Cauchy Euler

CLASE N°23: E.D. CON COEFICIENTES VARIABLES: E.D. DE CAUCHY-EULER.

Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las Reconocer y diferenciar las ecuaciones diferenciales funciones de variable compleja, publicando las 300 lineales de orden superior, así como sus soluciones páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, generales y particulares e interpretarlas. continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó COMPETENCIAS A DESARROLLAR: como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida  IDENTIFICA, RESUELVE E INTERPRETA ecuaciones lineales de orden superior homogénea y no homogénea. enseñando en La Sorbona. OBJETIVO ESPECÍFICO

ALGO DE HISTORIA Augustin-Louis Cauchy (París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil. Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes variables Ed. Cauchy- Euler después. Una ecuación diferencial de coeficientes variables Su primer trabajo fue como ingeniero militar para es aquella de la forma Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑦 (𝑛−1) + ∙ ∙ ∙ +𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) más tarde demostró una conjetura de Fermat que había Con 𝑎𝑛 (𝑥), 𝑎𝑛−1 (𝑥), … , 𝑎0 (𝑥), 𝑔(𝑥) funciones de superado a Euler y Gauss. variable 𝑥 la llamamos

Una ecuación diferencial de tipo Cauchy-Euler es aquella que corresponde a la forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ∙ ∙ ∙ +𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Con 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … , 𝑎0 constantes reales y 𝑔(𝑥) función Método de Solución: Si solucionamos la ecuación diferencial 𝑑𝑦

𝑎1 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑦 = 0 obtenemos una solución de la forma 𝑦 = 𝑥 𝑚 , entonces si suponemos que una solución de la ecuación diferencial es de la forma 𝑦 = 𝑥 𝑚 entonces para solucionar la E.D 𝑎2 𝑥 2 𝑦`` + 𝑎1 𝑥𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 0 tendríamos que remplazando obtenemos: 𝑎𝑥 2 𝑚(𝑚 + 1)𝑥 𝑚−2 + 𝑏𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0 [𝑎𝑚(𝑚 + 1) + 𝑏𝑚 + 𝑐] 𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 = 0 ó 𝑎𝑚(𝑚 + 1) + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 donde 𝑥𝑚 ≠ 0 , Luego tendríamos la ecuación auxiliar 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 que al resolver nos lleva al análisis de las siguientes posibilidades: 2 Raíces reales diferentes 𝑚 1 ≠ 𝑚2

Posibilidad 1:

𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚 1 + 𝐶2 𝑥 𝑚 2 Posibilidad 2:

2 Raíces reales iguales 𝑚 1 = 𝑚2

𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚 1 + 𝐶2 𝑥 𝑚 1 𝑙𝑛|𝑥| Posibilidad 3: 𝛼 ± 𝑖𝛽

2 Raíces complejas conjugadas 𝑚 =

𝑦1 = 𝑒 (𝛼 + 𝑖𝛽)𝑥 = 𝑒 𝛼 cos 𝛽𝑥 𝑦2 = 𝑒

(𝛼− 𝑖𝛽)𝑥

𝛼

Ejemplo 1: Resolver 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 2 2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Solución: Sea 𝑦 = 𝑥 𝑚 la solución de la ecuación diferencial entonces 𝑦` = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦`` = 𝑚(𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2 Remplazamos en la E.D 𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 − 2𝑥 𝑚𝑥 𝑚−1 – 4𝑥 𝑚 = 0 [𝑚2 – 𝑚 – 2𝑚 – 4] 𝑥 𝑚 = 0 [𝑚2 – 3𝑚 – 4] 𝑥 𝑚 = 0 𝑚2 – 3𝑚 – 4 = 0 (𝑚 – 4)(𝑚 − 1) = 0 𝑚 = 4 𝑦 𝑚 = −1 Por lo tanto 𝑦 = 𝐶1 𝑥 −1 + 𝐶2 𝑥 4 Ejemplo 2: Resolver 𝑥2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 − 3𝑥 + 3𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

De acuerdo a su forma 𝑎 = 1 𝑏 = −3

𝑐= 3

Aplicando la ecuación auxiliar tenemos: 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐

= 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥

𝑦 = 𝑥 𝛼 [𝐶1 𝑐𝑜𝑠 (𝛽𝑙𝑛|𝑥|) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑙𝑛|𝑥|)]

