o simplemente la función de costo cuando se producen de cierto artículo; la función para el costo marginal se obtiene derivando la función de costo.

𝒒 unidades

255

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝒄′ (𝒒) Analizando un poco más este concepto, desde la derivada, se puede decir que el costo marginal es el costo que resulta de cambiar en una unidad el número de unidades a producir. ̅ (𝒒). En este caso la función Muchas veces se conoce como la función para el costo promedio denotado por 𝒄 de costo se obtiene como:

𝒄(𝒒) = 𝒒 ∗ ̅(𝒒). 𝒄 

Ingreso marginal: si se tiene que 𝒓(𝒒) es la función para el ingreso, en este caso cuando se venden

𝒒 unidades de cierto artículo;

la función para el ingreso marginal se obtiene derivando la función de

ingreso.

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝒓′ (𝒒) El ingreso marginal, en economía, se define como el ingreso que se obtiene cuando se vende una unidad adicional.

4.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. La función para el costo promedio en la producción de

𝒄̅(𝒒) = 𝟓𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎𝟎 +

𝟏𝟓 𝒒

𝒒 unidades de un artículo está dada por:

en pesos ($). Determinar la función para el costo marginal.

Procedimiento 1. Para hallar la función de costo marginal primero se debe hallar la función de costo. La función de costo promedio y la función de costo están relacionadas por la siguiente fórmula:

𝒄̅(𝒒) = 

𝒄(𝒒) 𝒒

Despejando 𝒄(𝒒), queda:

𝒄(𝒒) = 𝒄̅(𝒒) ∗ 𝒒, reemplazando por sus valores, se tiene:

256

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒄(𝒒) = 𝒄̅(𝒒) ∗ 𝒒 = ( 𝟓𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎𝟎 +



𝟏𝟓 𝟏𝟓 ) ∗ 𝒒 = 𝟓𝟓𝟎𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝟎𝒒 + ∗𝒒 𝒒 𝒒

Simplificando:

𝒄(𝒒) = (𝟓𝟓𝟎𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟓) Función costo 

Se halla la función de costo marginal derivando la función de costo:

𝒄(𝒒) = (𝟓𝟓𝟎𝒒𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟓) →

𝒄′ (𝒒) = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎𝟎

Función de costo marginal

2. La función para la demanda o precio

𝒑(𝒒) en la venta de 𝒒 unidades de cierto artículo está dado

por:

𝒑(𝒒) = 𝟓𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟑𝒒 ( 𝒆𝒏 𝒎𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔) Determinar el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades del producto. Procedimiento Para hallar el ingreso marginal se debe partir del ingreso que no se conoce. 

El ingreso y el precio se relacionan por la siguiente ecuación:

𝒓(𝒒) = 𝒑(𝒒) ∗ 𝒒 

Determinación de la función de ingreso:

𝒓(𝒒) = ( 𝟓𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟑𝒒) ∗ 𝒒 = 𝟓𝟐𝟐𝟎𝒒 − 𝟎. 𝟑𝒒𝟐 , en miles de pesos. 

Determinación de la función de ingreso marginal:

𝒓(𝒒) = 𝟓𝟐𝟐𝟎𝒒 − 𝟎. 𝟑𝒒𝟐 → 𝒓′ (𝒒) = 𝟓𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟔𝒒 

Determinación del ingreso marginal para la venta de 100 unidades

𝒓′ (𝟏𝟎𝟎) = 𝟓𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟔(𝟏𝟎𝟎) = 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝟎 = 𝟓𝟏𝟒𝟎 Nota: como es en miles de pesos: $5.140.000

257

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Conclusión: cuando se vende una unidad adicional a las 100 se obtiene un ingreso de $5’140.000. 3. El modelo de costo en cierta fábrica está dado por:

𝒄(𝒒) = 𝟗𝟐𝟎𝒒𝟐 + 𝟐𝒒 + 𝟕𝟎𝟎 (En pesos). Determinar el costo marginal en la producción de 20 unidades del producto. Procedimiento El problema pide hallar

𝒄′ (𝟐𝟎)

𝒄(𝒒) = 𝟗𝟐𝟎𝒒𝟐 + 𝟐𝒒 + 𝟕𝟎𝟎 → 𝒄′ (𝒒) = 𝟏. 𝟖𝟒𝟎𝒒 + 𝟐 ′ Entonces: 𝒄 (𝟐𝟎)

= 𝟏. 𝟖𝟒𝟎(𝟐𝟎) + 𝟐 = 𝟑𝟔. 𝟖𝟎𝟐

Conclusión: producir la unidad adicional número veintiuno le cuesta a la fábrica

$ 𝟑𝟔. 𝟖𝟎𝟐.

http://www.youtube.com/watch?v=oyRNxD7axUQ http://www.youtube.com/watch?v=8nFOVbNqAE4 http://www.youtube.com/watch?v=0sJ5IYlCTe4

APLICACIÓN EN FÍSICA (RAZÓN DE CAMBIO)

Física - Video 07 - Velocidad como derivada de la distancia Enlace

258

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Para que un objeto cambie de posición debe estar en movimiento, implica esto tener una velocidad determinada. Por esto se define la velocidad como un cambio en la posición del objeto en un tiempo determinado. En cálculo siempre que se hable de cambio, se está refiriendo o hablando de derivada. El cambio en la posición (que es lo que se llama velocidad) se obtiene derivando la función de posición. Si se conoce la función de posición s(t ) de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado; la velocidad se obtiene derivando esta función de posición.

𝒗(𝒕) = 𝒔′ (𝒕) Función velocidad Así mismo, cuando se cambia la velocidad se está produciendo una aceleración.

𝒂(𝒕) = 𝒗′ (𝒕) = 𝒔′′ (𝒕) Función aceleración Donde 𝒕 es el tiempo (segundos, horas, minutos). El tiempo se dará en segundos, a no ser que haya otra indicación al respecto.

𝒔(𝒕) Tiene unidades de distancia (metros,

kilómetros, centímetros)

𝒗(𝒕) Tiene unidades de distancia dividido unidades de tiempo (segundos, minutos, horas). 𝒂(𝒕) Tiene unidades de distancia dividido unidades de tiempo al cuadrado. 4.4.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. La función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado está dada por:

𝒔(𝒕) = 𝟔𝒕𝟑 + 𝟑𝒕𝟐 + 𝟓, En metros. a. Determine la función de velocidad. Procedimiento Como:

𝒗(𝒕) = 𝒔′ (𝒕) Función velocidad, entonces: 𝒗(𝒕) = 𝒔′ (𝒕) = 𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 𝒆𝒏

b. Determine la función de aceleración.

𝒎 𝒔𝒆𝒈

259

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento Como: 𝒂(𝒕)

= 𝒗′ (𝒕) = 𝒔′′ (𝒕) función aceleración, entonces: 𝒂(𝒕) = 𝒗′ (𝒕) = 𝟑𝟔𝒕 + 𝟔 𝒆𝒏

𝒎 𝒔𝒆𝒈𝟐

c. Determine posición de reposo. Procedimiento Esta posición de reposo se obtiene con

𝒔(𝟎):

𝒔(𝟎) = 𝟔(𝟎)𝟑 + 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟓 = 𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 d. Determine velocidad inicial. Procedimiento Esta se obtiene hallando Reemplazando en la función

𝒗(𝟎): 𝒗(𝒕)

𝒗(𝒕) = 𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 𝒆𝒏

𝒎 𝒎 → 𝒗(𝟎) = 𝟏𝟖(𝟎)𝟐 + 𝟔(𝟎) = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 𝒔𝒆𝒈

2. Un objeto se mueve de acuerdo a la función:

𝒚 = 𝒔(𝒕) = 𝟏𝟔𝒕𝟑 − 𝟐𝒕 + 𝟏 en metros Calcule: Posición, velocidad y aceleración después de 1 segundo. Procedimiento Se reemplaza

𝒕 = 𝟏 en cada una de las funciones:

𝒔(𝒕) = 𝟏𝟔𝒕𝟑 − 𝟐𝒕 + 𝟏 → 𝒔(𝟏) = 𝟏𝟔(𝟏)𝟑 − 𝟐(𝟏) + 𝟏 = 𝟏𝟓 𝒎 𝒗(𝒕) = 𝒔′ (𝒕) = 𝟒𝟖𝒕𝟐 − 𝟐 → 𝒗(𝟏) = 𝟒𝟖(𝟏)𝟐 − 𝟐 = 𝟒𝟔

𝒎 𝒔𝒆𝒈

260

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒂(𝒕) = 𝒗′ (𝒕) = 𝟗𝟔𝒕 → 𝒂(𝟏) = 𝟗𝟔(𝟏) = 𝟗𝟔 3. Un camión recorre una distancia en kilómetros en

𝒎 𝒔𝒆𝒈𝟐

𝒕 horas dada por la función:

𝒘(𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟓𝒕 + 𝟐𝟎 Calcule: Posición, velocidad y aceleración después de

3 horas.

Procedimiento

𝒕=𝟑 𝒘(𝟑) = 𝟑(𝟑)𝟐 + 𝟓(𝟑) + 𝟐𝟎 = 𝟐𝟕 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟎 = 𝟔𝟐 𝒌𝒎



Posición para



Velocidad para 𝒕

=𝟑 𝒗(𝒕) = 𝒖′ (𝒕) = 𝟔𝒕 + 𝟓

𝒌𝒎 𝒉

𝒗(𝟑) = 𝟔(𝟑) + 𝟓 = 𝟏𝟖 + 𝟓 = 𝟐𝟑 

Aceleración para 𝒕

𝒌𝒎 𝒉

=𝟑 𝒂(𝒕) = 𝒗′ (𝒕) = 𝟔

𝒌𝒎 𝒉𝟐

4. Un objeto se mueve de acuerdo a la función:

𝒚 = 𝒔(𝒕) = −𝟐𝒕𝟑 − 𝟑𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝒕 + 𝟏𝟐𝟎 𝒎. a. Determine en que tiempo la velocidad es igual a cero. Procedimiento 

Se determina la función velocidad:

𝒗(𝒕) = 𝒔′ (𝒕) = −𝟔𝒕𝟐 − 𝟔𝒕 + 𝟑𝟔 

Se hace

𝒗(𝒕) = 𝟎 → −𝟔𝒕𝟐 − 𝟔𝒕 + 𝟑𝟔 = 𝟎

261

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



Se divide la ecuación por

−𝟔:

−𝟔𝒕𝟐 𝟔𝒕 𝟑𝟔 𝟎 − + = → 𝒕𝟐 − 𝒕 − 𝟔 = 𝟎 −𝟔 −𝟔 −𝟔 −𝟔 

Se factoriza y se iguala cada factor a cero:

𝒕𝟐 + 𝒕 − 𝟔 = 𝟎 → (𝒕 + 𝟑) ∗ (𝒕 − 𝟐) = 𝟎 𝒕 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒕 = −𝟑 (se descarta, no hay tiempos negativos). 𝒕−𝟐=𝟎→𝒕=𝟐 La velocidad se hace cero en

t = 2 segundos

( ) b. ¿Qué distancia ha recorrido el objeto desde que se empezó a mover hasta que se detiene? . Procedimiento Para calcular esta distancia se debe conocer 𝒔(𝟐) 𝒚 𝒔(𝟎), estableciendo la diferencia entre los dos (en física se conoce como posición final menos la posición inicial), entonces: 

Se calcula:

𝒔(𝟐) − 𝒔(𝟎):

Para 𝒕 = 𝟐 → 𝒚 = 𝒔(𝒕) = −𝟐(𝟐)𝟑 − 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟑𝟔(𝟐) + 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟔𝟒 𝒎 Para 𝒕 = 𝟎 → 𝒚 = 𝒔(𝟎) = −𝟐(𝟎)𝟑 − 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟑𝟔(𝟎) + 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 𝒎 Por lo tanto, la distancia recorrida es : 𝒔(𝟐) − 𝒔(𝟎) = 𝟏𝟔𝟒𝒎 − 𝟏𝟐𝟎𝒎 = 𝟒𝟒𝒎 c. ¿Cuál es la posición del objeto en el momento en que se detiene? Procedimiento Del numeral a se sabe que el objeto se detiene en t

𝒔(𝟐) = 𝟏𝟔𝟒 𝒎

= 2 s.

262

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Física - Video 08 - Aceleración derivada de la velocidad Enlace

Máximos y mínimos relativos o o

http://www.youtube.com/watch?v=0HEgk9mqp40&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=B1mJbvTwhm4

Nota: para la explicación de este tema tenga en cuenta la gráfica de la figura 57.