𝑚2 + (− 3 − 1)𝑚 + 3 = 0 𝑚2 − 4𝑚 + 3 = 0

Factorizando:

Ejemplo 4:

(𝑚 − 3)(𝑚 − 1) = 0 𝑚=3

𝑦

Resolver la ED no homogénea 𝑥 2 𝑦`` − 3𝑥𝑦` + 3𝑦 = 2𝑥 4 𝑒 𝑥

𝑚= 1

Luego

𝑦𝑐 𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥

𝑥 2 𝑦`` − 3𝑥𝑦` + 3𝑦 = 0 𝑚 2 + (−3 − 1)𝑚 + 3 = 0

Ejemplo 3: Resolver la E.D

𝑚 2 – 4𝑚 + 3 = 0

𝑥 3 𝑦``` + 5𝑥 2 𝑦`` + 7𝑥𝑦` + 8𝑦 = 0

(𝑚 − 3)(𝑚 − 1) = 0

𝑦 = 𝑥𝑚,

𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥

𝑦` = 𝑚𝑥 𝑚−1 ,

ahora para hallar 𝑦𝑝 lo hacemos por variación de parámetros

𝑦`` = (𝑚2 − 𝑚) 𝑥 𝑚−2 , 𝑦``` + 𝑃(𝑥)𝑦` + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥) 2

𝑦``` = (𝑚 − 2)(𝑚 − 𝑚) 𝑥

𝑚−3

𝑥 3 𝑚 (𝑚 − 1)(𝑚 − 2) 𝑥 𝑚−3 + 5𝑥 2 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 + 7𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 8𝑥 𝑚 = 0

𝑥 3 [(𝑚3 − 3𝑚2 + 2𝑚) + (5𝑚2 − 5𝑚) + 7𝑚 + 8] = 0

𝑚3 − 2𝑚2 + 4𝑚 + 8 = 0 que puede factorizarse agrupando términos

luego la E.D 2𝑥 2 𝑒 𝑥

tiene 𝑦 1 = 𝑥 3 , 𝑦2 = 𝑥 , 𝑓(𝑥) =

Por lo tanto 𝑊(𝑦 1 , 𝑦2 ) = −2𝑥 3 , 𝜇1 ` = 𝑒 𝑥 , 𝜇2 ` = −𝑥 2 𝑒 𝑥 (Realizarlo)

𝑚2 (𝑚 + 2) + 4(𝑚 + 2) = 0

𝜇1 = 𝑒 𝑥 𝜇2 = −𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥

(𝑚 + 2)(𝑚2 + 4) = 0

𝑦 𝑝 = 𝜇1 𝑦 1 + 𝜇2 𝑦2

𝑚 + 2 = 0 𝑚 = −2 𝑚 = ± 2𝑖

3 3 𝑦`` − y` + 2 𝑦 = 2𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑥 𝑥

ó

𝑚2 + 4

𝛼= 0 𝛽= 2

Luego la solución será 𝑦 = 𝐶1 𝑥 2 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 (2𝑙𝑛|𝑥|) + 𝐶3 𝑠𝑒𝑛 (2𝑙𝑛|𝑥|)]

𝑦 𝑝 = 2𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 (comprobarlo) 𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 + 2𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. x2 y'' - 2y = 0 2. xy'' + y' = 0 3. x2 y'' + xy' +4y = 0 4. x2 y'' - 3xy' - 2y = 0 5. 25x2 y'' + 25xy' + y = 0 6. x2 y'' +5xy' +4y = 0 7. x2 y'' - xy' + 2y = 0 8. 3x2 y'' +6xy' + y = 0 9. x 3 y''' - 6y = 0 10. x 3 y''' - 2x 2 y'' - 2xy' + 8y = 0 11. x 2 y'' + 3xy' = 0 , y 1 = 0 , y' 1 = 4 12 x2 y'' - 5xy' +8y = 0 , y (2) = 32 , y' (2) = 0 13. x2 y'' + xy' + y = 0 , y (1) = 1 , y' (1) = 2 14. x2 y'' - 3xy' +4y = 0 , y (1) = 5 , y' (1) = 3 15. xy'' + y' = x 16. 2x2 y'' +5xy' + y = x 2 - x 17. x2 y'' - xy' + y = 2x