Figura 57. Puntos críticos de una función (Autor. Elkin Ceballos Gómez)

La figura 57 muestra la gráfica de una función

𝒚 = 𝒇(𝒙) cualquiera.

263

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Los puntos 𝑴𝟏 𝒚 𝑴𝟐 son los máximos relativos de la función únicos valores máximos de la función. El punto

𝒎𝟏

Los puntos

𝒚 = 𝒇(𝒙). Posiblemente no sean los

es el mínimo relativo de la función. No necesariamente es el único.

𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝒎𝟏 , 𝒑𝟏 , 𝒑𝟐 …

Se llaman los puntos críticos de la función 𝒚

= 𝒇(𝒙).

𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝒎𝟏 la recta tangente es horizontal; en algunos puntos críticos la pendiente tiene como valor cero (𝒎 = 𝟎). Se puede ver que en los puntos críticos

NOTA: los puntos

lo que es lo mismo

𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝒎𝟏 … También reciben el nombre de extremos locales.

Punto crítico: Es un punto donde sucede algo en una función, como por ejemplo: o o

La derivada no existe, o La derivada es igual a cero.

Hay puntos donde también existe un corte en la gráfica de la función, hay un cambio de concavidad. Donde hay cambio de concavidad son los puntos Inflex1 e Inflex2 o puntos de inflexión, puede haber más. Interesan los puntos críticos donde la derivada vale cero, ya que en estos puntos se determina si hay puntos máximos o mínimos. También interesan los puntos donde hay cambio de concavidad, es decir los puntos de inflexión. Además se puede ver de la gráfica de la figura 57 que en un máximo la función abre hacia abajo, es decir, es cóncava hacia abajo. Nota: la concavidad tiene que ver con el signo de la segunda derivada, es decir la segunda derivada evaluada en un máximo es negativa. Los puntos críticos

𝑴𝟏 , 𝑴𝟐 , 𝒎𝟏 ,

son los puntos que interesa determinar.

Así mismo en un mínimo la función abre hacia arriba, la función en un mínimo es cóncavo hacia arriba. La segunda derivada evaluada en un mínimo tiene como resultado signo positivo. En la figura 57, también se puede observar que:

A la izquierda de un máximo la función es creciente.

A la derecha del máximo la función es decreciente.

264

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

A la izquierda de un mínimo la función es decreciente A la derecha de un mínimo la función es creciente.

También que: Entre un máximo y un mínimo la función es decreciente, y Entre un mínimo y un máximo la función es creciente. 

Procedimiento para determinar los máximos y mínimos de una función.

1. Se determina la primera derivada de la función 2. Se Iguala la derivada a cero (

𝒚 = 𝒇(𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ (𝒙) = 𝟎) y resuelva la ecuación resultante.

Los valores

obtenidos son los puntos críticos de la función. Nota: si la ecuación resultante no tiene solución o se llega a una afirmación falsa quiere decir que no tiene puntos críticos. 3. Se obtiene la segunda derivada de la función

𝒚 = 𝒇(𝒙) o sea 𝒚′′ = 𝒇′′ (𝒙).

4. Se reemplaza cada punto crítico en la segunda derivada. Se pueden presentar cuatro opciones: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

𝒂. 𝒇′′ (𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 ) < 𝟎 → 𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒔 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 La segunda derivada evaluada en el punto crítico sea negativa; en este caso el punto crítico corresponde a un máximo relativo. _ _______________________________________ _________

𝒃. 𝒇′′ (𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 ) > 𝟎 → 𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒔 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 La segunda derivada evaluada en un punto crítico sea positiva; en este caso el punto crítico corresponde a un mínimo relativo. __________________________________________________

𝒄. 𝒇′′ (𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 ) = 𝟎 La segunda derivada evaluada en el punto crítico sea igual a cero; en este caso no se puede afirmar nada. __________________________________________________

265

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒅. 𝒇′′ (𝒙𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 )𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒂 La segunda derivada evaluada en el punto crítico no exista; El punto crítico no corresponde ni a un máximo ni a un mínimo; en este caso es posible que el punto crítico corresponda a una asíntota vertical. _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

5. Si se desea obtener máximos y mínimos absolutos, se debe indicar un intervalo; para determinar cuál es el máximo absoluto y el mínimo absoluto en dicho intervalo, se debe evaluar en la función los puntos críticos y los extremos del intervalo. El mayor valor será el máximo absoluto, el menor valor será el mínimo absoluto.

4.4.4 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.

Para la función: 𝒚

= 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟕𝟐𝒙 − 𝟏𝟓

a. Hallar los máximos y mínimos relativos. b. Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el intervalo

[−𝟑, 𝟓]

Procedimiento a. Se determina la primera derivada:

𝒉′ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟕𝟐 

Se iguala la primera derivada a cero: ′( )

𝒉 𝒙 =𝟎

𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟕𝟐 = 𝟎, dividiendo toda la ecuación por 6, se tiene: 𝟔𝒙𝟐 𝟒𝟖𝒙 𝟕𝟐 𝟎 − + = → 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 

Se factoriza y se iguala cada factor a cero:

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 → (𝒙 − 𝟔) ∗ (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝒙−𝟔=𝟎→𝒙=𝟔 𝒙−𝟐=𝟎→𝒙=𝟐

266

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

b. Se determina la segunda derivada y se reemplazan los puntos críticos en la misma:

𝒉′′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒𝟖 𝒉′′ (𝟔) = 𝟏𝟐(𝟔) − 𝟒𝟖 = 𝟕𝟐 − 𝟒𝟖 = +𝟐𝟒 𝑬𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. 𝒉′′ (𝟐) = 𝟏𝟐(𝟐) − 𝟒𝟖 = 𝟐𝟒 − 𝟒𝟖 = −𝟐𝟒 𝑬𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. c. Para determinar el máximo y el mínimo absoluto en el intervalo [−𝟑, 𝟓] Se debe determinar el valor de la función en los puntos extremos del intervalo y en los puntos críticos que están dentro del intervalo, es decir, en:

   

𝒙 = −𝟑 𝒙=𝟓 𝒙=𝟐 𝒙 = 𝟔 (no se evalúa porque no pertenece al intervalo [−𝟑, 𝟓]).

Reemplazando en ℎ(𝑥), se tiene:

𝒉(−𝟑) = 𝟐(−𝟑)𝟑 − 𝟐𝟒(−𝟐)𝟐 + 𝟕𝟐(−𝟐) − 𝟏𝟓 = −𝟓𝟎𝟏 𝒉(𝟓) = 𝟐(𝟓)𝟑 − 𝟐𝟒(𝟓)𝟐 + 𝟕𝟐(𝟓) − 𝟏𝟓 = −𝟓 𝒉(𝟐) = 𝟐(𝟐)𝟑 − 𝟐𝟒(𝟐)𝟐 + 𝟕𝟐(𝟐) − 𝟏𝟓 = 𝟒𝟗 Después de reemplazar se concluye que:

 

El El

mayor valor de todos es 49 que corresponde a 𝒙 = 𝟐 menor valor de todos es – 501 que corresponde a 𝒙 = −𝟑

Por lo tanto:

Máximo absoluto en el intervalo [−𝟑, 𝟓]) es en 𝒙 = 𝟐 El mínimo

absoluto en el intervalo [−𝟑, 𝟓] es en 𝒙 = −𝟑

2. Para la función: relativos.

𝒚 = 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟕𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 hallar los máximos y mínimos

267

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Procedimiento a. Se halla la primera derivada:

𝒈′ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 b. Se iguala la primera derivada a cero 𝟑

𝟒𝒙 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝟎

c. Se factoriza y se iguala cada factor a cero:

𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 = 𝟎 → 𝟒𝒙 ∗ ( 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔) = 𝟎 𝟒𝒙 = 𝟎 → 𝒙 =

𝟎 →𝒙=𝟎 𝟒

𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟔) ∗ (𝒙 − 𝟔) = 𝟎 → 𝒙 = −𝟔 𝒚 𝒙 = 𝟔 d. Se reemplazan estos valores en la segunda derivada:

𝒈′ (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝟒𝒙 → 𝒈′′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 Reemplazando los valores, se tiene:

𝒈′′ (𝟎) = 𝟏𝟐𝒙(𝒐)𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = −𝟏𝟒𝟒 → 𝒙 = 𝟎 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒈′′ (𝟔) = 𝟏𝟐(𝟔)𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟒𝟑𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = +𝟐𝟖𝟖 → 𝒙 = 𝟔 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒈′′ (−𝟔) = 𝟏𝟐(−𝟔)𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟒𝟑𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = +𝟐𝟖𝟖 → 𝒙 = −𝟔 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐 Intervalos de crecimiento y de decrecimiento e intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo.

4.4.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Para la función:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = −

𝒙𝟑 𝟑

+

𝒙𝟐 𝟐

+ 𝟔𝒙 + 𝟖

Determine intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos donde la función es cóncava hacia arriba e intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Procedimiento a. Se deben encontrar primero los máximos y los mínimos de la función:

268

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

′(

𝒇 𝒙) = −

𝟑𝒙𝟐 𝟑

+

𝟐𝒙 𝟐

+ 𝟔 , simplificando:

𝒇′ (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔  

′ 𝟐 Se hace 𝒇 (𝒙) = 𝟎 → −𝒙 + 𝒙 + 𝟔 = 𝟎 Se factoriza, se iguala cada factor a cero y se obtienen los puntos críticos:

−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 = 𝟎

al multiplicar por

– 𝟏, se tiene:

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 → (𝒙 − 𝟑) ∗ (𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝒙−𝟑=𝟎→𝒙=𝟑 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐 Los puntos críticos son: 

𝒙 = 𝟑 𝒚 𝒙 = −𝟐

Se determina la segunda derivada y se reemplazan los puntos críticos:

𝑺𝒊 𝒇′ (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 → 𝒇′′ (𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏 Reemplazando los puntos críticos en 𝒇

′′ (

𝒙), se tiene que:

𝒇′′ (𝟑) = −𝟐(𝟑) + 𝟏 = −𝟔 + 𝟏 = −𝟓 → 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟑 𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒇′′ (−𝟐) = −𝟐(−𝟐) + 𝟏 = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓 → 𝒆𝒏 𝒙 = −𝟐 𝒉𝒂𝒚 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 Escribiéndolos en orden quedarían:

𝒙 = −𝟐 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. 𝒙 = 𝟑 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. 

mínimo y un máximo una función es creciente. La función es creciente en el intervalo: 𝒙𝝐 [−𝟐, 𝟑]



También se sabe que a la izquierda de un mínimo la función es decreciente.

Se sabe que entre

La función es decreciente en el intervalo:

𝒙𝝐 [−∞, −𝟐]

269

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



Por último, a la derecha de un

máximo la función es decreciente.

La función es decreciente en el intervalo: 

𝒙𝝐 [𝟑, +∞]

Determinación de los puntos de inflexión:

Para determinar donde hay cambio de concavidad, se deben conocer los puntos de inflexión.

Se tiene que:

𝒇′′ (𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏 → −𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 → −𝟐𝒙 = −𝟏 → 𝒙 = El punto de inflexión corresponde a:

𝟏 𝟐

𝒙 = 𝟏𝟐

Se sabe que:  En un mínimo y en todos los puntos vecinos al mínimo la función es cóncava hacia arriba y cambia de concavidad en el punto de inflexión, por lo tanto:

𝟏

Cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝒙 𝝐 (−∞, ] 𝟐

 En un máximo y en todos los puntos vecinos al máximo la función es con

𝟏

Concavidad hacia abajo en el intervalo: 𝒙 𝝐 [ , +∞) 𝟐

2. Para la función:

𝟓

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝟐

Determine intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento, intervalos donde la función es cóncava hacia arriba e intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Procedimiento a. Se encuentran los máximos y los mínimos de la función:

270

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL



Se obtiene la primera derivada

𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 −

𝟐∗𝟓𝒙 𝟐

+ 𝟏, simplificando:

𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏  Se iguala la primera derivada a cero:

𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎

 Se soluciona la ecuación: factorizando,

(𝟔𝒙 − 𝟑) ∗ (𝟔𝒙 − 𝟐) 𝟔 𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟓(𝟔𝒙) + 𝟔 𝟐 (𝟔𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎 → =𝟎→ =𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 (𝟔𝒙 − 𝟑) ∗ (𝟔𝒙 − 𝟐) 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟏) ∗ 𝟐(𝟑𝒙 − 𝟏) =𝟎→ = 𝟎 → (𝟐𝒙 − 𝟏) ∗ (𝟑𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝟔 𝟑∗𝟐  Se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos:

𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝟐𝒙 = 𝟏 → 𝒙 =

𝟏 𝟐

𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝟑𝒙 = 𝟏 → 𝒙 =

𝟏 𝟑

 Reemplazando cada punto crítico en la segunda derivada:

𝑺𝒊 𝒇′ (𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏 → 𝒇′′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝒇′′ ( ) = 𝟏𝟐 ( ) − 𝟓 = 𝟔 − 𝟓 = 𝟏 → 𝒙 = 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒇′′ ( ) = 𝟏𝟐 ( ) − 𝟓 = 𝟒 − 𝟓 = −𝟏 → 𝒙 = 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝟑 𝟑 𝟑 Escribiéndolos en orden quedarían:

𝒙=

𝟏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝟑

𝒙=

𝟏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝟐

271

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

 Se sabe que: a

la izquierda de un máximo la función es creciente:

La función es creciente en el intervalo:



También se sabe que: entre

𝟏

𝒙 𝝐 (−∞, ] 𝟑

un máximo y un mínimo la función es decreciente.

La función es decreciente en el intervalo:  A

𝟏 𝟏

𝒙𝝐[ , ] 𝟑 𝟐

la derecha de un mínimo la función es creciente.

La función es creciente en el intervalo:

𝟏

𝒙 𝝐 [ , +∞) 𝟑

b. Determinación de los puntos de inflexión.  Para determinar donde hay cambio de concavidad, se deben conocer los puntos de inflexión y, ′′ recuerde, que estos se obtienen solucionando la ecuación: 𝒇 (𝒙) = 𝟎 Se tiene que:

𝒇′′ (𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 → 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎 → 𝒙 = El punto de inflexión corresponde a:

𝟓 𝟏𝟐

𝟓 𝒙 = 𝟏𝟐

 Se sabe que en un mínimo y en todos los puntos vecinos al mínimo la función es cóncava hacia arriba y cambia de concavidad en el punto de inflexión, por lo tanto: 𝟓 o Cóncava hacia arriba en el intervalo: 𝒙 𝝐 [ , +∞) 𝟏𝟐  En un máximo y en todos los puntos vecinos al máximo la función es cóncava hacia abajo 𝟓 o Concavidad hacia abajo en el intervalo: 𝒙 𝝐 [−∞, ) 𝟏𝟐 La gráfica de las funciones anteriores, puede ser realizada con el applet de la siguiente página. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm

3. http://www.youtube.com/watch?v=OoKdlZkDGQk&feature=related 4. http://www.youtube.com/watch?v=yklL_7e41kU&feature=fvwrel

272

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

OPTIMIZACIÓN Consiste en problemas de aplicación, donde el objetivo es encontrar los máximos o los mínimos de una función o un modelo matemático. En este tema, se parte de una función y posteriormente, por medio de las técnicas de la primera y de la segunda derivada, se deben encontrar los valores máximos o los valores mínimos de dicha función. Se sugiere el siguiente procedimiento:

1. Identifique cual es la función objetivo. (Función que se desea maximizar o minimizar). 2. Por lo general la función no es conocida, constrúyala de acuerdo a las condiciones del problema. 3. Obtenga los máximos o los mínimos de dicha función. Cuando el enunciado del problema incluya un intervalo, para hallar los máximos o los mínimos, se deben tener en cuenta los extremos del intervalo. 4. Conteste las preguntas del problema.

4.4.6 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Problema planteado por los autores (Haeussler & Richard, 1997): La función de costo total de un fabricante está dado por:

𝒒𝟐 𝒄(𝒒) = + 𝟑𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 𝒆𝒏 𝑼𝑺 $ 𝟒 ¿Para qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo? ¿Cuál es el costo promedio mínimo? Procedimiento a. La función objetivo es el de costo

promedio y se desea minimizar.

Se debe encontrar dicha

función, ya que no es dada.  Determinación de la función de costo promedio:

𝒒𝟐 + 𝟑𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 𝒒 𝒄(𝒒) 𝟒𝟎𝟎 𝟒 𝒄̅(𝒒) = = = +𝟑+ 𝒒 𝒒 𝟒 𝒒  Para determinar los mínimos de la función de costo promedio, se debe derivar la función: Nota: para derivar la función de costo promedio, una posibilidad es escribir dicha función de la siguiente manera:

273

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒄̅(𝒒) =

𝟏 𝒒 + 𝟑 + 𝟒𝟎𝟎𝒒−𝟏 𝟒

Derivando la expresión anterior:

𝟏 𝟏 𝟒𝟎𝟎 + 𝟎 + 𝟒𝟎𝟎(−𝟏)𝒒−𝟏−𝟏 → 𝒄̅′ (𝒒) = − 𝟐 𝟒 𝟒 𝒒

𝒄̅′ (𝒒) =

 Se iguala a cero y se soluciona la ecuación resultante, se iguala cada factor a cero:

𝒄̅′ (𝒒) = 𝟎 𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝒒𝟐 − 𝟏𝟔𝟎𝟎 − 𝟐 =𝟎→ = 𝟎 → 𝒒𝟐 − 𝟏𝟔𝟎𝟎 = 𝟎 𝟐 𝟒 𝒒 𝟒𝒒 (𝒒 + 𝟒𝟎) ∗ (𝒒 − 𝟒𝟎) = 𝟎 𝒒 + 𝟒𝟎 = 𝟎 → 𝒒 = −𝟒𝟎 (No sirve) 𝒒 − 𝟒𝟎 = 𝟎 → 𝒒 = 𝟒𝟎 (Punto crítico) El valor negativo (𝒒

− 𝟒𝟎) no sirve porque no podemos hablar de producción negativa.

 Se obtiene la segunda derivada:

𝒄̅′ (𝒒) =

𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 − 𝟐 → 𝒄′′ (𝒒) = 𝟎 − 𝟒𝟎𝟎(−𝟐)𝒒−𝟑 → 𝒄′′ (𝒒) = 𝟑 𝟒 𝒒 𝒒

 Se reemplaza el punto crítico en la segunda derivada:

𝒄′′ (𝒒) =

𝟖𝟎𝟎 𝒒𝟑

𝒄′′ (𝒒) =

𝟖𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 = = +𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓 → 𝒒 = 𝟒𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝟑 𝟒𝟎 𝟔𝟒𝟎𝟎𝟎

Por lo tanto, con una producción de

mínimo.

40 unidades

se garantiza que el

costo promedio es

274

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

 Para hallar el costo promedio mínimo se reemplaza 40 en la

𝒄̅(𝟒𝟎) =

función de costo promedio:

𝟒𝟎 𝟒𝟎𝟎 +𝟑+ = 𝟏𝟎 + 𝟑 + 𝟏𝟎 = 𝟐𝟑 𝑼𝑺 $ 𝟒 𝟒𝟎

2. Un monopolista vende un artículo por un precio de $ 30.000 y le ofrece a uno de sus clientes un descuento de diez pesos por cada unidad comprada. Determine: 1. La función de ingreso. 2. El ingreso máximo. Procedimiento a. Sea 𝒒 el número de unidades vendidas, entonces el precio

de cada unidad será: $ 30.000

menos 10 pesos por cada unidad vendida, esto es:

𝒑(𝒒) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒒 $ Nota: se debe tener en cuenta que el precio es:

precio no puede ser negativo, entonces la condición para el 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒒 ≥ 𝟎

Resolviendo la inecuación:

−𝟏𝟎𝒒 ≥ −𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 Multiplicando por − −𝟏𝟎𝒒 ∗ (− 𝒒 ≤ 𝟑. 𝟎𝟎𝟎

𝟏 𝟏 ) ≥ −𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗ (− ) 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟏

1 en ambos lados de la inecuación se tiene:

𝟏𝟎

275

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Nota: q

es menor-igual que intervalo solución es:

3000, pero tiene que ser mayor-igual que cero,

por lo tanto el

𝒒 𝝐 [𝟎, 𝟑. 𝟎𝟎𝟎] b. 𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐: 𝒓(𝒒) = 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐: 𝒑(𝒒)𝒑𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒏𝒅𝒊𝒅𝒂𝒔: (𝒒)

𝒓(𝒒) = 𝒑(𝒒) ∗ 𝒒 = (𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒒) ∗ 𝒒 La función de ingreso queda:

𝒓(𝒒) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 $ Con

𝒒 𝝐 [𝟎, 𝟑. 𝟎𝟎𝟎] 

Se deben encontrar los máximos de la función de ingreso, por lo tanto, se deriva la función ingreso:

𝒓(𝒒) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 → 𝒓′ (𝒒) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒 

Se hace

𝒓′ (𝒒) = 𝟎 ,se halla el valor de 𝒒:

𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒 = 𝟎 → −𝟐𝟎𝒒 = −𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒒 = 

𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒒 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟎

Se calcula la segunda derivada y se reemplaza el valor de Si

𝒒:

𝒓′ (𝒒) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒 → 𝒓′′ (𝒒) = −𝟐𝟎 𝒓′′ (𝟏. 𝟓𝟎𝟎) = −𝟐𝟎 → 𝒒 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐

Pero para encontrar el máximo absoluto en el intervalo:

𝒒 𝝐 [𝟎, 𝟑. 𝟎𝟎𝟎], se debe hallar: 𝒓(𝟎), 𝒓(𝟑. 𝟎𝟎𝟎), 𝒓(𝟏. 𝟓𝟎𝟎) en 𝒓(𝒒)

= 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐

276

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝒓(𝟎) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟎) − 𝟏𝟎(𝟎)𝟐 = 𝟎 𝒓(𝟑. 𝟎𝟎𝟎) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟑. 𝟎𝟎𝟎) − 𝟏𝟎(𝟑. 𝟎𝟎𝟎)𝟐 = 𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟎 𝒓(𝟏. 𝟓𝟎𝟎) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏. 𝟓𝟎𝟎) − 𝟏𝟎(𝟏. 𝟓𝟎𝟎)𝟐 = $ 𝟐𝟐. 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

El

máximo absoluto en el intervalo 𝒒 𝝐 [𝟎, 𝟑. 𝟎𝟎𝟎] 𝒆𝒔 𝒒 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎  El ingreso máximo se obtiene con la venta de 1.500 unidades

El ingreso máximo es:

𝒓(𝒒𝟏. 𝟓𝟎𝟎) = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟏. 𝟓𝟎𝟎) − 𝟏𝟎(𝟏. 𝟓𝟎𝟎)𝟐 = $ 𝟐𝟐. 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 El máximo

ingreso que puede

obtener es de

$ 22’500.000

3. Un mayorista tiene la siguiente promoción del día: Vende piñas a 2000 pesos la unidad y ofrece un descuento de 10 pesos por piña comprada. a. Encuentre una función que represente el ingreso del mayorista. Procedimiento Para construir la función de ingreso en la venta de las

𝒒 piñas, tenga en cuenta que:

Ingreso = precio de venta multiplicado por la cantidad vendida. En la siguiente tabla se observa mejor la construcción de la función de ingreso para la venta de q piñas.

Cantidad de piñas vendidas

Precio de venta

Ingreso

1

2000 – 10(1)

[2000 – 10(1)]*1

2

2000 – 10(2)

[2000 – 10(2)]*2

3

2000 – 10(3)

[2000 – 10(3)]*3

277

CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Como

4

2000 – 10(4)

[2000 – 10(4)]*4

Q

2000 – 10q

(2000 – 10q)*q

𝒚 = 𝒓(𝒒) es el ingreso obtenido al vender 𝒒 piñas:

𝒓(𝒒) = (𝟐. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒒) ∗ 𝒒 → 𝒓(𝒒) = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 (función

representativa del

ingreso del mayorista). b. ¿Bajo qué condiciones el mayorista obtendrá el máximo ingreso? Procedimiento  Se halla la primera derivada: Si 𝒓(𝒒)

= 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 → 𝒓′ (𝒒) = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒

′  Se hace: 𝒓 (𝒒)

= 𝟎 y se despeja el valor de 𝒒:

𝟐. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒 = 𝟎 → −𝟐𝟎𝒒 = −𝟐. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒒 =

−𝟐. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 −𝟐𝟎

 Se halla la segunda derivada:

′ Si 𝒓 (𝒒)

= 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒒 → 𝒓′′ (𝒒) = −𝟐𝟎 →

𝒓′′ (𝒒𝟏𝟎𝟎) = −𝟐𝟎 → 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 Por lo tanto, con la

venta de 100 piñas se obtiene el ingreso máximo.

 El ingreso

máximo es:

𝒓(𝒒) = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝒒 − 𝟏𝟎𝒒𝟐 → 𝒓(𝟏𝟎𝟎) = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟏𝟎𝟎) − 𝟏𝟎 ∗ (𝟏𝟎𝟎)𝟐 = $𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 4. Ejemplo propuesto como ejercicio por los autores (Haeussler & Richard, 1997) Una empresa dispone de US$ 3000 para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río usando este como un lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de US$ 5 por metro instalado y el de la

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

cerca para los otros dos lados es de US$ 6 por metro instalado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada. Véase la figura 58.

Figura 58. Área a cercar. (Autor. Elkin Ceballos Gómez. Mayo 18 de 2011)

Procedimiento De acuerdo con la figura 58: a. Sea 𝒙 la longitud de la cerca paralela al río, sea 𝒚 la longitud de cada uno de los lados del terreno adyacente al río.  Se debe encontrar una relación entre 𝒙 y es de US$

𝒚

por los datos que dan, se sabe que el costo total del área

3.000, por tanto:

𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟎, se despeja 𝒚: 𝟔𝒚 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝒙 → 𝒚 =

𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝒙 𝟔

Al reemplazar en esta ecuación en función de 𝒙 y

𝒚, se tiene:

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

𝑨𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝒙 ∗ 𝒚, reemplazando 𝒚: 𝟑.𝟎𝟎𝟎−𝟓𝒙

𝒂(𝒙) = 𝒙 ∗ ( 𝒂(𝒙) =

𝟔

𝟑.𝟎𝟎𝟎𝒙 𝟔

−

𝟓𝒙𝟐 𝟔

), realizando el producto indicado y separando denominadores:

, simplificando:

𝟓𝒙𝟐 𝒂(𝒙) = 𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟔  Determinación del dominio de esta función:

𝟓𝒙𝟐

𝒂(𝒙) = 𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟓𝟎𝟎𝒙 −

𝟓𝒙𝟐 𝟔

𝒙 (𝟓𝟎𝟎 − 𝒙=𝟎 𝟓𝟎𝟎 −

𝟓𝒙 𝟔

𝟓𝒙 𝟔

𝟔

, como el área no puede ser negativa, entonces:

> 𝟎, factorizando: ) > 𝟎, igualando a cero cada factor:

𝝈 𝟓𝟎𝟎 −

𝟓𝒙 𝟔

= 𝟎, queda:

= 𝟎, multiplicando toda la ecuación por 𝟔

𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝒙 = 𝟎 → −𝟓𝒙 = −𝟑. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒙 =

−𝟑. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 −𝟓

Por lo tanto, el dominio de la función es:

𝑫𝒇 = 𝒙 𝝐 (𝟎, 𝟔𝟎𝟎) b. Se obtiene la primera derivada de la función:

Si 𝒂(𝒙) = 𝟓𝟎𝟎𝒙 −

𝟓𝒙𝟐 𝟔

→ 𝒂′ (𝒙) = 𝟓𝟎𝟎 −

Se hace 𝒂′ (𝒙) = 𝟎 → 𝟓𝟎𝟎 −

𝟏𝟎𝒙 𝟔

𝟏𝟎𝒙 𝟔

= 𝟎 → 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎 →

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

−𝟏𝟎𝒙 = −𝟑. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒙 =

−𝟑. 𝟎𝟎𝟎 → 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 −𝟏𝟎

a. Se obtiene la segunda derivada de la función: Si 𝒂

′(

𝒙) = 𝟓𝟎𝟎 −

𝟏𝟎𝒙 𝟔

→ 𝒂′′ (𝒙) = −

𝟏𝟎 𝟔

=−

𝟓 𝟑

 Reemplazando en la segunda derivada, se tiene:

𝟓

𝒂′′ (𝟑𝟎𝟎) = − , esto implica que: 𝟑

𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐  Se reemplaza el valor de 𝒙 en

𝒚=

𝟑.𝟎𝟎𝟎−𝟓𝒙

y se encuentra el valor de la otra dimensión 𝒚:

𝟔

𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟓(𝟑𝟎𝟎) 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 𝒚= = = → 𝒚 = 𝟐𝟓𝟎 𝟔 𝟔 𝟔  Por lo tanto, las dimensiones son:

𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒚 = 𝟐𝟓𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 5. 6. 7. 8. 9.

http://www.youtube.com/watch?v=TSVK1vFifQ0 http://www.youtube.com/watch?v=x9oQOz95kyA http://www.youtube.com/watch?v=1QckQJcpcKo http://www.youtube.com/watch?v=LuIyYqlfdoQ http://www.youtube.com/watch?v=pcr4ikpQlLo

4.4.7 EJERCICIO DE ENTRENAMIENTO 1. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

y  f x   En el punto x = 1

7x 1 3x  2

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

2. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

y  5x  1 En el punto x = 2 3. La función de costo en la fabricación de q unidades de cierto artículo es:

cq   0,03q 2  50q  3 $ Determine el costo marginal y el costo promedio en la producción de 25 unidades del producto. 4. La función de demanda en la venta de q unidades de cierto artículo es:

p(q)  7000  0,2q $ Determine el ingreso marginal en la venta de 10 unidades del producto. 5. La función de posición de un objeto está dada por:

st   4t 3  5t 2  3t  50 m Determine la velocidad y la aceleración para un tiempo de 10 segundos. 6. La función de posición de un objeto está dada por:

st  

5 3 t  3t 2  8t  20 km 3

Determine la velocidad y la aceleración para un tiempo de 3 horas. Determine el instante en el cual el objeto se detiene. 7. Para la función

f ( x)  x 5  80x  20 Determine: Máximos y mínimos relativos. Puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento.

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

Intervalos de concavidad arriba e intervalos de concavidad abajo. 8. Para la función

f ( x)  x 3 

11 2 x  4 x  10 2

Determine: Máximos y mínimos relativos. Puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento. Intervalos de concavidad arriba e intervalos de concavidad abajo. 9. Un monopolista ofrece a uno de sus clientes vender un producto de la siguiente manera: Un precio de $8000 y un descuento de 0,02 pesos por cada unidad comprada. Determine el máximo ingreso que puede obtener el monopolista bajo estas condiciones. 10. Se desea construir una caja rectangular sin tapa con una lámina de cartón de 80 cm por 35 cm, para ello se quita en cada esquina un cuadrado de x cm de longitud. Determine las dimensiones de la caja de tal manera que permita almacenar el máximo volumen. Determine el volumen máximo.

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

5 PISTAS DE APRENDIZAJE Tener en cuenta: para determinar intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento de una función, se debe recorrer la gráfica de la función de izquierda a derecha, si la sensación es que se sube por la gráfica, en este tramo la función es creciente y si la sensación es que se baja por la gráfica, en este tramo la función es decreciente. Tenga presente: que a los números reales no pertenecen expresiones de la forma: cero dividido cero, un número diferente de cero dividido cero, la raíz par de los números negativos, el logaritmo de cero, el logaritmo de los números negativos, entre otros. Traer a la memoria: para hallar los interceptos de una función con el eje x, se hace y = 0. Para encontrar los interceptos con el eje y, se hace x = 0. Tener en cuenta: para determinar si una expresión cuya gráfica es dada, es función, se traza una recta vertical, si corta la gráfica en un solo punto corresponde a una función; si corta la gráfica en dos o más puntos no es una función. Tenga presente: una función racional es discontinua en todos aquellos valores de x en los cuales el denominador es igual a cero. Traer a la memoria: toda función es continua en su dominio.

0 , este no es un resultado 0 0 válido que se llama una indeterminación de la “forma cero sobre cero”. Las indeterminaciones de la forma se 0 pueden eliminar factorizando y/o racionalizando. Tener en cuenta: si al evaluar un límite da como resultado una expresión de la forma

Tenga presente: para determinar los puntos críticos de una función, se debe solucionar la ecuación: primera derivada igual a cero. Traer a la memoria: para determinar si un punto crítico corresponde a un máximo o a un mínimo relativo, debe reemplazar cada punto crítico en la segunda derivada. Si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es positiva, el punto crítico corresponde a un mínimo relativo y si el resultado es negativo, el punto crítico corresponde a un máximo. Tener en cuenta: para determinar los puntos de inflexión de una función, se debe solucionar la ecuación: segunda derivada igual a cero. Tenga presente: que los cambios de concavidad de una función se presentan en los puntos de inflexión de la misma. Traer a la memoria: que el costo marginal se interpreta como: el dinero que cuesta producir una unidad adicional a las unidades planeadas.

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

6 HERRAMIENTAS VIRTUALES A USAR Moodle, Vidyo OneDrive Mathway GeoGebra Derive Scilab

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CÁLCULO DIFERENCIAL TRASVERSAL

7 GLOSARIO Función: “Una función es una regla que describe la forma en que una cantidad depende de otra; por ejemplo, al estudiar el movimiento, la distancia recorrida es una función del tiempo.” (Stewar, Lothar, & Watson, 2001, p.130). Dominio: el dominio para cualquier función está constituido por todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Todos los valores tomados de los números reales. Rango: el rango para cualquier función está constituido por todos los números que puede tomar la variable dependiente (la y). Al rango también se le conoce como la imagen de la función Interceptos: un intercepto es un punto en el cual la gráfica de la función corta un eje. Crecimiento: se dice que una función es creciente cuando al aumentar la x, la y también aumenta o viceversa. Decrecimiento: se dice que una función es decreciente cuando al aumentar la x, la y disminuye o viceversa. Continuidad: conceptualmente, se dice que una función es continua, cuando al observar su gráfica, esta se puede recorrer sin necesidad de levantar el lápiz. Discontinuidad: conceptualmente, se dice que una función es discontinua, cuando al observar su gráfica, es necesario levantar el lápiz para recorrerla. Punto crítico: es un valor de x en el cual la primera derivada de una función es igual a cero o no existe. Punto de inflexión: es un valor de x en el cual la segunda derivada de una función es igual a cero. Asíntota vertical: es una línea recta vertical que presenta la característica que la gráfica de la función tiende a tocarla; pero nunca la toca, ni la corta, ni la cruza.

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CÁLCULO DIFERENCIAL

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8 BIBLIOGRAFÍA Dávila, A., Navarro, P., & Carvajal, J. (1996). INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO. Caracas: McGraw-Hill. Edwar, T. D. (1996). Cálculo Para Administración, Economía y Ciencias Sociales. SANTAFE DE BOGOTA.: McGraw Hill. emagister.com. (27 de septiembre de 2007). Wikilearning. Recuperado el 18 de Mayo de 2011, de http://www.wikilearning.com/apuntes/funciones_matematicas-funciones/3503-1 especificado, N. (s.f.). monografías.com. Recuperado el 18 de Mayo de 2011, de Matemática.: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#fun Fernández, A. S. (s.f.). web social. Recuperado el 18 de mayo de 2011, de Solución problemas de Matemáticas y Física Vía Email: http://www.jfinternational.com/funciones-matematicas.html Haeussler, E., & Richard, P. S. (1997). Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias sociales y de la vida. México: Prentice hall. Hoffmann, L. D., & Bradley, G. L. (1995). CÁLCULO Aplicado a Administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales. Santafé de Bogotá: McGRAW-HILL. Norma, G. e. (2010). eleducador.com. Recuperado el 18 de Mayo http://www.eleducador.com/col/contenido/contenido.aspx?catID=110&conID=307

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Purcell, E., & Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. México: Prentice Hall. S.T.Tan. (1998). Matemáticas para administración y economía. México: International Thompson editores, S.A. Soler, F. F., Núñez, R., & Aranda, S. M. (2002). Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a ciencias Económicas y Administrativas. Bogotá: ECOE EDICIONES. Stewar, J. (1999). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: International Thomson Editores, S. A. De C. V. Stewar, J., Lothar, R., & Watson, S. (2001). Precálculo. Madrid: International Thomson Editores, S.A. Stewart, J. (1999). Cálculo conceptos y contexto. México: International Thomso Editore. Uribe, C. J. (1990). Matemáticas una propuesta curricular. Un décimo grado educación media vocacional. Medellín: Bedout editores S.A. Uribe, C. J., & Ortíz, D. M. (No especificado). Matemática Experimental 8. Medellín: Uros editores.